電力系統工学 (理工学講座)

理工学講座

電力系統工学 柳父 悟 加 藤 政一

TDU東京電機大学出版局

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まえがき

  電 力 系 統 技 術 は,電 気 の 利 用 を支 え て き た重 要 な 技 術 で あ る 。 日本 に お け る こ の 技 術 は,電

気 の 需 要 が ほ と ん ど な い 約100年

し て き た 。 この 間 の,先

前 か ら出 発 し,欧 米 に 遅 れ る こ とな く発 展

人 の 先 見 性 と卓 越 性 は 素 晴 ら し い の 一 言 に尽 き る 。 発 電 方 式

は大 き く移 り変 り,発 電 設 備 の 大 容 量 化 だ け で な く,地 球 温 暖 化 防 止 の 観 点 か ら太 陽 電 池 発 電 や 風 力 発 電 な ど分 散 電 源 に つ い て も避 け て 通 る こ と は で き な くな っ た。   送 電 の 分 野 に お い て も,世 界 で はパ ワ ー 半 導 体 の 進 歩 に よ り,交 流 送 電 だ け で な く 長 距 離 大 容 量 直 流 送 電 も採 用 さ れ て い る。 ま た,す る ロ シ ア に 続 き,中 国 な ど で も1000kV送   一 方,戦 て,系

で に1000kV送

電 を実 施 して い

電 が現 実 の もの とな ろう として いる。

後 の 情 報 処 理 技 術 の 進 歩 も忘 れ て は な ら な い 。 計 算 機 の 進 歩 と あ い ま っ

統 解 析 技 術 の 発 展 が,複

雑 化 す る 電 力 系 統 の 制 御 を 可 能 に し,安 定 な 運 用 を実

現 してい るの で ある。   さ らに,近

年 の 電 力 自 由 化 の 流 れ の も と,電 力 系 統 も単 に工 学 的 側 面 か ら 学 ぶ だ け

で な く,経 済 的 問 題 も論 じ る必 要 が あ る。 この よ う に,電 は な く,新

力 系 統 工 学 は枯 れ た 技 術 で

し い 要 素 も関 連 させ て 学 ぶ 必 要 が 生 じ て き た し,こ

れ までの蓄 積 を再検 討

す る こ と も必 要 に な っ て きた 。   本 書 は そ の 電 力 系 統 技 術 を体 系 的 に 取 り ま と め た も の で あ る。 東 京 電 機 大 学 に は, 本 書 に先 ん じて廣 瀬淳 雄 先 生 や 故・ 荒 井 聡 明 先 生 に よ る 授 業 用 教 科 書 が あ っ た が,最 近 の 新 しい 技 術 も取 り入 れ て ま と め な お す こ と に した 。 系 統 工 学 の 中 級 程 度 の技 術 が 網 羅 され て お り,一 般 の 学 生 に は 多 少 難 し い と こ ろ が あ るか も し れ な い 。 しか し,将 来 こ の よ う な分 野 で 活 動 す る で あ ろ う学 生,ま こ と が 直 ち に役 に 立 つ 教 科 書 を と考 え,多 る 。 電 力 系 統 工 学 を 学 ん だ 人 が,社 の 教 科 書 が,勉

た 現 役 の 技 術 者 に と っ て,書

少 高 度 な 項 目,実

いてあ る

際 的 な項 目 も含 め て い

会 に 入 っ て す ぐに 役 立 て られ る こ と を考 えた 。 こ

強 の た め だ け で な く,実 務 に も利 用 さ れ る こ と を切 に 願 って い る。

平成18年7月 

著者 ら

目 

第1章

次

  電 力 系統 の概 要

 1.1  電 力 系 統 の 歴 史 

1

 1.2  交 流 送 電 と直 流 送 電 

4

 1.2.1 

交 流 送 電 の メ リ ッ ト 

4

 1.2.2 

直 流 送 電 の 用 途 

5

 1.3  系 統 技 術 の 最 近 の 問 題 点 

第2章 

6

 1.3.1  大 規 模 停 電 事 故 

6

 1.3.2  電 力 自 由 化 

7

 1.3.3  地 球 温 暖 化 対 策 

7

電 力 系統 と三 相 回 路 の 基 礎

 2.1  電 力 

9

 2.1.1 

電 圧 お よ び 電 流 の 記 号 

9

 2.1.2 

電 力 の 基 本 式 

9

 2.1.3 

有 効 電 力 お よ び 無 効 電 力 

11

 2.1.4 

皮 相 電 力 

11

  2.2  複 素 電 力 

13

 2.3  単 位 法 

16

  2.3.1 

単 位 法 の 定 義 

16

  2.3.2 

単 位 法 に よ る 電 力 お よ び 回 路 の 式 

17

 2.4  対 称 三 相 交 流 と 送 電 系 統 

19

 2.4.1 

対 称 三 相 交 流 電 圧 と 関 係 式 

19

 2.4.2 

対 称 三 相 交 流 電 流 と 関 係 式 

21

 2.4.3 

三 相 電 力 と 関 係 式 

22

  2.5  負 荷 のYお

よ びΔ結

線 

24

 2.5.1 

負 荷 イ ン ピー ダ ン ス のYお

よ びΔ結

 2.5.2 

負 荷 イ ン ピ ー ダ ン ス のΔ-Y変

 2.5.3 

ア ド ミ タ ン ス のΔ-Y変

線 

換 

換 

24 26 28

  2.6  対 称 三 相 回 路 の 解 析 

30

  2.7  三 相 系 統 に お け る 単 位 法 

33

第3章 

変圧器

  3.1  理 想 変 圧 器 

39

  3.1.1 

電 圧 の 関 係 式 

39

  3.1.2 

電 流 お よ び 電 力 の 関 係 式 

41

  3.1.3 

理 想 変 圧 器 の 等 価 回 路 

43

 3.2  実 際 の 変 圧 器    3.2.1 励磁   3.2.2 

45

電 流 と鉄 損 

46

漏 洩 磁 束 と巻 線 抵 抗 

47

 3.3  単 位 法 

52

  3.3.1 

変 圧 器 の 定 格 量 に よ るpu値 

52

  3.3.2 

変 圧 器 の イ ン ピ ー ダ ン ス 

53

 3.4  三 相 変 圧 器 

55

  3.4.1 

単 相 変 圧 器 鉄 心 と三 相 変 圧 器 鉄 心 

55

  3.4.2 

三 相 変 圧 器 の 一 般 的 な 関 係 式 

56

  3.4.3 Y結   3.4.4 Δ

線 の 変 圧 器 

59

接 続 の 変 圧 器 

62

  3.4.5 

平 衡 負 荷 に お け るΔ-Y接

続 変 圧 器 の 解 析 

63

  3.4.6 

三 相3巻

線 変 圧 器 

64

  3.4.7 

三 相3巻

線 変 圧 器 の イ ン ピ ー ダ ン ス の 計 算 法 

65

  3.5  単巻 変 圧 器 

66

  3.6  タ ッ プ 付 変 圧 器 の モ デ ル 

68

第4章 

送 電線路

  4.1  線 路 の イ ン ダ ク タ ン ス と静 電 容 量 

73

 4.1.1 

架 空 電 線 の 種 類 

73

 4.2  電 力 ケ ー ブ ル 

75

 4.3  線 路 イ ン ダ ク タ ン ス 

76

 4.3.1 

直 線 単 導 体 の イ ン ダ ク タ ン ス 

76

 4.3.2 

往 復 導 体 の 単 位 長 イ ン ダ ク タ ン ス 

78

 4.3.3 

正 三 角 形 配 置 の 三 相 送 電 線 の 作 用 イ ン ダ ク タ ン ス 

80

 4.3.4 撚

架 三 相 送 電 線 の 作 用 イ ン ダ ク タ ン ス 

 4.3.5 

多 導 体 の イ ン ダ ク タ ン ス 

84

 4.3.6 

大 地 帰 路 の イ ン ダ ク タ ン ス 

85

  4.4  線 路 の 静 電 容 量 

第5章 

81

87

 4.4.1 

正 負 等 量 の 平 行 な 線 電 荷 に よ る 電 位 

87

 4.4.2 

2条 の 平 行 導 体 間 の 静 電 容 量 

88

 4.4.3 

単 一 導 体 の 対 地 容 量 

89

  4.4.4 

単 相 配 電 線 の 静 電 容 量 

89

  4.4.5 

正 三 角 形 配 置 の 三 相 送 電 線 の 作 用 容 量 と対 地 電 圧 

92

 4.4.6 

三 相 送 電 線 の 静 電 容 量 

95

 4.4.7 

作 用 イ ン ダ ク タ ン ス と 作 用 容 量 

97

 4.4.8 

ケ ー ブ ル の 静 電 容 量 

98

潮流計算

  5.1  潮 流 計 算 と交 流 回 路 計 算 

101

  5.2  ノ ー ドア ド ミ タ ン ス 行 列 

102

  5.3  潮 流 方 程 式 

107

  5.4  Newton‐Raphson法 

110

 5.5  潮 流 計 算 へ のNewton‐Raphson法  5.6  直 流 法 潮 流 計 算 

第6章 

同 期 発 電 機 

の 適 用 

113 115

121

  6.1  同 期 機 の 基 本 構 造 

121

  6.2  電 機 子 の 誘 導 起 電 力 

123

  6.3  電 機 子 反 作 用 

126

  6.4  端 子 電 圧 

127

  6.5  磁 気突 極 効 果 

129

  6.6  電 力 お よ び トル ク 

131

  6.7  電 力 公 式 

132

 6.8  無 限 大 母 線 に 接 続 さ れ た 発 電 機 の 運 転 

135

  6.8.1 

同 期 発 電 機 の 運 転 条 件 

135

  6.8.2 

電 力 方 程 式 

135

  6.8.3 

有 効 電 力 の 制 御 

137

  6.8.4 

同 期 化 力 

138

  6.8.5 

定態 安 定 極 限 電 力 

138

無 効 電 力 の 制 御 

140

同 期 機 の 各 種 の 運 転 

142

 6.8.6    6.8.7 

第7章 

故障計算

  7.1  対 称 故 障 

147

  7.1.1 RL直

列 回 路 の 過 渡 現 象 

147

 7.1.2 

同 期 機 の 短 絡 電 流 と リ ア ク タ ン ス 

149

 7.1.3 

負 荷 電 力 を 供 給 し て い る 同 期 機 の 誘 導 起 電 力 

153

  7.2  対 称 座 標 法 

158

  7.2.1 

対 称 分 か ら不 平 衡 ベ ク トル の 合 成 

158

  7.2.2 

演 算 子 

160

  7.2.3 

非 対 称 ベ ク トル の 対 称 分 

160

  7.2.4 Y-Δ

接 続 の 変 圧 器 バ ン ク の 対 称 分 の 位 相 変 化 

164

  7.2.5 

対 称 分 に よ る 電 力 の 表 現 式 

165

  7.2.6 

対 称 分 イ ン ピ ー ダ ン ス と対 象 分 回 路 網 

167

  7.2.7 

無 負 荷 発 電 機 の 対 称 分 回 路 

168

  7.2.8 

回 路 要 素 の 対 称 分 イ ン ピ ー ダ ン ス 

170

  7.2.9 

正 相 お よ び 逆 相 回 路 

171

  7.2.10 

零 相 回 路 

 7.3  非 対 称 故 障    7.3.1 

無 負 荷 発 電 機 の 一 端 子 の 地絡 故 障 

172 176 177

第8章 

 7.3.2  無 負 荷 発 電 機 の 線 間 短 絡 

180

 7.3.3  無 負 荷 発 電 機 の 線 間 短 絡 接 地 故 障 

185

 7.3.4  電 力 系 統 の非 対 称 故 障 

189

 7.3.5  電 力 系 統 の一 線 地絡 

191

安定 度

 8.1  安 定 度 の種 類 

193

 8.2  発 電 機 の運 動 方 程 式 

194

 8.2.1  動揺 方 程 式 

194

 8.2.2  単 位 慣性 定 数 の変 換 

198

 8.2.3  発 電 機 群 の 縮 約 

200

 8.3  電 力 相 差角 方程 式 

202

 8.4  定態 安 定 度― 同 期 化 力 係 数― 

210

 8.5  等 面 積 法 に よ る過 渡 安 定 度 判 定 

213 213

 8.5.2  等 面 積 法 の応 用 

219

 8.5.3  過 渡 安 定 度 の 向 上 対 策 

222

第9章 

 8.5.1  等 面 積 法 

電 力 系 統 に お け る 有 効 電 力 と周 波 数 の 関 係

 9.1  周 波 数 制 御 の必 要 性 

225

 9.2  有 効 電 力 と周 波 数 の 関係 

226

 9.2.1  発 電 ユ ニ ッ トのガバナ 制 御 

226

 9.2.2  負荷 の 周 波 数 特 性 

228

 9.2.3  系統 の 周 波 数 特 性 

228

 9.3  連 系 系 統 の周 波 数-潮 流 特 性 

230

 9.4  負 荷 周 波 数 制 御― 単 独 系 統 の場 合― 

232

 9.5  負荷 周 波 数 制 御― 連 系 系 統 の場 合― 

234

 9.6  連 系 系 統 に お け る周 波 数 制 御 の例 

237

第10章 

電 力 シ ス テ ム に お け る無 効 電 力 と電圧 の 関 係

 10.1  無効 電 力 と電 圧 の 関 係 

241

 10.2  電 圧 変 動 の 感 度 

244

 10.3  無 効 電 力 の 供 給 源 

247

 10.3.1 

発 電 機 

 10.3.2 

電 力 用 コ ン デ ン サ,分

 10.3.3 

同 期 調 相 期 

251

静 止 型 無 効 電 力 補 償 装 置 

251

 10.3.4 

247 路 リ アク トル 

 10.4  電 圧 無 効 電 力 制 御 

252

 10.4.1 

中 央 制 御 方 式(ま

 10.4.2 

ロ ー カ ル 制 御 方 式(ま

第11章 

250

た は,総

合 制 御 方 式) 

た は,個

別 制 御 方 式) 

252 252

電力 システムの経済運 用

 11.1  経 済 運 用 

255

 11.2  火 力 発 電 ユ ニ ッ トの 経 済 負 荷 配 分 

256

 11.2.1 

燃 料 費 特 性 

 11.2.2 ラ  11.2.3 

グ ラ ンジェ

256 の 未 定 乗 数 法 

257

火 力 発 電 ユ ニ ッ トの 最 適 出 力 配 分  (送電 損 失 を 考慮 し な い 場 合) 

 11.2.4 

259

火 力 発 電 ユ ニ ッ トの 最 適 出 力 配 分  (送 電 損 失 を 考 慮 す る 場 合) 

 11.3  火 力,水

力 発 電 ユ ニ ッ トの 経 済 負 荷 配 分 

263 265

 11.3.1 

水 火 協 調 方 程 式 

265

 11.3.2 

水 火 協 調 方 程 式 の そ の 他 の 適 用 

269

 11.4  火 力 発電 ユ ニット  ―ユ ニット

の 起動 停 止 計 画

コ ミット メン ト― 

272

章 末 問 題 の 解 答 

277

索 引 

280

第1章

 電力系統の概要

  現代 社会 で は,家 庭 だ けで な く産 業や 交通 な どもすべ て電 気 を利 用 してお り,日 常 の生活 か ら電 気 エネル ギ ー を取 り去 る ことは まった く不可能 で あ る。   この章で は,電 気エ ネ ルギ ー を輸 送す る電 力系 統 の歴 史,電 力 系統 に おけ る送電 方 式 で あ る交 流送電 あるい は直流送 電 の得 失,さ らには電力 系統 を と りま く問題 点 を解 説 す る。

1.1 

電 力 系 統 の 歴 史

  発 電 機 に よ る 電 気 エ ネ ル ギ ー 発 生 が 実 現 し て 以 来,電

力 系 統 工 学 は急 速 に 発 展 し

た 。 電 気 を発 生 し て,輸 送 し,供 給 ・販 売 す る と い う電 気 事 業 は エ ジ ソ ン に よ っ て 1882年

に始 め られ た 。New

York市

で 直 流 電 力 を 発 生 し,そ れ を 照 明 用 に 供 給 す る

ことが 目的で あった。   残 念 なが ら エ ジ ソ ン は 交 流 で 電 気 を送 る こ とよ り,直 流 で 電 力 を送 る こ と の メ リ ッ トを信 じ て い た 。 そ の た め,自 後 に 確 立 す るニコラ た 。 他 方,ニコラ

社 の 社 員 の 中 に変 圧 器 や 交 流 発 電 機 な ど交 流 の 基 礎 を

・テ ス ラが い た に も か か わ らず,直

流 に よ る 供 給 を 続 行 し続 け

・テ ス ラ は そ の よ う な エ ジ ソ ン の 会 社 に 見 切 り を つ け,変 圧 器 の 開

発 を進 め た 。 そ の 優 位 性 をウェス チ ン グ ハ ウ スが 見 抜 い て 変 圧 器 の 特 許 を 購 入 し,交 流 で電 力 の 送 電 を始 め た 。   当 時,エ

ジ ソ ン の直 流 に よ る供 給 は大 き な 成 果 を あ げ た 。 しか し な が ら,そ

の後 ど

ん ど ん 需 要 が 増 加 して くる と,電 圧 の 低 い発 電 機 か ら多 くの 需 要 家 に 電 気 を送 る こ と は,送 電 線 路 で の 損 失 が 大 き く な る こ とが わ か っ て きた 。 これ を 解 決 す る た め に は, 低 圧 の 送 電 線 の線 路径 を大 き く し な け れ ば な らず,難  ニコラ るた め,送

・テ ス ラ に よ る 変 圧 器 を 用 い,送

し い 問 題 を は らん で き た 。

電 線 の 電 圧 を上 げ る こ とで 電 流 が 小 さ くな

電 に よ る損 失 を 小 さ くで き る と と もに,需

要 家 の 近 くで 電 圧 を 下 げ る こ と

もで き る の で,送

電 が 非 常 に効 率 的 に な っ た 。 また,高

る よ う に な り,こ

こに 電 力 系 統 の 発 展 の 基 礎 が 整 っ て き た 。

圧 化 に よ り長 距 離 送 電 が で き

  エ ジ ソ ン は欧 州 で も直 流 に よ る 電 気 事 業 を 開 始 した が,そ る交 流 送 電 の 方 が 盛 ん に な っ て い った 。ニコラ

こ で も長 距 離 送 電 を行 え

・テ ス ラ は また,多

相 交 流方 式 を開発

し,徐 々 に三 相 交 流 が 電 力 系 統 の 主 流 に な っ て い く。   日本 で は 明 治 時 代,欧 1892年

米 か ら の 技 術 導 入 が 急 ピ ッ チ で 進 め られ,事

に各 種 水 車 や 発 電 機 が 導 入 さ れ た 。 そ れ は現 在 の 関 西 電 力(株)の 設 備 で,琵

琶 湖 疎 水 を 利 用 し た蹴 上 発 電 所 で あ る 。 当 時,直 流,あ

流,50Hzあ

る い は60Hz単

相 交

るい は 三 相 交 流 が 順 次 導 入 さ れ た 。 ま た 発 電 機 を複 数 同 期 運 転 す る こ と は大 変

難 し く,1発 の線 路(送

電 機 か ら1需 要 家 へ の配 電 が 原 則 で あ っ た 。 図1.1に 電 線)が

電 柱 に は りめ ぐ ら さ れ た 。 これ らが 後 に,ヨ

導 入 が 中 心 で あ っ た 東 日本 は50Hz,ア 60Hzに

業 用 と し て,

示 す よ う に,多

数

ー ロ ッパ か らの 機 器

メ リ カ か ら の 導 入 が 中 心 で あ っ た 西 日本 は

統 一 され る こ と に つ な が り,多 数 の 発 電 機 の 同 期 運 転 が 可 能 と な っ て きた 。

ま た 送 電 電 圧 は 上 昇 し,1907年 早 稲 田 間 で55kV送

に は 東 京 電 燈(現

・東 京 電 力(株))が

駒 橋 発 電 所―

電 を 始 め た 。 そ の 後 は 日本 各 地 で 都 市 の 経 済 発 展 と と も に長 距

離 送 電 線 が 実 現 し て い く。   世 界 と 日本 の 送 電 電 圧 の変 遷 を 図1.2に

示 す が,欧 米 とほ ぼ 同 時 に電 圧 の上 昇 が 行

わ れ て い る 。 先 人 の 並 々 な らぬ 努 力 を知 る こ とが で き る 。 当 初 は変 圧 器 に よ っ て電 圧 を容 易 に変 更 で き,長 距 離 送 電 が で き る こ とが 大 変 な メ リ ッ トに な り,電 気 事 業 は 規 模 の 点 で 急 激 に 拡 大 し続 けた 。   現 在,わ

が 国 で は,経

済 の 発 展 と共 に500kV送

び る可 能 性 が 考 え られ た た め,1000kVの

電 も完 結 し た が,さ

送 電 線 が 張 られ,図1.3に

らに需 要が 伸

示 す よ う な,変

圧 器 や 遮 断 器 あ る い は ガ ス 絶 縁 開 閉 装 置 な ど送 変電機 器 の 開 発 も行 わ れ た 。 寿 命 試 験 が 終 わ り,開 発 完 了 状 態 に あ る も の の,経

図1.1 

済 状 態 が 停 滞 し電 力 需 要 も停 滞 し た た め,

多 数 の送 電線 の あ る回路[提 供 ：関西 電 力 株 式会 社]

実 際 に は1000kVで

図1.2 

日本 と世 界 で の送 電 電圧 の増 加

図1.3 

UHV送

電 機器 の寿 命試 験 設備

の 送 電 は行 わ れ て い な い 。

  わ が 国 は 島 国 で 細 長 い 形 を し て い る こ と,需 要 が 都 市 に集 中 して い る こ と,さ 図1.4に

示 す よ う に 国 内 に50Hzと60Hzの

らに

異 な る周 波 数 の 系 統 が 存 在 す る な ど,

電 力 系 統 の構 成 は や や 特 殊 で あ る 。 しか し,大 都 市 に 大 電 力 を送 電 す る こ と は機 器 の

図1.4  現在 の 日本 の 送電 網

小 形化 と高電圧 大容 量化 を促進 し,ま た停 電 を防 ぐた めの ハ ー ド/ソフ ト両 面 に わた って設 備 が充実 した,世 界 に誇 り得 る電 力系 統 で ある。

1.2  1.2.1 

交 流 送 電 と直 流 送 電 交流送電の メ リッ ト

  エ ジ ソ ンは直 流 に よる電 力供 給 を始 めたが,前 節 で も述 べ た よ うに,そ の後 は電 力 需 要が 増大 す る に従 って,交 流送電 が全 面的 に使 用 され る よ うにな った。 これ は,交 流 送電 には次 の ような メ リ ッ トが あ るため であ る。  (1)  変 圧 器 で 効 率 よ く電 圧 を昇 降 で き る こ と   長距 離送 電で は導体 を細 くして 高電圧 ・小 電流 で送 電 し,需 要家 端 あ るいは電源 端 で は低 電 圧 ・大 電流 で送 電 で きれ ば,送 電 線 の建 設 コス トは著 し く縮 小 され る。 ま た,送 電損 失 も大 き く軽減 され る。  (2)  大 容 量 の 遮 断 器 が作 れ る こ と   交流 で は電流 ゼ ロ点が あ るた め,そ こで比較 的簡 単 に電 流 を遮 断で き る。供 給 の高 信頼 度 化,経 済 運用 を実現 す るた め に,系 統 を接続 して大 きな系統 を構成 す る系統 連 系 が行 われ るが,事 故 の影 響 を局 限化 す るた め に,事 故 系 統 を健 全 な系 統か ら切 り離 す 大容量 遮 断器 が必 要 とな る。

  なお,直 流 は電 流 ゼ ロ点が無 い ため,電 流遮 断 は大変 難 しい。遮 断す るた め には特 別 な装置 が必 要 とな る。  (3)  安 価 で 使 いや す い 交 流 発 電 機 や 交流 電 動 機 が 使 え る こ と   交流発 電機 や電 動機 は,直 流の それ らと比 べ る と構造 上簡 単 で あ り,機 器 を製作 す る上 で大 変有 利 で あ る。 直流機 で はブ ラ シの保 守管 理 に手 間が かか るので,交 流機 へ の変 更 は保守 管理 の点 か ら も歓 迎 され る。  (4)  三 相 交 流 シス テ ム に よ る効 率 的 な送 電 が 可 能 な こ と  三 相 交流 にす る ことに よ り,同 じ電力 を送電 す るのに必 要 な送 電線 の数 を減 らす こ とがで きる。 送電 線建 設 コス ト削減 の点 か ら も有利 で あ る。

1.2.2 

直流 送電の用 途

  しか し,交 流送 電 で送 電で きる電 力 は,送 電 線路 の リアク タ ンス に逆比 例 し,系 統 の安 定度 も低 下 す る。 また長距 離 ケー ブル,例 えば海底 ケー ブル な どで は充電 電流 に よ り容量 い っ ぱい まで送 電で きな い とい った 問題 が ある。 また 異周 波系統 を接 続 で き ない,系 統 を連 系す る ことで短 絡電 流が増 加 す るた め遮 断器 の能 力 を超 えて しま うと いった 問題 もあ り,図1.5に

示 す よ うに,下 記 の用 途 で直流 送電 が適 用 され て いる。

 (1)  長 距 離 ・大 容 量 送 電  直 流 で は,交 流 と比 べ 低 い電圧 と,少 ない 回線 で大容 量 の送電 が 可能 で ある。変 換 器 の設備 を考 えて も,送 電線路 の建 設費 が安価 で あ るた め,一 定 の距 離(一 般 的 に は 数百kmと

いわ れ てい る)を 超 える と,直 流送 電 の方が 経済 的 とな る。 しか し,わ が

図1.5  世 界 の直 流 送 電網

国 で は送 電 距 離 が 短 く,こ の 目 的 で の 直 流 送 電 の 適 用 は あ ま り経 済 的 で は な い 。  (2) 

ケ ー ブ ル送 電

  ケ ー ブ ル の 対 地 静 電 容 量 は大 き い た め,交

流 で は充 電 電 流 が 多 くな り,送

で き る有 効 電 力 が 制 約 され る こ と に な る 。 例 え ば,海 ル を 利 用 せ ざ る を 得 ず,こ 直 流 送 電 シ ス テ ム(関 海 道 電 力 間)が  (3) 

の た め に,直

流 送 電 が 用 い られ る 。 わ が 国 で は,紀

西 電力― 四 国 電 力 間)や

北 電力― 北

周波数変換

構 成 と な っ て い る。 こ の た め,交 て,60Hzか

 (4) 

北 本 直 流 送 電 シ ス テ ム(東

伊 水道

運 用 さ れ て い る。

  わ が 国 の 電 力 系 統 は50Hzと60Hzの2つ

信 濃,東

る こ との

を挟 ん で の 送 電 で は 海 底 ケ ー ブ

ら50Hzへ,あ

の 系 統 が 存 在 す る と い う非 常 に 特 殊 な

流 で 直 接 連 系 す る こ と はで き な い の で,直

る い は,50Hzか

ら60Hzへ

流 を介 し

の 周 波 数 変 換 が 佐 久 間,新

清 水 の 各 変 電 所 で 行 わ れ て い る。 系統 間 連 系

  電 力 品 質 の 異 な る 系 統,例

え ば,周

た 系 統 を交 流 で連 系 す れ ば,連

波 数 変 動 が 非 常 に大 き い 系 統 と周 波 数 が 安 定 し

系 点 で の 潮 流(電

り,系 統 運 用 上 望 ま し くな い 。 ま た,交

力 の 流 れ)の

変 動 が 非 常 に 大 き くな

流 に よ る連 系 で は 潮 流 を制 御 で き な い が,潮

流 を一 定 に し て運 用 す る とい っ た ニ ー ズ も あ る。 直 流 を介 し て 系 統 を連 系 す れ ば,お 互 い の 系 統 の 影 響 を 小 さ く す る こ と が で き る。 こ の よ う な 系 統 連 系 はBack‐to‐ Backと

よ ばれ,米

国 な ど に適 用 例 が 多 い 。 わ が 国 で も,南 福 光 変 電 所 に お い て 潮 流

制 御 を 目的 と し たBack‐to‐Backの

1.3  1.3.1 

設 備 が 設 置 さ れ て い る。

系 統 技 術 の 最 近 の 問 題 点 大規模停 電事故

  電 力 系 統 が 巨 大 か つ 複 雑 に な り,ち

ょっ と した き っ か け の 積 み 重 ね で,大

電 事 故 に進 展 す る 可 能 性 が あ る 。2003年

の 北 米,北

欧,あ

規 模 な停

るい はイ タ リア の大 規 模

停 電 事 故 が そ の 例 で あ ろ う。 これ ら の 事 故 は い ず れ も,最 初 の き っ か け は 重 大 な事 故 で は な か っ た もの の,そ

の 後,関

係 す る電 力 系 統 間 で 十 分 な情 報 共 有 が で き な か っ た

た め に,適 切 な対 応 が で きず,そ

の影 響 が非 常 に広 範 囲 に拡 大 して し まっ た の で あ

る。 こ の よ う に,大

規 模 か つ 密 接 に連 系 され た 電 力 系 統 で は,お 互 い に 十 分 な 情 報 を

共 有 す る こ とが 信 頼 性 の 高 い 系 統 運 用 の た め に 重 要 で あ る。   ち な み に,過

去2回

に わ た るニ ュ ー ヨ ー ク大 停 電 に関 して,隣

情 報 を 得 られ な い こ とが 原 因 と し て,さ

接 系統 の 十分 な系統

ま ざ ま な 改 善 が 長 年 に わ た っ て 加 え られ て き

た が,今

回 も情 報 共 有 の 欠 如 が,原

因 の 少 な く と も一 つ と し て 事 故 を拡 大 し て し ま っ

た の は 皮 肉 な こ と で あ る。   今 後 と も,信 頼 性 の 高 い 系 統 運 用 の た め に,情 報 処 理 技 術,さ た め の 通 信 技 術 を 含 め たICT(Information,

Communication

ら に は,情 報 伝 達 の

, Technology)の

適用

は大 き な 課 題 で あ ろ う 。

1.3.2    1990年

電力 自由化 以 降,電

力 事 業 に対 す る競 争 原 理 の 導 入,す

な わ ち,電

力 自由化 が 世 界 的

に 進 め ら れ て い る。 電 力 自 由 化 に よ り電 気 料 金 の 低 下 が 報 告 さ れ る と と も に,カ

リフ

ォ ル ニ ア に お け る輪 番 停 電 の よ う な安 定 供 給 に 対 す る 問 題 も発 生 し た 。   電 力 自 由化 は発 電,送 電,配 電 が 別 会 社 で 運 営 さ れ る 分 離 型 の形 態 で 行 わ れ るの が 一般 的 で あるが ,電 力 自 由化 の 先 進 国 で あ る英 国 で は,発 電 と配 電 の 会 社 が統 合 す る こ とで 自 由 化 にお け る リス ク を避 け る(へ た 。 す な わ ち,統 合 す る こ とで,発

ッ ジ す る)こ

と も行 わ れ る よ う に な っ て き

電 会 社 と し て は安 定 した 価 格 で 安 定 した 量 の 電 気

を 配 電 会 社 に売 る こ とが で き,一 方,配

電 会 社 と し て は安 定 した 価 格 で 安 定 した 量 の

電 力 を 入 手 す る こ とが で き る。 これ に よ り,電 力 市 場 の 価 格 変 動 と い う リス ク を お互 い避 け る こ とが で き る の で あ る 。   こ の よ う に,電

力 自 由 化 の 仕 組 み は 日 々,そ

し て 地 域 で 変 化 して い る。 そ れ ぞ れ の

国 あ る い は電 力 系 統 に と っ て 有 効 な 電 力 自 由 化 の 仕 組 み を考 え る た め に は,社 会 的, 経 済 的,そ

して 技 術 的 側 面 か ら広 範 な取 り組 み が 必 要 とな る で あ ろ う。

1.3.3 

地球温暖化対策

  電 力 系 統 に と って 長 期 的 に も っ と も問 題 とな る の は 地 球 温 暖 化 対 策 で あ ろ う。 化 石 燃 料 の燃 焼 に よ る発 電 は 多 量 の 炭 酸 ガ ス(CO2)の 大 な 問 題 で あ る。 こ の た め に は,こ

放 出 が 避 け ら れ ず,こ

れ ま で の 発 電 方 式 を 見 直 す 必 要 が あ ろ う。CO2

の 排 出 量 は 石 炭 火 力 が 大 き く,そ れ に 続 い て 石 油 火 力,LNG火 る。 また,最

の 削減 が重

力 の 順 に小 さ くな

近 は石 油 の 掘 削量 が ピー ク を迎 え た と い う記 事 が 多 くな り,中 国 や イ ン

ドな どの 経 済 発 展 に 伴 う化 石 燃 料 の 大 量 消 費 も あ い ま っ て,化

石燃料 その ものの枯 渇

へ の 対 応 も重 要 で あ る。   太 陽 光 発 電 や 風 力 発 電 な ど 自然 エ ネ ル ギ(再 望 まれ る が,こ 圧 変 動,周

生 可 能 エ ネ ル ギ ー)の 積 極 的 な 導 入 が

れ ら電 源 の 出 力 の 不 安 定 性 は 系 統 との 連 系 に 重 大 な 問 題,例

え ば,電

波 数 変 動 を 引 き起 こ し,そ の 対 策 が 重 要 で あ る。 原 子 力 発 電 の 導 入 促 進 も

一つ の選択 肢 で あるが

,世 界 的 に見 て も,原 子 力 促 進 に対 す る国 民 的 合 意 が 十 分 と れ

て い な い の が 現 状 で あ る。 こ の温 暖 化 対 策 問 題 は,特 源 を輸 入 に頼 る 国 で は,エ ろ う。

にわが 国 の よ うにエ ネル ギー資

ネ ル ギ ー セ キ ュ リテ ィ ー と の 関 係 も含 め た 検 討 が 重 要 で あ

第2章  電力系統 と三相 回路の基礎

2.1  2.1.1 

電 力 電圧 お よ び 電流 の 記 号

 電 力 系 統 で 扱 う電 圧 の 波 形 は 正 弦 波 状 で あ り,周 波 数 は商 用 周 波 数 で 一 定 とす る 。 電 圧 お よ び 電 流 の 実 効 値 の ベ ク トル(phasor： の 大 文 字 を 用 い,電

圧 ベ ク トル はV,電

絶 対 値 記 号 を 用 い て￨V￨お トル はEを

あ る い は複 素 量)*は

流 ベ ク トル はIで

よ び￨I￨で 表 す 。 発 電 機,変

用 い て 表 す 。 また,電

圧,電

表 し,そ

ア ル フ ァベ ッ ト れ らの大 き さは

圧 器 な どの 誘 導 起 電 力 の ベ ク

流 等 の 瞬 時 値 は ア ル フ ァベ ッ トの 小 文 字 を

用 いて表 す。   例 え ば,電 圧 と電 流 が

と 表 さ れ る と き,電 圧 の 最 大 値 はVm=141 る。 こ こで,添

え字mは

.1V,電

流 の 最 大 値 はIm=14.1Aで

あ

最 大 値 を表 す。上 式 で 表 され る電 圧 お よ び電 流 の 実効 値

(effective value, root‐mean‐square

value

or rms

value)は

最 大 値 を√2で

除 して

得 られ る。

2.1.2 

電力の基 本式

  端 子 電 圧 がυ の 電 池 か ら電 流iが

負 荷 に 向 か っ て 流 れ て い る と き,負 荷 に 供 給 さ

れ る 電 力 は次 式 で 表 さ れ る。

(2.1) こ こ に,pは

電 力 の 瞬 時 値 を 表 す 。(2

*  わ が 国 で は 電気 回路 の 電 圧,電 語 で はphasorと

い う。

流,イ

.1)式

は電力 の基本 式で あ る。

ン ピー ダ ンス な どの 複 素量 をベ ク トル と よん で い る が ,英

図2.1  簡 単 な送 電 系統  図2.1に

こ こ に,ω

示 す 簡 単 な交 流 回路 の電 圧υ と電 流iが

は 角 周 波 数(angular

frequency)で

次 の よ う に表 さ れ る とす る 。

あ り,周

波 数(frequency)をf(Hz)

と表 せ ば,

と な り,T=1/fは

電 源 電 圧 の 周 期,θ

は位 相 角(phase

angle)で

電 圧 が 電 流 よ り進

ん で い る と き 正 とす る。   電 力 は(2.1)式 か ら

(2.2) と表 され る。 電 圧 お よ び 電 流 の 実 効 値 は次 の よ う に表 さ れ る 。

(2.3) (2.4) これ らの 関 係 を 用 い る と,(2.2)式

は

(2.5) とな る 。

2.1.3 

有効 電力お よび無効電力

  (2.5)式 の右 辺第2項 を展開 し,整 理 す る と, (2.6) を得 る。   (2.6)式 の 右 辺 第1項

の振幅 を

(2.7) と表 す と き,(2.6)式

の1周

い値 を と る。(2.7)式

で 表 され る電 力 を 有 効 電 力(active

こ と と し,cosθ

期(T=1/f)の

を 力率(power

間 の 平 均 値 は(2 .7)式 で 表 さ れ,0で

factor)と

power)と

い う。 し た が っ て,有

表す

効 電 力Pは

瞬時 電

力pの1周

期 の 平 均 値 で あ り,そ の 大 き さ は 力 率 に 関 係 す る 。 単 位 はW(Watt)で

あ る が,電

力 系 統 で はWの

Wが

な

い い ,Pで

単 位 は 小 さ す ぎ る の で,kW=103Wま

た はMW=106

用 い られ る 。

  (2.6)式 の 右 辺 第2項

の振幅 を

(2.8) と表 す と き,1周

期(T=1/f)の

力 を 無 効 電 力(reactive

間 の 平 均 値 は 常 に 零 で あ る 。(2 .8)式 で 表 さ れ る電

power)と

い い,Qで

表 す こ と と す る。 無 効 電 力Qは

送電

線 を 半 周 期 毎 に 交 互 に 負 荷 と電 源 の 方 向 に伝 送 さ れ る 電 力 の 成 分 の 最 大 値 で あ る 。 単 位 はvarで

あ る が,有

kvar=103varあ

効 電 力 と 同 様 に 電 力 系 統 で はvarの

る い はMvar=106varが

  抵 抗 負 荷(resistive load)は ctor)の power)を (capacitive

消 費 す る。 一 方,コ load)は

用 い られ る。

有 効 電 力 を 消 費 し,リ

よ う な 誘 導 性 負 荷(inductive

単 位 は小 さ す ぎ る の で,

load)は

ン デ ン サ(capacitor)の

負 の 無 効 電 力 を 消 費 す る が,電

アク トル(reactor

正 の 無 効 電 力(positive

or

indu

reactive

よ う な 容 量 性 負 荷

力 系 統 で は,正

の 無 効 電 力 を発

生 す る と見 な して 取 り扱 わ れ る 。

2.1.4 

皮 相電力

  回 路 の 電 圧 の 大 き さ￨V￨と (voltamps

or apparent

うに表 され る。

こ の 回 路 に 流 れ る 電 流 の 大 き さ￨I￨の 積 を 皮 相 電 力

power)と

よ び,￨S￨で

表 す こ と と す る と,皮 相 電 力 は 次 の よ

(2.9) (2.9)式

は

とな る か ら,皮 相 電 力 は

の よ う に 有 効 電 力 と無 効 電 力 に よ っ て 表 さ れ る。 皮 相 電 力 の 単 位 はVAで 力 系 統 で はkVA=103VA,MVA=106VAが

【 例 題2.1】

図2.2に

あ り,電

用 い ら れ る。

示 す 抵 抗 と誘 導 性 負 荷 の 並 列 の 負 荷 に つ い て 各 種 の 電 力 を 求 め

て み よ う。 この 負 荷 に は 周 波 数50Hz,電

図2.2 

圧6kVの

電 圧 が 加 え ら れ る。

単相 回路

[解] 電圧 を位 相 角の基準 とす る。抵抗 負荷 に流れ る電 流 は

とな り,誘 導性 負荷 に流 れ る電 流 は

とな る。  抵抗 負荷 で消費 され る有効 電 力,無 効 電力 お よび皮相 電 力 は次の ように な る。

  また,誘 導性負 荷 で消費 され る有効 電 力,無 効 電力 お よび皮相 電 力 は次の ように な る。

 図2.2の

並 列負荷 の合 成 イ ンピー ダ ンス は

と な る 。 よ っ て,合 成 負 荷 に 流 入 す る全 電 流 は

とな る。 全有 効電 力,無 効 電力 お よび皮相 電 力 は

と な る。 以 上 よ り有 効 電 力 お よ び無 効 電 力 は そ れ ぞ れ に つ い てP1+P2=Ptお +Q2=Qtの

関 係 が 成 立 す る が,皮

よ びQ1

相 電 力 につ い て は それ ぞれ の負 荷 の皮 相電 力 の和

が 総 合 負 荷 の 皮 相 電 力 に 等 し くな ら ず,￨S1￨+￨S2￨＞￨St￨の

関 係 が 成 立 して い る こ と に

注 意 す る。

2.2 

複 素 電 力

  電 力 系 統 に お い て 複 素 電 力(complex て 非 常 に 有 効 で あ る。 図2.3に れ る と す る。

power)を

使 用 す る こ とは解析 な どに お い

示 す 単 相 回 路 に お い て,電

圧 と電 流 が 次 の よ う に表 さ

図2.3 

こ こ に,θVは

単 相 回路 の イ ンピー ダ ンス とア ド ミタ ンス

基 準 に 対 す る 電 圧 の 位 相 角,θIは 基 準 に対 す る電 流 の 位 相 角 で あ る。

 な お,

とい う表 現 法 も あ り,本 書 で は 両 方 の表 記 を 用 い て い る 。   ま た,電

圧,電

流 等 の 大 き さ￨V￨,￨I￨をV,Iと

簡 略 化 し たV=V・ejθV,I=I・ejθ

Iとい う表 現 も用 い る こ と が あ る。   複 素 電 力Sは

電 圧 と電 流 の 共役 値 の積 で 表 す 。 これ を 式 で 表 せ ば

(2.10) とな る 。 こ こ に,I*は

電 流 の 共 役 値 で あ り,

(2.11) と表 さ れ る。 よ っ て,複 素 電 力Sは

次 の よ うに表 され る

こ こ に,θV− θIは位 相 角 で あ り,複 素 電 力 の 大 き さ は 皮 相 電 力 に等 し い 。  θ=θV− θIとす る と,

(2.12) を得 る。電圧Vお

よび電 流Iが

図2.4 

電力 三 角形

と表 さ れ る と き,複 素 電 力 は

(2.13) (2.14) と な る 。 こ こ に,Zは tance)で,イ

イ ン ピ ー ダ ン ス(impedance),Yは

ン ピ ー ダ ン スZの

逆 数 で あ る 。 そ こ で,複

ア ド ミ タ ン ス(admit 素 電 力 を 表 す 式 を ま とめ る

と,

(2.15) の よ う に表 さ れ る。   複 素 電 力Sの

大 き さ￨S￨は 皮 相 電 力 で,次

の ように表 され る。

(2.16)   (2.15)式 お よ び(2.16)式

の 関 係 を複 素 平 面 上 に 描 く と 図2.4の

無 効 電 力 お よ び 皮 相 電 力 は 直 角 三 角 形 と し て 表 さ れ,こ (power  triangle)と

【 例 題2.2】

よ う に,有

の三 角形 は電 力三角形

よばれ る。

例 題2.1に

つ い て,複

素 電 力,有

効 電 力 お よ び無 効 電 力 を求 め よ。

[解]  (2.15)式 の 右 辺 の 最 後 の 式 か ら,抵 抗 負荷 で 消 費 さ れ る複 素 電 力 は

と な る 。 よ っ て,

効 電 力,

とな る。誘 導 性負 荷 で消費 され る複 素電力 は

とな り,よ

っ て,有

効 電 力 お よ び無 効 電 力 は

とな る。

2.3 

単 位 法

  電 力 系 統 の 解 析 に は 単 位 法(per る こ と に よ り,電 圧,電

流,電

unit system)が

よ く用 い ら れ る。 単 位 法 を使 用 す

力 な どの 相 対 値 が 得 られ る こ と,変 圧 器 を 含 む 系 統 の

回 路 解 析 が 著 し く簡 単 に な る こ と,回 路 パ ラ メ ー タ は 比 較 的 狭 い 数 値 範 囲 に収 ま る の で,デ

ー タ の 誤 りを 見 つ け易 い こ と な どの 利 点 が 考 え ら れ る。

2.3.1 

単 位法の定 義

  複 素 電 力Sを

送 電 し て い る 系 統 を 考 え よ う。 電 圧 はV,電

流 はIで

電 流 の 実 効 値 に よ る 基 準 と な る 値 を基 準 値 あ る い は べース 値(base そ れ ら を 任 意 に選 定 し,添   単 位 法 に よ る電 圧,電 定 義 され,次

え字bを

用 い てVb,Ibの

あ る。 電 圧,

value)と

い い,

よ うに表す 。

流 は そ れ ら の べース 値 と の 比 を 取 り,無 次 元 の複 素 数 と して

の よ うに表 され る。

(2.17) (2.18) こ こ に,θ,δ

はV,Iの

位 相 角 を表 す 。

  単 位 法 で 表 さ れ る電 圧 お よ び 電 流 な どは 文 章 上 混 乱 の な い 場 合 はV,I等 用 い,特

の記 号 を

に単 位 法 の 量 で あ る こ と を 明 示 し よ う とす る場 合 に は,(2.17)式,(2.18)式

のよ う に添 字puま pu値

た はp.u.を 用 い てVpu,Ipuの

よ うに表 す。 単 位 法 で表 された 値 を

と よ ぶ こ と とす る 。

  単 位 法 の 例 と して,基

準 電 圧200kVを

選 ぶ とす る な らば,電

圧が

の場合,単 位法 の値 として

とな る 。 こ のpu値

は実 際 の 電 圧 が 基 準 電 圧 よ り12.5%超

過 し て い る こ とが わ か る 。

 す で に選 定 した べース 電 圧 と電 流 に よ っ て 電 力 とイ ン ピ ー ダ ン ス の べース 値 を 次 の ように定義 す る。

(2.19) (2.20) 複 素 電 力Sお

よび イ ン ピー ダ ン スZのpu値

は 次 の よ う に求 め る こ とが で き る,

(2.21) (2.22)

2.3.2 

単 位法 による電力お よび回路の式

  電 圧,電

流 お よび 複 素 電 力 の す べ て の 量 をPu値

の(2.10)式

は 単 位 法 を 用 い て表 さ れ る。(2.10)式

さ ら に,(2.19)式

で 表 す な ら ば,一

般 的 な複 素電 力

を 複 素 電 力 の べース 値Sbで

割 り,

の 関 係 を 用 い る と,

(2.23) とな る。  次 に 示 す よ う に,単

位 法 は一 般 的 な オ ー ム の 法 則 を 満 足 す る。

(2.24) 4つ の べース 値Vb,Ib,Sbお

よ びZbの

内 の2つ

の 量 を 任 意 に選 ぶ と,残

りの2つ

の量

は これら か ら誘 導 され る。 電 力 系 統 を 実 際 に 解 析 す る場 合,VbとSbを 的 で あ り,残

り の2つ

選 ぶ のが一 般

は 次 の よ う に計 算 され る 。

(2.25) (2.26)

【 例 題2.3】

例 題2.1の

す べ て の 量 を単 位 法 で 表 せ 。 た だ し,べース

値 として 次 の量

を 用 い よ。

[解]  (2.26)式 を用 い て,べース

 また,べース

イ ン ピ ー ダ ン ス を 計 算 す る。

電 流 に つ い て は,式(2.25)を

用 い て 計 算 す る。

  以 上 に 求 め た べース 電 流 とべース イ ン ピ ー ダ ン ス を 用 い て,図2.5に よ る 回 路 を 得 る。 この 図 か ら各 負 荷 を 流 れ る電 流 のpu値

 また,各

負 荷 の 消 費 す る電 力 は 次 の よ う に な る 。

図2.5 

pu値

で 表 され た 回路

示 すpu値

を求 め る こ とが で き る 。

に

 実際 の電 流お よび電 力 の値 は次の ように なる。

2.4 

対 称 三 相 交 流 と 送 電 系 統

  対 称 三 相 交 流 を送 電 系 統 に適 用 す る こ とで,同 数 を 減 ら す こ とが で き る。 効 率 的,経 が,電

じ電 力 を 送 る た め に 必 要 な 送 電 線 の

済 的 な 電 力 輸 送 を行 う た め に,対 称 三 相 交 流

力 系 統 で は一 般 的 に 用 い られ る。

2.4.1 

対称三相交流電 圧と関係式

  三 相 送 電 系 統 の 基 本 的 な構 成 の 例 と し て,図2.6に

示 す 送 電 系 統 を考 え る 。 発 電 機

の 発 生 す る 各 相 の 誘 導 起 電 力 の 大 き さ は 等 し く,位 相 差 は そ れ ぞ れ120° であり,相 順(phase

sequence)はa,b,cで

  三 相 発 電 機 の 中 性 点(generator

ある。 neutral)に

対 す る発 電 機 の端 子a,b,cの

電圧 は

発 電 機 の 電 機 子 巻 線 の イ ン ピー ダ ン ス に よ る電 圧 降 下 の た め各 相 の 誘 導 起 電 力 に 等 し くは な ら な い 。 各 端 子 の 相 電 圧(phase

voltage

or phase

to neutral voltage)は

と中 性 点 間 の 電 圧 で あ り,次 の よ う に 表 さ れ る。

図2.6  三 相送 電 系 統 の基 本 的 な構 成

端子

図2.7  対 称三 相 系統 の 電圧 お よび電 流 のベ ク トル

(2.27)

こ こ に,υa,υbお よ びυc,は そ れ ぞ れa,bお

よ びc相

の 相 電 圧 で あ り,￨Vp￨は

相電圧

の実効 値で あ る。   各 相 の 相 電 圧 を そ れ ぞ れ ベ ク トルVa,Vbお 準 と し て,各

よ びVcで

表 し,a相

の 相 電 圧Vaを

基

相 の 相 電 圧 を 式 で 表 す と次 の よ う に な る。

(2.28)

  相 電 圧Vaを

基 準 と し て 各 相 の 相 電 圧 を ベ ク トル 図 で 表 せ ば,図2.7の

ようにな

る。   相 間 で 測 られ た 電 圧 は 線 間 電 圧(line

voltage)と

い う。 相 電 圧 と線 間 電 圧 は次 の

関 係 が あ る。

(2.29)

こ こ に,Vabはa相

とb相

間 の 線 間 電 圧,Vbcはb相

とc相

間 の 線 間 電 圧,Vcaはc

相 とa相 間 の 電 圧 で あ る 。 対 称 三 相 回 路 に お け る3つ の 線 間 電 圧 は 大 き さ は 等 し く, 次 の よ う に 表 さ れ る。

(2.30) こ こに,￨Vp￨は

相 電 圧 の 大 き さ で あ る。 対 称 三 相 回 路 に お い て,線

相 電 圧 の 大 き さ の√3倍 は線 間 電 圧 を用 い,送

間電圧 の大 きさ は

で あ る。 電 力 関 係 で は,三 相 機 器 の 定 格 電 圧 を い う と き に

配 電 に お け る電 線 路 の 電 圧 は線 間 電 圧 を い うの が 普 通 で あ る 。

電 線 路 の線 間 電 圧 は線 路 の 位 置 に よ っ て 違 う の で 線 路 を代 表 す る線 間 電 圧 と し て公 称 電 圧(nominal

voltage)が

電 圧 が275kVで,相

2.4.2 

用 い られ る 。 例 え ば,275kVの

電 圧 は275/√3=159kVで

送 電 線 とい う場 合,公

称

あ る。

対称三相 交流電流 と関係式

  対 称 三 相 交 流 電 源 か ら供 給 さ れ る 負 荷 が 対 称 で 平 衡 して い る な ら ば,図2.6に た 回 路 の3つ

示 し

の相電 流 は三相 対称 で あ る。

(2.31)

こ こ に,ia,ibお

よ びicは

そ れ ぞ れa,bお

よ びc相

の 線 路 電 流 で あ り,｜Ip｜は線 路 電

流 の 実 効 値 で あ る 。 位 相 角 φ は 負 荷 の イ ン ピ ー ダ ン ス に よ っ て 決 ま る。   相 電 圧Vaを

基 準 に 選 ぶ と,各 相 の 電 流 ベ ク トルIa,Ibお

よ びIcは

次 の よ うに表 さ

れ る。

(2.32)

  電 流 ベ ク トル は 図2.7の

よ う に な る 。 中 性 線 に 流 れ る帰 路 電 流Inは3つ

の相 電 流

の和 で あ る。   各 相 電 流 の ベ ク トル 和 は

(2.33) であ るか ら,中 性 線 を流 れ る帰 路 電流 はな く,帰 路電 流 の線 路 は不 要で あ る。 したが

図2.8  対 称 三相 回 路 と帰 路 電 流 回路

って,図2．8に 示 す よ うに対 称三 相 回路 を描 くこ とが で きる。 実際 の回路 で は電源側 に昇圧 変 圧器,負 荷側 には降圧変 圧器 が あ り,発 電 機 の中性 点 お よび負荷 の中性 点 は 電 位 を定 め るた め接地(grounding)さ

れ る。

  各相 が 完全 に対称 で あ り,中 性 線 に電流 が流 れ ない な らば,発 電機 の中性 点 と負荷 の中性 点 は同電 位 で あ り,電 圧降 下 は生 じない。 したが って,対 称 三相 交流 系統 の す べて の相電 圧 は全 系統 を通 して同 一 の電 位 を もつ大地 に対 して測 られ る。

2.4.3 

三相電力 と関係式

  三相 電力 系統 におい て送 電 され る三相 電力 の瞬時 値 は,各 相 の送 電電力 の瞬 時値 の 和 として次 の よ うに表 され る。 (2.34)  (2.27)式

お よ び(2.31)を(2.34)式

に 代 入 し,θ=2ωt−

φ と 置 き,

の 関 係 を考 慮 す る と,次 の 重 要 な 関 係 式 を得 る。

(2.35) こ こ に,P3φ

は 三 相 有 効 電 力,cosφ

対 称 三 相 系 統 に お い て,三 の3倍

は 力 率,P1φ

は1相(単

相)の

有 効 電力 を表 す。

相 瞬 時 電 力 の脈 動 は な く,三 相 有 効 電 力 は1相

に 等 し い 。 三 相 電 力 系 統 の 有 効 電 力 の大 き さ を 表 す 場 合,三

の有 効 電 力

相 電力 をい うのが

一般 的 で あ る

。

  三 相 電 力 が 単 相 電 力 よ り優 れ て い る点 は 三 相 電 動 機 や 発 電 機 の トル クが 脈 動 せ ず, 一定 で あ る ことであ る 。 三 相 瞬 時 電 力 は一 定 で あ る が,各 相 電 力 は脈 動 し,単 相 電 力 と変 わ りが な い こ と に 注 意 す る。

 三相 無 効電 力 は次式 に よって表 され る。 (2.36) こ こ に,Q3φ に1相

は三 相 無 効 電 力,Q1φ

の 無 効 電 力 の3倍

は1相

の 無 効 電 力 を 表 す 。 三 相 無 効 電 力Q3φ は 単

で あ る。

  三 相 複 素 電 力 を表 現 す る と き,有 効 電 力 を(2.35)式

で 表 し,無 効 電 力 を(2.36)式

で

表 す。   同 様 に,三

相 の 皮 相 電 力 は 次 式 に よ っ て 表 され る。

(2.37) こ こに,｜S3φ｜は 三 相 の 皮 相 電 力,｜S1φ｜は 単 相 皮 相 電 力 を 表 し,三 相 の皮 相 電 力 は単 相 皮 相 電 力 の3倍

で ある。

【 例 題2.4】150kV送 の を 図2.9に

電 系 統 の 一 部 の 負 荷 を,こ

示 す 。 この 電 動 機 の1相

れ に等 価 な電 動 機 で代 表 させ た も

の イ ン ピー ダ ン ス は

で あ る。1相 の 電 流 と この 負 荷 に 供 給 され る1相 の 有 効 お よ び 無 効 電 力 を求 め,さ に,三 相 の 有 効 電 力,無

効 電 力 と皮 相 電 力 を 求 め て み よ う。

図2.9  150kVの

[解] 相電 圧 の大 きさ は

簡 単 な送 電 系統

ら

相電 流 の実効値 は

とな る。相 電流 の位 相角 は

で あ り,相 電 圧 よ り20.56° 遅 れ て い る。   1相 の 有 効 電 力 お よび 無 効 電 力 は

とな る。 また,三 相 有効 電力,三 相 無効 電力 お よび三 相皮 相電 力 は

と な る。

2.5 

負 荷 のYお

よ びΔ

結 線

2.5.1 

負 荷 イ ン ピ ー ダ ン ス のYお

  図2.9に

示 さ れ た 三 相 負 荷 は 星 形結 線(star-connected

(Y-connected

type)と

(delta-connected ピ ー ダ ン スZに の√3倍

よ ば れ,図2.10(a)に

type)と

は 線 間 電 圧 が 加 わ り,図2.9に

線 され た と き に イ ン ピ ー ダ ン スZに ピー ダ ン スZの3台

る い はY結

線

示 す 三 相 負 荷 は デ ル タ(Δ)結

示 さ れ たY結

線

加 わ る 電 圧 の√3倍

Y結線 され た と き の 電 力 の3倍

ン

線 の 負 荷 に 流 れ る電 流

線 の イ ン ピ ー ダ ン スZに

の 負 荷 をΔ 結 線 し た と き,イ

例 題2.4に

type)あ

よ ば れ る 。 同 じイ ン ピー ダ ン ス をΔ 結 線 し た と き,イ

の 電 流 が 流 れ る 。 また,Δ結

【 例 題2.5】

よ びΔ 結 線

加 わ る 電 圧 は,Y結

で あ る 。 し た が っ て,イ

ン

ン ピー ダ ン ス で 消 費 され る 電 力 は

で あ る。

お い て 負 荷 イ ン ピ ー ダ ン スZがΔ結

線 され た 場 合,負

荷イ

図2.10 Δ 結線 の負 荷 と位 相 図 ンピー ダ ン ス に流 れ る電 流 と線 電 流 を 求 め て み よ う。 [解]  図2.4で

求 め た よ う に,イ

流 れ る 電 流 は1.014kAで る の で,こ

ン ピ ー ダ ン スZに

あ る。 い ま,イ

相 電 圧86.6kVが

ン ピ ー ダ ン スZの

加 わ る と き,

負 荷 がΔ 結 線 さ れ て い

の イ ン ピ ー ダ ン ス に加 わ る 電 圧 は150kV=√3×86.6kVと

な り,負 荷 に

流 れ る電 流 ま た はΔ 電 流 は,

と な る。  Iabは,図2.10(b)に

示 す よ う に,電

よ り120゜ 遅 れ,IcaはIabより240゜

圧Vabよ

遅 れ て い る 。 図2.10(a)か

で あ るか ら,相 電 流IaはIabと(−Ica)の ル和 を 図2.10(b)に

  相 電 圧Vaと 負 荷 をY結

位 相 角 は 図2.7と

線 か らΔ結 線 に変 え て も,Δ結

遅 れ て い る 。IbcはIab ら,

ベ ク トル 和 と し て 与 え られ る。 この ベ ク ト

示 す 。−IcaはIabより60゜

相 電 流Iaの

り φ=20.56゜

遅 れ て い る の で,次

図2.10(b)を 線 か らY結

の 関 係 を得 る

比 較 す れ ば わ か る よ う に, 線 に 変 え て も変 化 し な い 。 し

か し,イ

ン ピ ー ダ ンスZの

力 は3倍

とな る 。

2.5.2 

負 荷 をY結

負 荷 イ ン ピ ー ダ ン ス のΔ-Y変

  図2.11(a)に

換

示 さ れ たΔ 結 線 の イ ン ピ ー ダ ン スZ12,Z23,Z31に

ピ ー ダ ン スZ1,Z2,Z3を

等 価 なY結

線イ ン

求 め て み よ う 。Δ結 線 の イ ン ピ ー ダ ン ス を等 価 なY結

線イ ン

ピ ー ダ ン ス で 置 き換 え る こ と をΔ-Y変 端 子1と2間

線 か らΔ 結 線 に変 更 す る と,相 電 流 と三 相 電

換 とい う。 等 価 で あ る た め に は 図2.11(b)の

の イ ン ピ ー ダ ン ス値 と(a)図

の 対 応 す る端 子 間 の イ ン ピ ー ダ ン ス は等 し

くな け れ ば な らな い 。 す な わ ち,

(2.38)

 同様 に,端 子2,3間

の イ ン ピ ー ダ ン ス に つ い て,

(2.39)

 ま た,端

子3,1間

の イ ン ピ ー ダ ン ス に つ い て,

(2.40)

の 関 係 が 成 立 す る。   (2.38)式 か ら(2.39)式

を 引 け ば,

と な る 。 こ れ と(2.40)式

の 和 を 求 め れ ば,

図2.11 

イ ン ピ ー ダ ン ス のΔ-Y変

換

(2.41)

(2.41)式

の 添 え 字(suffix)を

一 つ ず つ 送 っ て,

(2.42)

同 様 に して,

(2.43)

を 得 る 。 い ま,も

しも

(2.44) が 成 立 す る と きは,

(2.45) と な り,Δ

に結 線 され た3個

ー ダ ン ス はZΔ/3に

なる

Y結 線 に 変 え れ ば,イ

【 例 題2.6】

の イ ン ピ ー ダ ン スZΔ に 等 価 なY結

。 逆 に,Δ

に 接 続 され た3個

ン ピ ー ダ ン ス は3倍

図2.12(a)に

示 さ れ た1個

Y/2か ら成 る 回路 と等 価 な 図2.12(b)の [解]  図(a)の

回 路 の2個

と す れ ば,図(b)の

線 の3個

のイ ンピ

の イ ンピー ダ ン ス をそ の ま まに

に な る。

の イ ン ピ ー ダ ン スZと2個

の ア ドミタ ン ス

回路 を求 め よ 。

の ア ド ミ タ ン スY/2を

イ ン ピ ー ダ ン ス に 書 き換 え て2/Y

イ ン ピ ー ダ ン ス は(2.41),(2.42)式

から

(2.46)

(a) 

(b)

図2.12 Δ結

線 に等 価 なY結

線

を得 る 。   また,ア

ド ミ タ ンス は(2.43)式

の逆数 と して

(2.47)

とな る。  図2.12(b)は(a)に

2.5.3 

等 価 な 回 路 を 示 す 。 た だ し,1/k=1+ZY/4で

ア ド ミ タ ン ス のY-Δ

変換

  イ ン ピー ダ ン ス のΔ結 線 か らY結 こ とが で き る が,そ

の 逆 のY-Δ

あ る。

線 へ の 変 換 は 前 節 に 述 べ た よ う に簡 単 に 求 め る

変 換 は容 易 で は な い 。 し か し,ア

ド ミ タ ン ス のY-Δ

変 換 は比 較 的 容 易 で あ る。   図2.13に ン ス は,(a)図

お い て(b)図

の端 子2と3を

の 端 子2と3を

接 続 した と き の 端 子1と2の

接 続 した と き の1と2端

間 の ア ド ミタ

子 間 の ア ド ミ タ ンス に 等 し く

な け れ ば な らな い か ら,

(2.48)

が 成 り 立 つ 。(2.48)式

の 添 え 字(suffix)を

一 つずつ

送 っ て,

(2.49)

 さ ら に,

(2.50)

(a) 図2.13 

(b) ア ド ミ ッ タ ン ス のY-Δ

変換

を 得 る。   (2.48)式

か ら(2.49)式

を引 けば

とな り,こ の 結 果 と(2.50)式

との 和 を求 め れ ば

(2.51)

を 得 る 。 添 え字 を一 つ ず つ 送 って

(2.52)

 同 様 に し て,

(2.53)

が 得 られ る 。

【 例 題2.7】 スYか

図2.14(a)に

示 さ れ た2個

の イ ン ピ ー ダ ン スZ/2と1個

ら な る 回 路 に 等 価 に な る よ う 回路(b)に

示 した 定 数kを

(a) 

(b)

図2.14 Y結 [解]  こ の 変 換 はY-Δ

の ア ドミタ ン

求 め よ。

線 に等価 なΔ結 線

変 換 で あ る か ら イ ン ピ ー ダ ン スZは

計 算 す る。 す な わ ち,図2.14(b)の

ア ド ミ タ ン ス1/Zと

イ ン ピ ー ダ ン ス は(2.52)式

の 逆 数 と して

して

(2.54)

とな る 。   ま た,図2.14(b)の2個

の ア ド ミ タ ン ス の 値 は(2.51),(2.53)式

か ら

(2.55) とな る。 よ っ て,図2.14(b)のkはk=1/(1+YZ/4)で

2.6 

対 称 三 相 回 路 の 解 析

  電 力 系 統 が 正 常 な状 態 で 運 転 さ れ て い る場 合,三 圧,電

ある。

相 電 力 系 統 の ほ と ん ど の部 分 の 電

流 は ほ ぼ 完 全 な 対 称 三 相 で あ る。 三 相 の 発 電 機,電

動機 お よび変圧 器 は各 相が

対 称 に 設 計 製 作 され て お り,送 電 線 も,各 相 の 導体 に 同 じ 導 体 を 使 用 し,こ 架(transpose)す

る こ と に よ っ て,各

れ ら を撚

相 が 対 称 とな っ て い る 。

  送 電 線 路 は電 気 的 に 各 相 が 対 称 で あ る の で,線 路 抵 抗,自

己 イ ンダ クタ ンスお よび

相 互 イ ン ダ ク タ ンス は 各 相 等 しい 。 す な わ ち,線 路 抵 抗 は,

(2.56) 自 己 イ ン ダ ク タ ン ス は,

(2.57) 相 互 イ ン ダ ク タ ン ス は,

(2.58) とす る。   各 相 の 電 圧 降 下 と し て,次

式 が 得 られ る 。

(2.59)

 これ ら の 関 係 に,(2.32)式

の 関 係 を 用 い る と,式 は 非 常 に 簡 単 に な り,

(2.60)

こ こ に,

(2.61) で あ り,第4章

に 述 べ る作 用 イ ン ピ ー ダ ン ス(正 相 イ ン ピ ー ダ ン ス)で

あ る。(2.60)

式 は 次 の よ う に表 す こ とが で き る 。

(2.62)

 この 行 列 を また 次 の よ う に 表 す 。

(2.63) こ こで,イ つ,対

ン ピー ダ ン ス 行 列(phase impedance

matrix)Zpは

対 角 行 列 で あ り,か

角 要 素 は す べ て 等 し い。

  (2.62)お よ び(2.63)式 る。 す な わ ち,a相

に お い て 注 意 す べ き こ と は,各

の 電 圧 降 下ΔVaはa相

の 電 流Iaの

相 は完 全 に 独 立 な こ と で あ み に 関 係 し,他 相 の 電 流Ib

およびIc と の相 互 作 用 は ま っ た くな い こ と で あ る。 これ は 中 性 線 の 帰 路 電 流 が 零 で あ る結 果 で あ る 。 ま た,各

相 の 電 流 が 三 相 対 称 で あ るた め,各 相 の 電 圧 降 下 も三 相 対

称 で あ る。 した が っ て,対 称 三 相 回 路 の 解 析 は1相

に つ い て 行 え ば よ く,解 析 を簡 明

に 行 う こ とが で き る 。   以 上 の 関 係 を 図2.15に

示 す 。 添 え 字s,rは

を 表 す 。Vsお

そ れ ぞ れ 送 受 両 端 の 相 電 圧 を 表 す 。 各 相 が120゜の 位 相 差 が

よ びVrは

それ ぞ れ送電 線 の送 電端 お よび 受電 端

あ る こ と を除 け ば,各 相 の対 応 す る ベ ク トル は す べ て 等 し くな り,1相 解析 す れ ばよい ことがわ かる。

【 例 題2.8】

三 相 送 電 線 の1相

で あ る。 送 電 端 の三 相 電 力 は,

の イ ン ピー ダ ン ス は

につ い て のみ

図2.15 

線 間 電 圧 は250kVで [解]  1相,例

対称 三相 系 統 の位 相 図

あ る。 受 電 端 の 電 力 と電 圧 を求 め て み よ う。

え ば,a相

に つ い て 解 析 を行 う。 基 準 位 相 と し て 送 電 端 の 相 電 圧 を 選

ぶ もの とす る 。

  送 電 端 の1相

当 た りの 電 力 は,

とな る。 電 力 の 公 式 か ら,

が 成 立 す るか ら,電 流 は,

とな る。   受 電 端 の 電 圧 はVsか

ら電 圧 降 下ΔVaを

引 い た 値 に 等 しい 。 よ っ て

と な り,受 電 端 の 線 間 電 圧 の 大 き さ は

となる。  受電 端 の1相 の複 素電 力 は

とな り,受 電 端 の 三 相 電 力 と し て 有 効 電 力=206.3〔MW〕 

無 効 電 力=−13.2〔Mvar〕

を 得 る。 送 電 線 の 有 効 電 力 の 損 失 は210−206.3=3.7MWで 抗5Ω

方,1相

得 る。

  受 電 端 の 三 相 無 効 電 力 は−13.2Mvarで は30Mvarで

あ る の で,送

あ り,送 電 端 で 供 給 さ れ る 三 相 無 効 電 力

電 線 に お け る 無 効 電 力 の 損 失 は30−(−13.2)=43.2

な る。1相 の リ ア ク タ ン ス60Ω

の送 電 線 の無 効 電 力 損 失 か ら三相 分 の送 電

線 の 無 効 電 力 の 損 失 を 求 め る と3×60×[(0.485)2+(0.0693)2]=43.2Mvarと

な る。

す な わ ち,送

電 線 に お い て 消 費 さ れ る無 効 電 力 は 送 電 端 か ら30Mvar,受

13.2Mvar供

給 さ れ る こ と に よ り釣 り合 う こ と に な る。

2.7 

電端か ら

三 相 系 統 に お け る 単 位 法

  三 相 系 統 を 単 位 法 に よ っ て解 析 す る 場 合,線 力 を 区 別 す る 必 要 が あ る。 ま ず は じ め に,例 capacity)900MWの 圧,電

の抵

の 送 電 線 に お け る 損 失 か ら三 相 分 の 送 電 線 損 失 を 求 め る と3×5×[(0.485)2+

(0.0693)2]=3.6MWを

Mvarと

あ り,一

流,容

の と し,そ

間 電 圧 と相 電 圧,1相 え ば,電

間 電 圧,三

の 電 力 と三 相 電 電 容 量(transmission

系 統 が あ る と し,こ れ ら を用 い た 基 準 値 の 算 出 と,電

量 お よ び イ ン ピ ー ダ ン ス の 諸 量 を求 め,改 の後,線

圧275kV,送

め て単位 法 の基本 を確実 な も

相 容 量 か ら直 接 単 位 法 の扱 い 方 に つ い て述 べ る こ と に

す る。   基 準 電 圧Vbと

し て 相 電 圧275/√3=158.8kVを,基

準 容 量Sbと

し て1相

当た り

の 電 力900/3=300MWを

選 ぶ の が 単 位 法 の 基 本 で あ る。 し た が っ て,基

び基 準 イ ン ピー ダ ン ス は1相

  解 析 の 結 果,電

準 電流 お よ

の値 と して そ れ ぞ れ 次 の よ う に 計 算 さ れ る。

圧 と して0.9puを

得 た とす れ ば,相 電 圧 と し て

で あ り,線 間 電 圧 と し て,

を得 る。 ま た,有

効 電 力 と し て0.65puを

を得 る。 ま た,三

相 有 効 電 力 と して は

得 た とす れ ば,1相

の有効 電力 として

を得 る。 次 に 例 題 を考 え よ う。

【 例 題2.9】 電 圧250kV,三

例 題2.8を

単 位 法 を用 い て 検 討 して み よ う。 電 圧,容

相 容 量300MVAと

す る。

[解]  1相 に 関 す る単 位 法 の べ ース 値 は,

と な る。 基 準 電 流 と基 準 イ ン ピ ー ダ ンス は 次 の よ う に な る 。

量 の 基 準 値 を線 間

これ ら1相 当 た りの べ ー ス 値 を用 い て,送 は,Vsを

電 端 の1相

の 電 圧 ,電 力,イ

ンピー ダンス

基 準 位 相 に 選 ぶ とす る と,

で あ る。 相 電 流 は

と な る。 電 流 のkA値

とな り,例題2.8と

は

一 致 して い る。

  受 電 端 の 電 圧 は,

とな る。受 電端 の相 電圧 のkV値

とな り,ま た,受

は電圧 のpu値

に基 準電 圧 を乗 じて

電 端 の 線 間 電 圧 の 大 き さ は相 電 圧 の√3で

あ り,pu値

の大 き さに

基 準 線 間 電 圧 を 乗 じ,

を 得 る 。 こ の 値 は 例題2.8と   受 電 端 の1相 役 値 を乗 じ,

の 電 力 のpu値

一 致 して い る 。 は,pu値

で 表 さ れ た 電 圧 にpu値

で表 された 電流 の共

と な り,1相

の複 素 電 力 はpu値

で 表 され た 上 式 の 結 果 に基 準 電 力 を 乗 じ,

と な り,三 相 複 素 電 力 は上 の 結 果 を3倍

と な り,こ れ らの 結 果 は例題2.8と

して,

一 致 して い る 。

  実 際 に電 力 系 統 の解 析 を 扱 う場 合 に は,電 圧 と し て相 電 圧 よ り も線 間 電 圧 を,電 と し て1相

の 電 力 よ り も三 相 の 電 力 を 問 題 に す る の が 普 通 で あ る 。 そ の た め,実

系 統 解 析 を行 う 場 合,基

力

際に

準 電 圧 と し て 線 間 電 圧 を,基 準 電 力 と し て 三 相 の 電 力 を 選

ぶ。   基 準 値 と して 三 相 電 力 お よ び 線 間 電 圧 を使 用 す る場 合,基 ンス を誘 導 す る式Ib=Sb/Vb,Zb=Vb/Ibを

準電 流 お よび イ ンピー ダ

修 正 す る必 要 が あ り,次 式 を 用 い る。

(2.64)

(2.65) ここに,SbはMVA単

位 の三 相電 力 の基 準 値,Vb,l-lはkV単

位 の 線 間 電圧 の基 準

値 で あ る。   基準 電圧 として線 間 電圧 のkV値 ると き,基 準三 相 電 力 のMVA値 値 が求 まり,線 間 電 圧 のkV値

を,基 準 電 力 と して三相 電 力 のMVA値

を用 い

を基 準 線 間 電圧 の√3倍 で 除す と基 準 電 流 のkA の2乗 を三 相 電 力 のMVAで

除 す こと に よっ て基 準

イン ピー ダンス の Ω値 が計 算 され,そ れ らは1相 の電 圧,電 力 か ら計 算 され る電 流, イン ピー ダ ンス の基 準値 と一致 す る。pu値 は,電 圧 につ いて は線 間 電圧 を線 間電 圧 の基 準値 で,容 量 につ い て は三 相容 量 を三相 容量 の基準値 で 除 して求 め られ る。   具体 的 に,例題2.9か 相 電力300MWを

ら,基 準電 圧 と して線 間 電圧250kVを,基

準 電 力 として三

選 ぶ もの とす る。 この線 間電 圧 と三相 容 量 か ら直 接 に基 準 電 流 と

イ ンピー ダ ンス を計 算 す る と

と な り,例題2.9に

お い て1相

の 基 準 電 圧 と1相 の 基 準 電 力 か ら求 め た 基 準 電 流 お よ

び 基 準 イ ン ピ ー ダ ン ス の 値 と一 致 す る結 果 を得 る。

問題  (1)時

間 をt〔sec〕,角 周 波 数 を ω 〔deg/sec〕 とす る と き,単 相 回 路 の 電 源 端 子 に お い て,端

子 間 電 圧υ=14.1sinωt〔kV〕,電

流i=28.2sin(ωt+15°)〔A〕

であ

っ た 。 有 効 電 力 お よ び 無 効 電 力 の 実 効 値 を求 め よ 。  (2)イ

ン ピ ー ダ ン スが5+j3Ω

の 負 荷 の 端 子 間 に周 波 数50Hz,実

効 値35kVの電

圧 が 加 わ っ て い る 。 この 抵 抗 に 加 え ら れ る複 素 電 力 お よ び皮 相 電 力 を求 め よ。  (3)線

間 電 圧300kVの 無 効 電 力15Mvarで

 (4)ベ

母 線 が 受 電 し て い る 三 相 電 力 は 有 効 電 力60MW,遅 あ る。 母 線 の 相 電 圧 を基 準 と して,線

ー ス 電 圧100kV,べース

容 量100MVAを

れ の

電 流 を求 め よ。

選 ぶ と き,べース

電 流,べース

イ ンピーダ ンスの値 を求 め よ。  (5)べー

ス値 と して 問 題1・4の

kA,1相  (6)線

べ ー ス を 選 ぶ と き,線 間 電 圧250kV,線

の イ ン ピ ー ダ ン ス1.25+j45.7Ω

間 電 圧60kVの

負 荷 の1相

のpu値

電 流3.5

を求 め よ 。

の イ ン ピーダ ンス は

で あ る。 こ の 負 荷 に供 給 さ れ る三 相 の 有 効 電 力,無

効 電 力 お よ び 皮 相 電 力 を求め

よ。  (7)図2.16に

与 え られ た 回 路 の 両 端 部 の2個

の ア ド ミタ ン ス を 除 い た 部 分 をΔ 回

路 に変 換 す る こ と に よ り,全 回 路 を1個

のΔ 結 線 の 回 路 に書 き改 め た 場 合 の

イ ン ピ ー ダ ン ス値 と2個 の ア ド ミタ ン ス の値 を求 め よ。  (8)三

相 送 電 線 の1相

の イ ン ピー ダ ン ス は

図2.16 Y結

線 を含 む回 路

で あ る。 送 電 端 の 三 相 電 力 は,

線 間 電 圧 は150kVで  (9)問

題(8)に び,受

お い て,基

あ る 。 受 電 端 の 三 相 電 力 と線 間 電 圧 を 求 め よ。 準 値 と し て 線 間 電 圧150kV,三

電 端 の 三 相 電 力 と線 間 電 圧 のpu値

相 電 力100MWを

選

を求 め よ。

【解答 は巻 末】

第3章

 変圧器

  発 電 機 で 発 生 す る電 圧 は最 高 で も25kV程 を数100kmに

度 で あ り,10GW程

わ た っ て 経 済 的 に送 電 す る に は,1000kVの

度 の大 容 量 の電力

超々 高 圧(Ultra

High

Voltage)の

送 電 技 術 が 必 要 と さ れ て い る。 変 圧 器 は低 い 発 電 機 電 圧 を 高 い 送 電 電 圧

に 昇 圧し,受

電 端 で降 圧 し,さ

3.1 

ら に需 要 家 端 で 使 用 電 圧 に降 圧 す る 。

理 想 変 圧 器

  理 想 変 圧 器(ideal

transformer)は,巻

心 の み を 通 り,漏 れ 磁 束 は な く,透磁 に小 さ く,そ

し て,鉄

線 抵 抗 を 無 視 す る こ と が で き,磁 率 は 十 分 に 大 き く,励磁

束 は鉄

電 流 は 無 視 で き る程 度

心内 の損 失が ない変圧 器 で ある。

  変 圧 器 の 巻 線 に流 れ る 電 流 の 向 き と鉄 心 を通 る 磁 束 の 向 き の 関 係 は重 要 で あ り,巻 線 端 子 に 黒 丸 印 を つ け て 極 性 を示 す 方 法 が 用 い られ る 。 こ の 方 法 は,電 つ い た端 子 か ら変 圧 器 に 流 入 す る と き,こ

流 が 黒丸 印 の

の 電 流 が 巻 線 内 を 流 れ る 向 き と磁 束 の 向 き

の 関 係 は 右 ね じ の 法 則 に従 い,電 流 は磁 束 と正 に鎖交 す る。

3.1.1 

電圧の 関係式

  鉄 心 を通 る磁 束 をφ,巻 υ1 ,巻

き 数N2の

き 数N1の

一 次 側 巻 線 に 鎖交 す る磁 束 をψ1,誘

導起 電 力 を

二 次 側 巻 線 に 鎖交 す る 磁 束 を ψ2,誘 導 起 電 力 をυ2と す る と き,電

磁 誘 導 の 法 則 か ら次 の 関 係 が 成 立 す る 。

(3.1) (3.2)   磁束 が時 間 的 に正 弦 波状 に変化 す る な らば,交 流 のベ ク トル(複 素)表 示 と同様, 誘 導起 電 力υ は電 圧 ベ ク トルV,磁

束 ψは 磁 束 ベ ク トルΦ で 表 す こ とが で き,

(3.1)式

お よ び(3.2)式

は 次 の よ う に 表 され る。

(3.3) (3.4) こ こ に,V1は

一 次 側 巻 線 の 誘 導 起 電 力 の 実 効 値 の 電 圧 ベ ク トル, V2は 二 次 側 巻 線 の

誘 導 起 電 力 の 実 効 値 の 電 圧 ベ ク トル,ω

は 角 周 波 数 で あ る。(3.3)式

を(3.4)式 で 割 る

と,誘 導 起 電 力 と巻 き数 に 関 す る次 の 重 要 な 関 係 を 得 る 。

(3.5)

こ こ に,aは

変 圧 器 の 巻 き 数 比 あ る い は 変 圧 比(transformation

ratios)と

よ ばれ

る。

【 例 題3.1】3巻 kVの

線 の 三 相 変 圧 器 が22kVの

三 相 発 電 機 か ら275kVの

工 場 に 電 力 を 供 給 し て い る。 三 相 変 圧 器 は3台

れ て お り,各 巻 線 はY結

の3巻

送 電 線 と154

線 の単 相 変圧 器 で構 成 さ

線 され て い る も の とす る。 変 圧 器 バ ン ク の 巻 き数 比 を 求 め

て み よ う。 [解]  V1,V2,お

よ びV3は3巻

線 変 圧 器 の 一 次,二

次 お よび三 次 の相 電 圧 を表 す も

の と し て,

で あ る 。 よ っ て,巻

き数 比 は

とな る。 こ こ に,a12は

一 次 と二 次 間,a13は

一 次 と三 次 間 の 巻 き数 比 で あ る。

3.1.2 

電流 および電 力の関係式

  一 次 巻 線 の 巻 き数 がN1,二 気 抵 抗(magnetic

path

次 巻 線 の 巻 き数 がN2の2巻

reluctance)を〓

とす る と,次

線 変圧 器 の鉄心 の磁路 の磁 の関係 が成立 す る。

(3.6) こ こ に,φ

は 鉄 心 を 通 る 磁 束,i1,i2は

一 次,二

次 巻 線 を 流 れ る 電 流 で あ り,N1i1,N

2i2な ど の 巻 き数 と電 流 の 積 は 起 磁 力 で あ る 。   電 流 と磁 束 が 時 間 的 に 正 弦 波 で あ る な ら ば,(3.6)式

は 電 流 ベ ク トルIお

よび磁 束

ベ ク トルΦ を 用 い て 次 の よ う に 表 す こ とが で き る 。

(3.7)   理 想 変 圧 器 は透磁 率 が非 常 に大 き い の で,磁 な す こ とが で き る 。 よ っ て,(3.7)式

気 抵 抗 は非 常 に小 さ く,〓Φ=0と

み

は,

(3.8) とな る。  (3.8)式 か ら電 流 の 共 役 値 を 取 る と次 の 関 係 を 得 る 。

(3.9) (3.5)式 の 関 係 を利 用 し て,次

の 関 係 が 成 立 す る こ とが 容 易 に わ か る。

(3.10) (3.10)式 よ り,理 想 変 圧 器 で は 一 次 巻 線 の 入 力 と二 次 巻 線 の 出 力 は 相 等 しい とい う こ とが で き る 。   3巻 線 変 圧 器 に つ い て,(3.9)式

お よ び(3.10)に

相 当 す る 関 係 は次 の よ う に な る。

(3.11) お よ び,

(3.12)

【例 題3.2】 22kV,二

図3.1の

変 圧 器 を 考 え る。 発 電 機 に 接 続 さ れ る変 圧 器 の 一 次 の 電 圧 は

次 の 電 圧 が275kV,二

次 出 力 が 有 効 電 力600MW，

無 効 電 力150

Mvarで

図3.1  3巻 線変 圧 器

あ り,三 次 の 電 圧 が154kVで

あ り,三 次 の 負 荷 は150MW，

力 率cosθ=1で

あ る3

巻 線 の 三 相 変 圧 器 を考 え る。 各 巻 線 の 電 流 と電 力 を求 め よ 。 [解]  V1を 基 準 ベ ク トル に 選 ぶ 。V1,V2お

よ びV3は

図3.2に

示 す よ うに 同相 で あ

る。

図3.2  磁 束,相 電 圧,巻 線 電流

  巻 線2お

よ び3の1相

の 出 力 電 力 は そ れ ぞ れ 次 の よ うに 表 され る。

(3.10)式 か ら,発 電 機 の1相

の 電 力 と して 次 の 関 係 を得 る。

発 電 機 の 端 子 電 圧 が22kVで

あ る か ら,電 流 は上 式 を 用 い て 得 ら れ る。

 図3.2に

3.1.3 

は,以 上 で 求 め た 電 流I1,I2,I3お

を示 す 。

理想変圧器 の等価 回路

  2巻 線 変 圧 器 の 理 想 等 価 回 路 は 図3.3に 比a12を

よ び電 圧 に90° 遅 れ る磁 束Φ

示 す よ う に表 さ れ る 。2巻 線 変 圧 器 の 巻 数

次 の よ う に表 す 。

(3.13) こ の場 合,電

圧 と電 流 の 関 係 は次 の よ う に 表 さ れ る。

(3.14) (3.15)

  図3.3(a)の

二 次 側 に は イ ン ピ ー ダ ン スZの

負 荷 が 接 続 さ れ て い る と す れ ば,次

の関係 が成立 す る。

こ こ に,V2は

変 圧 器 二 次 側 端 子 電 圧,I2は

  この 式 に(3.14)式

お よ び(3.15)式

二 次側電 流 であ る。

を 代 入 す る と,

(3.16)

ま た は,

(a) 

(b)

図3.3  2巻 線 理想 変 圧 器 の等 価 回路

(3.17)

と な り,Z'は

二 次 の 負 荷 イ ン ピ ー ダ ンスZを

  3巻 線 変 圧 器 に つ い て,一 る と き,次

一次 側 に換 算 した値 で ある。

次 と二 次 の 巻 数 比 をa12,一

次 と三 次 の 巻 数 比 をa13と す

の 関 係 が 成 立 す る。

(3.18) こ こ に,I2'お る。(3.18)式

よ びI3'は 変 圧 器 一 次 側 に換 算 さ れ た 二 次 お よ び 三 次 巻 線 の 電 流 で あ は図3.4に

示 す よ う な等 価 回 路 に な る 。

図3.4  3巻 線 理想 変 圧 器 の等 価 回 路

【例 題3.3】

図3.1に

二 次 電 圧275kVの は300Ω

示 す よ う な3巻 線 変 圧 器 に お い て,一 巻 線 の 各 相 に は250Ω

の 抵 抗,三

次 電 圧 は22kVで

次 電 圧154kVの

あ り,

巻線 の各 相 に

の 抵 抗 が 接 続 され て い る。 発 電 機 側 か ら見 た 全 負 荷 の 抵 抗 値 は い く らか 。

[解]  各 相 に は 図3.5(a)に 図3.5(b)に

示 す よ う に負 荷 が 接 続 さ れ て い る 。(3.17)式

示 す よ う な 等 価 負 荷 を得 る。 この 並 列 負 荷 の 和 を求 め る と,

と な る。 発 電 機 の 負 荷 は

を 用 い て,

図3.5  3巻 線 変 圧 器 の抵 抗 負荷

あ る い は,三 相 電 力 と し て,3×127.2=381.6MWを

3.2 

得 る。

実 際 の 変 圧 器

  理 想 変 圧 器 モ デ ル は簡 単 で あ るが,重

要 な 情 報 を得 る こ とが で き る 。 理 想 変 圧 器 に

よ る解 析 の結 果 は,実 際 の変 圧 器 で得 られ る値 か ら数 パ ー セ ン ト相 違 す るの みで あ る。た だ,理 想変 圧器 は損 失が な いので,温 度上 昇 がな く,送 電 す る電力 に制 限 は な い一方,実 際 の変 圧器 で は損 失 を伴 い,送 電 電力 に限界 が あ る。 また,理 想変 圧器 で は電圧 降下 はな く,電 流 の大 きさ に無関係 に端 子 電圧 は一 定で あ るが,実 際 の変圧 器 で は電圧 降下 が あ り,場 合 に よっ て は,こ れ が重 要 な結果 を もた らす。   ここで は,理 想 変圧器 に損 失 や磁 束の漏 洩 な どを加 えて実際 の変圧 器 を表 す こ と と し,理 想 変圧 器 の等価 回路 を実 際の 変圧器 に拡 張 す る。

3.2.1 励磁

電流 と鉄損

  実際 の変圧 器で は鉄心 の磁 気抵 抗 は0で はな いので,二 次側巻線 を開放 した変圧 器 の一次側 巻線 には励磁電 流 が流 れ る。励磁 電 流 のベ ク トル量 をImと す る と, (3.19) で 与 え られ る 。 こ こ に,〓

は 鉄 心 の磁 気 抵 抗,N1は

一 次 巻 線 の 巻 き数,Φ

は鉄 心 を

通 る磁 束 の ベ ク トル 量 で あ る 。   また,次

こ こ に,V1は

の 関 係 が 成 り立 つ 。

一 次 巻 線 の 誘 導 起 電 力 の ベ ク トル 量,ω

は電 源 電 圧 の 角 周 波 数 で あ る。

  よ っ て,

(3.20) こ こ に,Ymは

(3.21) で あ り,一 次 側 か ら見 た磁 気 ア ド ミタ ン ス(magnetizing   以 上 か ら,図3.3の

admittance)で

理 想 変 圧 器 の 回路 に 並 列 ア ド ミタ ン ス を加 え る こ とに よ っ て励磁

電 流 を 表 す こ とが で き る。 こ う し て 得 られ る等 価 回 路 を 図3.6(a)に ITは

あ る。

理 想 変 圧 器 を表 す 。(ZL1,ZL2に

つ い て は 後 述)

  磁 気 ア ド ミタ ン ス が 純 粋 な リ ア ク タ ン ス の み の 場 合,

示 す 。 図中 の

図3.6  理 想 変圧 器 に漏洩 イ ン ピー ダ ンス と励磁 イ ン ピー ダ ンス を加 えた等 価 回路

(3.22) と表 さ れ る。 し か し な が ら,無 負 荷 変 圧 器 は鉄 心 の ヒ ス テ リ シ ス や 渦 電 流 な ど に よ る 損 失 す な わ ち 鉄 損 を含 む た め,磁

化 の 電 力 に は 有 効 お よ び 無 効 電 力 が 含 ま れ る。 よ っ

て,Ymは,

(3.23) と表 す ほ うが よ り精 度 が 高 くな る。 磁 気 ア ド ミ タ ン ス に 抵 抗 分Gmを 係 を等 価 回路 で 表 す と,図3.6(b)と

3.2.2 

な る。

漏 洩 磁 束 と巻 線 抵 抗

  一 次 お よ び 二 次 の 巻 線 抵 抗 の 損 失 は 抵 抗R1お ま た,両

加 えた上 記 の 関

巻 線 に は 漏 洩 磁 束(leakage fluxe)φL1お

等 価 回路 で は漏 洩 リア ク タ ン ス(leakage き る。 よ っ て,変

よびR2を

用 い て 表 す こ とが で き る 。

よ びφL2が 生 じ る の で,こ

reactance)X1お

よ びX2で

れ らを

表 す こ とが で

圧 器 の 等 価 回路 に対 す る巻 線 抵 抗 と漏 洩 磁 束 の効 果 は,次 の よ う な

2つ の イ ン ピー ダ ン ス で 表 す こ とが で き る 。

(3.24) (3.25)

こ こ に,ZL1お

よ びZL2は

一 次 お よ び 二 次 の 漏 洩 イ ン ピー ダ ン ス(leakage impedance)

で あ る 。 これ らの 漏 洩 イ ン ピー ダ ン ス は図3.6(a)に

示 す よ う に理 想 変 圧 器 の 一

次 と二 次 に 直 列 に挿 入 して 表 す こ とが で き る。   さ ら に,理 想 変 圧 器 の 一 次 お よ び二 次 の漏 洩 イ ン ピ ー ダ ン ス は 次 式 の よ う に1つ ま と め,図3.6(b)に

に

示 す よ う に表 す の が 一 般 的 で あ る 。

(3.26)

【 例 題3.4】

周 波 数60Hz,容

量30MVAの2巻

線単 相 変 圧器 の定 格 電 圧 お よ び定

格 電 流 は 次 の 通 りで あ る。 高圧 側

：66.4〔kV〕,451.8〔A〕

低 圧 側 ：13.2〔kV〕,2273〔A〕 巻数比

：a=66.4/13.2=5.03

  1.低 圧側 を開放 し,高 圧 側 に定 格電 圧 を印加 して無負 荷試 験 を行 い,次 の結 果 を 得 た。  ￨I1￨ =￨Im￨=14 .0〔A〕(高 圧 側 定 格 電 流 の3.1%)  P1

  2.低

=41 .0〔kW〕(定

格MVAの0.1367%)

圧 側 を 短 絡 し,高 圧 側 の 電 流 が 定 格 電 流 に な る まで 高 圧 側 の電 圧 を上 昇 さ せ,

短 絡 試 験 を行 い 次 の 結 果 を 得 た 。  ￨V1￨  P1

=7 .97〔kV〕(高 =206〔kW〕(定

圧 側 定 格 電 圧 の12.0%)

格MVAの0

  こ れ ら の 試 験 結 果 か ら,Ymお

よ びZLを

.687%) 求 め よ。

[解]  無 負 荷 試 験 の 結 果 で は,定 格 電 流 の3.1%の る こ とが で き る。 した が っ て,実 き,次 の 関 係 を 得 る。

ま た,

電 流 が 流 れ る の で,銅

損 は無 視 す

測 さ れ た 電 力 は 鉄 心 の み の 損 失 と見 な す こ と が で

  低 圧 端 子 の 短 絡 試 験 で は,鉄

心 の 磁 束 は定 格 電 圧 の 印 加 時 の12%で

損 は無 視 す る こ とが で き る 。 した が っ て,実 こ とが で き,次

あ る の で,鉄

測 さ れ た 電 力 は銅 損 の み の 損 失 と見 な す

の 関 係 を得 る。

  故 に,変 圧 器 の 一 次 側 か ら見 た リア ク タ ン ス は,

よ り,

とな る。 こ こ に,I1は

変 圧 器 一 次 側 の 定 格 電 流,P1は

RLは変 圧 器 の 一 次 側 か ら見 た 抵 抗,XLは

変 圧 器 に 定 格 電 流 が 流 れ る と き の 銅 損,

変 圧 器 の 一 次 側 か ら見 た リア ク タ ンス で あ

る。   よ っ て,高 圧 側 に換 算 し た 漏 洩 イ ン ピー ダ ン ス は,

と な る。

【 例 題3.5】

例 題3.4の

変 圧 器 が 定 格 負 荷 の30%で,力

率cosθ=0.8で

運 転 さ れて て

い る と き,そ の 効 率 を 求 め よ。 [解]  変 圧 器 の 定 格 容 量 は30MVAで であ る。有効 電力 は        P2=9×0.8=7.2〔MW〕 と な る。

あ るか ら,変 圧 器 の 出 力 は30×0.3=9MVA

 入 力 は出 力 と鉄損 お よび銅損 を加 えた もの に等 しい。 鉄損PFeは 電圧 お よび磁 束 が 一定 に保 た れ てい るので 負荷 に無 関係 に一 定 であ り,銅 損Pcuは 負荷電 流 の2乗 に比 例 す るか ら,変 圧 器 の入力 は

とな る 。  よ っ て,効

率は

と な る。

【例 題3.6】

図3.7に

示 す よ う に,送 電 端 電 圧 が66.4kV,距

題3.4の2巻

線 単 相 変 圧 器 が 接 続 さ れ て い る。 変 圧 器 の低 圧 側 に6Ω

図3.7  送電 線 と変圧 器 の等 価 回路

離40kmの

送 電線 に例 の抵抗 負荷 が接

続 さ れ て い る 。1km当

た りの 送 電 線 の リア ク タ ン ス は1.25Ω/kmで

似 を 行 い,変 圧 器 の 一 次,二 [解] 励磁

次 側 の 電 圧,電

あ る 。 適 当 な近

流 を求 め よ 。

ア ド ミ タ ンス を イ ン ピー ダ ン ス で 表 す な ら ば,次

の よ うに なる。

  この イ ン ピ ー ダ ン ス は高 圧 側 に換 算 さ れ た 負 荷 イ ン ピ ー ダ ン スR'よ い。 し た が っ て,負

荷 電 流I2'と 比 較 し て,励磁

電 流Imは

こ の 例 の よ う に,電 力 系 統 の 解 析 に お い て はZm=∞

り著 し く大 き

無 視 す る こ と が で き る。

と置 くの が 一 般 的 で あ る。 さ ら

に,漏 洩 イ ン ピ ー ダ ンス は 主 と し て誘 導 性 で あ り,抵 抗 分 は 無 視 す る こ とが で き る。 こ の よ う な 近 似 を 行 う こ と に よ っ て,送 3.7(b)の

電 線,変

圧 器,お

よ び負 荷 の 等価 回路 を図

よ う に描 く こ とが で き る。

  負 荷 抵 抗 を 変 圧 器 の 一 次 側 に換 算 す る と,5.032×6=151.8Ω,例 器 の リア ク タ ン ス は17.6Ω

と な る 。 こ こ に,I1は

題3.4よ

り変 圧

で あ る か ら,変 圧 器 の 一 次 電 流 は

送 電 線 の 電 流 で,ま

た,変

圧 器 の 一 次 側 の 電 流 で あ り,I2'は

変 圧 器 二 次 側 の 電 流 を 一 次 側 に換 算 した 電 流 で あ る 。 変 圧 器 の 二 次 電 流I2は

とな る。  理 想変 圧器 の二 次側 の電 圧 を一次側 へ換 算 した電圧 は,

と な る。 よ っ て,理

想 変 圧 器 の 二 次 側 の電 圧 は,

と な る。 変 圧 器 の 一 次 側 の 端 子 電 圧 は,

と な る。   無 負 荷 の と き は,電

流 は 流 れ な い か ら,変 圧 器 の 二 次 側 電 圧 は66.4/5.03=13.2

kVで

あ る 。6Ω の 負 荷 を 接 続 す れ ば 二 次 側 電 圧 は11.45kVと

な る の で,こ

の変 圧

器 は負 荷 を接 続 した こ とで 二 次 側 電 圧 に お い て,

の 電 圧 が 変 動 す る こ とに な る。

3.3 

単 位 法

3.3.1 

変 圧 器 の 定 格 量 に よ るpu値

  電 圧,電

流 お よ び イ ン ピ ー ダ ン ス は 変 圧 器 の巻 線 間 で 変 化 し,唯 一,電

変 で あ る。 電 圧,電 ら ば,こ

流,イ

ン ピー ダ ン ス を ボ ル ト,ア ンペ ア お よ び オ ー ム 値 で 表 す な

れ ら の値 は各 巻 線 に つ い て 異 な る値 を と る。 し た が っ て,実

お い て,系

力 の みが 不

際 の系 統解 析 に

統 に は多 くの 変 圧 器 が 設 備 され て い る の で,各 巻 線 毎 に電 圧,電

流,イ

ン

ピ ー ダ ン ス を ボ ル ト,ア ン ペ ア お よび オ ー ム 値 で 表 す こ とに な り非 常 に煩 雑 と な る。 一方

,単 位 法 の使 用 は こ の 問 題 を著 し く軽 減 す る 。

  例 題3.6の30MVA変 2010Aで

圧 器 を 例 に 考 え る 。 一 次 側 電 流 は399.6A,二

あ る 。 定 格 一 次 電 流 は451.8Aで

あ る か ら,こ

次側電流 は

れ を電 流 の べー ス 値 に 選 ぶ

と,一 次 負 荷 電 流 は,

とな る。 ま た,二

次 側 の べー ス 電 流 は 定 格 二 次 電 流 に な るか ら,こ れ 対 す る 二 次 の 負

荷 電 流 は,

と な る。 この 例 の よ う に,単 位 法 に よ る と変 圧 器 一 次 と二 次 側 電 流 のpu値

は等 し く

な る。   一 次 側 の 定 格 電 圧 を べー ス 電 圧 に 選 ぶ と,二 次 側 で は二 次 の 定 格 電 圧 が べー ス 電 圧 に な る か ら,変 圧 器 の 一 次 と二 次 側 の 電 圧 のpu値

は,

と な る。   最 後 に,定 格 容 量 に よ る入 力 と出 力 の皮 相 電 力 のpu値

とな る。￨S1￨お よ び￨S2￨の 値 は直 接 電 圧 お よ び 電 流 のpu値

を 求 め る と,

か ら計 算 す る こ と も で き

る。

3.3.2 

変 圧 器 の イ ン ピー ダ ン ス

  実 際 に 電 力 系 統 を解 析 す る に は 単 位 法 を用 い て 行 わ れ る 。 そ の た め,変 ピ ー ダ ン ス を 単 位 法 で 計 算 す る こ と が 必 要 で あ る。 例 題3.4の30MVAの 考 え よ う。   変 圧 器 の 一 次 側 か ら見 た 漏 洩 リ ア ク タ ン ス は,

で あ る。 基準 量 として定格容 量 お よび一 次側 の定 格電 圧 を選ぶ。

  変 圧 器 の 漏 洩 イ ン ピ ー ダ ン ス のpu値

は,

とな る。   次 に,変 圧 器 の 二 次 側 か ら見 た 漏 洩 リア ク タ ンス の Ω 値 は,

圧器 の イ ン 変圧器 を

であ る。二次 側 の基準 量 は定格 容量 お よび二 次の定 格電 圧 となるか ら,

  変 圧 器 の 漏 洩 イ ン ピ ー ダ ン スZLのpu値

は,

と な る。 以 上 よ り,次 の よ う な重 要 な 結 果 を 得 る 。   電 圧 の 基 準 値Vbが

一 次,二

次 側 で 巻 き数 比a=N1/N2に

応 じ て決 定 され る な らば,

単 位 法 で 表 され る変 圧 器 イ ン ピー ダ ン ス の 値 は 一 次 と 二 次 の 両 側 で 等 しい 。 し た が っ て,変 圧 器 の パ ー セ ン トイ ン ピー ダ ン ス は1つ の 値 で 表 示 され る。 これ に よ り,変 圧 器 一 次,二

次 側 の 電 圧 の 基 準 を巻 き数 比 に合 わ せ て 選 ぶ 限 り,変 圧 器 は,直 列 イ ン ピ

ー ダ ン ス で 表 現 す る こ とが で き る。 一 般 的 に は 変 圧 器 の 一 次,二

次 の定格 電圧 が基 準

値 に選 ばれ る。

【 例 題3.7】

例 題3.6を

単 位 法 を 用 い て検 討 し て み よ う。 任 意 に 次 の よ う な 基 準 値 を

選定 す る。

[解]与

え られ た 容 量,電

圧 の 基 準 値 か ら電 流 お よ び イ ン ピー ダ ン ス の 基 準 値 を 求 め

る。

  以 上 の 基 準 値 を 用 い て 送 電 線 路,変

圧器 お よび負荷 の イ ン ピーダ ンス を計算 す る。

  線 路 の イ ン ピー ダ ン ス は1.25×40=50Ω pu値

は,

あ る か ら,送 電 線 路 の イ ン ピ ー ダ ン ス の

と な る。   変 圧 器 の定 格 電 圧66.4kV,容 のpu値

はj0.12puで

量30MVAを

基準 とした変圧 器 の イ ン ピ ー ダ ンス

あ る。 新 し い 基 準 値100kVお

よ び100MVAに

基 づ くpu値

は,

とな る。   変 圧 器 二 次 側 に接 続 され た6Ω

と な るか ら,pu値

の負荷 の イ ンピーダ ンス を一次側 に換算 す る と

は

とな る。 回 路 全 体 を単 位 法 で 表 し た 等 価 回 路 を 図3.7(c)に

示 す 。 送 電 端 電 圧 のpu

値 は,

で あ る。   以 上 よ り,電 流 のpu値

を求 め る こ とが で き る 。

 電 流 の ア ンペ ア値 はIb=1kAで

3.4  3.4.1 

あ るか ら,399.6Aと

な る。

三相変圧 器 単 相 変 圧 器 鉄 心 と三 相 変 圧 器 鉄 心

 三相 変圧 器 は3台 の単相 変圧 器 を用 い るか,あ るい は,1台

の三 相 鉄 心 の変 圧 器 を

用い る。三相 鉄心 変圧 器 の各相 の電圧 は対称 三相 で あ り,鉄 心 の磁 束 も同様 に対 称三

相 で あ る 。 そ の 結 果,三

相 鉄 心 の 磁 束 の和 は い か な る 瞬 間 も0で あ り,三 相 鉄 心 で は

磁 束 の帰 路 は 不 要 で あ る。 こ の た め,三 相 鉄 心 変 圧 器 の鉄 心 は 単 相 変 圧 器3台(こ を変 圧 器 バ ン ク と い う)の 鉄 心 よ り鉄 心 の 量 は 少 くて す み,廉

3.4.2 

れ

価 と な る。

三 相変圧器の一 般的な関係 式

  図3.8は2巻

線 の 三 相 変 圧 器 を示 す 。 こ の変 圧 器 に つ い て,一

次 と二 次 の 電 圧 お よ

び電 流 の 関 係 を考 え て み る 。 次 の 基 本 的 な 事 項 を 前 提 とす る。  1.変

圧 器 は理 想 変 圧 器 とす る 。

  2.一

次 お よ び 二 次 電 圧 は 対 称 三 相 で あ る とす る 。

  3.負

荷 は 三 相 平 衡 で あ り,し た が っ て,電

流 は 一 次 お よ び 二 次 と も対 称 三 相 で あ

る とす る 。   4.添

字1,2お

よ び3は

一 次(primary),二

次(secondary)お

よ び 三 次(tertiary)

を表 す。   5.位

相 を 区 別 す る場 合 に 添 え字a,b,cを

使用 す る。

  6.線

間 電 圧 は二 重 の 添 え字 で表 す 。 例 え ば,a,b相

間 の 一 次 電 圧 は,

(3.27) と な る。   単 相 変 圧 器 で は,変 圧 比 は 常 に 正 で あ り,一 次 と二 次 の 電 圧 ベ ク トル は 同 一 位 相 と な る。 し か し,三 相 変 圧 器 で は この 関 係 は 常 に 成 立 す る と は 限 ら な い 。 三 相 変 圧 比 は 次の ように複 素数 となる。

図3.8  三相2巻 線 変 圧器

(3.28) この 関 係 は,一 次 と二 次 の 電 圧 位 相 が 変 化 す る こ と を 示 す 。 角 α が 正 な ら ば,V2は V1に 遅 れ る の で,変  図3.8は

圧 器 は電 圧 を遅 らせ る働 き を す る。

理 想 変 圧 器 で あ る 。 この 変 圧 器 に お い て,

(3.29) が 成 り立つ 。 電 流 に 関 して は,

(3.30)

が 成 立 す る。   (3.28)式

と(3.30)式

か ら,次

の 結 果 を得 る。

(3.31) (3.31)式 か ら,変 圧 器 の 一 次 と二 次 の 電 圧 と電 流 の 位 相 差 は 図3.9に

示す ように常 に

等 し い とい う こ とが で き る。   実 際 的 に,変

圧 器 の 一 次 と二 次 の 電 圧 お よび 電 流 の 位 相 変 化 が 等 し く な る こ と は三

相 変 圧 器 の 並 列 運 転 に お い て 重 要 で あ る 。 す な わ ち,三

相 変 圧 器 の 巻 数 比 と位 相 の 変

図3.9  三相 変 圧 器 の等 価 回 路

(a)

(b)

(c) 図3.10 

Y-Y接

続 の2巻 線三 相 変圧 器

化 が 等 し い 場 合 の み,三 相 変 圧 器 の 並 列 運 転 が 可 能 で あ る。

3.4.3 Y結

線の変圧器

  い ま,2つ

の 三 相 母 線 の 間 に 設 置 さ れ る2巻 線 三 相 変 圧 器(2−winding

 transformer)を

考 え る 。 図3.10はY-Y結

ン ク は 図3.10(a)に

示 す よ う に,3台

線 の変圧 器 バ ン クを示 す。 この変 圧 器バ の 単 相2巻

る こ と に よ っ て構 成 さ れ る 。 図3.10(b)お 路 表 示 法 を示 す 。 図3.10(c)の とが で き る の で,こ

線 変 圧 器 の 一 次 と二 次 をY結

よ び(c)は2巻

線 三 相Y結

線 す

線変圧器の回

表 示 は電 圧 ベ ク トル と巻 線 の 向 き を 一 致 し て 表 す こ

の 表 現 が よ く使 用 さ れ る 。

  図3.10(c)の1と2の 号1の

3−phase

記 号 を つ け られ た2つ

の 巻 線 は鉄 心aに

付 い た 一 次 巻 線 は 一 次 側 母 線 電 圧V1a=￨V1￨∠0°

二 次 巻 線 は二 次 側 母 線 電 圧V2a=￨V2￨∠0°

巻 か れ て お り,記

が 印 加 さ れ,記

が 加 わ る 。 図3.10(c)の

号2の

付 いた

表 示 に よ って三 相

変 圧 器 の 変 圧 比 を 表 して み る。 三 相 変 圧 器 の 変 圧 比 は,

とな る。 こ こ に,N1お   図3.10に

よ びN2は

巻 線1お

よ び2の

巻 き数 で あ る。

示 さ れ た 三 相 変 圧 器 の 二 次 側 に 対 称 三 相 負 荷 が 接 続 さ れ た と き,各

は 同 じ大 き さ の 電 流 が 流 れ,電 ,そ の た め,1相

相 に

圧 降 下 が 生 じ る。 各 相 で 異 な る の は位 相 角120° であり

に つ い て の 解 析 で 充 分 で あ る。 各 相 の 電 力 は三 相 の 全 電 力 の1/3

でめ る 。 各 巻 線 に は 線 間 電 圧 の1/√3の

電圧 が 加 わ る。三 相 変圧 器 の定 格 は三 相 電

力 お よ び線 間 電 圧 で 表 さ れ る 。

【 例 題3.8】

図3.11に

圧 器 バ ン クT1お kVの

示 す 系 統 を考 え る 。23kVの

よ びT2の

並 列 運 転 に よ っ て 母 線2の

送 電 線 を 通 し て90km離

ら変 電 所 の 母 線4の   変 電 所 母 線4の 母 線4の

電 圧69kVに

60Hz,Y-Y接

れ た 母 線3に

。 た だ し,変 続,一

電 圧230kVに

送 電 す る。 変 圧 器T3は

ら2台

の 三相 変

昇 圧 さ れ,230 母 線3の

電圧か

降 圧 す る。

二 次 側 の 電 圧 は正 確 に69kVに

負 荷 を120+j60MVA,母

の 電 圧 は 何kVか

発 電 機 母 線1か

線2の

維 持 す る 必 要 が あ る も の と す る。

負 荷 を150+j60MVAと

圧 器 バ ン クT1お

次/二 次 電 圧23/230kVで

よ びT2は

す る と,母

容 量150MVA,周

あ り,変 圧 器T3は

容 量150MVA,

線1 波数

図3.11 

周 波 数60Hz,Y-Y接

続,一

次/二 次 電 圧230/69kVで

ー ダ ン ス は定 格 容 量 べー ス(自 タ ンス は1相

当 た り60Ω

送電系統

己 容 量 べー ス)でj0

あ る。 各 変 圧 器 の漏 洩 イ ン ピ .1puで

あ る 。 送 電 線 路 の リア ク

で あ る。

[解]  1相 当 た りの 基 準 容 量 をSb=100MVAと

す る。 母 線1の

基 準 に す る と,基 準 電 圧 はVb=23/√3kV,母

線2,3の

kV,母

線4の

  23kV線

基 準 電 圧 はVb=69/√3kVと

電 圧 の1相

の 電圧 を

基 準 電 圧 はVb=230/√3

なる。

路 の 基 準 電 流 は,

とな り,同 様 に して,230kV線 2.510kAで

路 の 基 準 電 流 は0.753kA,69kV線

路 の基 準電 流 は

ある。

  各 変 圧 器 の 漏 洩 リア ク タ ン ス は変 圧 器 の1相 で あ る か ら,1相

の 基 準 容 量 を100MVAに

の 定 格 容 量 べー ス(50MVA)で0.1

す れ ば,変 圧 器 の 漏 洩 リア ク タ ン ス は,

と な る。  230kV送

電 線 の 基 準 イ ン ピ ー ダ ン ス は(230)2/300=176.3Ω

ク タ ン ス60Ω

は60/176.3=0.340puと

  以 上 よ り,pu値   図3.12に

線4の

路 リア

な る。

を 用 い て 表 し た 系 統 図 は 図3.12の

お い て,母

で あ る か ら,線

電 圧V4を

よ う に表 さ れ る 。

基 準 に 選 ぶ 。 す な わ ち,V4=1.0∠0°

とす

(b)

(a) 図3.12 

る。 母 線4の1相

pu値

に 加 わ る 負 荷 のpu値

で 表 した 系 統 図

は(120+j60)/300=0.4+j0.2で

あ る か ら,

次 の 関 係 か ら 負 荷 電 流 を計 算 す る。

を得 る。 母 線2の

電 圧 をV2と

とな る。 母 線2に

接 続 さ れ た 負 荷 の1相

+j0.2で

あ るか ら,こ

す れ ば,

とな る。 こ の 関 係 よ り,電 流I2を

とな る。 母 線1の

の 複 素 電 力 のpu値

は(150+j60)/300=0.5

の 負 荷 に 流 れ る 電 流 をI2と す る と,

求 め る と,

電 流I1は,

とな る 。 よ っ て,母 線1の

電 圧V1は,

となる。

 以 上 よ り,母 線4の ×23=27.07kVに

電 圧 を69kVに

維 持 す る た め に は,発

保 持 す る必 要 が あ る。

電 機 母 線 の 電 圧 は1.177

3.4.4 Δ

接続の変圧 器

 Y接 続 の 変圧 器 は非 常 に簡 単 で あ るが,重 大 な実 際 上 の欠 点 が あ る。鉄 心 材 料 の 磁 気特 性 の非 線形 特 性 の た め,対 地 電 圧 が 歪 み,高 調 波電 流 を発生 す るが,Y接

続

で は,こ の電 流 が中性線 を流れ,電 子機器,通 信設 備 お よび コ ンデ ンサ な どに影響 を 及 ぼす。  Y接

続 の 変 圧 器 は,負

3.11の

変 圧 器T3を

3.13(a)は

荷 の わ ず か な 不 平 衡 の 場 合 に も非 常 に 厳 し い 。 例 え ば,図

考 え て み よ う。 こ の 変 圧 器 の 負 荷 は 不 平 衡 で あ る とす る 。 図

最 悪 の 場 合 を 示 し て い る。a相

流 は0で

あ る。69kVの

は1puの

電 流 が 流 れ る が,こ

で,b,c相

は1puの

電 流 が 流 れ て お り,b,c相

二 次 の 中 性 線 は 負 荷 電 流 の 帰 路 とな る。 一 次 側 で は,a相 の 電 流 はb,c相

に

の鉄 心 の起磁 力 の平衡 が存在 しな い の

を 帰 路 とす る こ と が で き な い。 そ の た め,1puの

たT1とT2の

の電

一 次 電 流 は80km離

れ

変 圧 器 の 中 性 点 へ の 帰 路 を 大 地 に取 ら な け れ ば な ら な い 。 こ の 途 中 で,

迷 走 す る電 流 が 電 子 機 器 や 通 信 設 備 に 擾 乱 を与 え る場 合 が あ る。   図3.13(b)に

示 す よ う に,変

圧 器T3の

三 次 巻 線 がΔ 接 続 さ れ た 変 圧 器 な ら ば ど

(a)Y-Y接

続

(b)Y‐Y‐Δ

接続

図3.13 

変圧 器 の不 平衡 負荷

う な る か を前 述 の 場 合 と比 較 す る。 前 述 の 場 合 と 同 様 に,1puの 荷 の た め,三

次 巻 線 に は0.33puの

循 環 電 流 が 流 れ,こ

二 次 側 の不 平 衡 負

の電 流 は一次 の総 ての相 に電

流 を 流 す 。 三 相 の 全 相 の 鉄 心 に は 平 衡 し た起 磁 力 が 生 じ,大 地 電 流 は 流 れ な い。Δ 接 続 は必 ず し も三 次 巻 線 で 行 う必 要 は な く,一 次 あ る い は 二 次 の どち らか 一 方 の 巻 線 を Δ接 続 す る こ と に よ っ て,同 様 な効 果 が 得 られ る。

3.4.5 

平衡負荷 におけるΔ‐Y接 続変圧器 の解析

  図3.14は2巻 の 中 性 点 と し,ど   図3.14(a)に

線 変 圧 器 のΔ‐Y結 線 を 示 す 。 二 次 側 端 子 の ど ち らの 極 性 をY接 ち ら を電 圧 端 子 に 選 ぶ か に よ っ て2つ

続

の 可 能 性 が あ る。

示 す 極 性 の 場 合 に つ い て 検 討 し て み よ う。 図 か ら 直 ち に,二

次電圧

は一 次 電 圧 よ り30° 進 ん で い る こ と が わ か る。 す な わ ち,

(3.32)   (3.31)式 に よ り,二 次 の 相 電 流I2aは 一 次 の 相 電 流I1aよ 流I1ab,I1caと 相 電 流I1aと

り30° 進 む 。 一 次 のΔ 電

の 関 係 は 次 式 で 表 さ れ る。

(3.33)   対 称 三 相 回 路 に 接 続 さ れ て い る とす る と,I1ab,I1bCお で,

(a)

(b) 図3.14 Δ‐Y結

線 変圧 器

よ びI1caは 対 称 三 相 と な る の

(3.34) と な る 。 こ の 関 係 を 用 い る と,(3.33)式

は次 の よ う に な る。

(3.35) (3.35)式 か ら,相 電 流 の 大 き さ はΔ 巻 線 の 電 流(Δ

電 流 ：Δ‐current)の√3倍

であ

る 。

【 例 題3.9】

例 題3.4の30MVA単

ン ク を用 い て,定 格 電 圧13.2kV,定 に昇 圧 す る。 変 圧 器 が 全 負 荷(full

相 変 圧 器3台

をΔ‐Y結 線 し,こ

格 容 量90MVAの load)で

の 三相 変 圧器 バ

発 電 機 か ら 母 線 電 圧115kV

運 転 され る と き一 次 お よ び 二 次 電 流 を 求

めよ。 [解]全

負 荷 に お い て,二

次電 流 の大 きさは次 の ように表 され る。

三相 変圧 比 は

とな る 。

 した が っ て,一

次 の全 負荷 に お ける相電 流 は

とな る 。Δ 電 流 の 大 き さ は

とな る 。

3.4.6 

三 相3巻

線変圧器

  三相 変圧 器が3つ の電 圧階 級 の間 で電力 を送 る場 合,3巻

線 を有 す る三相3巻 線 変

圧 器 を使用 す る。3巻 線 はそれ ぞれ一 次,二 次,三 次巻線 とよば れ る。3巻 線 はYお

よ びΔ 結 線 を含 み,Y‐Δ‐Y結 さ せ,変

線 が よ く用 い ら る 。Δ 結 線 に よ っ て 第3高

調 波 を循環

3.4.7 

電 所 な ど に お い て は調 相 設 備 な どが 接 続 され る。

三 相3巻

  図3.15(a)に

線 変 圧 器 の イ ン ピー ダ ン スの 計 算 法

示 さ れ る2巻 線 変 圧 器 の イ ン ピ ー ダ ン スZのpu値

二 次 の イ ン ピー ダ ン スZ1,Z2の ダ ン ス も図3.15(b)に

和 に 等 し い。 こ れ と 同様 に,3巻

は,一

次 お よび

線変 圧器 のイ ン ピー

示 す よ う な 構 成 に な っ て い る とす る と,次 の よ う な 関 係 が 成

立す る。

(3.36)

こ こ に,Z12は

二 次 端 子 を 短 絡 し,三 次 端 子 を 開 放 し て 一 次 端 子 で 測 定 し た 漏 洩 イ ン

ピー ダ ン ス,Z23は

三 次 端 子 を短 絡 し,一 次 端 子 を 開 放 し て 二 次 端 子 で 測 定 し た 漏 洩

イ ン ピー ダ ンス,Z31は

一 次 端 子 を短 絡 し,二

次 端 子 を 開 放 して 三 次 端 子 で 測 定 し た

漏 洩 イ ン ピ ー ダ ンス で あ る 。 (3.36)式

の 関 係 か ら,

(3.37)

を 得 る。 た だ し,多

くの 場 合,基

準 容 量 は3巻 線 に 共 通 と し て 与 え ら れ な い た め,

Z12, Z23, Z31は 共 通 の 基 準 容 量 に対 し て 換 算 す る 必 要 が あ る 。

(a) 図3.15 

 (b)

2巻 線 変 圧 器 と3巻 線 変圧 器 の 等価 回 路

3.5 

単 巻変圧器

  図3.16に

示 した2巻

線 単 相 変 圧 器 を考 え る 。 この 変 圧 器 の定 格 容 量 は100kVAで

あ り,定 格 電 圧 は1000/200Vと 側 が500Aで

す る。 よ っ て,定

あ る。 次 に,図3.16(b)お

こ の 結 線 に よ っ て,1巻

格 電 流 は,高

よ び(c)に

圧 側 が100A，

低圧

示 す よ う に 両 巻 線 を 結 合 す る。

線 当 た り の 電 圧 は 変 化 せ ず,鉄

心 の 磁 束 の 変 化 も な く,1200

Vの 巻 線 が 得 られ る。   1000V端

子 側 を二 次 と す る場 合,図3.16(b)に

圧 器(autotransformer)が 3.16(c)に も,2次

得 ら れ,ま

示 す よ う に1200/200Vの 端 子 の 最 大 電 流 は600Aで

示 す よ う に1200/1000Vの

た,200V端

単巻 変

子 側 を 二 次 と す る 場 合,図

単 巻 変 圧 器 が 得 ら れ る。 い ず れ の 場 合 に お い て あ り,図3.16(b)お

よ び(c)に

示 す よ う に巻 線

電 流 の 定 格 値 に よ っ て 制 限 さ れ る。 鉄 損 お よ び 銅 損 を増 加 させ る こ と な く,ま た,変 圧 器 を 過 負 荷 に す る こ と な く,定 格 容 量 を600kVAあ 600%あ

る い は20%増

る い は120kVAす

なわ ち

加 す る こ とが で き る 。

  定 格 容 量 を 増 加 させ る こ と に よ る 実 質 的 な 利 点 は コ ス トで あ る。 この 巻 線 の 結 合 に よ る変 圧 器 の イ ン ピ ー ダ ン ス や 短 絡 電 流 へ の 影 響 を 調 べ て み よ う。 図3.16(a)に し た2巻

線 単 相 変 圧 器 の イ ン ピ ー ダ ン ス はj0.06puで

1/0.06=16.7puと

あ る と す る。 短 絡 電 流 は

な る。

(a)基

(b)接

本接続

 (c)接

続1

図3.16 

単 巻変 圧 器

示

続2

  次 に,図3.16(b)に

示 す よ う に単 巻 変 圧 器 を結 線 す る場 合,短

二 次 側 に お い て 発 生 す る とす る。 こ の場 合,1200Vの

に加 わ る こ と に な る 。 イ ン ピ ー ダ ン ス の変 化 は な い の で,短 200倍,す

な わ ち6倍

0.06/6=0.01puと

  表3.1か

絡 電 流 は 前 の 値 の1200/

ン ピ ー ダ ン ス のpu値

は1/6に

減 少 し,

の 問 題 点 は,一

次 と二 次 が 直 流 的 に 接 続 さ れ て い る こ と で あ

単 巻 変 圧 器 の 定 格 とイ ン ピ ー ダ ン ス に 関 す る特 性 を 示 す 。 ら,単 巻 変 圧 器 の電 圧 比 を1に 近 づ け る と,MVA容

流 も増 加 す る 。 単 巻 変 圧 器 は電 圧 比 が2：1あ   図3.17は

巻線

な る。

  単 巻 変 圧 器 の も う1つ る。 表3.1に

に な る 。 よ っ て,イ

絡 が 電 圧1000Vの

一 次 側 の 電 圧 が200Vの

量 は 増 加 し,短 絡 電

る い は そ れ 以 下 の場 合 に 利 点 が あ る。

一 般 的 な 三 相 構 造 の 巻 線 結 線 を示 す 。 三 次 のΔ 巻 線 は 三 相 平 衡 の 場 合 は

機 能 し な い が,不

平 衡 負 荷 あ る い は 不 平 衡 故 障 の 場 合 に 作 用 す る 。 こ の変 圧 器 は2巻

表3.1

注 ：接 続1,接

図3.17 

続2は,そ

れ ぞ れ 図3.16(b),(c)に

示 す 接 続 に相 当

3次 巻 線 としてΔ 結 線 を持 つY‐Y結

合 の 単巻 変 圧 器

線 変圧器 と比 較 し,小 型 で安 価 で あ る。

3.6 

タ ップ付変圧器 の モデル

  電 力 系 統 に お け る変 圧 器 の 基 本 的 な 機 能 は,発 電 機 の 低 い電 圧 側 か ら送 電 線 の 高 い 電 圧 側 に昇 圧,ま

た は,変 電 所 で 降 圧 な どの 電 圧 変 換 で あ る。 し か し な が ら,変 圧 器

は有 効 電 力 お よ び 無 効 電 力 の 流 れ を制 御 す る付 加 的 機 能 も備 え て い る。 一 般 に,変 器 は 電 圧 の 大 き さ を ±10%の 化 さ せ,ま

範 囲 で 調 節 し,あ

圧

る種 の 変 圧 器 は 線 路 電 圧 の 位 相 角 を 変

た は,電 圧 の 大 き さ と位 相 の 両 者 を制 御 す る。 こ の よ うな 機 能 を 持 つ 変 圧

器 は電力系 統 の重要 な 回路要 素で あ る。   無 電 圧 タ ッ プ切 換 変 圧 器(no‐voltage

tap changing

transformer)で

は変 圧 器 の

タ ン ク 内 の 巻 線 近 傍 に 切 換 器 を置 き,無 電 圧 の状 態 で 変 圧 器 の 外 部 か ら タ ップ 操 作 を 手 動 で 行 う 。 負 荷 時 タ ッ プ 切 換 器(on‐load

tap changer)で

は変 圧 器 が 負 荷 を 取 っ

て い る と き タ ッ プ を切 り換 え る方 式 で リ ア ク トル 式 と抵 抗 式 が あ り,タ

ッ プ間 短 絡 時

の 電 流 制 御 に 使 用 す る 。 操 作 は 電 動 で 行 う。 負 荷 時 タ ッ プ切 換 器 を備 え た 変 圧 器 を 負 荷 時 タ ッ プ切 換 え 変 圧 器(on‐load 別 に 負 荷 時 電 圧(位

相)調

tap changing

整 器(on‐load

れ は負 荷 時 タ ッ プ 調 整 器 を使 用 す る が,線

transformer)と

よぶ が,こ

voltage(phase)regulator)が

れ とは

あ る。 こ

路 に直 列 に変 圧 器 巻 線 を挿 入 し,電 圧 あ る

い は位 相 ま た は そ の 両 方 を調 整 す る 。   また,電

圧 を段 階 的 に 調 整 す る負 荷 時 タ ップ 切 換 え変 圧 器 の 他 に,電

相 を微 調 整 す る典 型 的 な 変 圧 器 と し て 調 整 変 圧 器(regulating

図3.18 

負 荷 時 電圧 調 整 変 圧器

圧 あ る いは位

transformer)が

あ

る。 こ の 変 圧 器 に は 電 圧 を微 調 整 で き る 負 荷 時 電 圧 調 整 変 圧 器(regulating former

for voltage

変 圧 器(regulating

magnitude

control)お

transformer

for phase‐angle

control)が

あ る 。 図3.18に

の 大 き さ を調 整 す る 負 荷 時 電 圧 調 整 変 圧 器 を示 す 。 ま た,図3.19は 変 圧 器 を 示 す 。 図3.20の タ ッ プ 巻 き線(tapped 位 相 巻 き線(phase 

trans

よ び位 相 を微 調 整 で き る負 荷 時 位 相 調 整 電圧

負荷 時 位相 調 整

位 相 図 は負 荷 時 位 相 調 整 変 圧 器 に よ る位 相 角 の 変 化 を示 す 。 winding)と

winding)と

よ ば れ る タ ッ プ を も つ3つ

の 巻 き線 は そ れ ぞ れ

同 じ鉄 心 上 に巻 か れ て い る。 そ の 電 圧 は 中 性 点 か ら

タ ップ 巻 き線 の 中央 の 点 の 電 圧 と90° の 位 相 差 とな る。   例 え ば,図3.20に

お い て,Vbcと

整 電 圧 に よ っ て 中 性 点nに に,調

同 相 か あ る い は180° の 位 相 差 が あ るΔVanの

対 す る 電 圧Vanは

変 化 し,新

し いVanと

調

な る 。 図3.20

整 電 圧 の 大 き さ の僅 か な 変 化 に よ っ て 各 線 間 電 圧 の 位 相 角 が 変 化 す る様 子 を 示

す。

図3.19 

図3.20 

負 荷 時位 相 調 整 変圧 器

負 荷 時位 相 調 整 変圧 器 の位相 図

  と こ ろ で,変

圧 器 の 一 次,二

法 を用 い て,変

圧 器 は直 列 イ ン ピ ー ダ ン ス で 表 現 で き る こ と を説 明 した 。 し か し,タ

ッ プ付 変 圧 器 の 場 合,定

次 の電 圧 べー ス 値 の 比 を巻 線 比 に 等 し く選 べ ば,単

位

格 タ ッ プ で あ る基 準 巻 線 比 か ら ず れ て 運 転 さ れ る と き に は,

そ の取 り扱 い に 工 夫 を 要 す る。 図3.21に

変 圧 比1/aで

運 転 され て い るタ ップ付変 圧

器 を 示 す 。 ち な み に,a=1の

場 合 が 基 準 巻 線 比 で の 運 転 と な り,電 圧 の 大 き さ が

2%上

相 が3° 変 化 す る場 合 に は〓

昇 す る場 合 に は1.02,位

  図3.21は2つ 電 圧V1,V2は

の 母 線 か ら変 圧 器 に 流 入 す る電 流I1とI2を

とな る 。 示 す た め 矢 印 を 付 加 し,

基 準 母 線 に対 す る 両 側 母 線 の 電 圧 で あ る 。 こ こで 電 圧,電

二 次 の 基 準 電 圧,電

流 で 表 わ し たpu値

で あ る。 母 線#1か

流 は一 次,

ら理 想 変 圧 器 に 流 れ 込 む

複 素 電 力 の 式 は 次 の よ う に な る。

(3.38) 母線#2か

ら理 想 変圧 器 に流れ 込 む電力 は (3.39)

で あ る。 い ま,損 失 の な い 理 想 変 圧 器 を考 え て い る の で,母 流 入 す る 複 素 電 力 は,こ

の 変 圧 器 か ら母 線#2に

な らな い 。 す な わ ち,次

の 関 係 が 成 立 す る。

線#1か

ら理想 変 圧器 に

流 出 す る 複 素 電 力 に 等 し く な けれ ば

(3.40)

よ っ て,

(3.41)

図3.21 

変圧 比1/aで 運転 され て い る タ ップ付 変 圧 器

図3.22 

また,電

流I1は

タ ップ付 変 圧器 の π型 等 価 回路(aが

定 数 の 時)

次 式 に よ っ て も表 さ れ る。

(3.42)

ま た は,

(3.43)

と な る 。 こ こ でY=1/Zで

あ る 。(3.41),(3.43)式

を 用 い て,I2に

つ いて解 くと

(3.44)

  式(3.43)と(3.44)か

ら,aa*=￨a￨2で

あ る の で,母

線#1,#2に

関 す る ノ ー ドア ド ミ

タ ン ス 行 列 は 次 の よ う に な る。

(3.45)

  上 記 の 値 につ い て,aが が で き る。 す な わ ち,タ い な ら ば,図3.22に

実 数 の 時 の み,Y21=Y12と

な り,等 価 π 回 路 で 表 す こ と

ッ プ 付 変 圧 器 が 電 圧 の大 き さ の み を変 化 し,位 相 が 変 化 し な

示 す よ う な π 型 等 価 回 路 を得 る。

問題 (1)定

格 が110/440V,2.5kVAの ピー ダ ン ス が0.06Ω ス のpu値

単 相 変 圧 器 が あ る。 低 圧 側 か ら は か っ た イ ン

で あ る 。 こ の 変 圧 器 の 定 格 値 を 基 準 とす る イ ン ピー ダ ン

を 高 圧 側 と低 圧 側 に つ い て 求 め よ 。

(2)

電 圧275/66kV,容 き,こ

量300MVAの

の 変 圧 器 の275kV側

変 圧 器 の イ ン ピ ー ダ ン ス が14%で

か ら見 た イ ン ピー ダ ン ス と66kV側

ある と

か ら見 た 内 部

イ ンピー ダ ンスのオ ーム値 を求 め よ。 (3)

問 題(2)の kVに

(4)

変 圧 器 に つ い て,基

取 れ ば,高

問 題(3)に

準 容 量 を500MVAに

高 圧 側 の 基 準 電 圧 を250

圧 側 か ら見 た 変 圧 器 の％ イ ン ピー ダ ン ス は い く らに な るか 。

関 連 して,基

準 容 量 を500MVAと

見 た％ イ ン ピ ー ダ ン ス 値 も同 じ く28.2%に

し て,こ

の変 圧器 の低 圧 側 か ら

す る た め に は低 圧 側 の 基 準 電 圧 を

い くらに選 べ ばよいか 。 (5)

50kVA,400/2000Vの 0.02Ω,リ

単 相 変 圧 器 は 一 次 側 の イ ン ピ ー ダ ン ス が 抵 抗R1=

ア ク タ ン スX1=0.06Ω,二

Ω,リ ア ク タ ン スX2=1.5Ω Gm=2mS,リ

kVA,力

で あ り,磁 気 ア ド ミ タ ン ス(一

ア ク タ ン ス 分Bm=−6mSで

率0.8の

次 側)の

抵抗分

あ る 。 こ の 変 圧 器 は2000V，40

負 荷 に 電 力 を供 給 して い る。 図3.6(a)の

を用 い て 一 次 側 端 子 の 電 圧,電 (6)

次 側 の イ ン ピ ー ダ ン ス が 抵 抗R2=0.5

変 圧 器 の等 価 回 路

流 を 求 め よ。

3台 の 単 相 変 圧 器 を 用 い て 三 相 変 圧 器 バ ン ク を構 成 し,線 間 電 圧13.8kVの 相 発 電 機 電 圧 か ら線 間 電 圧154kVの 量 は45MVAで Δ(c)一 一次

,二

送 電 線 電 圧 に 昇 圧 す る。 発 電 機 の 定 格 容

あ る 。 三 相 変 圧 器 バ ン ク を(a)一

次Δ 二 次Δ に 結 線 す る場 合,そ 次 の 定 格 電 圧,電

三

次Δ 二 次Y(b)一

次Y二

次

れ ぞれ の結 線 に お け る単相 変 圧 器 の

流 お よ び 容 量 を求 め よ 。

【 解答 は巻 末】

第4章  送電線路

4.1 

線路の イ ンダ クタ ンスと静電容 量

4.1.1 

架空電線の 種類

  送 配 電 線 の 建 設 費 の 低 下 を 図 る た め に は,径 らす こ とが 大 切 で あ る 。 しか し,径 間 長Sを

間 長 を増 大 させ,鉄

塔や 電柱 の数 を減

増 大 さ せ れ ば 電 線 の 弛 度(た

る み)は

増 大 し,架 線 の 地 上 高 が 減 少 す る。 この た め に 鉄 塔 の 高 さ を 増 大 さ せ れ ば,そ っ て 鉄 塔 全 体 の 構 造 の 強 化 が 必 要 とな る。 し た が っ て,弛 度 が あ り,弛 度 を一 定 値 に 抑 え,かつ

度 の大 き さ に は経 済 的 な 限

径 間 長 を で き る だ け長 く保 つ た め に は,電 線 に

加 わ る張 力 を 増 大 させ る こ とが肝 要 で あ る 。 この た め に,架 い は ア ル ミ線 に は,必

れ に伴

空 線 に使 わ れ る銅 線 あ る

ず 冷 間 圧 延 され た 硬 銅 線 あ る い は 硬 ア ル ミ線 を 用 い,可撓

性

(flexibility)を 増 大 させ る た め に撚 り線 を使 用 して い る。 硬 銅 線 の 抗 張 力 は 同 じ寸 法 の 軟 銅 線 の お よ そ160%で

あ る が,導

電 率 は お よ そ95%で

あ る。

  電 線 は 高 温 に さ ら さ れ る と焼 き鈍 し され て 抗 張 力 が 低 下 す る。 こ の た め,電 線 に 流 れ る 電 流 値 は そ の 電 線 の 許 容 電 流(安 通,電

全 電 流)を

越 え て は な ら な い 。 わ が 国 で は普

線 の 最 高 許 容 温 度 を鋼 心 ア ル ミ よ り線 で は 連 続 使 用90℃,短

ま た硬 銅 よ り線 で は連 続 使 用90℃,短   表4.1は

時 間 使 用100℃

時 間 使 用120℃,

としてい る。

架 空 線 に 使 用 さ れ る硬 銅 よ り線 の わ が 国 の 標 準 寸 法 を 示 し て い る 。 素 線 数

は7‐19‐37… とい う よ う に進 ん で い く こ とに 注 意 し よ う。   鋼 心 ア ル ミ よ り線(A.C.S.R.:Aluminium

Cable

Steel Reinforced)は

張 力 の 高 い 鋼 線 の よ り線 の 上 に硬 ア ル ミ線 を 撚 っ た 線 で,電 線 に依 存 し,導

電 は 専 らア ル ミ線 に頼 る方 式 の 電 線 で あ る 。 わ が 国 の110kV以

送 電 線 の 多 くはA.C.S.R.を   表4.2に

極 めて抗

線 の 抗 張 力 の 大 部 分 は鋼 上 の

採 用 して い る。

わ が 国 の 鋼 心 ア ル ミ よ り線 の 標 準 を示 す 。A.C.S.R.に

っ き鋼 線 の 抗 張 力 は1225〔N/mm2〕

以 上 もあ り,ピ ア ノ線 並 の 強 度 で あ る。 図4.1は

鋼 心 ア ル ミ よ り線 の 構 造 を 示 す 。 ま た,わ ACSR(TACSR)が154kV,275kV,500kV系

使用 され る亜鉛 め

が 国 で は特 に超 高 電 圧 の送 電 線 に耐 圧 に 導 入 さ れ,使

用 さ れ て い る。 こ

表4.1 

表4.2 

Al：

ア ル ミ ニ ウ ム,St：

硬 銅 よ り線 標 準(JIS

鋼 心 ア ル ミ よ り線 の 標 準(JIS

鋼 を 示 す 。1条

で,許

C

3110)

あ る 。

ル ミに 微 量 の ジ ル コ ニ ウ ムZrを

容 電 流 は通 常 のACSRよ

3105)

の 標 準 長 さ は 公 称 断 面 積 が25∼95mm2は1000m，

120∼330mm2は2000m，410∼810mm2は1600mで

れ は,ア

C

り40∼50%多

添 加 し た ア ル ミ合 金 線 を 使 用 し たACSR くな る。

(a)外

観

 (b)断

面形 状

図4.1  鋼 心 アル ミ線 の構 造

4.2 

電 力ケー ブル

  わ が 国 の 大 都 市 で は 中 心 部 の 電 力 需 要 が 急 激 に増 大 しつ つ あ り,中 心 部 の 変 電 所 へ の地 中 送 電 電 圧 も これ に と もな っ て 上 昇 し て い る 。 特 に 東 京,大 は,郊 外 の 変 電 所 か ら154kVあ

る い は275kVの

電 が 行 わ れ て い る 。 こ の た め,こ mの

ト ン ネ ル が 掘 削 さ れ,そ

ー ブ ル(Oil

電力 ケー ブ ルで都 心 の 変 電 所 へ 送

れ らの 都 市 で は地 下 に 洞 道 と よ ば れ る高 さ お よ そ2

の 中 に 電 力 ケ ー ブ ル が 布 設 さ れ て い る。 こ の 電 圧 範 囲

の 電 力 ケ ー ブ ル に は 単 心 のOFケ   単 心 のOFケ

阪の よ うな大都 市 で

ー ブ ル あ る い はCVケ

Filled Cable)の

ー ブ ル が 使 用 され る。

構 造 は 図4.2(a)に

示 され る よ う に 中 心

に絶 縁 油 の 通 路 が あ り,そ の 外 側 の 導 体 に は絶 縁 紙 が 巻 か れ て い る 。 絶 縁 紙 層 の 外 側 に は ア ル ミの 管 の 被 覆 が 施 さ れ,油 に耐 電 圧 が 高 い た め,ア

密 性 が 保 た れ る 。 絶 縁 紙 は一 般 に 紙 面 に 垂 直 方 向

ル ミ被 覆 管 は電 界 を紙 面 に直 角 に保 つ こ とに よ っ て,絶

縁の

強 化 に も役 だ っ て い る。 絶 縁 油 は 油 タ ン ク の ヘ ッ ドに よ っ て 大 気 圧 以 上 に 常 時 加 圧 さ れ て い る た め,絶

縁 体 内 の ボ イ ド(気 体 の 泡)の

が 可 能 に な る。 実 際,275kVの

発 生 が 防 が れ,絶

ケ ー ブル で も絶 縁 厚 は25mmに

縁 を薄 くす る こ と

満 た な い。 こ の ア ル

ミ被 覆 の 腐 食 を 防 止 す る た め に,外 側 に ビ ニ ル の 防 食 層 が 設 け られ て い る 。   OFケ

ー ブ ル は絶 縁 性 は極 め て 高 い が,油

関 係 の 補 助 設 備 を 必 要 とす る た め,ケ

ブ ル 長 が 短 い 場 合 に は 経 済 的 で は な い 。 ま た,高 係 か ら,使 用 が 制 限 され る。 こ の た め,最 領 域 で は図4.2(b)に   CVケ

近 で は技 術 の 進 歩 と 共 に,22∼270kVの

示 さ れ る乾 式 のCVケ

ー ブ ル が 多 く使 わ れ る よ う に な っ た 。

ー ブ ル は 架 橋 ポ リエ チ レ ン 絶 縁 ケ ー ブ ル(Cross-linked

sulated vinyl sheathed

cable)の

polyethylene

略 称 で あ る 。 架 橋 ポ リエ チ レ ン と は,高

有 し な が ら も耐 熱 性 に 劣 る通 常 の ポ リエ チ レ ンの 重 合 度 を高 め,耐 リエ チ レ ン で あ る 。 ご く最 近 で は500kVのCVケ CVケ

ー

低 の落 差 が 大 き い 場 所 で は油 圧 の 関

in

い絶 縁性 を

熱 性 を付 与 し た ポ

ー ブ ル も作 ら れ る よ う に な っ た 。

ー ブ ル は 通 常 は洞 道 内 に 布 設 さ れ る か ， 直 埋 され る。

(a)OFケ

ー ブル

 (b)CVケ 図4.2 

ー ブル

単 心 ケー ブ ル

  ケー ブル は架 空線 に比 べれ ば占有空 間が極 めて小 さ い こ とと,都 市 美観 の見地 か ら も優 れて い る こ とが大 きな特徴 であ る。 そのた め,架 空線 に比 して遥 か に建 設費 が高 価で あ るに もかか わ らず,最 近,使 用 の増加 傾 向が著 しい。

4.3  4.3.1 

線 路 インダ クタンス 直 線 単 導 体 の イ ンダ ク タ ン ス

 電流Iが 流 れ る半径aの 直線 導体 の 中心軸 か らr(r≧a)の

点 の磁 束 密 度B(r)は, (4.1)

で与 え られ る。 ここ に,μ は透 磁率 で あ り,大 気 中の 場合 には真 空 の透 磁 率μoで 表 す こ とがで きる。 この関係 を用 い て,導 体 が大 気 中 にあ る場 合 につ いて,導 体 表面 か ら半 径R(R≧a)ま

での導体 の外側 に存在 す る磁束 と導体 単 位長 あた りの磁 束鎖 交 数

は, (4.2) と な る 。 し た が っ て,(4.2)式

よ り,電 流Iが

い て,導 体 の 中 心 軸 か ら 半 径aとRの

流 れ る直 線 導 体 の 単 位 長 さ 当 た り に つ

間 の 導 体 の 外 部 を 通 る磁 束 を計 算 す る こ と が

で き る。 こ の磁 束 と導 体 とが 鎖 交 す る磁 束 に よ る 外 部 イ ン ダ ク タ ン ス は,

(4.3)

図4.3  円形 断面 の 導体 とな る。   磁 束 は導 体 内 部 に も存 在 す る。 い ま,図4.3に

示 さ れ た 半 径aの

度 で 電 流I〔A〕 が 流 れ て い る と き,導 体 の 中 心 軸 か らr(r≦a)の

導 体 に均 一 な 密

点 の 磁 束 密 度 は,

となる。   い ま,単 位 長 さ の 導 体 を 図 示 の よ う に 半 径r,厚

さdrの

薄 肉 の 管 の 集 合 と考 え,

そ の 一 つ に鎖 交 す る 導 体 内 の磁 束 を求 め れ ば,

とな る 。 し た が っ て,電

流Iが

角 周 波 数 ω の 交 流 で あ る と き,こ

の 管 に は軸 方 向 に

単 位 長 さ あ た り,

の 誘 導 起 電 力 が 誘 起 さ れ る。 そ の 値 は 中 心 で 最 大 で,rに る 。 す な わ ち,中

対 して放 物 線 状 に減 少 す

心 に 近 い 管 ほ ど誘 導 起 電 力 が 大 き く,交 流 周 波 数 が 高 い 場 合 に は 中

心 部 に は 電 流 が ほ とん ど 流 れ な くな る。 こ の よ うに 交 流 電 流 の 周 波 数 が 高 く,導 体 の 直 径 が 大 き くな る に従 い,導

体 内 の 電 流 が 中 心 部 で 減 少 し,表 面 に近 づ くほ ど大 き く

な る 。 この 現 象 を 表 皮効 果(skin

effect)と

よん で い る。

 さて,い ま上 述 の 円形 断 面 に働 く面積平 均 の誘導起 電力 を求 めれ ば,

と な る。 し た が っ て,平

均 的 な 内 部 イ ン ダ ク タ ン ス と して,

(4.4)

を得 る。 す なわ ち,円 形 断面 導体 の 内部 イ ンダ ク タ ンスLiは 導体 半 径 に無 関係 で あ る 。

  半 径aの

円 形 断 面 の 直 線 導 体 の 中 心 軸 か らR(r≧a)ま

長 さ 当 た りの イ ン ダ ク タ ンスLは

で の磁 束 を対 象 とした単 位

外 部 イ ン ダ ク タ ン スLoと

内 部 イ ン ダ ク タ ン スLi

の和 と し て,

(4.5)

とな る。 さ ら に,真

空 の 透 磁 率,

(4.6) を(4.5)式

に代 入 す れ ば,

(4.7) が 得 られ る。   ACSRの

場 合 は 電 流 は ア ル ミ線 の 中 だ け を 流 れ る か ら,内 部 イ ン ダ ク タ ン ス は

(4.4)式 よ り小 さ い が,こ

の 値 自体 が 小 さ い た め,一

般 に イ ン ダ ク タ ン ス と し て(4.7)

式 が 用 い られ る。

4.3.2    図4.4は,半

往復導 体の単位長 インダク タンス

流I1とI2が

径aの2本

の 直 線 導 体 が 間 隔dを

も っ て 平 行 に 置 か れ,そ

れぞれ電

流 れ る と き の 磁 界 の 模 様 を表 して い る 。 両 電 流 と も紙 面 か ら読 者 に 向 か

っ て 流 れ て い る もの とす る。 い ま,I1が I2が 流 れ る右 側 導体 か らP点

流 れ る 左 側 導 体 か らP点

まで の 距 離 をR2と

まで の 距 離 をR1,

す る と き,左 側 導 体 に流 れ る電 流I1

に よ っ て 生 じ,こ の 導 体 自 身 に反 時 計 方 向 に鎖 交 す る 外 部 磁 束 を 実 線 で 表 す 。 こ の 外 部 磁 束 との 磁 束 鎖 交 数 は 次 の よ う に表 さ れ る。

図4.4  平行 導 体 に よる磁 界

  また,右 側 導体 に流 れ る電流I2に よっ て生 じ,左 側 導 体 に反 時計 方 向 に鎖 交 す る 外部磁 束 を点線 で表 す と,磁 束 鎖交 数 は

とな る。 した が って,左 側 導体 と反時計 方 向 に鎖 交 す る全 外部 鎖交磁 束 数 ψは (4.8)

で あ る 。 い ま,も

しも

な らば,す なわ ち,右 側 導体 の電 流 の向 きが逆 に な り,往 復 電流 が直線 導体 に流 れ る 場合 には,左 側 導体 に鎖 交 す る反 時計 方向 の正 味 の外 部鎖 交磁 束 は

と な る。 さ ら に,こ

こ で,P点

き,左 側 導 体 に鎖 交 す る 磁 束 は

と な る。

を十 分 遠 方 に 移 せ ば, R1/R2の

値 は 限 りな く1に 近 づ

  右 側 導 体 につ い て も全 く同 じ関 係 が 得 られ る。 こ の場 合 も,導 体 の 内 部 で 鎖 交 す る 磁 束 鎖 交 数 か ら得 られ る 内 部 イ ン ダ ク タ ン ス は(4.4)式 で 表 さ れ る 。 左 側 お よ び 右 側 の 各 導 体 に つ い て,導

体 の 外 部 お よ び 内 部 で 鎖 交 す る磁 束 鎖 交 数 か ら得 ら れ る外 部 イ

ンダ ク タ ン ス と 内 部 イ ン ダ ク タ ン ス を 合 わ せ た 全 イ ン ダ ク タ ン ス は

(4.9) とな る 。(4.9)式 は 単 相 回 路 の1線 は,回 路 の 全 イ ン ダ ク タ ン ス は1線

の イ ン ダ ク タ ン ス を与 え る。 単 相2線 の イ ン ダ ク タ ンス の2倍

と な る。

4.3.3 

正三角形 配置の三相 送電線の作用 インダク タンス

  図4.5に

示 さ れ た1辺

直 線 導 体#1,#2お

の 長 さ がdの

よ び#3が

式 の 回路 で

正 三 角 形 の頂 点 に配 置 さ れ た 半 径aの3本

あ る。 各 導 体 に は そ れ ぞ れ 電 流I1,I2お

の

よ びI3が 流 れ

て お り,こ れ らの 電 流 の 間 に 次 式 の 関 係 が あ る もの とす る 。

(4.10) こ の と き,図4.5に

お い て,P点

#3と

す れ ば,導

の 距 離 をR3と

と導 体#1と 体#1か

らP点

の 距 離 をR1,導

体#2と

に 至 る間 に 導 体#1に

す る正 味 の磁 束 鎖 交 数 は,

と な る 。(4.10)式

の 条 件 か らI3=−(I1+I2)を

図4.5 

上 式 に 代 入 す れ ば,

正三 角形 配 置 の直線 電 流 に よる磁 界

の 距 離 をR2, 時 計 方 向 に鎖 交

とな る 。

 こ こで,P点

を無 限 遠 ま で 動 か せ ば, R1/R3とR2/R3と

は い ず れ も1に

な り,上 式

は,

(4.11) とな る。(4.11)式 I2,I3か

に従 え ば,導 体#1に

鎖 交 す る外 部 磁 束 鎖 交 数 はI1だ

けで 表 さ れ,

ら の 外 部 磁 束 鎖 交 数 は一 見 存 在 し な い よ う に見 え る。 同 様 に,導

の 外 部 磁 束 鎖 交 数 もI2,13だ   送 電 の 分 野 で は1本

体#2,#3

け で 表 さ れ る。

の 導 体 を1条

の 導 体 と い い,1相

の 導 体 を 相 導 体 と い う。

(4.11)式 か ら得 ら れ る 外 部 イ ン ダ ク タ ン ス と(4.4)式 で 表 さ れ る内 部 イ ン ダ ク タ ン ス を 用 い る と,三 相 回 路 の1相

の1条

の 導 体 の1km当

た り の イ ン ダ ク タ ンス は 次 の よ

うに表 され る。

(4.12)

  こ の 式 で 表 さ れ る イ ン ダ ク タ ン ス は 導 体 が 正 三 角 形 に配 置 さ れ た 三 相 送 電 線 の 作 用 イ ン ダ ク タ ン ス(working

inductance)*と

ク タ ン ス に 関 す る計 算 に あ た っ て,他

よ ば れ る。(4.12)式

は,導 体1条

の リア

導 体 と の相 互 イ ン ダ ク タ ン ス を外 見 上 は 考 慮 し

な い で 済 む と い う こ とで あ り,回 路 計 算 な ど に お い て 大 変 に 好 都 合 で あ る。 す な わ ち,三

相 送 電 線 の 各 相 に対 称 三 相 電 流 が 流 れ て い る場 合,1相1条

の 導 体 の1km当

た りの イ ン ダ ク タ ン ス は作 用 イ ン ダ ク タ ン ス で 表 され る。 対 称 三 相 回 路 の 計 算 は1相 に つ い て 計 算 を行 うが,1相

が1条

の 導 体 で 構 成 され る 場 合,計

当 た り の イ ンダ ク タ ン ス と し て は(4.12)式 る 。4.3.2に

述 べ た 往 復 導 体 の1条

算 に 使 用 す る1km

か ら得 られ る作 用 イ ン ダ ク タ ン ス を用 い

当 た りの イ ン ダ ク タ ンス も,1相

当 た りの回路 の

作 用 イ ンダ ク タ ン ス に 等 し い 。

4.3.4 

撚 架 三 相 送 電 線 の 作 用 イ ン ダ ク タ ンス

  三 相 送 電 線 は 一 般 に 図4.6の 法d12,

d23, d31は 通 常 は,一

鉄 塔 に 架 設 す る際 に,電

よ う な 不 等 辺 三 角 形 の 配 置 で あ る。 しか し,図 示 の 寸 つ の 送 電 線 路 で は 一 定 で あ る。 三 相 送 電 線 路 で 電 線 を

線 は こ の よ う な不 等 辺 三 角 形 に配 置 さ れ る が,図4.7に

れ る よ う に 送 電 端 か ら受 電 端 ま で の 距 離 を3等 分 し,そ の3等

*  作 用 イ ン ダ ク タ ン ス は正 相 イ ン ダ ク タ ン ス と もよ ば れ る。

示 さ

分点 の位 置 にお いて導

図4.6  不 等辺 三 角 形配 置 の送 電線

図4.7  3相 送 電線 の撚 架

体 の 配 置 を入 れ 替 え る こ とが 行 わ れ る。 これ は 撚 架(transposition)と   い ま,図4.7に

お い て 長 さLの

Icが 流 れ て い る とす れ ば,最

よ ば れ る。

最 初 の 区 間 で は 上 段 に 電 流Ia， 中 段 にIb,下

初 の 区 間 の 電 流Iaの

流 れ る 導 体 とP点

段 に

まで の 間 で 鎖 交

す る 外 部 磁 束 ψ1は,

であ る。

  し か し,第2の とP点

区 間 で は 電 流Iaの

導 体 は撚 架 の た め 中段 に 降 り る た め,こ

の 導体

ま で の 間 で 鎖 交 す る外 部 磁 束 ψ2は,

で あ り,第3の

区 間 の 電 流Iaの

導 体 とP点

まで の 間 で 鎖 交 す る外 部 磁 束 ψ3は,

と な る。 し た が っ て,全

長3Lの

区 間 で 電 流Iaの

流 れ る 導 体 に 鎖 交 す る全 外 部 磁 束

ψ は,

とな る 。 この 場 合 に お い て も,(4.10)式

の 関 係 が 成 立 す る の で,こ

の関 係 を用 いて上

式 を整 理 すれ ば,

を得 る。電 流Iaの 流 れ る導体 の単 位 長 さ当 た りに鎖 交 す る平 均 の外 部磁 束 鎖交 数 は 表 面 上 電 流Ib，Icに

無 関 係 で あ り,

(4.13) を も っ て 表 され る 。  い ま,

(4.14) と表 す と,deは

三 相 送 電 線 の 幾 何 学 平 均 距 離(geometrical

は等 価 線 間 距 離(equivalent

cable

ば,撚 架 され た 三 相 送 電 線 の1条

distance)と

mean

distance)あ

るい

よ ば れ る。 等 価 線 間 距離deを

使 え

の 単 位 長 さ 当 た りの 作 用 イ ン ダ ク タ ン ス は,

(4.15) と な り,(4.9)式,(4.12)式

と同 形 に な る。

  送 電 線 の 撚 架 は撚 架 鉄 塔 で 行 わ れ る が,こ

の 鉄 塔 は通 常 の もの に 比 して 大 型 で 高 価

に な り,特 に 超 高 圧 以 上 の 線 路 で は 経 済 性 が な い た め,近 とん ど行 わ れ ず,開

年 は鉄 塔 に お け る撚 架 は ほ

閉 所 や 変 電 所 の 母 線 で 不 完 全 な 撚 架 が 行 わ れ る 程 度 で あ る。 しか

し,実 際 に は,送 電 線 路 の イ ン ダ ク タ ンス は,理 想 的 な 撚 架 が 行 わ れ て い る もの と し て(4.15)式

を用 い て計 算 が 行 わ れ る。

  わ が 国 の 送 電 線 は 同 一 鉄 塔 の 左 右 に3相 送 電 線 が1回

路 ず つ,2回

が 普 通 で あ り,こ の 回 路 を 回 線(circuit)と

送 電 線 で は3条

回線 を構 成 す る。 ま た,同

よ び,3相

路 を併 架 す る の の 相 導 体 が1

一鉄 塔 に異 なった電 圧 の回線 が併 架 され る場合 あるい は同

じ 電 圧 の3回

線 以 上 が 併 架 さ れ る 場 合 も あ り,こ の よ う な 送 電 線 を 多 回 線 送 電 線

(multi‐circuit transmission

line)と

よ ん で い る。 平 行2回

線 に お け る相 導 体1条

た り,単 位 長 当 た りの イ ン ダ ク タ ン ス す な わ ち作 用 イ ン ダ ク タ ンス の 計 算 は,わ で は通 常,他

当

が国

回 線 か らの 誘 導 を 無 視 し て 計 算 を行 っ て い る。

  (4.15)式 の 中 のde/aの 数 の 値 は4.6か

ら6.9に

比 は100か

が 大 き くな る と共 に,ACSRが わ が 国 の66kVか

で 変 化 し た と して も,そ れ らの 自 然 対

使 わ れ る か ら導 体 直 径aも

ら154kVま

1.1∼1.3mH/kmの

ら1000ま

変 化 す る に す ぎ な い 。 一 般 に 送 電 線 の 電 圧 が 高 くな れ ばde

で の 送 電 線 の1条

大 き くな る 。 こ の た め ,

当 た りの 正 相 イ ン ダ ク タ ン ス の 値 は

範 囲 に 収 ま る場 合 が 多 い 。 し か し,こ れ よ り高 い 電 圧 の 送 電 線

で は,次 節 で 述 べ る よ う に こ の 範 囲 以 下 に な る の が 普 通 で あ る 。

4.3.5 

多導体のイ ンダクタ ンス

  相 導 体 が 同 寸 法 の2条 導 体 を複 導 体 と い い,2条

の 導 体 を も っ て 並 列 に配 置 さ れ 構 成 さ れ て い る と き,こ

の相

以 上 で 構 成 さ れ る相 導 体 を 多 導 体 と い う。 多 導 体 の そ れ ぞ

れ の 導 体 を 素 導 体 とい う。 相 電 流Iは

各 素 導 線 に 等 分 し て 流 れ る の で,図4.4に

い てI1とI2は

間 距離dをsと

同 方 向 にI/2と

お き,線

書 き 改 め れ ば,1素

お

導 体 の外

部 磁 束 鎖 交 数 ψ0は,

とな る 。

 い ま,図4.8(b)に

(a)

お い て2条

の 導 体 の 中 間 点 か らP点

(b) 図4.8  複 導 体 の イ ン ダ クタ ンス

ま で の 距 離 をRと

(c)

し,R

を 導 体 間 隔sよ

り十 分 に大 き い と す れ ば,R≒R1≒R2と

置 く こ とが で き る か ら,上

式 は,

とな る 。

  これ を図4.8(a)に 束 鎖 交 数 の(4.3)式

示 さ れ た 直 線 単 導 体 に 電 流Iが と比 較 す る と,そ

複 導 体 の 外 部 イ ン ダ ク タ ン ス は,同 √ asの

の差 はaと√asの 図(c)に

流 れ た と き のP点

まで の 外 部 磁

違 い だ けで あ る 。 こ の こ とは

示 され た複 導体 の 中心 にお か れ た半 径

単 導 体 と 等 価 で あ る こ と を 意 味 し て い る。 こ の 意 味 で√asは

(equivalent

radius)と

 複 導 体 の2条

等価 半径

よばれ る。

の 並 列 に 配 置 さ れ た 素 導 体 は そ れ ぞ れ μo/8πの 内 部 イ ン ダ ク タ ン ス

を 有 して い るの で,合

成 内 部 イ ン ダ ク タ ン ス は そ の1/2に

な り,複 導 体 送 電 線 の 作 用

イ ン ダ ク タ ン ス は,

(4.16)

と な る。 た だ し,deは

複 導 体 中 心 を基 準 と し た 等 価 線 間 距 離,aeは

複 導体 の等 価 半

径 で,

(4.17) とす る。

4.3.6 

大地帰路の インダク タンス

 中性 点直 接接 地 の三相 回路 に1線 地 絡 の よ うな故 障 が起 き る と,地 絡 点 か ら大 地 を 通 り中性 点 に戻 るルー プ に地 絡電 流が 流れ る。 この よ うな場 合,ル ー プの イ ンダ ク タ ンス として作用 イ ンダ ク タンス を用 い る こ とはで きな い。地 絡電 流が 流れ る場合 のイ ンダ クタ ンスは大地 帰路 の イ ンダ クタ ンス とよ ばれ る。 大地 の導 電率 が複雑 で あ るた め地 絡電 流 の分 布 も複雑 とな り,大 地 を流 れ る電 流の ルー プ を正確 に求 め る ことは不 可能 で,大 地帰 路 のイ ンダ ク タ ンスを計算 で 求 め るこ とはで きない。線 間短 絡 や 三相 短絡 の ときに比 べ て地絡 電流 の流 れ るル ー プの往路 と複 路 の間 の間隔 は大 き くな り, 大地 帰路 の イ ンダク タ ンス の値 は単相 ある いは三相 の作 用 イ ンダ クタ ンスの値 よ り大 き くな る。 その値 は,電 流 の周波 数 お よび大 地の 導電 率の 関数 で,こ れ らの値 が 高 い

ほ ど小 さ くな る。

  い ま,大 地 の イ ンダ クタ ンスの最 小値 を求 め るため,周 波 数 お よび大 地導 電率 が共 に極 め て大 きい とすれ ば,こ の とき磁 束 は大地 の 中に存 在 す る こ とはで きない。 なぜ な ら,極 端 に高 い周波 数 の磁 束 は大地 中に大 きな渦起 電 力 を誘 起 し,大 地 中 に磁 束 が 侵入 す る こ とを ほぼ完 全 に防止 す るか らであ る。 この とき地 表 に垂直 な磁 束 の成 分 は 零で,磁 束 は地 表 に平行 にな る。   い ま,地 上 に 平 均Hの

高 さ に 張 られ た 半 径aの

導 体 が,こ

の よ うな仮 想 的 な大地

に 対 して 地 絡 故 障 を起 こす とす れ ば,磁 束 は 大 地 の 内部 に は存 在 せ ず,大

地 電流 は も

っ ぱ ら地 表 に 集 ま る 。 この 地 表 を 流 れ る電 流 の 影 像 を大 地 の 中 に 図4.9の

ように取 れ

ば,1条

当 た りの イ ン ダ ク タ ン ス と し て,

(4.18) を得 る。   現 実 の大 地 の 導 電 率 は砂 漠 や 山 岳 地 帯 で は小 さ く,水 田 地 帯 で は比 較 的 高 い 。 導 電 率 が 低 け れ ば,磁 束 は大 地 中 に深 く侵 入 す るか ら影 像 の 位 置 は 深 くな り,イ ン ダ ク タ ン ス の 値 は 増 大 す る。 した が っ て,(4

.18)式 か ら導 電 率 が 無 限 大 の と き の イ ン ダ ク タ

ン ス は 理 論 的 に 最 小 値 とな る。 しか し,一 般 に 平 均 地 上 高Hは て か な り大 き い た め,こ

等 価 線 間 距 離 に比 し

の 理 論 的 な 最 小 値 で さ え も作 用 イ ン ダ ク タ ン ス を上 回 る こ と

図4.9  大 地帰 路 の電 流

表4.3  送 電 線 の大 地 帰 路 の イ ンダ ク タ ンス(mH/km)

にな る。

  表4.3は

わ が 国 の154kVま

示 し て い る。 そ の 値 が1線

での送 電線 の大 地帰路 のイ ンダ クタ ンスの 実測 結 果 を と大 地,2線

一 括 と大 地,3線

一 括 と大 地,6線

一 括 と大

地 の 順 に 小 さ くな る の は,一 括 す る こ と に よ っ て 多 導 体 と して の 等 価 半 径 が こ の 順 に 大 き くな る た め で あ る 。

4.4  4.4.1 

線路 の静電 容量 正負等 量の平行 な線電荷 による電位

 単 位長 さ当た りの電 荷 密度 がq〔C/m〕 で,直 線状 に分 布 す る電 荷 か らr〔m〕 の 点 Pの 電界E(r)は (4.19) で あ る 。 こ こ に,εoは 真 空 の誘 電 率 で あ り,大 気 中 の誘 電 率 も こ の値 に 等 し い 。   図4.10(a)に

お い て 直 線 電 荷 か ら距 離Rの

点P0の

電 位 を 基 準 に 取 る と き,P点

の 電 位V(r)は,

(4.20) とな る 。 そ れ ゆ え,図4.10(b)に 平 行 な線 電 荷 ±q〔C/m〕

示 さ れ る よ う に 間 隔dを

に よ るP0点

に 対 す るP点

も って配 置 され た正 負 の

の 電 位 は,

(a)

(b) 図4.10 

線 電 荷 に よ る電界

と な る 。P0点

を 十 分,遠

方 に 遠 ざ け れ ば,R1/R2=1と

な り,

(4.21)

を得 る。   (4.21)式 に お い てr2/r1が1よ の 値 は 正 と な り,逆

4.4.2 

2条

  半 径aの2条

り も大 き け れ ば,P点

に小 さ け れ ばVの

は正 電 荷 に よ り近 い の で,V

値 は 負 と な る。

の 平 行 導体 間 の 静 電 容 量 の 導 体 が 間 隔dを

〔C/m〕 お よ び−q〔C/m〕

も っ て 平 行 に 配 置 さ れ て お り,そ

に 帯 電 し て い る と す る。 こ の 場 合,こ

電 界 は 導 体 の 中 心 軸 に 沿 っ て ±q〔C/m〕

れ ぞ れ ＋q

れ らの導 体 の 外 部 の

の 直 線 電 荷 を 置 き,導 体 を取 り除 い た 空 間

に 対 し て計 算 す る こ と が で き る。   正 電 荷 の 帯 電 し た 導 体 の 表 面 電 位V+は(4.21)式 の 半 径a,r2を2導

体 の 線 間 距離dと

を使 っ て,r1を

正 に帯電 す る導 体

置 き換 え る と,

(4.22)

と な る。

 負 に帯 電 した 導 体 の 表 面 電 位V-は

同 じ く(4.21)式 か ら次 式 で 与 え られ る 。

(4.23)

 これ ら2導 体 間 の 電 位 差Vdは,

(4.24) とな り,し た が っ て,2導

体 間 の 静 電 容 量Cは,

(4.25)

とな る 。

4.4.3 

単一導体の対 地容量

  図4.11は

地 上H〔m〕

導 体 に ＋q〔C/m〕

の 高 さ に,地 表 に 平 行 に 張 られ た 半 径aの

導体 を示 す。 この

の 電 荷 を 与 え た と き,電 線 直 下 の 地 表 に は 反 対 極 性 の 電 荷 が 誘 導

さ れ る 。 この 誘 導 電 荷 は,地 表 面 下H〔m〕

の−q〔C/m〕

の仮 想 的 な影像 直 線電 荷 を

もっ て代 表 させ る こ とが で き る 。   こ の と き,正

に 帯 電 し た 導 体 の 電 位 は地 表 面 と導 体 間 の 電 位 差 で あ り,ま た,地

面 の 電 位 は零 で あ る か ら,(4.24)式

か らd=2Hと

し て 求 ま る 電 位 の1/2で

表

あ る。 よ

っ て,

と な る。 し た が っ て,図4.11の

単 一 導 体 の 単 位 長 さ 当 た りの 対 地 静 電 容 量 は,

(4.26) と な る。

4.4.4 

単 相 配 電 線 の静 電 容 量

  対 称 三 相 の 任 意 の2相

の 電 圧 を図4.12(a)に

示 す2導

体間 に加 え る と き,2導

体間

お よ び 導 体 と大 地 間 に 電 気 力 線 が 通 る。 そ の 中 で 導 体 間 を直 接 に 結 ぶ 電 気 力 線 に 相 当 し て 線 間 容 量Cmを,導

体 と地 表 を結 ぶ 電 気 力 線 に 対 応 し て 対 地 容 量Csを

とが で き る 。 これ ら の 容 量 を通 して2導   線 間 容 量Cmは 4.12(b)の 充 電 電 流Iは

容 量2Cmの2個

体 間 に は充 電 電 流 が 流 れ る。

の 直 列 コ ン デ ン サ に 置 き 換 え る こ とが で き,図

よ う に 表 す こ と が で き る 。 線 間 電 圧 をVと 図4.12(b)か

考 えるこ

ら わ か る よ う に,

図4.11 

地表 上 の 帯 電導 体

す れ ば,こ

の線 路 に流 入 す る

と な る 。 こ こ に,

(4.27) で あ り,Cwは

作 用 容 量(Working

Capacity)*と

よ ば れ る。 作 用 容 量 は 線 間 容 量 お

よ び対 地 容 量 を考 慮 した 相 導 体 の 単 位 長 さ 当 た りの 静 電 容 量 で あ る 。   対 地 容 量Csの

値 は 次 の よ う に 計 算 さ れ る 。 図4.13に

お い て2線

  (b)

(a) 図4.12 2導

図4.13 

＊  作 用 容 量 は正 相 容 量 と も よ ばれ る。

体 間 の 静電 容 量

帯 電 平行2導 体 の作 る電界

を一 括 して対 地

電 圧Vを

加 えた と き各 導 体 の 電 荷 をqと

とな る。 こ れ よ り1km当

た りの 導 体1条

す れ ば,(4.21)式

を2度 用 い て,

の対 地 容 量 と し て,

(4.28)

を得 る。  も し も,H≫dが

成 立 す る な ら ば(4.28)式

は,

(4.29)

とな る。(4.29)式

の√adは

半 径a,間

隔dの2条

の 素 導 体 か ら な る複 導 体 の 等 価 半

径 と同 じ で あ る こ と に注 意 す る。   作 用 容 量 は 次 の よ う に 計 算 さ れ る。 図4.13に

示 す 往 復 線 路 に お い て,交

両 導 体 間 に 印 加 さ れ て い る と す る 。 導 体 の 一 方 が ＋q〔C/m〕,他 帯 電 した 瞬 間 を 考 え れ ば,正

流電 圧 が

方 が−q〔C/m〕

に

に帯 電 した 導 体 の 電 位Vは,

と な る。

  上 式 か ら求 め たq/Vの っ て,作

値 は,導

体 上 の 単 位 長 さ 当 た り の 電 荷 と導 体 電 位 の 比 で あ

用 容 量 に 他 な ら な い。 す な わ ち,

(4.30)

とな る。 上 式 でH≫dす

な わ ち2H≫dが

成 立 す る と き は,

(4.31)

とな る。

  (4.31)式 はH≫dの は,線

条 件 が 成 立 す る限 り作 用 容 量,つ

ま り,単 相 線 路 の 充 電 電 流

間 距 離 と導 体 の 半 径 だ けで 定 ま る こ と を 示 し て い る。2条

よ う に 水 平 に 張 ら れ て い る場 合 で も,線 間 距離dと 充 電 電 流 に 変 わ りは な い 。 同 様 に(4.29)式 立 す る 限 り,2条

の 導 体 が 図4.13の

導 体 の 半 径aの

比 が 等 しい 限 り

に 示 さ れ た 対 地 容 量 も,H≫dの

関係 が成

の 導 体 の 配 置 に は 無 関係 で あ る 。 現 実 の 単 相 配 電 線 で は 通 常H≫d

の 関 係 が 成 立 す る。 し た が っ て,CsとCwの

計 算 に 当 た っ て は 通 常 は(4.29)式

と

(4.31)式 に よ る 計 算 で 十 分 で あ る。

【 例 題4.1】

地 上6.5mの

が あ る 。 線 径 を13mmと

高 さ に,40cmの した と き,1km当

Cwを 求 め よ。 ま た,60Hz,6900Vに

間 隔で水 平 に置 かれ た 単相 の 高圧 配電 線 た り導 体1条

対 す る 導 線1条,亘

の 対 地 容 量Csと 長1kmの

作 用容 量

充 電 電 流 の値

を 求 め よ。 [解]  H≫dが

成 立 す る か ら,長

さの 単 位 と し てcmを

用 い て 表 し,

が得 られ る。

  この計 算 は,高 圧 配 電 線で は導 体1条,亘

長1km当

た りの作 用容 量Cw中

に占 め

る対 地容 量Csの 割合 は約1/3で あ る ことを示 してい るが,特 別 高圧 の送電 線 で は こ の割 合 は1/2程 度 の こ とが多 い。 これ は,配 電 線 で は地上 高 に比 して線 間 の間隔 が小 さいた め に,送 電線 に比 して作 用容 量が比 較 的大 きいた めで あ る。  また,導

体1条,亘

長1km当

た りの充 電 電 流 左Icは,

とな る。

4.4.5 

正 三角形配置 の三 相送電線 の作 用容量 と対地電圧

 送 電 時 の送 電線 の送受 両端 間の 電圧 降 下率 は,主 幹 送 電 線 路 で10%,そ

の他 の線

路 で は5%の

範 囲 内 に維 持 さ れ,超

き くな り,5%あ

高圧 長距 離送 電線 で は線 路 の充 電 電 流 の影響 が 大

る い は そ れ 以 下 と な る。 し た が っ て,送

電 線 の各 相 導体 の対地 電 圧

Vは全 長 に わ た っ て ほ ぼ 一 定 とみ な す こ とが で き る 。 い ま,図4.14に 一 辺 の長 さdの

正 三 角 形 配 置 の三 相 送 電 線 が あ り ,そ

場 合 を考 え る。 図 の 導 体1の

電 位 をVa,単

3に つ い て そ れ ぞ れ 電 位 をVb,Vc,単 体1の

対 地 電 位VaはH≫d≫aの

の 導 体 の 中 心 が 地 上Hと

位 長 さ 当 た りの 電 荷 をqa,導

位 長 さ 当 た り の 電 荷 をqb，qcと 条 件 の 下 に,影

示 す よ う に,

体2,導

なる 体

す る と き,導

像 法 に よ っ て,

(4.32) とな る 。 同 様 な 式 が 導 体2お

よ び3に

お い て も成 立 す る 。 これ ら を ま とめ て マ ト リ ク

ス 表 示 を す れ ば,

(4.33)

図4.14 

正 三 角 形配 置 の3相 送 電 線

と な る 。 い ま,三 相 の対 地 電 位 に つ い て 次 の 条 件,

を(4.33)式

に代 入 す れ ば,

と な る か ら,

が 得 られ る 。 これ を(4.33)式

のVaに

関 す る式 に戻 せ ば,

(4.34)

と な り,導 体1の

対 地 電 位Vaは

そ の 導 体 に 帯 電 し て い る 単 位 長 さ 当 た りの 電 気 量qa

の み に 関 係 し,他 の 相 導 体 の 電 荷 に は無 関 係 と な る。(4.34)式

か ら導 体1の

静 電容 量

を 求 め る と,

(4.35)

を得 る。(4.35)式

は 正 三 角 形 配 置 の 三 相 送 電 線 の1相

相 配 電 線 の 作 用 容 量 の(4.31)式   対 称 三 相 回 路 の 計 算 を1相 容 量 で あ る。 また,作   一 方,1相

の 対 地 容 量Csは3条

体 電 位Vは

れ か ら,

用 す る1相

の静電 容量 は作用

用 容 量 は 回 路 の 充 電 電 流 を決 定 す る 静 電 容 量 で あ る 。 を一 括 し た と き の対 地 容 量 の1/3で お い て3条

d≫aの 条 件 が 満 た さ れ た と き,導 体3条

と な り,こ

の 作 用 容 量 で あ っ て,単

と ま っ た く同 じ式 で あ る こ と に 注 意 す る。

に つ い て計 算 す る場 合,使

以 下 の よ う に説 明 で き る。 図4.14に

た が っ て,導

の1条

あ る 。 これ は,

を一 括 し て 対 地 電 圧Vを

の 単 位 長 さ 当 た りの 電 荷qは

影 像 法 に よ っ て,(4.32)式

与 え,H≫ 相 等 しい。 し

を 導 い た の と同 様 な 方 法 に よ り,

(4.36)

を得 る。 こ れ は単 相 配 電 線 の,導 体1条

の 対 地 容 量 の(4.29)式

こ の 式 中 の(ad2)1/3は 正 三 角 形 配 置 の 導 体3条 式 で 表 さ れ る対 地 容 量 は(4.26)式

の 半 径aを

に似 た 形 を して い る。

の 等 価 半 径 で あ る 。 す な わ ち,(4.36) 等 価 半 径 に 置 き換 え た 静 電 容 量 の 値 の

1/3で あ る。

4.4.6 

三 相 送 電 線 の静 電 容 量

 イ ンダ クタ ンス と同様 に,静 電容 量 にお いて も三相 送電線 の3条 の導体 を完 全 に撚 架 を す れ ば,導 体 の1条 等 価 線 間 距離deを

の 作 用 容 量Cwは(4.35)式

のdの

代 わ り に(4.14)式

に よる

使 っ て,

(4.37)

とな る 。 実 際 に撚 架 が 行 わ れ て い な い 送 電 線 に対 し て も,そ のCwは(4.37)式

に よっ

て計 算 され る。   撚 架 送 電 線 の 各 相 が 多 導 体 の 場 合 に は,1相 半 径aeを

の 作 用 容 量 は(4.37)式

に お い て,等

価

代 入 し て,

(4.38)

と な る。

 平行2回 線 の場合 の作 用容量 は,わ が国 で は通 常,他 回線 か らの静 電誘 導 は無視 す る。 す な わ ち,2回

線 の 場 合 の作 用 容 量 は1回 線 の2倍

  わ が 国 の66∼154kVの

送 電 線 は ほ と ん どす べ て 単 導 体 を使 用 し て い るが,実

果 に よ れ ば そ の 作 用 容 量 は0.008∼0.01μF/kmの 当 た り,ほ ぼ1μFで

と して い る。 測結

範 囲 に あ る。 す な わ ち,100km

あ る。 多 導 体 送 電 線 の 場 合 は(4.37)式

と(4.38)式

の比 較 か ら わ

か る よ う に,導 体 の 等 価 半 径 が 大 き い た め に 作 用 容 量 は 上 記 の 値 よ り大 き く な る。   撚 架 され た 多 導 体 送 電 線 の 相 導 体 の 対 地 容 量Csの

値 は,送

電 線 に平 行 に そ の 上 部

に 張 られ た大 地 電 位 の 架 空 地 線 と鉄 塔 の影 響 を 無 視 す れ ば,三 相 の 相 導 体 の 中 心 の 地 上 高 をH,多

導 体 の 等 価 半 径 をaeと

し て,

(a)

  (b)

図4.15 

正 相 容量 と対 地容 量

(4.39)

とな る 。 実 際 に は,架 た,2回 Csよ

空 地 線 と鉄 塔 の 存 在 の た め に,こ

線 の場 合 に は,1回

れ よ りや や 大 き く な る 。 ま

線 の3条

の相 導 体 を一 括 し,他 回 線 を 開 放 し た 対 地 容 量

り6条 の 相 導 体 を一 括 したCsの

値 の 方 が 大 き い。 多 くの 送 電 線 に お い て 相 導 体

1条 当 た り のCsの

値 はCwの

約1/2で

ある。

 三 相送 電線 の相 導体 間 の静電 容量 を相互 容量 とい い,こ れ をCmで 対 地 容 量 をCsで

表 せ ば,図4.15に

示 す よ う に,作

表 し,相 導体 の

用 容 量 は,

(4.40) と な る。 この 式 は単 相 配 電 線 に 対 す る作 用 容 量 の(4.27)式

【例 題4.2】

図4.16に

与 え られ た 送 電 線 の1回

線 は 公 称 断 面 積240mm2のACSRと [解] 

相 導 体#1と#2の

は そ れ ぞ れ,

に対 応 す る 。

線 の 作 用 容 量 を 求 め よ 。 た だ し,電

す る。

線 間 距離d12,#2と#3の

距離d23,#3と#1間

の 距離d31

図4.16 

で あ る 。 し た が っ て,こ

作 用 容量 と相 互容 量 お よび対 地容 量

れ ら の 幾 何 学 平 均dmは,

に な る 。 導 体 半 径 は 前 出 の 表3.2か

1条 の 作 用 容 量Cwは(3.39)式

ら22.4/2=11.2mmで

あ る 。 し た が っ て,導

体

か ら,

を得 る 。

4.4.7 

作 用 イ ン ダ ク タ ン ス と作 用 容 量

  多 導 体 の 作 用 イ ン ダ ク タ ン スLwの

値 は,内

を等 価線 間距離,aeを

導体 の等 価半 径 として,

を も っ て与 え られ,作

用 容 量 は,

部 イ ン ダ ク タ ン ス を 無 視 す れ ば,de

で 表 され る。 した が っ て,両

と な り,真

 一 方

,わ

者 の積 を作 っ て み る と,

空 中 の 光 の 速 さ をC0と

が 国 の66∼154kVの

し て εoμo=1/c02=1.1×10-17s2/m2で

CWは0.008∼0.01μF/kmで

あ る。

送 電 線 で は 既 述 の 通 り, Lwは1.1∼1.3mH/km, あ る か ら,平 均 値 を 取 っ て計 算 す れ ば,

と な り,ほ

ぼ理 論 通 りの 結 果 を示 す こ とが わ か る 。

4.4.8 

ケ ー ブル の 静 電 容 量

  絶 縁 の 見 地 か ら見 た ケ ー ブ ル の 最 大 の 特 徴 は絶 縁 の 厚 み が 極 め て 小 さ い こ とで,図 4.17の

絶 縁 物 の 厚 さdは154kVの

ブ ル の 絶 縁 物 の 比 誘 電 率 はCVケ

場 合 で も僅 か23mm程 ー ブ ル の 場 合2.3,OFケ

度 で あ る。 しか も,ケ ー ー ブ ル で 約2.7で

あ る。

この た め ケ ー ブ ル の静 電 容 量 は架 空 送 電 線 に比 し て 極 め て 大 きな 値 を示 す 。 ケ ー ブ ル の単 位 長 さ 当 た り の静 電 容 量 は 図4.17を

参 照 し て 次 式 で 与 え られ る 。

(4.41)

こ こ に,εsは 絶 縁 物 の比 誘 電 率,rは   (4.41)式 に よ り,66kVのCVケ

導 体 半 径,dは

絶 縁 物 の 厚 さで あ る。

ー ブ ル に つ い て εs=2.3,r=24mm,d=13mm

と し て 計 算 す れ ば,C=0.30μF/kmの

値 を 得 る。 す な わ ち,架

空線 の作 用容 量 の

30倍 以 上 の 値 に な る。 作 用 容 量 の 値 は ケ ー ブ ル の 電 圧 が 低 い ほ ど大 き くな る。

 ケー ブル の場合 には,導 体 半径rに 対 す る導体 半径 と絶 縁 物 の厚 さdの 和(r+d)

図4.17 

単 心CVケ

ー ブル

(a)

 (b) 図4.18 

の 比 す な わ ち(r+d)/rは1に

3心 ケ ー ブ ル

近 い た め,こ

の 値 次 第 で 静 電 容 量 の 値 は 大 き く変 化

し,架 空 線 の 場 合 の よ う に 作 用 容 量 の 値 が 狭 い 範 囲 内 に 収 ま る現 象 は み られ な い 。 ケ ー ブ ル は 図4 .18に み ら れ る よ う に3心

の もの で あ っ て も,互 い に 接 地 され た 金 属 シ

ー ス に よ っ て 遮 蔽 さ れ て い る た め,相 互 容 量Cmは

零 で,対

地 容 量Csが

作 用 容 量Cw

に な っ て い る。 ケ ー ブ ル の 作 用 容 量 が 架 空 線 に 比 して 著 し く大 き い の に反 し て,作

用

イ ン ダ ク タ ン ス は一 般 に か な り小 さ い 。

問題 (1)

高 圧 配 電 線 の3条

が 水 平 な腕 木 の 上 に700mmの

等 間 隔 で 配 線 さ れ て い る。3

条 の幾何 学平 均距離 を求 め よ。 (2)

等 価 線 間 距 離 が5.5m,公

称 断 面 積 が410mm2のACSRの154kV送

イ ン ダ ク タ ン ス を前 出 の 表4.2を 送 電 線 の80℃ の20℃ (3)

用 い て 計 算 せ よ。 ま た,60Hzに

に お け る リ ア ク タ ン ス と抵 抗 の 比X/Rを

に 対 す る抵 抗 温 度 係 数 は0.40%/℃

表4.2を

用 い て,公

電線 の 対 す る この

求 めよ。 ただ しアル ミ

とす る 。

称 断 面 積610mm2ACSRの

単 導 体,複

電線 の正相 イ ンダク タンス値 を等価 線 間距離9m,素

導 体 の220kV送

導体 間 隔40cmに

対 して

計 算 せ よ。 (4)

問 題(3)の

各 送 電 線 の50Hzに

を 求 め よ 。 電 線 温 度 は80℃ (5)

問 題(3)の

(6)

公 称 断 面 積240mm2のACSRを

の リ ア ク タ ン ス と抵 抗 の 比,X/R

とせ よ。

公 称 断 面 積610mm2のACSRつ

の と きの1条 (7)

対 す る1条

い て 作 用 容 量 を計 算 せ よ。

使 用 し た154kV送

電 線 の 平 均 値 上 高 が35m

の 大 地 帰 路 イ ン ダ ク タ ン ス の 理 論 最 小 値 を求 め よ 。

あ る275kVのOFケ

ー ブ ル の 導 体 半 径 が20㎜,絶

絶 縁 物 の 比 誘 電 率 を2.7と

縁 厚 み が20mmで

し て 単 位 長 あ た りの 静 電 容 量 を 求 め よ。

あ る。

(8)問

題(7)の

単 心 ケ ー ブ ル が 線 間 距 離72mmを

に配 置 さ れ た3心

も っ て 図4.18の

よ うに正三 角 形

ケ ー ブ ル の 作 用 イ ン ダ ク タ ン ス を求 め よ 。

【 解 答 は巻 末】

第5章  潮流計算

  電力 系統 内各部 の電圧 や,送 電線,変 圧器 を流 れ る電 力 を知 る こ とは,電 力 系統 の 計 画,運 用,制 御 の各 点 か ら非常 に重 要 で あ る。 この電 力 の流 れ の こ とを潮 流 とよ び,こ の分布 の計 算手 法が潮 流 計算 で あ る。   こ こで は,潮 流 計 算 の 基 礎 とな る ノ ー ドア ド ミタ ン ス行 列 を も と に,電 導 出 す る。 電 力 方 程 式 は 非 線 形 連 立 方 程 式 と な る の で,そ

力 方程式 を

の 解 法 に つ い て も説 明 す

る 。 この よ う に して 得 られ た 潮 流 計 算 手 法 は厳 密 な も の で あ る一 方,計

算 機 を使 用 し

な い と計 算 す る こ とが で き な い 。 簡 易 的 に潮 流 分 布 を計 算 す る手 法 で あ る直 流 法 潮 流 計 算 に つ い て も,合 わ せ て 説 明 す る 。

5.1 

潮流 計算 と交 流回路 計算

 電 力系 統 は交流 回路 で あるの で,基 本 的 には交 流回路計 算 と同 じで あ る。  回 路 計 算 の 目的 は,電

圧 源,電

流 源 が 与 え られ,回

路 内 の ノ ー ドの 電 圧,ブ

ランチ

を 流 れ る 電 流 を計 算 す る こ とで あ る。   一 方,電 わ ち,発

力 系 統 を 考 え る と,発 電 機 か ら電 力 が 供 給 さ れ,負

荷 で消費 され る。 すな

電 機 が 接 続 さ れ て い る ノ ー ド(発 電 機 ノ ー ド)か ら電 力 系 統 に 注 入 さ れ る有

効 電 力(す

な わ ち,発 電 電 力)が

与 え ら れ,一

荷 ノー ド)か ら取 り出 さ れ る 有 効 電 力(す

方,負

荷 が 接 続 さ れ て い る ノ ー ド(負

な わ ち,負 荷 電 力)が

与 え られ て い る と考

え られ る 。 し か も,発 電 機 は 自動 電 圧 調 整 装 置(AVR：Automatic tor)で

端 子 電 圧 が 一 定 に な る よ う に 制 御 さ れ て い る の で,発

Voltage

電 機 ノ ー ドの 電 圧 も与

え られ て い る と考 え る こ とが で き る。 負 荷 に つ い て は力 率 を想 定 す れ ば,無 決 ま る の で,有

Regula

効電 力 が

効 電 力 と一 緒 に無 効 電 力 も与 え ら れ て い る と考 え ら れ る。 こ の よ う

に,発 電 機 ノ ー ドに つ い て は,有 負 荷 ノ ー ドに つ い て は,有

効 電 力 と電 圧 が 指 定 さ れ る の で,PV指

効 電 力 と無 効 電 力 が 指 定 さ れ る の でPQ指

定 ノー ド, 定 ノー ドと よ

ぶ。  と こ ろ で,発

電 機 ノ ー ド,負 荷 ノ ー ドの 有 効 電 力 が 指 定 さ れ て も,系 統 で 生 じ る送

表5.1 

電 損 失 は 未 知 で あ る た め,発 発 電 機 ノ ー ド を考 え る)の

ノ ー ドの 種 類

電 機 ノ ー ド(負 荷 ノ ー ドで もか まわ な い が,一

般 的 には

少 な く と もひ とつ の 有 効 電 力 の 値 を 指 定 す る こ と は で き な

い 。 こ の ノ ー ドの こ と を ス ラ ッ ク ノ ー ド,あ る い は,し

わ と り ノ ー ド と よ ぶ 。 また,

各 ノ ー ドの 電 圧 を計 算 す る に あ た っ て は,位 相 の 基 準 を決 め る必 要 が あ る。 位 相 の 基 準 とな る ノ ー ドを 基 準 ノ ー ド とよ ぶ 。 基 準 ノ ー ド と ス ラ ッ ク ノ ー ドは別 々 に 選 ぶ こ と もで き る が,一

般 的 に は 同 じ ノ ー ドを選 び,ス

と して 発 電 機 ノ ー ドが 選 ば れ た 場 合 は,こ (基準 ノー ドで あ る の で0)の   こ の ほ か,ブ

ラ ック ノー ドとよぶ。 ス ラ ックノー ド

の ノ ー ドの 電 圧 の 大 き さ,お

よ び,位

相

み が 指 定 され る こ と に な る。

ラ ンチ の 接 合 点 と し て の ノ ー ド も存 在 す る 。 この よ う な ノ ー ドは浮 遊

ノー ド とよ ば れ る が,扱

い と し て は 有 効 電 力,無

効 電 力 と も に0の

負 荷 ノ ー ド と考 え

れ ばよい。  以 上,電

力 系 統 の ノ ー ドは 表5.1の

  こ の よ う に,同

よ う に ま とめ られ る 。

じ交 流 回 路 の 計 算 で あ って も,条 件 の 与 え 方 が 異 な る た め,交 流 回

路 計 算 と潮 流 計 算 で 異 な った 手 法 が 必 要 と な る の で あ る 。

5.2 

ノー ドア ドミ タンス行列

  図5.1に ど)か

示 す3つ

の 母 線(ノ

ー ド)と3つ

の 線 路(ブ

ラ ン チ ：変 圧 器,送

ら な る簡 単 な 電 力 系 統 を 考 え よ う 。 ノ ー ド1,2,3の

ぞ れ の ノ ー ドか ら電 力 系 統 に 流 れ 込 む 電 流 をI1,I2,I3と

電線 な

電 圧 をV1,V2,V3,そ

す る(流

れ

れ 込 む 方 向 を正 と

す る)。   ノ ー ド1に 注 目 す る と,ノ ー ド1に 流 れ 込 む 電 流I1は 総 和 に 等 し い か ら,

電 力 系 統 に流 れ 出す 電 流 の

図5.1

3ノ ー ド3ブ

ラ ン チ 系 統(1)

(5.1)  こ こ に,

同 様 に,I2,I3に

つ い て も,(5.2)式,(5.3)式

の 関 係 式 が 得 られ る 。

(5.2) (5.3)  こ こ に，

 一 般 に

,Nノ

ー ドか ら な る電 力 系 統 の,各

系 統 に流 れ 込 む 電 流 をIiと

す れ ば,(5.4)式

ノ ー ドの 電 圧 をVi， の 関 係 が 得 られ る。

各 ノ ー ドか ら電 力

(5.4)

(5.4)式

は

(5.5)

あ る い はマ ト リク ス を 用 い て,

(5.6) と 表 す こ と が で き る 。 こ こ に,

(5.7)

で あ る 。(5.7)式

のYを

ノ ー ド ア ド ミ タ ン ス 行 列(Node

Admittance

Matrix)と

よ

ぶ。

 Yの 対 角 要 素Yiiは ン ス ：Driving (Mutual

Point

Admittanceあ

る。 図5.1に

自 己 ア ド ミ タ ン ス(Self Admittance)と

Admittanceあ

よ ば れ,非

る い は駆 動 点 ア ド ミタ

対 角 要 素Yijは

る い は伝 達 ア ド ミ タ ン ス ：Transfer

示 す 簡 単 な例 か ら も わ か る よ う に,自

相 互 ア ド ミタ ン ス

Admitance)と

己 ア ド ミ タ ン スYiiは

よば れ ノ ー ドiに

つ な が る線 路 の ア ド ミタ ン ス お よ び 対 地 ア ド ミタ ン ス の 総 和 とな る 。 一 方,相 ミタ ン スYijは,ノ

ー ドiとjの間

に つ な が る線 路 の ア ド ミタ ンス に負 符 号 を つ け た

も の で あ る。 この こ と か ら明 らか な よ う に,Yij=Yjiが タ ン ス 行 列 は対 称 行 列 とな る 。

互 ア ド

成 立 す る の で,ノ

ー ドア ド ミ

【 例 題5.1】

図5.2の

系 統 の ノ ー ドア ド ミタ ン ス 行 列 を 求 め よ。 線 路 の 数 字 は イ ン ピ

ー ダ ンス ,対 地 容 量 は ア ド ミタ ン ス を表 す 。

図5.2 

3ノ ー ド3ブ

ラ ン チ 系 統(2)

[解]  ノ ー ド1に 着 目 し,自 己 ア ド ミ タ ン スY11を

  相 互 ア ド ミタ ン スY12,Y13は

計 算 す る と,

それ ぞれの線 路 の イ ンピー ダ ンスの逆数 に負符 号 をつ

けた もの で あ るか ら,

とな る。 他 の ノ ー ド に つ い て も,同 様 に し て 計 算 す れ ば,次

【 例 題5.2】

図5.2の

系 統 に,新

の よ うに な る。

た に ブ ラ ンチ と ノ ー ドが 図5.3の

よ うに追加 され た

と き,こ の 系 統 の ノ ー ドア ド ミタ ン ス 行 列 を求 め よ。 [解]  ノ ー ド1に 着 目 す る と,ノ ー ド1と 追 加 さ れ た ノ ー ド4の 間 に は ブ ラ ン チ が な い の で,例

題5.1の

自 己 ア ド ミタ ン スY11の

値 は 変 ら ず,相

互 ア ド ミタ ン スY14は

図5.3 

0と

ノ ー ド,ブ

な る 。 相 互 ア ド ミ タ ン スY12,Y13の

ド2と ら ず,相

ノ ー ド4の

ラ ン チの追 加

値 は 変 ら な い 。 ノ ー ド2に

間 に は ブ ラ ン チ が な い の で,自

互 ア ド ミ タ ン スY24は0と

関 し て も,ノ

己 ア ド ミ タ ン スY22の

な る 。 相 互 ア ド ミ タ ン スY21,Y23の

ー

値 は変

値 は変 らな

い。

  一 方,ノ タ ン スY33の

ー ド3に 着 目 す る と,新 値 は例 題5.1の

た に ブ ラ ン チ が 追 加 さ れ て い る の で,自

値 か ら変 化 し,ま た,相

加 さ れ る。 相 互 ア ド ミ タ ン スY31,Y32の

【 例 題5.3】

己 ア ドミ 新 た に追

値 は 変 ら な い。

 ノ ー ド4に 着 目 す る と,自 己 ア ド ミ タ ン スY44は

 す な わ ち,ノ

互 ア ド ミタ ン スY34が

次 の よ う に な る。

ー ドア ド ミ タ ン ス行 列 は そ の 対 称 性 を考 慮 し て 次 の よ う に な る 。

図5.3の

系 統 に お い て,ノ

ー ド2と ノ ー ド3の 間 の 送 電 線 が1回

線増設

され た 。 この と き,ノ

ー ドア ド ミ タ ン ス行 列 で 値 が 変 る要 素 は どれ か 。

[解]  ノ ー ド2と ノ ー ド3の 間 に 送 電 線 が 増 設 さ れ た とい う こ と は,ノ

ー ド2と

ノー

ド3を 結 ぶ ブ ラ ン チ の イ ン ピー ダ ン ス が 変 化 す る こ とで あ る 。  よ っ て,ノ

ー ド2お

よび ノ ー ド3の 自 己 ア ド ミタ ン ス,お

よ び,ノ

ー ド2と3の

間

の 相 互 ア ド ミタ ン ス の 値 が 変 る こ とに な る。   す な わ ち,Y22,Y23,Y32,Y33の

  この よ う に,ノ

値 が 変

る こ と に な る 。

ー ドア ド ミ タ ン ス 行 列 は電 力 系 統 が 与 え ら れ れ ば,直

接 求める こ

とが で き,系 統 構 成 の 変 更 に 対 して は,一 部 の 要 素 を修 正 す るだ けで こ とが 足 り る。 ま た,系 統 の規 模 が 大 き くな り,ノ ー ド数 が 増 え る とノ ー ド間 を 結 ぶ 線 路 の 数 は相 対 的 に 少 な くな る の で,要

素 が0と

な る割 合 が 大 き く な る 。 この よ う に,多

0と な る よ う な 行 列 は疎 行 列(Sparse

Matrix)と

の方 法 が 種 々 提 案 さ れ て い る。 な お,ノ ピー ダ ン ス 行 列(Node

Impedance

くの 要 素 が

算 機 で の効 率 的 な処 理

ー ドア ド ミ タ ンス 行 列 の 逆 行 列 は ノ ー ドイ ン

Matrix)と

る こ とが 困 難 で あ る こ と(実 際 に は,ノ と で 求 め る の が 一 般 的),ノ

よ ば れ,計

よ ば れ る が,電

力 系 統 か ら直 接 求 め

ー ドア ド ミ タ ンス 行 列 の 逆 行 列 を 計 算 す る こ

ー ドア ド ミタ ン ス行 列 と異 な り,す べ て の 要 素 が 非 零 と

な り計 算 機 で の 扱 い が 面 倒 で あ る な ど の 理 由 で,潮

流計 算 に はほ とん ど用 い られ な

い。

5.3 

潮流方程 式

 各 ノー ドか ら電力 系統 に流れ込 む有 効電 力,無 効 電力 は (5.8) で与 え ら れ る。 各 ノ ー ドか ら電 力 系 統 に 流 れ 込 む電 流 は,ノ 用 い て,(5.5)式

の よ う に表 現 さ れ る の で,(5.8)式

ー ドア ド ミタ ン ス 行 列 を

に 代 入 す る と,(5.9)式

が 得 られ

る。

(5.9)  こ の 式 を,電

力 方 程 式(Power

 と こ ろ で,表5.1に ー ド ,負

Equation)と

示 し た よ う に,ノ

荷 ノ ー ドで 異 な る。

よぶ 。

ー ドの 指 定 条 件 は ス ラ ッ ク ノ ー ド,発 電 機 ノ

 ノ ー ドlが 負 荷 ノ ー ド(PQ指 Pls,Qlsと

定 ノ ー ド)と

し,有

効 電 力,無

効 電 力 の指 定 値 を

す る と,

(5.10) の関係 が満 足 され な けれ ばな らない。  ノー ドgが 発 電 機 ノ ー ド(PV指 値 をPgs,Vgsと

定 ノ ー ド)と

し,有 効 電 力,電

圧 の 大 き さ の指 定

す れ ば,

(5.11) (5.12) の関係 が満足 され な けれ ばな らな い。  (5.10),(5.11),(5.12)の

さ,位 相)が

左 辺 は 既 知 量 で,右

辺 のVmな

ど の ノ ー ド 電 圧(大

未 知 量 と な る。 潮 流 計 算 と は(5.10)∼(5.12)の

き

条件 の下 で電 力方 程式 を

解 く こ と に他 な ら な い の で あ る 。  も う少 し具 体 的 に見 て み よ う。  ノ ー ド電 圧 を直 角 座 標 表 示 して,

(5.13) と お く 。 ノ ー ド 電 圧 が 未 知 量 で あ る の で,e1,f1,e2,f2,…eN,fNが (5.9)式

未 知 量 と な る。

は,

(5.14) と 表 さ れ る か ら,ノ …eN

,fNの

ー ドkに

流 れ 込 む 有 効 電 力Pk,Qkは

次 の よ う に,e1,f1,e2,f2,

関 数 と な る。

(5.15)

 ま た,ノ

ー ド電 圧 の 大 き さ は

(5.16) と な り,や

は りek，fkの

関 数 と な る 。 電 圧 の 大 き さ の 指 定 に つ い て は,5.5に

お け る

ヤ コ ビア ン 行 列 の 要 素 を簡 略 化 す る た め に,￨Vk￨で

は な く￨Vk￨2を 用 い る の が 一 般 的

であ る。   す な わ ち,(5.10)∼(5.12)の

関 係 式 は 次 の よ う なe1,f1,e2,f2,…eN,fNに

関 す る二

次 方 程 式 とな る 。 p- Q指 定 ノ ー ド  (5.17)

P-V指

定 ノ ー ド

 (5.18)

(5.19)   ま た,ノ が,本

ー ド1(ス

ラ ッ ク ノ ー ドに は ノ ー ド番 号1を

質 的 な こ と で は な い)が

あ て る こ とが 一 般 的 で あ る

ス ラ ッ ク ノ ー ド と し,電 圧 の 大 き さの 指 定 値 をV1sと

す れ ば,

(5.20)

の 関 係 が 成 り立 つ 。   これ らの 式 を よ く見 る と,以 下 の こ とが わ か る。   Nノ

ー ドの 系 統 に お い て,直

角 座 標 表 現 さ れ た ノ ー ド電 圧 に 関 す るe1,f1,e2,f2,

…eN ,fNが 未 知 量 とな るの で,2Nの PQ指

定 ノ ー ド,PV指

ー ドで あ れ ,ひ

未 知 変 数 が 存 在 す る。 一 方,す

べ て の ノ ー ドは

定 ノ ー ドあ る い は ス ラ ッ ク ノ ー ドで あ る 。 い ず れ の 種 類 の ノ

とつ の ノ ー ドに 対 し て2つ

の 方 程 式 が 得 ら れ る 。 す な わ ち,2N本

方 程 式 が 立 て ら れ る こ とに な る 。 指 定 条 件 を満 足 す る解 を求 め る,す 程 式 を 解 く とい う こ と は2N変

の

な わ ち,潮 流 方

数 の連 立 非線形 方程 式 を解 く とい うこ とに他 な らな

い。

【 例 題5.4】

例 題5.1の

系 統 に お い て,ノ

指 定 ノ ー ド,ノ ー ド3がPQ指

ー ド1が ス ラ ッ ク ノ ー ド,ノ ー ド2がPV

定 ノ ー ド とす る。 各 ノ ー ドに お い て 満 足 す べ き 電 力

方 程 式 を ノ ー ドア ド ミ タ ン ス 行 列 の 要 素 を 用 い て 示 せ 。 [解]  ノ ー ドkの 有 効 電 力,電

電 圧 をek+jfkと

圧 指 定 値 をP2s,V2s,ノ

表 し,ノ ー ド1の 電 圧 指 定 値 をV1s,ノ ー ド3の 有 効 電 力,無

とす る 。   ノ ー ド2に 対 し て は,(5.11)式

よ り,

ー ド2の

効 電 力 の 指 定 値 をP3s,Q3s

 (5.12)式

よ り,

 ノ ー ド3に

対 し て は,(5.9)式

 ノ ー ド1は

ス ラ ッ ク ノ ー ド で あ る の で,e1=V1s，f1=0と

5.4 

よ り,

な る。

Newton‐Raphson法

 非 線 型 方 程 式 の 代 表 的 な 数 値 解 法 にNewton‐Raphson法

が あ る。 こ れ は,近 似 解

を順 次 修 正 して 精 度 の よ い解 を求 め る繰 り返 し解 法 で あ る。  い ま,f(x)=0の

解 α に対 す る近 似 解 をx(i),そ

の 誤 差 を ε(i)とす れ ば,

(5.21) と な る 。 し た が っ て,f(x)をx(i)の

ま わ り で テ イ ラ ー 展 開 す る と,(5

.22)式

が 得 ら

れ る。

(5.22) ε(i)が小 で あ る とす れ ば,ε(i)2以 下 の 項 を無 視 す る こ とが で き て,

(5.23) とな る 。 よ り良 い 近 似 解 を 得 る 修 正 式 と し て

(5.24) が 得 ら れ る。 こ こ で,右   す な わ ち,適

当 な初 期 解x(0)か

適 当 な 収 束 条 件(例 く な る,あ

肩 の 添 え 字(i)はi回

目 の繰 り返 しを 意 味 す る 。

ら出 発 し て,(5.24)を

用 い て 繰 り返 し計 算 を行 い,

え ば,誤 差 ε(i)の絶 対 値 が あ ら か じ め 定 め た 小 さ な 正 数 よ り小 さ

る い はf(x(i))の 絶 対 値 が あ らか じ め 定 め た 小 さ な 正 数 よ り小 さ くな る)

を 満 た した と こ ろ で,x(i)を

解 とみ な し て,繰

り返 しを 打 ち切 る のがNewton‐Raph

son法 で あ る。   こ の 方 法 を グ ラ フ を 用 い て 説 明 し よ う 。 図5.4に f(x)の

接 線 がx軸

と交 わ る 点 をx(i+1)と

し て,次

示 す よ う に,近

似 解x(i)で

の

々 に よ り良 い 近 似 解 を 求 め て い く

と い う こ とで あ る。 た だ,初 期 解 の 設 定 い か ん で は 発 散 す る な ど の 問 題 が 生 じ る こ と もある。   次 に,連

立 方 程 式 の 解 法 を考 え て み よ う。s個 の 変 数x1,x2,…

図5.4 

グ ラ フ に よ るNewton‐Raphson法

の 説明

，xsに 関 す るs個

の

方 程 式 が,

(5.25)

と与 え ら れ て い る と き,1変

数 の 場 合 と 同様,i回

目の 繰 り返 し で の 近 似 解x1(i),x2(i),

…xs(i)に 対 す る そ れ ぞ れ の 誤 差 ε1(i) ,ε2(i),…εs(i)は(5.26)式 の 連 立 一 次 方 程 式 を 解 い て 求 め ら れ る 。 た だ し,右 辺 行 列 の 値 はx1(i),x2(i),…xs(i)に お け る値 で あ る。 こ の 右 辺 の 行 列 を ヤ コ ビ ア ン行 列(Jacobian

Matrix)と

よぶ 。

(5.26)

  (5.26)か ら,ヤ

コ ビ ア ン 行 列 をJと

表 せ ば,各 近 似 解 の 誤 差 は(5.27)式

の よう に

表 さ れ る。

(5.27)

 よ っ て,よ

り良 い 近 似 解 を得 る式 と し て

(5.28)

が 得 ら れ る。 こ れ を 修 正 方 程 式 と よぶ 。1変 数 の と き と同 様 に,適 x2(0), …xs(0)か ら 出 発 し て

,(5.28)式

当 な 初 期解x1(0),

を 用 い て 繰 り返 し計 算 を 行 い,適

当 な収 束 条件

を満 た し た と こ ろ で,x1(i),x2(i),…xs(i)を る。 収 束 条 件 と し て は,種

解 とみ な し て,繰

々 考 え ら れ るが,例

え ば,あ

り返 し を 打 ち 切 る の で あ

らか じ め 定 め た 小 さ な 正 数 ε

に対 して

(5.29) を満 足 し た と き に 打 ち 切 れ ば よ い 。

5.5 

潮流 計算へ のNewton‐Raphson法

  こ こで は,潮 流 計 算 に い か に してNewton‐Raphson法

の 適用 を適 用す るか に つ いて考 え

て み よ う。   簡 単 化 の た め に,図3.1の PV指

系 統 を 考 え,ノ

定 ノ ー ド,ノ ー ド3がPQ指

け れ ば な ら な い 条 件 は,ス

ー ド1が ス ラ ッ ク ノ ー ド,ノ ー ド2が

定 ノ ー ド とす る 。 この と き,各

ラ ッ ク ノ ー ド を 除 い て,例

る。 ス ラ ッ ク ノ ー ド1の 電 圧 は 決 ま っ て い る の で,未

題5.4の

ノ ー ドで 満 足 しな

よ う に4つ

の 式 とな

知 変 数 はe2，f2，e3，f3の4つ に

な る 。4つ の 変 数 の 近 似 解 をe2(i),f2(i),e3(i),f3(i)(右 肩 の(i)は 繰 り返 し 回 数 を示 す) と し,そ の とき の4つ す れ ば,4つ

の 条 件 の 指 定 値 か らの 誤 差 を そ れ ぞ れΔP2,Δ￨V2￨2,ΔP3,ΔQ3と

の変 数 の 修 正 方 程 式 は ヤ コ ビ ア ン行 列 を用 い て,(5.30)式

の よ うに表 さ

れ る。

(5.30)

  こ れ を,収 束 条 件 が 満 足 さ れ る ま で 繰 り返 せ ば,指 圧 を求 め る こ とが で き る 。 な お,こ

定 条 件 を 満 足 す る 各 ノ ー ドの 電

の よ う な 繰 り返 し計 算 で は初 期 解 の 設 定 が 重 要 で

あ る こ と を説 明 した が,潮

流 計 算 で は初 期 解 と し て,ス

ノ ー ド に対 し て,ek(0)+jfk(0)=1+j0と

ラ ッ ク ノ ー ドを 除 くす べ て の

す れ ば よ い 。 こ れ は フ ラ ッ トス タ ー ト と よ ば

れ る。  (5.30)式 で も用 い ら れ て い る ヤ コ ビ ア ン行 列 の 要 素 を計 算 す る式 は次 の よ う に 導 出 され る。 い ま,ノ

ー ドア ド ミ タ ン ス 行 列 の 要 素Ykmを

(5.31) と お け ば,各

ノ ー ドか ら系 統 に注 入 さ れ る電 流Ikは

(5.32)

あ る い は,

(5.33) こ こに，

(5.34) (5.35) で 与 え られ る 。

 有効 電 力Pkと 無効 電 力Qkは

(5.36)

で あ る か ら,(5.36)式

に(5.34),(5.35)式

を代入 して

(5.37) (5.38) が 得 ら れ る 。 ま た,￨Vk￨2は(5.16)式

で 与 え られ る。 以 上 の 式 か ら,ヤ

の 要 素 を計 算 す る と以 下 の よ う に な る。

コ ビ ア ン行 列

k≠mの

時

(5.39)

k=mの

時

(5.40)

5.6 

直 流 法 潮 流 計 算

  これ ま で 説 明 し て き た 方 法 は 厳 密 な 電 圧 分 布,潮

流 分 布 が 求 め られ る 反 面,計

を使 わ な け れ ば 計 算 す る こ とは 不 可 能 で あ る 。 一 方,精 分 布,電

算機

度 が 多 少 落 ち て も概 略 の 潮 流

圧 位 相 角 の 分 布 を 知 りた い と い っ た 場 合 に 使 わ れ る の が 直 流 法 潮 流 計 算 で あ

る。   図5.5に

示 す 送 電 線 を考 え る 。 簡 単 化 の た め,送

タ ン ス は 省 略 す る 。 送 電 端 電 圧 をVS=VS)受 の イ ン ピ ー ダ ン ス をZ=jXと

電 線 の 抵 抗,お

す る。

  この と き,受 電 端 電 力PT+7Qrは

よ び,対

電 端 電 圧 をVr=Vre-jδ

次 の よ う に表 さ れ る。

図5.5  送電 線 モ デ ル

地 ア ドミ

と し,送 電 線

(5.41) す な わ ち,有 効 電 力Prは

(5.42) となる。   通 常,電

力 系 統 に お い て は,系 統 内 各 部 の 電 圧 は1puの

近 傍 に あ る。 ま た,送

線 両 端 の 位 相 差 δ は 小 さ い の が 普 通 で あ る 。 す な わ ち,Vs≒Vr≒1,sinδ せ る の で,(5.42)式

は(5.43)式

電

≒ δ とみ な

の よ う に な る。

(5.43)

  こ の 式 を よ く見 る と,図5.6に

示 す よ う に,直 流 回路 に お け る オ ー ム の 法 則 と同 じ

類 似 性 が あ る こ とが わ か る 。 す な わ ち,直

流 回路 計 算 と同 様 の 手 法 で 系 統 内 各 部 の 位

相,潮

流 を 求 め る こ とが で き る。 この よ う な 近 似 化 さ れ た 手 法 を 直 流 法 潮 流 計 算 と よ

び,一

方,前

節 ま で説 明 した 厳 密 な 潮 流 計 算 を交 流 法 潮 流 計 算 と よ ぶ 。

 直流 法潮 流計算 では以 下の 点 に注意 す る必 要が ある。  (1)  送 電 線 の 抵 抗 を 無 視 して い る の で,系 統 内 で送 電 損 失 は 発 生 しな い 。 この た め,発

電 と負 荷 は一 致 す る の で, ひ とつ の ノ ー ドの 発 電 量(負

荷 量)は

自動 的 に 決 定

され る 。

 (2)  送 電線 の抵抗 を無視 で きな い ような系統,一 般 的 に は電 圧 が低 い系 統 で は誤 差 が 大 き くな る傾 向 が あ る 。

図5.6 

直 流 回路 との対 応

  (3) 

ノ ー ドの位 相 を 決 定 す る に あ た り,基 準 と な る位 相 を決 め る 必 要 が あ る 。 こ

れ は,直

流 回路 計 算 に お い て,基

【 例 題5.5】

図5.2の

計 算 せ よ。 こ こで,ノ

準 電 位 を決 め る こ とに 相 当 す る 。

系 統 に お い て,各 ー ド1か

送 電 線 を 流 れ る潮 流 を 直 流 法 潮 流 計 算 に よ り

ら1.0pu,ノ

ー ド2か

ら0.8puの

電力 が 供 給 され て

いる。 [解]  直 流 法 潮 流 計 算 を行 う う え で,図5.2の

抵 抗,対

5.7の 直 流 回 路 を考 え る 。 ノ ー ド1の 電 圧(位

相 に相 当)を0と

ド3の 電 圧 をV2,V3と

地 ア ド ミタ ン ス を省 略 し た 図

す る。 各 ブ ラ ン チ を 流 れ る 電 流(潮

し,ノ

流 に 相 当)を

ー ド2,ノ

ー

図5.7の

向

きで 定 義 す る。   こ の と き,電 圧 を 未 知 変 数 と し て,ノ

ー ド1,2で

キ ル ヒホ ッフの法 則 を満 足 す る

ように式 を立 て る と

ノ ー ド1:1.0=

ノ ー ド2:0.8=

 こ れ を 解 く と,V2=0.104,V3=-0.565と  よ っ て,各

なる。

ブ ラ ン チ を流 れ る 電 流 は

図5.7 

直 流法 潮 流 計算

とな る。   す な わ ち,ノ

ー ド2か

向 か っ て1.13pu,ノ

 この 例 題 で は,次

ら ノ ー ド1に

ー ド2か

向 か っ て0.130pu,ノ

ら ノ ー ド3に

ー ド1か

向 か っ て0.669puの

ら ノ ー ド3に

潮 流 が 流 れ る。

の こ と に注 意 す る 必 要 が あ る。

  この 系 統 で は,送 電 損 失 が な い た め,ノ

ー ド3の 負 荷 は1.0+0.8=1.8と

記 で は ノ ー ド3に 対 して 式 を立 て て い な い が,も

と な る。 これ は,結 局,ノ

ー ド1,ノ

立 な 式 で は な い 。 未 知 変 数 が2つ

  こ の よ う に し て,直

し式 を立 て る とす る と

ー ド2で の2つ

で あ る の で,式

の 式 を 足 し合 わ せ た も の で,独

は2本

で よ い こ と に な る。

流 法 潮 流 計 算 で は,連 立 線 型 方 程 式 と して,各

各 ブ ラ ン チ を 流 れ る潮 流 を簡 単 に 計 算 す る こ とが で き る。

題 問 図5.8 

なる。上

4ノ ー ド系 統

ノ ー ドの 位 相,

(1)①

図5.8に ②

示 す4ノ

ー ド系 統 の ノ ー ドア ド ミタ ン ス 行 列 を 求 め よ。

ノ ー ド2は 浮 遊 ノ ー ドで あ る。 浮 遊 ノ ー ドの 条 件 で あ る ノ ー ド2の 注 入 電

流I2=0を

用 い て,①

の ノ ー ドア ド ミタ ン ス 行 列 か ら ノ ー ド2を 消 去 せ よ 。

注 ：① の ノ ー ド ア ド ミタ ン ス 行 列 をY1,② す れ ば,以

(2)図5.8に

示 す4ノ

ー ド系 統 の ノ ー ド1に は 発 電 機 が,ノ

つ な が れ て い る。 発 電 機 の 出 力 を1 .0pu,ノ き,各

の ノ ー ドア ド ミタ ン ス 行 列 をY2と

下 の 関 係 式 が 成 り立 つ 。

ー ド3と4に

ー ド4の 負 荷 を0.7puと

は負 荷 が した と

ブ ラ ン チ を 流 れ る 有 効 電 力 を 直 流 法 潮 流 計 算 に よ り求 め よ 。 な お,図

5.8に は 直 流 法 潮 流 計 算 で 考 慮 し な い デ ー タ も含 ま れ て い る の で,そ

れ らにつ

い て は無 視 す る こ と。

【解答 は巻 末】

第6章  同期発電機

  電 力 系 統 に お い て,電 erator)で

力 の 発 生 は三 相 同 期 発 電 機(three‐phase

synchronous

gen

行 わ れ るの で,三 相 同 期 発 電 機 は 電 力 系 統 に お け る 最 も重 要 な 要 素 の 一 つ

で あ る。 電 力 系 統 の 運 用 や 制 御 は発 電 機 の 特 性 と密 接 に 関 連 して お り,発 電 機 の 特 性 を よ く理 解 し て お く こ とが 重 要 で あ る。 こ こで は,系 特 性 を 述 べ,電

6.1 

気 回路 に適 用 で き る モ デ ル に つ い て 検 討 す る こ と に す る。

同期機 の基本構 造

  図6.1に ator)の

統 の解 析 に 必 要 な 同期 発 電 機 の

蒸 気 タ ー ビ ン に よ っ て 駆 動 さ れ る2極

の タ ー ビ ン 発 電 機(turbogener

基 本 的 な構 造 を示 す 。 タ ー ビ ン発 電 機 は極 数 が2な

り,回 転 子(rotor)が に 耐 え る た め,直 な わ ち,回 winding)が

い し4の

同期発 電機 で あ

高 速 で 回 転 す る タ ー ビ ン に直 結 さ れ る。 回 転 子 は,高

速 回転

径 を 小 さ く し,回 転 軸 方 向 の 長 さ を長 く し,円 筒 状 に 作 られ る。 す

転 子 は 非 突 極 で あ る。 図6.1に

示 す よ う に 回 転 子 に は 界 磁 巻 線(field

巻 か れ る。 界 磁 巻 線 に直 流 電 流 を流 す こ と に よ り,回 転 子 の 磁 極 を励 磁

す る 。 そ の た め の 直 流 電 源 と して は,直 tion machine)あ

流 発 電 機 を 用 い た 直 流 励 磁 機(dc

exicita

る い は 小 型 の 同 期 発 電 機 の 出 力 を整 流 器 で 整 流 し た 励 磁 装 置 な どが

用 い られ る 。   2極 の 回転 子 の 界 磁 巻 線 に よ り作 られ る磁 束 の 通 路 は 図6.1に 転 子 の 界 磁 巻 線 の 磁 軸 は直 軸 あ る い はd軸(direct‐axis に垂 直 な 軸 を 横 軸 あ る い はq軸(quadrature‐axis   固 定 子(stator)に winding/armature

は,そ

示 す よ う に な り,回

or d‐axis)と

or q‐axis)と

よ ば れ,d軸

よぶ 。

の 内 周 に 沿 っ て 固 定 子 巻 線 す な わ ち 電 機 子 巻 線(stator

winding)が3等

分 さ れ て 巻 か れ,三

の 電 機 子 巻 線 の 一 端 は 共 通 に 接 続 さ れ,発

相 の 巻 線 を構 成 す る 。 各 相

電 機 中 性 点(generator

neutral)を

構成

す る。   水 車 発 電 機 の よ う な 回 転 速 度 の 小 さい 発 電 機 は極 数 が 多 く,回 転 子 は突 極 で あ る。 図6.2に

水 車 発 電 機 の例 と して6極

の同期 発電 機 を示 す。界磁 巻線 は回転子 の磁 極 に

図6.1  三 相 同期 発 電 機(タ ー ビ ン発 電 機)

図 の よ う に コ イ ル 状 に巻 か れ る。   水 車 発 電 機 型 の 同 期 機 の 回 転 子 に は 界 磁 巻 線 の 他 に ダ ン パ ー 巻 線(damper

wind

ing)が

induc

設 け ら れ て い る。 ダ ンパ ー 巻 線 は か ご形 誘 導 電 動 機(squirrel‐cage

tion motor)の

回 転 子 の か ご形 導 体 に類 似 した 形 状 を し て い る 。 ダ ンパ ー 巻 線 は定 常

運 転 に お い て は運 転 に な ん ら影 響 を与 え な い が,過 さ せ る よ う作 用 す る 。

渡 現 象 の 期 間 に お い て振 動 を減 衰

図6.2 

図6.3 

6.2 

三相 同期 発電 機(水 車 発 電機)

ター ビン発 電機 の空隙 の磁 束分 布

電機 子 の 誘 導 起 電 力

  界磁 巻線 に電流 を流 す と,回 転子 の磁 極 に は磁束 が形 成 され る。突極 形 の 回転 子 で は,磁 束 密度 は磁極 面 の湾 曲形状 のた めd軸 にお いて最大 とな り,q軸

に おい て零 と

な る。 回転子 と固 定子 の間 の 空隙(air‐gap)の 磁 束 密度 分布 は正 弦 波状 に分布 す る よ う設計 され て い るの で,突 極形 お よび円筒形 の両 回転 子 と も,そ の 円周 に沿 った空 隙の磁 界 分布 は正弦 波 として取 り扱 う ことが で きる。図6.3に ター ビ ン発 電機 の空隙 の磁 束分布 を示 す。   回転 子 の回転 に伴 っ て正弦 波 の空隙 磁界 が運 動す るこ とに よ って,電 機子 巻線 は磁 束 を切 る。 このた め電機 子巻 線 に は正 弦波 の誘 導起電 力が 生 じ る。  空 間的 に正弦波 で 分布 す る空隙磁 界 の運動 に伴 って,電 機 子巻 線 に は時 間的 に正 弦

波 で変 化 す る誘 導起 電 力 が生 じる。 回転 子 の極 数 をPと

す る と,空隙 磁 界 お よび誘

導 起電 力 の 空 間分 布 は両者 とも,回 転 子 の1周 につ い てP/2サ が って,回 転 子 の回転 数 が毎 分N回

イ クル とな る。 した

で あ る とす れ ば,電 機 子 導体 に誘 導 す る起電 力

の周波 数fは 次 式 で表 され る。 (6.1)

  例 え ば,2極 3000min-1の

で,回

転 数3600min-1の

場 合,50Hzで

導 さ れ る起 電 力 はP/2電

場 合,周

波 数 は60Hzで

あ る。 回 転 子 の1° の 回 転 に 対 し て,電 気 角 だ け変 化 す る。 例 え ば,2極

電 気 的 回 転 角 が 等 し い 。b相

お よ びc相

あ り,回 転 数 が 機 子 の巻線 に誘

の 同 期 機 は機 械 的 回 転 角 と

の 電 機 子 巻 線 に 誘 導 さ れ る 起 電 力 はa相

よ

り120° お よ び240° そ れ ぞ れ 遅 れ る 。   図6.4は q軸 がa相

電 機 子 巻 線 に 生 じ る正 弦 波 状 の誘 導 起 電 力 が 最 大 の 瞬 間 を表 し,回 転 子 の の 電 機 子 巻 線 の 磁 軸 と一 致 し た 瞬 間 で,こ

の瞬 時 の磁 束 鎖交 数 は零 で あ

る。   界 磁 巻 線 に よ っ て 生 じた 磁 束 の う ち 電 機 子 巻 線 と鎖 交 す る磁 束 鎖 交 数 をfaの で 表 す 。 図6.4に ま た,固

添字

示 す 回 転 子 に乗 っ て磁 束 を見 る 観 測 者 は一 定 の 直 流 磁 束 φ を 見 る 。

定 子 に 乗 っ た 観 測 者 は 同 じ 磁 束 を 周 波 数fの

交 流磁 束 ψ として見 る こ とに

な る。  a相

の 電 機 子 巻 線 の磁 軸 を基 準 とす る と,回 転 子 お よ び 固 定 子 に乗 っ て 測 定 さ れ る

両 磁 束 の 関 係 は 次 の よ う に な る。

図6.4 a相

の 誘 導起 電 力 が最 大 の瞬 間 にお け る空隙 磁界Ψfaと 誘 導 起 電力Eの

分布

(6.2) こ こに,α

は 図6.1に

示 した よ う に,a相

の 電 機 子 巻 線 の 磁 軸 を 基 準 に測 っ たd軸

回 転 角 で あ り,φfaは 界 磁 巻 線 に よ っ て生 じ た 磁 束 の う ちa相 る磁 束 鎖 交 数 の 最 大 値,ω  a相

の

の 電 機 子 巻 線 と鎖 交 す

は角速 度 であ る。

に誘 導 され る起 電 力 は 次 の よ うに 表 され る。

(6.3) この誘 導起 電 力 の実効値 は, (6.4)

と な る。 こ こ に,｜E｜ は 誘 導 起 電 力eの

実 効 値,Mfaはa相

の 電 機 子 巻 線 の磁 軸 とd

軸 が 一 致 した と き の 界 磁 巻 線 と電 機 子 巻 線 の 相 互 イ ン ダ ク タ ン ス,ifは あ る 。 誘 導 起 電 力 の 実 効 値｜E｜は 回 転 子 の 毎 分 の 回 転 数Nに 圧(speed

voltage)と

比 例 す る の で,速

度電

よばれ る。

  磁 束 鎖 交 数 ψfaお よ び 誘 導 起 電 力eは ,Eで

界磁電流で

正 弦 波 状 で あ る の で,ベ

表 す こ とが で き る。 図6.5は(6.3)式

よ りd軸

ク トル す な わ ちΨfa

の 磁 束 がq軸

に速 度 電圧 を

誘 導 す る こ と を示 す 。   発 電 機 に対 称 三 相 負 荷 が 接 続 さ れ る と,各 相 の 電 機 子 巻 線 に は対 称 三 相 交 流 の 相 電 流Iが

流 れ る 。 こ の相 電 流 に よ っ て,P/2を1周

期 と して 固定 子 の 内面 に沿 って正

図6.5  速 度 電圧 ベ ク トル

図6.6 

分布 電 流I,空隙

弦 波 状 に 分 布 す る電 流 が 形 成 さ れ,こ

磁 界Ψfaと 誘 導起 電 力Eの

分布

の正弦 波状 の分布 電 流 は同期速 度 で 固定子 の 内

周 面 を 回 転 す る。 そ の 分 布 電 流 の 最 大 値 は,相 電 流 の 最 大 値 と 同 じ時 点 に お い て 電 機 子 の 相 巻 線 の 中 央 に 一 致 し,そ の 最 大 値 は電 機 子 巻 線 を 流 れ る 相 電 流 の 大 き さ￨I￨に 比例 す る。   図6.6に

誘 導 起 電 力Eが

6.4の 空隙 磁 界 分 布Ψfaを

6.3 

電 機 子 の 分 布 電 流Iよ

り角 β進 ん で い る も の と し,図

重 ねて 示す 。

電 機 子 反 作 用

  三 相 同 期 発 電 機 の 固 定 子 に 巻 か れ た3個

の 電 機 子 巻 線 が,そ

れ らの 軸 を互 い に

120°の 電 気 角 ず つ ず ら し て 配 置 さ れ て お り,そ れ ら に 位 相 が120° ず つ ず れ た 三 相 交 流 電 流 が 流 れ る と,同 期 速 度(synchronous の 磁 束 を電 機 子 反 作 用(armature

speed)で

reaction)と

回転 す る磁 束 が 発 生 す る。 こ

よ び,φaaで

束 φaaは 電 機 子 電 流 分 布 が 零 の 位 置 で 最 大 と な り,φfaよ  a相

を 基 準 と し て,電

表 す。電 機 子 反 作 用 磁

り90°+β 遅 れ て い る。

機 子 反 作 用 磁 束 φaaの う ち 固 定 子 と鎖 交 す る 磁 束 ψaaは

(6.2)式 と同 様 に 次 の よ うに 表 さ れ る。

(6.5) この 磁 束 鎖 交 数 に よ っ て,a相 され る 。

には速度 電圧 が誘 起 され る。 その電圧 は次 の よ うに表

図6.7  磁 束,電 流 お よ び誘 導起 電 力 のベ ク トル

(6.6) こ こ に,eIは

速 度 電 圧 で あ る 。 速 度 電 圧eIの

実 効 値￨EI￨は,

(6.7)

と な る。 こ こ に,φaa/√2と￨I￨の

比 を相 互 イ ン ダ ク タ ン スMaaで

表 す 。EIお

よ び,

固 定 子 巻 線 と鎖 交 す る 界 磁 磁 束 の 磁 束 鎖 交 数 ψfaと 電 機 子 反 作 用 磁 界 の 磁 束 鎖 交 数 ψaaを 合 成 し た 磁 束 鎖 交 数 を ψresと表 し,図6.7に

示 す 。 図6.7に

ψaa,ψres等に つ い て 正 弦 波 状 で あ る の で,Ψfa,Ψaa,Ψresの

お い て は,ψfa,

よ う に ベ ク トル 表 示 し て

い る。

6.4 

端子電圧

  磁 束鎖 交 数ΨfaとΨaaを 合 成 した磁 束 鎖交 数 をΨresとした の と同様 に,電 機 子 に 誘 起 す る2つ の誘 導起 電 力EとEIを

合 成電 圧す る と,次 の よう に表 され る。 (6.8)

 こ こに,Eは

界磁 磁束 によ る誘 導起 電力,EIは

電 機子 反作 用 に よる誘 導起 電 力,

Eresは 空隙 起 電 力 で あ る。 図6.7か

らわ か る よ う に,電

は界 磁 磁 束 の 鎖 交 数Ψfaに(90°+β)遅 EはΨfaよ

れ て お り,Ψaaは

り90° 遅 れ て お り,EIはΨaaに90°

90°遅 れ る。Eresは

機 子 反 作 用 磁 束 鎖 交 数Ψaa 電 流 ベ ク トルIと

遅 れ る。 し た が っ て,EIは

空隙 の合 成 磁 束 鎖 交 数Ψresよ り90° 遅 れ,中

一 致 す る。 電 流Iに

性 点 に対 して 測 られ

る電 圧 で あ る 。   空隙 起 電 力Eresか

ら電 機 子 巻 線 の 抵 抗raと

漏 洩 リア ク タ ン スxlに

を減 ず る こ とに よ り,発 電 機 の 端 子 の 相 電 圧Vが

よる電 圧 降 下

得 られ る。

 す なわ ち

(6.9) であ る。   電 機 子 反 作 用 に よ る誘 導 起 電 力EIは か ら導 か れ る の で,次

電 流 ベ ク トルIに90°

遅 れ,￨EI￨は(6.7)式

の よ うに 表 す こ とが で き る。

(6.10) こ こ に,XI=ωMaaで

あ る。

  (6.9)式 に(6.8),(6.10)式 して 無 視 す れ ば,次

を代 入 し て,さ

ら に 電 機 子 巻 線 抵 抗raは

十 分小 さい と

の 関 係 を得 る。

(6.11) XS=XI+xlは,同

期 リア ク タ ン ス(synchronous

(6.11)式 の 関 係 は 図6.8(a)に   端 子 電 圧Vは electromotive

reactance)と

よ ば れ る。

示 す よ う な ベ ク トル で 表 さ れ る 。

界 磁 磁 束 に よ っ て 電 機 子 巻 線 に 誘 導 さ れ る 誘 導 起 電 力(internal force)Eか

ら,同 期 イ ン ピ ー ダ ン ス に よ る電 圧 降 下 を 引 い て 表 さ れ

(a)(b)) 図6.8 

同期 発 電機 の等価 回路

る 。 そ の 等 価 回 路 は 図6.8(b)で

表 さ れ る。 ち な み に,同 期 機 の 定 格 を基 準 と した 同

期 リア ク タ ン ス は0.6∼1.5puで

あ る の に対 し,内 部 抵 抗 は0.01puの

程 度 で あ るの

で,内 部 抵 抗 を 無 視 す る こ とが で き る の で あ る。   同 期 リ ア ク タ ン ス の 測 定 は 次 の よ うに 行 わ れ る 。 発 電 機 端 子 を短 絡 して,短

絡 電流

が1puに

磁 電流

な る ま で,励

磁 電 流 を増 加 す る。 短 絡 電 流 が1puに

な っ た と き,励

を そ の ま ま の 値 に 固 定 し て 発 電 機 の 端 子 を 開 放 す る。 こ の と き 端 子 に 現 れ た 相 電 圧 を,単 位 法 で 表 した 値 が 同 期 リ ア ク タ ン ス のpu値

6.5 

で あ る。

磁 気 突 極 効 果

  以 上 述 べ た よ う に,電 を 発 生 し,こ

機 子 電 流Iは

磁 束Ψaaを

作 り,磁

は,磁 気 抵 抗(magnetic

reluctance)がdお

あ る。 これ は,回 転 子 が 円 筒 形 の 同 期 機(非

よ びq軸 突 極 機)で

い て は 当 て は ま らな い 。 同 期 機 の 磁 気 抵 抗 は,図6.9に 線 の 溝 に よ っ て,q軸

誘 導 起 電 力EI

に 沿 っ て 等 し い と した こ とで は 妥 当 で あ る が,突

極 機 につ

示 す よ う に,回 転 子 の 界 磁 巻

方 向 の 磁 気 抵 抗 が 増 加 す る。

  した が っ て,回 転 子 に対 す る 電 機 子 電 流 分 布 はΨaaとEIに てXsに

束Ψaaは

の 起 電 力 の 大 き さ は 位 相 差 β に 無 関 係 で あ る と考 え て い る 。 そ の 理 由

影 響 す る。 界 磁 磁 束Ψfaに

れ に よ っ て 電 機 子 に 流 れ る 電 流Iと

影 響 し,そ

の結果 とし

よ っ て 電 機 子 巻 線 に 誘 起 さ れ る 起 電 力Eと,こ の 位 相 差 を β と す れ ば,電

図6.9  回転 子 の凸極 効 果

流Iの

位 置 は磁 束

Ψaa,す な わ ちq軸 お よ びXsの

か ら位 相 差 β と な る た め,こ

値 に影 響 す る。 そ こ で,磁

が 必 要 に な る 。 電 機 子 電 流Iを れ ば,電

流Idはd軸

図6.10に

れ に よ っ て 誘 導 さ れ る 起 電 力EI,

化 をdお

よ びq軸

方 向 の成 分 に分 け る こ と

示 す よ う に,Idお

方 向 の磁 束Ψaa,dを 作 り,電 流Iqはq軸

よ びIqの

成 分 に分 解 す

方 向 の 磁 束Ψaa,qを 作

る。   こ れ ら磁 束Ψaa,dとΨaa,qは

速 度 電 圧EIdお

よ びEIqを

誘 起 し,そ

れ らの大 き さ は

次 の よ うに表 され る。

(6.12) (6.13) EIdお

よ びEIqは,ま

た,次

の よ う に表 さ れ る。

(6.14) (6.15) こ こ に,Xdは

直 軸 同 期 リ ア ク タ ン ス(direct‐axis

横 軸 同 期 リ ア ク タ ン ス(quadrature‐axis   端 子 電 圧 は,電

synchronous

機 子 巻 線 抵 抗 を 無 視 す れ ば,E,EIdお

synchronous

reactances)

reactances)と よ びEIqの

,Xqは

よぶ。 和 で あ り,次

よ う に表 され る。

(6.16)

図6.10 

直 軸,横 軸 同 期 リア ク タ ンス に よ る端 子電 圧 と誘 導 起 電力 の関 係

の

この式 に よって表 され るベ ク トル図 を図6.10に 示 す。 この 図 にお い て,位 相 角 θは 端 子 の相 電 圧Vと 相 電 流Iよ

相 電 流Iの

なす角 で あ り,送 電 電 力 を計 算 す る際,相 電 圧Vが

り進 んで い る とき正 とす る。 電 力角 δは,界 磁磁 束 に よ り電機 子巻 線 に

誘 導 され る1相 の誘 導起電 力Eが,端

6.6 

子 の相 電圧Vよ

り進 んで い る とき正 とす る。

電 力 お よ び トル ク

 発 電機 の回転 子 と固定子 間 の空隙 に発生 す る トル クTemは,タ 力 を供給 して いる発電機 の端 子 にお け る電 力PGと

ー ビン出力PTと

電

の間 を結 合 す る基本 的 な物理 的 関

係 を与 え る。  磁 束 密度Bと

これ に垂 直 な電 流Iと の 間 に働 く力 の関 係 を図6.11に 示 す。界 磁

磁束Ψfaと 電機 子電 流Iの 間 に作 用 す る電磁 力 を考 える とき,誘 導起 電 力Eと

電機

子電 流Iの 位 相 角 βが-90° ＜β＜90°の範 囲 に あ るな らば,固 定 子 は 回転 方 向 に力 の作 用 を受 け るこ とが分 か る。一 方,回 転 子 は大 き さが等 し く,回 転 方向 と向 きが反 対の 反作 用の 力 を受 ける。 回転 子 に作 用す る電磁 力 は 回転 子 を減速 す る方 向 に作 用 す るので,こ れ に対 し,回 転子 の 回転 速 度 を一 定 に保持 す るため に,タ ー ビ ンか ら回転 子 に この 力 に厳 密 に釣 り合 う駆 動 トル クが 作用 され な けれ ばな らな い。  発 電機 の回転 子 と固定 子 間の空 隙 に発 生 す る トル クTemは 次式 で表 され る。 (6.17) こ こ に,Bfaは

界 磁 磁 束Ψfaの 磁 束 密 度 で あ る。

  (6.17)式 は 回 転 子 と固 定 子 間 の 空隙 が 全 周 に わ た っ て 一 定 で あ れ ば,厳 る 。 しか し,現 実 に は,空隙

は 不 均 一 で あ る た め,ト

ル クお よび電力 方程 式 に この空

隙の 不 均 一 性 に よ る補 正 項 を加 え る 必 要 が あ る。

図6.11 

密 に成立 す

磁 界 中 の通 電 導 体 に作 用 す る力

6.7 

電力公式

  界磁磁 束 の磁束 密度Bfa,電 機 子 電流Iお よび誘 導起 電力 と電機 子電 流 の位 相 角 β な どは測 定 す る こ とが で き ないの で,(6.17)式 は現 実 的 な式 とは い えな い。 実 際 に有 用 な式 は,容 易 に測定 可能 な量 に よって発電機 の電 力 を表す こ とが で き る式 で な けれ ばな らない。発 電機 の トル クを表 す式 を求 め るた め,ま ず,複 素 電力 に関す る次 の式 を用 い る。 (6.18) こ こ に,図6.10に

示 し た よ う に,Vは

端 子 の 相 電 圧,Iは

相 電 流,θ

な す 位 相 角 で あ る。 電 流Iが

発 電 機 か ら流 れ 出 る と き 正 と す る か ら,同

の状 態 に あ る と き,(6.18)式

のPGお

あ る。 図6.10に

よ びQGは

期機が発電

正 で あ る 。(6 .18)式 は1相

示 し た ベ ク トル 図 か ら,端 子 の 相 電 圧Vお

の電力で

よ び相 電 流Iを,界

電 流 に よ っ て発 生 し た磁 束 に よ り電 機 子 巻 線 に 誘 導 され る起 電 力Eの これ に 垂 直 な成 分 す な わ ちd軸,q軸

はVとIの

磁

方 向 の 成 分 と,

式 分 に分 解 す る と,次 の 関 係 が 成 立 す る。

(6.19) (6.20) こ こ に,δ は界 磁 電 流 に よ る電 機 子 巻 線 の 誘 導 起 電 力Eと,発 の位 相 角,す

な わ ち 電 力 角 で あ る。 ま た,次

電 機 端 子 の 相 電 圧V

の 関 係 が あ る。

(6.21) (6.22)  角 度 に つ い て は,次

の 関 係 が 成 り立 つ 。

(6.23)  (6.23)式

か ら,

の 関 係 を利 用 し,こ れ ら の 式 の 両 辺 に￨I￨を 乗 じ,(6 と,

.21)式 お よ び(6.22)式

を用 い る

(6.24) (6.25) を得 る。   (6.18)式 に(6.24)式,(6.25)式

を 代 入 し,(6.19)式

お よ び(6.20)式

の 関 係 を利 用 す

る と,発 電 機 が 供 給 す る有 効 電 力 お よ び 無 効 電 力 に つ い て次 の 重 要 な 一 般 電 力 公 式 を 得 る。

(6.26) (6.27)

  (6.26)式 の 右 辺 第1項

の 値 に比 し て 第2項

の値 は小 さ い 。 これ は,空隙

に よ る トル ク成 分 に対 応 す る電 力 で あ り,特 に,タ は,Xd=Xqの

関 係 が 成 り立 つ の で,(6.28)式

(6.26)お よ び(6.27)式

は(6.29)お

よ び(6.30)式

の不 均一 性

ー ビ ン発 電 機 の よ う な非 突 極 機 で

の 関 係 を 用 い る と,電

力 の一般 式

の よ う に簡 単 に な る 。

(6.28) (6.29) (6.30)

(6.26)式,(6.27)式

お よ び(6.29)式,(6.30)式

は電 力 に関 す る非 常 に重 要 な 式 で あ

り,界 磁 磁 束 に よ る電 機 子 巻 線 の 誘 導 起 電 力Eと 大 き さ が 一 定 な ら ば,有

効 電 力PGお

発 電 機 の 端 子 相 電 圧Vそ

よ び 無 効 電 力QGは

れぞ れ の

電 力 角 δの み の 関 数 とな

る。   (6.26)式,(6.27)式 電 力Eお

お よ び(6.29)式,(6.30)式

よ び端 子 電 圧Vが,kV単

力 のMWあ て はXdとXqの

は,発 電 機 の 界 磁 磁 束 に よ る誘 導 起

位 の 線 間 電 圧 で 表 さ れ る な ら ば,三

る い は 無 効 電 力 のMvar値

を 与 え る 。 な お,同

相 の有効 電

期 リ ア ク タ ン スXsと

し

平 均 値 が 使 用 され る こ とが 多 い。

【 例 題6.1】  水 車 発 電 機 は周 波 数60Hz,定 で あ る。 有 効 電 力PGを

格 電 圧13.6kV,定

格 三 相 容 量15MVA

厳 密 式 と近 似 式 か ら計 算 せ よ。

  こ こ で,発 電 機が￨E￨=￨V￨=13.6kVで

運 転 さ れ て い る と し,べ ー ス値 と し て 定 格

MVA値

お よび定格 端子 電圧 のkV値

を用 い,上 に求 めた有 効電 力 を単位 法 で表せ 。

  水車 発電 機 の リア クタ ンスは,

とす る。 [解]  ま ず,厳

密 な 式 に よ り有 効 電 力 を計 算 す る。

(6.31) 次 に,近

似 式 に よ る計 算 を 行 う。

(6.32) 図6.12に

厳 密 式 と近 似 式 に よ っ て 計 算 したPG‐ δ の グ ラ フ を 示 す 。 発 電 機 が 普 通 使

用 さ れ る0°∼30° の δの 範 囲 で は,両

計 算 の 結 果 は よ く一 致 し て い る こ とが わ か る 。

図6.12 PG‐

δの グ ラフ

6.8 

無 限 大 母 線 に 接 続 さ れ た 発 電機 の 運 転

  図6.13に 示 す ように,発 電機 と無 限大母 線 は変 圧 器 と線 路 か らな る回路 で接 続 さ れ てお り,回 路 の リア クタ ンス はXl,無

6.8.1 

限大 母線 の電 圧 はVNで

あ る とす る。

同 期 発 電機 の 運 転 条 件

  同期 発 電 機 を無 限大 母線 に接続 す るた めに は,次 の条 件 が 成立 しな けれ ばな らな い。   1.発 電機 と系統 の周 波数 は等 しい。   2.発 電機 の相 順 は系統 の相 順 に等 しい。   3.EとVNは

同相 で あ る。

  同期機 が 系統 に接続 され る と,有 効 電力 お よび無効 電 力 を発生 あ るいは吸収 す る こ とがで きる。有効 電力 の流 れ の向 き と大 きさは発電機 の軸 トル ク に よって決 ま り,無 効電 力 は界磁 電 流 に よる誘 導起 電力 の大 きさ￨E￨に よって決 まる。

6.8.2 

電 力方 程 式

 無 限大母 線 の周 波数 お よび電圧VNは,発

電機 の運 転状 態 によっ てほ とん ど影響 さ

れ ない ので,発 電 機か らは無 限大 母線 を電圧 が一 定 な母線 と見 る こ とがで きる。 そ れ ゆえ,無 限大母 線 の電圧 の大 きさ￨VN￨は 一 定 とす る。  発 電機 の端子 電圧Vと

無 限 大母 線 の電圧VNと

の差 は回路 の リア ク タ ンス降下 に

等 しいの で,次 の 関係 が成立 す る。 (6.33) こ こ に,Xlは

回 路 の リア ク タ ン ス で あ る。

  こ の 関 係 を 図6.14(a)に

示 す 。 発 電 機 の 端 子 電 圧Vを

VNと電 機 子 の 誘 導 起 電 力Eで

表 す な ら ば,(6.34)式

介 さず に無 限 大 母 線 電 圧

よ り図6.14(b)の

トル 図 を 得 る。

図6.13 

無 限大 母線 に接 続 され て運転 され る発 電機

よ うなベ ク

(b)

(a) 図6.14 

無 限 大母 線 に接 続 され て運 転 され る発 電機 の電 圧 と電 流 の ベ ク トル

(6.34)

【 例 題6.2】  例 題6.1の

水 車 発 電 機 が,電

圧1puの

無 限 大 母線 に接 続 され て い る も

の とす る。 発 電 機 と無 限 大 母 線 の 間 の 線 路 の イ ン ピ ー ダ ンス は,発 ス と し てj0.11puで 10MWで

電 機 の 定 格 をべ ー

あ る 。 発 電 機 の 誘 導 起 電 力 の 大 き さ￨E￨=1.22pu,有

あ る 。 図6.14(a)の

δ,δN,Iお よ びVを

[解]  (6.26)式 お よ び そ の 変 形 式(6.29)か

ら,次

効電力 は

求 め て み よ う。 の 関 係 を 得 る。

(6.35) PG

=10/15=0

  図6.14か

電 流 成 分Iqお

.667puよ

り,δN=25.7°

と な る。

ら次 の 結 果 を 得 る。

よ びIdに

つ い て,次

の結 果 を得 る。

(6.33)式 か ら,発 電 機 端 子 電 圧 と して 次 の 結 果 を得 る 。

よ っ て,

を得 る。

6.8.3 

有効電 力の制御

 無 限大母 線 の電 圧 の大 きさ￨VN￨を 一定 とす る。 さ らに,界 磁 電 流 を一定 に保 ち, 電機 子 の誘 導起 電力￨E￨も 一 定 とす る。 円筒形 回転 子 の発電 機 を考 え るな らば,そ の 有効 電力 は次の よ うに表 され る。 (6.36) こ こ に,Pmax=￨E￨￨VN￨/(Xs+Xl)は   図6.15は δNはEがVNよ

一 定 で ある。

発 電 機 の 有 効 電 力PGが

電 力 角 δNに 対 し て 変 化 す る 様 子 を 示 す 。 正 の

り進 ん で い る こ とを 表 し,こ

の 位 相 関 係 に お い てPGが

機 は 発 電 運 転 し て い る こ と を 表 す 。 一 方,VNがEよ

図6.15 

PGとδNの

正 で,発

り進 ん で い る と,PGは

関係

電

負 で,

同 期 機 は 系 統 か ら有 効 電 力 を吸 収 し て お り,電 動 機 と し て 運 転 さ れ て い る こ と を表 す 。 無 限 大 母 線 の 相 電 圧VNに

対 す る 電 機 子 の 誘 導 起 電 力Eの

位相 は 回転 子 の位 置

に よ っ て決 ま り,正 のδNは 原 動 機 が 発 電 機 に トル ク を加 え て い る こ と を 意 味 す る 。 負 の δNは 原 動 機 が 発 電 機 か ら トル ク を受 け て い る こ と を意 味 す る 。

6.8.4 

同期化 力

  同期 機 の 同 期 化 力(synchronizing

coeffcient)は

次 式 で 表 され る。

(6.37)

す な わ ち,同 り,￨E￨を

期 化 力 は 電 力 角 の 増 分 に 対 す る電 力 の 増 加 の 割 合 を 表 す 。(6.37)式

増 加 し,同 期 リア ク タ ン スXsを

減 少 させ,小

よ

さな 電力 角 で運 転 す る こ と

に よ り,同 期 機 の 同 期 化 力 を 大 き くで き る こ とが わ か る。

6.8.5 

定態安定 極限電 力

  同期 機 の 同 期 化 力 は 電 力 角δNの 増 加 に対 して 減 少 す る の で,同

期 機 を δN=30° を

超 え て 運 転 さ れ る こ と は ほ と ん ど な い。 電 力 角 を 増 加 さ せ,90° に 近 づ け る と,同 期 機 は 同 期 化 力 を 次 第 に減 じ,90° に お い て 同 期 化 力 を 失 う。   同期 機 の 軸 トル ク を 増 加 し,δNを

次 第 に90° に 近 づ け る と,ト

ル ク の 伝 達 は減 少

す る こ とに な る。 同 期 機 に よ っ て 発 生 あ る い は 消 費 さ れ る 有 効 電 力 は,図6.15に すPmaxの

示

値 を超 え る こ と は で き な い 。 この 電 力 は 定 態 安 定 極 限 電 力(steady‐state

stability limit)と

よ ば れ る。 タ ー ビ ンの パ ワ ー が 定 態 安 定 極 限 電 力 を 超 え よ う と す

る と,発 電 機 は 同 期 運 転 が で き な くな る。

【例 題6.3】

例 題6.2の

発 電 機 を考 え る 。 こ の 発 電 機 は13.6kVの

い る 。 電 気 出 力PGは9MW(0.6pu)で (1)￨E￨が1puに

保 た れ る と き,電

系 統 に 接 続 され て

あ る。 力 角 δ を求 め る。

(2)同 期 化 力 を 計 算 す る。 (3)定 態 安 定 極 限 電 力 を 求 め る。 (4)定 態 安 定 極 限 電 力 に お け る電 流 を 求 め る。 [解]  (1)￨E￨=￨VN￨=13.6/√3kV=1puで る。

あ る か ら,(6.36)式

か ら次 の 関 係 を 得

こ の 関 係 か ら,δN=30.1° (2)(6.37)式

を得 る。

か ら 次 の 関 係 を得 る。

(3)

(4)定 態 安 定 極 限 電 力 に お い て δN=90° で あ る か ら,VN,Eお 6.16に

よ びIの

関 係 は図

示 す よ う に な る。 こ の 図 か ら次 の 関 係 を得 る。

定 態 安 定 極 限 電 力 に お い て,発

図6.16 

【 例 題6.4】

例 題6.3の

定 態 安 定 度,同

電 機 は69%の

過 電 流 で あ り,過 負 荷 量 は20%と

な る。

定 態安 定 極 限電 力 にお け る電圧 と電 流 の 関係

同 期 発 電 機 に 対 し て,励

磁 を30%増

加 す る と き,電

期 化 力 を 求 め よ 。 た だ し,電 気 出 力 は例 題6.3と

る。 [解]  電 機 子 の 誘 導 起 電 力 は新 し い 実 効 値￨E￨=1.3puと   (6.36)式 か ら次 の 関 係 を 得 る 。

な る。

同 様 に9MWで

力 角, あ

こ の 式 か ら,δN=22.7°   (6.37)式

を得 る。

か ら次 の 関 係 を得 る。

 定 態安 定極 限電 力 として

とな る。

6.8.6 

無 効 電 力 の 制 御*

  (6.30)式 を 用 い て,無 を,無

効 電 力 の 制 御 を検 討 し よ う。 発 電 機 か ら供 給 され る無 効 電 力

限 大 母 線 に お い て 測 定 し た 値 をQGと

す る。 次 の 条 件,

(6.38) が 成 立 す る な ら ば,(6.30)式

か ら,QGは

正 と な る 。 これ は発 電 機 が 遅 れ の 無 効 電 力

を 発 生 す る こ と を 意 味 し,回 路 か ら見 る と き,発 電 機 は コ ン デ ン サ と し て 作 用 し て い る こ と を表 す 。(6.38)式

が 成 立 す る た め に は,電

に 依 存 す る 。 一 般 に,(6.38)式

は￨E￨が

力 角 δN,す な わ ち,有

大 き い 場 合,す

合 に満 足 さ れ る。 こ の 状 態 を過 励 磁(overexitation)と

効 電 力PG

な わ ち,界 磁 電 流 を 強 め た 場 い う。同 期機 が電 動 機 あ る

い は発 電 機 と し て 運 転 さ れ て い て も,過 励 磁 の 同 期 機 は 系 統 側 か ら眺 め る と き,遅 の 無 効 電 力 を発 生 し,電   一 方,同

力 用 コ ン デ ン サ(shunt

capacitor)と

れ

同様 に作 用す る。

期 機 が 電 動 機 あ る い は 発 電 機 の ど ち ら で 運 転 さ れ て い て も,不 足 励 磁

(underexcited)で

運 転 さ れ る 同 期 機 は 系 統 側 か ら眺 め る と き,系 統 か ら遅 れ の 無 効

電 力 を 吸 収 し,分 路 リ ア ク トル(shunt

reactor)と

同 様 に作 用 す る。 不 足 励 磁 は 次

式 に よ って 表 さ れ る。

(6.39)  無 効 電 力 を 発 生,消

＊   6.8.6,6.8.7にっ

費 す る 同 期 機 は,同 期 調 相 機(synchronous 

い て は 第10章

を 参照 の こ と。

capacitor)と

し

て 利 用 さ れ る。 同 期 調 相 機 は,普 (6.30)式 か ら,次

通,無

効 電 力 の み 系 統 に 供 給 し,δN=δ=0で

あ る。

の 式 を 得 る。

(6.40)

  (6.40)式 は,無

効 電 力QGが

大 き さ と向 き を簡 単 に,か

電 機 子 の誘 導 起 電 力￨E￨,す

な わ ち励 磁 電 流 に よ っ て

つ 連 続 的 に制 御 で き る こ とを 表 す 。

  発 電 機 の 有 効 電 力 は 原 動 機 か ら の 機 械 的 入 力 に よ っ て 決 ま る の で,界 化 は発 電 機 の 有 効 電 力PGに

影 響 し な い こ と を認 識 し て お く こ とが 大 切 で あ る 。 界 磁

を 変 化 さ せ る こ と は 定 態 安 定 極 限 電 力Pmaxの

大 き さ に影 響 し,し

の 同 期 化 力 に 影 響 す る こ と に な り,有 効 電 力PGは る こ と を示 す 。 例 え ば,界 化 させ,定

磁 の強 さの変

た が っ て,同

変 化 せ ず に,電

期機

力 角 δNが 変 化 す

磁 電 流 の 減 少 は 電 力 角 δNの 大 き さ を 大 き くな る よ う に 変

態 安 定 極 限 電 力Pmaxま

で も変 化 さ せ る。

  発 電 機 の 軸 トル ク の 変 化 は,PGに 無 効 電 力QGはcosδNに

直 接 影 響 す る 。 同 時 に,電

関 係 す る の で,無

効 電 力QGの

力 角δNも 変 化 し,

変 化 も生 じ る。 し か し,電 力

角 δNは30° 以 下 で 運 転 さ れ る の が 普 通 で あ り,こ の よ う に 小 さ な 電 力 角 δNに お い て は,δNの

変 化 に対 し て,cosδNの

変 化 は 小 さ い の で,無

効 電 力QGは

大 き く変 化

し な い と考 え られ る 。

【例 題6.5】  例 題6.3お

よ び 例 題6.4の,2つ

の運 転 条件 にお け る無効 電 力 を求 めて

み よ う。 [解]  ま ず,例 で,不

題6.3の

場 合 に つ い て 検 討 す る。 界 磁 の 状 態 は(6.39)式

足 励 磁 の 状 態 に あ る 。(6.30)式

三 相 べ ー ス 容 量 は15MVAで

を満 た す の

は 次 の よ う に表 さ れ る。

あ る の で,同

期 機 は 系 統 か ら15×0.161=2.42Mvar

の無 効電 力 を吸収 す る。   電 機 子 の 誘 導 起 電 力￨E￨を30%増

 同 期 機 は過 励 磁 で 運 転 され,系

加 す る と,

統 に15×0.239=23.59Mvarを

供 給 す る。

6.8.7 

同期機 の各種の運転

  有 効 電 力 と無 効 電 力 の 大 き さ と向 き に 基 づ い て,図6.17に 件 を 示 す 。 こ こで は,接

続 さ れ る無 限 大 母 線 電 圧VNを

重 要 な実 際上 の運 転 条

基 準 と し て 考 え る。

  同 期 機 が 発 電 機 と して 運 転 され る場 合,図6.17の(a)お

よ び(b)の

よ う に,無

効

電 力 を 発 生 あ るい は 吸 収 す る よ う に 運 転 す る こ とが で き る。   同 期 機 が 電 動 機 と し て 運 転 され て い る 場 合,図6.17の(c)お

よ び(d)に

な 関 係 が 成 り立 つ 。

(a)  過励磁発 電機

(b)  不足励磁発 電機

(c) 過 励 磁 電 動 機

(d)  不足励磁 電動機

(e) 同期調相機 の無効電力発 生

(f)  同期調相機 の無効 電力消 費

図6.17 

同期 機 の 代表 的 な運転 状 態

示すよう

  同 期 機 が 電 動 機 と し て 無 負 荷 で 運 転 され る場 合,す さ れ る 図6.17(e)の 様,無

な わ ち,同 期 調 相 機 と し て運 転

運 転 状 態 は,過 励 磁 の状 態 で あ り,並 列 コ ン デ ン サ バ ン ク と同

効 電 力 を 発 生 す る。 一 方,図6.17(f)の

運 転 状 態 は不 足 励 磁 で あ り,無 効 電

力 を 吸 収 す る。 こ の状 態 の 運 転 は,夜 間 の よ う に 有 効 電 力 の 需 要 が 少 な く,超 高 圧 系 統 に お い て 多 量 の 無 効 電 力 が 発 生 す る場 合,そ

の 無 効 電 力 を消 費 す る た め に用 い られ

る。

【 例 題6.6】

例 題6.1の

水 車 発 電 機 が,電

この 発 電 機 の 容 量 は15MVAで

あ り,い

圧1puの

無 限 大 母 線 に 接 続 され て い る。

ま,系 統 に7.5Mvarの

無 効 電 力 をを供 給

す る 同 期 調 相 機 と し て運 転 され て い る 。 励 磁 は ど の程 度 か 。 [解]  電 圧1puの

母 線 電 圧 で,0.5puの

無 効 電 力 を 発 生 し な け れ ば な ら な い の で,

電 流 は0.5puに

等 し くな け れ ば な ら な い 。

  図6.17(e)か

ら,

発 電 機 の 線 間 端 子 電 圧 は13.6×1.418=19.3kVと

【 例 題6.7】 合,発

例 題6.1の

な る。

水 車 発 電 機 の 軸 トル ク と,励 磁 電 流 の 両 者 が 制 御 さ れ る 場

電 機 の 有 効 お よ び 無 効 電 力 出 力 を 調 べ よ。 こ の 発 電 機 は,例 題6.2の

電 圧 が1

puの 無 限 大 母 線 に 電 力 を供 給 して い る 。 発 電 機 の 定 格 を べ ー ス値 と し て 単 位 法 を 用 い る 。 最 初,発 0.25puで

電 機 は,電

機 子 の 誘 導 起 電 力 が￨E￨=1

.5,有

効 電 力 の 出 力 がPG=

運 転 され て い る 。

[解]  まず,式(6.36)を

用 い,電

力 角 δNを 計 算 す る。

こ れ を解 い て,

を得 る。  無 効 電 力QGに

関 す る 方 程 式 か ら,無 効 電 力 出 力 を 求 め る と,

を得 る。 よ っ て,発

電 機 の 皮 相 電 力 出 力 は,

と な る。 この 値 は無 限 大 母 線 で供 給 され る値 で あ る 。 (1)ト

ル ク制 御   水 車 の 主 軸 トル ク を100%増

有 効 電 力 出 力 を0.25puか

ら0.5puに

加 す る と して,ガ

イ ドベ ー ン を 開 き,

増 加 さ せ る 。 この と き の 電 力 角 は 有 効 電 力 の

式 よ り,

とな る。 こ の 関 係 よ り,

を得 る。   こ の新 し い 回 転 子 の 位 置 に対 し て,無

効 電 力 の 出 力 は,

とな る 。 この 無 効 電 力 の 値 は 無 限 大 母 線 で の 値 で あ る。 軸 トル ク 入 力 が100%増 る と,無 効 電 力 の 出 力 は0.581puか (2)界 磁 制 御   まず,ガ

ら0.528puへ9.2%減

少 す る。

イ ドベ ー ン の 開 度 を一 定 に して 水 車 か ら の 入 力 を一 定 と し,

界 磁 電 流 を変 化 す る。 例 え ば,界 は1.20×1.50=1.8puに

磁 電 流 を20%増

増 加 す る 。 有 効 電 力PGの

加 す る と,電 機 子 誘 導 起 電 力￨E￨ 式 か ら,新

しい 電 力 角 は,

とな る 。 これ よ り,電 力 角 と し て,

を得 る。  電 気 出 力PGの

加す

変 化 は な く,新

し い無 効 電 力 の 出 力QGを

求 め る と,

とな る 。 この 値 は 無 限 大 母 線 で の値 で あ る。 無 効 電 力 の 出 力 は0.581puか

ら62%増

加 す る。   し た が っ て,発

電機 の無効 電 力 出 力 は界磁 電 流 の変 化 に関 して非 常 に敏 感 と言 え

る。

問題  (1)  同 期 発 電 機 の 短 絡 電 流 特 性 に お い て,定 格 電 機 子 電 流 は 界 磁 電 流 が0.55puの と き得 られ,無

負 荷 電 圧 特 性 に お い て,定

格 端 子 電 圧 は 界 磁 電 流 が1.05puの

と き得 られ た 。 両 特 性 と も直 線 的 で あ る と し て,同 期 リア ク タ ン ス のpu値

を

求 め よ。  (2)  定 格 容 量9440kVA,定

格 電 圧13.8kV,定

格 周 波 数60Hz,2極,Y結

タ ー ビ ン発 電 機 の 同 期 リア ク タ ン ス は1.8Ω が 遅 れ の0.8,(c)力

率 が 進 み の0.8の

て 電 圧1puの

力 は1.2puで

同 期 発 電 機 が リア ク タ ン ス0.2puの

し た と き流 れ る電 流 を 求 め よ。 た だ し,定 態 安 定 極 限 電

あ る。 突 極)回

転 子 の 同 期 発 電 機 が 無 限 大 母 線 に1.2puの

電 し て い る。 界 磁 誘 導 起 電 力 の 大 き さ は1.3puで 無 限 大 母 線 の 電 圧 を1.0puと を 求 め よ。 有 効 電 力,無

 

線 路 を通 し

磁 誘 導起 電 力 を求 め

得 られた界 磁誘 導起 電力 の大 きさを保 った状 態 で発 電機 の有 効

出 力 電 力 を0.5puと

  (4)  円 筒 状(非

率

を 用 い て 求 め よ。

無 限 大 母 線 に 電 力 を 供 給 し て い る。(a)界

よ 。(b)(a)で

率 が1,(b)力

そ れ ぞ れ 場 合 に お け る発 電 機 の 全 負 荷

に お け る 一 相 の 界 磁 誘 導 起 電 力 を(6.11)式  (3)  同 期 リア ク タ ン ス が1.5puの

で あ る 。(a)力

線の

皮 相 電 力 を送

あ り,電 力 角 は20° で あ る。

す る と き,こ の 同 期 発 電 機 の 同 期 リア ク タ ン ス

効 電 力 は(6.29)式,(6.30)式

を用 い る。

【解 答 は 巻 末 】

第7章  故障計算

7.1 

対 称故 障

 電 力 回路 に故 障(事 故)が 発 生 した とき,流 れ る電 流 は回路 の発 電機 お よび電動 機 な どの誘 導起 電 力,そ れ らのイ ン ピー ダ ンス,発 電 機 あ るい は電動機 と故障 点間 の回 路 の イ ンピー ダ ンスに よって決 定 され る。発 電機 お よび電動 機 の誘 導起 電力 を発生 す る磁 束 に加 えて電 機 子電 流 に よる磁 束 が影 響 す るため,こ れ ら回転機 に流れ る故 障直 後 の電 流,数 サ イ クル後 の電流 お よび それ以 降の故 障継 続 中 の電流値 の大 き さはかな り異 なる。故 障電 流 の大 きさは初期 値 か ら定 常値 に比 較 的 ゆ っ くり減 少 す る。 こ こで は,故 障継続 中 の それ ぞれ異 な る期 間 の故 障電 流 の計算 を検 討 し,故 障 発生 の初期 値 か ら定常 値 まで の電 流 の変 化 に伴 う同期機 の リア ク タ ンス お よび誘 導起 電力 の変化 を 検討 す る。   なお,三 相 短絡 故 障の ような三相 故障 を対称 故障 あ るい は平衡 故 障 とよび,一 線 地 絡故 障 の よ うな それ以 外 の故障 を非対称故 障 あ るい は不 平衡 故 障 とよぶ 。

7.1.1 

RL直

列回路 の過渡現象

 抵 抗 とイ ンダ クタ ンス とか ら成 る回路 に交 流電圧 が 印加 され た とき流 れ る電 流 を検 討 して み よ う。 印 加 され る電 圧 をVmsin(ωt+α)と

す る。 こ こ に,時 間tは 電 圧 が

印加 された時 間 を0と す る。α は短絡 位相 と よばれ,回 路が 閉 じられた 瞬間 の電 圧 の 位相 で あ り,そ の瞬 間の電 圧 の大 き さを決 定 す る。電 圧 の瞬 時値 が0の とき遮 断器 が 閉 じ られ,そ れ 以 降,電 圧 が正 の方 向 に増 加 す る状 態 に あ る場 合,短 絡位 相 αは0 で あ る。電 圧 が正 の最 大瞬 時値 にあ る瞬 間 に遮 断器 が 投入 され るな らば,α は90°ま た は π/2であ る。  電圧 力 が印加 され た際 に流れ る電 流iに 関 して,次 の微分 方程 式 が成 り立 つ。 (7.1)

この方程式 の解 は次の ように表 され る。

(7.2)

こ こに,￨Z￨は√R2+(ωL)2お

よび θはtan-1(ωL/R)で ある。

  (7.2)式 の右 辺 の第1項 は時 間 的 に正 弦 波状 に変化 し,第2項

は非 周期 的 で あ り,

L/Rの 時定 数で 指数 関数的 に減 衰 す る。 この非 周期 的 な項 は電 流 の直流 分(dc

com

ponent)と

路の

よばれ る。正 弦 波状 に変 化 す る項 は加 え られ た 電圧 に対 す るRL回

定常 電流 値 で あ る。 時間t=0に

お い て,定 常 電流 値 の項 が零 で な いな らば,遮 断 器

を閉 じた瞬 間 の電 流が0と い う物 理 的 な条件 を満足 す るた め,解 に直 流成分 が 含 まれ な けれ ばな らな い。 も し,回 路が α−θ=0ま た は α−θ=π の電 圧 位相 で閉 じ られ る な らば,直 流分 は零で ある。 も し,回 路 が α−θ=± π/2の電 圧 位相 で閉 じ られ る な らば,そ の瞬 時の直 流分 は電 流 の正弦 波成 分 の最大 値 に等 しい初期 値 とな り,そ の値 は種 々 な短 絡位 相 にお いて過 渡電 流 に含 まれ る直 流分 の内の 最大値 で あ る。 短 絡瞬 時 の電圧 の瞬 時値 と回路力 率 に依 存 して,閉 路 瞬 時 の直流 分 は0か らVm/￨Z￨ま

で の任

意 の値 を とる。 電圧 が 印加 され た瞬 間,そ の瞬 時 の電 流 が0で な け れ ば な らな いた め,電 流 の直 流分 と定常 分 は常 に大 きさが等 し く,符 号 が反対 にな る。   同期 発電 機 の回転 子 の回転磁 界 によ って電機 子巻 線 に誘 導起 電力 が発 生 す る原理 に つ いて は,第6章

で述べ た。 発電 機が 短絡 された とき流 れ る電 流 は,交 流電 圧 が抵 抗

とイ ンダク タ ンスの直列 回路 に印加 され る時 に流 れ る電 流 に類 似 してい る。 しか しな が ら,大 きな違 い は電機 子電 流が 回転 磁界 に影 響 す る ことで あ る。   無 負荷 同期発 電機 の端 子 に発生 す る三相 短絡 現象 を解析 す る有効 な方法 は,三 相 短 絡故 障が発 生 した時 の1相 の電流 の オ シロ グラム を観測 す る ことで ある。三 相 同期 発 電機 の各 相 の誘 導 起電 力 は相 互 に120°の位 相 差 が あ るので,短 絡 位 相 は各 相 にお い て異 な る電 圧位 相 で発 生 す る。 この た め,短 絡 電 流 に含 まれ る直 流 分 は各 相 で異 な る。 図7.1は,各

相 の電 流か ら直 流分 を除い て,時 間 に対 す る短絡 電流 の交 流 分 の変

化 を示 す。 同期 発電機 で は固 定子 と回転子 間 の空隙 を通 る磁束 は,短 絡 が発 生 した瞬 間 のほ うが 短絡 か ら数サ イ クル後 の磁 束 よ りかな り大 きい。   磁束 の減 少 は電機子 の起 磁 力 の増 加 によ って生 じる。電機 子 電流 の この効 果 は電 機 子反作 用(armature

reaction)と

よばれ る。第6章 に述 べた 等価 回路 は,電 機 子 反

作 用 に よる磁 束 の減 少 を説明 し,直 流 分が 消滅 した 後,す な わち 図7.1に 示 した電 流 波形 の振幅 が一 定 にな った後 の定 常状 態 に適用 され る。   短絡 が 同期発 電機 の端子 で発 生 す る場 合,時 間 と共 に空隙 を通過 す る磁束 は減少 す

図7.1  無 負 荷 同期 発 電機 を運 転 中 に短 絡 した場 合,直 流分 を除 い た交 流 分電 流 る。 磁 束 が 減 少 す る に 従 い,空隙

を通 過 す る磁 束 に よ っ て 誘 導 さ れ る起 電 力 も減 少

し,電 機 子 電 流 は電 機 子 巻 線 の 抵 抗 お よ び 漏 洩 リア ク タ ン ス に よ っ て 決 定 す る た め, 電 機 子 電 流 す な わ ち 短 絡 電 流 は時 間 の 経 過 と と も に 減 少 す る 。

7.1.2 

同 期 機 の 短 絡 電 流 と リア ク タ ン ス

  電 力 系 統 の 短 絡 電 流 の計 算 に 必 要 な定 義 を,図7.1に こ に述 べ る リア ク タ ン ス は 第6章 ce)で

よ っ て 行 う こ とが で き る 。 こ

に 述 べ た 直 軸 リア ク タ ン ス(direct‐axis

reactan

あ る 。 直 軸 リア ク タ ン ス は無 負 荷 に お け る誘 導 起 電 力 に対 して 位 相 角90° の 電

機 子 電 流 の 成 分 に よ っ て 生 じ る 電 圧 降 下 か ら計 算 さ れ る 。 電 機 子 の 抵 抗 は誘 導 リア ク タ ン ス と比 較 し て 小 さ く,短 絡 期 間 の 電 流 は 常 に90° 近 く遅 れ る の で,短 ク タ ン ス と して,直   図7.1の

オ シ ロ グ ラ ム に お い て,電

る 。 この1/√2倍 値￨I￨で

流0aは

reactance)あ

nous reactance)と

あ る。 定 常 状 態 の 短 絡 電 流 実 効

割 っ た値 は発 電 機 の 同期 リア ク タ ン ス

る い は 直 軸 同 期 リア ク タ ン ス(direct‐axis

よ び,Xdで

  電 流 の 包 絡 線 を 時 間 の 原 点0ま

synchro

表 す 。 電 機 子 の 抵 抗 は比 較 的 小 さい の で 無 視 さ れ る。 で 延 長 し,減 少 が 非 常 に激 し い は じ め の数 サ イ ク ル

を 除 外 す る と,電 流 軸 と の 交 点 はbと 値 す な わ ち0bで ￨I '￨と よ ばれ る

定 常 状 態 にお け る短 絡 電 流 の 値 で あ

の 電 流 値 が 短 絡 電 流 の 実 効 値￨I￨で

発 電 機 の 無 負 荷 誘 導 起 電 力￨Eg￨を

(synchronous

絡 時 の リア

軸 リア ク タ ン ス が 使 用 さ れ る 。

な る。 こ の 交 点 に よ っ て 表 さ れ る 電 流 の 実 効

表 され る電 流 値 の1/√2倍

の 電 流 値 は過 渡 電 流(transient

。 過 渡 電 流￨I'￨で 発 電 機 の 故 障 前 の 無 負 荷 誘 導 起 電 力￨Eg￨を

current) 割 った 値

￨ Eg￨/￨I'￨は 発 電 機 の過 渡 リア ク タ ン ス(transient ク タ ン ス(direct‐axis

transient

reactance)と

reactance)あ よ ば れ,Xd′

よ う に,定 常 状 態 に お け る短 絡 電 流 値(図7.1の0a)を 対 数 方 眼 紙 上 に プ ロ ッ トす る こ と に よ っ て,電 求 め る こ とが で き る 。 図7.1の0bに は,こ

るい は直軸過 渡 リア で 表 す 。 図7.2に

示す

超 過 した電 流 の 包絡 線 を半

流 包 絡 線 と電 流 軸 の 交 点 を よ り正 確 に

対 応 す る過 渡 電 流 の最 大 瞬 時 値 を得 るた め に

の包 絡 線 の 直 線 部 分 を電 流 軸 まで 延 長 し,こ の 交 点 の 電 流 値 を 求 め れ ば よ い 。

  時 間 原 点0の

電 流 軸 と電 流 の 包 絡 線 の 交 点 に よ っ て 決 定 さ れ る 電 流 の 実 効 値 は初 期

過 渡 電 流 あ る い は 次 過 渡 電 流(subtransient い て,初 期 過 渡 電 流 は0cの1/√2で

current)￨I"￨と

よ ば れ る。 図7.1に

お

あ る 。 初 期 過 渡 電 流￨I"￨で

発電機 の端 子 に お け

る三 相 短 絡 故 障 前 の 無 負 荷 誘 導 起 電 力 を割 っ た 値￨Eg￨/￨I"￨は,発

電機 の直 軸初 期 過

渡 リア ク タ ン ス(direct‐axis

subtransient

  以 上 に述 べ た 電 流 と リ ア ク タ ン ス は,発 荷 誘 導 起 電 力￨Eg￨に

reactance)と

よ ば れ, Xd"で

表 す。

電 機 の 端 子 に お け る三 相 短 絡 故 障 前 の 無 負

対 し て 次 の 式 に よ っ て 表 さ れ る。

(7.3) (7.4) (7.5)

図7.2 

図7.1の 定 常短 絡 電 流 を超過 した 短 絡 電流 の包 絡 線

こ こ に,￨I￨=定

常 状 態の短 絡電 流 の実効 値

￨I'￨

=直 流 分 を 含 ま な い 過 渡 電 流 の 実 効 値

￨I"￨

=直 流 分 を 含 ま な い初 期 過 渡 電 流 の 実 効 値

Xd=直

軸 同 期 リア ク タ ン ス

Xd '=直 軸 過 渡 リ ア ク タ ン ス Xd"=直 軸 初 期 過 渡 リア ク タ ン ス ￨ Eg￨=発

電 機 の 中性 点 と端 子 間 に 発 生 す る 無 負 荷 誘 導 起 電 力 の 実 効 値a

,b,c=図7.1の

縦軸 の点

で あ る。   解 析 に お い て は,定

常 短 絡 電 流,過

渡 電 流,お

よ び 初 期 過 渡 電 流 はEgを

基準 とし

て ベ ク トル で 表 さ れ る 。   電 機 子 巻 線 に 流 れ る短 絡 電 流 に よ っ て 生 じ る発 電 機 の 空 隙 を 通 る磁 束 は故 障 発 生 直 後 か ら徐 々 に減 少 す る の で,初

期 過 渡 電 流￨I"￨は 定 常 状 態 の 短 絡 電 流 よ りか な り大

きい 。 故 障 直 後 に 電 機 子 巻 線 に誘 導 さ れ る起 電 力 は,短 絡 電 流 が 定 常 状 態 に 到 達 した 後 の 誘 導 起 電 力 よ りか な り大 き い 。 しか し な が ら,初 期 過 渡,過 条 件 に つ い て 電 流 を 求 め る に は,無

負 荷 誘 導 起 電 力￨Eg￨を

渡,お

よ び 定 常 の各

一 定 と し,こ

の誘 導起 電

力 と直 列 な リア ク タ ン ス が 時 間 の 経 過 と共 に 異 な る値 を と る も の と し て 計 算 す る 。   (7.3)式 か ら(7.5)式 は リア ク タ ン ス が 与 え られ た と き発 電 機 の 短 絡 電 流 を 求 め る方 法 を 示 し て い る 。 発 電 機 が 故 障 発 生 直 前 に 無 負 荷 で あ る とす れ ば,発

電機 の 等価 回路

は 中性 点 に 対 す る無 負 荷 誘 導 起 電 力 と直 列 な リア ク タ ン ス で 表 さ れ る 。 さ ら に正 確 な 計 算 が 要 求 され る場 合 に は抵 抗 も考 慮 す る 。 発 電 機 端 子 と故 障 回 路 間 に外 部 イ ン ピー ダ ン ス が あ る場 合 に は,そ

【 例 題7.1】   図7.3に

の外部 イ ンピーダ ンス を回路 に含 めな けれ ば な らない。

示 す よ う に,三 相 変 圧 器 はΔ‐Y結 線 で あ り,そ

台 の 発 電 機 が 並 列 に 接 続 さ れ て い る。 発 電 機#1は り,発 電 機#2は

定 格25,000kVA,13.8kVで

定 格50,000kVA,13.8kVで

あ る。 各 発 電 機 は25%の

ア ク タ ンス を 持 っ て い る。 変 圧 器 は 定 格75,000kVA,13.8(Δ)/69(Y)kV,リ

図7.3 

例 題7.1の

の 低 圧 側 に2

単線 図

あ 初 期 過渡 リ アク

タ ン ス は 自 己 容 量(機

器)ベ

器 の 高 圧 側 の 電 圧 は66kVで

ー ス で10%で

あ る 。 三 相 短 絡 故 障 が 発 生 す る前 は 変 圧

あ る。 変 圧 器 は 無 負 荷 で あ り,発 電 機 間 に は循 環 電 流

は 存 在 し な い 。 三 相 短 絡 故 障 が 変 圧 器 の 高 圧 側 で 発 生 す る も の と して,各

発電 機 の初

期 過 渡 電 流 を 求 め よ。 [解]  べ ー ス 値 を 高 圧 側 の69kV,75,000kVAに ス 電 圧 は13.8kVで

選 ぶ 。 し た が っ て,低

圧 側 のべ ー

あ る。

  発 電 機#1に

つ いて

  発 電 機#2に

つ いて

 変圧 器 につ いて

であ る。   図7.4は

故 障 発 生 前 の リ ア ク タ ン ス 図 を示 す 。P点

の 三 相 短 絡 故 障 は ス イ ッ チS

を 閉 じ る こ と に よ っ て 表 さ れ る 。 両 発 電 機 間 に は循 環 電 流 は 流 れ な い の で,両 の 誘 導 起 電 力 は大 き さ と位 相 が 等 し い 。 等 価 並 列 初 期 過 渡 リ ア ク タ ンス は,

図7.4 

例 題7.1の

リア クタ ンス図

発電 機

と な る。 し た が っ て,Egを

基 準 とす る ベ ク トル と し て,三

相 短 絡 に お け る初 期 過 渡

電流 は次 の よ うにな る。

 変圧 器 のΔ 接 続側 の電圧 は

とな る。 そ して,発

  電 流 をAの

電 機#1と#2に

単 位 で 表 す に は,pu値

お い て,

に回路 のべ ー ス電 流値 を か け るこ とに よっ て求

め られ る。

7.1.3 

負荷電 力を供給 している同期機の誘導 起電 力

  短絡 故 障 が発 生 す る以前 に負荷 電 流が 流 れ てい る場 合 の 同期 発 電 機 の 特性 を調 べ る。図7.5(a)は が 発生 す る点Pと

平 衡三相 負荷 を持 つ発 電機 の等価 回 路 で あ る。 発電 機 の端 子 と故 障 の 間の イ ンピー ダ ンスが 示 され て い る。 点Pに

障 が 発生 す る前 に流 れ て い る電 流 をIL,故

障 点 の電 圧 をVf,発

Vtとす る。 同期 発 電機 の等価 回路 は無 負荷 電圧Egと 表 され る。 系 統 の点Pで

お いて三 相短 絡故 電 機 の端 子 電 圧 を

直列 な同期 リアク タ ンスXsで

三相 短 絡故 障 が発 生 す る とき,初 期 過 渡電 流 を計 算 す る場

合 は発 電機 の リア ク タ ンス はXd",過

渡 電 流 を計 算 す る場 合 はXd'を 用 いな けれ ば

な らな いので,こ の等価 回路 は初 期過渡 電 流 を計 算 す る条件 を満足 して いない。  図7.5の(b)は

修 正 した 回路 を示 す 。 こ こで,Xd"と

直 列 な誘 導起 電力Eg"は

ス

イ ッチSが 開 い てい る間 は定 常負荷 電 流ILを 流 してお り,ス イ ッチSが 閉 じ られ る

(a)  定 常状 態 負 荷 を とっ て い る発

(b)  三相 平 衡 故 障計 算 に適 用 され る負

電 機 等価 回路

荷 を とって い る発 電 機 等 価 回路

図7.5  定常 状 態 に お い て三相 対 称 負 荷 を とる発 電 機 の 等価 回路 と三 相 平 衡 故 障 計 算 に 適 用 され る三 相対 称 負 荷 を とる発 電 機 の 等価 回路

と,Xd"とZextを

通 して 短 絡 回 路 に 電 流 を 流 す 。Eg"が

流 れ る 電 流 はI"で

あ る。 ス イ ッ チSが

決 定 さ れ る な ら ば,Xd"を

開 い て い る と き,次

の よ う に な る。

(7.6) この 方 程 式 は初 期 過 渡 誘 導 起 電 力(subtransient 同様 に,過 渡 リア ク タ ン スXd'を

internal voltage)Eg"を

通 し て短 絡 回 路 に 流 す 過 渡 電 流I'を

電 圧 は過 渡 誘 導 起 電 力(transient

internal

voltage)Eg'を

定 義 す る。 計 算 す る と き,

定 義 す る 。 こ こ に,次

式

が 成 立 す る。

(7.7) 電 圧Eg"とEg'はILに 負 荷 電 圧Egに   こ こ で,故

よ っ て 決 定 さ れ,電

流ILが0の

等 し く,そ の と き,EgはVtに 障 前 の 電 流 がILで

と き,電

あ る と き の み,Xd"に

直 列 なEg"は

対 し て,図(a)の

発 電 機 の 誘 導 起 電 力 はEg"で

  同期 電 動 機 は 発 電 機 と同 様 に,各 動 機 が 短 絡 さ れ る と,も が 流 れ,回

故 障 が発 生 す る

期 リア ク タ ン スXs

任 意 の 負 荷 の 定 常 状 態 に お け る同 期 発 電 機 の 等 価 回 路 を表 す 。 図7.5

の 両 回 路 の 同 じ負 荷 電 流 値ILに が,図(b)の

無

等 しい 。

前 と故 障 が 発 生 した 直 後 の 発 電 機 の 誘 導 起 電 力 を表 す 。 一 方,同 に直 列 なEgは

圧Eg"とEg'は

発 電 機 の 誘 導 起 電 力 はEgで

あ る

ある。

過 渡 状 態 に応 じた リア ク タ ン ス を 持 っ て い る 。 電

は や 系 統 か ら電 力 を 受 電 で き な い が,そ

の 界 磁 に は励 磁 電 流

転 子 の 慣 性 と接 続 さ れ て い る 負 荷 は,短 時 間 の 間,電

動 機 の 回 転 を継 続 さ

せ る。 同 期 電 動 機 の誘 導 起 電 力 は 系 統 に 電 流 を 供 給 し,発 電 機 の よ う に作 用 す る 。 発 電 機 で 導 か れ た 式 と比 較 す る こ と に よ っ て,同

期 電 動 機 に対 して も,初 期 過 渡 誘 導 起

電力,過 渡誘導起 電 力 が次 の よ うに与 え られ る。 (7.8) (7.9)   負 荷 に電 力 を供 給 し て い る状 態 に あ る発 電 機 お よ び電 動 機 を含 む 回 路 は,次 に示 す よ う に,テ

の例 題

ブ ナ ン の 定 理*と 初 期 過 渡 あ る い は過 渡 誘 導 起 電 力 を使 用 し て 解 析

す る こ とが で き る 。

【 例 題7.2】

同 期 発 電 機 お よ び電 動 機 は定 格30,000kVA,13.2kVで

初 期 過 渡 リ ア ク タ ン ス は 自 己 容 量(機 の リ ア ク タ ン ス は,発

器)べ

ー ス で20%で

電 機 の 定 格 値 の べ ー ス で10%で

あ る。 電 動 機 の 端 子 で 三 相 短

絡 故 障 が 発 生 す る と き,電 動 機 は 進 み 力 率0.8で20,000kWを と き の 端 子 電 圧 は12.8kVで 電 機,電

受 電 し て お り,そ

の

あ る。 発 電 機 お よ び 電 動 機 の 誘 導 起 電 力 を 用 い て,発

動 機 お よ び故 障 点 に お け る初 期 過 渡 電 流 を求 め よ。

[解]  同 期 発 電 機 お よ び 電 動 機 の 定 格30,000kW,13.2kVを 7.6(a)は

あ り,両 者 の

あ る。 そ れ ら を 結 ぶ 線 路

べ ー ス値 に選 ぶ。 図

問 題 とす る 系 の 等 価 回 路 で あ る。

  基 準 ベ ク トル と し て 故 障 点 の 電 圧Vfを

使 用 す る な ら ば,

(a)

(b) 図7.6 

＊  テ ブ ナ ン(Thevenin)の

例 題7.2の

定 理 ：一 般 に 電 圧 源,電

電 源 側 を見 込 ん だ等 価 回路 は,そ

流 源 を含 む 回 路 に お い て,任

の端 子 対 の 開 放 電 圧 をV0,電

そ の端 子 対 か ら見 込 ん だ イ ン ピー ダ ン ス をZ0と 回路 で 表 さ れ る。

等 価 回路

意 の端子対 よ り

圧 源 を短 絡 し,電 流 源 を開 放 し て,

す る とき,開 放 電 圧V0と

イ ン ピ ー ダ ン スZ0の

直列

べ ー ス 電 流 は,

で あ る 。 負 荷 電 流 は,

と な る。 発 電 機 につ い て は,

で あ るか ら,初 期 過 渡 電 流 は 次 の よ う に な る 。

電 動 機 につ い て,

で あ る か ら,初 期 過 渡 電 流 は 次 の よ う に な る 。

と な る。 よ っ て,短

絡 電 流 につ い て,

を 得 る 。 図7.6(b)は

発 電 機 電 流Ig",電

動 機 電 流Im"お

よ び 故 障 点 電 流If"の

流れ

る回路 を示 す。

  故 障 点 に お け る 初 期 過 渡 電 流 は テ ブ ナ ン の定 理 を 用 い て も求 め る こ とが で き る 。 こ の 定 理 は 線 形,双

方 向 性 回 路 に 適 用 され る。 こ の 定 理 が 図7.5(b)の

る と き,等 価 回 路 は故 障 が 生 じた 点 を端 子 とす る1つ

回 路 に適 用 さ れ

の 等 価 電 源 と1つ の 等 価 イ ン ピ

ー ダ ン ス を持 つ 回 路 で あ る

。 等 価 電 源 は,故 障 が 起 こ る前 の 故 障 点 の 電 圧Vfに

い 電 圧 を 持 ち,等

等 し

価 イ ン ピー ダ ン ス は対 象 と す る 回 路 の す べ て の 電 圧 源 を短 絡 し,故

障 点 か ら見 た こ の 回 路 の イ ン ピ ー ダ ン ス で あ る。 初 期 過 渡 電 流 を 求 め よ う と す る と き,回 路 の イ ン ピ ー ダ ン ス と し て 初 期 過 渡 リ ア ク タ ン ス を 用 い る。 図7.7は,図 7.5(b)の

テ ブ ナ ン等 価 回路 で あ る。 イ ン ピー ダ ン スZthは,

に 等 し い 。P点

に お け る 三 相 短 絡 の 発 生 を,ス

イ ッ チSを

閉 じ る こ とに よ っ て 模 擬

す る と,故 障 の 初 期 過 渡 電 流 は 次 の よ う に な る 。

(7.10)

図7.7 

【 例 題7.3】

例 題7.2を

テ ブ ナ ン等 価 回 路

テ ブ ナ ンの 定 理 を 用 い て 解 く こ と に し よ う。

[解]  等 価 イ ン ピー ダ ン ス は,

等価 電源 の電 圧 は,

図7.5(b)の

と な る 。 短 絡 電 流 は,

を得 る。

7.2 

対 称 座 標 法

  不 平 衡 多 相 回 路 の 問題 を 扱 う非 常 に有 効 な 方 法 が,1918年C.L.Fortescueに て 提 案 され た 。 そ の 方 法 は 対 称 座 標 法(method ば れ る 。 そ れ 以 来,1線

of symmetrical

あ る い は2線 地 絡 故 障,線

間 短 絡 故 障,断

よっ

components)と

よ

線 な ど の 送 電系 統

の 不 平 衡 故 障 に対 称 座 標 法 が 利 用 さ れ て い る 。

7.2.1 

対 称 分 か ら 不 平 衡 ベ ク トル の 合 成

  Fortescueは,不

平 衡 なn相

の ベ ク トル系 がn相

る こ とが で き る こ と を証 明 し,こ の 対 称 分(symmetrical ル はn個

の 平 衡 な系 の ベ ク トル に 分 解 す

の 平 衡 な系 の ベ ク トル を 不 平 衡 な元 の系 の ベ ク トル

components)と

よ ん だ 。 各 対 称 分 を 構 成 す る一 組 の ベ ク ト

の ベ ク トル か ら成 り,各 ベ ク トル は同 じ 大 き さ を 持 ち,隣

り合 う ベ ク トル

の な す 角 は等 し い 。 この 方 法 は 任 意 の 不 平 衡 多 相系 ベ ク トル に応 用 で き る が,こ

こで

は,三 相系 に 限 定 す る こ とに す る。   三 相系 の3つ

の不 平 衡 ベ ク トル は,3組

の 平 衡 した ベ ク トル の 成 分 に分 解 す る こ と

が で き る 。 ベ ク トル の成 分 が 平 衡 し た 組 は次 の よ う で あ る 。   (1)  正 相 分(positive‐sequence

components)は3つ

き さ は 等 し く,位 相 差 は互 い に120° で あ り,元 順(phase

sequence)で

の ベ ク トル で 構 成 さ れ,大

の ベ ク トル と同 じ相 回 転 あ る い は 相

ある。

  (2)  逆 相 分(negative‐sequence

components)は3つ

大 き さ は 等 し く,位 相 差 は互 い に120° で あ り,元   (3)  零 相 分(zero‐sequence

components)は3つ

さ は 等 し く,位 相 角 は お 互 い に等 し い(位

の ベ ク トル で 構 成 さ れ,大

き

相 差 は0)。

  対 称 分 を用 い て不 平 衡 の 問題 を 解 く場 合,系 相 回 転 が 時 計 回 りで あ る な らば,こ

の ベ ク トル で 構 成 さ れ,

の ベ ク トル と逆 の相 回 転 で あ る 。

統 の 電 圧 電 流 の 相 がa,b,cで

れ と同 様 に 対 称 分 の 三 相 を表 す 記 号 もa,bお

あ り, よ

びcで

表 す の が 一 般 的 で あ る 。 ま た,元

回 りにa,b,cの

相 順 で あ り,逆 相 分 の 相 回 転 は反 時 計 回 り にa,b,cの

る 。 元 の 電 圧 ベ ク トル をVa,Vb,Vcと に つ い て,正

相 分 は添 字1,逆

相 分 はVa0,Vb0,Vc0と

相順であ

表 し,こ の ベ ク トル 系 の 対 称 分 の3つ

相 分 は 添 字2,零

三 相 不 平 衡 電 圧 ベ ク トルVa,Vb,Vcの Vb2,Vc2,零

の 不 平 衡 ベ ク トル の 正 相 分 の 相 回 転 は 時 計

相 分 は 添 字0を

正 相 分 はVa1,Vb1,Vc1,逆 表 す 。 図7.8は,こ

表 す 。 電 流 ベ ク トル の 対 称 分 は電 流 の 表 示 記 号Iに

の組

用 い て 表 す 。 よ っ て, 相 分 はVa2,

の よ う な3組

の対 称 分 を

電 圧 と同 様 な 添 字 を用 い て 表 す 。

  電 圧 の 元 の 不 平 衡 ベ ク トル は各 成 分 の 和 で あ り,次 式 で 表 され る。

(7.11) (7.12) (7.13) 図7.8の3組

の 対 称 分 か ら3つ の 不 平 衡 ベ ク トル の 合 成 を 図7.9に

正相分 

逆相分 

示 す。

零相分

図7.8  三 相 不 平衡 ベ ク トル か ら得 られ た対 称 分

図7.9  対 称 分 を合 成 して 得 られ た 三相 不 平 衡 ベ ク トル

7.2.2 

演算子

  三 相 系 統 の 電 圧 お よ び 電 流 の 対 称 分 の 位 相 差 を 表 す た め,120°

の相 回 転 を表 す簡

単 な 表 記 法 を 用 い る の が 便 利 で あ る。2つ の 複 素 数 の 積 は大 き さ の 積 と位 相 角 の 和 と な る 。 ベ ク トル を 表 す 複 素 数 が 大 き さ1で,位

相 角 θ の 複 素 数 が か け られ る な らば,

か け ら れ た 複 素 数 は元 の ベ ク トル を 角 θだ け回 転 し た ベ ク トル と な る。   大 き さ1で 位 相 角 θ の 複 素 数 は,そ れ が 作 用 す る ベ ク トル を 角 θ回 転 させ る演 算 子(operator)で

あ る 。 演 算 子jは

す で に よ く知 られ て い る よ う に,jを

ベ ク トル は90° 反 時 計 回 り に 回 転 し,j2=-1を る。 演 算 子jを

続 け て2回

か け られ た

か け ら れ た ベ ク トル は180° 回 転 す

ベ ク トル に 作 用 す る と,作 用 さ れ た ベ ク トル は 角 度 が90°

+90° 回 転 す る。 こ れ はj×jが

作 用 さ れ た ベ ク トル を180° 回 転 さ せ る の で,j×jが

-1に 等 し い こ とが わ か る。 演 算 子jを 続 け て 作 用 す る と き,す

な わ ちjの 累 乗 の 作

用 は90° の 累 乗 の 数 倍 だ けベ ク トル を 回 転 さ せ る 。   一 般 に,反 時 計 方 向 に120° 回 転 さ せ る 演 算 子 をaで で,位

表 す 。 こ の 演 算 子 は 大 き さ1

相 角120° の 複 素 数 で あ り,次 式 の よ う に表 され る。

  演 算 子aを

続 け て2回

ベ ク トル に作 用 す る と,作 用 さ れ た ベ ク トル は120°+120°=

240°回 転 し,演 算 子aを3回

作 用 す る と,ベ ク トル を360° 回 転 す る 。 す な わ ち,

で あ る。

7.2.3 

非 対 称 ベ ク トル の 対 称 分

  図7.9に

お い て3組

の 対 称 ベ ク トル を用 い て 三 相 の 非 対 称 ベ ク トル を 合 成 で き る こ

とが わ か っ た 。 合 成 は(7.11)式,(7.12)式,お 対 称 ベ ク トル を3組

よび(7 .13)式 に よ っ て 行 う 。 三 相 の 非

の 対 称 ベ ク トル に分 解 す る 関係 式 は,合

成 に使 用 した(7.11)式

か

ら(7.13)式 に よ っ て 導 か れ る 。  

ま ず,未

知 数 で あ る対 称 分 の 数 をVa1,Va2,Va0と

減 少 す る こ と が で き る。 こ こで は,Va1,Va2,Va0を 図7.8を

演 算 子aの

累 乗 の 積 に よっ て

そ れ ぞ れV1,V2,V0と

参 考 に して 次 の 関 係 が 成 立 す る こ とが わ か る。

表 す。

(7.14)

(7.11)式

を 用 い,(7.14)式

を(7.12)式

と(7.13)式

に代 入 し て 次 の 関 係 を 得 る 。

(7.15) (7.16) (7.17) 行列 式 で表せ ば,

(7.18)

とな る。 便 宜 的 に,演 算 子 行 列 を次 の よ う に表 す 。

(7.19)

(7.19)式 の 逆 行 列 と し て 次 式 が 得 ら れ る。

(7.20)

(7.18)式 の 両 辺 の 左 側 にA-1を

か け る と,次 の 結 果 を得 る 。

(7.21)

  (7.21)式 は 非 対 称 ベ ク トル を 対 称 ベ ク トル に 分 解 す る 関 係 式 で あ る 。(7.21)式

を対

称 分 ご と に代 数 式 に書 き表 す と,次 の よ う に 表 さ れ る。

(7.22) (7.23)

(7.24) と な る。 そ の 他 の 成 分Vb0,Vb1,Vb2お

よ びVc0,Vc1,Vc2が

必 要 な と き は,

(7.14)式 か ら計 算 さ れ る。   (7.22)式 は非 対 称 ベ ク トル の和 が0な 系 統 の 線 間 電 圧 の 和 は 常 に0で

ら ば,零 相 分 は 存 在 しな い こ と を 示 す 。 三 相

あ る の で,線

間電圧 には零相 分 は存在 しない。各 線路

と 中 性 線 間 の 電 圧 す な わ ち各 相 電 圧 の和 は0で

あ る と は 限 らな い の で ,中 性 点 の 電 圧

は零 相 分 を含 む こ と もあ る。   以 上 の 式 は電 圧 に つ い て 表 し て い る が,電

圧 の代 わ りに 電 流 に つ い て も 同様 な形 式

で 書 く こ とが で き る 。 電 流 に つ い て ま とめ て 表 す と,次  対 称 分 か ら,各 線 電 流(相

電 流)の

の よ う に な る。

合 成 は 次 の よ うに な る。

(7.25) (7.26) (7.27)  各線 電 流か ら対称 分電 流 を求 める には,次 の関 係式 によ る。

(7.28) (7.29) (7.30)  三 相 系 統 に お い て,線 電 流 の 和 は 中 性 点 を 通 る 帰 路(return

pass)の

電 流Inに

等

しい 。 よ っ て,

(7.31) が 成 立 し,(7.28)式

と(7.31)式

を 比 較 し て,

とな る。 三相 系 統 にお いて 中性 点 を通 る帰 路 が な い な らば,Inは0で

(7.32) あ り,線 電 流

は零 相 分 を含 まな い。Δ 接続 の負荷 は中性 点 を通 る帰路 が な いので,Δ 接続 の負荷 に 流 れ る線 電 流 は零 相分 を含 まない。

図7.10 

【 例 題7.4】  三 相 回 路 の1導 に 流 れ る 電 流 は10Aで とす る,線

例 題7.4の

回路

体 が 断 線 し た と す る。a相

の 導 体 を 通 してΔ 接 続 の 負 荷

あ る 。a相 の 線 路 の 電 流 を基 準 と し,c相

の 線 路 が 断 線 した

路 を 流 れ る線 電 流 の 対 称 分 を 求 め よ。

[解]  図7.10に

回 路 図 を示 す 。a相 の 線 電 流 が す べ てb相

で あ る。(7.28)式

か ら(7.31)式

と な る 。(7.14)式

か ら

を流れ るこ とにな るので

に よ っ て 電 流 の 対 称 分 を求 め る。

を得 る。  c相 の線 路が 断線 す れば,電 流 は流 れな いが,c相 は0で な い値 を取 る こ とに注意 す る。

の線 路 の正 相 お よび逆 相 分電 流

7.2.4 Y‐Δ

接続 の変圧器 バンクの対称 分の位相変化

  図7.11はY‐Δ

変 圧 器 の 結 線 図 で あ り,ま ず,Y結

に つ い て 位 相 変 化 を検 討 す る 。 高 圧 側 端 子U,V,お よ びC相

に 接 続 さ れ,相

順 はA→B→Cで

線 が 高 圧 の 電 源 側 に あ る場 合 よ びWは

そ れ ぞ れA,B,お

あ る。 平 行 な 向 き に描 か れ た 巻 線 は,同

じ鉄 心 上 に巻 か れ て 磁 気 的 に結 合 して い る。   図7.11(a)に

お い て,Y結

線 側 の 相 巻 線UNはΔ

結 線 側 の 相 巻 線uvと

結 合 して い る 。 巻 線 上 の 点 印 の 位 置 は,VANがVabと 子 をA相

に,VをB相

に,WをC相

に 接 続 す る。

 Y‐Δ あ る い はΔ‐Y結 線 の 変 圧 器 に つ い て,わ 線 の 場 合,電 Δ ,2次

圧 の 位 相 は2次

側 がY結

線 の 場 合,1次

る。1次 側 がY,2次

が 国 で は1次 側 がY,2次

側 よ り1次 側 が30° 進 み と な る 結 線,ま 側 が2次

磁気的 に

同 相 で あ る こ と を 示 す 。U端

側 がΔ 結 た,1次

側 がΔ 結 線 の 場 合 に つ い て,電

圧 の対 称 分 の 位 相 図 は 図

(a)  三相 変 圧 器 のY‐Δ 結 線 図

(b)  電圧 の対称 分

(c)  電 流 の対称 分 図7.11 

三 相 変圧 器 の高 圧側 をY結

側 が

側 よ り30°遅 れ と な る 結 線 を標 準 と し て い

線 とす るY‐Δ 結 線 と電 圧,電 流対 称 分

7.11(b)に

示 す よ うに な る。 正 相 分 電 圧 をVA1と

VA1 はVa1よ

示 し た 正 相 分 お よ び 逆 相 分 ベ ク トル の 位 相 図 を 見 る と,VA1がVa1

よ り30°位 相 が 進 み,VA2がVa2よ

り30° 位 相 が 遅 れ て い る。 図 で はVA1とVA2が

相 に 描 か れ て い る が,VA1とVA2の

間 の 位 相 差 は 任 意 で よ く,VA1とVa1,お

間 の 位 相 差 は変 化 は な い 。 図7.11(a)のIAに

器 巻 線 に点 を 印 した 位 置 か ら 点 の な い 向 き に,Iabの 位 置 か ら点 の な い 向 き で あ る の で,こ て,Y結

の電圧 も同様 に表 示 す る。

り30° 位 相 が 進 む 。

  図7.11(b)に

VA2とVa2の

表 し,他

よび

指 定 さ れ た 向 き は,変

圧

向 き は変 圧 器 巻 線 に 点 を 印 し た

れ ら の 電 流 の 位 相 差 は180° で あ る。 し た が っ

線 とΔ 結 線 の 電 流 間 の 位 相 関 係 は 図7.11(c)に

よ り位 相 が30° 遅 れ,Ia2はIA2よ

同

示 す よ う に な る 。Ia1はIA1

り位 相 が30° 進 む こ と に 注 意 す る。 変 圧 器 の1次

と

2次 の線 電 流 の対 称 分 間 の 関 係 を ま とめ る と次 の よ うに な る。

(7.33) こ こ に,各   図7.12は に,Uか

電 圧 と電 流 は単 位 法 で 表 し て い る。 高 圧 側 がΔ 結 線 で,電

源 側 に あ る場 合 を 示 す 。 図7.12(b)に

ら 中性 点 へ の 正 相 分 電 圧 がuか

れ る た め に は,VcA1とVc1の

示す よ う

ら 中 性 点 へ の 正 相 分 電 圧 よ り30° 位 相 が 遅

位 相 差 は 等 し く,図7.19(c)に

示 す よ う にIcA1とIc1

の 位 相 差 も等 し くな け れ ば な らな い 。 電 圧 と電 流 の 位 相 図 か ら(7.34)式

が 成 立 す る。

(7.34)  IA,IBお

よびICは 変 圧器 に向 か う方 向,Ia,Ibお

よびIcは 変 圧 器 か ら流 れ 出す

方向 を正 としてい る。

7.2.5 

対称 分による電 力の表現式

 電流 お よび電圧 の対称 分 が与 え られ る な らば,各 相 の電力 は対称 成分 か ら直 接計 算 す る ことが で きる。  a,bお

よびc相 に よって送電 され る全 複素 電 力 は,次 の ように表 され る。 (7.35)

こ こ に,Va,Vbお

よ びVcは

端 子 に お け る 相 電 圧 で あ り,Ia,Ibお

の線 電 流 で あ る。 行 列 で 表 す と,

よ びIcは

各相

(a)  三 相変 圧 器 のY‐Δ 結 線 図

(b)  電 圧 の対 称 分

(c)  電 流の 対称 分 図7.12 

三 相 変 圧 器 の高 圧側 をΔ 結線 とす るΔ‐Y結 線 と電 圧,電 流対称 分

(7.36)

こ こ に,行

列 の 共 役 値 は元 の 行 列 の 対 応 す る要 素 の 共 役 値 で あ る 要 素 か ら成 り立 っ て

い る。  電 圧 お よ び 電 流 の 対 称 分 を 導 入 す る た め,(7.36)式

お よ び(7.37)式

を使 用 す る 。

(7.37) こ こ に,

(7.38)

で あ る。   行 列 演 算 に お い て,2つ

の 行 列 の 積 の 転 置 行 列 は,そ

を交 換 し た 行 列 に 等 しい 。 す な わ ち,(7.39)式

れ ぞれ の転 置 行列 の積 の順 序

の よ う な 関 係 が 成 り立 つ 。

(7.39) この 法 則 に 従 い,

(7.40) を得 る 。 さ ら に,AT=Aで

あ り,aとa2は

共 役 で あ る こ と に 注 意 し て,次

の結 果 を

得 る。

(7.41)

よ っ て,

(7.42)

複 素 電 力Sは

次 の よ う に表 さ れ る。

(7.43) この関係 は三相 回路 の複 素 電力 が電圧 お よび電 流の 各対称 分 か ら直接 計算 され る こと を示 す。

7.2.6 

対 称 分 イ ン ピー ダ ン ス と対 称 分 回 路 網

 一般 に,平 衡 回路 の あ る部 分 に対称 分電 流が流 れ る とき,そ の電 流 に対 す る対称分 イ ン ピー ダ ンス はその部 分 に別 の対称 分電 流が流 れ る と きの対 称分 イ ン ピー ダ ンス と 異 なる値 を示 す。

  正 相 電 流 の み が 流 れ る場 合 の 回 路 の イ ン ピー ダ ン ス は 正 相 イ ン ピ ー ダ ン ス(posi tive‐sequence ative‐sequence (zero‐sequence

impedance),逆

相 分 の 電 流 が 流 れ る場 合 は逆 相 イ ン ピー ダ ン ス(neg

impedance),零 current

相 電 流 の みが 流 れ る場 合 は零 相 イ ン ピ ー ダ ン ス

impedance)と

  系 統 に 発 生 した 非 対 称 故 障(不

よぶ。

平 衡 故 障)の

解 析 は,流

れ る不 平 衡 電 流 に対 す る対

称 分 イ ン ピ ー ダ ン ス を まず 求 め る こ とで あ る 。1つ の 対 称 分 回 路 に は そ の 回 路 に 対 応 す る 対 称 分 電 流 が 流 れ,同

じ対 称 分 の 電 圧 降 下 の み を生 じ,他

は無 関 係 で あ る 。 正 相 電 流 は正 相 回 路 に の み 流 れ,逆 い 。 正 相 電 流 の 流 れ る 回 路 は 正 相 回 路,逆 の 流 れ る回 路 は 零 相 回 路 と い い,こ

の対称 分 回路 の電 流 に

相 回路 や 零相 回路 に は流 れ な

相 電 流 の 流 れ る 回路 は逆 相 回 路,零

れ ら を 総 称 して 対 称 回 路(sequence

相電 流

network)

と よ ぶ 。 対 称 回 路 は 同 じ対 称 分 の 発 電 機 の誘 導 起 電 力 を含 む 。

7.2.7    図7.13に

無負荷発電機 の対称分 回路 リア ク トル 接 地 さ れ た 無 負 荷 発 電 機 を示 す 。 故 障 が 発 電 機 の 端 子 に お い

て 発 生 す る と き,電

流Ia,Ib,Icが

発 電 機 の 中 性 点 に は電 流Inが

線 路 に 流 れ る 。 故 障 が 接 地 事 故 で あ る な ら ば,

流 れ る 。 一 線 あ る い は二 線 の 電 流 が0で

あ っ て も,ま

た ど ん な 不 平 衡 で あ っ て も,電 流 は 対 称 分 に 分 解 す る こ とが で き る 。   発 電 機 は平 衡 した 三 相 電 圧 の み を 供 給 す る よ う に設 計 さ れ て い る の で,発 生 す る誘 導 起 電 力 は正 相 分 の み で あ る。 し た が っ て,正

電機 の 発

相 回路 は発 電機 の正 相 イ ン ピ

ー ダ ン ス と直 列 な 発 電 機 の誘 導 起 電 力 か ら成 り立つ。 逆 相 お よ び 零 相 回 路 は誘 導 起 電 力 は含 ま な い が,そ

れ ぞ れ 逆 相,零

相 イ ン ピー ダ ン ス を含 ん で い る。 図7.14に

称 分 電 流 に対 応 す る対 称 分 回 路 を 示 す 。 図7.14に

図7.13 

示 さ れ た 対 称 分 回 路 は,不

中性 点 リア ク タ ンス 接 地 の発 電 機 の 回路 図

各対 平衡 電

(a)  正 相 電 流 回路(b) 

(c)  逆相 電 流 回 路(d) 

(e)  零 相 電 流回 路(f) 

対称分電流の回路  図7.14 

正相 回路

逆相 回路

零 相 回路

対称分 回路

発 電機 の対 称 分電 流 回路 と対称 分 回路

流 か ら得 られた対 称分 の三相 電流 が流 れ る と考 え る対称 分 三相 回路 の一相 につい て表 した回路 で あ る。 正相 回路 の誘導 起電 力 は,無 負荷 発電 機 の中性 点 と無負荷 端 子 間の 電圧 で あ り,発 電機 が無 負荷 で あ るので,そ の電圧 は初 期過 渡,過 渡 あ るい は定常誘 導起 電力 で あ る。正 相 回路 の リア クタ ンス は,検 討 し よう とす る現象 が初期 過渡,過 渡 あ るいは定 常状 態の いず れ を対 象 とす るか に よって,初 期 過渡,過 渡 あ るいは同期 リアク タ ンスが用 い られ る。  正相 お よび逆相分 回路 の 中性線 は,発 電機 の中性 点 で ある。正相 お よび逆 相分 回路 の発電 機 の中性 点 に関 して は,中 性 点 と大地 の間 にイ ン ピーダ ンスが接 続 され て いて い るか,あ るい は直 接接 地 され てい るか には関係 な く,中 性 点 と大 地 との間 には正相

電 流 お よび 逆 相 電 流 は 流 れ な い の で,中   一 方,発

性 点 は大 地 電 位 に あ る 。

電 機 の 中 性 点 と大 地 の 中 性 線 と の 間 に 挿 入 さ れ た 接 地 イ ン ピ ー ダ ン スZn

に 流 れ る電 流 は3I0で

あ る。 図7.14(e)を

見 る と わ か る よ う に,発

ら大 地 ま で の 零 相 回 路 の 電 圧 降 下 は−3I0Zn−I0Zg0で

あ る 。 こ こ に, Zg0は 発 電 機 の

1相 当 た りの 零 相 イ ン ピー ダ ン ス で あ る。 零 相 回 路 は1相 と して 扱 う の で,図7.14(f)に 路 の イ ン ピー ダ ン ス は,発

示 す よ う に,発

値 を加 え,3Zn+Zg0と

電 機 の 端 子aか

の 零 相 電 流 の み を流 す も の

電 機 の 端 子aか

ら大 地 ま で の 零 相 回

電 機 の 零 相 イ ン ピ ー ダ ン ス に接 地 イ ン ピ ー ダ ン ス の3倍

し な け れ ば な らな い 。 電 流I0が

の

流 れ る 発 電 機 の端 子 か ら大 地

の 中性 線 まで の 零 相 回路 の全 零 相 イ ン ピ ー ダ ン ス は,

(7.44) となる。   一 般 に,a相

の 電 流 と電 圧 の 成 分 は,対 称 分 回 路 に 関 す る式 か ら 求 め られ る。a相

に つ い て の 発 電 機 の 端 子aか 程 式 は,図7.14か

ら大 地 の 中 性 線 ま で の 電 圧 降 下 の 各 対 称 分 に 関 す る 方

ら,次 の よ うに 表 され る 。(添 字aを

省 略)

(7.45) (7.46) (7.47) こ こ に,Eaは

中 性 点 に対 す る 発 電 機 の 正 相 無 負 荷 電 圧,す

導 起 電 力,Z1お

よ びZ2は

な わ ち 発 電 機 の1相

の誘

発 電 機 の 正 相 お よ び 逆 相 イ ン ピ ー ダ ン ス で あ り,Z0は

(7.44)式 で 表 さ れ る零 相 イ ン ピー ダ ン ス で あ る。 不 平 衡 電 流 を 流 し て い る発 電 機 に適 用 され る(7.44)式

∼(7.47)式

式 の 出 発 点 で あ る 。(7.44)式

は,種

々 な 故 障 に 関 す る電 流 の 対 称 分 を求 め る際 の 方 程

∼(7.47)式

は定 常 状 態 に お い て 負 荷 を と っ て 運 転 さ れ て

い る 発 電 機 に も適 用 さ れ る 。 過 渡 条 件 あ る い は 初 期 過 渡 条 件 に お け る計 算 に は,Ea に対 しEg',Eg"を

代 入 し て,(7.44)式

∼(7.47)式

が 負 荷 を と っ て い る 発 電 機 に適 用

され る。

7.2.8 

回 路 要 素 の 対 称 分 イ ン ピー ダ ン ス

  回 転 機 の対 称 分 電 流 に 対 す る イ ン ピー ダ ン ス は 各 対 称 分 に つ い て 異 な る。 逆 相 の 電 機 子 電 流 に よ っ て 誘 導 され る起 電 力 は,回 転 子 の 回 転 方 向 と反 対 の 方 向 に 回転 す る。 回 転 子 と逆 の 向 き に 回 転 す る電 機 子 の 磁 束 に よ っ て,回 (damper

winding)に

転 子 の 界磁 巻線 や制 動 巻 線

誘 導 さ れ る電 流 は この 磁 束 が 回 転 子 を透 過 す る の を 抑 制 す る。

この状 態 は,回 転 機 の端 子 にお け る短 絡故 障が 発生 した直 後 の磁 束 の急 速 な変 化 に似 てお り,磁 束 の通 路 は初期 過渡 リア クタ ンス を求 める際 の磁 束 の磁 路 に近似 で きる。 そのた め,円 筒形(非 突極)回 転 子 の回転機 におい ては,初 期過 渡 リア クタ ンス と逆 相 リア ク タ ンス は等 しい。   零 相電 流が 三相 の 回転 機 の電 機子 に流 れ る とき,1相 の零 相 電 流や この電 流 に よっ て誘 導 され る起 電 力 は,他 の相 の それ ぞれ の電流 や起電 力 と同 じ時 間 に最 大 に な る。 巻線 は電 機子 の周 囲 に分布 してい るの で,1相

によ って生 じる最 大磁 束 の 点 は,他 の

相 の最 大起 磁力 の点 か ら空 間 的 に電気 角 で120°変 位 してい る。 各相 の電 流 に よ っ て 生 じる起磁 力 が,空 間 的 に完 全 に正 弦波状 に分 布 して い るな らば,電 機子 の周 囲 の起 磁 力 は3つ の正 弦波 の合 成 とな り,そ の和 はすべ ての点 で0と なる。 零相 電流 によ る 磁 束 は空 隙 に発 生せ ず,任 意 の相 巻線 の リア クタ ンス は漏 洩磁 束 に よる リア クタ ンス で ある。実 際 の回転機 で は,巻 線 は完 全 に正弦 波状 の起磁 力 を生 じるよ うに は分布 し て いな い ので,零 相電 流 に よ る起 磁 力 の和 の磁 束 密度 は非 常 に小 さい が,0で

はな

い。 したが っ て,零 相 電 流 に よる空隙磁 束 が ない理想 的 な場 合 と比 べ幾 分 高い零 相 リ ア クタ ンスを生 じる。   撚 架 され た送電線 のイ ンダ ク タ ンスや静電容 量 に関 す る式 を導 く際 に,平 衡 した三 相電 流 を仮定 し,相 順 を指 定 しなか った。 したが って,送 電線 で は正 相 イ ン ピーダ ン スお よび逆相 イ ン ピーダ ンス は等 しい。 零相電 流 が送電線 を流れ る ときに のみ各相 の 電流 は等 し く,ま た,零 相 電流 は大 地 お よび架 空地 線 を帰路 とす る。 各相 導体 を流れ る零相 電 流 は等 しいの で,零 相 電流 によ る磁界 分布 は正相 ある いは逆 相電 流 に よる磁 界分布 と著 し く異 な る。 この磁界 分布 の相 違 のた め,架 空 送電 線 の零相 リア ク タンス は正相 リア クタ ンスの2倍 ない し3.5倍 となる。 この割合 は2回 線 送 電線 お よび架 空 地線 のな い送電線 で はさ らに増加 す る傾 向 を示 す。   三相 回路 の変圧 器 は3台 の単相 変圧 器 か ら構成 され るか,あ るい は三 相変 圧器 であ る。3台 の単 相変 圧器 か ら成 る零相 イ ンピー ダンス は,正 相 あ るい は逆 相 イ ンピー ダ ンス の値 とわず か に異 な るもの の,各 対 称分 イ ンピーダ ンスの値 は変 圧器 の型式 に関 係 な く等 し くす るの が一般 的 で ある。  線 形 で平 衡 して い る回路 の,Yあ

るい はΔ 結線 され た負荷 は零相,正 相 お よび逆

相 イ ンピー ダ ンスが等 しい。

7.2.9 

正相お よび逆相 回路

 電力 系統 の対称 分 イン ピーダ ンス を得 るた め,全 系統 の対称 分 回路 をつ くる必 要が あ る。

 正 相 回路 か ら逆相 回路へ の変換 は簡 単 で ある。 三相 同期発 電機 お よび電 動機 は正相 誘導 起電 力 の み を有 し,正 相 お よび逆 相 イ ン ピー ダ ンス は送 電 系統 で は同 じであ るの で,正 相 回路 か ら逆相 回路 への転 換 は同期 機 の イ ンピー ダ ンスを正相 か ら逆相 に変換 し,正 相 起 電力 を除去 すれ ばよい。  対称 三 相 電流 が流 れ る場 合,平 衡 した三 相 系統 の中性 点 のす べ ての電位 は等 しいの で,全 中性 点 は正 相 お よ び逆 相 電流 に対 して 同電 位 に な け れ ば な らな い。 した が っ て,対 称 三相 系 統の 中性点 は正相 お よび逆 相電 圧 降下 成分 の基準 電位 とな る。 機器 の 中性 点 と大 地 を結ぶ 中性点 イ ン ピー ダ ンス は,正 相分 電流 も逆相 分電 流 も流 れな いの で,正 相 お よび逆相 回路 に関 して は無 関係 であ る。

7.2.10 

零相 回路

  零相 電流 は系 のす べて の点 にお いて大 きさ と位 相が 等 しいた め,三 相 系統 は単相 と して扱 える。 したが って,零 相 電流 は帰路 を通 して完 全 な閉 回路 が形 成 され る場合 に のみ流 れ る。零 相電 圧の基 準電 位 は,系 統 の基準 電位 と して指 定 され た位 置 にお け る 大 地 の電位 で あ る。 零相電 流が 大地 を流 れ る場 合,大 地 は必ず し もすべ て の点 におい て同電位 で はな く,大 地 を一様 な電位 であ る と して零 相 回路 の中性線(基 準 電位)と す る ことはで きない。大地 および架 空地線 のイ ンピー ダン スは送電線 の零 相 イ ン ピー ダ ンス に含 まれ,零 相回路 の帰 路 はイ ン ピー ダ ンス零 の導 体 で あ り,こ れが 系の 中性 線 とな る。 大地 の イ ンピー ダ ンスは零相 分 イ ン ピー ダ ンス に含 まれ るので,零 相 回路 の中性 点 は大地 の指 定 された位 置 で あ り,零 相 回路 の電圧 は この位 置 にお け る電圧 を 基 準電 位 として測定 され た電圧 で あ る。   Y接 続 された 回路 の中性 点が大 地 あ る いは 回路 の別 の 中性 点 に接 続 され ない場 合, このY接

続 され た 中性 点 に流入 す る三 相電 流 の和 は0で あ る。和 が0と な る三 相 電

流 は零 相分 を含 まな いので,零 相電 流 に対 す るイ ン ピー ダ ンス は中性 点 よ り先 は無限 大 で あ り,Y結

線 の 中性 点 と帰路 との間 の零相 回路 は開放 され てい る と表 され る。

これ を図7.15(a)に

示 す。

  Y結 線 の中 性点 が 直接 接地 され る と き,イ ン ピー ダ ンス0の 導体 が 中性 点 と零 相 回路 の帰 路 の間 に挿 入 され る。 これ を図7.15(b)に

示 す。 この 回路 は零 相 電 流計 算

のた め に利 用 し,零 相電 流 が求 まる と改 めて基準 電位 に対 す る中性 点 電圧 が計算 され る。   Y結 線 の中性 点 と大 地 の間 にイ ン ピー ダ ンスZnが 挿入 され る場 合,3Znの イ ン ピ ー ダ ン ス が 中 性 点 と零 相 回路 の 帰 路 の 間 に置 か れ な け れ ば な ら な い。 これ を 図 7.15(c)に 示 す 。3Znを 流 れ る零相 電 流I0に よ って零 相 回路 に零 相 の電 圧 降 下 が生

(a)

(b)

(c) 図7.15 Y接

図7.16 Δ

続 の 零 相 回路

接 続 の零 相 回 路

じ る。 故 障 中 の 零 相 電 流 を制 限 す るた め,発

電 機 の 中性 点 と大 地 間 に接 続 さ れ る イ ン

ピー ダ ン ス は抵 抗 あ る い は リア ク トル で あ る 。 この よ う な 故 障 電 流 を制 限 す る リア ク トル あ る い は抵 抗 の イ ン ピー ダ ン ス は,零 相 回 路 の 一 部 と し て 表 さ れ る 。  Δ 接 続 され た 回路 は,帰 路 を持 た な い の で,零 ン ス を 示 す 。Δ 回路 で は,零

相 電 流 に対 し て無 限 大 の イ ン ピ ー ダ

相 回 路 は 開 放 され て い る。Δ 回 路 は 単 相 電 流 に 対 し て 循

環 す る ル ー プ 回 路 を構 成 す る の で,零 相 電 流 はΔ 回 路 内 を循 環 す る。Δ 回 路 内 に零 相 誘 導 起 電 力 が あ れ ば 循 環 電 流 がΔ 回 路 内 に 流 れ る。Δ 回 路 お よ び 零 相 回 路 を 図7.16

に示 す。零相誘 導起 電力 がΔ 回路 に発 生 して も,各 相 の零相 誘 導起 電力 は各 相 の零 相 イ ンピーダ ンスの電 圧降 下 と等 しいの で,零 相電 圧 はΔ 回路 の端 子 間 に は現 れ な い。  三 相 変圧 器 の零 相等 価 回路 は,特 別 な注 意 を払 う必 要 が あ る。Yお

よびΔ 接 続 し

た一 次 お よび二次巻 線 の種 々 な組 み合わ せ に よって,零 相 回路 はそ れぞ れ異 な る。 こ の 際,変 圧器 の励磁 電流 を無 視 す る と,一 次 電流 は二次 電流 と巻線 比 に よって決定 さ れ るの で,二 次巻線 に電 流 が流 れ な いな らば,一 次側 に も電 流 は流 れ な い。三 相 の2 巻線 変 圧 器 につ い て,5通

りの 可能 な結 線 方 法 が考 え られ,こ れ らの結 線 を図7.17

に示す。 変圧 器の結 線 図上 の矢 印 は,零 相電 流が 流れ る こ とので きる回路 を示 す。矢 印 の ない回路 は,零 相電 流 を流 す ことが で きな い変圧器 の結 線 を示 す。各 結線 につ い

図7.17 

三 相 変圧 器 の接続 と零 相 等価 回 路

て,抵 抗 と励 磁 回路 を無 視 した零相 回路 の近 似 的 な等価 回路 も合 わ せて 図7.17に 示 す。PとQの

記号 は変圧 器 結線 図 と零 相 等価 回路 の対 応す る点 を表 す。

(1)  Y-Y結 線,片 側 の 中 性 点 の み 接 地  Y-Y結 線 変 圧 器 の 中性 点 の どち らか 一方 が非接 地で あ るな らば,零 相 電 流 は どち らの巻線 に も流 れ る こ とはで きな い。1 つの巻 線 を流れ る電流 の 回路が ない と他 の巻 線 に も電 流 は流れ な い。 変圧 器 に よ って 接続 され て い る電力 系統 の2つ の部 分 の 間 に,零 相 回 路 の 開放 され た部 分 が存 在 す る。 (2)  Y-Y結

線,両

側 中 性 点接 地   Y-Y結

線 変 圧 器 の 両 側 の 中性 点 が 接 地 され

てい る場 合,零 相 電流 は変 圧器 の両 巻線 間 を流 れ る。 変圧器 の両側 に回路 が接 続 され るな らば,零 相電 流が 変圧 器 の両側 に流 れ る。零 相 回路 におい て,変 圧器 の両 側 の点 PとQが

変圧器 の零 相 イ ンピー ダ ンス によ って接続 され る。

(3)  Y-Δ 結 線,Y結

線 の 中性 点 接 地   Y-Δ 結線 変圧 器 の中性 点が 接地 され て い

る な らば,零 相 電 流 に対応 す る誘 導 電 流 がΔ 巻線 を循環 電 流 と して流 れ るの で,零 相 電流 がY巻 線 を通 って大地 に流 れ る。Y結 線 の零 相 電流 と平 衡 してΔ 巻 線 に循 環 す る零 相 電流 は,Δ 結 線 に接 続 され た線路 に流 れ 出 る こ とはな い。変 圧 器 のY結

線

に接続 され た線 路 か ら変 圧器 の イ ン ピー ダ ンス を通 して中性線 に零 相等 価 回路 が形 成 され る。Δ 結線側 で は線路 と帰 路 との 間の 回路 は開放 され る。 中性点 と大 地間 の 回路 が イ ン ピー ダ ンスZnで あるな らば,変 圧器 のY結 線 側 の線 路 と大地 の 間 に変 圧 器 の イ ンピー ダンス と直 列 に3Znの イ ン ピー ダ ンスが挿 入 され る。 (4)  Y-Δ 結 線,Y結

図7.18 

線 の 中 性 点 非 接 地   Y結 線 の 中性 点 が非 接地 な ら ば,中 性

小規 模 な電 力 系 統 の 単 線 図 とその零 相 回路 の 例

点 と大地 間 の イ ンピー ダ ンスZnは 無 限大 で あ る。(3)の 場 合 の零相 イ ン ピーダ ンス 3Znが 無 限大 に対 応 す る。 したが って,零 相電 流 は変圧 器巻 線 に流 れ ない。 (5) Δ‐Δ 結 線  Δ 結線 は零 相電 流 に対 して帰路 を持 た な いの で,零 相 電流 はΔ‐Δ 結線 変 圧器 に流入 す る こ とはで きな い。 しか し,零 相 電流 はΔ 巻 線 内 を循 環 電 流 と して流れ る ことが で き る。

  電力 系統 の それ ぞれ の部分 につい て個 々 に求 め られた零 相 回路 を全体 的 な零相 回路 に構成 す るた め,系 統全 体 の零相 回路 は各部 分 の零相 回路 を単 に結 合 す る ことに よっ て容易 に構 成 され る。 図7.18は,抵

抗 と並列 ア ド ミタ ンス を省 略 した,小 規 模 な電

力 系統 の単線 図 と零 相 回路 の例 を示す。

7.3 

非対 称故 障

  電 力系 統 に発生 す る故障 の ほ とん どは非 対称 故障(不 平 衡故 障)で あ る。送 電線 の 非対称 故 障 は一 線地 絡故 障,二 線 地絡 故障,二 線 短絡 故 障,あ るい は二線 短絡地 絡故 障 な どが あ る。 導体 間,あ るいは導体 と大 地間 の故障 電流 の通 路 は イ ンピー ダ ンス を 含 む か,あ るい は含 まな い場 合 があ る。 遮 断器 や ヒュー ズの動 作時,三 相 回路 の一相 あ るい は二相 が 先 に遮断 され,残

りが遅 れ て遮 断 され る場 合 に は非対 称 故 障 と類 似 な

現 象 とな る。   非対称 故 障 は電力 系統 に不 平衡電 流 を流 すので,故 障発生 後 の系統 の電圧 や電 流 を 解析 す る には対称 座標 法 を用 い るのが非 常 に有 効 であ る。 まず,無 負荷発 電機 の端 子 にお ける故障 を取 り上 げ る。次 に,テ ブナ ンの理論 を応 用 して電 力 系統 の故障 を検 討 す る。 テ ブナ ンの理論 に よ り,故 障 点か ら見た 全系統 を1台 の発 電機 と1つ の直列 イ ン ピー ダ ンスに よっ て置 き換 え るこ とによ って,故 障電 流 を求 め る ことが で き る。最 後 に,非 対 称故 障計 算 へ のノー ドイ ンピーダ ンス行列 の適 用 方法 を検 討す る。  発 電機 の端 子 に生 じ る故 障 の形 に は無 関 係 に,(7.44)式 お よ び(7.46)式 を適 用す る。 これ らを行 列 の形 で表 せ ば,(7.48)式 の よ うに表 され る。 故 障の種 類 に よって, (7.48)式 と故障 の条 件 を表 す式 を合 わ せて用 い る。

(7.48)

7.3.1 

無 負 荷 発 電機 の一 端 子 の 地 絡 故 障

  中性 点 が リア クタ ン スを通 して接 地 され,無 負荷 運転 のY結

線 発 電 機 の一 端 子 が

地 絡故 障 を起 こした場合 の回路 図 を図7.19に 示 す。故 障 した相 をa相

とす る。

  無 負荷運転 お よび故障 の条 件 か ら次の よ うに表 され る。

 Ib

=0お

よ びIc=0に

こ れ よ り,I0,I1お

よ っ て,電

よ びI2は

流 の対 称 分 は 次 の よ う に 表 さ れ る。

そ れ ぞ れIa/3に

等 し い の で,

(7.49) が 成 り立 つ 。(7.48)式

のI2お

よ びI0にI1を

代 入 し,次 の 結 果 を 得 る。

(7.50)

  (7.50)式 の 両 辺 の そ れ ぞ れ の 左 側 か ら行 ベ ク トル[111]を

乗 ず る と次 の 関 係 を

得 る。

(7.51) ま た,

図7.19 

中性 点 リア ク タ ンス接 地 の 無負 荷Y結

線 発 電 機 のa相

地絡 故 障

で あ る の で,I1に

つ い て 式(7.51)を

解 い て 次 の 関 係 を 得 る。

(7.52)

  (7.49)式 お よ び(7.52)式 す よ う に,発 電 機 の3つ ダ ン ス は電 圧Eaと

は一 線 地 絡 に お け る 対 称 分 電 流 の 式 で あ る。 図7.20に

の 対 称 分 回路 が 直 列 に接 続 され る と,3つ

直 列 に な る の で,電

流I1と

電 圧Eaは(7.52)式

対 称 分 回 路 に お い て,各 対 称 分 回 路 の 電 圧V0,V1お 図7.20に

示 す 対 称 分 回 路 の 接 続 は,一

  発 電 機 の 中性 点 が 非 接 地 で あ る な ら ば,零

で あ る 。 故 障 相aの で,線

路aに

線 電 流Iaは

あ る か ら,I2お

よ びI0も0

各 成 分 電 流 の 和 で あ り,各 成 分 電 流 が0で

あるの

電 機 の 中性 点 が 接 地 さ れ て い

障 電 流 の 流 れ る 回 路 が 存 在 し な い こ とか ら も理 解 さ れ る。

制 動 巻 き 線 を持 た な い 突 極 の 発 電 機 の 定 格 は20MVA,13.8kVで

よ び0.10puで

電 圧 で,無

相 分 回 路 は 開 放 さ れ て い る の で,Z0は

無 限 大 の 時,I1は0で

り,直 軸 初 期 過 渡 リア ク タ ン ス が0.25pu,逆 0.35お

対称 分 で ある。

利 であ る。

は故 障 電 流 は 流 れ な い 。 こ の こ と は,発

な い な ら ば,故

【 例 題7.5】

はZ0が

を 満 足 す る。 この

よ びV2はVaの

線 地絡 故 障 の解 析 に必 要 な方程 式 を この よ う

に対 称 分 回 路 の 構 成 か ら導 くこ とが で き る の で,便

無 限 大 で あ る。(7.52)式

示

の 対 称 分 イ ン ピー

あ

相 お よ び 零 相 リア ク タ ン ス が そ れ ぞ れ

あ る。 発 電 機 の 中 性 点 は 直 接 接 地 さ れ て い る 。 発 電 機 が 定 格

負 荷 運 転 さ れ て い る と き,一 端 子 に お い て 一 線 地 絡 故 障 が 発 生 した 。 こ の

と き,発 電 機 の 故 障 端 子 の 初 期 過 渡 電 流 と初 期 過 渡 状 態 の 端 子 間 電 圧 を 求 め よ。 抵 抗

図7.20 

無 負 荷 発電 機 のa相 地 絡 故 障 時 の対 称 分 回路 の 接続

は無 視 す る 。 [解]  発 電 機 の誘 導 起 電 力 は無 負 荷 の 端 子 電 圧 に 等 し い の で,20MVA,13.8kVを べ ー ス と し て,Ea=1.0を

基 準 とす る 。 よ っ て,図7.20に

示 す 正 相,逆

ア ク タ ン ス お よ び 誘 導 起 電 力 の 関 係 か ら(7.52)式 が 成 立 す る の で,こ

よって,故 障相aの 線 電流Iaは 各成 分電 流 の和 で あ り,

を得 る。

基準電流〓 で あ るか ら,初 期過 渡電 流 は

とな る。  故 障相aの 端 子 の対 地 電圧 の対称 分 は次 の よ うにな る。

よ っ て,各

端 子 の 相 電 圧 は 次 の よ う に な る。

 a端 子 の相 電 圧 は,

  b端 子 の相 電 圧 は,

 c端 子 の 相 電 圧 は,

相,零

相 リ

れ を利 用 して,

とな る。 ま た,線

間電 圧 は次 の よ うにな る。

 a b間 の線 間 電 圧 は,

 bc間 の 線 間 電 圧 は,

 ca間 の 線 間 電 圧 は,

とな る。   発 電 機 の 誘 導 起 電 力Eaは

中性 点 に対 す る 電 圧 で,1.0puで

電 圧 は相 電 圧 を 基 準 電 圧 に 対 す るpu値

で 表 さ れ る の で,故

あ り,上

に求 め た 線 間

障 後 の 線 間 電 圧 をkV値

で 表 す と次 の よ う に な る。

  故 障 前 の 線 間 電 圧 は平 衡 し て お り,13.8kVで た め,基 準 位 相 と してVan=Eaを

用 い る と,故 障 前 の 電 圧 は 次 の よ う に な る 。

故 障 前 後 の 電 圧 の ベ ク トル 図 を 図7.21に 位 は中 性 点 の 電 位(0)に

7.3.2    無 負 荷Y結

あ る 。 故 障 後 の 線 間 電 圧 と比 較 す る

示 す 。 図7.21(b)に

示 す よ う に,a相

の電

あ る。

無負荷 発電機の線 間短絡 線 発 電 機 の 端 子bとcの

相 間 短 絡 の 回 路 を 図7.22に

示 す。故 障条 件

(a)  故 障 前(b)  図7.21 

図7.22 

例 題7.5の

故 障後 後

故 障 前 後 の 電 圧 の ベ ク トル 図

中性 点 リア ク トル接 地 の無 負荷 発 電 機 のbc梱

の短 絡 故 障

は次 式 で 表 さ れ る。

 Vb =Vcと

し て,電 圧 対 称 分 は次 式 に よ っ て 表 され る 。

これ か ら 次 の 関 係 を 得 る。

(7.53)  Ib =−Icお

よ びIa=0で

あ る か ら,電 流 の対 称 分 は 次 の よ う に な る 。

した が っ て,

(7.54) (7.55)  発 電 機 の 中 性 点 と大 地 が 接 続 さ れ て い る場 合 に は,Z0は りI0=0で

有 限 で あ り,(7.54)式

よ

あ る の で,

(7.56) で あ る 。(7.53)式,(7.54)式,(7.55)式

お よ び(7.56)式

を(7.48)式

に 代 入 し て,次

の

関 係 を得 る。

(7.57)

(7.57)式 の 両 辺 の 左 側 か ら[1  1  -1]の

行 ベ ク トル を乗 ず る と,

(7.58) を 得 る 。I1に つ い て 解 く と次 の 結 果 を得 る。

(7.59)

  (7.53)式,(7.54)式,(7.55)式

お よ び(7.59)式

は2端

子 間 短 絡 故 障 を表 す 式 で あ

る。 こ れ ら の 式 と(7.48)式 お よび 対 称 分 の 関 係 を用 い て,故 る こ と が で き る。Z0は あ る の で,正

方 程 式 に 現 れ な い の で,零

相 回 路 は 無 関 係 で あ る 。V1=V2で

相 お よ び 逆 相 回 路 は並 列 で な け れ ば な ら な い。 零 相 回 路 を含 ま な い正 相

回 路 と逆 相 回 路 の 並 列 接 続 は,(7.55)式 な い 。 以 上 に よ っ て,線 7.23に

障 点 の 電 圧 と電 流 を求 め

よ っ て,対

式 を満 足 す る 。

に 示 さ れ る よ う に,I1=−I2で

間 短 絡 の 対 称 分 回 路 の 接 続 は 図7.23に

な けれ ばな ら

示 す よ う に な る。 図

称 分 回 路 の 電 流 と電 圧 は線 間 故 障 に 関 し て 導 か れ る す べ て の 方 程

図7.23 

発 電 機 のbc相

  故 障 点 が 接 地 して い な い 場 合,発

短絡 故 障 時 の対 称 分 回路 の 接 続

電 機 の 中 性 点 は 接 地 され て い て も,大 地 を通 る電

流 は 流 れ な い。 線 間 短 絡 故 障 の 関 係 か ら,零 相 電 流I0は0で り,地 絡 電 流Inは3I0に され て い る か,い い な い な ら ば,Z0は

【 例 題7.6】

等 し い の で,地

な い か は,故

絡 電 流 は流 れ な い 。 発 電 機 の 中 性 点 が 接 地

障 電 流 に は影 響 し な い 。 発 電 機 の 中 性 点 が 接 地 され て

無 限 大 で,零

例 題7.5の

あ る こ とが わ か っ て お

相成 分 を含 まない線 間電 圧 を求 め る こ とがで きる。

発 電 機 の 端 子 で 線 間 短 絡 故 障 が 発 生 し た と き,初 期 故 障 条 件

に お け る故 障 点 の 初 期 過 渡 電 流 と線 間 電 圧 を求 め よ。 故 障 が 発 生 し た と き,発 電 機 は 無 負 荷 で,定 格 電 圧 で 運 転 さ れ て い た とす る。 抵 抗 は 無 視 す る。 [解]  正 相 電 流 は(7.59)式

より

と な る 。 逆 相 電 流 は(7.55)式

より

とな る。 零 相 電 流 は(7.54)式

より

となる。   よ っ て,a相

 b相 電 流 は,

電 流 は,

  c相 電 流 は,

とな る。   例 題7.5と

同 じ よ う に,べ

ー ス 電 流 は837Aで

あ る か ら,a相,b相

電 流 は そ れ ぞ れ,

と な る。a相

の相 電 圧 の 正 相 お よ び 零 相 分 は(7.57)式

とな り,a相

の相 電 圧 は,

  b相

は,

  c相

は,

とな る。 線 間 電 圧 は そ れ ぞ れ,

よ り,そ れ ぞ れ,

お よ びc相

の

と な り,線 間 電 圧 をkVで

表 す と そ れ ぞ れ,,

を得 る。

7.3.3 

無 負 荷 発 電 機 の 線 間短 絡 接 地 故 障

  図7.24に,中

性 点 が リア ク トル接地 され たY結 線 で無 負荷運 転 され る発 電機 の線

間短 絡接 地故 障 を示す 。故 障相 をbとcと

 Vb=0お

よびVc=0に

し た が っ て,V0,V1お

す る。故 障条 件 は次式 の よ う に表 され る。

よ り,電 圧 の 対 称 分 は 次 の よ う に 表 さ れ る。

よ びV2はVa/3に

等 し い 。 よ っ て,

(7.60) と な る 。(7.48)式

のV1,V2お

よ びV0にEa-I1Z1を

代 入 し,Z-1を

両 辺 の 左 か らか

け る 。 こ こ に,Z-1は,

図7.24 

中 性 点 リア ク トル 接 地 の無 負 荷 発 電機 のbc相 短 絡 接 地故 障

で あ る。

(7.61)

を得 る 。   (7.61)式 の 両 辺 に 左 辺 か ら行 ベ ク トル[111]を

乗 じ,I1+I2+I0=Ia=0を

考

慮 す る と,次 の 関 係 を 得 る。

(7.62)

これ を整 理 して,次

の 結 果 を得 る。

(7.63)

す な わ ち,

(7.64)

  (7.60)式 お よ び(7.64)式 逆 相,お

は線 間 短 絡 接 地 故 障 の 式 で あ る。 こ の故 障 に お い て 正 相,

よ び 零 相 電 圧 は 等 し い の で,図7.25に

示 す よ う に,対

称 分 回路 が 並 列 に接

続 さ れ な けれ ば な ら な い こ と を 示 す 。 線 間 短 絡 接 地 故 障 に 関 し て,以 て の 条 件 が 図7.25に はZ1と

上 に導 いた すべ

示 す 接 続 に よ っ て 満 足 さ れ て い る こ とが わ か る 。 正 相 分 電 流I1

これ に 直 列 なZ2とZ0の

並 列 イ ン ピ ー ダ ン ス に 流 れ,こ

の 電 流 は 電 圧Eaを

印 加 す る こ とに よ っ て与 え られ る。   発 電 機 の 中 性 点 が 接 地 さ れ て い な い 場 合 に は,故

障 時 に 大 地 に流 れ る電 流 は な い 。

図7.25 

中性 点 リア ク トル 接 地 の無 負 荷 発電 機 のbc相

こ の 場 合 に は,Z0は に な る。(7.64)式 絡 の(7.59)式

【 例 題7.7】

無 限 大 で あ り,I0は0で

の 分 母 のZ0を

短 絡 接地 故 障 時 の対 称 分 回 路 の接 続

あ る。 電 流 は,線

間 短 絡 の場 合 と同 じ

無 限 に 大 き くす る こ と に よ っ て,(7.64)式

は線 間 短

に 近 づ く こ と が わ か る。

例 題7.5に

述 べ た 発 電 機 の端 子 で,線

間 短 絡 接 地 故 障 が 発 生 す る と き,

初 期 過 渡 電 流 と線 間 電 圧 を 求 め よ。 発 電 機 は無 負 荷 で あ り,故 障 発 生 時 は定 格 電 圧 で 運 転 さ れ て い る もの とす る 。 抵 抗 は 無 視 す る。 [解]  (7.64)式 に 数 値 を代 入 し,電 流 の 正 相 成 分I1と

(7.60)式 よ り電 圧 の対 称 分 と し て 次 の 結 果 を得 る。

電 流 の 逆 相 お よ び 零 相 成 分 は,図7.25を

と な る 。 よ っ て,a相

  b相 の 電 流 は,

の 電 流 は,

参 照 して,

し て 次 の 結 果 を得 る。

 c相 の 電 流 は,

とな る。 ま た,中

性 点 を 流 れ る 電 流 は,

あ る い は,

とな る 。   a相 の 電 圧 は,

で あ り,b,c相

の電 圧 は,

で あ る 。 また,線

間 電 圧 は,

と な る 。 電 流 値 をAで

  電 圧 をkVで

表 す と,

表 す と,

となる。

7.3.4 

電 力系統 の非対称故 障

  故 障 中 の電 力 回 路 網 に お け る電 流 お よ び 電 圧 の対 称 分 に 関 す る方 程 式 を誘 導 す る場 合,故

障 点 に お い てa,bお

よ びc相

か ら流 れ 出 す 電 流 を そ れ ぞ れIa,Ibお

と表 す 。 故 障 が 発 生 した 箇 所 に お い て,故 体 を 接 続 す る こ と に よ っ て,故

よ びIc

障 前 に平 衡 し て い た 各 相 そ れ ぞ れ に 仮 想 導

障 中 の 電 流Ia,Ibお

よ びIcを

知 る こ とが で き る 。 こ

の 仮 想 導 体 の端 子 を適 当 に 接 続 す る こ とに よ っ て 各 種 の 故 障 を表 す こ とが で き る。 た とえ ば,仮

想 導 体bとcを

短 絡 す る こ とに よ っ て,線

aの 電 流 は 零 で あ り,Ibは−Icに

等 しい 。

  故 障 点 に お け る線 路 の 対 地 電 位 はVa,Vbお 前 は,故

間短 絡 故 障 を表 す。仮 想 導体

障 点 の 中性 点 に 対 す る相 電 圧 をVfと

よびVcで

表 さ れ る。 故 障 が 発 生 す る

表 せ ば,系

統 が平 衡 して い るの で正相

分 電 圧 で あ る。   例 と して 三 相 同 期 発 電 機 お よ び 電 動 機 を 含 む 電 力 系 統 の 単 線 図 を 図7.26(a)に す 。 この 系 統 は 単 純 で は あ る が,こ

系 統 に 適 用 す る こ と が で き る。 こ の 系 統 の 対 称 分 回 路 を 図7.26(b),(c)お (d)に 示 す 。 故 障 が 起 こ る と仮 定 され る 位 置 を図(a)の よ び(d)の

対 称 分 回 路 図 に 記 号Pで

力 と初 期 過 渡 リア ク タ ン ス,過

示

れ に よ っ て 誘 導 した 式 は一 般 的 に任 意 の 平 衡 し た よび

単 線 図 お よ び 図(b),(c)お

表 す。 発 電 機 お よ び 電 動 機 は 初 期 過 渡 誘 導 起 電

渡 誘 導 起 電 力 と過 渡 リア ク タ ン ス あ る い は無 負 荷 電 圧

と同 期 リ ア ク タ ン ス の い ず れ か で 表 さ れ る。   対 称 分 回 路 を描 く場 合,各

対 称 分 回 路 は 中 性 線 と 故 障 点Pを2端

子 と し,こ

の2

端 子 間 か ら見 た 系 統 を テ ブ ナ ンの 等 価 回路 に よ っ て 置 き換 え る。 各 対 称 分 回路 の テ ブ ナ ン の 等 価 回 路 は 図7.26に 並 べ て(e),(f)お

電 圧 の 基 準 で あ り,イ の 相 電 圧 が,テ で はVfで

正 相,逆

よ び(g)に

相 お よ び 零 相 の 対 称 分 回 路(b),(c),(d)と

示 し て あ る 。 こ こ で,中 性 線 は全 系 統 に つ い て 共 通 な

ン ピ ー ダ ン ス を 持 た な い仮 想 的 な線 で あ る 。 故 障 前 の 故 障 点 で

ブ ナ ン 等 価 回 路 にお け る正 相 回 路 の 発 電 機 の 誘 導 起 電 力 と な り,こ

表 す 。 テ ブ ナ ン正 相 回 路 の イ ン ピー ダ ン スZ1は,単

回 路 の す べ て の 内 部 起 電 力 を短 絡 し,P点

線 図(a)で

こ

表 され た

と 中 性 線 か ら系 統 を 見 込 ん だ 正 相 分 回 路

図7.26 

の 図(b)に

(a)3相

対 称 回路 の単線 図

(b)正

相回路

(e)テ

ブナ ン正 相 分 等価 回 路

(c)逆

相 回路

(f)テ

ブ ナ ン逆相 分 等価 回路

(d)零

相 回路

(g)テ

ブナ ン零 相 分 等価 回 路

三相 系 統 の単 線 図,対 称 回路,故 障 点 にお け る各対 称 回路 の テ ブナ ンの等 価 回路

つ い て 求 め た イ ン ピ ー ダ ン ス で あ る 。 故 障 発 生 か らの 時 間 に よ っ て 採 用 さ

れ る 回 路 要 素 の イ ン ピ ー ダ ン スZ1の

値 は 変 化 す る。 例 え ば,遮

を計 算 す る場 合 な どに は,発 電 機 は 過 渡 リア ク タ ン ス,同

断器 が遮 断す る電流

期 電 動 機 は 過 渡 リア ク タ ン

ス な どが 使 用 さ れ る。   テ ブ ナ ン逆 相 分 回 路 お よ び テ ブ ナ ン零 相 分 回 路 に つ い て は,故 障 が 発 生 す る前 は電 流 の 逆 相 成 分 も零 相 成 分 も流 れ な い の で,故 る 。 故 障 点 か ら 見 た 系 統 の 逆 相,零 イ ン ピ ー ダ ン スZ1を (c),(d)そ

障 前 のP点

と 中性 線 間 の 電 圧 は0で

相 イ ン ピ ー ダ ン スZ2お

求 め る 方 法 と 同 様 に,P点

よ びZ0の

求 め 方 は,正

あ 相

と中性 線 の 端 子 間 か ら眺 め た 図

れ ぞ れ の 回 路 に つ い て 求 め ら れ る。

  系 統 の 故 障 点 か ら流 れ 出 す 電 流 をIaと 図7.26の(b),(c),(d)に す 。 図7.26の(e),(f),(g)に

す れ ば,そ

示 す よ う に,そ

の 各 対 称 分I1,I2お

れ ぞ れ の対 称 分 回 路 のP点

示 す 系 統 の 正 相,逆

よ びI0は か ら流 れ 出

相 お よび零 相 分 回路 の テ ブ ナ

ン等 価 回 路 は,発

電 機 端 子 の 故 障 計 算 回路 と同 じで あ る。 した が っ て,(7.48)式

い て,EaをVfに

置 き換 え る以 外 は,ま

にお

った く同 じ で あ る。 す な わ ち,

(7.65)

と表 さ れ る。

7.3.5 

電 力系 統 の 一 線 地 絡

 一 線地 絡故 障 にお いて は,各 相 の導 体 の故 障点 に接続 された仮 想導体 の うち地 絡相 の導体 が接地 され る ことにな る。a相 地絡 故 障 に関 し,次 の関係 が成立 す る。

  これ ら3つ の 式 は,発

電 機 の 一 線 地 絡 故 障 に 用 い た 式 と 同 じで,(7.65)式

に 関 す る 式 はEaをVfで Vfは,前

と対 称 分

表 す 以 外 は 発 電 機 の 一 線 地 絡 の 式 と同 じで あ る 。 こ こ に,

節 に 述 べ た よ うに,故

障 前 に 故 障 点 に 現 れ て い た 相 電 圧 で あ る 。 した が っ

て,一 線 地 絡 故 障 に つ い て,

(7.66) お よ び,

(7.67)

が 成 立 す る。   (7.66)式 お よ び(7.67)式

は,3つ

の 対 称 分 回路 が 一 線 地 絡 故 障 を 模 擬 す る た め に,

故 障 点 に お い て 直 列 に接 続 さ れ な け れ ば な ら な い こ と を示 し て い る。

問題 (1)相

電 圧 の 対 称 分 のpu値 puの

(2)発

場 合,a,b,c相

電 機 のa端

がV1=0.5∠0°pu,V2=0.2∠90°pu,V0=0.1∠180° の 相 電 圧 のpu値

子 が 開 放 さ れ,b,c端

を求 め よ 。

はI1=600∠−90°A,I2=250∠90°A,I0=350∠90°Aで

子 が 短 絡 接 地 し て い る と き,対

る電 流 お よ び 各 相 の 電 流 を 求 め よ。

称 分 電流

あ る。大 地 を 流 れ

(3)各

相 電 流 のpu値

がIa=1.0∠0°,Ib=1.0∠230°,Ic=1.0∠130°

の 場 合,対

称 分 電 流 を求 め よ。 (4)Δ

結 線 の対 称 イ ン ピ ー ダ ン ス 負荷 に電 力 が 供 給 さ れ て い る場 合,線 電 流 と 負 荷 の 相 電 流 の 対 称 分 との 関 係,す

な わ ちI1とIab1の

路 の対 称 分

関 係,I2とIab2

の 関 係 を 図 示 せ よ。 (5)周

波 数60Hz,定 電 機 は,電

格 電 圧22 kV,定

機 子 巻 き 線 がY結

格 容 量500MVAの

発 電 機 が あ る 。 この 発

線 で あ り,中 性 点 は 直 接 接 地 さ れ,無

負 荷,定

格 電 圧 で 運 転 さ れ て い る。 リア ク タ ン ス はX"=X2=0.15pu,X0=0.05pu で あ る。 こ の 発 電 機 の 対 称 三 相 短 絡 に お い て 流 れ る 初 期 過 渡 電 流 に対 す る一 線 地 絡 に お い て 流 れ る初 期 過 渡 電 流 の比 を求 め よ。 (6)問

題(6)に

お け る発 電 機 に つ い て,こ

の発 電機 の対 称三 相短 絡 に おい て流れ る

初 期 過 渡 電 流 に対 す る 線 間 短 絡 に お い て 流 れ る初 期 過 渡 電 流 の比 を 求 め よ。 (7)問

題(6)に

お け る発 電 機 に つ い て,一

限 す る た め,発

線 地 絡 に お い て 流 れ る 初 期 過 渡 電 流 を制

電 機 の 中性 点 を 抵 抗 を 通 して 接 地 した 。 こ の 発 電 機 の 対 称 三 相

短 絡 に お い て 流 れ る初 期 過 渡 電 流 に対 す る 一 線 地 絡 に お い て 流 れ る初 期 過 渡 電 流 の比 と中 性 点 接 地 抵 抗 の オ ー ム 値 との 関 係 を 求 め よ。 (8)周

波 数60Hz,定

格 電 圧20kV,定

ス がX"=X2=20%,X0=5%で,電

格 容 量100MVAの 機 子 巻 き 線 がY結

発 電 機 は,リ 線,中

の リア ク トル を通 し て 接 地 さ れ て い る 。 この 発 電 機 が 無 負 荷,定 さ れ て い る と き,発 電 機 の1端

ア クタ ン

性 点 が0.32Ω 格 電圧 で運転

子 に お い て 地 絡 故 障 が 発 生 した 。 故 障 端 子 を流

れ る 初 期 過 渡 電 流 を求 め よ。

【解答 は巻 末】

第8章  安定度

8.1 

安 定 度 の 種 類

  電 力 系 統 の安 定 度(power

system

時 に 電 力 系 統 の 擾 乱(disturbance)に

stability)は

あ る平 衡 な 運 転 点 で 運 転 し て い る

対 して,他

の 平 衡 点 に移 り ひ き つ づ き 安 定 に

運 転 を 継 続 し得 る よ う な 電 力 系 統 の 持 つ 能 力 の こ と で あ る 。 安 定 度 の 問 題 は 一 般 に擾 乱 の 性 質 や 大 き さ の 程 度 に よ っ て 過 渡 安 定 度(transient (steady-state

stability)に

stability)と

定 態 安 定度

分 け ら れ る。

  過 渡 安 定 度 は大 き な 擾 乱 に対 す る安 定 度 で,時

間 的 に は擾 乱 発 生 か ら数 秒 程 度 の時

間 領 域 の 現 象 を い う 。 過 渡 安 定 度 問 題 は,電 力 系 統 に送 電 線 路 の 事 故 や 発 電 設 備 の 脱 落 の よ う な 大 き な 擾 乱 が 発 生 す る 際 に 系 統 が 安 定 に運 転 を維 持 で き る か 否 か を決 定 す る こ とで あ る。   安 定 度 に 関 す る 研 究 は数 十 年 前 か ら始 ま っ て い るが,発

電 機 が1あ

る い は2機

お け る運 動 論 的 な 問 題 の 検 討 に 限 られ て い た 。 現 在 の 電 力 系 統 は 超 高 圧,超

系に

超高圧の

送 電 網 を 通 して 相 互 に 連 系 さ れ た 多 数 の 発 電 機 を含 む 大 規 模 系 統 を構 成 し て い る 。 こ れ ら の発 電 機 に は 励 磁 制 御 系(AVR： 制 御 系(ガ

バ ナ)が

自 動 電 圧 調 整 装 置),ま

た,タ

ー ビ ン に は調 速

設 置 さ れ て い る 。 これ らの 制 御 装 置 は 系 統 に加 え ら れ た 擾 乱 に対

して 適 切 に応 答 す る よ う モ デ ル 化 さ れ る必 要 が あ り,こ れ に よ り安 定 度 解 析 は 一 層 複 雑 に なる。   定 態 安 定 度 は,常

時 の 負 荷 変 動 の よ う な 微 小 擾 乱 に 対 す る安 定 度 で,時

10数 秒 以 上 の 現 象 が 対 象 で あ る。 した が っ て,定

状 態 に お け る変 化 に 対 す る 系 統 の 安 定 性 に 関 係 す る。 わ が 国 で は,定 て は,発 電 機 の励 磁 制 御 系,タ 定 度(あ

間的 には

態 安 定 度 は,系 統 の 定 常 的 な 運 転 態安定 度 に関 し

ー ビ ン の調 速 制 御 系 の 動 作 ま で 考 慮 す る もの を動 態 安

る い は 動 的 定 態 安 定 度)と

よ び,区 別 され て き た が,海

外 で は 一 律,定

態安

定 度 と し て 扱 わ れ て い る 。 この た め,こ れ ら用 語 に つ い て,学 会 レ ベ ル で 議 論 が な さ れ て い る段 階 で あ る が,本

書 で は,従

来 どお りの 用 法 で 用 い る こ と と す る。

  発 電 機 あ る い は発 電 機 系 が 動 作 点 か らわ ず か に 変 化 した と き,す

な わ ち定 態 安 定 度

あ るいは動 態安定 度 を解析 す るに あた って,系 統 の状 態 を記 述 す る多 くの非線 形微 分 方程 式 や非線 形代 数方 程式 を線形 代 数方程 式 の組 み合 わせ に置 き換 え る線 形解 析法 が 用 い られ る。   一 方,過 渡 安定 度 の検 討 は実際 上最 も重 要 な課題 の1つ で あ り,非 常 に多 くの研 究 が行 わ れて い る。 過渡 安定度 の問題 は線 形 化 す る ことがで きない大 きな擾 乱 を含 むの で,多 くの非 線形 微分 方程 式や代 数方 程式 を解 くた めに,直 接法 や数値 解 析 の逐 次繰 り返 し法 な どが用 い られ る。   すべ ての安 定度 問題 の検討 におい て,そ の 目的 は擾乱 を受 けた発電機 の回転子 が正 常 な一定 の 回転速 度 の運 転状 態 に戻 るか否 か を決定 す る こ とで あ る。 これ は,少 な く と も短時 間 の間 に一時 的 に回転子 速度 が 同期 速 度 か ら外 れ る こ とを意味 す る。安 定度 解析 は数値 シ ミュ レー シ ョ ンで検 討 され るが,そ の 際,次 の基 本 的 な仮 定 が行 わ れ る。   1.固

定子 巻線 お よび電力 系統 に つい て,基 本周 波数 の電 流 お よび電 圧 のみ を考 慮

す る。 そのた め,直 流分 お よび高 周波成 分 は無 視す る。   2.同

期 機 は,動 揺 中の誘 導起電 力 が一定 に保 た れ る とす る。

  3.同

期 機 への機 械的 入力 は,動 揺 中一定 とす る。

  なお,安 定度 解析 におい て は,発 電機 お よびター ビン まで考 慮 す るが,火 力発電 に お いて はボ イ ラー を,水 力発 電 にお いて は鉄 管 を含 む水理 系 は考慮 しない。 しか しな が ら,近 年,長 い時 間領域 で の現 象 によ る大 規模 停電 事故 の発 生 に よ り,中 間領域 安 定 度(mid−term

stability)と よばれ る10秒 以上 の 時間領 域 を扱 う安定 度解析 の必 要

性 が高 ま り,検 討が 進 め られ てい る。 この よ うに長 い時 間 を扱 う場 合 は,例 えば,ボ イ ラーの制 御 系の応 動や 水理 系の現 象 まで考 慮 す る必 要 があ り,さ らに複雑 な取 り扱 いが必 要 とな る。

8.2 

発 電機の運 動方程 式

8.2.1 

動揺方程式

  同期機 の回転 子 の運 動 を支配 す る方程 式 は力学 の基本 的 な原 理 に基 づ い て表 され, 回転 子 を含 む 回転 系 に作 用す る トル クは この 回転 系 の慣 性 モー メ ン トと角加速 度 の積 に等 しい。   同期発 電機 につ いて,こ の方程 式 は次 の形 に書 くことが で き る。

(8.1) こ こ に,J：

回 転 子 を 含 む 回 転 系 の 全 慣 性 モ ー メ ン トで あ り,回 転 系 は 発 電 機 の 回 転 子,回

転 主 軸,タ

を指 す が,安

ー ビ ン な ど原 動 機 の 回 転 体 が 一 体 とな っ て 回 転 す る 系

定 度 解 析 の 概 念 を簡 明 に す る た め,以

下発 電機 の回転 子 で

代 表 させ る,単 位 はkg・m2,   θm:固 定 軸 に対 す る回 転 子 の 回 転 角 で あ り,単 位 は ラ ジ ア ン,  t： 時 間 で あ り,単 位 は秒,   Tm： 回 転 損 失 を 差 し 引 い た 原 動 機 に よ っ て供 給 さ れ る正 味 の 機 械 的 主 軸 ト ル ク で あ り,単 位 はN・m,   Te:正  Ta:正

味 の 電 気 的 トル クで あ り,単 位 はN・m, 味 の 加 速 トル ク で あ り,単 位 はN・mで

  機 械 的 主 軸 トル クTmと 8.1に 示 す よ う に,加

電 気 的 トル クTeは

速 トル クTaは

あ る。

同 期 発 電 機 に対 し て は 正 と考 え る。 図

主 軸 に 作 用 す るTmとTeの

合 成 トル ク で あ り,

回 転 子 の 回 転 角 θmの 正 の 方 向 に 回 転 子 を 加 速 す る 方 向 を正 とす る。 発 電 機 の 定 常 状 態 の 運 転 に お い て は,TmとTeは 回 転 子 は加 速 も減 速 も され ず,一

等 し く,加 速 トル クTaは

零 で あ る 。 こ の 場 合,

定 速 度 す な わ ち 同 期 速 度(synchronous

speed)で

回 転 す る。 こ の よ う に,一 定 速 度 で 回 転 す る 発 電 機 の 回 転 子 と原 動 機 か ら な る回 転 系 は,電

力 系 統 に お い て 同期 速 度 で 運 転 さ れ る 他 の 発 電 機 と同 期(synchronism)し

て

い る とい う。 原 動 機 は水 車 タ ー ビ ンあ る い は蒸 気 タ ー ビ ン な どで あ り,こ れ ら原 動 機 の機 械 トル ク を表 現 す る た め に 種 々 の 複 雑 な モ デ ル が 採 用 され る。   θmは 固 定 子 の 静 止 基 準 軸 に対 し て 測 られ る 回 転 子 の 絶 対 回 転 角 を 表 す 。 そ の た め, 絶 対 回 転 角 θmは 一 定 な 同 期 速 度 と時 間 の 積 で 表 さ れ,時 る。 また,同

間 と共 に 連 続 的 に 増 加 す

期 速 度 で 回 転 す る 回 転 軸 に 対 し て 測 ら れ る 回 転 子 の 相 対 回 転 角 を δmで

表 す 。 絶 対 回 転 角 と相 対 回 転 角 の 間 に は次 の 関 係 が 成 立 す る 。

図8.1 

回転 子 に お け る回転 方 向 と機械 お よ び電 気 トル ク の方 向

(8.2) こ こ に,ωsmは

同 期 機 の 同期 速 度 で あ り,単 位 は ラ ジ ア ン/秒(rad/s),δmは

度 で 回 転 す る 回 転 軸 か ら の 回 転 子 の 変 位 角,す ア ンで あ る。(8.2)式

同期 速

な わ ち 相 対 回転 角 で あ り,単 位 は ラ ジ

を時 間 に関 して微分 す る と

(8.3)

そ し て,

(8.4) とな る 。(8.3)式 のdθm/dtは

回 転 子 の 絶 対 回 転 角 速 度,dδm/dtは

角 速 度 で あ る 。(8.3)式 の 相 対 回転 角 速 度 が 零 で あ る な ら ば,絶 速 度 に 等 し く,時 間 的 に一 定 で あ る 。 した が って,相

対 回転 角速 度 は 同期

対 回転 角速 度 は回転 子 の同期 速

度 か ら の 変 動 を表 し,単 位 は ラ ジ ア ン/秒 で あ る。(8.4)式 単 位 はrad/s2で

回転 子 の相 対 回転

は 回 転 子 の 加 速 度 を 表 し,

あ る。

  (8.4)式 を(8.1)式 に代 入 す る と,次

の 関 係 を得 る。

(8.5)  回転子 の絶 対 回転 角速 度 を表 す ため記 号 ωmを 用 い る と,回 転 子 の 絶対 回転 角速 度 は次の ように表 され る。 (8.6)

  パ ワ ー は トル ク に角 速 度 を 乗 じ て 表 さ れ る か ら,(8.5)式

の両 辺 に回転 子 の 絶対 回

転 角 速 度ωmを か け る と次 の 関 係 を 得 る。

(8.7) こ こ に,Pmは

回 転 損 失 を 無 視 し た 原 動 機 か ら発 電 機 へ の 機 械 的 入 力(軸

は発 電 機 か ら系 統 へ 供 給 さ れ る 電 気 的 出 力,PaはPmとPeの

入 力),Pe

差 に よ る両 者 の 不 平 衡

を表 し,回 転 子 の加 速 パ ワ ー で あ る 。   (8.7)式 の係Jωmは

回 転 子 の 角 運 動 量(angular

momentum)で

あ り,同 期 速 度

ωsmに

お いて は

と表 し,Mを

同 期 機 の 慣 性 定 数(inertia

を用 い て,次

constant)と

よ ぶ 。(8.7)式

は慣 性 定 数M

の よ う に 表 され る。

(8.8) こ の場 合,(8.8)式

に お い て,回

い て 同 期 速 度ωsmと

転 子 の 絶 対 回 転 角 速 度 ωmは あ ら ゆ る 運 転 状 態 に お

は 限 ら な い の で,Mは

厳 密 な意 味 に お い て 定 数 で は な い 。 し か

し な が ら,実 際 の 問 題 に お い て はωmは 発 電 機 が 定 常 運 転 さ れ て い る と き に は 同 期 速 度 と ほ と ん ど同 じ で あ り,ま

た,(8.5)式

の よ う に トル ク で 表 さ れ る式 を 用 い る よ り

もパ ワ ー で 表 さ れ る 関 係 式 の 方 が 便 利 で あ る の で,一

般 に は(8.8)式 が よ く使 用 さ れ

る。   安 定 度 問 題 に 関 し て 提 供 さ れ る 同 期 機 の 慣 性 モ ー メ ン トに関 す る デ ー タ と し て,単 位 慣 性 定 数(inertia

constant)Hが

よ く使 用 さ れ る。Hは

次 式 に よっ て定 義 され

る。

H=

同期速度 にお いて 回転系 に蓄 積 され る回転 運動 エネ ル ギー(MJ) /同期 機 の定格 容量(MVA)

す な わ ち,

(8.9) こ こ に,SmachはMVAで 数Mに

表 さ れ た 同 期 機 の 三 相 定 格 容 量 で あ る。(8.9)式

を慣 性 定

つ い て 解 く と,

(8.10)

を 得 る 。(8.10)式

を(8.8)式

に 代 入 し て,次

式 を得 る。

(8.11)

 (8.11)式 に お い て,相

対 回 転 角 δmは ラ ジ ア ン の 単 位,同

期 速 度 ωsmは ラ ジ ア ン/

時 間 の 単 位 を 有 す る の で,(8.11)式

は単 位 法puを

用 い て 次 式 の よ う に表 さ れ る。

(8.12) こ こ に,相

対 回 転 角 δ の 単 位 と し てradを

rad/secで

あ り,Hの

用 い る な ら ば,同

単 位 はMJ/MVA,す

の 単 位 を 用 い る。 回転 子 の 加 速 パ ワーPa,原 力 電 力PeはHと

同 じ基 準 容 量(三

期 角 速 度 ωsの 単 位 は

な わ ち秒 と な り,時

間tはHと

同 じ秒

動 機 に よ る 機 械 的 軸 入 力Pmお

相 容 量)に

対 す るpu値

で あ る 。 添 え字mが

ωsお よ び δに 付 け られ る と,そ れ らの 量 は機 械 角 を表 し,そ 角 を 表 す も の と す る。 系 統 周 波 数 がfHzの

場 合,(8.12)式

よび 出 ω,

れ以 外 の場 合 には電 気

は

(8.13) とな り,δ は 電 気 角 で,単 位 はradで

あ る。

  (8.12)式 は 同 期 機 の 動 揺 方 程 式(swing

equation)と

期 機 の 回 転 子 の 運 動 を 表 す 基 本 方 程 式 で あ る。 こ の2階

い い,安

定度 解析 にお ける同

の 微 分 方 程 式 は2つ

の1階

の

方程 式 として書 き表 され る。

(8.14) (8.15) こ こ に,ω,ωsの radで

単 位 は電 気 角/時 間 で,rad/sで

あ り,δ の 単 位 は 電 気 角 で あ り,

あ る。 動 揺 方 程 式 が 解 か れ る と,そ の 解 δ は 時 間 の 関 数 と し て 表 され る。 動 揺

方 程 式 の 解 の 相 対 回 転 角 δ と時 間tの よ ば れ,系

グ ラ フ は 同 期 機 の 動 揺 曲 線(swing

curve)と

統 内 の 全 同 期 機 の 動 揺 曲 線 を調 査 す る こ と に よ り,擾 乱 が 加 え られ た 後 の

同 期 機 が 同 期 を維 持 で き る か 否 か を知 る こ とが で き る 。

8.2.2 

単位慣性 定数の変換

  (8.9)式 のHの

算 出 に用 い られ た基準 容量 のMVA値

はHを

求 め よ う と して い る

同期機 の三相 定格 容 量 で ある。多 くの同期発 電機 を含 む電 力系 統 の安定 度 の検 討 に お いて は,系 統 のす べて の部 分 に共 通 す る唯 一 のMVA基

準 値 が 選 ばれ る。各 同期 機

に対 す る動 揺方程 式 の右 辺 は この系統 に共通 な基準 容量 で 基準 化 され て表 され な けれ ばな らな いか ら,各 動揺 方程 式 の左 辺 のHも

系 統 に共 通 な基 準 容量 に対 して表 され

表8.1 

な けれ ば な ら な い 。 こ の た め,各 のHは

同期 機 の典 型 的 な単 位 慣 性 定 数

々 の 同 期 機 の 定 格 に基 づ い て表 さ れ て い る 各 同 期 機

全 系 統 に 共 通 な 基 準 容 量Ssystemを 基 準 容 量 とす るPu値

る 。 そ れ ぞ れ の 同 期 機 の 定 格 容 量 に 基 づ い て 表 さ れ たHのpu値 量Ssystemを 基 準 とす るPU値

に変 換 す る必 要 が あ か ら系 統 の基 準 容

に変 換 す る公 式 は次 の よ う に表 さ れ る 。

(8.16) こ こ に,Hsystemは

全 系 統 の 基 準 容 量Ssystemを 基 準 と す るpu値,Hmachは

機 の定 格 容 量smachに   慣 性 定CMは

基 づ い て 表 さ れ たpu値

を示す。

実 際 に は ほ とん ど用 い られ ず, Hを

れ る。 そ れ は,慣 性 定 数Mの して,表8.1に

慣 性 モ ー メ ン トJか

慣 性 モ ー メ ン トを 持 ち,定

用 い た 動 揺 方 程 式 が よ く使 用 さ

値 が 同期機 の大 きさや形 式 で広 範 囲 に変 化 す るの に対

示 す よ うにHの

【 例 題8.1】

個 々 の同期

取 り得 る数 値 は狭 い 範 囲 に と ど ま る た め で あ る。

らHを

計 算 す る 公 式 を 導 き,J=245255kg・m2の

格 容 量1333MVA,1800rpmの

発 電 機 のHを

求 め よ。

[解]  同 期 速 度 に お け る 回転 運 動 エ ネ ル ギ ーKEは,

こ こに,Nは 結 果 を得 る。

発 電 機 の毎 分 の 回転 数 で あ る。MVAの

発 電機 定 格 容 量 で 割 る と次 の

 これ は 次 の よ うに 簡 単 化 され る 。

  上 式 に 与 え られ た 同 期 機 の デ ー タ を 代 入 して,次

8.2.3 

の結果 を得 る。

発 電 機 群 の 縮約

  広 い地域 に散 在 す る多数 の発電機 を有 す る大規 模 な系 統の安 定度 問題 の検 討 にお い て,解 析 に必要 とす る動揺 方程 式 の数 をで きるだ け少 な くす るこ とが好 ま しい。 送 電 線 の故 障,あ る いは電力 系統 の擾 乱が1つ の発 電所 内 の複数 の発電 機群 に影 響 す る場 合,各 発電 機 の回転子 は共 に動 揺 す る。 この様 な場合,発 電所 内 の発電 機群 を各 回転 子が統 合 され て機械 的 に1台 の等価 発 電機 として表 され るな らば,こ の発電 機群 の動 揺 は1つ の動揺 方程式 で表 され る。   電力 系統 の擾 乱 の発 生位 置 か ら電 気 的 に離れ た母線 に接 続 され てい る2台 の発 電機 を持 つ発電所 を考 える。全 系統 の共 通 な基準 容量 に基 づ く動揺 方程 式 は次の よう に表 され る。 (8.17) (8.18) 両 式 を加 え,ま

た,回

転 子 は 等 し く動 揺 す る と考 え られ る の で,δ1と

δ2は共 通 で あ

り,こ れ ら を δ と表 せ ば,次 の 結 果 を 得 る。

(8.19) こ こ に,HはH1+H2で はPm1+Pm2,お

あ り,等

価H定

よ びPeはPe1+Pe2で

所 の動揺 方程 式 を表す ことに なる。

数(equivalent あ る 。(8.19)式

H

constant)と

は(8.12)式

い い,Pm

と 同 じ 形 で,発

電

【 例 題8.2】60Hzの

系 統 に電 力 を 供 給 し て い る発 電 所 の2台

の発 電 機 は 並 列 に 運 転

さ れ て い る 。 こ れ ら の 発 電 機 は 次 の よ う な 定 格 を持 っ て い る。   発 電 機#1:500MVA,力

率0.85,電

圧20kV,回

転 数3600rpm,H1=4.8

率0.90,電

圧22kV,回

転 数1800rpm,H2=3.27

MJ/MVA   発 電 機#2:1333MVA,力 MJ/MVA 基 準 容 量 を100MVAと

して 両 発 電 機 の 等 価 なH定

数 を求 め よ。

[解]2  台 の 発 電 機 の 全 回 転 運 動 エ ネ ル ギ ー は 次 の よ う に な る 。 (4.8×500)+(3.27×1333)=6759〔MJ〕 した が っ て,100MVAを

基 準 容 量 とす るHは

H=67.59〔MJ/MVA〕 と な る。2台 の 発 電 機 が 同 期 し て 動 揺 す る な ら ば,こ

の 値 は1つ

の動 揺方 程式 に使 用

で き,こ れ ら発 電 機 の 回 転 子 の 角 度 は 同 じ と な る。

  同 期 して 動 揺 す る複 数 の 発 電 機 は コ ヒー レ ン ト(coherent)で 度 お よ び位 相 角 が 電 気 角(ラ 揺 方 程 式 は,1つ

ジ ア ン)で 表 さ れ る場 合,コ

あ る と い う。 同 期 速

ヒ ー レ ン トな 発 電 機 群 の 動

の 方 程 式 で 表 さ れ る。 こ れ は,多 数 の 同 期 機 を含 む 系 統 に お い て,

多 数 の 動 揺 方 程 式 を以 上 の 方 法 に よ っ て 統 合 す る こ と に よ り,方 程 式 を減 じ,多 機 系 統 の 安 定 度 の 解 析 を簡 素 化 す る こ とが で き る 。   系 統 内 の コ ヒ ー レ ン トで な い 発 電 機 の 任 意 の1組 (8.18)と

に つ い て は,(8.17)式

お よび

同 様 な 動 揺 方 程 式 を 書 く こ とが で き る。 左 辺 の 係 数 を そ れ ぞ れ の 方 程 式 で

除 し,こ れ ら方 程 式 の差 を と る と,次 の 結 果 を 得 る。

(8.20) 両 辺 にH1H2/(H1+H2)を

乗 じ,整 理 して,次

の 結 果 を得 る。

(8.21) こ の 式 は 次 の よ う に,さ

ら に,よ

り簡 単 な 基 本 的 な 動 揺 方 程 式(8.12)式

の形 に書 くこ

とが で き る。

(8.22) こ こ に,相 対 角 度 δ12は δ1-δ2で あ り,H12は 力,お

よ びPe12は

等 価H定

数,Pm12は

等価機械的軸入

等 価 出 力 電 力 と よ び 次 の よ う に表 され る。

(8.23) (8.24) (8.25)   (8.21)式 は,系 統 内の1台 の 同期 機 の安定性 は系 統 の他 の同期 機 が動揺 す る動 作 に 関 連 した性 質 で あ る こ とを表 して い る。 着 目 してい る同期 機 の 回 転 子 の相 対 回転 角 δ1は,他 の複 数 の同 期機 の回転 子 の相 対 回転 角 を δ2で代表 して 表 す とき,こ れ と比 較 し,そ の相対 値 を δ12で表 す。 系統 に故障 が発 生 した 際,故 障点 を除去 す るた め遮 断器 が動 作 し,開 動作終 了の時 点 にお いて,系 統 の安 定 が保持 され るた め には,全 同 期機 の 回転子 の相対 回転 角 の差 が減 少 しな けれ ばな らない。   以 上 に述べ た よ うに,系 統 の安定 性 を検 討 す るこ とは電 力 の安定 な輸送 に非 常 に重 要 であ り,安 定 性 の解析 の主要 な特徴 は2機 問題 で表 され る。 この2機 問題 に よる安 定度 の解析 は,2つ に分 け る こ とが で き る。1つ は無 限大 母線 に接続 され る有 限 な慣 性定 数 を持 つ1台 の同期 機 に関 す る安 定度 解析 であ り,も う1つ は連 系 され る2台 の 有限 な慣性 定数 を持 つ同 期機 に関す る動揺 の解析 で あ る。安 定 度 の解析 に関す る無 限 大母線.(infinitebus)と

はイ ン ピー ダ ンスが0で 無限 大の慣 性 定数 を持 ち,一 定 の誘

導起電 力 を持 つ同期機 が 接続 された母線 と考 える。大規模 な系統 に接続 され る発 電機 の接続 点 は無限 大母 線 と見 な され る。 すべ ての事例 におい て,動 揺 方程 式 は(8.12)式 の形 で表 され,こ の 方程 式 の各 項 は明確 に定量 的 に表 され な けれ ばな らな い。 出力電 力Peを 表す式 は動 揺方 程式 の記 述 のた め に欠 くこ とはで きない。

8.3 

電 力相差角 方程式

 安 定度 の解析 にお いて原 動機 の速 度制御 系 が動作 す る前 に,電 力系 統 の状 態が 変化 す る こ とが予想 され るの で,発 電機 の動揺 方程 式 にお いて,原 動 機 か らの機械 的軸 入

力Pmは

一 定 と考 え る の は 合 理 的 な仮 定 で あ る 。(8.12)式

発 電 機 の 回 転 子 が 加 速 す る か,減 出 力 電 力Peで お り,Peが

あ る。PeがPmに

のPmは

一 定 で あ るの で，

速 す るか あるい は同期速 度 に あるか を決 定 す るの は 等 し い と き,同 期 機 は定 常 の 同 期 速 度 で 運 転 され て

この 値 か ら変 化 す る と き,回 転 子 の 相 対 速 度 は 同 期 速 度 か ら外 れ,変

化

す る。   発 電 機 の 出 力 電 力Peの

変 化 は 系 統 の 状 態 に よ っ て 決 定 さ れ る。 線 路 故 障 や 遮 断 器

の 動 作 に よ る電 力 系 統 の擾 乱 は発 電 機 に電 気 的 お よ び 機 械 的 な 過 渡 現 象 を起 こ させ, 発 電 機 出 力 を急 激 に 変 化 させ る。 基 本 的 な 仮 定 は発 電 機 の 速 度 の 変 化 が 発 電 機 の 誘 導 起 電 力 に影 響 し な い とす る こ とで あ る 。 この 仮 定 に よ っ て,発

電 機 出 力Peの

変化は

電 力 潮 流 方程 式 お よ び 同 期 機 の 電 気 的 な 動 作 を表 す モ デ ル な どに よ っ て 決 定 す る こ と が で き る。 図8.2(a)に モ デ ル は,過

示 す よ う に,過

渡 リ ア ク タ ン スX'dお

渡 安 定 度 解 析 に 用 い られ る最 も簡 単 な 発 電 機

よ び 過 渡 誘 導 起 電 力E'に

圧 一 定 モ デ ル で あ る。 こ れ は無 負 荷 誘 導 起 電 力 がE,同

よって 表 され る背 後電

期 リア ク タ ン ス がXdで

表さ

れ る定 常 状 態 の 同 期 機 の モ デ ル と類 似 し て い る。 電 機 子 抵 抗 は大 抵 の 場 合 無 視 で き る の で,ベ

ク トル 図 は 図8.2(b)の

よ うに表 され る。

  系 統 内 の 負 荷 に 電 力 を供 給 す る2台

の 発 電 機 系 に つ い て 考 え る 。 図8.3に

系 統 に対 す る ノ ー ドア ド ミ タ ン ス行 列 の 要 素 は,次

示 す 送電

の ように表 され る。

(8.26)

図8.2 

背 後電 圧 一 定 モ デル の ベ ク トル 図

図8.3  安 定 度 解 析 のた めの2機 モ デル

こ こで 発 電 機 の 過 渡 リア ク タ ン ス は ノ ー ドア ド ミタ ン ス行 列 に含 まれ て い る とす る。   ノ ー ドか ら注 入 さ れ る電 力 は

(8.27)

と な る。kとNを

そ れ ぞ れ1と2に

等 し く置 き,VにE2'を

代 入 す る と,(8.27)式

は 次 の よ う に 表 され る。

(8.28) こ こ に,

で あ る。 よ っ て,次

の 結 果 を得 る。

(8.29) (8.30)   上 の2式

の 添 え 字 を2に

変 化 す る こ と に よ り,母 線#2に

つ い て も(8.29)式,

(8.30)式 と同 様 な 関 係 が 得 られ る。   い ま,

と し,次

の よ うな角

を 用 い る と,(8.29)式

と(8.30)式

か ら次 の 関 係 が 得 られ る。

(8.31) (8.32) (8.31)式 は更 に 次 の よ う に簡 単 な 関 係 で 表 され る。

(8.33)

こ こ に,

(8.34) で あ る。(8.33)式

は 電 力 相 差 角 方 程 式(power−angle

equation)と

の 関 数 と して 表 し た グ ラ フ は 電 力相 差 角 曲 線(power−angle こで,P1は

curve)と

よ ば れ ,電

力角

よ ば れ る。 こ

電 機 子 の 損 失 を 無 視 した 発 電 機 の 有 効 電 力 出 力 を表 す の で,(8

.33)式 で

はPeで

表 し て い る。 回 路 構 成 お よ び 電 圧 の 大 き さ￨E1'￨お よ び￨E2’￨は 一 定 な の でPc,

Pmaxお

よ び γ も一 定 と な る 。 送 電 網 の 抵 抗 を 無 視 で き る と考 え られ る場 合 に は,ノ

ー ドア ド ミタ ン ス 行 列Y

busの す べ て の 要 素 は サ セ プ タ ン ス の み で あ り,G11と

γは0

で あ る。 リア ク タ ン ス の み か らな る送 電 系 統 に 適 応 さ れ る電 力 相 差 角 方 程 式 は,よ

く

知 られ た 次 の よ う な 方 程 式 と な る。

(8.35) こ こ に,Pmax=￨E1'￨￨E2'￨/Xで

あ り,そ

し てXはE1'とE2'の

間 の リア ク タ ンス で あ

る。

【 例 題8.3】

図8.4は

無 限 大 母 線 に 平 行2回

を示 す 。 発 電 機 は1.0puの の 大 き さ は1.0puで

線 を 通 し て 接 続 さ れ て い る1台

の発 電機

電 力 を 送 電 し て お り,発 電 機 の 端 子 と無 限 大 母 線 の 電 圧

あ る。 発 電 機 の 端 子 は発 電 機 と変 圧 器 の 接 合 点 で あ る。 図8 .4

の 図 上 に示 さ れ て い る 数 値 は 系 統 に 共 通 な基 準 イ ン ピ ー ダ ン ス に基 づ く リア ク タ ン ス のpu値

を示 す 。 発 電 機 の 過 渡 リア ク タ ン ス は0.2puで

あ る。 系 統 の 電 力 相 差 角 方 程

式 を示 せ 。

図8.4  例題8.3の

[解]  電 力 系 統 の リア ク タ ン ス 図 を図8.5に の リ ア ク タ ンス は 次 の よ う に な る。

単線 図

示 す 。 発 電 機 の 端 子 と無 限 大 母 線 との 間

図8.5 

した が っ て,発

事 故 前 の イ ンピ ーダ ンス マ ップ

電 機 出 力 は1.0puで

あ る か ら,次 の 電 力 相 差 角 方 程 式 が 成 立 す る 。

こ こに,￨Vt￨は 発 電機 端 子 電圧 の大 きさ,Vは

無 限大 母線 の電 圧,α は無 限大 母 線

に対す る発電 機端 子電圧 の位 相 角 で ある。α につい て解 き,次 の結果 を得 る。

よ って,発

電 機 の端 子 電 圧 は

とな る。 発 電 機 か ら送 電 線 路 に供 給 され る電 流 は 次 の よ う に な る。

 また,発 電機 の 内部過 渡誘 導起 電力 は次 の ように計算 され る。

発 電 機 の 内部 過 渡誘 導起 電力E'と 無 限大 母 線 の電 圧Vに は全直 列 リア クタ ンス に よって決定 され る。

 したが って,求 め る電力 相差 角方 程式 は

関 す る電 力 相 差 角 方 程 式

図8.6  電 力 相 差 角 曲線

と な る。 こ こ に,δ は 無 限 大 母 線 を 基 準 と す る発 電 機 の 回 転 子 の 相 対 回 転 角 で あ る 。   こ の 電 力 相 差 角 方 程 式 に よ る 電 力 相 差 角 曲 線 を 図8.6に Pmは

一 定 で あ り,運 転 角 δ0=0 .4964rad.に

図 示 す る。機 械 的 軸 入 力

お い て電 力 相 差 角 曲 線 に 交 わ る 。 こ の δ0

は与 え られ た 発 電 機 の 事 故 前 運 転 条 件 に対 応 し,動 揺 開始 前 の 回 転 子 位 置 す な わ ち相 対 相 差 角 で あ る。 発 電 機 の 動 揺 方 程 式 は次 の よ う に な る。

こ こ に,Hの rad)で

単 位 はMJ/MVA(=sec),fは

系 統 の 周 波 数 ,δ は 電 気 角(単

位 は

あ る。 正 常 な 送 電 網 の 状 態 に お け る 発 電 機 の 運 転 条 件 の も とで は,Pe=2.10

sin 0.4964=1.0puは

機 械 的 軸 入 力Pmに

完 全 に等 し く,角 加 速 度 は0で

ある。

  次 に,例 題8.3で

用 い ら れ た 送 電 系 統 に つ い て 送 電 線 の1回

て 三 相 短 絡 事 故(故

障)が

継 続 し て い る間,発

電 機 の 回 転 子 の 加 速 が 続 く こ とを 次 の例 題 に よ っ て 示 す 。

【 例 題8.4】

例 題8.3で

線 の 中 間 点Pに

発 生 し た 場 合 の 電 力 相 差 角 方 程 式 を 求 め,事 故(故

用 い た 系 統 に お い て,図8.4のP点

おい 障)が

で 三相 短 絡 事 故 が 発 生

した とす る。 事 故 が 継 続 し て い る 期 間 に お け る こ の 系 統 の 電 力 相 差 角 方 程 式 とそ れ に 対 応 す る動 揺 方 程 式 を求 め て み よ う。 た だ し,H=5MJ/MVAと [解]  P点

す る。

で 短 絡 事 故 が 生 じた 時 の 送 電 線 の リア ク タ ン ス 図 を 図8 .7に 示 す(図

は ア ド ミタ ン ス で 表 示)。 例 題8.3で は 動 揺 中 一 定 との 仮 定 に基 づ い てE'=1

計 算 し た よ う に,発 .05∠0.4964に

中

電 機 の過 渡 内 部 誘 導 起 電 力

保 たれ る。

図8.7 

事故 中の イ ン ピー ダ ン スマ ップ 注)ブ

ラ ンチ はア ドミタ ンス表 示

  電 圧 源 に接 続 さ れ る正 味 の ア ド ミ タ ン ス は 次 の よ う に 決 定 さ れ る。 母 線 は 図8.7に 示 す よ う に 番 号 を付 け,ノ

ー ドア ド ミ タ ン ス 行 列Ybusは

図か らわか る よ うに次の よ

う に表 さ れ る 。

  母 線#3に

注 入 され る電 流I3は,ノ

ー ドア ド ミ タ ンス 行 列 を 用 い て,

と な る。   母 線#3は

浮 遊 ノ ー ドで あ る の で,I3=0と

な る 。 す な わ ち,V3に

つ い て 解 く と,

となる。  一 方

,母

線#1,#2に

注 入 さ れ る 電 流I1,I2は

とな る。   こ の式 に,上

記V3の

関 係 式 を代 入 す る と

ノ ー ド ア ド ミ タ ン ス 行 列 を 用 い て,

が 得 られ る*。   この 結 果,母

線#3を

消 去 した ノ ー ドア ド ミ タ ン ス 行 列 は 次 の よ う に な る 。

  相 互 ア ド ミタ ン ス の 大 き さ は0.769で

あ り,し た が っ て 次 の 結 果 を 得 る。

 事 故 中の電力 相差 角 方程 式 は次 の ように なる。

 そ し て,対 応 す る動 揺 方 程 式 は次 の よ う に な る。

  回転 子 は慣 性 の た め に,事 す る。 し た が っ て,回

故 の 発 生 と 同 時 に瞬 時 に 位 置 を変 化 で き な い こ と に注 意

転 子 の 相 対 回転 角 δは例 題8.3の

あ り,出 力 電 力 はPe=0.808sin0.4964=0.385で

あ る。 初 期 の 加 速 パ ワ ー は

と な り,初 期 加 速 度 は 次 式 で 与 え られ る値 を も ち,こ

ここに,fは

よ う に は じ め は0.4964radで

の 値 は 正 で あ る。

系統 の周 波数 で あ る。

  系統 の保護 リレー シ ステ ム は送 電線 の事故 回線 を検知 し,そ の送 電線 の両 端 の遮 断 器 を同時 に動 作 させ て,事 故 回線 を遮断 し,事 故 を除去 す る よ うに動 作 す る。 この遮 断器 の事 故除 去動 作 に よって,電 力 系統 の構成 の変 化が起 こるた め,さ らに,別 の電 力相 差 角方程 式 を適用 す る こ とが必 要 に なる。

＊  こ こ で行 っ た技 法 が 「浮 遊 ノ ー ドの 消 去 法 」 と よば れ る もの で あ る。

【例題8.5】

例題8.4の 電 力 系統 の事故 は事 故 回線 の送 受両端 の遮 断 器 の 同時遮 断 に

よっ て除去 され る。事 故 除去 後 の電 力相 差 角 方程 式 お よび動 揺 方 程 式 を求 めて み よ う。 [解] 事故 回線 の遮 断 除去後,電 力系 統 は1回 線 のみ とな り,こ の送 電線 の正味 の相 互 ア ドミタ ンス は次 の よ うにな る。

 ま た は,ノ

ー ドア ド ミタ ン ス行 列 に お い て は

とな る。 し た が っ て,事

故 回 線 除 去 後 の 電 力 相 差 角 方 程 式 は 次 式 の よ う に な り,

  動 揺 方 程 式 は 次 の よ う に な る。

 事 故 を除 去 した 瞬 間 の 回転 子 の 加 速 度 は そ の 時 間 に お け る 回転 子 の 相 対 回 転 角 に よ る 。 例 題8.3か

ら例 題8.5ま

で の3つ

の 電 力 相 差 角 曲線 を 図8.6で

比 較 す る事 が で き

る。

8.4 

定 態 安 定 度― 同 期 化 力 係 数―

  例題8.3に お いて,図8.6に

示 され た発 電機 の出力 電 力Peの 正 弦 曲線 上 の動 作 点

は機械 的軸 入 力 と出力電 力が 等 し くな る回転 子 の相対 相差 角 で あ り,そ の 角度 として δ0=0.4964rad.が 得 られた。 同図 におい て δ=2.645radの 点 も出力電 力Peと 機械 的 軸 入力Pmが

等 し くな り,δ0と 同様 な動 作点 の よ うに思 われ る。 しか し,ま だ こ こ ま

で の検 討で は,こ の点 の動 作 が安定 か否 か は不明 で あ る。   同期運 転 が可能 な動 作点 に関 して要求 され る必 要条件 は発電 機 の出力 電力 に一 時的 な微 小変 化 が起 きた とき,同 期 を失 わ ない こ とで あ る。 この条 件 を調べ るた め,発 電 機 への機 械 的軸入 力が一 定 で あ る とし,動 作点 にお いて,回 転 子の相 対相 差角 お よ び 出力 電力 に次 式 で表 され る微 小 な変化 を与 えて,発 電機 の 同期運 転 か らの変化 を考 え

てみ る。

(8.36) こ こ に,0の

添 え字 は定 常 状 態 の 動 作 点 に お け る値 を 示 し,添

を 表 す 。(8.36)式

を(8.35)式

に代 入 し,一 般 的 な2機

え字 のΔ は 変 化 の 増 分

系 に 関 して,次

の ような形 の電

力 相 差 角 方 程 式 を得 る。

δΔは δ0にお け る非 常 に小 さ な 変 化 で あ る か ら,

(8.37) とす る こ と が で き,次 の よ う に な る。

(8.38)  始 め の 動 作 点 δ0にお い て

(8.39) で あ り,(8.38)式

お よ び(8.39)式

か ら次 の 結 果 を得 る 。

(8.40)  基 本 的 な 動 揺 方 程 式(8.12)式

に(8.36)式

の 変 化 を代 入 し,次

の 結 果 を得 る。

(8.41)

  こ の 方 程 式 の 右 辺 を(8.40)式

で 置 き 換 え,δ0は 一 定 値 で あ る こ と を考 慮 し て,次

の 結 果 を得 る。

(8.42)

  Pmaxcosδ0は 配 を 記 号Spで

角 δ0にお け る電 力 相 差 角 曲 線 の 勾 配 で あ る こ と に 注 意 し て,こ 表 せ ば,Spは

次 の よ う に表 され る。

の勾

(8.43) こ こ に,Spは

同 期 化 力 係 数(synchronizing

同期 化 力 係 数Spを

power

coefficient)と

い う。(8.42)式

に

代 入 す る と,回 転 子 の 相 対 回 転 角 の 変 化 分 を 支 配 す る 動 揺 方 程 式

は 次 の よ う な 形 に 書 け る。

(8.44)   この 式 は線 形2階 存 在 す る。Spが

常 微 分 方 程 式 で あ り,そ の 解 はSpの

正 で あ る な ら ば,解

δΔ(t)は単 純 調 和 振 動 に対 応 し,そ

衰 の な い 振 動 に よ っ て 表 さ れ る 。Spが 加 す る。 し た が っ て,図8.6に

正 負 の 符 号 に 依 存 し て2つ

負 の 場 合 に は,解

お い て,動

の運 動 は減

δΔ(t)は指 数 的 に 無 限 に 増

作 点 δ=0.4964radは

定常振動 の点で あ

り,回 転 子 の 相 対 回 転 角 の 動 揺 は 微 小 擾 乱 に お い て振 幅 に 限 界 が あ る こ と,す

なわ ち

安 定 で あ る こ とを 意 味 す る。 実 際 に は 抵 抗 分 そ の 他 ダ ン ピ ン グ が あ る の で,一

時的に

微 小 な 擾 乱 に よ っ て 生 じ た 回転 子 の 振 動 は 減 衰 振 動 とな り,δ0=0.4964radの

相 対相

差 角 に 減 衰 す る。 一 方,動

作 点 δ=2.645rad.はSpが

負 で あ り,不 安 定 な 平 衡 点 で

あ る。   以 上 か ら,同 期 化 力 係 数 が 正 で あ る な ら ば,式(8.44)の

解 は正 弦 振 動 を表 す こ とが

わ か っ た 。 減 衰 の な い振 動 の 角 振 動 数 は 次 の よ う に与 え ら れ る。

(8.45)  これ は次 式 に与 え られ る振 動周 波数 に対 応 す る。

(8.46)

【 例 題8.6】

例 題8.3の

=0 .4964rad.を

同 期 機 が 一 時 的 に微 小 な 系 統 の 擾 乱 を受 け る と き,動 作 点 δ

起 点 と して 動 揺 す る。 同 期 機 の 回 転 子 の 振 動 周 波 数 と振 動 周 期 を 求

め て み よ う。H=5MJ/MVAと

す る。

[解]  動 作 点 に お け る 同 期 化 力 係 数 は次 の よ う に な る。

 振 動 の角振動 数 は次 の よ うにな る。

 これ に対 応 す る振 動 の 周 波 数 は 次 の よ う に な る 。

 そ し て,振

動 の 周 期 は,

とな る。   この例 題 は商用 周波 数50ま た は60Hzに

対 して動 揺(振 動)の 周 期 が この程度 で

あ る ことを示す もの で実際 的 な視点 か ら重 要で あ る。 系統 の負荷 は1日 を通 して不規 則 に変 化 す るの で,1Hz程

度 の周 波 数 を含 む同期 機 の動揺 はい つで も発生 す る傾 向

があ る こ とが予想 され るが,原 動機,系 統 負荷 お よび同期機 自身 な どに よる種々 な減 衰効 果 に よって動 揺 は急速 に減 衰 す る。

8.5  8.5.1 

等面 積法 による 過渡安 定度判 定 等 面積法

 図8.8に 示す 系統 は,事 故 を模擬 す るスイ ッチ を加 えた 以外 は図8.4の 系 統 と同 じ で あ る。最 初,ス イ ッチ は開 い てい る。 したが って,例 題8.3と 最初 の運 転 条件 は同 じで ある。位 置Pの

母 線 で三 相短 絡 が 発生,す なわ ちス イ ッチ を閉 じ,短 時 間 の後

ス イ ッチ を開 くこ とによって事 故 が除 去 され る。 したが って,実 質 的 に電力 を送 電 し て い る送電 系統 は事 故が継 続 してい る間以 外 は変化 しない。事故 に よって生 ず る三相 短絡 は実質 的 に母線 で生 じた もの と同 じであ り,そ のた め母線電 圧 が0と な るので, 事故 が除去 され るまで発電 機 か ら送電 線路 へ の出力 は0で ある。事故 の前,事 故 中,

図8.8  事故 を模 擬 す るス イ ッチ を加 えた例 題8.3の 単 線 図

事 故 除 去 後 の 状 態 は図8.9に

示 す 電 力 相 差 角 曲 線 を解 析 す る こ とに よ り理 解 す る こ と

が で き る。   始 め に,発 入 力Pmは

電 機 は 回 転 子 の 相 対 相 差 角 δ0の同 期 速 度 で 運 転 され て お り,機 械 的 軸

図8.9(a)の

が 発 生 す る と き,出

点aに

示 す 出 力 電 力Peに

力 電 力 は 突 然0に

等 しい 。 時 間t=0に

な るが 機 械 的 軸 入 力 は 図8.9(b)に

お い て,事

故

示 す よ うに

変 化 し な い 。 こ の 電 力 の 差 は 回 転 子 系 の 質 量 に蓄 積 さ れ る 回 転 運 動 エ ネ ル ギ ー の 変 化,す

な わ ち 回転 子 の 速 度 の 増 加 に よ っ て 達 せ ら れ る。 事 故 を 除 去 す る に 要 す る時 間

をtcで 表 す な ら ば,tc以

内 の時 間 に対 して,動

揺 方 程 式 は 次 の よ う に与 え ら れ る。

(8.47)   事 故 が 継 続 し て い る間 は,回 転 子 は 加 速 され,単 を時 間tで

位 時 間 当 た りの 増 加 量 は(8.47)式

積 分 す る こ とに よ っ て 求 め ら れ る。

(8.48)  さ らに,時 間 に関 して積分 を行 い,回 転子 の相対 相 差 角の位 置 として次 の結果 を得 る。

(a)

(b)

(c) 図8.9  発 電 機 の電 力相 差 角 曲 線

(8.49)

  (8.48)式 お よ び(8.49)式

は,同 期 速 度 と相 対 的 な 回 転 子 の 速 度 が 回転 子 の 相 対 相 差

角 が δ0か ら事 故 の 除 去 に お け る δcに進 む 時 間 内 に お い て,す δがbか

な わ ち,図8.9(b)の

らcに 進 む 時 間 内 に お い て 相 対 的 な 回転 子 の 速 度 は 時 間 的 に 直 線 的 に 増 加 す

る こ と を示 す 。 事 故 除 去 の 瞬 間t=tcに

お い て,回

転子 の相対 相 差 角 の速度 の増加 お

よび 発 電 機 と無 限 大 母 線 の間 の 回 転 子 相 差 角 は そ れ ぞ れ 次 の よ う に 与 え られ る。

(8.50) お よ び,

(8.51)   事 故 が δ=δcで 除 去 さ れ る と き,出 力 電 力 は電 力 相 差 角 曲 線 のd点 に突 然 上 昇 す る 。d点 で は,出 な る 。 そ の 結 果 と し て,回 8.9(b)に が,点eに

力 電 力 は機 械 的 出 力 を 超 え,加

転 子 は 減 速 し な が ら 回 転 子 の 相 対 回 転 角 δは 進 み ,図

示 さ れ る よ う にPeはdか

らeに 進 む 。 回 転 子 の 相 対 回 転 角 は δxに 進 む

お い て 回 転 子 速 度 は 同 期 速 度 に な る 。 点eの

そ の た め,回 転 子 は同 期 速 度 に 留 ま る こ とは で きず,減 速 度 は 負 で あ り,回 転 子 の相 対 相 差 角 は図8.9(c)の ら 回転 子 の 速 度 が 同 期 速 度 よ り遅 い 点aへ 的 軸 入 力 が 出 力 電 力 を上 まわ る の で,回

加 速 パ ワ ー は な お 負 で あ り, 速 を続 け ね ば な らな い。 相 対

電 力 相 差 角 曲 線 に 沿 っ てe点

減 速 運 動 す る 。 さ ら に,aか

転 子 は 再 び 加 速 し,点fで

まで 加 速 す る。 減 衰 の な い 場 合 に は,回 転 子 は点eとfで e,e→a→fの

に相 当 す る値

速 パ ワ ー の 符 号 は負 に

か

らfへ は機 械

同 期 速 度 に達 す る

同 期 速 度 に 達 し,f→a→

過 程 の 振 動 を 続 け る。

  そ れ で は,図8.9(b)(c)に

お け るe,f点

に お け る δx,δfは どの よ う に 求 め ら れ

る の で あ ろ う か 。 母 線 に接 続 さ れ て い る発 電 機 の 動 揺 方 程 式 は 次 の よ う に表 さ れ る。

(8.52)  い ま,次 式 に よって同期 速度 と相 対的 な 回転 子 の角速 度 ωrを表 す。 (8.53)

  (8.53)式 を 時 間 に 関 し て 微 分 し,そ

の 結 果 を(8.52)式

に 代 入 し て,次

の 結果 を得

る。

(8.54)

  回 転 子 速 度 が 同 期 速 度 で あ る と き,ω で あ る。(8.54)式

の 両 辺 に ωr=dδ/dtを

は ωsに 等 し く,ωrは0で

あ る こ とは 明 か

か け る と,次 式 を 得 る。

(8.55) こ の 方 程 式 の左 辺 は 次 の よ う に書 く こ と が で き る 。

(8.56)   い ま,事 故 が 発 生 した 時 刻t=0(δ=δ0)か

ら,相 対 回 転 角 が 最 も 開 く時 刻t=t0(δ

=δx)ま で積 分 す る と次 の 結 果 を得 る。

(8.57)

 式(8.57)の

左 辺 は,次

の よ うにな る。

ωrは 回 転 子 速 度 の 同 期 速 度 か らの 偏 差 を 表 す の で,回 同期 速 度 で あ る た め,ωr=ω0と   一 方,t=0の

な り,結 局,左

と き δ=δ0,t=t0の

辺=0と

転 子 速 度 が 角 δ0,δxに お い て な る。

と き δ=δxと な る の で,式(8.57)の

右 辺 は次 の

よ う に な る。

す な わ ち,

(8.58)   式(8.58)は

次 の よ う に も書 く こ とが で き る 。

(8.59)

ま た は,

(8.60)   左 辺 は 事 故 継 続 中 に対 応 し,一 方,右 に 対 応 す る。 図8.9(b)か

辺 は事 故 除 去 後 の 最 大 振 幅 角 δxま で の 時 間

ら わ か る よ う に,事

(8.60)式 の 左 辺 は斜 影 を施 した 面 積A1を,右 面 積A1とA2は

故 継 続 中 に お い てPeは0で 辺 は斜 影 を施 し た 面 積A2を

等 し い こ とを 意 味 す る。 す な わ ち,δxは

面 積A1とA2が

あ る。 表 し,両

等 し くな る

角 と し て 決 定 され る こ と に な る。   この よ う に,電

力 相 差 角 曲 線 を 用 い て,発

き る 。 これ を,等 面 積 法(equal−area

電 機 の 運 転 の 安 定 性 を評 価 す る こ とが で

criterion)と

よ ぶ 。 ち な み に,(8.60)式

の左

り下 側 の 領 域 の 面 積 が 加 速 エ ネ ル ギ ー,(8.60)式

の右

辺,す

な わ ち,機 械 入 力Pmよ

辺,す

な わ ち,機 械 入 力 よ り上 側 の 領 域 の 面 積 が 減 速 エ ネ ル ギ ー に 相 当 し,等 面 積 法

は この 両 者 が バ ラ ンス す る こ と を 意 味 して い る 。   f点 に お け るδfも 等 面 積 法 の 考 え 方 を用 い て 求 め る こ とが で き る。 この 場 合 は, 図8.9(c)の

面 積A3とA4が

  斜 影 を施 した 面 積A1は

等 し く な る点 と し てf点 が 求 め られ る 。 事 故 を 除 去 す る に 要 す る時 間 に 依 存 す る。 除 去  に要 す る時

間 が 長 くな る と,位 相 角 δcは増 加 し,同 時 に,面

積A1は

増 加 し,角

転 子 を 同 期 速 度 に 復 帰 させ る た め に は等 面 積 法 に よ り,面 積A2が

δxに お い て 回

よ り一 層 大 き く な

り,最 大 振 幅 角 δxが 増 大 す る。 事 故 を遮 断 除 去 す る に 要 す る時 間 が 長 くな り,回 転 子 の 相 対 相 差 角 δが 図8.9の

回 転 角 δmaxを 超 え る な らば,加 速 パ ワ ー が 再 度 発 生 し,

相 差 角 は 増 加 す る。 こ の 加 速 パ ワ ー の 影 響 に よ っ て,相 不 安 定(instability)と

な る 。 こ の 安 定 が 維 持 さ れ る か,不

差 角 δcは臨 界 故 障 除 去 位 相δcr(critical 積A1とA2の

関 係 は 図8.10の

面 積A1は

お い て,臨

clearing

angle)と

よ う に な る。 事 故 発 生 後,臨

時 間 を臨 界 故 障 除 去 時 間tcr(critical   図8.10に

差 角 δは 際 限 な く増 大 し,

clearing

time)と

安 定 に な るかの境 界 の 相 よ ば れ,こ

の と きの 面

界故 障除去 位 相 に達 す る

よぶ。

界 故 障 除 去 位 相 と臨 界 故 障 除 去 時 間 は 次 の よ うに 計 算 さ れ る 。

次 のよ うにな る。

(8.61)

図8.10 

 一 方

,面 積A2は

臨 界 故 障 除去位 相 を表 す電 力 相差 角 曲線

次 の よ う に な る。

(8.62) A1とA2の

式 を 等 置 し,整 理 し て,次

の 結 果 を得 る。

(8.63)

 δmax=π-δ0お し,δcrに

よ びPm=PmaxSinδ0で

つ い て 解 く と,臨

あ る の で,(8.63)式

に δmaxとPmを

代 入

界 故 障 除 去 位 相 δcrは 次 の 結 果 の よ う に な る 。

(8.64)   (8.64)式 の 臨 界 故 障 除 去 位 相 に対 応 す る 臨 界 故 障 除 去 時 間tcrを(8.51)式

の左 辺 に

代 入 す る と,

(8.65)

  (8.64)式 お よ び(8.65)か

ら,臨 界 故 障 除 去 時 間 を 次 式 に よ っ て計 算 す る こ とが で き

る。

(8.66)

【 例 題8.7】

図8.8に

示 すP点

に お い て,三

相 短 絡 を 生 じ た と き,こ

の系統 の臨 界故

障 除 去 位 相 お よ び 臨 界 故 障 除 去 時 間 を計 算 して み よ う。 初 期 条 件 は例 題8.3と あ り,f=60Hz,Pm=1.0pu,H=5MJ/MVAで [解]  例 題8.3か

同様 で

ある。

ら,電 力 相 差 角 方 程 式 は,

 は じめ の回転 子の相 対 回転 角 は

で あ り,機 械 的 軸 入 力Pmは1.0puで

あ る 。 し た が っ て,(8.64)式

か ら臨 界 故 障 除

去 位 相 は 次 の よ う に な る。

  例 題 に 指 定 さ れ て い る値 と上 に得 た 値 を(8.66)式

に代 入 し て,臨

界 故障 除去 時 間 と

して 次 の 結 果 を得 る。

こ の 臨 界 故 障 除 去 時 間 の 値 は60Hzの

周 波 数 に 基 づ い た サ イ ク ル 数 で,13.3サ

イ ク

ル に 等 しい 。   この 例 題 は,事 故 除 去 に対 し,適 切 な保 護 リ レー シ ス テ ム の 設 計 に重 要 な 条 件 を与 える。

8.5.2 

等面積法 の応用

 等 面積 法 は2機 系 あるい は1機 無 限大母 線系 にの み適用 で き るけれ ども,事 故 が起 きた とき何 が起 きるか を調 べ るに は非 常 に有効 な方法 で あ る。等 面積 法 は過 渡安 定度 を図 式的 に可視 化 して,そ の概 念 を理 解 し,計 算機 を利 用 した動 揺 曲線 の決 定 や安定 度解析 の応 用方 法 を議論 す るた めの基 礎知 識 として役 立 つので,さ らに,も う少 し考 察 してみ よう。  1台 の発 電機 が2回 線 に よっ て無限大 母線 に電 力 を供 給 して い る と き,事 故 除 去 の た め1回 線 が遮 断 され る こ とに よ り,負 荷 は残 りの健 全 な1回 線 に よって電 力 を供給 され るが,発 電機 は同期 を失 う場合 もあ る。2回 線 が接 続 され て い る母 線 に三 相短 絡

が 生 ず る な ら ば,両 で あ る 。 ま た,事

回 線 に よ っ て 電 力 は 送 られ な い 。 こ れ は本 質 的 に例 題8.7の

故 が1回

線 の 一 端 の 母 線 近 傍 で 生 ず る な ら ば,そ

断 器 を 開 く こ とに よ っ て 事 故 を 系 統 か ら切 り離 し,残 送 る こ とが で き る。 三 相 短 絡 事 故 が 母 線 以 外 の2回

場合

の 回線 の 両 端 の 遮

りの 健 全 な 回線 を通 し て 電 力 を

線 の うち の1回 線 の線 路 の 途 中 の

点 で 発 生 す る と き に は,母 線 と事 故 点 との 間 に は イ ン ピ ー ダ ン ス が 存 在 し,事 故 が 継 続 中 で も電 力 が 低 減 さ れ た状 態 で 送 られ る。 例 題8.4の

電 力 相 差 角 方 程 式 は この 事 実

を示 す 。   事 故 継 続 中 も電 力 が 送 ら れ る と き,等 面 積 法 を 適 用 す る た め 図8.11に い られ る 。 こ の 図 か ら,事 故 前 に 送 電 さ れ て い る電 力 はPmax 続 期 間 中 に,送 電 さ れ て い る電 力 はr1Pmax

sinδ で あ り,そ

示 す 図が 用

sinδ0で あ り,事 故 継

して,δ=δcrの

時 点 で,

遮 断 器 に よ っ て 事 故 が 除 去 さ れ た 後 は,送

電 さ れ る 電 力 はr2Pmax

8.11か

臨界 故障 除去 位相 で あ る こ とがわ か る。

ら明 らか な よ う に,こ

の場 合,δcrは

等 面 積 法 に よ り斜 線 を施 し た 面 積A1とA2を

Sinδ で あ る。 図

等 し く置 く こ と に よ っ て,臨 界 故 障 除

去 位 相 に つ い て 次 の 関係 を得 る。

(8.67) 図8.8に

示 した 系 統 と事 故 の 位 置 に お い て は,r1=0,r2=1に

式 は(8.67)式

相 当 す るの で,(8.63)

に含 まれ る こ と に な る。

  事 故 の 位 置 にか か わ らず,三

相 短 絡 以 外 の 事 故 で は,正 相 イ ン ピー ダ ン ス 回 路 の 事

故 点 と中 性 点 との 間 が 完 全 に 短 絡 され る の で は な く,む を 挿 入 し た 事 故 条 件 に よ っ て 表 さ れ る の で,事

図8.11 

し ろ あ る量 の イ ン ピー ダ ン ス

故 が 継 続 す る 間 で も,あ

事 故継 続 中 も電 力 が 供給 され る場 合 の電 力 相差 角 曲線

る量 の 電 力 が

送 電 され る 。 事 故 を表 す た め事 故 点 と中性 点 と の 間 に 挿 入 さ れ る イ ン ピー ダ ン ス が 大 き け れ ば 大 き い ほ ど,事 故 継 続 期 間 中 に 送 電 され る電 力 も大 き くな る。 事 故 継 続 期 間 中 に 送 電 さ れ る 電 力 は,与 し た が っ て,r1が

え られ た 故 障 除 去 位 相 δcに対 す る 面 積A1に

影 響 す る。

小 さ い と事 故 継 続 中 に送 電 され る 電 力 が 少 な く,面 積A1,す

ち加 速 エ ネ ル ギ ー が 大 き くな る こ と を意 味 し,r1が

なわ

小 さい こと は系統 への 擾 乱 の影

響 が 大 で あ る。 事 故 の 過 酷 度 を増 加 させ る こ と,す な わ ちr1Pmaxが

小 さ くな る よ う

な事 故 に は 次 の も の が あ る。   1.一

線地 絡事 故

  2.線

間短 絡

  3.二

線地 絡事 故

  4.三

相短 絡

  一 線 地 絡 事 故 は送 電 線 路 に 最 も頻 繁 に発 生 す る事 故 で あ り,三 相 短 絡 は 最 も頻 度 の 少 な い 事 故 で あ る 。 信 頼 性 を 完 全 に確 保 す るた め に は,系 統 に最 も過 酷 な 擾 乱 を与 え る場 所 で 発 生 す る 三 相 短 絡 に つ い て 過 渡 安 定 度 を考 慮 し,系

統 構 成 を 設 計 す る こ とが

必 要 で あ る。

【例 題8.8】 と き,例

は じ め の 系 統 配 置 お よ び運 転 状 態 が 例 題8.3の

題8.4お

よ び 例 題8.5に

配 置 と状 態 に 同 じ で あ る

述 べた三 相短 絡事 故 にお ける臨界故 障 除去位 相 を決

定 して み よ う。 [解]  例 題8.7に 事 故前

お い て 得 ら れ た 電 力 相 差 角 方 程 式 は 次 の よ う に な る。 ：Pmax

事 故継 続期 間 事 故 除去後

sinδ=2.100  ：r1Pmax

：r2Pmax

し た が っ て,

  例 題8.3か

ら

δ0=0.496〔rad〕

図8.11  か ら次 の 結 果 を 得 る 。

sinδ

sinδ=0.808

sinδ=1.500

Sinδ sinδ

し た が っ て,(8.67)式

に 数 値 を代 入 して,次

の 結 果 を 得 る。

し た が っ て,

δcr=1.444〔rad〕

臨 界事 故除 去時 間 を決定 す るため に は,δ とtの 動 揺 曲線 を求 めな けれ ばな らない。

8.5.3 

過 渡 安定 度 の 向 上 対 策

  過 渡 安 定 度 の 向 上 対 策 と して,以   (1) 

下 の もの が 実 際 に適 用 さ れ て い る。

高速度遮断器

  これ まで の 説 明 で も明 ら か な よ う に,事 ら な い の で,加 速 エ ネ ル ギ ー,す

故 を 高 速 に 除 去 で き れ ば,δcが

な わ ち,図8.9(b)のA1の

大 き くな

面 積 を小 さ くす る こ と

が で き る 。 こ れ に よ り,不 安 定 に な りに く くな る 。   (2) 

超速応 励磁

  事 故 発 生 後,短

時 間 で 誘 導 起 電 力(背

(8.34)式 か ら電 気 出 力Peを す な わ ち,図8.9(b)のA2の

後 電 圧)￨E'￨を

大 き くす る の で,(8.33)式,

大 き くす る こ とが で き る 。 これ に よ り,減 速 エ ネ ル ギ ー 面 積 を 大 き くす る こ とが で き る の で,安

定 度 が 向上 す

る。   (3)高

速 バ ル ブ 制 御(EVA:

  事 故 発 生 後,短

Early

Valve

Actuation)

時 間 で タ ー ビ ンの 蒸 気 流 入 弁 を急 閉 す る こ と に よ り,機 械 的 入 力 を

絞 り込 む 。 図8.9で

は,動 揺 中 の 機 械 的 入 力 が 一 定 で あ る と考 え て い る が,こ

が 下 側 に シ フ トす れ ば,加 速 エ ネ ル ギ ー,す

な わ ち,A1の

の入 力

面 積 が 小 さ くな り,一

方,

減 速 エ ネ ル ギ ー,す

なわ ち,A2の

た だ,実

故 継 続 中 の 短 い 時 間 で 機 械 的 入 力 を絞 り込 む の は 困 難 な た め,事

際 に は,事

面 積 が 大 き くな り,安 定 化 し や す く な る の で あ る 。

故 除 去 後 の 減 速 エ ネ ル ギ ー を増 加 させ る こ とで 安 定 化 を 目 指 し て い る。   こ れ ら は,わ

が 国 にお い て い ず れ も 実 用 化 され て い る。EVAに

つ い て は設 備 コス

トが か か りす ぎ る こ とか ら適 用 例 は 少 な い が,超 速 応 励 磁 に 関 して は,発 制 御 系 を変 更 す る こ とで 対 応 で き る た め,適

電 機 の励 磁

用 例 は 多 い 。 高速 度 遮 断 器 に 関 し て は,

現 在,わ

が 国 の 基 幹 系 統(200kV以

の 事 故 設 備 の 遮 断(事

上 の 系 統)で

故 の 除 去)が

は,事 故 発 生 か ら3∼4サ

イ クル で

一般 的 で ある。

  こ の ほ か に も,制 動 抵 抗 器(damping

resistor),直

列 コ ン デ ン サ,中

間開 閉 所 の

設 置 な どで 過 渡 安 定 度 を 向 上 さ せ る こ とが 可 能 で あ る。   制 動 抵 抗 器 は事 故 除 去 後,発

電 機 近 傍 の 母 線 に設 置 され た 抵 抗 を 投 入 す る こ とで,

発 電 機 の 電 気 出 力 が 増 し,加 速 エ ネ ル ギ ー を抑 制 し て,安 定 化 す る もの で あ る 。   直 列 コ ン デ ンサ は,送

電 線 に直 列 に コ ンデ ンサ を 挿 入 し て送 電 線 の リア ク タ ン ス 分

を補 償 す る の で,(8.34)式

のY12が

大 き く な る。 こ れ に よ り,電 気 出 力Peを

で き る の で,発 電 機 は不 安 定 に な り に くい,す

な わ ち,過

大 き く

渡安 定 度 の 向 上 に つ な が

る。   中 間 開 閉 所 の 設 置 に よ り,事 故 回 線 の 遮 断 区 間 が 短 くな る の で,事 線 の リ ア ク タ ン ス が 小 さ く な り,直 列 コ ン デ ン サ と 同 様,電

故 除去後 の送電

気 出 力Peを

大 き くで

き,過 渡 安 定 度 の 向 上 に 寄 与 す る。   こ れ ら は,わ

が 国 で も一 部 実 用 化 され て い る もの の,コ

ス トの 問 題 や 直 列 コ ン デ ン

サ 設 置 に よ る 共 振 現 象 の 発 生 な どの 問 題 も あ り,適 用 は 限 定 的 で あ る 。

問題 (1)周

波 数60Hz,定

格 電 圧22kV,定

7.5MJ/MVAの

格 容 量500MVA,の4極

慣 性 定 数 を 持 っ て い る。(a)同

られ る 運 動 エ ネ ル ギ ー は い く ら か 。(b)回 の と き,出 力 が400MWな (2)(1)の

の 発 電 機 はH=

期 速 度 にお い て回転 子 に蓄 え

転 損 失 を無 視 し,入 力 が452MW

らば 角 加 速 度 は い く らか 。

発 電 機 に つ い て 求 め た 加 速 度 が15サ

イ ク ル の 期 間 一 定 な ら ば,こ

の期

間 の δ の電 気 角 の 変 化 と こ の 期 間 の 終 わ り に お け る毎 分 の 回 転 速 度 を求 め よ 。 た だ し,こ の 発 電 機 は初 期 状 態 で 大 規 模 系 統 と 同 期 して お り,加 速 トル ク は0 で あ る と す る。 (3)(1)の

発 電 機 が 遅 れ 力 率0.8の

出 力 が40%だ −

meterの

定 格 出 力 で 運 転 され て い た と き,事 故 に よ っ て

け 減 少 し た 。 事 故 が 発 生 し た 瞬 間 の 加 速 トル ク をnewton

単 位 で 表 せ 。 た だ し,損 失 を 無 視 し,発 電 機 軸 入 力 は 一 定 とす る 。

【 解 答 は巻 末 】

第9章  電力系統 にお ける有効 電力と周波数 の関係

 電気 の 品質 として周波 数 の安 定 は非 常 に重 要で あ る。 ここで は,電 力 系統 の周波 数 を維 持 す る必 要性 につ い て触 れ た後,な ぜ,系 統 の 周波 数 が 変 化 す るか に つ い て学 ぶ。 次 に,電 力 系 統 は複 数 の電 力会社 が連 系 され てい るのが 普通 で あ るが,こ の よう な連 系系統 にお け る周 波数 と連 系線 潮流 の関係 につい て考 え る。 周波 数 を基 準値 に保 つた め の負荷周 波 数制御 の方式 につい て,単 独 系統 と連 系系 統 で は どの ような制御 が 行わ れ てい るか説 明 し,最 後 に,わ が 国や海外 で の状 況 に つい て も簡 単 に触 れ る。

9.1 

周 波 数 制 御 の 必 要 性

  まず 最 初 に,電

力 系 統 の 周 波 数 を 規 定 値 に保 た な け れ ば な ら な い理 由 に つ い て 考 え

て み よ う 。 需 要 家 側 か ら見 る と,系 統 周 波 数 が 一 定 に保 た れ て い る と,電 動 機 の 回 転 速 度 が 一 定 に保 た れ る の で,製

品 の 質 の 向 上 に つ な が る 。 また,同

時 計 に つ い て も周 波 数 が 一 定 で あ れ ば,よ な み に,周 波 数 偏 差(規

定 値 か らの ず れ)の

期 モ ー タ を用 い た

り正 確 な 時 間 を表 示 す る こ とが で き る 。 ち 積 分 を時 差 と よぶ が,こ

れ は周 波 数 の ず

れ に よ り ど れ だ け 時 計 の 表 示 時 間 が ず れ る か を意 味 し た も の で あ る 。   しか し な が ら,最 近 はパ ワ ー エ レ ク トロ ニ ク ス 装 置 を 用 い た モ ー タ の 速 度 制 御 が 広 く行 わ れ る よ う に な っ て お り,需 要 家 側 か ら見 た 場 合,周

波 数 が一定 に保 たれ てい る

必 要 性 は 以 前 ほ ど大 き くは な い 。   一 方,系

統 側 か ら見 る と,周 波 数 が 変 動 す る とい う こ とは,同

期 発 電 機,そ

の発電

機 と直 結 し て い る タ ー ビ ン あ る い は 水 車 の 回 転 数 が 変 化 す る とい う こ と を意 味 す る。 特 に,近 年 の 大 容 量 火 力 発 電 ユ ニ ッ ト*1で は タ ー ビ ン(特 い 巨 大 な 翼(時

に は1.3メ

圧 タ ー ビ ン)に 薄

ー トル 近 くに な る)を 用 い て い るた め,周

とタ ー ビ ン翼 が 振 動 を起 こす な ど,機 器 の 安 全 上,悪 ＊1発

に,低

波 数 が変化 す る

影 響 を及 ぼ す 。 この た め,周 波

電機 とボイラー,タ ー ビンあ るいは水車 を合 わせた ものを発 電ユニ ッ ト,発 電所 は発電 ユニ

ッ トが複数設 置 された ものを言 う。火力発電ユニ ッ ト,水 力発電 ユニッ トを,そ れぞれ,火 力機,水 力機 とよぶ こともある。

数 が 規 定 値 か ら大 き くず れ た 場 合,機

器 を 保 護 す る た め に発 電 ユ ニ ッ トを停 止 す る こ

とが あ る 。   この よ う に,系 統 周 波 数 を規 定 値 に 維 持 す る こ と は,需 要 家 側,系 っ て 重 要 で は あ る が,近

9.2 

年 は,む

統 側 の両者 に と

し ろ 系 統 側 の ニ ー ズ が よ り重 要 とな っ て い る。

有 効 電 力 と 周 波 数 の 関 係

  こ こで は,電 力 系 統 に お け る 有 効 電 力 と周 波 数 の 関 係 に つ い て 考 え る。   電 力 系 統 の 周 波 数 は 発 電 機 の 回 転 数 で決 ま る。 発 電 機 で は 機 械 的 入 力,す

なわ ち火

力 の 場 合 は蒸 気 タ ー ビ ン,水 力 の 場 合 は水 車 か らの 回 転 エ ネ ル ギ ー が 電 気 エ ネ ル ギ ー に変 換 さ れ る 。 機 械 的 入 力 と電 気 的 出 力 が バ ラ ン ス し て い れ ば,発 電 機 は一 定 の 回 転 数 で 運 転 さ れ,周

波 数 は一 定 と な る。 し か し,実

て お り,そ れ に 伴 い,発

電 機 の 電 気 出 力 も時 々 刻 々 変 化 し て い る。 一 方,発

械 的 入 力 は瞬 時 に変 え る こ とが で き な い た め,発 ラ ン ス し な い こ と に な る 。 第8章

電 機 の 回 転 数 は上 昇,す

波 数 は下 が り続 け る こ と 速 制 御)が

働

ず 安 定 な 周 波 数 で運 転 さ れ る こ とに な る。

発 電 ユ ニ ッ トの ガ バ ナ 制 御

  発 電 ユ ニ ッ トで は,周 波 数(回 (水量)を

なわ ち周波数 が あが

電 ユ ニ ッ トで は ガ バ ナ 制 御(調

き,負 荷 に も 自 己 制 御 性 が あ る た め,必

9.2.1 

電 機 の運 動 方 程 式 か ら,機 械

に,機 械 入 力 が 電 気 出 力 を下 回 っ て い る場 合,周

に な る。 実 際 に は,後 述 の よ う に,発

電機 の機

電 機 の機 械 的 入 力 と電 気 的 出 力 が バ

で 説 明 し た よ う に,発

入 力 が 電 気 出 力 を上 回 っ て い る 場 合,発 り続 け,逆

際 の 系 統 で は負 荷 は時 々 刻 々 変 化 し

抑 制 し,逆

転 数)が

上 昇 す る と タ ー ビ ン(水 車)へ

に,周 波 数 が 下 降 す る とタ ー ビ ン(水 車)へ

を増 加 さ せ る こ とで,発

の蒸 気流量

の 蒸 気 流 量(水

量)

電 機 へ の 機 械 的 入 力 す な わ ち 電 気 出 力 を制 御 して い る。 こ の

よ う に 発 電 機 の 回 転 速 度 を一 定 に 維 持 す る よ う に,ガ バ ナ(調

速 機 ：governor)の

動 作 に よ っ て 機 械 的 入 力 を 制 御 す る こ と を ガ バ ナ 制 御 あ る い は 調 速 制 御(Speed Governing

Control)と

よ ぶ 。 図9.1に

ガ バ ナ の 構 成 を 示 す。 出 力 指 令 値 は 中 央 給 電

指 令 所 等 か ら の発 電 機 出 力 の 目標 値 で あ る。 出 力 指 令 値 が 変 化 し な い 場 合,周 差 に応 じた 出 力 が サ ー ボ モ ー タ ー に 与 え られ,火

波数 偏

力 ユ ニ ッ トの 場 合 は蒸 気 加 減 弁 の 開

度 を,水 力 ユ ニ ッ トの場 合 は ガ イ ドベ ー ンの 開 度 を変 え る こ とで 流 量 を調 整,す

なわ

ち,機 械 入 力 を調 整 し,発 電 機 出 力 が 変 化 す る こ と に な る。 後 述 の 負 荷 周 波 数 制 御 を 行 う場 合 は,出 力 指 令 値 そ の もの も変 化 し,周 波 数 偏 差 と出 力 指 令 値 の 変 化 に応 じた 出 力 が サ ー ボ モ ー タ に与 え られ る こ と に な る。

図9.1 

ガ バ ナ の構 成

図9.2  発 電 機 出力 と負 荷 の電 力 周 波数 特 性

  出 力 指 令 値 が 一 定 の場 合 を考 え よ う。 実 際 に は,周 波 数 と発 電 機 出 力 の 関 係 は 必 ず し も直 線 で 表 さ れ るわ けで は な い が,図9.2で

は簡 単 の た め に,こ

の関係 が直線 で表

る い は定 格 回 転 速 度 をFN,無

負荷 時 回転速 度

され る もの と し て い る 。   い ま,定 格 周 波 数(基 (周波 数)をF0と

準 周 波 数)あ

す る と,

(9.1) を 速 度 調 定 率(Speed

Regulation)と

よ ぶ 。 εの 定 義 か ら明 らか な よ う に,ε が 小 さ

い ほ どわ ず か の 周 波 数 変 化 で 電 気 出 力 が 大 き く変 化 す る こ と に な る 。 周 波 数 の 安 定 の た め に は,ε は小 さい ほ うが 望 ま し い が,あ に 対 し て,出

ま り に も小 さ い と,わ

ずか な周 波 数変 化

力 が 大 き く変 動 す る こ と に な り,発 電 ユ ニ ッ トに と っ て は望 ま し くな

い 。 一 般 に,ε は4∼5%程  単 位 周 波 数(1Hz)の を発 電 力 特 性KGと

度 に 設 定 さ れ て い る の が 普 通 で あ る。 変 化 に対 し て,発

電 機 出 力 が 定 格 出 力GNの

何%変

化 す るか

す れ ば,

(9.2) と な る 。 こ の 式 に,(9.1)式

を 代 入 す る と,

(9.3) とな る 。 す な わ ち,

(9.4)   こ の こ とか ら,調 定 率 が4%で の場 合),41.7%(60Hzの

あ れ ば,1Hzの

場 合)出

タ,流 量 調 整 部 の ゲ イ ン は1で

周 波 数 変 化 に 対 し て,50%(50Hz

力 が 変 化 す る こ と に な る。 図9.1の

あ る の で,発

電 力 特 性KGは,周

サ ー ボ モー

波 数偏 差 に対 す るゲ

イ ン とな る。

9.2.2 

負荷の 周波数特性

  負 荷 に つ い て も,図9.2に

示 す よ う に 周 波 数 が 上 昇 す る と負 荷 が 増 加 す る とい う特

性 が あ る こ とが 知 られ て い る。 こ れ は,例

え ば,負 荷 の か な りの 部 分 を 占 め る 回 転 機

負 荷 を考 え る と,周 波 数 の 上 昇 に よ りモ ー タ の 回 転 数 が 上 昇 し,モ ー タ に つ な が れ た 機 械 的 負 荷 トル ク(フ

ァ ン,ポ

転 数 ×機 械 的 負 荷 トル ク)が ス負 荷(電

熱 負 荷)で

ン プ等)が

ほ ぼ一 定 で あ る の で,結

果 と し て 負 荷(回

増 加 す る こ とで 理 解 で き る。 こ の ほ か,定

イ ンピー ダ ン

あ っ て も,周 波 数 の 上 昇 に 伴 う系 統 電 圧 の 上 昇 で 負 荷 が 増 加 す

る ケ ー ス も あ る 。 この よ う に,負

荷 に 関 して は周 波 数 が 上 昇 す る に 従 い 消 費 電 力 が 増

加 す る とい う 自 己 制 御 性 が あ る。

9.2.3 

系統の周波数特 性

  さ て,図9.3に

示 す よ う に,系

統 内 の 発 電 ユ ニ ッ トを ま と め た 仮 想 的 発 電 ユ ニ ッ ト

と負 荷 を ま と め た 仮 想 的 負 荷 が つ な が れ て い る系 統 を考 え る 。   定 格 周 波 数 で 運 転 し て い る状 態 す な わ ち 発 電 量 と負 荷 が バ ラ ン ス し て い る状 態 か ら,何

らか の 理 由 で 発 電 量 と負 荷 にΔPの

る)が

生 じ,系 統 周 波 数 がΔF変

  い ま,周 〔MW/Hz〕,負

波 数 が1Hz変

ア ンバ ラ ン ス(発

化 した 場 合 を考 え よ う。

化 し た 時 に 発 電 ユ ニ ッ トの 出 力 が 変 化 す る 割 合 をKG

荷 が 変 化 す る割 合 をKL〔MW/Hz〕

とす れ ば(共

発 電 ユ ニ ッ トの 出 力 変 化 量ΔGは−ΔF×KG(マ 合,発

電 力 が 多 い場 合 を正 と す

電 出 力 が 減 少 す る こ と を 意 味 し て い る),負

に 絶 対 値 を 考 え る),

イ ナ ス 符 号 は 周 波 数 が 上 昇 した 場 荷 の 変 化 量ΔLはΔF×KLと

な

図9.3  系 統 の簡 略 モ デル る。 す な わ ち,発

電 出 力 の 変 化ΔGと

負 荷 の 変 化ΔLに

よ り需 給 ア ン バ ラ ン スΔP

が 吸 収 さ れ た こ と に な る。

(9.5) となる。   こ こで,K=ＫG＋KL〔MW/Hz〕

を,系

統 定 数(System

Constant)と

よ ぶ 。Kの

値 が 大 き い ほ ど,系 統 内 に 発 生 し た 需 給 ア ン バ ラ ン ス に よ る周 波 数 偏 差 が 小 さ い,す な わ ち,周 波 数 が 変 化 し に くい こ と を意 味 して い る。   Kの

値 は,運

転 し て い る 発 電 ユ ニ ッ トの 特 性 等 で 変 化 す る が,特

(運転 して い る発 電 機 の 定 格 容 量 の和)に

大 き く依 存 す る た め,一

に,系

統容量

般 に系 統 容 量 に 対

す る百 分 率 で 表 現 され る こ とが 多 い 。 す な わ ち, %K=100×K/系 で,10∼20〔%MW/Hz〕

統 容 量 〔%Mw/Hz〕 の 範 囲 に あ る こ とが 知 ら れ て い る。 こ れ ら は,系

統事故 に

伴 う 負 荷 脱 落 時 や 電 源 脱 落 時 あ る い は 特 定 発 電 ユ ニ ッ トの ガ バ ナ 試 験(負

荷遮断試

験)時

の 周 波 数 変 化 デ ー タ か ら推 定 され る。 負 荷 特 性 定 数KLに

つ い て は,周

化 に 伴 う系 統 電 圧 変 化 に よ る影 響 も受 け る た め 推 定 は 困 難 で あ る が,一 MW/Hz〕 MW/0.1Hzが

【例 題9.1】

程 度 の 値 が 用 い ら れ る。 な お,単

位 と し て は,%MW/Hzよ

使 わ れ る の が 一 般 的 で あ る。 後 者 は 前 者 の1/10の

新 設 の 火 力 発 電 ユ ニ ッ ト1000MWの1/2出

(運転 中 に ユ ニ ッ トを 系 統 か ら 切 り離 す 試 験)を

ユ ニ ッ トの1/2出

般 に3〔% り も,%

値 で あ る。

力 で の ガ バ ナ カ ッ ト試 験

行 っ た と こ ろ,周 波 数 は0.045Hz

低 下 した 。 こ の 系 統 の 系 統 定 数 を 求 め よ。 系 統 容 量 は100GWと [解]  定 格1000MWの

波数 変

す る。

力 で ガバ ナ カ ッ ト試 験 を行 っ た の で,ユ

ニ

ッ ト解 列 直 後 は 系 統 に500MWの こ の500MWの

需 給 ア ン バ ラ ン ス(発

需 給 ア ン バ ラ ン ス で0.045Hz周

統 定 数Kは500/0.045=11,111MW/Hzと

電 力 不 足)が

生 じ て い る。

波 数 が 低 下 し た の で あ る か ら,系

な る。

  よ っ て,%Kは11,111/100,000=11.1%MW/Hz=1.11%MW/0.1Hzと

  と こ ろ で,Kの

値(10∼20〔%MW/Hz〕)か

KG(調

場 合,50〔%MW/Hz〕:50Hzの

定 率4%の

の 場 合)は

な る。

ら推 定 さ れ るKGと,発

電 ユ ニ ッ トの

場 合,41.7〔%MW/Hz〕:60Hz

大 き くず れ て い る。 これ は す べ て の 発 電 ユ ニ ッ トが 調 速 制 御 さ れ て い な い

こ と,ガ バ ナ(調 速 機)の られ るが,以

非 線 形 特 性(リ

ミ ッ タ ー,不

感 帯 な ど)に

よ る こ と も考 え

下 の影 響 も大 き い。 す な わ ち,ガ バ ナ 制 御 あ る い は調 速 制 御 は 周 波 数 の

変 化 に よ り,タ ー ビ ン へ の蒸 気 流 量 を調 節 す る た め に,タ

ー ビ ン入 り口 弁 の 開 度 を制

御 す る。 しか し,発 電 ユ ニ ッ トへ の 出 力 指 令 値 が 増 加 し て い る場 合 に は,タ

ー ビ ン入

り 口弁 の 開 度 はす で に最 大 と な っ て お り,こ の と き に 周 波 数 が 下 が っ て 蒸 気 流 量 を 増 や そ う と し て も こ れ 以 上 弁 を 開 く こ とが で きな い た め,蒸 な い 。 出 力 指 令 値 は後 述 の 負 荷 周 波 数 制 御(LFC)に

気 流 量 を 増 や す こ とが で き

よ り,数 秒 か ら十 数 秒 の 周 期

で 変 化 し て お り,こ の た め,周 波 数 変 動 に伴 う ガ バ ナ制 御 あ る い は 調 速 制 御 の 効 果 が 抑 制 さ れ る の で あ る 。 上 記 系 統 定 数Kは 10∼20〔%MW/Hz〕

  こ の よ う に,系 統 内 で 発 電 量,負 偏 差 が 生 じ る が,大

厳 密 に は,運

用 状 態 に よ り変 化 す る が,

とい う の は,平 均 的 な値 と い う こ とが で き る。 荷 量 の 変 化 が 生 じ る と,系 統 定 数 に 応 じ た 周 波 数

体 数 秒 程 度 の 過 渡 現 象 の後,そ

の値 に 落 ち 着 く。 これ は,発 電 機

や 負 荷 の 電 動 機 に は 慣 性 が あ る こ と,調 速 制 御 の過 渡 応 答 が あ る た め で あ る。 た だ, 系 統 の 過 渡 現 象 に対 す る 時 定 数 は3秒

程 度 で あ る こ と,負 荷 周 波 数 制 御 の よ う に10

秒 以 上 の 時 間 間 隔 を 対 象 と す る場 合 は,こ

9.3 

の よ う な 過 渡 特 性 を 考 慮 す る必 要 は な い 。

連 系 系 統 の 周 波 数‐ 潮 流 特 性

  単 独 系 統 に お い て 発 電 量,負

荷 量 が 急 変 し た 時 の 周 波 数 変 化 は前 節 で 述 べ た よ う に

な るが,系

統 が 連 系 され た 場 合 は ど う な るで あ ろ うか 。

  図9.4の

よ う に,A，B2つ

合 を 考 え よ う。 今,A系 化 量)の

の 系 統 が1本

の 送 電 線(連

統 でΔPA=ΔGA-ΔLA(ΔGA：

需 給 ア ン バ ラ ン ス が 生 じ,周 波 数 がΔF変

で は 需 給 バ ラ ン ス は とれ て い る も の とす る。A，B両 波 数 は 互 い に 等 し い 。 この 場 合,A系

統 側 で は,周

系 線)で

連 系 され て い る場

発 電 変 化 量,ΔLA：

負荷 変

化 し た と し よ う。 一 方,B系

統

系 統 は連 系 さ れ て い るの で,周 波 数 変 化 に よ り需 給 ア ン バ ラ ン

A系 統 

B系 統

図9.4  連 系 系 統 の簡 略 モ デ ル

ス 分 の 一 部 は 吸 収 され るが,残

り は,連 系 し て い る 送 電 線 を通 し てB系

こ の潮 流 変 化 分 をΔPT(A系

統 か らB系

  こ の 時,A系

の よ うな 関 係 式 が 成 り立 つ 。

統 側 で は,次

統 に流 れ る。

統 へ 向 か う方 向 を正 とす る)と

す る。

(9.6)  一 方

,B系

統 側 で は,次

の よ う な 関 係 式 が 成 り立 つ 。

(9.7)  こ こで,KA，KBはA,Bそ

れぞれ の系統 の系統 定 数で あ る。

 これ よ り,

(9.8)

  す な わ ち,周

波 数 偏 差 は需 給 ア ン バ ラ ン ス量 を両 系 統 の 系 統 定 数 の 和 で 割 っ た 値 と

な る。 これ は,当 然,A，B2つ

の 系 統 と考 え ず に,1つ

の 系 統 と考 え た 場 合 の 周 波

数 偏 差 と同 じで あ る。

【 例 題9.2】A系

統 で50MWの

変 化 を求 め よ。A，B系

電 源 脱 落 が 発 生 し た 時 の,周

統 の 系 統 容 量 を そ れ ぞ れ1000MW，500MWと

数 は両 系 統 と も1%MW/0.1Hzと [解]  A系 統 の 系 統 定 数 は   B系 統 の 系 統 定 数 は   A系

Δ

し,系 統 定

す る。 0.01×1000=10〔MW/0.1Hz〕=100〔MW/Hz〕

0.01×500=5〔MW/0.1Hz〕=50〔MW/Hz〕

統 に お け る電 源 脱 落 に よ り,−50MWの

力 不 足 を あ らわ す)が

波 数 変 化 と連 系 線 潮 流

発 生 した の で,(9.8)式

F=−50/(100+50)=−0.3Hz

Δ PT=50×(−50)/(100+50)=−16.7MW

需 給 ア ンバ ラ ン ス(マ よ り,

イ ナ ス は発 電

  す な わ ち,周 MW潮

波 数 は0.03Hz低

流 が 変 化 す る((9.8)式

を正 と し て い る)こ

  と こ ろ で,通

系 線 に はB系

統 か らA系

統 に 向 け て16.7

で は 連 系 線 の 潮 流 はA系

下 し,連

統 か らB系

統 に向 か う方 向

と に な る。

常,A，B両

系 統 で,発

電 力 の 変 化 分ΔGA,ΔGBは

れ ぞ れ の 系 統 の 負 荷 の 変 化 分ΔLA,ΔLBを

把 握 で き る が,そ

直 接 知 る こ と は で き な い 。 し か し,両

系統

で,

(9.9)

の 関 係 が 成 り立 つ の で,周

波 数 変 化ΔFお

ば,需 給 ア ンバ ラ ン ス 分ΔPA,ΔPBを

よ び 連 系 線 潮 流 変 化ΔPTを

知 る こ と が で き る の で,こ

推 定 す る こ とが で き る。 この た め に は,各

測 定 してお け

れ か らΔLA,ΔLBを

系 統 の 系 統 定 数KA,KBを

正 確 に把 握 し て

お く必 要 が あ り,こ の 点 か ら も系 統 定 数 の 正 確 な把 握 が 重 要 と な る。 実 際,新 電 ユ ニ ッ トが 運 転 を開 始 す る 際 に は,ガ バ ナ 試 験 を 行 い,系

しい発

統特性 定数 の 推定 が行 わ

れ て い る。

9.4 

負 荷 周 波 数 制 御―

単 独 系 統 の 場 合―

  周 波 数 が 変 化 す る の は,発 電 機 へ の 機 械 的 入 力 と電 気 的 出 力 の ア ンバ ラ ン ス に よ っ て 発 生 す る こ と を 説 明 し た 。 この こ とか ら,周 波 数 制 御 を行 う た め に は,周 波 数 が 低 下 した 場 合 は 機 械 的 入 力 を増 や し,逆

に 周 波 数 が 上 昇 した 場 合 は 機 械 的 入 力 を 抑 制 す

れ ば よ い こ と に な る。   と こ ろ で,周 に,負

波 数が 変化 す るの は系 統 内 の負 荷 が 変動 す るた め で あ る。 この た め

荷 変 動 の性 格 を 明 らか に す る こ と は き わ め て 重 要 な こ とで あ る。 一 般 に 負 荷 変

動 は2つ

に大別 で きる。

(1)日 負 荷 変 動 に 見 られ る ゆ っ く り し た 大 き な変 化 (2)変 化 量 は大 き くな い が,短   こ の う ち,(1)の ッ ト は第11章 Load

負 荷 変 化 は あ る 程 度 正 確 に予 測 す る こ とが 可 能 な た め,発

で 述 べ る 経 済 的 な ス ケ ジ ュ ー ル 運 転(経

Dispatch:ELD))が

測 す る こ とが 実 際 上,不 L FC)は

い 周 期 で 頻 繁 に起 こ る 変 化

行 わ れ る。 一 方,(2)の

済 負 荷 配 分 運 転(Economic

短 い 周 期 で 起 こ る負 荷 変 化 は 予

可 能 で あ る。 負 荷 周 波 数 制 御(Load

こ の 変 化 を対 象 とす る リ ア ル タ イ ム(実

電ユニ

時 間)制

Frequency 御 で あ る。

Control:

  負 荷周 波数 制御 で は,系 統 の需 給 ア ンバ ラ ンス を調整 す る中央給 電指 令所 が周 波数 に応 じて各発 電 ユニ ッ トに出力調 整の 指令 を出す。 この出力 調整 の指令 はすべ ての発 電 ユニ ッ トに対 して出 され るの で はな く,速 い出力 変動 を行 って も問題 とな らない石 油焚 き火 力発 電 ユニ ッ トや水 力 ユニ ッ トに対 して 出 され,原 子力 ユ ニ ッ トや石炭 焚 き 火力 ユニ ッ ト,さ らには運用 上 の理 由 で 出力 変動 を避 けた い発 電 ユニ ッ トに は出 され な いのが普 通 で あ る。 この ように,負 荷 周 波数制 御 で は,中 央給電 指令 所 か ら指令 が 出 され るた め,実 際 に出力が 変化 す る まで に は数 十秒 程度 の遅 れが あるのが普 通 で あ る。   (2)の 負 荷変 化 につ い てみ る と,数 十 秒 程 度 よ り短 い変 化 とそれ よ り長 い10分 程 度 以下 の変 化 に分 け る ことが で き る。数 十秒 よ り短 い変化 に対 して は,前 述 の よ うに 出力指 令 を出 して も,発 電機 出力が 変化 しないた め,負 荷 周波 数制御 の対 象 とは しな い。 しか しなが ら,こ の よ うな 負荷 変化 に対 して も需 給 ア ンバ ラ ン スが発 生 す るた め,周 波数 は短 い周期 で変 動 す る。 そ こで,こ の ような短 い周 期の変 化 に対 して は発 電 ユニ ッ トの調速 制御 で,発 電 ユニ ッ トの調速 制御 で も対応 で きない さ らに短 い周期 の変 化 に対 して は負荷 の特性(自 己制 御性)で 対応 す る ことにな る。 す なわ ち,数 十 秒 か ら10分 程度 の周 期の 負荷変 化 に対 して,負 荷 周波 数制 御が対 応 す る こ とにな る。   負荷変 化 幅 と周期 の関係 におい て,図9.5の

よ うに経 済 負荷配 分運転,負 荷 周波 数

制御,調 速制 御 の分担 を決 め る こ とがで きる。   負荷周 波数 制御 の目的 は,周 波 数 を許容 値 内 に収 める こ とで あ る。 周波 数の偏 差 は 負荷量 と発電 量 の アンバ ラ ンスで発生 す るの で,周 波数 偏差 に応 じて発 電機 出力 を調 整 すれ ば よい。 この方 法 として大 き く分 けて2つ の方法 が あ る。

変動周期 図9.5 

負荷 変 動 の制 御 分 担

  ・間欠制 御   ・PID制 御   間 欠制御 は,周 波 数が 基準 範 囲 を超 えて下が っ た場 合,対 象発電 ユ ニ ッ トに出 力上 げ信号 を出 し,周 波 数が 基準 範 囲 に収 まれ ば信号 は停 止 す る。 逆 に,周 波 数 が基準 範 囲以上 に上 が った場 合,対 象 発電 ユ ニ ッ トに出力下 げ信号 を出す。 この方 式 の問題 点 として,制 御 周期(周 期 が長 す ぎ る と周波 数 が大 き く変 動 す る可 能性 が あ る),周 波 数基準 範囲(不 感 帯)の 設 定(周 波数 基準 範 囲 が狭 い と,頻 繁 に発 電 機 に出力 上 げ/ 下 げ信 号が 出 る),時 差 の扱 い(周 波数 が 基準 範 囲 に収 まって い て も,周 波 数偏 差 の 積 分が 大 き くず れ る)に つ いて,留 意 が必 要で あ る。   PID制 御 は,周 波 数偏 差 に応 じた比 例 量,積 分 量,微 分 量 を組 み合 わ せ て,発 電 ユニ ッ トに出力指 令 を出 す もので あ る(一 般 に,制 御 の安定 性等 の理 由か ら微分 制 御 は行 わ れな い)。 す なわ ち,周 波数偏 差ΔFに 対 して,

Δ G=αΔF+β∫ΔFdt 

(9.10)

で 計 算 さ れ る 出 力 調 整 量 を計 算 し,こ 1項 の 比 例 量 だ け で な く第2項

れ を各 発 電 ユ ニ ッ トに 配 分 す る もの で あ る 。 第

の 積 分 量 を含 め る こ とで,周

に つ い て も0に 近 づ け る こ とが で き る が,α,β

波 数 偏 差 だ け で な く時 差

をい か に設 定 す るか とい う問題 が あ

る(α の 設 定 が大 き過 ぎ る と,出 力 調 整 量 が 大 き く な りす ぎ,結 果 と し て,周 大 き く変 動 し て し ま う こ とに な る。 逆 に,小

波数が

さ過 ぎ て も,負 荷 変 動 後 の 初 め の 周 波 数

偏 差 が 大 き くな る)。

9.5 

負 荷 周 波 数 制 御― 連 系 系 統 の 場 合―

  連系 系統 の負荷 周 波数 制御 につい て考 えて み よう。複数 の系 統 が電 気的 に接 続 され た連 系系統 も一 つ の系統 で あ るか ら,単 独 系統 の場 合 と同 じ負 荷周 波 数制 御 を行 うこ とは可 能で あ る。 しか しなが ら,以 下 の2つ の理 由か ら単独 系 統 の場合 とは異 な る制 御 方式 が採 用 され てい る。   ・単 独系統 の場 合 は,1つ

の 中央 給電 指令 所が 負荷 周波 数制 御 に責任 を持 って い る

の に対 し,連 系系 統 の場 合 は それぞ れの系統 に中央給電 指 令所 が あ る。   ・連 系系統 を構 成 す る各 系 統が個 別 に負荷 周波 数制御 を行 う と,系 統 を連 系 す る メ リット が損 なわれ る。   この た め,連 系 された各 系統 で は,次 の3つ の制 御 方式 の いずれ かが 採 用 され る。

  (1) 

定 周 波 数 制 御(Flat

Frequency

Contro1:FFC)

  この 制 御 方 式 は,単 独 系 統 の 負 荷 周 波 数 制 御 方 式 と ま っ た く同 じ で,系 規 定 範 囲 内 に 維 持 し よ う と す る も の で あ る。 こ の た め,間

統 周波 数 を

欠 制 御 あ る い はPID制

御

に よ り発 電 機 出 力 が 調 整 さ れ る。   こ こで 注 意 す べ き こ と は,単 独 系 統 の 場 合 と異 な り,周 波 数 変 動 の 原 因 は 自 分 の 系 統 だ け で は な く,他 の 連 系 系 統 に も あ る と い う こ とで あ る 。 この た め,定

周波 数制 御

を行 う系 統 の 発 電 調 整 量 は 非 常 に大 き な もの とな る。 こ の 方 式 は単 独 系 統 以 外 で は 連 系系統 内 の主要 系統 で行わ れ るの が普 通で あ る。   (2) 

定 連 系 線 電 力 制 御(Flat

  この 制 御 方 式 は,連

Tie

Line

Flow

Control:FTC)

系 線 を流 れ る 電 力 を検 出 し,そ の 値 が 計 画 値 に な る よ う に 制 御

す る も の で あ る。   この よ う な制 御 は 小 さ な 系 統 と主 要 な 系 統 と の 間 の 連 絡 線 電 力 を制 御 す る 目 的 で 適 用 さ れ る。 明 らか な よ う に,周

波 数 と無 関 係 に 制 御 を行 っ て い る の で,連

系 系統 の い

ず れ か で 定 周 波 数 制 御 が 行 わ れ て い な い と,安 定 な運 転 を 行 う こ とが で き な い 。   (3) 

周 波 数 バ イ ア ス 連 系 線 電 力 制 御(Tie

Line

Power

Frequency

Bias

Control:TBC)   い くつ か の 系 統 が 連 系 し て い る場 合,そ

れ ら がFFC,  FTCを

行 っ て い れ ば,一

つ

の 系 統 で 需 給 ア ン バ ラ ン ス が 生 じ て も す べ て の 系 統 の 発 電 機 出力 が 調 整 され る こ とに なる。   これ に対 して,TBCは,周

波 数 変 化 と連 系 線 電 力 変 化 を常 に検 出 し,(9.9)式

で計

算 さ れ る 自系 統 の 需 給 ア ンバ ラ ン ス を 監 視 し,各 系 統 が 自分 の 系 統 内 で 発 生 した 需 給 ア ン バ ラ ン ス分 の み を調 整 し よ う と す る もの で あ る 。   9.3で 説 明 した よ う に,各 ±ΔPT(複

る。 す な わ ち,(系 を す れ ば,自 こ と を,そ

統 定 数)×(周 波 数 変 化 量)+(連

Control

  2つ の 系 統 がTBCを

け,発

電調整

統)で

出 力 調 整 す べ き量 と い う意 味 で,地

も,そ

の 地 域 で 制 御 し きれ な か っ た 量 と い う意 味 で 地 域 制 御

Error:ACE)と

実 施 し て い る場 合 の 周 波

示 す。

十 分 に 機 能 す る た め に は,系

の 値 が 正 確 で な け れ ば,自

域 要 求 量(Area

も よ ば れ る。

実 施 し て い る場 合, TBC+FFCを

数 と連 系 線 電 力 の 関 係 を 図9.6に   TBCが

系 線 電 力 変 化 量)だ

系 統 内 で 生 じ た 需 給 ア ンバ ラ ン ス だ け に 応 動 す る こ とに な る。 こ の 量 の の 地 域(系

Requirement:AR)と 誤 差(Area

系 統 内 で 生 じた 需 給 ア ンバ ラ ン スΔPはΔP=−K×ΔF

号 は連 系 線 電 力 を ど ち らの 向 き で 考 え る か に よ る)で 把 握 す る こ とが で き

統 定 数Kが

正 確 で あ る こ とが 必 要 で あ る。 こ

系 統 内 の 需 給 ア ンバ ラ ン ス に対 し て,過

制御 また は不足 制

(a) 

TBC+TBC 

(b) 

TBC+FFC

図9.6  周波 数― 連 系 線 電力 の関 係

御 とな って し まう。実 際 の系 統定 数 は系統 の運 用状 態 に よって も変 化 し,先 に延 べ た よ うに調速機 の非線 形特 性 に も影響 され るが,こ の値 の正 確 な把握 が重 要 とな る。

【 例 題9.3】

例 題9.2の

B系 統 か らA系

統 の 方 向 に16.7MW増

(1)地 域 要 求 量ARの て,A,B両

連 系 系 統 に お い て,周 波 数 が0.33Hz低

(2)地 域 要 求 量ARの し て,A,B両

計 算 に あ た っ て は,両

系 統 のARを

題9.2と

し

系 統 の 系 統 定 数 を0.9%MW/0.1Hzと

求 め よ。 よ り,A系

同 様 にA,Bそ

Hz,50MW/Hzを

系 統 の 系 統 定 数 を1%MW/0.1Hzと

求 めよ。

[解]  (1)の 場 合,(9.9)式 は,例

加 した 。

計 算 に あ た っ て は,両

系 統 のARを

下 し,連 系 線 潮 流 が

統 の 需 給 ア ンバ ラ ン ス す な わ ち 地 域 要 求 量

れ ぞ れ の 系 統 に 対 し て,系

統 定 数 と し て100MW/

用 い て, ARA=100×(−0.33)-16.7=−50(MW) ARB=50×(−0.33)+16.7=0(MW)

と な る。 す な わ ち,A系

統 で は50MW発

力 を増 加 す れ ば よ い 。 一 方,B系  (2)の 場 合,地

電 力 が 不 足 し て い る の で,50MW発

統 で は発 電 出 力 の 調 整 は 行 わ な い 。

域 要 求 量 の 計 算 に はA,B各

系統 で以 下 の 系 統 定 数 の値 を使 う こ

と に な る。 A系 統:0.009×1000=9(MW/0.1Hz)=90(MW/Hz) B系 統:0.009×500=4.5(MW/0.1Hz)=45(MW/Hz)   よ っ て,両

電出

系統 の地域 要求 量 は

ARA=90×(−0.33)-16.7=−46.4(MW)

と な る。 す な わ ち,A系

統 で は46.4MW発

電 出 力 を増 加 す れ ば よ い 。 一 方,B系 1.85MW発

電 量 が 不 足 し て い る の で,46.4MW発

統 で は1.85MW発

電 出 力 が 過 剰 で あ る の で,

電 出 力 を抑 制 す れ ば よ い 。

 と こ ろ で,例

題9.2に

あ る よ う に,実 際 に はA系

た だ け で あ る。 本 来,TBCは

統 で50MWの

電 源 脱落 が生 じ

各 系 統 の 需 給 ア ン バ ラ ンス に見 合 っ た 量 だ け発 電 出 力

を 調 整 す れ ば よ い の で あ る か ら,A系 る 。 し か し な が ら,例 題9.3(2)の

統 の み,発

電 出 力 を調 整 す れ ば よ い は ず で あ

ケ ー ス の よ う に,実

際 の 系 統 定 数 と は 異 な る値 を

用 い て 計 算 す る と,上 記 の よ う な調 整 量 の 誤 差 が 生 じ る の で あ る。   この 点 か ら も,系

統 定 数 を正 確 に 推 定 す る こ と は,TBCを

行 う うえで重 要 で あ る

こ とが わ か る 。   い ず れ の 方 法 を 採 用 し た と して,上

記 で は各 系 統 で 制 御(調

定 さ れ る 。 実 際 の 制 御 に あ た っ て は,こ な る 。 もち ろ ん,1つ

整)す

べ き発 電 量 が 決

の 量 を 各 発 電 ユ ニ ッ トに割 り振 られ る こ と に

の 発 電 ユ ニ ッ トで 発 電 量 を 制 御 す る こ と も 可 能 で あ るが,下

記

の理 由で 実際 的で な い。   1.発

電 ユ ニ ッ トの 出 力 が 大 き く変 化 す る た め に,機 器 の 寿 命 が 損 な わ れ る可 能 性

が ある。   2.近

傍 の 送 電 系 統 の 潮 流 が 出 力 調 整 に よ り大 き く変 化 す る こ と に な り,送 電 設 備

の 有 効 利 用 と い う観 点 か ら得 策 で は な い 。   一 般 的 に は,出 力 変 化 速 度 が 大 き く調 整 が 容 易 と い っ た 水 力 発 電 ユ ニ ッ トや 石 油 火 力 ユ ニ ッ トな ど,発 電 ユ ニ ッ トの 特 性 に 応 じて 複 数 の 発 電 ユ ニ ッ トに割 り振 ら れ る の が 普 通 で あ る。

9.6 

連 系系統 にお ける周波数 制御の例

  わ が国 で は,9つ す。50Hz系

の系 統 が 連系 され て い る。図9.7に 現在 の周 波 数 制 御 方 式 を示

統 は3つ,60Hz系

統 は6つ の系 統 が連 系 され,50Hz系

統 と60Hz系

統 は周波 数変 換装 置 に よ り連 系 されて い る。  60Hz系

統 で は,以 前 は関 西 電力 系 統 がFFCを,他

していた が,現 在 で は6つ の 系統 すべ てがTBCを

の5つ の系 統 がTBCを

実施

実施 して い る。 中国電 力 系統 は九

州電 力系 統,四 国 電力 系統,関 西電 力系統 と,関 西 電力 系統 は中国電 力系 統,北 陸電

図9.7 

わ が 国の 周 波数 制 御 方式

力 系統,中 部 電力 系統 とい ずれ も3つ の連 系線 を持 ってい るの で,連 系線 電力 の変 化 は これ ら3つ の連 系線 の電力 変化 の総 和 を用 い てい る。   な お,北 陸電力 系統 と中部 電力 系 統の間 に は南福 光 直流連 系 シス テムが,四 国電 力 系統 と関西電 力 系統 の間 には紀伊 水 道直 流送 電 シス テムが あ るが,こ れ らはいず れ も 潮 流制御(前 者 は北陸電 力 系統 か ら中部 電力 系統 に,後 者 は四 国電力 系統 か ら関西 電 力 系統 に,決 め られ た一 定 の電 力 を送電)に 用 い られ,後 述 の北 本直 流送 電 シス テム の ように常時 の周 波数制 御 の 目的 に は用 い られ てい ない。   50Hz系

統 で は,東 京電力 系 統 がFFCを,東

北 海 道電 力 系統 は,1979年 った た め,FFCを

北 電 力 系統 がTBCを

実 施 して い る。

まで単 独 系 統,す なわ ち,他 の系統 と連 系 さ れ て い なか

実施 し,現 在 もFFCが

採 用 され て い る。 た だ,1979年,本

州と

北海 道 系統 を直 流で連 系す る北本 直 流送 電 シス テムが 運転後 は,こ の直流 変換 設備 が 北海 道 電力 系統 と本州側50Hz系

統 の周 波数 をで きるだ け基準 値(50Hz)に

維持す

る よう に本州-北 海道 間 の電力 を制 御す るよ うにな ったた め,北 海道 電力 系統 で は 自 系 統 内の発 電量 を調整 して周波 数 を一 定 に保 つFFCと

北 本直 流 送電 シス テム の潮 流

を制御 して周波 数 を一 定 に保つ 周波 数制 御 の2本 立 て とな って い る。 ちなみ に,直 流 送 電 シス テム の潮流制 御 に よる周波 数維 持 は高速 に行 われ るた め,発 電量 制御 に よる FFCは

補 助 的に使 用 されて い る。

  50Hz系

統 と60Hz系

統 の間 で は,一 方 の系統 の周 波数 が大 幅 に変 動 した場 合 の緊

急 制御 は行 われ るが,常 時 の負 荷周 波数 制御 は行 わ れて いな い。   一 方,諸 外 国で はTBCが てお り,FFCを

中心 で あ る。 北 米 系統 はす べ て の系統 がTBCを

実施 し

実施 して い る系 統 が な い に も関わ らず,周 波数 の変動 はわ が 国 よ り

も小 さい。 これ は,系 統容 量が 非常 に大 きいた めで あ る。

問題 (1)周

波 数 を規 定 値 に 維 持 しな け れ ば な ら な い 理 由 に つ い て 説 明 せ よ 。

(2)100MWの

発 電 機5台

れ200MWの

が そ れ ぞ れ80MWで,250MWの

出 力 で 負 荷800MWに

がそれぞ 発

電 機1台

が 解 列 し た と きの 周 波 数 変 化 とそ れ ぞ れ の 発 電 機 の 出 力 を 求 め よ。 こ

こ で,系

統 周 波 数 を50Hz,100MWの

発 電 機 の 速 度 調 定 率 を3%,250MW

の 発 電 機 の 速 度 調 定 率 を4%,負 (3)A,B2つ 0.1Hz低

荷 特 性 定 数KLを0.3%MW/0.1Hzと 系 統 で 負 荷 変 化 が 生 じ,周

下 し,連

統 へ 向 け,30MW増

系 線 潮 流 がAか

らB系

し,そ れ ぞ れ の 系 統 定 数 を10%MW/Hzと

(4)A,B2つ

の 系 統 が 連 系 し て い る と き,B系

し,周 波 数 が0.05Hz低 した 。A系 題9.3に

す る。

の 系 統 が 連 系 さ れ て い る 時,両

B両 系 統 に お け る 負 荷 変 化 を求 め よ 。A,B系 MWと

(5)例

発 電 機2台

供 給 し て い た 。 こ の と き,100MWの

下 し,Aか

らB系

波数が

加 し た 。A,

統 の 系 統 容 量 を300MW,500 す る。 統 で 発 電 機 が ト リ ッ プ(解 統 へ の 連 系 線 潮 流 が40MW増

列) 加

統 の 系 統 定 数 を求 め よ 。 お い て,(1),(2)の

条 件 で 発 電 量 を 制 御 した と き の,最 終 的 な 周

波 数 変 化 お よび 連 系 線 潮 流 変 化 を 計 算 せ よ。 た だ し,過 渡 状 態 は 無 視 し,系 統 状 態 は 変 ら な い もの とす る。

【 解 答 は巻末 】

第10章  電力システム にお ける無効電 力 と 電圧 の関係   電 力 系 統 内 各 部 の 電 圧 を定 格 電 圧 付 近 に 保 つ こ とは,負 運 転 を 保 証 す る 上 で 重 要 で あ る と と も に,さ

荷 で あ る電 気 機 器 の 正 常 な

ら に,過 電 圧 に よ る送 変 電 機 器 を保 護 す

る上 で も必 要 で あ る。   無 効 電 力 と電 圧 の 関 係 は,第9章

で 述 べ た 有 効 電 力 と周 波 数 の 関 係 と 同様,非

常 に

密 接 な 関 係 に あ る。 し か し,有 効 電 力 の 変 化 は 周 波 数 の 変 化 と し て 系 統 全 体 に 波 及 す るの に対 し,無 効 電 力 の 変 化 は局 所 的 な電 圧 変 化 に伴 う とい う特 徴 が あ る 。   こ こで は,無 効 電 力 と電 圧 の 関 係 に つ い て 定 量 的 に 検 討 す る こ とで,な

ぜ局 所 的 な

電 圧 制 御 が 必 要 か を 説 明 す る 。 次 に,無 効 電 力 発 生 源 の 種 類 を 説 明 し,具 体 的 な 電 圧 無 効 電 力 制 御 方 式 に つ い て 説 明 す る。

10.1 

無 効 電 力 と 電 圧 の 関 係

  こ こ で は,無 効 電 力 と電 圧 の 関 係 を考 え て み よ う。   い ま,簡 単 の た め に,送

電 線 の 等 価 回 路 に お い て リア ク タ ン ス 成 分 の み と考 え,抵

抗 分 と対 地 静 電 容 量 を 無 視 す る 。   送 電 端 電 圧 の 大 き さ￨Vs￨を 一 定 と し,受 電 端 に 負 荷 を 接 続 す る。 こ の と き 流 れ る 電 流 をIと

す る。

  送 電 端 の 電 圧vsと

受 電 端 の 電 圧Vrの

う に な る 。 負 荷 力 率 が1の 電 圧Vrは 下VLの

図10.1(b)の

関 係 を ベ ク トル 図 で 示 す と 図10.1(a)の

場 合 は,受 電 端 電 圧Vrと よ う に送 電 端 電 圧Vsと

電 流Iの

よ

位 相 は等 し く,受 電 端

送 電 線 の リア ク タ ン ス に よ る 電 圧 降

ベ ク トル 和 とな る 。

  一 方,同

じ大 き さ の 電 流 が 流 れ た とす る と,図10.1(c)の

電 端 電 圧 の 位 相 か ら π/2遅 れ た と き,Vrの

大 き さ は 最 小 とな り,図10.1(d)の

に 電 流 の 位 相 が 受 電 端 電 圧 の 位 相 か ら π/2進 ん だ と き,Vrの 前 者 は 遅 れ 零 力 率 負 荷,後

よ うに電 流 の位 相 が 受

者 は進 み 零 力 率 負 荷 と よ ば れ るが,後

電 端 電 圧 の 大 き さ が 送 電 端 電 圧 の 大 き さ よ り も大 き く な る。

よう

大 き さ は 最 大 と な る。 者 の ケ ー ス で は,受

(a)一

般 的 な負荷

(b)力

(c)  遅 れ 零力 率 負荷

【 例 題10.1】

をj0.2puと [解]送

送 ・受 電 端 の電 圧 の関 係

図10.2 

送 電線 の π型等 価 回路

受 電 端 側 に 負 荷 が つ な が れ て い な い 場 合,受

電 端 電 圧 を 計 算 せ よ。 た

電 線 の イ ン ピ ー ダ ン ス をj0.1pu,対

地 ア ドミタ ンス

す る。

電 線 を 図10.2の

あ る の で,受

(d)  進 み 零 力率 負 荷

図10.1 

だ し,送 電 端 電 圧 を1.0pu,送

率1の 負 荷

π型 等 価 回 路 で 表 現 し た 場 合,A-C間

電 端 電 圧(B-C間

の 電 圧)Vrの

の 電 圧 が1.0puで

大 き さ は イ ン ピー ダ ン ス比 か ら以 下 の

よ う に な る。

す な わ ち,受

電 端 電 圧 の ほ うが 送 電 端 電 圧 よ り1%高

  送 電 線 を 図10.3(a)の

くな る。

π型 等 価 回 路 で 表 現 す る と,図10.3(b)の

よ う に3つ

の2

(a)

(b)

(c) 図10.3 

送 電 線 の π型 等価 回 路

端 子 対 回 路 の 直 列 接 続 と な る。 そ れ ぞ れ の2端 10.3(c)の

子 対 回 路 の 電 圧 ・電 流 の 関 係 は 図

よ う に な る の で,π 型 等 価 回 路 で 表 現 した 送 電 線 の 送 電 端,受

る電 圧 電 流 の 関 係 式 は(10.1)式

電端 にお け

の よ う に な る。

(10.1)

す な わ ち,送

電 端 電 圧Vsと

受 電 端 電 圧Vr，

受 電 端 電 流Irの

間 に は,(10

.2)式 が 成

り立 つ。

(10.2)   い ま,受 電 端 に負 荷 が つ な が れ て い な い 無 負 荷 状 態 を考 え れ ば,Ir=0と 電 端 電 圧Vsと

受 電 端 電 圧Vrの

関 係 は(10.3)式

な り,送

の ように なる。

(10.3)   送 電 線 の イ ン ピー ダ ン スZの 分 の み とな り,イ 量 をCと

う ち 抵 抗 分 は小 さ い の で 無 視 す れ ば,リ

ン ダ ク タ ン ス をLと

し てjωLと

な る 。 一 方,送

す れ ば,送 電 線 全 体 の 対 地 ア ド ミ タ ン スYはjωCと

系 統 電 圧 の 角 周 波 数 で あ る。 こ れ ら を(10.3)式 と,(10.4)式

ア クタ ン ス

電線 の対地 静 電 容 な る。 こ こ で,ω

は

に 代 入 し,電 圧 の 大 き さ の 比 を と る

の よ う に な る。

(10.4) す な わ ち,￨Vs￨＜￨Vr￨と

な り,受 電 端 電 圧 の ほ う が 高 くな る 。

  実 際 の 電 力 系 統 で は,負 荷 が つ な が れ て い る た め,(10.2)式 圧 降 下 分 が あ る こ と,ま

た,対

にお け る 電 流 に よ る電

地 静 電 容 量 は 架 空 送 電 線 で は そ れ ほ ど大 き くな い こ と

か ら,受 電 端 電 圧 の ほ うが 送 電 端 電 圧 よ り高 くな る こ と は ま れ で あ る 。 裏 を返 せ ば, 対 地 静 電 容 量 の 大 き な ケ ー ブ ル 系 統 に お い て,深 夜 の よ う に 負 荷 が 軽 い 時 間 帯 で は こ の よ う な現 象 が 発 生 す る 可 能 性 が あ る 。 この よ う に 受 電 端 電 圧 が 送 電 端 電 圧 よ り も高 くな る 現 象 を フ ェ ラ ンチ 効 果(Ferranti

Effect)と

系 統 機 器 を損 傷 さ せ る可 能 性 が あ る た め,実 リア ク トル を 接 続 し,ケ

よぶ 。 こ の よ うな 過 電 圧 に よ り,

際 の 電 力 系 統 で は ケ ー ブ ル と大 地 の 間 に

ー ブ ル の 静 電 容 量 を 補 償 す る(等 価 的 に 小 さ くす る)対

策が

と られ る こ と も あ る。

10.2 

電 圧 変 動 の 感 度

  い ま,図10.4の

よ う に,無

限 大 母 線*か

ら変 圧 器,送

電線 を介 して 負 荷 に電 力 を

*  有効,無 効 電力の注入,送 出が あって も,電 圧の大 きさ,位 相が まった く変 らない容量 が非 常 に 大 きな仮想 的系統 。

図10.4 

負荷 と電 圧

供 給 す る こ と を考 え る 。 簡 単 の た め に 送 電 線 の 対 地 静 電 容 量 は無 視 し,変 圧 器 も含 め た 送 電 線 の イ ン ピ ー ダ ン ス をZ=R+jX,送 (無 限 大 母 線 電 圧)の

受 電 端 電 圧 をVs,Vrと

位 相 を 基 準 に と り(Vs=Vs・ej0),Vr=Vr・e-jδ

  この と き,受 電 端 で は(10.5)式

し,送 端 電 圧 とす る 。

の 関 係 式 が 成 り立 つ 。

(10.5)

(10.5)式 を実 部,虚

部 に 分 け る と,下 式 が 成 り立 つ 。

(10.6) (10.7) 上 式 を そ れ ぞ れ 二 乗 し て加 え る と,(10.8)式

の 関 係 式 が 得 られ る。 明 らか な よ う に,

受 電 端 電 圧 の位 相 δ に無 関 係 の 式 で あ る。

(10.8)

【 例 題10.2】 きの,受

受 電 端 の 有 効 電 力 負 荷,無

電 端 電 圧 の 大 き さ の変 化ΔVrを

[解]  (10.8)式 に お い て,イ

効 電 力 負 荷 が そ れ ぞ れΔP,ΔQ変

化 した と

求 め よ。

ン ピ ー ダ ン ス のR,Xお

よ び 送 電 端 電 圧 の 大 き さVsは

定数 で ある。   す な わ ち,受 電 端 の 有 効 電 力 負 荷,無 きの,受

効 電 力 負 荷 が そ れ ぞ れΔP,ΔQ変

電 端 電 圧 の 大 き さ の変 化ΔVrは,以

化 した と

下 の よ う に 表 され る 。

(10.9)

(10.10)  (10.8)式 のVrが

そ れ ぞ れ,P,Qの

関 数 と考 え て偏 微 分 す る と,

(10.11) (10.12)  こ こ でZ2=R2+X2   一 般 に,送

電 端 電 圧,受

電 端 電 圧 と もに,単

し支 え な い の で,(10.11)式,(10.12)式 有 効 電 力,無

位 法 で 表 す と1近 辺 に あ る と考 え て 差

と もに 負 とな る 。 す な わ ち,受

電端 の負荷 を

効 電 力 い ず れ を増 や して も,受 電 端 電 圧 は 下 が る こ とに な る 。

  次 に,有 効 電 力,無 う。(10.9)式

効 電 力 が 同 じ値 変 化 し た と き の 電 圧 変 化 の 差 に つ い て 見 て み よ

と(10.10)式

の 比 を と り,(10.11)式,(10.12)式

を代 入 す る と

(10.13) とな る 。   こ こで,C=Vr2/Zは

受 電 端 で 短 絡 故 障 が 発 生 し た と き に 送 電 端(無

ら供 給 さ れ る皮 相 電 力 を表 す 短 絡 容 量*で,P,Qよ ク タ ン スXは れ ば,(10.13)式

抵 抗Rよ

り大 き い の で,Z≒X≫Rと

限 大 母 線)か

り は る か に 大 き い 。 ま た,リ な る こ と か ら,XC≫ZQと

ア す

は 以 下 の よ う に な る。

(10.14) す な わ ち,有 効 電 力,無 図10.5の

効 電 力 の 変 化 に 対 す る 電 圧 変 化 の 関 係 はΔVr,Q≫ΔVr,Pよ

り

よ う に な り,電 圧 変 動 に 対 し て は 無 効 電 力 の 影 響 が 有 効 電 力 の 変 動 に 比 し

て は るか に 大 き い こ とが わ か る 。

*  短絡容量 はその地点 に設置 され る遮断器の容量 を決定す る重要 な数値であ る。

図10.5 

10.3 

有 効 電 力,無 効 電力 の変 化 に対 す る電 圧 変 化 の 関係

無 効 電 力 の 供 給 源

  電 力 系 統 に お い て は,特

に電 圧 階 級 が 高 くな る ほ ど,送 電 線 あ る い は 変 圧 器 の リア

ク タ ン ス が 抵 抗 よ り も は る か に大 き い。 送 電 線 あ る い は 変 圧 器 に 電 流Iが そ れ ぞ れ の イ ン ダ ク タ ン ス でI2Xの じ る有 効 電 力 損 失I2Rよ

無 効 電 力 損 失 が 発 生 し,こ

り も は る か に 大 き い 。 し た が っ て,送

れ は,抵

流 れ る と, 抗 に よ り生

電 端 あ るい は受 電端

の どち らか 一 方 か ら無 効 電 力 を 供 給 し て も,そ の う ち の 多 くが 消 費 さ れ て し ま い,相 手 端 に届 く量 は 少 な い 。 こ の 無 効 電 力 損 失 の 分 を上 乗 せ し て 送 ろ う とす る と,皮 相 電 流 が 大 き くな り,今 度 は 有 効 電 力 損 失 が 増 大 して し ま う。 した が っ て,送

電線 や 変圧

器 で 生 じ る 無 効 電 力 損 失 を送 電 端 と受 電 端 か ら供 給 す る こ とが 望 ま しい 。 こ れ が,電 圧 ・無 効 電 力 に 関 して 局 地 的 な 対 応 を 求 め られ る ゆ え ん で あ り,無 効 電 力 の 供 給 に お い て は,量

だ け で は な く,場 所 の 選 定 が 重 要 とな る。

  電 力 系 統 にお け る無 効 電 力 の 供 給 源 と して は   (1)発 電 機   (2)電 力 用 コ ン デ ン サ,分 路 リア ク トル   (3)同 期 調 相 機   (4)静 止 型 無 効 電 力 補 償 装 置   (5)送 電 線(架 が あ げ られ る 。 この う ち,(5)の

空 送 電 線,ケ

ー ブ ル)

送 電 線 は対 地 静 電 容 量 に よ る も の で,無

効 電 力 の供

給 に 関 して は直 接 制 御 す る こ と は で き な い 。   一 般 に,(2)∼(4)を

10.3.1 

総 称 して,調

相 設備 とよぶ。

発 電機

  い ま,同 期 発 電 機 の 最 も簡 単 な モ デ ル と し て,背 わ ち,発 電 機 を 内 部 誘 起 起 電 力Eg(こ で 表 現 す る 。 背 後 電 圧Egは

後 電 圧 一 定 モ デ ル を考 え る。 す な

れ を背 後 電 圧 と よ ぶ)と

同 期 リア ク タ ン スXg

励 磁 電 流 に 比 例 す る。 こ の と き の 背 後 電 圧Egと

発電機

(a)  遅 れ 力率(b) 

力 率1(c)  図10.6 

端 子 電 圧Vt，

発 電 機 電 流Igの

発 電 機 端 子 電 圧Vtと

関 係 は 図10.6(a),(b),(c)の

発 電 機 電 流Igの

ら,発 電 機 端 子 電 圧 を 一 定 と す れ ば,力 て,背

進 み力率

端 子電 圧 と背 後 電圧 の関 係

後 電 圧 の大 き さ が 減 少,す

よ う に 表 さ れ る。

間 の 力 率 が 発 電 機 の 力 率 と な る。 図10.6か 率 が 遅 れ 力 率 か ら進 み 力 率 に変 化 す る に つ れ

な わ ち,励

磁 電 流 を 減 ら さ な け れ ば な ら な い こ とが

わ か る。   いま,発

電 機 端 子 電 圧 の位 相 を基 準 と し,背 後 電 圧Eg=Egeδ

発 電 機 が 供 給 す る 有 効 電 力,無

効 電 力 は(10.15)式

と す る。 こ の と き,

の ように なる。

す な わ ち,

(10.15)

  い ま,端 子 電 圧 の 大 き さ を一 定 に 保 ち,供 δ を調 整 す る 必 要 が あ る。 す な わ ち,有

給 す る 有 効 電 力 を一 定 に す る た め に は,

効 電 力P0を

供 給 す る δ0は(10.16)式

で表 さ

れ る。

(10.16)  これ を,発

電 機 が 供 給 す る無 効 電 力 を あ ら わ す(10.15)式

に代 入 す る と,(10.17)式

が 得 られ る。

(10.17)

  こ の 式 か ら明 らか な よ う に,発

電 機 の 有 効 電 力,端

圧 を大 き くす れ ば供 給 で き る 無 効 電 力 が 増 加 し,逆 電 力 が 減 少,場

合 に よ っ て は,無 効 電 力 が 負,す

子 電 圧 を一 定 に保 て ば,背

後電

に,背 後 電 圧 を小 さ くす れ ば無 効

な わ ち,無 効 電 力 を消 費 す る こ とが

で きる。   電 力 系 統 に お い て は,発 電 機 は 自 動 電 圧 調 整 装 置(AVR:Automatic  Regulator)に よ う に,励

よ っ て,端

子 電 圧 あ る い は 供 給 さ れ る無 効 電 力 が 決 め られ た 値 に な る

磁制 御 が行 われ る。

【 例 題10.3】 密 に は,短

電 圧 がEth,直

列 イ ン ピ ー ダ ン ス がZth,=j0.2puで

絡 イ ン ピ ー ダ ン スZth,=j0.2puと

と き,端 子 電 圧 はVt=0.97ej0puで

電 機 の 端 子 電 圧 の 大 き さが1.0puで,発

[解]  (a)発

後 電 圧Ee,お

無 効 電 力Qを

求 め よ。

電 機 が 系 統 に 同 じ有 効 電 力Pを

よ び 発 電 機 が 供 給 す る 無 効 電 力Qを

求 め よ。

電 機 か ら 系 統 へ 供 給 され る電 力 は

とな る。 ち な み に,発

  (b)系

電 流 を供給 してい る

あ る。

  (a)  発 電 機 端 子 か ら供 給 さ れ る 有 効 電 力Pと

供 給 し て い る場 合,背

表 さ れ る系 統(厳

な る ノ ー ド)に 同 期 リ ア ク タ ン ス1.0

puの 発 電 機 が 電 力 を供 給 して い る 。 発 電 機 がIg=0.8−j0.2の

  (b)発

Voltage

電 機 の 背 後 電 圧Eeは

統 の 電 圧Ethは,発

次 の よ うにな る。

電 機 端 子 電 圧 に 影 響 さ れ な い の で,発

Vt =0 .97ej0を 用 い て,Vt=Ig・Zth+Ethよ

電 機 端 子 電圧

り

となる。  一 方

,端 子 電 圧 の 大 き さ,お

よ び,発

電 機 か ら供 給 さ れ る有 効 電 力 か ら,端 子 電 圧

と大 規 模 系 統 の 電 圧 の位 相 差 δ は 次 の よ う に 計 算 さ れ る。

よ っ て,発

電 機 端 子 電 圧 の 位 相 は-0.170+0.165=-0.005radと

Vt=1.0ej(-0.005)。

な る 。 す な わ ち,

発 電 機 電 流Igは

で あ る 。 背 後 電 圧Egは

となる。  ち な み に,発 電 機 か ら供 給 さ れ る電 力 は

となる。

  こ の 例 題 の よ う に,発 電 機 端 子 電 圧 を上 げ る と,供 給 さ れ る無 効 電 力 が 増 加 す る こ とが わ か る 。 ま た,当

然 の こ と な が ら,発

圧 を上 げ る と い う こ とで,励

電 機 端 子 電 圧 を上 げ る とい う こ と は 背 後 電

磁 電 流 を増 加 させ る こ と に な る。

  こ の よ う に,発 電 機 端 子 電 圧 を変 化 させ る こ とで,発

電 機 か ら供 給 さ れ る 有 効 電 力

を変 え ず に 無 効 電 力 を 変 化 さ せ る こ とが で き る。

10.3.2 

電 力 用 コ ン デ ン サ,分

  無 効 電 力 の 供 給 源,吸 い られ る。 こ れ ら は,母 Capacitor)と (Shunt

よ ば れ,無

Reacter)と

路 リ ア ク トル

収 源 と し て は,コ

ン デ ンサ あ る い は リア ク トル が 一 般 的 に 用

線 に 並 列 に 接 続 さ れ る。 前 者 は 電 力 用 コ ン デ ン サ(Shunt 効 電 力 の 供 給 源 と し て 用 い ら れ,後

よ ば れ,無

効 電 力 の 吸 収 源(消

費 源)と

者 は 分 路 リ ア ク トル

して用 い られ る。

  系 統 に と っ て必 要 な 無 効 電 力 は 負 荷 の 状 態 に よ っ て 変 る た め,こ リア ク トル は ス イ ッチ で 接 続 され た り,切

れ ら コ ン デ ン サ,

り離 さ れ た りす る。 な お,ケ

ー ブル の対 地

静 電 容 量 を補 償 す る リア ク トル は 常 に接 続 さ れ て い る場 合 が あ る 。 これ に つ い て は, 直 付 け リ ア ク トル と よ ば れ る。   コ ン デ ンサ,リ の 大 き さ をVと

ア ク トル の ア ド ミ タ ン ス の 大 き さ をY,接 す れ ば,こ

れ ら に よ り,YV2の

続 され て い る母 線 電 圧

無 効 電 力 が供 給(負

の 場 合 は 吸 収)

さ れ る。 こ の 式 か ら明 らか な よ う に,母 線 電 圧 が 大 き く変 動 す る場 合 に は,供 収)さ

れ る無 効 電 力 が 大 き く変 動 す る とい う 欠 点 は あ る も の の,他

て 安 価 で 低 損 失 で あ る た め,広

10.3.3    第6章

給(吸

の 調 相 設 備 と比 べ

く用 い られ て い る 。

同期調相機 で 説 明 し た よ う に,同 期 機 は 励 磁 電 流 を変 え る こ とで 供 給(吸

電 力 を変 化 さ せ る こ とが で き る。 こ の 特 性 は 同 期 機 が 電 動 機,発

収)す

る無 効

電 機 の いずれ で運 転

さ れ て い て も同 様 で,線

路 に 無 負 荷 の 同 期 電 動 機 を 接 続 し て,励 磁 電 流 を 変 化 させ る

こ とで,供

る無 効 電 力 を 制 御 す る こ とが で き る。 この よ う な 目的 に用 い

給(吸

収)す

ら れ る 同 期 電 動 機 を 同 期 調 相 機 と よ ぶ 。 ス イ ッチ で 開 閉 す る電 力 用 コ ン デ ンサ ー や 分 路 リ ア ク トル と異 な り,連 続 的 に か つ 高 速 に無 効 電 力 を 調 整 で き る と い う 特 徴 が あ る。 た だ,電 力 用 コ ン デ ンサ ー や 分 路 リア ク トル に比 べ て 高 価 で あ る こ と,回 転 機 で あ る た め メ ン テ ナ ン ス が 面 倒 で あ る とい う欠 点 も あ り,電 圧 維 持 の ニ ー ズ が 特 に 強 い 特 定 の 変 電 所 に の み 設 置 され る の が 現 状 で あ る 。

10.3.4 

静止 型無効電 力補償装置

  静 止 型 無 効 電 力 補 償 装 置(SVC:Static

Var

Compensator)は,半

流 ス イ ッ チ と して 利 用 し,等 価 的 に イ ン ピ ー ダ ン ス を可 変 に して,無 る も の で あ る。SVCに Reactor)は

導体 素 子 を交 効 電 力 を制 御 す

は い く つ か の 種 類 が あ り,TCR(Thyristor

リ ア ク トル,TSC(Thyristor

い ず れ も直 列 に つ な が れ た 半 導 体 素 子(サ

Switched

Capacitor)は

Controlled コ ン デ ン サ を,

イ リス タ)で 制 御 し,供 給 す る無 効 電 力 を

調 整 す る もの で あ る。   な お,近 Bipolar

年 はGTO(Gate

Thyristor)の

Turn-off

よ う に,オ

Thyristor)やIGBT(Insulated

Gate

ン す る タ イ ミ ン グ もオ フ す る タ イ ミ ン グ も 自 由 に

制 御 で き る 自 己 消 弧 型 デ バ イ ス を 用 い た 自 励 式 無 効 電 力 補 償 装 置(STATCOM: STATic

COMpensator)も

導 入 さ れ つ つ あ る。SVCと

コ ン デ ンサ を設 け ず に無 効 電 力 を制 御 で き る た め,省

異 な り,外 部 に リ ア ク トル や ス ペ ー ス 化 が 図 れ る こ と,系 統

電 圧 が 大 き く低 下 し た と き で も電 圧 維 持 能 力 が 高 い とい う特 徴 が あ る 。

10.4 

電 圧 無 効 電 力 制 御

  電 力 系 統 内 各 部 の 電 圧 を 基 準 値 付 近 に維 持 す る こ と は,需 質 を保 つ 上 で 重 要 で あ る と と もに,系 る。 さ ら に,供 給 の 安 定 性(系

要 家 に供 給 す る電 力 の 品

統 構 成 機 器 の安 定 的 な利 用 の う え で も重 要 で あ

統 で 事 故 が 発 生 した 際 に,供

こ す こ と な く供 給 を 継 続 す る能 力)や

給 支 障(停

電)を

引 き起

送 電 損 失 の 低 減 と い っ た 観 点 か ら も重 要 で あ

る。   これ ま で に 説 明 し て き た よ うに,系

統 内 の 電 圧 に対 す る感 度 は,有

電 力 の 方 が は る か に大 き い 。 す な わ ち,系 明 した 無 効 電 力 の 供 給(消   この ほ か,第3章

費)量

効 電 力 よ り無 効

統 内 の 電 圧 を 制 御 す るた め に は,前 節 で 説

を 制 御 す る の が 効 果 的 で あ る。

で 説 明 し た 変 圧 器 の タ ッ プ 制 御(タ

ッ プ 切 換)も

電圧 制御 の 目的

に用 い られ る 。 変 圧 器 は 基 準 とな る電 圧 に 対 応 した タ ップ の 前 後 に ±2.5%も ±1.5%き

ざ み で 数 個 の タ ッ プ が つ け られ て い る の が 普 通 で,こ

し くは

の タ ッ プ を切 り換 え

る こ と で 電 圧 を制 御 す る もの で あ る 。 無 効 電 力 を制 御 す る の で は な く,電 圧 を直 接 制 御 す る もの で,基

幹 系 統 の 変 圧 器 か ら配 電 系 統 の 変 圧 器 に 至 る ま で,幅

て い る。 特 に,電

圧 制 御 に お い て は,負

し に)タ Tap

電圧 にす る ことな

ッ プ を 切 り替 え る こ とが で き る 負 荷 時 タ ッ プ 切 換 装 置(LTC:On-Load

Changer)付

(吸収)す

荷 電 流 を流 し た ま まで(無

広 く用 い られ

の 変 圧 器 が 用 い られ る 。 変 圧 器 の タ ッ プ 制 御 は 無 効 電 力 を 供 給

る も の で は な い が,無

効 電 力 の 流 れ を制 御 で き,電

圧 分 布 を 変 え る こ とが

で き る もの で あ る。   電 圧 制 御(一

般 に は,無

御(VQC:Voltage

効 電 力 の 調 整 に よ る電 圧 制 御 で あ る た め,電

Reactive

Power

Control)と

り,前 述 の よ う に ロ ー カ ル 性 が 強 い た め,2つ

10.4.1 

中 央 制 御 方 式(ま

た は,総

よ ば れ る)は,周

圧無 効電 力制

波 数 制 御 と異 な

の方式 に分 けられ る。

合 制 御 方 式)

  中 央 給 電 指 令 所 に す べ て の情 報 を集 め て 集 中 管 理 し,系

統 全 体 か ら見 て 最 適 な制 御

量 を決 定 す る方 式 で あ る 。 例 え ば,系 統 全 体 の 送 電 損 失 を 最 小 化 す る よ う な 目 的 関 数 を 選 定 し,こ

の 目的 関 数 が 最 小 とな る よ う に 個 々 の 変 電 所 に制 御 指 令 を 出 す 。 最 適 化

とい う観 点 か ら は優 れ て い る も の の,膨 処 理 が 必 要 で,電

10.4.2ロ

大 な デ ー タ の収 集,お

よ び,最

適 化の ため の

力 系 統 の 規 模 が 比 較 的 小 さ い 系 統 に適 した もの で あ る。

ー カ ル 制 御 方 式(ま

  各 変 電 所 に お い て,一

次 電 圧,二

た は,個 次 電 圧,変

別 制 御 方 式) 圧 器 通 過 無 効 電 力 な ど,あ

らか じ め 決

め ら れ た 範 囲 に お さ ま る よ う,制 御 量 を変 電 所 ご と個 別 に 決 定 す る 方 法 で あ る 。 上 記 範 囲 は,系

統 の 状 態 に 応 じ て ス ケ ジ ュ ー ル 的 に(時

間 ご と に)決

定 され る こ とが 多

い 。 電 力 系 統 の 規 模 が 大 き い 系 統 に適 し た も の で あ る。

  こ こで は,ロ

ー カ ル 制 御 方 式 の 一 例 を示 す 。 ロー カ ル 制 御 方 式 に も制 御 目標 を何 に

す る か に よ り,い

くつ か の 種 類 が あ る が,一

次 側(高

圧 側)V1と

二 次 側(低

V2が と も に許 容 範 囲 に 入 る よ う に制 御 す る方 式 を示 す 。 図10.7は 例 で あ る 。 調 相 設 備 の頻 繁 な 入 り切 り,あ る よ う に,V1,V2に   も し,V1とV2が

る い は変 圧 器 タ ップ の頻 繁 な 切 換 を 防 止 す

は 不 感 帯 が 設 け られ て い る。 この 不 感 帯 を外 れ て第 一 象 限 に あ る場 合 は,無 効 電 力 の供 給 が 過

剰 で あ る た め,電 (ShR)を

圧 側)

その制 御 方 式 の一

力 用 コ ン デ ン サ(SC)を

る い は,分

路 リ ア ク トル

入 れ る な どの 制 御 を行 う。 逆 に 第 三 象 限 に あ る場 合 は,無

効 電力 が 不足 し

て い る こ と か ら,ShRを   一 方,V1とV2が

切 る,あ

る い は,SCを

切 る,あ

入 れ る な どの 制 御 を 行 う。

第 二 象 限 に あ る場 合 は,二 次 側 の 無 効 電 力 が 過 剰 で,一

効 電 力 が 不 足 し て い る こ とか ら,変 圧 器 の 巻 線 比 を 変 化 さ せ,二 効 電 力 の 不 足 分 が 流 れ る よ う に す る 。 具 体 的 に は,例 側 が275kVの

場 合,事

前 の 巻 線 比 が500/275で

巻 線 比 を大 き くす る 方 向 に切 換 え る。 逆 に,第 力 が 過 剰 で,二

え ば,一

次側 の無

次 側 か ら一 次 側 に無 次 側 が500kV,二

あ っ た とす る と,500/260の 四 象 限 に あ る場 合 は,一

次 よ うに

次側 の無効 電

次 側 の 無 効 電 力 が 不 足 し て い る こ と か ら,変 圧 器 の 巻 線 比 が 小 さ くな

る よ う に タ ッ プ を 制 御 し,一 次 側 か ら二 次 側 に 無 効 電 力 の 変 化 分 が 流 れ る よ う に す る。

 

問題 (1)154kVの P=1puの

無 限 大 母 線 か ら,イ

ン ピ ー ダ ン ス0.02+j0.1を

介 し て 力 率0.9,

負 荷 に電 力 を供 給 し て い る 。

  ①  負 荷 の 無 効 電 力Q,受

電 端 電圧 の 大 き さVrを

計算 せ よ。

② 〓を求めよ。 (2)図10.8の

よ う に 負 荷 にP,Qを

供 給 し て い る 送 電 線 が あ る。 受 電 端 側 の 電 力

用 コ ン デ ンサ の 容 量 を連 続 的 に変 化 で き る と した 場 合,送 た め の 条 件,す

な わ ち,Q,V,Cの

電 損 失 を 最 小 にす る

関 係 式 を求 め よ 。 送 電 線 の 静 電 容 量 は無 視

す る。

図10.8

(3)変

電 所 の 一 次 側(高 場 合,変

電 圧 側)の

電 圧 が 高 く,二 次 側(低

電 圧 側)の

電圧 が 低 い

圧 器 の タ ッ プ比 は ど の よ う に 制 御 す べ き か?

【 解 答 は巻末 】

第11章  電力システムの経済運用

  一 日 の 電 力 負 荷 変 化 に対 し て,火 力 ・水 力 発 電 ユ ニ ッ ト を ど の よ う に運 転 す るの が 経 済 的 か を決 定 す る こ と は 非 常 に 重 要 な 問 題 で あ る。 こ の た め に,本 に,負 荷 曲線 に つ い て 説 明 す る。 こ の 後,運

章 で は,最

初

用 の 基 本 とな る 発 電 ユ ニ ッ トの 特 性 に つ

い て 説 明 し,火 力 発 電 ユ ニ ッ トか ら な る系 統,火

力 ・水 力 発 電 ユ ニ ッ トか らな る 系 統

に対 し て 経 済 的 な 出 力 配 分 を 与 え る協 調 方 程 式 を導 出 す る。 最 後 に,火

力発 電 ユニ ッ

トの起 動 停 止 計 画 に つ い て も簡 単 に 説 明 す る。

11.1 

経 済 運 用

  電 力 シ ス テ ム に お い て は,日 第9章

で 説 明 し た よ う に,負

々 の 需 要 に 見 合 っ た 量 の 電 力 を供 給 す る必 要 が あ る。 荷 の1日

の 変 化,す

な わ ち,負

荷 曲 線 は 図11.1に

示す

よ う に, (1)日

負 荷 変 動 に 見 られ る ゆ っ く り した 大 き な 変 化,サ

(2)変 化 量 は 大 き くな い が,短

ス テ イ ン ド分 と よ ば れ る 。

い 周 期 で 頻 繁 に起 こ る変 化,フ

図11.1 

負荷 曲線

リ ン ジ分 と よ ば れ る。

に 分 け る こ とが で き る 。 サ ス テ イ ン ド分 と よ ば れ る 大 き な変 化 は,曜 温,さ

日,天 候,気

ら に は イ ベ ン ト等 を 加 味 し て 予 測 す る こ とが で き る。

  電 力 シ ス テ ム に お い て は,こ

の 予 測 さ れ た 負 荷 曲 線 に対 し て,最

も経 済 的 な 運 用 を

行 う こ とが 重 要 とな る。 図11.1の

負 荷 曲 線 に見 ら れ る よ う に,最

大 需 要(季

域 に も よ る が,夏

ご ろ)と

ご ろ)に

期 で は 午 後2時

最 低 需 要(午

前4∼5時

節や地

は大 き な

差 が あ る。 も し,最 大 需 要 を供 給 す る こ とが で き る発 電 設 備 を 一 日中 運 転 す る と す れ ば,最

低 需 要 付 近 で は 出 力 を か な り絞 り込 ま ざ る を得 ず,後

述 す る よ う に,こ

のよう

な 運 用 は非 常 に非 効 率 的 で あ る。 こ の た め,負 荷 に応 じ て 発 電 設 備 を運 転 し た り停 止 した りす る が,ど

の タ イ ミン グ で 発 電 設 備 を運 転 し,ど

済 的 で あ る か を 決 定 す る の が,発 一方

電 機 起 動 停 止 計 画(Unit

,運 転 す る発 電 設 備 が 決 ま っ た 状 態 で,出

Commitment)で

Load

Dispatch)で

燃料 費特性

  こ こ で は,ま

ず,火

力 発 電 ユ ニ ッ トの燃 料 費 特 性 に つ い て 説 明 す る 。 火 力 発 電 ユ ニ

ッ トは ボ イ ラ ー で 蒸 気 を 発 生 し,発 生 し た 蒸 気 で タ ー ビ ン を 回 転 し,そ で 発 電 機 を 回 す こ と に よ り電 気 を 発 生 す る。 す な わ ち,あ 生 す る の に 熱 量H〔kcal/h〕 よび,そ

図11.2(a)の ち,最

あ る。

火 力 発 電 ユ ニ ッ トの 経 済 負 荷 配 分

11.2.1 

HR)と

あ る。

力 を どの よ う に 配 分 す れ ば経 済 的 で あ

る か を決 定 す る の が 経 済 負 荷 配 分(ELD:Economic

11.2 

の タイ ミングで停止 すれ ば経

が 必 要 で あ る 。 こ のH/Pを

の 回 転 トル ク

る 電 気 出 力P〔MW〕

燃 料 消 費 率(Heat

を発 Rate:

の 逆 数 ηを 効 率 と よぶ 。 燃 料 消 費 率 は 一 定 で は な く,出 力 に 応 じ て

よ う な 特 性 を 持 ち,一

般 に 定 格 出 力(最

大 出 力)付

近 で 最 小,す

高効 率 と な る。

(a) 図11.2 

(b) 出力 と燃 料 消 費 率,燃 料費 の関 係

なわ

  と こ ろ で,使

用 す る燃 料 ご とに 発 生 熱 量 は決 ま っ て い る の で,1kcal発

必 要 な燃 料 単 価 をC〔¥/kcal〕

と す れ ば,出

力P〔MW〕

を1時

生 す るの に

間 発 生 す る の に必 要 な

燃料 費 は

(11.1)

とな る。 こ の 時 の,出   燃 料 費 特 性 は,タ もあ る が,お

力 と燃 料 費 の 関 係(燃

料 費 特 性)は

図11.2(b)の

よ う に な る。

ー ビ ン バ ル ブ の 動 作 等 の 理 由 で な め ら か な 変 化 とな らな い ケ ー ス

よ そ 下 に 凸 の 曲 線 と考 え て 差 し支 え な い。 こ の 特 性 を二 次 関 数 で 近 似 す

る の が 普 通 で あ る。

11.2.2 

ラ グ ラ ン ジ ェ の 未 定 乗 数 法*

  こ こで は,経

済 負 荷 配 分 を考 え る と き に 用 い られ る ラ グ ラ ン ジ ェ の 未 定 乗 数 法 に つ

い て 説 明 す る。   変 数x1,x2…xnに

対 して,以

  目 的 関 数 ：f(x1,x2,…,xn)→  制 約 条 件

下 の 問 題 を考 え る 。(m＜n) 最 小 化(min)

：g1(x1,x2,…,xn)=0  g2(x1,x2,…,xn)=0 …… 

(11.2)

gm(x1,x2,…,xn)=0

  この 問 題 に 対 し て は,制

約 条 件g1,g2,…gmに

対 応 付 け てm個

λmを導 入 す る。 こ の 変 数 を ラ グ ラ ン ジ ェ 乗 数(Lagrangian 時,ラ

グ ラ ン ジ ェ関 数Iは

の 変 数λ1,λ2,…

multiplier)と

よぶ。 この

以下 の よ うに なる。

(11.3)  n個

の 変 数x1,x2,…,xnは

す べ て 独 立 で あ る と考 え,Iの

し,こ

こで は,λ1,λ2,… ，λmは定 数 で あ る が,そ

の 値 はIを

最 小 値 を求 め る。 た だ 最 小 化 した 後,m個

約 条 件 を 満 足 す る よ う に 決 定 す る も の と す る。 変 数x1,x2,…,xnが て い る 限 り,Iの わ ち,制

第2項

以 下 は 常 に0と

約 を満 足 す るx1,x2,…,xnに

*  な お,詳

な る か ら,I=fと

制 約条 件 を満 足 し

な り,Iの

対 す るfの 最 小 値 と な る。

細 に つ い て は,非 線 形 最 適 化 に関 す る 書 籍 を参 考 に され た い 。

の制

最小 値 は す な

  Iの 最 小 値 は,n個

の 独 立 変 数x1,x2,…,xnに

つ い て,Iを

偏微 分 し

(11.4)

と お い て,x1,x2,…,xnに

つ い て 解 け ば よ い 。 こ の よ う に し て 得 ら れ た 解 は λ1,λ2,…,λm

の 関 数 と な り,

(11.5)

と 表 さ れ る の で,す

べ て の 制 約 条 件 を 満 足 す る よ う に λ1,λ2,…,λmを

決 めて や れ ば よ

い こ とにな る。   す な わ ち,(11.6)式

を 満 足 す るx1,x2,…,xn,λ1,λ2,…,λmに

つ い て解 け ば よい こ と

に なる。

(11.6)

【 例 題11.1】

変 数x1,x2に

対 して,以

下 の 問 題 を考 え よ。

  目的 関 数   f=x12+x22→min  制 約 条 件  x1+2x2-2=0 [解]  ラ グ ラ ン ジ ェ 関 数Iを(11.3)式

とな る。

に な ら っ て 作 る と,

 (11.6)式

よ り,

の連 立方程 式 を解 け ば よい。   よ って,x1=2/57,x2=4/5の   な お,こ

と き,最 小 値4/5と

の 例 題 の 目 的 関 数fは,x1-x2平

す な わ ち,目

的 関 数 の 最 小 値 は,x1+2x2=2に

な る 。 値 が 一 致 す る こ と を,各

11.2.3   い ま,n台

な る。

面 に お け る 原 点 か ら の 距 離 を意 味 す る 。 原 点 か ら垂 線 を 引 い た と き の 距 離 と

自,試 み られ た い 。

火 力 発 電 ユ ニ ッ トの 最 適 出 力 配 分(送 の 火 力 発 電 ユ ニ ッ ト を運 転 し,あ

電 損 失 を 考 慮 し な い 場 合)

る 予 測 さ れ た 電 力 負 荷PRを

る こ と を考 え よ う。 各 ユ ニ ッ トが どの よ う な 出 力 で 運 転 す れ ば,燃 だ ろ うか 。 各 ユ ニ ッ トの 出 力 をPi， 燃 料 費 特 性 をFi(Pi)と

を 満 足 す るP1,P2,…,Pnの

を最 小 に す るP1,P2,…Pnを

満足 させ

料 費が 最小 とな る

す れ ば,

う ち,

求 め れ ば よ い こ と に な る。 す な わ ち,次

の よ うな 問題 と

して 定 式 化 で き る。   目 的 関 数:

(11.7)

 制約条件: (11.8)

  こ の 問 題 に 対 し て,前 最小化 す る。

述 のLagrangeの

未 定 乗 数 法 を 適 用 し,Lagrange関

数Iを

(11.9)   (11.6)式 に し た が っ て,Iを 同 時 に制 約 条 件(11.8)式

各 変 数P1,P2,…

，Pnに つ い て 偏 微 分 し,ゼ

を連 立 さ せ る こ とで,以

ロ と お き,

下 の 式 が 得 ら れ る。

(11.10)

 す なわ ち,

(11.11)

  (11.11)式 を 満 足 す るP1,P2,… dFi/dPiを

，Pnで 運 転 す れ ば,燃

増 分 燃 料 費(incremental

満 足 し つ つ,増

fuel cost)と

料 費 が 最 小 と な る 。 こ こで,

よぶ 。(11.11)式

は需 給 バ ラ ン ス を

分 燃 料 費 が 等 し くな る 出 力 で 運 転 す る の が 燃 料 費 が 最 小 と な る こ とを

意 味 し て い る。 これ を等 増 分 燃 料 費 則 と よ び,火

力 ユ ニ ッ トの 経 済 運 用 の 基 礎 と な る

考 え 方 で あ る。   い ま,各 発 電 ユ ニ ッ トの 燃 料 費 特 性 は 出 力 の 二 次 関 数 で 近 似 で き る の で,   Fi=ai+biPi+ciPi2と

表 せ ば,

(11.12)

 よ っ て,

(11.13)  こ の 式 を 需 給 バ ラ ン ス の 式 に 代 入 す れ ば,

(11.14) が 得 られ る 。 こ こで,λ は(11.14)式

を 満 足 す る よ う に選 ぶ 必 要 が あ る 。 す な わ ち,

(11.15)

とな る 。   こ の λを 用 い て,各

発 電 ユ ニ ッ トの 最 適 出 力 が 次 の よ う に 決 定 され る。

(11.16)

【 例 題11.2】 MWの

次 の 燃 料 費 特 性 を持 つ2台

間 で 経 済 運 用 を 行 な っ た 時 の,そ

の 火 力 ユ ニ ッ トで,負

荷 が80MWか

ら300

れ ぞ れ の ユ ニ ッ トの 出 力 配 分 を グ ラ フ で 表

わ せ。

[解]  等 増 分 燃 料 費 則 に した が い,各

発 電 ユ ニ ッ トの 出 力 は 次 の 式 を 解 く こ とで 求 め

られ る。

 した が っ て,

と な る。   グ ラ フ に あ らわ す と,図11.3の   こ こ で,負 トAの

荷 が175MWよ

よ う に な る。

り も大 き くな る と,等 増 分 燃 料 費 則 で 得 られ る ユ ニ ッ

出 力 は最 大 出力 の100MWを ニ ッ トBで

超 え る の で,そ

れ 以 降 は,ユ

ニ ッ トAの

100MWに

固 定 さ れ,ユ

100MWよ

り も小 さ くな る と,等 増 分 燃 料 費 則 で 得 ら れ る ユ ニ ッ トBの

出力は

残 りが 供 給 さ れ る こ と に な る。 同 様 に,負 荷 が 出 力 は最 小

図11.3 

出 力 の50MWを

下 回 る の で,出

A，Bユ

ニ ッ トの 出 力 配 分

力 は50MWに

固 定 さ れ,残

りを ユ ニ ッ トAが

供給

す る こ と に な る。

  例 題11.2で 出 力(出

も わか る よ う に,実

力 上 下 限)が

際 に は各 発 電 ユ ニ ッ トに は 運 転 で き る最 小,最

大

存 在 す る 。 こ こ で 導 い た 式 で は,こ れ ら各 ユ ニ ッ トの 最 小,最

大 出 力 を考 慮 し て い な い た め,こ

れ ら を 考 慮 した 場 合 の 扱 い は幾 分 複 雑 とな る。 しか

し,こ の 場 合 で も等 増 分 燃 料 費 則 は 満 足 され て い る の で,以

下の フロー で最適 出力 配

分 を 決 定 す る こ とが で き る 。 (1)増 分 燃 料 費 λの 初 期 値 を与 え る。 例 え ば,任

意 の 発 電 ユ ニ ッ トの 最 大 出 力 時 の

増 分 燃 料 費 とす る 。 (2)与

え られ た λに 等 し くな る 各 発 電 ユ ニ ッ トの 出 力 を計 算 す る 。 も し,こ

の値 が

最 小 出 力 を下 回 っ て い れ ば 最 小 出 力 に,最 大 出 力 を 上 回 っ て い れ ば 最 大 出 力 に 設 定 す る(等 増 分 燃 料 費 則 の 考 え 方)。 (3)発 電 ユ ニ ッ ト出 力 の 総 和 を計 算 す る 。 (4)出

力 の 総 和 が 負 荷 を 下 回 っ て い れ ば λを 大 き く,逆 に 出 力 の 総 和 が 負 荷 を 上 回

っ て い れ ば λ を小 さ くす る。 (5)(2)∼(4)を   な お,(2)に

出 力 の 総 和 と負 荷 が 十 分 に近 づ く まで 繰 り返 す 。 お い て 与 え ら れ た λに対 して,最

は,出 力 と増 分 燃 料 費 の 関 係 を 図11.4の

小,最

大 出 力 を逸脱 した場 合 の処 理

よ う に考 え て い る の と 同 じ こ と で あ る。

図11.4 

11.2.4 

火 力 発 電 ユ ニ ッ ト の 最 適 出 力 配 分(送

  電 力 系 統 に お い て は,送 同 じ2つ

最 大 ・最 小 出力 で の 増分 燃 料 費 の扱 い方

電 損 失 を 考 慮 す る 場 合)

電 設 備 の 抵 抗 分 に よ り損 失 が 生 じ る。 も し,燃 料 費 特 性 の

の発 電 ユ ニ ッ トが あ り,一 つ は 負 荷 の 近 く,も う一 つ は 負 荷 か ら離 れ て い る

な ら ば,明

らか に 負 荷 の 近 くに あ る 発 電 ユ ニ ッ トの ほ うが 損 失 が 発 生 し な い 分,経

済

的 に有 利 で あ る。 こ の よ う に,経 済 負 荷 配 分 に お い て も送 電 損 失 を考 慮 す る必 要 が あ る。   一 般 に 系 統 内 の送 電 損 失PLは

各 発 電 ユ ニ ッ ト出 力 の2次

式 と して,以

下 の よ うに

表 現 で き る。

(11.17)

  ここで,BlmをB係

数 とよび,系 統 内 各部 の電 圧,相 差 角(位 相 角)等 で 表 現 さ

れ る。 す なわ ち,経 済 負荷 配分 に よ り発電 ユニ ッ トの出力 を変化 させれ ば潮 流分 布 が 変わ り,B係

数 その もの の値 が変 わ る こ とに な るので,送 電 損失 を考 慮 した 経済 負荷

配分 を厳密 に行 お う とす る とは なはだ都 合 が悪 い。 しか しなが ら,あ る潮 流 分布 が与 えられた場合(こ れ を基準 潮 流状 態 とよぶ),発 電 ユ ニ ッ ト出力 をわ ず か に変 えて も 系統 内各部 の相差 角,電 圧値 は ほぼ一 定 と考 え られ るので,実 用的 に はB係 数 は定 数 と考 えて も差 し支 えな い。  送 電損 失 を考 慮 した場 合 の定 式化 は,前 節 の送 電損失 を考 慮 しない場 合 の需 給バ ラ ンスの式 に送電 損 失が組 み込 まれ る こ とに な る。 す なわち,  目的関 数:

(11.18)

 制約条件: (11.19)

  前 節 と同 様 にLagrange関

数Iは

(11.20) と な る の で,Iを

各 変 数 で 偏 微 分 して0と

お く こ とで,以

下 の 式 が 得 ら れ る。

(11.21)

  こ こ で,1/(1-∂PL/∂Pi)≡Liを

ペ ナ ル テ ィー 係 数(Penalty

  送 電 損 失 を 考 慮 し な い場 合,す

な わ ち,PL=0の

  この 送 電 損 失 を 考 慮 し た 式 を,火

Factor)と

場 合,Li=1と

よぶ。

なる。

力 の 協 調 方 程 式(Coordination

Equation)と

よ

ぶ。   ペ ナ ル テ ィ ー 係 数 の意 味 に つ い て 考 え て み よ う。 ∂PL/∂Piは,i発 力 を 変 化 さ せ た と き の 送 電 損 失 の 変 化 率 を 示 し て い る 。 い ま,i発 をΔPi増

加 さ せ る と送 電 損 失 は ∂PL/∂Pi×ΔPiだ け 増 加 し,結

-∂PL/∂Pi)×ΔPiし か 増 え な い こ と に な る。 す な わ ち,ペ 点 で 単 位 量 の 負 荷 を 供 給 し よ う と した と き に,発

(正味 の 増 分 燃 料 費 に1よ

局,負

荷 地 点 で は(1

ナ ル テ ィー 係 数 と は負 荷 地

電 ユ ニ ッ トが どれ だ け発 電 し な け れ

ば な らな い か を 示 して い る とい え る 。 この こ とか ら,ペ う こ とは 送 電 損 失 が 大 き い とい う こ とで,負

電 ユ ニ ッ トの 出 電 ユ ニ ッ トの 出 力

ナ ル テ ィ ー 係 数 が 大 き い とい

荷 か ら見 た 場 合,増

分 燃 料 費 を高 く見 て

り大 き い ペ ナ ル テ ィ ー 係 数 が か か っ て い る た め)配

分す る

必 要 が あ る と い う こ とで あ る 。

【 例 題11.3】

例 題11.2の2台

の各 ケ ー ス に対 し て,そ

の ユ ニ ッ トで150MWの

負 荷 に供 給 し て い る。 以 下

れ ぞ れ の ユ ニ ッ トの 出 力 配 分 を求 め よ。

  (1)送

電損 失 を考慮 しない場 合。

  (2)送

電 損 失 を 考 慮 す る場 合 。 ペ ナ ル テ ィ ー 係 数Liを

ッ トBは0.95,系 [解]  (1)例

統 全 体 の 送 電 損 失 を5%と 題11.2のPR=150と

ユ ニ ッ トAは0.9,ユ

せ よ。

し て 計 算 す る と,P1=83.3MW,P2=66.7

ニ

MW  (2)

  損 失 を 考 慮 し た 場 合,(11.21)式

か ら,以 下 を解 く こ と で 出 力 が 計 算 され る 。

 こ れ を 解 く と,P1=93.5MW,P2=64.0MW

11.3 

火力,水

11.3.1 

力発電ユニ ッ トの経 済負荷 配分

水火協調 方程式

  これ ま で は,火

力 発 電 ユ ニ ッ トか ら な る系 統 の 最 適 負 荷 配 分 に つ い て 取 り扱 っ て き

た 。 実 際 の 系 統 で は,火 力 だ け で な く,水 力 発 電 ユ ニ ッ ト も運 用 さ れ て い る の で,こ れ ら も考 慮 し た 経 済 運 用 を考 え る必 要 が あ る。   と こ ろ で,水

力 発 電 は,自

流 式(流

れ 込 み 式),調

整 池 式(貯

水 池 式),揚

水 式 の3

つ の タ イ プ に分 け られ る。 自 流 式 水 力 は ダ ム の貯 水 能 力 が 非 常 に小 さ く,上 流 か ら流 れ て き た 水 を貯 め て お く こ とが で き ず直 ち に 発 電 す る タ イ プ で あ る。 こ の よ うな タ イ プ の 発 電 所 は 出 力 の 調 整 はで き な い た め,経

済 負荷 配 分 の対 象 とは せ ず,マ

イナ スの

負 荷 と同 じ扱 い を す る。 調 整 池 式 水 力 は 大 きな ダ ム を 有 し,貯 水 能 力 が 大 き い 。 こ の た め,必

要 な と き,例

え ば 経 済 的 に 有 利 な時 に発 電 す る こ とが 可 能 で あ る 。 揚 水 式 水

力 は 夜 間 等 の 負 荷 が 小 さ い 時 に下 池 の 水 を上 池 に く み上 げ,昼

間 に 上 池 に貯 え られ た

水 を 使 っ て 発 電 す る タ イ プ で あ る。 こ の た め,揚 水 発 電 所 に は発 電 機 で は な く,発 電 電 動 機(発

電 機 と し て も モ ー タ ー と し て も使 え る)が 備 え られ て い る。 経 済 負 荷 配 分

の 対 象 とな る の は,調 整 式 あ る い は 揚 水 式 発 電 所 で あ る 。   水 力 発 電 ユ ニ ッ トは燃 料 が 不 要 で あ る の で,発 料 費 を節 約 で き る。 しか しな が ら,使 され た 負 荷 に対 し て,ど

電 す れ ば す る ほ ど火 力 ユ ニ ッ トの 燃

う こ と の で き る水 量 は 限 られ て い るの で,予

の 時 間 帯 に どの 程 度 発 電 す れ ば よ い か,す

な わ ち,水

測

を最 大

限 有 効 に 利 用 して 火 力 燃 料 費 を 最 小 に す る よ う な 運 転 を 決 定 す る必 要 が あ る。 こ れ が,水 火 協 調 運 用 と よ ば れ る も の で あ る。   と ころ で,水

力 発 電 ユ ニ ッ トに も,火 力 の 燃 料 費 特 性 と類 似 の 特 性 が あ る。 す な わ

ち,水 力 ユ ニ ッ トは水 の 力 で水 車 を 回 し,こ の 機 械 的 トル クで 発 電 機 を回 転 さ せ,電 力 を 発 生 さ せ て い る。 こ の た め,あ 〔m3/sec〕 の 水 量 が 必 要 で あ る。PとWの 11.4の

よ う な 関 係 とな る。 こ こ で,注

る 電 気 出 力P〔MW〕

を 発 生 す る た め に はW

関 係 は使 用 水 量 特 性 と よ ば れ,一 意 す べ き こ と は,水

般 に,図

力発 電 の原 理 が 水 の持 つ

位 置 エ ネ ル ギ ー を 電 気 エ ネ ル ギ ー に変 え て い る と い う こ と で あ る。 す な わ ち,同 m3の

水 で あ っ て も落 差 が10mと100mで

高 落 差 の 発 電 所 す な わ ち,貯

じ1

はそ のエ ネル ギー に大 き な違 い が あ る。

水 池 と発 電 ユ ニ ッ トの 間 に大 き な高 低 差 が あ る場 合 は,

貯 水 池 の水 位 が 少 し 変 動 し て も全 体 と し て の 位 置 エ ネ ル ギ ー は あ ま り変 わ ら な い の で,水 位 に 関 係 な く 図11.5の き る。 一 方,低 る た め,厳

よ う な 電 気 出 力Pと

水 量Wの

関 係 を 求 め る こ とが で

落 差 の 発 電 所 で は 貯 水 池 の 水 位 変 動 が 位 置 エ ネ ル ギ ー に大 き く影 響 す

密 に は,電

気 出 力Pは

水 量Wと

貯 水 池 水 位Hの

差 変 動 が な い,あ

る い は 一 定 の 場 合 と よ び,後

が,こ

差 変 動 が な い場 合 に つ い て 説 明 す る 。

こで は,落

関 数 と な る。 前 者 を 落

者 を 落 差 変 動 を 考 慮 す る場 合 と よ ぶ

  水 火 協 調 運 用 を 決 定 す る 式 は ど の よ うに な る の で あ ろ う か 。 こ こ で 注 意 し な け れ ば な ら な い の は,火

力 発 電 ユ ニ ッ トの み の 経 済 負 荷 配 分 で は1つ

の時 間断面 の 負荷 に対

して 各 発 電 ユ ニ ッ トの 出 力 を決 定 で きた の に 対 し,水 火 協 調 運 用 で は あ る一 定 期 間 の 使 用 水 量 を制 約 と し て 考 え な け れ ば な らな い と い う こ と で あ る。 す な わ ち,時

間 の要

素 が導 入 され る ことに なる。   目的 関 数 は,あ は,需

る一 定 期 間 の 火 力 発 電 ユ ニ ッ トの 全 燃 料 費 で あ る 。 制 約 条 件 と し て

給 バ ラ ン ス 以 外 に水 力 発 電 所 の 使 用 水 量 制 約 が 新 た に追 加 さ れ る 。 送 電 損 失 に

関 し て は,火 力 の み の ケ ー ス と ま っ た く同 様 に扱 え る の で,以 下 の定 式 化 で は 送 電 損 失 は考 慮 しな い こ と とす る 。   目 的 関 数:

(11.22)

図11.5 

使 用 水量 特 性

 制約条件:

(11.23)

  こ こ で,PTit:i火 PHjt:j水

力 発 電 ユ ニ ッ トの 時 刻tに

お け る出力

力 発 電 ユ ニ ッ トの 時 刻tに

お ける出力

Wj(PHj):j水 Wj0:j水 PRt:時

力 発 電 ユ ニ ッ トの使 用 水 量 特 性

力 発 電 ユ ニ ッ トの 使 用 水 量 刻tに

お ける電力 負荷

  この 問 題 に 対 して も,Lagrangeの 制 約 に対 し て λt(t=1,2,…,l),次 定 乗 数 を 導 入 し てLagrange関

未定 乗 数法 が適 用で きる。最 初 の需 給バ ラ ンス の 使 用 水 量 制 約 に 対 し てγj(j=1,2,…,m)な

数Iを

構 成 し,そ

る未

の最小 化 を図 る。

(11.24)   PTit,PHjtの

各 変 数 で 微 分 し,0と

お き,制 約 条 件(11.23)式

を連立 させ る こ とで以

下 の 式 が 得 ら れ る。

(11.25)

 す な わ ち,

(11.26) が得 られ る。前2項 が火力 ユニ ッ トの みの場 合 の等増 分 燃料 費 則 に対 し,新 た に第3

項 が 追 加 さ れ て い る。 こ れ が送 電 損 失 を考 慮 しな い場 合 の 水 火 協 調 方 程 式 で あ る。   な お,11.2.4と

同 様 に し て,送

電 損失 を考慮 した場 合 の水 火協 調 方 程 式 は次 式 の

ように なる。

(11.27)   dWj/dPHjtは,j水 示 す も の で,火 方,未

力 ユ ニ ッ トが さ ら に 出 力 を単 位 量 増 加 さ せ る の に 必 要 な 水 量 を

力 発 電 ユ ニ ッ トの増 分 燃 料 費 に 対 し て 増 分 使 用 水 量 と よ ば れ る 。 一

定 乗 数 のγ は水 火 協 調 方 程 式 か らdF/dWの

水 量 を 単 位 量 変 化 させ る こ とが,火 表 わ す もの で,そ

意 味 を持 っ て い る 。 これ は,使

用

力 発 電 ユ ニ ッ トの 燃 料 費 を い く ら変 化 さ せ る か を

の 水 力 発 電 所 の 水 の 価 値 と い え る。 そ こ で,γ

を増分 水 単価 とよ

ぶ。

【 例 題11.4】

例 題11.2の2台

ッ ト1台 が あ る 場 合,負 め よ 。 な お,増

の 火 力 ユ ニ ッ トに 下 記 の 使 用 水 量 特 性 を 持 つ 水 力 ユ ニ

荷300MWに

分 水 単 価 γは100と

供 給 す る と きの,各

ユ ニ ッ トの 出 力 配 分 を 求

し,送 電 損 失 は考 慮 し な い 。

  水 力 ユ ニ ッ トの 使 用 水 量 特 性 ：W(P3)=5×10-3P32+P3+5(m3/sec) [解]負

荷300MWの

視 して,水

と きの 最 適 配 分 で あ るの で,(11.26)式

に お い て 添 え 字tを

無

火 協 調 方 程 式 を立 て る と,

と な る 。P1,P2,P3を

λの 関 数 と し て 表 し,上 記 第2式

  よ っ て,P1=70MW,P2=60MW,P3=170MWと

に代 入 す る と λ=270と

な る。

な る。

  こ の 例 題 で は,増 分 水 単 価 γの 値 が 与 え ら れ て い た が,普 程 で 決 定 さ れ る も の で あ る。 そ れ で は,こ

通,こ

の γは計 算 の過

れ を い か に計 算 す る の で あ ろ う か? 

一般

に 以 下 の よ うな 繰 り返 し計 算 で 各 ユ ニ ッ トの 出 力 配 分 が 決 定 で き る。 (1)水 力 発 電 所 ご と の 増 分 水 単 価 γjの初 期 値 を与 え る。 例 え ば,任 意 の 正 の 数 を 与 え る。 (2)各 時 間 ご と の 増 分 燃 料 費 ラ ム ダtの

初 期 値 を与 え る 。

(3)与

え られ たλt,γjを 用 い て,協

の 出 力 を 計 算 す る。 も し,こ

調 方 程 式 か ら各 火 力,水

力 ユ ニ ッ トの 時 間 帯 毎

の値 が 最 小 出 力 を 下 回 っ て い れ ば 最 小 出 力 に,最

大

出 力 を上 回 っ て い れ ば最 大 出 力 に 設 定 す る(等 増 分 燃 料 費 則 の 考 え 方)。 (4)時

間 帯 ご と に発 電 ユ ニ ッ ト出 力 の 総 和 を計 算 す る。

(5)出

力 の 総 和 が 負 荷 を下 回 っ て い れ ば λtを大 き く,逆 に 出 力 の 総 和 が 負 荷 を 上 回

っ て い れ ばλtを 小 さ くす る 。 (6)(3)∼(5)を

出 力 の 総 和 と負 荷 が 十 分 に近 づ く ま で繰 り返 す 。 こ れ を す べ て の 時

間 帯 で 行 う。 (7)各 水 力 発 電 所 の 使 用 水 量 を計 算 す る。 使 用 水 量 が 指 定 値 よ り少 な い な ら ばγjを 小 さ く,多 い な ら ば γjを大 き くす る 。 (8)(3)∼(7)を

使 用 水 量 が 指 定 値 に 十 分 に近 づ く ま で繰 り返 す 。

  一 般 に 水 力 ・火 力 ユ ニ ッ トか ら な る系 統 の 運 用 計 画 は1時 日 単 位 で 決 定 さ れ る 。 す な わ ち,(6)の

間 き ざ み で,短

計 算 は 少 な くて も24の

くて も1

時 間帯 で 行 わ れ る こ

と に な る。

11.3.2    11.3.1で

水 火 協 調 方 程 式 の そ の他 の 適 用 説 明 し た 手 法 は 他 の 様 々 な ケ ー ス に も適 用 可 能 で あ る。 こ こ で は,揚

発 電 へ の 適 用,お

水

よ び,燃 料 消 費 量 制 約 の あ る火 力 発 電 ユ ニ ッ トへ の 適 用 に つ い て 説

明 す る。   (1)揚

水 発 電 ユ ニ ッ トを 含 む 系 統 の 最 適 運 用

  揚 水 発 電 も水 力 発 電 の ひ とつ の 方 式 で あ る が,上 す るた め,使

池 に くみ上 げ た 水 を 利 用 し て 発 電

用 水 量 特 性 の 扱 い が 少 し異 な る。 す な わ ち,揚 水 ユ ニ ッ トで は,使 用 水

量 特 性 は 図11.6の

よ うに 出 力Pが

マ イ ナ ス 側 す な わ ち動 力 と し て使 っ て い る場 合 も

考 慮 す る必 要 が あ る。 しか し な が ら,そ の 他 の 扱 い は ま っ た く同 じで あ る た め,水

火

協 調 方 程 式 は そ の ま ま用 い る こ とが で き る。   一 般 に,揚

水 発 電 は週 末 の 夜 間 に上 池 に水 を くみ 上 げ,平

う週 間 サ イ ク ル の 運 用 が 基 本 とな る 。 こ の た め,1週 必 要 が あ る。 また,運

用 途 中 で 上 池 が 溢 水(あ

日 の昼 間 に 発 電 す る と い

間 に わ た る 出 力 配 分 計 算 を行 う

ふ れ る)し

た り,空 に な らな い よ う チ

ェ ッ ク す る必 要 が あ る。 こ れ らの 条 件 は制 約 と し て 組 み 込 む こ とが 困 難 で あ る た め, 池 容 量 の 制 約 を緩 和(無

視)し

た 出 力 配 分 を決 定 した 後,シ

ミュ レー シ ョ ン で 上 池 の

水 位 チ ェ ッ ク を行 い,も

し上 記 の 違 反 が あ れ ば 出力 を調 整 す る手 法 が 一 般 的 で あ る。

  (2)燃

料 消 費 量 制 約 を 有 す る 火 力 発 電 ユ ニ ッ トを 含 む 最 適 運 用

  近 年,ク

リー ン で か つ 安 価 な エ ネ ル ギ ー 源 と し て 液 化 天 然 ガ ス(Liquefied

Natural

図11.6  注)破

揚 水 発 電 ユニ ッ トの使 用 水量 特 性

線 部 は,こ の 出力帯 で は実 際 に運 用 さ れ ない こ とを示 して い る。

Gas:LNG)を

用 い た 火 力 ユ ニ ッ トが 増 え て き て い る 。  LNGは

定 期 的 に 燃 料 基 地 に 運 ば れ て く る た め,計 LNG火

タ ンカー に よ り

画 的 に 消 費 す る必 要 が あ る。 一 般 的 に

力 ユ ニ ッ トは燃 料 費 が 安 い た め,単 純 に 最 適 負 荷 配 分 計 算 を行 え ば 燃 料 を 使

い す ぎ る こ と に な る。 運 搬 船 が 来 る ま で に備 蓄 が な くな れ ば 発 電 で き な い とい う事 態 も考 え られ る 。 この よ う な 事 態 を避 け る た め に,一 燃 料 の 総 量 を 決 め て お き,そ

定 期 間 た とえ ば1日

で消費 で きる

の範 囲 内 で 経 済 負 荷 配 分 す る必 要 が 生 じ る 。

  この よ う な 場 合 も,水 火 協 調 方 程 式 を 導 出 した の と 同 じ方 法 で 取 り扱 う こ とが で き る。 あ る 燃 料 基 地 か らm箇

所 の 発 電 ユ ニ ッ トに 燃 料 が 供 給 され て お り,一 定 期 間 の

使 用 総 量 が 与 え られ て い る と し よ う。 こ の 時,m個 燃 料 は燃 料 単 価 をC,一

所 の 発 電 ユ ニ ッ トで 消 費 さ れ る

定 期 間 の 使 用 総 量 をLNG0と

す れ ば,以

下 の制 約 を満 足 し

な け れ ば な ら な い こ と に な る。

(11.28)   こ こで,PLjt:LNG発 FLj:LNG発

電 ユ ニ ッ トjの 時 刻tに

お け る出力

電 ユ ニ ッ トjの 燃 料 費 特 性

  この 制 約 は,水 力 の 使 用 水 量 制 約 と類 似 の 制 約 で あ り,特 に,m=1の

場 合 は,次

の よ う な 協 調 方 程 式 が 得 られ る。

(11.29)  第1項 は燃 料消 費量 制約 の ない ユニ ッ トに対 す る増分 燃料 費 で,第2項

が燃 料消 費

量 制 約 の あ る ユ ニ ッ トに 対 す る増 分 燃 料 費 で あ る。 燃 料 消 費 量 制 約 が あ る ユ ニ ッ トに 対 して は,元

の 増 分 燃 料 費 に(1+γ)を

か け た仮 想 的 な 増 分 燃 料 費 に対 して 等 増 分 燃

料 費 則 を適 用 す れ ば よ い とい う こ とに な る 。 γの 決 定 は水 単 価 の 決 定 と 同 様,燃

料消

費 量 制 約 を満 足 す る よ う に調 整 され る。

【 例 題11.5】

例 題11.2の2台

約 が あ る 。150MWの   こ こ で,1+γ

の ユ ニ ッ トの う ち,ユ

ニ ッ トBに

は燃 料 消 費 量 の 制

負 荷 に 対 す る 出 力 配 分 を計 算 せ よ。

を0.8お

よ び1.2と

す る。 ま た,送

電損 失 は考慮 しない 。

[解]  (11.29)式 よ り,

と な る の で,1+γ=0.8の

と き は,

よ り,P1=61.5MW,P2=88.5MWと   1+γ=1.2の

な る。

と き は,

よ り,P1=100MW,P2=50MWと

  例 題11.3か

な る。

ら,ユ ニ ッ トBに 燃 料 消 費 量 の 制 約 が な い場 合 の 出 力 配 分 はP1=93.5

MW,P2=64.0MWで

あ る。 こ れ は,1+γ=1の

ッ トBの 増 分 燃 料 費 が 等 価 的 に 低 くな る た め,P2の を余 計 に使 う こ と に 相 当 す る。 一 方,1.2の 的 に 高 くな る た め,逆

に,P2の

場 合 に 相 当 し,0.8の

場 合 はユ ニ

配 分 が 多 くな る 。 これ は,燃 料

場 合 は,ユ ニ ッ トBの

配 分 は 小 さ く な る。 これ は,使

増分 燃料 費 が等価

う こ との で き る燃 料

の 量 に制 約 が あ る こ と に 相 当 す る。   この γ(あ る い は1+γ)の 法 と同 じで あ る。

決 定 法 は 水 火 協 調 方 程 式 に お け る増 分 水 単 価 γ の 決 定

11.4 

火 力 発 電 ユ ニ ッ ト の 起 動 停 止 計 画  ―

ユ ニ ッ ト コ ミ ッ ト メ ン ト―

  い ま,燃 料 費 特 性 の 異 な る2台 費 特 性 をF1,最

の 火 力 発 電 ユ ニ ッ ト を考 え る。1号 ユ ニ ッ トの 燃 料

大 ・最 小 出 力 をG1max,G1min,2号

大 ・最 小 出 力 をG2max,G2minと

ユ ニ ッ トの 燃 料 費 特 性 をF2,最

す る 。 こ こ で,2台

の ユ ニ ッ トを 運 転 し,負 荷PRに

燃 料 費 が 最 小 とな る よ う に 出 力 配 分 を決 定 した 時 の燃 料 費 特 性 をF3と   図11.7にF1,F2,F3の に 応 じて,最

一 例 を 示 す 。 こ の 図 か ら明 らか な よ う に,負 荷PRの

も燃 料 費 が 安 くな る運 転 状 態 は 変 わ る 。 す な わ ち,F1とF2の

の 負 荷 をX1,F2とF3の   G1min〓PR〓X1の   X1〓PR〓X2の

交 わ る点 の 負 荷 をX2と 時,1号 時,2号

交 わ る点

す れ ば,

ユ ニ ッ トの み 運 転 時,1号,2号

ユ ニ ッ トの 運 転

も燃 料 費 が 安 くな る 。

  こ う して 見 る と,負 荷 が 徐 々 に 増 加 して い く時,ま 負 荷 がX1よ

り も大 き くな れ ば,1号

さ ら にX2よ

り も大 き くな っ た 時 に1号

か? 

大 きさ

ユ ニ ッ トの み 運 転

  X2〓PR〓G1max+G2maxの が,最

す る。

これ は,以

ず,1号

ユ ニ ッ トを 停 止 し て2号

ユ ニ ッ トの み 運 転 し, ユ ニ ッ トの み で 運 転 し,

ユ ニ ッ トも運 転 す る の が 最 も経 済 的 で あ ろ う

下の 理 由で現実 的 で はない。

・火 力 発 電 ユ ニ ッ トは 高 温 ・高 圧 の 蒸 気 を 用 い て タ ー ビ ン を回 転 さ せ る の で,頻 起 動 ・停 止 は タ ー ビ ン そ の 他 機 器 の 温 度 を急 激 に 変 化 さ せ,機

繁 な

器 の 寿 命 を縮 め て し

  ま う。 ・火 力 発 電 ユ ニ ッ トの 起 動 ・停 止 操 作 は完 全 に は 自 動 化 さ れ て お ら ず

,運 転 員 にか か

  る負担 の問 題が ある。   一 方,一

日の 負 荷 変 化 に対 して,す

に応 じ て,こ

で あ ろ うか? 

これ も以 下 の 理 由 で 現 実 的 で は な い 。

・深 夜 の 負 荷 は 非 常 に 少 な く(一 る),ま

べ て の 火 力 発 電 ユ ニ ッ トを運 転 し て お き,負 荷

れ まで 説 明 して きた 協 調 方 程 式 を 用 い て 経 済 負 荷 配 分 を行 うの が 経 済 的

日 の ピ ー ク 負 荷 に 対 し て50%程

度 に まで 減 少 す

た 原 子 力 発 電 等 の 出 力 変 動 を行 え な い 発 電 ユ ニ ッ ト も あ る た め,火 力 発 電

  ユ ニ ッ トを 最 小 出 力 に絞 り込 ん で も,そ れ で も負 荷 を 上 回 る ケ ー ス が あ る。 ・火 力 発 電 ユ ニ ッ トを 最 小 出 力 付 近 で 運 転 す る の は 効 率 が 悪 い だ け で な く,負 荷 周 波   数 制 御 の た め に 出 力 を下 げ よ う と して も下 げ ら れ ず,周

波 数 が 基 準 値 か ら逸 脱 す る

 恐 れ が ある。   以 上 の 理 由 で,火

力 発 電 ユ ニ ッ トは負 荷 に応 じ て 停 止,運

つ発 電 ユ ニ ッ トを 停 止 し,い 画(ユ

転 させ る必 要 が あ る。 い

つ 起 動 す れ ば よ い か を 決 定 す る の が,発

電機 起動 停止 計

ニ ッ トコ ミ ッ トメ ン ト)と よ ば れ る問 題 で あ る。 ち な み に,水 力 の 場 合 は火 力

と異 な り,熱 的 な 問 題 もな く起 動 停 止 を 頻 繁 に 行 う こ とは,(必 い けれ ど も)可 能 で あ る。 な お,こ

ず し も望 ま し くは な

れ ま で 説 明 し て き た 協 調 方 程 式 あ る い は等 増 分 燃

料 費 則 に よ る 出力 配 分 は運 転 して い る発 電 ユ ニ ッ トに対 し て の 出 力 を決 定 す る こ とが 目 的 で あ り,運 転 す るか,停

止 す る か を決 定 す る も の で は な い こ と に注 意 す る 必 要 が

あ る。   起 動 停 止 計 画 を決 定 す る手 法 は い くつ も提 案 さ れ て い る が,こ

こ で は最 も一 般 的 に

用 い ら れ て い る並 列 優 先 順 位 に 基 づ く方 法 に つ い て 説 明 す る 。 火 力 発 電 ユ ニ ッ トの 燃 料 費 特 性 を 図11.8(a)の

よ う に表 わ さ れ る と し よ う。 こ の 曲 線 上 の1点

ぶ 直 線 の 傾 き μ=F(P)/Pは dF/dPは

出 力Pに

お け る 発 電 単 価 を表 し,曲

増 分 燃 料 費 を 表 す 。 発 電 単 価 が 最 も小 さ くな る の は,原

曲線 に接 線 を引 い た 時 で,こ

と原 点 を 結

線 の 接 線 の 傾 き λ= 点 か ら燃 料 費 特 性

の 接 点 で は λ=μminの 関 係 が 成 り立 っ て い る 。 一 般 に,

発 電 単 価 が 最 も小 さ くな る出 力 は発 電 ユ ニ ッ トの定 格 出 力 付 近 の 値 で あ る。   次 に,出

力 を 変 化 させ な が ら発 電 単 価 μ と増 分 燃 料 費 λを計 算 して い く と図

11.8(b)の

よ うな 曲 線(λ-μ 特 性)が

る 時 に は,各

得 られ る 。 複 数 の 発 電 ユ ニ ッ トが 運 転 さ れ て い

ユ ニ ッ トの λが 等 し く な る よ う に 出 力 配 分 さ れ る の で,同

て μ の 小 さ な ユ ニ ッ トか ら並 列(運

転)し

複 数 の ユ ニ ッ トのλ-μ 特 性 に対 し,λ=μ

じ λに対 し

て い くの が 経 済 的 で あ ろ う。 す な わ ち, な る直 線 と原 点 に近 い 点 で 交 わ るユ ニ ッ ト

か ら順 に 並 列 優 先 順 位 を 決 め て い くの で あ る。 こ の よ う に し て 決 定 され た 火 力 機 の 並 列 順 位 に 応 じ て,負

荷 が 大 き い 時 間 帯 で は順 次 並 列 し,逆 に 負 荷 が 小 さ い 時 間 帯 で は

順 次 停 止 し て い くの で あ る。

(a)

(b) 図11.8 

並 列優 先 順 位 の決 定 方法

  実 際 の 起 動 停 止 計 画 で は,発

電 ユ ニ ッ トか らの 制 約,例

制 約(い

定 時 間 経 た な い と起 動 で き な い,あ

っ た ん停 止 す れ ば,一

た ん 運 転 す れ ば,一 定 時 間 経 た な い と停 止 で き な い)や

え ば,最 小 運 転 ・停 止 時 間

え ば,同 一 発 電 所 内 で 同 時 に 複 数 の ユ ニ ッ トの 起 動 操 作,停 に は,系 統 運 用 上 の 制 約,例

え ば,特

る い は逆 に,い

っ

発 電 所 運 用 に お け る制 約,例 止 操 作 は で きな い,さ

ら

定 の 送 電 線 に 一 定 以 上 の 潮 流 を 流 せ な い とい っ

た 非 常 に 多 くの 制 約 を考 慮 し な け れ ば な らず,現

在 も様 々 な 手 法 に つ い て 検 討 が 行 わ

れ てい る。

問題 (1)火

力 ユ ニ ッ トか らな る 系 統 の 最 適 負 荷 配 分 計 算 と火 力 ・水 力 か ら な る 系 統 の 最 適 負 荷 配 分 計 算 の 違 い につ い て 説 明 せ よ 。

(2)次

の燃 料 費 特 性 を持 つ2台

の 火 力 ユ ニ ッ トが 図11.9の

負 荷 に 電 力 を供 給 し て い る。L1=100MW,L2=50MWの

図11.9

よ う な 系 統 に つ な が れ, と き,連

系 線CT

の容 量 に 応 じて,総  

A:0.5P12+200P1+10 

  B:P22+150P2+30  (3)送

発 電費 用 は どうな るか検 討せ よ。 (30〓P1〓100) (50〓P2〓200)

電 損 失 を考 慮 し た 水 火 協 調 方 程 式(11.27)式

を導 出 せ よ。

【解答 は巻末 】

答

解 の 題

末 章

第2章  電力系統 と三相回路の基礎 (1)  有 効 電 力193〔kW〕,無

効 電 力51.8〔kvar〕

(2)  複 素 電 力180.1+j108.1〔MVA〕,皮 (3)

 115-j29〔A〕

(4)

 べ ー ス 電 流1000〔A〕,べ

(5)

 電 圧1.44〔pu〕,電

ー ス イ ン ピ ー ダ ン ス100〔

流3.5〔pu〕,イ

(6)  有 効 電 力108〔MW〕,無 (7)

相 電 力210〔MVA〕

Ω〕

ン ピ ー ダ ン ス0.0125+j0.457〔pu〕

効 電 力36〔Mvar〕(遅

れ),皮

相 電 力113.8〔MVA〕

 (1+YZ/12)Z,[(1+YZ/18)/(1+YZ/12)]Y/2

(8)

 電 力109.8+j3.2〔MVA〕,電

圧134〔kV〕

(9)

 電 力1.098+j0.032〔pu〕,電

圧0.893〔pu〕

(1)

  0.0124〔pu〕

(2)

  35.3〔

(3)

 28.2%

(4)

 60.0〔kV〕

第3章  変圧器

(5) 

Ω〕,2.03〔

V1=410.5∠1.0°

(6)

Ω〕

〔V〕  I1=102.2∠−37.7°

〔A〕

 (a)13.8/88.9〔kV〕,1.087/0.169〔kA〕,15〔MVA〕 1.882/0.0974〔kA〕,15〔MVA〕(c)13.8/154〔kV〕,1.087/0.0972〔kA〕,15 〔

MVA〕

第4章  送 電線路 (1)  882〔mm〕 (2)

 1.24〔mH/km〕5.37

(3)

 1.30〔mH/km〕,0.963〔mH/km〕

(4)

  6.95,10.3

(5)

 0.0089〔

(6)

 1.80〔mH/km〕

(7)

 0.22〔 μF/km〕

(8)

 0.31〔mH/km〕

μF/km〕,

0.012〔

μF/km〕

  (b)7.97/154〔kV〕,

問

第5章  潮流 計算 (1)①

②

(2)

第6章   同期発 電機 (1) (2)

 0.52〔pu〕  (a)7.999∠5.5°〔kV〕

  (b)8.413∠3.88°〔kV〕

kV〕

(3) (4)

2.04〔pu〕

 (a)

 (b)0.996∠−28.90°〔pu〕

 0.414〔pu〕

第7章  故障計 算 (1) 

Va=0.447∠25.8°

〔V〕

Vb=0.751∠−14.5°

〔V〕

Vc=0.373∠−2.2°

〔V〕

(2) Ia=0〔A〕 

(3) 

In=1050∠90°

Ib=904.2∠−95.6°

〔A〕

Ic=904.2∠−84.4°

〔A〕

I0=0.093∠−180° I1=0 .99∠0°

〔A〕 〔A〕

I2=0.105∠0°

〔A〕

(4) 

図7.11の(c)参

照

(5) 

0.429

〔A〕

  (c)7.562∠4.31°〔

(6) 

0.847

(7) j0.15/(j0.35+3R) (8) 

3.0〔pu〕

(1) 

(a)3750〔MJ〕

(2) 

188.8〔rad/s〕 

(3) 

0.849〔MN・m〕

第8章  安定度   (b)1.31〔rad/s2〕 0.041〔rad〕

第9章  電力系統 におけ る有効電 力 と周波数 の関係 (1) 

9.1参

照

(2) 

0.148〔Hz〕

(3) 

A系

(4) 

800〔MW/Hz〕

(5) 

(1)Δf=0〔Hz〕

 

統25〔MW〕

89.87〔MW〕(100MW機)   

B系

 ΔPT=0〔MW〕

(2) Δf=−0.040〔Hz〕

第10章

214.8〔MW〕(250MW機)

統−33〔MW〕

 ΔPT=0.033〔MW〕

  電 力 シ ス テ ム に お け る無 効 電 力 と電 圧 の 関 係

(1)  ①  Q=0.484〔pu〕

  Vｒ=141.8〔kV〕

②  0.3 (2)  Q=2πfCV2:fは

周波数

(3)  小 さ くす る

                    第11章 (1)  (2) 

11.3.1参 CTの

容 量 が16.7MWよ

 これ はA,B2台   CTの

 電 力システムの経済運 用

照

容 量 が16.7MWよ

用 が で き な い 。 例 え ばCTの (3) 

り大 の 時,総

発 電 費 用34,623。

の ユ ニ ッ トの 最 適 出 力 配 分 に相 当 す る 。

(11.24)式 のPRtをPRt+PLtに

り小 の と き,CTで 容 量 が10MWの

過負 荷 が発 生す るため上記 最適 運 と き,総

お き か え てPTit,PHjtで

発 電 費 用34.690。 微 分 す る。

索

引

角 運 動量  

【A-Z】

角 周 波数  

Back-to-Back  

6

196 10

過 渡 安定 度  

193 149

263

過 渡電 流  

d軸  

121

過 渡誘 導起 電 力  

154

ICT  

7

過 渡 リア クタ ンス  

150

ガバ ナ  

226

B係

数  

Newton-Raphson法   O Fケ

111

ー ブ ル  

PID制 PQ指

定 ノ ー ド  

pu値   PV指

ガ バ ナ制 御  

226

233

火 力 の協 調 方程 式  

264

101

過 励磁  

140

17

間 欠制 御  

233

101

慣 性定 数  

197

124

75

御  

定 ノ ー ド  

q軸  

121

線  

24

機械 的 回転 角  

Δ結 線  

24

幾何 学 平 均距 離  

83

26

基 準値  

16

基準 電 圧  

33

基準 電 流  

34

基準 容 量  

33

Y結

Δ-

Y変

換   【ア 】

安 定 度  

193

位 相 角  

10

起 磁 力  

位 相 巻 き 線  

69

逆相 イ ン ピー ダ ンス  

168

1線 地 路  

85

逆 相 回 路  

168

逆相 分  

158

演 算 子  

160

行 列   許 容 電 流  

遅 れ 零 力 率 負 荷  

241 【力 】

界 磁 巻 線   回 線   回 転 子  

121

41

31 73

帰 路  

162

空 隙  

123

駆 動 点 ア ドミタ ンス  

104

83 121

外 部 イ ン ダ ク タ ン ス  

76

架 橋 ポ リ エ チ レ ン絶 縁 ケ ー ブ ル  

75

経 済 負荷 配 分   系 統 定 数  

233,256 229

硬 ア ル ミ線 

71

水 火 協 調 方程 式 

268

硬銅 線 

73

水 車 発 電機 

121

硬銅 よ り線 

73

進 み零力 率 負 荷 

241

効率 

256

ス ラ ック ノ ー ド 

102

交流 法 潮 流計 算 

117

固定 子 

121

静 止型 無 効 電 力補 償 装置 

251

固定 子 巻線 

121 【サ 】

サス テ イ ン ド分 

255

正相 イ ン ピー ダ ン ス 

168

正 相 回路 

168

正 相 分 

158

制 動 巻 線 

170

三 相3巻 線 変圧 器 

64

正 の無 効電 力 

三 相短 絡 

85

絶 対 回 転 角 

195

絶 対 回転 角 速 度 

196

三 相 同期 発 電機  三相 負 荷 

121 24

11

接 地 

22

線 間短 絡 

85

直付 け リア ク トル 

251

線 間電 圧 

20

次過 渡 電 流 

150

線 間容 量 

89

磁 気 ア ドミタ ンス  磁 気 抵抗 

46 41,129

相 回転 

158

自己 ア ドミタ ンス 

104

相 互 ア ドミタ ンス 

自己制 御 性 

228

相 順 

時 差 

225

相 対 回転 角 

195

相 対 回転 角 速 度 

196

実効 値  自動 電 圧 調整 装 置(AVR)  周期 

9 249

104 19,158

相 電圧 

19

10

送 電損 失 

263

修 正 方 程 式 

113

送電 容 量 

33

収 束 条 件 

113

増分 使 用 水量 

268

充 電 電 流 

89

増 分 水 単 価 

268

周 波 数 

10

増 分 燃 料 費 

260

225

速 度 調 定 率 

227

速 度 電圧 

125

周 波 数 の安 定  瞬 時値 

9

使 用水 量 特 性 

265

擾 乱 

193

初 期 過 渡 電 流 

150

初 期 過 渡誘 導 起 電力 

154

ター ビン発 電機 

121

自流 式(水 力 発 電) 

265

対 称 回路 

168

対 称 故 障 

147

対 称 座 標 法 

158

水 火協 調 運 用 

265

素 導体 

  84 【夕】

対 称分 

158

電 圧 制御 

252

大地 帰 路 の イ ン ダク タ ン ス 

85

電 圧 無効 電 力 制御 

大地 導 電 率 

86

電 機 子 反作 用 

対 地 容 量 

89

電 機 子巻 線 

121

多 回線 送電 線 

84

電 気 的 回転 角 

124

タ ップ巻 き線 

69

伝 達 ア ド ミタ ンス 

104

多導 体 

84

電 力 角 

131

単 位 慣性 定 数 

197

252 126,148

電 力 ケ ー ブル 

75

単 位 法 

16

電 力三 角形 

短 時 間使 用 

73

電 力相 差 角 曲線 

205

15

205

ダ ンパ ー巻 線 

122

電 力相 差 角 方程 式 

短 絡位 相 

147

電 力方 程 式 

短 絡容 量 

246

電 力用 コ ンデ ンサ 

地 域制 御 誤 差 

236

等価H定

地 域 要求 量 

235

等価 線 間 距離 

中間領 域 安 定度 

194

等価 半 径 

調 整池 式(水 力 発 電) 

265

同期 

195

調 整変 圧 器 

数 

200 83 85

同期 化 力 

138

調相 設 備 

247

同期 化 力係 数 

212

調 速制 御 

226

同期 速 度 

126,195

調 速制 御 系(ガ バ ナ) 

193

同期 調 相機 

140,251

潮 流 

101

同期 リア ク タ ンス 

128,149

潮 流計 算 

101

銅心 ア ル ミよ り線 

直 軸 

121

等増 分燃 料 費 則 

260

直軸 過 渡 リア ク タ ンス 

150

動 態 安定 度 

193

直軸 初 期 過渡 リア クタ ン ス 

150

洞道 

直軸 同 期 リア クタ ンス 

68

108 140,250

73

75

130,149

等 面積 法 

直 流 分 

148

動 揺 曲線 

直 流法 潮 流計 算 

117

動 揺 方程 式 

198

地 絡 故 障 

177

突極 

121

地 絡 点 

217 98

85 【ナ 】

抵 抗 負荷 

11

定 態 安定 極 限 電 力 

138

定 態 安定 度 

193

2巻 線 三 相 変圧 器 

59

撚架 

30

デル タ(Δ)-Y変 換 

26

撚架 鉄 塔 

デル タ(Δ)結 線 

24

燃料 消 費 率 

83 256

燃 料 費特 性 

257

ノー ドア ド ミタ ン ス行 列 

104

ノー ドイ ン ピー ダ ンス行 列 

107

ペ ナル テ ィー係 数 

264

変 圧器 の タ ップ制 御 

252

変 圧比 

40

星 形結 線 

24

【ハ 】 【マ 】

発 電 機 起 動 停 止計 画(ユ ニ ッ トコ ミ ッ トメ ン ト) 

256,273

巻 き数 比 

40

発電 機 中性 点 

19,121

発電 機 ノ ー ド 

101

無 限大 母 線 

発電 力 特性 

227

無 効電 力 

11

無 電圧 タ ップ切 換 変圧 器 

68

皮相 電 力  非対 称 故 障  表皮 効 果 

11

【ヤ 】

147 77

135,202,244

ヤ コ ビア ン行列 

112

不安 定 

217

有 効電 力 

フ ェラ ンチ効 果 

244

誘 導起 電 力 

123

11

負荷 曲線 

255

誘 導性 負 荷 

11

負荷 時 位相 調 整 変圧 器 

69

負荷 時 タ ップ切換 え変 圧 器 

68

揚 水式(水 力発 電) 

負 荷時 電 圧(位 相)調 整 器 

68

容 量性 負荷 

負 荷時 電 圧調 整 変圧 器 

69

横 軸 

121 130

265 11

負 荷周 波 数制 御 

233

横 軸 同期 リア クタ ンス 

負 荷特 性 定 数 

229

撚 り線 

負 荷 ノー ド 

101

73 【ラ 】

複 素電 力 

13

不 足励 磁 

140

ラ グ ジ ェ ンジ ェ関数 

257

11

ラ グ ジ ェ ンジ ェ乗 数 

257

負 の無 効 電 力  不 平衡 故 障 

147

浮 遊 ノ ー ド 

102

力率 

フ ラ ッ トス タ ー ト 

114

臨界 故 障 除去 位相 

217

255

臨界 故 障 除去 時 間 

217

励 磁 制御 系 

193

フ リ ンジ分  分 路 リア ク トル 

11

140,250

平 衡故 障  

147

零相 イ ン ピー ダ ンス 

168

並 列優 先 順 位 

273

零相 回 路 

168

零相 分 

158

べ ー ス値 

16

連 系 

230

漏 洩 イ ン ピー ダ ンス 

48

連 系 系 統 

234

漏 洩磁 束 

47

連 続 使 用 

73

漏 洩 リア ク タ ンス 

47

<著者紹介>

柳 父  悟 学  歴  東 京 大 学工 学 部 電 気工 学 科 卒業(1964) 工 学博 士(1990),Ph.D.(1971) 職  歴  株 式 会 社 東 芝 入 社(1964) 現  在  東 京 電機 大 学 工 学 部教 授

加 藤 政 一 学  歴  東 京 大学 工 学 系 大 学院 博 士課 程 修 了(1982) 工 学博 士(1982) 職   歴  広 島 大 学工 学 部 助 手(1982) 株 式会 社 東 芝 入 社(1984) 現  在  東 京 電機 大 学 工 学部 教 授

理工学講座 電力系統工 学 2006年7月20日 

第1版1刷

発行

著 者 柳 父   悟 加藤 政一

学校法人 東京電機大学 発行所

東京 電機 大学 出版 局 代表者 加藤康太郎 〒101-8457 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2-2 振 替 口 座  00160-5-717155

印刷 三美印刷㈱ 製本 渡辺製本㈱ 装丁 鎌 田正志

〓

Yanabu

電 話   (03)5280-3433(営

業)

(03)5280-3422(編

集)

Satoru,

Kato

Printed in Japan *無 断で 転 載す る こ とを禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁本 はお取 替 えい た し ます。 ISBN4-501-11300-6 

C3054

Masakazu

2006