М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
« К ривые второг о п оря д ка» Пособиед ля студ ентов1 курсапо специальности «х им ия» 020101.
В О РО Н Е Ж 2004
2 У тверж д ено науч но-м етод ич еским советом м атем атич еского ф акультета 3 сентября 2004 год а Протокол№ 1
СоставительПетроваЕ .В .
Пособиепод готовлено накаф ед реуравнений вч астны х производ ны х и теории вероятностей м атем атич еского ф акультетаВ оронеж ского госуниверситета Реком енд уется д ля студ ентов1 курсад невного отд еления х им ич еского ф акультета
3 К Р И В Ы Е В ТО РО ГО П О Р ЯДК А У равнение F(x;y)=0 опред еляеткривую второго поряд ка, если х отя бы од наиз перем енны х вэтом уравнении им еетвторую степень.
1. О круж ност ь О круж ность – м нож ество всех точ ек плоскости, равноуд аленны х от д анной точ ки (центра). Е сли r – рад иус окруж ности, а точ ка C (a;b) – ее центр, то уравнениеокруж ности им еетвид ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 . (1) В ч астности, если центр окруж ности совпад аетс нач алом коорд инат, то послед нееуравнениеприм етвид x2 + y2 = r 2 . (2) Е сли в левой ч асти уравнение (1) раскры ть скобки, то получ ится уравнениевид а x 2 + y 2 + lx + my + n = 0 , (3) 2 2 2 гд е l = −2a, m = -2b, n = a + b − r . В общ ем случ ае уравнение (2) опред еляет окруж ность, если 2 2 l + m − 4n > 0 . Е сли l 2 + m 2 − 4n = 0 , то указанное уравнение опред еляет точ ку (- l/2;-m/2), аесли l 2 + m 2 − 4n < 0 , то оно неим еетгеом етрич еского см ы сла. В этом случ аеговорят, ч то уравнениеопред еляетм ним ую окруж ность. Полезно пом нить, ч то уравнение окруж ности сод ерж ит старш ие ч лены x 2 и y 2 с равны м и коэф ф ициентам и, и в нем отсутствуетч лен с произвед ением x наy. В заим ное располож ение точ ки M(x1;y1) и окруж ности x 2 + y 2 = r 2 опред еляется таким и условиям и: если x1 + y1 = r 2 , то точ ка М леж итна 2 2 окруж ности; если x1 + y1 > r 2 , то точ ка М леж итвне окруж ности, и если 2 2 x1 + y1 < r 2 , то точ каМ леж итвнутри окруж ности. У равнение Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 (4) пред ставляетокруж ностьпри условии, ч то коэф ф ициенты A, B, C, D уд овлетворяю тнеравенству B 2 + C 2 − 4 AD > 0 (5) Т огд ацентр (a;b) и рад иусR окруж ности м ож но найти по ф орм улам B C ,b = − , a=− 2A 2A (6) B 2 + C 2 − 4 AD 2 R = 4A2 2
2
4 Прим ер 1. Н айти коорд инаты центра и рад иус окруж ности 5 x − 10 x + 5 y 2 + 20 y − 20 = 0 . Реш ение. П ерв ы й сп о со б. У равнение 5 x 2 − 10 x + 5 y 2 + 20 y − 20 = 0 под х од итпод вид (4); зд есь A=5, B=-10, C=20, D=-20. По ф орм улам (6) нах од им : a = 1, b = −2, R 2 = 9 , т.е. центр есть(1;-2), арад иусR = 3. В т о ро й сп о со б: Разд елив уравнение 5 x 2 − 10 x + 5 y 2 + 20 y − 20 = 0 на коэф ф ициент при ч ленах второй степени, т.е. на5, получ им : x2 − 2 x + y 2 + 4 y − 4 = 0 . Д ополним сум м ы x 2 − 2 x и y 2 + 4 y д о квад ратов. Д ля этого прибавим к первой сум м е 1, а ко второй 4. Д ля ком пенсации прибавим те ж е ч исла к правой ч асти уравнения. Получ им : ( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 + 4 y + 4) − 4 = 1 + 4 , ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9 . т.е. Прим ер 2. Составить уравнение окруж ности, описанной около треугольника, стороны которого зад аны уравнениям и 9 x − 2 y − 41 = 0 , 7x + 4 y + 7 = 0 , x − 3y +1 = 0 . Реш ение. Н айд ем коорд инаты верш ин треугольника, реш ив совм естно три систем ы уравнений: 9 x − 2 y − 41 = 0, 9 x − 2 y − 41 = 0, 7 x + 4 y + 7 = 0, 7 x + 4 y + 7 = 0; x − 3 y + 1 = 0; x − 3 y + 1 = 0. В результатеполуч им A(3;-7), B(5;2), C(-1;0). Пусть иском ое уравнение окруж ности им еет вид 2 2 2 ( x − a ) + ( y − b) = r . Д ля нах ож д ения a, b и r напиш ем три равенства, под ставиввиском оеуравнениевм есто текущ их коорд инаткоорд инаты точ ек A, B и C: (3 − a) 2 + (−7 − b) 2 = r 2 ; (5 − a) 2 + (2 − b) 2 = r 2 ; ( −1 − a) 2 + b 2 = r 2 . И склю ч ая r 2 , прих од им к систем еуравнений (3 − a )2 + (− 7 − b )2 = (5 − a )2 + (2 − b )2 , 4a + 18b = −29, ил и 2 2 2 2 8a − 14b = 57. (3 − a ) + (− 7 − b ) = (− 1 − a ) + b , О тсю д а a=3,1, b=-2,3. Знач ение r 2 нах од им из уравнения 2 2 2 2 ( −1 − a) + b = r , т.е. r = 22,1 . И так, иском ое уравнение записы вается в 2 вид е ( x − 3,1) 2 + ( y + 2,3) = 22,1 . 2
5 Прим ер 3. Составить уравнение окруж ности, прох од ящ ей ч ерез точ ки A(5;0) и B(1;4), если еецентр леж итнапрям ой x + y − 3 = 0 . Реш ение. Н айд ем коорд инаты точ ки М – серед ины х орд ы А В; им еем (5 + 1) = 3 , y = (4 + 0) = 2 , т.е. М (3;2). Ц ентр окруж ности леж итна xM = M 2 2 серед инном перпенд икуляре к отрезку А В . У равнение прям ой А В им еет вид ( y − 0) = (x − 5) , т.е. x + y − 5 = 0 . (4 − 0) 1 − 5 Т ак как угловой коэф ф ициентэтой прям ой есть -1, то угловой коэф ф ициентперпенд икуляра к ней равен 1, а уравнение этого перпенд икуляра y − 2 = 1 ⋅ (x − 3) , т.е. x − y − 1 = 0 . О ч евид но, ч то центр окруж ности С есть точ ка пересеч ения прям ой А В с указанны м перпенд икуляром , т.е. коорд инаты центра опред еляю тся путем реш ения систем ы уравнений x + y − 5 = 0 , x − y − 1 = 0 . След овательно, x=2, y=1, т.е. С (2;1). Рад иус окруж ности равен д лине отрезка С А , т.е. r = (5 − 2) + (1 − 0) = 10 . И так, иском ое уравнение им еет вид 2 ( x − 2) 2 + ( y − 1) = 10 . Прим ер 4. Составить уравнение х орд ы окруж ности x 2 + y 2 = 49 , д елящ ей вточ кеА (1;2) пополам . Реш ение. Составим уравнениед иам етраокруж ности, прох од ящ его ч ерез точ ку А (1;2). Это уравнение им еетвид y = 2 x . И ском ая х орд а перпенд икулярна 1 д иам етруи прох од итч ерез точ куА , т.е. ееуравнение y − 2 = − ( x − 1) , или 2 x + 2y − 5 = 0. Прим ер 5. Н айти уравнение окруж ности, сим м етрич ной с окруж ностью x 2 + y 2 = 2 x + 4 y − 4 относительно прям ой x − y − 3 = 0 . Реш ение. Привед ем уравнение д анной окруж ности к канонич еском у вид у (x − 1)2 + ( y − 2)2 = 1 ; центр окруж ности нах од ится в точ ке С (1;2), и ее рад иусравен 1. Н айд ем коорд инаты центраС 1(x1;y1) сим м етрич ной окруж ности, д ля ч его ч ерез точ ку С (1;2) провед ем прям ую , перпенд икулярную прям ой −1 x − y − 3 = 0 ; ее уравнение y − 2 = k ( x − 1) , гд е k = = −1 , откуд а 1 y − 2 = − x + 1, или y = − x + 3 . Реш ая совм естно уравнения x − y − 3 = 0 и x + y − 3 = 0 , получ им x=3, y=0, т.е. проекция точ ки С (1;2) над анную прям ую – точ каР (3;0). К оорд инаты ж е сим м етрич ной точ ки получ им по ф орм улам коорд инатсре2
2
6 д ины отрезка: 3 =
(1 + x ) ,
0=
(1 + y ) , таким
образом , x1=5, y1=-2. Знач ит, 2 2 точ ка С 1(5;-2) – центр сим м етрич ной окруж ности, а уравнение этой ок2 руж ности им еетвид ( x − 5) 2 + ( y + 2 ) = 1 . Прим ер 6. Н айти м нож ество серед ин х орд окруж ности 2 2 x + y = 4( y + 1) , провед енны х ч ерез нач ало коорд инат. Реш ение. У равнение м нож ества х орд им еетвид y = kx . В ы разим коорд инаты точ ки пересеч ения х орд с окруж ностью ч ерез k, д ля ч его реш им систем у уравнений y = kx и x 2 + y 2 − 4 y − 4 = 0 . Получ им квад ратное уравнение x 2 (k 2 + 1) − 4kx − 4 = 0 . Зд есь x1 + x2 = 4k (1 + k 2 ) . Н о полусум м а этих абсцисс д аетабсциссу серед ины х орд ы , т.е. x = 2k (1 + k 2 ) , аорд ината серед ины х орд ы y = 2k 2 (1 + k 2 ) . Поэтом у д ва равенства являю тся парам етрич еским и уравнениям и иском ого м нож естваточ ек. И склю ч ив из этих равенств k (д ля ч его д остаточ но в соотнош ении y x = 2k (1 + k 2 ) полож ить k = ), получ им x 2 + y 2 − 2 y = 0 . Т аким образом , x иском ы м м нож еством такж еявляется окруж ность. 1
1
Зад ания д ля самост оя т е льног о ре ш е ния 1. О пред елитькоорд инаты центрови рад иусы окруж ностей: а) x 2 + y 2 − 8 x + 6 y = 0 ; б) x 2 + y 2 + 10 x − 4 y + 29 = 0 ; в) x 2 + y 2 − 4 x + 14 y + 54 = 0 . 2. Н айти угол м еж д у рад иусам и окруж ности x 2 + y 2 + 4 x − 6 y = 0 , провед енны м и вточ ки еепересеч ения сосью Оу. 3. Составитьуравнениеокруж ности, прох од ящ ей ч ерез точ ки А (1;2), В (0;-1) и С (-3;0). 4. Составить уравнениеокруж ности, прох од ящ ей ч ерез точ ки А (7;7) и В (-2;4), если еецентр леж итнапрям ой 2 x − y − 2 = 0 . 5. Составить уравнение общ ей х орд ы окруж ностей x 2 + y 2 = 16 и (x − 5)2 + y 2 = 9 . 6. Н аписать уравнение окруж ности с центром С (-4;3) и рад иусом R =5 и построитьее. Л еж атли наэтой окруж ности точ ки А (-1;-1), В (3;2) и О (0;0). 7. Д ана точ ка А (-4;6). Н аписать уравнение окруж ности, д иам етром которой служ итотрезок ОА . 8. Построитьокруж ности:
7 а) x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3 = 0 ; б) x 2 + y 2 − 8 x = 0 ; в) x 2 + y 2 + 4 y = 0 . 9. Построить окруж ность x 2 + y 2 + 5 x = 0 , прям ую x + y = 0 и найти точ ки их пересеч ения. 10. Н аписать уравнение окруж ности, прох од ящ ей ч ерез точ ки пересеч ения окруж ности x 2 + y 2 + 4 x − 4 y = 0 с прям ой y = − x и ч ерез точ ку А (4;4). 11. Н аписать уравнения касательны х к окруж ности 2 2 x + y − 8 x − 4 y + 16 = 0 , провед енны х из нач алакоорд инат. 12. Д аны точ ки А (-3;0) и В (3;6). Н аписать уравнение окруж ности, д иам етром которой служ итотрезок А В . 13. Показать, ч то точ ка А (3;0) леж ит внутри окруж ности 2 2 x + y − 4 x + 2 y + 1 = 0 , написать уравнение х орд ы , д елящ ейся в точ ке А пополам . 14. Составить уравнения касательны х к окруж ности 2 2 (x − 3) + ( y + 2) = 25 , провед енны х в точ ках пересеч ения окруж ности с прям ой − y + 2 = 0 . 15. Д ана окруж ность x 2 + y 2 = 4 . И з точ ки А (-2;0) провед ена х орд а А В , которая прод олж ена на расстояние В М = А В . Н айти м нож ество точ ек М .
2. Э ллип с Эллипс – м нож ество всех точ ек плоскости, сум м а расстояний которы х д о д вух д анны х точ ек, назы ваем ы х ф окусам и, есть велич инапостоянная (ее обознач аю тч ерез 2а), прич ем эта постоянная больш е расстояния м еж д уф окусам и. Е сли оси коорд инатрасполож ены по отнош ению к эллипсу так, как нарисунке, аф окусы эллипсанах од ятся y на оси Ох на равны х расстояниях отнач ала коорд инат в точ ках F1 (c;0) и M F2 (− c;0) , то получ ится простейш ее (каr2 r1 нонич еское) уравнениеэллипса: F2 F1 O x x2 y2 + = 1. (1) a 2 b2 Зд есь а – больш ая, b – м алая полуось эллипса, прич ем a, b и c (с – половина расстояния м еж д у ф окусам и) связаны соотнош ением a 2 = b 2 + c 2 .
8 Ф орм а эллипса х арактеризуется его эксцентриситетом (отнош ение с ф окусного расстояния к больш ой оси), обознач ается - ε., ε = (так как a c
1 , a b a b 2 2 x y то точ ка М леж итвне эллипса; если 12 + 12 < 1, то точ ка М леж итвнутри a b эллипса. Ф окальны е рад иусы -векторы вы раж аю тся ч ерез абсциссу точ ки эллипса по ф орм улам r1 = a − εx (правы й ф окальны й рад иус-вектор) и r2 = a + εx (левы й ф окальны й рад иус-вектор). Прим ер 1. Составитьканонич ескоеуравнениеэллипса, прох од ящ его 5 6 15 и N − 2; . ч ерез точ ки M ; 2 4 5 Реш ение. x2 y2 Пусть 2 + 2 = 1 - иском ое уравнение эллипса. Этом у уравнению a b д олж ны уд овлетворять коорд инаты д анны х точ ек. След овательно, 25 3 4 3 + 2 = 1, 2 + 2 = 1. 2 4a 8b a 5b О тсю д анах од им a 2 = 10 , b 2 = 1 . И так, уравнениеэллипсаим еетвид x12 + y 2 = 1. 10 Прим ер 2. Пусть ф окусное расстояние эллипса 2с=8 (см ), а сум м а расстояний произвольной его точ ки д о ф окусов составляет10 (см ). Составитьканонич ескоеуравнениеэллипса. Реш ение.
9 с =0,8. К оэф ф ициент a сж атия k = 1 − ε 2 = 0,6 . М алая ось 2b = 2ak = 2 a 2 − c 2 = 6 (см ). x2 y 2 = 1. К анонич ескоеуравнениеэллипсаесть + 25 9 Больш ая ось 2а=10 (см ), эксцентриситет ε =
Зад ания д ля самост оя т е льног о ре ш е ния x2 y 2 + = 1 найти точ ку, разность ф окальны х рад иу25 9 сов-векторовкоторой равна6,4. 2. Н айти д лину перпенд икуляра, восстановленного из ф окусаэллип2 x y2 са 2 + 2 = 1 к больш ой оси д о пересеч ения сэллипсом . a b 3. Составить уравнение прям ой, прох од ящ ий ч ерез левы й ф окус и x2 y2 ниж ню ю верш инуэллипса + = 1. 25 16 4. Эллипс, отнесенны й к осям , прох од итч ерез точ ку М (1;1) и им еет 3 эксцентриситетε = . Составитьуравнениеэллипса. 5 x2 y 2 5. К ак располож ены относительно эллипса + = 1 точ ки М (7;1), 50 32 N (1;1), P (1;1)? 6. Н айти эксцентриситетэллипса, если ф окальны й отрезок вид ен из верх ней верш ины под углом α. 7. Н а прям ой x + 5 = 0 найти точ ку, од инаково уд аленную отлевого x2 y2 ф окусаи верх ней верш ины эллипса + = 1. 20 4 8. Пользуясь опред елением эллипса, составить его уравнение, если известно, ч то точ ки F1 (1;1) и F2 (1;1) являю тся ф окусам и эллипса, ад линабольш ой оси равна2. 9. Составить уравнение м нож ества точ ек, расстояния которы х от точ ки А (0;1) вд варазам еньш ерасстояния д о прям ой у− 4 = 0 . 10. К онцы отрезка АВ постоянной д лины а скользятпо сторонам прям ого угла. Н айти уравнение кривой, описы ваем ой точ кой М , д елящ ей этототрезок вотнош ении 1 : 2. 11. Н айти общ ие точ ки эллипса x 2 + 4 у2 = 4 и окруж ности, прох од ящ ей ч ерез ф окусы эллипсаи им ею щ ей центр вего «верх ней» верш ине. 12. Н а прям ой х = −5 найти точ ку, од инаково уд аленную от«левого» ф окусаи «верх ней» верш ины эллипса x 2 + 5 у2 = 20 . 1. Н а эллипсе
10 13. Н а эллипсе x 2 + 5 у2 = 20 найти точ ку, рад иусы -векторы которой перпенд икулярны . Указание. И ском ы е точ ки суть точ ки пересеч ения с эллипсом окруж ности, прох од ящ ей ч ерез ф окусы эллипса и им ею щ ей центр в нач але коорд инат. 14. А бсциссы точ ек окруж ности x 2 + у2 = 4 увелич ены вд вое. О пред елитьполуч енную кривую .
3. Гип е рбола Гипербола – м нож ество всех точ ек плоскости, абсолю тная велич ина разности расстояний которы х д о д вух д анны х точ ек, назы ваем ы х ф окусам и, есть велич инапостоянная (ееобознач аю тч ерез 2а), прич ем эта постоянная м еньш ерасстояния м еж д уф окусам и. Е сли пом еститьф окусы гиперболы в точ ках F1 (c;0) и F2 (− c;0) , то получ ится канонич еское уравнение гиперболы x2 y 2 (1) − = 1, a 2 b2 гд е b 2 = c 2 − a 2 . Гипербола состоитиз д вух ветвей и располож ена сим м етрич но относительно осей коорд инат. Т оч ки A1 (a;0 ) и A2 (− a;0 ) назы ваю тся верш инам и гиперболы . О трезок А 1А 2 такой, ч то А 1А 2 = 2а, назы вается д ействительной осью гиперболы , а отрезок В 1В 2 такой, ч то В 1В 2 = 2b, м ним ой осью (см . рисунок). Прям ая назы вается асим птотой гиперболы , если расстояние точ ки М (х;у) гиперболы от этой прям ой стрем ится к нулю при x → +∞ или b x → −∞ . Гиперболаим еетд веасим птоты , уравнения которы х y = ± x . a Д ля построения асим птотгипербоy лы строятосевой прям оугольник гиперболы со сторонам и x=a, x=-a, y=b, y=-b. Прям ы е, прох од ящ ие ч ерез противопоM r2 a лож ны е верш ины этого прям оугольника, F2 r1 являю тся асим птотам и гиперболы . Н а b a A F2 A O x F1 рисунке указано взаим ное располож ение F 2 гиперболы и ее асим птот. О тнош ение c ε = > 1 назы вается эксцентриситетом a гиперболы . Ф окальны е рад иусы -векторы правой ветки гиперболы : r1 = εx − a (правы й ф окальны й рад иус-вектор), r2 = εx + a (левы й ф окальны й рад иусвектор). 2
1
11 Ф окальны е рад иусы -векторы левой ветки гиперболы : r1 = −εx + a (правы й ф окальны й рад иус-вектор), r2 = −εx − a (левы й ф окальны й рад иус-вектор). Е сли a=b, то уравнениегиперболы приним аетвид x2 − y2 = a2 . (2) Т акая гиперболаназы вается равнобоч ной. Е е асим птоты образую тпрям ой угол. Е сли за оси коорд инатпринять асим птоты равнобоч ной гиперболы , a2 то ее уравнение прим етвид xy=m ( m = ± ; при m>0 гипербола располо2 ж енав I и III ч етвертях , при при m<0 - во II и IV ч етвертях ). Т ак как уравm нение xy=m м ож но переписать в вид е y = , то равнобоч ная гипербола x является граф иком обратной пропорциональной зависим ость м еж д у велич инам и х и у. У равнение x2 y 2 y 2 x2 (3) − = −1 (или 2 − 2 = 1 ) a 2 b2 b a такж е назы вается уравнением гиперболы , но д ействительной осью этой гиперболы служ итотрезок оси Оуд лины 2b. x2 y2 x2 y 2 Д ве гиперболы 2 − 2 = 1 и 2 − 2 = −1 им ею тод ни и те ж е полуa b a b оси и од ни и те ж е асим птоты , но д ействительная ось од ной служ итм ним ой осью д ругой, и наоборот. Т акие д ве гиперболы назы ваю тся сопряж енны м и. Построение гиперболы по ее осям .
y
Н а осях коорд инат(см . рисунок) отклад ы ваем отрезки ОА 1 = М В ОА 2 = аи ОВ 1 = ОВ 2 = b (д ействительны е и м ним ы е полуоси). Затем отклад ы ваем отрезки OF1 и OF2, F A A F К O x равны е АВ . Т оч ки F1 и F2 – ф окусы . Н а прод олж ении отрезка А 1А 2 за М В точ ку К . И з точ ки F1 рад иусом r1 = A1К описы ваем окруж ность. И з точ ки F2 описы ваем окруж ность рад иусом r2 = A2K =2а= r. Эти окруж ности пересекутся в д вух точ ках М 1, М 2, прич ем по построению F2М 1 - F1М 1 = 2аи F2М 2 - FМ 2 = 2а. Согласно опред елению точ ки М 1 и М 2 леж атна гиперболе. М еняя r, получ им новы е точ ки «правой» ветви. А налогич но строятся точ ки «левой» ветви. 1
1
2
1
2
2
2
2
12 x2 y 2 − = 1 найти точ ку, рас16 9 стояниекоторой отправого ф окусавд варазам еньш ееерасстояния отлевого ф окуса. Реш ение. Д ля правой ветви гиперболы ф окальны е рад иусы -векторы опред еляю тся по ф орм улам r1 = εx − a и r2 = εx + a . След овательно, им еем уравне3a ние откуд а x= ; зд есь а=4, εx + a = 2(εx − a ) , ε c a2 + b2 16 + 9 5 ε= = = = , т.е. х=9,6. a a 4 4 О рд инату нах од им из уравнения гиперболы :
Прим ер 1. Н а правой ветви гиперболы
2
3 2 3 48 3 y=± x − 16 = ± − 16 = ± 119 . 4 4 5 4 Т аким образом , условию зад ач и уд овлетворяю т д ве точ ки: M 1 9,6;0,6 119 и M 2 9,6;−0,6 119 . Прим ер 2. Д аны точ ки А (-1;0) и В (2;0). Т оч каМ д виж ется так, ч то в треугольникеА М В угол Bˆ остается вд воебольш еугла Aˆ . Н айти уравнение кривой, которую опиш етточ каМ . В зяв точ ку М с коорд инатам и х и у, вы разим tgBˆ и tgAˆ ч ерез коорy y y д инаты точ ек А, В и М : tgBˆ = − = . , tgAˆ = x−2 2− x x +1 Согласно условию , получ аем уравнение tgBˆ = tg 2 Aˆ = 2tgAˆ , т.е. tg 2 Aˆ tgBˆ = . Под ставив в это равенство найд енны е д ля tgBˆ и tgAˆ вы ра2 ˆ 1 − tg A
(
)
(
ж ения, прих од им к уравнению
)
у 2 y ( x + 1) = 2 ; 2 − x 1 − y 2 (1 + x )
y2 После сокращ ения на у (у≠0) и упрощ ения получ аем x − = 1 . И ском ая 3 кривая – гипербола. Прим ер 3. Эксцентриситет гиперболы равен 2 . Составить простейш ееуравнениегиперболы , прох од ящ ей ч ерез точ ку M 3 : 2 . Реш ение. c = 2 , или Согласно опред елению эксцентриситета, им еем a c 2 = 2a 2 . Н о c 2 = a 2 + b 2 ; след овательно, a 2 + b 2 = 2a 2 , или a 2 = b 2 , т.е. гиперболаравнобоч ная. 2
(
)
13 Д ругое равенство получ им из условия нах ож д ения точ ки М
( 3) − ( 2 ) 2
перболе, т.е.
a
2
2
b
2
= 1, или
на ги-
3 2 − 2 = 1 . Поскольку a 2 = b 2 , получ им 2 a b
3 2 − 2 = 1 , т.е. a 2 = 1. 2 a a Т аким образом , уравнениеиском ой гиперболы им еетвид x 2 − y 2 = 1.
Зад ания д ля самост оя т е льног о ре ш е ния 1. Построить гиперболу x 2 − 4 y 2 = 18 и ее асим птоты . Н айти ф окусы , эксцентриситети уголм еж д уасим птотам и. 2. Н а гиперболе x 2 − 4 y 2 = 16 взята точ ка М с орд инатой равной 1. Н айти расстояния ееотф окусов. x2 y 2 3. Н айти расстояние ф окуса гиперболы 2 − 2 = 1 отее асим птоти a b угол м еж д уасим птотам и. 4. Н аписать канонич еское уравнение гиперболы , зная, ч то расстояния од ной из ееверш ин отф окусовравны 9 и 1. 5. Составить уравнениегиперболы , прох од ящ ей ч ерез точ ку М (9;8), 2 2 если асим птоты гиперболы им ею туравнения y = ± x. 3 6. Н айти уравнениегиперболы , верш ины и ф окусы которой нах од ятx2 y 2 ся всоответствую щ их ф окусах и верш инах эллипса + = 1. 8 5 7. Ч ерез точ ку М (0;-1) и правую верш ину гиперболы 3x 2 − 4 y 2 = 12 провед енапрям ая. Н айти вторую точ купересеч ения прям ой сгиперболой. 8. Д ана гипербола x 2 − y 2 = 8 . Н айти соф окусны й эллипс, прох од ящ ий ч ерез точ куМ (4;6). 9. Д ан эллипс 9 x 2 + 25 y 2 = 1 . Н аписатьуравнениесоф окусной равнобоч ной гиперболы . 10. У гол м еж д у асим птотам и гиперболы равен 60°. В ы ч ислить эксцентриситетгиперболы . x2 y 2 − = 1 найти точ ку, правы й ф о11. Н а левой ветви гиперболы 64 36 кальны й рад иус-вектор которой равен 18. 12. Составить уравнение гиперболы , если ее эксцентриситетравен 2 x2 y2 и ф окусы совпад аю тсф окусам и эллипса + = 1. 25 9
(
)
14 13. Н айти ф окальны ерад иусы -векторы гиперболы
x2 y 2 − = 1 в точ 16 9
ках пересеч ения еесокруж ностью x 2 + y 2 = 91 . 14. Д оказать, ч то д лина перпенд икуляра, опущ енного из ф окуса на од нуиз асим птотгиперболы , равнам ним ой полуоси. 15. Д оказать, ч то произвед ениерасстояний отлю бой точ ки гипербо2 лы x − y 2 = 1 д о ееасим птотестьвелич инапостоянная. 16. Н айти уравнение м нож ества точ ек, равноотстоящ их отокруж но2 сти x + 4 X + y 2 = 0 и отточ ки М (2;0).
4. П арабола Парабола – м нож ество всех точ ек плоскости, равноуд аленны х от д анной точ ки, назы ваем ой ф окусом , и д анной прям ой, назы ваем ой д иректрисой. y Е сли д иректрисой параболы является p p прям ая x = − , аф окусом – точ каF ;0 , то M 2 2 уравнениепараболы им еетвид r 2 y = 2 px . (1) F O x Эта парабола располож ена сим м етрич но относительно оси абсцисс(рисунок, гд ер>0) У равнение x 2 = 2 py (2) является уравнением параболы , сим м етрич ной относительно оси орд инат. При p>0 параболы (1) и (2) обращ ены в полож ительную сторону соответствую щ ей оси, апри p<0 – вотрицательную сторону. Д линаф окального рад иуса-векторапараболы y 2 = 2 px опред еляется p по ф орм уле r = x + (p>0). 2 Построениепараболы по д анном упарам етрур Провед ем (рисунок) прям ую PQ Q (д иректрису параболы ) и на д анном расстоянии p=CF от нее возьм ем точ ку F (ф окус). Серед ина О отрезка CF буд ет верш иной, а прям ая – CF осью параболы . K Н а луч е ОF возьм ем произвольную точ ку OF C R и ч ерез нее провед ем прям ую RS, перпенд икулярную к оси. И з ф окуса F, как из центра, опиш ем окруж ностьрад иуP
S
M R M’
x
15 сом , равны м CR. О напересеч етRS вд вух точ ках М , М ′. Т оч ки М и М ′ принад леж атиском ой параболе, так как по построению FM=CR=KM. М еняя полож ениеточ ки R, буд ем нах од итьновы еточ ки параболы . Параболакак граф ик уравнения y = ax 2 + bx + c У равнение x 2 = 2 py пред ставляетту ж е параболу, ч то и уравнение y 2 = 2 px , только теперь ось параболы совпад аетс осью орд инат; нач ало коорд инатпо-преж нем усовпад аетсверш иной параболы . Ф окуснах од ится p p вточ кеF 0; . Д иректрисаPQ пред ставляется уравнением y + = 0 . 2 2 Е сли за полож ительное направление на оси орд инатпринять не направлениеOF, анаправлениеFO, то уравнениепараболы буд ет − x 2 = 2 px . (3) Сообразно сэтим граф икам и ф ункций (4) y = ax 2 служ атпараболы , обращ енны евогнутостью вверх , когд аa>0, и вниз, когд а a<0. Ч ем м еньш е абсолю тное знач ение а, тем ближ е ф окус отверш ины , тем больш е«раствор» параболы . В сякоеуравнение y = ax 2 + bx + c (5) 2 граф ич ески изображ ается той ж е параболой, ч то и уравнение y = ax (д ля p 1 обеих парабол расстояние отверш ины д о ф окуса равно ). О бе об2 4a ращ ены вогнутостью в од ном и том ж е направлении. Н о верш ина параболы (5) леж итневнач але, авточ кеА скоорд инатам и b 4ac − b 2 xA = OP = − , y A = PA = . (6) 2a 4a Прим ер 1. Составить уравнение параболы , сим м етрич ной относительно оси Ox, сверш иной в нач алекоорд инат, если д линанекоторой х орд ы этой параболы , перпенд икулярной оси Ox, равна 16, а расстояние этой х орд ы отверш ины равно 6. Реш ение. Т ак как известны д линах орд ы и расстояние ее отверш ины , то, след овательно, известны коорд инаты конца этой х орд ы – точ ки М , леж ащ ей на параболе. У равнение параболы им еетвид y 2 = 2 px ; полагая в нем х=6, 32 у=8, нах од им 82 = 2 p ⋅ 6 , откуд а 2 p = . И так, уравнение иском ой пара3 32 x болы y 2 = . 3
16 Прим ер 2. Составить уравнение параболы с верш иной в нач але коорд инат, сим м етрич ной относительно оси Оу и отсекаю щ ей на биссектрисеI и III коорд инатны х угловх орд уд линой 8 2 . Реш ение. И ском ое уравнение параболы y 2 = 2 px , уравнение биссектрисы y = x . Т аким образом , получ аем точ ки пересеч ения параболы сбиссектрисой: О (0;0) и М (2р;2р). Д линах орд ы опред еляется как расстояние м еж д у д вум я точ кам и: 8 2 = 4 p 2 + 4 p 2 , откуд а 2 p = 8 . След овательно, иском ое уравнениеим еетвид x 2 = 8 y .
Зад ания д ля самост оя т е льног о ре ш е ния 1. Построитьпараболы , зад анны еуравнениям и: а) y 2 = 4 x ; б) y 2 = −4 x ; в) x 2 = 4 y ; г) x 2 = −4 y , атакж еф окусы и д иректрисы и написатьуравнения д иректрис. 2. Н аписатьуравнениепараболы : а) прох од ящ ей ч ерез точ ки (0;0), и (1;3) и сим м етрич ной относительно оси Ох; б) прох од ящ ей ч ерез точ ки (0;0) и (2;-4) и сим м етрич ной относительно оси Оу. 3. Н аписать уравнение окруж ности, им ею щ ей центр в ф окусе параболы y 2 = 2 px и касаю щ ейся еед иректрисы . Н айти точ ки пересеч ения параболы и окруж ности. 4. Н аписать уравнение параболы и ее д иректрисы , если парабола прох од ит ч ерез точ ки пересеч ения прям ой x + y = 0 и окруж ности x 2 + y 2 + 4 y = 0 и сим м етрич на относительно оси Оу. Построить окруж ность, прям ую и параболу. 5. Составить простейш ее уравнение параболы , если известно, ч то ее ф окуснах од ится вточ кепересеч ения прям ой 4 x − 3 y − 4 = 0 сосью Ох. 6. Н а параболе y 2 = 8 x найти точ ку, расстояние которой отд иректрисы равно 4. 7. Составить уравнение параболы с верш иной в нач але коорд инат, сим м етрич ной относительно оси Ох и отсекаю щ ей отпрям ой y = x х орд у д линой 4 2 .
17 8. Парабола y 2 = 2 x отсекаетотпрям ой, прох од ящ ей ч ерез нач ало 3 коорд инат, х орд у, д лина которой равна . Составить уравнение этой пря4 м ой. 9. Составить простейш ее уравнение параболы , если д лина х орд ы , перпенд икулярной оси сим м етрии и д елящ ей пополам расстояние м еж д у ф окусом и верш иной, равна1. 10. Н а параболе y 2 = 32 x найти точ ку, расстояние которой отпрям ой 4 x + 3 y + 10 = 0 равно 2. 11. Составить уравнение параболы с верш иной в нач але коорд инат, сим м етрич ной относительно оси Ох и прох од ящ ей ч ерез точ куМ (4;2); опред елить угол α м еж д у ф окальны м рад иусом -вектором этой точ ки и осью Ох. 12. Н а параболе y 2 = 6 x найти точ ку, ф окальны й рад иус-вектор которой равен 4,5. 13. Н аписать уравнение параболы и ее д иректрисы , если парабола прох од ит ч ерез точ ки пересеч ения прям ой y = x и окруж ности x 2 + y 2 + 6 x = 0 и сим м етрич на относительно оси Ох. Построить прям ую , окруж ностьи параболу. 14. Н аписать уравнения касательны х к параболе y 2 = 8 x , провед енны х из точ ки А (0;-2).
5. Диаме т ры и касат е льные к кривым 2-г о п оря д ка Д иам етром кривой 2-го поряд ка - назы вается геом етрич еское м есто серед ин параллельны х х орд . Д иам етрам и эллипсаи гиперболы оказы ваю тся отрезки и луч и прям ы х , прох од ящ их ч ерез центр, ад иам етрам и параболы – луч и, параллельны еееоси. У равнение д иам етра, д елящ его пополам х орд ы с наклоном tgα = k , буд ет: д ля кривы х : b2 y = m 2 x; (1) ak д ля параболы y 2 = 2 px : p y= . (2) k Д ва д иам етра эллипса и гипербол, из которы х каж д ы й д елитпополам х орд ы , параллельны е д ругом у, назы ваю тся взаим но сопряж енны м и.
18 И х угловы е коэф ф ициенты k и k 1 связаны зависим остью kk1 = − b2 (угиперболы ). a2 У равнения касательной: x2 y2 к эллипсу ( 2 + 2 = 1) a b x2 y2 к гиперболе ( 2 − 2 = 1) a b к параболе ( y 2 = 2 px ) гд е ( x0 ; y0 ) - точ какасания.
b2 (у элa2
липса) и kk 1 =
xx0 yy0 + 2 = 1; a2 b xx0 yy0 − 2 = 1; a2 b yy0 = p ( x + x0 ) ,
Зад ания д ля самост оя т е льног о ре ш е ния x2 y 2 + = 1 , его д иректрисы и найти расстояния 25 9 точ ки эллипсасабсциссой х=-3 отправого ф окусаи правой д иректрисы . x2 y 2 2. Построить гиперболу − = 1 , ее д иректрисы и найти расстоя16 9 ния точ ки гиперболы с абсциссой х=5 отлевого ф окуса и левой д иректрисы . 3. Н аписать канонич еское уравнениеэллипса, д иректрисам и которо4 го служ атпрям ы е х = ± и больш ая полуоськоторого равна2. 3 4. Н аписать уравнение гиперболы , асим птоты которой у = ± х, а д и-
1. Построитьэллипс
ректрисы х = ± 6 . х и сопряж енны й 2 ем уд иам етр и найти д лины a1 и b1 построенны х полуд иам етров. 6. Построитьгиперболу x 2 − 4 y 2 = 4 , д иам етр у = − х и сопряж енны й ем уд иам етр и найти угол м еж д уд иам етрам и. x2 y2 7. Н айти д лину того д иам етра эллипса 2 + 2 = 1 , которы й равен a b своем усопряж енном уд иам етру. x2 y2 8. Д ан эллипс + = 1. Ч ерез точ ку (-2;1) провести х орд у, д еля9 4 щ ую ся вэтой точ кепополам . 9. Д ана парабола y 2 = −4 x . Ч ерез точ ку (-2;1) провести х орд у, д елящ ую ся вточ кепополам . 5. Построить эллипс x 2 + 4 y 2 = 16 , д иам етр у=
19 10. Н аписатьуравнения касательны х к кривы м : а) x 2 + 4 y 2 = 16 ; б) 3x 2 − y 2 = 3 ; в) y 2 = 2 x вточ кесабсциссой х0=2. 11. Н аписать уравнения касательны х к эллипсу x 2 + 4 y 2 = 20 , параллельны х биссектрисепервого коорд инатного угла. 12. Н аписать уравнения касательны х к эллипсу x 2 + 2 y 2 = 8 , провед енны х из точ ки (0;6). x2 y2 13. Н аписать уравнение касательной к эллипсу 2 + 2 = 1 , отсеa b каю щ ей наосях коорд инатравны еполож ительны еотрезки. 14. Н аписать уравнения касательны х к гиперболе 4 x 2 − 9 y 2 = 36 , перпенд икулярны х к прям ой x + 2 y = 0 . x2 y 2 − = 1 с ее 15. Н айти точ ки пересеч ения асим птотгиперболы 16 9 д иректрисам и. 16. Построить эллипс x 2 + 4 y 2 = 16 , его д иам етр у= х и сопряж енны й ем уд иам етр и найти угол м еж д уэтим и д иам етрам и. 17. Д ана гипербола 4 x 2 − y 2 = 4 . Ч ерез точ ку (2;2) провести х орд у, д елящ ую ся вэтой точ кепополам .
6. Линии второг о п оря д ка Эллипс (в ч астности, окруж ность), гипербола и парабола являю тся линиям и второго поряд ка, т.е. во всякой систем е д екартовы х коорд инат пред ставляю тся уравнениям и второй степени. Н о невсякоеуравнениевторой степени пред ставляетод ну из упом януты х линий. М ож ет, наприм ер, случ иться, ч то уравнениевторой степени пред ставляетпарупрям ы х . Случ ай 1. У равнение 4 x2 − 9 y 2 = 0 , (1) распад аю щ ееся на д ва уравнения 2 x − 3 y = 0 и 2 x + 3 y = 0 , пред ставляет парупрям ы х , пересекаю щ их ся внач алекоорд инат. Случ ай 2. У равнение x 2 − 2 xy + y 2 − 9 = 0 , (2) распад аю щ ееся на уравнения x − y + 3 = 0 и x − y − 3 = 0 , пред ставляетпарупараллельны х прям ы х . Случ ай 3. У равнение x 2 − 2 xy + y 2 = 0 , (3)
20 т.е. (x − y ) = 0 . Пред ставляетод ну прям ую x − y = 0 ; но ввид у того, ч то в левую ч асть (3) д вуч лен x − y вх од итм нож ителем д важ д ы , принято сч итать, ч то (3) пред ставляетд весливш иеся прям ы е. М ож етслуч иться, ч то уравнение второй степени пред ставляеттолько од нуточ ку. Случ ай 4. У равнение 2
x2 +
1 2 y =0 4
(4)
им ееттолько од но д ействительное реш ение, им енно х=0, у=0. О но пред 1 ставляетточ ки (0;0). В проч ем (4) распад ается над вауравнения x + iy = 0 , 2 1 x − iy = 0 с м ним ы м и коэф ф ициентам и. Поэтом у говорят, ч то (4) пред 2 ставляет«пару м ним ы х прям ы х , пересекаю щ их ся в д ействительной точ ке». Н аконец, м ож етоказаться, ч то уравнение второй степени не пред ставляетникакого геом етрич еского м еста. Случ ай 5. У равнение x2 y2 =1 (5) + − 9 − 16 x2 y2 не пред ставляетни линии, ни д аж е точ ки, так как велич ина не + − 9 − 16 м ож етим еть полож ительного знач ения. О д нако ввид у внеш него сх од ства уравнение(5) пред ставляет«м ним ы й эллипс». Случ ай 6. У равнение x 2 − 2 xy + y 2 + 9 = 0 (6) тож енепред ставляетни линии, ни д аж еточ ки. Н о так как оно распад ается науравнения x − y + 3i = 0 и x − y − 3i = 0 , то говорят, ч то (6) пред ставляет «парум ним ы х параллельны х прям ы х ». К онич еским и сеч ениям и и парам и прям ы х исч ерпы ваю тся все линии, которы ем огутпред ставляться уравнением второй степени в д екартовой систем екоорд инат. И ны м и словам и, им еетм есто след ую щ ая теорем а. Тео рема. В сякая линия второго поряд ка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара прям ы х (пересекаю щ их ся, параллельны х или совпавш их ). Прим ер 1. Показать, ч то уравнение 9 x 2 + 24 xy + 16 y 2 − 25 = 0 опред еляетсовокупностьд вух прям ы х . Реш ение. 2 Перепиш ем уравнение в вид е (3 x + 4 y ) − 25 = 0 . Разлож ив левую ч асть на м нож ители, получ аем (3x + 4 y + 5)(3x + 4 y − 5) = 0 . Т аким обра-
21 зом , зад анное уравнение опред еляет прям ы е 3x + 4 y + 5 = 0 и 3x + 4 y − 5 = 0 . Прим ер 2. Показать, ч то уравнение 3x 2 + 8 xy − 3 y 2 − 14 x − 2 y + 8 = 0 опред еляетсовокупностьд вух прям ы х . Реш ение. Перепиш ем уравнение в вид е 3 y 2 − 2(4 x − 1) y − (3x 2 − 14 x + 8) = 0 . Разреш им уравнениеотносительно у:
(4 x − 1) + (9 x
− 42 x + 24)
4 x − 1 ± (5 x − 5) . 3 3 −x+4 Получ аем уравнения прям ы х y = 3x − 2 и y = . Эти уравнения 3 м ож но записатьввид е 3x − y − 2 = 0 , x + 3 y − 4 = 0 . Прим ер 3. К акая линия опред еляется уравнением xy + 2 x − 4 y − 8 = 0 ? Реш ение. x( y + 2 ) − 4( y + 2 ) = 0 , или Запиш ем уравнение в вид е (x − 4)( y + 2) = 0 . Т аким образом , уравнение опред еляет д ве прям ы е x − 4 = 0 и y + 2 = 0 , од наиз которы х параллельнаоси Ох, ад ругая параллельнаоси Оу. y=
4x −1 ±
2
2
, или y =
Зад ания д ля самост оя т е льног о ре ш е ния 1. Показать, ч то ниж еслед ую щ ие уравнения опред еляю т кривы е, распад аю щ иеся напарупрям ы х , и найти уравнения этих прям ы х . а) 25 x 2 + 10 xy + y 2 − 1 = 0 ; б) x 2 + 2 ху+ y 2 + 2 х + 2 у+ 1 = 0 ; в) 8 x 2 − 18 ху+ 9 y 2 + 2 х − 1 = 0 .
7. П я т ичле нное уравне ние кривой второг о п оря д ка У равнениевторой степени вид а А x 2 + Cy 2 + 2 Dх + 2 Eу+ F = 0 (1) (не сод ерж ащ ая ч лена ху с произвед ением коорд инат) назы вается пятич ленны м уравнением кривой второго поряд ка. О но опред еляетна плоскости хОу эллипс, гиперболу или параболу (свозм ож ны м и случ аям и распад а и вы рож д ения этих кривы х ) с осям и сим м етрии, параллельны м и осям коорд инат, взависим ости отзнакапроизвед ения коэф ф ициентовА и С .
22 1. Пусть AC>0; тогд аопред еляем ая этим уравнением кривая естьэллипс (д ействительны й, м ним ы й или вы род ивш ийся в точ ку); при А=С эллипспревращ ается вокруж ность. 2. Пусть AC<0; тогд а соответствую щ ая кривая является гиперболой, которая м ож ет вы рож д аться в д ве пересекаю щ иеся прям ы е, если левая ч астьуравнения распад ается напроизвед ениед вух линейны х м нож ителей; А x 2 + Cy 2 + 2 Dх + 2 Eу+ F = (a1 x + b1 y + c1 )(a2 x + b2 y + c2 ) . 3. Пусть AC=0 (т.е. либо А =0, С ≠ 0, либо С =0, А ≠ 0); тогд ауравнение опред еляет параболу, которая м ож ет вы рож д аться в д ве параллельны е прям ы е (д ействительны е различ ны е, д ействительны е сливш иеся или м ним ы е), если левая ч асть уравнения не сод ерж итлибо х, либо у (т.е. если уравнениеим еетвид А x 2 + 2 Dх + F = 0 или Cy 2 + 2 Eу+ F = 0 . В ид кривой и располож ение еенаплоскости легко устанавливаю тся 2 2 преобразованием уравнения к вид у A( x − x0 ) + C ( y − y0 ) = f (в случ ае AC>0 или AC<0); по вид у получ енного уравнения обнаруж иваю тся и случ аи распад аили вы рож д ения эллипсаи гиперболы . В случ ае невы рож д енны х кривы х переносом нач ала коорд инат в точ ку О 1 (х0; у0) получ енноеуравнениеэллипсаили гиперболы м ож но привести к канонич еском увид у. Прим ер 1. К акую линию опред еляет уравнение 2 2 4 x + 9 y − 8 х − 36 у+ 4 = 0 ? Реш ение. Преобразуем д анноеуравнениеслед ую щ им образом : 4(x 2 − 2 x ) + 9( y 2 − 4 y ) = −4 ; 4(x 2 − 2 x + 1 − 1) + 9( y 2 − 4 y + 4 − 4) = −4 ; 2 2 4( x − 1) + 9( y − 2 ) = −4 + 4 + 36 ; 2 2 4( x − 1) + 9( y − 2) = 36 . Произвед ем параллельны й перенос осей коорд инат, приняв за новое нач ало коорд инатточ ку О’ (1;2). В оспользуем ся ф орм улам и преобразования коорд инат: х = х′ + 1, у = у′ + 2 . О тносительно новы х осей уравнение кривой прим етвид х′2 у′2 4 х′2 + 9 у′2 = 36 , или + = 1. 9 4 Т аким образом , зад анная кривая является эллипсом . Прим ер 2. К акую линию опред еляет уравнение 2 2 x − 9 y + 2 х + 36 у− 44 = 0 ? Реш ение. Преобразуем д анноеуравнениетак: (x 2 + 2 x + 1 − 1) − 9( y 2 − 4 y + 4 − 4) = 44 ; (x + 1)2 − 9( y − 2 )2 = 44 + 1 − 36 ; (x + 1)2 − 9( y − 2)2 = 9 .
23 Произвед ем параллельны й перенос осей коорд инат, приняв за новое нач ало коорд инатточ ку О’ (-1;2). Ф орм улы преобразования коорд инат: х = х′ − 1 , у = у′ + 2 . Послепреобразования коорд инатполуч им уравнение х′2 2 2 ′ ′ х − 9 у = 9 , или − у′2 = 1 . 9 К ривая является гиперболой. А сим птотам и этой гиперболы относи1 тельно новы х осей служ атпрям ы е у′ = ± х′ . 3 Прим ер 3. Привести к канонич еском увид ууравнение x 2 − 2 ху+ y 2 − 10 х − 6 у+ 25 = 0 . Реш ение. 1. Преобразуем уравнениеспом ощ ью ф орм ул поворотаосей: (x ′ cos α − y ′ sin α )2 − 2 (x ′ cos α − y ′ sin α )(x ′ cos α + y ′ sin α ) + 2 + ( x ′ cos α + y ′ sin α ) − 10( x ′ cos α − y ′ sin α ) − − 6( x ′ cos α + y ′ sin α ) + 25 = 0,
или
(cos α − 2 sin α cos α + sin α )x ′ + + (sin α + 2 sin α cos α + cos α )y ′ + + 2(sin α − cos α )x ′y ′ − (10 cos α + 6 sin α )x ′ + 2
2
2
2
2
2
2
2
+ (10 sin α − 6 cos α ) y ′ + 25 = 0. Приравнивая нулю коэф ф ициент при произвед ении x’y’, им еем 2 (2 sin α − cos2 α ) = 0 , откуд а tg 2α = 1, т.е. tgα1 = 1 , tgα 2 = −1. В озьм ем 1 1 π tgα = 1 , откуд а α = и sin α = , cos α = . Т огд а уравнение прини4 2 2 м аетвид 2 y′2 − 8 2 x′ + 2 2 y′ + 25 = 0 ,
(
)
или 2 y′2 + 2 y′ − 8 2 x′ + 25 = 0 . 2. В ы раж ениевскобках д ополним д о полного квад рата: 2
2 = 8 2 x′ − 24 , 2 y′2 + 2 2
2 3 = 4 2 x′ − или y′2 + . 2 2
24 3 2 , прим еним ф орм улы ;− Приняв за новое нач ало точ ку О ′ 2 2 2 преобразования коорд инат х′ = х′′ − 3 2 , у′ = у′′ + ; получ им 2 у′′2 = 4 2 х′′ (уравнениепараболы ).
Зад ания д ля самост оя т е льног о ре ш е ния 1. У становить, какие кривы е опред еляю тся ниж еслед ую щ им и уравнениям и. Построитьч ертеж и. а) 36 x 2 + 36 y 2 − 36 x − 24 y − 23 = 0 ; б) 16 x 2 + 25 y 2 − 32 x + 50 y − 359 = 0 ; 1 1 2 в) x 2 − y 2 − x + y − 1 = 0 ; 4 9 3 2 2 г) x + 4 y − 4 x − 8 y + 8 = 0 ; д ) x2 + 4 y 2 + 8x + 5 = 0 ; е) x 2 − y 2 − 6 x + 10 = 0 ; ж ) 2x2 − 4x + 2 y − 3 = 0 ; з) x 2 − 6 x + 8 = 0 ; и) x 2 + 2 x + 5 = 0 . 2. Привести к канонич еском увид ууравнения след ую щ их кривы х : а) 14 x 2 + 24 xy + 21y 2 − 4 x + 18 y − 139 = 0 ; б) 4 xy + 3 y 2 + 16 x + 12 y − 36 = 0 ; в) 9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 − 20 x + 110 y − 50 = 0 .
8. И нвариант ы уравне ния второй ст е п е ни При перех од еотод ной систем ы прям оугольны х коорд инатк д ругой м ы зам еняем уравнение А x 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dх + 2 Eу + F = 0 (1) линии второго поряд кад ругим уравнение А ' x' 2 +2 B' x' y '+C ' y ' 2 +2 D' х'+2 E ' у'+ F ' = 0 , (2) которое получ ается из (1) с пом ощ ью ф орм ул преобразования коорд инат. При этом знач ения A’, B’, C’, D’, E’, F’ (всеили некоторы е) отлич аю тся от знач ений од ноим енны х велич ин A, B, C, D, E, F . О д нако три ниж епривед енны х вы раж ения, составленны х из велич ин A’, B’, C’, D’, E’, F’, всегд аостаю тся равны м и од ноим енны м вы раж ениям ,
25 составленны м из велич ин A, B, C, D, E, F . Эти три вы раж ения назы ваю тся инвариантам и уравнения второй степени. а) A + C. A B б) В торой инвариантδ = (м алы й д искрим инант). B C A B D в) Т ретий д искрим инант∆ = B C E (больш ой д искрим инант). D E F Прим ер. У равнение 2 x 2 − 4 ху+ 5 y 2 − х + 5 у− 4 = 0 1 5 A = 2, B = -2, C = 5, D = - , E = , F = -4 преобразуем к вид у 2 2 3 11 x' 2 +6 y ' 2 + х'+ у'−4 = 0 5 5 3 11 , E' = , F' = -4 соответственно повороту A' = 1, B' = 0, C' = 6, D' = 2 5 2 5 1 осей наугол arcsin ≈ 26 o 34' . 5 а) В ы раж ение A + C в старой систем е равнялось 2 + 5 = 7, в новой систем еод ноим енноевы раж ениеA’+ C’равняется 1 + 6 = 7, так ч то A + C = A’ + C’. б) М алы й д искрим инантвстарой систем екоорд инатбы лравен 2 −2 δ= = 2 ⋅ 5 − (− 2) ⋅ (− 2) = 6 , −2 5 авновой систем еим еем : 1 0 δ'= = 6, 0 6 так ч то δ =δ'. в) Больш ой д искрим инантвстарой систем ебы лравен 1 2 −2 − 2 5 131 ∆= −2 5 =− , 2 4 1 5 − −4 2 2 вновой систем е
26
∆' =
1
0
0
6
3
11 2 5
2 5 так ч то
3 2 5 11 2 5
=−
131 , 4
−4
∆ = ∆' .
О сновная лит е рат ура 1. Беклем иш ев Д .В . К урс аналитич еской геом етрии и линейной алгебры : уч ебник / Д .В . Беклем иш ев. – М . : В ы сш . ш к., 1998. – 319с. 2. Д анко П.Е В ы сш ая м атем атика в упраж нениях и зад ач ах / П.Е . Д анко, А .Г. Попов, Т .Я .К ож евникова. – М . : В ы сш . ш к., 1999. – Ч .1. – 304 с. 3. Ш ипач евВ .С. О сновы вы сш ей м атем атики : уч еб. пособие / В .С. Ш ипач ев. – М . : В ы сш . ш к., 1998. – 479с.
Доп олнит е льная лит е рат ура 1. М инорский В .П. Сборник зад ач по вы сш ей м атем атике / В .П. М инорский. – М . : Н аука, 1969. – 352 с. 2. Ц убербиллер О .Н . Зад ач и и упраж нения по аналитич еской геом етрии / О .Н . Ц убербиллер. – М . : Н аука. 1966. – 336 с. Сод е рж ание 1. О круж ность.................................................................................................. 3 2. Эллипс........................................................................................................... 7 3. Гипербола................................................................................................... 10 4. Парабола..................................................................................................... 14 5. Д иам етры и касательны ек кривы м 2-го поряд ка..................................... 17 6. Л инии второго поряд ка.............................................................................. 19 7. Пятич ленноеуравнениекривой второго поряд ка.................................... 21 8. И нварианты уравнения второй степени................................................... 24 Реком енд уем ая литература............................................................................ 26
27
СоставительПетроваЕ ленаВ лад им ировна Ред актор Т их ом ироваО .А .
