Пределы и производные: Учебное пособие по самостоятельной работе

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»

Ю.Л. Файницкий ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ Учебное пособие по самостоятельной работе Печатается по решению редакционно- издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета

Издательство СГАУ 2006

УДК 517.1 (075) ББК Рецензенты: проф., доктор тех. наук Б.А.Горлач, доц., канд. физ.-мат. наук Е.Я. Горелова

Файницкий Ю.Л. Пределы и производные: учеб. пособие по самостоятельной работе / Ю.Л. Файницкий. − Самара: Изд- во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2006. − 67 с. ISBN Предназначено для студентов всех специальностей СГАУ. Содержит материалы по математике, предлагаемые для самостоятельного изучения в первом семестре. Рассматриваются вопросы, которые традиционно относят к введению в математический анализ, и задачи дифференциального исчисления функции одной и многих переменных . Определения, утверждения и приемы решения задач, рассматриваемые на лекционных и практических занятиях, здесь не дублируются. Предполагается, что студент уже ознакомился с указанным материалом. Учебное пособие представляет собой руководство, помогающее студенту продолжить изучение методов решения задач по данному разделу математики. Учебное пособие выполнено на кафедре высшей математики в рамках инновационной образовательной программы «Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэрокосмических и геоинформационных технологий». УДК 517.1 (075) ББК

ISBN

© ©

Файницкий Ю.Л., 2006 Самарский государственный аэрокосмический университет, 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие содержит материалы по математике, предлагаемые студентам всех специальностей СГАУ для самостоятельного изучения в первом семестре. Здесь рассматриваются вопросы, которые традиционно относят к введению в математический анализ, и задачи дифференциального исчисления функций одной и многих переменных. Пособие состоит из глав, разбитых на параграфы (пункты), каждый из которых имеет следующую структуру. Параграф, как правило, начинается с кратких теоретических сведений, необходимых для решения очередной задачи. Теоремы приводятся без доказательств, однако, в каждом конкретном случае указывается учебное пособие, с помощью которого можно ознакомиться с обоснованием соответствующего утверждения. Далее приводится формулировка и решение очередной задачи. Затем формулируется аналогичная задача, предназначенная для самостоятельного решения, и ответ к ней, если только ответ не следует из условия. В отдельных случаях в завершение параграфа может приводиться еще одна или несколько пар задач. Рекомендуется следующий порядок самостоятельной работы. Прежде всего, необходимо по конспекту и учебнику проработать материал, рассмотренный на лекционных занятиях, ознакомиться с введенными там понятиями, изучить формулировки и доказательства теорем. Затем, опираясь на решения задач, предложенных на практических занятиях, выполнить текущее домашнее задание. И только после этого целесообразно осваивать материал, приведенный в настоящем учебном пособии. Такая последовательность изучения материала связана, в частности, с тем, что здесь не дублируются рассматриваемые на лекционных и практических занятиях определения, утверждения и приемы. Предполагается, что студент с ними уже ознакомился. Пособие представляют собой руководство, помогающее студенту продолжить изучение методов решения задач по данному разделу математики.

3

1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1.1 Равенство множеств Определение. Если A и B − множества, то, по определению, A = B в том и только в том случае, если одновременно A ⊂ B и B ⊂ A . Таким образом, A = B , если всякий элемент множества A принадлежит также множеству B , а всякий элемент множества B является элементом множества A . Определение. Множество, состоящее из всех элементов множества A , не принадлежащих множеству B , называется разностью множеств A и B и обозначается A \ B . Если все рассматриваемые множества содержатся в некотором множестве U , то U \ A называется дополнением множества A и обозначается A ' . 1. Доказать соотношение

A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) .

(1)

Решение. Если x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) , то x ∈ A и при этом x ∈ B ∪ C . Последнее означает, что x ∈ B или x ∈ C . Если x ∈ B то, поскольку в то же время x ∈ A , x ∈ A ∩ B и, следовательно, x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) . Если x ∈ C , то x ∈ A ∩ C и x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) . Таким образом, A ∩ ( B ∪ C ) ⊂ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) . (2) Пусть теперь x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) . Тогда x ∈ A ∩ B или x ∈ A ∩ C . Если x ∈ A ∩ B , то x ∈ A и x ∈ B . Поэтому x ∈ B ∪ C и x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) . Если x ∈ A ∩ C , то x ∈ A и x ∈ C , x ∈ B ∪ C и x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) . Следовательно ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ A ∩ ( B ∪ C ) . (3) Согласно (2) и (3), левая часть соотношения (1) содержится в правой, а правая – в левой. Это означает, что равенство (1) верно.

4

2. Доказать, что

( A ∪ B ) ' = A '∩ B ' .

Указание. Учтите, что, согласно определению дополнения множества, соотношения x ∈ A ' и x ∉ A равносильны. 1.2 Таблицы истинности Если некоторое высказывание истинно, то будем обозначать это цифрой «1», если ложно – то цифрой «0». Логические операции формально определяются таблицами истинности. Например, таблица истинности отрицания p высказывания p ( p читается «не p »):

p

p

1

0

0

1

Таблица истинности конъюнкции высказываний p и q :

p

q

p∧q

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

Таблица истинности дизъюнкции высказываний p и q :

p

q

p∨q

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

Таблицы истинности равносильных высказываний совпадают. 3. Даны высказывания p и q . Доказать равенство

p ∧ ( q ∨ r ) = ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) .

5

(4)

Решение. Составим таблицу истинности левой части равенства (4):

p

q

r

q∨r

p ∧ (q ∨ r)

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 1 0 0 0 0 0

Аналогично, строим таблицу истинности правой части:

p

q

r

p∧q

p∧r

( p ∧ q) ∨ ( q ∧ r )

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0

При одинаковых первых трех столбцах этих таблиц последние столбцы совпадают. Это означает, что равенство (4) верно. 4. Даны высказывания p и q . Доказать равенство

p∨q= p∧q.

1.3 Метод математической индукции Этот метод основан на следующем принципе математической индукции [4, гл. I, § 2]. Некоторое утверждение, формулировка которого содержит параметр n , считается справедливым для всякого натурального значения этого параметра, 6

если а) данное утверждение верно при n = 1 ; б) из того, что это утверждение верно при n = k , следует, что оно справедливо и при n = k + 1 . 5. Методом математической индукции доказать формулу суммы членов арифметической прогрессии

Sn = Решение.

a1 + an n. 2

Запишем эту формулу в виде

Sn =

2a1 + d ( n − 1) n. 2

(5)

Здесь использованы стандартные обозначения параметров арифметической прогрессии. Проверим первое из условий принципа математической индукции. При

n =1

S1 = a1 =

2a1 + d (1 − 1) 1, 2

то есть в этом случае формула (5) справедлива. Для надежности рассуждения полезно выполнить проверку еще одного-двух первых значений Sn . Так, при n = 2 имеем:

S2 = a1 + a2 = a1 + ( a1 + d ) =

2a1 + d (2 − 1) 2, 2

формула (5) верна. Проверим теперь второе условие. Пусть формула (5) справедлива при n =k:

Sk =

2a1 + d ( k − 1) k. 2

Тогда

Sk +1 = Sk + ak +1 =

2a1 + d ( k − 1) k + a1 + dk = 2 7

2a1k + dk 2 − dk + 2a1 + 2dk 2a1 ( k + 1) + dk 2 + dk = = = 2 2

=

2a1( k + 1) + dk ( k + 1) 2a1 + d (( k + 1) − 1) = ( k + 1) . 2 2

Таким образом, формула (5) верна при n = k + 1 и, значит, при всех натуральных значениях параметра n . 6. Методом математической индукции доказать, что

12 + 22 + 32 + ... + n 2 =

n( n + 1)(2n + 1) . 6

1.4 Бином Ньютона Пусть n ∈ . Тогда величина n ! (читается « n (эн) факториал») определяется равенством n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅ n . Например,

1! = 1, 2! = 1 ⋅ 2 = 2, 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6, 4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 3!⋅ 4 = 24, 5! = 4!⋅ 5 = 120, 6! = 5!⋅ 6 = 720. По определению,

0! = 1 . m

Если n ∈ , то величина Cn (читается « C (цэ) из n по m ) называется числом сочетаний из n элементов по m и определяется соотношениями

Cn0 = 1 , Cnm =

n( n − 1)( n − 2) ⋅⋅⋅ ( n − ( m − 1)) m!

( m = 1, 2, ... , n ). Число сомножителей в числителе равно m . Например,

Cn1 =

n n( n − 1) n( n − 1)( n − 2) . , Cn2 = , Cn3 = 1! 2! 3!

Справедливо равенство 8

Так, при n = 10 и m = 8 имеем

Cnm = Cnn − m . 8 2 C10 = C10 .

Соотношение n

( a + b) =

n

∑ Cnma n −mbm

m =0

называется формулой бинома Ньютона. Здесь a , b ∈ , n ∈

. Символ

n

∑

читается «сумма от m , равного нулю, до n ».

m= 0

Придавая индексу суммирования m значения 0, 1, 2, ... , n , получим развернутую запись формулы бинома Ньютона:

( a + b)n = Cn0a n + Cn1 a n −1b + Cn2a n − 2b2 + ... + Cnm a n − mbm + ... + Cnn bn , (6) или

n n −1 n( n − 1) n − 2 2 n( n − 1)( n − 2) n − 3 3 a b+ a b + a b + 1! 2! 3! n( n − 1)( n − 2) ⋅⋅⋅ ( n − m + 1) n − m m + ... + a b + ... + bn . m!

( a + b) n = a n +

Последнее слагаемое записано с учетом того, что

Сnn = Cnn − n = Cn0 = 1 . Формула бинома Ньютона может быть доказана методом математической индукции [11, гл. XI, § 2]. 7. С помощью формулы бинома Ньютона выполнить возведение разности в степень:

( x 2 − y )6 . Решение. Согласно формуле (6),

9

( x 2 − y )6 = C60 ( x 2 )6 + C61 ( x 2 )5 ( − y ) + C62 ( x 2 )4 ( − y )2 + +C63 ( x 2 )3 ( − y )3 + C64 ( x 2 )2 ( − y )4 + C65 ( x 2 )1( − y )5 + C66 ( x 2 )0 ( − y )6 =

= C60 x12 − C61 x10 y + C62 x8 y 2 − C63 x 6 y 3 + C62 x 4 y 4 − C61 x 2 y 5 + C60 y 6 = 6 6⋅5 8 2 6⋅5⋅ 4 6 3 6⋅5 4 4 6 2 5 = x12 − x10 y + x y − x y + x y − x y + y6 = 1! 2! 3! 2! 1! 12 10 8 2 6 3 4 4 2 5 = x − 6 x y + 15 x y − 20 x y + 15 x y − 6 x y + y 6 . 8. Вычислить с помощью формулы бинома Ньютона :

(

)

5

3− 2 .

Ответ:

89 3 − 109 2 . 1.5 Сумма степеней натуральных чисел Согласно формуле суммы членов арифметической прогрессии, n

∑ k =1+ 2 + 3+

⋅⋅⋅ + n =

k =1

1+ n n. 2

9. Вывести формулу для суммы n

∑ k2 .

k =1

Решение. Рассмотрим тождество

( a + 1)3 = a 3 + 3a 2 + 3a + 1 . Запишем его при a = 1, 2, ... , n :

23 = 13 + 3 ⋅ 12 + 3 ⋅ 1 + 1 , 33 = 23 + 3 ⋅ 22 + 3 ⋅ 2 + 1 ,

10

43 = 33 + 3 ⋅ 32 + 3 ⋅ 3 + 1 , 53 = 43 + 3 ⋅ 42 + 3 ⋅ 4 + 1 , ………………………….

( n + 1)3 = n 3 + 3 ⋅ n 2 + 3 ⋅ n + 1 . Сложим левые и правые части этих n равенств:

23 + 33 + 43 + 53 + ⋅⋅⋅ + n 3 + ( n + 1)3 = = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + ⋅⋅⋅ + n 3 + +3 ⋅ (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋅⋅⋅ + n 2 ) + +3 ⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋅⋅⋅ + n ) + n ⋅ 1 . Выражения

23 + 33 + 43 + 53 + ⋅⋅⋅ + n 3 в правой и левой частях взаимно уничтожаются и остается соотношение n

1 ( n + 1) = 1 + 3 ∑ k 2 + 3 ⋅ n ( n + 1) + n . 2 k =1 3

n

Отсюда легко найти

∑ k2 .

k =1

Обычно равенство (7) преобразуют так: n 3 ( n + 1) = ( n + 1) + n( n + 1) + 3 ∑ k 2 , 2 k =1 3

n

3 ⎞ ⎛ 3 ∑ k 2 = ( n + 1) ⎜ ( n + 1)2 − 1 − n ⎟ , 2 ⎠ ⎝ k =1 n

3 3 ∑ k 2 = ( n + 1)( n 2 + 2n − n ) , 2 k =1

11

(7)

n

1 3 ∑ k 2 = ( n + 1)( n 2 + n ) 2 k =1

и

n

∑ k2 =

k =1

( n + 1)(2n + 1)n . 6

10. Считая известным соотношение (8), вывести формулу для суммы n

∑ k3 .

k =1

Ответ: n

2

⎛ n( n + 1) ⎞ ∑ k = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ . k =1 3

1.6 Формула Эйлера Формулой Эйлера называют равенство

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ , где

ϕ ∈ , i 2 = −1 . 11. Найти сумму функций

sin x + 2sin 2 x + ... + n sin nx . Решение. Рассмотрим сумму

S = 1 + eix + e2ix + ... + enix . Согласно формуле Эйлера,

12

(8)

S = 1 + cos x + i sin x + cos 2 x + i sin 2 x + ... + cos nx + i sin nx .

(9)

В то же время S − сумма геометрической прогрессии с первым членом

b1 = 1, знаменателем q = eix и числом членов, равным n + 1 . Для суммы m членов такой прогрессии справедлива формула

b1(1 − q m ) Sm = . 1− q Поэтому

S=

1 − e( n +1)ix 1− e

ix

.

Найдем действительную часть данной функции. С этой целью используем формулу Эйлера:

S=

1 − cos( n + 1) x − i sin( n + 1) x . 1 − cos x − i sin x

Числитель и знаменатель дроби умножим на величину, сопряженную знаменателю

S=

(1 − cos(n + 1) x − i sin(n + 1) x )(1 − cos x + i sin x ) (1 − cos x )2 + sin 2 x

.

Отделим действительную часть от мнимой:

(1 − cos(n + 1) x )(1 − cos x ) + sin( n + 1) x sin x + 2(1 − cos x ) (1 − cos( n + 1) x ) sin x − sin( n + 1) x (1 − cos x ) . +i 2(1 − cos x )

S=

Запишем действительную часть суммы S :

Re S =

(1 − cos( n + 1) x )(1 − cos x ) + sin( n + 1) x sin x . 2(1 − cos x )

13

Сравнивая Re S с действительной частью суммы S в форме (9), получим формулу для суммы косинусов:

Re S = 1 + cos x + cos 2 x + ... + cos nx = (1 − cos( n + 1) x )(1 − cos x ) + sin( n + 1) x sin x = . 2(1 − cos x ) Преобразуем последнюю дробь к более удобному виду. Раскроем скобки в числителе:

Re S =

1 − cos( n + 1) x − cos x + cos x cos( n + 1) x + sin( n + 1) x sin x . 2(1 − cos x )

Сгруппируем слагаемые:

Re S =

1 − cos x − cos( n + 1) x + ( cos( n + 1) x cos x + sin( n + 1) x sin x ) . 2(1 − cos x )

Преобразуем:

Re S =

2 sin 2

x − cos( n + 1) x + cos ( ( n + 1) x − x ) 2 = 2(1 − cos x )

x − cos( n + 1) x + cos nx 2 = = 2(1 − cos x ) x 2 sin 2 + ( cos nx − cos( n + 1) x ) 2 = = 2 x 4 sin 2 x ⎛ nx + ( n + 1) x ⎞ ⎛ ( n + 1) x − nx ⎞ 2 sin 2 + 2 sin ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = x 4 sin 2 2 2 sin 2

14

x 1⎞ ⎞ x ⎛⎛ + 2 sin ⎜ ⎜ n + ⎟ x ⎟ sin 2 2⎠ ⎠ 2 ⎝⎝ = 2 x 4 sin 2 x 1⎞ ⎛ sin + sin ⎜ n + ⎟ x 2 2⎠ ⎝ . = x 2 sin 2

2 sin 2 =

Получим соотношение

1⎞ ⎛ sin ⎜ n + ⎟ x 1 1 2⎠ ⎝ 1 + cos x + cos 2 x + ... + cos nx = + . x 2 2 sin 2 Умножая обе части этого равенства на −1 и дифференцируя их, найдем: sin x + 2sin 2 x + ... + n sin nx = 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎞ x 1 ⎛⎛ 1⎞ ⎞ x ⎛ ⎛ ⎜ n + ⎟ ⎜ cos ⎜ n + ⎟ x ⎟ ⋅ sin − sin ⎜ ⎜ n + ⎟ x ⎟ ⋅ cos 1⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎠ 2 2 ⎝⎝ 2⎠ ⎠ 2 ⎝ . =− 2 2 x sin 2 Задача решена, однако правой части можно придать более удобную форму. Раскроем первые скобки в числителе: n

⎛ 1⎞ ⎞ x ⎛⎛ n cos n x sin + ⋅ + ⎟ ⎟ ⎜⎜ x ⎜⎝ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k =1 2 sin 2 1 1⎞ ⎞ x 1 ⎛⎛ 1⎞ ⎞ x⎞ ⎛⎛ + cos ⎜ ⎜ n + ⎟ x ⎟ ⋅ sin − sin ⎜ ⎜ n + ⎟ x ⎟ ⋅ cos ⎟ . 2 2⎠ ⎠ 2 2 ⎝⎝ 2⎠ ⎠ 2⎠ ⎝⎝

∑ k sin kx = −

1

Запишем первое слагаемое по формуле для произведения синуса на косинус, а последние два как разность синусов (с коэффициентом

15

1 ): 2

n

⎛ 1 ⎛⎛ 1⎞ x⎞ sin n x + − ⎟ ⎟− x ⎜⎝ 2 ⎜⎝ ⎜⎝ 2 2 2 ⎠ ⎠ k =1 2 sin 2 1 ⎛ ⎛⎛ 1⎞ x⎞ 1 ⎞ ⎞⎞⎞ ⎛x ⎛ − n ⎜ sin ⎜ ⎜ n + ⎟ x + ⎟ + sin ⎜ − ⎜ n + ⎟ x ⎟ ⎟ ⎟ = 2 ⎝ ⎝⎝ 2⎠ 2⎠ 2 ⎠ ⎠⎠⎠ ⎝2 ⎝

∑ k sin kx =

или

1

1 1 sin nx − n ( sin( n + 1) x − sin nx ) 2 =2 , x 2 sin 2 2 sin x + 2sin 2 x + ... + n sin nx =

(1 + n ) sin nx − n sin( n + 1) x . x 4 sin 2 2

12. С помощью формулы Эйлера доказать тождество

⎛ n +1 ⎞ ⎛ n ⎞ sin x ⎟ sin ⎜ x ⎟ n ⎜ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ , где x ≠ 2π n, n ∈ . ∑ sin kx = x k =1 sin 2 1.7 Критерий Коши Определение. Числовая последовательность {xn } называется фундаментальной, если для всякого положительного числа ε существует такое натуральное число N , что для любых положительных чисел m и n таких, что m > N и n > N , справедливо неравенство

xm − xn < ε . Теорема (критерий Коши). Для того чтобы числовая последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной ([4], гл. III, § 1, п. 3). 13. Доказать, что последовательность {xn } сходится, если

xn = 1 +

1 1 1 + + ⋅⋅⋅ + . n! 2! 3! 16

Решение. Будем считать, что n и m − натуральные числа и m > n . Тогда

xm = 1 +

1 1 1 1 1 + + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ + 2! 3! n ! ( n + 1)! m!

и

xm − xn =

1 1 + ⋅⋅⋅ + . ( n + 1)! m!

Запишем равенства

( n + 2)! = 1 ⋅ 2 ⋅⋅⋅ ( n + 1)( n + 2) = ( n + 1)!( n + 2) , ( n + 3)! = ( n + 1)!( n + 2)( n + 3) , ………………………………….

m ! = ( n + 1)!( n + 2)( n + 3) ⋅⋅⋅ m . Поэтому

xm − xn =

1 1 1 + + + ⋅⋅⋅ + ( n + 1)! ( n + 1)!( n + 2) ( n + 1)!( n + 2)( n + 3) +

=

1 = ( n + 1)!( n + 2)( n + 3) ... m

⎞ 1 ⎛ 1 1 1 . 1 + + + ⋅⋅⋅ + ( n + 2)( n + 3) ⋅⋅⋅ m ⎟⎠ ( n + 1)! ⎜⎝ n + 2 ( n + 2)( n + 3)

Здесь

1 1 1 < = , ( n + 2)( n + 3) ( n + 2)( n + 2) ( n + 2)2 1 1 1 , < < ( n + 2)( n + 3)( n + 4) ( n + 2)( n + 2)( n + 2) ( n + 2)3 …………………………………….

1 1 < . ( n + 2)( n + 3) ⋅⋅⋅ m ( n + 2)m − n −1

17

Последнее неравенство записано с учетом того, что число сомножителей в произведении

( n + 2)( n + 3) ⋅⋅⋅ m равно

m − ( n + 1) = m − n − 1 .

Получим соотношение

xm − xn <

⎞ 1 ⎛ 1 1 1 . + ⋅⋅⋅ + 1 + + ⎜ m − n −1 ⎟ ( n + 1)! ⎝ n + 2 ( n + 2)2 ( n + 2) ⎠

Выражение в скобках представляет собой геометрическую прогрессию. Число ее членов равно m − n . Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, найдем: m −n

⎛ 1 ⎞ 1− ⎜ ⎟ 1 n+2⎠ ⎝ xm − xn < ( n + 1)! 1 − 1 n+2

или

xm − xn < Так как

1 1 n+2 = . ( n + 1)! 1 − 1 ( n + 1)!( n + 1) n+2 lim

n →∞

то для всякого

,

n+2 = 0, ( n + 1)!( n + 1)

ε > 0 существует N ∈

такое, что при n > N

n+2 <ε. ( n + 1)!( n + 1) Следовательно, когда n > N и m > n , справедливо неравенство

xm − xn < ε . Согласно критерию Коши, последовательность {xn } сходится. 18

14. Доказать, что последовательность {xn } сходится, если

sin12 sin 22 sin 32 sin n 2 xn = + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n . 2 2 2 2 1.8 Верхний и нижний пределы последовательности Определение. Если из подмножества множества элементов последовательности {xn } составлена новая последовательность, причем порядок следования элементов в этой последовательности такой же, как в исходной, то полученная таким образом последовательность называется подпоследовательностью последовательности {xn } . Например, последовательность

x1, x2 , x3 , ... , xn , ... содержит подпоследовательности

x1, x3 , x5 , ... , x2n −1, ... , x2 , x4 , x6 , ... , x2n , ... , x3 , x8 , x9 , x14 , x15 , ... , x n

( −1) + 3n +1

, ...

и т. д. Определение. Если подпоследовательность последовательности {xn } сходится, то предел указанной подпоследовательности называется частичным пределом последовательности {xn } . Наибольший (наименьший) частичный предел последовательности {xn } называется ее верхним (нижним) пределом и обозначается

lim xn ( lim xn ).

n →∞

n →∞

Теорема. Последовательность {xn } сходится тогда и только тогда, когда она имеет верхний и нижний пределы и эти пределы совпадают, то есть когда

lim xn = lim xn

n →∞

19

n →∞

[4, гл. III, § 1]. 15. Найти верхний и нижний пределы последовательности {xn } , где

xn = ( −1)n .

(10)

Решение. Задана последовательность

−1, 1, − 1, 1, ... , ( −1)n , ... Рассмотрим ее подпоследовательности и

1, 1, 1, ...

(11)

−1, − 1, − 1, ...

(12)

Обозначим эти последовательности ( n = 1, 2, 3, ... ). Они имеют пределы:

{un } и {vn }, где un = 1 , vn = −1

lim un = 1 , lim vn = −1 .

n →∞

n →∞

Данные пределы являются частичными пределами последовательности (10). При этом каждый элемент последовательности (10) принадлежит одной из последовательностей (11) или (12). Поэтому последовательность (10) не имеет других частичных пределов и

lim xn = 1, lim xn = −1 .

n →∞

n →∞

16. Найти верхний и нижний пределы последовательности {xn } , где

xn = sin 2

πn 2

.

Ответ: 1; 0. 17. Найти верхний и нижний пределы последовательности {xn } , где

20

n πn cos . n+1 2

xn = 1+

(13)

Решение. Рассмотрим последовательность { yn } , где yn = cos вательность

0, − 1, 0, 1, 0, − 1, 0, 1, ... , cos Таким образом, величина yn = cos В частности, yn = 0 при

πn 2

πn

πn 2

2

, то есть последо-

, ...

принимает три значения: − 1, 0, 1.

n = 1, 3, 5, ...

Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 2 :

1, 3, 5, ... , 2m − 1, ... Значение yn = −1 получается, когда

n = 2, 6, 10, ... , 4m − 2, ... , а yn = 1 при

n = 4, 8, 12, ... , 4m, ...

Составим подпоследовательность {um } последовательности (13), включив в эту подпоследовательность те элементы, в которых косинус равен нулю:

um = x2m −1 = 1 +

2m − 1 π (2m − 1) cos = 1. 2m 2

Рассмотрим также подпоследовательности {vm }, {wm } с косинусами, равными соответственно минус единице и единице:

vm = x4m − 2 = 1 +

4m − 2 π (4m − 2) 4m − 2 , cos = 1− 4m − 1 2 4m − 1 21

wm = x4m = 1 +

4m 4mπ 4m cos = 1+ . 4m + 1 2 4m + 1

Здесь везде m = 1, 2, 3, ... Последовательности {um },{vm },{wm } содержат, соответственно, элементы (14) x1, x3 , x5 , ... , x2m −1, ...

x2 , x6 , x10 , ... , x4m − 2 , ... x4 , x8 , x12 , ... , x4m , ...

(15) (16)

Пределы этих последовательностей

lim um = 1, lim vm = 0 , lim wm = 2

m →∞

m →∞

m →∞

являются частичными пределами последовательности (13). Других частичных пределов эта последовательность не имеет, так как каждый элемент данной последовательности содержится в одной из последовательностей (14), (15) или (16). Поэтому

lim xn = 2 , lim xn = 0 .

n →∞

n →∞

18. Найти верхний и нижний пределы последовательности {xn } , где

xn = Ответ: 1; −1 .

n2 2

n +1

sin

πn 4

.

1.9 Признак существования предела Теорема (Вейерштрасса). Ограниченная сверху возрастающая (неубывающая) последовательность сходится. Аналогично, сходится убывающая (невозрастающая) последовательность, ограниченная снизу. [7, гл. I, § 4, п. 4.5].

22

19. Доказать, что последовательность {xn } сходится, если

xn =

1 1 1 1 + + + ⋅⋅⋅ + . 2 2⋅4 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅⋅⋅ 2n

(17)

Решение. Запишем xn в виде

xn =

1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + n . 2 ⋅1 2 ⋅1⋅ 2 2 ⋅1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 2 ⋅ n!

Учтем, что

1 23 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 1

<

1 23 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 1

=

1

=

1

,

2 3 ⋅ 2 2 25 1 1 , < = = 4 4 4 3 7 2 ⋅1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 2 ⋅1⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 1 1 1 1 = < = . 2n n ! 2n ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅ n 2n ⋅ 2n −1 22n −1 Поэтому

xn ≤

1 1 1 1 1 + 3 + 5 + 7 + ⋅⋅⋅ + 2n −1 . 2 2 2 2 2

Правая часть этого неравенства представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом b1 =

n . Поэтому

1 1 и знаменателем q = ; число членов равно 2 4

1⎛ 1 ⎞ 1− n ⎟ ⎜ 2 xn ≤ ⎝ 4 ⎠ < 1 1− 4

1 2 = 2, 3 3 4

то есть последовательность (17) ограничена сверху. Так как

23

xn =

1 1 1 1 1 + + + ⋅⋅⋅ + + 2 2⋅4 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅⋅⋅ 2( n − 1) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅⋅⋅ 2n

и

xn −1 =

1 1 1 1 , + + + ⋅⋅⋅ + 2 2⋅4 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅⋅⋅ 2( n − 1)

то

xn − xn −1 =

1 > 0. 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅⋅⋅ 2n

Следовательно, ограниченная сверху последовательность (17) возрастает. Значит, она сходится. 20. Доказать, что последовательность {xn } сходится, если

xn =

1 1 1 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n . 3+1 3 + 2 3 + 3 3 +n

1.10 Сходимость итерационного процесса Если множество значений функции ϕ содержится в ее области определения D ⊂

и a1 ∈ D , то соотношения

x1 = a1, xn = ϕ ( xn −1 ), n = 2, 3, 4, ...

(18)

задают числовую последовательность

x1, x2 , x3 , ... , xn , ... Вычисление ее элементов по формулам (18) называется итерационным процессом. Если полученная при этом последовательность имеет предел, то говорят, что итерационный процесс (18) сходится. 21. Последовательность {xn } задана соотношениями

x1 = 2, x2 = 2 + 2 , x3 = 2 + 2 + 2 ,

24

xn = 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 , где выражение, определяющее xn , содержит n символов квадратного корня. Доказать, что данная последовательность сходится, и найти ее предел. Решение. Задан итерационный процесс

x1 = 2, xn = 2 + xn −1 , n = 2, 3, 4, ... Так как

x1 < x2 < x3 < ⋅⋅⋅ < xn < ⋅⋅⋅ ,

то последовательность {xn } возрастает. В то же время

x1 = 2 ≤ 2, x2 = 2 + x1 ≤ 2 + 2 ≤ 2 . Если xn −1 ≤ 2 , то

xn = 2 + xn −1 ≤ 2 + 2 ≤ 2 . Согласно принципу математической индукции,

xn ≤ 2 ( n = 1, 2, 3, ...) , то есть возрастающая последовательность {xn } ограничена сверху. По теореме Вейерштрасса, эта последовательность сходится. Обозначим

lim xn = a.

n →∞

Так как

xn = 2 + xn −1 , то

lim xn = lim

n →∞

Поскольку функция

n →∞

2 + xn −1 .

x непрерывна, lim xn = 2 + lim xn −1 ,

n →∞

n →∞

25

или

a = 2 + a, a2 = 2 + a , a = −1 , a = 2 . Так как то

xn > 0 ( n = 1, 2, 3, ...) , lim xn ≥ 0 , a = 2 , lim xn = 2 .

n →∞

n →∞

22. Исследовать сходимость итерационного процесса

x1 = 6 , xn = 6 + xn −1

( n = 2,

3, 4, ... )

и найти предел последовательности {xn } . Ответ: 3. 1.11 Вычисление предела последовательности Классическая теорема о пределе суммы сформулирована в предположении, что число слагаемых постоянно и конечно. В противном случае необходимо предварительно преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы были выполнены условия указанной теоремы. 23. Вычислить предел

lim

n →∞

12 + 32 + 52 + ⋅⋅⋅ + (2n − 1)2 n

3

.

Решение. Представим каждое слагаемое числителя в виде, аналогичном последнему слагаемому, вычислим квадраты разности и сгруппируем отдельно первые и вторые степени:

12 + 32 + 52 + ⋅⋅⋅ + (2n − 1)2 = = 12 + (2 ⋅ 2 − 1)2 + (2 ⋅ 3 − 1)2 + (2 ⋅ 4 − 1)2 ⋅⋅⋅ + (2n − 1)2 =

= 1 + 22 ⋅ 22 − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 1 + 22 ⋅ 32 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 + 26

+22 ⋅ 42 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 + 1 + ⋅⋅⋅ + 22 ⋅ n 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ n + 1 = = n + 22 (22 + 32 + 42 + ⋅⋅⋅ + n 2 ) − 4(2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + n ) . Справедливы формулы n

∑ k2 =

k =1

( n + 1)(2n + 1)n , 6

n

∑k =

k =1

Поэтому

1+ n n. 2

12 + 32 + 52 + ⋅⋅⋅ + (2n − 1)2 = ⎛ ( n + 1)(2n + 1)n ⎞ ⎛1+ n ⎞ n − 1⎟ = n + 22 ⋅ ⎜ − 1⎟ − 4 ⋅ ⎜ 6 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ и

lim

12 + 32 + 52 + ⋅⋅⋅ + (2n − 1)2 3

n →∞

=

n ⎛ n ⎛ ( n + 1)(2n + 1)n 1 ⎞ ⎛ (1 + n )n 1 ⎞ ⎞ 4 = lim ⎜ 3 + 22 ⋅ ⎜ − − ⋅ − 3 ⎟⎟, ⎟ ⎜ n →∞ ⎝ n 6n 3 n3 ⎠ n ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2n 3 или

lim

12 + 32 + 52 + ⋅⋅⋅ + (2n − 1)2

n →∞

24. Вычислить предел

lim

n3

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ⋅⋅⋅ + n( n + 1) n3

n →∞

Ответ:

1 . 3

=

4 . 3

.

1.12 Равномерная непрерывность функции Определение. Функция f : X → называется равномерно непрерывной на множестве X , если для всякого положительного числа ε можно указать 27

такое положительное число

δ , что для любых точек x1, x2 ∈ X таких, что x1 − x2 < δ ,

справедливо неравенство

f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε .

Сущность равномерной непрерывности заключается в следующем. Пусть функция f непрерывна на некотором промежутке X . Тогда для всякого x0 из этого промежутка и для всякого ε > 0 можно указать такую δ окрестность точки x0 , что для любой точки x ∈ X из указанной окрестности

f ( x ) − f ( x0 ) < ε .

(19)

При этом для различных точек x0 в общем случае получаются различные

δ . Если же для функции f и данного промежутка существует единое число δ > 0 такое, что для любого x0 ∈ X из неравенства значения

x − x0 < δ следует (19), то функция f считается равномерно непрерывной на рассматриваемом промежутке. Согласно определению равномерной непрерывности, функция f не является равномерно непрерывной на множестве X ⊂ , если можно указать ε > 0 такое, что для любого δ > 0 можно найти x1, x2 ∈ X , для которых выполняются неравенства

x1 − x2 < δ и

f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ ε .

Теорема (Кантора). Если функция f непрерывна на отрезке [ a , b] , то она равномерно непрерывна на этом отрезке [4, т. I, гл. IV, § 2]. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на указанном множестве (задачи 25 – 28): 25. f ( x ) = x , x ∈ [ 0, 1] . 2

28

Решение. Функция f непрерывна на отрезке [ 0, 1] . Согласно теореме Кантора, f равномерно непрерывна на этом отрезке. 26.

f ( x) =

27. f ( x ) =

⎡ π 3π ⎤ . x ∈ , , ⎢ ⎥ 2 4 4 ⎣ ⎦ sin x 1

sin x , x ∈ (0, 1) . x

Решение. Рассмотрим функцию

⎧ sin x , если x ∈ (0, 1], ⎪ F ( x) = ⎨ x ⎪⎩1, если x = 0. На промежутке (0 ,1] она совпадает с функцией, заданной выражением

sin x . x Последняя непрерывна на указанном промежутке. Поэтому F также непрерывна на множестве (0 ,1] . Вычислим

sin x = 1. x →0 x

lim F ( x ) = lim

Следовательно,

x →0

lim F ( x ) = F (0) ,

x →0

то есть функция F непрерывна в точке x = 0 . Так как F непрерывна на промежутке (0 ,1] и в точке x = 0 , то эта

функция непрерывна на отрезке [ 0, 1] . Следовательно, она равномерно непрерывна на этом отрезке. При этом функция F равномерно непрерывна на всяком подмножестве данного отрезка, в частности на интервале (0, 1) . На этом интервале F совпадает с функцией f . Значит, f равномерно непрерывна на указанном ин29

тервале.

ex − 1 , x ∈ (0, 1) . 28. f ( x ) = x Доказать, что функция f не является равномерно непрерывной на указанном множестве (задачи 29 – 30). 29.

f ( x ) = ln x, x ∈ (0, 1) .

Решение. Зададим

ε=

1 и рассмотрим точки 2 xn = e − n , yn = e − ( n +1) , n ∈ .

Тогда

xn − yn = и

1 en

−

1 en +1

=

e −1 en +1

lim ( xn − yn ) = 0 .

n →∞

Таким образом, для всякого

δ > 0 можно найти такое n , что xn − yn < δ .

При этом

f ( xn ) − f ( yn ) = ln e − n − ln e −( n +1) = 1 > ε . Следовательно, f ( x ) не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1) . 30. f ( x ) =

1 , x ∈ (0, 1) . x

Указание. Рассмотрите точки

1 1 xn = , yn = . n n +1 30

2 ПРОИЗВОДНЫЕ 2.1 Односторонние производные Функция sgn x определяется следующей формулой:

⎧1, если x > 0, ⎪ sgn x = ⎨0, если x = 0, ⎪ ⎩ −1, если x < 0. Используется также обозначение sign x . В обоих случаях читается «сигнум x » (от латинского signum – знак). Символы [ x ] или E ( x ) читаются «целая часть числа x ». Это наибольшее целое число, не превосходящее x . Найти односторонние производные функции f в указанной точке (задачи 31 – 34): 31.

f ( x ) = sgn x ⋅ ( e x − 1) , x = 0 .

Решение. Согласно определению функции sgn x ,

⎧1 − e x , если x < 0, ⎪ f ( x ) = ⎨0, если x = 0, ⎪ x ⎩ e − 1, если x > 0. При вычислении левой производной

∆x < 0 и f ( ∆x ) = 1 − e ∆x . Поэтому f '− (0) = lim

∆x →−0

f '− (0) приращение аргумента

f (0 + ∆x ) − f (0) = ∆x

1 − e ∆x e ∆x − 1 = lim = − lim . ∆x →−0 ∆x ∆x →−0 ∆x 31

Так как при α → 0 то f ' − (0) = −1. Аналогично, правая производная

eα − 1 ∼ α ,

f (0 + ∆x ) − f (0) = ∆x

f '+ (0) = lim

∆x →+0

e ∆x − 1 = lim = 1. ∆x →+0 ∆x f ( x ) = sgn x ⋅ (( x − 1)2 − 1) , x = 0 .

32.

Ответ: f '− (0) = 2 , f '+ (0) = −2 . 33.

f ( x ) = [ x ] ⋅ sin π x , x = 2 .

Решение. Рассмотрим окрестность (1, 3) точки x = 2 . По определению целой части числа, на этой окрестности

⎧1, если x ∈ (1, 2), ⎩2, если x ∈ [2, 3).

[ x] = ⎨ Поэтому

и

⎧sin π x, если x ∈ (1, 2), ⎪ f ( x ) = ⎨0, если x = 2, ⎪2 sin π x, если x ∈ (2, 3) ⎩ sin π (2 + ∆x ) sin π∆x = lim =π . ∆x ∆x →−0 ∆x →−0 ∆x 2 sin π (2 + ∆x ) f '+ (2) = lim = 2π . ∆x ∆x →+0

f '− (2) = lim

34.

f ( x ) = [ x ] ⋅ ( x 2 − 3x ) , x = 3 . Ответ: f ' − (3) = 6 , f '+ (3) = 9 . 32

2.2

Дифференцируемость функции в точке

Теорема. Если функция f дифференцируема в точке a , то указанная функция непрерывна в данной точке [10, гл. III, §4]. Теорема. Функция f дифференцируема в точке a в том и только в том случае, если в этой точке существуют левая производные и если при этом f '− ( a ) = f '+ ( a ) . [6, гл. 5, § 1].

f '− ( a ) и правая

f '+ (a )

Поэтому условия дифференцируемости функции f в точке a можно записать в виде:

⎧⎪ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( a ), x→a +0 ⎨ x →a −0 ⎪⎩ f '− ( a ) = f '+ ( a ),

где

f ( a + ∆x ) − f ( a ) , ∆x f ( a + ∆x ) − f ( a ) . ∆x

f '− ( a ) = lim

∆x →−0

f '+ ( a ) = lim

∆x →+0

35. При каких значениях a и b функция f имеет производную в точке x0 , если

⎧⎪ x 2 при x ≤ x0 , f ( x) = ⎨ ⎪⎩ax + b при x > x0 . Решение. Рассмотрим три величины

f ( x0 ) = x02 , lim

x → x0 − 0

f ( x) =

lim

x → x0 − 0

x 2 = x02

и

lim

x → x0 + 0

f ( x) =

lim (ax + b) = ax0 + b .

x → x0 + 0

33

(20)

Они равны, то есть функция f непрерывна, если

ax0 + b = x02 .

(21)

Выясним условие равенства односторонних производных в точке x0 . Левая производная:

f '− ( x0 ) = lim

∆x →−0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ∆x

( x0 + ∆x )2 − x02 x02 + 2 x0∆x + ( ∆x )2 − x02 = lim = lim = 2 x0 . ∆x ∆x ∆x →−0 ∆x →−0 Правая:

f '+ ( x0 ) = lim

∆x →+0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ∆x

a ( x0 + ∆x ) + b − x02 ( ax0 + b) + a∆x − x02 , = lim = lim ∆x ∆x ∆x →+0 ∆x →+0 или, с учетом (21),

x02 + a∆x − x02 f '+ ( x0 ) = lim = a. ∆x ∆x →+0 Должно выполняться равенство

f '− ( x0 ) = f '+ ( x0 ) , то есть

2x0 = a .

Из условий (21) и (22) следует, что

b = x02 − ax0 = x02 − 2 x02 = − x02 . Таким образом, функция (20) дифференцируема в точке x0 , если

a = 2 x0 , b = − x02 . 34

(22)

36.

При каких соотношениях между параметрами a, b, c, d функция

⎧ ax + b, если x ≥ x0 , f ( x) = ⎨ ⎩ cx + d , если x < x0 имеет производную в точке x0 ? Ответ: a = c, b = d . 37. Непрерывна ли функция

1 ⎧ ⎪ln(1 + x ) ⋅ sin , если x ≠ 0, f ( x) = ⎨ x ⎪⎩0, если x = 0 в точке x = 0 ? Является ли она дифференцируемой в этой точке? Найдите значение производной в указанной точке, если оно существует. Решение. Функция sin Поэтому

1 ограничена, а ln(1 + x ) → 0 при x → 0 . x lim ln(1 + x ) ⋅ sin

x →0

1 = 0. x

Так как на проколотой окрестности точки x = 0

то

1 f ( x ) = ln(1 + x ) ⋅ sin , x lim f ( x ) = 0 = f (0) .

x →0

Следовательно, функция f ( x ) непрерывна в точке x = 0 . Производную в этой точке вычислим по определению:

35

f '(0) = lim или

Так как

∆x →0

f (0 + ∆x ) − f (0) = lim ∆x ∆x → 0

ln(1 + ∆x ) ⋅ sin ∆x

1 −0 ∆x ,

1 ⎞ ⎛ ln(1 + ∆x ) f '(0) = lim ⎜ ⋅ sin ⎟. ∆x ∆x ⎠ ∆x → 0 ⎝

ln(1 + ∆x ) = 1, ∆x ∆x →0 lim

1 на любой окрестности начала координат принимает все ∆x значения из отрезка [ −1, 1] , то f '(0) не существует и f ( x ) не дифференцируема в точке x = 0 .

а функция sin

38. Непрерывна ли функция

1 ⎧ x2 ⎪( e − 1) ⋅ sin , если x ≠ 0, f ( x) = ⎨ x ⎪⎩0, если x = 0 в точке x = 0 ? Является ли эта функция дифференцируемой в данной точке? Найдите значение производной f '(0) , если оно существует. Ответ: Да, да, f '(0) = 0 .

2.3 Производная, имеющая точку разрыва. Теорема. Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то производная этой функции не имеет на указанном промежутке точек разрыва первого рода [15, т. I, п. 113]. 39. Доказать, что функция

1 ⎧ 2 ⎪ x sin , если x ≠ 0, f ( x) = ⎨ x ⎪⎩0, если x = 0 36

дифференцируема на всей числовой оси и исследовать непрерывность производной этой функции. Решение. Производную в начале координат найдем по определению:

f '(0) = lim

∆x →0

= lim

∆x →0

f (0 + ∆x ) − f (0) = ∆x

1 −0 1 ∆x = lim ∆x ⋅ sin . ∆x ∆x ∆x → 0

( ∆x )2 ⋅ sin

Так как

sin то есть функция sin

1 ≤ 1, ∆x

1 ограничена, то f '(0) = 0 . ∆x

В остальных точках производная вычисляется по обычным формулам дифференцирования элементарных функций:

1 ⎞' 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 2 . = + ⋅ − x sin 2 x sin x cos ⎜ ⎟ x⎠ x x ⎜⎝ x 2 ⎟⎠ ⎝ Поэтому

1 1 ⎧ − 2 x sin cos , если x ≠ 0, ⎪ f '( x ) = ⎨ x x ⎪⎩0, если x = 0. Таким образом, функция f дифференцируема на всей числовой оси. При x ≠ 0 производная f '( x ) совпадает с элементарной функцией

y = 2 x sin

1 1 − cos , x x

определенной и поэтому непрерывной при указанном условии. Следовательно, f '( x ) непрерывна при x ≠ 0 . 37

Чтобы проверить непрерывность производной в начале координат, рассмотрим ее односторонние пределы в этой точке. Вычислим предел справа:

1 1⎞ ⎛ lim f '( x ) = lim ⎜ 2 x sin − cos ⎟ . x x⎠ x →+0 x →+0 ⎝ Первое слагаемое в скобках стремится к нулю, второе не имеет предела. Поэтому lim f '( x ) не существует. Аналогично, в точке x = 0 не сущестx →+0

вует предел производной слева. Следовательно, для функции f '( x ) точка x = 0 является точкой разрыва второго рода, что согласуется с теоремой, приведенной в начале данного параграфа. 40. Выяснить, дифференцируема ли функция

1 ⎧ 3 ⎪ x sin , если x ≠ 0, f ( x) = ⎨ x ⎪⎩0, если x = 0 на всей числовой оси. Есть ли у производной этой функции точки разрыва? Ответ: Да, нет. 2.4 Формула Лейбница Теорема. Если функции u ( x ) и v ( x ) имеют в некоторой точке производные порядка n , то в этой точке

(uv ) где u

(0)

= u , v (0) = v .

(n )

=

n

∑ Cnk u(n −k )v(k ) ,

k =0

Это соотношение называется формулой Лейбница. Формально она полуn

чится, если разложить выражение (u + v ) по формуле Ньютона и затем показатели степени величин u и v заключить в скобки, превратив их в символы порядка производных. Кроме того, при этом следует считать, что n 0

первый и последний члены указанного разложения записаны в виде u v и

u 0v n .

Формула Лейбница может быть доказана методом математической индукции [7, гл. I, § 10, п. 10.2]. 38

41. Найти y

(15)

, если

y = ( x 2 + x + 1)sin x .

Решение. По формуле Лейбница, 0 1 y (15) = C15 (sin x )(15) ⋅ ( x 2 + x + 1) + C15 (sin x )(14) ⋅ ( x 2 + x + 1) '+ 2 +C15 (sin x )(13) ⋅ ( x 2

+ x + 1) ''.

Остальные слагаемые формулы Лейбница в данном случае равны нулю. Вычислим производные от функции sin x :

π⎞ ⎛ (sin x ) ' = cos x = sin ⎜ x + ⎟ , 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ (sin x ) '' = − sin x = sin ⎜ x + 2 ⋅ ⎟ , 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ (sin x ) ''' = − cos x = sin ⎜ x + 3 ⋅ ⎟ , 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ (sin x )(4) = cos x = sin ⎜ x + 4 ⋅ ⎟ . 2⎠ ⎝ Пусть

Тогда

то есть

π⎞ ⎛ (sin x )( k ) = sin ⎜ x + k ⋅ ⎟ . 2⎠ ⎝ π⎞ π π⎞ ⎛ ⎛ (sin x )( k +1) = cos ⎜ x + k ⋅ ⎟ = sin ⎜ x + k ⋅ + ⎟ , 2⎠ 2 2⎠ ⎝ ⎝ π⎞ ⎛ (sin x )( k +1) = sin ⎜ x + ( k + 1) ⎟ . 2⎠ ⎝

Согласно принципу математической индукции, 39

(23)

где n ∈

π⎞ ⎛ (sin x )( n ) = sin ⎜ x + n ⋅ ⎟ , 2⎠ ⎝ . Поэтому

π⎞ ⎛ (sin x )(13) = sin ⎜ x + 13 ⋅ ⎟ = cos x , 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ (sin x )(14) = sin ⎜ x + 14 ⋅ ⎟ = − sin x , 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ (sin x )(15) = sin ⎜ x + 15 ⋅ ⎟ = − cos x . 2⎠ ⎝

Подставим в формулу (23):

15 ⋅ 14 cos x ⋅ 2 = 2! = − cos x ⋅ ( x 2 + x + 1) − 15sin x ⋅ (2 x + 1) + 210 cos x ,

y (15) = − cos x ⋅ ( x 2 + x + 1) − 15sin x ⋅ (2 x + 1) + или

y (15) = −( x 2 + x − 209) cos x − 15(2 x + 1) sin x . 42. Найти y

Ответ:

(n )

, если

y = x cos x .

πn ⎞ πn ⎞ ⎛ ⎛ + + sin y ( n ) = x cos ⎜ x + n x ⎟ ⎜ ⎟. 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝

2.5 Производные высших порядков от рациональных функций Теорема. Пусть Q ( x ) − многочлен степени не выше n − 1 , a1, a2 , ⋅⋅⋅ , an − заданные постоянные и ai ≠ a j , если i ≠ j ( i, j = 1, 2, ... , n ). Тогда рациональную функцию

f ( x) =

Q( x) ( x − a1 )( x − a2 ) ⋅⋅⋅ ( x − an )

можно представить в виде следующей суммы дробей:

40

f ( x) =

A1 A2 An , + + ⋅⋅⋅ + x − a1 x − a2 x − an

где A1, A2 , ⋅⋅⋅ , An − постоянные, [10, гл. X, § 8]. 43. Найти производную y

(n )

, если

y=

1 x 2 − 3x + 2

.

Решение. Представим данную функцию в виде суммы дробей:

1 x 2 − 3x + 2

=

1 A B = + . ( x − 1)( x − 2) x − 1 x − 2

Приведем правую часть к общему знаменателю

1 A( x − 2) + B( x − 1) . = ( x − 1)( x − 2) ( x − 1)( x − 2) Так как знаменатели равных дробей совпадают, то числители должны быть равны: 1 = A( x − 2) + B ( x − 1) . Подставляя в последнее равенство x = 1, получим A = −1 , при x = 2 найдем B = 1 . Заданная функция примет вид:

y=

1 1 . − x − 2 x −1

Вычислим производные

1 , + 2 2 ( x − 2) ( x − 1) 2 2 y '' = − , 3 3 ( x − 2) ( x − 1)

y' = −

1

41

2⋅3 , + 4 4 ( x − 2) ( x − 1) 2 ⋅ 3⋅ 4 2 ⋅ 3⋅ 4 − y (4) = . 5 5 ( x − 2) ( x − 1)

y ''' = −

2⋅3

Предположим, что

y ( k ) = ( −1)k

k! ( x − 2)

k +1 + − ( 1) k +1

k! ( x − 1)

k +1

.

Тогда

y ( k +1) = ( −1)k +1

k !(k + 1)

( x − 2)k + 2

+ ( −1)k + 2

k !(k + 1)

( x − 1)k + 2

,

или

y ( k +1) = ( −1)k +1

( k + 1)! ( x − 2)

( k +1) +1 + ( − 1) ( k +1) +1

( k + 1)! ( x − 1)

( k +1) +1

.

Таким образом, из справедливости формулы

y ( n ) = ( −1)n

n!

( x − 2)

n +1 + − ( 1) n +1

n!

( x − 1)n +1

при n = k следует, что она верна при n = k + 1 . Так как эта формула верна и при n = 1 , то, согласно принципу математической индукции, она справедлива при любом n ∈ .

44. Найти производную y

(n )

, если

y=

1 x2 − 4

.

Ответ:

y

(n )

⎞ ( −1)n n ! ⎛ 1 1 = − ⎜ ⎟. 4 ⎝ ( x − 2)n +1 ( x + 2)n +1 ⎠ 42

3

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3.1 Предел Определение. Число A называется пределом функции

f :D→ , D⊂ 2 по множеству X ⊂ D в точке ( x0 , y0 ) , если для каждого числа ε > 0 существует такое число δ > 0 , что для всех точек ( x, y ) ∈ X , удовлетворяющих условию

0 < ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ , выполняется неравенство

f ( x, y ) − A < ε .

Это записывается

lim

x → x0 y → y0 ( x , y )∈X

f ( x, y ) = A .

(24)

Г − непрерывная кривая, проходящая через точку ( x0 , y0 ) , и X = Г, то предел (24) называется пределом функции f по кривой Г в точке ( x0 , y0 ) . Если множество X содержит проколотую окрестность точки ( x0 , y0 ) , то Если

соотношение (24) записывают в виде

lim f ( x, y ) = A .

x → x0 y → y0

Если этот предел существует и равен A , то для всякой непрерывной кривой Г, проходящей через точку ( x0 , y0 ) ,

lim

x → x0 y → y0 ( x , y )∈Г

f ( x, y ) = A .

43

45. Выяснить существование предела lim f ( x, y ) , x →0 y →0

если

f ( x, y ) =

xy 2

x + 3y

2

.

Решение. Вычислим предел функции f по прямой Г, заданной уравнением y = kx , где k − постоянная. На этой прямой

f ( x, y ) =

kx 2 2

2 2

x + 3k x

=

k

1 + 3k

2

,

то есть f постоянна, и ее предел по такой прямой

lim

x →0 y →0 ( x , y )∈Г

Например, по прямой

f ( x, y ) =

k 1 + 3k

2

.

Г1 , заданной уравнением y = x , то есть при

k = 1 , функция f имеет предел

lim

x →0 y →0 ( x , y )∈Г1

f ( x, y ) =

1 1 = , 1+ 3 4

а по прямой Г 2 , имеющей уравнение y = 2 x ,

lim

x →0 y →0 ( x , y )∈Г 2

f ( x, y ) =

2 . 13

Таким образом, на различных прямых, проходящих через начало координат, значения предела функции f не совпадают. Это означает, что предел

44

lim f ( x, y ) =

x →0 y →0

xy x2 + 3 y2

не существует. 46.

Выяснить, существует ли предел lim f ( x, y ) , x →0 y →0

если

f ( x, y ) = sin Ответ:

π x2 x2 + y2

.

Нет.

3.2 Дифференцирование неявных функций Пусть задана система уравнений

⎧ F1( x1, x2 , ... , xn , y1, y2 , ... , ym ) = 0, ⎪ ⎨..................................................... ⎪ F ( x , x , ... , x , y , y , ... , y ) = 0. n 1 2 m ⎩ m 1 2

(25)

Считают, что эта система неявно задает функции

y1 = ϕ1( x1, x2 , ... , xn ) , …………………………

ym = ϕ m ( x1, x2 , ... , xn ) ,

(26)

если при подстановке данных функций в каждое из уравнений системы (25) все эти уравнения обращаются в тождества. Справедлива теорема существования функций (26), неявно заданных системой (25) ([8], гл. 4, § 41, п. 41.3). Эта теорема аналогична теореме существования функции, неявно заданной одним уравнением. В дальнейшем будем предполагать, что вычисления выполняются в области, где для системы вида (25) выполнены все условия указанной теоремы.

45

47. Найти

∂u ∂u ∂v ∂v , , , , ∂x ∂y ∂x ∂y

если

⎧ xu − yv = 0, ⎨ ⎩ yu + xv = 1. Решение. Вычислим дифференциалы левых и правых частей данных уравнений:

⎧udx + xdu − vdy − ydv = 0, ⎨ ⎩udy + ydu + vdx + xdv = 0, или

⎧ xdu − ydv = −udx + vdy , ⎨ ⎩ ydu + xdv = −vdx − udy. Решим эту систему относительно дифференциалов du и dv , например, по правилу Крамера. Вычислим определители

∆=

∆u =

x −y = x2 + y2 , y x −udx + vdy −vdx − udy

−y = x

= −uxdx + vxdy − vydx − uydy = = ( −ux − vy )dx + ( vx − uy )dy , ∆v =

x y

− udx + vdy = ( − vx + uy )dx + ( −ux − vy )dy. − vdx − udy

Получим дифференциалы

du =

−ux − vy 2

x +y

2

46

dx +

vx − uy 2

x +y

2

dy ,

dv = и производные

48.

−vx + uy 2

x +y

2

dx +

−ux − vy 2

x +y

2

dy

∂u −ux − vy ∂u vx − uy , , = 2 = 2 2 2 ∂x x + y ∂y x + y ∂v −vx + uy ∂v −ux − vy , . = = ∂x x 2 + y 2 ∂y x 2 + y 2

Найти

∂u ∂u ∂v ∂v , , , , ∂x ∂y ∂x ∂y

если

⎧u + v = x + y , ⎪ ⎨ sin u x ⎪ sin v = y . ⎩ Ответ:

∂u x cos v + sin v ∂u x cos v − sin u = = , , ∂x x cos v + y cos u ∂y x cos v + y cos u ∂v y cos u − sin v ∂v y cos u + sin u = = , . ∂x x cos v + y cos u ∂y x cos v + y cos u

3.3 Дифференцирование параметрически заданных функций Пусть функция z = f ( x, y ) задана параметрическими уравнениями

⎧ x = x (u, v ), ⎪ ⎨ y = y (u, v ), ⎪ z = z (u, v ). ⎩ Чтобы найти производные

∂z ∂z и , продифференцируем левые и правые ∂x ∂y 47

части уравнений данной системы:

∂x ∂x du + dv , ∂u ∂v ∂y ∂y dy = du + dv , ∂u ∂v ∂z ∂z dz = du + dv . ∂u ∂v

dx =

(27) (28) (29)

Здесь коэффициенты при du и dv представляют собой функции от параметров u и v . Решим систему уравнений (27) − (28) относительно du и dv , выразив их через dx, dy . Это возможно, если в области, где выполняются вычисления, определитель

∂x ∂u ∂y ∂u

∂x ∂v ≠ 0. ∂y ∂v

В результате решения указанной системы дифференциалы du и dv будут представлены как линейные функции переменных dx и dy с коэффициентами, зависящими от u и v :

du = A1(u, v )dx + B1(u, v )dy , dv = A2 (u, v )dx + B2 (u, v )dy . Подставляя du и dv в (29), получим полный дифференциал в форме

∂z ∂z ∂z ∂z A1(u, v )dx + B1(u, v )dy + A2 (u, v )dx + B2 (u, v )dy = ∂u ∂u ∂v ∂v ∂z ∂z ⎞ ∂z ∂z ⎞ ⎛ ⎛ = ⎜ A1(u, v ) + A2 (u, v ) ⎟ dx + ⎜ B1(u, v ) + B2 (u, v ) ⎟ dy ∂u ∂v ⎠ ∂u ∂v ⎠ ⎝ ⎝

dz =

или

dz = z x' (u, v )dx + z y' (u, v )dy . 48

Тем самым искомые производные будут определены как функции параметров u и v . 49. Найти

∂z ∂z и при u = 1, v = 1 , если ∂x ∂y ⎧ x = u + ln v, ⎪ ⎨ y = v − ln u, ⎪ z = 2u + v. ⎩

Решение. Продифференцируем левые и правые части уравнений заданной системы:

dv ⎧ d x d u , = + ⎪ v ⎪ du ⎪ d d , y v = − ⎨ u ⎪ ⎪dz = 2du + dv. ⎪⎩

(30)

При u = 1, v = 1 система (30) принимает вид:

⎧dx = du + dv, ⎪ ⎨dy = −du + dv, ⎪dz = 2du + dv. ⎩

(31)

В данном случае определитель

∂x ∂u ∂y ∂u

∂x ∂v , ∂y ∂v

вычисленный в указанной точке, − это определитель, составленный из коэффициентов при du, dv в первых двух уравнениях системы (31):

49

1 −1

1 = 2 ≠ 0. 1

Разрешим эти уравнения относительно du и dv :

du =

dx − dy dx + dy , dv = . 2 2

Подставим данные значения в последнее уравнение системы (31):

dz = dx − dy +

dx + dy . 2

Получим полный дифференциал

и производные:

3 1 dz = dx − dy 2 2 1 ∂z 3 ∂z = , =− . ∂x u =1, v =1 2 ∂y u =1, v =1 2

50. Найти

∂z ∂z и при u = 2, v = 1, если ∂x ∂y ⎧ x = u + v2 , ⎪⎪ 2 3 ⎨y = u − v , ⎪ z = 2uv. ⎪⎩

Ответ: 2; 0. 3.4 Полные дифференциалы высших порядков Теорема. Если функция z = f ( x1, x2 , ... , xn ) имеет непрерывные проm

изводные порядка m , то полный дифференциал d z может быть вычислен по формуле 50

m

⎛ ∂ ⎞ ∂ ∂ d z=⎜ dx1 + dx2 + ... + dxn ⎟ z . ∂x2 ∂xn ⎝ ∂x1 ⎠ m

(32)

Здесь m

k

⎛ ∂ ⎞ ∂m z m dx1 ⎟ z = m dx1 , ⎜ x ∂ ∂x1 ⎝ 1 ⎠

⎛ ∂ ⎞1 ⎛ ∂ ⎞ dx1 ⎟ ⋅ ⎜ dx2 ⎟ ⎜ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠

k2

и т. д.

z=

∂ k1 + k2 z ∂x1k1 ∂x2k2

dx1k1 dx2k2

[8, гл. 4, § 38, п. 38.2]. 3

2

51. Найти d z , если z = x y . Решение. В данном случае формула (32) принимает вид 3

⎛ ∂ ⎞ ∂ d z = ⎜ dx + dy ⎟ z , ∂y ⎠ ⎝ ∂x 3

или 3

d z=

∂ 3z ∂x

3

3

dx + 3

∂3z 2

∂x ∂y

2

dx dy + 3

∂3z ∂x∂y

2

2

dxdy +

∂ 3z ∂y

3

Вычислим частные производные

∂2 z ∂ 3z ∂z ∂ 3z = 2y, = 0, 2 = 2 , = 2 xy , 2 3 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y 2 ∂z ∂ 3z ∂ 3z 2 ∂ z =x , = 0, = 0, =0 2 3 2 ∂y ∂y ∂y ∂x∂y

и подставим их в (33): 51

dy 3 .

(33)

d 3 z = 6dx 2dy . 4

52. Найти d z , если

Ответ:

z = cos( x + y )

cos( x + y )(dx + dy )4 . 3.5 Зависимость функций

Определение. Пусть функции

y1 = f1( x1, x2 , ... , xn ) , ………………………..

ym = f m ( x1, x2 , ... , xn ) определены в области D ∈

n

(34)

. Функция

yk = f k ( x1, x2 , ... , xn ) (1 ≤ k ≤ m ) называется зависимой от остальных функций системы (34), если yk можно представить в виде

yk = ϕ ( y1, y2 , ... , yk −1, yk +1, ... , ym ) , то есть

f k ( x1, ... , xn ) =

= ϕ ( f1 ( x1 , ... , xn ), ... , f k −1 ( x1 , ... , xn ), f k +1 ( x1 , ... , xn ), ... , f m ( x1 , ... , xn )) , где ϕ − некоторая функция. Функции (34) называются зависимыми в области D , если одна из этих функций зависит от остальных. Если ни одна из функций (34) не зависит от остальных, то эти функции называются независимыми в области D . Пример. Рассмотрим функции

y1 = x1 + x2 + x3 , y2 = x12 + x22 + x32 , y3 = x1x2 + x1x3 + x2 x3 ,

52

(35)

где ( x1, x2 , x3 ) ∈ Вычислим

3

.

y12 = x12 + x22 + x32 + 2 x1x2 + 2 x1x3 + 2 x2 x3 . В каждой точке пространства

3

справедливо равенство

y2 = y12 − 2 y3 , то есть функции (35) зависимы в

3

.

Теорема. Если функции (34) имеют непрерывные частные производные

∂f k ∂xi

( i = 1, ... , n, k = 1, ... , m )

в некоторой окрестности точки M 0 ∈

n

и в этой точке ранг матрицы

∂f1 ⎞ ⎛ ∂f1 ∂f1 ... ⎜ ∂x ∂x ∂xn ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ ∂f 2 ⎟ ⎜ ∂f 2 ∂f 2 ... ⎜ ∂x ∂x ∂xn ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ........................... ⎟ ⎜ ∂f ∂f ⎟ ∂ f m m m ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ∂x ... ∂x ⎟ 2 n⎠ ⎝ 1 равен m , то функции (34) независимы в указанной окрестности [8, гл. 4, § 42]. Доказать, что заданные функции независимы в некоторой окрестности указанной точки (задачи 53 − 54): 53. точка (1, 0, 1) .

y1 = sin( x1x2 x3 ) , y2 = x1 cos x2 ,

53

Решение. Функции 3

y1, y2 имеют непрерывные частные производные в

. Запишем матрицу

⎛ ∂y1 ∂y1 ∂y1 ⎞ ⎜ ∂x ∂x ∂x ⎟ 2 3 ⎟ ⎜ 1 = ∂ ∂ ∂ y y y ⎜ 2 2 2⎟ ⎜ ∂x ∂x ∂x ⎟ 2 3⎠ ⎝ 1 ⎛ x2 x3cos(x1x2 x3 ) x1x3cos(x1x2 x3 ) x1x2cos(x1x2 x3 ) ⎞ =⎜ ⎟. cos x x sin x 0 − 2 1 2 ⎝ ⎠

В точке (1, 0, 1) она принимает вид

⎛ 0 1 0⎞ ⎜1 0 0 ⎟ . ⎝ ⎠ Ранг данной матрицы равен двум, то есть числу заданных функций. Следовательно, эти функции независимы в окрестности точки (1, 0, 1) . 54.

y1 = xy , x y2 = , y

точка (1, 1). 3.6 Экстремум Определение. Квадратичная форма n

n

K ( x1, x2 , ... , xn ) = ∑ ∑ aij xi x j

(36)

i =1 j =1

называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого ненулевого вектора ( x1, x2 , ... , xn ) справедливо неравенство

K ( x1, x2 , ..., xn ) > 0

( K ( x1, x2 , ... , xn ) < 0 ) .

Квадратичная форма (36) называется знакопеременной, если существуют та54

кие два вектора ( x1, x2 , ... , xn ) и ( y1, y2 , ... , yn ) , что

K ( x1, x2 , ... , xn ) > 0 , K ( y1, y2 , ... , yn ) < 0 . Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма (36) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы этой формы были положительны, то есть

a11 > 0 ,

a11 a12 a21 a22

a11 a12 ... a1n

a11 a12 a13

> 0 , a21 a22 a23 > 0 , … , a31 a32 a33

a21 a22 ... a2n .........................

> 0.

an1 an 2 ... ann

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство a11 < 0 и знаки угловых миноров чередовались [5, гл. 7, § 4, п. 3]. n

имеет непрерывные частТеорема. Пусть функция f : D → , D ⊂ ные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M 0 ( a1, a2 , ... , an ) и M 0 − стационарная точка функции f . Если при этом квадратичная форма

∂2 f (M 0 ) K (dx1, dx2 , ... , dxn ) = d f ( M 0 ) = ∑ ∑ dxi dx j x x ∂ ∂ i j i =1 j =1 n

2

n

положительно определенная, то M 0 − точка минимума функции f ; если отрицательно определенная, то это − точка максимума. Если указанная квадратичная форма знакопеременная, то в точке M 0 экстремума нет [8, гл. 4, § 40, п. 40.2]. 2

Таким образом, здесь полный дифференциал второго порядка d f , вычисленный в стационарной точке M 0 , рассматривается как квадратичная форма относительно переменных dxi (i = 1, 2, ... , n ) . 55. Исследовать на экстремум функцию

u = 2 x 2 − xy + 2 xz − y + y 3 + z 2 . 55

(37)

Решение. Вычислим частные производные:

ux = 4 x − y + 2 z ,

u y = − x − 1 + 3 y2 , uz = 2 x + 2 z . Приравнивая каждую из них нулю, получим систему уравнений, определяющую критические точки:

⎧ 4 x − y + 2 z = 0, ⎪ 2 ⎨ − x + 3 y = 1, ⎪ x + z = 0. ⎩ Решим эту систему. Из третьего уравнения найдем:

z = −x . С учетом этого из первого получим:

y = 2x . Подставим во второе уравнение:

− x + 12 x 2 = 1, или

12 x 2 − x + 1 = 0 . Решим это уравнение:

x1,2 =

1 ± 1 + 48 1 1 , x1 = , x2 = − . 24 3 4

Затем найдем значения остальных неизвестных:

2 1 1 1 y1 = , y2 = − , z1 = − , z2 = . 3 2 3 4 Получили две критические точки 56

1⎞ 1 1⎞ ⎛1 2 ⎛ 1 M1 ⎜ , , − ⎟ , M 2 ⎜ − , − , ⎟ . 3⎠ 2 4⎠ ⎝3 3 ⎝ 4 Вычислим частные производные второго порядка:

u xx = 4, u xy = −1, u xz = 2 , u yx = −1, u yy = 6 y , u yz = 0 , u zx = 2, uzy = 0, u zz = 2 . Запишем полный дифференциал второго порядка

d 2u = 4dx 2 − dxdy +

2dxdz −

−dydx + 6 ydy 2 + 0 ⋅ dydz + +2dzdx + 0 ⋅ dzdy

+ 2dz 2 .

Найдем его в точке M1 :

d 2u( M1 ) = 4dx 2 − dxdy +

2dxdz −

−dydx + 4dy 2 + 0 ⋅ dydz + +2dzdx + 0 ⋅ dzdy + 2dz 2 . Это квадратичная форма относительно переменных dx, dy , dz . Ее матрица:

⎛ 4 −1 2⎞ A = ⎜ −1 4 0 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ 2 0 2⎟ ⎝ ⎠ Угловые миноры данной матрицы:

4 −1 2 2 −1 0 4 −1 4 > 0, = 15 > 0 , −1 4 0 = −1 4 0 = 14 > 0 . −1 4 2 0 2 2 0 2

57

Здесь второй из определителей третьего порядка получается вычитанием последней строки предыдущего определителя из первой. 2

Согласно признаку Сильвестра, дифференциал d u ( M1 ) представляет собой положительно определенную квадратичную форму относительно dx, dy , dz . Следовательно, M1 есть точка минимума функции (37):

1⎞ 13 ⎛1 2 umin = u ⎜ , , − ⎟ = − . 3⎠ 27 ⎝3 3 2

Матрица квадратичной формы d u ( M 2 ) имеет вид:

⎛ 4 −1 2 ⎞ A = ⎜ −1 − 3 0 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ 2 0 2⎟ ⎝ ⎠ Ее угловые миноры:

4 −1 4 > 0, = −13 < 0 , −1 − 3

4 −1 2 2 −1 0 −1 − 3 0 = −1 − 3 0 = −14 < 0 . 2 0 2 2 0 2

Условия критерия Сильвестра здесь не выполнены. Запишем полный дифференциал второго порядка

d 2u( M 2 ) = 4dx 2 − 3dy 2 + 2dz 2 − 2dxdy + 4dxdz . Если dx ≠ 0, dy = 0, dz = 0 , то

d 2u( M 2 ) = 4dx 2 > 0 . При условии dx = 0, dy ≠ 0, dz = 0 имеем

d 2u ( M 2 ) = −3dy 2 < 0 . Следовательно, квадратичная форма знакопеременная и M 2 не является точкой экстремума.

58

56. Исследовать на экстремум функцию

u = x 2 + 2 y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 1. Ответ:

umin = u (1, − 1, 3) = −11. 3.7 Условный экстремум

Сделаем следующие предположения. Функция

z = f ( x1, x2 , ... , xn )

(38)

определена в некоторой окрестности точки M 0 ( a1, a2 , ... , an ) . Координаты этой точки удовлетворяют уравнениям связи

⎧ϕ1( x1, x2 , ... , xn ) = 0, ⎪ ⎨............................... ⎪ϕ ( x , x , ... , x ) = 0. n ⎩ m 1 2

(39)

В каждой точке указанной окрестности ранг матрицы

∂ϕ1 ⎞ ⎛ ∂ϕ1 ∂ϕ1 ... ⎜ ∂x ∂x ∂xn ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ ∂ϕ 2 ⎟ ⎜ ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ... ⎜ ∂x ∂x ∂xn ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ .............................. ⎟ ⎜ ∂ϕ ∂ϕ ⎟ m ... ∂ϕ m ⎟ ⎜ m ⎜ ∂x ∂xn ⎟⎠ ⎝ 1 ∂x2 равен m ( числу уравнений системы (39)), то есть функции ϕ1, независимы.

59

ϕ 2 , ... , ϕ m

Функции f , ϕ1, ... , ϕ m имеют непрерывные частные производные второго порядка в данной окрестности. Составлена функция Лагранжа

L = f + λ1ϕ1 + λ2ϕ 2 + ... + λmϕ m , записаны необходимые условия ее экстремума и найдена критическая точка 0

0

0

этой функции ( a1, a2 , ... , an , λ1 , λ2 , ... , λm ) . Пусть все эти предположения выполнены. Зафиксируем в функции Лагранжа

L = L( x1, x2 , ... , xn , λ1, λ2 , ... , λm ) 0

множители λi , считая , что λi = λi

(i = 1, 2, ... , m ) . Получим функцию

L1( x1, x2 , ... , xn ) = L( x1, x2 , ... , xn , λ10 , λ20 , ... , λm0 ) . Составим квадратичную форму

K (dx1, dx2 , ... , dxn ) = d 2 L1( M 0 ) ,

(40)

где M 0 имеет координаты ( a1, a2 , ... , an ) . Переменные x1, x2 , ... , xn в точке условного экстремума удовлетворяют уравнениям связи (39). Поэтому дифференциалы этих переменных связаны между собой соотношениями

∂ϕ1 ⎧ ∂ϕ1 + + d x ... dxn = 0, 1 ⎪ ∂x ∂ x n ⎪⎪ 1 ⎨............................................ ⎪ ∂ϕ ∂ϕ ⎪ m dx1 + ... + m dxn = 0. ∂xn ⎪⎩ ∂x1 Это

(41)

система

линейных уравнений относительно переменных dxi (i = 1, 2, ... , n ) . Так как ранг матрицы этой системы равен m , то, ре-

шив систему (41), m величин dxi можно выразить через остальные n − m дифференциалов. Если найденные таким путем выражения подставить в

d 2 L1( M 0 ) , то получится квадратичная форма (40) с учетом уравнений связи 60

(39). Она будет содержать уже не n , а n − m дифференциалов независимых переменных. Если эта форма положительно (отрицательно) определенная, то M 0 есть точка минимума (максимума) функции (38) при условиях (39). Если данная форма знакопеременная, то функция (38) не имеет в точке M 0 условного экстремума при указанных условиях [8, гл. 4, § 43, п. 43.5]. 57. Методом множителей Лагранжа исследовать на экстремум функцию

при условии

u = x2 + y2 + 2z2

(42)

x − y + z = 1.

(43)

Решение. Составим функцию Лагранжа

L = x 2 + y 2 + 2 z 2 + λ ( x − y + z − 1) и вычислим ее частные производные:

Lx = 2 x + λ , Ly = 2 y − λ , Lz = 4 z + λ , Lλ = x − y + z − 1 . Решим систему уравнений

⎧ 2 x + λ = 0, ⎪ 2 y − λ = 0, ⎪ ⎨ ⎪ 4 z + λ = 0, ⎪⎩ x − y + z − 1 = 0. Из первых трех уравнений выразим через

λ

λ остальные переменные:

λ

λ

x=− , y= , z=− . 2 2 4 61

(44)

Подставляя эти выражения в последнее уравнение указанной системы, найдем

λ=− и затем

x= Считая, что в равенстве (44)

4 5

2 2 1 , y=− , z= . 5 5 5 4 5

λ = − , получим функцию

4 L1 = x 2 + y 2 + 2 z 2 − ( x − y + z − 1) . 5

Вычислим ее производные

4 ∂L1 4 ∂L1 4 ∂L1 = 2y + , = 4z − , = 2x − , 5 ∂y 5 5 ∂z ∂x ∂ 2 L1

∂ 2 L1 ∂ 2 L1 = 2, = 0, = 0, ∂x∂y ∂x∂z ∂x 2 ∂ 2 L1 ∂ 2 L1 ∂ 2 L1 = 2, = 0, =4 ∂y∂z ∂y 2 ∂z 2

и запишем полный дифференциал второго порядка

d 2 L1 = 2dx 2 + 2dy 2 + 4dz 2 . Дифференцируя обе части уравнения связи (43), получим зависимость между дифференциалами переменных

dx − dy + dz = 0, или

d z = d y − dx .

С учетом этого соотношения полный дифференциал второго порядка

d 2 L1 принимает вид

d 2 L1 = 2dx 2 + 2dy 2 + 4(dy 2 − 2dxdy + dx 2 ) , или 62

d 2 L1 = 6dx 2 − 8dxdy + 6dy 2 .

(45)

Матрица этой квадратичной формы

⎛ 6 − 4⎞ A=⎜ ⎟. − 4 6 ⎝ ⎠ Ее угловые миноры

6 > 0,

6

−4

−4

6

= 20 > 0 .

Квадратичная форма (45) положительно определена. Следовательно, функ-

2 1⎞ ⎛2 , − , ⎟ условный минимум: 5 5⎠ ⎝5 2 1⎞ 2 ⎛2 umin = u ⎜ , − , ⎟ = . 5 5⎠ 5 ⎝5

ция (42) имеет в точке ⎜

58. Методом множителей Лагранжа исследовать на экстремум функцию

u = x − 2 y + 2z при условии

x 2 + y 2 + z 2 = 1. Ответ:

2⎞ ⎛ 1 2 umin = u ⎜ − , , − ⎟ = −3 , 3⎠ ⎝ 3 3 2 2⎞ ⎛1 umax = u ⎜ , − , ⎟ = 3 . 3 3⎠ ⎝3

63

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие / Г.Н. Берман – СПб.: Изд-во «Профессия», 2005 – 432 с. 2. Бутузов, В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для вузов / В.Ф.Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин. – М.: Высшая школа, 1993. – 480 с. 3. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович. – М.: АСТ : Астрель, 2005. – 558 с. 4. Зорич, В.А. Математический анализ, часть I / В.А. Зорич. – М: Наука, 1981. – 544 с. 5. Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М: Наука, 2005. – 278 с. 6. Ильин, В.А. Основы математического анализа, часть I / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М: Наука, 1998, 616 с. 7. Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ, т. I / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Дрофа, 2003. – 703 с. 8. Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ, т. II / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Дрофа, 2004. – 720 с. 9. Ляшко, И.И. Справочное пособие по математическому анализу. Введение в анализ, производная, интеграл / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Голович. – Киев: Вища школа, 1984. – 456 с. 10. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1: Учеб. пособие / Н.С.Пискунов. – М.: ИнтегралПресс, 2004. – 415 с. 11. Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г.Н. Яковлева. – М: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Альянс-В: Новая Волна, 2001, − 720 с. 12. Ривкинд, Я.И. Дифференциальное и интегральное исчисление в за64

дачах: Учеб. пособие / Я.И. Ривкинд. – Минск, Вышейшая школа, 1971. – 192 с. 13. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: Учеб. пособие для вузов/ Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин; под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука, 1984. – 592 с. 14. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для вузов / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин; под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука, 1994. – 496 с. 15. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1: учеб. пособие /Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1970. – 607 с.

65

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………. ...................................................... 3 1

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ................................... 4 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12

2

ПРОИЗВОДНЫЕ……………………......................................................... 31 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

3

РАВЕНСТВО МНОЖЕСТВ ............................................................................. 4 ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ ............................................................................ 5 МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ..................................................... 6 БИНОМ НЬЮТОНА ..................................................................................... 8 СУММА СТЕПЕНЕЙ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ............................................... 10 ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА .................................................................................. 12 КРИТЕРИЙ КОШИ ..................................................................................... 16 ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ......................... 19 ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ..................................................... 22 СХОДИМОСТЬ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ............................................ 24 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ .................................... 26 РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ............................................ 27 ОДНОСТОРОННИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ............................................................ 31 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ ........................................... 33 ПРОИЗВОДНАЯ, ИМЕЮЩАЯ ТОЧКУ РАЗРЫВА........................................... 36 ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА.............................................................................. 38 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ...... 40

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ..................................... 43 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

ПРЕДЕЛ .................................................................................................... 43 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ .......................................... 45 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ ......... 47 ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ................................... 50 ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ ........................................................................ 52 ЭКСТРЕМУМ ............................................................................................. 54 УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ.......................................................................... 59

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………… ......................................................... 64

66

Учебное издание Ф а й н и ц к и й Юрий Львович Пределы и производные Учебное пособие

РЕДАКТОР….. Подписано в печать…...2006 г. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. …… Усл. кр.-отт…... Уч.-изд. л. …... Тираж ….. экз. Заказ Арт……... Самарский государственный аэрокосмический университет. 443086 Самара, Московское шоссе, 34 ____________________________________________________________ Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета. 443086 Самара, Московское шоссе, 34