Теорема о четырех вершинах плоской кривой и ее обобщения

МАТЕМАТИКА ТЕОРЕМА О ЧЕТЫРЕХ ВЕРШИНАХ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ В. Д. СЕДЫХ Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина, Москва

ВЕРШИНЫ ЭЛЛИПСА

THE FOUR-VERTEX THEOREM OF A PLANE CURVE AND ITS GENERALIZATIONS V. D. SEDYKH

According to the classical four-vertex theorem the curvature of a smooth closed simple curve on a Euclidean plane has at least four extremum points. Three-dimensional generalizations of this theorem are discussed.

© Седых В.Д., 2000

Согласно классической теореме о четырех вершинах, кривизна гладкой замкнутой простой кривой на евклидовой плоскости имеет по меньшей мере четыре точки экстремума. Рассмотрены трехмерные обобщения этой теоремы.

122

Когда в курсе аналитической геометрии рассказывают о кривых второго порядка на евклидовой плоскости, то среди прочих замечательных точек и прямых, связанных с эллипсом (центр, фокусы, директрисы, …), упоминают о точках его пересечения с осями симметрии (рис. 1). Эти точки называют вершинами эллипса и констатируют, что у него их четыре.

Рис. 1

Совершенно очевидно, что при таком взгляде на вершины эллипса не приходится говорить о вершинах произвольной кривой на плоскости. Однако уже первое знакомство с дифференциальной геометрией кривых показывает, какое свойство вершин эллипса можно распространить на произвольные плоские кривые. Действительно, внимательное рассмотрение эллипса приводит к следующему наблюдению: в вершине эллипса его кривизна имеет экстремум. Именно это свойство и следует положить в основу определения вершины кривой. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

www.issep.rssi.ru

Гладкая кривая на плоскости – это траектория точки, движущейся по плоскости с ненулевой скоростью. При этом предполагается, что изменение координат точки с

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , ТО М 6 , № 9 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА течением времени описывается функциями, дифференцируемыми столько раз, сколько необходимо. Эти функции часто называют параметризацией кривой, а саму кривую – параметризованной. Через каждую точку A гладкой кривой можно провести очень много прямых. Среди них есть одна особенная. Она называется касательной к кривой в точке A и выделяется тем, что расстояние до нее от произвольной точки кривой, стремящейся к A, имеет более высокий порядок малости, чем расстояние до точки касания. При движении точки по участку кривой (дуге), не являющемуся отрезком прямой, направление касательной меняется. Скорость этого изменения относительно изменения длины дуги характеризует степень искривленности кривой. А именно, рассмотрим произвольную дугу кривой, ограниченную точками A и B (рис. 2). Если s – ее длина, а α – угол поворота касательной при перемещении точки касания вдоль этой дуги из одного конца в другой, то отношение α / s называется средней кривизной дуги AB. Например, средняя кривизна любой дуги окружности радиуса R равна 1/ R, а средняя кривизна любого отрезка прямой равна нулю. α B А

Кривизна гладкой выпуклой кривой является на ней дифференцируемой функцией. Для невыпуклой кривой это не так. Однако кривизну можно сделать дифференцируемой и в этом случае. Для этого мы будем брать ее со знаком плюс, если векторы скорости и ускорения кривой образуют правый базис на плоскости, и минус – в противоположном случае. ВЕРШИНЫ КРИВОЙ Вершинами гладкой кривой на плоскости называются точки экстремумов ее кривизны. У окружности или прямой вершинами являются все точки. В то же время есть кривые, вообще не имеющие вершин (например, логарифмическая спираль). Если кривая является замкнутой, то есть параметризуется периодическими функциями с одним и тем же периодом, то она имеет по меньшей мере две вершины. Это следует из теоремы Вейерштрасса о достижении функцией непрерывной на отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. В случае общего положения (когда все критические точки функции кривизны невырождены, то есть ее вторая производная в этих точках отлична от нуля) замкнутая кривая имеет четное число вершин (максимумы чередуются с минимумами). При малом возмущении кривой (когда график функции кривизны меняется мало) это число не изменяется. Но вернемся к эллипсу. Легко видеть (это весьма полезное упражнение), что функция кривизны эллипса имеет четыре невырожденные критические точки. Значит, как сам эллипс, так и все близкие к нему кривые имеют ровно четыре вершины. Оказывается, что по меньшей мере четыре вершины можно найти и на любой другой замкнутой плоской кривой, не имеющей самопересечений (такие кривые называются простыми). Это доказал в 1909 году индийский математик С. Махопадхайя.

Рис. 2

Если устремить точку B к точке A так, чтобы длина дуги s (а с ней и угол α) стремилась к нулю, то средняя кривизна дуги AB будет иметь конечный предел, называемый кривизной кривой в точке A. В частности, кривизна окружности радиуса R в каждой точке равна 1/ R, а кривизна прямой – нулю. В курсе математического анализа доказывается, что кривизна кривой x = x(t), y = = y(t) в каждой точке t вычисляется по формуле x' ( t )y" ( t ) – x" ( t )y' ( t ) --------------------------------------------------------. 2 2 3⁄2 ( x' ( t ) + y' ( t ) )

Теорема о четырех в ершинах плоской кр и в ой. Всякая гладкая замкнутая простая кривая на евклидовой плоскости имеет не менее четырех вершин. То, что для некоторых непростых кривых это утверждение неверно, показывает пример улитки Паскаля (x2 + y2 − ax)2 = b2(x2 + y2) при 0 < b < a. Проверьте, что эта кривая имеет ровно две вершины. Строго говоря, Махопадхайя доказал свою теорему (которая теперь называется классической) для выпуклых кривых. Но впоследствии выяснилось, что все сказанное справедливо и для невыпуклых кривых. Более того, теорема о четырех вершинах следует из другого, не менее замечательного факта, касающегося кривых в пространстве.

СЕДЫХ В.Д. ТЕОРЕМА О ЧЕТЫРЕХ ВЕРШИНАХ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ

123

МАТЕМАТИКА КРУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ Гладкая кривая в трехмерном евклидовом пространстве, ее касательная и кривизна в данной точке определяются аналогично плоскому случаю. Однако степень искривленности кривой в пространстве уже не определяется лишь одной кривизной. Рассмотрим какую-нибудь гладкую кривую и произвольную точку A на ней. Через точку A можно провести много разных плоскостей. Те из них, которые содержат касательную к кривой в точке A, называются касательными плоскостями к кривой в этой точке. Среди касательных плоскостей есть плоскости, касающиеся кривой в точке A с порядком выше первого. Если кривизна кривой в точке A не равна 0, то такая плоскость только одна и она называется соприкасающейся с кривой в точке A. Предположим далее, что кривизна кривой везде отлична от нуля (положительна), и рассмотрим на ней произвольную дугу AB (рис. 3). Если s – ее длина, а β – угол поворота соприкасающейся плоскости при перемещении точки соприкосновения вдоль дуги AB из одного конца в другой (то есть угол поворота ее нормали), то предел, к которому стремится отношение β / s, когда B стремится к A (так что s и β стремятся к нулю), называется кручением кривой в точке A. Как и в случае кривизны плоской кривой, кручение пространственной кривой будем брать со знаком плюс, если векторы скорости, ускорения и третьей производной кривой образуют правый базис в пространстве, и минус – в противоположном случае. В курсе математического анализа доказывается: что кручение

B

β

A

Рис. 3

124

кривой r(t) = (x(t), y(t), z(t)) в точке t вычисляется по формуле ( r' ( t ), r" ( t ), r"' ( t ) ) ----------------------------------------------. 2 [ r' ( t ), r" ( t ) ] ТОЧКИ УПЛОЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ Точка кривой называется ее точкой уплощения, если порядок касания кривой со своей соприкасающейся плоскостью в этой точке выше второго. В тех точках уплощения, в которых кривизна кривой отлична от нуля, ее кручение, очевидно, равно нулю. У кривой, лежащей в плоскости, все точки являются точками уплощения. В то же время есть кривые, не имеющие ни одной точки уплощения. Такова, например, кривая (t, t 2, t 3). Если кривая со всюду ненулевой кривизной замкнута, а все нули ее кручения являются простыми (то есть производная кручения в этих точках отлична от нуля), то кривая имеет четное число точек уплощения. При малом возмущении такой кривой (когда график функции кручения меняется мало) число точек уплощения не меняется. Среди замкнутых кривых также имеются кривые без точек уплощения. Например, не имеет точек уплощения спираль на торе ((R + cosnt)cos t, (R + cos nt)sin t, sin nt), R > 2,

n ∈ N,

с достаточно большим числом витков. Точки уплощения пространственных кривых удивительным образом связаны с вершинами плоских кривых. Эту связь обнаружил Адольф Кнезер в 1912 году. Он доказал следующую лемму: стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между вершинами плоской кривой и точками уплощения ее стереографического образа в пространстве. Из этой леммы мгновенно следует, что всякая гладкая замкнутая простая кривая γ, лежащая на сфере S в трехмерном евклидовом пространстве, имеет не менее четырех точек уплощения. Действительно, зафиксируем на сфере S произвольную точку N ∉ γ и проведем через ее центр O плоскость π, перпендикулярную прямой ON (рис. 4). Стереографической проекцией плоскости π на сферу S называется отображение σ, сопоставляющее каждой точке M ∈ π точку пересечения прямой MN c выколотой сферой S \N. Легко видеть, что σ−1(γ) – гладкая замкнутая простая кривая на плоскости π. По теореме Махопадхайя она имеет не менее четырех вершин. Эти точки переходят при отображении σ в попарно различные точки

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , ТО М 6 , № 9 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА N π

S γ σ(M)

O

M σ−1( γ)

Рис. 4

уплощения кривой γ. Следовательно, у кривой γ есть не меньше четырех точек уплощения. После работы Кнезера возник естественный вопрос о других классах пространственных кривых, имеющих не менее четырех точек уплощения. Среди многочисленных результатов, полученных при исследовании этого вопроса, важное место занимает утверждение, доказанное М. Барнером в 1956 году: если через любые две точки пространственной кривой можно провести плоскость, нигде более ее не пересекающую, то у такой кривой найдется не менее четырех точек уплощения. Здесь точки пересечения кривой с плоскостью берутся с кратностями. В частности, через каждую точку кривой Барнера должна проходить касательная плоскость, от которой кривая лежит с одной стороны (такие плоскости называются опорными к кривой). Результат Барнера удалось значительно усилить только сравнительно недавно. А именно, наличие четырех точек уплощения было доказано у так называемых слабовыпуклых кривых. СЛАБОВЫПУКЛЫЕ КРИВЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Напомним, что выпуклой оболочкой кривой называется наименьшее выпуклое множество, содержащее эту кривую. Кривая в пространстве называется слабовыпуклой, если она лежит на границе своей выпуклой оболочки. Примером слабовыпуклой кривой может служить любая кривая, лежащая на произвольной выпуклой поверхности. Те ор е ма о ч е т ы ре х т очк а х упл още н и я простр а нс тв енн ой к ри вой . Всякая гладкая замкнутая простая слабовыпуклая кривая со всюду ненулевой кривизной в трехмерном евклидовом пространстве имеет не менее четырех точек уплощения.

Это утверждение было анонсировано автором настоящей статьи в 1991 году на конференции по теории особенностей в Триесте. Доказательство опубликовано в работе [3]. Мы изложим основные идеи этого доказательства в следующем разделе. Но сначала сделаем несколько замечаний. 1. Кривые Барнера удовлетворяют всем условиям указанной теоремы. Более того, класс слабовыпуклых кривых значительно шире класса кривых Барнера (имеется открытое множество слабовыпуклых кривых, не являющихся кривыми Барнера). 2. Условие всюду ненулевой кривизны является необходимым в этой теореме. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть в пространстве кривую (cos(t − − sint), sin(t − sint), sint). Она слабовыпукла, но имеет нулевую кривизну при t = 0. Непосредственные вычисления показывают, что указанная кривая имеет ровно три точки уплощения. 3. Теорема Махопадхайя является простым следствием теоремы о четырех точках уплощения пространственной кривой и леммы Кнезера. Действительно, стереографический образ любой гладкой замкнутой простой кривой на плоскости является гладкой замкнутой простой кривой в пространстве. Эта кривая слабовыпукла и имеет всюду ненулевую кривизну, поскольку лежит на сфере. Следовательно, она имеет не менее четырех точек уплощения, а значит, исходная плоская кривая имеет не менее четырех вершин. 4. Теорема о четырех точках уплощения справедлива и для кривых в аффинном пространстве (то есть это не есть факт евклидовой геометрии). При этом условие всюду ненулевой кривизны следует заменить условием единственности соприкасающейся плоскости к кривой в каждой точке.

СЕДЫХ В.Д. ТЕОРЕМА О ЧЕТЫРЕХ ВЕРШИНАХ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ

125

МАТЕМАТИКА 5. Имеется дискретный вариант теоремы о четырех точках уплощения (см. [4]). А именно, всякая простая замкнутая слабовыпуклая ломаная с не менее чем четырьмя звеньями в трехмерном аффинном пространстве имеет не менее четырех опорных вершин (вершина ломаной называется опорной, если через нее и обе соседние вершины проходит опорная плоскость). Из этого утверждения при помощи стереографической проекции можно легко получить хорошо известные школьные теоремы [2] об экстремальных вершинах выпуклых многоугольников на плоскости. НАХОЖДЕНИЕ ТОЧЕК УПЛОЩЕНИЯ СЛАБОВЫПУКЛОЙ КРИВОЙ В основе доказательства теоремы о четырех точках уплощения пространственной кривой лежит способ нахождения таких точек у данной (слабовыпуклой) кривой. Мы приведем здесь лишь основные идеи; подробности можно найти в статье [3]. Пусть γ – гладкая замкнутая простая слабовыпуклая кривая со всюду ненулевой кривизной в трехмерном евклидовом пространстве. Предположим, что она имеет конечное число точек уплощения (в противном случае доказывать нечего). Тогда эта кривая не лежит ни в какой плоскости и граница ее выпуклой оболочки гомеоморфна сфере. По условию кривая γ делит границу своей выпуклой оболочки на две части D1 и D2 , гомеоморфные диску (рис. 5). Выберем произвольную точку P кривой, не являющуюся ее точкой уплощения. Поскольку кривая γ слабовыпукла, то через точку P проходит по меньшей мере одна опорная плоскость. Поворачивая (при необходимости) эту плоскость вокруг касательной к кривой в точке P, получим опорные плоскости π1 и π2 (возможно,

π1 = π2), такие, что плоскость πi касается кривой в точке Pi , где отрезок PPi принадлежит диску Di , i = 1, 2. При этом можно считать, что точки P1 , P2 не являются точками уплощения кривой γ (этого легко добиться изменением положения точки P). Рассмотрим теперь любой из отрезков PP1 , PP2 , например PP1 . Его концы делят кривую γ на две дуги: γ1 и γ2 . Возьмем дугу γ1 , разобьем ее на три дуги равной длины и на средней из них выберем произвольную точку P*, не являющуюся точкой уплощения кривой. Аналогично предыдущему на кривой γ найдется точка P *, та1 кая, что через точки P*, P 1* проходит некоторая опорная плоскость π *, а отрезок P*P *1 принадлежит диску D1 . 1 Основное наблюдение состоит в том, что точку P 1* можно найти на дуге γ1 . Действительно, если P 1* ∈ γ2 , то отрезки PP1 и P*P 1* пересекаются, а значит, опорные плоскости π1 и π *1 совпадают. Следовательно, точки P, P1 , P*, P 1* лежат в одной плоскости и в качестве P *1 можно взять точку P1 . Обозначим через γ 11 ту из двух дуг кривой γ с концами в точках P*, P 1*, которая является частью дуги γ1 . Проделав с дугой γ 11 описанную выше процедуру, получим дугу γ 21 ⊂ γ 11 и т.д. По теореме Кантора последовательность дуг { γ 1 } стягивается к некоторой точке Q1 ∈ ∈ γ1 . Докажем, что точка Q1 является точкой уплощения кривой γ. n

В самом деле, оба конца каждой из дуг γ 1 лежат на опорной плоскости. Поскольку последовательность n { γ 1 } стягивается к точке Q1 , то предел этих плоскостей является опорной соприкасающейся плоскостью n

R1

P1

R2

D1

P2

P P1* D2 γ

P*

Q2

Q1

Рис. 5

126

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , ТО М 6 , № 9 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА к кривой в точке Q1 . Но соприкасающаяся плоскость может быть опорной только в точке уплощения. Следовательно, Q1 – точка уплощения кривой γ. Аналогично находится точка уплощения Q2 ∈ γ2 , которая, очевидно, отлична от Q1 . Такая же процедура позволяет найти точки уплощения R1 , R2 (R1 ­ R2) на двух дугах кривой γ, на которые ее делят точки P, P2 . Легко видеть, что Ri ­ Qj для всех i, j, поскольку в противном случае кривая γ лежала бы одновременно с двух разных сторон от своей соприкасающейся плоскости в точке уплощения, то есть была бы плоской. Теорема доказана.

Автор настоящей статьи за последние десять лет нашел некоторые соотношения между дифференциально-геометрическими характеристиками расположения слабовыпуклых (а также и произвольных) подмногообразий в объемлющем пространстве. В результате недавних исследований, проведенных Д.А. Пановым, получены некоторые соотношения между числами специальных точек на двумерных поверхностях в трехмерном пространстве. Однако пока неясно, что является аналогом теоремы о четырех вершинах в случае многообразий, не являющихся кривыми. ЛИТЕРАТУРА

О МНОГОМЕРНЫХ ОБОБЩЕНИЯХ ТЕОРЕМЫ О ЧЕТЫРЕХ ВЕРШИНАХ Исследование вопросов, связанных с теоремой о четырех вершинах, продолжается и по сей день (см., например, [1]). И дело не только в том, чтобы расширить класс кривых, для которых верна теорема о четырех точках уплощения. Цель проводимых исследований – обобщить теорему о четырех вершинах на случай подмногообразий произвольной размерности в многомерных пространствах. С кривыми дело обстоит несколько проще. Здесь задача состоит в том, чтобы усилить следующую теорему Барнера: если через каждые n точек гладкой замкнутой кривой в (n + 1)-мерном проективном пространстве можно провести гиперплоскость, нигде более не пересекающую кривую, то у такой кривой есть не менее n + 2 попарно различных точек уплощения (в которых кривая касается некоторой гиперплоскости с кратностью выше n). Что же касается многообразий размерности больше 1, то здесь все находится в зачаточном состоянии.

1. Арнольд В.И. К лежандровой теории Штурма пространственных кривых // Функцион. анализ и его прил. 1998. Т. 32, вып. 2. С. 1–7. 2. Мусин О.Р. Теорема о четырех вершинах для многоугольника // Квант. 1997. № 2. С. 11–13. 3. Седых В.Д. Теорема о четырех вершинах выпуклой пространственной кривой // Функцион. анализ и его прил. 1992. Т. 26, вып. 1. С. 35–41. 4. Седых В.Д. Теорема о четырех опорных вершинах ломаной // Функцион. анализ и его прил. 1996. Т. 30, вып. 3. С. 88–90.

Рецензент статьи Ю.П. Соловьев *** Вячеслав Дмитриевич Седых, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Российского государственного университета нефти и газа им. И.М. Губкина. Область научных интересов – теория особенностей и ее приложения к геометрии и топологии. Автор свыше 30 научных публикаций и одного учебного пособия.

Поправка В статье Н.М. Бажина “Метан в атмосфере”, опубликованной в № 3 за 2000 год, на с. 53 в левой колонке, 16-я строка снизу, следует читать: (Тг = 1012 г).

СЕДЫХ В.Д. ТЕОРЕМА О ЧЕТЫРЕХ ВЕРШИНАХ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ

127