ДРОГОБИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА
ЮРІЙ МАТУРІН
ЕЛЕМЕНТИ ДИСКРЕТНОЇ МАТЕМАТИКИ
НАВЧАЛ...
51 downloads
253 Views
370KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ДРОГОБИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА
ЮРІЙ МАТУРІН
ЕЛЕМЕНТИ ДИСКРЕТНОЇ МАТЕМАТИКИ
НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК ДЛЯ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ «ПМСО. МАТЕМАТИКА»
Дрогобич - 2009
УДК 510 + 519.1 Елементи дискретної математики: Навчальний посібник / Матурін Ю.П. – Дрогобич: РВВДДПУ ім. Івана Франка, 2009. – 61 с. Посібник написано відповідно до програми навчальної дисципліни “Дискретна математика” для підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня “Бакалавр” спеціальності “ПМСО. Математика”, затвердженої вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка, містить виклад теоретичного матеріалу до даної теми, приклади, що ілюструють теорію та вправи для самостійної роботи. Даний посібник може бути використаний старшокласниками, які зацікавлені у поглибленому вивченні математики. Бібліографія 21 назв. Рекомендовано до друку вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка (протокол № 6 від 21.05.2009 р.) Автор: Матурін Ю.П., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри математики та методики викладання математики Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка. Рецензенти: Андрійчук В.І., доктор фізико-математичних наук, професор кафедри алгебри і логіки Львівського національного університету імені Івана Франка; Дільний В.М., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри математичного аналізу Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка. Відповідальний за випуск: Галь Ю.М., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри математики та методики викладання математики, заступник директора Інституту фізики, математики та інформатики Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.
2
ЗМІСТ ВСТУП 4 СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ 5 1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН 6 1.1. Множини 6 1.2. Дії над множинами 7 1.3. Властивості дій над множинами 8 1.4. Означення відображення множин 10 1.5. Композиція відображень 11 1.6. Основні типи відображень 12 1.7. Обернене відображення 13 1.8. Бієктивні відображення скінченних множин 14 1.9. Потужність множин 14 1.10. Основні поняття теорії відношень 16 1.11. Обернене відношення, композиція відношень 18 1.12. Відношення еквівалентності, фактормножина і розбиття 19 1.13. Частково впорядковані множини 20 1.14. Ланцюги та цілком упорядковані множини 23 2. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРНОГО АНАЛІЗУ 25 2.1. Правило суми й добутку та формула включень і вилучень 25 2.2. Розміщення і перестановки 30 2.3. Комбінації 31 2.4. Основні властивості чисел Cnm 33 2.5. Перестановки з повтореннями 34 2.6. Розміщення с повтореннями 35 2.7. Комбінації з повтореннями 36 2.8. Кількість всіх підмножин даної множини 36 2.9. Поліноміальна формула та формула бінома Ньютона 37 2.10. Формальні степеневі ряди та рекурентні співвідношення 40 3. ВПРАВИ 51 ІМЕННИЙ ПОКАЖЧИК 56 ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК 58 БІБЛІОГРАФІЯ 59
3
ВСТУП Дискретна математика (дискретний аналіз), яку також часто називають фінітною математикою, є галуззю математичної науки, що вивчає математичні структури, які за своєю суттю є дискретними. До числа таких структур належать скінченні і зліченні множини, скінченні решітки (наприклад, скінченні булеві решітки), скінченні групи, півгрупи, кільця і поля (поля Галуа), скінченні та зліченні графи, булеві функції і скінченні автомати, машини Тьюрінга і т. д. Слід відзначити також, що ця наука включає в себе ряд розділів математичної логіки. Дискретна математика набула широкої популярності протягом останніх десятиліть завдяки своїм застосуванням до комп’ютерних наук. Ідеї дискретної математики є цінними при вивченні комп’ютерних алгоритмів і мов програмування. Тому вивчення даного предмету є обов’язковим для студентів багатьох спеціальностей, що пов’язані з інформатикою та математикою. У даному навчальному посібнику головна увага приділяється теорії множин і комбінаторному аналізу. Ці теми, на нашу думку, висвітлені або недостатньо чітко, або недостатньо повно в сучасній російськомовній та україномовній літературі. Для розуміння наступного викладу передбачається обізнаність читача з основними елементами логіко-математичної символіки.
4
СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ A ⊆ B, B ⊇ A ∅,U AU B AI B A\ B A P( A) 2A AVB UMi
A< B , B > A
aPb , aPb P −1 P oT [ a ]P M /P ( M , ≥) sup M V ,inf M V χX Anm Pn n Cnm , m P(n1 ,..., nk )
i∈I
IM
i
i∈I
M 1 × ... × M n ,
n
∏M
i
i =1
Mn f (a) f : A → B, f : f : a a b (a ∈ A) f : A→ B
Anm Cmk P[ x] P[[ x]]
f
A→ B 1A f (С ) imf f −1 ( D) ker f BA go f ∆A f −1 S ( A) A≤ B, B ≥ A A= B 5
1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН Основи теорії множин заклав геніальний німецький математик Георг Кантор (1845-1918). Ця теорія вивчає множини, відображення, відношення, кардинальні й ординальні числа і є фундаментом для усієї сучасної математики. 1.1. Множини Множина є первісним поняттям, тому для неї не формулюється означення. Уведемо це поняття описово. Під множиною ми розуміємо певну сукупність, набір об’єктів (елементів), що об’єднані деякою ознакою. Об’єкти, з яких складаються множини, називаються елементами множини. Множини здебільшого позначатимемо великими буквами латинського алфавіту, а їх елементи – малими буквами. Позначення: a ∈ A ⇔ елемент a належить множині A; a∈ / A ⇔ елемент a не належить множині A. Будемо говорити, що множина A є підмножиною множини B , якщо виконується наступна умова: (∀a)(a ∈ A ⇒ a ∈ B ) . Позначення: 1. A ⊆ B або B ⊇ A ⇔ A – підмножина множини B або B включає A ; 2. M = {a1 , a2 ,..., an } ⇔ множина M складається з елементів a1 , a2 ,..., an ( які є різними). 3. M = {a ∈ K p(a )} ⇔ множина M складається з тих і лише тих елементів множини K , які задовольняють умову p . 4. ∅ = {}; 5. {M i i ∈ I } множина, що складається з множин, нижні індекси яких належать множині I . Таку множину часто називають родиною множин. 6
Множина ∅ , яка не містить жодного елемента, називається порожньою. Множина називається скінченною, якщо вона складається з скінченної кількості елементів. Переважно ми розглядаємо множини, що є підмножиною деякої множини U – універсальної множини. Приклади множин. N – множина натуральних чисел; Z – множина цілих чисел; Q – множина раціональних чисел; R – множина дійсних чисел; С – множина комплексних чисел. Зауваження. Англійський філософ, логік, математик та історик Бертран Рассел (1872 –1970) у 1903 році знайшов очевидний парадокс у наївній теорії множин, розглядаючи множину всіх тих множин, які не є елементами себе. Це призвело до побудови аксіоматичної теорії множин. 1.2. Дії над множинами Уведемо в розгляд дії над множинами. Об’єднанням множин A і B називається множина A U B := {x x ∈ A ∨ x ∈ B} . Перетином множин A і B називається множина A I B := {x x ∈ A ∧ x ∈ B} . Різницею множин A і B називається множина A \ B := {x x ∈ A ∧ x ∈ / B} . Доповненням множини A називається множина A := U \ A . Булеаном множини A називається множина P( A) := {B B ⊆ A} , також часто використовують позначення 2 A . Симетричною різницею множин A і B називається множина 7
AVB := ( A \ B) U ( B \ A) . Об’єднанням родини множин {M i i ∈ I } називається множина
UM
i
:= {x (∃i ∈ I )( x ∈ M i )} .
i∈I
Перетином родини множин {M i i ∈ I } називається множина
IM
i
:= {x (∀i ∈ I )( x ∈ M i )}.
i∈I
Сукупність елементів a1 , a2 ,..., an , серед яких можуть бути рівні і в якій визначено, що a1 -її 1-ий елемент, a2 -її 2-ий елемент,…, an -її n ий елемент, називається впорядкованою n -кою і позначається через (a1 , a2 ,..., an ) . Дві впорядковані n -ки (a1 , a2 ,..., an ) і (b1 , b2 ,..., bn ) вважаються рівними, якщо виконується наступна умова: (∀i ∈ {1, 2,..., n})(ai = bi ) . Якщо n = 2 , то впорядкована 2-ка називається впорядкованою парою. Декартовим добутком множин M 1 ,..., M n називається множина M 1 × ... × M n := {(m1 ,..., mn ) m1 ∈ M 1 ,..., mn ∈ M n } . n -им декартовим степенем множини M називається множина n
M 1 × ... × M n (= ∏ M i ) , i =1
де (∀i ∈ {1,..., n})( M i = M ) , причому він позначається через M n . M 2 називається декартовим квадратом множини M . 1.3. Властивості дій над множинами Сформулюємо основні властивості дій над множинами. Властивості перетину, об'єднання, різниці, доповнення 1. A U A = A, A I A = A (ідемпотентність); 2. A U B = B U A, A I B = B I A (комутативність); 3. ( A U B) U C = A U ( B U C ),( A I B ) I C = A I ( B I C ) (асоціативність) 8
4. ( A U B) I C = ( A I C ) U ( B I C ), ( A I B) U C = ( A U C ) I ( B U C ) (дистрибутивність); 5. A U B = A I B, A I B = A U B (закони де Моргана); 6. ( A U B) I A = A,( A I B ) U A = A (поглинання); 7. ( A U B) I ( A U B) = A,( A I B) U ( A I B ) = A (склеювання); 8. A = A ; 9. A \ B = A I B ; 10. A U A = U , A I A = ∅ ; 11. A U U = U , A I U = A, A U ∅ = A, A I ∅ = ∅ (дії над константами). Властивості перетину й об'єднання родини множин 1. U M i I K = U ( M i I K ), I M i U K = I ( M i U K ) i∈I i∈I i∈I i∈I (дистрибутивність); 2. U M i = I M i , I M i = U M i i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
(закони де Моргана). Властивості симетричної різниці 1. AVB = BV A (комутативність); 2. ( AVB)VС = AV( BVС ) (асоціативність); 3. AV A = ∅ ; 4. AV∅ = A ; 5. AVU = A ; 6. ( AVB) I С = ( A I С )V( B I С ) (дистрибутивність).
9
Властивості декартового добутку 1. ( A I B) × C = ( A × C ) I ( B × C ) , C × ( A I B) = (C × A) I (C × B ) ; 2. ( A U B) × C = ( A × C ) U ( B × C ) , C × ( A U B) = (C × A) U (C × B ) ; 3. ( A \ B) × C = ( A × C ) \ ( B × C ) , C × ( A \ B) = (C × A) \ (C × B ) ; 4. ( A1 I A2 ) × ( B1 I B2 ) = ( A1 × B1 ) I ( A2 × B2 ) ; 5. A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅ . Деякі з цих властивостей легко доводяться на основі логічних міркувань, а інші – на основі вже доведених властивостей. Доведемо, наприклад, один із законів де Моргана, а саме: AI B = AU B. Справді, (∀x)( x ∈ A I B ⇔ x ∉ A I B ⇔ ⇔ x ∉ A ∨ x ∉ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ A U B) .
Родина {M i i ∈ I } непорожніх підмножин множини M називається розбиттям множини M , якщо виконуються наступні умови: 1. U M i = M ; i∈I
2. (∀i, j ∈ I )(i ≠ j ⇒ M i I M j = ∅) . 1.4. Означення відображення множин Відображенням множини A у множину B називається правило f , за яким кожному елементу a ∈ A зіставляється єдиний елемент b ∈ B . У цьому випадку кажуть, що елемент b є образом елемента a , а елемент a є прообразом елемента b ; елемент b позначають через f (a) .
10
Позначення відображення:
f : A → B, 1. f : , f : a a b ( a ∈ A ) 2. f : A → B ; f
3. A → B . Відображення f : A → B і g : C → D називаються рівними, якщо виконуються наступні умови: 1. A = C ∧ B = D ; 2. (∀a ∈ A)( f (a ) = g (a )) . f : A → A, називається f : f : a a a (a ∈ A) відображенням множини A і позначається через 1A . Відображення
тотожним
Нехай f : A → B – відображення множин, С ⊆ A, D ⊆ B . Позначення: 1. f (С ) := { f (c) c ∈C} – образ множини С при відображенні f ; 2. imf := f ( A) – образ відображення f ; 3. f −1 ( D) := {a ∈ A f (a ) ∈ D} – прообраз множини D ; 4. ker f := {(a, b) ∈ A2 f (a ) = f (b)} – ядро відображення f ; 5. B A
–
множина всіх відображень з множини A в B . 1.5. Композиція відображень
Композицією відображень відображення
f : A → B і g : B → C називається
A → C, g o f : . a a g ( f ( a )) Композиція відображень має асоціативну властивість. Справді, нехай f : A → B , g : B → C , h : C → D відображення. Тоді (h o g ) o f = h o ( g o f ) . Доведемо це твердження. 11
Очевидно, що (h o g ) o f , h o ( g o f ) : A → D . Крім того, ((h o g ) o f )(a) = (h o g )( f (a)) = h( g ( f (a))) , (h o ( g o f ))(a) = h(( g o f )(a)) = h( g ( f (a))) . Тепер сформулюємо інші властивості композиції, а саме: Нехай f : A → B . Тоді: 1. f o 1A = f ; 2. 1B o f = f . Ці властивості є тривіальними. 1.6. Основні типи відображень Відображення f : A → B називається ін’єктивним, якщо виконується наступна умова: (∀a, b ∈ A)(a ≠ b ⇒ f (a) ≠ f (b)) , тобто якщо ker f = ∆ A , де ∆ A := {(a, a) a ∈ A} . Відображення f : A → B називається сур’єктивним, якщо виконується наступна умова: (∀b ∈ B )(∃a ∈ A)( f (a) = b) , тобто якщо imf = B . Відображення f : A → B називається бієктивним, якщо воно ін’єктивне і сур’єктивне, тобто якщо (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)( f (a) = b) . Бієктивне відображення f : A → A називається підстановкою на множині A. Сукупність усіх підстановок на множині A позначається через S ( A) і є групою відносно композиції. Приклади. [0; +∞) → R, 1. f : 2 x a x . Дане відображення очевидно є ін’єктивним, сур’єктивним, оскільки imf = [0, +∞) ≠ R . 12
але
не
є
R → [0, +∞), 2. f : 2 x a x . Це відображення є сур’єктивним, але не є ін’єктивним, оскільки f (−1) = f (1) . [0, +∞) → [0, +∞), 3. f : 2 x a x . Таке відображення є бієктивним. R → R, 4. f : x a sin x. Тут маємо приклад відображення, яке не є ні ін’єктивним, ні сур’єктивним. 1.7. Обернене відображення Відображення g : B → A називається оберненим до відображення f : A → B , якщо виконуються наступні умови: g o f = 1A , f o g = 1B . Критерій бієктивності. Відображення f : A → B є бієктивним тоді і тільки тоді, коли воно має обернене відображення. Доведення. 1. Нехай f : A → B є бієктивним відображенням. Розглянемо відображення g : B → A , яке задано наступним чином: (∀b ∈ B)( f ( g (b)) = b) . Зрозуміло, що це правило задає g однозначно в силу бієктивності f . Більше того, з цього отримуємо, що f o g = 1B . Далі, (∀a ∈ A)( g ( f (a )) = a ) . Припустимо, що (∃a0 ∈ A)( g ( f (a0 )) ≠ a0 ) . Тоді f ( g ( f (a0 ))) ≠ f (a0 ) в силу ін’єктивності f . Але тоді, враховуючи f o g = 1B , f (a0 ) ≠ f (a0 ) . Суперечність. Таким чином, g o f = 1A . Отже, g є оберненим до f . 2. Нехай відображення g : B → A є оберненим до f : A → B . Доведемо спочатку ін’єктивність f . Нехай f (a1 ) = f (a2 ) . Тоді a1 = g ( f (a1 )) = g ( f (a2 )) = a2 . Тепер доведемо сур’єктивність f . Нехай b ∈ B . Тоді f ( g (b)) = b . Критерій доведено. 13
Зауважимо, що у випадку існування для даного відображення оберненого це обернене єдине. Справді, нехай g1 : B → A, g 2 : B → A - обернені відображення для відображення f : A → B g1 = g1 o 1B = g1 o ( f o g 2 ) = ( g1 o f ) o g 2 = 1A o g 2 = g 2 . Відображення g : B → A , яке є оберненим до відображення f : A → B , позначатимемо через f −1 . 1.8. Бієктивні відображення скінченних множин Твердження. Нехай A, B – скінченні непорожні множини. З множини A у множину B існує бієктивне відображення тоді і тільки тоді, коли A = B . Доведення. 1. Нехай f : A → B – бієктивне відображення, A = {a1 ,..., an } , B = {b1 ,..., bm }. У силу ін’єктивності f елементи f (a1 ),..., f (an ) попарно різні. Тому m ≥ n . У силу сур’єктивності f (∃с1 ,..., сm ∈ A)( f (с1 ) = b1 ,..., f (сm ) = bm ) . Елементи с1 ,..., сm є попарно різними, тому n ≥ m . Отже, m = n . 2. Нехай A = {a1 ,..., an } , B = {b1 ,..., bn } . Розглянемо відображення A → B, f : ai a bi (i ∈ {1,..., n}). Воно є бієктивним. 1.9. Потужність множин Будемо говорити, що множина A має потужність не більшу за потужність B (потужність B не менша за потужність A), якщо існує ін’єктивне відображення f : A → B . Позначення: A ≤ B або B ≥ A . Будемо говорити, що дві множини A, B мають однакову потужність, якщо існує бієктивне відображення f : A → B . 14
Позначення: A = B . Будемо говорити, що множина A має потужність меншу, ніж B ( B має потужність більшу за потужність A), якщо A ≤ B і A ≠ B . Позначення: A < B або B > A . Множина A називається зліченною, якщо її потужність дорівнює потужності множини натуральних чисел. Зрозуміло, що кожна нескінченна множина містить зліченну підмножину. З цього отримуємо, що кожна нескінченна множина є не менше ніж зліченною. У теорії множин доведено, що для довільних множин A, B має місце одне і тільки одне із співвідношень: 1. A = B ; 2. A < B ; 3. A > B . Крім того, знаменита теорема Кантора-Бернштейна стверджує, що для довільних множин A, B має місце наступне співвідношення: A≥ B∧ A≤ B⇒ A= B. Твердження попереднього пункту говорить про те, що дві скінченні множини мають однакову потужність тоді й тільки тоді, коли вони мають однакову кількість елементів. Таким чином, поняття потужності узагальнює поняття кількості елементів на нескінченний випадок. Теорема. Нехай A, B – скінченні непорожні множини. A ≤ B тоді й тільки тоді, коли кількість елементів множини A не перевищує кількість елементів множини B . Доведення. Нехай A ≤ B . Тоді існує ін’єктивне відображення f : A → B . Покладемо A = {a1 ,..., an } . Тоді в силу ін’єктивності відображення наступні елементи f (a1 ),..., f (an ) попарно різні. Отже, множина B містить принаймні n елементів. Навпаки. Нехай A = {a1 ,..., an } і B = {b1 ,..., bk } , де k ≥ n . Розглянемо відображення A → B, f : ai a bi ,(i ∈ {1,..., n}). 15
Воно, очевидно, є ін’єктивним. Теорему доведено. Теорема. Для довільної множини A справедливе співвідношення: A < P( A) . Доведення. Очевидно, що відображення A → P( A); g : a a {a}(a ∈ A) є ін’єктивним. Тому A ≤ P( A) . Припустимо, що A = P( A) . Тоді існує бієктивне відображення f : A → P( A) . Розглянемо множину B , визначену наступним чином: B := {b ∈ A b ∉ f (b)}. Оскільки f сур'єктивне, то існує елемент c ∈ A , для якого f (c) = B . Можливі наступні випадки: c ∈ B ∨ с ∉ B . Якщо c ∈ B , то c ∉ f (c) = B . Якщо c ∉ B , то c ∈ f (c) = B . Отже, маємо суперечність. Теорему доведено. Множина дійсних чисел має більшу потужність за потужність множини натуральних чисел. Множина A називається множиною потужності континууму, якщо вона має потужність рівну потужності множини дійсних чисел. Виявляється, що P ( N ) = R . У 1877 році Георг Кантор висунув континуум-гіпотезу, яка стверджує, що будь-яка нескінченна підмножина множини дійсних чисел є або зліченною, або множиною потужності континууму. У 1963 році з’ясувалося, що континуум-гіпотеза не залежить від системи аксіом Цермело – Френкеля. 1.10. Основні поняття теорії відношень n -арним відношенням на множині M називається підмножина множини M n . При n = 2 відношення називається бінарним. Тут ми
16
переважно розглядатимемо бінарні відношення. Тому в подальшому викладі бінарні відношення називатимемо просто відношеннями. Нехай P – відношення на множині M . Тоді будемо говорити, що елемент a ∈ M перебуває у відношенні P з елементом b ∈ M , якщо (a, b) ∈ P , також говоримо, що елемент a ∈ M не перебуває у відношенні P з елементом b ∈ M , якщо (a, b) ∉ P . Позначення: 1. aPb ⇔ (a, b) ∈ P ; 2. aPb ⇔ (a, b) ∉ P . Відношення P на множині M називається рефлексивним, якщо виконується наступна умова: (∀a ∈ M )(aPa) ; симетричним, якщо виконується наступна умова: (∀a, b ∈ M )(aPb ⇒ bPa) . антисиметричним, якщо виконується наступна умова: (∀a, b ∈ M )(aPb ∧ bPa ⇒ a = b) ; транзитивним, якщо виконується наступна умова: (∀a, b, c ∈ M )(aPb ∧ bPc ⇒ aPc) . Відношення P на множині M називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне й транзитивне. Відношення P на множині M називається відношенням часткового порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне та транзитивне. Відношення часткового порядку на множині M називається відношенням лінійного порядку, якщо виконується наступна умова: (∀a, b ∈ M )(aPb ∨ bPa ) . Відношення ∆ M := {(a, a ) a ∈ M } на множині M називається діагоналлю. Нехай P – відношення на множині M і V ⊆ M . Тоді розглянемо відношення PV := {( x, y ) ∈ V 2 ( x, y ) ∈ P}
17
на множині V . Це відношення будемо часто також позначати через P , розуміючи відмінності змісту одного позначення залежно від контексту. Приклади. Нехай M = {1, 2,3, 4}, P = {(1,1),(1,2),(2,1),(2, 2),(3,3),(4, 4)}, T = {(4,1),(4, 2),(4, 4),(2,2),(2,1),(3,3),(3,1),(1,1)} . Тоді P – відношення еквівалентності, а T – відношення порядку на множині M . 1.11. Обернене відношення, композиція відношень Нехай P, T – відношення на множині M . Тоді оберненим до відношення P називається відношення P −1 := {(a, b) (b, a) ∈ P} . Композицією відношень P, T називається відношення P o T := {(a, b) (∃c)((a, c) ∈ P ∧ (c, b) ∈ T )} . Приклади. Нехай P = {(1,1),(1, 2),(2,3),(3, 4)}, T = {(1,1),(2,1)} . Тоді P −1 = {(1,1),(2,1),(3, 2),(4,3)} , P o P = {(1,1),(1, 2),(1,3),(2, 4)} , P o T = {(1,1)} , T o P = {(1,1),(1,2),(2,1),(2, 2)} . Зрозуміло, що відношення P на множині M є рефлексивним тоді і тільки тоді, коли ∆ M ⊆ P ; симетричним тоді і тільки тоді, коли P −1 ⊆ P ; антисиметричним тоді і тільки тоді, коли P I P −1 ⊆ ∆ M ; транзитивним тоді і тільки тоді, коли P o P ⊆ P . Твердження (про асоціативність композиції відношень). Нехай P, T , S – відношення на множині M . Тоді ( P o T ) o S = P o (T o S ) . Доведення. Для довільних a, b ∈ M маємо (a, b) ∈ ( P o T ) o S ⇔ ∃c ∈ M : (a, c) ∈ P o T ∧ (c, b) ∈ S ⇔ ⇔ ∃c, d ∈ M : (a, d ) ∈ P ∧ (d , c) ∈ T ∧ (c, b) ∈ S ⇔ 18
⇔ ∃d ∈ M : (a, d ) ∈ P ∧ (d , b) ∈ T o S ⇔ (a, b) ∈ P o (T o S ) . Твердження доведено. Твердження (про нейтральність діагоналі відносно композиції). Нехай P – відношення на множині M . Тоді P o ∆M = ∆M o P = P . Доведення. Для довільних a, b ∈ M маємо (a, b) ∈ P o ∆ M ⇔ ∃c ∈ M : (a, c) ∈ P ∧ (c, b) ∈ ∆ M ⇔ (a, b) ∈ P , (a, b) ∈ ∆ M o P ⇔ ∃c ∈ M : (a, c) ∈ ∆ M ∧ (c, b) ∈ P ⇔ (a, b) ∈ P . Твердження доведено. 1.12. Відношення еквівалентності, фактормножина і розбиття Нехай P – відношення еквівалентності на множині M . Множина [a ]P := {b ∈ M (a, b) ∈ P} , де a – деякий елемент множини M , називається класом еквівалентності за відношенням P . Множина всіх класів еквівалентності за відношенням еквівалентності P на множині M називається фактормножиною множини M за відношенням P і позначається через M / P . Властивості класів еквівалентності: 1. ∀a ∈ M :[a ]P ; 2. ∀a, b ∈ M : b ∈ [a ]P ⇒ [b]P = [a ]P ; 3. ∀a, b ∈ M :[a]P I [b]P = ∅ ∨ [a]P = [b]P ; 4. ∀a, b ∈ M : aPb ⇔ [a ]P = [b]P . Доведення властивостей. 1. Виконується в силу рефлексивності P . 2. Нехай a ∈ M , b ∈ [a ]P . З цього маємо, що aPb . Тоді (∀x)( x ∈ [b ]P ⇒ bPx ⇒ aPb ∧ bPx ⇒ aPx ⇒ x ∈ [ a ]P ) ; (∀x)( x ∈ [ a ]P ⇒ aPx ⇒ aPb ∧ aPx ⇒ bPa ∧ aPx ⇒
⇒ bPx ⇒ x ∈ [b ]P ) .
3. Нехай a, b ∈ M ,[a]P I [b]P ≠ ∅ . Тоді існує c , для якого c ∈ [a ]P I [b]P . Тоді c ∈ [a]P ∧ c ∈ [b]P . За властивістю 3 маємо, що [a ]P = [c]P = [b]P . 19
4. Нехай aPb . Тоді b ∈ [a ]P . За властивістю 2 отримаємо, що [a ]P = [b]P . Навпаки. Нехай [a ]P = [b]P . Тоді b ∈ [b]P = [a]P . З цього випливає, що aPb . Властивості доведено. З властивостей 1 – 3 отримуємо, що M / P є розбиттям множини M. Нехай D – розбиття множини M . Визначимо відношення PD на множині M наступним чином: PD := {( x, y ) ∈ M 2 ∃V ∈ D : x, y ∈ V } . Очевидно, що дане відношення є рефлексивним і симетричним. Доведемо його транзитивність. Нехай xPD y ∧ yPD z . Враховуючи означення розбиття, отримаємо (∃V ,U ∈ D : x, y ∈ V ∧ y, z ∈ U ) ⇒ y ∈ V I U ⇒ ⇒ V I U ≠ ∅ ⇒ V = U ⇒ x, z ∈ U ⇒ xPD z . Таким чином, PD – відношення еквівалентності. Розглянемо наступні відповідності: D a PD , P a M / P між розбиттями множини M і відношеннями еквівалентності на множині M . Зрозуміло, що ці відповідності є взаємно оберненими, а тому бієктивними. Приклад. Нехай n ∈ N . Розглянемо відношення P на множині Z , що задано наступним чином: P := {( x, y ) ∈ Z 2 ( x − y )M n} . Нескладно побачити, що дане відношення є відношенням еквівалентності. Позначимо через Z n множину Z / P . Визначимо кількість елементів цієї множини. Зрозуміло, що до одного класу еквівалентності належать ті і тільки ті числа, які при діленні на n дають однакову остачу. Всіх можливих таких остач є n . Тому Zn = n . 1.13. Частково впорядковані множини Відношення часткового порядку для зручності позначатимемо через ≥ . Зрозуміло, що відношення, яке є оберненим до відношення часткового порядку, є також відношенням часткового порядку. 20
Множина M разом з відношенням часткового порядку ≥ на ній називається частково впорядкованою. Така множина позначається через ( M , ≥) . Приклади. 1. ( Z , ≥) , ( Z , ≤) ; 2. ( N ,M) ; 3. ( P( M ), ⊇),( P ( M ), ⊆) , де M – множина. Елемент a частково впорядкованої множини ( M , ≥) називається найбільшим [найменшим] елементом, якщо виконується наступна умова: (∀x ∈ M )(a ≥ x)[(∀x ∈ M )( x ≥ a)] . Елемент a частково впорядкованої множини ( M , ≥) називається максимальним [мінімальним] елементом, якщо виконується наступна умова: (∀x ∈ M )( x ≥ a ⇒ x = a)[(∀x ∈ M )(a ≥ x ⇒ x = a)] . Зауважимо, що кожний найбільший [найменший] елемент частково впорядкованої множини є максимальним [мінімальним]. Найбільший [найменший] елемент у разі його існування є єдиним найбільшим [найменшим]. Максимальних [мінімальних] елементів може бути декілька. Будемо говорити, що елемент a ≠ b частково впорядкованої множини ( M , ≥) покриває її елемент b , якщо виконуються наступні умови: 1). a ≥ b ; 2). (∀x ∈ M )(a ≥ x ∧ x ≥ b ⇒ x = a ∨ x = b) . Наприклад, у частково впорядкованій множині ({1, 2,3, 4,5,6},M) найбільших елементів немає, 4, 5, 6 – максимальні елементи, 1 – найменший (єдиний мінімальний) елемент, 6 покриває 2 і 3. Нехай ( M , ≥) – частково впорядкована множина, тоді будь-яка її підмножина є також частково впорядкованою відносно індукованого відношення часткового порядку.
21
Нехай ( M , ≥) – частково впорядкована множина, V – її підмножина. Будемо говорити, що елемент a ∈ M є верхньою [нижньою] межею множини V , якщо виконується наступна умова: (∀x ∈ V )(a ≥ x)[(∀x ∈ V )( x ≥ a)] . Найменша [найбільша] з верхніх [нижніх] меж множини V називається точною верхньою [нижньою] межею множини V і позначається через sup M V [inf M V ] . Точну верхню [нижню] межу також називають супремумом [інфімумом]. Приклади. 1. Розглянемо частково впорядковану множину ( N ,M) і a, b ∈ N . Тоді завжди існують sup N {a, b},inf N {a, b} , причому sup N {a, b} = GCD(a, b),inf N {a, b} = LCM (a, b) . 2. Нехай маємо частково впорядковану множину ( P( M ), ⊇) , де M - множина і A, B ∈ P( M ) . Тоді також завжди існують sup P ( M ) { A, B},inf P ( M ) { A, B} , причому sup P ( M ) { A, B} = A U B,inf P ( M ) { A, B} = A I B . Крім того, якщо {M i i ∈ I } ⊆ P( M ) , то
sup P ( M ) {M i i ∈ I } = U M i ,inf P ( M ) {M i i ∈ I } = I M i . i∈I
i∈I
3. Тепер розглянемо частково впорядковану множину ( R, ≥) . За відомою теоремою Вейєрштрасса будь-яка непорожня обмежена зверху (знизу) підмножина множини дійсних чисел має супремум (інфімум). Нехай a, b ∈ R . Тоді sup R {a, b} = max(a, b),inf R {a, b} = min(a, b) . 4. Ще один приклад частково впорядкованої множини, а саме: (Q, ≥) . Очевидно, що supQ [0;1) = 1 , проте не існує supQ {x ∈ Q x < 2} . 2
Непорожня частково впорядкована множина ( M , ≥) називається решіткою, якщо виконуються наступні умови: (∀a, b ∈ M )(∃sup M {a, b}) ∧ (∀a, b ∈ M )(∃inf M {a, b}) . Таким чином, ( N ,M) , ( P( M ), ⊇) , ( R, ≥) - решітки. Решітка ( M , ≥) називається булевою, якщо виконуються наступні умови: 1. ∃1∈ M ∀x ∈ M :1 ≥ x ; 22
2. 3. 4. 5.
∃0 ∈ M ∀x ∈ M : x ≥ 0 ; ∀x, y, z ∈ M : sup M {x,inf M { y, z}} = inf M {sup M {x, y},sup M {x, z}} ; ∀x, y, z ∈ M : inf M {x,sup M { y, z}} = sup M {inf M {x, y},inf M {x, z}} ; ∀x ∈ M ∃y ∈ M : inf M {x, y} = 0 ∧ sup M {x, y} = 1.
Зрозуміло, що ( P( M ), ⊇) є булевою решіткою, в якій M = 1, ∅ = 0 . 1.14. Ланцюги та цілком упорядковані множини Частково впорядкована множина ( M , ≥) називається ланцюгом (chain), якщо ≥ є відношенням лінійного порядку. Ланцюг ( M , ≥) називається цілком упорядкованою множиною, якщо будь-яка її непорожня підмножина має найменший елемент. Приклади. 1). Зрозуміло, що ( R, ≥) є ланцюгом, проте не є цілком упорядкованою множиною. 2). ( N , ≥),(2 N , ≥) є цілком упорядкованими множинами. У математиці твердження:
досить
часто
використовується
наступне
Лема Куратовського-Цорна. Якщо в непорожній частково впорядкованій множині ( M , ≥) кожний непорожній ланцюг має верхню межу, то в M є принаймні один максимальний елемент. Зокрема, це твердження використовується для доведення існування бази Гамеля у будь-якому лінійному просторі над полем. Теорема Цермело. На будь-якій множині можна задати відношення часткового порядку, яке перетворить її у цілком упорядковану множину. Зауваження. Остання теорема є дуже важливим результатом, оскільки дає змогу доводити багато теорем за допомогою узагальненого методу математичної індукції (трансфінітна індукція). 23
Зазначимо, що Ф. Гаусдорф отримав свій знаменитий принцип максимуму, який є альтернативним і більш раннім формулюванням леми Цорна.
24
2. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРНОГО АНАЛІЗУ 2.1. Правило суми й добутку та формула включень і вилучень Правило суми Твердження (правило суми). Нехай A1 ,..., An множини. Якщо ∀i, j ∈ {1,..., n}: i ≠ j ⇒ Ai I Aj = ∅ , то
UA = ∑ A n
–
скінченні
n
i
i =1
i =1
i
.
Доведення. Використаємо індукцію за кількістю множин. При n = 1 і при n = 2 твердження очевидне. Нехай воно правильне при n = k , k ≥ 2 . Доведемо це твердження при n = k + 1 . Справді, k +1 k k k +1 k Ai = U Ai U Ak +1 = U Ai + Ak +1 = ∑ Ai + Ak +1 = ∑ Ai . U i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 Твердження доведено. Тепер розглянемо одне важливе застосування правила суми. Принцип Діріхле Надзвичайно важливим у математиці є так званий Принцип Діріхле. Нехай A, B
–
скінченні множини і f : A → B
відображення. Якщо A > n B , де n ∈ N , то ∃b ∈ B : f −1 (b) ≥ n + 1. Доведення. Припустимо, що ∀b ∈ B : f −1 (b) ≤ n . Тоді оскільки
Uf
−1
(b) = A і ∀b1 , b2 ∈ B : b1 ≠ b2 ⇒ f −1 (b1 ) I f −1 (b2 ) = ∅ ,
b∈B
за правилом суми nB < A=
Uf
b∈B
−1
(b) = ∑ f −1 (b) ≤ ∑ n =n B . b∈B
Тоді n B < n B . Суперечність. Твердження доведено. 25
b∈B
–
Зокрема, цей принцип можна використати при доведенні того, що множина {{na} n ∈ Z } є всюди щільною у множині [0,1], де a – ірраціональне число, тобто ∀x ∈ [0,1]∀ε > 0∃n ∈ Z : {na} − x < ε . Доведемо це твердження. Справді, покажемо спочатку, що ∀ε > 0∃n ∈ Z :{na} < ε . Нехай 1 маємо довільне ε > 0 , тоді розглянемо натуральне число M > . ε Покладемо: iz := [{z}M ] , коли z∈R. Зрозуміло, що 0 ≤ {z}M < 1 ⋅ M = M . Тому 0 ≤ iz ≤ M − 1. Тоді за принципом Діріхле ∃n1 , n2 ∈ {1,..., M + 1}: n1 ≠ n2 ∧ in1a = in2a . Покладемо: i := in1a , p := [n1a], q := [n2 a ] . i i +1 З визначення iz маємо, що iz ≤ {z}M < iz + 1. Тоді z ≤ {z} < z . M M i i +1 Отже, [ z ] + z ≤ z < [ z ] + z . M M i i +1 i i +1 Тому p + ≤ n1a < p + ,q + ≤ n2 a < q + . M M M M Враховуючи ірраціональність числа a , отримаємо, що i i +1 i i +1 p+ < n1a < p + ,q + < n2 a < q + . M M M M 1 1 Тоді ( p − q ) − < (n1 − n2 )a < ( p − q ) + . M M Покладемо: 1 n − n ,( p − q ) < ( n − n ) a < ( p − q ) + , 1 2 1 2 M n := n − n ,( p − q ) − 1 < (n − n )a < ( p − q ) 1 2 2 1 M 1 Тоді {na} < < ε , де n ∈ Z \ {0} , оскільки n1 ≠ n2 . Зауважимо, що M очевидно {na} ≠ 0 , оскільки a – ірраціональне число. Розглянемо тепер x ∈ (0,1] . Тоді M −1 1 j j + 1 x ∈ 0, ∨ x ∈ U , . M M M j =1 26
Якщо {na} <
1 x ∈ 0, , M
{na} − x <
то
1 <ε, M
оскільки
1 1 ∧ <ε. M M
j j + 1 Якщо ж x ∈ U , , то M M j =1 M −1
s s + 1 ∃s ∈ {1,..., M − 1}: x ∈ , . M M s Розглянемо множину L := {t t{na} < , t ∈ N } . Ця множина M 1 s ≤ . Крім того, L – непорожня, оскільки 1 ⋅ {na} = {na} < M M s скінченна множина, оскільки ∀y ∈ L : y < . Оскільки L – M {na} скінченна непорожня множина, то вона містить найбільший елемент, s s позначимо цей елемент через k . Тоді k{na} < ∧ (k + 1){na} ≥ . M M Звідси s 1 s +1 (k + 1){na} = k{na} + {na} < + = . M M M s s +1 s s + 1 Тому ≤ (k + 1){na} < . З цього, враховуючи x ∈ , , M M M M 1 отримаємо, що (k + 1){na} − x < . M s + 1 ( M − 1) + 1 Далі, (k + 1){na} < ≤ = 1 . З цього отримуємо, що M M (k + 1)[na] ≤ (k + 1)na = (k + 1)([na] + {na}) = = (k + 1)[na] + (k + 1){na} < (k + 1)[na] + 1 . Тому (k + 1)[na ] = [(k + 1)na ] . Звідси (k + 1){na} = (k + 1)(na − [na]) = (k + 1)na − (k + 1)[na] = = (k + 1)na − [(k + 1)na] = {(k + 1)na} . 1 Тоді {(k + 1)na} − x < <ε . M
27
Формула включень та вилучень Твердження (формула включень та вилучень для двох множин). Нехай A, B – скінченні множини. Тоді AU B = A + B − AI B . Доведення. Покладемо: A1 := A I B, A2 := A \ B, A3 := B \ A . Зрозуміло, що множини A1 , A2 , A3 задовольняють умови попереднього твердження і A1 U A2 U A3 = A U B, A1 U A2 = A, A1 U A3 = B . Тоді A U B = A1 U A2 U A3 = A1 + A2 + A3 = A I B + A \ B + B \ A = = ( AI B + A\ B ) + ( AI B + B \ A)− AI B = A + B − AI B . Твердження доведено. Наступне твердження узагальнює правило суми. Твердження (формула включень та вилучень). Нехай A1 ,..., An – скінченні множини. Тоді
UA = ∑ A −∑ A I A n
i =1
n
i
i =1
+(−1)
i
m −1
i
i< j
∑ IA m
is
i1
j
+
∑
i < j
Ai I Aj I Ak − ...
+ ... + (−1)
n −1
IA n
s =1
s
.
Доведення. Нехай U = U Ai . Для довільної множини X ⊆ U n
i =1
визначимо характеристичне відображення U → {0,1}; χX : 1, u ∈ X ; u a χ ( u ) = 0, u ∉ X Зрозуміло, що для довільних множин A, B ⊆ U χ AI B = χ A χ B , χ A = 1 − χ A , A = ∑ χ A (u ) . u∈U
28
Але U = U Ai = U Ai = I Ai . Тому n
n
n
i =1
i =1
i =1
n
n
n
χU = 1 − χ n = 1 − ∏ χ A = 1 − ∏ (1 − χ Ai ) = ∑ χ Ai − i i =1 i =1 i =1 I Ai −
∑
i =1
1≤i < j ≤ n
χ Ai χ Aj + ... + (−1) m−1
+(−1)
n −1
∑
1≤i1
χ A1 χ A2 ...χ An = ∑ χ Ai −
+(−1) m−1
∑
i =1
∑
χ Ai1 χ Ai2 ...χ Aim + ...
1≤i < j ≤ n
χ Ai I Aj + ...
χ m + ... + (−1) n−1 χ n . I As 1≤i1
Далі,
UA = ∑χ n
i
i =1
U
u∈U
+(−1) m−1
n
(u ) = ∑ (∑ χ Ai (u ) − u∈U
∑
i =1
∑
1≤i < j ≤n
χ Ai I Aj (u ) + ...
χ m (u ) + ... + (−1) n−1 χ n (u )) = I As 1≤i1
n
= ∑∑ χ Ai (u ) − i =1 u∈U
+(−1)
m −1
∑ ∑ χI
∑ ∑χ
1≤i < j ≤ n u∈U
s =1
u∈U
Ais
n
= ∑ Ai − ∑ Ai I Aj + ... + (−1) i =1
n −1
IA
I As s =1
∑ IA m
m −1
i< j
+(−1)
(u ) + ...
(u ) + ... + (−1) n−1 ∑ χ n (u ) =
m
1≤i1
Ai I A j
i1
is
+ ...
n
s
.
s =1
Твердження доведено. Правило добутку Твердження (правило добутку). Нехай A1 ,..., An множини. Тоді A1 × ... × An = A1 ... An .
29
–
скінченні
Доведення. Доводимо індукцією по числу множин. При n = 1 твердження очевидне. Припустимо, що твердження істинне при n = k . Покажемо, що воно істинне при n = k + 1. Справді, розглянемо множини Da := {(a1 ,..., ak , a ) (a1 ,..., ak , a ) ∈ A1 × ... × Ak × Ak +1} , де a ∈ Ak +1 . Розглянемо також відображення Da → A1 × ... × Ak ; fa : . a a a a a a a a a ∈ A × × A ( ,..., , ) ( ,..., ),( ,..., , ) ... k 1 k 1 k 1 k +1 1 Зрозуміло, що це відображення f a бієктивне. Тому Da = A1 × ... × Ak . За індукційним припущенням маємо, що A1 × ... × Ak = A1 ... Ak . Але A1 × ... × Ak × Ak +1 =
U
a∈Ak +1
Da і ∀a, b ∈ Ak +1 : a ≠ b ⇒ Da I Db = ∅ .
За правилом суми маємо, що A1 × ... × Ak × Ak +1 =
U
Da =
a∈Ak +1
∑
a∈Ak +1
Da =
∑
a∈Ak +1
A1 × ... × Ak =
= A1 × ... × Ak Ak +1 = A1 ... Ak Ak +1 . Твердження доведено. 2.2. Розміщення і перестановки Ін’єктивне відображення з m -елементної множину в n -елементну називається розміщенням з n елементів по m елементів. Кількість усіх їх позначається через Anm . Твердження. При m ≤ n Anm = n(n − 1)...(n − m + 1) . Доведення. Нехай A – m -елементна, а B – n -елементна множина. Розглядаємо ін’єктивні відображення з A в B . Доводимо твердження індукцією по m . При m = 1 очевидно маємо, що Anm = n . Нехай твердження правильне при m = k , n − 1 ≥ k ≥ 1 , Покажемо, що воно правильне при m = k + 1. Нехай In(W ,V ) – множина ін’єктивних відображень з W в V , x – деякий елемент множини A. Покладемо: 30
Dc := { f f ∈ In( A, B), f ( x) = c} , де c ∈ B . Розглянемо відображення Dc → In( A \ {x}, B \ {c}), . Gc : ∀ ∈ = f a G ( f ), v A \ { x }: G ( f )( v ) f ( v ) c c Зрозуміло, що таке відображення бієктивне. Тому Dc = In( A \ {x}, B \ {c}) . Але тоді за індукційним припущенням Dc = Ank−1 . Отже, для довільного c ∈ B Dc = Ank−1 .Зрозуміло, що ∀c, d ∈ B : c ≠ d ⇒ Dc I Dd = ∅ . Тому за правилом суми отримаємо, що
Ank +1 = In( A, B) =
UD
c
c∈B
= B Ank−1 = n(n − 1)...(n − k ) .
Твердження
доведено. Зауваження. Очевидно, що при m > n Anm = 0 . Отриману для кількості розміщень формулу можна записати в компактному вигляді, а саме: n! Anm = (n − m)! при m ≤ n . Бієктивне відображення n -елементної множини A в себе називається перестановкою n елементів. Нагадаємо, що множина всіх таких відображень позначається через S ( A) . Кількість всіх перестановок n даних елементів позначається через Pn . З попереднього маємо, що Pn = Ann . Отже, Pn = n! 2.3. Комбінації Комбінацією з n елементів по m елементів називається m елементна підмножина n -елементної множини. Кількість всіх комбінацій з n даних елементів по m елементів позначається через Cnm .
31
Твердження. При m ≤ n
n(n − 1)...(n − m + 1) . 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ m Доведення. Нехай A – m -елементна множина, B – n -елементна множина. Нехай V – множина всіх m -елементних підмножин множини B . Позначимо через GK множину { f f ∈ In( A, B ), f ( A) = K } , Cnm =
де K ∈ V . Оскільки A = K , то існує бієктивне відображення g : A → K . Визначимо відображення h : K → B наступним чином: ∀x ∈ K : h( x) = x . Покажемо, що GK = {h o w o g w ∈ S ( K )} . Очевидно, що GK ⊇ {h o w o g w ∈ S ( K )} . Покажемо тепер, що
GK ⊆ {h o w o g w ∈ S ( K )} . Нехай f ∈ GK . Визначимо відображення w ∈ S ( K ) наступним чином: ∀k ∈ K : w(k ) = f ( g −1 (k )) . Покажемо, що f = h o w o g . Справді, для довільного a ∈ A (h o w o g )(a) = h( w( g (a))) = h( f ( g −1 ( g (a)))) = h( f (a)) = f (a) . Тому GK = {h o w o g w ∈ S ( K )} . Покажемо, що ∀w1 , w2 ∈ S ( K ) : h o w1 o g = h o w2 o g ⇒ w1 = w2 . Нехай k – довільний елемент множини K . В силу бієктивності g існує a ∈ A , для якого g (a ) = k . Тоді (h o w1 o g )(a ) = (h o w2 o g )(a ) . Звідси h( w1 ( g (a))) = h( w2 ( g (a ))) . Використовуючи ін’єктивність h , маємо w1 ( g (a )) = w2 ( g (a )) . Тоді w1 (k ) = w2 (k ) . Звідси w1 = w2 . Таким чином, GK = S ( K ) = Pm . Далі, кількість всіх множин GK , де K ∈ V , дорівнює V = Cnm . Зрозуміло, що In( A, B) =
UG
K
K∈V
∀K , T ∈ V : K ≠ T ⇒ GK I GT = ∅ . За правилом суми маємо Anm = In( A, B) = ∑ GK = ∑ Pm = V Pm = Cnm Pm . K ∈V
K ∈V
32
і
Anm Тоді C = . Твердження доведено. Pm Формулу для Cnm очевидно можна переписати у вигляді n! . Cnm = m!(n − m)! n Числа Cnm позначають також через . m m n
2.4. Основні властивості чисел Cnm Твердження. Нехай n, m ∈ N U {0} . 1. Якщо n ≥ m , то Cnm = Cnn−m . 2. Якщо n ≥ m + 1 , то Cnm + Cnm+1 = Cnm++11 . 3. Якщо p ≥ q + 1 , то C pq++11 = C pq +1 + C pq−1 + ... + C1p−q + C p0−q−1 . Доведення. n! n! 1. Cnn−m = = = Cnm , (n − m)!(n − (n − m))! (n − m)!m! n! n! + = m!(n − m)! (m + 1)!(n − m − 1)! n!(m + 1) n!(n − m) n!(m + 1 + n − m) = + = = (m + 1)!(n − m)! (m + 1)!(n − m)! (m + 1)!(n − m)!
2. Cnm + Cnm+1 =
=
n!(n + 1) (n + 1)! = = Cnm++11 . (m + 1)!(n − m)! ( m + 1)!(n − m)!
3. Використаємо другу властивість. Отримаємо C pq++11 = (C pq++11 − C pq ) + (C pq − C pq−−11 ) + ... + (C1p −q+1 − C p0−q ) + 1 = = C pq+1 + C pq−1 + ... + C 1p−q + C p0−q−1 . Твердження доведено. 33
2.5. Перестановки з повтореннями Відображення f : A→ B називається перестановкою з повтореннями складу (n1 ,..., nk ) відносно b1 ,..., bk , де A = {a1 ,..., an }, B = {b1 ,..., bk } , якщо виконується наступна умова: ∀i ∈ {1,..., k}: ni = f −1 ({bi }) . k
(Зрозуміло, що в цьому випадку
∑n i =1
i
= n і ∀i ∈ {1,..., k}: 0 ≤ ni ≤ n ).
Кількість усіх таких відображень позначається через P(n1 ,..., nk ) . (n1 + ... + nk )! . n1 !...nk ! Доведення. Доведемо це твердження індукцією по k . При k = 1 воно очевидне. Бо тоді P(n1 ,..., nk ) = 1. Припустимо, що твердження правильне для k = q, q ≥ 1. Покажемо, що воно істинне при k = q + 1. Нехай D – множина всіх перестановок f : A → B з повтореннями складу (n1 ,..., nq +1 ) відносно b1 ,..., bq +1 , де A = {a1 ,..., an }, B = {b1 ,..., bq +1} . Нехай також V – множина всіх nq+1 -елементних підмножин множини A , S ∈ V . Позначимо через ES множину всіх відображень Твердження. P(n1 ,..., nk ) =
h : A \ S → B \ {bq+1} ,
для
∀i ∈ {1,..., q}: h −1 ({bi }) = ni .
яких
індукційним припущенням ES =
(n1 + ... + nq )! n1 !...nq !
. Визначимо множину
DS наступним чином: DS := { f ∈ D f −1 ({bq+1}) = S } . Розглянемо відображення Ψ : DS → ES , де ∀a ∈ A \ S :[Ψ ( f )](a) = f (a) . Очевидно, що воно бієктивне. Тому DS = ES . Далі, зрозуміло, що ∀S , T ∈ V : S ≠ T ⇒ DS I DT = ∅ і D = U DS . S∈V
За правилом суми маємо D =
U DS = ∑ DS =
S∈V
S∈V
(n1 + ... + nq )! n1 !...nq ! 34
V =
За
(n1 + ... + nq )! n1 !...nq !
Cn1q++...1 +nq +nq +1 = n
=
(n1 + ... + nq )!
(n1 + ... + nq + nq+1 )!
n1 !...nq ! nq+1 !(n1 + ... + nq + nq+1 − nq+1 )! Твердження доведено.
=
(n1 + ... + nq + nq +1 )! n1 !...nq !nq+1 !
.
2.6. Розміщення с повтореннями Відображення f : A → B з m -елементної множину в n -елементну називається розміщенням з повтореннями з n елементів по m елементів. Кількість всіх їх позначається через Anm . Твердження. Anm = n m . Доведення. Доводимо індукцією по m . При m = 1 очевидно твердження істинне, оскільки тоді Anm = n . Припустимо, що твердження істинне при m = k , k ≥ 1. Доведемо твердження при m = k + 1. Нехай A = k + 1, B = n . Нехай x – деякий елемент множини A. Розглянемо множину Dy = { f ∈ B A f ( x) = y} , де y ∈ B , і відображення Ψ : Dy → B A\{ x} , ∀a ∈ A \ {x}:[Ψ ( f )](a ) = f (a),( f ∈ Dy ) . Зрозуміло, що дане відображення є бієктивним, тому Dy = B A\{ x} . За індукційним припущенням B A\{ x} = n k . Тоді Dy = n k . Далі, мають місце співвідношення: B A = U Dy , y∈B
∀t , q ∈ B : t ≠ q ⇒ Dt I Dq = ∅ . Отже, за правилом суми B A = ∑ Dy = B n k = nn k = n k +1 . y∈B
Твердження доведено. Наслідок. ∀m, k ∈ N :
∑
( k1 ,...,km )∈( N U{0}) m k1 +...+ km = k
35
P (k1 ,...,km ) = m k .
2.7. Комбінації з повтореннями Комбінацією з повтореннями з m по k називається впорядкована m -ка (k1 ,..., km ) , для якої k1 + ... + km = k , де k1 ,..., km ∈ N U {0}. Число всіх комбінацій з повтореннями з m по k позначається через Cmk . Твердження. Cmk = Cmk +k −1 . Доведення. Доведемо твердження індукцією по m . При m = 1 отримуємо рівняння k1 = k . Очевидно, що воно має точно один розв’язок. Тому C1k = 1 . Припустимо, що наше твердження істинне при m = s, s ≥ 1. Покажемо, що воно істинне при m = s + 1 . Очевидно, що k1 + ... + ks + ks +1 = k ⇔ (k1 + ... + ks = k ∧ ks +1 = 0) ∨ (k1 + ... + ks = k − 1 ∧ ks +1 = 1) ∨ ... ∨ (k1 + ... + ks = 0 ∧ ks +1 = k ) . З цього отримаємо, що Csk+1 = Csk + Csk −1 + ... + Cs0 . За індукційним припущенням тоді Csk+1 = Csk+k −1 + Csk+−k1−2 + ... + Cs0−1 = Cs(+k k−1)−1+1 + C(ks−+1k −1)−1 + ... + C(0s +k −1)−( k −1)−1 За властивістю 3 чисел Cnm маємо, що останній вираз дорівнює C((sk+−k1)−+1)1+1 = Csk+k . Отже, Csk+1 = Csk+k . Твердження доведено. 2.8. Кількість всіх підмножин даної множини Твердження. Нехай M – скінченна множина. Тоді P ( M ) = 2 . Доведення. Для довільної множини X ⊆ M визначимо характеристичне відображення M
36
M → {0,1}; χX : 1, u ∈ X ; u χ ( u ) = a 0, u ∈ M \ X Розглянемо відображення P( M ) → {0,1}M ; Ψ: X a χX Очевидно, що дане відображення бієктивне. M P ( M ) = {0,1}M , але раніше ми довели, що {0,1}M = 2 .
Тому
Твердження доведено. Наслідок. ∀n ∈ N U {0}: Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n . 2.9. Поліноміальна формула та формула бінома Ньютона Твердження (поліноміальна формула). Якщо k , m ∈ N , x1 ,..., xm ∈ R , то ( x1 + ... + xm ) k =
∑
( k1 ,...,km )∈( N U{0}) m k1 +...+ km =k
P(k1 ,...,km ) x1k1 ...xmkm .
Доведення. Проведемо доведення індукцією по k . При k = 1 маємо, що km km k1 k1 ∑ P(k1 ,...,km ) x1 ...xm = ∑ P(k1 ,...,km ) x1 ...xm = ( k1 ,...,km )∈( N U{0}) m k1 +...+ km = k
( k1 ,...,km )∈( N U{0}) m k1 +...+ km =1
= P(1,...,0) x11...xm0 + ... + P(0,...,1) x10 ...x1m = 1x11...xm0 + ... + 1x10 ...x1m = = x1 + ... + xm = ( x1 + ... + xm ) k . Припустимо, що твердження правильне при k = q, q ≥ 1. Доведемо його при k = q + 1. Зрозуміло, що ( x1 + ... + xm ) q +1 = ( x1 + ... + xm ) q ( x1 + ... + xm ) = = P(k1 ,...,km ) x1k1 ...xmkm ( x1 + ... + xm ) = ∑ ( k ,...,k )∈( N U{0})m k 1+...+km =q 1 m 37
=
∑
P(k1 ,...,km )( x1k1 +1...xmkm + ... + x1k1 ...xmkm +1 ) =
=
∑
( k1 ,...,km )∈( N U{0}) m k1 +...+ km = q
( k1 ,...,km )∈( N U{0}) m k1 +...+ km = q
∑
+
P(k1 ,...,km ) x1k1 +1...xmkm + ...
( k1 ,...,km )∈( N U{0}) m k1 +...+ km = q
∑
=
( r1 ,...,rm )∈( N U{0}) m r1 +...+ rm = q +1,r1 ≥1
∑
+ =
( P(r1 − 1,...,rm ) + ... + P (r1 ,..., rm − 1)) x1r1 ...xmrm +
∑
( P(0, r2 − 1,...,rm ) + ... + P(0, r2 ,..., rm − 1)) x10 x2r2 ...xmrm + ...
∑
( r1 ,r2 ,...,0)∈( N U{0}) m r1 +...+ rm −1 =q +1,r1 ≥1,...,rm −1 ≥1
( P(r1 − 1,...,rm−1 ,0) + ... + P (r1 ,..., rm−1 − 1,0)) x1r1 ...xmrm−−11 xm0 =
∑
=
( r1 ,...,rm )∈( N U{0}) m r1 +...+ rm = q +1,r1 ≥1,...,rm ≥1
+
(r1 + ... + rm − 1)! (r1 + ... + rm − 1)! r1 rm + + ... x1 ...xm + ( r − 1)!... r ! r !...( r − 1)! 1 m 1 m
∑
(r2 + ... + rm − 1)! (r + ... + rm − 1)! 0 r2 rm + ... + 2 x1 x2 ...xm + ... ( r − 1)!... r ! r !...( r − 1)! 2 m 2 m
∑
(r1 + ... + rm−1 − 1)! ( r1 + ... + rm−1 − 1)! r1 rm −1 0 + ... + x1 ...xm−1 xm = ( r − 1)!... r ! r !...( r − 1)! 1 m −1 1 m−1
(0,r2 ,...,rm )∈( N U{0}) m r2 +...+ rm =q +1,r2 ≥1,...,rm ≥1
+
P(r1 ,...,rm − 1) x1r1 ...xmrm =
∑
(0,r2 ,...,rm )∈( N U{0}) m r2 +...+ rm =q +1,r2 ≥1,...,rm ≥1
+
P(r1 − 1,...,rm ) x1r1 ...xmrm + ...
( r1 ,...,rm )∈( N U{0}) m r1 +...+ rm = q +1,rm ≥1
( r1 ,...,rm )∈( N U{0}) m r1 +...+ rm = q +1,r1 ≥1,...,rm ≥1
+
P(k1 ,...,km ) x1k1 ...xmkm +1 =
( r1 ,r2 ,...,0)∈( N U{0})m r1 +...+ rm −1 =q +1,r1 ≥1,...,rm −1 ≥1
=
∑
( r1 ,...,rm )∈( N U{0}) m r1 +...+ rm = q +1,r1 ≥1,...,rm ≥1
(r1 + ... + rm − 1)!(r1 + ... + rm ) r1 rm x1 ...xm + r1 !...rm !
38
+
∑
(r2 + ... + rm − 1)!(r2 + ... + rm ) 0 r2 rm x1 x2 ...xm + ... r2 !...rm !
∑
( r1 + ... + rm−1 − 1)!(r1 + ... + rm−1 ) r1 rm−1 0 x1 ...xm−1 xm = r1 !...rm−1 !
(0,r2 ,...,rm )∈( N U{0}) m r2 +...+ rm = q +1,r2 ≥1,...,rm ≥1
+
( r1 ,r2 ,...,0)∈( N U{0})m r1 +...+ rm −1 =q +1,r1 ≥1,...,rm −1 ≥1
∑
=
( r1 ,...,rm )∈( N U{0}) m r1 +...+ rm = q +1,r1 ≥1,...,rm ≥1
+
∑
P(0, r2 ,...,rm ) x10 x2r2 ...xmrm + ...
∑
P (r1 ,..., rm−1 ,0)x1r1 ...xmrm−−11 xm0 =
(0,r2 ,...,rm )∈( N U{0}) m r2 +...+ rm =q +1,r2 ≥1,...,rm ≥1
+
P (r1 ,..., rm ) x1r1 ...xmrm +
( r1 ,r2 ,...,0)∈( N U{0})m r1 +...+ rm −1 =q +1,r1 ≥1,...,rm −1 ≥1
∑
=
( r1 ,...,rm )∈( N U{0}) m r1 +...+ rm = q +1
P(r1 ,..., rm ) x1r1 ...xmrm .
(Тут ми для зручності викладу вважали a 0 = 1 ). Твердження доведено. Наслідок (формула бінома Ньютона). Якщо k ∈ N , x1 , x2 ∈ R , то k
( x1 + x2 ) = ∑ Cki x1k −i x2i . k
i =0
Доведення. Відповідно до попереднього твердження, маємо (k + k )! ( x1 + x2 ) k = ∑ 2 P(k1 ,k2 ) x1k1 x2k2 = ∑ 2 k1 !k 2! x1k1 x2k2 = ( k1 ,k2 )∈( N U{0}) ( k1 ,k2 )∈( N U{0}) 1 2 k1 + k2 =k
=
k1 + k2 = k
k ! k1 k2 ∑ 2 k !k !x1 x2 = ∑ 2 Ckk2 x1k1 x2k2 = ( k1 ,k2 )∈( N U{0}) ( k1 ,k2 )∈( N U{0}) 1 2 k1 + k2 = k
=
∑
( k1 ,k2 )∈( N U{0})2 k1 + k2 = k
k1 + k2 =k
k2 k − k 2 k 1
C x
k
x = ∑C x k2 2
k 2 =0
k2 k − k 2 k 1
Наслідок доведено. 39
k
x = ∑ Cki x1k −i x2i . k2 2
i =0
2.10. Формальні степеневі ряди та рекурентні співвідношення Формальні степеневі ряди відіграють надзвичайно велику роль у багатьох галузях математики (алгебра, аналіз, дискретна математика). Тут ми коротко зупинимося на основних фактах цієї теорії, розглянувши найважливіші приклади обчислень в області цих рядів та застосувань. Нехай ( P, +, ⋅ ) – поле (для простоти можна припускати, що P множина комплексних чисел). Формальним степеневим рядом над полем P називається вираз a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n + K, де a0 , a1 , a2 , K , an , K ∈ P . Будемо говорити, що формальні степеневі ряди a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n + K (1) і b0 + b1 x + b2 x 2 + K + bn x n + K(2) є рівними, якщо: a0 = b0 ; a1 = b1 ; L
an = bn
L Сумою формальних степеневих рядів над полем P (1) і (2) називається формальний степеневий ряд (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + (a2 + b2 ) x 2 + K + (an + bn ) x n + K Добутком формальних степеневих рядів над полем P (1) і (2) називається формальний степеневий ряд a0b0 + (a0b1 + a1b0 ) x + (a0b2 + a1b1 + a2b0 ) x 2 + K + (a0bn + a1bn−1 + K + + ak bn−k + K + anb0 ) x n + K. Нехай ( P, +, ⋅ ) – поле. Множина всіх формальних степеневих рядів над полем P позначається через P[[ x]] . З алгебри відомо, що через P[ x] позначають множину всіх поліномів від x з коефіцієнтами з поля P . Легко бачити, що P[ x] ⊆ P[[ x]] Відомо, що ( P[[ x]], +, ⋅) – комутативне кільце без дільників нуля. 40
Означення: Нехай f ( x), g ( x) ∈ P[[ x]] , де P – поле, g ( x) ≠ 0, l ( x) ∈ P[[ x]] називається часткою при діленні f ( x) на g ( x) якщо f ( x ) = g ( x ) ⋅ l ( x) . f ( x) Таку частку позначають через . g ( x) f ( x) Якщо частка існує, то вона єдина. Це випливає з того, що g ( x) ( P[[ x]], +, ⋅) - кільце без дільників нуля. Теорема. Нехай ( P, +, ⋅ )
–
поле,
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + K ∈ P[[ x]] , частка
1 f ( x)
існує
тоді і тільки тоді, коли a0 ≠ 0 . Доведення. 1 (⇒) Нехай частка існує, тоді існує формальний степеневий f ( x) ряд l ( x) = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n + K ∈ P[[ x]] , для якого 1 = f ( x) ⋅ l ( x) . Звідси 1 = a0b0 + (a0b1 + a1b0 ) x + ... + (a0bn + K + an b0 ) x n + K З рівності маємо, що 1 = a0b0 , тому a0 ≠ 0 . (⇐) Нехай тепер a0 ≠ 0 . Розглянемо систему рівнянь з невідомими b0 , b1 ,..., bn ,... a0b0 = 1; a b + a b = 0; 0 1 1 0 ....... a b + a b + K + a b = 0 n 0 0 n 1 n−1 KK Тоді, враховуючи a0 ≠ 0 , поступово однозначно визначимо всі невідомі
41
1 b = ; 0 a0 1 b = − (a1b0 ); 1 a0 ....... 1 bn = − (a1bn−1 + K + anb0 ); a0 KK Таким чином, дана система має розв’язок, причому єдиний. Тепер розглянемо формальний степеневий ряд l ( x) = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n + K, де b0 , b1 , b2 ,..., bn ,K – розв’язки системи. Тоді f ( x) ⋅ l ( x) = 1 + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x 2 + ... + 0 ⋅ x n + K = 1 1 Отже, l ( x) – частка . f ( x) Теорему доведено. Формальний степеневий ряд (1) іноді зручно записувати з використанням символу суми, а саме у наступному вигляді: ∞
∑a x n =0
n
n
.
Приклади: 1 , де a ∈ P . 1 − ax Оскільки нульовий коефіцієнт виразу 1 − ax дорівнює 1, то за попередньою теоремою така частка існує. Покладемо 1 = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n + K. 1 − ax 1. Обчислити частку
Тоді (1 − ax)(b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n + K) = 1 . Звідси 1 = b0 + (b1 − ab0 ) x + (b2 − ab1 ) x 2 + ... + (bn − abn−1 ) x n + K. 42
Використовуючи означення рівності двох формальних степеневих рядів і рівність 1 = 0 + 0 x + 0 x 2 + ... + 0 x n + K, отримаємо відповідну систему, а з неї однозначно визначимо невідомі коефіцієнти: b0 = 1 b0 = 1 b = a b − ab = 0 0 1 1 b2 = a 2 b2 − ab1 = 0 ⇔ . ...... ..... b = an bn − abn−1 = 0 n KK KK 1 = 1 + ax + a 2 x 2 + ... + a n x n + K . Можна записати 1 − ax ∞ 1 = ∑ a n x n , де вважаємо, що отримане співвідношення і у вигляді 1 − ax n=0 a0 = 1 . 1 2. Обчислити частку . 2 (1 − ax ) Отже,
+ ( a 2 + a 2 + a 2 ) x 2 + ... + ( a n + a n + K + a n ) x n + K = 1 + 2ax + 3a 2 x 2 + K + ∞
+ ( n + 1) a x + K = ∑ ( k + 1) a k x k . n
n
k =0
3. Обчислити частку 1
1
(1 − ax )
3
.
= (1 + ax + a 2 x 2 + ... + a n x n + K) (1 + ax + a 2 x 2 + K + a n x n + K) = 2
(1 − ax )
3
= (1 + 2ax + 3a 2 x 2 + ... + ( n + 1) a n x n + K)(1 + ax + a 2 x 2 + K + a n x n + K) =
= 1 + 3ax + 6a 2 x 2 + ... + (1 + 2 + ... + (n + 1))a n x n + ... = ∞ n + 1)( n + 2 ) n n ( ( n + 1)( n + 2 ) a n x n . 2 2 = 1 + 3ax + 6a x + ... + a x +K = ∑ 2 2 n =0 1 4. Обчислити частку 2 . x − 3x + 2 Перший спосіб. 43
1 1 1 1 1 1 = = ⋅ ⋅ = 1 + x + x 2 + K + x n + K) ⋅ ( 2 x − 3 x + 2 ( x − 1)( x − 2 ) 2 1 − x 1 − 1 x 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ⋅ 1 + x + 2 x 2 + ... + n x n + K = 1 + + 1 x + 2 + + 1 x 2 + K + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 + n + n−1 + K + 1 x n + K = 1 + x + K + 2 − n x n + K = 2 2 2 2 2 ∞ 1 = ∑ 1 − n+1 x n . 2 n =0 Другий спосіб.
1 2 1 = − = ∗ 2 1− x 1− 1 x 2
1 = x 2 − 3x + 2
1 1 2 (1 − x ) 1 − x 2 1 у вигляді суми двох елементарних Зобразимо дріб 1 (1 − x ) 1 − x 2 дробів. Справді, покладемо: 1 A B = + . 1 1− x 1− 1 x (1 − x ) 1 − x 2 2 Знайдемо тепер A, B , звівши дроби правої частини рівності до спільного знаменника та використавши умову рівності формальних степеневих рядів для чисельників лівої та правої сторони. A =1 A + B =1 A = 2 2 ⇔ ⇔ . 1 B 1 = − 1 − A − B = 0 2 B = − A 2 1 1 1 1 1 1 1 − ⋅ = (1 + x + x 2 + ... + x n + ...) − (1 + x + 2 x 2 + K + n x n + 1− x 2 1− 1 x 2 2 2 2 2 1 3 1 + K) = + + K + 1 − n+1 x n + K 2 4 2
∗=
44
5. Перетворити ряд частку двох поліномів. Очевидно, що
f ( x) = 1 + 4 x + 7 x 2 + ... + ( 3n + 1) x n + K у
f ( x ) − x ⋅ f ( x ) = 1 + 3x + 3x 2 + 3 x n + ... = Тоді f ( x )(1 − x ) =
3 − 2. 1− x
1 + 2x 1 + 2x ; f ( x) = . 2 1− x (1 − x )
6. Коренем квадратним з f ( x) ∈ P[[ x]] називається g ( x) ∈ P[[ x]] , для якого f ( x) = ( g ( x)) 2 . Знайти необхідні та достатні умови існування квадратних коренів з f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ... ∈ £[[ x]] . Визначимо степінь формального степеневого ряду f ( x) : deg( f ( x)) = min{n ∈ ¥ U {0} an ≠ 0} . Покажемо, що у випадку існування квадратних коренів з ряду число deg( f ( x)) є парним. Припустимо протилежне. Нехай deg( f ( x)) = 2k + 1, k ∈ ¥ U {0} і g ( x) = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n + ... ∈ £[[ x]],( g ( x)) 2 = f ( x) . Тоді b02 = a0 ; 2 2b0b2 + b1 = a2 ; , ............................................................. 2b b + 2b b + ... + 2b b + b 2 = a 1 2 k −1 k −1 k +1 k 2k 0 2k але a0 = a2 = ... = a2 k = 0 . Тоді b02 = 0; 2 2b0b2 + b1 = 0; . ............................................................. 2b b + 2b b + ... + 2b b + b 2 = 0 1 2 k −1 k −1 k +1 k 0 2k З першого рівняння системи отримуємо, що b0 = 0 . З другого – b1 = 0 , …, з (k + 1) -го – bk = 0 . Тоді a2 k +1 = 2b0b2 k +1 + 2b1b2 k + ... + 2bk −1bk +2 + 2bk bk +1 = 0 , а це суперечить тому, що deg( f ( x)) = 2k + 1. 45
Отже, парність степеня формального степеневого ряду є необхідною умовою існування коренів квадратних з нього. Покажемо тепер, що вона є й достатньою умовою. Нехай deg( f ( x)) = 2k , k ∈ ¥ U {0} . Тоді формальний степеневий ряд f ( x) можна зобразити у наступному вигляді: f ( x) = x 2 k t ( x), t ( x) = c0 + c1 x + ... + cn x n + ... ∈ £[[ x]] . Зрозуміло, що c0 ≠ 0 . Якщо ми покажемо, що існує h( x) ∈ £[[ x]] , який є коренем квадратним з t ( x) , то тоді x k h( x) буде коренем квадратним з f ( x) . Розглянемо систему рівнянь відносно невідомих d 0 , d1 ,..., d n ,... : d 02 = c0 ; 2d 0 d1 = c1 ; 2d d + d 2 = c ; 1 2 0 2 2d 0 d3 + 2d1d 2 = c3 ; .................................................................. 2d 0 d 2 k + 2d1d 2 k −1 + ... + 2d k −1d k +1 + d k2 = c2 k ; .................................................................. Ця система є рівносильною до наступної (тут беремо до уваги c0 ≠ 0 ) d 0 = ± c0 ; d = 1 c ; 1 2d 1 0 d = 1 (c − d 2 ); 2 2d 2 1 0 1 (c3 − 2d1d 2 ); d 3 = d 2 0 .................................................................. 2 d = 1 (c − 2 d d 2k 2k 1 2 k −1 − ... − 2 d k −1d k +1 − d k ); 2d 0 .................................................................. 46
Таким чином, система має розв’язки. Розглянемо якийсь розв’язок d 0 , d1 ,..., d n ,... ∈ £ цієї системи. Нехай h( x) = d 0 + d1 x + ... + d n x n + ... .
Зрозуміло,
що
(h( x)) 2 = t ( x) .
Тоді
( x k h( x)) 2 = f ( x) . Зауваження. Можна довести, що 1 +∞ (−1) k −1 k −1 k 2 (1 + x) = ± 1 + ∑ 2 k −1 C2 k −2 x . k =1 k 2 Нехай ( P, +, ⋅ ) – поле, a0 , a1 , a2 , K , an , K – послідовність елементів поля P . Формальний степеневий ряд f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n + K над полем P називається породжуючою функцією для послідовності a0 , a1 , a2 , K , an , K (або породжуючим формальним степеневим рядом). Кажуть, що послідовність a0 , a1 , a2 , K , an , K елементів поля P є лінійною рекурентною послідовністю, якщо існує натуральне число m і елементи c1 , c2 , c3 , K , cm ∈ P такі, що для n ≥ m an = cm an−m + cm−1an−m+1 + K + c1an −1 (1). Співвідношення такого виду називаються лінійними рекурентними співвідношеннями. Розглянемо поліном (2) 1 − c1 x − c2 x 2 −K − cm x m для лінійної рекурентної послідовності a0 , a1 , a2 , K , an , K , що задовольняє співвідношення (1). Твердження. Добуток породжуючого лінійну рекурентну послідовність a0 , a1 , a2 , K , an , K формального степеневого ряду f ( x ) і полінома (2) для цієї послідовності є поліномом. Доведення. Справді, f ( x ) (1 − c1 x − c2 x 2 −K− cm x m ) = = (a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n + K)(1 − c1 x − c2 x 2 −K − cm x m ) = = a0 + (−a0 c1 + a1 ) x + ... + (−a0 cm−1 − ... + am−1 ) x m−1 + 47
+(−a0 cm − a1cm−1 − ... − am−1c1 + am ) x m + ... +(−as cm − as +1cm−1 − ... − as +m−1c1 + as +m ) x m+ s + ... = = a0 + (−a0 c1 + a1 ) x + ... + (−a0 cm−1 − ... + am−1 ) x m−1 + 0 ⋅ x m + ... +0 ⋅ x m+ s + ... = a0 + (−a0 c1 + a1 ) x + ... + (−a0 cm−1 − ... + am−1 ) x m−1 . Твердження доведено. Отже, a0 + (−a0 c1 + a1 ) x + ... + (−a0 cm−1 − ... − am−2 c1 + am−1 ) x m−1 f ( x) = – (3) 1 − c1 x − c2 x 2 −K − cm x m породжуюча функція для послідовності a0 , a1 , a2 , K , an , K , заданої співвідношенням (2). Приклад. Розглянемо послідовність чисел a0 , a1 , a2 , K , an , K , яка задається наступним співвідношенням an+2 = an+1 + an , n ∈ N ∪ { 0 } , де a0 = a1 = 1 , тобто 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, K Числа цієї послідовності називаються числами Фібоначчі. Потрібно представити an у вигляді аналітичного виразу від n . Розглянемо породжуючий формальний степеневий ряд для даної послідовності f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n + K Перетворимо даний формальний степеневий ряд у частку поліномів. Використаємо формулу (3), тоді 1 . f ( x) = 1 − x − x2 Розглянемо відповідне рівняння: x2 + x − 1 = 0 . Визначимо його корені: x1,2 =
−1 ± 5 . 2
Далі, 1 1 1 1 1 = − = − = = ⋅ 1 − x − x2 x2 + x − 1 x − x x − x 1 + x x ( 1 )( x x ( 2 ) 2) 1 − x 1 − x 1 2 1 1 ⋅ = , де (1 + x1 x ) (1 − α x )(1 − β x ) 48
1+ 5 , 2 1− 5 . β = − x1 = 2
α = − x2 =
Тоді f ( x ) =
1
. − α x − β x 1 1 ( )( ) Представимо дріб у вигляді суми елементарних дробів, а саме: 1 A B . = + (1 − α x )(1 − β x ) 1 − α x 1 − β x Тоді 1 = A (1 − β x ) + B (1 − α x ) . Звідси A + B =1 . − β A − α B = 0 Розв’яжемо цю систему. α A = − B, β β . B= β −α Далі, β β , B= = 1− 5 −1− 5 2 5 − 2 2 β β , B= =− − 5 5 α β α . A = − − = β 5 5 Тоді f ( x) =
α
1 β 1 . − ⋅ 1 α x 1 β x − − 5 5 ⋅
Звідси отримаємо α β f ( x) = 1 + α x + α 2 x 2 + K + α n x n + K) − 1 + β x + β 2 x2 + K + ( ( 5 5
49
+ β x + K) = n
n
α −β 5
+
α2 − β2 5
x +K+
α n+1 − β n+1 5
xn + K
Тоді 5 n+1 α − β n+1 ) . ( 5 Підставимо значення α , β . Тоді матимемо n +1 n +1 1− 5 5 1+ 5 an = − , n ∈ N ∪{ 0}. 5 2 2 Звідси отримаємо цікавий побічний результат 1+ 5 a lim n+1 = . n→∞ a 2 n an =
50
3. ВПРАВИ 1. Довести властивості дій над множинами, які сформульовані в 1.3. 2. Довести, що ∀A1 ,..., An , B1 ,..., Bn : ( A1 I ... I An )V( B1 I ... I Bn ) ⊆ ⊆ ( A1VB1 ) U ... U ( An VBn ) . 3. Розв’язати систему рівнянь A \ X = B, , X \ A = C де A, B, C – множини, для яких B ⊆ A, A I C = ∅ . 4. Розв’язати систему рівнянь A U X = B I X , , A I X = C U X де A, B, C – множини. При яких A, B, C система має розв’язок? 5. Розв’язати систему рівнянь A \ X = X \ B, , X \ A = C \ X де A, B, C – множини. При яких A, B, C система має розв’язок? 6. Розв’язати систему рівнянь A I X = B \ X , , C U X = X \ A де A, B, C - множини. При яких A, B, C система має розв’язок? 7. Нехай f : A → B – відображення. Довести, що f ін’єктивне тоді і тільки тоді, коли існує відображення g : B → A таке , що g o f = 1A . 8. Нехай f : A → B – відображення. Довести, що f сур’єктивне тоді і тільки тоді, коли існує відображення g : B → A таке , що f o g = 1B . 9. Нехай f : A → B – відображення. Довести, що f ін’єктивне тоді і тільки тоді, коли 51
( ∀C ≠ ∅ ) ( ∀g , s ∈ AC ) ( f o g =
f o s ⇒ g = s).
10. Нехай f : A → B – відображення. Довести, що f сур’єктивне тоді і тільки тоді, коли ( ∀C ≠ ∅ ) ( ∀g , s ∈ C B ) ( g o f = s o f ⇒ g = s ) .
11. Нехай f : A → A – відображення, де A – скінченна множина. Довести, що наступні умови еквівалентні: (1) f бієктивне; (2) f сур’єктивне; (3) f ін’єктивне. 12. Довести, що у випадку нескінченності множини A умови (1)-(3) вправи 11 не є еквівалентними. 13. Нехай f : A → A – бієктивне відображення, де A - скінченна множина. Показати, що родина множин {{ f n (a) n ∈ N U{0}} a ∈ A}, де f 0 = 1A , є розбиттям множини A. 14. Чи для довільної нескінченної множини A і довільного f : A→ A родина множин бієктивного відображення {{ f n (a) n ∈ N U{0}} a ∈ A} є розбиттям множини A? Навести приклади таких нескінченних множин, для яких ця родина є розбиттям і не є розбиттям. 15. Нехай A – нескінченна множина. Тоді для довільного відображення f : A → A існують непорожні множини B, C , для яких B I C = ∅, B U C = A, f ( B) ⊆ B . Довести. 16. Довести, що потужності цих множин рівні: C (1) ( A × B ) , AC × B C ; (2) ( AB ) , AB×C ; C
(3) ABUC , AB × AC , де B I C = ∅ . 17. Довести, що [0,1] = [0,1) , установивши бієктивне відображення з однієї множини в іншу. 18. Навести 10 різних прикладів бієктивних відображень з множини натуральних чисел в себе. 19. Довести, що для кожного відображення f : A → B і для довільних множин A1 , A2 ⊆ A, B1 , B2 ⊆ B справедливі наступні співвідношення: (1) f ( A1 U A2 ) = f ( A1 ) U f ( A2 ) ; (2) f ( A1 I A2 ) ⊆ f ( A1 ) I f ( A2 ) ; 52
(3) f −1 ( B1 U B2 ) = f −1 ( B1 ) U f −1 ( B2 ) ; (4) f −1 ( B1 I B2 ) = f −1 ( B1 ) I f −1 ( B2 ) ; (5) f ( f −1 ( B1 )) ⊆ B1 ; (6) A1 ⊆ f −1 ( f ( A1 )) . 20. Довести, що для довільних відношень: −1 ( R1 U R2 ) = R1−1 U R2 −1 ,
( R1 I R2 )
−1
= R1 I R2 . 21. Довести, що для довільних відношень: T o I Ri ⊆ I (T o Ri ) , i∈I
−1
−1
i∈I
R I i o T ⊆ I ( Ri oT ) . i∈I i∈I 22. Довести, що якщо відношення R1 , R2 рефлексивні, то і відношення R1 U R2 , R1 I R2 , R1 , R1 o R2 також рефлексивні. 23. Довести, що якщо відношення R1 , R2 симетричні, то і відношення −1
R1 U R2 , R1 I R2 , R1 , R1 o R1 також симетричні. 24. Довести, що композиція R1 o R2 симетричних відношень R1 , R2 симетрична тоді і тільки тоді, коли R1 o R2 = R2 o R1 . 25. Довести, що: (1) якщо відношення R1 , R2 антисиметричні, то антисиметричні також −1
−1
R1 I R2 , R1 ; (2) об’єднання R1 U R2 антисиметричних на A відношень R1 , R2 −1
антисиметричне тоді і тільки, коли R1 o R2 ⊆VA . 26. Довести, що перетин відношень еквівалентності на A є відношенням еквівалентності на A. 27. Довести, що об’єднання R1 U R2 відношень еквівалентності є відношенням еквівалентності тоді і тільки тоді, коли R1 U R2 = R1 o R2 . 28. Скільки відношень еквівалентності існує на триелементній множині? Побудувати всі такі відношення на деякій триелементній множині. 29. Нехай f : A → B – відображення. Показати, що для f існує факторизація f = °f o ε , −1
53
де ε
природнє відображення A в фактормножину A / ker f , тобто ε ( x) = [ x]ker f , а °f – ін’єктивне відображення A / ker f в B . 30. Довести, що в решітці будь-який максимальний елемент є найбільшим, а будь-який мінімальний елемент є найменшим. 31. Довести, що в скінченній решітці існують найбільший і найменший елементи. 32. Довести, що для будь-якого часткового порядку P на множині A існує лінійний порядок L на цій же множині, для якого P ⊆ L . 33. У школі 1400 учнів. З них 1250 вміють кататися на лижах, а 952 на ковзанах. Ні на лижах, ні на ковзанах не вміють кататися 60 учнів. Скільки школярів вміють кататися і на лижах, і на ковзанах? 34. Скільки чисел серед перших 100 натуральних чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5? 35. У відділі науково-дослідного інституту кожний із співробітників володіє хоча б однією з наступних іноземних мов: англійською, французькою або німецькою, причому 6 – англійською, 6 – німецькою, 7 – французькою, 4 – англійською і німецькою, 3 – німецькою і французькою, 2 – французькою і англійською, 1 особа знає всі три мови. Скільки людей працює у відділі? Скільки з них володіють лише англійською? Скільки осіб володіють лише однією мовою? 36. Скількома способами в групі, в якій 25 студентів, можна вибрати старосту та його заступника? 37. 4 автори повинні написати книжку з 17 розділів, причому перший і третій повинні написати по 5 розділів, другий – 4, четвертий – 3. Скількома способами можна розподілити розділи між авторами? 38. Для проведення екзаменів треба утворити комісію з двох викладачів кафедри математики. Скількома способами можна це зробити, якщо на кафедрі працює 5 осіб? 39. Скількома способами можна розподілити 5 різних цукерок між 7 дітьми? 40. Скількома способами можна укомплектувати подарунок з 20 цукерок, якщо є можливість вибирати лише з 5-ти назв цукерок? 41. Скільки «слів» можна утворити зі слова «математика»? 42. Скільки діагоналей в опуклому n -кутнику? 43. На одній із двох паралельних прямих вибрали 10 точок, на іншій – 20. Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках? –
54
44. Скількома способами можна розподілити три путівки між 5 співробітниками, якщо кожний із них має отримати не більше однієї путівки? Розглянути два наступні випадки: (1) всі путівки різні; (2) всі путівки однакові. 45. Скількома способами можна розташувати в ряд 5 чорних і 4 білі кулі, щоб жодні дві білі не лежали поруч? Розглянути два наступні випадки: (1) кулі одного кольору не відрізняються; (2) усі кулі різні. 46. Скільки існує відношень на n -елементній множині? 47. Обчислити 1 2 4 6 100 C 0 − C100 + C100 − C100 + ... + C100 ). 50 ( 100 2 1 5 10 48. Обчислити коефіцієнт полінома ( x − x ) при x 42 . 2 49. Обчислити коефіцієнт полінома (a − 2b + 3c − d + e)10 при a 2bc 3d 2 e 2 . 50. Представити степеневий ряд
+∞
у вигляді частки двох поліномів формальний
∑n x 2
n −1
.
n =1
51. Довести, що формальний степеневий ряд
+∞
1
∑n x
n
неможливо
n =1
представити у вигляді частки двох поліномів. 52. За допомогою формальних степеневих рекурентне співвідношення an = −4an−1 + 5an−2 , ∀n ≥ 2, a0 = 5, a1 = −13 .
рядів
розв’язати
53. У групі навчається 29 студентів. Під час контрольної роботи один студент зробив 13 помилок, а всі інші – менше. Довести, що в групі є принаймні три студенти, які зробили однакову кількість помилок. 54. У 500 ящиках лежать яблука, причому кожний ящик може містити не більше 240 яблук. Довести, що є три ящики, які містять однакову кількість яблук.
55
ІМЕННИЙ ПОКАЖЧИК
Ф. Бернштейн (Felix Bernstein, 24.02.1878 – 03.12.1956) – німецький математик 15 Дж. Буль (George Boole, 02.11.1815 – 08.12.1864) – англійський математик 22 Г. Гамель (Georg Karl Wilhelm Hamel, 12.09.1877 – 04.10.1954) – німецький математик 23 Ф. Гаусдорф (Felix Hausdorff, 08.11.1868 – 26.12.1942) – німецький математик 23 Й. Діріхле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 13.02.1805 – 05.05.1859) – німецький математик 25 Г. Кантор (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 03.03.1845 – 06.01. 1918) – німецький математик 6 К. Куратовський (Kazimierz Kuratowski, 02.02.1896– 18.06.1980) – польський математик і логік 23 О. Морган (Augustus De Morgan, 27.06.1806 – 18.03.1871) – англійський математик і логік, перший президент Лондонського математичного товариства (1866) 9 Сер Ісаак Ньютон (Sir Isaac Newton, 04.01.1643 – 31.031727) – геніальний англійський математик, фізик, астроном, філософ і теолог 39 Б. Рассел (Bertrand Arthur William Russell, 18.05.1872 – 02.02.1970 ) – англійський філософ, логік, математик, історик 7 Фібоначчі (Leonardo Pisano, Fibonacci, 1170 – 1250) – італійський математик 48 A. A. Френкель (Adolf Abraham Halevi Fraenkel, 17.02.1891 – 15.10.1965) – ізраїльський математик 16
56
Е. Цермело (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 27.07.1871 – 21.05.1953) – німецький математик 16 М. Цорн (Max August Zorn, 06.06.1906 – 09.03.1993) – американський математик 23
57
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Булеан 7 Відношення 16 Відношення антисиметричне 17 Відношення еквівалентності 17 Відношення лінійного порядку 17 Відношення обернене 18 Відношення рефлексивне 17 Відношення симетричне 17 Відношення транзитивне 17 Відношення часткового порядку 17 Відображення 10 Відображення бієктивне 12 Відображення ін'єктивне 12 Відображення обернене 13 Відображення сур'єктивне 12 Відображення тотожне 11 Діагональ 17 Доповнення множини 7 Елемент 6 Елемент максимальний 21 Елемент мінімальний 21 Елемент найбільший 21 Елемент найменший 21 Клас еквівалентності 19 Комбінація 31 Комбінація з повтореннями 36 Композиція відношень 18 Композиція відображень 11 Ланцюг 23 Множина 6 Множина зліченна 15 Множина порожня 7 Множина потужності континууму 16 Множина скінченна 7 Множина універсальна 7
Множина цілком упорядкована 23 Множина частково впорядкована 21 Фактормножина 19 Формальний степеневий ряд 40 Формальний степеневий ряд породжуючий 47 Формула бінома Ньютона 39 Формула включень та вилучень 28 Формула поліноміальна 37 Об’єднання множин 7 Образ 10 Образ відображення 11 Перестановка 31 Перестановка з повтореннями 34 Перетин множин 7 Підстановка 12 Потужність 14 Правило добутку 29 Правило суми 25 Принцип Діріхле 25 Прообраз 10 Рекурентне співвідношення 47 Решітка 22 Решітка булева 22 Різниця множин 7 Розбиття 10 Розміщення 30 Розміщення з повтореннями 35 Симетрична різниця множин 7 Точна верхня межа 22 Точна нижня межа 22 Ядро відображення 11 58
БІБЛІОГРАФІЯ 1. П. С Александров, Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977, 368 с. 2. В.І. Андрійчук, М.Я. Комарницький, Ю.Б. Іщук, Вступ до дискретної математики. Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2003, 254 с. 3. Н. Бурбаки, Начала математики. Первая часть. Основные структуры анализа. Книга первая. Теория множеств. М.: Мир, 1965, 456 с. 4. Н.К. Верещагин, А. Шень, Начала теории множеств. Издание второе, М.: МЦНМО, 2002, 128 с. 5. Н. Я. Виленкин, Комбинаторика. М.: Наука, 1969, 161 с. 6. Ю.А. Дрозд, Дискретна математика. Київ: Київський національний університет імені Т.Г. Шевченка, 2004, 70 с. 7. Т. Йех, Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир, 1973, 150 с. 8. Георг Кантор, Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985, 431 с. 9. Пол Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза. М.: Мир, 1969, 347 с. 10. К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств. М.: Мир, 1970, 416 с. 11. И.А. Лавров, Л.Л. Максимова, Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. Издание второе, М.: Наука, 1984, 224 с. 12. Ю. И. Манин, Доказуемое и недоказуемое. М.: Советское радио, 1979, 168 с. 13. Ф. А. Новиков, Дискретная математика для программистов. Санкт – Петербург: Питер, 2003, 304 с. 14. Г. Райзер, Комбинаторная математика. – М.:Мир,1966. – 154 с. 15. А.А.Френкель, И. Бар - Хиллел, Основания теории множеств. М.: Мир, 1966, 556 с. 16. Р. Хаггарти, Дискретная математика для программистов. М: Техносфера, 2004, 320 с. 17. Ф.Хаусдорф, Теория множеств. М. – Л.: ОНТИ, 1937, 305 с. 18. М. Холл, Комбинаторика. М.: Мир, 1970, 234 с. 19. K. Hrbacek, T. Jech. Introduction to set theory. New York – Basel: Marcel Dekker, Inc., 1999, 292 p. 20. S. Lipschutz, M.L. Lipson, Schaum's outline of theory and problems of discrete mathematics. McGraw – Hill, 2007, 474 p. 59
21. W. Sierpinski, Cardinal and ordinal numbers. Warszawa: PWN, 1965, 491 p.
60
