Электромагнитное рассеяние на периодических структурах

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 3 (2003). С. 113–128 УДК 517.95+517.958

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ c 2003 г. °

Г. ШМИДТ

АННОТАЦИЯ. В статье изучается рассеяние электромагнитных волн на весьма общих бипериодических структурах, которые могут состоять из анизотропных оптических материалов и разделять две области с постоянными диэлектрическими коэффициентами. Рассматривается преобразование гармонических уравнений Максвелла в эквивалентную H 1 -вариационную задачу для магнитного поля в ограниченной бипериодической ячейке с нелокальными краевыми условиями. Доказывается существование решений при всех параметрах, соответствующих реальным физическим веществам. Устанавливается единственность при всех частотах, за исключением, быть может, некоторого дискретного множества. Результаты, полученные в общем случае, сравниваются с известными результатами в специальном случае конической дифракции.

СОДЕРЖАНИЕ

1. 2. 3. 4. 5.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задача дифракции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Вариационная постановка задачи . . . . . . . . . . . . . Результаты о существовании и единственности решения Коническая дифракция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. 113 . 114 . 116 . 123 . 126 . 128

1. ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим рассеяние электромагнитной плоской волны, падающей на трехмерную структуру, являющуюся периодической по одному или двум направлениям. Интересное свойство, заключающееся в том, что на больших расстояниях от рассеивателя распространяется лишь конечное число мод, имеет много приложений в электромагнитной теории и оптике. Такими рассеивателями являются дифракционные решетки. Развитие микрооптики, где средства полупроводниковой промышленности используются для изготовления оптических приборов со сложными структурными свойствами, приводит к необходимости построения соответствующих математических моделей и численных исследований для решения уравнений электромагнитных векторных полей в случае сложной структуры решетки. В данной работе применяются вариационные методы для изучения корректности задачи дифракции. Рассматриваются весьма общие структуры, которые являются бесконечно периодическими по одному или двум направлениям и могут состоять из анизотропных веществ. Мы вводим сильно эллиптическую вариационную формулировку, эквивалентную задаче дифракции, и получаем некоторые результаты о существовании и единственности решений такой задачи. Показано, что для всех, за исключением, быть может, дискретного множества, частот имеется единственное квазипериодическое решение с конечной энергией для общей задачи. После этого вкратце рассматривается так называемая коническая дифракция, когда структура периодична только по одному направлению и инвариантна по другому. В работе [11] задача Максвелла для этой более простой геометрической структуры была сведена к системе двух уравнений Гельмгольца в R2 . В нашем случае получены аналогичные результаты, но при некоторых более ограничительных предположениях. c °2003 МАИ

113

114

Г. ШМИДТ

Прямая задача дифракции заключается в том, чтобы при заданной падающей волне произвольной поляризации описать такие характеристики, как энергию и поляризацию для всех типов волн, прошедших достаточно большое расстояние от дифракционной решетки. Теоретические исследования этого вопроса имеют долгую историю, особенно в случае двумерных периодических структур. Но только в течение последний 10 лет в двумерном случае были получены результаты о существовании, единственности и регулярности решений для негладких структур, а также для всех веществ, используемых на практике. Эти результаты основаны на вариационных формулировках задач в ограниченной периодической ячейке. Вариационный подход был разработан Неделеком и Старлингом [13], Аббоудом [1], Бао [3] и Добсоном [7]. Вариационные методы применялись к бипериодическим структурам в работах Аббоуда [2], Добсона [8], Бао [4], Бао и Добсона [5]. При определенных ограничениях на параметры вещества была доказана корректность соответствующей постановки задачи. В [14] методы из работы Элшнера и Шмидта [10] были перенесены на трехмерные задачи дифракции. Указанный подход позволяет рассматривать более общие ситуации, соответствующие изотропному случаю, а также исследовать анизотропные структуры — так называемые скрещенные анизотропные решетки. В данной статье предлагается модифицированный вариант такого подхода, позволяющий получить результаты о разрешимости при предположениях, которые выполняются в соответствующих приложениях на практике. В разделе 2 рассматривается бипериодическая задача дифракции. В разделе 3 дается вариационная постановка задачи для магнитного поля в ограниченной периодической ячейке. Условия излучения преобразуются в эквивалентные нелокальные краевые условия и доказывается эквивалентность вариационной постановки в случае задачи для дифференциального уравнения с частными производными. В разделе 4 получены результаты о существовании и единственности решений изучаемой задачи. Там же исследуется зависимость решений от частоты и угла падения волны, а также от возмущений диэлектрических коэффициентов. В разделе 5 обсуждается более простая модель конической дифракции. 2. ЗАДАЧА

ДИФРАКЦИИ

Поскольку большинство оптических приборов изготавливается из антимагнитных материалов, всюду далее будем считать, что пространство заполнено веществом с постоянной магнитной проницаемостью µ > 0. Оптические свойства структуры полностью описываются диэлектрическими коэффициентами или проницаемостью ε различных материалов. Будем считать, что функция диэлектрической проницаемости кусочно постоянна и дважды периодична. Под дважды периодичностью или бипериодичностью мы понимаем структуру, периодическую по двум (не обязательно ортогональным) направлениям. Таким образом, в декартовых координатах (x1 , x2 , x3 ) = (x, x3 ) = x ∈ R3 функция диэлектрической проницаемости удовлетворяет условию ε(x + Bm, x3 ) = ε(x, x3 ) для всех m = (m1 , m2 ) ∈ Z2 и x ∈ R2 с невырожденной вещественной матрицей B порядка 2 × 2. Поскольку выше и ниже решеточной структуры среда однородна, то существует константа b > 0, такая, что при некотором δ > 0 ε(x, x3 ) = ε± ∈ C для x3 ≷ ±(b − δ), где ε+ > 0 (решетка освещается сверху) и 0 6 arg ε− < π. Внутри неоднородной структуры при |x3 | < b функция диэлектрической проницаемости в общем случае задается невырожденной (3×3)матричной функцией ε(x), элементы которой дважды периодичны и кусочно постоянны. Отметим, что большинство результатов справедливы также в случае, когда элементы в ε(x) являются ограниченными L∞ –функциями. Однако при численных исследованиях обычно рассматривается случай кусочно постоянной ε(x), соответствующей коэффициентам преломления веществ, из которых изготовлена решетка. Теоретические результаты основаны на предположении, что |ε(x) ξ · ξ| > c > 0,

0 6 arg(ε(x) ξ · ξ) 6 φ < π,

∀ ξ ∈ C3 , |ξ| = 1,

(2.1)

которое выполняется в большинстве реальных приложений. Заметим, что случай Im ε > 0 соответствует материалам, поглощающим энергию. Далее ε(x) при x3 ≷ ±b обозначает диагональную матрицу ε± I.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ

115

Решетка освещается плоской волной Ei = p eik·x e−iωt , Hi = q eik·x e−iωt , (2.2) √ вектор волны k = (α1 , α2 , −β) = ω ε+ µ (sin φ1 cos φ2 , sin φ1 sin φ2 , − cos φ1 ) задается углами падения φ1 , φ2 , где 0 6 φ1 < π/2, 0 6 φ2 < 2π. Положим α = (α1 , α2 ). Векторы коэффициентов p, q и вектор волны k удовлетворяют соотношениям q×k , ωε+

p=

p · q = 0,

k · k = ω 2 µε+ .

Отбрасывая множитель e−iωt , получим, что электромагнитное поле (E, H) удовлетворяет гармоническим уравнениям Максвелла ∇ × E = iωµH и ∇ × H = −iωεE,

(2.3)

которые содержат в себе также уравнения ∇ · (εE) = 0

и ∇ · (µH) = 0.

(2.4)

Кроме того, тангенциальные компоненты общих полей остаются непрерывными при пересечении границы Λ между двумя различными веществами: [n × E]Λ = 0 и [n × H]Λ = 0.

(2.5)

Здесь [n × E]Λ обозначает скачок при пересечении границы, равный n × (E1 − E2 ), где Ej — сужения E на области, разделенные границей Λ, а n — единичный вектор нормали к границе. Поскольку ε кусочно постоянна, из (2.3) вытекают следующие условия сопряжения для ∇ × H на границе: [n × ε−1 (∇ × H)]Λ = 0. В общем случае решения задач дифракции имеют особенности вблизи углов и ребер, по которым соединяются различные вещества. Следовательно, нам следует искать векторные поля, удовлетворяющие (2.3) и (2.5) и имеющие локально конечную энергию, т. е. E, H, ∇ × E, ∇ × H ∈ L2loc (R3 )3 .

(2.6)

При замене x 7→ x + Bm в задаче дифракции может лишь измениться фаза падающей волны на ei( ,Bm) , где ( · , · ) обозначает скалярное произведение в C2 . Это наталкивает на мысль искать квазипериодические решения, т. е. решения E и H, такие, что векторные поля ~u(x) = e−i(

,x)

H(x),

~v (x) = e−i(

,x)

E(x)

(2.7)

дважды периодичны, ~u(x+Bm, x3 ) = ~u(x, x3 ) для всех x ∈ R2 , m ∈ Z2 . Тогда E и H определяются своими значениями на G × R, где G = B((0, 1)2 ). Так как область неограничена в направлении переменной x3 , необходимо накладывать условие излучения. Поскольку ∆ = grad div − curl × curl, то компоненты электромагнитного поля вне решетки являются собственными функциями операторов Гельмгольца ∆ + ω 2 µε± . Следовательно, при фиксированном x3 ≷ ±b гладкие дважды периодические функции e−i( ,x) Hj (x, x3 ), e−i( ,x) Ej (x, x3 ) представими в виде рядов Фурье X ym (x3 ) e2πi(Am,x) с A = (B ∗ )−1 , m∈Z2

где коэффициенты ym (x3 ) являются решениями дифференциальных уравнений 00 ym + (ω 2 µε± − |α + 2πAm|2 ) ym = 0.

Положим αm = α + 2πAm, ± ± βm = βm (α) =

p ω 2 µε± − |αm |2 ,

где ветвь корня квадратного выбирается так, что +

± arg βm

∈ [0, π/2]. Тогда +

ym (x3 ) = c1 eiβm x3 + c2 e−iβm x3 .

(2.8)

116

Г. ШМИДТ

Согласно физическому смыслу задачи необходимо, чтобы отраженное поле состояло из волн, ограниченных при |x3 | → ∞, что приводит к так называемым условиям исходящих волн для дифракционный решеток  X + + i( m ,x)+iβm x3  H(x) − q ei( ,x)−iβx3 = Hm e ,   m∈Z2 x3 > b, X + + i( m ,x)+iβm x3  E(x) − p ei( ,x)−iβx3 = Em e ,   X

H(x) =

m∈Z2

− i( Hm e

− m ,x)−iβm x3

− i( Em e

− m ,x)−iβm x3

m∈Z2

X

E(x) =

m∈Z2

 ,   

(2.9) x3 6 b

 ,  

± и E ± — так называемыми коэффициентами Релея. с некоторыми постоянными векторами Hm m ± Отметим, что βm вещественно для не более чем конечного множества чисел m, соответствующих распространяющимся в электромагнитном поле модам X X + + + i( m ,x)+iβm x3 + i( m ,x)+iβm x3 Hm e Em e , , x3 → ∞ , m∈P X+

− i( Hm e

− m ,x)−iβm x3

m∈P−

,

m∈P X+

− i( Em e

− m ,x)−iβm x3

,

x3 → −∞ ,

m∈P−

где P± = {m ∈ Z2 : |αm |2 < ω 2 µε± }. Остальные плоские волны в суммах (2.9) экспоненциально убывают при |x3 | → ∞ и не уносят энергию из неоднородной структуры. Коэффициенты Релея являются основными характеристиками дифракционной решетки. Они определяют коэффициент полезного действия, фазовые сдвиги и поляризацию распространяющихся мод. Коэффициент полезного действия определяется как отношение энергии соответствующей моды к энергии падающей волны и может быть вычислен по формулам e+ m =

+ |H + |2 − |H − |2 βm ε+ βm m m и e− для m ∈ P± . m = 2 β |q| ε− β |q|2

3.

ВАРИАЦИОННАЯ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

3.1. Нелокальные краевые условия. Важный шаг при изучении рассеяния на периодических структурах состоит в сведении исходной задачи к задаче в ограниченной области. Для этого необходимо перейти от условий излучения (2.9) к краевым условиями. Они могут быть получены из интегрального представления ограниченных квазипериодических решений внешних уравнений Гельмгольца. Как отмечалось выше, компоненты поля после рассеяния совпадают вне решетки с квазипериодическими решениями внешних задач Гельмгольца ∆u± + ω 2 µε± u± = 0, X i( u± (x, x3 ) = u± me

x3 ≷ ±b, ± m ,x)±iβm x3

(3.1)

.

m∈Z2

Рассмотрим квазипериодическое фундаментальное решение (см. [9]) ±

Ψ (x) = i| det A|

X ei( m∈Z2

± m ,x)+iβm |x3 |

± βm

.

(3.2)

± в (3.2) равен нулю, то соответствующий член ряда следует заменить Если один из знаменателей βm i( ,x) на ie m (c + |x3 |) с произвольной константой c. Согласно стандартной теории потенциалов, функции u± являются решениями (3.1) тогда и только тогда, когда в соответствующих внешних областях имеют место представления ´ 1³ ± ± u± = K u − V ± ∂n u± . (3.3) 2

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ

117

Здесь V и K — потенциалы простого и двойного слоя: Z Z ± ± ± V ϕ(x) := Ψ (x − y) ϕ(y) dσ, K ϕ(x) := ∂ny Ψ± (x − y) ϕ(y) dσ, Γ±

Γ±

Γ±

Γ±

где = G × {x3 = ±b}, а нормали ~n к направлены вне неоднородной структуры решетки. Используя соотношения для скачков потенциалов и их нормальных производных, получаем хорошо известные соотношения между значениями u± и их нормальных производных для x ∈ Γ± : u± (x) = K ± u± (x) − V ± ∂n u± (x), ∂n u± (x) = −D± u± (x) − (K ± )0 ∂n u± (x),

(3.4)

где (K ± )0 — операторы, сопряженные к операторам потенциала двойного слоя, D± — гиперсингулярные интегральные операторы Z Z ± 0 ± ± (K ) ϕ(x) = ∂n Ψ (x − y) ϕ(y) dσ, D ϕ(x) = −∂n ∂ny Ψ± (x − y) ϕ(y) dσ. Γ±

Γ±

Γ±

Так как параллельны плоскости переменных x1 , x2 , интегральные операторы имеют достаточно простой вид, а именно (K ± )0 = 0 и Z X ± i( m ,x−y) D± ϕ(x) = −i| det A| βm e ϕ(y, x3 ) dy. 2 G m∈Z

Лемма 3.1. Квазипериодические функции u± являются решениями задачи (3.1) тогда и только тогда, когда ¯ ¯ ∂n u± ¯Γ± = −D± (u± ¯Γ± ). (3.5) 3.2. Слабая постановка задачи. Решения с конечной энергией для задач дифракции Максвелла, вообще говоря, не являются H 1 -регулярными, см. [6] и цитируемую там литературу. Следовательно, естественные вариационные пространства для таких задач состоят из векторных полей, удовлетворяющих (2.6) и дополнительному условию ∇ · (εE), ∇ · (µH) ∈ L2loc (R3 ). При этом лишь вариационные формы в энергетическом пространстве дают решение исходной системы Максвелла. Однако за счет постоянной µ, магнитное поле H является H 1 -регулярным. Это вытекает из того факта, что любое векторное поле ~u ∈ L2 (Ω)3 с ∇ × ~u ∈ L2 (Ω)3 , ∇ · ~u ∈ L2 (Ω) удовлетворяет усло1 (Ω)3 для любой ограниченной области Ω ∈ R3 (см. [12]). Таким образом, нам будет вию ~u ∈ Hloc удобнее рассматривать вариационное уравнение для магнитного поля H, которое можно изучать в H 1. Для того чтобы воспользоваться свойством периодичности, будем далее работать с дважды периодическим векторным полем ~u(x) = e−i( ,x) H(x). При этом необходимо модифицировать соответствующие дифференциальные операторы. Введем векторнозначный дифференциальный оператор ∇ = (∂1,α1 , ∂2,α2 , ∂3 ) := ∇ + i (α, 0), удовлетворяющий обычным роторному и дивергентному тождествам. Тогда уравнения Максвелла (2.3) преобразуются в силу равенства ∇ × ~u = e−i( ,x) ∇ × (~u ei( ,x) ) к уравнениям второго порядка для дважды периодических векторных полей ∇ × ε−1 (∇ × ~u) − µ ω 2 ~u = 0 ,

(3.6)

и теперь следует искать решения, такие, что ∇ × ε−1 (∇ × ~u) ∈ L2loc (R3 )3 . Получим слабую постановку этой задачи в периодической ячейке Ω = G × (−b, b) с верхней и нижней границами Γ± . Пространство Соболева Hps (Ω), s ∈ R, определяется как сужение на Ω s (R3 ), являющихся дважды периодическими по x = (x , x ). Заметим, что для всех функций из Hloc 1 2 1/2 ± 3 s 1 функций ~u ∈ Hp (Ω) имеем ~u|Γ± ∈ Hp (Γ ) , где Hp (G) обозначает замыкание гладких дважды периодических на R2 функций по норме ´1/2 ³ X |m|2s |ˆ um |2 . |ˆ u0 |2 + m∈Z2 \{0}

118

Г. ШМИДТ

После умножения на ϕ ~ ∈ Hp1 (Ω)3 и интегрирования по частям получаем Z Z −1 2 ε (∇ × ~u) · (∇ × ϕ ~ ) − ω µ ~u · ϕ ~+ Ω

(3.7)

Ω

1 1 + h~n × ∇ × ~u, ϕ ~ iΓ+ + h~n × ∇ × ~u, ϕ ~ iΓ− = 0, ε+ ε− −1/2

где h · , · iΓ± обозначает полуторалинейную форму на паре сопряженных пространств Hp 1/2 и Hp (Γ± ); здесь мы воспользовались формулой Грина Z Z ~ − ~v · (∇ × ϕ ~ ) = h~n × ~v , ϕ ~ iΓ+ + h~n × ~v , ϕ ~ iΓ− , (∇ × ~v ) · ϕ

(Γ± )

(3.8)

Ω

Ω

ε−1 (∇

справедливой для ~v = × ~u) и всех ϕ ~ ∈ Hp1 (Ω)3 (ср. [12]). Включим в краевое условие (3.7) условия исходящих волн (2.9), воспользовавшись леммой 3.1. Для каждого компонента вектора ~u = (u1 , u2 , u3 ) имеем i( (u+ j (x, x3 ) + qj e

uj (x, x3 ) = e−i(

,x)

uj (x, x3 ) = e−i(

,x) − uj (x, x3 ),

,x)−iβx3

),

x3 > b, x3 6 −b,

где квазипериодические функции u± j являются решениями (3.1). Согласно (3.5) ¯ ¯ + −i( ,x) i( ,x)−iβx3 ¯ −i( ,x) + + ¯ ∂n uj |Γ+ = e (∂n uj + ∂n (qj e ))¯ + = −e D uj ¯ + − iβqj e−iβb , Γ Γ ¯ ¯ − ∂n uj |Γ− = −e−i( ,x) D− uj ¯ − . Γ

T ±,

Определим псевдодифференциальные операторы действующие на множестве дважды периодических на R2 функций по формуле X ± T ± u(x) = −i βm u ˆm e2πi(x,Am) (3.9) m∈Z2

с коэффициентами Фурье

Z u(x) e−2πi(x,Am) dx.

u ˆm = | det A| G

В этих обозначениях получаем e−i(

,x)

−i( D+ u+ j =e

= e

−i( ,x)

D− u− j

=

,x)

¡ D+ ei(

Tα+ uj + Tα− uj ,

iβqj e

,x)

−iβx3

¢ uj − e−i(

,x)

D+ (qj ei(

,x)−iβx3

)=

,

что приводит к нелокальным краевым условиям ¯ ∂n uj |Γ+ = −Tα+ uj ¯Γ+ − 2iβqj e−iβb ,

¯ ∂n uj |Γ− = −Tα− uj ¯Γ− .

(3.10)

1/2

Очевидно, операторы T ± отображают пространство Соболева Hp (G) дважды периодических −1/2 на G функций ограниченным образом в Hp (G). Далее, определим периодические псевдодифференциальные операторы R± := (∂1,α1 , ∂2,α2 , ∓T ± ), действующие на множестве функций 1/2 из Hp (Γ± ). Поскольку для достаточно гладких векторных полей ~u ~n × (∇ × ~u)|Γ± − ~n × R± × ~u|Γ± = (∂n u1 |Γ± − T ± u1 |Γ± , ∂n u2 |Γ± − T ± u2 |Γ± , 0), (∇ · ~u)|Γ± − R± · ~u|Γ± = ±(∂n u3 |Γ± − T ± u3 |Γ± ), то из соображений плотности получаем следующий результат.

(3.11)

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ

119

Лемма 3.2. Любое поле ~u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ Hp1 (Ω)3 с ∇ × ε−1 (∇ × ~u) ∈ L2 (Ω) удовлетворяет −1/2

(Γ± ) нелокальным краевым условиям (3.10) тогда и только тогда, когда в Hp ) ~n × R+ × ~u = ~n × ∇ × ~u + 2iβe−iβb ~n × ~n × q на Γ+ , R+ · ~u = ∇ · ~u + 2iβe−iβb ~n · q ) ~n × R− × ~u = ~n × ∇ × ~u на Γ− . R− · ~u = ∇ · ~u

(3.12)

Зафиксируем комплексное число ρ и введем полуторалинейную форму Z³ Z ´ −1 2 B(~u, ϕ ~ ) := ~ ) + ρ(∇ · ~u) (∇ · ϕ ~ ) − ω µ ~u · ϕ ~+ ε (∇ × ~u) · (∇ × ϕ Ω

­ ® ´ ® 1 ³­ + ~ Γ+ + ~n × R+ × ~u, ϕ ~ Γ+ − R+ · ~u, ~n · ϕ ε+ ­ ® ´ ® 1 ³­ + ~ Γ− . ~n × R− × ~u, ϕ ~ Γ− − R− · ~u, ~n · ϕ ε−

Ω

(3.13)

Пусть (E, H) есть квазипериодическое решения уравнений Максвелла (2.3), удовлетворяющее условиям исходящих волн (2.9). Используя обозначения (2.7), получаем ε−1 (∇ × ~u) = −iω~v ,

∇ × ~v = iωµ~u,

∇ · ~u = 0.

Тогда из формулы Грина (3.8), а также из (3.12) следует Z Z B(~u, ϕ ~ ) = −iω ~v · (∇ × ϕ ~ ) − ω 2 µ ~u · ϕ ~ − iω h~n × ~v , ϕ ~ iΓ+ + Ω

+

2iβe−iβb ε+ Z

= −iω Ω

Ω

Z ³ ´ (~n × ~n × q) · ϕ ~ − ~n · q(~n · ϕ ~ ) − iω h~n × ~v , ϕ ~ iΓ− = Γ+

2iβe−iβb ~− (∇ × ~v − iωµ~u) · ϕ ε+

Z (−~n × ~n × q + (~n · q) ~n) · ϕ ~ Γ+

для любого ϕ ~ ∈ Hp1 (Ω)3 . Из соотношения −~n × ~n × q + (~n · q) ~n = q вытекает, что поле −i( ,x) ~u(x) = e H(x) является решением вариационного уравнения Z 2iβe−iβb ~, ∀~ ϕ ∈ Hp1 (Ω)3 . (3.14) B(~u, ϕ ~) = − q·ϕ ε+ Γ+

3.3. Эквивалентность задаче дифракции. Теорема 3.1. Если Im ρ < 0 и ~u является решением (3.14), то ∇ · ~u = 0. e p2 (Ω) ⊂ Hp2 (Ω) функций ψ, удовлетворяющих Доказательство Рассмотрим подпространство H 1/2

−1/2

на Γ± краевым условиям ∂n ψ|Γ± = −(T ± )∗ (ψ|Γ± ), где (T ± )∗ : Hp (Γ± ) → Hp (Γ± ) есть опеe p2 (Ω), то ~ = ∇ ψ, ψ ∈ H ратор, сопряженный к T ± . Если ϕ ­ ® ­ ® ­ ® ~n × R± × ~u, ϕ ~ Γ± − R± · ~u, ~n · ϕ ~ Γ± = ∂1,α1 u1 + ∂2,α2 u2 ∓ T ± u3 , (T ± )∗ ψ Γ± + ­ ® ­ ® + T ± u1 ± ∂1,α1 u3 , ∂1,α1 ψ Γ± + T ± u2 ± ∂2,α2 u3 , ∂2,α2 ψ Γ± = ­ ® 2 2 = − ~n · ~u, (∂1,α + ∂2,α + ((T + )∗ )2 )ψ Γ± = µε± ω 2 h~n · ~u, ψiΓ± . 1 2 Здесь используется соотношение ´ ³ ´ X ³ ± 2 ˆ 2 2 ± ∗ 2 2 ) ψm e2πi(x,Am) ∂1,α + ∂ + ((T ) ) ψ = − |α | + (β m m 2,α2 1 m∈Z2

120

Г. ШМИДТ

и определение (2.8). Поскольку ∇ × ∇ ψ = 0 и µ есть константа, то, применяя формулу Грина Z ³ Z ´ Z ~u · ∇ ψ + (∇ · ~u) ψ = (~n · ~u) ψ + (~n · ~u) ψ, (3.15) Ω

Γ+

получаем

Γ−

Z (∇ · ~u) (ρ ∆ + ω 2 µ) ψ,

B(~u, ∇ ψ) = Ω

где ∆ = ∇ · ∇ . Так как (q, k) = 0, имеем Z Z −2iβe−iβb −2iβe−iβb q∇ ψ = (−iα1 q1 − iα2 q2 + iβq3 )ψ = 0. µε+ µε+ Γ+

Γ+

Таким образом, если ~u является решением (3.14), то Z (∇ · ~u) (ρ ∆ + ω 2 µ)ψ = 0 Ω

e p2 (Ω). Данное утверждение есть следствие следующей леммы. для всех ψ ∈ H Лемма 3.3. Краевая задача ³ ω2µ ´ ψ = f, ∆ + ρ

∂n ψ = −(T ± )∗ ψ

на Γ±

(3.16)

имеет для любой правой части f ∈ L2 (Ω) и ω > 0 единственное решение ψ ∈ Hp2 (Ω). Доказательство. Задача (3.16) допускает слабую формулировку ¶ Z µ Z ­ + ∗ ® ­ − ∗ ® µω 2 ψ ϕ + (Tα ) ψ, ϕ Γ+ + (Tα ) ψ, ϕ Γ− = − f ϕ a(ψ, ϕ) := ∇ ψ·∇ ϕ− ρ Ω 1 Hp (Ω).

Ω

для всех ϕ ∈ Из Z ³ ´ Z X X ω2µ 2 + b − b Re a(ψ, ψ) + |ψ| = |∇ ψ|2 + Im βm |ψm (b)|2 + Im βm |ψm (−b)|2 ρ 2 2 Ω

m∈Z

Ω

m∈Z

± вытекает, что при фиксированных ω и α существуют константа c > 0 и и из определения βm 1 конечномерные операторы K ± , такие, что для всех ψ ∈ Hp1 (Ω) µ ¶ Z ³ ´ Z ω2 µ 2 2 2 2 Re a(ψ, ψ) + |ψ| > |∇ ψ| + c1 kψk 1/2 + + kψk 1/2 − − Hp (Γ ) Hp (Γ ) ρ Ω

Ω

− hK + ψ, ψiΓ+ − hK − ψ, ψiΓ− . В силу неравенства k∇ ψk2L2 (Ω) + kψk2L2 (Ω) > (α2 + 1)−1 (k∇ψk2L2 (Ω) + kψk2L2 (Ω) ) сумма

³

k∇ ψk2L2 (Ω) + kψk2

1/2

Hp

(Γ+ )

+ kψk2

´1/2 1/2

Hp

(Γ− )

задает эквивалентную норму в Hp1 (Ω). Следовательно, форма a( · , · ) удовлетворяет неравенству Гординга a(ψ, ψ) > ckψk2Hp1 (Ω) − q(ψ, ψ) с компактной формой q( · , · ) и, следовательно, порождает фредгольмов оператор с нулевым индексом, действующий из пространства Hp1 (Ω) в сопряженное пространство (Hp1 (Ω))0 . Кроме того, поскольку Im ρ < 0, получаем Z X X ω2 µ + b − b Im a(ψ, ψ) = Im |ψ|2 + Re βm |ψm (b)|2 + Re βm |ψm (−b)|2 > c ω 2 kψk2L2 (Ω) , ρ 2 2 Ω

m∈Z

m∈Z

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ

121

следовательно, ядро этого оператора тривиально при всех ω > 0. Значит, задача (3.16) разрешима при всех f ∈ L2 (Ω), и в силу свойств (эллиптического) оператора Лапласа в выпуклых областях e p2 (Ω). решение ψ ∈ Hp1 (Ω) принадлежит H Теорема 3.2. Пусть ~u есть решение уравнения (3.14). Тогда H(x) = ~u(x)ei(

,x)

и E(x) = iω −1 ε−1 (∇ × (~u(x)ei(

,x)

))

является решением системы Максвелла (2.3) при |x3 | 6 b. Вне Ω электромагнитное поле задается посредством (2.9) с коэффициентами Релея Z + + Hm = e−iβm b | det A| (~u(x, b) − q e−iβb )e−2πi(x,Am) dx, − Hm

ZG − = eiβm b | det A| ~u(x, −b)e−2πi(x,Am) dx, G

± Em

± ) × H± (αm , ±βm m =− . ωε±

Доказательство. Полагая ~v = −(iωε)−1 ∇ × ~u, из теоремы 3.1 получаем Z B(~u, ϕ ~ ) = −iω (∇ × ~v − iωµ~u) · ϕ ~=0 Ω

Hp1 (Ω)3 ,

для любой ϕ ~ ∈ такой, что ϕ ~ |Γ± = 0. Таким образом, (H, E) удовлетворяет уравнениям Максвелла в Ω в слабом смысле, и, более того, ∇ × ε−1 (∇ × ~u) ∈ L2 (Ω)3 . Тогда из формулы Грина (3.8) получаем ® ­ ® ´ 1 ³­ ~n × (R+ × ~u − ∇ × ~u), ϕ ~ Γ+ − R+ · ~u, ~n · ϕ ~ Γ+ + B(~u, ϕ ~) = ε+ ® ­ ® ´ 1 ³­ + ~n × (R− × ~u − ∇ × ~u), ϕ ~ Γ− − R− · ~u, ~n · ϕ ~ Γ− ε− для всех ϕ ∈ Hp1 (Ω)3 . Отсюда, из того, что (∇ · ~u)|Γ± = 0, и из леммы 3.2 следует выполнение краевых условий (3.10). 3.4. Сильная эллиптичность. Теорема 3.3. Если ε удовлетворяет (2.1) и Im ρ < 0, то форма B( · , · ) сильно эллиптична в т. е. при всех ~v ∈ Hp1 (Ω)3 выполнено неравенство

Hp1 (Ω)3 ,

Re(θ B(~v , ~v )) > c k~v k2H 1 (Ω) + q(~v , ~v ) с некоторыми константами θ ∈ C, c > 0 и компактной формой q( · , · ). Доказательство. Положим

Z 2

B1 (~u, ϕ ~ ) = B(~u, ϕ ~) + ω µ

~u · ϕ ~. Ω

При ~u = ϕ ~ = ~v данное равенство принимает вид Z ³ ´ B1 (~v , ~v ) = ε−1 (∇ × ~v ) · (∇ × ~v ) + ρ |∇ · ~v |2 + Ω

´ ® 1 ³­ + T ~v , ~v Γ+ − 2 Re h∂1,α1 v1 + ∂2,α2 v2 , v3 iΓ+ + ε+ ´ ® 1 ³­ − + T ~v , ~v Γ− + 2 Re h∂1,α1 v1 + ∂2,α2 v2 , v3 iΓ− . ε−

+

122

Г. ШМИДТ

Вектор T±~v обозначает действие T ± на компонентах вектора ~v , и кроме того мы пользуемся тем, 1/2 −1/2 ∗ что сопряженный оператор имеет вид ∂j,α = (∂j + iαj )∗ = −∂j,αj : Hp (G) → Hp (G), j = 1, 2. j −1 Вначале выберем θ, такое, что 0 < arg θ < π/2, Re θρ > 0, Re(θ ε ξ · ξ) > c |ξ|2 в Ω ± /ε ) > 0, причем равенство в последнем случае возможно только для β ± = 0. Напои Re(−iθβm ± m мним, что ε кусочно постоянна. ¡ ¢ ± /ε iφ/2 , где 1. Если Im ε− = 0, то arg − iβm ± ∈ {−π/2, 0}, и можно выбрать θ = e φ = max(π/2, arg ρ−1 , max(arg ε ξ · ξ)). 2. При¡ Im ε− > 0¢ положим τ = π −¢ max(arg ρ−1 , arg ε− ). Тогда легко видеть, что τ ∈ (0, π) и ¡ − arg − iβm /ε− ∈ τ /2 − π, τ − π . При этом если θ = eiφ/2 , где φ = max(π − τ /2, max(arg ε ξ · ξ)), то Re θρ > 0 и | arg(θ ε−1 ξ·ξ)| 6 φ/2,

arg

³τ − θβm π π´ ∈ − ,τ− , i ε− 4 2 2

arg

³ τ φ´ + θβm ∈ − , . i ε+ 4 2

Таким образом, выбирая C = min(c, Re θρ), где c = min(Re(θ ε−1 ξ · ξ)), |ξ| = 1, получим Z Re(θ B1 (~v , ~v )) > C (|∇ × ~v |2 + |∇ · ~v |2 )+ Ω

´ ® θ ³­ + T ~v , ~v Γ+ − 2 Re h∂1,α1 v1 + ∂2,α2 v2 , v3 iΓ+ + ε+ ´ ® θ ³­ − + Re T ~v , ~v Γ− + 2 Re h∂1,α1 v1 + ∂2,α2 v2 , v3 iΓ− . ε−

+ Re

Интегрирование по частям и периодичность ~v дают Z Z ³ ´ 2 2 (|∇ × ~v | + |∇ · ~v | ) = |∇ ~v |2 + 2 Re h∂1,α1 v1 + ∂2,α2 v2 , v3 iΓ+ − h∂1,α1 v1 + ∂2,α2 v2 , v3 iΓ− . Ω

Ω

Таким образом, получаем неравенство

Z |∇ ~v |2 + J + (~v ) + J − (~v )

Re(θ B1 (~v , ~v )) > C

(3.17)

Ω

с краевыми членами J ± (~v ) := Re

® θ ­ ± θ T ~v , ~v Γ± ∓ 2 (Re − C) Re h∂1,α1 v1 + ∂2,α2 v2 , v3 iΓ± . ε± ε± 1/2

Используя ряд Фурье для ~v |Γ± ∈ Hp (Γ± )3 , можем записать их в виде X ~ˆm (±b) · ~vˆm (±b) J ± (~v ) = C± mv

(3.18)

m∈Z2

с матрицами

 − Re

C± m

± i θ βm ε±

0

   ± i θ βm  = 0 − Re  ε±   ¡ ¢ ¡ ¢ θ θ ∓i Re − C (αm )1 ∓i Re − C (αm )2 ε± ε±

 ¡ ¢ θ ±i Re − C (αm )1  ε±   ¡ ¢ θ  ±i Re − C (αm )2  ,  ε±  ±  i θ βm − Re ε±

где (αm )j обозначает компоненты вектора αm ∈ R2 . Собственные значения матрицы C± m имеют вид µ ¶ ± ± i θ βm i θ βm θ − Re , − Re ± Re − C |αm |. (3.19) ε± ε± ε±

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ

123

± /ε ) > 0 и C 6 Re(θ/ε ), имеем Так как кроме того Re(−iθβm ± ± ³ ´ ± ¢ i θ βm ¡ θ ~ˆm (±b) · ~vˆm (±b) 6 − Re − Re − C |αm | |~vˆm (±b)|2 6 C± mv ε± ε± ³ ´ ± ¡ ¢ i θ βm θ 6 − Re + Re − C |αm | |~vˆm (±b)|2 . ε± ε±

(3.20)

Здесь левая часть может быть неположительна лишь для конечного множества индексов m ∈ Z2 . Это немедленно вытекает из того, что ± ± ¡ ¢ i θ βm θ θ βm θ − Re − Re − C |αm | = C|αm | + Im − Re |αm | = ε± ε± ε± ε± (3.21) ´ θ ³ θ ± ± = C|αm | + Re Im βm − |αm | + Im Re βm ε± ε± ± → 0, Im β ± − |α | → 0 при |m| → ∞ в силу определения (2.8). Более того, из (3.21) и Re βm m m и (3.18) следует, что при фиксированных ω и α существуют постоянная c1 > 0 и конечномерные 1/2 операторы K ± , такие, что для всех ~v ∈ Hp (Γ± )3 имеем

J ± (~v ) > c1 k~v k2

1/2

Hp

Таким образом,

Z Re(θB(~v , ~v )) > C

(Γ± )

− hK ±~v , ~v iΓ± .

³ |∇ ~v |2 + c1 k~v k2

1/2 Hp (Γ+ )

+ k~v k2

1/2 Hp (Γ− )

´ −

Ω

−hK +~v , ~v iΓ+ − hK −~v , ~v iΓ− − Re θω 2 µk~v k2L2 (Ω) . Повторяя рассуждения доказательства леммы 3.3, завершаем доказательство. Следствие 3.1. Форма B порождает ограниченный линейный оператор, действующий из Hp1 (Ω)3 в (Hp1 (Ω)3 )0 и являющийся фредгольмовым с нулевым индексом. 4. РЕЗУЛЬТАТЫ

О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

± > 0. ~ ) = 0 при всех ϕ ~ ∈ Hp1 (Ω)3 , то ~u ˆm (±b) = 0, когда Re βm Лемма 4.1. Если B(~u, ϕ

Доказательство. Предположим, что ~u 6= 0 есть решение однородного уравнения. Интегралы по области в выражении для Im B(~u, ~u) неположительны. Покажем, что этим же свойством обладают и краевые члены. Очевидно, это верно для ε± > 0: ´ ® 1 ³­ ± 1 X ± T ~u, ~u Γ± ∓ 2 Re h∂1,α1 u1 + ∂2,α2 u2 , u3 iΓ± = − Re βm |~um (±b)|2 , Im ε± ε± 2 m∈Z

± |~ следовательно, Im B(~u, ~u) = 0 тогда и только тогда, когда Re βm um (±b)|2 = 0 при всех Пусть Im ε− > 0. Тогда оператор T − обратим, и в силу R− · ~u|Γ− = 0 компоненты

удовлетворяют соотношению

u3 = −(T − )−1 (∂1,α1 u1 + ∂2,α2 u2 )

на Γ− .

Таким образом, получаем представление ´ ® 1 ³­ − T ~u, ~u Γ− + 2 Re h∂1,α1 u1 + ∂2,α2 u2 , u3 iΓ− = ε− ® 1 ­ − 2 = T u1 + (T − )−1 (∂1,α u + ∂1,α1 ∂2,α2 u2 ), u1 Γ− + 1 1 ε− X ­ ® 1 2 T − u2 + (T − )−1 (∂1,α1 ∂2,α2 u1 + ∂2,α + u ), u = (Dm Um , Um ) 2 2 − 2 Γ ε− 2 m∈Z

с (2 × 2)-матрицами Dm



− + βm

i  =− ε− (

(

m )1 ( − βm

2 m )1 − βm m )2

(

m )1 ( m )2 − βm ( m )22 − − m βm

β

+

 

и Um

µ ¶ u b1m (−b) = . u b2m (−b)

m ∈ Z2 . вектора ~u

124

Г. ШМИДТ

Собственные значения матрицы Im Dm − Re

− βm ε−

и

− Re

³ β−

m

ε−

+

ω2µ |αm |2 ´ = − Re − − ε− βm βm

неотрицательны при всех m ∈ Z2 . Следствие 4.1. Если ~u — решение однородного уравнения, то ∇ × ~u = 0 на supp Im ε. Теорема 4.1. Пусть φ0 ∈ (0, π/2). Существует частота ω0 > 0, такая, что вариационная задача (3.14) допускает единственное решение u ∈ Hp1 (Ω)3 для всех углов падения волны φ1 , φ2 , где φ1 6 φ0 , и любой частоты 0 < ω < ω0 . Доказательство. Рассмотрим левую часть в (3.20) при φ1 6 φ0 и малом ω. Заметим, что ¯ ¯ √ ¯ ¯ ¯|αm | − 2π|Am|¯ 6 ω µε+ sin φ0 , и пусть ω 2 µ|ε± | < |αm |2 для всех m ∈ Z2 \{0}. Тогда из соотношений ¯ ¯ ¯³ ´¯ ω 2 µε ω 2 µε± ´1/2 ¯ ¯ ¯ ¯ ± ± − 1 − |αm |¯ = |αm |¯ 1 − ¯6 ¯ − iβm 2 |αm | |αm | нетрудно получить, что существует ω0 > 0, для которой µ ¶ ± i θ βm θ θ ± − Re − Re − C |αm | = C|αm | + Re (−iβm − |αm |) > c1 |m| ε± ε± ε± с константой c1 , не зависящей от φ1 6 φ0 и ω < ω0 . Пусть B(~u, ~u) = 0. Тогда из (3.17), (3.18) получаем Z Z X 2 2 Re(θ B(~u, ~u)) = 0 > C |∇ ~u| − ω µ |~u|2 + c1 |m||~u ˆm (b)|2 + + c1

X

Ω

Ω

m6=0

~ˆ0 (−b) · ~u ~ˆ0 (b) · ~u ˆm (b) + C− ˆ0 (−b). |m||~u ˆm (−b)|2 + C+ 0u 0u

(4.1)

m6=0

В силу леммы 4.1 имеем ~u0 (b) = 0, а из (3.20) получаем ~ˆ0 (−b) · ~u ˆ0 (−b)| 6 c2 ω |~u ˆ0 (−b)|2 . |C− 0u Следовательно, из (4.1) вытекает неравенство X k∇~uk2L2 (Ω) + k~uk2H 1/2 (Γ+ ) + |m||~u ˆm (−b)|2 6 c(ωk~uk2H 1 (Ω) + ω 2 k~uk2L2 (Ω) ), m6=0

справедливое при всех φ1 6 φ0 и ω < ω0 . Поскольку квадратный корень из выражения в левой части задает эквивалентную норму в Hp1 (Ω)3 , то ~u = 0. Теперь изучим задачу дифракции в случае произвольных частот ω > 0. Введем множество ± равно исключительных значений (частот Релея), такое, что по крайней мере одно из чисел βm нулю: n o R(ε) = (ω, φ1 , φ2 ) : ∃ m ∈ Z2 , такое, что |αm |2 = ω 2 µε± . Частоты Релея связаны с возникновением новых мод при возрастании ω. Их роль описана в следующей теореме, которая обобщает результат работы [10] для классических двумерных задач дифракции. Теорема 4.2. (i) Для всех частот, за исключением счетного множества ωj , ωj → ∞, бипериодическая задача дифракции (3.14) имеет единственное решение ~u ∈ Hp1 (Ω)3 . (ii) Если (3.14) однозначно разрешима при заданном (ω, φ1 , φ2 ) ∈ / R(ε), то решение ~u аналитически зависит от частоты и углов падения волн в окрестности данной точки.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ

125

Доказательство. Разделим полуторалинейную форму B на коэрцитивную и компактную составляющие. Доказательство теоремы 3.1 показывает, что θB1 некоэрцитивна (в силу наличия неположительных собственных значений матриц C± m ). Но из (3.19) следует, что собственные значения матрицы ³ ´ ± i θ βm θ C± + Re + Re |α | m I m ε± ε± p положительны при всех m ∈ Z2 , за исключением случая |αm | = 0. Положим am = |αm |2 + d при некотором фиксированном d > 0, введем псевдодифференциальный оператор X A ~v (x) = am~vˆm e2πi(x,Am) m∈Z2

и рассмотрим возмущенную форму B2 (~u, ϕ ~ ) = B1 (~u, ϕ ~) +

® ® 1 ­ 1 ­ (A − T+ ) ~u, ϕ ~ Γ+ + (A − T− ) ~u, ϕ ~ Γ− . ε+ ε−

Аналогично доказательству теоремы 3.1 получим с параметрами θ и C, что Z Re(θ B2 (~v , ~v )) > C |∇ ~v |2 + J + (~v ) + J − (~v ), Ω

где краевые члены имеют вид θ θ hA ~v , ~v iΓ± ∓ 2(Re − C) Reh∂1,α1 v1 + ∂2,α2 v2 , v3 iΓ± > ε± ε± ´ X ³ θ > Re (am − |αm |) + C|αm | |~vm (±b)|2 . ε± 2

J ± (~v ) = Re

m∈Z

Отсюда следует Re(θ B2 (~v , ~v )) > Ck∇ Представление

~v k2L2 (Ω)

Z 2

B(~u, ϕ ~ ) = B2 (~u, ϕ ~ ) − ω µ ~u · ϕ ~+ Ω

³

+

c1 k~v k2 1/2 + Hp (Γ )

+

k~v k2 1/2 − Hp (Γ )

´ .

® ® 1 ­ + 1 ­ − (T − A+ ) ~u, ϕ ~ Γ+ + (T − A− ) ~u, ϕ ~ Γ− ε+ ε−

показывает, что для всех допустимых φ1 , φ2 форма B порождает линейные ограниченные отображения из Hp1 (Ω)3 в (Hp1 (Ω)3 )0 , являющиеся компактными возмущениями обратимой операторнозначной функции, зависящей от ω > 0. Более того, из определений (3.13) формы B и (3.9) функций Tα± следует, что эта функция и возмущения зависят аналитически от ω, если (ω, φ1 , φ2 ) ∈ / R(ε). Следовательно, мы можем повторить рассуждения теоремы 3.3 [10], основанные на теореме Гохберга об аналитических операторнозначных функциях. В результате получим, что число линейно независимых решений задачи (3.14) постоянно при всех ω ∈ R+ \R(ε), за исключением, быть может, некоторых исключительных точек в указанном множестве. В [10] показано, что данные особые точки могут накапливаться лишь на бесконечности. Замечание 4.1. Отметим, что задача дифракции (3.14) разрешима при всех ω > 0 и углах падения волн φ1 , φ2 . Из леммы 4.1 вытекает, что любое решение ~v сопряженного однородного уравнения B(~ ϕ, ~v ) = 0, ϕ ~ ∈ H 1 (Ω)3 , удовлетворяет соотношению ~vˆ0 (b) = 0. Таким образом, оно ортогонально правой части уравнения (3.14). Из следствия 4.1 вытекает, что задача (3.14) однозначно разрешима при всех ω > 0 и углах падения φ1 , φ2 , если мнимая часть диэлектрического тензора положительна в некоторой подобласти Ω1 ⊂ Ω. Для применения метода продолжения предположим, что Ω можно разбить на подобласти Ωj с кусочно гладкой (класса C 2 ) границей ∂Ωj так, чтобы диэлектрический тензор был постоянным на Ωj .

126

Г. ШМИДТ

Теорема 4.3. Предположим, что мнимая часть диэлектрического тензора положительна в некоторой подобласти Ω1 ⊂ Ω, Im ε(x) > 0, x ∈ Ω1 . Тогда вариационная задача (3.14) имеет единственное решение при всех ω > 0. Доказательство. Пусть ~u есть решение однородного уравнения. Тогда в силу следствия 4.1 выполняется ∇ × ~u = 0 на Ω1 . Поскольку ∇ × ~u = e−i( ,x) ∇ × (~u ei( ,x) ), имеем ∇ × H = 0 в Ω1 . Из уравнений Максвелла вытекает, что H = E = 0 в Ω1 . Следовательно, ~n × E = ~n × H = 0 на ∂Ω1 . Пусть Γc ⊂ ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 принадлежит классу C 2 и ψ ∈ C ∞ (Ω2 ), причем след ψ на ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 принадлежит D0 (Γc ). Тогда из соотношений Z Z Z Z ∇ × E · ∇ψ = iωµ H · ∇ψ = (~n × E) · ∇ψ = iωµ (H · ~n) ψ = 0 Ω

Ω

Γc

Γc

следует, что H · ~n = 0 на Γc . Аналогично получаем εE · ~n = 0, что совместно с равенствами E = −~n × (~n × E) + (E · ~n) ~n = ET + En дает E · ~n = 0 на Γc . Далее, из соотношения ∇T (H · ~n) = ∂n HT + ~n × (∇ × H) + RHT = ∂n HT − iω~n × εE + RHT вытекает, что ∂n HT = 0 на Γc . Здесь через R(x) мы обозначили тензор кривизны, а через H(x) — среднюю кривизну в точке x. Поскольку ∇ · H = 0, из ∇ · H|Γc = ∇T · HT + 2H (H · ~n) + ∂n (H · ~n) следует, что ∂n (H · ~n) = 0. Таким образом, ∂n H = 0. Используя теорему Холмгрена, получаем, что H = 0 в Ω2 . 5.

КОНИЧЕСКАЯ

ДИФРАКЦИЯ

В данном разделе мы вкратце рассмотрим ситуацию, когда структура периодична только в одном направлении. В этом случае прямая задача дифракции может быть сведена к более простым моделям по сравнению с (3.14). Предположим, что диэлектрические коэффициенты удовлетворяют условию ε(x1 + d, x2 , x3 ) = ε(x1 , x2 , x3 ) = ε(x1 , x3 ) при всех x ∈ R3 . Если данная структура освещается плоской волной (2.2), то можно ожидать, что квазипериодические решения (E, H), такие, что ~u(x) = e−i( ,x) H(x) , ~v (x) = e−i( ,x) E(x), периодичны по x1 с периодом d и периодичны по x2 с произвольным периодом, т. е. не зависят от x2 . При предположении, что ε — скалярная функция, вариационная постановка такой дифракционной задачи изучалась в [11]. Здесь будет дан краткий обзор соответствующих результатов. Используя представление E(x1 , x2 , x3 ) = (E1 , E2 , E3 )(x1 , x3 ) eiα2 x2 , H(x1 , x2 , x3 ) = (H1 , H2 , H3 )(x1 , x3 ) eiα2 x2 , после ряда алгебраических преобразований из уравнений Максвелла (2.3) и условий границы (2.5) получаем, что компоненты E2 и H2 удовлетворяют уравнениям Гельмогольца в R2 с кусочно постоянными волновыми числами ∆E2 + (ω 2 µε − α22 ) E2 = ∆H2 + (ω 2 µε − α22 ) H2 = 0 и условиями сопряжения на границе Λ между различными материалами £ ¤ £ ¤ E2 Λ = H2 Λ = 0, · ¸ · ¸ α2 ∂t H2 + ωε ∂n E2 α2 ∂t E2 − ωµ∂n H2 = = 0. ω 2 µε − α22 ω 2 µε − α22 Λ Λ

(5.1)

Здесь используется, что ~n = (n1 , 0, n3 ); ∂t = n1 ∂3 − n3 ∂1 обозначает производные по касательному направлению. Дополнительно необходимо предположить, что диэлектрический коэффициент ε удовлетворяет условию ω 2 µε 6= α22 . Таким образом, задача конической дифракции может быть сведена к системе уравнений Гельмгольца с условиями сопряжения на границе, разделяющей различные области.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ

Условие излучения (2.9) принимает вид

X

E2 = p2 ei(α1 x1 −βx3 ) +

m∈Z

H2 = q2 e

 + i(γm x1 +βm x3 )  a+ e ,  m   x3 > b,

X

+ i(γm x1 +βm x3 )  c+ ,  me  m∈Z  X − i(γm x1 −βm x3 )  E2 = a− e ,  m  

i(α1 x1 −βx3 )

+

(5.2)

m∈Z

H2 =

X

−

i(γm x1 −βm x3 ) c− , me

m∈Z

где γm = α1 + 2πm/d,

127

+ βm =

x3 6 b,

   

q 2. ω 2 µε± − α22 − γm

+ ), Заметим, что векторы, соответствующие отраженным или прошедшим границу модам (γm , α2 , βm лежат на поверхности конуса с осью, параллельной оси x2 . Поэтому данная задача известна в физике и оптике как задача конической дифракции. Зная (E2 , H2 ), мы можем вычислить остальные компоненты электрического и магнитного полей по формулам i (−ωµ∂3 H2 + α2 ∂1 E2 ) i (ωε∂3 E2 + α2 ∂1 H2 ) E1 = , H1 = , 2 2 ω µε − α2 ω 2 µε − α22 i (−ωε∂1 E2 + α2 ∂3 H2 ) i (ωµ∂1 H2 + α2 ∂3 E2 ) , H3 = . E3 = ω 2 µε − α22 ω 2 µε − α22 Для того чтобы свести задачу трансмиссии для компонентов (E2 , H2 ) к задаче в ограниченной области, введем функции v(x1 , x3 ) = e−iα1 x1 E2 , u(x1 , x3 ) = e−iα1 x1 H2 , являющиеся d-периодическими по x1 . Периодическую ячейку будем обозначать через Ω = (0, d) × (−b, b), а ее верхнюю и нижнюю границы — через Γ± . Тогда задача конической дифракции допускает следующую слабую постановку Z Z Z ³ ´ ωε+ ωε− ωε∇α v · ∇α ϕ + − ωε v ϕ + 2 (T v) ϕ + 2 (T − v) ϕ+ ω 2 µε − α22 ω µε+ − α22 ω µε− − α22 Ω

Z · + Λ

α2 ω 2 µε − α22

Γ+

¸

u ∂t,α1 ϕ = − Λ

2ip2 βωε+ e−iβb ω 2 µε+ − α22

Γ−

Z ϕ, Γ+

Z ³ Z Z ´ ωµ∇α u · ∇α ψ ωµ ωµ + − ωµ u ψ + (T u) ψ + (T − u) ψ− ω 2 µε − α22 ω 2 µε+ − α22 ω 2 µε− − α22

Ω

Z · −

α2 − α22

ω 2 µε Λ

Γ+

¸

v ∂t,α1 ψ = − Λ

2iq2 ωµ e−iβb ω 2 µε+ − α22

(5.3)

Γ−

Z ψ Γ+

для всех ϕ, ψ ∈ Hp1 (Ω). Здесь ∇α = ∇ + i (α1 , 0) ∂t,α1 = n1 ∂3 − n3 ∂2 − iα1 n3 , а псевдодифференциальный оператор T ± есть сужение оператора (3.9) на границу (одномерную) X ± T ± u(x) = −i βm u ˆm e2πimx/d , m∈Z 1 (R2 ), являющихся d-периоесть сужение на Ω всех функций из пространства Соболева Hloc дическими по x1 . Уравнение (5.3) обладает теми же свойствами, что и общая постановка задачи (3.14), но при некоторых дополнительных ограничениях на диэлектрические коэффициенты. Помимо основного предположения (2.1) необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство ω 2 µε > α22 в случае, когда диэлектрический коэффициент ε вещественный. Далее, в [11] было показано, что полуторалинейная форма, порожденная уравнением (5.3), сильно эллиптична в (Hp1 (Ω))2 . Что касается однозначной разрешимости, то ее можно гарантировать только при выполнении дополнительного

Hp1 (Ω)

128

Г. ШМИДТ

предположения: ω 2 µε− > α12 + α22 в случае, когда диэлектрический коэффициент ε− (соответствующий среде, находящейся под решеткой) вещественный. При этом справедлив аналог теоремы 4.2. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ´ 1. Abboud T. Etude math´ematique et num´erique de quelques probl`emes de diffraction d’ondes e´ lectromagn´etiques// PhD dissertation, Ecole Polytechnique Palaiseau, 1991 2. Abboud T. Formulation variationnelle des e´ quations de Maxwell dans un r´eseau bip´eriodic de R3 // C. R. Acad. Sci. Paris., S´er I, Math. — 1993. — 317. — С. 245–248 3. Bao G. Numerical analysis of diffraction by periodic structures: TM polarization// Numer. Math. — 1996. — 75. — С. 1–16 4. Bao G. Variational approximation of Maxwell’s equations in biperiodic structures// SIAM J. Appl. Math. — 1997. — 57. — С. 364–381 5. Bao G., Dobson D. C. On the scattering by a biperiodic structure// Proc. Am. Math. Soc. — 2000. — 128. — С. 2715–2723 6. Costabel M., Dauge M., Nicaise S. Singularities of Maxwell interface problems// Model. Math. Anal. Numer. — 1999. — 33. — С. 627–649 7. Dobson D. C. Optimal design of periodic antireflective structures for the Helmholtz equation// Eur. J. Appl. Math. — 4. — С. 321–340 8. Dobson D. C. A variational method for electromagnetic diffraction in biperiodic structures// Model. Math. Anal. Numer. — 1994. — 28. — С. 419–439 9. Dobson D. C., Friedman A. The time–harmonic Maxwell equations in biperiodic structures// J. Math. Anal. Appl. — 1992. — 166. — С. 507–528 10. Elschner J., Schmidt G. Diffraction in periodic structures and optimal design of binary gratings I. Direct problems and gradient formulas// Math. Methods Appl. Sci. — 1998. — 21. — С. 1297–1342 11. Elschner J., Hinder R., Penzel F., Schmidt G. Existence, uniqueness and regularity for solutions of the conical diffraction problem// Math. Models Methods Appl. Sci. — 2000. — 10. — С. 317–341 12. Girault V., Raviart P. Finite element methods for Navier–Stokes equations. — Berlin: Springer-Verlag, 1986 13. Nedelec J. C., Starling F. Integral equation methods in a quasi–periodic diffraction problem for the time–harmonic Maxwell equation// SIAM J. Appl. Math. — 1991. — 22. — С. 1679–1701 14. Schmidt G. On the diffraction by biperiodic anisotropic structures// Preprint № 751, WIAS, Berlin, 2002

Gunther Schmidt Weierstrass Institute of Applied Analysis and Stochastics, 10117 Berlin, Germany E-mail: [email protected]