Задачи по теории вероятностей. Часть I: Учебно-методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛБНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ I УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Ростов-на-Дону 2006

Учебно-методическое пособие разработано кандидатом физикоматематических наук, доцентом кафедры теории функций и функционального анализа Луценко А.И. для студентов, обучающихся на всех специальностях механико-математического факультета университета

Ответственный редактор кандидат физико-математических наук, доцент В.Е. Ковальчук. Копьютерный набор и вёрстка лаборанта О.В.Пищемухи. Печатается в соответствии с решением кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ, протокол № 4 от 15 декабря 2005г.

Цель пособия - обеспечить проведение практических занятий по курсу «теория вероятностей и математическая статистика» на механико-математическом факультете. В пособии приведены задачи, посвященные случайным событиям и определению вероятностей их наступления. Построение множества элементарных исходов и выделение в нём подмножеств элементов, благоприятствующих случайным событиям, в большинстве задач предполагает использование комбинаторики. Так как комбинаторика является инструментом для решения задач по теории вероятностей, то данное пособие начинается со знакомства с её элементами. Во многих задачах требуется определить вероятности нескольких случайных событий, которые могут произойти при проведении конкретного испытания. Определение вероятностей нескольких событий на одной и той же построенной модели позволяет лучше почувствовать суть работы с построенной вероятностной моделью, не отвлекаясь каждый раз на построение новой модели. Постепенно усложняющиеся модели испытаний, описываемые в условиях задач, позволяют студенту лучше изучить основные понятия теории вероятностей, приобрести навыки построения теоретико-вероятностных моделей и работе с ними.

2

§0. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 0.1.

0.2.

0.3.

0.4.

0.5.

0.6.

0.7.

На четырёх разноцветных карточках написаны буквы A, A, M, M. Ребёнок, который не умеет читать, наудачу раскладывает эти карточки в ряд. Сколько всего слов из четырёх букв он может составить? Сколько раз у него может получиться слово МАМА. На пяти разноцветных карточках написаны буквы А, А, Д, М, М. Наудачу, по одной выбираются четыре карточки и раскладываются в ряд в порядке появления. Сколько слов из четырёх букв можно составить? Сколько раз получится слово МАМА? Сколько раз получится слово ДАМА? Из пяти карточек, на которых написаны цифры 1,2,3,4,5, наудачу выбираются три (пять) карточки и раскладываются в ряд в порядке появления. Сколько трёхзначных (пятизначных) чисел можно составить? Сколько чётных трёхзначных чисел можно составить? Сколько нечётных трёхзначных чисел можно составить? Из пяти карточек, на которых написаны цифры 1,2,3,4,5, наудачу выбираются по одной три (пять) карточки. Цифра, написанная на извлечённой карточке, записывается, и эта карточка перед следующим извлечением возвращается обратно. Сколько трёхзначных (пятизначных) чисел можно записать таким образом? Сколько чётных трёхзначных чисел можно записать? Сколько нечётных трёхзначных чисел можно записать? Имеются три банки с красками разных цветов. Забор можно покрасить краской из любой одной банки. Можно покрасить забор, предварительно смешав краски из любых двух банок. Можно покрасить забор, смешав краски всех трёх банок. Сколько всего вариантов цветов покраски забора можно составить? Как изменится это количество вариантов цветов, если будет четыре банки красок разных цветов? Из колоды карт (36 штук) наудачу без возвращения извлекают три карты. Сколько всего различных наборов по три карты можно сделать? Сколько можно составить наборов, в которых будут три «картинки»? Сколько можно составить наборов, в которых будут одни «короли»? Сколько можно составить наборов, в которых будут только три карты бубновой масти? Из колоды карт (36 штук) наудачу по одной, возвращая каждый раз карту после фиксирования её номинала, извлекают три карты. Сколько всего различных наборов по три карты можно составить? Сколько можно составить наборов, в которых будут три «картинки»? Сколько можно составить наборов, в которых будут одни «короли»? Сколько можно составить наборов, в которых будут только три карты бубновой масти?

3

0.8. 0.9.

0.10.

0.11.

0.12.

0.13.

0.14. 0.15.

0.16.

В партии домино имеется 28 костей. В домино играют четыре человека, которые, начиная игру, разбирают все кости. Сколько всего вариантов разбора костей партии домино возможно? Для «интеллектуальной» игры каждому из четырёх игроков из колоды имеющей 36 карт раздают по шесть карт. Сколько возможно вариантов раздачи карт? Как изменится это число вариантов раздачи, если игроков будет шесть? В урне имеются 15 шаров. Из них: 6 шаров белого цвета и 9 шаров чёрного цвета. Извлекаются наудачу три шара а) с возвращением; б) без возвращения. Сколько всего наборов для каждого способа извлечения можно сделать. Сколько в каждом случае можно сделать наборов, в которых все шары будут: 1) белого цвета; 2) чёрного цвета; 3) одного цвета. 4) Сколько наборов можно сделать, в которых будут шары разных цветов? Наудачу подбрасываются две игральных кости. Возможным исходом опыта будет пара чисел (a,b), где a и b – количества очков на верхних гранях первой и второй кости, соответственно. Опишите множество возможных исходов опыта Ω и определите количество его элементов. Выделите на этом множестве следующие подмножества: событие A -«сумма выпавших очков равна девяти (a + b = 9 ) »; событие B –«сумма выпавших очков будет не больше девяти (a + b ≤ 9 ) »; событие C –«на первой кости выпало чётное число очков»; событие D –«на обеих костях выпали чётные числа очков»; событие E –«сумма выпавших очков есть чётное число»; событие F – «произведение выпавших очков есть чётное число». Определите количество элементов в каждом из этих подмножеств. В ящике находятся 100 деталей, среди которых 90 штук – хороших и 10 штук – бракованных. Наудачу для контроля отбираются шесть штук. Сколько наборов можно сделать, в которых: а) все детали – хорошие; б) все детали – бракованные; в) половина деталей – хорошие, половина деталей – бракованные. В библиотеке в очереди стоят десять студентов. Сколько вариантов очередей возможно? Сколько будет вариантов очередей, в которых: а) три определённых студента A, B и С стоят рядом в последовательности ABC; б) три определённых студента A, B и С стоят рядом? В библиотеке в очереди стоят десять студентов. Сколько будет вариантов очередей, в которых между A и B стоят: а) два студента; б) три студента? В урне находятся шары трёх цветов: 7 – белых, 5 – красных и 3 – синих. Наудачу без возвращения извлекаются три шара. Сколько всего различных наборов по три шара можно сделать? Сколько можно сделать наборов, в которых будут шары только белого, красного, синего цвета? Сколько можно сделать наборов, в которых будут шары только одного цвета? Сколько можно сделать наборов, в которых будут шары всех цветов? Сколько трёхзначных чисел можно образовать из цифр множества {1,2,4,6,8,9}, если при выборе цифр не допускать повторений? Сколько 4

0.17.

0.18.

0.19.

0.20.

0.21.

0.22. 0.23. 0.24.

0.25.

0.26.

трёхзначных чисел окажется меньше, чем 500? Сколько будет нечётных трёхзначных чисел? Сколько трёхзначных чисел можно образовать из цифр множества {1,2,3,4,5}, если при выборе цифр допускать повторения? Сколько трёхзначных чисел окажется меньше, чем 500? Сколько будет трёхзначных чисел, которые делятся на 111? Два шахматиста A и B играют матч из двенадцати партий. Сколькими способами может быть получен такой общий результат матча: в четырёх партиях победил игрок A, в четырёх партиях зафиксирована ничья, в четырёх партиях победил игрок B? В каждом регионе Российской Федерации государственный номер автомобиля состоит из трёх (из двенадцати возможных) букв латинского алфавита и трёхзначного числа (от 001 до 999). Например: «А 621 ТЕ» или «В 384 СК». Сколько всего автомобилей может быть зарегистрировано таким образом в каждом регионе? Комитет состоит из 12 членов. Минимальный кворум на заседаниях этого комитета должен насчитывать 8 членов. Сколькими способами может достигаться минимальный кворум? Сколькими способами может достигаться какой-нибудь кворум? В урне находятся 8 белых и 6 красных шаров. Найти число способов выбора пяти шаров, если: а) эти шары могут быть любого цвета; б) три шара должны быть белого, а два – красного цвета; в) все пять шаров должны быть одного цвета. Необходимо разделить группу из 20 человек на одну группу в 10 и две группы по 5 человек. Сколькими способами можно это сделать? В генетическом эксперименте из выборки, содержащей по десять белых, красных и розовых цветков, для опыления были взяты 4 белых, 7 красных и 5 розовых цветков. Сколькими способами это можно сделать? Из группы в десять мужчин и десять женщин нужно выбрать десять человек. а) Каково число способов выбора десяти человек? б) Каково число способов выбора десяти человек, если по крайней мере восемь из них должны быть женщинами? в) Каково число способов выбора, при которых в группе из десяти человек мужчин окажется больше, чем женщин? Монета бросается до тех пор, пока «герб» не появится четыре раза. Результаты бросаний монеты записываются в виде последовательности: ω = {1,0,0,1,...,1}, где запись «1» соответствует выпадению «герба», а запись «0» – выпадению «решки». Сколько таких типов последовательностей можно записать, если известно, что в четвёртый раз «герб» выпал при десятом бросании? Обобщить полученный результат, если: монета бросается до k-того появления «герба» и было сделано n бросаний монеты. В урне имеются шары с номерами 1,2,3,4,5,6. Наудачу извлекаются три шара и раскладываются в порядке появления. Сколько трёхзначных чисел могут образовать номера извлечённых шаров? Сколько возможно 5

комбинаций, в которых номера извлечённых шаров будут образовывать возрастающую последовательность? Найти общее решение задачи: если в урне имеются n шаров с номерами от 1 до n, а извлекаются и раскладываются в порядке появления m шаров. Сколько возможно комбинаций, в которых номера извлечённых шаров будут образовывать возрастающую последовательность?

0.1. P4 = 4! = 24 ; 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 4 .

Ответы 0.2. A54 = 120; 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 4; 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4 .

0.3.

2( A2 ⋅ A3 ⋅ 1) + A3 ⋅ A2 = 24 . A53 = 60; (P5 = 5! = 120 ). A22 ⋅ A31 + 2( A21 ⋅ A32 ) + A33 = 36. 0.4. 53 = 125; (55 = 3125). 2 3 + 2( 2 ⋅ 3 ⋅ 2) + 32 ⋅ 2 = 50. 33 + 2(32 ⋅ 2) + 2 2 ⋅ 3 = 75. 0.5. C 31 + C 32 + C 33 = 7; C 41 + C 42 + C 43 + C 44 = 15. 0.6. C 363 = 7140; C123 = 220; C 43 = 4; C 93 = 84. 0.7. 0.8. C 287 ⋅ C 217 ⋅ C147 ⋅ C 77 . 0.9. 36 3 = 46656; 12 3 = 1728; 4 3 = 64; 9 3 = 727. 36! 36! C 366 ⋅ C 306 ⋅ C 246 ⋅ C186 = ; C 366 ⋅ C 306 ⋅ C 246 ⋅ C186 ⋅ C126 ⋅ C 66 = . 4 (6!)6 12!⋅(6!) 0.10. а) б) 3 15 C153 1) 6 3 = 216 1) C 63 = 20 2) 9 3 = 729 2) C 93 = 84 3 3 3) 6 + 9 = 945 3) C 63 + C 93 = 104 2 2 4) 6 ⋅ 9 + 6 ⋅ 9 = 810 4) C 61 ⋅ C 92 + C 62 ⋅ C 91 = 351 1

0.11.

Ω = 6 2 = 36;

A = 4;

B = 10;

C = 18;

1

D = 32 = 9;

2

E = 18;

1

F = 27.

0.12. а) C 9010 ≈ 3,4323872 ⋅ 1013 ; б) C106 = 210; в) C 903 ⋅ C103 = 1,40976 ⋅ 10 7 . 0.13. а)10! ; б) 8 ⋅ 7! = 8! ; в) 8 ⋅ 3!⋅7! = 8!⋅3! . 0.14. а) 7 ⋅ 2!⋅ A82 ⋅ 6! = 7 ⋅ 8!⋅2! ; б) 6 ⋅ 2!⋅ A83 ⋅ 5! = 6 ⋅ 8!⋅2! . 0.15. C153 = 455; C 73 = 35, C 53 = 10, C 33 = 1; C 73 + C 53 + C 33 = 46; C 71 ⋅ C 51 ⋅ C 31 = 105. 0.16. A63 = 120; A31 ⋅ A52 = 60; A42 ⋅ A21 + 2( A41 ⋅ A21 ) ⋅ A11 = 40. 0.17. 53 ; 4 ⋅ 5 2 ; 5. 12! 0.18. C124 ⋅ C 84 ⋅ C 44 = 0.19. 12 3 ⋅ 999 = 1728 ⋅ 999 = 1726272 . = 34650 . 3 (4!) 0.20. C128 ;

12

∑C k −8

k 12

.

0.23. C194 ⋅ C107 ⋅ C105 .

0.21. C145 ; C 83 ⋅ C 63 ; C 85 + C 65 .

0.22. C 2010 ⋅ C105 ⋅ C 55 .

0.24. C 2010 ; C108 ⋅ C102 + C109 ⋅ C101 + C1010 ⋅ C100 ;

10

∑C k =6

k 10

⋅ C1010− k .

0.25. Если было сделано 10 бросаний, то «решка» выпадала 6 раз, значит количество возможных последовательностей из четырёх «1» и шести «0», в

6

которых на последнем месте записана «1», равно: C 93 = C 96 = 84 . В общем случае число таких последовательностей равно: C nk−−11 = C nk−1 .

0.26. A63 = 120. Число комбинаций номеров трёх шаров, образующих возрастающую последовательность, равно C 63 = 20 . Ниже приведена схема построения комбинаций возрастающих номеров трёх извлекаемых шаров. Она позволяет построить решение общей задачи.

1й шар

2й

1

2

2

3

4

5

3

3

4

5

4

4

5

5

6

6

3й 3

4

5

20 = (4

6

4 +

5 3

6

5 +

2

6

6

4

5

+ 1) +

(3

6

5 6 + 2

6

5

6

+ 1) + (2 + 1) + 1

Пусть в урне имеются n шаров с номерами от 1 до n, а извлекаются и раскладываются в порядке появления m шаров. Если m=2, то S n , 2 − число возрастающих последовательностей номеров шаров будет равно: n − ( m −1 ) (n − m + 2) ⋅ (n − m + 1) , 1 + n − (m − 1) ⋅ (n − (m − 1)) = или, если S n, 2 = ∑ k = 2 2 k =1 n ⋅ (n − 1) = C n2 . заменить m = 2 , S n , 2 = 2! Если m=3, то число возрастающих последовательностей номеров шаров будет равно: n − ( m −1 ) n − ( m −1 ) k (k + 1) ⋅ k = (n − m + 3) ⋅ (n − m + 2) ⋅ (n − m + 1) , или, если S n ,3 = ∑ ⎛⎜ ∑ i ⎞⎟ = ∑ 2 3⋅ 2 k =1 ⎝ i =1 ⎠ k =1 n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) = C n3 . заменить m = 3 : S n ,3 = 3! Продолжая дальше, получаем, если m=4, то число возрастающих последовательностей номеров шаров будет равно: n − ( m −1 ) ⎛ k ⎛ i ⎞ ⎞ n−( m −1) ⎛ k (i + 1) ⋅ i ⎞ n−( m −1) (k + 2 ) ⋅ (k + 1) ⋅ k S n,4 = ∑ ⎜ ∑ ⎜ ∑ j ⎟ ⎟ = ∑ ⎜ ∑ = ⎟= ∑ 2 ⎠ 3! k =1 ⎝ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎠ k =1 ⎝ i =1 k =1

7

=

(n − m + 4) ⋅ (n − m + 3) ⋅ (n − m + 2) ⋅ (n − m + 1) ,

или, если заменить m = 4 : 4 ⋅ 3! n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ (n − 3) S n,4 = = C n4 . Значит, для произвольных натуральных 4! чисел n и m, можем записать, что S n ,m - число возрастающих последовательностей номеров шаров будет равно: S n ,m = C nm .

§1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 1.1. 1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

Случайно выбранная кость домино оказалась не «дублем». Найти вероятность того, что вторую, также взятую наудачу кость домино можно приставить к первой. Две игральных кости подбрасываются наудачу. Определить элементарные исходы, которые могут произойти в результате опыта, и построить множество элементарных исходов. Указать подмножества множества элементарных исходов, определяющих случайные события: А - «количества очков выпавших на верхних гранях костей – одинаково»; В - «сумма очков выпавших на верхних гранях костей равна восьми». Найти вероятности наступления этих событий. Из колоды карт (36 штук) наудачу извлекаются последовательно две карты. Найти вероятности следующих событий: А - «извлеченные карты - туз и шестёрка»; В- «первая извлечённая карта – туз, а вторая – шестёрка». Как изменятся вероятности этих событий, если перед извлечением второй карты первую карту возвращают в колоду? На десяти одинаковых карточках написаны цифры от 0 до 9. Наудачу по одной берут две карточки и кладут в ряд в порядке появления, получая двузначное число. Построить множество элементарных исходов этого опыта. Выделить в нём подмножество, соответствующее случайному событию А - «полученное число делится на девять». Найти вероятность этого события. Как изменятся множества элементарных исходов и подмножество А, если изменить опыт: первую карточку, после записи появившейся цифры, возвращают обратно, а затем наудачу берут вторую? Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь: а) три окрашенных грани; б) две окрашенных грани; в) одну окрашенную грань; г) не будет иметь окрашенных граней.

8

1.6. 1.7.

1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15. 1.16.

Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность того, что из трёх наудачу взятых отрезков можно построить треугольник. Студент успел выучить 17 вопросов программы из 20. Каждый экзаменационный билет состоит из двух неповторяющихся вопросов. Какова вероятность того, что студент ответит: а) на все вопросы наудачу взятого билета; б) только на один из вопросов билета; в) только на первый вопрос билета? На восьми одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наудачу выбираются две карточки. Первая карточка берётся в качестве числителя дроби, а вторая – знаменателя. Определить вероятность того, что полученная дробь будет сократимой. Имеется четыре отрезка длиною 5 единиц и четыре – длиною 7 единиц. Определить вероятность того, что из четырёх наудачу взятых отрезков можно построить параллелограмм. В урне находятся 5 белых и 6 чёрных шаров. Наудачу из урны извлекаются два шара. Определить вероятность того, что будут извлечены: а) два шара белого цвета; б) два шара чёрного цвета; в) шары разного цвета; г) шары одного цвета. В группе, насчитывающей 25 студентов, 5 юношей и 20 девушек. Наудачу из списка выбирается пять студентов. Какова вероятность того, что среди выбранных студентов будет ровно три девушки? В урне имеются шары трёх цветов: два белых, три чёрных и пять красных. Наудачу извлекаются сразу три шара. Какова вероятность того, что: а) это будут шары одного цвета; б) это будут шары разных цветов; в) среди извлечённых шаров хотя бы два разного цвета? Как изменятся эти вероятности, если шары извлекаются по одному с возвращением в урну каждого шара (после фиксирования его цвета) перед следующим извлечением? Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу извлекаются без возвращения пять карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт будут два туза? Среди десяти лотерейных билетов – два выигрышных. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов: а) будет только один выигрышный; б) будут оба выигрышных; в) не будет ни одного выигрышного; г) будет хотя бы один выигрышный. Наудачу подбрасываются две игральных кости. Что более вероятно: сумма выпавших очков равна шести, или сумма выпавших очков равна восьми? В партии, содержащей m + n штук деталей, m штук доброкачественных и n штук – бракованных деталей. Определить вероятность того, что среди взятых для контроля s штук деталей окажется ровно k штук доброкачественных. Указать границы для возможных значений чисел k и s .

9

1.17. В урне находятся m шаров белого и n шаров чёрного цвета. Наудачу без возвращения извлекаются k шаров, причём k ≥ m и k ≥ n . Определить вероятность того, что при этом будут извлечены: а) все белые; б) все чёрные шары. 1.18. Обозначим через Ak случайное событие: «в игре «Спортлото 6 из 49» угадано k чисел». Определить вероятности случайных событий Ak , если k = 0,1,2,3,4,5,6. 1.19. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу без возвращения извлекают шесть карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт окажется не менее чем два туза? 1.20. Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу без возвращения извлекают шесть карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт: а) окажется «король пик»; б) окажется один «король»; в) будут «короли»? 1.21. Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу последовательно по одной извлекаются три карты. Определить вероятность того, что последовательно появятся карты: «тройка», «семёрка» и «туз». Как изменится вероятность появления этих трёх карт, если нам не будет важен порядок их следования? 1.22. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли четыре человека. Считая, что каждый из них с равной возможностью, независимо о других, может выйти из лифта на любом этаже, начиная со второго, найти вероятность того, что все пассажиры выйдут из лифта: а) на одном этаже; б) на разных этажах. 1.23. Определить вероятность того, что выбранное наудачу натуральное число n: а) при возведении в квадрат; б) при возведении в четвёртую степень; в) при умножении на произвольное натуральное число m даст число, оканчивающееся единицей. 1.24. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трёх карточек и раскладывании их в порядке появления в ряд слева направо. Найти вероятность того, что полученное трёхзначное число будет чётным числом. 1.25. Набирая номер телефона, абонент понял, что он забыл последние три цифры. Помня лишь, что эти цифры различные и нечётные, он набрал их наудачу. Определить вероятность того, что абонент дозвонился туда, куда ему было необходимо. 1.26. Полная колода карт (52 штук) делится наудачу пополам. Определить вероятность того, что количества черных и красных карт в каждой половине колоды будут одинаковыми. 1.27. Десять книг расставляются наудачу на книжной полке. Определить вероятность того, что при этом три определённые книги окажутся поставленными рядом. 1.28. Определить вероятность того, что в тщательно перемешанной колоде (36 карт) четыре туза будут расположены рядом.

10

1.29. В зале, насчитывающем n + k мест, случайным образом занимают места n человек. Определить вероятность того, что будут заняты заранее отмеченные m мест ( m ≤ n ). 1.30. Друзья (n – человек) наудачу рассаживаются за круглым столом. Найти вероятности наступления следующих событий: а) «два лица А и В сидят рядом»; б) «три лица А, В и С сидят вместе» в) «три лица А, В и С сидят вместе, причём А сидит посередине». 1.31. Из множества, состоящего из n различных натуральных чисел, наудачу выбираются m чисел, которые располагаются в ряд в порядке появления. Определить вероятность того, что эти выбранные числа будут образовывать возрастающую последовательность. Ответы 6 5 12 8 4 1.1. P ( A) = . 1.2. P ( A) = ; P (B ) = . 1.3. P ( A) = ; P (B ) = . 36 36 27 315 315 4 1 12 8 P ( A) = ; P (B ) = . 1.4. P ( A) = ; P ( A) = . 1.5. 0,008;0,096;0,384;0,512. 1.6. 324 324 9 100 A2 5 C 2 ⋅ C 2 18 68 51 51 , , . 1.8. 52 = . 1.9. 4 4 4 = . 0,3. 1.7. 95 190 380 A8 14 C8 35 C 2 ⋅ C 0 C 50 ⋅ C 62 C 51 ⋅ C 61 C 52 ⋅ C 60 + C 52 ⋅ C 62 C 51 ⋅ C 61 = − 1.10. 5 2 6 ; ; ; 1 . C11 C112 C112 C112 C112 C3 ⋅C2 C3 + C3 C1 ⋅ C1 ⋅ C1 C3 + C3 2 3 + 33 + 5 3 1.11. 20 5 5 . 1.12. а) 3 3 5 ; б) 2 33 5 ; в)1 − 3 3 5 . а) ; 10 3 C 25 C10 C10 C10 C 42 ⋅ C 323 C 21 ⋅ C 84 3!⋅2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 3 + 33 + 5 3 б) ; в) 1 . 1.13. . 1.14. а) ; б) − 10 3 C 365 C105 10 3 C 22 ⋅ C 83 C 20 ⋅ C 85 C 20 ⋅ C 85 C 21 ⋅ C 84 + C 22 ⋅ C 80 5 5 − = ; в) ; г) 1 . 1.15. = . 1.16. 5 5 5 5 36 36 C10 C10 C10 C10 C mk ⋅ C ns − k . Должны одновременно выполняться неравенства: k ≤ m и s ≤ n + k . C ns+ m C m ⋅ C k −m C nn ⋅ C mk −n C 6k ⋅ C 436−k ( ) P A = . 1.19. 1.17. а) m k n ; б) . 1.18. k C m +n C mk + n C 496 C 0 ⋅ C 6 + C 1 ⋅ C 5 C 2 ⋅ C 4 + C 43 ⋅ C 323 + C 44 ⋅ C 322 . 1 − 4 32 6 4 32 = 4 32 C 36 C 366

11

C11 ⋅ C 515 C 41 ⋅ C 485 C 486 ⋅ C 40 A84 8 43 43 ; б) ; в)1 − 1.20. а) . 1.21. а) 3 ; б) 3 . 1.22. а) 4 ; б) 4 . 8 C 526 C 526 C 526 A52 C 52 8 13 13 C ⋅C 1 1 1.23. 0,2; 0,4; 0,04. 1.24. 0,4. 1.25. 3 = . 1.26. 26 26 26 . A5 60 C 52 C mm ⋅ C nn+−km−m 8!⋅3! 8 ⋅ 3!⋅7! 1 33!⋅4! 33 ⋅ 4!⋅32! 1 . 1.30. 1.27. = . 1.29. = = . 1.28. = 10! 10! 15 36! 36! 1785 C nn+ k 2 n ⋅ 2!⋅(n − 2 )! n ⋅ 3!⋅(n − 3)! 6 а) ; б) = ; = (n − 1) ⋅ (n − 2) n! n −1 n! n ⋅ 2!⋅(n − 3)! 2 в) . 1.31. Первый вариант решения. Количество = (n − 1) ⋅ (n − 2) n! последовательностей, состоящих из m чисел, которые можно образовать из n чисел, будет равно Anm . Все последовательности, являясь элементарными исходами опыта, будут равновозможными. Количество последовательностей, составляющие числа которых образуют возрастающую последовательность – случайное событие A, будет равно C nm (см. задачу 0.26). Применяя классическое C nm 1 определение вероятности, получаем: P ( A) = m = . An m! Другой вариант решения. Пусть мы имеем в своём распоряжении m различных натуральных чисел, которые выбраны из данных n чисел. Если из этих чисел образовывать различные последовательности, то всего можно составить m! последовательностей. Все последовательности будут равновозможными. И только у одной из них числа, её образующие, будут составлять возрастающую 1 P ( A) = . последовательность. Следовательно: m!

§2. ВЕРОЯТНОСТИ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ 2.1.

Два стрелка, вероятности попадания в мишень у которых равны соответственно 0,7 и 0,8, делают по одному выстрелу в одну мишень. Определить вероятности следующих событий: -«в мишени будут два попадания»; -«в мишени будет хотя бы одно попадание»; -«попаданий в мишень не будет». 2.2. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом. В первой урне: 5 белых шаров, 11 чёрных и 8 красных. Во второй урне соответственно: 10,8 и 6. Из каждой урны наудачу извлекаются по одному по одному шару. Какова вероятность того, что извлечённые шары будут одинакового цвета? 12

2.3. В урне находится n шаров с номерами от 1 до n. Шары извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность того, что при первых k извлечениях номера появившихся шаров совпадут с номерами извлечений (1 ≤ k ≤ n)? 2.4. Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления этого события. Определить вероятность того, что: а) придётся проводить четвёртый опыт; б) будет проведено четыре опыта. 2.5. Три стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что при одновременном залпе этих стрелков в мишени будет: а) только одно попадание; б) хотя бы одно попадание. 2.6. Из урны, содержащей шесть белых и четыре чёрных шара, наудачу последовательно по одному извлекаются шары до первого появления шара чёрного цвета. Найти вероятность того, что придётся производить четвёртое извлечение, если шары берутся: а) без возвращения; б) с возвращением в урну после фиксирования его цвета. 2.7. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной равна 0,7. Для детали изготовленной на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором – три. Найти вероятность того, что все пять деталей будут первосортными. 2.8. Определить вероятность того, что наудачу выбранное натуральное число: а) не делится ни на два, ни на три; б) не делится или на два, или на три. 2.9. На пяти карточках написано по одной букве так, что они составляют слово «колос». Карточки перемешиваются, а затем раскладываются наудачу снова в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «сокол»? 2.10. На шести карточках написано по одной букве так, что они составляют слово «карета». Карточки перемешиваются, а затем раскладываются наудачу снова в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ракета»? 2.11. Для сигнализации об аварии установлены два работающих независимо друг от друга сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95, а того, что сработает второй сигнализатор – 0,9. Найти вероятность того, что: а) при аварии сработает только один сигнализатор; б) при аварии сработает хотя бы один сигнализатор. 2.12. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, а потому набирает её наудачу. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в три места. 2.13. Из урны, содержащей два чёрных и два белых шара, два игрока поочерёдно без возвращения извлекают шары. Выигрывает тот, кто первым извлечёт белый шар. Найти вероятности выигрыша для каждого из игроков. 2.14. Два игрока подбрасывают по две монеты. Выигрывает тот, у которого выпадет больше гербов. В случае выпадения равного числа гербов 13

подбрасывания продолжаются до первого положительного результата. Определить вероятности выигрыша игры для каждого игрока. Какова вероятность того, что игрок A выиграет игру при третьем бросании? Какова вероятность того, что игроки сделают ровно три бросания? Какова вероятность того, что игроки сделают больше трёх бросаний? 2.15. Три орудия поочерёдно стреляют по одной мишени до первого попадания в неё. Вероятности попадания при одном выстреле у них равны соответственно: 0,6; 0,5 и 0,4. Определить вероятность того, что цель будет поражена, если каждое орудие может сделать не более трёх выстрелов. Какова вероятность того, что цель будет поражена при четвёртом выстреле? Какова вероятность того, что на поражение цели будет израсходовано не более трёх снарядов? 2.16. В коробке находятся 6 катушек с белыми нитками, 4 катушки с чёрными нитками и 2 катушки с красными нитками. Катушки извлекаются по одной без возвращения. Определить вероятность того, что катушка с белыми нитками появится раньше катушки с чёрными нитками. 2.17. Из полной колоды карт (52 штуки) последовательно по одной извлекаются три карты, причём карта чёрной масти сразу возвращается в колоду, а карта красной масти – не возвращается. Определить вероятность того, что третья извлечённая карта будет красной масти. 2.18. В урне находятся n шаров с номерами от 1 до n. Наудачу проводится m извлечений по одному шару с возвращением извлечённого шара после фиксирования его номера в урну. Определить вероятность того, что ни один шар не появится более одного раза. 2.19. В обществе, состоящем из 2n человек, одинаковое число мужчин и женщин. Места за круглым столом занимаются наудачу. Определить вероятность того, что два лица одного пола не займут места рядом. 2.20. В урне находятся n+m одинаковых шаров, из которых n - белого, а m чёрного цвета (m ≥ n ) . Производятся подряд без возвращения n извлечений по два шара. Определить вероятность того, что каждый раз извлекались пары шаров разного цвета. 2.21. В урне имеются два шара – белый и чёрный. Производятся извлечения по одному шару до тех пор, пока не появится чёрный шар, причём при извлечении белого шара этот шар возвращается в урну и при этом добавляются ещё два белых шара. Определить вероятность того, что при первых пятидесяти извлечениях чёрный шар не будет извлечён. 2.22. Игрок А поочерёдно играет с игроками В и С, имея вероятность выигрыша в каждой партии p, и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, сыгранных с каждым игроком. Определить вероятности выигрыша игры A,B и С. Как изменяются вероятности выигрыша всей игры 2 3 4 для каждого из игроков, если p = ; p = ; p = ? 3 4 5

14

2.23. Из урны, содержащей n шаров с номерами от 1 до n, последовательно извлекают два шара, причём первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером 2 будет извлечён при втором извлечении. 2.24. Студент успел выучить 20 из 25 вопросов программы. Зачёт считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырёх предложенных вопросов программы. Какова вероятность того, что: а) студент сдаст зачёт; б) зачёт будет сдан, если он правильно ответит на первые два вопроса и хотя бы на один из двух оставшихся; в) зачёт будет сдан, если известно, что на первые два из четырёх вопросов он уже дал правильные ответы? 2.25. В урне находятся 5 белых, 7 красных и 9 синих шаров. Наудачу извлекаются сразу три шара. Какова вероятность того, что все извлечённые шары одинакового цвета? Какова вероятность, того, что эти шары – синие, если известно, что они одинакового цвета и не белые? 2.26. Из колоды карт (36 штук) наудачу извлекаются сразу три карты. Определить вероятность того, что это будут три «дамы», если известно, что это три карты - «картинки». 2.27. Общество, состоящее из n мужчин и 2n женщин, разбивается на n групп по три человека. Какова вероятность того, что в каждой группе будет только по одному мужчине? 2.28. В учебнике Б.В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» говорится, что однажды был зарегистрирован факт, когда при раздаче тридцати шести карт между четырьмя партнёрами каждый получил девять карт только одной масти. Найти вероятность такого события. Оценить приблизительно величину этой вероятности. 2.29. Двое поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков. 2.30. Трое поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков. 2.31. В урне находятся n белых и m черных шаров. Два игрока поочерёдно извлекают по одному шару, возвращая каждый раз шар обратно, если он – чёрного цвета. Выигрывает тот, у которого первым появится шар белого цвета. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков. Можно ли заранее, при формировании состава урны определить такие числа n и m, при которых игра станет «справедливой»? 2.32. Два стрелка поочерёдно стреляют по одной мишени до первого попадания в неё. Вероятность попадания при одном выстреле у первого стрелка равна p1 = 0,2 , у второго стрелка эта вероятность равна p2 = 0,3 . Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй. Чему равна вероятность того, что количества сделанных стрелками выстрелов будут одинаковыми? Может ли второй стрелок сделать больше выстрелов, чем первый? 15

2.33. Упростить вид общей формулы вероятности суммы n случайных событий для случаев, когда совпадают значения вероятностей произведений равных количеств событий-сомножителей. 2.34. В урне имеются n одинаковых шаров с номерами от 1 до n. Все шары извлекаются по одному без возвращения и располагаются в ряд в порядке появления. Определить вероятность того, что хотя бы при одном извлечении номер шара совпадёт с номером его извлечения. Чему равен предел значения этой вероятности, если n → ∞ ? 2.35. В помещении, насчитывающем п пронумерованных мест, n лицам выдали n номерных билетов. Какова вероятность того, что ровно m лиц (m ≤ n ) окажутся на местах, соответствующих номерам билетов, если все места занимаются наудачу? 2.36. В электропоезд, состоящий из n вагонов, входят k пассажиров (k ≥ n ) , каждый из которых выбирает вагон наудачу. Определить вероятность того, что в каждый вагон войдёт хотя бы один пассажир. 2.37. Два игрока играют до победы, причём для этого первому необходимо выиграть m партий, а второму – n партий. Вероятность выигрыша одной партии первым игроком равна p, а вторым – q, ( p + q = 1) . Определить вероятности выигрыша всей игры каждым из игроков. 2.38. В партии, содержащей п изделий, - т бракованных. Для проверки наудачу выбирается s изделий. Партия бракуется, если среди выбранных изделий окажется более чем k бракованных изделий. Определить вероятность того, что партия будет забракована. 2.39. Рассматриваются три попарно независимых события, которые, однако, все вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и туже вероятность появления, которая равна p, определить значение p, при котором вероятность появления хотя бы одного из этих трёх событий будет максимальной. Чему равна эта максимально возможная вероятность? 2.40. В урне находятся M белых и N чёрных шаров. Без возвращения извлекаются k шаров ( k ≤ M ) . Известно, что среди этих k шаров есть m шаров белого цвета. Какова вероятность того, что и остальные k − m шаров имеют белый цвет? 2.41. Определить вероятность того, что написанная наудачу простая дробь будет несократимой. (Задача Чебышева).

Ответы 2.1. P (C ) = P ( A I B ) = P ( A) ⋅ P (B ) = 0,56 . P (D ) = P (( A I B ) U ( A I B ) U ( A I B )) = = 0,7 ⋅ 0,2 + 0,3 ⋅ 0,8 + 0,7 ⋅ 0,8 = 0,94 . P ( A I B ) = 0,3 ⋅ 0,2 = 0,06 . 93 2.2. D = ( A1 I A2 ) U (B1 I B2 ) U (C1 I C 2 ) . P (D ) = . 288 16

1 1 1 1 . ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ n n −1 n − 2 n − (k − 1) 2.4. а) A = A1 I A2 I A3 , P ( A) = 0,83 ; б) B = A1 I A2 I A3 I A4 , P (B ) = 0,83 ⋅ 0,2 .

2.3. P ( A) =

2.5. а) 0,092; б)0,496.

3

6 5 4 2 ⎛6⎞ 2.6. а) ⋅ ⋅ ; б) ⎜ ⎟ . 2.7. 0,7 2 ⋅ 0,83 = 0,25088 . 2.8. а) ; 10 9 8 6 ⎝ 10 ⎠ 1 2 2 5 1 2 1 1 1 1 1 б) + − = . 2.9. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = . 2.10. . 2.11. а)0,14; б)0,995. 2 3 6 6 5 4 3 2 1 60 360 2 1 2.12. 0,3. 2.13. P ( A) = ; P (B ) = . 2.14. Обозначим: Ai − «при i − том 3 3 бросании у игрока A выпало больше гербов»; Bi − «при i − том бросании у игрока B выпало больше гербов»; С i − «при i − том бросании у игроков были равные количества гербов». Тогда событие A – «игрок A выиграл игру» записывается так: A = A1 U (C1 I A2 ) U (C1 I C 2 I A3 ) U ..... . Аналогично записывается событие 5 6 B. P ( Ai ) = P (Bi ) = , P (C i ) = . Так как игроки находятся в равных 16 16 2 5 6 5 ⎛6⎞ 5 1 P ( A ) = P (B ) = + ⋅ + ⎜ ⎟ ⋅ + ..... = . условиях, то: 16 16 16 ⎝ 16 ⎠ 16 2 2

2 45 ⎛ 6 ⎞ 5 3 ⋅5 P (C1 I C 2 I A3 ) = ⎜ ⎟ ⋅ = 10 = . 2 1024 ⎝ 16 ⎠ 16 2 3 3 45 27 ⎛6⎞ 5 ⎛6⎞ 3 P (C1 I C 2 I ( A3 I B3 )) = 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ = P (C1 I C 2 I C 3 ) = ⎜ ⎟ = 9 = . ⎝ 16 ⎠ 16 512 ⎝ 16 ⎠ 2 512 2.15. 0,998272; 0,072; 0,88. 6 2 6 2 1 6 3 + ⋅ + ⋅ ⋅ = . 2.17. Обозначим: Ai − «i-ая карта – 2.16. 12 12 11 12 11 10 5 красная» (i = 1,2,3) ; Bi − «i-ая карта – чёрная» (i = 1,2 ) ; С – «в последовательности трёх извлечённых карт последняя карта – красная». Тогда: C = ( A1 U B1 ) I ( A2 U B2 ) I A3 ; P (C ) = P ( A1 I A2 I A3 ) + + P ( A1 I B2 I A3 ) + P (B1 I A2 I A3 ) + P (B1 I B2 I A3 ) ≈ 0,49 .

Anm 2 ⋅ (n!) 2.19. 2.18. (m ≤ n ) ; m . . (2n)! n C n1 ⋅ C m1 C n1 −1C m1 −1 C n1−2 ⋅ C m1 −2 C11 ⋅ C m1 −n+11 ..... . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2.20. C n2+ m C n2+ m −2 C n2+ m −4 C m2 −n+ 2 2

17

2.21. P ( A) =

1 3 5 99 (2 ⋅ 50 − 1)!! . ⋅ ⋅ ⋅ ..... ⋅ = (2 ⋅ 50)!! 2 4 6 100

2.22. P ( A) = p ⋅ p ⋅ p ⋅ p ;

P (B ) = q + p ⋅ p ⋅ q ; P (C ) = p ⋅ q + p ⋅ p ⋅ p ⋅ q . 2.23.

2.24. а) P ( A) =

C 204 ⋅ C 50 C 201 ⋅ C 51 + ; C 254 C 254

C 202 = P (B ) ⋅ P (С B ) = 2 C 25

n −1 1 1 1 ⋅ + ⋅ . n n −1 n n

б) P ( A) = P (B I C ) =

⎛ C182 C181 ⋅ C 51 ⎞ ⎟⎟ ; ⋅ ⎜⎜ 2 + 2 C C ⎝ 23 ⎠ 23

в) P ( A) = P (C B ) =

C 53 + C 73 + C 93 C 93 2.25. . 3 . C 213 C 7 + C 93 C n1 ⋅ C 22n C n1 −1 ⋅ C 22n−2 C 21 ⋅ C 42 C11 ⋅ C 22 . ⋅ ⋅ ... ⋅ ⋅ 2.27. C 33n C 33n−3 C 63 C 33

P (B I C ) . P (B )

C 43 2.26. P ( A B ) = 3 . C12

C 99 ⋅ C 270 C 99 ⋅ C180 C 99 ⋅ C 90 C 99 ⋅ C 00 (9!) ⋅ 4! ≈ 1,11874 ⋅ 10 −18 . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4 ! = 2.28. 36! C 369 C 279 C189 C 99 4

2

4

1 ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ 1 2 2.29. P ( A) = + ⎜ ⎟ ⋅ + ⎜ ⎟ ⋅ + ..... = ; 2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝2⎠ 2 3 2

4

4 2 1 1 1 1 ⎛1⎞ 1 1 ⎛1⎞ 1 1 P (B ) = ⋅ + ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ + ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ + ..... = . 2.30. ; ; . 7 7 7 2 2 2 ⎝ 2⎠ 2 2 ⎝2⎠ 2 3 n+m m ; P (B ) = . Игра станет « справедливой» только 2.31. P ( A) = n + 2m n + 2m если будет n=0, то есть, когда в урне вообще не будет белых шаров и игроки p1 q1 ⋅ p2 5 6 об этом знать не будут. 2.32. = ; = . 1 − q1 ⋅ q 2 11 1 − q1 ⋅ q 2 11 2.33. Если: P ( A1 ) = P ( A2 ) = ... = P ( An ); P ( A1 I A2 ) = P ( Ai I A j ) для любой пары индексов i и j (i ≠ j ); P ( A1 I A2 I A3 ) = P (Ai I A j I Ak ) для любого набора трёх индексов i , j и k (i ≠ j ≠ k ) и т.д., то:

n ⎛ P ⎜ U Ai ⎞⎟ = C n1 ⋅ P ( A1 ) − C n2 ⋅ P ( A1 I A2 ) + C n3 ⋅ P ( A1 I A2 I A3 ) − ... ⎝ i =1 ⎠ n k n n +1 k +1 ... + (− 1) C nn ⋅ P ⎛⎜ I Ai ⎞⎟ = ∑ (− 1) ⋅ C nk ⋅P ⎛⎜ I Ai ⎞⎟ . ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ k =1 2.34. Обозначим Ai - событие: «шар с номером i появился при i-том извлечении». C ni −−11 C nn−−ii 1 1 Тогда: ⋅ = для любого i; (1 ≤ i ≤ n ) ; P ( Ai ) = i −1 ⋅ C n n − (i − 1) C nn−−ii n C nn−− jj 1 1 C ni −−12 C n( −j −i 1−1)− i 1 1 для ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ P ( Ai I A j ) = i −1 ⋅ C n n − (i − 1) C n( −j −i 1)− i n − ( j − 1) C nn−− jj n n − 1

18

любой пары i и j; (1 ≤ i < j ≤ n ) ; C n( k−−j1−)1− j C ni −−13 C n( −j −i 1−)2− i 1 1 1 ⋅ ( j −1)− i ⋅ ⋅ ( k −1)− j ⋅ ⋅ P ( Ai I A j I Ak ) = i −1 ⋅ C n n − (i − 1) C n− i n − ( j − 1) C n− j n − (k − 1) C nn−−kk 1 1 1 = ⋅ ⋅ для любой тройки i, j и k; (1 ≤ i < j < k ≤ n ); …..; C nn−−kk n n − 1 n − 2 n 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ..... ⋅ ⋅ . P ⎛⎜ I Ai ⎞⎟ = ⋅ 2 1 ⎝ i =1 ⎠ n n − 1 n − 2 n k n k +1 Используя P ⎛⎜ U Ai ⎞⎟ = ∑ (− 1) ⋅ C nk ⋅P ⎛⎜ I Ai ⎞⎟ , получаем ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ k =1 n 1 1 1 P ⎛⎜ U Ai ⎞⎟ = C n1 ⋅ − C n2 ⋅ + C n3 ⋅ − ... n n ⋅ (n − 1) n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⎝ i =1 ⎠ n 1 1 n +1 k +1 ... + (− 1) C nn ⋅ = ∑ (− 1) ⋅ . Если n → ∞ , то n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 k =1 k! n e −1 lim P ⎛⎜ U Ai ⎞⎟ = ≈ 0,63212 . n →∞ e ⎝ i =1 ⎠ 2.35. Пусть А - случайное событие - «m лиц сидят на местах, соответствующих номерам полученных билетов, а остальные n- m лиц сидят на местах, номера которых не соответствуют номерам билетов»; В - «m лиц сидят на местах, соответствующих номерам полученных билетов»; С – «n-m лиц сидят на местах, номера которых не соответствуют номерам билетов». Ясно, что A = B I C . Если B0 - случайное событие – «первые m человек, сидят на местах, соответствующих номерам полученных билетов», то (n − m )! . Подобных групп по m человек 1 1 1 P ( B0 ) = ⋅ ⋅ ... ⋅ = n n −1 n − m +1 n! 1 . можно составить C nm штук, следовательно P (B ) = C nm ⋅ P (B0 ) = m! Случайное событие C формулируется так: «хотя бы одно лицо из остальных n-m лиц сидит на месте, номер которого соответствует номеру полученного им билета». Рассуждая, как и при решении задачи 2.34, k −1 k n−m n−m ( ( − 1) − 1) . Тогда P (C ) = 1 − P (C ) = ∑ . получим P (C ) = ∑ k! k! k =0 k =0 k 1 n− m (− 1) Таким образом: P ( A) = P (B I C ) = ⋅∑ . m! k = 0 k ! 2.36. Если А - «в каждый вагон вошёл хотя бы один пассажир», то A - «есть вагоны, в которые ни один пассажир не вошёл». Пусть Ai - «в i-том вагон не ⋅

n

вошёл ни один пассажир». Тогда A = U Ai , причём события-слагаемые – i =1

19

совместные события с одинаковыми вероятностями осуществления: k k ⎛ n − 1⎞ ⎛n − 2⎞ P ( Ai ) = ⎜ ⎟ , P ( Ai I A j ) = ⎜ ⎟ , …... Используя результат решения ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ k

i⎞ ⎛ задачи 2.33, получаем: P ( A) = 1 − P ( A ) = ∑ (− 1) ⋅ C ⋅ ⎜1 − ⎟ . i =0 ⎝ n⎠ n

n −1

m −1

k =0

k =0

i

i n

2.37. P ( A) = ∑ C mm−−11+ k ⋅ q k ⋅ p m ; P (B ) = ∑ C nn−−11+ k ⋅ p k ⋅ q n . 2.38. Для того чтобы искомая вероятность не была равна нулю, должно быть 1 b k +1+ i k + 1 ≤ s , тогда P ( A) = s ⋅ ∑ C m ⋅ C ns−−m( k +1+ i ) , C n i =a где a = max{0; s − (n − m ) − (k + 1)}, b = min{m − (k + 1); s − (k + 1)}. 1 3 2 2.39. P (D ) = 3 ⋅ p ⋅ (1 − p ) + 3 ⋅ p 2 ⋅ (1 − p ) ; max p = ; max P (D ) = . 2 4 2.40. Пусть случайное событие А – «среди k извлечённых шаров есть m шаров белого цвета, а цвета остальных ( k − m ) шаров могут быть любыми»; случайное событие C – «все k извлечённых шаров имеют белый цвет». P(A I C ) P (C ) Ясно, что P (C A) = . Но, так как A I C = C , то P (C A) = . P ( A) P ( A) k −m

Учитывая, что P ( A) = P (C A) =

∑C i =0

C Mk ⋅ C N0 k −m

∑C i =0

m +i M

⋅C

k −( m + i ) N

m +i M

⋅ C Nk =( m + i )

C Mk + N

C Mk ⋅ C N0 и P (C ) = , получаем ответ: C Mk + N

.

m будет несократимой, если её числитель и знаменатель не n будут одновременно делиться на все p, принадлежащие множеству P – множеству простых чисел. m Обозначим случайное событие A - «простая дробь - несократима» и n m несократима на простое число случайное событие A p - «простая дробь n p». Тогда A = A2 I A3 I A5 I A7 I A11 I ... = I A p . Так как события-

2.41. Простая дробь

p∈P

сомножители – независимые события, то искомая вероятность P ( A) равна бесконечному произведению: P ( A) = ∏ P (A p ). Ясно, что вероятность P ( Ap ) p∈P

случайного события A p - «и m, и n делятся на простое число p» будет равна:

20

2

⎛1⎞ А тогда получаем: P ( A p ) = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ p⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎞ 6 ⎛ P ( A) = ⎜1 − 2 ⎟ ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ ⋅ ... = ∏ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = 2 ≈ 0,608 . p ⎠ π p∈P ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠

§3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА 3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причём в каждой партии одно изделие - бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую. После этого наудачу выбирается одно изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии. В двух урнах находятся соответственно m1 и m 2 белых и n1 и n2 чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу выбирается один. Какова вероятность того, что этот шар будет белым? Имеется n одинаковых урн, в каждой из которых m белых и k чёрных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т.д. Определить вероятность извлечения после таких перекладываний белого шара из последней урны. Имеется три партии деталей. Для контроля качества деталей из наудачу выбранной партии наудачу взята одна деталь. Как велика вероятность 2 общего обнаружения бракованной детали, если в одной из партий 3 количества деталей - бракованные, а в двух других – все доброкачественные? В двух из трёх одинаковых урн находятся по два чёрных и по два белых шара, а в третьей пять белых и один чёрный шар. Из наудачу выбранной урны извлекли один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что извлечение проводилось из урны, содержащей пять белых шаров? В каждой из k1 урн находится m1 белых и n1 штук чёрных шаров, а в каждой из k 2 урн - m 2 белых и n2 штук чёрных шаров. Извлечённый из наудачу выбранной урны шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар извлечён: а) из урны первого типа; б) из урны второго типа? Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля качества признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную признаёт пригодной с а) Определить вероятность того, что изделие, вероятностью 0,05. 21

3.8.

3.9. 3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

прошедшее упрощённый контроль, будет признано пригодным. б) Изделие по результатам упрощённого контроля признано пригодным. Какова вероятность того, что контроль не ошибся? Вероятность поступления k вызовов на телефонную станцию за промежуток λk ⋅ e −λ времени длиною t равна pt (k ) = . Считая, что количества вызовов за k! любые два соседних промежутка времени длиною t каждый независимыми, определить вероятность p2 t (s ) поступления s вызовов за промежуток времени длиною 2t. Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания при одном выстреле из которых соответственно равны: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9.Стреляющий берёт винтовку наудачу и делает дин выстрел. Определить вероятность попадания. Вероятность попадания снаряда в цель при одном выстреле равна 0,7, а вероятность разрушения цели при попадании в неё одного снаряда равна 0,9. Орудие произвело подряд три выстрела. Какова вероятность того, что цель будет разрушена? В сосуд, содержащий n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров в урне – равновозможные? Какова вероятность того, что в урне содержались: а) только белые шары; б) только чёрные шары, если извлечённый шар оказался белым? В урне имеется n шаров, причём цвет каждого из них с равными вероятностями может быть белым или чёрным. Извлекаются последовательно m шаров с возвращением каждый раз шара обратно после фиксирования его цвета. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если чёрные шары не извлекались? В ящике находится 15 теннисных мячей, из которых – 9 новых. Для первой игры наугад берут три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, - новые. В правом кармане имеются три монеты по 50 копеек и четыре монеты по 10 копеек, а в левом – шесть монет по 50 копеек и три монеты по 10 копеек. Из правого кармана в левый карман наудачу перекладываются пять монет. После этого из левого кармана наудачу извлекается одна монета. Определить вероятность того, что это будет монета достоинством в 50 копеек. Как изменится эта вероятность, если сначала перекладывать монеты из левого кармана в правый карман, а потом из правого кармана наудачу брать монету такого же достоинства?

22

3.16. Из 30 вопросов программы составлено пятнадцать билетов, каждый из которых состоит из двух вопросов. Экзаменующийся студент может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен экзаменующимся будет сдан, если для этого надо ответить на два вопроса билета или на один из вопросов билета и на один дополнительный вопрос, заданный экзаменатором. 3.17. Преподаватель составил по программе курса M экзаменационных билетов. Студент успел выучить m билетов (m ≤ M ) . Возникает вопрос: «Каким по списку ему лучше всего идти на экзамен (первым, вторым, третьим, …, последним), чтобы вероятность взять «хороший» билет была максимальной»? 3.18. В маршрутном такси едут n пассажиров. На ближайшей остановке каждый из них может выйти с вероятностью p. На этой остановке в такси с вероятностью p2 могут войти два новых пассажира. С вероятностью p1 может войти один новый пассажир и с вероятностью p0 не войдёт ни один новый пассажир ( p2 + p1 + p0 = 1). Найти вероятность того, что, когда такси после этой остановке снова тронется в путь, в салоне будут: а) по-прежнему n пассажиров; б)n-1 пассажир. 3.19. Из восемнадцати стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8; семь – с вероятностью 0,7; четыре - с вероятностью 0,6 и два – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок? 3.20. Стрелки A и B поочерёдно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, и затем при последующих выстрелах эти вероятности попадания у каждого стрелка увеличиваются на 0,05. Какова вероятность того, что первым произвёл выстрел стрелок A, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень? 3.21. Вероятности попадания при одном выстреле для трёх стрелков равны 4 3 2 соответственно , , . При одновременном выстреле всех трёх стрелков 5 4 3 имелось два попадания в мишень. Определить вероятности того, что промахнулся: а) первый, б) второй, в) третий стрелок. 3.22. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который в результате был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Эти вероятности должны помочь установить долю каждого стрелка при делении трофея. 3.23. Из двух близнецов первый – мальчик. Какова вероятность того, что другой тоже мальчик, если среди близнецов вероятности рождения двух мальчиков

23

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29. 3.30.

3.31.

и двух девочек соответственно равны a и b, а вероятности рождения разнополых близнецов в любой последовательности – одинаковы? В колледже n студентов, из которых nk ( k = 1,2,3) студентов учится k-тый год, то есть: n = n1 + n2 + n3 . Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше другого. Найти вероятность того, что этот студент учится третий год? Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что при приёме искажаются в 2 1 сигналов «точка» и сигналов «тире». То есть, в результате среднем 5 3 искажения сигнал «точка» принимается как сигнал «тире» и - наоборот. Известно, что в передаваемых сообщениях сигналы «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят без искажения передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире». Урна содержала m белых и n чёрных шаров. Но один шар, цвет которого неизвестен, утерян. 1) При испытании состава урны наугад извлекли один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что был утерян белый шар? 2) При испытании состава урны одновременно извлекли а белых и b черных шаров (a ≤ m − 1; b ≤ n − 1) . Какова вероятность того, что был утерян белый шар? Урна содержит два шара, про цвет каждого из них известно, что он с равными вероятностями может быть и белым, и чёрным. В урну добавляют два белых шара, затем наудачу извлекают два шара, которые оказались белого цвета. Какова вероятность того, что в урне остались шары чёрного цвета? В первой урне n1 белых и m1 чёрных шаров, во второй - n2 белых и m 2 чёрных шаров и в третьей - n3 белых и m 3 чёрных шаров. Из первой урны наудачу берут один шар и перекладывают его во вторую. Затем перекладывают один шар из второй урны в третью и, наконец, из третьей урны перекладывают один шар в первую. Какова вероятность того, что: а) составы всех урн не изменится; б) состав первой урны не изменится? Брошены три игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпало по шесть очков, если известно, что, по крайней мере, на одной кости выпало шесть очков. В первой урне находятся 1 белый и 9 чёрных шаров, а во второй – 1 чёрный и 4 белых. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что вынутый из третьей урны шар окажется белым. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулёзом у больного этой болезнью равна 1 − β . Вероятность признать здорового человека больным равна α . Пусть доля больных туберкулёзом по 24

3.32.

3.33.

3.34.

3.35.

3.36.

3.37.

3.38.

отношению ко всему населению равна γ . По результатам обследования человек был признан больным. Какова вероятность того, что диагноз ошибочен, то есть того, что в действительности этот человек здоров? На сборку поступают детали с двух станков-автоматов. Первый станок даёт в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найти вероятность того, что взятая слесарем-сборщиком деталь будет «хорошей», если с первого станкаавтомата поступило 2000 штук деталей, а со второго – 3000 штук. Имеются три урны, причём в k-той урне a k белых и bk чёрных шаров (k = 1,2,3). Из двух наудачу выбранных урн взяли по одному шару. Определить вероятность того, что это будут шары разных цветов. В кошельке имеются шесть монет достоинствами в 10 и 50 копеек. Наудачу извлекли две монеты, оказавшиеся пятидесятикопеечными. Определить вероятность того, что в кошельке было поровну десяти- и пятидесятикопеечных монет, если все предположения о первоначальном распределении количеств монет этих достоинств – равновозможные. Как изменится эта вероятность, если считать, что первоначально любая из шести монет с равной вероятностью могла быть или достоинством в 10 копеек, или достоинством в 50 копеек? Имеются десять карточек, на которых написаны числа 3,3,3,4,4,5,5,6,6,6. Наудачу одна за другой извлекаются две карточки. Число, написанное на первой карточке, берётся в качестве числителя, а число, написанное на второй карточке, - в качестве знаменателя дроби. Найти вероятность того, что полученная дробь будет правильной, то есть – её числитель будет меньше знаменателя. В двух ящиках находятся по десять деталей первого и второго сортов. В первом ящике две второсортных детали, а во втором – три. Из выбранного наудачу ящика взяли две детали, оказавшиеся разных сортов. Из какого ящика вероятнее всего проводилось извлечение? Первое орудие артиллерийской батареи попадает в цель с вероятностью 0,3, два других орудия в эту же цель попадают с одинаковыми вероятностями – 0,2. Для поражения цели достаточно двух попаданий. Орудия одновременно произвели по одному выстрелу, в результате чего цель была поражена. Определить вероятность того, что первое орудие попало в цель. В каждой из трёх партий находится 30 деталей. Третья часть деталей одной из этих партий является второсортной, остальные делали в партиях – первого сорта. 1) Деталь, взятая наудачу из одной из партий, оказалась первосортной. Определить вероятность того, что эта деталь была взята из партии имеющей второсортные детали. 2) Первая деталь, после проверки её качества, была возвращена обратно. Вторая деталь, взятая наудачу из этой же партии, так же оказалась первосортной. Какова вероятность того, что извлечения проводились из партии имеющей второсортные детали? 3) Вторую деталь, после проверки её качества, возвратили обратно. Из этой же партии взяли снова наудачу деталь. Эта третья деталь так же оказалась 25

первосортной. Какова теперь вероятность того, что все три извлечения проводились из партии, имеющей второсортные детали? Сравнить полученные вероятности с аналогичными вероятностями, вычисленными при условиях, что две, три детали берутся одновременно. Проверяется их качество и все они оказываются первосортными. Как объяснить полученные результаты? 1 общего числа шаров составляют шары белого цвета. 3.39. В первой урне 3 Остальные шары – чёрного цвета. Во второй урне, наоборот, число шаров 2 белого цвета составляет общего числа шаров. Остальные шары в этой 3 урне – чёрные. Игрок наудачу выбирает урну и производит извлечения из неё по одному шару, возвращая каждый раз шар обратно после фиксирования его цвета. Известно, что в каждом из сделанных k извлечений появлялся только шар белого цвета. Как изменяются в связи с появлениями каждый раз шара белого цвета предположения игрока о том, что он проводит извлечения: а) из первой урны; б) из второй урны? 3.40. Получена партия из восьми изделий одного образца. Все предположения о количестве бракованных изделий в этой партии равновозможные. По данным проверки качества половины партии три изделия оказались технически исправными, а одно – бракованным. Какова вероятность того, что при проверке качества трёх последующих изделий одно окажется исправным, а два окажутся бракованными?

Ответы 2 ⋅ m1 ⋅ m 2 + m1 ⋅ n2 + n1 ⋅ m 2 13 m 2 . 3.4. . . 3.2. 3.1. . 3.3. (m1 + n1 ) ⋅ (m 2 + n2 ) 132 m+k 9 k1 ⋅ m1 k2 ⋅ m2 5 3.5. . 3.6. а) ; б) . k1 ⋅ m1 + k 2 ⋅ m 2 k1 ⋅ m1 + k 2 ⋅ m 2 11 0,96 ⋅ 0,98 3.7. а) 0,96 ⋅ 0,98 + 0,04 ⋅ 0,05 = 0,9428 ; б) . 0,9428 s s 1 λ s ⋅ 2 s −2λ −2 λ s ( ) ( ) ( ) 3.8. p2 t s = ∑ pt k ⋅ pt s − k =λ ⋅ e ⋅ ∑ = ⋅e . s! k = 0 k !⋅(s − k )! k =0 5 1 1 9 7 100 3.9. ⋅ C . 3.10. ⋅ ∑k = . ∑ 1000 − k 100 6 ⋅ C1000 k =0 50 k =5 10 3.11. P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − ∑ C ⋅ 0,7 ⋅ 0,3 3

k =0

k 3

k

k

3− k

26

⋅ 0,1 = 0,949947 ≈ 0,95 .

n 1 (k + 1) = n + 2 . а) P (H n A) = 2 ; ⋅ ∑ 2 2 ⋅ (n + 1) n+2 (n + 1) k =0 2 nm б) P (H 0 A) = . 3.13. P (H n A) = n . k m (n + 1) ⋅ (n + 2) C ⋅k

3.12. P ( A) =

∑ k =0

3.14. P ( A) =

1

(C )

3 2 15

n

3

⋅ ∑ C 9k ⋅ C 63− k ⋅ C 93− k . k =0

3.15. Если k – количество переложенных монет достоинством в 50 копеек, то 3 57 1 P ( A) = ⋅ C 3k ⋅ C 45− k ⋅ (6 + k ) = ; ∑ 5 98 14 ⋅ C 7 k −0 5 19 1 P (B ) = ⋅ C 6k ⋅ C 35− k ⋅ (3 + k ) = . ∑ 5 36 12 ⋅ C 9 k = 2 1 ⎛ 24 ⎞ 190 3.16. 2 ⋅ ⎜ C152 ⋅ C 50 + C151 ⋅ C 51 ⋅ ⎟ = . 3.17. Вероятность взять «хороший» 28 ⎠ 203 C 30 ⎝ билет не зависит от номера экзаменующегося в списке студентов и во всех m случаях равна для него: . M 3.18. Пусть: случайное событие A – «после остановки в салоне такси - n пассажиров»; случайное событие B – «после остановки в салоне такси - n-1 пассажир». Сделаем четыре гипотезы: H k − «на остановке из такси вышло k человек», (k = 0,1,2,3) . Тогда:

P (H 0 ) = (1 − p ) ,

H 0 − вышло 0 человек

n

H 1 − вышел 1 человек P (H 1 ) = C n1 p1 (1 − p ) , n −1

P ( A H 0 ) = p0 ; P ( B H 0 ) = 0

P ( A H 1 ) = p1 ; P (B H 1 ) = p0

H 2 − вышли 2 человека P (H 2 ) = C n2 p 2 (1 − p ) , P ( A H 2 ) = p2 ; P (B H 2 ) = p1 n−2

H 3 − вышли 3 человека P (H 3 ) = C n3 p 3 (1 − p ) , P ( A H 3 ) = 0 ; P (B H 3 ) = p2 n −3

2

По формуле полной вероятности получаем: P ( A) = ∑ C nk p k (1 − p ) k =0

3

P (B ) = ∑ C nk p k (1 − p ) k =1

n−k

⋅ pk −1 .

n−k

⋅ pk ;

3.19. max P (H k A) = P (H 2 A) k

11 1⋅ 3 ⋅ 2 3 4 ⋅1⋅ 2 4 3.21. а) = ; б) = ; . 23 1 ⋅ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 ⋅ 1 13 6 + 8 + 12 13 4 ⋅ 3 ⋅1 6 3 8 18 2a в) = . 3.22. ; ; , 3 : 8 : 18 . 3.23. . 6 + 8 + 12 13 29 29 29 1+ a − b 1 1 + n1 n2 3.24. 3.25. Обозначим: . 1 1 1 + + n1 n2 n3 3.20.

27

⎧ Н1 − передан сигнал " точка" ⎧А − принят сигнал " точка" ; . ⎨ ⎨ Н передан сигнал " тире " − − В принят сигнал " тире " ⎩ ⎩ 2 5 3 2 3 ⎧ ⎪ P ( H 1 ) = 8 ; P ( A H 1 ) = 5 ; P (B H 1 ) = 5 ; P ( H 1 A ) = 4 Тогда: . ⎨ 3 1 2 1 ⎪ P ( H 2 ) = ; P ( A H 2 ) = ; P (B H 2 ) = ; P ( H 2 B ) = 8 3 3 2 ⎩ a b m ⋅ C m −1 ⋅ C n m −1 m−a . 3.26. 1) ; 2) = m + n −1 m ⋅ C ma −1 ⋅ C nb + n ⋅ C ma ⋅ C nb−1 (m + n ) − (a + b ) n1 ⋅ (n2 + 1) ⋅ (n2 + 1) + m1 ⋅ (m 2 + 1) ⋅ (m 3 + 1) C 22 1 = ; а) 3.27. 2 . 3.28. (n1 + m1 ) ⋅ (n2 + m 2 + 1) ⋅ (n3 + m3 + 1) C 4 + 2 ⋅ C 32 + C 22 13 n ⋅ (n2 + 1) ⋅ (n2 + 1) + n1 ⋅ m 2 ⋅ n3 + m1 ⋅ n2 ⋅ m 3 + m1 ⋅ (m 2 + 1) ⋅ (m 3 + 1) б) 1 . (n1 + m1 ) ⋅ (n2 + m 2 + 1) ⋅ (n3 + m3 + 1) 3.29. 3 2 2 5 ⎛1⎞ 15 ⎛ 5 ⎞ 125 ⎛ 5 ⎞ 1 75 P (H 0 ) = ⎜ ⎟ = ; P (H 1 ) = 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ = ; P (H 2 ) = 3 ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ = ; 6 ⎝ 6 ⎠ 216 ⎝ 6 ⎠ 216 ⎝ 6 ⎠ 6 216 3

1 4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4 + 36 ⋅ 4 + 9 ⋅ 5 41 1 ⎛1⎞ P (H 3 ) = ⎜ ⎟ = . P (H 3 A) = . 3.30. = . 91 10 ⋅ 5 ⋅ 13 61 6 216 ⎝ ⎠ (1 − γ ) ⋅ α 3.31. . 3.32. 0,9986. (1 − γ ) ⋅ α + γ ⋅ (1 − β ) ⎤ a 2 b3 + b2 a3 a 3 b1 + b3 a1 a1b2 + b1a 2 1 ⎡ . ⋅⎢ + + 3.33. 3 ⎣ (a1 + b1 ) ⋅ (a 2 + b2 ) (a 2 + b2 ) ⋅ (a 3 + b3 ) (a 3 + b3 ) ⋅ (a1 + b1 )⎥⎦ 3.34. P (H 3 A) =

C 32 6

∑C k =2

= 2 k

C3 ⋅C2 3 1 21 + 10 + 6 37 . P (H 3 A) = 6 6 3 = . 3.35. = . k 2 ⋅ 35 4 10 9 90 ∑ C6 ⋅ Ck k =2

16 21 < P (H 2 A) = , то вероятнее всего, что извлечение 37 37 проводилось из второго ящика. 0,048 + 0,048 + 0,012 27 3.37. = . 0,048 + 0,048 + 0,028 + 0,012 34 1 1 2 4 3.38. P (H 1 ) = ; P (H 1 A) = ; P (H 1 A I B ) = ; P (H 1 A I B I C ) = ; 3 4 11 31 19 57 б) P (H 1 A I B ) = ; P (H 1 A I B I C ) = . Извлечь одновременно две, 101 463 три первосортных детали из партии, имеющей второсортные детали, менее вероятно, чем извлечь две, три первосортные детали, предварительно возвращая предыдущую обратно, так как в этом случае одна и та же деталь может быть извлечена дважды, трижды. 3.36. Так как P (H 1 A) =

28

1 3.39. P (H 1 ) = P (H 2 ) = ; 2

а) P (H 1 A1 I A2 I ... I Ak ) =

1 , 2 +1 k

2k б) P (H 2 A1 I A2 I ... I Ak ) = k , где событие Ak - «при k-том 2 +1 извлечении появился шар белого цвета». 3.40. Случайное событие A – «среди первых четырёх проверенных изделий три – исправны и одно – 1 7 C k3 ⋅ C 81−k ( ) бракованное». P A = ⋅ ∑ . Случайное событие B – «среди 9 k =3 C 84 следующих трёх проверенных изделий одно – исправное и два – C11 ⋅ C 32 C 53 ⋅ C 31 C 43 ⋅ C 41 C 21 ⋅ C 22 бракованные». P (B ) = 7 . ⋅ + 7 ⋅ 3 3 3 1 3 1 C C 4 4 C ⋅C C ⋅C

∑ k =3

4.1.

4.2. 4.3.

4.4.

4.5. 4.6. 4.7.

k

∑

8− k

k =3

k

8− k

§4.  ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ    Определить вероятность того, что в номере первой встретившейся автомашины: а) имеется одна цифра пять; б) имеются две цифры пять; в) нет цифры пять; г) есть хотя бы одна цифра пять. Известно, что все номера трёхзначные, неповторяющиеся и равновозможные. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трёх, но и не более восьми. Имеется таблица двузначных чисел от 00 до 99. Из этой таблицы наудачу выписываются 200 чисел. Какова вероятность того, что среди выписанных чисел число 33 встретится а) три раза; б) четыре раза; в) не более четырёх раз? Производятся три выстрела по некоторой цели. Вероятности попадания в цель изменяются в соответствии с номерами выстрелов: p1 = 0,2; p2 = 0,3; p3 = 0,4 . Найти распределение вероятностей возможного числа попаданий. Монета бросается m раз. Найти вероятность того, что «герб» появится не менее чем k, но и не более чем l раз, (k ≤ l ≤ m ) . Монета бросается девять раз. Определить вероятность того, что число выпадений «герба» будет нечётным. Обобщить задачу для случая, когда количество бросаний 2n + 1 − нечётное число. Монета бросается десять раз. Определить вероятность того, что число выпадений «герба» будет нечётным. Обобщить задачу для случая, когда количество бросаний 2n − чётное число.

29

4.8.

Что вероятнее: а) выиграть у равносильного противника три партии из четырёх, или выиграть пять партий из восьми; б) выиграть не менее трёх партий из четырёх, или выиграть не менее пяти партий из восьми? 4.9. Имеется n лунок, в которые случайным образом разбрасываются m шариков. Найти вероятность того, что в заранее отмеченную лунку попадёт ровно k шариков. 4.10. Вероятность попадания в цель бомбы, сброшенной с самолёта, равна p = 0,32 . Производится серии из десяти одиночных бомбометаний. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель и вероятность этого числа попаданий. 4.11. Орудия артиллерийской батареи сделали четырнадцать выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при одном выстреле равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; б) вероятность полного разрушения объекта, если для этого требуется не менее четырёх попаданий. 4.12. Вероятность наступления некоторого события A в каждом из n=6 независимых испытаний равна p. а) Какова вероятность того, что событие наступит только последовательно (подряд) три раза? б) Какова вероятность того, что событие A будет наступать только последовательными сериями по два раза? 4.13. Три игральных кости подбрасываются пять раз. Найти вероятность того, что а) два раза выпадут три единицы; б) три раза выпадут две единицы. 4.14. Найти вероятность того, что при проведении 2n испытаний появятся n+m успехов, при этом все испытания с чётными номерами закончатся успехом. Вероятность успеха в одном испытании равна p, а вероятность неудачи – q. 4.15. Монета брошена n раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет хотя бы один раз. 4.16. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем P=0,9 быть уверенным, что герб выпадет хотя бы один раз. 4.17. Получена партия приборов для проведения испытаний на надёжность. Вероятность отказа прибора при испытании равна p = 0,2 . Сколько приборов нужно подвергнуть испытаниям, чтобы с вероятностью не менее, чем: а) P = 0,9 ; б) P = 0,95 ; в) P = 0,99 получить хотя бы один отказ? 4.18. Вероятность попасть при одном выстреле в «десятку» для данного стрелка равна p. Сколько нужно произвести выстрелов этому стрелку, чтобы с уверенностью не менее чем P утверждать, что у него будет хотя бы одно попадание в «десятку»? 4.19. За один цикл работы станок-автомат изготовляет 15 деталей. За какое количество циклов работы вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее чем 0.9, если вероятность изготовления бракованной детали равна 0.01?

30

4.20. В одном из матчей на первенство мира по шахматам был установлен следующий регламент. За выигрыш партии участник получал одно очко, за проигрыш – ноль очков, ничьи не учитывались. Победителем матча назывался тот участник, который первым набрал шесть очков. Считая результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что проигравший участник матча наберёт k очков (0 ≤ k ≤ 5) . 4.21. В урне находятся три шара: чёрного, белого и красного цветов. Производится пять извлечений по одному шару, причём каждый раз после фиксирования цвета шар возвращается обратно. Какова вероятность того, что шары чёрного и белого цветов были извлечены: а) по два раза каждый; б) не менее, чем по два раза каждый? 4.22. Мишень состоит из центрального круга и двух колец, образованных концентрическими окружностями. Вероятность попадания при одном выстреле в круг равна p1 , вероятности попадания в первое, внутреннее и во второе, внешнее кольца равны соответственно p2 и p3 , ( p1 + p2 + p3 = 1) . Стрелок произвёл шесть выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что стрелок три раза попал в круг, два раза – во внутреннее кольцо и один раз – во внешнее кольцо. 4.23. Монета бросается до тех пор, пока «герб» не выпадет пять раз. Что более вероятно: монета будет бросаться восемь раз или десять раз? 4.24. Игральная кость бросается до тех пор, пока число очков кратное трём не появится k раз. Определить вероятность того, что будет сделано n бросаний. 4.25. Для победы в волейбольном состязании команде необходимо выиграть три партии. Команды – неравносильные. Определить вероятность выигрыша одной партии для сильной команды, если для уравнивания шансов на победу она должна дать «фору» слабой команде: а) два очка; б) одно очко. 4.26. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске у них соответственно равны: p1 = 0,6 и p2 = 0,7 . Найти вероятность того, что: а) у них будет равное количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго; в) у второго баскетболиста будет больше попаданий, чем у первого. 4.27. Вероятность забросить мяч в корзину при одном броске для данного баскетболиста равна 0,4. Произведено десять бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность. 4.28. Игральная кость брошена шесть раз. Найти вероятность того, что на верхней грани появятся одна, две, три, четыре, пять и шесть точек по одному разу. 4.29. Матч между двумя шахматистами проводится на следующих условиях: 1) учитываются только результативные партии; 2) победителем считается тот, кто первым наберёт четыре очка при условии, что у его противника при этом будет не более двух очков; 3) если у обоих игроков будет по три очка,

31

то победителем считается тот, кто первым наберёт пять очков. Определить вероятность победы в матче для каждого из игроков, если вероятности выигрыша любой партии у них относятся как три к двум. 4.30. Для прикуривания гражданин пользовался двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку. Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Какова вероятность того, что во второй коробке при этом осталось k спичек, если вначале в каждой коробке было по n спичек? (Задача Банаха). Ответы 1 0 3 ⎛9⎞ ⎛9⎞ ⎛9⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 0 ⎛ 1 ⎞ 4.1. а) C 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ; б) C 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ; в) C 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ; ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ 0 3 5 5 1 8 957 63 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛9⎞ г)1 − C 30 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ . 4.2. а) C105 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ; б) 10 ∑ C10k = . 2 1024 10 10 2 2 256 k = 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1

2

3

2

197

4

196

4 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 99 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 99 ⎞ k k 200 − k 4 . 4.3. а) C ⋅ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ; б) C 200 ⋅ ⎜ ⎟ ; в) ∑ C 200 ⋅ 0,01 ⋅ 0,99 k =0 ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ 4.4. Обозначим Ak - случайное событие: «в результате трёх выстрелов по цели имелось k попаданий. P ( A0 ) = q1q2 q3 ; P ( A1 ) = p1q2 q3 + q1 p2 q3 + + q1q2 p3 ; P ( A2 ) = p1 p2 q3 + p1q 2 p3 + q1 p2 p3 ; P ( A3 ) = p1 p2 p3 . C 43 C 85 1 l i 1 4 2 i +1 1 1 4 2 i +1 1 4.5. m ⋅ ∑ C m . 4.6. 9 ⋅ ∑ C 9 = . 4.7. 10 ⋅ ∑ C10 = . 4.8. а) 4 > 8 ; 2 i =k 2 i =0 2 2 i =0 2 2 2 k m −k 4 8 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ n − 1⎞ б) ∑ C 4k ⋅ 4 < ∑ C 8k ⋅ 8 . 4.9. C mk ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ . 2 k =5 2 k =3 ⎝n⎠ ⎝ n ⎠ 4.10. np − q ≤ µ 0 ≤ np + p , µ 0 = 3 , P (Aµ ) = C103 ⋅ 0,32 3 ⋅ 0,687 ≈ 0,2644 . 4.11. µ 0′ = 2; µ 0′′ = 3 , P ( A2 ) = P ( A3 ) ≈ 0,250139 . Обозначим случайное событие B – 3 200

0

3

«объект полностью разрушен», тогда P (B ) = 1 − ∑ P ( Ak ) ≈ 0,300559 . k =0

⎛ ⎛ 1 ⎞3 ⎞ 2 4.13. а) C 5 ⋅ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝⎝ 6 ⎠ ⎠

4.12. а) 4 p 3 q 3 ; б) 5 p 2 q 4 + 3 p 4 q 2 .

⎛ 2 ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 5 ⎞ ⎞ 3 б) C 5 ⋅ ⎜⎜ C 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠⎠

3

2

2

2 ⎛ ⎞ 2⎛ 1 ⎞ ⎛ 5⎞ ⋅ ⎜⎜1 − C 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ . ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠⎠ ⎝ n

⎛1⎞ 4.15. P (B ) = 1 − P (B ) = 1 − ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ ln 0,1 4.17. а) n ≥ ≈ 10,3; n = 11 ; ln 0,2

4.14. C nn ⋅ p n ⋅ C nm ⋅ p m ⋅ q n−m .

ln(1 − 0,9 ) ; n ≥ 4. ln(1 − 0,5) ln 0,05 б) n ≥ ≈ 13,4; n = 14 ; ln 0,2 4.16. n ≥

32

3

⎛ ⎛ 1 ⎞3 ⎞ ⋅ ⎜⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟⎟ ; ⎝ ⎝6⎠ ⎠

ln 0,01 ln(1 − P ) . 4.19. Если n общее количество ≈ 20,6; n = 21; 4.18. n ≥ ln 0,2 ln(1 − p ) изготовленных деталей, то необходимое количество циклов определяем из 1 n 1 ln 0,1 неравенства: ≥ ⋅ ≈ ⋅ 229,105 ≈ 15,27 , то есть необходимо 16 циклов. 15 15 ln 0,99 15 4.20. Пусть p и q – вероятности выигрыша одной партии для первого и второго игрока, соответственно. Обозначим случайное событие Ak - «матч выиграл первый игрок, а второй игрок набрал k очков». Ясно, что: P ( Ak ) = C 5k+ k ⋅ p 6 ⋅ q k . Аналогично, если случайное событие Bk - «матч выиграл второй игрок, а первый игрок набрал k очков», то: P (Bk ) = C 5k+ k ⋅ q 6 ⋅ p k . Обозначим случайное событие C «к моменту окончания матча проигравший игрок набрал k очков». Ясно, что C = Ak U Bk . Тогда: P (C ) = C 5k+ k ⋅ p k ⋅ q k ⋅ ( p 6− k + q 6− k ) . 4.21. в) n ≥

5

5

5! ⎞ ⎛ 1 ⎞ 50 ⎛ 5! б) ⎜ 4.22. + 2⋅ ⎟⋅⎜ ⎟ = . 3!⋅2!⋅0! ⎠ ⎝ 3 ⎠ 35 ⎝ 2!⋅2!⋅1! 8 10 6! 3 2 1 4 ⎛1⎞ 4 ⎛1⎞ ⋅ p1 ⋅ p2 ⋅ p3 . 4.23. P8 ( A5 ) = C 7 ⋅ ⎜ ⎟ > P10 ( A5 ) = C 9 ⋅ ⎜ ⎟ . 4.24. 3!⋅2!⋅1! ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 1 2 P ( An ) = C nn−−1k ⋅ p k ⋅ q n− k , где: p = ; q = . 4.25. Если p вероятность выигрыша 3 3 1 одной партии для сильной команды, то а) p = 3 ; б)p - решение уравнения: 2 1 p 3 + 3 p 3 (1 − p ) = . 2 4.26. Обозначим случайное событие C – «у баскетболистов равные количества попаданий» и случайные события D – «у первого баскетболиста больше попаданий, чем у второго» и E – «у второго баскетболиста больше попаданий, 5! ⎛ 1 ⎞ 10 а) ⋅⎜ ⎟ = 4 ; 2!⋅2!⋅1! ⎝ 3 ⎠ 3

чем

у

первого».

Тогда:

3

P (C ) = ∑ P ( Ak ) ⋅ P (Bk ) = 0,32076 ; k =0

k −1 ⎛ ⎞ ⎛ P (D ) = ∑ P ( Ak ) ⋅ ⎜ ∑ P (Bi )⎟ = 0,243 и P (E ) = ∑ P (Bk ) ⋅ ⎜ ∑ P ( Ai )⎞⎟ = 0,43624 , где k =1 k =1 ⎝ i =0 ⎠ ⎝ i =0 ⎠ Ak и Bk - случайные события – «баскетболист попал k раз», соответственно первый и второй. Ясно, что P (C ) + P (D ) + P (E ) = 1 . 4.27. Из двойного неравенства следует: 10 ⋅ 0,4 − 0,6 ≤ µ 0 ≤ 10 ⋅ 0,4 + 0,4 µ0 = 4 . 4 4 6 P ( A4 ) = C10 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 ≈ 0,2508 . Соответствующая вероятность: 4.28. 6! P ( A) = 6 ≈ 0,0154321 . 6 4.29. Пусть случайное событие A- «в матче победил первый игрок». Выдвигаем две гипотезы: H 1 - «первый игрок на первом этапе матча набрал четыре очка» и

3

k −1

3

33

H 2 - «игроки на первом этапе матча набрали по три очка ». В первом случае игрок может победить в матче со счётом 4:0, или 4:1, или 4:2. Следовательно: P (H 1 ) = p 4 + C 43 p 4 q1 + C 53 p 4 q 2 и P ( A H 1 ) = 1 . Пусть на первом этапе матча счет будет равным - 3:3, вероятность этой гипотезы: P (H 2 ) = C 63 p 3 q 3 . Тогда событие A осуществится, если после второго этапа счёт в матче будет 5:3 или 5:4, то есть: P ( A H 2 ) = C 20 p 2 q 0 + C 21 p 2 q1 . Здесь 3 2 p= и q= . 5 5 По формуле полной вероятности получаем: P ( A) = P (H 1 ) ⋅ P ( A H 1 ) + P (H 2 ) ⋅ P ( A H 2 ) = 0,72347904 . 2 3 и q = , для случайного события B- «в матче победил Аналогично, считая p = 5 5 второй игрок» по формуле полной вероятности получаем: P (B ) = P (H 1 ) ⋅ P (B H 1 ) + P (H 2 ) ⋅ P (B H 2 ) = 0,27652096 . Ясно, что обязательно будет: P ( A) + P (B ) = 1 . 4.30. Если в одной из коробок осталось k спичек, то гражданин пользовался коробками спичек для прикуривания 2n-k раз. Эти 2n-k использований коробков спичек мы можем рассматривать как проведение 2n-k повторных независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностями равными 0,5 достаётся любой из двух коробков. При этом один коробок доставался n раз, а другой коробок доставался n-k раз. Тогда 2 n−k 2 n−k ⎛1⎞ ⎛1⎞ n−k n P = C 2 n−k ⋅ ⎜ ⎟ = C 2 n−k ⋅ ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

§5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРЯТНОСТИ

5.1. В круг, длина радиуса которого равна r, наудачу бросается точка. Возможность попадания точки в любую область круга не зависит от места положения области в круге и пропорциональна лишь площади этой области. Какова вероятность того, что расстояние от точки до центра круга будет меньше, чем половина длины радиуса? 5.2. В круг, длина радиуса которого равна r, наудачу бросается точка. Возможность попадания точки в любую область круга не зависит от места положения области в круге и пропорциональна лишь площади этой области. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг квадрата? 5.3. Прямоугольная решётка состоит из прутьев цилиндрической формы, радиус которых равен r. Расстояния между осями прутьев равны a и b. В решётку наудачу бросается шарик диаметром d. Траектория полёта шарика

34

перпендикулярна плоскости решётки. Определить вероятность того, что шарик не заденет прутьев решётки. 5.4. На плоскости проведены параллельные прямые, расстояния между которыми попеременно равны 1,5см и 8см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на плоскость круг радиуса 2,5см не пересечёт ни одной линии. 5.5. В круге радиуса длиною R параллельно заданному направлению проводятся хорды. Какова вероятность того, что длина наудачу проведённой хорды будет не более чем R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром перпендикулярным заданному направлению? 5.6. Из наудачу выбранной на полуокружности точки на диаметр опускается перпендикуляр. Какова вероятность того, что длина этого перпендикуляра будет меньше, чем половина длины радиуса? 5.7. В круге радиуса r наугад выбирается точка. Из этой точки, перпендикулярно отрезку, соединяющему точку с центром круга, проводится хорда. Какова вероятность того, что длина этой хорды не превосходит r? 5.8. Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится экран длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину экрана с центром диска, перпендикулярна этому экрану. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы в экран, если расстояние между ним и центром диска равно l. 5.9. На отрезке длиною l наудачу выбраны две точки, в результате чего этот отрезок оказался разделённым на три части. Определить вероятность того, что из трёх получившихся частей можно построить треугольник. 5.10. На отрезке длиною l наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше kl, где 0 < k < 1 ? 5.11. На отрезке AB длиною l наудачу поставлены две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A. 5.12. На отрезке длиною l наудачу поставлены две точки. Определить вероятность того, что длины каждого из трёх получившихся отрезков не l превосходит заданной величины a, где ≤ a ≤ l . 3 5.13. В квадрате, вершины которого имеют координаты: A(0;0), B(1;0), C (1;1) и D(0;1) , ставится наудачу точка M, координаты которой ( x; y ) . Определить 1⎫ ⎧ вероятность случайного события E = ⎨max( x , y ) > ⎬ . 2⎭ ⎩ 5.14. В круге радиуса r с центром в начале координат наудачу ставится точка M. Пусть ( x; y ) - её координаты. Определить вероятность случайного события r⎫ ⎧ A = ⎨max( x , y ) > ⎬ . 2⎭ ⎩

35

5.15. Около одной из двух окружностей, имеющих одинаковые радиусы, описан правильный треугольник. В другую окружность правильный треугольник вписан. Что более вероятно: попасть наудачу брошенной точкой в часть треугольника, лежащую вне первой вписанной окружности, или в часть круга ограниченного второй окружностью и лежащую вне вписанного треугольника? 5.16. Два товарища договорились о встрече в течение промежутка времени T. Тот, кто первым придёт на место встречи ждёт товарища не более t минут. Определить вероятность того, что встреча состоится, если время прихода на место встречи каждого из них равновозможно в течение договоренного промежутка времени T. 5.17. Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из кораблей придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля у причала один час, а второго – два часа. 5.18. На окружности радиуса R наудачу поставлены три точки. Какова вероятность того, что получившийся треугольник будет остроугольным? 5.19. Из множества положительных чисел, которые не превосходят единицу, наудачу выбираются два числа. Определить вероятность того, что сумма квадратов этих чисел не превосходит число 0,75. 5.20. Начало прямоугольной системы координат находится в центре круга единичного радиуса. Определить вероятность того, что сумма абсолютных значений координат наудачу выбранной внутри круга точки не превосходит длины радиуса круга. 5.21. Начало прямоугольной системы координат находится в центре шара единичного радиуса. Определить вероятность того, что сумма абсолютных значений координат наудачу выбранной внутри шара точки не превосходит длины радиуса шара. 5.22. Какова вероятность того, что из трёх наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, можно построить треугольник? 5.23. Какова вероятность того, что сумма длин трёх наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, будет больше l? 5.24. Стержень, длина которого равна l, ломается на части. а) Определить вероятность того, что, если точек излома – две, то часть стержня, оказавшаяся между точками излома, будет иметь длину не более 0,1 ⋅ l . б) Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня, оказавшаяся между точками излома, будет иметь длину не более 0,1 ⋅ l , если точек излома - три. Точки излома равновозможны в любом месте стержня. 5.25. На сфере произвольно выбираются две точки A и B. Через эти точки проводится окружность, центр которой совпадает с центром сферы. Какова вероятность того, что дуга AB этой окружности стягивает центральный угол меньший, чем α , (α < π ) . 36

5.26. В шаре, длина радиуса которого равна R, наудачу выбирается точка. Определить вероятность того, что эта точка окажется внутри куба вписанного в этот шар. 5.27. Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма будет меньше единицы, а 2 произведение – больше ? 9 5.28. Определить вероятность того, что корни квадратного уравнения: x 2 + 2ax + b = 0 будут вещественными, если значения коэффициентов уравнения равновозможны в прямоугольнике: a ≤ n, b ≤ m . Какова вероятность того, что при указанных условиях корни этого уравнения будут положительными? 5.29. Из множества чисел U = [0;1] наудачу выбираются два числа. Найти 3 вероятность того, что сумма их квадратов будет меньше, чем . 4 5.30. На отрезке [0;1] наудачу выбираются две точки: x1 и x 2 . Найти ⎧⎧ 3⎫ ⎧ 5 ⎫⎫ вероятность случайного события A = ⎨⎨ x1 ⋅ x 2 ≥ ⎬ I ⎨ x12 + x 22 ≤ ⎬⎬ . 16 ⎭ ⎩ 8 ⎭⎭ ⎩⎩ 5.31. Плоскость разграфлена параллельными прямыми линиями, отстоящими друг от друга на расстоянии L. Найти вероятность того, что наудачу брошенная на плоскость игла, длина которой равна l, пересечёт какую-нибудь линию. (Задача Бюффона).

5.1.

1 . 4

5.2.

2

π

.

Ответы (a − 2r − d ) ⋅ (b − 2r − d ) . 5.3. a⋅b

5.4.

3 3 . 5.6. . 5.5. 1 − 9,5 2

h 1 2− 3 1 3 . 5.8. ⋅ arctg . 5.9. . 5.10. 2k (1 − k ) . 5.11. . 5.12. π l 2 4 4 2 2 2 (3a − l ) , если l ≤ a ≤ l . P = l − 3(l − a ) , если l ≤ a ≤ l . P= 3 2 l2 l2 2 P1 π −1 3 3 −π 4π − 3 3 3 . 5.15. P1 = 5.13. . 5.14. ; P2 = ; ≈ 0,674 < 1. π 4π P2 4 3 3 1 . 3

5.7.

(T − t )

2

5.16.

T2

3π 2 2 ⋅ 24 2 − (22 2 + 232 ) 1 . 5.17. ≈ 0,1206 . 5.18. . 5.19. . 5.20. . 2 16 π 2 ⋅ 24 4

37

5 . 5.24. а) 1 − 0,9 2 = 0,19; б) 1 − 0,9 3 = 0,271. 5.25. π 6 2 1 2 2 ⎛ α⎞ 1 − ⎜1 − ⎟ . 5.26. P = ≈ 0,368 . 5.27. − ⋅ ln 2 ≈ 0,0126 . 6 9 3π ⎝ π⎠ 5.28. Корни уравнения будут вещественными, если a 2 ≥ b . Если m ≤ n 2 , то 1 m 1 n2 2 P =1− ⋅ . Если m ≥ n , то P = + . Вещественные корни уравнения 3 n 2 6m 1 1 m . Если будут положительными, если a ≤ 0 и b ≥ 0 . Если m ≤ n 2 , то P = − ⋅ 4 6 n n2 3π 2 m ≥ n , то P = . 5.29. . 12m 16 5⎛ 3 1 ⎞ 3 − arcsin 5.30. P ( A) = ⎜ arcsin ⎟ − ln 3 ≈ 0,0838 . 16 ⎝ 10 10 ⎠ 16 5.31. Положение иглы на плоскости однозначно определяется расстоянием x от одной из параллельных линий до её левого конца и углом α , который образует игла с параллельными линиями. Областью возможных значений координат, ⎡ π π⎞ определяющих положение иглы, будет область: Ω = ⎢− ; ⎟ × [0; L ) . Мера этой ⎣ 2 2⎠ области будет равна: mesΩ = π ⋅ L . 5.21.

1

.

5.22.

1 . 2

5.23.

L l

l ⋅ sin α

α L

x

Обозначим случайное событие A – «Брошенная наудачу игла пересекла одну из параллельных линий». Областью координат (α ; x ) , благоприятствующих наступлению этого события, будут координаты, удовлетворяющие условию:

38

⎧ l ⋅ sin α > x , если α < 0; A=⎨ ⎩ x + l ⋅ sin α ≥ L, если α ≥ 0. x L L−l

l

α −

π

π

0 2 2 Мера области, благоприятствующей наступлению события A, равна значению π

определённого интеграла:

2

π

mesA = 2l ∫ sin αdα = −2l cosα 02 = 2l . 0

Окончательно получаем: P ( A) =

mesA 2l = . mesΩ πL

39