Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы

А. Г. ЦЫПКИН, А. И. ПИНСКИЙ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ С МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ 3-е издание, исправленное

Москва ОНИКС Мир и Образование 2007

УДК 51(075.3) ББК 22.1я72 Ц97

Цыпкин А. Г. Ц97 Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы / А. Г. Цыпкин, А. И. Пинский. — 3-е изд., испр. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 640 с.: ил. ISBN 5-488-00721-0 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 5-94666-341-0 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)

Данное справочное пособие включает все основные разделы школьной программы по математике. Книга содержит необходимые теоретические сведения и методы решения задач, иллюстрируемые подробно разобранными примерами. Упражнения для самостоятельного решения включают задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Приводятся ответы, указания или решения ко всем упражнениям. Пособие адресовано учащимся старших классов, абитуриентам и учителям математики. УДК 51(075.3) ББК 22.1я72 ISBN 5-488-00721-0 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 5-94666-341-0 (ООО «Издательство «Мир и Образование») © Арманд Р. П., наследник, 2007 © Оформление переплета. ООО «Издательство Оникс», 2007

От издательства

Настоящее учебное пособие представляет собой третье, переработанное и исправленное издание нии тех же авторов (первые два издания под названием «Справочни по методам решения задач по математие для средней шолы» были выпущены в 1983 и 1989 .). Оно предназначено для учащихся, желающих систематизировать, улубить и расширить свои знания по математие, для тоо чтобы лучше подотовиться  выпусным эзаменам в шоле и вступительным эзаменам в вуз. Цель нии — изложить методы решения задач из урса математии средней шолы, а таже тех задач, оторым в шоле по тем или иным причинам не уделяется должноо внимания. Попытой достинуть этой цели и определяется струтура нии. В начале аждоо парарафа рато изложен теоретичесий материал (определения, основные теоремы и формулы), знание отороо необходимо для решения задач данноо раздела. Это позволяет использовать ниу, не прибеая дополнительно  шольным учебниам. Затем уазывается метод решения задач аоо-либо вида и рассматривается пример, в отором используется этот метод. После этоо приводятся упражнения для самостоятельноо решения (о всем упражнениям в онце нии даны ответы, а  неоторым — уазания или решения). Таая форма изложения, по мнению авторов, наиболее удобна для ативноо усвоения методов решения задач. В ряде случаев при рассмотрении примеров дается, возможно, не самое оротое и изящное решение. Это объясняется прежде всео тем, что при решении примеров авторы в первую очередь стремились дать налядное представление о предложенном методе, а вовсе не о демонстрации нестандартных подходов  решению различных

4

От издательства

задач. Упражнения для самостоятельноо решения в основном взяты из вариантов, предлаавшихся на вступительных эзаменах по математие в вузы с повышенными требованиями  математичесой подотове абитуриентов. В ние таже содержится материал, выходящий за рами ныне действующей прораммы по математие для учащихся средних шол: например, уравнения и неравенства, содержащие обратные трионометричесие фунции (§ 27 и § 29 л. 5); омплесные числа (§§ 31—34 л. 6); непрерывность фунции в точе (§ 44 л. 8); ряд задач на омбинации мнооранниов и фиур вращения (§ 75 л. 13); ряд задач, решаемых с помощью метода оординат и методов веторной алебры (§ 78 и § 80 л. 14). Однао авторы полаают, что изучение этоо материала будет способствовать развитию и повышению математичесой ультуры учащихся, а таже принесет пользу при дальнейшем обучении в вузе. Безусловно, уазанный дополнительный материал будет полезен учащимся шол, лицеев и имназий, изучающих математиу по расширенной прорамме. Для удобства пользования ниой в ней приняты следующие обозначения: рядом с номерами тех упражнений,  оторым даны уазания или решения, ставятся соответственно знаи
и ; те же знаи ставятся и в онце нии перед уазаниями или решениями. При подотове настоящео издания нии ее научное и литературное редатирование, переработу части материала, проверу мноих решений и ответов, устранение замеченных неточностей и опечато выполнил А. М. Суходсий. Издательство будет блаодарно всем, то пришлет свои замечания, советы и пожелания, связанные с этой ниой. Желаем вам успехов!

Глава 1 Преобразование алгебраических выражений При преобразованиях алебраичесих выражений используют формулы соращенноо умножения и правила действий со степенями. Формлы со ращенноо множения (a + b)(a – b) = a2 – b2, (a2

(2)

(a2 – ab + b2)(a + b) = a3 + b3,

(3)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(4)

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2,

(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(6)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

(7)

– b) =

a3

(1) b3,

+ ab +

b2)(a

–

Правила действий со степенями Если a > 0, то am · an = am + n, (am)n a0 am n

:

an

=

amn,

= 1, =

(9) (10)

am – n,

a m = am/n,

(8)

n − 0,

1 n a–n =  --a-  .  

(11) (12) (13)

Если a > 0, b > 0, n Ý N, то n

ab =

n

a

n

n a a = -------- . b n b

n ---

b,

(14) (15)

4

От издательства

задач. Упражнения для самостоятельноо решения в основном взяты из вариантов, предлаавшихся на вступительных эзаменах по математие в вузы с повышенными требованиями  математичесой подотове абитуриентов. В ние таже содержится материал, выходящий за рами ныне действующей прораммы по математие для учащихся средних шол: например, уравнения и неравенства, содержащие обратные трионометричесие фунции (§ 27 и § 29 л. 5); омплесные числа (§§ 31—34 л. 6); непрерывность фунции в точе (§ 44 л. 8); ряд задач на омбинации мнооранниов и фиур вращения (§ 75 л. 13); ряд задач, решаемых с помощью метода оординат и методов веторной алебры (§ 78 и § 80 л. 14). Однао авторы полаают, что изучение этоо материала будет способствовать развитию и повышению математичесой ультуры учащихся, а таже принесет пользу при дальнейшем обучении в вузе. Безусловно, уазанный дополнительный материал будет полезен учащимся шол, лицеев и имназий, изучающих математиу по расширенной прорамме. Для удобства пользования ниой в ней приняты следующие обозначения: рядом с номерами тех упражнений,  оторым даны уазания или решения, ставятся соответственно знаи
и ; те же знаи ставятся и в онце нии перед уазаниями или решениями. При подотове настоящео издания нии ее научное и литературное редатирование, переработу части материала, проверу мноих решений и ответов, устранение замеченных неточностей и опечато выполнил А. М. Суходсий. Издательство будет блаодарно всем, то пришлет свои замечания, советы и пожелания, связанные с этой ниой. Желаем вам успехов!

Глава 1 Преобразование алгебраических выражений При преобразованиях алебраичесих выражений используют формулы соращенноо умножения и правила действий со степенями. Формлы со ращенноо множения (a + b)(a – b) = a2 – b2, (a2

(2)

(a2 – ab + b2)(a + b) = a3 + b3,

(3)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(4)

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2,

(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(6)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

(7)

– b) =

a3

(1) b3,

+ ab +

b2)(a

–

Правила действий со степенями Если a > 0, то am · an = am + n, (am)n a0 am n

:

an

=

amn,

= 1, =

(9) (10)

am – n,

a m = am/n,

(8)

n − 0,

1 n a–n =  --a-  .  

(11) (12) (13)

Если a > 0, b > 0, n Ý N, то n

ab =

n

a

n

n a a = -------- . b n b

n ---

b,

(14) (15)

6

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений Если a < 0, b < 0, n = 2k, k Ý N, то n

ab =

n

a

b ,

n

(16)

n a a = ----------- . b n b

n ---

ab =

n

a

n a a = -------- , b n b

b,

(18)

b − 0.

(19)

n

a 2m =

n

am.

(20)

Под упрощением иррациональноо выражения понимают приведение ео  виду, содержащему меньшее число алебраичесих операций над входящими в исходное выражение переменными. Для упрощения иррациональноо выражения часто разлаают исходное выражение на множители, а затем выносят общий множитель за соби. П р и м е р 1. Упростить выражение a a+b b 2 b ab --------------------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b ( a + b)(a – b) a+ b

a a + b b = a3/2 + b3/2 = (a 1/2 )

3

=

+

x–y x–y ---------------------- – ---------------------x + y 2 xy x– y 1. ---------------------------------------------------- · -------------y–x . x+ y x– y ---------------------- + ---------------------x–y x–y

 a+ b  3. a  ----------------------   2b a 

–1

 a+ b  + b  ----------------------   2a b 

  (ab)–1/2.  

–1

.

 x 1/2 + y 1/2 x 1/2 – y 1/2  –1/2 - – ----------------------------  (y – x–1/2). 4.  ---------------------------1/2 1/2 x 1/2 + y 1/2   x –y 2

5. ( (

4

a –

4

b)

–2

+ (

4

a +

4

b)

–2

 a+ b  -  . ) :  -------------------- a–b 

2

( a 1/m – a 1/n ) + 4a ( m + n )/mn

3

+ (b 1/2 ) .

( a 2/m

–

a 2/n ) ( m

am + 1 + n an + 1 )

1 ----------------- + a – 1 a–1 a–1 - : --------------------------------------------------------------------------------- . 7. -----------------------------------------1 1 (a – 1) a + 1 – (a + 1) a – 1 ------------------ – ----------------a–1 a+1 ( a + b ) 2 – 4b

a + 9b + 6 ab 1 1 ------- + ------b a

8. --------------------------------------------------------- : --------------------------------------- .

Используя формулу (3), получаем +

Ответ. 1.

6. ------------------------------------------------------------------------------------------ .

Р е ш е н и е. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе первой дроби данноо выражения. Для этоо представим числитель в виде

(a1/2

a – ab + b + 2 ab – 2b – ab a–b ------------------------------------------------------------------------------------- = ------------- = 1. a–b a–b

–1   a– b  1 --------------------------2.  --------------------------------------–  a 3/2 – b 3/2  –2 (a 1/2 + b 1/2 )   

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

3 (b 1/2 )

(*)

Упростите выражение:

Если n Ý N, m Ý N, то

3 (a 1/2 )

a – ab + b 2 b ab ------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b a–b a+ b

Приведя выражение (*)  общему знаменателю, имеем

n ---

2n

7

Множитель a1/2 + b1/2 = a + b является общим для числителя и знаменателя дроби. После ее соращения данное выражение примет вид

(17)

Если n = 2k + 1, k Ý N, то n

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

b1/2)

(a –

a1/2b1/2

+ b).

 1 1 ( a – b ) :  --- + 3 ---  a  b

6

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений Если a < 0, b < 0, n = 2k, k Ý N, то n

ab =

n

a

b ,

n

(16)

n a a = ----------- . b n b

n ---

ab =

n

a

n a a = -------- , b n b

b,

(18)

b − 0.

(19)

n

a 2m =

n

am.

(20)

Под упрощением иррациональноо выражения понимают приведение ео  виду, содержащему меньшее число алебраичесих операций над входящими в исходное выражение переменными. Для упрощения иррациональноо выражения часто разлаают исходное выражение на множители, а затем выносят общий множитель за соби. П р и м е р 1. Упростить выражение a a+b b 2 b ab --------------------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b ( a + b)(a – b) a+ b

a a + b b = a3/2 + b3/2 = (a 1/2 )

3

=

+

x–y x–y ---------------------- – ---------------------x + y 2 xy x– y 1. ---------------------------------------------------- · -------------y–x . x+ y x– y ---------------------- + ---------------------x–y x–y

 a+ b  3. a  ----------------------   2b a 

–1

 a+ b  + b  ----------------------   2a b 

  (ab)–1/2.  

–1

.

 x 1/2 + y 1/2 x 1/2 – y 1/2  –1/2 - – ----------------------------  (y – x–1/2). 4.  ---------------------------1/2 1/2 x 1/2 + y 1/2   x –y 2

5. ( (

4

a –

4

b)

–2

+ (

4

a +

4

b)

–2

 a+ b  -  . ) :  -------------------- a–b 

2

( a 1/m – a 1/n ) + 4a ( m + n )/mn

3

+ (b 1/2 ) .

( a 2/m

–

a 2/n ) ( m

am + 1 + n an + 1 )

1 ----------------- + a – 1 a–1 a–1 - : --------------------------------------------------------------------------------- . 7. -----------------------------------------1 1 (a – 1) a + 1 – (a + 1) a – 1 ------------------ – ----------------a–1 a+1 ( a + b ) 2 – 4b

a + 9b + 6 ab 1 1 ------- + ------b a

8. --------------------------------------------------------- : --------------------------------------- .

Используя формулу (3), получаем +

Ответ. 1.

6. ------------------------------------------------------------------------------------------ .

Р е ш е н и е. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе первой дроби данноо выражения. Для этоо представим числитель в виде

(a1/2

a – ab + b + 2 ab – 2b – ab a–b ------------------------------------------------------------------------------------- = ------------- = 1. a–b a–b

–1   a– b  1 --------------------------2.  --------------------------------------–  a 3/2 – b 3/2  –2 (a 1/2 + b 1/2 )   

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

3 (b 1/2 )

(*)

Упростите выражение:

Если n Ý N, m Ý N, то

3 (a 1/2 )

a – ab + b 2 b ab ------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b a–b a+ b

Приведя выражение (*)  общему знаменателю, имеем

n ---

2n

7

Множитель a1/2 + b1/2 = a + b является общим для числителя и знаменателя дроби. После ее соращения данное выражение примет вид

(17)

Если n = 2k + 1, k Ý N, то n

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

b1/2)

(a –

a1/2b1/2

+ b).

 1 1 ( a – b ) :  --- + 3 ---  a  b

8

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

приведением радиалов  общему поазателю представим второй сомножитель в виде

2

 1 1 2 1 + ---  --- – t  4 t  9. ---------------------------------------------------------------------------------------- .

Дальнейшее упрощение выполним по схеме предыдущео примера:

Инода выражения, содержащие произведение радиалов с различными поазателями степени, удается упростить, приведя все радиалы  одному поазателю. П р и м е р 2. Упростить выражение x( 7 + 4 3 ) ·

2 x – 3x = =

4

4

x( 7 + 4 3 ) ·

2

=

10.

4

11.

6

=

2 x – 3x = 4

4

x 2 ( 49 – 48 ) =

x2 ( 7 + 4 3 )( 7 – 4 3 ) = 4

x2 =

x

(при переходе  последнему выражению зна модуля можно опустить, та а исходное выражение определено тольо при x l 0). Ответ.

6

( 3x – 2 x ) 2 =

6x ( 5 + 2 6 ) ·

3 2x – 2 3x .

4x ( 11 + 4 6 ) ·

3

x.

2 3x – 4 2x .

( 2p + 1 ) 3 + ( 2p – 1 ) 3

12. ------------------------------------------------------------------ . 4p + 2 4p 2 – 1

3

x + 2 – x2 ⋅ 6 1 – x 2 – x2

13. --------------------------------------------------------------------------------- . 3

3

x( 7 + 4 3 ) ·

3x – 2 x = – 6 x ( 7 + 4 3 ) · = – 6 x 2 ( 49 – 48 ) = – 3 x .

7x – 4 3x .

Тода исходное выражение преобразуется следующим образом: 4

3

Упростите выражение:

2 x – 3x та:

( 2 x – 3x )

4x – 4 3x + 3x =

6

Ответ. – 3 x .

2 x – 3x .

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал 4

3x – 2 x = – 3 2 x – 3x = – 6 ( 2 x – 3x ) 2 .

3

2

  1 1 1 1 1 + ---  --- – t  – ---  --- – t  2 4 t t   

4

9

1 – x2

26 – 15 3 ( 2 – 3 ) 7–4 3

14. -------------------------------------------------------- . 1 15.  --2

3

20 + 14 2 ·

6–4 2 +

  a–1 1 3 ( a + 3 ) a – 3a – 1  :  --------------------------- + 1  .   2( a + 1) 

+ --22b – 2 b 2 – 4

При преобразовании радиалов необходимо учитывать, что по определению орень четной степени есть величина неотрицательная, в то время а орень нечетной степени может быть а неотрицательной, та и отрицательной величиной. П р и м е р 3. Упростить выражение 6

x(7 + 4 3) ·

3

3x – 2 x .

Р е ш е н и е. Та а 3x – 2 x m 0 (в чем можно убедиться, сравнив вадраты уменьшаемоо и вычитаемоо), то перед

16. --------------------------------------------- . b2 – 4 – (b + 2 )

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля Преобразование выражений, в оторых наряду с арифметичесими операциями присутствует зна модуля (абсолютной величины) от неоторой фунции, обычно производят отдельно на аждом промежуте знаопостоянства этой фунции.

8

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

приведением радиалов  общему поазателю представим второй сомножитель в виде

2

 1 1 2 1 + ---  --- – t  4 t  9. ---------------------------------------------------------------------------------------- .

Дальнейшее упрощение выполним по схеме предыдущео примера:

Инода выражения, содержащие произведение радиалов с различными поазателями степени, удается упростить, приведя все радиалы  одному поазателю. П р и м е р 2. Упростить выражение x( 7 + 4 3 ) ·

2 x – 3x = =

4

4

x( 7 + 4 3 ) ·

2

=

10.

4

11.

6

=

2 x – 3x = 4

4

x 2 ( 49 – 48 ) =

x2 ( 7 + 4 3 )( 7 – 4 3 ) = 4

x2 =

x

(при переходе  последнему выражению зна модуля можно опустить, та а исходное выражение определено тольо при x l 0). Ответ.

6

( 3x – 2 x ) 2 =

6x ( 5 + 2 6 ) ·

3 2x – 2 3x .

4x ( 11 + 4 6 ) ·

3

x.

2 3x – 4 2x .

( 2p + 1 ) 3 + ( 2p – 1 ) 3

12. ------------------------------------------------------------------ . 4p + 2 4p 2 – 1

3

x + 2 – x2 ⋅ 6 1 – x 2 – x2

13. --------------------------------------------------------------------------------- . 3

3

x( 7 + 4 3 ) ·

3x – 2 x = – 6 x ( 7 + 4 3 ) · = – 6 x 2 ( 49 – 48 ) = – 3 x .

7x – 4 3x .

Тода исходное выражение преобразуется следующим образом: 4

3

Упростите выражение:

2 x – 3x та:

( 2 x – 3x )

4x – 4 3x + 3x =

6

Ответ. – 3 x .

2 x – 3x .

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал 4

3x – 2 x = – 3 2 x – 3x = – 6 ( 2 x – 3x ) 2 .

3

2

  1 1 1 1 1 + ---  --- – t  – ---  --- – t  2 4 t t   

4

9

1 – x2

26 – 15 3 ( 2 – 3 ) 7–4 3

14. -------------------------------------------------------- . 1 15.  --2

3

20 + 14 2 ·

6–4 2 +

  a–1 1 3 ( a + 3 ) a – 3a – 1  :  --------------------------- + 1  .   2( a + 1) 

+ --22b – 2 b 2 – 4

При преобразовании радиалов необходимо учитывать, что по определению орень четной степени есть величина неотрицательная, в то время а орень нечетной степени может быть а неотрицательной, та и отрицательной величиной. П р и м е р 3. Упростить выражение 6

x(7 + 4 3) ·

3

3x – 2 x .

Р е ш е н и е. Та а 3x – 2 x m 0 (в чем можно убедиться, сравнив вадраты уменьшаемоо и вычитаемоо), то перед

16. --------------------------------------------- . b2 – 4 – (b + 2 )

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля Преобразование выражений, в оторых наряду с арифметичесими операциями присутствует зна модуля (абсолютной величины) от неоторой фунции, обычно производят отдельно на аждом промежуте знаопостоянства этой фунции.

10

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений П р и м е р 1. Упростить выражение

y 5 + y 4 3 2 + 3 4y 9 y –1 –1

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал, записанный в знаменателе: x 2 – 2x + 1 ------------------------------- = x

(x – 1)2 x–1 --------------------- = ---------------- . x x

(*)

x x – 3 + x2 – 9 -. 3. ------------------------------------------2x 3 – 3x 2 – 9x

25 2 y + 5 – y + -----y -. 4. -------------------------------------------3y 2 + 10y – 25

4x + 4 + x – 1 x 2x – x – 1

z–1 ⋅ z z –z+1– z

-. 5. ----------------------------------------2 4

6. -------------------------------------. 2

3

a 2 – 2ab + b 2

2a

- + ------------- при 0 < a < b. 8. ---------------------------------------a+b a 2 + 2ab + b 2

(**)

1 2 x ( 1 – x )  --- + x – ---  x x   x x2 – 1 ------------------------------------------------------------ = ------- (1 + x2 – 2) = ---------------- . 1–x x x

При x Ý (1; +×) по определению модуля имеем |x – 1| = x – 1, а выражение (**) примет вид 1 2 x ( x – 1 )  --- + x + ---  x x x2 + 3 ------------------------------------------------------------ = ----------------- . x–1 x

2

 1+ 1–x 1– 1+x  x2 – 1 - + 1. 9.  --------------------------------------- + ---------------------------------------  · --------------2 1+x– 1+x   1–x+ 1–x 10.

2 (2a +

a 2 – b 2 ) a – a 2 – b 2 при a > 0, b > 0.

Упрощение выражений, содержащих полный вадрат под зна ом ради ала. Для тоо чтобы убедиться, что под знаом радиала находится полный вадрат неотороо выражения, инода удобно сделать замену, рационализирующую это выражение. П р и м е р 2. Упростить выражение x + 2 2x – 4 –

x – 2 2x – 4 .

Р е ш е н и е. Сделаем замену t =

(*) t2 + 4

2x – 4 . Тода x = --------------2 ,

а выражение (*) примет вид t 2 + 4t + 4 ----------------------------- – 2 x2 – 1 x

Ответ. При x Ý (0; 1) исходное выражение равно ---------------- , x2 + 3 x

2. -------------------------------------. 2

x – 5x + 7x – 3

Та а фунция, заданная выражением (**), определена при x > 0, x − 1, то она имеет два промежута знаопостоянства: (0; 1) и (1; +×). Упростим выражение (**) на аждом из уазанных промежутов. При x Ý (0; 1) по определению модуля имеем |x – 1| = 1 – x, а выражение (**) примет вид

а при x Ý (1; +×) оно равно ----------------- .

xx–3 (x – x – 6) x

1. ---------------------------------------------------. 3

x –x –x+1 - |x – 3|. 7. ----------------------------------------------3 2

Подставив выражение (*) в исходную дробь, получим  x–1 2  ---------------- + x x – 1 + 2 – ---  x x  x --------------------------------------------------------------------------------- . x–1

11

Упростите выражение и найдите область допустимых значений неизвестноо, если она не уазана:

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x x ------------------------------------------------------------------ . 1 x – 2 + --x

1 x – 2 + --x- =

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

t 2 – 4t + 4 ----------------------------- = 2 t+2

( t + 2 )2 -------------------- – 2 t–2

- – --------------- . = --------------2 2

( t – 2)2 -------------------- = 2

(**)

Дальнейшее упрощение проводим по схеме, рассмотренной в примере 1. Разобьем все множество допустимых значений t

10

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений П р и м е р 1. Упростить выражение

y 5 + y 4 3 2 + 3 4y 9 y –1 –1

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал, записанный в знаменателе: x 2 – 2x + 1 ------------------------------- = x

(x – 1)2 x–1 --------------------- = ---------------- . x x

(*)

x x – 3 + x2 – 9 -. 3. ------------------------------------------2x 3 – 3x 2 – 9x

25 2 y + 5 – y + -----y -. 4. -------------------------------------------3y 2 + 10y – 25

4x + 4 + x – 1 x 2x – x – 1

z–1 ⋅ z z –z+1– z

-. 5. ----------------------------------------2 4

6. -------------------------------------. 2

3

a 2 – 2ab + b 2

2a

- + ------------- при 0 < a < b. 8. ---------------------------------------a+b a 2 + 2ab + b 2

(**)

1 2 x ( 1 – x )  --- + x – ---  x x   x x2 – 1 ------------------------------------------------------------ = ------- (1 + x2 – 2) = ---------------- . 1–x x x

При x Ý (1; +×) по определению модуля имеем |x – 1| = x – 1, а выражение (**) примет вид 1 2 x ( x – 1 )  --- + x + ---  x x x2 + 3 ------------------------------------------------------------ = ----------------- . x–1 x

2

 1+ 1–x 1– 1+x  x2 – 1 - + 1. 9.  --------------------------------------- + ---------------------------------------  · --------------2 1+x– 1+x   1–x+ 1–x 10.

2 (2a +

a 2 – b 2 ) a – a 2 – b 2 при a > 0, b > 0.

Упрощение выражений, содержащих полный вадрат под зна ом ради ала. Для тоо чтобы убедиться, что под знаом радиала находится полный вадрат неотороо выражения, инода удобно сделать замену, рационализирующую это выражение. П р и м е р 2. Упростить выражение x + 2 2x – 4 –

x – 2 2x – 4 .

Р е ш е н и е. Сделаем замену t =

(*) t2 + 4

2x – 4 . Тода x = --------------2 ,

а выражение (*) примет вид t 2 + 4t + 4 ----------------------------- – 2 x2 – 1 x

Ответ. При x Ý (0; 1) исходное выражение равно ---------------- , x2 + 3 x

2. -------------------------------------. 2

x – 5x + 7x – 3

Та а фунция, заданная выражением (**), определена при x > 0, x − 1, то она имеет два промежута знаопостоянства: (0; 1) и (1; +×). Упростим выражение (**) на аждом из уазанных промежутов. При x Ý (0; 1) по определению модуля имеем |x – 1| = 1 – x, а выражение (**) примет вид

а при x Ý (1; +×) оно равно ----------------- .

xx–3 (x – x – 6) x

1. ---------------------------------------------------. 3

x –x –x+1 - |x – 3|. 7. ----------------------------------------------3 2

Подставив выражение (*) в исходную дробь, получим  x–1 2  ---------------- + x x – 1 + 2 – ---  x x  x --------------------------------------------------------------------------------- . x–1

11

Упростите выражение и найдите область допустимых значений неизвестноо, если она не уазана:

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x x ------------------------------------------------------------------ . 1 x – 2 + --x

1 x – 2 + --x- =

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

t 2 – 4t + 4 ----------------------------- = 2 t+2

( t + 2 )2 -------------------- – 2 t–2

- – --------------- . = --------------2 2

( t – 2)2 -------------------- = 2

(**)

Дальнейшее упрощение проводим по схеме, рассмотренной в примере 1. Разобьем все множество допустимых значений t

12

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

выражения (**) на три промежута: (–×; –2]; (–2; 2]; (2; +×). В аждом из них для выражения (**) получаем: –t–2+t–2 ------------------------------------- = –2, 2

t Ý (–2; 2];

t+2–t+2 -------------------------------- = 2, 2

t Ý (2; +×).

Чтобы возвратиться  исходной переменной x, необходимо решить неравенства –2 <

2x – 4 m 2,

2x – 4 > 2.

Их решениями являются соответственно следующие множества значений: ¾, 2 m x m 4, x > 4. Ита, оончательно имеем x + 2 2x – 4 –

16.

x 2 – 12x + 36 –

x – 2 2x – 4 =

2x – 4 , 2,

2 m x m 4, x > 4.

x2 .

Вычисление значения иррациональноо выражения с ео предварительным прощением. В неоторых случаях для тоо чтобы вычислить алебраичесое выражение при онретных значениях входящих в нео переменных, целесообразно ео предварительно упростить. П р и м е р 3. Вычислить значение выражения x–2 2 x+2 2 ------------------------------------------- – -------------------------------------------x 2 – 4x 2 + 8 x 2 + 4x 2 + 8

Упростите выражение: x–1 -------------- + x+1

x+1 -------------- – 2 · (2x + x–1

 x 0,5 + 3  x–9 - : -----------------------  12.  ----------------------------------0,5 1,5  x + 3x + 9 x – 27 

x 2 – 1 ).

0,5

2x – 4 ,

при

x = 3.

Р е ш е н и е. Упростим исходное выражение: x–2 2 x+2 2 ( x – 2 2 ) 1/2 ( x + 2 2 ) 1/2 --------------------------------- – ---------------------------------- = ---------------------------------- – ----------------------------------- . 2 2 x–2 2 x+2 2 (x – 2 2) (x + 2 2)

(*)

Значение x = 3 принадлежит промежуту (2 2 ; +×) знаопостоянства фунций, находящихся под знаом модуля. На этом промежуте имеем |x – 2 2 | = x – 2 2

Ответ. При x Ý [2; 4] данное выражение равно а при x Ý (4; +×) оно равно 2.

11.

13

17. (x + 2 2x – 4 )–1/2 + (x – 2 2x – 4 )–1/2. t Ý (–×; –2];

t+2+t–2 -------------------------------- = t, 2

2x – 4 m –2,

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

и

|x + 2 2 | = x + 2 2

и, следовательно, выражение (*) примет вид 1 1 ( x + 2 2 ) 1/2 – ( x – 2 2 ) 1/2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . (**) 1/2 – 1/2 = ( x 2 – 8 ) 1/2 (x – 2 2) (x + 2 2)

Подставив x = 3 в выражение (**), получим (3 + 2 2)

1/2

– (3 – 2 2)

1/2

=

– x0,5. = (3 + 2 2)

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  13. ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) · --x

1/2

 3–2 2  1 –  ----------------------   3+2 2 

1/2

.

3–2 2 3+2 2

(***)

Умножим числитель и знаменатель дроби ---------------------- на 3 + 2 2 :

14.

x+6 x–2+7 +

15.

x+2 x–1 –

x–6 x+2+7.

x–2 x–1.

3–2 2 3+2 2 9–8 1 ---------------------- · ---------------------- = -----------------------------2- = -----------------------------2- . 3+2 2 3+2 2 (3 + 2 2 ) (3 + 2 2 )

12

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

выражения (**) на три промежута: (–×; –2]; (–2; 2]; (2; +×). В аждом из них для выражения (**) получаем: –t–2+t–2 ------------------------------------- = –2, 2

t Ý (–2; 2];

t+2–t+2 -------------------------------- = 2, 2

t Ý (2; +×).

Чтобы возвратиться  исходной переменной x, необходимо решить неравенства –2 <

2x – 4 m 2,

2x – 4 > 2.

Их решениями являются соответственно следующие множества значений: ¾, 2 m x m 4, x > 4. Ита, оончательно имеем x + 2 2x – 4 –

16.

x 2 – 12x + 36 –

x – 2 2x – 4 =

2x – 4 , 2,

2 m x m 4, x > 4.

x2 .

Вычисление значения иррациональноо выражения с ео предварительным прощением. В неоторых случаях для тоо чтобы вычислить алебраичесое выражение при онретных значениях входящих в нео переменных, целесообразно ео предварительно упростить. П р и м е р 3. Вычислить значение выражения x–2 2 x+2 2 ------------------------------------------- – -------------------------------------------x 2 – 4x 2 + 8 x 2 + 4x 2 + 8

Упростите выражение: x–1 -------------- + x+1

x+1 -------------- – 2 · (2x + x–1

 x 0,5 + 3  x–9 - : -----------------------  12.  ----------------------------------0,5 1,5  x + 3x + 9 x – 27 

x 2 – 1 ).

0,5

2x – 4 ,

при

x = 3.

Р е ш е н и е. Упростим исходное выражение: x–2 2 x+2 2 ( x – 2 2 ) 1/2 ( x + 2 2 ) 1/2 --------------------------------- – ---------------------------------- = ---------------------------------- – ----------------------------------- . 2 2 x–2 2 x+2 2 (x – 2 2) (x + 2 2)

(*)

Значение x = 3 принадлежит промежуту (2 2 ; +×) знаопостоянства фунций, находящихся под знаом модуля. На этом промежуте имеем |x – 2 2 | = x – 2 2

Ответ. При x Ý [2; 4] данное выражение равно а при x Ý (4; +×) оно равно 2.

11.

13

17. (x + 2 2x – 4 )–1/2 + (x – 2 2x – 4 )–1/2. t Ý (–×; –2];

t+2+t–2 -------------------------------- = t, 2

2x – 4 m –2,

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

и

|x + 2 2 | = x + 2 2

и, следовательно, выражение (*) примет вид 1 1 ( x + 2 2 ) 1/2 – ( x – 2 2 ) 1/2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . (**) 1/2 – 1/2 = ( x 2 – 8 ) 1/2 (x – 2 2) (x + 2 2)

Подставив x = 3 в выражение (**), получим (3 + 2 2)

1/2

– (3 – 2 2)

1/2

=

– x0,5. = (3 + 2 2)

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  13. ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) · --x

1/2

 3–2 2  1 –  ----------------------   3+2 2 

1/2

.

3–2 2 3+2 2

(***)

Умножим числитель и знаменатель дроби ---------------------- на 3 + 2 2 :

14.

x+6 x–2+7 +

15.

x+2 x–1 –

x–6 x+2+7.

x–2 x–1.

3–2 2 3+2 2 9–8 1 ---------------------- · ---------------------- = -----------------------------2- = -----------------------------2- . 3+2 2 3+2 2 (3 + 2 2 ) (3 + 2 2 )

14

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Теперь с учетом равенства (1 + 2) чение выражения (***): (3 + 2 2)

1/2

2

= 3 + 2 2 вычислим зна-

1/2   1 (3 + 2 2 )  1 – ----------------------  = ---------------------------------- (2 + 2 2 ) = 3+2 2  3+2 2  1/2

(3 + 2 2) (1 + 2) 3+2 2

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

Числовое иррациональное выражение удается упростить, если под знаом вадратноо радиала находится полный вадрат неотороо выражения. Например, для выражения вида a 2 ä 2b упрощение достиается с помощью представления a2 ä 2 b =

(1 + 2)(1 + 2) (1 + 2)

= 2 · ---------------------------------------------------------- = 2 · ---------------------------------------------= 2. 2

x+ 3

x– 3

1+z 1–z 19. ---------------------------- – --------------------------- , 1+ 1+z 1– 1–z

 20.  

1 a 2 – b 2 1/p + x1/q), 21. --2- -----------------2 2 (x a +b

A2

+B A –B

-, 22. x3 – 3x – 2 ----------------2 x3 y

4

xy 3

x + y = 3, xy = 2.

a3 + 1 a –1

a+b  x =  -----------a–b 

2pq/ ( q – p )

П р и м е р 4. Вычислить . 30 – 12 6 -------------------------------- · (5 + 2 6 ). 2 3+3 2

A+ B A– B + 3 ------------------- . A– B A+ B

3 -------------------

 – 1 + xy  -  23.  ------------------------------------- + --------------------4 xy y– x   4

т. е. формулой (1), а система (2) при этом имела вид

-. x = ---------------3

,

x=

Р е ш е н и е. Система (2) для выражения, находящеося в числителе дроби, записывается в виде

–2

ç

 y y  ç  1 + 2 --x- + --x-     ( x 2 + a 2 ) 1/2 + ( x 2 – a 2 ) 1/2  24.  ----------------------------------------------------------------------2 2 1/2 2 2 1/2    (x + a ) – (x – a )

(2)

2

1/2



(1)

3 + 2 2 = (1 + 2) ,

3 z = -----2 .

 1+x x–1 -------------- – 2  + 3 1 x–1 +x

3 --------------

y |,

Та, в примере 3 мы воспользовались тем, что

x = 2.

x– x– 3

y)2 = | x ä

x + y = a2, xy = b2.

Вычислите значение выражения при уазанном значении неизвестноо: x+ x+ 3

( x ä

де x и y находятся а решение системы уравнений

Ответ. 2.

18. ------------------------------------- + ------------------------------------ ,

15

–2

,

x + y = 30, xy = 216

1/2

,

x = 9,

 m2 + n2  x = a  --------------------2mn   

y = 0,04.

и имеет решения (12; 18), (18, 12). Следовательно, соласно формуле (1), получаем

1/2

,

де a > 0, m > 0, n > 0, m > n. Упрощение числовых иррациональных выражений. В примере 3 после подстанови значения x = 3 решение свелось  упрощению числовоо иррациональноо выражения. Рассмотрим неоторые приемы, упрощающие решение задач подобноо типа.

30 – 12 6 =

18 – 12 = 3 2 – 2 3 .

3 2–2 3 Умножив числитель и знаменатель дроби -----------------------------2 3+3 2

3 2 – 2 3 , имеем ( 3 2 – 2 3 )2 30 – 12 6 ------------------------------------- = ---------------------------- = 5 – 2 6 . 6 18 – 12

на

14

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Теперь с учетом равенства (1 + 2) чение выражения (***): (3 + 2 2)

1/2

2

= 3 + 2 2 вычислим зна-

1/2   1 (3 + 2 2 )  1 – ----------------------  = ---------------------------------- (2 + 2 2 ) = 3+2 2  3+2 2  1/2

(3 + 2 2) (1 + 2) 3+2 2

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

Числовое иррациональное выражение удается упростить, если под знаом вадратноо радиала находится полный вадрат неотороо выражения. Например, для выражения вида a 2 ä 2b упрощение достиается с помощью представления a2 ä 2 b =

(1 + 2)(1 + 2) (1 + 2)

= 2 · ---------------------------------------------------------- = 2 · ---------------------------------------------= 2. 2

x+ 3

x– 3

1+z 1–z 19. ---------------------------- – --------------------------- , 1+ 1+z 1– 1–z

 20.  

1 a 2 – b 2 1/p + x1/q), 21. --2- -----------------2 2 (x a +b

A2

+B A –B

-, 22. x3 – 3x – 2 ----------------2 x3 y

4

xy 3

x + y = 3, xy = 2.

a3 + 1 a –1

a+b  x =  -----------a–b 

2pq/ ( q – p )

П р и м е р 4. Вычислить . 30 – 12 6 -------------------------------- · (5 + 2 6 ). 2 3+3 2

A+ B A– B + 3 ------------------- . A– B A+ B

3 -------------------

 – 1 + xy  -  23.  ------------------------------------- + --------------------4 xy y– x   4

т. е. формулой (1), а система (2) при этом имела вид

-. x = ---------------3

,

x=

Р е ш е н и е. Система (2) для выражения, находящеося в числителе дроби, записывается в виде

–2

ç

 y y  ç  1 + 2 --x- + --x-     ( x 2 + a 2 ) 1/2 + ( x 2 – a 2 ) 1/2  24.  ----------------------------------------------------------------------2 2 1/2 2 2 1/2    (x + a ) – (x – a )

(2)

2

1/2



(1)

3 + 2 2 = (1 + 2) ,

3 z = -----2 .

 1+x x–1 -------------- – 2  + 3 1 x–1 +x

3 --------------

y |,

Та, в примере 3 мы воспользовались тем, что

x = 2.

x– x– 3

y)2 = | x ä

x + y = a2, xy = b2.

Вычислите значение выражения при уазанном значении неизвестноо: x+ x+ 3

( x ä

де x и y находятся а решение системы уравнений

Ответ. 2.

18. ------------------------------------- + ------------------------------------ ,

15

–2

,

x + y = 30, xy = 216

1/2

,

x = 9,

 m2 + n2  x = a  --------------------2mn   

y = 0,04.

и имеет решения (12; 18), (18, 12). Следовательно, соласно формуле (1), получаем

1/2

,

де a > 0, m > 0, n > 0, m > n. Упрощение числовых иррациональных выражений. В примере 3 после подстанови значения x = 3 решение свелось  упрощению числовоо иррациональноо выражения. Рассмотрим неоторые приемы, упрощающие решение задач подобноо типа.

30 – 12 6 =

18 – 12 = 3 2 – 2 3 .

3 2–2 3 Умножив числитель и знаменатель дроби -----------------------------2 3+3 2

3 2 – 2 3 , имеем ( 3 2 – 2 3 )2 30 – 12 6 ------------------------------------- = ---------------------------- = 5 – 2 6 . 6 18 – 12

на

16

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 3. Доказательство тождеств

17

13. (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2. 14. (a + b + c + d)2 + (a + b – c – d)2 + (a + c – b – d)2 + + (a + d – b – c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2).

Перемножив 5 – 2 6 и 5 + 2 6 , оончательно находим (5 – 2 6 )(5 + 2 6 ) = 25 – 24 = 1.

1

1 1 - = 1. 15. -----------------------: -------------1- – -------------------------------------1 b ( abc + a + c ) a + ------------a + ---

Ответ. 1.

1 b + --c

Вычислите значение выражения: 8 + 2 12 – 2

3 4+ 5

8 – 2 12 + 2

27.

6+2 5 –

29.

6m + 2 9m 2 – n 2 –

8+2 5

26. ------------------ · -------------------------- .

25. -------------------------------------------- .

a+3

2a 3 – a ( 1 – 5a ) – 1 8a – 12a + 6a – 1

2a + 1 ( 2a – 1 )

a2 ( c – b) b2 ( a – c) c2 ( b – a ) ------------------------ + ------------------------ + -----------------------bc ac ab 17. --------------------------------------------------------------------------------------a ( c – b ) b ( a – c ) c ( b – a ) = a + b + c. --------------------- + --------------------- + --------------------ab ac bc

2a + 2 a 2 – b 2 – a – b

2a – 2 a 2 – b 2 + a – b

6m – 2 9m 2 – n 2 .

a–x a+x -------------- – -------------a+x a–x a 18. -------------------------------------------- = --x- . a–x a+x -------------- + -------------a+x a–x

§ 3. Доказательство тождеств

x 0,5 + 1 x+x +1

1

- : -------------------19. ------------------------------= x – 1. 0,5 1,5

Непосредственная провер а. П р и м е р 1. Доазать, что (a + b + c)(bc + ca + ab) – abc = (b + c)(c + a)(a + b).

a2 – 5 4a – 4a + 1

---------------------------------- – ------------------------------------------------------ = ------------------------2- . 16. ---------------2 3 2 2a – 1 –

8–2 5

28. ---------------------------------------------------------------------- .

6–2 5.

b

(*)

Р е ш е н и е. Расроем соби в левой части выражения (*) и приведем подобные члены. Имеем abc + b2c + bc2 + a2c + abc + c2a + a2b + ab2 + abc – abc = = 2abc + b2c + bc2 + a2c + c2a + a2b + b2a. Расрытие собо в правой части выражения (*) приводит  таому же выражению. Действительно, abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2 + abc = = 2abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2. Исходное тождество доазано, та а если аждое из двух выражений равно третьему, то эти выражения равны между собой. Доажите тождество: 1. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2. 2. (a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + t2) = = (ax – by – cz – dt)2 + (bx + ay – dz + ct)2 + + (cx + dy + az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2.

10.

x

a2 – 4

- + a + --------------a

–1

2

2a + 4

a –4 - = ---------------------- . a – --------------a 4

a

Использование словия равенства двх мноочленов. Если в левой и правой частях тождества находятся неоторые алебраичесие выражения, оторые можно рассматривать а два мноочлена одной и той же степени, то для доазательства таоо тождества можно использовать следующее свойство мноочленов. Два мноочлена n-й степени одной переменной x равны (тождественно равны), если значения этих мноочленов совпадают при x = x1, x = x2, ..., x = xn, x = xn + 1, де все x1, x2, ..., xn, xn + 1 — произвольные, не равные между собой числа. П р и м е р 2. Доазать тождество b2 ( x – c ) ( x – a ) c2 ( x – a ) ( x – b ) a2 ( x – b ) ( x – c ) ------------------------------------------- + ------------------------------------------- + ------------------------------------------- = x2. (a – b)(a – c) (b – c)(b – a) ( c – a) (c – b )

Р е ш е н и е. Сравнивая значения левой и правой частей при x = a, x = b, x = c, можно убедиться, что при этих значениях переменной мноочлены совпадают. Та а левая и правая части представляют собой мноочлены второй степени относи-

16

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 3. Доказательство тождеств

17

13. (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2. 14. (a + b + c + d)2 + (a + b – c – d)2 + (a + c – b – d)2 + + (a + d – b – c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2).

Перемножив 5 – 2 6 и 5 + 2 6 , оончательно находим (5 – 2 6 )(5 + 2 6 ) = 25 – 24 = 1.

1

1 1 - = 1. 15. -----------------------: -------------1- – -------------------------------------1 b ( abc + a + c ) a + ------------a + ---

Ответ. 1.

1 b + --c

Вычислите значение выражения: 8 + 2 12 – 2

3 4+ 5

8 – 2 12 + 2

27.

6+2 5 –

29.

6m + 2 9m 2 – n 2 –

8+2 5

26. ------------------ · -------------------------- .

25. -------------------------------------------- .

a+3

2a 3 – a ( 1 – 5a ) – 1 8a – 12a + 6a – 1

2a + 1 ( 2a – 1 )

a2 ( c – b) b2 ( a – c) c2 ( b – a ) ------------------------ + ------------------------ + -----------------------bc ac ab 17. --------------------------------------------------------------------------------------a ( c – b ) b ( a – c ) c ( b – a ) = a + b + c. --------------------- + --------------------- + --------------------ab ac bc

2a + 2 a 2 – b 2 – a – b

2a – 2 a 2 – b 2 + a – b

6m – 2 9m 2 – n 2 .

a–x a+x -------------- – -------------a+x a–x a 18. -------------------------------------------- = --x- . a–x a+x -------------- + -------------a+x a–x

§ 3. Доказательство тождеств

x 0,5 + 1 x+x +1

1

- : -------------------19. ------------------------------= x – 1. 0,5 1,5

Непосредственная провер а. П р и м е р 1. Доазать, что (a + b + c)(bc + ca + ab) – abc = (b + c)(c + a)(a + b).

a2 – 5 4a – 4a + 1

---------------------------------- – ------------------------------------------------------ = ------------------------2- . 16. ---------------2 3 2 2a – 1 –

8–2 5

28. ---------------------------------------------------------------------- .

6–2 5.

b

(*)

Р е ш е н и е. Расроем соби в левой части выражения (*) и приведем подобные члены. Имеем abc + b2c + bc2 + a2c + abc + c2a + a2b + ab2 + abc – abc = = 2abc + b2c + bc2 + a2c + c2a + a2b + b2a. Расрытие собо в правой части выражения (*) приводит  таому же выражению. Действительно, abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2 + abc = = 2abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2. Исходное тождество доазано, та а если аждое из двух выражений равно третьему, то эти выражения равны между собой. Доажите тождество: 1. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2. 2. (a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + t2) = = (ax – by – cz – dt)2 + (bx + ay – dz + ct)2 + + (cx + dy + az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2.

10.

x

a2 – 4

- + a + --------------a

–1

2

2a + 4

a –4 - = ---------------------- . a – --------------a 4

a

Использование словия равенства двх мноочленов. Если в левой и правой частях тождества находятся неоторые алебраичесие выражения, оторые можно рассматривать а два мноочлена одной и той же степени, то для доазательства таоо тождества можно использовать следующее свойство мноочленов. Два мноочлена n-й степени одной переменной x равны (тождественно равны), если значения этих мноочленов совпадают при x = x1, x = x2, ..., x = xn, x = xn + 1, де все x1, x2, ..., xn, xn + 1 — произвольные, не равные между собой числа. П р и м е р 2. Доазать тождество b2 ( x – c ) ( x – a ) c2 ( x – a ) ( x – b ) a2 ( x – b ) ( x – c ) ------------------------------------------- + ------------------------------------------- + ------------------------------------------- = x2. (a – b)(a – c) (b – c)(b – a) ( c – a) (c – b )

Р е ш е н и е. Сравнивая значения левой и правой частей при x = a, x = b, x = c, можно убедиться, что при этих значениях переменной мноочлены совпадают. Та а левая и правая части представляют собой мноочлены второй степени относи-

18

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

тельно x, оторые совпадают более чем при двух значениях переменной, то эти мноочлены тождественно равны.

§ 4. Условные тождества

Тода, уединив один из радиалов и возведя в уб обе части полученноо уравнения, имеем

Доажите тождество:

(x –

a b -----------------------------------------------------11. (-----------------------------------------------------x – a) (a – b ) (a – c) + (x – b )(b – a) (b – c) +

x3 – 3x2

------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------(x – c )(c – a) (c – b ) = (x – b )( x – a) (x – c ) .

3

a+b+c

-------------------------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------------------------( d – c)( a – c) (b – c) (x – c) + (a – d )( b – d) (c – d )(x – d ) = x–a–b–c–d

a–b

c–a

b–c

(a – b)(b – c)(c – a)

------------------------------------------------------------------------------14. -----------a + b + b + c + c + a + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0. a–b

c–a

b–c

--------------------------------------------------------------------15. ----------------------------------(a – b)(a – c) + (b – c)(b – a) + (c – a)(c – b) = 2

2

2

-----------------------= -----------a–b + b–c + c–a. a 2 – bc b 2 – ac c 2 – ab
16. ------------------------------------- + ------------------------------------ + ------------------------------------ = 0. (a + b )(a + c) (b + c )( b + a) (c + a )( c + b)

К доазательству алебраичесих тождеств близо примыают и задачи, связанные с проверой неоторых числовых равенств. Обычно эту проверу осуществляют теми же методами, что и доазательство тождеств (сюда же влючаются методы упрощения алебраичесих выражений, см. § 1). Однао существуют и специальные методы провери числовых равенств. П р и м е р 3. Доазать, что 3

9 + 80 +

3

9 – 80 = 3.

Р е ш е н и е. Положим x=

3

9 + 80 +

3

80 , 80 = 9 –

80 ,

9 + 80 + 3x 3 ( 9 + 80 ) 2 = 18,

3

3

9 + 80 ) = 18.

(**)

9 + 80 в силу соотношения (*) равно

9 – 80 , и, следовательно, уравнение (**) приводится  виду x3 – 3x 3 81 – 80 = 18

= -------------------------------------------------------------------------(x – a)(x – b)(x – c)(x – d) .


9 + 80 )3 = 9 –

9 + 80 + 3x( 3 9 + 80 )2 – 9 –

Выражение x –

c+d+a b+c+d ------------------------------------------------------------------------13. ------------------------------------------------------------------------(b – a ) (c – a)( d – a) (x – a) + (c – b )(d – b )( a – b ) (x – b) +

3

x3 – 3x 3 9 + 80 (x –

(x – a)(x – b) (x – c )( x – a) (x – b )(x – c) ------------------------------------------------------------------------12. ----------------------------------( a – b ) ( a – c ) + ( b – c ) ( b – a ) + ( c – a ) ( c – b ) = 1.

d+a+b

3

x3 – 3x2

x

c

19

_

x3 – 3x – 18 = 0.

(***)

Очевидно, что x = 3 9 + 80 + 3 9 – 80 является орнем уравнения (***). Кроме тоо, непосредственной подстановой лео убедиться в том, что x = 3 таже является орнем уравнения (***). Друих действительных орней это уравнение не имеет, та а убичесий мноочлен (***) можно записать в виде x3 – 3x – 18 = (x – 3) (x2 + 3x + 6), а дисриминант вадратноо трехчлена x2 + 3x + 6 отрицателен. Ита, исходное равенство следует из существования единственноо действительноо орня уравнения (*).

§ 4. Условные тождества Тождества, справедливость оторых требуется установить лишь при выполнении неоторых условий относительно входящих в исходное тождество переменных, называют
словными тождествами. П р и м е р 1. Доазать, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc.

3

9 – 80 .

(*)

Р е ш е н и е. Из условия a + b + c = 0 получаем c3 = –(a + b)3.

18

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

тельно x, оторые совпадают более чем при двух значениях переменной, то эти мноочлены тождественно равны.

§ 4. Условные тождества

Тода, уединив один из радиалов и возведя в уб обе части полученноо уравнения, имеем

Доажите тождество:

(x –

a b -----------------------------------------------------11. (-----------------------------------------------------x – a) (a – b ) (a – c) + (x – b )(b – a) (b – c) +

x3 – 3x2

------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------(x – c )(c – a) (c – b ) = (x – b )( x – a) (x – c ) .

3

a+b+c

-------------------------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------------------------( d – c)( a – c) (b – c) (x – c) + (a – d )( b – d) (c – d )(x – d ) = x–a–b–c–d

a–b

c–a

b–c

(a – b)(b – c)(c – a)

------------------------------------------------------------------------------14. -----------a + b + b + c + c + a + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0. a–b

c–a

b–c

--------------------------------------------------------------------15. ----------------------------------(a – b)(a – c) + (b – c)(b – a) + (c – a)(c – b) = 2

2

2

-----------------------= -----------a–b + b–c + c–a. a 2 – bc b 2 – ac c 2 – ab
16. ------------------------------------- + ------------------------------------ + ------------------------------------ = 0. (a + b )(a + c) (b + c )( b + a) (c + a )( c + b)

К доазательству алебраичесих тождеств близо примыают и задачи, связанные с проверой неоторых числовых равенств. Обычно эту проверу осуществляют теми же методами, что и доазательство тождеств (сюда же влючаются методы упрощения алебраичесих выражений, см. § 1). Однао существуют и специальные методы провери числовых равенств. П р и м е р 3. Доазать, что 3

9 + 80 +

3

9 – 80 = 3.

Р е ш е н и е. Положим x=

3

9 + 80 +

3

80 , 80 = 9 –

80 ,

9 + 80 + 3x 3 ( 9 + 80 ) 2 = 18,

3

3

9 + 80 ) = 18.

(**)

9 + 80 в силу соотношения (*) равно

9 – 80 , и, следовательно, уравнение (**) приводится  виду x3 – 3x 3 81 – 80 = 18

= -------------------------------------------------------------------------(x – a)(x – b)(x – c)(x – d) .


9 + 80 )3 = 9 –

9 + 80 + 3x( 3 9 + 80 )2 – 9 –

Выражение x –

c+d+a b+c+d ------------------------------------------------------------------------13. ------------------------------------------------------------------------(b – a ) (c – a)( d – a) (x – a) + (c – b )(d – b )( a – b ) (x – b) +

3

x3 – 3x 3 9 + 80 (x –

(x – a)(x – b) (x – c )( x – a) (x – b )(x – c) ------------------------------------------------------------------------12. ----------------------------------( a – b ) ( a – c ) + ( b – c ) ( b – a ) + ( c – a ) ( c – b ) = 1.

d+a+b

3

x3 – 3x2

x

c

19

_

x3 – 3x – 18 = 0.

(***)

Очевидно, что x = 3 9 + 80 + 3 9 – 80 является орнем уравнения (***). Кроме тоо, непосредственной подстановой лео убедиться в том, что x = 3 таже является орнем уравнения (***). Друих действительных орней это уравнение не имеет, та а убичесий мноочлен (***) можно записать в виде x3 – 3x – 18 = (x – 3) (x2 + 3x + 6), а дисриминант вадратноо трехчлена x2 + 3x + 6 отрицателен. Ита, исходное равенство следует из существования единственноо действительноо орня уравнения (*).

§ 4. Условные тождества Тождества, справедливость оторых требуется установить лишь при выполнении неоторых условий относительно входящих в исходное тождество переменных, называют
словными тождествами. П р и м е р 1. Доазать, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc.

3

9 – 80 .

(*)

Р е ш е н и е. Из условия a + b + c = 0 получаем c3 = –(a + b)3.

20

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 4. Условные тождества

Используя тождество (a +

b)3

=

a3

+

b3




+ 3ab(a + b),

x1

αx1 + βx2 = 0, αy1 + βy2 = 0

c3 = –a3 – b3 – 3ab(a + b)

a3 + b3 + c3 = 3abc,

следует, что α2 + β2 = 0. 8. Доажите, что если x − y, y − z, z − x и

что и требовалось доазать.

z y x ------------ + ------------- + ------------- = 0, x–y z–x y–z

1. Доажите, что если a + b + c = 0, то

то x y z -------------------2- + --------------------2- + --------------------2- = 0. (y – z) (z – x) (x – y)

a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c2 a5 + b5 + c5 -------------------------------- = -------------------------------- · -------------------------------- . 5 3 2


2. Поажите, что из равенства

9. Доажите, что если 2

2

2

a 1 + a 2 + ... + a n = p2,

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac 2

следует равенство a = b = c.

2

2

b 1 + b2 + ... + bn = q2,

3. Доажите, что если a1/3 + b1/3 + c1/3 = 0, то (a + b +

c)3

= 27abc.

p − 0,

q − 0,

a1b1 + a2b2 + ... + anbn = pq, то p

a1 = λb1, a2 = λb2, ..., an = λbn, де λ = --q- .

4. Доажите, что если z y x --- + --- + --- = 1 c b a

и

c b a --- + --- + --- = 0, z y x

a

y2

a2 + b2 a ------------------ = --- . c b2 + c2

z2

-----2- + -----2- + -----2 = 1. a b c

11. Доажите, что если

5. Доажите, что если x2 + 3 x4y2 +

y 2 + 3 x 2 y 4 = a,

bz – cy cx – az ay – bx --------------------- = -------------------- = ------------------- , a b c

то x y z --- = --- = --- . a b c

то x2/3 + y2/3 = a2/3. 6. Доажите, что если a + b + c = 0, то: а) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4); б) 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2); в) 5(a3 + b3 + c3) (a2 + b2 + c2) = 6(a5 + b5 + c5).

b

10. Доажите, что если --b- = --c- , то

то x2

y1

- − ------ , то из системы уравнений 7. Доажите, что если ----x2 y2

имеем или, заменяя a + b на –c,

21

12. Доажите, что если a–b

x = -----------a+b,

то

b–c

y = -----------b+c,

c–a

z = -----------c+a,

(1 + x) (1 + y) (1 + z) = (1 – x) (1 – y) (1 – z).

20

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 4. Условные тождества

Используя тождество (a +

b)3

=

a3

+

b3




+ 3ab(a + b),

x1

αx1 + βx2 = 0, αy1 + βy2 = 0

c3 = –a3 – b3 – 3ab(a + b)

a3 + b3 + c3 = 3abc,

следует, что α2 + β2 = 0. 8. Доажите, что если x − y, y − z, z − x и

что и требовалось доазать.

z y x ------------ + ------------- + ------------- = 0, x–y z–x y–z

1. Доажите, что если a + b + c = 0, то

то x y z -------------------2- + --------------------2- + --------------------2- = 0. (y – z) (z – x) (x – y)

a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c2 a5 + b5 + c5 -------------------------------- = -------------------------------- · -------------------------------- . 5 3 2


2. Поажите, что из равенства

9. Доажите, что если 2

2

2

a 1 + a 2 + ... + a n = p2,

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac 2

следует равенство a = b = c.

2

2

b 1 + b2 + ... + bn = q2,

3. Доажите, что если a1/3 + b1/3 + c1/3 = 0, то (a + b +

c)3

= 27abc.

p − 0,

q − 0,

a1b1 + a2b2 + ... + anbn = pq, то p

a1 = λb1, a2 = λb2, ..., an = λbn, де λ = --q- .

4. Доажите, что если z y x --- + --- + --- = 1 c b a

и

c b a --- + --- + --- = 0, z y x

a

y2

a2 + b2 a ------------------ = --- . c b2 + c2

z2

-----2- + -----2- + -----2 = 1. a b c

11. Доажите, что если

5. Доажите, что если x2 + 3 x4y2 +

y 2 + 3 x 2 y 4 = a,

bz – cy cx – az ay – bx --------------------- = -------------------- = ------------------- , a b c

то x y z --- = --- = --- . a b c

то x2/3 + y2/3 = a2/3. 6. Доажите, что если a + b + c = 0, то: а) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4); б) 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2); в) 5(a3 + b3 + c3) (a2 + b2 + c2) = 6(a5 + b5 + c5).

b

10. Доажите, что если --b- = --c- , то

то x2

y1

- − ------ , то из системы уравнений 7. Доажите, что если ----x2 y2

имеем или, заменяя a + b на –c,

21

12. Доажите, что если a–b

x = -----------a+b,

то

b–c

y = -----------b+c,

c–a

z = -----------c+a,

(1 + x) (1 + y) (1 + z) = (1 – x) (1 – y) (1 – z).

22

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

23

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

Подставив правые части выражений (*)—(***) в исходную дробь, находим 2

log a a 2 – 1 log a a 2 – 1 --------------------------------------------------------------------- = log a 2 – 1 . a log a a 2 – 1 log a a 2 – 1

Пусть a — положительное число, отличное от единицы, а M — любое положительное число. Лоарифмом числа M по основанию a называют таое число, обозначаемое loga M, что a

log a M

Ответ. loga a 2 – 1 .

= M.

П р и м е р 2. Вычислить 81 1/log5 3 + 27 log9 36 + 3 4/log 7 9 .

Основные свойства лоарифмов

Р е ш е н и е. Используя формулу (5), имеем

Пусть a > 0, a − 1, b > 0, c > 0, тода справедливы следующие равенства: loga (bc) = loga b + loga c,

(1)

b

loga --c- = loga b – loga c,

(2)

q = --p- loga b,

(3)

log a p

bq

log c b

1

Далее, используя свойства степеней, получим 81 log 3 5 = ( 3 4 ) log 3 5 = ( 3 log 3 5 ) 4 . Но по определению лоарифма 3 log3 5 = 5. Таим образом,

loga b = --------------log c a , c − 1, --------------- , loga b = log ba

81 1/log5 3 = 81 log3 5 .

(4)

b − 1.

81 1/log5 3 = 54 = 625. Аналоично, 3 4/log 7 9 = 3 4 log 9 7 = ( 3 2 ) 2 log9 7 = ( 9 log 9 7 ) 2 = 72 = 49, 27 log9 36 = 27 log 3 6 = 3 3log 3 6 = ( 3 log3 6 ) 3 = 216.

(5)

При тождественных преобразованиях лоарифмичесих выражений используют формулы (1)—(5) и определение лоарифма.

Сладывая найденные числа, получаем ответ. Ответ. 890. Упростите выражение: 81 1/log 5 9 + 3

2

log a a 2 – 1 log 1/a a 2 – 1 ----------------------------------------------------------------------------- . log a 2 ( a 2 – 1 ) log 3 6 a 2 – 1

3. ( 2

Р е ш е н и е. Соласно формуле (3), имеем (*)

= loga a 2 – 1 ,

(**)

log a 2 (a2 – 1) = log ( a 2 ) 1/2 (a2 – 1)1/2 = loga a 2 – 1 .

(***)

6 a

= (–loga a 2 – 1 )

a 2 – 1 = log

(3 a)

3

2




2

log 3

2

( 6 a2 – 1)

6

3

2. a 1 + 2/logb a b – 2a log a b + 1 b logb a + 1 + ab 1 + 2/loga b .

a

(log1/a a 2 – 1 )

3/log

2/log 25 7 (( 7) – 125 log25 6 ) . 1. -----------------------------------------------------409

П р и м е р 1. Упростить выражение

= (loga a 2 – 1 ) , 3

log 4 a 2

– 3 log 27 ( a

2

+ 1 )3

– 2a ) : ( 7 4 log49 a – a – 1 ) .

4. log3 2 log4 3 log5 4 log6 5 log7 6 log8 7. 1

2

5. log2 2x2 + x logx ( log2 x + 1 ) log2 x + --2- log 4 x 2 + 2 –3 log1/2 log2 x .  1--- logb a 2  log a b + log a  b 2  log ab b log a b   -. - · ------------------------------------6. --------------------------------------------------------------log a b – log ab b b 2 log b log a b – 1

22

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

23

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

Подставив правые части выражений (*)—(***) в исходную дробь, находим 2

log a a 2 – 1 log a a 2 – 1 --------------------------------------------------------------------- = log a 2 – 1 . a log a a 2 – 1 log a a 2 – 1

Пусть a — положительное число, отличное от единицы, а M — любое положительное число. Лоарифмом числа M по основанию a называют таое число, обозначаемое loga M, что a

log a M

Ответ. loga a 2 – 1 .

= M.

П р и м е р 2. Вычислить 81 1/log5 3 + 27 log9 36 + 3 4/log 7 9 .

Основные свойства лоарифмов

Р е ш е н и е. Используя формулу (5), имеем

Пусть a > 0, a − 1, b > 0, c > 0, тода справедливы следующие равенства: loga (bc) = loga b + loga c,

(1)

b

loga --c- = loga b – loga c,

(2)

q = --p- loga b,

(3)

log a p

bq

log c b

1

Далее, используя свойства степеней, получим 81 log 3 5 = ( 3 4 ) log 3 5 = ( 3 log 3 5 ) 4 . Но по определению лоарифма 3 log3 5 = 5. Таим образом,

loga b = --------------log c a , c − 1, --------------- , loga b = log ba

81 1/log5 3 = 81 log3 5 .

(4)

b − 1.

81 1/log5 3 = 54 = 625. Аналоично, 3 4/log 7 9 = 3 4 log 9 7 = ( 3 2 ) 2 log9 7 = ( 9 log 9 7 ) 2 = 72 = 49, 27 log9 36 = 27 log 3 6 = 3 3log 3 6 = ( 3 log3 6 ) 3 = 216.

(5)

При тождественных преобразованиях лоарифмичесих выражений используют формулы (1)—(5) и определение лоарифма.

Сладывая найденные числа, получаем ответ. Ответ. 890. Упростите выражение: 81 1/log 5 9 + 3

2

log a a 2 – 1 log 1/a a 2 – 1 ----------------------------------------------------------------------------- . log a 2 ( a 2 – 1 ) log 3 6 a 2 – 1

3. ( 2

Р е ш е н и е. Соласно формуле (3), имеем (*)

= loga a 2 – 1 ,

(**)

log a 2 (a2 – 1) = log ( a 2 ) 1/2 (a2 – 1)1/2 = loga a 2 – 1 .

(***)

6 a

= (–loga a 2 – 1 )

a 2 – 1 = log

(3 a)

3

2




2

log 3

2

( 6 a2 – 1)

6

3

2. a 1 + 2/logb a b – 2a log a b + 1 b logb a + 1 + ab 1 + 2/loga b .

a

(log1/a a 2 – 1 )

3/log

2/log 25 7 (( 7) – 125 log25 6 ) . 1. -----------------------------------------------------409

П р и м е р 1. Упростить выражение

= (loga a 2 – 1 ) , 3

log 4 a 2

– 3 log 27 ( a

2

+ 1 )3

– 2a ) : ( 7 4 log49 a – a – 1 ) .

4. log3 2 log4 3 log5 4 log6 5 log7 6 log8 7. 1

2

5. log2 2x2 + x logx ( log2 x + 1 ) log2 x + --2- log 4 x 2 + 2 –3 log1/2 log2 x .  1--- logb a 2  log a b + log a  b 2  log ab b log a b   -. - · ------------------------------------6. --------------------------------------------------------------log a b – log ab b b 2 log b log a b – 1

24

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений 17. 5 log 0,2 0,5 + log

2

4 1 ---------------------- + log ----------------------------0,5 10 + 2 21 . 7+ 3

Связь между лоарифмами составных чисел обычно удается установить, используя лоарифмы их простых сомножителей. П р и м е р 3. Найти log30 8, если известно, что lg 5 = a, lg 3 = b. Р е ш е н и е. Представим log30 8 в виде lg 8

log30 8 = -----------lg 30 .

Разложим числа 30 и 8 на простые множители и воспользуемся свойствами лоарифмов; тода получим 3 lg 2

log30 8 = ------------------------------------------lg 5 + lg 3 + lg 2 .

Учитывая, что 10

lg 2 = lg -----5 = 1 – lg 5,

§ 5. Преобразование логарифмических выражений П р и м е р 4. Доазать, что a+b

3( 1 – a) Ответ. --------------------b+1 .

1

--lg -----------3 = 2 (lg a + lg b),

(*)

если a2 + b2 = 7ab, a > 0, b > 0. Р е ш е н и е. Преобразуем равенство a2 + b2 = 7ab, выделив в ео левой части полный вадрат: a2 + b2 + 2ab = 9ab, т. е.

(a + b)2 = 9ab.

Лоарифмируя последнее равенство по основанию 10 и приводя подобные члены, получаем 2 lg (a + b) – 2 lg 3 = lg a + lg b. Разделив обе части этоо равенства на 2 и используя формулу (2), получаем требуемое соотношение (*). 14. Доажите, что при условии x > 0, y > 0 из равенства x2 + 4y2 = 12xy следует равенство

и используя условие, оончательно находим 3(1 – a) log30 8 = --------------------b+1 .

25

1

lg (x + 2y) – 2 lg 2 = --2- (lg x + lg y). 15. Доажите, что если m2 = a2 – b2, то loga + b m + loga – b m = 2 loga + b m · loga – b m.

18. Вычислите без помощи таблиц log 3 135 log 3 5 ----------------------- – --------------------- . log 15 3 log 405 3

19. Зная, что lg 2 = a, log2 7 = b, найдите lg 56. 10. Зная, что lg 3 = a, lg 2 = b, найдите log5 6. 11. Известно, что log3 7 = a, log7 5 = b, log5 4 = c. Найдите log3 12.

12. Зная, что b = 8 1/ ( 1 – log8 a ) и c = 8 1/ ( 1 – log8 b ) , выразите log8 a через log8 c.
13. Известно, что loga x = α, logb x = β, logc x = γ, logd x = δ; x − 1. Найдите logabcd x. Для доазательства тождественности двух лоарифмичесих выражений при выполнении неоторых условий инода удобно сначала преобразовать данные условия, а затем их пролоарифмировать.

16. Доажите, что если a, b, c — последовательные (положительные) члены еометричесой прорессии, то log a N – log b N log a N ------------------------------------------ = ----------------- . log b N – log c N log c N

17. Доажите, что если ( ac ) log a b = c2, то для любоо положительноо N числа loga N, logb N, logc N являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. При доазательстве тождеств обычно используют те же приемы, что и при упрощении лоарифмичесих и поазательных выражений. П р и м е р 5. Доазать, что logp logp

p p

... p p = –n

n радиалов

при p > 1.

24

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений 17. 5 log 0,2 0,5 + log

2

4 1 ---------------------- + log ----------------------------0,5 10 + 2 21 . 7+ 3

Связь между лоарифмами составных чисел обычно удается установить, используя лоарифмы их простых сомножителей. П р и м е р 3. Найти log30 8, если известно, что lg 5 = a, lg 3 = b. Р е ш е н и е. Представим log30 8 в виде lg 8

log30 8 = -----------lg 30 .

Разложим числа 30 и 8 на простые множители и воспользуемся свойствами лоарифмов; тода получим 3 lg 2

log30 8 = ------------------------------------------lg 5 + lg 3 + lg 2 .

Учитывая, что 10

lg 2 = lg -----5 = 1 – lg 5,

§ 5. Преобразование логарифмических выражений П р и м е р 4. Доазать, что a+b

3( 1 – a) Ответ. --------------------b+1 .

1

--lg -----------3 = 2 (lg a + lg b),

(*)

если a2 + b2 = 7ab, a > 0, b > 0. Р е ш е н и е. Преобразуем равенство a2 + b2 = 7ab, выделив в ео левой части полный вадрат: a2 + b2 + 2ab = 9ab, т. е.

(a + b)2 = 9ab.

Лоарифмируя последнее равенство по основанию 10 и приводя подобные члены, получаем 2 lg (a + b) – 2 lg 3 = lg a + lg b. Разделив обе части этоо равенства на 2 и используя формулу (2), получаем требуемое соотношение (*). 14. Доажите, что при условии x > 0, y > 0 из равенства x2 + 4y2 = 12xy следует равенство

и используя условие, оончательно находим 3(1 – a) log30 8 = --------------------b+1 .

25

1

lg (x + 2y) – 2 lg 2 = --2- (lg x + lg y). 15. Доажите, что если m2 = a2 – b2, то loga + b m + loga – b m = 2 loga + b m · loga – b m.

18. Вычислите без помощи таблиц log 3 135 log 3 5 ----------------------- – --------------------- . log 15 3 log 405 3

19. Зная, что lg 2 = a, log2 7 = b, найдите lg 56. 10. Зная, что lg 3 = a, lg 2 = b, найдите log5 6. 11. Известно, что log3 7 = a, log7 5 = b, log5 4 = c. Найдите log3 12.

12. Зная, что b = 8 1/ ( 1 – log8 a ) и c = 8 1/ ( 1 – log8 b ) , выразите log8 a через log8 c.
13. Известно, что loga x = α, logb x = β, logc x = γ, logd x = δ; x − 1. Найдите logabcd x. Для доазательства тождественности двух лоарифмичесих выражений при выполнении неоторых условий инода удобно сначала преобразовать данные условия, а затем их пролоарифмировать.

16. Доажите, что если a, b, c — последовательные (положительные) члены еометричесой прорессии, то log a N – log b N log a N ------------------------------------------ = ----------------- . log b N – log c N log c N

17. Доажите, что если ( ac ) log a b = c2, то для любоо положительноо N числа loga N, logb N, logc N являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. При доазательстве тождеств обычно используют те же приемы, что и при упрощении лоарифмичесих и поазательных выражений. П р и м е р 5. Доазать, что logp logp

p p

... p p = –n

n радиалов

при p > 1.

26

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Р е ш е н и е. Преобразуем иррациональное выражение, записанное под вторым знаом лоарифма: p p

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

Если одинаовы числа, лоарифмы оторых вычисляются, и a > 1, b > 1 или 0 < a < 1 и 0 < b < 1, то при c > 1:

n

... p p = p 1/p .

n радиалов

log p

1 = -----n- , p

1 logp -----n- = –n. p

Таим образом, исходное тождество доазано.
18. Доажите, что для любых допустимых положительных чисел a и N имеет место равенство

=


 b a log a 4 --a- + log b 4 --b-   

_

b > a.

(9)

1 1 1 log8  1 + --8-  < log7  1 + --8-  < log7  1 + --7-  .      

Таим образом, log8 9 < log7 8.

20. Доажите, что

Не пользуясь таблицами, доажите неравенство:


log N log N log N

a b c = -------------------------------------------------------. log N

22. log3 75 < log2 22.




23. log3 70 < log2 20.

1 24. log log 2 --2- > 1. 3

abc

21. Доажите тождество


25. Доажите, что для любоо натуральноо N > 3 справедливо неравенство

log a x log b x loga/b x = -------------------------------------log b x – log a x .

logN (N + 1) < logN – 1 N.

При сравнении двух лоарифмичесих выражений удобно пользоваться эвивалентностью приведенных ниже неравенств. Если основания лоарифмов одинаовы, то при a > 1: _

loga b < loga c,

(6)

_

loga b > loga c.

(7)

при 0 < a < 1: 0
loga c < logb c

В силу соотношений (8) и (6) справедливы неравенства log a b =

2, 1 < a m b, 2 loga b, 1 < b < a.

0
(8)

1 log7 8 = log7 (7 + 1) = 1 + log7  1 + --7-  .  

loga N logb N + logb N logc N + logc N loga N =




a > b,

1 log8 9 = log8 (8 + 1) = 1 + log8  1 + --8-  ,  

19. Доажите, что  2  log a 4 ab + log b 4 ab –  

_

П р и м е р 6. Не пользуясь таблицами, определить, что больше: log8 9 или log7 8. Р е ш е н и е. Представим исследуемые лоарифмы в следующем виде:

1 1 1 1 ----------------- + -------------------- + -------------------- + -------------------- = 10 log a. N log a 2 N log a 3 N log a 4 N log a N


loga c < logb c при 0 < c < 1:

Лоарифмируя дважды это равенство по основанию p, получаем n p 1/p

27

26

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Р е ш е н и е. Преобразуем иррациональное выражение, записанное под вторым знаом лоарифма: p p

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

Если одинаовы числа, лоарифмы оторых вычисляются, и a > 1, b > 1 или 0 < a < 1 и 0 < b < 1, то при c > 1:

n

... p p = p 1/p .

n радиалов

log p

1 = -----n- , p

1 logp -----n- = –n. p

Таим образом, исходное тождество доазано.
18. Доажите, что для любых допустимых положительных чисел a и N имеет место равенство

=


 b a log a 4 --a- + log b 4 --b-   

_

b > a.

(9)

1 1 1 log8  1 + --8-  < log7  1 + --8-  < log7  1 + --7-  .      

Таим образом, log8 9 < log7 8.

20. Доажите, что

Не пользуясь таблицами, доажите неравенство:


log N log N log N

a b c = -------------------------------------------------------. log N

22. log3 75 < log2 22.




23. log3 70 < log2 20.

1 24. log log 2 --2- > 1. 3

abc

21. Доажите тождество


25. Доажите, что для любоо натуральноо N > 3 справедливо неравенство

log a x log b x loga/b x = -------------------------------------log b x – log a x .

logN (N + 1) < logN – 1 N.

При сравнении двух лоарифмичесих выражений удобно пользоваться эвивалентностью приведенных ниже неравенств. Если основания лоарифмов одинаовы, то при a > 1: _

loga b < loga c,

(6)

_

loga b > loga c.

(7)

при 0 < a < 1: 0
loga c < logb c

В силу соотношений (8) и (6) справедливы неравенства log a b =

2, 1 < a m b, 2 loga b, 1 < b < a.

0
(8)

1 log7 8 = log7 (7 + 1) = 1 + log7  1 + --7-  .  

loga N logb N + logb N logc N + logc N loga N =




a > b,

1 log8 9 = log8 (8 + 1) = 1 + log8  1 + --8-  ,  

19. Доажите, что  2  log a 4 ab + log b 4 ab –  

_

П р и м е р 6. Не пользуясь таблицами, определить, что больше: log8 9 или log7 8. Р е ш е н и е. Представим исследуемые лоарифмы в следующем виде:

1 1 1 1 ----------------- + -------------------- + -------------------- + -------------------- = 10 log a. N log a 2 N log a 3 N log a 4 N log a N


loga c < logb c при 0 < c < 1:

Лоарифмируя дважды это равенство по основанию p, получаем n p 1/p

27

§ 6. Нахождение корней многочленов

Глава 2 Уравнения

В алебре рассматривают два вида равенств — тождества и уравнения. Тождество — это равенство, оторое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в нео був. Для записи тождества наряду со знаом = таже используется зна Þ. Уравнение — это равенство, оторое выполняется лишь при неоторых значениях входящих в нео був. Бувы, входящие в уравнение, по условию задачи моут быть неравноправными: одни моут принимать все свои допустимые значения, и их называют оэффициентами (реже параметрами)
равнения; друие, значения оторых требуется отысать, называют неизвестными* (их обычно обозначают последними бувами латинсоо алфавита: x, y, z, или теми же бувами, снабженными индесами: x1, x2, ..., xn или y1, y2, ..., yk). В общем виде уравнение с n неизвестными x1, x2, ..., xn можно записать та: F(x1, x2, ..., xn) = 0, де F(x1, x2, ..., xn) — фунция уазанных переменных. В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и более неизвестными. Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями (или орнями)
равнения. Уравнение считается решенным, если найдены все ео решения или поазано, что уравнение решений не имеет. Если все решения уравнения F = 0 являются решениями уравнения G = 0, то оворят, что уравнение G = 0 есть следствие уравнения F = 0, и пишут F=0

^

Таим образом, два уравнения считаются эвивалентными, если множества решений этих уравнений совпадают. Уравнение F = 0 считают эвивалентным двум (или несольим) уравнениям F1 = 0, F2 = 0, если множество орней уравнения F = 0 совпадает с объединением множеств орней уравнений F1 = 0, F2 = 0. Приведем примеры эвивалентности неоторых уравнений. 1. Уравнение F + G = G эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. F G

2. Уравнение ---- = 0 эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 3. Уравнение FG = 0 эвивалентно двум уравнениям F = 0 и G = 0, аждое из оторых рассматривается на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 4. Уравнение F

n n

= 0 эвивалентно уравнению F = 0. n

5. Уравнение F = G при нечетном n эвивалентно уравнению F = G, а при четном n эвивалентно двум уравнениям: F = G и F = –G. Алебраичесим
равнением с одним неизвестным называют уравнение, сводящееся  уравнению вида a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an = 0, де n — целое неотрицательное число; оэффициенты мноочлена a0, a1, a2, ..., an – 1, an называют оэффициентами (или параметрами)
равнения и считают заданными; x называется неизвестным и является исомым. Число n называют степенью уравнения. Значения неизвестноо x, обращающие алебраичесое уравнение в тождество, называют орнями (или решениями) алебраичесоо уравнения.

G = 0.

Два уравнения F = 0 и G = 0 называют эвивалентными, если аждое из них является следствием друоо, и пишут F=0 _

29

G = 0.

* Если специально не о оворено, то считается, что неизвестные принимают действительные значения.

§ 6. Нахождение корней многочленов Мноочленом (полиномом) n-й степени относительно переменной величины x называют выражение вида P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an,

§ 6. Нахождение корней многочленов

Глава 2 Уравнения

В алебре рассматривают два вида равенств — тождества и уравнения. Тождество — это равенство, оторое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в нео був. Для записи тождества наряду со знаом = таже используется зна Þ. Уравнение — это равенство, оторое выполняется лишь при неоторых значениях входящих в нео був. Бувы, входящие в уравнение, по условию задачи моут быть неравноправными: одни моут принимать все свои допустимые значения, и их называют оэффициентами (реже параметрами)
равнения; друие, значения оторых требуется отысать, называют неизвестными* (их обычно обозначают последними бувами латинсоо алфавита: x, y, z, или теми же бувами, снабженными индесами: x1, x2, ..., xn или y1, y2, ..., yk). В общем виде уравнение с n неизвестными x1, x2, ..., xn можно записать та: F(x1, x2, ..., xn) = 0, де F(x1, x2, ..., xn) — фунция уазанных переменных. В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и более неизвестными. Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями (или орнями)
равнения. Уравнение считается решенным, если найдены все ео решения или поазано, что уравнение решений не имеет. Если все решения уравнения F = 0 являются решениями уравнения G = 0, то оворят, что уравнение G = 0 есть следствие уравнения F = 0, и пишут F=0

^

Таим образом, два уравнения считаются эвивалентными, если множества решений этих уравнений совпадают. Уравнение F = 0 считают эвивалентным двум (или несольим) уравнениям F1 = 0, F2 = 0, если множество орней уравнения F = 0 совпадает с объединением множеств орней уравнений F1 = 0, F2 = 0. Приведем примеры эвивалентности неоторых уравнений. 1. Уравнение F + G = G эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. F G

2. Уравнение ---- = 0 эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 3. Уравнение FG = 0 эвивалентно двум уравнениям F = 0 и G = 0, аждое из оторых рассматривается на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 4. Уравнение F

n n

= 0 эвивалентно уравнению F = 0. n

5. Уравнение F = G при нечетном n эвивалентно уравнению F = G, а при четном n эвивалентно двум уравнениям: F = G и F = –G. Алебраичесим
равнением с одним неизвестным называют уравнение, сводящееся  уравнению вида a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an = 0, де n — целое неотрицательное число; оэффициенты мноочлена a0, a1, a2, ..., an – 1, an называют оэффициентами (или параметрами)
равнения и считают заданными; x называется неизвестным и является исомым. Число n называют степенью уравнения. Значения неизвестноо x, обращающие алебраичесое уравнение в тождество, называют орнями (или решениями) алебраичесоо уравнения.

G = 0.

Два уравнения F = 0 и G = 0 называют эвивалентными, если аждое из них является следствием друоо, и пишут F=0 _

29

G = 0.

* Если специально не о оворено, то считается, что неизвестные принимают действительные значения.

§ 6. Нахождение корней многочленов Мноочленом (полиномом) n-й степени относительно переменной величины x называют выражение вида P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an,

30

Г л а в а 2. Уравнения

де n — целое неотрицательное число; a0, a1, a2, ..., an – 1, an — оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a0, называемый старшим оэффициентом, считается не равным нулю. Мноочлен первой степени называют таже линейным мноочленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноочлен третьей степени — 
бичесим мноочленом. Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0. Уравнение вида ax + b = 0,

a − 0,

(1)

называют линейным
равнением. Линейное уравнение имеет b

единственный орень x = – --a- . Уравнение вида ax2 + bx + c = 0,

a − 0,

(2)

называют вадратным
равнением. Выражение b2 – 4ac = D называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня: –b+ D

-, x1 = ----------------------2a

–b– D

x2 = ----------------------. 2a

(3)

§ 6. Нахождение корней многочленов

31

Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям (x – 1)

2

=1 и

(x – 1)

2

= 2,

орни оторых x1 = 2, x2 = 0 и x3, 4 = 1 ä ми исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 0, x3, 4 = 1 ä

2 являются орня-

2.

Решите уравнение: 1. (x2 + 2x)2 – (x + 1)2 = 55. 2. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = 0.
3. (x2 – 5x + 7)2 – (x – 2)(x – 3) = 0.
4. (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.
5. (2x2 + 3x – 2)(5 – 6x – 4x2) = –5(2x2 + 3x + 2). 6. x4 – 13x2 + 36 = 0. 7. 2x8 + x4 – 15 = 0. 8. (2x – 1)6 + 3(2x – 1)3 = 10.
9. (1 + x)8 + (1 + x2)4 = 2x4. 10. (x – 2)6 – 19(x – 2)3 = 216. Метод разложения на множители. Один из способов решения уравнения n-й степени (n l 2)

Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-

Pn(x) = 0

b - . Если D < 0, то уравнение (2) дейстрень ратности 2: x = – -----2a

состоит в разложении мноочлена Pn(x) на множители, что позволяет свести решение исходноо уравнения  решению несольих уравнений более низих степеней. Этот способ основан на следующем свойстве орней мноочлена n-й степени: если x = c является орнем мноочлена

вительных орней не имеет. Метод введения вспомоательноо неизвестноо. Решение мноих уравнений залючается в сведении их  уравнениям вида (1) или (2). Одним из таих способов является введение вспомоательноо неизвестноо.

2

– (x – 1)

2

Pn(x) = (x – c) Qn – 1(x),

+ 1 = 0.

2

Р е ш е н и е. Полаая y = (x – 1) , запишем исходное уравнение в виде (y – 1)

2

(4)

то мноочлен (4) можно записать в виде

П р и м е р 1. Решить уравнение (x 2 – 2x)

Pn(x) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

– y + 1 = 0.

(*)

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  виду y2 – 3y + 2 = 0. (**)

(5)

де Qn – 1(x) — мноочлен степени n – 1, т. е. мноочлен Pn(x) делится на мноочлен x – c. Разложение мноочлена (4) на множители равносильно нахождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена n-й степени с действительными оэффициентами нельзя уазать универсальноо способа нахождения орней. Однао для мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема, позволяющая находить их рациональные орни.

30

Г л а в а 2. Уравнения

де n — целое неотрицательное число; a0, a1, a2, ..., an – 1, an — оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a0, называемый старшим оэффициентом, считается не равным нулю. Мноочлен первой степени называют таже линейным мноочленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноочлен третьей степени — 
бичесим мноочленом. Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0. Уравнение вида ax + b = 0,

a − 0,

(1)

называют линейным
равнением. Линейное уравнение имеет b

единственный орень x = – --a- . Уравнение вида ax2 + bx + c = 0,

a − 0,

(2)

называют вадратным
равнением. Выражение b2 – 4ac = D называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня: –b+ D

-, x1 = ----------------------2a

–b– D

x2 = ----------------------. 2a

(3)

§ 6. Нахождение корней многочленов

31

Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям (x – 1)

2

=1 и

(x – 1)

2

= 2,

орни оторых x1 = 2, x2 = 0 и x3, 4 = 1 ä ми исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 0, x3, 4 = 1 ä

2 являются орня-

2.

Решите уравнение: 1. (x2 + 2x)2 – (x + 1)2 = 55. 2. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = 0.
3. (x2 – 5x + 7)2 – (x – 2)(x – 3) = 0.
4. (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.
5. (2x2 + 3x – 2)(5 – 6x – 4x2) = –5(2x2 + 3x + 2). 6. x4 – 13x2 + 36 = 0. 7. 2x8 + x4 – 15 = 0. 8. (2x – 1)6 + 3(2x – 1)3 = 10.
9. (1 + x)8 + (1 + x2)4 = 2x4. 10. (x – 2)6 – 19(x – 2)3 = 216. Метод разложения на множители. Один из способов решения уравнения n-й степени (n l 2)

Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-

Pn(x) = 0

b - . Если D < 0, то уравнение (2) дейстрень ратности 2: x = – -----2a

состоит в разложении мноочлена Pn(x) на множители, что позволяет свести решение исходноо уравнения  решению несольих уравнений более низих степеней. Этот способ основан на следующем свойстве орней мноочлена n-й степени: если x = c является орнем мноочлена

вительных орней не имеет. Метод введения вспомоательноо неизвестноо. Решение мноих уравнений залючается в сведении их  уравнениям вида (1) или (2). Одним из таих способов является введение вспомоательноо неизвестноо.

2

– (x – 1)

2

Pn(x) = (x – c) Qn – 1(x),

+ 1 = 0.

2

Р е ш е н и е. Полаая y = (x – 1) , запишем исходное уравнение в виде (y – 1)

2

(4)

то мноочлен (4) можно записать в виде

П р и м е р 1. Решить уравнение (x 2 – 2x)

Pn(x) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

– y + 1 = 0.

(*)

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  виду y2 – 3y + 2 = 0. (**)

(5)

де Qn – 1(x) — мноочлен степени n – 1, т. е. мноочлен Pn(x) делится на мноочлен x – c. Разложение мноочлена (4) на множители равносильно нахождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена n-й степени с действительными оэффициентами нельзя уазать универсальноо способа нахождения орней. Однао для мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема, позволяющая находить их рациональные орни.

32

Г л а в а 2. Уравнения

§ 6. Нахождение корней многочленов

33

П р и м е р 3. Решить уравнение

Рациональными орнями мноочлена a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0,5625.

де a0, a1, ..., an – 1, an — целые числа, моут быть лишь числа

Р е ш е н и е. Перемножив попарно x(x + 3) и (x + 1) (x + 2), имеем (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) = 0,5625.

m вида ---p (m — целое, p — натуральное), при этом число |m| яв-

ляется делителем числа |an|, а число p — делителем числа |a0|. П р и м е р 2. Найти орни уравнения 3x3 – 4x2 + 5x – 18 = 0. Р е ш е н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3, 6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значений m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество значений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел m

- образуют следующее множество рациональных чисел: вида ---p

 2  1  ä1, ä2, ä3, ä6, ä9, ä --3- , ä --3-  . Подставляя эти числа в уравне  ние, получаем орень уравнения — число 2. Следовательно, мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2). Произведя деление улом, находим частное — мноочлен 3x2 + 2x + 9, оторый действительных орней не имеет. Ита, x = 2 — единственный действительный орень исходноо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение методом разложения ео на множители: 11. 8x4 + 6x3 – 13x2 – x + 3 = 0. 12. x3 + 6x + 4x2 + 3 = 0. 13. 2x4 – x3 – 9x2 + 13x – 5 = 0. 14. (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8. 15. x3 – (2a + 1)x2 + (a2 + a)x – (a2 – a) = 0. 16. x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0.

(*)

Введя вспомоательное неизвестное y = x2 + 3x, после очевидных преобразований получаем вадратное уравнение y2 + 2y – 0,5625 = 0, орнями отороо являются числа y1 = 0,25 и y2 = –2,25. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям: x2 + 3x – 0,25 = 0,

x2 + 3x + 2,25 = 0. – 3 + 10

Первое уравнение имеет два различных орня: x1 = -------------------------2 – 3 – 10

3 - , второе — один двуратный орень x --и x2 = ------------------------3, 4 = – 2 . 2 – 3 + 10 – 3 – 10 3 - , x = -------------------------- , x --Ответ. x1 = -------------------------2 3, 4 = – 2 . 2 2

Найдите орни уравнения: 17. (x + a) (x + 2a) (x – 3a) (x – 4a) = b4. 18. (x – 4) (x – 5) (x – 6) (x – 7) = 1680. 19. (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35. 20. x4 – 2x3 + x – 132 = 0. 21. (x – 1)(x + 1) (x + 2)x = 24. 22. (x – 4)(x + 2) (x + 8)(x + 14) = 354.
23. (x2 + x + 1) (2x2 + 2x + 3) = 3(1 – x – x2). Алебраичесое уравнение четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,

e − 0,

(7)

a+b=c+d=p

называют возвратным, если оэффициенты уравнения связаны равенствами d = λb, c = λ2a (λ — неоторое отличное от нуля число). Решение возвратноо уравнения (7) можно свести  решению вадратноо уравнения заменой

сводится  вадратному уравнению относительно неизвестноо y = x2 + px.

y = x + --x- .

Не оторые равнения специальноо вида. Уравнение четвертой степени вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m при условии

(6)

λ

32

Г л а в а 2. Уравнения

§ 6. Нахождение корней многочленов

33

П р и м е р 3. Решить уравнение

Рациональными орнями мноочлена a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0,5625.

де a0, a1, ..., an – 1, an — целые числа, моут быть лишь числа

Р е ш е н и е. Перемножив попарно x(x + 3) и (x + 1) (x + 2), имеем (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) = 0,5625.

m вида ---p (m — целое, p — натуральное), при этом число |m| яв-

ляется делителем числа |an|, а число p — делителем числа |a0|. П р и м е р 2. Найти орни уравнения 3x3 – 4x2 + 5x – 18 = 0. Р е ш е н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3, 6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значений m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество значений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел m

- образуют следующее множество рациональных чисел: вида ---p

 2  1  ä1, ä2, ä3, ä6, ä9, ä --3- , ä --3-  . Подставляя эти числа в уравне  ние, получаем орень уравнения — число 2. Следовательно, мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2). Произведя деление улом, находим частное — мноочлен 3x2 + 2x + 9, оторый действительных орней не имеет. Ита, x = 2 — единственный действительный орень исходноо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение методом разложения ео на множители: 11. 8x4 + 6x3 – 13x2 – x + 3 = 0. 12. x3 + 6x + 4x2 + 3 = 0. 13. 2x4 – x3 – 9x2 + 13x – 5 = 0. 14. (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8. 15. x3 – (2a + 1)x2 + (a2 + a)x – (a2 – a) = 0. 16. x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0.

(*)

Введя вспомоательное неизвестное y = x2 + 3x, после очевидных преобразований получаем вадратное уравнение y2 + 2y – 0,5625 = 0, орнями отороо являются числа y1 = 0,25 и y2 = –2,25. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям: x2 + 3x – 0,25 = 0,

x2 + 3x + 2,25 = 0. – 3 + 10

Первое уравнение имеет два различных орня: x1 = -------------------------2 – 3 – 10

3 - , второе — один двуратный орень x --и x2 = ------------------------3, 4 = – 2 . 2 – 3 + 10 – 3 – 10 3 - , x = -------------------------- , x --Ответ. x1 = -------------------------2 3, 4 = – 2 . 2 2

Найдите орни уравнения: 17. (x + a) (x + 2a) (x – 3a) (x – 4a) = b4. 18. (x – 4) (x – 5) (x – 6) (x – 7) = 1680. 19. (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35. 20. x4 – 2x3 + x – 132 = 0. 21. (x – 1)(x + 1) (x + 2)x = 24. 22. (x – 4)(x + 2) (x + 8)(x + 14) = 354.
23. (x2 + x + 1) (2x2 + 2x + 3) = 3(1 – x – x2). Алебраичесое уравнение четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,

e − 0,

(7)

a+b=c+d=p

называют возвратным, если оэффициенты уравнения связаны равенствами d = λb, c = λ2a (λ — неоторое отличное от нуля число). Решение возвратноо уравнения (7) можно свести  решению вадратноо уравнения заменой

сводится  вадратному уравнению относительно неизвестноо y = x2 + px.

y = x + --x- .

Не оторые равнения специальноо вида. Уравнение четвертой степени вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m при условии

(6)

λ

34

Г л а в а 2. Уравнения П р и м е р 4. Решить уравнение 18x4 – 3x3 – 25x2 + 2x + 8 = 0.

Р е ш е н и е. Заметим, что x = 0 не является орнем уравнения, поэтому, разделив обе ео части на x2, перейдем  эвивалентному уравнению 8

2

18x2 – 3x – 25 + --x- + -----2- = 0. x

(*)

Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) следующим образом: 4  -- 2 9 18  x + -----2x 



 

 

Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно 4 2 ----4 9 3 2 выбрать y = x – --x- ; та а x + -----2- = y2 + --3- , то уравнение (*) x

примет вид

18y2 – 3y – 1 = 0. 1

(**)

1

Корни уравнения (**) равны --3- и – --6- . Таим образом, исходное уравнение эвивалентно следующим двум уравнениям: 2 --1 3 x – --x- = --3-

и

2 --1 3 x – --x- = – --6- .

2 Первое уравнение имеет орни x1 = 1 и x2 = – --3- , а второе — – 1 ä 97 -. орни x3, 4 = ----------------------12 2

– 1 ä 97

-. Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- , x3, 4 = ----------------------12

Решите уравнение: 24. x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0. 25. 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = 0. 26. 15x5 + 34x4 + 15x3 – 15x2 – 34x – 15 = 0. 27. 6x3 – x2 – 20x + 12 = 0. 28. x4 + 1 = 2(1 + x)4.

35

Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2) допусают понижение поряда, если использовать формулу бинома Ньютона (см. л. 15, § 84). П р и м е р 5. Решить уравнение 8x3 + 36x2 + 54x = 98. Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что (2x + 3)3 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27, запишем исходное уравнение в виде (2x + 3)3 = 125, или

2    ---    3  – 3  x – --x-  – 25 = 0.

 

§ 6. Нахождение корней многочленов

2x + 3 = 5.

Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения является x = 1. Ответ. x = 1. Решите уравнение: 29. 8x3 – 36x2 + 54x = 28. 30. 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x – 80 = 0. 31. x4 – 8x3 + 24x2 – 32x = 65. Уравнение вида a1un + a2un – 1v + a3un – 2v2 + ... + anvn = 0

(8)

называют однородным
равнением n-й степени относительно неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравнения (8) на vn ео сводят  уравнению n-й степени относительно u

неизвестноо y = --v- . Если an = 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода v = 0. Сводя уравнения  однородным и производя уазанную выше замену, инода удается понизить степень исходноо уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение (x2 + 27)2 – 5(x2 + 27) (x2 + 3) + 6(x2 + 3)2 = 0. x2

x2

(*)

Р е ш е н и е. Положим + 27 = u, + 3 = v. Тода исходное уравнение примет вид однородноо уравнения второй степени относительно неизвестных u и v: u2 – 5uv + 6v2 = 0.

34

Г л а в а 2. Уравнения П р и м е р 4. Решить уравнение 18x4 – 3x3 – 25x2 + 2x + 8 = 0.

Р е ш е н и е. Заметим, что x = 0 не является орнем уравнения, поэтому, разделив обе ео части на x2, перейдем  эвивалентному уравнению 8

2

18x2 – 3x – 25 + --x- + -----2- = 0. x

(*)

Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) следующим образом: 4  -- 2 9 18  x + -----2x 



 

 

Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно 4 2 ----4 9 3 2 выбрать y = x – --x- ; та а x + -----2- = y2 + --3- , то уравнение (*) x

примет вид

18y2 – 3y – 1 = 0. 1

(**)

1

Корни уравнения (**) равны --3- и – --6- . Таим образом, исходное уравнение эвивалентно следующим двум уравнениям: 2 --1 3 x – --x- = --3-

и

2 --1 3 x – --x- = – --6- .

2 Первое уравнение имеет орни x1 = 1 и x2 = – --3- , а второе — – 1 ä 97 -. орни x3, 4 = ----------------------12 2

– 1 ä 97

-. Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- , x3, 4 = ----------------------12

Решите уравнение: 24. x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0. 25. 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = 0. 26. 15x5 + 34x4 + 15x3 – 15x2 – 34x – 15 = 0. 27. 6x3 – x2 – 20x + 12 = 0. 28. x4 + 1 = 2(1 + x)4.

35

Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2) допусают понижение поряда, если использовать формулу бинома Ньютона (см. л. 15, § 84). П р и м е р 5. Решить уравнение 8x3 + 36x2 + 54x = 98. Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что (2x + 3)3 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27, запишем исходное уравнение в виде (2x + 3)3 = 125, или

2    ---    3  – 3  x – --x-  – 25 = 0.

 

§ 6. Нахождение корней многочленов

2x + 3 = 5.

Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения является x = 1. Ответ. x = 1. Решите уравнение: 29. 8x3 – 36x2 + 54x = 28. 30. 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x – 80 = 0. 31. x4 – 8x3 + 24x2 – 32x = 65. Уравнение вида a1un + a2un – 1v + a3un – 2v2 + ... + anvn = 0

(8)

называют однородным
равнением n-й степени относительно неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравнения (8) на vn ео сводят  уравнению n-й степени относительно u

неизвестноо y = --v- . Если an = 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода v = 0. Сводя уравнения  однородным и производя уазанную выше замену, инода удается понизить степень исходноо уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение (x2 + 27)2 – 5(x2 + 27) (x2 + 3) + 6(x2 + 3)2 = 0. x2

x2

(*)

Р е ш е н и е. Положим + 27 = u, + 3 = v. Тода исходное уравнение примет вид однородноо уравнения второй степени относительно неизвестных u и v: u2 – 5uv + 6v2 = 0.

36

Г л а в а 2. Уравнения

y2 – 5y + 6 = 0, орни отороо y = 2 и y = 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям x2 + 27 = 2(x2 + 3),

орнями оторых являются числа ä3 и ä 21 соответственно. Ответ. x1, 2 = ä3, x3, 4 = ä 21 . Решите уравнение: 32. (x2 – 1)2 + 5(x4 – 1) – 6(x2 + 1)2 = 0. 33. (x2 – 3)2 – 7(x4 – 9) + 6(x2 + 3)2 = 0. 34. (x – 2)2(x + 1)2 – (x – 2)(x2 – 1) – 2(x – 1)2 = 0. Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x. П р и м е р 7. Решить уравнение (x2 – 4x + 6)2 – 4(x2 – 4x + 6) + 6 = x. Р е ш е н и е. Квадратное уравнение x2 – 4x + 6 = x

и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям (**)

Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет, и действительными орнями исходноо уравнения являются орни уравнения (*). Ответ. x1 = 2, x2 = 3. Решите уравнение: 35. (x2 + 2x – 5)2 + 2(x2 + 2x – 5) – 5 = x. 36. (x2 – x – 3)2 – (x2 – x – 3) – 3 = x.

Рациональным уравнение вида

алебраичесим


равнением называют

P(x) ------------- = 0, Q(x)

(1)

де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем полаать, что P(x) — мноочлен m-й степени, а Q(x) — мноочлен n-й степени. Множество допустимых значений рациональноо алебраичесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда следует, что x − c1, x − c2, ..., x − cn, де c1, c2, ..., cn — орни мноочлена Q(x). Метод решения уравнения (1) залючается в следующем. Сначала решают уравнение P(x) = 0; пусть x1, x2, ..., xm — ео орни. Затем сравнивают множества орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), оторые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют собой орни (решения) рациональноо уравнения (1). П р и м е р 1. Решить уравнение

(*)

имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записанный в левой части исходноо уравнения, делится на произведение (x – 2) (x – 3). Выполнив деление улом, находим частное: x2 – 3x + 3. Таим образом, исходное уравнение можно представить в виде (x2 – 5x + 6) (x2 – 3x + 3) = 0 x2 – 5x + 6 = 0, x2 – 3x + 3 = 0.

37

§ 7. Рациональные уравнения

u

Выполнив замену --v- = y, получаем уравнение

x2 + 27 = 3(x2 + 3),

§ 7. Рациональные уравнения

5 9–x ------------- = ------------- – 3. x–4 x–4

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению 9 – x – 5 + 3(x – 4) = 0 при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет. Ответ. ¾. П р и м е р 2. Решить уравнение 9x + 13 x 5 -------------- – -----------------------------= -----------x+1 3–x. x 2 – 2x – 3

(*)

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде 5 x 9x + 13 -------------- – -------------------------------------+ -----------x–3 = 0 x+1 (x + 1 )(x – 3)

и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).

36

Г л а в а 2. Уравнения

y2 – 5y + 6 = 0, орни отороо y = 2 и y = 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям x2 + 27 = 2(x2 + 3),

орнями оторых являются числа ä3 и ä 21 соответственно. Ответ. x1, 2 = ä3, x3, 4 = ä 21 . Решите уравнение: 32. (x2 – 1)2 + 5(x4 – 1) – 6(x2 + 1)2 = 0. 33. (x2 – 3)2 – 7(x4 – 9) + 6(x2 + 3)2 = 0. 34. (x – 2)2(x + 1)2 – (x – 2)(x2 – 1) – 2(x – 1)2 = 0. Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x. П р и м е р 7. Решить уравнение (x2 – 4x + 6)2 – 4(x2 – 4x + 6) + 6 = x. Р е ш е н и е. Квадратное уравнение x2 – 4x + 6 = x

и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям (**)

Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет, и действительными орнями исходноо уравнения являются орни уравнения (*). Ответ. x1 = 2, x2 = 3. Решите уравнение: 35. (x2 + 2x – 5)2 + 2(x2 + 2x – 5) – 5 = x. 36. (x2 – x – 3)2 – (x2 – x – 3) – 3 = x.

Рациональным уравнение вида

алебраичесим


равнением называют

P(x) ------------- = 0, Q(x)

(1)

де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем полаать, что P(x) — мноочлен m-й степени, а Q(x) — мноочлен n-й степени. Множество допустимых значений рациональноо алебраичесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда следует, что x − c1, x − c2, ..., x − cn, де c1, c2, ..., cn — орни мноочлена Q(x). Метод решения уравнения (1) залючается в следующем. Сначала решают уравнение P(x) = 0; пусть x1, x2, ..., xm — ео орни. Затем сравнивают множества орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), оторые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют собой орни (решения) рациональноо уравнения (1). П р и м е р 1. Решить уравнение

(*)

имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записанный в левой части исходноо уравнения, делится на произведение (x – 2) (x – 3). Выполнив деление улом, находим частное: x2 – 3x + 3. Таим образом, исходное уравнение можно представить в виде (x2 – 5x + 6) (x2 – 3x + 3) = 0 x2 – 5x + 6 = 0, x2 – 3x + 3 = 0.

37

§ 7. Рациональные уравнения

u

Выполнив замену --v- = y, получаем уравнение

x2 + 27 = 3(x2 + 3),

§ 7. Рациональные уравнения

5 9–x ------------- = ------------- – 3. x–4 x–4

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению 9 – x – 5 + 3(x – 4) = 0 при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет. Ответ. ¾. П р и м е р 2. Решить уравнение 9x + 13 x 5 -------------- – -----------------------------= -----------x+1 3–x. x 2 – 2x – 3

(*)

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде 5 x 9x + 13 -------------- – -------------------------------------+ -----------x–3 = 0 x+1 (x + 1 )(x – 3)

и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).

38

Г л а в а 2. Уравнения

§ 7. Рациональные уравнения

Тода получим уравнение или

x2

Ответ. x = 8.

1 1 1 --- – ------------- = ------ . 12 z+1 z

(*)

z 2 + z – 12 ----------------------------- = 0, 12z ( z + 1 )

(**)

оторое эвивалентно уравнению z2 + z – 12 = 0. Эвивалентность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео уравнения z = 3, z = –4 принадлежат множеству допустимых значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям: x2 + 2x – 3 = 0 и x2 + 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x1 = 1, x2 = –3. Второе уравнение действительных орней не имеет. Ответ. x1 = 1, x2 = –3. Решите уравнение:

x–8 2x + 3x – 32x – 48

-------------------- + ------------------------------------------ = 0. 2. ----------------– ---------------------------------------------------------2 3 2 2x + 3 – 2 7 x+1

a4 + b4 (a + b)

x – 2x + 3

x – 2x + 4

5 x +5

4 x +4

- + ---------------- = 2. 10. ---------------2 2 ( x 2 – 6x ) 2 (x – 3)

81 (x – 3)

- – 2 = --------------------2- . 11. --------------------------2 15 x + 2x – 3

24 x + 2x – 8

- – ------------------------------ = 2. 12. -----------------------------2 2

  1  1  13. 7  x + --x-  – 2  x2 + -----2-  = 9. x     x 2 + 2x + 1

x 2 + 2x + 2

7

14. ------------------------------+ ------------------------------= --6- . x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 3 x–2  15. 20  ------------ x+1 

2

x+2  – 5  ------------ x–1 

2

x2 – 4 x –1

- = 0. + 48 --------------2

x+1  16.  ------------ x–2 

2

x+1 –2 x -------------  + ------------x – 4 = 12  x – 4  .

2

x+1  17.  ------------ x–1 

2

x–2 x–2 2 - – 3  --------------  = 0. – 2 -----------x–1  x+1 

Уравнение вида

108x – 36x 2 – 9 9x – 5 12x + 1 - – ------------------ = --------------------------------------------. 1. -------------------3x + 1 6x – 2 4 ( 9x 2 – 1 )

+x+1

( a – x )4 + ( x – b )4 ( a + b – 2x )

7. ------------------------------------------------= --------------------2- . 2

21 x – 4x + 10

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  уравнению

- = --- -------------- . 3. --------------------------9 x–1 x2 – x + 1

(x + 1)(x + 5)

9. ---------------------------------– x2 + 4x = 6. 2

Р е ш е н и е. Полаая z = x2 + 2x, запишем исходное уравнение в виде

x2




x – 2x + 2

1 1 1 ----------------------- – ---------------------2- = ------ . 12 x(x + 2) (x + 1 )

1 2x + 11x + 12

4x 2 + 29x + 45 – ( x + 1 ) ( 2x + 15 )

- = -------------------------------------- . 6. ---------------------------------------------------------------------------------------------(x – 1)(x – 2) ( 2 (x – 1))2 – 2 ( x + 1 )( x – 2 )

1 2 6 - + ------------------------------ = ------------------------------. 8. -----------------------------2 2 2

П р и м е р 3. Решить уравнение

1 x – 16

1

x+1

1 - + ---------------------- = ------------- – -------------- . 5. --------------2–x 2(x – 2) x+2 x2 – 4

(**)

эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем орни вадратноо уравнения (**): x1 = –1, x2 = 8. Та а x = –1 не принадлежит области допустимых значений неизвестноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.

1

1

9

x+1

----------------------------------4. --------------------2(x – 1) = 2(x + 4) + x – 1 .

x(x – 3) – (9x + 13) + 5(x + 1) = 0, x2 – 7x – 8 = 0,

39

bx ax ---------------------------------- + --------------------------------- =c cx 2 + rx + d cx 2 + hx + d

сводится  уравнению b a -------------- + ------------- = c y+r y+h

38

Г л а в а 2. Уравнения

§ 7. Рациональные уравнения

Тода получим уравнение или

x2

Ответ. x = 8.

1 1 1 --- – ------------- = ------ . 12 z+1 z

(*)

z 2 + z – 12 ----------------------------- = 0, 12z ( z + 1 )

(**)

оторое эвивалентно уравнению z2 + z – 12 = 0. Эвивалентность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео уравнения z = 3, z = –4 принадлежат множеству допустимых значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям: x2 + 2x – 3 = 0 и x2 + 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x1 = 1, x2 = –3. Второе уравнение действительных орней не имеет. Ответ. x1 = 1, x2 = –3. Решите уравнение:

x–8 2x + 3x – 32x – 48

-------------------- + ------------------------------------------ = 0. 2. ----------------– ---------------------------------------------------------2 3 2 2x + 3 – 2 7 x+1

a4 + b4 (a + b)

x – 2x + 3

x – 2x + 4

5 x +5

4 x +4

- + ---------------- = 2. 10. ---------------2 2 ( x 2 – 6x ) 2 (x – 3)

81 (x – 3)

- – 2 = --------------------2- . 11. --------------------------2 15 x + 2x – 3

24 x + 2x – 8

- – ------------------------------ = 2. 12. -----------------------------2 2

  1  1  13. 7  x + --x-  – 2  x2 + -----2-  = 9. x     x 2 + 2x + 1

x 2 + 2x + 2

7

14. ------------------------------+ ------------------------------= --6- . x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 3 x–2  15. 20  ------------ x+1 

2

x+2  – 5  ------------ x–1 

2

x2 – 4 x –1

- = 0. + 48 --------------2

x+1  16.  ------------ x–2 

2

x+1 –2 x -------------  + ------------x – 4 = 12  x – 4  .

2

x+1  17.  ------------ x–1 

2

x–2 x–2 2 - – 3  --------------  = 0. – 2 -----------x–1  x+1 

Уравнение вида

108x – 36x 2 – 9 9x – 5 12x + 1 - – ------------------ = --------------------------------------------. 1. -------------------3x + 1 6x – 2 4 ( 9x 2 – 1 )

+x+1

( a – x )4 + ( x – b )4 ( a + b – 2x )

7. ------------------------------------------------= --------------------2- . 2

21 x – 4x + 10

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  уравнению

- = --- -------------- . 3. --------------------------9 x–1 x2 – x + 1

(x + 1)(x + 5)

9. ---------------------------------– x2 + 4x = 6. 2

Р е ш е н и е. Полаая z = x2 + 2x, запишем исходное уравнение в виде

x2




x – 2x + 2

1 1 1 ----------------------- – ---------------------2- = ------ . 12 x(x + 2) (x + 1 )

1 2x + 11x + 12

4x 2 + 29x + 45 – ( x + 1 ) ( 2x + 15 )

- = -------------------------------------- . 6. ---------------------------------------------------------------------------------------------(x – 1)(x – 2) ( 2 (x – 1))2 – 2 ( x + 1 )( x – 2 )

1 2 6 - + ------------------------------ = ------------------------------. 8. -----------------------------2 2 2

П р и м е р 3. Решить уравнение

1 x – 16

1

x+1

1 - + ---------------------- = ------------- – -------------- . 5. --------------2–x 2(x – 2) x+2 x2 – 4

(**)

эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем орни вадратноо уравнения (**): x1 = –1, x2 = 8. Та а x = –1 не принадлежит области допустимых значений неизвестноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.

1

1

9

x+1

----------------------------------4. --------------------2(x – 1) = 2(x + 4) + x – 1 .

x(x – 3) – (9x + 13) + 5(x + 1) = 0, x2 – 7x – 8 = 0,

39

bx ax ---------------------------------- + --------------------------------- =c cx 2 + rx + d cx 2 + hx + d

сводится  уравнению b a -------------- + ------------- = c y+r y+h

40

Г л а в а 2. Уравнения

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

введением вспомоательноо неизвестноо d

y = cx + --x- . П р и м е р 4. Решить уравнение x 2x -------------------------- + --------------------------- = 1. x2 – x + 1 x2 + x + 1

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся в том, что x = 0 не является орнем исходноо уравнения. Разделив числитель и знаменатель аждой дроби на x, получаем эвивалентное уравнение 2 1 ------------------------ + ------------------------ = 1. x + --1- + 1 x + --1- – 1 x

x

1

Полаая x + --x- = y, приходим  уравнению 2 1 ------------------------y – 1 + y + 1 = 1,

сводящемуся  вадратному уравнению, орнями отороо являются y1 = 0, y2 = 3. Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям 1 x + --x- = 0,

1 x + --x- = 3,

первое из оторых не имеет действительных орней, а орни 3ä 5

второо — числа x1,2 = ---------------2 .

Если в уравнении неоторые выражения, содержащие неизвестное, находятся под знаом модуля, то решение исходноо уравнения следует исать отдельно на аждом из промежутов знаопостоянства этих выражений. П р и м е р 1. Решить уравнение |2x – 5| = x – 1. Р е ш е н и е. Выражение 2x – 5, записанное под знаом модуля, неотрицательно при x l 2,5 и отрицательно при x < 2,5. Рассмотрим исходное уравнение отдельно на аждом из этих промежутов. Пусть x l 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = = 2x – 5, и данное уравнение примет вид 2x – 5 = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 4. Та а число 4 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 4 является решением исходноо уравнения. Пусть теперь x < 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = –(2x – 5), и данное уравнение примет вид –(2x – 5) = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 2. Та а число 2 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 2 является решением исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 4. П р и м е р 2. Решить уравнение

3ä 5 Ответ. x1, 2 = ---------------2 .

|x – 1| – 2|x – 2| + 3|x – 3| = 4. Р е ш е н и е. Данное уравнение эвивалентно следующим уравнениям:

Решите уравнение: 2x 2x – 5x + 3

13x 2x + x + 3

- + ------------------------------18. ---------------------------------= 6. 2 2 2x

3x

8

- – --------------------------- = --- . 19. -----------------------------3 x2 + 1 + x x 2 + 1 – 4x 3x 2 – 1

5x

41

119

- + -----------------------------20. ------------------= --------18 . x 3x 2 – x – 1

1) 1 – x 2) x – 1 3) x – 1 4) x – 1

+ 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при x m 1; + 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 1 < x m 2; – 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 2 < x m 3; – 2(x – 2) + 3(x – 3) = 4 при x > 3.

Первое уравнение имеет решение x = 1; второе уравнение обращается в тождество для всех значений x, удовлетворяю-

40

Г л а в а 2. Уравнения

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

введением вспомоательноо неизвестноо d

y = cx + --x- . П р и м е р 4. Решить уравнение x 2x -------------------------- + --------------------------- = 1. x2 – x + 1 x2 + x + 1

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся в том, что x = 0 не является орнем исходноо уравнения. Разделив числитель и знаменатель аждой дроби на x, получаем эвивалентное уравнение 2 1 ------------------------ + ------------------------ = 1. x + --1- + 1 x + --1- – 1 x

x

1

Полаая x + --x- = y, приходим  уравнению 2 1 ------------------------y – 1 + y + 1 = 1,

сводящемуся  вадратному уравнению, орнями отороо являются y1 = 0, y2 = 3. Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям 1 x + --x- = 0,

1 x + --x- = 3,

первое из оторых не имеет действительных орней, а орни 3ä 5

второо — числа x1,2 = ---------------2 .

Если в уравнении неоторые выражения, содержащие неизвестное, находятся под знаом модуля, то решение исходноо уравнения следует исать отдельно на аждом из промежутов знаопостоянства этих выражений. П р и м е р 1. Решить уравнение |2x – 5| = x – 1. Р е ш е н и е. Выражение 2x – 5, записанное под знаом модуля, неотрицательно при x l 2,5 и отрицательно при x < 2,5. Рассмотрим исходное уравнение отдельно на аждом из этих промежутов. Пусть x l 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = = 2x – 5, и данное уравнение примет вид 2x – 5 = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 4. Та а число 4 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 4 является решением исходноо уравнения. Пусть теперь x < 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = –(2x – 5), и данное уравнение примет вид –(2x – 5) = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 2. Та а число 2 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 2 является решением исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 4. П р и м е р 2. Решить уравнение

3ä 5 Ответ. x1, 2 = ---------------2 .

|x – 1| – 2|x – 2| + 3|x – 3| = 4. Р е ш е н и е. Данное уравнение эвивалентно следующим уравнениям:

Решите уравнение: 2x 2x – 5x + 3

13x 2x + x + 3

- + ------------------------------18. ---------------------------------= 6. 2 2 2x

3x

8

- – --------------------------- = --- . 19. -----------------------------3 x2 + 1 + x x 2 + 1 – 4x 3x 2 – 1

5x

41

119

- + -----------------------------20. ------------------= --------18 . x 3x 2 – x – 1

1) 1 – x 2) x – 1 3) x – 1 4) x – 1

+ 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при x m 1; + 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 1 < x m 2; – 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 2 < x m 3; – 2(x – 2) + 3(x – 3) = 4 при x > 3.

Первое уравнение имеет решение x = 1; второе уравнение обращается в тождество для всех значений x, удовлетворяю-

42

Г л а в а 2. Уравнения

щих неравенствам 1 < x m 2; третье не имеет решений; четвертое имеет решение x = 5. Ответ. x Ý [1; 2], x = 5. 2. |–x + 2| = 2x + 1.

3. |x – 1| + |x – 2| = 1.

4. |2 – |1 – |x||| = 1.

Ответ. x = 4.

6. |x2 – 1| = –|x| + 1.

= 1.

Решите уравнение:

7. |5x – x2 – 6| = x2 – 5x + 6. 8. |x – 1| + |x + 2| – |x – 3| = 4. 1

3

1

3

9. --2- x2 – 2x + --2- + --2- x2 – 3x + 4 = --4- .

§ 9. Иррациональные уравнения Иррациональным
равнением называют уравнение, в отором неизвестная величина содержится под знаом радиала. Область допустимых значений иррациональноо уравнения состоит из тех значений неизвестноо, при оторых неотрицательны все выражения, находящиеся под знаами радиалов четной степени. Метод возведения равнения в степень. Один из способов решения иррациональноо уравнения залючается в последовательном возведении обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим общим ратным поазателей всех радиалов, входящих в данное уравнение. Если степень, в оторую возводится уравнение, четная, то полученное уравнение может иметь орни, не являющиеся орнями исходноо уравнения. В этом случае необходима провера орней. П р и м е р 1. Решить уравнение 3x + 4 +

4

орнями отороо являются x = – --3- и x = 4. Один из получен4

1. |x| = x + 2. 5.

43

ных орней, а именно x = – --3- , не удовлетворяет исходному уравнению, та а не входит в область ео допустимых значений. Проверой убеждаемся, что при x = 4 исходное уравнение обращается в тождество.

Решите уравнение:

x+1 -------------x–1

§ 9. Иррациональные уравнения

x–4 = 2 x.

1.

x+1 =8–

3x + 1 .

2.

x + x + 11 +

3.

17 + x –

17 – x = 2.

4.

3x + 7 –

x + 1 = 2.

5.

25 – x = 2 –

6.

x2

7.

x2 + x – 5 +

x 2 + 8x – 4 = 5.

8.

x2 + x + 1 =

x 2 – x + 1 + 1.

x2

+1 +

x – x + 11 = 4.

9+x. – 2x + 3 = 3.

9. (x2 – 4) x + 1 = 0. 10.

4x – 3 +

11.

x+5 +

x+3 =

12.

4–x +

5 + x = 3.

13.

4x + 2 +

14.

x– x–2 +

15.

x + 7 – x + 3 = 0. 3

5x + 1 =

2x + 7 .

4x – 2 = 4.

3

x + x – 2 = 2.

(*)

16.

Р е ш е н и е. Возведем обе части данноо уравнения в вадрат: 3x + 4 + 2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) + x – 4 = 4x. (**)

17. 18.

3

x +

Приведя подобные члены, получаем уравнение

19.

3

x+5 +

3

x+6 =

20.

3

x+1 +

3

3x + 1 =

2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) = 0,

x + 34 – 2x + 5 – 3

15x + 4 .

x – 3 = 1. 3x – 5 = 2.

x – 16 =

3

x–8. 3

2x + 11 . 3

x–1.

42

Г л а в а 2. Уравнения

щих неравенствам 1 < x m 2; третье не имеет решений; четвертое имеет решение x = 5. Ответ. x Ý [1; 2], x = 5. 2. |–x + 2| = 2x + 1.

3. |x – 1| + |x – 2| = 1.

4. |2 – |1 – |x||| = 1.

Ответ. x = 4.

6. |x2 – 1| = –|x| + 1.

= 1.

Решите уравнение:

7. |5x – x2 – 6| = x2 – 5x + 6. 8. |x – 1| + |x + 2| – |x – 3| = 4. 1

3

1

3

9. --2- x2 – 2x + --2- + --2- x2 – 3x + 4 = --4- .

§ 9. Иррациональные уравнения Иррациональным
равнением называют уравнение, в отором неизвестная величина содержится под знаом радиала. Область допустимых значений иррациональноо уравнения состоит из тех значений неизвестноо, при оторых неотрицательны все выражения, находящиеся под знаами радиалов четной степени. Метод возведения равнения в степень. Один из способов решения иррациональноо уравнения залючается в последовательном возведении обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим общим ратным поазателей всех радиалов, входящих в данное уравнение. Если степень, в оторую возводится уравнение, четная, то полученное уравнение может иметь орни, не являющиеся орнями исходноо уравнения. В этом случае необходима провера орней. П р и м е р 1. Решить уравнение 3x + 4 +

4

орнями отороо являются x = – --3- и x = 4. Один из получен4

1. |x| = x + 2. 5.

43

ных орней, а именно x = – --3- , не удовлетворяет исходному уравнению, та а не входит в область ео допустимых значений. Проверой убеждаемся, что при x = 4 исходное уравнение обращается в тождество.

Решите уравнение:

x+1 -------------x–1

§ 9. Иррациональные уравнения

x–4 = 2 x.

1.

x+1 =8–

3x + 1 .

2.

x + x + 11 +

3.

17 + x –

17 – x = 2.

4.

3x + 7 –

x + 1 = 2.

5.

25 – x = 2 –

6.

x2

7.

x2 + x – 5 +

x 2 + 8x – 4 = 5.

8.

x2 + x + 1 =

x 2 – x + 1 + 1.

x2

+1 +

x – x + 11 = 4.

9+x. – 2x + 3 = 3.

9. (x2 – 4) x + 1 = 0. 10.

4x – 3 +

11.

x+5 +

x+3 =

12.

4–x +

5 + x = 3.

13.

4x + 2 +

14.

x– x–2 +

15.

x + 7 – x + 3 = 0. 3

5x + 1 =

2x + 7 .

4x – 2 = 4.

3

x + x – 2 = 2.

(*)

16.

Р е ш е н и е. Возведем обе части данноо уравнения в вадрат: 3x + 4 + 2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) + x – 4 = 4x. (**)

17. 18.

3

x +

Приведя подобные члены, получаем уравнение

19.

3

x+5 +

3

x+6 =

20.

3

x+1 +

3

3x + 1 =

2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) = 0,

x + 34 – 2x + 5 – 3

15x + 4 .

x – 3 = 1. 3x – 5 = 2.

x – 16 =

3

x–8. 3

2x + 11 . 3

x–1.

44

Г л а в а 2. Уравнения 21.

3

x+1 +

3

22.

3

1+ x +

3

1 – x = 2.

23.

3

5x + 7 –

3

5x – 12 = 1.

24.

3

9– x+1 +

25.

3

24 + x –

x+2 +

3

3

3

7 + x + 1 = 4.

5 + x = 1.

П р и м е р 2. Решить уравнение 3x 2 + 5x + 8 –

3x 2 + 5x + 1 = 1.

(*)

3x 2 + 5x + 8 + 3x 2 + 5x + 1 , являющееся сопряженным левой части уравнения (*). После приведения подобных членов получаем уравнение 3x 2 + 5x + 1 ,

(**)

эвивалентное исходному, та а уравнение 3x 2 + 5x + 8 +

3x 2 + 5x + 1 = 0

не имеет действительных орней. Сложив уравнения (*) и (**), получим 3x 2 + 5x + 8 = 4. Возведя последнее уравнение в вадрат, приходим  вадратному уравнению 3x2 + 5x – 8 = 0, 8

имеющему орни x1 = – --3- , x2 = 1. Выполнив проверу, убеждаемся, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. 8

Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- .




26.

3x 2 – 2x + 15 +

3x 2 – 2x + 8 = 7.

27.

x2 + 9 –

x 2 – 7 = 2.

28.

15 – x +

3 – x = 6.

29.

Ax 2 + Bx + C +

Ax 2 + Bx + C 1 = p.

21 + x + 21 – x

21

30. -------------------------------------------------- = -----x . 21 + x – 21 – x

В неоторых случаях введение вспомоательных неизвестных позволяет перейти от иррациональноо уравнения  системе рациональных уравнений. П р и м е р 3. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Умножим обе части уравнения на выражение

3x 2 + 5x + 8 +

45

Решите уравнение:

x + 3 = 0.

Не оторые специальные приемы решения иррациональных равнений. Инода можно освободиться от иррациональности умножением обеих частей уравнения на неоторое выражение, не обращающееся в нуль.

7=

§ 9. Иррациональные уравнения

x2 – 4x – 6 =

2x 2 – 8x + 12 .

Р е ш е н и е. Полаая 2x 2 – 8x + 12 = y, получим систему уравнений y2 = 2x2 – 8x + 12, (*) y = x2 – 4x – 6. Ислючив из системы (*) неизвестное x, приходим  уравнению y2 – 2y – 24 = 0. Ео орнями являются y1 = 6, y2 = –4. Та а через y обозначен арифметичесий орень, то из двух найденных орней уравнения выбираем положительный. Подставляя ео во второе уравнение системы (*), получаем уравнение x2 – 4x – 12 = 0, орни отороо x1 = 6, x2 = –2. Провера поазывает, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. Ответ. x1 = 6, x2 = –2. П р и м е р 4. Решить уравнение 3

x+1 =

x–3.

Р е ш е н и е. Положим 3 x + 1 = u, x – 3 = v. Ислючив x из уравнений u3 = x + 1, v2 = x – 3, придем  системе u = v, u3 – v2 = 4.

44

Г л а в а 2. Уравнения 21.

3

x+1 +

3

22.

3

1+ x +

3

1 – x = 2.

23.

3

5x + 7 –

3

5x – 12 = 1.

24.

3

9– x+1 +

25.

3

24 + x –

x+2 +

3

3

3

7 + x + 1 = 4.

5 + x = 1.

П р и м е р 2. Решить уравнение 3x 2 + 5x + 8 –

3x 2 + 5x + 1 = 1.

(*)

3x 2 + 5x + 8 + 3x 2 + 5x + 1 , являющееся сопряженным левой части уравнения (*). После приведения подобных членов получаем уравнение 3x 2 + 5x + 1 ,

(**)

эвивалентное исходному, та а уравнение 3x 2 + 5x + 8 +

3x 2 + 5x + 1 = 0

не имеет действительных орней. Сложив уравнения (*) и (**), получим 3x 2 + 5x + 8 = 4. Возведя последнее уравнение в вадрат, приходим  вадратному уравнению 3x2 + 5x – 8 = 0, 8

имеющему орни x1 = – --3- , x2 = 1. Выполнив проверу, убеждаемся, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. 8

Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- .




26.

3x 2 – 2x + 15 +

3x 2 – 2x + 8 = 7.

27.

x2 + 9 –

x 2 – 7 = 2.

28.

15 – x +

3 – x = 6.

29.

Ax 2 + Bx + C +

Ax 2 + Bx + C 1 = p.

21 + x + 21 – x

21

30. -------------------------------------------------- = -----x . 21 + x – 21 – x

В неоторых случаях введение вспомоательных неизвестных позволяет перейти от иррациональноо уравнения  системе рациональных уравнений. П р и м е р 3. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Умножим обе части уравнения на выражение

3x 2 + 5x + 8 +

45

Решите уравнение:

x + 3 = 0.

Не оторые специальные приемы решения иррациональных равнений. Инода можно освободиться от иррациональности умножением обеих частей уравнения на неоторое выражение, не обращающееся в нуль.

7=

§ 9. Иррациональные уравнения

x2 – 4x – 6 =

2x 2 – 8x + 12 .

Р е ш е н и е. Полаая 2x 2 – 8x + 12 = y, получим систему уравнений y2 = 2x2 – 8x + 12, (*) y = x2 – 4x – 6. Ислючив из системы (*) неизвестное x, приходим  уравнению y2 – 2y – 24 = 0. Ео орнями являются y1 = 6, y2 = –4. Та а через y обозначен арифметичесий орень, то из двух найденных орней уравнения выбираем положительный. Подставляя ео во второе уравнение системы (*), получаем уравнение x2 – 4x – 12 = 0, орни отороо x1 = 6, x2 = –2. Провера поазывает, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. Ответ. x1 = 6, x2 = –2. П р и м е р 4. Решить уравнение 3

x+1 =

x–3.

Р е ш е н и е. Положим 3 x + 1 = u, x – 3 = v. Ислючив x из уравнений u3 = x + 1, v2 = x – 3, придем  системе u = v, u3 – v2 = 4.

46

Г л а в а 2. Уравнения

Ее решение сводится  решению уравнения v3 – v2 – 4 = 0, имеющему единственный действительный орень v = 2. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем линейное уравнение 4 = x – 3, орень отороо является единственным орнем исходноо уравнения. Ответ. x = 7. Решите уравнение: 31.


5

32. 33.

4

4

35 + 2x = 4.

34. (x + 4) (x + 1) – 3 x 2 + 5x + 2 = 6. 35. 36.

4

x+4+ x–4

- =x+ 37. -----------------------------------------2




38. 39.

x 2 – 16 – 6.

x x = 56.

(5 – x ) 5 – x + (x – 3) x – 3 5–x+ x–3

41. x 3 x – 4 3 x 2 + 4 = 0. 42. x2 + 3x – 18 + 4 x 2 + 3x – 6 = 0. 43.


44.

x2

y2

+ 6y + 16 + 66 2

+ +x -------------------------------------- – x

t 2 – 2t + 1 = 1.

+ 2y = 2

y2

+ 2y + 4 .

x x 2 + 66 2 – x 2 = 5.

3 ( x – 2 ) + 4 2x 2 – 3x + 1 2(x – 1 )

49.

x+2+2 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 2.

50.

x+5–4 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 1.

51.

x+8+2 x+7 +

x + 1 – x + 7 = 4.

52.

x2 + 2 x2 – 1 –

53.

x+2 x–1 –

x – 2 x – 1 = 3.

54.

x+2 x–1 +

x – 2 x – 1 = x – 1.

55.

2x – 2 2x – 1 – 2 2x + 3 – 4 2x – 1 +

x 2 – 2 x 2 – 1 = 1.

+ 3 2x + 8 – 6 2x – 1 = 4.

- = 1. 45. -----------------------------------------------------------------------2

46.


x – 2 + 2x – 5 +

47. (x – 3)2 + 3x – 22 = 3+x

48. ------------3x =

(*)

Решите уравнение:

40. --------------------------------------------------------------------------------- = 2.

3y 2

x – 2 = t; тода исходное уравне-

Ответ. x = 2,25.

5–x x+3 - = 2. + 7 ------------x+3 5–x 5

Р е ш е н и е. Положим ние примет вид

x – 1 – 2 x – 2 = 1.

орнем отороо является x = 2,25.

7 --------------

x5 x –

x–1+2 x–2 –

x – 2 = 0,5,

x 2 + 32 = 3.




П р и м е р 5. Решить уравнение

Уравнение (**) имеет единственный орень t = 0,5. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем уравнение

16z z–1 5 ------------- = 2,5. z–1 + 16z

5 -------------

x 2 + 32 – 2

Метод выделения полноо вадрата в под оренных выражениях.

Та а под знаами радиалов в левой части уравнения (*) находятся полные вадраты, то уазанное уравнение сводится  следующему: |t + 1| – |t – 1| = 1. (**)

4 – x = x2 – 6x + 11.

47 – 2x +

47

t 2 + 2t + 1 –

( 7x – 3 ) 3 + 8 5 ( 3 – 7x ) –3 = 7. x–2 +

§ 9. Иррациональные уравнения

x + 2 + 3 2x – 5 = 7 2 . x 2 – 3x + 7 .

2 1 1 4 --- + --- --- + -----2- . 9 x 9 x

56.

x+3–4 x–1 +

x + 8 – 6 x – 1 = 1.

1

1

x– x –x

x+ x –x

- – ------------------------------- = 57. -----------------------------2 2

58.

12 x

12 – ------2 +

12 x

x 2 – ------2 = x2.

3.

46

Г л а в а 2. Уравнения

Ее решение сводится  решению уравнения v3 – v2 – 4 = 0, имеющему единственный действительный орень v = 2. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем линейное уравнение 4 = x – 3, орень отороо является единственным орнем исходноо уравнения. Ответ. x = 7. Решите уравнение: 31.


5

32. 33.

4

4

35 + 2x = 4.

34. (x + 4) (x + 1) – 3 x 2 + 5x + 2 = 6. 35. 36.

4

x+4+ x–4

- =x+ 37. -----------------------------------------2




38. 39.

x 2 – 16 – 6.

x x = 56.

(5 – x ) 5 – x + (x – 3) x – 3 5–x+ x–3

41. x 3 x – 4 3 x 2 + 4 = 0. 42. x2 + 3x – 18 + 4 x 2 + 3x – 6 = 0. 43.


44.

x2

y2

+ 6y + 16 + 66 2

+ +x -------------------------------------- – x

t 2 – 2t + 1 = 1.

+ 2y = 2

y2

+ 2y + 4 .

x x 2 + 66 2 – x 2 = 5.

3 ( x – 2 ) + 4 2x 2 – 3x + 1 2(x – 1 )

49.

x+2+2 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 2.

50.

x+5–4 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 1.

51.

x+8+2 x+7 +

x + 1 – x + 7 = 4.

52.

x2 + 2 x2 – 1 –

53.

x+2 x–1 –

x – 2 x – 1 = 3.

54.

x+2 x–1 +

x – 2 x – 1 = x – 1.

55.

2x – 2 2x – 1 – 2 2x + 3 – 4 2x – 1 +

x 2 – 2 x 2 – 1 = 1.

+ 3 2x + 8 – 6 2x – 1 = 4.

- = 1. 45. -----------------------------------------------------------------------2

46.


x – 2 + 2x – 5 +

47. (x – 3)2 + 3x – 22 = 3+x

48. ------------3x =

(*)

Решите уравнение:

40. --------------------------------------------------------------------------------- = 2.

3y 2

x – 2 = t; тода исходное уравне-

Ответ. x = 2,25.

5–x x+3 - = 2. + 7 ------------x+3 5–x 5

Р е ш е н и е. Положим ние примет вид

x – 1 – 2 x – 2 = 1.

орнем отороо является x = 2,25.

7 --------------

x5 x –

x–1+2 x–2 –

x – 2 = 0,5,

x 2 + 32 = 3.




П р и м е р 5. Решить уравнение

Уравнение (**) имеет единственный орень t = 0,5. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем уравнение

16z z–1 5 ------------- = 2,5. z–1 + 16z

5 -------------

x 2 + 32 – 2

Метод выделения полноо вадрата в под оренных выражениях.

Та а под знаами радиалов в левой части уравнения (*) находятся полные вадраты, то уазанное уравнение сводится  следующему: |t + 1| – |t – 1| = 1. (**)

4 – x = x2 – 6x + 11.

47 – 2x +

47

t 2 + 2t + 1 –

( 7x – 3 ) 3 + 8 5 ( 3 – 7x ) –3 = 7. x–2 +

§ 9. Иррациональные уравнения

x + 2 + 3 2x – 5 = 7 2 . x 2 – 3x + 7 .

2 1 1 4 --- + --- --- + -----2- . 9 x 9 x

56.

x+3–4 x–1 +

x + 8 – 6 x – 1 = 1.

1

1

x– x –x

x+ x –x

- – ------------------------------- = 57. -----------------------------2 2

58.

12 x

12 – ------2 +

12 x

x 2 – ------2 = x2.

3.

48

Г л а в а 2. Уравнения 59. 2 5

4

x+1+4 – 2

4

x + 1 – 1 = 20

60.

2x 2 – 9x + 4 + 3 2x – 1 =

61.

4x 2 + 9x + 5 – 3

4 – 4x + x 2 +

3

62.




63.

2x 2 + 8x + 6 +

64.

x–2 +

f(x) = loga b.

x2 – 1 .

49 + 14x + x 2 = 3 +

3

Сведение простейшим по азательным равнениям. Неоторые поазательные уравнения приводятся  виду (1) или (2) с помощью равенств

14 – 5x – x 2 .

x 2 – 1 = 2x + 2.

ax · ay = ax + y, (ax)y = axy,

1 – x = 2.

ax -----y- = ax – y, a

1

65. --4- x = ( 1 + x – 1) ( 1 – x + 1). 1

1

2

(a · b)

66. ------------------------------------ + ------------------------------------ = -----------2–x. x+2 x–1 x–2 x–1

67.

3

( a + x )2 + 4

3

68.

n

( x + 1)2 +

( x – 1 )2 = 4 n x2 – 1 .

x 2 + 8x x+1

69. ------------------------- +

n

7 x+1

x + 7 = ------------------ .

71.

(2 –

+

3

6

x+1

(7 +

x )2

–

3

x

П р и м е р 1. Решить уравнение

( 34 – x ) 3 x + 1 – ( x + 1 ) 3 34 – x

x )2

x

= a ·b ,

де a и b — любые положительные числа, а x и y — любые действительные числа.

- = 30. 70. ------------------------------------------------------------------------------------------3 3 3

x

x x  a ---  = a -----x- ,  b  b

( a – x )2 = 5 3 a2 – x2 .

34 – x –

49

то, лоарифмируя обе части этоо уравнения, приходим  эвивалентному уравнению

x + 1 + 5.

2x 2 + 21x – 11 .

2x 2 + x – 1 =




4

§ 10. Показательные уравнения

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде

( 2 – x ) ( 7 + x ) = 3.

3

2x + 4

· 2

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Используя свойство членов пропорции, имеем 2x + 4

§ 10. Показательные уравнения Поазательным
равнением называют уравнение, в отором неизвестное входит тольо в поазатель степени, а основание степени является постоянным. Простейшее поазательное уравнение — это уравнение вида ax = b.

(1)

Ео решением при a > 0, a − 1 и b > 0 является

a − 1,

4–x 2 ---  = 1, 3 

получаем 4 – x = 0, отуда следует, что x = 4. Решите уравнение:

Если поазатель степени представляет собой неоторую фунцию f(x), т. е. уравнение имеет вид a > 0,

или после упрощения 34 – x = 24 – x. Преобразуя данное уравнение  виду

Ответ. x = 4.

x = loga b.

af(x) = b,

x+8

2 3 ---------------- = ----------------, 3x 2x + 4 3 2

b > 0,

(2)

1.

3

x

·

5

x

= 225.

3. 93 – 5x · 75x – 3 = 1.

2. 2

3x

· 5

x

= 1600. 9

4. 32x – 1 · 53x + 2 = --5- · 52x · 33x.

48

Г л а в а 2. Уравнения 59. 2 5

4

x+1+4 – 2

4

x + 1 – 1 = 20

60.

2x 2 – 9x + 4 + 3 2x – 1 =

61.

4x 2 + 9x + 5 – 3

4 – 4x + x 2 +

3

62.




63.

2x 2 + 8x + 6 +

64.

x–2 +

f(x) = loga b.

x2 – 1 .

49 + 14x + x 2 = 3 +

3

Сведение простейшим по азательным равнениям. Неоторые поазательные уравнения приводятся  виду (1) или (2) с помощью равенств

14 – 5x – x 2 .

x 2 – 1 = 2x + 2.

ax · ay = ax + y, (ax)y = axy,

1 – x = 2.

ax -----y- = ax – y, a

1

65. --4- x = ( 1 + x – 1) ( 1 – x + 1). 1

1

2

(a · b)

66. ------------------------------------ + ------------------------------------ = -----------2–x. x+2 x–1 x–2 x–1

67.

3

( a + x )2 + 4

3

68.

n

( x + 1)2 +

( x – 1 )2 = 4 n x2 – 1 .

x 2 + 8x x+1

69. ------------------------- +

n

7 x+1

x + 7 = ------------------ .

71.

(2 –

+

3

6

x+1

(7 +

x )2

–

3

x

П р и м е р 1. Решить уравнение

( 34 – x ) 3 x + 1 – ( x + 1 ) 3 34 – x

x )2

x

= a ·b ,

де a и b — любые положительные числа, а x и y — любые действительные числа.

- = 30. 70. ------------------------------------------------------------------------------------------3 3 3

x

x x  a ---  = a -----x- ,  b  b

( a – x )2 = 5 3 a2 – x2 .

34 – x –

49

то, лоарифмируя обе части этоо уравнения, приходим  эвивалентному уравнению

x + 1 + 5.

2x 2 + 21x – 11 .

2x 2 + x – 1 =




4

§ 10. Показательные уравнения

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде

( 2 – x ) ( 7 + x ) = 3.

3

2x + 4

· 2

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Используя свойство членов пропорции, имеем 2x + 4

§ 10. Показательные уравнения Поазательным
равнением называют уравнение, в отором неизвестное входит тольо в поазатель степени, а основание степени является постоянным. Простейшее поазательное уравнение — это уравнение вида ax = b.

(1)

Ео решением при a > 0, a − 1 и b > 0 является

a − 1,

4–x 2 ---  = 1, 3 

получаем 4 – x = 0, отуда следует, что x = 4. Решите уравнение:

Если поазатель степени представляет собой неоторую фунцию f(x), т. е. уравнение имеет вид a > 0,

или после упрощения 34 – x = 24 – x. Преобразуя данное уравнение  виду

Ответ. x = 4.

x = loga b.

af(x) = b,

x+8

2 3 ---------------- = ----------------, 3x 2x + 4 3 2

b > 0,

(2)

1.

3

x

·

5

x

= 225.

3. 93 – 5x · 75x – 3 = 1.

2. 2

3x

· 5

x

= 1600. 9

4. 32x – 1 · 53x + 2 = --5- · 52x · 33x.

50

Г л а в а 2. Уравнения 15. 3 · 4 16. 7

1

2x 2 – 5x – 9 ---------------------------------2

17. 4 · 3

x+2

1  18. 5  ----- 25 

= ( 2)

=5· 3

3 log 2 7

x

sin x

+4· 5

x+5 --------------

.

19. 16 x – 7 = 512 · 64

cos 2x

x + 17 ----------------x–3

2 x+1

= 40.

= 25

0,5 sin 2x

–7· 3

x -----------------x

3 · 31 + x–3 -----------------

12. 8 3x – 7 · 13. 0,6

x

14. (2,4)

3

1 – sin x

.

= 81.

3x – 1 -----------------

Решите уравнение: 12  =  ----- 5 

sin x + 0,5

x 2 + 4x

0,5

16. 9

. 1

= -----25 , удовлетворяю-

Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть поазательное уравнение имеет вид g(af(x))

= 0,

(3)

де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = сводится  уравнениям вида

af(x)

оно

af(x) = yi, де yi — орни уравнения g(y) = 0. П р и м е р 2. Решить уравнение x2 – 2 + x

–5· 2

Р е ш е н и е. Полаая 2 уравнение

17. 3 18. 3 19.

x2 – 1 x

20. 4 21. 4

81 – 10

1–x

1 --64 x

– 36 · 3

– 3

– 2

log9 x

x

1+x

2 + --3-

x

x2 – 3

+ 3 = 0.

9 + 3 = 0. + 9

x

+ 9

–x

= 6.

+ 12 = 0.

– 6 · 2 log9 x + 2 log3 27 = 0.

3x 2 – 2x + 1

+2=9· 2

3x 2 – 2x

.

Поазательные уравнения, основания степеней оторых являются последовательными членами еометричесой прорессии, а поазали степеней одинаовы, приводятся  уравнениям вида (3) делением на любой из райних членов. П р и м е р 3. Решить уравнение

x – 1 + x2 – 2

x2 – 2 + x

5

= –1,5.

Ответ. x = 1,5.

3

27  =  --------125  .

15. Найдите решение уравнения 3 щее условию x > –3.

4

x + x2 – 2

Приводя подобные члены, находим единственный орень x = 1,5. Проверой убеждаемся, что этот орень удовлетворяет исходному уравнению.

0,25 x – 1 = 1.

· [0,41(6)]

2

Уединяя радиал и возводя обе части уравнения в вадрат, имеем x2 – 2 = 4 – 4x + x2.

2+ x+x ----------------------------x)

x 2 – 12

= 4,

x + x2 – 2

.

1 ·  --3-  2 ( 1 +  

25  ·  -----9 

x + x2 – 2

Второе уравнение не имеет решений, та а 2 > 0 при всех допустимых значениях x. Из первоо уравнения следует, что x + x 2 – 2 = 2.

10. 5|4x – 6| = 253x – 4. 11.

51

орнями отороо являются y1 = 4 и y2 = –1,5. Таим образом, решение данноо уравнения сводится  решению уравнений

1

x+2 x+1 x+1 + --3- · 9 =6· 4 – --2- · 9 .

x

§ 10. Показательные уравнения

= 6.

= y, получаем вадратное

y2 – --2- y – 6 = 0,

6· 4

x

– 13 · 6

x

+6· 9

x

= 0. x

Р е ш е н и е. Разделим обе части уравнения на 9 : x x 4 6 6  --9-  – 13  --9-  + 6 = 0.    

50

Г л а в а 2. Уравнения 15. 3 · 4 16. 7

1

2x 2 – 5x – 9 ---------------------------------2

17. 4 · 3

x+2

1  18. 5  ----- 25 

= ( 2)

=5· 3

3 log 2 7

x

sin x

+4· 5

x+5 --------------

.

19. 16 x – 7 = 512 · 64

cos 2x

x + 17 ----------------x–3

2 x+1

= 40.

= 25

0,5 sin 2x

–7· 3

x -----------------x

3 · 31 + x–3 -----------------

12. 8 3x – 7 · 13. 0,6

x

14. (2,4)

3

1 – sin x

.

= 81.

3x – 1 -----------------

Решите уравнение: 12  =  ----- 5 

sin x + 0,5

x 2 + 4x

0,5

16. 9

. 1

= -----25 , удовлетворяю-

Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть поазательное уравнение имеет вид g(af(x))

= 0,

(3)

де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = сводится  уравнениям вида

af(x)

оно

af(x) = yi, де yi — орни уравнения g(y) = 0. П р и м е р 2. Решить уравнение x2 – 2 + x

–5· 2

Р е ш е н и е. Полаая 2 уравнение

17. 3 18. 3 19.

x2 – 1 x

20. 4 21. 4

81 – 10

1–x

1 --64 x

– 36 · 3

– 3

– 2

log9 x

x

1+x

2 + --3-

x

x2 – 3

+ 3 = 0.

9 + 3 = 0. + 9

x

+ 9

–x

= 6.

+ 12 = 0.

– 6 · 2 log9 x + 2 log3 27 = 0.

3x 2 – 2x + 1

+2=9· 2

3x 2 – 2x

.

Поазательные уравнения, основания степеней оторых являются последовательными членами еометричесой прорессии, а поазали степеней одинаовы, приводятся  уравнениям вида (3) делением на любой из райних членов. П р и м е р 3. Решить уравнение

x – 1 + x2 – 2

x2 – 2 + x

5

= –1,5.

Ответ. x = 1,5.

3

27  =  --------125  .

15. Найдите решение уравнения 3 щее условию x > –3.

4

x + x2 – 2

Приводя подобные члены, находим единственный орень x = 1,5. Проверой убеждаемся, что этот орень удовлетворяет исходному уравнению.

0,25 x – 1 = 1.

· [0,41(6)]

2

Уединяя радиал и возводя обе части уравнения в вадрат, имеем x2 – 2 = 4 – 4x + x2.

2+ x+x ----------------------------x)

x 2 – 12

= 4,

x + x2 – 2

.

1 ·  --3-  2 ( 1 +  

25  ·  -----9 

x + x2 – 2

Второе уравнение не имеет решений, та а 2 > 0 при всех допустимых значениях x. Из первоо уравнения следует, что x + x 2 – 2 = 2.

10. 5|4x – 6| = 253x – 4. 11.

51

орнями отороо являются y1 = 4 и y2 = –1,5. Таим образом, решение данноо уравнения сводится  решению уравнений

1

x+2 x+1 x+1 + --3- · 9 =6· 4 – --2- · 9 .

x

§ 10. Показательные уравнения

= 6.

= y, получаем вадратное

y2 – --2- y – 6 = 0,

6· 4

x

– 13 · 6

x

+6· 9

x

= 0. x

Р е ш е н и е. Разделим обе части уравнения на 9 : x x 4 6 6  --9-  – 13  --9-  + 6 = 0.    

52

Г л а в а 2. Уравнения

2 Полаая  --3-   

= y, получаем уравнение

10x2 – 1 = 3x, |x – 2| − 0.

– 13y + 6 = 0, 2

3

орнями отороо являются y1 = --2- и y2 = --3- . Таим образом, решение уравнения сводится  решению двух простейших поx x 3 3 3 2 азательных уравнений  --2-  = --2- и  --2-  = --3- .    

23. 3 · 16 25. 6

x

– 9 · 14

x

+ 36

9 – 13

16x

x

x

x2

x2

x

29. (4 +

4 = 0.

4x

15 )x + (4 –

=

3x 2 – 10x + 3

log5 x – 1

x–3

x–2

. 3

37. x loga x = (a π ) loga x .

= 1.

= 5.

39. x

lg x + 7

= 10

4(lg x + 1)

2

32. 5 1 +

x3

– 51 –

x3

= 24.

Р е ш е н и е. Применяя основное лоарифмичесое тождество, преобразуем второе слааемое в левой части уравнения: x log 3 x = ( 3 log 3 x )

0,2x – 2

+5· = 26. 33. 34. 102/x + 251/x = 4,25 · 501/x.

log 3 x

2

= 3 log 3 x .

(*)

Теперь подставим выражение (*) в исходное уравнение: 2

Уравнение вида

2 · 3 log 3 x = 162. (a(x))b(x) = (a(x))c(x)

2

в свою очередь эвивалентно двум уравнениям

a(x) = 1

log3 x = 2,

и системе

Решив их, получаем x1 = 9, x2 = --9- . 1

Ответ. x1 = 9, x2 = --9- .

П р и м е р 4. Решить уравнение = |x – 2|3x.

Решите уравнение:

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению |x – 2| = 1

log3 x = –2. 1

b(x) = c(x). a(x) > 0.

10x 2 – 1

(**)

Уравнение (**) эвивалентно уравнению log 3 x = 4, оторое

эвивалентно уравнению

x–2

.

3 log3 x + x log 3 x = 162.

15 )x = 62.

31. 91/x + 121/x = 161/x.

x+1

П р и м е р 5. Решить уравнение

28. 27x + 12x = 2 · 8x.

30. ( 5 + 2 6 )x + ( 5 – 2 6 )x = 10. 5x – 1

x–3

Не оторые специальные приемы решения по азательных равнений. В ряде случае уравнения можно свести  рассмотренным выше, если преобразовать отдельные их элементы, используя основное лоарифмичесое тождество.

24. 8x + 18x = 2 · 27x.

26. –5· +6· = 0. 27. 23x – 3 – 5 + 6 · 23 – 3x = 0. 8x

4

38. ( x )

= 0.

= 2 · 81 . x

Ответ. x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

36. x – 3

+ 2 · 49

6 +6

Уравнение (*) имеет орни x1 = 3, x2 = 1, а системе (**) удовлетворяют значения x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

35.

Решите уравнение: x2

(**)

Решите уравнение:

Ответ. x1 = 1, x2 = –1.

22. 7 · 4

53

и системе

x

6y2

§ 10. Показательные уравнения

(*)

40. 5lg x = 50 – xlg 5. 42. x 2 lg 2 – 5 · 2lg x + 6 = 0.

41. 10 lg

2

x

+ xlg x = 20.

52

Г л а в а 2. Уравнения

2 Полаая  --3-   

= y, получаем уравнение

10x2 – 1 = 3x, |x – 2| − 0.

– 13y + 6 = 0, 2

3

орнями отороо являются y1 = --2- и y2 = --3- . Таим образом, решение уравнения сводится  решению двух простейших поx x 3 3 3 2 азательных уравнений  --2-  = --2- и  --2-  = --3- .    

23. 3 · 16 25. 6

x

– 9 · 14

x

+ 36

9 – 13

16x

x

x

x2

x2

x

29. (4 +

4 = 0.

4x

15 )x + (4 –

=

3x 2 – 10x + 3

log5 x – 1

x–3

x–2

. 3

37. x loga x = (a π ) loga x .

= 1.

= 5.

39. x

lg x + 7

= 10

4(lg x + 1)

2

32. 5 1 +

x3

– 51 –

x3

= 24.

Р е ш е н и е. Применяя основное лоарифмичесое тождество, преобразуем второе слааемое в левой части уравнения: x log 3 x = ( 3 log 3 x )

0,2x – 2

+5· = 26. 33. 34. 102/x + 251/x = 4,25 · 501/x.

log 3 x

2

= 3 log 3 x .

(*)

Теперь подставим выражение (*) в исходное уравнение: 2

Уравнение вида

2 · 3 log 3 x = 162. (a(x))b(x) = (a(x))c(x)

2

в свою очередь эвивалентно двум уравнениям

a(x) = 1

log3 x = 2,

и системе

Решив их, получаем x1 = 9, x2 = --9- . 1

Ответ. x1 = 9, x2 = --9- .

П р и м е р 4. Решить уравнение = |x – 2|3x.

Решите уравнение:

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению |x – 2| = 1

log3 x = –2. 1

b(x) = c(x). a(x) > 0.

10x 2 – 1

(**)

Уравнение (**) эвивалентно уравнению log 3 x = 4, оторое

эвивалентно уравнению

x–2

.

3 log3 x + x log 3 x = 162.

15 )x = 62.

31. 91/x + 121/x = 161/x.

x+1

П р и м е р 5. Решить уравнение

28. 27x + 12x = 2 · 8x.

30. ( 5 + 2 6 )x + ( 5 – 2 6 )x = 10. 5x – 1

x–3

Не оторые специальные приемы решения по азательных равнений. В ряде случае уравнения можно свести  рассмотренным выше, если преобразовать отдельные их элементы, используя основное лоарифмичесое тождество.

24. 8x + 18x = 2 · 27x.

26. –5· +6· = 0. 27. 23x – 3 – 5 + 6 · 23 – 3x = 0. 8x

4

38. ( x )

= 0.

= 2 · 81 . x

Ответ. x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

36. x – 3

+ 2 · 49

6 +6

Уравнение (*) имеет орни x1 = 3, x2 = 1, а системе (**) удовлетворяют значения x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

35.

Решите уравнение: x2

(**)

Решите уравнение:

Ответ. x1 = 1, x2 = –1.

22. 7 · 4

53

и системе

x

6y2

§ 10. Показательные уравнения

(*)

40. 5lg x = 50 – xlg 5. 42. x 2 lg 2 – 5 · 2lg x + 6 = 0.

41. 10 lg

2

x

+ xlg x = 20.

54

Г л а в а 2. Уравнения

Инода уравнение, содержащее неизвестное в поазателе степени, удается решить с помощью исследования фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение 76 – x

= x + 2.

Р е ш е н и е. Корень x = 5 можно найти подбором. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = 76 – x монотонно убывает, а фунция g(x) = x + 2 монотонно возрастает, и, следовательно, рафии этих фунций моут пересечься не более, чем в одной точе. Ответ. x = 5. x

x

x

43. ( 2 + 3 )




44. 3

x–1




46. 4

x




47. (x + 1) 9




48. x2 – x + 1 = 2 · 2x – 1 – 4x – 1. 49. 5

+ 5

+ ( 2 – 3)

x–1

+ (x – 1) 2

x

4 51.  ---   3 

x–3

+ 12 x

x

= 34. x

= 2 .


45. 2 3x

2

– 2x 3

= 13

x–3

x.

Сведение простейшим лоарифмичес им равнениям. Неоторые лоарифмичесие уравнения решаются с использованием основных свойств лоарифмов (1)—(5) (см. § 5), позволяющих свести решение данноо уравнения  решению простейшео лоарифмичесоо уравнения. П р и м е р 1. Решить уравнение 2 – x + 3 log5 2 = log5 ( 3

x

– 5

2–x

).

x

3 –5 8

2–x

2 – x = log5 --------------------------- . Последнее уравнение эвивалентно уравнению x

50. 3

x2

+ 4

x2

= 5

x2

оторое можно записать в виде

.

3

a − 1,

(1)

с множеством допустимых значений x > 0 имеет решение x = Лоарифмичесое уравнение, в отором под знаом лоарифма находится неоторая фунция f(x): a − 1,

=9· 5

2–x

,

3

или

3

ab.

a > 0,

x

x–2

= 5

2–x

,

или

15

x–2

= 1.

Полученное поазательное уравнение эвивалентно уравнению x – 2 = 0, решение отороо есть x = 2. Множество допустимых значений x для данноо уравнения определяется неравенством

Лоарифмичесим
равнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаом лоарифма. Простейшее лоарифмичесое уравнение a > 0,

2–x

2–x 3 –5 --------------------------- = 5 , 8

– 16 = 0.

§ 11. Логарифмические уравнения

loga f(x) = b,

f(x) = ab.

x2 + 1

= –2x2 + 6x –9.

loga x = b,

имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравенством f(x) > 0, и эвивалентно уравнению

= ---------------x .

= 6 – 2x.

+ 4x · 3

55

Р е ш е н и е. Перенесем лоарифм из левой части уравнения в правую и, воспользовавшись свойствами лоарифмов, запишем уравнение в виде

Решите уравнение:


§ 11. Логарифмические уравнения

(2)

x

– 5

2–x

> 0.

При x = 2 это неравенство справедливо, и, следовательно, x = 2 является решением исходноо лоарифмичесоо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение: 1. log5 [2 + log3 (3 + x)] = 0. 1

2. lg (5 – x) – --3- lg (35 – x3) = 0. 3. log3 ( 3

x

– 8) = 2 – x.

54

Г л а в а 2. Уравнения

Инода уравнение, содержащее неизвестное в поазателе степени, удается решить с помощью исследования фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение 76 – x

= x + 2.

Р е ш е н и е. Корень x = 5 можно найти подбором. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = 76 – x монотонно убывает, а фунция g(x) = x + 2 монотонно возрастает, и, следовательно, рафии этих фунций моут пересечься не более, чем в одной точе. Ответ. x = 5. x

x

x

43. ( 2 + 3 )




44. 3

x–1




46. 4

x




47. (x + 1) 9




48. x2 – x + 1 = 2 · 2x – 1 – 4x – 1. 49. 5

+ 5

+ ( 2 – 3)

x–1

+ (x – 1) 2

x

4 51.  ---   3 

x–3

+ 12 x

x

= 34. x

= 2 .


45. 2 3x

2

– 2x 3

= 13

x–3

x.

Сведение простейшим лоарифмичес им равнениям. Неоторые лоарифмичесие уравнения решаются с использованием основных свойств лоарифмов (1)—(5) (см. § 5), позволяющих свести решение данноо уравнения  решению простейшео лоарифмичесоо уравнения. П р и м е р 1. Решить уравнение 2 – x + 3 log5 2 = log5 ( 3

x

– 5

2–x

).

x

3 –5 8

2–x

2 – x = log5 --------------------------- . Последнее уравнение эвивалентно уравнению x

50. 3

x2

+ 4

x2

= 5

x2

оторое можно записать в виде

.

3

a − 1,

(1)

с множеством допустимых значений x > 0 имеет решение x = Лоарифмичесое уравнение, в отором под знаом лоарифма находится неоторая фунция f(x): a − 1,

=9· 5

2–x

,

3

или

3

ab.

a > 0,

x

x–2

= 5

2–x

,

или

15

x–2

= 1.

Полученное поазательное уравнение эвивалентно уравнению x – 2 = 0, решение отороо есть x = 2. Множество допустимых значений x для данноо уравнения определяется неравенством

Лоарифмичесим
равнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаом лоарифма. Простейшее лоарифмичесое уравнение a > 0,

2–x

2–x 3 –5 --------------------------- = 5 , 8

– 16 = 0.

§ 11. Логарифмические уравнения

loga f(x) = b,

f(x) = ab.

x2 + 1

= –2x2 + 6x –9.

loga x = b,

имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравенством f(x) > 0, и эвивалентно уравнению

= ---------------x .

= 6 – 2x.

+ 4x · 3

55

Р е ш е н и е. Перенесем лоарифм из левой части уравнения в правую и, воспользовавшись свойствами лоарифмов, запишем уравнение в виде

Решите уравнение:


§ 11. Логарифмические уравнения

(2)

x

– 5

2–x

> 0.

При x = 2 это неравенство справедливо, и, следовательно, x = 2 является решением исходноо лоарифмичесоо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение: 1. log5 [2 + log3 (3 + x)] = 0. 1

2. lg (5 – x) – --3- lg (35 – x3) = 0. 3. log3 ( 3

x

– 8) = 2 – x.

56

Г л а в а 2. Уравнения 4. log

5

(4

x

– 6) – log

5

(2

x

1

19. -----lg 10

Лоарифмичесое уравнение вида

11. log2 (2x2 – 2) = log2 (5x – 4).

f(x) = g (x), рассматриваемому на множестве допустимых значений x, задаваемом системой неравенств a(x) − 1.

Если в данное уравнение входят лоарифмы по разным основаниям, то предварительно необходимо привести все лоарифмы  одному основанию.

1

x – 1 + --2- lg (2x + 15) = 1.

(*)

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестноо x для данноо уравнения находится а решение системы x – 1 > 0, 2x + 15 > 0 и представляет собой промежуто (1; +×). Используя свойства лоарифмов, преобразуем уравнение (*)  виду lg ( x – 1 ·

2x + 15 ) = 1.

Из последнео уравнения по определению лоарифма получаем иррациональное уравнение ( x – 1 ) ( 2x + 15 ) = 10, имеющее решения x1 = 5, x2 = –11,5. Множеству допустимых значений исходноо уравнения принадлежит лишь орень x1 = 5, оторый и является решением уравнения (*). Ответ. x = 5.

13. logx + 1 (x – 0,5) = logx – 0,5 (x + 1). 14. log x 3 + 2x 2 – 3x + 5 (x3 + 3x2 – 2x – 1) = log2x x + log2x 2. 15. log1 + x (2x3 + 2x2 – 3x + 1) = 3. 16. logx + 1 (x3 – 9x + 8) · logx – 1 (x + 1) = 3. 1 log 2 ( 3 – 4x )

18. log 3 – 4x 2 (9 – 16x4) = 2 + ------------------------------------2 . 3

2 19. log3x --x- + log 3 x = 1.

20. logx 16 + log2x 64 = 3. 21. 20 log4x

x + 7 log16x x3 – 3 logx/2 x2 = 0. 7

22. logx 2 – log4 x + --6- = 0. 23. 2 – log b 2 (1 + x) = 3 logb

x – 1 – log b 4 (x2 – 1)2.

24. 3 logx 4 + 2 log4x 4 + 3 log16x 4 = 0. Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть лоарифмичесое уравнение имеет вид f(loga x) = 0, де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = loga x оно сводится  уравнениям вида (1): loga x = yi,

Решите уравнение: 6. 2 log3 (x – 2) + log3 (x – 4)2 = 0. 2+x

lg ( 35 – x 3 )

12. ------------------------------lg ( 5 – x ) = 3.

17. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4.

П р и м е р 2. Решить уравнение lg

1

1 x 2 – 4x + 4 – --2- lg x – lg ------- = 0. x

- = 0. 10. lg (x(x + 9)) + lg ------------x

эвивалентно уравнению

a(x) > 0,

3

x+9

loga (x) f(x) = loga (x) g(x)

g (x) > 0,

57

18. 0,5 lg (x2 – 10x + 25) + lg (x2 – 6x + 3) = = 2 lg (x – 5) + 0,5 lg 25.

– 2) = 2.

5. lg (3x2 + 12x + 19) – lg (3x + 4) = 1.

f(x) > 0,

§ 11. Логарифмические уравнения

2

-------------7. log5 ------------10 = log5 x + 1 .

де yi — орни уравнения f(y) = 0. П р и м е р 3. Решить уравнение (log2 x)2 – 5 log2 x + 6 = 0.

56

Г л а в а 2. Уравнения 4. log

5

(4

x

– 6) – log

5

(2

x

1

19. -----lg 10

Лоарифмичесое уравнение вида

11. log2 (2x2 – 2) = log2 (5x – 4).

f(x) = g (x), рассматриваемому на множестве допустимых значений x, задаваемом системой неравенств a(x) − 1.

Если в данное уравнение входят лоарифмы по разным основаниям, то предварительно необходимо привести все лоарифмы  одному основанию.

1

x – 1 + --2- lg (2x + 15) = 1.

(*)

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестноо x для данноо уравнения находится а решение системы x – 1 > 0, 2x + 15 > 0 и представляет собой промежуто (1; +×). Используя свойства лоарифмов, преобразуем уравнение (*)  виду lg ( x – 1 ·

2x + 15 ) = 1.

Из последнео уравнения по определению лоарифма получаем иррациональное уравнение ( x – 1 ) ( 2x + 15 ) = 10, имеющее решения x1 = 5, x2 = –11,5. Множеству допустимых значений исходноо уравнения принадлежит лишь орень x1 = 5, оторый и является решением уравнения (*). Ответ. x = 5.

13. logx + 1 (x – 0,5) = logx – 0,5 (x + 1). 14. log x 3 + 2x 2 – 3x + 5 (x3 + 3x2 – 2x – 1) = log2x x + log2x 2. 15. log1 + x (2x3 + 2x2 – 3x + 1) = 3. 16. logx + 1 (x3 – 9x + 8) · logx – 1 (x + 1) = 3. 1 log 2 ( 3 – 4x )

18. log 3 – 4x 2 (9 – 16x4) = 2 + ------------------------------------2 . 3

2 19. log3x --x- + log 3 x = 1.

20. logx 16 + log2x 64 = 3. 21. 20 log4x

x + 7 log16x x3 – 3 logx/2 x2 = 0. 7

22. logx 2 – log4 x + --6- = 0. 23. 2 – log b 2 (1 + x) = 3 logb

x – 1 – log b 4 (x2 – 1)2.

24. 3 logx 4 + 2 log4x 4 + 3 log16x 4 = 0. Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть лоарифмичесое уравнение имеет вид f(loga x) = 0, де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = loga x оно сводится  уравнениям вида (1): loga x = yi,

Решите уравнение: 6. 2 log3 (x – 2) + log3 (x – 4)2 = 0. 2+x

lg ( 35 – x 3 )

12. ------------------------------lg ( 5 – x ) = 3.

17. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4.

П р и м е р 2. Решить уравнение lg

1

1 x 2 – 4x + 4 – --2- lg x – lg ------- = 0. x

- = 0. 10. lg (x(x + 9)) + lg ------------x

эвивалентно уравнению

a(x) > 0,

3

x+9

loga (x) f(x) = loga (x) g(x)

g (x) > 0,

57

18. 0,5 lg (x2 – 10x + 25) + lg (x2 – 6x + 3) = = 2 lg (x – 5) + 0,5 lg 25.

– 2) = 2.

5. lg (3x2 + 12x + 19) – lg (3x + 4) = 1.

f(x) > 0,

§ 11. Логарифмические уравнения

2

-------------7. log5 ------------10 = log5 x + 1 .

де yi — орни уравнения f(y) = 0. П р и м е р 3. Решить уравнение (log2 x)2 – 5 log2 x + 6 = 0.

58

Г л а в а 2. Уравнения Р е ш е н и е. Полаая log2 x = y, получаем уравнение y2

орнями отороо являются y1 = 2, y2 = 3. Следовательно, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям вида (1): log2 x = 3,

y2 + 2y – 8 = 0, имеющему орни y1 = – 4, y2 = 2. Наонец, решив простейшие лоарифмичесие уравнения, находим орни исходноо уравнения:

имеющим решения x1 = 4 и x2 = 8.

log3 x = –4 _ x = 3–4,

Ответ. x1 = 4, x2 = 8.

Ответ. x1 = 32, x2 = 3–4.

Решите уравнение: 25. lg3 x – lg2 x – 6 lg x = 0.

Решите уравнение:

26.

23

2 2 log 16 x

–

3

35. x 2 lg

log 2 x – 6 = 0.

36. x

3

lg 2

3

x – 1,5 lg x

x + lg

x3

37. x 2 lg

x π   2 -2 4π ------28. log1/9 -----27 · log1/9  x tg 3  = 2 cos 3 .

1 + log x 27 log3 x + 1 = 0.

31. 3 lg x + 2 lg 33. log3 ( 3

x

1 --- = 2. x

– 1) log3 ( 3

x+1

32.

10 . 2

-. = ---------------------------------------------------------------1 1

2

x

= 10x3.

38. 15 log5 3 x log 5 9x + 1 = 1.

30. 4 – lg x = 3 lg x .


+3

=

log3 x = 2 _ x = 32.

---------------------------- – ----------------------------x+1+1 x+1–1

3 3 27. --4- log 3 x – 30 log 3 x + 36 = 0.

29.

59

Полаая log3 x = y и выполнив замену переменных, приходим  вадратному уравнению

– 5y + 6 = 0,

log2 x = 2,

§ 11. Логарифмические уравнения

lg ( – x ) = lg

x2 .

– 3) = 6.

39. 9xlg x + 9x–lg x = 60. 2

40. x log 2 x

П р и м е р 4. Решить уравнение

– log 2 2x – 2

3 -------------------------2 )3

41. x ( log3 x

34. 2 log2 log2 x + log1/2 log2 (2 2 x) = 1. Метод лоарифмирования. Если неизвестное в уравнении содержится а под знаом лоарифма, та и в основании степени, то в неоторых случаях таое уравнение можно решить лоарифмированием обеих ео частей с последующим использованием приведенных выше методов решения.

2

42. 7 · x

= ( x)

+ (x + 2)

log

1 log 3 x

– log 3 x + --------------------

1 3 -------------------------- + logx ----------( log2 x 2 ) 3 2 2

(x + 2) 2

4

= 3.

.

= 5 + (x + 7)

2 ----------------------------------log 2 ( x + 7 )

.

Использование свойств лоарифмичес ой фн ции. Неоторые лоарифмичесие уравнения удается решить с помощью исследования поведения фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 5. Решить уравнение

x 2 + log 3 x = 38.

log7 (x + 2) = 6 – x.

Р е ш е н и е. Пролоарифмируем обе части уравнения по основанию 3: log3 ( x 2 + log 3 x ) = log3 38.

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся, что x = 5 является решением уравнения. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = log7 (x + 2) возрастает, а фунция g(x) = 6 – x убывает, и, следовательно, рафии этих фунций не моут иметь более одной точи пересечения.

Используя свойства лоарифмов, получаем уравнение (2 + log3 x) log3 x = 8.

Ответ. x = 5.

58

Г л а в а 2. Уравнения Р е ш е н и е. Полаая log2 x = y, получаем уравнение y2

орнями отороо являются y1 = 2, y2 = 3. Следовательно, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям вида (1): log2 x = 3,

y2 + 2y – 8 = 0, имеющему орни y1 = – 4, y2 = 2. Наонец, решив простейшие лоарифмичесие уравнения, находим орни исходноо уравнения:

имеющим решения x1 = 4 и x2 = 8.

log3 x = –4 _ x = 3–4,

Ответ. x1 = 4, x2 = 8.

Ответ. x1 = 32, x2 = 3–4.

Решите уравнение: 25. lg3 x – lg2 x – 6 lg x = 0.

Решите уравнение:

26.

23

2 2 log 16 x

–

3

35. x 2 lg

log 2 x – 6 = 0.

36. x

3

lg 2

3

x – 1,5 lg x

x + lg

x3

37. x 2 lg

x π   2 -2 4π ------28. log1/9 -----27 · log1/9  x tg 3  = 2 cos 3 .

1 + log x 27 log3 x + 1 = 0.

31. 3 lg x + 2 lg 33. log3 ( 3

x

1 --- = 2. x

– 1) log3 ( 3

x+1

32.

10 . 2

-. = ---------------------------------------------------------------1 1

2

x

= 10x3.

38. 15 log5 3 x log 5 9x + 1 = 1.

30. 4 – lg x = 3 lg x .


+3

=

log3 x = 2 _ x = 32.

---------------------------- – ----------------------------x+1+1 x+1–1

3 3 27. --4- log 3 x – 30 log 3 x + 36 = 0.

29.

59

Полаая log3 x = y и выполнив замену переменных, приходим  вадратному уравнению

– 5y + 6 = 0,

log2 x = 2,

§ 11. Логарифмические уравнения

lg ( – x ) = lg

x2 .

– 3) = 6.

39. 9xlg x + 9x–lg x = 60. 2

40. x log 2 x

П р и м е р 4. Решить уравнение

– log 2 2x – 2

3 -------------------------2 )3

41. x ( log3 x

34. 2 log2 log2 x + log1/2 log2 (2 2 x) = 1. Метод лоарифмирования. Если неизвестное в уравнении содержится а под знаом лоарифма, та и в основании степени, то в неоторых случаях таое уравнение можно решить лоарифмированием обеих ео частей с последующим использованием приведенных выше методов решения.

2

42. 7 · x

= ( x)

+ (x + 2)

log

1 log 3 x

– log 3 x + --------------------

1 3 -------------------------- + logx ----------( log2 x 2 ) 3 2 2

(x + 2) 2

4

= 3.

.

= 5 + (x + 7)

2 ----------------------------------log 2 ( x + 7 )

.

Использование свойств лоарифмичес ой фн ции. Неоторые лоарифмичесие уравнения удается решить с помощью исследования поведения фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 5. Решить уравнение

x 2 + log 3 x = 38.

log7 (x + 2) = 6 – x.

Р е ш е н и е. Пролоарифмируем обе части уравнения по основанию 3: log3 ( x 2 + log 3 x ) = log3 38.

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся, что x = 5 является решением уравнения. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = log7 (x + 2) возрастает, а фунция g(x) = 6 – x убывает, и, следовательно, рафии этих фунций не моут иметь более одной точи пересечения.

Используя свойства лоарифмов, получаем уравнение (2 + log3 x) log3 x = 8.

Ответ. x = 5.

60

Г л а в а 2. Уравнения Решите уравнение: 2

43. (x + 1) log 3 x + 4x log3 x – 16 = 0.

Глава 3 Системы уравнений

44. 3x2 – 2x3 = log2 (x2 + 1) – log2 x. 45. 3 46.

x

= 10 – log2 x.

2 log 2 x

+ (x – 1) log2 x = 6 – 2x.

Несольо уравнений F1(x1, x2, ..., xn) = 0, F2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., Fk(x1, x2, ..., xn) = 0,

§ 12. Разные задачи Решите уравнение: 1. 12 3. 2

x

5. 10 

7. 5

10.

– 3 x2

= 3

x/2

3x

.

2. 2

8

x

6. x

= 100.

+ 13

– 5 · 12

3x – 2

x

x

+ 4

4. (sin 1)

= 2 · 100 .

3x – 2

x

x+8

= 1.

10(x + 1)(3x + 4)

11. 9

· 4

x

x x+1

9. 11


2x + 4

–2·

8. x = 13

3x – 1

x 3

+ 6 · 16

x

+ (cos 1)

= ( x )x. 3x – 1

.

2 10 1 – x – x

.

= 0.

12. log3 [(x + 2)(x – 3)] = 4 logx (2x + 1) – log

7

7.

13. lg2 x3 – 20 lg x + 1 = 0. 14. |1 – log1/6 x| + 2 = |3 – log1/6 x|. 15. log

x

(x + |x – 2|) = logx (5x – 6 + 5|x – 2|).

16. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4. 1 + log ( x – 4 )

2 17. ---------------------------------------------------------------- = 1.

log

2

( x + 3 – x – 3)

18. log5 [ (2 + 5 ) 1  19. 5 ·  ----- 25 

sin 2 x

20. ( 7 + 4 3 ) 1 21.  --3-   

x

x

1

– ( 5 – 2) ] = --2- – 3 log1/5 2. 1 --- sin 2x

+ 4 · 5cos 2x = 25 2

cos x

+ ( 7 – 4 3)

log 9 ( x 2 + 2x + 4 )

x

= ( x) .

x2

=

x

=8· 3

x

– 11

10(x + 1)(x + 2)

(x + 1)/2

cos x

= 6 log 1/6 ( x + 2 ) .

5

.

= --2- .

x/3

= 1.

.

рассматриваемых совместно, называют системой
равнений. Решением этой системы называют упорядоченный набор значений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если система уравнений имеет решения, то оворят, что она совместна. Если же система уравнений не имеет решений, то оворят, что она несовместна. Линейным
равнением с n неизвестными называют уравнение вида a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, де a1, a2, ..., an, b — неоторые числа. Систему уравнений называют линейной, если все уравнения системы линейные. Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение (т. е. существует единственный набор чисел k1, ..., kn, обращающий все уравнения системы в тождества). Совместную систему уравнений называют неопределенной, если она имеет более одноо решения. Две совместные системы уравнений называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. При решении систем уравнений часто используют следующие преобразования системы, приводящие  системе уравнений, эвивалентной исходной. 1. Если обе части аоо-либо уравнения системы умножить на одно и то же (не равное нулю) число, то полученная система будет эвивалентна первоначальной (т. е. они или обе несовместны, или же обе совместны и множества их решений совпадают). 2. Если обе части аоо-либо уравнения системы, умноженные на неоторое (отличное от нуля) число, вычесть из соответствующих частей друоо уравнения и составить систему, в оторой одно из упомянутых уравнений заменено уравнени-

60

Г л а в а 2. Уравнения Решите уравнение: 2

43. (x + 1) log 3 x + 4x log3 x – 16 = 0.

Глава 3 Системы уравнений

44. 3x2 – 2x3 = log2 (x2 + 1) – log2 x. 45. 3 46.

x

= 10 – log2 x.

2 log 2 x

+ (x – 1) log2 x = 6 – 2x.

Несольо уравнений F1(x1, x2, ..., xn) = 0, F2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., Fk(x1, x2, ..., xn) = 0,

§ 12. Разные задачи Решите уравнение: 1. 12 3. 2

x

5. 10 

7. 5

10.

– 3 x2

= 3

x/2

3x

.

2. 2

8

x

6. x

= 100.

+ 13

– 5 · 12

3x – 2

x

x

+ 4

4. (sin 1)

= 2 · 100 .

3x – 2

x

x+8

= 1.

10(x + 1)(3x + 4)

11. 9

· 4

x

x x+1

9. 11


2x + 4

–2·

8. x = 13

3x – 1

x 3

+ 6 · 16

x

+ (cos 1)

= ( x )x. 3x – 1

.

2 10 1 – x – x

.

= 0.

12. log3 [(x + 2)(x – 3)] = 4 logx (2x + 1) – log

7

7.

13. lg2 x3 – 20 lg x + 1 = 0. 14. |1 – log1/6 x| + 2 = |3 – log1/6 x|. 15. log

x

(x + |x – 2|) = logx (5x – 6 + 5|x – 2|).

16. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4. 1 + log ( x – 4 )

2 17. ---------------------------------------------------------------- = 1.

log

2

( x + 3 – x – 3)

18. log5 [ (2 + 5 ) 1  19. 5 ·  ----- 25 

sin 2 x

20. ( 7 + 4 3 ) 1 21.  --3-   

x

x

1

– ( 5 – 2) ] = --2- – 3 log1/5 2. 1 --- sin 2x

+ 4 · 5cos 2x = 25 2

cos x

+ ( 7 – 4 3)

log 9 ( x 2 + 2x + 4 )

x

= ( x) .

x2

=

x

=8· 3

x

– 11

10(x + 1)(x + 2)

(x + 1)/2

cos x

= 6 log 1/6 ( x + 2 ) .

5

.

= --2- .

x/3

= 1.

.

рассматриваемых совместно, называют системой
равнений. Решением этой системы называют упорядоченный набор значений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если система уравнений имеет решения, то оворят, что она совместна. Если же система уравнений не имеет решений, то оворят, что она несовместна. Линейным
равнением с n неизвестными называют уравнение вида a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, де a1, a2, ..., an, b — неоторые числа. Систему уравнений называют линейной, если все уравнения системы линейные. Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение (т. е. существует единственный набор чисел k1, ..., kn, обращающий все уравнения системы в тождества). Совместную систему уравнений называют неопределенной, если она имеет более одноо решения. Две совместные системы уравнений называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. При решении систем уравнений часто используют следующие преобразования системы, приводящие  системе уравнений, эвивалентной исходной. 1. Если обе части аоо-либо уравнения системы умножить на одно и то же (не равное нулю) число, то полученная система будет эвивалентна первоначальной (т. е. они или обе несовместны, или же обе совместны и множества их решений совпадают). 2. Если обе части аоо-либо уравнения системы, умноженные на неоторое (отличное от нуля) число, вычесть из соответствующих частей друоо уравнения и составить систему, в оторой одно из упомянутых уравнений заменено уравнени-

62

Г л а в а 3. Системы уравнений

ем, полученным в результате вычитания, а остальные уравнения оставлены без изменений, то полученная система будет эвивалентна исходной.

§ 13. Системы линейных уравнений

63

Подставляя значения z = 1 и y = 2 в первое уравнение той же системы, находим x = 1. Ответ. x = 1, y = 2, z = 1. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:

§ 13. Системы линейных уравнений Метод Гасса. При нахождении решений системы m линейных уравнений с n неизвестными удобно использовать метод Га
сса, состоящий в том, что систему приводят  треуольному или трапециедальному виду.

1.

2x + 2y + 2z = 7, 2x + 2y + 2z = 8, 2x + 2y + 2z = 9.

2.

3x – 4y + 5z = 18, 2x + 4y – 3z = 26, 0x – 6y + 8z = 00.

3.

10x – y – 19z = 19, 18x – y – 12z = 10, 10x – y – 12z = 10.

4.

0x + 2y + 0z + 7 = 0, 2x + 2y – 0z – 1 = 0, 3x – 2y + 2z – 2 = 0.

П р и м е р 1. Решить систему 0x + 2y + 3z = 8, 3x + 0y + 0z = 6, 2x + 0y + 2z = 6.

y z x -----3- – -----2- + --- = 1, a a a

(*)

Р е ш е н и е. Умножим обе части первоо уравнения системы (*) на (–3) и сложим со вторым уравнением: тода получим уравнение –5y – 8z = –18, или 5y + 8z = 18. Далее, умножив обе части первоо уравнения системы (*) на (–2) и сложив с третьим ее уравнением, получаем уравнение –3y –4z = –10, или 3y + 4z = 10. Следовательно, данную систему можно записать в виде эвивалентной системы, в оторой второе и третье уравнения не содержат неизвестноо x: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, x + 3y + 4z = 10.

5.

x y z ----- – -----2 + --- = 1, b b3 b x y z ----3- – ----2- + --- = 1. c c c

Решение и исследование систем двх линейных равнений с двмя неизвестными. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a11x + a12y = b1, a21x + a22y = b2

(1)

при условии, что хотя бы один из оэффициентов отличен от нуля. Обозначим через ∆, ∆ x и ∆ y соответственно следующие определители:

(**)

∆=

Умножив обе части второо уравнения системы (**) на 3, а третьео — на (–5) и сложив эти уравнения, придем  уравнению 4z = 4. Таим образом, система (**) эвивалентна следующей: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, (***) x + 2y + 8z = 11.

∆x =

Ита, исходная система приведена  треуольному виду. Подставляя z = 1 во второе уравнение системы (***), находим y = 2.

6.

x + a2y + b2z = 0, x + ay + bz = 0, x + y + z = 1.

∆y =

a 11

a 12

a 21

a 22

b1

a 12

b2

a 22

a 11

b1

a 21

b2

= a11a22 – a12a21, = b1a22 – b2a12, = a11b2 – a21b1.

Тода справедливо следующее утверждение. Если ∆ − 0, то система (1) имеет единственное решение ∆x

-, x = ----∆

∆y

-. y = ----∆

62

Г л а в а 3. Системы уравнений

ем, полученным в результате вычитания, а остальные уравнения оставлены без изменений, то полученная система будет эвивалентна исходной.

§ 13. Системы линейных уравнений

63

Подставляя значения z = 1 и y = 2 в первое уравнение той же системы, находим x = 1. Ответ. x = 1, y = 2, z = 1. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:

§ 13. Системы линейных уравнений Метод Гасса. При нахождении решений системы m линейных уравнений с n неизвестными удобно использовать метод Га
сса, состоящий в том, что систему приводят  треуольному или трапециедальному виду.

1.

2x + 2y + 2z = 7, 2x + 2y + 2z = 8, 2x + 2y + 2z = 9.

2.

3x – 4y + 5z = 18, 2x + 4y – 3z = 26, 0x – 6y + 8z = 00.

3.

10x – y – 19z = 19, 18x – y – 12z = 10, 10x – y – 12z = 10.

4.

0x + 2y + 0z + 7 = 0, 2x + 2y – 0z – 1 = 0, 3x – 2y + 2z – 2 = 0.

П р и м е р 1. Решить систему 0x + 2y + 3z = 8, 3x + 0y + 0z = 6, 2x + 0y + 2z = 6.

y z x -----3- – -----2- + --- = 1, a a a

(*)

Р е ш е н и е. Умножим обе части первоо уравнения системы (*) на (–3) и сложим со вторым уравнением: тода получим уравнение –5y – 8z = –18, или 5y + 8z = 18. Далее, умножив обе части первоо уравнения системы (*) на (–2) и сложив с третьим ее уравнением, получаем уравнение –3y –4z = –10, или 3y + 4z = 10. Следовательно, данную систему можно записать в виде эвивалентной системы, в оторой второе и третье уравнения не содержат неизвестноо x: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, x + 3y + 4z = 10.

5.

x y z ----- – -----2 + --- = 1, b b3 b x y z ----3- – ----2- + --- = 1. c c c

Решение и исследование систем двх линейных равнений с двмя неизвестными. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a11x + a12y = b1, a21x + a22y = b2

(1)

при условии, что хотя бы один из оэффициентов отличен от нуля. Обозначим через ∆, ∆ x и ∆ y соответственно следующие определители:

(**)

∆=

Умножив обе части второо уравнения системы (**) на 3, а третьео — на (–5) и сложив эти уравнения, придем  уравнению 4z = 4. Таим образом, система (**) эвивалентна следующей: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, (***) x + 2y + 8z = 11.

∆x =

Ита, исходная система приведена  треуольному виду. Подставляя z = 1 во второе уравнение системы (***), находим y = 2.

6.

x + a2y + b2z = 0, x + ay + bz = 0, x + y + z = 1.

∆y =

a 11

a 12

a 21

a 22

b1

a 12

b2

a 22

a 11

b1

a 21

b2

= a11a22 – a12a21, = b1a22 – b2a12, = a11b2 – a21b1.

Тода справедливо следующее утверждение. Если ∆ − 0, то система (1) имеет единственное решение ∆x

-, x = ----∆

∆y

-. y = ----∆

64

Г л а в а 3. Системы уравнений Если ∆ = 0, то: 1) в случае, ода хотя бы один из определителей ∆ x или

§ 13. Системы линейных уравнений При a = –1 имеем –x + y = 2, –x – y = –2 ^

∆ y не равен нулю, система (1) является несовместной (т. е. не имеет решений); 2) в случае, ода ∆ x = ∆ y = 0, система (1) является совместной и неопределенной (т. е. имеет бесонечно мноо решений). Каждое из уравнений системы (1) задает линейное соответствие между переменными x и y. Всяое линейное соответствие между переменными x и y определяет в прямоуольной системе оординат неоторую прямую. Если система имеет единственное решение, то прямые, задаваемые ее уравнениями, пересеаются. Если система имеет бесчисленное множество решений, то прямые совпадают; если система несовместна, то прямые параллельны. П р и м е р 2. Решить и исследовать систему ax + ay = 2, ax + ay = 2a. Р е ш е н и е. Вычислим определители ∆, ∆ x и ∆ y : ∆= ∆x = ∆y =

a

1

1

a

2 2a a

2

1

2a

– 1 − 0, т. е. a − ä1. В этом случае система 1. Пусть ∆ = имеет единственное решение: ∆ 0 - = 0, x = -----x- = --------------a2 – 1 ∆

2. Пусть ∆ =

a2

Ответ. При a − ä1 система имеет единственное решение x = 0, y = 2; при a = 1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x + y = 2; при a = –1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x – y = –2. Исследуйте систему уравнений: 7.

x + ay – 1 = 0, ax – 3ay – (2a + 3) = 0.

8.

3x + ay = 5a2, 3x – ay = a2.

9.

(a + 5)x + (2a + 3)y – (3a + 2) = 0, (3a + 10)x + (5a + 6)y – (2a + 4) = 0.

10.

a(a – 1)x + (a + 1)ay = a3 + 2, (a2 – 1)x + (a3 + 1)y = a4 – 1.

11.

ax – y = b, bx + y = a.

12.

(a2 + b2)x + (a2 – b2)y = a2, (a + b)x + (a – b)y = a.2

= 2a2 – 2.

a2

∆ 2a 2 – 2 - = 2. y = -----y- = ------------------a2 – 1 ∆

– 1 = 0, т. е. a = ä1. В этом случае ∆ = ∆ x =

= ∆ y = 0, т. е. система совместная и неопределенная. При a = 1 система примет вид x + y = 2, x + y = 2, и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x + y = 2.

x – y = –2, x – y = –2,

и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x – y = –2.

= a2 – 1, 1 = 2a – 2a = 0, a

65

13. Найдите таие значения параметров m и p, при оторых система (3m – 5p + b)x + (8m – 3p – a)y = 1, (2m – 3p + b)x + (4m – p)y = 2, была бы неопределенной. 14. Совместны ли уравнения x + ay = b + c, x + by = c + a, x + cy = a + b, де a2 + b2 + c2 = 1 и a, b, c — действительные числа?

64

Г л а в а 3. Системы уравнений Если ∆ = 0, то: 1) в случае, ода хотя бы один из определителей ∆ x или

§ 13. Системы линейных уравнений При a = –1 имеем –x + y = 2, –x – y = –2 ^

∆ y не равен нулю, система (1) является несовместной (т. е. не имеет решений); 2) в случае, ода ∆ x = ∆ y = 0, система (1) является совместной и неопределенной (т. е. имеет бесонечно мноо решений). Каждое из уравнений системы (1) задает линейное соответствие между переменными x и y. Всяое линейное соответствие между переменными x и y определяет в прямоуольной системе оординат неоторую прямую. Если система имеет единственное решение, то прямые, задаваемые ее уравнениями, пересеаются. Если система имеет бесчисленное множество решений, то прямые совпадают; если система несовместна, то прямые параллельны. П р и м е р 2. Решить и исследовать систему ax + ay = 2, ax + ay = 2a. Р е ш е н и е. Вычислим определители ∆, ∆ x и ∆ y : ∆= ∆x = ∆y =

a

1

1

a

2 2a a

2

1

2a

– 1 − 0, т. е. a − ä1. В этом случае система 1. Пусть ∆ = имеет единственное решение: ∆ 0 - = 0, x = -----x- = --------------a2 – 1 ∆

2. Пусть ∆ =

a2

Ответ. При a − ä1 система имеет единственное решение x = 0, y = 2; при a = 1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x + y = 2; при a = –1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x – y = –2. Исследуйте систему уравнений: 7.

x + ay – 1 = 0, ax – 3ay – (2a + 3) = 0.

8.

3x + ay = 5a2, 3x – ay = a2.

9.

(a + 5)x + (2a + 3)y – (3a + 2) = 0, (3a + 10)x + (5a + 6)y – (2a + 4) = 0.

10.

a(a – 1)x + (a + 1)ay = a3 + 2, (a2 – 1)x + (a3 + 1)y = a4 – 1.

11.

ax – y = b, bx + y = a.

12.

(a2 + b2)x + (a2 – b2)y = a2, (a + b)x + (a – b)y = a.2

= 2a2 – 2.

a2

∆ 2a 2 – 2 - = 2. y = -----y- = ------------------a2 – 1 ∆

– 1 = 0, т. е. a = ä1. В этом случае ∆ = ∆ x =

= ∆ y = 0, т. е. система совместная и неопределенная. При a = 1 система примет вид x + y = 2, x + y = 2, и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x + y = 2.

x – y = –2, x – y = –2,

и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x – y = –2.

= a2 – 1, 1 = 2a – 2a = 0, a

65

13. Найдите таие значения параметров m и p, при оторых система (3m – 5p + b)x + (8m – 3p – a)y = 1, (2m – 3p + b)x + (4m – p)y = 2, была бы неопределенной. 14. Совместны ли уравнения x + ay = b + c, x + by = c + a, x + cy = a + b, де a2 + b2 + c2 = 1 и a, b, c — действительные числа?

66

Г л а в а 3. Системы уравнений 15. Числа a и b таовы, что система a2x – ay = 1 – a, bx + (3 – 2b)y = 3 + a,

§ 14. Системы нелинейных уравнений

неизвестное через друое и подставляют в оставшееся уравнение, оторое после этоо превращается в алебраичесое уравнение с одним неизвестным. П р и м е р 1. Решить систему

имеет единственное решение x = 1, y = 1. Найдите числа a и b. 16. При аих значениях a и b система a2x – by = a2 – b, bx – b2y = 2 + 4b имеет бесонечно мноо решений? 17. При аих значениях a система a2x + (2 – a)y = 4 + a3, ax + (2a – 1)y = a5 – 2 не имеет решений? 18. Числа a, b и c таовы, что система ax – by = 2a – b, (c + 1)x + cy = 10 – a + 3b имеет бесонечно мноо решений, причем x = 1, y = 3 — одно из этих решений. Найдите a, b и c. 19. При аих значениях параметра a система уравнений ax – 4y = a + 1, 2x + (a + 6)y = a + 3, не имеет решений? 20. При аих значениях параметра a система 2x + ay = a + 2, (a + 1)x + 2ay = 2a + 4

x2 + y2 + 6x + 2y = 0, x + y + 8 = 0. Р е ш е н и е. Из второо уравнения следует, что y = –x – 8. Подставив это выражение вместо y в первое уравнение системы, получим x2 + (x + 8)2 + 6x – 2(x + 8) = 0, или

Системы, содержащие линейное равнение. Если одно из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными линейное, в друое — нелинейное, то таую систему решают следующим способом. Из линейноо уравнения выражают одно

x2 + 10x + 24 = 0,

отуда x1 = –4, x2 = –6. Соответствующие значения y найдем из уравнения y = –x – 8. Имеем y1 = –4, y2 = –2. Ита, система имеет два решения: (–4; –4) и (–6; –2). Ответ. (–4; –4), (–6; –2). Решите систему уравнений: 1.

(x – y)(x2 – y2) = 45, x + y = 5.

2.

(x + 0,2)2 + (y + 0,3)2 = 1, x + y = 0,9.

3.

13 y x --- + --- = ------ , 6 x y

x + y = 5.

4.

(x + y)4 + 4(x + y)2 – 117 = 0, x – y = 25.

5.

x2 + y2 = 2(xy + 2), x + y = 6.

6.

x2 + y2 + 10x – 10y = 2xy – 21, x + y = 5.

имеет бесонечно мноо решений?

§ 14. Системы нелинейных уравнений

67

Системы, содержащие однородное равнение. В тех случаях, ода одно из двух уравнений нелинейной системы однородное, можно с помощью этоо уравнения линейно выразить одно неизвестное системы через друое.

66

Г л а в а 3. Системы уравнений 15. Числа a и b таовы, что система a2x – ay = 1 – a, bx + (3 – 2b)y = 3 + a,

§ 14. Системы нелинейных уравнений

неизвестное через друое и подставляют в оставшееся уравнение, оторое после этоо превращается в алебраичесое уравнение с одним неизвестным. П р и м е р 1. Решить систему

имеет единственное решение x = 1, y = 1. Найдите числа a и b. 16. При аих значениях a и b система a2x – by = a2 – b, bx – b2y = 2 + 4b имеет бесонечно мноо решений? 17. При аих значениях a система a2x + (2 – a)y = 4 + a3, ax + (2a – 1)y = a5 – 2 не имеет решений? 18. Числа a, b и c таовы, что система ax – by = 2a – b, (c + 1)x + cy = 10 – a + 3b имеет бесонечно мноо решений, причем x = 1, y = 3 — одно из этих решений. Найдите a, b и c. 19. При аих значениях параметра a система уравнений ax – 4y = a + 1, 2x + (a + 6)y = a + 3, не имеет решений? 20. При аих значениях параметра a система 2x + ay = a + 2, (a + 1)x + 2ay = 2a + 4

x2 + y2 + 6x + 2y = 0, x + y + 8 = 0. Р е ш е н и е. Из второо уравнения следует, что y = –x – 8. Подставив это выражение вместо y в первое уравнение системы, получим x2 + (x + 8)2 + 6x – 2(x + 8) = 0, или

Системы, содержащие линейное равнение. Если одно из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными линейное, в друое — нелинейное, то таую систему решают следующим способом. Из линейноо уравнения выражают одно

x2 + 10x + 24 = 0,

отуда x1 = –4, x2 = –6. Соответствующие значения y найдем из уравнения y = –x – 8. Имеем y1 = –4, y2 = –2. Ита, система имеет два решения: (–4; –4) и (–6; –2). Ответ. (–4; –4), (–6; –2). Решите систему уравнений: 1.

(x – y)(x2 – y2) = 45, x + y = 5.

2.

(x + 0,2)2 + (y + 0,3)2 = 1, x + y = 0,9.

3.

13 y x --- + --- = ------ , 6 x y

x + y = 5.

4.

(x + y)4 + 4(x + y)2 – 117 = 0, x – y = 25.

5.

x2 + y2 = 2(xy + 2), x + y = 6.

6.

x2 + y2 + 10x – 10y = 2xy – 21, x + y = 5.

имеет бесонечно мноо решений?

§ 14. Системы нелинейных уравнений

67

Системы, содержащие однородное равнение. В тех случаях, ода одно из двух уравнений нелинейной системы однородное, можно с помощью этоо уравнения линейно выразить одно неизвестное системы через друое.

68

Г л а в а 3. Системы уравнений П р и м е р 2. Решить систему уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

Разделив обе части этоо уравнения на y2, получим относительx

x2 – 5xy + 6y2 = 0, x2 + y2 = 10.

(*)

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы (*) — однородное. Разделив обе ео части на y2, получим относительно неизвестx ноо t = --y- вадратное уравнение

но z = --y- вадратное уравнение z2 – z – 2 = 0, орни отороо z1 = –1, z2 = 2. Таим образом, исходная система эвивалентна двум системам

t2 – 5t + 6 = 0,

x2 – y2 = 1,

орнями отороо являются t1 = 3, t2 = 2. Таим образом, имеем следующие линейные зависимости между неизвестными, входящими в исходную систему (*): x = 3y,

x = 2y.

(**)

Подставляя последовательно x = 3y и x = 2y во второе уравнение данной системы, приходим  вадратным уравнениям y2 = 1 и y2 = 2, имеющим орни y1, 2 = ä1, y3, 4 = ä 2 . Соответствующие значения x1, x2, x3, x4 находим из равенств (**). Ответ. (3; 1), (–3; –1), (2 2 ;

2 ), (–2 2 ; – 2 ).

Систему вида a1x2 + b1y2 + c1xy = d1, a2x2 + b2y2 + c2xy = d2,

d1 − 0,

П р и м е р 3. Решить систему уравнений x2 – y2 = 1, x2 + xy = 2. Р е ш е н и е. Умножив обе части первоо уравнения на 2, обе части второо — на (–1) и сложив полученные уравнения, приходим  однородному уравнению –

2y2

– xy = 0.

x --- = –1 y

x2 – y2 = 1, и

x --- = 2, y

первая из оторых несовместна, а решением второй являются 2 3 3   2 3 3  - ; -------  и  – ----------- ; – -------  . две пары чисел:  ---------3 3 3 3     2 3 3   2 3 3  - ; -------  ,  – ----------- ; – -------  . Ответ.  ---------3 3 3     3 Решите систему уравнений: 7.

x2y3 + x3y2 = 12, x2y3 – x3y2 = 4.

9.

x4 – y4 = 15, x3y – xy3 = 6.

d2 − 0,

сводят  системе, содержащей однородное уравнение, следующим образом: умножают обе части первоо уравнения на d2, обе части второо — на (–d1) и сладывают оба преобразованных уравнения. В результате получают однородное уравнение. Далее исходную систему заменяют эвивалентной системой, содержащей полученное однородное уравнение и одно из уравнений исходной системы.

x2

69

8. 10.

x3 + y3 = 65, x2y + xy2 = 20. x2 + 2y2 = 17, x2 – 2xy = –3.

Симметричес ие системы. Систему уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn называют симметричесой, если она не меняется при перестанове неизвестных. Если система содержит два неизвестных (x и y), то часто решение таой системы можно найти с помощью введения новых неизвестных u = x + y, v = xy. При этом удобно использовать следующие равенства: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v, x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = u3 – 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = = ((x + y)2 – 2xy)2 – 2x2y2 = (u2 – 2v)2 – 2v2, позволяющие выразить омбинации неизвестных x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4 через неизвестные u и v.

68

Г л а в а 3. Системы уравнений П р и м е р 2. Решить систему уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

Разделив обе части этоо уравнения на y2, получим относительx

x2 – 5xy + 6y2 = 0, x2 + y2 = 10.

(*)

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы (*) — однородное. Разделив обе ео части на y2, получим относительно неизвестx ноо t = --y- вадратное уравнение

но z = --y- вадратное уравнение z2 – z – 2 = 0, орни отороо z1 = –1, z2 = 2. Таим образом, исходная система эвивалентна двум системам

t2 – 5t + 6 = 0,

x2 – y2 = 1,

орнями отороо являются t1 = 3, t2 = 2. Таим образом, имеем следующие линейные зависимости между неизвестными, входящими в исходную систему (*): x = 3y,

x = 2y.

(**)

Подставляя последовательно x = 3y и x = 2y во второе уравнение данной системы, приходим  вадратным уравнениям y2 = 1 и y2 = 2, имеющим орни y1, 2 = ä1, y3, 4 = ä 2 . Соответствующие значения x1, x2, x3, x4 находим из равенств (**). Ответ. (3; 1), (–3; –1), (2 2 ;

2 ), (–2 2 ; – 2 ).

Систему вида a1x2 + b1y2 + c1xy = d1, a2x2 + b2y2 + c2xy = d2,

d1 − 0,

П р и м е р 3. Решить систему уравнений x2 – y2 = 1, x2 + xy = 2. Р е ш е н и е. Умножив обе части первоо уравнения на 2, обе части второо — на (–1) и сложив полученные уравнения, приходим  однородному уравнению –

2y2

– xy = 0.

x --- = –1 y

x2 – y2 = 1, и

x --- = 2, y

первая из оторых несовместна, а решением второй являются 2 3 3   2 3 3  - ; -------  и  – ----------- ; – -------  . две пары чисел:  ---------3 3 3 3     2 3 3   2 3 3  - ; -------  ,  – ----------- ; – -------  . Ответ.  ---------3 3 3     3 Решите систему уравнений: 7.

x2y3 + x3y2 = 12, x2y3 – x3y2 = 4.

9.

x4 – y4 = 15, x3y – xy3 = 6.

d2 − 0,

сводят  системе, содержащей однородное уравнение, следующим образом: умножают обе части первоо уравнения на d2, обе части второо — на (–d1) и сладывают оба преобразованных уравнения. В результате получают однородное уравнение. Далее исходную систему заменяют эвивалентной системой, содержащей полученное однородное уравнение и одно из уравнений исходной системы.

x2

69

8. 10.

x3 + y3 = 65, x2y + xy2 = 20. x2 + 2y2 = 17, x2 – 2xy = –3.

Симметричес ие системы. Систему уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn называют симметричесой, если она не меняется при перестанове неизвестных. Если система содержит два неизвестных (x и y), то часто решение таой системы можно найти с помощью введения новых неизвестных u = x + y, v = xy. При этом удобно использовать следующие равенства: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v, x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = u3 – 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = = ((x + y)2 – 2xy)2 – 2x2y2 = (u2 – 2v)2 – 2v2, позволяющие выразить омбинации неизвестных x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4 через неизвестные u и v.

70

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 4. Решить систему уравнений

71

21.

2x3y2 – y3x2 = 36, 2x2y – y2x = 6.

22.

xy – x + y = 1, x2y – y2x = 30.

Р е ш е н и е. Это — симметричесая система. Положим v = xy, u = x + y. Тода, используя равенство

23.

xy + x – y = 3, x2y – xy2 = 2.

24.

x2 + xy + x = 10, y2 + xy + y = 20.

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy, получаем относительно новых неизвестных систему

25.

x2 + xy + 2y2 = 37, 2x2 + 2xy + y2 = 26.




26.

x2 – xy + y2 = 19, x4 + x2y2 + y4 = 931.

27.

(x2 + 1) (y2 + 1) = 10, (x + y) (xy – 1) = 3.




28.

x5 – y5 = 3093, x – y = 3.

x2




y2

+ = 2(xy + 2), x + y = 6.

u2 – 2v = 2v + 4, u = 6,




единственным решением оторой является u = 6, v = 8. Возвращаясь  первоначальным неизвестным, сведем исходную систему  более простой системе x + y = 6, xy = 8,

При этом удобно использовать следующие равенства:

решение оторой можно найти, используя, например, теорему Виета. Ответ. (2; 4), (4; 2). Решите систему уравнений: x2 + y2 = a,

x2y + y2x = 20, 11.

1 1 5 --- + --- = --- . x y 4

12.

13.

x4 + y4 = 82, x + y = 4.

14.

x3 + y3 = 9, xy = 2.

15.

x3 + y3 = 2, xy(x + y) = 2.

16.

(x2 + y2)xy = 78, x4 + y4 = 97.

17.

5(x4 + y4) = 41(x2 + y2), x2 + y2 + xy = 13.

18.

x4 + y4 = 97, xy = 6.




19.

20.

(x2 – x + 1) (y2 – y + 1) = 3, (x + 1) (y + 1) = 6. 10 x–y x+y -------------- + -------------- = ------ , 3 x+y x–y

x2 + y2 = 5.

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = u2 – 2v, x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – – 3(x + y + z) (xy + yz + zx) + 3xyz = u3 – 3uv + 3w. П р и м е р 5. Решить систему уравнений x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, x3 + y3 + z3 = 1.

1 1 -----2- + -----2- = b. y x

Используя омбинации изложенных ранее методов, решите систему уравнений:


Симметричесие системы трех уравнений с тремя неизвестными x, y, z обычно решают с помощью введения новых неизвестных u = x + y + z, v = xy + yz + zx, w = xyz.

Р е ш е н и е. Данная система является симметричесой. Введя вспомоательные неизвестные x + y + z = u,

xy + yz + zx = v,

xyz = w

и используя равенство x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w, получаем систему u = 1, v = –4, u3 – 3uv + 3w = 1, или, возвращаясь  старым неизвестным, систему x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, xyz = –4.

(*)

70

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 4. Решить систему уравнений

71

21.

2x3y2 – y3x2 = 36, 2x2y – y2x = 6.

22.

xy – x + y = 1, x2y – y2x = 30.

Р е ш е н и е. Это — симметричесая система. Положим v = xy, u = x + y. Тода, используя равенство

23.

xy + x – y = 3, x2y – xy2 = 2.

24.

x2 + xy + x = 10, y2 + xy + y = 20.

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy, получаем относительно новых неизвестных систему

25.

x2 + xy + 2y2 = 37, 2x2 + 2xy + y2 = 26.




26.

x2 – xy + y2 = 19, x4 + x2y2 + y4 = 931.

27.

(x2 + 1) (y2 + 1) = 10, (x + y) (xy – 1) = 3.




28.

x5 – y5 = 3093, x – y = 3.

x2




y2

+ = 2(xy + 2), x + y = 6.

u2 – 2v = 2v + 4, u = 6,




единственным решением оторой является u = 6, v = 8. Возвращаясь  первоначальным неизвестным, сведем исходную систему  более простой системе x + y = 6, xy = 8,

При этом удобно использовать следующие равенства:

решение оторой можно найти, используя, например, теорему Виета. Ответ. (2; 4), (4; 2). Решите систему уравнений: x2 + y2 = a,

x2y + y2x = 20, 11.

1 1 5 --- + --- = --- . x y 4

12.

13.

x4 + y4 = 82, x + y = 4.

14.

x3 + y3 = 9, xy = 2.

15.

x3 + y3 = 2, xy(x + y) = 2.

16.

(x2 + y2)xy = 78, x4 + y4 = 97.

17.

5(x4 + y4) = 41(x2 + y2), x2 + y2 + xy = 13.

18.

x4 + y4 = 97, xy = 6.




19.

20.

(x2 – x + 1) (y2 – y + 1) = 3, (x + 1) (y + 1) = 6. 10 x–y x+y -------------- + -------------- = ------ , 3 x+y x–y

x2 + y2 = 5.

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = u2 – 2v, x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – – 3(x + y + z) (xy + yz + zx) + 3xyz = u3 – 3uv + 3w. П р и м е р 5. Решить систему уравнений x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, x3 + y3 + z3 = 1.

1 1 -----2- + -----2- = b. y x

Используя омбинации изложенных ранее методов, решите систему уравнений:


Симметричесие системы трех уравнений с тремя неизвестными x, y, z обычно решают с помощью введения новых неизвестных u = x + y + z, v = xy + yz + zx, w = xyz.

Р е ш е н и е. Данная система является симметричесой. Введя вспомоательные неизвестные x + y + z = u,

xy + yz + zx = v,

xyz = w

и используя равенство x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w, получаем систему u = 1, v = –4, u3 – 3uv + 3w = 1, или, возвращаясь  старым неизвестным, систему x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, xyz = –4.

(*)

72

Г л а в а 3. Системы уравнений

Решение системы (*) можно найти с помощью теоремы Виета для убичесоо мноочлена: орни t1, t2, t3 убичесоо

§ 14. Системы нелинейных уравнений П р и м е р 6. Решить систему уравнений 3xy -------------- = 5, x+y

мноочлена t3 + at2 + bt + c удовлетворяют равенствам

2xz ------------- = 3, x+z

t1 + t2 + t3 = –a, t1t2 + t1t3 + t2t3 = b, t1t2t3 = –c.

yz ------------- = 4. y+z

Ясно, что при a = –1, b = –4, c = 4 орни убичесоо уравнения t3 – t2 – 4t + 4 = 0 (**)

Р е ш е н и е. Данная система равносильна системе 3 x+y -------------- = --- , 5 xy 2 x+z ------------- = --- , 3 xz

связаны теми же равенствами, что и неизвестные x, y, z системы (*), и, следовательно, тройа значений неизвестных x = t1,

y = t2,

= = = = =

t2, t3, t1, t2, t3,

y y y y y

= = = = =

t1, t2, t3, t3, t1,

z z z z z

= = = = =

t3, t1, t2, t1, t2.

1

(мы разделили почленно левые части уравнений). Полаая --x- = u, 1 1 --- = v, --- = w, получаем линейную систему относительно новых z y 3 2

u + w = --3- , 1

Решите систему уравнений: 30.

1 1 1 --- + --- = --y 4 z

u + v = --5- ,

Ответ. (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3, xyz = 2.

2 1 1 --- + --- = --- , 3 z x

или

неизвестных:

Таим образом, решение данной системы сводится  нахождению орней убичесоо уравнения (**); ими являются числа t1 = 2, t2 = –2, t3 = 1. Ита, решения исходной системы — это следующие упорядоченные тройи чисел: (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

29.

3 1 1 --- + --- = --- , 5 x y

1 y+z ------------- = --- , 4 yz

z = t3

есть решение системы (*). Кроме этой тройи, в силу симметричности системы решениями являются таже следующие тройи значений неизвестных: x x x x x

73

x + y + z = 1, x2 + y2 + z2 = 1, x3 + y3 + z3 = 1.

Инода системы трех уравнений с тремя неизвестными решают с помощью введения вспомоательных неизвестных.

w + v = --4- . 61 11 19 - ; ---------- ; ----------  . Ита, решениЕе решение есть тройа чисел  -------- 120 120 120  120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . ем исходной системы является тройа чисел  --------19  11  61 120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . Ответ.  --------19  11  61

В отличие от систем линейных уравнений системы нелинейных уравнений моут быть определенными даже в тех случаях, ода число уравнений меньше чисел неизвестных. Простейший пример таой системы представляет собой система, состоящая из одноо уравнения (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 0, единственным решением отороо является x = 1, y = 2, z = 3.

72

Г л а в а 3. Системы уравнений

Решение системы (*) можно найти с помощью теоремы Виета для убичесоо мноочлена: орни t1, t2, t3 убичесоо

§ 14. Системы нелинейных уравнений П р и м е р 6. Решить систему уравнений 3xy -------------- = 5, x+y

мноочлена t3 + at2 + bt + c удовлетворяют равенствам

2xz ------------- = 3, x+z

t1 + t2 + t3 = –a, t1t2 + t1t3 + t2t3 = b, t1t2t3 = –c.

yz ------------- = 4. y+z

Ясно, что при a = –1, b = –4, c = 4 орни убичесоо уравнения t3 – t2 – 4t + 4 = 0 (**)

Р е ш е н и е. Данная система равносильна системе 3 x+y -------------- = --- , 5 xy 2 x+z ------------- = --- , 3 xz

связаны теми же равенствами, что и неизвестные x, y, z системы (*), и, следовательно, тройа значений неизвестных x = t1,

y = t2,

= = = = =

t2, t3, t1, t2, t3,

y y y y y

= = = = =

t1, t2, t3, t3, t1,

z z z z z

= = = = =

t3, t1, t2, t1, t2.

1

(мы разделили почленно левые части уравнений). Полаая --x- = u, 1 1 --- = v, --- = w, получаем линейную систему относительно новых z y 3 2

u + w = --3- , 1

Решите систему уравнений: 30.

1 1 1 --- + --- = --y 4 z

u + v = --5- ,

Ответ. (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3, xyz = 2.

2 1 1 --- + --- = --- , 3 z x

или

неизвестных:

Таим образом, решение данной системы сводится  нахождению орней убичесоо уравнения (**); ими являются числа t1 = 2, t2 = –2, t3 = 1. Ита, решения исходной системы — это следующие упорядоченные тройи чисел: (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

29.

3 1 1 --- + --- = --- , 5 x y

1 y+z ------------- = --- , 4 yz

z = t3

есть решение системы (*). Кроме этой тройи, в силу симметричности системы решениями являются таже следующие тройи значений неизвестных: x x x x x

73

x + y + z = 1, x2 + y2 + z2 = 1, x3 + y3 + z3 = 1.

Инода системы трех уравнений с тремя неизвестными решают с помощью введения вспомоательных неизвестных.

w + v = --4- . 61 11 19 - ; ---------- ; ----------  . Ита, решениЕе решение есть тройа чисел  -------- 120 120 120  120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . ем исходной системы является тройа чисел  --------19  11  61 120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . Ответ.  --------19  11  61

В отличие от систем линейных уравнений системы нелинейных уравнений моут быть определенными даже в тех случаях, ода число уравнений меньше чисел неизвестных. Простейший пример таой системы представляет собой система, состоящая из одноо уравнения (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 0, единственным решением отороо является x = 1, y = 2, z = 3.

74

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 7. Решить систему уравнений x + y + z = 4, 2xy – z2 = 16. Р е ш е н и е. Возведя обе части первоо уравнения в вадрат, имеем x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 16. (*) Вычитая из уравнения (*) второе уравнение системы, получаем уравнение x2 + y2 + 2z2 + 2yz + 2zx = 0, оторое можно записать в виде (x + z)2 + (y + z)2 = 0. Последнее уравнение выполняется тольо при x = –z, y = –z. Возвращаясь  исходной системе, находим из первоо уравнения z = –4 и, следовательно, x = 4, y = 4. Полученное решение (4; 4; –4) и является решением исходной системы. Ответ. (4; 4; –4). Решите систему уравнений: 31.

y2 + xy – z2 = 4, x + 5y = 8.

32.

16

xy

-, x + y = ----------------1 + xy

- = –5, 3xy – -----xz


33.

8

- = –5, xy + ----yz

34.

3

35.

xz

----------------- , x+z= 1 + xz yz

-. y + z = ---------------1 + yz

- = 1. yz – -----xy

x2 – (y – z)2 = a, y2 – (z – x)2 = b, z2 – (x – y)2 = c.

x2 – 2yz = –1, y + z – x = 1.

xyz ------------- = a, y+z

36.

xyz ------------- = b, z+x xyz -------------- = c. x+y

37.

x + y + z = 13, x2 + y2 + z2 = 91, y2 = xz.

39.

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 2(y – x – z) –2, x3 + y3 + z3 = 3(x2 – y2 + z2).

38.

xy + yz + zx = 11, x2 + y2 + z2 = 14, xyz = 6.

75

40.

x + y + z = 1, 4x2 + y2 + z2 – 5x = x3 + y3 + z3 – 2, xyz = 2 + yz.

41.

2(x + y) = xy, xy + yz + zx = 108, xyz = 180.

43.

x2 + y2 = axyz, y2 + z2 = bxyz, z2 + x2 = cxyz.

42.

x(x + y + z) = a, y(x + y + z) = b, z(x + y + z) = c.

44.

x2y = x + y – z, z2x = x – y + z, y2x = y – x + z.

45.

4xy + x2 + y2 = 1, 8xz + x2 + 4z2 = –2, 8yz + y2 + 4z2 = 1.

46.

2(x2 + y2) = xyz, 10(y2 + z2) = 29xyz, 5(z2 + x2) = 13xyz.

47.

xyz2 = –y – 2x, 2x2yz = –y – z, 3xy2z = 2x – z.

48.

xy + x + y = 7, yz + y + z = –3, zx + x + z = –5.

Системы, содержащие иррациональное равнение. Если среди уравнений системы имеются иррациональные, то для ее решения обычно освобождаются от иррациональности. При этом используют те же методы, что и для решения иррациональных уравнений. П р и м е р 8. Решить систему уравнений 4 1 + 5x + 4 5 – y = 3, 5x – y = 11.

Р е ш е н и е. Полаая 4 1 + 5x = u и 4 5 – y = v, получаем симметричесую систему нелинейных уравнений u + v = 3, u4 + v4 = 17,

(*)

решения оторой u = 2, v = 1 и u = 1, v = 2. Возвращаясь  исходным неизвестным, приходим  двум системам линейных уравнений: 1 + 5x = 16, 1 + 5x = 1, 5 – y = 1, 5 – y = 16. Первая система имеет решение x = 3, y = 4, а вторая — решение x = 0, y = –11. Ответ. (3; 4); (0; –11).

74

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 7. Решить систему уравнений x + y + z = 4, 2xy – z2 = 16. Р е ш е н и е. Возведя обе части первоо уравнения в вадрат, имеем x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 16. (*) Вычитая из уравнения (*) второе уравнение системы, получаем уравнение x2 + y2 + 2z2 + 2yz + 2zx = 0, оторое можно записать в виде (x + z)2 + (y + z)2 = 0. Последнее уравнение выполняется тольо при x = –z, y = –z. Возвращаясь  исходной системе, находим из первоо уравнения z = –4 и, следовательно, x = 4, y = 4. Полученное решение (4; 4; –4) и является решением исходной системы. Ответ. (4; 4; –4). Решите систему уравнений: 31.

y2 + xy – z2 = 4, x + 5y = 8.

32.

16

xy

-, x + y = ----------------1 + xy

- = –5, 3xy – -----xz


33.

8

- = –5, xy + ----yz

34.

3

35.

xz

----------------- , x+z= 1 + xz yz

-. y + z = ---------------1 + yz

- = 1. yz – -----xy

x2 – (y – z)2 = a, y2 – (z – x)2 = b, z2 – (x – y)2 = c.

x2 – 2yz = –1, y + z – x = 1.

xyz ------------- = a, y+z

36.

xyz ------------- = b, z+x xyz -------------- = c. x+y

37.

x + y + z = 13, x2 + y2 + z2 = 91, y2 = xz.

39.

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 2(y – x – z) –2, x3 + y3 + z3 = 3(x2 – y2 + z2).

38.

xy + yz + zx = 11, x2 + y2 + z2 = 14, xyz = 6.

75

40.

x + y + z = 1, 4x2 + y2 + z2 – 5x = x3 + y3 + z3 – 2, xyz = 2 + yz.

41.

2(x + y) = xy, xy + yz + zx = 108, xyz = 180.

43.

x2 + y2 = axyz, y2 + z2 = bxyz, z2 + x2 = cxyz.

42.

x(x + y + z) = a, y(x + y + z) = b, z(x + y + z) = c.

44.

x2y = x + y – z, z2x = x – y + z, y2x = y – x + z.

45.

4xy + x2 + y2 = 1, 8xz + x2 + 4z2 = –2, 8yz + y2 + 4z2 = 1.

46.

2(x2 + y2) = xyz, 10(y2 + z2) = 29xyz, 5(z2 + x2) = 13xyz.

47.

xyz2 = –y – 2x, 2x2yz = –y – z, 3xy2z = 2x – z.

48.

xy + x + y = 7, yz + y + z = –3, zx + x + z = –5.

Системы, содержащие иррациональное равнение. Если среди уравнений системы имеются иррациональные, то для ее решения обычно освобождаются от иррациональности. При этом используют те же методы, что и для решения иррациональных уравнений. П р и м е р 8. Решить систему уравнений 4 1 + 5x + 4 5 – y = 3, 5x – y = 11.

Р е ш е н и е. Полаая 4 1 + 5x = u и 4 5 – y = v, получаем симметричесую систему нелинейных уравнений u + v = 3, u4 + v4 = 17,

(*)

решения оторой u = 2, v = 1 и u = 1, v = 2. Возвращаясь  исходным неизвестным, приходим  двум системам линейных уравнений: 1 + 5x = 16, 1 + 5x = 1, 5 – y = 1, 5 – y = 16. Первая система имеет решение x = 3, y = 4, а вторая — решение x = 0, y = –11. Ответ. (3; 4); (0; –11).

76

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

Решите систему уравнений: 49.

2x + y + 1 – 3x + 2y = 4.

50.

x + 2y + 3 x – y + 2 = 3, 2x + y = 7.

51.

x 2 – xy + xy – y 2 = 3(x – y), x2 – y2 = 41. x2 + y2 + x +

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений Для решения системы, содержащей поазательное или лоарифмичесое уравнение, обычно сводят поазательное (или лоарифмичесое) уравнение  алебраичесому уравнению, а затем решают полученную алебраичесую систему.

2xy = 8 2 ,

y = 4.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений

53.

x 2 + 5 + y 2 – 5 = 5, 2 x + y2 = 13.

54.

x + y = 2, x – 2y + 1 = 0.

56.

x +

y = 8,

x+y–

x +

x2 y2

x–y

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестных x и y определяется системой неравенств x – 2y > 0, 3x + 2y > 0.

y – 2 xy = 2. y4

xy + – = 8( x + y + (x + y)3/2 – (x – y)3/2 = 26.

57.

3x2 + 2xy + y2 = 11, x2 + 2xy + 3y2 = 17.

58.

x2 + xy + y2 = 19(x – y)2, x2 – xy + y2 = 7(x – y).

59.

(x – 1)2 + (y + 1)2 – z2 = 0, x – z – 1 = 0. 3

60.

3 2x + y 2x + y 81 ----------------------- + ----------------------- = ---------- , 182 y 2x 3

y–3

8 ( 2) = 0,5 , log3 (x – 2y) + log3 (3x + 2y) = 3.

x – y ),

Используя изложенные ранее методы, решите систему уравнений:




62.

x2 + xy + y2 = 1, y2 + yz + z2 = 3, x2 + xz + z2 = 7.

3

52.

55.

61.

x + y = 1,

x + y – z = 2, x2 + y2 + z2 = 6, x3 + y3 – z3 = 8.

77

3 2x – y 2x – y 1 ---------------------- – ---------------------- = ---------- . 182 y 2x

(*)

Из поазательноо уравнения исходной системы, записанноо в виде x–y+6 6 – 2y ( 2) , = ( 2) следует, что

x – y + 6 = 6 – 2y; из лоарифмичесоо уравнения, записанноо в виде log3 ((x – 2y)(3x + 2y)) = 3, следует, что (x – 2y)(3x + 2y) = 27. Таим образом, решение исходной системы сводится  решению системы уравнений x – y + 6 = 6 – 2y, (x – 2y)(3x + 2y) = 27,

(**)

рассматриваемой на множестве допустимых значений неизвестных, задаваемом системой (*). Выражая y из первоо уравнения системы (**) и подставляя y = –x во второе уравнение, получаем уравнение 3x2 = 27, решениями отороо являются x1 = 3, x2 = –3. Из первоо уравнения системы (**) находим

76

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

Решите систему уравнений: 49.

2x + y + 1 – 3x + 2y = 4.

50.

x + 2y + 3 x – y + 2 = 3, 2x + y = 7.

51.

x 2 – xy + xy – y 2 = 3(x – y), x2 – y2 = 41. x2 + y2 + x +

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений Для решения системы, содержащей поазательное или лоарифмичесое уравнение, обычно сводят поазательное (или лоарифмичесое) уравнение  алебраичесому уравнению, а затем решают полученную алебраичесую систему.

2xy = 8 2 ,

y = 4.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений

53.

x 2 + 5 + y 2 – 5 = 5, 2 x + y2 = 13.

54.

x + y = 2, x – 2y + 1 = 0.

56.

x +

y = 8,

x+y–

x +

x2 y2

x–y

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестных x и y определяется системой неравенств x – 2y > 0, 3x + 2y > 0.

y – 2 xy = 2. y4

xy + – = 8( x + y + (x + y)3/2 – (x – y)3/2 = 26.

57.

3x2 + 2xy + y2 = 11, x2 + 2xy + 3y2 = 17.

58.

x2 + xy + y2 = 19(x – y)2, x2 – xy + y2 = 7(x – y).

59.

(x – 1)2 + (y + 1)2 – z2 = 0, x – z – 1 = 0. 3

60.

3 2x + y 2x + y 81 ----------------------- + ----------------------- = ---------- , 182 y 2x 3

y–3

8 ( 2) = 0,5 , log3 (x – 2y) + log3 (3x + 2y) = 3.

x – y ),

Используя изложенные ранее методы, решите систему уравнений:




62.

x2 + xy + y2 = 1, y2 + yz + z2 = 3, x2 + xz + z2 = 7.

3

52.

55.

61.

x + y = 1,

x + y – z = 2, x2 + y2 + z2 = 6, x3 + y3 – z3 = 8.

77

3 2x – y 2x – y 1 ---------------------- – ---------------------- = ---------- . 182 y 2x

(*)

Из поазательноо уравнения исходной системы, записанноо в виде x–y+6 6 – 2y ( 2) , = ( 2) следует, что

x – y + 6 = 6 – 2y; из лоарифмичесоо уравнения, записанноо в виде log3 ((x – 2y)(3x + 2y)) = 3, следует, что (x – 2y)(3x + 2y) = 27. Таим образом, решение исходной системы сводится  решению системы уравнений x – y + 6 = 6 – 2y, (x – 2y)(3x + 2y) = 27,

(**)

рассматриваемой на множестве допустимых значений неизвестных, задаваемом системой (*). Выражая y из первоо уравнения системы (**) и подставляя y = –x во второе уравнение, получаем уравнение 3x2 = 27, решениями отороо являются x1 = 3, x2 = –3. Из первоо уравнения системы (**) находим

78

Г л а в а 3. Системы уравнений

y1 = –3, y2 = 3. Однао из двух найденных пар чисел (3; –3), (–3; 3) решений системы (**) лишь пара (3; –3) удовлетворяет системе неравенств (*). Ответ. (3; –3). Решите систему уравнений: 1.

3.




logy x + logx y = 2,

4 4

x+y log

2

= 2 x

y–x

,

5.

x + y = 12, 2(2 logy x – log1/x y) = 5.

6.

4 –7· 2 y – x = 3.

7.

x

2 3  --3- 

y x – --2

2x – y

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

= 2

3–y

2 + 7  --3- 

1

10.

12.

13.

xy 2

– 27 · 3

y

3

log

· 2 5

y

= 1152,

(x + y) = 2. x2

+ 2 2x – y

y2

x – – 16 = 1, x – y = 2.

+2

= 5, = 125.

(y2 + 2) log5 x = 3.

(2y2 – 1)z = 1, (y2 + 2)z = 3.

( 2x – y )/2

– 6 = 0,

y2 + 2 ------------------- = 3, 2y 2 – 1

имеющему решения y1 = 1, y2 = –1. Из первоо уравнения системы (*) находим (а при y = 1, та и при y = –1), что z = 1. Тода из уравнения log5 x = 1 получаем x = 5. Таим образом, решениями исходной системы являются две пары чисел: (5; 1) и (5; –1). Ответ. (5; 1); (5; –1).

= 0,

11.

(*)

Выразив z из первоо уравнения системы (*) и подставив во второе, придем  уравнению

Решите систему уравнений: 2

x

y

· 3

3

x

· 4 = 12.

= 6,

14.

y

y = 1 + log4 x,

15.

xy = 46. 5

16.

(0,48 ) = 1, lg (x + y) – 1 = lg 6 – lg (x + 2y). x2

–1

(2y2 – 1) log5 x = 1,

,

1 1 --- lg x + --- lg y = lg (4 – 4 x ). 2 4 –x

2

Положим log5 x = z и получим систему рациональных уравнений

= 32, 4 log3 (x – y) = 1 – log3 (x + y). 4

y2

Р е ш е н и е. Лоарифмируя оба уравнения системы по основанию 5, получаем эвивалентную исходной систему

2 – log2 x + 5 log 5 (1/y) = --3- .

x y --- + --y x

9 9.

x

y2 x2 ------ + ------ = 12, y x

lg (3x – y) + lg (x + y) – 4 lg 2 = 0. 8.

x 2y

x2 – 2y2 – 8 = 0.

4.

= y4 – 5.

79

Если основание степени в поазательном уравнении системы является фунцией неизвестных, то таую систему можно свести  системе рациональных уравнений, принимая в ачестве одноо из неизвестных лоарифм этой фунции по неоторому основанию.

log4 x – log2 y = 0,

2.

x2 – y = 20.

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

18.

(x + y)3y – x = -----27 , 3 log5 (x + y) = x – y. (x + y) · 2 (x +

y – 2x

1 ----------------y) 2x – y

= 6,25,

= 5.

y – log3 x = 1, xy = 312.

17.

xx – 2y = 36, 4(x – 2y) + log6 x = 9.

19.

lg (x + y) 2 = 1, lg y – lg |x| = lg 2.

78

Г л а в а 3. Системы уравнений

y1 = –3, y2 = 3. Однао из двух найденных пар чисел (3; –3), (–3; 3) решений системы (**) лишь пара (3; –3) удовлетворяет системе неравенств (*). Ответ. (3; –3). Решите систему уравнений: 1.

3.




logy x + logx y = 2,

4 4

x+y log

2

= 2 x

y–x

,

5.

x + y = 12, 2(2 logy x – log1/x y) = 5.

6.

4 –7· 2 y – x = 3.

7.

x

2 3  --3- 

y x – --2

2x – y

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

= 2

3–y

2 + 7  --3- 

1

10.

12.

13.

xy 2

– 27 · 3

y

3

log

· 2 5

y

= 1152,

(x + y) = 2. x2

+ 2 2x – y

y2

x – – 16 = 1, x – y = 2.

+2

= 5, = 125.

(y2 + 2) log5 x = 3.

(2y2 – 1)z = 1, (y2 + 2)z = 3.

( 2x – y )/2

– 6 = 0,

y2 + 2 ------------------- = 3, 2y 2 – 1

имеющему решения y1 = 1, y2 = –1. Из первоо уравнения системы (*) находим (а при y = 1, та и при y = –1), что z = 1. Тода из уравнения log5 x = 1 получаем x = 5. Таим образом, решениями исходной системы являются две пары чисел: (5; 1) и (5; –1). Ответ. (5; 1); (5; –1).

= 0,

11.

(*)

Выразив z из первоо уравнения системы (*) и подставив во второе, придем  уравнению

Решите систему уравнений: 2

x

y

· 3

3

x

· 4 = 12.

= 6,

14.

y

y = 1 + log4 x,

15.

xy = 46. 5

16.

(0,48 ) = 1, lg (x + y) – 1 = lg 6 – lg (x + 2y). x2

–1

(2y2 – 1) log5 x = 1,

,

1 1 --- lg x + --- lg y = lg (4 – 4 x ). 2 4 –x

2

Положим log5 x = z и получим систему рациональных уравнений

= 32, 4 log3 (x – y) = 1 – log3 (x + y). 4

y2

Р е ш е н и е. Лоарифмируя оба уравнения системы по основанию 5, получаем эвивалентную исходной систему

2 – log2 x + 5 log 5 (1/y) = --3- .

x y --- + --y x

9 9.

x

y2 x2 ------ + ------ = 12, y x

lg (3x – y) + lg (x + y) – 4 lg 2 = 0. 8.

x 2y

x2 – 2y2 – 8 = 0.

4.

= y4 – 5.

79

Если основание степени в поазательном уравнении системы является фунцией неизвестных, то таую систему можно свести  системе рациональных уравнений, принимая в ачестве одноо из неизвестных лоарифм этой фунции по неоторому основанию.

log4 x – log2 y = 0,

2.

x2 – y = 20.

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

18.

(x + y)3y – x = -----27 , 3 log5 (x + y) = x – y. (x + y) · 2 (x +

y – 2x

1 ----------------y) 2x – y

= 6,25,

= 5.

y – log3 x = 1, xy = 312.

17.

xx – 2y = 36, 4(x – 2y) + log6 x = 9.

19.

lg (x + y) 2 = 1, lg y – lg |x| = lg 2.

80

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 16. Разные задачи

§ 16. Разные задачи

Неоторые системы лоарифмичесих или поазательных уравнений сводятся  системам рациональных уравнений непосредственной заменой входящих в них лоарифмов (или соответственно степеней) новыми неизвестными. П р и м е р 3. Решить систему уравнений 5

3

5

23

· 2

x

+ 22

x

Р е ш е н и е. Полаая z = 5 ме рациональных уравнений

3

Решите систему уравнений:


1.

yx logy x = x2,5, log3 y · logy (y – 2x) = 1.

2.

log2 x + log4 y + log4 z = 2, log3 y + log9 z + log9 x = 2, log4 z + log16 x + log16 y = 2.

= 200,

y

x

y

= 689.

иu= 2

y

, приходим  систе10 3.

zu = 200, z2 + u2 = 689, оторая с учетом условий z > 0 и u > 0 эвивалентна системе


zu = 200, z + u = 33.

5

3

2

3

x

= 25,

5

y

= 8,

2

4.

x

= 8,

y

= 25,




5.

6.

8.

2

Решите систему уравнений:




20.

xy – 1

+ 4

= 5,

5 ( x – y) 3(x + y) ---------------------- + ---------------------- = 8. x+y x–y

11 22.

xy – 2

xz

y

– 2 · 5 = 71,

z

11 + 2 · 5 11

( x – z)z

y/2

+ 5

= 21,

y/2

= 16.




+ 10y 6 ---------------------------- = ------------------------------------------ . 3 2 x 2 + 10y – 9

21.

(x2 + y) · 2

4

x+ y

= y2

4

x+ y

=

x

3

3

y2 ,

x2 .

logy |logy x| = logx |logx y|, lg2 x + lg2 y = 8.  1  ---------------- + log y  = log x, log12 x  log 2 2 2 x  

7. zx = x,

Ответ. (8; 9); (27 log 5 2; 4 log 2 5).

2

= 100 10 ,

log2 x · log3 (x + y) = 3 log3 x.

имеющие решения x = 8, y = 9 и x = (log5 8)3, y = (log2 25)2. 3

1 2

lg --- ( x 2 + y 2 ) + 1,5

x2

y

Решениями этой системы являются следующие пары чисел: (25; 8); (8; 25). Возвращаясь  исходным неизвестным, получаем две системы уравнений

81

y – x2

9(x2 + y) = 6

= 1,

x2 – y

.

zy = y,

yy = x.

loga x · loga (xyz) = 48, loga y · loga (xyz) = 12, loga z · loga (xyz) = 84, a > 0,

a − 1.

80

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 16. Разные задачи

§ 16. Разные задачи

Неоторые системы лоарифмичесих или поазательных уравнений сводятся  системам рациональных уравнений непосредственной заменой входящих в них лоарифмов (или соответственно степеней) новыми неизвестными. П р и м е р 3. Решить систему уравнений 5

3

5

23

· 2

x

+ 22

x

Р е ш е н и е. Полаая z = 5 ме рациональных уравнений

3

Решите систему уравнений:


1.

yx logy x = x2,5, log3 y · logy (y – 2x) = 1.

2.

log2 x + log4 y + log4 z = 2, log3 y + log9 z + log9 x = 2, log4 z + log16 x + log16 y = 2.

= 200,

y

x

y

= 689.

иu= 2

y

, приходим  систе10 3.

zu = 200, z2 + u2 = 689, оторая с учетом условий z > 0 и u > 0 эвивалентна системе


zu = 200, z + u = 33.

5

3

2

3

x

= 25,

5

y

= 8,

2

4.

x

= 8,

y

= 25,




5.

6.

8.

2

Решите систему уравнений:




20.

xy – 1

+ 4

= 5,

5 ( x – y) 3(x + y) ---------------------- + ---------------------- = 8. x+y x–y

11 22.

xy – 2

xz

y

– 2 · 5 = 71,

z

11 + 2 · 5 11

( x – z)z

y/2

+ 5

= 21,

y/2

= 16.




+ 10y 6 ---------------------------- = ------------------------------------------ . 3 2 x 2 + 10y – 9

21.

(x2 + y) · 2

4

x+ y

= y2

4

x+ y

=

x

3

3

y2 ,

x2 .

logy |logy x| = logx |logx y|, lg2 x + lg2 y = 8.  1  ---------------- + log y  = log x, log12 x  log 2 2 2 x  

7. zx = x,

Ответ. (8; 9); (27 log 5 2; 4 log 2 5).

2

= 100 10 ,

log2 x · log3 (x + y) = 3 log3 x.

имеющие решения x = 8, y = 9 и x = (log5 8)3, y = (log2 25)2. 3

1 2

lg --- ( x 2 + y 2 ) + 1,5

x2

y

Решениями этой системы являются следующие пары чисел: (25; 8); (8; 25). Возвращаясь  исходным неизвестным, получаем две системы уравнений

81

y – x2

9(x2 + y) = 6

= 1,

x2 – y

.

zy = y,

yy = x.

loga x · loga (xyz) = 48, loga y · loga (xyz) = 12, loga z · loga (xyz) = 84, a > 0,

a − 1.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

Глава 4 Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

если a > 0, то b b b b x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a-  , x Ý – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a     

(f(x) > 0)

(1)

— это значит найти все значения арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо. Множество всех значений арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо, называют множеством решений неравенства или просто решением неравенства. Множество решений нестрооо неравенства f(x) m 0

(f(x) l 0)

(2)

представляет собой объединение множества решений неравенства (1) и множества решений уравнения f(x) = 0. Два неравенства называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. Под множеством доп
стимых значений неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения фунции f(x). Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных фунций fi(x), моут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств — это значит найти множество всех значений арументов фунций fi(x), при оторых справедливы все неравенства системы одновременно. Говорят, что системы неравенств эвивалентны, если множества их решений совпадают.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства Алебраичес ие неравенства. Линейными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax + b > 0,

ax + b < 0,

ax + b l 0,

;

если a < 0, то

Пусть f(x) — числовая фунция одноо или несольих переменных (арументов). Решить неравенство f(x) < 0

83

ax + b m 0, a − 0,

решениями оторых являются соответственно следующие промежути:

b b b b x Ý  –×; – --a-  , x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a- , x Ý – --a- ; +×  .      

Квадратными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c l 0,

ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c m 0,

де a, b, c — неоторые действительные числа и a − 0. Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значений своих оэффициентов a, b, c имеет следующие решения: если a > 0 и D = b2 – 4ac l 0, то  –b+ D   –b– D  - ; +×  ; x Ý  –×; ---------------------- Ÿ  ----------------------2a 2a     если a > 0 и D < 0, то x Ý R (т. е. x — любое действительное число); если a < 0 и D > 0, то  –b– D –b+ D x Ý  ----------------------; ----------------------2a 2a 

 ; 

если a < 0 и D < 0, то x Ý ¾ (т. е. решений нет). Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится  решению рассмотренноо неравенства, если обе части исходноо неравенства умножить на (–1). Метод интервалов. Пусть Pn(x) — мноочлен n-й степени с действительными оэффициентами, а c1, c2, ..., ci — все действительные орни мноочлена, ратности оторых соответственно равны k1, k2, ..., ki, причем c1 > c2 > ... > ci. Мноочлен Pn(x) можно представить в виде Pn(x) = ( x – c1 ) k1 ( x – c2 ) k 2 ... ( x – ci ) k l Qm(x),

(3)

де мноочлен Qm(x) не имеет действительных орней и либо положителен, либо отрицателен при всех x Ý R. Положим для

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

Глава 4 Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

если a > 0, то b b b b x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a-  , x Ý – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a     

(f(x) > 0)

(1)

— это значит найти все значения арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо. Множество всех значений арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо, называют множеством решений неравенства или просто решением неравенства. Множество решений нестрооо неравенства f(x) m 0

(f(x) l 0)

(2)

представляет собой объединение множества решений неравенства (1) и множества решений уравнения f(x) = 0. Два неравенства называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. Под множеством доп
стимых значений неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения фунции f(x). Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных фунций fi(x), моут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств — это значит найти множество всех значений арументов фунций fi(x), при оторых справедливы все неравенства системы одновременно. Говорят, что системы неравенств эвивалентны, если множества их решений совпадают.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства Алебраичес ие неравенства. Линейными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax + b > 0,

ax + b < 0,

ax + b l 0,

;

если a < 0, то

Пусть f(x) — числовая фунция одноо или несольих переменных (арументов). Решить неравенство f(x) < 0

83

ax + b m 0, a − 0,

решениями оторых являются соответственно следующие промежути:

b b b b x Ý  –×; – --a-  , x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a- , x Ý – --a- ; +×  .      

Квадратными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c l 0,

ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c m 0,

де a, b, c — неоторые действительные числа и a − 0. Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значений своих оэффициентов a, b, c имеет следующие решения: если a > 0 и D = b2 – 4ac l 0, то  –b+ D   –b– D  - ; +×  ; x Ý  –×; ---------------------- Ÿ  ----------------------2a 2a     если a > 0 и D < 0, то x Ý R (т. е. x — любое действительное число); если a < 0 и D > 0, то  –b– D –b+ D x Ý  ----------------------; ----------------------2a 2a 

 ; 

если a < 0 и D < 0, то x Ý ¾ (т. е. решений нет). Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится  решению рассмотренноо неравенства, если обе части исходноо неравенства умножить на (–1). Метод интервалов. Пусть Pn(x) — мноочлен n-й степени с действительными оэффициентами, а c1, c2, ..., ci — все действительные орни мноочлена, ратности оторых соответственно равны k1, k2, ..., ki, причем c1 > c2 > ... > ci. Мноочлен Pn(x) можно представить в виде Pn(x) = ( x – c1 ) k1 ( x – c2 ) k 2 ... ( x – ci ) k l Qm(x),

(3)

де мноочлен Qm(x) не имеет действительных орней и либо положителен, либо отрицателен при всех x Ý R. Положим для

84 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

определенности, что Qm(x) > 0. Тода при x > ci все сомножители в разложении (3) положительны и Pn(x) > 0. Если c1 — орень нечетной ратности (k1 — нечетное), то при x Ý (c2; c1) все сомножители в разложении (3), за ислючением первоо, положительны и, значит, Pn(x) < 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) меняет зна при переходе через орень c1. Если же c1 — орень четной ратности (k1 — четное), то все сомножители (в том числе и первый) при x Ý (c2; c1) положительны и, следовательно, Pn(x) > 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) не меняет знаа при переходе через орень c1. Аналоично, используя разложение (3), нетрудно убедиться, что при переходе через орень c2 мноочлен Pn(x) меняет зна, если k2 — нечетное, и не меняет знаа, если k2 — четное. Рассмотренное свойство мноочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для тоо чтобы найти все решения неравенства

Будем двиаться по оси Ox справа налево. При переходе через точу x = 1 мноочлен P4(x) меняет зна и принимает отрицательные значения, та а x = 1 — простой орень (орень ратности 1); при переходе через точу x = 0 мноочлен таже меняет зна и принимает положительные значения, посольу x = 0 — таже простой орень; при переходе через точу x = –2 мноочлен не меняет знаа, та а x = –2 — орень ратности 2. Промежути знаопостоянства мноочлена P4(x) схематичеси + + + изображены на рис. 1. Используя этот –2 0 – 1 x рисуно, лео записать множество реРис. 1 шений исходноо неравенства. Ответ. x Ý (–×; –2) Ÿ (–2; 0) Ÿ (1; +×).

Pn(x) > 0,

(4)

достаточно знать все действительные орни мноочлена Pn(x), их ратности и зна мноочлена Pn(x) в произвольно выбранной точе, не совпадающей с орнем мноочлена.

Рациональные неравенства. Решение рациональноо неравенства, т. е. неравенства вида Pn ( x ) ----------------Q m ( x ) > 0,

+

3x3

– 4x > 0.

(5)

де Pn(x) и Qm(x) — мноочлены, сводится  решению эвивалентноо неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на мноочлен (Qm(x))2, оторый положителен при всех допустимых значениях неизвестноо x (т. е. при тех x, для оторых Qm(x) − 0), получим неравенство Pn(x) · Qm(x) > 0,

П р и м е р 1. Решить неравенство x4

85

(*)

Р е ш е н и е. Разложим на множители мноочлен P4(x), находящийся в левой части неравенства (*). Вынося множитель x за соби, получаем

эвивалентное неравенству (5). Дробно-линейными неравенствами называют неравенства вида ax + b ----------------- > k, (6) cx + d

P4(x) = x(x3 + 3x2 – 4).

де a, b, c, d, k — неоторые действительные числа, причем c − 0

Второй сомножитель, представляющий собой убичесий мноочлен, имеет орень x = 1. Следовательно, уазанный мноочлен можно представить та:

и --c- − --d- (если c = 0, то дробно-линейное неравенство превраща-

x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2. Поэтому P4(x) = x(x – 1) (x + 2)2 и неравенство (*) можно представить в виде x(x – 1) (x + 2)2 > 0. (**) Решим неравенство (**) методом интервалов. При x > 1 все сомножители, записанные в левой части неравенства, положительны.

a

b

a

b

ется в линейное, а если --c- = --d- , то неравенство (6) не содержит арумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), де вместо знаа > записаны знаи <, l, m. Решение дробно-линейноо неравенства сводится  решению вадратноо неравенства. Для этоо необходимо умножить обе части неравенства (6) на выражение (cx + d)2, положительное d

при всех x Ý R и x − – --c- .

84 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

определенности, что Qm(x) > 0. Тода при x > ci все сомножители в разложении (3) положительны и Pn(x) > 0. Если c1 — орень нечетной ратности (k1 — нечетное), то при x Ý (c2; c1) все сомножители в разложении (3), за ислючением первоо, положительны и, значит, Pn(x) < 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) меняет зна при переходе через орень c1. Если же c1 — орень четной ратности (k1 — четное), то все сомножители (в том числе и первый) при x Ý (c2; c1) положительны и, следовательно, Pn(x) > 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) не меняет знаа при переходе через орень c1. Аналоично, используя разложение (3), нетрудно убедиться, что при переходе через орень c2 мноочлен Pn(x) меняет зна, если k2 — нечетное, и не меняет знаа, если k2 — четное. Рассмотренное свойство мноочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для тоо чтобы найти все решения неравенства

Будем двиаться по оси Ox справа налево. При переходе через точу x = 1 мноочлен P4(x) меняет зна и принимает отрицательные значения, та а x = 1 — простой орень (орень ратности 1); при переходе через точу x = 0 мноочлен таже меняет зна и принимает положительные значения, посольу x = 0 — таже простой орень; при переходе через точу x = –2 мноочлен не меняет знаа, та а x = –2 — орень ратности 2. Промежути знаопостоянства мноочлена P4(x) схематичеси + + + изображены на рис. 1. Используя этот –2 0 – 1 x рисуно, лео записать множество реРис. 1 шений исходноо неравенства. Ответ. x Ý (–×; –2) Ÿ (–2; 0) Ÿ (1; +×).

Pn(x) > 0,

(4)

достаточно знать все действительные орни мноочлена Pn(x), их ратности и зна мноочлена Pn(x) в произвольно выбранной точе, не совпадающей с орнем мноочлена.

Рациональные неравенства. Решение рациональноо неравенства, т. е. неравенства вида Pn ( x ) ----------------Q m ( x ) > 0,

+

3x3

– 4x > 0.

(5)

де Pn(x) и Qm(x) — мноочлены, сводится  решению эвивалентноо неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на мноочлен (Qm(x))2, оторый положителен при всех допустимых значениях неизвестноо x (т. е. при тех x, для оторых Qm(x) − 0), получим неравенство Pn(x) · Qm(x) > 0,

П р и м е р 1. Решить неравенство x4

85

(*)

Р е ш е н и е. Разложим на множители мноочлен P4(x), находящийся в левой части неравенства (*). Вынося множитель x за соби, получаем

эвивалентное неравенству (5). Дробно-линейными неравенствами называют неравенства вида ax + b ----------------- > k, (6) cx + d

P4(x) = x(x3 + 3x2 – 4).

де a, b, c, d, k — неоторые действительные числа, причем c − 0

Второй сомножитель, представляющий собой убичесий мноочлен, имеет орень x = 1. Следовательно, уазанный мноочлен можно представить та:

и --c- − --d- (если c = 0, то дробно-линейное неравенство превраща-

x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2. Поэтому P4(x) = x(x – 1) (x + 2)2 и неравенство (*) можно представить в виде x(x – 1) (x + 2)2 > 0. (**) Решим неравенство (**) методом интервалов. При x > 1 все сомножители, записанные в левой части неравенства, положительны.

a

b

a

b

ется в линейное, а если --c- = --d- , то неравенство (6) не содержит арумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), де вместо знаа > записаны знаи <, l, m. Решение дробно-линейноо неравенства сводится  решению вадратноо неравенства. Для этоо необходимо умножить обе части неравенства (6) на выражение (cx + d)2, положительное d

при всех x Ý R и x − – --c- .

86 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами П р и м е р 2. Решить неравенство

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

87

то неравенство, эвивалентное исходному и имеющее тот же зна, получится лишь в том случае, ода обе части исходноо неравенства неотрицательны.

x+2 --------------------------- < –1. x2 – x – 2

Р е ш е н и е. Прибавив  обеим частям неравенства по 1, получаем неравенство вида (5): x2

П р и м е р 3. Решить неравенство x+3 <

x–1 +

x–2.

(*)

x2(x2 – x – 2) < 0.

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неравенства (*) представляет собой промежуто [2; +×). На этом промежуте обе части неравенства (*) неотрицательны; поэтому, возведя их в вадрат и приведя подобные члены, получим эвивалентное неравенство

Множество решений последнео неравенства находим методом интервалов: x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2).

6 – x < 2 x 2 – 3x + 2 .

-------------------------- < 0, x2 – x – 2

оторое эвивалентно неравенству

Ответ. x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2). Решите неравенство: 5

1

3

1

------------- + -------------- < 1. 1. 2 2+x –x

------------2. ------------x+2 < x–3.

3. (x + 1) (3 – x)(x – 2)2 l 0.

4. ------------------------------l 1. 2

x3 – x2 + x – 1

- m 0. 5. --------------------------------------x+8 x3

–

2x 2

– 5x + 6

- > 0. 7. ----------------------------------------------x–2 x–4 4x – 4x – 3

9. ---------------------------------< 0. 2

x 2 – 3x + 2 x + 3x + 2 2x – 5

1

6. -----------------------------< -----------x–3. x 2 – 6x – 7 2–

x2

8. --------------1 – x m x. x 2 – 2x + 3 x – 4x + 3

- > –3. 10. -----------------------------2

Иррациональные неравенства. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в отором неизвестные величины (или неоторые фунции неизвестных величин) находятся под знаом радиала. Для тоо чтобы найти множество решений иррациональноо неравенства, приходится, а правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом (в силу принципиальной невозможности провери полученных решений подстановой) необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств аждый раз получалось неравенство, эвивалентное исходному. При решении иррациональных неравенств следует учитывать, что возведение обеих частей неравенства в нечетную степень вседа приводит  неравенству, эвивалентному исходному. Если же обе части неравенства возвести в четную степень,

(**)

Рассмотрим теперь два возможных случая. 1. Если 6 – x < 0 (т. е. x > 6), то левая часть неравенства (**) отрицательна, а правая — неотрицательна и, следовательно, неравенство (**) справедливо при всех x Ý (6; +×). 2. Если 6 – x l 0, то при всех x Ý [2; 6] обе части неравенства (**) неотрицательны. Возведя их в вадрат, получаем неравенство 3x2 – 28 > 0, (***) решениями отороо с учетом сделанноо предположения о том,  28 что x Ý [2; 6], являются значения из промежута  -----3 ;6 .  Объединив множества решений, соответствующие двум рассмотренным случаям, оончательно получаем решение исход  28 ноо неравенства — промежуто  ------ ; +×  . 3     28 Ответ.  ------ ; +×  . 3   Решите неравенство: 11.

1 – 3x –

13.

x2

5 + x > 1.

15.

2– 3+x <

12.

4– 1–x –

+ 4x – 5 – 2x + 3 > 0. 14. x + 4 < x+4.

2 – x > 0.

x + 46 .

24 – 2x – x 2

- < 1. 16. ------------------------------------x

86 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами П р и м е р 2. Решить неравенство

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

87

то неравенство, эвивалентное исходному и имеющее тот же зна, получится лишь в том случае, ода обе части исходноо неравенства неотрицательны.

x+2 --------------------------- < –1. x2 – x – 2

Р е ш е н и е. Прибавив  обеим частям неравенства по 1, получаем неравенство вида (5): x2

П р и м е р 3. Решить неравенство x+3 <

x–1 +

x–2.

(*)

x2(x2 – x – 2) < 0.

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неравенства (*) представляет собой промежуто [2; +×). На этом промежуте обе части неравенства (*) неотрицательны; поэтому, возведя их в вадрат и приведя подобные члены, получим эвивалентное неравенство

Множество решений последнео неравенства находим методом интервалов: x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2).

6 – x < 2 x 2 – 3x + 2 .

-------------------------- < 0, x2 – x – 2

оторое эвивалентно неравенству

Ответ. x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2). Решите неравенство: 5

1

3

1

------------- + -------------- < 1. 1. 2 2+x –x

------------2. ------------x+2 < x–3.

3. (x + 1) (3 – x)(x – 2)2 l 0.

4. ------------------------------l 1. 2

x3 – x2 + x – 1

- m 0. 5. --------------------------------------x+8 x3

–

2x 2

– 5x + 6

- > 0. 7. ----------------------------------------------x–2 x–4 4x – 4x – 3

9. ---------------------------------< 0. 2

x 2 – 3x + 2 x + 3x + 2 2x – 5

1

6. -----------------------------< -----------x–3. x 2 – 6x – 7 2–

x2

8. --------------1 – x m x. x 2 – 2x + 3 x – 4x + 3

- > –3. 10. -----------------------------2

Иррациональные неравенства. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в отором неизвестные величины (или неоторые фунции неизвестных величин) находятся под знаом радиала. Для тоо чтобы найти множество решений иррациональноо неравенства, приходится, а правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом (в силу принципиальной невозможности провери полученных решений подстановой) необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств аждый раз получалось неравенство, эвивалентное исходному. При решении иррациональных неравенств следует учитывать, что возведение обеих частей неравенства в нечетную степень вседа приводит  неравенству, эвивалентному исходному. Если же обе части неравенства возвести в четную степень,

(**)

Рассмотрим теперь два возможных случая. 1. Если 6 – x < 0 (т. е. x > 6), то левая часть неравенства (**) отрицательна, а правая — неотрицательна и, следовательно, неравенство (**) справедливо при всех x Ý (6; +×). 2. Если 6 – x l 0, то при всех x Ý [2; 6] обе части неравенства (**) неотрицательны. Возведя их в вадрат, получаем неравенство 3x2 – 28 > 0, (***) решениями отороо с учетом сделанноо предположения о том,  28 что x Ý [2; 6], являются значения из промежута  -----3 ;6 .  Объединив множества решений, соответствующие двум рассмотренным случаям, оончательно получаем решение исход  28 ноо неравенства — промежуто  ------ ; +×  . 3     28 Ответ.  ------ ; +×  . 3   Решите неравенство: 11.

1 – 3x –

13.

x2

5 + x > 1.

15.

2– 3+x <

12.

4– 1–x –

+ 4x – 5 – 2x + 3 > 0. 14. x + 4 < x+4.

2 – x > 0.

x + 46 .

24 – 2x – x 2

- < 1. 16. ------------------------------------x

88 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x+5

18. ---------------------------- m 3.

19.

8 – x2 –

21.

x 2 – x – 2 l 2x + 3. x 2 – 16 x–3

23. ------------------------ + 24.

25 – x 2 > x.

1

1

20. ------------------ > -----------2–x. 1+x

22.

В отличие от уравнений неравенства не допусают непосредственной провери. Однао во мноих случаях можно убедиться в правильности полученных результатов рафичесим способом. Действительно, запишем неравенство из примера 4 в виде |x2 – 2| < –x.

x 2 + 3x + 4 > –2.

5 x–3

x – 3 > ------------------ .

3x 2 + 5x + 7 –

89

Объединяя найденные множества решений, оончательно получаем x Ý (–2; –1). Ответ. x Ý (–2; –1).

4– x+1 1– x+3

17. ----------------1 – x < 1.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

3x 2 + 5x + 2 > 1.

Неравенства, содержащие неизвестное под зна ом модля. При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаом модуля, используют тот же способ, что и при решении аналоичных уравнений, а именно решение исходноо неравенства сводят  решению несольих неравенств, рассматриваемых на промежутах знаопостоянства выражений, находящихся под знаом модуля.

Построим рафии фунций y1 = |x2 – 2| и y2 = –x, входящих в левую и правую части рассматриваемоо неравенства, и найдем те значения арумента, при оторых y1 < y2. На рис. 4 заштрихованная часть оси абсцисс содержит исомые значения x.

y

y1 = |x2 – 2| 2

П р и м е р 4. Решить неравенство |x2 – 2| + x < 0.

(*)

Р е ш е н и е. Рассмотрим промежути знаопостоянства выражения x2 – 2, записанноо под знаом модуля. 1. Пусть x2 – 2 l 0. Тода неравенство (*) примет вид x2 + x – 2 < 0.

–2 – 2

0

1 2

x

Рис. 2

неравенства: x Ý (–2; – 2 ] (рис. 2). 2. Пусть x2 – 2 < 0. Тода соласно определению модуля имеем |x2 – 2| = 2 – x2, и неравенство (*) примет вид

– 2 –1

0 Рис. 3

2 2 x

(***)

Пересечение множества решений неравенства (***) и неравенства x2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходноо неравенства: x Ý (– 2 ; –1) (рис. 3).

x 2 y2 = –x

(**)

Пересечение множества решений неравенства (**) и неравенства x2 – 2 l 0 представляет собой первое множество решений исходноо

2 – x2 + x < 0.

–2 – 2 –1 O

Рис. 4 Решение неравенств, содержащих зна модуля, инода можно значительно соратить, используя равенство |x2| = x2. П р и м е р 5. Решить неравенство x–1 -------------x+2

> 1.

(*)

Р е ш е н и е. Исходное неравенство при всех x − –2 эвивалентно неравенству |x – 1| > |x + 2|. (**) Возведя обе части неравенства (**) в вадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство 6x < –3, т. е. x < – 0,5.

88 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x+5

18. ---------------------------- m 3.

19.

8 – x2 –

21.

x 2 – x – 2 l 2x + 3. x 2 – 16 x–3

23. ------------------------ + 24.

25 – x 2 > x.

1

1

20. ------------------ > -----------2–x. 1+x

22.

В отличие от уравнений неравенства не допусают непосредственной провери. Однао во мноих случаях можно убедиться в правильности полученных результатов рафичесим способом. Действительно, запишем неравенство из примера 4 в виде |x2 – 2| < –x.

x 2 + 3x + 4 > –2.

5 x–3

x – 3 > ------------------ .

3x 2 + 5x + 7 –

89

Объединяя найденные множества решений, оончательно получаем x Ý (–2; –1). Ответ. x Ý (–2; –1).

4– x+1 1– x+3

17. ----------------1 – x < 1.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

3x 2 + 5x + 2 > 1.

Неравенства, содержащие неизвестное под зна ом модля. При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаом модуля, используют тот же способ, что и при решении аналоичных уравнений, а именно решение исходноо неравенства сводят  решению несольих неравенств, рассматриваемых на промежутах знаопостоянства выражений, находящихся под знаом модуля.

Построим рафии фунций y1 = |x2 – 2| и y2 = –x, входящих в левую и правую части рассматриваемоо неравенства, и найдем те значения арумента, при оторых y1 < y2. На рис. 4 заштрихованная часть оси абсцисс содержит исомые значения x.

y

y1 = |x2 – 2| 2

П р и м е р 4. Решить неравенство |x2 – 2| + x < 0.

(*)

Р е ш е н и е. Рассмотрим промежути знаопостоянства выражения x2 – 2, записанноо под знаом модуля. 1. Пусть x2 – 2 l 0. Тода неравенство (*) примет вид x2 + x – 2 < 0.

–2 – 2

0

1 2

x

Рис. 2

неравенства: x Ý (–2; – 2 ] (рис. 2). 2. Пусть x2 – 2 < 0. Тода соласно определению модуля имеем |x2 – 2| = 2 – x2, и неравенство (*) примет вид

– 2 –1

0 Рис. 3

2 2 x

(***)

Пересечение множества решений неравенства (***) и неравенства x2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходноо неравенства: x Ý (– 2 ; –1) (рис. 3).

x 2 y2 = –x

(**)

Пересечение множества решений неравенства (**) и неравенства x2 – 2 l 0 представляет собой первое множество решений исходноо

2 – x2 + x < 0.

–2 – 2 –1 O

Рис. 4 Решение неравенств, содержащих зна модуля, инода можно значительно соратить, используя равенство |x2| = x2. П р и м е р 5. Решить неравенство x–1 -------------x+2

> 1.

(*)

Р е ш е н и е. Исходное неравенство при всех x − –2 эвивалентно неравенству |x – 1| > |x + 2|. (**) Возведя обе части неравенства (**) в вадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство 6x < –3, т. е. x < – 0,5.

90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 18. Показательные неравенства

Учитывая множество допустимых значений исходноо неравенства, определяемое условием x − –2, оончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ Ÿ (–2; –0,5).

В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (1) имеет следующий вид:

Ответ. (–×; –2) Ÿ (–2; –0,5). На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приведенноо неравенства.

91

если a > 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если b < 0, то x Ý R. В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если b < 0, то x = ¾.

y x–1

y= x+2

Множество решений аждоо из нестроих неравенств ax l b m b находят а объединение множеств решений соответи ствующео строоо неравенства и уравнения ax = b. Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай, ода поазателем степени является неоторая фунция от x. Та, множеством решений неравенства

1

ax

–2

–0,5 O

x

1

Рис. 5

2f(x) > 3 Решите неравенство: 25. |x – 3| > –1. 27. x2 + 2|x + 3| – 10 m 0. 29. x2 + x – 10 < 2|x – 2|. 31. 33.

|x2

2x – 1 ----------------x–1

является множество решений неравенства

26. |4 – 3x| m 0,5. 28. |x2 – 1| – 2x < 0. 30. x2 – |3x + 2| + x l 0.

f(x) > log2 3, эвивалентноо неравенству (3). Методы сведения более сложных поазательных неравенств  неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используемым при решении поазательных уравнений. Например, решение поазательноо неравенства вида

9 32. -------------------------x – 5 – 3 l |x – 2|.

– 3| + 2x + 1 l 0. > 2.

34. |x – 2| m |x + 4|.

35. |x2 + x + 1| < 2x2 – 4x + 7.

|x + 2| – x

P(ax) > 0,

36. --------------------------- > 0. 4–

(3)

x3

де P(ax) — мноочлен уазанноо арумента, заменой ax = y сводят  последовательному решению неравенства P(y) > 0 и решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2) или систем простейших поазательных неравенств.

§ 18. Показательные неравенства

П р и м е р. Решить неравенство Простейшими поазательными неравенствами называют неравенства вида (1) ax > b, ax < b, де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).

(2)

4

x

–2· 5

2x

– 10

x

> 0.

(*)

Р е ш е н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последовательными членами еометричесой прорессии, то неравенство (*) можно свести  вадратному относительно неизвестноо

90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 18. Показательные неравенства

Учитывая множество допустимых значений исходноо неравенства, определяемое условием x − –2, оончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ Ÿ (–2; –0,5).

В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (1) имеет следующий вид:

Ответ. (–×; –2) Ÿ (–2; –0,5). На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приведенноо неравенства.

91

если a > 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если b < 0, то x Ý R. В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если b < 0, то x = ¾.

y x–1

y= x+2

Множество решений аждоо из нестроих неравенств ax l b m b находят а объединение множеств решений соответи ствующео строоо неравенства и уравнения ax = b. Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай, ода поазателем степени является неоторая фунция от x. Та, множеством решений неравенства

1

ax

–2

–0,5 O

x

1

Рис. 5

2f(x) > 3 Решите неравенство: 25. |x – 3| > –1. 27. x2 + 2|x + 3| – 10 m 0. 29. x2 + x – 10 < 2|x – 2|. 31. 33.

|x2

2x – 1 ----------------x–1

является множество решений неравенства

26. |4 – 3x| m 0,5. 28. |x2 – 1| – 2x < 0. 30. x2 – |3x + 2| + x l 0.

f(x) > log2 3, эвивалентноо неравенству (3). Методы сведения более сложных поазательных неравенств  неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используемым при решении поазательных уравнений. Например, решение поазательноо неравенства вида

9 32. -------------------------x – 5 – 3 l |x – 2|.

– 3| + 2x + 1 l 0. > 2.

34. |x – 2| m |x + 4|.

35. |x2 + x + 1| < 2x2 – 4x + 7.

|x + 2| – x

P(ax) > 0,

36. --------------------------- > 0. 4–

(3)

x3

де P(ax) — мноочлен уазанноо арумента, заменой ax = y сводят  последовательному решению неравенства P(y) > 0 и решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2) или систем простейших поазательных неравенств.

§ 18. Показательные неравенства

П р и м е р. Решить неравенство Простейшими поазательными неравенствами называют неравенства вида (1) ax > b, ax < b, де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).

(2)

4

x

–2· 5

2x

– 10

x

> 0.

(*)

Р е ш е н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последовательными членами еометричесой прорессии, то неравенство (*) можно свести  вадратному относительно неизвестноо

92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x

2 y =  --5-  . Для этоо разделим обе части исходноо неравенст 

ва на 25

x

= 5

2x

: 4 x 2 ⋅ 5 x  ----- --------- 25  – 2 –  25  > 0.

x

2 Полаая  --5-  = y, получим неравенство  

y2 – y – 2 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное неравенство эвивалентно двум простейшим поазательным неравенствам x 2 x  2 ---  < –1,  ---  > 2.  5   5  Решением первоо неравенства является пустое множество, а решением второо — промежуто (–×; log2/5 2). Ответ. (–×; log2/5 2). x

3. 25

+ 2 –x

5. 2 · 3

+ 5

2x 2

7. 98 – 7

9.

x2 – 3

x

<

2x + 1

+ 6

x2

x 2 + 3x + 4

x 2 + 5x – 49

.

x

x

x2 – 3 – 1

–4· 5 + 25

–1

x+1

–3· 2

.

x

2(13 + 12) –

23 – x

– 2 2 log4 6

4. 4

–7· 2

m 7 · 10 .

+3< 3

x

– x + 0,5

.

l 49

x

2x – 10 – 3 x – 2

13. 25 14. 5

x 2 + 5x – 48

x

1 12.  --4-   

x2 + 2

1 >  --3- 

+ 2 · 25

2. 4

l 50.

+4m 3

13 – 5 m

10. 9 11. 5

x

– 6 m 0.

–x+1

x+4

1 6.  --3- 

8. 5 · 4

x+1

15.

8+2

16.

4

x+1

17. 3

x+1

18. 4

x

19. 20.

3–x+1

–4

3–x

93

+ 2

3–x+1

> 5.

x

+ 17 – 5 > 2 . 9

4x 2

< ----------- . 27

m3· 2

3

2x + 1

3

2x + 2

|3tg πx

–

x+x

– 3

+ 41 +

x+2

–2· 3

.

+ 6 > 0,

x+2

31 – tg πx|

x

– 27 < 0.

l 2.

§ 19. Логарифмические неравенства Простейшими лоарифмичесими неравенствами называют неравенства вида loga x > b, (1) loga x < b,

Решите неравенство: 1. 4

§ 19. Логарифмические неравенства

· 28.

x–5

1/log 3 5

< 10 · 5

> 30 + 5

13 + 5 .

< 5

.

– 4 < 0.

+ 1 l 0.

де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1). В зависимости от значений a множество решений неравенства (1) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (ab; +×); если 0 < a < 1, то x Ý (0; ab). В зависимости от значений a множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (0; ab); если 0 < a < 1, то x Ý (ab; +×). Множество решений аждоо из нестроих неравенств loga x l b и loga x m b находят а объединение множеств решений соответствующео строоо неравенства и уравнения loga x = b. Неравенство вида (3) loga f(x) > b эвивалентно следующим системам неравенств*: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) > ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) < ab;

.

x–1

x

1+3 x–2

x2

–x

(2)

. x

· 30 .

* В случае, если неравенство (3) нестро ое, вторые неравенства этих систем таже нестро ие.

92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x

2 y =  --5-  . Для этоо разделим обе части исходноо неравенст 

ва на 25

x

= 5

2x

: 4 x 2 ⋅ 5 x  ----- --------- 25  – 2 –  25  > 0.

x

2 Полаая  --5-  = y, получим неравенство  

y2 – y – 2 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное неравенство эвивалентно двум простейшим поазательным неравенствам x 2 x  2 ---  < –1,  ---  > 2.  5   5  Решением первоо неравенства является пустое множество, а решением второо — промежуто (–×; log2/5 2). Ответ. (–×; log2/5 2). x

3. 25

+ 2 –x

5. 2 · 3

+ 5

2x 2

7. 98 – 7

9.

x2 – 3

x

<

2x + 1

+ 6

x2

x 2 + 3x + 4

x 2 + 5x – 49

.

x

x

x2 – 3 – 1

–4· 5 + 25

–1

x+1

–3· 2

.

x

2(13 + 12) –

23 – x

– 2 2 log4 6

4. 4

–7· 2

m 7 · 10 .

+3< 3

x

– x + 0,5

.

l 49

x

2x – 10 – 3 x – 2

13. 25 14. 5

x 2 + 5x – 48

x

1 12.  --4-   

x2 + 2

1 >  --3- 

+ 2 · 25

2. 4

l 50.

+4m 3

13 – 5 m

10. 9 11. 5

x

– 6 m 0.

–x+1

x+4

1 6.  --3- 

8. 5 · 4

x+1

15.

8+2

16.

4

x+1

17. 3

x+1

18. 4

x

19. 20.

3–x+1

–4

3–x

93

+ 2

3–x+1

> 5.

x

+ 17 – 5 > 2 . 9

4x 2

< ----------- . 27

m3· 2

3

2x + 1

3

2x + 2

|3tg πx

–

x+x

– 3

+ 41 +

x+2

–2· 3

.

+ 6 > 0,

x+2

31 – tg πx|

x

– 27 < 0.

l 2.

§ 19. Логарифмические неравенства Простейшими лоарифмичесими неравенствами называют неравенства вида loga x > b, (1) loga x < b,

Решите неравенство: 1. 4

§ 19. Логарифмические неравенства

· 28.

x–5

1/log 3 5

< 10 · 5

> 30 + 5

13 + 5 .

< 5

.

– 4 < 0.

+ 1 l 0.

де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1). В зависимости от значений a множество решений неравенства (1) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (ab; +×); если 0 < a < 1, то x Ý (0; ab). В зависимости от значений a множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (0; ab); если 0 < a < 1, то x Ý (ab; +×). Множество решений аждоо из нестроих неравенств loga x l b и loga x m b находят а объединение множеств решений соответствующео строоо неравенства и уравнения loga x = b. Неравенство вида (3) loga f(x) > b эвивалентно следующим системам неравенств*: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) > ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) < ab;

.

x–1

x

1+3 x–2

x2

–x

(2)

. x

· 30 .

* В случае, если неравенство (3) нестро ое, вторые неравенства этих систем таже нестро ие.

94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами а неравенство вида

95

Решите неравенство: loga f(x) < b

(4)

— следующим системам неравенств: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) < ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) > ab.

P(loga x) > 0,

(5)

а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P — мноочлен уазанноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое неизвестное y = loga x и решают неравенство (5) а алебраичесое относительно неизвестноо y. После этоо решение исходноо неравенства сводят  решению соответствующих простейших неравенств (1) и (2) или систем этих неравенств. П р и м е р 1. Решить неравенство (*)

Р е ш е н и е. Учитывая, что множеством допустимых значений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобразуем это неравенство  виду

------4. log1/4 ---------------x + 1 < cos 3 .

2π

2x – 1

5. log 2 x + log2 x – 2 m 0. 6. 2 log4 (2x2 + 3) < log2 (x2 + 6). 7. log2

2

x – 2 log 1/4 x + 1 l 0.

8. log1/4 (2x + 3) > log9 27. 9. lg (x – 4) + lg x < lg 21. 1

10. log7 x – logx --7- l 2. 11. log2 [(x – 3)(x + 2)] + log1/2 (x – 3) < – log 1/ 12. log100 x2 + lg2 x < 2. 9

+ 1 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; 1 + log1/2 3) Ÿ (1 – log1/2 3; +×). Таим образом, решения исходноо неравенства определяются условиями 3

log1/2 x < 1 + log1/2 3 _ x > --2- , 1 log1/2 x > 1 – log1/2 3 _ 0 < x < --6- .

1 --- + log 7 – x 9.

2

13. log3 (7 – x) m -----16 log 2

2 4

3

14. log3 x – log 3 x m --2- log 1/ ( 2 2 ) 4. 15. log1/2 (4 – x) l log1/2 2 – log1/2 (x – 1). 3π

sin ------1 4 - > -16. log2 (3 – x) – log2 --------------2 + log2 (x + 7). 5–x

17. 2 log1/4 (x + 5) > --4- log 1/ ( 3

Полаая y = log1/2 x, получаем относительно y неравенство

1 3 Ответ.  0; --6-  Ÿ  --2- ; +×  .    

3 3. log5/8  2x2 – x – --8-  l 1.  

9

(log1/2 x)2 – 2 log1/2 x > (log1/2 3)2 –1.

– 2y – (log1/2

2. log2 ------------x + 2 < 0.

2

(log1/2 x)2 – log1/2 x2 > (log1/2 3)2 – 1.

3)2

x–3

1. log1/2 (2x + 3) > 0.

2

Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят  неравенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, оторые используются при решении лоарифмичесих уравнений. Та, множество решений неравенства вида

y2

§ 19. Логарифмические неравенства

3)

x

3 –1

x

9 + log

x+5

3

18. log4 (3 – 1) log1/4 ---------------- m --4- . 16 19. log1/2 x m log1/4 x. 20. log3 (3

4x

21. lg |2x +

–3

3|3

2x + 1

+ 3) < 2 log9 7.

+ 2 log ( 2x + 3 )3 10 < 3. log x 4

2 -. 22. logx/2 8 + logx/4 8 < ---------------------------2

log 2 x – 4

23. 8 log2 x – 2x2 > x – 2. 4π

1

24. 2 log4 x – --2- log2 (x2 – 3x + 2) m cos -----3 . 3

25. log4/3 cos x l log4/9 --2- при x Ý (–1; 1).

2.

2

3.

94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами а неравенство вида

95

Решите неравенство: loga f(x) < b

(4)

— следующим системам неравенств: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) < ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) > ab.

P(loga x) > 0,

(5)

а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P — мноочлен уазанноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое неизвестное y = loga x и решают неравенство (5) а алебраичесое относительно неизвестноо y. После этоо решение исходноо неравенства сводят  решению соответствующих простейших неравенств (1) и (2) или систем этих неравенств. П р и м е р 1. Решить неравенство (*)

Р е ш е н и е. Учитывая, что множеством допустимых значений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобразуем это неравенство  виду

------4. log1/4 ---------------x + 1 < cos 3 .

2π

2x – 1

5. log 2 x + log2 x – 2 m 0. 6. 2 log4 (2x2 + 3) < log2 (x2 + 6). 7. log2

2

x – 2 log 1/4 x + 1 l 0.

8. log1/4 (2x + 3) > log9 27. 9. lg (x – 4) + lg x < lg 21. 1

10. log7 x – logx --7- l 2. 11. log2 [(x – 3)(x + 2)] + log1/2 (x – 3) < – log 1/ 12. log100 x2 + lg2 x < 2. 9

+ 1 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; 1 + log1/2 3) Ÿ (1 – log1/2 3; +×). Таим образом, решения исходноо неравенства определяются условиями 3

log1/2 x < 1 + log1/2 3 _ x > --2- , 1 log1/2 x > 1 – log1/2 3 _ 0 < x < --6- .

1 --- + log 7 – x 9.

2

13. log3 (7 – x) m -----16 log 2

2 4

3

14. log3 x – log 3 x m --2- log 1/ ( 2 2 ) 4. 15. log1/2 (4 – x) l log1/2 2 – log1/2 (x – 1). 3π

sin ------1 4 - > -16. log2 (3 – x) – log2 --------------2 + log2 (x + 7). 5–x

17. 2 log1/4 (x + 5) > --4- log 1/ ( 3

Полаая y = log1/2 x, получаем относительно y неравенство

1 3 Ответ.  0; --6-  Ÿ  --2- ; +×  .    

3 3. log5/8  2x2 – x – --8-  l 1.  

9

(log1/2 x)2 – 2 log1/2 x > (log1/2 3)2 –1.

– 2y – (log1/2

2. log2 ------------x + 2 < 0.

2

(log1/2 x)2 – log1/2 x2 > (log1/2 3)2 – 1.

3)2

x–3

1. log1/2 (2x + 3) > 0.

2

Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят  неравенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, оторые используются при решении лоарифмичесих уравнений. Та, множество решений неравенства вида

y2

§ 19. Логарифмические неравенства

3)

x

3 –1

x

9 + log

x+5

3

18. log4 (3 – 1) log1/4 ---------------- m --4- . 16 19. log1/2 x m log1/4 x. 20. log3 (3

4x

21. lg |2x +

–3

3|3

2x + 1

+ 3) < 2 log9 7.

+ 2 log ( 2x + 3 )3 10 < 3. log x 4

2 -. 22. logx/2 8 + logx/4 8 < ---------------------------2

log 2 x – 4

23. 8 log2 x – 2x2 > x – 2. 4π

1

24. 2 log4 x – --2- log2 (x2 – 3x + 2) m cos -----3 . 3

25. log4/3 cos x l log4/9 --2- при x Ý (–1; 1).

2.

2

3.

96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 26. log1/2 |x – 3| > –1. log

2

x – 81 + 2

1/2 28. ------------------------------------------------< 1. log x–1 1/2

§ 19. Логарифмические неравенства 40. log

27. log2 ( x + 3 – x – 1) m 0. log

x–1

42. log(x + 6)/3 log2 ------------2 + x > 0.

1/2

1

x

2x 2 – 3x + 3

2x 2 – 3x + 3

- + 1 > log2 ----------------------------------- . log 4 ---------------------------------2 2 2

1 – 1 – 8 log x

2 - < 1. 33. -------------------------------------------2 log x 2

log x

3

1 + 2x

8 2 ------------------------------------ . 34. ----------------------------------log ( 1 + 2x ) m log x 2

2

Лоарифмичесое неравенство вида logg(x) f(x) > c

(6)

(7)

(*)

51. x

2

x – 3 lg x + 1 15 log 2

x2 – x – 2

> 1000. 3

2

· 3

log

x

3

50. (x 2 – x – 1) x

.

< 1.

52.

x1/lg x

2

–1

< 1.

· lg x < 1.

3 54. log cos x 2  --2- – 2x  < log cos x 2 (2x – 1).

x2 – 5x + 6 > 2x, 0 < 2x < 1.

55. (logsin x 2)2 < logsin x (4 sin3 x). 56. tg x – 1 (logtg x (2 + 4 cos2 x) – 2) l 0. 57. log5 sin x > log125 (3 sin x – 2). 58. log sin x +

Решите неравенство: x– 3 ---  2  

(x2 – 10x + 22) > 0.

3

1 Ответ. x Ý  0; --2-  Ÿ (1; 2) Ÿ (3; 6).  

3 cos x

  x2 5x ------ ----2 – 2 + 3  l 0.  

Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:

4

> 0.

37. logx + 4 (5x + 20) m logx + 4 (x + 4)2. 2(x – 2)

( 0,5 x )

53. log|sin x| (x2 – 8x + 23) > ---------------------------log 2 sin x .

Множество решений исходноо неравенства получаем а объединение множеств решений этих двух систем.

38. log1/x ------------------------------------( x + 1 ) ( x – 5 ) l 1.

2

log x (2x 3 ) .

При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное неравенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств или системе алебраичесих и трионометричесих неравенств.

Р е ш е н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвивалентно двум системам неравенств:

36. log 2x – x 2

46. logx (2x) m

49. x3 > 2

f(x) > 0, 0 < g(x) < 1, f(x) < (g(x))c.

log2x (x2 – 5x + 6) < 1.

3  35. logx  x2 – -----16  > 4.

45. log|x| ( 9 – x 2 – x – 1) l 1.

48. x lg

П р и м е р 2. Решить неравенство

0 < x2 – 5x + 6 < 2x, 2x > 1;

44. xlg x < 10 · x–lg x + 3.

При решении упр. 49—52 учтите, что выражения, находящиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и это неравенство решается лоарифмированием обеих ео частей по одному и тому же основанию

эвивалентно двум системам неравенств: f(x) > 0, g(x) > 1, f(x) > (g(x))c;

43. log 9x 2 (6 + 2x – x2) m --2- .

47. log log log

(x2 – 3x + 1) l 0.

x+1– x–1

41. log|x + 6| 2 · log2 (x2 – x – 2) l 1.

x+4

1/2 29. -----------------------------------log ( x + 2 ) m 1.

30. log3 5 – 2x · logx 3 < 1. 31. log2 x log x ------2 m 1. 32.

97

  1 39. log x + x –1  x2 + -----2- – 4  l 1. x  




5 --- log 3 ( 12 – 3x )

59. 3 2

– 3 log2 x > 83.

1

60. x – --2- < 2 log5 (x + 2). 61. log

2π 7

2 cos ------- – x + 8

x+5–1 ---------------------------- l 0. 10 – x

96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 26. log1/2 |x – 3| > –1. log

2

x – 81 + 2

1/2 28. ------------------------------------------------< 1. log x–1 1/2

§ 19. Логарифмические неравенства 40. log

27. log2 ( x + 3 – x – 1) m 0. log

x–1

42. log(x + 6)/3 log2 ------------2 + x > 0.

1/2

1

x

2x 2 – 3x + 3

2x 2 – 3x + 3

- + 1 > log2 ----------------------------------- . log 4 ---------------------------------2 2 2

1 – 1 – 8 log x

2 - < 1. 33. -------------------------------------------2 log x 2

log x

3

1 + 2x

8 2 ------------------------------------ . 34. ----------------------------------log ( 1 + 2x ) m log x 2

2

Лоарифмичесое неравенство вида logg(x) f(x) > c

(6)

(7)

(*)

51. x

2

x – 3 lg x + 1 15 log 2

x2 – x – 2

> 1000. 3

2

· 3

log

x

3

50. (x 2 – x – 1) x

.

< 1.

52.

x1/lg x

2

–1

< 1.

· lg x < 1.

3 54. log cos x 2  --2- – 2x  < log cos x 2 (2x – 1).

x2 – 5x + 6 > 2x, 0 < 2x < 1.

55. (logsin x 2)2 < logsin x (4 sin3 x). 56. tg x – 1 (logtg x (2 + 4 cos2 x) – 2) l 0. 57. log5 sin x > log125 (3 sin x – 2). 58. log sin x +

Решите неравенство: x– 3 ---  2  

(x2 – 10x + 22) > 0.

3

1 Ответ. x Ý  0; --2-  Ÿ (1; 2) Ÿ (3; 6).  

3 cos x

  x2 5x ------ ----2 – 2 + 3  l 0.  

Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:

4

> 0.

37. logx + 4 (5x + 20) m logx + 4 (x + 4)2. 2(x – 2)

( 0,5 x )

53. log|sin x| (x2 – 8x + 23) > ---------------------------log 2 sin x .

Множество решений исходноо неравенства получаем а объединение множеств решений этих двух систем.

38. log1/x ------------------------------------( x + 1 ) ( x – 5 ) l 1.

2

log x (2x 3 ) .

При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное неравенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств или системе алебраичесих и трионометричесих неравенств.

Р е ш е н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвивалентно двум системам неравенств:

36. log 2x – x 2

46. logx (2x) m

49. x3 > 2

f(x) > 0, 0 < g(x) < 1, f(x) < (g(x))c.

log2x (x2 – 5x + 6) < 1.

3  35. logx  x2 – -----16  > 4.

45. log|x| ( 9 – x 2 – x – 1) l 1.

48. x lg

П р и м е р 2. Решить неравенство

0 < x2 – 5x + 6 < 2x, 2x > 1;

44. xlg x < 10 · x–lg x + 3.

При решении упр. 49—52 учтите, что выражения, находящиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и это неравенство решается лоарифмированием обеих ео частей по одному и тому же основанию

эвивалентно двум системам неравенств: f(x) > 0, g(x) > 1, f(x) > (g(x))c;

43. log 9x 2 (6 + 2x – x2) m --2- .

47. log log log

(x2 – 3x + 1) l 0.

x+1– x–1

41. log|x + 6| 2 · log2 (x2 – x – 2) l 1.

x+4

1/2 29. -----------------------------------log ( x + 2 ) m 1.

30. log3 5 – 2x · logx 3 < 1. 31. log2 x log x ------2 m 1. 32.

97

  1 39. log x + x –1  x2 + -----2- – 4  l 1. x  




5 --- log 3 ( 12 – 3x )

59. 3 2

– 3 log2 x > 83.

1

60. x – --2- < 2 log5 (x + 2). 61. log

2π 7

2 cos ------- – x + 8

x+5–1 ---------------------------- l 0. 10 – x

98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции а)

z = log3 y

u = (0,5)z O

z

O

в)

z

б)

1

Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фунции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сводится  последовательному решению простейших неравенств, получающихся при замене арументов сложных фунций новыми переменными. П р и м е р. Решить неравенство

u

y

(0,5)

< 1.

Р е ш е н и е. Полаая z = log3 log1/5

 x2 – 4 ---  , сведем ис5  

v

)

ходное неравенство  простейшему поазательному неравенству относительно z:

1

v = x2 – 4 5 1 5

y = log1/5 v 5

–2 5

z

(0,5) < (0,5)0 _ z > 0. 4 Далее положим y = log1/5  x2 – --5-  и получим неравенство  

log3 y > 0 _ y > 1. 4

Наонец, полаая v = x2 – --5- , имеем 1

log1/5 v > 1 _ 0 < v < --5- . Ита, мы пришли  неравенству, эвивалентному исходному: 1 4 0 < x2 – --5- < --5- .

  2  2  Ответ.  –1; – -------  Ÿ  ------- ; 1  . 5 5     При решении неравенств, рассмотренных в данном примере, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо отдельноо этапа решения. На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация решения этоо примера. На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтапно получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-

O

–1

v

O 1 1

y

1

4

log 3 log1/5  x 2 – --5-   

99

–4 5

x

1 2 5

Рис. 6 ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множество значений очередной простейшей фунции, а на оризонтальной оси ищется соответствующее ему множество значений арумента. Это множество, обозначенное штриховой на оризонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на вертиальной оси. Решите неравенство: 1 1.  --2-   

log 2 ( x 2 – 1 )

2 3.  --5-   

log0,25 ( x 2 + 5x + 8 )

5. (0,5)

x+5 x +3

log 1/3 ---------------2

2

2. 5 log 2 x < 1.

> 1. m 2,5.

> 1.

4. (0,5) log5 log0,3 ( x – 0,7 ) < 1. 1 6.  --3-   

10 x + 1 log 1/9  x 2 – -----3  

m 1.

Найдите область определения фунции: 7. y =

x–1

-. log 1/2 ----------------3x + 5 sin x – cos x + 3 2 2

9. y = log2 ---------------------------------------------------- .

8. y = 10. y =

x x –1

-. log 1/2 --------------2

log 1/3 log 3 x – 3 .

98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции а)

z = log3 y

u = (0,5)z O

z

O

в)

z

б)

1

Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фунции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сводится  последовательному решению простейших неравенств, получающихся при замене арументов сложных фунций новыми переменными. П р и м е р. Решить неравенство

u

y

(0,5)

< 1.

Р е ш е н и е. Полаая z = log3 log1/5

 x2 – 4 ---  , сведем ис5  

v

)

ходное неравенство  простейшему поазательному неравенству относительно z:

1

v = x2 – 4 5 1 5

y = log1/5 v 5

–2 5

z

(0,5) < (0,5)0 _ z > 0. 4 Далее положим y = log1/5  x2 – --5-  и получим неравенство  

log3 y > 0 _ y > 1. 4

Наонец, полаая v = x2 – --5- , имеем 1

log1/5 v > 1 _ 0 < v < --5- . Ита, мы пришли  неравенству, эвивалентному исходному: 1 4 0 < x2 – --5- < --5- .

  2  2  Ответ.  –1; – -------  Ÿ  ------- ; 1  . 5 5     При решении неравенств, рассмотренных в данном примере, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо отдельноо этапа решения. На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация решения этоо примера. На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтапно получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-

O

–1

v

O 1 1

y

1

4

log 3 log1/5  x 2 – --5-   

99

–4 5

x

1 2 5

Рис. 6 ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множество значений очередной простейшей фунции, а на оризонтальной оси ищется соответствующее ему множество значений арумента. Это множество, обозначенное штриховой на оризонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на вертиальной оси. Решите неравенство: 1 1.  --2-   

log 2 ( x 2 – 1 )

2 3.  --5-   

log0,25 ( x 2 + 5x + 8 )

5. (0,5)

x+5 x +3

log 1/3 ---------------2

2

2. 5 log 2 x < 1.

> 1. m 2,5.

> 1.

4. (0,5) log5 log0,3 ( x – 0,7 ) < 1. 1 6.  --3-   

10 x + 1 log 1/9  x 2 – -----3  

m 1.

Найдите область определения фунции: 7. y =

x–1

-. log 1/2 ----------------3x + 5 sin x – cos x + 3 2 2

9. y = log2 ---------------------------------------------------- .

8. y = 10. y =

x x –1

-. log 1/2 --------------2

log 1/3 log 3 x – 3 .

100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Решите неравенство, используя омбинацию рассмотренных методов: 11. log 1 /

5

(6

x+1

x

– 36 ) l –2.

x

13. logx [log2 ( 4 – 6)] m 1. 3x 4 + 4x 5 – 4x 6 · log2 x2 > > 3 3 + 4x – 4x 2 + 4x3 log4 x4.

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами урса элементарной математии. Решение этих задач по существу представляет собой исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим решением уравнений или неравенств с числовыми оэффициентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами необходимо выяснить, при аих значениях параметров уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство 1

ax > --x- . Р е ш е н и е. Запишем неравенство в виде ax 2 – 1 -------------------- > 0. x

 1  решения системы (*) таовы: x Ý  ------- ; +×  . Если же a m 0, то a  

 1 1  венства ax2 – 1 < 0 являются значения x Ý  – ------- ; -------  , а решеa a    1  ниями системы (**) — значения x Ý  – ------- ; 0  . Если же a m 0, a   то левая часть неравенства ax2 – 1 < 0 отрицательна при любых значениях x, т. е. это неравенство выполняется при всех x Ý R и, следовательно, решениями системы (**) являются значения x Ý (–×; 0). Ответ. Если a m 0, то x Ý (–×; 0);   1   1 если a > 0, то x Ý  – ------- ; 0  Ÿ  ------- ; +×  . a a     Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1. Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фунций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравенства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.

y

Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам неравенств: ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0, (*) (**) x > 0; x < 0.

1

Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x2 > --a- , множество 1 a

решений отороо имеет вид x < – ------- и x > ------- . В этом случае

y y = ax, a > 0 y = ax, a m 0

–1

a

Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство в виде ax2 > 1.

1 a

101

левая часть неравенства ax2 – 1 > 0 отрицательна при любом x и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и система (*). Рассмотрим систему (**). Если a > 0, то решениями нера-

12. log3 log 9/16 (x2 – 4x + 3) m 0.

14. 12x +

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

O 1

a

x

O

а)

б) Рис. 7

x

100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Решите неравенство, используя омбинацию рассмотренных методов: 11. log 1 /

5

(6

x+1

x

– 36 ) l –2.

x

13. logx [log2 ( 4 – 6)] m 1. 3x 4 + 4x 5 – 4x 6 · log2 x2 > > 3 3 + 4x – 4x 2 + 4x3 log4 x4.

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами урса элементарной математии. Решение этих задач по существу представляет собой исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим решением уравнений или неравенств с числовыми оэффициентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами необходимо выяснить, при аих значениях параметров уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство 1

ax > --x- . Р е ш е н и е. Запишем неравенство в виде ax 2 – 1 -------------------- > 0. x

 1  решения системы (*) таовы: x Ý  ------- ; +×  . Если же a m 0, то a  

 1 1  венства ax2 – 1 < 0 являются значения x Ý  – ------- ; -------  , а решеa a    1  ниями системы (**) — значения x Ý  – ------- ; 0  . Если же a m 0, a   то левая часть неравенства ax2 – 1 < 0 отрицательна при любых значениях x, т. е. это неравенство выполняется при всех x Ý R и, следовательно, решениями системы (**) являются значения x Ý (–×; 0). Ответ. Если a m 0, то x Ý (–×; 0);   1   1 если a > 0, то x Ý  – ------- ; 0  Ÿ  ------- ; +×  . a a     Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1. Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фунций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравенства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.

y

Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам неравенств: ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0, (*) (**) x > 0; x < 0.

1

Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x2 > --a- , множество 1 a

решений отороо имеет вид x < – ------- и x > ------- . В этом случае

y y = ax, a > 0 y = ax, a m 0

–1

a

Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство в виде ax2 > 1.

1 a

101

левая часть неравенства ax2 – 1 > 0 отрицательна при любом x и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и система (*). Рассмотрим систему (**). Если a > 0, то решениями нера-

12. log3 log 9/16 (x2 – 4x + 3) m 0.

14. 12x +

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

O 1

a

x

O

а)

б) Рис. 7

x

102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Графичесая иллюстрация облечает решение уравнений и неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо решения уравнения с параметрами.

5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство 2|x – a| < 2ax – x2 – 2. 6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство

П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение 2|x| + |a| = x + 1.

O

–1 3

1 x

–1

ственно. При –1 < a < 0 орни находим из уравнений x – a = 1 и –3x – a = 1;

Рис. 8

a+1

они равны x = 1 + a и x = – ------------3 соответ-

ственно. Ответ. Если |a| > 1, то уравнение не имеет решений; если |a| = 1, то x = 0; a–1

если 0 m a < 1, то x = 1 – a и x = -----------3 ; a+1

если –1 < a < 0, то x = 1 + a и x = – ------------3 .

1. Для аждоо значения параметра a решите уравнение |x – a + 1| + |x – 2a| = x. 2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство |3x – a| + |2x + a| m 5. 3. Для аждоо действительноо значения параметра a решите уравнение x2 + |x| + a = 0. 4. Для аждоо значения параметра a определите число решений уравнения: а)

a+x +

(*)

Р е ш е н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x, а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосости (x, a) еометричесое место точе, оординаты оторых удовлетворяют данному уравнению, образует фиуру, изображенную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*) решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0. При 0 m a < 1 орни находим из следующих уравнений: a x + a = 1 и –3x + a = 1; 1 a–1 - соответони равны x = 1 – a и x = -----------3

2 x – x 2 = a; б) |x2 – 2x – 3| = a.

103




a – x > a.

7. Найдите все значения a, при оторых неравенство

3 – |x – a| > x2 имеет хотя бы одно отрицательное решение. 8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение x

x

a(2 – 2) + 1 = 1 – 2 . 9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение 144|x| – 2 · 12|x| + a = 0. 10. Найдите все значения параметра a, при оторых уравнение x

3

log3 (9 + 9a ) = x имеет два решения. 11. Найдите все значения параметра c, при оторых неравенство 7 1 + log2  2x2 + 2x + --2-  l log2 (cx2 + c)   имеет хотя бы одно решение. 12. Найдите все значения a, при оторых неравенство log a(a + 1) (|x| + 4) > 1 выполняется для любоо значения x. 13. Найдите все значения a, при оторых неравенство loga/(a + 1) (x2 + 2) > 1 выполняется для любоо значения x. 14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3, оторые при всех a l 5 удовлетворяют неравенству log 2a – x 2 (x – 2ax) > 1. 15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удовлетворяющих условию 0 < b m 2, являются решениями неравенства log ( x 2 + x )/b (x + 2b – 1) < 1. 16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых при всех x справедливо равенство aex + b = eax + b.

102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Графичесая иллюстрация облечает решение уравнений и неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо решения уравнения с параметрами.

5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство 2|x – a| < 2ax – x2 – 2. 6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство

П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение 2|x| + |a| = x + 1.

O

–1 3

1 x

–1

ственно. При –1 < a < 0 орни находим из уравнений x – a = 1 и –3x – a = 1;

Рис. 8

a+1

они равны x = 1 + a и x = – ------------3 соответ-

ственно. Ответ. Если |a| > 1, то уравнение не имеет решений; если |a| = 1, то x = 0; a–1

если 0 m a < 1, то x = 1 – a и x = -----------3 ; a+1

если –1 < a < 0, то x = 1 + a и x = – ------------3 .

1. Для аждоо значения параметра a решите уравнение |x – a + 1| + |x – 2a| = x. 2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство |3x – a| + |2x + a| m 5. 3. Для аждоо действительноо значения параметра a решите уравнение x2 + |x| + a = 0. 4. Для аждоо значения параметра a определите число решений уравнения: а)

a+x +

(*)

Р е ш е н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x, а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосости (x, a) еометричесое место точе, оординаты оторых удовлетворяют данному уравнению, образует фиуру, изображенную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*) решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0. При 0 m a < 1 орни находим из следующих уравнений: a x + a = 1 и –3x + a = 1; 1 a–1 - соответони равны x = 1 – a и x = -----------3

2 x – x 2 = a; б) |x2 – 2x – 3| = a.

103




a – x > a.

7. Найдите все значения a, при оторых неравенство

3 – |x – a| > x2 имеет хотя бы одно отрицательное решение. 8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение x

x

a(2 – 2) + 1 = 1 – 2 . 9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение 144|x| – 2 · 12|x| + a = 0. 10. Найдите все значения параметра a, при оторых уравнение x

3

log3 (9 + 9a ) = x имеет два решения. 11. Найдите все значения параметра c, при оторых неравенство 7 1 + log2  2x2 + 2x + --2-  l log2 (cx2 + c)   имеет хотя бы одно решение. 12. Найдите все значения a, при оторых неравенство log a(a + 1) (|x| + 4) > 1 выполняется для любоо значения x. 13. Найдите все значения a, при оторых неравенство loga/(a + 1) (x2 + 2) > 1 выполняется для любоо значения x. 14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3, оторые при всех a l 5 удовлетворяют неравенству log 2a – x 2 (x – 2ax) > 1. 15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удовлетворяющих условию 0 < b m 2, являются решениями неравенства log ( x 2 + x )/b (x + 2b – 1) < 1. 16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых при всех x справедливо равенство aex + b = eax + b.

104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Мноие задачи на решение уравнений и неравенств с параметрами связаны с определением расположения орней вадратноо трехчлена y = ax2 + bx + c на действительной оси. При решении этих задач следует учитывать, что если вадратный трехчлен y = ax2 + bx + c имеет два действительных орня x1 и x2 (x1 < x2), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицательные значения на промежуте (x1; x2) и положительные значения вне промежута [x1; x2]; при a < 0 — положительные значения на промежуте (x1; x2) и отрицательные значения вне промежута [x1; x2]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя

третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежута (x1; x2) справа от нео.

орней уравнения ax2 + bx + c = 0), принадлежит ли произвольное число α промежуту (x1; x2), достаточно установить зна

действительны и больше чем 3. 18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо уравнения

выражения aα2 + bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0 и aα2 + bα + c > 0, то α находится вне промежута [x1; x2]. Если известно, что число α не находится между орнями x1 и x2, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от промежута (x1; x2) (справа или слева) лежит число α, достаточно сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим a

уазанному промежуту, например с выражением – -----2b , являющимся абсциссой вершины параболы y = ax2 + bx + c. П р и м е р 3. При аих значениях параметра a оба орня уравнения x2 + ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос следует дать, не вычисляя орни уравнения. Р е ш е н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x2 + + ax – 1, входящую в левую часть уравнения. Та а оэффициент при x2 равен 1, то ветви параболы направлены вверх. Для тоо чтобы орни уравнения x1 и x2 (x1 m x2) были меньше чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее промежута (x1; x2). Условия, при оторых будет выполнено это требование, определяются следующей системой неравенств: a2 + 4 l 0, 9 + 3a – 1 > 0, a – --2- < 3.

(*)

Первое неравенство (оторое выполняется при всех значениях a) арантирует существование действительных орней, второе и

105

8 Решив систему неравенств (*), получаем a Ý  – --3- ; +×  .   8 Ответ. a Ý  – --3- ; +×  .  

17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо трехчлена x2 – 6ax + (2 – 2a + 9a2)

x2 – ax + 2 = 0 действительны и принадлежат промежуту (0; 3). Одно неравенство является следствием друоо, если множество решений первоо неравенства целиом содержит множество решений второо. Например, если x удовлетворяет неравенству | x | < 2, то x2 < 5, т. е. неравенство x2 < 5 является следствием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений (– 5 ; 5 ) неравенства x2 < 5 целиом содержит множество решений (–2; 2) неравенства | x | < 2. 19. При аих действительных значениях m неравенство x2 + mx + m2 + 6m < 0 выполняется для любых x Ý (1; 2)? 20. Найдите все значения m, при оторых неравенство mx2 – 4x + 3m + 1 > 0 выполнено для всех x > 0. 21. При аих действительных значениях m из неравенства x2 – (3m + 1)x + m > 0 следует неравенство x > 1? 22. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства ax2 – x + 1 – a < 0 следует неравенство 0 < x < 1. 23. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства 0 m x m 1 следует неравенство (a2 + a – 2)x2 – (a + 5)x – 2 m 0.

104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Мноие задачи на решение уравнений и неравенств с параметрами связаны с определением расположения орней вадратноо трехчлена y = ax2 + bx + c на действительной оси. При решении этих задач следует учитывать, что если вадратный трехчлен y = ax2 + bx + c имеет два действительных орня x1 и x2 (x1 < x2), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицательные значения на промежуте (x1; x2) и положительные значения вне промежута [x1; x2]; при a < 0 — положительные значения на промежуте (x1; x2) и отрицательные значения вне промежута [x1; x2]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя

третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежута (x1; x2) справа от нео.

орней уравнения ax2 + bx + c = 0), принадлежит ли произвольное число α промежуту (x1; x2), достаточно установить зна

действительны и больше чем 3. 18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо уравнения

выражения aα2 + bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0 и aα2 + bα + c > 0, то α находится вне промежута [x1; x2]. Если известно, что число α не находится между орнями x1 и x2, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от промежута (x1; x2) (справа или слева) лежит число α, достаточно сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим a

уазанному промежуту, например с выражением – -----2b , являющимся абсциссой вершины параболы y = ax2 + bx + c. П р и м е р 3. При аих значениях параметра a оба орня уравнения x2 + ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос следует дать, не вычисляя орни уравнения. Р е ш е н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x2 + + ax – 1, входящую в левую часть уравнения. Та а оэффициент при x2 равен 1, то ветви параболы направлены вверх. Для тоо чтобы орни уравнения x1 и x2 (x1 m x2) были меньше чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее промежута (x1; x2). Условия, при оторых будет выполнено это требование, определяются следующей системой неравенств: a2 + 4 l 0, 9 + 3a – 1 > 0, a – --2- < 3.

(*)

Первое неравенство (оторое выполняется при всех значениях a) арантирует существование действительных орней, второе и

105

8 Решив систему неравенств (*), получаем a Ý  – --3- ; +×  .   8 Ответ. a Ý  – --3- ; +×  .  

17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо трехчлена x2 – 6ax + (2 – 2a + 9a2)

x2 – ax + 2 = 0 действительны и принадлежат промежуту (0; 3). Одно неравенство является следствием друоо, если множество решений первоо неравенства целиом содержит множество решений второо. Например, если x удовлетворяет неравенству | x | < 2, то x2 < 5, т. е. неравенство x2 < 5 является следствием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений (– 5 ; 5 ) неравенства x2 < 5 целиом содержит множество решений (–2; 2) неравенства | x | < 2. 19. При аих действительных значениях m неравенство x2 + mx + m2 + 6m < 0 выполняется для любых x Ý (1; 2)? 20. Найдите все значения m, при оторых неравенство mx2 – 4x + 3m + 1 > 0 выполнено для всех x > 0. 21. При аих действительных значениях m из неравенства x2 – (3m + 1)x + m > 0 следует неравенство x > 1? 22. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства ax2 – x + 1 – a < 0 следует неравенство 0 < x < 1. 23. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства 0 m x m 1 следует неравенство (a2 + a – 2)x2 – (a + 5)x – 2 m 0.

106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

24. Найдите все значения a, при оторых справедливо неравенство 2x2 – 4a2x – a2 + 1 > 0

33. Определите все значения a, при аждом из оторых уравнение cos4 x – (a + 2) cos2 x – (a + 3) = 0

для любых | x | < 1. 25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни уравнения x2 + x + a = 0

имеет решения, и найдите эти решения. 34. При аих значениях параметра a уравнение

действительны и больше a. 26. Найдите все значения a, при оторых неравенство

sin2 x + (a2 – 3) sin 4x + a2 – 4 = 0 имеет четыре орня, расположенных на отрезе

x – 2a – 1 --------------------------- < 0 x–a

27. Найдите все решения неравенства a2 – 9

x+1

–8· 3

x

· a > 0.

28. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x 4 –α· 2 –α+3m0 имеет хотя бы одно решение. 29. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x α · 9 + 4(α – 1) · 3 + α > 1

b + sin x b cos x -------------------------------- = ------------------------------------------------------------2 cos 2x – 1 ( cos 2 x – 3 sin 2 x ) tg x

имеет решения? Найдите эти решения. 36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение log|sin x| 2 · log sin 2 x 3 = a. 37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравенство xsin x – a > 1 π при условии, что x Ý  0; --2-  .  

38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из оторых при всех x справедливо равенство a(cos x – 1) + b2 = cos (ax + b2) – 1.

справедливо для всех x.

39. Определите, при аих целых значениях k система

При решении упр. 30—40 учтите, что в процессе сведения трионометричесих уравнений и неравенств  рациональным использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаает выполнение неравенства | y | m 1. 30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение sin x + cos (a + x) + cos (a – x) = 2. 31. Для аждоо значения параметра a решите уравнение (lg sin x)2 – 2a lg sin x – a2 + 2 = 0. 32. Найдите все значения b, при аждом из оторых неравенство cos2 x + 2b sin x – 2b < b2 – 4 выполняется для любоо числа x.

3π ------- ; 2π ? 2

35. При аих значениях b уравнение

выполняется для x таих, что 1 m x m 2. При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоарифмичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр, с помощью замены переменной сводятся  вадратным неравенствам.

107

π2

(arctg x)2 + (arccos y)2 = ----k , π 2

arctg x + arccos y = --имеет решения, и найдите все эти решения. 40. Найдите все значения a, при оторых уравнения a cos 2x + | a | cos 4x + cos 6x = 1 и 1

sin x cos 2x = sin 2x cos 3x – --2- sin 5x эвивалентны.

106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

24. Найдите все значения a, при оторых справедливо неравенство 2x2 – 4a2x – a2 + 1 > 0

33. Определите все значения a, при аждом из оторых уравнение cos4 x – (a + 2) cos2 x – (a + 3) = 0

для любых | x | < 1. 25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни уравнения x2 + x + a = 0

имеет решения, и найдите эти решения. 34. При аих значениях параметра a уравнение

действительны и больше a. 26. Найдите все значения a, при оторых неравенство

sin2 x + (a2 – 3) sin 4x + a2 – 4 = 0 имеет четыре орня, расположенных на отрезе

x – 2a – 1 --------------------------- < 0 x–a

27. Найдите все решения неравенства a2 – 9

x+1

–8· 3

x

· a > 0.

28. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x 4 –α· 2 –α+3m0 имеет хотя бы одно решение. 29. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x α · 9 + 4(α – 1) · 3 + α > 1

b + sin x b cos x -------------------------------- = ------------------------------------------------------------2 cos 2x – 1 ( cos 2 x – 3 sin 2 x ) tg x

имеет решения? Найдите эти решения. 36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение log|sin x| 2 · log sin 2 x 3 = a. 37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравенство xsin x – a > 1 π при условии, что x Ý  0; --2-  .  

38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из оторых при всех x справедливо равенство a(cos x – 1) + b2 = cos (ax + b2) – 1.

справедливо для всех x.

39. Определите, при аих целых значениях k система

При решении упр. 30—40 учтите, что в процессе сведения трионометричесих уравнений и неравенств  рациональным использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаает выполнение неравенства | y | m 1. 30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение sin x + cos (a + x) + cos (a – x) = 2. 31. Для аждоо значения параметра a решите уравнение (lg sin x)2 – 2a lg sin x – a2 + 2 = 0. 32. Найдите все значения b, при аждом из оторых неравенство cos2 x + 2b sin x – 2b < b2 – 4 выполняется для любоо числа x.

3π ------- ; 2π ? 2

35. При аих значениях b уравнение

выполняется для x таих, что 1 m x m 2. При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоарифмичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр, с помощью замены переменной сводятся  вадратным неравенствам.

107

π2

(arctg x)2 + (arccos y)2 = ----k , π 2

arctg x + arccos y = --имеет решения, и найдите все эти решения. 40. Найдите все значения a, при оторых уравнения a cos 2x + | a | cos 4x + cos 6x = 1 и 1

sin x cos 2x = sin 2x cos 3x – --2- sin 5x эвивалентны.

108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 41. Определите, при аих значениях a уравнение a x – --2- = 4 |4|x | – a2|

имеет три орня. Найдите эти орни. 42. Найдите все значения a, при оторых уравнение |1 – ax| = 1 + (1 – 2a)x + ax2 имеет одно решение. 43. Решите уравнение |x + 3| – a|x – 1| = 4 и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.

§ 22. Доказательство неравенств

109

6. Доажите, что x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 l 0. Использование неравенства Коши. Средним арифметичесa + a + ... + a

1 2 n , а средним им чисел a1, ..., an называют число ---------------------------------------------n

еометричесим неотрицательных чисел a1, a2, ..., an называют число

n

a 1 a 2 ...a n .

Решение неоторых неравенств опирается на следующее неравенство Коши, справедливое для любоо набора неотрицательных чисел a1, ..., an: a 1 + a 2 + ... + a n ---------------------------------------------- l n a a ...a . 1 2 n n

§ 22. Доказательство неравенств Свед+ение очевидном неравенств. П р и м е р 1. Доазать, что при a l 0, b l 0, c l 0 справедливо неравенство ab + ac + bc m a2 + b2 + c2. Р е ш е н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим

П р и м е р 2. Доазать, что если a + b + c = 1 и a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 --- + --- + --- l 9. c b a

Р е ш е н и е. Та а a + b + c = 1, то, используя неравенство Коши, залючаем, что a+b+c ----------------------- l 3 abc , 3

2ab + 2ac + 2bc m 2a2 + 2b2 + 2c2. Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом: или

a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + a2 – 2ac + c2 l 0, (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 l 0.

Мы пришли  очевидному неравенству. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то справедливо неравенство: 1. a3 + b3 + c3 l 3abc. 3

3

3

a +b a+b - l  -------------  . 2. -----------------2  2 

3. a2 + b2 + c2 + 3 l 2(a + b + c). 4. Доажите, что x2 + 4y2 + 3x2 + 14 – 2x – 12y – 6z > 0. 5. Доажите, что x2 + y2 + z2 + u2 + a2 + a(x + y + z + u) l 0.

(1)

или

1 --------------- l 3. 3 abc

(*) 1

1

1

Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел --a- , --b- , --c- , получаем

1 1 1 --- + --- + --1 a b c ------------------------- l --------------- . 3 3 abc

Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся в справедливости исходноо неравенства. 7. Доажите, что (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc, де a, b, c — неотрицательные числа. 8. Доажите, что если p > 0 и q > 0, то (p + q) (p + 2) (q + 2) l 16pq. 9. Доажите, что если x > 0, то 1

x + --x- > 2.

108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 41. Определите, при аих значениях a уравнение a x – --2- = 4 |4|x | – a2|

имеет три орня. Найдите эти орни. 42. Найдите все значения a, при оторых уравнение |1 – ax| = 1 + (1 – 2a)x + ax2 имеет одно решение. 43. Решите уравнение |x + 3| – a|x – 1| = 4 и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.

§ 22. Доказательство неравенств

109

6. Доажите, что x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 l 0. Использование неравенства Коши. Средним арифметичесa + a + ... + a

1 2 n , а средним им чисел a1, ..., an называют число ---------------------------------------------n

еометричесим неотрицательных чисел a1, a2, ..., an называют число

n

a 1 a 2 ...a n .

Решение неоторых неравенств опирается на следующее неравенство Коши, справедливое для любоо набора неотрицательных чисел a1, ..., an: a 1 + a 2 + ... + a n ---------------------------------------------- l n a a ...a . 1 2 n n

§ 22. Доказательство неравенств Свед+ение очевидном неравенств. П р и м е р 1. Доазать, что при a l 0, b l 0, c l 0 справедливо неравенство ab + ac + bc m a2 + b2 + c2. Р е ш е н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим

П р и м е р 2. Доазать, что если a + b + c = 1 и a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 --- + --- + --- l 9. c b a

Р е ш е н и е. Та а a + b + c = 1, то, используя неравенство Коши, залючаем, что a+b+c ----------------------- l 3 abc , 3

2ab + 2ac + 2bc m 2a2 + 2b2 + 2c2. Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом: или

a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + a2 – 2ac + c2 l 0, (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 l 0.

Мы пришли  очевидному неравенству. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то справедливо неравенство: 1. a3 + b3 + c3 l 3abc. 3

3

3

a +b a+b - l  -------------  . 2. -----------------2  2 

3. a2 + b2 + c2 + 3 l 2(a + b + c). 4. Доажите, что x2 + 4y2 + 3x2 + 14 – 2x – 12y – 6z > 0. 5. Доажите, что x2 + y2 + z2 + u2 + a2 + a(x + y + z + u) l 0.

(1)

или

1 --------------- l 3. 3 abc

(*) 1

1

1

Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел --a- , --b- , --c- , получаем

1 1 1 --- + --- + --1 a b c ------------------------- l --------------- . 3 3 abc

Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся в справедливости исходноо неравенства. 7. Доажите, что (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc, де a, b, c — неотрицательные числа. 8. Доажите, что если p > 0 и q > 0, то (p + q) (p + 2) (q + 2) l 16pq. 9. Доажите, что если x > 0, то 1

x + --x- > 2.

110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 10. Доажите, что 1 1 1+ 1 ---   1 + ---   1 + ---  l 64, a  b  c  

де a, b, c — положительные числа и a + b + c = 1. 11. Доажите, что

§ 22. Доказательство неравенств

Использование метода математичес ой инд ции. Если требуется установить справедливость неотороо неравенства сразу для всех членов двух последовательностей an и bn, то удобно использовать метод математичесой индуции (см. л. 16, § 90). П р и м е р 3. Доазать, что

n

n! > 2

(1 + a1) (1 + a2) · ... · (1 + an) l 2 , де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 12. Доажите, что a1 + a2 + ... + an l n, де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 13. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 (a + b + c)  --a- + --b- + --c-  > 9.

111

n–1

,

если n > 2.

Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математичесой индуции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение справедливо. Действительно, 3! > 22, та а 3! = 6, 22 = 4. Далее удобно воспользоваться следующим утверждением: если при всех k, больших неотороо N, выполняется неравенство ak + 1 bk + 1 -------------- > ------------- , ak bk

де ak и bk — k-е члены сравниваемых последовательностей, то ak + 1 ak -------------- > ------ . bk + 1 bk

14. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то (bc + ca + ab)2 > 3ab(a + b + c). 15. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то  1 1 1  2 ----------(a1 + a2 + ... + an)  ----a 1 + a 2 + ... + a n  l n .   16. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то a1 a2 an ------ + ------ + ... + ------ l n. a2 a3 a1

тельно, можно утверждать, что ak > bk при всех k > N. Используем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем a

ak = k!,

k+1 - = k + 1, ak + 1 = (k + 1)! ^ ------------a

b k = 2 k – 1,

k+1 - = 2, bk + 1 = 2k ^ -----------b

k

b

k

k + 1 > 2,

17. Доажите, что n + 1 n n! <  ------------2  ,

ab

n

a + nb < ----------------n+1 ,

если

k > 2.

a

k+1 - > 1 при всех k l 2, т. е. треТаим образом, доазано, что ------------b k+1

буемое неравенство установлено.

де n — натуральное число, n l 2. 18. Доажите, что n+1

ak

Соласно индутивному предположению, ----b k > 1. Следова-

n Ý N,

де a, b — положительные числа, a − b.

Инода метод математичесой индуции удобнее применять в следующем виде: если для неотороо N справедливо неравенство aN > bN и при всех k l N — неравенство ak + 1 – ak > > bk + 1 – bk, то при всех k > N выполняется неравенство ak > bk.

110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 10. Доажите, что 1 1 1+ 1 ---   1 + ---   1 + ---  l 64, a  b  c  

де a, b, c — положительные числа и a + b + c = 1. 11. Доажите, что

§ 22. Доказательство неравенств

Использование метода математичес ой инд ции. Если требуется установить справедливость неотороо неравенства сразу для всех членов двух последовательностей an и bn, то удобно использовать метод математичесой индуции (см. л. 16, § 90). П р и м е р 3. Доазать, что

n

n! > 2

(1 + a1) (1 + a2) · ... · (1 + an) l 2 , де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 12. Доажите, что a1 + a2 + ... + an l n, де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 13. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 (a + b + c)  --a- + --b- + --c-  > 9.

111

n–1

,

если n > 2.

Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математичесой индуции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение справедливо. Действительно, 3! > 22, та а 3! = 6, 22 = 4. Далее удобно воспользоваться следующим утверждением: если при всех k, больших неотороо N, выполняется неравенство ak + 1 bk + 1 -------------- > ------------- , ak bk

де ak и bk — k-е члены сравниваемых последовательностей, то ak + 1 ak -------------- > ------ . bk + 1 bk

14. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то (bc + ca + ab)2 > 3ab(a + b + c). 15. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то  1 1 1  2 ----------(a1 + a2 + ... + an)  ----a 1 + a 2 + ... + a n  l n .   16. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то a1 a2 an ------ + ------ + ... + ------ l n. a2 a3 a1

тельно, можно утверждать, что ak > bk при всех k > N. Используем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем a

ak = k!,

k+1 - = k + 1, ak + 1 = (k + 1)! ^ ------------a

b k = 2 k – 1,

k+1 - = 2, bk + 1 = 2k ^ -----------b

k

b

k

k + 1 > 2,

17. Доажите, что n + 1 n n! <  ------------2  ,

ab

n

a + nb < ----------------n+1 ,

если

k > 2.

a

k+1 - > 1 при всех k l 2, т. е. треТаим образом, доазано, что ------------b k+1

буемое неравенство установлено.

де n — натуральное число, n l 2. 18. Доажите, что n+1

ak

Соласно индутивному предположению, ----b k > 1. Следова-

n Ý N,

де a, b — положительные числа, a − b.

Инода метод математичесой индуции удобнее применять в следующем виде: если для неотороо N справедливо неравенство aN > bN и при всех k l N — неравенство ak + 1 – ak > > bk + 1 – bk, то при всех k > N выполняется неравенство ak > bk.

112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Доажите неравенство: 19. 2

n

(n l 5). n–1

n

> (n + 1)

n

> n3 (n − 3).

20. n 21. 3

> n2 + 2

n 22.  --2-   

(n l 2). Напомним основные формулы трионометрии.

n

> n!

(n l 6).

Формлы, связывающие трионометричес ие фн ции одноо и тоо же армента

3

1

1

1

---------------------23. ------------n + 1 + n + 2 + ... + 2n > 5 . 1

1

1

1

24. -----2- + -----2- ... + -----2- < 1 – --n2 3 n

sin2 α + cos2 α = 1,

(n l 2).

sin α

tg α = ------------cos α ,

1 1 1 25. 2( n + 1 – 1) < 1 + ------- + ------- + ... + ------- < 2 n . 2 3 n

1

sec α = ------------cos α ,

1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1 ) 26. --------------------------------------------------------m ---------------------- . 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( 2n ) 2n + 1 1 27.  1 + --n- 

1

tg α = ------------ctg α ,

n

< 3.

1 + tg2 α = sec2 α,

1 1 28. lg  1 + --n-  < --n- .

29. (n!)2 <

( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -----------------------------------------6

cos α

ctg α = ------------sin α , 1

cosec α = -----------sin α , 1

ctg α = ---------tg α ,

1 + ctg2 α = cosec2 α.

Формлы сложения двх арментов sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β, cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β,

n

.

n n 30. n! >  --e-  . 1 31. Доажите, что последовательность xn =  1 + --n- 

тонно возрастает.

Глава 5 Тригонометрия

tg α + tg β

tg (α + β) = -------------------------------1 – tg α tg β ,

n

моно-

ctg α ctg β – 1

ctg (α + β) = -------------------------------------ctg β + ctg α ,

tg α – tg β

tg (α – β) = --------------------------------1 + tg α tg β , ctg α ctg β + 1

ctg (α – β) = --------------------------------------ctg β – ctg α .

Формлы двойноо и половинноо арментов sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α – sin2 α, 2 tg α 1 – tg α

-, tg 2α = ----------------------2 α 2 tg --2 sin α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2

α 1 – tg 2 --2 cos α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2

112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Доажите неравенство: 19. 2

n

(n l 5). n–1

n

> (n + 1)

n

> n3 (n − 3).

20. n 21. 3

> n2 + 2

n 22.  --2-   

(n l 2). Напомним основные формулы трионометрии.

n

> n!

(n l 6).

Формлы, связывающие трионометричес ие фн ции одноо и тоо же армента

3

1

1

1

---------------------23. ------------n + 1 + n + 2 + ... + 2n > 5 . 1

1

1

1

24. -----2- + -----2- ... + -----2- < 1 – --n2 3 n

sin2 α + cos2 α = 1,

(n l 2).

sin α

tg α = ------------cos α ,

1 1 1 25. 2( n + 1 – 1) < 1 + ------- + ------- + ... + ------- < 2 n . 2 3 n

1

sec α = ------------cos α ,

1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1 ) 26. --------------------------------------------------------m ---------------------- . 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( 2n ) 2n + 1 1 27.  1 + --n- 

1

tg α = ------------ctg α ,

n

< 3.

1 + tg2 α = sec2 α,

1 1 28. lg  1 + --n-  < --n- .

29. (n!)2 <

( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -----------------------------------------6

cos α

ctg α = ------------sin α , 1

cosec α = -----------sin α , 1

ctg α = ---------tg α ,

1 + ctg2 α = cosec2 α.

Формлы сложения двх арментов sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β, cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β,

n

.

n n 30. n! >  --e-  . 1 31. Доажите, что последовательность xn =  1 + --n- 

тонно возрастает.

Глава 5 Тригонометрия

tg α + tg β

tg (α + β) = -------------------------------1 – tg α tg β ,

n

моно-

ctg α ctg β – 1

ctg (α + β) = -------------------------------------ctg β + ctg α ,

tg α – tg β

tg (α – β) = --------------------------------1 + tg α tg β , ctg α ctg β + 1

ctg (α – β) = --------------------------------------ctg β – ctg α .

Формлы двойноо и половинноо арментов sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α – sin2 α, 2 tg α 1 – tg α

-, tg 2α = ----------------------2 α 2 tg --2 sin α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2

α 1 – tg 2 --2 cos α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2

114

Г л а в а 5. Тригонометрия α

1 + cos α = 2 cos2 --2, 1 – cos α

α

-----------------------tg2 --2 = 1 + cos α ,

α

1 – cos α

----------------------------------------------tg --2 = 1 + cos α = sin α .

Формлы сложения трионометричес их фн ций α+β

α–β

α–β

α+β

2(sin6 α + cos6 α) – 3(sin4 α + cos4 α) + 1 = 0. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2),

α–β α+β ------------cos α + cos β = 2 cos ------------2 cos 2 ,

полаая в ней x = sin2 α, y = cos2 α. Тода получим sin6 α + cos6 α = (sin2 α + cos2 α) (sin4 α – sin2 α cos2 α + cos4 α).

β–α

------------cos α – cos β = 2 sin ------------2 sin 2 ,

sin ( α + β )

ctg α + ctg β = ---------------------------sin α sin β ,

Используя тождество

sin ( α – β ) tg α – tg β = --------------------------sin α sin β ,

sin2 α + cos2 α = 1,

sin ( β – α )

ctg α – ctg β = --------------------------sin α sin β ,

Формлы преобразования произведения в смм 1 sin α sin β = --2- [cos (α – β) – cos (α + β)],

(**)

преобразуем левую часть равенства (*)  виду 2 sin4 α – 2 sin2 α cos2 α + 2 cos4 α – 3 sin4 α – 3 cos4 α + 1. Приведя подобные члены, получаем 1 – 2 sin2 α cos2 α – sin4 α – cos4 α.

1

sin4 α + 2 sin2 α cos2 α + cos4 α = 1, т. е. тождество (*) доазано.

1

sin α cos β = --2- [sin (α – β) + sin (α + β)].

Доажите тождество: 3

1. sin6 α + cos6 α = 1 – --4- sin2 2α.

Формлы приведения

1 + sin 2α + cos 2α

sin cos tg ctg

(***)

Чтобы убедиться в том, что выражение (***) тождественно равно нулю, возведем обе части равенств (**) в вадрат. Имеем

cos α cos β = --2- [cos (α – β) + cos (α + β)],

Наименование фун ции

(*)

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой суммы убов:

-------------sin α – sin β = 2 sin -----------2 cos 2 ,

sin ( α + β ) tg α + tg β = ---------------------------cos α cos β ,

При доазательстве трионометричесих тождеств используют формулы соращенноо умножения и формулы, связывающие между собой основные трионометричесие фунции. П р и м е р. Доазать тождество

------------sin α + sin β = 2 sin ------------2 cos 2 ,

α+β

115

§ 23. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

α

1 – cos α = 2 sin2 --2, sin α

§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений

2. ---------------------------------------------------1 + sin 2α – cos 2α = ctg α.

Значение арумента –α

π --- – α 2

π --- + α 2

π–α

π+α

3π 3π ------- – α ------- + α 2 2

–sin α –cos α –tg α –ctg α

cos α sin α ctg α tg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

–sin α –cos α –tg α –ctg α

–sin α –cos α –tg α –ctg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

α–β

3. (sin α + sin β)2 + (cos α + cos β)2 = 4 cos2 -----------2 .

4. tg α + tg 2α – tg 3α = –tg α tg 2α tg 3α. 2 sin α – sin 2α

α

2 --5. -----------------------------------------2 sin α + sin 2α = tg 2 .

sin α + 2 sin 3α + sin 5 α

sin 3α

----------------6. ----------------------------------------------------------------------sin 3α + 2 sin 5α + sin 7α = sin 5α .

114

Г л а в а 5. Тригонометрия α

1 + cos α = 2 cos2 --2, 1 – cos α

α

-----------------------tg2 --2 = 1 + cos α ,

α

1 – cos α

----------------------------------------------tg --2 = 1 + cos α = sin α .

Формлы сложения трионометричес их фн ций α+β

α–β

α–β

α+β

2(sin6 α + cos6 α) – 3(sin4 α + cos4 α) + 1 = 0. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2),

α–β α+β ------------cos α + cos β = 2 cos ------------2 cos 2 ,

полаая в ней x = sin2 α, y = cos2 α. Тода получим sin6 α + cos6 α = (sin2 α + cos2 α) (sin4 α – sin2 α cos2 α + cos4 α).

β–α

------------cos α – cos β = 2 sin ------------2 sin 2 ,

sin ( α + β )

ctg α + ctg β = ---------------------------sin α sin β ,

Используя тождество

sin ( α – β ) tg α – tg β = --------------------------sin α sin β ,

sin2 α + cos2 α = 1,

sin ( β – α )

ctg α – ctg β = --------------------------sin α sin β ,

Формлы преобразования произведения в смм 1 sin α sin β = --2- [cos (α – β) – cos (α + β)],

(**)

преобразуем левую часть равенства (*)  виду 2 sin4 α – 2 sin2 α cos2 α + 2 cos4 α – 3 sin4 α – 3 cos4 α + 1. Приведя подобные члены, получаем 1 – 2 sin2 α cos2 α – sin4 α – cos4 α.

1

sin4 α + 2 sin2 α cos2 α + cos4 α = 1, т. е. тождество (*) доазано.

1

sin α cos β = --2- [sin (α – β) + sin (α + β)].

Доажите тождество: 3

1. sin6 α + cos6 α = 1 – --4- sin2 2α.

Формлы приведения

1 + sin 2α + cos 2α

sin cos tg ctg

(***)

Чтобы убедиться в том, что выражение (***) тождественно равно нулю, возведем обе части равенств (**) в вадрат. Имеем

cos α cos β = --2- [cos (α – β) + cos (α + β)],

Наименование фун ции

(*)

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой суммы убов:

-------------sin α – sin β = 2 sin -----------2 cos 2 ,

sin ( α + β ) tg α + tg β = ---------------------------cos α cos β ,

При доазательстве трионометричесих тождеств используют формулы соращенноо умножения и формулы, связывающие между собой основные трионометричесие фунции. П р и м е р. Доазать тождество

------------sin α + sin β = 2 sin ------------2 cos 2 ,

α+β

115

§ 23. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

α

1 – cos α = 2 sin2 --2, sin α

§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений

2. ---------------------------------------------------1 + sin 2α – cos 2α = ctg α.

Значение арумента –α

π --- – α 2

π --- + α 2

π–α

π+α

3π 3π ------- – α ------- + α 2 2

–sin α –cos α –tg α –ctg α

cos α sin α ctg α tg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

–sin α –cos α –tg α –ctg α

–sin α –cos α –tg α –ctg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

α–β

3. (sin α + sin β)2 + (cos α + cos β)2 = 4 cos2 -----------2 .

4. tg α + tg 2α – tg 3α = –tg α tg 2α tg 3α. 2 sin α – sin 2α

α

2 --5. -----------------------------------------2 sin α + sin 2α = tg 2 .

sin α + 2 sin 3α + sin 5 α

sin 3α

----------------6. ----------------------------------------------------------------------sin 3α + 2 sin 5α + sin 7α = sin 5α .

116

Г л а в а 5. Тригонометрия

sin α – sin 3α – sin 5α + sin 7α 8. --------------------------------------------------------------------------------------cos α – cos 3α + cos 5 α – cos 7α = –tg 2α.

sin2 (α + β) + p sin (α + β) cos (α + β) + q cos2 (α + β) = q.

1 1 -------------------------------------9. -------------------------------tg 3α – tg α – ctg 3α – ctg α = ctg 2α.

24. Поажите, что если улы α и β связаны соотношением

10. sin α + sin β + sin γ – sin (α + β + γ) = β+γ α+β γ+α ------------. = 4 sin ------------2 sin 2 sin -----------2

11. sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α = 4 cos α cos 2α sin 4α. sin 4α

12. -----------------------------------------------------------------------------= ---------------4 . 3 sin 2α – sin 3α + sin 4α

13. -----------------------------------------------------------------cos 2α – cos 3α + cos 4α = tg 3α. 1 + sin α α  π 2  ---14. sin 2α (1 + tg 2α tg α) + ----------------------1 – sin α = tg 2α + tg  4 + 2  . α

α

sin 2 α – 4

n sin β -----------------------------------sin ( 2α + β ) = m ,

| n | < | m |,

то справедливо равенство tg β 1 + ----------1 – tg α tg β tg α ---------------------- = --------------------------------- . m–n m+n

25. Известно, что α, β, γ составляют арифметичесую прорессию. Доажите, что sin α – sin γ --------------------------------- = ctg β. cos γ – cos α

6 ---------------------------- cos α. 15. sin6 --2 – cos 2 = 4

26. Доажите, что если α + β + γ = π, то

3π - + 4α  + sin (3π – 8α) – sin (4π – 12α) = 16. cos  ----- 2 

27. Доажите тождество

= 4 cos 2α cos 4α sin 6α. cos 2

cos 2

α– β sin α sin β

17. ctg2 α – ctg2 β = --------------------------------------. 2 2 sin 2 x

β

γ

----cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin --2 sin 2 sin 2 .

20. Доажите, что если α, β, γ — улы треуольниа, то β

β

γ

γ

α

----------tg --2 tg 2 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 = 1.

21. Доажите, что если cos (α + β) = 0, то sin (α + 2β) = sin α. 22. Доажите, что если

sin2 β

= sin α cos α, то

π cos 2β = 2 cos2  --4- + α  .  

π π π π sin  --3- – α  cos  --6- + α  + cos  --3- – α  sin  --6- + α  = 1.        

π cos 2β = 2 sin2  --- – α  . 4

19. Доажите, что если α + β + γ = π, то α

ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α = 1.

28. Доажите, что если sin2 β = sin α cos α, то

sin x + cos x tg x – 1

--------------------------------- = sin x + cos x. 18. --------------------------------2 sin x – cos x –

α

117

23. Доажите, что если tg α и tg β — орни уравнения x2 + px + q = 0, то справедливо равенство

7. sin2 3α – sin2 2α = sin 5α sin α.

sin 3α cos 3 α + cos 3α sin 3 α

§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений

29. Доажите тождество 1 + sin 2α ---------------------------------------------------------------------- – 3π cos ( 2α – 2π ) tg  α – -------  4 α  1 α  3π --------– --4- sin 2α ctg --2 + ctg  2 + 2 

= – sin2 α.

30. Доажите тождество 3α sin -------

α  α  2 π  --π------------------- . 4 cos  --6- – --2  sin  3 – 2  = α sin --2

116

Г л а в а 5. Тригонометрия

sin α – sin 3α – sin 5α + sin 7α 8. --------------------------------------------------------------------------------------cos α – cos 3α + cos 5 α – cos 7α = –tg 2α.

sin2 (α + β) + p sin (α + β) cos (α + β) + q cos2 (α + β) = q.

1 1 -------------------------------------9. -------------------------------tg 3α – tg α – ctg 3α – ctg α = ctg 2α.

24. Поажите, что если улы α и β связаны соотношением

10. sin α + sin β + sin γ – sin (α + β + γ) = β+γ α+β γ+α ------------. = 4 sin ------------2 sin 2 sin -----------2

11. sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α = 4 cos α cos 2α sin 4α. sin 4α

12. -----------------------------------------------------------------------------= ---------------4 . 3 sin 2α – sin 3α + sin 4α

13. -----------------------------------------------------------------cos 2α – cos 3α + cos 4α = tg 3α. 1 + sin α α  π 2  ---14. sin 2α (1 + tg 2α tg α) + ----------------------1 – sin α = tg 2α + tg  4 + 2  . α

α

sin 2 α – 4

n sin β -----------------------------------sin ( 2α + β ) = m ,

| n | < | m |,

то справедливо равенство tg β 1 + ----------1 – tg α tg β tg α ---------------------- = --------------------------------- . m–n m+n

25. Известно, что α, β, γ составляют арифметичесую прорессию. Доажите, что sin α – sin γ --------------------------------- = ctg β. cos γ – cos α

6 ---------------------------- cos α. 15. sin6 --2 – cos 2 = 4

26. Доажите, что если α + β + γ = π, то

3π - + 4α  + sin (3π – 8α) – sin (4π – 12α) = 16. cos  ----- 2 

27. Доажите тождество

= 4 cos 2α cos 4α sin 6α. cos 2

cos 2

α– β sin α sin β

17. ctg2 α – ctg2 β = --------------------------------------. 2 2 sin 2 x

β

γ

----cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin --2 sin 2 sin 2 .

20. Доажите, что если α, β, γ — улы треуольниа, то β

β

γ

γ

α

----------tg --2 tg 2 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 = 1.

21. Доажите, что если cos (α + β) = 0, то sin (α + 2β) = sin α. 22. Доажите, что если

sin2 β

= sin α cos α, то

π cos 2β = 2 cos2  --4- + α  .  

π π π π sin  --3- – α  cos  --6- + α  + cos  --3- – α  sin  --6- + α  = 1.        

π cos 2β = 2 sin2  --- – α  . 4

19. Доажите, что если α + β + γ = π, то α

ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α = 1.

28. Доажите, что если sin2 β = sin α cos α, то

sin x + cos x tg x – 1

--------------------------------- = sin x + cos x. 18. --------------------------------2 sin x – cos x –

α

117

23. Доажите, что если tg α и tg β — орни уравнения x2 + px + q = 0, то справедливо равенство

7. sin2 3α – sin2 2α = sin 5α sin α.

sin 3α cos 3 α + cos 3α sin 3 α

§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений

29. Доажите тождество 1 + sin 2α ---------------------------------------------------------------------- – 3π cos ( 2α – 2π ) tg  α – -------  4 α  1 α  3π --------– --4- sin 2α ctg --2 + ctg  2 + 2 

= – sin2 α.

30. Доажите тождество 3α sin -------

α  α  2 π  --π------------------- . 4 cos  --6- – --2  sin  3 – 2  = α sin --2

118

Г л а в а 5. Тригонометрия 31. Доажите тождество

sin 24° cos 6° – sin 6° sin 66°

1. ---------------------------------------------------------------------------------------sin 21° cos 39° – cos 51° sin 69° .

4π

π

3

----------------- . 5. ---------------π – π sin -----18

3π

5π




8. sin 18°.

cos -----18

7π

4 ------4 ------6. sin4 --8- + cos4 -----8 + sin 8 + cos 8 .

33. Упростите выражение 1 + cos α + 1 – cos α ---------------------------------------------------------------- , 1 + cos α – 1 – cos α

7. sin 15°.




9. sin 42°.

Вычисление значений одной трионометричес ой фн ции по известном значению дрой фн ции.

если α Ý [0; 2π]. 34. Упростите выражение

П р и м е р 2. Вычислить

2 sin α + sin 2α 1 – cos α ------------------------------------------- ------------------------ . 2 cos α + sin 2α 1 – sin α

2 sin 2α – 3 cos 2α ---------------------------------------------------- , 4 sin 2α + 5 cos 2α

если tg α = 3. Р е ш е н и е. Выразив sin 2α и cos 2α через tg α, получим

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций Вычисление значений трионометричес их выражений без помощи таблиц. Задачи, связанные с вычислением значений трионометричесих выражений без использования таблиц, обычно решают с помощью тождественных преобразований, приводящих исомое выражение  виду, содержащему тольо табличные значения трионометричесих фунций. П р и м е р 1. Вычислить без таблиц tg 20° tg 40° tg 80°. Р е ш е н и е. Имеем sin 20° ⋅ 2sin 20° cos 20° ⋅ 2sin 40° cos 40° sin 20° sin 40° sin 80° -------------------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = cos 20° cos 40° cos 80° cos 20° cos 40° cos 80° sin 40° – sin 20°

- = ---------------------------------------------- = = --------------------------------------------------------------------------cos 80° cos 80° 2 cos 30° cos ( 90° – 10° )

- = ------------------------------------------------------------------- = = --------------------------------------------cos 80° cos 80°

3.

1

π

2π

π

-----3. sin -----10 sin 10 .

--------4. 8 cos -----9 cos 9 cos 9 .

sin2 α – cos2 β – cos2 γ = 2 cos α cos β cos γ.

Ответ.

3π

2. sin2 70° sin2 50° sin2 10°.

32. Доажите, что если α + β + γ = π, то

2 cos 30° sin 10°

119

Вычислите без использования таблиц:

α 1 – tg 2 --2 1 + sin 2α ---------------------------------- – ------------------------- = sin α. α sin α + cos α 1 + tg 2 --2

2 sin 20° ( cos 20° – cos 60° )

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

3.

4 tg α – 3 + 3 tg 2 α 2 sin 2α – 3 cos 2α ---------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------. 4 sin 2α + 5 cos 2α 8 tg α + 5 – 5 tg 2 α

Подставив в правую часть этоо выражения значение tg α = 3, имеем 9 4⋅3–3+3⋅9 ---------------------------------------- = – --- . 4 8⋅3+5–5⋅9 9

Ответ. – --4- . α

α

--10. Вычислите sin α, если sin --2 + cos 2 = 1,4.

11. Вычислите 1 + 5 sin 2α – 3 cos–1 2α, если tg α = –2. 12. Найдите tg4 α + ctg4 α, если tg α + ctg α = a. 13. Вычислите sin3 α – cos3 α, если sin α – cos α = n. α 1 – 2 sin 2 --2 α --------------------------------14. Зная, что tg 2 = m, найдите 1 + sin α .

118

Г л а в а 5. Тригонометрия 31. Доажите тождество

sin 24° cos 6° – sin 6° sin 66°

1. ---------------------------------------------------------------------------------------sin 21° cos 39° – cos 51° sin 69° .

4π

π

3

----------------- . 5. ---------------π – π sin -----18

3π

5π




8. sin 18°.

cos -----18

7π

4 ------4 ------6. sin4 --8- + cos4 -----8 + sin 8 + cos 8 .

33. Упростите выражение 1 + cos α + 1 – cos α ---------------------------------------------------------------- , 1 + cos α – 1 – cos α

7. sin 15°.




9. sin 42°.

Вычисление значений одной трионометричес ой фн ции по известном значению дрой фн ции.

если α Ý [0; 2π]. 34. Упростите выражение

П р и м е р 2. Вычислить

2 sin α + sin 2α 1 – cos α ------------------------------------------- ------------------------ . 2 cos α + sin 2α 1 – sin α

2 sin 2α – 3 cos 2α ---------------------------------------------------- , 4 sin 2α + 5 cos 2α

если tg α = 3. Р е ш е н и е. Выразив sin 2α и cos 2α через tg α, получим

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций Вычисление значений трионометричес их выражений без помощи таблиц. Задачи, связанные с вычислением значений трионометричесих выражений без использования таблиц, обычно решают с помощью тождественных преобразований, приводящих исомое выражение  виду, содержащему тольо табличные значения трионометричесих фунций. П р и м е р 1. Вычислить без таблиц tg 20° tg 40° tg 80°. Р е ш е н и е. Имеем sin 20° ⋅ 2sin 20° cos 20° ⋅ 2sin 40° cos 40° sin 20° sin 40° sin 80° -------------------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = cos 20° cos 40° cos 80° cos 20° cos 40° cos 80° sin 40° – sin 20°

- = ---------------------------------------------- = = --------------------------------------------------------------------------cos 80° cos 80° 2 cos 30° cos ( 90° – 10° )

- = ------------------------------------------------------------------- = = --------------------------------------------cos 80° cos 80°

3.

1

π

2π

π

-----3. sin -----10 sin 10 .

--------4. 8 cos -----9 cos 9 cos 9 .

sin2 α – cos2 β – cos2 γ = 2 cos α cos β cos γ.

Ответ.

3π

2. sin2 70° sin2 50° sin2 10°.

32. Доажите, что если α + β + γ = π, то

2 cos 30° sin 10°

119

Вычислите без использования таблиц:

α 1 – tg 2 --2 1 + sin 2α ---------------------------------- – ------------------------- = sin α. α sin α + cos α 1 + tg 2 --2

2 sin 20° ( cos 20° – cos 60° )

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

3.

4 tg α – 3 + 3 tg 2 α 2 sin 2α – 3 cos 2α ---------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------. 4 sin 2α + 5 cos 2α 8 tg α + 5 – 5 tg 2 α

Подставив в правую часть этоо выражения значение tg α = 3, имеем 9 4⋅3–3+3⋅9 ---------------------------------------- = – --- . 4 8⋅3+5–5⋅9 9

Ответ. – --4- . α

α

--10. Вычислите sin α, если sin --2 + cos 2 = 1,4.

11. Вычислите 1 + 5 sin 2α – 3 cos–1 2α, если tg α = –2. 12. Найдите tg4 α + ctg4 α, если tg α + ctg α = a. 13. Вычислите sin3 α – cos3 α, если sin α – cos α = n. α 1 – 2 sin 2 --2 α --------------------------------14. Зная, что tg 2 = m, найдите 1 + sin α .

120

Г л а в а 5. Тригонометрия

15. Вычислите cos (θ – ϕ), если cos θ + cos ϕ = a, sin θ – – sin ϕ = b, a2 + b2 − 0.

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

Вычисление значений трионометричес их фн ций от значений обратных трионометричес их фн ций.

π

16. Сумма трех положительных чисел α, β, γ равна --2- . Вычислите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β, ctg γ являются последовательными членами арифметичесой прорессии. β α --17. Вычислите tg --2 + tg 2 , если sin α + sin β = a, cos α +

1 П р и м е р 3. Вычислить значение tg  --2- arcctg 3  . π

Р е ш е н и е. Положим α = arcctg 3. Тода ctg α = 3, 0 < α < --2- . Вычислим теперь значения sin α и cos α: 1

1 + ctg α

де α Ý

π

ctg α α

1

sin α

-----------------------Далее, используя формулу tg --2 = 1 + cos α , получаем

sin (α – β) = --2- ,

 1 1 α 3  ----------------------------------------tg --2 = 10 :  1 + 10  = 10 + 3 .  

0; --2- .

1 10 + 3

ctg β

Ответ. --------------------- .

19. Найдите отношение ------------ctg α , если известно, что

Вычислите:

p sin ( α + β ) ---------------------------- = --- . q sin ( α – β ) 1

α

--20. Найдите tg --2 , если известно, что sin α + cos α = 5 . α

3 10

1 + ctg α

π

0; --2- , β Ý

1 10

1+3

cos α = ------------------------------= ----------- . 2

18. Найдите tg (α + 2β), если sin (α + β) = 1,

1

sin α = ------------------------------= --------------------2- = ----------- , 2

+ cos β = b.


121

sin 3α

11

---------------------21. Вычислите tg --2 , если sin α = 25 .




α

22. Составьте уравнение для нахождения cos --, если 3 cos α = m. α

23. Найдите tg --2 , если известно, что 1–m cos α ------------------------ = --------------- . 1+m 1 + sin α

24. Вычислите sin 2α, если tg α удовлетворяет соотношению tg2 α – a tg α + 1 = 0 π

и известно, что a > 0 и 0 < α < --4- .

1 25. sin  2 arccos --4-  .  

1 26. cos arcsin  – --2-  .  

8  3 27. sin  arcsin --5- + arcsin -----17  . 

2 28. tg  2 arcsin --3-  .  

29. arcsin (sin 2). 1 1 30. tg  arcsin --3- + arccos --4-  .  

31. sin (arctg 2 + arctg 3).

2 1 32. cos  arcsin --3- – arccos --3-  . 1 33. sin  2 arctg --3-  + cos (arctg 2 3 ).

Провер а справедливости равенств, содержащих обратные трионометричес ие фн ции. При решении этих задач следует иметь в виду, что сумма двух обратных трионометричесих фунций, вычисленных от положительных величин, залючена в промежуте [0; π], а разность — в промежуте

π

π

– --2- ; --2-

.

120

Г л а в а 5. Тригонометрия

15. Вычислите cos (θ – ϕ), если cos θ + cos ϕ = a, sin θ – – sin ϕ = b, a2 + b2 − 0.

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

Вычисление значений трионометричес их фн ций от значений обратных трионометричес их фн ций.

π

16. Сумма трех положительных чисел α, β, γ равна --2- . Вычислите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β, ctg γ являются последовательными членами арифметичесой прорессии. β α --17. Вычислите tg --2 + tg 2 , если sin α + sin β = a, cos α +

1 П р и м е р 3. Вычислить значение tg  --2- arcctg 3  . π

Р е ш е н и е. Положим α = arcctg 3. Тода ctg α = 3, 0 < α < --2- . Вычислим теперь значения sin α и cos α: 1

1 + ctg α

де α Ý

π

ctg α α

1

sin α

-----------------------Далее, используя формулу tg --2 = 1 + cos α , получаем

sin (α – β) = --2- ,

 1 1 α 3  ----------------------------------------tg --2 = 10 :  1 + 10  = 10 + 3 .  

0; --2- .

1 10 + 3

ctg β

Ответ. --------------------- .

19. Найдите отношение ------------ctg α , если известно, что

Вычислите:

p sin ( α + β ) ---------------------------- = --- . q sin ( α – β ) 1

α

--20. Найдите tg --2 , если известно, что sin α + cos α = 5 . α

3 10

1 + ctg α

π

0; --2- , β Ý

1 10

1+3

cos α = ------------------------------= ----------- . 2

18. Найдите tg (α + 2β), если sin (α + β) = 1,

1

sin α = ------------------------------= --------------------2- = ----------- , 2

+ cos β = b.


121

sin 3α

11

---------------------21. Вычислите tg --2 , если sin α = 25 .




α

22. Составьте уравнение для нахождения cos --, если 3 cos α = m. α

23. Найдите tg --2 , если известно, что 1–m cos α ------------------------ = --------------- . 1+m 1 + sin α

24. Вычислите sin 2α, если tg α удовлетворяет соотношению tg2 α – a tg α + 1 = 0 π

и известно, что a > 0 и 0 < α < --4- .

1 25. sin  2 arccos --4-  .  

1 26. cos arcsin  – --2-  .  

8  3 27. sin  arcsin --5- + arcsin -----17  . 

2 28. tg  2 arcsin --3-  .  

29. arcsin (sin 2). 1 1 30. tg  arcsin --3- + arccos --4-  .  

31. sin (arctg 2 + arctg 3).

2 1 32. cos  arcsin --3- – arccos --3-  . 1 33. sin  2 arctg --3-  + cos (arctg 2 3 ).

Провер а справедливости равенств, содержащих обратные трионометричес ие фн ции. При решении этих задач следует иметь в виду, что сумма двух обратных трионометричесих фунций, вычисленных от положительных величин, залючена в промежуте [0; π], а разность — в промежуте

π

π

– --2- ; --2-

.

122

Г л а в а 5. Тригонометрия

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

П р и м е р 4. Проверить справедливость равенства 4

2

5

2

41. Доажите, что 8 77 π 3 --- + arcsin ------ = arcsin ------ + arccos  – ---  . 17 85 2  5 

Р е ш е н и е. Вычислим отаненс от левой и от правой частей равенства: 

 2  4 ctg  arcsin --5- + arccos -------  = 5   3 --- ⋅ 2 – 1 2 4 --------------------- = ------ , 11 3 --- + 2 4




π 3 – 3x 2  = --3

при

xÝ

1 --- ; 1 . 2

43. Проверьте, справедливо ли равенство  2 2 – 2x 2  π ------------------------  – arcsin x = --- . arcsin  -----2 x+ 2 4  

Нахождение смм трионометричес их фн ций. Суммирование онечноо числа трионометричесих фунций

Ита,  2  4 2  ctg  arcsin --5- + arccos -------  = ctg  arcctg -----11  .  5  

Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un

(0; π), т. е. промежуту монотонности отаненса, то из равенства отаненсов следует равенство значений арументов, что и требовалось доазать. Проверьте справедливость равенства:

f(k + 1) – f(k) = uk. Если фунция f(k) найдена, то сумма (1) представляется в виде Sn = f(n + 1) – f(1).

(2)

П р и м е р 5. Найти сумму Sn = sin α + sin (α + h) + sin (α + 2h) + ... + sin (α + nh).

3 3 π --------34. arcsin -----2 + arccos 2 = 2 .

Р е ш е н и е. Воспользуемся тем, что

35. arctg 1 + arctg 2 = π – arctg 3.

2k + 1  2k – 1  h --cos  α + ----------------h – cos  α + ---------------2 2 h  = –2 sin (α + kh) sin 2 .   

2 6+1 π --- – arccos ------------------ = --- . 3 6 2 3

Тода в ачестве производящей фунции можно взять

37. Доажите, что если

1 k–1 f(k) = – -----------------h- cos  α + ------------- h  .   2 2 sin ---

arctg α + arctg β + arctg γ = π,

2

то α + β + γ = αβγ. 2+1

(1)

часто удается осуществить с помощью подбора та называемой производящей ф
нции, т. е. фунции, обладающей свойством

2

Та а уол arcsin --5- + arccos ------- принадлежит промежуту 5

36. arccos

42. Проверьте, справедливо ли равенство

1 x arccos x + arccos  --2- + --2

2  2 -----ctg  arcctg -----11  = 11 . 

4

π

12

-------40. Доажите, что arcsin -----13 + arcsin 13 = 2 .

arcsin --5- + arccos ------- = arcctg -----11 . 5

2 4 ctg  arcsin ---  ctg  arccos -------  – 1   5 5 = ---------------------------------------------------------------------------------------------- = 2 4 ctg  arcsin ---  + ctg  arccos -------    5 5

123

2

π

--38. Доажите, что arctg ------------------ – arctg -----2 = 4. 2–1 5 π --39. Доажите, что arctg 3 – arcsin -----5 = 4.

Соласно равенству (2), получаем 1 2n + 1  h - h – cos  α – ---  . Sn = – -----------------h- cos  α + ----------------2 2    2 sin --2

122

Г л а в а 5. Тригонометрия

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

П р и м е р 4. Проверить справедливость равенства 4

2

5

2

41. Доажите, что 8 77 π 3 --- + arcsin ------ = arcsin ------ + arccos  – ---  . 17 85 2  5 

Р е ш е н и е. Вычислим отаненс от левой и от правой частей равенства: 

 2  4 ctg  arcsin --5- + arccos -------  = 5   3 --- ⋅ 2 – 1 2 4 --------------------- = ------ , 11 3 --- + 2 4




π 3 – 3x 2  = --3

при

xÝ

1 --- ; 1 . 2

43. Проверьте, справедливо ли равенство  2 2 – 2x 2  π ------------------------  – arcsin x = --- . arcsin  -----2 x+ 2 4  

Нахождение смм трионометричес их фн ций. Суммирование онечноо числа трионометричесих фунций

Ита,  2  4 2  ctg  arcsin --5- + arccos -------  = ctg  arcctg -----11  .  5  

Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un

(0; π), т. е. промежуту монотонности отаненса, то из равенства отаненсов следует равенство значений арументов, что и требовалось доазать. Проверьте справедливость равенства:

f(k + 1) – f(k) = uk. Если фунция f(k) найдена, то сумма (1) представляется в виде Sn = f(n + 1) – f(1).

(2)

П р и м е р 5. Найти сумму Sn = sin α + sin (α + h) + sin (α + 2h) + ... + sin (α + nh).

3 3 π --------34. arcsin -----2 + arccos 2 = 2 .

Р е ш е н и е. Воспользуемся тем, что

35. arctg 1 + arctg 2 = π – arctg 3.

2k + 1  2k – 1  h --cos  α + ----------------h – cos  α + ---------------2 2 h  = –2 sin (α + kh) sin 2 .   

2 6+1 π --- – arccos ------------------ = --- . 3 6 2 3

Тода в ачестве производящей фунции можно взять

37. Доажите, что если

1 k–1 f(k) = – -----------------h- cos  α + ------------- h  .   2 2 sin ---

arctg α + arctg β + arctg γ = π,

2

то α + β + γ = αβγ. 2+1

(1)

часто удается осуществить с помощью подбора та называемой производящей ф
нции, т. е. фунции, обладающей свойством

2

Та а уол arcsin --5- + arccos ------- принадлежит промежуту 5

36. arccos

42. Проверьте, справедливо ли равенство

1 x arccos x + arccos  --2- + --2

2  2 -----ctg  arcctg -----11  = 11 . 

4

π

12

-------40. Доажите, что arcsin -----13 + arcsin 13 = 2 .

arcsin --5- + arccos ------- = arcctg -----11 . 5

2 4 ctg  arcsin ---  ctg  arccos -------  – 1   5 5 = ---------------------------------------------------------------------------------------------- = 2 4 ctg  arcsin ---  + ctg  arccos -------    5 5

123

2

π

--38. Доажите, что arctg ------------------ – arctg -----2 = 4. 2–1 5 π --39. Доажите, что arctg 3 – arcsin -----5 = 4.

Соласно равенству (2), получаем 1 2n + 1  h - h – cos  α – ---  . Sn = – -----------------h- cos  α + ----------------2 2    2 sin --2

124

Г л а в а 5. Тригонометрия

§ 25. Тригонометрические уравнения

Остается преобразовать выражение в вадратных собах в произведение. n+1 n sin  α + --- h sin  -------------- h 2 2 -. Ответ. Sn = -------------------------------------------------------------------h sin --2

45. cos 3α + cos 5α + cos 7α + ... + cos (2n + 1)α. α

1

α

1

α

--------------46. tg α + --2- tg --2 + 4 tg 4 + ... + 2 n tg 2 n . 3π

π

5π

Уравнения вида P(sin x) = 0,

P(cos x) = 0,

48.

+

cos2

7π

cos 2x – 3 sin x + 1 = 0. Р е ш е н и е. Та а cos 2x = 1 – 2 sin2 x, то данное уравнение можно переписать следующим образом: 1 – 2 sin2 x – 3 sin x + 1 = 0,

9π

11π

 α + --π-  + cos2  α + 2π -------  + ... n  n    ( n – 1 )π  - . ... + cos2  α + --------------------n  

17π 5π 3π π ---------------------49. cos -----19 + cos 19 + cos 19 + ... + cos 19 .

или 2 sin2 x + 3 sin x – 2 = 0. Полаая y = sin x, получим вадратное уравнение 2y2 + 3y – 1

– 2 = 0, имеющее орни y1 = --2- , y2 = –2. Последний орень не одится, та а |sin x| m 1. Ита, остается решить простейшее 1

sin α + sin 2α + ... + sin nα

51. ----------------------------------------------------------------------------cos α + cos 2α + ... + cos nα .

§ 25. Тригонометрические уравнения Простейшие трионометричес ие равнения. Решения простейших трионометричесих уравнений приведены в таблице:

sin x = a

(| a | m 1)

cos x = a tg x = a ctg x = a

(| a | m 1)

Решение уравнения (k Ý Z) x x x x

= = = =

(–1)k arcsin a + πk äarccos a + 2πk arctg a + πk arcctg a + πk

n π

трионометричесое уравнение sin x = --2- , отуда x = (–1) --6- + + πn, n Ý Z.

( 2n – 1 )πm 5πm 3πm πm -------------------------------- . ----------------------50. cos -------n n + cos n + cos n + ... cos

Уравнение

P(ctg x) = 0,

П р и м е р 1. Решить уравнение

---------------------------------47. cos -----13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 .

cos2 α

P(tg x) = 0,

де P — мноочлен уазанных арументов, решают сначала а алебраичесие уравнения относительно уазанных арументов, а затем а простейшие трионометричесие уравнения.

Найдите сумму: 44. sin α sin 2α + sin 2α sin 3α + sin 3α sin 4α + ... ... + sin nα sin (n + 1)α. 1

125

n π

Ответ. x = (–1) --6- + πn, n Ý Z. Решите уравнение, сведя ео  алебраичесому уравнению относительной одной трионометричесой фунции: 1. 2 sin2 x + sin x – 1 = 0. 2. tg3 x + 2 tg2 x + 3 tg x = 0. 3. 4 sin4 x + cos 4x = 1 + 12 cos4 x. 4. 6 cos2 x + cos 3x = cos x.


1 1 ------ + cos 4 x – --- cos 2 x + 2 16

5.

1 3 9 ------ + cos 4 x – --- cos 2 x = --- . 2 2 16

Однородные трионометричес ие равнения. Уравнение вида n

a0 sin x + a1 sin

n–1

x cos x + a2 sin

n–2

n

x cos2 x + ... + an cos x = 0, (1)

де a0, a1, a2, ..., an — действительные числа и сумма поазателей степеней при sin x и cos x в аждом слааемом равна n, на-

124

Г л а в а 5. Тригонометрия

§ 25. Тригонометрические уравнения

Остается преобразовать выражение в вадратных собах в произведение. n+1 n sin  α + --- h sin  -------------- h 2 2 -. Ответ. Sn = -------------------------------------------------------------------h sin --2

45. cos 3α + cos 5α + cos 7α + ... + cos (2n + 1)α. α

1

α

1

α

--------------46. tg α + --2- tg --2 + 4 tg 4 + ... + 2 n tg 2 n . 3π

π

5π

Уравнения вида P(sin x) = 0,

P(cos x) = 0,

48.

+

cos2

7π

cos 2x – 3 sin x + 1 = 0. Р е ш е н и е. Та а cos 2x = 1 – 2 sin2 x, то данное уравнение можно переписать следующим образом: 1 – 2 sin2 x – 3 sin x + 1 = 0,

9π

11π

 α + --π-  + cos2  α + 2π -------  + ... n  n    ( n – 1 )π  - . ... + cos2  α + --------------------n  

17π 5π 3π π ---------------------49. cos -----19 + cos 19 + cos 19 + ... + cos 19 .

или 2 sin2 x + 3 sin x – 2 = 0. Полаая y = sin x, получим вадратное уравнение 2y2 + 3y – 1

– 2 = 0, имеющее орни y1 = --2- , y2 = –2. Последний орень не одится, та а |sin x| m 1. Ита, остается решить простейшее 1

sin α + sin 2α + ... + sin nα

51. ----------------------------------------------------------------------------cos α + cos 2α + ... + cos nα .

§ 25. Тригонометрические уравнения Простейшие трионометричес ие равнения. Решения простейших трионометричесих уравнений приведены в таблице:

sin x = a

(| a | m 1)

cos x = a tg x = a ctg x = a

(| a | m 1)

Решение уравнения (k Ý Z) x x x x

= = = =

(–1)k arcsin a + πk äarccos a + 2πk arctg a + πk arcctg a + πk

n π

трионометричесое уравнение sin x = --2- , отуда x = (–1) --6- + + πn, n Ý Z.

( 2n – 1 )πm 5πm 3πm πm -------------------------------- . ----------------------50. cos -------n n + cos n + cos n + ... cos

Уравнение

P(ctg x) = 0,

П р и м е р 1. Решить уравнение

---------------------------------47. cos -----13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 .

cos2 α

P(tg x) = 0,

де P — мноочлен уазанных арументов, решают сначала а алебраичесие уравнения относительно уазанных арументов, а затем а простейшие трионометричесие уравнения.

Найдите сумму: 44. sin α sin 2α + sin 2α sin 3α + sin 3α sin 4α + ... ... + sin nα sin (n + 1)α. 1

125

n π

Ответ. x = (–1) --6- + πn, n Ý Z. Решите уравнение, сведя ео  алебраичесому уравнению относительной одной трионометричесой фунции: 1. 2 sin2 x + sin x – 1 = 0. 2. tg3 x + 2 tg2 x + 3 tg x = 0. 3. 4 sin4 x + cos 4x = 1 + 12 cos4 x. 4. 6 cos2 x + cos 3x = cos x.


1 1 ------ + cos 4 x – --- cos 2 x + 2 16

5.

1 3 9 ------ + cos 4 x – --- cos 2 x = --- . 2 2 16

Однородные трионометричес ие равнения. Уравнение вида n

a0 sin x + a1 sin

n–1

x cos x + a2 sin

n–2

n

x cos2 x + ... + an cos x = 0, (1)

де a0, a1, a2, ..., an — действительные числа и сумма поазателей степеней при sin x и cos x в аждом слааемом равна n, на-

126

Г л а в а 5. Тригонометрия

зывают однородным относительно sin x и cos x. Уравнение (1) при cos x − 0 эвивалентно уравнению n

a0 tg x + a 1 tg

n–1

x + a2 tg

n–2

x + ... + an = 0.

§ 25. Тригонометрические уравнения 1

15. cos6 x + sin6 x – cos2 2x = -----16 . 16. sin8 x + cos8 x = cos2 2x.
17. Найдите решение уравнения sin6 x + cos6 x = a(sin 4 x + cos4 x)

П р и м е р 2. Решить уравнение

при всех действительных значениях a.

3 sin2 x – 5 sin x cos x + 8 cos2 x = 2. Р е ш е н и е. Чтобы свести данное уравнение  однородному, воспользуемся основным трионометричесим тождеством sin2 x + cos2 x = 1. Записав уравнение в виде 3

sin2 x

– 5 sin x cos x + 8

cos2 x

=

2(sin2 x

+

Метод введения дополнительноо ла. Уравнение вида a cos x + b sin x = c

sin2 x – 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0.

c

-, sin (x + ϕ) = ---------------------2 2 a +b

де ϕ находится из системы b

Корнями полученноо вадратноо уравнения являются числа y1 = 2 и y2 = 3. Следовательно, исходное трионометричесое уравнение сводится  двум простейшим трионометричесим уравнениям tg x = 2 и tg x = 3, решения оторых имеют вид x = arctg 2 + + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z. Ответ. x = arctg 2 + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z. Решите уравнение сведением ео  однородному: 6. 2 sin x cos x + 5 cos2 x = 4. 7. 8 sin 2x – 3 cos2 x = 4. x 1 x 8. 4 cos2 --2- + --2- sin x + 3 sin2 --2- = 3.

sin4 x – cos4 x = 0,5. 2 sin3 x + 2 cos x sin2 x – sin x cos2 x – cos3 x = 0. 3 – 7 cos2 x sin x – 3 sin3 x = 0. 2 sin3 x – sin2 x cos x + 2 sin x cos2 x – cos3 x = 0. sin4 x + cos4 x = sin 2x – 0,5.

1 3 14. sin6 2x + cos6 2x = --2- (sin4 2x + cos4 2x) + --2- (sin x + cos x).

a

-, sin ϕ = ---------------------2 2

Разделив обе части последнео уравнения на cos2 x, приходим  вадратному уравнению относительно y = tg x: y2 – 5y + 6 = 0.

(2)

эвивалентно трионометричесому уравнению

cos2 x)

и приведя подобные члены, получаем

9. 10. 11. 12. 13.

127

-. cos ϕ = ---------------------2 2

a +b

a +b

П р и м е р 3. Решить уравнение 3 sin x + 4 cos x = 5. Р е ш е н и е. Та а 3 2 + 4 2 = 5, то данное уравнение эвивалентно уравнению sin (x + ϕ) = 1, де ϕ определяется из системы уравнений 3

4

cos ϕ = --5- .

sin ϕ = --5- ,

Посольу sin ϕ и cos ϕ положительны, в ачестве ϕ можно взять 4

ϕ = arcsin --5- , и решение данноо уравнения запишется в виде π

4

x = –arcsin --5- + --2- + 2πn. π

4

Ответ. x = –arcsin --5- + --2- + 2πn (n Ý Z). Заметим, что уравнение из примера 3 можно свести  одноx

x

родному относительно sin --2- и cos --2- , если воспользоваться формулами x

x

sin x = 2 sin --2- cos --2- ,

x

x

cos x = cos2 --2- – sin2 --2- .

126

Г л а в а 5. Тригонометрия

зывают однородным относительно sin x и cos x. Уравнение (1) при cos x − 0 эвивалентно уравнению n

a0 tg x + a 1 tg

n–1

x + a2 tg

n–2

x + ... + an = 0.

§ 25. Тригонометрические уравнения 1

15. cos6 x + sin6 x – cos2 2x = -----16 . 16. sin8 x + cos8 x = cos2 2x.
17. Найдите решение уравнения sin6 x + cos6 x = a(sin 4 x + cos4 x)

П р и м е р 2. Решить уравнение

при всех действительных значениях a.

3 sin2 x – 5 sin x cos x + 8 cos2 x = 2. Р е ш е н и е. Чтобы свести данное уравнение  однородному, воспользуемся основным трионометричесим тождеством sin2 x + cos2 x = 1. Записав уравнение в виде 3

sin2 x

– 5 sin x cos x + 8

cos2 x

=

2(sin2 x

+

Метод введения дополнительноо ла. Уравнение вида a cos x + b sin x = c

sin2 x – 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0.

c

-, sin (x + ϕ) = ---------------------2 2 a +b

де ϕ находится из системы b

Корнями полученноо вадратноо уравнения являются числа y1 = 2 и y2 = 3. Следовательно, исходное трионометричесое уравнение сводится  двум простейшим трионометричесим уравнениям tg x = 2 и tg x = 3, решения оторых имеют вид x = arctg 2 + + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z. Ответ. x = arctg 2 + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z. Решите уравнение сведением ео  однородному: 6. 2 sin x cos x + 5 cos2 x = 4. 7. 8 sin 2x – 3 cos2 x = 4. x 1 x 8. 4 cos2 --2- + --2- sin x + 3 sin2 --2- = 3.

sin4 x – cos4 x = 0,5. 2 sin3 x + 2 cos x sin2 x – sin x cos2 x – cos3 x = 0. 3 – 7 cos2 x sin x – 3 sin3 x = 0. 2 sin3 x – sin2 x cos x + 2 sin x cos2 x – cos3 x = 0. sin4 x + cos4 x = sin 2x – 0,5.

1 3 14. sin6 2x + cos6 2x = --2- (sin4 2x + cos4 2x) + --2- (sin x + cos x).

a

-, sin ϕ = ---------------------2 2

Разделив обе части последнео уравнения на cos2 x, приходим  вадратному уравнению относительно y = tg x: y2 – 5y + 6 = 0.

(2)

эвивалентно трионометричесому уравнению

cos2 x)

и приведя подобные члены, получаем

9. 10. 11. 12. 13.

127

-. cos ϕ = ---------------------2 2

a +b

a +b

П р и м е р 3. Решить уравнение 3 sin x + 4 cos x = 5. Р е ш е н и е. Та а 3 2 + 4 2 = 5, то данное уравнение эвивалентно уравнению sin (x + ϕ) = 1, де ϕ определяется из системы уравнений 3

4

cos ϕ = --5- .

sin ϕ = --5- ,

Посольу sin ϕ и cos ϕ положительны, в ачестве ϕ можно взять 4

ϕ = arcsin --5- , и решение данноо уравнения запишется в виде π

4

x = –arcsin --5- + --2- + 2πn. π

4

Ответ. x = –arcsin --5- + --2- + 2πn (n Ý Z). Заметим, что уравнение из примера 3 можно свести  одноx

x

родному относительно sin --2- и cos --2- , если воспользоваться формулами x

x

sin x = 2 sin --2- cos --2- ,

x

x

cos x = cos2 --2- – sin2 --2- .

128

Г л а в а 5. Тригонометрия Решите уравнение методом введения дополнительноо ула: 18. sin 8x – cos 6x =

3 (sin 6x + cos 8x).

П р и м е р 4. Решить уравнение

x

Р е ш е н и е. Полаая t = tg --2- и используя формулы (4), за-

2 sin 15x.

пишем уравнение в виде

  1 3 1 ----------------21. 4 cos2 x = 2 + --2- cos 2x  ---------------cos 2x + sin 2x  .  

3t 4 + 6t 3 + 8t 2 – 2t – 3 ---------------------------------------------------------------- = 0; ( t2 + 1 ) ( 1 – t2 )

22. 4 sin 3x + 3 cos 3x = 5,2.

1 3

(*)

1 3

оно имеет орни t1 = ------- , t2 = – ------- . Таим образом, решение

23. Найдите все решения уравнения 1 + sin 2x –

129

1  (cos x – sin x)  2 tg x + -----------cos x  + 2 = 0. 

3 1 --19. sin 11x + -----2 sin 7x + 2 cos 7x = 0.

20. sin 10x + cos 10x =

§ 25. Тригонометрические уравнения

уравнения (*) сводится  решению двух простейших уравнений

2 cos 3x = 0,

x

3π

1 3

tg --2- = ------- ,

залюченные между π и -----2 .

x

1 3

tg --2- = – ------- .

(**)

Выполнив проверу, убеждаемся что числа (2n + 1)π (орни

Универсальная трионометричес ая подстанов а. Пусть дано трионометричесое уравнение вида

уравнения cos --2- = 0) не являются орнями данноо уравнения,

R(sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0,

и, следовательно, все решения исходноо уравнения находятся а решения уравнений (**).

(3)

де R — рациональная фунция уазанных арументов (k, n, m и l — натуральные числа). Используя формулы для трионометричесих фунций суммы улов (в частности, формулы двойноо и тройноо улов), уравнение (3) можно свести  рациональному уравнению относительно sin x, cos x, tg x и ctg x, а затем x

 рациональному уравнению относительно t = tg --2- . Подстановx

а t = tg --2- , оторую называют
ниверсальной трионометричесой подстановой, позволяет выразить sin x, cos x, tg x и x

ctg x а рациональные фунции от tg --2- следующим образом: x 2 tg --2 sin x = -----------------------x; 1 + tg 2 --2

x 1 – tg 2 --2 cos x = -----------------------x; 1 + tg 2 --2

x 2 tg --2 tg x = ----------------------x; 2 1 – tg --2

x 1 – tg 2 --2 ctg x = ----------------------x . 2 tg --2

x

π

Ответ. x = ä --3- + 2πk, k Ý Z. Решите уравнение с помощью универсальной трионометричесой подстанови: x

24. sin x + ctg --2- = 2. π 25. ctg  --4- – x  = 5 tg 2x + 7.

26. 3 sin 4x = (cos 2x – 1) tg x. x

27. (1 + cos x) tg --2- – 2 + sin x = 2 cos x. Трионометричес ие равнения вида R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0 и R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0.

(4)

Уравнение вида R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0,

(5)

де R — рациональная фунция записанных в собах арументов, можно свести  уравнению относительно неизвестноо

128

Г л а в а 5. Тригонометрия Решите уравнение методом введения дополнительноо ула: 18. sin 8x – cos 6x =

3 (sin 6x + cos 8x).

П р и м е р 4. Решить уравнение

x

Р е ш е н и е. Полаая t = tg --2- и используя формулы (4), за-

2 sin 15x.

пишем уравнение в виде

  1 3 1 ----------------21. 4 cos2 x = 2 + --2- cos 2x  ---------------cos 2x + sin 2x  .  

3t 4 + 6t 3 + 8t 2 – 2t – 3 ---------------------------------------------------------------- = 0; ( t2 + 1 ) ( 1 – t2 )

22. 4 sin 3x + 3 cos 3x = 5,2.

1 3

(*)

1 3

оно имеет орни t1 = ------- , t2 = – ------- . Таим образом, решение

23. Найдите все решения уравнения 1 + sin 2x –

129

1  (cos x – sin x)  2 tg x + -----------cos x  + 2 = 0. 

3 1 --19. sin 11x + -----2 sin 7x + 2 cos 7x = 0.

20. sin 10x + cos 10x =

§ 25. Тригонометрические уравнения

уравнения (*) сводится  решению двух простейших уравнений

2 cos 3x = 0,

x

3π

1 3

tg --2- = ------- ,

залюченные между π и -----2 .

x

1 3

tg --2- = – ------- .

(**)

Выполнив проверу, убеждаемся что числа (2n + 1)π (орни

Универсальная трионометричес ая подстанов а. Пусть дано трионометричесое уравнение вида

уравнения cos --2- = 0) не являются орнями данноо уравнения,

R(sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0,

и, следовательно, все решения исходноо уравнения находятся а решения уравнений (**).

(3)

де R — рациональная фунция уазанных арументов (k, n, m и l — натуральные числа). Используя формулы для трионометричесих фунций суммы улов (в частности, формулы двойноо и тройноо улов), уравнение (3) можно свести  рациональному уравнению относительно sin x, cos x, tg x и ctg x, а затем x

 рациональному уравнению относительно t = tg --2- . Подстановx

а t = tg --2- , оторую называют
ниверсальной трионометричесой подстановой, позволяет выразить sin x, cos x, tg x и x

ctg x а рациональные фунции от tg --2- следующим образом: x 2 tg --2 sin x = -----------------------x; 1 + tg 2 --2

x 1 – tg 2 --2 cos x = -----------------------x; 1 + tg 2 --2

x 2 tg --2 tg x = ----------------------x; 2 1 – tg --2

x 1 – tg 2 --2 ctg x = ----------------------x . 2 tg --2

x

π

Ответ. x = ä --3- + 2πk, k Ý Z. Решите уравнение с помощью универсальной трионометричесой подстанови: x

24. sin x + ctg --2- = 2. π 25. ctg  --4- – x  = 5 tg 2x + 7.

26. 3 sin 4x = (cos 2x – 1) tg x. x

27. (1 + cos x) tg --2- – 2 + sin x = 2 cos x. Трионометричес ие равнения вида R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0 и R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0.

(4)

Уравнение вида R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0,

(5)

де R — рациональная фунция записанных в собах арументов, можно свести  уравнению относительно неизвестноо

130

Г л а в а 5. Тригонометрия

t = sin x + cos x. Для этоо следует воспользоваться трионометричесим тождеством

1 2

Умножив обе части этих уравнений на число ------- , сведем их 

π 1 1 π ------- sin x + ------- cos x = 1 _ cos --- sin x + sin --- cos x = 1 _ 4 4 2 2

из отороо следует равенство

π _ sin  x + --4-  = 1;  

(6)

1 1 1 π 1 ------- sin x + ------- cos x = – --- _ sin  x + ---  = – --- . 2 4  2  2 2

Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести  виду

π π 1 Остается решить уравнения sin  x + --4-  = 1 и sin  x + --4-  = – --2- .    

 t2 – 1  -  = 0. R  t, -------------2  

π

Ответ. x = --4- + 2πk, x = (–1)

Аналоично уравнение вида

π --- – --- + πn, k Ý Z, n Ý Z. 4 6

n+1 π

Решите уравнение:

R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0

28. 29. 30.
31.

подстановой sin x – cos x = t сводится  уравнению  1 – t2  -  = 0. R  t, -------------2  

5(sin x + cos x) + sin 3x – cos 3x = 2 2 (2 + sin 2x). sin x + cos x + sin x cos x = 1. sin x + cos x – 2 sin x cos x = 1. Найдите решение уравнения 1 1 1 ------------- + ------------- + ---------------------------- = a sin x cos x sin x cos x

П р и м е р 5. Решить уравнение

при всех действительных значениях a.

sin x + cos x – 2 2 sin x cos x = 0. Р е ш е н и е. Полаая sin x + cos x = t и используя равенство (6), сведем исходное уравнение  виду 2 t2 – t –

131

двум более простым уравнениям:

(sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = = 1 + 2 sin x cos x,

t2 – 1 sin x cos x = -------------2 .

§ 25. Тригонометрические уравнения

2 = 0.

Корнями этоо вадратноо уравнения являются числа t1 =

2,

1 2

Использование формл понижения степени. Упрощение неоторых трионометричесих уравнений можно произвести с помощью понижения их степени. Если поазатели степеней синусов и осинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение степени выполняют по формулам половинноо арумента. П р и м е р 6. Решить уравнение 29

4 sin10 x + cos10 x = -----16 cos 2x.

t2 = – ------- . Таим образом, решение исходноо уравнения сводится  решению двух трионометричесих уравнений sin x + cos x =

2,

1 2

sin x + cos x = – ------- .

Р е ш е н и е. Используя формулы половинноо арумента, запишем данное уравнение в виде – cos 2x 5 1 + cos 2x 5 29 1 ---------------------------  +  ----------------------------  = ------ cos4 2x. 2 2 16    

130

Г л а в а 5. Тригонометрия

t = sin x + cos x. Для этоо следует воспользоваться трионометричесим тождеством

1 2

Умножив обе части этих уравнений на число ------- , сведем их 

π 1 1 π ------- sin x + ------- cos x = 1 _ cos --- sin x + sin --- cos x = 1 _ 4 4 2 2

из отороо следует равенство

π _ sin  x + --4-  = 1;  

(6)

1 1 1 π 1 ------- sin x + ------- cos x = – --- _ sin  x + ---  = – --- . 2 4  2  2 2

Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести  виду

π π 1 Остается решить уравнения sin  x + --4-  = 1 и sin  x + --4-  = – --2- .    

 t2 – 1  -  = 0. R  t, -------------2  

π

Ответ. x = --4- + 2πk, x = (–1)

Аналоично уравнение вида

π --- – --- + πn, k Ý Z, n Ý Z. 4 6

n+1 π

Решите уравнение:

R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0

28. 29. 30.
31.

подстановой sin x – cos x = t сводится  уравнению  1 – t2  -  = 0. R  t, -------------2  

5(sin x + cos x) + sin 3x – cos 3x = 2 2 (2 + sin 2x). sin x + cos x + sin x cos x = 1. sin x + cos x – 2 sin x cos x = 1. Найдите решение уравнения 1 1 1 ------------- + ------------- + ---------------------------- = a sin x cos x sin x cos x

П р и м е р 5. Решить уравнение

при всех действительных значениях a.

sin x + cos x – 2 2 sin x cos x = 0. Р е ш е н и е. Полаая sin x + cos x = t и используя равенство (6), сведем исходное уравнение  виду 2 t2 – t –

131

двум более простым уравнениям:

(sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = = 1 + 2 sin x cos x,

t2 – 1 sin x cos x = -------------2 .

§ 25. Тригонометрические уравнения

2 = 0.

Корнями этоо вадратноо уравнения являются числа t1 =

2,

1 2

Использование формл понижения степени. Упрощение неоторых трионометричесих уравнений можно произвести с помощью понижения их степени. Если поазатели степеней синусов и осинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение степени выполняют по формулам половинноо арумента. П р и м е р 6. Решить уравнение 29

4 sin10 x + cos10 x = -----16 cos 2x.

t2 = – ------- . Таим образом, решение исходноо уравнения сводится  решению двух трионометричесих уравнений sin x + cos x =

2,

1 2

sin x + cos x = – ------- .

Р е ш е н и е. Используя формулы половинноо арумента, запишем данное уравнение в виде – cos 2x 5 1 + cos 2x 5 29 1 ---------------------------  +  ----------------------------  = ------ cos4 2x. 2 2 16    

132

Г л а в а 5. Тригонометрия Полаая cos 2x = t, получим уравнение –t 1 ------------   2 

5

1+t  +  -----------2 

5

1

49. tg x + sin 2x = -----------cos x .

29

После расрытия собо и приведения подобных членов придем  бивадратному уравнению 24t4 – 10t2 – 1 = 0, 1

имеющему единственный действительный орень t2 = --2- . Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем π

πk

cos2 2x = --2- _ 1 + cos 4x = 1 _ cos 4x = 0 _ x = --8- + -----4 , k Ý Z. π

πk

Ответ. x = --8- + -----4 , k Ý Z.

3

π

17

34. sin8 x + cos8 x = -----32 . 35. cos 2x + 4 sin4 x = 8 cos6 x. 36. cos 4x – 2 cos2 x – 22 sin2 x + 1 = 0. 3

2 +

2

–

–

sin2 4x

= 0.

40. sin4 x + cos4 x = cos2 2x + 0,25. 41. 2 + cos 4x = 5 cos 2x + 8 sin6 x. 5

42. sin4 x + cos4 x = --8- . 43. 8 sin2 x + 6 cos2 x = 13 sin 2x. 44. sin3 x (1 + ctg x) + cos3 x (1 + tg x) = 2 sin x cos x . Решите уравнение, применяя изложенные ранее методы: 45. 2 cos 2x = sin3 x

6 (cos x – sin x).

cos3 x

64. 65. 66. 67. 68.

tg x + tg 2x = tg 3x. (1 – tg x) (1 + sin 2x) = 1 + tg x. (1 + sin 2x) (cos x – sin x) = 1 – 2 sin2 x. tg (x + α) + tg (x – α) = 2 ctg x. sin2 2z + sin2 3z + sin2 4z + sin2 5z = 2.

69. sin x cos x cos 2x cos 8x = --4- sin 12x.

38. sin2 3x + sin2 4x = sin2 5x + sin2 6x. sin2 2x

63. sin3 x cos 3x + cos 3x cos3 x = --8- .

1

37. cos2 3x + cos2 4x + cos2 5x = --2- .

39.

2 tg x + tg 2x = tg 4x. cos 3x + sin 5x = 0. sin x cos 5x = sin 9x cos 3x. 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. 1 + sin x + cos 3x = cos x + cos 2x + sin 2x. sin2 x (tg x + 1) = 3 sin x (cos x – sin x) + 3. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x. cos (x + 1) sin 2(x + 1) = cos 3(x + 1) sin 4(x + 1). sin x sin 7x = sin 3x sin 5x. cos x sin 7x = cos 3x sin 5x. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0. cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 1

33. sin2 x + a sin2 2x = sin --6- . Исследуйте решение.

3x cos2 -------

50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

62. sin x sin 2x sin 3x = --4- sin 4x.

Решите уравнение: 32. sin2 6x + 8 sin2 3x = 0.

x cos2 ---

133

48. sin 5x sin 4x = –cos 6x cos 3x.

4 = -----16 t .

1

§ 25. Тригонометрические уравнения

+ = 1 – 0,5 sin 2x. 46. 47. sin 3x + sin x + 2 cos x = sin 2x + 2 cos2 x.

2 sin 3x cos 8x.

70. sin 2x sin 6x – cos 2x cos 6x = 71. tg x + ctg 2x = 2 ctg 4x. 72. cos 3x – cos 2x = sin 3x. 1

1

------------73. 2 sin 3x – -----------sin x = 2 cos 3x + cos x .

74. ctg2 x – tg2 x = 32 cos3 2x. 75. tg 2x + ctg x = 8 cos2 x. 9

76. sin2 2x – tg2 x = --2- cos 2x. 77. sin 2x – tg x = 2 sin 4x. sin 4x π sin  x – ---   4

78. ------------------------------ =

2 (sin x + cos x).

79. cos 3x tg 5x = sin 7x.

132

Г л а в а 5. Тригонометрия Полаая cos 2x = t, получим уравнение –t 1 ------------   2 

5

1+t  +  -----------2 

5

1

49. tg x + sin 2x = -----------cos x .

29

После расрытия собо и приведения подобных членов придем  бивадратному уравнению 24t4 – 10t2 – 1 = 0, 1

имеющему единственный действительный орень t2 = --2- . Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем π

πk

cos2 2x = --2- _ 1 + cos 4x = 1 _ cos 4x = 0 _ x = --8- + -----4 , k Ý Z. π

πk

Ответ. x = --8- + -----4 , k Ý Z.

3

π

17

34. sin8 x + cos8 x = -----32 . 35. cos 2x + 4 sin4 x = 8 cos6 x. 36. cos 4x – 2 cos2 x – 22 sin2 x + 1 = 0. 3

2 +

2

–

–

sin2 4x

= 0.

40. sin4 x + cos4 x = cos2 2x + 0,25. 41. 2 + cos 4x = 5 cos 2x + 8 sin6 x. 5

42. sin4 x + cos4 x = --8- . 43. 8 sin2 x + 6 cos2 x = 13 sin 2x. 44. sin3 x (1 + ctg x) + cos3 x (1 + tg x) = 2 sin x cos x . Решите уравнение, применяя изложенные ранее методы: 45. 2 cos 2x = sin3 x

6 (cos x – sin x).

cos3 x

64. 65. 66. 67. 68.

tg x + tg 2x = tg 3x. (1 – tg x) (1 + sin 2x) = 1 + tg x. (1 + sin 2x) (cos x – sin x) = 1 – 2 sin2 x. tg (x + α) + tg (x – α) = 2 ctg x. sin2 2z + sin2 3z + sin2 4z + sin2 5z = 2.

69. sin x cos x cos 2x cos 8x = --4- sin 12x.

38. sin2 3x + sin2 4x = sin2 5x + sin2 6x. sin2 2x

63. sin3 x cos 3x + cos 3x cos3 x = --8- .

1

37. cos2 3x + cos2 4x + cos2 5x = --2- .

39.

2 tg x + tg 2x = tg 4x. cos 3x + sin 5x = 0. sin x cos 5x = sin 9x cos 3x. 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. 1 + sin x + cos 3x = cos x + cos 2x + sin 2x. sin2 x (tg x + 1) = 3 sin x (cos x – sin x) + 3. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x. cos (x + 1) sin 2(x + 1) = cos 3(x + 1) sin 4(x + 1). sin x sin 7x = sin 3x sin 5x. cos x sin 7x = cos 3x sin 5x. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0. cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 1

33. sin2 x + a sin2 2x = sin --6- . Исследуйте решение.

3x cos2 -------

50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

62. sin x sin 2x sin 3x = --4- sin 4x.

Решите уравнение: 32. sin2 6x + 8 sin2 3x = 0.

x cos2 ---

133

48. sin 5x sin 4x = –cos 6x cos 3x.

4 = -----16 t .

1

§ 25. Тригонометрические уравнения

+ = 1 – 0,5 sin 2x. 46. 47. sin 3x + sin x + 2 cos x = sin 2x + 2 cos2 x.

2 sin 3x cos 8x.

70. sin 2x sin 6x – cos 2x cos 6x = 71. tg x + ctg 2x = 2 ctg 4x. 72. cos 3x – cos 2x = sin 3x. 1

1

------------73. 2 sin 3x – -----------sin x = 2 cos 3x + cos x .

74. ctg2 x – tg2 x = 32 cos3 2x. 75. tg 2x + ctg x = 8 cos2 x. 9

76. sin2 2x – tg2 x = --2- cos 2x. 77. sin 2x – tg x = 2 sin 4x. sin 4x π sin  x – ---   4

78. ------------------------------ =

2 (sin x + cos x).

79. cos 3x tg 5x = sin 7x.

134

Г л а в а 5. Тригонометрия cos 2 2x

3π - – x. 107. sin4 x – cos4 x = cos  ----- 2 

4

81. sin x ctg 3x = cos 5x. cos 5x

108. sin 2x + sin4 --2- = cos4 --2- .

cos x

cos 3x

109. cos x =

----------------83. ---------------cos 3x – cos x = –2 cos 2x. 1

1

----------------------------------------------------------------------84. -------------------------------cos x cos 2x + cos 2x cos 3x + cos 3x cos 4x = 0. sin 3x cos 3x 2 --------------------------------85. ---------------cos 2x + sin 2x = sin 3x .


π π 2 86. cos  x – --4-  + cos  x + --4-  = --3- cos 2x.

87. 4 sin 3x + sin 5x – 2 sin x cos 2x = 0. π π 88. sin  x + --3-  sin  x – --3-  = sin x.     89. 3 cos x + 2 cos 5x + 4 cos 3x cos 4x = 0. 90. 3 sin 5x = cos 2x – cos 8x – sin 15x. 91. cos 2x – sin 3x – cos 8x = sin 10x – cos 5x. 92. sin 2x – cos 2x = tg x. 93. cos 3x – sin 5x – cos 7x = sin 4x – cos 2x. 94. sin 2x + cos 2x = 2 tg x + 1. 95. 4 sin2 x + 3 tg2 x = 1. 96. 4 sin x sin 2x sin 3x = sin 4x. sin 4x + sin 2x – 4 sin 3x + 2 cos x – 4 - = 0. 97. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------sin x – 1 1 – cos 2x

1+ 3

- (cos x + sin x). 99. cos 2x = ----------------2 cos x – sin x

100. ctg x – tg x = --------------------------------. 1 --- sin 2x 2

sin2 x

= 1. sin 7x + sin 3x + 2 cos x – cos 17x = 1 + 2 sin 8x sin x – cos 16x. sin x – cos x = 4 sin x cos2 x. 2 cos 2x (ctg x – 1) = 1 + ctg x.

x 105. tg x + 2 ctg 2x = sin x  1 + tg x tg --2-  .  

3 sin x + 2 cos 3x.

1 + tg x 2 110. -------------------1 – tg x = (sin x + cos x) .

111. sin 3x + sin x = 4 sin3 x. π π 112. tg  --2- cos x  = ctg  --2- sin x  .    

Решение трионометричес их равнений, довлетворяющих не оторым дополнительным словиям. Инода решение трионометричесих уравнений предполаает последующую проверу условий, оторым должны удовлетворять найденные орни. Если эти условия залючаются в том, что орни уравнения должны принадлежать заданному промежуту, то задача выделения этих орней сводится  решению неотороо неравенства в целых числах. П р и м е р 7. Найти все решения уравнения (tg2 x – 1)–1 = 1 + cos 2x, удовлетворяющие неравенству 2x + 1 – 8 > 0. Р е ш е н и е. Приведем исходное трионометричесое уравнение  виду 1 -  (1 + cos 2x)  1 + --------------------2 cos 2x  = 0. 

1 2  cos x – --2-  .

- = 98. ------------------------------sin x

101. 102. 103. 104.

x

x

cos x

----------------82. ---------------cos 3x – cos x = 8 sin x sin 3x.

1

135

106. 2 ctg 2x – ctg x = sin 2x + 3 sin x.

π

--80. ---------------------------------π = cos x – cos 4 . --cos x + cos

§ 25. Тригонометрические уравнения

Найдем решения этоо уравнения: π

x = – --2- + πk,

π

x = ä --3- + πn,

k Ý Z,

n Ý Z.

По условию среди этих значений x необходимо отобрать таие, оторые удовлетворяют требованиям 2x + 1 – 8 > 0, cos x − 0. Исомыми значениями являются π

x = ä --3- + πn, π

Ответ. x = ä --3- + πn, n Ý N.

n Ý N.

134

Г л а в а 5. Тригонометрия cos 2 2x

3π - – x. 107. sin4 x – cos4 x = cos  ----- 2 

4

81. sin x ctg 3x = cos 5x. cos 5x

108. sin 2x + sin4 --2- = cos4 --2- .

cos x

cos 3x

109. cos x =

----------------83. ---------------cos 3x – cos x = –2 cos 2x. 1

1

----------------------------------------------------------------------84. -------------------------------cos x cos 2x + cos 2x cos 3x + cos 3x cos 4x = 0. sin 3x cos 3x 2 --------------------------------85. ---------------cos 2x + sin 2x = sin 3x .


π π 2 86. cos  x – --4-  + cos  x + --4-  = --3- cos 2x.

87. 4 sin 3x + sin 5x – 2 sin x cos 2x = 0. π π 88. sin  x + --3-  sin  x – --3-  = sin x.     89. 3 cos x + 2 cos 5x + 4 cos 3x cos 4x = 0. 90. 3 sin 5x = cos 2x – cos 8x – sin 15x. 91. cos 2x – sin 3x – cos 8x = sin 10x – cos 5x. 92. sin 2x – cos 2x = tg x. 93. cos 3x – sin 5x – cos 7x = sin 4x – cos 2x. 94. sin 2x + cos 2x = 2 tg x + 1. 95. 4 sin2 x + 3 tg2 x = 1. 96. 4 sin x sin 2x sin 3x = sin 4x. sin 4x + sin 2x – 4 sin 3x + 2 cos x – 4 - = 0. 97. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------sin x – 1 1 – cos 2x

1+ 3

- (cos x + sin x). 99. cos 2x = ----------------2 cos x – sin x

100. ctg x – tg x = --------------------------------. 1 --- sin 2x 2

sin2 x

= 1. sin 7x + sin 3x + 2 cos x – cos 17x = 1 + 2 sin 8x sin x – cos 16x. sin x – cos x = 4 sin x cos2 x. 2 cos 2x (ctg x – 1) = 1 + ctg x.

x 105. tg x + 2 ctg 2x = sin x  1 + tg x tg --2-  .  

3 sin x + 2 cos 3x.

1 + tg x 2 110. -------------------1 – tg x = (sin x + cos x) .

111. sin 3x + sin x = 4 sin3 x. π π 112. tg  --2- cos x  = ctg  --2- sin x  .    

Решение трионометричес их равнений, довлетворяющих не оторым дополнительным словиям. Инода решение трионометричесих уравнений предполаает последующую проверу условий, оторым должны удовлетворять найденные орни. Если эти условия залючаются в том, что орни уравнения должны принадлежать заданному промежуту, то задача выделения этих орней сводится  решению неотороо неравенства в целых числах. П р и м е р 7. Найти все решения уравнения (tg2 x – 1)–1 = 1 + cos 2x, удовлетворяющие неравенству 2x + 1 – 8 > 0. Р е ш е н и е. Приведем исходное трионометричесое уравнение  виду 1 -  (1 + cos 2x)  1 + --------------------2 cos 2x  = 0. 

1 2  cos x – --2-  .

- = 98. ------------------------------sin x

101. 102. 103. 104.

x

x

cos x

----------------82. ---------------cos 3x – cos x = 8 sin x sin 3x.

1

135

106. 2 ctg 2x – ctg x = sin 2x + 3 sin x.

π

--80. ---------------------------------π = cos x – cos 4 . --cos x + cos

§ 25. Тригонометрические уравнения

Найдем решения этоо уравнения: π

x = – --2- + πk,

π

x = ä --3- + πn,

k Ý Z,

n Ý Z.

По условию среди этих значений x необходимо отобрать таие, оторые удовлетворяют требованиям 2x + 1 – 8 > 0, cos x − 0. Исомыми значениями являются π

x = ä --3- + πn, π

Ответ. x = ä --3- + πn, n Ý N.

n Ý N.

136

Г л а в а 5. Тригонометрия 113. Найдите все решения уравнения sin ( 1 – x ) =

удовлетворяющие условию x Ý [0; 2π]. 114. Найдите все решения уравнения

.

Р е ш е н и е. Упростим исходное уравнение: 5x

_ 1 + (sin x – cos x) -----2 = 1 + cos 5x _ π _ cos 5x + cos  x + --4-  = 0 _  

3π

π π _ 2 cos  3x + --8-  cos  2x – --8-  = 0.    

m -----4 .

116. Найдите все решения уравнения

Таим образом, уравнение (*) эвивалентно уравнениям

1 --- (cos 5x + cos 7x) – cos2 2x + sin2 3x = 0, 2

удовлетворяющие условию | x | < 2.

π cos  3x + --8-  = 0,   π




π cos  2x – --8-  = 0,  

имеющим соответственно следующие решения:

Решите уравнение: 5

118. sin --x- = cos 3x.

119. sin x = cos x .  120. Доажите, что уравнение sin (cos x) = cos (sin x) не имеет орней. Решите уравнение: 2π 2π - cos x  = cos  ------- sin x  . 121. sin  ----- 5   5 

122. sin (π ctg x) = cos (π tg x). 123. Найдите орни уравнения sin (x – 2) = sin (3x – 4), принадлежащие промежуту (–π; π).


В тех случаях, ода дополнительные условия представлены неравенством, содержащим трионометричесие фунции, выделение нужных орней производится на промежуте, равном наименьшему общему ратному периодов трионометричесих фунций, входящих в уравнение и неравенство.

πn

x = --8- + -----3 , 5π

πn

------x = -----16 + 2 ,







(**)

2

удовлетворяющие условию

117. tg x2 = ctg 5x.

(*)

sin 6x < 0. π

x x sin --2- – cos --2- = 1 – sin x,




5x

1 + (sin x – cos x) sin --4- = 2 cos2 -----2 _

115. Найдите все решения уравнения

π x --- – --2 2

π

1 + (sin x – cos x) sin --4- = 2 cos2 -----2 ,

удовлетворяющие условию

cos4 x – 3 cos 3x = 3 cos x – cos3 x cos 3x, принадлежащие промежуту

137

П р и м е р 8. Найти все решения уравнения

cos x ,

π –π; --2-

§ 25. Тригонометрические уравнения

n Ý Z, n Ý Z.

Наименьшее общее ратное периодов трионометричесих фунций, входящих в уравнение (*) и неравенство (**), равно 2π. Из найденных решений уравнения, принадлежащих промежут5π

5π

------у [0; 2π), неравенству (**) удовлетворят числа -----16 и 16 + π. Все

решения исходноо уравнения получаются прибавлением  аждому из найденных решений чисел, ратных 2π. 5π

Ответ. x = -----16 + πk, k Ý Z.

124. Найдите все решения уравнения 3π 7π 5 – 8 cos  x – -------  = 2 sin  2x – -------  ,   2  2 

удовлетворяющие неравенству cos x > 0.

136

Г л а в а 5. Тригонометрия 113. Найдите все решения уравнения sin ( 1 – x ) =

удовлетворяющие условию x Ý [0; 2π]. 114. Найдите все решения уравнения

.

Р е ш е н и е. Упростим исходное уравнение: 5x

_ 1 + (sin x – cos x) -----2 = 1 + cos 5x _ π _ cos 5x + cos  x + --4-  = 0 _  

3π

π π _ 2 cos  3x + --8-  cos  2x – --8-  = 0.    

m -----4 .

116. Найдите все решения уравнения

Таим образом, уравнение (*) эвивалентно уравнениям

1 --- (cos 5x + cos 7x) – cos2 2x + sin2 3x = 0, 2

удовлетворяющие условию | x | < 2.

π cos  3x + --8-  = 0,   π




π cos  2x – --8-  = 0,  

имеющим соответственно следующие решения:

Решите уравнение: 5

118. sin --x- = cos 3x.

119. sin x = cos x .  120. Доажите, что уравнение sin (cos x) = cos (sin x) не имеет орней. Решите уравнение: 2π 2π - cos x  = cos  ------- sin x  . 121. sin  ----- 5   5 

122. sin (π ctg x) = cos (π tg x). 123. Найдите орни уравнения sin (x – 2) = sin (3x – 4), принадлежащие промежуту (–π; π).


В тех случаях, ода дополнительные условия представлены неравенством, содержащим трионометричесие фунции, выделение нужных орней производится на промежуте, равном наименьшему общему ратному периодов трионометричесих фунций, входящих в уравнение и неравенство.

πn

x = --8- + -----3 , 5π

πn

------x = -----16 + 2 ,







(**)

2

удовлетворяющие условию

117. tg x2 = ctg 5x.

(*)

sin 6x < 0. π

x x sin --2- – cos --2- = 1 – sin x,




5x

1 + (sin x – cos x) sin --4- = 2 cos2 -----2 _

115. Найдите все решения уравнения

π x --- – --2 2

π

1 + (sin x – cos x) sin --4- = 2 cos2 -----2 ,

удовлетворяющие условию

cos4 x – 3 cos 3x = 3 cos x – cos3 x cos 3x, принадлежащие промежуту

137

П р и м е р 8. Найти все решения уравнения

cos x ,

π –π; --2-

§ 25. Тригонометрические уравнения

n Ý Z, n Ý Z.

Наименьшее общее ратное периодов трионометричесих фунций, входящих в уравнение (*) и неравенство (**), равно 2π. Из найденных решений уравнения, принадлежащих промежут5π

5π

------у [0; 2π), неравенству (**) удовлетворят числа -----16 и 16 + π. Все

решения исходноо уравнения получаются прибавлением  аждому из найденных решений чисел, ратных 2π. 5π

Ответ. x = -----16 + πk, k Ý Z.

124. Найдите все решения уравнения 3π 7π 5 – 8 cos  x – -------  = 2 sin  2x – -------  ,   2  2 

удовлетворяющие неравенству cos x > 0.

138

Г л а в а 5. Тригонометрия 125. Найдите все решения уравнения tg x + sin x +

tg x – sin x =

2 + tg x – 

–

16 ------ + tg x = 9

3 tg x

π π π π tg  --4- + x  = ctg  --2- – --4- – x  = ctg  --4- – x  .      

Та а π 1 tg  --4- – x  = -------------------------------- ,   π 

2 --- – cos 2 x . 9

ctg  --- – x  4

то левая часть уравнения (*) представляет собой сумму двух взаимно обратных величин. Известно, что при a > 0 справедливо неравенство

127. Найдите все решения уравнения π 3π  sin  x – --4-  – cos  x + -----4  = 1,    2 cos 7x

удовлетворяющие неравенству --------------------------------cos 3 + sin 3 > 2


1

·

cos 2x

a + --a- l 2. .

Таим образом, равенство (*) достиается тольо при условии

128. Найдите все решения уравнения

π tg  --4- + x  = 1.  

π 1 sin  x + --4-  = -------------------------- ,  2 2 cos x

Ответ. x = πn, n Ý Z. sin x + sin 3x = 2.

π 5π  sin  4x + --4-  + cos  4x + -----4  = cos 2x




П р и м е р 10. Решить уравнение

129. Найдите все решения уравнения

удовлетворяющие неравенству -------------------------------cos 2 – sin 2 > 2

Р е ш е н и е. Та а |sin x| m 1, |sin 3x| m 1, то исходное уравнение эвивалентно системе

2, –sin 4x

sin x = 1,

.

π

x = --2- + 2πk,

2 sin2 x,

и

удовлетворяющие неравенству log cos 2 3 (1 + sin (7x + 5)) < sin 8x. Использование оцено обеих частей трионометричес оо равнения. Неоторые трионометричесие уравнения удается решить, используя оцени левой и правой частей уравнения.

π

2πn

x = --6- + ---------3 ,

kÝZ

(*)

n Ý Z.

(**)

Решением системы, а следовательно, и исходноо уравнения, моут быть тольо те значения x, оторые принадлежат а первому, та и второму множеству. Приравнивая правые части равенств (*) и (**), получаем уравнение 2πn π π --- + 2πk = --- + ----------- , 3 6 2

П р и м е р 9. Решить уравнение π π tg  --4- + x  + tg  --4- – x  = 2.    

sin 3x = 1.

Множества решений этих уравнений соответственно имеют вид

130. Найдите все решения уравнения π sin  2x – --4-  =  

(**)

Множество решений уравнения (**) имеет вид x = πn, n Ý Z.

удовлетворяющие неравенству log sin2 3 (1 + cos (2x + 4)) < cos 4x.


139

Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой приведения, получаем

а) на промежуте [0; π]; б) на всей числовой прямой. 126. Решите уравнение cos 2 x

§ 25. Тригонометрические уравнения

(*)

оторое после тождественных преобразований приводится  виду 2n – 6k = 1.

(***)

138

Г л а в а 5. Тригонометрия 125. Найдите все решения уравнения tg x + sin x +

tg x – sin x =

2 + tg x – 

–

16 ------ + tg x = 9

3 tg x

π π π π tg  --4- + x  = ctg  --2- – --4- – x  = ctg  --4- – x  .      

Та а π 1 tg  --4- – x  = -------------------------------- ,   π 

2 --- – cos 2 x . 9

ctg  --- – x  4

то левая часть уравнения (*) представляет собой сумму двух взаимно обратных величин. Известно, что при a > 0 справедливо неравенство

127. Найдите все решения уравнения π 3π  sin  x – --4-  – cos  x + -----4  = 1,    2 cos 7x

удовлетворяющие неравенству --------------------------------cos 3 + sin 3 > 2


1

·

cos 2x

a + --a- l 2. .

Таим образом, равенство (*) достиается тольо при условии

128. Найдите все решения уравнения

π tg  --4- + x  = 1.  

π 1 sin  x + --4-  = -------------------------- ,  2 2 cos x

Ответ. x = πn, n Ý Z. sin x + sin 3x = 2.

π 5π  sin  4x + --4-  + cos  4x + -----4  = cos 2x




П р и м е р 10. Решить уравнение

129. Найдите все решения уравнения

удовлетворяющие неравенству -------------------------------cos 2 – sin 2 > 2

Р е ш е н и е. Та а |sin x| m 1, |sin 3x| m 1, то исходное уравнение эвивалентно системе

2, –sin 4x

sin x = 1,

.

π

x = --2- + 2πk,

2 sin2 x,

и

удовлетворяющие неравенству log cos 2 3 (1 + sin (7x + 5)) < sin 8x. Использование оцено обеих частей трионометричес оо равнения. Неоторые трионометричесие уравнения удается решить, используя оцени левой и правой частей уравнения.

π

2πn

x = --6- + ---------3 ,

kÝZ

(*)

n Ý Z.

(**)

Решением системы, а следовательно, и исходноо уравнения, моут быть тольо те значения x, оторые принадлежат а первому, та и второму множеству. Приравнивая правые части равенств (*) и (**), получаем уравнение 2πn π π --- + 2πk = --- + ----------- , 3 6 2

П р и м е р 9. Решить уравнение π π tg  --4- + x  + tg  --4- – x  = 2.    

sin 3x = 1.

Множества решений этих уравнений соответственно имеют вид

130. Найдите все решения уравнения π sin  2x – --4-  =  

(**)

Множество решений уравнения (**) имеет вид x = πn, n Ý Z.

удовлетворяющие неравенству log sin2 3 (1 + cos (2x + 4)) < cos 4x.


139

Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой приведения, получаем

а) на промежуте [0; π]; б) на всей числовой прямой. 126. Решите уравнение cos 2 x

§ 25. Тригонометрические уравнения

(*)

оторое после тождественных преобразований приводится  виду 2n – 6k = 1.

(***)

140

Г л а в а 5. Тригонометрия

Очевидно, что уравнение (***) не имеет решений в целых числах, посольу при любых n и k слева находится четное число, а справа — нечетное. Таим образом, множества (*) и (**) не имеют общих точе и исходное уравнение решения не имеет.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений 3

-, sin x sin y = -----4 cos x cos y = -----4 .

Р е ш е н и е. Сладывая уравнения системы, получаем уравнение

3

134. cos x + cos y – cos (x + y) = --2- . 135. sin x + sin y = 2. 136. sin x + sin y + sin z = –3. 137. logcos x sin x + logsin x cos x = 2.

3

3

------sin x sin y + cos x cos y = -----2 _ cos (x – y) = 2 .

Вычитая из второо уравнения системы первое, приходим  уравнению

138. cos2 x + cos x cos y + cos2 y = 0. 139.

141

3

Решите уравнение: 131. sin x + sin 5x = 2. 132. sin x sin y = 1. 133. 3lg tg x + 3lg ctg x = 2. 

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

2 – y (5 sin2 x – 6 sin x cos x – 9 cos2 x + 3 3 33 ) =

cos x cos y – sin x sin y = 0 _ cos (x + y) = 0. Таим образом, исходная система равносильна системе

5π 2

= arcsin2 x + arccos2 x – --------4 . π 2  3π  140. tg x = --π-  x – --4- – x – -------  . 4  

141. Доажите, что уравнение (sin x + 3 cos x) sin 4x = 2 не имеет решений. 142. Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению


4x 2 – 3 – x 8 [1 – cos (2π(2x + 21x2))]

Систему уравнений, в оторой неизвестные являются арументами трионометричесих фунций, называют системой трионометричесих
равнений. При решении систем трионометричесих уравнений используются методы решения систем уравнений и методы решения трионометричесих уравнений.

π

x + y = --2- + πk,

π

π

π

π

x = --3- + --2- (2n + k),

n Ý Z, k Ý Z,

π

π

π

π

x = --6- + --2- (2n + k),

y = --6- + --2- (k – 2n),

y = --3- + --2- (k – 2n).

π π π π Ответ.  --3- + --2- (2n + k); --6- + --2- (k – 2n)  ,  

не обращается в нуль.

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

x – y = ä --6- + 2πn,

отуда

πx  49 – 4x  sin πx + 3 cos -----2  = 0. 

143. Найдите все значения x, при оторых выражение

π

3

cos (x – y) = -----2 , _ cos (x + y) = 0

 --π- + --π- (2n + k); --π- + --π- (k – 2n)  , 2 3 2 6 

n Ý Z, k Ý Z.

Решите систему уравнений: 1.

sin x cos y = –0,5, cos x sin y = 0,5.

3.

sin x sin y = --4- , tg x tg y = 3.

2.

sin x cos y = 0,36, cos x sin y = 0,175. 1+ 2

3

4.

-, cos x cos y = ----------------4

ctg x ctg y = 3 + 2 2 .

140

Г л а в а 5. Тригонометрия

Очевидно, что уравнение (***) не имеет решений в целых числах, посольу при любых n и k слева находится четное число, а справа — нечетное. Таим образом, множества (*) и (**) не имеют общих точе и исходное уравнение решения не имеет.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений 3

-, sin x sin y = -----4 cos x cos y = -----4 .

Р е ш е н и е. Сладывая уравнения системы, получаем уравнение

3

134. cos x + cos y – cos (x + y) = --2- . 135. sin x + sin y = 2. 136. sin x + sin y + sin z = –3. 137. logcos x sin x + logsin x cos x = 2.

3

3

------sin x sin y + cos x cos y = -----2 _ cos (x – y) = 2 .

Вычитая из второо уравнения системы первое, приходим  уравнению

138. cos2 x + cos x cos y + cos2 y = 0. 139.

141

3

Решите уравнение: 131. sin x + sin 5x = 2. 132. sin x sin y = 1. 133. 3lg tg x + 3lg ctg x = 2. 

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

2 – y (5 sin2 x – 6 sin x cos x – 9 cos2 x + 3 3 33 ) =

cos x cos y – sin x sin y = 0 _ cos (x + y) = 0. Таим образом, исходная система равносильна системе

5π 2

= arcsin2 x + arccos2 x – --------4 . π 2  3π  140. tg x = --π-  x – --4- – x – -------  . 4  

141. Доажите, что уравнение (sin x + 3 cos x) sin 4x = 2 не имеет решений. 142. Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению


4x 2 – 3 – x 8 [1 – cos (2π(2x + 21x2))]

Систему уравнений, в оторой неизвестные являются арументами трионометричесих фунций, называют системой трионометричесих
равнений. При решении систем трионометричесих уравнений используются методы решения систем уравнений и методы решения трионометричесих уравнений.

π

x + y = --2- + πk,

π

π

π

π

x = --3- + --2- (2n + k),

n Ý Z, k Ý Z,

π

π

π

π

x = --6- + --2- (2n + k),

y = --6- + --2- (k – 2n),

y = --3- + --2- (k – 2n).

π π π π Ответ.  --3- + --2- (2n + k); --6- + --2- (k – 2n)  ,  

не обращается в нуль.

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

x – y = ä --6- + 2πn,

отуда

πx  49 – 4x  sin πx + 3 cos -----2  = 0. 

143. Найдите все значения x, при оторых выражение

π

3

cos (x – y) = -----2 , _ cos (x + y) = 0

 --π- + --π- (2n + k); --π- + --π- (k – 2n)  , 2 3 2 6 

n Ý Z, k Ý Z.

Решите систему уравнений: 1.

sin x cos y = –0,5, cos x sin y = 0,5.

3.

sin x sin y = --4- , tg x tg y = 3.

2.

sin x cos y = 0,36, cos x sin y = 0,175. 1+ 2

3

4.

-, cos x cos y = ----------------4

ctg x ctg y = 3 + 2 2 .

142

Г л а в а 5. Тригонометрия 5. 6.

7.

8. 9.

10.

11. 12.

sin x – sin y = 0,5,

sin 2x + sin 2y = 3(sin x + sin y), cos 2x + cos 2y = cos x + cos y.

143

2 3 cos x + 6 sin y = 3 + 12 sin2 x, 4 3 cos x + 2 sin y = 7. 2y +

12 ctg x = 4,

2 2y –

27 ctg x = 1.

3 tg 3y + 2 cos x = 2 tg 60°,

tg x cos y = 0,5 3 .

19.

tg x = sin y, sin x = 2 ctg y. sin y = 5 sin x, 3 cos x + cos y = 2. y 3 tg --2- + 6 sin x = 2 sin (y – x),

5

2 tg 3y – 3 cos x = – --3- cos 30°.

20.

sin (y – 3x) = 2 sin3 x, cos (y – 3x) = 2 cos3 x.

21.

sin (x – y) = 3 sin x cos y – 1, sin (x + y) = –2 cos x sin y.

22.

tg2 x + ctg2 x = 2 sin2 y, sin2 y + cos2 z = 1.

y

tg --2- – 2 sin x = 6 sin (y + x).

π

x + y = --3- ,

23.

3 tg x ----------- = --- . 4 tg y

sin2 x

+ cos x sin y = cos 2y, cos 2x + sin 2y = sin2 y + 3 cos y sin x. 24.

sin2 y

2 + sin 2y = cos (x + y), cos2 x + 2 sin 2y + sin2 y = cos (x – y).

tg2 5y + (3 – sin2 3x + (4 –

16.

18.

sin x ctg y = 0,5 6 ,

13.

15.

17.

cos x + cos y = 0,5 3 .

sin2 (–2x) – (3 –

14.

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

3 2–1 2 ) tg 5y = --------------------, 2 3 2–1




25.

4

sin x

4

–sin x

+3· 9

cos y

+ 5 · 81

= 3,

cos y + 0,5

= 5,5. tg x ----------- = 2, tg y

x + y + z = π, tg x tg y = 2, tg x + tg y + tg z = 6.




26.

tg y ---------- = 3, tg z

2 ) sin (–2x) = --------------------. 2 3

3 ) ctg (–7y) = 2 3 – --4- ,

ctg2 (–7y) + (4 –

3

3 ) sin 3x = 2 3 – --4- .

4 sin y – 6 2 cos x = 5 + 4 cos2 y, cos 2x = 0. 1 + 2 cos 2x = 0, 6 cos y – 4 sin x = 2 3 (1 + sin2 y).

x + y + z = π. 27. Найдите решения системы 1

| sin x | sin y = – --4- , 3

cos (x + y) + cos (x – y) = --2- , удовлетворяющие условиям x Ý (0; 2π); y Ý (π; 2π). Если одно из уравнений системы рационально относительно арументов трионометричесих фунций, то решение системы обычно сводится  решению трионометричесоо уравнения для одноо из неизвестных.

142

Г л а в а 5. Тригонометрия 5. 6.

7.

8. 9.

10.

11. 12.

sin x – sin y = 0,5,

sin 2x + sin 2y = 3(sin x + sin y), cos 2x + cos 2y = cos x + cos y.

143

2 3 cos x + 6 sin y = 3 + 12 sin2 x, 4 3 cos x + 2 sin y = 7. 2y +

12 ctg x = 4,

2 2y –

27 ctg x = 1.

3 tg 3y + 2 cos x = 2 tg 60°,

tg x cos y = 0,5 3 .

19.

tg x = sin y, sin x = 2 ctg y. sin y = 5 sin x, 3 cos x + cos y = 2. y 3 tg --2- + 6 sin x = 2 sin (y – x),

5

2 tg 3y – 3 cos x = – --3- cos 30°.

20.

sin (y – 3x) = 2 sin3 x, cos (y – 3x) = 2 cos3 x.

21.

sin (x – y) = 3 sin x cos y – 1, sin (x + y) = –2 cos x sin y.

22.

tg2 x + ctg2 x = 2 sin2 y, sin2 y + cos2 z = 1.

y

tg --2- – 2 sin x = 6 sin (y + x).

π

x + y = --3- ,

23.

3 tg x ----------- = --- . 4 tg y

sin2 x

+ cos x sin y = cos 2y, cos 2x + sin 2y = sin2 y + 3 cos y sin x. 24.

sin2 y

2 + sin 2y = cos (x + y), cos2 x + 2 sin 2y + sin2 y = cos (x – y).

tg2 5y + (3 – sin2 3x + (4 –

16.

18.

sin x ctg y = 0,5 6 ,

13.

15.

17.

cos x + cos y = 0,5 3 .

sin2 (–2x) – (3 –

14.

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

3 2–1 2 ) tg 5y = --------------------, 2 3 2–1




25.

4

sin x

4

–sin x

+3· 9

cos y

+ 5 · 81

= 3,

cos y + 0,5

= 5,5. tg x ----------- = 2, tg y

x + y + z = π, tg x tg y = 2, tg x + tg y + tg z = 6.




26.

tg y ---------- = 3, tg z

2 ) sin (–2x) = --------------------. 2 3

3 ) ctg (–7y) = 2 3 – --4- ,

ctg2 (–7y) + (4 –

3

3 ) sin 3x = 2 3 – --4- .

4 sin y – 6 2 cos x = 5 + 4 cos2 y, cos 2x = 0. 1 + 2 cos 2x = 0, 6 cos y – 4 sin x = 2 3 (1 + sin2 y).

x + y + z = π. 27. Найдите решения системы 1

| sin x | sin y = – --4- , 3

cos (x + y) + cos (x – y) = --2- , удовлетворяющие условиям x Ý (0; 2π); y Ý (π; 2π). Если одно из уравнений системы рационально относительно арументов трионометричесих фунций, то решение системы обычно сводится  решению трионометричесоо уравнения для одноо из неизвестных.

144

Г л а в а 5. Тригонометрия

2π

x + y = -----3 ,

Решения простейших уравнений, содержащих обратные трионометричесие фунции, приведены в таблице:

sin x ------------- = 2. sin y

Р е ш е н и е. Преобразуем второе уравнение системы  виду sin x = 2 sin y.

(*)

Используя первое уравнение системы, ислючим из уравнения (*) неизвестное y: 3 cos x + sin x.

Полученное уравнение эвивалентно трионометричесому уравнению cos x = 0. (**) Подставляя орни уравнения (**) в первое уравнение системы, получим значения для неизвестноо y. π π Ответ. x = --2- + πk, y = --6- – πk, k Ý Z.

29.

π

31.

 | a | m --π-  2  

x = sin a

arccos x = a

(0 m a m π)

x = cos a

arctg x = a

 | a | < --π-  2  

x = tg a

arcctg x = a

(0 < a < π)

x = ctg a

Уравнения вида R (y (x)) = 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y(x) — одна из арфунций, сводятся  простейшим уравнениям

2 arcsin2 x – arcsin x – 6 = 0.

tg x + ctg y = 3, 30.

π

| x – y | = --3- .

sin x + sin y = sin (x + y), | x | + | y | = 1.

32. Выясните, при аих значениях a решения системы 8 cos x cos y cos (x – y) + 1 = 0, x+y=a существуют, и найдите эти решения.

arcsin x = a

П р и м е р 1. Решить уравнение

π  π 1  ---  --sin  x + -----18  sin  y + 9  = 2 . 

x – y = --6- .

Решение уравнения

де yi — орни уравнения R (y) = 0.

π x – y = -----18 ,

1 – tg x --------------------- = tg y, 1 + tg x

Уравнение

y (x) = yi,

Решите систему:

28.

145

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

2π  sin x = 2 sin  -----3 – x  _ sin x =

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

Р е ш е н и е. Введя новое неизвестное y = arcsin x, получим уравнение 2y2 – y – 6 = 0, имеющее орни y1 = 2, y2 = –1,5. Следовательно, решение исходноо уравнения сводится  решению двух простейших уравнений arcsin x = 2, arcsin x = –1,5. π

π

Та а 2 > --2- , а |–1,5| < --2- , то единственным решением является x = –sin 1,5. Ответ. x = –sin 1,5.

144

Г л а в а 5. Тригонометрия

2π

x + y = -----3 ,

Решения простейших уравнений, содержащих обратные трионометричесие фунции, приведены в таблице:

sin x ------------- = 2. sin y

Р е ш е н и е. Преобразуем второе уравнение системы  виду sin x = 2 sin y.

(*)

Используя первое уравнение системы, ислючим из уравнения (*) неизвестное y: 3 cos x + sin x.

Полученное уравнение эвивалентно трионометричесому уравнению cos x = 0. (**) Подставляя орни уравнения (**) в первое уравнение системы, получим значения для неизвестноо y. π π Ответ. x = --2- + πk, y = --6- – πk, k Ý Z.

29.

π

31.

 | a | m --π-  2  

x = sin a

arccos x = a

(0 m a m π)

x = cos a

arctg x = a

 | a | < --π-  2  

x = tg a

arcctg x = a

(0 < a < π)

x = ctg a

Уравнения вида R (y (x)) = 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y(x) — одна из арфунций, сводятся  простейшим уравнениям

2 arcsin2 x – arcsin x – 6 = 0.

tg x + ctg y = 3, 30.

π

| x – y | = --3- .

sin x + sin y = sin (x + y), | x | + | y | = 1.

32. Выясните, при аих значениях a решения системы 8 cos x cos y cos (x – y) + 1 = 0, x+y=a существуют, и найдите эти решения.

arcsin x = a

П р и м е р 1. Решить уравнение

π  π 1  ---  --sin  x + -----18  sin  y + 9  = 2 . 

x – y = --6- .

Решение уравнения

де yi — орни уравнения R (y) = 0.

π x – y = -----18 ,

1 – tg x --------------------- = tg y, 1 + tg x

Уравнение

y (x) = yi,

Решите систему:

28.

145

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

2π  sin x = 2 sin  -----3 – x  _ sin x =

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

Р е ш е н и е. Введя новое неизвестное y = arcsin x, получим уравнение 2y2 – y – 6 = 0, имеющее орни y1 = 2, y2 = –1,5. Следовательно, решение исходноо уравнения сводится  решению двух простейших уравнений arcsin x = 2, arcsin x = –1,5. π

π

Та а 2 > --2- , а |–1,5| < --2- , то единственным решением является x = –sin 1,5. Ответ. x = –sin 1,5.

146

Г л а в а 5. Тригонометрия Решите уравнение: 1.

147

Возведя обе части уравнения в вадрат и приведя подобные члены, получаем уравнение

x --3 – 4 arctg 3 – 5 = 0.

x arctg2 ---

144x2 = 1,

2. arctg2 (3x + 2) + 2 arctg (3x + 2) = 0.

1

1

-----орнями отороо являются числа -----12 и – 12 .

π2 -----π 9 3. 2 arcsin x = --3- + --------------------arcsin x .

Выполним проверу. Подставив в уравнение (*) значение 1

x = – -----12 , имеем

4. 3 arctg2 x – 4π arctg x + π2 = 0.
5. Найдите решения уравнения

 π π 1 3  π ------arcsin  – --2-  + arcsin  – -----2  = –6 – 3 = –2 .  

a2 2 arccos x = a + --------------------arccos x

1

Таим образом, x = – -----12 является орнем исходноо уравнения.

при действительных значениях a. Если в уравнение входят выражения, содержащие разные арфунции, или эти арфунции зависят от разных арументов, то ео сводят  алебраичесому уравнению вычислением неоторой трионометричесой фунции от обеих частей данноо уравнения. Получающиеся при этом посторонние орни отделяют проверой. Если в ачестве трионометричесой фунции выбирают таненс или отаненс, то решения, не входящие в области определения этих фунций, моут быть потеряны. Поэтому перед вычислением значений таненса или отаненса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точе, не входящих в область определения этих фунций, нет орней исходноо уравнения.

1

Подставив в уравнение (*) значение x = -----12 , замечаем, что левая часть полученноо соотношения положительна, а правая — 1

отрицательна. Поэтому значение x = -----12 — посторонний орень уравнения (*). 1

Ответ. x = – -----12 . П р и м е р 3. Решить уравнение 2 arctg (2x + 1) = arccos (–x).

(*)

Р е ш е н и е. Вычисляя значения осинуса от обеих частей уравнения, получаем

П р и м е р 2. Решить уравнение π

arcsin 6x + arcsin 6 3 x = – --2- .

(*)

Р е ш е н и е. Перенесем arcsin 6x в правую часть уравнения и вычислим значения синуса об обеих частей полученноо уравнения: π sin (arcsin 6x) = sin  –arcsin 6 3 x – --2-  .

Преобразуя правую часть этоо уравнения по формулам приведения, приходим  алебраичесому уравнению, являющемуся следствием уравнения (*): 6x = – 1 – 108x 2 .

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

cos (2 arctg (2x + 1)) = –x. Левую часть этоо уравнения можно преобразовать  виду 1 – ( 2x + 1 ) 2 1 + ( 2x + 1 )

2x 2 + 2x 1 + 2x + 2x

cos (2 arctg (2x + 1)) = -----------------------------------2- = – -----------------------------------2 . Таим образом, приходим  алебраичесому уравнению, являющемуся следствием уравнения (*): 2x 2 + 2x -----------------------------------2 = x _ 2x3 – x = 0; 1 + 2x + 2x 2

2

------оно имеет орни 0, -----2 , – 2 . Чтобы выяснить, аие из этих чисел удовлетворяют исходному уравнению, выполним провер-

146

Г л а в а 5. Тригонометрия Решите уравнение: 1.

147

Возведя обе части уравнения в вадрат и приведя подобные члены, получаем уравнение

x --3 – 4 arctg 3 – 5 = 0.

x arctg2 ---

144x2 = 1,

2. arctg2 (3x + 2) + 2 arctg (3x + 2) = 0.

1

1

-----орнями отороо являются числа -----12 и – 12 .

π2 -----π 9 3. 2 arcsin x = --3- + --------------------arcsin x .

Выполним проверу. Подставив в уравнение (*) значение 1

x = – -----12 , имеем

4. 3 arctg2 x – 4π arctg x + π2 = 0.
5. Найдите решения уравнения

 π π 1 3  π ------arcsin  – --2-  + arcsin  – -----2  = –6 – 3 = –2 .  

a2 2 arccos x = a + --------------------arccos x

1

Таим образом, x = – -----12 является орнем исходноо уравнения.

при действительных значениях a. Если в уравнение входят выражения, содержащие разные арфунции, или эти арфунции зависят от разных арументов, то ео сводят  алебраичесому уравнению вычислением неоторой трионометричесой фунции от обеих частей данноо уравнения. Получающиеся при этом посторонние орни отделяют проверой. Если в ачестве трионометричесой фунции выбирают таненс или отаненс, то решения, не входящие в области определения этих фунций, моут быть потеряны. Поэтому перед вычислением значений таненса или отаненса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точе, не входящих в область определения этих фунций, нет орней исходноо уравнения.

1

Подставив в уравнение (*) значение x = -----12 , замечаем, что левая часть полученноо соотношения положительна, а правая — 1

отрицательна. Поэтому значение x = -----12 — посторонний орень уравнения (*). 1

Ответ. x = – -----12 . П р и м е р 3. Решить уравнение 2 arctg (2x + 1) = arccos (–x).

(*)

Р е ш е н и е. Вычисляя значения осинуса от обеих частей уравнения, получаем

П р и м е р 2. Решить уравнение π

arcsin 6x + arcsin 6 3 x = – --2- .

(*)

Р е ш е н и е. Перенесем arcsin 6x в правую часть уравнения и вычислим значения синуса об обеих частей полученноо уравнения: π sin (arcsin 6x) = sin  –arcsin 6 3 x – --2-  .

Преобразуя правую часть этоо уравнения по формулам приведения, приходим  алебраичесому уравнению, являющемуся следствием уравнения (*): 6x = – 1 – 108x 2 .

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

cos (2 arctg (2x + 1)) = –x. Левую часть этоо уравнения можно преобразовать  виду 1 – ( 2x + 1 ) 2 1 + ( 2x + 1 )

2x 2 + 2x 1 + 2x + 2x

cos (2 arctg (2x + 1)) = -----------------------------------2- = – -----------------------------------2 . Таим образом, приходим  алебраичесому уравнению, являющемуся следствием уравнения (*): 2x 2 + 2x -----------------------------------2 = x _ 2x3 – x = 0; 1 + 2x + 2x 2

2

------оно имеет орни 0, -----2 , – 2 . Чтобы выяснить, аие из этих чисел удовлетворяют исходному уравнению, выполним провер-

148

Г л а в а 5. Тригонометрия 2

π

у. При x = 0 обе части уравнения (*) равны --2- . При x = -----2 3π 4

правая и левая части уравнения (*) равны соответственно ------- и 2 arctg ( 2 + 1). Но

2( 2 + 1) 1–3–2 2

2

2

- правая и левая части уравнения (*) равны соПри x = – -----2 π 4

ответственно --- и 2 arctg (1 – 2). Имеем

2(1 – 2) 1 – (1 – 2)

2tg (arctg(1 – 2)) - = 2) ) = -------------------------------------------------------------1 – tg 2 (arctg(1 – 2)) 2(1 – 2) 1–3+2 2

2(1 – 2) 2( 2 – 1)

= -----------------------------------2- = -------------------------------- = -------------------------- = –1 2 2

π

15. arccos x – arcsin x = --6- . π

17. arcsin 2x = 3 arcsin x.

2( 2 + 1) –2( 2 + 1)

- . Значит, x = ------- являи, следовательно, 2 arctg ( 2 + 1) = -----2 4 ется орнем исходноо уравнения.

tg (2 arctg (1 –

x x 14. arctg --3- + arctg --2- = arctg x.

16. arcsin x + arcsin ------- = --2- . 3

= -----------------------------------2- = ------------------------------- = ------------------------------ = –1 3π

149

2 x.

13. 2 arcsin x = arcsin

x

2tg(arctg ( 2 + 1 ) 1 – tg (arctg( 2 + 1 ))

- = tg (2arctg ( 2 + 1 ) ) = -------------------------------------------------------------2 2( 2 + 1 ) 1 – ( 2 + 1)

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

и, значит, x = – ------- не является орнем исходноо уравнения.

18. arccos x – arcsin x = arccos 3 x. 19. arcsin x – arccos x = arcsin (3x – 2). Неоторые уравнения, содержащие неизвестное под знаом арфунции, представляют собой тождества на общей области определения левой и правой частей уравнения. Процесс решения таоо уравнения залючается в нахождении этой области. П р и м е р 4. Решить уравнение 2 arccos x = arcsin (2x 1 – x 2 ).

(*)

Р е ш е н и е. Соласно определению фунции y = arccos x, имеем x = cos y, де 0 m y m π, | x | m 1. Подставляя это выражение в правую часть уравнения (*), получаем arcsin (2 cos y sin y) = arcsin (sin 2y). Далее, в силу определения фунции y = arcsin x находим

2 2

Ответ. x = 0, x = ------- .

arcsin (sin 2y) = 2y

Решите уравнение: x

6. arccos --2- = 2 arctg (x – 1). 4x 7. arccos x – π = arcsin -----3 . 1 1 π 8. arctg  x + --2-  + arctg  x – --2-  = --4- .

11π

11. 2 arccos x + arcsin x = --------6 . x 12. 2 arccos  – --2-  = arccos (x + 3).  

π

Таим образом, левая часть уравнения (*) равна ео правой π

части при всех y Ý 0; --4- . Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что x Ý

3π

9. arctg 2x + arctg 3x = -----4 . 10. arcsin x + arccos (x – 1) = π.

π

при – --4- m y m --4- .

Ответ. x Ý

2 ------- ; 1 2

2 ------- ; 1 2

.

.

Решите уравнение: 20. arcsin x = arccos

1 – x2 .

21. arccos x = π – arcsin

1 – x2 .

148

Г л а в а 5. Тригонометрия 2

π

у. При x = 0 обе части уравнения (*) равны --2- . При x = -----2 3π 4

правая и левая части уравнения (*) равны соответственно ------- и 2 arctg ( 2 + 1). Но

2( 2 + 1) 1–3–2 2

2

2

- правая и левая части уравнения (*) равны соПри x = – -----2 π 4

ответственно --- и 2 arctg (1 – 2). Имеем

2(1 – 2) 1 – (1 – 2)

2tg (arctg(1 – 2)) - = 2) ) = -------------------------------------------------------------1 – tg 2 (arctg(1 – 2)) 2(1 – 2) 1–3+2 2

2(1 – 2) 2( 2 – 1)

= -----------------------------------2- = -------------------------------- = -------------------------- = –1 2 2

π

15. arccos x – arcsin x = --6- . π

17. arcsin 2x = 3 arcsin x.

2( 2 + 1) –2( 2 + 1)

- . Значит, x = ------- являи, следовательно, 2 arctg ( 2 + 1) = -----2 4 ется орнем исходноо уравнения.

tg (2 arctg (1 –

x x 14. arctg --3- + arctg --2- = arctg x.

16. arcsin x + arcsin ------- = --2- . 3

= -----------------------------------2- = ------------------------------- = ------------------------------ = –1 3π

149

2 x.

13. 2 arcsin x = arcsin

x

2tg(arctg ( 2 + 1 ) 1 – tg (arctg( 2 + 1 ))

- = tg (2arctg ( 2 + 1 ) ) = -------------------------------------------------------------2 2( 2 + 1 ) 1 – ( 2 + 1)

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

и, значит, x = – ------- не является орнем исходноо уравнения.

18. arccos x – arcsin x = arccos 3 x. 19. arcsin x – arccos x = arcsin (3x – 2). Неоторые уравнения, содержащие неизвестное под знаом арфунции, представляют собой тождества на общей области определения левой и правой частей уравнения. Процесс решения таоо уравнения залючается в нахождении этой области. П р и м е р 4. Решить уравнение 2 arccos x = arcsin (2x 1 – x 2 ).

(*)

Р е ш е н и е. Соласно определению фунции y = arccos x, имеем x = cos y, де 0 m y m π, | x | m 1. Подставляя это выражение в правую часть уравнения (*), получаем arcsin (2 cos y sin y) = arcsin (sin 2y). Далее, в силу определения фунции y = arcsin x находим

2 2

Ответ. x = 0, x = ------- .

arcsin (sin 2y) = 2y

Решите уравнение: x

6. arccos --2- = 2 arctg (x – 1). 4x 7. arccos x – π = arcsin -----3 . 1 1 π 8. arctg  x + --2-  + arctg  x – --2-  = --4- .

11π

11. 2 arccos x + arcsin x = --------6 . x 12. 2 arccos  – --2-  = arccos (x + 3).  

π

Таим образом, левая часть уравнения (*) равна ео правой π

части при всех y Ý 0; --4- . Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что x Ý

3π

9. arctg 2x + arctg 3x = -----4 . 10. arcsin x + arccos (x – 1) = π.

π

при – --4- m y m --4- .

Ответ. x Ý

2 ------- ; 1 2

2 ------- ; 1 2

.

.

Решите уравнение: 20. arcsin x = arccos

1 – x2 .

21. arccos x = π – arcsin

1 – x2 .

150

Г л а в а 5. Тригонометрия 1 – x2

22. arccos x = arctg -------------------. x

§ 28. Тригонометрические неравенства Решите неравенство: 1. sin x > – 0,5.

23. arcsin (2x 1 – x 2 ) = arccos (2x2 – 1). 24. 2 arccos x = arccos (2x2 – 1). 2x 1+x

25. 2 arctg x = arcsin ----------------2- . 1 – x2 26. 2 arctg x = arccos ----------------2- . 1+x x

27. arccos x = arcctg --------------------2 . 1–x

2x 2 – 1

28. 2 arccos x = arcctg ----------------------------2 . 2x 1 – x


29. Решите уравнение arcsin x = 2 arcsin a при всех действительных значениях a.
30. Решите уравнение arccos x = arcsin 2a при всех действительных значениях a.




151

2. tg x > 2.

3. ctg x > –3.

4. sin (x – 1) m – 0,5 3 .

5. sin x2 m 0,5. 7. cos sin x < 0.

6. sin x + cos x > – 2 . 8. sin cos x l 0.

Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y — одна из трионометричесих фунций (синус, осинус, таненс или отаненс), решают в два этапа: сначала — рациональное неравенство относительно неизвестноо y, а затем — простейшее трионометричесое неравенство. П р и м е р 1. Решить неравенство 2 sin2 x – 7 sin x + 3 > 0. Р е ш е н и е. Полаая sin x = y, получим неравенство 2y2 – 7y + 3 > 0, 1

§ 28. Тригонометрические неравенства

имеющее множество решений y < --2- , y > 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что данное неравенство эвивалентно двум неравенствам

Решения простейших трионометричесих неравенств приведены в таблице: Неравенство

Решение неравенства (n Ý Z)

1

sin x < --2- ,

sin x > 3.

Второе неравенство не имеет решений, а решение первоо таово: π 7π - + 2πn; --- + 2πn  , n Ý Z. x Ý  – -----6  6 

sin x > a (| a | < 1)

x Ý (arcsin a + 2πn; π – arcsin a + 2πn)

sin x < a (| a | < 1)

x Ý (–π – arcsin a + 2πn; arcsin a + 2πn)

cos x > a (| a | < 1)

x Ý (–arccos a + 2πn; arccos a + 2πn)

π 7π - + 2πn; --- + 2πn  , n Ý Z. Ответ. x Ý  – -----6   6

cos x < a (| a | < 1)

x Ý (arccos a + 2πn; 2π – arccos a + 2πn)

Решите неравенство:

tg x > a

π x Ý  arctg a + πn; --2- + πn   

tg x < a

π x Ý  – --2- + πn; arctg a + πn   

9. 10. 11. 12.

ctg3 x + ctg2 x – ctg x – 1 < 0. 2 cos 2x + sin 2x > tg x. tg x + ctg x < –3. sin 2x > cos x.

ctg x > a

x Ý (πn; arcctg a + πn)

13. cos x +

ctg x < a

x Ý (arcctg a + πn; π + πn)

14.

3 cos x < 0.

3 – 4 cos 2 x > 2 sin x + 1.

150

Г л а в а 5. Тригонометрия 1 – x2

22. arccos x = arctg -------------------. x

§ 28. Тригонометрические неравенства Решите неравенство: 1. sin x > – 0,5.

23. arcsin (2x 1 – x 2 ) = arccos (2x2 – 1). 24. 2 arccos x = arccos (2x2 – 1). 2x 1+x

25. 2 arctg x = arcsin ----------------2- . 1 – x2 26. 2 arctg x = arccos ----------------2- . 1+x x

27. arccos x = arcctg --------------------2 . 1–x

2x 2 – 1

28. 2 arccos x = arcctg ----------------------------2 . 2x 1 – x


29. Решите уравнение arcsin x = 2 arcsin a при всех действительных значениях a.
30. Решите уравнение arccos x = arcsin 2a при всех действительных значениях a.




151

2. tg x > 2.

3. ctg x > –3.

4. sin (x – 1) m – 0,5 3 .

5. sin x2 m 0,5. 7. cos sin x < 0.

6. sin x + cos x > – 2 . 8. sin cos x l 0.

Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y — одна из трионометричесих фунций (синус, осинус, таненс или отаненс), решают в два этапа: сначала — рациональное неравенство относительно неизвестноо y, а затем — простейшее трионометричесое неравенство. П р и м е р 1. Решить неравенство 2 sin2 x – 7 sin x + 3 > 0. Р е ш е н и е. Полаая sin x = y, получим неравенство 2y2 – 7y + 3 > 0, 1

§ 28. Тригонометрические неравенства

имеющее множество решений y < --2- , y > 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что данное неравенство эвивалентно двум неравенствам

Решения простейших трионометричесих неравенств приведены в таблице: Неравенство

Решение неравенства (n Ý Z)

1

sin x < --2- ,

sin x > 3.

Второе неравенство не имеет решений, а решение первоо таово: π 7π - + 2πn; --- + 2πn  , n Ý Z. x Ý  – -----6  6 

sin x > a (| a | < 1)

x Ý (arcsin a + 2πn; π – arcsin a + 2πn)

sin x < a (| a | < 1)

x Ý (–π – arcsin a + 2πn; arcsin a + 2πn)

cos x > a (| a | < 1)

x Ý (–arccos a + 2πn; arccos a + 2πn)

π 7π - + 2πn; --- + 2πn  , n Ý Z. Ответ. x Ý  – -----6   6

cos x < a (| a | < 1)

x Ý (arccos a + 2πn; 2π – arccos a + 2πn)

Решите неравенство:

tg x > a

π x Ý  arctg a + πn; --2- + πn   

tg x < a

π x Ý  – --2- + πn; arctg a + πn   

9. 10. 11. 12.

ctg3 x + ctg2 x – ctg x – 1 < 0. 2 cos 2x + sin 2x > tg x. tg x + ctg x < –3. sin 2x > cos x.

ctg x > a

x Ý (πn; arcctg a + πn)

13. cos x +

ctg x < a

x Ý (arcctg a + πn; π + πn)

14.

3 cos x < 0.

3 – 4 cos 2 x > 2 sin x + 1.

152

Г л а в а 5. Тригонометрия 15.

153

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

3 sin x + 1 > 4 sin x + 1. 2 sin 2 x + sin x – 1

- < 0. 16. --------------------------------------------------sin x – 1

Решение простейших неравенств, содержащих обратные трионометричесие фунции, приведено в таблице:

3 cos x

17. -------------- < 4tg x. 2 18. 5 + 2 cos 2x m 3 |2 sin x – 1|. В неоторых случаях при решении неравенств используют разложение на множители. П р и м е р 2. Решить неравенство cos x + cos 2x + cos 3x > 0. Р е ш е н и е. Преобразуя сумму райних слааемых в произведение, получаем неравенство cos 2x + 2 cos 2x cos x > 0, или cos 2x (2 cos x + 1) > 0. Последнее неравенство эвивалентно двум системам простейших неравенств: cos 2x < 0,

cos 2x > 0,

1 cos x < – --2- ;

1 cos x > – --2- .

Объединяя решения этих систем, находим решение исходноо неравенства. π 3π π 2π - + 2πn; ------- + 2πn  Ÿ Ответ.  – --4- + 2πn; --4- + 2πn  Ÿ  -----4    3  4π 5π  ------Ÿ  -----4 + 2πn; 3 + 2πn  , n Ý Z.

Решите неравенство: 19. sin x sin 2x – cos x cos 2x > sin 6x. 20. 2 sin x sin 2x sin 3x < sin 4x. 21. sin x sin 3x > sin 5x sin 7x. 3

22. cos3 x sin 3x + cos 3x sin3 x < --8- . 23. sin x l cos 2x. 24. 2 tg 2x m 3 tg x. 25. sin x < | cos x |.

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригоном. функции

Неравенство arcsin x > a

Решение неравенства

 | a | < --π-  2  

x Ý (sin a; 1)

arcsin x < a

 | a | < --π-  2  

x Ý (–1; sin a)

arccos x > a

(0 < a < π)

x Ý (–1; cos a)

arccos x < a

(0 < a < π)

x Ý (cos a; 1)

arctg x > a

 | a | < --π-  2  

x Ý (tg a; +×)

arctg x < a

 | a | < --π-  2  

x Ý (–×; tg a)

arcctg x > a

(0 < a < π)

x Ý (–×; ctg a)

arcctg x < a

(0 < a < π)

x Ý (ctg a; +×)

Решите неравенство: 1. arcsin x m 5. 1 3. arccos x m arccos --4- . π 5. arctg x > – --3- .

2. arcsin x l –2. π

4. arccos x > --6- . 6. arcctg x > 2.

Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y — одна из обратных трионометричесих фунций (арсинус, аросинус, артаненс, аротаненс), решают в два этапа: сначала — неравенство относительно неизвестноо y, а затем — простейшее неравенство, содержащее обратную трионометричесую фунцию. П р и м е р 1. Решить неравенство arcctg2 x – 5 arcctg x + 6 > 0. Р е ш е н и е. Положим arcctg x = y и перепишем исходное неравенство в виде y2 – 5y + 6 > 0;

152

Г л а в а 5. Тригонометрия 15.

153

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

3 sin x + 1 > 4 sin x + 1. 2 sin 2 x + sin x – 1

- < 0. 16. --------------------------------------------------sin x – 1

Решение простейших неравенств, содержащих обратные трионометричесие фунции, приведено в таблице:

3 cos x

17. -------------- < 4tg x. 2 18. 5 + 2 cos 2x m 3 |2 sin x – 1|. В неоторых случаях при решении неравенств используют разложение на множители. П р и м е р 2. Решить неравенство cos x + cos 2x + cos 3x > 0. Р е ш е н и е. Преобразуя сумму райних слааемых в произведение, получаем неравенство cos 2x + 2 cos 2x cos x > 0, или cos 2x (2 cos x + 1) > 0. Последнее неравенство эвивалентно двум системам простейших неравенств: cos 2x < 0,

cos 2x > 0,

1 cos x < – --2- ;

1 cos x > – --2- .

Объединяя решения этих систем, находим решение исходноо неравенства. π 3π π 2π - + 2πn; ------- + 2πn  Ÿ Ответ.  – --4- + 2πn; --4- + 2πn  Ÿ  -----4    3  4π 5π  ------Ÿ  -----4 + 2πn; 3 + 2πn  , n Ý Z.

Решите неравенство: 19. sin x sin 2x – cos x cos 2x > sin 6x. 20. 2 sin x sin 2x sin 3x < sin 4x. 21. sin x sin 3x > sin 5x sin 7x. 3

22. cos3 x sin 3x + cos 3x sin3 x < --8- . 23. sin x l cos 2x. 24. 2 tg 2x m 3 tg x. 25. sin x < | cos x |.

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригоном. функции

Неравенство arcsin x > a

Решение неравенства

 | a | < --π-  2  

x Ý (sin a; 1)

arcsin x < a

 | a | < --π-  2  

x Ý (–1; sin a)

arccos x > a

(0 < a < π)

x Ý (–1; cos a)

arccos x < a

(0 < a < π)

x Ý (cos a; 1)

arctg x > a

 | a | < --π-  2  

x Ý (tg a; +×)

arctg x < a

 | a | < --π-  2  

x Ý (–×; tg a)

arcctg x > a

(0 < a < π)

x Ý (–×; ctg a)

arcctg x < a

(0 < a < π)

x Ý (ctg a; +×)

Решите неравенство: 1. arcsin x m 5. 1 3. arccos x m arccos --4- . π 5. arctg x > – --3- .

2. arcsin x l –2. π

4. arccos x > --6- . 6. arcctg x > 2.

Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y — одна из обратных трионометричесих фунций (арсинус, аросинус, артаненс, аротаненс), решают в два этапа: сначала — неравенство относительно неизвестноо y, а затем — простейшее неравенство, содержащее обратную трионометричесую фунцию. П р и м е р 1. Решить неравенство arcctg2 x – 5 arcctg x + 6 > 0. Р е ш е н и е. Положим arcctg x = y и перепишем исходное неравенство в виде y2 – 5y + 6 > 0;

154

Г л а в а 5. Тригонометрия

решениями последнео неравенства являются y < 2 и y > 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем, что данное неравенство сводится  двум простейшим неравенствам arcctg x < 2

и

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

Таим образом, решениями исходноо неравенства являются те решения неравенства (**), оторые принадлежат промежуту [0; 1].

arcctg x > 3,

 2 -; 1 . Ответ. x Ý  ----- 2

имеющим соответственно решения x Ý (ctg 2; +×) и x Ý (–×; ctg 3). Объединяя эти решения, находим решение исходноо неравенства.

Решите неравенство: 11. arccos x > arccos x2. 13. arcsin x < arcsin (1 – x).

Ответ. (–×; ctg 3) Ÿ (ctg 2; +×). Решите неравенство: 7. arctg2 x – 4 arctg x + 3 > 0. 9. 2

arctg x

+ 2

–arctg x

l 2.

8. log2 arctg x > 1.

П р и м е р 2. Решить неравенство arcsin x > arccos x.

(*)

Р е ш е н и е. Найдем множество допустимых значений x, входящих в неравенство: x Ý [–1; 1]. При x < 0 имеем arcsin x < 0, а arccos x > 0. Следовательно, значения x < 0 не являются решениями неравенства. При x l 0 а правая, та и левая части неравенства принимают значения, принадлежащие промежуту

π

0; --2- . Та а на промежуте

π

0; --2-

синус монотонно

возрастает, то при x Ý [0; 1] неравенство (*) эвивалентно неравенству sin (arcsin x) > sin (arccos x) _ x > 1 – x 2 . Последнее неравенство при рассматриваемых значениях неизвестноо эвивалентно неравенству 2x2 > 1.

(**)

12. arctg x > arcctg x. 14. tg2 arcsin x > 1.

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

10. 4(arccos x)2 – 1 l 0.

Чтобы решить неравенства, связывающие значения различных обратных трионометричесих фунций или значения одной трионометричесой фунции, вычисленные от разных арументов, удобно вычислить значение неоторой трионометричесой фунции от обеих частей неравенства. Однао следует учитывать, что полученное при этом неравенство эвивалентно исходному лишь в том случае, ода множество значений правой и левой частей исходноо неравенства принадлежит одному и тому же промежуту монотонности этой трионометричесой фунции.

155

Доазательство неравенств, связывающих значения трионометричесих фунций на всей числовой прямой или на неотором ее промежуте, обычно основано на иcпользовании свойств фунций: монотонности, ораниченности и т. д. π π π π П р и м е р 1. Доазать, что если α Ý  – --2- ; --2-  , β Ý  – --2- ; --2-  ,    

то

α+β

cos α + cos β

- l ---------------------------------- . cos ------------2 2

Р е ш е н и е. Для доазательства данноо неравенства достаточно представить ео правую часть в виде α–β α+β cos α + cos β ---------------------------------- = cos -------------- cos ------------2 2 2 π π π π α–β - Ý и учесть, что если α Ý  – --2- ; --2-  , β Ý  – --2- ; --2-  , то и -----------2     π π α–β Ý  – --2- ; --2-  , и следовательно, 0 < cos -----------2 < 1.  

Доажите, что при x Ý

π

0; --2-

выполняется неравенство:

1. sin x cos x m 0,5. 3. tg x + ctg x l 2.

2. sin x + cos x m 4. tg x l sin x.

5. sin 2x m 2 sin x.

6.

cos x m

2. x

2 cos --2- .

154

Г л а в а 5. Тригонометрия

решениями последнео неравенства являются y < 2 и y > 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем, что данное неравенство сводится  двум простейшим неравенствам arcctg x < 2

и

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

Таим образом, решениями исходноо неравенства являются те решения неравенства (**), оторые принадлежат промежуту [0; 1].

arcctg x > 3,

 2 -; 1 . Ответ. x Ý  ----- 2

имеющим соответственно решения x Ý (ctg 2; +×) и x Ý (–×; ctg 3). Объединяя эти решения, находим решение исходноо неравенства.

Решите неравенство: 11. arccos x > arccos x2. 13. arcsin x < arcsin (1 – x).

Ответ. (–×; ctg 3) Ÿ (ctg 2; +×). Решите неравенство: 7. arctg2 x – 4 arctg x + 3 > 0. 9. 2

arctg x

+ 2

–arctg x

l 2.

8. log2 arctg x > 1.

П р и м е р 2. Решить неравенство arcsin x > arccos x.

(*)

Р е ш е н и е. Найдем множество допустимых значений x, входящих в неравенство: x Ý [–1; 1]. При x < 0 имеем arcsin x < 0, а arccos x > 0. Следовательно, значения x < 0 не являются решениями неравенства. При x l 0 а правая, та и левая части неравенства принимают значения, принадлежащие промежуту

π

0; --2- . Та а на промежуте

π

0; --2-

синус монотонно

возрастает, то при x Ý [0; 1] неравенство (*) эвивалентно неравенству sin (arcsin x) > sin (arccos x) _ x > 1 – x 2 . Последнее неравенство при рассматриваемых значениях неизвестноо эвивалентно неравенству 2x2 > 1.

(**)

12. arctg x > arcctg x. 14. tg2 arcsin x > 1.

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

10. 4(arccos x)2 – 1 l 0.

Чтобы решить неравенства, связывающие значения различных обратных трионометричесих фунций или значения одной трионометричесой фунции, вычисленные от разных арументов, удобно вычислить значение неоторой трионометричесой фунции от обеих частей неравенства. Однао следует учитывать, что полученное при этом неравенство эвивалентно исходному лишь в том случае, ода множество значений правой и левой частей исходноо неравенства принадлежит одному и тому же промежуту монотонности этой трионометричесой фунции.

155

Доазательство неравенств, связывающих значения трионометричесих фунций на всей числовой прямой или на неотором ее промежуте, обычно основано на иcпользовании свойств фунций: монотонности, ораниченности и т. д. π π π π П р и м е р 1. Доазать, что если α Ý  – --2- ; --2-  , β Ý  – --2- ; --2-  ,    

то

α+β

cos α + cos β

- l ---------------------------------- . cos ------------2 2

Р е ш е н и е. Для доазательства данноо неравенства достаточно представить ео правую часть в виде α–β α+β cos α + cos β ---------------------------------- = cos -------------- cos ------------2 2 2 π π π π α–β - Ý и учесть, что если α Ý  – --2- ; --2-  , β Ý  – --2- ; --2-  , то и -----------2     π π α–β Ý  – --2- ; --2-  , и следовательно, 0 < cos -----------2 < 1.  

Доажите, что при x Ý

π

0; --2-

выполняется неравенство:

1. sin x cos x m 0,5. 3. tg x + ctg x l 2.

2. sin x + cos x m 4. tg x l sin x.

5. sin 2x m 2 sin x.

6.

cos x m

2. x

2 cos --2- .

156

Г л а в а 5. Тригонометрия 7. Доажите, что если α Ý [0; π], β Ý [0; π], то

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

157 1

α

sin α + sin β α+β - l --------------------------------- . sin ------------2 2

--Положим y = sin --2 и рассмотрим фунцию f(y) = 2 y(1 – y), входящую в правую часть последнео неравенства. Наибольшее

Доажите, что при любом действительном x справедливо соотношение:

значение этой фунции на промежуте [0; 1] равно --4- . Поэтому

a2 + b2 .

------sin --2 sin 2 sin 2 m 8 .




8. | a cos x + b sin x | m




- m 9. ------------------------------------------------------------------------2

1

a + c – a 2 + b 2 + c 2 – 2ac

Из этоо неравенства следует, что 3 ------------------------------------------------ l 6. γ β α 3 sin --- sin --- sin --2 2 2

m a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x m a+c+

a2

+

b2

+

c2

– 2ac

-. m ------------------------------------------------------------------------2

Часто при доазательстве трионометричесих неравенств используют неравенства, устанавливающие связь между средним еометричесим и средним арифметичесим двух или несольих положительных чисел. П р и м е р 2. Доазать, что если α + β + γ = π и α > 0, β > 0, γ > 0, то 1 1 1 ------------- + ------------- + ------------- l 6. γ β α sin --sin --sin --2 2 2 α

1

γ

β

α

β

Наонец, из неравенств (**) и (***) вытеает справедливость исходноо неравенства.


1




(**)

1 1 1 ------------- + ------------- + ------------ l 6. cos γ cos β cos α


и, значит,

tg2 α + tg2 β + tg2 γ l 9.

13. Доажите, что если α + β + γ = π, то

α  1 γ β β+γ  α β–γ ------------------------------sin --2 sin 2 sin 2 = 2 sin 2  cos 2 – cos 2  .

β–γ cos ----------2 < 1,

π π 12. Доажите, что если α + β + γ = π и α Ý  0; --2-  , β Ý  0; --2-  ,

π γ Ý  0; --2-  , то

Преобразуем подоренное выражение:

α  β+γ α  --π----cos -----------2 = cos  2 – 2  = sin 2 ,

π π 11. Доажите, что если α + β + γ = π и α Ý  0; --2-  , β Ý  0; --2-  ,    

π γ Ý  0; --2-  , то  

γ

Учитывая, что α + β + γ = π, получим

10. Доажите, что если α + β + γ = π и α > 0, β > 0, γ > 0, то (1 – cos α) (1 – cos β) (1 – cos γ) m --8- .

(*)

----Р е ш е н и е. Та а sin --2 , sin 2 , sin 2 неотрицательны, то, используя неравенство, связывающее среднее арифметичесое трех чисел и их среднее еометричесое, имеем 3 1 1 1 ------------- + ------------- + ------------- l ------------------------------------------------ . γ β α γ β α sin --sin --sin --3 sin --- sin --- sin --2 2 2 2 2 2

(***)

α

γ

β

3

------cos --2 cos 2 cos 2 m 8 

3.

14. Доажите, что если α + β + γ = π, то α

β

3

γ

2 --2 ----sin2 --2 + sin 2 + sin 2 l 4 .

15. Доажите, что если α + β + γ = π, то α  1 γ β α α  ----------sin --2 sin 2 sin 2 m 2 sin 2  1 – sin 2  .

3

cos α + cos β + cos γ m --2- .

156

Г л а в а 5. Тригонометрия 7. Доажите, что если α Ý [0; π], β Ý [0; π], то

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

157 1

α

sin α + sin β α+β - l --------------------------------- . sin ------------2 2

--Положим y = sin --2 и рассмотрим фунцию f(y) = 2 y(1 – y), входящую в правую часть последнео неравенства. Наибольшее

Доажите, что при любом действительном x справедливо соотношение:

значение этой фунции на промежуте [0; 1] равно --4- . Поэтому

a2 + b2 .

------sin --2 sin 2 sin 2 m 8 .




8. | a cos x + b sin x | m




- m 9. ------------------------------------------------------------------------2

1

a + c – a 2 + b 2 + c 2 – 2ac

Из этоо неравенства следует, что 3 ------------------------------------------------ l 6. γ β α 3 sin --- sin --- sin --2 2 2

m a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x m a+c+

a2

+

b2

+

c2

– 2ac

-. m ------------------------------------------------------------------------2

Часто при доазательстве трионометричесих неравенств используют неравенства, устанавливающие связь между средним еометричесим и средним арифметичесим двух или несольих положительных чисел. П р и м е р 2. Доазать, что если α + β + γ = π и α > 0, β > 0, γ > 0, то 1 1 1 ------------- + ------------- + ------------- l 6. γ β α sin --sin --sin --2 2 2 α

1

γ

β

α

β

Наонец, из неравенств (**) и (***) вытеает справедливость исходноо неравенства.


1




(**)

1 1 1 ------------- + ------------- + ------------ l 6. cos γ cos β cos α


и, значит,

tg2 α + tg2 β + tg2 γ l 9.

13. Доажите, что если α + β + γ = π, то

α  1 γ β β+γ  α β–γ ------------------------------sin --2 sin 2 sin 2 = 2 sin 2  cos 2 – cos 2  .

β–γ cos ----------2 < 1,

π π 12. Доажите, что если α + β + γ = π и α Ý  0; --2-  , β Ý  0; --2-  ,

π γ Ý  0; --2-  , то

Преобразуем подоренное выражение:

α  β+γ α  --π----cos -----------2 = cos  2 – 2  = sin 2 ,

π π 11. Доажите, что если α + β + γ = π и α Ý  0; --2-  , β Ý  0; --2-  ,    

π γ Ý  0; --2-  , то  

γ

Учитывая, что α + β + γ = π, получим

10. Доажите, что если α + β + γ = π и α > 0, β > 0, γ > 0, то (1 – cos α) (1 – cos β) (1 – cos γ) m --8- .

(*)

----Р е ш е н и е. Та а sin --2 , sin 2 , sin 2 неотрицательны, то, используя неравенство, связывающее среднее арифметичесое трех чисел и их среднее еометричесое, имеем 3 1 1 1 ------------- + ------------- + ------------- l ------------------------------------------------ . γ β α γ β α sin --sin --sin --3 sin --- sin --- sin --2 2 2 2 2 2

(***)

α

γ

β

3

------cos --2 cos 2 cos 2 m 8 

3.

14. Доажите, что если α + β + γ = π, то α

β

3

γ

2 --2 ----sin2 --2 + sin 2 + sin 2 l 4 .

15. Доажите, что если α + β + γ = π, то α  1 γ β α α  ----------sin --2 sin 2 sin 2 m 2 sin 2  1 – sin 2  .

3

cos α + cos β + cos γ m --2- .

158

Г л а в а 5. Тригонометрия В примере 2 требовалось найти наибольшее значение фун-

α  1 α  --ции --2- sin --2  1 – sin 2  . Выполнив замену переменной, мы по-

лучили, что исомое значение совпадает с наибольшим значе-

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

Применяя полученные оцени  правой части исходноо неравенства, убеждаемся в ео справедливости.
20. Доажите, что на промежуте (0; π) справедливо неравенство

x2

1




1




18. Доажите, что если | p | < 2, то – p 2 – 4q

-. sin2 x + p sin x + q l -----------------------4 1

19. Доажите, что sin2 x cos2 x m --4- . Доазательство неравенств, связывающих трионометричесие фунции и неоторые мноочлены, заданные на определенных интервалах изменения арументов, проводят с помощью омбинации рассмотренных выше приемов. При этом в процессе доазательства часто используют двойное неравенство (1)

π

0; --2- .

П р и м е р 3. Доазать, что на промежуте (0; π) имеет место неравенство x3

x – ----4 < sin x.

Р е ш е н и е. Представим фунцию sin x в виде x x x x sin x = 2 tg --2- cos2 --2- = 2 tg --2-  1 – sin2 --2-  .  

Используя двойное неравенство (1), имеем x

x

tg --2- l --2- ,

x

x2

1 – sin2 --2- l 1 – ----4 .

x3

- < tg x. x – ----2

17. Доажите, что cos3 x + cos6 x m --4- .

справедливое при всех x Ý

π 21. Доажите, что на промежуте  0; --2-  справедливо нера 

венство

1 16. Доажите, что –4 m cos 2x + 3 sin x m 2 --8- .

sin x m x m tg x,

x4

-----cos x < 1 – ----2 + 16 .

нием фунции f(y) = --2- y(1 – y) на промежуте [0; 1]. Аналоичный прием часто используют в тех случаях, ода требуется найти множества значений неоторых трионометричесих выражений.

159

x2

22. Доажите, что 1 – cos x m ----2 .

158

Г л а в а 5. Тригонометрия В примере 2 требовалось найти наибольшее значение фун-

α  1 α  --ции --2- sin --2  1 – sin 2  . Выполнив замену переменной, мы по-

лучили, что исомое значение совпадает с наибольшим значе-

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

Применяя полученные оцени  правой части исходноо неравенства, убеждаемся в ео справедливости.
20. Доажите, что на промежуте (0; π) справедливо неравенство

x2

1




1




18. Доажите, что если | p | < 2, то – p 2 – 4q

-. sin2 x + p sin x + q l -----------------------4 1

19. Доажите, что sin2 x cos2 x m --4- . Доазательство неравенств, связывающих трионометричесие фунции и неоторые мноочлены, заданные на определенных интервалах изменения арументов, проводят с помощью омбинации рассмотренных выше приемов. При этом в процессе доазательства часто используют двойное неравенство (1)

π

0; --2- .

П р и м е р 3. Доазать, что на промежуте (0; π) имеет место неравенство x3

x – ----4 < sin x.

Р е ш е н и е. Представим фунцию sin x в виде x x x x sin x = 2 tg --2- cos2 --2- = 2 tg --2-  1 – sin2 --2-  .  

Используя двойное неравенство (1), имеем x

x

tg --2- l --2- ,

x

x2

1 – sin2 --2- l 1 – ----4 .

x3

- < tg x. x – ----2

17. Доажите, что cos3 x + cos6 x m --4- .

справедливое при всех x Ý

π 21. Доажите, что на промежуте  0; --2-  справедливо нера 

венство

1 16. Доажите, что –4 m cos 2x + 3 sin x m 2 --8- .

sin x m x m tg x,

x4

-----cos x < 1 – ----2 + 16 .

нием фунции f(y) = --2- y(1 – y) на промежуте [0; 1]. Аналоичный прием часто используют в тех случаях, ода требуется найти множества значений неоторых трионометричесих выражений.

159

x2

22. Доажите, что 1 – cos x m ----2 .

§ 31. Действия с комплексными числами

Глава 6 Комплексные числа

|z| или r) называют величину a 2 + b 2 . Ар
ментом омплесноо числа z называют уол ϕ, определяемый из условий b

-, sin ϕ = ---------------------2 2 a +b

§ 31. Действия с комплексными числами Запись числа z в виде a + bi, де a и b — действительные числа, а число i удовлетворяет равенству i2 = –1, называют алебраичесой формой омплесноо числа. Число a называют действительной частью омплесноо числа и обозначают Re z, число b — мнимой частью омплесноо числа и обозначают Im z. Символ i называют мнимой единицей. Два омплесных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i равны, если a1 = a2 и b1 = b2. Комплесное число –a – bi называют противоположным омплесному числу a + bi. Рассмотрим правила действий с омплесными числами. Пусть z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i — два омплесных числа. С
мма z1 + z2, разность z1 – z2, произведение z1z2 и частz

1 ное ----z (z2 − 0) омплесных чисел z1 и z2 вычисляются по фор2

мулам

161

a

cos ϕ = ---------------------2 2 a +b

(обозначение: Arg z или ϕ). Главным значением ар
мента омплесноо числа z (обозначение: arg z) называют значение ϕ, принадлежащее промежуту (–π; π]. Запись омплесноо числа z = a + bi y в виде b z = r (cos ϕ + i sin ϕ) |z| ϕ = arg z называют трионометричесой формой омплесноо числа. a O x Геометричеси модуль омплесноо числа можно изобразить а отреРис. 9 зо (радиус-ветор) длины r, имеющий своими онцами точи (0; 0) и (a; b); арумент омплесноо числа — а уол, оторый образует радиус-ветор с положительным направлением оси Ox (рис. 9). Два омплесных числа, записанные в трионометричесой форме, равны тода и тольо тода, ода равны их модули, а арументы отличаются на 2πk (k Ý Z). Произведением и частным двух отличных от нуля омплесных чисел z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) и z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2), записанных в трионометричесой форме, являются числа z1z2 = r1r2[cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)],

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i, z1 – z2 = (a1 – a2) + (b1 – b2)i, z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i,

(1)

z1 r1 ----- = ----- [cos (ϕ – ϕ ) + i sin (ϕ – ϕ )], 1 2 1 2 z2 r2

z1 a1 b2 + a2 b1 a2 b1 – a1 b2 - + -------------------------------i. ----- = ------------------------------2 2 z2 a 22 + b 22 a2 + b2

а n-я степень омплесноо числа z = r (cos ϕ + i sin ϕ) вычисляется по форм
ле М
авра

Сложение и умножение омплесных чисел оммутативно и ассоциативно, умножение дистрибутивно относительно сложения. Комплесное число a – bi называют омплесно сопряженным с числом z = a + bi и обозначают z . Комплесно сопря-

wn = z.

женные числа z и z обладают следующим свойством: z · z = a2 + b2.

zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). (2) Корнем n-й степени из омплесноо числа z называют омплесное число w, удовлетворяющее уравнению Все решения этоо уравнения обозначают n z и для числа z, записанноо в трионометричесой форме z = r (cos ϕ + i sin ϕ), эти решения вычисляют по формуле n

a2

b2

+ − 0) омпПусть z = a + bi — отличное от нуля (т. е. лесное число. Мод
лем омплесноо числа (обозначение:

z =

n

ϕ + 2πk  ϕ + 2πk + i sin --------------------, r  cos --------------------n n  

де k = 0, 1, 2, ..., n – 1.

(3)

§ 31. Действия с комплексными числами

Глава 6 Комплексные числа

|z| или r) называют величину a 2 + b 2 . Ар
ментом омплесноо числа z называют уол ϕ, определяемый из условий b

-, sin ϕ = ---------------------2 2 a +b

§ 31. Действия с комплексными числами Запись числа z в виде a + bi, де a и b — действительные числа, а число i удовлетворяет равенству i2 = –1, называют алебраичесой формой омплесноо числа. Число a называют действительной частью омплесноо числа и обозначают Re z, число b — мнимой частью омплесноо числа и обозначают Im z. Символ i называют мнимой единицей. Два омплесных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i равны, если a1 = a2 и b1 = b2. Комплесное число –a – bi называют противоположным омплесному числу a + bi. Рассмотрим правила действий с омплесными числами. Пусть z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i — два омплесных числа. С
мма z1 + z2, разность z1 – z2, произведение z1z2 и частz

1 ное ----z (z2 − 0) омплесных чисел z1 и z2 вычисляются по фор2

мулам

161

a

cos ϕ = ---------------------2 2 a +b

(обозначение: Arg z или ϕ). Главным значением ар
мента омплесноо числа z (обозначение: arg z) называют значение ϕ, принадлежащее промежуту (–π; π]. Запись омплесноо числа z = a + bi y в виде b z = r (cos ϕ + i sin ϕ) |z| ϕ = arg z называют трионометричесой формой омплесноо числа. a O x Геометричеси модуль омплесноо числа можно изобразить а отреРис. 9 зо (радиус-ветор) длины r, имеющий своими онцами точи (0; 0) и (a; b); арумент омплесноо числа — а уол, оторый образует радиус-ветор с положительным направлением оси Ox (рис. 9). Два омплесных числа, записанные в трионометричесой форме, равны тода и тольо тода, ода равны их модули, а арументы отличаются на 2πk (k Ý Z). Произведением и частным двух отличных от нуля омплесных чисел z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) и z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2), записанных в трионометричесой форме, являются числа z1z2 = r1r2[cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)],

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i, z1 – z2 = (a1 – a2) + (b1 – b2)i, z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i,

(1)

z1 r1 ----- = ----- [cos (ϕ – ϕ ) + i sin (ϕ – ϕ )], 1 2 1 2 z2 r2

z1 a1 b2 + a2 b1 a2 b1 – a1 b2 - + -------------------------------i. ----- = ------------------------------2 2 z2 a 22 + b 22 a2 + b2

а n-я степень омплесноо числа z = r (cos ϕ + i sin ϕ) вычисляется по форм
ле М
авра

Сложение и умножение омплесных чисел оммутативно и ассоциативно, умножение дистрибутивно относительно сложения. Комплесное число a – bi называют омплесно сопряженным с числом z = a + bi и обозначают z . Комплесно сопря-

wn = z.

женные числа z и z обладают следующим свойством: z · z = a2 + b2.

zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). (2) Корнем n-й степени из омплесноо числа z называют омплесное число w, удовлетворяющее уравнению Все решения этоо уравнения обозначают n z и для числа z, записанноо в трионометричесой форме z = r (cos ϕ + i sin ϕ), эти решения вычисляют по формуле n

a2

b2

+ − 0) омпПусть z = a + bi — отличное от нуля (т. е. лесное число. Мод
лем омплесноо числа (обозначение:

z =

n

ϕ + 2πk  ϕ + 2πk + i sin --------------------, r  cos --------------------n n  

де k = 0, 1, 2, ..., n – 1.

(3)

162

Г л а в а 6. Комплексные числа

§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел

163

Действия с омплесными числами выполняют по формулам (1). При вычислении произведения и частноо омплесных чисел удобно использовать представление омплесных чисел в трионометричесой форме.

Отсюда, соласно формуле (3), получаем

П р и м е р 1. Представить в трионометричесой форме омплесное число z = –3 + i. Р е ш е н и е. По определению модуля омплесноо числа имеем |z| = ( – 3 ) 2 + 1 = 10 .

де k = 0, k = 1, k = 2. Ита, исомыми орнями являются следующие омплесные числа:

r=

1 10

 3 вен arccos  – ----------10 

z = –3 + i в трионометричесой форме имеет вид z=

  3    3  10 cos  arccos  – -----------   + i sin  arccos  – -----------   . 10   10      

Представьте в трионометричесой форме омплесное число: 1. 1.

2. –3.

3. i.

4. 1 + i.

5. –1 + i.

6. 1 + i 3 .

7. 3 – 4i.

8. –3 – 4i.

π

π

9. –cos --3- + i sin --3- .

10. sin α – i cos α.

 1  11.  ------------   i–1 

100

.

П р и м е р 2. Вычислить 3 i . Р е ш е н и е. Запишем омплесное число i = 0 + 1 · i в трионометричесой форме. Та а | i | = 1, arg i = --- , то трионометричесая форма числа i имеет вид π π i = cos --- + i sin --- . 2 2

1

5π

5π

3π

3π

3

1

y

------cos -----2 + i sin 2 = –i.

Геометричеси полученные орни представляют собой точи, лежащие на единичной оружности (та а r = 1), радиус-веторы оторых составляют улы 3π π 5π --- , ------- и ------- с положительным направле2 6 6

нием оси Ox (рис. 10). 3

1 5π 6

3π 2

O

π 6

1 x

Рис. 10

1

--Ответ. ä -----2 + 2 i; –i.

Используя трионометричесую форму записи омплесноо числа, вычислите:

Для вычисления орней k-й степени из омплесноо числа обычно используют представление омплесных чисел в трионометричесой форме.

π 2

2πk

π

ϕ = --6- + ---------3 ,

--------------cos -----6 + i sin 6 = – 2 + 2 i,

3 10

  . Следовательно, запись омплесноо числа 

3

π

π

cos ϕ = – ----------- ,

отуда следует, что уол ϕ принадлежит второй четверти и ра-

1 = 1,

--cos --6- + i sin --6- = -----2 + 2 i,

Обозначив арумент омплесноо числа через ϕ, получаем sin ϕ = ----------- ,

3

12. 16.

4

2i .

13.

2 – 2i 3 .

17.

4

– 8i .

14.

i.

18.

7

3 – 4i .

15.

4

–1 .

3 + 4i .

19.

3

1.

§ 32. Геометрическое изображение множеств комплексных чисел, удовлетворяющих заданным условиям Для еометричесоо изображения омплесных чисел, удовлетворяющих неоторым соотношениям, обычно используют алебраичесую форму омплесноо числа.

162

Г л а в а 6. Комплексные числа

§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел

163

Действия с омплесными числами выполняют по формулам (1). При вычислении произведения и частноо омплесных чисел удобно использовать представление омплесных чисел в трионометричесой форме.

Отсюда, соласно формуле (3), получаем

П р и м е р 1. Представить в трионометричесой форме омплесное число z = –3 + i. Р е ш е н и е. По определению модуля омплесноо числа имеем |z| = ( – 3 ) 2 + 1 = 10 .

де k = 0, k = 1, k = 2. Ита, исомыми орнями являются следующие омплесные числа:

r=

1 10

 3 вен arccos  – ----------10 

z = –3 + i в трионометричесой форме имеет вид z=

  3    3  10 cos  arccos  – -----------   + i sin  arccos  – -----------   . 10   10      

Представьте в трионометричесой форме омплесное число: 1. 1.

2. –3.

3. i.

4. 1 + i.

5. –1 + i.

6. 1 + i 3 .

7. 3 – 4i.

8. –3 – 4i.

π

π

9. –cos --3- + i sin --3- .

10. sin α – i cos α.

 1  11.  ------------   i–1 

100

.

П р и м е р 2. Вычислить 3 i . Р е ш е н и е. Запишем омплесное число i = 0 + 1 · i в трионометричесой форме. Та а | i | = 1, arg i = --- , то трионометричесая форма числа i имеет вид π π i = cos --- + i sin --- . 2 2

1

5π

5π

3π

3π

3

1

y

------cos -----2 + i sin 2 = –i.

Геометричеси полученные орни представляют собой точи, лежащие на единичной оружности (та а r = 1), радиус-веторы оторых составляют улы 3π π 5π --- , ------- и ------- с положительным направле2 6 6

нием оси Ox (рис. 10). 3

1 5π 6

3π 2

O

π 6

1 x

Рис. 10

1

--Ответ. ä -----2 + 2 i; –i.

Используя трионометричесую форму записи омплесноо числа, вычислите:

Для вычисления орней k-й степени из омплесноо числа обычно используют представление омплесных чисел в трионометричесой форме.

π 2

2πk

π

ϕ = --6- + ---------3 ,

--------------cos -----6 + i sin 6 = – 2 + 2 i,

3 10

  . Следовательно, запись омплесноо числа 

3

π

π

cos ϕ = – ----------- ,

отуда следует, что уол ϕ принадлежит второй четверти и ра-

1 = 1,

--cos --6- + i sin --6- = -----2 + 2 i,

Обозначив арумент омплесноо числа через ϕ, получаем sin ϕ = ----------- ,

3

12. 16.

4

2i .

13.

2 – 2i 3 .

17.

4

– 8i .

14.

i.

18.

7

3 – 4i .

15.

4

–1 .

3 + 4i .

19.

3

1.

§ 32. Геометрическое изображение множеств комплексных чисел, удовлетворяющих заданным условиям Для еометричесоо изображения омплесных чисел, удовлетворяющих неоторым соотношениям, обычно используют алебраичесую форму омплесноо числа.

164

Г л а в а 6. Комплексные числа

П р и м е р 1. Найти множество точе оординатной плосости xOy, изображающих омплесные числа z, для оторых | z + i – 2 | m 2. Р е ш е н и е. Алебраичесая форма омплесноо числа z имеет вид z = x + iy. Тода z + i – 2 = (x – 2) + (y + 1)i.

y > ------------------ x,

( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 .

Поэтому неравенство | z + i – 2 | m 2 примет вид 2

(x – 2) + (y + 1)

2

m 2 _ (x – 2)

2

+ (y + 1)

2

2

m 2 .

Множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих последнему неравенству, представляет собой множество всех точе, лежащих внутри и на ранице оружности с центром в точе (2; –1) и радиусом 2. П р и м е р 2. Найти множество точе оординатной плосости xOy, для оторых действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2 положительна. Р е ш е н и е. Представив омплесное число z в алебраичесой форме, имеем z = x + iy. Следовательно, z2 = x2 – y2 + 2xyi, 2 (1 + i)z = (1 + i) (x2 – y2 + 2xyi) = = (x2 – 2xy – y2) + (x2 + 2xy – y2)i. По условию действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2 положительна: x2 – 2xy – y2 > 0. (*) Предполаая, что y − 0, и разделив обе части неравенства (*) на y2, получаем 2 x x ---  – 2  ---  – 1 > 0.  y   y 

Решив это вадратное неравенство, находим x --- > 1 + y

2,

x --- < 1 – y

2.

Если y > 0, то неравенства (**) можно записать в виде 1 y < ------------------ x, 1+ 2

1 y < ----------------- x. 1– 2

Множество точе плосости xOy, удовлетворяющих этим неравенствам (при y > 0), отмечено штриховой на рис. 11. Если y < 0, то неравенства (**) примут вид 1 1+ 2

Соласно определению модуля омплесноо числа, имеем | z+i–2|=

§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел

(**)

y=

1 1– 2

Рис. 11

y=

1 x 1– 2

Рис. 12

1 1– 2

2. z = | z |. 4. 1 < | z | < 2.

5. | 2z – 1 | > 2. 6. | | z | + i | < 10. 7. | z + 1 | = | z – 1 |.

1 x 1+ 2

x

O

= -----------------x (рис. 13).

π 3. arg z = --3- .

y

y=

1 1+ 2

1. | z | = 1.

1 x 1+ 2

x

O

собой прямые y = ------------------ x и y =

Найдите множество точе оординатной плосости xOy, изображающих омплесные числа z = x + iy, для оторых:

y

y=

y > ----------------- x,

и множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих этим неравенствам (при y < 0), отмечено штриховой на рис. 12. Если y = 0, то нельзя разделить обе части неравенства (*) на y2, но при y = 0 неравенство (*) превращается в неравенство x2 > 0, решением отороо является любое действительное число x, отличное от нуля, т. е. решением неравенства (*) является любая точа оси Ox, за ислючением нуля. Объединяя все три случая, оончательно получаем: исомым множеством являются улы, содержащие ось Ox, без своих раниц; стороны этих улов представляют

1 x 1– 2

165

y=

1 x 1– 2

y

y= O

Рис. 13

1 x 1+ 2

x

164

Г л а в а 6. Комплексные числа

П р и м е р 1. Найти множество точе оординатной плосости xOy, изображающих омплесные числа z, для оторых | z + i – 2 | m 2. Р е ш е н и е. Алебраичесая форма омплесноо числа z имеет вид z = x + iy. Тода z + i – 2 = (x – 2) + (y + 1)i.

y > ------------------ x,

( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 .

Поэтому неравенство | z + i – 2 | m 2 примет вид 2

(x – 2) + (y + 1)

2

m 2 _ (x – 2)

2

+ (y + 1)

2

2

m 2 .

Множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих последнему неравенству, представляет собой множество всех точе, лежащих внутри и на ранице оружности с центром в точе (2; –1) и радиусом 2. П р и м е р 2. Найти множество точе оординатной плосости xOy, для оторых действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2 положительна. Р е ш е н и е. Представив омплесное число z в алебраичесой форме, имеем z = x + iy. Следовательно, z2 = x2 – y2 + 2xyi, 2 (1 + i)z = (1 + i) (x2 – y2 + 2xyi) = = (x2 – 2xy – y2) + (x2 + 2xy – y2)i. По условию действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2 положительна: x2 – 2xy – y2 > 0. (*) Предполаая, что y − 0, и разделив обе части неравенства (*) на y2, получаем 2 x x ---  – 2  ---  – 1 > 0.  y   y 

Решив это вадратное неравенство, находим x --- > 1 + y

2,

x --- < 1 – y

2.

Если y > 0, то неравенства (**) можно записать в виде 1 y < ------------------ x, 1+ 2

1 y < ----------------- x. 1– 2

Множество точе плосости xOy, удовлетворяющих этим неравенствам (при y > 0), отмечено штриховой на рис. 11. Если y < 0, то неравенства (**) примут вид 1 1+ 2

Соласно определению модуля омплесноо числа, имеем | z+i–2|=

§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел

(**)

y=

1 1– 2

Рис. 11

y=

1 x 1– 2

Рис. 12

1 1– 2

2. z = | z |. 4. 1 < | z | < 2.

5. | 2z – 1 | > 2. 6. | | z | + i | < 10. 7. | z + 1 | = | z – 1 |.

1 x 1+ 2

x

O

= -----------------x (рис. 13).

π 3. arg z = --3- .

y

y=

1 1+ 2

1. | z | = 1.

1 x 1+ 2

x

O

собой прямые y = ------------------ x и y =

Найдите множество точе оординатной плосости xOy, изображающих омплесные числа z = x + iy, для оторых:

y

y=

y > ----------------- x,

и множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих этим неравенствам (при y < 0), отмечено штриховой на рис. 12. Если y = 0, то нельзя разделить обе части неравенства (*) на y2, но при y = 0 неравенство (*) превращается в неравенство x2 > 0, решением отороо является любое действительное число x, отличное от нуля, т. е. решением неравенства (*) является любая точа оси Ox, за ислючением нуля. Объединяя все три случая, оончательно получаем: исомым множеством являются улы, содержащие ось Ox, без своих раниц; стороны этих улов представляют

1 x 1– 2

165

y=

1 x 1– 2

y

y= O

Рис. 13

1 x 1+ 2

x

166

Г л а в а 6. Комплексные числа

8. | z + i | = | z + 2 |. 9. | z + i | > | z |. 10. 1 m | z + i | m 4. 11. (1 – i) z = (1 + i)z. 12. На оординатной плосости pOq изобразите множество точе (p; q) таих, что орни уравнения x2 + px + q = 0 (возможно, омплесные) по модулю не превосходят единицы. 13. Уажите все точи омплесной плосости таие, что: а) zα; б) z + α — действительные числа (α = a + bi — заданное омплесное число). 14. Найдите множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих неравенству z–1 +4

------------------------------ > 1. log1/2 3 z–1 –2

15. На оординатной плосости xOy найдите множество всех точе, оординаты оторых удовлетворяют следующему условию: z2 + z + 1 — действительное положительное число. 16. Изобразите на плосости все омплесные числа z, для оторых число (1 + i)z является действительным. 17. Точи z1, z2, z3 — вершины треуольниа. Каое омплесное число соответствует центру тяжести этоо треуольниа? 18. Точи z1, z2, z3 — три вершины параллелорамма. Найдите четвертую вершину.
19. Доажите, что три различные точи z1, z2, z3 лежат на z3 – z1

одной прямой тода и тольо тода, ода ----------------z 2 – z 1 — действи-

тельное число. 20. При аих z1 и z2 справедливо равенство |z1 + z2| = |z1 – z2|? 21. Доажите, что четырехуольни, сумма вадратов сторон отороо равна сумме вадратов ео диаоналей, — параллелорамм.

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел Решение уравнения на множестве омплесных чисел сводится  решению системы уравнений на множестве действительных чисел; эта система получается в результате сравнения

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

167

действительных и мнимых частей выражений, входящих в исходное уравнение. П р и м е р 1. Решить на множестве омплесных чисел уравнение 2z = | z | + 2i. Р е ш е н и е. Комплесное число z в алебраичесой форме имеет вид z = x + iy, де x, y — действительные числа. Тода | z|=

x 2 + y 2 и данное уравнение запишется та:

2x + 2iy = x 2 + y 2 + 2i. Соласно определению равенства двух омплесных чисел, получаем систему уравнений для нахождения x и y: 2x – x 2 + y 2 = 0, 2y – 2 = 0. Из второо уравнения находим y = 1. Подставив y = 1 в первое уравнение системы, получим уравнение 2x =

x 2 + 1 , имею-

1 3

щее орень x = ------- . Ита, решением данноо уравнения явля1 3

ется омплесное число z = ------- + i. 1 3

Ответ. z = ------- + i. П р и м е р 2. Для аждоо действительноо числа a > 0 найти все омплесные числа z, удовлетворяющие равенству z| z | + az + i = 0. Р е ш е н и е. Записав омплесное число z в алебраичесой форме, имеем z = x + iy. Тода | z | =  уравнению

x 2 + y 2 и приходим

(x + iy) x 2 + y 2 + a(x + iy) + i = 0 _ _ (x x 2 + y 2 + ax) + (y x 2 + y 2 + ay + 1)i = 0 + 0 · i. Соласно определению равенства двух омплесных чисел, залючаем, что последнее уравнение эвивалентно системе двух уравнений x x 2 + y 2 + ax = 0, (*) y x 2 + y 2 + ay + 1 = 0,

166

Г л а в а 6. Комплексные числа

8. | z + i | = | z + 2 |. 9. | z + i | > | z |. 10. 1 m | z + i | m 4. 11. (1 – i) z = (1 + i)z. 12. На оординатной плосости pOq изобразите множество точе (p; q) таих, что орни уравнения x2 + px + q = 0 (возможно, омплесные) по модулю не превосходят единицы. 13. Уажите все точи омплесной плосости таие, что: а) zα; б) z + α — действительные числа (α = a + bi — заданное омплесное число). 14. Найдите множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих неравенству z–1 +4

------------------------------ > 1. log1/2 3 z–1 –2

15. На оординатной плосости xOy найдите множество всех точе, оординаты оторых удовлетворяют следующему условию: z2 + z + 1 — действительное положительное число. 16. Изобразите на плосости все омплесные числа z, для оторых число (1 + i)z является действительным. 17. Точи z1, z2, z3 — вершины треуольниа. Каое омплесное число соответствует центру тяжести этоо треуольниа? 18. Точи z1, z2, z3 — три вершины параллелорамма. Найдите четвертую вершину.
19. Доажите, что три различные точи z1, z2, z3 лежат на z3 – z1

одной прямой тода и тольо тода, ода ----------------z 2 – z 1 — действи-

тельное число. 20. При аих z1 и z2 справедливо равенство |z1 + z2| = |z1 – z2|? 21. Доажите, что четырехуольни, сумма вадратов сторон отороо равна сумме вадратов ео диаоналей, — параллелорамм.

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел Решение уравнения на множестве омплесных чисел сводится  решению системы уравнений на множестве действительных чисел; эта система получается в результате сравнения

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

167

действительных и мнимых частей выражений, входящих в исходное уравнение. П р и м е р 1. Решить на множестве омплесных чисел уравнение 2z = | z | + 2i. Р е ш е н и е. Комплесное число z в алебраичесой форме имеет вид z = x + iy, де x, y — действительные числа. Тода | z|=

x 2 + y 2 и данное уравнение запишется та:

2x + 2iy = x 2 + y 2 + 2i. Соласно определению равенства двух омплесных чисел, получаем систему уравнений для нахождения x и y: 2x – x 2 + y 2 = 0, 2y – 2 = 0. Из второо уравнения находим y = 1. Подставив y = 1 в первое уравнение системы, получим уравнение 2x =

x 2 + 1 , имею-

1 3

щее орень x = ------- . Ита, решением данноо уравнения явля1 3

ется омплесное число z = ------- + i. 1 3

Ответ. z = ------- + i. П р и м е р 2. Для аждоо действительноо числа a > 0 найти все омплесные числа z, удовлетворяющие равенству z| z | + az + i = 0. Р е ш е н и е. Записав омплесное число z в алебраичесой форме, имеем z = x + iy. Тода | z | =  уравнению

x 2 + y 2 и приходим

(x + iy) x 2 + y 2 + a(x + iy) + i = 0 _ _ (x x 2 + y 2 + ax) + (y x 2 + y 2 + ay + 1)i = 0 + 0 · i. Соласно определению равенства двух омплесных чисел, залючаем, что последнее уравнение эвивалентно системе двух уравнений x x 2 + y 2 + ax = 0, (*) y x 2 + y 2 + ay + 1 = 0,

168

Г л а в а 6. Комплексные числа

решения оторой следует исать на множестве действительных чисел. Нетрудно заметить, что множество решений первоо уравнения системы (*) можно найти а объединение множеств решений двух уравнений: x = 0,

x 2 + y 2 + a = 0.

Второе из этих уравнений не имеет решений, та а по условию a > 0. Подставив x = 0 во второе уравнение системы (*), для действительноо числа y получаем уравнение y|y| + ay + 1 = 0. Множество решений этоо уравнения получается а объединение множеств решений двух систем: y l 0, y2 + ay + 1 = 0;

169

19. Решите на множестве омплесных чисел уравнение z3 – z2 + z – 1 = 0. 10. Решите на множестве омплесных чисел систему уравнений: z13w19 = 1, z5w7 = 1, z2 + w2 = –2. 11. Каому условию должно удовлетворять омплесное число a + bi для тоо чтобы ео можно было представить в виде а)

z5w7 = 1, z2 – w 3 = 0;

б)

1 – ix

a + bi = --------------1 + ix ,

де x — действительное число? 12. Среди омплесных чисел z найдите все таие числа, для оторых

y < 0, –y2 + ay + 1 = 0.

Учитывая условие a > 0, лео убедиться в том, что первая система не имеет решений, а вторая имеет единственное решение: a – a2 + 4

- . Ита, решением данноо уравнения является y = -----------------------------2 a – a2 + 4

- i. чисто мнимое число z = -----------------------------2

1 (13 + | z + 4i |)

- = 0. log14 (13 + | z2 – 4i |) + log196 --------------------------------------------2 2

13. Для аждоо действительноо числа a l 1 найдите все омплесные числа z, удовлетворяющие уравнению z + a|z + 1| + i = 0.
14. При аих действительных значениях параметра a хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее равенству | z + 2 | = a2 – 3a + 2,

a – a2 + 4

- i. Ответ. z = -----------------------------2

Решите уравнение: 1. (2 + i)z2 – (5 – i)z + 2 – 2i = 0.

2. z2 + z = 0.

3. | z | – iz = 1 – 2i.

4. z2 = ( z )3.

удовлетворяет одновременно и неравенству

5. (x + y)2 + 6 + ix = 5(x + y) + i (y + 1) (x, y — действительные числа). 6. При аих действительных значениях x и y справедливо равенство x – 2 + ( y – 3 )i ----------------------------------------- = 1 – 3i? 1+i

7. Доажите, что уравнение z3 + iz – 1 = 0 не имеет действительных орней. 1 z

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

1

--8. Вычислите z14 + ------14 , если z — орень уравнения z + z = 1.

| z + i 2 | < a2? 15. При аих действительных значениях параметра a хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее равенству | z – ai | = a + 4, удовлетворяет одновременно и неравенству | z – 2 | < 1? 16. Найдите наименьшее по модулю омплесное число z, удовлетворяющее условию | z – 2 + 2i | = 1.

168

Г л а в а 6. Комплексные числа

решения оторой следует исать на множестве действительных чисел. Нетрудно заметить, что множество решений первоо уравнения системы (*) можно найти а объединение множеств решений двух уравнений: x = 0,

x 2 + y 2 + a = 0.

Второе из этих уравнений не имеет решений, та а по условию a > 0. Подставив x = 0 во второе уравнение системы (*), для действительноо числа y получаем уравнение y|y| + ay + 1 = 0. Множество решений этоо уравнения получается а объединение множеств решений двух систем: y l 0, y2 + ay + 1 = 0;

169

19. Решите на множестве омплесных чисел уравнение z3 – z2 + z – 1 = 0. 10. Решите на множестве омплесных чисел систему уравнений: z13w19 = 1, z5w7 = 1, z2 + w2 = –2. 11. Каому условию должно удовлетворять омплесное число a + bi для тоо чтобы ео можно было представить в виде а)

z5w7 = 1, z2 – w 3 = 0;

б)

1 – ix

a + bi = --------------1 + ix ,

де x — действительное число? 12. Среди омплесных чисел z найдите все таие числа, для оторых

y < 0, –y2 + ay + 1 = 0.

Учитывая условие a > 0, лео убедиться в том, что первая система не имеет решений, а вторая имеет единственное решение: a – a2 + 4

- . Ита, решением данноо уравнения является y = -----------------------------2 a – a2 + 4

- i. чисто мнимое число z = -----------------------------2

1 (13 + | z + 4i |)

- = 0. log14 (13 + | z2 – 4i |) + log196 --------------------------------------------2 2

13. Для аждоо действительноо числа a l 1 найдите все омплесные числа z, удовлетворяющие уравнению z + a|z + 1| + i = 0.
14. При аих действительных значениях параметра a хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее равенству | z + 2 | = a2 – 3a + 2,

a – a2 + 4

- i. Ответ. z = -----------------------------2

Решите уравнение: 1. (2 + i)z2 – (5 – i)z + 2 – 2i = 0.

2. z2 + z = 0.

3. | z | – iz = 1 – 2i.

4. z2 = ( z )3.

удовлетворяет одновременно и неравенству

5. (x + y)2 + 6 + ix = 5(x + y) + i (y + 1) (x, y — действительные числа). 6. При аих действительных значениях x и y справедливо равенство x – 2 + ( y – 3 )i ----------------------------------------- = 1 – 3i? 1+i

7. Доажите, что уравнение z3 + iz – 1 = 0 не имеет действительных орней. 1 z

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

1

--8. Вычислите z14 + ------14 , если z — орень уравнения z + z = 1.

| z + i 2 | < a2? 15. При аих действительных значениях параметра a хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее равенству | z – ai | = a + 4, удовлетворяет одновременно и неравенству | z – 2 | < 1? 16. Найдите наименьшее по модулю омплесное число z, удовлетворяющее условию | z – 2 + 2i | = 1.

170

Г л а в а 6. Комплексные числа

§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач Использование трионометричесой формы омплесноо числа и представление этоо числа точой омплесной плосости допусает простое решение неоторых систем трионометричесих уравнений. П р и м е р 1. Решить систему

2 2 ------cos x + i sin x + cos y + i sin y = -----2 +i 2 . 2

2

------Положим cos x + i sin x = z, cos y + i sin y = w, -----2 + i 2 = u. Тода для омплесных чисел z, w и u получим уравнение

z + w = u, де |z| = |w| = |u| = 1, т. е. все три точи лежат на оружности единичноо радиуса и, следовательно, четырехуольни с вершинами z, u, w, O — ромб с диаональю Ou, длина оторой равна единице (рис. 14). Таим образом, треуольнии Ozu и Ouw — правильные, а улы uOw и zOu π

равны --3- . Имеем Arg u = --4- + 2πk; из

1

рис. 14 видно, что если x = Arg z и y =

u 1

O

w x

π π π π = Arg w, то x = --4- + --3- + 2πk, y = --4- – --3- + π 7π -----+ 2πn, т. е. x = -----12 + 2πk, y = – 12 + 2πn. π 7π - + 2πk; – ------ + 2πn  ; Ответ.  -----12  12 

Рис. 14

sin x + sin y = sin α, cos x + cos y = cos α.

2.

2 sin x cos y = sin α, 2 cos x cos y = cos α.

4.

sin x – sin y = sin α, cos x – cos y = cos α.

3

3.

sin x + sin y = -----2 , 1 cos x + cos y = --2- .

(1)

оторую можно записать в следующем виде:

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы, умноженное на i, сложим со вторым уравнением:

z

1.

|w · z| = |w| · |z|,

2

cos x + cos y = -----2 .

π

Решите систему уравнений:

Для любых двух омплесных чисел z = a + bi и w = c + di справедлива формула

2

sin x + sin y = -----2 ,

y

§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач 171

7π π   – -----+ 2πn; -----12 + 2πk  .  12

(a2 + b2) (c2 + d2) = (ac – bd)2 + (ad + bc)2.

(2)

С помощью формулы (1) можно находить целочисленные решения уравнений вида x2 + y2 = n, де n — натуральное число. П р и м е р 2. Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения (*) x2 + y2 = 21 125. Р е ш е н и е. Разложим 21 125 на простые множители: 21 125 = 53 · 132. Числа 5 и 13 являются суммой двух полных вадратов целых чисел: 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4. Используя формулу (1), можно записать, например, равенство |(2 + i) (2 + i) (2 + i) · (3 + 2i) (3 + 2i)|2 = 21 125. Перемножив омплесные числа, находящиеся под знаом модуля, получаем | 79i – 122 |

2

= 21 125.

Таим образом, одним из решений исходноо уравнения являются числа x = 122, y = 79. Очевидно, изменяя омплесные числа, вадраты модулей оторых равны 5 и 13, будем получать друие целочисленные решения уравнения (*). Ответ. Например, x = 122, y = 79.

170

Г л а в а 6. Комплексные числа

§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач Использование трионометричесой формы омплесноо числа и представление этоо числа точой омплесной плосости допусает простое решение неоторых систем трионометричесих уравнений. П р и м е р 1. Решить систему

2 2 ------cos x + i sin x + cos y + i sin y = -----2 +i 2 . 2

2

------Положим cos x + i sin x = z, cos y + i sin y = w, -----2 + i 2 = u. Тода для омплесных чисел z, w и u получим уравнение

z + w = u, де |z| = |w| = |u| = 1, т. е. все три точи лежат на оружности единичноо радиуса и, следовательно, четырехуольни с вершинами z, u, w, O — ромб с диаональю Ou, длина оторой равна единице (рис. 14). Таим образом, треуольнии Ozu и Ouw — правильные, а улы uOw и zOu π

равны --3- . Имеем Arg u = --4- + 2πk; из

1

рис. 14 видно, что если x = Arg z и y =

u 1

O

w x

π π π π = Arg w, то x = --4- + --3- + 2πk, y = --4- – --3- + π 7π -----+ 2πn, т. е. x = -----12 + 2πk, y = – 12 + 2πn. π 7π - + 2πk; – ------ + 2πn  ; Ответ.  -----12  12 

Рис. 14

sin x + sin y = sin α, cos x + cos y = cos α.

2.

2 sin x cos y = sin α, 2 cos x cos y = cos α.

4.

sin x – sin y = sin α, cos x – cos y = cos α.

3

3.

sin x + sin y = -----2 , 1 cos x + cos y = --2- .

(1)

оторую можно записать в следующем виде:

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы, умноженное на i, сложим со вторым уравнением:

z

1.

|w · z| = |w| · |z|,

2

cos x + cos y = -----2 .

π

Решите систему уравнений:

Для любых двух омплесных чисел z = a + bi и w = c + di справедлива формула

2

sin x + sin y = -----2 ,

y

§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач 171

7π π   – -----+ 2πn; -----12 + 2πk  .  12

(a2 + b2) (c2 + d2) = (ac – bd)2 + (ad + bc)2.

(2)

С помощью формулы (1) можно находить целочисленные решения уравнений вида x2 + y2 = n, де n — натуральное число. П р и м е р 2. Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения (*) x2 + y2 = 21 125. Р е ш е н и е. Разложим 21 125 на простые множители: 21 125 = 53 · 132. Числа 5 и 13 являются суммой двух полных вадратов целых чисел: 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4. Используя формулу (1), можно записать, например, равенство |(2 + i) (2 + i) (2 + i) · (3 + 2i) (3 + 2i)|2 = 21 125. Перемножив омплесные числа, находящиеся под знаом модуля, получаем | 79i – 122 |

2

= 21 125.

Таим образом, одним из решений исходноо уравнения являются числа x = 122, y = 79. Очевидно, изменяя омплесные числа, вадраты модулей оторых равны 5 и 13, будем получать друие целочисленные решения уравнения (*). Ответ. Например, x = 122, y = 79.

172

Г л а в а 6. Комплексные числа

Найдите хотя бы одно решение в натуральных числах уравнения: 6. x2 + y2 = 84 500. 15. x2 + y2 = 32 045. 17. На оружности с центром в начале оординат и радиусом 5 13 найдите хотя бы одну точу с целыми положительными оординатами. Трионометричесую форму записи омплесноо числа и связанную с ней формулу Муавра в неоторых случаях используют для вывода различных трионометричесих формул. П р и м е р 3. Выразить sin 4x и cos 4x в виде неоторой фунции от sin x и cos x. Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем (cos x + i sin x)4 = cos 4x + i sin 4x.

(*)

Разложив левую часть уравнения (*) по формуле бинома Ньютона, имеем (cos x + i sin x)4 = = cos4 x + 4i cos3 x sin x – 6 cos2 x sin2 x – 4i cos x sin3 x + sin4 x. Соласно условию равенства двух омплесных чисел, получаем cos 4x = cos4 x – 6 cos2 x sin2 x + sin4 x, sin 4x = 4 cos3 x sin x – 4 cos x sin3 x. Ответ. cos 4x = cos4 x – 6 cos2 x sin2 x + sin4 x, sin 4x = 4 cos3 x sin x – 4 cos x sin3 x.


8. Представьте sin 3x в виде фунции от sin x и cos x. 9. Вычислите сумму: S1 = cos ϕ + cos 2ϕ + ... + cos nϕ, S2 = sin ϕ + sin 2ϕ + ... + sin nϕ, n Ý N.

10. Доажите, что cos nα можно представить в виде мноочлена с целыми оэффициентами от cos α.
11. Доажите, что cos 31° — число иррациональное. 12. Вычислите сумму sin x + a sin 2x + ... + an – 1 sin nx.


13. Вычислите сумму 1

2

n

C n sin x + C n sin 2x + ... + C n sin nx, k

де C n — число сочетаний из n по k. 14. Выразите tg 5α через tg α.

Глава 7 Последовательности

§ 35. Определение последовательности и ее свойства Множество чисел, занумерованных либо онечным отрезом натуральноо ряда, либо всеми натуральными числами, называют числовой последовательностью. В первом случае последовательность называют онечной, во втором — бесонечной. Элементы этоо числовоо множества называют членами последовательности и обычно обозначают следующим образом: первый член a1, второй — a2, ..., n-й — an и т. д. Числовая последовательность обозначается та*: a1, a2, a3, ..., an, ... или (an). Понятие последовательности можно ввести и с помощью понятия фунции: бесонечной числовой последовательностью (xn) называют числовую фунцию f(n), определенную на множестве всех натуральных чисел. Формулу, позволяющую вычислить любой член последовательности по ео номеру n, называют форм
лой общео члена последовательности. Последовательность (xn) называют ораниченной, если существуют таие два числа m и M, что при всех n Ý N выполняется двойное** неравенство m m xn m M. (1) Последовательность (xn) называют ораниченной сверх
(сниз
), если существует таое число M, что при всех n Ý N выполняется неравенство xn m M (xn l M). (2) Последовательность xn называют монотонно возрастающей, если при любом натуральном n выполнено неравенство (3) xn + 1 > xn, * Числовые последовательности будем таже обозначать (yn), (zn), n Ý N. ** Слово «двойное» для ратости в дальнейшем будем опусать.

172

Г л а в а 6. Комплексные числа

Найдите хотя бы одно решение в натуральных числах уравнения: 6. x2 + y2 = 84 500. 15. x2 + y2 = 32 045. 17. На оружности с центром в начале оординат и радиусом 5 13 найдите хотя бы одну точу с целыми положительными оординатами. Трионометричесую форму записи омплесноо числа и связанную с ней формулу Муавра в неоторых случаях используют для вывода различных трионометричесих формул. П р и м е р 3. Выразить sin 4x и cos 4x в виде неоторой фунции от sin x и cos x. Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем (cos x + i sin x)4 = cos 4x + i sin 4x.

(*)

Разложив левую часть уравнения (*) по формуле бинома Ньютона, имеем (cos x + i sin x)4 = = cos4 x + 4i cos3 x sin x – 6 cos2 x sin2 x – 4i cos x sin3 x + sin4 x. Соласно условию равенства двух омплесных чисел, получаем cos 4x = cos4 x – 6 cos2 x sin2 x + sin4 x, sin 4x = 4 cos3 x sin x – 4 cos x sin3 x. Ответ. cos 4x = cos4 x – 6 cos2 x sin2 x + sin4 x, sin 4x = 4 cos3 x sin x – 4 cos x sin3 x.


8. Представьте sin 3x в виде фунции от sin x и cos x. 9. Вычислите сумму: S1 = cos ϕ + cos 2ϕ + ... + cos nϕ, S2 = sin ϕ + sin 2ϕ + ... + sin nϕ, n Ý N.

10. Доажите, что cos nα можно представить в виде мноочлена с целыми оэффициентами от cos α.
11. Доажите, что cos 31° — число иррациональное. 12. Вычислите сумму sin x + a sin 2x + ... + an – 1 sin nx.


13. Вычислите сумму 1

2

n

C n sin x + C n sin 2x + ... + C n sin nx, k

де C n — число сочетаний из n по k. 14. Выразите tg 5α через tg α.

Глава 7 Последовательности

§ 35. Определение последовательности и ее свойства Множество чисел, занумерованных либо онечным отрезом натуральноо ряда, либо всеми натуральными числами, называют числовой последовательностью. В первом случае последовательность называют онечной, во втором — бесонечной. Элементы этоо числовоо множества называют членами последовательности и обычно обозначают следующим образом: первый член a1, второй — a2, ..., n-й — an и т. д. Числовая последовательность обозначается та*: a1, a2, a3, ..., an, ... или (an). Понятие последовательности можно ввести и с помощью понятия фунции: бесонечной числовой последовательностью (xn) называют числовую фунцию f(n), определенную на множестве всех натуральных чисел. Формулу, позволяющую вычислить любой член последовательности по ео номеру n, называют форм
лой общео члена последовательности. Последовательность (xn) называют ораниченной, если существуют таие два числа m и M, что при всех n Ý N выполняется двойное** неравенство m m xn m M. (1) Последовательность (xn) называют ораниченной сверх
(сниз
), если существует таое число M, что при всех n Ý N выполняется неравенство xn m M (xn l M). (2) Последовательность xn называют монотонно возрастающей, если при любом натуральном n выполнено неравенство (3) xn + 1 > xn, * Числовые последовательности будем таже обозначать (yn), (zn), n Ý N. ** Слово «двойное» для ратости в дальнейшем будем опусать.

174

Г л а в а 7. Последовательности

и монотонно
бывающей, если при любом натуральном n выполнено неравенство (4) xn + 1 < xn. Последовательность xn называют не
бывающей (невозрастающей), если неравенство (3) (соответственно (4)) нестроое. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями. Можно обобщить определение монотонности и на те последовательности, оторые обладают этим свойством, лишь начиная с неотороо члена. В этом случае соответствующее неравенство должно выполняться при всех n > n0, де n0 — номер члена, начиная с отороо последовательность становится монотонной. П р и м е р 1. Доазать, что последовательность, общий член 3n – 1

------------------ , — возрастающая. оторой задан формулой xn = 5n +2

Р е ш е н и е. Рассмотрим разность 3(n + 1 ) – 1

3n – 1 3(n + 1 ) – 1 --------------------------------- – ------------------ > 0, 5n + 2 5(n + 1) + 2

или

+1

– xn > 0 при всех

11 ---------------------------------------------( 5n + 7 ) ( 5n + 2 ) > 0.

6–n

1. Доажите, что последовательность yn = ----------------5n – 1 является убывающей. 2. Установите, является ли монотонной последовательность 2n – 3 yn = ----------------n .

3. Установите, является ли монотонной последовательность 2

n

-. yn = ----n! 4. При аих соотношениях между a, b, c, d последовательan + b ность yn = ----------------cn + d является возрастающей?

П р и м е р 2. Найти наибольший член последовательности yn = –n2 + 5n – 6. Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию y(x) = –x2 + 5x – 6. Она принимает наибольшее значение в точе x = 2,5, причем на промежуте (–×; 2,5) фунция y (x) возрастает, а на промежуте (2,5; +×) — убывает. Таим образом, возвращаясь  последовательности, можно записать y1 < y2 и y3 > y4. Значит, наибольшим членом является либо y2, либо y3, но y2 = y3 = 0. Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены последовательности. Найдите наибольший или наименьший член последовательности: 15. yn = n2 – 1.

6. yn = 6n – n2 – 5.




512 n

7. xn = 2n + --------2 .

18. Последовательность (xn) задана формулой общео члена xn = ----------------n . При аих натуральных значениях n выполняется

Та а последнее неравенство справедливо при всех n Ý N, то соласно условию (3) данная последовательность — возрастающая.




175

2n – 3

3n – 1

-----------------xn + 1 – xn = --------------------------------5 ( n + 1 ) + 2 – 5n + 2

и проверим выполнение неравенства xn n Ý N:

§ 35. Определение последовательности и ее свойства

условие: а) | xn – 2 | < 0,1; б) | xn – 2 | < 0,01?
9. Сольо членов последовательности yn = | n2 – 5n + 6 | удовлетворяет неравенству 2 < yn < 6?
10. Начиная с аоо номера члены последовательности yn = n2 – 5n + 6 удовлетворяют неравенству xn + 1 > xn?
11. Начиная с аоо номера n последовательность, заданная формулой общео члена yn = nqn, является монотонной, если 0 < q < 1? Если последовательность задана формулой общео члена xn = f(n), то для доазательства ораниченности последовательности сверху и снизу можно использовать ораниченность фунции f(x) при x Ý [1; +×). 3n + 8

П р и м е р 3. Ораничена ли последовательность xn = ----------------2n ?

Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию 3x + 8

f(x) = ----------------2x ,

174

Г л а в а 7. Последовательности

и монотонно
бывающей, если при любом натуральном n выполнено неравенство (4) xn + 1 < xn. Последовательность xn называют не
бывающей (невозрастающей), если неравенство (3) (соответственно (4)) нестроое. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями. Можно обобщить определение монотонности и на те последовательности, оторые обладают этим свойством, лишь начиная с неотороо члена. В этом случае соответствующее неравенство должно выполняться при всех n > n0, де n0 — номер члена, начиная с отороо последовательность становится монотонной. П р и м е р 1. Доазать, что последовательность, общий член 3n – 1

------------------ , — возрастающая. оторой задан формулой xn = 5n +2

Р е ш е н и е. Рассмотрим разность 3(n + 1 ) – 1

3n – 1 3(n + 1 ) – 1 --------------------------------- – ------------------ > 0, 5n + 2 5(n + 1) + 2

или

+1

– xn > 0 при всех

11 ---------------------------------------------( 5n + 7 ) ( 5n + 2 ) > 0.

6–n

1. Доажите, что последовательность yn = ----------------5n – 1 является убывающей. 2. Установите, является ли монотонной последовательность 2n – 3 yn = ----------------n .

3. Установите, является ли монотонной последовательность 2

n

-. yn = ----n! 4. При аих соотношениях между a, b, c, d последовательan + b ность yn = ----------------cn + d является возрастающей?

П р и м е р 2. Найти наибольший член последовательности yn = –n2 + 5n – 6. Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию y(x) = –x2 + 5x – 6. Она принимает наибольшее значение в точе x = 2,5, причем на промежуте (–×; 2,5) фунция y (x) возрастает, а на промежуте (2,5; +×) — убывает. Таим образом, возвращаясь  последовательности, можно записать y1 < y2 и y3 > y4. Значит, наибольшим членом является либо y2, либо y3, но y2 = y3 = 0. Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены последовательности. Найдите наибольший или наименьший член последовательности: 15. yn = n2 – 1.

6. yn = 6n – n2 – 5.




512 n

7. xn = 2n + --------2 .

18. Последовательность (xn) задана формулой общео члена xn = ----------------n . При аих натуральных значениях n выполняется

Та а последнее неравенство справедливо при всех n Ý N, то соласно условию (3) данная последовательность — возрастающая.




175

2n – 3

3n – 1

-----------------xn + 1 – xn = --------------------------------5 ( n + 1 ) + 2 – 5n + 2

и проверим выполнение неравенства xn n Ý N:

§ 35. Определение последовательности и ее свойства

условие: а) | xn – 2 | < 0,1; б) | xn – 2 | < 0,01?
9. Сольо членов последовательности yn = | n2 – 5n + 6 | удовлетворяет неравенству 2 < yn < 6?
10. Начиная с аоо номера члены последовательности yn = n2 – 5n + 6 удовлетворяют неравенству xn + 1 > xn?
11. Начиная с аоо номера n последовательность, заданная формулой общео члена yn = nqn, является монотонной, если 0 < q < 1? Если последовательность задана формулой общео члена xn = f(n), то для доазательства ораниченности последовательности сверху и снизу можно использовать ораниченность фунции f(x) при x Ý [1; +×). 3n + 8

П р и м е р 3. Ораничена ли последовательность xn = ----------------2n ?

Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию 3x + 8

f(x) = ----------------2x ,

176

Г л а в а 7. Последовательности

оторая при x = n определяет члены данной последовательности. Найдем множество значений фунции на промежуте [1; +×). Записав фунцию f(x) в виде 3

4

f(x) = --2- + --x- ,

(*)

§ 36. Предел последовательности

Р е ш е н и е. Чтобы установить, что предел последовательn+1

- равен 1, достаточно уазать способ нахождености xn = ------------n

ния для любоо ε > 0 числа n0(ε), входящео в определение предела. Зададим ε > 0 и составим неравенство n+1 -------------- – 1 < ε, n

убеждаемся, что при x l 1 она монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение фунции достиается при x = 1 и 11

177

(*)

1

оно равно -----2 . Из записи (*) видно, что при всех x Ý [1; +×) вы-

оторое эвивалентно неравенству --n- < ε. Следовательно, если

3 3 11 полняется неравенство f(x) > --2- . Ита, f(n) Ý  --2- ; -----2 . 

в ачестве числа n0(ε) выбрать число

Ответ. Последовательность ораничена: все ее члены за3 11 лючены в промежуте  --2- ; -----2 . 




(–1)

n

1 n – 2n + 3

-. 14. xn = -----------------------------2




n > n0(ε) будет выполняться неравенство (*); вадратными собами обозначена целая часть числа. Таим образом, доазано, что 1 является пределом данной последовательности.

5n – 3

1 1 --------------------  15. xn =  -------------------( n + 1 )! – ( n + 2 )!  (n + 2).

§ 36. Предел последовательности Говорят, что число a является пределом бесонечной числовой последовательности (xn), и пишут lim xn = a, если nº×

для любоо ε > 0 существует таой номер n0(ε), что при всех n > n0(ε) выполняется неравенство | xn – a | < ε. Если последовательность (xn) имеет предел, то ее называют сходящейся. Необходимое
словие сходимости числовой последовательности: для тоо чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ораниченной. П р и м е р. Доазать, что n+1 - = 1. lim ------------n nº×

3n – 2

1. lim ----------------2n = 1,5. nº×

3 + n2 2+n

13. xn = ----------------2- .

.

+ 1, то при всех

Доажите, что:

Выясните, ораничена ли последовательность: 12. xn = 2

1 --ε

5

------------------ = --- . 3. lim 6n 6 +2 nº× n+1 n +1 nº×

- = 0. 5. lim ---------------2

1 +1 n nº×

- = 0. 2. lim ---------------2 6n – 1

- = –6. 4. lim -----------------n º × 0,5 – n n2 n +n nº×

- = 1. 6. lim ---------------2

При решении неоторых задач на доазательство сходимости последовательности удобно пользоваться следующей еометричесой интерпретацией понятия предела последовательности. Число a является пределом последовательности (xn), если для любоо положительноо числа ε существует таой номер n = n0(ε), что все члены последовательности, начиная с xn

0

+1

, принадлежат ε-орестности числа a, т. е. промежут-

у (a – ε; a + ε). Используя приведенную выше еометричесую интерпретацию, убедитесь в справедливости следующих утверждений:
7. Если последовательность сходится  числу a, то она ораничена (необходимое условие сходимости).
8. Известно, что lim xn = a, a < q. Доажите, что почти все

nº×

члены последовательности (xn) (за ислючением, быть может, онечноо числа членов) меньше q.

176

Г л а в а 7. Последовательности

оторая при x = n определяет члены данной последовательности. Найдем множество значений фунции на промежуте [1; +×). Записав фунцию f(x) в виде 3

4

f(x) = --2- + --x- ,

(*)

§ 36. Предел последовательности

Р е ш е н и е. Чтобы установить, что предел последовательn+1

- равен 1, достаточно уазать способ нахождености xn = ------------n

ния для любоо ε > 0 числа n0(ε), входящео в определение предела. Зададим ε > 0 и составим неравенство n+1 -------------- – 1 < ε, n

убеждаемся, что при x l 1 она монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение фунции достиается при x = 1 и 11

177

(*)

1

оно равно -----2 . Из записи (*) видно, что при всех x Ý [1; +×) вы-

оторое эвивалентно неравенству --n- < ε. Следовательно, если

3 3 11 полняется неравенство f(x) > --2- . Ита, f(n) Ý  --2- ; -----2 . 

в ачестве числа n0(ε) выбрать число

Ответ. Последовательность ораничена: все ее члены за3 11 лючены в промежуте  --2- ; -----2 . 




(–1)

n

1 n – 2n + 3

-. 14. xn = -----------------------------2




n > n0(ε) будет выполняться неравенство (*); вадратными собами обозначена целая часть числа. Таим образом, доазано, что 1 является пределом данной последовательности.

5n – 3

1 1 --------------------  15. xn =  -------------------( n + 1 )! – ( n + 2 )!  (n + 2).

§ 36. Предел последовательности Говорят, что число a является пределом бесонечной числовой последовательности (xn), и пишут lim xn = a, если nº×

для любоо ε > 0 существует таой номер n0(ε), что при всех n > n0(ε) выполняется неравенство | xn – a | < ε. Если последовательность (xn) имеет предел, то ее называют сходящейся. Необходимое
словие сходимости числовой последовательности: для тоо чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ораниченной. П р и м е р. Доазать, что n+1 - = 1. lim ------------n nº×

3n – 2

1. lim ----------------2n = 1,5. nº×

3 + n2 2+n

13. xn = ----------------2- .

.

+ 1, то при всех

Доажите, что:

Выясните, ораничена ли последовательность: 12. xn = 2

1 --ε

5

------------------ = --- . 3. lim 6n 6 +2 nº× n+1 n +1 nº×

- = 0. 5. lim ---------------2

1 +1 n nº×

- = 0. 2. lim ---------------2 6n – 1

- = –6. 4. lim -----------------n º × 0,5 – n n2 n +n nº×

- = 1. 6. lim ---------------2

При решении неоторых задач на доазательство сходимости последовательности удобно пользоваться следующей еометричесой интерпретацией понятия предела последовательности. Число a является пределом последовательности (xn), если для любоо положительноо числа ε существует таой номер n = n0(ε), что все члены последовательности, начиная с xn

0

+1

, принадлежат ε-орестности числа a, т. е. промежут-

у (a – ε; a + ε). Используя приведенную выше еометричесую интерпретацию, убедитесь в справедливости следующих утверждений:
7. Если последовательность сходится  числу a, то она ораничена (необходимое условие сходимости).
8. Известно, что lim xn = a, a < q. Доажите, что почти все

nº×

члены последовательности (xn) (за ислючением, быть может, онечноо числа членов) меньше q.

178

Г л а в а 7. Последовательности




9. Известно, что lim an = p, lim bn = q, p − q. Существует nº×

nº×

ли предел последовательности a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ... ? 10. Используя результат упр. 9, доажите, что последоваn

тельность xn = 1 + (–1) не имеет предела.
11. Выясните, имеет ли предел последовательность πn 2

Р е ш е н и е. Та а числитель и знаменатель представляют собой неораниченные последовательности, то непосредственно воспользоваться формулой (3) нельзя. Разделим числитель и знаменатель на n и  полученной дроби применим формулу (3):

2

13. Выясните, имеет ли предел последовательность: n

xn

- , де x и y — неораниченно числении пределов вида lim ----n n n º × yn

5n + 1

1 πn xn = --n- sin ------- .

(–1) n

Обычно при вычислении пределов последовательностей непосредственному применению формул (1) — (3) предшествуют неоторые тождественные преобразования. Например, при вы-

-. П р и м е р 1. Вычислить предел lim ----------------n º × 7 – 9n

12. Выясните, имеет ли предел последовательность

а) xn = 1 + --------------- ;

n  (–1)  - sin πn ------- . б) xn =  1 + -------------n  2  

1 1 lim  5 + ---  5 + --n n º × n - = ----------------------------------- . lim ------------7 7 n º × --–9 lim  --- – 9 n  n º × n

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

Далее, используя формулу (1), получаем 1 1 lim  5 + ---  lim 5 + lim --n nº× nº×n ----------------------------------- = ------------------------------------------- . 7 7 lim  --- – 9 lim --- – lim 9  n º × n nº×n nº× n º ×

Свойства сходящихся последовательностей. Если две последовательности (xn) и (yn) сходятся  lim xn и lim yn, то: nº×

nº×

1) последовательность (xn ä yn) сходится, причем lim (xn ä yn) = lim xn ä lim yn;

nº×

nº×

Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а (1)

nº×

1

lim --- = 0, оончательно получим

nº× n

5n + 1

2) последовательность (xnyn) сходится, причем lim xnyn = lim xn · lim yn;

nº×

nº×

nº×

(2)

 xn  3) последовательность  ----y  (если, роме тоо, yn − 0 и  n 

5

Ответ. – --9- . С помощью деления числителя и знаменателя дроби на старшую степень n вычислите предел: 2

1. lim ----------------------------------2-.

nº×

n º × 2 – 5n – 6n

nº×

(3)

5

lim ------------------ = – --9- . n º × 7 – 9n

3n – 7n + 1

lim yn − 0) сходится, причем lim x n xn nº× - = -------------------- . lim ----lim y n n º × yn

179

возрастающие последовательности, таим преобразованием является деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение.

xn = sin ------- .


§ 37. Вычисление пределов последовательностей

( n + 1 )4 – ( n – 1 )4 n º × (n + 1 ) + (n – 1 )

3. lim -------------------------------------------------4 4.

3

n 3 + 2n – 1

4

n5 + 2 – 3 n2 + 1

-. 2. lim ----------------------------------n+2 nº×

-. 4. lim -------------------------------------------------5 nº×

n4 + 2 + n3 + 1

178

Г л а в а 7. Последовательности




9. Известно, что lim an = p, lim bn = q, p − q. Существует nº×

nº×

ли предел последовательности a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ... ? 10. Используя результат упр. 9, доажите, что последоваn

тельность xn = 1 + (–1) не имеет предела.
11. Выясните, имеет ли предел последовательность πn 2

Р е ш е н и е. Та а числитель и знаменатель представляют собой неораниченные последовательности, то непосредственно воспользоваться формулой (3) нельзя. Разделим числитель и знаменатель на n и  полученной дроби применим формулу (3):

2

13. Выясните, имеет ли предел последовательность: n

xn

- , де x и y — неораниченно числении пределов вида lim ----n n n º × yn

5n + 1

1 πn xn = --n- sin ------- .

(–1) n

Обычно при вычислении пределов последовательностей непосредственному применению формул (1) — (3) предшествуют неоторые тождественные преобразования. Например, при вы-

-. П р и м е р 1. Вычислить предел lim ----------------n º × 7 – 9n

12. Выясните, имеет ли предел последовательность

а) xn = 1 + --------------- ;

n  (–1)  - sin πn ------- . б) xn =  1 + -------------n  2  

1 1 lim  5 + ---  5 + --n n º × n - = ----------------------------------- . lim ------------7 7 n º × --–9 lim  --- – 9 n  n º × n

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

Далее, используя формулу (1), получаем 1 1 lim  5 + ---  lim 5 + lim --n nº× nº×n ----------------------------------- = ------------------------------------------- . 7 7 lim  --- – 9 lim --- – lim 9  n º × n nº×n nº× n º ×

Свойства сходящихся последовательностей. Если две последовательности (xn) и (yn) сходятся  lim xn и lim yn, то: nº×

nº×

1) последовательность (xn ä yn) сходится, причем lim (xn ä yn) = lim xn ä lim yn;

nº×

nº×

Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а (1)

nº×

1

lim --- = 0, оончательно получим

nº× n

5n + 1

2) последовательность (xnyn) сходится, причем lim xnyn = lim xn · lim yn;

nº×

nº×

nº×

(2)

 xn  3) последовательность  ----y  (если, роме тоо, yn − 0 и  n 

5

Ответ. – --9- . С помощью деления числителя и знаменателя дроби на старшую степень n вычислите предел: 2

1. lim ----------------------------------2-.

nº×

n º × 2 – 5n – 6n

nº×

(3)

5

lim ------------------ = – --9- . n º × 7 – 9n

3n – 7n + 1

lim yn − 0) сходится, причем lim x n xn nº× - = -------------------- . lim ----lim y n n º × yn

179

возрастающие последовательности, таим преобразованием является деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение.

xn = sin ------- .


§ 37. Вычисление пределов последовательностей

( n + 1 )4 – ( n – 1 )4 n º × (n + 1 ) + (n – 1 )

3. lim -------------------------------------------------4 4.

3

n 3 + 2n – 1

4

n5 + 2 – 3 n2 + 1

-. 2. lim ----------------------------------n+2 nº×

-. 4. lim -------------------------------------------------5 nº×

n4 + 2 + n3 + 1

180

Г л а в а 7. Последовательности

При вычислении пределов выражений, содержащих поазательные фунции с натуральным арументом, используют следующее равенство: lim qn = 0,

nº×

если

| q | < 1. 2

n+1

+3

3

n+1

   1   -------------1-   2 + ---  n  

n+1

2 +3

Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на . Далее, применяя формулу (4), получаем

n -  lim  ----------------2n +1   nº×

n

= 0.

Ответ. 0. Вычислите предел:

Ответ. 3. Вычислите предел: n

-. 5. lim ------------------n n nº× 2 –3

n

1 <  --2-  .  

денноо выше свойства последовательности вытеает, что

n+1 2 2 lim  ---  +1 ---  +1 3 n º × 3  0+1 - = ---------------------------------------------- = ---------------------- = 3. lim -------------------------------n n 1 1 2 2 1 1 1  nº× 1  --- ⋅ 0 + ----- --- + ----- lim --- + --3 3 3 3  3 n º × 3  3 3

n

n

1 n Соласно формуле (4), имеем lim  --2-  = 0, поэтому из привеnº×

n+1

2 +3

181

Далее, используя свойство степеней, залючаем, что при всех n Ý N справедливо неравенство

(4)

-. П р и м е р 2. Вычислить предел lim ----------------------------------n n nº×

§ 37. Вычисление пределов последовательностей




3·2

n+1

n

– 7· 3 + 1

-. 6. lim -----------------------------------------------------n+1 n+1 nº× 2

–5 ·3

+6

При вычислении пределов инода удобно пользоваться следующим свойством последовательностей: если члены двух последовательностей (an) и (bn) связаны соотношением |an | m |bn |, то из равенства нулю предела последовательности (bn) следует равенство нулю предела последовательности (an). n

n -  . П р и м е р 3. Вычислить предел lim  ----------------n º ×  2n + 1 

+1 n  3n ------------------  .
7. lim n º ×  4n + 5 


nsin n!

-. 9. lim -----------------2 nº× n +1

При вычислении пределов, содержащих иррациональности, часто используют перевод иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот. П р и м е р 4. Вычислить предел lim ( n 2 + 2n – n). nº×

Р е ш е н и е. Умножим и разделим выражение, находящееся под знаом предела, на сопряженное выражение. Тода получим ( n 2 + 2n – n ) ( n 2 + 2n + n )

- = lim ---------------------------------------------------------------------------------2

Р е ш е н и е. Убедимся сначала в том, что при всех n Ý N справедливо неравенство 1 n ------------------ < --- . 2 2n + 1

Действительно, разделив на n числитель и знаменатель дроби, записанной в левой части неравенства, получим очевидное неравенство 1 1 -------------- < --- . 2 1 2 + --n

n

  n2 – 1
8. lim  ------------------------------------------  . n º ×  ( 2n + 1 ) ( n + 2 ) 

n + 2n + n

nº×

n 2 + 2n – n 2 2n - = lim ------------------------------------ . = lim ----------------------------------2 2 n º × n + 2n + n n º × n + 2n + n

Разделив числитель и знаменатель на n, находим 2n

2 2 1 + --- + 1 n

- = lim ----------------------------- = 1. lim ----------------------------------2

nº×

Ответ. 1.

n + 2n + n

nº×

180

Г л а в а 7. Последовательности

При вычислении пределов выражений, содержащих поазательные фунции с натуральным арументом, используют следующее равенство: lim qn = 0,

nº×

если

| q | < 1. 2

n+1

+3

3

n+1

   1   -------------1-   2 + ---  n  

n+1

2 +3

Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на . Далее, применяя формулу (4), получаем

n -  lim  ----------------2n +1   nº×

n

= 0.

Ответ. 0. Вычислите предел:

Ответ. 3. Вычислите предел: n

-. 5. lim ------------------n n nº× 2 –3

n

1 <  --2-  .  

денноо выше свойства последовательности вытеает, что

n+1 2 2 lim  ---  +1 ---  +1 3 n º × 3  0+1 - = ---------------------------------------------- = ---------------------- = 3. lim -------------------------------n n 1 1 2 2 1 1 1  nº× 1  --- ⋅ 0 + ----- --- + ----- lim --- + --3 3 3 3  3 n º × 3  3 3

n

n

1 n Соласно формуле (4), имеем lim  --2-  = 0, поэтому из привеnº×

n+1

2 +3

181

Далее, используя свойство степеней, залючаем, что при всех n Ý N справедливо неравенство

(4)

-. П р и м е р 2. Вычислить предел lim ----------------------------------n n nº×

§ 37. Вычисление пределов последовательностей




3·2

n+1

n

– 7· 3 + 1

-. 6. lim -----------------------------------------------------n+1 n+1 nº× 2

–5 ·3

+6

При вычислении пределов инода удобно пользоваться следующим свойством последовательностей: если члены двух последовательностей (an) и (bn) связаны соотношением |an | m |bn |, то из равенства нулю предела последовательности (bn) следует равенство нулю предела последовательности (an). n

n -  . П р и м е р 3. Вычислить предел lim  ----------------n º ×  2n + 1 

+1 n  3n ------------------  .
7. lim n º ×  4n + 5 


nsin n!

-. 9. lim -----------------2 nº× n +1

При вычислении пределов, содержащих иррациональности, часто используют перевод иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот. П р и м е р 4. Вычислить предел lim ( n 2 + 2n – n). nº×

Р е ш е н и е. Умножим и разделим выражение, находящееся под знаом предела, на сопряженное выражение. Тода получим ( n 2 + 2n – n ) ( n 2 + 2n + n )

- = lim ---------------------------------------------------------------------------------2

Р е ш е н и е. Убедимся сначала в том, что при всех n Ý N справедливо неравенство 1 n ------------------ < --- . 2 2n + 1

Действительно, разделив на n числитель и знаменатель дроби, записанной в левой части неравенства, получим очевидное неравенство 1 1 -------------- < --- . 2 1 2 + --n

n

  n2 – 1
8. lim  ------------------------------------------  . n º ×  ( 2n + 1 ) ( n + 2 ) 

n + 2n + n

nº×

n 2 + 2n – n 2 2n - = lim ------------------------------------ . = lim ----------------------------------2 2 n º × n + 2n + n n º × n + 2n + n

Разделив числитель и знаменатель на n, находим 2n

2 2 1 + --- + 1 n

- = lim ----------------------------- = 1. lim ----------------------------------2

nº×

Ответ. 1.

n + 2n + n

nº×

182

Г л а в а 7. Последовательности

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

Вычислите предел: 10. lim ( n + 2 – nº×

Аналоично доазывается, что lim (–|xn |) = 0. Учитывая, 11. lim (

n ).

12. lim n( n 2 + 1 – n). nº×

nº×




n2

13. lim (n + nº×

nº×

– 5n + 6 – n). 3

что неравенство –|xn | m xn m |xn | справедливо при всех n Ý N, получаем lim xn = 0.

1 – n 3 ).

nº×

Чтобы установить сходимость монотонной последовательности, можно использовать следующее утверждение: еcли последовательность монотонно возрастает (убывает), то для ее сходимости достаточно, чтобы она была ораничена сверху (снизу). В том случае, ода известно, что предел последовательности существует, для ео вычисления в ряде случаев удобно использовать формулу lim xn = lim xn + 1.

nº×

14. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = определяется реуррентным соотношением 

xn + 1 =

2

Найдите предел (xn). 16. Последовательность задана реуррентным соотношением  1  a ------ + x  , xn + 1 = --2-  x n  n  де x1 > 0, a > 0. Найдите предел (xn). 17. Доажите, что последовательность, первый член ото-

и lim an = lim cn, то lim bn существует, причем nº×

lim bn = lim an.

nº×

(6)

nº×

2 + xn .

xn + 1 = x n + (1 – 2a)xn + a2.

an m bn m cn nº×

2,

Найдите предел (xn).
15. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = 1, определяется реуррентным соотношением

(5)

nº×

Убедиться в существовании предела последовательности, а инода и найти ео можно, используя следующее утверждение: если для трех последовательностей, начиная с неотороо N справедливо неравенство

nº×

183

П р и м е р 5. Найти предел последовательности xn = qn, если |q| < 1. Р е ш е н и е. Представим последовательность в реуррентном виде: xn + 1 = qxn. Та а |q| < 1, то |xn + 1 | < |xn | при любом n Ý N, т. е. последовательность (|xn |) монотонно убывает. Далее, посольу |xn | l 0 при любом n Ý N, последовательность (|xn |) ораничена снизу. Значит, последовательность (|xn |) сходится. Пусть lim |xn | = y. nº×

Тода для вычисления y соласно формуле (5) получаем уравнение y = |q|y. (*) Но |q | < 1, поэтому уравнение (*) имеет единственный орень y = 0.

a

рой x1 = --2- , а аждый следующий удовлетворяет реуррентному соотношению a

2

x –1

n xn = --2- + ---------------2 ,

возрастает и ораничена сверху. Найдите ее предел.
18. Найдите предел последовательности, у оторой a x1 = --2- ,

2

xn – 1 a xn = --2- – ---------------2 .

19. Последовательность определяется реуррентным соотношением 1  a  xn – 1 = --3-  2xn + -----2-  , xn   де a > 0 и x > 0. Доажите, что lim xn = nº×

3

a.

182

Г л а в а 7. Последовательности

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

Вычислите предел: 10. lim ( n + 2 – nº×

Аналоично доазывается, что lim (–|xn |) = 0. Учитывая, 11. lim (

n ).

12. lim n( n 2 + 1 – n). nº×

nº×




n2

13. lim (n + nº×

nº×

– 5n + 6 – n). 3

что неравенство –|xn | m xn m |xn | справедливо при всех n Ý N, получаем lim xn = 0.

1 – n 3 ).

nº×

Чтобы установить сходимость монотонной последовательности, можно использовать следующее утверждение: еcли последовательность монотонно возрастает (убывает), то для ее сходимости достаточно, чтобы она была ораничена сверху (снизу). В том случае, ода известно, что предел последовательности существует, для ео вычисления в ряде случаев удобно использовать формулу lim xn = lim xn + 1.

nº×

14. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = определяется реуррентным соотношением 

xn + 1 =

2

Найдите предел (xn). 16. Последовательность задана реуррентным соотношением  1  a ------ + x  , xn + 1 = --2-  x n  n  де x1 > 0, a > 0. Найдите предел (xn). 17. Доажите, что последовательность, первый член ото-

и lim an = lim cn, то lim bn существует, причем nº×

lim bn = lim an.

nº×

(6)

nº×

2 + xn .

xn + 1 = x n + (1 – 2a)xn + a2.

an m bn m cn nº×

2,

Найдите предел (xn).
15. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = 1, определяется реуррентным соотношением

(5)

nº×

Убедиться в существовании предела последовательности, а инода и найти ео можно, используя следующее утверждение: если для трех последовательностей, начиная с неотороо N справедливо неравенство

nº×

183

П р и м е р 5. Найти предел последовательности xn = qn, если |q| < 1. Р е ш е н и е. Представим последовательность в реуррентном виде: xn + 1 = qxn. Та а |q| < 1, то |xn + 1 | < |xn | при любом n Ý N, т. е. последовательность (|xn |) монотонно убывает. Далее, посольу |xn | l 0 при любом n Ý N, последовательность (|xn |) ораничена снизу. Значит, последовательность (|xn |) сходится. Пусть lim |xn | = y. nº×

Тода для вычисления y соласно формуле (5) получаем уравнение y = |q|y. (*) Но |q | < 1, поэтому уравнение (*) имеет единственный орень y = 0.

a

рой x1 = --2- , а аждый следующий удовлетворяет реуррентному соотношению a

2

x –1

n xn = --2- + ---------------2 ,

возрастает и ораничена сверху. Найдите ее предел.
18. Найдите предел последовательности, у оторой a x1 = --2- ,

2

xn – 1 a xn = --2- – ---------------2 .

19. Последовательность определяется реуррентным соотношением 1  a  xn – 1 = --3-  2xn + -----2-  , xn   де a > 0 и x > 0. Доажите, что lim xn = nº×

3

a.

184

Г л а в а 7. Последовательности

20. Последовательность определяется реуррентным соотношением 2

x ( x + 2a )

n n -, xn + 1 = -------------------------------3

2x n + a

де a > 0 и x > 0. Доажите, что lim xn =

3

nº×

a.

§ 38. Арифметическая прогрессия

П р и м е р 1. При делении 9-о члена арифметичесой прорессии на ее второй член в частном получается 5, а при делении 13-о члена этой прорессии на ее 6-й член в частном получается 2 и в остате 5. Найти первый член и разность прорессии. Р е ш е н и е. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений: a9 = a2 · 5, a13 = 2a6 + 5.

§ 38. Арифметическая прогрессия Последовательность, у оторой задан первый член a1, а аждый следующий член, начиная со второо, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметичесой прорессией. Таим образом, an + 1 = an + d,

n Ý N,

(1)

де an — n-й член прорессии, d — разность прорессии. Формула общео члена арифметичесой прорессии имеет вид an = a1 + d(n – 1).

1 n n, Sn = ------------------2

(3)

2a 1 + d ( n – 1 ) - n. Sn = --------------------------------------2

(4)

a

+a

k < n.

(5)

a

+a

оторая содержит тольо два неизвестных: a1 и d. После упрощений получаем систему 4a1 = 3d, a1 – 2d + 5 = 0, решением оторой являются a1 = 3, d = 4. Ответ. a1 = 3, d = 4. 5

сии равна --3- , а произведение третьео и четвертоо ее членов 65

равно -----72 . Найдите сумму 17 первых членов прорессии. 2. Найдите арифметичесую прорессию, если известно, что a1 + a3 + a5 = –12, a1a2a5 = 80.
3. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметичесой прорессии, равна 2, а сумма вадратов 14

Если k = 1, то формула (4) примет вид n–1 n+1 . an = ----------------------------------2

a1 + 8d = 5(a1 + d), a1 + 12d = 2(a1 + 5d) + 5,

1. Сумма первоо и пятоо членов арифметичесой прорес-

Свойство членов арифметичесой прорессии. Любой член арифметичесой прорессии (роме первоо) равен полусумме равноотстоящих от нео членов: n–k n+k -, an = ---------------------------------2

Используя формулу общео члена арифметичесой прорессии, приходим  системе

(2)

Сумма n членов арифметичесой прорессии вычисляется по формулам a +a

185

этих чисел равна -----9 . Найдите эти числа. (6)

Арифметичесая прорессия полностью определена, если известны ее первый член a1 и разность d.

4. В арифметичесой прорессии дано: ap = q и aq = p; найдите формулу общео члена прорессии an (p − q).
5. Поажите, что если для положительных чисел a, b, c числа a2, b2, c2 являются последовательными членами арифмети-

184

Г л а в а 7. Последовательности

20. Последовательность определяется реуррентным соотношением 2

x ( x + 2a )

n n -, xn + 1 = -------------------------------3

2x n + a

де a > 0 и x > 0. Доажите, что lim xn =

3

nº×

a.

§ 38. Арифметическая прогрессия

П р и м е р 1. При делении 9-о члена арифметичесой прорессии на ее второй член в частном получается 5, а при делении 13-о члена этой прорессии на ее 6-й член в частном получается 2 и в остате 5. Найти первый член и разность прорессии. Р е ш е н и е. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений: a9 = a2 · 5, a13 = 2a6 + 5.

§ 38. Арифметическая прогрессия Последовательность, у оторой задан первый член a1, а аждый следующий член, начиная со второо, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметичесой прорессией. Таим образом, an + 1 = an + d,

n Ý N,

(1)

де an — n-й член прорессии, d — разность прорессии. Формула общео члена арифметичесой прорессии имеет вид an = a1 + d(n – 1).

1 n n, Sn = ------------------2

(3)

2a 1 + d ( n – 1 ) - n. Sn = --------------------------------------2

(4)

a

+a

k < n.

(5)

a

+a

оторая содержит тольо два неизвестных: a1 и d. После упрощений получаем систему 4a1 = 3d, a1 – 2d + 5 = 0, решением оторой являются a1 = 3, d = 4. Ответ. a1 = 3, d = 4. 5

сии равна --3- , а произведение третьео и четвертоо ее членов 65

равно -----72 . Найдите сумму 17 первых членов прорессии. 2. Найдите арифметичесую прорессию, если известно, что a1 + a3 + a5 = –12, a1a2a5 = 80.
3. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметичесой прорессии, равна 2, а сумма вадратов 14

Если k = 1, то формула (4) примет вид n–1 n+1 . an = ----------------------------------2

a1 + 8d = 5(a1 + d), a1 + 12d = 2(a1 + 5d) + 5,

1. Сумма первоо и пятоо членов арифметичесой прорес-

Свойство членов арифметичесой прорессии. Любой член арифметичесой прорессии (роме первоо) равен полусумме равноотстоящих от нео членов: n–k n+k -, an = ---------------------------------2

Используя формулу общео члена арифметичесой прорессии, приходим  системе

(2)

Сумма n членов арифметичесой прорессии вычисляется по формулам a +a

185

этих чисел равна -----9 . Найдите эти числа. (6)

Арифметичесая прорессия полностью определена, если известны ее первый член a1 и разность d.

4. В арифметичесой прорессии дано: ap = q и aq = p; найдите формулу общео члена прорессии an (p − q).
5. Поажите, что если для положительных чисел a, b, c числа a2, b2, c2 являются последовательными членами арифмети-

186

Г л а в а 7. Последовательности 1

1

1

- ------------- ------------чесой прорессии, то числа -----------b + c , a + c , a + b таже являются

последовательными членами арифметичесой прорессии. 6. Сумма и разность членов арифметичесой прорессии положительна. Если увеличить разность на 2, не меняя первоо члена, то сумма исходной прорессии увеличится в 3 раза. Если же разность исходной прорессии увеличить в 4 раза, то сумма прорессии увеличится в 5 раз. Определите разность исходной прорессии. 7. Найдите число членов арифметичесой прорессии, у оторой отношение суммы первых 13 членов  сумме последних 1

13 равно --2- , а отношение суммы всех членов без первых трех 4

 сумме всех членов без последних трех равно --3- .

187

тичесой прорессии при d = 2, a1 = 10, an = 98, получаем 98 – 10

- = 45. n = 1 + ------------------2

Подставляя это значение n в формулу (3), находим 98 + 10

- · 45 = 54 · 45 = 2430. Sn = -------------------2

Ответ. 2430. 10. Решите уравнение 2 + 5 + 8 + 11 + ... + x = 155. 11. За изотовление и установу первоо железобетонноо ольца было уплачено 1000 р., а за аждое следующее ольцо платили на 200 р. больше, чем за предыдущее. Кроме тоо, по оончании работы было уплачено еще 4000 р. Средняя стоимость изотовления и установи одноо ольца оазалась рав4 9

ной 2244 --- р. Сольо олец было установлено?

При решении задач, в оторых используется понятие суммы членов арифметичесой прорессии, удобно применять следующую формулу: an + 1 = Sn + 1 – Sn.

§ 38. Арифметическая прогрессия

(7)

П р и м е р 2. Известно, что при любом n сумма членов неоторой прорессии выражается формулой Sn = 4n2 – 3n. Найти общий член прорессии. Р е ш е н и е. Используя формулу (7), имеем an + 1 = Sn + 1 – Sn = 4(n + 1)2 – 3(n + 1) – (4n2 – 3n) = 8n + 1, an = 8(n – 1) + 1 = 8n – 7. Ответ. an = 8n – 7. 8. Известно, что при любом n сумма членов неоторой последовательности выражается формулой Sn = 2n2 + 3n. Найдите десятый член этой последовательности и доажите, что она является арифметичесой прорессией. 9. Последовательность чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем свойством, что разности соседних членов (последующео и предыдущео) образуют арифметичесую прорессию 3, 6, 9, ... . Найдите номер члена последовательности, равноо 15 454. П р и м е р 3. Найти сумму всех четных двузначных чисел. Р е ш е н и е. Первое четное двузначное число равно 10, а последнее равно 98. Используя формулу общео члена арифме-

x–1

x–2

1

--------------12. Решите уравнение -----------x + x + ... + x = 3.
13. В арифметичесой прорессии сумма m первых ее членов равна сумме n первых ее членов (m − n). Доажите, что сумма ее первых m + n членов равна нулю.
14. Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3. 15. Найдите таую арифметичесую прорессию, в оторой отношение суммы n первых членов  сумме n членов, следующих за ними, не зависит от n.
16. Найдите сумму 502 – 492 + 482 – 472 + ... + 22 – 1.
17. Найдите сумму первых 19 членов арифметичесой прорессии a1, a2, ..., если известно, что a4 + a8 + a12 + a16 = 224. 18. Найдите a1 + a6 + a11 + a16, если известно, что a1, a2, ... — арифметичесая прорессия и a1 + a4 + a7 + ... ... + a16 = 147.
19. Найдите последовательность, в оторой сумма любоо числа членов, начиная с первоо, в 4 раза больше вадрата числа членов.
20. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n членов арифметичесой прорессии, то S3n = 3(S2n – Sn).
21. Известно, что для неоторой арифметичесой прорессии и для неоторой пары натуральных чисел m и n имеет место S

m2

a

2m – 1

m m - = ------- . Доажите, что ------- = ------------------- . равенство ------2n – 1 Sn an n2

186

Г л а в а 7. Последовательности 1

1

1

- ------------- ------------чесой прорессии, то числа -----------b + c , a + c , a + b таже являются

последовательными членами арифметичесой прорессии. 6. Сумма и разность членов арифметичесой прорессии положительна. Если увеличить разность на 2, не меняя первоо члена, то сумма исходной прорессии увеличится в 3 раза. Если же разность исходной прорессии увеличить в 4 раза, то сумма прорессии увеличится в 5 раз. Определите разность исходной прорессии. 7. Найдите число членов арифметичесой прорессии, у оторой отношение суммы первых 13 членов  сумме последних 1

13 равно --2- , а отношение суммы всех членов без первых трех 4

 сумме всех членов без последних трех равно --3- .

187

тичесой прорессии при d = 2, a1 = 10, an = 98, получаем 98 – 10

- = 45. n = 1 + ------------------2

Подставляя это значение n в формулу (3), находим 98 + 10

- · 45 = 54 · 45 = 2430. Sn = -------------------2

Ответ. 2430. 10. Решите уравнение 2 + 5 + 8 + 11 + ... + x = 155. 11. За изотовление и установу первоо железобетонноо ольца было уплачено 1000 р., а за аждое следующее ольцо платили на 200 р. больше, чем за предыдущее. Кроме тоо, по оончании работы было уплачено еще 4000 р. Средняя стоимость изотовления и установи одноо ольца оазалась рав4 9

ной 2244 --- р. Сольо олец было установлено?

При решении задач, в оторых используется понятие суммы членов арифметичесой прорессии, удобно применять следующую формулу: an + 1 = Sn + 1 – Sn.

§ 38. Арифметическая прогрессия

(7)

П р и м е р 2. Известно, что при любом n сумма членов неоторой прорессии выражается формулой Sn = 4n2 – 3n. Найти общий член прорессии. Р е ш е н и е. Используя формулу (7), имеем an + 1 = Sn + 1 – Sn = 4(n + 1)2 – 3(n + 1) – (4n2 – 3n) = 8n + 1, an = 8(n – 1) + 1 = 8n – 7. Ответ. an = 8n – 7. 8. Известно, что при любом n сумма членов неоторой последовательности выражается формулой Sn = 2n2 + 3n. Найдите десятый член этой последовательности и доажите, что она является арифметичесой прорессией. 9. Последовательность чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем свойством, что разности соседних членов (последующео и предыдущео) образуют арифметичесую прорессию 3, 6, 9, ... . Найдите номер члена последовательности, равноо 15 454. П р и м е р 3. Найти сумму всех четных двузначных чисел. Р е ш е н и е. Первое четное двузначное число равно 10, а последнее равно 98. Используя формулу общео члена арифме-

x–1

x–2

1

--------------12. Решите уравнение -----------x + x + ... + x = 3.
13. В арифметичесой прорессии сумма m первых ее членов равна сумме n первых ее членов (m − n). Доажите, что сумма ее первых m + n членов равна нулю.
14. Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3. 15. Найдите таую арифметичесую прорессию, в оторой отношение суммы n первых членов  сумме n членов, следующих за ними, не зависит от n.
16. Найдите сумму 502 – 492 + 482 – 472 + ... + 22 – 1.
17. Найдите сумму первых 19 членов арифметичесой прорессии a1, a2, ..., если известно, что a4 + a8 + a12 + a16 = 224. 18. Найдите a1 + a6 + a11 + a16, если известно, что a1, a2, ... — арифметичесая прорессия и a1 + a4 + a7 + ... ... + a16 = 147.
19. Найдите последовательность, в оторой сумма любоо числа членов, начиная с первоо, в 4 раза больше вадрата числа членов.
20. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n членов арифметичесой прорессии, то S3n = 3(S2n – Sn).
21. Известно, что для неоторой арифметичесой прорессии и для неоторой пары натуральных чисел m и n имеет место S

m2

a

2m – 1

m m - = ------- . Доажите, что ------- = ------------------- . равенство ------2n – 1 Sn an n2

188

Г л а в а 7. Последовательности




22. При аих значениях параметра a найдутся таие значе-

ния x, что числа 5

1+x

+5

1–x

a x –x , --2- , 25 + 25 являются тремя

§ 39. Геометрическая прогрессия

Сумма n членов еометричесой прорессии вычисляется по формуле n b (1 – q )

1 Sn = ---------------------------. 1–q

последовательными членами арифметичесой прорессии? x

x

23. При аом значении x числа lg 2, lg (2 – 1), lg (2 + 3) являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии? 24. Доажите, что если u1, u2, u3 (u1 − u2) — члены (не обязательно последовательные) арифметичесой прорессии, то

25. Доажите, что числа 2 , 3 , 5 не моут быть членами (не обязательно соседними) арифметичесой прорессии.


Если | q | < 1, то еометричесую прорессию называют бесонечно
бывающей. Предел суммы ее членов, т. е. S = lim Sn, nº×

называют с
ммой бесонечно
бывающей еометричесой прорессии. Он вычисляется по формуле b1

26. Моут ли числа 2; 6 ; 4,5 быть членами арифметичесой прорессии?
27. Длины сторон четырехуольниа образуют арифметичесую прорессию. Можно ли вписать в нео оружность? 28. Пусть Sn — сумма n членов неоторой последовательn2 m

n -------ности и известно, что ------S = 2 . Доажите, что для членов этой

последовательности справедливо отношение an 2n – 1 ------- = ------------------- . 2m – 1 am

2

b n = bn – kbn + k, k m n,

.

Геометричесая прорессия полностью определена, если известны ее первый член b1 и знаменатель q. П р и м е р 1. Найти четыре последовательных члена еометричесой прорессии, из оторых второй член меньше первоо на 35, а третий больше четвертоо на 560. Р е ш е н и е. Пусть b1, b2, b3, b4 — четыре последовательных члена еометричесой прорессии. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений:

b1 – b1q = 35,

(1)

де bn — n-й член прорессии, q — знаменатель прорессии. Формула общео члена еометричесой прорессии имеет вид n–1

(5)

Используя формулу общео члена еометричесой прорессии, перепишем эту систему в виде

Последовательность, у оторой задан первый член b1 − 0, а аждый следующий, начиная со второо, получается умножением предыдущео на одно и то же число q − 0, называют еометричесой прорессией. Таим образом,

bn = b 1 q

k Ý N.

b1 – 35 = b2, b3 – 560 = b4.

§ 39. Геометрическая прогрессия

bn = bn – 1q,

(4)

Свойство членов еометричесой прорессии. Квадрат любоо (роме первоо) члена еометричесой прорессии равен произведению равноотстоящих от нео членов:




m

(3)

S = -----------1–q.

u3 – u2 существует таое рациональное число λ, что -----------------u 2 – u 1 = λ.

S

189

(2)

b1q2 – b1q3 = 560.

(*)

Подставляя выражение b1(1 – q) во второе уравнение системы (*), получаем для q уравнение q2 = 16, орни отороо равны 4 и (–4). Теперь из первоо уравнения системы (*) по известным значениям q = 4 и q = –4 находим соответствующие значения 35

b1 = – -----3 , b1 = 7. 35 ⋅ 64 35 ⋅ 16 35 ⋅ 4 35 ------------------ , – ------------------  ; (7, –28, 112, –448). Ответ.  – -----, – -------------3 3 ,– 3  3 

188

Г л а в а 7. Последовательности




22. При аих значениях параметра a найдутся таие значе-

ния x, что числа 5

1+x

+5

1–x

a x –x , --2- , 25 + 25 являются тремя

§ 39. Геометрическая прогрессия

Сумма n членов еометричесой прорессии вычисляется по формуле n b (1 – q )

1 Sn = ---------------------------. 1–q

последовательными членами арифметичесой прорессии? x

x

23. При аом значении x числа lg 2, lg (2 – 1), lg (2 + 3) являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии? 24. Доажите, что если u1, u2, u3 (u1 − u2) — члены (не обязательно последовательные) арифметичесой прорессии, то

25. Доажите, что числа 2 , 3 , 5 не моут быть членами (не обязательно соседними) арифметичесой прорессии.


Если | q | < 1, то еометричесую прорессию называют бесонечно
бывающей. Предел суммы ее членов, т. е. S = lim Sn, nº×

называют с
ммой бесонечно
бывающей еометричесой прорессии. Он вычисляется по формуле b1

26. Моут ли числа 2; 6 ; 4,5 быть членами арифметичесой прорессии?
27. Длины сторон четырехуольниа образуют арифметичесую прорессию. Можно ли вписать в нео оружность? 28. Пусть Sn — сумма n членов неоторой последовательn2 m

n -------ности и известно, что ------S = 2 . Доажите, что для членов этой

последовательности справедливо отношение an 2n – 1 ------- = ------------------- . 2m – 1 am

2

b n = bn – kbn + k, k m n,

.

Геометричесая прорессия полностью определена, если известны ее первый член b1 и знаменатель q. П р и м е р 1. Найти четыре последовательных члена еометричесой прорессии, из оторых второй член меньше первоо на 35, а третий больше четвертоо на 560. Р е ш е н и е. Пусть b1, b2, b3, b4 — четыре последовательных члена еометричесой прорессии. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений:

b1 – b1q = 35,

(1)

де bn — n-й член прорессии, q — знаменатель прорессии. Формула общео члена еометричесой прорессии имеет вид n–1

(5)

Используя формулу общео члена еометричесой прорессии, перепишем эту систему в виде

Последовательность, у оторой задан первый член b1 − 0, а аждый следующий, начиная со второо, получается умножением предыдущео на одно и то же число q − 0, называют еометричесой прорессией. Таим образом,

bn = b 1 q

k Ý N.

b1 – 35 = b2, b3 – 560 = b4.

§ 39. Геометрическая прогрессия

bn = bn – 1q,

(4)

Свойство членов еометричесой прорессии. Квадрат любоо (роме первоо) члена еометричесой прорессии равен произведению равноотстоящих от нео членов:




m

(3)

S = -----------1–q.

u3 – u2 существует таое рациональное число λ, что -----------------u 2 – u 1 = λ.

S

189

(2)

b1q2 – b1q3 = 560.

(*)

Подставляя выражение b1(1 – q) во второе уравнение системы (*), получаем для q уравнение q2 = 16, орни отороо равны 4 и (–4). Теперь из первоо уравнения системы (*) по известным значениям q = 4 и q = –4 находим соответствующие значения 35

b1 = – -----3 , b1 = 7. 35 ⋅ 64 35 ⋅ 16 35 ⋅ 4 35 ------------------ , – ------------------  ; (7, –28, 112, –448). Ответ.  – -----, – -------------3 3 ,– 3  3 

190

Г л а в а 7. Последовательности

11. Доажите, что для любоо четноо числа членов еометричесой прорессии Sнеч — сумма членов, стоящих на нечетных местах, и Sчет — сумма членов, стоящих на четных местах, связаны равенством qSнеч = Sчет. 12. Найдите первый и пятый члены еометричесой прорессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равно 1820. 13. Найдите четыре последовательных члена возрастающей еометричесой прорессии, если известно, что сумма райних членов равна (–49), а сумма средних членов равна 14. 14. В еометричесой прорессии с положительными членами известно, что S2 = 4, S3 = 13. Найдите S4. 15. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 13, а их произведение равно 27. Найдите эти числа. 16. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 13, а сумма вадратов тех же чисел равна 91. Найдите эти числа. 17. Определите три числа, являющиеся тремя последовательными членами еометричесой прорессии, если их сумма 7 равна 21, а сумма обратных величин равна -----12 .

18. Сумма четырех первых членов еометричесой прорессии равна 30, а сумма их вадратов равна 340. Найдите данные числа. 19. Произведение трех первых членов еометричесой прорессии равно 64, а сумма убов этих членов равна 584. Найдите прорессию. 10. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 31, а сумма первоо и третьео членов равна 26. Найдите прорессию. 11. Число членов еометричесой прорессии четно. Сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Определите знаменатель прорессии. 12. Дана еометричесая прорессия с положительными членами. Выразите произведение n первых ее членов через их сумму Sn и через S n′ — сумму обратных величин этих членов. 13. Сумма любых пяти последовательных членов возрастающей еометричесой прорессии в 19 раз больше третьео из них. Найдите эту прорессию, если известно, что ее m-й член равен единице.

§ 39. Геометрическая прогрессия

191

14. Вычислите сумму вадратов n членов еометричесой прорессии, у оторой первый член равен u1 и знаменатель q − 1. 15. Доажите, что отношение суммы вадратов нечетноо числа членов еометричесой прорессии  сумме первых степеней тех же членов является неоторым мноочленом относительно q (q — знаменатель прорессии). 16. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n первых членов еометричесой прорессии, то 2

Sn(S3n – S2n) = (S 2n – S n ) . Найдите сумму: 2

2

 1  17.  x + --x-   




n -. 18. Sn = -----0- + -----1- + -----2- + -----3- + ... + --------------n




19. Sn = x + 2x2 + 3x3 + ... + nxn,

1 2

 1  +  x2 + -----2-  x  

2




2 2

3 2

 1  + ... +  xn + -----n-  , x  

4 2

x − ä1.

2 –1

x − 1.

20. Найдите число членов еометричесой прорессии, у оторой отношение суммы последних 14 членов  сумме первых 14 членов равно 9, а отношение суммы всех членов без первых семи  сумме всех членов без последних семи равно 3. П р и м е р 2. Найти отличный от нуля знаменатель бесонечно убывающей еометричесой прорессии, у оторой аждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов. (Считается, что b1 − 0.) Р е ш е н и е. Составим уравнение, связывающее n-й член прорессии с суммой ее членов, начиная с (n + 1)-о: bn + 1

bn = 4 ------------1–q .

Выразив bn и bn + 1 через b1 и q, получаем уравнение b1 qn

b1qn – 1 = 4 -----------1–q,

оторое после деления обеих ео частей на b1qn – 1 примет вид 4q

------------- . Ео орнем является q = 0,2. 1= 1 –q

Ответ. q = 0,2.

190

Г л а в а 7. Последовательности

11. Доажите, что для любоо четноо числа членов еометричесой прорессии Sнеч — сумма членов, стоящих на нечетных местах, и Sчет — сумма членов, стоящих на четных местах, связаны равенством qSнеч = Sчет. 12. Найдите первый и пятый члены еометричесой прорессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равно 1820. 13. Найдите четыре последовательных члена возрастающей еометричесой прорессии, если известно, что сумма райних членов равна (–49), а сумма средних членов равна 14. 14. В еометричесой прорессии с положительными членами известно, что S2 = 4, S3 = 13. Найдите S4. 15. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 13, а их произведение равно 27. Найдите эти числа. 16. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 13, а сумма вадратов тех же чисел равна 91. Найдите эти числа. 17. Определите три числа, являющиеся тремя последовательными членами еометричесой прорессии, если их сумма 7 равна 21, а сумма обратных величин равна -----12 .

18. Сумма четырех первых членов еометричесой прорессии равна 30, а сумма их вадратов равна 340. Найдите данные числа. 19. Произведение трех первых членов еометричесой прорессии равно 64, а сумма убов этих членов равна 584. Найдите прорессию. 10. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 31, а сумма первоо и третьео членов равна 26. Найдите прорессию. 11. Число членов еометричесой прорессии четно. Сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Определите знаменатель прорессии. 12. Дана еометричесая прорессия с положительными членами. Выразите произведение n первых ее членов через их сумму Sn и через S n′ — сумму обратных величин этих членов. 13. Сумма любых пяти последовательных членов возрастающей еометричесой прорессии в 19 раз больше третьео из них. Найдите эту прорессию, если известно, что ее m-й член равен единице.

§ 39. Геометрическая прогрессия

191

14. Вычислите сумму вадратов n членов еометричесой прорессии, у оторой первый член равен u1 и знаменатель q − 1. 15. Доажите, что отношение суммы вадратов нечетноо числа членов еометричесой прорессии  сумме первых степеней тех же членов является неоторым мноочленом относительно q (q — знаменатель прорессии). 16. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n первых членов еометричесой прорессии, то 2

Sn(S3n – S2n) = (S 2n – S n ) . Найдите сумму: 2

2

 1  17.  x + --x-   




n -. 18. Sn = -----0- + -----1- + -----2- + -----3- + ... + --------------n




19. Sn = x + 2x2 + 3x3 + ... + nxn,

1 2

 1  +  x2 + -----2-  x  

2




2 2

3 2

 1  + ... +  xn + -----n-  , x  

4 2

x − ä1.

2 –1

x − 1.

20. Найдите число членов еометричесой прорессии, у оторой отношение суммы последних 14 членов  сумме первых 14 членов равно 9, а отношение суммы всех членов без первых семи  сумме всех членов без последних семи равно 3. П р и м е р 2. Найти отличный от нуля знаменатель бесонечно убывающей еометричесой прорессии, у оторой аждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов. (Считается, что b1 − 0.) Р е ш е н и е. Составим уравнение, связывающее n-й член прорессии с суммой ее членов, начиная с (n + 1)-о: bn + 1

bn = 4 ------------1–q .

Выразив bn и bn + 1 через b1 и q, получаем уравнение b1 qn

b1qn – 1 = 4 -----------1–q,

оторое после деления обеих ео частей на b1qn – 1 примет вид 4q

------------- . Ео орнем является q = 0,2. 1= 1 –q

Ответ. q = 0,2.

192

Г л а в а 7. Последовательности 21. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-

3 сии равна 16, а сумма вадратов ее членов равна 153 --5- . Найди-

те четвертый член и знаменатель прорессии.
22. Найдите знаменатель бесонечно убывающей еометричесой прорессии, у оторой отношение аждоо члена  сум2

ме всех последующих членов равно --3- . 23. В бесонечно убывающей еометричесой прорессии с положительными членами сумма трех первых членов равна 10,5, а сумма прорессии равна 12. Найдите прорессию. 24. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорессии равна 4, а сумма убов ее членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прорессии. 25. Первый член неоторой бесонечно убывающей еометричесой прорессии равен единице, а сумма прорессии равна S. Найдите сумму вадратов членов прорессии.
26. При аом значении x прорессия a+x -------------- , a–x

a–x -------------- , a+x

a – x 3  ------------,  a+x 

...,

де a > 0,

является бесонечно убывающей? Найдите сумму этой прорессии. 27. Сторона вадрата равна a. Середины сторон этоо вадрата соединили отрезами и получили новый вадрат. С этим вадратом поступили та же, а с исходным, и т. д. Найдите предел P суммы периметров и предел S суммы площадей этих вадратов. 28. Найдите условие, при отором три числа a, b и c были бы соответственно k-м, p-м и m-м членами еометричесой прорессии. 29. Моут ли числа 11, 12, 13 быть членами (не обязательно соседними) одной еометричесой прорессии? 30. Бесонечно убывающая еометричесая прорессия, сум1 16 --ма оторой равна -----3 , содержит член 6 . Отношение суммы всех

членов, предшествующих ему,  сумме всех членов, следующих за ним, равно 30. Определите порядовый номер этоо члена. 31. Найдите отношение первоо члена бесонечно убывающей еометричесой прорессии  сумме всех ее членов, если

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии

193

отношение всех членов этой прорессии, имеющих четные номера,  сумме всех членов, номера оторых ратны трем, равно 3.

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии Смешанными задачами на прорессию принято называть таие задачи, при решении оторых используются свойства а арифметичесой, та и еометричесой прорессий. П р и м е р. Три числа являются последовательными членами еометричесой прорессии. Если от третьео отнять 4, то эти числа оажутся последовательными членами арифметичесой прорессии. Если же от второо и третьео членов этой арифметичесой прорессии отнять по 1, то полученные числа снова оажутся последовательными членами еометричесой прорессии. Найти эти числа. Р е ш е н и е. Обозначим исомые числа через a, b, c. Для составления первоо уравнения, связывающео a, b и c, используем свойство членов еометричесой прорессии: b2 = ac. Из условия задачи и свойства членов арифметичесой прорессии получим второе уравнение 2b = a + c – 4. Наонец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения (b – 1)2 = a(c – 5). Чтобы решить систему b2 = ac, 2b = a + c – 4, (b – 1)2 = a(c – 5),

(*)

вычтем из первоо уравнения третье. Тода получим линейное уравнение 2b – 1 = 5a, связывающее b и a. Выразив теперь из системы линейных уравнений 2b – 1 = 5a, 2b = a + c – 4

192

Г л а в а 7. Последовательности 21. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-

3 сии равна 16, а сумма вадратов ее членов равна 153 --5- . Найди-

те четвертый член и знаменатель прорессии.
22. Найдите знаменатель бесонечно убывающей еометричесой прорессии, у оторой отношение аждоо члена  сум2

ме всех последующих членов равно --3- . 23. В бесонечно убывающей еометричесой прорессии с положительными членами сумма трех первых членов равна 10,5, а сумма прорессии равна 12. Найдите прорессию. 24. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорессии равна 4, а сумма убов ее членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прорессии. 25. Первый член неоторой бесонечно убывающей еометричесой прорессии равен единице, а сумма прорессии равна S. Найдите сумму вадратов членов прорессии.
26. При аом значении x прорессия a+x -------------- , a–x

a–x -------------- , a+x

a – x 3  ------------,  a+x 

...,

де a > 0,

является бесонечно убывающей? Найдите сумму этой прорессии. 27. Сторона вадрата равна a. Середины сторон этоо вадрата соединили отрезами и получили новый вадрат. С этим вадратом поступили та же, а с исходным, и т. д. Найдите предел P суммы периметров и предел S суммы площадей этих вадратов. 28. Найдите условие, при отором три числа a, b и c были бы соответственно k-м, p-м и m-м членами еометричесой прорессии. 29. Моут ли числа 11, 12, 13 быть членами (не обязательно соседними) одной еометричесой прорессии? 30. Бесонечно убывающая еометричесая прорессия, сум1 16 --ма оторой равна -----3 , содержит член 6 . Отношение суммы всех

членов, предшествующих ему,  сумме всех членов, следующих за ним, равно 30. Определите порядовый номер этоо члена. 31. Найдите отношение первоо члена бесонечно убывающей еометричесой прорессии  сумме всех ее членов, если

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии

193

отношение всех членов этой прорессии, имеющих четные номера,  сумме всех членов, номера оторых ратны трем, равно 3.

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии Смешанными задачами на прорессию принято называть таие задачи, при решении оторых используются свойства а арифметичесой, та и еометричесой прорессий. П р и м е р. Три числа являются последовательными членами еометричесой прорессии. Если от третьео отнять 4, то эти числа оажутся последовательными членами арифметичесой прорессии. Если же от второо и третьео членов этой арифметичесой прорессии отнять по 1, то полученные числа снова оажутся последовательными членами еометричесой прорессии. Найти эти числа. Р е ш е н и е. Обозначим исомые числа через a, b, c. Для составления первоо уравнения, связывающео a, b и c, используем свойство членов еометричесой прорессии: b2 = ac. Из условия задачи и свойства членов арифметичесой прорессии получим второе уравнение 2b = a + c – 4. Наонец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения (b – 1)2 = a(c – 5). Чтобы решить систему b2 = ac, 2b = a + c – 4, (b – 1)2 = a(c – 5),

(*)

вычтем из первоо уравнения третье. Тода получим линейное уравнение 2b – 1 = 5a, связывающее b и a. Выразив теперь из системы линейных уравнений 2b – 1 = 5a, 2b = a + c – 4

194

Г л а в а 7. Последовательности

неизвестные a и c через b, имеем 2b – 1 a = ---------------5 ,

8b + 21 -. c = -------------------5

(**)

Теперь подставим выражения (**) в первое уравнение системы (*). Тода получим вадратное уравнение 9b2 – 34b + 21 = 0, 7

орни отороо равны 3 и --9- . Подставив эти значения b в выражения (**), находим исомые числа. 1

7

49

Ответ. 1; 3; 9 или --9- ; --9- ; -----9 . 1. Три числа являются последовательными членами еометричесой прорессии. Если увеличить второе число на 2, то эти три числа станут членами арифметичесой прорессии, а если затем увеличить последнее число на 9, то вновь полученные числа опять оажутся членами еометричесой прорессии. Найдите исходные числа. 2. Три числа, из оторых третье равно 12, являются тремя последовательными членами еометричесой прорессии. Если вместо 12 взять 9, то эти три числа станут тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. Найдите исходные числа.
3. Дано трехзначное число, цифры отороо являются тремя последовательными членами еометричесой прорессии. Если из этоо числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном поряде. Если же из цифры исходноо числа, обозначающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры отороо являются последовательными членами арифметичесой прорессии. Найдите исходное число. 4. Даны четыре числа, из оторых первые три являются тремя последовательными членами еометричесой, а последние три — членами арифметичесой прорессии; сумма райних чисел равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найдите эти числа. 5. Первые члены арифметичесой и еометричесой прорессий одинаовы и равны 2, третьи члены таже одинаовы, а вторые отличаются на 4. Найдите эти прорессии, если все их члены положительны. 6. Первый член арифметичесой прорессии равен 1, а сумма девяти первых членов равна 369. Первый и девятый члены еометричесой прорессии совпадают с первым и девятым чле-

§ 41. Разные задачи

195

нами арифметичесой прорессии. Найдите седьмой член еометричесой прорессии. 17. Среди 11 членов арифметичесой прорессии первый, пятый и одиннадцатый являются тремя последовательными членами неоторой еометричесой прорессии. Найдите арифметичесую прорессию, если ее первый член равен 24. 18. В неоторой арифметичесой прорессии второй член является средним пропорциональным между первым и четвертым. Поажите, что четвертый, шестой и девятый члены этой прорессии являются последовательными членами еометричесой прорессии. Найдите знаменатель этой прорессии. 19. Доажите, что если a, b и c одновременно являются 5-м, 17-м и 37-м членами а арифметичесой, та и еометричесой прорессии, то ab – c bc – a ca – b = 1. 10. Доажите, что если a, b, c — три последовательных чле1

1

1

----------------- , ----------------- , ----------------- — пона еометричесой прорессии, то log log b N log c N aN

следовательные члены арифметичесой прорессии. (Считается, что числа a, b, c положительны и не равны единице.) 11. Даны две прорессии: еометричесая с общим членом bn > 0 и знаменателем q и возрастающая арифметичесая с общим членом an и разностью d. Найдите x из условия logx bn – an = = logx b1 – a1.

§ 41. Разные задачи Установите, ораничена ли последовательность: n 1

n

1. xn = 1 + (–1) --n- . 2. xn = n(1 – (–1) ).





3n + 5

3. xn = ----------------2n – 3 .

4. Общий член последовательности представлен в виде 1

1

1

xn = --2- + --4- + ... + -----n- . 2 1023

Сольо членов последовательности меньше ------------1024 ? 5. Доажите, что последовательность 2

u1 = 3, является убывающей.

2 + un

un + 1 = ---------------2u n

194

Г л а в а 7. Последовательности

неизвестные a и c через b, имеем 2b – 1 a = ---------------5 ,

8b + 21 -. c = -------------------5

(**)

Теперь подставим выражения (**) в первое уравнение системы (*). Тода получим вадратное уравнение 9b2 – 34b + 21 = 0, 7

орни отороо равны 3 и --9- . Подставив эти значения b в выражения (**), находим исомые числа. 1

7

49

Ответ. 1; 3; 9 или --9- ; --9- ; -----9 . 1. Три числа являются последовательными членами еометричесой прорессии. Если увеличить второе число на 2, то эти три числа станут членами арифметичесой прорессии, а если затем увеличить последнее число на 9, то вновь полученные числа опять оажутся членами еометричесой прорессии. Найдите исходные числа. 2. Три числа, из оторых третье равно 12, являются тремя последовательными членами еометричесой прорессии. Если вместо 12 взять 9, то эти три числа станут тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. Найдите исходные числа.
3. Дано трехзначное число, цифры отороо являются тремя последовательными членами еометричесой прорессии. Если из этоо числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном поряде. Если же из цифры исходноо числа, обозначающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры отороо являются последовательными членами арифметичесой прорессии. Найдите исходное число. 4. Даны четыре числа, из оторых первые три являются тремя последовательными членами еометричесой, а последние три — членами арифметичесой прорессии; сумма райних чисел равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найдите эти числа. 5. Первые члены арифметичесой и еометричесой прорессий одинаовы и равны 2, третьи члены таже одинаовы, а вторые отличаются на 4. Найдите эти прорессии, если все их члены положительны. 6. Первый член арифметичесой прорессии равен 1, а сумма девяти первых членов равна 369. Первый и девятый члены еометричесой прорессии совпадают с первым и девятым чле-

§ 41. Разные задачи

195

нами арифметичесой прорессии. Найдите седьмой член еометричесой прорессии. 17. Среди 11 членов арифметичесой прорессии первый, пятый и одиннадцатый являются тремя последовательными членами неоторой еометричесой прорессии. Найдите арифметичесую прорессию, если ее первый член равен 24. 18. В неоторой арифметичесой прорессии второй член является средним пропорциональным между первым и четвертым. Поажите, что четвертый, шестой и девятый члены этой прорессии являются последовательными членами еометричесой прорессии. Найдите знаменатель этой прорессии. 19. Доажите, что если a, b и c одновременно являются 5-м, 17-м и 37-м членами а арифметичесой, та и еометричесой прорессии, то ab – c bc – a ca – b = 1. 10. Доажите, что если a, b, c — три последовательных чле1

1

1

----------------- , ----------------- , ----------------- — пона еометричесой прорессии, то log log b N log c N aN

следовательные члены арифметичесой прорессии. (Считается, что числа a, b, c положительны и не равны единице.) 11. Даны две прорессии: еометричесая с общим членом bn > 0 и знаменателем q и возрастающая арифметичесая с общим членом an и разностью d. Найдите x из условия logx bn – an = = logx b1 – a1.

§ 41. Разные задачи Установите, ораничена ли последовательность: n 1

n

1. xn = 1 + (–1) --n- . 2. xn = n(1 – (–1) ).





3n + 5

3. xn = ----------------2n – 3 .

4. Общий член последовательности представлен в виде 1

1

1

xn = --2- + --4- + ... + -----n- . 2 1023

Сольо членов последовательности меньше ------------1024 ? 5. Доажите, что последовательность 2

u1 = 3, является убывающей.

2 + un

un + 1 = ---------------2u n

196

Г л а в а 7. Последовательности 6. Доажите, что последовательность

§ 41. Разные задачи


16. Доажите равенство

1 1 1 un = 1 + --2- + -----2- + ... + -----n- , 2 2

(66...6) 2 + 88...8 = 44...4 . n цифр

является возрастающей. n+1

7. Пусть an — сторона правильноо 2 - уольниа, вписанноо в оружность радиуса 1. Доажите, что последовательность (an) является убывающей, а последовательность периметров (Pn) — возрастающей. 18. Катет равнобедренноо прямоуольноо треуольниа разделен на n равных частей, и на полученных отрезах построены вписанные прямоуольнии. Найдите предел последовательности (Sn) площадей, образованных из ступенчатых фиур.


19. Найдите площадь фиуры, ораниченной параболой y = x2, отрезом [0; 1] оси абсцисс и прямой x = 1, а предел последовательности площадей ступенчатых фиур, состоящих из прямоуольниов, построенных та же, а в предыдущей задаче. 10. Найдите lim ( 3 n 3 + 1 – n). nº×

11. Найдите трехзначное число, оторое делится на 45 и цифры отороо являются последовательными членами арифметичесой прорессии.  12. Доажите, что если в арифметичесой прорессии Sn = n2p,


Sk = k2p, k − n, то Sp = p3.
13. Доажите, что если a1, a2, ..., an — члены арифметичесой прорессии с разностью d, то an + 1 – a1 1 1 1 ---------------------------- + ---------------------------- + ... + ------------------------------------ = ----------------------------------- . d a 1 + a2 a2 + a3 an + an + 1







n цифр

2n цифр

17. Пусть x1 и x2 — орни уравнения x2 – 3x + A = 0, а x3 и

x4 — орни уравнения x2 – 12x + B = 0. Известно, что последовательность x1, x2, x3, x4 является возрастающей еометричесой прорессией. Найдите A и B. В неоторых случаях сумму n членов произвольной последовательности можно найти с помощью построения вспомоательной последовательности {Sn}, удовлетворяющей условию Sk + 1 – Sk = uk.

(1)

Нетрудно убедиться, что u1 + u2 + ... + un = = (S2 – S1) + (S3 – S2) + ... + (Sn + 1 – Sn) = Sn + 1 – S1. (2) П р и м е р. Найти сумму 1 1 1 ------------- + ------------- + ... + --------------------- , a2 a3 an an + 1 a1 a2

если известно, что a1, a2, ..., an + 1 — последовательные члены арифметичесой прорессии с разностью d − 0, ни один из оторых не равен нулю. 1

Р е ш е н и е. Записав дробь -----------a 1 a 2 в виде

 1  1 1 1  1  1 1 ------------- =  ------ – ------  · ------------------- =  ------ – ------  --- , a1 a2 a2 a2 d a1 a2 – a1 a1

14. Четыре числа a, b, c, d являются членами еометричесой прорессии. Доажите, что (a – c)2 + (b – c)2 + (b – d)2 = (a – d)2.

197









де d = a2 – a1, и взяв Sk равным

15. Решите систему уравнений

1 1

Sk = – --d- ----ak ,

s u z y x --- = --- = --- = --- = -- , t s u z y

имеем

x = 8u, 3

x + y + z + u + s + t = 15 --4- .

1  1  a k + 1 – ak  1 1  1 --- --------------------------------------------------Sk + 1 – Sk = – --d-  ------------a k + 1 – a k  = d  a k + 1 a k  = a k + 1 a k = uk.    

196

Г л а в а 7. Последовательности 6. Доажите, что последовательность

§ 41. Разные задачи


16. Доажите равенство

1 1 1 un = 1 + --2- + -----2- + ... + -----n- , 2 2

(66...6) 2 + 88...8 = 44...4 . n цифр

является возрастающей. n+1

7. Пусть an — сторона правильноо 2 - уольниа, вписанноо в оружность радиуса 1. Доажите, что последовательность (an) является убывающей, а последовательность периметров (Pn) — возрастающей. 18. Катет равнобедренноо прямоуольноо треуольниа разделен на n равных частей, и на полученных отрезах построены вписанные прямоуольнии. Найдите предел последовательности (Sn) площадей, образованных из ступенчатых фиур.


19. Найдите площадь фиуры, ораниченной параболой y = x2, отрезом [0; 1] оси абсцисс и прямой x = 1, а предел последовательности площадей ступенчатых фиур, состоящих из прямоуольниов, построенных та же, а в предыдущей задаче. 10. Найдите lim ( 3 n 3 + 1 – n). nº×

11. Найдите трехзначное число, оторое делится на 45 и цифры отороо являются последовательными членами арифметичесой прорессии.  12. Доажите, что если в арифметичесой прорессии Sn = n2p,


Sk = k2p, k − n, то Sp = p3.
13. Доажите, что если a1, a2, ..., an — члены арифметичесой прорессии с разностью d, то an + 1 – a1 1 1 1 ---------------------------- + ---------------------------- + ... + ------------------------------------ = ----------------------------------- . d a 1 + a2 a2 + a3 an + an + 1







n цифр

2n цифр

17. Пусть x1 и x2 — орни уравнения x2 – 3x + A = 0, а x3 и

x4 — орни уравнения x2 – 12x + B = 0. Известно, что последовательность x1, x2, x3, x4 является возрастающей еометричесой прорессией. Найдите A и B. В неоторых случаях сумму n членов произвольной последовательности можно найти с помощью построения вспомоательной последовательности {Sn}, удовлетворяющей условию Sk + 1 – Sk = uk.

(1)

Нетрудно убедиться, что u1 + u2 + ... + un = = (S2 – S1) + (S3 – S2) + ... + (Sn + 1 – Sn) = Sn + 1 – S1. (2) П р и м е р. Найти сумму 1 1 1 ------------- + ------------- + ... + --------------------- , a2 a3 an an + 1 a1 a2

если известно, что a1, a2, ..., an + 1 — последовательные члены арифметичесой прорессии с разностью d − 0, ни один из оторых не равен нулю. 1

Р е ш е н и е. Записав дробь -----------a 1 a 2 в виде

 1  1 1 1  1  1 1 ------------- =  ------ – ------  · ------------------- =  ------ – ------  --- , a1 a2 a2 a2 d a1 a2 – a1 a1

14. Четыре числа a, b, c, d являются членами еометричесой прорессии. Доажите, что (a – c)2 + (b – c)2 + (b – d)2 = (a – d)2.

197









де d = a2 – a1, и взяв Sk равным

15. Решите систему уравнений

1 1

Sk = – --d- ----ak ,

s u z y x --- = --- = --- = --- = -- , t s u z y

имеем

x = 8u, 3

x + y + z + u + s + t = 15 --4- .

1  1  a k + 1 – ak  1 1  1 --- --------------------------------------------------Sk + 1 – Sk = – --d-  ------------a k + 1 – a k  = d  a k + 1 a k  = a k + 1 a k = uk.    

198

Г л а в а 7. Последовательности Далее, используя равенства (1) и (2), получаем

§ 41. Разные задачи

Используя равенства (3)—(5) и формулы для сумм n членов арифметичесой и еометричесой прорессий, вычислите предел:

1 1 1 --------------------------------------------a 1 a 2 + a 2 a 3 + ... + a n a n + 1 = Sn + 1 – S1 =

1 + 2 + ... + 2

n º × 1 + 5 + ... + 5

 1 2 n–1  25. lim  -----2- + -----2- + ... + ------------. n n2  nº×  n

n

--------------------- . Ответ. a a n+1 1

Доажите тождество:


1 1 1 1 1 -------------------------------------------------------18. ---------1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n ( n + 1 ) = 1 – n + 1 . 1

1

------------------------------------------------------------------------------19. -----------------1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 1 1 -  = --2-  --2- – (-------------------------------------n + 1)(n + 2)  . 




1

1

 26. lim  nº× 

1 1 3  3 + ------- + ----------- + ... + ------------n–1  . 3 3 3 3 

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1 ) 2n – 1 - – -----------------  . 27. lim  ------------------------------------------------------------------n+1 2  nº× 

1

1

n

24. lim -----------------------------------------. n

1  1 1  n -------------------------= – --d-  ------------a n + 1 – a1  = a n + 1 a 1 .  




199

 12 22 ( n – 1 )2 1  - + ---  . 28. lim  -----3- + -----3- + ... + -------------------n n n3 nº×  n 

n

---------------------------------------------------------------------------------------20. -----------------1 ⋅ 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + ... + ( 2n – 1 ) ( 2n + 1 ) ( 2n + 3 ) =

n n  7 29 5 +2  - . 29. lim  -----+ ---------2 + ... + ------------------n 10 10 nº×  10 

n(n + 1) = -------------------------------------------------2 ( 2n + 1 ) ( 2n + 3 ) .

21. Пусть a1, ..., an — арифметичесая прорессия. Доажите тождество




1 1 1 - + ----------- + ... + -----------------------  . 30. lim  ---------n(n + 1)  2⋅3 nº×  1⋅2

1 1 1 2  1 1 1  ------------- + -------------------- + ... + ------------- = -------------  ------ + ------ + ... + ------  . a1 a n a2 an – 1 an a1 a1 an a1 a2 an




  1 1 1 ------------- + ------------- + ... + ---------------------  , де (a ) — арифме31. lim  a n a 2 a3 an an + 1 n º ×  1 a2 





22. Найдите сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111, ... .

тичесая прорессия с разностью d, члены оторой отличны от нуля.

23. Найдите сумму: а) 1 – 2 + 3 – 4 + ... + (–n); n+1 б) 12 – 22 + 32 – 42 + ... + (–1) · n2; 2 2 в) 2 · 1 + 3 · 2 + ... + (n + 1)n2.

 1 8 n3  32. lim  -----4- + -----4- + ... + -----4-  . n  n n nº× 

При вычислении пределов последовательностей, члены оторых являются результатами суммирования, используют следующие формулы: n(n + 1) -, 1 + 2 + ... + n = ---------------------2

(3)

n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -, 12 + 22 + ... + n2 = ---------------------------------------------6

(4)

n2 ( n + 1 )2

-. 13 + 23 + ... + n3 = ---------------------------4

(5)

Найдите предел последовательности: 

2 2

2

2

33. an = ------- · ---------------------- ... ----------------------------------------------------------------- (в последнем 2+ 2

2 + 2 + ... + 2 + 2

сомножителе n радиалов). 34. an =


a + a + ... + a (n радиалов). 2 – 2 + ... + 2

35. an = -------------------------------------------------- (n радиалов). 2 – 2 + ... + 3

198

Г л а в а 7. Последовательности Далее, используя равенства (1) и (2), получаем

§ 41. Разные задачи

Используя равенства (3)—(5) и формулы для сумм n членов арифметичесой и еометричесой прорессий, вычислите предел:

1 1 1 --------------------------------------------a 1 a 2 + a 2 a 3 + ... + a n a n + 1 = Sn + 1 – S1 =

1 + 2 + ... + 2

n º × 1 + 5 + ... + 5

 1 2 n–1  25. lim  -----2- + -----2- + ... + ------------. n n2  nº×  n

n

--------------------- . Ответ. a a n+1 1

Доажите тождество:


1 1 1 1 1 -------------------------------------------------------18. ---------1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n ( n + 1 ) = 1 – n + 1 . 1

1

------------------------------------------------------------------------------19. -----------------1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 1 1 -  = --2-  --2- – (-------------------------------------n + 1)(n + 2)  . 




1

1

 26. lim  nº× 

1 1 3  3 + ------- + ----------- + ... + ------------n–1  . 3 3 3 3 

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1 ) 2n – 1 - – -----------------  . 27. lim  ------------------------------------------------------------------n+1 2  nº× 

1

1

n

24. lim -----------------------------------------. n

1  1 1  n -------------------------= – --d-  ------------a n + 1 – a1  = a n + 1 a 1 .  




199

 12 22 ( n – 1 )2 1  - + ---  . 28. lim  -----3- + -----3- + ... + -------------------n n n3 nº×  n 

n

---------------------------------------------------------------------------------------20. -----------------1 ⋅ 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + ... + ( 2n – 1 ) ( 2n + 1 ) ( 2n + 3 ) =

n n  7 29 5 +2  - . 29. lim  -----+ ---------2 + ... + ------------------n 10 10 nº×  10 

n(n + 1) = -------------------------------------------------2 ( 2n + 1 ) ( 2n + 3 ) .

21. Пусть a1, ..., an — арифметичесая прорессия. Доажите тождество




1 1 1 - + ----------- + ... + -----------------------  . 30. lim  ---------n(n + 1)  2⋅3 nº×  1⋅2

1 1 1 2  1 1 1  ------------- + -------------------- + ... + ------------- = -------------  ------ + ------ + ... + ------  . a1 a n a2 an – 1 an a1 a1 an a1 a2 an




  1 1 1 ------------- + ------------- + ... + ---------------------  , де (a ) — арифме31. lim  a n a 2 a3 an an + 1 n º ×  1 a2 





22. Найдите сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111, ... .

тичесая прорессия с разностью d, члены оторой отличны от нуля.

23. Найдите сумму: а) 1 – 2 + 3 – 4 + ... + (–n); n+1 б) 12 – 22 + 32 – 42 + ... + (–1) · n2; 2 2 в) 2 · 1 + 3 · 2 + ... + (n + 1)n2.

 1 8 n3  32. lim  -----4- + -----4- + ... + -----4-  . n  n n nº× 

При вычислении пределов последовательностей, члены оторых являются результатами суммирования, используют следующие формулы: n(n + 1) -, 1 + 2 + ... + n = ---------------------2

(3)

n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -, 12 + 22 + ... + n2 = ---------------------------------------------6

(4)

n2 ( n + 1 )2

-. 13 + 23 + ... + n3 = ---------------------------4

(5)

Найдите предел последовательности: 

2 2

2

2

33. an = ------- · ---------------------- ... ----------------------------------------------------------------- (в последнем 2+ 2

2 + 2 + ... + 2 + 2

сомножителе n радиалов). 34. an =


a + a + ... + a (n радиалов). 2 – 2 + ... + 2

35. an = -------------------------------------------------- (n радиалов). 2 – 2 + ... + 3

§ 42. Предел функции

Глава 8 Предел функции, непрерывность функции

201 x2 – 4

- = 4. П р и м е р 1. Доазать, что lim --------------xº2 x–2

Р е ш е н и е. Чтобы для данноо ε найти нужное число δ(ε), составим неравенство x2 – 4

0 < --------------x – 2 – 4| < ε.

§ 42. Предел функции Пусть (a; b) — неоторый промежуто числовой прямой и x0 Ý (a; b). Будем считать, что фунция y = f(x) определена во всех точах промежута (a; b) за ислючением, быть может, точи x0. Говорят, что число A — предел ф
нции y = f(x) в точе x0, и пишут lim f(x) = A, если для любоо ε > 0 суx º x0

ществует таое число δ(ε) > 0, что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Говорят, что число A — предел ф
нции y = f(x) при x, стремящемся  бесонечности, и пишут lim f(x) = A, если xº×

для любоо ε > 0 существует таое число n0(ε), что при всех

При x − 2 оно эвивалентно неравенству 0 < |x – 2| < ε,

для любоо ε > 0 существует таое δ(ε), что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), справедливо неравенство |f(x)| < ε. В этом случае пишут lim f(x) = 0. x º x0

Фунцию f(x) называют бесонечно большой при x º x0, если для любоо числа E > 0 существует таое δ(E), что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < < δ(E), справедливо неравенство |f(x)| > E. В этом случае пишут lim f(x) = ×.

x º x0

Чтобы доазать, что число A является пределом фунции f(x) при x º x0, достаточно для любоо ε найти число δ(ε), фиурирующее в определении предела.

(**)

из отороо видно, что в ачестве δ(ε) можно взять δ(ε) = ε, и в силу эвивалентности неравенств (*) и (**) при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству (**), будет выполнено неравенство (*). 2

П р и м е р 2. Доазать, что lim 2 1/x = ×. xº0

Р е ш е н и е. Чтобы для данноо E найти требуемое число δ(ε), составим неравенство 2

2 1/x > E. Лоарифмируя обе ео части по основанию 2, получаем эвивалентное неравенство 1 -----2- > log E, 2 x

x > n0(ε) выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Фунцию f(x) называют ораниченной на промежуте [a; b], если существуют таие числа m и M, что при всех x Ý [a; b] выполняется неравенство m m f(x) m M. Фунцию f(x) называют бесонечно малой при x º x0, если

(*)

решив оторое относительно x находим  1  | x | <  -----------------   log 2 E 

1/2

.

 1  Таим образом, в ачестве δ(E) можно взять число  -----------------   log 2 E  Доажите, что: 1. lim (x + 5) = 8.

2. lim (x2 – 4) = 0.

3. lim (6 – 2x) = 4.

4. lim (5x + 7) = 2.

5. lim

6. lim --x- = 0. xº×

xº3

xº2

xº1

xºa

x = 1 ----------------

a,

7. lim 2 x – a = ×. xºa

a > 0.

x º –1

1

1

8. lim -----2- = ×. xº0 x

1/2

.

§ 42. Предел функции

Глава 8 Предел функции, непрерывность функции

201 x2 – 4

- = 4. П р и м е р 1. Доазать, что lim --------------xº2 x–2

Р е ш е н и е. Чтобы для данноо ε найти нужное число δ(ε), составим неравенство x2 – 4

0 < --------------x – 2 – 4| < ε.

§ 42. Предел функции Пусть (a; b) — неоторый промежуто числовой прямой и x0 Ý (a; b). Будем считать, что фунция y = f(x) определена во всех точах промежута (a; b) за ислючением, быть может, точи x0. Говорят, что число A — предел ф
нции y = f(x) в точе x0, и пишут lim f(x) = A, если для любоо ε > 0 суx º x0

ществует таое число δ(ε) > 0, что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Говорят, что число A — предел ф
нции y = f(x) при x, стремящемся  бесонечности, и пишут lim f(x) = A, если xº×

для любоо ε > 0 существует таое число n0(ε), что при всех

При x − 2 оно эвивалентно неравенству 0 < |x – 2| < ε,

для любоо ε > 0 существует таое δ(ε), что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), справедливо неравенство |f(x)| < ε. В этом случае пишут lim f(x) = 0. x º x0

Фунцию f(x) называют бесонечно большой при x º x0, если для любоо числа E > 0 существует таое δ(E), что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < < δ(E), справедливо неравенство |f(x)| > E. В этом случае пишут lim f(x) = ×.

x º x0

Чтобы доазать, что число A является пределом фунции f(x) при x º x0, достаточно для любоо ε найти число δ(ε), фиурирующее в определении предела.

(**)

из отороо видно, что в ачестве δ(ε) можно взять δ(ε) = ε, и в силу эвивалентности неравенств (*) и (**) при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству (**), будет выполнено неравенство (*). 2

П р и м е р 2. Доазать, что lim 2 1/x = ×. xº0

Р е ш е н и е. Чтобы для данноо E найти требуемое число δ(ε), составим неравенство 2

2 1/x > E. Лоарифмируя обе ео части по основанию 2, получаем эвивалентное неравенство 1 -----2- > log E, 2 x

x > n0(ε) выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Фунцию f(x) называют ораниченной на промежуте [a; b], если существуют таие числа m и M, что при всех x Ý [a; b] выполняется неравенство m m f(x) m M. Фунцию f(x) называют бесонечно малой при x º x0, если

(*)

решив оторое относительно x находим  1  | x | <  -----------------   log 2 E 

1/2

.

 1  Таим образом, в ачестве δ(E) можно взять число  -----------------   log 2 E  Доажите, что: 1. lim (x + 5) = 8.

2. lim (x2 – 4) = 0.

3. lim (6 – 2x) = 4.

4. lim (5x + 7) = 2.

5. lim

6. lim --x- = 0. xº×

xº3

xº2

xº1

xºa

x = 1 ----------------

a,

7. lim 2 x – a = ×. xºa

a > 0.

x º –1

1

1

8. lim -----2- = ×. xº0 x

1/2

.

202

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

При решении неоторых задач удобно использовать следующее определение предела фунции. Пусть фунция f(x) определена во всех точах промежута (a; b), за ислючением, быть может, точи x0 Ý (a; b). Говорят, что число A — предел ф
нции f(x) при x, стремящемся  x0, если для любой последовательности значений арумента (xn), стремящейся  x0 (xn − x0), соответствующая последовательность значений фунции стремится  A: lim f(xn) = A. nº×

x

П р и м е р 3. Доазать, что фунция f(x) = ----x при x º 0 не

имеет предела. Р е ш е н и е. Возьмем две последовательности значений (1)

арумента, сходящиеся  нулю: x n

1

1

(2) = --n- , x n = – --n- . Тода по-

1 --n

(1)

lim f( x n ) = lim --= lim 1 = 1, nº× 1 nº× nº× --n

lim

nº×

(2) f( x n

1 --n ) = lim ------(#1) = #1, 1 = nlim n º × – -º× n

т. е. (1)

(2)

lim f( x n ) − lim f( x n ).

nº×

nº×

Таим образом, построены две последовательности значений арумента, отличные от нуля, пределом оторых является нуль, таие, что соответствующие последовательности значений фунции сходятся  разным числам (одна  1, друая  –1). Но в определении предела требуется, чтобы для аждой из рассмотренных последовательностей значений арумента предел последовательности значений фунции был одним и тем же числом, поэтому тем самым мы доазали, что данная фунция при x º 0 не имеет предела. Доажите, что фунция не имеет предела: 1

9. f(x) = sin --x- при x º 0.

10. f(x) = e–1/x при x º 0.

203

1, x > 0, при x º 0. –1, x m 0 12. f(x) = {x} при x º 4, де {x} — дробная часть числа x. 11. f(x) =

§ 43. Вычисление пределов функций Если существуют lim f1(x) и lim f2(x), то существуют преxºa

xºa

делы: lim cf1(x) = c lim f1(x),

xºa

(1)

xºa

lim (f1(x) ä f2(x)) = lim f1(x) ä lim f2(x),

xºa

xºa

xºa

lim (f1(x) f2(x)) = lim f1(x) · lim f2(x),

xºa

лучим




§ 43. Вычисление пределов функций

f (x)

xºa

lim f 1 ( x )

1 xºa lim -------------- = -------------------------lim f 2 ( x ) x º a f2 ( x ) xºa

xºa

(де lim f2(x) − 0). xºa

(2) (3)

(4)

Нахождение предела отношения двх мноочленов при x º ×. Если требуется найти предел отношения двух мноочленов, зависящих от x, при x º ×, то оба члена отношения предварительно делят на xn, де n — наивысшая степень этих мноочленов. (x – 3)(x – 2) x º × 2x – 5x + 3

-. П р и м е р 1. Найти lim -----------------------------------2

Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на x2: x–3 x–2 ------------- ⋅ ------------x x (x – 3)(x – 2) ------------------------------lim -----------------------------------lim = 2 – 5x + 3 3 . 5 2x xº× x º × 2 – --- + ----x x2

Воспользовавшись теперь формулами (4), (3), а таже (2) и (1) (при c = –1), получим 3 2 lim  1 – ---  ⋅ lim  1 – ---  x xº× x --------------------------------------------------------------------------- . 5 3 lim 2 – lim --- + lim -----2xº× xº×x xº×x

xº×

202

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

При решении неоторых задач удобно использовать следующее определение предела фунции. Пусть фунция f(x) определена во всех точах промежута (a; b), за ислючением, быть может, точи x0 Ý (a; b). Говорят, что число A — предел ф
нции f(x) при x, стремящемся  x0, если для любой последовательности значений арумента (xn), стремящейся  x0 (xn − x0), соответствующая последовательность значений фунции стремится  A: lim f(xn) = A. nº×

x

П р и м е р 3. Доазать, что фунция f(x) = ----x при x º 0 не

имеет предела. Р е ш е н и е. Возьмем две последовательности значений (1)

арумента, сходящиеся  нулю: x n

1

1

(2) = --n- , x n = – --n- . Тода по-

1 --n

(1)

lim f( x n ) = lim --= lim 1 = 1, nº× 1 nº× nº× --n

lim

nº×

(2) f( x n

1 --n ) = lim ------(#1) = #1, 1 = nlim n º × – -º× n

т. е. (1)

(2)

lim f( x n ) − lim f( x n ).

nº×

nº×

Таим образом, построены две последовательности значений арумента, отличные от нуля, пределом оторых является нуль, таие, что соответствующие последовательности значений фунции сходятся  разным числам (одна  1, друая  –1). Но в определении предела требуется, чтобы для аждой из рассмотренных последовательностей значений арумента предел последовательности значений фунции был одним и тем же числом, поэтому тем самым мы доазали, что данная фунция при x º 0 не имеет предела. Доажите, что фунция не имеет предела: 1

9. f(x) = sin --x- при x º 0.

10. f(x) = e–1/x при x º 0.

203

1, x > 0, при x º 0. –1, x m 0 12. f(x) = {x} при x º 4, де {x} — дробная часть числа x. 11. f(x) =

§ 43. Вычисление пределов функций Если существуют lim f1(x) и lim f2(x), то существуют преxºa

xºa

делы: lim cf1(x) = c lim f1(x),

xºa

(1)

xºa

lim (f1(x) ä f2(x)) = lim f1(x) ä lim f2(x),

xºa

xºa

xºa

lim (f1(x) f2(x)) = lim f1(x) · lim f2(x),

xºa

лучим




§ 43. Вычисление пределов функций

f (x)

xºa

lim f 1 ( x )

1 xºa lim -------------- = -------------------------lim f 2 ( x ) x º a f2 ( x ) xºa

xºa

(де lim f2(x) − 0). xºa

(2) (3)

(4)

Нахождение предела отношения двх мноочленов при x º ×. Если требуется найти предел отношения двух мноочленов, зависящих от x, при x º ×, то оба члена отношения предварительно делят на xn, де n — наивысшая степень этих мноочленов. (x – 3)(x – 2) x º × 2x – 5x + 3

-. П р и м е р 1. Найти lim -----------------------------------2

Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на x2: x–3 x–2 ------------- ⋅ ------------x x (x – 3)(x – 2) ------------------------------lim -----------------------------------lim = 2 – 5x + 3 3 . 5 2x xº× x º × 2 – --- + ----x x2

Воспользовавшись теперь формулами (4), (3), а таже (2) и (1) (при c = –1), получим 3 2 lim  1 – ---  ⋅ lim  1 – ---  x xº× x --------------------------------------------------------------------------- . 5 3 lim 2 – lim --- + lim -----2xº× xº×x xº×x

xº×

204

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

x3 + 1 x º –1 x + 1

7.

1

8x 3 – 1 ----------------------------------- .

lim

–

+ 5x – 6

-. 1. lim ------------------------------------x º × (x – 3)(x + 2)

2. lim -------------------------------------------------------. x º × (x – 1)(x – 2)(x – 3)

x 3. lim ------------------------------------- . xº× x+ x+ x

2x + 5 4. lim ------------------ . xº× x+ x

Пусть P(x) и Q(x) — мноочлены, причем Q(a) − 0; тода P(x)

- , находят непосредственно предел их отношения, т. е. lim -----------x º a Q(x)

с помощью формул (1)—(4). Если же P(a) = 0 и Q(a) = 0, то, записав мноочлены P(x) и Q(x) в виде Q(x) = (x – a)nQ1(x)

(k и n — ратности орня x = a мноочленов P(x) и Q(x)), до перехода  пределу соращают числитель и знаменатель дроби P(x) ------------- на общий множитель. Q(x)

xºa

12. а) lim f(x); x º 0,5




x4 – x3 – x + 1 x º 1 x – 5x + 7x – 3

-. 10. lim ----------------------------------------------3 2

.

б) lim f(x), x º 1,5

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x 2 -----------------------------------------------------------------. де f(x) = 1 -x–2+ x

13. а) lim f(x); xº1

б) lim f(x), x º –1

x| x – 3 |

-. де f(x) = --------------------------------------2 (x – x – 6)| x |

Нахождение пределов фн ций, содержащих иррациональности. Вычисление пределов выражений, содержащих иррациональности, инода упрощают введением новых переменных. 3

x2 – 2 3 x + 1 (x – 1)

-. П р и м е р 3. Вычислить предел lim ---------------------------------------2 xº1

3

Р е ш е н и е. Положим x = t. Тода выражение, записанное под знаом предела, примет вид x 2 – 5x + 6 x –9 xº3

Р е ш е н и е. Преобразуем выражение, находящееся под знаом предела: x–2 (x – 3)(x – 2) x2 – 5 x + 6 ------------------------------ = -------------------------------------- = -------------- . x+3 (x – 3)(x + 3) x2 – 9

Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1), (2) и (4): x–2 1 lim -------------- = --6- . xº3 x+3

1

hº0

2a 2 ( x 3 – 2ax 2 – a 2 x + 2a 3 ) ( x – 2a ) –1 ----------------------------------------------------------------------------------------------- – ------------+ ------------------x–a x 2 – ax x3 – a2 x

t 2 – 2t + 1 ----------------------------. ( t3 – 1 ) 2

-. П р и м е р 2. Вычислить предел lim -----------------------------2

Ответ. --6- .

( x + h )3 – x3

-. 8. lim ---------------------------------h

2 x º 0,5 6x – 5x + 1

11. lim

Вычислите предел: x2

-. 6. lim --------------------3

  1 3 ------------- – ---------------3-  . 9. lim  2 8–x  xº2  –x

Ответ. --2- .

P(x) = (x – a)kP1(x),

( x + 1 )3 x º –1 x + 1

-. 5. lim ---------------2

 1 – lim --3-   1 – lim --2-   xº×x xº×x 1 ----------------------------------------------------------------------- = --- . 2 5 3 2 – lim --- + lim -----2xº×x xº×x

1 )2

205

Вычислите предел:

a

Используя равенство lim --x- = 0, находим xº×

(x +

§ 43. Вычисление пределов функций

Число,  оторому стремится новая переменная t при x º 1, находим а предел фунции t(x) = lim t(x) = lim

xº1

xº1

3

3

x при x º 1, т. е.

x = 1.

Таим образом, t 2 – 2t + 1

( t – 1 )2

1

1

--- = lim ------------------------------------------------------------------------------------lim ---------------------------2 2 = lim ( t 2 + t + 1 ) 2 = 9 . 3 2 2 t º 1 (t – 1) t º 1 (t – 1) (t + t + 1) tº1 1

Ответ. --9- .

204

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

x3 + 1 x º –1 x + 1

7.

1

8x 3 – 1 ----------------------------------- .

lim

–

+ 5x – 6

-. 1. lim ------------------------------------x º × (x – 3)(x + 2)

2. lim -------------------------------------------------------. x º × (x – 1)(x – 2)(x – 3)

x 3. lim ------------------------------------- . xº× x+ x+ x

2x + 5 4. lim ------------------ . xº× x+ x

Пусть P(x) и Q(x) — мноочлены, причем Q(a) − 0; тода P(x)

- , находят непосредственно предел их отношения, т. е. lim -----------x º a Q(x)

с помощью формул (1)—(4). Если же P(a) = 0 и Q(a) = 0, то, записав мноочлены P(x) и Q(x) в виде Q(x) = (x – a)nQ1(x)

(k и n — ратности орня x = a мноочленов P(x) и Q(x)), до перехода  пределу соращают числитель и знаменатель дроби P(x) ------------- на общий множитель. Q(x)

xºa

12. а) lim f(x); x º 0,5




x4 – x3 – x + 1 x º 1 x – 5x + 7x – 3

-. 10. lim ----------------------------------------------3 2

.

б) lim f(x), x º 1,5

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x 2 -----------------------------------------------------------------. де f(x) = 1 -x–2+ x

13. а) lim f(x); xº1

б) lim f(x), x º –1

x| x – 3 |

-. де f(x) = --------------------------------------2 (x – x – 6)| x |

Нахождение пределов фн ций, содержащих иррациональности. Вычисление пределов выражений, содержащих иррациональности, инода упрощают введением новых переменных. 3

x2 – 2 3 x + 1 (x – 1)

-. П р и м е р 3. Вычислить предел lim ---------------------------------------2 xº1

3

Р е ш е н и е. Положим x = t. Тода выражение, записанное под знаом предела, примет вид x 2 – 5x + 6 x –9 xº3

Р е ш е н и е. Преобразуем выражение, находящееся под знаом предела: x–2 (x – 3)(x – 2) x2 – 5 x + 6 ------------------------------ = -------------------------------------- = -------------- . x+3 (x – 3)(x + 3) x2 – 9

Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1), (2) и (4): x–2 1 lim -------------- = --6- . xº3 x+3

1

hº0

2a 2 ( x 3 – 2ax 2 – a 2 x + 2a 3 ) ( x – 2a ) –1 ----------------------------------------------------------------------------------------------- – ------------+ ------------------x–a x 2 – ax x3 – a2 x

t 2 – 2t + 1 ----------------------------. ( t3 – 1 ) 2

-. П р и м е р 2. Вычислить предел lim -----------------------------2

Ответ. --6- .

( x + h )3 – x3

-. 8. lim ---------------------------------h

2 x º 0,5 6x – 5x + 1

11. lim

Вычислите предел: x2

-. 6. lim --------------------3

  1 3 ------------- – ---------------3-  . 9. lim  2 8–x  xº2  –x

Ответ. --2- .

P(x) = (x – a)kP1(x),

( x + 1 )3 x º –1 x + 1

-. 5. lim ---------------2

 1 – lim --3-   1 – lim --2-   xº×x xº×x 1 ----------------------------------------------------------------------- = --- . 2 5 3 2 – lim --- + lim -----2xº×x xº×x

1 )2

205

Вычислите предел:

a

Используя равенство lim --x- = 0, находим xº×

(x +

§ 43. Вычисление пределов функций

Число,  оторому стремится новая переменная t при x º 1, находим а предел фунции t(x) = lim t(x) = lim

xº1

xº1

3

3

x при x º 1, т. е.

x = 1.

Таим образом, t 2 – 2t + 1

( t – 1 )2

1

1

--- = lim ------------------------------------------------------------------------------------lim ---------------------------2 2 = lim ( t 2 + t + 1 ) 2 = 9 . 3 2 2 t º 1 (t – 1) t º 1 (t – 1) (t + t + 1) tº1 1

Ответ. --9- .

206

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

§ 44. Непрерывность функции

Вычислите предел:

1 – cos 2x

3

x–1 14. lim 4------------------ . xº1 x–1

П р и м е р 5. Найти предел lim --------------------------. x xº0

1+x–1 15. lim 3----------------------------- . xº0 1+x–1

Р е ш е н и е. Используя формулу 1 – cos 2x = 2 sin2 x, преобразуем числитель дроби. Тода получим

x+ x–1–1

-. 16. lim -----------------------------------------2

xº0

При вычислении предела иррациональноо выражения инода переводят иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот. xº0

arcsin x

xº0

arcsin x

Ответ. 1. Вычислите предел: sin nx

Ответ. 0. Вычислите предел:




x2 + 4 – 2

-. 18. lim -----------------------------2

xº×

xº0

x–3 x+1–2

3– x x–5–2

19. lim ---------------------------- .

20. lim ---------------------------- .

x–2 21. lim ---------------------------- . xº4 x+5 –3

x+2–2 22. lim ---------------------------- . xº2 x+7–3

xº9

lim x( 4x 2 + 7 + 2x).

x º –×

9x – x 2 – 4 -. 25. lim ---------------------------------x xº×

sin x – sin a

27. lim -----------------sin mx .




-. 28. lim -------------------------------x–a

π 29. lim  n sin --n-  .  nº× 




30. lim -------------x+2 .




32.

31.

x +9–3

y

- = lim ------------- = 1. lim --------------------x y º 0 sin y

xº0

xº0

17. lim ( x 2 + 1 – x).

xº0

-. П р и м е р 6. Найти предел lim --------------------x

x2 + 1 – 1 x2 + 1 – 1 x2 - = lim ----------------------------------------- = lim ----------------------------------------- = 0. lim -----------------------------x xº0 x º 0 x ( x2 + 1 + 1 ) x º 0 x ( x2 + 1 + 1 )

23.

xº0

Ответ. 0.

Р е ш е н и е. Умножив числитель и знаменатель дроби, записанной под знаом предела, на выражение, сопряженное числителю, получим




sin x

xº0

Р е ш е н и е. Положим y = arcsin x, тода x = sin y. Учитывая, что если x º 0, то arcsin x º 0, находим

x2 + 1 – 1

-. П р и м е р 4. Вычислить предел lim -----------------------------x

xº3

2 sin 2 x

1 – cos 2x

- = 2 lim ------------- · lim sin x = 0. lim --------------------------= lim -------------------x x x

x –1

xº1

207

sin x – cos x --------------------------------- . 1 – tg x x º π/4

lim

π sin  x – ---   3
33. lim ------------------------------ . x º π/3 1 – 2 cos x

xºa

tg πx

x º –2

tg 3 x – 3 tg x ------------------------------------ . π x º π/3 cos  x + - 6

lim

x 1 – sin --2 34. lim ----------------------π–x . xºπ

x–3

24. lim 3------------------------------- . xº3

x2 – 1 – 2

§ 44. Непрерывность функции

x2 + 7 – 4 26. lim -----------------------------2 – 5x + 6 . x xº3 sin x

Использование предела lim -----------x = 1. При вычислении преxº0

делов выражений, содержащих трионометричесие фунции, часто используют следующий предел: sin x lim -----------x = 1. xº0

(5)

Непрерывность фн ции в точ е. Фунцию f(x), определенную на промежуте (a; b), называют непрерывной в точе x0 Ý (a; b), если: 1) существует предел lim f(x); x º x0

2) этот предел равен значению фунции в точе x0, т. е. lim f(x) = f(x0).

x º x0

206

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

§ 44. Непрерывность функции

Вычислите предел:

1 – cos 2x

3

x–1 14. lim 4------------------ . xº1 x–1

П р и м е р 5. Найти предел lim --------------------------. x xº0

1+x–1 15. lim 3----------------------------- . xº0 1+x–1

Р е ш е н и е. Используя формулу 1 – cos 2x = 2 sin2 x, преобразуем числитель дроби. Тода получим

x+ x–1–1

-. 16. lim -----------------------------------------2

xº0

При вычислении предела иррациональноо выражения инода переводят иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот. xº0

arcsin x

xº0

arcsin x

Ответ. 1. Вычислите предел: sin nx

Ответ. 0. Вычислите предел:




x2 + 4 – 2

-. 18. lim -----------------------------2

xº×

xº0

x–3 x+1–2

3– x x–5–2

19. lim ---------------------------- .

20. lim ---------------------------- .

x–2 21. lim ---------------------------- . xº4 x+5 –3

x+2–2 22. lim ---------------------------- . xº2 x+7–3

xº9

lim x( 4x 2 + 7 + 2x).

x º –×

9x – x 2 – 4 -. 25. lim ---------------------------------x xº×

sin x – sin a

27. lim -----------------sin mx .




-. 28. lim -------------------------------x–a

π 29. lim  n sin --n-  .  nº× 




30. lim -------------x+2 .




32.

31.

x +9–3

y

- = lim ------------- = 1. lim --------------------x y º 0 sin y

xº0

xº0

17. lim ( x 2 + 1 – x).

xº0

-. П р и м е р 6. Найти предел lim --------------------x

x2 + 1 – 1 x2 + 1 – 1 x2 - = lim ----------------------------------------- = lim ----------------------------------------- = 0. lim -----------------------------x xº0 x º 0 x ( x2 + 1 + 1 ) x º 0 x ( x2 + 1 + 1 )

23.

xº0

Ответ. 0.

Р е ш е н и е. Умножив числитель и знаменатель дроби, записанной под знаом предела, на выражение, сопряженное числителю, получим




sin x

xº0

Р е ш е н и е. Положим y = arcsin x, тода x = sin y. Учитывая, что если x º 0, то arcsin x º 0, находим

x2 + 1 – 1

-. П р и м е р 4. Вычислить предел lim -----------------------------x

xº3

2 sin 2 x

1 – cos 2x

- = 2 lim ------------- · lim sin x = 0. lim --------------------------= lim -------------------x x x

x –1

xº1

207

sin x – cos x --------------------------------- . 1 – tg x x º π/4

lim

π sin  x – ---   3
33. lim ------------------------------ . x º π/3 1 – 2 cos x

xºa

tg πx

x º –2

tg 3 x – 3 tg x ------------------------------------ . π x º π/3 cos  x + - 6

lim

x 1 – sin --2 34. lim ----------------------π–x . xºπ

x–3

24. lim 3------------------------------- . xº3

x2 – 1 – 2

§ 44. Непрерывность функции

x2 + 7 – 4 26. lim -----------------------------2 – 5x + 6 . x xº3 sin x

Использование предела lim -----------x = 1. При вычислении преxº0

делов выражений, содержащих трионометричесие фунции, часто используют следующий предел: sin x lim -----------x = 1. xº0

(5)

Непрерывность фн ции в точ е. Фунцию f(x), определенную на промежуте (a; b), называют непрерывной в точе x0 Ý (a; b), если: 1) существует предел lim f(x); x º x0

2) этот предел равен значению фунции в точе x0, т. е. lim f(x) = f(x0).

x º x0

208

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

Доазательство непрерывности фунции f(x) в точе x0 состоит в провере справедливости равенства lim f(x) = f(x0).

x º x0

(1)

П р и м е р 1. Доазать, что фунция f(x) = 3x2 + 5 непрерывна в точе x = 2. Р е ш е н и е. Используя свойства пределов, имеем (3x2

lim

xº2

+ 5) = 3 lim

xº2

x2

+ 5 = 17.

С друой стороны, значение фунции в точе 2 таже равно 17. Следовательно, равенство (1) выполняется, т. е. данная фунция непрерывна в точе x = 2. Доажите непрерывность фунции в уазанной точе: 1. f(x) = x2 – 2x + 1 в точе x = 1.

x 2, 1,

x − 0,

1,

x=0

5. f(x) =

e–1/x, 0,

x − 0, в точе x = 0. x=0

6. f(x) =

(1 + x)1/x, e,

4. f(x) =

7. f(x) =

x − 0, в точе x = 0. x=0 x − 0,

1 --- , 6

x=0

2

Воспользовавшись тем, что ∆x sin ------2 lim ----------------= 1, ∆x ∆x º 0 ------2

∆x  cos  x + -----2 

m 1,

а таже формулами (2) и (5) из § 43, получаем

При доазательстве непрерывности фунций часто используют следующее утверждение. Если фунции f(x) и g(x) непрерывны в точе x0, то их сумма, разность, произведение и частное (при условии g(x0) − 0) непрерывны в точе x0.

в точе x = 0.

1+x–3 1+x -------------------------------------------- , x

∆x 2x + ∆x sin (x + ∆x) – sin x = 2 sin -----2 cos ---------------------- .

Доажите непрерывность фунции на всей области ее определения:
9. f(x) = cos x. 8. f(x) = x2.
10. f(x) = ln x.
11. f(x) = ex.

x l 1, в точе x = 1. x<1

sin x ------------- , x

П р и м е р 2. Доазать, что фунция f(x) = sin x непрерывна при любом значении арумента x. Р е ш е н и е. Составим разность f(x + ∆x) – f(x) для данной фунции:

lim [sin (x + ∆x) – sin x] = 0.

- в точе x = --- . 2. f(x) = --------------------------4 cos x

3. f(x) =

209

∆x º 0

π

1 + cos 2x

§ 44. Непрерывность функции

П р и м е р 3. Доазать непрерывность фунции 2x 2 – 2 x +1

f(x) = ------------------2

в точе x = 0.

Чтобы доазать непрерывность фунции f(x), определенной на промежуте (a; b), в точе x0 Ý (a; b), в ряде случаев вместо равенства (1) удобнее проверить справедливость равенства lim [f(x0 + ∆x) – f(x0)] = 0,

∆x º 0

при выполнении отороо фунция непрерывна в точе x0.

(2)

на всей числовой прямой. Р е ш е н и е. Та а фунция f(x) представляет собой отношение двух мноочленов, причем знаменатель всюду положителен, то непрерывность f(x) в любой точе x Ý R следует из непрерывности в этой точе числителя и знаменателя. az + b

12. Доажите, что дробно-рациональная фунция w = ---------------cz + d

(ad – bc − 0) непрерывна в своей области определения. 13. Является ли фунция y = tg x непрерывной на всей числовой прямой?

208

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

Доазательство непрерывности фунции f(x) в точе x0 состоит в провере справедливости равенства lim f(x) = f(x0).

x º x0

(1)

П р и м е р 1. Доазать, что фунция f(x) = 3x2 + 5 непрерывна в точе x = 2. Р е ш е н и е. Используя свойства пределов, имеем (3x2

lim

xº2

+ 5) = 3 lim

xº2

x2

+ 5 = 17.

С друой стороны, значение фунции в точе 2 таже равно 17. Следовательно, равенство (1) выполняется, т. е. данная фунция непрерывна в точе x = 2. Доажите непрерывность фунции в уазанной точе: 1. f(x) = x2 – 2x + 1 в точе x = 1.

x 2, 1,

x − 0,

1,

x=0

5. f(x) =

e–1/x, 0,

x − 0, в точе x = 0. x=0

6. f(x) =

(1 + x)1/x, e,

4. f(x) =

7. f(x) =

x − 0, в точе x = 0. x=0 x − 0,

1 --- , 6

x=0

2

Воспользовавшись тем, что ∆x sin ------2 lim ----------------= 1, ∆x ∆x º 0 ------2

∆x  cos  x + -----2 

m 1,

а таже формулами (2) и (5) из § 43, получаем

При доазательстве непрерывности фунций часто используют следующее утверждение. Если фунции f(x) и g(x) непрерывны в точе x0, то их сумма, разность, произведение и частное (при условии g(x0) − 0) непрерывны в точе x0.

в точе x = 0.

1+x–3 1+x -------------------------------------------- , x

∆x 2x + ∆x sin (x + ∆x) – sin x = 2 sin -----2 cos ---------------------- .

Доажите непрерывность фунции на всей области ее определения:
9. f(x) = cos x. 8. f(x) = x2.
10. f(x) = ln x.
11. f(x) = ex.

x l 1, в точе x = 1. x<1

sin x ------------- , x

П р и м е р 2. Доазать, что фунция f(x) = sin x непрерывна при любом значении арумента x. Р е ш е н и е. Составим разность f(x + ∆x) – f(x) для данной фунции:

lim [sin (x + ∆x) – sin x] = 0.

- в точе x = --- . 2. f(x) = --------------------------4 cos x

3. f(x) =

209

∆x º 0

π

1 + cos 2x

§ 44. Непрерывность функции

П р и м е р 3. Доазать непрерывность фунции 2x 2 – 2 x +1

f(x) = ------------------2

в точе x = 0.

Чтобы доазать непрерывность фунции f(x), определенной на промежуте (a; b), в точе x0 Ý (a; b), в ряде случаев вместо равенства (1) удобнее проверить справедливость равенства lim [f(x0 + ∆x) – f(x0)] = 0,

∆x º 0

при выполнении отороо фунция непрерывна в точе x0.

(2)

на всей числовой прямой. Р е ш е н и е. Та а фунция f(x) представляет собой отношение двух мноочленов, причем знаменатель всюду положителен, то непрерывность f(x) в любой точе x Ý R следует из непрерывности в этой точе числителя и знаменателя. az + b

12. Доажите, что дробно-рациональная фунция w = ---------------cz + d

(ad – bc − 0) непрерывна в своей области определения. 13. Является ли фунция y = tg x непрерывной на всей числовой прямой?

210

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции Устранимый разрыв. Если lim f(x) существует, но фунx º x0

ция не определена в точе x0, то оворят, что x0 — точа
странимоо разрыва. В этом случае можно доопределить фунцию f(x) по непрерывности, полаая f f (x0) = lim f(x).

§ 44. Непрерывность функции

Подберите параметр та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной в уазанной точе (если точа не уазана, то на всей числовой прямой): 18. f(x) =

(3)

x º x0

x2 – 4

20. f(x) =

x = 2 по непрерывности. Р е ш е н и е. Точа x = 2 не принадлежит области определения данной фунции, но

21. f(x) =

x2

–4 lim ---------------- = lim (x + 2) = 4. xº2 x–2 xº2

Доопределив фунцию f(x) в точе x = 2 значением, равным 4, получаем фунцию x2 – 4 ---------------x–2

4

при при

22. f(x) =

x − 2, x = 2,

оторая на всей области определения исходной фунции совпадает с этой фунцией и является непрерывной на всей числовой прямой. f Ответ. f (2) = 4.

x2 – 5 x + 6 ------------------------------- , x–3

x − 3,

A,

x = 3. 2

19. f(x) =

П р и м е р 4. Доопределить фунцию f(x) = --------------x – 2 в точе

f f (x) =

211

2 –1/x , A,

x − 0, x = 0.

sin 3x ----------------- , sin 2x

x − 0,

A,

x=0

в точе x = 0.

1 – cos x ----------------------, sin 2 x

x − 0,

A,

x=0

x2 ----------------------------- , 1 – cos mx

x − 0,

A,

x=0

sin x

14. f(x) = -----------x в точе x = 0. e x – e –x

- в точе x = 0. 15. f(x) = -------------------x 1+x– 1–x

- в точе x = 0. 16. f(x) = -----------------------------------------x 3– x 9– x

17. f(x) = ------------------ в точе x = 81.

в точе x = 0.

πx




23. f(x) =

(1 – x) tg -----2 , x − 1,

в точе x = 1.

x=1

A,

Односторонняя непрерывность и односторонние пределы. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; x0). Число A называют левым пределом ф
нции f(x) в точе x0 и пишут lim

x º x0 – 0

Доопределите по непрерывности данную фунцию в уазанной точе:

в точе x = 0.

f(x) = A,

если для любоо ε > 0 существует таое δ(ε) > 0, что при любом x Ý (a; x0), удовлетворяющем неравенству x0 – δ(ε) < x, выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Фунцию f(x) называют непрерывной в точе x0 слева, если точа x0 принадлежит области определения фунции и lim

x º x0 – 0

f(x) = f(x0).

Аналоично определяются правый предел фунции и непрерывность фунции справа.

210

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции Устранимый разрыв. Если lim f(x) существует, но фунx º x0

ция не определена в точе x0, то оворят, что x0 — точа
странимоо разрыва. В этом случае можно доопределить фунцию f(x) по непрерывности, полаая f f (x0) = lim f(x).

§ 44. Непрерывность функции

Подберите параметр та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной в уазанной точе (если точа не уазана, то на всей числовой прямой): 18. f(x) =

(3)

x º x0

x2 – 4

20. f(x) =

x = 2 по непрерывности. Р е ш е н и е. Точа x = 2 не принадлежит области определения данной фунции, но

21. f(x) =

x2

–4 lim ---------------- = lim (x + 2) = 4. xº2 x–2 xº2

Доопределив фунцию f(x) в точе x = 2 значением, равным 4, получаем фунцию x2 – 4 ---------------x–2

4

при при

22. f(x) =

x − 2, x = 2,

оторая на всей области определения исходной фунции совпадает с этой фунцией и является непрерывной на всей числовой прямой. f Ответ. f (2) = 4.

x2 – 5 x + 6 ------------------------------- , x–3

x − 3,

A,

x = 3. 2

19. f(x) =

П р и м е р 4. Доопределить фунцию f(x) = --------------x – 2 в точе

f f (x) =

211

2 –1/x , A,

x − 0, x = 0.

sin 3x ----------------- , sin 2x

x − 0,

A,

x=0

в точе x = 0.

1 – cos x ----------------------, sin 2 x

x − 0,

A,

x=0

x2 ----------------------------- , 1 – cos mx

x − 0,

A,

x=0

sin x

14. f(x) = -----------x в точе x = 0. e x – e –x

- в точе x = 0. 15. f(x) = -------------------x 1+x– 1–x

- в точе x = 0. 16. f(x) = -----------------------------------------x 3– x 9– x

17. f(x) = ------------------ в точе x = 81.

в точе x = 0.

πx




23. f(x) =

(1 – x) tg -----2 , x − 1,

в точе x = 1.

x=1

A,

Односторонняя непрерывность и односторонние пределы. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; x0). Число A называют левым пределом ф
нции f(x) в точе x0 и пишут lim

x º x0 – 0

Доопределите по непрерывности данную фунцию в уазанной точе:

в точе x = 0.

f(x) = A,

если для любоо ε > 0 существует таое δ(ε) > 0, что при любом x Ý (a; x0), удовлетворяющем неравенству x0 – δ(ε) < x, выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Фунцию f(x) называют непрерывной в точе x0 слева, если точа x0 принадлежит области определения фунции и lim

x º x0 – 0

f(x) = f(x0).

Аналоично определяются правый предел фунции и непрерывность фунции справа.

212

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

Левый и правый пределы фунции называют односторонними пределами, а непрерывность фунции слева и справа объединяют термином «односторонняя непрерывность». Чтобы фунция f(x) была непрерывна в точе x0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа в точе x0. П р и м е р 5. Каим условиям должны удовлетворять параметры a и b, чтобы фунция f(x) =

x–1 ax2 + bx

при при

lim

(x – 1) = 0,

lim

xº1+0

(ax2

+ bx) = a + b.

Та а данная фунция в точе x = 1 непрерывна слева и f(1) = 0, то для ее непрерывности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство a + b = 0.

Подберите параметры, входящие в определение фунции, та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной: π

ax + 1,

x m --2- ;

sin x + b,

x > --2- .

π

x > 0;

–x2 + b,

x m 0.

30. f(x) =

x2 + x + 1, x l –1; sin (π(x + a)), x < 1.

31. f(x) =

x + 3, a · 2x,

x m 3; x > 3.

§ 45. Разные задачи Вычислите предел: cos x sin x – tg x x sin x

-. 1. lim --------------------------------------------2 xº0

x3 – 1 x º 1 x + 5x – 6

2.

1 – ctg 3 x ----------------------------------------------- .

lim

3 x º π/4 2 – ctg x – ctg x

sin ( 2x – π )

4. lim ----------------------------------- .

-. 3. lim -----------------------------2

π x º 0 cos 3  x + -

sin 2x

2

2x + 1 – 1 3x + 4 – 2

- : lim -------------------------------- . 5. lim -------------------------3 xº0

1 – cos x sin x

6. lim ----------------------. 3 xº0

sin x – sin a

-. 8. lim --------------------------------x º a cos x – cos a

10.

25. f(x) =

x2, x m 1; ax, x > 1.

26. f(x) =

|x2 – 5x + 6|, ax – b,

x > 2; x m 2.

14.

27. f(x) =

|x2 – 5x + 6|, ax – b,

x < 3; x l 3.

16.

28. f(x) =

2x – 1 ,

x < 1;

ax2 + bx + 1,

x l 1.

1 -------------

213

3 ----------------- + 1, x2 + 1

x º π 1 + cos x

Ответ. a + b = 0.

24. f(x) =

29. f(x) =

x m 1, x>1

была непрерывной? Р е ш е н и е. Вычислим левый и правый пределы данной фунции в точе x = 1: xº1–0

§ 45. Разные задачи

lim

sin x – cos x --------------------------------- .

x º π/4 tg x – ctg x

tg x – sin x -. 12. lim -----------------------------x3 xº0

lim

x º π/4

lim

cos 2x ---------------------------- . 2 cos x – ------2 cos x ----------------- .

x º π/2 π – 2x

π sin  --- – x  3  -. 18. lim -----------------------------2 cos x – 1 x º π/3

tg x – tg a

-. 7. lim --------------------------x–a xºa

sin x – sin a

9. lim -------------------------------tg x – tg a . xºa

11.

lim

x º π/4

sin x – cos x --------------------------------- . tg x – 1

π cos  --- + x  4 13. lim ------------------------------1 – tg x . x º π/4

15.

lim

sin 2x ------------------------ .

x º 3π/2 1 + sin x

tg x

17. lim ----------------------. x º 0 1 – cos x x sin x

19. lim ----------------------. x º 0 1 – cos x

212

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

Левый и правый пределы фунции называют односторонними пределами, а непрерывность фунции слева и справа объединяют термином «односторонняя непрерывность». Чтобы фунция f(x) была непрерывна в точе x0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа в точе x0. П р и м е р 5. Каим условиям должны удовлетворять параметры a и b, чтобы фунция f(x) =

x–1 ax2 + bx

при при

lim

(x – 1) = 0,

lim

xº1+0

(ax2

+ bx) = a + b.

Та а данная фунция в точе x = 1 непрерывна слева и f(1) = 0, то для ее непрерывности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство a + b = 0.

Подберите параметры, входящие в определение фунции, та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной: π

ax + 1,

x m --2- ;

sin x + b,

x > --2- .

π

x > 0;

–x2 + b,

x m 0.

30. f(x) =

x2 + x + 1, x l –1; sin (π(x + a)), x < 1.

31. f(x) =

x + 3, a · 2x,

x m 3; x > 3.

§ 45. Разные задачи Вычислите предел: cos x sin x – tg x x sin x

-. 1. lim --------------------------------------------2 xº0

x3 – 1 x º 1 x + 5x – 6

2.

1 – ctg 3 x ----------------------------------------------- .

lim

3 x º π/4 2 – ctg x – ctg x

sin ( 2x – π )

4. lim ----------------------------------- .

-. 3. lim -----------------------------2

π x º 0 cos 3  x + -

sin 2x

2

2x + 1 – 1 3x + 4 – 2

- : lim -------------------------------- . 5. lim -------------------------3 xº0

1 – cos x sin x

6. lim ----------------------. 3 xº0

sin x – sin a

-. 8. lim --------------------------------x º a cos x – cos a

10.

25. f(x) =

x2, x m 1; ax, x > 1.

26. f(x) =

|x2 – 5x + 6|, ax – b,

x > 2; x m 2.

14.

27. f(x) =

|x2 – 5x + 6|, ax – b,

x < 3; x l 3.

16.

28. f(x) =

2x – 1 ,

x < 1;

ax2 + bx + 1,

x l 1.

1 -------------

213

3 ----------------- + 1, x2 + 1

x º π 1 + cos x

Ответ. a + b = 0.

24. f(x) =

29. f(x) =

x m 1, x>1

была непрерывной? Р е ш е н и е. Вычислим левый и правый пределы данной фунции в точе x = 1: xº1–0

§ 45. Разные задачи

lim

sin x – cos x --------------------------------- .

x º π/4 tg x – ctg x

tg x – sin x -. 12. lim -----------------------------x3 xº0

lim

x º π/4

lim

cos 2x ---------------------------- . 2 cos x – ------2 cos x ----------------- .

x º π/2 π – 2x

π sin  --- – x  3  -. 18. lim -----------------------------2 cos x – 1 x º π/3

tg x – tg a

-. 7. lim --------------------------x–a xºa

sin x – sin a

9. lim -------------------------------tg x – tg a . xºa

11.

lim

x º π/4

sin x – cos x --------------------------------- . tg x – 1

π cos  --- + x  4 13. lim ------------------------------1 – tg x . x º π/4

15.

lim

sin 2x ------------------------ .

x º 3π/2 1 + sin x

tg x

17. lim ----------------------. x º 0 1 – cos x x sin x

19. lim ----------------------. x º 0 1 – cos x

214

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции 20. 22.

24.

lim

sec 2x + 1 ---------------------------- . cos x

21. lim --------------------------. 2

lim

1 + cos 2x ---------------------------. ctg 2 x

23. lim -------------------------------------sin ( x – a ) .

x º π/2

x º π/2

xºπ

1 – cos 2x tg x

sin 2 x – sin 2 a

xºa

π sin  --- – x  4 -. 25. lim -----------------------------x º π/4 cos 2 x – 1 --2

1 – sin x ----------------------. 2 x º π/2 cos x

lim

tg 2

-. 26. lim -----------------------------3

tg x – sin x sin x xº0

27. lim --------------------------------tg ( x – a ) .

cos 2 x – cos 2 a 28. lim --------------------------------------. x–a xºa sin ------------2

tg 3x – tg 3 x -. 29. lim ---------------------------------tg x xº0

30.

tg 2 x + tg x – 2 ------------------------------------------ . x º π/4 sin x – cos x

xºa

34.

a

πx

(a – x) sec -----2a

31.

[(1 – sin x) tg2 x].

lim

x º π/2

πx  a–x ------33. lim  sin -----------2 tg 2a  . xºa

.

tg 2 x – 2 tg x – 3 ----------------------------------------------. 2 x º arctg 3 tg x – 4 tg x + 3

lim

 x a  36. lim  2 sin -----x-  . xº×  2 

x 1 35. lim  --x- tg --2-  .  xº0  1 – cos 3 x

--------------------------------- . 37. lim x sin x cos x xº0

1 + sin x – 1 – sin x

38. lim ------------------------------------------------------------. x xº0

39.

lim

x º π/4

π (sin x – cos x) tg  --4- + x  .

Проверьте справедливость неравенства: x sin 2 --2 2x + 3 2x 2 – 5 x – 3 -. - > lim ----------------------------------------40. lim -----------------+ lim --------------2 x2 xº× x+3 x x º 1/2 4x – 18x – 10 xº0 1 + x + x2 – 1

- + 41. lim ----------------------------------------x xº0

lim

2 – 2 cos x --------------------------------- > lg 0,005.

π x º π/4 sin  x – -

4

Доопределите фунцию по непрерывности: x–3

42. f(x) = 3------------------------------- в точе x = 3. x2

–1–2

215

2– x+4

- в точе x = 0. 43. f(x) = --------------------------sin 2x 2

2

cos x – sin x – 1 44. f(x) = ------------------------------------------------в точе x = 0. 2 x +1–1

Выясните, при аом выборе параметра фунция f(x) станет непрерывной: 45. f(x) =

xºa

lim

32. lim

x–

tg 2

§ 45. Разные задачи

x2 + 7 – 4 ------------------------------, x 2 – 5x + 6

x − 3,

A,

x=3

x+2

46. f(x) =

2 – 16 --------------------------x 4 , 4 –2

x − 2,

A,

x = 2.

в точе x = 3.

214

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции 20. 22.

24.

lim

sec 2x + 1 ---------------------------- . cos x

21. lim --------------------------. 2

lim

1 + cos 2x ---------------------------. ctg 2 x

23. lim -------------------------------------sin ( x – a ) .

x º π/2

x º π/2

xºπ

1 – cos 2x tg x

sin 2 x – sin 2 a

xºa

π sin  --- – x  4 -. 25. lim -----------------------------x º π/4 cos 2 x – 1 --2

1 – sin x ----------------------. 2 x º π/2 cos x

lim

tg 2

-. 26. lim -----------------------------3

tg x – sin x sin x xº0

27. lim --------------------------------tg ( x – a ) .

cos 2 x – cos 2 a 28. lim --------------------------------------. x–a xºa sin ------------2

tg 3x – tg 3 x -. 29. lim ---------------------------------tg x xº0

30.

tg 2 x + tg x – 2 ------------------------------------------ . x º π/4 sin x – cos x

xºa

34.

a

πx

(a – x) sec -----2a

31.

[(1 – sin x) tg2 x].

lim

x º π/2

πx  a–x ------33. lim  sin -----------2 tg 2a  . xºa

.

tg 2 x – 2 tg x – 3 ----------------------------------------------. 2 x º arctg 3 tg x – 4 tg x + 3

lim

 x a  36. lim  2 sin -----x-  . xº×  2 

x 1 35. lim  --x- tg --2-  .  xº0  1 – cos 3 x

--------------------------------- . 37. lim x sin x cos x xº0

1 + sin x – 1 – sin x

38. lim ------------------------------------------------------------. x xº0

39.

lim

x º π/4

π (sin x – cos x) tg  --4- + x  .

Проверьте справедливость неравенства: x sin 2 --2 2x + 3 2x 2 – 5 x – 3 -. - > lim ----------------------------------------40. lim -----------------+ lim --------------2 x2 xº× x+3 x x º 1/2 4x – 18x – 10 xº0 1 + x + x2 – 1

- + 41. lim ----------------------------------------x xº0

lim

2 – 2 cos x --------------------------------- > lg 0,005.

π x º π/4 sin  x – -

4

Доопределите фунцию по непрерывности: x–3

42. f(x) = 3------------------------------- в точе x = 3. x2

–1–2

215

2– x+4

- в точе x = 0. 43. f(x) = --------------------------sin 2x 2

2

cos x – sin x – 1 44. f(x) = ------------------------------------------------в точе x = 0. 2 x +1–1

Выясните, при аом выборе параметра фунция f(x) станет непрерывной: 45. f(x) =

xºa

lim

32. lim

x–

tg 2

§ 45. Разные задачи

x2 + 7 – 4 ------------------------------, x 2 – 5x + 6

x − 3,

A,

x=3

x+2

46. f(x) =

2 – 16 --------------------------x 4 , 4 –2

x − 2,

A,

x = 2.

в точе x = 3.

§ 46. Нахождение производных

Глава 9 Производная и ее применения

Учитывая непрерывность фунции cos x, имеем ∆x  ∆x 2 sin ------- cos  x 0 + -----2   2 - = lim ------------------------------------------------------------∆x ∆x º 0 ∆x sin ------2 ∆x  lim cos  x0 + -----= lim ----------------∆x · ∆x 2  = cos x0.  ∆x º 0 º0 ------2

§ 46. Нахождение производных Нахождение производной непосредственно по ее определению. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; b). Рассмотрим предел отношения приращения фунции ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0)

∆f ( x )

∆x º 0

∆f(x0) = sin (x0 + ∆x) – sin x0. Чтобы найти предел sin ( x + ∆x ) – sin x

0 0 -, lim ---------------------------------------------------------∆x

∆x º 0

( sin x )′ = cos x. Ответ. ( sin x )′ = cos x. Исходя из определения производной, найдите производную данной фунции: 1

1. f(x) = --x- .

(2)

Если предел (2) существует, то оворят, что фунция f(x) имеет производн
ю в точе x0, или что f(x) дифференцир
ема в точе x0. Производная фунции f(x) в точе x0 обозначается f′(x0). Если же предел (2) не существует, то оворят, что фунция f(x) не дифференцир
ема в точе x0. Задача, связанная с нахождением производной, исходя из ее определения, залючается в непосредственном вычислении предела (2). П р и м е р 1. Найти производную фунции f(x) = sin x. Р е ш е н и е. Составим приращение фунции:

Та а точа x0 выбрана произвольно, то залючаем, что

(1)

 приращению независимой переменной ∆x (∆x = x – x0) при ∆x, стремящемся  нулю: 0 lim ----------------∆x .





2. f(x) = cos x.

3. f(x) = ex. 5. f(x) = xn.




4. f(x) = ln x. 6. f(x) = c.

Односторонние производные. Односторонние пределы lim

∆x º –0

∆f ( x 0 ) ------------------ , ∆x

∆f ( x 0 ) -----------------∆x ∆x º +0

lim

(3) (4)

называют соответственно левой и правой производными (или односторонними производными) ф
нции f(x) в точе x0 и обозначают f –′ (x0) и f +′ (x0). Для существования производной f ′(x0) необходимо и достаточно, чтобы обе производные (левая и правая) существовали в точе x0 и были равны: f +′ (x0) = f –′ (x0). П р и м е р 2. Доазать, что фунция

воспользуемся формулой f(x) = ∆x ∆x   ------sin (x0 + ∆x) – sin x0 = 2 sin -----2 cos  x0 + 2  .

217

x, x l 1, x2, x < 1,

не дифференцируема в точе x = 1.

(5)

§ 46. Нахождение производных

Глава 9 Производная и ее применения

Учитывая непрерывность фунции cos x, имеем ∆x  ∆x 2 sin ------- cos  x 0 + -----2   2 - = lim ------------------------------------------------------------∆x ∆x º 0 ∆x sin ------2 ∆x  lim cos  x0 + -----= lim ----------------∆x · ∆x 2  = cos x0.  ∆x º 0 º0 ------2

§ 46. Нахождение производных Нахождение производной непосредственно по ее определению. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; b). Рассмотрим предел отношения приращения фунции ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0)

∆f ( x )

∆x º 0

∆f(x0) = sin (x0 + ∆x) – sin x0. Чтобы найти предел sin ( x + ∆x ) – sin x

0 0 -, lim ---------------------------------------------------------∆x

∆x º 0

( sin x )′ = cos x. Ответ. ( sin x )′ = cos x. Исходя из определения производной, найдите производную данной фунции: 1

1. f(x) = --x- .

(2)

Если предел (2) существует, то оворят, что фунция f(x) имеет производн
ю в точе x0, или что f(x) дифференцир
ема в точе x0. Производная фунции f(x) в точе x0 обозначается f′(x0). Если же предел (2) не существует, то оворят, что фунция f(x) не дифференцир
ема в точе x0. Задача, связанная с нахождением производной, исходя из ее определения, залючается в непосредственном вычислении предела (2). П р и м е р 1. Найти производную фунции f(x) = sin x. Р е ш е н и е. Составим приращение фунции:

Та а точа x0 выбрана произвольно, то залючаем, что

(1)

 приращению независимой переменной ∆x (∆x = x – x0) при ∆x, стремящемся  нулю: 0 lim ----------------∆x .





2. f(x) = cos x.

3. f(x) = ex. 5. f(x) = xn.




4. f(x) = ln x. 6. f(x) = c.

Односторонние производные. Односторонние пределы lim

∆x º –0

∆f ( x 0 ) ------------------ , ∆x

∆f ( x 0 ) -----------------∆x ∆x º +0

lim

(3) (4)

называют соответственно левой и правой производными (или односторонними производными) ф
нции f(x) в точе x0 и обозначают f –′ (x0) и f +′ (x0). Для существования производной f ′(x0) необходимо и достаточно, чтобы обе производные (левая и правая) существовали в точе x0 и были равны: f +′ (x0) = f –′ (x0). П р и м е р 2. Доазать, что фунция

воспользуемся формулой f(x) = ∆x ∆x   ------sin (x0 + ∆x) – sin x0 = 2 sin -----2 cos  x0 + 2  .

217

x, x l 1, x2, x < 1,

не дифференцируема в точе x = 1.

(5)

218

Г л а в а 9. Производная и ее применения Р е ш е н и е. Найдем приращение фунции в точе x = 1: ∆f(1) = f(1 + ∆x) – f(1) =

∆x, ∆x l 0, (1 + ∆x)2 – 1, ∆x < 0,

2∆x + ( ∆x ) 2 - = 2, lim --------------------------------∆x ∆x º –0

f +′ (1) =

Доажите недифференцируемость фунции в уазанной точе: 7. f(x) = |x| при x = 0.
8. f(x) = |x2 – 5x + 6| при x = 2 и x = 3. x, x m 1, при x = 1. 2 – x, x > 1 10. Поажите, что фунция 9. f(x) =

1

x sin --x- , x − 0, 0,

x=0

не имеет в точе x = 0 ни правой, ни левой производной. 11. Доажите, что фунция f(x) = x| x | дифференцируема в точе x = 0.

( xα )′ = αxα – 1, ax

ln a,

(12)

a > 0,

( ex )′

1 - , a > 0, a − 1, ( loga x )′ = -------------x ln a

(6) =

ex,

1 ( ln x )′ = --x- ,

( arcsin x )′ = -------------------- , 2

(13)

1 ( arctg x )′ = ----------------2- .

(14)

Правила дифференцирования Пусть c — постоянная, f(x) и g(x) — дифференцируемые фунции; тода справедливы следующие формулы: c′ = 0,

(15)

( f(x) + g(x) )′ = f ′(x) + g ′(x),

(16)

( f(x)g(x) )′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f(x),

(17)

f ( x ) ′ f ′ ( x )g ( x ) – g ′ ( x )f ( x )  -------------------------------------------------------------------.  g( x)  = g2 ( x)

(18)

Теорема о дифференцировании сложной ф
нции. Пусть фунция y = f(x) имеет производную в точе x0, а фунция g(y) имеет производную в точе y0 = f(x0); тода сложная фунция F(x) = g(f(x)) имеет производную в точе x0, равную F ′(x0) = g ′(y0) f ′(x0).

(19)

П р и м е р 3. Найти производную фунции

Производные основных элементарных фн ций

( ax )′ =

1 ( ctg x )′ = – --------------2 ,

1+x

∆x - = 1. lim -----∆x º +0 ∆x

ществует.

f(x) =

(11)

1–x

Та а f +′ (1) − f –′ (1), то производная f ′(x) в точе x = 1 не су-




1 cos x

( tg x )′ = --------------2 ,

1

∆x, ∆x l 0, 2∆x + (∆x)2, ∆x < 0.

Далее, используя определения (3) и (4), имеем f –′ (1) =

219

sin x

или, после преобразований, ∆f(1) =

§ 46. Нахождение производных

F(x) = (x2 + x + 1)100.

(7)

Р е ш е н и е. Полаая y = f(x) = x2 + x + 1, g(y) = y100, имеем g ′(y) = 100y99, f ′(x) = 2x + 1.

(8)

Тода, соласно формуле (19), находим

( sin x )′ = cos x,

(9)

( cos x )′ = –sin x,

(10)

F ′(x) = 100(x2 + x + 1)99(2x + 1). Ответ. F ′(x) = 100(x2 + x + 1)99(2x + 1).

218

Г л а в а 9. Производная и ее применения Р е ш е н и е. Найдем приращение фунции в точе x = 1: ∆f(1) = f(1 + ∆x) – f(1) =

∆x, ∆x l 0, (1 + ∆x)2 – 1, ∆x < 0,

2∆x + ( ∆x ) 2 - = 2, lim --------------------------------∆x ∆x º –0

f +′ (1) =

Доажите недифференцируемость фунции в уазанной точе: 7. f(x) = |x| при x = 0.
8. f(x) = |x2 – 5x + 6| при x = 2 и x = 3. x, x m 1, при x = 1. 2 – x, x > 1 10. Поажите, что фунция 9. f(x) =

1

x sin --x- , x − 0, 0,

x=0

не имеет в точе x = 0 ни правой, ни левой производной. 11. Доажите, что фунция f(x) = x| x | дифференцируема в точе x = 0.

( xα )′ = αxα – 1, ax

ln a,

(12)

a > 0,

( ex )′

1 - , a > 0, a − 1, ( loga x )′ = -------------x ln a

(6) =

ex,

1 ( ln x )′ = --x- ,

( arcsin x )′ = -------------------- , 2

(13)

1 ( arctg x )′ = ----------------2- .

(14)

Правила дифференцирования Пусть c — постоянная, f(x) и g(x) — дифференцируемые фунции; тода справедливы следующие формулы: c′ = 0,

(15)

( f(x) + g(x) )′ = f ′(x) + g ′(x),

(16)

( f(x)g(x) )′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f(x),

(17)

f ( x ) ′ f ′ ( x )g ( x ) – g ′ ( x )f ( x )  -------------------------------------------------------------------.  g( x)  = g2 ( x)

(18)

Теорема о дифференцировании сложной ф
нции. Пусть фунция y = f(x) имеет производную в точе x0, а фунция g(y) имеет производную в точе y0 = f(x0); тода сложная фунция F(x) = g(f(x)) имеет производную в точе x0, равную F ′(x0) = g ′(y0) f ′(x0).

(19)

П р и м е р 3. Найти производную фунции

Производные основных элементарных фн ций

( ax )′ =

1 ( ctg x )′ = – --------------2 ,

1+x

∆x - = 1. lim -----∆x º +0 ∆x

ществует.

f(x) =

(11)

1–x

Та а f +′ (1) − f –′ (1), то производная f ′(x) в точе x = 1 не су-




1 cos x

( tg x )′ = --------------2 ,

1

∆x, ∆x l 0, 2∆x + (∆x)2, ∆x < 0.

Далее, используя определения (3) и (4), имеем f –′ (1) =

219

sin x

или, после преобразований, ∆f(1) =

§ 46. Нахождение производных

F(x) = (x2 + x + 1)100.

(7)

Р е ш е н и е. Полаая y = f(x) = x2 + x + 1, g(y) = y100, имеем g ′(y) = 100y99, f ′(x) = 2x + 1.

(8)

Тода, соласно формуле (19), находим

( sin x )′ = cos x,

(9)

( cos x )′ = –sin x,

(10)

F ′(x) = 100(x2 + x + 1)99(2x + 1). Ответ. F ′(x) = 100(x2 + x + 1)99(2x + 1).

220

Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 46. Нахождение производных

Найдите производную сложной фунции: 2+ x 2– x

12. y = ------------------ .

13. y =

14. y =

15. y = e

sin x .

3

1– ----------------2- . 1+x

 x–1  x+1  ------------------ + ------------------ + 2  x–1  x+1 

.

x+1 x–1 -------------- + -------------- – 2 ( 2x + x 2 – 1 ) x–1 x+1 29. f(x) = ----------------------------------------------------------------------------------------------------- . (x + 1) 3 – (x – 1) 3

( a + bx n ) m 17. y = ----------------------------. ( a – bx n ) m

1+x 16. y = arctg ------------1–x.

x–1

1 15

18. y = ------ cos3 x (3 cos2 x – 5).

1 + 1 – x2 ( ( 1 + x )3 – ( 1 – x)3 )

19. y = ln cos -----------x .

30. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------------. 2 2+ 1–x

( tg 2 x – 1 ) ( tg 4 x + 10 tg 2 x + 1 ) -. 20. y = --------------------------------------------------------------------------------------3 tg 3 x

Предварительно упростив выражение, найдите производную фунции: ( x + 1 ) ( x2 – x) 21. f(x) = ------------------------------------------------- . x x+x+ x 3

x + 2 – x2

6

1 – x 2 – x2

 4 ax 3 – 4 a 3 x 1 + ax  -  31. f(x) =  ------------------------------------- + --------------------4 ax a – x  

П р и м е р 4.

1 – x2

(x 2/m – 9x 2/n )( n x 1 – m – 3 n x 1 – n ) (x + 3x ) – 12x

24. f(x) = ------------------------------------------------------------------------------------------------. 1/m 1/n 2 (m + n)/(mn)  1 25. f(x) = ( 1 – x 4 + 1) :  --------------------2- +  1+x –3

5

4

 1 – x2  . 

a

a

1 + 2 --x- + --x- .

Найти

производную

фунции

f(x) =

– 2x + 1 на промежуте [0; 2]. Р е ш е н и е. Выражение под знаом радиала представляет собой полный вадрат, поэтому, соласно определению модуля, представим данную фунцию в следующем виде: =

f(x) = |x – 1| =

1 – x, x – 1,

x Ý [0; 1), x Ý [1; 2].

(*)

Дифференцируя f(x) по отдельности на промежутах [0; 1) и (1; 2], получаем f ′(x) =

3

 2   2  ( x + 2 )  ------- – 1  – ( x – 2 )  ------- + 1  x x     27. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------------------- .  2  2 ( 2 – x + 2 ) :  --- + 1 – -------  x  x

·

x2

3

t + 2t + 4t 1 ---  – t 3 + 3 ------------------------------------2 4 – 4t + t 2 -. 26. f(x) = -----------------------------------------------------------------------------------1 1 --------------------- + --------------------t+ 2 2– t

–2

Если фунция f(x) определена на неотором промежуте [a; b], то в ачестве значений ее производных на онцах этоо промежута принимают значения левой производной на правом онце и правой — на левом онце.

-. 22. f(x) = -----------------------------------------------------------------------------3 –2 1  ( 1 – x 2 ) – 1/2 + 1 + -----------------------------------------  ( 1 – x 2 ) – 1/2 – 1  -. 23. f(x) = -------------------------------------------------------------------------------------------------------2 – x2 – 2 1 – x2

2x + 2 x 2 – 1

28. f(x) = -------------------------------------------------------------------1/3 .

x2

ln ( ax 2 + bx + c )

221

–1, –1,

x Ý [0; 1), x Ý (1; 2].

Та а левая и правая производные в точе x = 1 не совпадают, то в этой точе производная не существует; в ачестве значений f ′(x) на онцах промежута [0; 2] принимаем значения левой производной фунции (*) в точе x = 2 в правой производной фунции (*) в точе x = 0. Ответ. f ′(x) =

–1, –1,

x Ý [0; 1), x Ý (1; 2].

220

Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 46. Нахождение производных

Найдите производную сложной фунции: 2+ x 2– x

12. y = ------------------ .

13. y =

14. y =

15. y = e

sin x .

3

1– ----------------2- . 1+x

 x–1  x+1  ------------------ + ------------------ + 2  x–1  x+1 

.

x+1 x–1 -------------- + -------------- – 2 ( 2x + x 2 – 1 ) x–1 x+1 29. f(x) = ----------------------------------------------------------------------------------------------------- . (x + 1) 3 – (x – 1) 3

( a + bx n ) m 17. y = ----------------------------. ( a – bx n ) m

1+x 16. y = arctg ------------1–x.

x–1

1 15

18. y = ------ cos3 x (3 cos2 x – 5).

1 + 1 – x2 ( ( 1 + x )3 – ( 1 – x)3 )

19. y = ln cos -----------x .

30. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------------. 2 2+ 1–x

( tg 2 x – 1 ) ( tg 4 x + 10 tg 2 x + 1 ) -. 20. y = --------------------------------------------------------------------------------------3 tg 3 x

Предварительно упростив выражение, найдите производную фунции: ( x + 1 ) ( x2 – x) 21. f(x) = ------------------------------------------------- . x x+x+ x 3

x + 2 – x2

6

1 – x 2 – x2

 4 ax 3 – 4 a 3 x 1 + ax  -  31. f(x) =  ------------------------------------- + --------------------4 ax a – x  

П р и м е р 4.

1 – x2

(x 2/m – 9x 2/n )( n x 1 – m – 3 n x 1 – n ) (x + 3x ) – 12x

24. f(x) = ------------------------------------------------------------------------------------------------. 1/m 1/n 2 (m + n)/(mn)  1 25. f(x) = ( 1 – x 4 + 1) :  --------------------2- +  1+x –3

5

4

 1 – x2  . 

a

a

1 + 2 --x- + --x- .

Найти

производную

фунции

f(x) =

– 2x + 1 на промежуте [0; 2]. Р е ш е н и е. Выражение под знаом радиала представляет собой полный вадрат, поэтому, соласно определению модуля, представим данную фунцию в следующем виде: =

f(x) = |x – 1| =

1 – x, x – 1,

x Ý [0; 1), x Ý [1; 2].

(*)

Дифференцируя f(x) по отдельности на промежутах [0; 1) и (1; 2], получаем f ′(x) =

3

 2   2  ( x + 2 )  ------- – 1  – ( x – 2 )  ------- + 1  x x     27. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------------------- .  2  2 ( 2 – x + 2 ) :  --- + 1 – -------  x  x

·

x2

3

t + 2t + 4t 1 ---  – t 3 + 3 ------------------------------------2 4 – 4t + t 2 -. 26. f(x) = -----------------------------------------------------------------------------------1 1 --------------------- + --------------------t+ 2 2– t

–2

Если фунция f(x) определена на неотором промежуте [a; b], то в ачестве значений ее производных на онцах этоо промежута принимают значения левой производной на правом онце и правой — на левом онце.

-. 22. f(x) = -----------------------------------------------------------------------------3 –2 1  ( 1 – x 2 ) – 1/2 + 1 + -----------------------------------------  ( 1 – x 2 ) – 1/2 – 1  -. 23. f(x) = -------------------------------------------------------------------------------------------------------2 – x2 – 2 1 – x2

2x + 2 x 2 – 1

28. f(x) = -------------------------------------------------------------------1/3 .

x2

ln ( ax 2 + bx + c )

221

–1, –1,

x Ý [0; 1), x Ý (1; 2].

Та а левая и правая производные в точе x = 1 не совпадают, то в этой точе производная не существует; в ачестве значений f ′(x) на онцах промежута [0; 2] принимаем значения левой производной фунции (*) в точе x = 2 в правой производной фунции (*) в точе x = 0. Ответ. f ′(x) =

–1, –1,

x Ý [0; 1), x Ý (1; 2].

222

Г л а в а 9. Производная и ее применения Найдите производную фунции:




x–2 x–1 x–1–1

32. f(x) = x ------------------------------------ . 2

 1 1 2x ---  ------- + x  – 1 4 x  33. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------- . 2   1 1 1 1 2 ---  ------- + x  – 1 – ---  --- – x x 4 x 2   

35. f(x) =

x + 2 2x – 4 +

223

сими точами фунции y = f(x). Из определения ритичесой точи следует, что если производная фунции меняет зна, то это может произойти тольо при переходе через ритичесую точу. Таим образом, промежути убывания и возрастания (промежути монотонности) фунции f(x) ораничены ритичесими точами. Поэтому для нахождения промежутов монотонности фунции необходимо: 1) найти ритичесие точи фунции f(x); 2) определить зна производной f ′(x) внутри промежутов, ораниченных ритичесими точами.

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  34. f(x) = ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) -----2x


§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции

П р и м е р 1. Исследовать на возрастание фунцию f(x) = xe–3x. Р е ш е н и е. Находим производную x – 2 2x – 4 .

и

убывание

f ′(x) = e–3x – 3xe–3x = e–3x(1 – 3x). Производная f ′(x) существует всюду и обращается в нуль в точ1

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции Исследование фн ции на монотонность. Говорят, что фунция y = f(x) возрастает на промеж
те (a; b), если для любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) < f(x2). Говорят, что фунция y = f(x)
бывает на промеж
те (a; b), если для любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(x2). Фунции, возрастающие (убывающие) на промежуте (a; b), называют монотонными на этом промеж
те. Достаточные
словия монотонности ф
нции. Пусть фунция y = f(x) определена и дифференцируема на промежуте (a; b). Для тоо чтобы фунция была возрастающей на промежуте (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие f ′(x) > 0 при любом x Ý (a; b). Для тоо чтобы фунция была убывающей на промежуте (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие f ′(x) < 0 при любом x Ý (a; b). Точи, принадлежащие промежуту (a; b), в оторых производная равна нулю или не существует, называют ритиче-

е x = --3- . Эта точа делит числовую прямую на два промежута: 1  –×; 1 ---  и  --- ; +×  . Та а фунция e–3x вседа положи3    3

тельна, то зна производной определяется вторым сомножите1 лем. На промежуте  –×; --3-  выполняется неравенство f ′(x) > 0,   1 а на промежуте  --3- ; +×  — неравенство f ′(x) < 0.   1 Ответ. Фунция f(x) возрастает на промежуте  –×; --3-  1 и убывает на промежуте  --3- ; +×  .  

Исследуйте на возрастание и убывание фунцию: x2 – 2

1. f(x) = ----------------2x + 3 . 3

3. f(x) = --2- x – sin2 x. 2x – 1 (x – 1)

5. f(x) = --------------------2- .

x

2. f(x) = --------ln x .

4. f(x) = 2 ln (x – 2) – x2 + 4x + 1. 3 – x2

6. f(x) = --------------x .

222

Г л а в а 9. Производная и ее применения Найдите производную фунции:




x–2 x–1 x–1–1

32. f(x) = x ------------------------------------ . 2

 1 1 2x ---  ------- + x  – 1 4 x  33. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------- . 2   1 1 1 1 2 ---  ------- + x  – 1 – ---  --- – x x 4 x 2   

35. f(x) =

x + 2 2x – 4 +

223

сими точами фунции y = f(x). Из определения ритичесой точи следует, что если производная фунции меняет зна, то это может произойти тольо при переходе через ритичесую точу. Таим образом, промежути убывания и возрастания (промежути монотонности) фунции f(x) ораничены ритичесими точами. Поэтому для нахождения промежутов монотонности фунции необходимо: 1) найти ритичесие точи фунции f(x); 2) определить зна производной f ′(x) внутри промежутов, ораниченных ритичесими точами.

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  34. f(x) = ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) -----2x


§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции

П р и м е р 1. Исследовать на возрастание фунцию f(x) = xe–3x. Р е ш е н и е. Находим производную x – 2 2x – 4 .

и

убывание

f ′(x) = e–3x – 3xe–3x = e–3x(1 – 3x). Производная f ′(x) существует всюду и обращается в нуль в точ1

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции Исследование фн ции на монотонность. Говорят, что фунция y = f(x) возрастает на промеж
те (a; b), если для любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) < f(x2). Говорят, что фунция y = f(x)
бывает на промеж
те (a; b), если для любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(x2). Фунции, возрастающие (убывающие) на промежуте (a; b), называют монотонными на этом промеж
те. Достаточные
словия монотонности ф
нции. Пусть фунция y = f(x) определена и дифференцируема на промежуте (a; b). Для тоо чтобы фунция была возрастающей на промежуте (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие f ′(x) > 0 при любом x Ý (a; b). Для тоо чтобы фунция была убывающей на промежуте (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие f ′(x) < 0 при любом x Ý (a; b). Точи, принадлежащие промежуту (a; b), в оторых производная равна нулю или не существует, называют ритиче-

е x = --3- . Эта точа делит числовую прямую на два промежута: 1  –×; 1 ---  и  --- ; +×  . Та а фунция e–3x вседа положи3    3

тельна, то зна производной определяется вторым сомножите1 лем. На промежуте  –×; --3-  выполняется неравенство f ′(x) > 0,   1 а на промежуте  --3- ; +×  — неравенство f ′(x) < 0.   1 Ответ. Фунция f(x) возрастает на промежуте  –×; --3-  1 и убывает на промежуте  --3- ; +×  .  

Исследуйте на возрастание и убывание фунцию: x2 – 2

1. f(x) = ----------------2x + 3 . 3

3. f(x) = --2- x – sin2 x. 2x – 1 (x – 1)

5. f(x) = --------------------2- .

x

2. f(x) = --------ln x .

4. f(x) = 2 ln (x – 2) – x2 + 4x + 1. 3 – x2

6. f(x) = --------------x .

224

Г л а в а 9. Производная и ее применения


7. Найдите множество всех значений параметра a, при оторых фунция

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции Приравниваем производную f ′(x) нулю: 4x – 1 1 --- ----------------------------------- = 0. 2 2x 2 – x + 2

f(x) = sin 2x – 8(a – 1) sin x + (4a2 + 8a – 14)x является возрастающей и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.
8. Найдите всех значения параметра a, при оторых фунция y(x) = 8ax – a sin 6x – 7x – sin 5x

1

1

видно, что если x > --4- , то f ′(x) > 0, а если x < --4- , то f ′(x) < 0, 1

Исследование фн ции на э стремм. Говорят, что фунция y = f(x) имеет в точе x0 масим
м (или миним
м), если найдется таая δ-орестность точи x0, принадлежащая области определения фунции, что для всех x − x0, принадлежащих промежуту (x0 – δ; x0 + δ), выполняется неравенство f(x) < f(x0) (соответственно f(x) > f(x0)). Точи масимума и минимума называют точами эстрем
ма, а значения фунции в этих точах — эстремальными значениями. Необходимое
словие с
ществования эстрем
ма ф
нции. Пусть фунция f(x) дифференцируема на промежуте (a; b). Тода если в неоторой точе x0 Ý (a; b) фунция f(x) достиает эстремума, то f ′(x0) = 0. Достаточное
словие с
ществования эстрем
ма ф
нции. Пусть фунция определена и непрерывна на промежуте (a; b) и на всем промежуте (за ислючением, быть может, онечноо числа точе) дифференцируема. Тода если при переходе через ритичесую точу производная фунции меняет зна, то таая ритичесая точа является точой эстремума фунции: точой масимума, если зна меняется с плюса на минус, и точой минимума, если зна меняется с минуса на плюс.

1

с минуса на плюс. Следовательно, x0 = --4- — точа минимума, причем f(x0) =

15 ------ . Знаменатель выражения (*) положителен 8 1

при x Ý R. Ита, друих ритичесих точе, роме x = --4- , фунция f(x) не имеет. 1 Ответ. min f(x) = f  --4-  =   xÝR

15 ------ . 8

Найдите эстремумы данной фунции: ( x – 2 )2 ( x + 4 )

-. 19. f(x) = ---------------------------------------4 2

10. f(x) = x + sin 2x. 2x x +9

11. f(x) = xe x – x .

-. 12. f(x) = ---------------2

13. f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 5.

14. f(x) = --------ln x .

15. f(x) = 2x3 – 6x2 – 18x + 7.

-. 16. f(x) = -----------------------------x–1

x

x 2 – 2x + 2

С помощью исследования фунций на эстремум можно устанавливать справедливость неоторых трансцендентных неравенств. П р и м е р 3. Доазать, что при x − 0 справедливо неравенство ex – x > 1.

П р и м е р 2. Найти эстремум фунции 2x 2 – x + 2 .

Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию

Р е ш е н и е. Находим производную 4x – 1 1 -. f ′(x) = --2- ---------------------------------2x 2 – x + 2

1

Отсюда получаем ритичесую точу x0 = --4- . Из выражения (*)

т. е. при переходе через точу x0 = --4- производная меняет зна

возрастает и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.

f(x) =

225

(*)

f(x) = ex – 1 – x и найдем ее эстремум. Решив уравнение f′(x) = 0, т. е. уравнение ex – 1 = 0, получаем x = 0.

224

Г л а в а 9. Производная и ее применения


7. Найдите множество всех значений параметра a, при оторых фунция

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции Приравниваем производную f ′(x) нулю: 4x – 1 1 --- ----------------------------------- = 0. 2 2x 2 – x + 2

f(x) = sin 2x – 8(a – 1) sin x + (4a2 + 8a – 14)x является возрастающей и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.
8. Найдите всех значения параметра a, при оторых фунция y(x) = 8ax – a sin 6x – 7x – sin 5x

1

1

видно, что если x > --4- , то f ′(x) > 0, а если x < --4- , то f ′(x) < 0, 1

Исследование фн ции на э стремм. Говорят, что фунция y = f(x) имеет в точе x0 масим
м (или миним
м), если найдется таая δ-орестность точи x0, принадлежащая области определения фунции, что для всех x − x0, принадлежащих промежуту (x0 – δ; x0 + δ), выполняется неравенство f(x) < f(x0) (соответственно f(x) > f(x0)). Точи масимума и минимума называют точами эстрем
ма, а значения фунции в этих точах — эстремальными значениями. Необходимое
словие с
ществования эстрем
ма ф
нции. Пусть фунция f(x) дифференцируема на промежуте (a; b). Тода если в неоторой точе x0 Ý (a; b) фунция f(x) достиает эстремума, то f ′(x0) = 0. Достаточное
словие с
ществования эстрем
ма ф
нции. Пусть фунция определена и непрерывна на промежуте (a; b) и на всем промежуте (за ислючением, быть может, онечноо числа точе) дифференцируема. Тода если при переходе через ритичесую точу производная фунции меняет зна, то таая ритичесая точа является точой эстремума фунции: точой масимума, если зна меняется с плюса на минус, и точой минимума, если зна меняется с минуса на плюс.

1

с минуса на плюс. Следовательно, x0 = --4- — точа минимума, причем f(x0) =

15 ------ . Знаменатель выражения (*) положителен 8 1

при x Ý R. Ита, друих ритичесих точе, роме x = --4- , фунция f(x) не имеет. 1 Ответ. min f(x) = f  --4-  =   xÝR

15 ------ . 8

Найдите эстремумы данной фунции: ( x – 2 )2 ( x + 4 )

-. 19. f(x) = ---------------------------------------4 2

10. f(x) = x + sin 2x. 2x x +9

11. f(x) = xe x – x .

-. 12. f(x) = ---------------2

13. f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 5.

14. f(x) = --------ln x .

15. f(x) = 2x3 – 6x2 – 18x + 7.

-. 16. f(x) = -----------------------------x–1

x

x 2 – 2x + 2

С помощью исследования фунций на эстремум можно устанавливать справедливость неоторых трансцендентных неравенств. П р и м е р 3. Доазать, что при x − 0 справедливо неравенство ex – x > 1.

П р и м е р 2. Найти эстремум фунции 2x 2 – x + 2 .

Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию

Р е ш е н и е. Находим производную 4x – 1 1 -. f ′(x) = --2- ---------------------------------2x 2 – x + 2

1

Отсюда получаем ритичесую точу x0 = --4- . Из выражения (*)

т. е. при переходе через точу x0 = --4- производная меняет зна

возрастает и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.

f(x) =

225

(*)

f(x) = ex – 1 – x и найдем ее эстремум. Решив уравнение f′(x) = 0, т. е. уравнение ex – 1 = 0, получаем x = 0.

226

Г л а в а 9. Производная и ее применения

При x = 0 фунция f(x) достиает своео единственноо минимума, посольу производная f ′(x) при переходе через точу x = 0 меняет зна с минуса на плюс. Та а f(0) = 0, то при всех x − 0 справедливо неравенство f(x) > 0, т. е. ex – 1 – x > 0, или ex – x > 1, что и требовалось доазать.

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

то единственной ритичесой точой, принадлежащей заданному промежуту, является точа x = 4. Сравнивая значения фунции в этой точе со значениями фунции на онцах промежута, получаем

x3

x2

18. cos x > 1 – ----2

при

19. ln (1 + x) < x

при

x > 0.

т. е. наименьшее значение f(x) достиается в точе x = 4, а наибольшее — на левом онце промежута (при x = 1). Ответ. max f(x) = f(1) = 2 --8- ; x Ý [1; 6]

при x > 0.

x Ý [a; b]

f(x)). При отысании наибольшео или наименьшео

значения фунции может оазаться, что внутри промежута [a; b] производная существует во всех точах этоо промежута и ни в одной ео точе не обращается в нуль (т. е. ритичесие точи фунции отсутствуют). Это означает, что в рассматриваемом промежуте фунция возрастает или убывает и, следовательно, достиает наибольшео и наименьшео значений на онцах промежута. П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения x

3. f(x) = cos2 --2- sin x, 1

x

2

xÝ

π

0; --2-

1

1

.

5. f(x) = --2- – --4- sin 2x + --3- cos3 x – cos x,

xÝ

π

π

– --2- ; --2-

.

Инода при отысании наибольшео (наименьшео) значения фунции удобно использовать следующее свойство. Если непрерывную фунцию F(x) на промежуте [a; b] можно представить в виде F(x) = f(g(x)), де g(x) и f(y) — непрерывные фунции на промежутах x Ý [a; b] и y Ý [c; d] соответственно, c = min g(x), d = max g(x), то x Ý [a; b]

max F(x) =

x Ý [a; b]

x Ý [c; d]

max f(y)

x Ý [c; d]

и

min

x Ý [a; b]

F(x) =

min

x Ý [c; d]

f(y).

П р и м е р 2. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции

2

1

f(x) = f(4) = 1.

x Ý [0; π].

4. f(x) = --2- cos 2x + sin x,

sin 2x

фунции f(x) = --8- + --x- на промежуте [1; 6]. Р е ш е н и е. Та а f ′(x) = --8- – -----2- , x

min

x Ý [1; 6]

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на уазанном промежуте: 1. f(x) = x5 – x3 + x + 2, x Ý [–1; 1]. 2. f(x) = 3x4 + 4x3 + 1, x Ý [–2; 1]. x

Пусть фунция f(x) определена и непрерывна на онечном промежуте [a; b]. Для отысания наибольшео (наименьшео) значения фунции необходимо найти все масимумы (минимумы) фунции на промежуте (a; b), выбрать из них наибольший (наименьший) и сравнить ео со значениями фунции в точах a и b. Наибольшее (наименьшее) из этих чисел и является наибольшим (наименьшим) значением фунции f(x) на промежуте [a; b]; оно обозначается max f(x) (соответственно min

f(6) = 1 -----12 ,

1

x − 0.

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

x Ý [a; b]

1

1

f(1) = 2 --8- ,

f(4) = 1,

Доажите неравенство: 17. x – ----6 < sin x < x

227

F(x) = ----------------------------π sin  --- + x 4 

на промежуте

π

0; --2-

.

226

Г л а в а 9. Производная и ее применения

При x = 0 фунция f(x) достиает своео единственноо минимума, посольу производная f ′(x) при переходе через точу x = 0 меняет зна с минуса на плюс. Та а f(0) = 0, то при всех x − 0 справедливо неравенство f(x) > 0, т. е. ex – 1 – x > 0, или ex – x > 1, что и требовалось доазать.

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

то единственной ритичесой точой, принадлежащей заданному промежуту, является точа x = 4. Сравнивая значения фунции в этой точе со значениями фунции на онцах промежута, получаем

x3

x2

18. cos x > 1 – ----2

при

19. ln (1 + x) < x

при

x > 0.

т. е. наименьшее значение f(x) достиается в точе x = 4, а наибольшее — на левом онце промежута (при x = 1). Ответ. max f(x) = f(1) = 2 --8- ; x Ý [1; 6]

при x > 0.

x Ý [a; b]

f(x)). При отысании наибольшео или наименьшео

значения фунции может оазаться, что внутри промежута [a; b] производная существует во всех точах этоо промежута и ни в одной ео точе не обращается в нуль (т. е. ритичесие точи фунции отсутствуют). Это означает, что в рассматриваемом промежуте фунция возрастает или убывает и, следовательно, достиает наибольшео и наименьшео значений на онцах промежута. П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения x

3. f(x) = cos2 --2- sin x, 1

x

2

xÝ

π

0; --2-

1

1

.

5. f(x) = --2- – --4- sin 2x + --3- cos3 x – cos x,

xÝ

π

π

– --2- ; --2-

.

Инода при отысании наибольшео (наименьшео) значения фунции удобно использовать следующее свойство. Если непрерывную фунцию F(x) на промежуте [a; b] можно представить в виде F(x) = f(g(x)), де g(x) и f(y) — непрерывные фунции на промежутах x Ý [a; b] и y Ý [c; d] соответственно, c = min g(x), d = max g(x), то x Ý [a; b]

max F(x) =

x Ý [a; b]

x Ý [c; d]

max f(y)

x Ý [c; d]

и

min

x Ý [a; b]

F(x) =

min

x Ý [c; d]

f(y).

П р и м е р 2. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции

2

1

f(x) = f(4) = 1.

x Ý [0; π].

4. f(x) = --2- cos 2x + sin x,

sin 2x

фунции f(x) = --8- + --x- на промежуте [1; 6]. Р е ш е н и е. Та а f ′(x) = --8- – -----2- , x

min

x Ý [1; 6]

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на уазанном промежуте: 1. f(x) = x5 – x3 + x + 2, x Ý [–1; 1]. 2. f(x) = 3x4 + 4x3 + 1, x Ý [–2; 1]. x

Пусть фунция f(x) определена и непрерывна на онечном промежуте [a; b]. Для отысания наибольшео (наименьшео) значения фунции необходимо найти все масимумы (минимумы) фунции на промежуте (a; b), выбрать из них наибольший (наименьший) и сравнить ео со значениями фунции в точах a и b. Наибольшее (наименьшее) из этих чисел и является наибольшим (наименьшим) значением фунции f(x) на промежуте [a; b]; оно обозначается max f(x) (соответственно min

f(6) = 1 -----12 ,

1

x − 0.

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

x Ý [a; b]

1

1

f(1) = 2 --8- ,

f(4) = 1,

Доажите неравенство: 17. x – ----6 < sin x < x

227

F(x) = ----------------------------π sin  --- + x 4 

на промежуте

π

0; --2-

.

228

Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

Р е ш е н и е. Используя формулы π 2 sin  --4- + x  = -----2 (sin x + cos x),  

8. f(x) = tg x + ctg x, sin 2x = (sin x + cos x)2 – 1,




y2 – 1

2,

π

0; --2-

π

принадлежит тольо x = --4- .

π π Сравнивая значения g(0), g  --4-  и g  --2-  , залючаем, что об   

ласть изменения фунции g(x) есть промежуто [1; ференцируя, имеем f ′(y) =

 1  2  1 + -----2-  > 0 y  

Перейдем  отысанию наибольшео и наименьшео значений фунций, содержащих зна модуля. П р и м е р 3. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции (*) f(x) = | x2 – 5x + 6 | на промежуте [0; 2,4]. Р е ш е н и е. Чтобы расрыть модуль в выражении (*), найдем орни уравнения f(x) = 0. Решив уравнение x2 – 5x + 6 = 0, получаем x = 2, x = 3. Таим образом,

max

f(y) = f( 2 ) = 1,

y Ý [1; 2]

min

Ответ.

max

x Ý [0; π/2]

F(x) = 1,

min

f(x) =

x Ý [0; π/2]

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции: sin 2x π sin  --- + x  4 

6. f(x) = ------------------------------- , 1

xÝ

3π

π; -----2

.

f ′(x) =

1

x Ý R.

–(2x – 5, –(2x – 5),

x Ý [0; 2), x Ý (2; 2,4].

Если x Ý [0; 2), то f ′(x) < 0 и, следовательно, f(x) убывает, а если x Ý (2; 2,4], то f ′(x) > 0 и, значит, f(x) возрастает; точа x = 2 — ритичесая, та а производная f ′(x) в этой точе не существует. Сравнивая значения фунции на онцах промежута [0; 2,4] с ее значением в ритичесой точе, залючаем, что max

x Ý [0; 2,4]

- – ----------------------- , 7. f(x) = ----------------------cos x – 4 sin x + 4

–(x2 – 5x + 6, x Ý [0; 2], –(x2 – 5x + 6), x Ý (2; 2,4].

Найдем производную фунции f(x):

f(y) = f(1) = 0.

F(x) = 0.

(**)

Из формул (**) видно, что на исследуемом промежуте [0; 2,4] фунция f(x) допусает два представления в зависимости от значений арумента:

g Ý [1; 2]

Эти же значения являются наибольшим и наименьшим и для исходной фунции F(x).

–(x2 – 5x + 6, x Ý (–×; 2) Ÿ (3; +×); – (x2 – 5x + 6), x Ý [2; 3].

f(x) =

2 ]. Следовательно, фунция f(y) возрастает на проме-

жуте [1; 2 ] и достиает наибольшео и наименьшео значения соответственно на правом и левом онце промежута:




2 2 + cos x  f(x) =  ----------------------sin x 

2 ]. Диф-

на всей области определения фунции f(y), в том числе и при y Ý [1;

.

на промежуте [0; π].

g(x) = sin x + cos x.

Будем исать наибольшее и наименьшее значения фунции g(x). Критичесими точами этой фунции являются орни уравнения cos x – sin x = 0, из оторых промежуту

π π --- ; --6 3

9. Найдите наименьшее значение фунции

представим данную фунцию в виде сложной фунции F(x) = f(g(x)), де f(y) = --------------y

xÝ

229

Ответ.

f(x) = f(0) = 6,

max

x Ý [0; 2,4]

min

x Ý [0; 2,4]

f(x) = f(0) = 6,

f(x) = f(2) = 0.

min

x Ý [0; 2,4]

f(x) = f(2) = 0.

228

Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

Р е ш е н и е. Используя формулы π 2 sin  --4- + x  = -----2 (sin x + cos x),  

8. f(x) = tg x + ctg x, sin 2x = (sin x + cos x)2 – 1,




y2 – 1

2,

π

0; --2-

π

принадлежит тольо x = --4- .

π π Сравнивая значения g(0), g  --4-  и g  --2-  , залючаем, что об   

ласть изменения фунции g(x) есть промежуто [1; ференцируя, имеем f ′(y) =

 1  2  1 + -----2-  > 0 y  

Перейдем  отысанию наибольшео и наименьшео значений фунций, содержащих зна модуля. П р и м е р 3. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции (*) f(x) = | x2 – 5x + 6 | на промежуте [0; 2,4]. Р е ш е н и е. Чтобы расрыть модуль в выражении (*), найдем орни уравнения f(x) = 0. Решив уравнение x2 – 5x + 6 = 0, получаем x = 2, x = 3. Таим образом,

max

f(y) = f( 2 ) = 1,

y Ý [1; 2]

min

Ответ.

max

x Ý [0; π/2]

F(x) = 1,

min

f(x) =

x Ý [0; π/2]

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции: sin 2x π sin  --- + x  4 

6. f(x) = ------------------------------- , 1

xÝ

3π

π; -----2

.

f ′(x) =

1

x Ý R.

–(2x – 5, –(2x – 5),

x Ý [0; 2), x Ý (2; 2,4].

Если x Ý [0; 2), то f ′(x) < 0 и, следовательно, f(x) убывает, а если x Ý (2; 2,4], то f ′(x) > 0 и, значит, f(x) возрастает; точа x = 2 — ритичесая, та а производная f ′(x) в этой точе не существует. Сравнивая значения фунции на онцах промежута [0; 2,4] с ее значением в ритичесой точе, залючаем, что max

x Ý [0; 2,4]

- – ----------------------- , 7. f(x) = ----------------------cos x – 4 sin x + 4

–(x2 – 5x + 6, x Ý [0; 2], –(x2 – 5x + 6), x Ý (2; 2,4].

Найдем производную фунции f(x):

f(y) = f(1) = 0.

F(x) = 0.

(**)

Из формул (**) видно, что на исследуемом промежуте [0; 2,4] фунция f(x) допусает два представления в зависимости от значений арумента:

g Ý [1; 2]

Эти же значения являются наибольшим и наименьшим и для исходной фунции F(x).

–(x2 – 5x + 6, x Ý (–×; 2) Ÿ (3; +×); – (x2 – 5x + 6), x Ý [2; 3].

f(x) =

2 ]. Следовательно, фунция f(y) возрастает на проме-

жуте [1; 2 ] и достиает наибольшео и наименьшео значения соответственно на правом и левом онце промежута:




2 2 + cos x  f(x) =  ----------------------sin x 

2 ]. Диф-

на всей области определения фунции f(y), в том числе и при y Ý [1;

.

на промежуте [0; π].

g(x) = sin x + cos x.

Будем исать наибольшее и наименьшее значения фунции g(x). Критичесими точами этой фунции являются орни уравнения cos x – sin x = 0, из оторых промежуту

π π --- ; --6 3

9. Найдите наименьшее значение фунции

представим данную фунцию в виде сложной фунции F(x) = f(g(x)), де f(y) = --------------y

xÝ

229

Ответ.

f(x) = f(0) = 6,

max

x Ý [0; 2,4]

min

x Ý [0; 2,4]

f(x) = f(0) = 6,

f(x) = f(2) = 0.

min

x Ý [0; 2,4]

f(x) = f(2) = 0.

230

Г л а в а 9. Производная и ее применения

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на уазанном промежуте: 1+x

10. f(x) = ------------1–x ,

x Ý [–2; 0].

11. f(x) = 1 – 2x + + 1 + 2x + а) x Ý [0; 2]; б) x Ý [–2; 0]. 1 – 2x + x 2 –

x2

,

1 + 2x + x 2 , x Ý (–×; +×). 3

13. f(x) = |x2 + 2x – 3 | + --2- ln x,

1 --- ; 4 . 2

xÝ

14. Найдите точи минимума фунции f(x) = 4x3 – x|x – 2|,




x ( 10 – x ) .

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции f(x) = (x – 1)2 x 2 – 2x + 3 ,

x Ý [0; 3].

17. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции y = |x2 + x| + |x2 + 5x + 6| на отрезе

5

1

– --2- ; --2-

орнями отороо являются x1 = 1, x2 = –1. Сравнивая значения фунции f(x) в ритичесих точах и на онцах промежута, получаем max

x Ý [–1; 3]

min

f(x) = f(3) = 72,

x Ý [–1; 3]

f(x) = f(1) = –8.

Следовательно, образ промежута [–1; 3] при отображении, заданном исходной фунцией, есть промежуто [–8; 72]. Ответ. [–8; 72]. 18. Найдите множество, на оторое отображает луч [1; +×) производная фунции f(x) = x(ln x – 1). 19. Найдите образ промежута [0; 0,5] при отображении, заданном производной фунции f(x) = tg 3x. 20. Найдите пересечение множеств, на оторые отображаетx+3

ся промежуто [0; 1] производными фунций y1 = ------------x–5 и

y2 = 3 6x + 5 .
21. В аой промежуто переводит числовую прямую фунx–1 x – 3x + 3

-? ция y = -----------------------------2

22. Найдите множество значений фунции:

.

В условиях неоторых задач не формулируется явно, что требуется найти наибольшее и наименьшее значения и эстремумы фунции. К таим задачам относятся, например, задачи, связанные с нахождением множества значений фунций. П р и м е р 4. Найти образ промежута [–1; 3] при отображении, заданном фунцией f(x) = 4x3 – 12x. Р е ш е н и е. Для нахождения образа данноо промежута нужно найти множество значений фунции f(x) при x Ý [–1; 3], оторое в силу непрерывности исходной фунции представляет собой промежуто

зом, задача сводится  отысанию наибольшео и наименьшео значений фунции f(x) на промежуте [–1; 3]. Критичесие точи фунции f(x) находим из уравнения

x Ý [0; 3],

и ее наибольшее значение на этом промежуте. 15. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции f(x) =

231

12x2 – 12 = 0,

x2

12. f(x) =

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

min

x Ý [–1; 3]

f(x);

max

x Ý [–1; 3]

f(x) . Таим обра-

x2 x +1

-; а) y = ---------------4


x x +1

-. б) y = ---------------2

23. Доажите справедливость неравенства 1 x ------------------- m --------------- . ax 2 + b 2 ab


24. Доажите, что для фунции f(x) = cos x sin 2x справедливо неравенство

min

x Ý [–π; π]

7

f(x) > – --9- .


25. Доажите, что для фунции f(x) = sin x sin 2x выполнено неравенство max f(x) < 0,77.

x Ý [–π; π]

230

Г л а в а 9. Производная и ее применения

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на уазанном промежуте: 1+x

10. f(x) = ------------1–x ,

x Ý [–2; 0].

11. f(x) = 1 – 2x + + 1 + 2x + а) x Ý [0; 2]; б) x Ý [–2; 0]. 1 – 2x + x 2 –

x2

,

1 + 2x + x 2 , x Ý (–×; +×). 3

13. f(x) = |x2 + 2x – 3 | + --2- ln x,

1 --- ; 4 . 2

xÝ

14. Найдите точи минимума фунции f(x) = 4x3 – x|x – 2|,




x ( 10 – x ) .

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции f(x) = (x – 1)2 x 2 – 2x + 3 ,

x Ý [0; 3].

17. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции y = |x2 + x| + |x2 + 5x + 6| на отрезе

5

1

– --2- ; --2-

орнями отороо являются x1 = 1, x2 = –1. Сравнивая значения фунции f(x) в ритичесих точах и на онцах промежута, получаем max

x Ý [–1; 3]

min

f(x) = f(3) = 72,

x Ý [–1; 3]

f(x) = f(1) = –8.

Следовательно, образ промежута [–1; 3] при отображении, заданном исходной фунцией, есть промежуто [–8; 72]. Ответ. [–8; 72]. 18. Найдите множество, на оторое отображает луч [1; +×) производная фунции f(x) = x(ln x – 1). 19. Найдите образ промежута [0; 0,5] при отображении, заданном производной фунции f(x) = tg 3x. 20. Найдите пересечение множеств, на оторые отображаетx+3

ся промежуто [0; 1] производными фунций y1 = ------------x–5 и

y2 = 3 6x + 5 .
21. В аой промежуто переводит числовую прямую фунx–1 x – 3x + 3

-? ция y = -----------------------------2

22. Найдите множество значений фунции:

.

В условиях неоторых задач не формулируется явно, что требуется найти наибольшее и наименьшее значения и эстремумы фунции. К таим задачам относятся, например, задачи, связанные с нахождением множества значений фунций. П р и м е р 4. Найти образ промежута [–1; 3] при отображении, заданном фунцией f(x) = 4x3 – 12x. Р е ш е н и е. Для нахождения образа данноо промежута нужно найти множество значений фунции f(x) при x Ý [–1; 3], оторое в силу непрерывности исходной фунции представляет собой промежуто

зом, задача сводится  отысанию наибольшео и наименьшео значений фунции f(x) на промежуте [–1; 3]. Критичесие точи фунции f(x) находим из уравнения

x Ý [0; 3],

и ее наибольшее значение на этом промежуте. 15. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции f(x) =

231

12x2 – 12 = 0,

x2

12. f(x) =

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

min

x Ý [–1; 3]

f(x);

max

x Ý [–1; 3]

f(x) . Таим обра-

x2 x +1

-; а) y = ---------------4


x x +1

-. б) y = ---------------2

23. Доажите справедливость неравенства 1 x ------------------- m --------------- . ax 2 + b 2 ab


24. Доажите, что для фунции f(x) = cos x sin 2x справедливо неравенство

min

x Ý [–π; π]

7

f(x) > – --9- .


25. Доажите, что для фунции f(x) = sin x sin 2x выполнено неравенство max f(x) < 0,77.

x Ý [–π; π]

232


Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции


π

26. Доажите, что при x Ý 0; --2-

справедливо неравен-

34. Найдите наименьшее значение a, при отором уравнение 1 4 ------------- + ----------------------- = a 1 – sin x sin x

ство cos x sin x m 21/2 · 3–3/4. 27. Доажите, что при x Ý 1m


3

3 --- ; 2 4

x2 ----------------- m 2x – 1

справедливо неравенство

3

4 --- . 3

28. Поажите, что при любых действительных значениях x x2 + x + 1 x +1

- не может принимать значений, больфунция y = --------------------------2 1 3 ших --2- , и значений, меньших --2- .
29. Найдите все a, при оторых имеется хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющих условиям

x2 + (y + 3)2 < 4,

y = 2ax2.


30. Сумма третьео и девятоо членов арифметичесой прорессии равна наименьшему значению вадратноо трехчлена 2x2 – 4x + 10. Найдите сумму 11 первых членов прорессии.
31. При аом значении параметра a значения фунции

y = x3 – 6x2 + 9x + a в точе x = 2 и в точах эстремума, взятые в неотором поряде, являются членами еометричесой прорессии? 32. Сумма членов бесонечно убывающей еометричесой прорессии равна наибольшему значению фунции f(x) = x3 + + 3x – 9 на промежуте [–2; 3]; разность между первым и вторым членами прорессии равна f ′(0). Найдите знаменатель прорессии. 33. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорессии равна наименьшему значению фунции 25

f(x) = 3x2 – x + -----12 , а первый член прорессии равен вадрату ее знаменателя. Найдите знаменатель прорессии.

233

π имеет на промежуте  0; --2-  хотя бы одно решение.


35. Доажите, что фунция 1 z =  x + --x-   

2

1 +  y + --y-   

2

не может принимать значений, меньших чем 12,5, если x > 0, y > 0, x + y = 1.
36. Поажите, что фунция z = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 2 не может принимать значений, меньших чем (–3).
37. При аом значении a сумма вадратов орней уравнения x2 – (a – 2)x – a – 1 = 0 принимает наименьшее значение?
38. Доажите, что при всех значениях x Ý R имеет место неравенство 1

1

x

– --2- m ----------------2- m --2- . 1+x 39. Доажите, что на промежуте 3

– --2- ; 10 –3

log 5 6

25 +

справедливо неравенство 0 m 2x + 40. Доажите, что при α Ý

3

π

0; --3-

log 7 8

49

x 2 m 1. справедливо неравенство

4 3 1 1 -------------------------------- + ------------------------------- l ----------- . 3 π π     sin  --- – α  sin  --- + α  3 3

41. Доажите, что при всех x и y справедливо неравенство 2 x y

x4 + y4 + -----------2 2 l 4.

232


Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции


π

26. Доажите, что при x Ý 0; --2-

справедливо неравен-

34. Найдите наименьшее значение a, при отором уравнение 1 4 ------------- + ----------------------- = a 1 – sin x sin x

ство cos x sin x m 21/2 · 3–3/4. 27. Доажите, что при x Ý 1m


3

3 --- ; 2 4

x2 ----------------- m 2x – 1

справедливо неравенство

3

4 --- . 3

28. Поажите, что при любых действительных значениях x x2 + x + 1 x +1

- не может принимать значений, больфунция y = --------------------------2 1 3 ших --2- , и значений, меньших --2- .
29. Найдите все a, при оторых имеется хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющих условиям

x2 + (y + 3)2 < 4,

y = 2ax2.


30. Сумма третьео и девятоо членов арифметичесой прорессии равна наименьшему значению вадратноо трехчлена 2x2 – 4x + 10. Найдите сумму 11 первых членов прорессии.
31. При аом значении параметра a значения фунции

y = x3 – 6x2 + 9x + a в точе x = 2 и в точах эстремума, взятые в неотором поряде, являются членами еометричесой прорессии? 32. Сумма членов бесонечно убывающей еометричесой прорессии равна наибольшему значению фунции f(x) = x3 + + 3x – 9 на промежуте [–2; 3]; разность между первым и вторым членами прорессии равна f ′(0). Найдите знаменатель прорессии. 33. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорессии равна наименьшему значению фунции 25

f(x) = 3x2 – x + -----12 , а первый член прорессии равен вадрату ее знаменателя. Найдите знаменатель прорессии.

233

π имеет на промежуте  0; --2-  хотя бы одно решение.


35. Доажите, что фунция 1 z =  x + --x-   

2

1 +  y + --y-   

2

не может принимать значений, меньших чем 12,5, если x > 0, y > 0, x + y = 1.
36. Поажите, что фунция z = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 2 не может принимать значений, меньших чем (–3).
37. При аом значении a сумма вадратов орней уравнения x2 – (a – 2)x – a – 1 = 0 принимает наименьшее значение?
38. Доажите, что при всех значениях x Ý R имеет место неравенство 1

1

x

– --2- m ----------------2- m --2- . 1+x 39. Доажите, что на промежуте 3

– --2- ; 10 –3

log 5 6

25 +

справедливо неравенство 0 m 2x + 40. Доажите, что при α Ý

3

π

0; --3-

log 7 8

49

x 2 m 1. справедливо неравенство

4 3 1 1 -------------------------------- + ------------------------------- l ----------- . 3 π π     sin  --- – α  sin  --- + α  3 3

41. Доажите, что при всех x и y справедливо неравенство 2 x y

x4 + y4 + -----------2 2 l 4.

234


Г л а в а 9. Производная и ее применения

42. Доажите справедливость неравенства

Промежуто изменения арумента определим из условия положительности всех слааемых. Решив систему неравенств

1

43. Доажите, что --4- < sin6 x + cos6 x m 1. 44. Доажите, что при x Ý

2 0; --3-

справедливо неравенство

им образом, задача сводится  нахождению минимума фун13  ции S(x) на промежуте  0; -----2  . Единственная ритичесая 

45. Сольо орней на отрезе [0; 1] имеет уравнение 8x(2x2 – 1) (4x4 – 8x2 + 1) = 1? 46. При аих значениях p и q рафи убичесой параболы y = x3 + px + q асается оси Ox? 47. При аом условии уравнение x3 + px + q = 0 имеет: а) один действительный орень; б) три действительных орня?

13  промежуте (0; 4) и возрастает на промежуте  4; -----2  . Ита, 

Ответ. 26 = 4 + 12 + 10.

Для решения задачи на отысание наибольшео (наименьшео) значения сначала следует, используя условия задачи, составить фунцию f(x) и определить промежуто изменения ее арумента, а затем найти наибольшее (наименьшее) значение этой фунции на полученном промежуте. П р и м е р 1. Представить число 26 в виде суммы трех положительных слааемых, сумма вадратов оторых наименьшая, если известно, что второе слааемое втрое больше первоо. Р е ш е н и е. Обозначим неизвестные слааемые через x, y, z. По условию эти неизвестные удовлетворяют системе уравнений (*)

Используя уравнения (*), выразим неизвестные y и z через x: z = 26 – 4x.

точа фунции S(x) на уазанном промежуте — это точа x = 4. При переходе через эту точу производная фунции S(x) меняет зна с минуса на плюс, следовательно, S(x) убывает на

при x = 4 фунция S(x) достиает минимума. Подставляя x = 4 в уравнения (**), находим значения остальных неизвестных.

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции

y = 3x,

x > 0, 26 – 4x > 0, 13  получаем, что исомым промежутом является  0; -----2  . Та-

11 3 2 e . 5e1/3 < (3x2 – 7x + 7)ex < -----3

x + y + z = 26, y = 3x.

235

Составим теперь фунцию, минимум оторой требуется найти: S(x) = x2 + 9x2 + (26 – 4x)2.

9 + 85 9 – 85 – 2x + 3 --------------------- < ---------------------------------- < --------------------- . 2 2 x 2 + 6x + 10


§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

(**)

1. Число 18 представьте в виде суммы двух положительных слааемых та, чтобы сумма их вадратов была наименьшей. 2. Число 36 представьте в виде произведения двух сомножителей та, чтобы сумма их вадратов была наименьшей. 3. Число 180 представьте в виде суммы трех положительных слааемых та, чтобы два из них относились а 1 : 2, а произведение всех трех слааемых было наибольшим. 4. Данное положительное число a представьте в виде суммы двух положительных слааемых та, чтобы их произведение было наибольшим.
5. Парабола y = x2 + p + q пересеает прямую y = 2x – 3 в точе с абсциссой 1. При аих p и q расстояние от вершины параболы до оси Ox минимально? Найдите это расстояние. 6. Найдите наименьшее из расстояний от точи M с оординатами (0; –2) до таих точе (x; y), что 16

y = -------------3- – 2, 3x

x > 0.

234


Г л а в а 9. Производная и ее применения

42. Доажите справедливость неравенства

Промежуто изменения арумента определим из условия положительности всех слааемых. Решив систему неравенств

1

43. Доажите, что --4- < sin6 x + cos6 x m 1. 44. Доажите, что при x Ý

2 0; --3-

справедливо неравенство

им образом, задача сводится  нахождению минимума фун13  ции S(x) на промежуте  0; -----2  . Единственная ритичесая 

45. Сольо орней на отрезе [0; 1] имеет уравнение 8x(2x2 – 1) (4x4 – 8x2 + 1) = 1? 46. При аих значениях p и q рафи убичесой параболы y = x3 + px + q асается оси Ox? 47. При аом условии уравнение x3 + px + q = 0 имеет: а) один действительный орень; б) три действительных орня?

13  промежуте (0; 4) и возрастает на промежуте  4; -----2  . Ита, 

Ответ. 26 = 4 + 12 + 10.

Для решения задачи на отысание наибольшео (наименьшео) значения сначала следует, используя условия задачи, составить фунцию f(x) и определить промежуто изменения ее арумента, а затем найти наибольшее (наименьшее) значение этой фунции на полученном промежуте. П р и м е р 1. Представить число 26 в виде суммы трех положительных слааемых, сумма вадратов оторых наименьшая, если известно, что второе слааемое втрое больше первоо. Р е ш е н и е. Обозначим неизвестные слааемые через x, y, z. По условию эти неизвестные удовлетворяют системе уравнений (*)

Используя уравнения (*), выразим неизвестные y и z через x: z = 26 – 4x.

точа фунции S(x) на уазанном промежуте — это точа x = 4. При переходе через эту точу производная фунции S(x) меняет зна с минуса на плюс, следовательно, S(x) убывает на

при x = 4 фунция S(x) достиает минимума. Подставляя x = 4 в уравнения (**), находим значения остальных неизвестных.

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции

y = 3x,

x > 0, 26 – 4x > 0, 13  получаем, что исомым промежутом является  0; -----2  . Та-

11 3 2 e . 5e1/3 < (3x2 – 7x + 7)ex < -----3

x + y + z = 26, y = 3x.

235

Составим теперь фунцию, минимум оторой требуется найти: S(x) = x2 + 9x2 + (26 – 4x)2.

9 + 85 9 – 85 – 2x + 3 --------------------- < ---------------------------------- < --------------------- . 2 2 x 2 + 6x + 10


§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

(**)

1. Число 18 представьте в виде суммы двух положительных слааемых та, чтобы сумма их вадратов была наименьшей. 2. Число 36 представьте в виде произведения двух сомножителей та, чтобы сумма их вадратов была наименьшей. 3. Число 180 представьте в виде суммы трех положительных слааемых та, чтобы два из них относились а 1 : 2, а произведение всех трех слааемых было наибольшим. 4. Данное положительное число a представьте в виде суммы двух положительных слааемых та, чтобы их произведение было наибольшим.
5. Парабола y = x2 + p + q пересеает прямую y = 2x – 3 в точе с абсциссой 1. При аих p и q расстояние от вершины параболы до оси Ox минимально? Найдите это расстояние. 6. Найдите наименьшее из расстояний от точи M с оординатами (0; –2) до таих точе (x; y), что 16

y = -------------3- – 2, 3x

x > 0.

236

Г л а в а 9. Производная и ее применения

7. В семент параболы y2 = 2px, отсеаемый прямой x = 2a, впишите прямоуольни наибольшей площади. П р и м е р 2. Найти высоту оничесой ворони наибольшео объема, если образующая ворони равна l. Р е ш е н и е. Объем онуса, радиус основания отороо равен R, а высота равна H, вычисляется по формуле 1

V = --3- πR2H. Соласно теореме Пифаора, R и H связаны равенством R2 + H2 = l2. Воспользовавшись этим равенством, выразим V а фунцию одной переменной H:

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

площадь этоо прямоуольниа, если основания трапеции равны 6 и 10 см. Р е ш е н и е. Возможны два случая: первый — вершина P прямоуольниа лежит на боовой стороне CD трапеции (рис. 15); второй — вершина P лежит на основании BC трапеции. В первом случае обозначим стороны прямоуольниа AQ = x и AK = y. Составим уравнение, связывающее неизвестные x и y. Для этоо проведем отрезо BL, параллельный стороне CD (рис. 15), и рассмотрим два прямоуольных треуольниа BAL и PQD. Катеты этих треуольниов равны соответственно AB = 8, AL = 4, QD = 10 – x, PQ = y. Исомое уравнение запишем, используя подобие B C треуольниов BAL и PQD: y ----------------- = 2, 10 – x

1 V = --3- π(l2 – H2)H.

или y = 20 – 2x.

Площадь прямоуольниа AKPQ выразится фунцией

Решив уравнение π

V ′(H) = --3- (l2 – 3H2) = 0,

S(x) = x(20 – 2x). l 3

находим две ритичесие точи фунции V(H): H1 = ------- , l 3

H2 = – ------- , из оторых тольо точа H1 принадлежит промежуту (0; l). При переходе через точу H1 производная V ′(H) = π

= --3- (l2 – 3H2) меняет зна с плюса на минус, и, следовательно,  l  на промежуте  0; -------  фунция V(H) возрастает, а на проме3     l l жуте  ------- ; l  убывает. Ита, H = ------- — высота онуса наи3  3  большео объема при заданной длине образующей l. l 3

Ответ. ------- . П р и м е р 3. В трапецию ABCD, боовая сторона AB оторой имеет длину 8 см и перпендиулярна основанию, вписать прямоуольни наибольшей площади та, чтобы одна из ео сторон лежала на большем основании трапеции. Вычислить

237

P

K A

L

Q D

Рис. 15

Интервал изменения x найдем из условия, что точа Q — проеция точи P, лежащей на стороне CD, и, значит, x l 6. Таим образом, задача сводится  отысанию наименьшео значения фунции S(x) на промежуте [6; 10]. Единственной ритичесой точой фунции S(x) является точа x = 5, но она не принадлежит уазанному промежуту. Следовательно, производная фунции S(x) не меняет зна на этом промежуте. Вычислив производную S ′(x) в произвольной точе промежута [6; 10], убеждаемся, что она отрицательна. Ита, наибольшее значение фунции S(x) достиается в левом онце промежута, т. е. max S(x) = S(6) = 48 см2. x Ý [6; 10]

Рассмотрим теперь второй случай. В этом случае площади прямоуольниов не превосходят 48 см2, та а при одинаовой боовой стороне, равной 8 см, длины их оснований не моут быть больше 6 см. Ответ. 48 см2. 8. Из всех онусов, вписанных в шар радиуса R, найдите тот, у отороо площадь боовой поверхности наибольшая. 9. Определите размеры цилиндра, имеющео наибольший объем, если площадь ео полной поверхности равна 2π.

236

Г л а в а 9. Производная и ее применения

7. В семент параболы y2 = 2px, отсеаемый прямой x = 2a, впишите прямоуольни наибольшей площади. П р и м е р 2. Найти высоту оничесой ворони наибольшео объема, если образующая ворони равна l. Р е ш е н и е. Объем онуса, радиус основания отороо равен R, а высота равна H, вычисляется по формуле 1

V = --3- πR2H. Соласно теореме Пифаора, R и H связаны равенством R2 + H2 = l2. Воспользовавшись этим равенством, выразим V а фунцию одной переменной H:

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

площадь этоо прямоуольниа, если основания трапеции равны 6 и 10 см. Р е ш е н и е. Возможны два случая: первый — вершина P прямоуольниа лежит на боовой стороне CD трапеции (рис. 15); второй — вершина P лежит на основании BC трапеции. В первом случае обозначим стороны прямоуольниа AQ = x и AK = y. Составим уравнение, связывающее неизвестные x и y. Для этоо проведем отрезо BL, параллельный стороне CD (рис. 15), и рассмотрим два прямоуольных треуольниа BAL и PQD. Катеты этих треуольниов равны соответственно AB = 8, AL = 4, QD = 10 – x, PQ = y. Исомое уравнение запишем, используя подобие B C треуольниов BAL и PQD: y ----------------- = 2, 10 – x

1 V = --3- π(l2 – H2)H.

или y = 20 – 2x.

Площадь прямоуольниа AKPQ выразится фунцией

Решив уравнение π

V ′(H) = --3- (l2 – 3H2) = 0,

S(x) = x(20 – 2x). l 3

находим две ритичесие точи фунции V(H): H1 = ------- , l 3

H2 = – ------- , из оторых тольо точа H1 принадлежит промежуту (0; l). При переходе через точу H1 производная V ′(H) = π

= --3- (l2 – 3H2) меняет зна с плюса на минус, и, следовательно,  l  на промежуте  0; -------  фунция V(H) возрастает, а на проме3     l l жуте  ------- ; l  убывает. Ита, H = ------- — высота онуса наи3  3  большео объема при заданной длине образующей l. l 3

Ответ. ------- . П р и м е р 3. В трапецию ABCD, боовая сторона AB оторой имеет длину 8 см и перпендиулярна основанию, вписать прямоуольни наибольшей площади та, чтобы одна из ео сторон лежала на большем основании трапеции. Вычислить

237

P

K A

L

Q D

Рис. 15

Интервал изменения x найдем из условия, что точа Q — проеция точи P, лежащей на стороне CD, и, значит, x l 6. Таим образом, задача сводится  отысанию наименьшео значения фунции S(x) на промежуте [6; 10]. Единственной ритичесой точой фунции S(x) является точа x = 5, но она не принадлежит уазанному промежуту. Следовательно, производная фунции S(x) не меняет зна на этом промежуте. Вычислив производную S ′(x) в произвольной точе промежута [6; 10], убеждаемся, что она отрицательна. Ита, наибольшее значение фунции S(x) достиается в левом онце промежута, т. е. max S(x) = S(6) = 48 см2. x Ý [6; 10]

Рассмотрим теперь второй случай. В этом случае площади прямоуольниов не превосходят 48 см2, та а при одинаовой боовой стороне, равной 8 см, длины их оснований не моут быть больше 6 см. Ответ. 48 см2. 8. Из всех онусов, вписанных в шар радиуса R, найдите тот, у отороо площадь боовой поверхности наибольшая. 9. Определите размеры цилиндра, имеющео наибольший объем, если площадь ео полной поверхности равна 2π.

238

Г л а в а 9. Производная и ее применения


10. Среди всех прямоуольных треуольниов площади S найдите таой, для отороо площадь описанноо руа наименьшая.
11. В полуру радиуса R вписана трапеция ABCD та, что ее основание AD является диаметром, а вершины B и C лежат на оружности. Каова величина ула ϕ при основании той трапеции, оторая имеет наибольший периметр?
12. Из всех треуольниов с одинаовым основанием и одним и тем же улом α при вершине найдите треуольни с наибольшим периметром. 13. В равнобедренный треуольни ABC вписан прямоуольни, две вершины отороо лежат на основании AB, а две друие — на сторонах AC и BC. Найдите наибольшее значение площади прямоуольниа, если AB = 12, BD = 10, де BD — высота треуольниа ABC. 14. Рассматриваются всевозможные трапеции, обе боовые стороны и меньшее основание оторых равны a. Найдите величину большео основания трапеции, имеющей наибольшую площадь. 15. Длина стороны вадрата ABCD равна 10 см. На ео сторонах отложены отрези AA1, BB1, CC1, DD1 длины x аждый, причем A1 Ý AB, B1 Ý BC, C1 Ý CD, D1 Ý DA. Доажите, что четырехуольни A1B1C1D1 — вадрат, и найдите значение x, при отором площадь этоо вадрата наименьшая. 16. В оружность радиуса R вписан равнобедренный треуольни. При аом значении ула α при вершине треуольниа высота H, проведенная  боовой стороне, имеет наибольшую длину? Найдите эту длину.
17. Каим должен быть уол α при вершине равнобедренноо треуольниа заданной площади S, чтобы радиус r вписанноо в этот треуольни руа был наибольшим?

В тех случаях, ода тело участвует в двух независимых движениях, ео путь (или проеция пути на неоторое направление) является фунцией двух или более переменных, связь между оторыми устанавливается из физичесих соображений. 18. Туристу требуется попасть на противоположный бере реи. Под аим улом α ему следует направить лоду, чтобы добиться наименьшео сноса, если сорость лоди равна vл, а сорость реи равна vр?

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

239

19. Тело бросают под улом α  оризонту со соростью v0. При аом значении ула α дальность полета тела оажется наибольшей?
20. Определите наименьшую высоту h = OB двери вертиальной башни ABCD, чтобы через эту дверь в башню можно было внести жестий стержень длины l; онец стержня сользит вдоль оризонтальной прямой, на оторой находится основание башни AB. Ширина башни AB = d < l. 21. На странице тест должен занимать 384 см2. Верхние и нижние поля должны быть по 3 см, а правое и левое — по 2 см. Если принять во внимание тольо эономию бумаи, то аовы должны быть оптимальные размеры страницы? 22. Из рулоо бревна диаметра d требуется вырезать балу прямоуольноо сечения. Каовы должны быть ширина x и высота y этоо сечения, чтобы бала оазывала наибольшее сопротивление: а) на сжатие; б) на изиб? (Сопротивление бали на сжатие пропорционально площади ее поперечноо сечения, а на изиб — произведению ширины этоо сечения на вадрат ео высоты.) 23. Лампа висит над центром рулоо стола радиуса r. При аой высоте h лампы над столом освещенность предмета, лежащео на раю стола, будет наилучшей? (Освещенность прямо пропорциональна осинусу ула падения луча света и обратно пропорциональна вадрату расстояния от источниа света.) 24. Требуется устроить прямоуольную площаду та, чтобы с трех сторон она была оорожена сетой, а четвертой стороной примыала  длинной аменной стене. Каова наивыоднейшая (в смысле площади) форма площади, если имеется l поонных метров сети? 25. На прямолинейном отрезе AB, длина отороо равна a, соединяющем источнии света A (силой p) и B (силой q), найдите точу M, освещаемую слабее всео. (Освещенность обратно пропорциональна вадрату расстояния от источниа света.)
26. Лода находится на расстоянии 3 м от ближайшео пунта A береа. Пассажир лоди желает достинуть пунта B, находящеося на береу в 5 м от A. Лода движется со соростью 4 м/ч, а пассажир, выйдя из лоди, может в час пройти 5 м. К аому пунту береа должна прибыть лода, чтобы пассажир дости пунта B в ратчайшее время?
27. Дождевая апля, начальная масса оторой m0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь та, что убыль массы пропорциональна времени (оэффициент пропорциональ-

238

Г л а в а 9. Производная и ее применения


10. Среди всех прямоуольных треуольниов площади S найдите таой, для отороо площадь описанноо руа наименьшая.
11. В полуру радиуса R вписана трапеция ABCD та, что ее основание AD является диаметром, а вершины B и C лежат на оружности. Каова величина ула ϕ при основании той трапеции, оторая имеет наибольший периметр?
12. Из всех треуольниов с одинаовым основанием и одним и тем же улом α при вершине найдите треуольни с наибольшим периметром. 13. В равнобедренный треуольни ABC вписан прямоуольни, две вершины отороо лежат на основании AB, а две друие — на сторонах AC и BC. Найдите наибольшее значение площади прямоуольниа, если AB = 12, BD = 10, де BD — высота треуольниа ABC. 14. Рассматриваются всевозможные трапеции, обе боовые стороны и меньшее основание оторых равны a. Найдите величину большео основания трапеции, имеющей наибольшую площадь. 15. Длина стороны вадрата ABCD равна 10 см. На ео сторонах отложены отрези AA1, BB1, CC1, DD1 длины x аждый, причем A1 Ý AB, B1 Ý BC, C1 Ý CD, D1 Ý DA. Доажите, что четырехуольни A1B1C1D1 — вадрат, и найдите значение x, при отором площадь этоо вадрата наименьшая. 16. В оружность радиуса R вписан равнобедренный треуольни. При аом значении ула α при вершине треуольниа высота H, проведенная  боовой стороне, имеет наибольшую длину? Найдите эту длину.
17. Каим должен быть уол α при вершине равнобедренноо треуольниа заданной площади S, чтобы радиус r вписанноо в этот треуольни руа был наибольшим?

В тех случаях, ода тело участвует в двух независимых движениях, ео путь (или проеция пути на неоторое направление) является фунцией двух или более переменных, связь между оторыми устанавливается из физичесих соображений. 18. Туристу требуется попасть на противоположный бере реи. Под аим улом α ему следует направить лоду, чтобы добиться наименьшео сноса, если сорость лоди равна vл, а сорость реи равна vр?

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

239

19. Тело бросают под улом α  оризонту со соростью v0. При аом значении ула α дальность полета тела оажется наибольшей?
20. Определите наименьшую высоту h = OB двери вертиальной башни ABCD, чтобы через эту дверь в башню можно было внести жестий стержень длины l; онец стержня сользит вдоль оризонтальной прямой, на оторой находится основание башни AB. Ширина башни AB = d < l. 21. На странице тест должен занимать 384 см2. Верхние и нижние поля должны быть по 3 см, а правое и левое — по 2 см. Если принять во внимание тольо эономию бумаи, то аовы должны быть оптимальные размеры страницы? 22. Из рулоо бревна диаметра d требуется вырезать балу прямоуольноо сечения. Каовы должны быть ширина x и высота y этоо сечения, чтобы бала оазывала наибольшее сопротивление: а) на сжатие; б) на изиб? (Сопротивление бали на сжатие пропорционально площади ее поперечноо сечения, а на изиб — произведению ширины этоо сечения на вадрат ео высоты.) 23. Лампа висит над центром рулоо стола радиуса r. При аой высоте h лампы над столом освещенность предмета, лежащео на раю стола, будет наилучшей? (Освещенность прямо пропорциональна осинусу ула падения луча света и обратно пропорциональна вадрату расстояния от источниа света.) 24. Требуется устроить прямоуольную площаду та, чтобы с трех сторон она была оорожена сетой, а четвертой стороной примыала  длинной аменной стене. Каова наивыоднейшая (в смысле площади) форма площади, если имеется l поонных метров сети? 25. На прямолинейном отрезе AB, длина отороо равна a, соединяющем источнии света A (силой p) и B (силой q), найдите точу M, освещаемую слабее всео. (Освещенность обратно пропорциональна вадрату расстояния от источниа света.)
26. Лода находится на расстоянии 3 м от ближайшео пунта A береа. Пассажир лоди желает достинуть пунта B, находящеося на береу в 5 м от A. Лода движется со соростью 4 м/ч, а пассажир, выйдя из лоди, может в час пройти 5 м. К аому пунту береа должна прибыть лода, чтобы пассажир дости пунта B в ратчайшее время?
27. Дождевая апля, начальная масса оторой m0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь та, что убыль массы пропорциональна времени (оэффициент пропорциональ-

240

Г л а в а 9. Производная и ее применения

ности равен k). Через сольо сеунд после начала падения инетичесая энерия апли будет наибольшей и аова она? (Сопротивлением воздуха пренебречь.)
28. Расходы на топу парохода пропорциональны убу ео сорости. Известно, что при сорости 10 м/ч расходы на топливо составляют 30 р. в час; остальные расходы (не зависящие от сорости) составляют 480 р. в час. При аой сорости парохода общая стоимость 1 м пути оажется наименьшей? Каова будет при этом общая сумма расходов в час? 29. Для достави продуции завода из пунта N в ород A строят шоссе NP, соединяющее завод с железной дороой AB, проходящей через ород A. Стоимость перевозо по шоссе вдвое больше, чем по железной дорое. К аому пунту P нужно провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозо продуции завода из пунта N в ород A по шоссе и по железной дорое была наименьшей? Расстояние от N до железной дорои равно 100 м, а расстояние от орода A до станции железной дорои, находяшейся на одной оружности с A и N (причем A и N — онцы диаметра этой оружности) равно a м. При решении задач о времени достижения наименьшео расстояния между двумя объетами, движущимися под улом дру  друу, следует воспользоваться тем, что расстояние между объетами, достинутое  моменту времени t, представляет собой одну из сторон треуольниа, двумя друими сторонами отороо являются неоторые фунции расстояний, пройденных объетами  этому моменту. 30. По двум улицам  перересту движутся две машины с постоянными соростями 40 и 50 м/ч. Считая, что улицы пересеаются под прямым улом, и зная, что в неоторый момент времени машины находятся от перереста на расстояниях 2 и 3 м соответственно, определите, через аое время расстояние между ними станет наименьшим.
31. Три пунта A, B, C расположены та, что F ABC = 60°. Одновременно из точи A выходит автомобиль, а из точи B — поезд. Автомобиль движется по направлению  B со соростью 80 м/ч, а поезд —  пунту C со соростью 50 м/ч. В аой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если AB = 200 м?
32. Два самолета летят оризонтально на одной высоте под улом 120° дру  друу с одинаовой соростью v. В неоторый момент один из самолетов прилетел в точу пересечения их траеторий, а второй в этот момент находился в a м от нее

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

241

(не долетев до точи пересечения). Через аое время после этоо момента расстояние между самолетами будет наименьшим? 33. Определите, при аом диаметре y рулоо отверстия в плотине сеундный расход воды Q будет иметь наибольшее значение, если Q = cy h – y , де h — лубина низшей точи отверстия (считать h и оэффициент c постоянными). 34. Стоимость бриллианта пропорциональна вадрату ео массы. При обработе бриллиант был расолот на две части. Каовы размеры частей, если известно, что при этом произошла масимальная потеря стоимости? 35. Составляют элетричесую цепь из двух параллельно соединенных сопротивлений. При аом соотношении между ними сопротивление цепи минимально, если при последовательном соединении сопротивлений оно равно R?
36. Гонцу нужно добраться из пунта A, находящеося на одном береу реи, в пунт B, находящийся на друом береу. Зная, что сорость движения по береу в k раз больше сорости движения по воде, определите, под аим улом α онец должен пересечь реу, для тоо чтобы достичь пунта B в ратчайшее время. Ширина реи равна h, расстояние между пунтами A и B (вдоль береа) равно d.
37. Точи A и B расположены в различных оптичесих средах, отделенных одна от друой прямой. Сорость распространения света в первой среде равна v1, а во второй равна v2. Пользуясь принципом Ферма, соласно оторому световой луч распространяется вдоль той ривой AMB, для прохождения оторой требуется минимум времени, выведите заон преломления световоо луча.
38. Пользуясь принципом Ферма, выведите заон отражения световоо луча от плосости в однородной среде. 39. Если в элетричесой цепи, имеющей сопротивление R, течет то I, то оличество теплоты, выделяющейся в единицу времени, пропорционально I2R. Определите, а следует разветвить то I на тои I1 и I2 при помощи двух проводов с сопротивлениями R1 и R2, чтобы выделение теплоты было наименьшим. 40. Прямоуольный участо площадью 9000 м2 необходимо оородить забором, две противоположные стороны отороо аменные, а друие — деревянные. Один метр деревянноо забора стоит 100 р., а аменноо — 250 р. Каую наименьшую денежную сумму можно выделить по смете на строительство забора?

240

Г л а в а 9. Производная и ее применения

ности равен k). Через сольо сеунд после начала падения инетичесая энерия апли будет наибольшей и аова она? (Сопротивлением воздуха пренебречь.)
28. Расходы на топу парохода пропорциональны убу ео сорости. Известно, что при сорости 10 м/ч расходы на топливо составляют 30 р. в час; остальные расходы (не зависящие от сорости) составляют 480 р. в час. При аой сорости парохода общая стоимость 1 м пути оажется наименьшей? Каова будет при этом общая сумма расходов в час? 29. Для достави продуции завода из пунта N в ород A строят шоссе NP, соединяющее завод с железной дороой AB, проходящей через ород A. Стоимость перевозо по шоссе вдвое больше, чем по железной дорое. К аому пунту P нужно провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозо продуции завода из пунта N в ород A по шоссе и по железной дорое была наименьшей? Расстояние от N до железной дорои равно 100 м, а расстояние от орода A до станции железной дорои, находяшейся на одной оружности с A и N (причем A и N — онцы диаметра этой оружности) равно a м. При решении задач о времени достижения наименьшео расстояния между двумя объетами, движущимися под улом дру  друу, следует воспользоваться тем, что расстояние между объетами, достинутое  моменту времени t, представляет собой одну из сторон треуольниа, двумя друими сторонами отороо являются неоторые фунции расстояний, пройденных объетами  этому моменту. 30. По двум улицам  перересту движутся две машины с постоянными соростями 40 и 50 м/ч. Считая, что улицы пересеаются под прямым улом, и зная, что в неоторый момент времени машины находятся от перереста на расстояниях 2 и 3 м соответственно, определите, через аое время расстояние между ними станет наименьшим.
31. Три пунта A, B, C расположены та, что F ABC = 60°. Одновременно из точи A выходит автомобиль, а из точи B — поезд. Автомобиль движется по направлению  B со соростью 80 м/ч, а поезд —  пунту C со соростью 50 м/ч. В аой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если AB = 200 м?
32. Два самолета летят оризонтально на одной высоте под улом 120° дру  друу с одинаовой соростью v. В неоторый момент один из самолетов прилетел в точу пересечения их траеторий, а второй в этот момент находился в a м от нее

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

241

(не долетев до точи пересечения). Через аое время после этоо момента расстояние между самолетами будет наименьшим? 33. Определите, при аом диаметре y рулоо отверстия в плотине сеундный расход воды Q будет иметь наибольшее значение, если Q = cy h – y , де h — лубина низшей точи отверстия (считать h и оэффициент c постоянными). 34. Стоимость бриллианта пропорциональна вадрату ео массы. При обработе бриллиант был расолот на две части. Каовы размеры частей, если известно, что при этом произошла масимальная потеря стоимости? 35. Составляют элетричесую цепь из двух параллельно соединенных сопротивлений. При аом соотношении между ними сопротивление цепи минимально, если при последовательном соединении сопротивлений оно равно R?
36. Гонцу нужно добраться из пунта A, находящеося на одном береу реи, в пунт B, находящийся на друом береу. Зная, что сорость движения по береу в k раз больше сорости движения по воде, определите, под аим улом α онец должен пересечь реу, для тоо чтобы достичь пунта B в ратчайшее время. Ширина реи равна h, расстояние между пунтами A и B (вдоль береа) равно d.
37. Точи A и B расположены в различных оптичесих средах, отделенных одна от друой прямой. Сорость распространения света в первой среде равна v1, а во второй равна v2. Пользуясь принципом Ферма, соласно оторому световой луч распространяется вдоль той ривой AMB, для прохождения оторой требуется минимум времени, выведите заон преломления световоо луча.
38. Пользуясь принципом Ферма, выведите заон отражения световоо луча от плосости в однородной среде. 39. Если в элетричесой цепи, имеющей сопротивление R, течет то I, то оличество теплоты, выделяющейся в единицу времени, пропорционально I2R. Определите, а следует разветвить то I на тои I1 и I2 при помощи двух проводов с сопротивлениями R1 и R2, чтобы выделение теплоты было наименьшим. 40. Прямоуольный участо площадью 9000 м2 необходимо оородить забором, две противоположные стороны отороо аменные, а друие — деревянные. Один метр деревянноо забора стоит 100 р., а аменноо — 250 р. Каую наименьшую денежную сумму можно выделить по смете на строительство забора?

242

Г л а в а 9. Производная и ее применения


41. Требуется построить неоторое оличество одинаовых жилых домов общей площадью 40 000 м2. Затраты на постройу одноо дома сладываются из стоимости фундамента, пропорциональной вадратному орню из величины жилой площади дома, и стоимости наземной части, пропорциональной убу вадратноо орня из величины жилой площади. Строительство дома площадью 1000 м2 обходится в 184,8 млн р., причем в этом случае стоимость наземной части составляет 32% стоимости фундамента. Определите, аое оличество домов нужно построить, чтобы общая стоимость была наименьшей, и найдите эту стоимость.

При решении неоторых задач вместо отысания наибольшео (наименьшео) значения величины, уазанной в формулирове задачи, удобнее исать наибольшее (наименьшее) значение друой величины, представляющей собой монотонную фунцию от первой.
42. Статуя высотой 4 м стоит на олонне, высота оторой равна 5,6 м. На аом расстоянии от олонны должен стоять челове ростом (до уровня лаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим улом?
43. По прямолинейному шоссе едет эсурсионный автобус. В стороне от шоссе расположен дворец, от парадноо входа отороо идет дороа перпендиулярно шоссе. На аом расстоянии от точи пересечения этих доро должен остановиться автобус, чтобы эсурсанты моли лучше рассмотреть из автобуса фасад дворца, если длина дворца равна 2a, фасад расположен под улом 60° относительно шоссе и расстояние от парадноо входа (оторый является центром симметрии дворца) до шоссе равно b?
44. Груз массой m, лежащий на оризонтальной площаде, должен быть сдвинут с места приложенной силой. Сила трения пропорциональна силе, прижимающей тело  плосости, и направлена против сдвиающей силы; оэффициент пропорциональности (оэффициент трения) равен k. Под аим улом α  оризонту надо приложить силу, чтобы ее величина оазалась наименьшей? Определите наименьшую величину сдвиающей силы.

Инода задачи, сформулированные а задачи на отысание наибольшео или наименьшео значения, допусают более простые решения, основанные на еометричесих соображениях.

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

243

П р и м е р 4. Русла двух ре (в пределах неоторой области) представляют собой параболу y = x2 и прямую x – y – 2 = 0. Требуется соединить эти реи прямолинейным аналом наименьшей длины. Через аие точи нужно ео провести? Р е ш е н и е. Геометричесим местом точе, находящихся на расстоянии d от прямой, являются две прямые, параллельные данной и проведенные на уазанном расстоянии по обе стороны от нее. Точи, лежащие внутри образованной таим образом полосы, удалены от данной прямой на расстояние, меньшее d, а вне полосы — на расстояние, большее d. Если прямая не пересеает параболу, то, увеличивая ширину полосы, мы в итое получим таую прямую, оторая асается параболы в неоторой точе. Эта точа асания будет точой параболы, находящейся ближе всео  прямой. Следовательно, для нахождения этой точи достаточно определить оординаты точи асания той асательной, оторая параллельна данной прямой. Из условия параллельности (см. § 50) имеем 1

2x = 1 ^ x = --2-

и

1

y = --4- .

Чтобы найти точу на прямой (второй онец анала), запишем уравнение прямой, перпендиулярной прямой x – y – 2 = 0 и 1 1 проходящей через точу  --2- ; --4-  :   1 1 y – --4- = –  x – --2-  ,  

или

3

y = –x + --4- .

Решив систему уравнений 3

y = –x + --4- , y = x – 2, 11

5

--получаем x = -----8 , y = –8 . 5 1 1 11 Ответ. Координаты онцов анала:  --2- ; --4-  и  -----; – --8-  .    8 

45. Прямая l проходит через точи (3; 0) и (0; 4). Точа A лежит на параболе y = 2x – x2. Найдите расстояние ρ от точи A до прямой в случае, ода A совпадает с началом оординат,

242

Г л а в а 9. Производная и ее применения


41. Требуется построить неоторое оличество одинаовых жилых домов общей площадью 40 000 м2. Затраты на постройу одноо дома сладываются из стоимости фундамента, пропорциональной вадратному орню из величины жилой площади дома, и стоимости наземной части, пропорциональной убу вадратноо орня из величины жилой площади. Строительство дома площадью 1000 м2 обходится в 184,8 млн р., причем в этом случае стоимость наземной части составляет 32% стоимости фундамента. Определите, аое оличество домов нужно построить, чтобы общая стоимость была наименьшей, и найдите эту стоимость.

При решении неоторых задач вместо отысания наибольшео (наименьшео) значения величины, уазанной в формулирове задачи, удобнее исать наибольшее (наименьшее) значение друой величины, представляющей собой монотонную фунцию от первой.
42. Статуя высотой 4 м стоит на олонне, высота оторой равна 5,6 м. На аом расстоянии от олонны должен стоять челове ростом (до уровня лаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим улом?
43. По прямолинейному шоссе едет эсурсионный автобус. В стороне от шоссе расположен дворец, от парадноо входа отороо идет дороа перпендиулярно шоссе. На аом расстоянии от точи пересечения этих доро должен остановиться автобус, чтобы эсурсанты моли лучше рассмотреть из автобуса фасад дворца, если длина дворца равна 2a, фасад расположен под улом 60° относительно шоссе и расстояние от парадноо входа (оторый является центром симметрии дворца) до шоссе равно b?
44. Груз массой m, лежащий на оризонтальной площаде, должен быть сдвинут с места приложенной силой. Сила трения пропорциональна силе, прижимающей тело  плосости, и направлена против сдвиающей силы; оэффициент пропорциональности (оэффициент трения) равен k. Под аим улом α  оризонту надо приложить силу, чтобы ее величина оазалась наименьшей? Определите наименьшую величину сдвиающей силы.

Инода задачи, сформулированные а задачи на отысание наибольшео или наименьшео значения, допусают более простые решения, основанные на еометричесих соображениях.

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений

243

П р и м е р 4. Русла двух ре (в пределах неоторой области) представляют собой параболу y = x2 и прямую x – y – 2 = 0. Требуется соединить эти реи прямолинейным аналом наименьшей длины. Через аие точи нужно ео провести? Р е ш е н и е. Геометричесим местом точе, находящихся на расстоянии d от прямой, являются две прямые, параллельные данной и проведенные на уазанном расстоянии по обе стороны от нее. Точи, лежащие внутри образованной таим образом полосы, удалены от данной прямой на расстояние, меньшее d, а вне полосы — на расстояние, большее d. Если прямая не пересеает параболу, то, увеличивая ширину полосы, мы в итое получим таую прямую, оторая асается параболы в неоторой точе. Эта точа асания будет точой параболы, находящейся ближе всео  прямой. Следовательно, для нахождения этой точи достаточно определить оординаты точи асания той асательной, оторая параллельна данной прямой. Из условия параллельности (см. § 50) имеем 1

2x = 1 ^ x = --2-

и

1

y = --4- .

Чтобы найти точу на прямой (второй онец анала), запишем уравнение прямой, перпендиулярной прямой x – y – 2 = 0 и 1 1 проходящей через точу  --2- ; --4-  :   1 1 y – --4- = –  x – --2-  ,  

или

3

y = –x + --4- .

Решив систему уравнений 3

y = –x + --4- , y = x – 2, 11

5

--получаем x = -----8 , y = –8 . 5 1 1 11 Ответ. Координаты онцов анала:  --2- ; --4-  и  -----; – --8-  .    8 

45. Прямая l проходит через точи (3; 0) и (0; 4). Точа A лежит на параболе y = 2x – x2. Найдите расстояние ρ от точи A до прямой в случае, ода A совпадает с началом оординат,

244

Г л а в а 9. Производная и ее применения

и уажите оординаты таой точи M (x0; y0) на параболе, при оторых расстояние от нее до прямой будет наименьшим.
46. Четыре точи A, B, C, D в уазанном поряде лежат на параболе y = ax2 + bx + c. Координаты точе A, B и D известны: A(–2; 3), B(–1; 1), D(2; 7). Определите оординаты точи C в случае, ода площадь четырехуольниа ABCD наибольшая. 47. На оординатной плосости даны точи A(–2; 0) и B(0; 4) и прямая l: y = x. Найдите периметр треуольниа AMB, де M — точа с абсциссой 3, лежащая на прямой l. При аом положении точи M на прямой l периметр треуольниа AMB наименьший?
48. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка следует провести через точу M прямую, чтобы она отсела от ула треуольни наименьшей площади? 49. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка построить треуольни наименьшео периметра, чтобы одна ео вершина находилась в точе M, вторая — на стороне AO и третья — на стороне BO данноо ула? 50. Рассматриваются таие всевозможные трапеции, вписанные в оружность радиуса R, что центр оружности лежит внутри трапеции, а одно из оснований равно R 3 . Найдите боовую сторону той из трапеций, оторая имеет наибольшую площадь. 51. Дана правильная треуольная пирамида DABC (D — вершина, ABC — основание). Известно, что AB = a, AD = b. Пирамиду пересеает плосость α, параллельная ребрам AD и BC. На аом расстоянии от ребра AD должна быть проведена плосость α, чтобы площадь сечения была наибольшей? 52. Рассматриваются всевозможные прямоуольные параллелепипеды, у оторых основаниями являются вадраты, а аждая из боовых раней имеет периметр 6 см. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите величину этоо объема. 53. В руовой сетор радиуса R с прямым центральным улом вписан прямоуольни та, что одна ео вершина совпадает с центром руа, а противоположная вершина лежит на оружности. Найдите длины сторон тоо прямоуольниа, оторый имеет наибольшую площадь. 54. Хорда AB равна радиусу оружности. Хорда CD, параллельная AB, проведена та, что площадь четырехуольниа ABCD масимальна. Найдите уловую величину меньшей из ду, стяиваемых хордой CD.

§ 50. Геометрические приложения производной

245


55. В данный руовой сетор радиуса R впишите прямоуольни наибольшей площади (уол сетора равен α). Вычислите значение этой площади.

§ 50. Геометрические приложения производной Пусть фунция y = f(x) дифференцируема в точе x0 и y0 = = f(x0). Прямую, определяемую уравнением y = y0 + f ′(x0)(x – x0),

(1)

называют асательной  рафиу фунции y = f(x) в точе M(x0; y0). Записав уравнение (1) в виде y – y0 = f ′(x0)(x – x0),

(2)

можно залючить, что из всех прямых, проходящих через точу M(x0; y0), асательной  рафиу фунции f(x) будет та прямая, уловой оэффициент оторой равен f ′(x0) (уловой оэффициент есть таненс ула налона прямой  положительному направлению оси Ox). Прямую, перпендиулярную асательной в точе асания, называют нормалью  рафиу фунции y = f(x) в этой точе. Уравнение нормали имеет вид (y – y0) f ′(x0) + (x – x0) = 0.

(3)

Под
лом межд
рафиами ф
нций y = f1(x) и y = f2(x) в их общей точе M(x0; y0) понимают уол α между асательными  этим рафиам в уазанной точе. Таненс этоо ула вычисляют по формуле f′ (x ) – f′ (x )

2 0 1 0 - . tg α = --------------------------------------------′ ′

1 + f 1 ( x 0 )f 2 ( x 0 )

(4)

Если выражение 1 + f 1′ (x0) f2′ (x0) обращается в нуль, то ривые пересеаются под прямым улом. Для тоо чтобы составить уравнение асательной (нормали)  рафиу фунции y = f(x) в точе, абсцисса оторой известна и равна x0, достаточно найти значения f ′(x0) и y = f(x0) и под-

244

Г л а в а 9. Производная и ее применения

и уажите оординаты таой точи M (x0; y0) на параболе, при оторых расстояние от нее до прямой будет наименьшим.
46. Четыре точи A, B, C, D в уазанном поряде лежат на параболе y = ax2 + bx + c. Координаты точе A, B и D известны: A(–2; 3), B(–1; 1), D(2; 7). Определите оординаты точи C в случае, ода площадь четырехуольниа ABCD наибольшая. 47. На оординатной плосости даны точи A(–2; 0) и B(0; 4) и прямая l: y = x. Найдите периметр треуольниа AMB, де M — точа с абсциссой 3, лежащая на прямой l. При аом положении точи M на прямой l периметр треуольниа AMB наименьший?
48. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка следует провести через точу M прямую, чтобы она отсела от ула треуольни наименьшей площади? 49. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка построить треуольни наименьшео периметра, чтобы одна ео вершина находилась в точе M, вторая — на стороне AO и третья — на стороне BO данноо ула? 50. Рассматриваются таие всевозможные трапеции, вписанные в оружность радиуса R, что центр оружности лежит внутри трапеции, а одно из оснований равно R 3 . Найдите боовую сторону той из трапеций, оторая имеет наибольшую площадь. 51. Дана правильная треуольная пирамида DABC (D — вершина, ABC — основание). Известно, что AB = a, AD = b. Пирамиду пересеает плосость α, параллельная ребрам AD и BC. На аом расстоянии от ребра AD должна быть проведена плосость α, чтобы площадь сечения была наибольшей? 52. Рассматриваются всевозможные прямоуольные параллелепипеды, у оторых основаниями являются вадраты, а аждая из боовых раней имеет периметр 6 см. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите величину этоо объема. 53. В руовой сетор радиуса R с прямым центральным улом вписан прямоуольни та, что одна ео вершина совпадает с центром руа, а противоположная вершина лежит на оружности. Найдите длины сторон тоо прямоуольниа, оторый имеет наибольшую площадь. 54. Хорда AB равна радиусу оружности. Хорда CD, параллельная AB, проведена та, что площадь четырехуольниа ABCD масимальна. Найдите уловую величину меньшей из ду, стяиваемых хордой CD.

§ 50. Геометрические приложения производной

245


55. В данный руовой сетор радиуса R впишите прямоуольни наибольшей площади (уол сетора равен α). Вычислите значение этой площади.

§ 50. Геометрические приложения производной Пусть фунция y = f(x) дифференцируема в точе x0 и y0 = = f(x0). Прямую, определяемую уравнением y = y0 + f ′(x0)(x – x0),

(1)

называют асательной  рафиу фунции y = f(x) в точе M(x0; y0). Записав уравнение (1) в виде y – y0 = f ′(x0)(x – x0),

(2)

можно залючить, что из всех прямых, проходящих через точу M(x0; y0), асательной  рафиу фунции f(x) будет та прямая, уловой оэффициент оторой равен f ′(x0) (уловой оэффициент есть таненс ула налона прямой  положительному направлению оси Ox). Прямую, перпендиулярную асательной в точе асания, называют нормалью  рафиу фунции y = f(x) в этой точе. Уравнение нормали имеет вид (y – y0) f ′(x0) + (x – x0) = 0.

(3)

Под
лом межд
рафиами ф
нций y = f1(x) и y = f2(x) в их общей точе M(x0; y0) понимают уол α между асательными  этим рафиам в уазанной точе. Таненс этоо ула вычисляют по формуле f′ (x ) – f′ (x )

2 0 1 0 - . tg α = --------------------------------------------′ ′

1 + f 1 ( x 0 )f 2 ( x 0 )

(4)

Если выражение 1 + f 1′ (x0) f2′ (x0) обращается в нуль, то ривые пересеаются под прямым улом. Для тоо чтобы составить уравнение асательной (нормали)  рафиу фунции y = f(x) в точе, абсцисса оторой известна и равна x0, достаточно найти значения f ′(x0) и y = f(x0) и под-

246

Г л а в а 9. Производная и ее применения

ставить их в уравнение (1) (соответственно в (3)). Координаты точи на рафие фунции, в оторой требуется провести асательную, определяются из условий задачи. Условия параллельности и перпенди
лярности дв
х прямых. Пусть прямые заданы уравнениями y = k1x + b1 и y = k2x + b2. Для тоо чтобы эти прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы k1 = k2. Для тоо чтобы эти прямые были перпендиулярны, необходимо и достаточно, чтобы k1k2 = –1. П р и м е р 1. На ривой y = x2 – 7x + 3 найти точу, в оторой асательная параллельна прямой y = –5x + 3. Р е ш е н и е. Из условия параллельности двух прямых следует, что уловой оэффициент асательной в исомой точе должен быть равен (–5). Абсциссу точи асания найдем, используя равенство y ′(x) = 2x – 7: 2x – 7 = –5 ^ x = 1, а ординату — подстановой x = 1 в уравнение ривой: y(1) = –3.

247

ми y = 0, не зависят от параметра a. Найдите оординаты точи пересечения. 17. Вычислите площадь треуольниа, ораниченноо осями x

оординат и асательной  рафиу фунции y = ---------------2x – 1 в точе

с абсциссой x0 = 1. 18. Найдите уравнение общей асательной  ривым y = x2 +4x + 8 и y = x2 + 8x + 4. 19. При аом значении x0 Ý

π

0; --2-

асательные  ра-

фиу фунции f(x) = sin x + sin 2x в точах с абсциссами x0 и π

x0 + --2- параллельны? 10. Найдите все значения x0, при оторых асательные  рафиам фунций y(x) = 3 cos 5x и y(x) = 5 cos 3x + 2 в точах с абсциссой x0 параллельны. 11. Найдите оординаты точе пересечения с осью Ox тех x+1

Ответ. (1; –3).

асательных  рафиу фунции y(x) = ------------x – 3 , оторые образу-

1. На ривой y = x3 – 3x + 2 найдите точи, в оторых асательная параллельна прямой y = 3x. 2. Запишите уравнение оризонтальной асательной  рафиу фунции y = ex + e–x. 3. Запишите уравнение асательной  рафиу фунции π π y = cos  2x – --3-  + 2 в точе с абсциссой x0 = --2- .  

4. Каой уол образует с осью абсцисс асательная  пара3 5 боле y = x2 + 4x – 17, проведенная в точе M  --2- ; – --4-  ? Запи 

шите уравнение этой асательной.


§ 50. Геометрические приложения производной

3

3

5. Известно, что прямая y = – --4- x – -----32 является асательной 1

 рафиу фунции f(x) = --2- x4 – x. Найдите оординаты точи асания. 6. Поажите, что оординаты точи пересечения асательx2 ных  ривой y = 1 – -----2- , проведенных через точи с ординатаa

3π

ют с осью Ox уол -----4 .

12. На рафие фунции y(x) = x3 – 3x2 – 7x + 6 найдите все точи, в аждой из оторых асательные  этому рафиу отсеают от положительной полуоси Ox вдвое меньший отрезо, чем от отрицательной полуоси Oy. Определите длины отсеаемых отрезов.
13. Хорда параболы y = –a 2x 2 + 5ax – 4 асается ривой


1

------------- в точе x = 2 и делится этой точой пополам. Найдите y= 1 –x

значение a. 14. Запишите уравнение асательной  рафиу фунции f(x) = | x2 – | x | | в точе с абсциссой x = –2. 15. Две асательные  рафиу фунции y = 17 ( x 2 + 1 ) пересеаются под прямым улом в неоторой точе оси Oy. Запишите уравнения асательных. П р и м е р 2. Определить, под аим улом ривая y = 1 = ------- sin 3x пересеает ось абсцисс в начале оординат. 3

246

Г л а в а 9. Производная и ее применения

ставить их в уравнение (1) (соответственно в (3)). Координаты точи на рафие фунции, в оторой требуется провести асательную, определяются из условий задачи. Условия параллельности и перпенди
лярности дв
х прямых. Пусть прямые заданы уравнениями y = k1x + b1 и y = k2x + b2. Для тоо чтобы эти прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы k1 = k2. Для тоо чтобы эти прямые были перпендиулярны, необходимо и достаточно, чтобы k1k2 = –1. П р и м е р 1. На ривой y = x2 – 7x + 3 найти точу, в оторой асательная параллельна прямой y = –5x + 3. Р е ш е н и е. Из условия параллельности двух прямых следует, что уловой оэффициент асательной в исомой точе должен быть равен (–5). Абсциссу точи асания найдем, используя равенство y ′(x) = 2x – 7: 2x – 7 = –5 ^ x = 1, а ординату — подстановой x = 1 в уравнение ривой: y(1) = –3.

247

ми y = 0, не зависят от параметра a. Найдите оординаты точи пересечения. 17. Вычислите площадь треуольниа, ораниченноо осями x

оординат и асательной  рафиу фунции y = ---------------2x – 1 в точе

с абсциссой x0 = 1. 18. Найдите уравнение общей асательной  ривым y = x2 +4x + 8 и y = x2 + 8x + 4. 19. При аом значении x0 Ý

π

0; --2-

асательные  ра-

фиу фунции f(x) = sin x + sin 2x в точах с абсциссами x0 и π

x0 + --2- параллельны? 10. Найдите все значения x0, при оторых асательные  рафиам фунций y(x) = 3 cos 5x и y(x) = 5 cos 3x + 2 в точах с абсциссой x0 параллельны. 11. Найдите оординаты точе пересечения с осью Ox тех x+1

Ответ. (1; –3).

асательных  рафиу фунции y(x) = ------------x – 3 , оторые образу-

1. На ривой y = x3 – 3x + 2 найдите точи, в оторых асательная параллельна прямой y = 3x. 2. Запишите уравнение оризонтальной асательной  рафиу фунции y = ex + e–x. 3. Запишите уравнение асательной  рафиу фунции π π y = cos  2x – --3-  + 2 в точе с абсциссой x0 = --2- .  

4. Каой уол образует с осью абсцисс асательная  пара3 5 боле y = x2 + 4x – 17, проведенная в точе M  --2- ; – --4-  ? Запи 

шите уравнение этой асательной.


§ 50. Геометрические приложения производной

3

3

5. Известно, что прямая y = – --4- x – -----32 является асательной 1

 рафиу фунции f(x) = --2- x4 – x. Найдите оординаты точи асания. 6. Поажите, что оординаты точи пересечения асательx2 ных  ривой y = 1 – -----2- , проведенных через точи с ординатаa

3π

ют с осью Ox уол -----4 .

12. На рафие фунции y(x) = x3 – 3x2 – 7x + 6 найдите все точи, в аждой из оторых асательные  этому рафиу отсеают от положительной полуоси Ox вдвое меньший отрезо, чем от отрицательной полуоси Oy. Определите длины отсеаемых отрезов.
13. Хорда параболы y = –a 2x 2 + 5ax – 4 асается ривой


1

------------- в точе x = 2 и делится этой точой пополам. Найдите y= 1 –x

значение a. 14. Запишите уравнение асательной  рафиу фунции f(x) = | x2 – | x | | в точе с абсциссой x = –2. 15. Две асательные  рафиу фунции y = 17 ( x 2 + 1 ) пересеаются под прямым улом в неоторой точе оси Oy. Запишите уравнения асательных. П р и м е р 2. Определить, под аим улом ривая y = 1 = ------- sin 3x пересеает ось абсцисс в начале оординат. 3

248

Г л а в а 9. Производная и ее применения

Р е ш е н и е. По определению исомый уол равен улу налона  оси абсцисс асательной, проведенной  ривой в начале оординат. Таим образом, таненс исомоо ула совпадает с уловым оэффициентом этой асательной и равен

§ 50. Геометрические приложения производной

П р и м е р 3. В аой точе ривой y = x2 – 5x + 6 следует провести асательную, чтобы она проходила через точу M1(1; 1)? Р е ш е н и е. Составим систему вида (5): 1 – y0 = (2x0 – 5) (1 – x0),

1 3

значению производной фунции y = ------- sin 3x, вычисленному

3 3

то tg α =

Подставив y0 из второо уравнения в первое, получаем вадрат-

3 cos 3x,

2

ное уравнение x 0 – 2x0 = 0. Ита, исомые точи имеют оординаты (2; 0) и (0; 6).

π

3 и, следовательно, α = --3- .

Ответ. (2; 0), (0; 6).

π

Ответ. α = --3- . 16. Поажите, что асательные, проведенные  рафиу x–4

фунции y = -----------x – 2 в точах ео пересечения с осями оординат,

параллельны. 17. В аих точах асательная  рафиу фунции x3

21. В аой точе ривой y = ax2 + bx + c нужно провести асательную, чтобы она проходила через начало оординат? Исследуйте, при аих значениях a, b и c задача имеет решение. 22. В аой точе ривой y = x2 – 5x + 6 нужно провести асательную, чтобы она проходила через точу M(a; b)? Исследуйте, при аих значениях a и b задача имеет решение. x+1

23. Запишите уравнение асательной  ривой y = ------------x ,

5x 2

---------f(x) = ----3 – 2 + 7x – 4

образует с осью Ox уол 45°? 18. Под аим улом  оси Ox налонена асательная, проведенная  ривой y = 2x3 – x в точе пересечения этой ривой с осью Oy?  19. Поажите, что ривые, заданные уравнениями xy = a2, 2 x – y2 = b2, пересеаются под прямым улом.
20. Поажите, что семейства линий, заданных уравнениями y = ax, y2 + x2 = c2, при любых a и c пересеаются под прямым улом. В случае, ода требуется составить уравнение таой асательной  рафиу фунции y = f(x), оторая проходит через заданную точу M(x1; y1), не принадлежащую рафиу этой фунции, абсциссу x0 и ординату y0 точи асания можно определить из системы уравнений y1 – y0 = f ′(x0) (x1 – x0), f(x0) = y0.

2

y0 = x 0 – 5x0 + 6.

при x = 0. Та а y′ = ------- cos 3x =

249

(5)

если известно, что асательная проходит через точу M(a; b). Сольо существует решений в зависимости от выбора точи? Найдите эти решения.
24. Запишите уравнение прямой, проходящей через точу 1 с оординатами  --2- ; 2  , асающейся рафиа фунции y1(x) = x2

= – ----2 + 2 и пересеающей в двух точах рафи фунции

y2(x) =

4 – x2 .

25. В аой точе M0 ривой y = 2 x3/2 асательная перпендиулярна прямой 4x + 3y + 2 = 0? Известно, что равенство нулю дисриминанта вадратноо уравнения означает, что соответствующая парабола асается оси абсцисс (прямой y = 0). Аналоичные соображения можно использовать при нахождении уравнений асательных. П р и м е р 4. Найти таие асательные  оружности x2 + = 25, оторые параллельны прямой 2x – y + 1 = 0. + y2

248

Г л а в а 9. Производная и ее применения

Р е ш е н и е. По определению исомый уол равен улу налона  оси абсцисс асательной, проведенной  ривой в начале оординат. Таим образом, таненс исомоо ула совпадает с уловым оэффициентом этой асательной и равен

§ 50. Геометрические приложения производной

П р и м е р 3. В аой точе ривой y = x2 – 5x + 6 следует провести асательную, чтобы она проходила через точу M1(1; 1)? Р е ш е н и е. Составим систему вида (5): 1 – y0 = (2x0 – 5) (1 – x0),

1 3

значению производной фунции y = ------- sin 3x, вычисленному

3 3

то tg α =

Подставив y0 из второо уравнения в первое, получаем вадрат-

3 cos 3x,

2

ное уравнение x 0 – 2x0 = 0. Ита, исомые точи имеют оординаты (2; 0) и (0; 6).

π

3 и, следовательно, α = --3- .

Ответ. (2; 0), (0; 6).

π

Ответ. α = --3- . 16. Поажите, что асательные, проведенные  рафиу x–4

фунции y = -----------x – 2 в точах ео пересечения с осями оординат,

параллельны. 17. В аих точах асательная  рафиу фунции x3

21. В аой точе ривой y = ax2 + bx + c нужно провести асательную, чтобы она проходила через начало оординат? Исследуйте, при аих значениях a, b и c задача имеет решение. 22. В аой точе ривой y = x2 – 5x + 6 нужно провести асательную, чтобы она проходила через точу M(a; b)? Исследуйте, при аих значениях a и b задача имеет решение. x+1

23. Запишите уравнение асательной  ривой y = ------------x ,

5x 2

---------f(x) = ----3 – 2 + 7x – 4

образует с осью Ox уол 45°? 18. Под аим улом  оси Ox налонена асательная, проведенная  ривой y = 2x3 – x в точе пересечения этой ривой с осью Oy?  19. Поажите, что ривые, заданные уравнениями xy = a2, 2 x – y2 = b2, пересеаются под прямым улом.
20. Поажите, что семейства линий, заданных уравнениями y = ax, y2 + x2 = c2, при любых a и c пересеаются под прямым улом. В случае, ода требуется составить уравнение таой асательной  рафиу фунции y = f(x), оторая проходит через заданную точу M(x1; y1), не принадлежащую рафиу этой фунции, абсциссу x0 и ординату y0 точи асания можно определить из системы уравнений y1 – y0 = f ′(x0) (x1 – x0), f(x0) = y0.

2

y0 = x 0 – 5x0 + 6.

при x = 0. Та а y′ = ------- cos 3x =

249

(5)

если известно, что асательная проходит через точу M(a; b). Сольо существует решений в зависимости от выбора точи? Найдите эти решения.
24. Запишите уравнение прямой, проходящей через точу 1 с оординатами  --2- ; 2  , асающейся рафиа фунции y1(x) = x2

= – ----2 + 2 и пересеающей в двух точах рафи фунции

y2(x) =

4 – x2 .

25. В аой точе M0 ривой y = 2 x3/2 асательная перпендиулярна прямой 4x + 3y + 2 = 0? Известно, что равенство нулю дисриминанта вадратноо уравнения означает, что соответствующая парабола асается оси абсцисс (прямой y = 0). Аналоичные соображения можно использовать при нахождении уравнений асательных. П р и м е р 4. Найти таие асательные  оружности x2 + = 25, оторые параллельны прямой 2x – y + 1 = 0. + y2

250

Г л а в а 9. Производная и ее применения

Р е ш е н и е. Все прямые, параллельные прямой 2x – y + 1 = 0, описываются уравнением вида y = 2x + c. Общие точи прямой y = 2x + c и данной оружности определим из системы уравнений

§ 51. Приложения производной к задачам физики 1

34. Доажите, что любая асательная  иперболе y = --x- образует равные по величине улы с двумя прямыми, одна из оторых проходит через точу асания и точу ( 2 ;

2x + c = y, x2 + y2 = 25. Подставив y из второо уравнения в первое, имеем x2 + (2x + c)2 = 25. Условие существования единственноо решения залючается в том, что дисриминант последнео уравнения равен нулю. Из этоо условия получаем для c следующие возможные значения: c1 = 5 5 и c2 = –5 5 . Ответ. y = 2x + 5 5 , y = 2x – 5 5 . 26. Под аим улом оружность x2 + y2 = 16 видна из точи (8; 0)? 27. Точа M двиалась по оружности (x – 4)2 + (y – 8)2 = 20, затем сорвалась с нее и, двиаясь по асательной  оружности, пересела ось Ox в точе (–2; 0). Определите точу оружности, с оторой сорвалась движущаяся точа. 28. Найдите условие, при отором прямая y = kx + b асается параболы y2 = 2px.
29. Найдите еометричесое место точе, из оторых парабола y = x2 видна под прямым улом. 30. Найдите уол между асательными  рафиу фунции y = x2, проходящими через точу с оординатами (0; –1).
31. Прямой уол перемещается та, что ео стороны асаются


1

веденные из произвольной точи прямой y = – --4- , взаимно перпендиулярны. 33. Через произвольную точу оси абсцисс проведены две прямые, одна из оторых асается параболы y = x2 (и не совпа1 дает с осью абсцисс), а друая проходит через точу  0; --4-  .

Доажите, что эти прямые перпендиулярны.

2 ), а дру-

ая — через точу асания и точу (– 2 ; – 2 ). 35. Доажите, что отрезо любой асательной  иперболе 1

y = --x- , залюченный между осями оординат, делится точой асания пополам. 36. Доажите, что площадь треуольниа, ораниченноо ося1

ми оординат и произвольной асательной  иперболе y = --x- , равна 2. 37. При аом значении параметра a парабола y = ax2 асается ривой y = ln x? 38. Найдите оординаты точи, лежащей на рафие фунции y = 1 + cos x при 0 m x m π и наименее удаленной от прямой x 3 + 2y + 4 = 0.

§ 51. Приложения производной к задачам физики Если путь, пройденный телом  моменту времени t, определяется фунцией y = f(x), то сорость движения в этот момент равна производной пути по времени: v = f ′(t),

(1)

а усорение — производной сорости по времени:

y2 x2 ривой -----2- + -----2- = 1. Найдите еометричесое место вершин ула. a b

32. Доажите, что две асательные  параболе y = x2, про-

251

a = ( f ′(t) )′ .

(2)

П р и м е р. Челове приближается со соростью b  подножию башни высотой h. Каова сорость ео приближения  вершине башни, ода он находится на расстоянии l от основания? Р е ш е н и е. Пусть x(t) — расстояние от человеа до подножия башни в момент времени t. Тода расстояние y(t) от человеа до вершины башни в момент времени t выразится фунцией y(t) =

h 2 + x 2 ( t ) . Дифференцируя y(t) по t, получаем x ( t )x′ ( t )

-. y′(t) = ------------------------------2 2 h + x ( t)

250

Г л а в а 9. Производная и ее применения

Р е ш е н и е. Все прямые, параллельные прямой 2x – y + 1 = 0, описываются уравнением вида y = 2x + c. Общие точи прямой y = 2x + c и данной оружности определим из системы уравнений

§ 51. Приложения производной к задачам физики 1

34. Доажите, что любая асательная  иперболе y = --x- образует равные по величине улы с двумя прямыми, одна из оторых проходит через точу асания и точу ( 2 ;

2x + c = y, x2 + y2 = 25. Подставив y из второо уравнения в первое, имеем x2 + (2x + c)2 = 25. Условие существования единственноо решения залючается в том, что дисриминант последнео уравнения равен нулю. Из этоо условия получаем для c следующие возможные значения: c1 = 5 5 и c2 = –5 5 . Ответ. y = 2x + 5 5 , y = 2x – 5 5 . 26. Под аим улом оружность x2 + y2 = 16 видна из точи (8; 0)? 27. Точа M двиалась по оружности (x – 4)2 + (y – 8)2 = 20, затем сорвалась с нее и, двиаясь по асательной  оружности, пересела ось Ox в точе (–2; 0). Определите точу оружности, с оторой сорвалась движущаяся точа. 28. Найдите условие, при отором прямая y = kx + b асается параболы y2 = 2px.
29. Найдите еометричесое место точе, из оторых парабола y = x2 видна под прямым улом. 30. Найдите уол между асательными  рафиу фунции y = x2, проходящими через точу с оординатами (0; –1).
31. Прямой уол перемещается та, что ео стороны асаются


1

веденные из произвольной точи прямой y = – --4- , взаимно перпендиулярны. 33. Через произвольную точу оси абсцисс проведены две прямые, одна из оторых асается параболы y = x2 (и не совпа1 дает с осью абсцисс), а друая проходит через точу  0; --4-  .

Доажите, что эти прямые перпендиулярны.

2 ), а дру-

ая — через точу асания и точу (– 2 ; – 2 ). 35. Доажите, что отрезо любой асательной  иперболе 1

y = --x- , залюченный между осями оординат, делится точой асания пополам. 36. Доажите, что площадь треуольниа, ораниченноо ося1

ми оординат и произвольной асательной  иперболе y = --x- , равна 2. 37. При аом значении параметра a парабола y = ax2 асается ривой y = ln x? 38. Найдите оординаты точи, лежащей на рафие фунции y = 1 + cos x при 0 m x m π и наименее удаленной от прямой x 3 + 2y + 4 = 0.

§ 51. Приложения производной к задачам физики Если путь, пройденный телом  моменту времени t, определяется фунцией y = f(x), то сорость движения в этот момент равна производной пути по времени: v = f ′(t),

(1)

а усорение — производной сорости по времени:

y2 x2 ривой -----2- + -----2- = 1. Найдите еометричесое место вершин ула. a b

32. Доажите, что две асательные  параболе y = x2, про-

251

a = ( f ′(t) )′ .

(2)

П р и м е р. Челове приближается со соростью b  подножию башни высотой h. Каова сорость ео приближения  вершине башни, ода он находится на расстоянии l от основания? Р е ш е н и е. Пусть x(t) — расстояние от человеа до подножия башни в момент времени t. Тода расстояние y(t) от человеа до вершины башни в момент времени t выразится фунцией y(t) =

h 2 + x 2 ( t ) . Дифференцируя y(t) по t, получаем x ( t )x′ ( t )

-. y′(t) = ------------------------------2 2 h + x ( t)

252

Г л а в а 9. Производная и ее применения

Отсюда, учитывая, что x′(t) = b, а расстояние от человеа до подножия башни равно l, находим bl

-. v = --------------------2 2 h +l

bl

-. Ответ. v = --------------------2 2 h +l

§ 51. Приложения производной к задачам физики

253

движения второо тела — вид s2(t) = 2t. В момент времени t = 0 тела находились в одной точе. С аой соростью увеличивается расстояние между телами? 10. Лошадь бежит по оружности со соростью 20 м/ч. В центре оружности стоит фонарь, по асательной  оружности в точе, отуда лошадь начинает свой бе, расположен забор. С аой соростью будет перемещаться тень лошади вдоль 1

1. Нижний онец лестницы длиной 5 м сользит по полу в направлении от стены, у оторой она стоит. Каова сорость верхнео онца лестницы в тот момент, ода нижний онец находится на расстоянии 3 м от стены, если сорость нижнео онца постоянна и равна 2 м/с? 2. Челове, приближающийся  вертиальной стене, освещен сзади фонарем, находящимся на расстоянии l от стены. Сорость человеа равна v. С аой соростью увеличивается ео тень, если рост человеа равен h?


10

3. Точа движется по иперболе y = -----x та, что ее абсцисса возрастает равномерно со соростью 1 см/с. С аой соростью изменяется ее ордината, ода точа проходит положение (5; 2)?
4. По оси Ox движутся две точи, заоны движения оторых имеют вид x1 = 100 + 5t, x2 = 0,5t2, t l 0. Каова относительная сорость этих точе в момент встречи (x измеряется в сантиметрах, t — в сеундах)?  5. Колесо радиуса R атится без сольжения по прямой. Центр руа движется со соростью v0. В обод олеса вбит воздь. Найдите сорость перемещения воздя в момент времени t.
6. Точа движется с уловой соростью ω по оружности радиуса R с центром в начале оординат. Каую сорость имеет изменение абсциссы точи при прохождении ею оси Ox?
7. Тело брошено под улом α  оризонту со соростью v. Каова масимальная высота подъема тела? 8. Уол α (в радианах), на оторый повернется олесо через t с, выражается формулой α = 3t2 – 12t + 36. Найдите уловую сорость олеса в момент t = 4 с и момент, ода олесо остановится.
9. Два тела движутся под улом 60° дру  друу; уравнение движения первоо тела имеет вид s1(t) = t2 – 2t, а уравнение

забора в момент, ода лошадь пробежит --8- оружности? 

at 2

11. Раета движется прямолинейно по заону s(t) = v0t + -------2 .

Через время t1 после начала движения от нее отделяется неоторый предмет, оторый продолжает двиаться по инерции. В аой момент времени t и аую новую сорость v надо придать предмету, чтобы, двиаясь дальше равномерно, он донал раету в момент t2, имея при этом одинаовую с ней сорость? Приведите еометричесую интерпретацию задачи. Каов заон движения этоо предмета?
12. Раета запущена по прямой из неоторой точи. Заон t2

движения раеты имеет вид s = ---2 (t l 0). В аой момент времени t0, считая от начала движения, следует отлючить двиатели, чтобы раета, двиаясь дальше по инерции с набранной соростью, оазалась в момент t1 на расстоянии s1 от первоначальной точи?

252

Г л а в а 9. Производная и ее применения

Отсюда, учитывая, что x′(t) = b, а расстояние от человеа до подножия башни равно l, находим bl

-. v = --------------------2 2 h +l

bl

-. Ответ. v = --------------------2 2 h +l

§ 51. Приложения производной к задачам физики

253

движения второо тела — вид s2(t) = 2t. В момент времени t = 0 тела находились в одной точе. С аой соростью увеличивается расстояние между телами? 10. Лошадь бежит по оружности со соростью 20 м/ч. В центре оружности стоит фонарь, по асательной  оружности в точе, отуда лошадь начинает свой бе, расположен забор. С аой соростью будет перемещаться тень лошади вдоль 1

1. Нижний онец лестницы длиной 5 м сользит по полу в направлении от стены, у оторой она стоит. Каова сорость верхнео онца лестницы в тот момент, ода нижний онец находится на расстоянии 3 м от стены, если сорость нижнео онца постоянна и равна 2 м/с? 2. Челове, приближающийся  вертиальной стене, освещен сзади фонарем, находящимся на расстоянии l от стены. Сорость человеа равна v. С аой соростью увеличивается ео тень, если рост человеа равен h?


10

3. Точа движется по иперболе y = -----x та, что ее абсцисса возрастает равномерно со соростью 1 см/с. С аой соростью изменяется ее ордината, ода точа проходит положение (5; 2)?
4. По оси Ox движутся две точи, заоны движения оторых имеют вид x1 = 100 + 5t, x2 = 0,5t2, t l 0. Каова относительная сорость этих точе в момент встречи (x измеряется в сантиметрах, t — в сеундах)?  5. Колесо радиуса R атится без сольжения по прямой. Центр руа движется со соростью v0. В обод олеса вбит воздь. Найдите сорость перемещения воздя в момент времени t.
6. Точа движется с уловой соростью ω по оружности радиуса R с центром в начале оординат. Каую сорость имеет изменение абсциссы точи при прохождении ею оси Ox?
7. Тело брошено под улом α  оризонту со соростью v. Каова масимальная высота подъема тела? 8. Уол α (в радианах), на оторый повернется олесо через t с, выражается формулой α = 3t2 – 12t + 36. Найдите уловую сорость олеса в момент t = 4 с и момент, ода олесо остановится.
9. Два тела движутся под улом 60° дру  друу; уравнение движения первоо тела имеет вид s1(t) = t2 – 2t, а уравнение

забора в момент, ода лошадь пробежит --8- оружности? 

at 2

11. Раета движется прямолинейно по заону s(t) = v0t + -------2 .

Через время t1 после начала движения от нее отделяется неоторый предмет, оторый продолжает двиаться по инерции. В аой момент времени t и аую новую сорость v надо придать предмету, чтобы, двиаясь дальше равномерно, он донал раету в момент t2, имея при этом одинаовую с ней сорость? Приведите еометричесую интерпретацию задачи. Каов заон движения этоо предмета?
12. Раета запущена по прямой из неоторой точи. Заон t2

движения раеты имеет вид s = ---2 (t l 0). В аой момент времени t0, считая от начала движения, следует отлючить двиатели, чтобы раета, двиаясь дальше по инерции с набранной соростью, оазалась в момент t1 на расстоянии s1 от первоначальной точи?

§ 52. Неопределенный интеграл

Г л а в а 10 Первообразная и интеграл

ax

∫ ax dx = --------ln a

§ 52. Неопределенный интеграл

∫ f(x) dx = F(x) + C,

(10)

(1)

∫

де C — произвольная постоянная (постоянная интерирования), называют неопределенным интералом от фунции f(x) на этом промежуте.

∫

Справедливы следующие формулы:

∫ af(x) dx = a ∫ f(x) dx,

(3)

де a — постоянная величина;

∫ (f1(x) ä f2(x)) dx = ∫ f1(x) dx ä ∫ f2(x) dx; ∫

1 f(ax + b) dx = --a- F(ax + b) + C

(4) (5)

(де F(x) — первообразная для f(x), a − 0 и b — постоянные).

xn + 1

∫

+ C; n − –1;

dx ------- = ln |x| + C; x

dx --------------- = –ctg x + C; sin 2 x

(12)

dx x ------------- = ln tg --sin x 2

1 dx ------------------ = ------- ln 2a x2 – a2

+ C;

x–a -------------x+a

(13)

+ C;

(14)

a − 0;

(15)

+ C;

(16)

a − 0;

(17)

x 2 + a 2 ) + C.

(18)

∫

dx x ----------------------- = arcsin --- + C, a 2 2 a –x

∫

dx ------------------------ = ln (x + x2 + a2

Чтобы вычислить неопределенный интерал (найти первообразную данной фунции), ео с помощью преобразований и правил интерирования сводят  табличному интералу. П р и м е р. Найти все первообразные фунции ( xm – xn )2 x

f(x) = ----------------------------- ,

Таблица основных неопределенных интералов ∫ xn dx = ------------n+1

(11)

x 1 dx ------------------- = --- arctg --- + C, a a x2 + a2

∫

Правила интерирования

dx --------------- = tg x + C; cos 2 x

π dx x ------------- = ln tg  --- + ---  4  cos x 2

∫

(6) (7)

(8)

∫ cos x dx = sin x + C;

∫

(2)

∫ ex dx = ex + C;

a > 0;

(9)

∫

Если на неотором промежуте F(x) — первообразная для f(x), то выражение

+ C,

∫ sin x dx = –cos x + C;

Дифференцируемую фунцию F(x) называют первообразной для фунции f(x) на данном промежуте, если при всех значениях x из этоо промежута справедливо равенство F ′(x) = f(x).

255

де m и n — целые числа. Р е ш е н и е. Преобразуем фунцию f(x)  виду f(x) = x

1 2m – --2

– 2x

1 m + n – --2

+ x

1 2n – --2

.

§ 52. Неопределенный интеграл

Г л а в а 10 Первообразная и интеграл

ax

∫ ax dx = --------ln a

§ 52. Неопределенный интеграл

∫ f(x) dx = F(x) + C,

(10)

(1)

∫

де C — произвольная постоянная (постоянная интерирования), называют неопределенным интералом от фунции f(x) на этом промежуте.

∫

Справедливы следующие формулы:

∫ af(x) dx = a ∫ f(x) dx,

(3)

де a — постоянная величина;

∫ (f1(x) ä f2(x)) dx = ∫ f1(x) dx ä ∫ f2(x) dx; ∫

1 f(ax + b) dx = --a- F(ax + b) + C

(4) (5)

(де F(x) — первообразная для f(x), a − 0 и b — постоянные).

xn + 1

∫

+ C; n − –1;

dx ------- = ln |x| + C; x

dx --------------- = –ctg x + C; sin 2 x

(12)

dx x ------------- = ln tg --sin x 2

1 dx ------------------ = ------- ln 2a x2 – a2

+ C;

x–a -------------x+a

(13)

+ C;

(14)

a − 0;

(15)

+ C;

(16)

a − 0;

(17)

x 2 + a 2 ) + C.

(18)

∫

dx x ----------------------- = arcsin --- + C, a 2 2 a –x

∫

dx ------------------------ = ln (x + x2 + a2

Чтобы вычислить неопределенный интерал (найти первообразную данной фунции), ео с помощью преобразований и правил интерирования сводят  табличному интералу. П р и м е р. Найти все первообразные фунции ( xm – xn )2 x

f(x) = ----------------------------- ,

Таблица основных неопределенных интералов ∫ xn dx = ------------n+1

(11)

x 1 dx ------------------- = --- arctg --- + C, a a x2 + a2

∫

Правила интерирования

dx --------------- = tg x + C; cos 2 x

π dx x ------------- = ln tg  --- + ---  4  cos x 2

∫

(6) (7)

(8)

∫ cos x dx = sin x + C;

∫

(2)

∫ ex dx = ex + C;

a > 0;

(9)

∫

Если на неотором промежуте F(x) — первообразная для f(x), то выражение

+ C,

∫ sin x dx = –cos x + C;

Дифференцируемую фунцию F(x) называют первообразной для фунции f(x) на данном промежуте, если при всех значениях x из этоо промежута справедливо равенство F ′(x) = f(x).

255

де m и n — целые числа. Р е ш е н и е. Преобразуем фунцию f(x)  виду f(x) = x

1 2m – --2

– 2x

1 m + n – --2

+ x

1 2n – --2

.

256

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

§ 52. Неопределенный интеграл

Используя правила интерирования (3), (4) и формулу (6), получим

∫ 1

- x = ------------------1

1 1  2m – 1--2m + n – --2n – ---  2 + x 2 – 2x  dx = x  

1 2m + --2

2m + --2

2

-x – -------------------------1

1 m + n + --2

m + n + --2

1

+ -----------------1- x

1 2n + --2

2n + --2

2x 2m x

4x m + n x

2x 2n x

2 + x2 – 2 – x2

-. 1. f(x) = -----------------------------------------------4




3. f(x) = x 1 – x .




x–1 ( 2x – 1 )

∫




10.

∫

–2 1  ( 1 – x 2 ) – 1/2 + 1 + ----------------------------------------- – 1/2 2   (1 – x ) –1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- dx. 2 – x2 – 2 1 – x2

 x x – 6 – 64 4x 2 ( 2x + 1 )  --------------------------------------- ---------------------------- – ---------------------------------1 4 1 – 2x  4 + 2x –1 + x –2 4 – --- + -----2 x x

∫




x

x 1 – --2

x

6. f(x) = --2-

1 – x2 + 1 ------------------------------------------- dx. 1 1 – x + -----------------1+x

17.

1+x.

18.

 2   2  ( x + 2 )  ------- – 1  – ( x – 2 )  ------- + 1   x   x  ------------------------------------------------------------------------------------------------------- dx.  2 2  ( 2 – x – 2 ) :  --- + 1 – -------  x x 

19.

9 x 4 + 5x 3 + 15x – 9 --------------------------------------------------- + -----4x x 6 + 3x 4 -----------------------------------------------------------------dx. x 3 – 4x + 3x 2 – 12 --------------------------------------------------x5

( x + 1 ) ( x2 – x) ------------------------------------------------- dx. x x+x+ x

  1 – x –2 2 x –2 – x -----------------------------------------------------------------------x 1/2 – x –1/2 – x 3/2 + x 1/2 – x –1/2  dx.  




( x 2/m – 9x 2/n ) ( x ( 1 – m )/m – 3x ( 1 – n )/n ) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- dx. ( x 1/m + 3x 1/n ) 2 – 12x ( m + n )/mn x 2 – 6x + 3  2 – x + 4x 2 + 5 -----------------------------------  x–1 ------------------------------------------------------------------------------- dx. 2x 2x + 1 + ------------x–1

4. f(x) = ------------------ .

4 8 4 + --- + -----2x x 2x -------------------------------------- 3 ---------------------------- dx. 2 (1 + x)3 1 + x

19.

 1 – x2 – 1  1–x 1+x -------------------------------  ----------------------------------------- + -------------------------------------------  dx. x 2+x–1 1 + x – 1 – x 1 x –  

16.

x

2 1 1 2 1 + ---  --- – t   4 t -------------------------------------------------------------------------------------- dt. 2 1 1 1 1 1 + --- --- – t – ---  --- – t    4 t 2 t

18.

∫

x–2 x

Упростив подынтеральное выражение, найдите неопределенный интерал: 17.

12.

15.

-. 2. f(x) = --------------------3

4–x

5. f(x) = ------------------------3- .

 x 1   x–1 x+1  -------------------------------------------- ------2 – 2 x   x + 1 – x – 1  dx.    

14.

Применяя правила интерирования и таблицу неопределенных интералов, найдите первообразную данной фунции:


∫

13.

-----------------------------------------------------Ответ. ---------------------4m + 1 – 2m + 2n + 1 + 4n + 1 + C.

2

11.

+C=

2x 2m x 4x m + n x 2x 2n x -----------------------------------------------------= ---------------------4m + 1 – 2m + 2n + 1 + 4n + 1 + C.

257

3

x + 2 – x2 6 1 – x 2 – x2 ------------------------------------------------------------------------------- dx. 3 1 – x2

20.

∫

21.

∫ 4 cos --2-

22.

∫ –4 sin --2-

x

21x

cos x sin ---------2 dx. x

11x

sin x sin ---------2 dx.

  dx.  

256

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

§ 52. Неопределенный интеграл

Используя правила интерирования (3), (4) и формулу (6), получим

∫ 1

- x = ------------------1

1 1  2m – 1--2m + n – --2n – ---  2 + x 2 – 2x  dx = x  

1 2m + --2

2m + --2

2

-x – -------------------------1

1 m + n + --2

m + n + --2

1

+ -----------------1- x

1 2n + --2

2n + --2

2x 2m x

4x m + n x

2x 2n x

2 + x2 – 2 – x2

-. 1. f(x) = -----------------------------------------------4




3. f(x) = x 1 – x .




x–1 ( 2x – 1 )

∫




10.

∫

–2 1  ( 1 – x 2 ) – 1/2 + 1 + ----------------------------------------- – 1/2 2   (1 – x ) –1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- dx. 2 – x2 – 2 1 – x2

 x x – 6 – 64 4x 2 ( 2x + 1 )  --------------------------------------- ---------------------------- – ---------------------------------1 4 1 – 2x  4 + 2x –1 + x –2 4 – --- + -----2 x x

∫




x

x 1 – --2

x

6. f(x) = --2-

1 – x2 + 1 ------------------------------------------- dx. 1 1 – x + -----------------1+x

17.

1+x.

18.

 2   2  ( x + 2 )  ------- – 1  – ( x – 2 )  ------- + 1   x   x  ------------------------------------------------------------------------------------------------------- dx.  2 2  ( 2 – x – 2 ) :  --- + 1 – -------  x x 

19.

9 x 4 + 5x 3 + 15x – 9 --------------------------------------------------- + -----4x x 6 + 3x 4 -----------------------------------------------------------------dx. x 3 – 4x + 3x 2 – 12 --------------------------------------------------x5

( x + 1 ) ( x2 – x) ------------------------------------------------- dx. x x+x+ x

  1 – x –2 2 x –2 – x -----------------------------------------------------------------------x 1/2 – x –1/2 – x 3/2 + x 1/2 – x –1/2  dx.  




( x 2/m – 9x 2/n ) ( x ( 1 – m )/m – 3x ( 1 – n )/n ) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- dx. ( x 1/m + 3x 1/n ) 2 – 12x ( m + n )/mn x 2 – 6x + 3  2 – x + 4x 2 + 5 -----------------------------------  x–1 ------------------------------------------------------------------------------- dx. 2x 2x + 1 + ------------x–1

4. f(x) = ------------------ .

4 8 4 + --- + -----2x x 2x -------------------------------------- 3 ---------------------------- dx. 2 (1 + x)3 1 + x

19.

 1 – x2 – 1  1–x 1+x -------------------------------  ----------------------------------------- + -------------------------------------------  dx. x 2+x–1 1 + x – 1 – x 1 x –  

16.

x

2 1 1 2 1 + ---  --- – t   4 t -------------------------------------------------------------------------------------- dt. 2 1 1 1 1 1 + --- --- – t – ---  --- – t    4 t 2 t

18.

∫

x–2 x

Упростив подынтеральное выражение, найдите неопределенный интерал: 17.

12.

15.

-. 2. f(x) = --------------------3

4–x

5. f(x) = ------------------------3- .

 x 1   x–1 x+1  -------------------------------------------- ------2 – 2 x   x + 1 – x – 1  dx.    

14.

Применяя правила интерирования и таблицу неопределенных интералов, найдите первообразную данной фунции:


∫

13.

-----------------------------------------------------Ответ. ---------------------4m + 1 – 2m + 2n + 1 + 4n + 1 + C.

2

11.

+C=

2x 2m x 4x m + n x 2x 2n x -----------------------------------------------------= ---------------------4m + 1 – 2m + 2n + 1 + 4n + 1 + C.

257

3

x + 2 – x2 6 1 – x 2 – x2 ------------------------------------------------------------------------------- dx. 3 1 – x2

20.

∫

21.

∫ 4 cos --2-

22.

∫ –4 sin --2-

x

21x

cos x sin ---------2 dx. x

11x

sin x sin ---------2 dx.

  dx.  

258

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

∫

24.

∫2

sin2 (3π

– 2x)

cos2 (5π

π π разную, рафи оторой проходит через точу M  --2- ; --4-  . 

+ 2x) dx.

Р е ш е н и е. Найдем неопределенный интерал от фунции f(x) = cos2 x:

25.

∫

3π - – 2x  cos 4x dx. ctg  ----- 4 

26.

∫

x x 7π  sin2  9π ------- + ---  – sin2  ------- + ---   dx. 4  4    8  8

27.

∫ (cos2 (45° – x) cos2 (60° + x) – cos 75° sin (75° – 2x)) dx. ∫

sin 2x + sin 5x – sin 3x ----------------------------------------------------------------- dx. cos x + 1 – 2 sin 2 2x

29.

∫

 ctg 2 2x – 1   -----------------------------2 ctg 2x – cos 8x ctg 4x  dx.  

30.

∫

cos 4x + 1 ------------------------------- dx. ctg x – tg x

31.

∫

 sin α sin (x – α) + sin2  x --- – α   dx.  2 

28.

32.

∫ cos2 x dx = ∫

∫ tg2 x dx.

34.

∫ ctg2 x dx.

1 1 1 + cos 2x ---------------------------- dx = --- x + --- sin 2x + C. 4 2 2

Чтобы из всех найденных первообразных выбрать исомую, воспользуемся равенством (2) и составим уравнение π 1 1 π --- · --- + --- sin π + C = --- , 4 4 2 2

отуда находим C = 0. 1

1

Ответ. F(x) = --2- x + --4- sin 2x. 1. Найдите уравнение таой ривой, проходящей через точу A(1; 2), у оторой таненс ула налона асательной в аждой точе в 3 раза больше вадрата абсциссы этой точи. 2. Найдите уравнение таой ривой, проходящей через точу A(1; 1), у оторой таненс ула налона в аждой точе равен удвоенной абсциссе этой точи. 3. Найдите уравнение ривой, проходящей через точу A(0; –1), если все ее асательные параллельны прямой y = 5x – 3.

  1 + sin 2α  ---------------------------------------------------------------------- + cos2 α  dα.   5π   cos (2α – 2π) ctg  α – ----- 4

33.

259

П р и м е р 1. Для фунции f(x) = cos2 x найти ту первооб-

π 2 2 cos α sin  --4- + 2α  dα.  

23.

§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных

Если рафии дифференцируемых фунций y = f1(x) и y = f2(x) асаются дру друа в точе M(x0; y0), то выполняются соотношения f1 (x0) = f2 (x0), (3) f 1′ (x0) = f 2′ (x0).

§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных Пусть f(x) — данная фунция, а F(x) — одна из ее первообразных. Тода для фунции f(x) той первообразной, рафи оторой проходит через точу M(x0; y0), является фунция G(x) = F(x) + C,

П р и м е р 2. Найти все первообразные фунции y = x + 2, асающиеся ривой y = x2. Р е ш е н и е. Та а фунция y = x + 2 является производной любой своей первообразной, то, соласно соотношению (4), уравнение для нахождения абсциссы точи асания имеет вид 2x = x + 2.

(1)

Корень этоо уравнения есть x = 2. Значение фунции y = x2 в точе x = 2 равно 4. Следовательно, из всех первообразных

(2)

фунции y = x + 2, т. е. из фунций вида f(x) = --2- x2 + 2x + C,

де постоянная C удовлетворяет уравнению F(x0) + C = y0.

(4)

1

258

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

∫

24.

∫2

sin2 (3π

– 2x)

cos2 (5π

π π разную, рафи оторой проходит через точу M  --2- ; --4-  . 

+ 2x) dx.

Р е ш е н и е. Найдем неопределенный интерал от фунции f(x) = cos2 x:

25.

∫

3π - – 2x  cos 4x dx. ctg  ----- 4 

26.

∫

x x 7π  sin2  9π ------- + ---  – sin2  ------- + ---   dx. 4  4    8  8

27.

∫ (cos2 (45° – x) cos2 (60° + x) – cos 75° sin (75° – 2x)) dx. ∫

sin 2x + sin 5x – sin 3x ----------------------------------------------------------------- dx. cos x + 1 – 2 sin 2 2x

29.

∫

 ctg 2 2x – 1   -----------------------------2 ctg 2x – cos 8x ctg 4x  dx.  

30.

∫

cos 4x + 1 ------------------------------- dx. ctg x – tg x

31.

∫

 sin α sin (x – α) + sin2  x --- – α   dx.  2 

28.

32.

∫ cos2 x dx = ∫

∫ tg2 x dx.

34.

∫ ctg2 x dx.

1 1 1 + cos 2x ---------------------------- dx = --- x + --- sin 2x + C. 4 2 2

Чтобы из всех найденных первообразных выбрать исомую, воспользуемся равенством (2) и составим уравнение π 1 1 π --- · --- + --- sin π + C = --- , 4 4 2 2

отуда находим C = 0. 1

1

Ответ. F(x) = --2- x + --4- sin 2x. 1. Найдите уравнение таой ривой, проходящей через точу A(1; 2), у оторой таненс ула налона асательной в аждой точе в 3 раза больше вадрата абсциссы этой точи. 2. Найдите уравнение таой ривой, проходящей через точу A(1; 1), у оторой таненс ула налона в аждой точе равен удвоенной абсциссе этой точи. 3. Найдите уравнение ривой, проходящей через точу A(0; –1), если все ее асательные параллельны прямой y = 5x – 3.

  1 + sin 2α  ---------------------------------------------------------------------- + cos2 α  dα.   5π   cos (2α – 2π) ctg  α – ----- 4

33.

259

П р и м е р 1. Для фунции f(x) = cos2 x найти ту первооб-

π 2 2 cos α sin  --4- + 2α  dα.  

23.

§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных

Если рафии дифференцируемых фунций y = f1(x) и y = f2(x) асаются дру друа в точе M(x0; y0), то выполняются соотношения f1 (x0) = f2 (x0), (3) f 1′ (x0) = f 2′ (x0).

§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных Пусть f(x) — данная фунция, а F(x) — одна из ее первообразных. Тода для фунции f(x) той первообразной, рафи оторой проходит через точу M(x0; y0), является фунция G(x) = F(x) + C,

П р и м е р 2. Найти все первообразные фунции y = x + 2, асающиеся ривой y = x2. Р е ш е н и е. Та а фунция y = x + 2 является производной любой своей первообразной, то, соласно соотношению (4), уравнение для нахождения абсциссы точи асания имеет вид 2x = x + 2.

(1)

Корень этоо уравнения есть x = 2. Значение фунции y = x2 в точе x = 2 равно 4. Следовательно, из всех первообразных

(2)

фунции y = x + 2, т. е. из фунций вида f(x) = --2- x2 + 2x + C,

де постоянная C удовлетворяет уравнению F(x0) + C = y0.

(4)

1

260

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

требуется найти ту, рафи оторой проходит через точу M(2; 4). Постоянную C найдем из условия 1

§ 54. Определенный интеграл

261

ной соростью 2p м/ч. При аих значениях p второй пешеход доонит первоо? Найдите значение p, при отором пешеходы поравняются тольо один раз.

f(2) = --2- · 4 + 2 · 2 + + C = 4 ^ C = –2.

§ 54. Определенный интеграл

1

Ответ. F(x) = --2- x2 + 2x – 2. 4. Найдите ту первообразную фунции f(x) = x, рафи оторой асается прямой y = x – 1. 5. Найдите все первообразные фунции f1(x) = x2, рафии оторых асаются параболы f2(x) = x2 + 1.

Определенным интералом на промежуте [a; b] от непрерывной фунции f(x) называют приращение F(b) – F(a) любой первообразной F этой фунции на промежуте [a; b]. Опредеb

ленный интерал обозначают та:

3 6. Найдите все первообразные фунции f(x) = --x- , рафии

оторых асаются ривой y = x3. Если тело движется со соростью, изменяющейся по заону v = f(t),

(5)

то зависимость пути, пройденноо телом, от времени t имеет вид s(t) = F(t) + C, (6) де F(t) — неоторая первообразная фунции f(t), а постоянная C находится из дополнительных условий. П р и м е р 3. Тело движется прямолинейно со соростью, изменяющейся по заону v = 2t м/с. Найти заон движения тела, если известно, что за первые 2 с оно прошло 15 м. Р е ш е н и е. Множеством всех первообразных фунции v(t) = 2t является s(t) = t2 + C. Соласно условию, имеем

a b

∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

(формла Ньютона—Лейбница).

Здесь a и b — нижний и верхний предел интерирования соответственно; f(x) — подынтеральная фунция. Разность F(b) – F(a), записанная в правой части формулы (1), инода обозначается F(x)

b a

.

Для тоо чтобы вычислить определенный интерал от фунции f(x) на промежуте [a; b], необходимо найти любую первообразную фунции и вычислить разность ее значений в правом и левом онцах промежута [a; b]. Правила интерирования b

b

b

∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; a

отуда C = 11. Ита, заон движения тела имеет вид s(t) = t2 + 11.

a b

∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx; a

7. Материальная точа движется прямолинейно со соростью v(t) = sin t cos t м/с. Найдите уравнение движения точи,

∫

17

kb + p

1

f(kx + p) dx = --k-

a b

c

∫

f(t) dt,

a

k − 0;

(4)

c Ý [a; b].

(5)

ka + p b

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx, a

(3)

a

b

если при t = --3- с пройденный путь составляет -----8 м.

(2)

a

b

Ответ. s(t) = t2 + 11.

8. Первый пешеход вышел из пунта A со соростью, изменяющейся по заону v(t) = 2t, а второй в тот же момент вышел из пунта B, отстоящео от A на 4 м, вслед за первым с постоян-

(1)

a

s(2) = 22 + C = 15,

π

∫ f(x) dx. Следовательно,

c

260

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

требуется найти ту, рафи оторой проходит через точу M(2; 4). Постоянную C найдем из условия 1

§ 54. Определенный интеграл

261

ной соростью 2p м/ч. При аих значениях p второй пешеход доонит первоо? Найдите значение p, при отором пешеходы поравняются тольо один раз.

f(2) = --2- · 4 + 2 · 2 + + C = 4 ^ C = –2.

§ 54. Определенный интеграл

1

Ответ. F(x) = --2- x2 + 2x – 2. 4. Найдите ту первообразную фунции f(x) = x, рафи оторой асается прямой y = x – 1. 5. Найдите все первообразные фунции f1(x) = x2, рафии оторых асаются параболы f2(x) = x2 + 1.

Определенным интералом на промежуте [a; b] от непрерывной фунции f(x) называют приращение F(b) – F(a) любой первообразной F этой фунции на промежуте [a; b]. Опредеb

ленный интерал обозначают та:

3 6. Найдите все первообразные фунции f(x) = --x- , рафии

оторых асаются ривой y = x3. Если тело движется со соростью, изменяющейся по заону v = f(t),

(5)

то зависимость пути, пройденноо телом, от времени t имеет вид s(t) = F(t) + C, (6) де F(t) — неоторая первообразная фунции f(t), а постоянная C находится из дополнительных условий. П р и м е р 3. Тело движется прямолинейно со соростью, изменяющейся по заону v = 2t м/с. Найти заон движения тела, если известно, что за первые 2 с оно прошло 15 м. Р е ш е н и е. Множеством всех первообразных фунции v(t) = 2t является s(t) = t2 + C. Соласно условию, имеем

a b

∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

(формла Ньютона—Лейбница).

Здесь a и b — нижний и верхний предел интерирования соответственно; f(x) — подынтеральная фунция. Разность F(b) – F(a), записанная в правой части формулы (1), инода обозначается F(x)

b a

.

Для тоо чтобы вычислить определенный интерал от фунции f(x) на промежуте [a; b], необходимо найти любую первообразную фунции и вычислить разность ее значений в правом и левом онцах промежута [a; b]. Правила интерирования b

b

b

∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; a

отуда C = 11. Ита, заон движения тела имеет вид s(t) = t2 + 11.

a b

∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx; a

7. Материальная точа движется прямолинейно со соростью v(t) = sin t cos t м/с. Найдите уравнение движения точи,

∫

17

kb + p

1

f(kx + p) dx = --k-

a b

c

∫

f(t) dt,

a

k − 0;

(4)

c Ý [a; b].

(5)

ka + p b

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx, a

(3)

a

b

если при t = --3- с пройденный путь составляет -----8 м.

(2)

a

b

Ответ. s(t) = t2 + 11.

8. Первый пешеход вышел из пунта A со соростью, изменяющейся по заону v(t) = 2t, а второй в тот же момент вышел из пунта B, отстоящео от A на 4 м, вслед за первым с постоян-

(1)

a

s(2) = 22 + C = 15,

π

∫ f(x) dx. Следовательно,

c

262

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл П р и м е р 1. Вычислить определенный интерал

1

cos4 x dx.

0

1

Р е ш е н и е. Преобразуем подынтеральную фунцию следующим образом: 2

1 + cos 2x  cos4 x =  --------------------------2  

263

Воспользуемся формулой (4) при k = – --3- , p = 2; для этоо сначала найдем нижний и верхний пределы интерирования в правой части этой формулы:

π/2

∫

§ 54. Определенный интеграл

1

= --4- (1 + 2 cos 2x + cos2 2x) =

ka + p = – --3- · 3 + 2 = 1,

1 kb + p = (–18)  – --3-  + 2 = 8.  

x

1 Далее, полаая 2 – --3- = t, находим – --3- dx = dt, отуда dx = –3 dt.

Теперь, соласно формуле (4), получаем 1 1 1 1 + cos 4x  3 - = --- + --- cos 2x + --- cos 4x. = --4-  1 + 2 cos 2x + --------------------------8 2 2 8  

Для фунции

cos4 x

первообразной является фунция

1/3 2– x ---  dx = –3 3  

∫

3

1

1

3

– 18

0

1 1 3  cos4 x dx =  --8- x + --4- sin 2x + -----32 sin 4x  

π/2 0

1

2.

∫

4.

cos x sin x dx.

0

3

3

∫

3

2 – x ---  3  

1

7/3

∫

3

x – 1 dx.

10.

∫

0

∫

1

(sin 2t – cos 2t)2 dt.

12.

∫

0

∫

x+1 ----------------------- dx. 3 3x + 1

x dx ---------------------2- . (x + 1 )

(tg x + ctg x)–1 dx.

π/3

14. π/6

  1  1 – ---------------------------------------------------3π  1 – sin –1  2x + -------  2 

π

dx.

dx ------------------------------------------- . x–1+ 1+x

π/6

x

1/3

∫

9

0

Р е ш е н и е. Перепишем данный интерал в виде – 18

8.

2

(x – 2) 3x – 1 dx.

1/3

13.

2 – --3- dx.




x dx ------------------ . x 2 – --2 –4

π/4

П р и м е р 2. Вычислить интерал

∫

6.

π/4

∫ cos x sin 3x dx. 0

– 18

∫

11.

π




2

1

- ) dx. (4x – -----2x

0,5

π/2

3.

∫

dx ------------------ . x 5 + --2 –8

7.

9.

1

2

5/3


4x – 2 x -------------------------- dx. x

∫

3π

= -----16 .

Вычислите интерал: 1.

8

5.

3π Ответ. -----16 .

4

1

1

9 = –36 + --4- = –33,75.

Вычислите интерал:

Вычислим определенный интерал по формуле Ньютона—Лейбница:

∫

8

3t 4/3

∫ t1/3 dt = (–3) ------------4

Ответ. –33,75.

F(x) = --8- x + --4- sin 2x + -----32 sin 4x.

π/2

8

15.

∫

0

 cos2 

   dx.  

x x 11π  3π ------- – ---  – cos2  ---------- + ---   dx. 4  4   8  8

262

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл П р и м е р 1. Вычислить определенный интерал

1

cos4 x dx.

0

1

Р е ш е н и е. Преобразуем подынтеральную фунцию следующим образом: 2

1 + cos 2x  cos4 x =  --------------------------2  

263

Воспользуемся формулой (4) при k = – --3- , p = 2; для этоо сначала найдем нижний и верхний пределы интерирования в правой части этой формулы:

π/2

∫

§ 54. Определенный интеграл

1

= --4- (1 + 2 cos 2x + cos2 2x) =

ka + p = – --3- · 3 + 2 = 1,

1 kb + p = (–18)  – --3-  + 2 = 8.  

x

1 Далее, полаая 2 – --3- = t, находим – --3- dx = dt, отуда dx = –3 dt.

Теперь, соласно формуле (4), получаем 1 1 1 1 + cos 4x  3 - = --- + --- cos 2x + --- cos 4x. = --4-  1 + 2 cos 2x + --------------------------8 2 2 8  

Для фунции

cos4 x

первообразной является фунция

1/3 2– x ---  dx = –3 3  

∫

3

1

1

3

– 18

0

1 1 3  cos4 x dx =  --8- x + --4- sin 2x + -----32 sin 4x  

π/2 0

1

2.

∫

4.

cos x sin x dx.

0

3

3

∫

3

2 – x ---  3  

1

7/3

∫

3

x – 1 dx.

10.

∫

0

∫

1

(sin 2t – cos 2t)2 dt.

12.

∫

0

∫

x+1 ----------------------- dx. 3 3x + 1

x dx ---------------------2- . (x + 1 )

(tg x + ctg x)–1 dx.

π/3

14. π/6

  1  1 – ---------------------------------------------------3π  1 – sin –1  2x + -------  2 

π

dx.

dx ------------------------------------------- . x–1+ 1+x

π/6

x

1/3

∫

9

0

Р е ш е н и е. Перепишем данный интерал в виде – 18

8.

2

(x – 2) 3x – 1 dx.

1/3

13.

2 – --3- dx.




x dx ------------------ . x 2 – --2 –4

π/4

П р и м е р 2. Вычислить интерал

∫

6.

π/4

∫ cos x sin 3x dx. 0

– 18

∫

11.

π




2

1

- ) dx. (4x – -----2x

0,5

π/2

3.

∫

dx ------------------ . x 5 + --2 –8

7.

9.

1

2

5/3


4x – 2 x -------------------------- dx. x

∫

3π

= -----16 .

Вычислите интерал: 1.

8

5.

3π Ответ. -----16 .

4

1

1

9 = –36 + --4- = –33,75.

Вычислите интерал:

Вычислим определенный интерал по формуле Ньютона—Лейбница:

∫

8

3t 4/3

∫ t1/3 dt = (–3) ------------4

Ответ. –33,75.

F(x) = --8- x + --4- sin 2x + -----32 sin 4x.

π/2

8

15.

∫

0

 cos2 

   dx.  

x x 11π  3π ------- – ---  – cos2  ---------- + ---   dx. 4  4   8  8

264

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

Если подынтеральная фунция представляет собой выражение, содержащее переменную под знаом модуля, то вычисление определенноо интерала можно свести  вычислению суммы определенных интералов, у оторых подынтеральные фунции не содержат переменную под знаом модуля. П р и м е р 3. Вычислить интерал 5

§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом 1/2

22.

∫

– 1/2

2    x + 1 2 x–1   ------------  ------------x–1  +  x+1  – 2  

3π/2

23.

∫

∫

x

=

∫ (| x – 3 | + | 1 – x |) dx = 3

3

3 1

+

(x2

– 4x)

5 3

1

∫ (t + 1) dt

F(x) =

0

на промежуте [2; 3]. Р е ш е н и е. Найдем ритичесие точи фунции F(x). Та а F(x) — первообразная фунции x + 1, то F ′(x) = x + 1;

2

∫

– 2x + 1 dx.

17.

–1

∫

18.

∫

x 2 – 2x + 1 dx.

0

π/2

π

1–

cos 2 x

dx.

– π/4

19.

∫

∫

3 3

∫

0

фунция F ′(x) не обращается в нуль на промежуте [2; 3] и является положительной. Следовательно, фунция достиает наибольшео значения на правом онце отреза, а наименьшео — на левом:

1 – sin 2x dx.

0

3

max

x Ý [2; 3]

5

21.

П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции

3

Вычислите интерал:

20.

называют таую первообразную фунции f(x) ( F ′(x) = f(x)), значение оторой в точе a равно нулю.

= 4 + 8 = 12.

Ответ. 12.

16.

 

(1)

x

∫ 2 dx + ∫ (2x – 4) dx = 2x

x2

∫ f(t) dt a

5

1

1 + cos 2x dx.

§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом

F(x) =

5

1

∫

Интералом с переменным верхним пределом

x m 1, 1 < x < 3, x l 3.

Воспользовавшись свойством (5) определенноо интерала, получаем

(| x – 3 | + | 1 – x |) dx +

dx.

π/4

Р е ш е н и е. Представим подынтеральную фунцию в виде

3

24.

1 – cos 2x dx.

π/2

∫ (| x – 3 | + | 1 – x |) dx.

4 – 2x, 2, 2x – 4,

1/2

3π/2

1

f(x) =

265

x + 2 2x – 4 +

 x 2 – 4x + 4  dx. 

∫

0

x – 2 2x – 4  dx.

2

min

 1 - +  ----------------------------------2  x + 4x + 4

F(x) = F(3) =

x Ý [2; 3]

F(x) = F(2) =

Ответ. max

x Ý [2; 3]

∫

0

  t2 - + t (t + 1) dt =  ---2     t2 (t + 1) dt =  ---2 + t  

F(x) = 7,5,

min

x Ý [2; 3]

F(x) = 4.

3

= 7,5; 0 2

= 4. 0

264

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

Если подынтеральная фунция представляет собой выражение, содержащее переменную под знаом модуля, то вычисление определенноо интерала можно свести  вычислению суммы определенных интералов, у оторых подынтеральные фунции не содержат переменную под знаом модуля. П р и м е р 3. Вычислить интерал 5

§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом 1/2

22.

∫

– 1/2

2    x + 1 2 x–1   ------------  ------------x–1  +  x+1  – 2  

3π/2

23.

∫

∫

x

=

∫ (| x – 3 | + | 1 – x |) dx = 3

3

3 1

+

(x2

– 4x)

5 3

1

∫ (t + 1) dt

F(x) =

0

на промежуте [2; 3]. Р е ш е н и е. Найдем ритичесие точи фунции F(x). Та а F(x) — первообразная фунции x + 1, то F ′(x) = x + 1;

2

∫

– 2x + 1 dx.

17.

–1

∫

18.

∫

x 2 – 2x + 1 dx.

0

π/2

π

1–

cos 2 x

dx.

– π/4

19.

∫

∫

3 3

∫

0

фунция F ′(x) не обращается в нуль на промежуте [2; 3] и является положительной. Следовательно, фунция достиает наибольшео значения на правом онце отреза, а наименьшео — на левом:

1 – sin 2x dx.

0

3

max

x Ý [2; 3]

5

21.

П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции

3

Вычислите интерал:

20.

называют таую первообразную фунции f(x) ( F ′(x) = f(x)), значение оторой в точе a равно нулю.

= 4 + 8 = 12.

Ответ. 12.

16.

 

(1)

x

∫ 2 dx + ∫ (2x – 4) dx = 2x

x2

∫ f(t) dt a

5

1

1 + cos 2x dx.

§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом

F(x) =

5

1

∫

Интералом с переменным верхним пределом

x m 1, 1 < x < 3, x l 3.

Воспользовавшись свойством (5) определенноо интерала, получаем

(| x – 3 | + | 1 – x |) dx +

dx.

π/4

Р е ш е н и е. Представим подынтеральную фунцию в виде

3

24.

1 – cos 2x dx.

π/2

∫ (| x – 3 | + | 1 – x |) dx.

4 – 2x, 2, 2x – 4,

1/2

3π/2

1

f(x) =

265

x + 2 2x – 4 +

 x 2 – 4x + 4  dx. 

∫

0

x – 2 2x – 4  dx.

2

min

 1 - +  ----------------------------------2  x + 4x + 4

F(x) = F(3) =

x Ý [2; 3]

F(x) = F(2) =

Ответ. max

x Ý [2; 3]

∫

0

  t2 - + t (t + 1) dt =  ---2     t2 (t + 1) dt =  ---2 + t  

F(x) = 7,5,

min

x Ý [2; 3]

F(x) = 4.

3

= 7,5; 0 2

= 4. 0

266

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на уазанном промежуте: x

1. F(x) =

∫ sin t dt,

π

0; --2-

xÝ

.

0

§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть тело движется прямолинейно со соростью v(t); A — неоторая точа на траетории ео движения. Если в момент времени t = t0 расстояние между движущимся телом и точой A равно s0, то в любой момент t > t0 расстояние от движущеося тела до точи A вычисляется по формуле

x

2. F(x) =

∫ (2t – 5) dt,

t

x Ý [–1; 3].

s(t) =

0

∫ (t2 – 5t + 6) dt,

x Ý [0; 4].

v(x) dx = s0.

(2)

П р и м е р 2. Сорость движущеося прямолинейно тела ме-

0

x

4. F(x) =

∫ t0

x

3. F(x) =

267

∫ | t | dt,

xÝ

1

1

– --2- ; --2-

.

1

5. Запишите уравнения асательных  рафиу фунции

няется по заону v(t) = t + 2t (м/ч). В момент времени t = 1 ч оно находилось в 5 м от пунта A, расположенноо на траетории движения тела. На аом расстоянии от пунта A оажется тело в момент t = 3 ч? Р е ш е н и е. Используя соотношения (1) и (2), представим оординату тела а фунцию времени в виде

x

F(x) =

∫ (2t – 5) dt

t

s(t) =

2

в точах ео пересечения с осью абсцисс. 6. Найдите абсциссы точе пересечения рафиов фунций x

F1(x) =

∫

F2(x) =

2

∫

3

x

∫ (2t – 5) dt,

s(3) =

∫

1

7. Найдите точи пересечения рафиов фунций F1(x) =

Вычислим значение s(t) при t = 3: 3

(2t – 5) dt.

x + 2x) dx + 5.

1

x

(2t – 5) dt,

∫(

 2t 3/2  - + t2  ( t + 2t) dt + 5 =  ------------3   2

3

+5= 1

1

= 2 3 + 9 – --3- – 1 + 5 = 12 --3- + 2 3 .

x

F2(x) =

2

∫ 2t dt.

1 Ответ. На расстоянии  12 --3- + 2 3  м от пунта A.

0

x

8. Найдите ту первообразную фунции F(x) =

∫ (2t – 5) dt,

3

рафи оторой проходит через начало оординат. x

9. Для рафиа фунции F(x) =

∫ 2| t | dt найдите асатель-

0

ные, параллельные биссетрисе первоо оординатноо ула.

10. Сорость движения тела пропорциональна вадрату времени. Найдите зависимость между пройденным расстоянием и временем, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см, а движение началось в момент времени t = 0.
11. Сила, действующая на материальное тело, равномерно меняется относительно пройденноо пути. В начале пути она была равна 100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила возросла до 600 Н. Найдите фунцию, определяющую зависимость работы от пути.

266

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на уазанном промежуте: x

1. F(x) =

∫ sin t dt,

π

0; --2-

xÝ

.

0

§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть тело движется прямолинейно со соростью v(t); A — неоторая точа на траетории ео движения. Если в момент времени t = t0 расстояние между движущимся телом и точой A равно s0, то в любой момент t > t0 расстояние от движущеося тела до точи A вычисляется по формуле

x

2. F(x) =

∫ (2t – 5) dt,

t

x Ý [–1; 3].

s(t) =

0

∫ (t2 – 5t + 6) dt,

x Ý [0; 4].

v(x) dx = s0.

(2)

П р и м е р 2. Сорость движущеося прямолинейно тела ме-

0

x

4. F(x) =

∫ t0

x

3. F(x) =

267

∫ | t | dt,

xÝ

1

1

– --2- ; --2-

.

1

5. Запишите уравнения асательных  рафиу фунции

няется по заону v(t) = t + 2t (м/ч). В момент времени t = 1 ч оно находилось в 5 м от пунта A, расположенноо на траетории движения тела. На аом расстоянии от пунта A оажется тело в момент t = 3 ч? Р е ш е н и е. Используя соотношения (1) и (2), представим оординату тела а фунцию времени в виде

x

F(x) =

∫ (2t – 5) dt

t

s(t) =

2

в точах ео пересечения с осью абсцисс. 6. Найдите абсциссы точе пересечения рафиов фунций x

F1(x) =

∫

F2(x) =

2

∫

3

x

∫ (2t – 5) dt,

s(3) =

∫

1

7. Найдите точи пересечения рафиов фунций F1(x) =

Вычислим значение s(t) при t = 3: 3

(2t – 5) dt.

x + 2x) dx + 5.

1

x

(2t – 5) dt,

∫(

 2t 3/2  - + t2  ( t + 2t) dt + 5 =  ------------3   2

3

+5= 1

1

= 2 3 + 9 – --3- – 1 + 5 = 12 --3- + 2 3 .

x

F2(x) =

2

∫ 2t dt.

1 Ответ. На расстоянии  12 --3- + 2 3  м от пунта A.

0

x

8. Найдите ту первообразную фунции F(x) =

∫ (2t – 5) dt,

3

рафи оторой проходит через начало оординат. x

9. Для рафиа фунции F(x) =

∫ 2| t | dt найдите асатель-

0

ные, параллельные биссетрисе первоо оординатноо ула.

10. Сорость движения тела пропорциональна вадрату времени. Найдите зависимость между пройденным расстоянием и временем, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см, а движение началось в момент времени t = 0.
11. Сила, действующая на материальное тело, равномерно меняется относительно пройденноо пути. В начале пути она была равна 100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила возросла до 600 Н. Найдите фунцию, определяющую зависимость работы от пути.

268

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

12. Тело движется равноусоренно, причем известно, что ео сорость  моменту t = 2 с достила 4 м/с, а пройденный путь стал равен 3 м. Найдите заон движения тела. 13. При постоянном усорении тело за первую сеунду преодолело расстояние 4 м от пунта A, а за первые 3 с расстояние между ними возросло до 16 м. Найдите зависимость расстояния, пройденноо телом, от времени, если известно, что при t = 0 тело находилось в пунте A.

§ 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интегралов Решите неравенство: π

11.

12.

1 (3 – x)

ln --------------------3-

6 x --- sin 2 --- dx ′ π 2 0 - > 0. – ----------------------------------x+2

∫

π

5x – 6 – x 2 + --2-

∫ dz > x ∫ sin2 x dx.

13.

x 2 – x – 12 –

0

f(x) = Ax2 + Bx + C удовлетворяет условиям 1

f ′(1) = 8,

f(2) + f ′′(2) = 33,

0

cos 2x dx.

0

12. Найдите все значения α из промежута [0; 2π], удовлетворяющие уравнению

14. Найдите таие числа A и B, чтобы фунция

α

∫

f(x) = A sin πx + B

∫ f(x) dx = 4.

0

5. Найдите все числа a (a > 0), для оторых a

∫ (2 – 4x + 3x2) dx m a. 0

6. Найдите все решения уравнения α

∫ cos (x + α2) dx = sin α,

0

принадлежащие промежуту [2; 3].

sin x dx = sin 2α.

π/2

2

удовлетворяла условиям f ′(1) = 2,

7

∫ f(x) dx = --3- .

0

π/2

∫ dz < x ∫

269

7. Два тела начинают двиаться по прямой одновременно из одноо и тоо же места в одном направлении. Сорости точе равны v1(t) = 3t2 м/с, v2(t) = 2t м/с. Через сольо сеунд расстояние между телами составит 216 м? 8. Доажите, что любая первообразная нечетной непрерывной фунции, определенной на промежуте [–a; a], есть фунция четная. 9. Доажите, что четная непрерывная фунция, определенная на промежуте [–a; a], имеет на этом промежуте по райней мере одну нечетную первообразную. 10. Справедливо ли следующее утверждение: для тоо чтобы любая первообразная непрерывной фунции f(x) была четной на промежуте [–a; a], необходимо и достаточно, чтобы фунция f(x) была нечетной на этом промежуте? 11. Найдите значения A, B, C, при оторых фунция

π

x

0 x

§ 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интегралов

13. Найдите положительные значения a, оторые удовлетворяют уравнению a

∫ (3x2 + 4x – 5) dx = a3 – 2.

0

14. Найдите все значения α из промежута [–π; 0], удовлетворяющие уравнению 2α

sin α +

∫

α

cos 2x dx = 0.

268

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

12. Тело движется равноусоренно, причем известно, что ео сорость  моменту t = 2 с достила 4 м/с, а пройденный путь стал равен 3 м. Найдите заон движения тела. 13. При постоянном усорении тело за первую сеунду преодолело расстояние 4 м от пунта A, а за первые 3 с расстояние между ними возросло до 16 м. Найдите зависимость расстояния, пройденноо телом, от времени, если известно, что при t = 0 тело находилось в пунте A.

§ 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интегралов Решите неравенство: π

11.

12.

1 (3 – x)

ln --------------------3-

6 x --- sin 2 --- dx ′ π 2 0 - > 0. – ----------------------------------x+2

∫

π

5x – 6 – x 2 + --2-

∫ dz > x ∫ sin2 x dx.

13.

x 2 – x – 12 –

0

f(x) = Ax2 + Bx + C удовлетворяет условиям 1

f ′(1) = 8,

f(2) + f ′′(2) = 33,

0

cos 2x dx.

0

12. Найдите все значения α из промежута [0; 2π], удовлетворяющие уравнению

14. Найдите таие числа A и B, чтобы фунция

α

∫

f(x) = A sin πx + B

∫ f(x) dx = 4.

0

5. Найдите все числа a (a > 0), для оторых a

∫ (2 – 4x + 3x2) dx m a. 0

6. Найдите все решения уравнения α

∫ cos (x + α2) dx = sin α,

0

принадлежащие промежуту [2; 3].

sin x dx = sin 2α.

π/2

2

удовлетворяла условиям f ′(1) = 2,

7

∫ f(x) dx = --3- .

0

π/2

∫ dz < x ∫

269

7. Два тела начинают двиаться по прямой одновременно из одноо и тоо же места в одном направлении. Сорости точе равны v1(t) = 3t2 м/с, v2(t) = 2t м/с. Через сольо сеунд расстояние между телами составит 216 м? 8. Доажите, что любая первообразная нечетной непрерывной фунции, определенной на промежуте [–a; a], есть фунция четная. 9. Доажите, что четная непрерывная фунция, определенная на промежуте [–a; a], имеет на этом промежуте по райней мере одну нечетную первообразную. 10. Справедливо ли следующее утверждение: для тоо чтобы любая первообразная непрерывной фунции f(x) была четной на промежуте [–a; a], необходимо и достаточно, чтобы фунция f(x) была нечетной на этом промежуте? 11. Найдите значения A, B, C, при оторых фунция

π

x

0 x

§ 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интегралов

13. Найдите положительные значения a, оторые удовлетворяют уравнению a

∫ (3x2 + 4x – 5) dx = a3 – 2.

0

14. Найдите все значения α из промежута [–π; 0], удовлетворяющие уравнению 2α

sin α +

∫

α

cos 2x dx = 0.

270

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

§ 57. Вычисление площадей фигур

b

S=

f(x)

a

x

y2 = f2(x) y1 = f1(x)

a

b

O

x

Рис. 17

y d

Если при всех x из промежута [a; b] выполняется условие f2(x) l f1(x), то площадь фиуры, ораниченной рафиами непрерывных фунций y = = f1(x), y = f2(x) и отрезами прямых x = a, x = b (рис. 17), вычисляется по формуле b

S=

∫ (f2(x) – f1(x)) dx.

(2)

x1 = ϕ1(y)

x2 = ϕ2(y)

O

x

Если при всех y из промежута [c; d] выполняется условие ϕ2(y) l ϕ1(y), то площадь фиуры, залюченной между отрезами прямых y = c, y = d и рафиами непрерывных фунций x = ϕ1(y), x = ϕ2(y) (рис. 18), вычисляется по формуле S=

∫ (ϕ2(y) – ϕ1(y)) dy.

(3)

c

П р и м е р 1. Найти площадь фиуры, ораниченной линиями x = 0, π x = --2- , f1(x) = sin x, f2(x) = cos x.

Р е ш е н и е. Посольу зна разности f2(x) – f1(x) на промежуте

π

0; --2-

π π --- ; --4 2

, и

π sin x < cos x при x Ý 0; --4-  , то, используя формулу (2), получаем 

S=

∫

π/2

(cos x – sin x) dx +

0

∫

(sin x – cos x) dx =

π/4

= (sin x + cos x)

π/4 0

+ (–cos x – sin x)

= ( 2 – 1) + (–1 +

π/2 π/4

=

2 ) = 2( 2 – 1).

Ответ. S = 2( 2 – 1). Заметим, что в силу симметрии фиуры относительно пряπ

мой x = --4- ее площадь можно было вычислить по формуле

a

d

c

Рис. 18

π

является точа x = --4- . Та а sin x l cos x при x Ý

π/4

Рис. 16

y

(1)

π

0; --2-

ным орнем отороо, принадлежащим промежуту

a

b

O

∫ f(x) dx.

271

зна. Для этоо составим уравнение f2(x) – f1(x) = 0, единствен-

Фиуру, ораниченную рафиом непрерывной фунции f(x) (f(x) l 0), отрезами прямых x = a, x = b и осью Ox, называют риволинейной трапецией (рис. 16). Ее площадь вычисляют по формуле

y

§ 57. Вычисление площадей фигур

не остается постоянным, разобьем этот проме-

жуто на области, в оторых уазанная разность сохраняет

π/4

S=2

∫

(cos x – sin x) dx.

0

Вычислите площадь фиуры, ораниченной уазанными линиями: 1. y = x2 + x, y = x + 1. 2. y = –2x2 + 3x + 6, y = x + 2. 3. y = 0, y = 20 – 2x2 – 6x. 4. y = x2,

1

y = --x- ,

y = 0,

x = 2.

x

1 5. y =  --2-  , x – 2y + 2 = 0,  

6. y = 4x – x2,

y – x = 0.

5 7. y = --x- ,

y = 6 – x.

8. y = x3,

y = --x- ,

9. y = x2 + 1,

1

x = 2.

y = –x2 + 3.

x = 2.

270

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

§ 57. Вычисление площадей фигур

b

S=

f(x)

a

x

y2 = f2(x) y1 = f1(x)

a

b

O

x

Рис. 17

y d

Если при всех x из промежута [a; b] выполняется условие f2(x) l f1(x), то площадь фиуры, ораниченной рафиами непрерывных фунций y = = f1(x), y = f2(x) и отрезами прямых x = a, x = b (рис. 17), вычисляется по формуле b

S=

∫ (f2(x) – f1(x)) dx.

(2)

x1 = ϕ1(y)

x2 = ϕ2(y)

O

x

Если при всех y из промежута [c; d] выполняется условие ϕ2(y) l ϕ1(y), то площадь фиуры, залюченной между отрезами прямых y = c, y = d и рафиами непрерывных фунций x = ϕ1(y), x = ϕ2(y) (рис. 18), вычисляется по формуле S=

∫ (ϕ2(y) – ϕ1(y)) dy.

(3)

c

П р и м е р 1. Найти площадь фиуры, ораниченной линиями x = 0, π x = --2- , f1(x) = sin x, f2(x) = cos x.

Р е ш е н и е. Посольу зна разности f2(x) – f1(x) на промежуте

π

0; --2-

π π --- ; --4 2

, и

π sin x < cos x при x Ý 0; --4-  , то, используя формулу (2), получаем 

S=

∫

π/2

(cos x – sin x) dx +

0

∫

(sin x – cos x) dx =

π/4

= (sin x + cos x)

π/4 0

+ (–cos x – sin x)

= ( 2 – 1) + (–1 +

π/2 π/4

=

2 ) = 2( 2 – 1).

Ответ. S = 2( 2 – 1). Заметим, что в силу симметрии фиуры относительно пряπ

мой x = --4- ее площадь можно было вычислить по формуле

a

d

c

Рис. 18

π

является точа x = --4- . Та а sin x l cos x при x Ý

π/4

Рис. 16

y

(1)

π

0; --2-

ным орнем отороо, принадлежащим промежуту

a

b

O

∫ f(x) dx.

271

зна. Для этоо составим уравнение f2(x) – f1(x) = 0, единствен-

Фиуру, ораниченную рафиом непрерывной фунции f(x) (f(x) l 0), отрезами прямых x = a, x = b и осью Ox, называют риволинейной трапецией (рис. 16). Ее площадь вычисляют по формуле

y

§ 57. Вычисление площадей фигур

не остается постоянным, разобьем этот проме-

жуто на области, в оторых уазанная разность сохраняет

π/4

S=2

∫

(cos x – sin x) dx.

0

Вычислите площадь фиуры, ораниченной уазанными линиями: 1. y = x2 + x, y = x + 1. 2. y = –2x2 + 3x + 6, y = x + 2. 3. y = 0, y = 20 – 2x2 – 6x. 4. y = x2,

1

y = --x- ,

y = 0,

x = 2.

x

1 5. y =  --2-  , x – 2y + 2 = 0,  

6. y = 4x – x2,

y – x = 0.

5 7. y = --x- ,

y = 6 – x.

8. y = x3,

y = --x- ,

9. y = x2 + 1,

1

x = 2.

y = –x2 + 3.

x = 2.

272

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 1 cos x

- , y = 0, 10. y = --------------2

π

x = --4- .

x = 0,

11. y = 2x, y = 2, x = –1. 12. xy = 7, y = 0, x = 4, x = 12. 13. y = (x – 1)2, y = x + 1. –x

14. y = –x2 + 3,5x + 1, y = 2 , x = 2 (x m 2). 15. x = 1, x = 2, y = 0, log2 x + log2 y = 0. 16. y = 2x2 + 1, x

17. y = 2 , 18. y = x2,

y = x + 2, x

y= 4 ,

y = 1,5.

x = 1.

§ 57. Вычисление площадей фигур П р и м е р 2. Вычислить площадь фиуры, ораниченной рафиом фунции y = ln x, прямой x = 2 и осью Ox. Р е ш е н и е. Фунцией, обратной по отношению  y = ln x, является x = e y. Из рис. 19 видно, что площадь заштрихованной фиуры S равна разности площадей S1 и S2, де S1 — прямоуольни со сторонами 2 и ln 2, а S2 — риволинейная трапеция OABC. Соласно формуле (3), имеем

y = 2 2x .

19. 2xy = 16 + x2, y = 5. 20. y = –1 + 8x2 – x4, y = 15, 1 -, 21. y = ---------------x2 + 1

y ln 2

C

B S2

O

A

S 1

2

x

Рис. 19

ln 2

x = 1 (x l 1).

S2 =

∫

e y dy = e y

ln 2 0

= eln 2 – e0 = 2 – 1 = 1,

0

x2 y = ----2 .

22. 3y = –x2 + 8x – 7,

273

S1 = 2 ln 2. 4

Таим образом, исомая площадь есть

y + 1 = -----------x–3.

23. y = x , y = 4 – 3x , y = 0. 24. Найдите площадь фиуры, множество точе оторой удовлетворяет системе неравенств





x2 + y2 m r2, x – y m 0,

r > 0, y l 0.

25. Вычислите площадь плосой фиуры, ораниченной частями линий max {x; y} = 1 и x2 + y2 = 1, лежащими в первой оординатной четверти, де


max {x; y} =

x, если x l y, y, если x < y.

26. Найдите площадь фиуры, ораниченной рафиами фунций y = x2, y = 2x – x2. Если фунция y = f(x) на промежуте [a; b] строо монотонна, то вычисление площади, ораниченной рафиом фунции на этом промежуте и осью Ox, инода удобно свести  вычислению площади, ораниченной рафиом обратной фунции x = g(y) на промежуте [c; d] и осью Oy, де c = min {f(a); f(b)},

d = max {f(a); f(b)}.

S = S1 – S2 = 2 ln 2 – 1. Ответ. 2 ln 2 – 1. Найдите площадь фиуры, ораниченной рафиами фунций: 27. y = arcsin x, x = 1, y = 0. 28. y = arccos x, x = 0, y = 0. Площади неоторых фиур лео вычисляются, если использовать известные значения площадей частей руа радиуса R. П р и м е р 3. Вычислить площадь фиуры, ораниченной линиями y =

1 – x 2 , y = 0.

1 – x2 Р е ш е н и е. Возведя обе части равенства y = в вадрат, получаем уравнение оружности единичноо радиуса: y2 + x2 = 1. Значит, рафи фунции y = 1 – x 2 представляет собой верхнюю полуоружность радиуса 1. Ита, исомая площадь равна половине площади руа единичноо радиуса, т. е. 1

S = --2- π · 1 π

Ответ. --2- .

2

π

= --2- .

272

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 1 cos x

- , y = 0, 10. y = --------------2

π

x = --4- .

x = 0,

11. y = 2x, y = 2, x = –1. 12. xy = 7, y = 0, x = 4, x = 12. 13. y = (x – 1)2, y = x + 1. –x

14. y = –x2 + 3,5x + 1, y = 2 , x = 2 (x m 2). 15. x = 1, x = 2, y = 0, log2 x + log2 y = 0. 16. y = 2x2 + 1, x

17. y = 2 , 18. y = x2,

y = x + 2, x

y= 4 ,

y = 1,5.

x = 1.

§ 57. Вычисление площадей фигур П р и м е р 2. Вычислить площадь фиуры, ораниченной рафиом фунции y = ln x, прямой x = 2 и осью Ox. Р е ш е н и е. Фунцией, обратной по отношению  y = ln x, является x = e y. Из рис. 19 видно, что площадь заштрихованной фиуры S равна разности площадей S1 и S2, де S1 — прямоуольни со сторонами 2 и ln 2, а S2 — риволинейная трапеция OABC. Соласно формуле (3), имеем

y = 2 2x .

19. 2xy = 16 + x2, y = 5. 20. y = –1 + 8x2 – x4, y = 15, 1 -, 21. y = ---------------x2 + 1

y ln 2

C

B S2

O

A

S 1

2

x

Рис. 19

ln 2

x = 1 (x l 1).

S2 =

∫

e y dy = e y

ln 2 0

= eln 2 – e0 = 2 – 1 = 1,

0

x2 y = ----2 .

22. 3y = –x2 + 8x – 7,

273

S1 = 2 ln 2. 4

Таим образом, исомая площадь есть

y + 1 = -----------x–3.

23. y = x , y = 4 – 3x , y = 0. 24. Найдите площадь фиуры, множество точе оторой удовлетворяет системе неравенств





x2 + y2 m r2, x – y m 0,

r > 0, y l 0.

25. Вычислите площадь плосой фиуры, ораниченной частями линий max {x; y} = 1 и x2 + y2 = 1, лежащими в первой оординатной четверти, де


max {x; y} =

x, если x l y, y, если x < y.

26. Найдите площадь фиуры, ораниченной рафиами фунций y = x2, y = 2x – x2. Если фунция y = f(x) на промежуте [a; b] строо монотонна, то вычисление площади, ораниченной рафиом фунции на этом промежуте и осью Ox, инода удобно свести  вычислению площади, ораниченной рафиом обратной фунции x = g(y) на промежуте [c; d] и осью Oy, де c = min {f(a); f(b)},

d = max {f(a); f(b)}.

S = S1 – S2 = 2 ln 2 – 1. Ответ. 2 ln 2 – 1. Найдите площадь фиуры, ораниченной рафиами фунций: 27. y = arcsin x, x = 1, y = 0. 28. y = arccos x, x = 0, y = 0. Площади неоторых фиур лео вычисляются, если использовать известные значения площадей частей руа радиуса R. П р и м е р 3. Вычислить площадь фиуры, ораниченной линиями y =

1 – x 2 , y = 0.

1 – x2 Р е ш е н и е. Возведя обе части равенства y = в вадрат, получаем уравнение оружности единичноо радиуса: y2 + x2 = 1. Значит, рафи фунции y = 1 – x 2 представляет собой верхнюю полуоружность радиуса 1. Ита, исомая площадь равна половине площади руа единичноо радиуса, т. е. 1

S = --2- π · 1 π

Ответ. --2- .

2

π

= --2- .

274

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл Найдите площадь фиуры, ораниченной линиями:

y2 x2 - = 1.
29. -----2- + ----a b2




30. y2 + x2 + 2x = 0.

 31. В деартовой системе оординат xOy фиура F ораничена осью Ox, ривой y = 2x2 и асательной  этой ривой; абсцисса точи асания равна 2. Найдите площадь фиуры F. 32. Вычислите площадь фиуры, ораниченной параболой y = x2 – 2x + 2, асательной  ней в точе M(3; 5) и осью ординат. Сделайте рисуно. 33. Вычислите площадь фиуры, ораниченной линиями

1 3 y = --x- + 1, x = 1 и асательной, проведенной в точе  2; --2-    1

 ривой y = --x- + 1.

§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей


275

41. При аом значении параметра a (a > 0) площадь фиуры,

ораниченной ривыми y = a x , y = 2 – x и осью Oy, равна числу b? При аих значениях b задача имеет решение?
42. При аом значении a площадь фиуры, ораниченной π

1

ривой y = sin 2x, прямыми x = --6- , x = a и осью Ox, равна --2- ?
43. Найдите все значения параметра b (b > 0), при оторых площадь фиуры, ораниченной ривыми y = 1 – x2 и y = bx2, равна a. При аих значениях a задача имеет решение?


44. Через точу (x0; y0) рафиа фунции y =

1 + cos 2x

проведите нормаль  этому рафиу, если известно, что прямая x = x0 делит площадь, ораниченную данной ривой, осью Ox 3π

и прямыми x = 0 и x = -----4 , на равные части.

34. Найдите площадь фиуры, ораниченной линией y = x2 – – 4x + 5 и прямыми, асающимися ее в точах с абсциссами x1 = 1 и x2 = 4.


3 35. Из точи  --2- ; 0   параболе y = 2x2 – 6x + 9 проведена

асательная, образующая острый уол с положительным направлением оси Ox. Определите площадь фиуры, залюченной между параболой, осью Ox, осью Oy и этой асательной.  36. Каую часть площади вадрата отсеает парабола, проходящая через две соседние вершины вадрата и асающаяся середины одной из ео сторон?
37. Каую часть площади полуруа отсеает парабола, проходящая через онцы диаметра полуруа и асающаяся оружности в точе, равноудаленной от онцов диаметра?
38. Найдите площадь фиуры, ораниченной прямой y = = –8x – 46 и параболой y = 4x2 + ax + 2, если известно, что асательная  параболе в точе x = –5 составляет с осью Ox уол π – arctg 20.
39. При аом значении a площадь фиуры, ораниченной 1

1

4

------линиями y = --x- , y = ---------------2x – 1 , x = 2, x = a, равна ln 5 ?

40. При аом значении a прямая y = a делит площадь фиуры, ораниченной линиями y = 0, y = 2 + x – x2, пополам?

§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей фигур Если в задаче требуется найти положение ривых, зависящих от одноо или несольих параметров, при отором площадь фиуры, ораниченной этими ривыми, масимальна (минимальна), то сначала следует составить фунцию, выражающую зависимость этой площади от параметров, а затем решать задачу на отысание наибольшео (наименьшео) значения этой фунции в области возможноо изменения параметров. П р и м е р 1. Найти все значения параметра a (a l 1), при оторых площадь фиуры, ораниченной прямыми y = 1, y = 2 1

и ривыми y = ax2, y = --2- ax2, является наибольшей. Р е ш е н и е. Вычислим значение площади при фисированном значении a. В данном случае удобно вычислять площадь, считая y независимой переменной. В силу симметрии 1

парабол y = ax2 и y = --2- ax2 относительно оси Oy площадь фиуры, лежащей в полуплосости x > 0, равна площади фиуры, лежащей в полуплосости x < 0. Поэтому исомая пло-

274

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл Найдите площадь фиуры, ораниченной линиями:

y2 x2 - = 1.
29. -----2- + ----a b2




30. y2 + x2 + 2x = 0.

 31. В деартовой системе оординат xOy фиура F ораничена осью Ox, ривой y = 2x2 и асательной  этой ривой; абсцисса точи асания равна 2. Найдите площадь фиуры F. 32. Вычислите площадь фиуры, ораниченной параболой y = x2 – 2x + 2, асательной  ней в точе M(3; 5) и осью ординат. Сделайте рисуно. 33. Вычислите площадь фиуры, ораниченной линиями

1 3 y = --x- + 1, x = 1 и асательной, проведенной в точе  2; --2-    1

 ривой y = --x- + 1.

§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей


275

41. При аом значении параметра a (a > 0) площадь фиуры,

ораниченной ривыми y = a x , y = 2 – x и осью Oy, равна числу b? При аих значениях b задача имеет решение?
42. При аом значении a площадь фиуры, ораниченной π

1

ривой y = sin 2x, прямыми x = --6- , x = a и осью Ox, равна --2- ?
43. Найдите все значения параметра b (b > 0), при оторых площадь фиуры, ораниченной ривыми y = 1 – x2 и y = bx2, равна a. При аих значениях a задача имеет решение?


44. Через точу (x0; y0) рафиа фунции y =

1 + cos 2x

проведите нормаль  этому рафиу, если известно, что прямая x = x0 делит площадь, ораниченную данной ривой, осью Ox 3π

и прямыми x = 0 и x = -----4 , на равные части.

34. Найдите площадь фиуры, ораниченной линией y = x2 – – 4x + 5 и прямыми, асающимися ее в точах с абсциссами x1 = 1 и x2 = 4.


3 35. Из точи  --2- ; 0   параболе y = 2x2 – 6x + 9 проведена

асательная, образующая острый уол с положительным направлением оси Ox. Определите площадь фиуры, залюченной между параболой, осью Ox, осью Oy и этой асательной.  36. Каую часть площади вадрата отсеает парабола, проходящая через две соседние вершины вадрата и асающаяся середины одной из ео сторон?
37. Каую часть площади полуруа отсеает парабола, проходящая через онцы диаметра полуруа и асающаяся оружности в точе, равноудаленной от онцов диаметра?
38. Найдите площадь фиуры, ораниченной прямой y = = –8x – 46 и параболой y = 4x2 + ax + 2, если известно, что асательная  параболе в точе x = –5 составляет с осью Ox уол π – arctg 20.
39. При аом значении a площадь фиуры, ораниченной 1

1

4

------линиями y = --x- , y = ---------------2x – 1 , x = 2, x = a, равна ln 5 ?

40. При аом значении a прямая y = a делит площадь фиуры, ораниченной линиями y = 0, y = 2 + x – x2, пополам?

§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей фигур Если в задаче требуется найти положение ривых, зависящих от одноо или несольих параметров, при отором площадь фиуры, ораниченной этими ривыми, масимальна (минимальна), то сначала следует составить фунцию, выражающую зависимость этой площади от параметров, а затем решать задачу на отысание наибольшео (наименьшео) значения этой фунции в области возможноо изменения параметров. П р и м е р 1. Найти все значения параметра a (a l 1), при оторых площадь фиуры, ораниченной прямыми y = 1, y = 2 1

и ривыми y = ax2, y = --2- ax2, является наибольшей. Р е ш е н и е. Вычислим значение площади при фисированном значении a. В данном случае удобно вычислять площадь, считая y независимой переменной. В силу симметрии 1

парабол y = ax2 и y = --2- ax2 относительно оси Oy площадь фиуры, лежащей в полуплосости x > 0, равна площади фиуры, лежащей в полуплосости x < 0. Поэтому исомая пло-

276

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

щадь равна удвоенной площади фиуры, ораниченной линиями x =

y --- , x = a

S(a) = 2

∫

1 2

2 a

= ------2

∫(

2y –

1

2

 2y  -----a – 

сечения асательной и оси Oy равна 2

y  ---  dy = a



де

2

а площадь исомоо прямоуольноо треуольниа вычисляется по формуле

2

2

1

a Ý [1; +×).

1. При аом значении a площадь, ораниченная ривой y = a2x2 + ax + 1 и прямыми y = 0, x = 1, является наименьшей? 2. Найдите все значения параметра a (a > 0), при оторых a 2 – ax 1+a

площадь фиуры, ораниченной прямой y = ------------------4 и парабоx 2 + 2ax + 3a 2 1+a

- , является наибольшей. лой y = ----------------------------------------4

3. При аом положительном a площадь S риволинейной 1

трапеции, ораниченной линиями y = --6- + -----2- , y = 0, x = a, x x = 2a, принимает наименьшее значение?
4. Пусть S(k) — площадь, залюченная между параболой y1 = x2 + 2x – 3 и прямой y2 = kx + 1. Найдите S(–1) и вычислите наименьшее значение S(k). П р и м е р 2. К параболе y = x2 проведена асательная та, что абсцисса x0 точи асания принадлежит промежуту [1; 2]. Определить значение x0, при отором треуольни, ораничен2

ный асательной, осью ординат и прямой y = x 0 , имеет наи-

2

x (x + x )

0 0 0 3 = x0 . S(x0) = ------------------------------2

=

Ответ. a = 1.

x

2

y1 = x 0 – 2 x 0 = – x 0 ,

Очевидно, что фунция S(a) монотонно убывает на промежуте [1; +×) и принимает наибольшее значение на левом онце этоо промежута, т. е. при a = 1.

большую площадь.

Р е ш е н и е. Для параболы y = x2 уравнение асательной в точе x0 имеет вид y – x 0 = 2x0(x – x0). Ордината точи пере-

 2  2 2y 3/2 2 - – --- y3/2  y ) dy = -------  ---------------------3 3 a 

= ------- · --3- ( 2 – 1) (2 2 – 1), a

277

2

2y ------- , y = 1, y =2: a 2

§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей

Требуется найти наибольшее значение S(x0) на промежуте [1; 2]. Очевидно, что фунция S(x0) возрастает на этом промежуте, и, следовательно,

max

x0 Ý [1; 2]

S(x0) = S(2) = 8.

Ответ. x0 = 2. 5. К рафиу фунции y = 3 x 2 проведена асательная та, что абсцисса x0 точи асания принадлежит промежуту 1 --- ; 1 . При аом значении x0 площадь S(x0) треуольниа, 2

ораниченноо этой асательной, осью Ox и прямой x = 2, является наименьшей и чему равна эта наименьшая площадь?
6. Криволинейная трапеция ораничена ривой y = x2 + 1 и прямыми x = 1, x = 2. В аой точе данной ривой с абсциссой x Ý [1; 2] следует провести асательную, чтобы она отсеала от риволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади?
7. При аом значении параметра a площадь фиуры, ораниченной осью абсцисс, рафиом фунции y = x3 + 3x2 + x + a и прямыми, параллельными оси ординат и пересеающими ось абсцисс в точах эстремума этой фунции, является наименьшей?
8. При аих значениях a из промежута [0; 1] площадь фиуры, ораниченной рафиом фунции y = f(x) и прямыми x = 0, x = 1, y = f(a), является наибольшей, а при аих a — наименьшей, если f(x) = xα + 3xβ (α, β Ý R, причем α > 1, β > 1)?
9. При аих значениях a площадь фиуры, ораниченной x3

2 рафиом ривой ----3 – x + a, прямыми x = 0, x = 2 и осью Ox, достиает минимума?

276

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

щадь равна удвоенной площади фиуры, ораниченной линиями x =

y --- , x = a

S(a) = 2

∫

1 2

2 a

= ------2

∫(

2y –

1

2

 2y  -----a – 

сечения асательной и оси Oy равна 2

y  ---  dy = a



де

2

а площадь исомоо прямоуольноо треуольниа вычисляется по формуле

2

2

1

a Ý [1; +×).

1. При аом значении a площадь, ораниченная ривой y = a2x2 + ax + 1 и прямыми y = 0, x = 1, является наименьшей? 2. Найдите все значения параметра a (a > 0), при оторых a 2 – ax 1+a

площадь фиуры, ораниченной прямой y = ------------------4 и парабоx 2 + 2ax + 3a 2 1+a

- , является наибольшей. лой y = ----------------------------------------4

3. При аом положительном a площадь S риволинейной 1

трапеции, ораниченной линиями y = --6- + -----2- , y = 0, x = a, x x = 2a, принимает наименьшее значение?
4. Пусть S(k) — площадь, залюченная между параболой y1 = x2 + 2x – 3 и прямой y2 = kx + 1. Найдите S(–1) и вычислите наименьшее значение S(k). П р и м е р 2. К параболе y = x2 проведена асательная та, что абсцисса x0 точи асания принадлежит промежуту [1; 2]. Определить значение x0, при отором треуольни, ораничен2

ный асательной, осью ординат и прямой y = x 0 , имеет наи-

2

x (x + x )

0 0 0 3 = x0 . S(x0) = ------------------------------2

=

Ответ. a = 1.

x

2

y1 = x 0 – 2 x 0 = – x 0 ,

Очевидно, что фунция S(a) монотонно убывает на промежуте [1; +×) и принимает наибольшее значение на левом онце этоо промежута, т. е. при a = 1.

большую площадь.

Р е ш е н и е. Для параболы y = x2 уравнение асательной в точе x0 имеет вид y – x 0 = 2x0(x – x0). Ордината точи пере-

 2  2 2y 3/2 2 - – --- y3/2  y ) dy = -------  ---------------------3 3 a 

= ------- · --3- ( 2 – 1) (2 2 – 1), a

277

2

2y ------- , y = 1, y =2: a 2

§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей

Требуется найти наибольшее значение S(x0) на промежуте [1; 2]. Очевидно, что фунция S(x0) возрастает на этом промежуте, и, следовательно,

max

x0 Ý [1; 2]

S(x0) = S(2) = 8.

Ответ. x0 = 2. 5. К рафиу фунции y = 3 x 2 проведена асательная та, что абсцисса x0 точи асания принадлежит промежуту 1 --- ; 1 . При аом значении x0 площадь S(x0) треуольниа, 2

ораниченноо этой асательной, осью Ox и прямой x = 2, является наименьшей и чему равна эта наименьшая площадь?
6. Криволинейная трапеция ораничена ривой y = x2 + 1 и прямыми x = 1, x = 2. В аой точе данной ривой с абсциссой x Ý [1; 2] следует провести асательную, чтобы она отсеала от риволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади?
7. При аом значении параметра a площадь фиуры, ораниченной осью абсцисс, рафиом фунции y = x3 + 3x2 + x + a и прямыми, параллельными оси ординат и пересеающими ось абсцисс в точах эстремума этой фунции, является наименьшей?
8. При аих значениях a из промежута [0; 1] площадь фиуры, ораниченной рафиом фунции y = f(x) и прямыми x = 0, x = 1, y = f(a), является наибольшей, а при аих a — наименьшей, если f(x) = xα + 3xβ (α, β Ý R, причем α > 1, β > 1)?
9. При аих значениях a площадь фиуры, ораниченной x3

2 рафиом ривой ----3 – x + a, прямыми x = 0, x = 2 и осью Ox, достиает минимума?

278

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл


10. При аих значениях a из промежута [0; 1] площадь фиуры, ораниченной рафиом фунции f(x) и прямыми x = 0, x = 1, y = f(a), является наибольшей, а при аих a — наи-

меньшей, если f(x) = 1 – x 2 ?
11. При аих значениях a площадь фиуры, ораниченной прямыми x = x1, x = x2, рафиом фунции y = | sin x + cos x – a | и осью абсцисс, де x1 и x2 — два последовательных эстремуπ 2 sin  x + --4-  , является наименьшей?

ма фунции f(x) =

§ 59. Вычисление объемов тел Объем V тела, полученноо при вращении вору оси Ox риволинейной трапеции, ораниченной линиями y = f(x) (f(x) l 0), x = a, x = b (b > a), вычисляется по формуле b

V=π

∫ f2(x) dx.

(1)

§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики

279

1. Вычислите объем тела, образованноо вращением вору оси абсцисс риволинейной трапеции, ораниченной иперболой xy = 2, прямыми x = 1, x = 2 и осью абсцисс.
2. Вычислите объем тела, образованноо вращением вору оси абсцисс фиуры, ораниченной параболами y2 = x, y = x2. e x + e –x

3. Цепная линия y = --------------------вращается вору оси абсцисс. 2 При этом получается поверхность, называемая атеноидом. Вычислите объем тела, образованноо атеноидом и двумя плосостями, перпендиулярными оси абсцисс и отстоящими от начала оординат на расстояния a и b.
4. Вычислите объем тела, полученноо вращением вору оси ординат фиуры, ораниченной параболой y = 2x – x2 и осью абсцисс.
5. Найдите объем тела, полученноо вращением вору оси Oy риволинейной трапеции, ораниченной линиями π

y = arcsin x, y = --2- и x = 0.
6. Найдите объем тела, полученноо вращением вору оси Oy фиуры, ораниченной линиями y = ln 2, y = ln x, y = 0 и x = 0.

a

Объем V тела, образованноо при вращении вору оси Oy риволинейной трапеции, ораниченной линиями x = ϕ(y) (ϕ(y) l 0), y = c, y = d (d > c) и осью Oy, вычисляется по формуле d

V=π

∫ ϕ2(y) dy.

(2)

c

V=π

π

∫ sin2 x dx = π ∫

0

1 – cos 2x --------------------------- dx = 2

π2

s=

∫

v(t) dt.

(1)

t1

П р и м е р 1. Тело движется прямолинейно со соростью v(t) = 2t2 – t + 1 (м/с). Найти путь, пройденный за первые 5 с. Р е ш е н и е. Соласно формуле (1), имеем

0

π 1 1 π2 = π  --2- x + --4- sin 2x  = ----2 .   0

Ответ. ----2 .

Путь s тела, движущеося со соростью v(t), за время, прошедшее от момента t1 до момента t2, вычисляется по формуле t2

П р и м е р. Вычислить объем тела, образованноо вращением одной ари синусоиды (рафиа фунции y = sin x на промежуте [0; π]) вору оси Ox. Р е ш е н и е. По формуле (1) находим π

§ 60. Приложения определенного интеграла к задачам физики

5

s(t) =

∫

0

 2t 3  t2 - – ----- + t  (2t2 – t + 1) dt =  -------3 2   5

Ответ. 75 --6- м.

5

250

0

25

5

-------= --------3 – 2 + 5 = 75 6 .

278

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл


10. При аих значениях a из промежута [0; 1] площадь фиуры, ораниченной рафиом фунции f(x) и прямыми x = 0, x = 1, y = f(a), является наибольшей, а при аих a — наи-

меньшей, если f(x) = 1 – x 2 ?
11. При аих значениях a площадь фиуры, ораниченной прямыми x = x1, x = x2, рафиом фунции y = | sin x + cos x – a | и осью абсцисс, де x1 и x2 — два последовательных эстремуπ 2 sin  x + --4-  , является наименьшей?

ма фунции f(x) =

§ 59. Вычисление объемов тел Объем V тела, полученноо при вращении вору оси Ox риволинейной трапеции, ораниченной линиями y = f(x) (f(x) l 0), x = a, x = b (b > a), вычисляется по формуле b

V=π

∫ f2(x) dx.

(1)

§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики

279

1. Вычислите объем тела, образованноо вращением вору оси абсцисс риволинейной трапеции, ораниченной иперболой xy = 2, прямыми x = 1, x = 2 и осью абсцисс.
2. Вычислите объем тела, образованноо вращением вору оси абсцисс фиуры, ораниченной параболами y2 = x, y = x2. e x + e –x

3. Цепная линия y = --------------------вращается вору оси абсцисс. 2 При этом получается поверхность, называемая атеноидом. Вычислите объем тела, образованноо атеноидом и двумя плосостями, перпендиулярными оси абсцисс и отстоящими от начала оординат на расстояния a и b.
4. Вычислите объем тела, полученноо вращением вору оси ординат фиуры, ораниченной параболой y = 2x – x2 и осью абсцисс.
5. Найдите объем тела, полученноо вращением вору оси Oy риволинейной трапеции, ораниченной линиями π

y = arcsin x, y = --2- и x = 0.
6. Найдите объем тела, полученноо вращением вору оси Oy фиуры, ораниченной линиями y = ln 2, y = ln x, y = 0 и x = 0.

a

Объем V тела, образованноо при вращении вору оси Oy риволинейной трапеции, ораниченной линиями x = ϕ(y) (ϕ(y) l 0), y = c, y = d (d > c) и осью Oy, вычисляется по формуле d

V=π

∫ ϕ2(y) dy.

(2)

c

V=π

π

∫ sin2 x dx = π ∫

0

1 – cos 2x --------------------------- dx = 2

π2

s=

∫

v(t) dt.

(1)

t1

П р и м е р 1. Тело движется прямолинейно со соростью v(t) = 2t2 – t + 1 (м/с). Найти путь, пройденный за первые 5 с. Р е ш е н и е. Соласно формуле (1), имеем

0

π 1 1 π2 = π  --2- x + --4- sin 2x  = ----2 .   0

Ответ. ----2 .

Путь s тела, движущеося со соростью v(t), за время, прошедшее от момента t1 до момента t2, вычисляется по формуле t2

П р и м е р. Вычислить объем тела, образованноо вращением одной ари синусоиды (рафиа фунции y = sin x на промежуте [0; π]) вору оси Ox. Р е ш е н и е. По формуле (1) находим π

§ 60. Приложения определенного интеграла к задачам физики

5

s(t) =

∫

0

 2t 3  t2 - – ----- + t  (2t2 – t + 1) dt =  -------3 2   5

Ответ. 75 --6- м.

5

250

0

25

5

-------= --------3 – 2 + 5 = 75 6 .

280

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

1. Тело движется прямолинейно со соростью v(t) = 2t + a (м/с). Найдите значение a, если известно, что за промежуто от t1 = 0 до t2 = 2 с тело прошло путь длиной 40 м.
2. Тело движется прямолинейно со соростью v = 12t – t2 (м/с). Найдите длину пути, пройденноо телом от начала движения до ео останови. 3. Два тела одновременно начали двиаться по прямой из одной точи в одном направлении. Первое тело двиалось со соростью v1(t) = 3t2 + 2t (м/с), второе — со соростью v2(t) = = 2t (м/с). Каое расстояние будет между телами через 6 с? 4. Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы с усорением 2 м/с2 и с нулевой начальной соростью. Через 3 с после начала движения сила преращает действовать, и тело начинает двиаться равномерно с набранной  этому моменту соростью. Найдите заон движения тела.

Если тело движется вдоль оси Ox под действием силы F(x), зависящей от оординаты x, то работа силы по перемещению тела из точи a в точу b (b > 0) вычисляется по формуле b

A=

∫ F(x) dx.

(2)

a

П р и м е р 2. На тело действует сила, оторая линейно зависит от пройденноо пути. В начале движения она составляла 100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила возросла до 600 Н. Найти работу, произведенную этой силой на пройденном пути. Р е ш е н и е. Из условия следует, что сила F(x), действующая на тело, меняется по заону F(x) = ax + b, де параметры a и b находятся из условий F(0) = 100, F(10) = 600,

или

b = 100, 100a + 100 = 600,

b = 100, a = 50.

или

Таим образом, F(x) = 50x + 100 и работа силы на пройденном пути выражается формулой (2): 10

A=

∫

(50x + 100) dx = (25x2 + 100x)

0

= 25 · 100 + 100 · 10 = 3500. Ответ. 3500 Дж.

10 0

=

§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики

281


5. На тело действует сила, оторая изменяется обратно пропорционально вадрату расстояния до неотороо объета. Известно, что она составляла 1 Н в момент, ода расстояние до объета было равно 2 м. Вычислите работу этой силы, затраченную при переносе тела из пунта, находящеося на расстоянии 10 м от объета, до пунта, находящеося на расстоянии 3 м.
6. Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на 15 см, если известно, что действующая сила пропорциональна сжатию пружины и что для сжатия на 1 см необходима сила 30 Н.

280

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

1. Тело движется прямолинейно со соростью v(t) = 2t + a (м/с). Найдите значение a, если известно, что за промежуто от t1 = 0 до t2 = 2 с тело прошло путь длиной 40 м.
2. Тело движется прямолинейно со соростью v = 12t – t2 (м/с). Найдите длину пути, пройденноо телом от начала движения до ео останови. 3. Два тела одновременно начали двиаться по прямой из одной точи в одном направлении. Первое тело двиалось со соростью v1(t) = 3t2 + 2t (м/с), второе — со соростью v2(t) = = 2t (м/с). Каое расстояние будет между телами через 6 с? 4. Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы с усорением 2 м/с2 и с нулевой начальной соростью. Через 3 с после начала движения сила преращает действовать, и тело начинает двиаться равномерно с набранной  этому моменту соростью. Найдите заон движения тела.

Если тело движется вдоль оси Ox под действием силы F(x), зависящей от оординаты x, то работа силы по перемещению тела из точи a в точу b (b > 0) вычисляется по формуле b

A=

∫ F(x) dx.

(2)

a

П р и м е р 2. На тело действует сила, оторая линейно зависит от пройденноо пути. В начале движения она составляла 100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила возросла до 600 Н. Найти работу, произведенную этой силой на пройденном пути. Р е ш е н и е. Из условия следует, что сила F(x), действующая на тело, меняется по заону F(x) = ax + b, де параметры a и b находятся из условий F(0) = 100, F(10) = 600,

или

b = 100, 100a + 100 = 600,

b = 100, a = 50.

или

Таим образом, F(x) = 50x + 100 и работа силы на пройденном пути выражается формулой (2): 10

A=

∫

(50x + 100) dx = (25x2 + 100x)

0

= 25 · 100 + 100 · 10 = 3500. Ответ. 3500 Дж.

10 0

=

§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики

281


5. На тело действует сила, оторая изменяется обратно пропорционально вадрату расстояния до неотороо объета. Известно, что она составляла 1 Н в момент, ода расстояние до объета было равно 2 м. Вычислите работу этой силы, затраченную при переносе тела из пунта, находящеося на расстоянии 10 м от объета, до пунта, находящеося на расстоянии 3 м.
6. Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на 15 см, если известно, что действующая сила пропорциональна сжатию пружины и что для сжатия на 1 см необходима сила 30 Н.

Г л а в а 14 Метод координат и элементы векторной алгебры § 76. Векторы и их координаты Координатами точ и M0 относительно прямоуольной системы оординат Oxyz называют упорядоченную тройу чисел (x0; y0; z0). Число x0 называют абсциссой этой точи, y0 — ординатой, z0 — аппли атой. Пусть A и B — две различные точи пространства. Отрезо AB, у отороо точу A считают началом, а точу B — онцом, называют ве тором с началом A и онцом B и обозначают AB . Направление луча AB определяет направление ветора AB , а длину отреза AB называют длиной (или модлем) ве тора AB и обозначают | AB |. Ветор, начинающийся и заанчивающийся в точе A, называют нлевым ве тором и обозначают AA . Понятие направления для нео не вводится. Если оординатами начала и онца ветора AB являются точи A(xA; yA; zA) и B(xB; yB; zB), то оординатами ве тора AB называют упорядоченную тройу чисел {xB – xA; yB – yA; zB – zA} (оординаты ветора будем записывать в фиурных собах). Два ветора считают равными, если их одноименные оординаты совпадают. В дальнейшем наряду с обозначением AB для ветора будем использовать и обозначения, не связанные с началом и онцом ветора в пространстве: a , b , c , ... . Над множеством веторов, заданных своими оординатами, можно определить операции сложения, вычитания и умножения на число по следующим правилам: 1) смма (разность) ве торов равна ветору, оординаты отороо равны сумме (разности) соответствующих оординат слааемых; 2) произведение ве тора на число равно ветору, аждая оордината отороо равна оординате исходноо ветора, умноженной на это число.

§ 76. Векторы и их координаты

441

Правила действий с веторами a = {a1; a2; a3} и b = {b1; b2; b3}, заданными их оординатами, выражаются формулами a ä b = {a1 ä b1; a2 ä b2; a3 ä b3},

(1)

λ a = {λa1; λa2; λa3}.

(2)

Веторы i = {1; 0; 0},

j = {0; 1; 0},

k = {0; 0; 1}

(3)

называют ортами. Любой ветор a {a1; a2; a3} можно представить, и притом единственным образом, в виде a = a1 i + a2 j + a3 k .

(4)

П р и м е р 1. Заданы веторы a = 2 i + 3 j , b = –3 j – 2 k , 1

c = i + j – k . Найти оординаты ветора a – --2- b + c . Р е ш е н и е. По условию a = {2; 3; 0}, b = {0; –3; –2}, c = {1; 1; –1}. Используя формулы (1) и (2), имеем   1 3 a – --2- b + c =  2 – 0 + 1; 3 + --2- + 1; 0 + 1 – 1  .     11 Ответ.  3; -----2 ; 0.   П р и м е р 2. Даны четыре ветора: p = {3; – 2; 1}, q = {–1; 1; – 2}, r = {2; 1; – 3} и c = {11; – 6; 5}. Найти числа x, y, z, если c = xp + yq + zr . Р е ш е н и е. Из условия равенства двух веторов имеем 11 = 3x – y + 2z, –6 = –2x + y + z, 5 = x – 2y – 3z. Решив эту систему уравнений, получим x = 2,

y = –3,

Ответ. x = 2, y = –3, z = 1.

z = 1.

Г л а в а 14 Метод координат и элементы векторной алгебры § 76. Векторы и их координаты Координатами точ и M0 относительно прямоуольной системы оординат Oxyz называют упорядоченную тройу чисел (x0; y0; z0). Число x0 называют абсциссой этой точи, y0 — ординатой, z0 — аппли атой. Пусть A и B — две различные точи пространства. Отрезо AB, у отороо точу A считают началом, а точу B — онцом, называют ве тором с началом A и онцом B и обозначают AB . Направление луча AB определяет направление ветора AB , а длину отреза AB называют длиной (или модлем) ве тора AB и обозначают | AB |. Ветор, начинающийся и заанчивающийся в точе A, называют нлевым ве тором и обозначают AA . Понятие направления для нео не вводится. Если оординатами начала и онца ветора AB являются точи A(xA; yA; zA) и B(xB; yB; zB), то оординатами ве тора AB называют упорядоченную тройу чисел {xB – xA; yB – yA; zB – zA} (оординаты ветора будем записывать в фиурных собах). Два ветора считают равными, если их одноименные оординаты совпадают. В дальнейшем наряду с обозначением AB для ветора будем использовать и обозначения, не связанные с началом и онцом ветора в пространстве: a , b , c , ... . Над множеством веторов, заданных своими оординатами, можно определить операции сложения, вычитания и умножения на число по следующим правилам: 1) смма (разность) ве торов равна ветору, оординаты отороо равны сумме (разности) соответствующих оординат слааемых; 2) произведение ве тора на число равно ветору, аждая оордината отороо равна оординате исходноо ветора, умноженной на это число.

§ 76. Векторы и их координаты

441

Правила действий с веторами a = {a1; a2; a3} и b = {b1; b2; b3}, заданными их оординатами, выражаются формулами a ä b = {a1 ä b1; a2 ä b2; a3 ä b3},

(1)

λ a = {λa1; λa2; λa3}.

(2)

Веторы i = {1; 0; 0},

j = {0; 1; 0},

k = {0; 0; 1}

(3)

называют ортами. Любой ветор a {a1; a2; a3} можно представить, и притом единственным образом, в виде a = a1 i + a2 j + a3 k .

(4)

П р и м е р 1. Заданы веторы a = 2 i + 3 j , b = –3 j – 2 k , 1

c = i + j – k . Найти оординаты ветора a – --2- b + c . Р е ш е н и е. По условию a = {2; 3; 0}, b = {0; –3; –2}, c = {1; 1; –1}. Используя формулы (1) и (2), имеем   1 3 a – --2- b + c =  2 – 0 + 1; 3 + --2- + 1; 0 + 1 – 1  .     11 Ответ.  3; -----2 ; 0.   П р и м е р 2. Даны четыре ветора: p = {3; – 2; 1}, q = {–1; 1; – 2}, r = {2; 1; – 3} и c = {11; – 6; 5}. Найти числа x, y, z, если c = xp + yq + zr . Р е ш е н и е. Из условия равенства двух веторов имеем 11 = 3x – y + 2z, –6 = –2x + y + z, 5 = x – 2y – 3z. Решив эту систему уравнений, получим x = 2,

y = –3,

Ответ. x = 2, y = –3, z = 1.

z = 1.

442

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры 1. Даны веторы a = {–3; –1; 2}, b = {4; 0; 6}, c = {5; –2; 7}.

Найдите оординаты ветора: а) 2 a ; б) – a + 3 c ; в) a + 2 b – 3 c . 2. Даны веторы a = {2; 4}, b = {–3; 1}, c = {5; –2}. Найдите оординаты ветора: а) 2 a + 3 b – 5 c ;

б) a + 24 b + 14 c ;

1

в) 2 a – --2- b ;

) 5 c .

3. Даны веторы a = {1; 5; 3}, b = {6; –4; –2}, c = {0; –5; 7} и d = {–20; 27; –35}. Найдите таие числа α, β и γ, что αa + βb + γc + d = 0 . 4. Даны три ветора: p = {3; –2; 1}, q = {–1; 1; –2}, r = {2; 1; –3}. Найдите оординаты ветора c , если справедли-

§ 76. Векторы и их координаты

443

10. На оси абсцисс найдите точу M, расстояние от оторой до точи A(3; –3) равно 5. 11. На оси ординат найдите точу M, равноудаленную от точе A(1; –4; 7) и B(5; 6; –5). 12. Найдите оординаты точи M, лежащей на оси Ox и одинаово удаленной от точе A(1; 2; 3) и B(–3; 3; 2).
13. Найдите оординаты центра тяжести треуольниа ABC, если точи A, B и C имеют следующие оординаты: а) A(0; 0), B(0; 3), C(5; 0); б) A(0; 0), B(2; 5), C(–1; 7); в) A(1; 3), B(3; 6), C(–2; 5). Два ветора a = {a1; a2; a3} и b = {b1; b2; b3} ( b − 0 ) называют оллинеарными, если существует таое число λ, что a1 = λb1,

a2 = λb2,

a3 = λb3.

14. Определите, при аом значении k ветор a + k b ол-

во равенство c = 2 p – 3 q + r . 5. Даны четыре ветора: p = {0; 1; 2}, q = {1; 2; 3},

линеарен ветору c , если:

r = {–1; 1; –2}, c = {0; 4; 3}. Найдите x, y, z, если c = x p +

а) a = {2; 3}, b = {3; 5}, c = {–1; 3};

+ yq + zr .

б) a = {1; 0}, b = {2; 2}, c = {3; –5};

6. Выразите ветор c через веторы a и b , если: а) a = {4; –2}, b = {3; 5}, c = {1; –7}; б) a = {5; 4}, b = {–3; 0}, c = {19; 8}; в) a = {–6; 2}, b = {4; 7}, c = {9; –3}. 7. Найдите оординаты ветора PQ , если известны оординаты точе P и Q: а) P(2; –3; 0), Q(–1; 2; –3); 4 5 2 1 3 б) P  --2- ; – --3- ; --6-  , Q  – --5- ; 0; --3-  .

8. Даны четыре точи: A(0; 2), B(3; 1), C(–5; 3), D(2; 4). Найдите оординаты таой точи Q, что QA + QB + QC + QD = 0 . 9. От точи A отложен ветор AB = a . Найдите оординаты точи B, если: а) A(0; 0), a = {–2; 1}; б) A(–1; 5), a = {1; – 3}; в) A(2; 7), a = {–2; –5};

) A(8; –8), a = {4; 7}.

в) a = {3; –2}; b = {1; 1}, c = {0; 5}. 15. Используя условие оллинеарности двух веторов, выясните, оллинеарны ли веторы: 3 1 2 1 3  1  а) a =  --7- ; --2- ; – --4-  и b =  --7- ; --3- ; – --2-  ;      3 9  4  9 б) c =  – --2- ; 6; --3-  и d =  --8- ; – --2- ; –1  .     16. При аих значениях X и Y веторы a = {X; –2; 5} и b = {1; Y; –3} оллинеарны? 17. Даны четыре точи: A(–2; –3; 8), B(2; 1; 7), C(1; 4; 5) и D(–7; –4; 7). Доажите, что веторы AB и CD оллинеарны. 18. Отрезо с онцами A(3; –2) и B(6; 4) разделен на три равные части. Найдите оординаты точе деления. 19. Найдите оординаты онцов отреза, оторый точами C(2; 0; 2) и D(5; –2; 0) разделен на три равные части. 20. Даны вершины треуольниа: A(1; 0; 2), B(1; 2; 2) и C(5; 4; 6). Точа L делит отрезо AC в отношении 1:3, CE —

442

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры 1. Даны веторы a = {–3; –1; 2}, b = {4; 0; 6}, c = {5; –2; 7}.

Найдите оординаты ветора: а) 2 a ; б) – a + 3 c ; в) a + 2 b – 3 c . 2. Даны веторы a = {2; 4}, b = {–3; 1}, c = {5; –2}. Найдите оординаты ветора: а) 2 a + 3 b – 5 c ;

б) a + 24 b + 14 c ;

1

в) 2 a – --2- b ;

) 5 c .

3. Даны веторы a = {1; 5; 3}, b = {6; –4; –2}, c = {0; –5; 7} и d = {–20; 27; –35}. Найдите таие числа α, β и γ, что αa + βb + γc + d = 0 . 4. Даны три ветора: p = {3; –2; 1}, q = {–1; 1; –2}, r = {2; 1; –3}. Найдите оординаты ветора c , если справедли-

§ 76. Векторы и их координаты

443

10. На оси абсцисс найдите точу M, расстояние от оторой до точи A(3; –3) равно 5. 11. На оси ординат найдите точу M, равноудаленную от точе A(1; –4; 7) и B(5; 6; –5). 12. Найдите оординаты точи M, лежащей на оси Ox и одинаово удаленной от точе A(1; 2; 3) и B(–3; 3; 2).
13. Найдите оординаты центра тяжести треуольниа ABC, если точи A, B и C имеют следующие оординаты: а) A(0; 0), B(0; 3), C(5; 0); б) A(0; 0), B(2; 5), C(–1; 7); в) A(1; 3), B(3; 6), C(–2; 5). Два ветора a = {a1; a2; a3} и b = {b1; b2; b3} ( b − 0 ) называют оллинеарными, если существует таое число λ, что a1 = λb1,

a2 = λb2,

a3 = λb3.

14. Определите, при аом значении k ветор a + k b ол-

во равенство c = 2 p – 3 q + r . 5. Даны четыре ветора: p = {0; 1; 2}, q = {1; 2; 3},

линеарен ветору c , если:

r = {–1; 1; –2}, c = {0; 4; 3}. Найдите x, y, z, если c = x p +

а) a = {2; 3}, b = {3; 5}, c = {–1; 3};

+ yq + zr .

б) a = {1; 0}, b = {2; 2}, c = {3; –5};

6. Выразите ветор c через веторы a и b , если: а) a = {4; –2}, b = {3; 5}, c = {1; –7}; б) a = {5; 4}, b = {–3; 0}, c = {19; 8}; в) a = {–6; 2}, b = {4; 7}, c = {9; –3}. 7. Найдите оординаты ветора PQ , если известны оординаты точе P и Q: а) P(2; –3; 0), Q(–1; 2; –3); 4 5 2 1 3 б) P  --2- ; – --3- ; --6-  , Q  – --5- ; 0; --3-  .

8. Даны четыре точи: A(0; 2), B(3; 1), C(–5; 3), D(2; 4). Найдите оординаты таой точи Q, что QA + QB + QC + QD = 0 . 9. От точи A отложен ветор AB = a . Найдите оординаты точи B, если: а) A(0; 0), a = {–2; 1}; б) A(–1; 5), a = {1; – 3}; в) A(2; 7), a = {–2; –5};

) A(8; –8), a = {4; 7}.

в) a = {3; –2}; b = {1; 1}, c = {0; 5}. 15. Используя условие оллинеарности двух веторов, выясните, оллинеарны ли веторы: 3 1 2 1 3  1  а) a =  --7- ; --2- ; – --4-  и b =  --7- ; --3- ; – --2-  ;      3 9  4  9 б) c =  – --2- ; 6; --3-  и d =  --8- ; – --2- ; –1  .     16. При аих значениях X и Y веторы a = {X; –2; 5} и b = {1; Y; –3} оллинеарны? 17. Даны четыре точи: A(–2; –3; 8), B(2; 1; 7), C(1; 4; 5) и D(–7; –4; 7). Доажите, что веторы AB и CD оллинеарны. 18. Отрезо с онцами A(3; –2) и B(6; 4) разделен на три равные части. Найдите оординаты точе деления. 19. Найдите оординаты онцов отреза, оторый точами C(2; 0; 2) и D(5; –2; 0) разделен на три равные части. 20. Даны вершины треуольниа: A(1; 0; 2), B(1; 2; 2) и C(5; 4; 6). Точа L делит отрезо AC в отношении 1:3, CE —

444

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

медиана, проведенная из вершины C. Найдите оординаты точи пересечения прямых BL и CE.

§ 76. Векторы и их координаты Длина ветора a вычисляется по формуле |a | =

21. При аих значениях α и β веторы a = –2 i + 3 j + α k и b = β i – 6 j + 2 k оллинеарны?

2

2

2

a1 + a2 + a3 .

(8)

П р и м е р 3. Даны веторы a = {5; 2} и b = {7; –3}. Найти

Три ветора a = {a1; a2; a3}, b = {b1; b2; b3}, c = {c1; c2; c3} называют омпланарными, если

ветор c , удовлетворяющий условиям ac = 38, bc = 30.

a1

a2

a3

b1

b2

b 3 = 0.

Р е ш е н и е. Пусть c = (X; Y), тода соласно формуле (5) имеем 5X + 2Y = 38, 7X – 3Y = 30.

c1

c2

c3

Решив эту систему относительно X и Y, получаем X = 6, Y = 4.

22. Проверьте, что веторы a = {1; 0; 2}, b = {0; 1; 3}, 23. Доажите, что если ветор c представлен в виде c = a + λ b , то веторы a , b , c омпланарны. 24. Доажите, что если три ветора a , b , c омпланарны, то существуют постоянные α и β таие, что справедливо равенство c = α a + β b . 25. Даны три ветора: a = {1; –1; 0}, b = {0; 1; –1}, c = = {1; 0; –1} и ветор d = α a + β b . Доажите, что при любых α и β веторы d , a , c омпланарны. Если веторы a = {a1; a2; a3} и b = {b1; b2; b3} заданы своими оординатами в прямоуольной системе оординат, то их с алярным произведением называют число, оторое находится по формуле ab = a1b1 + a2b2 + a3b3. (5) Косинсом ла межд ненулевыми ве торами a и b называют число, оторое находится по формуле a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 -. cos F( a , b ) = --------------------------------------------------------------------------2 2 2 2 2 2 a 1 + a 2 + a3 b 1 + b 2 + b 3

(6)

а) a b ;

б) (2 a – 3 b ) ( a + 2 b );

в) ( a – b )2;

) |2 a – b |.

27. Дан ветор a = {–6; 8}. Найдите оординаты единичноо ветора: а) сонаправленноо ветору a ; б) противоположно направленноо ветору a .
28. Из одной точи проведены веторы a = {–12; 16}, b = = {12; 5}. Найдите оординаты ветора, оторый, будучи отложенным от той же точи, делит пополам уол между данными веторами.

29. Зная, что | a | = 3, | b | = 1, | c | = 4 и a + b + c = 0 , вычислите a b + b c + c a . 30. Вычислите длину ветора: а) a = i – j + k ; б) b = 2 i + j – 3 k . 31. Длина ветора равна 3. Вычислите оординаты ветора, если известно, что все они равны между собой. 32. Вычислите длину ветора 2 a + 3 b , если a = {1; 1; –1}, b = {2; 0; 0}. 33. Даны веторы a = {1; 1; –1}, b = {5; –3; –3} и c = = {3; –1; 2}. Найдите веторы, оллинеарные ветору c , длины

Условие перпендиулярности двух ненулевых веторов a и a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Ответ. c = {6; 4}. 26. Даны веторы a = {4; –2; –4} и b = {6; –3; 2}. Вычислите:

c = {1; 1; 5} омпланарны.

b имеет вид

445

(7)

оторых равны длине ветора a + b .
34. Веторы AB = –3 i + 4 k и BC = {–1; 0; –2} являются сторонами треуольниа ABC. Найдите длину медианы AM.

444

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

медиана, проведенная из вершины C. Найдите оординаты точи пересечения прямых BL и CE.

§ 76. Векторы и их координаты Длина ветора a вычисляется по формуле |a | =

21. При аих значениях α и β веторы a = –2 i + 3 j + α k и b = β i – 6 j + 2 k оллинеарны?

2

2

2

a1 + a2 + a3 .

(8)

П р и м е р 3. Даны веторы a = {5; 2} и b = {7; –3}. Найти

Три ветора a = {a1; a2; a3}, b = {b1; b2; b3}, c = {c1; c2; c3} называют омпланарными, если

ветор c , удовлетворяющий условиям ac = 38, bc = 30.

a1

a2

a3

b1

b2

b 3 = 0.

Р е ш е н и е. Пусть c = (X; Y), тода соласно формуле (5) имеем 5X + 2Y = 38, 7X – 3Y = 30.

c1

c2

c3

Решив эту систему относительно X и Y, получаем X = 6, Y = 4.

22. Проверьте, что веторы a = {1; 0; 2}, b = {0; 1; 3}, 23. Доажите, что если ветор c представлен в виде c = a + λ b , то веторы a , b , c омпланарны. 24. Доажите, что если три ветора a , b , c омпланарны, то существуют постоянные α и β таие, что справедливо равенство c = α a + β b . 25. Даны три ветора: a = {1; –1; 0}, b = {0; 1; –1}, c = = {1; 0; –1} и ветор d = α a + β b . Доажите, что при любых α и β веторы d , a , c омпланарны. Если веторы a = {a1; a2; a3} и b = {b1; b2; b3} заданы своими оординатами в прямоуольной системе оординат, то их с алярным произведением называют число, оторое находится по формуле ab = a1b1 + a2b2 + a3b3. (5) Косинсом ла межд ненулевыми ве торами a и b называют число, оторое находится по формуле a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 -. cos F( a , b ) = --------------------------------------------------------------------------2 2 2 2 2 2 a 1 + a 2 + a3 b 1 + b 2 + b 3

(6)

а) a b ;

б) (2 a – 3 b ) ( a + 2 b );

в) ( a – b )2;

) |2 a – b |.

27. Дан ветор a = {–6; 8}. Найдите оординаты единичноо ветора: а) сонаправленноо ветору a ; б) противоположно направленноо ветору a .
28. Из одной точи проведены веторы a = {–12; 16}, b = = {12; 5}. Найдите оординаты ветора, оторый, будучи отложенным от той же точи, делит пополам уол между данными веторами.

29. Зная, что | a | = 3, | b | = 1, | c | = 4 и a + b + c = 0 , вычислите a b + b c + c a . 30. Вычислите длину ветора: а) a = i – j + k ; б) b = 2 i + j – 3 k . 31. Длина ветора равна 3. Вычислите оординаты ветора, если известно, что все они равны между собой. 32. Вычислите длину ветора 2 a + 3 b , если a = {1; 1; –1}, b = {2; 0; 0}. 33. Даны веторы a = {1; 1; –1}, b = {5; –3; –3} и c = = {3; –1; 2}. Найдите веторы, оллинеарные ветору c , длины

Условие перпендиулярности двух ненулевых веторов a и a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Ответ. c = {6; 4}. 26. Даны веторы a = {4; –2; –4} и b = {6; –3; 2}. Вычислите:

c = {1; 1; 5} омпланарны.

b имеет вид

445

(7)

оторых равны длине ветора a + b .
34. Веторы AB = –3 i + 4 k и BC = {–1; 0; –2} являются сторонами треуольниа ABC. Найдите длину медианы AM.

446

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры П р и м е р 4. Вычислить уол между веторами a = {–1; 2; –2}

и b = {6; 3; –6}. Р е ш е н и е. Используя формулу (6), находим 4 ( –1 ) ⋅ 6 + 2 ⋅ 3 + ( –2 ) ⋅ ( –6 ) 12 --cos F( a , b ) = --------------------------------------------------------------------------- = ---------3⋅9 = 9. 1 + 4 + 4 36 + 9 + 36 4

Ответ. F( a , b ) = arccos --9- . 35. Вычислите уол между веторами: а) a = {6; –2; –3}; b = {5; 0; 0};

§ 76. Векторы и их координаты


447

42. Веторы a , b и c имеют равные длины и образуют по-

парно равные улы. Найдите оординаты ветора c , если a = = i + j и b = j + k. 43. Прямая составляет равные улы с ребрами прямоо трехранноо ула. Найдите эти улы. 44. Веторы AB = {3; –2; 2} и BC = {–1; 0; –2} являются смежными сторонами параллелорамма. Определите величину ула между ео диаоналями. П р и м е р 5. Найти оординаты единичноо ветора a ,

б) a = {2; –4; 5}; b = {0; 2; 0};

если известно, что он перпендиулярен веторам b = {1; 1; 0}

в) a = {–2; 6; –3}; b = {0; 0; –3};

и c = {0; 1; 1}.

) a = {–4; –6; 2}; b = {4; 0; 0};

Р е ш е н и е. Пусть ветор a имеет оординаты X, Y, Z. Тода по условию

д) a = {3; –2; 6}; b = {0; –5; 0};

2




36. Каой уол образует с ортом i данный ветор: a = {2; 3},

b = {–2; 5}, c = {–5; 1}, d = {–1; –1}?

i , j , k данный ветор:

2

= 1.

(*)

Та а ветор a перпендиулярен веторам b и c , то, используя формулу (7), получаем уравнения X+Y=0

37. Вычислите осинус ула между веторами a – b и a + b , если a = {1; 2; 1} и b = {2; –1; 0}.
38. Вычислите осинусы улов, оторые образует с ортами

2

X +Y +Z

е) a = {4; –5; –2}; b = {0; 0; 2}.

и Y + Z = 0.

Подставляя выражения X и Z через Y в равенство (*), получаем 1 3

Y = ä ------- . Следовательно, существуют два ветора, удовлетворяющих условию задачи.

а) a = i + j + k ;

б) b = –3 j – k ;

в) c = –5 i ;

) d = 3 j + 4 k .

39. Вычислите оординаты ветора p , оллинеарноо ветору q = {3; –4}, если известно, что ветор p образует тупой уол с ветором i и | p | = 10.

 1  1 1 1  1 1  Ответ. a 1 =  – ------- ; ------- ; – -------  , a 2 =  ------- ; – ------- ; -------  . 3 3 3  3 3    3 45. При аом значении Z веторы a = {6; 0; 12} и b = = {–8; 13; Z} перпендиулярны?

40. Ветор b оллинеарен ветору a = {6; 8; –7,5} и образу-

46. При аих значениях X и Y ветор a = X i + Y j + 2 k

ет с ортом k острый уол. Найдите оординаты ветора b ,

перпендиулярен ветору b = i – j + k и салярное произве-

зная, что | b | = 50.

дение веторов a и c = i + 2 j равно 4?

41. Вычислите уол между веторами a = 2 i + j и b =

47. Ветор c перпендиулярен веторам a = {2; 3; –1} и

= i – 2 j и определите длины диаоналей параллелорамма, построенноо на этих веторах а на сторонах.

b = {1; –2; 3} и удовлетворяет условию c (2 i – j + k ) = –6. Найдите оординаты ветора c .

446

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры П р и м е р 4. Вычислить уол между веторами a = {–1; 2; –2}

и b = {6; 3; –6}. Р е ш е н и е. Используя формулу (6), находим 4 ( –1 ) ⋅ 6 + 2 ⋅ 3 + ( –2 ) ⋅ ( –6 ) 12 --cos F( a , b ) = --------------------------------------------------------------------------- = ---------3⋅9 = 9. 1 + 4 + 4 36 + 9 + 36 4

Ответ. F( a , b ) = arccos --9- . 35. Вычислите уол между веторами: а) a = {6; –2; –3}; b = {5; 0; 0};

§ 76. Векторы и их координаты


447

42. Веторы a , b и c имеют равные длины и образуют по-

парно равные улы. Найдите оординаты ветора c , если a = = i + j и b = j + k. 43. Прямая составляет равные улы с ребрами прямоо трехранноо ула. Найдите эти улы. 44. Веторы AB = {3; –2; 2} и BC = {–1; 0; –2} являются смежными сторонами параллелорамма. Определите величину ула между ео диаоналями. П р и м е р 5. Найти оординаты единичноо ветора a ,

б) a = {2; –4; 5}; b = {0; 2; 0};

если известно, что он перпендиулярен веторам b = {1; 1; 0}

в) a = {–2; 6; –3}; b = {0; 0; –3};

и c = {0; 1; 1}.

) a = {–4; –6; 2}; b = {4; 0; 0};

Р е ш е н и е. Пусть ветор a имеет оординаты X, Y, Z. Тода по условию

д) a = {3; –2; 6}; b = {0; –5; 0};

2




36. Каой уол образует с ортом i данный ветор: a = {2; 3},

b = {–2; 5}, c = {–5; 1}, d = {–1; –1}?

i , j , k данный ветор:

2

= 1.

(*)

Та а ветор a перпендиулярен веторам b и c , то, используя формулу (7), получаем уравнения X+Y=0

37. Вычислите осинус ула между веторами a – b и a + b , если a = {1; 2; 1} и b = {2; –1; 0}.
38. Вычислите осинусы улов, оторые образует с ортами

2

X +Y +Z

е) a = {4; –5; –2}; b = {0; 0; 2}.

и Y + Z = 0.

Подставляя выражения X и Z через Y в равенство (*), получаем 1 3

Y = ä ------- . Следовательно, существуют два ветора, удовлетворяющих условию задачи.

а) a = i + j + k ;

б) b = –3 j – k ;

в) c = –5 i ;

) d = 3 j + 4 k .

39. Вычислите оординаты ветора p , оллинеарноо ветору q = {3; –4}, если известно, что ветор p образует тупой уол с ветором i и | p | = 10.

 1  1 1 1  1 1  Ответ. a 1 =  – ------- ; ------- ; – -------  , a 2 =  ------- ; – ------- ; -------  . 3 3 3  3 3    3 45. При аом значении Z веторы a = {6; 0; 12} и b = = {–8; 13; Z} перпендиулярны?

40. Ветор b оллинеарен ветору a = {6; 8; –7,5} и образу-

46. При аих значениях X и Y ветор a = X i + Y j + 2 k

ет с ортом k острый уол. Найдите оординаты ветора b ,

перпендиулярен ветору b = i – j + k и салярное произве-

зная, что | b | = 50.

дение веторов a и c = i + 2 j равно 4?

41. Вычислите уол между веторами a = 2 i + j и b =

47. Ветор c перпендиулярен веторам a = {2; 3; –1} и

= i – 2 j и определите длины диаоналей параллелорамма, построенноо на этих веторах а на сторонах.

b = {1; –2; 3} и удовлетворяет условию c (2 i – j + k ) = –6. Найдите оординаты ветора c .

448

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры 48. Вычислите оординаты ветора c , перпендиулярноо

веторам a = 2 j – k и b = – i + 2 j – 3 k и образующео тупой уол с ортом j , если | c | =


7.

49. Найдите оординаты ветора a = {X; Y; Z}, образующео

равные улы с веторами b = {Y; –2Z; 3X}, c = {2Z; 3X; –Y}, если ветор a перпендиулярен ветору d = {1; –1; 2}, | a | = = 2 3 и уол между ветором a и ортом j — тупой. 50. В параллелорамме ABCD известны оординаты трех вершин: A(3; 1; 2), B(0; –1; –1), C(–1; 1; 0). Найдите длину диаонали BD. 51. Доажите, что точи A(1; –1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; –1; 1) являются вершинами прямоуольниа. Вычислите длины ео диаоналей и оординаты их точи пересечения. 52. Доажите, что точи A(2; 4; –4), B(1; 1; –3), C(–2; 0; 5), D(–1; 3; 4) являются вершинами параллелорамма, и вычислите величину ула между ео диаоналями. 53. Найдите осинус ула между диаоналями AC и BD параллелорамма, если заданы три ео вершины: A(2; 1; 3), B(5; 2; –1) и C(–3; 3; –3). 54. Треуольни задан своими вершинами A(3; –2; 1), B(3; 1; 5), C(4; 0; 3). Вычислите: длины медиан AA1 и BB1; расстояние от начала оординат до центра тяжести G треуольниа; величины улов треуольниа. 55. Вычислите оординаты вершины C правильноо треуольниа ABC, если известны вершины A(1; 3) и B(3; 1). 56. Вычислите оординаты вершин C и D вадрата ABCD, если известны вершины A(2; 1) и B(0; 4). 57. Даны точи B(1; –3) и D(0; 4), являющиеся вершинами ромба ABCD. Вычислите оординаты вершин A и C, если FBAD = 60°. 58. Даны вершины треуольниа: A(1; –1; –3), B(2; 1; –2) и C(–5; 2; –6). Вычислите длину биссетрисы ео внутреннео ула при вершине A. 59. Даны оординаты трех точе: A(3; 3; 2), B(1; 1; 1) и C(4; 5; 1). Определите оординаты точи D, принадлежащей биссетрисе ула ABC и удаленной от вершины B на расстояние

870 .

§ 76. Векторы и их координаты

449

60. Вычислите работу силы F = i + 2 j + k при перемещении материальной точи из положения A(–1; 2; 0) в положение B(2; 1; 3). 61. Даны три силы: M = {3; –4; 2}, N = {2; 3; 5} и P = = {–3; –2; 4}, приложенные  одной точе. Вычислите работу, производимую равнодействующей этих сил, ода их точа приложения, двиаясь прямолинейно, перемещается из положения A(5; 3; –7) в положение B(4; 1; –4). 62. Найдите длины сторон и величины улов треуольниа с вершинами A(–1; –2; 4), B(–4; –2; 0) и C(3; –2; 1). 63. Известны оординаты вершин треуольниа: A(1; 1; 1), B(2; 4; 2), C(8; 3; 3). Определите, является ли этот треуольни прямоуольным или тупоуольным. 64. Вершинами треуольниа являются точи A(2; –3; 0), B(2; –1; 1) и C(0; 1; 4). Найдите величину ула, образуемоо медианой BD и основанием AC.
65. Пусть H — точа пересечения высот треуольниа ABC. Известно, что AB = {6; –2}, AC = {3; 4}. Найдите оординаты ветора AH . 66. Доажите, что треуольни ABC, вершины отороо расположены в точах A(1; 0; 1), B(1; 1; 0), C(1; 1; 1), — прямоуольный. Найдите расстояние от начала оординат до центра оружности, описанной ооло этоо треуольниа. 67. Треуольная пирамида задана вершинами A(3; 0; 1), B(–1; 4; 1), C(5; 2; 3), D(0; –5; 4). Вычислите длину ветора AG , если G — точа пересечения медиан рани BCD.
68. Объем прямой треуольной призмы ABCA1B1C1 равен 3. Определите оординаты вершины A1, если оординаты вершин одноо из оснований призмы известны: A(1; 0; 1), B(2; 0; 0), C(0; 1; 0). 69. В прямоуольной деартовой системе оординат xOy на ривой y = x2 заданы таие точи A и B, что OA · i = 1 и OB · i = –2. Найдите длину ветора 12 OA – 3 OB . 70. В прямоуольной деартовой системе оординат xOy на той части ривой y = x2 – 2x + 3, оторая принадлежит первой четверти, заданы точа A(x1; y1) с абсциссой x1 = 1 и точа B(x2; y2) с ординатой y2 = 11. Найдите салярное произведение веторов OA и OB .

448

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры 48. Вычислите оординаты ветора c , перпендиулярноо

веторам a = 2 j – k и b = – i + 2 j – 3 k и образующео тупой уол с ортом j , если | c | =


7.

49. Найдите оординаты ветора a = {X; Y; Z}, образующео

равные улы с веторами b = {Y; –2Z; 3X}, c = {2Z; 3X; –Y}, если ветор a перпендиулярен ветору d = {1; –1; 2}, | a | = = 2 3 и уол между ветором a и ортом j — тупой. 50. В параллелорамме ABCD известны оординаты трех вершин: A(3; 1; 2), B(0; –1; –1), C(–1; 1; 0). Найдите длину диаонали BD. 51. Доажите, что точи A(1; –1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; –1; 1) являются вершинами прямоуольниа. Вычислите длины ео диаоналей и оординаты их точи пересечения. 52. Доажите, что точи A(2; 4; –4), B(1; 1; –3), C(–2; 0; 5), D(–1; 3; 4) являются вершинами параллелорамма, и вычислите величину ула между ео диаоналями. 53. Найдите осинус ула между диаоналями AC и BD параллелорамма, если заданы три ео вершины: A(2; 1; 3), B(5; 2; –1) и C(–3; 3; –3). 54. Треуольни задан своими вершинами A(3; –2; 1), B(3; 1; 5), C(4; 0; 3). Вычислите: длины медиан AA1 и BB1; расстояние от начала оординат до центра тяжести G треуольниа; величины улов треуольниа. 55. Вычислите оординаты вершины C правильноо треуольниа ABC, если известны вершины A(1; 3) и B(3; 1). 56. Вычислите оординаты вершин C и D вадрата ABCD, если известны вершины A(2; 1) и B(0; 4). 57. Даны точи B(1; –3) и D(0; 4), являющиеся вершинами ромба ABCD. Вычислите оординаты вершин A и C, если FBAD = 60°. 58. Даны вершины треуольниа: A(1; –1; –3), B(2; 1; –2) и C(–5; 2; –6). Вычислите длину биссетрисы ео внутреннео ула при вершине A. 59. Даны оординаты трех точе: A(3; 3; 2), B(1; 1; 1) и C(4; 5; 1). Определите оординаты точи D, принадлежащей биссетрисе ула ABC и удаленной от вершины B на расстояние

870 .

§ 76. Векторы и их координаты

449

60. Вычислите работу силы F = i + 2 j + k при перемещении материальной точи из положения A(–1; 2; 0) в положение B(2; 1; 3). 61. Даны три силы: M = {3; –4; 2}, N = {2; 3; 5} и P = = {–3; –2; 4}, приложенные  одной точе. Вычислите работу, производимую равнодействующей этих сил, ода их точа приложения, двиаясь прямолинейно, перемещается из положения A(5; 3; –7) в положение B(4; 1; –4). 62. Найдите длины сторон и величины улов треуольниа с вершинами A(–1; –2; 4), B(–4; –2; 0) и C(3; –2; 1). 63. Известны оординаты вершин треуольниа: A(1; 1; 1), B(2; 4; 2), C(8; 3; 3). Определите, является ли этот треуольни прямоуольным или тупоуольным. 64. Вершинами треуольниа являются точи A(2; –3; 0), B(2; –1; 1) и C(0; 1; 4). Найдите величину ула, образуемоо медианой BD и основанием AC.
65. Пусть H — точа пересечения высот треуольниа ABC. Известно, что AB = {6; –2}, AC = {3; 4}. Найдите оординаты ветора AH . 66. Доажите, что треуольни ABC, вершины отороо расположены в точах A(1; 0; 1), B(1; 1; 0), C(1; 1; 1), — прямоуольный. Найдите расстояние от начала оординат до центра оружности, описанной ооло этоо треуольниа. 67. Треуольная пирамида задана вершинами A(3; 0; 1), B(–1; 4; 1), C(5; 2; 3), D(0; –5; 4). Вычислите длину ветора AG , если G — точа пересечения медиан рани BCD.
68. Объем прямой треуольной призмы ABCA1B1C1 равен 3. Определите оординаты вершины A1, если оординаты вершин одноо из оснований призмы известны: A(1; 0; 1), B(2; 0; 0), C(0; 1; 0). 69. В прямоуольной деартовой системе оординат xOy на ривой y = x2 заданы таие точи A и B, что OA · i = 1 и OB · i = –2. Найдите длину ветора 12 OA – 3 OB . 70. В прямоуольной деартовой системе оординат xOy на той части ривой y = x2 – 2x + 3, оторая принадлежит первой четверти, заданы точа A(x1; y1) с абсциссой x1 = 1 и точа B(x2; y2) с ординатой y2 = 11. Найдите салярное произведение веторов OA и OB .

450

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

§ 77. Аналитическая запись линий на плоскости и поверхностей в пространстве

k1k2 = –1,

(9)

а если эти прямые параллельны, то

(1)

Уравнение прямой, проходящей через точу M0(x0; y0) перпендиулярно ветору n = (A; B): A(x – x0) + B(y – y0) = 0.

451

Если прямые l1 и l2 перпендиулярны, то

Прямую на плосости в прямоуольной деартовой системе оординат xOy можно задать одним из уравнений (1)—(7). Общее уравнений прямой: Ax + By + C = 0.

§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей

k 1 = k 2.

(10)

Расстояние от точи M0(x0; y0) до прямой l, заданной уравнением Ax + By + C = 0, находится по формуле Ax + By + C

0 0 -. ρ(M0, l) = -----------------------------------------2 2

(11)

A +B

(2)

П р и м е р 1. Прямая l проходит через точу M0(–1; 2) пер-

Уравнение прямой, проходящей через точу M0(x0; y0) па-

пендиулярно ветору n = {2; 2}. Составить уравнение прямой l. Р е ш е н и е. Соласно формуле (2), имеем 2(x + 1) + 2(y – 2) = = 0. Расрыв соби и приведя подобные члены, получаем уравнение x + y – 1 = 0.

раллельно ветору a = {m; n}: x – x0 y – y0 ---------------- = ---------------- . m n

(3)

Ответ. x + y – 1 = 0.

Уравнение прямой в отрезах: y x --- + --- = 1, b a

(4)

де a и b — оординаты точе, отсеаемых прямой на оординатных осях Ox и Oy соответственно. Уравнение прямой с уловым оэффициентом k: y = kx + b.

(5)

Уравнение прямой, проходящей через данную точу M0(x0; y0) с данным уловым оэффициентом k: y – y0 = k(x – x0).

(6)

Уравнение прямой, проходящей через две точи M1(x1; y1) и M2(x2; y2): x – x1 y – y1 -----------------------------------x 2 – x1 = y 2 – y 1 .

(7)

Улом межд прямыми l1 и l2 называют наименьший из двух смежных улов, образованных этими прямыми. Таненс ула между прямыми l1 и l2 с уловыми оэффициентами k1 и k2 вычисляется по формуле tg F(l1, l2) =

k 2 – k1 ----------------------1 + k1 k2 ,

k1k2 − –1.

(8)

П р и м е р 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точу M0(–1; 2) и параллельной ветору a = {3; –1}. Р е ш е н и е. Соласно формуле (3), имеем y–2 x+1 -------------- = ------------- , –1 3

или

x + 3y – 5 = 0.

Ответ. x + 3y – 5 = 0. П р и м е р 3. Заданы прямая l: –2x + y – 1 = 0 и точа M(–1; 2). Требуется: 1) вычислить расстояние ρ(M, l) от точи M до прямой l; 2) написать уравнение прямой l1, проходящей через точу M перпендиулярно заданной прямой l; 3) написать уравнение прямой l2, проходящей через точу M параллельно заданной прямой l. Р е ш е н и е. 1) Используя формулу (11), находим ( –2 ) ( – 1 ) + 1 ⋅ 2 – 1 4+1

3 5

ρ(M, l) = -------------------------------------------------------- = ------- . 2) Применяя формулу (9) при k1 = 2, получим k2 = – 0,5. Теперь, соласно формуле (6), имеем y – 2 = –0,5 (x + 1), или x + 2y – 3 = 0.

450

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

§ 77. Аналитическая запись линий на плоскости и поверхностей в пространстве

k1k2 = –1,

(9)

а если эти прямые параллельны, то

(1)

Уравнение прямой, проходящей через точу M0(x0; y0) перпендиулярно ветору n = (A; B): A(x – x0) + B(y – y0) = 0.

451

Если прямые l1 и l2 перпендиулярны, то

Прямую на плосости в прямоуольной деартовой системе оординат xOy можно задать одним из уравнений (1)—(7). Общее уравнений прямой: Ax + By + C = 0.

§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей

k 1 = k 2.

(10)

Расстояние от точи M0(x0; y0) до прямой l, заданной уравнением Ax + By + C = 0, находится по формуле Ax + By + C

0 0 -. ρ(M0, l) = -----------------------------------------2 2

(11)

A +B

(2)

П р и м е р 1. Прямая l проходит через точу M0(–1; 2) пер-

Уравнение прямой, проходящей через точу M0(x0; y0) па-

пендиулярно ветору n = {2; 2}. Составить уравнение прямой l. Р е ш е н и е. Соласно формуле (2), имеем 2(x + 1) + 2(y – 2) = = 0. Расрыв соби и приведя подобные члены, получаем уравнение x + y – 1 = 0.

раллельно ветору a = {m; n}: x – x0 y – y0 ---------------- = ---------------- . m n

(3)

Ответ. x + y – 1 = 0.

Уравнение прямой в отрезах: y x --- + --- = 1, b a

(4)

де a и b — оординаты точе, отсеаемых прямой на оординатных осях Ox и Oy соответственно. Уравнение прямой с уловым оэффициентом k: y = kx + b.

(5)

Уравнение прямой, проходящей через данную точу M0(x0; y0) с данным уловым оэффициентом k: y – y0 = k(x – x0).

(6)

Уравнение прямой, проходящей через две точи M1(x1; y1) и M2(x2; y2): x – x1 y – y1 -----------------------------------x 2 – x1 = y 2 – y 1 .

(7)

Улом межд прямыми l1 и l2 называют наименьший из двух смежных улов, образованных этими прямыми. Таненс ула между прямыми l1 и l2 с уловыми оэффициентами k1 и k2 вычисляется по формуле tg F(l1, l2) =

k 2 – k1 ----------------------1 + k1 k2 ,

k1k2 − –1.

(8)

П р и м е р 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точу M0(–1; 2) и параллельной ветору a = {3; –1}. Р е ш е н и е. Соласно формуле (3), имеем y–2 x+1 -------------- = ------------- , –1 3

или

x + 3y – 5 = 0.

Ответ. x + 3y – 5 = 0. П р и м е р 3. Заданы прямая l: –2x + y – 1 = 0 и точа M(–1; 2). Требуется: 1) вычислить расстояние ρ(M, l) от точи M до прямой l; 2) написать уравнение прямой l1, проходящей через точу M перпендиулярно заданной прямой l; 3) написать уравнение прямой l2, проходящей через точу M параллельно заданной прямой l. Р е ш е н и е. 1) Используя формулу (11), находим ( –2 ) ( – 1 ) + 1 ⋅ 2 – 1 4+1

3 5

ρ(M, l) = -------------------------------------------------------- = ------- . 2) Применяя формулу (9) при k1 = 2, получим k2 = – 0,5. Теперь, соласно формуле (6), имеем y – 2 = –0,5 (x + 1), или x + 2y – 3 = 0.

452

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры 3) Применяя формулы (10) и (6), получаем y – 2 = 2(x + 1),

т. е.

y = 2x + 4.

3 5

Ответ. 1) ------- ; 2) x + 2y – 3 = 0; 3) y = 2x + 4. 1. Прямая l проходит через точи M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Напишите уравнение прямой l, если: б) M1(7; –2), M2(–3; 4); а) M1(1; 2), M2(–1; 0); в) M1(1; 1), M2(1; –2);

) M1(2; 2), M2(0; 2).


2. Составьте уравнение прямой, оторая проходит через точу M(8; 6) и отсеает от оординатноо ула треуольни с площадью, равной 12. 3. Напишите уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым l1 и l2 и равноудаленной от l1 и l2, если:

x–1

§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей

Уравнение оружности с центром C0(x0; y0) и радиусом R имеет вид (12) (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2. П р и м е р 4. Составить уравнение оружности, проходящей через точи A(2; 0), B(5; 0) и асающейся оси Oy. Р е ш е н и е. Пусть центр оружности C0 имеет оординаты (x0; y0). Тода из условия асания оружности с осью Oy залючаем, что абсцисса центра x0 равна радиусу R. Та а точи A(2; 0) и B(5; 0) лежат на оружности, то их оординаты удовлетворяют уравнению оружности. Используя перечисленные условия, получим следующую систему уравнений: 2

(x0 – 2)2 + y 0 = R2, 2

(x0 – 5)2 + y 0 = R2,

y+3

- = ------------- ; а) l1: 3x – 2y – 1 = 0; l2: -----------3 2 y + 0,5 x + 0,5 -. = -----------------б) l1: 3x – 15y – 1 = 0; l2: ------------------1 5

4. Треуольни ABC задан своими вершинами A(1; 2), B(2; –2), C(6; 1). Требуется: 1) написать уравнение прямой, содержащей сторону AB; 2) написать уравнение прямой, содержащей высоту CD и вычислить длину h = CD; 3) найти уол ϕ между высотой CD и медианой BM; 4) написать уравнения биссетрис l1 и l2 внутреннео и внешнео улов при вершине A. 5. Из точи M(5; 4) выходит луч света под улом ϕ = arctg 2  оси Ox и отражается от нее. Напишите уравнения падающео и отраженноо лучей (уравнения прямых, содержащих эти лучи). 6. Напишите уравнение прямой, проходящей через точу π

M(2; 1) под улом --4-  прямой 2x + 3y + 4 = 0.
7. Две вершины треуольниа ABC находятся в точах A(–1; –1) и B(4; 5), а третья вершина лежит на прямой y = 5(x – 3). Площадь треуольниа равна 9,5. Найдите оординаты вершины C. 8. Даны три точи A(2; 1), B(3; 1), C(–4; 0), являющиеся вершинами равнобедренной трапеции ABCD. Найдите оорди-

наты точи D, если AB = k CD .

453

x0 = R, 7

оторая имеет два решения: x0 = --2- , y0 =

7

7

10 , R = --2- и x0 = --2- ,

7

y0 = – 10 , R = --2- . 7 2 Ответ.  x – --2-  +  y –   

10  

2 x– 7 ---  +  y + 2   

10  

2

2

49

= -----4 ; 49

= -----4 .

19. Составьте уравнение оружности, вписанной в треуольни, стороны отороо лежат на прямых x = 0, y = 0, 3x + 4y – – 12 = 0. 10. Дана оружность x2 + y2 = 4. Составьте уравнение прямой l, параллельной оси абсцисс и пересеающей оружность в таих точах M и N, что MN = 1.
11. В оружность x2 + y2 = 169 вписан вадрат ABCD. Найдите оординаты вершин B, C и D, если A(5; –12).
12. Дана оружность x2 + y2 = 9. Составьте уравнение оружности, проходящей через начало оординат, точу A(1; 0) и асающейся данной оружности. 13. Составьте уравнение оружности, проходящей через точу A(2; 1) и асающейся осей оординат.

452

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры 3) Применяя формулы (10) и (6), получаем y – 2 = 2(x + 1),

т. е.

y = 2x + 4.

3 5

Ответ. 1) ------- ; 2) x + 2y – 3 = 0; 3) y = 2x + 4. 1. Прямая l проходит через точи M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Напишите уравнение прямой l, если: б) M1(7; –2), M2(–3; 4); а) M1(1; 2), M2(–1; 0); в) M1(1; 1), M2(1; –2);

) M1(2; 2), M2(0; 2).


2. Составьте уравнение прямой, оторая проходит через точу M(8; 6) и отсеает от оординатноо ула треуольни с площадью, равной 12. 3. Напишите уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым l1 и l2 и равноудаленной от l1 и l2, если:

x–1

§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей

Уравнение оружности с центром C0(x0; y0) и радиусом R имеет вид (12) (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2. П р и м е р 4. Составить уравнение оружности, проходящей через точи A(2; 0), B(5; 0) и асающейся оси Oy. Р е ш е н и е. Пусть центр оружности C0 имеет оординаты (x0; y0). Тода из условия асания оружности с осью Oy залючаем, что абсцисса центра x0 равна радиусу R. Та а точи A(2; 0) и B(5; 0) лежат на оружности, то их оординаты удовлетворяют уравнению оружности. Используя перечисленные условия, получим следующую систему уравнений: 2

(x0 – 2)2 + y 0 = R2, 2

(x0 – 5)2 + y 0 = R2,

y+3

- = ------------- ; а) l1: 3x – 2y – 1 = 0; l2: -----------3 2 y + 0,5 x + 0,5 -. = -----------------б) l1: 3x – 15y – 1 = 0; l2: ------------------1 5

4. Треуольни ABC задан своими вершинами A(1; 2), B(2; –2), C(6; 1). Требуется: 1) написать уравнение прямой, содержащей сторону AB; 2) написать уравнение прямой, содержащей высоту CD и вычислить длину h = CD; 3) найти уол ϕ между высотой CD и медианой BM; 4) написать уравнения биссетрис l1 и l2 внутреннео и внешнео улов при вершине A. 5. Из точи M(5; 4) выходит луч света под улом ϕ = arctg 2  оси Ox и отражается от нее. Напишите уравнения падающео и отраженноо лучей (уравнения прямых, содержащих эти лучи). 6. Напишите уравнение прямой, проходящей через точу π

M(2; 1) под улом --4-  прямой 2x + 3y + 4 = 0.
7. Две вершины треуольниа ABC находятся в точах A(–1; –1) и B(4; 5), а третья вершина лежит на прямой y = 5(x – 3). Площадь треуольниа равна 9,5. Найдите оординаты вершины C. 8. Даны три точи A(2; 1), B(3; 1), C(–4; 0), являющиеся вершинами равнобедренной трапеции ABCD. Найдите оорди-

наты точи D, если AB = k CD .

453

x0 = R, 7

оторая имеет два решения: x0 = --2- , y0 =

7

7

10 , R = --2- и x0 = --2- ,

7

y0 = – 10 , R = --2- . 7 2 Ответ.  x – --2-  +  y –   

10  

2 x– 7 ---  +  y + 2   

10  

2

2

49

= -----4 ; 49

= -----4 .

19. Составьте уравнение оружности, вписанной в треуольни, стороны отороо лежат на прямых x = 0, y = 0, 3x + 4y – – 12 = 0. 10. Дана оружность x2 + y2 = 4. Составьте уравнение прямой l, параллельной оси абсцисс и пересеающей оружность в таих точах M и N, что MN = 1.
11. В оружность x2 + y2 = 169 вписан вадрат ABCD. Найдите оординаты вершин B, C и D, если A(5; –12).
12. Дана оружность x2 + y2 = 9. Составьте уравнение оружности, проходящей через начало оординат, точу A(1; 0) и асающейся данной оружности. 13. Составьте уравнение оружности, проходящей через точу A(2; 1) и асающейся осей оординат.

454

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Плосость в прямоуольной системе оординат Oxyz можно задать следующими уравнениями. Общее уравнение плосости: Ax + By + Cz + D = 0.

(13)

Уравнение плосости, проходящей через точу M0(x0; y0; z0)

§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей

455

веторов, перпендиулярных этим плосостям. Пусть ветор n 1 = {A1; B1; C1} перпендиулярен первой плосости. Тода n 1 B MN и n 1 B MK , и, следовательно, n 1 · MN = 0, n 1 · MK = 0. Записав эти равенства в оординатной форме, получим систему уравнений

перпендиулярно ветору n = {A; B; C}: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Улом межд двмя плос остями α1 и α2 называют наименьший из двуранных улов, образованных этими плосостями. Косинус этоо ула вычисляется по формуле n ⋅n

A1 + B1 + C1 = 0, 3A1 + 2B1 + C1 = 0,

(14)

A A +B B +C C

(*)

решения оторой дают неизвестные оординаты ветора n 1 . Та а система (*) состоит тольо из двух уравнений, то одно неизвестное, например C1, можно взять в ачестве свободноо.

1 2 1 2 1 2 1 2 --------------------------------------------------------------------------------- , (15) cos F(α1, α2) = ---------------------n1 ⋅ n2 = 2 2 2 2 2 2

Полаая ео равным 1, получим n 1 = {1; –2; 1}. Рассуждая ана-

де n 1 = {A1; B1; C1} и n 2 = {A2; B2; C2} — веторы, перпенди-

 1  1 плосости, имеет оординаты  – --2- ; – --2- ; 1  . Подставив найден 

A1 + B1 + C1

A2 + B2 + C2

улярные плосостям α1 и α2 соответственно. П р и м е р 5. Составить уравнение плосости, если известно, что точа N(3; 5; 2) является основанием перпендиуляра, проведенноо из начала оординат  этой плосости, и принадлежит плосости. Р е ш е н и е. Из условия следует, что ветор ON перпендиулярен исомой плосости, де O — начало оординат, N — точа, принадлежащая плосости, и ON = {3; 5; 2}. Соласно формуле (14), уравнение плосости, проходящей через точу N перпендиулярно ветору ON , имеет вид 3(x – 3) + 5(y – 5) + 2(z – 2) = 0,

лоично, находим, что ветор n 2 , перпендиулярный второй

ные оординаты в формулу (15), получим 1 – --- + 1 + 1 2 1 cos ϕ = ------------------------------ = --2- , 3 6 ⋅ --2

и, следовательно, исомый уол ϕ равен 60°. Ответ. 60°. П р и м е р 7. Даны плосость 2x + 2y – z + 4 = 0 и прямая l, проходящая через точи A(2; 1; 1) и B(–3; 4; 0). Найти оординаты точи пересечения прямой l с данной плосостью. Р е ш е н и е. Запишем оординаты ветора AB ; имеем

или 3x + 5y + 2z – 38 = 0. Ответ. 3x + 5y + 2z – 38 = 0. П р и м е р 6. Найти уол между плосостью, проходящей через точи M(0; 0; 0), N(1; 1; 1), K(3; 2; 1), и плосостью, проходящей через точи M(0; 0; 0), N(1; 1; 1), D(3; 1; 2). Р е ш е н и е. Соласно формуле (15), для вычисления осинуса ула между плосостями необходимо найти оординаты

AB = {–3 –2; 4 – 1; 0 – 1} = {–5; 3; –1}. Пусть M(x0; y0; z0) является точой пересечения данной плосости и прямой, проходящей через точи A и B. Это значит, что, во-первых, оординаты точи M удовлетворяют уравнению данной плосости, т. е. связаны равенством 2x0 + 2y0 – z0 + 4 = 0,

(*)

454

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Плосость в прямоуольной системе оординат Oxyz можно задать следующими уравнениями. Общее уравнение плосости: Ax + By + Cz + D = 0.

(13)

Уравнение плосости, проходящей через точу M0(x0; y0; z0)

§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей

455

веторов, перпендиулярных этим плосостям. Пусть ветор n 1 = {A1; B1; C1} перпендиулярен первой плосости. Тода n 1 B MN и n 1 B MK , и, следовательно, n 1 · MN = 0, n 1 · MK = 0. Записав эти равенства в оординатной форме, получим систему уравнений

перпендиулярно ветору n = {A; B; C}: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Улом межд двмя плос остями α1 и α2 называют наименьший из двуранных улов, образованных этими плосостями. Косинус этоо ула вычисляется по формуле n ⋅n

A1 + B1 + C1 = 0, 3A1 + 2B1 + C1 = 0,

(14)

A A +B B +C C

(*)

решения оторой дают неизвестные оординаты ветора n 1 . Та а система (*) состоит тольо из двух уравнений, то одно неизвестное, например C1, можно взять в ачестве свободноо.

1 2 1 2 1 2 1 2 --------------------------------------------------------------------------------- , (15) cos F(α1, α2) = ---------------------n1 ⋅ n2 = 2 2 2 2 2 2

Полаая ео равным 1, получим n 1 = {1; –2; 1}. Рассуждая ана-

де n 1 = {A1; B1; C1} и n 2 = {A2; B2; C2} — веторы, перпенди-

 1  1 плосости, имеет оординаты  – --2- ; – --2- ; 1  . Подставив найден 

A1 + B1 + C1

A2 + B2 + C2

улярные плосостям α1 и α2 соответственно. П р и м е р 5. Составить уравнение плосости, если известно, что точа N(3; 5; 2) является основанием перпендиуляра, проведенноо из начала оординат  этой плосости, и принадлежит плосости. Р е ш е н и е. Из условия следует, что ветор ON перпендиулярен исомой плосости, де O — начало оординат, N — точа, принадлежащая плосости, и ON = {3; 5; 2}. Соласно формуле (14), уравнение плосости, проходящей через точу N перпендиулярно ветору ON , имеет вид 3(x – 3) + 5(y – 5) + 2(z – 2) = 0,

лоично, находим, что ветор n 2 , перпендиулярный второй

ные оординаты в формулу (15), получим 1 – --- + 1 + 1 2 1 cos ϕ = ------------------------------ = --2- , 3 6 ⋅ --2

и, следовательно, исомый уол ϕ равен 60°. Ответ. 60°. П р и м е р 7. Даны плосость 2x + 2y – z + 4 = 0 и прямая l, проходящая через точи A(2; 1; 1) и B(–3; 4; 0). Найти оординаты точи пересечения прямой l с данной плосостью. Р е ш е н и е. Запишем оординаты ветора AB ; имеем

или 3x + 5y + 2z – 38 = 0. Ответ. 3x + 5y + 2z – 38 = 0. П р и м е р 6. Найти уол между плосостью, проходящей через точи M(0; 0; 0), N(1; 1; 1), K(3; 2; 1), и плосостью, проходящей через точи M(0; 0; 0), N(1; 1; 1), D(3; 1; 2). Р е ш е н и е. Соласно формуле (15), для вычисления осинуса ула между плосостями необходимо найти оординаты

AB = {–3 –2; 4 – 1; 0 – 1} = {–5; 3; –1}. Пусть M(x0; y0; z0) является точой пересечения данной плосости и прямой, проходящей через точи A и B. Это значит, что, во-первых, оординаты точи M удовлетворяют уравнению данной плосости, т. е. связаны равенством 2x0 + 2y0 – z0 + 4 = 0,

(*)

456

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

и, во-вторых, ветор AM оллинеарен ветору AB : AM = k AB , отуда следуют равенства x0 – 2 = –5k, y0 – 1 = 3k, z0 – 1 = –k.

(**)

Решив систему уравнений (*) и (**), находим оординаты точи M: x0 = –13, y0 = 10, z0 = –2. Ответ. (–13; 10; –2). 14. Составьте уравнение плосости, если известно, что она проходит через начало оординат и перпендиулярна ветору n = {–6; 3; 6}. 15. Прямая l проходит через точи A и B. Составьте уравнение плосости, проходящей через точу A перпендиулярно прямой l, если: а) A(1; 2; 3), B(4; 6; 9); б) A(–1; 2; 3), B(3; –2; 1); в) A(1; 0; –3), B(2; –1; 1); ) A(0; –2; 4), B(–1; 3; –5). 16. Найдите уол между плосостями: а) 2x + y – z = 2 и x + 2y – z = 1; б) 3x – y – 2z = 1 и 2x + 3y – z = 2; в) x – y + 3z = 2 и –x – 3y + z = 2.
17. Даны плосость x – y + 2z – 1 = 0 и прямая, проходящая через точи A(2; 3; 0) и B(0; 1; 1). Вычислите синус ула между прямой AB и данной плосостью. 18. Прямая задана точами A(1; –1; 1) и B(–3; 2; 1). Найдите уол между прямой AB и плосостью: а) 6x + 2y – 3z – 7 = 0; б) 5x – y + 8z = 0. 19. Вычислите расстояние от плосости 15x – 10y + 6z – – 190 = 0 до начала оординат. 20. Вычислите расстояние: а) от точи (3; 1; –1) до плосости 22x + 4y – 20z – 45 = 0; б) от точи (4; 3; –2) до плосости 3x – y + 5z + 1 = 0; в) от точи (2; 0; –0,5) до плосости 4x – 4y + 2z + 17 = 0. 21. Дана пирамида с вершинами S(0; 6; 4), A(3; 5; 3), B(–2; 11; –5), C(1; –1; 4). Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины S.

§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей

457

22. Составьте уравнение плосости, отстоящей на расстояние 6 единиц от начала оординат и отсеающей на осях оординат отрези, связанные соотношениями a : b : c = 1 : 3 : 2. 23. Найдите оординаты точи пересечения плосости 2x – – y + z = 0 и прямой, проходящей через точи A(–1; 0; 2) и B(3; 1; 2). 24. Найдите точу пересечения: а) прямой, являющейся линией пересечения плосостей 3x – 4y = 0 и y – 3z = 6, и плосости 2x – 5y – z – 2 = 0; x–7

y–4

z–5

------------------------б) прямой -----------5 = 1 = 4 и плосости 3x – y + 2z – 5 = 0.

Уравнение сферы с центром в точе C0(x0; y0; z0) и радиусом R имеет вид (16) (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2. Если центр сферы совпадает с началом оординат, то уравнение примет вид (17) x2 + y2 + z2 = R2. П р и м е р 8. Составить уравнение сферы, проходящей через точу A(1; –1; 4) и асающейся оординатных плосостей. Р е ш е н и е. Та а исомая сфера асается оординатных плосостей и центр сферы находится в той части пространства, для аждой точи оторой x > 0, y < 0, z > 0 (посольу в этой части расположена точа A(1; –1; 4)), то оординатами центра являются (R; –R; R). С друой стороны, та а точа A принадлежит сфере, то ее оординаты удовлетворяют уравнению (16): (1 – R)2 + (–1 + R)2 + (4 – R)2 = R2, отуда следует, что R2 – 6R + 9 = 0,

или

(R – 3)2 = 0,

т. е.

R = 3.

Ответ. (x – 3)2 + (y + 3)2 + (z – 3)2 = 9.
25. Вычислите расстояние от плосости 2x + 2y – z + 15 = 0 до сферы x2 + y2 + z2 – 4 = 0. 26. Дана сфера x2 + y2 + z2 – 25 = 0 и прямая l, проходящая через точу A(2; 1; 1) параллельно ветору a = {2; –4; –1}. Найдите оординаты точе пересечения прямой l со сферой. 27. Найдите множество точе пространства, сумма вадратов расстояний от аждой из оторых до двух данных точе A(2; 3; –1) и B(1; –1; 3) имеет одно и то же значение m2.

456

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

и, во-вторых, ветор AM оллинеарен ветору AB : AM = k AB , отуда следуют равенства x0 – 2 = –5k, y0 – 1 = 3k, z0 – 1 = –k.

(**)

Решив систему уравнений (*) и (**), находим оординаты точи M: x0 = –13, y0 = 10, z0 = –2. Ответ. (–13; 10; –2). 14. Составьте уравнение плосости, если известно, что она проходит через начало оординат и перпендиулярна ветору n = {–6; 3; 6}. 15. Прямая l проходит через точи A и B. Составьте уравнение плосости, проходящей через точу A перпендиулярно прямой l, если: а) A(1; 2; 3), B(4; 6; 9); б) A(–1; 2; 3), B(3; –2; 1); в) A(1; 0; –3), B(2; –1; 1); ) A(0; –2; 4), B(–1; 3; –5). 16. Найдите уол между плосостями: а) 2x + y – z = 2 и x + 2y – z = 1; б) 3x – y – 2z = 1 и 2x + 3y – z = 2; в) x – y + 3z = 2 и –x – 3y + z = 2.
17. Даны плосость x – y + 2z – 1 = 0 и прямая, проходящая через точи A(2; 3; 0) и B(0; 1; 1). Вычислите синус ула между прямой AB и данной плосостью. 18. Прямая задана точами A(1; –1; 1) и B(–3; 2; 1). Найдите уол между прямой AB и плосостью: а) 6x + 2y – 3z – 7 = 0; б) 5x – y + 8z = 0. 19. Вычислите расстояние от плосости 15x – 10y + 6z – – 190 = 0 до начала оординат. 20. Вычислите расстояние: а) от точи (3; 1; –1) до плосости 22x + 4y – 20z – 45 = 0; б) от точи (4; 3; –2) до плосости 3x – y + 5z + 1 = 0; в) от точи (2; 0; –0,5) до плосости 4x – 4y + 2z + 17 = 0. 21. Дана пирамида с вершинами S(0; 6; 4), A(3; 5; 3), B(–2; 11; –5), C(1; –1; 4). Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины S.

§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей

457

22. Составьте уравнение плосости, отстоящей на расстояние 6 единиц от начала оординат и отсеающей на осях оординат отрези, связанные соотношениями a : b : c = 1 : 3 : 2. 23. Найдите оординаты точи пересечения плосости 2x – – y + z = 0 и прямой, проходящей через точи A(–1; 0; 2) и B(3; 1; 2). 24. Найдите точу пересечения: а) прямой, являющейся линией пересечения плосостей 3x – 4y = 0 и y – 3z = 6, и плосости 2x – 5y – z – 2 = 0; x–7

y–4

z–5

------------------------б) прямой -----------5 = 1 = 4 и плосости 3x – y + 2z – 5 = 0.

Уравнение сферы с центром в точе C0(x0; y0; z0) и радиусом R имеет вид (16) (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2. Если центр сферы совпадает с началом оординат, то уравнение примет вид (17) x2 + y2 + z2 = R2. П р и м е р 8. Составить уравнение сферы, проходящей через точу A(1; –1; 4) и асающейся оординатных плосостей. Р е ш е н и е. Та а исомая сфера асается оординатных плосостей и центр сферы находится в той части пространства, для аждой точи оторой x > 0, y < 0, z > 0 (посольу в этой части расположена точа A(1; –1; 4)), то оординатами центра являются (R; –R; R). С друой стороны, та а точа A принадлежит сфере, то ее оординаты удовлетворяют уравнению (16): (1 – R)2 + (–1 + R)2 + (4 – R)2 = R2, отуда следует, что R2 – 6R + 9 = 0,

или

(R – 3)2 = 0,

т. е.

R = 3.

Ответ. (x – 3)2 + (y + 3)2 + (z – 3)2 = 9.
25. Вычислите расстояние от плосости 2x + 2y – z + 15 = 0 до сферы x2 + y2 + z2 – 4 = 0. 26. Дана сфера x2 + y2 + z2 – 25 = 0 и прямая l, проходящая через точу A(2; 1; 1) параллельно ветору a = {2; –4; –1}. Найдите оординаты точе пересечения прямой l со сферой. 27. Найдите множество точе пространства, сумма вадратов расстояний от аждой из оторых до двух данных точе A(2; 3; –1) и B(1; –1; 3) имеет одно и то же значение m2.

458

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат Геометричесие задачи этоо парарафа решаются с помощью введения прямоуольной деартовой системы оординат на плосости или в пространстве. Приведенные ниже задачи можно решить и методами элементарной еометрии. Однао, а правило, таие решения требуют использования нетривиальных, исусственных приемов. П р и м е р 1. В равнобедренном треуольние ABC (AB = = BC = 8) точа E делит боовую сторону AB в отношении 3 : 1 (считая от вершины B). Вычислить уол между веторами CE и CA , если | CA | = 12. Р е ш е н и е. Введем систему оординат xOy та, а уазано на рис. 58 (соласно свойству высоты равнобедренноо треуольниа, OA = OC). Из
BOC находим

y B E A

α O

C x

Рис. 58

OB = =

1

BC 2 – OC 2 =

82 – 62 = 2 7 . 1

Та а AE = --4- AB , то CE = CA + --4- AB . Отсюда, учитывая, что CA = {–12; 0}, AB = {6; 2 7 }, находим CE =  21 7  ------=  – -----2 ; 2  . Подставляя оординаты веторов CE и CA в   формулу салярноо произведения веторов, получаем 21 ( – 12 ) ⋅  – ------  2 3 7 cos α = ------------------------------------------------------2- = ---------8 . 2 21  7   12 ------ + ------ 2   2  3 7

Ответ. arccos ---------8 .

1. В равнобедренном треуольние ABC (AB = BC = 15) точа E делит сторону BC в отношении 1:4 (считая от вершины B). Вычислите уол между веторами AE и AC , если AC = 20.

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат

459

2. В прямоуольном треуольние ABC уол B — прямой, AB = 3, BC = 4. Вычислите уол между медианами AM и BD. 3. В прямоуольном треуольние с атетами AB = 8 и BC = 6 проведена прямая AD, делящая BC в отношении BD : DC = = 4 : 5. Вычислите уол между веторами AB и AD . 4. В прямоуольном треуольние с атетами BC = 4 и BA = = 3 проведена прямая AD, делящая сторону BC в отношении BD : DC = 3 : 5. Вычислите уол между веторами AD и BC .
5. Дан равнобедренный прямоуольный треуольни ABC с прямым улом при вершине B; BS — ео высота, K — середина высоты BS, а M — точа пересечения прямой AK со стороной BC. Найдите отношение, в отором точа M делит отрезо BC. П р и м е р 2. Доазать, что если основания высот треуольниа ABC соединить отрезами прямых, то получится треуольни, для отороо эти высоты будут биссетрисами. Р е ш е н и е. Опустим из вершин треуольниа ео высоты: AA1 B BC, BB1 B AC и CC1 B AB; точу пересечения высот обозначим через O. Выберем систему оординат та, чтобы ее начало совпало с точой C1, а ось Ox прошла через вершину B (рис. 59). Тода ось Oy пройдет через вершину C. Пусть оординаy ты вершин треуольниа таовы: C A(–a; 0), B(b; 0), C(0; c). Доажем, что высота C1C — биссетриса ула A1C1B1. Уравнение прямой, проходящей через точи A и C, имеет вид A1 c B1 y = --a- x + c, (*) O а уравнение прямой, проходящей через точи B и O перпендиулярно прямой AC, — вид a

ab

y = – --c- x + -----c

(**)

A

C1

B x

Рис. 59

(чтобы получить последнее уравнение, мы использовали соотношение k1k2 = –1 между уловыми оэффициентами двух взаимно перпендиулярных прямых). Решив систему уравне-

458

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат Геометричесие задачи этоо парарафа решаются с помощью введения прямоуольной деартовой системы оординат на плосости или в пространстве. Приведенные ниже задачи можно решить и методами элементарной еометрии. Однао, а правило, таие решения требуют использования нетривиальных, исусственных приемов. П р и м е р 1. В равнобедренном треуольние ABC (AB = = BC = 8) точа E делит боовую сторону AB в отношении 3 : 1 (считая от вершины B). Вычислить уол между веторами CE и CA , если | CA | = 12. Р е ш е н и е. Введем систему оординат xOy та, а уазано на рис. 58 (соласно свойству высоты равнобедренноо треуольниа, OA = OC). Из
BOC находим

y B E A

α O

C x

Рис. 58

OB = =

1

BC 2 – OC 2 =

82 – 62 = 2 7 . 1

Та а AE = --4- AB , то CE = CA + --4- AB . Отсюда, учитывая, что CA = {–12; 0}, AB = {6; 2 7 }, находим CE =  21 7  ------=  – -----2 ; 2  . Подставляя оординаты веторов CE и CA в   формулу салярноо произведения веторов, получаем 21 ( – 12 ) ⋅  – ------  2 3 7 cos α = ------------------------------------------------------2- = ---------8 . 2 21  7   12 ------ + ------ 2   2  3 7

Ответ. arccos ---------8 .

1. В равнобедренном треуольние ABC (AB = BC = 15) точа E делит сторону BC в отношении 1:4 (считая от вершины B). Вычислите уол между веторами AE и AC , если AC = 20.

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат

459

2. В прямоуольном треуольние ABC уол B — прямой, AB = 3, BC = 4. Вычислите уол между медианами AM и BD. 3. В прямоуольном треуольние с атетами AB = 8 и BC = 6 проведена прямая AD, делящая BC в отношении BD : DC = = 4 : 5. Вычислите уол между веторами AB и AD . 4. В прямоуольном треуольние с атетами BC = 4 и BA = = 3 проведена прямая AD, делящая сторону BC в отношении BD : DC = 3 : 5. Вычислите уол между веторами AD и BC .
5. Дан равнобедренный прямоуольный треуольни ABC с прямым улом при вершине B; BS — ео высота, K — середина высоты BS, а M — точа пересечения прямой AK со стороной BC. Найдите отношение, в отором точа M делит отрезо BC. П р и м е р 2. Доазать, что если основания высот треуольниа ABC соединить отрезами прямых, то получится треуольни, для отороо эти высоты будут биссетрисами. Р е ш е н и е. Опустим из вершин треуольниа ео высоты: AA1 B BC, BB1 B AC и CC1 B AB; точу пересечения высот обозначим через O. Выберем систему оординат та, чтобы ее начало совпало с точой C1, а ось Ox прошла через вершину B (рис. 59). Тода ось Oy пройдет через вершину C. Пусть оординаy ты вершин треуольниа таовы: C A(–a; 0), B(b; 0), C(0; c). Доажем, что высота C1C — биссетриса ула A1C1B1. Уравнение прямой, проходящей через точи A и C, имеет вид A1 c B1 y = --a- x + c, (*) O а уравнение прямой, проходящей через точи B и O перпендиулярно прямой AC, — вид a

ab

y = – --c- x + -----c

(**)

A

C1

B x

Рис. 59

(чтобы получить последнее уравнение, мы использовали соотношение k1k2 = –1 между уловыми оэффициентами двух взаимно перпендиулярных прямых). Решив систему уравне-

460

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

ний (*) и (**), находим оординаты точи B1 пересечения этих прямых:  a ( ab – c 2 ) ac ( a + b )  - ------------------------B1  --------------------------2 2 , a2 + c2  .  a +c  Аналоично, составив уравнения прямых, проходящих через пары точе B и C, A и O, получим оординаты точи A1:  b ( c 2 – ab ) bc ( a + b )  - ------------------------A1  -------------------------2 2 , b2 + c2  .   b +c Записав уравнения прямых, проходящих через пары точе A1 и C1, B1 и C1, находим уловые оэффициенты этих прямых: kA

1 C1

c( a + b) c – ab

= --------------------, 2

отуда следует, что k B

1 C1

= – kA

kB 1 C1

1 C1

c( a + b) ab – c

= --------------------2 ,

. Учитывая, что уловой о-

эффициент представляет собой таненс ула налона прямой  положительному направлению оси Ox, получаем FBC1B1 = π – FBC1A1, отуда следует, что FAC1B1 = FBC1A1. Та а прямая C1C перпендиулярна прямой AB, то FB1C1C = FA1C1C, т. е. высота C1C треуольниа ABC действительно является биссетрисой ула A1C1B1 треуольниа A1B1C1. Аналоично можно доазать, что и друие две высоты треуольниа ABC являются биссетрисами соответствующих улов треуольниа A1B1C1. 6. На высоте CC1 треуольниа ABC дана произвольная точа P. Прямые AP и BP пересеают стороны BC и CA соответственно в точах A1 и B1. Доажите, что луч C1P является биссетрисой ула A1C1B1.
7. Дан прямоуольный треуольни ABC с атетами a и b, FC = 90°. Составьте уравнение множества точе M, для оторых MA2 + MB2 = 2MC2. 8. В плосости прямоуольниа ABCD дана точа M. Доажите, что MA2 + MC2 = MB2 + MD2.

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат

461

19. Оружность вписана в ромб с улом 60°. Расстояние от центра оружности до ближайшей вершины равно 1. Доажите, что для любой точи P оружности выполняется равенство PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 11. 10. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи M, взятой на диаметре неоторой оружности, до онцов любой из параллельных этому диаметру хорд постоянна. 11. Ооло оружности описан вадрат ABCD. Из вершин вадрата  произвольной прямой, асающейся оружности, проведены перпендиуляры AA1, BB1, CC1 и DD1. Доажите, что AA1 · CC1 = BB1 · DD1. 12. Дан правильный треуольни ABC и оружность, оторая проходит через вершины A и B, а ее центр D симметричен вершине C относительно прямой AB. Доажите, что если M — произвольная точа этой оружности, то из отрезов MA, MB, MC можно составить прямоуольный треуольни. 13. В оружность вписан прямоуольни ABCD. Из произвольной точи P оружности проведены перпендиуляры  прямым AB, BC, CD и DA, пересеающие эти прямые соответственно в точах K, L, M и N. Доажите, что точа N — ортоцентр треуольниа KLM (точа пересечения ео высот). 14. В вадрат вписана оружность. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи оружности до вершин вадрата не зависит от выбора точи на оружности. Найдите эту сумму. 15. Ооло вадрата описана оружность. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи оружности до вершин вадрата не зависит от выбора точи на оружности. Найдите эту сумму. Если в задаче рассматривается уб или прямоуольный параллелепипед, то наиболее удобной является система оординат, начало оторой совпадает с одной из вершин нижнео основания этих тел, а оординатные оси проходят через ребра, выходящие из уазанной вершины. П р и м е р 3. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На 1

ребре AA1 взята точа E та, что длина отреза AE равна --3- , а 1

на ребре BC — точа F та, что длина отреза BF равна --4- .

460

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

ний (*) и (**), находим оординаты точи B1 пересечения этих прямых:  a ( ab – c 2 ) ac ( a + b )  - ------------------------B1  --------------------------2 2 , a2 + c2  .  a +c  Аналоично, составив уравнения прямых, проходящих через пары точе B и C, A и O, получим оординаты точи A1:  b ( c 2 – ab ) bc ( a + b )  - ------------------------A1  -------------------------2 2 , b2 + c2  .   b +c Записав уравнения прямых, проходящих через пары точе A1 и C1, B1 и C1, находим уловые оэффициенты этих прямых: kA

1 C1

c( a + b) c – ab

= --------------------, 2

отуда следует, что k B

1 C1

= – kA

kB 1 C1

1 C1

c( a + b) ab – c

= --------------------2 ,

. Учитывая, что уловой о-

эффициент представляет собой таненс ула налона прямой  положительному направлению оси Ox, получаем FBC1B1 = π – FBC1A1, отуда следует, что FAC1B1 = FBC1A1. Та а прямая C1C перпендиулярна прямой AB, то FB1C1C = FA1C1C, т. е. высота C1C треуольниа ABC действительно является биссетрисой ула A1C1B1 треуольниа A1B1C1. Аналоично можно доазать, что и друие две высоты треуольниа ABC являются биссетрисами соответствующих улов треуольниа A1B1C1. 6. На высоте CC1 треуольниа ABC дана произвольная точа P. Прямые AP и BP пересеают стороны BC и CA соответственно в точах A1 и B1. Доажите, что луч C1P является биссетрисой ула A1C1B1.
7. Дан прямоуольный треуольни ABC с атетами a и b, FC = 90°. Составьте уравнение множества точе M, для оторых MA2 + MB2 = 2MC2. 8. В плосости прямоуольниа ABCD дана точа M. Доажите, что MA2 + MC2 = MB2 + MD2.

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат

461

19. Оружность вписана в ромб с улом 60°. Расстояние от центра оружности до ближайшей вершины равно 1. Доажите, что для любой точи P оружности выполняется равенство PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 11. 10. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи M, взятой на диаметре неоторой оружности, до онцов любой из параллельных этому диаметру хорд постоянна. 11. Ооло оружности описан вадрат ABCD. Из вершин вадрата  произвольной прямой, асающейся оружности, проведены перпендиуляры AA1, BB1, CC1 и DD1. Доажите, что AA1 · CC1 = BB1 · DD1. 12. Дан правильный треуольни ABC и оружность, оторая проходит через вершины A и B, а ее центр D симметричен вершине C относительно прямой AB. Доажите, что если M — произвольная точа этой оружности, то из отрезов MA, MB, MC можно составить прямоуольный треуольни. 13. В оружность вписан прямоуольни ABCD. Из произвольной точи P оружности проведены перпендиуляры  прямым AB, BC, CD и DA, пересеающие эти прямые соответственно в точах K, L, M и N. Доажите, что точа N — ортоцентр треуольниа KLM (точа пересечения ео высот). 14. В вадрат вписана оружность. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи оружности до вершин вадрата не зависит от выбора точи на оружности. Найдите эту сумму. 15. Ооло вадрата описана оружность. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи оружности до вершин вадрата не зависит от выбора точи на оружности. Найдите эту сумму. Если в задаче рассматривается уб или прямоуольный параллелепипед, то наиболее удобной является система оординат, начало оторой совпадает с одной из вершин нижнео основания этих тел, а оординатные оси проходят через ребра, выходящие из уазанной вершины. П р и м е р 3. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На 1

ребре AA1 взята точа E та, что длина отреза AE равна --3- , а 1

на ребре BC — точа F та, что длина отреза BF равна --4- .

462

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Через центр уба O1 и точи E и F проведена плосость. Найти расстояние от вершины B1 до этой плосости. Р е ш е н и е. Выберем систему оординат та, чтобы ее начало совпало с точой A, а оси Ox, Oy и Oz прошли через ребра AB, AD и AA1 соответственно. В этой системе оординат имеем   1 F  1; --4- ; 0  ,  

 1  E  0; 0; --3-  ,  

FO 1

n2

n3

B1 M = k n . Последнее равенство в оординатной форме дает следующие три уравнения: (***)

Решив систему уравнений (**) и (***), находим оординаты точи M: 115

x0 = --------170 ,

-----–n1 – ----4 + 3 = 0,

88

y0 = – --------170 ,

71

z0 = --------170

11 170

и длину ветора | B 1 M | = -------------- , оторая и является исомым

----------– ----2 + 4 + 2 = 0.

расстоянием от точи B1 до плосости.

5 Считая n3 свободным неизвестным, находим n1 = --9- n3 и n2 = 8

= – --9- n3. Полаая n3 = 9, в ачестве ветора, перпендиулярноо исомой плосости, получаем ветор n = {5; –8; 9}. Уравне1 ние плосости, проходящей через точу E  0; 0; --3-  перпенди 

улярно ветору n = {5; –8; 9}, имеет вид 5x – 8y + 9z – 3 = 0.

(**)

x0 – 1 = 5k, y0 = –8k, z0 – 1 = 9k.

щую систему уравнений для n1, n2, n3:

n1

5x0 – 8y0 + 9z0 – 3 = 0.

 1 1 1  =  – --2- ; --4- ; --2-   

улярности пар веторов n и FE , n и FO 1 , запишем следую-

n3

диуляра  данной плосости, проходящео через точу B1. Та а точа M принадлежит плосости (*), то оординаты этой точи должны удовлетворять уравнению плосости:

ости, и, значит, этот ветор оллинеарен ветору n :

принадлежат этой плосости, то, используя условие перпенди-

n2

463

С друой стороны, ветор B 1 M перпендиулярен данной плос-

1 1 1  O1  --2- ; --2- ; --2-  .  

Составим уравнение сеущей плосости. Пусть ветор n = = {n1; n2; n3} перпендиулярен исомой плосости. Та а веторы  1 1  FE =  –1; – --4- ; --3-  ,  

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат

(*)

Координатами точи B1 в выбранной системе оординат являются (1; 0; 1). Вычислим расстояние от точи B1(1; 0; 1) до плосости (*). Пусть M(x0; y0; z0) — точа основания перпен-

11 170

Ответ. -------------- . 16. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре BC 1

взята точа E та, что длина отреза BE равна --4- , а на ребре 2

C1D1 — точа F та, что длина отреза FD1 равна --5- . Через центр уба и точи E и F проведена плосость. Найдите расстояние от вершины A1 до этой плосости. 17. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре AB 2

взята точа E та, что длина отреза BE равна --5- , а на ребре 2

CC1 — точа F та, что длина отреза FC равна --3- . Через центр

462

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Через центр уба O1 и точи E и F проведена плосость. Найти расстояние от вершины B1 до этой плосости. Р е ш е н и е. Выберем систему оординат та, чтобы ее начало совпало с точой A, а оси Ox, Oy и Oz прошли через ребра AB, AD и AA1 соответственно. В этой системе оординат имеем   1 F  1; --4- ; 0  ,  

 1  E  0; 0; --3-  ,  

FO 1

n2

n3

B1 M = k n . Последнее равенство в оординатной форме дает следующие три уравнения: (***)

Решив систему уравнений (**) и (***), находим оординаты точи M: 115

x0 = --------170 ,

-----–n1 – ----4 + 3 = 0,

88

y0 = – --------170 ,

71

z0 = --------170

11 170

и длину ветора | B 1 M | = -------------- , оторая и является исомым

----------– ----2 + 4 + 2 = 0.

расстоянием от точи B1 до плосости.

5 Считая n3 свободным неизвестным, находим n1 = --9- n3 и n2 = 8

= – --9- n3. Полаая n3 = 9, в ачестве ветора, перпендиулярноо исомой плосости, получаем ветор n = {5; –8; 9}. Уравне1 ние плосости, проходящей через точу E  0; 0; --3-  перпенди 

улярно ветору n = {5; –8; 9}, имеет вид 5x – 8y + 9z – 3 = 0.

(**)

x0 – 1 = 5k, y0 = –8k, z0 – 1 = 9k.

щую систему уравнений для n1, n2, n3:

n1

5x0 – 8y0 + 9z0 – 3 = 0.

 1 1 1  =  – --2- ; --4- ; --2-   

улярности пар веторов n и FE , n и FO 1 , запишем следую-

n3

диуляра  данной плосости, проходящео через точу B1. Та а точа M принадлежит плосости (*), то оординаты этой точи должны удовлетворять уравнению плосости:

ости, и, значит, этот ветор оллинеарен ветору n :

принадлежат этой плосости, то, используя условие перпенди-

n2

463

С друой стороны, ветор B 1 M перпендиулярен данной плос-

1 1 1  O1  --2- ; --2- ; --2-  .  

Составим уравнение сеущей плосости. Пусть ветор n = = {n1; n2; n3} перпендиулярен исомой плосости. Та а веторы  1 1  FE =  –1; – --4- ; --3-  ,  

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат

(*)

Координатами точи B1 в выбранной системе оординат являются (1; 0; 1). Вычислим расстояние от точи B1(1; 0; 1) до плосости (*). Пусть M(x0; y0; z0) — точа основания перпен-

11 170

Ответ. -------------- . 16. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре BC 1

взята точа E та, что длина отреза BE равна --4- , а на ребре 2

C1D1 — точа F та, что длина отреза FD1 равна --5- . Через центр уба и точи E и F проведена плосость. Найдите расстояние от вершины A1 до этой плосости. 17. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре AB 2

взята точа E та, что длина отреза BE равна --5- , а на ребре 2

CC1 — точа F та, что длина отреза FC равна --3- . Через центр

464

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

уба и точи E и F проведена плосость α. Найдите расстояние от вершины A до плосости α. 18. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре 3

MM1 взята точа A та, что длина отреза AM равна --5- , а на 1

ребре K1N1 — точа B та, что длина отреза K1B равна --3- . Через центр уба и точи A и B проведена плосость α. Точа P — проеция вершины N на плосость α. Найдите длину отреза BP. 19. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре KL 3

взята точа A та, что длина отреза AL равна --4- , а на ребре 3

MM1 — точа B та, что длина отреза MB равна --5- . Через центр уба и точи A и B проведена плосость. Найдите длину отреза BP, де точа P — проеция вершины N на уазанную плосость. 20. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре KL 1

взята точа A та, что длина отреза KA равна --4- , а на ребре 2

MM1 — точа B та, что длина отреза M1B равна --5- . Через центр уба и точи A и B проведена плосость. Точа P — проеция вершины K1 на эту плосость. Найдите длину отреза AP. 21. Дан уб ABCDA1B1C1D1; точа K — середина ребра AA1, L — центр рани CC1D1D. Найдите уол между плосостями BKL и AD1C.

 22. Найдите площадь сечения уба ABCDA1B1C1D1 плосостью, проходящей через вершину A и середины ребер B1C1 и D1C1. Ребро уба равно a.  23. В убе ABCDA1B1C1D1 с ребром a точа K — середина ребра AB, точа L — середина ребра DD1. Найдите стороны треуольниа A1KL и определите, в аом отношении делит объем уба плосость, проходящая через вершины этоо треуольниа. 24. В убе ABCDA1B1C1D1 с ребром a середины ребер AA1, A1B1, B1C1, C1C, CD, DA и AA1 последовательно соединены. До-

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат

465

ажите, что полученная фиура есть правильный шестиуольни, и определите ео площадь. 25. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна a. Точи E и F — середины ребер BC и B1C1 соответственно. Рассматриваются треуольнии, вершинами оторых служат точи пересечения плосостей, параллельных основаниям уба, с прямыми A1E, DF, AD1. Найдите: а) площадь треуольниа, плосость отороо проходит через середину ребра AA1; б) наименьшее возможное значение площади рассматриваемых треуольниов. 26. В уб вписана сфера. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи сферы до вершин уба не зависит от выбора точи. Найдите эту сумму. П р и м е р 4. Основанием пирамиды SABC является правильный треуольни ABC, длина стороны отороо равна 4 2 . Боовое ребро SC перпендиулярно плосости основания и имеет длину 2. Вычислить величину ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точу S и середину ребра BC, а друая — через точу C и середину ребра AB. Р е ш е н и е. Введем прямоуольную систему оординат, приняв за начало оординат точу C, за ось ординат — прямую CD (точа D — середина AB), за ось апплиат — прямую CS, за ось абсцисс — прямую, принадлежащую плосости треуольниа ABC и перпендиулярную прямой CD, а за единицу масштаба — отрезо, длина отороо равна 1 (рис. 60). В этой системе

z S A C x

F

P

Q D E B Рис. 60

y

464

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

уба и точи E и F проведена плосость α. Найдите расстояние от вершины A до плосости α. 18. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре 3

MM1 взята точа A та, что длина отреза AM равна --5- , а на 1

ребре K1N1 — точа B та, что длина отреза K1B равна --3- . Через центр уба и точи A и B проведена плосость α. Точа P — проеция вершины N на плосость α. Найдите длину отреза BP. 19. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре KL 3

взята точа A та, что длина отреза AL равна --4- , а на ребре 3

MM1 — точа B та, что длина отреза MB равна --5- . Через центр уба и точи A и B проведена плосость. Найдите длину отреза BP, де точа P — проеция вершины N на уазанную плосость. 20. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре KL 1

взята точа A та, что длина отреза KA равна --4- , а на ребре 2

MM1 — точа B та, что длина отреза M1B равна --5- . Через центр уба и точи A и B проведена плосость. Точа P — проеция вершины K1 на эту плосость. Найдите длину отреза AP. 21. Дан уб ABCDA1B1C1D1; точа K — середина ребра AA1, L — центр рани CC1D1D. Найдите уол между плосостями BKL и AD1C.

 22. Найдите площадь сечения уба ABCDA1B1C1D1 плосостью, проходящей через вершину A и середины ребер B1C1 и D1C1. Ребро уба равно a.  23. В убе ABCDA1B1C1D1 с ребром a точа K — середина ребра AB, точа L — середина ребра DD1. Найдите стороны треуольниа A1KL и определите, в аом отношении делит объем уба плосость, проходящая через вершины этоо треуольниа. 24. В убе ABCDA1B1C1D1 с ребром a середины ребер AA1, A1B1, B1C1, C1C, CD, DA и AA1 последовательно соединены. До-

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат

465

ажите, что полученная фиура есть правильный шестиуольни, и определите ео площадь. 25. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна a. Точи E и F — середины ребер BC и B1C1 соответственно. Рассматриваются треуольнии, вершинами оторых служат точи пересечения плосостей, параллельных основаниям уба, с прямыми A1E, DF, AD1. Найдите: а) площадь треуольниа, плосость отороо проходит через середину ребра AA1; б) наименьшее возможное значение площади рассматриваемых треуольниов. 26. В уб вписана сфера. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи сферы до вершин уба не зависит от выбора точи. Найдите эту сумму. П р и м е р 4. Основанием пирамиды SABC является правильный треуольни ABC, длина стороны отороо равна 4 2 . Боовое ребро SC перпендиулярно плосости основания и имеет длину 2. Вычислить величину ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точу S и середину ребра BC, а друая — через точу C и середину ребра AB. Р е ш е н и е. Введем прямоуольную систему оординат, приняв за начало оординат точу C, за ось ординат — прямую CD (точа D — середина AB), за ось апплиат — прямую CS, за ось абсцисс — прямую, принадлежащую плосости треуольниа ABC и перпендиулярную прямой CD, а за единицу масштаба — отрезо, длина отороо равна 1 (рис. 60). В этой системе

z S A C x

F

P

Q D E B Рис. 60

y

466

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

веторы CD и SE (точа E — середина стороны CB) имеют следующие оординаты:   3 CD =  0; -----2 CB; 0  = {0; 2 6 ; 0},    AB CD  --------SE =  -------4 ; 2 ; –CS  = { 2 ;  

6 ; –2}.

Поэтому CD ⋅ SE

12

2

cos F( CD , SE ) = ---------------------------- = --------------------------- = -----2 , CD ⋅ SE 2 6 ⋅ 12

и, значит, исомый уол равен 45°. Пусть PQ — общий перпендиуляр  прямым SE и CD (P Ý SE, Q Ý CD). Тода существуют таие числа α и β, что SP = α SE , CQ = β CD . Ясно, что PQ = PS + SC + CQ = –α SE – CS + β CD , или, в оординатной форме, PQ = {–α 2 ; –α 6 + β · 2 6 ; 2α – 2}. Та а PQ B CD и PQ B SE, то PQ · CD = 0, PQ · SE = 0. Последние два веторных уравнения в оординатной форме имеют вид (–α 6 + β · 2 6 ) · 2 6 = 0, –α 2 ·

2 + (–α 6 + β · 2 6 ) ·

6 + (2α – 2) (–2) = 0,

или α = 2β, –3α + 3β + 1 = 0, 2

1

отуда α = --3- , β = --3- . Ита,  2 2 2  --PQ =  – ---------3 ; 0; – 3  ,  

PQ =

8 4 2 --- + --- = ------. 9 9 3

2 3

Ответ. 45°; ------- . 27. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный прямоуольный треуольни ABC, длина ипотенузы AB ото-

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

467

роо равна 4 2 . Боовое ребро пирамиды SC перпендиулярно плосости основания, а ео длина равна 2. Найдите величину ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точу S и середину ребра AC, а друая — через точу C и середину ребра AB. 28. Основанием пирамиды HPQR является правильный треуольни PQR, длина стороны отороо равна 2 2 . Боовое ребро HR перпендиулярно плосости основания и имеет длину 1. Найдите величину ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точу H и середину ребра QR, а друая — через точу R и середину ребра PQ. 29. Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный прямоуольный треуольни PQR, длина ипотенузы PQ отороо равна 2 2 . Боовое ребро пирамиды перпендиулярно плосости основания, а ео длина равна 1. Найдите величину ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точу H и середину ребра PR, а друая — через точу R и середину ребра PQ. 30. Все ребра правильной призмы ABCA1B1C1 имеют длину a. Рассматриваются отрези, параллельные плосости ABB1A1 и таие, что их онцы лежат на диаоналях BC1 и CA1 боовых раней. а) Один из этих отрезов проведен через таую точу M диаонали BC1, что BM:BC1 = 1:3. Найдите ео длину. б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезов. 31. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD имеет длину a, а боовое ребро — длину 2a. Рассматриваются отрези, параллельные плосости рани SAD и таие, что их онцы лежат на диаонали основания BD и боовом ребре SC. Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезов.

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры Два ветора AB и CD считают равными, если: 1) длина ветора AB равна длине ветора CD ; 2) лучи AB и CD одинаово направлены.

466

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

веторы CD и SE (точа E — середина стороны CB) имеют следующие оординаты:   3 CD =  0; -----2 CB; 0  = {0; 2 6 ; 0},    AB CD  --------SE =  -------4 ; 2 ; –CS  = { 2 ;  

6 ; –2}.

Поэтому CD ⋅ SE

12

2

cos F( CD , SE ) = ---------------------------- = --------------------------- = -----2 , CD ⋅ SE 2 6 ⋅ 12

и, значит, исомый уол равен 45°. Пусть PQ — общий перпендиуляр  прямым SE и CD (P Ý SE, Q Ý CD). Тода существуют таие числа α и β, что SP = α SE , CQ = β CD . Ясно, что PQ = PS + SC + CQ = –α SE – CS + β CD , или, в оординатной форме, PQ = {–α 2 ; –α 6 + β · 2 6 ; 2α – 2}. Та а PQ B CD и PQ B SE, то PQ · CD = 0, PQ · SE = 0. Последние два веторных уравнения в оординатной форме имеют вид (–α 6 + β · 2 6 ) · 2 6 = 0, –α 2 ·

2 + (–α 6 + β · 2 6 ) ·

6 + (2α – 2) (–2) = 0,

или α = 2β, –3α + 3β + 1 = 0, 2

1

отуда α = --3- , β = --3- . Ита,  2 2 2  --PQ =  – ---------3 ; 0; – 3  ,  

PQ =

8 4 2 --- + --- = ------. 9 9 3

2 3

Ответ. 45°; ------- . 27. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный прямоуольный треуольни ABC, длина ипотенузы AB ото-

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

467

роо равна 4 2 . Боовое ребро пирамиды SC перпендиулярно плосости основания, а ео длина равна 2. Найдите величину ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точу S и середину ребра AC, а друая — через точу C и середину ребра AB. 28. Основанием пирамиды HPQR является правильный треуольни PQR, длина стороны отороо равна 2 2 . Боовое ребро HR перпендиулярно плосости основания и имеет длину 1. Найдите величину ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точу H и середину ребра QR, а друая — через точу R и середину ребра PQ. 29. Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный прямоуольный треуольни PQR, длина ипотенузы PQ отороо равна 2 2 . Боовое ребро пирамиды перпендиулярно плосости основания, а ео длина равна 1. Найдите величину ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точу H и середину ребра PR, а друая — через точу R и середину ребра PQ. 30. Все ребра правильной призмы ABCA1B1C1 имеют длину a. Рассматриваются отрези, параллельные плосости ABB1A1 и таие, что их онцы лежат на диаоналях BC1 и CA1 боовых раней. а) Один из этих отрезов проведен через таую точу M диаонали BC1, что BM:BC1 = 1:3. Найдите ео длину. б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезов. 31. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD имеет длину a, а боовое ребро — длину 2a. Рассматриваются отрези, параллельные плосости рани SAD и таие, что их онцы лежат на диаонали основания BD и боовом ребре SC. Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезов.

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры Два ветора AB и CD считают равными, если: 1) длина ветора AB равна длине ветора CD ; 2) лучи AB и CD одинаово направлены.

468

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

При таом определении равенства веторов множество всех

B

веторов, равных AB , называют свободным ве тором. Понятие свободноо ветора AB можно таже связать с отображением пространства на себя, при отором все точи пространства перемещаются в одном и том же направлении (направлении AB ) на одно и то же расстояние (длину AB). Определенный уазанным образом свободный ветор называют таже параллельным переносом, оторый полностью задается упорядоченной парой несовпадающих точе A и B. Любая пара совпадающих точе определяет тождественное отображение пространства или нлевой ве тор. Линейными операциями над веторами называют операции сложения и вычитания веторов, а таже умножение ветора на число. Пусть a и b — два ненулевых ве-

B c

O

a

b A

Рис. 61

тора. Отложим ветор a от неоторой точи O и обозначим ео онец бувой A (рис. 61). Затем отложим от точ-

C

b O

469

b a

A a

A

B

c

–b

OC = a + b, BA = a – b, Рис. 62

C Рис. 63

Ветором, противоположным ветору a , называют ветор (– a ) таой, что сумма веторов a и – a равна нулевому ветору: a + (– a ) = 0 . Ненулевые противоположные веторы имеют равные длины и противоположные направления. Разность двух веторов a – b есть сумма ветора a и ветора, противоположноо ветору b , т. е.

и A ветор b и обозначим ео онец

c = a + (– b ).

бувой B. Ветор c с началом в точе O и онцом в точе B ( OB = c ) на-

Разность веторов можно получить с помощью правила треуольниа. Отложив от точи A ветор a (рис. 63), получим

зывают сммой веторов a и b :

AB = a . Затем от онца ветора AB отложим ветор BC =

a + b = c. Свойства операции сложения веторов: 1) a + b = b + a ; 2) c + ( a + b ) = ( c + a ) + b ; 3) a + 0 = a . Приведенное выше правило сложения веторов называют правилом треольни а (сумма веторов представляет собой третью сторону треуольниа, в то время а слааемые образуют две друие стороны треуольниа; рис. 61). Наряду с этим правилом существует та называемое правило параллелорамма, при отором слааемые веторы отладывают от одной точи, через их онцы проводят отрези прямых и в результате получают параллелорамм (рис. 62), диаональ отороо, проходящая через общее начало веторов, и равна сумме веторов.

= – b . Ветор AC = c — разность веторов a и b : c = a – b. Ветор разности двух веторов можно таже выразить а вторую диаональ BA параллелорамма ABCD (см. рис. 62). Произведением ненулевоо ве тора a на число λ − 0 называют ветор, имеющий направление ветора a , если λ положительно, и противоположное направление, если λ отрицательно; длина этоо ветора равна произведению длины ветора a на абсолютную величину (модуль) числа λ. Свойства операции умножения ветора на число: 1) (λ1λ2) a = λ1(λ2 a ); 2) λ( a + b ) = λ a + λ b , (λ1 + λ2) a = λ1 a + λ2 a ; 3) 0 · a = 0 ; 4) λ 0 = 0 .

468

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

При таом определении равенства веторов множество всех

B

веторов, равных AB , называют свободным ве тором. Понятие свободноо ветора AB можно таже связать с отображением пространства на себя, при отором все точи пространства перемещаются в одном и том же направлении (направлении AB ) на одно и то же расстояние (длину AB). Определенный уазанным образом свободный ветор называют таже параллельным переносом, оторый полностью задается упорядоченной парой несовпадающих точе A и B. Любая пара совпадающих точе определяет тождественное отображение пространства или нлевой ве тор. Линейными операциями над веторами называют операции сложения и вычитания веторов, а таже умножение ветора на число. Пусть a и b — два ненулевых ве-

B c

O

a

b A

Рис. 61

тора. Отложим ветор a от неоторой точи O и обозначим ео онец бувой A (рис. 61). Затем отложим от точ-

C

b O

469

b a

A a

A

B

c

–b

OC = a + b, BA = a – b, Рис. 62

C Рис. 63

Ветором, противоположным ветору a , называют ветор (– a ) таой, что сумма веторов a и – a равна нулевому ветору: a + (– a ) = 0 . Ненулевые противоположные веторы имеют равные длины и противоположные направления. Разность двух веторов a – b есть сумма ветора a и ветора, противоположноо ветору b , т. е.

и A ветор b и обозначим ео онец

c = a + (– b ).

бувой B. Ветор c с началом в точе O и онцом в точе B ( OB = c ) на-

Разность веторов можно получить с помощью правила треуольниа. Отложив от точи A ветор a (рис. 63), получим

зывают сммой веторов a и b :

AB = a . Затем от онца ветора AB отложим ветор BC =

a + b = c. Свойства операции сложения веторов: 1) a + b = b + a ; 2) c + ( a + b ) = ( c + a ) + b ; 3) a + 0 = a . Приведенное выше правило сложения веторов называют правилом треольни а (сумма веторов представляет собой третью сторону треуольниа, в то время а слааемые образуют две друие стороны треуольниа; рис. 61). Наряду с этим правилом существует та называемое правило параллелорамма, при отором слааемые веторы отладывают от одной точи, через их онцы проводят отрези прямых и в результате получают параллелорамм (рис. 62), диаональ отороо, проходящая через общее начало веторов, и равна сумме веторов.

= – b . Ветор AC = c — разность веторов a и b : c = a – b. Ветор разности двух веторов можно таже выразить а вторую диаональ BA параллелорамма ABCD (см. рис. 62). Произведением ненулевоо ве тора a на число λ − 0 называют ветор, имеющий направление ветора a , если λ положительно, и противоположное направление, если λ отрицательно; длина этоо ветора равна произведению длины ветора a на абсолютную величину (модуль) числа λ. Свойства операции умножения ветора на число: 1) (λ1λ2) a = λ1(λ2 a ); 2) λ( a + b ) = λ a + λ b , (λ1 + λ2) a = λ1 a + λ2 a ; 3) 0 · a = 0 ; 4) λ 0 = 0 .

470

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Два ненулевых ветора называют оллинеарными, если они параллельны одной прямой. Для оллинеарности двух веторов a и b необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ − 0, удовлетворяющее равенству b = λa .

(1)

Нулевой ветор считается оллинеарным любому ветору. П р и м е р 1. В трапеции ABCD ветор BC = λ AD (рис. 64). Доазать, что ветор p = AC + BD оллинеарен AD . Р е ш е н и е. Соласно определениям суммы и разности веторов, предB C ставим веторы AC и BD (рис. 64) в виде

D

A Рис. 64

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

5. Точи M, N, P и Q лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD и DA параллелорамма ABCD, причем AM : MB = = BN : NC = CP : PD = DQ : QA. Доажите, что MNPQ — параллелорамм. Если веторы a и b неоллинеарны, то из равенства α a + + β b = 0 следует, что α = 0 и β = 0. П р и м е р 2. Веторы a и b неоллинеарны. Найти значения λ и µ, если известно, что веторы c = λ a + µ b и d = (µ + 1) a + (2 – λ) b равны. Р е ш е н и е. Из равенства веторов c и d следует λ a + µ b = (µ + 1) a + (2 – λ) b ,

AC = AB + BC = AB + λ AD , BD = AD – AB .

Тода для ветора p справедливо следующее представление: p = AC + BD = AB + λ AD + AD – AB = (λ + 1) AD . В силу равенства (1) это соотношение доазывает оллинеар-

или (µ + 1 – λ) a + (2 – λ – µ) b = 0 . Та а веторы a и b неоллинеарны, то справедливы равенства µ + 1 – λ = 0, 2 – λ – µ = 0.

ность веторов p и AD . 1. Через вершину C параллелорамма ABCD проведена прямая, параллельная диаонали BD и пересеающая прямую AD в точе E; точа Q — точа пересечения диаоналей параллелорамма. Выразите сумму веторов AB и CE через веторы DC и CQ . 2. Пусть ABCD — параллелорамм, причем K — середина BC, L — середина AD. Выразите веторы BD и AC через a и b , де AK = a , AL = b . 3. В трапеции ABCD отношение длины основания BC  длине основания AD равно n. Диаонали трапеции пересеаются в точе O. Выразите ветор AO через веторы AB и AD . 4. Даны три ненулевых ветора a , b , c , аждые два из оторых неоллинеарны. Найдите a + b + c , если сумма a + b оллинеарна ветору c , а сумма b + c оллинеарна ветору a .

471

3

1

Решив эту систему, находим λ = --2- ; µ = --2- . 3

1

Ответ. λ = --2- ; µ = --2- . 6. Веторы a и b неоллинеарны. Найдите значение λ, если веторы (λ – 1) a + 2 b и 3 a + λ b оллинеарны. 7. Веторы a и b неоллинеарны. Найдите значение λ, при отором веторы (λ – 2) a + b и (2λ + 1) a – b оллинеарны. 8. Веторы a и b неоллинеарны. Найдите значения λ и µ, при оторых справедливо равенство 2u – v = w , если u = λ a + 2µ b , v = –2µ a + 3λ b , w = 4 a – 2 b .

470

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Два ненулевых ветора называют оллинеарными, если они параллельны одной прямой. Для оллинеарности двух веторов a и b необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ − 0, удовлетворяющее равенству b = λa .

(1)

Нулевой ветор считается оллинеарным любому ветору. П р и м е р 1. В трапеции ABCD ветор BC = λ AD (рис. 64). Доазать, что ветор p = AC + BD оллинеарен AD . Р е ш е н и е. Соласно определениям суммы и разности веторов, предB C ставим веторы AC и BD (рис. 64) в виде

D

A Рис. 64

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

5. Точи M, N, P и Q лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD и DA параллелорамма ABCD, причем AM : MB = = BN : NC = CP : PD = DQ : QA. Доажите, что MNPQ — параллелорамм. Если веторы a и b неоллинеарны, то из равенства α a + + β b = 0 следует, что α = 0 и β = 0. П р и м е р 2. Веторы a и b неоллинеарны. Найти значения λ и µ, если известно, что веторы c = λ a + µ b и d = (µ + 1) a + (2 – λ) b равны. Р е ш е н и е. Из равенства веторов c и d следует λ a + µ b = (µ + 1) a + (2 – λ) b ,

AC = AB + BC = AB + λ AD , BD = AD – AB .

Тода для ветора p справедливо следующее представление: p = AC + BD = AB + λ AD + AD – AB = (λ + 1) AD . В силу равенства (1) это соотношение доазывает оллинеар-

или (µ + 1 – λ) a + (2 – λ – µ) b = 0 . Та а веторы a и b неоллинеарны, то справедливы равенства µ + 1 – λ = 0, 2 – λ – µ = 0.

ность веторов p и AD . 1. Через вершину C параллелорамма ABCD проведена прямая, параллельная диаонали BD и пересеающая прямую AD в точе E; точа Q — точа пересечения диаоналей параллелорамма. Выразите сумму веторов AB и CE через веторы DC и CQ . 2. Пусть ABCD — параллелорамм, причем K — середина BC, L — середина AD. Выразите веторы BD и AC через a и b , де AK = a , AL = b . 3. В трапеции ABCD отношение длины основания BC  длине основания AD равно n. Диаонали трапеции пересеаются в точе O. Выразите ветор AO через веторы AB и AD . 4. Даны три ненулевых ветора a , b , c , аждые два из оторых неоллинеарны. Найдите a + b + c , если сумма a + b оллинеарна ветору c , а сумма b + c оллинеарна ветору a .

471

3

1

Решив эту систему, находим λ = --2- ; µ = --2- . 3

1

Ответ. λ = --2- ; µ = --2- . 6. Веторы a и b неоллинеарны. Найдите значение λ, если веторы (λ – 1) a + 2 b и 3 a + λ b оллинеарны. 7. Веторы a и b неоллинеарны. Найдите значение λ, при отором веторы (λ – 2) a + b и (2λ + 1) a – b оллинеарны. 8. Веторы a и b неоллинеарны. Найдите значения λ и µ, при оторых справедливо равенство 2u – v = w , если u = λ a + 2µ b , v = –2µ a + 3λ b , w = 4 a – 2 b .

472

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Три ненулевых ветора называют омпланарными, если они параллельны одной и той же плосости. Если среди трех веторов есть хотя бы один нулевой, то таие веторы таже считаются омпланарными.

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

Та а веторы a , b , c неомпланарны, то числа α, β, γ должны удовлетворять системе уравнений α + 3β – γ = 0, 2α – β + 5γ = 0, –α + β – 3γ = 0.

Если три ветора a , b , c неомпланарны, то из равенства αa + βb + γc = 0

(***)

Одним из ненулевых решений системы (***) является тройа чисел α = –2, β = 1, γ = 1.

следует, что α = 0, β = 0, γ = 0. Если веторы a и b неоллинеарны, то любой ветор c , омпланарный с веторами a и b , можно единственным образом представить в виде

Тем самым доазано, что веторы a + 2 b – c , 3 a – b + c и – a + + 5 b – 3 c омпланарны. 19. Даны три неомпланарных ветора a , b и c . Найдите

c = αa + βb .

значение k, при отором веторы a + b + k c , b + c + k a ,

Если веторы a , b , c неомпланарны, то любой ветор d можно единственным образом представить в виде d = αa + βb + γc .

c + a + k b омпланарны. 10. Даны три неомпланарных ветора a , b , c . Доажите, что веторы a + b , b + c , c – a омпланарны.

Три ненулевых ветора a , b , c омпланарны тода и тольо тода, ода существуют три числа α, β, γ, не все равные нулю, таие, что αa + βb + γc = 0 .

473

(2)

11. Даны три неомпланарных ветора a , b , c . Найдите числа p и q, при оторых веторы p a + q b + c и a + p b + q c оллинеарны. 12. Даны четыре ненулевых ветора a , b , c и d , аждые три из оторых неомпланарны. Найдите их сумму, если a +

П р и м е р 3. Даны три неомпланарных ветора a , b и c . Доазать, что веторы a + 2 b – c , 3 a – b + c , – a + 5 b – 3 c омпланарны. Р е ш е н и е. Соласно условию (2) омпланарности трех веторов, достаточно найти три числа α, β, γ, удовлетворяющих соотношениям α ( a + 2 b – c ) + β(3 a – b + c ) + γ (– a + 5 b – 3 c ) = 0 , α2 + β2 + γ2 > 0.

(*) (**)

Неравенство (**) эвивалентно тому, что по райней мере одно из чисел α, β или γ не равно нулю. Преобразуем равенство (*)  виду (α + 3β – γ) a + (2α – β + 5γ) b + (–α + β – 3γ) c = 0 .

+ b + c = pd и b + c + d = qa . П р и м е р 4. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложить веторы AA 1 , AC и DB по веторам DA 1 , DB 1 и DC 1 . Р е ш е н и е. Введем вспомоательные неомпланарные веторы a = AA 1 , b = AB , c = AD ; выразим через них веторы DA 1 , DB 1 , DC 1 и исомые веторы AA 1 , AC , DB . Используя правила сложения и вычитания веторов, имеем DA 1 = a – c ,

DB 1 = a + b – c , DC 1 = a + b ,

AC = b + c ,

DB = b – c ,

AA 1 = a .

(*) (**)

472

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Три ненулевых ветора называют омпланарными, если они параллельны одной и той же плосости. Если среди трех веторов есть хотя бы один нулевой, то таие веторы таже считаются омпланарными.

§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

Та а веторы a , b , c неомпланарны, то числа α, β, γ должны удовлетворять системе уравнений α + 3β – γ = 0, 2α – β + 5γ = 0, –α + β – 3γ = 0.

Если три ветора a , b , c неомпланарны, то из равенства αa + βb + γc = 0

(***)

Одним из ненулевых решений системы (***) является тройа чисел α = –2, β = 1, γ = 1.

следует, что α = 0, β = 0, γ = 0. Если веторы a и b неоллинеарны, то любой ветор c , омпланарный с веторами a и b , можно единственным образом представить в виде

Тем самым доазано, что веторы a + 2 b – c , 3 a – b + c и – a + + 5 b – 3 c омпланарны. 19. Даны три неомпланарных ветора a , b и c . Найдите

c = αa + βb .

значение k, при отором веторы a + b + k c , b + c + k a ,

Если веторы a , b , c неомпланарны, то любой ветор d можно единственным образом представить в виде d = αa + βb + γc .

c + a + k b омпланарны. 10. Даны три неомпланарных ветора a , b , c . Доажите, что веторы a + b , b + c , c – a омпланарны.

Три ненулевых ветора a , b , c омпланарны тода и тольо тода, ода существуют три числа α, β, γ, не все равные нулю, таие, что αa + βb + γc = 0 .

473

(2)

11. Даны три неомпланарных ветора a , b , c . Найдите числа p и q, при оторых веторы p a + q b + c и a + p b + q c оллинеарны. 12. Даны четыре ненулевых ветора a , b , c и d , аждые три из оторых неомпланарны. Найдите их сумму, если a +

П р и м е р 3. Даны три неомпланарных ветора a , b и c . Доазать, что веторы a + 2 b – c , 3 a – b + c , – a + 5 b – 3 c омпланарны. Р е ш е н и е. Соласно условию (2) омпланарности трех веторов, достаточно найти три числа α, β, γ, удовлетворяющих соотношениям α ( a + 2 b – c ) + β(3 a – b + c ) + γ (– a + 5 b – 3 c ) = 0 , α2 + β2 + γ2 > 0.

(*) (**)

Неравенство (**) эвивалентно тому, что по райней мере одно из чисел α, β или γ не равно нулю. Преобразуем равенство (*)  виду (α + 3β – γ) a + (2α – β + 5γ) b + (–α + β – 3γ) c = 0 .

+ b + c = pd и b + c + d = qa . П р и м е р 4. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложить веторы AA 1 , AC и DB по веторам DA 1 , DB 1 и DC 1 . Р е ш е н и е. Введем вспомоательные неомпланарные веторы a = AA 1 , b = AB , c = AD ; выразим через них веторы DA 1 , DB 1 , DC 1 и исомые веторы AA 1 , AC , DB . Используя правила сложения и вычитания веторов, имеем DA 1 = a – c ,

DB 1 = a + b – c , DC 1 = a + b ,

AC = b + c ,

DB = b – c ,

AA 1 = a .

(*) (**)

474

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Из равенств (*) выразим веторы a , b , c через DA 1 , DB 1 ,

b = DB 1 – DA 1 ,

c = – DB 1 + DC 1 .

Подставляя выражения a , b , c в равенства (**), получаем исомые представления. Ответ. AA 1 = DA 1 – DB 1 + DC 1 , AC = ( DB 1 – DA 1 ) + (– DB 1 + DC 1 ) = – DA 1 + DC 1 , DB = ( DB 1 – DA 1 ) – (– DB 1 + DC 1 ) = = – DA 1 + 2 DB 1 – DC 1 . 13. В тетраэдре OABC точи M и N — середины ребер OB и OC . Разложите веторы AM , BN и MN по веторам OA , OB и OC . 14. В треуольной призме ABCA1B1C1 диаонали рани BB1C1C пересеаются в точе M. Разложите веторы AM и A 1 M по веторам BA , BB 1 и BC . 15. Дана треуольная призма ABCA1B1C1. Разложите ветор AA 1 по веторам BA 1 , CB 1 и AC 1 . Упорядоченную тройу неомпланарных веторов e 1 , e 2 , e 3 называют базисом в множестве всех веторов пространства. Всяий ветор можно единственным образом представить в виде a = x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3 . (3) Упорядоченную тройу чисел {x1; x2; x3} называют оординатами ветора a в базисе e 1 , e 2 , e 3 . Запись (3) называют разложением ве тора a по базис e 1 , e 2 , e 3 . П р и м е р 5. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найти оординаты ветора C 1 D в базисе, состоящем из веторов AD , AA 1 , AB (рис. 65).

Р е ш е н и е. Ветор C 1 D

Значит, ветор C 1 D в базисе, со-

C1 D1

A1

свою очередь можно представить следующим образом: B 1 A = – AB 1 = –( AA 1 + AB ).

475

B1

равен

ветору B 1 A (рис. 65), оторый в

DC 1 . Имеем a = DA 1 – DB 1 + DC 1 ,

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры

B A

стоящем из веторов AD , AA 1 , AB ,

C D Рис. 65

имеет оординаты {0; –1; –1}. Ответ. {0; –1; –1}. 16. Дан тетраэдр OABC; точи D и E — середины ребер OA и BC соответственно. Найдите оординаты ветора DE в базисе OA , OB , OC . 17. Дан тетраэдр OABC; F — точа пересечения медиан основания ABC. Найдите оординаты ветора OF в базисе OA , OB , OC . 18. В тетраэдре OABC медиана AL рани ABC делится точой M в отношении AM : ML = 3 : 7. Найдите оординаты ветора OM в базисе OA , OB , OC . 19. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точа M — середина рани DD1C1C (точа пересечения диаоналей). Найдите оординаты ветора AM в базисе AD , AB , AA 1 . 20. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точа M делит ребро CC1 в отношении CM : MC1 = 1 : 2, точа N делит ребро A1D1 пополам. Найдите оординаты ветора NM в базисе AD 1 , AB , AA 1 .

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры Основой методов веторной алебры является свойство единственности разложения ветора на плосости по двум неоллинеарным веторам и свойство единственности разложения ветора в пространстве по трем неомпланарным веторам.

474

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Из равенств (*) выразим веторы a , b , c через DA 1 , DB 1 ,

b = DB 1 – DA 1 ,

c = – DB 1 + DC 1 .

Подставляя выражения a , b , c в равенства (**), получаем исомые представления. Ответ. AA 1 = DA 1 – DB 1 + DC 1 , AC = ( DB 1 – DA 1 ) + (– DB 1 + DC 1 ) = – DA 1 + DC 1 , DB = ( DB 1 – DA 1 ) – (– DB 1 + DC 1 ) = = – DA 1 + 2 DB 1 – DC 1 . 13. В тетраэдре OABC точи M и N — середины ребер OB и OC . Разложите веторы AM , BN и MN по веторам OA , OB и OC . 14. В треуольной призме ABCA1B1C1 диаонали рани BB1C1C пересеаются в точе M. Разложите веторы AM и A 1 M по веторам BA , BB 1 и BC . 15. Дана треуольная призма ABCA1B1C1. Разложите ветор AA 1 по веторам BA 1 , CB 1 и AC 1 . Упорядоченную тройу неомпланарных веторов e 1 , e 2 , e 3 называют базисом в множестве всех веторов пространства. Всяий ветор можно единственным образом представить в виде a = x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3 . (3) Упорядоченную тройу чисел {x1; x2; x3} называют оординатами ветора a в базисе e 1 , e 2 , e 3 . Запись (3) называют разложением ве тора a по базис e 1 , e 2 , e 3 . П р и м е р 5. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найти оординаты ветора C 1 D в базисе, состоящем из веторов AD , AA 1 , AB (рис. 65).

Р е ш е н и е. Ветор C 1 D

Значит, ветор C 1 D в базисе, со-

C1 D1

A1

свою очередь можно представить следующим образом: B 1 A = – AB 1 = –( AA 1 + AB ).

475

B1

равен

ветору B 1 A (рис. 65), оторый в

DC 1 . Имеем a = DA 1 – DB 1 + DC 1 ,

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры

B A

стоящем из веторов AD , AA 1 , AB ,

C D Рис. 65

имеет оординаты {0; –1; –1}. Ответ. {0; –1; –1}. 16. Дан тетраэдр OABC; точи D и E — середины ребер OA и BC соответственно. Найдите оординаты ветора DE в базисе OA , OB , OC . 17. Дан тетраэдр OABC; F — точа пересечения медиан основания ABC. Найдите оординаты ветора OF в базисе OA , OB , OC . 18. В тетраэдре OABC медиана AL рани ABC делится точой M в отношении AM : ML = 3 : 7. Найдите оординаты ветора OM в базисе OA , OB , OC . 19. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точа M — середина рани DD1C1C (точа пересечения диаоналей). Найдите оординаты ветора AM в базисе AD , AB , AA 1 . 20. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точа M делит ребро CC1 в отношении CM : MC1 = 1 : 2, точа N делит ребро A1D1 пополам. Найдите оординаты ветора NM в базисе AD 1 , AB , AA 1 .

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры Основой методов веторной алебры является свойство единственности разложения ветора на плосости по двум неоллинеарным веторам и свойство единственности разложения ветора в пространстве по трем неомпланарным веторам.

476

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Приведенные ниже задачи можно условно разбить на два типа: на «прямые» и «обратные». «Прямыми» задачами будем называть таие задачи, в оторых считается известной принадлежность трех точе одной прямой или принадлежность четырех точе одной плосости. В этих задачах обычно требуется установить или проверить неоторые соотношения между длинами отрезов. В «обратных» задачах требуется, а правило, установить, что при определенных соотношениях между длинами отрезов неоторые три точи A, B, C принадлежат одной прямой или неоторые четыре точи A, B, C, D принадлежат одной плосости, а таже инода требуется доазать, что неоторые прямые пересеаются в одной точе. Решение «обратных» задач в случае плосости основано на провере веторной формулы AB = k BC ,

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры Учитывая, что B 1 C 1 = AC 1 – AB 1 = (λ3 – λ1) a + λ3 b , B 1 D 1 = AD 1 – AB 1 = –λ1 a + λ2 b ,

и подставляя разложения веторов B 1 C 1 и B 1 D 1 по неоллинеарным веторам a и b в соотношение (*), получим (λ3 – λ1) a + λ3 b = kλ2 b – kλ1 a . На основании единственности разложения ветора по двум неоллинеарным веторам a и b приходим  системе λ3 – λ1 = –kλ1, λ3 = kλ2.

(1)

выполнение оторой при неотором действительном k означает, что три точи A, B, C лежат на одной прямой, или на провере формулы

Ислючив оэффициент k, найдем соотношение между λ1, λ2 и λ3: λ 1 λ3 + λ2 λ3 = λ1 λ 2 . Разделив последнее равенство почленно на λ1λ2λ3, получим

OC = α OA + (1 – α) OB ,

1 1 1 ------ = ------ + ------ , λ1 λ2 λ3

де A, B, C — точи одной прямой, а O — произвольная точа. П р и м е р 1. Дан параллелорамм ABCD. Прямая l пересеает прямые AB, AC и AD соответственно в точах B1, C1 и D1. Доазать, что если AB 1 = λ1 AB , AD 1 = λ2 AD , AC 1 = λ3 AC , то

что и требовалось доазать. Рассмотрим пример «обратной» задачи. П р и м е р 2. На стороне ON параллелорамма AMNO и на ео диаонали OM взяты таие точи B и C, что

1 1 1 ------ = ------ + -----λ1 λ2 λ3

1

OB = --n- ON ,

(«прямая» задача). Р е ш е н и е. Пусть AB = a , AD = b и AC = a + b (рис. 66).

l

B B1 A

C

Тода AB 1 = λ1 a , AD 1 = λ2 b и AC 1 = λ3( a + b ). Та а три точ-

C1 D1 Рис. 66

D

477

Доазать, что точи A, B и C лежат на одной прямой. Р е ш е н и е. Выразим веторы A AB и AC через веторы ON и OA

M

(рис. 67): 1

и B1, C1, D1 лежат на одной прямой l, то справедливо равенство

AC = ------------n + 1 OM – OA ,

B1 C1 = k B1 D1 .

AB = --n- ON – OA .

(*)

1

OC = ------------n + 1 OM .

1

O

B

C

N Рис. 67

476

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Приведенные ниже задачи можно условно разбить на два типа: на «прямые» и «обратные». «Прямыми» задачами будем называть таие задачи, в оторых считается известной принадлежность трех точе одной прямой или принадлежность четырех точе одной плосости. В этих задачах обычно требуется установить или проверить неоторые соотношения между длинами отрезов. В «обратных» задачах требуется, а правило, установить, что при определенных соотношениях между длинами отрезов неоторые три точи A, B, C принадлежат одной прямой или неоторые четыре точи A, B, C, D принадлежат одной плосости, а таже инода требуется доазать, что неоторые прямые пересеаются в одной точе. Решение «обратных» задач в случае плосости основано на провере веторной формулы AB = k BC ,

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры Учитывая, что B 1 C 1 = AC 1 – AB 1 = (λ3 – λ1) a + λ3 b , B 1 D 1 = AD 1 – AB 1 = –λ1 a + λ2 b ,

и подставляя разложения веторов B 1 C 1 и B 1 D 1 по неоллинеарным веторам a и b в соотношение (*), получим (λ3 – λ1) a + λ3 b = kλ2 b – kλ1 a . На основании единственности разложения ветора по двум неоллинеарным веторам a и b приходим  системе λ3 – λ1 = –kλ1, λ3 = kλ2.

(1)

выполнение оторой при неотором действительном k означает, что три точи A, B, C лежат на одной прямой, или на провере формулы

Ислючив оэффициент k, найдем соотношение между λ1, λ2 и λ3: λ 1 λ3 + λ2 λ3 = λ1 λ 2 . Разделив последнее равенство почленно на λ1λ2λ3, получим

OC = α OA + (1 – α) OB ,

1 1 1 ------ = ------ + ------ , λ1 λ2 λ3

де A, B, C — точи одной прямой, а O — произвольная точа. П р и м е р 1. Дан параллелорамм ABCD. Прямая l пересеает прямые AB, AC и AD соответственно в точах B1, C1 и D1. Доазать, что если AB 1 = λ1 AB , AD 1 = λ2 AD , AC 1 = λ3 AC , то

что и требовалось доазать. Рассмотрим пример «обратной» задачи. П р и м е р 2. На стороне ON параллелорамма AMNO и на ео диаонали OM взяты таие точи B и C, что

1 1 1 ------ = ------ + -----λ1 λ2 λ3

1

OB = --n- ON ,

(«прямая» задача). Р е ш е н и е. Пусть AB = a , AD = b и AC = a + b (рис. 66).

l

B B1 A

C

Тода AB 1 = λ1 a , AD 1 = λ2 b и AC 1 = λ3( a + b ). Та а три точ-

C1 D1 Рис. 66

D

477

Доазать, что точи A, B и C лежат на одной прямой. Р е ш е н и е. Выразим веторы A AB и AC через веторы ON и OA

M

(рис. 67): 1

и B1, C1, D1 лежат на одной прямой l, то справедливо равенство

AC = ------------n + 1 OM – OA ,

B1 C1 = k B1 D1 .

AB = --n- ON – OA .

(*)

1

OC = ------------n + 1 OM .

1

O

B

C

N Рис. 67

478

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Та а OM = OA + ON и, следоваетльно, 1 1 -------------- OM = -------------- ( OA + ON ), n+1 n+1

то 1

1

n

--------------------------AC = ------------n + 1 ( OA + ON ) – OA = n + 1 ON – n + 1 OA .

Сравнивая разложения веторов AB и AC по неоллинеарным n+1 веторам ON и OA , залючаем, что AB = λ AC , де λ = ------------n .

Та а веторы AB и AC оллинеарны и имеют общее начало, то три точи A, B, C лежат на одной прямой. 1. На прямых BC, CA, AB, определяющих треуольни ABC, взяты соответственно точи L, M и N, лежащие на одной прямой. Доажите, что если BL = α LC ,

CM = β MA ,

AN = γ NB ,

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры П р и м е р 3. Доазать, что если точа A пересечения диаоналей четырехуольниа MNPQ и середины B, C ео противоположных сторон MN, PQ лежат на одной прямой, то MNPQ — трапеция или параллелорамм (рис. 68).

A1C1 = αA1B1,

A2C2 = αA2B2,

A3C3 = αA3B3.

Доажите, что точи C1, C2, C3 лежат на одной прямой. 4. Точи C1, C2, C3 делят отрезо AB на четыре части; D — произвольная точа плосости. Выразите веторы DC 1 , DC 2 , DC 3 через веторы DA = a , DB = b . 5. Даны три точи M, A, B, а четвертая точа C взята та, что AB = 3 AC . Выразите ветор MC через веторы MA и MB . 6. На плосости взяты три точи A, B, M. На отрезе AB взята таая точа C, что AC : CB = k. Выразите ветор MC через MA и MB .

B

a

A

lb Q

C

N b ka P

Рис. 68

Р е ш е н и е. Положим AM = a , AN = b . Тода AP = k a и AQ = l b . Та а B — середина отреза MN, то 1

1

1

AB = --2- AM + --2- AN = --2- ( a + b ). Аналоично 1

1

1

AC = --2- AP + --2- AQ = --2- (k a + l b ). По условию точи A, B, C лежат на одной прямой, и значит, существует таое число m, что AC = m AB , т. е. m 1 ----- ( a + b ) = --- (k a + l b ), 2 2

то αβγ = –1 (теорема Менелая). 2. Дан треуольни MNP. На прямых MN, NP, PM взяты точи A, B и C та, что MA = α AN , NB = β BP , PC = γ CM . Доажите, что если αβγ = –1, то точи A, B, C лежат на одной прямой (обратная теорема Менелая). 3. Прямые a и b параллельны. На прямой a взяты произвольные точи A1, A2, A3, на прямой b — произвольные точи B1, B2, B3. На отрезах A1B1, A2B2, A3B3 взяты таие точи C1, C2, C3, что

M

479

или

m–k m–l --------------- a + ------------- b = 0 , 2 2

отуда следует, что m = k = l. Тода MN = b – a ,

PQ = l b – k a = k( b – a ),

т. е. PQ = k MN . Следовательно, PQ Ï MN, т. е. MNPQ — трапеция или параллелорамм. 17. Точа пересечения «средних линий» четырехуольниа (отрезов, соединяющих середины ео сторон) совпадает с точой пересечения ео диаоналей. Доажите, что таой четырехуольни — параллелорамм. 18. Доажите, что середины оснований трапеции и точа пересечения продолжений ее боовых сторон принадлежат одной прямой. 19. Точа M — середина отреза AB, точа M ′ — середина отреза A ′B ′ . Доажите, что середины отрезов AA ′ , BB ′ и MM ′ расположены на одной прямой. 10. Доажите, что середины сторон произвольноо четырехуольниа являются вершинами параллелорамма.

478

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Та а OM = OA + ON и, следоваетльно, 1 1 -------------- OM = -------------- ( OA + ON ), n+1 n+1

то 1

1

n

--------------------------AC = ------------n + 1 ( OA + ON ) – OA = n + 1 ON – n + 1 OA .

Сравнивая разложения веторов AB и AC по неоллинеарным n+1 веторам ON и OA , залючаем, что AB = λ AC , де λ = ------------n .

Та а веторы AB и AC оллинеарны и имеют общее начало, то три точи A, B, C лежат на одной прямой. 1. На прямых BC, CA, AB, определяющих треуольни ABC, взяты соответственно точи L, M и N, лежащие на одной прямой. Доажите, что если BL = α LC ,

CM = β MA ,

AN = γ NB ,

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры П р и м е р 3. Доазать, что если точа A пересечения диаоналей четырехуольниа MNPQ и середины B, C ео противоположных сторон MN, PQ лежат на одной прямой, то MNPQ — трапеция или параллелорамм (рис. 68).

A1C1 = αA1B1,

A2C2 = αA2B2,

A3C3 = αA3B3.

Доажите, что точи C1, C2, C3 лежат на одной прямой. 4. Точи C1, C2, C3 делят отрезо AB на четыре части; D — произвольная точа плосости. Выразите веторы DC 1 , DC 2 , DC 3 через веторы DA = a , DB = b . 5. Даны три точи M, A, B, а четвертая точа C взята та, что AB = 3 AC . Выразите ветор MC через веторы MA и MB . 6. На плосости взяты три точи A, B, M. На отрезе AB взята таая точа C, что AC : CB = k. Выразите ветор MC через MA и MB .

B

a

A

lb Q

C

N b ka P

Рис. 68

Р е ш е н и е. Положим AM = a , AN = b . Тода AP = k a и AQ = l b . Та а B — середина отреза MN, то 1

1

1

AB = --2- AM + --2- AN = --2- ( a + b ). Аналоично 1

1

1

AC = --2- AP + --2- AQ = --2- (k a + l b ). По условию точи A, B, C лежат на одной прямой, и значит, существует таое число m, что AC = m AB , т. е. m 1 ----- ( a + b ) = --- (k a + l b ), 2 2

то αβγ = –1 (теорема Менелая). 2. Дан треуольни MNP. На прямых MN, NP, PM взяты точи A, B и C та, что MA = α AN , NB = β BP , PC = γ CM . Доажите, что если αβγ = –1, то точи A, B, C лежат на одной прямой (обратная теорема Менелая). 3. Прямые a и b параллельны. На прямой a взяты произвольные точи A1, A2, A3, на прямой b — произвольные точи B1, B2, B3. На отрезах A1B1, A2B2, A3B3 взяты таие точи C1, C2, C3, что

M

479

или

m–k m–l --------------- a + ------------- b = 0 , 2 2

отуда следует, что m = k = l. Тода MN = b – a ,

PQ = l b – k a = k( b – a ),

т. е. PQ = k MN . Следовательно, PQ Ï MN, т. е. MNPQ — трапеция или параллелорамм. 17. Точа пересечения «средних линий» четырехуольниа (отрезов, соединяющих середины ео сторон) совпадает с точой пересечения ео диаоналей. Доажите, что таой четырехуольни — параллелорамм. 18. Доажите, что середины оснований трапеции и точа пересечения продолжений ее боовых сторон принадлежат одной прямой. 19. Точа M — середина отреза AB, точа M ′ — середина отреза A ′B ′ . Доажите, что середины отрезов AA ′ , BB ′ и MM ′ расположены на одной прямой. 10. Доажите, что середины сторон произвольноо четырехуольниа являются вершинами параллелорамма.

480

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

11. Доажите, что в произвольном четырехуольние: а) «средние линии», пересеаясь, делятся пополам; б) отрезо, соединяющий середины диаоналей, проходит через точу пересечения «средних линий» и делится в этой точе пополам. При решении ряда задач используют формулу 1

OM = --3- ( OA + OB + OC ),

(2)

де A, B, C — произвольные точи, не лежащие на одной прямой; M — центр тяжести треуольниа ABC; O — произвольная точа. П р и м е р 4. Пусть ABCDEF — произвольный шестиуольни и U, V, W, X, Y, Z — середины ео сторон. Доазать, что центры тяжести треуольниов UWY и VXZ совпадают (рис. 69). Р е ш е н и е. Та а точи U, V, W, X, Y и Z — середины сторон шестиуольниа, то 1

C

V

B

OU = --2- ( OA + OB ), 1

OV = --2- ( OB + OC ),

W

U

N

A

M

X

Z F

D

Y

O

1

OW = --2- ( OC + OD ), 1

OX = --2- ( OD + OE ),

E

1

OY = --2- ( OE + OF ),

Рис. 69

1

OZ = --2- ( OF + OA ),

де O — произвольная точа. Обозначив через M и N центры тяжести треуольниов UWY и VXZ, по формуле (2) находим

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры

Таим образом, OM = ON , отуда следует, что точа M совпадает с точой N. 12. Дан треуольни ABC. Доажите, что равенство OA + + OB + OC = 0 имеет место в том и тольо том случае, ода O — центр тяжести треуольниа ABC. 13. а) Пусть M и N — центры тяжести треуольниов ABC и DEF. Доажите, что AD + BE + CF = 3 MN . б) Пусть A, B, C, D, E, F — произвольные точи плосости. Доажите, что AD + BE + CF = AE + BF + CD . 14. Точа M — центр тяжести треуольниа ABC. Доажите, что CA + CB = 3 CM . 15. Через центр тяжести треуольниа ABC проведена прямая l, пересеающая стороны AC и BC соответственно в точах AP

BQ

--------P и Q. Доажите, что ------PC + QC = 1. 16. Вершины A1, B1, C1 треуольниа A1B1C1 принадлежат трем различным сторонам треуольниа ABC, причем центры тяжести обоих треуольниов совпадают. Доажите, что точи A1, B1 и C1 делят стороны треуольниа ABC в равных отношениях.

При решении задач, связанных с вычислением отношения площадей неоторых плосих фиур, используют следующее свойство площадей треуольниов: если площадь треуольниа ABC равна S и на сторонах AC и BC этоо треуольниа выбраны соответственно точи M и N та, что CM : CA = k1,

CN : CB = k2,

то площадь треуольниа MCN равна k1k2S.

1 ON = --3- ( OV + OX + OZ ) =

П р и м е р 5. В треуольние ABC на стороне AB взята точа K та, что AK : BK = 1 : 2, а на стороне BC — точа L та, что CL : BL = 2 : 1 (рис. 70). Пусть Q — точа пересечения прямых AL и CK. Найти площадь треуольниа ABC, если известно, что площадь треуольниа BQC равна 1.

= --6- ( OA + OB + OC + OD + OE + OF ).

Р е ш е н и е. Пусть AB = a , AC = b (рис. 70). Та а BL : LC = 1 : 2, то со-

1

OM = --3- ( OU + OW + OY ) = 1

= --6- ( OA + OB + OC + OD + OE + OF ),

1

481

C

N A

L

Q K

M

Рис. 70

B

480

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

11. Доажите, что в произвольном четырехуольние: а) «средние линии», пересеаясь, делятся пополам; б) отрезо, соединяющий середины диаоналей, проходит через точу пересечения «средних линий» и делится в этой точе пополам. При решении ряда задач используют формулу 1

OM = --3- ( OA + OB + OC ),

(2)

де A, B, C — произвольные точи, не лежащие на одной прямой; M — центр тяжести треуольниа ABC; O — произвольная точа. П р и м е р 4. Пусть ABCDEF — произвольный шестиуольни и U, V, W, X, Y, Z — середины ео сторон. Доазать, что центры тяжести треуольниов UWY и VXZ совпадают (рис. 69). Р е ш е н и е. Та а точи U, V, W, X, Y и Z — середины сторон шестиуольниа, то 1

C

V

B

OU = --2- ( OA + OB ), 1

OV = --2- ( OB + OC ),

W

U

N

A

M

X

Z F

D

Y

O

1

OW = --2- ( OC + OD ), 1

OX = --2- ( OD + OE ),

E

1

OY = --2- ( OE + OF ),

Рис. 69

1

OZ = --2- ( OF + OA ),

де O — произвольная точа. Обозначив через M и N центры тяжести треуольниов UWY и VXZ, по формуле (2) находим

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры

Таим образом, OM = ON , отуда следует, что точа M совпадает с точой N. 12. Дан треуольни ABC. Доажите, что равенство OA + + OB + OC = 0 имеет место в том и тольо том случае, ода O — центр тяжести треуольниа ABC. 13. а) Пусть M и N — центры тяжести треуольниов ABC и DEF. Доажите, что AD + BE + CF = 3 MN . б) Пусть A, B, C, D, E, F — произвольные точи плосости. Доажите, что AD + BE + CF = AE + BF + CD . 14. Точа M — центр тяжести треуольниа ABC. Доажите, что CA + CB = 3 CM . 15. Через центр тяжести треуольниа ABC проведена прямая l, пересеающая стороны AC и BC соответственно в точах AP

BQ

--------P и Q. Доажите, что ------PC + QC = 1. 16. Вершины A1, B1, C1 треуольниа A1B1C1 принадлежат трем различным сторонам треуольниа ABC, причем центры тяжести обоих треуольниов совпадают. Доажите, что точи A1, B1 и C1 делят стороны треуольниа ABC в равных отношениях.

При решении задач, связанных с вычислением отношения площадей неоторых плосих фиур, используют следующее свойство площадей треуольниов: если площадь треуольниа ABC равна S и на сторонах AC и BC этоо треуольниа выбраны соответственно точи M и N та, что CM : CA = k1,

CN : CB = k2,

то площадь треуольниа MCN равна k1k2S.

1 ON = --3- ( OV + OX + OZ ) =

П р и м е р 5. В треуольние ABC на стороне AB взята точа K та, что AK : BK = 1 : 2, а на стороне BC — точа L та, что CL : BL = 2 : 1 (рис. 70). Пусть Q — точа пересечения прямых AL и CK. Найти площадь треуольниа ABC, если известно, что площадь треуольниа BQC равна 1.

= --6- ( OA + OB + OC + OD + OE + OF ).

Р е ш е н и е. Пусть AB = a , AC = b (рис. 70). Та а BL : LC = 1 : 2, то со-

1

OM = --3- ( OU + OW + OY ) = 1

= --6- ( OA + OB + OC + OD + OE + OF ),

1

481

C

N A

L

Q K

M

Рис. 70

B

482

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

ласно сформулированному выше свойству площадей получаем 2 1 S
BQL = --3- , S
LQC = --3- .

Найдем отношение QL : AL. Прямая, проходящая через точу L параллельно стороне AC, пересечет сторону AB в точе M, 2

причем AM : MB = 2 : 1 и AM = --3- a . Прямая, проходящая через точу L параллельно стороне AB, пересечет сторону AC 1

в точе N, причем AN : NC = 1 : 2 и AN = --3- b . Отсюда 2

1

AL = --3- a + --3- b . Учитывая, что веторы AQ и AL оллинеарны (точи A, Q, L лежат на одной прямой), имеем µ

AQ = µ AL = --3- (2 a + b ).

(*)

Аналоично для точи K находим 2

1

1

CK = --3- CA + --3- CB = --3- ( a – 3 b ),

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры

17. В треуольние ABC, площадь отороо равна 6, на стороне AB взята точа K, делящая эту сторону в отношении AK : BK = 2 : 3, а на стороне AC — точа L, делящая AC в отношении AL : LC = 5 : 3. Точа Q пересечения прямых CK и BL отстоит от прямой AB на расстояние 1,5. Найдите длину стороны AB. 18. Дан треуольни ABC. На сторонах AB и BC взяты точи M и N соответственно та, что AB = 5AM, BC = 3BN. Отрези AN и CM пересеаются в точе O. Найдите отношение площадей треуольниов AOC и ABC. 19. Точа K делит медиану AD треуольниа ABC в отношении 3 : 1, считая от вершины. В аом отношении прямая BK делит площадь треуольниа ABC? 20. На аждой медиане треуольниа взята точа, делящая медиану в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите отношение площади треуольниа с вершинами в этих точах  площади исходноо треуольниа. Решение неоторых задач основано на использовании ветора c , оллинеарноо биссетрисе ула между веторами a и b . При этом бывает удобно представить ветор c в следующем виде: a

b

- + ----- . c = ----a b

λ CQ = λ CK = --3- ( a – 3 b ).

483

(3)

21. В треуольние ABC даны стороны a, b, c. Найдите AA 1 , де AA1 — биссетриса внутреннео ула A треуольниа. 22. В треуольние ABC медиана BD пересеается с биссетрисой AF в точе O. Отношение площади треуольниа DOA

Но AQ = AC + CQ , отуда µ λ --- (2 a + b ) = b + --- ( a – 3 b ). 3 3

3

Из условия единственности разложения ветора по двум не-

 площади треуольниа BOF равно --8- . Найдите AC : AB.

оллинеарным веторам a и b получаем систему уравнений

23. В треуольние ABC биссетриса AD делит сторону BC в отношении BD : CD = 2 : 1. В аом отношении медиана CE делит эту биссетрису? 24. Биссетрисы AD и BE треуольниа ABC пересеаются в точе O. Найдите отношение площади треуольниа ABC  площади четырехуольниа ODCE, если BC = a, AC = b, AB = c.

3 2µ = λ, µ = 3 – 3λ, из оторой находим µ = --7- .

Теперь можно найти отношение QL : AL. Имеем AQ AL – AQ QL -------- = ------------------------ = 1 – --------- , AL AL AL QL

4

S


ABC --------------------- = и в силу равенства (*) получим -------AL = 1 – µ = 7 . Отсюда S
QBC

7 7 1 ----= -----------1 – µ = 4 ; та а S
QBC = 1, то исомая площадь равна 4 . 7

Ответ. --4- .

Решение неоторых задач основано на использовании следующео веторноо соотношения: если A, B, C, D — четыре точи, принадлежащие одной плосости, а O — произвольная точа пространства, то OD = α OA + β OB + (1 – α – β) OC , де α Ý R, β Ý R.

(4)

482

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

ласно сформулированному выше свойству площадей получаем 2 1 S
BQL = --3- , S
LQC = --3- .

Найдем отношение QL : AL. Прямая, проходящая через точу L параллельно стороне AC, пересечет сторону AB в точе M, 2

причем AM : MB = 2 : 1 и AM = --3- a . Прямая, проходящая через точу L параллельно стороне AB, пересечет сторону AC 1

в точе N, причем AN : NC = 1 : 2 и AN = --3- b . Отсюда 2

1

AL = --3- a + --3- b . Учитывая, что веторы AQ и AL оллинеарны (точи A, Q, L лежат на одной прямой), имеем µ

AQ = µ AL = --3- (2 a + b ).

(*)

Аналоично для точи K находим 2

1

1

CK = --3- CA + --3- CB = --3- ( a – 3 b ),

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры

17. В треуольние ABC, площадь отороо равна 6, на стороне AB взята точа K, делящая эту сторону в отношении AK : BK = 2 : 3, а на стороне AC — точа L, делящая AC в отношении AL : LC = 5 : 3. Точа Q пересечения прямых CK и BL отстоит от прямой AB на расстояние 1,5. Найдите длину стороны AB. 18. Дан треуольни ABC. На сторонах AB и BC взяты точи M и N соответственно та, что AB = 5AM, BC = 3BN. Отрези AN и CM пересеаются в точе O. Найдите отношение площадей треуольниов AOC и ABC. 19. Точа K делит медиану AD треуольниа ABC в отношении 3 : 1, считая от вершины. В аом отношении прямая BK делит площадь треуольниа ABC? 20. На аждой медиане треуольниа взята точа, делящая медиану в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите отношение площади треуольниа с вершинами в этих точах  площади исходноо треуольниа. Решение неоторых задач основано на использовании ветора c , оллинеарноо биссетрисе ула между веторами a и b . При этом бывает удобно представить ветор c в следующем виде: a

b

- + ----- . c = ----a b

λ CQ = λ CK = --3- ( a – 3 b ).

483

(3)

21. В треуольние ABC даны стороны a, b, c. Найдите AA 1 , де AA1 — биссетриса внутреннео ула A треуольниа. 22. В треуольние ABC медиана BD пересеается с биссетрисой AF в точе O. Отношение площади треуольниа DOA

Но AQ = AC + CQ , отуда µ λ --- (2 a + b ) = b + --- ( a – 3 b ). 3 3

3

Из условия единственности разложения ветора по двум не-

 площади треуольниа BOF равно --8- . Найдите AC : AB.

оллинеарным веторам a и b получаем систему уравнений

23. В треуольние ABC биссетриса AD делит сторону BC в отношении BD : CD = 2 : 1. В аом отношении медиана CE делит эту биссетрису? 24. Биссетрисы AD и BE треуольниа ABC пересеаются в точе O. Найдите отношение площади треуольниа ABC  площади четырехуольниа ODCE, если BC = a, AC = b, AB = c.

3 2µ = λ, µ = 3 – 3λ, из оторой находим µ = --7- .

Теперь можно найти отношение QL : AL. Имеем AQ AL – AQ QL -------- = ------------------------ = 1 – --------- , AL AL AL QL

4

S


ABC --------------------- = и в силу равенства (*) получим -------AL = 1 – µ = 7 . Отсюда S
QBC

7 7 1 ----= -----------1 – µ = 4 ; та а S
QBC = 1, то исомая площадь равна 4 . 7

Ответ. --4- .

Решение неоторых задач основано на использовании следующео веторноо соотношения: если A, B, C, D — четыре точи, принадлежащие одной плосости, а O — произвольная точа пространства, то OD = α OA + β OB + (1 – α – β) OC , де α Ý R, β Ý R.

(4)

484

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

25. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плосость пересеает прямые AB, AD, AA1, AC1 соответственно в точах B0, D0, A0, C0. Доажите, что если AC 0 = λ1 AC 1 , AB 0 = λ2 AB 1 , AD 0 = λ3 AD 1 , AA 0 = λ4 AA 1 , то

A 1 L = β LA 2 ,

A 2 M = γ MA 3 ,

A 3 N = δ NO .

Доажите, что для принадлежности четырех точе K, L, M и N одной плосости необходимо и достаточно выполнение равенства αβγδ = 1. 27. Даны два треуольниа A1A2A3 и A4A5A6, не лежащие в одной плосости. Доажите, что если M, N, P, Q, R и S — середины отрезов A1A2, A4A5, A2A3, A5A6, A3A4, A6A1 соответственно, то веторы MN , PQ и RS омпланарны. 28. Даны два треуольниа ABC и A1B1C1, не лежащие в одной плосости: M и N — середины сторон AC и BC, а M1 и N1 — середины сторон A1C1 и B1C1. Доажите, что если AB = = A 1 B 1 , то веторы MM 1 , NN 1 и CC 1 омпланарны. 29. Даны две срещивающиеся прямые m и n. На прямой m взяты точи P, Q, R, а на прямой n — точи P1, Q1, R1, причем PQ = k PR , P 1 Q 1 = k P 1 R 1 . Доажите, что прямые PP1, QQ1, RR1 параллельны одной плосости. При решении задач, связанных с отношением объемов частей тетраэдра, образующихся при сечении ео неоторой плосостью, часто используют следующее утверждение: если объем тетраэдра ABCD равен V и на ео ребрах DA, DB, DC взяты соответственно точи M, N, P та, что DM = k1DA,

DN = k2DB,

DP = k3DC,

то объем тетраэдра MNPD равен k1k2k3V.

S

SB = b , SC = c (рис. 71). Очевидно,

26. Точи K, L, M, N взяты соответственно на сторонах OA1, A1A2, A2A3, A3O неплосоо четырехуольниа OA1A2A3, причем

485

П р и м е р 6. Плосость проходит через вершину A основания треуольной пирамиды SABC и делит пополам медиану SK треуольниа SAB, а медиану SL треуольниа SAC пересеает в таой точе D, что 2SD = DL. В аом отношении эта плосость делит объем пирамиды? Р е ш е н и е. Положим SA = a ,

1 1 1 1 --------------------λ 1 = λ2 + λ3 + λ 4 .

OK = α KA ,

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры

N

что k1 = 1. Пусть SM = k2 b , SN = = k3 c , де M и N — точи, в оторых плосость сечения пересеается с ребрами SB и SC соответственно. Найдем k2 и k3. Для этоо воспользуемся равенствами

c

E

M

a A

L

C

b

1 1 SE = --2- SK = --4- ( a + b ), 1

D

K

B

1

SD = --3- SL = --6- ( a + c ).

Рис. 71

Соласно формуле (4), ветор SM можно представить в виде β

1

SM = α a + --4- ( a + b ) + --6- (1 – α – β) ( a + c ). Та а SM = k2 b , то, используя единственность разложения ветора по трем неомпланарным веторам, получим систему уравнений 1

1

5

--0 = --6- α + -----12 β + 6 ,

1

k2 = --4- β,

1

0 = --6- (1 – α – β),

1

из оторой находим k2 = --3- . Аналоично из равенств 5

1

β

β

1

------SN = ( --6- α + -----12 + 6 ) a + 4 b + 6 (1 – α – β) c

SN = k3 c , 1

находим k3 = --5- . В силу сформулированноо ранее утверждения получаем 1

1

VSAMN = 1 · --3- · --5- VSABC,

484

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

25. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плосость пересеает прямые AB, AD, AA1, AC1 соответственно в точах B0, D0, A0, C0. Доажите, что если AC 0 = λ1 AC 1 , AB 0 = λ2 AB 1 , AD 0 = λ3 AD 1 , AA 0 = λ4 AA 1 , то

A 1 L = β LA 2 ,

A 2 M = γ MA 3 ,

A 3 N = δ NO .

Доажите, что для принадлежности четырех точе K, L, M и N одной плосости необходимо и достаточно выполнение равенства αβγδ = 1. 27. Даны два треуольниа A1A2A3 и A4A5A6, не лежащие в одной плосости. Доажите, что если M, N, P, Q, R и S — середины отрезов A1A2, A4A5, A2A3, A5A6, A3A4, A6A1 соответственно, то веторы MN , PQ и RS омпланарны. 28. Даны два треуольниа ABC и A1B1C1, не лежащие в одной плосости: M и N — середины сторон AC и BC, а M1 и N1 — середины сторон A1C1 и B1C1. Доажите, что если AB = = A 1 B 1 , то веторы MM 1 , NN 1 и CC 1 омпланарны. 29. Даны две срещивающиеся прямые m и n. На прямой m взяты точи P, Q, R, а на прямой n — точи P1, Q1, R1, причем PQ = k PR , P 1 Q 1 = k P 1 R 1 . Доажите, что прямые PP1, QQ1, RR1 параллельны одной плосости. При решении задач, связанных с отношением объемов частей тетраэдра, образующихся при сечении ео неоторой плосостью, часто используют следующее утверждение: если объем тетраэдра ABCD равен V и на ео ребрах DA, DB, DC взяты соответственно точи M, N, P та, что DM = k1DA,

DN = k2DB,

DP = k3DC,

то объем тетраэдра MNPD равен k1k2k3V.

S

SB = b , SC = c (рис. 71). Очевидно,

26. Точи K, L, M, N взяты соответственно на сторонах OA1, A1A2, A2A3, A3O неплосоо четырехуольниа OA1A2A3, причем

485

П р и м е р 6. Плосость проходит через вершину A основания треуольной пирамиды SABC и делит пополам медиану SK треуольниа SAB, а медиану SL треуольниа SAC пересеает в таой точе D, что 2SD = DL. В аом отношении эта плосость делит объем пирамиды? Р е ш е н и е. Положим SA = a ,

1 1 1 1 --------------------λ 1 = λ2 + λ3 + λ 4 .

OK = α KA ,

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры

N

что k1 = 1. Пусть SM = k2 b , SN = = k3 c , де M и N — точи, в оторых плосость сечения пересеается с ребрами SB и SC соответственно. Найдем k2 и k3. Для этоо воспользуемся равенствами

c

E

M

a A

L

C

b

1 1 SE = --2- SK = --4- ( a + b ), 1

D

K

B

1

SD = --3- SL = --6- ( a + c ).

Рис. 71

Соласно формуле (4), ветор SM можно представить в виде β

1

SM = α a + --4- ( a + b ) + --6- (1 – α – β) ( a + c ). Та а SM = k2 b , то, используя единственность разложения ветора по трем неомпланарным веторам, получим систему уравнений 1

1

5

--0 = --6- α + -----12 β + 6 ,

1

k2 = --4- β,

1

0 = --6- (1 – α – β),

1

из оторой находим k2 = --3- . Аналоично из равенств 5

1

β

β

1

------SN = ( --6- α + -----12 + 6 ) a + 4 b + 6 (1 – α – β) c

SN = k3 c , 1

находим k3 = --5- . В силу сформулированноо ранее утверждения получаем 1

1

VSAMN = 1 · --3- · --5- VSABC,

486

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

и, следовательно, объем оставшейся части пирамиды равен 14 ------ V 15 SABC. Ита, исомое отношение объемов равно 1 : 14.

§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

Необходимым и достаточным условием перпендиулярности двух ненулевых веторов является равенство нулю их салярноо произведения:

Ответ. 1 : 14.

a · b = 0.

30. В трехранном уле с вершиной S проведены параллельные сечения ABC и A1B1C1. Пусть V, V1, V2, V3 — объемы тетраэдров SABC, SA1B1C1, SA1BC, SAB1C1 соответственно. Поажите, что V2 =

3

487

V 2 V 1 и V2V3 = VV1.

31. Дана правильная четырехуольная пирамида SABCD. Через середины ребер AB, AD и CS проведена плосость. В аом отношении эта плосость делит объем пирамиды? 32. Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плосость, пересеающая ребро CD в точе M. При этом отношение длины отреза DM  длине отреза MC 2 равно --3- . Вычислите площадь сечения пирамиды уазанной

плосостью, если расстояние от нее до вершины A равно 1. 33. Плосость пересеает боовые ребра SA, SB и SC треуольной пирамиды SABC в точах K, L и M соответственно. В аом отношении эта плосость делит объем пирамиды, если известно, что SK : KA = SL : LB = 2, а медиана SN треуольниа SBC делится этой плосостью пополам? 34. В треуольной пирамиде SABC все ребра равны. На ребре SA взята точа M та, что SM = MA, а на ребре SB — точа N та, что 3SN = SB. Через точи M и N проведена плосость, параллельная медиане AD основания ABC. Найдите отношение объема треуольной пирамиды, отсеаемой от исходной проведенной плосостью,  объему пирамиды SABC.

(2)

Если ϕ = F( a , b ), то a · b >0

при

π

0 m ϕ < --2- ;

a · b <0

при

π --- < ϕ m π. 2

(3)

Салярное произведение ветора на себя равно вадрату ео длины: a · a = a 2 = | a | 2.

(4)

Свойства салярноо произведения: a · b = b · a

(оммутативный заон);

(λ a ) · b = λ( a · b )

(ассоциативный заон);

a · (b + c ) = a · b + a · c

(дистрибутивный заон).

П р и м е р 1. Известно, что веторы 3 a – 5 b и 2 a + b перпендиулярны между собой и веторы a + 4 b и – a + b таже взаимно перпендиулярны. Найти уол между веторами a и b . Р е ш е н и е. По условию (3 a – 5 b ) · (2 a + b ) = 0,

( a + 4 b ) · (– a + b ) = 0.

Отсюда следует, что 6 a 2 – 7 a · b – 5 b 2 = 0,

– a 2 – 3 a · b + 4 b 2 = 0,

(*)

т. е. получили два уравнения относительно трех неизвестных a 2, b 2 и a b . Соласно равенству (1), осинус ула между ве-

§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения векторов

торами a и b вычисляется по формуле

С алярным произведением двух ненулевых веторов называют произведением длин этих веторов на осинус ула между веторами:

a⋅b a ⋅ b

cos F( a , b ) = ---------------- . Из уравнений (*) находим 19

a · b = | a | · | b | cos F( a , b ).

(1)

(**)

2 a · b = -----43 a ,

25

2 b 2 = -----43 a .

(***)

486

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

и, следовательно, объем оставшейся части пирамиды равен 14 ------ V 15 SABC. Ита, исомое отношение объемов равно 1 : 14.

§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

Необходимым и достаточным условием перпендиулярности двух ненулевых веторов является равенство нулю их салярноо произведения:

Ответ. 1 : 14.

a · b = 0.

30. В трехранном уле с вершиной S проведены параллельные сечения ABC и A1B1C1. Пусть V, V1, V2, V3 — объемы тетраэдров SABC, SA1B1C1, SA1BC, SAB1C1 соответственно. Поажите, что V2 =

3

487

V 2 V 1 и V2V3 = VV1.

31. Дана правильная четырехуольная пирамида SABCD. Через середины ребер AB, AD и CS проведена плосость. В аом отношении эта плосость делит объем пирамиды? 32. Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плосость, пересеающая ребро CD в точе M. При этом отношение длины отреза DM  длине отреза MC 2 равно --3- . Вычислите площадь сечения пирамиды уазанной

плосостью, если расстояние от нее до вершины A равно 1. 33. Плосость пересеает боовые ребра SA, SB и SC треуольной пирамиды SABC в точах K, L и M соответственно. В аом отношении эта плосость делит объем пирамиды, если известно, что SK : KA = SL : LB = 2, а медиана SN треуольниа SBC делится этой плосостью пополам? 34. В треуольной пирамиде SABC все ребра равны. На ребре SA взята точа M та, что SM = MA, а на ребре SB — точа N та, что 3SN = SB. Через точи M и N проведена плосость, параллельная медиане AD основания ABC. Найдите отношение объема треуольной пирамиды, отсеаемой от исходной проведенной плосостью,  объему пирамиды SABC.

(2)

Если ϕ = F( a , b ), то a · b >0

при

π

0 m ϕ < --2- ;

a · b <0

при

π --- < ϕ m π. 2

(3)

Салярное произведение ветора на себя равно вадрату ео длины: a · a = a 2 = | a | 2.

(4)

Свойства салярноо произведения: a · b = b · a

(оммутативный заон);

(λ a ) · b = λ( a · b )

(ассоциативный заон);

a · (b + c ) = a · b + a · c

(дистрибутивный заон).

П р и м е р 1. Известно, что веторы 3 a – 5 b и 2 a + b перпендиулярны между собой и веторы a + 4 b и – a + b таже взаимно перпендиулярны. Найти уол между веторами a и b . Р е ш е н и е. По условию (3 a – 5 b ) · (2 a + b ) = 0,

( a + 4 b ) · (– a + b ) = 0.

Отсюда следует, что 6 a 2 – 7 a · b – 5 b 2 = 0,

– a 2 – 3 a · b + 4 b 2 = 0,

(*)

т. е. получили два уравнения относительно трех неизвестных a 2, b 2 и a b . Соласно равенству (1), осинус ула между ве-

§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения векторов

торами a и b вычисляется по формуле

С алярным произведением двух ненулевых веторов называют произведением длин этих веторов на осинус ула между веторами:

a⋅b a ⋅ b

cos F( a , b ) = ---------------- . Из уравнений (*) находим 19

a · b = | a | · | b | cos F( a , b ).

(1)

(**)

2 a · b = -----43 a ,

25

2 b 2 = -----43 a .

(***)

488

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Возводя обе части равенства (**) в вадрат и подставляя выражения (***), получаем 19 2

cos2 F( a , b ) = ----------------25 ⋅ 43 ,

отуда 19 5 43

cos F( a , b ) = --------------- ,

19 5 43

cos F( a , b ) = – --------------- .

 19 19  Ответ. arccos --------------- или arccos  – ---------------  . 5 43 5 43   2π

1. Дано: | a | = 3, | b | = 4, F( a , b ) = -----3 . Вычислите:

а) a 2;

б) ( a + b )2;

в) (3 a – 2 b ) ( a + 2 b ).

2. Зная, что | a | = 3, | b | = 1, | c | = 4 и a + b + c = 0 , вычис3. Каому условию должны удовлетворять веторы a и b , чтобы имело место равенство | a + b | = | a – b |? 4. Доажите, что ветор ( a b ) c – ( a c ) b перпендиулярен ветору a . 5. Доажите, что если a , b , c — произвольные веторы, причем a не перпендиулярен c , то существует таое число k, что веторы a и b + k c перпендиулярны дру друу. Найдите число k. Если веторы a , b и c являются сторонами треуольниа

1

вестно, что AC = --5- AB = --3- AD. Найдите осинус ула между веторами BA и CD . 13. Доажите, что если в треуольние ABC имеет место равенство a2 + b2 = 2c2, то ama + bmb = 2cmc, де ma, mb, mc — длины медиан треуольниа, a, b, c — длины ео сторон. 14. В треуольние ABC проведен отрезо A1B1, параллельный стороне AB, де точи A1 и B1 лежат соответственно на сторонах AC и BC. Доажите, что если AB1 = BA1, то треуольни ABC равнобедренный. 15. В треуольние ABC проведены медианы AA1 и BB1. Доажите, что если FC + F( AA 1 , BB 1 ) = 180°, то CA2 + CB2 = 2AB2. 16. Доажите, что если G — центр тяжести треуольниа ABC, а O — неоторая точа пространства, то

ABC, то из равенства a + b + c = 0 следует равенство 2

489

18. Найдите: 1а) длину медианы AD треуольниа ABC, зная длины сторон AC = b, AB = c и величину ула A; 1б) длину биссетрисы AE треуольниа ABC, зная длины сторон AC = b, AB = c и величину ула A. 19. Известны стороны треуольниа ABC. Найдите: 1а) длину медианы AD = ma; 1б) длину биссетрисы AE = la. 10. В треуольние ABC уол B — прямой, медианы AD и BE взаимно перпендиулярны. Найдите величину ула C. 11. В треуольние ABC на сторонах BC и AC соответственно выбраны точи D и E та, что BD = DC, AE = 2CE. Найдите BC : AB, если известно, что AD B BE и FABC = 60°. 12. В четырехуольние ABCD уол при вершине A равен 120°, а диаональ AC является биссетрисой этоо ула. Из1

лите a · b + b · c + c · a .

2

§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

2

c = a + b – 2a · b , представляющее собой веторную запись теоремы осинусов. При выполнении упр. 6—21 используйте веторную запись теоремы осинусов. 6. В треуольние ABC проведена медиана CC1. Доажите, что если BC > AC, то уол CC1B — тупой. 7. Доажите, что уол C треуольниа ABC является острым, прямым или тупым в зависимости от тоо, что медиана CC1, 1

проведенная из вершины C, больше, равна или меньше --2- AB.

OA2 + OB2 + OC2 = 3OG2 + AG2 + BG2 + CG2 (теорема Лейбница). 17. Доажите, что если O — центр описанной ооло треуольниа ABC оружности и H — ео ортоцентр, то: 1) OH = OA + OB + OC ; 2) OH2 = 9R2 – (a2 + b2 + c2); 3) AH = 2R | cos FA |. 18. Доажите, что в произвольном треуольние центр O описанной оружности, центр тяжести G и ортоцентр H принадлежат одной прямой (прямой Эйлера), причем OG : GH = 1 : 2.

488

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Возводя обе части равенства (**) в вадрат и подставляя выражения (***), получаем 19 2

cos2 F( a , b ) = ----------------25 ⋅ 43 ,

отуда 19 5 43

cos F( a , b ) = --------------- ,

19 5 43

cos F( a , b ) = – --------------- .

 19 19  Ответ. arccos --------------- или arccos  – ---------------  . 5 43 5 43   2π

1. Дано: | a | = 3, | b | = 4, F( a , b ) = -----3 . Вычислите:

а) a 2;

б) ( a + b )2;

в) (3 a – 2 b ) ( a + 2 b ).

2. Зная, что | a | = 3, | b | = 1, | c | = 4 и a + b + c = 0 , вычис3. Каому условию должны удовлетворять веторы a и b , чтобы имело место равенство | a + b | = | a – b |? 4. Доажите, что ветор ( a b ) c – ( a c ) b перпендиулярен ветору a . 5. Доажите, что если a , b , c — произвольные веторы, причем a не перпендиулярен c , то существует таое число k, что веторы a и b + k c перпендиулярны дру друу. Найдите число k. Если веторы a , b и c являются сторонами треуольниа

1

вестно, что AC = --5- AB = --3- AD. Найдите осинус ула между веторами BA и CD . 13. Доажите, что если в треуольние ABC имеет место равенство a2 + b2 = 2c2, то ama + bmb = 2cmc, де ma, mb, mc — длины медиан треуольниа, a, b, c — длины ео сторон. 14. В треуольние ABC проведен отрезо A1B1, параллельный стороне AB, де точи A1 и B1 лежат соответственно на сторонах AC и BC. Доажите, что если AB1 = BA1, то треуольни ABC равнобедренный. 15. В треуольние ABC проведены медианы AA1 и BB1. Доажите, что если FC + F( AA 1 , BB 1 ) = 180°, то CA2 + CB2 = 2AB2. 16. Доажите, что если G — центр тяжести треуольниа ABC, а O — неоторая точа пространства, то

ABC, то из равенства a + b + c = 0 следует равенство 2

489

18. Найдите: 1а) длину медианы AD треуольниа ABC, зная длины сторон AC = b, AB = c и величину ула A; 1б) длину биссетрисы AE треуольниа ABC, зная длины сторон AC = b, AB = c и величину ула A. 19. Известны стороны треуольниа ABC. Найдите: 1а) длину медианы AD = ma; 1б) длину биссетрисы AE = la. 10. В треуольние ABC уол B — прямой, медианы AD и BE взаимно перпендиулярны. Найдите величину ула C. 11. В треуольние ABC на сторонах BC и AC соответственно выбраны точи D и E та, что BD = DC, AE = 2CE. Найдите BC : AB, если известно, что AD B BE и FABC = 60°. 12. В четырехуольние ABCD уол при вершине A равен 120°, а диаональ AC является биссетрисой этоо ула. Из1

лите a · b + b · c + c · a .

2

§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

2

c = a + b – 2a · b , представляющее собой веторную запись теоремы осинусов. При выполнении упр. 6—21 используйте веторную запись теоремы осинусов. 6. В треуольние ABC проведена медиана CC1. Доажите, что если BC > AC, то уол CC1B — тупой. 7. Доажите, что уол C треуольниа ABC является острым, прямым или тупым в зависимости от тоо, что медиана CC1, 1

проведенная из вершины C, больше, равна или меньше --2- AB.

OA2 + OB2 + OC2 = 3OG2 + AG2 + BG2 + CG2 (теорема Лейбница). 17. Доажите, что если O — центр описанной ооло треуольниа ABC оружности и H — ео ортоцентр, то: 1) OH = OA + OB + OC ; 2) OH2 = 9R2 – (a2 + b2 + c2); 3) AH = 2R | cos FA |. 18. Доажите, что в произвольном треуольние центр O описанной оружности, центр тяжести G и ортоцентр H принадлежат одной прямой (прямой Эйлера), причем OG : GH = 1 : 2.

490

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

19. Доажите, что расстояние от центра O оружности, описанной ооло треуольниа ABC, до ео центра тяжести G определяется формулой 1

20. Доажите, что если Q — произвольная точа, H — ортоцентр и O — центр описанной оружности треуольниа ABC, то 1

QO = --2- ( QA + QB + QC – QH ). 21. В оружность вписан четырехуольни ABCD. Доажите, что если AB2 + CD2 = 4R2, де R — радиус описанной оружности, то диаонали четырехуольниа перпендиулярны. С помощью салярноо произведения можно доазать справедливость неоторых неравенств для трионометричесих фунций улов треуольниа. П р и м е р 2. Доазать, что для всяоо треуольниа ABC выполняется неравенство 3

cos 2A + cos 2B + cos 2C l – --2- . Р е ш е н и е. Пусть O — центр описанной ооло треуольниа ABC оружности, радиус оторой равен R. Очевидно, что ( OA + OB + OC )2 l 0. Расрыв соби, получим OA 2 + 2 OA · OB + OB 2 + 2 OB · OC + (*)

Та а центральный уол, образуемый радиусами OA и OB, вдвое больше ула C, вписанноо в оружность, то OA · OB = R2 cos 2C. Аналоично OC · OA = R2 cos 2B,

491

или 3

cos 2A + cos 2B + cos 2C l – --2- , что и требовалось доазать.

OG2 = R2 – --9- (a2 + b2 + c2).

+ 2 OC · OA + OC 2 l 0.

§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

OB · OC = R2 cos 2A.

Но OA 2 = OB 2 = OC 2 = R2 и, значит, неравенство (*) примет вид 2R2(cos 2A + cos 2B + cos 2C) + 3R2 l 0,

22. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC выполняется неравенство 3

cos A + cos B + cos C m --2- . 23. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC выполняется неравенство 9

sin2 A + sin2 B + sin2 C m --4- . 24. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC справедливо неравенство 3

cos 2A + cos 2B – cos 2C m --2- . При аом условии неравенство обращается в равенство? 25. Доажите, что для любоо трехранноо ула с плосими улами α, β, γ выполняется неравенство 3

cos α + cos β + cos γ > – --2- .

490

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

19. Доажите, что расстояние от центра O оружности, описанной ооло треуольниа ABC, до ео центра тяжести G определяется формулой 1

20. Доажите, что если Q — произвольная точа, H — ортоцентр и O — центр описанной оружности треуольниа ABC, то 1

QO = --2- ( QA + QB + QC – QH ). 21. В оружность вписан четырехуольни ABCD. Доажите, что если AB2 + CD2 = 4R2, де R — радиус описанной оружности, то диаонали четырехуольниа перпендиулярны. С помощью салярноо произведения можно доазать справедливость неоторых неравенств для трионометричесих фунций улов треуольниа. П р и м е р 2. Доазать, что для всяоо треуольниа ABC выполняется неравенство 3

cos 2A + cos 2B + cos 2C l – --2- . Р е ш е н и е. Пусть O — центр описанной ооло треуольниа ABC оружности, радиус оторой равен R. Очевидно, что ( OA + OB + OC )2 l 0. Расрыв соби, получим OA 2 + 2 OA · OB + OB 2 + 2 OB · OC + (*)

Та а центральный уол, образуемый радиусами OA и OB, вдвое больше ула C, вписанноо в оружность, то OA · OB = R2 cos 2C. Аналоично OC · OA = R2 cos 2B,

491

или 3

cos 2A + cos 2B + cos 2C l – --2- , что и требовалось доазать.

OG2 = R2 – --9- (a2 + b2 + c2).

+ 2 OC · OA + OC 2 l 0.

§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

OB · OC = R2 cos 2A.

Но OA 2 = OB 2 = OC 2 = R2 и, значит, неравенство (*) примет вид 2R2(cos 2A + cos 2B + cos 2C) + 3R2 l 0,

22. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC выполняется неравенство 3

cos A + cos B + cos C m --2- . 23. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC выполняется неравенство 9

sin2 A + sin2 B + sin2 C m --4- . 24. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC справедливо неравенство 3

cos 2A + cos 2B – cos 2C m --2- . При аом условии неравенство обращается в равенство? 25. Доажите, что для любоо трехранноо ула с плосими улами α, β, γ выполняется неравенство 3

cos α + cos β + cos γ > – --2- .

§ 82. Размещения, сочетания, перестановки

Г л а в а 15 Комбинаторика. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей

В неоторых задачах порядо элементов в выборе не имеет значения. Например, при выборе трех челове в президиум собрания, состоящео из 200 челове, или при поупе в маазине пяти наименований продутов из имеющихся там 100 наименований. В этом случае выбори одноо состава (т. е. выбори, элементы оторых совпадают) считаются неразличимыми. Число выборо различноо состава, объем оторых равен r, из множества объема n находится по формуле

§ 82. Размещения, сочетания, перестановки Пусть дано множество {a1, ..., an}, состоящее из n различных элементов. Выберем из нео множество, содержащее r элементов, т. е. произведем выбор  объема r. Выбори моут отличаться дру от друа а составом, та и порядом расположения элементов. Если допустить, что среди элементов выбори есть одинаовые, то объем выбори в отдельных случаях может превышать объем исходноо множества. Примером таих выборо служат телефонные номера. Пусть номер состоит из 12 цифр, а телефонный дис содержит 10 цифр; тода при наборе номера осуществляется выбора 12 элементов из множества, содержащео 10 элементов. Та а дис после набора аждой цифры возвращается в исходное положение, то цифры телефонноо номера моут повторяться. Это означает, что выбора может содержать одинаовые элементы. Пусть исходное множество содержит n различных элементов. Тода число различных выборо объема r, элементы оторых моут повторяться, равно nr. Если же элементы выбори не повторяются, то ее объем не может превысить объем исходноо множества. Число различных выборо объема r с неповторяющимися элементами из исходноо множества объема n выражается формулой r

A n = n(n – 1) ... (n – r + 1);

(1)

r

A n уазывает число различных размещений из n элементов по r позициям. Если n = r, то различные выбори отличаются тольо порядом элементов. Таие выбори называют перестанов ами из n элементов. Число различных перестаново из n элементов находится по формуле P n = n(n – 1) ... 1 = n!

493

(2)

A

r

n ( n – 1 ) ... ( n – r + 1 )

n!

n r -------------------------------------------------------------- = ------------------------- ; C n = -----r! ( n – r )! r! Pr =

(3)

r

C n называют числом сочетаний из n элементов по r. П р и м е р 1. Бувы азбуи Морзе представляют собой последовательности точе и тире. Сольо различных був можно получить, если использовать 5 символов? Р е ш е н и е. Исходное множество состоит из двух элементов: точи и тире. Та а используется 5 символов, то выбора содержит 5 элементов, оторые моут повторяться. Таим образом, число различных выборо, аждая из оторых представляет аую-нибудь буву, равно 25 = 32. Ответ. 32 бувы.
1. Сольо существует различных семизначных телефонных номеров?
2. Сольо существует различных телефонных номеров, если аждый номер содержит не более семи цифр? (Считается, что телефонный номер может начинаться с нуля.) 3. Пусть бувы неоторой азбуи представляют собой последовательности точе, тире и пробелов. Сольо различных був можно образовать, если использовать 5 символов? 4. В неотором осударстве нет двух жителей с одинаовым набором зубов. Каова может быть наибольшая численность населения осударства (наибольшее число зубов равно 32)? 5. Пусть p1, ..., pm — различные простые числа. Сольо

k1

k2

km

делителей имеет число q = p 1 p 2 ... p m , де k1, k2, ..., km — неоторые натуральные числа (делители 1 и q влючаются)? 6. Сольо существует различных семизначных телефонных номеров, если в аждом номере нет повторяющихся цифр?

§ 82. Размещения, сочетания, перестановки

Г л а в а 15 Комбинаторика. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей

В неоторых задачах порядо элементов в выборе не имеет значения. Например, при выборе трех челове в президиум собрания, состоящео из 200 челове, или при поупе в маазине пяти наименований продутов из имеющихся там 100 наименований. В этом случае выбори одноо состава (т. е. выбори, элементы оторых совпадают) считаются неразличимыми. Число выборо различноо состава, объем оторых равен r, из множества объема n находится по формуле

§ 82. Размещения, сочетания, перестановки Пусть дано множество {a1, ..., an}, состоящее из n различных элементов. Выберем из нео множество, содержащее r элементов, т. е. произведем выбор  объема r. Выбори моут отличаться дру от друа а составом, та и порядом расположения элементов. Если допустить, что среди элементов выбори есть одинаовые, то объем выбори в отдельных случаях может превышать объем исходноо множества. Примером таих выборо служат телефонные номера. Пусть номер состоит из 12 цифр, а телефонный дис содержит 10 цифр; тода при наборе номера осуществляется выбора 12 элементов из множества, содержащео 10 элементов. Та а дис после набора аждой цифры возвращается в исходное положение, то цифры телефонноо номера моут повторяться. Это означает, что выбора может содержать одинаовые элементы. Пусть исходное множество содержит n различных элементов. Тода число различных выборо объема r, элементы оторых моут повторяться, равно nr. Если же элементы выбори не повторяются, то ее объем не может превысить объем исходноо множества. Число различных выборо объема r с неповторяющимися элементами из исходноо множества объема n выражается формулой r

A n = n(n – 1) ... (n – r + 1);

(1)

r

A n уазывает число различных размещений из n элементов по r позициям. Если n = r, то различные выбори отличаются тольо порядом элементов. Таие выбори называют перестанов ами из n элементов. Число различных перестаново из n элементов находится по формуле P n = n(n – 1) ... 1 = n!

493

(2)

A

r

n ( n – 1 ) ... ( n – r + 1 )

n!

n r -------------------------------------------------------------- = ------------------------- ; C n = -----r! ( n – r )! r! Pr =

(3)

r

C n называют числом сочетаний из n элементов по r. П р и м е р 1. Бувы азбуи Морзе представляют собой последовательности точе и тире. Сольо различных був можно получить, если использовать 5 символов? Р е ш е н и е. Исходное множество состоит из двух элементов: точи и тире. Та а используется 5 символов, то выбора содержит 5 элементов, оторые моут повторяться. Таим образом, число различных выборо, аждая из оторых представляет аую-нибудь буву, равно 25 = 32. Ответ. 32 бувы.
1. Сольо существует различных семизначных телефонных номеров?
2. Сольо существует различных телефонных номеров, если аждый номер содержит не более семи цифр? (Считается, что телефонный номер может начинаться с нуля.) 3. Пусть бувы неоторой азбуи представляют собой последовательности точе, тире и пробелов. Сольо различных був можно образовать, если использовать 5 символов? 4. В неотором осударстве нет двух жителей с одинаовым набором зубов. Каова может быть наибольшая численность населения осударства (наибольшее число зубов равно 32)? 5. Пусть p1, ..., pm — различные простые числа. Сольо

k1

k2

km

делителей имеет число q = p 1 p 2 ... p m , де k1, k2, ..., km — неоторые натуральные числа (делители 1 и q влючаются)? 6. Сольо существует различных семизначных телефонных номеров, если в аждом номере нет повторяющихся цифр?

494

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей


7. Сольо существует различных исходов эсперимента, связанноо с n бросаниями монеты? (Исходы двух эспериментов считаются различными, если очередность выпадения ербов в этих эспериментах не совпадает с очередностью выпадения цифр.) 18. Сольо существует таих перестаново семи учениов, при оторых три определенных учениа находятся рядом дру с друом? 19. На нижной поле находится собрание сочинений в 30 томах. Сольими различными способами можно переставить нии, чтобы: 1а) тома I и II находились рядом; 1б) тома III и IV не находились рядом?
10. Сольо различных аордов можно взять на 10 выбранных лавишах рояля, если аждый аорд содержит от трех до десяти звуов?
11. Собрание из 40 челове избирает председателя, серетаря и 5 членов неоторой омиссии. Сольо различных омиссий можно составить?

Если требуется определить число различных выборо, составленных из несольих разнородных рупп элементов, то удобно считать, что элементы аждой руппы выбираются из своео исходноо множества, т. е. число различных исходных множеств совпадает с числом различных рупп, элементы оторых представлены в выборе. Та, например, пусть требуется составить сборную оманду восьми областей, состоящую из 24 спортсменов, в оторую от аждой области войдет 3 спортсмена. Эта выбора содержит 24 элемента, оторые набираются из восьми исходных множеств, причем из аждоо отдельноо множества выбирается 3 элемента. П р и м е р 2. В урне находятся m белых и n черных шаров. Сольими способами можно выбрать из урны r шаров, из оторых k шаров оажутся белыми? (Считается, что шары аждоо цвета различны, например, пронумерованы.) Р е ш е н и е. Число способов, оторыми можно выбрать k беk

лых шаров из имеющихся m белых шаров, равно C m ; тода оставшиеся r – k черных шаров из руппы в n шаров можно выr–k

брать C n

способами. При этом аждому способу выбора k r–k

белых шаров соответствует C n

различных способов выбора

§ 82. Размещения, сочетания, перестановки

495

черных. Следовательно, общее число различных выборо равно k

r–k

произведению C m C n Ответ.

k Cm

r–k Cn

.

способами.

12. Из 10 роз и 8 еоринов нужно составить бует, содержащий две розы и три еорина. Сольо можно составить различных буетов? 13. В олоде 36 арт, из них четыре туза. Сольими способами можно сдать 6 арт та, чтобы среди них было два туза? 14. Комплесная бриада состоит из двух маляров, трех штуатуров и одноо столяра. Сольо различных бриад можно создать из рабочео оллетива, в отором 15 маляров, 10 штуатуров и 5 столяров? 15. В лотерее «Спортлото» разырываются 6 из 49 видов спорта. Главный выирыш падает на ту арточу, де уаданы правильно все 6 номеров. (Каждый вид спорта уазан под неоторым номером.) Меньшие призы достаются тем, что уадал 5, 4 и 3 номера из 6. Сольо может быть различных арточе, де уаданы: а) 5; б) 4; в) 3 из 6 номеров, если на аждой арточе произвольно зачериваются 6 номеров? (Карточи, на оторых вычериваются одни и те же номера, считаются одинаовыми.) 16. Сольо оружностей можно провести через 10 точе, из оторых ниаие четыре не лежат на одной оружности и ниаие три не лежат на одной прямой, если аждая оружность проходит через три точи?
17. Из олоды, содержащей 52 арты (из них четыре туза), извлели 10 арт. В сольих случаях среди этих арт будет хотя бы один туз? 18. Сольими способами из олоды в 52 арты (из них четыре туза и четыре ороля) можно извлечь 6 арт, содержащих туза и ороля одной масти? 19. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 женщин. Сольими способами можно составить четыре смешанные пары?
20. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно сосоставить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом числе содержалась одна цифра 1? 21. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом числе содержалась цифра 1? (Цифры в числе не должны повторяться.)

494

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей


7. Сольо существует различных исходов эсперимента, связанноо с n бросаниями монеты? (Исходы двух эспериментов считаются различными, если очередность выпадения ербов в этих эспериментах не совпадает с очередностью выпадения цифр.) 18. Сольо существует таих перестаново семи учениов, при оторых три определенных учениа находятся рядом дру с друом? 19. На нижной поле находится собрание сочинений в 30 томах. Сольими различными способами можно переставить нии, чтобы: 1а) тома I и II находились рядом; 1б) тома III и IV не находились рядом?
10. Сольо различных аордов можно взять на 10 выбранных лавишах рояля, если аждый аорд содержит от трех до десяти звуов?
11. Собрание из 40 челове избирает председателя, серетаря и 5 членов неоторой омиссии. Сольо различных омиссий можно составить?

Если требуется определить число различных выборо, составленных из несольих разнородных рупп элементов, то удобно считать, что элементы аждой руппы выбираются из своео исходноо множества, т. е. число различных исходных множеств совпадает с числом различных рупп, элементы оторых представлены в выборе. Та, например, пусть требуется составить сборную оманду восьми областей, состоящую из 24 спортсменов, в оторую от аждой области войдет 3 спортсмена. Эта выбора содержит 24 элемента, оторые набираются из восьми исходных множеств, причем из аждоо отдельноо множества выбирается 3 элемента. П р и м е р 2. В урне находятся m белых и n черных шаров. Сольими способами можно выбрать из урны r шаров, из оторых k шаров оажутся белыми? (Считается, что шары аждоо цвета различны, например, пронумерованы.) Р е ш е н и е. Число способов, оторыми можно выбрать k беk

лых шаров из имеющихся m белых шаров, равно C m ; тода оставшиеся r – k черных шаров из руппы в n шаров можно выr–k

брать C n

способами. При этом аждому способу выбора k r–k

белых шаров соответствует C n

различных способов выбора

§ 82. Размещения, сочетания, перестановки

495

черных. Следовательно, общее число различных выборо равно k

r–k

произведению C m C n Ответ.

k Cm

r–k Cn

.

способами.

12. Из 10 роз и 8 еоринов нужно составить бует, содержащий две розы и три еорина. Сольо можно составить различных буетов? 13. В олоде 36 арт, из них четыре туза. Сольими способами можно сдать 6 арт та, чтобы среди них было два туза? 14. Комплесная бриада состоит из двух маляров, трех штуатуров и одноо столяра. Сольо различных бриад можно создать из рабочео оллетива, в отором 15 маляров, 10 штуатуров и 5 столяров? 15. В лотерее «Спортлото» разырываются 6 из 49 видов спорта. Главный выирыш падает на ту арточу, де уаданы правильно все 6 номеров. (Каждый вид спорта уазан под неоторым номером.) Меньшие призы достаются тем, что уадал 5, 4 и 3 номера из 6. Сольо может быть различных арточе, де уаданы: а) 5; б) 4; в) 3 из 6 номеров, если на аждой арточе произвольно зачериваются 6 номеров? (Карточи, на оторых вычериваются одни и те же номера, считаются одинаовыми.) 16. Сольо оружностей можно провести через 10 точе, из оторых ниаие четыре не лежат на одной оружности и ниаие три не лежат на одной прямой, если аждая оружность проходит через три точи?
17. Из олоды, содержащей 52 арты (из них четыре туза), извлели 10 арт. В сольих случаях среди этих арт будет хотя бы один туз? 18. Сольими способами из олоды в 52 арты (из них четыре туза и четыре ороля) можно извлечь 6 арт, содержащих туза и ороля одной масти? 19. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 женщин. Сольими способами можно составить четыре смешанные пары?
20. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно сосоставить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом числе содержалась одна цифра 1? 21. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом числе содержалась цифра 1? (Цифры в числе не должны повторяться.)

496

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений

497

§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений

Число различных составов выбори объема m, образованной из k рупп одинаовых элементов, выражается формулой*

Рассмотрим выбори, отдельные элементы оторых повторяются заданное число раз. Пусть выбора состоит из m элементов, среди оторых неоторый элемент (будем для определенности считать ео первым) повторяется n1 раз, друой (второй) — n2 раз, ..., k-й элемент повторяется nk раз. Очевидно, что

C k = C k + m – 1 = -------------------------------m! ( k – 1 )! .

n1 + n2 + ... + nk = m. Набор натуральных чисел (n1, ..., nk) будем называть составом выбор и. Состав выбори определяет, из сольих различных рупп элементов состоит выбора и сольо одинаовых элементов аждой руппы в ней присутствует. Та, например, выбора состава (1, 2, 4) состоит из трех рупп элементов, причем из первой руппы в выборе присутствует один элемент, из второй — два, а из третьей — четыре одинаовых элемента. Число различных выборо одноо состава называют числом перестаново из m элементов с заданным числом повторений n1, ..., nk. Оно находится по формуле m!

------------------------ . Pm(n1, ..., nk) = n 1 !...n k !

(1)

П р и м е р 1. Требуется составить расписание отправления поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы три дня отправлялись по два поезда в день, два дня — по одному поезду, два дня — по три поезда. Сольо можно составить различных расписаний? Р е ш е н и е. Количество поездов, отправляемых в день (числа 1, 2, 3) — это три руппы одинаовых элементов, из оторых должна быть составлена выбора. При этом в расписании на неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется 3 раза и число 3 повторяется 2 раза. Таим образом, оличество различных расписаний равно 7!

P(2, 3, 2) = -----------------------2! ⋅ 3! ⋅ 2! = 210.

Ответ. 210 расписаний.

m

m

( k + m – 1 )!

(2)

П р и м е р 2. По k ящиам следует разместить R шаров. Сольими способами это можно сделать? (Считается, что вместимость ящиа достаточна для всех шаров.) Р е ш е н и е. Для удобства будем считать, что имеется k ящиов, в аждом из оторых число шаров может меняться от 0 до R. Тода, считая, что аждый ящи соответствует руппе однородных элементов, получим k различных рупп, из оторых производится выбора с повторениями, имеющая объем R. Различные способы размещения шаров соответствуют различным составам уазанной выбори, т. е. R

R

( R + k – 1 )!

C k = C R + k – 1 = ------------------------------R! ( k – 1 )! . 1. Сольо различных омбинаций був можно получить из був слова «МИССИСИПИ»?
2. Сольо различных наборов по 8 пирожных в аждом можно составить, используя 4 сорта пирожных?
3. Лифт с семью пассажирами останавливается на 10 этажах. На аждом этаже может выйти определенное число пассажиров (от нуля до семи). Сольими способами моут распределиться между этими остановами пассажиры, находящиеся в абине лифта? (Способы различаются тольо числом людей, вышедших на данном этаже.)
4. При ире в бридж между четырьмя ироами распределяется олода из 52 арт по 13 арт аждому ироу. Сольо существует различных способов раздать арты?
5. Бросают 12 иральных остей. Сольо существует способов, при оторых аждое из значений 2, 3, 4, 5, 6 выпадает дважды?
6. Имеются m белых и n черных шаров, причем m > n. Сольими способами можно разложить все шары в ряд та, чтобы ниаие два черных шара не лежали рядом? * Формулу (2) можно получить, если найти число перестаново с повторениями из m + k – 1 элементов, де m — число элементов исходной выбори, а k – 1 — число раниц, отделяющих руппы одинаовых элементов.

496

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений

497

§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений

Число различных составов выбори объема m, образованной из k рупп одинаовых элементов, выражается формулой*

Рассмотрим выбори, отдельные элементы оторых повторяются заданное число раз. Пусть выбора состоит из m элементов, среди оторых неоторый элемент (будем для определенности считать ео первым) повторяется n1 раз, друой (второй) — n2 раз, ..., k-й элемент повторяется nk раз. Очевидно, что

C k = C k + m – 1 = -------------------------------m! ( k – 1 )! .

n1 + n2 + ... + nk = m. Набор натуральных чисел (n1, ..., nk) будем называть составом выбор и. Состав выбори определяет, из сольих различных рупп элементов состоит выбора и сольо одинаовых элементов аждой руппы в ней присутствует. Та, например, выбора состава (1, 2, 4) состоит из трех рупп элементов, причем из первой руппы в выборе присутствует один элемент, из второй — два, а из третьей — четыре одинаовых элемента. Число различных выборо одноо состава называют числом перестаново из m элементов с заданным числом повторений n1, ..., nk. Оно находится по формуле m!

------------------------ . Pm(n1, ..., nk) = n 1 !...n k !

(1)

П р и м е р 1. Требуется составить расписание отправления поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы три дня отправлялись по два поезда в день, два дня — по одному поезду, два дня — по три поезда. Сольо можно составить различных расписаний? Р е ш е н и е. Количество поездов, отправляемых в день (числа 1, 2, 3) — это три руппы одинаовых элементов, из оторых должна быть составлена выбора. При этом в расписании на неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется 3 раза и число 3 повторяется 2 раза. Таим образом, оличество различных расписаний равно 7!

P(2, 3, 2) = -----------------------2! ⋅ 3! ⋅ 2! = 210.

Ответ. 210 расписаний.

m

m

( k + m – 1 )!

(2)

П р и м е р 2. По k ящиам следует разместить R шаров. Сольими способами это можно сделать? (Считается, что вместимость ящиа достаточна для всех шаров.) Р е ш е н и е. Для удобства будем считать, что имеется k ящиов, в аждом из оторых число шаров может меняться от 0 до R. Тода, считая, что аждый ящи соответствует руппе однородных элементов, получим k различных рупп, из оторых производится выбора с повторениями, имеющая объем R. Различные способы размещения шаров соответствуют различным составам уазанной выбори, т. е. R

R

( R + k – 1 )!

C k = C R + k – 1 = ------------------------------R! ( k – 1 )! . 1. Сольо различных омбинаций був можно получить из був слова «МИССИСИПИ»?
2. Сольо различных наборов по 8 пирожных в аждом можно составить, используя 4 сорта пирожных?
3. Лифт с семью пассажирами останавливается на 10 этажах. На аждом этаже может выйти определенное число пассажиров (от нуля до семи). Сольими способами моут распределиться между этими остановами пассажиры, находящиеся в абине лифта? (Способы различаются тольо числом людей, вышедших на данном этаже.)
4. При ире в бридж между четырьмя ироами распределяется олода из 52 арт по 13 арт аждому ироу. Сольо существует различных способов раздать арты?
5. Бросают 12 иральных остей. Сольо существует способов, при оторых аждое из значений 2, 3, 4, 5, 6 выпадает дважды?
6. Имеются m белых и n черных шаров, причем m > n. Сольими способами можно разложить все шары в ряд та, чтобы ниаие два черных шара не лежали рядом? * Формулу (2) можно получить, если найти число перестаново с повторениями из m + k – 1 элементов, де m — число элементов исходной выбори, а k – 1 — число раниц, отделяющих руппы одинаовых элементов.

498

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей


7. При бросании монеты будет считать успехом выпадение ерба и неудачей выпадение цифры. Сольо различных испытаний моло привести  52 успехам при 100 подбрасываниях монеты? (Испытанием считается серия опытов из 100 бросаний; два испытания считаются различными, если не совпадают результаты хотя бы двух бросаний.)
8. Два варианта онтрольной работы были выданы 12 учениам. Сольими способами можно посадить учениов в два ряда по 6 челове та, чтобы у сидящих рядом не было одинаовых вариантов, а у сидящих дру за друом был один и тот же вариант?
9. На нижной поле находятся нии по математие и лоие — всео 20 ни. Доажите, что наибольшее оличество вариантов омплета, содержащео 5 ни по математие и 5 ни по лоие, возможно в том случае, ода число ни на поле по аждому предмету равно 10.

§ 84. Бином Ньютона

499

 1  П р и м е р 1. Найти член разложения  x + -----4-  x  

10

, не со-

держащий x (т. е. содержащий x в нулевой степени). Р е ш е н и е. Соласно формуле общео члена (2), имеем k

 1  k Tk = C 10 x10 – k  -----4-  . x  По условию число k должно удовлетворять уравнению 10 – k – 4k = 0,

(*)

оторое имеет единственный орень k = 2. Таим образом, исомым является второй член разложения: 2

1 x

2

T2 = C 10 x8 -----8- = C 10 = 45. Ответ. 45. n

§ 84. Бином Ньютона Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по формуле (a + b)

n

0

1

П р и м е р 2. Найти шестой член разложения (y 1/2 + x 1/3 ) , если биномиальный оэффициент третьео от онца члена равен 45. Р е ш е н и е. Сначала найдем степень бинома. Соласно условию, число n удовлетворяет уравнению

2

= C n an + C n an – 1b + C n an – 2b2 + ... m

n

n

... + C n an – mbm + ... + C n b .

n–2

Cn (1)

Правую часть этой формулы называют разложением степени m

n!

оторое имеет орни n1 = 10, n2 = –9. Та а n2 = –9 не является натуральным числом, то степень бинома есть число n = 10. Следовательно, шестой член разложения запишется в виде

------------------------------ — биномиальными бинома, а оэффициенты C n = m! ( n – m )!

6

k

k = 0, 1, 2, ..., n.

Число всех слааемых разложения равно n + 1. * Используют таже формулу n ( n – 1 )... ( n – k + 1 ) k Tk = C n an – kbk = ----------------------------------------------------------- an – kbk. k!

(2)

4

T6 = C 10 (y1/2)4(x1/2)6 = C 10 y2x3 = 210y2x3.

оэффициентами. Общий вид слааемых в правой части формулы (1) обычно записывают следующим образом*: Tk = C n an – kbk,

n(n – 1)

2 - = 45, = C n = ---------------------2

Ответ. 210y2x3.
1. Найдите сумму биномиальных оэффициентов, если степень бинома равна 10. 2. Найдите номер члена разложения (x + x–2)12, не содержащео x.


n

3. Найдите член разложения бинома ( x + 4 x –3 ) , содержа-

щий x6,5, если девятый член разложения имеет наибольший оэффициент.

498

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей


7. При бросании монеты будет считать успехом выпадение ерба и неудачей выпадение цифры. Сольо различных испытаний моло привести  52 успехам при 100 подбрасываниях монеты? (Испытанием считается серия опытов из 100 бросаний; два испытания считаются различными, если не совпадают результаты хотя бы двух бросаний.)
8. Два варианта онтрольной работы были выданы 12 учениам. Сольими способами можно посадить учениов в два ряда по 6 челове та, чтобы у сидящих рядом не было одинаовых вариантов, а у сидящих дру за друом был один и тот же вариант?
9. На нижной поле находятся нии по математие и лоие — всео 20 ни. Доажите, что наибольшее оличество вариантов омплета, содержащео 5 ни по математие и 5 ни по лоие, возможно в том случае, ода число ни на поле по аждому предмету равно 10.

§ 84. Бином Ньютона

499

 1  П р и м е р 1. Найти член разложения  x + -----4-  x  

10

, не со-

держащий x (т. е. содержащий x в нулевой степени). Р е ш е н и е. Соласно формуле общео члена (2), имеем k

 1  k Tk = C 10 x10 – k  -----4-  . x  По условию число k должно удовлетворять уравнению 10 – k – 4k = 0,

(*)

оторое имеет единственный орень k = 2. Таим образом, исомым является второй член разложения: 2

1 x

2

T2 = C 10 x8 -----8- = C 10 = 45. Ответ. 45. n

§ 84. Бином Ньютона Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по формуле (a + b)

n

0

1

П р и м е р 2. Найти шестой член разложения (y 1/2 + x 1/3 ) , если биномиальный оэффициент третьео от онца члена равен 45. Р е ш е н и е. Сначала найдем степень бинома. Соласно условию, число n удовлетворяет уравнению

2

= C n an + C n an – 1b + C n an – 2b2 + ... m

n

n

... + C n an – mbm + ... + C n b .

n–2

Cn (1)

Правую часть этой формулы называют разложением степени m

n!

оторое имеет орни n1 = 10, n2 = –9. Та а n2 = –9 не является натуральным числом, то степень бинома есть число n = 10. Следовательно, шестой член разложения запишется в виде

------------------------------ — биномиальными бинома, а оэффициенты C n = m! ( n – m )!

6

k

k = 0, 1, 2, ..., n.

Число всех слааемых разложения равно n + 1. * Используют таже формулу n ( n – 1 )... ( n – k + 1 ) k Tk = C n an – kbk = ----------------------------------------------------------- an – kbk. k!

(2)

4

T6 = C 10 (y1/2)4(x1/2)6 = C 10 y2x3 = 210y2x3.

оэффициентами. Общий вид слааемых в правой части формулы (1) обычно записывают следующим образом*: Tk = C n an – kbk,

n(n – 1)

2 - = 45, = C n = ---------------------2

Ответ. 210y2x3.
1. Найдите сумму биномиальных оэффициентов, если степень бинома равна 10. 2. Найдите номер члена разложения (x + x–2)12, не содержащео x.


n

3. Найдите член разложения бинома ( x + 4 x –3 ) , содержа-

щий x6,5, если девятый член разложения имеет наибольший оэффициент.

500

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей 8

 x a  14. Найдите член разложения  --a- + -----2-  , оторый содерx   жит x2.
5. Доажите, что сумма всех оэффициентов разложения (2y – x)k при любом натуральном k равна 1. 16. Биномиальные оэффициенты второо и девятоо членов –3/2

разложения (5x не содержащий x.

–x

1/3 n

)

18. Найдите номер наибольшео члена разложения 1  100 9  -----+ -----. 10   10

9. Сумма биномиальных оэффициентов разложения равна

П р и м е р 3. В разложении бинома ( 3 3 + 2 )5 найти члены, не содержащие иррациональности. Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой общео члена разложения: k

 a b  11. В разложении бинома  a 5 --3- – -----------  7 3 a  

n

определите член,

содержащий a3, если сумма биномиальных оэффициентов членов, находящихся на нечетных местах, равна 2048. 12. Найдите наибольший член разложения ( 5 +  1  13. Третье слааемое разложения  2x + -----2-  x  

2 )20.

m

не содержит x.

При аих x это слааемое равно второму слааемому разложения (1 + x3)30?
14. При аих положительных значениях x наибольшим слааемым в разложении (5 + 3x)10 является четвертое?
15. Найдите x, при отором 50-й член разложения (x + y)100 имеет наибольшее значение, если известно, что x + y = 1, x > 0, y > 0.

5–k ------------3

k ---

22 . 5–k

- и Полученное выражение является рациональным, если -----------3 k --- — целые числа. Очевидно, что число k следует исать среди 2

четных чисел, меньших 5. Непосредственной проверой убеждаемся, что единственное значение, оторое оно может принимать, равно 2. Следовательно, в разложении бинома есть тольо один член, удовлетворяющий сформулированному условию:

n




k

Tk = C 5 ( 3 3 )5 – k( 2 )k = C 5 · 3

5⋅4

2 T2 = C 5 · 3 · 2 = 6 · ---------2 = 60.

1 1024. Найдите член разложения  x2 + ---  , содержащий x11.  x 
10. Доажите, что если степень бинома n — нечетное число, то сумма биномиальных оэффициентов членов, находящихся на четных местах, равна сумме биномиальных оэффициентов членов, находящихся на нечетных местах.

501

16. Найдите x, при отором k-й член разложения (x + y)n имеет наибольшее значение, если x + y = 1 и x > 0, y > 0.

равны. Найдите член разложения,

1 100  1 --- + ---   7. Найдите наибольший член разложения . 2   2




§ 84. Бином Ньютона

Ответ. 60. 17. В разложении ( 5 3 + 7 2 )24 найдите член, не содержащий иррациональности. 18. Сольо рациональных членов содержится в разложении ( 2 +

4

3 )100? 1  -  x + ----------24 x 

  19. В разложении бинома  

n

первые три оэф-

фициента образуют арифметичесую прорессию. Найдите все рациональные члены разложения.
20. Доажите, что 1

2

3

n

n

1 – C n + C n – C n + ... + (–1) C n = 0. 21. Сравнив оэффициенты при x в обеих частях равенства m

n

(1 + x) (1 + x) = (1 + x)

m+n

,

доажите, что k

0

k–1

Cn Cm + Cn

1

0

k

k

C m + ... + C n C m = C m + n .

500

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей 8

 x a  14. Найдите член разложения  --a- + -----2-  , оторый содерx   жит x2.
5. Доажите, что сумма всех оэффициентов разложения (2y – x)k при любом натуральном k равна 1. 16. Биномиальные оэффициенты второо и девятоо членов –3/2

разложения (5x не содержащий x.

–x

1/3 n

)

18. Найдите номер наибольшео члена разложения 1  100 9  -----+ -----. 10   10

9. Сумма биномиальных оэффициентов разложения равна

П р и м е р 3. В разложении бинома ( 3 3 + 2 )5 найти члены, не содержащие иррациональности. Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой общео члена разложения: k

 a b  11. В разложении бинома  a 5 --3- – -----------  7 3 a  

n

определите член,

содержащий a3, если сумма биномиальных оэффициентов членов, находящихся на нечетных местах, равна 2048. 12. Найдите наибольший член разложения ( 5 +  1  13. Третье слааемое разложения  2x + -----2-  x  

2 )20.

m

не содержит x.

При аих x это слааемое равно второму слааемому разложения (1 + x3)30?
14. При аих положительных значениях x наибольшим слааемым в разложении (5 + 3x)10 является четвертое?
15. Найдите x, при отором 50-й член разложения (x + y)100 имеет наибольшее значение, если известно, что x + y = 1, x > 0, y > 0.

5–k ------------3

k ---

22 . 5–k

- и Полученное выражение является рациональным, если -----------3 k --- — целые числа. Очевидно, что число k следует исать среди 2

четных чисел, меньших 5. Непосредственной проверой убеждаемся, что единственное значение, оторое оно может принимать, равно 2. Следовательно, в разложении бинома есть тольо один член, удовлетворяющий сформулированному условию:

n




k

Tk = C 5 ( 3 3 )5 – k( 2 )k = C 5 · 3

5⋅4

2 T2 = C 5 · 3 · 2 = 6 · ---------2 = 60.

1 1024. Найдите член разложения  x2 + ---  , содержащий x11.  x 
10. Доажите, что если степень бинома n — нечетное число, то сумма биномиальных оэффициентов членов, находящихся на четных местах, равна сумме биномиальных оэффициентов членов, находящихся на нечетных местах.

501

16. Найдите x, при отором k-й член разложения (x + y)n имеет наибольшее значение, если x + y = 1 и x > 0, y > 0.

равны. Найдите член разложения,

1 100  1 --- + ---   7. Найдите наибольший член разложения . 2   2




§ 84. Бином Ньютона

Ответ. 60. 17. В разложении ( 5 3 + 7 2 )24 найдите член, не содержащий иррациональности. 18. Сольо рациональных членов содержится в разложении ( 2 +

4

3 )100? 1  -  x + ----------24 x 

  19. В разложении бинома  

n

первые три оэф-

фициента образуют арифметичесую прорессию. Найдите все рациональные члены разложения.
20. Доажите, что 1

2

3

n

n

1 – C n + C n – C n + ... + (–1) C n = 0. 21. Сравнив оэффициенты при x в обеих частях равенства m

n

(1 + x) (1 + x) = (1 + x)

m+n

,

доажите, что k

0

k–1

Cn Cm + Cn

1

0

k

k

C m + ... + C n C m = C m + n .

502

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей 22. Воспользовавшись результатом упр. 21, доажите, что

сумма вадратов биномиальных оэффициентов равна


n C 2n

.

1 10 C 2n

+

2 102 C 2n

–

3 103 C 2n

1 102n – 1 C 2n

+ ... –

+

102n

1

=

81n.

n

(1 + x) , оторое справедливо при всех x.

0

1

n–1

n–1

. n

Р е ш е н и е. Дифференцируя разложение бинома для (1 + x) , имеем 1 n (x n + C n xn – 1 + ... + C n ) ′ = n–1

= nxn – 1 + (n – 1) C n xn – 2 + ... + C n

.

С друой стороны, справедливо равенство · n–1 n [(1 + x) ] ′ = n(1 + x) . Подставив в тождество n(1 + x)

n–1

1

n–1

= nxn – 1 + (n – 1) C n xn – 2 + ... + C n

значение x = 1, получим требуемое равенство: n· 2

n–1

0

1

n–1

= n C n + (n – 1) C n + ... + C n

.

24. Доажите, что 0

1

n–2

n(n – 1) C n + (n – 1) (n – 2) C n + ... + 2 C n

.

25. Доажите, что 0

1

2

n

Cn Cn Cn Cn 2 1 -------------- + ------- + ------------- + ... + ------- = --------------  2 n – ---  . n+1  2  n+1 n n–1 1

26. Доажите, что 0

1

2

3

n




n C n – (n – 1) C n + (n – 2) C n – (n – 3) C n + ... + (–1)

n–1

0,

n = 2l,

2 -------------- , n+1

n = 2l + 1.

28. Упростите выражение P1 + 2P2 + ... + nPn. 29. Доажите, что m

m

m

m+1

m+1

C n + C n – 1 + ... + C n – 10 = C n + 1 – C n – 10 . n

=n· 2

1

2

n

n

30. Доажите неравенство C 2n + x C 2n – x m ( C 2n )2.

П р и м е р 4. Доазать справедливость равенства n C n + (n – 1) C n + ... + C n




503

27. Доажите, что Cn ( –1 )n Cn Cn ------- – ------------- + ... – ---------------------- = n n–1 2

Неоторые формулы омбинатории можно получить, дифференцируя или интерируя обе части разложения бинома







23. Доажите справедливость равенства

1–




§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики

n–1

Cn

= 0.

§ 85. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики Пусть в лотерее, де разырывается 10 билетов, принимают участие несольо челове. На аждом билете записывают имя одноо из участниов, после чео все билеты тщательно перемешивают. Затем науад выбирают один билет, и тот, чье имя записано на билете, получает приз. Каовы шансы получить приз неоторому участниу лотереи? Если имя этоо участниа написано тольо на одном билете, то у нео один шанс из десяти, если на двух, то два из десяти, и т. д. Извлечение любоо билета с именем этоо участниа считается блаоприятным исходом. Число таих исходов, очевидно, совпадает с числом билетов, на оторых написано ео имя. Шансы данноо участниа на выирыш определяются долей блаоприятных исходов среди всех равновозможных исходов эсперимента. Чтобы найти эту долю, нужно число блаоприятных исходов разделить на число всех исходов эсперимента. При мнооратном проведении эсперимента ео результаты поазывают, что отношение числа исходов, при оторых данный участни выирывает,  числу всех исходов эсперимента оазывается близим  доле тех билетов, на оторых написано имя участниа, среди всех билетов, разырываемых в лотерее. Поэтому вероятностью выирыша естественно считать отношение числа блаоприятных исходов  числу всех возможных исходов эсперимента. Подойдем теперь  понятию вероятности более формально. Для этоо введем следующее определение: будем называть элементарным событием любой из равновозможных исходов

502

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей 22. Воспользовавшись результатом упр. 21, доажите, что

сумма вадратов биномиальных оэффициентов равна


n C 2n

.

1 10 C 2n

+

2 102 C 2n

–

3 103 C 2n

1 102n – 1 C 2n

+ ... –

+

102n

1

=

81n.

n

(1 + x) , оторое справедливо при всех x.

0

1

n–1

n–1

. n

Р е ш е н и е. Дифференцируя разложение бинома для (1 + x) , имеем 1 n (x n + C n xn – 1 + ... + C n ) ′ = n–1

= nxn – 1 + (n – 1) C n xn – 2 + ... + C n

.

С друой стороны, справедливо равенство · n–1 n [(1 + x) ] ′ = n(1 + x) . Подставив в тождество n(1 + x)

n–1

1

n–1

= nxn – 1 + (n – 1) C n xn – 2 + ... + C n

значение x = 1, получим требуемое равенство: n· 2

n–1

0

1

n–1

= n C n + (n – 1) C n + ... + C n

.

24. Доажите, что 0

1

n–2

n(n – 1) C n + (n – 1) (n – 2) C n + ... + 2 C n

.

25. Доажите, что 0

1

2

n

Cn Cn Cn Cn 2 1 -------------- + ------- + ------------- + ... + ------- = --------------  2 n – ---  . n+1  2  n+1 n n–1 1

26. Доажите, что 0

1

2

3

n




n C n – (n – 1) C n + (n – 2) C n – (n – 3) C n + ... + (–1)

n–1

0,

n = 2l,

2 -------------- , n+1

n = 2l + 1.

28. Упростите выражение P1 + 2P2 + ... + nPn. 29. Доажите, что m

m

m

m+1

m+1

C n + C n – 1 + ... + C n – 10 = C n + 1 – C n – 10 . n

=n· 2

1

2

n

n

30. Доажите неравенство C 2n + x C 2n – x m ( C 2n )2.

П р и м е р 4. Доазать справедливость равенства n C n + (n – 1) C n + ... + C n




503

27. Доажите, что Cn ( –1 )n Cn Cn ------- – ------------- + ... – ---------------------- = n n–1 2

Неоторые формулы омбинатории можно получить, дифференцируя или интерируя обе части разложения бинома







23. Доажите справедливость равенства

1–




§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики

n–1

Cn

= 0.

§ 85. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики Пусть в лотерее, де разырывается 10 билетов, принимают участие несольо челове. На аждом билете записывают имя одноо из участниов, после чео все билеты тщательно перемешивают. Затем науад выбирают один билет, и тот, чье имя записано на билете, получает приз. Каовы шансы получить приз неоторому участниу лотереи? Если имя этоо участниа написано тольо на одном билете, то у нео один шанс из десяти, если на двух, то два из десяти, и т. д. Извлечение любоо билета с именем этоо участниа считается блаоприятным исходом. Число таих исходов, очевидно, совпадает с числом билетов, на оторых написано ео имя. Шансы данноо участниа на выирыш определяются долей блаоприятных исходов среди всех равновозможных исходов эсперимента. Чтобы найти эту долю, нужно число блаоприятных исходов разделить на число всех исходов эсперимента. При мнооратном проведении эсперимента ео результаты поазывают, что отношение числа исходов, при оторых данный участни выирывает,  числу всех исходов эсперимента оазывается близим  доле тех билетов, на оторых написано имя участниа, среди всех билетов, разырываемых в лотерее. Поэтому вероятностью выирыша естественно считать отношение числа блаоприятных исходов  числу всех возможных исходов эсперимента. Подойдем теперь  понятию вероятности более формально. Для этоо введем следующее определение: будем называть элементарным событием любой из равновозможных исходов

504

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

эсперимента (в рассмотренном примере элементарным исходом является извлечение одноо из билетов). Множество всех равновозможных исходов назовем пространством элементарных событий, а аждое элементарное событие — точ ой этоо пространства (в рассмотренном примере пространство элементарных событий состоит из 10 точе). Совоупность элементарных событий, объединяющая все исходы, при оторых происходит событие A, называют множеством элементарных событий, блаоприятствющих событию B. Вероятностью события A называют отношение числа блаоприятствующих ему элементарных событий  числу всех возможных элементарных событий. Если число исходов, блаоприятствующих событию A, равно m, а число всех точе, составляющих пространство элементарных событий, равно n, то вероятность P(A) события A выразится дробью: m

P(A) = ---n .

(1)

В задачах, де число всех возможных элементарных событий является онечным, число элементарных событий, блаоприятствующих событию A, можно найти непосредственно. П р и м е р 1. В лассе, состоящем из 20 учениов, 15 челове занимаются в математичесом руже. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранный учени оажется членом математичесоо ружа? Р е ш е н и е. Пусть событие A состоит в том, что наудачу выбранный учени является членом математичесоо ружа. Тода число элементарных событий, блаоприятствующих событию A, равно 15. Число всех элементарных событий в данном случае равно 20. Следовательно, исомая вероятность равна 15

3

--P(A) = -----20 = 4 . 3

Ответ. --4- . П р и м е р 2. Бросают две иральные ости. Каое событие более вероятно: сумма очов на выпавших ранях равна 11 или сумма очов на выпавших ранях равна 4? Р е ш е н и е. Поставим в соответствие исходу эсперимента упорядоченную пару чисел (x; y), де x означает число очов, выпавших на первой ости, а y — на второй. Тода пространство всех элементарных событий состоит их множества пар (x; y),

§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики

505

де x и y принимают значения от 1 до 6. Число таих пар равно 36. Событию A, состоящему в том, что сумма очов, выпавших на двух остях, равна 11, блаоприятствуют два элементарных события, оторым соответствуют пары (6; 5) и (5; 6). Событию B, состоящему в том, что сумма очов, выпавших на двух остях, равна 4, блаоприятствуют три элементарных события, оторым соответствуют пары (1; 3), (3; 1), (2; 2). Вероятности событий A и B равны соответственно 2

1

-----P(A) = -----36 = 18

и

3

1

-----P(B) = -----36 = 12 ,

и, следовательно, событие B более вероятно. Ответ. Второе событие более вероятно. 11. Каова вероятность тоо, что наудачу вырванный листо из новоо алендаря соответствует первому числу месяца? (Год считается не висоосным.) 12. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное число от 1 до 12 оажется делителем числа 12? (Единица считается делителем любоо числа.)
3. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное двузначное число делится на 3? 14. Найдите вероятность тоо, что наудачу выбранный член последовательности un = n2 + 1 (n = 1, 2, ..., 10) делится на 5. 15. В урне находятся 10 белых шаров и 3 расных. Каова вероятность извлечь из урны расный шар?  6. Монету бросают три раза. Каое из событий более вероятно: событие A — все три раза выпала цифра, или событие B — два раза выпала цифра и один раз ерб? Найдите вероятности этих событий. 17. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо, что сумма очов на выпавших ранях равна 7? 18. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо, что сумма очов на выпавших ранях четная? 19. При перевозе 100 деталей, из оторых 10 были забраованы, утеряна одна стандартная деталь. Найдите вероятность тоо, что наудачу извлеченная деталь оазалась стандартной. 10. В условиях упр. 9 найдите вероятность тоо, что наудачу извлеченная деталь оазалась браованной.
11. В семье трое детей. Каова вероятность тоо, что все они мальчии? (Предполаается, что вероятности рождения мальчиа и девочи одинаовы.)

504

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

эсперимента (в рассмотренном примере элементарным исходом является извлечение одноо из билетов). Множество всех равновозможных исходов назовем пространством элементарных событий, а аждое элементарное событие — точ ой этоо пространства (в рассмотренном примере пространство элементарных событий состоит из 10 точе). Совоупность элементарных событий, объединяющая все исходы, при оторых происходит событие A, называют множеством элементарных событий, блаоприятствющих событию B. Вероятностью события A называют отношение числа блаоприятствующих ему элементарных событий  числу всех возможных элементарных событий. Если число исходов, блаоприятствующих событию A, равно m, а число всех точе, составляющих пространство элементарных событий, равно n, то вероятность P(A) события A выразится дробью: m

P(A) = ---n .

(1)

В задачах, де число всех возможных элементарных событий является онечным, число элементарных событий, блаоприятствующих событию A, можно найти непосредственно. П р и м е р 1. В лассе, состоящем из 20 учениов, 15 челове занимаются в математичесом руже. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранный учени оажется членом математичесоо ружа? Р е ш е н и е. Пусть событие A состоит в том, что наудачу выбранный учени является членом математичесоо ружа. Тода число элементарных событий, блаоприятствующих событию A, равно 15. Число всех элементарных событий в данном случае равно 20. Следовательно, исомая вероятность равна 15

3

--P(A) = -----20 = 4 . 3

Ответ. --4- . П р и м е р 2. Бросают две иральные ости. Каое событие более вероятно: сумма очов на выпавших ранях равна 11 или сумма очов на выпавших ранях равна 4? Р е ш е н и е. Поставим в соответствие исходу эсперимента упорядоченную пару чисел (x; y), де x означает число очов, выпавших на первой ости, а y — на второй. Тода пространство всех элементарных событий состоит их множества пар (x; y),

§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики

505

де x и y принимают значения от 1 до 6. Число таих пар равно 36. Событию A, состоящему в том, что сумма очов, выпавших на двух остях, равна 11, блаоприятствуют два элементарных события, оторым соответствуют пары (6; 5) и (5; 6). Событию B, состоящему в том, что сумма очов, выпавших на двух остях, равна 4, блаоприятствуют три элементарных события, оторым соответствуют пары (1; 3), (3; 1), (2; 2). Вероятности событий A и B равны соответственно 2

1

-----P(A) = -----36 = 18

и

3

1

-----P(B) = -----36 = 12 ,

и, следовательно, событие B более вероятно. Ответ. Второе событие более вероятно. 11. Каова вероятность тоо, что наудачу вырванный листо из новоо алендаря соответствует первому числу месяца? (Год считается не висоосным.) 12. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное число от 1 до 12 оажется делителем числа 12? (Единица считается делителем любоо числа.)
3. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное двузначное число делится на 3? 14. Найдите вероятность тоо, что наудачу выбранный член последовательности un = n2 + 1 (n = 1, 2, ..., 10) делится на 5. 15. В урне находятся 10 белых шаров и 3 расных. Каова вероятность извлечь из урны расный шар?  6. Монету бросают три раза. Каое из событий более вероятно: событие A — все три раза выпала цифра, или событие B — два раза выпала цифра и один раз ерб? Найдите вероятности этих событий. 17. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо, что сумма очов на выпавших ранях равна 7? 18. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо, что сумма очов на выпавших ранях четная? 19. При перевозе 100 деталей, из оторых 10 были забраованы, утеряна одна стандартная деталь. Найдите вероятность тоо, что наудачу извлеченная деталь оазалась стандартной. 10. В условиях упр. 9 найдите вероятность тоо, что наудачу извлеченная деталь оазалась браованной.
11. В семье трое детей. Каова вероятность тоо, что все они мальчии? (Предполаается, что вероятности рождения мальчиа и девочи одинаовы.)

506

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

В неоторых случаях для непосредственноо подсчета вероятности события A удобно использовать формулы омбинатории. П р и м е р 3. Найти вероятность тоо, что все учащиеся в руппе, состоящей из 40 челове, родились в разные дни ода. Р е ш е н и е. Все возможные исходы эсперимента представляются различными выборами, содержащими по 40 элементов из исходноо множества объема 365. При этом выбора может содержать одинаовые элементы (та а любой день может быть днем рождения несольих челове). Следовательно, пространство элементарных событий содержит 40365 различных выборо. Блаоприятным событиям будут соответствовать 40

выбори, не содержащие одинаовых элементов. Имеется A 365 A

40

365 таих выборо. Ита, исомая вероятность равна P(A) = -------------365 .

40

При выполнении упр. 12—17 используйте формулы числа размещений, сочетаний, перестаново. 12. В урне находятся n белых и m расных шаров. Каова вероятность тоо, что наудачу взятые два шара оажутся расными? 13. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры и, помня тольо, что они различны, набрал их наудачу. Каова вероятность, что он набрал нужные цифры? 14. К онцу дня в маазине осталось 60 арбузов, из оторых 50 спелых. Поупатель выбирает два арбуза. Каова вероятность тоо, что они оба спелые? 15. В урне находятся n белых, m черных, k расных шаров. Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что все они разноо цвета? 16. В эзаменационный билет входят 4 вопроса прораммы, насчитывающей 45 вопросов. Абитуриент не знает 15 вопросов прораммы. Каова вероятность тоо, что он вытянет билет, де все вопросы ему известны? 17. На арточах написаны целые числа от 1 до 15. Наудачу извлеают две арточи. Каова вероятность тоо, что сумма цифр, написанных на этих арточах, будет равна 10? При выполнении упр. 18—22 используйте формулу числа перестаново с заданным числом повторений.
18. Каова вероятность тоо, что при случайном расположении в ряд убиов, на оторых написаны бувы «а», «а», «а», «н», «н», «с», получится слово «ананас»?

§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики

507

19. На один ряд, состоящий из 7 мест, случайным образом садятся семь учениов. Найдите вероятность тоо, что три определенных учениа оажутся рядом. 20. На нижной поле случайным образом расставлены 4 нии по алебре и 3 по еометрии. Каова вероятность тоо, что нии по аждому предмету стоят рядом?
21. Найдите вероятность тоо, что при ире в бридж (четырем ироам из олоды в 52 арты раздаются по 13 арт) аждый иро получит по одному тузу. 22. Известно, что при 10-ратном бросании монеты 5 раз выпали ербы и 5 раз цифры. Каова вероятность тоо, что все ербы выпали при первых пяти бросаниях? П р и м е р 4. Из 15 строительных рабочих 10 — штуатуры, а 5 — маляры. Наудачу отбирают бриаду из 5 рабочих. Каова вероятность тоо, что среди них будет 3 маляра и 2 штуатура? Р е ш е н и е. Пространство элементарных событий содержит все выбори различноо состава, объем оторых равен 5, из множества, имеющео объем 15. Число таих выборо рав5

но C 15 . Блаоприятным событиям соответствуют выбори, содержащие трех маляров и двух штуатуров. Трех маляров из 3

пяти можно выбрать C 5 способами, а двух штуатуров (неза2

висимо от предыдущео выбора) C 10 способами. Следовательно, число выборо, соответствующих блаопри3

2

ятным событиям, равно произведению C 5 C 10 . Ита, исомая 3

C C

2

5 10 -. вероятность определяется выражением P(A) = --------------5

C 15

3

C C

2

5 10 -. Ответ. --------------5

C 15

В общем случае вероятность получить выбору объема k + r, де k элементов принадлежат одной руппе, состоящей из n элементов, а r — друой, состоящей из m элементов, определяется формулой k

C C

r

n m P(A) = --------------k+r .

Cm + n

(2)

506

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

В неоторых случаях для непосредственноо подсчета вероятности события A удобно использовать формулы омбинатории. П р и м е р 3. Найти вероятность тоо, что все учащиеся в руппе, состоящей из 40 челове, родились в разные дни ода. Р е ш е н и е. Все возможные исходы эсперимента представляются различными выборами, содержащими по 40 элементов из исходноо множества объема 365. При этом выбора может содержать одинаовые элементы (та а любой день может быть днем рождения несольих челове). Следовательно, пространство элементарных событий содержит 40365 различных выборо. Блаоприятным событиям будут соответствовать 40

выбори, не содержащие одинаовых элементов. Имеется A 365 A

40

365 таих выборо. Ита, исомая вероятность равна P(A) = -------------365 .

40

При выполнении упр. 12—17 используйте формулы числа размещений, сочетаний, перестаново. 12. В урне находятся n белых и m расных шаров. Каова вероятность тоо, что наудачу взятые два шара оажутся расными? 13. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры и, помня тольо, что они различны, набрал их наудачу. Каова вероятность, что он набрал нужные цифры? 14. К онцу дня в маазине осталось 60 арбузов, из оторых 50 спелых. Поупатель выбирает два арбуза. Каова вероятность тоо, что они оба спелые? 15. В урне находятся n белых, m черных, k расных шаров. Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что все они разноо цвета? 16. В эзаменационный билет входят 4 вопроса прораммы, насчитывающей 45 вопросов. Абитуриент не знает 15 вопросов прораммы. Каова вероятность тоо, что он вытянет билет, де все вопросы ему известны? 17. На арточах написаны целые числа от 1 до 15. Наудачу извлеают две арточи. Каова вероятность тоо, что сумма цифр, написанных на этих арточах, будет равна 10? При выполнении упр. 18—22 используйте формулу числа перестаново с заданным числом повторений.
18. Каова вероятность тоо, что при случайном расположении в ряд убиов, на оторых написаны бувы «а», «а», «а», «н», «н», «с», получится слово «ананас»?

§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики

507

19. На один ряд, состоящий из 7 мест, случайным образом садятся семь учениов. Найдите вероятность тоо, что три определенных учениа оажутся рядом. 20. На нижной поле случайным образом расставлены 4 нии по алебре и 3 по еометрии. Каова вероятность тоо, что нии по аждому предмету стоят рядом?
21. Найдите вероятность тоо, что при ире в бридж (четырем ироам из олоды в 52 арты раздаются по 13 арт) аждый иро получит по одному тузу. 22. Известно, что при 10-ратном бросании монеты 5 раз выпали ербы и 5 раз цифры. Каова вероятность тоо, что все ербы выпали при первых пяти бросаниях? П р и м е р 4. Из 15 строительных рабочих 10 — штуатуры, а 5 — маляры. Наудачу отбирают бриаду из 5 рабочих. Каова вероятность тоо, что среди них будет 3 маляра и 2 штуатура? Р е ш е н и е. Пространство элементарных событий содержит все выбори различноо состава, объем оторых равен 5, из множества, имеющео объем 15. Число таих выборо рав5

но C 15 . Блаоприятным событиям соответствуют выбори, содержащие трех маляров и двух штуатуров. Трех маляров из 3

пяти можно выбрать C 5 способами, а двух штуатуров (неза2

висимо от предыдущео выбора) C 10 способами. Следовательно, число выборо, соответствующих блаопри3

2

ятным событиям, равно произведению C 5 C 10 . Ита, исомая 3

C C

2

5 10 -. вероятность определяется выражением P(A) = --------------5

C 15

3

C C

2

5 10 -. Ответ. --------------5

C 15

В общем случае вероятность получить выбору объема k + r, де k элементов принадлежат одной руппе, состоящей из n элементов, а r — друой, состоящей из m элементов, определяется формулой k

C C

r

n m P(A) = --------------k+r .

Cm + n

(2)

508

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей При выполнении упр. 23—28 используйте формулу (2).

23. В ящие имеются 15 деталей, 5 из оторых орашены. Наудачу извлеают 5 деталей. Найдите вероятность тоо, что 4 из них орашены, а одна — нет. 24. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отбирают m деталей. Найдите вероятность тоо, что среди отобранных деталей k являются стандартными. 25. Каова вероятность лавноо выирыша в «Спортлото» (уадать 6 номеров из 49)? Каова вероятность уадать 5; 4; 3 номера из 49? 26. Из олоды в 52 арты выбраны 6 арт. Каова вероятность выбора: а) одноо туза; б) туза и ороля? 27. Имеются 6 билетов в театр, их них 4 билета на места в первом ряду. Каова вероятность тоо, что из трех наудачу выбранных билетов два оажутся на места в первом ряду? 28. В соревнованиях по футболу участвуют 20 оманд. Случайным образом они делятся на две руппы по 10 оманд. Каова вероятность тоо, что две наиболее сильные оманды при этом оажутся в одной руппе?

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами Существуют задачи, в оторых непосредственный подсчет элементарных событий, основанный на их равновозможности и онечности их числа, неприоден. Рассмотрим пример. Пусть линия элетропередач, соединяющая пунты A и B, в результате бури оборвалась. Каова вероятность тоо, что обрыв произошел на участе, залюченном между пунтами C и D, принадлежащими отрезу AB? Множество элементарных событий в данном случае бесонечно, та а обрыв равновозможен в любой точе отреза AB. При этом естественно предполаать, что вероятность обрыва на любом участе пропорциональна длине этоо участа. Та а вероятность обрыва на всем участе равна единице (обрыв уже произошел), то вероятность обрыва на участе CD выразится следующим отношением: CD

P(A) = -------AB .

Пусть исходы испытания, число оторых бесонечно, распределены равномерно в неоторой области S. Это значит, что

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами

509

вероятность события E, состоящео в том, что исход испытания оазался залюченным в неоторой части области S, пропорционален величине этой части и не зависит от ее расположения и формы. Таим образом, m(s)

P(E) = ------------m ( S) ,

(1)

де P(E) — вероятность события, залючающеося в том, что наудачу выбранная точа из области S оажется в области s, а m(s) и m(S) — величины соответствующих областей. П р и м е р 1. Абонент ждет телефонноо вызова в течение 1 ч. Каова вероятность, что вызов произойдет в последние 20 мин этоо часа? Р е ш е н и е. Пусть событие E состоит в том, что вызов произошел в последние 20 мин. Изобразим пространство элементарных событий в виде отреза, имеющео длину 60. Тода элементарные события, блаоприятствующие E, залючены в по1

следней трети отреза. Следовательно, P(A) = --3- . 1

Ответ. --3- . 1. Минное поле зараждения устроено та, что мины поставлены вдоль неоторой прямой с интервалами 100 м между ними. Каова вероятность тоо, что орабль шириной 20 м, проходящий минное поле зараждения под прямым улом, подорвется на мине? 2. В ру радиуса R помещен меньший ру радиуса r. Найдите вероятность тоо, что наудачу брошенная в большой ру точа попадет таже и в меньший ру. (Предполаается, что вероятность попадания в ру пропорциональна площади руа и не зависит от ео расположения.) Если случайное событие, вероятность отороо следует найти, состоит в попадании точи в неоторую часть плосой фиуры и при этом раницы фиуры и ее части являются рафиами известных фунций, то вычисление площадей, входящих в выражение (1), сводится  вычислению определенных интералов. П р и м е р 2. Наудачу выбирают два действительных числа x и y, причем 0 m x m 1, 0 m y m 1. Найти вероятность тоо, что y2 m x.

508

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей При выполнении упр. 23—28 используйте формулу (2).

23. В ящие имеются 15 деталей, 5 из оторых орашены. Наудачу извлеают 5 деталей. Найдите вероятность тоо, что 4 из них орашены, а одна — нет. 24. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отбирают m деталей. Найдите вероятность тоо, что среди отобранных деталей k являются стандартными. 25. Каова вероятность лавноо выирыша в «Спортлото» (уадать 6 номеров из 49)? Каова вероятность уадать 5; 4; 3 номера из 49? 26. Из олоды в 52 арты выбраны 6 арт. Каова вероятность выбора: а) одноо туза; б) туза и ороля? 27. Имеются 6 билетов в театр, их них 4 билета на места в первом ряду. Каова вероятность тоо, что из трех наудачу выбранных билетов два оажутся на места в первом ряду? 28. В соревнованиях по футболу участвуют 20 оманд. Случайным образом они делятся на две руппы по 10 оманд. Каова вероятность тоо, что две наиболее сильные оманды при этом оажутся в одной руппе?

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами Существуют задачи, в оторых непосредственный подсчет элементарных событий, основанный на их равновозможности и онечности их числа, неприоден. Рассмотрим пример. Пусть линия элетропередач, соединяющая пунты A и B, в результате бури оборвалась. Каова вероятность тоо, что обрыв произошел на участе, залюченном между пунтами C и D, принадлежащими отрезу AB? Множество элементарных событий в данном случае бесонечно, та а обрыв равновозможен в любой точе отреза AB. При этом естественно предполаать, что вероятность обрыва на любом участе пропорциональна длине этоо участа. Та а вероятность обрыва на всем участе равна единице (обрыв уже произошел), то вероятность обрыва на участе CD выразится следующим отношением: CD

P(A) = -------AB .

Пусть исходы испытания, число оторых бесонечно, распределены равномерно в неоторой области S. Это значит, что

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами

509

вероятность события E, состоящео в том, что исход испытания оазался залюченным в неоторой части области S, пропорционален величине этой части и не зависит от ее расположения и формы. Таим образом, m(s)

P(E) = ------------m ( S) ,

(1)

де P(E) — вероятность события, залючающеося в том, что наудачу выбранная точа из области S оажется в области s, а m(s) и m(S) — величины соответствующих областей. П р и м е р 1. Абонент ждет телефонноо вызова в течение 1 ч. Каова вероятность, что вызов произойдет в последние 20 мин этоо часа? Р е ш е н и е. Пусть событие E состоит в том, что вызов произошел в последние 20 мин. Изобразим пространство элементарных событий в виде отреза, имеющео длину 60. Тода элементарные события, блаоприятствующие E, залючены в по1

следней трети отреза. Следовательно, P(A) = --3- . 1

Ответ. --3- . 1. Минное поле зараждения устроено та, что мины поставлены вдоль неоторой прямой с интервалами 100 м между ними. Каова вероятность тоо, что орабль шириной 20 м, проходящий минное поле зараждения под прямым улом, подорвется на мине? 2. В ру радиуса R помещен меньший ру радиуса r. Найдите вероятность тоо, что наудачу брошенная в большой ру точа попадет таже и в меньший ру. (Предполаается, что вероятность попадания в ру пропорциональна площади руа и не зависит от ео расположения.) Если случайное событие, вероятность отороо следует найти, состоит в попадании точи в неоторую часть плосой фиуры и при этом раницы фиуры и ее части являются рафиами известных фунций, то вычисление площадей, входящих в выражение (1), сводится  вычислению определенных интералов. П р и м е р 2. Наудачу выбирают два действительных числа x и y, причем 0 m x m 1, 0 m y m 1. Найти вероятность тоо, что y2 m x.

510

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

Р е ш е н и е. Поставим в соответствие паре чисел x и y точу плосости с оординатами (x; y). Пространство элементарных событий представляет собой вадрат, двумя сторонами отороо являются единичные отрези осей оординат. Фиура, множество точе оторой соответствует исходам, блаоприятствующим событию y2 m x, ораничена рафиами фунций y = 0, x = 1, y2 = x. Ее площадь вычисляется с помощью определенноо интерала: 1

S=

∫

0

2

x dx = --3- x3/2

1 0

2

= --3- .

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами

10. Пусть на отрезе [0; 1] задана таая фунция f(x), что f ′(x) > 0 при x Ý [0; 1], причем f(0) = 0, f(1) = 1. Доажите, что при бросании точи в вадрат, сторонами отороо являются промежуто [0; 1] оси Ox и промежуто [0; 1] оси Oy, наибольшая вероятность попасть в область, ораниченную линиями y = f(x), y = f(a), y = 0, y = 1, достиается при a = 0,5.


π

11. Область ораничена линиями x = 0, x = --2- , y = sin x,

y = sin a. Точу бросают в прямоуольни, сторонами отороо являются промежуто

Та а площадь единичноо вадрата равна единице, то 2 P(A) = --3- .

511

π

0; --2-

оси Ox и промежуто [0; 1] оси

Oy. При аом значении a вероятность попадания точи в заданную область наименьшая? При решении ряда задач еометричесим методом удобно предварительно ввести прямоуольную деартову систему оординат.

2 Ответ. --3- .

3. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та, x что |x| m 3, |y| m 5. Каова вероятность тоо, что дробь --y- оа-

жется положительной? 4. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та, что |x| m 1, 0 m y m 1. Каова вероятность тоо, что x2 < y? 5. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та, что |x| m 1 и |y| m 1. Каова вероятность тоо, что |x| < |y|?
6. Наудачу взяты два положительных числа x и y, аждое из оторых не превосходит 2. Найдите вероятность тоо, что xy m 1, y

а --x- m 2.
7. Наудачу взяты два положительных числа x и y, не превышающие 1. Каова вероятность тоо, что их сумма не превосхо-

1

дит 1, если сумма их вадратов больше --4- ?
8. Парабола асается нижней стороны вадрата и проходит через вершины ео верхней стороны. Каова вероятность тоо, что точа, наудачу брошенная в вадрат, попадет в область, залюченную между верхней стороной вадрата и параболой? 9. Парабола асается полуруа и проходит через раницы ео диаметра. Каова вероятность тоо, что точа, наудачу брошенная в полуру, попадет в область, ораниченную дуой полуруа и параболой?

П р и м е р 3. Два друа дооворились о встрече в определенном месте между 11 и 12 ч дня. Пришедший первым ждет 1

второо в течение --4- ч, после чео уходит. Найти вероятность тоо, что встреча состоится, если аждый придет в произвольный момент между 11 и 12 ч. Р е ш е н и е. Та а момент прихода аждоо из друзей случаен, то, выбрав отрезо единичной длины, поставим в соответствие моменту прихода первоо друа произвольную случайно выбранную точу этоо отреза, а моменту прихода второо друа — случайно выбранную точу второо отреза единичной длины. Отложим эти отрези на осях оординат: первый — на оси Ox, второй — на оси Oy. Тода пространством элементарных событий является вадрат единичной площади, вписанный в первую четверть оординатной плосости, причем оординаты аждой точи (x; y) этоо вадрата представляют собой моменты времени прихода друзей. Элементарные события (x; y), блаоприятствующие событию, состоящему в том, что друзья встретятся, должны удовлетворять условию 1

|x – y| m --4- .

(*)

Геометричеси исомому событию соответствует пересечение полосы (*) и единичноо вадрата, состоящео из точе, оор-

510

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

Р е ш е н и е. Поставим в соответствие паре чисел x и y точу плосости с оординатами (x; y). Пространство элементарных событий представляет собой вадрат, двумя сторонами отороо являются единичные отрези осей оординат. Фиура, множество точе оторой соответствует исходам, блаоприятствующим событию y2 m x, ораничена рафиами фунций y = 0, x = 1, y2 = x. Ее площадь вычисляется с помощью определенноо интерала: 1

S=

∫

0

2

x dx = --3- x3/2

1 0

2

= --3- .

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами

10. Пусть на отрезе [0; 1] задана таая фунция f(x), что f ′(x) > 0 при x Ý [0; 1], причем f(0) = 0, f(1) = 1. Доажите, что при бросании точи в вадрат, сторонами отороо являются промежуто [0; 1] оси Ox и промежуто [0; 1] оси Oy, наибольшая вероятность попасть в область, ораниченную линиями y = f(x), y = f(a), y = 0, y = 1, достиается при a = 0,5.


π

11. Область ораничена линиями x = 0, x = --2- , y = sin x,

y = sin a. Точу бросают в прямоуольни, сторонами отороо являются промежуто

Та а площадь единичноо вадрата равна единице, то 2 P(A) = --3- .

511

π

0; --2-

оси Ox и промежуто [0; 1] оси

Oy. При аом значении a вероятность попадания точи в заданную область наименьшая? При решении ряда задач еометричесим методом удобно предварительно ввести прямоуольную деартову систему оординат.

2 Ответ. --3- .

3. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та, x что |x| m 3, |y| m 5. Каова вероятность тоо, что дробь --y- оа-

жется положительной? 4. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та, что |x| m 1, 0 m y m 1. Каова вероятность тоо, что x2 < y? 5. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та, что |x| m 1 и |y| m 1. Каова вероятность тоо, что |x| < |y|?
6. Наудачу взяты два положительных числа x и y, аждое из оторых не превосходит 2. Найдите вероятность тоо, что xy m 1, y

а --x- m 2.
7. Наудачу взяты два положительных числа x и y, не превышающие 1. Каова вероятность тоо, что их сумма не превосхо-

1

дит 1, если сумма их вадратов больше --4- ?
8. Парабола асается нижней стороны вадрата и проходит через вершины ео верхней стороны. Каова вероятность тоо, что точа, наудачу брошенная в вадрат, попадет в область, залюченную между верхней стороной вадрата и параболой? 9. Парабола асается полуруа и проходит через раницы ео диаметра. Каова вероятность тоо, что точа, наудачу брошенная в полуру, попадет в область, ораниченную дуой полуруа и параболой?

П р и м е р 3. Два друа дооворились о встрече в определенном месте между 11 и 12 ч дня. Пришедший первым ждет 1

второо в течение --4- ч, после чео уходит. Найти вероятность тоо, что встреча состоится, если аждый придет в произвольный момент между 11 и 12 ч. Р е ш е н и е. Та а момент прихода аждоо из друзей случаен, то, выбрав отрезо единичной длины, поставим в соответствие моменту прихода первоо друа произвольную случайно выбранную точу этоо отреза, а моменту прихода второо друа — случайно выбранную точу второо отреза единичной длины. Отложим эти отрези на осях оординат: первый — на оси Ox, второй — на оси Oy. Тода пространством элементарных событий является вадрат единичной площади, вписанный в первую четверть оординатной плосости, причем оординаты аждой точи (x; y) этоо вадрата представляют собой моменты времени прихода друзей. Элементарные события (x; y), блаоприятствующие событию, состоящему в том, что друзья встретятся, должны удовлетворять условию 1

|x – y| m --4- .

(*)

Геометричеси исомому событию соответствует пересечение полосы (*) и единичноо вадрата, состоящео из точе, оор-

512

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

динаты (x; y) оторых удовлетворяют неравенствам 0 m x m 1 и 0 m y m 1. Площадь фиуры, полученной в результате пересечения множества (*) и вадрата, равна исомой вероятности, та а площадь единичноо вадрата равна единице. 7

Ответ. -----16 . 12. В течение 20 мин учени A в случайный момент звонит по телефону учениу B и ждет 2 мин, после чео ладет трубу. В течение тех же 20 мин в случайный момент времени учени B приходит домой, де ждет 5 мин, после чео уходит. Каова вероятность тоо, что разовор состоится?
13. На единичный отрезо оси абсцисс наудачу бросают две точи B и C. Найдите вероятность тоо, что длина отреза BC оажется меньше, чем расстояние от начала оординат до ближайшей точи. 14. Нето живет в ороде B, соединенном железной дороой с ородами A и C. Между ородами A и C урсируют поезда, оторые останавливаются в ороде B. Расписание составлено та, что поезда аждоо направления проходят через ород B с интервалами в 1 ч. Нето приходит на возал в случайный момент времени и садится на первый подошедший поезд. Ка должно быть составлено расписание, чтобы вероятность уехать в ород A была в 5 раз больше, чем вероятность уехать в ород C?
15. Плосость разрафлена параллельными прямыми, отстоящими дру от друа на расстояние 2a. На плосость наудачу бросают илу длиной 2l (l < a). Найдите вероятность тоо, что ила пересечет аую-нибудь прямую (задача Бюффона).

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий События подразделяют на достоверные, невозможные и случайные: достоверные в результате опыта происходят вседа; невозможные не происходят ниода; слчайные моут либо произойти, либо нет. Достоверным является, например, событие, состоящее в том, что из урны, содержащей тольо белые шары, вынимают белый шар, а невозможным — событие, состоящее в том, что белый шар вынимают из урны, содержащей тольо черные шары. Если в урне имеются и белые, и черные шары, то извлечение шара аоо-либо определенноо цвета является случайным событием.

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

513

Достоверное событие совпадает со всем пространством элементарных событий Ω, а случайное событие A является неоторым подмножеством в этом пространстве. Невозможное событие ¾ не содержит ни одноо элементарноо события. Сммой двх событий A и B называют событие C, состоящее в том, что произошло или событие A, или событие B. Сумму двух событий обозначают та: C = A + B.

(1)

Поясним понятие суммы двух событий на следующем примере. Пусть мальчи упил билеты двух лотерей: «Спринт» и «Старт». Рассмотрим случайное событие C, состоящее в том, что мальчи выирает хотя бы в одной лотерее. Наступление этоо события связано с наступлением хотя бы одноо из следующих событий: событие A — среди билетов, упленных мальчиом, есть выирышные билеты лотереи «Спринт»; событие B — есть выирышные билеты лотереи «Старт». Произведением двх событий A и B называют событие C, состоящее в том, что произошли оба эти события. Произведение двух событий обозначают та: C = AB.

(2)

События A и B называют несовместными, если их произведение представляет собой невозможное событие: AB = ¾. Поясним понятие произведения двух событий на следующем примере. Во время испытаний среди машин, потерпевших аварию, имеются «Жиули» и «Воли». Часть машин при аварии перевернулась. Событие A, состоящее в том, что наудачу выбранная неперевернувшаяся автомашина есть «Вола», представляет собой произведение двух событий: B — машина не перевернулась и C — машина является «Волой», т. е. A = BC. Определение вероятности сложноо события A, являющеося омбинацией более простых событий A1, ..., Ak, вероятности оторых известны, основано на формулах сложения и умножения вероятностей. Формла сложения вероятностей. Проведем эсперимент, связанный с бросанием двух иральных остей, и вычислим вероятность события C, состоящео в том, что сумма очов на выпавших ранях не превосходит числа 3. Пространство элементарных событий, возниающих в результате этоо эсперимента, можно представить упорядоченными парами целых чисел,

512

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

динаты (x; y) оторых удовлетворяют неравенствам 0 m x m 1 и 0 m y m 1. Площадь фиуры, полученной в результате пересечения множества (*) и вадрата, равна исомой вероятности, та а площадь единичноо вадрата равна единице. 7

Ответ. -----16 . 12. В течение 20 мин учени A в случайный момент звонит по телефону учениу B и ждет 2 мин, после чео ладет трубу. В течение тех же 20 мин в случайный момент времени учени B приходит домой, де ждет 5 мин, после чео уходит. Каова вероятность тоо, что разовор состоится?
13. На единичный отрезо оси абсцисс наудачу бросают две точи B и C. Найдите вероятность тоо, что длина отреза BC оажется меньше, чем расстояние от начала оординат до ближайшей точи. 14. Нето живет в ороде B, соединенном железной дороой с ородами A и C. Между ородами A и C урсируют поезда, оторые останавливаются в ороде B. Расписание составлено та, что поезда аждоо направления проходят через ород B с интервалами в 1 ч. Нето приходит на возал в случайный момент времени и садится на первый подошедший поезд. Ка должно быть составлено расписание, чтобы вероятность уехать в ород A была в 5 раз больше, чем вероятность уехать в ород C?
15. Плосость разрафлена параллельными прямыми, отстоящими дру от друа на расстояние 2a. На плосость наудачу бросают илу длиной 2l (l < a). Найдите вероятность тоо, что ила пересечет аую-нибудь прямую (задача Бюффона).

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий События подразделяют на достоверные, невозможные и случайные: достоверные в результате опыта происходят вседа; невозможные не происходят ниода; слчайные моут либо произойти, либо нет. Достоверным является, например, событие, состоящее в том, что из урны, содержащей тольо белые шары, вынимают белый шар, а невозможным — событие, состоящее в том, что белый шар вынимают из урны, содержащей тольо черные шары. Если в урне имеются и белые, и черные шары, то извлечение шара аоо-либо определенноо цвета является случайным событием.

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

513

Достоверное событие совпадает со всем пространством элементарных событий Ω, а случайное событие A является неоторым подмножеством в этом пространстве. Невозможное событие ¾ не содержит ни одноо элементарноо события. Сммой двх событий A и B называют событие C, состоящее в том, что произошло или событие A, или событие B. Сумму двух событий обозначают та: C = A + B.

(1)

Поясним понятие суммы двух событий на следующем примере. Пусть мальчи упил билеты двух лотерей: «Спринт» и «Старт». Рассмотрим случайное событие C, состоящее в том, что мальчи выирает хотя бы в одной лотерее. Наступление этоо события связано с наступлением хотя бы одноо из следующих событий: событие A — среди билетов, упленных мальчиом, есть выирышные билеты лотереи «Спринт»; событие B — есть выирышные билеты лотереи «Старт». Произведением двх событий A и B называют событие C, состоящее в том, что произошли оба эти события. Произведение двух событий обозначают та: C = AB.

(2)

События A и B называют несовместными, если их произведение представляет собой невозможное событие: AB = ¾. Поясним понятие произведения двух событий на следующем примере. Во время испытаний среди машин, потерпевших аварию, имеются «Жиули» и «Воли». Часть машин при аварии перевернулась. Событие A, состоящее в том, что наудачу выбранная неперевернувшаяся автомашина есть «Вола», представляет собой произведение двух событий: B — машина не перевернулась и C — машина является «Волой», т. е. A = BC. Определение вероятности сложноо события A, являющеося омбинацией более простых событий A1, ..., Ak, вероятности оторых известны, основано на формулах сложения и умножения вероятностей. Формла сложения вероятностей. Проведем эсперимент, связанный с бросанием двух иральных остей, и вычислим вероятность события C, состоящео в том, что сумма очов на выпавших ранях не превосходит числа 3. Пространство элементарных событий, возниающих в результате этоо эсперимента, можно представить упорядоченными парами целых чисел,

514

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

изменяющихся от 1 до 6. Таих пар имеется 36. Среди этих событий блаоприятствуют событию C следующие: (1; 1), (1; 2), (2; 1). Таим образом, соласно определению, введенному в § 85, залючаем, что вероятность события C есть 1

3

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

515

Нам понадобится таже вероятность произведения событий A и B, т. е. события D = AB, оторое залючается в том, что наудачу взятой артой оазывается червонный туз. Очевидно, что вероятность события D составляет 1

-----P(C) = -----36 = 12 .

P(D) = -----52 .

Рассмотрим теперь событие C а омбинацию более простых событий. Для этоо заметим, что событие C происходит, если происходит событие A — сумма очов на выпавших ранях равна 2, или событие B — сумма очов на выпавших ранях равна 3. Значит, событие C есть сумма событий A и B: C = A + B. Из исходноо пространства элементарных событий событию A блаоприятствует тольо пара (1; 1), а событию B — пары (1; 2) и (2; 1). Следовательно, вероятности событий A и B таовы:

Нетрудно убедиться, что в данном случае справедливо равенство

1

P(A) = -----36 ,

1

P(B) = -----18 .

Ита, в данном случае справедливо равенство P(C) = P(A) + P(B). Заметим, что в этом примере события A и B являются несовместными (сумма очов на выпавших ранях не может одновременно быть равной 2 и 3). Вычислим вероятность события C, состоящео в том, что из олоды в 52 арты наудачу взятая арта оазалась или тузом, или артой червонной масти. Здесь пространство элементарных событий состоит из 52 элементов. Элементарные события, блаоприятствующие событию C, залючаются в том, что взяли арту червонной масти (имеются 13 арт одной масти) или туза (имеются 4 туза). Учитывая, что один из тузов червонный и, следовательно, блаоприятными оазываются 16 элементарных событий, получаем 16

4

-----P(C) = -----52 = 13 .

Представим теперь C в виде омбинации более простых событий: событие A — взятая наудачу арта оазалась червонной, и событие B — взятая наудачу арта оазалась тузом. Тода по определению суммы двух событий имеем C = A + B. Вероятности событий A и B таовы: 1

P(A) = --4- ,

1

P(B) = -----. 13

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(D). Обобщением рассмотренных примеров служит формла сложения вероятностей: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB),

(3)

т. е. вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения. В том случае, ода события A и B несовместны, формула (3) примет вид P(A + B) = P(A) + P(B). (4) Формла множения вероятностей. Рассмотрим эсперимент, связанный с бросанием двух иральных остей, и вычислим вероятность события C, состоящео в том, что число очов, выпавших на первой ости, больше 3, а на второй — больше 4. Элементарные события, блаоприятствующие событию C, — упорядоченные пары чисел: (4; 5), (4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6). Таим образом, 6

1

--P(C) = -----36 = 6 .

Представим теперь событие C в виде омбинации более простых событий: события A, состоящео в том, что на первой ости выпало больше 3 очов, и события B — на второй ости выпало больше 4 очов. Тода, соласно определению, событие C есть произведение событий A и B: C = AB. Вычислим вероятности событий A и B. Прежде всео заметим, что пространства элементарных событий, возниающие при бросании аждой ости в отдельности, состоят из шести равновозможных исходов. Элементарные события, блаоприятствующие событию A, состоят в выпадении на первой ости 4, 1

5 или 6 очов. Следовательно, P(A) = --2- . Элементарные события, блаоприятствующие событию B, состоят в выпадении на второй ости 5 или 6 очов. Поэтому

514

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

изменяющихся от 1 до 6. Таих пар имеется 36. Среди этих событий блаоприятствуют событию C следующие: (1; 1), (1; 2), (2; 1). Таим образом, соласно определению, введенному в § 85, залючаем, что вероятность события C есть 1

3

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

515

Нам понадобится таже вероятность произведения событий A и B, т. е. события D = AB, оторое залючается в том, что наудачу взятой артой оазывается червонный туз. Очевидно, что вероятность события D составляет 1

-----P(C) = -----36 = 12 .

P(D) = -----52 .

Рассмотрим теперь событие C а омбинацию более простых событий. Для этоо заметим, что событие C происходит, если происходит событие A — сумма очов на выпавших ранях равна 2, или событие B — сумма очов на выпавших ранях равна 3. Значит, событие C есть сумма событий A и B: C = A + B. Из исходноо пространства элементарных событий событию A блаоприятствует тольо пара (1; 1), а событию B — пары (1; 2) и (2; 1). Следовательно, вероятности событий A и B таовы:

Нетрудно убедиться, что в данном случае справедливо равенство

1

P(A) = -----36 ,

1

P(B) = -----18 .

Ита, в данном случае справедливо равенство P(C) = P(A) + P(B). Заметим, что в этом примере события A и B являются несовместными (сумма очов на выпавших ранях не может одновременно быть равной 2 и 3). Вычислим вероятность события C, состоящео в том, что из олоды в 52 арты наудачу взятая арта оазалась или тузом, или артой червонной масти. Здесь пространство элементарных событий состоит из 52 элементов. Элементарные события, блаоприятствующие событию C, залючаются в том, что взяли арту червонной масти (имеются 13 арт одной масти) или туза (имеются 4 туза). Учитывая, что один из тузов червонный и, следовательно, блаоприятными оазываются 16 элементарных событий, получаем 16

4

-----P(C) = -----52 = 13 .

Представим теперь C в виде омбинации более простых событий: событие A — взятая наудачу арта оазалась червонной, и событие B — взятая наудачу арта оазалась тузом. Тода по определению суммы двух событий имеем C = A + B. Вероятности событий A и B таовы: 1

P(A) = --4- ,

1

P(B) = -----. 13

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(D). Обобщением рассмотренных примеров служит формла сложения вероятностей: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB),

(3)

т. е. вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения. В том случае, ода события A и B несовместны, формула (3) примет вид P(A + B) = P(A) + P(B). (4) Формла множения вероятностей. Рассмотрим эсперимент, связанный с бросанием двух иральных остей, и вычислим вероятность события C, состоящео в том, что число очов, выпавших на первой ости, больше 3, а на второй — больше 4. Элементарные события, блаоприятствующие событию C, — упорядоченные пары чисел: (4; 5), (4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6). Таим образом, 6

1

--P(C) = -----36 = 6 .

Представим теперь событие C в виде омбинации более простых событий: события A, состоящео в том, что на первой ости выпало больше 3 очов, и события B — на второй ости выпало больше 4 очов. Тода, соласно определению, событие C есть произведение событий A и B: C = AB. Вычислим вероятности событий A и B. Прежде всео заметим, что пространства элементарных событий, возниающие при бросании аждой ости в отдельности, состоят из шести равновозможных исходов. Элементарные события, блаоприятствующие событию A, состоят в выпадении на первой ости 4, 1

5 или 6 очов. Следовательно, P(A) = --2- . Элементарные события, блаоприятствующие событию B, состоят в выпадении на второй ости 5 или 6 очов. Поэтому

516

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей 1

P(B) = --3- . Нетрудно проверить, что в данном случае выполняется соотношение

P(C) = P(A) · P(B).

(5)

События A и B, для оторых выполняется равенство (5), будем называть независимыми. Таим образом, вероятность произведения двух независимых событий можно вычислить по формуле (5). Если же для событий A и B условие (5) не выполняется, то таие события называют зависимыми. В этом случае можно оворить о та называемой условной вероятности наступления события A при условии, что событие B произошло. Пусть, например, требуется вычислить вероятность события A, состоящео в том, что сумма очов при бросании двух остей не превысит 4, если известно, что на одной ости выпало число 1 (событие B). Та а событие B произошло, то, считая ео достоверным, можно рассмотреть новое пространство элементарных событий, состоящее из 11 событий, блаоприятствующих событию B: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1). В этом новом пространстве элементарных событий событию A блаоприятствуют 5 элементарных событий: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (3; 1). Значит, вероятность события A в этом пространст5

ве элементарных событий равна -----11 . Полученную величину будем называть словной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, и обозначать P(A/B). Рассмотрим теперь исходное пространство элементарных событий, возниающее при бросании двух остей, и вычислим вероятность события C = AB, состоящео в том, что сумма очов, выпавших на остях, не превосходит 4 и что на одной из остей выпало число 1. Элементарные события, блаоприятствующие событию C, состоят из следующих пар чисел: (1; 1), 5

(1; 2), (1; 3), (2; 1), (3; 1). Таим образом, P(C) = -----36 . Выше были рассмотрены 11 элементарных событий, блаоприятствую11

щих событию B. Следовательно, P(B) = -----36 . Нетрудно убедиться в справедливости соотношения P(C) = P(A/B) · P(B).

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

517

Обобщением рассмотренных примеров является формла множения вероятностей: P(AB) = P(A) · P(B/A) = P(B) · P(A/B),

(6)

т. е. вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одноо из этих событий на условную вероятность друоо, вычисленную в предположении, что первое событие произошло. Для случая трех событий обобщение формулы (6) имеет вид P(ABC) = P(A/BC) · P(BC) = P(A/BC) · P(B/C) · P(C).

(7)

П р и м е р 1. Из урны, содержащей n белых и m черных шаров, извлеают два шара. Каова вероятность тоо, что они разных цветов? Р е ш е н и е. Представим событие C, залючающееся в том, что вынутые шары разных цветов, в виде C = A + B, де событие A состоит в том, что первый шар белый, а второй черный; событие B — в том, что первый шар черный, а второй белый. Та а события A и B несовместны, то, соласно формуле (4), имеем P(C) = P(A) + P(B). (*) Вероятности событий A и B вычислим, используя формулу (6). Представим событие A в виде A = (Б; Ч), де бувы Б и Ч, записанные в данной последовательности, означают, что первым был вынут белый шар, а вторым — черный. Тода P(A) = P(Б) P(Ч/Б). Вероятность P(Б) представляет собой отношение числа белых шаров  числу всех шаров, находящихся в урне. Условная вероятность P(Ч/Б) тоо, что вторым вынут черный шар при условии, что первым был вынут белый, представляет собой отношение первоначальноо числа черных шаров  уменьшившемуся на единицу числу всех шаров, оставшихся в урне. Таим образом, n

m

m

n

- -------------------------P(A) = --------------n+m · n+m–1.

Аналоично получим - -------------------------P(B) = --------------n+m · n+m–1.

516

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей 1

P(B) = --3- . Нетрудно проверить, что в данном случае выполняется соотношение

P(C) = P(A) · P(B).

(5)

События A и B, для оторых выполняется равенство (5), будем называть независимыми. Таим образом, вероятность произведения двух независимых событий можно вычислить по формуле (5). Если же для событий A и B условие (5) не выполняется, то таие события называют зависимыми. В этом случае можно оворить о та называемой условной вероятности наступления события A при условии, что событие B произошло. Пусть, например, требуется вычислить вероятность события A, состоящео в том, что сумма очов при бросании двух остей не превысит 4, если известно, что на одной ости выпало число 1 (событие B). Та а событие B произошло, то, считая ео достоверным, можно рассмотреть новое пространство элементарных событий, состоящее из 11 событий, блаоприятствующих событию B: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1). В этом новом пространстве элементарных событий событию A блаоприятствуют 5 элементарных событий: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (3; 1). Значит, вероятность события A в этом пространст5

ве элементарных событий равна -----11 . Полученную величину будем называть словной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, и обозначать P(A/B). Рассмотрим теперь исходное пространство элементарных событий, возниающее при бросании двух остей, и вычислим вероятность события C = AB, состоящео в том, что сумма очов, выпавших на остях, не превосходит 4 и что на одной из остей выпало число 1. Элементарные события, блаоприятствующие событию C, состоят из следующих пар чисел: (1; 1), 5

(1; 2), (1; 3), (2; 1), (3; 1). Таим образом, P(C) = -----36 . Выше были рассмотрены 11 элементарных событий, блаоприятствую11

щих событию B. Следовательно, P(B) = -----36 . Нетрудно убедиться в справедливости соотношения P(C) = P(A/B) · P(B).

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

517

Обобщением рассмотренных примеров является формла множения вероятностей: P(AB) = P(A) · P(B/A) = P(B) · P(A/B),

(6)

т. е. вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одноо из этих событий на условную вероятность друоо, вычисленную в предположении, что первое событие произошло. Для случая трех событий обобщение формулы (6) имеет вид P(ABC) = P(A/BC) · P(BC) = P(A/BC) · P(B/C) · P(C).

(7)

П р и м е р 1. Из урны, содержащей n белых и m черных шаров, извлеают два шара. Каова вероятность тоо, что они разных цветов? Р е ш е н и е. Представим событие C, залючающееся в том, что вынутые шары разных цветов, в виде C = A + B, де событие A состоит в том, что первый шар белый, а второй черный; событие B — в том, что первый шар черный, а второй белый. Та а события A и B несовместны, то, соласно формуле (4), имеем P(C) = P(A) + P(B). (*) Вероятности событий A и B вычислим, используя формулу (6). Представим событие A в виде A = (Б; Ч), де бувы Б и Ч, записанные в данной последовательности, означают, что первым был вынут белый шар, а вторым — черный. Тода P(A) = P(Б) P(Ч/Б). Вероятность P(Б) представляет собой отношение числа белых шаров  числу всех шаров, находящихся в урне. Условная вероятность P(Ч/Б) тоо, что вторым вынут черный шар при условии, что первым был вынут белый, представляет собой отношение первоначальноо числа черных шаров  уменьшившемуся на единицу числу всех шаров, оставшихся в урне. Таим образом, n

m

m

n

- -------------------------P(A) = --------------n+m · n+m–1.

Аналоично получим - -------------------------P(B) = --------------n+m · n+m–1.

518

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей Подставив полученные выражения в формулу (*), находим 2nm P(C) = --------------------------------------------------(n + m )(n + m – 1) . 2nm

Ответ. (--------------------------------------------------n + m )( n + m – 1) .

При выполнении упр. 1—6 используйте формулы умножения и сложения вероятностей. 1. В урне находятся n белых и m черных шаров. Вынимают два шара. Каова вероятность тоо, что оба шара белые; оба шара черные?
2. Решите упр. 1 при условии, что вынутые шары возвращают обратно, а их цвет записывают. 3. Из олоды в 52 арты вынимают 4 арты. Каова вероятность тоо, что все они разных мастей (имеются 4 масти по 13 арт в аждой)? 4. Иральную ость бросают несольо раз. Каова вероятность тоо, что одно очо появится впервые при третьем бросании? 5. На станцию техничесоо обслуживания были доставлены 20 машин. При этом 5 из них имели неисправности в ходовой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Каова вероятность тоо, что машина с неисправной ходовой частью имеет таже неисправный мотор? 6. Готовясь  вступительному эзамену по математие, абитуриент должен подотовить 20 вопросов по элементам математичесоо анализа и 25 по еометрии. Однао он успел подотовить тольо 15 вопросов по элементам математичесоо анализа и 20 по еометрии. Билет содержит три вопроса, два из оторых по элементам математичесоо анализа и один по еометрии. Каова вероятность, что: студент сдаст эзамен: а) на «отлично» (ответит на все три вопроса); б) на «хорошо» (ответит на любые два вопроса)? Дополнением случайноо события A (или противоположным событием) называют событие C, состоящее в том, что в результате эсперимента событие A не произошло. Дополнение  событию A обозначают A . Вероятности событий A и A связаны формулой P(A) + P( A ) = 1. (8) Если сложное событие A можно представить в виде A = A1 + A2 + ... + Ak,

(9)

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

519

де Ai — события, вероятности оторых известны (i = 1, 2, ..., k), то вероятность P(A) инода удобно вычислять, используя формулу A = A 1 · A 2 · ... · A k , (10) связывающую дополнения рассматриваемых событий. Та, в случае, если Ai независимы, получаем P(A) = 1 – P( A ) = 1 – P( A 1 ) ... P( A k ) = = 1 – [1 – P(A1)] ... [1 – P(Ak)].

(11)

Если все события Ai равновероятны, то формула (11) примет более простой вид: (12) P(A) = 1 – (1 – p)k, де p — вероятность события Ai. П р и м е р 2. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность разрушения, если на мост сбрасывают три бомбы с вероятностями попадания 0,3; 0,4; 0,7. Р е ш е н и е. Найдем вероятность события A , состоящео в том, что мост не будет разрушен. Обозначим через A 1 , A 2 , A 3 событие, состоящее в том, что в мост не попала соответственно первая, вторая и третья бомба. Тода A = A 1 A 2 A 3 . Та а из независимости Ai следует независимость A i , то P( A ) = P( A 1 ) · P( A 2 ) · P( A 3 ) = 0,3 · 0,4 · 0,7 = 0,084. Следовательно, вероятность разрушения моста есть P(A) = 1 – P( A ) = 0,916. Ответ. 0,916. 7. В урне находятся n белых, m черных и k расных шаров. Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что хотя бы два шара будут одноо цвета? 8. На стеллаже находятся 15 учебниов, 5 из них в переплете. Наудачу выбирают 3 учебниа. Каова вероятность тоо, что хотя бы один из них будет в переплета? 9. В лотерее разырывается n билетов, из оторых l выирышных. Нето поупает k билетов. Каова вероятность тоо, что хотя бы один из упленных билетов выирает?

518

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей Подставив полученные выражения в формулу (*), находим 2nm P(C) = --------------------------------------------------(n + m )(n + m – 1) . 2nm

Ответ. (--------------------------------------------------n + m )( n + m – 1) .

При выполнении упр. 1—6 используйте формулы умножения и сложения вероятностей. 1. В урне находятся n белых и m черных шаров. Вынимают два шара. Каова вероятность тоо, что оба шара белые; оба шара черные?
2. Решите упр. 1 при условии, что вынутые шары возвращают обратно, а их цвет записывают. 3. Из олоды в 52 арты вынимают 4 арты. Каова вероятность тоо, что все они разных мастей (имеются 4 масти по 13 арт в аждой)? 4. Иральную ость бросают несольо раз. Каова вероятность тоо, что одно очо появится впервые при третьем бросании? 5. На станцию техничесоо обслуживания были доставлены 20 машин. При этом 5 из них имели неисправности в ходовой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Каова вероятность тоо, что машина с неисправной ходовой частью имеет таже неисправный мотор? 6. Готовясь  вступительному эзамену по математие, абитуриент должен подотовить 20 вопросов по элементам математичесоо анализа и 25 по еометрии. Однао он успел подотовить тольо 15 вопросов по элементам математичесоо анализа и 20 по еометрии. Билет содержит три вопроса, два из оторых по элементам математичесоо анализа и один по еометрии. Каова вероятность, что: студент сдаст эзамен: а) на «отлично» (ответит на все три вопроса); б) на «хорошо» (ответит на любые два вопроса)? Дополнением случайноо события A (или противоположным событием) называют событие C, состоящее в том, что в результате эсперимента событие A не произошло. Дополнение  событию A обозначают A . Вероятности событий A и A связаны формулой P(A) + P( A ) = 1. (8) Если сложное событие A можно представить в виде A = A1 + A2 + ... + Ak,

(9)

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

519

де Ai — события, вероятности оторых известны (i = 1, 2, ..., k), то вероятность P(A) инода удобно вычислять, используя формулу A = A 1 · A 2 · ... · A k , (10) связывающую дополнения рассматриваемых событий. Та, в случае, если Ai независимы, получаем P(A) = 1 – P( A ) = 1 – P( A 1 ) ... P( A k ) = = 1 – [1 – P(A1)] ... [1 – P(Ak)].

(11)

Если все события Ai равновероятны, то формула (11) примет более простой вид: (12) P(A) = 1 – (1 – p)k, де p — вероятность события Ai. П р и м е р 2. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность разрушения, если на мост сбрасывают три бомбы с вероятностями попадания 0,3; 0,4; 0,7. Р е ш е н и е. Найдем вероятность события A , состоящео в том, что мост не будет разрушен. Обозначим через A 1 , A 2 , A 3 событие, состоящее в том, что в мост не попала соответственно первая, вторая и третья бомба. Тода A = A 1 A 2 A 3 . Та а из независимости Ai следует независимость A i , то P( A ) = P( A 1 ) · P( A 2 ) · P( A 3 ) = 0,3 · 0,4 · 0,7 = 0,084. Следовательно, вероятность разрушения моста есть P(A) = 1 – P( A ) = 0,916. Ответ. 0,916. 7. В урне находятся n белых, m черных и k расных шаров. Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что хотя бы два шара будут одноо цвета? 8. На стеллаже находятся 15 учебниов, 5 из них в переплете. Наудачу выбирают 3 учебниа. Каова вероятность тоо, что хотя бы один из них будет в переплета? 9. В лотерее разырывается n билетов, из оторых l выирышных. Нето поупает k билетов. Каова вероятность тоо, что хотя бы один из упленных билетов выирает?

520

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

10. При одном обзоре радиолоационной станцией объет обнаруживается с вероятностью p. Обнаружение объета в аждом циле происходит независимо от друих цилов. Каова вероятность тоо, что при n цилах объет будет обнаружен?
11. По неоторой цели производят n выстрелов. Каждый выстрел поражает цель с вероятностью p. Сольо выстрелов надо произвести, чтобы вероятность поражения цели была не меньше P? Вероятность события A, оторое может наступить лишь при появлении одноо из несольих несовместных событий B1, B2, ..., Bn, равна сумме произведений вероятностей аждоо из этих событий на условную вероятность события A при условии, что данное событие наступило: P(A) = P(B1) · P(A/B1) + P(B2) · P(A/B2) + ... + P(Bn) · P(A/ B n ). (13) Равенство (13) называют формлой полной вероятности. П р и м е р 3. В первой оманде 6 мастеров спорта и 4 перворазрядниа, а во второй — 6 перворазрядниов и 4 мастера спорта. Сборная, составленная из ироов первой и второй оманд, содержит 10 челове: 6 челове из первой оманды и 4 — из второй. Из сборной оманды наудачу выбирают одноо спортсмена. Каова вероятность тоо, что он мастер спорта? Р е ш е н и е. Пусть событие Bi (i = 1, 2) состоит в том, что наудачу выбранный спортсмен — член i-й оманды. Тода веро3

2

ятности событий Bi равны соответственно P(B1) = --5- , P(B2) = --5- . Пусть событие A состоит в том, что наудачу выбранный спортсмен — мастер спорта. Тода условные вероятности события A при условии, что выполнено событие Bi (т. е. известно, из а3

ой оманды спортсмен), равны соответственно P(A/B1) = --5- , 2

P(A/B2) = --5- . Используя формулу полной вероятности, получаем 3

3

2

2

13

P(A) = --5- · --5- + --5- · --5- = -----25 . 13

Ответ. -----25 .

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

521

12. Эзамен происходит по следующей схеме: если неоторый билет уже был вытянут, то эзаменатор отладывает ео, т. е. последующие эзаменующиеся не моут вытянуть этот билет. Учени выучил k билетов (k < n). В аом случае вероятность тоо, что учени вытянет выученный билет, больше — ода он идет отвечать первым или последним?
13. В урне находятся два шара, цвета оторых неизвестны (аждый шар может быть или белым, или черным). В урну положили белый шар. Каова станет вероятность вынуть из урны белый шар? 14. Имеются 5 винтово, из оторых 3 снайперсие и 2 обычные. Наудачу выбирают одну винтову и из нее производят выстрел. Найдите вероятность попадания, если вероятности попадания из снайперсой и обычной винтови равны соответственно 0,95 и 0,7. 15. Имеются две урны. В первой находятся m белых и n черных шаров, а во второй — k белых и l черных шаров. Из первой урны во вторую переложили один шар. Каова вероятность после этоо вынуть: а) белый шар из первой урны; б) белый шар из второй урны?
16. Имеются две партии однородных изделий с разным составом стандартных и дефетных: в первой партии всео N изделий, из них n дефетных, во второй партии M изделий, из них m дефетных. Из первой партии берут K изделий, из второй L изделий и образуют новую партию. Каова вероятность тоо, что изделие, выбранное наудачу из новой партии, оажется дефетным?
17. В условиях упр. 16 найдите вероятность тоо, что среди трех выбранных наудачу из вновь образованной партии изделий хотя бы одно оажется дефетным.

520

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

10. При одном обзоре радиолоационной станцией объет обнаруживается с вероятностью p. Обнаружение объета в аждом циле происходит независимо от друих цилов. Каова вероятность тоо, что при n цилах объет будет обнаружен?
11. По неоторой цели производят n выстрелов. Каждый выстрел поражает цель с вероятностью p. Сольо выстрелов надо произвести, чтобы вероятность поражения цели была не меньше P? Вероятность события A, оторое может наступить лишь при появлении одноо из несольих несовместных событий B1, B2, ..., Bn, равна сумме произведений вероятностей аждоо из этих событий на условную вероятность события A при условии, что данное событие наступило: P(A) = P(B1) · P(A/B1) + P(B2) · P(A/B2) + ... + P(Bn) · P(A/ B n ). (13) Равенство (13) называют формлой полной вероятности. П р и м е р 3. В первой оманде 6 мастеров спорта и 4 перворазрядниа, а во второй — 6 перворазрядниов и 4 мастера спорта. Сборная, составленная из ироов первой и второй оманд, содержит 10 челове: 6 челове из первой оманды и 4 — из второй. Из сборной оманды наудачу выбирают одноо спортсмена. Каова вероятность тоо, что он мастер спорта? Р е ш е н и е. Пусть событие Bi (i = 1, 2) состоит в том, что наудачу выбранный спортсмен — член i-й оманды. Тода веро3

2

ятности событий Bi равны соответственно P(B1) = --5- , P(B2) = --5- . Пусть событие A состоит в том, что наудачу выбранный спортсмен — мастер спорта. Тода условные вероятности события A при условии, что выполнено событие Bi (т. е. известно, из а3

ой оманды спортсмен), равны соответственно P(A/B1) = --5- , 2

P(A/B2) = --5- . Используя формулу полной вероятности, получаем 3

3

2

2

13

P(A) = --5- · --5- + --5- · --5- = -----25 . 13

Ответ. -----25 .

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий

521

12. Эзамен происходит по следующей схеме: если неоторый билет уже был вытянут, то эзаменатор отладывает ео, т. е. последующие эзаменующиеся не моут вытянуть этот билет. Учени выучил k билетов (k < n). В аом случае вероятность тоо, что учени вытянет выученный билет, больше — ода он идет отвечать первым или последним?
13. В урне находятся два шара, цвета оторых неизвестны (аждый шар может быть или белым, или черным). В урну положили белый шар. Каова станет вероятность вынуть из урны белый шар? 14. Имеются 5 винтово, из оторых 3 снайперсие и 2 обычные. Наудачу выбирают одну винтову и из нее производят выстрел. Найдите вероятность попадания, если вероятности попадания из снайперсой и обычной винтови равны соответственно 0,95 и 0,7. 15. Имеются две урны. В первой находятся m белых и n черных шаров, а во второй — k белых и l черных шаров. Из первой урны во вторую переложили один шар. Каова вероятность после этоо вынуть: а) белый шар из первой урны; б) белый шар из второй урны?
16. Имеются две партии однородных изделий с разным составом стандартных и дефетных: в первой партии всео N изделий, из них n дефетных, во второй партии M изделий, из них m дефетных. Из первой партии берут K изделий, из второй L изделий и образуют новую партию. Каова вероятность тоо, что изделие, выбранное наудачу из новой партии, оажется дефетным?
17. В условиях упр. 16 найдите вероятность тоо, что среди трех выбранных наудачу из вновь образованной партии изделий хотя бы одно оажется дефетным.

Г л а в а 16 Элементы математической логики. Системы счисления § 88. Высказывания Под выс азыванием понимают утверждение, о отором имеет смысл оворить, истинно оно или ложно. Из заданных высазываний с помощью та называемых лоичес их связо , оторым в обычной речи соответствуют частица «не», союзы «и», «или», сложноподчиненный оборот «если..., то...», выражение «в том и тольо в том случае», образуют новые составные высазывания. Если истинному высазыванию поставить в соответствие 1, а ложному 0, то лоичесие связи можно формально определить с помощью та называемых таблиц истинности. Основные понятия, связанные с высазываниями. 1. Отрицание (читают: «не p» и пишут p ). Кода p истинно, тода p ложно, и наоборот. 2. Конъюн ция (или лоичес ое множение) двух высазываний (читают: «p и q» и пишут p , q). Конъюнция истинна тольо в том случае, ода оба высазывания истинны. 3. Дизъюн ция (или лоичес ое сложение) двух высазываний (читают: «p или q» и пишут p # q). Дизъюнция истинна в том случае, ода истинно хотя бы одно из двух высазываний. 4. Импли ация (читают: «если p, то q» и пишут p º q). Здесь два высазывания в отличие от случаев 2 и 3 не перестановочны: высазывание p называют словием, а высазывание q — следствием. Имплиация ложна тольо в том случае, ода условие истинно, а следствие ложно. 5. Э виваленция (или двойная импли ация) (читают: «p эвивалентно q» и пишут p J q). Эвиваленция истинна в том случае, ода или оба высазывания истинны, или оба высазывания ложны. Таблица истинности элементарных высазываний имеет вид p

q

p#q

p,q

pºq

p

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

0 0 0 1

1 1 0 1

1 1 0 0

§ 88. Высказывания

523

Новые высазывания образуют, используя лоичесие операции. Таие операции можно применять мнооратно. Порядо, в отором производятся операции, уазывают с помощью собо. Если из p следует q и из q следует p, то высазывания p и q называют равносильными. Равносильные высазывания соединяют знаом _ либо знаом равенства. Таблицы истинности для равносильных высазываний совпадают. П р и м е р 1. Доазать, что высазывания p º q и (p , q) # p равносильны. Р е ш е н и е. Таблица истинности для высазывания p º q была представлена выше. Составим таблицу истинности для высазывания (p , q) # p : p

q

p,q

p

(p , q) # p

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

1 1 0 0

1 1 0 1

I

II

III

В последней строе таблицы римсими цифрами обозначим номера шаов, в результате оторых составляем таблицу истинности. На I шае заполняем столбцы истинности для высазываний p и q, на II шае — для высазываний p , q и p . При этом используем таблицу истинности элементарных высазываний, приведенную выше. На III шае, рассматривая p , q и p а простейшие высазывания, заполним столбец дизъюнции этих высазываний (p , q) # p . Полученный столбец истинности совпадает со столбцом истинности высазывания p º q. Ита, равносильность высазываний p º q и (p , q) # p установлена. Сравнив таблицы истинности, доажите: 1. p # q = p , q . 2. p , q = p # q . 3. p J q = (p , q) # ( p , q ). 4. (p # q ) , q = q. 5. p # (p , q) = p.

Г л а в а 16 Элементы математической логики. Системы счисления § 88. Высказывания Под выс азыванием понимают утверждение, о отором имеет смысл оворить, истинно оно или ложно. Из заданных высазываний с помощью та называемых лоичес их связо , оторым в обычной речи соответствуют частица «не», союзы «и», «или», сложноподчиненный оборот «если..., то...», выражение «в том и тольо в том случае», образуют новые составные высазывания. Если истинному высазыванию поставить в соответствие 1, а ложному 0, то лоичесие связи можно формально определить с помощью та называемых таблиц истинности. Основные понятия, связанные с высазываниями. 1. Отрицание (читают: «не p» и пишут p ). Кода p истинно, тода p ложно, и наоборот. 2. Конъюн ция (или лоичес ое множение) двух высазываний (читают: «p и q» и пишут p , q). Конъюнция истинна тольо в том случае, ода оба высазывания истинны. 3. Дизъюн ция (или лоичес ое сложение) двух высазываний (читают: «p или q» и пишут p # q). Дизъюнция истинна в том случае, ода истинно хотя бы одно из двух высазываний. 4. Импли ация (читают: «если p, то q» и пишут p º q). Здесь два высазывания в отличие от случаев 2 и 3 не перестановочны: высазывание p называют словием, а высазывание q — следствием. Имплиация ложна тольо в том случае, ода условие истинно, а следствие ложно. 5. Э виваленция (или двойная импли ация) (читают: «p эвивалентно q» и пишут p J q). Эвиваленция истинна в том случае, ода или оба высазывания истинны, или оба высазывания ложны. Таблица истинности элементарных высазываний имеет вид p

q

p#q

p,q

pºq

p

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

0 0 0 1

1 1 0 1

1 1 0 0

§ 88. Высказывания

523

Новые высазывания образуют, используя лоичесие операции. Таие операции можно применять мнооратно. Порядо, в отором производятся операции, уазывают с помощью собо. Если из p следует q и из q следует p, то высазывания p и q называют равносильными. Равносильные высазывания соединяют знаом _ либо знаом равенства. Таблицы истинности для равносильных высазываний совпадают. П р и м е р 1. Доазать, что высазывания p º q и (p , q) # p равносильны. Р е ш е н и е. Таблица истинности для высазывания p º q была представлена выше. Составим таблицу истинности для высазывания (p , q) # p : p

q

p,q

p

(p , q) # p

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

1 1 0 0

1 1 0 1

I

II

III

В последней строе таблицы римсими цифрами обозначим номера шаов, в результате оторых составляем таблицу истинности. На I шае заполняем столбцы истинности для высазываний p и q, на II шае — для высазываний p , q и p . При этом используем таблицу истинности элементарных высазываний, приведенную выше. На III шае, рассматривая p , q и p а простейшие высазывания, заполним столбец дизъюнции этих высазываний (p , q) # p . Полученный столбец истинности совпадает со столбцом истинности высазывания p º q. Ита, равносильность высазываний p º q и (p , q) # p установлена. Сравнив таблицы истинности, доажите: 1. p # q = p , q . 2. p , q = p # q . 3. p J q = (p , q) # ( p , q ). 4. (p # q ) , q = q. 5. p # (p , q) = p.

524

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

16. Высазывание p означает, что у вас есть собаа, а высазывание q — что у вас есть оша. Сформулируйте, что означает заданное составное высазывание: 1а) p # q; б) p , q ; в) (p , q) # ( p , q ); ) p º q. 17. Пусть высазывание p | q означает, что p и q не моут быть оба истинными. Составьте таблицу истинности для p | q. 18. Запишите высазывание p | q (см. упр. 7), используя лоичесие связи онъюнции, дизъюнции и отрицания. 19. Доажите равносильность высазываний (p | q ) | (p | q) и p , q. 10. Пусть p означает «идет дождь», а q означает «дует ветер». Запишите в символичесой форме высазывание: а) «если идет дождь, то дует ветер»; б) «если дует ветер, то идет дождь»; в) «ветер дует в том и тольо в том случае, ода идет дождь»; ) «если дует ветер, то нет дождя»; д) «неверно, что ветер дует тода и тольо тода, ода нет дождя». 11. Запишите в символичесой форме сложное высазывание, состоящее из простых высазываний p, q, r, истинное тода и тольо тода, ода истинна тольо одна (безразлично аая) из омпонент. 12. По мишени произведены три выстрела. Пусть pi означает высазывание: «мишень поражена при i-м выстреле». Сформулируйте, что означает следующее высазывание, записанное в символичесой форме: б) p1 , p2 , p3; в) ( p 1 # p 2) , p3. а) p1 # p2 # p3; Лео проверить равносильность следующих высазываний (здесь I — истина, L — ложь): p # q = q # p,

(1)

p , q = q , p,

(2)

p # (q # r) = (p # q) # r,

(3)

p , (q , r) = (p , q) , r,

(4)

p , (q # r) = (p , q) # (p , r),

(5)

§ 88. Высказывания

525 p , p = L,

(9)

p , I = p,

(10)

p # I = I,

(11)

p , L = L,

(12)

p # L = p.

(13)

Используя формулы (1)—(13), можно решать довольно сложные лоичесие задачи. П р и м е р 2. Витор, Роман, Юрий и Серей заняли на математичесой олимпиаде первые четыре места. Кода их спросили о распределении мест, они дали три таих ответа: 1) Серей — первый, Роман — второй; 2) Серей — второй, Витор — третий; 3) Юрий — второй, Витор — четвертый. Ка распределились места, если в аждом ответе тольо одно утверждение истинно? Р е ш е н и е. Та а в аждом ответе одно из утверждений истинно, то и дизъюнция этих утверждений таже истинна. Например, истинно высазывание: «или Серей первый, или Роман — второй». Запишем это высазывание в следующем символичесом виде: СI # РII. Аналоично, высазывания остальных ответов имеют вид СII # ВIII и ЮII # ВIV соответственно. Конъюнция истинных высазываний истинна. Следовательно, истинным является составное высазывание (СI # РII) , (СII # ВIII) , (ЮII # ВIV).

(*)

Используя формулы (1)—(13), упростим высазывание (*). Для этоо представим в виде дизъюнции простейших онъюнций первую онъюнцию: (СI # РII) , (СII # ВIII) = [(СI # РII) , СII] # [(СI # РII) , ВIII] = = [(СI , СII) # (РII , СII)] # [(СI , ВIII) # (РII , ВIII)]. (**)

p , p = p,

(6)

p # p = p,

(7)

Высазывание, записанное в первых вадратных собах правой части равенства (**), ложно, посольу является дизъюнцией двух ложных высазываний СI , СII и РII , СII: первое из них состоит в том, что Серей занял одновременно первое и второе места, а второе — в том, что второе место одновременно заняли Роман и Серей. Таим образом, первая онъюнция примет вид

p # p = I,

(8)

(СI # РII) , (СII # ВIII) = (СI , ВIII) # (РII , ВIII).

524

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

16. Высазывание p означает, что у вас есть собаа, а высазывание q — что у вас есть оша. Сформулируйте, что означает заданное составное высазывание: 1а) p # q; б) p , q ; в) (p , q) # ( p , q ); ) p º q. 17. Пусть высазывание p | q означает, что p и q не моут быть оба истинными. Составьте таблицу истинности для p | q. 18. Запишите высазывание p | q (см. упр. 7), используя лоичесие связи онъюнции, дизъюнции и отрицания. 19. Доажите равносильность высазываний (p | q ) | (p | q) и p , q. 10. Пусть p означает «идет дождь», а q означает «дует ветер». Запишите в символичесой форме высазывание: а) «если идет дождь, то дует ветер»; б) «если дует ветер, то идет дождь»; в) «ветер дует в том и тольо в том случае, ода идет дождь»; ) «если дует ветер, то нет дождя»; д) «неверно, что ветер дует тода и тольо тода, ода нет дождя». 11. Запишите в символичесой форме сложное высазывание, состоящее из простых высазываний p, q, r, истинное тода и тольо тода, ода истинна тольо одна (безразлично аая) из омпонент. 12. По мишени произведены три выстрела. Пусть pi означает высазывание: «мишень поражена при i-м выстреле». Сформулируйте, что означает следующее высазывание, записанное в символичесой форме: б) p1 , p2 , p3; в) ( p 1 # p 2) , p3. а) p1 # p2 # p3; Лео проверить равносильность следующих высазываний (здесь I — истина, L — ложь): p # q = q # p,

(1)

p , q = q , p,

(2)

p # (q # r) = (p # q) # r,

(3)

p , (q , r) = (p , q) , r,

(4)

p , (q # r) = (p , q) # (p , r),

(5)

§ 88. Высказывания

525 p , p = L,

(9)

p , I = p,

(10)

p # I = I,

(11)

p , L = L,

(12)

p # L = p.

(13)

Используя формулы (1)—(13), можно решать довольно сложные лоичесие задачи. П р и м е р 2. Витор, Роман, Юрий и Серей заняли на математичесой олимпиаде первые четыре места. Кода их спросили о распределении мест, они дали три таих ответа: 1) Серей — первый, Роман — второй; 2) Серей — второй, Витор — третий; 3) Юрий — второй, Витор — четвертый. Ка распределились места, если в аждом ответе тольо одно утверждение истинно? Р е ш е н и е. Та а в аждом ответе одно из утверждений истинно, то и дизъюнция этих утверждений таже истинна. Например, истинно высазывание: «или Серей первый, или Роман — второй». Запишем это высазывание в следующем символичесом виде: СI # РII. Аналоично, высазывания остальных ответов имеют вид СII # ВIII и ЮII # ВIV соответственно. Конъюнция истинных высазываний истинна. Следовательно, истинным является составное высазывание (СI # РII) , (СII # ВIII) , (ЮII # ВIV).

(*)

Используя формулы (1)—(13), упростим высазывание (*). Для этоо представим в виде дизъюнции простейших онъюнций первую онъюнцию: (СI # РII) , (СII # ВIII) = [(СI # РII) , СII] # [(СI # РII) , ВIII] = = [(СI , СII) # (РII , СII)] # [(СI , ВIII) # (РII , ВIII)]. (**)

p , p = p,

(6)

p # p = p,

(7)

Высазывание, записанное в первых вадратных собах правой части равенства (**), ложно, посольу является дизъюнцией двух ложных высазываний СI , СII и РII , СII: первое из них состоит в том, что Серей занял одновременно первое и второе места, а второе — в том, что второе место одновременно заняли Роман и Серей. Таим образом, первая онъюнция примет вид

p # p = I,

(8)

(СI # РII) , (СII # ВIII) = (СI , ВIII) # (РII , ВIII).

526

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления Тода онъюнция (**) запишется та: [(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , (ЮII # ВIV).

§ 88. Высказывания

527

П р и м е р 3. Найти высазывание, состоящее из двух простейших высазываний p и q, имеющее следующую таблицу истинности (см. таблицу слева):

Используя по-прежнему формулы (1)—(13), имеем {[(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , ЮII} # # {[(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , ВIV} = = (СI , ВIII , ЮII) # (РII , ВIII , ЮII) # (СI , ВIII , ВIV) # # (РII , ВIII , ВIV) = (СI , ВIII , ЮII). Действительно, второе, третье и четвертое высазывания, участвующие в этой дизъюнции, ложны, та а являются онъюнциями или одинаовых був с разными номерами, или разных був с одинаовыми номерами, чео быть не может. Ита, истинной является онъюнция СI , ВIII , ЮII. Ответ. Первое место занял Серей, второе — Юрий, третье — Витор и четвертое — Роман. 13. По обвинению в ораблении перед судом предстали A, B, C. Установлено следующее: а) если A не виновен или B виновен, то C виновен; б) если A не виновен, то C не виновен. Виновен ли A? 14. Определите, то из четырех подозреваемых участвовал в ораблении, по следующим данным: а) если A участвовал, то и B участвовал; б) если B участвовал, то или C участвовал, или A не участвовал; в) если D не участвовал, то A участвовал, а C не участвовал; ) если D участвовал, то A участвовал. 15. Эзамен сдавали три студента A, B и C. Известно, что: а) если A не сдал или B сдал, то C сдал; б) если A не сдал, то C не сдал. Можно ли на основании этих данных установить, то сдал эзамен? В начале парарафа было поазано, а построить таблицу истинности любоо составноо высазывания. Представляет интерес и обратная задача: по заданной таблице истинности найти одно или несольо высазываний, оторым оно соответствует. Оазывается, обратная задача не тольо имеет решение, но ео можно получить, используя лишь следующие лоичесие связи: ,, #,

.

p

q

?

p

q

p , q

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 1 1

1 0 0 1

0 0 0 1

Р е ш е н и е. Единица в последнем столбце таблицы присутствует тольо в последней строе. Следовательно, можно предположить, что истинным является высазывание p , q . Проверим это утверждение. Для этоо составим таблицу истинности высазывания p , q (см. таблицу справа). Действительно, полученная таблица совпадает с исходной. Ита, найденное высазывание истинное. 16. Постройте три составных высазывания a, b, c, имеющих следующие таблицы истинности: p

q

r

a

b

c

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 1 1 0 1

17. Каие высазывания a, b, c, d имеют следующие таблицы истинности: p

q

a

b

c

d

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

526

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления Тода онъюнция (**) запишется та: [(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , (ЮII # ВIV).

§ 88. Высказывания

527

П р и м е р 3. Найти высазывание, состоящее из двух простейших высазываний p и q, имеющее следующую таблицу истинности (см. таблицу слева):

Используя по-прежнему формулы (1)—(13), имеем {[(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , ЮII} # # {[(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , ВIV} = = (СI , ВIII , ЮII) # (РII , ВIII , ЮII) # (СI , ВIII , ВIV) # # (РII , ВIII , ВIV) = (СI , ВIII , ЮII). Действительно, второе, третье и четвертое высазывания, участвующие в этой дизъюнции, ложны, та а являются онъюнциями или одинаовых був с разными номерами, или разных був с одинаовыми номерами, чео быть не может. Ита, истинной является онъюнция СI , ВIII , ЮII. Ответ. Первое место занял Серей, второе — Юрий, третье — Витор и четвертое — Роман. 13. По обвинению в ораблении перед судом предстали A, B, C. Установлено следующее: а) если A не виновен или B виновен, то C виновен; б) если A не виновен, то C не виновен. Виновен ли A? 14. Определите, то из четырех подозреваемых участвовал в ораблении, по следующим данным: а) если A участвовал, то и B участвовал; б) если B участвовал, то или C участвовал, или A не участвовал; в) если D не участвовал, то A участвовал, а C не участвовал; ) если D участвовал, то A участвовал. 15. Эзамен сдавали три студента A, B и C. Известно, что: а) если A не сдал или B сдал, то C сдал; б) если A не сдал, то C не сдал. Можно ли на основании этих данных установить, то сдал эзамен? В начале парарафа было поазано, а построить таблицу истинности любоо составноо высазывания. Представляет интерес и обратная задача: по заданной таблице истинности найти одно или несольо высазываний, оторым оно соответствует. Оазывается, обратная задача не тольо имеет решение, но ео можно получить, используя лишь следующие лоичесие связи: ,, #,

.

p

q

?

p

q

p , q

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 1 1

1 0 0 1

0 0 0 1

Р е ш е н и е. Единица в последнем столбце таблицы присутствует тольо в последней строе. Следовательно, можно предположить, что истинным является высазывание p , q . Проверим это утверждение. Для этоо составим таблицу истинности высазывания p , q (см. таблицу справа). Действительно, полученная таблица совпадает с исходной. Ита, найденное высазывание истинное. 16. Постройте три составных высазывания a, b, c, имеющих следующие таблицы истинности: p

q

r

a

b

c

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 1 1 0 1

17. Каие высазывания a, b, c, d имеют следующие таблицы истинности: p

q

a

b

c

d

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

528

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

Ка следует из примера 3, а таже из решений упр. 16 и 17, алоритм построения составноо высазывания залючается в дизъюнции тех онъюнций простых высазываний, оторым соответствует единица в последнем столбце таблицы истинности. При этом в отдельную онъюнцию входит либо высазывание, либо ео отрицание в зависимости от тоо, соответствуют ли ему в таблице единица или нуль. Попробуем использовать этот метод в следующей «жизненной» ситуации. П р и м е р 4. Имеются орода A и B. В ороде A живут люди, вседа оворящие правду, а в ороде B живут лжецы, вседа оворящие неправду. Жители обоих ородов свободно ходят в ости дру  друу, поэтому в аждом ороде можно встретить жителей любоо из них. Каой вопрос должен задать путешественни первому встречному, чтобы по единственному ответу («да» или «нет») выяснить, в аом ороде он находится? Р е ш е н и е. Пусть p означает высазывание «вы оворите правду», а q — высазывание «это ород A». Требуется задать единственный вопрос, на оторый ответ «да» означал бы, что q истинно, а ответ «нет» — что q ложно, независимо от правдивости первоо встречноо. Если челове оворит правду, то он сажет «да», если высазывание истинно, и «нет» — если оно ложно; лжец поступит наоборот. Таблица истинности высазывания (ожидаемоо ответа) имеет следующий вид: p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

Ожидаемый ответ да нет да нет

1 0 0 1

Эта таблица истинности соответствует эвивалентности, т. е. (p J q), или высазыванию (p , q) # ( p , q ). Таим образом, заданный первому встречному вопрос должен установить, является ли истинной эвивалентность места жительства спрашиваемоо человеа и ео правдивость:«Верно

§ 88. Высказывания

529

ли, что это ород A и вы ео житель, или это ород B и вы ео житель?» С помощью этоо вопроса нужно выяснить, живет ли этот челове в данном ороде, поэтому ео можно сформулировать ороче: «Вы житель этоо орода?» 18. Один лои попал  диарям и был залючен в темницу, имеющую два выхода. Вождь диарей предложил пленниу следующий шанс на спасение: «Один выход ведет на верную смерть, друой — на свободу. Ты можешь избрать любой. Сделать выбор тебе помоут два моих воина. Они останутся здесь, чтобы ответить на один твой вопрос — любой, аой ты пожелаешь им задать. Но я предупреждаю тебя, что один воин вседа оворит правду, а второй вседа лжет». И вождь ушел. Через неоторое время лои, задав вопрос одному из воинов, вышел на свободу. Каой вопрос он задал? П р и м е р 5. Староста, физор и профор хотят использовать элетричесую схему, реистрирующую результаты тайноо олосования большинством олосов. Ка она должна вылядеть? Р е ш е н и е. Пусть p — высазывание «староста олосует за», q — высазывание «физор олосует за», r — высазывание «профор олосует за». Составим таблицу истинности интересующео нас высазывания: p

q

r

1 1 1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 1 0 0 1 0

Исомое высазывание 1 1 1 1 0 0 0 0

p,q,r p,q, r p, q ,r p ,q,r

Единицы в последнем столбце поставлены в тех строах, де число единиц больше числа нулей. Исомое высазывание имеет вид (p , q , r) # (p , q , r ) # (p , q , r) # ( p , q , r).

528

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

Ка следует из примера 3, а таже из решений упр. 16 и 17, алоритм построения составноо высазывания залючается в дизъюнции тех онъюнций простых высазываний, оторым соответствует единица в последнем столбце таблицы истинности. При этом в отдельную онъюнцию входит либо высазывание, либо ео отрицание в зависимости от тоо, соответствуют ли ему в таблице единица или нуль. Попробуем использовать этот метод в следующей «жизненной» ситуации. П р и м е р 4. Имеются орода A и B. В ороде A живут люди, вседа оворящие правду, а в ороде B живут лжецы, вседа оворящие неправду. Жители обоих ородов свободно ходят в ости дру  друу, поэтому в аждом ороде можно встретить жителей любоо из них. Каой вопрос должен задать путешественни первому встречному, чтобы по единственному ответу («да» или «нет») выяснить, в аом ороде он находится? Р е ш е н и е. Пусть p означает высазывание «вы оворите правду», а q — высазывание «это ород A». Требуется задать единственный вопрос, на оторый ответ «да» означал бы, что q истинно, а ответ «нет» — что q ложно, независимо от правдивости первоо встречноо. Если челове оворит правду, то он сажет «да», если высазывание истинно, и «нет» — если оно ложно; лжец поступит наоборот. Таблица истинности высазывания (ожидаемоо ответа) имеет следующий вид: p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

Ожидаемый ответ да нет да нет

1 0 0 1

Эта таблица истинности соответствует эвивалентности, т. е. (p J q), или высазыванию (p , q) # ( p , q ). Таим образом, заданный первому встречному вопрос должен установить, является ли истинной эвивалентность места жительства спрашиваемоо человеа и ео правдивость:«Верно

§ 88. Высказывания

529

ли, что это ород A и вы ео житель, или это ород B и вы ео житель?» С помощью этоо вопроса нужно выяснить, живет ли этот челове в данном ороде, поэтому ео можно сформулировать ороче: «Вы житель этоо орода?» 18. Один лои попал  диарям и был залючен в темницу, имеющую два выхода. Вождь диарей предложил пленниу следующий шанс на спасение: «Один выход ведет на верную смерть, друой — на свободу. Ты можешь избрать любой. Сделать выбор тебе помоут два моих воина. Они останутся здесь, чтобы ответить на один твой вопрос — любой, аой ты пожелаешь им задать. Но я предупреждаю тебя, что один воин вседа оворит правду, а второй вседа лжет». И вождь ушел. Через неоторое время лои, задав вопрос одному из воинов, вышел на свободу. Каой вопрос он задал? П р и м е р 5. Староста, физор и профор хотят использовать элетричесую схему, реистрирующую результаты тайноо олосования большинством олосов. Ка она должна вылядеть? Р е ш е н и е. Пусть p — высазывание «староста олосует за», q — высазывание «физор олосует за», r — высазывание «профор олосует за». Составим таблицу истинности интересующео нас высазывания: p

q

r

1 1 1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 1 0 0 1 0

Исомое высазывание 1 1 1 1 0 0 0 0

p,q,r p,q, r p, q ,r p ,q,r

Единицы в последнем столбце поставлены в тех строах, де число единиц больше числа нулей. Исомое высазывание имеет вид (p , q , r) # (p , q , r ) # (p , q , r) # ( p , q , r).

530

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

p

q

r

p

q

r

p

q

r

p

q

r

Рис. 72 Для ео реализации в виде элетричесой цепи достаточно доовориться, что истинность высазывания соответствует тому, что цепь проводит то (рис. 72). Лампоча заорится в том и тольо в том случае, если большинство проолосовало «за». 19. В условиях примера 5 реализуйте элетричесую схему, при оторой лампоча заорится, если хотя бы один участни проолосовал «за».

p

q p

q q

Рис. 73

p

q

p

q

Рис. 74

20. Каое высазывание реализует схема на рис. 73? 21. Придумайте схему более простую, чем в упр. 20, но реализующую то же самое высазывание. 22. Каое высазывание реализует схема на рис. 74?

§ 89. Предложения, зависящие от переменной

для аждоо значения переменной предложение есть высазывание и, следовательно, оно может быть либо истинным, либо ложным. Таим образом, множество A разбивается на два подмножества. Одно содержит те и тольо те значения переменной, при оторых предложение истинно, а друое — при оторых оно ложно. Например, для предложения x2 – 1 < 0 (x Ý R) множеством истинности является промежуто (–1; 1), а множеством, де оно ложно, — дополнение этоо промежута до всео множества R, т. е. объединение промежутов: (×; –1] [1; +×). Два предложения p(x) и q(x), определенные на одном и том же множестве, называют равносильными, если их множества истинности совпадают. Например, два предложения x2 – 1 < 0 и (x – 1) (x + 1) < 0 равносильны на множестве R. Для предложений, зависящих от переменных, а и для высазываний, можно ввести лоичесие операции. Например, если предложения p(x) и q(x) определены на одном множестве U, то предложение p(x) # q(x), являющееся их дизъюнцией, определено на том же множестве и в ачестве множества истинности имеет объединение множеств истинности предложений p(x) и q(x). Удобной иллюстрацией лоичесих связо являются та называемые схемы Вэна (рис. 75). Область определения всех предложений, участвующих в связах, — единичный вадрат. Множества истинности предложений, соответствующих уазанным лоичесим операциям, заштрихованы. На рис. 75, а изображено множество истинности дизъюнции p(x) # q(x); на рис. 75, б — множество истинности онъюнции p(x) , q(x); на рис. 75, в — множество истинности имплиации p(x) º q(x), на рис. 75,  — множество истинности отрицания p (x).

p

p

p

q

§ 89. Предложения, зависящие от переменной Пусть предложение зависит от переменной, принадлежащей неоторому множеству A. Это предложение, вообще оворя, не является высазыванием. Однао предполаается, что

531

q

q

p(x) ] q(x)

p(x) Ð q(x)

a)

á)

p(x)

q(x) â)

Рис. 75

p

p p(x) ã)

530

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

p

q

r

p

q

r

p

q

r

p

q

r

Рис. 72 Для ео реализации в виде элетричесой цепи достаточно доовориться, что истинность высазывания соответствует тому, что цепь проводит то (рис. 72). Лампоча заорится в том и тольо в том случае, если большинство проолосовало «за». 19. В условиях примера 5 реализуйте элетричесую схему, при оторой лампоча заорится, если хотя бы один участни проолосовал «за».

p

q p

q q

Рис. 73

p

q

p

q

Рис. 74

20. Каое высазывание реализует схема на рис. 73? 21. Придумайте схему более простую, чем в упр. 20, но реализующую то же самое высазывание. 22. Каое высазывание реализует схема на рис. 74?

§ 89. Предложения, зависящие от переменной

для аждоо значения переменной предложение есть высазывание и, следовательно, оно может быть либо истинным, либо ложным. Таим образом, множество A разбивается на два подмножества. Одно содержит те и тольо те значения переменной, при оторых предложение истинно, а друое — при оторых оно ложно. Например, для предложения x2 – 1 < 0 (x Ý R) множеством истинности является промежуто (–1; 1), а множеством, де оно ложно, — дополнение этоо промежута до всео множества R, т. е. объединение промежутов: (×; –1] [1; +×). Два предложения p(x) и q(x), определенные на одном и том же множестве, называют равносильными, если их множества истинности совпадают. Например, два предложения x2 – 1 < 0 и (x – 1) (x + 1) < 0 равносильны на множестве R. Для предложений, зависящих от переменных, а и для высазываний, можно ввести лоичесие операции. Например, если предложения p(x) и q(x) определены на одном множестве U, то предложение p(x) # q(x), являющееся их дизъюнцией, определено на том же множестве и в ачестве множества истинности имеет объединение множеств истинности предложений p(x) и q(x). Удобной иллюстрацией лоичесих связо являются та называемые схемы Вэна (рис. 75). Область определения всех предложений, участвующих в связах, — единичный вадрат. Множества истинности предложений, соответствующих уазанным лоичесим операциям, заштрихованы. На рис. 75, а изображено множество истинности дизъюнции p(x) # q(x); на рис. 75, б — множество истинности онъюнции p(x) , q(x); на рис. 75, в — множество истинности имплиации p(x) º q(x), на рис. 75,  — множество истинности отрицания p (x).

p

p

p

q

§ 89. Предложения, зависящие от переменной Пусть предложение зависит от переменной, принадлежащей неоторому множеству A. Это предложение, вообще оворя, не является высазыванием. Однао предполаается, что

531

q

q

p(x) ] q(x)

p(x) Ð q(x)

a)

á)

p(x)

q(x) â)

Рис. 75

p

p p(x) ã)

532

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

П р и м е р 1. Пусть A(x) = {x + 3 < 0} и B(x) = {x – 2 l 0} — два предложения, зависящие от переменной x (x Ý R). Найдите множество истинности для предложения: 1) A(x) # B(x); 2) A(x) , B(x); 3) A(x) , B (x); 4) A(x) º B(x); 5) A(x) º B (x). Р е ш е н и е. 1) Для предложения A(x) # B(x) множеством истинности является множество тех и тольо тех значений x, при оторых верно хотя бы одно из неравенств x+3<0

или

x – 2 l 0,

т. е. объединение промежутов: (–×; –3) Ÿ [2; +×). 2) Для предложения A(x) , B(x) множеством истинности является множество тех и тольо тех значений x, при оторых справедливы оба данных неравенства. Друими словами, это множество является решением системы x + 3 < 0, _ x–2l0

x < –3, _ ¾. xl2

3) Для предложения A(x) , B (x) множеством истинности является множество тех и тольо тех значений x, при оторых справедливы оба неравенства x + 3 < 0 и x – 2 < 0, т. е. это множество решений системы x + 3 < 0, _ x–2<0

x < –3, _ (–×; –3). x<2

4) Для предложения A(x) º B(x) («если x + 3 < 0, то x – 2 l l 0») множество истинности не содержит ни одноо элемента. 5) Для предложения A(x) º B (x) («если x + 3 < 0, то x – 2 < < 0») множеством истинности является вся числовая прямая. 1. Пусть A(x) = {x – 2 > 0}, B(x) = {x + 2 l 0} — два предложения, зависящие от переменной x (x Ý R). Уажите множество истинности предложения: а) A(x) # B(x); б) A(x) , B(x); в) A(x) º B(x); ) B(x) º A(x);

д) A(x) º B (x);

е) B (x) º A (x).

{x2

+ x + 1 l 0}, B(x) = {x + 2 l 0} — два 2. Пусть A(x) = предложения, зависящие от переменной x (x Ý R). Уажите множество истинности предложения: а) A(x) # B(x); б) A(x) , B(x); в) A(x) º B(x); ) B(x) º A(x);

д) A(x) º B (x);

е) B (x) º A (x).

§ 89. Предложения, зависящие от переменной

533

3. Определите множество истинности предложения A =  1 1  --=  ------------n + 1 < 3  , определенноо для всех n Ý N.   4. При аих значениях параметра a множество истинности предложения a–1

2

------x – 2 · -----------a m 3a (x + 1)

представляет собой промежуто: а) [2; +×); б) (–×; 2]? 5. Найдите множество истинности предложения 2x + 1 +

2x – 5 l

5 – 2x .

6. Пусть A(x, y) = {(a + 1)x + 8y = 4a}, B(x, y) = {ax + (a + 3)y = = 3a – 1} — два предложения, определенные для всех пар действительных чисел (x; y). При аом значении параметра a предложение A(x, y) , B(x, y) имеет множество истинности: а) состоящее тольо из одноо элемента (x; y); б) состоящее более чем из одноо элемента (x; y); в) не содержащее ни одноо элемента? 7. Пусть A(x) = {ax – 1 m 0}, B(x) = {x – 4a l 0} — два предложения, определенные для всех действительных значений x. При аих значениях a множество истинности предложения A(x) , B(x) не пусто? С предложениями, зависящими от переменной, близо связаны два часто встречающихся утверждения. 10. Предложение A(x) (x Ý M) истинно для всех элементов множества M. 20. Найдется хотя бы один элемент множества M, для отороо A(x) (x Ý M) истинно. Эти утверждения настольо часто встречаются в математие, что получили специальную ратую символичесую запись: зна общности > и зна сществования <. Зна > заменяет слова: «для всех», «всяий», «любой», «аждый». Зна < употребляется вместо слов: «хотя бы один», «найдется», «существует». С помощью этих знаов утверждения 10 и 20 можно записать та: 10. (>x Ý M) A(x); 20. (<x Ý M) A(x). Утверждение 10 залючается в том, что множество истинности A(x) совпадает с M. Утверждение 20 залючается в том, что множество истинности A(x) не пусто. Оба утверждения

532

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

П р и м е р 1. Пусть A(x) = {x + 3 < 0} и B(x) = {x – 2 l 0} — два предложения, зависящие от переменной x (x Ý R). Найдите множество истинности для предложения: 1) A(x) # B(x); 2) A(x) , B(x); 3) A(x) , B (x); 4) A(x) º B(x); 5) A(x) º B (x). Р е ш е н и е. 1) Для предложения A(x) # B(x) множеством истинности является множество тех и тольо тех значений x, при оторых верно хотя бы одно из неравенств x+3<0

или

x – 2 l 0,

т. е. объединение промежутов: (–×; –3) Ÿ [2; +×). 2) Для предложения A(x) , B(x) множеством истинности является множество тех и тольо тех значений x, при оторых справедливы оба данных неравенства. Друими словами, это множество является решением системы x + 3 < 0, _ x–2l0

x < –3, _ ¾. xl2

3) Для предложения A(x) , B (x) множеством истинности является множество тех и тольо тех значений x, при оторых справедливы оба неравенства x + 3 < 0 и x – 2 < 0, т. е. это множество решений системы x + 3 < 0, _ x–2<0

x < –3, _ (–×; –3). x<2

4) Для предложения A(x) º B(x) («если x + 3 < 0, то x – 2 l l 0») множество истинности не содержит ни одноо элемента. 5) Для предложения A(x) º B (x) («если x + 3 < 0, то x – 2 < < 0») множеством истинности является вся числовая прямая. 1. Пусть A(x) = {x – 2 > 0}, B(x) = {x + 2 l 0} — два предложения, зависящие от переменной x (x Ý R). Уажите множество истинности предложения: а) A(x) # B(x); б) A(x) , B(x); в) A(x) º B(x); ) B(x) º A(x);

д) A(x) º B (x);

е) B (x) º A (x).

{x2

+ x + 1 l 0}, B(x) = {x + 2 l 0} — два 2. Пусть A(x) = предложения, зависящие от переменной x (x Ý R). Уажите множество истинности предложения: а) A(x) # B(x); б) A(x) , B(x); в) A(x) º B(x); ) B(x) º A(x);

д) A(x) º B (x);

е) B (x) º A (x).

§ 89. Предложения, зависящие от переменной

533

3. Определите множество истинности предложения A =  1 1  --=  ------------n + 1 < 3  , определенноо для всех n Ý N.   4. При аих значениях параметра a множество истинности предложения a–1

2

------x – 2 · -----------a m 3a (x + 1)

представляет собой промежуто: а) [2; +×); б) (–×; 2]? 5. Найдите множество истинности предложения 2x + 1 +

2x – 5 l

5 – 2x .

6. Пусть A(x, y) = {(a + 1)x + 8y = 4a}, B(x, y) = {ax + (a + 3)y = = 3a – 1} — два предложения, определенные для всех пар действительных чисел (x; y). При аом значении параметра a предложение A(x, y) , B(x, y) имеет множество истинности: а) состоящее тольо из одноо элемента (x; y); б) состоящее более чем из одноо элемента (x; y); в) не содержащее ни одноо элемента? 7. Пусть A(x) = {ax – 1 m 0}, B(x) = {x – 4a l 0} — два предложения, определенные для всех действительных значений x. При аих значениях a множество истинности предложения A(x) , B(x) не пусто? С предложениями, зависящими от переменной, близо связаны два часто встречающихся утверждения. 10. Предложение A(x) (x Ý M) истинно для всех элементов множества M. 20. Найдется хотя бы один элемент множества M, для отороо A(x) (x Ý M) истинно. Эти утверждения настольо часто встречаются в математие, что получили специальную ратую символичесую запись: зна общности > и зна сществования <. Зна > заменяет слова: «для всех», «всяий», «любой», «аждый». Зна < употребляется вместо слов: «хотя бы один», «найдется», «существует». С помощью этих знаов утверждения 10 и 20 можно записать та: 10. (>x Ý M) A(x); 20. (<x Ý M) A(x). Утверждение 10 залючается в том, что множество истинности A(x) совпадает с M. Утверждение 20 залючается в том, что множество истинности A(x) не пусто. Оба утверждения

534

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

представляют собой высазывания и моут быть истинны или ложны*. Например, предложение с переменной A(x) = {x – 3) > 0},

и

(<x Ý R) A(x).

Первое из них ложно, второе — истинно. Если в ачестве M взять интервал (3; +×), то оба высазывания (>x Ý M) A(x) и (<x Ý M) A(x) истинны. П р и м е р 2. Выяснить истинность следующих высазываний: (>x Ý R) (x Ý R) (x + y = 3). Р е ш е н и е. Первое высазывание означает: «для любоо действительноо числа x существует действительное число y таое, что справедливо равенство x + y = 3». Это высазывание истинно, та а для аждоо x в ачестве y достаточно взять значение 3 – x. Второе высазывание означает: «существует таое действительное число y, что для всех действительных чисел x справедливо равенство x + y = 3». Очевидно, что нет ни одноо таоо числа y, оторое сразу для всех x обеспечивало бы равенство x + y = 3. Следовательно, второе высазывание ложно. Сформулируйте и выясните истинность данноо высазывания: 8. (<x Ý R) (x Ý R) (>y Ý R) (x + y = 3). 10. (>x Ý R) (>y Ý R) (x < y) ^ (x Ý R) (x2 + 1 > 0). 12. (>x Ý R) ((x + 1)(x – 1) > 0 ^ (x2 – 1) > 0). 13. (>x Ý R) (x2 – 1 > 0 ^ x – 1 > 0). 14. (>x Ý R) (x – 1 > 0 ^ x2 – 1 > 0). 15. (<x Ý R) ( x 2 < x). 16. (<x Ý R) ( x 2 l x). 17. (>x Ý R) (>y Ý R) (lg (xy) = lg x + lg y). * Зна > называют
вантором общности, а зна < —
вантором сществования.

535

Чтобы убедиться в ложности высазывания (>x Ý M)A(x), достаточно найти хотя бы один элемент x Ý M, для отороо высазывание A(x) ложно. Таим образом,

x Ý R,

рассматриваемое на множестве действительных чисел, допусает два высазывания (>x Ý R) A(x)

§ 89. Предложения, зависящие от переменной

(>x Ý M)A(x) = (<x Ý M) A(x) ,

(1)

и, наоборот, чтобы убедиться в ложности высазывания (<x Ý M) A(x), необходимо проверить, что для всех x Ý M справедливо высазывание A(x) , т. е. (<x Ý M)A(x) = (>x Ý M) A(x) .

(2)

Равенства (1) и (2) позволяют формально строить отрицания для утверждений, содержащих ванторы общности и существования. П р и м е р 3. Сформулировать с помощью лоичесих символов два утверждения: 1) число a является пределом числовой последовательности u n ; 2) число a не является пределом числовой последовательности u n . Р е ш е н и е. 1) Напомним словесную формулирову утверждения lim un = a. Число a является пределом числовой послеnº×

довательности, если для любоо ε > 0 существует таое N, что при всех n > N справедливо неравенство | un – a| < ε (т. е. если n > N, то | u n – a| < ε). Используя лоичесую символиу, получаем (>ε > 0)

(
(>n Ý N)

(n > N º | u n – a| < ε).

2) Для построения утверждения lim un − a с помощью лоnº×

ичесой символии воспользуемся свойствами операции отрицания: (>ε > 0) = (<ε > 0) = (<ε > 0)

(N Ý N) (>N Ý N)

(>n Ý N) (
(n > N º u n – a < ε) = ( n > N º un – a < ε ) = ((n > N) , (| u n – a| l ε)).

При построении отрицания замена вантора общности на вантор существования следует из правил (1) и (2). Из этих же правил следует зна отрицания над высазыванием, означающим имплиацию A º B, де высазывания A и B имеют вид A = {n > N},

а

B = {|un – a| < ε}.

534

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

представляют собой высазывания и моут быть истинны или ложны*. Например, предложение с переменной A(x) = {x – 3) > 0},

и

(<x Ý R) A(x).

Первое из них ложно, второе — истинно. Если в ачестве M взять интервал (3; +×), то оба высазывания (>x Ý M) A(x) и (<x Ý M) A(x) истинны. П р и м е р 2. Выяснить истинность следующих высазываний: (>x Ý R) (x Ý R) (x + y = 3). Р е ш е н и е. Первое высазывание означает: «для любоо действительноо числа x существует действительное число y таое, что справедливо равенство x + y = 3». Это высазывание истинно, та а для аждоо x в ачестве y достаточно взять значение 3 – x. Второе высазывание означает: «существует таое действительное число y, что для всех действительных чисел x справедливо равенство x + y = 3». Очевидно, что нет ни одноо таоо числа y, оторое сразу для всех x обеспечивало бы равенство x + y = 3. Следовательно, второе высазывание ложно. Сформулируйте и выясните истинность данноо высазывания: 8. (<x Ý R) (x Ý R) (>y Ý R) (x + y = 3). 10. (>x Ý R) (>y Ý R) (x < y) ^ (x Ý R) (x2 + 1 > 0). 12. (>x Ý R) ((x + 1)(x – 1) > 0 ^ (x2 – 1) > 0). 13. (>x Ý R) (x2 – 1 > 0 ^ x – 1 > 0). 14. (>x Ý R) (x – 1 > 0 ^ x2 – 1 > 0). 15. (<x Ý R) ( x 2 < x). 16. (<x Ý R) ( x 2 l x). 17. (>x Ý R) (>y Ý R) (lg (xy) = lg x + lg y). * Зна > называют
вантором общности, а зна < —
вантором сществования.

535

Чтобы убедиться в ложности высазывания (>x Ý M)A(x), достаточно найти хотя бы один элемент x Ý M, для отороо высазывание A(x) ложно. Таим образом,

x Ý R,

рассматриваемое на множестве действительных чисел, допусает два высазывания (>x Ý R) A(x)

§ 89. Предложения, зависящие от переменной

(>x Ý M)A(x) = (<x Ý M) A(x) ,

(1)

и, наоборот, чтобы убедиться в ложности высазывания (<x Ý M) A(x), необходимо проверить, что для всех x Ý M справедливо высазывание A(x) , т. е. (<x Ý M)A(x) = (>x Ý M) A(x) .

(2)

Равенства (1) и (2) позволяют формально строить отрицания для утверждений, содержащих ванторы общности и существования. П р и м е р 3. Сформулировать с помощью лоичесих символов два утверждения: 1) число a является пределом числовой последовательности u n ; 2) число a не является пределом числовой последовательности u n . Р е ш е н и е. 1) Напомним словесную формулирову утверждения lim un = a. Число a является пределом числовой послеnº×

довательности, если для любоо ε > 0 существует таое N, что при всех n > N справедливо неравенство | un – a| < ε (т. е. если n > N, то | u n – a| < ε). Используя лоичесую символиу, получаем (>ε > 0)

(
(>n Ý N)

(n > N º | u n – a| < ε).

2) Для построения утверждения lim un − a с помощью лоnº×

ичесой символии воспользуемся свойствами операции отрицания: (>ε > 0) = (<ε > 0) = (<ε > 0)

(N Ý N) (>N Ý N)

(>n Ý N) (
(n > N º u n – a < ε) = ( n > N º un – a < ε ) = ((n > N) , (| u n – a| l ε)).

При построении отрицания замена вантора общности на вантор существования следует из правил (1) и (2). Из этих же правил следует зна отрицания над высазыванием, означающим имплиацию A º B, де высазывания A и B имеют вид A = {n > N},

а

B = {|un – a| < ε}.

536

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

Но отрицание имплиации A º B представляет собой онъюнцию A , B . Действительно, A º B = (A , B) # A = (A , B) , A = A # B , A = A , B . Таим образом, словесная формулирова утверждения lim u n − a состоит в следующем: «число a не является предеnº×

лом последовательности u n , если существует ε > 0 таое, что для любоо N Ý N найдется номер n Ý N таой, что истинны одновременно два высазывания n > N и | un – a| l ε». 18. Используя лоичесую символиу, запишите высазывание и ео отрицание: а) «последовательность ораничена»; б) «последовательность монотонно возрастает». 19. Используя лоичесую символиу, сформулируйте высазывание lim f(x) = b. xºa

§ 90. Метод математической индукции

537

n Ý N, поступают та: проверяют истинность α(1) и истинность имплиации α(k) º α(k + 1), де k — произвольное натуральное число. Поажем, что если истинно α(1) и α(k) º α(k + 1), то α(3) истинно. Действительно, та а α(1) истинно, то, используя истинность имплиации α(k) º α(k + 1) для любоо k Ý N, положим k = 1 и получим истинность α(2), а положив в высазывании α(k) º α(k + 1) k = 2, получим истинность α(3). На язые лоичесой символии принцип математичесой индуции можно записать следующим образом: (α(1) , (α(k) º α(k + 1))) º (>n Ý N) (α(n)) или (α(1) , ((>k Ý N) (α(k) º α(k + 1)))) º (>n Ý N) (α(n)). П р и м е р 1. Доазать, что при любом n выражение n(2n2 – 3n + 1)

20. Число M называют точной верхней ранью фунции f(x) на отрезе [a; b], если выполняются два условия: 1) f(x) m M при всех x Ý [a; b]; 2) для любоо ε > 0 найдется x Ý [a; b] таое, что f(x) > M – ε. В том случае, ода M — точная верхняя рань f(x) на отрезе [a; b], пишут: M = sup f(x).

делится на 6. Р е ш е н и е. Высазывание α(n), сформулированное в условии, определено для любоо n Ý N. Соласно принципу математичесой индуции, проверим истинность α(1). При n = 1 получаем 1 · (2 – 3 + 1) = 0;

а) Используя лоичесую символиу, сформулируйте высазывание M = sup f(x).

та а 0 делится на 6, то высазывание α(1) истинно. Предположим, что истинно высазывание α(k), т. е. k(2k2 – – 3k + 1) делится на 6. Доажем, что при этом условии высазывание α(k + 1) таже будет истинным. В самом деле, составим разность α(k + 1) – α(k) = (*) = (k + 1) (2(k + 1)2 – 3(k + 1) + 1) – k(2k2 – 3k + 1).

x Ý [a; b]

x Ý [a; b]

б) Используя лоичесую символиу, сформулируйте обратное утверждение M − sup f(x). x Ý [a; b]

Приведите словесную формулирову аждоо высазывания.

Расрывая соби в выражении (*) и руппируя члены, имеем

§ 90. Метод математической индукции В различных разделах математии часто приходится доазывать истинность неотороо предложения α(n), зависящео от натуральноо n сразу для всех значений переменной n Ý N. Метод математичес ой инд ции основан на следующем принципе. Если α — неоторое утверждение, имеющее смысл при всех n Ý N, то чтобы установить ео истинность при всех

2[(k + 1)3 – k3] – 3[(k + 1)2 – k2] + (k + 1 – k) = = 2[(k + 1)2 + k(k + 1) + k2] – 3[k + 1 + k] + 1 = = 6k2 + 6k + 2 – 6k – 3 + 1 = 6k2.

(**)

Таим образом, для любоо натуральноо k имплиация α(k) º α(k + 1) истинна. Друими словами, доазана истинность составноо высазывания α(1) , (>k Ý N) (α(k) º α(k + 1)),

536

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

Но отрицание имплиации A º B представляет собой онъюнцию A , B . Действительно, A º B = (A , B) # A = (A , B) , A = A # B , A = A , B . Таим образом, словесная формулирова утверждения lim u n − a состоит в следующем: «число a не является предеnº×

лом последовательности u n , если существует ε > 0 таое, что для любоо N Ý N найдется номер n Ý N таой, что истинны одновременно два высазывания n > N и | un – a| l ε». 18. Используя лоичесую символиу, запишите высазывание и ео отрицание: а) «последовательность ораничена»; б) «последовательность монотонно возрастает». 19. Используя лоичесую символиу, сформулируйте высазывание lim f(x) = b. xºa

§ 90. Метод математической индукции

537

n Ý N, поступают та: проверяют истинность α(1) и истинность имплиации α(k) º α(k + 1), де k — произвольное натуральное число. Поажем, что если истинно α(1) и α(k) º α(k + 1), то α(3) истинно. Действительно, та а α(1) истинно, то, используя истинность имплиации α(k) º α(k + 1) для любоо k Ý N, положим k = 1 и получим истинность α(2), а положив в высазывании α(k) º α(k + 1) k = 2, получим истинность α(3). На язые лоичесой символии принцип математичесой индуции можно записать следующим образом: (α(1) , (α(k) º α(k + 1))) º (>n Ý N) (α(n)) или (α(1) , ((>k Ý N) (α(k) º α(k + 1)))) º (>n Ý N) (α(n)). П р и м е р 1. Доазать, что при любом n выражение n(2n2 – 3n + 1)

20. Число M называют точной верхней ранью фунции f(x) на отрезе [a; b], если выполняются два условия: 1) f(x) m M при всех x Ý [a; b]; 2) для любоо ε > 0 найдется x Ý [a; b] таое, что f(x) > M – ε. В том случае, ода M — точная верхняя рань f(x) на отрезе [a; b], пишут: M = sup f(x).

делится на 6. Р е ш е н и е. Высазывание α(n), сформулированное в условии, определено для любоо n Ý N. Соласно принципу математичесой индуции, проверим истинность α(1). При n = 1 получаем 1 · (2 – 3 + 1) = 0;

а) Используя лоичесую символиу, сформулируйте высазывание M = sup f(x).

та а 0 делится на 6, то высазывание α(1) истинно. Предположим, что истинно высазывание α(k), т. е. k(2k2 – – 3k + 1) делится на 6. Доажем, что при этом условии высазывание α(k + 1) таже будет истинным. В самом деле, составим разность α(k + 1) – α(k) = (*) = (k + 1) (2(k + 1)2 – 3(k + 1) + 1) – k(2k2 – 3k + 1).

x Ý [a; b]

x Ý [a; b]

б) Используя лоичесую символиу, сформулируйте обратное утверждение M − sup f(x). x Ý [a; b]

Приведите словесную формулирову аждоо высазывания.

Расрывая соби в выражении (*) и руппируя члены, имеем

§ 90. Метод математической индукции В различных разделах математии часто приходится доазывать истинность неотороо предложения α(n), зависящео от натуральноо n сразу для всех значений переменной n Ý N. Метод математичес ой инд ции основан на следующем принципе. Если α — неоторое утверждение, имеющее смысл при всех n Ý N, то чтобы установить ео истинность при всех

2[(k + 1)3 – k3] – 3[(k + 1)2 – k2] + (k + 1 – k) = = 2[(k + 1)2 + k(k + 1) + k2] – 3[k + 1 + k] + 1 = = 6k2 + 6k + 2 – 6k – 3 + 1 = 6k2.

(**)

Таим образом, для любоо натуральноо k имплиация α(k) º α(k + 1) истинна. Друими словами, доазана истинность составноо высазывания α(1) , (>k Ý N) (α(k) º α(k + 1)),

538

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

оторое является условием истинности имплиации α(1) , (>k Ý N) (α(k) º α(k + 1)) º (>n Ý N) (α(n)).

(***)

§ 90. Метод математической индукции

При условии истинности высазывания α(k) левую часть равенства (**) можно представить в виде k ( k + 1 ) ( 2k + 1 ) --------------------------------------------- + (k + 1)2. 6

Та а составное высазывание (***) истинно, то утверждение доазано. 2n – 3

2. 11

+3

n+1

n+1

+ 12

+3

2n – 1

n–1

( k + 1 ) ( 2k 2 + 7k + 6 ) ( k + 1 ) [ k(2k + 1) + 6 ( k + 1 ) ] --------------------------------------------------------------------------------- = ----------------------------------------------------------- . 6 6

делится на 11.

делится на 133.

Заметим, что произведение (k + 2) (2(k + 1) + 1), входящее в правую часть равенства (**), равно 2k2 + 7k + 6. Таим образом, из истинности α(k) следует истинность α(k + 1), т. е. для любоо натуральноо k доазана имплиация α(k) º α(k + 1). Тем самым справедливость формулы (*) установлена.

3. n5 – n ратно 5. 4. 5 · 23n – 2 + 33n – 1 ратно 19. 5. n7 – n ратно 7. n

6. 2 2 + 1 оанчивается цифрой 7 при n > 1. n

n

n

7. Доажите, что если n четно, то 20 + 16 – 3 – 1 делится на 323. 8. Доажите, что число n

(10 + 10

n–1

+ ... + 1) (10

(***)

Преобразуем выражение (***):

Доажите, что при любом n Ý N: 1. 6

539

n+1

Доажите, что для любоо натуральноо n справедливо равенство: 19. 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2. n ( 4n 2 – 1 )

+ 5) + 1

10. 12 + 32 + 52 + ... + (2n + 1)2 = ----------------------------. 3

есть точный вадрат.

( n – 1 )n ( n + 1 )

П р и м е р 2. Методом математичесой индуции доазать формулу n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )

-. 12 + 22 + 32 + ... + n2 = ---------------------------------------------6

(*)

Р е ш е н и е. Высазывание α(n), означающее, что формула (*) имеет место, определено при любом натуральном n. Высазывание α(1) истинно, та а

Предположим, что α(k) истинно, т. е. справедлива формула k ( k + 1 ) ( 2k + 1 )

. 12 + 22 + 32 + ... + k2 = --------------------------------------------6 Выясним, будет ли при этом условии истинно α(k + 1), т. е. будет ли верна формула (k + 1 )(k + 2)(2(k + 1) + 1)

1

1

1

n

------------------------------------------------------------------------12. ---------1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + ... + ( 2n – 1 ) ( 2n + 1 ) = 2n + 1 . n2 ( n + 1 )2

-. 13. 13 + 23 + ... + n3 = ---------------------------4 n 2 ( n + 1 ) 2 ( 2n 2 + 2n – 1 )

-. 14. 15 + 25 + ... + n5 = --------------------------------------------------------------------12

С помощью метода математичесой индуции удобно доазывать справедливость неоторых неравенств.

1⋅2⋅3

-. 12 = -----------------6

-. 12 + 22 + 32 + ... + (k + 1)2 = ---------------------------------------------------------------------------6

-. 11. 1 · 2 + 2 · 3 + ... + (n – 1)n = ----------------------------------------3

П р и м е р 3. Доазать, что при a > –1 справедливо неравенство n (1 + a) l 1 + na. Р е ш е н и е. Проверим, что α(1) истинно. Действительно, 1 + a = 1 + a. Предположим, что α(k) истинно, т. е.

(**)

(1 + a)k l 1 + ka.

(*)

538

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

оторое является условием истинности имплиации α(1) , (>k Ý N) (α(k) º α(k + 1)) º (>n Ý N) (α(n)).

(***)

§ 90. Метод математической индукции

При условии истинности высазывания α(k) левую часть равенства (**) можно представить в виде k ( k + 1 ) ( 2k + 1 ) --------------------------------------------- + (k + 1)2. 6

Та а составное высазывание (***) истинно, то утверждение доазано. 2n – 3

2. 11

+3

n+1

n+1

+ 12

+3

2n – 1

n–1

( k + 1 ) ( 2k 2 + 7k + 6 ) ( k + 1 ) [ k(2k + 1) + 6 ( k + 1 ) ] --------------------------------------------------------------------------------- = ----------------------------------------------------------- . 6 6

делится на 11.

делится на 133.

Заметим, что произведение (k + 2) (2(k + 1) + 1), входящее в правую часть равенства (**), равно 2k2 + 7k + 6. Таим образом, из истинности α(k) следует истинность α(k + 1), т. е. для любоо натуральноо k доазана имплиация α(k) º α(k + 1). Тем самым справедливость формулы (*) установлена.

3. n5 – n ратно 5. 4. 5 · 23n – 2 + 33n – 1 ратно 19. 5. n7 – n ратно 7. n

6. 2 2 + 1 оанчивается цифрой 7 при n > 1. n

n

n

7. Доажите, что если n четно, то 20 + 16 – 3 – 1 делится на 323. 8. Доажите, что число n

(10 + 10

n–1

+ ... + 1) (10

(***)

Преобразуем выражение (***):

Доажите, что при любом n Ý N: 1. 6

539

n+1

Доажите, что для любоо натуральноо n справедливо равенство: 19. 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2. n ( 4n 2 – 1 )

+ 5) + 1

10. 12 + 32 + 52 + ... + (2n + 1)2 = ----------------------------. 3

есть точный вадрат.

( n – 1 )n ( n + 1 )

П р и м е р 2. Методом математичесой индуции доазать формулу n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )

-. 12 + 22 + 32 + ... + n2 = ---------------------------------------------6

(*)

Р е ш е н и е. Высазывание α(n), означающее, что формула (*) имеет место, определено при любом натуральном n. Высазывание α(1) истинно, та а

Предположим, что α(k) истинно, т. е. справедлива формула k ( k + 1 ) ( 2k + 1 )

. 12 + 22 + 32 + ... + k2 = --------------------------------------------6 Выясним, будет ли при этом условии истинно α(k + 1), т. е. будет ли верна формула (k + 1 )(k + 2)(2(k + 1) + 1)

1

1

1

n

------------------------------------------------------------------------12. ---------1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + ... + ( 2n – 1 ) ( 2n + 1 ) = 2n + 1 . n2 ( n + 1 )2

-. 13. 13 + 23 + ... + n3 = ---------------------------4 n 2 ( n + 1 ) 2 ( 2n 2 + 2n – 1 )

-. 14. 15 + 25 + ... + n5 = --------------------------------------------------------------------12

С помощью метода математичесой индуции удобно доазывать справедливость неоторых неравенств.

1⋅2⋅3

-. 12 = -----------------6

-. 12 + 22 + 32 + ... + (k + 1)2 = ---------------------------------------------------------------------------6

-. 11. 1 · 2 + 2 · 3 + ... + (n – 1)n = ----------------------------------------3

П р и м е р 3. Доазать, что при a > –1 справедливо неравенство n (1 + a) l 1 + na. Р е ш е н и е. Проверим, что α(1) истинно. Действительно, 1 + a = 1 + a. Предположим, что α(k) истинно, т. е.

(**)

(1 + a)k l 1 + ka.

(*)

540

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

Доажем теперь, что истинность α(k + 1) следует из истинности α(k). Умножив обе части неравенства (*) на 1 + a, имеем

§ 91. Системы счисления

нованием t (или, ороче, в t-ичной системе счисления, де t > 1, t Ý N), если оно представлено в виде

(1 + a)k + 1 l (1 + ka) (1 + a),

n

A = an t + an – 1 t

или (1 + a)k + 1 l 1 + (k + 1)a + ka2. Та а

ka2

l 0, то справедливо неравенство (1 + a)k + 1 l 1 + (k + 1)a.

Значит, доазана имплиация α(k) º α(k + 1). Ита, справедливость исходноо неравенства установлена.

541

n–1

+ ... + a 1 t + a 0 ,

де 0 m ai < t, i = 0, 1, ..., n. Числа a0, a1, ..., an называют t-ичными цифрами числа A, а число t — основанием t-ичной системы счисления. При t = 10 получаем десятичную систему счисления. n

Ясно, что a0 = A – (a n t + ... + a 1 t) является остатом от

Доажите, что для любоо n Ý N справедливо неравенство:

деления A на t. При делении A на t неполное частное имеет вид

x 1 + x 2 + ... + x n - m n x x ...x , если x > 0 (1 m i m n). 15. ---------------------------------------------1 2 n i n

an t

2n – 1 1 3 5 1 -. 16. --2- · --4- · --6- ... ----------------2n < --------------------3n + 1 1

n

1 - < n. 17. --2- < 1 + --2- + ... + --------------n 2 –1

a n 19. x1x2 ... xn m  --n-  , если xi > 0 (1 m i m n) и x1 + x2 + ...  

... + xn = a. 1 1

1 2

1 3

1 n

n

n.

( 2n )! ( n! )

4 - > -------------2- . 21. ------------n+1

22. Пользуясь тем, что ln (1 + x) < x, доажите неравенство 1

1

+ ... + a 1 . Если разделить ео на t, то в остате полу-

чим a1. Поступая далее та же, будем последовательно получать все цифры числа A в t-ичной системе. Если число A имеет вид A = ant–n + an – 1t–n + 1 + ... + a1 · t–1,

18. (1 – x1) (1 – x2) ... (1 – xn) l 0,5, если xi > 0 (1 m i m n) и x1 + x2 + ... + xn m 0,5.

20. ------- + ------- + ------- + ... + ------- >

n–1

1

1 + --2- + --3- + ... + --n- > ln (n + 1).

§ 91. Системы счисления Здесь мы будем рассматривать тольо та называемые позиционные системы счисления. Напомним, что целое число A называют записанным в (позиционной) системе счисления с ос-

то для получения цифр этоо числа ео требуется умножать последовательно на t. При первом умножении имеем At = a n t

–n+1

+ an – 1 t

–n+2

+ ... + a 1 ;

здесь a1 — целое число. Чтобы найти a2, следует умножить на t число At – a1; тода a2 будет следующей цифрой данноо числа. Поступая та далее, мы будем получать последовательно цифры дробноо числа A в t-ичной записи. П р и м е р 1. Записать числа 506 и 0,506 в системе счисления с основанием 4. Р е ш е н и е. Соласно изложенному выше алоритму, имеем 506 4 2 126 4 2 31 4 3 7 4 3 1 Записывая подчернутые остати в обратном поряде, получаем запись числа 506 в четверичной системе счисления: (506)10 = (13322)4.

540

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

Доажем теперь, что истинность α(k + 1) следует из истинности α(k). Умножив обе части неравенства (*) на 1 + a, имеем

§ 91. Системы счисления

нованием t (или, ороче, в t-ичной системе счисления, де t > 1, t Ý N), если оно представлено в виде

(1 + a)k + 1 l (1 + ka) (1 + a),

n

A = an t + an – 1 t

или (1 + a)k + 1 l 1 + (k + 1)a + ka2. Та а

ka2

l 0, то справедливо неравенство (1 + a)k + 1 l 1 + (k + 1)a.

Значит, доазана имплиация α(k) º α(k + 1). Ита, справедливость исходноо неравенства установлена.

541

n–1

+ ... + a 1 t + a 0 ,

де 0 m ai < t, i = 0, 1, ..., n. Числа a0, a1, ..., an называют t-ичными цифрами числа A, а число t — основанием t-ичной системы счисления. При t = 10 получаем десятичную систему счисления. n

Ясно, что a0 = A – (a n t + ... + a 1 t) является остатом от

Доажите, что для любоо n Ý N справедливо неравенство:

деления A на t. При делении A на t неполное частное имеет вид

x 1 + x 2 + ... + x n - m n x x ...x , если x > 0 (1 m i m n). 15. ---------------------------------------------1 2 n i n

an t

2n – 1 1 3 5 1 -. 16. --2- · --4- · --6- ... ----------------2n < --------------------3n + 1 1

n

1 - < n. 17. --2- < 1 + --2- + ... + --------------n 2 –1

a n 19. x1x2 ... xn m  --n-  , если xi > 0 (1 m i m n) и x1 + x2 + ...  

... + xn = a. 1 1

1 2

1 3

1 n

n

n.

( 2n )! ( n! )

4 - > -------------2- . 21. ------------n+1

22. Пользуясь тем, что ln (1 + x) < x, доажите неравенство 1

1

+ ... + a 1 . Если разделить ео на t, то в остате полу-

чим a1. Поступая далее та же, будем последовательно получать все цифры числа A в t-ичной системе. Если число A имеет вид A = ant–n + an – 1t–n + 1 + ... + a1 · t–1,

18. (1 – x1) (1 – x2) ... (1 – xn) l 0,5, если xi > 0 (1 m i m n) и x1 + x2 + ... + xn m 0,5.

20. ------- + ------- + ------- + ... + ------- >

n–1

1

1 + --2- + --3- + ... + --n- > ln (n + 1).

§ 91. Системы счисления Здесь мы будем рассматривать тольо та называемые позиционные системы счисления. Напомним, что целое число A называют записанным в (позиционной) системе счисления с ос-

то для получения цифр этоо числа ео требуется умножать последовательно на t. При первом умножении имеем At = a n t

–n+1

+ an – 1 t

–n+2

+ ... + a 1 ;

здесь a1 — целое число. Чтобы найти a2, следует умножить на t число At – a1; тода a2 будет следующей цифрой данноо числа. Поступая та далее, мы будем получать последовательно цифры дробноо числа A в t-ичной записи. П р и м е р 1. Записать числа 506 и 0,506 в системе счисления с основанием 4. Р е ш е н и е. Соласно изложенному выше алоритму, имеем 506 4 2 126 4 2 31 4 3 7 4 3 1 Записывая подчернутые остати в обратном поряде, получаем запись числа 506 в четверичной системе счисления: (506)10 = (13322)4.

542

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

Чтобы получить запись дробноо числа 0,506 в четверичной системе счисления, воспользуемся изложенным выше алоритмом и выполним следующие вычисления: 0,506 · 4 = 2,024, 0,384 · 4 = 1,436,

0,024 · 4 = 0,096, 0,096 · 4 = 0,384, 0,436 · 4 = 1,744, 0,744 · 4 = 2,976,

и т. д. Цифры получающеося числа — это последовательные целые части результатов умножения, т. е. (0,506)10 d (0,200112...)4. Ответ. (506)10 = (13322)4; (0,506)10 = (0,200112...)4. П р и м е р 2. В лассе 24 девочи и 32 мальчиа, всео 100 челове. В аой системе счисления записаны числа? Р е ш е н и е. Составим уравнение 2 · p 1 + 4 · p 0 + 3 · p 1 + 2 · p 0 = p 2,

§ 91. Системы счисления

П р и м е р 3. Сложить «столбиом» числа (1357)8 и (2463)8. Р е ш е н и е. Имеем (1357)8 + (2463)8 (4042)8 Сладывая в разряде единиц 7 и 3, получаем 10 = 8 + 2, 2 записываем, а 1 переносим в следующий разряд. Далее, 1 + 5 + 6 = = 12, 12 = 8 + 4, 4 записываем, а 1 переносим в следующий разряд; 1 + 3 + 4 = 8, 8 = 1 · 8 + 0, 0 записываем, а 1 переносим в следующий разряд. Ответ. (4042)8. При умножении следует сначала выписать таблицу умножения чисел, меньших основания системы. Возьмем в ачестве примера таблицу умножения шестеричной системы:

де p — неизвестное основание системы счисления. Приводя подобные члены, получим уравнение 5p + 6 = p2, орни отороо p1 = 6, p2 = –1. Ответ. Числа записаны в шестеричной системе счисления. Запишите данное число в уазанной системе счисления: 1. (10000)10 в шестеричной системе. 2. (114144)6 в десятичной системе. 3. (101)2 в десятичной системе. 4. (25)7 в десятичной системе. 5. В системе счисления с основанием 5 дано число 120010. Запишите ео в десятичной системе. Каому числу будет соответствовать данная запись, если система счисления четвертичная? Для чисел, записанных в десятичной системе, используют правила умножения и сложения «столбиом», деления «улом». Эти же правила полностью применимы в любой позиционной системе счисления. Сложение «столбиом», а и в десятичной системе, вседа производят поразрядно, начиная с младшео разряда. При этом если в предыдущем разряде сумма превышает основание системы или равна ему, то нужно выполнить перенос в следующий разряд.

543

1

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

2

2

4

10

12

14

3

3

10

13

20

23

4

4

12

20

24

32

5

5

14

23

32

41

Все числа в таблице записаны в шестеричной системе счисления. На пересечении данных столбца и строи находятся числа, являющиеся произведением номеров строи и столбца. Пользуясь этой таблицей, лео перемножать числа «столбиом». П р и м е р 4. Умножить число (142)6 на (212)6. Р е ш е н и е. (142)6 (212)6 (324)6 (142)60 (324)600 (34544)6 Ответ. (34544)6.

542

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

Чтобы получить запись дробноо числа 0,506 в четверичной системе счисления, воспользуемся изложенным выше алоритмом и выполним следующие вычисления: 0,506 · 4 = 2,024, 0,384 · 4 = 1,436,

0,024 · 4 = 0,096, 0,096 · 4 = 0,384, 0,436 · 4 = 1,744, 0,744 · 4 = 2,976,

и т. д. Цифры получающеося числа — это последовательные целые части результатов умножения, т. е. (0,506)10 d (0,200112...)4. Ответ. (506)10 = (13322)4; (0,506)10 = (0,200112...)4. П р и м е р 2. В лассе 24 девочи и 32 мальчиа, всео 100 челове. В аой системе счисления записаны числа? Р е ш е н и е. Составим уравнение 2 · p 1 + 4 · p 0 + 3 · p 1 + 2 · p 0 = p 2,

§ 91. Системы счисления

П р и м е р 3. Сложить «столбиом» числа (1357)8 и (2463)8. Р е ш е н и е. Имеем (1357)8 + (2463)8 (4042)8 Сладывая в разряде единиц 7 и 3, получаем 10 = 8 + 2, 2 записываем, а 1 переносим в следующий разряд. Далее, 1 + 5 + 6 = = 12, 12 = 8 + 4, 4 записываем, а 1 переносим в следующий разряд; 1 + 3 + 4 = 8, 8 = 1 · 8 + 0, 0 записываем, а 1 переносим в следующий разряд. Ответ. (4042)8. При умножении следует сначала выписать таблицу умножения чисел, меньших основания системы. Возьмем в ачестве примера таблицу умножения шестеричной системы:

де p — неизвестное основание системы счисления. Приводя подобные члены, получим уравнение 5p + 6 = p2, орни отороо p1 = 6, p2 = –1. Ответ. Числа записаны в шестеричной системе счисления. Запишите данное число в уазанной системе счисления: 1. (10000)10 в шестеричной системе. 2. (114144)6 в десятичной системе. 3. (101)2 в десятичной системе. 4. (25)7 в десятичной системе. 5. В системе счисления с основанием 5 дано число 120010. Запишите ео в десятичной системе. Каому числу будет соответствовать данная запись, если система счисления четвертичная? Для чисел, записанных в десятичной системе, используют правила умножения и сложения «столбиом», деления «улом». Эти же правила полностью применимы в любой позиционной системе счисления. Сложение «столбиом», а и в десятичной системе, вседа производят поразрядно, начиная с младшео разряда. При этом если в предыдущем разряде сумма превышает основание системы или равна ему, то нужно выполнить перенос в следующий разряд.

543

1

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

2

2

4

10

12

14

3

3

10

13

20

23

4

4

12

20

24

32

5

5

14

23

32

41

Все числа в таблице записаны в шестеричной системе счисления. На пересечении данных столбца и строи находятся числа, являющиеся произведением номеров строи и столбца. Пользуясь этой таблицей, лео перемножать числа «столбиом». П р и м е р 4. Умножить число (142)6 на (212)6. Р е ш е н и е. (142)6 (212)6 (324)6 (142)60 (324)600 (34544)6 Ответ. (34544)6.

544

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления П р и м е р 5. Разделить «улом» число (120101)3 на (102)3. Р е ш е н и е. (120101)3 (102)3 (102)3 (1101)3 0(111)3 0(102)3 000(201)3 000(102)3 0000(22)3

§ 91. Системы счисления

545

 18. Пусть условия взвешивания таие же, а в упр. 17, и известно, что M p — масимальная масса, оторую удается оп-

ределить с помощью p имеющихся ирь. Доажите, что если M p + 1 — масимальная масса, оторую удается определить с помощью p + 1 ири, то M p + 1 = 3Mp + 1.


19. Доажите, что если M p — масимальная масса руза,

оторую можно определить с помощью m1, ..., m p ирь, то

Таим образом, (120101)3 = (1101)3 · (102)3 + (22)3.

Mp = (11...1) 3 . p единиц

Ответ. (1101)3 · (102)3 + (22)3. 16. Сложите числа (23651)8 и (17043)8. 17. Сложите числа (423)6, (1341)6 и (521)6. 18. Умножьте число (352)6 на (245)6. 19. Составьте таблицу умножения двоичной системы. 10. Перемножьте числа (101)2 и (100)2. Результат представьте в десятичной системе. 11. Доажите, что число (121)n является полным вадратом, если n > 2. 12. Доажите, что число (1331)n является полным убом, если n > 3. 13. В аой системе счисления справедливо равенство 31 – 13 = 13? 14. Найдите частное от деления (1111)3 на (22)3. 15. В аой системе счисления справедливо равенство 101 · 11 = 1111? 16. Доажите, что если масса тела выражается целым числом и не превосходит 31 , то ее можно определить с помощью не более пяти ирь при условии, что ири ставятся тольо на одну чашу весов. Уажите массы ирь.  17. Доажите, что если масса тела выражается целым числом и не превосходит 40 , а взвешивание выполняется на рычажных весах (т. е. ири моут быть установлены на любую чашу весов), то для определения массы тела понадобится не более четырех ирь. Найдите массы этих ирь и опишите алоритм взвешивания.



20. Выясните, аое минимальное число ирь и аой массы потребуется для взвешивания тела массой m (m m n) на рычажных весах. Уажите алоритм взвешивания.  21. Пусть r = pa, де a — основание системы счисления, p — число разрядов. Если r = 30, то в аой системе счисления можно представить масимальное число?

С представлением числа в той или иной системе счисления связаны признаи делимости числа, оторые формулируются на основе цифровой записи числа. П р и м е р 6. Вывести призна делимости на 3 в десятичной системе счисления. Р е ш е н и е. Представим число A = (a n a n – 1 ... a 0 ) 10 в виде n

A = a n · 10 + a n – 1 · 10 n

= a n (10 – 1 + 1) + a n – 1 (10

n–1

n–1

n

+ ... + a 0 · 10

0

=

– 1 + 1) + ... + a 0 · 10

= a n (10 – 1) + a n – 1 (10

n–1

0

=

– 1) + ...

... + a 1 (10 – 1) + a n + a n – 1 + ...+ a 1 + a 0 . Все числа 10k – 1 делятся на 3, следовательно, A делится на 3 в том и тольо в том случае, если a n + a n – 1 + ... + a 1 + a 0 , (т. е. сумма ео цифр) делится на 3. 22. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) 10 делится на 9, если a n + a n – 1 + ... + a 0 делится на 9. 23. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) 12 делится на 6, если a0 делится на 6.

544

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления П р и м е р 5. Разделить «улом» число (120101)3 на (102)3. Р е ш е н и е. (120101)3 (102)3 (102)3 (1101)3 0(111)3 0(102)3 000(201)3 000(102)3 0000(22)3

§ 91. Системы счисления

545

 18. Пусть условия взвешивания таие же, а в упр. 17, и известно, что M p — масимальная масса, оторую удается оп-

ределить с помощью p имеющихся ирь. Доажите, что если M p + 1 — масимальная масса, оторую удается определить с помощью p + 1 ири, то M p + 1 = 3Mp + 1.


19. Доажите, что если M p — масимальная масса руза,

оторую можно определить с помощью m1, ..., m p ирь, то

Таим образом, (120101)3 = (1101)3 · (102)3 + (22)3.

Mp = (11...1) 3 . p единиц

Ответ. (1101)3 · (102)3 + (22)3. 16. Сложите числа (23651)8 и (17043)8. 17. Сложите числа (423)6, (1341)6 и (521)6. 18. Умножьте число (352)6 на (245)6. 19. Составьте таблицу умножения двоичной системы. 10. Перемножьте числа (101)2 и (100)2. Результат представьте в десятичной системе. 11. Доажите, что число (121)n является полным вадратом, если n > 2. 12. Доажите, что число (1331)n является полным убом, если n > 3. 13. В аой системе счисления справедливо равенство 31 – 13 = 13? 14. Найдите частное от деления (1111)3 на (22)3. 15. В аой системе счисления справедливо равенство 101 · 11 = 1111? 16. Доажите, что если масса тела выражается целым числом и не превосходит 31 , то ее можно определить с помощью не более пяти ирь при условии, что ири ставятся тольо на одну чашу весов. Уажите массы ирь.  17. Доажите, что если масса тела выражается целым числом и не превосходит 40 , а взвешивание выполняется на рычажных весах (т. е. ири моут быть установлены на любую чашу весов), то для определения массы тела понадобится не более четырех ирь. Найдите массы этих ирь и опишите алоритм взвешивания.



20. Выясните, аое минимальное число ирь и аой массы потребуется для взвешивания тела массой m (m m n) на рычажных весах. Уажите алоритм взвешивания.  21. Пусть r = pa, де a — основание системы счисления, p — число разрядов. Если r = 30, то в аой системе счисления можно представить масимальное число?

С представлением числа в той или иной системе счисления связаны признаи делимости числа, оторые формулируются на основе цифровой записи числа. П р и м е р 6. Вывести призна делимости на 3 в десятичной системе счисления. Р е ш е н и е. Представим число A = (a n a n – 1 ... a 0 ) 10 в виде n

A = a n · 10 + a n – 1 · 10 n

= a n (10 – 1 + 1) + a n – 1 (10

n–1

n–1

n

+ ... + a 0 · 10

0

=

– 1 + 1) + ... + a 0 · 10

= a n (10 – 1) + a n – 1 (10

n–1

0

=

– 1) + ...

... + a 1 (10 – 1) + a n + a n – 1 + ...+ a 1 + a 0 . Все числа 10k – 1 делятся на 3, следовательно, A делится на 3 в том и тольо в том случае, если a n + a n – 1 + ... + a 1 + a 0 , (т. е. сумма ео цифр) делится на 3. 22. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) 10 делится на 9, если a n + a n – 1 + ... + a 0 делится на 9. 23. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) 12 делится на 6, если a0 делится на 6.

546

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

24. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) 12 делится на 8, если (a1a0)12 делится на 8. 25. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) 12 делится на 11, если a n + a n – 1 + ... + a 0 делится на 11. 26. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) p делится на p – 1 в том и тольо в том случае, если a n + a n – 1 + ... + a 0 делится на p – 1. 27. Известно, что число A = (3630) p делится на 7. Доажите, что p ратно 7. 28. Известно, что число A = (1210) p делится на 11. Доажите, что p ратно 11. 29. Доажите, что если основание системы счисления p — простое число, большее 3, то (100) p – 1 делится на (100)5 – 1.

546

Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления

24. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) 12 делится на 8, если (a1a0)12 делится на 8. 25. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) 12 делится на 11, если a n + a n – 1 + ... + a 0 делится на 11. 26. Доажите, что A = (a n a n – 1 ...a 0 ) p делится на p – 1 в том и тольо в том случае, если a n + a n – 1 + ... + a 0 делится на p – 1. 27. Известно, что число A = (3630) p делится на 7. Доажите, что p ратно 7. 28. Известно, что число A = (1210) p делится на 11. Доажите, что p ратно 11. 29. Доажите, что если основание системы счисления p — простое число, большее 3, то (100) p – 1 делится на (100)5 – 1.

Ответы, указания, решения

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений § 1. Упрощение иррациональных выражений 4 x+ y

1. –2y. 2. 1. 3. 2ab. 4. ---------------------- . 5. 2( a + t+1

1

^

4p 2 – 1 . 13. x Ý [– 2 ; – 1) Ÿ (1; 6

a

6x . 11. – 3 20x . 12. 4p –

------------7. a(a + 1). 8. -----ab . 9. t . 10.

–

1 –a

b ). 6. ----------------------------1/m 1/n .

2 ] ^ – 6 2 , x Ý (–1; 1) ^

1 b+2

2 . 14. 1. 15. 1. 16. – ----------------- .

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля 1. y Ý (–×; 1] ^ –(y2 + y 3 2 +

3

y3

-. 4 ); y Ý [1; +×) ^ ----------------3 y–

2

1 1 -------------2. x Ý (–×; 0) Ÿ (3; +×) ^ ------------x + 2 ; x Ý (0; 3) ^ – x + 2 . 3. x Ý 1 3 3 3 --Ý  –×; – --2-  Ÿ  – --2- ; 0  Ÿ (0; 3) ^ -------------------------x ( 2x + 3 ) ; x Ý (3; +×) ^ x . 1 5 5 4. y Ý (–×; –5) ^ – --y- ; y Ý (–5; 0) Ÿ  0; --3-  Ÿ  --3- ; +×  ^     1 x–x

y+5

1 x –x

----------------2 ; x Ý (1; +×) ^ ---------------^ ------------------------. 2 y ( 3y – 5 ) . 5. x Ý (0; 1) ^ z2 – z

z

- ; z Ý [0; 1) Ÿ (1; +×) ^ ------------- . 7. x Ý 6. z Ý (–×; 0) ^ --------------z–1 z2 + 1

Ý (–×; 1) Ÿ (1; 3) ^ –(x2 + x + 1); x Ý (3; +×) ^ x2 + x + 1. 8. 1.

9.

1 – x2 .

10.

( a + b )3

–

( a – b )3 .

1

11. --------------------- . 4

x2 – 1

Ответы, указания, решения

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений § 1. Упрощение иррациональных выражений 4 x+ y

1. –2y. 2. 1. 3. 2ab. 4. ---------------------- . 5. 2( a + t+1

1

^

4p 2 – 1 . 13. x Ý [– 2 ; – 1) Ÿ (1; 6

a

6x . 11. – 3 20x . 12. 4p –

------------7. a(a + 1). 8. -----ab . 9. t . 10.

–

1 –a

b ). 6. ----------------------------1/m 1/n .

2 ] ^ – 6 2 , x Ý (–1; 1) ^

1 b+2

2 . 14. 1. 15. 1. 16. – ----------------- .

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля 1. y Ý (–×; 1] ^ –(y2 + y 3 2 +

3

y3

-. 4 ); y Ý [1; +×) ^ ----------------3 y–

2

1 1 -------------2. x Ý (–×; 0) Ÿ (3; +×) ^ ------------x + 2 ; x Ý (0; 3) ^ – x + 2 . 3. x Ý 1 3 3 3 --Ý  –×; – --2-  Ÿ  – --2- ; 0  Ÿ (0; 3) ^ -------------------------x ( 2x + 3 ) ; x Ý (3; +×) ^ x . 1 5 5 4. y Ý (–×; –5) ^ – --y- ; y Ý (–5; 0) Ÿ  0; --3-  Ÿ  --3- ; +×  ^     1 x–x

y+5

1 x –x

----------------2 ; x Ý (1; +×) ^ ---------------^ ------------------------. 2 y ( 3y – 5 ) . 5. x Ý (0; 1) ^ z2 – z

z

- ; z Ý [0; 1) Ÿ (1; +×) ^ ------------- . 7. x Ý 6. z Ý (–×; 0) ^ --------------z–1 z2 + 1

Ý (–×; 1) Ÿ (1; 3) ^ –(x2 + x + 1); x Ý (3; +×) ^ x2 + x + 1. 8. 1.

9.

1 – x2 .

10.

( a + b )3

–

( a – b )3 .

1

11. --------------------- . 4

x2 – 1

548

Ответы, указания, решения 1

12. x Ý [0; 9) ^ 3 – 2 x ; x Ý (9; +×) ^ –3. 13. x Ý (–×; 0) ^ – --2- ; 1

x Ý (0; +×) ^ --2- . 14. x Ý [11; +×) ^ 2 x – 2 ; x Ý [2; 11) ^ 6.

Г л а в а 2. Уравнения

549

уазание  упр. 18. 22.
Сравните левую и правую части неравенства с единицей. 23.
См. уазание  упр. 22. 25.
См. решение примера 6 на с. 27.

Г л а в а 2. Уравнения

15. x Ý [1; 2) ^ 2 x – 1 ; x Ý [2; +×) ^ 2. 16. x Ý (–×; 0) ^ 6; 2 2

------------- ; x Ý [0; 6) ^ 6 – 2x; x Ý [6; +×) ^ –6. 17. x Ý [2; 4) ^ 4 –x 2 x–2 x Ý (4; +×) ^ --------------------x – 4 . 18.

§ 6. Нахождение корней многочленов

3 1–a ------------- ; 2 . 19. -----3 . 20. a Ý (0; 1) ^ a q+p

1. –4; 2. 2. –2; 1. 3. ¾.
Введите обозначение z = x2 – 5x + 6. – 5 ä 85

–5 ä 5

3

– 3 ä 65

a–1 a + b  -----------n2 - q – p . 22. 0. 23. 0,64. 24. -------2- . a Ý (1; +×) ^ ------------- . 21.  -----------a – b  m a

- ; ---------------------- .
Положите z = x2 + 5x. 5. – --- ; 0; ------------------------- . 4. -----------------------4 2 2 2

25. 1. 26. 1. 27. 2. 28. 1. 29. 2 3m – n .




5

1 --- (– 3 5 + 1). 9. ¾. 2

§ 3. Доказательство тождеств 14.
Приведите выражение, записанное в левой части тождества,  общему знаменателю и рассмотрите числитель дроби а мноочлен второй степени относительно a. 16.
См. уазание  упр. 14.

1

Положите z = 2x2 + 3x. 6. ä3; ä2. 7. ä 4 --- . 8. --2- ( 3 2 +1); 2

1

3




Разделите обе части уравнения на x4.

–1 ä 5

1

2

5

- . 12. –1. 13. – --- ; 1. 14. – --- ; – --- ; 3. 10. 0; 5. 11. – --2- ; --4- ; -------------------2 2 3 2

15. 1; a ä

2a ä 26a 2 ä 2 25a 4 + 4b 4

-. a . 16. –5; 2; 3; 4. 17. ----------------------------------------------------------------------------2 – 5 ä 21

- . 20. –3; 4. 21. –3; 2. 22. –5 ä 18. –1; 12. 19. -----------------------6

§ 4. Условные тождества 7.
Найдите единственное решение системы. 9.
Разделите аждое из заданных в условии тождеств на ео правую часть. § 5. Преобразование логарифмических выражений 1 1. 1. 2. ab(a – b)2. 3. a2 + a + 1. 4. --3- .




– 5 ä 21




Введите обозначение y = x2 + x. 2

3

5

1

– 4 + 6 ä 18 – 8 6

(4), запишите все лоарифмы по неоторому общему основаa+b

-------------------------- . 7. 6. 8. 3. 9. a(b + 3). 10. ------------- . нию. 5. (log2 x + 1)3. 6. log 1–b b–1

3

- . 25. –2; ä1; --- . 26. – --- ; – --- ; 1. 27. –2; --- ; --- . 24. -----------------------2 3 5 3 2 2 – 4 – 6 ä 18 + 8 6

- ; -------------------------------------------------------- . 29. 2. 28. ---------------------------------------------------------2 2

Используя формулу

1

3 . 23. –1; 0.

–5 ä

89 ;

– 1 ä 21

30. –2; 1. – 3 ä 17

- ; ------------------------- . 31. –1; 5. 32. ¾. 33. ¾. 34. 0; ä 3 ; 3. 35. -----------------------2 2

36. –1; 3; ä 3 .

a

1

1

--------------------------------------------------------11. abc + 1. 12. log8 a = ------------------------1 – log8 c . 13. α – 1 + β –1 + γ – 1 + δ –1 .




§ 7. Рациональные уравнения

Пе-

рейдите  лоарифмам по основанию x. 18.
Перейдите в левой части выражения  лоарифмам по основанию N. 19.
При упрощении учтите, что орень четной степени понимается в арифметичесом смысле. 20.
См. уазание  упр. 18. 21.
См.

1

1

2ab

1

1. --2- . 2. –3; 5. 3. 2. 4. 5. 5. – --3- . 6. --4- ; 5. 7. a + b; 0; -----------a+b; a2 + b2 ------------------- . a+b




a+b

- – x. Введите вспомоательное неизвестное z = -----------2

548

Ответы, указания, решения 1

12. x Ý [0; 9) ^ 3 – 2 x ; x Ý (9; +×) ^ –3. 13. x Ý (–×; 0) ^ – --2- ; 1

x Ý (0; +×) ^ --2- . 14. x Ý [11; +×) ^ 2 x – 2 ; x Ý [2; 11) ^ 6.

Г л а в а 2. Уравнения

549

уазание  упр. 18. 22.
Сравните левую и правую части неравенства с единицей. 23.
См. уазание  упр. 22. 25.
См. решение примера 6 на с. 27.

Г л а в а 2. Уравнения

15. x Ý [1; 2) ^ 2 x – 1 ; x Ý [2; +×) ^ 2. 16. x Ý (–×; 0) ^ 6; 2 2

------------- ; x Ý [0; 6) ^ 6 – 2x; x Ý [6; +×) ^ –6. 17. x Ý [2; 4) ^ 4 –x 2 x–2 x Ý (4; +×) ^ --------------------x – 4 . 18.

§ 6. Нахождение корней многочленов

3 1–a ------------- ; 2 . 19. -----3 . 20. a Ý (0; 1) ^ a q+p

1. –4; 2. 2. –2; 1. 3. ¾.
Введите обозначение z = x2 – 5x + 6. – 5 ä 85

–5 ä 5

3

– 3 ä 65

a–1 a + b  -----------n2 - q – p . 22. 0. 23. 0,64. 24. -------2- . a Ý (1; +×) ^ ------------- . 21.  -----------a – b  m a

- ; ---------------------- .
Положите z = x2 + 5x. 5. – --- ; 0; ------------------------- . 4. -----------------------4 2 2 2

25. 1. 26. 1. 27. 2. 28. 1. 29. 2 3m – n .




5

1 --- (– 3 5 + 1). 9. ¾. 2

§ 3. Доказательство тождеств 14.
Приведите выражение, записанное в левой части тождества,  общему знаменателю и рассмотрите числитель дроби а мноочлен второй степени относительно a. 16.
См. уазание  упр. 14.

1

Положите z = 2x2 + 3x. 6. ä3; ä2. 7. ä 4 --- . 8. --2- ( 3 2 +1); 2

1

3




Разделите обе части уравнения на x4.

–1 ä 5

1

2

5

- . 12. –1. 13. – --- ; 1. 14. – --- ; – --- ; 3. 10. 0; 5. 11. – --2- ; --4- ; -------------------2 2 3 2

15. 1; a ä

2a ä 26a 2 ä 2 25a 4 + 4b 4

-. a . 16. –5; 2; 3; 4. 17. ----------------------------------------------------------------------------2 – 5 ä 21

- . 20. –3; 4. 21. –3; 2. 22. –5 ä 18. –1; 12. 19. -----------------------6

§ 4. Условные тождества 7.
Найдите единственное решение системы. 9.
Разделите аждое из заданных в условии тождеств на ео правую часть. § 5. Преобразование логарифмических выражений 1 1. 1. 2. ab(a – b)2. 3. a2 + a + 1. 4. --3- .




– 5 ä 21




Введите обозначение y = x2 + x. 2

3

5

1

– 4 + 6 ä 18 – 8 6

(4), запишите все лоарифмы по неоторому общему основаa+b

-------------------------- . 7. 6. 8. 3. 9. a(b + 3). 10. ------------- . нию. 5. (log2 x + 1)3. 6. log 1–b b–1

3

- . 25. –2; ä1; --- . 26. – --- ; – --- ; 1. 27. –2; --- ; --- . 24. -----------------------2 3 5 3 2 2 – 4 – 6 ä 18 + 8 6

- ; -------------------------------------------------------- . 29. 2. 28. ---------------------------------------------------------2 2

Используя формулу

1

3 . 23. –1; 0.

–5 ä

89 ;

– 1 ä 21

30. –2; 1. – 3 ä 17

- ; ------------------------- . 31. –1; 5. 32. ¾. 33. ¾. 34. 0; ä 3 ; 3. 35. -----------------------2 2

36. –1; 3; ä 3 .

a

1

1

--------------------------------------------------------11. abc + 1. 12. log8 a = ------------------------1 – log8 c . 13. α – 1 + β –1 + γ – 1 + δ –1 .




§ 7. Рациональные уравнения

Пе-

рейдите  лоарифмам по основанию x. 18.
Перейдите в левой части выражения  лоарифмам по основанию N. 19.
При упрощении учтите, что орень четной степени понимается в арифметичесом смысле. 20.
См. уазание  упр. 18. 21.
См.

1

1

2ab

1

1. --2- . 2. –3; 5. 3. 2. 4. 5. 5. – --3- . 6. --4- ; 5. 7. a + b; 0; -----------a+b; a2 + b2 ------------------- . a+b




a+b

- – x. Введите вспомоательное неизвестное z = -----------2

550

Ответы, указания, решения – 2 ä 66

– 5 ä 21

3

4

2

1

- . 13. 2; --- . 20 . 12. –2; 0; -----------------------2 2

8. 1. 9. 1; 3. 10. 0. 11. 3 ä

-. 14. –2; 0. 15. --3- ; 3. 16. --5- ; 3. 17. 5; 0,5. 18. --4- ; 2. 19. -----------------------2 1

Г л а в а 2. Уравнения

551 3 ä 73

3

-. аемых левой части уравнения равно 66. 45. 0; --2- ; -------------------4 3

46. 15. 47. –3; 6.
Положите y = x2 – 3x + 7. 48. --4- . 49. [–1; 0]. 5

19 ä 1333

50. [0; 3]. 51. 2. 52. ä -----2 . 53. ¾. 54. 5. 55. [1; 2,5]; 13.

-. 20. – --6- ; 2; -----------------------------54

1

56. [5; 10]. 57. 4. 58. ä2. 59. 0. 60. --2- ; 5. 61. –1. 62. –6; 1.

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля




1

63. ä1.

1. –1. 2. --3- . 3. [1; 2]. 4. –4; –2; 0; 2; 4. 5. 0. 6. 0; ä1. 1 1 3 7. (–×; 2] Ÿ [3; +×). 8. –8; 2. 9. 1 --4- ; 2 --2- ; 3 --4- .

Введите вспомоательные неизвестные u =


Вынесите за соби

7 + 41 17 --------------------- . 16. –61; 30. 10. 3. 11. ¾. 12. –5; 4. 13. -----2 16 . 14. ¾. 15. 11

17. 2. 18. 8; 8 ä 4 3 . 19. –6; –5; – -----2 . 20. –1. 21. –2. 24. 0.

25. 9.

1

26. – --3- ; 1.

27. ä4.

– Bp ä B 2 p 2 + A [ ( p 2 + C – C ) 2 – 4p 2 C ]

1 - . 30. ä21. 29. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------2Ap




28. –1.

Освободи-

2

тесь от иррациональности в знаменателе. 31. --7- ; 5. 32. 3.


Воспользуйтесь тем, что

x–2 ·

4–x

=

6x – x 2 – 8 .

1 33. –17; 23. 34. –7; 2. 35. – --------511 ; 2. 36. ä7. 37. 5.
Положите x+4+ x–4

- . 38. 1. y = -----------------------------------------2




1

Используйте неравенство --a- + a l 2,

справедливое при a > 0. 39. 1024. 40. 3; 5. 41. ä2 2 . 42. –5; 2. 66

x + 1 . 64. ¾. 65. 0. 66. 1. 67. 0;

§ 10. Показательные уравнения

7 ä 153 - . 7. 2. 8. ¾. 9. –1; 2. 1. 8. 2. 5. 3. 8. 4. –1; 3. 5. ¾. 6. ----------------------16

23. 4; 3.

x+7.

( 2 + 3 )n + 1 ( 2 – 3 )n + 1 63a ---------- . 68. ------------------------------------ ; ------------------------------------ . 69. 1. 70. 7; 26; 7. 71. –6; 1. 65 ( 2 + 3 )n – 1 ( 2 – 3 )n – 1

§ 9. Иррациональные уравнения

22. 0.

x–2,v=

43. –2; 0. 44. --------119 .
Воспользуйтесь тем, что произведение сла-

3

1

3

π

1. 4. 2. 2. 3. --5- . 4. –3. 5. – --2- . 6. – --2- ; 4. 7. log3 2. 8. --2- (2k + 1); 5 5 7 93 π --- + πk, k Ý Z. 9. –5; ------ . 10. --- . 11. 81. 12. --- . 13. – --- ; 3. 2 3 5 11 4

14. πn, n Ý Z. 15. –2 + 18. log3 (2 +

4 – 2 log 3 5 . 16. ä 2 ; ä1. 17. ä2.

5–1

1

--5 ); log3 ----------------2 . 19. 3; log6 8. 20. 9; 81. 21. – 3 ; 1. 4

1

3 + log 3

2 -. 22. 0; ä1. 23. --2- . 24. 0. 25. ä1. 26. 1; log4 3. 27. --3- ; -------------------------3

1

5–1

--28. 0. 29. ä2. 30. ä2. 31. log3/4 ----------------2 . 32. 1. 33. 1; 3. 34. – 2 . 1

1

35. 2; 4; 11. 36. --3- ; 2; 4. 37. 1; a1/π. 38. --5- ; 25. 39. 10; 10–4. 40. 100. 41. 10; 0,1. 42. 10; 10 log2 3 . 43. 2.




Разделите обе час-

x

ти уравнения на 2 и воспользуйтесь свойством монотонности поазательной фунции. 44. 3.
См. уазание  упр. 43. 45. 1.
Сравните наибольшее значение фунции в левой части уравнения с наименьшим значением фунции в правой части. 46. 1.
Найдите y1 и y2 — орни вадратноо уравнения отноx

сительно переменной y = 2 ; решите уравнения y1(x) = 2

x

и

550

Ответы, указания, решения – 2 ä 66

– 5 ä 21

3

4

2

1

- . 13. 2; --- . 20 . 12. –2; 0; -----------------------2 2

8. 1. 9. 1; 3. 10. 0. 11. 3 ä

-. 14. –2; 0. 15. --3- ; 3. 16. --5- ; 3. 17. 5; 0,5. 18. --4- ; 2. 19. -----------------------2 1

Г л а в а 2. Уравнения

551 3 ä 73

3

-. аемых левой части уравнения равно 66. 45. 0; --2- ; -------------------4 3

46. 15. 47. –3; 6.
Положите y = x2 – 3x + 7. 48. --4- . 49. [–1; 0]. 5

19 ä 1333

50. [0; 3]. 51. 2. 52. ä -----2 . 53. ¾. 54. 5. 55. [1; 2,5]; 13.

-. 20. – --6- ; 2; -----------------------------54

1

56. [5; 10]. 57. 4. 58. ä2. 59. 0. 60. --2- ; 5. 61. –1. 62. –6; 1.

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля




1

63. ä1.

1. –1. 2. --3- . 3. [1; 2]. 4. –4; –2; 0; 2; 4. 5. 0. 6. 0; ä1. 1 1 3 7. (–×; 2] Ÿ [3; +×). 8. –8; 2. 9. 1 --4- ; 2 --2- ; 3 --4- .

Введите вспомоательные неизвестные u =


Вынесите за соби

7 + 41 17 --------------------- . 16. –61; 30. 10. 3. 11. ¾. 12. –5; 4. 13. -----2 16 . 14. ¾. 15. 11

17. 2. 18. 8; 8 ä 4 3 . 19. –6; –5; – -----2 . 20. –1. 21. –2. 24. 0.

25. 9.

1

26. – --3- ; 1.

27. ä4.

– Bp ä B 2 p 2 + A [ ( p 2 + C – C ) 2 – 4p 2 C ]

1 - . 30. ä21. 29. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------2Ap




28. –1.

Освободи-

2

тесь от иррациональности в знаменателе. 31. --7- ; 5. 32. 3.


Воспользуйтесь тем, что

x–2 ·

4–x

=

6x – x 2 – 8 .

1 33. –17; 23. 34. –7; 2. 35. – --------511 ; 2. 36. ä7. 37. 5.
Положите x+4+ x–4

- . 38. 1. y = -----------------------------------------2




1

Используйте неравенство --a- + a l 2,

справедливое при a > 0. 39. 1024. 40. 3; 5. 41. ä2 2 . 42. –5; 2. 66

x + 1 . 64. ¾. 65. 0. 66. 1. 67. 0;

§ 10. Показательные уравнения

7 ä 153 - . 7. 2. 8. ¾. 9. –1; 2. 1. 8. 2. 5. 3. 8. 4. –1; 3. 5. ¾. 6. ----------------------16

23. 4; 3.

x+7.

( 2 + 3 )n + 1 ( 2 – 3 )n + 1 63a ---------- . 68. ------------------------------------ ; ------------------------------------ . 69. 1. 70. 7; 26; 7. 71. –6; 1. 65 ( 2 + 3 )n – 1 ( 2 – 3 )n – 1

§ 9. Иррациональные уравнения

22. 0.

x–2,v=

43. –2; 0. 44. --------119 .
Воспользуйтесь тем, что произведение сла-

3

1

3

π

1. 4. 2. 2. 3. --5- . 4. –3. 5. – --2- . 6. – --2- ; 4. 7. log3 2. 8. --2- (2k + 1); 5 5 7 93 π --- + πk, k Ý Z. 9. –5; ------ . 10. --- . 11. 81. 12. --- . 13. – --- ; 3. 2 3 5 11 4

14. πn, n Ý Z. 15. –2 + 18. log3 (2 +

4 – 2 log 3 5 . 16. ä 2 ; ä1. 17. ä2.

5–1

1

--5 ); log3 ----------------2 . 19. 3; log6 8. 20. 9; 81. 21. – 3 ; 1. 4

1

3 + log 3

2 -. 22. 0; ä1. 23. --2- . 24. 0. 25. ä1. 26. 1; log4 3. 27. --3- ; -------------------------3

1

5–1

--28. 0. 29. ä2. 30. ä2. 31. log3/4 ----------------2 . 32. 1. 33. 1; 3. 34. – 2 . 1

1

35. 2; 4; 11. 36. --3- ; 2; 4. 37. 1; a1/π. 38. --5- ; 25. 39. 10; 10–4. 40. 100. 41. 10; 0,1. 42. 10; 10 log2 3 . 43. 2.




Разделите обе час-

x

ти уравнения на 2 и воспользуйтесь свойством монотонности поазательной фунции. 44. 3.
См. уазание  упр. 43. 45. 1.
Сравните наибольшее значение фунции в левой части уравнения с наименьшим значением фунции в правой части. 46. 1.
Найдите y1 и y2 — орни вадратноо уравнения отноx

сительно переменной y = 2 ; решите уравнения y1(x) = 2

x

и

552

Ответы, указания, решения x

y2(x) = 2 , используя свойство монотонности входящих в них фунций. 47. 3.
См. уазание  упр. 46. 48. 1.
Положите y = 2

x–1

и воспользуйтесь уазанием  упр. 46. 49. 4.

50. ä 2 . 51. ¾.

3

4

2 . 7. 3. 8. 7. 9. 1;

1

1

2 ------------------18. ä --2- . 19. 1; 3. 20. 4; ------2 . 21. 1; 4; 4 5 8 . 22. 8; 3 4 . 23. b + 1;

1

1

3 b > 0 и b − 1. 24. --8- ; --2- . 25. 1; 10–3; 10–2. 26. 2–8; 227. 27. 3 9 ;

33

4

1

1

. 28. --9- ; 81. 29. --9- . 30. 10. 31. 10; 104. 32. –10; –1.




Ис-

пользуйте тождество x 2 = –x, справедливое при x < 0. 33. log3 10; log3 28 – 3. 34. 8. 35. 0,1; 10. 36. 0,01; 0,1; 1. 37. 10–1;

1+ 3 -----------------10 2

;

1– 3 ----------------10 2

40. 2–3/4; 1; 2. 41. 3

3 2

ä ---

1

1

. 38. --3- ; -----15 . 39. 10

; 3

1 2

ä -------

1

. 42. 2

ä --2

13 ä lg -----3

; 10

7 ä lg --3-

.

1

. 43. -----81 ; 3. 44. 1. 45. 2.

1

46. --4- ; 2. § 12. Разные задачи 1. 4. 2. 3. 3. 2. 4. 2. 5. 1 ä 1

7. – --------lg 5 ; 2.



_5·

1 -------------2x + 1

1  --------------  = 1 _  5 · 21 + x   

Воспользуйтесь тем,

1 7 --- ; +×  . 15. 2; --- . 16. 1. 17. 5. 6 3 

π

18. 2. 19. --2- (2k + 1); – --4- (4k + 1). 20. äarccos ( log 2 + 21. 0.

3

2 + πk).

Г л а в а 3. Системы уравнений § 13. Системы линейных уравнений 1. (1; 2; 3). 2. (8; 4; 2). 3. (1; –2; –1). 4. (1; –3; –2). b ab - ; ------------------------------------ ; 5. (abc; ab + ac + bc; a + b + c). 6.  (----------------------------------- a – 1)(b – 1) (a – 1)(b – a) a ------------------------------------  . 7. При a − 0, a − –3 система определенна, при (b – 1)(b – a) 

a = –3 система неопределенна, при a = 0 система несовместна. 8. При a − 0 система определенна, при a = 0 система неопределенна. 9. При a = 0 система неопределенна, при a = 2 система несовместна, при остальных a — определенна. 10. При a = 0, a = 1 система несовместна, при a = –1, a = 2 система неопределенна, при остальных a — определенна. 11. При a + b − 0 система определенна, при a + b = 0 неопределенна. 12. При a = 0, b − 0; a = 0, b = 0; a − 0, b = 0 система неопределенна, при остальных значениях пар (a; b) система определенна. 13. Система 5 b + 2a

- , m = --------------------- . 14. Совместны. неопределенна при p = -----------------------64 16

лучим 3x -------------- – 2




2

3b + 14a

1 + lg 2 . 6. 1; 4.

Разделив обе части уравнения на 22 · 52, по-

5x – 2 · 2 x + 1

2

11 ) .

что числа 10 3x + 7x ; 10 x + 3x ; 10 – ( x + x ) — последовательные члены еометричесой прорессии. 11. (log2 3 – 2)–1; (1 – log3 4)–1.

π

3. 10. –10. 11. 2. 12. 2; 3. 13. 1. 14. 1. 15. 3. 16. 3. 17. 1. 1

2

553

1 --- lg ( 1 + 2

2

8. 1; 8. 9. --3- . 10. –1 ä

12. (5; 0,5). 13. 10; 101/9. 14.

§ 11. Логарифмические уравнения 8 1. – --3- . 2. 2; 3. 3. 2. 4. 2. 5. –1; 7. 6. 3; 3 +

Г л а в а 3. Системы уравнений

x–2

=1_

1 = 1 или x – 2 = 0 _ x = – --------lg 5 или x = 2.

15. a = 1, b = –1. 16. a = 1, b = –1; a = 1, b = –2; a = –1, b = –1; a = –1, b = –2. 17. a = 1. 18. a = 0, b = 0, c = 2,25; a = 2, b = –1, c = 1. 19. a = –4. 20. a = 3. § 14. Системы нелинейных уравнений 1. (1; 4); (4; 1). 2. (0,6; 0,3); (0,4; 0,5). 3. (3; 2); (2, 3). 4. (14; –11); (11; –14). 5. (4; 2); (2; 4). 6. (1; 4); (–1; 6). 7. (1; 2). 8. (4; 1); (1; 4). 9. (2; 1); (–2; –1). 10. (3; 2); (–3; –2);

552

Ответы, указания, решения x

y2(x) = 2 , используя свойство монотонности входящих в них фунций. 47. 3.
См. уазание  упр. 46. 48. 1.
Положите y = 2

x–1

и воспользуйтесь уазанием  упр. 46. 49. 4.

50. ä 2 . 51. ¾.

3

4

2 . 7. 3. 8. 7. 9. 1;

1

1

2 ------------------18. ä --2- . 19. 1; 3. 20. 4; ------2 . 21. 1; 4; 4 5 8 . 22. 8; 3 4 . 23. b + 1;

1

1

3 b > 0 и b − 1. 24. --8- ; --2- . 25. 1; 10–3; 10–2. 26. 2–8; 227. 27. 3 9 ;

33

4

1

1

. 28. --9- ; 81. 29. --9- . 30. 10. 31. 10; 104. 32. –10; –1.




Ис-

пользуйте тождество x 2 = –x, справедливое при x < 0. 33. log3 10; log3 28 – 3. 34. 8. 35. 0,1; 10. 36. 0,01; 0,1; 1. 37. 10–1;

1+ 3 -----------------10 2

;

1– 3 ----------------10 2

40. 2–3/4; 1; 2. 41. 3

3 2

ä ---

1

1

. 38. --3- ; -----15 . 39. 10

; 3

1 2

ä -------

1

. 42. 2

ä --2

13 ä lg -----3

; 10

7 ä lg --3-

.

1

. 43. -----81 ; 3. 44. 1. 45. 2.

1

46. --4- ; 2. § 12. Разные задачи 1. 4. 2. 3. 3. 2. 4. 2. 5. 1 ä 1

7. – --------lg 5 ; 2.



_5·

1 -------------2x + 1

1  --------------  = 1 _  5 · 21 + x   

Воспользуйтесь тем,

1 7 --- ; +×  . 15. 2; --- . 16. 1. 17. 5. 6 3 

π

18. 2. 19. --2- (2k + 1); – --4- (4k + 1). 20. äarccos ( log 2 + 21. 0.

3

2 + πk).

Г л а в а 3. Системы уравнений § 13. Системы линейных уравнений 1. (1; 2; 3). 2. (8; 4; 2). 3. (1; –2; –1). 4. (1; –3; –2). b ab - ; ------------------------------------ ; 5. (abc; ab + ac + bc; a + b + c). 6.  (----------------------------------- a – 1)(b – 1) (a – 1)(b – a) a ------------------------------------  . 7. При a − 0, a − –3 система определенна, при (b – 1)(b – a) 

a = –3 система неопределенна, при a = 0 система несовместна. 8. При a − 0 система определенна, при a = 0 система неопределенна. 9. При a = 0 система неопределенна, при a = 2 система несовместна, при остальных a — определенна. 10. При a = 0, a = 1 система несовместна, при a = –1, a = 2 система неопределенна, при остальных a — определенна. 11. При a + b − 0 система определенна, при a + b = 0 неопределенна. 12. При a = 0, b − 0; a = 0, b = 0; a − 0, b = 0 система неопределенна, при остальных значениях пар (a; b) система определенна. 13. Система 5 b + 2a

- , m = --------------------- . 14. Совместны. неопределенна при p = -----------------------64 16

лучим 3x -------------- – 2




2

3b + 14a

1 + lg 2 . 6. 1; 4.

Разделив обе части уравнения на 22 · 52, по-

5x – 2 · 2 x + 1

2

11 ) .

что числа 10 3x + 7x ; 10 x + 3x ; 10 – ( x + x ) — последовательные члены еометричесой прорессии. 11. (log2 3 – 2)–1; (1 – log3 4)–1.

π

3. 10. –10. 11. 2. 12. 2; 3. 13. 1. 14. 1. 15. 3. 16. 3. 17. 1. 1

2

553

1 --- lg ( 1 + 2

2

8. 1; 8. 9. --3- . 10. –1 ä

12. (5; 0,5). 13. 10; 101/9. 14.

§ 11. Логарифмические уравнения 8 1. – --3- . 2. 2; 3. 3. 2. 4. 2. 5. –1; 7. 6. 3; 3 +

Г л а в а 3. Системы уравнений

x–2

=1_

1 = 1 или x – 2 = 0 _ x = – --------lg 5 или x = 2.

15. a = 1, b = –1. 16. a = 1, b = –1; a = 1, b = –2; a = –1, b = –1; a = –1, b = –2. 17. a = 1. 18. a = 0, b = 0, c = 2,25; a = 2, b = –1, c = 1. 19. a = –4. 20. a = 3. § 14. Системы нелинейных уравнений 1. (1; 4); (4; 1). 2. (0,6; 0,3); (0,4; 0,5). 3. (3; 2); (2, 3). 4. (14; –11); (11; –14). 5. (4; 2); (2; 4). 6. (1; 4); (–1; 6). 7. (1; 2). 8. (4; 1); (1; 4). 9. (2; 1); (–2; –1). 10. (3; 2); (–3; –2);

554

Ответы, указания, решения

 3 5 3  3 5 3  - ; -----------  ;  – ------- ; – -----------   -----3 3 3 3    

Г л а в а 3. Системы уравнений

555

 – 5 ä 41 -; 11. (4; 1); (1; 4);  -----------------------2 

 c ( a2 + b2 ) b ( a2 + c2 ) 2abc ( ab – bc + ca ) - ; z = --------------------------- . 36.  ä ----------------------------------------------------------------------------------- ; y = -------------------------2ac 2ab ( ab + bc – ca ) ( – ab + bc + ca ) 

– 5 å 41  -------------------------  , де берутся либо оба верхних, либо оба нижних 2

 2abc ( ab + bc – ca ) 2abc ( – ab + bc + ca ) -----------------------------------------------------------------------------ä ---------------------------------------------------------------------------------( ab – bc + ca ) ( – ab + bc + ca ) ; ä ( ab – bc + ca ) ( ab + bc – ca )  , де 



 ab ä a 2 b 2 – 4ab ab å a 2 b 2 – 4ab - ; ä -----------------------------------------------знаа. 12.  ä ----------------------------------------------2b 2a  

  , де перед  

внешними радиалами берется любое сочетание знаов, а перед внутренними — либо оба верхних, либо оба нижних знаа. 13. (3; 1); (1; 3). 14. (1; 2); (2; 1). 15. (1; 1). 16. (3; 2); (2; 3); (–3; –2); (–2; –3). 17. (3; 1); (1; 3); (–3; –1); (–1; –3). 18. (3; 2); (2; 3); (–3; –2); (–2; –3). 19. (2; 1); (1; 2).
Перейдите  неизвестным u = x + 1, v = y + 1. 20. (2; 1); (2; –1); (–2; 1); (–2; –1).
Представьте первое уравнение в виде вадратноо относиx+y  3  --тельно переменной z = ------------x – y . 21. (2; 3);  – 2 ; –4  .




Разделите

первое уравнение на второе. 22. (–5; 1); (–1; 5); (6; 1); (–1; –6). 23. (2; 1); (–1; –2); (1 +

2 ; –1 +

2 ); (1 –

2 ; –1 –

2 ).

5 10  24. (–2; –4);  --3- ; -----3  . 25. (1; 4); (–5; 4); (5; –4); (–1; –4).

26. (3; 5); (5; 3); (–3; –5); (–5; –3).
Во второе уравнение, представленное в виде x4 + y4 + 2x2y2 = 931 + x2y2, подставьте x2 + y2, выраженное из первоо уравнения. 27. (2; 1); (1; 2); (–3; 0); (0; –3); (1; –2); (2; –1).
Представьте первое уравнение в виде (x + y)2 + (xy – 1)2 = 10. 28. (5; 2); (–2; –5).
Разложите x5 – y5 на множители. 29. (2; –1; –1); (–1; –1; 2); (–1; 2; –1). 30. (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1). 31. (3; 1; 0).  1 1 15 15 -----32. (1; 1; 1). 33.  2; – --2- ; 4  ;  –2; --2- ; –4  ;  – -----2 ; 2 2 ;     

берутся либо верхние, либо нижние знаи. 37. (1; 3; 9); (9; 3; 1). 38. (1; 2; 3); (1; 3; 2); (2; 1; 3); (2; 3; 1); (3; 1; 2); (3; 2; 1). 39. (0; 1; –1); (–1; 2; –1); (–1; 1; 0). 40. (3; –1; –1);  a (0; 2; –1); (0; –1; 2). 41. (3; 6; 10); (6; 3; 10). 42.  --------------------------- ; a + b+c     b c a b c --------------------------- ; ---------------------------  ;  – --------------------------- ; – --------------------------- ; – ---------------------------  . a+b+c a+b+c  a + b + c a + b + c a + b + c    2 2 43. (0; 0; 0) и  ä ------------------------------------------------------------------ ; ä ------------------------------------------------------------------ ; ( – a + b + c ) ( a + b – c ) ( a – b + c ) ( – a + b + c)   2 ä ------------------------------------------------------------  , де одна из оординат имеет зна (a – b + c)(a + b – c)  «плюс», а остальные — одинаовые знаи. 44. (0; 0; 0); (1; 1; 1); (–1; –1; –1); (0; (– 2 ; 0; – 2 ); ( 2 ;

2;

2 ); (0; – 2 ; – 2 ); ( 2 ; 0;

2 );

1 2 ; 0); (– 2 ; – 2 ; 0). 45.  1; 0; – --2-  ;  

 –1; 0; 1 ---  . 46. (ä1; ä2; ä5), де одна из оординат имеет зна 2   «плюс», а остальные — одинаовые знаи. 47. (0; 0; 0);  –1 --- ; –1; 2  . 48. (–5; –3; 0); (3; 1; –2). 49. (2; –1). 50. (2; 3);  2  5 25 16  13 ------ ; – ---  . 51.  ------ ; ------  . 52. (4; 4). 53. (2; 3); (–2; –3); (2; –3); 3  3   3  3

Введите новые переменные

49 81  -----(–2; 3). 54. (1; 1). 55. (25; 9);  -----4 ; 4  . 56. (5; 4). 57. (1; 2);

a ( b2 + c2 ) -; u = xy, v = xz, w = yz. 34. (0; 0; 0). 35. x = -------------------------2bc

 4 5   4 5  (–1; –2);  ------- ; – -------  ;  – ------- ; -------  . 58. (0; 0); (3; 2); (–2; –3). 3   3 3   3

2 --5

2   ------  ;  15

 

15 15 2 ------ ; –2 ------ ; – --2 2 5

2  ------  . 15






554

Ответы, указания, решения

 3 5 3  3 5 3  - ; -----------  ;  – ------- ; – -----------   -----3 3 3 3    

Г л а в а 3. Системы уравнений

555

 – 5 ä 41 -; 11. (4; 1); (1; 4);  -----------------------2 

 c ( a2 + b2 ) b ( a2 + c2 ) 2abc ( ab – bc + ca ) - ; z = --------------------------- . 36.  ä ----------------------------------------------------------------------------------- ; y = -------------------------2ac 2ab ( ab + bc – ca ) ( – ab + bc + ca ) 

– 5 å 41  -------------------------  , де берутся либо оба верхних, либо оба нижних 2

 2abc ( ab + bc – ca ) 2abc ( – ab + bc + ca ) -----------------------------------------------------------------------------ä ---------------------------------------------------------------------------------( ab – bc + ca ) ( – ab + bc + ca ) ; ä ( ab – bc + ca ) ( ab + bc – ca )  , де 



 ab ä a 2 b 2 – 4ab ab å a 2 b 2 – 4ab - ; ä -----------------------------------------------знаа. 12.  ä ----------------------------------------------2b 2a  

  , де перед  

внешними радиалами берется любое сочетание знаов, а перед внутренними — либо оба верхних, либо оба нижних знаа. 13. (3; 1); (1; 3). 14. (1; 2); (2; 1). 15. (1; 1). 16. (3; 2); (2; 3); (–3; –2); (–2; –3). 17. (3; 1); (1; 3); (–3; –1); (–1; –3). 18. (3; 2); (2; 3); (–3; –2); (–2; –3). 19. (2; 1); (1; 2).
Перейдите  неизвестным u = x + 1, v = y + 1. 20. (2; 1); (2; –1); (–2; 1); (–2; –1).
Представьте первое уравнение в виде вадратноо относиx+y  3  --тельно переменной z = ------------x – y . 21. (2; 3);  – 2 ; –4  .




Разделите

первое уравнение на второе. 22. (–5; 1); (–1; 5); (6; 1); (–1; –6). 23. (2; 1); (–1; –2); (1 +

2 ; –1 +

2 ); (1 –

2 ; –1 –

2 ).

5 10  24. (–2; –4);  --3- ; -----3  . 25. (1; 4); (–5; 4); (5; –4); (–1; –4).

26. (3; 5); (5; 3); (–3; –5); (–5; –3).
Во второе уравнение, представленное в виде x4 + y4 + 2x2y2 = 931 + x2y2, подставьте x2 + y2, выраженное из первоо уравнения. 27. (2; 1); (1; 2); (–3; 0); (0; –3); (1; –2); (2; –1).
Представьте первое уравнение в виде (x + y)2 + (xy – 1)2 = 10. 28. (5; 2); (–2; –5).
Разложите x5 – y5 на множители. 29. (2; –1; –1); (–1; –1; 2); (–1; 2; –1). 30. (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1). 31. (3; 1; 0).  1 1 15 15 -----32. (1; 1; 1). 33.  2; – --2- ; 4  ;  –2; --2- ; –4  ;  – -----2 ; 2 2 ;     

берутся либо верхние, либо нижние знаи. 37. (1; 3; 9); (9; 3; 1). 38. (1; 2; 3); (1; 3; 2); (2; 1; 3); (2; 3; 1); (3; 1; 2); (3; 2; 1). 39. (0; 1; –1); (–1; 2; –1); (–1; 1; 0). 40. (3; –1; –1);  a (0; 2; –1); (0; –1; 2). 41. (3; 6; 10); (6; 3; 10). 42.  --------------------------- ; a + b+c     b c a b c --------------------------- ; ---------------------------  ;  – --------------------------- ; – --------------------------- ; – ---------------------------  . a+b+c a+b+c  a + b + c a + b + c a + b + c    2 2 43. (0; 0; 0) и  ä ------------------------------------------------------------------ ; ä ------------------------------------------------------------------ ; ( – a + b + c ) ( a + b – c ) ( a – b + c ) ( – a + b + c)   2 ä ------------------------------------------------------------  , де одна из оординат имеет зна (a – b + c)(a + b – c)  «плюс», а остальные — одинаовые знаи. 44. (0; 0; 0); (1; 1; 1); (–1; –1; –1); (0; (– 2 ; 0; – 2 ); ( 2 ;

2;

2 ); (0; – 2 ; – 2 ); ( 2 ; 0;

2 );

1 2 ; 0); (– 2 ; – 2 ; 0). 45.  1; 0; – --2-  ;  

 –1; 0; 1 ---  . 46. (ä1; ä2; ä5), де одна из оординат имеет зна 2   «плюс», а остальные — одинаовые знаи. 47. (0; 0; 0);  –1 --- ; –1; 2  . 48. (–5; –3; 0); (3; 1; –2). 49. (2; –1). 50. (2; 3);  2  5 25 16  13 ------ ; – ---  . 51.  ------ ; ------  . 52. (4; 4). 53. (2; 3); (–2; –3); (2; –3); 3  3   3  3

Введите новые переменные

49 81  -----(–2; 3). 54. (1; 1). 55. (25; 9);  -----4 ; 4  . 56. (5; 4). 57. (1; 2);

a ( b2 + c2 ) -; u = xy, v = xz, w = yz. 34. (0; 0; 0). 35. x = -------------------------2bc

 4 5   4 5  (–1; –2);  ------- ; – -------  ;  – ------- ; -------  . 58. (0; 0); (3; 2); (–2; –3). 3   3 3   3

2 --5

2   ------  ;  15

 

15 15 2 ------ ; –2 ------ ; – --2 2 5

2  ------  . 15






556

Ответы, указания, решения

Воспользуйтесь тем, что 2xy = x2 + y2 – (x – y)2. 59. (3; –1; 2). 60. (ä7; ä13); (ä6,5; ä14), де берутся либо верхние, либо нижние знаи. 61. (ä1; å1; –2); (ä1; 2; ä1); (2; ä1; ä1), де берутся


 3 1 5  либо верхние, либо нижние знаи. 62.  ä ------- ; å ------- ; ä -------  ; 7 7 7   (ä1, å1, ä2), де берутся либо верхние, либо нижние знаи.

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 1 1  --------- ; ----------  .  100 100 

2 ). 8. (a4; a; a7);

 1 1  -----4- ; a; -----7-  .  a a  

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

3 1 1. (5; 5). 2. (4; 2). 3.  --2- ; – --2-  . 4. (6; 6). 5. (3; 9); (9; 3). y x – ---

В первом уравнении перейдите  десятичным

лоарифмам. 6. (2; 6); (6; 2). 7. (1; 1; 1); (4; 2;

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

x




557

–y

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства 9 1. (–×; –2) Ÿ (2; +×). 2.  – --2- ; –2  Ÿ (3; +×). 3. [–1; 3].  

6. (1; 4).
Воспользуйтесь тем, что 4 , 2 2 , 2 — последовательные члены еометричесой прорессии. 7. (2; 2). 8. (2; 1). 9. (1; 9); (16; 1). 10. (–2; 7). 11. (1; 1). 12. (2; 4). 13. (1; –1); (5; 3).

4. (–×; –2) Ÿ (–1; 0]. 5. (–8; 1]. 6. (–×; –1) Ÿ (3; 7). 7. (–×; –2) Ÿ

1 1 14. (16; 3);  -----; –2  . 15. (27; 4);  -----; –3  . 16. (4; 1). 17. (6; 2).  64   81 

1 3 Ÿ (1; 2) Ÿ (3; +×). 8. (1; 2]. 9.  –×; – --2-  Ÿ  --2- ; 4  . 10. (–×; 1) Ÿ    

10 20  -----18. (9; 16). 19. (–10; 20);  -----3 ; 3  . 20. (4; 1); (–4; –1).

3 Ÿ  --2- ; 2  Ÿ (3; +×). 11.  




Вос-

пользуйтесь тем, что первое уравнение вадратное относительно z = 2

xy ,

x+y

а второе — относительно u = ------------x – y . 21. ( 3 ; 1);

(– 3 ; 1).
Введите обозначения z = x2 + y, u = 2 зуйте равенство 6

x2 – y

y – x2

и исполь-

x2 – y

3 - . 22. (2; 2; 1). = --------------y – x2 2

§ 16. Разные задачи

13. (–×; –5) Ÿ

 3+ 5 8 + 22  -; 1 . 1; ---------------------  . 14. [–46; 3). 15.  – ----------------2 3  

16. [–6; 0) Ÿ (3; 4]. 17. [–5; –1) Ÿ (1; +×). 18. [–1; +×). 19. ¾.   5 – 13  37 – 13 -  Ÿ (2; +×). 21.  –×; -----------------------20.  –1; -------------------2 6    23. (5; +×). 24. (–2; –1] Ÿ

1. (3; 9).
Пролоарифмируйте первое уравнение по основа4 2 27 32   16 ----------- ---  нию x. 2.  --3- ; -----8 ; 3  . 3. (4; 2); (–4; 2). 4. (1; 1);  81 ; 9  . 

27. [1 –

Пролоарифмируйте оба уравнения по основанию 10 и сведите систему  рациональной относительно неизвестных

30. (–×; –2 –




lg x

u = --------lg y , v =

4

x +

1  1  -------- y . 5.  100; --------100  ; (100; 100);  100 ; 100  ; 

 13 – 5 9 + 61  -; 1 . –5; – -------------------- . 12.  -------------------8 2  

Ÿ [1 –

17 ;

2 1 – --3- ; --3-  . 25. x Ý R. 26. 

5 – 1]. 28. ( 2 – 1; 2 ] Ÿ [1 +

. 22. x Ý R. 7 3 --- ; --6 2

.

 3 + 65  2 + 1). 29.  – --------------------;3. 2  

3 ; +×). 31. (–×; –1 –

3] Ÿ

5 ; +×). 32. [–1; 2) Ÿ (8; 5 + 3 2 ]. 33. (0,75; 1) Ÿ (1; +×).

34. [–1; +×). 35. (–×; 2) Ÿ (3; +×). 36. (–1;

3

4 ).

556

Ответы, указания, решения

Воспользуйтесь тем, что 2xy = x2 + y2 – (x – y)2. 59. (3; –1; 2). 60. (ä7; ä13); (ä6,5; ä14), де берутся либо верхние, либо нижние знаи. 61. (ä1; å1; –2); (ä1; 2; ä1); (2; ä1; ä1), де берутся


 3 1 5  либо верхние, либо нижние знаи. 62.  ä ------- ; å ------- ; ä -------  ; 7 7 7   (ä1, å1, ä2), де берутся либо верхние, либо нижние знаи.

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 1 1  --------- ; ----------  .  100 100 

2 ). 8. (a4; a; a7);

 1 1  -----4- ; a; -----7-  .  a a  

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

3 1 1. (5; 5). 2. (4; 2). 3.  --2- ; – --2-  . 4. (6; 6). 5. (3; 9); (9; 3). y x – ---

В первом уравнении перейдите  десятичным

лоарифмам. 6. (2; 6); (6; 2). 7. (1; 1; 1); (4; 2;

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

x




557

–y

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства 9 1. (–×; –2) Ÿ (2; +×). 2.  – --2- ; –2  Ÿ (3; +×). 3. [–1; 3].  

6. (1; 4).
Воспользуйтесь тем, что 4 , 2 2 , 2 — последовательные члены еометричесой прорессии. 7. (2; 2). 8. (2; 1). 9. (1; 9); (16; 1). 10. (–2; 7). 11. (1; 1). 12. (2; 4). 13. (1; –1); (5; 3).

4. (–×; –2) Ÿ (–1; 0]. 5. (–8; 1]. 6. (–×; –1) Ÿ (3; 7). 7. (–×; –2) Ÿ

1 1 14. (16; 3);  -----; –2  . 15. (27; 4);  -----; –3  . 16. (4; 1). 17. (6; 2).  64   81 

1 3 Ÿ (1; 2) Ÿ (3; +×). 8. (1; 2]. 9.  –×; – --2-  Ÿ  --2- ; 4  . 10. (–×; 1) Ÿ    

10 20  -----18. (9; 16). 19. (–10; 20);  -----3 ; 3  . 20. (4; 1); (–4; –1).

3 Ÿ  --2- ; 2  Ÿ (3; +×). 11.  




Вос-

пользуйтесь тем, что первое уравнение вадратное относительно z = 2

xy ,

x+y

а второе — относительно u = ------------x – y . 21. ( 3 ; 1);

(– 3 ; 1).
Введите обозначения z = x2 + y, u = 2 зуйте равенство 6

x2 – y

y – x2

и исполь-

x2 – y

3 - . 22. (2; 2; 1). = --------------y – x2 2

§ 16. Разные задачи

13. (–×; –5) Ÿ

 3+ 5 8 + 22  -; 1 . 1; ---------------------  . 14. [–46; 3). 15.  – ----------------2 3  

16. [–6; 0) Ÿ (3; 4]. 17. [–5; –1) Ÿ (1; +×). 18. [–1; +×). 19. ¾.   5 – 13  37 – 13 -  Ÿ (2; +×). 21.  –×; -----------------------20.  –1; -------------------2 6    23. (5; +×). 24. (–2; –1] Ÿ

1. (3; 9).
Пролоарифмируйте первое уравнение по основа4 2 27 32   16 ----------- ---  нию x. 2.  --3- ; -----8 ; 3  . 3. (4; 2); (–4; 2). 4. (1; 1);  81 ; 9  . 

27. [1 –

Пролоарифмируйте оба уравнения по основанию 10 и сведите систему  рациональной относительно неизвестных

30. (–×; –2 –




lg x

u = --------lg y , v =

4

x +

1  1  -------- y . 5.  100; --------100  ; (100; 100);  100 ; 100  ; 

 13 – 5 9 + 61  -; 1 . –5; – -------------------- . 12.  -------------------8 2  

Ÿ [1 –

17 ;

2 1 – --3- ; --3-  . 25. x Ý R. 26. 

5 – 1]. 28. ( 2 – 1; 2 ] Ÿ [1 +

. 22. x Ý R. 7 3 --- ; --6 2

.

 3 + 65  2 + 1). 29.  – --------------------;3. 2  

3 ; +×). 31. (–×; –1 –

3] Ÿ

5 ; +×). 32. [–1; 2) Ÿ (8; 5 + 3 2 ]. 33. (0,75; 1) Ÿ (1; +×).

34. [–1; +×). 35. (–×; 2) Ÿ (3; +×). 36. (–1;

3

4 ).

558

Ответы, указания, решения § 18. Показательные неравенства 1. (–×; log2 (–1 +

 5+1 4.  –×; – 2 log 2 ----------------2  

7 )].

2. (–2; +×).

3. (–×; –1]. 

5+1 - ; +×  . 5. [– log 4 ; 2 log 2 ----------------3 2 

Ÿ



log 3 4 ]. 6. [–4; –2) Ÿ (0; +×). 7. [–10; 5]. 8. [0; 1]. 9. [log13 5; 1]. 10. (– 7 ; – 3 ] Ÿ [ 3 ;

7 ). 11. [2; 18). 12. (–log2 9; +×).

1 13. (–×; log5 3). 14.  --2- log5 6; log6 5  . 15. [–1; 3). 16. (2; +×). 1 5 17.  –×; – --2-  Ÿ  --8- ; +×  . 18. [0; 4]. 19. (–×; 0) Ÿ (log3 2; 1). 1 20.  – --2- + k; k

Ÿ

1 1 --- + k; --- + k  , k Ý Z. 2 4 

5.

1 --- ; 2 . 6. (– 3 ; 4

1 1 3 – --2- ; – --4-  Ÿ  --4- ; 1 . 4. (–×; –1).

23  1 3 3 ). 7.  --2- ; 4  . 8.  – --2- ; – -----16  . 9. (4; 7).

10. (1; +×). 11. (3; 7). 12. (10–2; 10). 13. [–2; 6) Ÿ 1 14.  0; --3

Ÿ [0; +×). 30. (0; 1) Ÿ   1 32.  –1; --2

Ÿ

5 6 – 1; --2-  . 31. (0; 1) Ÿ [4; 2 1 + 

5 1; --2-  . 33. [ 2 – 

20 ------ ; 7  . 3 

Ÿ [9; +×). 15. (1; 2] Ÿ [3; 4). 16. (–7; 1). 17. (–5; –4) Ÿ

1/8

; 1) Ÿ (1;

3

1 2 ). 34.  0; --2

559 3 ].

Ÿ

 3   3 1  3  1   - ------------Ÿ (1; +×). 35.  -----4 ; 2  Ÿ  2 ; 1  . 36.  2 ; 1  Ÿ  1; 2  Ÿ      3 3– 5 Ÿ  --2- ; 2  . 37. (–4; –3) Ÿ [1; +×). 38. (1; 2). 39.  0; ----------------2   Ÿ

Ÿ

  3+ 5 3+ 5 ------------------ ; +×  . 40.  ------------------ ; 3 . 41. (–×; –7) Ÿ (–5; –2] Ÿ [4; +×). 2 2 



42. (–6; –5) Ÿ (–3; –2). 43. (1 –

§ 19. Логарифмические неравенства 3 1.  – --2- ; –1  . 2. (3; +×). 3.

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

1 1 7 ; –1) Ÿ  – --3- ; 0  Ÿ  0; --3-  Ÿ    

Ÿ (2; 1 +

 41 - . 46. (0; 1) Ÿ [2; +×). 7 ). 45. (–2 2 ; –1) Ÿ  1; ---------5 

47. (3; 5 –

 1  - ; 1  Ÿ (9; +×). 3 ) Ÿ (7; +×). 48. (1000; +×). 49.  ------3 3  

  5+1 - ; 2  . 51. (1; 2). 52. (0; 1) Ÿ (1; 50.  ----------------2  

10

10 ). 53. (3; π) Ÿ

3π  π 5π  3π      --------------Ÿ  π; -----2  Ÿ  2 ; 5  . 54.  2πk; 6 + 2πk  Ÿ  2πk + 6 ; π + 2πk  ,

Ÿ (–3; –1). 18. (0; 1] Ÿ [2; +×). 19. [1; +×). 20. (–×; log3 2).

π 1 3 π k Ý Z. 55.  --2- ; --4-  . 56.  πk + --4- ; πk + --3-

 3 10 – 3 3 100 – 3  3 - ; -------------------------  . 22. (0; 2) Ÿ (4; +×). 21.  – --2- ; –1  Ÿ  --------------------2 2    

π 2 2 π + arcsin --3- ; 2πk + --2-  Ÿ  2πk + --2- ; (2k + 1)π – arcsin --3-  , k Ý Z.

 17 – 3 23. (0; 1) Ÿ (2; +×). 24.  0; -------------------2  Ÿ (3; 5). 27.

. 25.

π

π

– --6- ; --6-

. 26. (1; 3) Ÿ

 5–3 ----------------- ; 1  . 28. (2–15; 2–9] Ÿ [29; +×). 29. (–2; –1) Ÿ 2 

π π 58.  --2- ; 2  Ÿ  – --6- ; 1

, k Ý Z. 57.  2πk +

π π Ÿ  2πk – --6- ; --2- + 2πk  , k Ý Z, k − 0.

59. x = 1, x = 2.
Найдите область определения неизвестноо x и для аждоо целоо числа из области определения проверьте выполнение (или невыполнение) данноо неравенства. 60. x = –1, x = 0, x = 1, x = 2. 61. x = 6, x = 7, x = 8.

558

Ответы, указания, решения § 18. Показательные неравенства 1. (–×; log2 (–1 +

 5+1 4.  –×; – 2 log 2 ----------------2  

7 )].

2. (–2; +×).

3. (–×; –1]. 

5+1 - ; +×  . 5. [– log 4 ; 2 log 2 ----------------3 2 

Ÿ



log 3 4 ]. 6. [–4; –2) Ÿ (0; +×). 7. [–10; 5]. 8. [0; 1]. 9. [log13 5; 1]. 10. (– 7 ; – 3 ] Ÿ [ 3 ;

7 ). 11. [2; 18). 12. (–log2 9; +×).

1 13. (–×; log5 3). 14.  --2- log5 6; log6 5  . 15. [–1; 3). 16. (2; +×). 1 5 17.  –×; – --2-  Ÿ  --8- ; +×  . 18. [0; 4]. 19. (–×; 0) Ÿ (log3 2; 1). 1 20.  – --2- + k; k

Ÿ

1 1 --- + k; --- + k  , k Ý Z. 2 4 

5.

1 --- ; 2 . 6. (– 3 ; 4

1 1 3 – --2- ; – --4-  Ÿ  --4- ; 1 . 4. (–×; –1).

23  1 3 3 ). 7.  --2- ; 4  . 8.  – --2- ; – -----16  . 9. (4; 7).

10. (1; +×). 11. (3; 7). 12. (10–2; 10). 13. [–2; 6) Ÿ 1 14.  0; --3

Ÿ [0; +×). 30. (0; 1) Ÿ   1 32.  –1; --2

Ÿ

5 6 – 1; --2-  . 31. (0; 1) Ÿ [4; 2 1 + 

5 1; --2-  . 33. [ 2 – 

20 ------ ; 7  . 3 

Ÿ [9; +×). 15. (1; 2] Ÿ [3; 4). 16. (–7; 1). 17. (–5; –4) Ÿ

1/8

; 1) Ÿ (1;

3

1 2 ). 34.  0; --2

559 3 ].

Ÿ

 3   3 1  3  1   - ------------Ÿ (1; +×). 35.  -----4 ; 2  Ÿ  2 ; 1  . 36.  2 ; 1  Ÿ  1; 2  Ÿ      3 3– 5 Ÿ  --2- ; 2  . 37. (–4; –3) Ÿ [1; +×). 38. (1; 2). 39.  0; ----------------2   Ÿ

Ÿ

  3+ 5 3+ 5 ------------------ ; +×  . 40.  ------------------ ; 3 . 41. (–×; –7) Ÿ (–5; –2] Ÿ [4; +×). 2 2 



42. (–6; –5) Ÿ (–3; –2). 43. (1 –

§ 19. Логарифмические неравенства 3 1.  – --2- ; –1  . 2. (3; +×). 3.

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

1 1 7 ; –1) Ÿ  – --3- ; 0  Ÿ  0; --3-  Ÿ    

Ÿ (2; 1 +

 41 - . 46. (0; 1) Ÿ [2; +×). 7 ). 45. (–2 2 ; –1) Ÿ  1; ---------5 

47. (3; 5 –

 1  - ; 1  Ÿ (9; +×). 3 ) Ÿ (7; +×). 48. (1000; +×). 49.  ------3 3  

  5+1 - ; 2  . 51. (1; 2). 52. (0; 1) Ÿ (1; 50.  ----------------2  

10

10 ). 53. (3; π) Ÿ

3π  π 5π  3π      --------------Ÿ  π; -----2  Ÿ  2 ; 5  . 54.  2πk; 6 + 2πk  Ÿ  2πk + 6 ; π + 2πk  ,

Ÿ (–3; –1). 18. (0; 1] Ÿ [2; +×). 19. [1; +×). 20. (–×; log3 2).

π 1 3 π k Ý Z. 55.  --2- ; --4-  . 56.  πk + --4- ; πk + --3-

 3 10 – 3 3 100 – 3  3 - ; -------------------------  . 22. (0; 2) Ÿ (4; +×). 21.  – --2- ; –1  Ÿ  --------------------2 2    

π 2 2 π + arcsin --3- ; 2πk + --2-  Ÿ  2πk + --2- ; (2k + 1)π – arcsin --3-  , k Ý Z.

 17 – 3 23. (0; 1) Ÿ (2; +×). 24.  0; -------------------2  Ÿ (3; 5). 27.

. 25.

π

π

– --6- ; --6-

. 26. (1; 3) Ÿ

 5–3 ----------------- ; 1  . 28. (2–15; 2–9] Ÿ [29; +×). 29. (–2; –1) Ÿ 2 

π π 58.  --2- ; 2  Ÿ  – --6- ; 1

, k Ý Z. 57.  2πk +

π π Ÿ  2πk – --6- ; --2- + 2πk  , k Ý Z, k − 0.

59. x = 1, x = 2.
Найдите область определения неизвестноо x и для аждоо целоо числа из области определения проверьте выполнение (или невыполнение) данноо неравенства. 60. x = –1, x = 0, x = 1, x = 2. 61. x = 6, x = 7, x = 8.

560

Ответы, указания, решения § 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции

1 + 17

1+ 5

–1+ 5

561

– 1 + 17

- ; ----------------------- < a < --------------------------- . 11. 0 < c m 8. 12. – --------------------< a < – ----------------2 2 2 2 11

1. (– 2 ; –1) Ÿ (1;

2 ). 2. (–1; 0) Ÿ (0; 1). 3. [–4; –1]. 4. (0,7; 1).

13. a < –2. 14. –3 < x < –1. 15. x > 3. 16. (1; 0). 17. a > -----9 .

1

10 5   --Ÿ  3; -----3 . 7.  –×; – 3  Ÿ (1; +×). 

- m m m –4 + 2 3 . 20. m > 1. 18. 2 2 m a < -----. 19. – --------------------2 3

5. (–1; 2). 6. 8.

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

0; --3-

1– 5 ----------------- ; 0  Ÿ 2 

1+ 5 ------------------ ; +×  . 9. (–×; +×). 10. [0; 2) Ÿ (4; 6]. 2 

11. (–×; 0] Ÿ [log6 5; 1). 12.  2 – 

3 2 ; --4-

Ÿ

13 ------ ; 2 + 4

2 . 

1 1 3 13.  --2- log2 7; log2 3  . 14.  --2- ; --2-  .    

1

1

< ------- . 25. a < –2. 26. --2- < a < 1. 27. Если a = 0, то решений 2 нет; если a > 0, то x < –2 + log3 a; если a < 0, то x < log3 (–a). π

π

2 cos a 7π 5π ------- + 2πk m a m ------- + 2πk, то x = –arcsin ------------------------------------ + ( – 1) n × 6 6 1 + 4 cos 2 a 2

1. Если a < 1, то решений нет; если a = 1, то x = 2; если a > 1, то x = a + 1; x = 3a – 1. 2. Если 2 < a m 3, то x Ý Ý [2a – 5; 1]; если –2 m a m 2, то x Ý [–1; 1]; если –3 m a < –2, то x Ý [–1; 2a + 5]; если | a | > 3, то решений нет. 3. Если a < 0, 1

то x1, 2 = ä --2- (–1 + 1 – 4a ); если a = 0, то x = 0; если a > 0, то решений нет. 4. а) При a < 0 решений нет; при a = 0 — три решения; при 0 < a < 1 — четыре; при a = 1 — два; при a > 1 решений нет; б) при a < 0 решений нет; при a = 0 — два решения; при 0 < a < 4 — четыре; при a = 4 — три; при 2 , то решений нет; если |a| >

2 , то

a – a 2 – 1 – 1 < x < a + a 2 – 1 – 1. 6. Если a m 0 или a l 4, то решений нет; если 0 < a < 2, то –a m x m a; если a = 2, то a –2 < x < 2; если 2 < a < 4, то – --2-

1 2

21. Ни при аих m. 22. a l 1. 23. –3 m a m 3. 24. – ------- < a <

28. α l 2. 29. α l 1. 30. Если 2πk – --6- m a m --6- + 2πk или

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

a > 4 — два. 5. Если |a| m

7+3 5

11

a a ( 4 – a ) < x < --2-

- + πn (k, n Ý Z). 31. Если a < – 2 или × arcsin ----------------------------------2 1 + 4 cos a

al

2 , то x = (–1)k arcsin 10

то x = (–1)k arcsin 10

aä

2 ( a2

шений нет. 32. b < –2 –

a – 2 ( a2 – 1 ) – 1)

+ πk; если – 2 m a m –1,

+ πk; если –1 < a <

2 , то ре-

8 , b > 2. 33. Если –3 m a m 2, то

1 1 x = ä --2- arccos 2a + 5 + πk, k Ý Z. 34. a1, 2 = ä2. 35. Если b < --2b 1 b − 1 --- , b − 0, b − –1  , то x = πk + (–1)k arcsin ------------- ; если b l --- , 3 b–1 2  

то решений нет. 36. Если a m 0, то решений нет; если a > 0, то log 3

x = πk ä arcsin 2

2 – --------------2a

, k Ý Z. 37. Если a l 1, то 0 < x < 1; если π

a( 4 – a ) .

a m sin 1, то 0 < x < arcsin a, 1 < x < --2- ; если sin 1 < a < 1, то

2 7. – -----4 < a < 3.
Записав неравенство в виде 3 – x > |x – a|, постройте и исследуйте рафии фунций, находящихся в левой и правой частях неравенства. 8. Если 0 < a m 1, то x = log2 a; если a m 0 или a > 1, то решений нет. 9. Если a m 1, то x =

0 < x < 1, arcsin a < x < --2- . 38. (0; 0); (1; 0). 39. k = 1; x =

13

= älog12 (1 +

1

1 – a ); если a > 1, то решений нет. 10. 0 < a < ----------. 3 36

π

π

= tg --4- (1 –

π

7 ), y = cos --4- (1 +

7 ). 40. a < –1, a = 0. 41. Если

  1 1  15 17  1 - ; 0; ----------  . a = –1, то x =  –1; -----; ------ ; если a = – --5- , то x =  – --------120 17 15  136    

560

Ответы, указания, решения § 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции

1 + 17

1+ 5

–1+ 5

561

– 1 + 17

- ; ----------------------- < a < --------------------------- . 11. 0 < c m 8. 12. – --------------------< a < – ----------------2 2 2 2 11

1. (– 2 ; –1) Ÿ (1;

2 ). 2. (–1; 0) Ÿ (0; 1). 3. [–4; –1]. 4. (0,7; 1).

13. a < –2. 14. –3 < x < –1. 15. x > 3. 16. (1; 0). 17. a > -----9 .

1

10 5   --Ÿ  3; -----3 . 7.  –×; – 3  Ÿ (1; +×). 

- m m m –4 + 2 3 . 20. m > 1. 18. 2 2 m a < -----. 19. – --------------------2 3

5. (–1; 2). 6. 8.

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

0; --3-

1– 5 ----------------- ; 0  Ÿ 2 

1+ 5 ------------------ ; +×  . 9. (–×; +×). 10. [0; 2) Ÿ (4; 6]. 2 

11. (–×; 0] Ÿ [log6 5; 1). 12.  2 – 

3 2 ; --4-

Ÿ

13 ------ ; 2 + 4

2 . 

1 1 3 13.  --2- log2 7; log2 3  . 14.  --2- ; --2-  .    

1

1

< ------- . 25. a < –2. 26. --2- < a < 1. 27. Если a = 0, то решений 2 нет; если a > 0, то x < –2 + log3 a; если a < 0, то x < log3 (–a). π

π

2 cos a 7π 5π ------- + 2πk m a m ------- + 2πk, то x = –arcsin ------------------------------------ + ( – 1) n × 6 6 1 + 4 cos 2 a 2

1. Если a < 1, то решений нет; если a = 1, то x = 2; если a > 1, то x = a + 1; x = 3a – 1. 2. Если 2 < a m 3, то x Ý Ý [2a – 5; 1]; если –2 m a m 2, то x Ý [–1; 1]; если –3 m a < –2, то x Ý [–1; 2a + 5]; если | a | > 3, то решений нет. 3. Если a < 0, 1

то x1, 2 = ä --2- (–1 + 1 – 4a ); если a = 0, то x = 0; если a > 0, то решений нет. 4. а) При a < 0 решений нет; при a = 0 — три решения; при 0 < a < 1 — четыре; при a = 1 — два; при a > 1 решений нет; б) при a < 0 решений нет; при a = 0 — два решения; при 0 < a < 4 — четыре; при a = 4 — три; при 2 , то решений нет; если |a| >

2 , то

a – a 2 – 1 – 1 < x < a + a 2 – 1 – 1. 6. Если a m 0 или a l 4, то решений нет; если 0 < a < 2, то –a m x m a; если a = 2, то a –2 < x < 2; если 2 < a < 4, то – --2-

1 2

21. Ни при аих m. 22. a l 1. 23. –3 m a m 3. 24. – ------- < a <

28. α l 2. 29. α l 1. 30. Если 2πk – --6- m a m --6- + 2πk или

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

a > 4 — два. 5. Если |a| m

7+3 5

11

a a ( 4 – a ) < x < --2-

- + πn (k, n Ý Z). 31. Если a < – 2 или × arcsin ----------------------------------2 1 + 4 cos a

al

2 , то x = (–1)k arcsin 10

то x = (–1)k arcsin 10

aä

2 ( a2

шений нет. 32. b < –2 –

a – 2 ( a2 – 1 ) – 1)

+ πk; если – 2 m a m –1,

+ πk; если –1 < a <

2 , то ре-

8 , b > 2. 33. Если –3 m a m 2, то

1 1 x = ä --2- arccos 2a + 5 + πk, k Ý Z. 34. a1, 2 = ä2. 35. Если b < --2b 1 b − 1 --- , b − 0, b − –1  , то x = πk + (–1)k arcsin ------------- ; если b l --- , 3 b–1 2  

то решений нет. 36. Если a m 0, то решений нет; если a > 0, то log 3

x = πk ä arcsin 2

2 – --------------2a

, k Ý Z. 37. Если a l 1, то 0 < x < 1; если π

a( 4 – a ) .

a m sin 1, то 0 < x < arcsin a, 1 < x < --2- ; если sin 1 < a < 1, то

2 7. – -----4 < a < 3.
Записав неравенство в виде 3 – x > |x – a|, постройте и исследуйте рафии фунций, находящихся в левой и правой частях неравенства. 8. Если 0 < a m 1, то x = log2 a; если a m 0 или a > 1, то решений нет. 9. Если a m 1, то x =

0 < x < 1, arcsin a < x < --2- . 38. (0; 0); (1; 0). 39. k = 1; x =

13

= älog12 (1 +

1

1 – a ); если a > 1, то решений нет. 10. 0 < a < ----------. 3 36

π

π

= tg --4- (1 –

π

7 ), y = cos --4- (1 +

7 ). 40. a < –1, a = 0. 41. Если

  1 1  15 17  1 - ; 0; ----------  . a = –1, то x =  –1; -----; ------ ; если a = – --5- , то x =  – --------120 17 15  136    

562

Ответы, указания, решения

42. a = 0, a = 1. 43. Если a = 1, то x l 1; если a = –1, то –3 m 7+a

m x < 1; если | a | > 1, то x = 1, x = ------------a – 1 ; при | a | > 1 уравнение

Г л а в а 5. Тригонометрия

π π 1 + 2 30 2 sin 2 = sin (π – 2) и π – 2 Ý  – --2- ; --2-  . 30. ----------------------------- . 31. -----2 .   2 2 – 15 4 2+ 5

13 3 - . 33. --- + ----------- . 32. ------------------------9 13 5

имеет два решения.

42. Справедливо.

§ 23. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Тода для переменной y доазываемое равенство примет вид π π arccos cos y + arccos cos  --3- – y  = --3- или, после упрощений,  

π π π α 0; --2-  Ÿ  --2- ; π ; ctg  --+ --4-  , 2   

1

3

1

π

y + y – --3-

π

= --3- . При y Ý

43. Справедливо.




cos [ ( n + 2 )α ] cos nα

данное равенство превраща-

5–1

1

1

См. решение упр. 42. 44. --2-

n cos α –

1

α

2

2

cos [ ( n + 2 )α ] sin nα . 45. --------------------------------------------------------. 46. -----n- ctg -----n- – sin α

– --------------------------------------------------------sin α 6– 2

π

0; --3-

ется в тождество.

3π  π  3π 3 --------π; -----2  Ÿ  2 ; 2π . 34. 2 tg α, если α − 2 + πn.

---------------------- . 8. ----------------- . ----1. –1. 2. -----4 64 . 3. 4 . 4. 1. 5. 4. 6. 2 . 7. 4

×

Полаая x = cos y, преобразуем арумент

3 1  --π второо слааемоо по формуле --2- cos y + -----2 sin y = cos  3 – y  .

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций






Г л а в а 5. Тригонометрия

π α 33. tg  --+ --4-  , если α Ý  2 

если α Ý

563

( n + 1 )α

1

n

-. – 2 ctg 2α. 47. --2- . 48. --2- . 49. --2- . 50. 0. 51. tg ---------------------2

1

Используйте равенство cos (3 · 18°) = sin (2 · 18°). 9. --8- ( 3 × 10 + 2 5 –

5 + 1).




Используйте равенство sin 42° = 3n –

n3

-. = sin (60° – 18°). 10. 0,96. 11. 2. 12. a4 – 4a2 + 2. 13. -------------------2 a2 – b2 a +b

1–m

4a a + b + 2b

--------------- . 15. ------------------------------------------------- . 18. – 3 . 14. 1 2 2 . 16. 3. 17. 2 2 +m




Рас-

§ 25. Тригонометрические уравнения Встречающиеся в ответах бувы n, l, m, k, если не ооворено противное, принимают любые целочисленные значения. π

1. – --2- + 2πn; ( – 1) π

ä --3- + 2πk. 5.

π π --- + πn. 2. πn. 3. ä --- + πn. 4. --- + πk; 2 3 6

n π

π π --- + πn; --- + πn 3 6

Ÿ

5π 2π ------- + πn; ------- + πn . 6 3

Упрос-




смотрите заданные условия а систему трионометричесих уравнений и найдите α и β а решения этой системы, при-

тите выражение, выделив под знаами радиалов полные вад-

1 p+q --надлежащие уазанным промежутам. 19. -----------p – q . 20. 2; – 3 .

- + πn; –arctg ----------------- + πn. 7. arctg --- + πk; раты. 6. arctg ----------------4 4 2

1

2

1

15

----------21. –2; – --2- ; --2- ; 2. 22. 4x3 – 3x – m = 0. 23. m. 24. --α . 25. 8 . 3

77

-----26. -----2 . 27. 85 . 28. 4 5 . 29. π – 2.




Воспользуйтесь тем, что

1+ 5

5–1

π

π

7

1

π

arctg --2- + πk. 8. --2- + 2πk; π(2k + 1). 9. ä --3- + πk. 10. – --4- + πk; 2

2π k

----------- ; äarctg -----2 + πk; 5

π ------ (2k + 1). 11

π

π

11. --2- + 2πk; (–1)k --6- + πk.

562

Ответы, указания, решения

42. a = 0, a = 1. 43. Если a = 1, то x l 1; если a = –1, то –3 m 7+a

m x < 1; если | a | > 1, то x = 1, x = ------------a – 1 ; при | a | > 1 уравнение

Г л а в а 5. Тригонометрия

π π 1 + 2 30 2 sin 2 = sin (π – 2) и π – 2 Ý  – --2- ; --2-  . 30. ----------------------------- . 31. -----2 .   2 2 – 15 4 2+ 5

13 3 - . 33. --- + ----------- . 32. ------------------------9 13 5

имеет два решения.

42. Справедливо.

§ 23. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Тода для переменной y доазываемое равенство примет вид π π arccos cos y + arccos cos  --3- – y  = --3- или, после упрощений,  

π π π α 0; --2-  Ÿ  --2- ; π ; ctg  --+ --4-  , 2   

1

3

1

π

y + y – --3-

π

= --3- . При y Ý

43. Справедливо.




cos [ ( n + 2 )α ] cos nα

данное равенство превраща-

5–1

1

1

См. решение упр. 42. 44. --2-

n cos α –

1

α

2

2

cos [ ( n + 2 )α ] sin nα . 45. --------------------------------------------------------. 46. -----n- ctg -----n- – sin α

– --------------------------------------------------------sin α 6– 2

π

0; --3-

ется в тождество.

3π  π  3π 3 --------π; -----2  Ÿ  2 ; 2π . 34. 2 tg α, если α − 2 + πn.

---------------------- . 8. ----------------- . ----1. –1. 2. -----4 64 . 3. 4 . 4. 1. 5. 4. 6. 2 . 7. 4

×

Полаая x = cos y, преобразуем арумент

3 1  --π второо слааемоо по формуле --2- cos y + -----2 sin y = cos  3 – y  .

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций






Г л а в а 5. Тригонометрия

π α 33. tg  --+ --4-  , если α Ý  2 

если α Ý

563

( n + 1 )α

1

n

-. – 2 ctg 2α. 47. --2- . 48. --2- . 49. --2- . 50. 0. 51. tg ---------------------2

1

Используйте равенство cos (3 · 18°) = sin (2 · 18°). 9. --8- ( 3 × 10 + 2 5 –

5 + 1).




Используйте равенство sin 42° = 3n –

n3

-. = sin (60° – 18°). 10. 0,96. 11. 2. 12. a4 – 4a2 + 2. 13. -------------------2 a2 – b2 a +b

1–m

4a a + b + 2b

--------------- . 15. ------------------------------------------------- . 18. – 3 . 14. 1 2 2 . 16. 3. 17. 2 2 +m




Рас-

§ 25. Тригонометрические уравнения Встречающиеся в ответах бувы n, l, m, k, если не ооворено противное, принимают любые целочисленные значения. π

1. – --2- + 2πn; ( – 1) π

ä --3- + 2πk. 5.

π π --- + πn. 2. πn. 3. ä --- + πn. 4. --- + πk; 2 3 6

n π

π π --- + πn; --- + πn 3 6

Ÿ

5π 2π ------- + πn; ------- + πn . 6 3

Упрос-




смотрите заданные условия а систему трионометричесих уравнений и найдите α и β а решения этой системы, при-

тите выражение, выделив под знаами радиалов полные вад-

1 p+q --надлежащие уазанным промежутам. 19. -----------p – q . 20. 2; – 3 .

- + πn; –arctg ----------------- + πn. 7. arctg --- + πk; раты. 6. arctg ----------------4 4 2

1

2

1

15

----------21. –2; – --2- ; --2- ; 2. 22. 4x3 – 3x – m = 0. 23. m. 24. --α . 25. 8 . 3

77

-----26. -----2 . 27. 85 . 28. 4 5 . 29. π – 2.




Воспользуйтесь тем, что

1+ 5

5–1

π

π

7

1

π

arctg --2- + πk. 8. --2- + 2πk; π(2k + 1). 9. ä --3- + πk. 10. – --4- + πk; 2

2π k

----------- ; äarctg -----2 + πk; 5

π ------ (2k + 1). 11

π

π

11. --2- + 2πk; (–1)k --6- + πk.

564

Ответы, указания, решения π

π

1

12. arctg --2- + πk. 13. --4- (4k + 1). 14. π(2k + 1); --2- (4k – 1).

Г л а в а 5. Тригонометрия

565

3–1

πn

πn

3π

3π

πk

------------------------× arcsin ----------------+ πn. 50. -----2 3 . 51. 4 + πn; 16 + 4 . 52. 8 ;

1 πk --- ; 1 , то x = ------- ä 2 2

π 2π π π --- (2n + 1). 53. – --- + πk; ä ------- + 2πk. 54. πk; (–1)k + 1 --- + πk; 6 3 4 8

 1 a–1  ä --2- arcsin  2 ---------------2a – 3  , при остальных значениях a решений

--ä --3- + 2πk. 55. – --4- + πk; ä --3- + πk. 56. -----10 (2k + 1); 6 (2k + 1).

πk

π

------15. -----12 (6k ä 1). 16. 2 . 17. Если a Ý





нет.

Значения a, при оторых существуют решения уравне-




πk

π

π

------ния, определите из условия | sin x | m 1. 18. --4- + πk; -----12 + 7 . 3π

2π n

π

πk

7π

πk

π

π

2π n

-------------------------- --------------------------- ------19. – --------108 + 9 ; 24 + 2 . 20. – 20 – 5 ; 100 + 25 . 21. 12 + πn; 3 π 21π 11π πn 5π ------- + ------- . 22. ¾. 23. ---------- ; ---------- . 24. --- + 2πn. 25. arctg --- + πk; 2 2 8 16 3 36 1

πk – arctg --2- . 26. πk; äarctg

π

π

3π

π

π

π

π

2 + πk; ä --3- + πk. 27. --2- (4k + 1).

n ----28. --4- + 2πk. 29. 2πk; --2- + 2πk. 30. -----4 + πn; (–1) 4 – 4 + πn.

31. Если a Ý (–×; –1) Ÿ (–1; 2 – 2 2 ] Ÿ [2 + 2 2 ; +×), то a+2

π

x = --4- + 2πk ä arccos -------------- . a 2




Воспользуйтесь подстановой t =

= sin x + cos x. Значения a, при оторых уравнение имеет реπk 2 . 32. -----3 . 33. Если a − 0, то

шения, найдите из условия | t | m

1 + 16a 2 – 1 1 π x = πk ä --2- arccos -------------------------------------; если a = 0, то x = πk ä --4- . 4a π

π π πn π -------34. --8- (2k + 1). 35. --4- + -----2 . 36. πn. 37. 16 (2k + 1); 3 (3k ä 1). πk

πk

π

πn

π

π

π

π

--------- ------38. -----2 ; 9 . 39. 4 (2k + 1); 5 (2k + 1); 7 (2k + 1). 40. 8 (2k + 1). 1

πk

π

π

----------- --41. --4- + -----2 ; 2 + πn. 42. ä 6 + 2 . 43. arctg 3 + πk; arctg 4 + πk. π

π

π

5π

π

--------44. --4- (8k + 1). 45. --4- + πk; -----12 + 2πk; 12 + 2πk. 46. 2πk; 2 + 2πk. π

π

π

πk

47. --2- + πk; – --4- + πk; 2πk. 48. --4- + -----2 ;

π --- + πk. 2

49. ( – 1)

n

×

2πn

π

πn

πk

π

πk

π

π

π

π

π

----------------- -------------57. -----2 – 1; 10 (2k + 1) – 1. 58. 4 . 59. 2 ; 8 (2n + 1). 60. 5 ; π

πn

πn

π

π

------- --π(2n + 1); --2- (2n + 1). 61. --8- (2n + 1); -----3 . 62. 2 ; 8 (2n + 1). πn

π

π

πn

π

n ---------------63. -----4 + ( – 1) 24 . 64. 3 . 65. 4 (4n – 1); πn. 66. 4 (2n + 1);

π

1

π

π

2πn; --2- (4n + 1). 67. --2- (2n + 1); πn ä --2- arccos (sin2 α). 68. --2- (2k + 1); π

πk

π

π

π

k -----------(–1) --6- + πk; --4- (2k + 1); -----14 (2k + 1). 69. 8 . 70. 16 (2k + 1);

(–1)k

π π π πk ------------12 + 3 . 71. ä 3 + πn. 72. – 4 + πn; 2πn; – 2 + 2πn;

π + 1 ------

π πn π πn π π π --- (2n + 1). 73. – --- + πn. 74. --- + ------- ; ------ + ------- . 75. --- + πn; 2 8 16 2 4 4 4 πn

π

πn

π

π

πn

π

1

n --------------------------( – 1) -----24 + 4 . 76. 4 + 2 ; ä 3 + πn. 77. πn; 4 + 2 ; ä 2 ×

π πn 3 π n π -----------× arccos  – --4-  + πn. 78. – --4- + πn; ( – 1) -----12 + 2 . 79. πn; 20 +   π

πn

π

πn

π

π

π

πn

-------------------------+ -----10 . 80. ä 4 + 2πn; ä 6 + πn. 81. 2 + πn; 12 + 6 . 82. 8 + 4 .

 π π πn π 2  ----------83. --4- + -----2 . 84. ä 3 + πn. 85. ä 6 + πn. 86. äarccos  – 4  + 2πn.  


π

Введите переменную t = x + --4- и составьте уравнение относиπn

тельно y = sin t + cos t. 87. -----3 . 88. ( – 1) πn

π

πn

π

π --- + πn. 89. --- + πn. 2 6

n+1 π

πn

π

π

n ----------------- ----------90. -----5 ; – 2 + 2πn. 91. ( – 1) 30 + 5 ; 16 + 4 ; – 4 + πn.

π

πn

π

πn

π

2πn

π

2πn

n --------------------------------------92. --4- + -----2 . 93. ( – 1) 12 + 2 ; 14 + 7 ; 6 + 3 . 94. πn;

564

Ответы, указания, решения π

π

1

12. arctg --2- + πk. 13. --4- (4k + 1). 14. π(2k + 1); --2- (4k – 1).

Г л а в а 5. Тригонометрия

565

3–1

πn

πn

3π

3π

πk

------------------------× arcsin ----------------+ πn. 50. -----2 3 . 51. 4 + πn; 16 + 4 . 52. 8 ;

1 πk --- ; 1 , то x = ------- ä 2 2

π 2π π π --- (2n + 1). 53. – --- + πk; ä ------- + 2πk. 54. πk; (–1)k + 1 --- + πk; 6 3 4 8

 1 a–1  ä --2- arcsin  2 ---------------2a – 3  , при остальных значениях a решений

--ä --3- + 2πk. 55. – --4- + πk; ä --3- + πk. 56. -----10 (2k + 1); 6 (2k + 1).

πk

π

------15. -----12 (6k ä 1). 16. 2 . 17. Если a Ý





нет.

Значения a, при оторых существуют решения уравне-




πk

π

π

------ния, определите из условия | sin x | m 1. 18. --4- + πk; -----12 + 7 . 3π

2π n

π

πk

7π

πk

π

π

2π n

-------------------------- --------------------------- ------19. – --------108 + 9 ; 24 + 2 . 20. – 20 – 5 ; 100 + 25 . 21. 12 + πn; 3 π 21π 11π πn 5π ------- + ------- . 22. ¾. 23. ---------- ; ---------- . 24. --- + 2πn. 25. arctg --- + πk; 2 2 8 16 3 36 1

πk – arctg --2- . 26. πk; äarctg

π

π

3π

π

π

π

π

2 + πk; ä --3- + πk. 27. --2- (4k + 1).

n ----28. --4- + 2πk. 29. 2πk; --2- + 2πk. 30. -----4 + πn; (–1) 4 – 4 + πn.

31. Если a Ý (–×; –1) Ÿ (–1; 2 – 2 2 ] Ÿ [2 + 2 2 ; +×), то a+2

π

x = --4- + 2πk ä arccos -------------- . a 2




Воспользуйтесь подстановой t =

= sin x + cos x. Значения a, при оторых уравнение имеет реπk 2 . 32. -----3 . 33. Если a − 0, то

шения, найдите из условия | t | m

1 + 16a 2 – 1 1 π x = πk ä --2- arccos -------------------------------------; если a = 0, то x = πk ä --4- . 4a π

π π πn π -------34. --8- (2k + 1). 35. --4- + -----2 . 36. πn. 37. 16 (2k + 1); 3 (3k ä 1). πk

πk

π

πn

π

π

π

π

--------- ------38. -----2 ; 9 . 39. 4 (2k + 1); 5 (2k + 1); 7 (2k + 1). 40. 8 (2k + 1). 1

πk

π

π

----------- --41. --4- + -----2 ; 2 + πn. 42. ä 6 + 2 . 43. arctg 3 + πk; arctg 4 + πk. π

π

π

5π

π

--------44. --4- (8k + 1). 45. --4- + πk; -----12 + 2πk; 12 + 2πk. 46. 2πk; 2 + 2πk. π

π

π

πk

47. --2- + πk; – --4- + πk; 2πk. 48. --4- + -----2 ;

π --- + πk. 2

49. ( – 1)

n

×

2πn

π

πn

πk

π

πk

π

π

π

π

π

----------------- -------------57. -----2 – 1; 10 (2k + 1) – 1. 58. 4 . 59. 2 ; 8 (2n + 1). 60. 5 ; π

πn

πn

π

π

------- --π(2n + 1); --2- (2n + 1). 61. --8- (2n + 1); -----3 . 62. 2 ; 8 (2n + 1). πn

π

π

πn

π

n ---------------63. -----4 + ( – 1) 24 . 64. 3 . 65. 4 (4n – 1); πn. 66. 4 (2n + 1);

π

1

π

π

2πn; --2- (4n + 1). 67. --2- (2n + 1); πn ä --2- arccos (sin2 α). 68. --2- (2k + 1); π

πk

π

π

π

k -----------(–1) --6- + πk; --4- (2k + 1); -----14 (2k + 1). 69. 8 . 70. 16 (2k + 1);

(–1)k

π π π πk ------------12 + 3 . 71. ä 3 + πn. 72. – 4 + πn; 2πn; – 2 + 2πn;

π + 1 ------

π πn π πn π π π --- (2n + 1). 73. – --- + πn. 74. --- + ------- ; ------ + ------- . 75. --- + πn; 2 8 16 2 4 4 4 πn

π

πn

π

π

πn

π

1

n --------------------------( – 1) -----24 + 4 . 76. 4 + 2 ; ä 3 + πn. 77. πn; 4 + 2 ; ä 2 ×

π πn 3 π n π -----------× arccos  – --4-  + πn. 78. – --4- + πn; ( – 1) -----12 + 2 . 79. πn; 20 +   π

πn

π

πn

π

π

π

πn

-------------------------+ -----10 . 80. ä 4 + 2πn; ä 6 + πn. 81. 2 + πn; 12 + 6 . 82. 8 + 4 .

 π π πn π 2  ----------83. --4- + -----2 . 84. ä 3 + πn. 85. ä 6 + πn. 86. äarccos  – 4  + 2πn.  


π

Введите переменную t = x + --4- и составьте уравнение относиπn

тельно y = sin t + cos t. 87. -----3 . 88. ( – 1) πn

π

πn

π

π --- + πn. 89. --- + πn. 2 6

n+1 π

πn

π

π

n ----------------- ----------90. -----5 ; – 2 + 2πn. 91. ( – 1) 30 + 5 ; 16 + 4 ; – 4 + πn.

π

πn

π

πn

π

2πn

π

2πn

n --------------------------------------92. --4- + -----2 . 93. ( – 1) 12 + 2 ; 14 + 7 ; 6 + 3 . 94. πn;

566

Ответы, указания, решения 1

π

π

πk

π

πk

--------- --– --4- + πn. 95. ä --2- arccos ( 3 – 1) + πk. 96. -----2 ; 8 + 4 . 97. 2 + 2π n

4π

π

π

π

π

π

πk

πk

------------+ ---------3 , n − 3l. 98. 3 + 2πn. 99. – 4 + πk; – 3 + 2πk; – 6 + 2πk. π

πk

Г л а в а 5. Тригонометрия

ния, залючаем, что для всех k Ý Z оно не имеет решений. Аналоично получаем, что не имеет решений и уравнение cos x – sin x  π cos  --4- + --------------------------------= 0. 2  

2πk

3π

πk

π

π

π

πk

π

3π

π

πn

π

πk

π

k ------------------+ -----2 . 106. – 4 + πk; 8 + 2 . 107. – 2 + 2πk; ( – 1) 6 + πk.

π

πk

π

π

π

π

9

1

π

k ---------------- . ------------100. --4- + πk. 101. --4- + -----9 2 ; (–1) 30 + 5 . 102. 8 ; n -----------------------103. -----8 + 2 ; – 4 + πk. 104. – 4 + πk; ( – 1) 12 + 2 . 105. 4 +

567

121. 2πk ä ϕ; --2- (4k ä 1) å ϕ; ϕ = --2- arcsin -----16 , де берутся либо оба верхних, либо оба нижних знаа.
См. решение упр. 120. n 1 4 1 ( – 1) - arcsin ---------------- + πn, l − –1, l − 0. 122. --2- arcctg  k + --4-  + πn; -------------4l + 1 2

5π

3π

3

3

π

------------См. решение упр. 120. 123. – -----4 + 2 ; –π + 1; – 4 + 2 ; – 4 +

k --------- --108. ( – 1) --6- + πk; --2- + πk. 109. – -----12 + 2 ; 6 + πk. 110. – 4 + πk;




π πk π π n n ----πk. 111. --4- + -----2 ; πk. 112. 4 (–1 + ( – 1) ) + πn; – 4 (1 + ( – 1) ) + πn.

+ --2- ; 1; --4- + --2- . 124. – --6- + 2πn. 125. а) 0; --6- ; π; б) πn; --6- + 2πn.

1

7π

3π

π

π

π

π

π

5π

----------- --- ----------113. --2- + -----4 . 114. – 4 ; – 2 ; – 4 ; 4 ; 2 . 115. 2 ; π; 2π; 2 . π π 2π k – 5 ä 25 + 2π ( 2k + 1 ) --------------------------------------------------------------- , 116. – --2- ; --2- ; ---------11 , k = 0; ä1; ä2; ä3. 117. 2

k = –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...
Возможные значения k найдите из условия существования действительных орней вадратноо уравнения. ( 4m + 1 )π ä ( 4m + 1 ) 2 π 2 – 240

– ( 4n + 1 ) π ä ( 4n + 1 ) 2 π 2 + 240

- ; ------------------------------------------------------------------------------------------ , 118. ----------------------------------------------------------------------------------------12 12

n — любое целое число, m — любое целое число, роме ä1 и 0. 1 + ( 4k + 1 )π ä 1 + 2 ( 4k + 1 )π

3

π

126. arctg

π

π

π

3

7 --- + πn. 2

3π

127. -----4 + 2πn.



Данное уравнение эвивалентно уравне-

2

3π

π

--------нию sin x = -----2 , орни отороо x = 4 + 2πn и x = 4 + 2πn;

та а 2π — наименьшее общее ратное периодов уравнения π

3π

и неравенства, то провере подлежат значения --4- и -----4 . Подπ

-, 119. ---------------------------------------------------------------------------------------2

ставляя --4- в заданное неравенство, получаем числовое неравен-

k — любое целое неотрицательное число.
См. уазание  упр. 117. 120.  Исходное уравнение можно записать в виде

7π π π cos ------cos --cos --4 7π 2 2 - > 2 ство 2 --------------------------------. Но = 1, cos -----2 cos 3 + sin 3 4 > 0, cos 3 +




См. уазание  упр. 117.

cos x + sin x  cos x – sin x π π - cos  --- + ---------------------------------  = 0. cos  --4- + --------------------------------2 2   4  cos x + sin x  π - = 0 методом введения Решая уравнение cos  --4- + --------------------------------2  

дополнительноо ула, имеем

π π 2 sin  --4- + x  = --2- (4k + 1).  

Далее, оценивая левую и правую части последнео уравне-

+ sin 3 =

π 2 cos  --4- – 3  < 0, т. е. полученное числовое нера  3π

венство неверно. Аналоично убеждаемся, что значение -----4

удовлетворяет заданному неравенству. 3π

128. -----8 + πk.




5π

См. решение упр. 127. 129. -----8 + πk.
. См. 3π

решение упр. 127. 130. – -----4 + 2πk.




См. решение упр. 127.

566

Ответы, указания, решения 1

π

π

πk

π

πk

--------- --– --4- + πn. 95. ä --2- arccos ( 3 – 1) + πk. 96. -----2 ; 8 + 4 . 97. 2 + 2π n

4π

π

π

π

π

π

πk

πk

------------+ ---------3 , n − 3l. 98. 3 + 2πn. 99. – 4 + πk; – 3 + 2πk; – 6 + 2πk. π

πk

Г л а в а 5. Тригонометрия

ния, залючаем, что для всех k Ý Z оно не имеет решений. Аналоично получаем, что не имеет решений и уравнение cos x – sin x  π cos  --4- + --------------------------------= 0. 2  

2πk

3π

πk

π

π

π

πk

π

3π

π

πn

π

πk

π

k ------------------+ -----2 . 106. – 4 + πk; 8 + 2 . 107. – 2 + 2πk; ( – 1) 6 + πk.

π

πk

π

π

π

π

9

1

π

k ---------------- . ------------100. --4- + πk. 101. --4- + -----9 2 ; (–1) 30 + 5 . 102. 8 ; n -----------------------103. -----8 + 2 ; – 4 + πk. 104. – 4 + πk; ( – 1) 12 + 2 . 105. 4 +

567

121. 2πk ä ϕ; --2- (4k ä 1) å ϕ; ϕ = --2- arcsin -----16 , де берутся либо оба верхних, либо оба нижних знаа.
См. решение упр. 120. n 1 4 1 ( – 1) - arcsin ---------------- + πn, l − –1, l − 0. 122. --2- arcctg  k + --4-  + πn; -------------4l + 1 2

5π

3π

3

3

π

------------См. решение упр. 120. 123. – -----4 + 2 ; –π + 1; – 4 + 2 ; – 4 +

k --------- --108. ( – 1) --6- + πk; --2- + πk. 109. – -----12 + 2 ; 6 + πk. 110. – 4 + πk;




π πk π π n n ----πk. 111. --4- + -----2 ; πk. 112. 4 (–1 + ( – 1) ) + πn; – 4 (1 + ( – 1) ) + πn.

+ --2- ; 1; --4- + --2- . 124. – --6- + 2πn. 125. а) 0; --6- ; π; б) πn; --6- + 2πn.

1

7π

3π

π

π

π

π

π

5π

----------- --- ----------113. --2- + -----4 . 114. – 4 ; – 2 ; – 4 ; 4 ; 2 . 115. 2 ; π; 2π; 2 . π π 2π k – 5 ä 25 + 2π ( 2k + 1 ) --------------------------------------------------------------- , 116. – --2- ; --2- ; ---------11 , k = 0; ä1; ä2; ä3. 117. 2

k = –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...
Возможные значения k найдите из условия существования действительных орней вадратноо уравнения. ( 4m + 1 )π ä ( 4m + 1 ) 2 π 2 – 240

– ( 4n + 1 ) π ä ( 4n + 1 ) 2 π 2 + 240

- ; ------------------------------------------------------------------------------------------ , 118. ----------------------------------------------------------------------------------------12 12

n — любое целое число, m — любое целое число, роме ä1 и 0. 1 + ( 4k + 1 )π ä 1 + 2 ( 4k + 1 )π

3

π

126. arctg

π

π

π

3

7 --- + πn. 2

3π

127. -----4 + 2πn.



Данное уравнение эвивалентно уравне-

2

3π

π

--------нию sin x = -----2 , орни отороо x = 4 + 2πn и x = 4 + 2πn;

та а 2π — наименьшее общее ратное периодов уравнения π

3π

и неравенства, то провере подлежат значения --4- и -----4 . Подπ

-, 119. ---------------------------------------------------------------------------------------2

ставляя --4- в заданное неравенство, получаем числовое неравен-

k — любое целое неотрицательное число.
См. уазание  упр. 117. 120.  Исходное уравнение можно записать в виде

7π π π cos ------cos --cos --4 7π 2 2 - > 2 ство 2 --------------------------------. Но = 1, cos -----2 cos 3 + sin 3 4 > 0, cos 3 +




См. уазание  упр. 117.

cos x + sin x  cos x – sin x π π - cos  --- + ---------------------------------  = 0. cos  --4- + --------------------------------2 2   4  cos x + sin x  π - = 0 методом введения Решая уравнение cos  --4- + --------------------------------2  

дополнительноо ула, имеем

π π 2 sin  --4- + x  = --2- (4k + 1).  

Далее, оценивая левую и правую части последнео уравне-

+ sin 3 =

π 2 cos  --4- – 3  < 0, т. е. полученное числовое нера  3π

венство неверно. Аналоично убеждаемся, что значение -----4

удовлетворяет заданному неравенству. 3π

128. -----8 + πk.




5π

См. решение упр. 127. 129. -----8 + πk.
. См. 3π

решение упр. 127. 130. – -----4 + 2πk.




См. решение упр. 127.

568

Ответы, указания, решения

π π π π 131. --2- (4k + 1). 132.  --2- (4k + 1); --2- (4n + 1)  ;  --2- (4k – 1);    π π --- (4n – 1)  . 133. --- (4k + 1). 2 4  π π π π 134.  --3- (6m + 1); --3- (6k + 1)  ;  --3- (6m – 1); --3- (6k – 1)  .     y x  Введем переменные u = tg --- и v = tg --- . Тода данное уравне2 2

ние примет вид

v2

569

§ 26. Системы тригонометрических уравнений π π πn ϕ–ψ πn ϕ+ψ - – πk – --- ; ------- + πk + ---  . 2.  πm ä -------------- ; πn ä --------------  ; 1.  -----4  4 2 2  2   2 ϕ+ψ π –ψ  πm + --π- ä ϕ -------------- ; πn + --- ä --------------  , де ϕ = arcsin 0,535, ψ = 2  2 2 2 

= arcsin 0,185 и в аждом из решений берутся либо оба верхπ π πk ---  них, либо оба нижних знаа. 3.  πk + πn + --3- ; -----2 – πn + 3  ;  π  πk + πn – --π- ; πk – πn – --π-  . 4.  7π ------- + πk + πn; ------ + πk – πn  ; 3  24 3   24 

1 – u2 1 – v2 4uv 3 ( 1 – u2 ) ( 1 – v2 ) ----------------- + ----------------2 – ------------------------------------------- + ------------------------------------------- = --2 1 + u2 1+v ( 1 + u2 ) ( 1 + v2 ) ( 1 + u2 ) ( 1 + v2 )

u2

Г л а в а 5. Тригонометрия

9u2v2

+ – 8uv + + 1 = 0; последнее или, после упрощений, равносильно уравнению (u – v)2 + (3uv – 1)2 = 0. Возвращаясь  исходным переменным, имеем

7π 7π π π  -----  ----- ------+ πk + πn; -----24 + πk – πn  ;  – 24 + πk + πn; – 24 + πk – πn  ;  24 π π π  – 7π ------- + πk – πn; – ------ + πk + πn  . 5.  --- + 2πl; --- + 2πp  ; 24 6  24  2 

x

3

2π  – --π- + 2πl; – --π- + 2πp  . 6. (2πm; 2πn);  2π ------- (3m ä 1); ------- (3n å 1)  ; 2 3  6   3 

y

3

 --π- ä ϕ + πm; --π- å ϕ + πn  ;  – --π- ä ϕ + πm; – --π- å ϕ + πn  , де 6 6 6   6 

отуда находим решения заданноо уравнения.

- и берутся либо оба верхних, либо оба нижних ϕ = arccos -----------------------4

x

3

tg --2- = -----3 ,

или

3 y tg --2- = -----3

tg --2- = – -----3 , tg --2- = – -----3 ,

3 – 11

π π π π 135.  --2- (4k + 1); --2- (4l + 1)  . 136.  --2- (4k – 1); --2- (4l – 1); π π π π --- (4m – 1)  . 137. --- (8k + 1). 138.  --- + πm; --- + πl  . 139. (–1; 2); 2 2 4  2  5π

π

--(–1; –2). 140. -----4 + πn; – 4 – πn; n = 0, 1, 2, ... . 141.




См.

 7 7  решение примера 10 на с. 139, 140. 142.  – --2- ; –3; –1; 1; 3; ---  . 2    143. x Ý R\  – 4 3 ; –1; 1; 

4

 – 1 + 1 + 21n ----------------------------------------- (24 m n m 39)  . 21 

– 1 – 1 + 21n

- (20 m n m 33); 3 ; ---------------------------------------21

π π 4πl π 4πl π 3π ---   -----   --------------знаа. 7.  2πk + --4- ; -------3 + 6  ;  – 4 + 2πk; 3 – 2  ;  – 4 + 2πk; π π 4πl 4πl 3π --------- – ---  ;  ------- + 2πk; --------- – ---  . 8. (2πk ä ϕ; 2πl ä ψ); (2πk + 6  6   4 3 3 4

500

4

500

--------------- и берут+ π ä ϕ; 2πl + π å ψ), де ϕ = arctg -------------5 , ψ = arcsin 5

ся либо оба верхних, либо оба нижних знаа. 9. (2πn; 2πk + π). 2π 1 1   --10. (πk; 2πn);  arccos --7- + 2πk; – -----3 + 2πn  ;  –arccos 7 + 2πk;  π 2π π π ------- + 2πn  . 11.  π + 2πk; --- + πn  ;  – --- + 2πk; – --- + πn  ; 4 3 2      4 1  arctg 2 + --π- + 2πk; arctg 2 + πn  ;  arctg 1 --- + πk; arctg --- + πn  . 2 2 2    

568

Ответы, указания, решения

π π π π 131. --2- (4k + 1). 132.  --2- (4k + 1); --2- (4n + 1)  ;  --2- (4k – 1);    π π --- (4n – 1)  . 133. --- (4k + 1). 2 4  π π π π 134.  --3- (6m + 1); --3- (6k + 1)  ;  --3- (6m – 1); --3- (6k – 1)  .     y x  Введем переменные u = tg --- и v = tg --- . Тода данное уравне2 2

ние примет вид

v2

569

§ 26. Системы тригонометрических уравнений π π πn ϕ–ψ πn ϕ+ψ - – πk – --- ; ------- + πk + ---  . 2.  πm ä -------------- ; πn ä --------------  ; 1.  -----4  4 2 2  2   2 ϕ+ψ π –ψ  πm + --π- ä ϕ -------------- ; πn + --- ä --------------  , де ϕ = arcsin 0,535, ψ = 2  2 2 2 

= arcsin 0,185 и в аждом из решений берутся либо оба верхπ π πk ---  них, либо оба нижних знаа. 3.  πk + πn + --3- ; -----2 – πn + 3  ;  π  πk + πn – --π- ; πk – πn – --π-  . 4.  7π ------- + πk + πn; ------ + πk – πn  ; 3  24 3   24 

1 – u2 1 – v2 4uv 3 ( 1 – u2 ) ( 1 – v2 ) ----------------- + ----------------2 – ------------------------------------------- + ------------------------------------------- = --2 1 + u2 1+v ( 1 + u2 ) ( 1 + v2 ) ( 1 + u2 ) ( 1 + v2 )

u2

Г л а в а 5. Тригонометрия

9u2v2

+ – 8uv + + 1 = 0; последнее или, после упрощений, равносильно уравнению (u – v)2 + (3uv – 1)2 = 0. Возвращаясь  исходным переменным, имеем

7π 7π π π  -----  ----- ------+ πk + πn; -----24 + πk – πn  ;  – 24 + πk + πn; – 24 + πk – πn  ;  24 π π π  – 7π ------- + πk – πn; – ------ + πk + πn  . 5.  --- + 2πl; --- + 2πp  ; 24 6  24  2 

x

3

2π  – --π- + 2πl; – --π- + 2πp  . 6. (2πm; 2πn);  2π ------- (3m ä 1); ------- (3n å 1)  ; 2 3  6   3 

y

3

 --π- ä ϕ + πm; --π- å ϕ + πn  ;  – --π- ä ϕ + πm; – --π- å ϕ + πn  , де 6 6 6   6 

отуда находим решения заданноо уравнения.

- и берутся либо оба верхних, либо оба нижних ϕ = arccos -----------------------4

x

3

tg --2- = -----3 ,

или

3 y tg --2- = -----3

tg --2- = – -----3 , tg --2- = – -----3 ,

3 – 11

π π π π 135.  --2- (4k + 1); --2- (4l + 1)  . 136.  --2- (4k – 1); --2- (4l – 1); π π π π --- (4m – 1)  . 137. --- (8k + 1). 138.  --- + πm; --- + πl  . 139. (–1; 2); 2 2 4  2  5π

π

--(–1; –2). 140. -----4 + πn; – 4 – πn; n = 0, 1, 2, ... . 141.




См.

 7 7  решение примера 10 на с. 139, 140. 142.  – --2- ; –3; –1; 1; 3; ---  . 2    143. x Ý R\  – 4 3 ; –1; 1; 

4

 – 1 + 1 + 21n ----------------------------------------- (24 m n m 39)  . 21 

– 1 – 1 + 21n

- (20 m n m 33); 3 ; ---------------------------------------21

π π 4πl π 4πl π 3π ---   -----   --------------знаа. 7.  2πk + --4- ; -------3 + 6  ;  – 4 + 2πk; 3 – 2  ;  – 4 + 2πk; π π 4πl 4πl 3π --------- – ---  ;  ------- + 2πk; --------- – ---  . 8. (2πk ä ϕ; 2πl ä ψ); (2πk + 6  6   4 3 3 4

500

4

500

--------------- и берут+ π ä ϕ; 2πl + π å ψ), де ϕ = arctg -------------5 , ψ = arcsin 5

ся либо оба верхних, либо оба нижних знаа. 9. (2πn; 2πk + π). 2π 1 1   --10. (πk; 2πn);  arccos --7- + 2πk; – -----3 + 2πn  ;  –arccos 7 + 2πk;  π 2π π π ------- + 2πn  . 11.  π + 2πk; --- + πn  ;  – --- + 2πk; – --- + πn  ; 4 3 2      4 1  arctg 2 + --π- + 2πk; arctg 2 + πn  ;  arctg 1 --- + πk; arctg --- + πn  . 2 2 2    

570

Ответы, указания, решения

π π 3π π - + 2πk + πn; – --- + πn  ;  --- – arctg 2 + 12.  --2- + πk; πn  ;  -----4   2   4

 2 1 nπ n+1 π --- – ------- ; – --- arctg ------- + + 2πk + πn; –arctg 2 + πn  . 13.  ( – 1) 2 5 2 8    3 1 πk πk  π πn   3π k ---------------------------+ -----5  . 14.  (–1) 9 + 3 ; – 7 arctg 2 + 7  . 15.  ä 4 + 2πn;    ( – 1)

π π π --- + πm  . 16.  ( – 1) n --- + πn; ä --- + 2πn  . 17.  ä --- + 2πn; 4 6 3     6

m π

π k π ( – 1) --6- + πk  . 18.  --3- + πk;

πn  π π ------2  . 19.  ä --6- + 2πk; -----18 + 3  .

Г л а в а 5. Тригонометрия

 π ( –1 ) k πk ( –1 )k 2–3 3 π πk π ------ – -------  . 30.  – --- + --------------- arcsin --------------------- + ------- ; --- + --------------- × 2  6 6 24 6 2 2 2 

1   1 1  2–3 3 πk  1 ------- --× arcsin --------------------+ -----6 2  . 31.  2 ; – 2  ;  – 2 ; 2  ; (1; 0); (–1; 0);  π π (0; 1); (0; –1). 32. Если a = 2πl, то  ä --3- + πk + πl; å --3- – πk + πl  ; π π ( 2l + 1 ) π ( 2l + 1 ) π - + πk; ------------------------- – πk å ---  ; если a = π(2l + 1), то  ä --6- + -----------------------6  2 2 

если a − πm, то решений нет. § 27. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

n  ( –1 )k 4 π 2 ( – 1) - arcsin --- + --------------- arcsin --- + 20.  --4- (2n + 1); π(2p + 1)  . 21.  -------------5 2 5 2   

π – 7 ä 193 π π = arctg ---------------------------- . 24.  --6- (6k + (–1)k); --3- (6l ä 1)  . 25.  --4- + πk;    8 3 π arctg 2 + πl; arctg 3 + πm  ;  πk + arctg 2; --4- + πl; πm + arctg 3  ,   

де k + l + m = 0.
Вычислив значение таненса от обеих частей первоо уравнения, сведите систему  рациональной отно сительно tg x, tg y, tg z. 26.  arctg 2 5 ä πk; arctg 

5 ä πl;

 5 arctg -----3 ä πm  , де k + l + m = 0, если берутся верхние знаи,

3

1

3

n π  π ( –1 )k 2 4 π ( – 1) - arcsin --- – --------------- arcsin --- + (k – n) ---  . 22.  --- × + (k + n) --2- ; -------------2 5 5 2 2 4 

π π π × (2k + 1); --2- + πl; --2- + πm  . 23.  ϕ + πn; --3- – ϕ – πn  , де ϕ =   

571

1. –3 tg 1. 2. – --2- . 3. – --2- ; -----2 . 4.

3 . 5. Если a Ý [0; π], то x = a

= cos a; если a Ý [–2π; 0), то x = cos --2- ; если a Ý (–×; 2π) Ÿ Ÿ (π; +×), то решений нет.
При решении вадратноо уравнения относительно z = arccos x учтите, что 0 m arccos x m π. 2

1

3

2 . 7. – --5- . 8. --2- . 9. 1. 10. 0; 1. 11. ¾. 12. –2. 13. 0; ä -----2 .

6.

1

3

1

1

1

------14. 0; ä1. 15. --2- . 16. -----2 . 17. 0; ä 2 . 18. 0; ä 2 . 19. 2 ; 1. 20. [0; 1].

21. [–1; 0]. 22. (0; 1]. 23.

2 ------- ; 1 . 24. [0; 1]. 25. [–1; 1]. 2

26. [0; +×). 27. (–1; 1). 28. (0; 1). 29. Если a Ý

2

2

- ------– -----2 ; 2

, то



и k + l + m = 2, если берутся нижние знаи.




См. уазание 

5π 7π   π 11π   7π 7π   11π 11π  - ; ------- ; --- ---------------- ---------------- ---------упр. 25. 27.  -----6   6 ; 6 ;  6 ; 6 ;  6 ; 6 .  6 5π 13π πk 7π 11π 5π - + πk; ------- + πk  ;  πn – ---------- ; πn – ----------  . 29.  ------- – ------- ; 28.  -----36 36  2 36    24  36

x = 2a 1 – a 2 , при остальных значениях a решений нет.
Область допустимых значений a найдите из условия |2 arcsin a| m π

m --2- . 30. Если a Ý

1

0; --2-

чениях a решений нет.




, то x =

1 – 4a 2 , при остальных зна-

См. уазание  упр. 29.

570

Ответы, указания, решения

π π 3π π - + 2πk + πn; – --- + πn  ;  --- – arctg 2 + 12.  --2- + πk; πn  ;  -----4   2   4

 2 1 nπ n+1 π --- – ------- ; – --- arctg ------- + + 2πk + πn; –arctg 2 + πn  . 13.  ( – 1) 2 5 2 8    3 1 πk πk  π πn   3π k ---------------------------+ -----5  . 14.  (–1) 9 + 3 ; – 7 arctg 2 + 7  . 15.  ä 4 + 2πn;    ( – 1)

π π π --- + πm  . 16.  ( – 1) n --- + πn; ä --- + 2πn  . 17.  ä --- + 2πn; 4 6 3     6

m π

π k π ( – 1) --6- + πk  . 18.  --3- + πk;

πn  π π ------2  . 19.  ä --6- + 2πk; -----18 + 3  .

Г л а в а 5. Тригонометрия

 π ( –1 ) k πk ( –1 )k 2–3 3 π πk π ------ – -------  . 30.  – --- + --------------- arcsin --------------------- + ------- ; --- + --------------- × 2  6 6 24 6 2 2 2 

1   1 1  2–3 3 πk  1 ------- --× arcsin --------------------+ -----6 2  . 31.  2 ; – 2  ;  – 2 ; 2  ; (1; 0); (–1; 0);  π π (0; 1); (0; –1). 32. Если a = 2πl, то  ä --3- + πk + πl; å --3- – πk + πl  ; π π ( 2l + 1 ) π ( 2l + 1 ) π - + πk; ------------------------- – πk å ---  ; если a = π(2l + 1), то  ä --6- + -----------------------6  2 2 

если a − πm, то решений нет. § 27. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

n  ( –1 )k 4 π 2 ( – 1) - arcsin --- + --------------- arcsin --- + 20.  --4- (2n + 1); π(2p + 1)  . 21.  -------------5 2 5 2   

π – 7 ä 193 π π = arctg ---------------------------- . 24.  --6- (6k + (–1)k); --3- (6l ä 1)  . 25.  --4- + πk;    8 3 π arctg 2 + πl; arctg 3 + πm  ;  πk + arctg 2; --4- + πl; πm + arctg 3  ,   

де k + l + m = 0.
Вычислив значение таненса от обеих частей первоо уравнения, сведите систему  рациональной отно сительно tg x, tg y, tg z. 26.  arctg 2 5 ä πk; arctg 

5 ä πl;

 5 arctg -----3 ä πm  , де k + l + m = 0, если берутся верхние знаи,

3

1

3

n π  π ( –1 )k 2 4 π ( – 1) - arcsin --- – --------------- arcsin --- + (k – n) ---  . 22.  --- × + (k + n) --2- ; -------------2 5 5 2 2 4 

π π π × (2k + 1); --2- + πl; --2- + πm  . 23.  ϕ + πn; --3- – ϕ – πn  , де ϕ =   

571

1. –3 tg 1. 2. – --2- . 3. – --2- ; -----2 . 4.

3 . 5. Если a Ý [0; π], то x = a

= cos a; если a Ý [–2π; 0), то x = cos --2- ; если a Ý (–×; 2π) Ÿ Ÿ (π; +×), то решений нет.
При решении вадратноо уравнения относительно z = arccos x учтите, что 0 m arccos x m π. 2

1

3

2 . 7. – --5- . 8. --2- . 9. 1. 10. 0; 1. 11. ¾. 12. –2. 13. 0; ä -----2 .

6.

1

3

1

1

1

------14. 0; ä1. 15. --2- . 16. -----2 . 17. 0; ä 2 . 18. 0; ä 2 . 19. 2 ; 1. 20. [0; 1].

21. [–1; 0]. 22. (0; 1]. 23.

2 ------- ; 1 . 24. [0; 1]. 25. [–1; 1]. 2

26. [0; +×). 27. (–1; 1). 28. (0; 1). 29. Если a Ý

2

2

- ------– -----2 ; 2

, то



и k + l + m = 2, если берутся нижние знаи.




См. уазание 

5π 7π   π 11π   7π 7π   11π 11π  - ; ------- ; --- ---------------- ---------------- ---------упр. 25. 27.  -----6   6 ; 6 ;  6 ; 6 ;  6 ; 6 .  6 5π 13π πk 7π 11π 5π - + πk; ------- + πk  ;  πn – ---------- ; πn – ----------  . 29.  ------- – ------- ; 28.  -----36 36  2 36    24  36

x = 2a 1 – a 2 , при остальных значениях a решений нет.
Область допустимых значений a найдите из условия |2 arcsin a| m π

m --2- . 30. Если a Ý

1

0; --2-

чениях a решений нет.




, то x =

1 – 4a 2 , при остальных зна-

См. уазание  упр. 29.

572

Ответы, указания, решения § 28. Тригонометрические неравенства 7π π π    --1.  – --6- + 2πn; -----6 + 2πn  . 2.  arctg 2 + πn; 2 + πn  .

5.

13π

7π

- + 2πk ; – ------- + 2πk – --------6 6

Ÿ

7π ------- + 2πk ; 6

13π ---------- + 2πk 6

π

2π

--1 – -----3 + 2πn; 1 – 3 + 2πn .

3. (πn; arcctg (–3) + πn). 4.

Ÿ

π

– --6- ; 0

Ÿ

π --6

0;

Ÿ

Г л а в а 5. Тригонометрия

π 3π 5π π πn πn π ------- + -------  . 22.  ------- + ------- ; --- (n + 1) + ------  . 23.  --- + 2πk; 24  8  24 2 2  2 6 π 5π π π π ------- + 2πk  и – --- + 2πk. 24.  – --- + πn; πn  Ÿ  --- + πn; --- + πn  . 2 6 2   4  4  9π 3π - + 2πn; ------- + 2πn  Ÿ (–π + 2πn; 2πn). 25.  -----4  4 

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

5π 5π - ; ------- + 2πn  . , k = 0, 1, 2, ... . 6.  -----4  4 

1. [–1; 1]. 2. [–1; 1]. 3. 7. ¾.




Воспользуйтесь неравенством | sin x | m 1. 8.

π

– --2- + 2πn;

π 3π π 3π --- + 2πn . 9.  --- + πn; ------- + πn  Ÿ  ------- + πn; π(n + 1)  . 2 4 4   4  π π π 10.  – --2- + πn; –arctg 2 + πn  Ÿ  – --4- + πn; --4- + πn  .     2 1 2 π 1 π 11.  – --2- arcsin --3- + πn; πn  Ÿ  --2- + πn; --2- + --2- arcsin --3-  .     π π π π 12.  --6- (12k + 1); --6- (12k + 3)  Ÿ  --2- (4k + 2); --2- (4k + 3)  .     5π 11π 2π 7π - + 2πk; ------- + 2πk  . 14.  ------- + 2πk; ---------- + 2πk  . 13.  -----3 6  3   6  1

15. (π + 2πk; π + ϕ + 2πk] Ÿ [2πk – ϕ; 2πk), де ϕ = arcsin --3- . π 5π π π   --π16.  --6- + 2πk; --2- + 2πk  Ÿ  --2- + 2πk; -----6 + 2πk  . 17.  6 + πk;   

573

1 --- ; 1 4

. 4.

  3  3 ------–1; -----2  . 5.  – 3 ; +×  .   

6. (–×; ctg 2). 7. (–×; tg 1). 8. ¾. 9. (–×; +×). 10. 11. [–1; 0). 12. (1; +×). 13.

1

–1; cos --2-

.

  2  1 2  ------0; --2-  . 14.  –1; – -----2  Ÿ  2 ; 1.     

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств 8.
Введите вспомоательный уол и используйте неравенство |sin x| m 1. 9.
Представьте выражение, подлежащее оцене, в виде c b a --- (1 – cos 2x) + --- sin 2x + --- (1 + cos 2x) _ 2 2 2 a+c

1

--_ -----------2 + 2 [(c – a) cos 2x + b sin 2x].

2πn 2πn 7π 2π n 11π π π ------- + -----------  Ÿ  --- + ----------- ; ---------- + -----------  . 20.  πn; --- + πn  Ÿ 3  3  18 18 3 6  2 

Далее используйте неравенство, доазанное в упр. 8. 10.
Представьте левую часть в виде фунций половинноо арумента. 11.
Примените способ, использованный при решении примера 2 на с. 156, 157. 12.
См. уазание  упр. 11. 14.  Исходное неравенство эвивалентно следующему:

π 5π π πn π π   πn  π------n---  --- --------------Ÿ  --2- + πn; -----6 + πn  . 21.  2 + 8 ; 2 + 4  Ÿ  2 + 4 ; 

3 cos α + cos β + cos γ ------------------------------------------------------ m --- . 4 2

π --- + πk  . 18. 3 

5π

π

--– -----6 + 2πk; – 6 + 2πk

2πk π π и --2- + 2πk. 19.  --6- + ---------3 ; 

572

Ответы, указания, решения § 28. Тригонометрические неравенства 7π π π    --1.  – --6- + 2πn; -----6 + 2πn  . 2.  arctg 2 + πn; 2 + πn  .

5.

13π

7π

- + 2πk ; – ------- + 2πk – --------6 6

Ÿ

7π ------- + 2πk ; 6

13π ---------- + 2πk 6

π

2π

--1 – -----3 + 2πn; 1 – 3 + 2πn .

3. (πn; arcctg (–3) + πn). 4.

Ÿ

π

– --6- ; 0

Ÿ

π --6

0;

Ÿ

Г л а в а 5. Тригонометрия

π 3π 5π π πn πn π ------- + -------  . 22.  ------- + ------- ; --- (n + 1) + ------  . 23.  --- + 2πk; 24  8  24 2 2  2 6 π 5π π π π ------- + 2πk  и – --- + 2πk. 24.  – --- + πn; πn  Ÿ  --- + πn; --- + πn  . 2 6 2   4  4  9π 3π - + 2πn; ------- + 2πn  Ÿ (–π + 2πn; 2πn). 25.  -----4  4 

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

5π 5π - ; ------- + 2πn  . , k = 0, 1, 2, ... . 6.  -----4  4 

1. [–1; 1]. 2. [–1; 1]. 3. 7. ¾.




Воспользуйтесь неравенством | sin x | m 1. 8.

π

– --2- + 2πn;

π 3π π 3π --- + 2πn . 9.  --- + πn; ------- + πn  Ÿ  ------- + πn; π(n + 1)  . 2 4 4   4  π π π 10.  – --2- + πn; –arctg 2 + πn  Ÿ  – --4- + πn; --4- + πn  .     2 1 2 π 1 π 11.  – --2- arcsin --3- + πn; πn  Ÿ  --2- + πn; --2- + --2- arcsin --3-  .     π π π π 12.  --6- (12k + 1); --6- (12k + 3)  Ÿ  --2- (4k + 2); --2- (4k + 3)  .     5π 11π 2π 7π - + 2πk; ------- + 2πk  . 14.  ------- + 2πk; ---------- + 2πk  . 13.  -----3 6  3   6  1

15. (π + 2πk; π + ϕ + 2πk] Ÿ [2πk – ϕ; 2πk), де ϕ = arcsin --3- . π 5π π π   --π16.  --6- + 2πk; --2- + 2πk  Ÿ  --2- + 2πk; -----6 + 2πk  . 17.  6 + πk;   

573

1 --- ; 1 4

. 4.

  3  3 ------–1; -----2  . 5.  – 3 ; +×  .   

6. (–×; ctg 2). 7. (–×; tg 1). 8. ¾. 9. (–×; +×). 10. 11. [–1; 0). 12. (1; +×). 13.

1

–1; cos --2-

.

  2  1 2  ------0; --2-  . 14.  –1; – -----2  Ÿ  2 ; 1.     

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств 8.
Введите вспомоательный уол и используйте неравенство |sin x| m 1. 9.
Представьте выражение, подлежащее оцене, в виде c b a --- (1 – cos 2x) + --- sin 2x + --- (1 + cos 2x) _ 2 2 2 a+c

1

--_ -----------2 + 2 [(c – a) cos 2x + b sin 2x].

2πn 2πn 7π 2π n 11π π π ------- + -----------  Ÿ  --- + ----------- ; ---------- + -----------  . 20.  πn; --- + πn  Ÿ 3  3  18 18 3 6  2 

Далее используйте неравенство, доазанное в упр. 8. 10.
Представьте левую часть в виде фунций половинноо арумента. 11.
Примените способ, использованный при решении примера 2 на с. 156, 157. 12.
См. уазание  упр. 11. 14.  Исходное неравенство эвивалентно следующему:

π 5π π πn π π   πn  π------n---  --- --------------Ÿ  --2- + πn; -----6 + πn  . 21.  2 + 8 ; 2 + 4  Ÿ  2 + 4 ; 

3 cos α + cos β + cos γ ------------------------------------------------------ m --- . 4 2

π --- + πk  . 18. 3 

5π

π

--– -----6 + 2πk; – 6 + 2πk

2πk π π и --2- + 2πk. 19.  --6- + ---------3 ; 

574

Ответы, указания, решения β–γ

β+γ

-----------Учитывая, что cos β + cos γ = 2 cos -----------2 cos 2 , а затем ис-

Г л а в а 6. Комплексные числа 13. ä2(1 – i). 14.

5

пользуя условие и формулы приведения, получаем

arcsin ( – 0,8 )  cos  πk + ----------------------------------+ i sin  πk + 2   

arcsin ( – 0,8 )  1äi 1 -------------3 + 1 – ( 3 – 1)i], + ----------------------------------2  , k = 0, 1. 15. ä 2 . 16. ä 2 [

α

cos α + cos β + cos γ m cos α + 2 sin --2.

1

Та а cos α = 1 – 2

α sin2 ---

2 , то задача сводится  отысанию

α α --наибольшео значения фунции 1 – 2 sin2 --2 + 2 sin 2 . Выде1 1 2 α 3 ----ляя полный вадрат, имеем 1 + --2- – 2  sin --– 2  m 2 . Ита, 2  3

cos α + cos β + cos γ m --2- , отуда следует справедливость исход-

π




 x2  Оцените разность cos x –  1 – ----2  , используя форму 

x лу 1 – cos x = 2 sin2 --2- . 21.

на с. 158, 159. 22.







 

3  2πk + arccos ---  2πk 2πk 5 ----------+ i sin --------------------------------------- , k = 0, 1, ..., 6. 19. cos ---------3 + i sin 3 , 7

 

k = 0, 1, 2. § 32. Геометрическое изображение множеств комплексных чисел, удовлетворяющих заданным условиям 1. Оружность единичноо радиуса с центром в начале оординат. 2. Положительная полуось Ox, влючающая точу O. 3. Луч, выходящий из начала оординат (без точи O), состав-

Г л а в а 6. Комплексные числа

π

ляющий с осью Ox уол --3- . 4. Внутренняя часть ольца, ора-

§ 31. Действия с комплексными числами π

π

1. cos 0 + i sin 0. 2. 3(cos π + i sin π). 3. cos --2- + i sin --2- . 4. π π ×  cos --4- + i sin --4-  . 5.  

2 ×

3π  3π π  --------2  cos -----4 + i sin 4  . 6. 2  cos 3 + 

π 3 3 + i sin --3-  . 7. 5 cos  –arccos --5-  + i sin  –arccos --5-      

5π

3  2πk + arccos -- 13π 13π 9π 9π 5 7 ---------------------------------------------------------------- + cos -----8 + i sin 8 , cos 8 + i sin 8 . 18. 5  cos 7

Используйте результат примера 3

См. уазание  упр. 20.

5π

π

------ä --2- [ 3 – 1 + ( 3 + 1)i]. 17. cos --8- + i sin --8- , cos -----8 + i sin 8 ,

ноо неравенства. 20.

575

. 8. 5 cos  π + 

3 3 2π + arccos --5-  + i sin  π + arccos --5-  . 9. cos -----3   

2π

+ i sin -----3 .

3π 3π 1 - + α  + i sin  ------- + α  . 11. – -------- . 12. ä(1 + i). 10. cos  ----- 2   2  2 50

ниченноо онцентричесими оружностями радиусов 1 и 4 с центром в начале оординат. 5. Множество всех точе, лежащих вне оружности единичноо радиуса с центром в точе 1 --- ; 0  . 6. Множество всех точе, лежащих внутри оруж2  ности радиуса

99 с центром в начале оординат. 7. Ось Oy. 3

8. Прямая y = 2x + --2- . 9. Полуплосость, лежащая выше пря1

мой y = – --2- . 10. Множество всех точе, лежащих внутри ольца, ораниченноо онцентричесими оружностями радиусов 1 и 4 (влючая оружности) с центром в точе (0; –1). 11. Прямая y = –x. 12. Множество всех точе прямоуольниа

574

Ответы, указания, решения β–γ

β+γ

-----------Учитывая, что cos β + cos γ = 2 cos -----------2 cos 2 , а затем ис-

Г л а в а 6. Комплексные числа 13. ä2(1 – i). 14.

5

пользуя условие и формулы приведения, получаем

arcsin ( – 0,8 )  cos  πk + ----------------------------------+ i sin  πk + 2   

arcsin ( – 0,8 )  1äi 1 -------------3 + 1 – ( 3 – 1)i], + ----------------------------------2  , k = 0, 1. 15. ä 2 . 16. ä 2 [

α

cos α + cos β + cos γ m cos α + 2 sin --2.

1

Та а cos α = 1 – 2

α sin2 ---

2 , то задача сводится  отысанию

α α --наибольшео значения фунции 1 – 2 sin2 --2 + 2 sin 2 . Выде1 1 2 α 3 ----ляя полный вадрат, имеем 1 + --2- – 2  sin --– 2  m 2 . Ита, 2  3

cos α + cos β + cos γ m --2- , отуда следует справедливость исход-

π




 x2  Оцените разность cos x –  1 – ----2  , используя форму 

x лу 1 – cos x = 2 sin2 --2- . 21.

на с. 158, 159. 22.







 

3  2πk + arccos ---  2πk 2πk 5 ----------+ i sin --------------------------------------- , k = 0, 1, ..., 6. 19. cos ---------3 + i sin 3 , 7

 

k = 0, 1, 2. § 32. Геометрическое изображение множеств комплексных чисел, удовлетворяющих заданным условиям 1. Оружность единичноо радиуса с центром в начале оординат. 2. Положительная полуось Ox, влючающая точу O. 3. Луч, выходящий из начала оординат (без точи O), состав-

Г л а в а 6. Комплексные числа

π

ляющий с осью Ox уол --3- . 4. Внутренняя часть ольца, ора-

§ 31. Действия с комплексными числами π

π

1. cos 0 + i sin 0. 2. 3(cos π + i sin π). 3. cos --2- + i sin --2- . 4. π π ×  cos --4- + i sin --4-  . 5.  

2 ×

3π  3π π  --------2  cos -----4 + i sin 4  . 6. 2  cos 3 + 

π 3 3 + i sin --3-  . 7. 5 cos  –arccos --5-  + i sin  –arccos --5-      

5π

3  2πk + arccos -- 13π 13π 9π 9π 5 7 ---------------------------------------------------------------- + cos -----8 + i sin 8 , cos 8 + i sin 8 . 18. 5  cos 7

Используйте результат примера 3

См. уазание  упр. 20.

5π

π

------ä --2- [ 3 – 1 + ( 3 + 1)i]. 17. cos --8- + i sin --8- , cos -----8 + i sin 8 ,

ноо неравенства. 20.

575

. 8. 5 cos  π + 

3 3 2π + arccos --5-  + i sin  π + arccos --5-  . 9. cos -----3   

2π

+ i sin -----3 .

3π 3π 1 - + α  + i sin  ------- + α  . 11. – -------- . 12. ä(1 + i). 10. cos  ----- 2   2  2 50

ниченноо онцентричесими оружностями радиусов 1 и 4 с центром в начале оординат. 5. Множество всех точе, лежащих вне оружности единичноо радиуса с центром в точе 1 --- ; 0  . 6. Множество всех точе, лежащих внутри оруж2  ности радиуса

99 с центром в начале оординат. 7. Ось Oy. 3

8. Прямая y = 2x + --2- . 9. Полуплосость, лежащая выше пря1

мой y = – --2- . 10. Множество всех точе, лежащих внутри ольца, ораниченноо онцентричесими оружностями радиусов 1 и 4 (влючая оружности) с центром в точе (0; –1). 11. Прямая y = –x. 12. Множество всех точе прямоуольниа

576

Ответы, указания, решения

|q| m 1, |p| m 2. 13. а) Прямые, заданные уравнением ay + bx = 0; б) прямые, заданные уравнением y = –b. 14. Множество всех точе, лежащих вне оружности с центром в точе (1; 0) и радиусом 10. 15. Ось Ox и точи с оординатами, удовлетворяю1

3

3

------щими условиям x = – --2- , – -----2 < y < 2 . 16. Прямая y = –x. z +z +z

1 2 3 17. z = ------------------------------. 18. z = z1 + z2 – z3, z = z1 + z3 – z2, z = z2 + 3

+ z3 – z1. 19.
Используйте оллинеарность веторов, соответствующих разностям z3 – z1 и z2 – z1. 20. Уол z1Oz2 — прямой. § 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

Г л а в а 7. Последовательности

2π π   2π   --------3.  2πk; -----3 + 2πn  ;  3 + 2πn; 2πk  . 4.  α – 3 + 2πk;  π π π –α – --3- + 2πn  ;  α + --3- + 2πk; --3- – α + 2πn  . 5. (19; 178);   

(179; 46). 6. (168; 244). 7. (1; 18). 8. sin 3x = 3 sin x cos2 x – sin3 x. nϕ n+1 nϕ n+1 sin ------- cos -------------- ϕ sin ------- sin -------------- ϕ 2 2 2 2 - ; ----------------------------------------------- . 9. ----------------------------------------------ϕ ϕ sin --sin --2 2

тода zn = cos nϕ + i sin nϕ. Воспользуйтесь формулой суммы членов еометричесой прорессии z + z2 + z3 + ... + zn. 11.
Исполь-

n

nx

ла. 13. Если a = 1, то z = –1 –i; если 1 < a m ä 2– a –1

ний. 14. a > 2. ностей |z +




2| =

– 3a + 2 и |z + i 2 | =

n

Рассмотрите бином (1 + z) , де z = 5 tg α – 10 tg 3 α + tg 5 α 1 – 10 tg α + 5 tg α

-. = cos x + i sin x. 14. tg 5α = ----------------------------------------------------------------2 4

Г л а в а 7. Последовательности § 35. Определение последовательности и ее свойства

2 , то уравнение не имеет реше-

a2.




2 , то z =

Исследуйте взаимное расположение оруж-

a2

nx

------13. 2 cos ------2 sin 2 .

9. 1; ä i. 10. а) (i; i); (–i; –i); б) (i; i); (–i; –i). 11. |a + bi| = 1, a + bi − –1. 12. Все действительные и все чисто мнимые чис-

- – i; если a > = -----------------------------------2

Пусть z = cos ϕ + i sin ϕ;

a n + 1 sin nx + a n sin ( n + 1 )x – sin x a – 2a cos x + 1

2πk 1  3 --- ---  + i sin ---------5 (k = 0, 1, 2, 3, 4). 5. (2; 1);  2 ; 2  . 6. (6; 1). 8. –1.

a2




-. зуйте утверждение упр. 10. 12. ---------------------------------------------------------------------------------------------------2

3 1 2πk 4 – 2i 3 --------------------1. 1 – i; --------------5 . 2. 0; –1; 2 ä 2 i. 3. 2 – 2 i. 4. 0; cos 5 +

–a2

577

5 21 --15. – -----10 < a < – 6 .

 2  2 ------16. z = 2 – -----2 +  2 – 2  i.   § 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач π π π π 1.  α – --3- + 2πk; α + --3- + 2πn  ;  α + --3- + 2πn; α – --3- + 2πk  .     π π 2.  α + π(k + n); --3- + π(k – n)  ;  --3- + π(k – n); α + π(k + n)  .    

2. Последовательность монотонно возрастает. 3. Последовательность монотонно возрастает, начиная со второо члена.
y

a

n+1 --Сравните отношение ------------y n с единицей. 4. c = 0, d − 0, d > 0

d

или c − 0, --c- > –1, ad > bc. 5. y1 = 0 — наименьший член; наибольшео члена не существует. 6. y3 = 4 — наибольший член; наименьшео члена не существует. 7. x8 = 24 — наименьший член; наибольшео члена не существует.
Найдите эстремаль512 x

ные точи фунции f(x) = 2x + --------2 . 8. а) n l 31; б) n l 301.

9. Ни одноо.
Решите в целых положительных числах неравенство 2 < |x2 – 5x + 6| < 6. 10. Начиная с n = 3.
Рассмотрите промежути монотонности фунции f(x) = x2 – 5x + 6.

576

Ответы, указания, решения

|q| m 1, |p| m 2. 13. а) Прямые, заданные уравнением ay + bx = 0; б) прямые, заданные уравнением y = –b. 14. Множество всех точе, лежащих вне оружности с центром в точе (1; 0) и радиусом 10. 15. Ось Ox и точи с оординатами, удовлетворяю1

3

3

------щими условиям x = – --2- , – -----2 < y < 2 . 16. Прямая y = –x. z +z +z

1 2 3 17. z = ------------------------------. 18. z = z1 + z2 – z3, z = z1 + z3 – z2, z = z2 + 3

+ z3 – z1. 19.
Используйте оллинеарность веторов, соответствующих разностям z3 – z1 и z2 – z1. 20. Уол z1Oz2 — прямой. § 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

Г л а в а 7. Последовательности

2π π   2π   --------3.  2πk; -----3 + 2πn  ;  3 + 2πn; 2πk  . 4.  α – 3 + 2πk;  π π π –α – --3- + 2πn  ;  α + --3- + 2πk; --3- – α + 2πn  . 5. (19; 178);   

(179; 46). 6. (168; 244). 7. (1; 18). 8. sin 3x = 3 sin x cos2 x – sin3 x. nϕ n+1 nϕ n+1 sin ------- cos -------------- ϕ sin ------- sin -------------- ϕ 2 2 2 2 - ; ----------------------------------------------- . 9. ----------------------------------------------ϕ ϕ sin --sin --2 2

тода zn = cos nϕ + i sin nϕ. Воспользуйтесь формулой суммы членов еометричесой прорессии z + z2 + z3 + ... + zn. 11.
Исполь-

n

nx

ла. 13. Если a = 1, то z = –1 –i; если 1 < a m ä 2– a –1

ний. 14. a > 2. ностей |z +




2| =

– 3a + 2 и |z + i 2 | =

n

Рассмотрите бином (1 + z) , де z = 5 tg α – 10 tg 3 α + tg 5 α 1 – 10 tg α + 5 tg α

-. = cos x + i sin x. 14. tg 5α = ----------------------------------------------------------------2 4

Г л а в а 7. Последовательности § 35. Определение последовательности и ее свойства

2 , то уравнение не имеет реше-

a2.




2 , то z =

Исследуйте взаимное расположение оруж-

a2

nx

------13. 2 cos ------2 sin 2 .

9. 1; ä i. 10. а) (i; i); (–i; –i); б) (i; i); (–i; –i). 11. |a + bi| = 1, a + bi − –1. 12. Все действительные и все чисто мнимые чис-

- – i; если a > = -----------------------------------2

Пусть z = cos ϕ + i sin ϕ;

a n + 1 sin nx + a n sin ( n + 1 )x – sin x a – 2a cos x + 1

2πk 1  3 --- ---  + i sin ---------5 (k = 0, 1, 2, 3, 4). 5. (2; 1);  2 ; 2  . 6. (6; 1). 8. –1.

a2




-. зуйте утверждение упр. 10. 12. ---------------------------------------------------------------------------------------------------2

3 1 2πk 4 – 2i 3 --------------------1. 1 – i; --------------5 . 2. 0; –1; 2 ä 2 i. 3. 2 – 2 i. 4. 0; cos 5 +

–a2

577

5 21 --15. – -----10 < a < – 6 .

 2  2 ------16. z = 2 – -----2 +  2 – 2  i.   § 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач π π π π 1.  α – --3- + 2πk; α + --3- + 2πn  ;  α + --3- + 2πn; α – --3- + 2πk  .     π π 2.  α + π(k + n); --3- + π(k – n)  ;  --3- + π(k – n); α + π(k + n)  .    

2. Последовательность монотонно возрастает. 3. Последовательность монотонно возрастает, начиная со второо члена.
y

a

n+1 --Сравните отношение ------------y n с единицей. 4. c = 0, d − 0, d > 0

d

или c − 0, --c- > –1, ad > bc. 5. y1 = 0 — наименьший член; наибольшео члена не существует. 6. y3 = 4 — наибольший член; наименьшео члена не существует. 7. x8 = 24 — наименьший член; наибольшео члена не существует.
Найдите эстремаль512 x

ные точи фунции f(x) = 2x + --------2 . 8. а) n l 31; б) n l 301.

9. Ни одноо.
Решите в целых положительных числах неравенство 2 < |x2 – 5x + 6| < 6. 10. Начиная с n = 3.
Рассмотрите промежути монотонности фунции f(x) = x2 – 5x + 6.

578

Ответы, указания, решения

11. Для целых чисел из промежута

1;

1

– --------ln q

3

последова-

тельность монотонно возрастает, для целых чисел из промежута

1 – --------ln q

+ 1; +×  она монотонно убывает (внутренние  1

вадратные соби означают целую часть числа). Если – --------ln q —

целое число, то последовательность монотонно убывает, начи1

ная с члена, имеющео номер – --------ln q .
Рассмотрите промежути

монотонности фунции f(x) = xqx. 12. Ораничена; xn Ý 13. Ораничена; xn Ý

Г л а в а 7. Последовательности

1 --- ; 2 . 2

ше --4- . 8. 0.




См. уазание  упр. 7. 9. 0. 5

Убедитесь в том, что фунция f(x) = x2 – 2x + 3 возрастает на промежуте [1; +×). 15. Ораничена; xn Ý (0; 1].
Приведите  общему знаменателю выражение в собах.




Воспользуйтесь не-

1 2

равенством |sin n!| m 1. 10. 0. 11. – --2- . 12. --- . 13. 0.




Умножьте

и разделите данное выражение на n2 – n 3 1 – n 3 +

3

( 1 – n3)2 .

14. lim xn = 2. nº×



Доажем, что исходная последователь-

ность монотонна и ораничена. Ораниченность последовательности доажем по индуции. Та а x1 = ложим, что xk m 2; тода из уравнения

2 , то x1 < 2. Предпо-

2 xk + 1

= xk + 2 следует,

что xk + 1 m 2. Значит, xn m 2. Заметим таже, что xn > 1. Рассмотрим неравенство

4 1 1; --3- . 14. Ораничена; xn Ý  0; --- . 2




579

y2 m 2 + y.

(*)

Если члены последовательности удовлетворяют неравенству (*), то последовательность возрастает. Действительно, подставляя y = x n в выражение (*), имеем 2

xn m 2 + xn ,

§ 36. Предел последовательности 7.
Возьмите неоторый интервал числа a и сравните члены последовательности, не попавшие в этот интервал, и онцы интервала. 8.
Рассмотрите таой интервал точи a, оторый не содержит точу q. 9. Нет.
Рассмотрите непересеающиеся интервалы точе p и q. 11. Не имеет.
Рассмотрите четные и нечетные значения n. 12. lim xn = 0.
Используйте неравенnº×

ство | sin x | m 1. 13. а) lim

nº×

xn = 1; б) последовательность не

имеет предела.

2

2

2

но 2 + x n = x n + 1 и, следовательно, x n m x n + 1 . Множество решений неравенства (*) представляет собой промежуто [1; 2]. Та а из доазанноо выше следует, что 1 m x n m 2 для всех n Ý N, то эти значения удовлетворяют неравенству (*). Таим образом, последовательность возрастает и ораничена, а потому имеет предел. Значение предела, соласно равенству (5), должно удовлетворять уравнению y2 – y – 2 = 0, отуда y1 = 1, y2 = 2. Лео проверить, что число 1 не является пределом последовательности. Ита, пределом является число 2.

§ 37. Вычисление пределов последовательностей 7 1 1. – --2- . 2. 1. 3. 0. 4. 0. 5. –1. 6. -----15 n+1

15. lim xn = a. nº×




Преобразуйте реуррентное соотношение

 виду x n + 1 = x n + ( x n – a)2 и воспользуйтесь формулой (5).


Разделите числитель и

знаменатель на 3 и воспользуйтесь формулой (4). 7. 0.
Убедитесь в том, что основание степени для любоо n мень-

16. lim xn = nº×

a . 17. 1 +

1 – a . 18.

1 + a – 1.




Рассмотри-

те последовательности, состоящие из четных и нечетных членов исходной последовательности.

578

Ответы, указания, решения

11. Для целых чисел из промежута

1;

1

– --------ln q

3

последова-

тельность монотонно возрастает, для целых чисел из промежута

1 – --------ln q

+ 1; +×  она монотонно убывает (внутренние  1

вадратные соби означают целую часть числа). Если – --------ln q —

целое число, то последовательность монотонно убывает, начи1

ная с члена, имеющео номер – --------ln q .
Рассмотрите промежути

монотонности фунции f(x) = xqx. 12. Ораничена; xn Ý 13. Ораничена; xn Ý

Г л а в а 7. Последовательности

1 --- ; 2 . 2

ше --4- . 8. 0.




См. уазание  упр. 7. 9. 0. 5

Убедитесь в том, что фунция f(x) = x2 – 2x + 3 возрастает на промежуте [1; +×). 15. Ораничена; xn Ý (0; 1].
Приведите  общему знаменателю выражение в собах.




Воспользуйтесь не-

1 2

равенством |sin n!| m 1. 10. 0. 11. – --2- . 12. --- . 13. 0.




Умножьте

и разделите данное выражение на n2 – n 3 1 – n 3 +

3

( 1 – n3)2 .

14. lim xn = 2. nº×



Доажем, что исходная последователь-

ность монотонна и ораничена. Ораниченность последовательности доажем по индуции. Та а x1 = ложим, что xk m 2; тода из уравнения

2 , то x1 < 2. Предпо-

2 xk + 1

= xk + 2 следует,

что xk + 1 m 2. Значит, xn m 2. Заметим таже, что xn > 1. Рассмотрим неравенство

4 1 1; --3- . 14. Ораничена; xn Ý  0; --- . 2




579

y2 m 2 + y.

(*)

Если члены последовательности удовлетворяют неравенству (*), то последовательность возрастает. Действительно, подставляя y = x n в выражение (*), имеем 2

xn m 2 + xn ,

§ 36. Предел последовательности 7.
Возьмите неоторый интервал числа a и сравните члены последовательности, не попавшие в этот интервал, и онцы интервала. 8.
Рассмотрите таой интервал точи a, оторый не содержит точу q. 9. Нет.
Рассмотрите непересеающиеся интервалы точе p и q. 11. Не имеет.
Рассмотрите четные и нечетные значения n. 12. lim xn = 0.
Используйте неравенnº×

ство | sin x | m 1. 13. а) lim

nº×

xn = 1; б) последовательность не

имеет предела.

2

2

2

но 2 + x n = x n + 1 и, следовательно, x n m x n + 1 . Множество решений неравенства (*) представляет собой промежуто [1; 2]. Та а из доазанноо выше следует, что 1 m x n m 2 для всех n Ý N, то эти значения удовлетворяют неравенству (*). Таим образом, последовательность возрастает и ораничена, а потому имеет предел. Значение предела, соласно равенству (5), должно удовлетворять уравнению y2 – y – 2 = 0, отуда y1 = 1, y2 = 2. Лео проверить, что число 1 не является пределом последовательности. Ита, пределом является число 2.

§ 37. Вычисление пределов последовательностей 7 1 1. – --2- . 2. 1. 3. 0. 4. 0. 5. –1. 6. -----15 n+1

15. lim xn = a. nº×




Преобразуйте реуррентное соотношение

 виду x n + 1 = x n + ( x n – a)2 и воспользуйтесь формулой (5).


Разделите числитель и

знаменатель на 3 и воспользуйтесь формулой (4). 7. 0.
Убедитесь в том, что основание степени для любоо n мень-

16. lim xn = nº×

a . 17. 1 +

1 – a . 18.

1 + a – 1.




Рассмотри-

те последовательности, состоящие из четных и нечетных членов исходной последовательности.

580

Ответы, указания, решения § 38. Арифметическая прогрессия 1

119

2

2

члена арифметичесой прорессии, то v – u = w – v. 6. --3- . 7. 20. 8. 167. 9. 102. 10. 29. 11. 9. 12. 7. 13.
Рассмотрите сумму членов, равноотстоящих от онцов, среди чисел a1, ..., am + n. 14. 82 350.
Четное число, оторое делится на 3, делится на 6. 15. d = 2a1, a1 − 0 или d = 0, a1 − 0. 16. 1275.
Воспользуйтесь формулой x2 – y2 = (x – y) (x + y). 17. 1064.
Воспользуйтесь уазанием  упр. 13. 18. 98. 19. an = 8n – 4.
Воспользуйтесь формулой (7). 20.
Выразите суммы a1 + a3n, a1 + a2n, a1 + an через S3n, S2n, Sn соответственно и используйте соотношение a3n + an = 2a2n. 21.
Из условия получите зависимость между a1 и d и используйте эту зависимость при доазательстве утверждения. 22. a l 12.
Рассмотрите множество значений

25.

x

+ 25

–x

+ 5

1+x

+ 5

1–x

. 23. x = log2 5.

5– 3 3– 2

Доажите, что ---------------------- не является рациональным чис-




лом. 26. Нет.
См. уазание  упр. 25. 27. Да.
Воспользуйтесь тем, что если длины сторон равны соответственно a, b, c, d, то необходимое и достаточное условие тоо, что в четырехуольни можно вписать оружность, залючается в выполнении равенства a + c = b + d. § 39. Геометрическая прогрессия 3

6. 1; 3; 9. 7. 3; 6; 12 или --2- (9 + 65 ); –6; --2- (9 – 65 ). 8. 2; 4; 8; 16. 9. 2; 4; 8 или 8; 4; 2. 10. 1; 5; 25 или 25; 5; 1.  Sn  -------  11. 2. 12.  S ′  n  2

u ( q 2n – 1 )

n/2

1 (2 + 3)

1 (2 + 3)

1 (2 + 3)

- ---------------------------------- ---------------------------------. 13. ---------------------------------m–1 ; m–2 ; m – 3 ; ... . x 2n + 2 – x 4n + 2 – x 2n + 1 ( 1 + x )x

1 - . 17. S = -------------------------------------------------------------------- + 2n.
Возведите 14. -----------------------------2 2 2n n

q –1

1

n

-------------ных при этом еометричесих прорессий. 18. Sn = 4 – ------------n–2 – n–1 . 2

nx n + 1

S

2

xn + 1 – x

n -----------------------------------------Рассмотрите разность Sn – -----2 . 19. Sn = x – 1 – ( x – 1 ) 2 .
Умножьте обе части равенства на x и от Sn отнимите xSn.


3

1

3

----20. 28. 21. b4 = -----16 ; q = 4 . 22. 5 .




Воспользуйтесь методом,

предложенным в примере 2 на с. 191. 23. 6; 3; 1,5; ... . 24. b1 = 6, 1

S2

(a + x)3

-----------------------------q = – --2- . 25. ----------------2S – 1 . 26. x > 0, x − äa, S = 4 ( a – x )ax .
Для нахождения знаменателя прорессии q разделите b2 на b1 и

решите неравенство вида |q(x)| < 1. 27. P = 4(2 + 28.

ap – mbm – kck – p

2 )a, S = 2a2.

= 1. 29. Не моут. 30. 5. 31. 1,5.

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии 4

16

64

------ -----1. 4; 8; 16 или -----25 ; – 25 ; 25 . 2. 3; 6; 12 или 27; 18; 12. 3. 931.
Воспользуйтесь представлением числа в десятичной записи, т. е. в виде a · 102 + b · 10 + c, де a — цифра сотен, b — десятов, c — единиц. 4. 32; 16; 8; 0 или 2; 6; 18; 30. 5. 2; 10; 18 или 2; 6; 18. 6. 27. 7. 24; 27; 30; ..., 54 или 24; 24; 24; ..., 24. 3

8. q = --2- или q = 1. 11. x = q1/d. § 41. Разные задачи 3

2. b1 = 5, b5 = 405. 3. 7; –14; 28; –56. 4. 40. 5. 1; 3; 9. 3

581

в вадрат выражения в собах и найдите сумму членов получен-

--- --1. --------3 . 2. a1 = 2, d = –3 или a1 = –10, d = 3. 3. 3 ; 3 ; 1.
Воспользуйтесь формулой (5). 4. an = p + q – n. 5.
Воспользуйтесь тем, что если числа u, v, w — три последовательных

фунции f(x) = 25

Г л а в а 7. Последовательности

1. Да; xn Ý 0; --2-

. 2. Нет. 3. Да; xn Ý [–8; 11].
См. решение

примера 3 § 35 на с. 175, 176. 4. Девять членов.
Воспользуйтесь формулой суммы членов еометричесой прорессии. 7.
Восa2

пользуйтесь свойством сторон треуольниа. 8. lim Sn = ----2 . nº× 1

9. --3- . 10. 0. 11. 630 или 135 или 765.
Пусть x — цифра сотен, y — цифра десятов и z — цифра единиц. Тода первое условие приводит  уравнению x · 100 + y · 10 + z = 45p, де p — целое число. Та а x, y, z — последовательные члены арифметиче-

580

Ответы, указания, решения § 38. Арифметическая прогрессия 1

119

2

2

члена арифметичесой прорессии, то v – u = w – v. 6. --3- . 7. 20. 8. 167. 9. 102. 10. 29. 11. 9. 12. 7. 13.
Рассмотрите сумму членов, равноотстоящих от онцов, среди чисел a1, ..., am + n. 14. 82 350.
Четное число, оторое делится на 3, делится на 6. 15. d = 2a1, a1 − 0 или d = 0, a1 − 0. 16. 1275.
Воспользуйтесь формулой x2 – y2 = (x – y) (x + y). 17. 1064.
Воспользуйтесь уазанием  упр. 13. 18. 98. 19. an = 8n – 4.
Воспользуйтесь формулой (7). 20.
Выразите суммы a1 + a3n, a1 + a2n, a1 + an через S3n, S2n, Sn соответственно и используйте соотношение a3n + an = 2a2n. 21.
Из условия получите зависимость между a1 и d и используйте эту зависимость при доазательстве утверждения. 22. a l 12.
Рассмотрите множество значений

25.

x

+ 25

–x

+ 5

1+x

+ 5

1–x

. 23. x = log2 5.

5– 3 3– 2

Доажите, что ---------------------- не является рациональным чис-




лом. 26. Нет.
См. уазание  упр. 25. 27. Да.
Воспользуйтесь тем, что если длины сторон равны соответственно a, b, c, d, то необходимое и достаточное условие тоо, что в четырехуольни можно вписать оружность, залючается в выполнении равенства a + c = b + d. § 39. Геометрическая прогрессия 3

6. 1; 3; 9. 7. 3; 6; 12 или --2- (9 + 65 ); –6; --2- (9 – 65 ). 8. 2; 4; 8; 16. 9. 2; 4; 8 или 8; 4; 2. 10. 1; 5; 25 или 25; 5; 1.  Sn  -------  11. 2. 12.  S ′  n  2

u ( q 2n – 1 )

n/2

1 (2 + 3)

1 (2 + 3)

1 (2 + 3)

- ---------------------------------- ---------------------------------. 13. ---------------------------------m–1 ; m–2 ; m – 3 ; ... . x 2n + 2 – x 4n + 2 – x 2n + 1 ( 1 + x )x

1 - . 17. S = -------------------------------------------------------------------- + 2n.
Возведите 14. -----------------------------2 2 2n n

q –1

1

n

-------------ных при этом еометричесих прорессий. 18. Sn = 4 – ------------n–2 – n–1 . 2

nx n + 1

S

2

xn + 1 – x

n -----------------------------------------Рассмотрите разность Sn – -----2 . 19. Sn = x – 1 – ( x – 1 ) 2 .
Умножьте обе части равенства на x и от Sn отнимите xSn.


3

1

3

----20. 28. 21. b4 = -----16 ; q = 4 . 22. 5 .




Воспользуйтесь методом,

предложенным в примере 2 на с. 191. 23. 6; 3; 1,5; ... . 24. b1 = 6, 1

S2

(a + x)3

-----------------------------q = – --2- . 25. ----------------2S – 1 . 26. x > 0, x − äa, S = 4 ( a – x )ax .
Для нахождения знаменателя прорессии q разделите b2 на b1 и

решите неравенство вида |q(x)| < 1. 27. P = 4(2 + 28.

ap – mbm – kck – p

2 )a, S = 2a2.

= 1. 29. Не моут. 30. 5. 31. 1,5.

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии 4

16

64

------ -----1. 4; 8; 16 или -----25 ; – 25 ; 25 . 2. 3; 6; 12 или 27; 18; 12. 3. 931.
Воспользуйтесь представлением числа в десятичной записи, т. е. в виде a · 102 + b · 10 + c, де a — цифра сотен, b — десятов, c — единиц. 4. 32; 16; 8; 0 или 2; 6; 18; 30. 5. 2; 10; 18 или 2; 6; 18. 6. 27. 7. 24; 27; 30; ..., 54 или 24; 24; 24; ..., 24. 3

8. q = --2- или q = 1. 11. x = q1/d. § 41. Разные задачи 3

2. b1 = 5, b5 = 405. 3. 7; –14; 28; –56. 4. 40. 5. 1; 3; 9. 3

581

в вадрат выражения в собах и найдите сумму членов получен-

--- --1. --------3 . 2. a1 = 2, d = –3 или a1 = –10, d = 3. 3. 3 ; 3 ; 1.
Воспользуйтесь формулой (5). 4. an = p + q – n. 5.
Воспользуйтесь тем, что если числа u, v, w — три последовательных

фунции f(x) = 25

Г л а в а 7. Последовательности

1. Да; xn Ý 0; --2-

. 2. Нет. 3. Да; xn Ý [–8; 11].
См. решение

примера 3 § 35 на с. 175, 176. 4. Девять членов.
Воспользуйтесь формулой суммы членов еометричесой прорессии. 7.
Восa2

пользуйтесь свойством сторон треуольниа. 8. lim Sn = ----2 . nº× 1

9. --3- . 10. 0. 11. 630 или 135 или 765.
Пусть x — цифра сотен, y — цифра десятов и z — цифра единиц. Тода первое условие приводит  уравнению x · 100 + y · 10 + z = 45p, де p — целое число. Та а x, y, z — последовательные члены арифметиче-

582

Ответы, указания, решения

сой прорессии, то 2y = x + z. Следовательно, можно составить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными: x · 100 + y · 10 + z = 45p, 2y = x + z, оторую необходимо решить на множестве целых неотрицательных чисел. 12.  Соласно формуле (3) из § 38, используя условия задачи, имеем a1 + an ------------------- = np, 2

a1 + ak ------------------- = kp. 2

a –a

n k - = p(n – k). В сиИслючив из этой системы a1, получаем -----------------2

лу формулы (2) из § 38 имеем d(n – k) = 2p(n – k), и, следовательно, d = 2p, a1 = p. Наонец, применяя формулу (4) из § 38,

Г л а в а 7. Последовательности




См. уазание 

 1  10 n – 1 n - – n  . 23. а) – --- , если n — четное; упр. 19. 22. --9-  10 · ---------------2 9 

n(n + 1) n+1 -------------- , если n — нечетное; б) – ----------------------- , если n — четное, 2 2 n ( n + 1 ) ( 3n 2 + 7n + 2 ) n(n + 1) ----------------------- , если n — нечетное; в) ---------------------------------------------------------------- . 24. 0. 2 12


Воспользуйтесь тем, что под знаом предела

записана сумма n членов еометричесой прорессии со знаме1

1

См. уазание 

1

π

33. --2- .



2 2

1 Заметим, что ------- = ------------- . Далее имеем π cos --4

2 2 2 1 2 ---------------------- = --------------------------------- = --------------------------------------- = ------------------------- = ------------- ; π π π   2+ 2 cos --2 4 cos 2 --2  1 + cos ---  8 2  1 + -------  8   4 2  

аналоично

2 1 ----------------------------------------------------------- = ------------------------ . π ------------cos 2 + 2 + ... 2 + 2 n+1 2 n радиалов

13.
Умножьте и разделите аждое слааемое на выражение, сопряженное знаменателю. 15. (8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25).
Из первых четырех уравнений следует, что числа x, y, z, u, s и t образуют еометричесую прорессию. 16.
Представьте аждое число, входящее в доазываемое равенство, а сумму членов соответствующей еометричесой прорессии. 17. A = 2, B = 32.
Используйте теорему Виета. 19.
Воспользуйтесь равенством

3 3 25. 0,5. 26. ---------2 .




упр. 30. 32. --4- .

2p + 2p ( p – 1 )

- p = p3. Sp = --------------------------------------2



1

1

1

1

------------------------отношение --------------------k ( k + 1 ) = k – k + 1 . 31. da 1 .

получаем исомое выражение:

1 1 1 1 1 1 ------------------------------------------ = --- · --- – ------------- + --- · -------------- . 20. 2 k+2 k–1 2 k k( k + 1) (k + 2)

583

нателем q = --3- . 27. 1,5. 28. --3- . 29. 1,25. 30. 1.
Используйте со-

1

1

1

cos --4

cos --8

cos ------------n+1 2

------------- ... ------------------------ . Умножив и раздеТаим образом, an = ------------π π π · π

лив an на 2 sin ------------n + 1 , получим 2

π 2 sin ------------n+1 2 = an = ---------------------------------------------------------------------------------------------π π π π -------------cos --- cos --- ... 2 cos ------------n + 1 sin n + 1 4 8 2 2 π n π 2 sin ------------2 sin ------------n+1 2 2n + 1 -------------------------------- . = ------------------------------------------------------------------------= ... π π π π π cos --- cos --- ... cos -----n- sin -----nsin --4 8 2 2 2 π

Теперь умножим и разделим последнее выражение на --2- ; тода, π

sin x

-------------используя равенство lim -----------x = 1 и полаая x = n + 1 , находим 2

xº0

n+1

2 π π · -------------- ⋅ sin ------------n+1 π 2 π - = --- . lim an = lim --------------------------------------------------2 2 nº× nº×

582

Ответы, указания, решения

сой прорессии, то 2y = x + z. Следовательно, можно составить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными: x · 100 + y · 10 + z = 45p, 2y = x + z, оторую необходимо решить на множестве целых неотрицательных чисел. 12.  Соласно формуле (3) из § 38, используя условия задачи, имеем a1 + an ------------------- = np, 2

a1 + ak ------------------- = kp. 2

a –a

n k - = p(n – k). В сиИслючив из этой системы a1, получаем -----------------2

лу формулы (2) из § 38 имеем d(n – k) = 2p(n – k), и, следовательно, d = 2p, a1 = p. Наонец, применяя формулу (4) из § 38,

Г л а в а 7. Последовательности




См. уазание 

 1  10 n – 1 n - – n  . 23. а) – --- , если n — четное; упр. 19. 22. --9-  10 · ---------------2 9 

n(n + 1) n+1 -------------- , если n — нечетное; б) – ----------------------- , если n — четное, 2 2 n ( n + 1 ) ( 3n 2 + 7n + 2 ) n(n + 1) ----------------------- , если n — нечетное; в) ---------------------------------------------------------------- . 24. 0. 2 12


Воспользуйтесь тем, что под знаом предела

записана сумма n членов еометричесой прорессии со знаме1

1

См. уазание 

1

π

33. --2- .



2 2

1 Заметим, что ------- = ------------- . Далее имеем π cos --4

2 2 2 1 2 ---------------------- = --------------------------------- = --------------------------------------- = ------------------------- = ------------- ; π π π   2+ 2 cos --2 4 cos 2 --2  1 + cos ---  8 2  1 + -------  8   4 2  

аналоично

2 1 ----------------------------------------------------------- = ------------------------ . π ------------cos 2 + 2 + ... 2 + 2 n+1 2 n радиалов

13.
Умножьте и разделите аждое слааемое на выражение, сопряженное знаменателю. 15. (8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25).
Из первых четырех уравнений следует, что числа x, y, z, u, s и t образуют еометричесую прорессию. 16.
Представьте аждое число, входящее в доазываемое равенство, а сумму членов соответствующей еометричесой прорессии. 17. A = 2, B = 32.
Используйте теорему Виета. 19.
Воспользуйтесь равенством

3 3 25. 0,5. 26. ---------2 .




упр. 30. 32. --4- .

2p + 2p ( p – 1 )

- p = p3. Sp = --------------------------------------2



1

1

1

1

------------------------отношение --------------------k ( k + 1 ) = k – k + 1 . 31. da 1 .

получаем исомое выражение:

1 1 1 1 1 1 ------------------------------------------ = --- · --- – ------------- + --- · -------------- . 20. 2 k+2 k–1 2 k k( k + 1) (k + 2)

583

нателем q = --3- . 27. 1,5. 28. --3- . 29. 1,25. 30. 1.
Используйте со-

1

1

1

cos --4

cos --8

cos ------------n+1 2

------------- ... ------------------------ . Умножив и раздеТаим образом, an = ------------π π π · π

лив an на 2 sin ------------n + 1 , получим 2

π 2 sin ------------n+1 2 = an = ---------------------------------------------------------------------------------------------π π π π -------------cos --- cos --- ... 2 cos ------------n + 1 sin n + 1 4 8 2 2 π n π 2 sin ------------2 sin ------------n+1 2 2n + 1 -------------------------------- . = ------------------------------------------------------------------------= ... π π π π π cos --- cos --- ... cos -----n- sin -----nsin --4 8 2 2 2 π

Теперь умножим и разделим последнее выражение на --2- ; тода, π

sin x

-------------используя равенство lim -----------x = 1 и полаая x = n + 1 , находим 2

xº0

n+1

2 π π · -------------- ⋅ sin ------------n+1 π 2 π - = --- . lim an = lim --------------------------------------------------2 2 nº× nº×

584

Ответы, указания, решения 1 + 1 + 4a

3

34. -------------------------------. 35. --2- . 2 π

3




2

Воспользуйтесь равенствами -----2 =

π

2 2 --= cos --4- ; -----2 = cos 6 и формулами 2 cos x = 1 + cos 2x, 2 sin x =

= 1 – cos 2x.

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

585

π π 3 тесь соотношением cos  x + --6-  = sin  --3- – x  . 33. -----3 .    




π --- – x 3 образуйте выражение в знаменателе  виду 4 sin ------------2 sin

Пре-

π --- + x 3 -------------- . 2

34. 0.

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

§ 44. Непрерывность функции 9.

§ 42. Предел функции 9.




( 1)

2

= -------------------------π ( 1 + 4n ) ,

( 2)

xn

11.

3 1. 1. 2. 0. 3. 1. 4. 2. 5. 0. 6. 0. 7. 6. 8. 3x2. 9. ×. 10. – --2- .

3 при a − 0, при a = 0 предел не существует. 12. а) – --2-




2;

2 3 4 1 3 --6 . 13. а) – --3- ; б) 1. 14. --3- . 15. --2- . 16. -----2 . 17. 0. 18. 2 . 2

3

7

3

3







1 2

2




При вычислении предела π

b

lim f(x) введите обозначение z = 1 – x. 24. --a- = --2- . 25. a = 1.

xº1

26. 2a – b = 0. 27. 3a – b = 0. 28. a + b + 1 = 0. 29. b = 4. 3

3

30. a = --2- + 2n, n Ý Z. 31. a = --4- .

Используйте


Положите

Положите x + 2 = y и используйте формулу

tg π(y + 2) = tg πy. 31. – ------- . 32. –24.

2

1

21. A = --2- . 22. A = -------2- . 23. A = --π- . m

§ 45. Разные задачи

n

x+a x–a -------------формулу sin x – sin a = 2 sin -----------2 cos 2 . 29. π.





Перейдите  перемен-

ной y = –x. 24. 2. 25. 8. 26. --4- . 27. ---m . 28. cos a.

π --- = x. 30. π. n

Воспользуйтесь неравенством ln (1 + x) m x.

3 1 f f 16. f (0) = 1. 17. f (81) = --6- . 18. A = 1. 19. A = 0. 20. A = --2- .

1 Выделите в числителе и знаменателе множитель (x – 1)2. 11. --a-

19. 4. 20. – --3- . 21. --- . 22. --2- . 23. – --4- . 2




Используйте результат упр. 10. 13. Фунция y = tg x имеет π f f разрыв в точах x = --2- + πn, n Ý Z. 14. f (0) = 1. 15. f (0) = 2.

2

= -------------------------π ( 3 + 4n ) .

§ 43. Вычисление пределов функций

5 б) --3-

∆x

Используйте формулу cos (x + ∆x) – cos x = –2 sin -----2 ×

∆x  × sin  x + -----2  . 10. 

Рассмотрите последовательности xn







Преобразуйте выраже-

π π tg x sin  x – ---  sin  x + ---    3 3 - и воспользуйние в числителе  виду -------------------------------------------------------------------------π cos 2 x cos 2 --3

1

2

3

3

- . 8. –ctg a. 1. –1. 2. --4- . 3. --7- . 4. --3- . 5. ×. 6. ×. 7. --------------cos 2 a 2

2

1

1

1

------------9. cos3 a. 10. -----4 . 11. 2 . 12. 2 . 13. 2 . 14. 2 2 . 15. ×. 16. 2 . 3

1

--17. ×. 18. -----3 . 19. 2. 20. 0. 21. 2. 22. 2. 23. sin 2a. 24. 2 . sin 2a

1

- . 28. –2 sin 2a. 29. 3. 30. 3 2 . 31. 0. 25. 1. 26. --2- . 27. ---------------cos 4 a 2a

a

1

3

------32. -----π . 33. π . 34. 2. 35. 2 . 36. a. 37. 2 . 38. 1. 39. – 2 .

584

Ответы, указания, решения 1 + 1 + 4a

3

34. -------------------------------. 35. --2- . 2 π

3




2

Воспользуйтесь равенствами -----2 =

π

2 2 --= cos --4- ; -----2 = cos 6 и формулами 2 cos x = 1 + cos 2x, 2 sin x =

= 1 – cos 2x.

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

585

π π 3 тесь соотношением cos  x + --6-  = sin  --3- – x  . 33. -----3 .    




π --- – x 3 образуйте выражение в знаменателе  виду 4 sin ------------2 sin

Пре-

π --- + x 3 -------------- . 2

34. 0.

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

§ 44. Непрерывность функции 9.

§ 42. Предел функции 9.




( 1)

2

= -------------------------π ( 1 + 4n ) ,

( 2)

xn

11.

3 1. 1. 2. 0. 3. 1. 4. 2. 5. 0. 6. 0. 7. 6. 8. 3x2. 9. ×. 10. – --2- .

3 при a − 0, при a = 0 предел не существует. 12. а) – --2-




2;

2 3 4 1 3 --6 . 13. а) – --3- ; б) 1. 14. --3- . 15. --2- . 16. -----2 . 17. 0. 18. 2 . 2

3

7

3

3







1 2

2




При вычислении предела π

b

lim f(x) введите обозначение z = 1 – x. 24. --a- = --2- . 25. a = 1.

xº1

26. 2a – b = 0. 27. 3a – b = 0. 28. a + b + 1 = 0. 29. b = 4. 3

3

30. a = --2- + 2n, n Ý Z. 31. a = --4- .

Используйте


Положите

Положите x + 2 = y и используйте формулу

tg π(y + 2) = tg πy. 31. – ------- . 32. –24.

2

1

21. A = --2- . 22. A = -------2- . 23. A = --π- . m

§ 45. Разные задачи

n

x+a x–a -------------формулу sin x – sin a = 2 sin -----------2 cos 2 . 29. π.





Перейдите  перемен-

ной y = –x. 24. 2. 25. 8. 26. --4- . 27. ---m . 28. cos a.

π --- = x. 30. π. n

Воспользуйтесь неравенством ln (1 + x) m x.

3 1 f f 16. f (0) = 1. 17. f (81) = --6- . 18. A = 1. 19. A = 0. 20. A = --2- .

1 Выделите в числителе и знаменателе множитель (x – 1)2. 11. --a-

19. 4. 20. – --3- . 21. --- . 22. --2- . 23. – --4- . 2




Используйте результат упр. 10. 13. Фунция y = tg x имеет π f f разрыв в точах x = --2- + πn, n Ý Z. 14. f (0) = 1. 15. f (0) = 2.

2

= -------------------------π ( 3 + 4n ) .

§ 43. Вычисление пределов функций

5 б) --3-

∆x

Используйте формулу cos (x + ∆x) – cos x = –2 sin -----2 ×

∆x  × sin  x + -----2  . 10. 

Рассмотрите последовательности xn







Преобразуйте выраже-

π π tg x sin  x – ---  sin  x + ---    3 3 - и воспользуйние в числителе  виду -------------------------------------------------------------------------π cos 2 x cos 2 --3

1

2

3

3

- . 8. –ctg a. 1. –1. 2. --4- . 3. --7- . 4. --3- . 5. ×. 6. ×. 7. --------------cos 2 a 2

2

1

1

1

------------9. cos3 a. 10. -----4 . 11. 2 . 12. 2 . 13. 2 . 14. 2 2 . 15. ×. 16. 2 . 3

1

--17. ×. 18. -----3 . 19. 2. 20. 0. 21. 2. 22. 2. 23. sin 2a. 24. 2 . sin 2a

1

- . 28. –2 sin 2a. 29. 3. 30. 3 2 . 31. 0. 25. 1. 26. --2- . 27. ---------------cos 4 a 2a

a

1

3

------32. -----π . 33. π . 34. 2. 35. 2 . 36. a. 37. 2 . 38. 1. 39. – 2 .

586

Ответы, указания, решения

1  7 1 ----40. Верно  2 > – -----22 + 4  . 41. Верно  2 + 

§ 46. Нахождение производных 2. –sin x.

3. ex.

Воспользуйтесь равенством




1 e ∆x – 1 - = 1. lim -----------------4. --x- .
Воспользуйтесь равенством ∆x ∆x º 0 ln ( 1 + ∆x ) - = 1. 5. nxn – 1.
Воспользуйтесь формулой lim ----------------------------∆x ∆x º 0

бинома Ньютона. 6. 0. 10. 2 12. ---------------------------------2- . x(2 – x) e

ln

( ax 2

См. упр. 9 из § 42 л. 8.




– 2x -. 13. -----------------------------------------1 – x4 ( 1 + x2 )

+ bx + c ) ( 2ax

cos x 14. ------------------------------ . 4 x sin x

+ b)

1 1+x

16. ----------------2- .

15. ---------------------------------------------------------------------------------------------. 2 2 2 ln ( ax + bx + c ) ( ax + bx + c ) 2abmnx n – 1 ( a + bx n ) m – 1 ( a – bx )

1 x

x–1

- . 18. sin3 x cos2 x. 19. – -----2- tg ------------- . 17. -----------------------------------------------------------------------n m+1 x 1 sin x cos x

1–m

--------------- x(1 – 2m)/m + 20. --------------------------------4 4 . 21. 1. 22. 0. 23. –2x. 24. m 1–n

(1 – 2n)/n. + 3 ------------n x

x 28. --3- (x2 – 1)–5/6.

32. f ′(x) =

33. f ′(x) =

26. – ------- (8 – t2)–2/3.

1+x

x -. 29. – -------------------------------2 ( x 2 – 1 ) 5/4

–1, x Ý [1; 2), –1, x Ý (2; +×).




30.

2.

Введите обозначение

8 x

27. -----2- . 1 31. --2-

34. f ′(x) = 2 --- , x Ý (1; +×). 3

a --- . x

6. Убывает при x Ý (–×; 0) Ÿ (0; +×). 7. a Ý (–×; –2 –

моательная фунция g(t), получающаяся из f ′(x) заменой t = = cos x, положительна на промежуте [–1; 1]. 8. a Ý (6; +×).
Найдите производную и выясните, при аих значениях x она положительна. Используйте неравенство | cos αx | m cos 0 для любоо α. 9. xmax = –2, ymax = 8; xmin = 2, ymin = 0.

1




Положите

2x – 4 = t.

π

π

π

3

--10. xmax = --3- + πk, ymax = --3- + πk + -----2 ; xmin = – 3 + πk, ymin = π

3

1

1

--- –3/4; x --= – --3- + πk – -----max = 1, 2 ; k Ý Z. 11. xmin = – 2 , ymin = – 2 e 1

1

ymax = 1. 12. xmax = 3, ymax = --3- ; xmin = –3, ymin = – --3- . 13. xmax = = –2, ymax = 25; xmin = 1, ymin = –2. 14. xmin = e, ymin = e. 15. xmax = –1, ymax = 17; xmin = 3, ymin = –47. 16. xmax = 0, ymax = –2; xmin = 2, ymin = 2. § 48. Наибольшее и наименьшее значения функции 1.

– --2- , x Ý (–×; 0), – --2- , x Ý (0; +×).

5)Ÿ

Ÿ ( 5 ; +×).
Условие задачи эвивалентно условию f ′(x) > 0 для x Ý R. Выясните, при аих значениях параметра a вспо-

x – 1 = t.

x Ý [2; 4],

1 ------------------ , x Ý (4; +×). x–2

3 3 Ý  –2; – --2-  Ÿ  – --2- ; –1  , то f(x) убывает. 2. Если x Ý (0; 1) Ÿ

1

2, x Ý (0; 1),

0, 35. f ′(x) =

t2 2

x

25. --------------------2- .

1. Если x Ý (–×; –2) Ÿ (–1; +×), то f(x) возрастает: если x Ý

Ÿ (1; e), то f(x) убывает; если x Ý (e; +×), то f(x) возрастает. 3. Возрастает при x Ý R. 4. Если x Ý (2; 3), то f(x) возрастает; если x Ý (3; +×), то f(x) убывает. 5. Если x Ý (–×; 0) Ÿ Ÿ (1; +×), то f(x) убывает; если x Ý (0; 1), то f(x) возрастает.

Г л а в а 9. Производная и ее применения

1 x

587

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функций

2 > –3 + lg 5  . 

1 1 3 f f f 42. f (3) = 2. 43. f (0) = – --8- . 44. f (0) = –4. 45. A = --4- . 46. A = --2- .

1. – -----2- .

Г л а в а 9. Производная и ее применения

min

max

x Ý [–1; 1]

x Ý [–2; 1]

4.

f(x) = 0. 3.

max

x Ý [0; π/2]

π

= --4- ;

f(x) = 0,75;

min

min

f(x) = 3;

x Ý [–π/2; π/2]

x Ý [–1; 1]

f(x) = 1. 2. 3 3

max f(x) = ---------8 ;

x Ý [0; π]

min

x Ý [0; π/2]

π

f(x) = – --4- . 6.

f(x) = 0,5. 5.

max

x Ý [π; 3π/2]

f(x) = 0;

max

f(x) = 17;

min

f(x) = 0.

x Ý [–2; 1]

x Ý [0; π]

max

x Ý [–π/2; π/2]

min

x Ý [π; 3π/2]

f(x) =

f(x) = –1.

586

Ответы, указания, решения

1  7 1 ----40. Верно  2 > – -----22 + 4  . 41. Верно  2 + 

§ 46. Нахождение производных 2. –sin x.

3. ex.

Воспользуйтесь равенством




1 e ∆x – 1 - = 1. lim -----------------4. --x- .
Воспользуйтесь равенством ∆x ∆x º 0 ln ( 1 + ∆x ) - = 1. 5. nxn – 1.
Воспользуйтесь формулой lim ----------------------------∆x ∆x º 0

бинома Ньютона. 6. 0. 10. 2 12. ---------------------------------2- . x(2 – x) e

ln

( ax 2

См. упр. 9 из § 42 л. 8.




– 2x -. 13. -----------------------------------------1 – x4 ( 1 + x2 )

+ bx + c ) ( 2ax

cos x 14. ------------------------------ . 4 x sin x

+ b)

1 1+x

16. ----------------2- .

15. ---------------------------------------------------------------------------------------------. 2 2 2 ln ( ax + bx + c ) ( ax + bx + c ) 2abmnx n – 1 ( a + bx n ) m – 1 ( a – bx )

1 x

x–1

- . 18. sin3 x cos2 x. 19. – -----2- tg ------------- . 17. -----------------------------------------------------------------------n m+1 x 1 sin x cos x

1–m

--------------- x(1 – 2m)/m + 20. --------------------------------4 4 . 21. 1. 22. 0. 23. –2x. 24. m 1–n

(1 – 2n)/n. + 3 ------------n x

x 28. --3- (x2 – 1)–5/6.

32. f ′(x) =

33. f ′(x) =

26. – ------- (8 – t2)–2/3.

1+x

x -. 29. – -------------------------------2 ( x 2 – 1 ) 5/4

–1, x Ý [1; 2), –1, x Ý (2; +×).




30.

2.

Введите обозначение

8 x

27. -----2- . 1 31. --2-

34. f ′(x) = 2 --- , x Ý (1; +×). 3

a --- . x

6. Убывает при x Ý (–×; 0) Ÿ (0; +×). 7. a Ý (–×; –2 –

моательная фунция g(t), получающаяся из f ′(x) заменой t = = cos x, положительна на промежуте [–1; 1]. 8. a Ý (6; +×).
Найдите производную и выясните, при аих значениях x она положительна. Используйте неравенство | cos αx | m cos 0 для любоо α. 9. xmax = –2, ymax = 8; xmin = 2, ymin = 0.

1




Положите

2x – 4 = t.

π

π

π

3

--10. xmax = --3- + πk, ymax = --3- + πk + -----2 ; xmin = – 3 + πk, ymin = π

3

1

1

--- –3/4; x --= – --3- + πk – -----max = 1, 2 ; k Ý Z. 11. xmin = – 2 , ymin = – 2 e 1

1

ymax = 1. 12. xmax = 3, ymax = --3- ; xmin = –3, ymin = – --3- . 13. xmax = = –2, ymax = 25; xmin = 1, ymin = –2. 14. xmin = e, ymin = e. 15. xmax = –1, ymax = 17; xmin = 3, ymin = –47. 16. xmax = 0, ymax = –2; xmin = 2, ymin = 2. § 48. Наибольшее и наименьшее значения функции 1.

– --2- , x Ý (–×; 0), – --2- , x Ý (0; +×).

5)Ÿ

Ÿ ( 5 ; +×).
Условие задачи эвивалентно условию f ′(x) > 0 для x Ý R. Выясните, при аих значениях параметра a вспо-

x – 1 = t.

x Ý [2; 4],

1 ------------------ , x Ý (4; +×). x–2

3 3 Ý  –2; – --2-  Ÿ  – --2- ; –1  , то f(x) убывает. 2. Если x Ý (0; 1) Ÿ

1

2, x Ý (0; 1),

0, 35. f ′(x) =

t2 2

x

25. --------------------2- .

1. Если x Ý (–×; –2) Ÿ (–1; +×), то f(x) возрастает: если x Ý

Ÿ (1; e), то f(x) убывает; если x Ý (e; +×), то f(x) возрастает. 3. Возрастает при x Ý R. 4. Если x Ý (2; 3), то f(x) возрастает; если x Ý (3; +×), то f(x) убывает. 5. Если x Ý (–×; 0) Ÿ Ÿ (1; +×), то f(x) убывает; если x Ý (0; 1), то f(x) возрастает.

Г л а в а 9. Производная и ее применения

1 x

587

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функций

2 > –3 + lg 5  . 

1 1 3 f f f 42. f (3) = 2. 43. f (0) = – --8- . 44. f (0) = –4. 45. A = --4- . 46. A = --2- .

1. – -----2- .

Г л а в а 9. Производная и ее применения

min

max

x Ý [–1; 1]

x Ý [–2; 1]

4.

f(x) = 0. 3.

max

x Ý [0; π/2]

π

= --4- ;

f(x) = 0,75;

min

min

f(x) = 3;

x Ý [–π/2; π/2]

x Ý [–1; 1]

f(x) = 1. 2. 3 3

max f(x) = ---------8 ;

x Ý [0; π]

min

x Ý [0; π/2]

π

f(x) = – --4- . 6.

f(x) = 0,5. 5.

max

x Ý [π; 3π/2]

f(x) = 0;

max

f(x) = 17;

min

f(x) = 0.

x Ý [–2; 1]

x Ý [0; π]

max

x Ý [–π/2; π/2]

min

x Ý [π; 3π/2]

f(x) =

f(x) = –1.

588

Ответы, указания, решения 4 8– 2

4 8+ 2

ременной

=

y

min

x Ý [π/6; π/3]

sin x

f(x) = 2. 9.

ной y = cos x. 10. 11. а)

xÝR

+ min

x Ý [0; π]

max

x Ý [–2; 0]

4 3 ----------- , 3

Перейдите  перемен-

зуйтесь тем, что a9 + a3 = a1 + a11. 31. a = – --3- , a = – --3- .

max f(x) = f(2) = 4, min

x Ý [–2; 0]

f(x) = 3.

min

x Ý [0; 2]




Перейдите  пе-

max

x Ý [π/6; π/3]


f(x) = f(0) = 1;

x Ý [0; 2]

= f(–2) = 4;

8.

cos x.

min

x Ý [–2; 0]

f(x)

=

f(x) = f(–1) = 0.

f(x) = 2; б)

max

x Ý [–2; 0]

f(x) =

f(x) = 2. 12. max f(x) = 2; min f(x) = –2. xÝR

xÝR

1 min f(x) = 0. 14. xmin = --3- ; 13. max f(x) = 21 + 3 ln 2, x Ý [1/2; 4] x Ý [1/2; 4]

max f(x) = 105. 15.

max

x Ý [0; 3]

= f(0) = f(10) = 0. 16. = f(1) = 0.




x Ý [0; 10]

ция. 17. 19.

f(x) = f(5) = 5;

Перейдите  переменной y = (x –

max

x Ý [–5/2; 1/2]

min

f(x) =

min

f(x) =

x Ý [0; 10]

max f(x) = f(3) = 4 6 ;

x Ý [0; 3]

зуйтесь тем, что g(u) =

x Ý [0; 3] 1)2 и восполь-

u — монотонно возрастающая фун-

y = 4;

3 cos 1,5

- . 20. ¾. 21. 3; --------------------2

3

min

x Ý [–5/2; 1/2]

1

– --3- ; 1 .




y = --2- . 18. [0; +×). Можно найти маси-

мальное и минимальное значения исходной фунции, но есть и друой способ, состоящий в том, чтобы рассмотреть значения y, при оторых уравнение y(x2 – 3x + 3) = x – 1 относительно x имеет действительные решения. 22. а) y Ý б) y Ý

1

1

– --2- ; --2-

. 23.




1

0; --2-

;

Рассмотрите неравенство, связывающее

выражения, обратные левой и правой частям исходноо неравенства. 24.
Представьте фунцию в виде f(x) = 2 sin x – – 2 sin3 x и заменой t = sin x сведите задачу  доазательству справедливости неравенства

min

t Ý [–1; 1]

25.
См. уазание  упр. 24. 26.

7

g(t) > – --9- , де g(t) = 2t – 2t3.


589

второе уравнение, получите неравенство с параметром относительно одноо неизвестноо. Затем найдите наименьшее значение фунции при аждом a и уажите множество всех значений a, при оторых это значение меньше 4. 30. 44.
Восполь-

7. max f(x) = ----------------- , min f(x) = ------------------ . xÝR

Г л а в а 9. Производная и ее применения

См. уазание  упр. 24.

 3+ 5  28.
См. уазание  упр. 21. 29. a Ý  –×; – ----------------16  .
Используя  

8

4




2

Используйте свойство еометричесой прорессии: b n = 2

= bn – 1bn + 1. 32. --3- . 33.

3 – 1. 34. a = 9.




Найдите наимень-

1

4

----------------------шее значение фунции y = -----------sin x + 1 – sin x на промежуте

 0; --π-  ; см. таже уазание  упр. 24. 35. 2  




Воспользуйтесь со-

отношением между средним арифметичесим и средним еометричесим двух чисел. 36.
Представьте фунцию в виде z = (x + y + 1)2 + (x – 2)2 – 3. 37. a = 1.
Воспользовавшись теоремой Виета, выразите сумму вадратов орней уравнения а фунцию a. 38.
Найдите наибольшее и наименьшее знаx 1+x

чения фунции ----------------2- при x Ý R; см. таже уазание  упр. 24. 42.




См. уазание  упр. 24. 43.




Используйте представление

p 3 3 sin6 x + cos6 x = 1 – --4- sin2 2x. 45. Три орня. 46.  --3-  +   q +  --2-   

3

p = 0. 47. а)  --3-   

3

q +  --2-   

3

p > 0; б)  --3-   

3

q +  --2-   

3

< 0.

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции a

a

1. 18 = 9 + 9. 2. 36 = 6 · 6. 3. 40 + 80 + 60 = 180. 4. --2- + --2- = a. 5. p = –2, q = 0; расстояние равно 1.
Расстояние от вершины параболы до оси Ox представляет собой ординату вершины.  2a 4 pa  ------6. ------- . 7.  -----3 ; ä2 3  — оординаты вершин прямоуольни3   а, лежащих на параболе. 8. Высота онуса, имеющео наи4R

большую боовую поверхность, равна ------3 . 9. Диаметр основа-

588

Ответы, указания, решения 4 8– 2

4 8+ 2

ременной

=

y

min

x Ý [π/6; π/3]

sin x

f(x) = 2. 9.

ной y = cos x. 10. 11. а)

xÝR

+ min

x Ý [0; π]

max

x Ý [–2; 0]

4 3 ----------- , 3

Перейдите  перемен-

зуйтесь тем, что a9 + a3 = a1 + a11. 31. a = – --3- , a = – --3- .

max f(x) = f(2) = 4, min

x Ý [–2; 0]

f(x) = 3.

min

x Ý [0; 2]




Перейдите  пе-

max

x Ý [π/6; π/3]


f(x) = f(0) = 1;

x Ý [0; 2]

= f(–2) = 4;

8.

cos x.

min

x Ý [–2; 0]

f(x)

=

f(x) = f(–1) = 0.

f(x) = 2; б)

max

x Ý [–2; 0]

f(x) =

f(x) = 2. 12. max f(x) = 2; min f(x) = –2. xÝR

xÝR

1 min f(x) = 0. 14. xmin = --3- ; 13. max f(x) = 21 + 3 ln 2, x Ý [1/2; 4] x Ý [1/2; 4]

max f(x) = 105. 15.

max

x Ý [0; 3]

= f(0) = f(10) = 0. 16. = f(1) = 0.




x Ý [0; 10]

ция. 17. 19.

f(x) = f(5) = 5;

Перейдите  переменной y = (x –

max

x Ý [–5/2; 1/2]

min

f(x) =

min

f(x) =

x Ý [0; 10]

max f(x) = f(3) = 4 6 ;

x Ý [0; 3]

зуйтесь тем, что g(u) =

x Ý [0; 3] 1)2 и восполь-

u — монотонно возрастающая фун-

y = 4;

3 cos 1,5

- . 20. ¾. 21. 3; --------------------2

3

min

x Ý [–5/2; 1/2]

1

– --3- ; 1 .




y = --2- . 18. [0; +×). Можно найти маси-

мальное и минимальное значения исходной фунции, но есть и друой способ, состоящий в том, чтобы рассмотреть значения y, при оторых уравнение y(x2 – 3x + 3) = x – 1 относительно x имеет действительные решения. 22. а) y Ý б) y Ý

1

1

– --2- ; --2-

. 23.




1

0; --2-

;

Рассмотрите неравенство, связывающее

выражения, обратные левой и правой частям исходноо неравенства. 24.
Представьте фунцию в виде f(x) = 2 sin x – – 2 sin3 x и заменой t = sin x сведите задачу  доазательству справедливости неравенства

min

t Ý [–1; 1]

25.
См. уазание  упр. 24. 26.

7

g(t) > – --9- , де g(t) = 2t – 2t3.


589

второе уравнение, получите неравенство с параметром относительно одноо неизвестноо. Затем найдите наименьшее значение фунции при аждом a и уажите множество всех значений a, при оторых это значение меньше 4. 30. 44.
Восполь-

7. max f(x) = ----------------- , min f(x) = ------------------ . xÝR

Г л а в а 9. Производная и ее применения

См. уазание  упр. 24.

 3+ 5  28.
См. уазание  упр. 21. 29. a Ý  –×; – ----------------16  .
Используя  

8

4




2

Используйте свойство еометричесой прорессии: b n = 2

= bn – 1bn + 1. 32. --3- . 33.

3 – 1. 34. a = 9.




Найдите наимень-

1

4

----------------------шее значение фунции y = -----------sin x + 1 – sin x на промежуте

 0; --π-  ; см. таже уазание  упр. 24. 35. 2  




Воспользуйтесь со-

отношением между средним арифметичесим и средним еометричесим двух чисел. 36.
Представьте фунцию в виде z = (x + y + 1)2 + (x – 2)2 – 3. 37. a = 1.
Воспользовавшись теоремой Виета, выразите сумму вадратов орней уравнения а фунцию a. 38.
Найдите наибольшее и наименьшее знаx 1+x

чения фунции ----------------2- при x Ý R; см. таже уазание  упр. 24. 42.




См. уазание  упр. 24. 43.




Используйте представление

p 3 3 sin6 x + cos6 x = 1 – --4- sin2 2x. 45. Три орня. 46.  --3-  +   q +  --2-   

3

p = 0. 47. а)  --3-   

3

q +  --2-   

3

p > 0; б)  --3-   

3

q +  --2-   

3

< 0.

§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции a

a

1. 18 = 9 + 9. 2. 36 = 6 · 6. 3. 40 + 80 + 60 = 180. 4. --2- + --2- = a. 5. p = –2, q = 0; расстояние равно 1.
Расстояние от вершины параболы до оси Ox представляет собой ординату вершины.  2a 4 pa  ------6. ------- . 7.  -----3 ; ä2 3  — оординаты вершин прямоуольни3   а, лежащих на параболе. 8. Высота онуса, имеющео наи4R

большую боовую поверхность, равна ------3 . 9. Диаметр основа-

590

Ответы, указания, решения 2 3

ния и высота цилиндра равны ------- . 10. Равнобедренный прямоуольный треуольни с атетами 2S .
Воспользуйтесь тем, что ипотенуза прямоуольноо треуольниа является диаπ

метром описанноо руа. 11. ϕ = --3- .
Воспользовавшись тем, что треуольни ABD прямоуольный, выразите боовую сторону и меньшее основание трапеции через диаметр описанной оружности. 12. Треуольни, у отороо один из улов при π

α

основании равен --2- – --2.




Используйте теорему синусов.

3 8R ----------- . 13. 30. 14. 2a. 15. x = 5. 16. α = 2 arctg -----3 , H =

Г л а в а 9. Производная и ее применения

нальна убу сорости, а вторая обратно пропорциональна пер 100  вой степени сорости. 29. x(P) = min  ---------- ; a  , де x(P) — рас3   23

стояние от станции железной дорои до пунта P. 30. --------410 ч. 27

31. 1 -----43 ч.

π




S

Используйте формулу r = --p , де S — площадь,




Расстояние в момент t между поездом и авто-

мобилем представляет собой третью сторону треуольниа, двумя друими сторонами отороо являются расстояние, пройденное поездом, и расстояние, оторое осталось пройти автомобилю. 32. Через

3 3

17. α = --3- .

591

a ------- ч. 2v




См. уазание  упр. 31.

2h

33. y = -----3 . 34. Бриллиант был расолот пополам. 35. СопроR

vр π --а p — полупериметр треуольниа. 18. α = arccos ----v л . 19. α = 4 .

20. h = (l2/3 – d2/3)3/2.
Связь между арументами фунции, наименьшее значение оторой требуется найти, установите из подобия прямоуольных треуольниов, ипотенузами оторых являются внешняя и внутренняя по отношению  башне части стержня. 21. Длина — 30 см, ширина — 20 см. 22. а) x = d d 2 r = y = ------- ; б) x = ------- , y = d --3- . 23. h = ------- . 24. Сторона площад2 3 2

и, примыающая  стене, должна быть вдвое больше друой стороны. 25. AM = a 3 p ( 3 p + 3 q )–1. 26. К точе отреза AB, удаленной от B на 1 м.
Время достижения пунта B а фунцию оординаты точи,  оторой должна пристать лода, представьте в виде суммы двух слааемых, одно из оторых — время движения по воде, а друое — по суше. 27. Через t0 = 3 2

тивления должны быть одинаовыми и равными --2 . 36. α =

 h  1 = max  arccos --k- ; arctg --d-  .  




Воспользуйтесь тем, что время

движения онца а фунция оординаты точи причаливания сладывается из времени движения по воде и по береу. sin α

v

1 -----37. -----------sin β = v 2 , де α — уол падения, а β — уол преломления

луча.
Выразите путь луча в аждой среде через оординату точи падения на ранице сред. Найдите отношение путей в аждой среде  их проециям на раницу сред, при отором достиается минимум времени прохождения всео пути между точами A и B. 38. α = β, де α — уол падения, β — уол отражения.




IR 2

IR 1

--------------------- , I = --------------------- , См. уазание  упр. 37. 39. I1 = R 2 R1 + R2 1 + R2

Кинетичесая энерия W

т. е. тои следует разветвить обратно пропорционально сопротивлениям, через оторые должны быть пропущены эти тои.

- , де m(t) — масса апли в момент t равна W(t) = -------------------------2

40. 60 000 р. 41. n = 8; общая стоимость затрат d 2,8 2 млрд р.
Если f(x) — фунция, выражающая зависимость стоимости от построенной площади, то следует исать наименьшее зна-

2m 0 2 m 0 g   ⋅ см 2  ------ -----------------------------= ----------3k (с); W(t0) = 27 k 2  с 2  .  




m ( t )v 2 ( t )

 моменту t, а v(t) — достинутая  этому моменту сорость. 28. 20 м/ч; 720 р.
Воспользуйтесь тем, что стоимость единицы пути сладывается из двух величин: первая пропорцио-

40 000  - , де n — число построенных чение фунции F(n) = nf  ---------------- n 

590

Ответы, указания, решения 2 3

ния и высота цилиндра равны ------- . 10. Равнобедренный прямоуольный треуольни с атетами 2S .
Воспользуйтесь тем, что ипотенуза прямоуольноо треуольниа является диаπ

метром описанноо руа. 11. ϕ = --3- .
Воспользовавшись тем, что треуольни ABD прямоуольный, выразите боовую сторону и меньшее основание трапеции через диаметр описанной оружности. 12. Треуольни, у отороо один из улов при π

α

основании равен --2- – --2.




Используйте теорему синусов.

3 8R ----------- . 13. 30. 14. 2a. 15. x = 5. 16. α = 2 arctg -----3 , H =

Г л а в а 9. Производная и ее применения

нальна убу сорости, а вторая обратно пропорциональна пер 100  вой степени сорости. 29. x(P) = min  ---------- ; a  , де x(P) — рас3   23

стояние от станции железной дорои до пунта P. 30. --------410 ч. 27

31. 1 -----43 ч.

π




S

Используйте формулу r = --p , де S — площадь,




Расстояние в момент t между поездом и авто-

мобилем представляет собой третью сторону треуольниа, двумя друими сторонами отороо являются расстояние, пройденное поездом, и расстояние, оторое осталось пройти автомобилю. 32. Через

3 3

17. α = --3- .

591

a ------- ч. 2v




См. уазание  упр. 31.

2h

33. y = -----3 . 34. Бриллиант был расолот пополам. 35. СопроR

vр π --а p — полупериметр треуольниа. 18. α = arccos ----v л . 19. α = 4 .

20. h = (l2/3 – d2/3)3/2.
Связь между арументами фунции, наименьшее значение оторой требуется найти, установите из подобия прямоуольных треуольниов, ипотенузами оторых являются внешняя и внутренняя по отношению  башне части стержня. 21. Длина — 30 см, ширина — 20 см. 22. а) x = d d 2 r = y = ------- ; б) x = ------- , y = d --3- . 23. h = ------- . 24. Сторона площад2 3 2

и, примыающая  стене, должна быть вдвое больше друой стороны. 25. AM = a 3 p ( 3 p + 3 q )–1. 26. К точе отреза AB, удаленной от B на 1 м.
Время достижения пунта B а фунцию оординаты точи,  оторой должна пристать лода, представьте в виде суммы двух слааемых, одно из оторых — время движения по воде, а друое — по суше. 27. Через t0 = 3 2

тивления должны быть одинаовыми и равными --2 . 36. α =

 h  1 = max  arccos --k- ; arctg --d-  .  




Воспользуйтесь тем, что время

движения онца а фунция оординаты точи причаливания сладывается из времени движения по воде и по береу. sin α

v

1 -----37. -----------sin β = v 2 , де α — уол падения, а β — уол преломления

луча.
Выразите путь луча в аждой среде через оординату точи падения на ранице сред. Найдите отношение путей в аждой среде  их проециям на раницу сред, при отором достиается минимум времени прохождения всео пути между точами A и B. 38. α = β, де α — уол падения, β — уол отражения.




IR 2

IR 1

--------------------- , I = --------------------- , См. уазание  упр. 37. 39. I1 = R 2 R1 + R2 1 + R2

Кинетичесая энерия W

т. е. тои следует разветвить обратно пропорционально сопротивлениям, через оторые должны быть пропущены эти тои.

- , де m(t) — масса апли в момент t равна W(t) = -------------------------2

40. 60 000 р. 41. n = 8; общая стоимость затрат d 2,8 2 млрд р.
Если f(x) — фунция, выражающая зависимость стоимости от построенной площади, то следует исать наименьшее зна-

2m 0 2 m 0 g   ⋅ см 2  ------ -----------------------------= ----------3k (с); W(t0) = 27 k 2  с 2  .  




m ( t )v 2 ( t )

 моменту t, а v(t) — достинутая  этому моменту сорость. 28. 20 м/ч; 720 р.
Воспользуйтесь тем, что стоимость единицы пути сладывается из двух величин: первая пропорцио-

40 000  - , де n — число построенных чение фунции F(n) = nf  ---------------- n 

592

Ответы, указания, решения

Г л а в а 9. Производная и ее применения § 50. Геометрические приложения производной

домов. 42. 4 2 м.
Найдите расстояние, при отором таненс ула обзора будет наибольшим (таненс — монотонная фунция своео арумента). 43. ( 4b 2 – 3a 2 – b) · 3–1/2.
Найдите расстояние, при отором таненс ула, образованноо точой останови автобуса и двумя противоположными сторонами фасада дворца, является наибольшим. Выразите этот уол в виде разности улов, под оторыми видны дальний и ближний (по отношению  шоссе) онцы фасада дворца. 44. α = arctg k; km F = --------------------2- . 1+k




5

7 5 1 y0 = --9- . 46.  --2- ; --4-  .  




Задача сводится  нахождению

точи C параболы, масимально удаленной от прямой BD. 47. Периметр треуольниа AMB равен 10 + 2 5 + 34 . Наименьший периметр достиается при условии, что точа M совпадает с началом оординат.
Рассмотрите точу, симметричную точе A относительно прямой y = x. 48. Точа M должна делить пополам отрезо прямой, залюченный между сторонами ула.
Исследуйте изменение площади треуольниа при изменении налона прямой, проходящей через точу M. 49. Две оставшиеся вершины получаются при пересечении сторон ула прямой, проходящей через точи, оторые являются симметричными образами точи M относительно сторон ула. 2π

a

-----50. 2R sin -----9 . 51. 4b

3b 2 – a 2 . 52. Длина стороны основания

равна 2 см, объем равен 4 см3. 53. Стороны прямоуольниа, R 2 5π ------имеющео наибольшую площадь, равны ----------2 . 54. 9 . 55. Smax =

=

α R2 tg ---

2.




1. ( 2 ; 2 –

Рассмотрите два случая: первый — две вершины

исомоо прямоуольниа лежат на одном из радиусов, образующих сетор; второй — по одной вершине лежат на радиусах и две на дуе сетора. Во втором случае разбейте сетор на два одинаовых сетора, тода задача сведется  первому случаю, рассмотренному для аждой половины отдельно.

2 ) и (– 2 ; 2 +

2 ). 2. y = 2. 3. y = – 3x +

15 π 3+3 1 1 - . 4. arctg 9; y = 9x – 23 --- . 5.  --- ; – ------  .
Координаты + --------------------32  2 4 2

точи асания определите из уравнения f ′(x) = k, де k — уловой оэффициент асательной. 6. (0; 2). 7. 2. 8. y = 8x + 4. 1

π

π

πn

9. x0 = arcsin ----------- + --4- . 10. πn; --8- + -----4 ; n Ý Z. 11. (8; 0); (0; 0). 4 2

Воспользуйтесь тем, что сумма сил в плосос-

ти движения должна быть равна нулю. 45. ρ = 2,4; x0 = --3- ,

593

21

19

-----12. (3; – 15); -----2 и 21; (–1; 9); 2 и 19.
Найдите уол, образуе-

мый исомой асательной с положительным направлением оси Ox. 13. a = 1.
Условие пересечения прямой и параболы равносильно существованию двух действительных орней соответствующео вадратноо уравнения; полусумма абсцисс этих орней по условию должна быть равна 2. 14. y = –3x – 4. 8 7 3π 15. y = x + 4, y = –x + 4. 17.  2; --3-  ;  3; --2-  . 18. -----4 .    

19.  Продифференцируем аждое уравнение, считая, что y — фунция от x. Имеем y + y′x = 0 и 2x – 2yy′ = 0. Выраy

x

зив y′ в аждом из уравнений, имеем y′ = – --x- , y′ = --y- соответственно. Следовательно, в любой точе M(x0; y0), являющейся точой пересечения ривых, произведение уловых оэффициентов асательных равно –1. 20.
Поажите, что произведение уловых оэффициентов в точах пересечения линий разных семейств равно –1.    c c c c  21.  --a- ; b --a- + 2c  ,  – --a- ; 2c – b --a-  при ac > 0; (0; 0) при     c = 0; нет решений при ac < 0. 22. (a + +

a 2 – ( 5a + b – 6 ) ; 2a2 +

a 2 – ( 5a + b – 6 ) (2a – 5) – 10a – b), (a –

2a2 –

a 2 – ( 5a + b – 6 ) ;

a 2 – ( 5a + b – 6 ) (2a – 5) – 10a – b), если a2 – (5a + b – 6) >

> 0; (a; 2a2 – 10a – b), если a2 – (5a + b – 6) = 0; нет решений, 1

2

2

------------если a2 – (5a + b – 6) < 0. 23. y = – -----2- x + ----x 0 + 1, де x0 = b – 1 , x 0

592

Ответы, указания, решения

Г л а в а 9. Производная и ее применения § 50. Геометрические приложения производной

домов. 42. 4 2 м.
Найдите расстояние, при отором таненс ула обзора будет наибольшим (таненс — монотонная фунция своео арумента). 43. ( 4b 2 – 3a 2 – b) · 3–1/2.
Найдите расстояние, при отором таненс ула, образованноо точой останови автобуса и двумя противоположными сторонами фасада дворца, является наибольшим. Выразите этот уол в виде разности улов, под оторыми видны дальний и ближний (по отношению  шоссе) онцы фасада дворца. 44. α = arctg k; km F = --------------------2- . 1+k




5

7 5 1 y0 = --9- . 46.  --2- ; --4-  .  




Задача сводится  нахождению

точи C параболы, масимально удаленной от прямой BD. 47. Периметр треуольниа AMB равен 10 + 2 5 + 34 . Наименьший периметр достиается при условии, что точа M совпадает с началом оординат.
Рассмотрите точу, симметричную точе A относительно прямой y = x. 48. Точа M должна делить пополам отрезо прямой, залюченный между сторонами ула.
Исследуйте изменение площади треуольниа при изменении налона прямой, проходящей через точу M. 49. Две оставшиеся вершины получаются при пересечении сторон ула прямой, проходящей через точи, оторые являются симметричными образами точи M относительно сторон ула. 2π

a

-----50. 2R sin -----9 . 51. 4b

3b 2 – a 2 . 52. Длина стороны основания

равна 2 см, объем равен 4 см3. 53. Стороны прямоуольниа, R 2 5π ------имеющео наибольшую площадь, равны ----------2 . 54. 9 . 55. Smax =

=

α R2 tg ---

2.




1. ( 2 ; 2 –

Рассмотрите два случая: первый — две вершины

исомоо прямоуольниа лежат на одном из радиусов, образующих сетор; второй — по одной вершине лежат на радиусах и две на дуе сетора. Во втором случае разбейте сетор на два одинаовых сетора, тода задача сведется  первому случаю, рассмотренному для аждой половины отдельно.

2 ) и (– 2 ; 2 +

2 ). 2. y = 2. 3. y = – 3x +

15 π 3+3 1 1 - . 4. arctg 9; y = 9x – 23 --- . 5.  --- ; – ------  .
Координаты + --------------------32  2 4 2

точи асания определите из уравнения f ′(x) = k, де k — уловой оэффициент асательной. 6. (0; 2). 7. 2. 8. y = 8x + 4. 1

π

π

πn

9. x0 = arcsin ----------- + --4- . 10. πn; --8- + -----4 ; n Ý Z. 11. (8; 0); (0; 0). 4 2

Воспользуйтесь тем, что сумма сил в плосос-

ти движения должна быть равна нулю. 45. ρ = 2,4; x0 = --3- ,

593

21

19

-----12. (3; – 15); -----2 и 21; (–1; 9); 2 и 19.
Найдите уол, образуе-

мый исомой асательной с положительным направлением оси Ox. 13. a = 1.
Условие пересечения прямой и параболы равносильно существованию двух действительных орней соответствующео вадратноо уравнения; полусумма абсцисс этих орней по условию должна быть равна 2. 14. y = –3x – 4. 8 7 3π 15. y = x + 4, y = –x + 4. 17.  2; --3-  ;  3; --2-  . 18. -----4 .    

19.  Продифференцируем аждое уравнение, считая, что y — фунция от x. Имеем y + y′x = 0 и 2x – 2yy′ = 0. Выраy

x

зив y′ в аждом из уравнений, имеем y′ = – --x- , y′ = --y- соответственно. Следовательно, в любой точе M(x0; y0), являющейся точой пересечения ривых, произведение уловых оэффициентов асательных равно –1. 20.
Поажите, что произведение уловых оэффициентов в точах пересечения линий разных семейств равно –1.    c c c c  21.  --a- ; b --a- + 2c  ,  – --a- ; 2c – b --a-  при ac > 0; (0; 0) при     c = 0; нет решений при ac < 0. 22. (a + +

a 2 – ( 5a + b – 6 ) ; 2a2 +

a 2 – ( 5a + b – 6 ) (2a – 5) – 10a – b), (a –

2a2 –

a 2 – ( 5a + b – 6 ) ;

a 2 – ( 5a + b – 6 ) (2a – 5) – 10a – b), если a2 – (5a + b – 6) >

> 0; (a; 2a2 – 10a – b), если a2 – (5a + b – 6) = 0; нет решений, 1

2

2

------------если a2 – (5a + b – 6) < 0. 23. y = – -----2- x + ----x 0 + 1, де x0 = b – 1 , x 0

594

Ответы, указания, решения 1

a

если a = 0, b − 1; x0 = --2- , если a − 0, b = 1; x0 = -----------b – 1 , если a − 0, –1 ä 1 + a ( 1 – b )

1

Г л а в а 9. Производная и ее применения

центр олеса. Тода в силу независимости движений справедливы следующие заоны изменения абсциссы и ординаты воздя:

1

Таим образом, v0 v0 v0   ----------x′(t) = v0 – ----R R cos R t = v0  1 – cos R t  ,  

5

24. y = –x + --2- .
Условие пересечения двух линий y = f1(x) и y = f2(x) равносильно совместности системы уравнений y = f1(x), y = f2(x), решения оторой являются оординатами точе пере


1

= – --2- .




Геометричесое место точе, из оторых парабола вид-

на под прямым улом, представляет собой множество точе пересечения асательных  параболе, образующих прямой уол. 4 30. arctg  – --3-  . 31. Оружность x2 + y2 = a2 + b2.  




См. уаза-

1

ние  упр. 29. 37. При a = -----2e . 38. (0; 2). § 51. Приложения производной к задачам физики


1. –1,5 м/с (зна «минус» означает, что y(t) уменьшается). Если y(t) — заон движения верхнео онца, а x(t) — нижне-

о, то

x2

+

y2

hl = 25. 2. x(t) = – --------2- ; зна «минус» означает, что vt





v=

6. Сорость равна нулю.




При движении точи по оружv 2 sin 2 α

-. ности абсцисса изменяется по заону x = R cos ωt. 7. h = ----------------------2g


Изменение высоты подъема тела происходит по заону h(t) = gt 2

= v sin αt – -------2 , вертиальная составляющая сорости в точе

масимальноо подъема равна нулю. 8. 12 рад/с; олесо оста2t 3 – 6t 2 + 12t

-. новится через 2 с. 9. v(t) = -------------------------------------------4 3 2 t – 4t + 12t




Выразите расстоя-

ние между телами в момент t а третью сторону треуольниа, двумя друими сторонами отороо являются s1(t) и s2(t). 10. 40 м/ч. t +t

1 2 - предмету следует придать сорость 11. В момент t = ---------------2

v = v0 + at2. Заон движения предмета имеет вид at 2

v0t + -------2 ,

t m t1, 2

at 1

v0t + at1t – -------2 ,

Введем систему оординат та, чтобы

олесо атилось по оси Ox, а ось Oy при t = 0 проходила через

v0

v0

- t + 1 = 2v0 sin -------- t . ( x′ ) 2 + ( y′ ) 2 = v0 1 – 2 cos ----2R R

s(t) = 

v

Найдем сорость перемещения воздя в момент времени t:

тень уменьшается. 3. Убывает со соростью 0,4 см/с. 4. 15 см/с.
Момент встречи определите из условия x1(t) = x2(t).  v0  5. 2v0 sin  ------2R t  .

v

R

0 0 ----------y′(t) = --R v0 sin R t = v0 sin R t.

Исомым является уол

между асательными  оружности, проведенными через точу (8; 0). 27. (–0,4; 8,8), если точа M двиалась по оружности против часовой стрели; (6; 4), если точа M двиалась в противоположном направлении. 28. p = 2bk. 29. Прямая y =

0 y(t) = R – R cos ----R t.

x(t) = v0(t) – R sin ----R t,

1 1 a > 0, b > 1 + --a- ; a < 0, b < 1 + --a-  решений не существует. 

1  1 π --сечения. 25.  --8- ; -----16  . 26. ϕ = 3 . 

v

v0

, если a > 0, b − 1, b < 1 + --a- или b = 1 + --a- ; x0 = -------------------------------------------------1–b 1 если a < 0, b − 1, b > 1 + --a- . В остальных случаях  a = 0, b = 1; 

595

at

2

t +t

1 2 t1 < t m ---------------2 ,

t +t

2 1 2 ----------------- . v0t + at2t – -------2 , t> 2

594

Ответы, указания, решения 1

a

если a = 0, b − 1; x0 = --2- , если a − 0, b = 1; x0 = -----------b – 1 , если a − 0, –1 ä 1 + a ( 1 – b )

1

Г л а в а 9. Производная и ее применения

центр олеса. Тода в силу независимости движений справедливы следующие заоны изменения абсциссы и ординаты воздя:

1

Таим образом, v0 v0 v0   ----------x′(t) = v0 – ----R R cos R t = v0  1 – cos R t  ,  

5

24. y = –x + --2- .
Условие пересечения двух линий y = f1(x) и y = f2(x) равносильно совместности системы уравнений y = f1(x), y = f2(x), решения оторой являются оординатами точе пере


1

= – --2- .




Геометричесое место точе, из оторых парабола вид-

на под прямым улом, представляет собой множество точе пересечения асательных  параболе, образующих прямой уол. 4 30. arctg  – --3-  . 31. Оружность x2 + y2 = a2 + b2.  




См. уаза-

1

ние  упр. 29. 37. При a = -----2e . 38. (0; 2). § 51. Приложения производной к задачам физики


1. –1,5 м/с (зна «минус» означает, что y(t) уменьшается). Если y(t) — заон движения верхнео онца, а x(t) — нижне-

о, то

x2

+

y2

hl = 25. 2. x(t) = – --------2- ; зна «минус» означает, что vt





v=

6. Сорость равна нулю.




При движении точи по оружv 2 sin 2 α

-. ности абсцисса изменяется по заону x = R cos ωt. 7. h = ----------------------2g


Изменение высоты подъема тела происходит по заону h(t) = gt 2

= v sin αt – -------2 , вертиальная составляющая сорости в точе

масимальноо подъема равна нулю. 8. 12 рад/с; олесо оста2t 3 – 6t 2 + 12t

-. новится через 2 с. 9. v(t) = -------------------------------------------4 3 2 t – 4t + 12t




Выразите расстоя-

ние между телами в момент t а третью сторону треуольниа, двумя друими сторонами отороо являются s1(t) и s2(t). 10. 40 м/ч. t +t

1 2 - предмету следует придать сорость 11. В момент t = ---------------2

v = v0 + at2. Заон движения предмета имеет вид at 2

v0t + -------2 ,

t m t1, 2

at 1

v0t + at1t – -------2 ,

Введем систему оординат та, чтобы

олесо атилось по оси Ox, а ось Oy при t = 0 проходила через

v0

v0

- t + 1 = 2v0 sin -------- t . ( x′ ) 2 + ( y′ ) 2 = v0 1 – 2 cos ----2R R

s(t) = 

v

Найдем сорость перемещения воздя в момент времени t:

тень уменьшается. 3. Убывает со соростью 0,4 см/с. 4. 15 см/с.
Момент встречи определите из условия x1(t) = x2(t).  v0  5. 2v0 sin  ------2R t  .

v

R

0 0 ----------y′(t) = --R v0 sin R t = v0 sin R t.

Исомым является уол

между асательными  оружности, проведенными через точу (8; 0). 27. (–0,4; 8,8), если точа M двиалась по оружности против часовой стрели; (6; 4), если точа M двиалась в противоположном направлении. 28. p = 2bk. 29. Прямая y =

0 y(t) = R – R cos ----R t.

x(t) = v0(t) – R sin ----R t,

1 1 a > 0, b > 1 + --a- ; a < 0, b < 1 + --a-  решений не существует. 

1  1 π --сечения. 25.  --8- ; -----16  . 26. ϕ = 3 . 

v

v0

, если a > 0, b − 1, b < 1 + --a- или b = 1 + --a- ; x0 = -------------------------------------------------1–b 1 если a < 0, b − 1, b > 1 + --a- . В остальных случаях  a = 0, b = 1; 

595

at

2

t +t

1 2 t1 < t m ---------------2 ,

t +t

2 1 2 ----------------- . v0t + at2t – -------2 , t> 2

596

Ответы, указания, решения

 Отделившись от раеты в момент t1, предмет движется равномерно со соростью, оторой достила раета в уазанный момент. Затем в неоторый момент t предмет мновенно увеличивает свою сорость до величины v и снова движется равномерно до встречи с раетой в момент t2, причем в этот момент их сорости одинаовы. Следовательно, заон движения предмета вне раеты представляет собой ломаную линию, звеньями о-

at 2

торой являются асательные  параболе s(t) = v0t + -------2 в точ-

ах t1 и t2. Абсцисса t точи пересечения этих асательных — исомый момент времени. Сорость предмета в момент t совпадает со соростью в момент t2 и равна производной фунции s(t) в момент t2. Та а s′(t) = v0 + at, то уравнения асательных  параболе s(t) в точах t1 и t2 имеют вид s(t) = s(t1) + (v0 + at1) (t – t1), s(t) = s(t2) + (v0 + at2) (t – t2).

(*)

t +t

1 2 известных s и t, находим, что t = ---------------2 , и значит, заон дви-

жения предмета записывается в виде, уазанном в ответе. 2

t 1 – 2s 1 .




x 4. –8  1 – --2-   

Заон движения раеты после от-

лючения двиателей можно записать в виде уравнения асательной  ривой, являющейся рафиом заона движения.

1/2

8 x + --3-  1 – --2-   

( 1 + x ) 5/2

( 1 + x ) 3/2

6. -------------------------– -------------------------+ C. 5 3

.

( 1 + x )3







См. уазание  упр. 3.




См. уазание  упр. 3.

Представьте фунцию в виде

x2

1+x

- – ------------------ . 7. ------ – x + C. 8. t + ln |t| + C. f(x) = ------------------------2 2 2 12x 5/6

2

2

9. -----------------+ C. 10. – --3- x3/2 + 4x–1/2 + C. 11. 2x1/2 – --3- x3/2 + C. 5 x3

2 1/m + 3nx1/n + C. 12. –x + C. 13. x – ----3 + C. 14. x + x + C. 15. mx

2 ( 1 + x ) 3/2

16. x2 – x + C. 17. -----------------------------+ C. 18. 2x – 8 ln | x | + C. 19. x + 3 + 2 ln |x – 2| + C. 20.

6

1

1

-----2x + C. 21. – -----12 cos 12x – 10 cos 10x –

1

– --9- cos 9x – -----11 cos 11x + C.
Преобразуйте подынтеральное выражение  виду sin 12x + sin 10x + sin 9x + sin 11x и воспользуйтесь правилами интерирования (4) и (5) и формулой (9) 1

1

1

таблицы первообразных. 22. – --4- cos 4x + --5- cos 5x + --6- cos 6x – 1

1

1

– --7- cos 7x + C. 23. sin α – cos α + --3- sin 3α – --3- cos 3α + C. 1 1 1   --24. --4- x + -----32 sin 8x + C. 25. –  x + π cos 4x  + C. 26. – 2 × 1

1

x

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

× cos --2- + C. 27. – --2- cos 2x + C. 28. –2 cos x + C. 29. – --8- cos 8x + C.

§ 52. Неопределенный интеграл

30. – --8- cos 4x + C. 31. --2- x – --2- sin x + C. 32. --4- sin 2α – --2- α + C. 33. tg x – x + C. 34. –ctg x – x + C.

1

1

x 2

1. arcsin ------- – ln (x +

x 2 + 2 ) + C.




Разделите почленно

12

2

2

7/6 + C. 3. – --- (1 – x)3/2 + --- (1 – x)5/2 + C. и (18). 2. --5- x5/3 – -----5 3 7 x

Преобразуйте фунцию  виду f(x) = 1 – x – (1 – x) 1 – x . Для представления f(x) в таом виде удобно ввести переменную




t = 1 – x; тода f(x) = g(t(x)), де g(t) = (1 – t) t =

t – t t.

1

1

1

§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных

числитель на знаменатель и воспользуйтесь формулами (17) 3

3/2

1

1

597

5. – --4- (2x – 1)–1 + --8- (2x – 1)–2 + C.

1

Рассматривая (*) а систему уравнений относительно двух не-

12. t0 = t1 –

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

x2

1

--1. y = x3 + 1. 2. y = x2. 3. y = 5x – 1. 4. y = ----2 – 2 . 5. y = x3

7

x3

-------= ----3 + 3 и y = 3 + 1. 6. y = 3 ln x + 1. 7. s(t) = 2 – 0,25 cos 2t. 8. p l 2; тольо один раз пешеходы поравняются при p = 2.

596

Ответы, указания, решения

 Отделившись от раеты в момент t1, предмет движется равномерно со соростью, оторой достила раета в уазанный момент. Затем в неоторый момент t предмет мновенно увеличивает свою сорость до величины v и снова движется равномерно до встречи с раетой в момент t2, причем в этот момент их сорости одинаовы. Следовательно, заон движения предмета вне раеты представляет собой ломаную линию, звеньями о-

at 2

торой являются асательные  параболе s(t) = v0t + -------2 в точ-

ах t1 и t2. Абсцисса t точи пересечения этих асательных — исомый момент времени. Сорость предмета в момент t совпадает со соростью в момент t2 и равна производной фунции s(t) в момент t2. Та а s′(t) = v0 + at, то уравнения асательных  параболе s(t) в точах t1 и t2 имеют вид s(t) = s(t1) + (v0 + at1) (t – t1), s(t) = s(t2) + (v0 + at2) (t – t2).

(*)

t +t

1 2 известных s и t, находим, что t = ---------------2 , и значит, заон дви-

жения предмета записывается в виде, уазанном в ответе. 2

t 1 – 2s 1 .




x 4. –8  1 – --2-   

Заон движения раеты после от-

лючения двиателей можно записать в виде уравнения асательной  ривой, являющейся рафиом заона движения.

1/2

8 x + --3-  1 – --2-   

( 1 + x ) 5/2

( 1 + x ) 3/2

6. -------------------------– -------------------------+ C. 5 3

.

( 1 + x )3







См. уазание  упр. 3.




См. уазание  упр. 3.

Представьте фунцию в виде

x2

1+x

- – ------------------ . 7. ------ – x + C. 8. t + ln |t| + C. f(x) = ------------------------2 2 2 12x 5/6

2

2

9. -----------------+ C. 10. – --3- x3/2 + 4x–1/2 + C. 11. 2x1/2 – --3- x3/2 + C. 5 x3

2 1/m + 3nx1/n + C. 12. –x + C. 13. x – ----3 + C. 14. x + x + C. 15. mx

2 ( 1 + x ) 3/2

16. x2 – x + C. 17. -----------------------------+ C. 18. 2x – 8 ln | x | + C. 19. x + 3 + 2 ln |x – 2| + C. 20.

6

1

1

-----2x + C. 21. – -----12 cos 12x – 10 cos 10x –

1

– --9- cos 9x – -----11 cos 11x + C.
Преобразуйте подынтеральное выражение  виду sin 12x + sin 10x + sin 9x + sin 11x и воспользуйтесь правилами интерирования (4) и (5) и формулой (9) 1

1

1

таблицы первообразных. 22. – --4- cos 4x + --5- cos 5x + --6- cos 6x – 1

1

1

– --7- cos 7x + C. 23. sin α – cos α + --3- sin 3α – --3- cos 3α + C. 1 1 1   --24. --4- x + -----32 sin 8x + C. 25. –  x + π cos 4x  + C. 26. – 2 × 1

1

x

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

× cos --2- + C. 27. – --2- cos 2x + C. 28. –2 cos x + C. 29. – --8- cos 8x + C.

§ 52. Неопределенный интеграл

30. – --8- cos 4x + C. 31. --2- x – --2- sin x + C. 32. --4- sin 2α – --2- α + C. 33. tg x – x + C. 34. –ctg x – x + C.

1

1

x 2

1. arcsin ------- – ln (x +

x 2 + 2 ) + C.




Разделите почленно

12

2

2

7/6 + C. 3. – --- (1 – x)3/2 + --- (1 – x)5/2 + C. и (18). 2. --5- x5/3 – -----5 3 7 x

Преобразуйте фунцию  виду f(x) = 1 – x – (1 – x) 1 – x . Для представления f(x) в таом виде удобно ввести переменную




t = 1 – x; тода f(x) = g(t(x)), де g(t) = (1 – t) t =

t – t t.

1

1

1

§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных

числитель на знаменатель и воспользуйтесь формулами (17) 3

3/2

1

1

597

5. – --4- (2x – 1)–1 + --8- (2x – 1)–2 + C.

1

Рассматривая (*) а систему уравнений относительно двух не-

12. t0 = t1 –

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

x2

1

--1. y = x3 + 1. 2. y = x2. 3. y = 5x – 1. 4. y = ----2 – 2 . 5. y = x3

7

x3

-------= ----3 + 3 и y = 3 + 1. 6. y = 3 ln x + 1. 7. s(t) = 2 – 0,25 cos 2t. 8. p l 2; тольо один раз пешеходы поравняются при p = 2.

598

Ответы, указания, решения

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

§ 54. Определенный интеграл

§ 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интегралов

2

1

1. 8. 2. 1,5 – 0,5 ln 2. 3. --2- . 4. 0. 5. 8. 6. –2 --3- . замену t = 2 – 3 3/2 – 2 3/2 – 1 -. 8. -------------------------------------3

73 x --- . 7. –1 ---------- . 135 2




Сделайте

См. уазание  упр. 6.




1 2 1. (–×; –2) Ÿ  --2- ; 3  . 2. (2; 3). 3. [4; +×). 4. A = – --π- ; B = 2. – 1 + 8π + 1

. 7. Через 6 с. 10. Да. 11. A = 7; 2π ; ------------------------------------2

5. a = 1. 6.


Избавьтесь от иррациональности в знаменате-

3 1 π–2 46 45 -------------------------ле. 9. -----4 . 10. 15 . 11. 4 . 12. ln 2 – 0,5. 13. 8 . 14. 3 . 15. 2

π

7π

2. § 57. Вычисление площадей фигур

4

1 343 4 1 9  -----------------  --1. --3- . 2. 9. 3. --------3 . 4. 3 + ln 2. 5. 3  1 – 4 ln 2  . 6. 2 .

4

21. 2,5 + ln 2,5. 22. 4 ln --3- . 23. 2 2 . 24. 3 2 – 1.

-----------7. 12 – 5 ln 5. 8. -----4 – ln 2. 9. 3 . 10. 1. 11. 4 – ln 2 . 12. 7 ln 3.

§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом

2. 3. 4.

max

max

x Ý [–1; 3]

max

x Ý [0; 4]

F(x) = F(–1) = 6,

F(x)

max

π F(x) = F  --2-  = 1,

x Ý [–1/2; 1/2]

=

F(4) =

min

x Ý [0; π/2]

min

x Ý [–1; 3]

16 ------ , 3

min

1 3 F(x) = F  --2-  = – --8- ,  

F(x) = F(0) = 0.

F(x)

min

x Ý [–1/2; 1/2]

=

F(0) =

19

9

13. --2- . 14. -----3

F(x) = F(2,5) = –6,25.

x Ý [0; 4]

0.

8

1

53

8

1

π

------19. 15 – 16 ln 2. 20. -----15 . 21. 2 – 3 . 22. 9 – 8 ln 2. 23. 9 . 3

пользуйтесь формулой (3). 24. --8- πr2.







Вос-

Область интерирования

разбейте на две области, оординаты точи деления найдите а решение системы

1 F(x) = F  – --2-  =  

x2 + y2 = r2, x – y = 0, y l 0.

5

1 5x 2 1 6 36  x3 ------------------7.  --5- ; -----25  . 8. 3 – 2 + 6x. 9. y = x – 4 ; y = x + 4 . 10. s(t) = 

19

3

---------– -------------4 ln 2 . 15. ln 2. 16. 24 . 17. 2 ln 2. 18. 3 .

= – --8- . 5. y = 2 – x; y = x – 3. 6. Кривые совпадают, x Ý R.

2t 3 2 = -------3 . 11. A(x) = 25x + 100x.

3

8

15

x Ý [0; π/2]

π

1

11π

3π

----- ------- ---------B = –6; C = 3. 12. --2- ; -----6 ; 2 ; 6 . 13. 2 ; 2. 14. –π; – 3 ; 0.

--- 3/2 – 23/2). 16. 2. 17. 1. 18. 2 – -----2 . 19. 2 2 . 20. 2 2 + 3 (3

1.

599

π

25. 1 – --4- .




Воспользуйтесь тем, что max {x; y} = 1 — точи,

составляющие две смежные стороны единичноо вадрата, 1

Заон изменения силы F а

вписанноо в уол первой оординатной четверти. 26. --3- .

фунции расстояния x имеет вид F(x) = ax + b, де параметры a и b найдите из условий задачи. Работа переменной силы представляет собой ту ее первообразную, оторая обращается

27. --2- – 1. 28. 1. 29. πab.
Выразите y через x при y > 0 и x > 0,

10 2 5 в нуль при x = 0. 12. s(t) = --- t2 – t. 13. s(t) = --3- t2 + -----3 t. 4

для




π

a

вычисления

определенноо

интерала

2

4∫ b 1 – x -----2- dx = 0

a

598

Ответы, указания, решения

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

§ 54. Определенный интеграл

§ 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интегралов

2

1

1. 8. 2. 1,5 – 0,5 ln 2. 3. --2- . 4. 0. 5. 8. 6. –2 --3- . замену t = 2 – 3 3/2 – 2 3/2 – 1 -. 8. -------------------------------------3

73 x --- . 7. –1 ---------- . 135 2




Сделайте

См. уазание  упр. 6.




1 2 1. (–×; –2) Ÿ  --2- ; 3  . 2. (2; 3). 3. [4; +×). 4. A = – --π- ; B = 2. – 1 + 8π + 1

. 7. Через 6 с. 10. Да. 11. A = 7; 2π ; ------------------------------------2

5. a = 1. 6.


Избавьтесь от иррациональности в знаменате-

3 1 π–2 46 45 -------------------------ле. 9. -----4 . 10. 15 . 11. 4 . 12. ln 2 – 0,5. 13. 8 . 14. 3 . 15. 2

π

7π

2. § 57. Вычисление площадей фигур

4

1 343 4 1 9  -----------------  --1. --3- . 2. 9. 3. --------3 . 4. 3 + ln 2. 5. 3  1 – 4 ln 2  . 6. 2 .

4

21. 2,5 + ln 2,5. 22. 4 ln --3- . 23. 2 2 . 24. 3 2 – 1.

-----------7. 12 – 5 ln 5. 8. -----4 – ln 2. 9. 3 . 10. 1. 11. 4 – ln 2 . 12. 7 ln 3.

§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом

2. 3. 4.

max

max

x Ý [–1; 3]

max

x Ý [0; 4]

F(x) = F(–1) = 6,

F(x)

max

π F(x) = F  --2-  = 1,

x Ý [–1/2; 1/2]

=

F(4) =

min

x Ý [0; π/2]

min

x Ý [–1; 3]

16 ------ , 3

min

1 3 F(x) = F  --2-  = – --8- ,  

F(x) = F(0) = 0.

F(x)

min

x Ý [–1/2; 1/2]

=

F(0) =

19

9

13. --2- . 14. -----3

F(x) = F(2,5) = –6,25.

x Ý [0; 4]

0.

8

1

53

8

1

π

------19. 15 – 16 ln 2. 20. -----15 . 21. 2 – 3 . 22. 9 – 8 ln 2. 23. 9 . 3

пользуйтесь формулой (3). 24. --8- πr2.







Вос-

Область интерирования

разбейте на две области, оординаты точи деления найдите а решение системы

1 F(x) = F  – --2-  =  

x2 + y2 = r2, x – y = 0, y l 0.

5

1 5x 2 1 6 36  x3 ------------------7.  --5- ; -----25  . 8. 3 – 2 + 6x. 9. y = x – 4 ; y = x + 4 . 10. s(t) = 

19

3

---------– -------------4 ln 2 . 15. ln 2. 16. 24 . 17. 2 ln 2. 18. 3 .

= – --8- . 5. y = 2 – x; y = x – 3. 6. Кривые совпадают, x Ý R.

2t 3 2 = -------3 . 11. A(x) = 25x + 100x.

3

8

15

x Ý [0; π/2]

π

1

11π

3π

----- ------- ---------B = –6; C = 3. 12. --2- ; -----6 ; 2 ; 6 . 13. 2 ; 2. 14. –π; – 3 ; 0.

--- 3/2 – 23/2). 16. 2. 17. 1. 18. 2 – -----2 . 19. 2 2 . 20. 2 2 + 3 (3

1.

599

π

25. 1 – --4- .




Воспользуйтесь тем, что max {x; y} = 1 — точи,

составляющие две смежные стороны единичноо вадрата, 1

Заон изменения силы F а

вписанноо в уол первой оординатной четверти. 26. --3- .

фунции расстояния x имеет вид F(x) = ax + b, де параметры a и b найдите из условий задачи. Работа переменной силы представляет собой ту ее первообразную, оторая обращается

27. --2- – 1. 28. 1. 29. πab.
Выразите y через x при y > 0 и x > 0,

10 2 5 в нуль при x = 0. 12. s(t) = --- t2 – t. 13. s(t) = --3- t2 + -----3 t. 4

для




π

a

вычисления

определенноо

интерала

2

4∫ b 1 – x -----2- dx = 0

a

600

Ответы, указания, решения

4b = -----a

a

a

∫

a2

–

x2

dx воспользуйтесь тем, что

0

∫

a2

–

x2

dx есть

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

щадь вадрата S равна l2, а площадь, отсеаемая параболой, определяется формулой

0

четверть площади руа с радиусом a. 30. π. ный вадрат по переменной x. 4

31. --3- .






S=

∫

2x2 dx

+

0

= --------3

0

Ита, парабола рассеает вадрат на две части, площади оторых относятся а 1 : 2. S

3π – 8

п ----------------— площадь, отсеаемая параболой 37. -----S = 3π , де Sп

упр. 36). 38. --3- .
Параметр a в уравнении параболы найдите из

32. 9. 33. ln 2 – --8- . 34. --4- .

1




2

2

2

=

Разбейте фиуру на две риво-

линейные трапеции; абсциссой точи деления является абс45 цисса точи пересечения асательных. 35. -----4 .

36. Парабола рассеает вадрат на две части, площади оторых относятся а 1:2.  Выберем систему оординат та, чтобы вершина параболы совпала с точой (0; 0) и ось Oy являлась осью симметрии. Тода уравнение параболы примет вид y = = ax2. Обозначим длину стороны вадрата, середина основания отороо совпадает с началом оординат, через l; тода точа  --l- ; l  — правая верхняя вершина вадрата, лежащая на пара2  2

l2

= ---3.

∫ (2x2 – 8x + 8) dx =

  2x 3 2 +  --------3 – 4x + 8x   

9

l/2

8 x3 4 2 --- x dx = --- · -----l l 3 0

2

2 2 16 4 = --3- +  -----– 16 + 16 – --3- + 4 – 8  = --3- .  3  5

∫

от полуруа.
Выберите систему оординат та, чтобы вершина параболы совпала с началом оординат, а ось Oy была осью симметрии параболы. Тода уравнение параболы примет вид y = ax2, а уравнение оружности — вид (y – R)2 + x2 = R2. Связь между a и R установите из условий задачи (см. решение

1

1 2x 3

Sп = 2

0

с абсциссой 2 имеет вид y – 8 = 8(x – 2), та а y(2) = 8, y′(2) = 8. Точу пересечения асательной и оси абсцисс найдем из уравнения 8x – 8 = 0 _ x = 1. Область интерирования разобьем на два промежута: [0; 1] и [1; 2], причем промежуту [0; 1] соответствует площадь фиуры, залюченной между линиями y = 2x2 и y = 0 (осью абсцисс), а промежуту [1; 2] — между линиями y = 2x2 и y = 8x – 8. Таим образом, 1

l/2

Выделите пол-

Уравнение асательной  ривой y = 2x2 в точе

601

l 4 боле, т. е. l = a  --2-  . Из этоо уравнения получаем a = --l- . Пло 

условия f ′(–5) = tg (π – arctg 20). 39. a = 8; a = --5- (6 –


21 ).

Рассмотрите два случая: a > 2 и a < 2. Во втором случае учти1

1

----------------те, что при переходе через точу x = 1 зна разности --x- – 2x –1 9  1  -  . 41. S = b при a = меняется. 40. a = --4-  1 – ------3 4   8 ча имеет решение при b Ý  0; --3-  .  




8 ------ – 1 ; зада3b

Чтобы выразить a а

фунцию от b, разрешите относительно a уравнение, правая часть отороо равна b, а левая представляет собой площадь уазанной в условии фиуры. Значение b, при отором задача имеет решение, найдите из условия a(b) > 0, де a(b) — π

π

исомая фунция. 42. a = – --6- ; a = --3- .




Учтите, что исомое π

значение a может быть а больше, та и меньше --6- ; во втоπ/6

ром случае площадь вычисляется по формуле S =

∫ a

|sin 2x| dx.

600

Ответы, указания, решения

4b = -----a

a

a

∫

a2

–

x2

dx воспользуйтесь тем, что

0

∫

a2

–

x2

dx есть

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

щадь вадрата S равна l2, а площадь, отсеаемая параболой, определяется формулой

0

четверть площади руа с радиусом a. 30. π. ный вадрат по переменной x. 4

31. --3- .






S=

∫

2x2 dx

+

0

= --------3

0

Ита, парабола рассеает вадрат на две части, площади оторых относятся а 1 : 2. S

3π – 8

п ----------------— площадь, отсеаемая параболой 37. -----S = 3π , де Sп

упр. 36). 38. --3- .
Параметр a в уравнении параболы найдите из

32. 9. 33. ln 2 – --8- . 34. --4- .

1




2

2

2

=

Разбейте фиуру на две риво-

линейные трапеции; абсциссой точи деления является абс45 цисса точи пересечения асательных. 35. -----4 .

36. Парабола рассеает вадрат на две части, площади оторых относятся а 1:2.  Выберем систему оординат та, чтобы вершина параболы совпала с точой (0; 0) и ось Oy являлась осью симметрии. Тода уравнение параболы примет вид y = = ax2. Обозначим длину стороны вадрата, середина основания отороо совпадает с началом оординат, через l; тода точа  --l- ; l  — правая верхняя вершина вадрата, лежащая на пара2  2

l2

= ---3.

∫ (2x2 – 8x + 8) dx =

  2x 3 2 +  --------3 – 4x + 8x   

9

l/2

8 x3 4 2 --- x dx = --- · -----l l 3 0

2

2 2 16 4 = --3- +  -----– 16 + 16 – --3- + 4 – 8  = --3- .  3  5

∫

от полуруа.
Выберите систему оординат та, чтобы вершина параболы совпала с началом оординат, а ось Oy была осью симметрии параболы. Тода уравнение параболы примет вид y = ax2, а уравнение оружности — вид (y – R)2 + x2 = R2. Связь между a и R установите из условий задачи (см. решение

1

1 2x 3

Sп = 2

0

с абсциссой 2 имеет вид y – 8 = 8(x – 2), та а y(2) = 8, y′(2) = 8. Точу пересечения асательной и оси абсцисс найдем из уравнения 8x – 8 = 0 _ x = 1. Область интерирования разобьем на два промежута: [0; 1] и [1; 2], причем промежуту [0; 1] соответствует площадь фиуры, залюченной между линиями y = 2x2 и y = 0 (осью абсцисс), а промежуту [1; 2] — между линиями y = 2x2 и y = 8x – 8. Таим образом, 1

l/2

Выделите пол-

Уравнение асательной  ривой y = 2x2 в точе

601

l 4 боле, т. е. l = a  --2-  . Из этоо уравнения получаем a = --l- . Пло 

условия f ′(–5) = tg (π – arctg 20). 39. a = 8; a = --5- (6 –


21 ).

Рассмотрите два случая: a > 2 и a < 2. Во втором случае учти1

1

----------------те, что при переходе через точу x = 1 зна разности --x- – 2x –1 9  1  -  . 41. S = b при a = меняется. 40. a = --4-  1 – ------3 4   8 ча имеет решение при b Ý  0; --3-  .  




8 ------ – 1 ; зада3b

Чтобы выразить a а

фунцию от b, разрешите относительно a уравнение, правая часть отороо равна b, а левая представляет собой площадь уазанной в условии фиуры. Значение b, при отором задача имеет решение, найдите из условия a(b) > 0, де a(b) — π

π

исомая фунция. 42. a = – --6- ; a = --3- .




Учтите, что исомое π

значение a может быть а больше, та и меньше --6- ; во втоπ/6

ром случае площадь вычисляется по формуле S =

∫ a

|sin 2x| dx.

602

Ответы, указания, решения

16 4 43. b = ---------2- – 1; a Ý  0; --3-  .   9a

 2  x – arcsin  1 – -----4   

=

зуйте формулу




См. уазание  упр. 37. 44. y =

4 2 ------------------------------ + ------4 2(4 – 2)

1 + cos 2x =

8 2–2.




Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

603

де F(x) — неоторая первообразная для f(x). Приведя в равенстве (*) подобные члены, имеем S(a) = f(a)(2a – 1) – 2F(a) + F(0) + F(1).

Исполь-

Дифференцируя S(a) по a и учитывая, что F ′(a) = f(a), получаем уравнение для нахождения ритичесих точе:

2 |cos x|.

S ′(a) = f ′(a) (2a – 1) + 2f(a) – 2f(a) = 0.

§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей фигур

(**)

3 . 3. a = 1. 4. S(–1) = --------6 , min S(k) =

Та а по условию f(a) монотонна, то f ′(a) − 0 на промежуте [0; 1], и, следовательно, уравнение (**) имеет единственный о-

Пределы интерирования найдите а орни x1(k)

рень a = --2- . Если a > --2- , то S ′(a) > 0 и S(a) возрастает, а если

и x2(k) уравнения x2 + 2x – 3 = kx + 1. Учтите, что на промежуте [x1(k); x2(k)] вседа выполнено неравенство y2(x) m y1(x).

a < --2- , то S ′(a) < 0 и S(a) убывает. Ита, при a = --2- фунция

3

1. a = --4- . 2. a = 32 = S(2) = -----3 .

5.




4

125

kÝR

4 S(x0) = S  --5-  =   x0 Ý [1/2; 1]

min

13 5 48 3 --- ------  4 25 . 6.  2 ; 4  .

3 --- ------




Воспользуй-

f x (x) — уравнение асательной  ривой y = x2 + 1 в точе 0

с абсциссой x0 Ý [1; 2], 7. a = –1.
Воспользуйтесь тем, что между двумя последовательными эстремумами фунция f(x) = = x3 + 3x2 + x + a монотонна. Дальнейшее решение задачи может быть основано на следующем утверждении. Площадь фиуры, ораниченной прямыми x = c, x = b, b > c, рафиом дифференцируемой монотонной фунции f(x) и прямой y = f(a), де a Ý [c; d], достиает наименьшео значения b+c  - . тода, ода y = f  ----------- 2 

1

S(a) достиает минимальноо значения. 8. При a = 1 площадь принимает наибольшее, а при a = = --2- — наименьшее значение. 2

зании  упр. 7. 9. a = --3- .







Используйте утверждение в уа-

Используйте утверждение в уаза-

1

нии  упр. 7. 10. При a = --2- площадь имеет наименьшее, а при a = 0 — наибольшее значение.
См. утверждение в уазании  упр. 7. 11. a = 0.
См. утверждение в уазании  упр. 7. § 59. Вычисление объемов тел 3π

1. 2π. 2. -----10 .

Для простоты доажем это утверждение в случае, ода c = 0, b = 1 и f(b) = 1. При фисированном значении a площадь выражается в виде следующей фунции:




Рассмотрите разность объемов тел, получен-

ных при вращении ривых y =

π

x и y = x2. 3. --4-

e 2b – e 2a ----------------------- + 2

1

a

∫

1

1

a+b

тесь тем, что S = h -----------2 , де h = 1, a = f x 0 (1), b = f x 0 (2),

S(a) =

1

1

[f(a) – f(x)] dx +

0

= [f(a)x – F(x)]

∫ [f(x) – f(a)] dx =

e –2a – e – 2b

a a 0

+ F(x)

1 a

– f(a)x

1 a

=

= f(a)a – F(a) + F(0) + F(1) – F(a) – f(a) + f(a)a,

8π

- + 2(b – a) . 4. ------- .
Перейдите  фунциям x (y) = + ---------------------------1 2 3

(*)

= 1 + 1 – y , x2(y) = 1 – 1 – y и рассмотрите объем исомоо тела а разность объемов двух тел, полученных вращением

602

Ответы, указания, решения

16 4 43. b = ---------2- – 1; a Ý  0; --3-  .   9a

 2  x – arcsin  1 – -----4   

=

зуйте формулу




См. уазание  упр. 37. 44. y =

4 2 ------------------------------ + ------4 2(4 – 2)

1 + cos 2x =

8 2–2.




Г л а в а 10. Первообразная и интеграл

603

де F(x) — неоторая первообразная для f(x). Приведя в равенстве (*) подобные члены, имеем S(a) = f(a)(2a – 1) – 2F(a) + F(0) + F(1).

Исполь-

Дифференцируя S(a) по a и учитывая, что F ′(a) = f(a), получаем уравнение для нахождения ритичесих точе:

2 |cos x|.

S ′(a) = f ′(a) (2a – 1) + 2f(a) – 2f(a) = 0.

§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей фигур

(**)

3 . 3. a = 1. 4. S(–1) = --------6 , min S(k) =

Та а по условию f(a) монотонна, то f ′(a) − 0 на промежуте [0; 1], и, следовательно, уравнение (**) имеет единственный о-

Пределы интерирования найдите а орни x1(k)

рень a = --2- . Если a > --2- , то S ′(a) > 0 и S(a) возрастает, а если

и x2(k) уравнения x2 + 2x – 3 = kx + 1. Учтите, что на промежуте [x1(k); x2(k)] вседа выполнено неравенство y2(x) m y1(x).

a < --2- , то S ′(a) < 0 и S(a) убывает. Ита, при a = --2- фунция

3

1. a = --4- . 2. a = 32 = S(2) = -----3 .

5.




4

125

kÝR

4 S(x0) = S  --5-  =   x0 Ý [1/2; 1]

min

13 5 48 3 --- ------  4 25 . 6.  2 ; 4  .

3 --- ------




Воспользуй-

f x (x) — уравнение асательной  ривой y = x2 + 1 в точе 0

с абсциссой x0 Ý [1; 2], 7. a = –1.
Воспользуйтесь тем, что между двумя последовательными эстремумами фунция f(x) = = x3 + 3x2 + x + a монотонна. Дальнейшее решение задачи может быть основано на следующем утверждении. Площадь фиуры, ораниченной прямыми x = c, x = b, b > c, рафиом дифференцируемой монотонной фунции f(x) и прямой y = f(a), де a Ý [c; d], достиает наименьшео значения b+c  - . тода, ода y = f  ----------- 2 

1

S(a) достиает минимальноо значения. 8. При a = 1 площадь принимает наибольшее, а при a = = --2- — наименьшее значение. 2

зании  упр. 7. 9. a = --3- .







Используйте утверждение в уа-

Используйте утверждение в уаза-

1

нии  упр. 7. 10. При a = --2- площадь имеет наименьшее, а при a = 0 — наибольшее значение.
См. утверждение в уазании  упр. 7. 11. a = 0.
См. утверждение в уазании  упр. 7. § 59. Вычисление объемов тел 3π

1. 2π. 2. -----10 .

Для простоты доажем это утверждение в случае, ода c = 0, b = 1 и f(b) = 1. При фисированном значении a площадь выражается в виде следующей фунции:




Рассмотрите разность объемов тел, получен-

ных при вращении ривых y =

π

x и y = x2. 3. --4-

e 2b – e 2a ----------------------- + 2

1

a

∫

1

1

a+b

тесь тем, что S = h -----------2 , де h = 1, a = f x 0 (1), b = f x 0 (2),

S(a) =

1

1

[f(a) – f(x)] dx +

0

= [f(a)x – F(x)]

∫ [f(x) – f(a)] dx =

e –2a – e – 2b

a a 0

+ F(x)

1 a

– f(a)x

1 a

=

= f(a)a – F(a) + F(0) + F(1) – F(a) – f(a) + f(a)a,

8π

- + 2(b – a) . 4. ------- .
Перейдите  фунциям x (y) = + ---------------------------1 2 3

(*)

= 1 + 1 – y , x2(y) = 1 – 1 – y и рассмотрите объем исомоо тела а разность объемов двух тел, полученных вращением

604

Ответы, указания, решения

вору оси Oy фиур, ораниченных ривыми x1(y) и x2(y). π2 5. ----4 .




Исомый объем равен объему тела, образованноо вра-

щением вору оси Ox риволинейной трапеции, ораниченной π

3π

линиями y = sin x, y = 0, x = 0, x = --2- . 6. -----2 .




См. уазание

 упр. 5. § 60. Приложения определенного интеграла к задачам физики 1. a = 18. 2. 288 м.
Воспользуйтесь тем, что в моменты начала движения и останови сорость тела равна нулю. t2,

14 если 0 m t < 3, 5. -----15 Дж.
Исполь6t + 9, если t l 3. зуйте формулу F(x) = kx2, де k определите из условия задачи. 6. 33,75 Дж.
Используйте формулу F(x) = kx, де k определите из условия задачи.

3. 216 м. 4. s(t) =

Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений

605

течения — 3 м/ч. 22. 6 м/ч и 21 м/ч; 45 м. 23. 63 м/ч. 24. 20 м/ч и 80 м/ч. 25. Сорости пешехода, велосипедиста и верховоо — 6 м/ч, 9 м/ч, 12 м/ч соответственно; расстояние — 42 м. 26. 30 м/ч и 20 м/ч; 30 м. 27. 480 м. 28. 2 мин. 29. 15 м. 30. 3 м/ч и 45 м/ч. 31. 3 м/ч и 45 м/ч. 3

----------------- . 34. 50 м/ч. 32. 6 м/ч. 33. 3u +v




Учтите, что сорость

встречноо поезда относительно наблюдателя, находящеося в одном из них, равна сумме соростей поездов относительно неподвижноо наблюдателя. 35. 108 м/ч. 36. 28 м; 20 м/ч. 37. 11 ч 55 мин. 38. 7 м/ч. 39. Пассажирсий — 21 ч, товарный — 28 ч. 40. 15 ч и 12 ч. 41. За 6 ч и 4 ч. 42. Со9

рость первоо автомобиля в --8- раза больше, чем сорость вто10

20

-----роо. 43. 16 ч. 44. В 4 раза. 45. -----3 ч и 3 ч. 46. Через 4 ч.

47. 1 : 2 и 1 : 3. 48. Не успеют. 49. Длина оружности переднео олеса — 2 м, заднео — 3 м. 50. 90 м/ч, 75 м/ч, 60 м/ч. 51. 117 м; 24 м/ч и 22,5 м/ч. 52. За

и

11t --------- ч. 5

Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений

53. 4 m v m --------------------(м/ч). 54. Со соростью, большей чем 3

§ 61. Задачи на движение

s + vt + ( s – vt ) 2 + 4tvl ---------------------------------------------------------------------- м/ч. 55. Хватит. 56. 2 m v < 6 (м/ч). 2t

8 + 61

17 1. 32,5 м/ч. 2. В -----3 раза. 3. 60 м/ч. 4. 8 м/с. 5. 3 × 4 м. s

6. 12 м/ч и 10,5 м/ч. 7. 6 ч и 2 ч. 8. ----4t (3 – s ------ ( 5 4t

13t --------- ч 4

5 ) м/ч и

– 1) м/ч. 9. 30 м/ч. 10. 20 м/ч и 60 м/ч.

3s – v + 9s 2 + 2sv + v 2 - м/ч. 14. В 14 ч. 11. 56 м. 12. 1 м/ч. 13. ------------------------------------------------------------------2

57. 5 < v < 10 (м/ч). 58. Деревня от шоссе дальше, чем шоπR

1

1

------------ла от реи. 59. 4 с и 6 с. 60. -----80 и 90 . 61. 4 и 6. 62. T ×

  – a + a 2 + 240at 1 4T - ä 1  м/с. 63. -------------------------------------------------- · s (м). 64. 1 ------ часа ×  1 + ------120t 11 t   ночи.




ωм

Воспользуйтесь тем, что -----ω ч = 12, де ω м и ω ч — уло-

та и велосипедиста соответственно. 18. 100 м/ч. 19. 100 м/ч.

вая сорость движения минутной и часовой стрели соответственно. 65. На 0,5 мин. 66. d 11 м. 67. 9 м/ч. 68. За 3 мин. 69. За 15 мин. 70. 21 м. 71. Через 7 с после начала падения первоо тела. 72. Через 16 с. 73. На 60°. 74. Через 10 с. 75. v0 = 20 м/с. 76. Через 5 с; за 0,5 м до линии поля. 77. 20 м.

20. 9 +

78. 20 м/ч.

15. 60 м/ч. 16. 48 м/ч. 17. 50 м и 150 м. 1




Введите неиз-

1

вестные ω 1 = v------ и ω 2 = v------ , де v1 и v2 — сорость мотоцилис1 2 11 м/ч. 21. Сорости пароходов — 15 м/ч, сорость

79. Второй

автомобиль

остановился

раньше;

604

Ответы, указания, решения

вору оси Oy фиур, ораниченных ривыми x1(y) и x2(y). π2 5. ----4 .




Исомый объем равен объему тела, образованноо вра-

щением вору оси Ox риволинейной трапеции, ораниченной π

3π

линиями y = sin x, y = 0, x = 0, x = --2- . 6. -----2 .




См. уазание

 упр. 5. § 60. Приложения определенного интеграла к задачам физики 1. a = 18. 2. 288 м.
Воспользуйтесь тем, что в моменты начала движения и останови сорость тела равна нулю. t2,

14 если 0 m t < 3, 5. -----15 Дж.
Исполь6t + 9, если t l 3. зуйте формулу F(x) = kx2, де k определите из условия задачи. 6. 33,75 Дж.
Используйте формулу F(x) = kx, де k определите из условия задачи.

3. 216 м. 4. s(t) =

Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений

605

течения — 3 м/ч. 22. 6 м/ч и 21 м/ч; 45 м. 23. 63 м/ч. 24. 20 м/ч и 80 м/ч. 25. Сорости пешехода, велосипедиста и верховоо — 6 м/ч, 9 м/ч, 12 м/ч соответственно; расстояние — 42 м. 26. 30 м/ч и 20 м/ч; 30 м. 27. 480 м. 28. 2 мин. 29. 15 м. 30. 3 м/ч и 45 м/ч. 31. 3 м/ч и 45 м/ч. 3

----------------- . 34. 50 м/ч. 32. 6 м/ч. 33. 3u +v




Учтите, что сорость

встречноо поезда относительно наблюдателя, находящеося в одном из них, равна сумме соростей поездов относительно неподвижноо наблюдателя. 35. 108 м/ч. 36. 28 м; 20 м/ч. 37. 11 ч 55 мин. 38. 7 м/ч. 39. Пассажирсий — 21 ч, товарный — 28 ч. 40. 15 ч и 12 ч. 41. За 6 ч и 4 ч. 42. Со9

рость первоо автомобиля в --8- раза больше, чем сорость вто10

20

-----роо. 43. 16 ч. 44. В 4 раза. 45. -----3 ч и 3 ч. 46. Через 4 ч.

47. 1 : 2 и 1 : 3. 48. Не успеют. 49. Длина оружности переднео олеса — 2 м, заднео — 3 м. 50. 90 м/ч, 75 м/ч, 60 м/ч. 51. 117 м; 24 м/ч и 22,5 м/ч. 52. За

и

11t --------- ч. 5

Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений

53. 4 m v m --------------------(м/ч). 54. Со соростью, большей чем 3

§ 61. Задачи на движение

s + vt + ( s – vt ) 2 + 4tvl ---------------------------------------------------------------------- м/ч. 55. Хватит. 56. 2 m v < 6 (м/ч). 2t

8 + 61

17 1. 32,5 м/ч. 2. В -----3 раза. 3. 60 м/ч. 4. 8 м/с. 5. 3 × 4 м. s

6. 12 м/ч и 10,5 м/ч. 7. 6 ч и 2 ч. 8. ----4t (3 – s ------ ( 5 4t

13t --------- ч 4

5 ) м/ч и

– 1) м/ч. 9. 30 м/ч. 10. 20 м/ч и 60 м/ч.

3s – v + 9s 2 + 2sv + v 2 - м/ч. 14. В 14 ч. 11. 56 м. 12. 1 м/ч. 13. ------------------------------------------------------------------2

57. 5 < v < 10 (м/ч). 58. Деревня от шоссе дальше, чем шоπR

1

1

------------ла от реи. 59. 4 с и 6 с. 60. -----80 и 90 . 61. 4 и 6. 62. T ×

  – a + a 2 + 240at 1 4T - ä 1  м/с. 63. -------------------------------------------------- · s (м). 64. 1 ------ часа ×  1 + ------120t 11 t   ночи.




ωм

Воспользуйтесь тем, что -----ω ч = 12, де ω м и ω ч — уло-

та и велосипедиста соответственно. 18. 100 м/ч. 19. 100 м/ч.

вая сорость движения минутной и часовой стрели соответственно. 65. На 0,5 мин. 66. d 11 м. 67. 9 м/ч. 68. За 3 мин. 69. За 15 мин. 70. 21 м. 71. Через 7 с после начала падения первоо тела. 72. Через 16 с. 73. На 60°. 74. Через 10 с. 75. v0 = 20 м/с. 76. Через 5 с; за 0,5 м до линии поля. 77. 20 м.

20. 9 +

78. 20 м/ч.

15. 60 м/ч. 16. 48 м/ч. 17. 50 м и 150 м. 1




Введите неиз-

1

вестные ω 1 = v------ и ω 2 = v------ , де v1 и v2 — сорость мотоцилис1 2 11 м/ч. 21. Сорости пароходов — 15 м/ч, сорость

79. Второй

автомобиль

остановился

раньше;

606

Ответы, указания, решения

a2 = –8 м/с2. 80. Через 2 с. 81. a1 : a2 = 7 : 9.




Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений § 63. Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов»

Учтите, что про-

межути времени, в течение оторых поезда двиались рав2s

s

--ноусоренно, различны. 82. s1 = ----5 , s2 = 2 .




См. уазание 2s

 упр. 81. 83. Пассажир A пришел быстрее, та а -----------a+b <

607

1. d через 69 мес. 2. d через 55 лет. 3. 80 р; 12 р. 4. 5 %. 5. 10 %. 6. 10 %. 7. 2000 р. 8. На 42,3 %. 9. 726 ден. ед. 3Np – 100M

10. 50 %. 11. Через оличество лет, большее чем lg ----------------------------------Np – 100M : p  2Np – 100n p  ------------------------------------------  : lg  1 + --------100  . 12. Более чем через lg Np – 100n : lg  1 + 100  ч. 

s a+b

< --2- -----------ab .

§ 64. Задачи с целочисленными неизвестными

§ 62. Задачи на работу и производительность труда 1. 24 м3. 2. За 45 ч. 3. За 132 мин и 110 мин. 4. 6 мин и 10 мин. 5. За 6 мин, 8 мин, 12 мин. 6. T +

T(T – t) , T – t +

T(T – t) ,

T ( T – t ) (T > t). 7. За 3 ч, 6 ч, 2 ч. 8. 400 деталей. 9. За 14 дней. 10. За 10 дней. 11. Тратор мари A — 12 а, мари B — 16 а. 12. В 4 раза.
Используйте условие в виде неравенства для выбора единственноо из двух найденных значений исомоо неизвестноо. 13. 50 ч. 14. 9 дней. 15. За 10 ч и 8 ч. 2

1

16. 9 м. 17. 6 --3- ч и 5 --3- ч. 18. 2,5 м3. 19. 3 м3/ч. 20. 60 %. 21. За 14 дней и 11 дней. 22. 4 ч и 6 ч. 23. Первому — по 11

20 страниц в день, второму — по 35. 24. За 12 ч. 25. c = 9 -----16 . 26. 600 м3. 27. 20 м3.
Проверьте полученное решение подстановой во все уравнения системы. 28. За 40 ч.
Используйте формулу суммы членов арифметичесой прорессии. 29. 1,25V.
См. уазание  упр. 28. 30. Пусть Ti (i = 1, 2, 3) — время опорожнения i-м насосом своео резервуара. Тода T1 > T3 > T2, 1+ α α

1+ α α α

3+ 5

-; причем T1 : T3 : T2 = ------------------ : 1 : ------------------ , если α > ----------------2 1

3+ 5

n–1

------------------ . 31. t ------------- . T1 : T3 : T2 = (α – 1) : α : ------------2 α – 1 , если 2 < α m n

Используя условие, предварительно поажите, что все трубы начали работать до тоо, а бассен был заполнен наполо-




17

вину. 32. -----40 .

1. 12 листов. 2. «Трое» — 2, «четверо» — 7. 3. Пятиэтажных — 9, девятиэтажных — 8. 4. «Мосвичей» — 10, «Вол» — 19. 5. 33 учениа. 6. 25 ящиов второо типа и 4 ящиа третьео типа.
Предварительно оцените стоимость перевози одной детали в ящие аждоо типа. 7. Первый — 3 дня, второй — 2 дня.
Оцените, аое оличество дней мо работать аждый эсаватор. 8. 45 онфет и 20 онфет. 9. 13 мин. 10. 19 плотов. 11. 15 или 95. 12. 48. 13. 32. 14. 5.
Приписывание  данному числу неоторой цифры справа означает переход  новому числу, в отором оличество единиц равно приписываемой цифре, а оличество десятов — исходному числу. 15. 6464. 16. 285 714.
См. уазание  упр. 14. 17. 32. 18. 45 или 54.
Для нахождения суммы всех четных двузначных чисел используйте формулу суммы членов арифметичесой прорессии с разностью d = 2 и первым членом a1 = 10. 20. 21 и 10. 21. 31 и 41. 22. A = 42, B = 35.
Используйте формулу n = = mp + k, де n — делимое, m — делитель, p — частное, k — остато. 23. N = 37. 5

или -----26 .







4

3

-----См. уазание  упр. 22. 24. -----10 , или 17 ,

Задача сводится  решению системы вадратных не-

равенств на множестве натуральных чисел. 25. В 4 монеты. § 65. Задачи на концентрацию и процентное содержание 4r

4r

125

135

-----------------------1. 1,5 . 2. ----5 – 24  и 32 – 5 ; 4 m r m 4 . 3. 7 . 2n – m + m 2 + 4n 2

2n + m + m 2 + 4n 2

mn

- л; --------------------------------------------------------- л. 6. ---------------- . 4. 60 . 5. -------------------------------------------------------2 2 m+n

606

Ответы, указания, решения

a2 = –8 м/с2. 80. Через 2 с. 81. a1 : a2 = 7 : 9.




Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений § 63. Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов»

Учтите, что про-

межути времени, в течение оторых поезда двиались рав2s

s

--ноусоренно, различны. 82. s1 = ----5 , s2 = 2 .




См. уазание 2s

 упр. 81. 83. Пассажир A пришел быстрее, та а -----------a+b <

607

1. d через 69 мес. 2. d через 55 лет. 3. 80 р; 12 р. 4. 5 %. 5. 10 %. 6. 10 %. 7. 2000 р. 8. На 42,3 %. 9. 726 ден. ед. 3Np – 100M

10. 50 %. 11. Через оличество лет, большее чем lg ----------------------------------Np – 100M : p  2Np – 100n p  ------------------------------------------  : lg  1 + --------100  . 12. Более чем через lg Np – 100n : lg  1 + 100  ч. 

s a+b

< --2- -----------ab .

§ 64. Задачи с целочисленными неизвестными

§ 62. Задачи на работу и производительность труда 1. 24 м3. 2. За 45 ч. 3. За 132 мин и 110 мин. 4. 6 мин и 10 мин. 5. За 6 мин, 8 мин, 12 мин. 6. T +

T(T – t) , T – t +

T(T – t) ,

T ( T – t ) (T > t). 7. За 3 ч, 6 ч, 2 ч. 8. 400 деталей. 9. За 14 дней. 10. За 10 дней. 11. Тратор мари A — 12 а, мари B — 16 а. 12. В 4 раза.
Используйте условие в виде неравенства для выбора единственноо из двух найденных значений исомоо неизвестноо. 13. 50 ч. 14. 9 дней. 15. За 10 ч и 8 ч. 2

1

16. 9 м. 17. 6 --3- ч и 5 --3- ч. 18. 2,5 м3. 19. 3 м3/ч. 20. 60 %. 21. За 14 дней и 11 дней. 22. 4 ч и 6 ч. 23. Первому — по 11

20 страниц в день, второму — по 35. 24. За 12 ч. 25. c = 9 -----16 . 26. 600 м3. 27. 20 м3.
Проверьте полученное решение подстановой во все уравнения системы. 28. За 40 ч.
Используйте формулу суммы членов арифметичесой прорессии. 29. 1,25V.
См. уазание  упр. 28. 30. Пусть Ti (i = 1, 2, 3) — время опорожнения i-м насосом своео резервуара. Тода T1 > T3 > T2, 1+ α α

1+ α α α

3+ 5

-; причем T1 : T3 : T2 = ------------------ : 1 : ------------------ , если α > ----------------2 1

3+ 5

n–1

------------------ . 31. t ------------- . T1 : T3 : T2 = (α – 1) : α : ------------2 α – 1 , если 2 < α m n

Используя условие, предварительно поажите, что все трубы начали работать до тоо, а бассен был заполнен наполо-




17

вину. 32. -----40 .

1. 12 листов. 2. «Трое» — 2, «четверо» — 7. 3. Пятиэтажных — 9, девятиэтажных — 8. 4. «Мосвичей» — 10, «Вол» — 19. 5. 33 учениа. 6. 25 ящиов второо типа и 4 ящиа третьео типа.
Предварительно оцените стоимость перевози одной детали в ящие аждоо типа. 7. Первый — 3 дня, второй — 2 дня.
Оцените, аое оличество дней мо работать аждый эсаватор. 8. 45 онфет и 20 онфет. 9. 13 мин. 10. 19 плотов. 11. 15 или 95. 12. 48. 13. 32. 14. 5.
Приписывание  данному числу неоторой цифры справа означает переход  новому числу, в отором оличество единиц равно приписываемой цифре, а оличество десятов — исходному числу. 15. 6464. 16. 285 714.
См. уазание  упр. 14. 17. 32. 18. 45 или 54.
Для нахождения суммы всех четных двузначных чисел используйте формулу суммы членов арифметичесой прорессии с разностью d = 2 и первым членом a1 = 10. 20. 21 и 10. 21. 31 и 41. 22. A = 42, B = 35.
Используйте формулу n = = mp + k, де n — делимое, m — делитель, p — частное, k — остато. 23. N = 37. 5

или -----26 .







4

3

-----См. уазание  упр. 22. 24. -----10 , или 17 ,

Задача сводится  решению системы вадратных не-

равенств на множестве натуральных чисел. 25. В 4 монеты. § 65. Задачи на концентрацию и процентное содержание 4r

4r

125

135

-----------------------1. 1,5 . 2. ----5 – 24  и 32 – 5 ; 4 m r m 4 . 3. 7 . 2n – m + m 2 + 4n 2

2n + m + m 2 + 4n 2

mn

- л; --------------------------------------------------------- л. 6. ---------------- . 4. 60 . 5. -------------------------------------------------------2 2 m+n

608

Ответы, указания, решения


Введите в ачестве неизвестных: x — массу отрезанноо уса; c1 и c2 — онцентрацию меди в первом и втором усе соот-

ветственно. 7. 5 % и 11 %. 8. В объеме 4 см3.
Воспользуйтесь формулой m = ρV, связывающей массу, плотность и объем. 9. 12 %; 24 %; 48 %. 10. 29 %.
В ачестве неизвестных введите онцентрации c1, c2, c3, c4. Условие задачи дает систему трех уравнений для четырех неизвестных c1, c2, c3 и c4. При исследовании системы учтите, что следует исать омбинацию 2c 2 + c 4 13 - . 11. В ------ раза. 12. 5  и 20 . 13. 14 ; неизвестных --------------------4 3

7 ; 16 . 14. Первая труба подает жидость в 2 раза быстрее

Г л а в а 12. Планиметрия a 2 sin α cos 2α

12. ----------------------------------------------------4 cos α ( 1 + 2 cos α ) . c2

1

1

19. 2 л. 20. 10 л и 90 л. 21. 10 л. 22. --6- . 23. Если p = q, то при любом числе промыво процент содержания золота сохраняется; в этом случае задача имеет решение при r m k, причем число промыво произвольно. Если q < p, то число промыво n опреr ( 100 – k )

100 – q

-------------------деляется неравенством n l lg --------------------------k ( 100 – r ) : lg 100 – p . Если p < q, 100 – q r ( 100 – k ) -------------------то n m lg --------------------------k ( 100 – r ) : lg 100 – p .

b 2 sin α ( 5 sin β + 3 cos β tg α )

-. 14. ---------------------------------------------------------------------------------16 sin ( α + β )

13. 4.

cos 2 β sin 2α

15

2 ----------- ----------------------------------------------------------15. --2- . 16. ---2 cos ( α – β ) cos ( α + β ) . 17. 2 см .
Убедитесь в том,

3

7

9

----что треуольни прямоуольный. 18. -----4 . 19. 2 tg α ctg β + 2 . 2+ 3 6

20. ------------------ . 21.

2l 2

a 17

--------------3 . 22. 4 3 . 23. 75. 24. -------5 . 25. 12 . 26. 3; 1+2 2

π

1+2 2

π

- , --- – arccos ---------------------- . 2 . 28. --4- + arccos --------------------4 4 4

5; 7. 27. 1 +

1

второй. 15. 50 %. 16. 12,5 . 17. 170 . 18. 40 % и 43 --3- %.

609

3 2

2– 3

2

1

3

NC

2 ----------------- . 33. --------- = --- . 34. ----b ( b + c ) . 30. ---------9 4 4 . 31. 3 см . 32. AC 5

29.

3–1

1

25

----------или 9. 35. arctg ----------------2 . 36. 4(1 – α). 37. 23 : 90. 38. 16 . 39. 12 . π

40. --6- .

β ( 1 + 2α + αβ )

41. (-----------------------------------------------------------------------1 + α ) ( 1 + β ) ( 1 + α + αβ ) .

S S (S + S )(S + S )

1 3 2 1 2 3 -. 42. ----------------------------------------------------------------2

S 2 ( S2 – S 1 S 3 )

4

π

1

43. 3:2. 44. --3- или 3. 46. 6:5. 47. FA = --2- , FB = arcsin --5- , 3

FC = arcsin --5- .

§ 66. Разные задачи 1. 28 . 2. 60 деталей. 3. 280 р. портфель дороже авторучи. 4. За 1 ч. 5. 6400 л и 600 л. 6. 1,25  и 0,75 .

§ 68. Четырехугольники 1. l = 8 см; S = 16 3 см2. 2. 256 см2. 3.

Г л а в а 12. Планиметрия

a2

1

sin 2 α

a2

6. ----8 sin 2α.

( a – b )2 4 cos α

1

-. ab + -------------------2

( 1 + 3 tg α ) 2

12

7

---------------------------------- – --11. l. 12. Сторону CD. 13. -----8 5 . 14. 1 + 2 tg α

α 2bc cos --2 ------------------------1. 20 см. 2. b + c . 3. 75. 4. m(m cos β ä

5. Нет.

10

-------------------------------------6. 9,6 см2. 7. ----2 sin 2α. 8. ( 3 + 1 ) 2 . 9. 2 . 10. 2

§ 67. Треугольники

× sin β.

4

3 м. 4. 2 см. 5. 6 м.

c 2 – m 2 sin 2 β ) × c

7. --2- tg α (r cos α – c).

2 2 8. --2- cr --------------cos α . 9. –2S cos α cos 2α. 10. 288 см . 11.

3 – 1.

1

15. --2- (a – b)2 sin α.

16. 4h2 ctg α – 2h a 2 – 4h 2 .

18. 2. 19. AB = BC = 2, AD = 15 3

a 2 – 16 . 17. 7 : 8.

3 3

3 , DC = 1, S = ---------2 . 20. 4 : 5. a 13

AM

2

m2 + n2

- см2. 22. 2 2 см. 23. --------------- . 24. ----------- = --- . 25. -------------------------- . 21. -------------3 2 6 MD 2

608

Ответы, указания, решения


Введите в ачестве неизвестных: x — массу отрезанноо уса; c1 и c2 — онцентрацию меди в первом и втором усе соот-

ветственно. 7. 5 % и 11 %. 8. В объеме 4 см3.
Воспользуйтесь формулой m = ρV, связывающей массу, плотность и объем. 9. 12 %; 24 %; 48 %. 10. 29 %.
В ачестве неизвестных введите онцентрации c1, c2, c3, c4. Условие задачи дает систему трех уравнений для четырех неизвестных c1, c2, c3 и c4. При исследовании системы учтите, что следует исать омбинацию 2c 2 + c 4 13 - . 11. В ------ раза. 12. 5  и 20 . 13. 14 ; неизвестных --------------------4 3

7 ; 16 . 14. Первая труба подает жидость в 2 раза быстрее

Г л а в а 12. Планиметрия a 2 sin α cos 2α

12. ----------------------------------------------------4 cos α ( 1 + 2 cos α ) . c2

1

1

19. 2 л. 20. 10 л и 90 л. 21. 10 л. 22. --6- . 23. Если p = q, то при любом числе промыво процент содержания золота сохраняется; в этом случае задача имеет решение при r m k, причем число промыво произвольно. Если q < p, то число промыво n опреr ( 100 – k )

100 – q

-------------------деляется неравенством n l lg --------------------------k ( 100 – r ) : lg 100 – p . Если p < q, 100 – q r ( 100 – k ) -------------------то n m lg --------------------------k ( 100 – r ) : lg 100 – p .

b 2 sin α ( 5 sin β + 3 cos β tg α )

-. 14. ---------------------------------------------------------------------------------16 sin ( α + β )

13. 4.

cos 2 β sin 2α

15

2 ----------- ----------------------------------------------------------15. --2- . 16. ---2 cos ( α – β ) cos ( α + β ) . 17. 2 см .
Убедитесь в том,

3

7

9

----что треуольни прямоуольный. 18. -----4 . 19. 2 tg α ctg β + 2 . 2+ 3 6

20. ------------------ . 21.

2l 2

a 17

--------------3 . 22. 4 3 . 23. 75. 24. -------5 . 25. 12 . 26. 3; 1+2 2

π

1+2 2

π

- , --- – arccos ---------------------- . 2 . 28. --4- + arccos --------------------4 4 4

5; 7. 27. 1 +

1

второй. 15. 50 %. 16. 12,5 . 17. 170 . 18. 40 % и 43 --3- %.

609

3 2

2– 3

2

1

3

NC

2 ----------------- . 33. --------- = --- . 34. ----b ( b + c ) . 30. ---------9 4 4 . 31. 3 см . 32. AC 5

29.

3–1

1

25

----------или 9. 35. arctg ----------------2 . 36. 4(1 – α). 37. 23 : 90. 38. 16 . 39. 12 . π

40. --6- .

β ( 1 + 2α + αβ )

41. (-----------------------------------------------------------------------1 + α ) ( 1 + β ) ( 1 + α + αβ ) .

S S (S + S )(S + S )

1 3 2 1 2 3 -. 42. ----------------------------------------------------------------2

S 2 ( S2 – S 1 S 3 )

4

π

1

43. 3:2. 44. --3- или 3. 46. 6:5. 47. FA = --2- , FB = arcsin --5- , 3

FC = arcsin --5- .

§ 66. Разные задачи 1. 28 . 2. 60 деталей. 3. 280 р. портфель дороже авторучи. 4. За 1 ч. 5. 6400 л и 600 л. 6. 1,25  и 0,75 .

§ 68. Четырехугольники 1. l = 8 см; S = 16 3 см2. 2. 256 см2. 3.

Г л а в а 12. Планиметрия

a2

1

sin 2 α

a2

6. ----8 sin 2α.

( a – b )2 4 cos α

1

-. ab + -------------------2

( 1 + 3 tg α ) 2

12

7

---------------------------------- – --11. l. 12. Сторону CD. 13. -----8 5 . 14. 1 + 2 tg α

α 2bc cos --2 ------------------------1. 20 см. 2. b + c . 3. 75. 4. m(m cos β ä

5. Нет.

10

-------------------------------------6. 9,6 см2. 7. ----2 sin 2α. 8. ( 3 + 1 ) 2 . 9. 2 . 10. 2

§ 67. Треугольники

× sin β.

4

3 м. 4. 2 см. 5. 6 м.

c 2 – m 2 sin 2 β ) × c

7. --2- tg α (r cos α – c).

2 2 8. --2- cr --------------cos α . 9. –2S cos α cos 2α. 10. 288 см . 11.

3 – 1.

1

15. --2- (a – b)2 sin α.

16. 4h2 ctg α – 2h a 2 – 4h 2 .

18. 2. 19. AB = BC = 2, AD = 15 3

a 2 – 16 . 17. 7 : 8.

3 3

3 , DC = 1, S = ---------2 . 20. 4 : 5. a 13

AM

2

m2 + n2

- см2. 22. 2 2 см. 23. --------------- . 24. ----------- = --- . 25. -------------------------- . 21. -------------3 2 6 MD 2

610

Ответы, указания, решения a+b

3S

4S

------------26. ------2 . 27. 4

( a + b ) ( 3b – a ) . 28. ------5 . 29.

1 11 --31. -----12 . 32. 37:72. 33. 1. 34. 2

3

2π 3 + -----3 .

5 2 1 2 π 150 1 2  2 --------6. --------7 см . 7. 6 R (2 3 + 5π). 8. 2 R ctg α – 2 R  2 – α  .

10. 7.

– 64R

-. 11. --------------------------------2

a 3 + r – 4r 2 + 2ar 3

d 2 – ( R1 – R2 )2 12. -----------------------------------------2 . 4 ( R1 + R2 )

2

14. ------------------------------------------------------------------. 15. --3- (3 – 3 17. 3 13 .

8

18. --5- см2.

β α sin --- cos --2 2 --------------------------------. 11. c α β cos  --- + ---  2 2

15 + 6 3 .

3

13. 8 см.

6

11

α

1 – sin --2 ab sin α - ------------------------ . 3  . 18. --------------------α a+b  --1 + sin

6

------19. 2. 20. -----10 . 21. r1 = 6 (14 – R 3( 7 + 5) 7

70 ), r2 = -----8 (21 –

32 πm

19. -----------4 (arccos m – m 1 – m 2 ).

2 sin 2 α α ( 1 + sin 2α + sin α )

- . 21. Площадь вадрата больше пло20. -----------------------------------------------------------2 6 5

щади руа. 22. ------- см.

2

105 ).

250 3

25. -------------2 .

- · ---------------------------- . 27. ------- . 28. ---------- (3 + 26. ------------------------------4 sin ( α + β ) 2 sin β 4

3 ). 29. -----3 ×

22. ------------------------------------ . 1,25 – cos β

23. 4 : 3.

24. 150 + ---------- . 7

b sin α

125

12

5 ) см. 16. --5- h и -----5 h.

α 1 – sin --α 2 a -------------------------14. 2 · α tg 2 . 1 + sin --2

5π – 6 3 2 -a . 13. -----------------------72

13 – 4 7 7–4 3 5π - . 17. --------------------- a2  ------- – 15. a -----------------------2 4  6

9 7 a2 -----1. ---------16 . 2. 2 Rr . 3. 8. 4. 3 (3 + π – 3 3 ). 5. 1 –

l2 )2

10.

.

sin α

R2 ( a + R )3 1 -. 12. --- -------------------------------------------2 ( a – R ) ( a2 + R2 )

§ 69. Окружность и круг

9. 8 см.

9.

3

sin ( α + β ) sin β 2R2 ----------------------------------------------

17 – 1 --------------------- . 35. KM = 2 Q 4 3 , 2

4 Q

π ( 4R 2

611

5

35 . 30. -----12 .

LN = ------------ . 4

Г л а в а 12. Планиметрия

× (6 – AC =

3 ). 30. 128(3 + 2 2 ) : 49. 31. 4R 2 sin α cos 4 α

3 15

50

2 ------------4 – π . 32. AB = 3 2 см;

a2 3

1

- . 34. -------------- . 35. 22. 36. --- l(l –n) × 10 см. 33. ------------------------------------------cos 3α 26 2

β l 3 3 sin C ---  ---------------------------------------------× sin β  1 + -----2n sin β tg 2  . 37. 5π – 3 . 38. R1 = sin ( B + C ) × 3 – 2 2 cos B

× ------------------------------------, 4 sin B

sin C

3 + 2 2 cos B

α

- -------------------------------------- . R2 = ----------------------------4 sin B sin ( B + C )

39. tg --2 sin 2α.

1

40. -------------------------------------------sin α + cos α – 1 ; отношение будет наименьшим при α = 45°.

§ 70. Треугольники и окружности 3α b cos ------2 2. --------------------------------α. 2 sin α cos --2

α R sin --2 3. -----------------------α- . 1 + sin --2

abc 4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . ( a + b + c) ( a + b – c ) ( a + c – b ) ( b + c – a )

a2 ( 3 3 – π ) -. 5. -------------------------------24

πc 1+ 2

1. ------------------ .

b + c – 2 bc cos α 2 sin α

- . 7. 6. -----------------------------------------------2

3 и 2 3 или 2 3 и

5 13

3 . 8. -------------12 .

β–γ α cos 2 -----------sin --- sin 2α 1 2 2 - . 42. arctg ------------- . 43. -------------------------- , де γ = FACB, 41. -----------------------------------cos α β+γ 3α 7α cos 2 -----------sin ------- sin ------2 4 4

β = FABC. 44. ( 3 – 1) :

3

6 . 45. 25π см2. 46. 5 см. 47. arccos --5- ,

4 4 π 3 π --- – arccos --- или arccos --- , --- – arccos --- . 48. 14 см. 49. 3 см, 5 5 2 5 2

4 см, 5 см. 50. 0,5 дм. 51.

91 см. 52. 2 5 .




Введите в а-

610

Ответы, указания, решения a+b

3S

4S

------------26. ------2 . 27. 4

( a + b ) ( 3b – a ) . 28. ------5 . 29.

1 11 --31. -----12 . 32. 37:72. 33. 1. 34. 2

3

2π 3 + -----3 .

5 2 1 2 π 150 1 2  2 --------6. --------7 см . 7. 6 R (2 3 + 5π). 8. 2 R ctg α – 2 R  2 – α  .

10. 7.

– 64R

-. 11. --------------------------------2

a 3 + r – 4r 2 + 2ar 3

d 2 – ( R1 – R2 )2 12. -----------------------------------------2 . 4 ( R1 + R2 )

2

14. ------------------------------------------------------------------. 15. --3- (3 – 3 17. 3 13 .

8

18. --5- см2.

β α sin --- cos --2 2 --------------------------------. 11. c α β cos  --- + ---  2 2

15 + 6 3 .

3

13. 8 см.

6

11

α

1 – sin --2 ab sin α - ------------------------ . 3  . 18. --------------------α a+b  --1 + sin

6

------19. 2. 20. -----10 . 21. r1 = 6 (14 – R 3( 7 + 5) 7

70 ), r2 = -----8 (21 –

32 πm

19. -----------4 (arccos m – m 1 – m 2 ).

2 sin 2 α α ( 1 + sin 2α + sin α )

- . 21. Площадь вадрата больше пло20. -----------------------------------------------------------2 6 5

щади руа. 22. ------- см.

2

105 ).

250 3

25. -------------2 .

- · ---------------------------- . 27. ------- . 28. ---------- (3 + 26. ------------------------------4 sin ( α + β ) 2 sin β 4

3 ). 29. -----3 ×

22. ------------------------------------ . 1,25 – cos β

23. 4 : 3.

24. 150 + ---------- . 7

b sin α

125

12

5 ) см. 16. --5- h и -----5 h.

α 1 – sin --α 2 a -------------------------14. 2 · α tg 2 . 1 + sin --2

5π – 6 3 2 -a . 13. -----------------------72

13 – 4 7 7–4 3 5π - . 17. --------------------- a2  ------- – 15. a -----------------------2 4  6

9 7 a2 -----1. ---------16 . 2. 2 Rr . 3. 8. 4. 3 (3 + π – 3 3 ). 5. 1 –

l2 )2

10.

.

sin α

R2 ( a + R )3 1 -. 12. --- -------------------------------------------2 ( a – R ) ( a2 + R2 )

§ 69. Окружность и круг

9. 8 см.

9.

3

sin ( α + β ) sin β 2R2 ----------------------------------------------

17 – 1 --------------------- . 35. KM = 2 Q 4 3 , 2

4 Q

π ( 4R 2

611

5

35 . 30. -----12 .

LN = ------------ . 4

Г л а в а 12. Планиметрия

× (6 – AC =

3 ). 30. 128(3 + 2 2 ) : 49. 31. 4R 2 sin α cos 4 α

3 15

50

2 ------------4 – π . 32. AB = 3 2 см;

a2 3

1

- . 34. -------------- . 35. 22. 36. --- l(l –n) × 10 см. 33. ------------------------------------------cos 3α 26 2

β l 3 3 sin C ---  ---------------------------------------------× sin β  1 + -----2n sin β tg 2  . 37. 5π – 3 . 38. R1 = sin ( B + C ) × 3 – 2 2 cos B

× ------------------------------------, 4 sin B

sin C

3 + 2 2 cos B

α

- -------------------------------------- . R2 = ----------------------------4 sin B sin ( B + C )

39. tg --2 sin 2α.

1

40. -------------------------------------------sin α + cos α – 1 ; отношение будет наименьшим при α = 45°.

§ 70. Треугольники и окружности 3α b cos ------2 2. --------------------------------α. 2 sin α cos --2

α R sin --2 3. -----------------------α- . 1 + sin --2

abc 4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . ( a + b + c) ( a + b – c ) ( a + c – b ) ( b + c – a )

a2 ( 3 3 – π ) -. 5. -------------------------------24

πc 1+ 2

1. ------------------ .

b + c – 2 bc cos α 2 sin α

- . 7. 6. -----------------------------------------------2

3 и 2 3 или 2 3 и

5 13

3 . 8. -------------12 .

β–γ α cos 2 -----------sin --- sin 2α 1 2 2 - . 42. arctg ------------- . 43. -------------------------- , де γ = FACB, 41. -----------------------------------cos α β+γ 3α 7α cos 2 -----------sin ------- sin ------2 4 4

β = FABC. 44. ( 3 – 1) :

3

6 . 45. 25π см2. 46. 5 см. 47. arccos --5- ,

4 4 π 3 π --- – arccos --- или arccos --- , --- – arccos --- . 48. 14 см. 49. 3 см, 5 5 2 5 2

4 см, 5 см. 50. 0,5 дм. 51.

91 см. 52. 2 5 .




Введите в а-

612

Ответы, указания, решения

Г л а в а 13. Стереометрия

Г л а в а 13. Стереометрия

честве неизвестноо острый уол треуольниа α и составьте уравнение для нахождения α с помощью теоремы о асательπ

7π

π

7π

π

-------------------ной и сеущей. 53. 240 см2. 54. -----18 и 18 . 55. 12 и 12 . 56. 6 .

§ 72. Многогранники 1 3

 4  4 π 1  π 1  2 57. --4- – arccos  ------- – -------  , --4- + arccos  ------- – -------  . 58. --3- . 2  2   6  6 3 3 ( 13 – 1 ) m k 2 + 2k cos A + 1 - . 60. --------------------------------------------------------- . 61. arccos 59. ------------------------------------32π A 2 ( k + 1 ) cos ---2 α 3 ä 2 2 sin --2 - a. 63. 62. -----------------------------------α 2 cos 2 --2

2 . 64.

3 --- и 2

2 --- . 3




2(1 – S) .

b 3 cos 2α

-. 4. --------------------------sin α

неизвестноо расстояние от точи D до точи асания оружности с прямой AC. 65. Треуольни правильный, длина стороны равна 8. 66. AB = 10, BC = 6, AC = 12.

1.

a 9 3r 2 ----------------- . 4. r 7 . 5. 37,5. 6. 2. 7. 0,6. 3 . 2. ------------------2 cos β . 3. 4

2π 8. 12,5 см. 9. -----3 . 10. 2( 6

–

103 17 4+3 3 ---------------------- . 2 ). 11. --------------------130 . 12. 4

3π π γ  2r r2 4 sin 3 α cos α   -------------------------------------- . 15. --- и ------- . ----13.  ----------4 4 sin γ – m   r – m tg 2  . 14. – π   2 ( cosec α + cosec β )

9

21. 12 15

22. 14,4. 23. 3 : 1. 24. 10 : 11. 25. Трапеция

равнобедренная; 75° и 105°. 26. 210. 27. 9 : 16. 28. α

+ l sin2 --2 ä 2 3

α

α

α

a 2 + 2al sin 2 --2- – l 2 cos 2 --sin 2 --. 2 2

30. ------- . 31. 5 : π.

MB   =a+ ND  7 85

29. ----------- ;

34 ------ . 5

7.

2 d2 ×

3

2 - 3 10. -----12 l cos α sin α.

α α a 3 cos 2 --- ctg --2 2 3 3 α  2 -------------------------------------------- . 16. a 3 – ctg 2 ϕ . × tg α. 14. -----4 H  3 tg 2 – 1  . 15.  α 2 -3 3 – 4 sin  2 1

1

1 2 --- ( a + b 2 – c 2 ) ( a 2 + c 2 – b 2 ) ( b 2 + c 2 – a 2 ) . 2 1 + 3 cos 2 α

β

β - . 21. π – cos 2 --2- – cos 2 α . 20. 2 arcsin ----------------------------------2

19. --3- l3 sin --21

b–a 2 3

– 2 arcsin -----------------α- . 22. ------------- tg α. 23. a 2 sin --2

×

( a2 + b2 – c2 ) ( a2 + c2 – b2 )( b2 + c2 – a2 )

β cos --- cos β 2 2 3 27. – --3- l ---------------------------β . sin 3 --2

×

4H 3 + 3V .

α d 2 tg --2 28. -----------------2 cos β .

.

l 3 ctg α ctg β

 1  - + ctg 2 β 3  --------------2α sin  

α ctg 2 --2 3 2 ------------------------------26. 6 a α. 1 – ctg 2 --2

α sin 2 --4 3 2 29. --3- h --------------cos α .

α  31. 2 arcsin  2 sin --2 . 

33. --------------------------------------------------------- . 34. 6 2 – 3/2

1 12 2

2

2 – 1 . 24. --3- . 25. --------------- ×

4R 3

16. -----------------------------------------------------. 17. --2- r2. 18. 3 см и 8 см. 19. ---------π S . 20. 8.

см2.

6. 576 см2.

8. a2b sin α sin β.

3α

-. sin --sin -----2 2

6 3 sin ( α + 30° )r 2 6 a 4b 2 – a 2 a3 - . 12. α = arcsin ------- ; V = ------ . 13. ------------------------------- × 11. ----------------------------------------------------3 2 ( a + 2b ) cos α 6

c 2 sin α cos α

h2

α

3. 2a3 sin --2

5. arccos (sin α sin β).

17. ----------------------------------.18. -----2 cos β 12

§ 71. Многоугольники и окружности

α

2. 3d3 3 .

1. arccos ------- .

× sin 2ϕ cos (45° – α).

Введите в ачестве

613

3V H

30. ------------ ×

32. arcctg

tg 2 α – 1 ------------------------ . 2

d 2 3l 2 – d 2

-, 6 + 4. 35. V = -------------------------------6

612

Ответы, указания, решения

Г л а в а 13. Стереометрия

Г л а в а 13. Стереометрия

честве неизвестноо острый уол треуольниа α и составьте уравнение для нахождения α с помощью теоремы о асательπ

7π

π

7π

π

-------------------ной и сеущей. 53. 240 см2. 54. -----18 и 18 . 55. 12 и 12 . 56. 6 .

§ 72. Многогранники 1 3

 4  4 π 1  π 1  2 57. --4- – arccos  ------- – -------  , --4- + arccos  ------- – -------  . 58. --3- . 2  2   6  6 3 3 ( 13 – 1 ) m k 2 + 2k cos A + 1 - . 60. --------------------------------------------------------- . 61. arccos 59. ------------------------------------32π A 2 ( k + 1 ) cos ---2 α 3 ä 2 2 sin --2 - a. 63. 62. -----------------------------------α 2 cos 2 --2

2 . 64.

3 --- и 2

2 --- . 3




2(1 – S) .

b 3 cos 2α

-. 4. --------------------------sin α

неизвестноо расстояние от точи D до точи асания оружности с прямой AC. 65. Треуольни правильный, длина стороны равна 8. 66. AB = 10, BC = 6, AC = 12.

1.

a 9 3r 2 ----------------- . 4. r 7 . 5. 37,5. 6. 2. 7. 0,6. 3 . 2. ------------------2 cos β . 3. 4

2π 8. 12,5 см. 9. -----3 . 10. 2( 6

–

103 17 4+3 3 ---------------------- . 2 ). 11. --------------------130 . 12. 4

3π π γ  2r r2 4 sin 3 α cos α   -------------------------------------- . 15. --- и ------- . ----13.  ----------4 4 sin γ – m   r – m tg 2  . 14. – π   2 ( cosec α + cosec β )

9

21. 12 15

22. 14,4. 23. 3 : 1. 24. 10 : 11. 25. Трапеция

равнобедренная; 75° и 105°. 26. 210. 27. 9 : 16. 28. α

+ l sin2 --2 ä 2 3

α

α

α

a 2 + 2al sin 2 --2- – l 2 cos 2 --sin 2 --. 2 2

30. ------- . 31. 5 : π.

MB   =a+ ND  7 85

29. ----------- ;

34 ------ . 5

7.

2 d2 ×

3

2 - 3 10. -----12 l cos α sin α.

α α a 3 cos 2 --- ctg --2 2 3 3 α  2 -------------------------------------------- . 16. a 3 – ctg 2 ϕ . × tg α. 14. -----4 H  3 tg 2 – 1  . 15.  α 2 -3 3 – 4 sin  2 1

1

1 2 --- ( a + b 2 – c 2 ) ( a 2 + c 2 – b 2 ) ( b 2 + c 2 – a 2 ) . 2 1 + 3 cos 2 α

β

β - . 21. π – cos 2 --2- – cos 2 α . 20. 2 arcsin ----------------------------------2

19. --3- l3 sin --21

b–a 2 3

– 2 arcsin -----------------α- . 22. ------------- tg α. 23. a 2 sin --2

×

( a2 + b2 – c2 ) ( a2 + c2 – b2 )( b2 + c2 – a2 )

β cos --- cos β 2 2 3 27. – --3- l ---------------------------β . sin 3 --2

×

4H 3 + 3V .

α d 2 tg --2 28. -----------------2 cos β .

.

l 3 ctg α ctg β

 1  - + ctg 2 β 3  --------------2α sin  

α ctg 2 --2 3 2 ------------------------------26. 6 a α. 1 – ctg 2 --2

α sin 2 --4 3 2 29. --3- h --------------cos α .

α  31. 2 arcsin  2 sin --2 . 

33. --------------------------------------------------------- . 34. 6 2 – 3/2

1 12 2

2

2 – 1 . 24. --3- . 25. --------------- ×

4R 3

16. -----------------------------------------------------. 17. --2- r2. 18. 3 см и 8 см. 19. ---------π S . 20. 8.

см2.

6. 576 см2.

8. a2b sin α sin β.

3α

-. sin --sin -----2 2

6 3 sin ( α + 30° )r 2 6 a 4b 2 – a 2 a3 - . 12. α = arcsin ------- ; V = ------ . 13. ------------------------------- × 11. ----------------------------------------------------3 2 ( a + 2b ) cos α 6

c 2 sin α cos α

h2

α

3. 2a3 sin --2

5. arccos (sin α sin β).

17. ----------------------------------.18. -----2 cos β 12

§ 71. Многоугольники и окружности

α

2. 3d3 3 .

1. arccos ------- .

× sin 2ϕ cos (45° – α).

Введите в ачестве

613

3V H

30. ------------ ×

32. arcctg

tg 2 α – 1 ------------------------ . 2

d 2 3l 2 – d 2

-, 6 + 4. 35. V = -------------------------------6

614

Ответы, указания, решения 3–1

d

a3 ( 5

3

------------------ . 12l 2 – d 2 . 36. 2 arcsin ----------------ϕ 2 . 37. 2 arccos

Sбо = --2-

2 sin --2

+ 5)

π cos --n 40. 2 arcsin ------------α. cos --2

π 39. arctg  tg α cos --n-  .  

-. 38. ----------------------------24 (a3 – b3 ) 3

-. 41. ------------------------------6

6.

3 3

a 3 4. ---------3 . 5. Точа P совпа1

1121

- 2 --- ------------дает с точой C. 6. ---------4 м . 7. 3 170 . 8. H 2 3 ctg α

-. 10. ------------------------------sin α S S

4

( a2 – b2 ) ( a – b )

- tg2 α tg β. 11. ----------------------------------------8

6

5 144 3 --- . 9. ------------------ . 2 5

c3

4

- . 14. arccos tg --- . 15. ----------------------------- . 16. ------ . 17. ------- м2. 13. ---------------------2 α 2 32 3 2 sin --2

a 2 sin 2α

18. -----------------------2 cos ϕ .

19. S sin ϕ

S 3 cos ϕ .

a 2 tg α

b

20. --8-

( 3m + 2n )a 3 tg α

----------------------------------------------21. 3. 22. ----------------------------8 sin β tg β . 23. V1 = 8n a2 3 4 cos α

S = ------------------ . ×

×

3 3

1

24. ---------8 .

25. --2- (c + h)S. 1

( a 2 + b 2 )c 2 + 4a 2 b 2 .

4+

28. arcsin --3- .

α

a 3 tg α

-; и V2 = ----------------8

26. 7 : 17.

α

3 – 4 sin 2 --2- .

2

32. --9- ab.

α

3

3 2

- 2 38. ---------4 a . 39.

36. 4 3 m2.

– 2 cos 2α .

V 2 ctg 2 α

a3

37. --------128 .

α

4ab

--3 ----------------------------. 40. ---------9 sin 2 . 41. 3 : 4. 42. 1 : 6. cos α

4 α α 6 sin ---  1 – --- sin 2 ---  3 2 2 43. ----------------------------------------------------------------------3- . 44. 69 : 100. 45. На расстоянии от  4 α α - sin 2 ---   2 sin --2- + 1 – -3 2 

S,

не

1

48. --2- l2 cos α.

большем

чем

2 --- SD. 3

46. 8 : 37.

 1  50. a2  1 + 2 1 + -------  . 2  

49. 32 3 .

5 2ab

47. -----------------16 .

51. 3 : 5.

25S

52. 1 : 1. 53. ---------16 .

§ 74. Фигуры вращения d 3 cos 2 α sin α

S

πS

π r 3 15

πS 15

Sr

2 1 - . 2. πS ; ---------------------- . 3. --------------------- . 4. ------------------- . 5. ------- . 1. -------------------------------------2 4π 3 3 3 2

πS S

2

π2 r3

- . 7. --- · --------------6. --------------3 π 2 – 1 . 8. 34 3 2π h 3

5 : 5. 9. (2π – 3 3 ) : (10π + 3 3 ).

sin α

l 2 cos β cos α

---------------------------------------- . 12. -----------------10. ------------2 3 . 11. β 4π cos β cos 2 --2

sin ( β + α ) sin ( β – α ) .

7

27. -----16 ×

a2 3

29. ------------16 · cos α ×

α α α a 2 3 sin 2 --- + 2 sin --- 4 sin 2 --- – 1 + 1 2 2 2 30. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- .   α α 4  sin --- + 4 sin 2 --- – 1  2 2  

21 cos 2 α .

31. a2 sin2 --2

15b 2 + 4l 2 .

615

35. 2a2 cos2 --2

12. arcctg cos α.

a 3 2 cos α

α

2 11

- 2 34. -------------49 a .

точи

§ 73.Сечения многогранников 3a 2 3 5 - . 2. arctg ------- . 3. 1. ----------------4 2

Г л а в а 13. Стереометрия

3l 2 2 ( 4 tg α + 1 ) cos α

33. ----------------------------------------------------. 2

π b 2 – a 2 ( b 2 ctg 2 α – a 2 ctg 2 β ) 24 ( ctg α – ctg β )

-. 13. ------------------------------------------------------------------------------------3/2 2 2 2 2–1 2 2+1

15. ---------------------- R α

+ tg --2

или

2 2+1 ---------------------- R. 2 2–1

1

14. --4- (2S1 + 2S2 + πd2).  α 16. r  1 ä 2 tg2 --2 + 

 6  c sin β α  -----------------. 17. r  1 + -----3 + 4 tg 2 --2  . 18. 4. 19. r1 = 2 sin α ; 2    

c sin α

c sin α sin β 2 sin ( α + β )

ρ2 – ( R – r )2 4( R + r)

-----------------------------------r2 = ----------------. 20. ---------------------------------2- . 2 2 sin β ; r3 =

614

Ответы, указания, решения 3–1

d

a3 ( 5

3

------------------ . 12l 2 – d 2 . 36. 2 arcsin ----------------ϕ 2 . 37. 2 arccos

Sбо = --2-

2 sin --2

+ 5)

π cos --n 40. 2 arcsin ------------α. cos --2

π 39. arctg  tg α cos --n-  .  

-. 38. ----------------------------24 (a3 – b3 ) 3

-. 41. ------------------------------6

6.

3 3

a 3 4. ---------3 . 5. Точа P совпа1

1121

- 2 --- ------------дает с точой C. 6. ---------4 м . 7. 3 170 . 8. H 2 3 ctg α

-. 10. ------------------------------sin α S S

4

( a2 – b2 ) ( a – b )

- tg2 α tg β. 11. ----------------------------------------8

6

5 144 3 --- . 9. ------------------ . 2 5

c3

4

- . 14. arccos tg --- . 15. ----------------------------- . 16. ------ . 17. ------- м2. 13. ---------------------2 α 2 32 3 2 sin --2

a 2 sin 2α

18. -----------------------2 cos ϕ .

19. S sin ϕ

S 3 cos ϕ .

a 2 tg α

b

20. --8-

( 3m + 2n )a 3 tg α

----------------------------------------------21. 3. 22. ----------------------------8 sin β tg β . 23. V1 = 8n a2 3 4 cos α

S = ------------------ . ×

×

3 3

1

24. ---------8 .

25. --2- (c + h)S. 1

( a 2 + b 2 )c 2 + 4a 2 b 2 .

4+

28. arcsin --3- .

α

a 3 tg α

-; и V2 = ----------------8

26. 7 : 17.

α

3 – 4 sin 2 --2- .

2

32. --9- ab.

α

3

3 2

- 2 38. ---------4 a . 39.

36. 4 3 m2.

– 2 cos 2α .

V 2 ctg 2 α

a3

37. --------128 .

α

4ab

--3 ----------------------------. 40. ---------9 sin 2 . 41. 3 : 4. 42. 1 : 6. cos α

4 α α 6 sin ---  1 – --- sin 2 ---  3 2 2 43. ----------------------------------------------------------------------3- . 44. 69 : 100. 45. На расстоянии от  4 α α - sin 2 ---   2 sin --2- + 1 – -3 2 

S,

не

1

48. --2- l2 cos α.

большем

чем

2 --- SD. 3

46. 8 : 37.

 1  50. a2  1 + 2 1 + -------  . 2  

49. 32 3 .

5 2ab

47. -----------------16 .

51. 3 : 5.

25S

52. 1 : 1. 53. ---------16 .

§ 74. Фигуры вращения d 3 cos 2 α sin α

S

πS

π r 3 15

πS 15

Sr

2 1 - . 2. πS ; ---------------------- . 3. --------------------- . 4. ------------------- . 5. ------- . 1. -------------------------------------2 4π 3 3 3 2

πS S

2

π2 r3

- . 7. --- · --------------6. --------------3 π 2 – 1 . 8. 34 3 2π h 3

5 : 5. 9. (2π – 3 3 ) : (10π + 3 3 ).

sin α

l 2 cos β cos α

---------------------------------------- . 12. -----------------10. ------------2 3 . 11. β 4π cos β cos 2 --2

sin ( β + α ) sin ( β – α ) .

7

27. -----16 ×

a2 3

29. ------------16 · cos α ×

α α α a 2 3 sin 2 --- + 2 sin --- 4 sin 2 --- – 1 + 1 2 2 2 30. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- .   α α 4  sin --- + 4 sin 2 --- – 1  2 2  

21 cos 2 α .

31. a2 sin2 --2

15b 2 + 4l 2 .

615

35. 2a2 cos2 --2

12. arcctg cos α.

a 3 2 cos α

α

2 11

- 2 34. -------------49 a .

точи

§ 73.Сечения многогранников 3a 2 3 5 - . 2. arctg ------- . 3. 1. ----------------4 2

Г л а в а 13. Стереометрия

3l 2 2 ( 4 tg α + 1 ) cos α

33. ----------------------------------------------------. 2

π b 2 – a 2 ( b 2 ctg 2 α – a 2 ctg 2 β ) 24 ( ctg α – ctg β )

-. 13. ------------------------------------------------------------------------------------3/2 2 2 2 2–1 2 2+1

15. ---------------------- R α

+ tg --2

или

2 2+1 ---------------------- R. 2 2–1

1

14. --4- (2S1 + 2S2 + πd2).  α 16. r  1 ä 2 tg2 --2 + 

 6  c sin β α  -----------------. 17. r  1 + -----3 + 4 tg 2 --2  . 18. 4. 19. r1 = 2 sin α ; 2    

c sin α

c sin α sin β 2 sin ( α + β )

ρ2 – ( R – r )2 4( R + r)

-----------------------------------r2 = ----------------. 20. ---------------------------------2- . 2 2 sin β ; r3 =

616

Ответы, указания, решения § 75. Комбинации многогранников и фигур вращения H 2 + 2a 2 -. 1. ----------------------------2

2. 5 : 1.

3.

12R2

2 2 6. --3- R3 --3- .

1 5. --4- a( 3 – 1)2.

Г л а в а 13. Стереометрия

1

8

3 9. -----27 R 3 .

3.

4. (2 +

3 ) : 4.

или

3+ 5 ------------------ . 2

3– 5 7. ----------------2

α a cos --2 -------------------------------------------------------------------------. 12. π α α π    2 sin --- + --- sin --- – --3 2 3 2

α sin  60° – ---   2 ------------------------------------- . α sin  60° + ---   2

a

11. -----------

10. 4 см.

2 3

a 6

a 2

14. ---------8 .

13. ------- .

a 3

15. ---------3 ×

2  ---  . 3

a 18. ----------- . 2 2



a( 3 – 1)

2  ---  ; 3



β 1 ctg --- – ------2 3 4 20. --9- π ---------------------------------------2 .  1  β  ctg --- + -------  2 3 

a ( 2b – a ) -. 19. -----------------------------2 3b 2 – a 2

6

π

3 3 sin 2 α cos 4 α

----------------------------------------------- . 21. -------------------------- . 22. ϕ1 = --3- ; ϕ2 = 2 arctg -----3 . 23. 2π 4 2 4π sin 2 α cos α 3 3 ( 1 + cos α )

4R 3 tg α 4 + tg α

3+1 2 2+ 3+1

a 2(1 + 6)

- . 26. --------------------------- . 27. ------------------------------------- . 24. -------------------------------------------3- . 25. ---------------------------2 219b 2

1

2 2 1/2 2 2 4 4 –1/2. --- 2 28. 4 : 1. 29. -------------------36 . 30. 2 a (4b – a ) (4a b – a – b )

α b cos α sin --2 31. -------------------------------α . -1 + cos 2

Hr

2

a

- . 33. ------- . 34. --- . 35. S 32. -------------------------------------бо = 2 8 r + r 2 + 4H 2

= 3 15 ( 5 + 1)2, α = 2 arcsin

1

--– cos 2α ). 40. ---------6 a. 41. 6 rR × ( 1 + cos ϕ ) 3

4

- . 43. 2 2 R2 cos α × R 2 – r 2 ). 42. --3- R3 --------------------------------------------cos ϕ sin 2 ϕ sin α

× (R ä × (sin α +

a sin α cos α

α

Q

4 ---------------------------------------------------sin 2 α + 0,5 cos 2 α ). 44. --4 sec 2 . 45. 1 + cos 2 α + cos α .

3 ( 2 – 3)

c

a 3 4 ( 1 + 7)

- . 47. ----------------------------- a2. 48. ------------------------------------------------ . 49. ------------------------- . 46. ------------------------4 2 2 β α 2  cos --- + cos ---   2 2

2a – b

50. V = 4( 10 21R 3

+ 1)3, α = 2 arcsin 8 3R 2 sin α

4 3

4 – sin 2 α sin α

- · ------------------------- R3. V = ---------2 3

-; 53. Sбо = -----------------2

52. ------------16 .

11 a 3 ( 2b – a ) ------ . 51. --------------------------------------- . 20 3 2 2b 2 – a 2

3

 2π sin 2 α - . 17. b  1 + × ( 4 ctg 2 α + 1 – 2 ctg α). 16. ------------------------------------------3 3 ( 3 + cos 2 α )   b 1 – 

21

× sin 2α. 39. 4R2 cos α (sin α +

ab

8. --8- a 41 .

617

2πa 2 2 a --- . 36. --- . 37. ------------------- . 38. 4R2 × 5 6 sin 2 2α

 2π  1 π  6 sin 2 ------- + --- n sin -------  n  2n 2  sin 3 α cos 3 α 4 32 21 - . 55. -------------------------------------------------------------------- . 56. --- πl3 · ---------------------------------. 54. ----------------3 147 2π ( 1 + cos α ) 3 2 2 πn sin ------n

57. V =

4 – sin 2 α 2 ------------------------- πR3; S --бо = 3 sin 2 α

π α πr 3 ctg 3  --- – ---  4 2 59. --------------------------------------------. 3 cos 2 α sin α

63. 2 : 1.

α

27 16 sin α

S2 R α α ------ . 66. ---- 3 3 ctg --- cosec 2 --- . 2 S1 2 4

r (3 + 2 2 + 3) 3

67. ------- .

1 3

68. --------------------------------------------- .

πr 2 ( r + r 2 + ( d – r ) 2 ) 3(d – r)

+ h1 +

R2

71. 2

R(h + h )

1 2 72. -------------------------------------------------------2 2

+ h2

69. 2 arcsin ------- .

3

-. 70. ---------------------------------------------------------------2

R2

α

3 --60. S sin α sin 2α cos2 --2 . 62. 4 tg 2 : tg α.

64. -----------------------. 65. arcsin 2

5r 3

4πR 2 1 --------------- . 58. π – 4 arctg --- . 2 sin 2 α

R2 + h – R

R ---- ( R + r – r 48

2

R) .

1 - . 73. 9 : 16. 74. ---------- πR3. · ----------------------------------125 2 2

R + h1 + R

α  π 75. R r + R ctg  --4- + --4  . 

2r α  4π  --π--------76. -----9 . 77. 3 tg  4 – 4  .

616

Ответы, указания, решения § 75. Комбинации многогранников и фигур вращения H 2 + 2a 2 -. 1. ----------------------------2

2. 5 : 1.

3.

12R2

2 2 6. --3- R3 --3- .

1 5. --4- a( 3 – 1)2.

Г л а в а 13. Стереометрия

1

8

3 9. -----27 R 3 .

3.

4. (2 +

3 ) : 4.

или

3+ 5 ------------------ . 2

3– 5 7. ----------------2

α a cos --2 -------------------------------------------------------------------------. 12. π α α π    2 sin --- + --- sin --- – --3 2 3 2

α sin  60° – ---   2 ------------------------------------- . α sin  60° + ---   2

a

11. -----------

10. 4 см.

2 3

a 6

a 2

14. ---------8 .

13. ------- .

a 3

15. ---------3 ×

2  ---  . 3

a 18. ----------- . 2 2



a( 3 – 1)

2  ---  ; 3



β 1 ctg --- – ------2 3 4 20. --9- π ---------------------------------------2 .  1  β  ctg --- + -------  2 3 

a ( 2b – a ) -. 19. -----------------------------2 3b 2 – a 2

6

π

3 3 sin 2 α cos 4 α

----------------------------------------------- . 21. -------------------------- . 22. ϕ1 = --3- ; ϕ2 = 2 arctg -----3 . 23. 2π 4 2 4π sin 2 α cos α 3 3 ( 1 + cos α )

4R 3 tg α 4 + tg α

3+1 2 2+ 3+1

a 2(1 + 6)

- . 26. --------------------------- . 27. ------------------------------------- . 24. -------------------------------------------3- . 25. ---------------------------2 219b 2

1

2 2 1/2 2 2 4 4 –1/2. --- 2 28. 4 : 1. 29. -------------------36 . 30. 2 a (4b – a ) (4a b – a – b )

α b cos α sin --2 31. -------------------------------α . -1 + cos 2

Hr

2

a

- . 33. ------- . 34. --- . 35. S 32. -------------------------------------бо = 2 8 r + r 2 + 4H 2

= 3 15 ( 5 + 1)2, α = 2 arcsin

1

--– cos 2α ). 40. ---------6 a. 41. 6 rR × ( 1 + cos ϕ ) 3

4

- . 43. 2 2 R2 cos α × R 2 – r 2 ). 42. --3- R3 --------------------------------------------cos ϕ sin 2 ϕ sin α

× (R ä × (sin α +

a sin α cos α

α

Q

4 ---------------------------------------------------sin 2 α + 0,5 cos 2 α ). 44. --4 sec 2 . 45. 1 + cos 2 α + cos α .

3 ( 2 – 3)

c

a 3 4 ( 1 + 7)

- . 47. ----------------------------- a2. 48. ------------------------------------------------ . 49. ------------------------- . 46. ------------------------4 2 2 β α 2  cos --- + cos ---   2 2

2a – b

50. V = 4( 10 21R 3

+ 1)3, α = 2 arcsin 8 3R 2 sin α

4 3

4 – sin 2 α sin α

- · ------------------------- R3. V = ---------2 3

-; 53. Sбо = -----------------2

52. ------------16 .

11 a 3 ( 2b – a ) ------ . 51. --------------------------------------- . 20 3 2 2b 2 – a 2

3

 2π sin 2 α - . 17. b  1 + × ( 4 ctg 2 α + 1 – 2 ctg α). 16. ------------------------------------------3 3 ( 3 + cos 2 α )   b 1 – 

21

× sin 2α. 39. 4R2 cos α (sin α +

ab

8. --8- a 41 .

617

2πa 2 2 a --- . 36. --- . 37. ------------------- . 38. 4R2 × 5 6 sin 2 2α

 2π  1 π  6 sin 2 ------- + --- n sin -------  n  2n 2  sin 3 α cos 3 α 4 32 21 - . 55. -------------------------------------------------------------------- . 56. --- πl3 · ---------------------------------. 54. ----------------3 147 2π ( 1 + cos α ) 3 2 2 πn sin ------n

57. V =

4 – sin 2 α 2 ------------------------- πR3; S --бо = 3 sin 2 α

π α πr 3 ctg 3  --- – ---  4 2 59. --------------------------------------------. 3 cos 2 α sin α

63. 2 : 1.

α

27 16 sin α

S2 R α α ------ . 66. ---- 3 3 ctg --- cosec 2 --- . 2 S1 2 4

r (3 + 2 2 + 3) 3

67. ------- .

1 3

68. --------------------------------------------- .

πr 2 ( r + r 2 + ( d – r ) 2 ) 3(d – r)

+ h1 +

R2

71. 2

R(h + h )

1 2 72. -------------------------------------------------------2 2

+ h2

69. 2 arcsin ------- .

3

-. 70. ---------------------------------------------------------------2

R2

α

3 --60. S sin α sin 2α cos2 --2 . 62. 4 tg 2 : tg α.

64. -----------------------. 65. arcsin 2

5r 3

4πR 2 1 --------------- . 58. π – 4 arctg --- . 2 sin 2 α

R2 + h – R

R ---- ( R + r – r 48

2

R) .

1 - . 73. 9 : 16. 74. ---------- πR3. · ----------------------------------125 2 2

R + h1 + R

α  π 75. R r + R ctg  --4- + --4  . 

2r α  4π  --π--------76. -----9 . 77. 3 tg  4 – 4  .

618

Ответы, указания, решения

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

619

или (– 3 ; – 3 ; – 3 ). 32. 6 2 . 33. {6; –2; 4} и {–6; 2; –4}. 85

34. ---------2 .

§ 76. Векторы и их координаты 1. а) {–6; –2; 4}; б) {18; –5; 19}; в) {–10; 5; –7}. 2. а) {–30; 21};  11 15  -----б) {0; 0); в)  -----2 ; 2  ; ) {25; –10}. 3. α = 2, β = 3, γ = 5.   4. а) {11; –6; 5}. 5. x = y = z = 1. 6. а) c = a – b ; б) c =




1

Воспользуйтесь тем, что AM = --2- ( AB + AC ) =

 1 6 4  3 = AB + --2- BC . 35. а) arccos --7- ; б) arccos  – -----------  ; в) arccos --7- ;  3 5   2  ; д) arccos --7- ; е) arccos 

 2 ) arccos  – ----------14 

 2  – ----------3 5 

 2  . 36. arccos ----------- ; 13 

 11 3 = 2 a – 3 b ; в) c = – --2- a . 7. а) PQ = {–3; 5; –3}; б) PQ =  – -----10 ; 

 2   5  arccos  – -----------  ; arccos  – -----------  ; 135°. 29 26    

1  4 5 --- ; – ---  . 8.  0; ---  . 9. а) (–2; 1); б) (0; 2); в) (0; 2); ) (12; –1). 6 3 2  

------- ------- --------------------------j = {0; 1}. 37. -----11 . 38. а) 3 ; 3 ; 3 ; б) 0; – 10 ; – 10 ; в) –1;

10. M1(7; 0) или M2(–1; 0). 11. M(0; 1; 0). 12. M(–1; 0; 0).

0; 0; ) 0; --5- ; --5- .



5 1 13. а)  --3- ; 1  ; б)  --3- ; 4  ;    

2 14  в)  --3- ; -----3 . 




Воспользуйтесь тем,

что если вершины треуольниа ABC заданы своими оординатами A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) и C(x3; y3; z3), то оординаты центра тяжести G этоо треуольниа находятся по формулам 1

1

1

x = --3- (x1 + x2 + x3), y = --3- (y1 + + y2 + y3), z = --3- (z1 + z2 + z3). 5 9 3 -------14. а) k = – -----14 ; б) k = – 16 ; в) k = –3. 15. а) Да, a = 2 b ; б) да, 5

4

11 10 18  -----(8; –4; –2). 20.  -----; -----7 ; 7  . 21. При α = –1, β = 4. 26. а) 22;  7

б) – 200; в) 41; )  21 77  -----28. x =  -----65 ; 65  .   a

b b

105 . 27. e 1




3

4

 3 4  3 4  =  – --5- ; --5-  , e 2 =  --5- ; – --5-  .    

Воспользуйтесь тем, что x = e 1 + e 2 =

----- . 29. –13. 30. а) | a | = = ----a +

3 ; б) | b | =

14 . 31. ( 3 ;

3;

3)




1

Учтите, что i = {1; 0},

1

3

1

Учтите, что i = {1; 0; 0}, j = {0; 1; 0}, k =

= {0; 0; 1}. 39. p = {–6; 8}. 40. b = {–24; –32; 30}. 41. 90°;  1 4 1  42. c 1 = {1; 0; 1} или c 2 =  – --3- ; --3- ; – --3-  .  




10 .

Положите c =

= {X; Y; Z}, составьте систему уравнений c a = 1, c b = 1, c 2 = a 2 = b 2 = 2 и, решив

ее, запишите ответ. 43. cos α =

1 3

= cos β = cos γ = ------- . 44. 135°. 45. При Z = 4. 46. При X = 0,

6

c = – --3- d . 16. X = – --3- , Y = --5- . 18. (4; 0) и (5; 2). 19. (–1; 2; 4) и

1

1




 4 1 2  Y = 2. 47. c = {–3; 3; 3}. 48. c =  ------- ; – ------- ; – -------  . 49. a = 3 3 3   = {2; –2; –2}.




Используя перпендиулярность веторов a и d ,

а таже то, что длина ветора a известна, составьте два уравнения: X – Y + 2Z = 0, X2 + Y2 + Z2 = 12. Замечая, что | b | = | c |, запишите еще одно уравнение 2XY + YZ – XZ = 0 и решите систему трех уравнений относительно X, Y, Z. 50. BD = 2 6 .

51. AC = 5;

5  -- 2 ; 1; 1  .

63 6441

52. arccos ------------------ .

618

Ответы, указания, решения

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

619

или (– 3 ; – 3 ; – 3 ). 32. 6 2 . 33. {6; –2; 4} и {–6; 2; –4}. 85

34. ---------2 .

§ 76. Векторы и их координаты 1. а) {–6; –2; 4}; б) {18; –5; 19}; в) {–10; 5; –7}. 2. а) {–30; 21};  11 15  -----б) {0; 0); в)  -----2 ; 2  ; ) {25; –10}. 3. α = 2, β = 3, γ = 5.   4. а) {11; –6; 5}. 5. x = y = z = 1. 6. а) c = a – b ; б) c =




1

Воспользуйтесь тем, что AM = --2- ( AB + AC ) =

 1 6 4  3 = AB + --2- BC . 35. а) arccos --7- ; б) arccos  – -----------  ; в) arccos --7- ;  3 5   2  ; д) arccos --7- ; е) arccos 

 2 ) arccos  – ----------14 

 2  – ----------3 5 

 2  . 36. arccos ----------- ; 13 

 11 3 = 2 a – 3 b ; в) c = – --2- a . 7. а) PQ = {–3; 5; –3}; б) PQ =  – -----10 ; 

 2   5  arccos  – -----------  ; arccos  – -----------  ; 135°. 29 26    

1  4 5 --- ; – ---  . 8.  0; ---  . 9. а) (–2; 1); б) (0; 2); в) (0; 2); ) (12; –1). 6 3 2  

------- ------- --------------------------j = {0; 1}. 37. -----11 . 38. а) 3 ; 3 ; 3 ; б) 0; – 10 ; – 10 ; в) –1;

10. M1(7; 0) или M2(–1; 0). 11. M(0; 1; 0). 12. M(–1; 0; 0).

0; 0; ) 0; --5- ; --5- .



5 1 13. а)  --3- ; 1  ; б)  --3- ; 4  ;    

2 14  в)  --3- ; -----3 . 




Воспользуйтесь тем,

что если вершины треуольниа ABC заданы своими оординатами A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) и C(x3; y3; z3), то оординаты центра тяжести G этоо треуольниа находятся по формулам 1

1

1

x = --3- (x1 + x2 + x3), y = --3- (y1 + + y2 + y3), z = --3- (z1 + z2 + z3). 5 9 3 -------14. а) k = – -----14 ; б) k = – 16 ; в) k = –3. 15. а) Да, a = 2 b ; б) да, 5

4

11 10 18  -----(8; –4; –2). 20.  -----; -----7 ; 7  . 21. При α = –1, β = 4. 26. а) 22;  7

б) – 200; в) 41; )  21 77  -----28. x =  -----65 ; 65  .   a

b b

105 . 27. e 1




3

4

 3 4  3 4  =  – --5- ; --5-  , e 2 =  --5- ; – --5-  .    

Воспользуйтесь тем, что x = e 1 + e 2 =

----- . 29. –13. 30. а) | a | = = ----a +

3 ; б) | b | =

14 . 31. ( 3 ;

3;

3)




1

Учтите, что i = {1; 0},

1

3

1

Учтите, что i = {1; 0; 0}, j = {0; 1; 0}, k =

= {0; 0; 1}. 39. p = {–6; 8}. 40. b = {–24; –32; 30}. 41. 90°;  1 4 1  42. c 1 = {1; 0; 1} или c 2 =  – --3- ; --3- ; – --3-  .  




10 .

Положите c =

= {X; Y; Z}, составьте систему уравнений c a = 1, c b = 1, c 2 = a 2 = b 2 = 2 и, решив

ее, запишите ответ. 43. cos α =

1 3

= cos β = cos γ = ------- . 44. 135°. 45. При Z = 4. 46. При X = 0,

6

c = – --3- d . 16. X = – --3- , Y = --5- . 18. (4; 0) и (5; 2). 19. (–1; 2; 4) и

1

1




 4 1 2  Y = 2. 47. c = {–3; 3; 3}. 48. c =  ------- ; – ------- ; – -------  . 49. a = 3 3 3   = {2; –2; –2}.




Используя перпендиулярность веторов a и d ,

а таже то, что длина ветора a известна, составьте два уравнения: X – Y + 2Z = 0, X2 + Y2 + Z2 = 12. Замечая, что | b | = | c |, запишите еще одно уравнение 2XY + YZ – XZ = 0 и решите систему трех уравнений относительно X, Y, Z. 50. BD = 2 6 .

51. AC = 5;

5  -- 2 ; 1; 1  .

63 6441

52. arccos ------------------ .

620

Ответы, указания, решения 43 25 13

53. ------------------ . 54. AA1 = 11 5 6

5 3 6

3; 2+

3 ) или (2 –

621

y

31 53 182 14 ------ и BB = ----------- ; OG = -------------- ; arccos ------ , 1 2 2 3 15

arccos ----------- , π – arccos ----------- . 55. (2 + 2–

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

3;

2 1 2

A

O

1

3 ). 56. C1(3; 6); D1(5; 3) или C2(–3; 2), D2(–1; –1).

 1–7 3 1– 3   1+7 3 1+ 3  3 - ; ------------------  , C  --------------------- ; -----------------  . 58. AA = --57. A  --------------------1 2 2 2 2 4    

10 .

3

x

– 2

59. D(20; 23; 6). 60. W = 4. 61. W = 7. 62. AB = 5; BC = 5 2 ; AC = 5; FA = 90°, FB = FC = 45°. 63. Тупоуольный. 64. 45°. 65. AH = {2; 1}.




Учтите, что AH B BC и BH B AC , де

BH = AH – AB . 66.

Рис. 76

3 51 --- . 67. ----------- . 68. A ′ (0; –2; 0) или 1 2 3

15

15

A 1′′ (2; 2; 2).
Зная объем призмы, найдите ее высоту H = AA1 =

----------8. D(9; 0). 9. (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1. 10. y = ---------2 или y = – 2 .

6 и, обозначив оординаты вершины A1 через (x1; y1; z1),

11. B(12; 5), C(–5; 12), D(–12; –5).
Воспользуйтесь тем, что точа C симметрична точе A относительно начала оорди-

=

свяжите оординаты ветора AA 1 = {x – 1; y; z – 1} с ео длиной. Друое уравнение получите из условия AA 1 B AC . 69. 18.

1 нат. 12.  x – --2- 

70. 26.




19 17

б) x – 5y – --6- = 0. 4. AB: 4x + y – 6 = 0; CD: x – 4y – 2 = 0; h = ----------- ; x–1 26 + 5 17

y–2 – 4 26 – 17

cos ϕ = ---------------------- ; l1: --------------------------------- = -------------------------------------- ; l2: ( 26 + 5 17 ) × × (x – 1) + (–4 26 – 17)(y – 2) = 0. 5. y = 2x – 6, y = –2x + 6. 6. x – 5y + 3 = 0 или 5x + y – 11 = 0. 7. C1(5; 10) или C2(3; 0).
Площадь треуольниа ABC найдите по формуле 1 ab S = --2- | a | | b | 1 –  ------------  a b

2

1

= --2-

( a b ) 2 – ( ab ) 2 .

9 1 2 )2 = --4- ;  x – --2-  

2

9

2 )2 = --4- .

+ (y +

Центр исомой оружности лежит на прямой, проходящей

метр исомой оружности равен радиусу данной. Запишите урав-

1. а) x – y + 1 = 0; б) 3x + 5y – 11 = 0; в) x – 1 = 0; ) y – 2 = 0. 2. 3x – 2y – 12 = 0 или 3x – 8y + 24 = 0.
Воспользуйтесь уравнением прямой в отрезах, т. е. формулой (4). 3. а) 3x – 2y – 5 = 0;

19 17 ⋅ 58

+ (y –

1 через точу  --2- ; 0  и перпендиулярной оси Ox (рис. 76). Диа 

§ 77. Аналитическая запись линий на плоскости и поверхностей в пространстве

7

2

1 нение исомой оружности в виде  x – --2-   

2

9

+ (y – y0)2 = --4- и

воспользовавшись тем, что она проходит через точу A(1; 0), найдите y0. 13. (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1; (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25. 14. 2x – y – 2z = 0. 15. а) 3x + 4y + 6z – 29 = 0; б) 2x – 2y – z + + 9 = 0; в) x – y + 4z + 11 = 0; ) x – 5y + 9z – 46 = 0. 5

5

5

6

-----------16. а) arccos --6- ; б) arccos -----14 ; в) arccos 11 . 17. 7 .




Сначала

найдите осинус ула между ветором n , перпендиулярным плосости, и ветором AB . Затем, используя определение ула между прямой и плосостью, найдите синус этоо ула. 18

23 15 10

------------------ . 19. 10. 20. а) 1,5; б) 0; в) 4. 18. а) arcsin -----35 ; б) arcsin

620

Ответы, указания, решения 43 25 13

53. ------------------ . 54. AA1 = 11 5 6

5 3 6

3; 2+

3 ) или (2 –

621

y

31 53 182 14 ------ и BB = ----------- ; OG = -------------- ; arccos ------ , 1 2 2 3 15

arccos ----------- , π – arccos ----------- . 55. (2 + 2–

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

3;

2 1 2

A

O

1

3 ). 56. C1(3; 6); D1(5; 3) или C2(–3; 2), D2(–1; –1).

 1–7 3 1– 3   1+7 3 1+ 3  3 - ; ------------------  , C  --------------------- ; -----------------  . 58. AA = --57. A  --------------------1 2 2 2 2 4    

10 .

3

x

– 2

59. D(20; 23; 6). 60. W = 4. 61. W = 7. 62. AB = 5; BC = 5 2 ; AC = 5; FA = 90°, FB = FC = 45°. 63. Тупоуольный. 64. 45°. 65. AH = {2; 1}.




Учтите, что AH B BC и BH B AC , де

BH = AH – AB . 66.

Рис. 76

3 51 --- . 67. ----------- . 68. A ′ (0; –2; 0) или 1 2 3

15

15

A 1′′ (2; 2; 2).
Зная объем призмы, найдите ее высоту H = AA1 =

----------8. D(9; 0). 9. (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1. 10. y = ---------2 или y = – 2 .

6 и, обозначив оординаты вершины A1 через (x1; y1; z1),

11. B(12; 5), C(–5; 12), D(–12; –5).
Воспользуйтесь тем, что точа C симметрична точе A относительно начала оорди-

=

свяжите оординаты ветора AA 1 = {x – 1; y; z – 1} с ео длиной. Друое уравнение получите из условия AA 1 B AC . 69. 18.

1 нат. 12.  x – --2- 

70. 26.




19 17

б) x – 5y – --6- = 0. 4. AB: 4x + y – 6 = 0; CD: x – 4y – 2 = 0; h = ----------- ; x–1 26 + 5 17

y–2 – 4 26 – 17

cos ϕ = ---------------------- ; l1: --------------------------------- = -------------------------------------- ; l2: ( 26 + 5 17 ) × × (x – 1) + (–4 26 – 17)(y – 2) = 0. 5. y = 2x – 6, y = –2x + 6. 6. x – 5y + 3 = 0 или 5x + y – 11 = 0. 7. C1(5; 10) или C2(3; 0).
Площадь треуольниа ABC найдите по формуле 1 ab S = --2- | a | | b | 1 –  ------------  a b

2

1

= --2-

( a b ) 2 – ( ab ) 2 .

9 1 2 )2 = --4- ;  x – --2-  

2

9

2 )2 = --4- .

+ (y +

Центр исомой оружности лежит на прямой, проходящей

метр исомой оружности равен радиусу данной. Запишите урав-

1. а) x – y + 1 = 0; б) 3x + 5y – 11 = 0; в) x – 1 = 0; ) y – 2 = 0. 2. 3x – 2y – 12 = 0 или 3x – 8y + 24 = 0.
Воспользуйтесь уравнением прямой в отрезах, т. е. формулой (4). 3. а) 3x – 2y – 5 = 0;

19 17 ⋅ 58

+ (y –

1 через точу  --2- ; 0  и перпендиулярной оси Ox (рис. 76). Диа 

§ 77. Аналитическая запись линий на плоскости и поверхностей в пространстве

7

2

1 нение исомой оружности в виде  x – --2-   

2

9

+ (y – y0)2 = --4- и

воспользовавшись тем, что она проходит через точу A(1; 0), найдите y0. 13. (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1; (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25. 14. 2x – y – 2z = 0. 15. а) 3x + 4y + 6z – 29 = 0; б) 2x – 2y – z + + 9 = 0; в) x – y + 4z + 11 = 0; ) x – 5y + 9z – 46 = 0. 5

5

5

6

-----------16. а) arccos --6- ; б) arccos -----14 ; в) arccos 11 . 17. 7 .




Сначала

найдите осинус ула между ветором n , перпендиулярным плосости, и ветором AB . Затем, используя определение ула между прямой и плосостью, найдите синус этоо ула. 18

23 15 10

------------------ . 19. 10. 20. а) 1,5; б) 0; в) 4. 18. а) arcsin -----35 ; б) arcsin

622

Ответы, указания, решения

21. 3. 22. 6x + 2y + 3z ä 42 = 0. 23. (–1; 0; 2). 24. а) (0; 0; –2); б) (2; 3; 1). 25. 3.
Воспользуйтесь тем, что ветор n = {2; 2; –1} параллелен прямой, проходящей через центр сферы перпендиулярно данной плосости. Расстояние от центра сферы до 4 97 40  3 2 ------ ; ------ . 27.  x – ---  + плосости равно 5. 26. (4; –3; 0) и  -----; 2   21 21 21   m2

33

33

2 ----------+ (y – 1)2 + (z – 1)2 = ------2 – 4 ; при m > 2 — сфера; при

33

33

Выберите систему оординат xOy та, чтобы оси Ox и Oy

проходили соответственно через атеты BC и BA. 7. 2ax + 2by = = a2 + b2, де a, b — длины атетов.
Выберите прямоуольную систему оординат та, чтобы ось Ox совпала с атетом CA, а ось Oy — с атетом CB. 14. 3a2, де a — длина стороны 6 170

вадрата. 15. 4a2, де a — длина стороны вадрата. 16. -------------- . 3

1121

1

B1

A

E

N

C1

K C

Рис. 77

y

7a 2

7 17a 2

S

пр - = --------------------- . пятиуольниа S = -----------cos ϕ 24

a2

5a 2

a2

a 5

a 5

Рассмотрим две треуольные пирамиды: NAKA1 и NDML. Неизвестные длины ребер ND и DM второй пирамиды обозначим через x и y соответственно. Из подобия треуольниов A1NA и LND следует, что x = a, а из подобия треуольниов AKN и a2

a

a2

1

1

a 6

a3

a

-----------KL = ---------2 . Значит, V NAKA 1 = 3 · 2 · 2 · a · 2a = 6 , VNDML = 1

1

a3

a

a

= --3- · --2- · --2- · --4- · a = -----48 . Отсюда находим объем одной из частей уба, на оторые разбивает ео сеущая плосость:

Введем систему

z A1

D1

B1

L

C1 A

проходящей через эти точи, имеет вид x + y + --2- z + a = 0. Далее найдем осинус ула между плос-

3a 2

2 --------------DMN — что y = --4- ; тода KL2 = ----4 + a + 4 = 2 , отуда

a F  --2- ; a; a  . Уравнение плосости,   3

6

2 2 ----------------------------------+ ----4 = 4 , т. е. A1L = 2 , A1K = 4 + a , т. е. A1K = 2 .

a че A, E и F: A(a; 0; 0), E  0; --2- ; a  ,  

F

D



a2

---------равна Sпр = a2 – ----8 = 8 , и, следовательно, площадь самоо

оординат Oxyz, а поазано на рис. 77, и найдем оординаты то-

D1 B

x

1373 7 ------------- . 21. arccos ------- . 85 3

7a 2 17 22. --------------------. 24

z

A1

551 1 ---------- . 20. --850 4

Площадь проеции пятиуольниа, полученноо в сечении уба сеущей плосостью, на плосость нижнео основания уба

a a ет, что K  --2- ; 0; 0  , L  0; a; --2-  (рис. 78). Поэтому A1L2 = a2 +    

3 1 3 1 1. arccos ----------- . 2. π – arccos --------------- . 3. arccos ----------- . 4. arccos ------- . 14 5 13 10 5

17. -------------- . 18. --3- ------------170 . 19. 170

3 17

------23. A1K = A1L = -----2 a, KL = 2 a; 7 : 41.  Из условия следу-

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат




623

остью нижнео основания и данной плосостью: cos ϕ = ----------- .

5

2 -----m2 = -----2 — точа; при m < 2 — пустое множество.

1 5. --3- .

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

x

B

K

D M C Рис. 78

N y

622

Ответы, указания, решения

21. 3. 22. 6x + 2y + 3z ä 42 = 0. 23. (–1; 0; 2). 24. а) (0; 0; –2); б) (2; 3; 1). 25. 3.
Воспользуйтесь тем, что ветор n = {2; 2; –1} параллелен прямой, проходящей через центр сферы перпендиулярно данной плосости. Расстояние от центра сферы до 4 97 40  3 2 ------ ; ------ . 27.  x – ---  + плосости равно 5. 26. (4; –3; 0) и  -----; 2   21 21 21   m2

33

33

2 ----------+ (y – 1)2 + (z – 1)2 = ------2 – 4 ; при m > 2 — сфера; при

33

33

Выберите систему оординат xOy та, чтобы оси Ox и Oy

проходили соответственно через атеты BC и BA. 7. 2ax + 2by = = a2 + b2, де a, b — длины атетов.
Выберите прямоуольную систему оординат та, чтобы ось Ox совпала с атетом CA, а ось Oy — с атетом CB. 14. 3a2, де a — длина стороны 6 170

вадрата. 15. 4a2, де a — длина стороны вадрата. 16. -------------- . 3

1121

1

B1

A

E

N

C1

K C

Рис. 77

y

7a 2

7 17a 2

S

пр - = --------------------- . пятиуольниа S = -----------cos ϕ 24

a2

5a 2

a2

a 5

a 5

Рассмотрим две треуольные пирамиды: NAKA1 и NDML. Неизвестные длины ребер ND и DM второй пирамиды обозначим через x и y соответственно. Из подобия треуольниов A1NA и LND следует, что x = a, а из подобия треуольниов AKN и a2

a

a2

1

1

a 6

a3

a

-----------KL = ---------2 . Значит, V NAKA 1 = 3 · 2 · 2 · a · 2a = 6 , VNDML = 1

1

a3

a

a

= --3- · --2- · --2- · --4- · a = -----48 . Отсюда находим объем одной из частей уба, на оторые разбивает ео сеущая плосость:

Введем систему

z A1

D1

B1

L

C1 A

проходящей через эти точи, имеет вид x + y + --2- z + a = 0. Далее найдем осинус ула между плос-

3a 2

2 --------------DMN — что y = --4- ; тода KL2 = ----4 + a + 4 = 2 , отуда

a F  --2- ; a; a  . Уравнение плосости,   3

6

2 2 ----------------------------------+ ----4 = 4 , т. е. A1L = 2 , A1K = 4 + a , т. е. A1K = 2 .

a че A, E и F: A(a; 0; 0), E  0; --2- ; a  ,  

F

D



a2

---------равна Sпр = a2 – ----8 = 8 , и, следовательно, площадь самоо

оординат Oxyz, а поазано на рис. 77, и найдем оординаты то-

D1 B

x

1373 7 ------------- . 21. arccos ------- . 85 3

7a 2 17 22. --------------------. 24

z

A1

551 1 ---------- . 20. --850 4

Площадь проеции пятиуольниа, полученноо в сечении уба сеущей плосостью, на плосость нижнео основания уба

a a ет, что K  --2- ; 0; 0  , L  0; a; --2-  (рис. 78). Поэтому A1L2 = a2 +    

3 1 3 1 1. arccos ----------- . 2. π – arccos --------------- . 3. arccos ----------- . 4. arccos ------- . 14 5 13 10 5

17. -------------- . 18. --3- ------------170 . 19. 170

3 17

------23. A1K = A1L = -----2 a, KL = 2 a; 7 : 41.  Из условия следу-

§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат




623

остью нижнео основания и данной плосостью: cos ϕ = ----------- .

5

2 -----m2 = -----2 — точа; при m < 2 — пустое множество.

1 5. --3- .

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры

x

B

K

D M C Рис. 78

N y

624

Ответы, указания, решения 7a 3

V1 = V NAKA – VNDML = --------48 . Поэтому объем второй части уба 1 41 3 равен V2 = -----48 a , отуда V1 : V2 = 7 : 41. 3a 2 3

a2

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

AC = b , AB = c и | AC | = b, | AB | = c. 22. 1 : 2. 23. 1 : 3. (a + b )(b + c) (a + b + c)

24. ----------------------------------------------------------------. 31. 1 : 8. 32. 3. 33. 8 : 37. 34. 1 : 6. ab ( a + b + 2c ) § 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения векторов

7a 2

- . 25. а) ------ ; б) ---------- . 26. 8a2, де a — длина сто24. ----------------4 4 32 2

1

1

a 5

роны уба. 27. 90°; ------- . 28. 45°; ------- . 29. 60°; ------- . 30. а) ---------3 ; 3 3 3

1. а) 9; б) 13; в) –61. 2. –13. 3. Веторы a и b должa·b

- . 8. а) ma = ны быть взаимно перпендиулярны. 5. k = – ----------a·c

a 5 a 2 ----------б) ---------5 . 31. 2 .

1

= --2§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

1

2 1. –( DC + 2 CQ ). 2. BD = 2( b – a ), AC = --3- ( a + b ). 1 1 --3. AO = ------------1 + n ( AB + n AD ). 4. 0 . 6. λ1 = 3; λ2 = –2. 7. λ = 3 . 4 10 --8. λ = -----7 , µ = 7 . 9. k1 = 1, k2 = –2. 11. p = q = 1. 12. 0 . 1

1

1

13. AM = --2- OB – OA , BN = --2- OC – OB , MN = --2- ( OC – OB ). 1

1

 1 1 3  1 1 + --2- BC . 15. AA 1 = --3- ( BA 1 + CB 1 + AC 1 ). 16.  – --2- ; --2- ; --2-  .    7 3 3  1 1 1  ------ -----17.  --3- ; --3- ; --3-  . 18.  -----10 ; 20 ; 20  . 19.    

 1 1   1; --2- ; --2-  . 20.  

 1 2   1; --2- ; – --3-  .  

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 1

1

б) la

2bc cos ( A/2 ) -------------------------------------- . b+c

=

9. а) ma

2 bcp ( p – a )

=

a+b+c

-. – a 2 + 2b 2 + 2c 2 ; б) la = -----------------------------------, де p = ---------------------b+c 2 2

10. arctg -----2 . 11. (3 +

2 7

73 ) : 8. 12. ------- . 24. При FA = FB = 30°,

FC = 120°.

Г л а в а 15. Комбинаторика. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей

1

1

1. 107 номеров.
Из исходноо множества (0, 1, 2, ..., 9) производятся выбори с повторениями, содержащие по 10 ( 10 7 – 1 )

- номеров. 7 элементов. 2. ------------------------------9




Найдите сумму чисел,

представляющих собой оличество различных выборо по одному, двум, ..., семи элементам исходноо множества. 3. 243 бувы. 4. 232 жителей. 5. Количество делителей числа q 7

1

1

§ 82. Размещения, сочетания, перестановки

равно произведению (k1 + 1) (k2 + 1) ... (km + 1). 6. A 10 номеров. 3

4. DC 1 = --4- a + --4- b , DC 2 = --2- a + --2- b , DC 3 = --4- a + --4- b . 2

= --2-

b 2 + 2bc cos A + c 2 ;

1

14. AM = – BA + --2- BB 1 + --2- BC , A 1 M = – BA – --2- BB 1 +

3

625

k

-------------- MA + -------------- MB . 5. MC = --3- MA + --3- MB . 6. MC = k +1 k+1 cb + bc

17. 4. 18. 2 : 11. 19. 3 : 2. 20. 25 : 64. 21. AA 1 = ------------------b + c , де

7. 2n исходов.
Воспользуйтесь тем, что данное множество состоит из двух элементов (Г, Ц), а выбори с повторениями — из n элементов. 8. 720 перестаново. 9. а) 2 · 29! способами; б) 28 · 29! способами. 10. 968 аордов.
Найдите сумму чисел различных аордов, содержащих по три, четыре, ..., десять звуов. Один аорд, состоящий из k звуов, представляет собой выбору k элементов из исходноо множества,

624

Ответы, указания, решения 7a 3

V1 = V NAKA – VNDML = --------48 . Поэтому объем второй части уба 1 41 3 равен V2 = -----48 a , отуда V1 : V2 = 7 : 41. 3a 2 3

a2

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

AC = b , AB = c и | AC | = b, | AB | = c. 22. 1 : 2. 23. 1 : 3. (a + b )(b + c) (a + b + c)

24. ----------------------------------------------------------------. 31. 1 : 8. 32. 3. 33. 8 : 37. 34. 1 : 6. ab ( a + b + 2c ) § 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения векторов

7a 2

- . 25. а) ------ ; б) ---------- . 26. 8a2, де a — длина сто24. ----------------4 4 32 2

1

1

a 5

роны уба. 27. 90°; ------- . 28. 45°; ------- . 29. 60°; ------- . 30. а) ---------3 ; 3 3 3

1. а) 9; б) 13; в) –61. 2. –13. 3. Веторы a и b должa·b

- . 8. а) ma = ны быть взаимно перпендиулярны. 5. k = – ----------a·c

a 5 a 2 ----------б) ---------5 . 31. 2 .

1

= --2§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры

1

2 1. –( DC + 2 CQ ). 2. BD = 2( b – a ), AC = --3- ( a + b ). 1 1 --3. AO = ------------1 + n ( AB + n AD ). 4. 0 . 6. λ1 = 3; λ2 = –2. 7. λ = 3 . 4 10 --8. λ = -----7 , µ = 7 . 9. k1 = 1, k2 = –2. 11. p = q = 1. 12. 0 . 1

1

1

13. AM = --2- OB – OA , BN = --2- OC – OB , MN = --2- ( OC – OB ). 1

1

 1 1 3  1 1 + --2- BC . 15. AA 1 = --3- ( BA 1 + CB 1 + AC 1 ). 16.  – --2- ; --2- ; --2-  .    7 3 3  1 1 1  ------ -----17.  --3- ; --3- ; --3-  . 18.  -----10 ; 20 ; 20  . 19.    

 1 1   1; --2- ; --2-  . 20.  

 1 2   1; --2- ; – --3-  .  

§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 1

1

б) la

2bc cos ( A/2 ) -------------------------------------- . b+c

=

9. а) ma

2 bcp ( p – a )

=

a+b+c

-. – a 2 + 2b 2 + 2c 2 ; б) la = -----------------------------------, де p = ---------------------b+c 2 2

10. arctg -----2 . 11. (3 +

2 7

73 ) : 8. 12. ------- . 24. При FA = FB = 30°,

FC = 120°.

Г л а в а 15. Комбинаторика. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей

1

1

1. 107 номеров.
Из исходноо множества (0, 1, 2, ..., 9) производятся выбори с повторениями, содержащие по 10 ( 10 7 – 1 )

- номеров. 7 элементов. 2. ------------------------------9




Найдите сумму чисел,

представляющих собой оличество различных выборо по одному, двум, ..., семи элементам исходноо множества. 3. 243 бувы. 4. 232 жителей. 5. Количество делителей числа q 7

1

1

§ 82. Размещения, сочетания, перестановки

равно произведению (k1 + 1) (k2 + 1) ... (km + 1). 6. A 10 номеров. 3

4. DC 1 = --4- a + --4- b , DC 2 = --2- a + --2- b , DC 3 = --4- a + --4- b . 2

= --2-

b 2 + 2bc cos A + c 2 ;

1

14. AM = – BA + --2- BB 1 + --2- BC , A 1 M = – BA – --2- BB 1 +

3

625

k

-------------- MA + -------------- MB . 5. MC = --3- MA + --3- MB . 6. MC = k +1 k+1 cb + bc

17. 4. 18. 2 : 11. 19. 3 : 2. 20. 25 : 64. 21. AA 1 = ------------------b + c , де

7. 2n исходов.
Воспользуйтесь тем, что данное множество состоит из двух элементов (Г, Ц), а выбори с повторениями — из n элементов. 8. 720 перестаново. 9. а) 2 · 29! способами; б) 28 · 29! способами. 10. 968 аордов.
Найдите сумму чисел различных аордов, содержащих по три, четыре, ..., десять звуов. Один аорд, состоящий из k звуов, представляет собой выбору k элементов из исходноо множества,

626

Ответы, указания, решения

содержащео 10 элементов; порядо элементов в выборе несуществен. 11. 40 · 39 ·

5 C 38

омиссий.




Председатель и сере-

тарь образуют выбору без повторений, состоящую из двух элементов исходноо множества, содержащео 40 элементов; 5 членов омиссии образуют выбору без повторений неотороо состава из исходноо множества, содержащео 38 членов. 3

2

4

2

1

2

3

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

те число различных выборо состава (n1, n2), де n1 = 52 — число успехов, а n1 + n2 = 100. 8. 2 · (6!)2 способами.
Число перестаново левых мест ряда умножьте на число перестаново правых мест. Учтите возможность смены левых мест на правые. 9.




n

2

3

ностей. 17. В

10 C 52

§ 84. Бином Ньютона

4

–

1. 1024.

3

10 C 48

случаях.




Исомое оличество равно

разности общео числа способов извлечь 10 арт из 52 и числа способов извлечь 10 арт из 48 та, чтобы среди 10 арт не было туза. 18. 4 ·

4 C 44

способами. 19.

4 A 10

·

4 A6

=

способами.
Выбора объе-

ма 7 с заданным числом повторений производится из 10 рупп 52! ( 13! )

одинаовых элементов. 4. ---------------4- способов.




Найдите число

12! - способов. различных выборо состава (13, 13, 13, 13). 5. -------26

Шесть различных рупп однородных элементов должны составить выбору с заданным числом повторений, содержащую




n

12 элементов и имеющую состав (2, 2, 2, 2, 2, 2). 6. C m + 1 способами.
Рассмотрите выбору с заданным числом повторений, имеющую состав (m + 1, n), де m + 1 — оличество промежутов между m белыми шарами, а n — оличество черных шаров. Число различных расстаново равно числу всевозмож100!




Воспользуйтесь тем,

что наибольший оэффициент имеет средний член разложения. 4. 28x2a–4. 5.
См. уазание  упр. 1. 6. –1375. 1 50 7. C 100  --2-   

100

T

.



k+1 Рассмотрим отношение -------------T . Та а k

1 k+1 Tk + 1 = C 100  --2-   

100

,

1 k Tk = C 100  --2-   

100

,

то

1. 2520 омбинаций. 2. 165 наборов.
Выбора объема 8 с заданным числом повторений производится из четырех рупп однородных элементов. 3.

Разложите выражение (1 + 1)10 по формуле бино2

способами.

§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений

7 C 16




ма. 2. k = 4. 3. T2 = C 18 x6,5 = 153x6,5.

20. 1225 чисел.
Учтите, что цифровая запись числа не может начинаться с нуля. 21. 750 чисел.

7 C 10

n

азательство отороо можно провести непосредственно.

бриад. 15. а) 49 · C 6 различных арточе; б) C 43 · C 6 различных арточе; в) C 43 · C 6 различных арточе. 16. 120 оруж-

n

Воспользуйтесь неравенством C 2n + k · C 2n – k m ( C 2n )2, до-

12. C 8 · C 10 буетов. 13. C 32 · C 4 способами. 14. C 5 · C 15 · C 10 5

627

ных выборо состава (m + 1, n). 7. ----------------48!52! испытаний.




Найди-

Tk + 1 100!k! ( 100 – k + 1 )! –k+1 --------------- = ----------------------------------------------------------------- = 100 ------------------------------- . ( k + 1 )! ( 100 – k )! ⋅ 100! Tk k+1 100 – k + 1 k+1

Если ------------------------------- > 1, то Tk

+ 1

100 – k + 1 k+1

> Tk, а если ------------------------------- < 1, то

Tk + 1 < Tk. Значит, при k < 50 члены Tk возрастают, а при k > 50 — убывают. Следовательно, наибольшим членом являет1 50 ся T50 = C 100  --2-   

100

. 3

8. Десятый член. 9. T3 = C 10 x11.




найти, используя уазание  упр. 1. 10.

Степень бинома можно


Воспользуйтесь бино-

n

миальным разложением для (1 – 1) . 11. –264a3b7.
Используй5

20

те результат упр. 10. 12. 314 925 · 105. 13. x = 2. 14. --8- < x < -----21 .
См. решение упр. 7. 15. x = 0,5.
Используя условие, представьте 50-й член разложения а фунцию арумента x и найдите наибольшее значение этой фунции на промежуте [0; 1].

n–k

14 2 2 16. x = ------------n . 17. C 24 · 3 · 2 . 18. 26.

626

Ответы, указания, решения

содержащео 10 элементов; порядо элементов в выборе несуществен. 11. 40 · 39 ·

5 C 38

омиссий.




Председатель и сере-

тарь образуют выбору без повторений, состоящую из двух элементов исходноо множества, содержащео 40 элементов; 5 членов омиссии образуют выбору без повторений неотороо состава из исходноо множества, содержащео 38 членов. 3

2

4

2

1

2

3

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

те число различных выборо состава (n1, n2), де n1 = 52 — число успехов, а n1 + n2 = 100. 8. 2 · (6!)2 способами.
Число перестаново левых мест ряда умножьте на число перестаново правых мест. Учтите возможность смены левых мест на правые. 9.




n

2

3

ностей. 17. В

10 C 52

§ 84. Бином Ньютона

4

–

1. 1024.

3

10 C 48

случаях.




Исомое оличество равно

разности общео числа способов извлечь 10 арт из 52 и числа способов извлечь 10 арт из 48 та, чтобы среди 10 арт не было туза. 18. 4 ·

4 C 44

способами. 19.

4 A 10

·

4 A6

=

способами.
Выбора объе-

ма 7 с заданным числом повторений производится из 10 рупп 52! ( 13! )

одинаовых элементов. 4. ---------------4- способов.




Найдите число

12! - способов. различных выборо состава (13, 13, 13, 13). 5. -------26

Шесть различных рупп однородных элементов должны составить выбору с заданным числом повторений, содержащую




n

12 элементов и имеющую состав (2, 2, 2, 2, 2, 2). 6. C m + 1 способами.
Рассмотрите выбору с заданным числом повторений, имеющую состав (m + 1, n), де m + 1 — оличество промежутов между m белыми шарами, а n — оличество черных шаров. Число различных расстаново равно числу всевозмож100!




Воспользуйтесь тем,

что наибольший оэффициент имеет средний член разложения. 4. 28x2a–4. 5.
См. уазание  упр. 1. 6. –1375. 1 50 7. C 100  --2-   

100

T

.



k+1 Рассмотрим отношение -------------T . Та а k

1 k+1 Tk + 1 = C 100  --2-   

100

,

1 k Tk = C 100  --2-   

100

,

то

1. 2520 омбинаций. 2. 165 наборов.
Выбора объема 8 с заданным числом повторений производится из четырех рупп однородных элементов. 3.

Разложите выражение (1 + 1)10 по формуле бино2

способами.

§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений

7 C 16




ма. 2. k = 4. 3. T2 = C 18 x6,5 = 153x6,5.

20. 1225 чисел.
Учтите, что цифровая запись числа не может начинаться с нуля. 21. 750 чисел.

7 C 10

n

азательство отороо можно провести непосредственно.

бриад. 15. а) 49 · C 6 различных арточе; б) C 43 · C 6 различных арточе; в) C 43 · C 6 различных арточе. 16. 120 оруж-

n

Воспользуйтесь неравенством C 2n + k · C 2n – k m ( C 2n )2, до-

12. C 8 · C 10 буетов. 13. C 32 · C 4 способами. 14. C 5 · C 15 · C 10 5

627

ных выборо состава (m + 1, n). 7. ----------------48!52! испытаний.




Найди-

Tk + 1 100!k! ( 100 – k + 1 )! –k+1 --------------- = ----------------------------------------------------------------- = 100 ------------------------------- . ( k + 1 )! ( 100 – k )! ⋅ 100! Tk k+1 100 – k + 1 k+1

Если ------------------------------- > 1, то Tk

+ 1

100 – k + 1 k+1

> Tk, а если ------------------------------- < 1, то

Tk + 1 < Tk. Значит, при k < 50 члены Tk возрастают, а при k > 50 — убывают. Следовательно, наибольшим членом являет1 50 ся T50 = C 100  --2-   

100

. 3

8. Десятый член. 9. T3 = C 10 x11.




найти, используя уазание  упр. 1. 10.

Степень бинома можно


Воспользуйтесь бино-

n

миальным разложением для (1 – 1) . 11. –264a3b7.
Используй5

20

те результат упр. 10. 12. 314 925 · 105. 13. x = 2. 14. --8- < x < -----21 .
См. решение упр. 7. 15. x = 0,5.
Используя условие, представьте 50-й член разложения а фунцию арумента x и найдите наибольшее значение этой фунции на промежуте [0; 1].

n–k

14 2 2 16. x = ------------n . 17. C 24 · 3 · 2 . 18. 26.

628

Ответы, указания, решения 19. Первое, пятое и девятое слааемые разложения.



прорессию, то можно составить уравнение n(n – 1) ----------------------- + 1 = n, 8

Tk =

–k 8–k 8 ------------1  --x 4

 2 

=

k+8 -------------2k – 8 x 4

k

23.







n

Используйте биномиальное разложение для (1 – 1) . 2n

.

на 25.
Найдите приращения первообразной фунции (1 + промежуте [0; 1] непосредственно и записав выражение для x)n

n

по формуле бинома Ньютона. 26.

ную фунции (x – 1)

n

в точе x = 1. 27.







Найдите производСравните прираще-

n

ния первообразной фунции (x – 1) на промежуте [0; 1], найденные непосредственно и с помощью предварительноо разn

ложения (x – 1) по формуле бинома Ньютона. 28. (n + 1)! – 1.
К исомому выражению прибавьте и отнимите P1 + P2 + ... ... + Pn. 29.




k

k–1

Используйте тождество C n + C n

3

= --8- ; P(B) = --8- . 1

10

89

1

1

-------7. --6- . 8. --2- . 9. -----99 . 10. 99 . 11. 8 . 2

1

18. -----60 .

245

1




См. решение упр. 6. C

nmk

4

4




Пространство элементарных событий содержит все

перестанови с заданным числом повторений, имеющие состав (3, 2, 1). Блаоприятной будет тольо одна таая переста24 ⋅ 48!13 4

2 ⋅ 4!3!

5 ⋅ 3!4!

------------------- . 21. ------------------------------ . нова. 19. -----------------7! 7! . 20. 52!




Пространство

элементарных событий содержит все выбори, имеющие состав (13, 13, 13, 13). Блаоприятными считаются выбори состава (12, 12, 12, 12),  аждой из оторых присоединяется один из k

50

5 !5!

C C

m–k

5

1

C C

1

n N–n 6 43 ------------------------------ . 25. -------- ---------------, четырех тузов. 22. ---------m 6 , 6 10! . 23. C 5 . 24. C C C 15 N 49 49 4

2

3

3

5

1

4

1

1

2

1

8

C 6 C 43 C 6 C 43 C 48 C 4 C 44 C 4 C 4 C4 C2 2 ⋅ C 18 --------------- , --------------- . 26. а) --------------- ; б) ----------------------- . 27. ------------- = 0,6. 28. ---------------6 6 6 6 3 10 . C 49 C 49 C 52 C 52 C6 C 20

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами

k

= Cn + 1 .

r2

1

1

2

1 + 3 ln 2

-. 1. 0,2. 2. ------2- . 3. --2- . 4. --3- . 5. --2- . 6. ------------------------8 R

§ 85. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики 1 5 12 -------1. --------365 . 2. 12 . 3. 3 .

Пространство элементарных собы-

n 30 - . 13. ---------- . 14. ---------- . 15. ----------------------- . 16. --------------12. --------------2 3 4 . 17. 2 . 354 720 Cn + m + k C 15 Cn + m C 45

Рассмотрите биномиальное разложение для (10 – 1)

(1 + x)



629

тий состоит из таих выборо с повторениями, оторые содержат бувы Ц, Г. Оно влючает 23 = 8 элементов. Событию A блаоприятствует тольо одна выбора (Ц, Ц, Ц), а событию B — три: (Ц, Ц, Г), (Ц, Г, Ц), (Г, Ц, Ц). Таим образом, P(A) =

C

C8 .

Этот член является рациональным, если k + 8 ратно 4, де 0 m m k m 8. Уазанное условие выполняется при k = 0, 4, 8. Следовательно, рациональными являются члены T0, T4, T8. 20.

6. P(A) = --8- , P(B) = --8- .

1

имеющее орни n = 8 и n = 1; n = 1 — посторонний орень. При n = 8 общий член разложения запишется в виде

3

1

Та

n n(n – 1) - образуют арифметичесую а оэффициенты 1, --2- , ---------------------8

k k --C8 x 2

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей




Рассмотрите от1

ношение общей площади фиур, ораниченных линиями y = --x- ,


Количество двузначных чисел равно

90. Количество двузначных чисел, делящихся на 3, найдите из 3

уравнения 99 = 12 + 3(n – 1). 4. 0,4. 5. -----13 .

1

π

y = 2x, x = 2, y = 0,  площади вадрата со стороной 2. 7. --2- – -----16 .


2

См. уазание  упр. 6. 8. --3- .




Коэффициенты уравнения па-

628

Ответы, указания, решения 19. Первое, пятое и девятое слааемые разложения.



прорессию, то можно составить уравнение n(n – 1) ----------------------- + 1 = n, 8

Tk =

–k 8–k 8 ------------1  --x 4

 2 

=

k+8 -------------2k – 8 x 4

k

23.







n

Используйте биномиальное разложение для (1 – 1) . 2n

.

на 25.
Найдите приращения первообразной фунции (1 + промежуте [0; 1] непосредственно и записав выражение для x)n

n

по формуле бинома Ньютона. 26.

ную фунции (x – 1)

n

в точе x = 1. 27.







Найдите производСравните прираще-

n

ния первообразной фунции (x – 1) на промежуте [0; 1], найденные непосредственно и с помощью предварительноо разn

ложения (x – 1) по формуле бинома Ньютона. 28. (n + 1)! – 1.
К исомому выражению прибавьте и отнимите P1 + P2 + ... ... + Pn. 29.




k

k–1

Используйте тождество C n + C n

3

= --8- ; P(B) = --8- . 1

10

89

1

1

-------7. --6- . 8. --2- . 9. -----99 . 10. 99 . 11. 8 . 2

1

18. -----60 .

245

1




См. решение упр. 6. C

nmk

4

4




Пространство элементарных событий содержит все

перестанови с заданным числом повторений, имеющие состав (3, 2, 1). Блаоприятной будет тольо одна таая переста24 ⋅ 48!13 4

2 ⋅ 4!3!

5 ⋅ 3!4!

------------------- . 21. ------------------------------ . нова. 19. -----------------7! 7! . 20. 52!




Пространство

элементарных событий содержит все выбори, имеющие состав (13, 13, 13, 13). Блаоприятными считаются выбори состава (12, 12, 12, 12),  аждой из оторых присоединяется один из k

50

5 !5!

C C

m–k

5

1

C C

1

n N–n 6 43 ------------------------------ . 25. -------- ---------------, четырех тузов. 22. ---------m 6 , 6 10! . 23. C 5 . 24. C C C 15 N 49 49 4

2

3

3

5

1

4

1

1

2

1

8

C 6 C 43 C 6 C 43 C 48 C 4 C 44 C 4 C 4 C4 C2 2 ⋅ C 18 --------------- , --------------- . 26. а) --------------- ; б) ----------------------- . 27. ------------- = 0,6. 28. ---------------6 6 6 6 3 10 . C 49 C 49 C 52 C 52 C6 C 20

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами

k

= Cn + 1 .

r2

1

1

2

1 + 3 ln 2

-. 1. 0,2. 2. ------2- . 3. --2- . 4. --3- . 5. --2- . 6. ------------------------8 R

§ 85. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики 1 5 12 -------1. --------365 . 2. 12 . 3. 3 .

Пространство элементарных собы-

n 30 - . 13. ---------- . 14. ---------- . 15. ----------------------- . 16. --------------12. --------------2 3 4 . 17. 2 . 354 720 Cn + m + k C 15 Cn + m C 45

Рассмотрите биномиальное разложение для (10 – 1)

(1 + x)



629

тий состоит из таих выборо с повторениями, оторые содержат бувы Ц, Г. Оно влючает 23 = 8 элементов. Событию A блаоприятствует тольо одна выбора (Ц, Ц, Ц), а событию B — три: (Ц, Ц, Г), (Ц, Г, Ц), (Г, Ц, Ц). Таим образом, P(A) =

C

C8 .

Этот член является рациональным, если k + 8 ратно 4, де 0 m m k m 8. Уазанное условие выполняется при k = 0, 4, 8. Следовательно, рациональными являются члены T0, T4, T8. 20.

6. P(A) = --8- , P(B) = --8- .

1

имеющее орни n = 8 и n = 1; n = 1 — посторонний орень. При n = 8 общий член разложения запишется в виде

3

1

Та

n n(n – 1) - образуют арифметичесую а оэффициенты 1, --2- , ---------------------8

k k --C8 x 2

Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей




Рассмотрите от1

ношение общей площади фиур, ораниченных линиями y = --x- ,


Количество двузначных чисел равно

90. Количество двузначных чисел, делящихся на 3, найдите из 3

уравнения 99 = 12 + 3(n – 1). 4. 0,4. 5. -----13 .

1

π

y = 2x, x = 2, y = 0,  площади вадрата со стороной 2. 7. --2- – -----16 .


2

См. уазание  упр. 6. 8. --3- .




Коэффициенты уравнения па-

630

Ответы, указания, решения

раболы y = ax2 + bx + c найдите из условия прохождения ее через три уазанные точи, выбрав соответствующую систему 3π – 8

оординат. 9. ---------------π . 11. При a = 0,5.
Используйте утвержде-

ние упр. 10. 12. d 0,314. 13. 0,5.
Если обозначить расстояние от точи B до начала оординат через x, а от точи C — через y, то пространство элементарных событий будет представлено единичным вадратом, вписанным в первую четверть оординатной плосости. Элементарные события, блаоприятствующие событию, вероятность отороо требуется найти, изобразятся точами, оординаты оторых удовлетворяют неравенству | y – x | m min {x, y}. 14. Поезд направления AC должен приходить через 10 мин после отхода поезда направления CA. 2l

15. -----πa .




Введите систему оординат xOy, де x — уол, ото-

рый образует ила с параллельными прямыми, а y — расстояние от центра илы до ближайшей прямой. Тода пространству элементарных событий соответствует прямоуольни со сторо-

Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления 631 2

отвечать первым или последним. 13. --3- .

( m – 1 )m + nm

15. а) (--------------------------------------------------m + n – 1 ) (m + n) ;


1

× (k + L)(k + L – 1)(k + L – 2) – k(k – 1)(k – 2) (N – n)(N – n – 1) × × (N – n – 2) – k(k – 1)L(N – n) (N – n – 1)(M – m) – k(L – 1) × × (L – 2)(N – n) (M – m) (M – m – 1) – L(L – 1) (L – 2) (M – m) × × (M – m – 1) (M – m – 2).
Рассмотрите ипотезы: H0 — все три изделия из первой партии; H1 — два изделия из первой партии и одно из второй; H2 — одно изделие из первой партии и две из второй; H3 — все три изделия из второй партии.

Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления § 88. Высказывания

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий n2 m(m – 1) n(n – 1) m2 - -------------------------------------------------------------------------- ----------------------1. (--------------------------------------------------n + m ) ( n + m – 1 ) ; ( n + m ) ( n + m – 1 ) . 2. ( n + m ) 2 ; ( n + m ) 2 .
Учтите, что если шары возвращают обратно, то события, связанные с цветом последовательно вынимаемых шаров, незави-

25

3

20

15

-------------------------------симы. 3. -----51 · 50 · 49 d 0,1055. 4. 216 . 5. 5 . 6. а) 25 · 20 × 6nmk 81 42 14 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------× -----19 = 95 ; б) 190 . 7. 1 – ( n + m + k ) ( n + m + k – 1 ) ( n + m + k – 2 ) . 67

( n – l ) ( n – l – 1 )... ( n – l – k + 1 )

------------------------------------------------------------------------------------------ . 10. 1 – (1 – p)n. 8. -----n ( n – 1 ) ( n – 2 )... ( n – k + 1 ) 91 . 9. 1 – ln ( 1 – P )

11. n > ------------------------ln ( 1 – p ) , де n — число выстрелов.




KnM + LmN

16. ------------------------------------( k + L )MN .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . [N(N – 1)(N – 2) × 17. N (N – 1 )( N – 2) (k + L )( k + L – 1 )( k + L – 2 )

условию пересечения илой параллельных прямых, — точи, оординаты оторых удовлетворяют неравенству l sin x < y.

13

( k + 1 )m + kn

б) -----------------------------------------------(k + l + 1 )(m + n) .

См. уазание  упр. 13.

π

26

Рассмотрите следую-

щие ипотезы: A — в урне было два белых шара; B — в урне было два черных шара; C — в урне были разноцветные шары. Вероятности ипотез следует считать одинаовыми. 14. 0,85.

нами a и --2- , а элементарным событиям, блаоприятствующим

39




Число выстрелов

найдите из условия, что в серии из n выстрелов вероятность поражения цели (хотя бы одноо попадания) не меньше P. 12. Вероятность сдачи эзамена не зависит от тоо, идет учени

6. а) У меня или нет собаи или есть оша; б) у меня нет ни оши, ни собаи; в) у меня или есть и оша, и собаа или нет ни оши, ни собаи; ) если у меня нет собаи, то у меня есть оша. 7. p q p|q 1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 1 1

8. (p , q ) # ( p , q) # ( p , q ). 10. а) p º q; б) q º p; в) p J q; ) q º p ; д) p J q . 11. p , q , r . 12. а) Мишень поражена по райней мере при одном из выстрелов; б) мишень поражена при аждом выстреле; в) мишень поражена при третьем выстреле, а при одном из первых двух — нет. 13. Да. 14. Все уча-

630

Ответы, указания, решения

раболы y = ax2 + bx + c найдите из условия прохождения ее через три уазанные точи, выбрав соответствующую систему 3π – 8

оординат. 9. ---------------π . 11. При a = 0,5.
Используйте утвержде-

ние упр. 10. 12. d 0,314. 13. 0,5.
Если обозначить расстояние от точи B до начала оординат через x, а от точи C — через y, то пространство элементарных событий будет представлено единичным вадратом, вписанным в первую четверть оординатной плосости. Элементарные события, блаоприятствующие событию, вероятность отороо требуется найти, изобразятся точами, оординаты оторых удовлетворяют неравенству | y – x | m min {x, y}. 14. Поезд направления AC должен приходить через 10 мин после отхода поезда направления CA. 2l

15. -----πa .




Введите систему оординат xOy, де x — уол, ото-

рый образует ила с параллельными прямыми, а y — расстояние от центра илы до ближайшей прямой. Тода пространству элементарных событий соответствует прямоуольни со сторо-

Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления 631 2

отвечать первым или последним. 13. --3- .

( m – 1 )m + nm

15. а) (--------------------------------------------------m + n – 1 ) (m + n) ;


1

× (k + L)(k + L – 1)(k + L – 2) – k(k – 1)(k – 2) (N – n)(N – n – 1) × × (N – n – 2) – k(k – 1)L(N – n) (N – n – 1)(M – m) – k(L – 1) × × (L – 2)(N – n) (M – m) (M – m – 1) – L(L – 1) (L – 2) (M – m) × × (M – m – 1) (M – m – 2).
Рассмотрите ипотезы: H0 — все три изделия из первой партии; H1 — два изделия из первой партии и одно из второй; H2 — одно изделие из первой партии и две из второй; H3 — все три изделия из второй партии.

Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления § 88. Высказывания

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий n2 m(m – 1) n(n – 1) m2 - -------------------------------------------------------------------------- ----------------------1. (--------------------------------------------------n + m ) ( n + m – 1 ) ; ( n + m ) ( n + m – 1 ) . 2. ( n + m ) 2 ; ( n + m ) 2 .
Учтите, что если шары возвращают обратно, то события, связанные с цветом последовательно вынимаемых шаров, незави-

25

3

20

15

-------------------------------симы. 3. -----51 · 50 · 49 d 0,1055. 4. 216 . 5. 5 . 6. а) 25 · 20 × 6nmk 81 42 14 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------× -----19 = 95 ; б) 190 . 7. 1 – ( n + m + k ) ( n + m + k – 1 ) ( n + m + k – 2 ) . 67

( n – l ) ( n – l – 1 )... ( n – l – k + 1 )

------------------------------------------------------------------------------------------ . 10. 1 – (1 – p)n. 8. -----n ( n – 1 ) ( n – 2 )... ( n – k + 1 ) 91 . 9. 1 – ln ( 1 – P )

11. n > ------------------------ln ( 1 – p ) , де n — число выстрелов.




KnM + LmN

16. ------------------------------------( k + L )MN .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . [N(N – 1)(N – 2) × 17. N (N – 1 )( N – 2) (k + L )( k + L – 1 )( k + L – 2 )

условию пересечения илой параллельных прямых, — точи, оординаты оторых удовлетворяют неравенству l sin x < y.

13

( k + 1 )m + kn

б) -----------------------------------------------(k + l + 1 )(m + n) .

См. уазание  упр. 13.

π

26

Рассмотрите следую-

щие ипотезы: A — в урне было два белых шара; B — в урне было два черных шара; C — в урне были разноцветные шары. Вероятности ипотез следует считать одинаовыми. 14. 0,85.

нами a и --2- , а элементарным событиям, блаоприятствующим

39




Число выстрелов

найдите из условия, что в серии из n выстрелов вероятность поражения цели (хотя бы одноо попадания) не меньше P. 12. Вероятность сдачи эзамена не зависит от тоо, идет учени

6. а) У меня или нет собаи или есть оша; б) у меня нет ни оши, ни собаи; в) у меня или есть и оша, и собаа или нет ни оши, ни собаи; ) если у меня нет собаи, то у меня есть оша. 7. p q p|q 1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 1 1

8. (p , q ) # ( p , q) # ( p , q ). 10. а) p º q; б) q º p; в) p J q; ) q º p ; д) p J q . 11. p , q , r . 12. а) Мишень поражена по райней мере при одном из выстрелов; б) мишень поражена при аждом выстреле; в) мишень поражена при третьем выстреле, а при одном из первых двух — нет. 13. Да. 14. Все уча-

632

Ответы, указания, решения

Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления 633 или для неотороо x Ý [a; b] справедливо неравенство f(x) > M, или существует таое ε > 0, что для всех x Ý [a; b] справедливо неравенство f(x) m M – ε.

p q r

p

q p

Рис. 79

Рис. 80

§ 91. Системы счисления 1. (114144)6. 2. 10 000. 3. 9. 4. 19. 6. (42714)8. 7. (3125)6. 8. (145244)6. 9.

ствовали. 15. A сдал эзамен. 16. а) (p , q , r) # (p , q , r) # # ( p , q , r ); б) ( p , q , r ); в) (p , q , r) , (p , q , r) . 17. а) (p , q) # ( p , q ) = p J q; б) p , q; в) p , q; ) p , q . 18. «Верно ли следующее высазывание: или ты оворишь правду и этот выход ведет на свободу, или ты лжешь и этот выход ведет на смерть»? 19. Высазывание имеет вид p , q , r = = p # q # r и может быть реализовано в виде схемы, изображенной на рис. 79. 20. (p , q) # (( p , q ) # q). 21. См. рис. 80. 22. p J q. § 89. Предложения, зависящие от переменной 1. а) [–2; +×); б) (2; +×); в) R; ) (–×; –2) Ÿ (2; +×); д) ¾; е) R. 2. а) R; б) [–2; +×); в) [–2; +×); ) R; д) (–×; –2); е) R. 2

2

5

3. (3; 4). 4. а) 0 < a < --3- ; б) a > --3- . 5. { --- }. 6. а) a Ý R\{{3} Ÿ {1}}; 2 1 б) a = 1; в) a = 3. 7.  –×; --2-

. 8. Истина. 9. Ложь. 10. Исти-

на. 11. Истина. 12. Истина. 13. Ложь. 14. Истина. 15. Ложь. 16. Истина. 17. Ложь. 18. а) (<M > 0) (>n Ý N) (|un| m M); (>M > 0) ( M); б) (>n Ý N) (un + 1 > un); (ε > 0) (<δ > 0) (>x Ý R) (0 < |x – a| < < δ º |f(x) – b| < ε). 20. а) M =

sup

x Ý [a; b]

f(x) _ (((>x Ý [a; b]) º

º (f(x) m M)) , ((>ε > 0) (<x Ý [a; b]) º (f(x) > M – ε)); б) M − − sup f(x) _ ((<x Ý [a; b]) (f(x) > M)) # ((<ε > 0) (>x Ý [a; b]) x Ý [a; b]

(f(x) m M – ε); M не является точной верхней ранью фунции f(x) на отрезе [a; b], если верно одно из двух высазываний:

0

1

0

0

0

1

0

1

5. 4380;

(1540)4.

10. 72. 13. Основание системы равно 5. 14. (12)3. 15. В любой системе. 16.
Например, если тело имеет массу 19 , то, записав число 19 в двоичной системе счисления, имеем (19)2 = = (10011)2, т. е. для ео взвешивания следует взять следующие три ири: 24 = 16 , 21 = 2  и 20 = 1 . 17.  Представим любое число, не превосходящее 40, в троичной системе с цифрами –1, 0, 1 следующим образом: если остато от деления очередноо неполноо частноо на 3 равен 2, то пишем (–1) и полученное частное увеличиваем на 1. Например вместо 20 3 пишем 20 3 . Таим образом, 2 6 –1 7 в троичной записи любоо числа будут присутствовать цифры –1, 0, 1. Продолжая деление в рассматриваемом примере, имеем 20 –1

3 7 1

(20)10 = ( 1 –1 1 –1 ) 3 .

3 2 –1

3 1

Черточа над цифрой 3 означает, что число представлено в системе с цифрами –1, 0, 1. Та а (40)10 = (1 1 1 1)3, то для любоо тела, масса отороо не превосходит 40 , хватит четырех ирь с массами 1, 3, 9, 27. Алоритм взвешивания определяется записью числа в троичной системе. Та, чтобы взвесить тело в 20 , следует на одну чашу весов поставить ири с массами 27 = 33 и 3 = 31 (эти разряды в записи представлены цифрами 1), а на дру-

632

Ответы, указания, решения

Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления 633 или для неотороо x Ý [a; b] справедливо неравенство f(x) > M, или существует таое ε > 0, что для всех x Ý [a; b] справедливо неравенство f(x) m M – ε.

p q r

p

q p

Рис. 79

Рис. 80

§ 91. Системы счисления 1. (114144)6. 2. 10 000. 3. 9. 4. 19. 6. (42714)8. 7. (3125)6. 8. (145244)6. 9.

ствовали. 15. A сдал эзамен. 16. а) (p , q , r) # (p , q , r) # # ( p , q , r ); б) ( p , q , r ); в) (p , q , r) , (p , q , r) . 17. а) (p , q) # ( p , q ) = p J q; б) p , q; в) p , q; ) p , q . 18. «Верно ли следующее высазывание: или ты оворишь правду и этот выход ведет на свободу, или ты лжешь и этот выход ведет на смерть»? 19. Высазывание имеет вид p , q , r = = p # q # r и может быть реализовано в виде схемы, изображенной на рис. 79. 20. (p , q) # (( p , q ) # q). 21. См. рис. 80. 22. p J q. § 89. Предложения, зависящие от переменной 1. а) [–2; +×); б) (2; +×); в) R; ) (–×; –2) Ÿ (2; +×); д) ¾; е) R. 2. а) R; б) [–2; +×); в) [–2; +×); ) R; д) (–×; –2); е) R. 2

2

5

3. (3; 4). 4. а) 0 < a < --3- ; б) a > --3- . 5. { --- }. 6. а) a Ý R\{{3} Ÿ {1}}; 2 1 б) a = 1; в) a = 3. 7.  –×; --2-

. 8. Истина. 9. Ложь. 10. Исти-

на. 11. Истина. 12. Истина. 13. Ложь. 14. Истина. 15. Ложь. 16. Истина. 17. Ложь. 18. а) (<M > 0) (>n Ý N) (|un| m M); (>M > 0) ( M); б) (>n Ý N) (un + 1 > un); (ε > 0) (<δ > 0) (>x Ý R) (0 < |x – a| < < δ º |f(x) – b| < ε). 20. а) M =

sup

x Ý [a; b]

f(x) _ (((>x Ý [a; b]) º

º (f(x) m M)) , ((>ε > 0) (<x Ý [a; b]) º (f(x) > M – ε)); б) M − − sup f(x) _ ((<x Ý [a; b]) (f(x) > M)) # ((<ε > 0) (>x Ý [a; b]) x Ý [a; b]

(f(x) m M – ε); M не является точной верхней ранью фунции f(x) на отрезе [a; b], если верно одно из двух высазываний:

0

1

0

0

0

1

0

1

5. 4380;

(1540)4.

10. 72. 13. Основание системы равно 5. 14. (12)3. 15. В любой системе. 16.
Например, если тело имеет массу 19 , то, записав число 19 в двоичной системе счисления, имеем (19)2 = = (10011)2, т. е. для ео взвешивания следует взять следующие три ири: 24 = 16 , 21 = 2  и 20 = 1 . 17.  Представим любое число, не превосходящее 40, в троичной системе с цифрами –1, 0, 1 следующим образом: если остато от деления очередноо неполноо частноо на 3 равен 2, то пишем (–1) и полученное частное увеличиваем на 1. Например вместо 20 3 пишем 20 3 . Таим образом, 2 6 –1 7 в троичной записи любоо числа будут присутствовать цифры –1, 0, 1. Продолжая деление в рассматриваемом примере, имеем 20 –1

3 7 1

(20)10 = ( 1 –1 1 –1 ) 3 .

3 2 –1

3 1

Черточа над цифрой 3 означает, что число представлено в системе с цифрами –1, 0, 1. Та а (40)10 = (1 1 1 1)3, то для любоо тела, масса отороо не превосходит 40 , хватит четырех ирь с массами 1, 3, 9, 27. Алоритм взвешивания определяется записью числа в троичной системе. Та, чтобы взвесить тело в 20 , следует на одну чашу весов поставить ири с массами 27 = 33 и 3 = 31 (эти разряды в записи представлены цифрами 1), а на дру-

634

Ответы, указания, решения

ую — с массами 9 = 32 и 1 = 30 (эти разряды представлены цифрами –1). 18.  Масса mp + 1 следующей ири должна быть не больше чем 2Mp + 1. Действительно, если mp + 1 > 2Mp + 1, то руз массой Mp + 1 удается взвесить с помощью разности mp – Mp. Если же mp + 1 < 2Mp + 1, то масимальная масса Mp + 1 = m1 + ... ... + mp + 1 будет меньше возможной. Следовательно, mp + 1 можно найти из уравнения mp + 1 – Mp = Mp + 1. Учитывая, что Mp + 1 = m1 + ... + mp + 1, получаем Mp + 1 = = 3Mp + 1. 19.
Нужный результат сразу же следует из утверждения упр. 18, та а уравнение Mp + 1 = 3Mp + 1 поазывает, что при делении Mp на 3 для любоо p получается остато, равный 1. 20.
Из результатов упр. 19 и 18 следует, что минимальное p–1

p

число ирь находится из неравенства 3 < n m 3 . Алоритм взвешивания совпадает с тем, оторый описан в упр. 17 и определяется записью n в троичной системе счисления. 21.  Если система счисления десятичная, то масимальное число, оторое можно представить при r = 30, равно 999. Действительно, та а p = 3, то 999 — масимальное число, оторое можно записать в десятичной системе счисления с использованием трех разрядов. Если a > 10, например a = 15, то число разрядов p равно 2 и, следовательно, масимальное число равно 15 · 14 + 150 · 14 = = 224. Если основание равно 2, то масимальное число, записанное по этому основанию, равно 215 – 1; если основание равно 3, то 310 – 1; если основание равно 6, то 65 – 1. Очевидно, что 310 – 1 > 215 – 1 > 65 – 1, та а 95 > 85 > 65. Ита, масимальным числом является 310 – 1.

634

Ответы, указания, решения

ую — с массами 9 = 32 и 1 = 30 (эти разряды представлены цифрами –1). 18.  Масса mp + 1 следующей ири должна быть не больше чем 2Mp + 1. Действительно, если mp + 1 > 2Mp + 1, то руз массой Mp + 1 удается взвесить с помощью разности mp – Mp. Если же mp + 1 < 2Mp + 1, то масимальная масса Mp + 1 = m1 + ... ... + mp + 1 будет меньше возможной. Следовательно, mp + 1 можно найти из уравнения mp + 1 – Mp = Mp + 1. Учитывая, что Mp + 1 = m1 + ... + mp + 1, получаем Mp + 1 = = 3Mp + 1. 19.
Нужный результат сразу же следует из утверждения упр. 18, та а уравнение Mp + 1 = 3Mp + 1 поазывает, что при делении Mp на 3 для любоо p получается остато, равный 1. 20.
Из результатов упр. 19 и 18 следует, что минимальное p–1

p

число ирь находится из неравенства 3 < n m 3 . Алоритм взвешивания совпадает с тем, оторый описан в упр. 17 и определяется записью n в троичной системе счисления. 21.  Если система счисления десятичная, то масимальное число, оторое можно представить при r = 30, равно 999. Действительно, та а p = 3, то 999 — масимальное число, оторое можно записать в десятичной системе счисления с использованием трех разрядов. Если a > 10, например a = 15, то число разрядов p равно 2 и, следовательно, масимальное число равно 15 · 14 + 150 · 14 = = 224. Если основание равно 2, то масимальное число, записанное по этому основанию, равно 215 – 1; если основание равно 3, то 310 – 1; если основание равно 6, то 65 – 1. Очевидно, что 310 – 1 > 215 – 1 > 65 – 1, та а 95 > 85 > 65. Ита, масимальным числом является 310 – 1.

Оглавление

От издательства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений . . . .

5

§ 1. Упрощение иррациональных выражений . . . § 2. Преобразование выражений, содержащих зна модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Доазательство тождеств . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Условные тождества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Преобразование лоарифмичесих выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 9 16 19

Г л а в а 2. Уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

§ 6. Нахождение орней мноочленов . . . . . . . . . § 7. Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаом модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . § 10. Поазательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Лоарифмичесие уравнения. . . . . . . . . . . . . § 12. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 37 41 42 48 54 60

Г л а в а 3. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

§ 13. Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . § 14. Системы нелинейных уравнений . . . . . . . . . . § 15. Системы поазательных и лоарифмичесих уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 16. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 66

22

77 81

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 18. Поазательные неравенства . . . . . . . . . . . . . .

82 90

Оглавление

От издательства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений . . . .

5

§ 1. Упрощение иррациональных выражений . . . § 2. Преобразование выражений, содержащих зна модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Доазательство тождеств . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Условные тождества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Преобразование лоарифмичесих выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 9 16 19

Г л а в а 2. Уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

§ 6. Нахождение орней мноочленов . . . . . . . . . § 7. Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаом модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . § 10. Поазательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Лоарифмичесие уравнения. . . . . . . . . . . . . § 12. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 37 41 42 48 54 60

Г л а в а 3. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

§ 13. Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . § 14. Системы нелинейных уравнений . . . . . . . . . . § 15. Системы поазательных и лоарифмичесих уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 16. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 66

22

77 81

Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 18. Поазательные неравенства . . . . . . . . . . . . . .

82 90

636

Оглавление

Оглавление

637

§ 19. Лоарифмичесие неравенства . . . . . . . . . . . § 20. Решение неравенств, содержащих сложные фунции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 21. Уравнения и неравенства с параметрами . . . § 22. Доазательство неравенств . . . . . . . . . . . . . .

93

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции . . . . . .

200

98 100 108

§ 42. Предел фунции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 43. Вычисление пределов фунций . . . . . . . . . . . § 44. Непрерывность фунции . . . . . . . . . . . . . . . . § 45. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200 203 207 213

Г л а в а 5. Тригонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

Г л а в а 9. Производная и ее применения . . . . . . . . . . . . . . .

216

§ 46. Нахождение производных . . . . . . . . . . . . . . . § 47. Промежути монотонности и эстремумы фунции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 48. Наибольшее и наименьшее значения фунции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 49. Задачи на отысание наибольших и наименьших значений фунции. . . . . . . . . § 50. Геометричесие приложения производной . . § 51. Приложения производной  задачам физии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

§ 23. Тождественные преобразования трионометричесих выражений . . . . . . . . . . § 24. Вычисление значений трионометричесих фунций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 25. Трионометричесие уравнения . . . . . . . . . . § 26. Системы трионометричесих уравнений . . . § 27. Уравнения, содержащие обратные трионометричесие фунции . . . . . . . . . . . . § 28. Трионометричесие неравенства . . . . . . . . . § 29. Неравенства, содержащие обратные трионометричесие фунции . . . . . . . . . . . . § 30. Доазательство трионометричесих неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 118 124 140 145 150 153 155

Г л а в а 6. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

§ 31. Действия с омплесными числами . . . . . . . § 32. Геометричесое изображение множеств омплесных чисел, удовлетворяющих заданным условиям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 33. Решение уравнений на множестве омплесных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 34. Применение омплесных чисел для решения неоторых задач . . . . . . . . . . . .

160

170

Г л а в а 7. Последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

§ 35. Определение последовательности и ее свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 36. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . § 37. Вычисление пределов последовательностей . § 38. Арифметичесая прорессия . . . . . . . . . . . . . § 39. Геометричесая прорессия . . . . . . . . . . . . . . § 40. Смешанные задачи на прорессии . . . . . . . . . § 41. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173 176 178 184 188 193 195

163 166

222 226 234 245 251

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . .

254

§ 52. Неопределенный интерал . . . . . . . . . . . . . . . § 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 54. Определенный интерал . . . . . . . . . . . . . . . . . § 55. Интерал с переменным верхним пределом. . § 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интералов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 57. Вычисление площадей фиур. . . . . . . . . . . . . § 58. Задачи на отысание наибольших (наименьших) площадей фиур . . . . . . . . . . . § 59. Вычисление объемов тел . . . . . . . . . . . . . . . . § 60. Приложения определенноо интерала  задачам физии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

254

Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений. . . . . . . . . . . .

282

§ 61. Задачи на движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 62. Задачи на работу и производительность труда § 63. Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 64. Задачи с целочисленными неизвестными . . . § 65. Задачи на онцентрацию и процентное содержание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 66. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258 261 265 268 270 275 278 279 282 307 317 320 329 335

636

Оглавление

Оглавление

637

§ 19. Лоарифмичесие неравенства . . . . . . . . . . . § 20. Решение неравенств, содержащих сложные фунции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 21. Уравнения и неравенства с параметрами . . . § 22. Доазательство неравенств . . . . . . . . . . . . . .

93

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции . . . . . .

200

98 100 108

§ 42. Предел фунции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 43. Вычисление пределов фунций . . . . . . . . . . . § 44. Непрерывность фунции . . . . . . . . . . . . . . . . § 45. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200 203 207 213

Г л а в а 5. Тригонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

Г л а в а 9. Производная и ее применения . . . . . . . . . . . . . . .

216

§ 46. Нахождение производных . . . . . . . . . . . . . . . § 47. Промежути монотонности и эстремумы фунции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 48. Наибольшее и наименьшее значения фунции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 49. Задачи на отысание наибольших и наименьших значений фунции. . . . . . . . . § 50. Геометричесие приложения производной . . § 51. Приложения производной  задачам физии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

§ 23. Тождественные преобразования трионометричесих выражений . . . . . . . . . . § 24. Вычисление значений трионометричесих фунций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 25. Трионометричесие уравнения . . . . . . . . . . § 26. Системы трионометричесих уравнений . . . § 27. Уравнения, содержащие обратные трионометричесие фунции . . . . . . . . . . . . § 28. Трионометричесие неравенства . . . . . . . . . § 29. Неравенства, содержащие обратные трионометричесие фунции . . . . . . . . . . . . § 30. Доазательство трионометричесих неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 118 124 140 145 150 153 155

Г л а в а 6. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

§ 31. Действия с омплесными числами . . . . . . . § 32. Геометричесое изображение множеств омплесных чисел, удовлетворяющих заданным условиям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 33. Решение уравнений на множестве омплесных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 34. Применение омплесных чисел для решения неоторых задач . . . . . . . . . . . .

160

170

Г л а в а 7. Последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

§ 35. Определение последовательности и ее свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 36. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . § 37. Вычисление пределов последовательностей . § 38. Арифметичесая прорессия . . . . . . . . . . . . . § 39. Геометричесая прорессия . . . . . . . . . . . . . . § 40. Смешанные задачи на прорессии . . . . . . . . . § 41. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173 176 178 184 188 193 195

163 166

222 226 234 245 251

Г л а в а 10. Первообразная и интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . .

254

§ 52. Неопределенный интерал . . . . . . . . . . . . . . . § 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 54. Определенный интерал . . . . . . . . . . . . . . . . . § 55. Интерал с переменным верхним пределом. . § 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интералов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 57. Вычисление площадей фиур. . . . . . . . . . . . . § 58. Задачи на отысание наибольших (наименьших) площадей фиур . . . . . . . . . . . § 59. Вычисление объемов тел . . . . . . . . . . . . . . . . § 60. Приложения определенноо интерала  задачам физии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

254

Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений. . . . . . . . . . . .

282

§ 61. Задачи на движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 62. Задачи на работу и производительность труда § 63. Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 64. Задачи с целочисленными неизвестными . . . § 65. Задачи на онцентрацию и процентное содержание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 66. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258 261 265 268 270 275 278 279 282 307 317 320 329 335

638

Оглавление

Г л а в а 12. Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

339

§ 67. Треуольнии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 68. Четырехуольнии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 69. Оружность и ру. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 70. Треуольнии и оружности . . . . . . . . . . . . . § 71. Мнооуольнии и оружности . . . . . . . . . . .

339 351 359 367 381

Г л а в а 13. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

390

§ 72. Мноораннии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 73. Сечения мнооранниов . . . . . . . . . . . . . . . . § 74. Фиуры вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 75. Комбинации мнооранниов и фиур вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

391 401 415 421

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

440

§ 76. Веторы и их оординаты . . . . . . . . . . . . . . . § 77. Аналитичесая запись линий на плосости и поверхностей в пространстве . . . . . . . . . . . § 78. Решение еометричесих задач с помощью метода оординат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 79. Простейшие задачи веторной алебры. . . . . § 80. Решение еометричесих задач методами веторной алебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 82. Задачи, решаемые с помощью салярноо произведения веторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . Г л а в а 15. Комбинаторика. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей. . . . . . . . . . . . . . § 82. Размещения, сочетания, перестанови . . . . . § 83. Перестанови и сочетания с заданным числом повторений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 84. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 85. Вычисление вероятностей с помощью формул омбинатории . . . . . . . . . . . . . . . . . § 86. Вычисление вероятностей еометричесими методами . . . . . . . . . . . . . . § 87. Вычисление вероятностей сложных событий

440 450 458 467 475 486

492 492 496 498 503 508 512

Оглавление

639

Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

522

§ 88. Высазывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 99. Предложения, зависящие от переменной . . . § 90. Метод математичесой индуции . . . . . . . . . § 91. Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

522 530 536 540

Ответы, уазания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . .

547

638

Оглавление

Г л а в а 12. Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

339

§ 67. Треуольнии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 68. Четырехуольнии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 69. Оружность и ру. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 70. Треуольнии и оружности . . . . . . . . . . . . . § 71. Мнооуольнии и оружности . . . . . . . . . . .

339 351 359 367 381

Г л а в а 13. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

390

§ 72. Мноораннии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 73. Сечения мнооранниов . . . . . . . . . . . . . . . . § 74. Фиуры вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 75. Комбинации мнооранниов и фиур вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

391 401 415 421

Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

440

§ 76. Веторы и их оординаты . . . . . . . . . . . . . . . § 77. Аналитичесая запись линий на плосости и поверхностей в пространстве . . . . . . . . . . . § 78. Решение еометричесих задач с помощью метода оординат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 79. Простейшие задачи веторной алебры. . . . . § 80. Решение еометричесих задач методами веторной алебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 82. Задачи, решаемые с помощью салярноо произведения веторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . Г л а в а 15. Комбинаторика. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей. . . . . . . . . . . . . . § 82. Размещения, сочетания, перестанови . . . . . § 83. Перестанови и сочетания с заданным числом повторений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 84. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 85. Вычисление вероятностей с помощью формул омбинатории . . . . . . . . . . . . . . . . . § 86. Вычисление вероятностей еометричесими методами . . . . . . . . . . . . . . § 87. Вычисление вероятностей сложных событий

440 450 458 467 475 486

492 492 496 498 503 508 512

Оглавление

639

Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

522

§ 88. Высазывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 99. Предложения, зависящие от переменной . . . § 90. Метод математичесой индуции . . . . . . . . . § 91. Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

522 530 536 540

Ответы, уазания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . .

547

Учебное издание Цыпкин Александр Геннадиевич Пинский Александр Иосифович

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ С МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ

Ответственный редактор О. А. Фёдорова Редактор А. М. Суходский Корректор Л. А. Буданцева Технический редактор Л. Б. Чуева Компьютерная верстка В. В. Пучкова

Подписано в печать 19.09.2006. Формат 84х108 1/ 32. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 33,60. Тираж 5000 экз. Заказ № . Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 — учебная литература ООО «Издательство Оникс». 127422, Москва, ул. Тимирязевская, д. 38/25. Почтовый адрес: 117418, Москва, а/я 26. Отдел реализации: тел. (495) 310-75-25, 110-02-50. Internet: www.onyx.ru; e-mail: [email protected] ООО «Издательство «Мир и Образование». Изд. лиц. ИД № 05088 от 18.06.2001. 109193, Москва, ул. 5-я Кожуховская, д. 13, стр. 1. Тел./факс (495) 129-09-60, 120-51-47, 742-43-54. E-mail: [email protected]