Интегральные оценки качества систем автоматического регулирования: Задания и методические указания к решению задач по курсу ''Теория функций комплексного переменного''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Методическое пособие по курсу ДС.00 “Теория автоматического управления” для студентов специальности 010200 — Прикладная математика и информатика

ВОРОНЕЖ

2003

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики, протокол № 5 от 26.02.03

Составитель Дылевский А. В.

Методическое пособие подготовлено на кафедре технической кибернетики и автоматического регулирования факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 3 и 4 курсов д/о, 5 курса в/о.

3 Содержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Методика применения интегральных оценок . . 2. Вычисление линейных интегральных оценок . . 3. Вычисление квадратичных интегральных оценок 4. Примеры вычисления и применения интегральных оценок . . . . . . . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 3 4 7

. . . . . . . . 14 . . . . . . . . 17

Введение Интегральные оценки качества являются косвенными показателями, позволяющими по переходной составляющей ошибки системы регулирования исследовать характер протекания переходного процесса (перерегулирование, быстродействие, степень колебательности, коэффициент затухания, оптимальные параметры и т.п.). Находят применение линейные и квадратичные интегральные оценки. 1. Методика применения интегральных оценок Линейными интегральными оценками называют оценки вида Z∞ Ik (α) =

e−αt tk ε(t) dt,

(1)

0

где ε(t) — переходная составляющая ошибки регулирования, α — вещественный неотрицательный параметр, k ∈ Z0 — целое неотрицательное число. При α = 0 оценка (1) представляет собой момент k-го порядка функции ε(t), т.е. Z∞ Ik = Ik (0) = tk ε(t) dt. (2) 0

Квадратичными оценками называют следующие интегралы:

Jk =

Z∞ X k h 0

i=0

i2

τii ε(i) (t)

dt.

4 Здесь τi ∈ R, τ0 = 1, k ∈ Z0 . Интегралы Jk при k > 1 называют обобщенными квадратичными оценками. Если система регулирования является устойчивой, то ε(t) → 0 при t → ∞ и интегралы I0 и J0 стремятся к некоторому конечному значению, равному площади соответственно под кривой ε(t) и ε2 (t). Оба интеграла могут служить относительной мерой быстродействия. Чем меньше значение интеграла I0 или J0 , тем выше быстродействие системы. В связи с этим названные оценки обычно используют следующим образом: находят оценку I0 или J0 как функцию параметров системы и ищут значения параметров, обращающие интеграл I0 или J0 в минимум, т.е. ∂I0 =0 ∂A

или

∂J0 = 0, ∂A

где A — варьируемый параметр системы. Для колебательных процессов интеграл I0 не может служить критерием оценки качества, так как площадь под ε(t) учитывается интегралом с соответствующим знаком, и площади, расположенные ниже оси времени, будут вычитаться из площади, расположенной выше этой оси. Для апериодических процессов, имеющих перерегулирование, применение I0 как критерия качества регулирования также приводит к большим погрешностям, если ε(t) меняет свой знак. Поэтому интегральная оценка I0 качества регулирования применима только для монотонных процессов и апериодических без перерегулирования. Интегральная оценка J0 является квадратичным критерием и учитывает сумму абсолютных значений площадей, расположенных выше и ниже оси времени, причем при вычислении отдельных площадей в расчет принимается вместо ординаты ее квадратичное значение. Благодаря этому интегральная оценка J0 может быть применена к любым переходным процессам. 2. Вычисление линейных интегральных оценок Линейные интегральные оценки (2) пропорциональны коэффициентам ошибок. В самом деле, известно, что tk ε(t) :

Z∞ 0

tk ε(t)e−st dt = (−1)k E (k) (s),

5 где ε(t) : E(s). Следовательно, при s = 0 Z∞ Ik =

tk ε(t) dt = (−1)k E (k) (0).

(3)

0

Представим E(s) в виде ряда по степеням s s2 sk s E(s) = C0 + C1 + C2 + . . . + Ck + . . . , 1! 2! k! где коэффициенты ряда Ck являются коэффициентами ошибок, Ck = E (k) (0). Таким образом, Ik = (−1)k E (k) (0) = (−1)k Ck . Отметим, что изображение E(s) переходной составляющей ошибки ε(t) может быть найдено по передаточной функции замкнутой системы W (s). Действительно, по определению h(t) : H(s) =

W (s) . s

В силу теоремы о конечном значении hуст = lim h(t) = lim sH(s) = W (0). t→∞

s→0

Поэтому ε(t) = hуст − h(t) : E(s) =

hуст W (0) − W (s) − H(s) = . s s

(4)

Поскольку W (s) — дробно-рациональная функция, то E(s) можно представить в виде дробно-рациональной функции E(s) =

b0 sm + b1 sm−1 + . . . + bm−1 s + bm . a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an−1 s + an

(5)

Тогда, принимая во внимание формулу (3), находим I0 =

bm , an 6= 0. an

(6)

6 Из соотношения (5) сразу следует, что ε(t) является решением дифференциального уравнения a0 ε(n) (t) + a1 ε(n−1) (t) + . . . + an−1 ε(t) ˙ + an ε(t) = ˙ + bm δ(t) (7) = b0 δ (m) (t) + b1 δ (m−1) (t) + . . . + bm−1 δ(t) с нулевыми начальными условиями, где δ(t) — дельта-функция Дирака. Однако на практике переходную составляющую ошибки ε(t) удобнее рассматривать как решение однородного уравнения a0 ε(n) (t) + a1 ε(n−1) (t) + . . . + an−1 ε(t) ˙ + an ε(t) = 0

(8)

при ненулевых начальных условиях ε(0) = ε0 , ε(0) ˙ = ε1 , . . . , ε(n−1) (0) = εn−1 .

(9)

Допустим, что n − m = l > 0. Выразим начальные значения εi через коэффициенты дифференциального уравнения (7). Применяя к уравнениям (7) и (8) теорему о дифференцировании оригинала, соответственно получаем n X

n−k

ak s

m X

E(s) =

r=0

k=0 n X

br sm−r ,

" ak sn−k E(s) −

n−k X

# sn−k−i ε(i−1) (0) = 0.

i=1

k=0

Отсюда сразу вытекает условие m X

m−r

br s

=

r=0

n X

ak

n−k X

sn−k−i εi .

i=1

k=0

Нетрудно проверить, что n X k=0

ak

n−k X i=1

n−k−i

s

εi =

n−1 X k=0

ak

n−k X i=1

n−k−i

s

εi =

n−1 X k=0

n−1−k

s

k X

ak−i εi .

i=0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, окончательно находим  r = 0, l − 2, 0,   r−1 P (10) εr = 1  br−l+1 + ar−k εk , r = l − 1, l − 1 + m. a0 k=0

7 Рассмотрим далее метод аналитического вычисления интеграла I0 , предложенный академиком В. С. Кулебакиным [3], для заданного дифференциального уравнения (8) с начальными условиями (9). Делая подстановку значения ε(t) из уравнения (8), при an 6= 0 имеем Z∞ I0 =

1 ε(t) dt = − an

0

Z∞ h

a0 ε

(n)

i (t) + . . . + an−1 ε(t) ˙ dt =

0

i∞ 1 h (n−1) (n−2) a0 ε (t) + a1 ε (t) + . . . + an−2 ε(t) ˙ + an−1 ε(t) . =− an 0 Будем предполагать, что при t = ∞ переходный процесс закончился и регулируемая величина приняла установившееся значение. Тогда ε(n−1) (t) t=∞ = ε(n−2) (t) t=∞ = . . . = ε(t) ˙ t=∞ = ε(t) t=∞ = 0. Таким образом, значение I0 определяется по формуле I0 =

1 [a0 εn−1 + a1 εn−2 + . . . + an−2 ε1 + an−1 ε0 ] an

(11)

исходя из заданных начальных значений εi и коэффициентов ar . Поскольку l−1+r X br = al−1+r−i εi , r = 0, m, i=0

то bm =

n−1 X

an−1−i εi

i=0

и формулы (6) и (11) эквивалентны. 3. Вычисление квадратичных интегральных оценок Для вычисления интеграла J0 воспользуемся методом, указанным академиками А. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси в 1909 г. [3]. Пусть задано дифференциальное уравнение (8) с начальными условиями (9). Умножим уравнение (8) поочередно на ε(r) (t) при r = 0, n − 1 и почленно проинтегрируем полученные уравнения n X i=0

Z∞ an−i 0

ε(r) (t)ε(i) (t) dt = 0,

r = 0, n − 1.

(12)

8 Введем обозначение Z∞ Φri =

ε(r) (t)ε(i) (t) dt.

(13)

0

Учитывая, что Φri = Φir , перепишем систему уравнений (12) следующим образом:  an Φ00 + an−1 Φ01 + . . . + a1 Φ0,n−1 + a0 Φ0n = 0      an Φ01 + an−1 Φ11 + . . . + a1 Φ1,n−1 + a0 Φ1n = 0    a Φ + a n 02 n−1 Φ12 + . . . + a1 Φ2,n−1 + a0 Φ2n = 0 (14)  ...................................................      an Φ0,n−2 + an−1 Φ1,n−2 + . . . + a1 Φn−2,n−1 + a0 Φn−2,n = 0    an Φ0,n−1 + an−1 Φ1,n−1 + . . . + a1 Φn−1,n−1 + a0 Φn−1,n = 0. Нетрудно показать, что интеграл Φν,ν+ρ в зависимости от четности ρ определяется равенством ( −Ψν,ν+ρ + (−1)µ J0,ν+µ , ρ = 2µ, Φν,ν+ρ = (15) −Ψν,ν+ρ , ρ = 2µ + 1, где J0r =

Z∞ h

ε

(r)

i2 (t) dt,

r = 0, n − 1,

(16)

0

Ψν,ν+ρ =

µ−1 P   (−1)i εν+i εν+ρ−1−i ,  i=0 µ−1 P

 

i=0

i

(−1) εν+i εν+ρ−1−i +

ρ = 2µ, (−1)µ 2 2 εν+µ ,

(17) ρ = 2µ + 1.

Подставляя значения интегралов Φri , определенные по формуле (15), в (14) получаем следующую систему из n уравнений относительно неиз-

9 вестных J0r :  an J00 − an−1 J01 + an−4 J02 − an−6 J03 + . . . = Q0      an−1 J01 − an−3 J02 + an−5 J03 − . . . = Q1      −an J01 + an−2 J02 − an−4 J03 + . . . = Q2   −an−1 J02 + an−3 J03 + . . . = Q3    ······························      . . . + a2 J0,n−2 − a0 J0,n−1 = Qn−2     . . . − a3 J0,n−2 + a1 J0,n−1 = Qn−1 . Здесь Qr =

n X

an−i Ψri ,

r = 0, n − 1.

(18)

(19)

i=0

Из системы (18) найдем значения интегралов J0r (r = 0, n − 1 ) J0r = где

∆r , ∆

an −an−2 an−4 −an−6 . . . 0 0 0 a −a a . . . 0 0 n−1 n−3 n−5 0 −a a −a . . . 0 0 n n−2 n−4 0 −an−1 an−3 . . . 0 0 . ∆ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a2 −a0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −a3 a1

(20)

(21)

Определитель ∆r получается из определителя (21) заменой (r + 1)-го столбца на столбец (Q0 , Q1 , . . . , Qn−1 )т . Учитывая, что J0 = J00 , окончательно получаем выражение для J0 J0 =

∆0 . ∆

(22)

Оценка Jk при k < n вычисляется как сумма Jk = J0 +

k X i=1

τi2i J0i .

(23)

10 Для вычисления J0i следует воспользоваться формулой (20). В [4] приводятся формулы, позволяющие находить J0 непосредственно по коэффициентам передаточной функции E(s). Если m = n − 1, то "m # X 1 ¯r ∆ ¯ r − 2¯bm¯bm−1 ∆ , B (24) J0 = 2 2an ∆ r=0 где ∆ определяется формулой (21), ¯ ¯ ¯m = ¯b2 , B ¯m−1 = ¯b2 B m m−1 − 2bm bm−2 , .............................. ¯r = ¯b2 − 2¯br+1¯br−1 + . . . + 2(−1)r ¯bm¯b2r−m , B r

.............................. ¯0 = ¯b20 , B     a b a n−1 m n ¯bm = b0 − , ¯bm−1 = b0 − , a0 b0 a0   a b n−2 m−1 ¯bm−2 = b0 − , b0 a0 ..............................   a b 1 1 ¯b0 = b0 − , b0 a0 ¯ r — определитель, получающийся из определителя ∆ в результате за∆ мены (n − r)-го столбца столбцом вида (an−1 , an , 0, . . . , 0)т . При m < n − 1 выражение (24) примет вид m

1 X ¯ r, J0 = 2 Br ∆ 2an ∆ r=0 где

Bm = b2m , Bm−1 = b2m−1 − 2bm bm−2 , .............................. Br = b2r − 2br+1 br−1 + . . . + 2(−1)r bm b2r−m , .............................. B0 = b20 ,

(25)

11 ¯ r имеет прежнее значение. определитель ∆ Следует отметить, что вычисление Jk можно производить по формуле (23) с помощью изображений функции ε(t) и ее производных ε(t) : E(s), ε(t) ˙ : sE(s) − ε0 , ........................ ε

(k)

k

(t) : s E(s) −

k X

sk−i εi−1

i=1

применяя для J0r формулы (24), (25) или (20). Известно [5], что при выборе параметров системы по минимуму оценки J0 в ряде случаев имеют место слишком колебательные переходные процессы, так как приближение процесса h(t) к идеальному скачку вызывает резкое увеличение начальной скорости, что в свою очередь может вызвать большое перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости. Это приводит к необходимости использования обобщенных квадратичных оценок, в которых ограничения накладываются не только на величину отклонения ε(t), но и на скорость отклонения ε(t), ˙ а также и на производные второго, третьего и т.д. порядка. При выборе параметров системы регулирования по минимуму Jk существенен выбор весовых коэффициентов τi . Значительное увеличение τi приводит к отсутствию перерегулирования, но увеличивает время регулирования. При малых τi уменьшение колебательности процесса будет незначительным. Рассмотрим оценку J1 , которую можно представить в виде Z∞ J1 =

 2  ε (t) + τ12 ε˙2 (t) dt =

0

Z∞

2

[ε(t) + τ1 ε(t)] ˙ dt− 0

Z∞

Z∞ − 2τ1

ε(t)ε(t) ˙ dt = 0

2

[ε(t) + τ1 ε(t)] ˙ dt + τ1 ε2 (0).

0

Здесь предполагается, что система устойчива и lim ε(t) = 0. Очевидно, t→∞ что оценка J1 имеет минимальное значение min J1 = τ1 ε20 когда ε(t) + ε(t) ˙ = 0, т.е. тогда, когда t

ε(t) = ε0 e− τ1 .

12 Это означает, что min J1 является критерием наилучшего приближения исследуемого процесса к экспоненте с постоянной времени τ1 . Оценка Jk является критерием приближения кривой переходного процесса к решению уравнения порядка k [4]. Интеграл Jk записывается в виде Jk =

Z∞ h

2

ε (t) +

τ12 ε˙2 (t)

+ ... +

τk2k (ε(k) (t))2

i

dt =

0

=

Z∞ h

ε(t) + α1 ε(t) ˙ + . . . + αk ε

(k)

i2 (t) dt + c.

0

Возведя в квадрат подынтегральное выражение в правой части этого равенства и интегрируя по частям произведения производных (см. (13), (15)– (17)) при условии, что ε(0) = ε0 , ε(0) ˙ = ε¨(0) = . . . = ε(k−1) (0) = 0,

(26)

 c = α1 ε20 ,      α12 − 2α0 α2 = τ12 ,      α2 − 2α α + 2α α = τ 4 , 1 3 0 4 2 2  α32 − 2α2 α4 + 2α1 α5 − 2α0 α6 = τ32 ,      ..............................     2 αk = τk2k ,

(27)

получаем [4]:

где α0 = 1. Очевидно, что Jk принимает минимальное значение min Jk = c = α1 ε20 , когда ε(t) является решением дифференциального уравнения αk ε(k) (t) + αk−1 ε(k−1) (t) + · · · + α1 ε(t) ˙ + ε(t) = 0

(28)

при начальных условиях (26). Коэффициенты τi оценки Jk определяются с помощью (27) по заданным значениям коэффициентов αr желаемого уравнения (28). Заметим, что вычисление квадратичных оценок Jk можно проводить по заданной частотной характеристике замкнутой системы. Пусть, как и

13 ранее, E(s) — изображение по Лапласу для переходной составляющей ошибки ε(t), определяемое формулами (4), (5). Сравнивая J0 с изобраR∞ 2 2 жение для ε (t), имеющего вид ε (t)e−st dt, находим 0

Z∞ J0 =

 ε2 (t) dt = L ε2 (t) s=0 .

0

  Для изображения произведения двух оригиналов L ε(t)ε(t) = L ε2 (t) применима теорема об умножении оригиналов, согласно которой 1 L ε2 (t) = 2πj 

σ+j∞ Z

E(s − q)E(q) dq,

(29)

σ−j∞

√ где j = −1 — мнимая единица и в полуплоскости Re s = σ > s0 функция E(s) аналитическая. Если все полюса E(s) находятся слева от мнимой оси, то в (29) можно положить σ = 0, а q = jω. Тогда 1 L ε2 (t) = 2π 

Z∞ E(s − jω)E(jω) dω. −∞

Полагая в последнем равенстве s = 0, находим выражение для J0 1 J0 = 2π

Z∞ −∞

1 E(−jω)E(jω) dω = π

Z∞

|E(jω)|2 dω.

0

Полученная формула называется формулой Рэлея.

(30)

14 Для квадратичных оценок J1 , J2 , . . . , Jn аналогично имеем [6] τ12 J1 = J0 + π

Z∞

|E1 (jω)|2 dω,

0

τ24 J2 = J1 + π

Z∞

|E2 (jω)|2 dω,

0

.............................. τ 2n Jn = Jn−1 + n π

Z∞

|En (jω)|2 dω,

0

где i

Ei (s) = s E(s) −

i X

si−r εr−1 .

r=1

4. Примеры вычисления и применения интегральных оценок Пример 1. Для передаточной функции замкнутой системы b0 s2 + b1 s + a2 W (s) = 2 s + a1 s + a2 найдем значения оценок J0 и J1 . С этой целью определяем E(s) =

W (0) − W (s) (1 − b0 )s + (a1 − b1 ) = . s s2 + a1 s + a2

По формулам (10) находим ε 0 = 1 − b0 ,

ε1 = a1 b0 − b1 .

(31)

Теперь воспользуемся формулами (20), (22). Определитель ∆ и определители ∆0 , ∆1 в рассматриваемом примере имеют вид a2 −a0 Q0 −a0 = a1 a2 , ∆0 = ∆ = Q1 a1 = a1 Q0 + a0 Q1 , 0 a1 a2 Q0 = a2 Q1 . ∆1 = 0 Q1

15 Согласно (17) и (19) получаем Q0 = a2 Ψ00 + a1 Ψ01 + a0 Ψ02 , Q1 = a2 Ψ10 + a1 Ψ11 + a0 Ψ12 , Ψ00 = Ψ00 = 0, Ψ01 = Ψ10

ε21 ε20 , = , Ψ02 = ε0 ε1 , Ψ12 = 2 2

т.е.

a2 ε20 ε2 a1 ε20 + ε0 ε1 , q 1 = + 1. 2 2 2 Принимая во внимание начальные значения (31), находим  1 ∆0 = (a1 b0 − b1 )(2a1 − a1 b0 − b1 ) + (1 − b0 )2 (a2 + a21 ) , 2  a2  ∆1 = (a1 b0 − b1 )2 + a2 (1 − b0 )2 . 2 Отсюда окончательно получаем Q0 =

(a1 b0 − b1 )(2a1 − a1 b0 − b1 ) + (1 − b0 )2 (a2 + a21 ) ∆0 = J0 = , (32) ∆ 2a1 a2   2 2 2 τ (a b − b ) + a (1 − b ) ∆ 1 0 1 2 0 1 = J0 + 1 J1 = J0 + τ12 J01 = J0 + τ12 . ∆ 2a1 a2 Если положить τ1 = 1, то 2(a1 b0 − b1 )(a1 − b1 ) + (1 − b0 )2 (2a2 + a21 ) J1 = . 2a1 a2 Пример 2. Пусть

(33)

a2 . s2 + λs + a2 Найдем значение параметра λ, при котором оценки J0 и J1 (τ1 = 1) минимальны. В рассматриваемом примере b0 = b1 = 0, b2 = a2 , a0 = 1, a1 = λ. Поэтому из (32) и (33) сразу находим W (s) =

a2 + λ2 1 λ = + , 2λa2 2λ 2a2 1 λ 2a2 + λ2 J1 (λ) = = + . 2λa2 λ 2a2 J0 (λ) =

Из необходимого условия минимума получаем ∂J0 (λ) =0 ∂λ ∂J1 (λ) =0 ∂λ

⇐⇒ ⇐⇒

1 1 + = 0, λ2 a2 1 1 − 2+ = 0. λ 2a2 −

16 √ a2 , а для оценки J1 Итак, для оценки J минимум достигается при λ = 0 √ — при λ = 2a2 . Оптимальный переходный процесс в смысле оценки J1 описывается функцией t ε(t) = ε0 e− τ1 = e−t . Пример 3. Для передаточной функции замкнутой системы W (s) =

βs + a2 s2 + a1 s + a2

определить параметр β, доставляющий минимум оценки J0 . С помощью формулы (32) находим β(β − 2a1 ) a2 + a21 + ; J0 (β) = 2a1 a2 2a1 a2

∂J0 (β) β − a1 = . ∂β a1 a2

∂J0 (β) = 0 определяем β = a1 , т.е. система должна обла∂β дать астатизмом 2-го порядка. Из условия

17 Литература Основная литература 1. Брюханов В. Н. Теория автоматического управления / В. Н. Брюханов, М. Г. Косов, С. П. Протопопов. — М.: Высш. шк., 2001. — 268 с. 2. Варжапетян А. Г. Системы управления: Исслед. и компьютер. проектирование / А. Г. Варжапетян, В. В. Глущенко. — М.: Вузовская книга, 2000. — 326 с. Дополнительная литература 3. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем / Н. Н. Иващенко. — М.: Машгиз, 1958. — 532 с. 4. Красовский А. А. Основы автоматики и технической кибернетики / А. А. Красовский, Г. С. Поспелов. — М.: Госэнергоиздат, 1962. — 600 с. 5. Теория автоматического управления / Под ред. А. А. Воронова. — М.: Высш. шк., 1977. — Ч. 1: Теория линейных систем автоматического управления. — 303 с. 6. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования / Ю. И. Топчеев. — М.: Машиностроение, 1989. — 752 с.

Составитель Дылевский Александр Вячеславович Редактор Бунина Т. Д.