Системы с нечеткими моделями объектов управления

А. А. Усков

СИСТЕМЫ С НЕЧЕТКИМИ МОДЕЛЯМИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ МОНОГРАФИЯ

Смоленск 2013

УДК 519.254 ББК 30.17 У 75 Рецензенты: доктор технических наук, профессор Курилин С. П. (Российского университета кооперации) доктор технических наук Михаль О. Ф. (Харьковский национальный университет радиоэлектроники)

У 75

Усков А.А. Системы с нечеткими моделями объектов управления: Монография. – Смоленск: Смоленский филиал АНО ВПО ЦС РФ "Российский университет кооперации", 2013. – 153 с.: ил.

ISBN 978-5-91805-024-8 В монографии рассматриваются методы синтеза регуляторов для одного класса систем автоматического управления, отличительной особенностью которого является представление объекта управления базой знаний в виде нечетких продукционных правил – нечеткой моделью. Для специалистов в области теории управления и математического моделирования. Монография издается в авторской редакции.

АНО ВПО ЦС РФ "Российский университет кооперации" Смоленский филиал, 2013 Усков А. А., 2013 2

ВВЕДЕНИЕ Проблема построения систем автоматического управления (САУ), способных функционировать в условиях неопределенности математического описания объекта управления, является одной из важнейших задач современного системного анализа и имеет общенаучное значение. Под неопределенностью в данном случае понимается неопределенность, обусловленная, как недостатком информации, необходимой для получения количественного описания протекающих процессов, так и сложностью объекта управления. Существует, по крайне мере, три подхода к решению рассматриваемой научной проблемы. При, так называемом, классическом подходе, САУ, предназначенные для работы в условиях неопределенности, анализируются и синтезируются, используя модели объектов управления первого приближения, отражающие наиболее существенные их характеристики. Данные модели определяются в форме дифференциальных или разностных уравнений, структуру которых получают либо на основе теоретического анализа процессов, протекающих в объекте, либо с использованием методов аппроксимации. Так, например, большинство методов синтеза ПИДрегуляторов и законов самонастройки адаптивных САУ получены в предположении, что объекты управления удовлетворительно описываются линейными динамическими звеньями невысокого (обычно, не выше третьего) порядка. В то же время, указанное допущение часто приводит к тому, что теоретически спроектированная САУ на практике не могут обеспечить заданные показатели качества управления. Два других подхода основаны на применении методов искусственных нейронных сетей и нечеткой логики. Отметим, что многие авторы выделяют САУ, использующие указанные методы, в отдельный класс – “Интеллектуальные САУ”, при этом, соответствующее научное направление, в рамках теории автоматического управления, получило название “Теория интеллектуальных САУ”. 3

Искусственные нейронные сети позволяют проводить идентификацию сложных нелинейных динамических объектов и синтезировать для них нелинейные законы управления, что дает возможность решать рассматриваемую задачу синтеза САУ в условиях неопределенности на основе имеющихся экспериментальных данных, полученных на объекте. В то же время, нейросетевые системы управления имеют существенный недостаток: всю информацию о моделируемом объекте нейронная сеть получает в процессе обучения, а это, в ряде случаев, приводит к необходимости иметь неприемлемо большой объем экспериментальных данных. Использовать знания, полученные экспертным методом, при конструировании нейронной сети, что могло бы уменьшить необходимый объем обучающей выборки, достаточно сложно. Возможность широко использовать экспертные знания в системах управления дает нечеткая логика, позволяющая обеспечить формализацию качественных, размытых в смысловом отношении, понятий и связей. На основе методов нечеткой логики удается проектировать САУ, способные эффективно функционировать в условиях наличия информации об объекте управления лишь качественного характера. Вместе с тем, несмотря на интенсивные исследования в области применения методов нечеткой логики в системах управления, все еще остаются не полностью решенными многие проблемы, связанные с разработкой методологии анализа и синтеза рассматриваемых систем. В частности, в большинстве научных работ по нечеткому управлению исходной предпосылкой является наличие хотя бы приближенной математической модели объекта управления, заданной в виде нелинейных дифференциальных или разностных уравнений. В то же время, часто модель сложного объекта управления может быть получена лишь в виде соотношений качественного характера между его переменными состояния (т. е. в виде так называемой нечеткой модели), что делает результаты указанных научных работ мало применимыми на практике. В связи с вышесказанным, представляется актуальной научной проблемой разработка теории широкого класса систем с нечеткими моделями объектов управления, охватывающей задачи анализа и синтеза данных систем. В монографии изложены следующие оригинальные результаты, полученные автором:

4

1. Предложена обобщенная нечеткая модель динамического объекта, позволяющая формально описывать широкий класс односвязных динамических объектов управления. 2. Разработан метод синтеза нечетких регуляторов для объектов управления, заданных нечеткими моделями, на основе обратной динамики и самоорганизации, позволяющий проектировать системы управления по экспериментальным данным, полученным путем измерений на объекте, при относительно небольших затратах машинного времени. 3. Разработан алгоритм решения задач оптимального управления, так называемый нечеткий дополняюще-оптимизирующий алгоритм, отличающийся от известных возможностью использовать экспертную информацию качественного характера для улучшения точности решения и невысокими требованиями к вычислительным ресурсам, а также метод синтеза нечетких регуляторов на его основе. Монография состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. В первой главе рассмотрены методы построения систем управления для работы в условиях неопределенности, предложена обобщенная нечеткая модель динамического объекта, рассмотрены принципы построения систем управления с нечеткой логикой, сформулированы задачи исследования. Во второй глава приводятся разработанные методы синтеза САУ с нечеткими моделями объектов управления. В приложении рассмотрены развитые методы построения нечетких моделей динамических объектов на основе экспериментальных данных и экспертной информации качественного характера.

5

1. СИСТЕМЫ C НЕЧЕТКИМИ МОДЕЛЯМИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ 1.1. Системы управления для работы неопределенности математического описания объекта

в

условиях

Особенностью процессов, протекающих в современных технологических установках, приборах и агрегатах является существенная сложность получения их адекватного математического описания (математической модели). Вызвано это, как многообразием задействованных физических эффектов и отсутствием теории в соответствующих областях науки, так и нестационарностью объекта и наличием неконтролируемых возмущающих воздействий. Кроме того, даже если проведение идентификации теоретически возможно, получение экспериментальных данных для синтеза модели часто сопряжено со значительными трудностями, в частности требованием недопустимо больших длительностей экспериментов, затрат материальных ресурсов или возможностью выхода из строя объекта. Таким образом, возникает задача синтеза систем управления сложными объектами в условиях неполной информации об их математическом описании – систем управления способных работать в условиях неопределенности [1 - 3]. В настоящее время на практике находят применение несколько подходов для построения систем управления способных работать в условиях неопределенности. Рассмотрим основные из них. 1. ПИД-контроллеры. ПИД-контроллеры (в русскоязычной литературе, обычно, используется термин ПИД-регуляторы) строятся на основе эмпирического подхода, при котором закон управления выбирается, исходя каких-либо логических построений качественного характера, и строго математически не обоснован [4 - 8]. В частности, идеализированный закон ПИД-регулирования для непрерывного случая имеет вид: t

u (t )

K P e(t ) K I

e(t ) dt K D 0

e(t )

6

x0 (t )

y (t ),

d e(t ), dt

где e(t ) – сигнал ошибки регулирования; x0 – задающее воздействие; y (t ) – выходной сигнал объекта; u (t ) – выходной сигнал регулятора – управляющее воздействие; коэффициенты KP , KI , KD – пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих соответственно. Идея работы ПИД-регулятора состоит в следующем: пропорциональная составляющая отражает ошибку системы в настоящий момент времени, интегральная – историю изменения ошибки системы, а дифференциальная составляющая – предсказание будущей ошибки управления. Выходной сигнал регулятора u (t ) , в свою очередь, направлен на минимизацию ошибки управления. ПИД-регуляторы доказали свою эффективность в управлении разнообразными объектами и процессами. Более 80 % применяемых в настоящее время в промышленности регуляторов – это ПИДрегуляторы. При известной модели объекта управления, удовлетворяющей условию линейности, данные регуляторы могут быть проанализированы на основе хорошо разработанной линейной теории управления и просты для понимания [1]. Разработано большое количество достаточно эффективных методов экспериментальной настройки параметров ПИД-регуляторов под конкретные объекты управления [4 - 7]. Следует, однако, отметить, что для объектов с переменными параметрами, значительным временным запаздыванием, существенными нелинейностями и большими помехами ПИДрегуляторы часто не могут обеспечить необходимого качества управления [1, 3, 7]. 2. Традиционные адаптивные системы управления. В адаптивных системах управления параметры закона управления настраивается автоматически в зависимости от складывающейся в процессе управления ситуации [1, 6, 9 - 15]. Адаптивные системы, по сравнению с обычными системами управления, содержат контур самонастройки. По критерию адаптации можно различать системы с эталонной моделью и системы с экстремальной самонастройкой. В первых из них регулятор адаптируется таким образом, чтобы замкнутая система управления имела свойства, как можно более близкие к заданным – свойствам эталонной модели. Во вторых регулятор адаптируется с

7

целью получить наилучшие в том или ином смысле показатели качества управления. Контур самонастройки будет разомкнутым, если он не совмещен с регулируемой величиной или параметрами объекта управления, а реагирует на некоторую косвенную величину, от которой зависит выходной сигнал системы. В системах с замкнутым контуром самонастройки либо в контур самонастройки подается сигнал, связанный каким-либо образом с регулируемой величиной, либо регулятор адаптируется в зависимости от параметров объекта управления, которые определяются посредством блока идентификации. Существенным является способ определения информации для самонастройки. Возможны два варианта: с помощью подачи специального воздействия на объект управления, либо путем анализа естественного хода процесса управления. В связи с этим, различают системы с поисковой самонастройкой и беспоисковые, или аналитически самонастраивающиеся. Приведем примеры наиболее распространенных адаптивных систем управления [6, 16 - 20]. Самонастраивающееся ПИД-управление. В таких адаптивных системах параметры ПИД-регулятора настраиваются в зависимости от сигналов внешних возмущений, показателей качества управления или параметров объекта управления. Другой из традиционных подходов к построению самонастраивающихся систем управления – обобщенное прогнозирующее управление [20]. Суть данного метода состоит в следующем: делается прогноз процесса в системе на длительный интервал времени, далее выбирается стратегия управления, затем данная стратегия, применяется на какое-то определенное время, в следующий момент времени снова делается прогноз, затем выбор стратегии и ее реализация на определенное время; данный цикл постоянно повторяется. Рассмотренный подход эффективен при управлении неминимально-фазовыми, неустойчивыми в разомкнутом состоянии объектами и объектами с неизвестным запаздыванием. Отметим недостатки адаптивных систем, разработанных согласно традиционным принципам. Большинство алгоритмов адаптации получены при условии отсутствия неконтролируемых возмущающих воздействий и при возможности определения всех параметров объекта в процессе идентификации. Кроме того, практически все алгоритмы адаптации работоспособны лишь, если выполняется гипотеза квазистационарности объекта управления и в 8

течение времени настройки регулятора и отсутствуют исчезающие возмущающие воздействия. Следует также заметить, что существующие алгоритмы адаптации достаточно сложны в реализации, а процесс адаптации часто занимает неприемлемо продолжительно время [2]. Рассмотренные выше системы управления с ПИДрегуляторами, а также адаптивные системы принято относить к традиционным системам управления. В них не применяются современные информационные технологии, такие, как нейронные сети, нечеткая логика, генетические алгоритмы, экспертные системы и ряда других (это можно считать их отличительной особенностью от интеллектуальных систем управления) [3, 16]. Интеллектуальные системы управления – это системы управления способные к “пониманию” и обучению в отношении объектов управления, возмущений, внешней среды и условий работы [3, 16, 21 - 32]. Основное отличие интеллектуальных систем – наличие механизма системной обработки знаний. Главная архитектурная особенность, которая отличает интеллектуальные системы управления от "традиционных" – это механизм получения, хранения и обработки знаний для реализации своих функций. В основе создания интеллектуальных систем управления лежат два принципа: ситуационное управление (управление на основе анализа внешних ситуаций или событий) и использование современных информационных технологий обработки знаний. Интеллектуальные технологии между собой различает, прежде всего то, что именно положено в основу концепции интеллектуальности – либо способность работать с формализованными знаниями человека (экспертные системы, нечеткая логика), либо свойственные человеку приемы обучения и мышления (искусственные нейронные сети и генетические алгоритмы). Структурно интеллектуальные СУ содержат дополнительные блоки, выполняющие системную обработку знаний на основе названных выше информационных технологий. Данные блоки могут выполняться либо как надстройка над обычным регулятором, настраивая нужным образом его параметры, либо непосредственно включаться в замкнутый контур управления. 3. Нейросетевые системы управления. Нейросетевые системы управления – это системы управления, в которых используется архитектура искусственных нейронных сетей и их способность к обучению [3, 16, 33 – 64].

9

Рассмотрим некоторые наиболее построения нейросетевых систем управления.

известные

варианты

3.1. Простейшие схемы нейросетевого управления. Простейшая последовательная схема нейросетевого управления показана на рис. 1.1 [65 - 68].

Рис. 1.1. Последовательная схема нейросетевого управления На рис. 1.1 приняты следующие обозначения: НС – нейронная сеть, ОУ – объект управления, x0 – входной задающий сигнал системы (уставка), y – выходной сигнал системы, – сигнал, несущий информацию о контролируемых возмущениях. Обученная нейронная сеть стремится воспроизвести обратную динамику объекта управления, обеспечив тем самым, выполнение равенства y x0 . В данном случае используется разомкнутая схема управления без отрицательной обратной связи. Достоинствами такой схемы являются простота и отсутствие проблем с устойчивостью. К недостаткам можно отнести следующее: при наличии неконтролируемых возмущений, а также нестационарности объекта управления данная схема не гарантирует, что выходной сигнал ОУ будет соответствовать опорному сигналу; эта схема не способна управлять неустойчивым объектом; сложности также возникают, если оператор ОУ не имеет обратного. Простейшая схема нейросетевого управления с обратной связью показана на рис. 1.2.

10

Рис. 1.2. Нейросетевое управление с обратной связью Нейронная сеть выполняет функции регулятора замкнутой системы. Достоинством такой схемы является способность обеспечивать высокое качество управления при наличии неконтролируемых возмущений, а также нестационарности и неустойчивости ОУ. В данном случае задача настройки НС значительно сложнее: если при последовательной схеме управления известно, что НС, должна реализовывать обратную динамику объекта, то в схеме с обратной связью оператор, который должна реализовывать НС, неизвестен; ни связь, ни якобиан связи между показателем качества регулирования и параметрами НС также неизвестны. Можно обучать нейронную сеть аппроксимировать обратный оператор объекта, как это делалось для последовательного управления, однако качество управления при этом невысоко, и такое обучение, чаще всего, используется лишь в качестве предварительного. В общем случае, для обучения нейронных сетей в системах управления с обратной связью приходится применять алгоритмы, не использующие аналитический вид якобиана связи критерия качества управления и весов нейронной сети. 3.2. Схема с обычным контроллером, управляемым нейронной сетью. В системе, приведенной на рис. 1.3 нейронная сеть используется для настройки параметров обычного контроллера (например, ПИД-регулятора) [69].

11

Рис. 1.3. Схема, в которой нейронная сеть используется для настройки параметров обычного регулятора Данная схема получила название “схема нейросетевого управления с самонастройкой”. Рассматриваемой схеме, как и предыдущей свойственны сложности обучения нейронной сети. Рассмотрим три наиболее известных подхода к построению нейросетевых адаптивных систем управления. Допустим, что необходимо построить систему управления, формирующую сигнал u , подаваемый на объект управления (ОУ), такой чтобы его выходной сигнал y в заданном смысле наилучшим образом соответствовал входному сигналу x (в идеальном случае y

x0 ).

3.3. Инверсное управление. На рис. 1.4 показана структура системы, выполненной в соответствии с принципом инверсного управления [70, 71].

12

Рис. 1.4. Инверсное нейросетевое управление В данном случае нечеткая сеть 2 (НС2), выполняющая функцию идентификатора, моделирует обратную динамику объекта управления, а нечеткая сеть 1 (НС1), выполняющая функцию контроллера, копирует НС2. Здесь используется разомкнутая схема управления без отрицательной обратной связи (процессы обучения идентификатора и контроллера разделены во времени). Достоинствами такой схемы являются простота и отсутствие проблем с устойчивостью. К недостаткам можно отнести следующее: при не выполнении условия квазистационарности объекта управления данная схема не гарантирует, что выходной сигнал ОУ будет соответствовать опорному сигналу; эта схема не способна управлять неустойчивым объектом; сложности также возникают, если оператор ОУ не имеет обратного. 3.4. Предикторное управление (управление с предсказанием). В данном случае, как и ранее, НС1 выполняет функции контроллера, а НС2 – идентификатора (см. рис. 1.5) [72 - 77].

13

Рис. 1.5. Нейросетевое управление с предсказанием Идентификатор НС2 настраивается на прямую динамику объекта. НС1 настраивается через идентификатор НС2 таким образом, чтобы минимизировать критерий качества управления на определенном интервале времени в будущем. После реализации управления на данном интервале времени процесс повторяется. В литературе этот метод иногда называется как “обратное распространение во времени” или “принцип удаляющегося горизонта”. Управление с предсказанием по сравнению с инверсным управлением дает лучшие результаты, особенно это проявляется в случае не реализуемости точной обратной динамики объекта. В то же время и вычислительные затраты для данного метода значительно выше. Рассматриваемая схема управления, так же, как и предыдущая, относится к разомкнутым, и при невыполнении условия квазистационарности объекта она не гарантирует, что выходной сигнал ОУ будет соответствовать опорному сигналу. От указанных недостатков свободна схема приведенная ниже. 3.5. Схема управления с обратной связью и идентификатором. В схеме на рис. 1.6 используется контроллер обратной связи, выполненный на нечеткой сети НС1, обучающийся через идентификатор НС2. Обучение через идентификатор, а не непосредственно на объекте необходимо, чтобы «не мешать» нормальному функционированию объекта пробными воздействиями, использующимися для обучения. К недостаткам схемы можно отнести 14

высокие требования к вычислительным ресурсам (приблизительно такие же, как и в схеме с предсказанием) и возможные проблемы с устойчивостью.

Рис. 1.6. Нейросетевое управление с обратной связью и идентификатором Причинами, послужившими применению нейронных сетей в системах управления, является следующие. 1. Нейронные сети могут реализовывать гладкие функции произвольного вида [78 - 82]. 2. Для реализации нейросетевых систем управления необходима минимальная информация об объекте управления. 3. При реализации нейронных сетей в виде специализированных интегральных схем возможна параллельная обработка информации, что, во-первых, значительно увеличивает скорость работы системы и, во-вторых, повышает ее надежность. Несмотря на большое количество достоинств, системам управления на основе нейронных сетей свойственен и целый ряд недостатков. 1. При оптимизации весов НС возникает проблема остановки алгоритма обучения в локальном минимуме, что приводит к необходимости применения алгоритмов глобальной оптимизации, которые работают достаточно медленно.

15

2. Отсутствует строгая теория по выбору типа и архитектуры НС, что приводит к необходимости применять алгоритмы самоорганизации, которые также работают достаточно медленно. 3. Всю информацию НС получает в процессе обучения, и никакую априорную информацию ввести в нейронную сеть невозможно. Обобщая указанное выше, можно отметить, что нейросетевые регуляторы имеют в ряде случаев неприемлемо длительное время обучения. 4. Нечеткие системы управления. Нечеткое управление (Fuzzy Control, Fuzzy-управление) в настоящее время является одной из перспективнейших интеллектуальных технологий, позволяющих создавать высококачественные системы управления [83 - 90]. Под нечеткими системами автоматического управления (САУ) понимаются системы управления, содержащие структурно блоки нечеткого логического вывода (БНВ). Указанные блоки представляют собой нелинейные звенья, операторы которых определяется базой знаний, состоящей из нечетких продукционных правил, и используемым алгоритмом нечеткого логического вывода. Чаще всего рассматривается случай, когда входные и выходные сигналы БНВ являются вещественными четкими функциями времени, в этом случае БНВ содержит также звенья фаззификации (введения нечеткости) и дефаззификации (приведения к четкости) – см. рис. 1.7.

Рис. 1.7. Структура блока нечеткого вывода Состояние теории нечеткого управления на момент начала 90-х годов прошлого века подробно отражено в работах [91-97]. В указанных

16

работах приводится обширная библиография (в общей сложности более 1000 ссылок на оригинальные публикации). Приведем ссылки на монографии на русском языке, вышедшие за последние несколько лет, в которых отражены те или иные аспекты теории нечеткого управления – [22 - 24, 26, 29 - 32, 64, 98 - 140]. В то же время, следует признать, что хотя число монографий велико, тираж данных изданий весьма мал и указанные монографии, в большинстве своем, мало доступны широкому кругу специалистов. Основным признаком классификации нечетких систем управления является место нахождения блоков нечеткого логического вывода, при этом либо нечеткая система сама формирует управляющие сигналы, либо сигналы с нечеткой системы управляют параметрами традиционной системы управления. На рис. 1.8 показана структурная схема системы управления с так называемым нечетким регулятором.

Рис. регулятором

1.8.

Структура

системы

управления

с

нечетким

На рис. 1.8 приняты следующие обозначения: НР – нечеткий логический регулятор, ОУ – объект управления, и – контролируемое и неконтролируемое возмущающие воздействия соответственно. В качестве примера приведем один из первых НР, обычно называемый “базовым нечетким логическим контроллером”, предложенный в работах [141 - 146]. База знаний, в данном случае состоит из пяти правил: П1: если ei “большой положительный” и ei “приблизительно нулевой”, то

ui “большой положительный”; 17

П2: если ei “большой отрицательный” и

ei “приблизительно

нулевой”, то

ui “большой отрицательный”; П3: если ei “приблизительно нулевой” и ei “приблизительно нулевой”, то ui “приблизительно нулевой”; П4: если ei “приблизительно нулевой” и ei “большой положительный”, то ui “большой положительный”; П5: если ei “приблизительно нулевой” и ei “большой отрицательный”, то ui “большой отрицательный”; где ei – сигнал ошибки регулирования, ei ei ei 1 – приращение сигнала ошибки регулирования, ui ui ui 1 – приращение выходного сигнала регулятора. Выходной сигнал регулятора определяется формулой: ui ui ui 1 . По сути, рассмотренный регулятор – это нечеткий ПИрегулятор. Перейдем к рассмотрению систем, в которых сигналы с блоков нечеткого вывода управляют параметрами традиционных динамических звеньев. На рис. 1.9 приведен пример системы, в которой обычный линейный ПИД-регулятор изменяет свои параметры под управлением нечеткой экспертной системы (так называемого нечеткого супервизора) [93 - 96, 146 -150].

18

ДЗ – динамическое звено, Fuzzy – нечеткая экспертная система, ПИД – ПИД-регулятор Рис. 1.9. Система управления с ПИД-регулятором и нечетким супервизором Более общим примером систем рассматриваемого типа являются системы, с так называемыми, нечеткими комплексными динамическими моделями (fuzzy complex dynamic model) [151 - 154], в которых математическое описание объекта или контроллера представлено ансамблем традиционных моделей (обычно линейных), а переход между данными моделями (либо плавный, либо скачкообразный) происходит посредством сигналов с блоков нечеткого вывода. На рис. 1.10 показана структура замкнутой системы управления с нечеткими комплексными моделями.

19

К – контроллер, ОУ – объект управления, ДЗ – динамические звенья, Fuzzy – системы нечеткого логического вывода, ЛДЗ – линейные динамические звенья Рис. 1.10. Схема управления с нечеткими комплексными моделями Модели контроллера и объекта управления описываются совокупностью нечетких продукционных правил: 1

2

n

П r1 : если x1 есть Ar1 1 и если x1 есть Ar1 2 и … и если x1 1   есть Ar1 n1 , то u (t ) LK r1 (e (t )) – для контроллера, П r2 : если x 2 1 есть Br2 1 и если x 2 2 есть Br2 2 и … и если x2 n2   есть Br2 n2 , то y (t ) Loу r2 (u (t )) – для объекта управления,   где n1 и n2 – размерность векторов x1 и x2 соответственно;   верхние индексы обозначают номера компонент векторов x1 , x2 ; r1 1, 2, ..., m1 ; r2 1, 2, ..., m2 ; m1 и m2 – число продукционных правил для Fuzzy 1 и Fuzzy 2 соответственно; Loу r1 ( ) и Loу r2 ( ) – заданные линейные операторы. Используя алгоритм нечеткого вывода Сугэно можно записать [55, 56]: 20

m1

 u (t )

A



 LK r1 (e (t ))

r1 ( x1 )

r1 1 m1

A

 r1 ( x1 )

,

r1 1 m2

 y (t )

r2 1

B



m2 r2 1

где

A



r1 ( x1 )

мерных

Br2 1

Br2 2

и

B

нечетких

...



r2 ( x2 ) –

 Lоу r2 (u (t ))

r2 ( x 2 ) B

 r2 ( x 2 )

,

(1.1)

функции принадлежности n1 -мерных и n2 множеств

Ar11

Ar1 2

...

Ar1 n1

и

Br2 n2 соответственно.

Системы управления с нечеткой логикой можно разделить также на неадаптивные и адаптивные [155]. В неадаптивных база знаний после проектирования и настройки системы остается неизменной. В адаптивных база знаний подстраивается в процессе работы в зависимости от складывающейся в процессе управления ситуации. Среди причин распространения Fuzzy-управления обычно выделяют следующие [83 - 88]: 1) возможность синтеза систем управления в условиях неопределенности, когда об объекте управления и необходимом управлении имеется информация лишь качественного характера; 2) особые свойства систем управления с нечеткой логикой, в частности, малая чувствительность к изменению параметров объекта управления; 3) синтез систем управления сложными объектами с применением методов нечеткой логики зачастую менее трудоемок, чем традиционных систем управления; 4) лингвистическая форма задания информации достаточно проста в интерпретации; 5) нечеткой системой может быть аппроксимирована произвольная гладкая функция. Выделяют также некоторые дополнительные причины популярности нечетких систем:

21

1) нечеткая логика – технология появившаяся относительно недавно, и ее применение без труда позволяет достигнуть “патентной чистоты” проектируемых изделий; 2) существует определенная “мода” на нечеткие системы. Как и у любых систем управления, у систем с нечеткой логикой существует области, в которых их применение является наиболее предпочтительным. В качестве таких областей обычно выделяют следующие [83 - 88]: системы регулирования, для которых модель объекта управления определена лишь качественно; 1) надстройка над традиционными системами регулирования (например, над ПИД-регуляторами) для придания им адаптивных свойств; 2) воспроизведение действий человека-оператора; 3) системы организационного управления верхнего уровня. Общей предпосылкой для применения нечетких систем управления является, с одной стороны, наличие неопределенности, связанной как с отсутствием информации об управляемом объекте, так и сложностью управляемой системы и невозможностью или нецелесообразностью ее описания традиционными методами, и с другой стороны, наличие информации качественного характера об объекте, необходимых управляющих воздействиях, возмущениях и т. п. На рис. 1.11 показаны области эффективного применения традиционных, нейросетевых и нечетких систем управления [83 – 88, 156].

22

Рис. 1.11. Область наиболее эффективного некоторых методов современной теории управления

применения

Как следует из рис. 1.11, традиционные методы управления хорошо зарекомендовали себя при относительно невысокой сложности объекта управления и наличии достаточно полной информации о нем. Нейросетевые системы управления целесообразно применять при отсутствии информации или высокой сложности объекта управления. Промежуточное положение между данными технологиями занимают нечеткие системы. Отметим, что границы между различными подходами, показанные на рис. 1.11, сами по себе являются весьма условными (нечеткими). Заметим также, что применение гибридной технологии (сочетание традиционных методов управления, нечеткой логики и нейросетевого подхода) позволяет создавать системы управления эффективные во всем спектре ситуаций, отраженных на рис. 1.11 [83 - 88]. С учетом сказанного выше, представляется, что нечеткую логику можно использовать как базовую технологию при построении высококачественных систем автоматического управления, функционирующих в условиях неопределенности.

23

1.2. Обобщенная нечеткая модель динамического объекта В большинстве работ, посвященных нечеткому управлению рассматривается случай, когда модель объекта известна хотя бы приближенно и описывается системами нелинейных дифференциальных или разностных уравнений (см., например, [120]), а в некоторых работах вообще делается допущение, что объект управления – линейное динамическое звено (см., например, [3]). Однако для многих встречающихся на практике объектов управления, таких как, например, сложные технологические процессы, получить математическую модель в традиционном смысле (в виде дифференциального уравнения или разностного) не удается. Объясняется это в частности недостатком информации для проведения идентификации объекта управления. В то же время, часто имеется описание объекта управления лишь качественного характера, которое может быть представлено набором нечетких продукционных правил типа “если – то” [55, 56]. В таких ситуациях можно построить нечеткую модель объекта, в которую будет входить блок нечеткого логического вывода. Динамический оператор, реализуемый нечеткой моделью, определяется ее структурой, используемым алгоритмом нечеткого вывода и базой знаний в виде нечетких продукционных правил. Отметим, что благодаря способности нечетких систем с любой a priori заданной точностью аппроксимировать произвольные непрерывные функции, нечеткая модель, как подкласс охватывает и традиционные математические модели объектов [55, 56]. Ведем в рассмотрение обобщенную нечеткую модель динамического объекта, пригодную для описания большинства односвязных динамических объектов встречающихся на практике. Данная модель включает, как подкласс, математическое описание объектов управления использующееся в большинстве работ по нечеткому управлению. Определение 1.1. Под обобщенной нечеткой моделью динамического объекта (ОНМДО) понимается математическая модель динамического объекта с четкими входным и выходным сигналами, состоящая из линейного динамического звена (ЛДЗ) и блока нечеткого логического вывода (БНВ), и имеющая структуру, приведенную на рис. 1.12.

24

u

– управляющее воздействие, y – выходной сигнал

Рис. 1.12. Обобщенная нечеткая модель динамического объекта Линейное динамическое звено описывается системой векторноматричных разностных уравнений [157, 158]:

 zi

1

 xi

 Azi  Czi

 B i,  D i,

(1.2)



T

где A, B, C , D – заданные постоянные матрицы, i ui , yi , i – номер такта. Блок нечеткого логического вывода реализует функциональную зависимость

yi

 ( xi ) ,

(1.3)

на основе алгоритма нечеткого вывода Сугэно [55, 56], используя m нечетких продукционных правил вида:

Пr : если x1 есть Ar1 и x2 есть Ar1 и ... и xn есть Arm , то y

wr

– для алгоритма Сугэно 0-го порядка, и

25

Пr : если x1 есть Ar1 и x2 есть Ar1 и ... и xn есть Arn , то y

n

prj x j j 1

– для алгоритма Сугэно 1-го порядка, где r 1, 2, ..., m – номер нечеткого правила, Arj – заданные нечеткие переменные, wr , prj – заданные постоянные параметры. По умолчанию матрицы A, B, C , D имеют вид:

l A

0 ... 0

0

1 ... 0

0

0

... ... ... ... 0 ... 1

0

0

l1 1

0 ... 0

0

1 ... 0

0

... ... ... ... 0 ... 1

l

,

1

0

0

0

0

0

0

... ... ... 0 0 0 , 0 1 0

B l1 1

0

0

(1.4)

0

... ... ... 0

0

0

I – единичная матрица, D 0 – нулевая матрица; где l , l1 – постоянные параметры. C

Одним из наиболее общих вариантов математического описания объектов управления

26

классического является их

представление в виде нелинейных разностных уравнений l -го порядка [158, 159]: yi f ( yi 1 , ..., yi l , ui , ui 1 , ..., ui l1 ), (1.5) где f ( ) – непрерывная и ограниченная на R n ( n l l1 1) нелинейная функция. На рис. 1.13 показана обобщенная нечеткая модель динамического объекта, реализующая оператор, эквивалентный разностному уравнению (1.5). С помощью БНВ в данном случае аппроксимируется функция f ( ) т. е. ( ) f ( ) .

Рис. 1.13. Реализация нелинейного разностного уравнения (1.5) с помощью ОНМДО В работах, посвященных нечеткому управлению, довольно распространенно описание объектов управления в виде, так называемых, нечетких комплексных моделей, известные так же, как комплексные системы, использующие нечеткие динамические модели 27

(см., например, [151 – 154]). Покажем, что нечеткие комплексные модели сводятся к рассматриваемым обобщенным нечетким моделям. Рассмотрим, для определенности, нечеткую комплексную модель, представленную на рис. 1.14, где приняты следующие обозначения: Fuzzy – нечеткая управляющая система, ЛДЗ1, ЛДЗ2 – линейные динамические звенья.

Рис. 1.14. Структура нечеткой комплексной модели Динамика нечеткой комплексной модели описывается набором нечетких продукционных правил:

П r : если x1 i есть Ar 1 и x2 i есть Ar 2 и ... и xl2 i есть Ar l2 , то yi

prj yi j 1

28

(1.6)

l l1

l j

prjui j l 1

j (l

1) ,

 x

где r

1, 2, ..., m – номера нечетких продукционных правил, T

x1 , x2 , ..., xl2 , Arj – заданные нечеткие числа, p rj – заданные

параметры. На рис. 1.15 показана структура ОНМДО, эквивалентной рассматриваемой нечеткой комплексной модели.

Рис. 1.15. ОНМДО, эквивалентная нечеткой комплексной модели База знаний БНВ состоит из нечетких продукционных правил вида: 29

П r : если xl то yi

l1 1 i

есть Ar 1 и xl

l1 2 i

prj yi

j

j 1

l1 l2 i

есть Ar 2 , (1.7)

l l1

l

есть Ar 2 и ... и xl

prj ui

j (l

1) ,

j l 1

где нечеткие числа Arj и параметры p rj такие же, как и в выражении (1.6). 1.3. Подходы к построению алгоритмов идентификации на основе нечетких моделей Кроме обобщенной нечеткой модели, полученной экспертным методом [55, 56], часто имеется некоторая статистка измерений координат объекта (совокупность измеренных в эквидистантные моменты времени пар значений ui , yi ). Данной статистики обычно недостаточно для идентификации объекта в традиционном смысле, однако она может использоваться для уточнения базы знаний обобщенной нечеткой модели объекта управления. Ниже рассмотрены алгоритмы обучения нечетких систем, с помощью которых, после их соответствующей модернизации, может быть осуществлено такое уточнение. Наиболее простым из обучаемых нечетких систем является аппарат нечетких нейронных сетей (Fuzzy Neural Networks) [55-56, 160164]. Данные системы известны также под названием адаптивных нейро-нечетких систем вывода (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System, ANFIS). Нечеткая нейронная сеть – это многослойная нейронная сеть, в которой слои выполняют функции элементов системы нечеткого вывода. Нейроны данной сети характеризуется набором параметров, настройка которых производится в процессе обучения, как у обычных нейронных сетей. Для примера, на рис. 1.16 показана нечеткая нейронная сеть Ванга-Менделя, реализующая нелинейную зависимость [55, 56]:

30

m

y

n

wr П

r 1 m

j 1

r j (x j )

,

n

П

r 1j 1

где

r j (x j )

(1.8)

r j (x j )

– функции принадлежности нечетких множеств,

имеющие вид гауссовых функций: r j (x j )

exp

xj

cr j

2

.

(1.9)

rj

Слой 1 осуществляет фаззификацию, нелинейные функции rj ( x j ) , где r -номер продукционного правила, j -номер компоненты  входного вектора x , соответствуют функциям принадлежности

предпосылок правил. Настраиваемые параметры данного слоя – параметры используемых функций принадлежности. Слой 2 рассматриваемой сети осуществляет вычисление результирующих функций принадлежности предпосылок нечетких правил. В данном случае этот слой не имеет настраиваемых параметров. Слой 3, состоящий из двух нейронов, осуществляет суммирование и взвешенное суммирование выходных сигналов слоя 2. Параметрами данного слоя являются весовые коэффициенты wr . Слой 4 реализует операцию деления z f1 / f2 и не содержит настраиваемых параметров. Для сети Ванга-Менделя можно в аналитическом виде выразить градиент функции ошибки от параметров сети, что позволяет для ее обучения использовать метод обратного распространения, применяющийся в многослойных персептронах. В общем случае процесс обучения нечеткой сети сводится к определению ряда параметров: 1) числа продукционных правил m ;  2) координат центров c r j и отклонений r j радиальных базисных функций; 3) значений весов нейронов выходного слоя wr .

31

Рис. 1.16. Нечеткая нейронная сеть Ванга-Менделя

32

Настройка

параметров

сети

 cr j ,

rj

,

wr

может

осуществляться методом обратного распространения ошибки, аналогично тому, как это происходит в сигмоидальных нейронных сетях, например, градиентным методом. Однако особенности нечетких сетей позволяют выработать более эффективные алгоритмы настройки данных параметров. Веса нейронов выходного слоя wr входят линейно в выражение для выходного сигнала сети (см. формулу (1.8)), и их настройку можно осуществить с помощью формул для определения коэффициентов линейной регрессии по методу наименьших квадратов [56]:

 w 

где w

 or

 OT O OT y ,

w1 , w2 , ..., wm 1

2

or , or , ..., or

T

N T

(1.10)

– вектор весов выходного слоя, – вектор выходов

r -го

радиального

нейрона в обучающих точках,

O

T  T  T o1 , o2 , ..., om

T

–

матрица

выходов

радиальных

нейронов в обучающих точках,

 y

y1 , y 2 , ..., y N

T

– вектор обучающих значений. Хорошо зарекомендовал себя гибридный алгоритм, в котором часть параметров настраиваются градиентным методом, а часть – с помощью вычисления псевдообратной матрицы.



Для определения координат центров cr

cr1 , cr 2 , ..., cr n

T

могут использоваться следующие методы:  а) размещение центров радиальных функций cr в узлах равномерной сетки или случайных точках;  б) размещение центров радиальных функций cr в обучающих



точках x i ;  в) размещение центров радиальных функций cr в центрах кластеров обучающих данных. Опишем наиболее простой из известных алгоритмов помещения центров радиальных функций в центры кластеров обучающих данных K-средних (K-means). Алгоритм состоит в реализации следующих шагов. 33

1. Инициализация. Выбирается число центров K, и их  начальные координаты cr ( r 1, 2, ..., K ). 2. Предъявляется

очередная

точка

расстояния между данной точкой и центрами

 xi ,

определяются

кластеров:

 cr

 xi ,

центр, для которого данное расстояние оказалось минимальным,









 cr .

Или выбрать в

( x i cr ) , где подлежит уточнению по формуле: cr cr – коэффициент скорости обучения (существуют разновидности алгоритма, в которых постепенно уменьшается в процессе обучения). Процесс предъявления обучающих точек и уточнения координат центров продолжается до стабилизации их положения с заданной точностью. Для определения отклонений r также существуют различные эмпирические методы, использующие в качестве исходной информации расстояния между центрами радиальных функций. Например, можно выбрать все отклонения одинаковыми: r , где – среднее расстояние между центрами базисных функций качестве

r среднее расстояние между r -м центром базисной  функции cr и Kc ближайшими к нему центрами.

Наиболее сложным является выбор числа радиальных базисных функций m . Существует несколько методов и алгоритмов выбора m , однако данную задачу пока нельзя считать решенной [55, 56]. В классических алгоритмах обучения нечетких нейронных сетей число продукционных правил, вид функций принадлежности, тип алгоритма нечеткого вывода задается априорно и не подвергается изменению в процессе обучения сети. В случае неверного выбора данных параметров нечеткие нейронные сети могут оказаться малоэффективными. Для исключения указанной ситуации применяются алгоритмы адаптации (самоорганизации) нечетких нейронных сетей, настраивающие в процессе обучения не только параметры, но и структуру сети. Выделим несколько основных принципов построения алгоритмов самоорганизации нечетких систем. 1. Копирование обучающей выборки [55, 160, 164]. Допустим, как и ранее, что обучающая выборка состоит из N пар значений 34

 x i , yi

, i

1, 2, ..., N . При адаптации сети Ванга-

Менделя, согласно рассматриваемому методу, формируется m

 cr

 x i , и wr

N yi

нечетких продукционных правил с параметрами ( r i ). Достоинством описанного алгоритма является простота и высокая скорость работы. К недостаткам алгоритма можно отнести то, что получаемая нечеткая сеть очень громоздка (число правил равно числу обучающих точек). Кроме того, для выбора параметров функций принадлежности r необходимо использовать отдельную процедуру. 2. Оптимизация числа продукционных правил как отдельного параметра [55, 165, 166]. Допустим, что обученная нечеткая нейронная сеть, содержащая m продукционных правил имеет ошибку Em . Обучая сеть при различных значениях m можно получить функцию Em E(m) . Оптимизируя данную функцию по параметру m можно придти к оптимальной структуре нечеткой сети. Недостатком данного метода является очень высокие требования к вычислительным ресурсам, обусловленные необходимостью заново обучать нечеткую сеть на каждом шаге. 3. Совместная оптимизация по числу продукционных правил и весам нечеткой сети. В данных алгоритмах определение числа продукционных правил и весов нечеткой сети совмещено в виде одной оптимизационной процедуры. При этом получается достаточно сложная многоэкстремальная задача оптимизации. Для ее решения часто используются технологии эволюционных вычислений, в частности генетические алгоритмы [167, 168]. Оригинальным подходом здесь является применение нечеткого метода группового учета аргументов (НМГУА) [169]. Отметим, что при применении эволюционного подхода имеется большое число параметров алгоритма, которые для эффективного решения задачи должны быть правильно выбраны. К данному направлению можно отнести еще один подход – автоматическое определение числа кластеров в обучающей выборке и помещение центров функций принадлежности в их центры. Наиболее известным алгоритмом автоматической кластеризации является алгоритм, так называемой, субтрактивной 35

кластеризации (Subtractive clustering), называемый также алгоритмом разностного группирования [55, 56, 83, 87, 129]. Суть алгоритма состоит в следующем. Каждая точка обучающей выборки рассматривается в качестве кандидата в центры кластеров, для этого для каждой из указанных точек вычисляется ее потенциал, величина которого тем больше, чем плотнее расположены другие точки в окрестности рассматриваемой. Затем точка с наибольшим потенциалом объявляется центром первого кластера. Из окрестности этой точки удаляются все остальные точки. После чего из оставшихся точек определяются центр второго кластера. Данная процедура продолжается до тех пор, пока не будут объявлены центрами кластеров или исключены из рассмотрения все точки обучающей выборки. Для вычисления потенциалов точек обычно используется формула:

 D( x k )

N

exp i 1 i k

xk

xi 2

2b

,

(1.11)

const . где k 1 ,2, ..., N , b, Разновидностью описанного алгоритма является алгоритм пикового группирования, в котором точки, рассматриваемые в качестве кандидатов в центры кластеров, расположены не в точках обучающей выборки, а в узлах равномерной сетки. Координаты центров, полученные с помощью алгоритмов автоматической кластеризации, затем могут быть уточнены, с использованием алгоритмов обучения без учителя, например, K means [56]. В качестве еще одного подхода, относящегося к рассматриваемому направлению, выделим алгоритм постепенно возрастающего разбиения (Incremental Decomposition Algorithm) [170, 171]. Идея алгоритма состоит в следующем. На первой итерации рассматривается одно продукционное правило, имеющее в качестве области свого влияния (область в которой значение результирующей функции принадлежности предпосылки нечеткого правила превышает заданную величину) все множество допустимых входных значений (см. рис. 1.17).

36

Рис. 1.17. Иллюстрация Decomposition Algorithm

работы

алгоритма

Incremental

На итерации 2 данное правило разбивается на два, двумя способами (показаны стрелками). Проводится обучение и выбирается, 37

какой из способов разбиения дает наименьшую погрешность (данный переход отмечен черной стрелкой). Среди имеющихся правил выбирается то, для которого составляющая погрешности в общей погрешности наибольшая (область его влияния закрашена серым). Оно и подлежит разбиению на два двумя способами (итерация 3). Описанный процесс продолжается до достижения требуемой точности или пока не будет сгенерировано заданное число продукционных правил. Описываемые алгоритмы отличаются достаточно высокими требованиями к вычислительным ресурсам. Значительных вычислительных затрат требует процедура поисковой параметрической оптимизации, в связи с чем, с точки зрения уменьшения вычислительной сложности, интерес представляют алгоритмы, не требующие проведения повторной перенастройки при удалении или добавлении продукционных правил. Алгоритмы, относящиеся к данному типу, рассмотрены ниже. 4. Алгоритмы сокращения нечетких нейронных сетей (алгоритмы редукции) [55, 56]. В алгоритмах сокращения при инициализации формируется нечеткая система, содержащая заведомо избыточное число продукционных правил. В процессе работы алгоритма лишние продукционные правила исключаются. Рассмотрим основные принципы редукции нечетких систем. 1. Сокращение нечетких правил в соответствии с их логическими функциями, например: исключаются правила, для которых результирующая функция принадлежности меньше определенного порога, как мало влияющие на окончательный результат; исключаются противоречивые правила, как взаимно компенсирующиеся; исключаются одно из двух совпадающих правил, как не несущее новой информации. 2. Ортогонализация [56, 172]. Ранее уже отмечалось, что значения следствий wr (см. формулу (1.10)) в сети Ванга-Менделя могут настраиваться за один шаг, с использованием формулы метода наименьших квадратов для линейной по параметрам регрессии. Применение в данном случае ортогонального метода наименьших квадратов, использующего ортогонализацию Грамма-Шмидта, позволяет оценить индивидуальный вклад каждого из продукционных правил в выходной сигнал сети. Это, 38

в свою очередь, позволяет удалить те продукционные правила, влияние которых на процесс оказывается минимальным. Существенным недостатком алгоритмов сокращения является необходимость первоначально работать с заведомо избыточной по размеру нечеткой нейронной сетью, что и обусловливает в ряде случаев медленную работу алгоритмов. 5. Алгоритмы наращивания нечетких нейронных сетей (конструктивные алгоритмы). В данных алгоритмах вначале формируется начальная база продукционных правил (может быть и пустой), которая затем последовательно пополняется нечеткими правилами. Приведем две разновидности подобных алгоритмов. В работах [56, 173] предлагается, в отличие от классического алгоритма копирования обучающей выборки (см. п. 1), при поступлении очередной обучающей точки

 x i , yi

определять

  расстояния d r cr x i , между центрами предпосылок имеющихся  правил и точкой x . Если min( d1, d 2,... dm ) 0 , где 0 – некоторый параметр, то добавляется еще одно правило с центрами функций



i

i

принадлежности в точке cr 1 x и заключением y y . В случае невыполнения указанного неравенства добавления продукционного правила не происходит. Недостатком изложенного алгоритма является отсутствие явной связи между процедурой добавления продукционных правил и точностью аппроксимации, которая должна определяться отдельно. Алгоритм, предложенный в монографии [64], отличается от описанного выше условием добавления нового продукционного правила, здесь правило добавляется при выполнении неравенства

yi

yi



0

i , где y – значение выхода сети при подаче на вход x i ,

рассчитанное по имеющимся продукционным правилам, – 0 постоянный параметр, характеризующий точность аппроксимации. В работах [56, 64, 173] описанные алгоритмы самоорганизации нечетких систем рассмотрены лишь для случая систем Ванга-Менделя с функциями принадлежности гауссова типа. Ввод априорной информации об аппроксимируемой зависимости не предусматривается. Открытым остается вопрос о значениях параметров функций принадлежности. За исключением нескольких примеров отсутствуют теоретические и экспериментальные исследования точности и 39

сходимости моделей. В то же время, изучение литературных источников позволяет предположить, что данные алгоритмы наиболее перспективны для дальнейшей модернизации, как обладающие простотой, низкими требованиями к вычислительным ресурсам и возможностью априорного задания точности. 1.4. Синтез нечетких систем управления Независимо от того, адаптивной или нет является нечеткая система управления, основным вопросом при ее проектировании является формирование базы знаний в виде нечетких продукционных правил. Основным методом здесь является заимствование знаний специалистов по управлению рассматриваемым объектом (в частности, обычно, путем экспертного опроса) [3, 31, 83-87, 91, 93-97, 174]. Некоторым формализующим подспорьем в данном процессе могут служить исследования зависимости нелинейных операторов, реализуемых нечеткими системами, от параметров баз знаний, числа термов нечетких лингвистических переменных, вида функций принадлежности, алгоритма нечеткого вывода и т. п. [3, 175-177]. Часто проще вначале получить нечеткую (лингвистическую) модель объекта управления, а затем уже по ней формировать нечеткую модель управления. В этой связи следует отметить следующие работы. В публикации [178] описан синтез нечеткой системы управления по модели объекта первого порядка, однако обобщить данный метод на объекты произвольного порядка достаточно сложно. В работе [179-181] рассматривается лингвистический синтез регулятора по заданным лингвистическим моделям объекта и замкнутой системы. Синтез производится исходя из предположения, что сигналы в системе суть лингвистические переменные, принимающие значения на конечном множестве нечетких переменных. В работе [132] на основе лингвистического описания объекта управления синтезируется лингвистическое описание контроллера обратной связи таким образом, чтобы выполнялось достаточное условие устойчивости системы согласно второму методу Ляпунова с функцией в виде квадратичной формы. При таком подходе из поля зрения выпадает влияние функций принадлежности отдельных термов, алгоритма нечеткого вывода, вид приведения к четкости, поэтому при применении данной методики к системе с четкими сигналами результат будет мало предсказуем. 40

Другим подходом к синтезу нечеткой системы управления с использованием нечеткой модели объекта является применение методов обратной динамики [3, 182]. В данном методе нечеткая система строится так, чтобы наилучшим образом соответствовать обратному оператору объекта. В работах [3, 182] также рассмотрен синтез нечеткой модели объекта управления, но на основе вероятностных методов. Как отмечают авторы, совместное применение принципа обратной динамики и вероятностных моделей позволят полностью исключить из синтеза нечетких систем управления субъективную составляющую т. е. полностью формализовать процедуру синтеза. В рассматриваемых работах приводятся примеры синтеза нечетких регуляторов и их сравнение с традиционными, показывающие эффективность предложенных методов. В то же время, данный метод имеет и существенные недостатки: обратный оператор объекта в общем случае может быть реализован только приближенно, не гарантируются качества полученной нечеткой системы, особенно это проявляется при нестабильности параметров объекта. Следующим направлением в синтезе является разработка нечетких аналогов методов традиционной теории управления. Так, были получены аналоги интеграла свертки, передаточной функции, принципа инвариантности, второго метода Ляпунова и др. Обзор работ по данному направлению приводится в [183]. Следует отметить, что указанные аналоги получены при условии действия в системе нечетких сигналов (т. е. при отсутствии блоков деффазификации), данное обстоятельство значительно ограничивает применение таких методов. В целом ряде работ рассматривается синтез нелинейного оптимального закона управления с помощью теории оптимальных систем управления с последующей аппроксимацией полученных операторов нечеткой системой. Приведем несколько примеров. В работе [179] рассматривается аппроксимация характеристик нечетких систем обычными нелинейными функциями и получение для них инвариантной системы, как это делается в традиционной теории управления. В работах [120, 184-186] оптимальный закон управления синтезируется на основе теории аналитического конструирования регуляторов (АКОР) и затем аппроксимируется нечеткой системой. В работах [146, 187, 188] рассматривается система, в которой производится автоматическая динамическая коррекция параметров ПИД-регулятора сигналами, подаваемыми с систем нечеткого логического вывода, аппроксимирующих нелинейные операторы, полученных на основании принципа максимума. К недостаткам данного подхода относится следующее: найти оптимальное управление удается только в 41

простейшем случае, необходимо знать точную модель объекта управления, открытым остается вопрос о том каким образом аппроксимировать полученный оптимальный закон нечеткой системой, отсутствие каких либо гарантий качества синтезированной системы управления при изменении параметров объекта. Блоки нечеткого логического вывода представляют собой нелинейные звенья системы управления, поэтому целесообразно применить к такой системе методы, известные из традиционной нелинейной теории автоматического управления, и на основе результатов анализа выбрать наилучшую структуру и параметры системы. При этом получается гибридная технология, сочетающая как качественные принципы синтеза нечетких систем, так и количественные принципы традиционной теории управления [189, 190]. Анализ литературных источников показывает, что практически все универсальные методы исследования нелинейных систем управления сводятся к четырем подходам, достигшим своего наивысшего развития в 70-е годы прошлого века – см. табл. 1.1. В таблице кратко указаны достоинства и недостатки методов, а также приводятся ссылки на классические монографии с их описанием. Все указанные методы могут использоваться и для анализа систем с нечеткой логикой.

42

43

Наиболее приспособлен для получения аналитических методов алгоритм нечеткого логического вывода Такаги-Сугэно (Takagi-Sugeno), предложенный в работе [198] (см. также [55, 56]), этим и объясняется наибольшее количество работ, в которых рассматривается аналитическое исследование систем, использующих указанный алгоритм [199]. В работе [200] предложен критерий устойчивости нечетких систем управления с нечеткой с моделями Сугэно, в которых анализ устойчивости сводится к анализу устойчивости отдельных подсистем. Несмотря на свою простоту, данный метод дает возможность определить лишь небольшую часть истинной области устойчивости. Значительно лучший результат дает применение второго метода Ляпунова. Применение данного метода является наиболее распространенным среди других подходов. Приведем некоторые из современных работ относящиеся к этому направлению [201-209, 210]. Интерес представляют работы [120, 184-186], в которых динамически подстраиваются параметры нечеткого регулятора с целью обеспечить на каждом шаге переходного процесса отрицательность первой разности функции Ляпунова, т. е. выполнения достаточного условия устойчивости системы. Авторы указанных работ относят данную систему к адаптивным. В работах [211-213] предложено для исследования нечетких систем применять методы теории абсолютной устойчивости. Как известно, данные методы анализа при выполнении определенных условий позволяют получить области устойчивости системы не уже, чем с помощью второго метода Ляпунова с квадратичной функцией [191-193]. Целым рядом авторов предлагалось для анализа и синтеза систем с нечеткой логикой применять гармоническую линеаризацию (метод гармонического баланса) – см., например, [214, 215]. Достоинства этого подхода: простота и логическая прозрачность получаемого условия устойчивости. Однако и недостатки данного подхода хорошо известны. В отличие от простейших нелинейностей (насыщение, зона нечувствительности, люфт и т. п.), связь между параметрами для системы нечеткого логического вывода и ее гармонически линеаризованной передаточной функцией либо не может быть выражена в аналитическом виде, либо имеет очень сложный вид; громоздкость решения уравнения гармонического баланса (соизмеримая с затратами на численное моделирование системы); приближенность метода; необходимость выполнения гипотезы фильтра. Поэтому широкого распространения данный подход не получил.

44

Общими достоинствами методов синтеза нечетких систем управления основанных на аналитических методах исследования нелинейных систем относится гарантия заданных характеристик синтезируемой системы. Недостатки также представляются очевидными: необходимость иметь достаточно формализованную модель объекта управления, невысокая точность получаемых оценок, применимость только в относительно простых случаях. Несмотря на развитие методов синтеза систем управления с нечеткой логикой, основным методом синтеза, как и в первых моделях нечетких регуляторов, по-прежнему остается эмпирический синтез набора нечетких продукционных правил базы знаний и выбор алгоритма нечеткого вывода, с последующей настройкой параметров системы на реальном объекте управления или его модели путем имитационного моделирования различных режимов работы [83-87, 91, 93-97]. Достоинством такого метода является, во-первых, надежность (в смысле гарантированности свойств) получаемой системы, и, во-вторых, применимость при наличии самой общей информации об объекте управления (заметим, что при полном отсутствии такой информации нельзя экспертным путем сформировать базу знаний нечеткой системы, и система управления, в какой-то степени, становится подобна нейросетевой). Для настройки параметров нечеткого регулятора находят применение алгоритмы обратного распространения ошибки [216-219] и генетические алгоритмы [220-223]. Достаточно перспективным для настройки структуры нечетких регуляторов представляется использование алгоритмов самоорганизации, но данные алгоритмы в настоящее время еще мало развиты [164, 175]. По всей видимости, среди подходов к синтезу нечетких систем управления можно выделить, как перспективные для дальнейшего развития, методы, основанные на эмпирическом выборе продукционных правил нечеткого регулятора, аналитических методах традиционной теории автоматического управления и применении самоорганизующихся систем нечеткого логического вывода.

45

1.5. Задачи исследования Рассматривается обобщенная типовая структура замкнутой системы управления, состоящая из регулятора (Р) и объекта управления (ОУ), см. рис. 1.18.

Рис. 1.18. Обобщенная типовая структура замкнутой системы управления Под системой управления понимается пара:

S

S p , Sоу ,

(1.12)

где S p – регулятор, S оу – объект управления. В рамках методологии, используемой в теории автоматического управления, рассматривается не сама система управления, а некоторое ее описание на формальном языке – математическая модель (напомним, что система S m является моделью системы S , если S m изоморфна (в строгом или ограниченном смысле) или гомоморфна S [224]:

Sm где S p

m

и

m

S p , Sоу

m

,

(1.13)

m

S оу – математические модели S p и

S оу

соответственно. Ранее выделено три вида формального математического описания объектов управления: S оу

m klass

– описание в классическом

базисе дифференциальных или разностных уравнений, S оу

46

m neuro

–

описание в нейросетевом базисе и S оу

m fuzzy

– описание в нечетком

логическом базисе, т. е. в виде системы нечеткого вывода. Применение

описания

S оу

m fuzzy

позволяет

использовать

экспертную информацию об объекте управления качественного характера и в сочетании с технологиями обучения нечетких систем на основе экспериментальных данных представляется наиболее перспективным. Основной предпосылкой разработанной теории является представление математической модели системы в виде: m

Sm

S p , Sоу

m fuzzy

.

(1.14)

Основными задачами рассматриваемой теории являются: 1) задача анализа – определение характеристик системы по заданному математическому описанию ее элементов: m

S p , S оу

m fuzzy

Qm ,

(1.15)

m

где Q – множество характеристик системы управления; 2) задача синтеза – определение математической модели регулятора по заданным математическому описанию объекта управления и характеристикам системы:

S оу

m fuzzy

, Qm

m

Sp .

(1.16)

В качестве базовой для дальнейшего исследования принята замкнутая система управления с регулятором (Р) и объектом управления (ОУ) в виде обобщенной нечеткой модели (см. рис. 1.19).

47

Рис. 1.19. Структура САУ с объектом управления в виде ОНМДО В качестве допущений предполагается следующее: 1) “истинная” неизвестная модель объекта управления может быть представлена разностным уравнением (1.5) ( f ( ) – непрерывная и ограниченная на R n ( n l l1 1) нелинейная функция); 2) модель объекта управления задана в виде ОНМДО; 3) входной сигнал системы является x0 (t ) детерминированной непрерывной и ограниченной функцией времени; 4) выходной сигнал системы y (t ) измеряется без ошибок.

48

2. СИНТЕЗ СИСТЕМ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

С

НЕЧЕТКИМИ

МОДЕЛЯМИ

В настоящей главе приводятся разработанные алгоритмы синтеза регуляторов для систем управления с нечеткими моделями объектов управления. Глава написана по материалам работ автора [279 288]. 2.1. Синтез ПИД-регуляторов для объектов управления, заданных нечеткими моделями 2.1.1. Математическое описание ПИД-регулятора ПИД-регуляторы в настоящее время являются наиболее распространенными в связи с неплохими показателями качества управления для широкого класса объектов, а также простоте реализации и проектирования (алгоритм управления содержит всего три параметра) [6, 16]. В настоящем параграфе рассматривается алгоритм выбора параметров ПИД-регулятора в случае, если объект управления задан обобщенной нечеткой моделью. Применение ПИД-регуляторов в рассматриваемых системах управления обосновано возможностью, во многих случаях, обеспечения ими приемлемого качество управления, не прибегая к синтезу более сложных регуляторов. Рассмотрим структурную схему представленную на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Система управления с ПИД-регулятором Идеализированное уравнение ПИД-регулятора имеет вид:

u (t )

K e(t )

1 t e( ) d TI o

TD

de(t ) , dt

(2.1)

49

где K – коэффициент передачи, TI – постоянная интегрирования, TD – постоянная дифференцирования. Разностное уравнение ПИД-регулятора в нерекуррентной форме при применении для нахождения интеграла метода прямоугольников имеет вид:

ui

T0 TI

K ei

i

ek

TD ei T0

1

k 0

ei

,

1

(2.2)

где T0 – период квантования. На практике более широкое применение находят рекуррентные (так называемые “скоростные”) формы уравнения (2.2):

ui где q0

ui

1

q0ei

TD , q1 T0

K 1

q1ei

1

K 1 2

q2ei 2 ,

TD T0

(2.3)

T0 , q2 T1

K

TD . T0

Часто используются более сложные алгоритмы численного интегрирования и дифференцирования. В частности при применении интегрирования на основе метода трапеций разностное уравнение ПИДрегулятора в рекуррентной форме имеет вид:

ui где q0

K 1

T0 2TI

ui

1

q0ei

TD , q1 T0

q1ei

K 1 2

1

TD T0

q2ei 2 ,

(2.4)

T0 , q2 2T1

K

TD . T0

Для предотвращения больших изменений управляющего воздействия при резком изменении задающего сигнала иногда дифференциальную составляющую формируют из выходного сигнала системы, взятого с обратным знаком. Вместо уравнения (2.3) в данном случае будем иметь:

ui

ui

50

1

K ei

ei

1

T0 ei TI

1

TD ( yi T0

2 yi

1

yi 2 ) .

(2.5)

Частными случаями ПИД-регуляторов являются П-, И-, ПИ- и ПД-регуляторы, в которых отсутствует некоторые из составляющих [6]. В частности, отметим, что если объект не имеет самовыравнивания [289] т. е. выходной сигнал объекта содержит интегральную составляющую его входного сигнала, то применение регуляторов имеющих в законе управления интегратор (ПИ- и ПИД-регуляторы) зачастую приводит к неустойчивости системы управления. 2.1.2. Алгоритм синтеза ПИД-регулятора Разработано большое число алгоритмов выбора параметров ПИД-регуляторов [6, 289 - 291], либо исходя из параметров объекта управления, либо путем проведения экспериментов на системе с уже подключенным ПИД-регулятором. Данные методы основаны на предположении, что модель объекта имеет достаточно простой вид (в частности, линейное звено второго порядка) и в рассматриваемом случае неэффективны. Единственным универсальным методом является настройка параметров ПИД-регулятора путем решения задачи оптимизации показателя качества управления по указанным параметрам. Исходными данными для проектирования ПИД-регулятора являются: 1) статистика экспериментальных данных, полученных на объекте управления, в виде N пар значений ui , yi ; 2) модель объекта управления в виде обобщенной нечеткой модели динамического объекта с базой знаний из априорных правил, полученных экспертным методом; 3) критерий качества управления; 4) типовые входные и возмущающие сигналы. Алгоритм синтеза ПИД-регулятора состоит в реализации последовательности следующих шагов. Шаг 1. Проводится идентификация объекта управления на основе экспертных оценок и экспериментальных данных с помощью алгоритмов описанных в гл. 5. Результатом идентификации является обобщенная нечеткая модель ОУ. Шаг 2. (Дополнительный, может быть исключен.) На основе нечеткой модели объекта управления, полученной на предыдущем шаге, проводится анализ устойчивости системы, и выбираются параметры ПИД-регулятора для обеспечения требуемого запаса устойчивости системы. 51

Шаг. 3. Осуществляется имитационное моделирование системы управления с синтезируемым регулятором. Проводится настройка параметров ПИД-регулятора путем решения задачи оптимизации показателя качества управления по параметрам регулятора K , TI и TD при подаче на вход системы типовых входных сигналов и действии типовых возмущений:

I ( K , TI , TD )

K , TI , TD

min .

(2.6)

Рассмотрению показателей качества I ( ) посвящен параграф 2.1.3. Решение оптимизационной задачи (2.6) может быть осуществлено только численно. При этом хорошо себя показали поисковые алгоритмы локальной оптимизации (симплекс метод, метод Девидона-Флетчера-Пауэлла и д. р. [258, 259]). Для исключения возможности сходимости решения к точке локального минимума рекомендуется также запускать алгоритм несколько раз из случайных начальных точек. В особо сложных случаях могут применяться алгоритмы глобальной оптимизации (метод имитации отжига, генетические алгоритмы и др.) [56, 64, 243, 244, 292]. Шаг 4. Окончательная настройка параметров ПИД-регулятора непосредственно на объекте управления. Заметим, что данный этап может и отсутствовать, если на шаге 1 была получена качественная модель ОУ. По сравнению с непосредственной настройкой ПИД-регулятора на объекте управление применение предлагаемого алгоритма позволяет значительно уменьшить или вообще исключить специально организованные эксперименты на ОУ, проведение которых зачастую сопряжено со значительными техническими сложностями, материальными затратами или может быть вообще невозможно. 2.1.3. Выбор критерия качества системы управления В качестве критериев качества управления удобно использовать интегральные оценки качества [257, 293]. Приведем некоторые из указанных оценок. Простейшая квадратичная интегральная оценка для непрерывной системы:

52

Tпп

e(t ) 2 dt ,

I

(2.7)

0

и для дискретной системы – M

2 ek ,

I

(2.8)

k 1

где e x0 y – сигнал ошибки управления. Оценки (2.7) и (2.8) тем меньше, чем меньше площадь под 2

кривыми e(t ) и ek соответственно. Получили распространение так же интегральные квадратичные 2

оценки с функцией веса t s , где s 1, 2, ... (случай s распространен), для непрерывной системы:

1 наиболее

Tпп

t s e(t ) 2 dt ,

I

(2.9)

0

и для дискретной системы – M

2 k s ek .

I

(2.10)

k 1

Оценки (2.9) и (2.10) тем меньше, чем меньше момент s -го 2

порядка площади под кривыми e(t ) и ek соответственно. Улучшенная интегральная квадратичная оценка [257, 293], для непрерывной системы: 2

Tпп

I

e(t ) 2

2

0

de(t ) dt

2

dt ,

(2.11)

,

(2.12)

и для дискретной системы – M

I

ek

2

2

ek

2

k 1

53

характеризующие отклонение процессов в рассматриваемой системе от процессов в системах описываемых дифференциальным уравнением

dx dt

x 0 и разностным уравнением

xi

0 соответственно.

xi

Наибольшей общностью обладает квадратичная оценка отклонения от эталона, характеризующие отклонение процесса в рассматриваемой системе от эталонного, для непрерывной системы [293]: Tпп

I

2

e(t ) eэт (t ) dt ,

(2.13)

0

и для дискретной системы – M

I

ek

eэтk

2

,

(2.14)

k 1

где eэт (t ) и e эт k – сигналы эталонной системы для непрерывного и дискретного случая соответственно. Более сложной является построение критерия качества управления в случае, когда объект квазистационарен, но точная математическая модель объекта управления неизвестна. Выделим два случая: модель ОУ параметризуема по неизвестным параметрам и модель ОУ непараметризуема по неизвестным параметрам. 1. Модель ОУ можно параметризовать по неизвестным   параметрам p . О векторе неизвестных параметров p известно, что он



принадлежит некоторой области , т. е. p . Тогда можно воспользоваться методом, предложенным в работе [294] для непрерывных и [6] для дискретных систем. Область разбивается на ряд подобластей с номерами k (k 1, 2, ..., N ) . В каждой из этих подобластей определяется среднее значение параметров

 p k . Для

 p k путем имитационного моделирования может быть определено свое значение критерия I k . Общий критерий, по которому каждого

производится формулой:

54

настройка

параметров

регулятора,

определяется

N

I

k Ik

,

(2.15)

k 1 N

где

k

– весовые коэффициенты,

0, 1 ;

k

k

1.

k 1

2. Модель ОУ не может быть параметризована по вектору неизвестных параметров. Допустим известно N возможных моделей объекта управления Qk ( k 1, 2, ..., N ). Путем имитационного моделирования для каждой из указанных моделей могут быть определены значения критерия I k . Тогда результирующий критерий может быть определен по формуле (2.15). Часто известно, что объект управления является квазистационарным, но его математическая модель медленно эволюционирует. В этом случае можно поступить следующим образом. Имеется N пар значений ui , yi , которые разбиваются на N групп, каждая из который содержит по

Nk

пар значений

ui , yi

k

N

Nk

(

N ).

По

каждой

из

указанной

k -й

группе

k 1

последовательностей экспериментальных данных получается своя математическая модель ОУ Qk . Пример 2.1 Система управления уровнем воды в резервуаре (баке). Рассмотрим объект управления представляющий собой цилиндрический бак с водой, к которому подходят две трубы: сверху и снизу [63]. Верхняя труба, по которой вода поступает в бак, снабженная краном, с помощью которого можно регулировать подачу воды. Нижняя сливная труба, по которой вода вытекает из бака. Расход воды, вытекающей из бака, является неконтролируемым и зависит от диаметра нижней трубы и от текущего уровня воды в баке. Входным сигналом объекта управления является величина открытия затворки крана верхней трубы u (t ) , а выходным сигналом y (t ) – уровень воды в баке. Задача управления состоит в поддержание уровня воды в баке соответствующего управляющему сигналу x0 (t ) . Описанный объект управления с точки зрения его математического описания является динамическим и существенно нелинейным [63]. 55

Система управления описанным объектом реализована в системе MATLAB в файле sltank.mdl, по умолчанию находящимся в директории MATLAB\toolbox\fuzzy\fuzdemos (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2. Вид модели sltank.mdl Модель объекта управления реализована блоками Valve (кран) и Water tank (водяной бак). По умолчанию установлены следующие параметры объекта управления: Tank max inflow (максимальная скорость течения воды в верхней трубе) – 0.5, Height of tank (высота резервуара) – 2 м, Bottom area (площадь дна резервуара) – 1 м 2 , Out pipe crossection (диаметр нижней трубы) – 0.05 м 2 , Overflow sensor distance from top (расстояние датчика расположение датчика переполнения от верха резервуара), Initial level height (начальная высота уровня воды) – 0.5 м. В модели sltank.mdl реализованы системы управления с ПИДрегулятором, с передаточной функцией:

W pid ( p)

56

P I / p Dp /( Np 1) ,

(2.16)

(по умолчанию имеет параметры: P – Proportional (пропорциональная составляющая) – 2, I – Integral (интегральная составляющая) – 0, D – Derivative (дифференциальная составляющая) – 1, N – Derivative divisor (делитель производной) – 100) и система управления с нечеткими регуляторами. Нечеткие регуляторы выполнены в соответствии с эмпирическими представлениями об оптимальном управлении рассматриваемым объектом. Регулятор tank.fis имеет базу знаний, содержащую 5 продукционных правил вида: 1. 2. 3. 4. 5.

If (level is okay) then (valve is no_change). If(level is low) then (valve is open_fast) If (level is high) then (valve is close_fast). If (level is okay) and (rate is positive) then (valve is close_slow). If (level is okay and (rate is negative) then (valve is open_slow).

Регулятор tank2.fis продукционных правил вида:

имеет базу знаний, содержащую 4

1. If (level is low) then (valve is open_fast). 2. If (level is high) then (valve is close_fast). 3. If (level is good) and (change is rising) then (valve is close_slow). 4. If (level is good) and (change is falling) then (valve is open_slow). C видом нечетких переменных, ходящих в указанные нечеткие правила, можно ознакомиться открыв файлы tank.fis и tank2.fis в пакете расширения системы MATLAB Fuzzy Logic Toolbox. Для управления уровнем воды в резервуаре был проведен синтез ПИД-регулятора в соответствии с методикой приведенной в параграфе 2.1.2. Для идентификации объекта управления использовались сигналы, показанные на рис. 2.3, входной u (t ) (линия 1) и выходной

y (t ) (линия 2) соответственно.

57

Рис. 2.3. Сигналы для идентификации объекта управления Априорно предполагалось, что объект управления описывается инерционным звеном второго порядка, с передаточной функцией:

WОУ ( p)

5 . (1 2 p)(1 3 p)

(2.17)

Исходя из передаточной функции (2.17) используя методику, описанную в приложении, были сгенерированы 8 априорных правил. Для идентификации объекта управления использовался базовый нечеткий дополняющий алгоритм для динамических объектов на основе аппроксимации разностного уравнения (см. приложение). Для настройки параметров регулятора использовался интегральный квадратичный критерий качества (2.7). Результатом синтеза ПИД-регультора явились следующие значения его параметров: P=13 , I=0 D=9 N=100. На рис. 2.4 показаны переходные процессы в системе управления с нечеткими регуляторами, входящими в модель sltank.mdl (линия 1 – сигнал уставки, 2 – выходной сигнал системы с регулятором tank.fis, 3 – с регулятором tank2.fis).

58

Рис. 2.4. Процессы в системе с нечеткими регуляторами На рис. 2.5 показаны переходные процессы в системе управления с ПИД-регуляторами (линия 1 – сигнал уставки, 2 – выходной сигнал системы с ПИД-регулятором, имеющимся в модели sltank.mdl, 3 – с синтезированным регулятором).

Рис. 2.5. Процессы в системе с ПИД-регуляторами 59

Рис. 2.6 и рис. 2.7 аналогичны рис. 2.4 и рис.2.5, но получены при уменьшении параметра Out pipe crossection (поперечное сечение нижней трубы) с 0.05 м 2 до 0.025 м 2 .

Рис. 2.6. Процессы в системе с нечеткими регуляторами при уменьшении параметра Out pipe crossection в 2 раза

Рис. 2.7. Процессы в системе с ПИД-регуляторами при уменьшении параметра Out pipe crossection в 2 раза 60

Из приведенных результатов имитационного моделирования, а также других исследований, можно сделать вывод, что ПИД-регулятор, синтезированный согласно разработанной методике, достаточно эффективен при управлении уровнем воды в резервуаре. 2.2. Синтез нечетких регуляторов на основе принципов обратной динамики и самоорганизации Идея синтеза нечетких регуляторов на основе принципов обратной динамики и самоорганизации состоит в следующем. С помощью алгоритма самоорганизации нечетких систем строится модель обратного оператора объекта управления (выход объекта – вход модели, вход объекта – выход модели) – обратная нечеткая модель (ОНМ). Далее указанная обратная нечеткая модель объекта используется в качестве нечеткого регулятора в одной из САУ, представленных на рис. 2.8, что приводит к компенсации оператора объекта управления. Подобная идея используется в компенсационных регуляторах [6]. Принципиальное отличие предлагаемого метода состоит в применении для идентификации обратной динамики ОУ самоорганизующейся нечеткой системы. При идеальной компенсации ОНМ оператора ОУ входной и выходной сигналы системы на рис. 2.8,а связаны соотношением y(t ) x0 (t ) , а для схемы на рис. 2.8,б – y( p) x0 ( p) /(1 p ) .

61

а)

б) Рис. регулятором

2.8.

Система

управления

с

инверсным

нечетким

В системе со структурой, представленной на рис 2.8,а, оператор, реализуемый инверсным нечетким регулятором, имеет вид:

u (t )

Gинр e(t ) ,

(2.18)

выбирается исходя из выполнения соотношения:

y (t ) Gоу (u (t ))

Gоу Gинр (e(t ))

e(t ) ,

(2.19)

где Gоу ( ) – оператор, реализуемый объектом управления. Условно соотношение (2.19) может быть записано в виде: 1

Gинр ( ) Gоу ( ) .

62

(2.20)

Пользуясь правилами преобразования структурных схем [257], с учетом выражения (2.19), можно записать:

y(t )

1 x0 (t ) и y(t ) 2

x0 (t ) .

(2.21)

На практике, очевидно, обеспечить выполнение соотношений (2.19) и (2.20) можно только приближенно, вследствие чего приближенным будет также (2.21). Приведем алгоритм синтеза нечетких регуляторов. Исходными данными для синтеза являются: 1) статистика экспериментальных данных, полученных на объекте управления, в виде N пар значений ui , yi ; 2) модель обратной динамики объекта управления в виде обобщенной нечеткой модели с базой знаний из априорных правил, полученных экспертным методом. Определение 2.1. Под алгоритмом синтеза нечетких регуляторов на основе обратной динамики и самоорганизации (АОДС) будет пониматься процедура, состоящая в идентификации обратной динамики ОУ с применение нечеткого дополняющего алгоритма (см. приложение), с последующим применением полученной модели в качестве регулятора. Для построения модели удобно использовать нечеткий дополняющий алгоритм для динамических объектов на основе аппроксимации разностного уравнения (см. приложение). В частности, при использовании модели второго порядка разностное уравнение синтезированного регулятора имеет вид:

ui

( yi , yi 1, yi 2 ) .

(2.22)

Структура модели для данного случая показана на рис. 2.9, а структура регулятора на рис. 2.10.

63

Рис. 2.9. Схема обучения нечеткой модели обратной динамике ОУ

Рис. 2.10. Структура САУ, выполненной в соответствии с АОДС Перечислим достоинства синтеза нечетких регуляторов на основе АОДС. 1. Простота проектирования, на стадии проектирования необходимо выбрать лишь параметры алгоритма идентификации (рассмотрению данных вопросов посвящено приложение). 2. Относительно невысокий объем вычислений, необходимый для осуществления синтеза. Объясняется это отсутствием в алгоритме процедуры параметрической оптимизации. 3. Если об обратном операторе объекта управления имеется информация хотя бы качественного характера, она может быть 64

использована при идентификации, что значительно улучшает качество получаемой системы управления. 4. Возможность синтезировать нечеткий регулятор непосредственно по экспериментальным данным, полученным на объекте управления. Отметим недостатки, ограничивающие применение разработанного алгоритма. 1. Применим лишь для объектов управления имеющих обратный оператор. 2. Невозможность управления неустойчивым объектом. 3. Не гарантируются характеристики синтезированной САУ. 4. Входной сигнал системы должен быть гладкой функцией с ограниченной (достаточно малой) скоростью изменения. Данный факт объясняется следующим образом. Объект управления, обычно, представляет собой совокупность некоторых нелинейных инерционных звенья. В этом случае синтезируемый регулятор будет иметь ярко выраженные форсирующие свойства. При резком изменении входного сигнала системы, выходной сигнал регулятора будет принимать большие по амплитуде значения, при которых теряется условие компенсации, что в свою очередь приводит к переходному процессу с непредсказуемой (обычно, не удовлетворительной по качеству) динамикой.

Пример 2.2 Рассмотрим систему управления звеном робота. Движение звена робота-манипулятора описывается системой уравнений [34]:

d2y dt 2

k sin( )

f

dy u, dt

(2.23)

где y – угловое положение руки робота-манипулятора, k – коэффициент усиления, f – коэффициент трения, u – управляющее воздействие (момент, развиваемый двигателем). Целью является синтез системы управления с входом x0 и выходом y , имеющей динамические свойства наилучшим образом

65

соответствующие эталонной модели, описываемой дифференциальным уравнением:

d 2 yЭ dt 2

9 yЭ 6

dyЭ dt

xвх .

(2.24)

Модель указанной системы управления на основе нейронных сетей реализована в пакете MATLAB в файле mrefrobotarm.mdl, по умолчанию находящемуся в директории MATLAB\tolbox\nnet\nncontrol (см. рис. 2.11).

Рис. 2.11. Модель mrefrobotarm.mdl Описываемая нейросетевая система управления выполнена по схеме с нейроэмулятором и нейроконтроллером (см. параграф 1.1). В качестве нейронных сетей используются двухслойные персептроны. Более подробную информацию о модели mrefrobotarm.mdl можно получить в монографии [34] или в файлах прилагаемых к системе MATLAB. Для управления описанным роботом-манипулятором была синтезирована САУ с нечетким регулятор на основе АОДС.

66

На стадии идентификации обратной динамики объекта использовался обучающий сигнал u sin( 0.1t ) , t 0, 140 ; период дискретизации T0 0.1 ; модель второго порядка (см. рис. 2.9 и рис. 0.02 , 0.001 , 0, 2.10); параметры дополняющего алгоритма априорные нечеткие продукционные правила не задавались. Сгенерировано 1123 продукционных правила. Приведем оценку вычислительных затрат на синтез для двух методов. Наиболее просто это сделать, сравнив время необходимое на обучение нейронных сетей в одном случае и нечеткой системы в другом (см. табл. 2.1). Для эксперимента использовался компьютер класса AMD Athlon XP +1800. В нейросетевой САУ использовались все настройки установленные в файле mrefrobotarm.mdl по умолчанию. Таблица 2.1 Затраты машинного времени на синтез нейросетевой и нечеткой САУ

Время обучения модели ОУ Время обучения регулятора Общее время

Нейросетевая САУ 1 мин. 45 сек.

Нечеткая САУ –

8 мин. 35 сек

19 сек.

10 мин. 20 сек.

19 сек.

Для обеспечения возможности проведения сравнения качества управления на вход нечеткой системы нужно подавать не непосредственно входной сигнал, а сигнал с выхода эталонной модели (см. рис. 2.12).

0.4 sin( 0.1t ) 2 , t Базовые значения параметров объекта: k 10 , f 2 . Входной тестирующий сигнал: xвх

0, 50 .

67

Рис. 2.12. Структурная схема для проведения эксперимента

Рис. 2.13. Процессы на выходе эталонной модели, нейросетевой и нечеткой САУ На рис. 2.13 показаны процессы в системах: 1 – yЭ (t ) – сигнал эталонной модели; 2 – y НС САУ (t ) – выходной сигнал нейросетевой САУ; 3 – y НЕЧ САУ (t ) – выходной сигнал синтезированной нечеткой

68

САУ. Как следует из рис. 2.13, качество управление при примени нейросетевой и нечеткой САУ приблизительно соизмеримо. В тоже время, электромеханическим объектам свойственна нестабильность параметров, вызванная как изменением нагрузки, так и изменением трения. Пусть на 20 секунде коэффициент трения f скачком изменяется с f 2 до f 4 , т. е. увеличивается в два раза. На рис. 2.14 показан процесс на выходе эталонной модели (линия 1) и нейросетевой САУ (линия 2). На рис. 2.15 показан процесс на выходе эталонной модели (линия 1) и нечеткой САУ (линия 2).

Рис. 2.14. Процессы на выходе эталонной модели и нейросетевой САУ при изменении коэффициента трения f

69

Рис. 2.15. Процессы на выходе эталонной модели и нечеткой САУ при изменении коэффициента трения f

Из приведенных исследований можно сделать вывод, что в рассмотренной постановке нечеткий регулятор, синтезированный на основе АОДС, достаточно эффективен для управления звеном роботаманипулятора. 2.3. Синтез нечетких регуляторов с помощью нечеткого дополняюще-оптимизирующего алгоритма 2.3.1. Нечеткий дополняюще-оптимизирующий самоорганизации системы нечеткого вывода

алгортм

При построении оптимальных систем управления приходится решать задачи двух видов: синтез оптимальных алгоритмов управления (оптимальных управляющих воздействий) и синтез законов управления [295]. В настоящее время разработано большое количество различных алгоритмов численного решения указанных задач, которые базируются на классическом математическом аппарате [296]. Применение нечеткой логики в данных алгоритмах позволяет с одной стороны использовать априорную информацию об искомом решении, что повышает его 70

точность, и с другой стороны, получать результаты в виде продукционных правил “если – то”, которые затем легко интерпретировать, что дает возможность использовать данные алгоритмы в человеко-машинных системах (например, системах поддержки принятия управленческих решений) [55, 56]. Рассмотрим задачу синтеза системы нечеткого логического вывода реализующую функцию

y

 (x ) ,

(2.25)

которая обращает в минимум некоторый нелинейный  функционал I G ( ( x )) , заданный в общем случае неявно, т. е.

 G ( ( x ))

лишь

абстрактное

обозначение,

выражающее

 (x ) . Используя

принципиальную возможность определения I зная метод штрафных функций к данной задаче можно свести большинство задач с ограничениями [296]. Классическим алгоритмом решения указанной задачи является применение нечетких нейронных сетей, например, сетей Ванга-Менделя [55, 56]. При этом стандартные алгоритмы обучения, основанные на обратном распространении ошибки, в данном случае неприменимы, так как в общем случае неизвестен гессиан связи функционала I G ( ) и весов нечеткой сети. Кроме того, существенным недостатком традиционных нечетких сетей является необходимость априорного выбора числа продукционных правил [55, 56]. В данной ситуации можно применять алгоритмы наращивания сети (АН), в которых чередуются циклы обучения сети и добавления новых правил. Однако, как известно, алгоритмы наращивания сети работают крайне медленно [64]. Ниже рассмотрен алгоритм адаптации нечеткой нейронной сети, как представляется, свободный от указанных недостатков. Допустим, что о зависимости (2.25) имеется априорная информация, записанная в виде совокупности m0 нечетких продукционных правил вида: Пr: если х1 есть Аr1 и х2 есть Аr2 и … и хn есть Аrn, то у = уr,

71

где

r 1, 2, . . m . 0, – номер правила в базе знаний, x j  ( j 1, 2, ..., n ) – компоненты вектора х , Arj – некоторые нечеткие числа, имеющие функции принадлежности

rj ( x j )

.

Отметим, что данная априорная информация может и отсутствовать (при этом m0 0 ). Предположим далее, что может быть реализован эксперимент, заключающийся в определении значения функционала I

 I ( ( x )) при



(x ) . текущем виде зависимости y Алгоритм состоит в реализации последовательности следующих шагов. Шаг 0 (предварительный). Задается – погрешность нахождения минимума функционала и априорная база нечетких правил. Устанавливается текущее число правил в базе знаний m m0 . Шаг 1. Если формируемая база знаний пуста, переход к шагу 2, иначе с помощью алгоритма нечеткого вывода Сугэно (Sugeno) 0-го порядка, с использованием имеющихся продукционных правил, определяется оценка [55, 56]: m



m ( x)

yr r 1 m



r (x)

 r ( x)

,

(2.26)

r 1



где min r1 ( x1 ), r 2 ( x2 ), ... r ( x) истинности предпосылок r-го правила.



По оценке

m (x )

rn ( xn )

–

определяется значение функционала

степень

Im .

Шаг 2. База знаний пополняется правилом вида: Пm+1: если х1 есть А(m+1)1 и х2 есть А(m+1)2 и … хn есть А(m+1)n, то y

ym 1 , (2.27)

где

A( m

1), j

– нечеткие числа с треугольными функциями

принадлежности [55, 56]:

72

xj

1

( m 1) j ( x j )

a( m

1) j

, если x j

a( m

если x j

a( m

0, a( m По

1) j



a( m

аналогичной 1), n ,

ym 1 ,

(2.26)

( m 1),1 , ... ,

Настраиваются параметры a(m

1

1)1

( m 1) j 1) j

,

.

определяется

оценка

( m 1) n ) .

, … a( m

1) n

, ym 1 ,

(m 1)1 ,

…

, путем

Im

1) j

– центры нечетких чисел A( m

формуле

m 1 ( x , a( m 1)1 , ... ,

( m 1) n

( m 1) j ,

1) j

( m 1) j

I(

решения



m 1 ( x , a( m 1)1 , ... ,

a( m

оптимизационной 1), n ,

ym 1 ,

( m 1),1 , ... ,

( m 1) n ))

задачи:

min .

Для решения указанной задачи могут использоваться, как классические методы одноэкстремальной [258, 259] или многоэкстремальной оптимизации [243, 244], так и новые технологии, например, генетические алгоритмы [292]. Шаг 3. Проверяется неравенство:

Im Im

1

.

(2.28)

  I ( m ( x )) , I m 1 I ( m 1 ( x )) . Значение m модифицируется: m m 1 . где I m

При невыполнении неравенства (2.28) переход к шагу 2, иначе переход к шагу 4. Шаг 4. База знаний считается сформированной. В качестве окончательной берется база знаний, состоящая из m продукционных правил. В качестве оптимального значения функционала выбирается Im . Определение 2.2. Под нечетким дополняюще-оптимизирующим алгоритмом (ДОА) будет пониматься рассмотренный выше алгоритм самоорганизации системы нечеткого вывода.

73

По своей сути ДОА является эвристическим алгоритмом и может быть отнесен к группе так называемых “жадных” алгоритмов [297, 298]. Оценим эффективность дополняюще-оптимизирующего алгоритма по сравнению с алгоритмом наращивания нечеткой нейронной сети. Под эффективностью алгоритма будем понимать следующее:  пусть выделено N вычислений функционала I G ( ( x )) , более эффективен тот алгоритм, который за данные N вычислений даст  меньшее значение I G ( ( x )) . Напомним, что в алгоритме наращивания происходит оптимизация параметров всех нечетких продукционных правил базы знаний, затем добавление нового правила и снова оптимизация параметров всех правил [64]. Допустим, что объем вычислений при обучении нечеткой нейронной сети приблизительно прямо пропорционален числу настраиваемых параметров [56, 260]. Число вычислений функционала в алгоритме наращивания приблизительно определяется формулой: m

N AH

1 k n 2 k n ... m k n

kn r ,

(2.29)

r 1

где k – const, n – число настраиваемых параметров в одном продукционном правиле, m – число продукционных правил. Формулу (2.29) можно привести к виду:

N AH

kn

m2

m 2

.

(2.30)

Для дополняюще-оптимизирующего алгоритма, в соответствии с приведенным выше, при каждом добавлении нового продукционного правила оптимизируется только n параметров. Число вычислений для ДОА определяется формулой:

N ДОA 74

k nm .

(2.31)

На рис. 2.16 построены графики зависимостей, определенные по формулам (2.30) и (2.31) соответственно, для случая, когда k 1 и n 3.

Рис. 2.16. Зависимость числа вычислений для АН и ДОА от размера сформированной базы знаний Из рис. 2.16 видно, что ДОА требует значительно меньше вычислений по сравнению с АН. На практике приведенные оценки является лишь приближенными. Во-первых, база знаний сгенерированная с помощью ДОА, получается, обычно, больше чем при использовании АН, что несколько снижает эффективность ДОА. Во-вторых, с ростом числа переменных число вычислений растет, обычно, быстрее, чем линейная зависимость, что наоборот говорит в пользу эффективности ДОА. Рассмотрим иллюстрирующий пример.

75

Пример 2.3 Рассмотрение относительно простого примера объясняется невозможностью найти решение с помощью алгоритма наращивания для более сложного случая, и тем самым провести сравнение. Пусть имеется система, приведенная на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Структура системы На рис. 2.17 приняты следующие обозначения: M – амплитудноимпульсный модулятор с фиксатором нулевого порядка и периодом квантования T0 0.2 , НЭ – нелинейный элемент – статическая нелинейность, определяемая формулой:

y * (t ) .

z (t )

На вход системы подается сигнал:

sin t , t 0, t

x(t )

0, , .

Задача состоит в нахождении нелинейной функции y минимизирующей функционал: 2

I

e dt

(x) ,

min .

0

Для решения задачи использовались разработанный дополняющее-оптимизирующий алгоритм с e 0 и алгоритм наращивания нечеткой сети. В качестве алгоритма параметрической оптимизации применялся алгоритм Нелдера-Мида (Nelder-Mead) из пакета MATLAB 6.5 (R13) [299]. Для уменьшения вероятности сходимости процесса к локальному экстремуму алгоритм запускался 10

76

раз из случайно задаваемых начальных точек, с последующим выбором наилучшего решения. На рис. 2.18 показаны входной сигнал x (t ) и сигнал на выходе НЭ z (t ) (см. рис. 2.17) после окончания работы ДОА.

Рис. 2.18. Сигналы в системе после работы ДОА В результате работы продукционные правила вида: Пr: если x есть Ar , то y где r – номер правила, принадлежности вида:

1

r ( x)

алгоритмов

сгенерированы

yr ,

Ar – нечеткие числа с функциями

x ar r

0,

были

, если x ar если x ar

r, r

. 77

С помощью ДОА и АН, до выполнения условия останова, было сгенерировано 5 и 4 нечетких продукционных правила соответственно. Ниже приведены параметры нечетких продукционных правил сгенерированных с помощью ДОА:

a1 0,9408, a2 0,4932, a3 0,4690, a4 0,9682, a5 0,7852,

1 2 3 4 5

0,3181, y1 0,5476; 0,2259, y2 0,0221; 0,1320, y3 0,8053; 0,0664, y4 1,4022; 0,1027, y5 0,8936

и АН:

a1 1,0881, a2 0,0733, a3 0,0332, a4 0,7155,

1 2

3 4

0,7567 , y1 1,3421; 0,0672, y2 1,0338; 0,4553 , y3 0,0000; 0,4018, y4 0,2563.

Результаты моделирования сведены в табл. 2.2. Из табл. 2.3 видно, что при увеличении количества правил объем вычислений в алгоритме наращивания лавинообразно возрастает, что приводит к невозможности найти точку глобального минимума за выделенное число итераций, и обрыву процесса (выполнению критерия останова). В дополняюще-оптимизирующем алгоритме объем вычислений растет приблизительно линейно с ростом количества сгенерированных правил, что соответствует формуле (2.31).

78

Таблица 2.2 Число сгенерированных правил

АН I

ДОА N

I

N

1

0.0595

406

0.0595

406

2

0.0196

2079

0.0296

940

3

0.0193

4206

0.0259

1439

4

0.0185

9652

0.0118

1975

5

Процесс обрывается

0.0111

2403

На рис. 2.19 показаны зависимости значений функционала ( I АН – для АН и I ДОА – для ДОА) от числа его определений в процессе работы алгоритмов. Из рис. 2.19 видно, что при равном N , значения функционала при применении ДОА всегда меньше, чем при применении АН, что показывает преимущество разработанного алгоритма.

79

Рис. 2.19. Зависимость значений функционала от числа его определений в процессе работы алгоритмов для АН и ДОА Объединив дополняюще-оптимизирующий алгоритм с моделями построения динамических объектов, такими как, например, модели типа “авторегрессия – скользящее среднее” или обобщенная модель, можно решать динамические задачи оптимального управления. 2.3.2. Синтез нечетких регуляторов на основе дополняющеоптимизирующего алгоритма Рассмотрим систему со структурой регулятора представленной в виде обобщенной нечеткой модели динамического объекта (см. рис. 2.20).

80

Рис. 2.20. Структура САУ с регулятором в виде обобщенной нечеткой модели Исходными данными для синтеза являются: 1) статистика экспериментальных данных, полученных на объекте управления, в виде N пар значений ui , yi ; 2) модель объекта управления в виде обобщенной нечеткой модели с базой знаний из априорных правил, полученных экспертным методом; 3) критерий качества управления; 4) типовые входные и возмущающие сигналы; 5) модель регулятора в виде обобщенной нечеткой модели с базой знаний из априорных правил, полученных экспертным методом. Алгоритм синтеза состоит в реализации последовательности следующих шагов. Шаг 1. Проводится идентификация объекта управления на основе экспериментальных данных с помощью алгоритмов описанных в гл. 5. Шаг 2. (Дополнительный, может быть исключен.) На основе модели объекта управления и априорной модели регулятора проводится анализ устойчивости системы, и выбираются параметры нечеткого регулятора для обеспечения требуемого запаса устойчивости системы. Шаг. 3. Осуществляется имитационное моделирование разрабатываемой системы управления. Проводится настройка параметров синтезируемого нечеткого регулятора путем решения  задачи оптимизации показателя качества управления по параметрам p , при подаче на вход системы типовых входных сигналов и действии типовых возмущений:

 I ( p)

 p

min .

В качестве начальных значений параметров выбираются значения, полученные на предыдущем шаге. 81

Шаг 4. Самоорганизация структуры синтезируемого нечеткого регулятора с помощью нечеткого дополняюще-оптимизирующего алгоритма, используя в качестве исходной модель регулятора, полученную на предыдущих шагах. Шаг 5. Настройка параметров нечеткого регулятора,  полученного с помощью ДОА p1 , путем решения оптимизационной задачи:

 I ( p1 )

 p1

min .

В качестве начальных значений параметров выбираются значения, полученные на предыдущем шаге. Шаг 6. Окончательная настройка параметров синтезированного нечеткого регулятора непосредственно на объекте управления. В качестве начальных значений параметров выбираются значения, полученные на предыдущем шаге. Регулятор считается синтезированным. 2.3.3. Эмпирический синтез нечетких систем управления Исходными данными для синтеза нечеткого регулятора на основе ДОА является априорная модель регулятора (см. параграф 2.3.2). Указанная модель строится экспертным методом, исходя из эмпирических соображений, в частности о необходимом законе управления, который должен реализовывать регулятор. В настоящем параграфе рассмотрен принцип, позволяющий сравнивать между собой структуры нечетких регуляторов и тем самым внести формализм в их экспертный синтез, а так же предложены базовые структуры нечетких регуляторов, которые могут использоваться для широкого класса объектов управления. В литературе практически отсутствуют, какие либо формальные принципы составления нечетких продукционных правил для баз знаний нечетких регуляторов, за исключением, пожалуй, принципов полноты и непротиворечивости [55, 63]. Изложим кратко суть данных принципов. Требование полноты для системы с набором нечетких правил  типа "если x есть Ar , то y есть Br , r 1, 2, ..., m , сводится к выражению: 82

 x

m

 Supp Ar ,

(2.32)

r 1

где Supp Ar - носитель нечеткого множества Ar .  Содержательно это означает, что для каждого x существует хотя бы одно управляющее правило, посылка которого имеет  ненулевую степень принадлежности для x . Непротиворечивость системы управляющих правил чаще всего трактуется как отсутствие правил, имеющих сходные посылки и различные или взаимоисключающие следствия. При практическом осуществлении синтеза базы знаний нечетких регуляторов данных принципов оказывается явно недостаточно. Опыт проектирования нечетких логических регуляторов позволяет предложить еще один эмпирический принцип, являющийся обобщением известного принципа из теории моделирования – принцип минимальной сложности [300, 301]. Практически применение данного принципа означает следующее: если при синтезе структуры нечеткого регулятора субъект может выделить ее элемент, относительно которого нет данных, как данный элемент повлияет на качество управления, то данный элемент в синтезируемую структуру НЛР не включается. Можно привести большое количество в той или иной степени удачных примеров применения предложенного принципа, ввиду ограниченного объема настоящей работы приведем лишь один из них. Пример 2.4 Рассмотрим замкнутую САУ состоящую из нечеткого регулятора и объекта управления. Пусть необходимо осуществить стабилизацию объекта управления со значительным временным запаздыванием, имеющего передаточную функцию W ( p)

k e p , p(1 pT )

5 , T 1 , их возможные номинальные значения параметров k 1 , отклонения от номинальных значений – 50%, имеется ограничение на управляющее воздействие u (t ) 1 . Будем использовать нечеткие логические регуляторы шести типов. 83

Регулятор 1. Описывается набором нечетких продукционных правил: П1: если e "положительна", то u b , b, П2: если e "отрицательна", то u П3: если e "приблизительно равна нулю" и e "приблизительно равна нулю", то u 0 , П4: если e "положительна", то u b , b. П5: если e "отрицательна", то u где e – ошибка регулирования, e de(t ) / dt , b 0 – настраиваемый параметр; функции принадлежности соответствуют приведенным на рис. 2.21 с настраиваемым параметром a 0 (значения a , вообще говоря, принимаются разными: в функциях принадлежности для ошибки a a1 , а для ее производной a a 2 ).

Рис. 2.21. Функции принадлежности переменных "отрицательна" (N), "приблизительно равна нулю" (ZE), "положительна" (P) Четкое значение сигнала управления u определяется с помощью алгоритма Сугэно 0-го порядка (нечеткая импликация осуществляется операцией min, нечеткая композиция операцией max). Регулятор 2. Описывается набором правил: П1: если e "положительна" и e "приблизительно равна нулю", то u b , П2: если e "отрицательна" и e "приблизительно равна нулю", то u b, П3: если e "приблизительно равна нулю" и e "приблизительно равна нулю", то u 0 , 84

П4: если e "приблизительно равна нулю" и e "положительна", то

u

b,

П5: если e "приблизительно равна нулю" и e "отрицательна", то u b. Вид функций принадлежности и алгоритм нечеткого вывода такие же, как и у регулятора 1. Регулятор 3. Описывается набором правил: П1: если e "положительна" и e "приблизительно равна нулю", то u b , П2: если e "отрицательна" и e "приблизительно равна нулю", то u b, П3: если e "приблизительно равна нулю" и e "приблизительно равна нулю", то u 0 , П4: если e "приблизительно равна нулю" и e "положительна", то u b, П5: если e "приблизительно равна нулю" и e "отрицательна", то u b. П6: если e "положительна" и e " положительна ", то u 2b , 2b , П7: если e "отрицательна" и e " отрицательна ", то u П8: если e " отрицательна " и e "положительна", то u 0 , П9: если e " положительна " и e "отрицательна", то u 0 . Вид функций принадлежности и алгоритм нечеткого вывода такие же, как и у регулятора 1. Регулятор 4. Отличается от регулятора 1 тем, что нечеткая импликация осуществляется операцией алгебраического умножение нечетких множеств. Регулятор 4. Описывается набором нечетких продукционных правил: П1: если e "положительна", то u “управление положительное”, П2: если e "отрицательна", то u “управление отрицательное”, П3: если e "приблизительно равна нулю" и e "приблизительно равна нулю", то u “управление приблизительно нулевое”, П4: если e "положительна", то u “управление положительное”, П5: если e "отрицательна", то u “управление отрицательное”. Функции принадлежности нечетких переменных входящих в следствия правил приведены на рис. 2.22.

85

Рис. 2.22. Функции принадлежности нечетких переменных “управление отрицательное” (NC), “управление приблизительно нулевое” (ZC), “управление положительное” (PC) Для получения сигнала управления u используется алгоритм нечеткого вывода Мамдани с центроидным методом приведения к четкости [55, 56]. Регулятор 6. Отличается от регулятора 5 видом нечетких правил, которые имеют вид: П1: если e "положительна" и e "приблизительно равна нулю", то u “управление положительное”, П2: если e "отрицательна" и e "приблизительно равна нулю", то u “управление отрицательное”, П3: если e "приблизительно равна нулю" и e "приблизительно равна нулю", то u “управление приблизительно нулевое”, П4: если e "приблизительно равна нулю" и e "положительна", то u “управление положительное”, П5: если e "приблизительно равна нулю" и e "отрицательна", то u “управление отрицательное”. Проанализируем эффективность применения данных регуляторов с точки зрения принципа минимальной сложности. Регуляторы 1 и 4 имеют минимальный набор необходимых нечетких правил. При этом, не проводя специальных исследований нельзя отдать предпочтение, какому-либо виду алгоритму нечеткого вывода. Поэтому данные варианты с точки зрения рассматриваемого принципа можно считать эквивалентными. Регулятор 2 содержит продукционные правила, использующие операцию конъюнкция, при этом нет информации как такое усложнение 86

продукционных правил повлияет на качество управления, поэтому с точки зрения принципа минимальной сложности такой вариант уступает вариантам 1 и 4. Регулятор 3 имеет увеличенное количество продукционных правил, при этом отсутствует информация, как такое увеличение числа правил повлияет на качество управления, поэтому с точки зрения принципа минимальной сложности такой вариант так же уступает вариантам 1 и 4. Регуляторы 5 и 6 используют алгоритм нечеткого вывода Мамдани, который значительно сложнее вариантов 1 и 4, при этом отсутствует информация, как такое усложнение повлияет на качество управления, поэтому с точки зрения принципа минимальной сложности такой вариант так же уступает вариантам 1 и 4. Таким образом, при отсутствии информации о результатах моделирования наиболее предпочтительными вариантами являются 1 и 4. Приведем результаты имитационного моделирования рассматриваемых систем. Параметры регуляторов настраивались исходя

e2 (t )dt , при

из минимизации интегральной квадратичной ошибки I 0

отработке системой единичного ступенчатого воздействия и номинальных значениях параметров объекта. Качество функционирования систем (значение I) при различных значениях отклонений параметров объекта от номинальных % для различных типов регуляторов показано на рис. 2.23. На данном рисунке для сравнения также показана аналогичная зависимость для линейного пропорционально-дифференциального регулятора (PD).

87

Рис. 2.23. Зависимость интегральной квадратичной ошибки от отклонений параметров объекта Из рис. 2.23 видно, что для данного примера принцип минимальной сложности дает приемлемый для практики результат. Приведенный выше пример, а так же ряд других исследований позволяют предложить простейшие базовые структуры нечетких регуляторов, пригодные для построения САУ широким классом объектов управления. Указанные регуляторы могут использоваться, как непосредственно, так и являться исходными для работы алгоритма самоорганизации. Определение 2.4. Под базовым нечетким ПД-регулятором будет пониматься нечеткий регулятор с набором нечетких продукционных правил: П1: если e "положительна", то u b , b, П2: если e "отрицательна", то u П3: если e "приблизительно равна нулю" и e "приблизительно равна нулю", то u 0 , П4: если e "положительна", то u b , b, П5: если e "отрицательна", то u

88

e – ошибка регулирования, e

de ; dt

функциями принадлежности нечетких переменных вида, представленного на рис. 2.21 и выходным сигналом, определяемым посредством алгоритма нечеткого вывода Сугэно с агрегацией входных переменных с помощью операции умножение, согласно формуле:

u (e, e)

b ( N ( e)

N ( e) P ( e)

P ( e)

) N (e

) N (e ) P (e

)) P (e Z ( e)

) Z (e

.

(2.33)

Определение 2.5. Под базовым нечетким ПИ-регулятором будет пониматься нечеткий регулятор с набором нечетких продукционных правил: П1: если e "положительна", то u b , b, П2: если e "отрицательна", то u П3: если e "приблизительно равна нулю" и ie "приблизительно равна нулю", то u 0 , П4: если ie "положительна", то u b , b, П5: если ie "отрицательна", то u t

где e – ошибка регулирования, ie

e( ) d ; 0

функциями принадлежности нечетких переменных вида, представленного на рис. 2.24 и выходным сигналом, определяемым посредством алгоритма нечеткого вывода Сугэно с агрегацией входных переменных с помощью операции умножение, согласно формуле:

u (e, ie)

b ( N ( e)

N ( e) P (e)

P (e) N (ie )

N (ie ) P (ie )

P (ie )) Z ( e)

Z (ie )

.

(2.34)

89

Рис. 2.24. Функции принадлежности переменных "отрицательна" (N), "приблизительно равна нулю" (ZE), "положительна" (P) для базового нечеткого ПИ-регулятора Используя дискретные схемы вычисления производных и интегралов можно получить дискретные аналоги базовых нечетких ПДи ПИ-регуляторов, аналогично тому, как это делается для линейных ПИД-регуляторов [6]. Приведем пример, в котором базовый нечеткий ПД-регулятор сравнивается с регулятором, полученным на основе теории оптимальных систем управления. Пример 2.5 [285]. Пусть объект управления описывается передаточной функцией

W ( p)

k , где k - коэффициент "усиления" объекта. p2

Проведем сравнение обычного (четкого) и нечеткого регуляторов для данного объекта на примере задачи максимального быстродействия (обеспечения минимальной длительности переходного процесса системы при входном сигнал вида единичного скачка, т.е.

y * (t ) 1(t ) , при ограничении на управляющий сигнал: u (t )

1.

Решение такой задачи для обычного регулятора известно (см., например, [302]). Структура регулятора, при которой обеспечивается максимальное быстродействие (для значения k = 1 с-2) приведена на рис. 2.24.

90

Рис. 2.24. Структура "четкого" регулятора в задаче о максимальном быстродействии Настройка параметров a1, a2, b в базовом нечетком ПДрегуляторе выполнялась путем минимизации критерия

e(t ) t dt . Результаты имитационного эксперимента –

I (a1, a 2, b) 0

зависимость длительности переходного процесса tпп в замкнутой системе от значения параметра k - приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

k tпп для системы с оптимальным (четким) регулятором, с tпп для системы с базовым нечетким ПДрегулятором, с

0.90

0.23

1.72

0.95

0.97

2

1

0.68

0.67

1

1

1.70

1.70

1.00 1 0.69 1 1.69

1.03 1

1.05 1

0.68 1 1.68

1.10 1

0.65 1

1 0.63

1 1.69

1 1.70

91

Как видно из приведенных результатов, tпп для системы с нечетким регулятором практически не изменяется при значительном изменении параметра объекта, т. е. такая система по отношению к обычной "оптимальной" является гораздо более робастной. 2.3.4. Примеры синтеза нечетких САУ на основе дополняющеоптимизирующего алгоритма В данном разделе приводятся примеры показывающие возможности предложенного метода синтеза нечетких регуляторов на основе ДОА. Пример 2.6 Рассмотрим систему управления электроприводом постоянного тока. Объект управления и нечеткий регулятор представлены в виде обобщенных нечетких моделей, как это показано на рис. 2.25.

Рис. 2.25. Структура системы управления электроприводом постоянного тока На рис. 2.25 под блоком М понимается амплитудноимпульсного модулятора с фиксатором нулевого порядка, описываемый уравнением:

e* (t ) e(ti ) при t 92

ti , ti

1

,

где t k

i T0 – моменты времени срабатывания модулятора, i 0, 1, 2, ... – номера дискретных моментов времени, T0 0.1 – период работы модулятора. Блоки нечеткого логического вывода БНВ 1 и БНВ 2 регулятора и объекта управления соответственно, реализуют алгоритм нечеткого вывода Сугэно 0-го порядка. База знаний БНВ 1 регулятора получена экспертным методом и имеют вид:

П1 : если e* есть P, то u 1, П 2 : если e* есть N , то u

1,

П3 : если e есть P, то u 1, П4 : если e есть N , то u 1, П 5 : если e* есть Z и e есть Z , то u

0,

где e ei ei 1 . Функции принадлежности нечетких переменных N, Z и P имеют вид, показанный на рис. 2.21. По сути, регулятор представляет собой дискретный аналог базового нечеткого ПД-регулятора. База знаний для БНВ 2 объекта управления содержит следующие продукционные правила:

П1 : если u "приблизительно 2", y 1 "приблизительно 2", y 2 "приблизительно 2", то y

2,02;

П 2 : если u "приблизительно 2", y 1 "приблизительно 2", y 2 "приблизительно 2", то y 5,58; П3 : если u "приблизительно 2", y 1 "приблизительно 2", y

2

"приблизительно 2", то y

5,62;

П 4 : если u "приблизительно 2", y 1 "приблизительно 2", y 2 "приблизительно 2", то y

1,98;

93

П5 : если u "приблизительно 2", y 1 "приблизительно 2", y 2 "приблизительно 2", то y 1,98; П6 : если u "приблизительно 2", y 1 "приблизительно 2", y 2 "приблизительно 2", то y 5,62; П7 : если u "приблизительно 2", y 1 "приблизительно 2",

y 2 "приблизительно 2", то y 5,58; П8 : если u "приблизительно 2", y 1 "приблизительно 2", y

2

"приблизительно 2", то y

2,02.

Функции принадлежности нечетких переменных “приблизительно -2” и ”приблизительно 2” имеют треугольный вид:

( x)

1 0,

x c

, если x c

4,

если x c

4,

(2.35)

2 и c 2 для “приблизительно -2” и с параметрами c ”приблизительно 2” соответственно. В качестве показателя качества системы управления

e2 (t )dt при

рассматривается интегральная квадратичная ошибка I 0

подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия x0 10 (t ) . Имитационное моделирование системы, у которой нечеткий логический регулятор определен описанными выше пятью правилами, выявило следующий результат: I 3, 829 . Затем был выполнен синтез нечеткого регулятора в соответствии с описанным алгоритмом на основе ДОА. Априорная база знаний взята та же, что и для первого случая. Параметр точности 0, 01 . Добавляемые правила имеют вид:

94

если e* есть Аe r и если где Ae , r и A

e есть А

er

, то u u r .

– нечеткие числа с треугольными функциями

e, r

принадлежности [55, 56]:

1

e r (e)

e ce r

, если e ce r если e ce r

0,

er (

r,

и

r

e ce r

1

e)

, если

e ce r

r

r,

r

если

0,

e ce r

r

соответственно. Оптимизировались следующие параметры добавляемых правил: центры функций принадлежности c e r , c e r ; следствия правил ur ; общий разброс r для обеих функций принадлежности. В результате работы алгоритма самоорганизации получены следующие результаты: всего правил вместе с априорными m=8; параметры добавленных продукционных правил: ce 6 5,0741 , c e 6 3,6982 , 6 5,0471, u6 1,4509 ;

ce 7 ce 8

4, 8376 , c

e7

5, 4356 , c

e8

3, 9962 , 5,7333 ,

4, 8256 , u7

7 8

5, 5907 , u8

9, 4798 ; 5, 4478 ;

значение интегральной квадратичной ошибки I 0,778 , что почти в 5 раза меньше, по сравнению с исходной системой. На рис. 2.26 показаны графики процессов в исходной системе, с неоптимизированным регулятором (1 – сигнал уставки, 2 – выходной сигнал системы, 3 – сигнал ошибки регулирования). На рис. 2.27 показаны графики процессов в синтезированной систем.

95

Рис. 2.26. Процессы в системе управления электроприводом с исходным регулятором

Рис. 2.27. Процессы в системе управления электроприводом с синтезированным нечетким регулятором

96

Для сравнения укажем, что при использовании оптимально настроенного ПИД-регулятора интегральная квадратичная ошибка составляет I 0.89 . По результатам исследований можно сделать вывод, что применение нечеткого регулятора, синтезированного на основе ДОА, для управления электроприводом, в рассмотренной постановке достаточно перспективно. Пример 2.7 Рассмотрим систему управления магнитной подушкой. Схематичное изображение магнитной подушки показано на рис. 2.28.

Рис. 2.28. Схема магнитной подушки Магнитная подушка состоит из движущегося элемента, являющегося постоянным магнитом, который перемещается в вертикальном направлении в магнитном поле электромагнита. Входным сигналом объекта является ток в обмотке электромагнита i (t ) , выходным – расстояние между магнитом и электромагнитом y (t ) .

Задача управления: поддержание заданного

значения y (t ) . Динамика объекта дифференциальным уравнением [34]:

описывается

нелинейным

97

d 2y (t ) dt 2 где g

g

i 2 (t ) M y (t )

d y (t ) , M dt

9.8 м/c 2 – ускорение свободного падения в поле силы тяжести,

– константа, зависящая от свойств магнита и электромагнита, – коэффициент трения, M – масса постоянного магнита. Имеется ограничение на управляющий сигнал: 1 i(t ) 4 . Для управления магнитной подушкой используется 4 типа систем управления. 1. САУ с нейросетевым регулятором, на основе предварительного непосредственного обучение [16, 34]. Модель данной системы реализована в системе MATLAB в файле narmamaglev.mdl, по умолчанию находящимся в директории MATLAB\tolbox\nnet\nncontrol (см. рис. 2.29).

Рис. 2.29. Модель narmamaglev.mdl САУ в данном случае содержит одну нейронную сеть, выполняющую функции регулятора, которая предварительно обучается

98

выдавать необходимые управляющие сигналы. Используются все настройки в фале narmamaglev.mdl по умолчанию. Более подробную информацию о модели narmamaglev.mdl можно получить в монографии [34] или в файлах, прилагаемых к системе MATLAB. 2. Нейросетевая система с предсказанием [16, 34]. Модель данной системы реализована в системе MATLAB в файле predball.mdl, по умолчанию находящимуся в директории MATLAB\tolbox\nnet\nncontrol (см. рис. 2.30).

Рис. 2.30. Модель predball.mdl В данном случае с помощью нейронной сети предварительно создается модель объекта управления. На стадии управление на каждом шаге находится управляющее воздействие минимизирующее функцию:

N2

J

yr (t

j)

ym (t

j N1

j)

2

Nu

u (t

j 1) u (t

j

2 2) ,

j 1

(2.36)

N1 , N2 и Nu – задают пределы, внутри которых вычисляется ошибка

слежения

и

мощьность

управляющего

сигнала,

u

– 99

управляющий сигнал, yr и ym – желаемая и истинная реакция модели управляемого процесса. Используются все настройки в фале predball.mdl по умолчанию, за исключением параметра (см. формулу), который выбран равным 0, т. е. ограничение на мощность входного сигнала отсутствует. Более подробную информацию о модели predball.mdl можно получить в монографии [34] или в файлах, прилагаемых к системе MATLAB. 3. Нечеткий регулятор, выполненный в соответствии с принципом динамической коррекции. В данном случае паромеры нечеткого регулятора корректируются в оперативном режиме с целью обеспечения выполнения на каждом шаге условия устойчивости, согласно второму методу Ляпунова. Система управления заимствована из работ [120, 184]. 4. Нечеткий регулятор, синтезированный на основе нечеткого дополняюще-оптимизирующего алгоритма. На рис. 2.31 показана структурная схема системы с нечетким регулятором, синтезированным на основе ДОА.

Рис. 2.31. Структура синтезированная на основе ДОА

100

САУ

магнитной

подушкой,

Априорные правила БНВ аналогичны используемым в базовом нечетком ПД-регуляторе, при следующих значениях параметров: a1 a2 b 100 . Добавляемые правила имеют вид: если e есть Аe r и если e есть Аe r , то u u r . где

Ae , r и Ae , r – нечеткие числа с треугольными функциями

принадлежности [55, 56]:

e ce r

1

e r (e)

, если e ce r если e ce r

0,

1

) e r (e

r,

и

r

e ce r

, если e ce r

r

r,

r

если e ce r

0,

r

соответственно. Параметры добавленных продукционных правил:

ce 6

100 , ce 6

100 ,

ce 7

100 , ce 7

0,

ce 8

100 , ce 8

100 ,

ce 9

0 , ce 9

100 ,

9

ce10

0 , ce10

100 ,

10

100 , u6

6

100 , u7

7 8

ce11

100 , ce11

100 ,

ce12

100 , ce12

0,

ce13

100 , ce13

100 ,

22000 ;

25000 ;

100 , u8

29000 ;

100 , u6

3000 ;

100 , u7

4000 ;

11

100 , u11

100 , u12

12 13

100 , u13

28000 ;

25000 ; 22000;

На рис. 2.32 показаны переходные процессы в системах при базовых значениях параметров объекта и применении различных регуляторов (1 – задающее воздействие; 2 – выходной сигнал в 101

нейросетевой САУ на основе предварительного непосредственного обучения; 3 – выходной сигнал в нейросетевой САУ с предсказанием; 4 – выходной сигнал в нечеткой САУ на основе динамической коррекции; 5 – выходной сигнал в нечеткой САУ, синтезированной на основе ДОА).

Рис. 2.32. Переходные процессы в системах управления магнитной подушкой при применении различных регуляторов На рис. 2.33 показан процесс в системах при

уменьшении

ускорения свободного падения в 6 раз: с g 9.8 м/c до g 1.63 м/c (такое изменение g может наблюдаться в самолете, совершающем сложный маневр). 2

102

2

Рис. 2.33. Переходные процессы в системах управления магнитной подушкой при применении различных регуляторов при

g 1.63 м/c 2 На рис. 2.34 показаны переходные процессы в системах при 12 до 18 . увеличении коэффициента трения в 1.5 раз: с

103

Рис. 2.34. Переходные процессы в системах управления магнитной подушкой при применении различных регуляторов при

18 Приведенные результаты имитационного моделирования показывают, что нечеткая система управления магнитной подушкой, синтезированная на основе ДОА, обеспечивает лучшие показатели качества управления по сравнению с САУ, выполненными с применением других методов. Пример 2.8 Рассмотрим систему управления процессом в химическом каталитическом реакторе с непрерывным перемешиванием. Схематичное изображение объекта управления показано на рис. 2.35 [34].

104

Рис. 2.35. Схематичное изображение химического реактора Входным сигналом объекта управления является w2 (t ) – скорость потока разбавленного продукта с концентрацией

Cb 2 , а

выходным сигналом Cb – концентрация продукта на выходе реактора. Динамика процессов протекающих в химическом реакторе описывается системой нелинейных уравнений:

dh dt d Cb dt

(Cb1

Cb )

w1 w1 h

w2 (t ) 0.2 h , (Cb 2

Cb )

w2 (t ) h

k1Cb , (1 k 2 Cb ) 2

где h – уровень жидкости в резервуаре, w1 – скорость пока продукта с концентрацией Cb1 . По умолчанию приняты следующие параметры модели: Cb1 29.4 , Cb 2 0.1, k1 k2 1 , w1 0.1 . Нейросетевая система управления с предсказанием для описанного химического реактора реализована в системе MATLAB в файле predcstr.mdl, по умолчанию находящимуся в директории MATLAB\tolbox\nnet\nncontrol (см. рис. 2.36).

105

Рис. 2.36. Файл predcstr.mdl В данном случае с помощью нейронной сети предварительно создается модель объекта управления. На стадии управление на каждом шаге находится управляющее воздействие минимизирующее функцию (2.44). Используются все настройки в фале predcstr.mdl по умолчанию, за исключением параметра (см. формулу (2.44)), который выбран равным 0, т. е. ограничение на мощность входного сигнала отсутствует. Более подробную информацию о модели predcstr.mdl можно получить в монографии [34] или в файлах, прилагаемых к системе MATLAB. Для управления химическим реактором была синтезирована нечеткая САУ на основе нечеткого дополняюще-оптимизирующего алгоритма, структура которой показана на рис. 2.37.

106

Рис. 2.37. Структура нечеткой САУ химическим реактором Априорные правила БНВ аналогичны используемым в базовом нечетком ПИ-регуляторе, при следующих значениях параметров: a1 a2 4, b 10 . Добавляемые правила имеют вид:

если e есть Аe r и если ie есть Аie r , то u где

ur .

Ae , r и Aie, r – нечеткие числа с треугольными функциями

принадлежности [55, 56]:

1

e r (e)

e ce r

, если e ce r если e ce r

0,

ie r (ie )

r,

и

r

1

ie cie r

, если ie cie r

r

r,

r

если ie cie r

0,

r

соответственно. Параметры добавленных продукционных правил:

ce 6

4 , cie 6

4,

6

4 , u6

1200 ; 107

ce 7

4 , cie 7

0,

7

4 , u7

1200 ;

ce 8

4 , cie8

4,

8

4 , u8

1200 ;

4 , u6

20 ;

ce 9

0 , cie 9

4,

9

ce10

0 , cie10

4,

10

ce11

4 , cie11

ce12

4 , cie12

0,

12

4 , u12 1200 ;

ce13

4 , cie13

4,

13

4 , u13 1200 .

4,

11

4 , u7

20 ;

4 , u11 1200 ;

На рис. 2.38 показаны переходные процессы в системах управления химическим реактором при базовых значениях параметров (1 – входное задающее воздействие, 2 – выход нейросетевой САУ, 3 – выход синтезированной нечеткой САУ).

Рис. 2.38. Приходные процессы в нейросетевой и нечеткой САУ химическим реактором

108

На рис. 2.39 показаны переходные процессы в нейросетевой и нечеткой САУ химическим реактором при скачек параметра w1 на 30-й секунде с w1

1 до w1 1.05 .

Рис. 2.39. Переходные процессы в нейросетевой и нечеткой САУ химическим реактором при скачек параметра w1 на 30-й секунде с w1

1 до w1 1.05

Из приведенных результатов имитационного моделирования можно заключить, что синтезированная нечеткая система управления имеет более высокие показатели качества управления по сравнению с нейросетевой.

109

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Рассмотрены основные подходы к построению систем управления в условиях неопределенности математического описания объекта управления: ПИД-управление, адаптивное управление, нейросетевое управление и нечеткое управление. Отмечается, что ПИДуправление не всегда может обеспечить необходимое качество управления; классические адаптивные системы управления отличаются значительными сложностями, возникающими на этапе синтеза законов адаптации, кроме того, требуют выполнения квазистационарности объекта управления по сравнению со временем обучения; нейросетевые системы управления получают всю информацию об объекте управления в процессе обучения, вследствие чего время обучения часто оказывается неприемлемо длительным, нечеткие системы управления позволяют использовать экспертную информацию об объекте управления качественного характера и в сочетании с другими технологиями управления являются наиболее перспективными. 2. Предложена обобщенная нечеткая модель динамического объекта, с помощью которой могут быть формально описаны как большинство односвязных динамических объектов управления с сосредоточенными параметрами встречающиеся на практике, так и многие математические модели объектов управления, рассматриваемые в научных работах по нечеткому управлению: линейные модели динамических объектов, нелинейные модели, записанные в виде разностных уравнений, нечеткие комплексные модели с локальными линейными подмоделями и др. 3. Рассмотрены подходы к идентификации нечетких обобщенных моделей, позволяющие сочетать, как экспертную информацию качественного характера в виде нечетких продукционных правил, так и данные полученные экспериментально. В качестве перспективного для дальнейшей разработки выбран подход, основанный на самоорганизации системы нечеткого логического вывода, путем последовательного добавления продукционных правил при выполнении определенных условий. 4. Рассмотрены подходы к синтезу нечетких регуляторов. Выделены, как перспективные для дальнейшего развития, методы, основанные на эмпирическом выборе продукционных правил нечеткого контроллера, традиционной теории автоматического управления и применении самоорганизующихся систем нечеткого логического вывода. 110

5. Для систем управления с нечеткими моделями объектов управления разработан алгоритм синтеза ПИД-регуляторов. Основными этапами указанного алгоритма являются: синтез нечеткой модели объекта управления экспертным методом, идентификация объекта управления с помощью нечеткого дополняющего алгоритма, выбор параметров регулятора, удовлетворяющих требованиям устойчивости системы, оптимизация параметров регулятора в с соответствии требуемым показателем качества управления. 6. Предложен алгоритм синтеза нечетких логических регуляторов, на основе принципов обратной динамики и самоорганизации, состоящий в построении инверсной модели объекта управления с помощью самоорганизующейся нечеткой системы и последующим использованием указанной нечеткой системы в качестве регулятора. Достоинствами метода является возможность использования экспертной информации качественного характера об объекте управления, относительно малый объем необходимых вычислений, возможность синтеза регулятора непосредственно по экспериментальным данным, полученным на объекте управления без использования дополнительной процедуры идентификации. 7. Разработан эмпирический принцип синтеза нечетких логических регуляторов – принцип минимальной сложности, распространяющий на нечеткие системы управления аналогичный принцип, известный из теории моделирования. На основе этого принципа предложены базовые нечеткие логические регуляторы, применимые для построения систем управления широким классом объектов. 8. Предложен нечеткий дополняюще-оптимизирующий алгоритм самоорганизации системы нечеткого логического вывода, предназначенный для решения задач оптимизации функционалов, в том числе заданных неявно, при наличии экспертной информации качественного характера об искомом решении. Алгоритм относится к разновидности “жадных” алгоритмов и отличается пониженным объемом вычислений, необходимых на решение задачи по сравнению, например, с алгоритмом последовательного наращивания нечеткой нейронной сети. Разработан алгоритм синтеза нечетких регуляторов на основе дополняюще-оптимизирующего алгоритма, для систем управления с нечеткими моделями объектов управления. Основными этапами указанного алгоритма являются: синтез нечеткой модели объекта управления экспертным методом, идентификация объекта управления с помощью нечеткого дополняющего алгоритма, эмпирический синтез нечеткого регулятора, выбор параметров 111

регулятора, удовлетворяющих требованиям устойчивости системы, самоорганизация базы знаний регулятора с помощью нечеткого дополняюще-оптимизирующего алгоритма. 9. Приведены примеры синтеза систем управления как для абстрактных объектов, заданных свом математическим описанием, так и для конкретных объектов управления, таких, как уровень воды в резервуаре, звено робота-манипулятора, электромагнитная муфта, химический реактор. Путем имитационного моделирования проведено сравнение использования известных для указанных объектов САУ (на основе ПИД-регуляторов, нечетких регуляторов, нейронных сетей) с САУ, выполненными в соответствии с разработанными алгоритмами; показаны преимущества последних.

112

ЛИТЕРАТУРА 1. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1987. 2. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратных связей. Управление при неопределенности. М.: Наука. Физматлит, 1997. 3. Интеллектуальные системы автоматического управления / Под. ред. И.М.Макарова, В.М.Лохина. М.: Физматлит, 2001. 4. Круг Е.К., Александриди Т.М., Дилигенский С.Н. Цифровые регуляторы. М.-Л.: Энергия, 1966. 5. Ротач В.Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. М.: Энергия, 1973. 6. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984. 7. Gene F., Powell D., Emami-Naeine A. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley Publishing Company, 1987. 8. Филипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 9. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа, 1989. 10. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 11. Катков М.С. Непрерывные системы адаптивного управления с идентификаторами. М.: Мир книги, 1992. 12. Козлов Ю.М. Адаптация и обучение в робототехнике. М.: Наука, 1990. 13. Павлов Б.В., Соловьев И.Г. Системы прямого адаптивного управления. М.: Наука, 1989. 14. Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Энергоатомиздат, 1987. 15. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990. 16. Омату С., Халид М., Юсоф Р. Нейроуправление и его приложения. Кн.2 / Общая ред. А.И.Галушкина. М.: ИРПЖР, 2000. 17. Rad A.B., Gawthrop PJ. Explicit PID self-tuning control for systems with unknown time-delay // Proc. of IFAC Int. Symposium on Intelligent Tuning and Adaptive Control. Singapore, 1991. 18. Soderstrom T, Stoica P. System Identification. Prentice-Hall. London, 1989. 19. Astrom KJ., Wittenmark B. Adaptive Control. AddisonWesley. New York, 1989. 113

20. Ydstie B. Extended horizon adaptive control // Proc. of 9 th IFAC World Congress. Budapest. Hungary. 1984. 21. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности / Г.К.Вороновский, К.В.Махотило, С.Н.Петрашев, С.А.Сергеев. Харьков: Основа, 1997. 22. Алиев Р.А., Алиев Р.Р. Теория интеллектуальных систем. Баку: Чашигоглу. 2001. 23. Васильев В.И., Ильясов Б.Г. Интеллектуальные системы управления с использованием нечеткой логики. Учебное пособие. Уфа: УГАТУ, 1995. 24. Девятков В.В. Системы искусственного интеллекта. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. 25. Комарцова Л.Г. Максимов А.В. Нейрокомпьютеры. М.: Издво МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. 26. Интеллектуальные системы управления с использованием нейронных сетей. Учебное пособие / В.И.Васильев, Б.Г.Ильясов, С.В.Валеев, С.В.Жернаков. Уфа: УГАТУ, 1997. 27. Интеллектуальное управление производственными системами / С.Т.Кусилов, Б.Г.Ильясов, Л.А.Исмаилова, Р.Г.Васильева. М.: Машиностроение, 2004. 28. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Под ред. Н.Д. Егупова. М: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. 29. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под общ. ред. К.А.Пупкова. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. 30. Современная прикладная теория управления / Под ред. А.А.Колесникова. В 3-х частях. Таганрог: Издательство ТРТУ, 2000. 31. Усков А.А., Круглов В.В. Интеллектуальные системы управления на основе методов нечеткой логики. Смоленск: Смоленская городская типография, 2003. 32. Ярушкина Н.Г. Методы нечетких экспертных систем в интеллектуальных САПР. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1997. 33. Комашинский В.И., Смирнов Д.А. Нейронные сети и их применение в системах управления и связи. М.: Горячая линия – ТЕЛЕКОМ, 2002. 34. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Нейронные сети. MATLAB 6. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002.

114

35. Терехов В.А., Ефимов Д.В., Тюкин И.Ю. Нейросетевые системы управления. Кн. 8. Общая ред. А.И. Галушкина. М.: ИПРЖР, 2002. 36. Omid Omidvar, Elliot D.L. Neural Systems for Control. Academic Press, 1997. 37. Miller W.T., Sutton R.S., Werbos P.J. Neural Networks for Control. MTT Press, 1996. 38. Hunt K.J., Irwin G., Warwick K. Neural Networks Engineering in Dynamic Control Systems. Springer, 1999. 39. Irwin G.W., Warwick K., Hunt K.J. Neural Network Applications in Control. IEEE Press, 1995. 40. Hrycey T. Neurocontrol. Towards an Industrial Control Methodology. Wiley, 1997. 41. Neural Networks for Modeling and Control pf Dynamic Systems / M. Norgaard et al. Springer, 2000. 42. Leondes C.T. Control and Dynamic Systems. Neural Network Systems Techniques and Applications. Academic Press, 1998. 43. Zbikowski R., Hunt K.J. Neural Adaptive Control Technology. World Scientific, 1996. 44. Applications of Neural Adaptive Control Technology / J.Kalkkuhl et al. World Scientific, 1997. 45. Tzafestas S.G. Soft Computing in Systems and Control Technology. World Scientific, 1999. 46. Artificial Neural Networks for Modeling and Control of NonLinear Systems / Suykens J et al. Kluwer Ac. Publ, 1996. 47. Tolle H., Ersu E. Neurocontrol. Springer, 1992. 48. Kim Y.H., Lewis F.L. High-Level Feedback Control with Neural Networks. World Scientific, 1998. 49. Mills P.M., Zomaya A.Y., Tade M.O. Neuro-Adaptive Process Control. A Practical Approach. Wiley, 1996. 50. Zalzala A.M.S., Morris A.S. Neural Networks for Robotic Control. Ellis Horwood, 1996. 51. Omid Omidvar, Van der Smagt P. Neural Systems for Robotics. Academic Press, 1997. 52. Ge S.S., Lee T.H., Harris C.J. Adaptive Neural Networks Control of Robotic Manipulators. World Scientific, 1998. 53. Hagan M.T., Demuth H.B. Neural Networks for Control // Proceedings of the 1999. American Control Conference. SanDiego: CA. 1999. P. 1642-1656. 54. Галушкин А.И. Основы нейроуправления // Приложение к журналу Информационные технологии. 2002. № 10. 115

55. Круглов В.В., Дли М.И., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. 56. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Финансы и статистика, 2002. 57. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. Кн. 1 / Общая ред. А.И.Галушкина. М.: ИРПЖР, 2000. 58. Галушкин А.И. Нейрокомпьютеры. Кн. 3 / Общая ред. А.И.Галушкина. М.: ИРПЖР, 2000. 59. Гoрбань А.Н., Россиев Д.А. Нейронные сети на персональном компьютере. Новосибирск: Наука, 1996. 60. Нейроноинформатика / А.Н.Горбань, В.Л.ДунинБарковский, Е.М.Миркес и др. Новосибирск: Наука, 1998. 61. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника. М.: Мир, 1992. 62. Миркес Е.М. Нейрокомпьютер. Проект стандарта. Новосибирск: Наука, 1998. 63. Круглов В.В., Борисов В.В. Гибридные нейронные сети. Смоленск: Русич, 2001. 64 Круглов В.В., Борисов В.В. Нейронные сети. Теория и практика. М.: Горячая линия – Телеком, 2003. 65. Widrow B., Steains S.D. Adaptive Signal Processing, Prentice – Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1985. 66. Kuperstein M., Rubinstein J. Implementation of an adaptive neural controller for sensory-motor co-ordination // IEEE Control Systems Magazine. 1989. Vol. 9. P. 25-30 67. Srinivasan V., Barto A.C., Ydstie B.E. Pattern recognition and feedback via parallel distributed processing. Annual Meeting of the American Institute of Chemical Engineers. Washington D.C. 1988. 68. Sanner R.M., Akin D.L. Neuromorphic pitch attitude regulation of an underwater telerobot. // IEEE Control Systems Magazine. 1990. Vol. 10. P. 62-68. 69. Saiful A., Omatu S. Neuromorphic self-tuning PID controller // Proc. of IEEE ICNN. San Francisco. 1993. P. 552-557. 70. Psaltis D., Sideris A., Yamamura A. A Multilayered neural network controller // IEEE Control Systems Magazine. 1988. Vol. 8. P. 1721. 71. Saertns R.M., Soquet A. A neural controller based on back propagation algorithm // Proc. of First IEE Int. Conf. on Artificial Neural Networks. London. 1989. P. 211-215. 72. Werbos P.J. Overview of designs and capabilities // Neural Networks for Control. MIT Press. Cambridge. MA. 1990. P. 59-65.

116

73. Jordan M.I. Generic constraints on underspecified target trajectories // Proc. of Int. Joint Cont. on Neural Networks (IJCNN). Washington. 1989. Vol. 1. P. 217-225 74. Jordan M.I., Rumelhart D.E. Forward models: Supervised learning with a distal teacher // Cognitive Science. 1990. Vol. 16. P. 313-355. 75. Narendra K.S., Parthasarathy K. Identification and control of dynamical systems using Neural Networks // IEEE Trans. On Neural Networks. 1990. Vol. 1. P. 4-27. 76. Ngugen D.H., Widrow B. Neural Networks for selflearning control systems // IEEE Control Systems Magazine. 1990. Vol. 10. P. 18-23. 77. Soloway D., Haley P.J. Neural Generalized Predictive Control // Proceedings of the 1996 IEEE International Symposium on Intelligent Control. 1996. P. 277-281. 78. Hecht-Nielsen R. Kolmogorov’s Mapping Neural Network Existence Theorem // IEEE First Annual Int. Conf. On Neural Networks, San Diego, 1987. Vol. 3, Р. 11-13. 79. Muller B., Reinhart J. Neural Networks: an introduction, Springer-Verlag. Berlin: Heidelberg, 1990. 80. Cybenko G. Approximation by superposition of a sigmoidal function // Mathematics of Control, Signals and Systems. 1989. Vol. 2. Р. 303-314. 81. Hornik K., Stinchcombe M., Wite H. Multilayer Feedforward Networks are Universal Approximators // Neural Networks. 1989. Vol. 2. Р. 359-366. 82. Sandberg I.W. Approximation for Nonlinear Functionals // IEEE Trans on Circuits and System. 1: Fundamental Theory and Applications, Jap. 1992. Vol. 39. № 1. Р. 65-67. 83. Babuska. R. Fuzzy Modeling for Control. Kluwer, 1998. 84. Driankov D., Palm R. Advances in Fuzzy Control. PhysicaVerlag. Heidelberg. Germany, 1998. 85. Pedrycz W., Gomide F. An Introduction to Fuzzy Sets: Analysis and Design. MIT Press. Hardcover, 1998. 86. Pham T., Chen G. Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic and Fuzzy Control Systems. Lewis Publishers, 2000. 87. Wang L.X. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice Hall PTR. CliEs. NJ, 1997. 88. Yen J., Langari R., Zadeh L. Industrial Applications of Fuzzy Logic and Intelligent Systems. New York. IEEE Press, 1995. 89. Successful Applications of Fuzzy Logic and Fuzzy Control (Part 1) / B.-M. Pfeiffer, J.Jakel, A.Kroll, C.Kuhn, H.-B. Kuntze,

117

U.Lehmann, T.Slawinski, V. Tews // Automatisierungstechnik. 2002. N 10. (50). P. 461-471. 90. Successful Applications of Fuzzy Logic and Fuzzy Control (Part 2) / B.-M. Pfeiffer, J.Jakel, A.Kroll, C.Kuhn, H.-B. Kuntze, U.Lehmann, T.Slawinski, V. Tews // Automatisierungstechnik. 2002. N 11. (50). P. 511-521. 91. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под. ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986. 92. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т.Терано, К.Асаи, М.Сугэно. М.: Мир, 1993. 93. Захаров В.И., Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления: I. Научно-организационные, технико-экономические и прикладные системы // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1992. № 5. С. 171-196. 94. Захаров В.И., Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления: II. Эволюция и принципы построения // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1993. № 4. С. 171-196. 95. Захаров В.И., Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления: III. Методология проектирования // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1993. № 5. C. 197-216. 96. Захаров В.И., Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления: IV. Имитационное моделирование // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1994. № 5. C. 168-210. 97. Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных систем управления: теоретические и прикладные аспекты (обзор) // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1991. № 3. C. 3-28. 98. Абраменкова И.В., Круглов В.В., Дли М.И. Мультимодельный метод прогнозирования процессов с переменной структурой. М.: Физматилит, 2003. 99. Аверкин А.Н., Федосеева И.Н. Параметрические логики в интеллектуальных системах управления. М.: ВЦ PAH, 2000. 100. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: ТГУ, 2000. 101. Системы фуцци-управления / В.И.Архангельский, И.Н.Богаенко, Г.Г.Грабовский, Н.А.Рюмшин. Киев: Тэхника, 1997. 102. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. М.: Финансы и статистика, 2000.

118

103. Базы данных. Интеллектуальная обработка информации / В.В.Корнеев, А.Ф.Гареев, С.В.Васютин, В.В.Райх. М.: Нолидж, 2000. 104. Беленький А.Г. Выбор шкал и операторов агрегирования при построении нечетких интеллектуальных информационноуправляющих систем. М.: МЭИ, 1999. 105. Беленький А.Г. Разработка модели сложной проблемы для нечеткой интеллектуальной информационно-управляющей системы. М.: МЭИ, 1999. 106. Беляцкий Н.П. Интеллектуальные технологии менеджмента. Минск: ООО «Новое знание», 2001. 107. Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели принятия решений: дедукция, индукция, аналогия. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. 108. Берштейн Л.С., Мелехин В.Б. Планирование поведения интеллектуального робота. М.: Энергоатомиздат, 1994. 109. Бочарников В.П. Fuzzy-Технология: математические основы практика моделирования в экономике. СПб.: Питер, 2001. 110. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Вероятностные и возможностные модели классификации случайных последовательностей / Под ред. Л.С. Берштейна. Таганрог: ТРТУ, 1996. 111. Брыскин В.В. Математические модели планирования военных систем. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 112. Гайдышев И. Анализ и обработка данных: специальный справочник. СПб.: Питер, 2001. 113. Глова В.И., Аникин И.В., Аджели МЛ. Мягкие вычисления (SOFT COMPUTING) и их приложения: Учебное пособие / Под ред. В.И. Глова. - Казань: Изд-во Казан.гос.техн.ун-та. 2000. 114. Джексон П. Введение в экспертные системы. М.: Изд. Дом «Вильямс», 2001. 115. Дьяконов В.П., Круглов В.В. Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001. 116. Емельянов В.В., Ясиновский С.И. Введение в интеллектуальное имитационное моделирование сложных дискретных систем и процессов. Язык РДО. М.: Изд-во АНВИК, 1998. 117. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 118. Зеленский К.Х., Игнатенко В.Н., Коц А.П. Компьютерные методы прикладной математики. М.: Дизайн-В, 1999. 119. Змитрович А.И. Интеллектуальные информационные системы. Минск: НТООО «ТетраСистемс», 1997.

119

120. Коломейцева М.Б., Хо Д.Л. Адаптивные системы управления динамическими объектами на базе нечетких регуляторов. М.: Компания Спутник +, 2002. 121. Компьютерная поддержка сложных организационнотехнических систем / В.В.Борисов, И.А.Бычков, А.В.Дементьев, А.П.Соловьев, А.С.Федулов. М.: Горячая линия – Телеком, 2002. 122. Круглов В.В., Дли М.И. Интеллектуальные информационные системы: компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. М.: Физматлит, 2002. 123. Кудинов Ю.И., Венков А.Г., Келина А.Ю. Моделирование технологических и экологических процессов. Липецк: ЛЭГИ, 2001. 124. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. СПб.: БХВ – Петербург, 2003. 125. Макаров И.М., Топчеев Ю.И. Робототехника. История и перспективы. М.: Наука, 2003. 126. Методы распознавания нестационарных образов / В.А.Гимаров, М.И.Дли, В.В.Круглов, В.П.Мешалкин. М.: Физматлит, 2002. 127. Митюшкин Ю.И., Мокин Б.И., Ротштейн А.П. SoftComputing: идентификация закономерностей нечеткими базами знаний.Винница: УНIВЕРСУМ-Вiнниця, 2002. 128. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. СПб: Изд-во Сезам, 2002. 129. Целых А.Н. Моделирование процессов принятия решений в нечетких условиях. Ростов-на-Дону: Издательство СеверноКавказского научного центра высшей школы, 1999. 130. Ротштейн А.П. Медицинская диагностика на нечеткой логике. Винница: Континент-ПРИМ, 1996. 131. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Нечеткая надежность алгоритмических процессов. Винница: Континент-ПРИМ, 1997. 132. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети. Винница: УНИВЕРСУМ-Винница, 1999. 133. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая линия – Телеком, 2002. 134. Силов В.Б. Принятие стратегических решений в нечеткой обстановке. М.: ИНПРО-РЕС, 1995.

120

135. Суманков В.С., Луценко Е.В. Адаптивное управление сложными системами на основе теории распознавания образов. Красноярск: КубГТУ, 1999. 136. Токарев В.Л. Основы теории обеспечения рациональных решений. Тула: ТулГУ, 2000. 137. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М. Финансы и статистика, 1997. 138. Управление динамическими системами в условиях неопределенности / С.Т. Кусимов, Б.Г. Ильясов, В.И. Васильев и др. М.: Наука, 1998. 139. Уткин Л.В., Шубинский И.Б. Нетрадиционные методы оценки надежности информационных систем. СПб.: Любавич, 2000. 140. Фрорлов Ю.В. Интеллектуальные системы и управленческие решения. М.: МГПУ, 2000. 141. Mamdani E.H., Assilian S. An experiment in linguistic synthesis whis a fuzzy logic controller // International Journal of Man-Machine Studies. 1974. № 7. P. 1-13. 142. Mamdani E.H. Application of fuzzy algorithm for simple dynamic plant / Proceedings IEEE. 1974. № 121. P. 1585-1588. 143. Assilian S. Artificial Intelligence Techniques in the Control of Real Dynamic Systems: Ph.D. thesis. Queen Mary College, University of London, London, UK, 1974. 144. Mamdani E.H. Advances in the linguistic synthesis of fuzzy controllers. IEEE Trans on Computer. 1977. № 26. P. 1182-1191. 145. King P.J., Mamdani E.H. The application of fuzzy control systems to industrial processes. Automatica. 1977. № 13. P. 235-242. 146. Mamdani E.H. Application of fuzzy set theory to control systems: a survey. Fuzzy Automata and Decision Processes. North-Holland. 1977. 147. Li M. X., Bruun P.M., Verbruggen H.B. Tuning cascade PID controllers using fuzzy logic // Mathematics and Computers in Simulation. 1994. № 37. P. 143-151. 148. Nauta Lemke van H.R., Krugsman A.J. Design of fuzzy PID supervisors for system with different performance requirements. In Proceedings IMACS’91. Dublin. Ireland, 1991. 149. Tzfestas S., Paranikolopoulos N.P. Incremental fuzzy expert PID control // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 1990. № 5. P. 365371. 150. Hsu Y.-Y., Liou K.L. Design of self-tuning PID power system stabilizers for synchronous generators // IEEE Trans. 1987. EC-2. P. 343348. 121

151. Cao S.G., Rees N.W., Feng G. Analysis and design for a class of complex control system. Part I: fuzzy modeling and identification // Automatica. 1997. № 33. P. 1017-1028. 152. Cao S.G., Rees N.W., Feng G. Analysis and design for a class of complex control system. Part II: fuzzy controller design // Automatica. 1997. № 34. P. 1029-1039. 153. Cao S.G., Rees N.W., Feng G. Stability analysis and design for a class of continuous-time fuzzy control systems. Int. J. Control. 1996. № 64. P. 1069–1087. 154. Qu Sun, Renhou Li, Ping’an Zhang. Stable and optimal adaptive fuzzy control of complex systems using fuzzy dynamic model. Fuzzy Sets and Systems. 2003. № 133. P. 1–17. 155. Fink A., Tupfer S., Isermann R. Neuro and Neuro-Fuzzy Identification for Model-based Control // IFAC Workshop on Advanced Fuzzy. Neural Control. Valencia. Spain. 2001. P. 111-116. 156. Усков А.А. Принципы построения систем управления с нечеткой логикой // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 6. 157. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояния в управлении. М.: Наука, 1970. 158. Директор С, Рорер Р. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974. 159. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. М.: Наука, 1983. 160. Jang J.S., Sun C.T., Mizutani E. Neuro-fuzzy and soft computing. N.Y.: Prentice Hall, 1997. 161. Kasabov N. Foundations of neural networks, fuzzy systems and knowledge engineering. London: Bradford Book MIT Press, 1996. 162. Wang L.X. Adaptive fuzzy systems and control. Design and stability analysis. New. Jersey: Prentice Hall, 1994. 163. Nauck D. Neuro-fuzzy systems: review and prospects // Proc. Fifth European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing. 1997. P. 1044-1053. 164. Jang R. Neuro-Fuzzy Modeling: Architectures, Analyses and Applications: Ph.D. University of California. Department of Electrical Engineering and Computer Science. Berkeley, 1992. 165. Cheng Y.H., Lin C.S. Learning algorithm for radial basis function network with the capability of adding and pruning neurons. Conf. ICNN. Orlando. 1994. P. 797-801.

122

166. Tarassenko L., Roberts S. Supervised and unsupervised learning in radial basis function classifiers // IEEE Proc. Vis. Image Signal Process. 1994. Vol. 141. P. 210-216. 167. Alcala R, Cassilas R., Cordon O., Hererra F., Zwir S.J.I. Techniques for Learning and Tuning Fuzzy Rules-Based Systems for Linguistic Modeling and their Application // Int. Journal of intelligent Systems. 2000. № 10. 168. Cordon O., Hererra F. A General Study of Genetic Fuzzy Systems // Int. Journal of intelligent Systems. 1997. № 3. 169. Дюк В. А. Самойленко А.П. Data Mining: учебный курс. СПб.: “Питер”, 2001. 170. Nelles O., Fink A., Isermann R. Local Linear Model Trees (LOLIMOT) Toolbox for Nonlinear System Identification // IFAC Symposium on System Identification (SYSID). Santa Barbara. USA. 2000. 171. Comparison of Two Construction Algorithms for TakagiSugeno Fuzzy Models / O. Nelles, A. Fink, R. Babuљka and M. Setnes // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. № 10 (4). P. 835-855. 2000. 172. Chen S., Cowan C.F., Grant P.M. Orthogonal least squares learning algorithm for radial basis function networks // IEEE Trans. Neural Networks. 1991. № 2. P. 302-309. 173. Verbrugger H.B., Babuska R. Constructing fuzzy models by product space clustering // Fuzzy model identification / Eds. H.Hellendorn, D.Driankov. Berlin: Springer, 1998. P. 53-90. 174. Lotfi A. Learning Fuzzy Interference Systems: Ph.D. University of Queensland. Department of Electrical and Computer Engineering. Australia, 1995. 175. Jager R. Fuzzy logic in control: Ph.D. Technische Universiteit Delft. 1995. 176. Особенности нечетких преобразований в задачах обработки информации и управления. Часть 1 / И.М.Макаров, В.М.Лохин, С.В.Манько, М.П.Романов, А.А.Васильев, А.А.Хромов // Информационные технологии. 1999. № 10. 177. Особенности нечетких преобразований в задачах обработки информации и управления. Часть 2 / И.М.Макаров, В.М.Лохин, С.В.Манько, М.П.Романов, А.А.Васильев, А.А.Хромов // Информационные технологии. 1999. № 11. 178. Brae M., Rutherford D.A. Teoretical and Linguistic Aspects of the Fuzzy Logic Controller // Automation. Pergamon Press. 1979. Vol. 12. P. 553-557.

123

179. Алиев Р.А., Церковный А.З., Мамедова Г.А. Управление производством при нечеткой исходной информации. М.: Энергоатомиздат, 1991. 180. Алиев Р.А., Абдиенеев Н.М., Шахназарова М.Н. Производственные системы с искусственным интеллектом. М.: Радио и связь, 1990. 181. Алиев Р.А., Ульянов С.В. Нечеткие алгоритмы и системы управления. М.: Знание, 1990. 182. Синтез нечетких регуляторов на основе вероятностных моделей / В.М.Лохин, И.М.Макаров, С.В.Манько, М.П.Романов // Изв. РАН. ТиСУ. 2000. № 2. 183. Кудинов Ю.И. Нечеткие системы управления // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. № 5. С. 196-206. 184. Хо Д.Л. Синтез адаптивных систем управления нелинейными динамическими объектами на базе нечетких регуляторов и нейросетевой технологии. Дисс. … доктора техн. наук. М.: МЭИ, 2002. 185. Коломейцева М.Б., Хо Д.Л. Синтез адаптивного нечеткого регулятора для нелинейной динамической системы // Вестник МЭИ. 2000. № 9. С. 85-88. 186. Коломейцева М.Б., Хо Д.Л. Синтез адаптивной системы на базе нечеткого регулятора для многомерного динамического объекта // Приборы и системы. Управление. Контроль. Диагностика. № 9. С. 8588. 187. Bobko V.D., Nesterov A.A., Zolotukhin. An the PIDparameters Fuzzy Dynamic Correction. // Optoelectronics, Instrumentation, and Data Processing, 1998, № 1. 188. Бобко В.Д., Золотухин Ю.Н., Нестеров А.А. Оптимальная траектория как основа построения базы знаний нечеткого логического контроллера // Труды шестого Международного семинара "Распределенная обработка информации. РОИ-98". Новосибирск. 1998. 189. Kosko B. Global Stability of Generalize Additive Fuzzy Systems // IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics: Application and Reviews. 1998. V. 28. P. 441-452. 190. Kohn-Rich S., Flashner H. Robust fuzzy logic control of mechanical systems // Fuzzy Sets and Systems. 2003. № 133. P. 77–108. 191. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М.: Энергия, 1974. 192. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Технiка, 1970. 124

193. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 194. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 195. Хлыпало Е.И. Нелинейные корректирующие устройства автоматических систем. Л.: Энергия, 1973. 196. Пальтов И.П. Качество процессов и синтез корректирующих устройств в нелинейных автоматических системах. М.: Наука, 1975. 197. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 198. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling and Control // IEEE Trans. SMC. 1985. Vol. 15, No. 1, P. 116-132. 199. Yongsheng Ding, Hao Ying, Shihuang Shao. Typical TakagiSugeno PI and PD fuzzy controllers: analytical structures and stability analysis // Information Sciences. 2003. № 151. P. 245–262. 200. Takagi T., Sugeno M. Stability Analysis and Design of Fuzzy Control Systems // Fuzzy Sets and Systems. 1992. Vol. 45. № 2. P. 135-156. 201. Akar M., Ozguner U. Stability and Stabilization of TakagiSugeno fuzzy systems // Proc.CDC’99. 1999. P. 4840-4845. 202. Ning Li, Shao Yuan Li, Yu Geng Xi, and Sam Shuzhi Ge. Stability Analysis of T-S Fuzzy System Based on Observers // International Journal of Fuzzy Systems. 2003. Vol. 5. № 1. P. 22-30. 203. Piecewise quadratic stability of fuzzy systems / M. Johansson, et al. IEEE // Trans. Fuzzy Systems. 1999. № 7. P. 713–722. 204. Sugeno M., On stability of fuzzy systems expressed by fuzzy rules with singleton consequents // IEEE Trans. Fuzzy Systems. 1999. № 7. P. 201–224. 205. Leung F.H., Lam H.K., Tam P.K. Lyapunov function based design of robust fuzzy controllers for uncertainnonlinear systems: Distinct Lyapunov functions // IEEE World Congr. on Computational Intelligence. FUZZ-IEEE,Anchorage. 1998. P. 577–582. 206. Sugeno M. On stability of fuzzy systems expressed by fuzzy rules with singleton consequents // IEEE Trans. FuzzySystems. 1999. № 7. P. 201–224. 207. Johansson M., Rantzer A., Arzen K.E. Piecewise quadratic stability of fuzzy systems // IEEE Trans. Fuzzy Systems. 1999. № 7. P. 713– 722.

125

208. Chen C.L., Wang S.N., Hsieh C.T., Chang F.Y. Theoretical analysis of a fuzzy-logic controller with unequallyspaced triangular membership functions // Fuzzy Sets and Systems. 1999. № 101. P. 87–108. 209. Margaliot M., Langholz G. Fuzzy Lyapunov-based approach to the design of fuzzy controllers // Fuzzy Sets and Systems 1999. № 106. P. 49–59. 210. Лозинський А.О. Електромеханiчнi системи автоматизацii технологiчних об’ектiв з iнтелектуальним керуванням. Дисс. … доктора техн. наук. Львiв: Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”, 2004. 211. Ray K.S., Majumder D.D. Application of circle criteria for stability analysis of linear SISO and MIMO systems associated with fuzzy logic controller // IEEE Trans on Systems Man and Cybernetics. SMC-14. 1984. P. 345-349. 212. Takahara S., Ikeda K., Miyamoto S. Fuzzy control rules and stability condition // Conference on Fuzzy Logic and Neural Networks. Iizuka. Japan. 1992. 213. Lim J.T. Absolute stability of class of nonlinear plants with fuzzy logic controllers // Electronic letters. № 28. 1992. P. 1968-1970. 214. Анализ нечетких систем управления методом гармонической линеаризации / Б.Г Ильясов, Р.А. Мунасыпов, О.В. Даринцев, Л.П. Челушкина // Сборник трудов конференции по теории управления, посвященной памяти академика Б.Н.Петрова. Москва. 2003. 215. Шумихин А.Г., Игушев В.Н. Математическое моделирование и частотные методы при параметрическом синтезе АСР с нечеткими регуляторами. // Сборник трудов 15-й международной конференции “Математические методы в технике и технологии”. ММТТ-15. Тамбов. 2002. Т. 5. С. 131-133. 216. Smith S.M., Comer D.J. Self-tuning of a fuzzy logic controller using a cell state space algorithm // IEEE Internat. Conf. on Fuzzy Systems. San Diego. 1992. P. 615-622. 217. Gurocak H.B. Fuzzy rule base optimization of a compliant wrist sensor for robotics // J. Robotic Systems. 1996. № 13. P. 475-487. 218. Wang L.-X. Stable adaptive fuzzy control of nonlinear systems // IEEE Trans. Fuzzy Systems 1993. № 1 (2). P 146–155. 219. Spooner J.T., Passino K.M. Stable adaptive control using fuzzy systems and neural networks // IEEE Trans. Fuzzy Systems. 1996. № 4 (3). P. 339–359. 220. Gurocak H.B. A genetic-algorithm-based method for tuning fuzzy logic controllers. Fuzzy Sets and Systems. 1999. № 108. P. 39-47.

126

221. Herrera F., Lozano M., Verdegay J.L. Tuning fuzzy controllers by genetic algorithms // Internat. J. Approx. Reasoning. 1995. № 1. P. 299315. 222. Wu J.C., Liu T.S. Fuzzy control of rider-motorcycle system using a genetic algorithm and autotuning // Mechatronics. 1995. № 5. P. 441455. 223. Shimojma K., Fukuda T., Hasegama Y. A self tuning fuzzy modeling with adaptive membership functions, rules and hierarchical structure based genetic algorithm // Fuzzy Sets and Systems. 1995. № 71. P. 295-309. 224. Гхосал А. Прикладная кибернетика и ее связь с исследованием операций. М.: Радио и связь, 1982. 225. Mamdani E.H. Twenty years of fuzzy control: experiences gained and lessons learnt // Proceedings of 2nd IEEE International Conference on Fuzzy Systems (FUZZ-IEEE ’93), San Fransisco (Ca), USA, 1993. 226. Киселев Е.В., Усков А.А. Аппроксимационный подход к анализу устойчивости систем с нечеткими логическими регуляторами // Сборник трудов 15-й международной конференции “Математические методы в технике и технологии”. ММТТ-15. Тамбов. 2002. Т. 5. С. 4445. 227. Усков А.А., Киселев Е.В. Устойчивость систем с алгоритмами нечеткого логического вывода в объекте управления / ГОУВПОСФМЭИ(ТУ). Смоленск. 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН 27.11.02. № 2047-В2002. 228. Усков А.А., Мамченкова Т.В. Устойчивость систем с блоками нечеткого логического вывода в объекте управления // Сборник трудов VIII международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях». Воронеж. 2003. Т. 8. С. 67-68. 229. Усков А.А., Мамченкова Т.В. Аналитическое исследование систем управления с нечеткой логикой / Филиал ГОУВПО «МЭИ(ТУ)» в г. Смоленске. Смоленск. 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН. 02.04.03. № 600В2003. 230. Усков А.А., Киселев Е.В. Устойчивость систем управления с нечеткой логикой // Сборник трудов 16-й междун. конф. “Математические методы в технике и технологии”. ММТТ-16. 2003. С. 144-145. 231. Усков А.А. Устойчивость систем управления с гибридными (нечеткими) нейронными сетями // Нейрокомпьютеры разработка и применение. 2003. № 3-4. 127

232. Усков А.А., Круглов В.В. Устойчивость систем с блоками нечеткого логического вывода в объекте управления // Вестник МЭИ. 2003. N 3. С. 108-110. 233. Усков А.А. Устойчивость замкнутых систем управления с нечеткой логикой // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2003. № 9. С. 8-9. 234. Усков А.А. Метод анализа устойчивости замкнутых систем управления с нечеткой логикой // Доклады международ. конф. “Информационные средства и технологии”. Москва. 2003. С. 221-224. 235. Усков А.А. Замкнутые экологические модели и их устойчивость // Доклады всероссийской конф. “Современные информационные технологии в медицине и экологии”. Смоленск. 2003. С. 246-247. 236. Усков А.А. Подход к анализу устойчивости систем управления с нечеткой логикой // Вестник МЭИ. 2004. № 2. С. 76-81. 237. Усков А.А., Киселев Е.В. Анализ систем управления с нечеткими комплексными моделями. I. Применение теории линейных интервальных динамических систем // Вестник МЭИ. 2004. № 4. 238. Усков А.А., Киселев Е.В. Анализ систем управления с нечеткими комплексными моделями. II. Применение частотных методов // Вестник МЭИ. 2004. № 5. 239. Круглов В.В., Усков А.А. Достаточное условие устойчивости замкнутых систем управления с нечеткими логическими регуляторами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. №4. С. 537-541. 240. Усков А. А., Кузьмин А. В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. – М.: Горячая Линия – Телеком, 2004. 241. Теория автоматического управления. Ч. II / Под. Ред. А.В.Нетушила. Высшая школа, 1972. 242. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука, 1973. 243. Растригин Л.А. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. 244. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука, 1978. 245. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972. 246. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. № 11. С. 2086-2091. 128

247. Харитонов В.Л. К проблеме Рауса-Гурвица для семейства полиномов / В кн. Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1979. С. 105-111. 248. Левин А.Ю. Теорема Харитонова для слабо нестационарных систем // Успехи математических наук. 1995. Т. 50. Вып. 6. С. 189-190. 249. Чаки Ф. Современная теория управления. Нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Мир, 1975. 250. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы) / Ю.М.Гусев, В.Н.Ефанов, В.Г.Крымский, В.Ю.Рутковский // Известия АН. Техническая кибернетика. Ч. I. 1991. № 1 С. 3-24. 251. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы) / Ю.М.Гусев, В.Н.Ефанов, В.Г.Крымский, В.Ю.Рутковский // Известия АН. Техническая кибернетика. Ч. II. 1991. № 2 С. 3-31 252. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1990. № 9. С. 45-54. 253. Джури Э.И., Ли Б. Об абсолютной устойчивости систем с многими нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. Т. XXVI. № 6. С. 945-965. 254. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 255. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 256. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1, 2. М.: Наука, 1968. 257. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 258. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М. Наука, 1977. 259. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М. Мир, 1975. 260. Усков А.А. Численное определение областей устойчивости систем управления // Доклады международной конференции “Математические методы в интеллектуальных системах”. МИИС-2002. Смоленск. С.77. 261. Усков А.А., Пучков А.Ю. Алгоритмы для определения областей устойчивости систем управления // Сб. трудов международной конференции “Системы компьютерной математики и их приложение”. Смоленск. 2002. С.44-45.

129

262. Усков А.А., Иванов Р.С. Алгоритмы определения областей качества регулирования автоматических систем / ГОУВПОСФМЭИ(ТУ). Смоленск. 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН 05.07.02. № 1248-В2002. 263. Круглов В.В., Пучков А.Ю., Усков А.А. Численное определение областей устойчивости систем управления // Труды 11-го международного научно-технического семинара "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации". Алушта. 2002. С. 271-272. 264. Усков А.А., Киселев Е.В. Численное определение областей качества систем / ГОУВПОСФМЭИ(ТУ). Смоленск. 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН 27.11.02. № 2046-В2002. 265. Усков А.А., Киселев Е.В. Алгоритм численного определения областей устойчивости и качества систем управления // Сборник трудов VIII международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях». Воронеж. 2003. Т. 8. С. 66-67. 266. Пучков А.Ю., Усков А.А. Моделирование систем управления в среде Twente SIM 2.3 PRO. Смоленск: СФМЭИ, 2001. 267. Усков А.А. Моделирование систем управления в среде MATLAB. Смоленск: Филиал ГОУВПО «МЭИ(ТУ)» в г. Смоленске, 2003. 268. Усков А.А., Мамченкова Т.В. Программный комплекс для исследования систем управления с нечеткой логикой / Филиал ГОУВПО «МЭИ(ТУ)» в г. Смоленске. Смоленск. 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН. 02.04.03. № 601-В2003. 269. Усков А.А., Круглов В.В. Алгоритмы численного определения областей качества систем // Автоматизация и современные технологии. 2003. № 9. С. 7-9. 270. Усков А.А. Исследование устойчивости замкнутых систем управления методом кратных уравнений // Автоматизация и современные технологии. 2004. № 8. 271. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления / Под. ред. А.А.Воронова и И.А. Орурка. М.: Наука. 1984. 272. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 1, 2. М.: Высшая школа, 1981. 273. Вентцель Е.В. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1998. 274. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 130

275. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 276. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. М.: Наука, 1984. 277. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решение нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. 278. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 1 / П.Шенен, М.Коснар, И.Гардан и др. М.: Мир, 1988. 279. Михаль О.Ф., Усков А.А. Самоорганизующаяся нечеткая нейронная сеть для решения задач оптимизации функционалов // Доклады международ. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации”. Харьков-Туапсе. 2003. С. 471-472. 280. Усков А.А. Адаптивная нечеткая нейронная сеть для решения задач оптимизации функционалов // Нейрокомпьютеры: Разработка и применение. 2003. № 12. 281. Усков А.А. Алгоритм численного решения задач вариационного исчисления на основе самоорганизующейся нечеткой нейронной сети // Программные продукты и системы. 2003. № 6. 282. Усков А.А. Адаптивная система управления с нечетким инверсным контроллером // Нейрокомпьютеры: Разработка и применение. 2004. № 12. 283. Моделирование системы нечеткого регулирования средствами нечетких сетей Петри с приоритетами / О.Ф.Михаль, А.Ю.Пучков, А.А.Усков, Ю.А.Черепов // Международный сборник научных трудов “Системы управления и информационные технологии”. Воронеж: Научная книга, 2003. С. 83-88. 284. Окунев Б.В., Усков А.А. Использование нечетких регуляторов в системах автоматического управления // Сборник трудов 14-й междун. конф. “Математические методы в технике и технологии”. ММТТ-14. Т. 2. Смоленск. 2001. С. 205-206. 285. Круглов В.В., Усков А.А. Робастность систем управления с нечеткими логическими регуляторами // Доклады междун. конф. “Информационные средства и технологии”. Т. 1. Москва. 2001. С. 90 93. 286. Усков А.А. Эмпирический принцип синтеза нечетких логических регуляторов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 1. 287. Усков А.А. Адаптивная система управления с нечетким инверсным контроллером // Материалы международной научнотехнической конференции о проблемах электромеханики и энергообеспечения “Перспективные методы и технические средства 131

повышения эффективности энергоемких установок и технологических комплексов горно-металлургической промышленности”. Кривой рог. 2004. С. 7-11. 288. Усков А.А. Алгоритм синтеза нечетких логических регуляторов на основе самоорганизации // Приборы и системы. 2004. № 8. 289. Автоматизация настройки систем управления / Под ред. В.Я.Роточа. М.: Энергоатомиздат, 1984. 290. Oppelt W. Kleines Handbuch technischer Regelvorgange. Weinheim. Verlag Chemie, 1960. 291. Круг Е.К., Минина О.М. Электрические регуляторы промышленной автоматики. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962. 292. Курейчик В.М., Емельянов В.В. Теория и практика эволюционного моделирования. М.: Физматлит, 2003. 293. Теория автоматического управления. Ч. I / Под. Ред. А.В.Нетушила. Высшая школа, 1968. 294. Bux D. Anwendung und Entwurf konstanter, linearer Zustandsregler bei linearen Systemen mit langsam veranderlichen Parametern. Diss. Univ. Stuttgart. Fortschritt-Bericht VDI-Zschr., Reihe 8. Nr. 21 (1975). 295. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 296. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 297. Алгоритмы и программы решения задач на графах и сетях / М.И.Нечипуренко, В.К.Новиков, С.М.Майнагашев и др. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1990. 298. Пападимитриу Х., Стайглиц К. оптимизация. Алгоритмы и сложность. М.: Мир, 1985.

Комбинаторная

299. Дьяконов В.П., Круглов В.В., Абраменкова И.В. MATLAB 5.3.1 с пакетами расширений. М., Нолидж, 2001. 300. Ивахненко А.Г. Самообучающиеся системы распознавания и автоматического управления. Киев: Технiка, 1969. 301. Ту Дж, Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978. 302. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С., III. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1977.

132

303. Круглов В.В., Усков А.А., Татаринов А.В. D_algoritm. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в РОСПАТЕНТЕ № 200210076 от 23.01.2002. 304. Усков А.А. Адаптивная гибридная нейронная сеть / ГОУВПОСФМЭИ(ТУ). Смоленск. 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН 01.03.02. № 396-В2002. 305. Усков А.А. Алгоритм генерации нечетких продукционных правил // Доклады международной конференции “Математические методы в интеллектуальных системах”. МИИС-2002. Смоленск. С.26. 306. Усков А.А. Алгоритм самоорганизации гибридной нейронной сети // Сборник трудов 15-й международной конференции “Математические методы в технике и технологии”. ММТТ-15. Тамбов. 2002. Т. 5. С. 42-44. 307. Uskov A.A., Kruglov V.V. Algorithm of self-organizing of a system of an fuzzy inference // Доклады междун. конф. “Информационные средства и технологии”. Т.2. Москва. 2002. С.126 129. 308. Круглов В.В., Усков А.А. Алгоритм самоорганизации системы нечеткого логического вывода // Вестник МЭИ. 2002. N 5. С. 104-106. 309. Усков А.А., Черкасов С.В. Алгоритм генерации нечетких продукционных правил // Сборник трудов VIII международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере и экономике». Воронеж. 2003. Т. 8. С. 67-68. 310. Усков А.А., Пучков А.Ю., Окунев Б.В. Адаптивная нечеткая сеть // Сборник трудов 16-й междун. конф. “Математические методы в технике и технологии”. ММТТ-16. 2003. С. 143-144. 311. Усков А.А., Фомченков В.П., Окунев Б.В. Dinam_analysis. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в РОСПАТЕНТЕ № 2002610429 от 25.03.2002. 312. Усков А.А. Эмуляция динамических объектов с помощью гибридных нейронных сетей // Доклады международной конференции “Математические методы в интеллектуальных системах”. МИИС-2002. Смоленск. С.76. 313. Усков А.А., Черкасов С.В. Алгоритм эмуляции сложных динамических объектов / ГОУВПОСФМЭИ(ТУ). Смоленск. 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН 05.07.02. № 1247-В2002.

133

314. Усков А.А., Круглов В.В. Алгоритм идентификации сложных динамических объектов // Программные продукты и системы. 2002. N 4. С. 11-13. 315. Усков А.А., Черкасов С.В. D_fuzzy. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в РОСПАТЕНТЕ № 2003610555 от 28.02.2003. 316. Усков А.А., Круглов В.В. Нечеткий дополняющий алгоритм идентификации динамических объектов // Информационные технологии. 2003. N 3. С. 32-34. 317. Усков А.А. Обобщенная модель динамического объекта на основе нечеткой нейронной сети // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2004. № 5-6. 318. Усков А.А., Круглов В.В. Современные принципы построения систем управления сложными объектами. Смоленск: Филиал ГОУВПО «МЭИ(ТУ)» в г. Смоленске, 2003.

134

Приложение 1 ИДЕНТИФИКАЦИЯ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ В настоящем приложении рассмотрены развитые методы построения ОНМДО на основе экспериментальных данных и экспертной информации качественного характера. Приложение написано по материалам работ автора [31, 240, 304-317]. П.1.1. Модели на основе аппроксимации разностного уравнения Допустим, что динамический объект имеет скалярные вход u (t ) , сигнал контролируемой помехи (t ) , сигнал неконтролируемой аддитивной помехи П.1.1.

(t ) и выход y (t ) , как это показано на рисунке

Рисунок П.1.1 – Односвязный динамический объект Предположим, далее, что объект может быть адекватно описан обобщенной нечеткой моделью, введенной в рассмотрение в параграфе 1.5. Применительно к рассматриваемому случаю, указанная модель имеет структуру, приведенную на рисунке П.1.2.

135

Рисунок П.1.2 – Обобщенная нечеткая модель односвязного динамического объекта Линейное динамическое звено (ЛДЗ) описывается системой векторно-матричных разностных уравнений:

  Az (i 1) B (i ),    x (i ) Cz (i ) D (i ),  z (i )

где



(i )

A, B, C , D

–

заданные

постоянные

(П.1.1)

матрицы,

T ~ y (i ), u (i ), (i ) , i – номер такта.

Блок нечеткого логического вывода реализует нелинейную функциональную зависимость:

~ y (i )

 ( x (i )) .

(П.1.2)

Выходной сигнал определяется формулой:

y (i)

~ y (i)

(i) .

(П.1.3)

Допустим, известны результаты эксперимента на объекте, заключающегося в регистрации в эквидистантные моменты времени N троек значений

~ y (i ), u (i ), (i ) , i 1, 2, ..., N .

136

(П.1.4)

Необходимо определить оценку неизвестной зависимости (П.1.2):

~ y

 (x) .

(П.1.5)

Допустим, что сигнал помехи

(i ) невелик и на основании формулы (П.1.3) можно считать, что y (i ) ~ y (i ) . Тогда используя экспериментальные данные (П.1.4), можно найти решение разностных  уравнений (П.1.1) и определить N пар значений x (i ), y (i ) . На основании указанной информации может быть определена оценка (П.1.5). Наиболее простой вид решение уравнения (П.1.1) принимает, если выбрать:

0 ... 0 l

1 ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... 1

A

0

0

0

0

0

0

l1 1

0 ... 0

0

1 ... 0

0

0

... ... ... ... 0 ... 1 0

0

l2 1

,

0 ... 0

0

1 ... 0

0

... ... ... ... 0 ... 1

0

137

1 l

0

0

0 0 0 ... ... ... 0 0 0 0 1 0

B

l1 1

l2 1

0

0

0

... ... ... 0 0 0 0 0 1 0

0

, C

I – единичная матрица, D

0 –

0

... ... ... 0

0

0

нулевая матрица,

В этом случае

 x (i )

y (i 1), y (i 2),..., y (i l ), u (i ), u (i 1),..., u (i l1 ), (i ), (i 1),..., (i l2 ) (П.1.7)

(если i 1 , то значения y (0), y ( 1), , y (1 l ) отражают начальные условия). Модель объекта в этом случае имеет вид:

y (i )

( y (i 1), y (i 2), ..., y (i l ), u (i 1),..., u (i l1 ), (i ), (i 1),..., (i l2 )) (П.1.8)

.

Описанные модели динамических объектов будем называть моделями на основе аппроксимации разностного уравнения самоорганизующейся системой нечеткого вывода. Отметим, что при рассматриваемом подходе к построению моделей динамических объектов используется информация, полученная 138

T

на предыдущих итерациях работы алгоритма, в связи с чем, данный подход будем называть также модель типа “авторегрессия – скользящее среднее”. Достоинством модели типа “авторегрессия – скользящее среднее” является универсальность, в смысле применимости к объектам с любой структурой, в том числе и неизвестной. Недостатки описанного подхода: накопление погрешности, вызванной наличием шума наблюдения и неточностью аппроксимации. Перейдем к рассмотрению алгоритма построения модели. Исходными данными для построения модели является следующее: массив экспериментальных данных (П.1.4), матрицы A, B, C и D , входящие в уравнения (П.1.1), априорная информация качественного характера об искомой оценке (П.1.5), записанная в виде совокупности m0 нечетких продукционных правил вида: Пr: если x 1 есть A r 1 и x 2 есть A r 2 и … и xn есть A

y

rn ,

то

yr ,

где

r 1, 2, ..., m0 – номер правила в базе знаний, x j  ( j 1, 2, ..., n ) – компоненты вектора x , A r j – некоторые нечеткие числа, имеющие функции принадлежности

rj ( x

j

).

Предлагаемый алгоритм идентификации состоит в реализации последовательности следующих шагов. Шаг 0. Задается: 0 – погрешность аппроксимации, 0 – минимальное расстояние между центрами добавляемых в базу знаний правил. Устанавливается текущие параметры: число правил в базе знаний m m0 и номер обучающей точки i 1 . Шаг 1. На основании решения разностных уравнений (П.1.1)  определяется очередная точка x (i ) . Если формируемая база знаний пуста или выполняется условие: m

yr



r ( x (i ))

(П.1.9)

0,

r 1



где r ( x (i)) r1 ( x1 (i)) r 2 ( x2 (i)) ... функция принадлежности предпосылок

– результирующая правила, то переход к

rn ( xn (i))

r -го

139

шагу 3, иначе с помощью алгоритма нечеткого вывода Сугэно (Sugeno) 0-го порядка и с использованием имеющихся продукционных правил, рассчитывается прогнозируемое значение y (i ) : m

yr

 ( x (i ))

y (i )

r 1 m



r ( x (i ))

,

 r ( x (i ))

(П.1.10)

r 1

Шаг 2. Проверяются неравенства:



y (i ) y (i )

0

 x (i)

и cr

L

0,

(П.1.11)

где r m0 1, m0 2, ..., m , т. е. рассматриваются лишь те правила, которые были добавлены в процессе работы алгоритма,

 cr

 x

max cr 1 x1 , cr 2

L

x2 , ..., cr n

xn [34].

При невыполнении неравенств (П.1.11) переход к шагу 3, иначе переход к шагу 5. Шаг 3. База знаний пополняется правилом вида: Пm+1: если x1 есть A(m

A( m где

1) n ,

то ym

A(m

1)1 ,

1

yi ,

A(m

1) 2 ,

…, A( m

1) n

1)1

и x2 есть A(m

1) 2

и … xn есть

– нечеткие числа с треугольными

функциями принадлежности:

( m 1) j ( x j )

1

xj

c( m

1) j

, если x j

c( m

если x j

c( m

1) j

j,

j

0,

1) j

j

,

(П.1.12)

140

где

c( m

c( m 1)1

1) j

– центры нечетких чисел

x1 (i ) ,

c( m

1) 2

x2 (i ) ,

...,

c( m

A( m 1) n

1) j

, при значениях

xn (i )

соответственно

(фактически добавление нового продукционного правила сводится к добавлению в базу знаний строки вида < x1 (i), x2 (i), ..., xn (i), y(i) >; j

– постоянные параметры, значения которых выбирается на шаге 4. Значение m модифицируется: m m 1 .  Если точка x (i ) совпадает с какой-либо из имеющихся точек

< cr 1 , cr 2 , ..., cr n >,

то

указанное

пополнение

базы

производится, а осуществляется замена yr на ( y(i) чего, переход к шагу 5. Шаг 4. Параметры функций принадлежности

знаний не

yr ) / 2 , после j

всех правил

корректируется в соответствии с формулой:

max ( x j ) min ( x j ) , если m m0 j

j

j

max ( x j ) min ( x j ) /( n m m0 1), если m m0 j

j

2 n, 2n , j 1, 2, ..., n. (П.1.13)

При

такой

коррекции

значение

параметров

j

будет

приблизительно равно среднему расстоянию по координате j между обучающими точками, вошедшими в базу знаний. Шаг 5. Проверяется правило останова – "просмотрены" ли все N обучающих точек. Если правило останова не выполняется, то i=i+1 и переход к шагу 1, в противном случае останов, база знаний считается сформированной. Определение П.1.1. Под нечетким дополняющим алгоритм для динамических объектов на основе аппроксимации разностного уравнения будет пониматься рассмотренный выше алгоритм самоорганизации блока нечеткого вывода обобщенной нечеткой модели динамического объекта. На стадии эксплуатации, полученной нечеткой модели, производится совместное решение разностных уравнений (П.1.1) и нелинейного уравнения:

141

m

yr y (i )

r 1 m



r ( x (i ))

 r ( x (i ))

,

(П.1.14)

r 1

где



r ( x)

r1 ( x1 )

r 2 ( x2 )

...

rn ( xn ) .

П.1.2. Модели на основе аппроксимации весовой функции В разделе П.1.1 рассмотрен алгоритм идентификации нелинейных динамических объектов на основе самоорганизующейся системы нечеткого вывода и аппроксимации разносного уравнения (модели типа “авторегрессия – скользящее среднее”). Недостаток такого подхода к построению модели хорошо известен: для оценки выхода объекта в текущий момент времени используются оценки выхода объекта полученные ранее, что приводит к накоплению погрешности. Ниже описан подход к построению нечеткой модели динамического объекта основанной на аппроксимации весовой функции, позволяющий прогнозировать его выход только по значениям входного сигнала. Допустим, как и ранее, что стационарный динамический объект имеет скалярные вход u (t ) и выход y (t ) . Предположим, что на объекте может быть реализован эксперимент, заключающийся в регистрации N пар значений:

u (i ), y (i ) .

(П.1.15)

Пусть структурно рассматриваемый динамический объект может быть представлен состоящим из последовательно соединенных линейного динамического звена (ЛДЗ) и статического нелинейного элемента (НЭ), как это показано на рисунке П.1.3.

142

Рисунок П.1.3 – Структура динамического объекта Линейное динамическое звено характеризуется импульсной весовой функцией (i ) , нелинейный элемент – функцией НЭ (z) . Предполагается, что (i ) и НЭ (z) неизвестны. При нулевых начальных условиях выходной сигнал ЛДЗ определяется формулой [21]: i

(i k )u (k ) .

z (i)

(П.1.16)

k 0

Представим импульсную весовую функцию в виде суммы [250]: n

(i )

aj

j (i ) ,

(П.1.17)

j 1

где

j (i )

– базисные функции; a j

const .

Введя обозначения: i

x j (i)

j (i

k ) u (k ) ,

(П.1.18)

k 0

решая совместно (П.1.16) и (П.1.17) получим: n

z (i )

a j x j (i ) .

(П.1.19)

j 1

Выходной сигнал объекта на рисунке П.1.3 описывается выражением: 143

n

y (i )

НЭ (

a j x j (i ) )

(П.1.20)

(i ) ,

j 1

где

– нелинейная зависимость, реализуемая НЭ. Перепишем формулу (П.1.20) в виде:

НЭ ( )

y(i)

( x1 (i), x2 (i), ..., xn (i))

(i) ,

или

y (i)

 ( x (i))



где x j (i ) – компоненты вектора x (i ) ,

(i) ,

(П.1.21)

определяющиеся согласно

формуле (П.1.18). На основании уравнения (П.1.21) модель объекта управления можно представить обобщенной нечеткой моделью, приведенной на рисунке П.1.4 ( ЛДЗ j – линейные динамические звенья с весовыми функциями

j (i ) ).

По известным

u (i ), y (i ) , с использованием формулы  x (i ), y (i ) . На основе (П.1.18), определяются N пар значений данной информации, можно провести аппроксимацию зависимости ( ) (см. формулы (П.1.21)) самоорганизующейся нечеткой системой. Достоинством предложенного алгоритма является отсутствие накопления погрешности, свойственного модели типа “авторегрессия – скользящее среднее”.

144

Рисунок П.1.4 – Обобщенная нечеткая модель на основе аппроксимации дискретной весовой функции Теорема П.1.1. Если выбранный базис

T

(i )

1 (i ),

2 (i ), ...,

n (i )

(П.1.22)

таков, что в области допустимых значений аргумента возможно представление:



(i 1)

 A (i) ,

(П.1.23)

145



T то для вектора x (i )

x1 (i ), x2 (i ), ..., xn (i ) , с компонентами i

x j (i)

j (i

k )u (k )

(П.1.24)

k 1

справедливо разностное уравнение:

  A x (i 1) b u (i ) ,

 x (i ) 

где b



(П.1.25)

(0) .

Доказательство. Решение уравнения (П.1.25) при нулевых начальных условиях имеет вид [21]:

 x (i)

 G(i k )b u (k ) ,

i

(П.1.26)

k 1

G(i) – переходная матрица системы (П.1.25). Решение уравнения (П.1.23) при нулевых начальных условиях имеет вид [21]:



Ai

(i )



( 0) .

(П.1.27)

Подставляя (П.1.26) в (П.1.24) получим:

 x (i)

i

Ai

k



(0) u (k ) .

(П.1.28)

k 0

Сопоставляя (П.1.26) и (П.1.28) на основании теоремы существования и единственности решения разностного уравнения [141, 142], получим:

G (i k )

 Ai k , b

(0) .

(П.1.29)

Таким образом (П.1.24), является решением разностного уравнения (П.1.25), что и доказывает теорему. ■

146

Выберем в качестве базисных функций:

qi ,

1 (i)

i qi ,

2 (i)

(П.1.30)

……….

in

n (i )

1

qi

(такой базис введен в работе [46]). Для момента времени i 1 имеем j (i

(i 1) j

1)

1

qi 1 .

Воспользовавшись формулой бинома Ньютона [78]

(i 1) j

j

1

C lj

1 1

il 1 ,

l 1

n(n 1)... n (m 1) m!

где Cnm

n! , m!(n m)!

из последнего выражения получим: j j (i

1)

q

C lj

1 1 l (i )

.

(П.1.31)

l 1

Выражение (П.1.31) можно переписать в матричной форме:



где

A

1 1 1

0 1 2

...

...

1

(i 1) 0 0 1

 A (i) ,

(П.1.32)

... 0 ... 0 ... 0 . ... ...

... (n 1)( n 2) n 1 ... 1 2

147

Выражение (П.1.32) позволяет использовать в рассматриваемом случае результаты теоремы П.1.1, в частности формулу (П.1.25), откуда

 b



( 0)

1, 0, 0, ..., 0 . Замечание. Формула (П.1.32) получена в работе [46], но другим, более сложным методом. Перейдем к рассмотрению алгоритма построения модели. Исходными данными является следующее: массив экспериментальных данных (П.1.15), набор базисных функций (П.1.22) (по умолчанию используются базисные функции (П.1.30)), априорная информация качественного характера об искомой зависимости ( ) (см. формулу (П.1.21), записанная в виде совокупности m0 нечетких продукционных правил вида: Пr: если x1 есть A r 1 и x2 есть A r 2 и … и xn есть A

y

rn ,

то

yr ,

где

r 1, 2, ..., m0 – номер правила в базе знаний, x j  ( j 1, 2, ..., n ) – компоненты вектора x , A r j – некоторые нечеткие числа, имеющие функции принадлежности

rj ( x j )

.

Предлагаемый алгоритм идентификации состоит в реализации последовательности следующих шагов. Шаг 0. Задается: 0 – погрешность аппроксимации, 0 – минимальное расстояние между центрами добавляемых в базу знаний правил. Устанавливается текущие параметры: число правил в базе знаний m m0 и номер обучающей точки i 1 . Шаг 1. На основании решения уравнений (П.1.18) или (П.1.25)  определяется очередная точка x (i ) . Если формируемая база знаний пуста или выполняется условие: m

yr



r ( x (i ))

0,

(П.1.33)

r 1



где r (x) – результирующая функция принадлежности предпосылок r -го правила, определяемая формулой: 148



r ( x (i))

r1 ( x1 (i))

r 2 ( x2 (i))

...

rn ( xn (i)) ,

(П.1.34)

то переход к шагу 3, иначе с помощью алгоритма нечеткого вывода Сугэно (Sugeno) 0-го порядка с использованием имеющихся продукционных правил, рассчитывается прогнозируемое значение y (i ) :



m

y (i )

 ( x (i ))

yr r 1 m

r ( x (i ))

 r ( x (i ))

(П.1.35)

,

r 1

Шаг 2. Проверяются неравенства:

yi yi



0

и cr

 x

0,

L

(П.1.36)

где r m0 1, m0 2, ..., m , т. е. рассматриваются лишь те правила, которые были добавлены в процессе работы алгоритма,

 cr

 x

L

max cr 1 x1 , cr 2

x2 , ..., cr n

xn .

При невыполнении неравенств (П.1.36) переход к шагу 3, иначе переход к шагу 5. Шаг 3. База знаний пополняется правилом вида: Пm+1: если x1 есть A(m

A( m где

1 ) n , то

A(m

1)1 ,

ym A(m

1

y(i) ,

1) 2 ,

…, A( m

1) n

1)1

и x2 есть A(m

1) 2

и … xn есть

– нечеткие числа с треугольными

функциями принадлежности:

149

( m 1) j ( x j )

xj

1

c( m

1) j

, если x j

c( m

если x j

c( m

0, где

c( m

c( m

1) j

– центры нечетких чисел

i

1)1

j,

1) j

(П.1.37)

j

x1 , c( m

i

x2 , …, c( m

1) 2

1) j

A( m

1) j

,

j

, при значениях

i

xn соответственно (фактически

1) n

добавление нового продукционного правила сводится к добавлению в базу знаний строки вида

i

i

i

i < x1 , x2 , ..., xn , y >;

j

– постоянные

параметры, значения которых выбирается на шаге 4. Значение m модифицируется: m m 1 .



Если точка x i совпадает с какой-либо из имеющихся точек < cr 1 , cr 2 , ..., cr n >, то указанное пополнение базы знаний не i

yr ) / 2 , после чего, производится, а осуществляется замена yr на ( y переход к шагу 5. Шаг 4. Параметры функций принадлежности всех j продукционных правил корректируется в соответствии с формулой:

max ( x j ) min ( x j ) , если m m0 i

j

i

max ( x j ) min ( x j ) /( n m m0 1), если m m0 i

i

2 n, 2n , j 1, 2, ..., n. (П.1.38)

При

такой

коррекции

значение

параметров

j

будет

приблизительно равно среднему расстоянию по координате j между обучающими точками, вошедшими в базу знаний. Шаг 5. Проверяется правило останова – "просмотрены" ли все N обучающих точек. Если правило останова не выполняется, то i=i+1 и переход к шагу 1, в противном случае останов, база знаний считается сформированной. Определение П.1.2. Под нечетким дополняющим алгоритм для динамических объектов на основе аппроксимации весовой функции объекта будет пониматься рассмотренный выше алгоритм самоорганизации систем нечеткого логического вывода. 150

На стадии эксплуатации полученной нечеткой модели производится совместное решение разностных уравнений (П.1.18) или (П.1.25) и соотношения: m

 y ( x (i ))

yr r 1 m



r ( x (i ))

 r ( x (i ))

,

(П.1.39)

r 1

где



r (x )

определяются формулой (П.1.34).

151

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. СИСТЕМЫ C НЕЧЕТКИМИ МОДЕЛЯМИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ 1.1. Системы управления для работы в условиях неопределенности математического описания объекта 1.2 Обобщенная нечеткая модель динамического объекта 1.3. Подходы к построению алгоритмов идентификации на основе нечетких моделей 1.4. Синтез нечетких систем управления 1.5. Задачи исследования 2. СИНТЕЗ СИСТЕМ С НЕЧЕТКИМИ МОДЕЛЯМИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ 2.1. Синтез ПИД-регуляторов для объектов управления, заданных нечеткими моделями 2.1.1. Математическое описание ПИД-регулятора 2.1.2. Алгоритм синтеза ПИД-регулятора 2.1.3. Выбор критерия качества системы управления 2.2. Синтез нечетких регуляторов на основе принципов обратной динамики и самоорганизации 2.3. Синтез нечетких регуляторов с помощью нечеткого дополняюще-оптимизирующего алгоритма 2.3.1. Нечеткий дополняюще-оптимизирующий алгортм самоорганизации системы нечеткого вывода 2.3.2. Синтез нечетких регуляторов на основе дополняющеоптимизирующего алгоритма 2.3.3. Эмпирический синтез нечетких систем управления 2.3.4. Примеры синтеза нечетких САУ на основе дополняюще-оптимизирующего алгоритма ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ Идентификация сложных динамических объектов с помощью нечетких моделей

152

3 6 6 24 30 40 46 49

49 49 51 52 61 70 70 80 82 92 110 113 135

Усков Андрей Александрович

СИСТЕМЫ С НЕЧЕТКИМИ МОДЕЛЯМИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ Монография

Подписано в печать 29.04.2013 Формат 60x84 1/16. Печать цифровая Печ. л. 9,56. Тираж 150 экз. Смоленский филиал Российского университета кооперации 214018, Смоленск, проспект Гагарина, 58

153