Некоторые приложения теории функций комплексного переменного в физике

s.p. aLLILUEW, g.g. aMOSOW nekotorye priloveniq teorii funkcij kompleksnogo peremennogo w fizike rASSMOTRENO NESKOLXKO FIZI^ESKIH ZADA^, NA PRIMERE KOTORYH POKAZANO, KAK MOVNO PRIMENITX KLASSI^ESKIE REZULXTATY TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO, TAKIE KAK TEOREMA O WY^ETAH, FORMULA sOHOCKOGO, PRINCIP ARGUMENTA, WYDELENIE REGULQRNYH WETWEJ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ. oPISANY KLASSY hARDI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ W KRUGE I POLUPLOSKOSTI. oTDELXNOE WNIMANIE UDELENO ISPOLXZOWANI@ KOMPLEKSNOGO ANALIZA DLQ NAHOVDENIQ OBRATNOGO PREOBRAZOWANIQ fURXE. pREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW 3-EGO KURSA mOSKOWSKOGO FIZIKO - TEHNI^ESKOGO INSTITUTA (gu), VELA@]IH UZNATX, KAK DEJSTWUET APPARAT TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO W PRILOVENIQH. aWTORY PRIZNATELXNY a.d. bARANOWU ZA WNIMATELXNOE PRO^TENIE TEKSTA I MNOGO^ISLENNYE POLEZNYE ZAME^ANIQ.

1

sODERVANIE 1

2

3

4

5 6

kWANTOWANIE bORA-zOMMERFELXDA DLQ OSCILLQTORA I KULONOWSKOGO POLQ. 3 pROSTRANSTWA ANALITI^ESKIH FUNKCIJ W EDINI^NOM KRUGE I POLUPLOSKOSTI. 8 wOLNOWAQ FUNKCIQ ^ASTICY, NAHODQ]EJSQ W -OBRAZNOJ POTENCIALXNOJ QME. 20 aNALITI^ESKIE SWOJSTWA DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTI. 23 rAZLOVENIE NA PLOSKIE MONOHROMATI^ESKIE WOLNY. 25 fUNDAMENTALXNOE RE[ENIE URAWNENIQ gELXMGOLXCA. 29

2

1

kWANTOWANIE bORA-zOMMERFELXDA DLQ OSCILLQTORA I KULONOWSKOGO POLQ.

rASSMOTRIM STACIONARNOE URAWNENIE {REDINGERA W POLE S POTENCIALOM U: ; h2
= (E ; U ) : (1) zDESX E I h ESTX \NERGIQ SISTEMY I POSTOQNNAQ pLANKA SOOTWETSTWENNO. w KWAZIKLASSI^ESKOM PRIBLIVENII RE[ENIE (1) I]ETSQ W PREDPOLOVENII h ! 0. pREDPOLOVIM, ^TO = (x) ZAWISIT TOLXKO OT ODNOJ PROSTRANSTWENNOJ R KOORDINATY x; ;1 < x < +1. rE[ENIE UDOBNO ISKATX W WIDE = e hi y x dx, GDE FUNKCIQ y(x) I]ETSQ W WIDE RQDA (2) y(x) = y (x) + hi y (x) + ( hi ) y (x) + : : : pOSKOLXKU h ! 0, MONO OGRANI^ITXSQ PERWYMI NESKOLXKIMI ^LENAMI W RAZLOVENII (2). mY NE BUDEM OBSUVDATX ZDESX GRANICY PRIMENIMOSTI KWAZIKLASSI^ESKOGO PRIBLIVENIQ, OTSYLAQ ^ITATELQ K L@BOMU STANDARTNOMU KURSU KWANTOWOJ MEHANIKI. kWANTOWANIE \NERGII ^ASTICY W KWAZIKLASSI^ESKOM PRIBLIVENII, MOVET BYTX ZADANO FIKSIROWANIEM ^ISLA NULEJ PROSTRANSTWENNOJi R ^ASTI WOLNOWOJ FUNKCII KWAZIKLASSI^ESKOGO PRIBLIVENIQ (x) = e h y x dx (SM. [1]). pREDPOLOVIM, ^TO DWIVENIE PROISHODIT WNUTRI NEKOTOROGO KONE^NOGO OTREZKA DEJSTWITELXNOJ OSI. mOVNO OKRUVITX \TOT OTREZOK PROSTYM ZAMKNUTYM KONTUROM C , LEVA]IM W KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI. w FIZI^ESKIH ZADA^AH POTENCIAL U (x), KAK PRAWILO, QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ. w \TOM SLU^AE RE[ENIE URAWNENIQ (1) DOPUSKAET ANALITI^ESKOE PRODOLVENIE NA KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX, ^TO POZWOLQET ISPOLXZOWATX APPARAT TEORI@ FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ WNUTRI C . tOGDA ^ISLO NULEJ (z) W OBLASTI DWIVENIQ MOVNO WY^ISLITX S POMO]X@ PRINCIPA ARGUMENTA, KOTORYJ DAET SLEDU@]U@ FORMULU: I 0(z) I 1 1 n = 2i (3) (z) dz = 2h y(z)dz: 2

( )

0

2

1

( )

C

C

3

2

fAZA, OTWE^A@]AQ NULEWOMU PRIBLIVENI@ y (z), DOLVNA BYTX RAWNA DEJR R STWI@ SISTEMY S = pdx  y (x)dx (ZDESX I NIVE MY OBOZNA^AEM p IMPULXS SISTEMY). pOPRAWKA PERWOGO PORQDKA DAET y (x) = ; p (SM. [2]). pODSTAWLQQ W FORMULU (3) WYRAVENIE y(z) = p ; hip POLU^IM PRAWILO KWANTOWANIQ bORA-zOMMERFELXDA SLEDU@]EGO WIDA: 0

0

1 2

1

2

1 I pdx = 1 + n; 2h 2

(4)

C

GDE INTEGRIROWANIE PROIZWODITSQ PO ZAMKNUTOMU KONTURU C , OTWE^A@]EMU DWIVENI@ SISTEMY. iMPULXS ^ASTICY p(x) = p2(E ;STACIONARNOMU U (x)) ZAWISIT OT POTENCIALXNOJ \NERGII U . POTENCIAL OSCILLQTORA U (x) =px . fUNKCIQ p(z) = p2(rASSMOTRIM E ; U (z)) IMEET DWE TO^KI WETWLENIQ z =  2E . sOEDINIM IH RAZREZOM C , POZWOLQ@]IM WYDELITX REGULQRNU@ WETWX KORNQ (SM. rIS. 1). sU]ESTWUET DWE WOZMOVNOSTI WYBORA REGULQRNOJ p WETWI FUNKCII p(z), OTWE^A@]IE DWUM WOZMOVNYM ZNAKAM p(x) =  2(E ; U (x)) NA WERHNEM BEREGU RAZREZA C . mY BEREM ZNAK "PL@S", POSKOLXKU TAKOJ WYBOR OBESPEIWAET "S[IWKU" NA[EJ WOLNOWOJ FUNKCII, OPREDELENNOJ PRI z; < x < z , S WOLNOWYMI FUNKCIQMI DLQ x < z; I x > z , UBYWA@]IMI \KSPONENCIALXNO NA BESKONE^NOSTI. wOZXMEM W KA^ESTWE KONTURA INTEGRIROWANIQ RAZREZ C I PODSTAWIM REGULQRNU@ WETWX KORNQ p(z), PRINIMA@]U@ NEOTRICATELXNYE ZNA^ENIQ NA WERHNEM BEREGU RAZREZA, W FORMULU (4). tEM SAMYM POLU^AEM SLEDU@]EE PRAWILO KWANTOWANIQ: r 1 I 2(E ; z )dz = 1 + n: (5) 2h 2 2 2

2

+

+

2

C

pRIMENIW TEOREMU O WY^ETAH DLQ WY^ISLENIQ INTEGRALA (5), POLU^AEM: 1 I 2

q

r

r

2(E ; z2 )dz = ires1 2(E ; z2 ):

C

2

q

zAMETIM, ^TO E ; z  i 2

2

1 2

z(1 ;

r

E z )

12 2 2

PRI z ! 1. tAKIM OBRAZOM,

res1 2(E ; z2 ) = iE: 2

4

2

5

pOLU^AEM

1 I 2h

r

E ; z2 dz = h1 E  12 + n;

C

2

^TO DAET PRAWILO KWANTOWANIQ

En = ( 21 + n)h; n = 0; 1; 2; : : :

(6)

zAMETIM, ^TO FORMULA (6) QWLQETSQ TO^NOJ. |TO SWQZANO S TEM, ^TO POPRAWKI BOLEE WYSOKOGO PORQDKA K FAZE (3) NE DA@T WKLAD DLQ ZNA^ENIQ INTEGRALA (3) W SLU^AE OSCILLQTORA. tEPERX RASSMOTRIM POTENCIAL KULONOWSKOGO POLQ U (r) = ; r . oPERATOR lAPLASA
= @x@ + @y@ + @z@ W SFERI^ESKIH KOORDINATAH x = rcossin; y = rsinsin; z = rcos IMEET WID @ r @ + 1 @ sin @ + 1 @ :
= r1 @r @r r sin @ @ r @ sLEDOWATELXNO, URAWNENIE (1) ZAPISYWAETSQ W SFERI^ESKIH KOORDINATAH KAK 1 @ @  h 1 @ @ 1 @ ; 2 r @r r @r + r sin @ sin @ + r @ = (E ; U ) : fIKSIRUEM MOMENT IMPULXSA SISTEMY, TO ESTX POLOVIM  1 @ @ 1 @  ; sin @ sin @ + sin  @ (r; ; ) = l(l + 1) (r; ; ); TOGDA URAWNENIE (1) PRIMET WID: @ r @ = (E ; h l(l + 1) +  ) ; r > 0: ; h2 r1 @r (7) @r 2 r r k URAWNENI@ (7) NELXZQ NEPOSREDSTWENNO PRIMENITX TEORI@ KWAZIKLASSI^ESKOGO PRIBLIVENIQ IZLOVENNU@ WY[E, POSKOLXKU ONO ZADANO NE NA WSEJ OSI (r > 0) I POLU^A@]AQSQ WOLNOWAQ FUNKCIQ BUDET IMETX NEPRAWILXNU@ ASIMPTOTIKU PRI r ! 0. pO\TOMU SDELAEM PREDWARITELXNO W URAWNENII (7) PREOBRAZOWANIE lANGERA, TO ESTX PEREJDEM OT KOORDINATY r I FUNKCII K KOORDINATE  I FUNKCII ~, TAK ^TO  = ln(r); 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

6

2

2

~(t; ) = pr (t; r):

pOLU^IM:





; h2 ~00 = Ee  + e ; h2 (l + 12 ) ~; ;1 <  < +1: (8) uRAWNENIE (8) ZADANO NA WSEJ OSI. pRIMENENIE KWAZIKLASSI^ESKOGO PRIBLIVENIQ DAET PRAWILO KWANTOWANIQ \NERGII WIDA (4), GDE 2

2

2

2

r

p(x) = 2(Ee x + ex ; h2 (l + 12 ) ): 2

2

2

pEREHODQ POD ZNAKOM INTEGRALA W (4) K PEREMENNOJ r = ex, SOWER[IW TEM SAMYM OBRATNOE PREOBRAZOWANIE lANGERA, POLU^IM SLEDU@]EE USLOWIE KWANTOWANIQ:

Is

(l + ) 2(E + x ; h2 r )dr = n + 21 : (9) zAMETIM, ^TO USLOWIE (9) POLU^AETSQ FORMALXNOJ PODSTANOWKOJ W USLOWIE (4) POTENCIALA (l + ) (10) U (x) = ; x + h2 x : pERWOE SLAGAEMOE POTENCIALA (10) OTWE^AET KULONOWSKOMU POL@, A WTOROE MOVET BYTX INTERPRETIROWANO KAK OTWE^A@]EE CENTROBEVNOJ \NERGII ^ASTICY. uRAWNENIE E ; U = 0 DLQ POTENCIALA U WIDA (10) IMEET WID (l + ) E + x ; h2 x = 0; OTKUDA POLU^AEM DWA KORNQ 1 2h

1 2 2 2

2

2

1 2 2 2

1 2 2 2

2

r

x = ; 2  12  + 2Eh (l + 12 ) : 2

2

2

q

kORNI x QWLQ@TSQ TO^KAMI WETWLENIQ FUNKCII p(z) = E + z ; h l z . sOEDINIM x; I x RAZREZOM C , PROHODQ]IM PO DEJSTWITELXNOJ OSI. w KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, IZ KOTOROJ UDALEN RAZREZ C , MOVNO WYDELITX 2 ( +

2

+

7

1 2 ) 2 2

REGULQRNU@ WETWX KORNQ p(z). wYBEREM WETWX, PRINIMA@]U@ NEOTRICATELXNYE ZNA^ENIQ NA WERHNEM BEREGU RAZREZA. tOGDA USLOWIE KWANTOWANIQ PRINIMAET WID 1 I  2h

Is

(l + ) 2(E + z ; h2 z )dz = n + 12 :

C

1 2 2 2

2

p

p

sOGLASNO TEOREME O WY^ETAH, I = hi (res 2(E ; U ) + res1 2(E ; U )). zAMETIM, ^TO 0

s

s

(l + ) ih(l + ) 2(E + z ; h2 z )  z ; z ! 0; 2

2(E +  ; h z 2 sLEDOWATELXNO,

2

1 2 2 2

1 2

(l + 12 )2 p )  2E (1 ;  1 ); z ! 1: 2 z 2E z

p p res 2(E ; U ) = ih(l + 21 ); res1 2(E ; U ) = p ; 2E ^TO DAET DLQ ZNA^ENIQ INTEGRALA i = 1 + n: I = ;(l + 21 ) + p 2h 2E 2 oKON^ATELXNO, POLU^AEM PRAWILO KWANTOWANIQ En = ; 8h (1 + l1+ n) ; n = 0; 1; 2; : : : 0

2

2

2

2

pROSTRANSTWA ANALITI^ESKIH FUNKCIJ W EDINI^NOM KRUGE I POLUPLOSKOSTI.

pUSTX (z) ESTX REGULQRNAQ FUNKCIQ W EDINI^NOM KRUGE D = fz : jzj < R P1 1g. tOGDA (z) = anzn; an = i zfn z dz, GDE T = fz : jzj = 1 ; g. +

n=0

1 2

( )

T

8

+1

P1

+

P1

+

pREDPOLOVIM, ^TO janj < +1. tOGDA RQD fURXE an ein SHODITSQ n n NA OTREZKE [0; 2] W SMYSLE NORMY L ([0; 2]). pOLU^IW[U@SQ FUNKCI@ ESTESTWENNO NAZWATX GRANI^NYM ZNA^ENIEM (z) DLQ jzj = 1. pRI \TOM, POLU^AEM 2

=0

Z 2

jjjjL = j 2

=0

2

Z +1 X 1 2 j d = i j(z)j dz = janj2: n=0

(ei)

2

2

T

0

pROSTRANSTWO REGULQRNYH W D FUNKCIJ S GRANI^NYMI ZNA^ENIQMI  2 L (T ); T = T ; NAZYWAETSQ PROSTRANSTWOM hARDI H (D) W KRUGE. pROP1 STRANSTWO H (D) POLNOSTX@ OPREDELQETSQ USLOWIEM janj < +1 NA n KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ W RQD (SM. [3]). zAMETIM, ^TO SOGLASNO TEOREME kO[I, FUNKCIQ  2 H (D) MOVET BYTX WOSSTANOWLENA PO SWOIM GRANI^NYM ZNA^ENIQM TAK, ^TO Z  (z ) 1 (z ) = 2i z ; z dz; z 2 D: (11) T fUNKCIQ w(z) = i ;zz OSU]ESTWLQET KONFORMNOE OTOBRAVENIE KRUGA D NA POLUPLOSKOSTX C = fz j Im(z) > 0g. zAMETIM, ^TO OBRATNOE OTOBRAVENIE z = ww;ii OBLADAET SWOJSTWOM dz = w ii dw. tEM SAMYM, DLQ L@BOJ R1 w;i R FUNKCII  2 L (T ), POLU^AEM ww ii dw = i (z)dz. sLEDOWATELXNO, ;1 T OPERATOR p 1 z;i (U)(z) = 2 z + i ( z + i ); z 2 C ; OSU]ESTWLQET UNITARNOE OTOBRAVENIE PROSTRANSTWA L (T ) NA PROSTRANSTWO hARDI H (C ) REGULQRNYH FUNKCIJ W POLUPLOSKOSTI C , PRINADLEVA]IH L (R) I OBLADA@]IH SWOJSTWOM 2

2

0

+

2

2

=0

2

0

0

0

1+ 1

+

2 ( + )2

+

+

1

( + )

1 2

( + )2

+

2

2

2

+

+

jj jj = sup 2

y>0

Z1 +

;1

j (x + iy)j dx < +1 2

(L2-NORMY FUNKCII NA PRQMYH W C + , PARALLELXNYH DEJSTWITELXNOJ OSI OGRANI^ENY ODNOJ KONSTANTOJ). pROIZWODQ W FORMULE (11) ZAMENU PEREMENNOJ w(z) = i 11+;zz POLU^AEM, ^TO DLQ FUNKCIQ (z) = (U)(z) MOVET 9

BYTX WOSSTANOWLENA PO SWOIM GRANI^NYM ZNA^ENIQM NA DEJSTWITELXNOJ OSI: Z 1 (x) 1 (z) = 2i x ; z dx; +

;1

2 H (C ). dLQ FUNKCIJ f IZ PERESE^ENIQ L (R) \ L (R) FORMULA 2

+

2

1

Z 1 F (f )(z) = p e;izxf (x)dx 2 R

OPREDELQET LINEJNOE PREOBRAZOWANIE, SOHRANQ@]EE NORMU, jjF (f )jjL = jjf jjL . pREOBRAZOWANIE F PRODOLVAETSQ DO UNITARNOGO OPERATORA W PROSTRANSTWE L (R), NAZYWAEMOGO PREOBRAZOWANIEM fURXE. rASSMOTRIM PODPROSTRANSTWO K = L (R )  L (R), OBRAZOWANNOE FUNKCIQMI S NOSITELQMI NA POLUOSI. oBRATNOE PREOBRAZOWANIE fURXE F ; PEREWODIT K W PODPROSTRANSTWO F ; (K )  L (R), PRI^EM SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ TEOREMA: 2

2

2

2

2

+

1

1

2

tEOREMA p\LI-wINERA ([3]).

F ; (K )  H (C ) 1

2

+

dOKAZATELXSTWO. mNOVESTWO FUNKCIJ wn(z) = p  zn; n = 0; 1; 2; : : : ; OBRAZUET ORTONORMIROWANNYJ BAZIS PROSTRANSTWA H (D). sLEDOWATELXNO, MNOVESTWO FUNKCIJ (Uwn )(z) = ( zz;ii )n p z i ; n = 0; 1; 2; : : :, OBRAZU@T ORTONORMIROWANNYJ BAZIS PROSTRANSTWA H (C ). pREOBRAZOWANIE fURXE F PEREWODIT Uwn W SEMEJSTWO FUNKCIJ, POLU^AEMYH POSLEDOWATELXNOJ ORTOGONALIZACIEJ FUNKCIJ fn(x) = xne;x; x > 0; fn(x) = 0; x < 0; n = 0; 1; 2; : : :. sEMEJSTWO FUNKCIJ ffn; n = 0; 1; 2; : : :g POLNO W K , ^TO ZAWER[AET DOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM PROSTRANSTWO hARDI H (C ; ) SOSTOQ]EE IZ FUNKCIJ (z), REGULQRNYH W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI Imz < 0 I TAKIH, ^TO  2 L (R), R1 PRI^EM sup j(x ; iy)j dx < +1. iZ TEOREMY p\LI-wINERA SLEDUET, 1 2

1

+

1 + 2

2

+

2

2

+

2

y>0 ;1

10

^TO H (C ; ) = F ; (L (R;)). tAKIM OBRAZOM, L@BU@ FUNKCI@  2 L (R) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE ORTOGONALXNOJ SUMMY  =   ; , GDE  2 H (C ); ; 2 H (C ; ). pREDPOLOVIM , ^TO  2 L (R) \ L (R) I MY HOTIM POS^ITATX INR TEGRAL (z)dz. rASSMOTRIM RAZLOVENIE  =   ; ;  2 H (C  ). R fUNKCIQ  (z) REGULQRNA W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI Imz > 0, W TO WREMQ KAK FUNKCIQ ; (z) REGULQRNA W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI Imz < 0. eSLI DLQ FUNKCII  SU]ESTWUET SISTEMA POLUOKRUVNOSTEJ W NIVNEJ POUPLOSKOSTI C n = fRn eij    2g, NA KOTOROJ supn j (z)j = o( Rn ), z2C Rn ! +1; n ! +1 (SM. rIS. 2), TOGDA INTEGRAL OT  (z) RAWEN ;2iS , GDE S ESTX SUMMA WY^ETOW  (z) W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI. aNALOGI^NO, ESLI DLQ FUNKCII ; SU]ESTWUET SISTEMA POLUOKRUVNOSTEJ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI C;n = fRn eij0    g, NA KOTOROJ sup j;(z)j = o( Rn ), Rn ! +1; n ! +1 (SM. rIS. 3), TOGDA INTEGRAL OT z2C;n ; (z) RAWEN 2iS;, GDE S; PREDSTAWLQET IZ SEBQ SUMMU WY^ETOW FUNKCII R; (z) W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI. oKON^ATELXNO POLU^AEM DLQ INTEGRALA (z)dz ZNA^ENIE 2i(S ; S;). 2

2

1

2

2

+

2

+

2

+

1

2

+

+

+

1

+

+

+

+

+

+

+

1

R

+

pRIMER

pUSTX (z) = cos zz zsin z . rAZLOVENIE (z) =  (z)  ; (z);  2 H (C  ), DAET  (z) = i ez;izi ; ; (z) = ; i ze;izi . zAMETIM, ^TO FUNKCII  I ; ORTOGONALXNY: Z Z e; ix 1 ( ; ; ) =  (x); (x)dx = 4 (x + i) dx: ( )+ 2 +1

1. 2

+

2

( )

+

+

2

+

2

+

R

+

R

2

iNTEGRAL OT FUNKCII (z) = ez; iiz RAWEN SUMME WY^ETOW (z) W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI SOGLASNO LEMME vORDANA. s DRUGOJ STORONY, (z) IMEET PRI Im(z) < 0 EDINSTWENNYJ POL@S WTOROGO PORQDKA. sLEDOWATELXNO INTEGRAL RAWEN NUL@ PO TEOREME O WY^ETAH. iNTEGRALY OT  (z) PO SISTEME POLUOKRUVNOSTEJ W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI I OT ; (z) PO SISTEME POLUOKRUVNOSTEJ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI STREMQTSQ K NUL@ PO LEMME vORDANA. zAMETIM, ^TO res;i (z) = 2ie = ;resi; (z): 2

( + )2

+

+

11

12

13

sLEDOWATELXNO,

Z R

(z)dz = ; 2e :

pREDPOLOVIM, ^TO DLQ FUNKCII (z), REGULQRNOJ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI C , WYPOLNENY SLEDU@]IE DWA USLOWIQ: (i) USLOWIE lIP[ICA j(x) ; (x0)j  Ajx ; x0j NA DEJSTWITELXNOJ OSI x 2 R S KONSTANTOJ  > 0; R z (ii) n!lim1 z;x dz = 0 PO SISTEME POLUOKRUVNOSTEJ Cn = fRnei : Cn 0    g; n!lim1 Rn = +1. tOGDA SPRAWEDLIWA FORMULA sOHOCKOGO (SM. [4]): Z (x) V:P: x ; x dx = i(x ); x 2 R: +

( )

+

+

+

+

R

0

0

0

dOKAZATELXSTWO FORMULY sOHOCKOGO. sOGLASNO OPREDELENI@ INTEGRALA W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ,

0 xZ ; Z 11 Z (x) @ + A (x) dx  I: V:P: x ; x dx = lim ! x;x 0

+

0

0 0 ;1 x + R oBOZNA^IM C = fz = x0 + eij0    g DUGU OKRUVNOSTI, SOEDINQ@]U@ TO^KI x0 ;  I x0 + . nIVE MY BUDEM S^ITATX ^TO KONTUR C ORIENTIROWAN TAKIM OBRAZOM, ^TO TO^KI PROBEGA@TSQ OT x0 ;  K x0 +  (SM. rIS. 4). pOSKOLXKU FUNKCIQ (z) QWLQETSQ REGULQRNOJ W C + , POLU^AEM 0

0 x ; Z Z B @ + 0

;Rn

C

1 ZR Z C (z) + + A z ; x dz = 0: n

x0 +

iZ USLOWIQ (ii) SLEDUET

0 xZ ; Z @ + 0

;1

C

0

Cn+

Z 11 (z) + A z ; x dz = 0: +

x0 +

14

0

15

iZ POSLEDNEGO RAWENSTWA WYTEKAET

Z (z) I = ; lim ! z ; x dz: C

0

0

w SILU USLOWIQ (i), POLU^AEM Z (z) ; (x ) A  ! 0;  ! 0: dz j  j z ;x  0

0

C

s DRUGOJ STORONY,

Z dz C

Z iei z ; x = ei d = ;i:  0

0

tEM SAMYM, FORMULA sOHOCKOGO DOKAZANA. sRAWNIWAQ FORMULU sOHOCKOGO S (11), MOVNO ZAMETITX, ^TO PREDELXNOE ZNA^ENIE INTEGRALA (11) NA DEJSTWITELXNOJ OSI NE SOWPADAET S INTEGRALOM W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ PO DEJSTWITELXNOJ OSI: Z (x) Z (x) lim x ; x ; iy dx = 2i(x ) = V:P: x ; x dx + i(x ): y! 0

R

0

0

R

0

0

pRIMER 2.

p pUSTX f (x) = 2e;x; x  0; f (x) = 0; x < 0. zAMETIM, ^TO f (x) UBYWAET PRI x ! 1 BYSTREE L@BOJ STEPENI I, SLEDOWATELXNO, (z) = F ; (f ) = z i i UDOWLETWORQET USLOWI@ lIP[ICA NA DEJSTWITELXNOJ OSI DLQ L@BOGO  > 0, ^TO MOVET BYTX PROWERENO I NEPOSREDSTWENNO. pRIMENENIE FORMULY sOHOCKOGO DAET: Z V:P: (x + i)(ix ; x ) dx = ; x + i : 1

+

C DRUGOJ STORONY, lim y!0

Z

R

R

0

0

i

i 2 : dx = 2 i lim = ; y! x + iy + i (x + i)(x ; x ; iy) x +i 0

0

16

0

0

fUNKCIQ (z) 2 L1(R), REGULQRNAQ I OGRANI^ENNAQ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI NAZYWAETSQ WNUTRENNEJ, ESLI EE PREDELXNYE ZNA^ENIQ NA DEJSTWITELXNOJ OSI j(x)j = 1 PO^TI WS@DU. fUNKCIQ  2 H (C ) NAZYWAETSQ WNE[NEJ, ESLI MNOVESTWO feitz  (z ) j t  0g PLOTNO W H (C ). dLQ KAVDOJ FUNKCII  2 H (C ) OPREDELENO EDINSTWENNYM OBRAZOM PREDSTAWLENIE (z) = i (z)e (z), GDE i I e QWLQ@TSQ WNUTRENNEJ I WNE[NEJ FUNKCIQMI. eSLI  2 H (C ) \ L1(R), TOGDA UMNOVENIE NA  OPREDELQET LINEJNYJ OPERATOR W PROSTRANSTWE H (C ). w \TOM SLU^AE,  QWLQETSQ WNE[NEJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA MNOVESTWO f (z) = (z)(z) j  2 H (C )g PLOTNO W H (C ). oTS@DA, W ^ASTNOSTI, WYTEKAET, ^TO PROIZWEDENIE DWUH WNE[NIH FUNKCIJ IZ L1(R) OPQTX QWLQETSQ WNE[NEJ FUNKCIEJ. wNE[NIE FUNKCII NIKOGDA NE IME@T NULEJ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI. s DRUGOJ STORONY, WNUTRENNIE FUNKCII MOGUT KAK IMETX, TAK I NE IMETX NULI W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI. zAME^ANIE 3. eSLI WNUTRENNQQ FUNKCIQ NE IMEET NULEJ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI Im(z) > 0, ONA NAZYWAETSQ SINGULQRNOJ. sINGULQRNAQ WNUTRENNQQ FUNKCIQ (z) MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE INTEGRALA 2

2

2

2

2

+

+

+

+

2

+

2

+

+

0Z (z) = Cexp @i ( R

1 1 ; x )d(x)A ; jC j = 1; x;z x +1 2

(12)

GDE d(x) ESTX NEKOTORAQ MERA NA DEJSTWITELXNOJ OSI, SINGULQRNAQ OTNOSITELXNO MERY lEBEGA. w SLU^AE, KOGDA MERA d(x) KONE^NA, WTOROE SLAGAEMOE W INTEGRALE (12), NEOBHODIMOE ^TOBY GARANTIROWATX SHODIMOSTX, MOVNO OPUSTITX, TAK ^TO

1 0Z (z) = Cexp @i d(x) A : x;z R

oSNOWYWAQSX NA PREDSTAWLENII (12) MOVNO POKAZATX, ^TO PREDELXNYE ZNA^ENIQ SINGULQRNOJ WNUTRENNEJ FUNKCII NA DEJSTWITELXNOJ OSI RAWNY NUL@ W TO^KAH x, GDE SOSREDOTO^ENA MERA d. w ^ASTNOSTI, EDINSTWENNAQ WNE[NQQ FUNKCIQ, NEPRERYWNAQ WPLOTX DO WE]ESTWENNOJ OSI ESTX (z) = eiaz ; a  0. dLQ \TOJ FUNKCII NE SU]ESTWUET PREDELXNOGO ZNA^ENIQ W BESKONE^NOSTI.

pRIMER 4.

17

pUSTX (z) = z ia b ; a > 0; b 2 R. rASSMOTRIM MNOVESTWO V = itz fe (z) j t  0g. pREOBRAZOWANIE pfURXE PEREWODIT EGO W MNOVESTWO F (V ) = ff (x ; t) j t  0g, GDE f (x) = 2ie;ax ibx; x  0; f (x) = 0; x < 0. lINEJNYE KOMBINACII FUNKCIJ IZ F (V ) OBRAZU@T PLOTNOE MNOVESTWO W L (R ). sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ  QWLQETSQ WNE[NEJ W SILU TEOREMY p\LI-wINERA. fUNKCII (z) = zz;iaia bb ; a > 0; b 2 R; I (z) = eiaz ; a > 0; QWLQ@TSQ WNUTRENNIMI. dEJSTWITELXNO, ONI REGULQRNY I OGRANI^ENY W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI I j k (x)j = 1 DLQ x 2 R, k = 1; 2. zAMETIM, ^TO MNOVESTWA Wk = f k (z) j  2 H g; k = 1; 2; PEREWODQTSQ PREOBRAZOWANIEM fURXE W PROSTRANSTWO FUNKCIJ F (W ) IZ L (R ), ORTOGONALXNYH \KSPONENTE f (x), I PROSTRANSTWO FUNKCIJ F (W ) = fg(x) 2 L (R) j g(x) = 0; x < ag, SOOTWETSTWENNO. tEOREMA mEJMANA ([6]). pUSTX DLQ FUNKCII  2 H (C ) GRANI^ 1

+

+

+

2

+

1

+

+ +

2

2

2

1

+

2

2

2

+ ,

-

NYE ZNA^ENIQ KOTOROJ NA DEJSTWITELXNOJ OSI OPREDELQ@T NEPRERYWNU@ FUNKCI@, WYPOLNENO USLOWIE Im( (x)) > 0; Im( (;x)) < 0; PRI x > 0. tOGDA  NE PRINIMAET DEJSTWITELXNYH ZNA^ENIJ PRI Im(z) > 0.

dOKAZATELXSTWO. fIKSIRUEM DEJSTWITELXNOE ZNA^ENIE a I RASSMOTRIM NEPRERYWNU@ KRIWU@ L = fz = (x) ; a j x 2 Rg. w SILU TOGO, ^TO (x) ! 0; x ! 1, KRIWAQ L ZAMKNUTA. sOGLASNO PRINCIPU ARGUMENTA, ^ISLO NULEJ (z) ; a W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI RAWNO PRIRA]ENI@ ARGUMENTA RADIUS-WEKTORA, PROBEGA@]EGO KRIWU@ L, DELENNOMU NA 2. rAZOBXEM L NA DWE ^ASTI, L = L [ L; , GDE L = fz = (x) ; a j  x  0g. sOGLASNO USLOWI@ TEOREMY, KRIWAQ L CELIKOM LEVIT W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI, W TO WREMQ KAK KRIWAQ L; CELIKOM LEVIT W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI. zAMETIM, ^TO (0) = (1) = 0. sLEDOWATELXNO, KRIWYE L I L; TAKVE ZAMKNUTY I IME@T ODNU OB]U@ TO^KU z = a (SM. rIS. 5). eSLI a = 6 0, POLU^AEM ZAMKNUTYE KRIWYE L I L; NI RAZU NE OBHODQ]IE NOLX. tAK ^TO, (z) NE PRINIMAET W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI ZNA^ENIJ a= 6 0. eSLI a = 0, TOGDA SUMMARNOE PRIRA]ENIE ARGUMENTA RAWNO 2. tO ESTX, FUNKCIQ (z) IMEET EDINSTWENNYJ NOLX. |TO NOLX z = 0. +

+

+

+

18

19

3

wOLNOWAQ FUNKCIQ ^ASTICY, NAHODQ]EJSQ W  -OBRAZNOJ POTENCIALXNOJ QME.

w \TOM PUNKTE MY S^ITAEM, ^TO POSTOQNNAQ pLANKA h = 1. sOGLASNO AKSIOMATIKE KWANTOWOJ MEHANIKI, WOLNOWAQ FUNKCIQ ^ASTICY (x), DWIVU]EJSQ PO DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ, W KOORDINATNOM PREDSTAWLENII 2 L (R). eE PREOBRAZOWANIE fURXE ^(z) = F ( )(z) TAKVE UDOWLETWORQET SWOJSTWU ^ 2 L (R) I DAET WOLNOWU@ FUNKCI@ ^ASTICY W IMPULXSNOM PREDSTAWLENII. sOGLASNO PREDYDU]EMU PUNKTU, OPREDELENO RAZLOVENIE ^ = ^  ^; , GDE ^ 2 H (C  ). tEM SAMYM, ZADANIE FUNKCII ^ 2 L (R) \KWIWALENTNO ZADANI@ DWUH FUNKCIJ ^ 2 L (R), ODNA IZ KOTORYH REGULQRNA W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI, A WTORAQ W NIVNEJ. |TO POZWOLQET PRIMENITX APPARAT TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO W KWANTOWOJ MEHANIKE. rASSMOTRIM URAWNENIE {REDINGERA ^ASTICY, NAHODQ]EJSQ W POTENCIALE U (x) = ;(x) -OBRAZNOJ POTENCIALXNOJ QMY: 2

2

+

2

2

2

; 21 00 = (E + (x)) :

(13)

Z Z 1 ; izx p < (x); e (z)dz >= (z)dz 2 R R

(14)

mY I]EM STACIONARNOE SOSTOQNIE SISTEMY, SLEDOWATELXNO, \NERGIQ E < 0 W URAWNENII (13). rE[ENIE URAWNENIQ (13) NUVNO ISKATX W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ (SM. [5]). dELXTA-FUNKCIQ dIRAKA (x) QWLQETSQ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ MEDLENNOGO ROSTA, SLEDOWATELXNO, K NEJ MOVNO PRIMENITX PREOBRAZOWANIQ fURXE (SM. [5]). sOGLASNO OPREDELENI@, POLU^AEM: < F ();  >< ; F () >= DLQ L@BOJ FUNKCII  IZ PROSTRANSTWA {WARCA S (R). iZ FORMULY (14) TUT VE SLEDUET, ^TO F ()(z) = p  = const. aNALOGI^NO, POLU^AEM DLQ DEJSTWIQ OBOB]ENNOJ FUNKCII  NA OSNOWNU@ FUNKCI@  2 S (R): < F ( );  >=<  ; F () >= 1 2

20

Z Z 1 1 ; izx p < (x); (x) e (z)dz >= p (0) (z)dz; 2 2 R R 1 TO ESTX F ( ) = p2 (0). wTORAQ PROIZWODNAQ W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ (13) PONIMAETSQ W OBOB]ENNOM SMYSLE, TO ESTX < 00;  >=< ; 00 > DLQ WSEH  2 S (R). rE[ENIE NA[EGO URAWNENIQ, W SILU (13), IMEET WTORU@ OBOB]ENNU@ PROIZWODNU@ 00, PROPORCIONALXNU@ FUNKCII (x) (x). sLEDOWATELXNO, 0 IMEET RAZRYW W TO^KE x = 0, TAKOJ ^TO ; 21 ( 0(x + 0) ; 0(x ; 0)) =  (0): (15) pRIMENIW PREOBRAZOWANIE fURXE K OBEIM ^ASTQM URAWNENIQ (13), POLU^IM: z2 ^ = E ^ + p (0): 2 2 tAKIM OBRAZOM, p ^(z) = p 22 (0) (16) (z ; 2E ) QWLQETSQ WOLNOWOJ FUNKCIEJ ^ASTICY W IMPULXSNOM PREDSTAWLENII. zAMETIM, ^TO ^ = ^+ + ^;; ^(z) =  p  (0) p 2 H 2(C  ); 2 ;E(z  i ;2E ) PRI^EM FUNKCII  QWLQ@TSQ ORTOGONALXNYMI. dEJSTWITELXNO, POLU^AEM DLQ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ ( ^+; ^;) = (0)j ; ;j 4E

Z R

^+(x) ^;(x)dx =

Z

dx p : (17) (x + i ;2E ) R fUNKCIQ (z) = z ip; E , STOQ]AQ W PODINTEGRALXNOM WYRAVENII W (17), ANALITI^NA W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI, PRI^EM j(z)j = O( jzj ); z ! 1. sLEDOWATELXNO, SOGLASNO TEOREME kO[I, INTEGRAL RAWEN NUL@. 2

1

( +

2

2

2

)2

1

2

21

pRIEM, PROILL@STRIROWANNYJ W pRIMERE 1 PREDYDU]EGO PUNKTA, POZWOLQET WZQTX OBRATNOE PREOBRAZOWANIE fURXE FUNKCII (16). pRI \TOM POLU^AEM: Z  (0) ; ^ p1 dy  I: F ( )(x) = p p eixy y + i ;2E 2 2 ;E R eSLI x > 0, MOVNO PRIMENITX LEMMU vORDANA K WERHNEJ POLUPLOSKOSTI, GDE PODINTEGRALXNAQ FUNKCIQ REGULQRNA. pOLU^AEM I = 0 PRI x > 0. dLQ x < 0 LEMMU vORDANA MOVNO PRIMENITX W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI , GDE p FUNKCIQ ^ IMEET POL@S PERWOGO PORQDKA W TO^KE z = ;i ;2E , TOGDA Ex ixz =  p(0)e ; x < 0: I = p  p(0) 2ires;ip; E ep z + i ;2E ;2E 2 2 ;E aNALOGI^NYM OBRAZOM, DLQ FUNKCII ^; POLU^AEM, ^TO F ; ( ^;)(x) = 0 PRI x < 0 I ixz F ; ( ^;)(x) = p  p(0) 2iresip; E z ; iep;2E = 2 2 ;E  p(0)e; Ex ; x > 0: ;2E tAKIM OBRAZOM, ( p p; Ex e ; x < 0; (18) (x) = p ; E ;p; Ex e ; x > 0: 1

+

+

2

2

1

1

2

2

(0)

2

2 (0)

2

;2E

fUNKCIQ (x) DOLVNA BYTX NEPRERYWNA W TO^KE x = 0. w PROTIWNOM SLU^AE, EE PERWAQ PROIZWODNAQ BYLA BY PROPORCIONALXNA (x), A WTORAQ PROIZWODNAQ BYLA BY PROPORCIONALXNA OBOB]ENNOJ PROIZWODNOJ 0(x), ^EGO NE MOVET BYTX W SILU URAWNENIQ (13). fUNKCIQ (18) NEPRERYWNA PRI USLOWII p; E = 1. pOSLEDNEE RAWENSTWO POZWOLQET PROKWANTOWATX \NERGI@ STACIONARNOGO SOSTOQNIQ: E = ; : 2

2

2

R

iZ USLOWIQ NORMIROWKI WOLNOWOJ FUNKCII jj jj = j (x)j dx = 1 OKONR ^ATELXNO POLU^AEM:   ex; x < 0; (x) =  e;x; x > 0: (19) 2

2

2

22

2

zAMETIM, ^TO PODSTANOWKA WOLNOWOJ FUNKCII (19) W USLOWIE (15) DAET WERNOE TOVDESTWO. 4

aNALITI^ESKIE SWOJSTWA DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTI.

wEKTORA NAPRQVENNOSTI E I INDUKCII D \LEKTRI^ESKOGO POLQ SWQZANY SOOTNO[ENIEM D = E , GDE KO\FFICIENT  NAZYWAETSQ DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTX@. eSLI E I D RAZLOVITX W INTEGRAL fURXE PO GARMONIKAM S RAZLI^NYMI ^ASTOTAMI !, POLU^IM NABOR KO\FFICIENTOW (!), POKAZYWA@]IH WKLAD W D GARMONIK E RAZNOJ ^ASTOTY. qWLENIE DISPERSII PROQWLQETSQ W ZAWISIMOSTI DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTI  OT ^ASTOTY POLQ. tAKAQ ZAWISIMOSTX OPREDELQETSQ FORMULOJ (SM. [6]):

Z1 +

(!) = 1 +

ei!tf (t)dt:

0

kO\FFICIENT f (t) OTWE^AET ZA WLIQNIE NA INDUKCI@ D NAPRQVENNOSTI E W MOMENT WREMENI, PRED[ESTWU@]IJ RASSMATRIWAEMOMU, NA WREMQ t. tEM SAMYM, TOT FAKT, ^TO INTEGRIROWANIE WEDETSQ TOLXKO PO POLOVITELXNYM ZNA^ENIQM ARGUMENTA, SOOTWETSTWUET SOHRANENI@ PRI^INNOSTI. mY BUDEM NAZYWATX f (t) FUNKCIEJ WLIQNIQ, OTWE^A@]EJ DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTI (!). pROANALIZIRUEM DI\LEKTRI^ESKU@ PRONICAEMOSTX S TO^KI ZRENIQ FUNKCIONALXNYH PROSTRANSTW, WWEDENNYH W PARAGRAFE 2. sOGLASNO TEOREME p\LI-wINERA, ESLI f 2 L (R ), TOGDA FUNKCIQ (!) ; 1 PRINADLEVIT PROSTRANSTWU hARDI H (C ) W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI. tEM SAMYM, ONA MOVET BYTX WOSSTANOWLENA PO EE ZNA^ENIQM NA DEJSTWITELXNOJ OSI 2

2

+

+

Z (x) ; 1 1 (!) ; 1 = 2i x ; ! dx; Im! > 0: 1

+

;1

23

pUSTX, TEPERX, DLQ f (t) SPRAWEDLIWO f ( ) = O(j j; ;);  ! 1: w PRILOVENIQH, ISPOLXZU@TSQ FUNKCII WLIQNIQ WIDA

(20)

1

r

! ; 4 t) (21) (ZATUHANIE PRI NALI^II REZONANSA ^ASTOTY WNE[NEGO POLQ S ^ASTOTOJ OSCILLQTOROW DI\LEKTRIKA) I

f (t) = Ce; 2 tsin(

2

2 0

f ( ) = Ce; t

(22)

(POLNOE ZATUHANIE). dLQ TAKIH FUNKCIJ USLOWIE (20) WYPOLNENO. tOGDA FUNKCIQ (!) ; 1 UDOWLETWORQET USLOWI@ lIP[ICA S POKAZATELEM  I MY MOVEM PRIMENITX FORMULU sOHOCKOGO (SM. pRIMER 2). pUSTX (!) = 0(!) + i00(!) ESTX RAZLOVENIE FUNKCII  NA DEJSTWITELXNU@ I MNIMU@ ^ASTI. fUNKCIQ f , OPREDELQ@]AQ DI\LEKTRI^ESKU@ PRONICAEMOSTX, DEJSTWITELXNOZNA^NAQ. sLEDOWATELXNO, (!) = (;!), TO ESTX 0(!) = 0(;!) I 00(!) = ;00(;!). tEM SAMYM, PRIMENENIE FORMULY sOHOCKOGO DAET SOOTNO[ENIQ kRAMERSA-kRONIGA:

0(!) ; 1 =

1 

Z 1 00(x) +

;1

dx =2 x;! 

00(!) = ; 1



Z 1 x00(x) +

x ; ! dx; 2

0

2

Z 1 0(x) +

;1

x ; ! dx; ! 2 R:

sREDNEE KOLI^ESTWO TEPLA, WYDELQ@]EESQ W EDINICE OB_EMA DI\LEKTRIKA ZA EDINICU WREMENI POD WOZDEJSTWIEM \LEKTRI^ESKOGO POLQ E S ^ASTOTOJ ! RAWNO Q = ! 00jE j . tEM SAMYM, POGLO]ENIE (DISSIPACIQ) \NERGII OPREDELQETSQ MNIMOJ ^ASTX@ (!). w SILU ZAKONA WOZRASTANIQ \NTROPII DISSIPACIQ \NERGII SOPROWOVDAETSQ WYDELENIEM TEPLA Q > 0. pOLU^AEM, ^TO DLQ MNIMOJ ^ASTI DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTI DOLVNO BYTX WYPOLNENO WSEGDA 00 > 0 PRI WSEH POLOVITELXNYH ^ASTOTAH ! > 0. pOSKOLXKU DLQ WE]ESTWENNYH ! WYPOLNENO 00(;!) = ;00(!), DLQ OTRICATELXNYH ^ASTOT ! < 0 WYPOLNENO 00(!) < 0. sOGLASNO TEOREME mEJMANA, 8

2

24

(!) NE PRINIMAET WE]ESTWENNYE ZNA^ENIQ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI. w ^ASTNOSTI, NE IMEET NULEJ. fUNKCIQ (!) ; 1 2 H (R) I TAKVE NE IMEET NULEJ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI. sLEDOWATELXNO, ONA MOVET BYTX TOLXKO PROIZWEDENIEM WNE[NEJ I SINGULQRNOJ WNUTRENNEJ FUNKCIJ. nO ONA NE MOVET SODERVATX W KA^ESTWE MNOVITELQ SINGULQRNU@ WNUTRENN@@ FUNKCI@ W SILU zAME^ANIQ 3, POSKOLXKU DI\LEKTRI^ESKAQ PRONICAEMOSTX NE MOVET BYTX RAZRYWNOJ FUNKCIEJ IZ FIZI^ESKIH SOOBRAVENIJ. fUNKCIQ (!) ; 1 TAKVE NE MOVET BYTX PROPORCIONALXNA SINGULQRNOJ WNUTRENNEJ FUNKCII eia! , POSKOLXKU \TO BY OZNA^ALO, ^TO FUNKCIQ WLIQNIQ f (t) = 0 PRI 0  t  a, ^TO NE WOZMOVNO IZ FIZI^ESKIH SOOBRAVENIJ. w ITOGE, POLU^AEM, ^TO (!) ; 1 QWLQETSQ WNE[NEJ. 2

5

rAZLOVENIE NA PLOSKIE MONOHROMATI^ESKIE WOLNY.

lEGKO PROWERITX, ^TO FUNKCIQ

 e;i!t ikx ; t  0; (t; x) = +

0; t < 0:

UDOWLETWORQET WOLNOWOMU URAWNENI@ tt ; !k xx = 0; x 2 R; t > 0: fUNKCIQ (t; x) NAZYWAETSQ PLOSKOJ MONOHROMATI^ESKOJ WOLNOJ S ^ASTO p ! TOJ ! I WOLNOWYM WEKTOROM k SOOTWETSTWENNO. w DI\LEKTRIKE k = c , GDE DI\LEKTRI^ESKAQ PRONICAEMOSTX (!) ZAWISIT OT ^ASTOTY !. tEM SAMYM, POLU^AEM DLQ SIGNALA, OTWE^A@]EGO WNE[NEMU WOZDEJSTWI@ POLEM S ^ASTOTOJ !, WYRAVENIE (SM. [7]): 2

2

(t; x) = 21i

Z1 i ei!0 ;t

+

+

(

+

p(!0 ) c

!0 ; !

;1+i

x)

d!0;  > 0:

kAK BYLO OTME^ENO W PREDYDU]EM PUNKTE, (!) QWLQETSQ REGULQRNOJ FUNKCIEJ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI I NE IMEET NULEJ PRI Im(!) > 0. 25

p

sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ (!) NE IMEET TO^EK WETWLENIQ W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI. zAMETIM, ^TO PRI ! ! 1 DI\LEKTRI^ESKAQ PRONICAEMOSTX (!) ! 1 W SILU USLOWIQ (!) ; 1 2 H (C ). sLEDOWATELXNO, ESLI WREMQ t < c x PODINTEGRALXNOE WYRAVENIE UDOWLETWORQET USLOWIQM LEMMY vORDANA I, POSKOLXKU WERHNQQ POLUPLOSKOSTX NE SODERVIT OSOBYH TO^EK PODINTEGRALXNOJ FUNKCII, POLU^AEM 2

+

1

(t; x) = 0; t < 1c x;

TO ESTX, POKA WREMQ t NE PREWYSILO ZNA^ENIE c x WOLNOWOJ FRONT NE USPEWAET DOJTI DO TO^KI S KOORDINATOJ x. |TO OZNA^AET, ^TO SKOROSTX WOLNOWOGO FRONTA NE PREWY[AET KONSTANTU c. eSLI t  c , USLOWIQ LEMMY vORDANA DLQ WERHNEJ POLUPLOSKOSTI NE WYPOLNENY I DLQ NAHOVDENIQ ZNA^ENIQ INTEGRALA, NUVNO DELATX OBHOD W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI, GDE MOGUT NAHODITSQ OSOBYE TO^KI PODINTEGRALXNOGO WYRAVENIQ. pRIBLIZITELXNYJ WID DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTI (!) W OKRESTNOSTI REZONANSNOJ ^ASTOTY ! DAETSQ FORMULOJ: 1

1

0

(!) = 1 + ! ; i! ;! : zDESX KONSTANSTA ! RAWNA KWADRATU REZONANSNOJ ^ASTOTY, A KONSTANSTA

> 0 U^ITYWAET DISSIPATIWNYE SILY. zAMETIM, ^TO 1 1 1 q q
: =; ! ; i! ; ! ;i ; ! ; ; ! ;i + ! ; ; ! 2

2 0

2

2 0

2 0

2

2

2

2 0

4

2

2 0

2

4

tAKIM OBRAZOM, (!) ; 1 QWLQETSQ PROIZWEDENIEM DWUH WNE[NIH FUNKCIJ, RASSMOTRENNYH W PRIMERE 4 WTOROGO PUNKTA, I TAKVE, TEM SAMYM, QWLQETSQ WNE[NEJ. fUNKCIQ WLIQNIQ, OTWE^A@]AQ WWEDENNOJ DI\LEKRI^ESKOJ PRONICAEMOSTI, IMEET WID (21). pOPROBUEM OPREDELITX ZNA^ENIE SIGNALA (t; x) DLQ TAKOJ DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTI W OBLASTI t  xc . w NIVNEJ POLUPLOSKOSTI Im(z) < 0 SODERVITSQ ODIN POL@S !0 = ! I ^ETYRE TO^KI WETWLENIQ PODINTEGRALXNOGO , OPREDELQEMYE USLOWIQMI (! ;q  ) = 0, KOGDA q WYRAVENIQ

! ; = ;i  ! ; , I (!1; ) = 1, KOGDA !1; = ;i  ! + 1 ; . pROIZWEDEM W PLOSKOSTI C DWA RAZREZA, C , SOEDINQ@]IJ TO^KI ! ; I !1; , I C , SOEDINQ@]IJ TO^KI ! ;; I !1;; (SM. rIS. 6). 0

0

2

2 0

2

4

2

1

+

2

0

26

2

2 0

4

0+

27

w OBLASTI D, LEVA]EJ CELIKOM W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI, GRANICEJ KOTOROJ QWLQETSQ DEJSTWITELXNAQ OSX I RAZREZY C ; , MOVNO WYDELITX p REGULQRNU@ WETWX FUNKCII (!) I PRIMENITX DLQ WY^ISLENIQ INTEGRALA TEOREMU O WY^ETAH, ^TO DAET 12

0 0 i! ;t e @ (t; x) = res! 0 (

p(!0 )

+

c

! ;!

1 2i

x)

1 A+

Z ei!0 ;t (

+

p(!0 ) c

!0 ; !

C2

1 Z ei!0(;t+ c 2i !0 ; !

p(!0 )

x)

d!0+

C1

x)

d!0:

zDESX INTEGRIROWANIE WEDETSQ PO OBOIM BEREGAM RAZREZOW C ; . pERWOE SLAGAEMOE LEGKO S^ITAETSQ, 12

0 0 i! ;t res! @ e 0 (

+

p(!0 ) c

! ;!

x)

1 A = ei! ;t (

+

p(!) c

x) ;

I PREDSTAWLQET IZ SEBQ WYNUVDENNYE KOLEBANIQ SISTEMY. mY NE BUDEM PROIZWODITX RAS^ET OSTALXNYH DWUH SLAGAEMYH. fIZI^ESKIJ SMYSL INTEGRALOW PO RAZREZAM C ; \TO SWOBODNYE KOLEBANIQ ZARQDOW IZ KOTORYH SOSTOIT SREDA, POD WOZDEJSTWIEM TORMOVENIQ, OPREDELQEMOGO UPRUGIMI SILAMI SWQZI. |TI KOLEBANIQ ZATUHA@T WO WREMENI. oTDELXNYJ INTERES PREDSTAWLQET SIUACIQ POLNOJ DISSIPACII, KOGDA FUNKCIQ WLIQNIQ DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTI IMEET WID (22). w \TOM SLU^AE, POLU^AEM (!) = 1 + ;;i! . tEPERX W NIVNEJ POLUPLOSKOSTI IMEETSQ ODIN NOLX ! = ;i  I ODIN POL@S !1 = ;i  FUNKCII (!). w PLOSKOSTI, IZ KOTOROJ UDALEN GORIZONTALXNYJ RAZREZ p, SOEDINQ@]IJ ! I !1, MOVNO WYDELITX REGULQRNU@ WETWX FUNKCII (!). dALEE MOVNO PROWESTI PROCEDURU, ANALOGI^NU@ PRIWEDENNOJ WY[E. 12

1

0

0

1

1

0

0

28

6

fUNDAMENTALXNOE RE[ENIE URAWNENIQ gELXMGOLXCA.

rASSMOTRIM NEODNORODNOE WOLNOWOE URAWNENIE W TREHMERNOM PROSTRANSTWE: tt(t; x) ; a
(t; x) = F (t; x); x 2 R ; t > 0: (23) dOPUSTIM, ^TO WNE[NEE WOZDEJSTWIE PERIODI^NO: F (t; x) = ei!tf (x); x 2 R . eSLI ISKATX STACIONARNYE RE[ENIQ (t; x) = ei!t (x); x 2 R , URAWNENIQ (23), POLU^AEM URAWNENIE gELXMGOLXCA: (24)
(x) + k (x) = f (x); x 2 R ; GDE k = !a . oBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA 2 S 0(R ) NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNYM RE[ENIEM URAWNENIQ gELXMGOLXCA, ESLI ONA UDOWLETWORQET URAWNENI@
(x) + k (x) = (x): (25) eSLI SU]ESTWUET SWERTKA (x) = ( ?f )(x), TOGDA ONA QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (24) (SM. [5]). w \TOM PARAGRAFE MY NAJDEM FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE URAWNENIQ gELXMGOLXCA, ISPOLXZUQ METODY KOMPLEKSNOGO ANALIZA. dLQ FUNKCIJ (x) 2 L (R ) \ L (R ) OPREDELENY PRQMOE I OBRATNOE PREOBRAZOWANIE fURXE, 2

3

3

3

2

2

3

2

3

2

2

2

3

1

3

Z 1 e;i(y;x) (x)d3x  ^(y); F ( )(y) = (2) R Z 1 ; 1 ^ ei(x;y) ^(y)d3y = (x); F ( )(x) = (2) R 3 2

3

3 2

3

KOTORYE PRODOLVA@TSQ DO UNITARNYH PREOBRAZOWANIJ W PROSTRANSTWE L (R ). dLQ OBOB]ENNYH FUNKCIJ 2 S 0(R ) PREOBRAZOWANIE fURXE OPREDELQETSQ FORMULOJ < F ( );  >=< ; F () > DLQ L@BOJ FUNKCII  IZ PROSTRANSTWA {WARCA S (R ). pRI \TOM POLU^AETSQ, ^TO < F (
);  >=<
; F () >= 2

3

3

3

29

< ;
F () >= ; < ; F (jyj (y)) >= ; < jyj F ( )(y); (y) >;  2 S (R ); TO ESTX F (
)(y) = ;jyj F ( )(y). s DRUGOJ STORONY, 2

2

3

2

< F ();  >=< ; F () >= 1 Z (x)d x;  2 S (R ); (2) R 3

3 2

3

3

TO ESTX F () =  = const. dEJSTWUQ NA OBE ^ASTI URAWNENIQ (25) PREOBRAZOWANIEM fURXE, POLU^AEM: ;jyj ^ + k ^ = 1 : (2) sLEDOWATELXNO, ^(y) = 1
1 (26) (2) k ; jyj pRIMENQQ K (26) OBRATNOE PREOBRAZOWANIE fURXE, POLU^AEM: 1

3

(2 ) 2

2

2

3 2

3 2

2

2

Z 1 (x) = (2)3 ei(x;y) k2 ;1 jyj2 d3y: (27) R pOSKOLXKU INTEGRIROWANIE W (27) IDET PO WSEMU PROSTRANSTWU R3, BEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX, ^TO WEKTOR x ZADAET NAPRAWLENIE OSI OY3 . tOGDA PEREHOD K SFERI^ESKIM KOORDINATAM y1 = rcos()sin( ), y2 = rsin()sin( ), y3 = rcos( ) POD ZNAKOM INTEGRALA DAET: 3

(x) = (21 )3

Z1 r Z Z i j x j rcos sin( )d d; k ; r dr e +

2

2

2

( )

2

0

0

0

GDE PRINQTO WO WNIMANIE TO, ^TO (x; y) = jxjjyjcos( ) = jxjrcos( ). tAKIM OBRAZOM, POLU^AEM,

Z r(eijxjr ; e;ijxjr) Z reijxjr ; i ; i (x) = dr = (2) jxj k ; r dr: (2) jxj k ;r ;1 +

2

1

1

+

2

2

0

30

2

2

2

zAMETIM, ^TO

r

1 2

1 2

k ;r r ; k ; r + k: sLEDOWATELXNO, PRIMENQQ FORMULU sOHOCKOGO (USLOWIE (ii) WYPOLNENO W SILU LEMMY vORDANA), POLU^IM DLQ ZNA^ENIQ INTEGRALA: (x) = 2(2i) jxj i(eikjxj + e;ikjxj) = ; cos4(kjxjxj j) : (28) fUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPREDELENO NEODNOZNA^NO. dOBAWLQQ K NEMU L@BU@ FUNKCI@, QWLQ@]U@SQ RE[ENIEM ODNORODNOGO URAWNENIQ, MY POLU^IM DRUGOE FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE. zAMETIM, ^TO FUNKCIQ (x) = ; isinjkxjjxj QWLQETSQ RE[ENIEM ODNORODNOGO URAWNENIQ gELXMGOLXCA WO WSEM PROSTRANSTWE:
(x) + k (x) = 0; x 2 R : sLEDOWATELXNO, FUNKCII (x) =   = ; eikjxjxj j TAKVE QWLQ@TSQ FUNDAMENTALXNYMI RE[ENIQMI URAWNENIQ gELXMGOLXCA. 2

2

=;

2

(

)

4

2

3

4

lITERATURA [1] zOMMERFELXD a. sTROENIE ATOMA I SPEKTRY. t. 1,2. - m.: gOSTEHTEORIZDAT, 1956. [2] lANDAU l.d., lIF[IC e.m. kWANTOWAQ MEHANIKA. - m.: nAUKA, 1989. [3] nIKOLXSKIJ n.k. lEKCII OB OPERATORE SDWIGA. - m.: nAUKA, 1980. [4] lAWRENTXEW m.a., {ABAT b.w. mETODY TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. - m.: lANX, 2002. [5] wLADIMIROW w.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. - m.: nAUKA, 1971.

[6] lANDAU l.d., lIF[IC e.m. |LEKTRODINAMIKA SPLO[NYH SRED. - m.: nAUKA, 1992. [7] sTR\TTON d.a. tEORIQ \LEKTROMAGNETIZMA. - mOSKWA-lENINGRAD: ogiz, 1948. 31