Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2004. Том 45, № 1
УДК 517.9:514.7
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ГРАДИЕНТ ЯДРА УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СО СНОСОМ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ Ю. Н. Бернацкая
Аннотация: Для параболического уравнения со сносом на римановом многообразии положительной кривизны получено представление логарифмического градиента в виде суммы двух векторных полей, одно из которых известно, а другое ограничено. Задача рассмотрена при условии достаточно быстрого убывания на бесконечности поля сноса. Ключевые слова: фундаментальное решение, риманово многообразие, оператор Лапласа — Бельтрами, векторное поле.
1. Введение Пусть M — односвязное n-мерное риманово многообразие неположительной кривизны с метрикой ρ и объемом σ. Геодезическая на M , соединяющая точки x и y, будет обозначаться через γ(s), s — натуральный параметр, γ(0) = y, γ(ρ(x, y)) = x. Пусть p(t, x, y) — фундаментальное решение параболического уравнения со сносом ∂u 1 = u + hgrad u, B(x)i, (1) ∂t 2 где — оператор Лапласа — Бельтрами и снос задан векторным полем B на многообразии. В данной работе получено представление логарифмического градиента ядра теплопроводности p(t, x, y) в виде суммы двух векторных полей, одно из которых известно, а второе ограничено: U (t, x, y) = gradx ln p(t, x, y) = gradx ln m0 (t, x, y) + W (t, x, y). Функцию m0 (t, x, y) возьмем равной eψ(x,y) q(t, x, y), где функция q, широко используемая для сравнения с фундаментальным решением параболического уравнения на многообразии [1, 2], задана формулой q(t, x, y) = (2πt)−n/2 e−
ρ2 (x,y) 2t
,
а ψ(x, y) описывает работу поля сноса вдоль геодезической γ: ρ(x,y) Z
ψ(x, y) = −
˙ hB(γ(s)), γ(s)i ds. 0
c 2004 Бернацкая Ю. Н.
Логарифмический градиент ядра уравнения теплопроводности
17
Тогда известное поле имеет вид V (t, x, y) = gradx ln m0 (t, x, y) = gradx ψ(x, y) −
ρ(x, y) ˙ γ(ρ). t
Ограниченность поля W (t, x, y) доказана ниже (теорема 3). Фундаментальное решение p(t, x, y) построено [3] только при определенных условиях на многообразие и поле сноса. Тензор Риччи будет определяться равенством n X Ric(x)(U, V ) = hR(x)(U, ek )V, ek i, k=1
а скалярная кривизна — равенством r(x) = tr Ric(x) (они отличаются от общепринятых знаком). Условия на многообразие M формулируются в терминах тензора кривизны R(x) [2, 4]: 1а) hR(x)(U, V )U, V i > 0 для всех x ∈ M , U, V ∈ Tx M , т. е. секционная кривизна многообразия неположительна; 1б) для произвольных ортобазисов {ek }, {hk } в Tx M X p |hR(x)(U, ek )V, hk i| 6 c Ric(x)(U, U ) Ric(x)(V, V ), k
а константа c не зависит от x; 1в) вдоль любой геодезической γ скалярная кривизна убывает достаточно R∞ быстро, т. е. sr(γ(s)) ds < c, где c не зависит от γ; 0
1г) ковариантные производные тензора кривизны удовлетворяют оценкам k(∇X(s) R)(γ(s))(Y (s), γ(s))Z(s)k ˙ 6 f1 (γ(s))kX(s)k · kY (s)k · kZ(s)k, ˙ k∇U (s) ∇X(s) R(γ(s))(Y (s), γ(s))Z(s)k 6 f2 (γ(s))kX(s)k · kY (s)k · kZ(s)k · kU (s)k, где функции f1 , f2 такие, что вдоль любой геодезической γ выполняется нераR∞ венство s2 fk (γ(s)) ds < c и c не зависит от γ. 0
Условия на поле сноса B формулируются следующим образом [3]. Вдоль любой геодезической γ(s) для ограниченных в M векторных полей X1 (x), X2 (x) выполняются оценки Rρ 2а) kB(γ(s))k ds 6 c0 , 0
2б) 2в)
Rρ 0 Rρ
k∇X1 B(γ(s))k ds 6 c1 kX1 k, k∇X1 ∇X2 B(γ(s))k ds 6 c2 kX1 kkX2 k,
0
2г) k grad ψ(x, y)k 6 c3 . В работе [4] фундаментальное решение p(t, x, y) найдено в виде Zt p(t, x, y) = m(t, x, y) +
Z m(t − τ, x, z)r(τ, z, y)σ(dz),
dτ 0
M
18
Ю. Н. Бернацкая
где m(t, x, y) = eψ(x,y) p0 (t, x, y), p0 (t, x, y) — ядро теплопроводности уравнения без сноса. Функция r(t, x, y) определяется из уравнения Вольтерра: Zt r(t, x, y) = M (t, x, y) +
Z M (t − τ, x, z)r(τ, z, y)σ(dz),
dτ M
0
где M (t, x, y) — невязка уравнения (1) относительно функции m(t, x, y). Также показано, что при выполнении условий 2а)–2в) на поле сноса k grad ψk и |ψ| ограничены константами, зависящими только от размерности многообразия. В настоящей работе будет удобнее использовать начальное приближение 1
m(t, e x, y) = eψ(x,y)− 2 φ(x,y)−kt q(t, x, y), которое без функции ψ(x, y) в экспоненте использовано в [2] для построения ядра уравнения теплопроводности без сноса. Функция φ(x, y) задается формулой ρ(x,y) Z a(γ(s), y) φ(x, y) = ds, s 0
где функция a(x, y) определена ниже. В [2] доказано, что k grad φk и |φ| ограничены константой. Теорема 1 дает оценку для функции r˜(t, x, y), соответствующей начальному приближению m(t, e x, y). 2. Необходимые сведения Определение 1. Базисными полями Якоби вдоль геодезической γ, γ(0) = y, γ(ρ) = x, называются n решений Z1 (s), . . . , Zn (s) уравнения Якоби ˙ ˙ Z 00 (s) = R(γ(s))(γ(s), Z(s))γ(s), Z(s), такие, что Zk (0) = 0, Zk (ρ) образуют в Tx M полугеодегде Z 0 (s) = ∇γ(s) ˙ ˙ ˙ зический ортобазис (т. е. Z1 (s) = ρs γ(s), Zk (s)⊥γ(s)). Для полей Якоби X, Z справедливо равенство [5] ˙ ∇X(s) Z(s) = −hX 0 (s), Z(s)iγ(s) + H(s), где поле H(s) удовлетворяет оценке Zρ kH(s)k 6 (ρ − s)
kf (τ, X(τ ), Z(τ ))k dτ, 0
˙ ˙ f (s, X(s), Y (s)) = 2R(γ(s))(γ(s), X(s))Z 0 (s) + 2R(γ(s))(γ(s), Z(s))X 0 (s) ˙ ˙ ˙ + (∇γ(s) R)(γ(s))(γ(s), X(s))Z(s) + (∇X R)(γ(s))(γ(s), Z(s))γ(s). ˙ При выполнении условия 1в) норма kZ 0 (s)k ограничена. Для полей Zk (s) определены [1] оператор D(γ(s)): ˙ D(γ(s))Zk (s) = sZk0 (s) для Zk (s)⊥γ(s),
˙ ˙ D(γ(s))γ(s) = γ(s),
и функция a(x, y) = tr(D(x) − I) =
X k
(ρZk0 (ρ) − Zk (ρ), Zk (ρ)).
Логарифмический градиент ядра уравнения теплопроводности
19
Утверждение 1. Оператор D(x) симметричен, и hD(x)U, U i > hU, U i, U ∈ Tx M . Утверждение 2. Для функции a(x, y) справедливы оценки Zρ ˙ ˙ s Ric(γ(s))(γ(s), γ(s)) ds
0 6 a(x, y) 6 0
и k grad a(x, y)k < const, |a(x, y)| < const. Функция q(t, x, y) удовлетворяет уравнению 1 a(x, y) ∂q = q + q(t, x, y) ∂t 2 2t и для t > 0, x, y ∈ M имеет место оценка [1] p0 (t, x, y) b(x, y) 6 6 1, exp −kt − 2 q(t, x, y)
(2)
(3)
где k — константа и Zρ ˙ ˙ (ρ − s) Ric(γ(s))(γ(s), γ(s)) ds.
b(x, y) = 0
3. Результаты Фундаментальное решение p(t, x, y) будем искать в виде Zt p(t, x, y) = m(t, e x, y) +
Z m(t e − τ, x, z)˜ r(τ, z, y)σ(dz).
dτ
(4)
M
0
Функция r˜(t, x, y) определяется из уравнения Вольтерра: Zt f(t, x, y) + r˜(t, x, y) = M
Z f(t − τ, x, z)˜ M r(τ, z, y)σ(dz),
dτ 0
M
где ∂m e f(t, x, y) = 1 m e + hgrad m, e B(x)i − M 2 ∂t 1 1 a(x, y) ˙ =m e ψ − φ + hgrad ψ, B(x)i − hγ(ρ), B(x)i − k . 2 4 2ρ В силу ограниченности k grad ψk, |ψ|, |φ|, ограниченности kBk, вытекающей из условия 2а), а также оценки для a(x, y) из утверждения 2 имеем f(t, x, y)| 6 cm(t, |M e x, y).
20
Ю. Н. Бернацкая
Теорема 1. Если многообразие M удовлетворяет условиям 1, а поле сноса B : M → Tx M — условиям 2а)–2в), то для x, y ∈ M , t > 0 имеют место оценки |˜ rk (t, x, y)| 6 c˜
(˜ ct)k q(t, x, y), |˜ r(t, x, y)| 6 c˜ec˜t q(t, x, y), k! pe(t, x, y) 6 ec0 +˜ct q(t, x, y),
где c˜ = cec0 . Доказательство повторяет доказательство теоремы 4 из [3] с учетом того, 1 что величина φ(x, y) положительна и ограничена и, следовательно, e− 2 φ−kt 6 1. Для оценки поля W (t, x, y) получим уравнение на функцию α(t, x, y) = hW, W i. Теорема 2. Уравнение для функции α(t, x, y) имеет вид ∂α 1 = α + hgrad α, U i + hgrad α, Bi ∂t 2 2 + α Ric(x)(E, E) − hDE, Ei + 2h∇E grad ψ(x, y), Ei + 2h∇E B, Ei t X 1 − hgrad a(x, y), W i + hgrad ψ, W i + 2hgradhgrad ψ, Bi, W i − k∇Zk W k2 , t k
где E(t, x, y) =
W kW k .
Доказательство. Дифференцируя (1) вдоль некоторого векторного поля H(t, x, y), получим уравнение для hU, Hi: X ∂U 1 1 1 X
, H = hU, Hi+ hgradhU, U i, Hi− h∇Zk U, ∇Zk Hi− U, ∇2Zk H ∂t 2 2 2 k k X 1 1 + Ric(x)(U, H) − hU, ∇γ˙ Hi hZk0 (ρ), Zk (ρ)i + hgradhU, Bi, Hi. (5) 2 2 k
Уравнение на m0 (t, x, y) выводится подстановкой m0 в (1) с учетом уравнения (2) на q(t, x, y), а его дифференцирование вдоль H дает уравнение на hV, Hi: X ∂V 1 1 1 X
, H = hV, Hi+ hgradhV, V i, Hi− h∇Zk V, ∇Zk Hi− V, ∇2Zk H ∂t 2 2 2 k k X 1 1 + Ric(x)(V, H) − hV, ∇γ˙ Hi hZk0 (ρ), Zk (ρ)i + hgradhV, Bi, Hi 2 2 k
1 1 + hgrad a(x, y), Hi − hgrad ψ, Hi − hgradhgrad ψ, Bi, Hi. (6) 2t 2 Вычитая из (4) уравнение (5) и полагая H = W , приходим к искомому уравнению на α(t, x, y) 1 ∂α = α + hgrad α, U i + hgrad α, Bi ∂t 2 2 + α Ric(x)(E, E) − hDE, Ei + 2h∇E grad ψ(x, y), Ei + 2h∇E B, Ei t X 1 − hgrad a(x, y), W i + hgrad ψ, W i + 2hgradhgrad ψ, Bi, W i − k∇Zk W k2 . t k
Логарифмический градиент ядра уравнения теплопроводности
21
Теорема 3. При выполнении условий 1 на многообразие M и условий 2 на поле сноса B : M → Tx M для x, y ∈ M , t ∈ (0, T ] справедливо неравенство kW (t, x, y)k 6 const, где константа зависит только от размерности. Оценку получим из дифференциального уравнения на α = kW k2 , пользуясь принципом максимума [6]. Этот метод был использован в [7]. Лемма 1. Начальное условие для векторного поля W (t, x, y) определяется выражением 1 W (0, x, y) = − grad φ(x, y). 2 Доказательство. Дифференцируя (3), получим соотношение grad ln p(t, x, y) " 1 ρ(x, y) 1 = m(t, e x, y) e(x, y) + grad ψ(x, y) − grad φ(x, y) p(t, x, y) t 2 Zt +
Z dτ M
0
1 ρ(x, z) e(x, z) + grad ψ(x, z) − grad φ(x, y) t−τ 2 # × m(t e − τ, x, z)˜ r(τ, z, y)σ(dz) .
Вычитая gradx ln m0 (t, x, y) и подставляя вместо p(t, x, y) его представление (3), приходим к равенству 1
W (t, x, y) = 1+
1 m(t,x,y) e
Rt
dτ
R M
0
"
1 1 × − grad φ(x, y) − 2 m(t, e x, y) 1 + m(t, e x, y)
Zt
Z dτ M
0
1 + m(t, e x, y)
Zt
m(t e − τ, x, z)˜ r(τ, z, y) σ(dz)
Zt
Z dτ
0
M
1 grad φ(x, y)m(t e − τ, x, z)˜ r(τ, z, y)σ(dz) 2
ρ(x, z) ρ(x, y) e(x, z) − e(x, y) m(t e − τ, x, z)˜ r(τ, z, y) σ(dz) t−τ t #
Z
(grad ψ(x, z) − grad ψ(x, y)) m(t e − τ, x, z)˜ r(τ, z, y)σ(dz) .
dτ M
0
Если поле B интегрируемо вместе с первой и второй ковариантными производными, т. е. выполняются условия 2а)–2в), то 1 lim t↓0 m(t, e x, y)
Zt
Z r(τ, z, y)σ(dz) m(t e − τ, x, z)˜
dτ 0
1 6 lim −c0 t↓0 e q(t, x, y)
M Zt
c˜τ
c˜e 0
Z dτ M
ec0 q(t − τ, x, z)q(τ, z, y)σ(dz) = e2c0 (ec˜t − 1) = 0.
22
Ю. Н. Бернацкая
Поскольку k grad ψk и k grad φk ограничены, то 1 1 W (0, x, y) = − grad φ(x, y) + lim t↓0 m(t, 2 e x, y) Zt Z ρ(x, z) ρ(x, y) × dτ e(x, z) − e(x, y) m(t e − τ, x, z)˜ r(τ, z, y)σ(dz). t−τ t M
0
Оценим этот интеграл. Пусть V ∈ Tx M . Применяя замену s
r t t−τ ρ(x, z) e(x, z) − ρ(x, y) e(x, y), U= τ (t − τ ) tτ "r # τ (t − τ ) t−τ z(U ) = Exp U+ ρ(x, y) e(x, y) , t t n/2 τ (t − τ ) σ(dz) = J(z, U ) dU, t где якобиан ограничен, J(z, U ) < c0 , получим Z ρ(x, y) ρ(x, z) e(x, z) − e(x, y), V m(t e − τ, x, z)˜ r(τ, z, y)σ(dz) t−τ t M Z ρ(x, y) ρ(x, z) c0 c˜τ 6 e c˜e e(x, z) − e(x, y), V q(t − τ, x, z)q(τ, z, y)σ(dz) t−τ t M Z r τ 6 c0 ec0 c˜ec˜τ q(t, x, y) |hU, V i|µx (dU ) t(t − τ ) Tx M
6 c0 ec0 c˜ec˜τ
r
τ t(t − τ )
v Z Z u u q(t, x, y)t hU, V i2 µx (dU ) Tx M
µx (dU )
Tx M
= c0 ec0 c˜ec˜τ
r
τ kV kq(t, x, y). t(t − τ )
Здесь использовано неравенство Коши — Буняковского, а через µx (dU ) обозна 2 чена стандартная гауссовская мера (2π)1n/2 exp − kU2k dU . Интегрируя по dτ , находим оценку 1 lim t↓0 m(t, e x, y)
Zt
Z dτ
0
M
ρ(x, z) ρ(x, y) e(x, z) − e(x, y) t−τ t × m(t e − τ, x, z)˜ r(τ, z, y)σ(dz)
0
c˜t+b0
6 lim c c˜e t↓0
q(t, x, y) kV k e−c0 q(t, x, y)
Zt r 0
что и требовалось доказать.
√ τ dτ = lim c0 c˜π tec˜t+2c0 kV k = 0, t↓0 t(t − τ )
Логарифмический градиент ядра уравнения теплопроводности
23
Лемма 2. При выполнении условий 2а)–2в) справедлива оценка |hgradhgrad ψ, Bi, Ei| 6 c4 . Доказательство. В выражении hgradhgrad ψ, Bi, Ei =
n X
hB, ek ih∇E grad ψ, ek i + hgrad ψ, ∇E Bi
k=1
6 kBk
n X n X
h∇ei grad ψ, ek i + hgrad ψ, ∇E Bi
k=1 i=1
второе слагаемое ограничено в силу ограниченности k∇E Bk, вытекающей из условия 2б), и ограниченности k grad ψk. Далее, ˙ h∇ei grad ψ, ek i = −h∇ei B, ek i − h∇ek B, ei i + hei , γ(ρ)i
n X
B, ek i h∇γ(ρ) ˙
k=2
˙ + hei , γ(ρ)i
j X
˙ hZj0 (ρ), ek i−hek , γ(ρ)i
j=2
n X j=2
Zρ −
! Zρ
hZi0 (ρ), ej i
˙ ds (h∇γ˙ B, Zj i−h∇Zj B, γi) 0
0 ˙ (h∇γ˙ B, γihZ i (s), Zk (s)i − h∇γ˙ B, Hik (s)i) ds
0
Zρ ˙ + h∇γ˙ ∇Zk B, Zi i) ds. (h∇Zi ∇γ˙ B, Zk i − h∇Zi ∇Zk B, γi
+ 0
Из свойств полей Якоби при выполнении условия 1в) вытекает, что kZk0 (s)k ограничено, а следовательно, ограничено и hZk0 (s), Zi (s)i. Пользуясь этой оценкой, а также оценкой для Hik (s), легко показать, что слагаемые h∇ei grad ψ, ek i тоже ограничены, а значит, |hgradhgrad ψ, Bi, Ei| 6 c4 , где константа c4 зависит только от размерности. Доказательство теоремы. Используя известные неравенства √
εα 1 + , ε > 0, 2 2ε k grad a(x, y)k 6 c5 , Ric(x)(E, E) 6 c6 , α<
D(x) > I,
вытекающее из условия 2б) неравенство k∇E Bk 6 c1 , условие 2г) и лемму 2, приходим к неравенству 1 ∂α < α + hgrad α, U i + hgrad α, Bi ∂t 2 ε(c3 + 2c4 ) 2 εc5 c5 c3 + 2c4 + α c6 + 2c1 + 2c4 + − + + + . 2 t 2t 2εt 2ε откуда ∂β 1 ε(c3 + 2c4 ) 2 εc5 < β + hgrad β, Bi + β c6 + 2c1 + 2c4 + − + ∂t 2 2 t 2t c3 + 2c4 c5 + + p 2εt 2ε
24
Ю. Н. Бернацкая
для функции β(t, x, y) = α(t, x, y)p(t, x, y). Всегда можно найти настолько большое число k, чтобы функция kp(t, x, y) удовлетворяла на некотором интервале (0, t0 ] неравенству 1 ε(c3 + 2c4 ) 2 εc5 ∂(kp) > (kp) + hgrad(kp), Bi + kp c6 + 2c1 + 2c4 + − + ∂t 2 2 t 2t c5 c3 + 2c4 + + p. 2εt 2ε Это достигается при выполнении условий 2 c5 1 2 k > max , k grad φ(x, y)k , 4 4 s s 2 4 1 2 4 1 − <ε< − , − + c5 k c5 k c25 c25 t0 6
2 − c5 ( 2ε − c3 +2c4 2ε
1 2ε )
+ k c6 + 2c1 + 2c4 +
ε(c3 +2c4 ) 2
.
Тогда по теореме сравнения [6, с. 72–74] для x, y ∈ M , 0 6 t 6 t0 имеет место оценка α(t, x, y) < k. На интервале (t0 , T ] функция β(t, x, y) мажорируется функцией C C +k − p(t, x, y), λ(t, x, y) = eA(t−t0 ) A A λ(t0 , x, y) = kp(t0 , x, y), удовлетворяющей уравнению ∂λ 1 < λ + hgrad λ, Bi + λA + Cp, ∂t 2 c5 ε 4) 4 где A > c6 + 2c1 + 2c4 + ε(c3 +2c − 2t + 2t c5 и C > 2εt + c3 +2c 2 2ε . Полученная верхняя оценка для α(t, x, y) на интервале (0, T ] и доказывает теорему.
ЛИТЕРАТУРА 1. Бондаренко В. Г. Оценки ядра теплопроводности на многообразии неположительной кривизны // Укр. мат. журн.. 1998. Т. 50, № 8. С. 1129–1136. 2. Бондаренко В. Г. Метод параметрикса для параболического уравнения на римановом многообразии // Укр. мат. журн.. 1999. Т. 51, № 11. С. 1443–1448. 3. Бернацкая Ю. Н. Оценка фундаментального решения параболического уравнения со сносом на римановом многообразии // Сиб. мат. журн.. 2003. Т. 44, № 3. С. 493–512. 4. Bondarenko V. Diffusion sur variete de courbure non positive // Comptes Rendus A.S.. 1997. V. 324, N 10. P. 1099–1103. 5. Бондаренко В. Г. Ковариантные производные полей Якоби на многообразии неположительной кривизны // Укр. мат. журн.. 1998. Т. 50, № 6. С. 755–764. 6. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 7. Бондаренко В. Г. Логарифмический градиент ядра теплопроводности на римановом многообразии // Мат. заметки. 2003. Т. 74, № 3. С. 471–475. Статья поступила 11 апреля 2003 г. Бернацкая Юлия Николаевна Институт прикладного системного анализа при Национальном техническом университете Украины «Киевский политехнический институт», пр. Победы, 37, корпус 14, к. 43, Киев 03056, Украина
[email protected]
