Сверпроводимость и спиновый транспорт в двухмерных электронных системах со спин-орбитальных взвимодействиях

2.3 Сверхпрово дящийфазовыйперех од . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 Свойствасверхпрово дника вблизисимметричной точки. . . . . 58 2.5 Фазоваядиаграмма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6 Токи ýлектромагнитный откликв киральной фазе . . . . . . . 74 2.7 Преобразование состоянияБКØ в слабокиральную фазу . . 76 2.8 Фазоваядиаграмма в присутствии немагнитных примесей. . . 81 2.9 Перех од Березинск ого-Костерлица-Т аулеса . . . . . . . . . . . . 87 3 ˜æ

оçåôсоновскиØ

ò акò ах

òок

свåр хпрово äник-

и спиноваÿ äвуìåрнßØ

поºÿриçаöиÿ ýºåкòроннßØ

в конгаç-

свåр хпрово äник

89

3.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2 Спектрандреевских состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.3 S-матрица и коýффициенты прохождения. . . . . . . . . . . . . 96 3.4 Джозефсоновский ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5 Уравнение на спектри токдляконтакта произвольной длины. 104 3.6 Спиновая поляризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.7 Обсуждение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.8 ˙аключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 ˇриºо æ åниÿ

128

А

Преобразование к ýллиптическим интегралам. . . . . . . . . . 128

Б

ЛинияST 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

В

Восьмойпорядокв функционале ГЛ . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Г

Спиноры,описывающие состояния квазичастицв перех оде S/Rashba 2DEG/S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Д

Матрица рассеяния в нормальном состоянииперех одаS/Rashba 2DEG/S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3

ленномперпендику лярновправои перпендику лярновлевоот направления импу льса.Спинýлектрона перест аетбытьхороłимквантовым числоми вводитьс я новоеквантовоечисло- киральность, соответствующее ýтим двум состояниям.В ýлектронном двумерном металлепривключении взаимо действияРаłбыдвесовпадающие Ферми-окружности, соответствующие прежде двукратному вырождениюпо спину , смещаютс я: соответствующая одной киральности Ферми-окружность раздуваетс я, а другой- сжимаетс я. Существование длякаждойкиральности двухотличныхФерми-окружностей обœясняеттакиеýффекты,как индуцирование спиновойполяризации приприложениипродольногоýлектрическ ого поля,или существование неодноро днойфазыпривключении продольного магнитного поляв спин-орбит альном сверхпрово днике. Спин-орбит альноевзаимо действиеРаłбыв сверхпрово дниках безцентра инверсиисущественно модифициру ет сверхпрово дящеесостояние.В обычныхсверхпрово дникахимеетместоиерар хияýнергетических масłт абов F 

~! D  Tc, где

F

- ýнергияФерми,! D - Дебаевск ая частот а, Tc - темпера-

турасверхпрово дящегоперех ода. Спин-орбит альноевзаимо действиехарактеризу ется скоростью и ýнергетическим расщеплением киральных подзон в металле pF , где pF - импу льс Ферми.Может бытькак pF  Tc , так

и pF  Tc . Случайслабогоспин-орбит альноговзаимо действиябылрас-

смотренв работ ах [27, 28],однако на повер хностиспин-орбит альноевзаимодействиеусиленоскачком химическ огопотенциала и спин-орбит альноерасщепление pF может достиг ать значенийгораздобольłихчемTc. Теория двумерного сверхпрово дника при произвольном спин-орбит альномвзаимодействиибылапостроенав работ ах [20,29].Такое сверхпрово дящеесостояниедолжнообладатьрядомнеобычных свойствблаго даря тому, что на повер хностикрист алланаруłенасимметрия верх-низ;волноваяфункция конденсат а являетс я в ýтомслучаесмесьюсинглетнойи триплетной волно6

вой функции [27, 20].Принизкихтемпературах восприимчивость Паули увеличена по сравнению с обычными сверхпрово дниками[20];парамагнитныйпределв параллельном магнитном полесмещенв сторонунамногоболее высоких значенийполяблаго даря возникновению неодноро дногосверхпроводящегосостояния[29],подобногопредск азанному Ларкиным-Овчинник овым и Фульде-Феррелом [30, 31] (LOFF)дляферромагнитного сверхпрово дника. Йип[32] сделалутвер ждениео довольно неожиданном свойстве такогосверхпрово дника: индуцирование параллельным магнитным полемсверхпрово дящеготока, перпендику лярногонаправлению поляи пропорционального полю повеличине. Всеýти свойствавытек аютизкирального расщепления спектра ýлектронов наповер хностиблаго даря присутствию спин-орбит альногочлена Раłбы[1]; величинаýтогорасщепленияpF малапо сравнению с ýнергией Ферми,номожетбытьдовольно больłой посравнению с другими ýнергиями в задаче. ˙адача о неодноро дномсостояниив спин-орбит альномсверхпрово днике отличаетс я от задачи Ларкина-Овчинник овав отноłении того,как магнитное полеменяетФерми-повер хность.В LOFFзадаче Ферми-повер хности, соответствующие спинувверх или спинувниз,увеличиваютс я или уменьłаютс я в радиу се; а в спин-орбит альномсверхпрово днике при прило жениипродольного магнитного поляпроис ходитпараллельный переносФерми~ пропорциоповер хностейв противополо жныхнаправлениях на векторQ, нальныйполюи перпендику лярныйему. Этоблагоприятству ет возникновениюнеодноро дногосостояния:становитьс я ýнергетически возмо жнымфор~ мирование Куперовск ойпарына ненулевомимпу льсе,пропорциональном Q. Принципиальное отличиеот стандартнойLOFFзадачи состоитв том,что тамКуперовские парыформировались из ýлектронов, принадлеж ащихдвум разнымконцентрическим Ферми-сферам, и значит, направление вектораКуперовск ойпарынебылофиксированным, чтообуславливало больłое разно7

ны,таки наруłенная симметрия инверсии присущи больłинству двумерных ýлектронных структур,поýтомуестественно ожидатьоткрытиедвумерной сверхпрово димости,длякоторойбылабы применима изучаемаямодель.В литературе былисообщения о наблю денииповер хностнойсверхпрово димости,к которойданнаямодельможет иметьотноłение. Например, поступили сообщения обýксперимент альныхнаблю денияхсверхпрово дящихсостояний, локализованных на повер хностиметаллови даже диýлектрик ов. Островки повер хностнойсверхпрово дящейфазынаблю далисьв повер хностнодопированномкрист аллеW O 3 : N a прикритическ ой температуре Tc = 91:5K [25]. Упомянем также недавнюю ýксперимент альнуюстатью[26],в которойизучался тонкийбислойBe/Auс наруłенной симметрией инверсии, и сообщалосьо сильноувеличенном продольномкритическ оммагнитном поле. Спин-х олловский ýффектв двумерном ýлектронном газе- следствие спинорбит альногоспаривания. Эффектсостоитв том,что протек аниеýлектрическоготока черезобразецвызывает бездиссипативный спиновый транспорт в перпендику лярномнаправлении [2]. Спин-х олловский ýффектзависитот размерности, геометрии, рассеянии на примес ях, плотности носителей в системе,а также отвидаспин-орбит альногоспаривания. Дляслучаяидеального двумерного ýлектронного газас взаимо действием Раłбы,Синоваи др.[3] наłлиспин-х олловский токпоперечной (z) спинкомпоненты в продольном ýлектрическ ом полеE ν , j µz =

sH µν E ν ,

с универсальной спин-х олловск ой

прово димостью sH = e=4 ~, не зависящейот константывзаимо действия Раłбы и плотности газа n, приусловии,чтообеспин-расщепленные ветви заполнены. Это имеетместо,когда плотностьn > n ∗ = m 2

2

= . Сна-

чаласчиталось,что незна чительное количество примесейне изменяетýтот результат, т. е.спин-х олловск аяконстанта универсальна (Sinova et al., 2004). Однак о затемоказалось,чтоеслиправильно учестьвлияниебеспор ядка, то верłинная поправк а сокращает вкладот однойпетли.Длястандартной мо9

делиРаłбыбылопоказано,чтоdc спин-х олловск ая прово димостьисчезает даже в случаепроизвольно слабогобеспор ядка (Inoueet al., 2004;Raimondi and Schwab, 2005[4, 5, 6, 7]),

sH

= 0, что былоподтвер жденои числен-

нымýкспериментом (Sheng,Sheng,WengandHaldane,2005[8]).Нену левоеи близк ое к универсальному значениебыловновьполучено тольк о прирассмотрении ac прово димости sH (! ) в режиме1=  !  b=~ (Misc henko et

al., 2004[5]).В диссерт ациимы приво димновыеаргументы в пользутого,

чтоспин-х олловский ýффектв равновесии равеннулю.Использу я уравнение Гейзенберг а, показываем,чтов одноро днойсистемеполныйспиновый токz компоненты спинапропорционален произво днойпо времениполногоz спинасистемы.Когдарассматриваем внеłние поля,постоянныевовремени, мы должныпредполо жить,что системанаходитьс я в стационарном состоянии (т. е. требу ется рассеяние на примес ях дляустановления равновесия). В стационарном состоянииполныйспинсистемыдолж ен бытьпостоянен,поýтому полныйспиновый токдолж ен бытьравеннулю.Этотаргумент , а также занулениеспиновоготока при прило женноммагнитномполев отсутствии рассеивателей (Rash ba,2004[10]) показали,чтоýто сокращение - внутреннее свойствоГамиль тонианасвобо дныхýлектронов и не зависитот видарассеивателей.В оченьчистомдвумерном ýлектронном газесредняядлинасвобо дногопробег а l может превысить размерсистемыL, и поýтомуимеетсмысл исследовать зависящуюот частотыспин-х олловскую прово димость sH () . НедавноЭ. И. Раłбапродемонстрировал [11] прямоесоотноłение между sH ()

и диýлектрическ ойфункцией отклик а ()

чистогоневзаимо действу-

ющегодвумерного ýлектронного газасоспин-орбит альнымвзаимо действием. В диссерт ациимывыводимуниверсальное соотноłение междузависящейот частотыспин-х олловск ой прово димостью sH ()

чистогодвумерного ýлек-

тронногогаза и егопродольноймагнитной восприимчивостью k () , и тем самымнаходим дополнительный аргументв пользуравновесной приро ды 10

спин-х олловск ого отклик а. В последние три года спин-х олловский ýффект былобœектомогромного внимания с точкизрениятеоретическ огоизучения. ×астичноинтересобœясняетс я тем,чтотемаýта соприк асаетс я с ýлемент ами спинтроники, ýлектронного транспорт а и контроляза неравновесными спиновымираспределениями, а также тем,что изучениевопросапотребовало тщательного и осторо жногоанализа.Актуальностьýтойтемытемболеевозрослапосленедавних ýксперимент альныхнаблю денийýтихýффектов(Kato et al, 2004b;Wunderlic h et al, 2005;Sihet al, 2005). В третьейчастидиссерт ацииизучаетс я джозефсоновский перех од через двумерный ýлектронный газ. SNSконтактыизучалисьдавнокак ýкспериментально,так и теоретически, но сравнительно недавнотехнологии позволилиделатьджозефсоновские перех оды черездвумерный ýлектронный газ [43,44, 45, 46, 47, 48]. Общаяособенность всехýтих структур- малое ýксперимент альноизмеренное произведение I cR N , намногоменьłее теоретическихпредск азаний.В частности,ýто несоответствие известнодлякороткихперех одовс высок окачественными S/N границами, что демонстриру ется измерением несину соидальной зависимости ток-фаза[48].Такимобразом, кажется естественным искатьýффекты,которыенебылипринятывовниманиев существующей теории,см.например [49,50],но могли быотвечатьза стольсильноеподавление критическ оготока. Очевидный кандидат , который исследу ется в диссерт ации- спин-орбит альноевзаимо действиеРаłбы,котороеприсутству ет в структурах с двумерным ýлектронным газомиз-заасимметрииквантовой ямыверх-низ.В гетероструктурах InAsспин-орбит альное расщепление особенновелик о (см.работу[51]),и приво дитк расщеплению R

= 2 pF ≈ 5meV , чтозначительно больłесверхпрово дящейщелиниобия.

Поýтомукажется естественным, чтоучетвзаимо действия Раłбымогбыбыть

важнымприанализеджозефсоновск оготока в ýтихструктурах. Вýтомотноłенииможнотакже упомянуть статью[52],гдепоказано,чтопостоянныето11

приведено простоедоказательство зануленияспин-х олловск ого ýффект а на основеанализаобщихкоммут ационных соотноłений дляоператоров. Этот результат остается вернымитакже и дляслучаявзаимо действующих ýлектронов(покрайнеймере,есливзаимо действиене зависитот спинов),а также дляболееобщегослучаязонногоспектра (p) и спин-орбит альногорасщепления (p), есливыполнено условиеp (p) = const · @ (p)=@p. В чистом

пределеl → ∞ и в присутствии ýлектрон-ýлектронн ого взаимо действия,

полученоуниверсальное соотноłение междузависящейот частотыспинхолловск ой прово димостью sH ()

и восприимчивостью Паули () . Пока-

зано,чтоýлектрон-ýлектронн ое взаимо действиеперенормиру ет универсальноезначение

(0) sH

= e=8 ~, на величину относительной поправки, определя-

ющейс я тольк о стандартным параметром Кулона. В Главе2 построена универсальная фазоваядиаграмма двумерного спинорбит альногосверхпрово дника в продольноммагнитном поле.Известно, что в присутствии спин-орбит альноговзаимо действия Раłбыв сильном продольноммагнитном полевозник аетнеодноро дноесверхпрово дящеесостояние[29] типа Ларкина-Овчинник ова-Фу льде-Феррела (LOFF)[30, 31] со сверхпроводящимпараметром порядка ( r) ∝ cos(Qr) (так называемая полосат ая

фаза).Мы рассмотрели случайсильноговзаимо действияРаłбысо спинорбит альнымрасщеплением больłимчемсверхпрово дящаящель , и показали,чтопринизкихтемпературах T ≤ 0:4Tc0 состояниетипаLOFFот-

деленоот обычного одноро дногосостояниялиниейфазового перех одапервого рода. Приболеевысокихтемпературах другоенеодноро дноесостояниес ( r) ∝ exp( iQr) лежитмеждуодноро днымБКØ и LOFF-состо яниемпри g

Bh

≈ 1:5Tc0. В отличиеот обычногоLOFFсостояния,сверхпрово дящая

плотность n s порядка полной2Dплотности ýлектронов (заисключением об-

ластивблизилинииперех одавторогорода междуБКØ состояниеми новой киральной фазой,где n yy я в ноль).Показано,чтонемагнитные s обращаетс 14

примесиподавляютобанеодноро дныхсостояния,которыеполностью исчезаютприTc0 ≤ 0:11.

В Главе3 исследовано влияниеспин-орбит альноговзаимо действия Раłбы

насверхпрово дящийтокв джозефсоновских перех одахв чистомпределе. Полученообобщение форму лыБеенакк ерадляандреевских уровнейна случай присутствия спин-орбит альногорассеяния. Длябесконечнодлинного непрозрачногоконтакта (присутствие нормального отраж енияна границенормальныйметалл-свер хпрово дник(NS))предск азанорасщепление андреевскихуровней,вызванное присутствием спин-орбит альногорассеяния. Показано,чтоквазиклассическ оесреднееджозефсоновск оготока темнеменеене зависитотвзаимо действия Раłбы,еслипренебрег атьýлектрон-ýлектронн ым взаимо действием в областидвумерного ýлектронного газа.Найдена спиновая поляризация в областидвумерного ýлектронного газаприненулевомджозефсоновск омтоке. В ˙аключенииперечислены оригинальные результаты, содержащиес яв диссерт ации. В Прило жениямывынеслиизложениерядатехнических вычислительных деталей.

15

ˆº ˇ

1 ßØ æ Ł ª Ł

ßØ æ

ŒŁ

ŁŁ

º Œ 1.1

Ł

æ

ª

Введение

В полупрово дниках со спин-орбит альнымвзаимо действием приприло жении ýлектрическ огополятечетбездиссипативный спиновый ток[2]. Дляслучая идеального двумерного ýлектронного газасо взаимо действием Раłбы,Синова и др.[3]наłлиспин-х олловский токпоперечной (z) спинкомпоненты в продольномýлектрическ омполеE ν , j µz = холловск ойпрово димостью sH

=

e 8 ~

sH µν E ν ,

с универсальной спин-

;

не зависящейот константывзаимо действияРаłбы

(1.1) и плотностигаза n,

приусловии,чтообеспин-расщепленные ветвизаполнены. Этоимеетместо, когда плотность n > n∗ = m2

2

= .

Результат (1.1)сильноменяетс я в присутствии беспор ядка: длястандартноймоделиРаłбыбылопоказано,чтоdc спин-х олловск ая прово димостьисчезаетдаже в случаепроизвольно слабогобеспор ядка [4, 5, 6, 7]. Хотя теперьнетсомнения в правильности ýтогорезультата, егофизическ оепроис хо16

ждение,темне менее,остается не совсемясным,посколькупривычислении он возник аетв результатетаинственного сокращения двухвкладов.В частности,заранеене очевидно,что то же самоесокращение имеетместодля обобщенной моделиРаłбыс зависящейот импу льсаспин-орбит альнойскоростью (p), и обобщенном непараболическ омспектре(p). ˙аметим,чтооба ýтихобобщения привелибык наруłению специальной симметрии стандартноймоделиРаłбы,а именно,равенстве значенийФерми-ск оростейv+ = v− на двухкиральных ветвях.˙десь мы произво дим подробноемикроск опическое вычисление спин-х олловск ой прово димостидля обобщенной модели непараболическ огоспектраи произвольной зависимости скоростиРаłбыот импу льса(1.3),длямалогоспин-орбит альногорасщепления по сравнению с ýнергиейФерми(учитываем членыпервогопорядка по отноłению =vf ). Мыпоказываем,чтов статическ ом пределе sH = 0 независимо от отноłениямеждуобратным упругимвременем рассеяния 1= и спин-орбит альным расщеплением = 2 pF , подобностандартной моделиРаłбы,изученной в работ ах[4, 5,6,7].Общность ýтогорезультата указывает , чтоегоможнобыло быполучить, использу я какие-нибу дьобщиеаргументы, и ýто действительно так: мыпоказываем,использу я коммут ационные соотноłения дляоператоров(верныетакже и для взаимо действующих ýлектронов), что отсутствие статическ ой спин-х олловск ой прово димостиследу ет из равновесности состоянияýлектронной системыс прило женнымýлектрическим полем.Такимобразом,

sH

= 0 длялюбогоненулевогобеспор ядка.

В оченьчистомдвумерном ýлектронном газе средняядлинасвобо дного пробег а l может превыситьразмерсистемыL, и поýтомустоитисследоватьзависящуюот частотыспин-х олловскую прово димость sH () . Недавно Э. И. Раłбапродемонстрировал [11] прямоесоотноłение между и диýлектрическ ой функцией отклик а ()

sH ()

чистогоневзаимо действующего

двумерного ýлектронного газасо спин-орбит альнымвзаимо действием. Ниже 17

мывыводимуниверсальное соотноłение междузависящейот частотыспинхолловск ой прово димостью sH ()

чистогодвумерного ýлектронного газаи

его продольноймагнитной восприимчивостью k () , и темсамымнаходим

дополнительный аргументв пользуравновесной приро ды спин-х олловск ой константы: sH ()

где m - зоннаямасса,

B

=

2e (g B ) 2 m

k ()

;

(1.2)

- магнетонБора,g - факторЛанде.Соотноłе-

ние(1.2)вернодлялюбыхнезавис ящихот спинаýлектрон-ýлектронн ыхвзаимодействий, на любойчастотеи длялюбойýлектронной плотности n, при которойможноиспользовать параболический спектр, (p) = p 2 =2m. Соотноłение(1.2)вернодаже в случаеоченьнизкой плотностиn < n ∗ , когда заселенатольк о однакиральная ветвь,и результат Синовыи др.[3],уравнение(1.1),неприменим. Наконец,мывычисляем поправки к спин-х олловск ойпрово димости,которыепроис ходят от двухчастичного ýлектрон-ýлектронн ого взаимо действия, и находим, что ýти поправкиотличныот нуля. Прямое микроск опическое вычисление в первомпорядке по величине взаимо действияпоказывает , чтоýлектрон-ýлектронн оевзаимо действие перенормиру ети спин-х олловскую прово димостьи продольнуюспиновую восприимчивость одинак ово,так что соотноłение (1.2)остается верным.Относительные величины ýтихпоправок 2

e жат пропорциональны безразмерному кулоновск омупараметру ~vF и несодер

спин-орбит альногорасщепления. ОстальнаячастьданнойГлавыI диссерт ацииорганизованаследующим образом:раздел1.2содержитмикроск опическ ое вычисление, доказывающее что

sH

= 0 в присутствии беспор ядка, и общеедоказательство ýтогорезуль-

тата припомощикоммут ационных соотноłений дляоператоров. В разделе 1.3мывыводимуниверсальное соотноłение (1.2),и вычисляем поправки от 18

взаимо действияк

1.2

sH ()

. Наłивыводыпредст авленыв разделе1.4.

Обращение в ноль dc спин-холловской проводимости в присутствии беспорядка

1.2.1

Ìикроск

опи÷åск оå äиаграììноå

вß÷исºåниå

Двумерный изотропный газ со взаимо действиемРаłбы- ýто ýлектронная системас наруłенной симметрией инверсии. В ýтом случаеможет возникнутьýлектрическ ое поле,перпендику лярноек плоск ости.Ононе влияетна орбит альноедвиж ениеýлектрона,но взаимо действу ет со спиномýлектрона посредством релятивистск огоспин-орбит альноговзаимо действия, известного как взаимо действиеРаłбы[1].Гамиль тонианýлектронаимеетвид:   y x h^ αβ (~ p) = (p) αβ + (p) ^ αβ p^y − ^ αβ p^x ;

(1.3)

где p^µ = −i~@µ - операторимпу льсаýлектрона,(p) - зонныйспектр, (p) скоростьРаłбы,^ i (i = x; y; z) - матрицыПаули,а ;

- спиновые индек сы.

Гамиль тониан(1.3),может бытьдиагонализован унитарнойматрицей:   1 1 1 ; U(~ p) = √  (1.4) iϕ iϕ p p 2 ie −ie где’

p

- уголмеждуимпу льсомp~ ýлектронаи осьюx, с собственными значе-

ниями: p) λ (~

= (p) − p

(p):

(1.5)

Собственные значения = ±1 оператора киральности и импу льсýлектрона p~

составляютквантовые числасостоянияýлектрона ( p~; ). Ферми-окружности, соответствующие различнымкиральност ями, расщеплены: p F ± = pF (1 ± (pF )=v(pF )) , где импу льс ФермиpF находитьс я из уравнения:(pF ) =

где

,

- химический потенциал; v(p) = d (p)=dp - зоннаяскоростьýлек-

трона.Скоростьýлектронав киральном состоянии- @ λ (~ p)=@p. Мы пола19

гаем (pF )  v(pF ), и пренебрег аемпоправк амипорядка =v. Тогда спинорбит альноерасщепление равно = 2pF (pF ). Плотность состоянийнадвух

Ферми-окружност яхразная: ± =

F (1 ±

F =vF ),

где

F

= pF =2 v(pF ). В от-

личиеот случаяпараболическ ого спектраи скоростиРаłбыне зависящей от импу льса,дляобобщенной модели(1.3),скоростиФермиотличнынадвух   pF dα Ферми-окружност ях: vF + − vF − = 2 F mvF − 1 − 2pF dp . В дальнейłем F

мыиспользу емсистемуединиц,где~ = 1.

В ýтомразделемырассматриваем двумерный идеальный ýлектронный газ

со взаимо действием Раłбыс гамиль тонианом: Z † H^ R = r ) h^ αβ (~ p) β (~ r ) d2~ r; α (~

принулевойтемпературе.α† (~ r) и

(1.6)

r) β (~

- ýлектронные операторы рожденияи ~ спариваетс уничто жения.Электромагнитный векторный потенциал A я с ор~ битальнымдвиж ениемýлектронасогласнопреобразованию: p~ → p~ − e A=c, в

~ даетоператор гамиль тониане(1.3).Вариация гамиль тониана(1.6)по A ýлекR † трическ оготока: J^ν = r )( ^j ν ) αβ β (~ r ) d 2~ r , где оператортока дляодной α (~

частицыимеетвид(ýто фактически скорость^j ν = e^ vν ):   p d(p (p)) ν µ ziµ i ( ^j ν ) αβ (~ p) = e v(p) ^ αβ ; αβ + p dpν где

= x; y пространственные индек сы,а

ziµ

(1.7)

трехмерный полностью анти-

симметрический тензор. Принеодноро дномSU(2)преобразовании ýлектронного спинора: α (~ r ) 7→

Uαβ (~ r)

r ), β (~

гамиль тониан(1.37) становитс я зависящим от SU(2),т. н. спин-ýлектромагни тного вектор-потенциала A^µ = A0µ ^ 0 + Aiµ ^ i , приýлектромагнитным потенциалом, а A iµ = чем A0µ совпадаетс физическим

−i Tr( iU +@µ U)=2. Хотя ýтотпоследний потенциал - чистокалибровочный и

не имеетникакихфизических последствий, вариациягамиль тониана(1.37) по немуопределяет спиновый токi-ойкомпоненты спинав направлении: R † J^i = (~ r )( ^j i ) αβ β (~ r ) d2~ r , гдеоператор спинового тока дляоднойчастицы µ

α

µ

20

имеетвид:

pµ i d(pν (p)) ziν ^ αβ + (1.8) αβ : p dpµ Наłеопределение спинового тока (1.8),совпадает с определением, приведеннымв [9]: J^i = (^ vµ ^ i + ^ iv^µ )=2, ноотличаетс я отопределения, приведенного в ( ^j µi ) αβ (~ p) = v(p)

µ

работ ах[2,3,4,5]намножитель2,из-зачегонаłавеличина спин-х олловск ой прово димостив дваразабольłе,чемв литературе. Взаимо действие ýлектрона с точечными немагнитными примес ями,распо~ i , нумерующих ложеннымив координат ах R ся индек сомi, описываетс я примеснымгамиль тонианом: XZ ~ i) H^ imp = u(~ r −R

† r ) α (~ r )d2~ r; α (~

(1.9)

i

гдеu(~ r ) - потенциал точечной примеси. Мыпредполаг аем,чтопотенциал достаточнослаб,и применимо Борновск ое приближ ение.В ýтом пределемодельпримеси(2.96)ýквивалентна моделиГауссовск ого случайного потенциала.Мы раскладываем функциюГринаýлектрона,усредненную по реализациямпотенциала беспор ядка, по теориивозмущений по степенямгамильтониана(2.96),использу я диаграммную технику[13]. Это- суммадиа-

грамм,где последовательност ь голыхфункцийГринаýлектронаотделена примесными крест ами.Двакрест а соединены усредненной линиейпримеси: n impu 2 = 1=2

, где n imp - плотностьпримесей,а , - среднеевремя

рассеяния.Крестне изменяетспини частотуýлектрона,так как рассеяниена примесиупругое.Поýтомулинияпримесинесетнулевуючастоту . Диаграммы с пересечениями двухилибольłепримесных линиймалыкак степениотноłения 1=

F

 1. Усредненная функцияГрина- матрица2x2в

спиновом пространстве, являетс я реłением уравнения Дайсона: n imp u 2 X −1 G αβ (; p~0): G αβ (; ~ p) − ( − ) αβ + h αβ (~ p) = − V

(1.10)

p~0

Ономожетбытьлегко преобразовано к киральному базисуунитарнойматрицейU(~ p) (1.4).˙апаздывающая и опереж ающаяфункции Гринадиагональны 21

(R,A)

(R,A)

в киральном базисе:G λ0 λ (; p~) = G λ

(; p~)

λ0 λ ,

и реłениеуравнения Дай-

сона(1.10),имеетвид[13]: GR p) = λ (; ~

1 − λ (~ p) +

λ0 λ ;

+ i=2

(1.11)

где независитот киральности. Опереж ающаяфункцияГринакомплек сно сопряженазапаздывающей: GA ~) = {G R ~)}∗. ФункцияГринав спиноλ (; p λ (; p вомбазисе- недиагональная матрица2x2:   (R,A) (R,A) G (; p~) G ↑↓ (; p~)  ↑↑    (R,A) G (; p~) =  ;   (R,A) (R,A) G ↓↑ (; p~) G ↓↓ (; p~)

(1.12)

где(пока опуская зависимость от частотыи импу льса): (R,A)

G ↑↓

= −ie −iϕp (G +

G ↓↑

= ie iϕp (G +

(R,A)

(R,A)

(R,A)

= G ↓↓

(R,A)

гдекиральная G±

(R,A)

G ↑↑

= (G +

(R,A)

(R,A)

(R,A)

+ G−

(R,A)

− G− (R,A)

− G−

)=2;

)=2;

)=2;

(1.13)

определена в уравнении (1.11).

×тобы вычислитьток, вызванныйв ýлектроннойсистемеýлектриче-

скимполем,мы использу ем техникуКелдыłа [14].Наłрезультат, уравнение(1.16),хороłоизвестен,но мывыводимегоздесьдляпоследовательности изложения.Усредненная Келдыłевск ая функцияГрина- матрица4x4 G(; p~), котораяможет бытьудобнозаписаначерезКелдыłевские матрицы

2x2,ýлементыкоторой- матрицыв спиновом пространстве:     1 − N ( ) −N ( ) G G  −− −+  =   G R (; p~) + G+− G++ 1 − N ( ) −N ( )   N( ) N( )  G A (; p~); + −1 + N ( ) −1 + N ( )

(1.14)

где функцияраспределения ýлектроновN ( ) пропорциональна единичной

матрицев спиновом пространстве. 22

jzy

α

G

A

’ αα

R

G

β

ββ’

α’ β’

jx

Рис. 1.1: Спин-Холловская проводимость от одной петли.

Для одноро дногоýлектрическ ого поля E~ (t) = E~ () e−iΩt выбираемка~ ~ e−iΩt, где либровку- зависящийот временивектор-потенциал A(t) = A() ~ A()

= −ic E~ () = . Использу емтехникуКелдыłа [14]. Усредняем оператор

спинового тока по ýлектронному состоянию,возмущенному ýлектромагнитR нымгамиль тонианом:H^ em = − 1 d2~ r ^j ν (~ r )Aν (t), в первомпорядке по теоc

риивозмущений. Из соотноłения: h^j µz () i =

холловскую прово димость: Z h −1 X d p)G( + Tr ^j yz (~ sH = V 2

; p~)

µν sH ()

E ν ()

z^ j x (~ p)G(;

p~

p~)

i

находимспин-

−+

;

(1.15)

где ^z - матрица4x4- произведение матрицПаули ^ z в пространстве Келдыłаи единичной матрицыв спиновом пространстве; операторы тока в уравнении(1.15)- произведение матриц(1.7,1.8),и единичной матрицыв пространствеКелдыłа. Tr в (1.15)действу ет тольк о в спиновомпространстве, тогдакакиндек сы−+ ýлемент а соответствуют пространству Келдыłа. Подставляяв уравнение (1.15)функцию Грина(1.14),получаем: Z d D h^z  1 X p) N ( + ) Tr j y (~ = sH () V 2 p~
p)G A (; p~) × G R ( + ; p~) − G A ( + ; ~ p) ^j x (~
iE R R A ^ + G ( + ; p~) j x (~ p)N ( ) G (; p~) − G (; p~) ;

(1.16)

где скобкиозначаютусреднение по беспор ядку. В приближ ениинепересек ающих ся диаграмм среднеев уравнении (1.16),дается суммойоднойпетли и лестничных диаграмм, показанныхна Рис.1.1,1.2. Сначаламы вычисляем однопет левуюдиаграмму , Рис.1.1,и обозна чаем 23

ýту частьспин-х олловск ой прово димостикак

0 sH .

Этосоответству ет урав-

нению(1.16),в которомвсефункцииГриназамененыусредненными функциямиГрина(1.11).Втораястрочк а в уравнении (1.16)содержитмнимую частьфункцииГринаG R ( +

;~ p), и соответствующий интегралявляетс я

сходящимс я, поýтомуво второйстрочк е мызаменяем на − . ПриT = 0

функцияраспределения Ферми-Дирак а имеетвид:N ( ) =

(− ). Мыберем

интегралпо , и в пределенулевойчастоты → 0 находим: 1 X v(p) h 1 0 (S ( ) − S ( )) + sH = − V 2 p 2p (p) p~ i 1 + 1=4 2 ; + 2 ( 2 + 1=4 2)( 2 + 1=4 2)

(1.17)

гдеS (x) = arctan (x=2 ), = (p) − p (p) − и = (p) + p (p) − . В пределе R d2 p~ P больłого обœемаделаемзаменуV1 p~ → (2π) интеграл 2 , и затемвычисляем

по p~ в (1.17)в пределебольłой Ферми-окружности  ; 1= : Z ∞ Z Z 2π p d2 p~ d’ ≈ ; (1 + R(p) ) d (2 ) 2 2 v(p) −∞ 2 0 гдеR(p) = p−1v−1(p) − m −1 (p)v−2(p). В результатеполучаем:   1 e 0 1− ; sH = 4 1 + ( )2

(1.18)

(1.19)

гдепервыйи второйчленсоответствуют первомуи второмучленув уравнении(1.17). Важнозаметить, чторезультат (1.19)в точностисовпадает с результатом,

полученным из техчленовв уравнении (1.16),которыесодержат однузапаздывающую и однуопереж ающуюфункцию Грина.ЭтидвачленапропорциональныdN ( )=d = − ( ), и всеинтегралы явносидятна Ферми-радиу се.

Поýтомуспин-х олловск ая прово димостьв отличиеот обычнойХолловск ой прово димостиопределяетс я квазичастицами вблизиФерми-окружности, а не всемФермидиском.

Лестничные диаграммы, показанныена Рис.1.2,предст авляютверłинныепоправкик току. Дополнительные примесные линииулучłаютсходи24

α1

jyz

α β

p

A

p1 β1

G. . . . . GR

p’

jx

α’ β’

Рис. 1.2: Вершинная поправка к спин-холловской проводимости дается суммой непересекающихся лестничных диаграмм.

мостьинтегралав (1.16).Какследствие, верłинные поправкик членамв уравнении (1.16)с двумяопереж ающимиилидвумязапаздывающими функциямиГринаубываюткак max(1= ; ) =

F

 1. Поýтомумырассматриваем

тольк о верłинные поправки к членамс однойопереж ающейи однойзапаз-

дывающей функцией Грина,как показанона Рис.1.2.Дляýтих диаграмм квазиклассическ ое приближ ение(1.18)верно. Суммалестничных диаграммс n = 1; 2::: примесными линиямидается выраж ением: lad sH

= −

Z

h i d2p~ z R A ~ Tr J y G (0; ~ p)j x (~ p)G (0; ~ p) ; (2 ) 2

(1.20)

где суммаn = 1::∞ верłинных поправокк току^j yz (~ p) (по крайнеймерес однойпримесной линией)обозна ченаматрицейJ~z . В спиновом базисеи для y

точечныхпримесных потенциалов суммане зависитот импу льсаýлектрона p~ и удовлетвор яетуравнению трансфер матрицы: Z h i d2 p~ A 1 z z z ~ ~ G (0; ~ p) j y (~ p) + J y G R (0; ~ p); Jy = 2 2 (2 )

(1.21)

где функцииГринаG (R,A) даныв (1.12).Полныйоператорспинового тока со всемивключенными верłинными поправк ами ^j yz (~ p) + J~yz , предст авлен

диаграммно наРис.1.3.В уравнениях дляоператоров тока (1.7,1.8),мыраскладываем скоростьýлектронаv(p) = v(pF ) + =(v(pF )m(pF )) , гдеm −1(p) = dv(p)=dp, в первомпорядке по отклонению от Ферми-окружности: = , маломв квазиклассическ ом приближ ении.Также мы раскладываем спинорбит альноерасщепление: p (p) =

(pF ) (pF + (1 + (pF = 25

F )d

=dpF ) =vF ), в

+

+ ...

+

Рис. 1.3: Вершина спинового тока со всеми включенными вершинными поправками: jyz (~ p)+ J˜z . y

функциях Грина.˙атем вычисляем интегралы в (1.21)в квазиклассическ ом приближ ении(1.18),пренебрег ая нечетными степенями:           2 + ( ) 2 J~yz + ( ) 2 J~yz J~yz = B; ↑↑ ↓↓ ↑↑         z  2 2 z z = ( ) J~y + 2+ ( ) J~y J~y B; ↓↓ ↑↑ ↓↓         = −iv(pF ) + 2 + ( ) 2 J~yz J~yz B; ↑↓ ↑↓         J~yz = iv(pF ) + 2 + ( ) 2 J~yz B; ↓↑

↓↑

(1.22)

 −1 (1.22)находим: где B = 12 1 + ( ) 2 . Изпервыхдвухстрочекуравнения ( J~yz ) ↑↑ = ( J~yz ) ↓↓, а из последних двухстрочекнаходим:( J~yz ) ↓↑ = iv(pF )=( ) и ( J~z ) ↑↓ = −iv(pF )=( ). Подынтегральное выраж ениев уравнении (1.20), y

не зависитот диагональных ýлементовматрицыJ~yz , и поýтомумыполаг аем их равныминулю:J~yz = ^ y v(pF )= . Каки ожидалось, верłинные поправки пропорциональны силерассеяния. Интегриру я правуючасть(1.20)по в квазиклассическ ом приближ ении(1.18),мы наконецнаходимлестничную частьспин-х олловск ойпрово димости(Рис.1.2):   1 e lad −1 + : sH = 4 1 + ( )2

(1.23)

Интересно заметить,чтовсепроизво дные (p) и v(p) поp сократились. Спин-Холловск ая прово димость- суммавкладов(1.19)и (1.23),и равна

нулю: sH

=

0 sH

+

lad sH

= 0:

(1.24)

Онаявнонезависитот примесного временирассеяния. Такимобразом,мы наблю даемскачокмеждуспин-х олловск ой прово димостью в чистойсистеме 26

sH

= e=8 ~ и спин-х олловск ой прово димостью(1.24)в присутствии беско-

нечномалогоколичества немагнитных рассеивателей. Какбылопоказанов работе[7],ýтотскачоксвязанс диссипацией в системе, благо даря которойвозD никаетдиссипативная частьв спин-х олловск ойпрово димости sH = −e=8 ~,

котораясокращает реактивную часть

R sH

= e=8 ~.

˙аметим,чтопривзятииинтегралов по в знаменателях делалась замена 2 p= 2

F pF

членовпо рядке по

=

F =vF .

, чтоýквивалентно предполо жениюучета тольк о первых Такимобразом,результат

sH

= 0 веренв линейном по-

F =vF .

Прово дим аналогичное вычисление для среднейспиновойполяризации дляобобщенной модели(1.3),в ýлектрическ омполе:  XZ d D h 1 µ µ ^ hS i() = Tr ^ =2 N ( + ) V 2 p ~
p)G A (; p~) × G R ( + ; p~) − G A ( + ; ~ p) ^j x (~
iE R R A + G ( + ; p~) ^j x (~ p)N ( ) G (; p~) − G (; p~) ;

(1.25)

где скобкиозначаютусреднение по беспор ядку. В приближ ениинепересек ающих ся диаграмм среднеев уравнении (1.25),дается суммойоднойпетли и лестничных диаграмм, подобныхпоказанныхнаРис.1.1,1.2,в которыхнадо заменитьоператорспинового тока J^yz на операторспинаS^y . Спиновая поляризация от однопет левойдиаграммы дается выраж ением: hS^µ i0 = −

µν

1 e 2 vF 1 + (

)2

E ν:

Лестничная частьспиновой поляризации равна:   1 e µ lad µν E ν: hS^ i = 1+ 2 vF 1 + ( )2

(1.26)

(1.27)

Спиновая поляризация - суммавкладов(1.26)и (1.27),и пропорциональна примесному временирассеяния: hS^µ i = hS^µ i0 + hS^µ ilad = 27

µν

e E ν; 2 vF

(1.28)

в согласиис [5, 16,15].Надозаметить,чтопостояннаяпродольнаяспиновая поляризация (1.28)- следствиенулевогоспин-х олловск ого ýффект а (1.24). Отличнаяотнуляспин-х олловск аяпрово димостьпривела бык возраст ающей со временем продольнойспиновой поляризации. 1.2.2

˛бøåå

äок аçаòåºüсòво

оòсуòсòвиÿ

сò аöионарного

спин-

хоººовск ого òок а Э. И. Раłбав недавнейработе[17]показал,что нулеваяобœемнаяспинхолловск ая прово димость- внутреннее свойствогамиль тонианасвобо дных ýлектроннов, а учетрассеяния - простоспособпродемонстрировать ýто внутреннеесвойствов терминах диаграммной техники. В ýтомразделемыдоказываем,чтоспин-х олловск ая прово димостьравнанулюпосредством анализа общихкоммут ационных соотноłений дляоператоров. Мыстартуемс коммутационного соотноłения: [H^ ; S^ µ] = i

X

† αp

(p) p^µ ^ z

βp ;

(1.29)

p

где = x; y;

1X µ ^ S = 2 p

† µ βp αp ^

(1.30)

операторполногоспина.В уравнении (1.29)Гамиль тонианH^ включаетодночастичный Гамиль тониан(1.3),соответствующий непараболическ омуспектру (p) и скоростиРаłбы,зависящейот импу льса (p), а также и любоенезавис ящееот спинаýлектрон-ýлектронн ое взаимо действиеи немагнитныйбеспор ядок,посколькукоммут аторлюбойкомпоненты оператора спина c независ ящимиот спинаслагаемымиравеннулю.Равенство(1.29)выполнено длялюбого (p) и (p). Операторполногоспинового тока z-компоненты спинав направлении, согласно(1.8),равен: J^µz =

X p~

† v(p) p^µ ^ z αp

p

28

βp ;

(1.31)

причем,напомним, определение зоннойскоростиv(p) =

d(p) dp

не зависитот

отноłения p (p)= (p). Еслисравнить(1.29)и (1.31),то видим,чтоприусловии: (p) = const·

v(p) p

(1.32)

получаем соотноłение [H^ ; S^ µ ] = i const· J^µz :

(1.33)

Изуравнения ýволюцииполногоспинасистемы: −i

d ^µ S = [H^ ; S^ µ ]; dt

(1.34)

и из коммут ационного соотноłения (1.33)получаем связьмеждупроизво днойповремениоператора полногоспинасистемыи оператором полногоспиновоготока:

d ^µ S = i const· J^µz : (1.35) dt ˙аметим,что соотноłение (1.35)вернодляýлектронной системыс любым −i

немагнитным беспор ядком и любымýлектрон-ýлектронн ым взаимо действием. 1 Длявыполнения соотноłения (1.35)также нетнеобходимостив квадратичном спектреи постояннойскоростиРаłбы.Единственное требование выполнение соотноłения (1.32).˙аметимтакже,чтонигдев выводенепотребовалосьмалостиспин-орбит альногорасщепления по сравнению с ýнергией Ферми. Если

sH

6= 0, тогда течетодноро дныйв пространстве стационарный спи-

новыйтокперпендику лярнок одноро дномув пространстве ýлектрическ ому 1

Более того, можно выписать и более общее уравнение для эволюции плотности локального спина:   1 ∂ ˆµ ∂ µ jν + αm µyl ˆjxl − µxk ˆjyk = 0, (1.36) sˆ (~r) + ∂t 2 ∂xν

при выводе уравнения (1.36) мы рассматривали стандартную модель параболического спектра. Если бы

последний член был равен нулю, то уравнение (1.36) было бы уравнением сохранения спина. Однако в металле Рашбы не сохраняется ни одна из компонент спина. Аналогично (1.36) можно найти уравнения эволюции для операторов спиновых токов Jˆµα (~r), что помогло бы решить интересную открытую задачу о дисперсии спиновых волн в металле Рашбы.

29

полю.Усредняяоператоры в соотноłении (1.35)по стационарной матрице плотности, получаем новоеуравнение начиславместооператоров: произво днаяповремени отполногонаблю даемогоспинасистемыравнаполному среднемуспиновому току. Носреднийполныйспинсистемывсегдаограниченная величина, такимобразомтакоеуравнение неможет бытьвернымбесконечно долгоевремя,какнеобходимодляпостоянногоотклик а. Этодоказывает , что или sH

= 0;

илиспин-х олловский откликв металлеРаłбы-нестационарный. В следующемразделемыисследу емвторуювозмо жность,котораяестественно реализуется в случаеac прило женногоýлектрическ огополя. В недавнейработеКротк оваи DasSarma(2006)[12]былодиаграммным вычислением показано,чтоспин-х олловск ая прово димостьне равнанулюв присутствии немагнитных примесейприпроизвольном (p) и

= const , а

именно,демонстрировалось , что спин-х олловск ая прово димостьпропорциональна 2 . Однак о ýтотрезультат непротиворечит нинаłемурезультатуиз предыдущего раздела,где в микроск опическ ом вычислении мы учитывали тольк о первуюстепеньотноłения =v, ни результату в ýтом разделе,посколькуусловие = const , согласно(1.32),потребовало бы квадратичный спектр, (p) ∝ p2.

30

1.3

Спин-Холловская проводимость и Паули восприимчивость в присутствии электрон-электронного взаимодействия

1.3.1

Ñооòноłåниå прово äиìосòüþ

ìåæäу

çавис ÿøåØ

оò ÷асòоòß

и восприиì÷ивосòüþ

спин-х оººовск оØ

ˇа уºи

Мырассматриваем двумерный взаимо действующий ýлектронный газ со спариванием Раłбыпринулевойтемпературе, с гамиль тонианом: Z † H^ = r ) h^ αβ (~ p) β (~ r ) d2~ r+ α (~ 1 2

Z Z

† r 0)U(|~ r −~ r 0 |) β (~ r 0 ) α (~ r) r ) β† (~ α (~

(1.37)

d2~ r d 2~ r 0;

где U(|~ r |) - произвольный независ ящийот спинадвухчастичный потенциал взаимо действия, h^ αβ (~ p) определен в (1.3).В ýтомразделебудемсчитатьскоростьРаłбынезависящейот импу льса: (p) = p2 (p) = : 2m

, и спектрпараболическим: (1.38)

Гамиль тониан(1.37)- довольно точноеприближ ениедлячистыхдвумерных полупрово дниковыхгетероструктур. Длятого,чтобыполучать соотноłение (1.2)междуспин-х олловск ойконстантойи восприимчивостью Паули,выписываем дваточныхкоммут ационныхсоотноłения для оператораполноготока и оператораполногоспина. Длярассматриваемого параболическ ого спектра(1.38),линейнаякомбинацияполногозарядовоготока J~ и полногоспинаS~ пропорциональна полному импу льсусистемыи коммутиру ет с частьюгамиль тониана,описывающего взаимо действие.Этодаетнамдваточныхкоммут ационных соотноłения в присутствии произвольного (носохраняющего спин)двухчастичного взаимо-

31

действияU(|~ r −~ r 0 |) в гамиль тониане(1.37): [H^ ; J^ν ] = −2iem

2 νµ ^z Jµ

и [H^ ; S^ µ] = im J^µz ;

(1.39)

где S^µ определен в (1.30), а операторы полного тока J^ν = R † R † r )( ^j ν ) αβ β (~ r ) d 2~ r и полногоспинового тока J^µi = r )( ^j µi ) αβ β (~ r ) d2~ r, α (~ α (~ где

p ν ^ ( j ν ) αβ (~ p) = e m

αβ

ziν i ^ αβ

+



(1.40)

pµ i ^ m αβ

( ^j µi ) αβ (~ p) =

(1.41)

получены из общихуравнений (1.7)и (1.8),еслив нихподставитьпараболическийспектр(1.38). Среднийспиновый токýлектронной системыкак откликна слабоепеременноеýлектрическ ое поле,E x (t) = E 0x cos t, одноро дноев пространстве, дается общимквантово-мех аническим выраж ениемв первомпорядке теории возмущений (1.47)- форму лойКубо.Приведем здесьвывод форму лыКубо, следу я [18]. Стартуемс общегоквантово-мех аническ огоопределения средней величины: hJ^yz i = h где

0

† ^z 0 |J y |

(1.42)

0 i;

- волновые функции, соответствующие основному состояниювзаимо-

действующей системыс прило женнымвнеłним ýлектрическим полем.Если полеслабое,то егоможнорассмотреть как возмущение, и выразитьволно(0)

выефункции 0 черезневозмущенные волновые функции 0 , воспользовавłисьизвестными квантово-мех аническими форму ламитеориивозмущений. Возмущение, соответствующее прило женномуслабомуýлектрическ омуполю 32

E x = E 0x cos t, описываетс я гамиль тонианом: 1 ^ V(t) = − Ax (t) J^x; c

(1.43)

гдеAx (t) = (−icE 0x e−iΩt + icE 0x eiΩt )=2 , и соответственно Vm0 (t) = Vm0 eiωm0 t , где! m0 =

m

− 0, а Vm0

1 = − ( J^x ) m0 2



−iE 0x

e−iΩt +

iE 0x



eiΩt :

(1.44)

Волноваяфункция 0 в (1.42)удовлетвор яет уравнениюØредингера 0 ^ ^ i~ dΨ ядке теориивозмущений дается форdt = ( H 0 + V(t)) 0 , и в первомпор P (0) (0) мулой 0 = 0 + m a m0 m , где   iE 0x eiΩt −iE 0x e−iΩt 1 ^ iωm0 t + Jx : (1.45) a m0 = − e 2~ ( ! m0 − − i0) ( ! m0 + − i0) m0 (0) 0

- реłениеуравненияØредингера для взаимо дей(0) (0) ствующейсистемы,но без прило женноговнеłнегополя:i~ dΨdt0 = H^ 0 0 (гамиль тонианH^ 0 включаетвзаимо действие). ˙аметим,чтодляпроизвольВолноваяфункция

ногоýлектрон-ýлектронн ого взаимо действиянахождение 0)

(0) 0

(а тем более

- сложнаяквантово-мех аническ ая задача,и соответственно, нахождение

явныхвыраж енийдляфункцийотклик ов взаимо действующих ýлектронных систем- задача, реłаемаятольк о еслирассматривать взаимо действиекак возмущение (чтомы и делаемв следующем разделе).В ýтом разделемы рассматриваем произвольное ýлектрон-ýлектронн ое взаимо действие,однако не ставимсебезадачу нахожденияявноговидафункцийотклик а, а просто выраж аемих одинчерездругой. Еслимыподставимвозмущенные полемволновые функции лениесреднегоспинового тока (1.42),получаем:     X z iω t ∗ z 0m hJ^y (t)i = a m0 J^y e + a m0 J^yz 0m

m

  где введенообозна чение J^yz

m0

= hm|J^yz |0i = h

m0

e

(0) † ^z m |J y |

iωm0 t



(0) 0 i.

;

0

в опреде-

(1.46)

Приполуче-

нии(1.46)мывоспользовались соображ ениямисимметрии, безприло женного 33

(0) † ^z 0 |J y |

внеłнего поляспиновый токв системенетечет:h

(0) 0 i

= 0. Подстав-

ляя(1.45)в (1.46),получаем общеевыраж ениедлясреднегоспинового тока как откликна переменное ýлектрическ ое поле: hJ^yz (t)i = (1.47)   o     n eiΩt e−iΩt i X J^yz − − h:c: E 0x; J^x 2~ m − i0) ( ! m0 + − i0) 0m m0 ( ! m0 −

где ! m0 =

m

−

0,

и 0 - основноесостояние(взаимо действующая система

без прило женноговнеłнегополя),а m - точные уровнивзаимо действующейсистемы.Отметим,чтоформу ла Кубо(1.47)вернадлявнеłнихполей, одноро дныхв пространстве. Использу я точныекоммут ационныесоотноłения (1.39),в правойстороне(1.47)мыможем связатьматричные ýлементыоператоров полногозарядовогои спинового токов:   ^ ^ hm|[H ; J x ]|0i = ! m0 J^x

m0

= −2im

2



J^yz



m0

:

(1.48)

Припомощиуравнений (1.47)и (1.48),послепростыхалгебраических преобразований длясреднегоспинового тока получаем выраж ение: hJ^yz (t)i =

(1.49) 

^z ^z m 2 X  J y m0 J y  2 ~ m ! m0 





0m



e−iΩt eiΩt + ! m0 − − i0 ! m0 + − i0





 + h:c:  E 0x :

Использу я второеиз коммут ационныхсоотноłений (1.39),выраж аем матричныеýлементыоператора полногоспинового тока в уравнении (1.49)через матричные ýлементыполногоспина:     e z ^ Jy = ! m0 S^y ; m0 2im m0

(1.50)

и подставляемихв (1.49),послечегооткликполногосреднего спинового тока

34

hJ^yz i на внеłнееýлектрическ ое полеE x принимает вид: hJ^yz (t)i = (1.51)     eiΩt e−iΩt e2 X  ^ y   ^ y  + S S − + h:c: E 0x : m0 0m ! m0 − 4m~ m − i0 ! m0 + − i0

Очевидно,что спин-х олловск ая прово димость- тольк о одна из многих функций отклик а Ферми-жидк остнойсистемына неодноро дныев пространствеи времениполявидаE k ( ; ~ q). Кромеспин-х олловск ой прово димости, Ферми-жидк остьсовзаимо действием Раłбыхарактеризу ется магнитной восприимчивостью, так как спаривание Раłбынаруłает симметрию вращения спина.Какправило, естьдвевосприимчивости q) и k ( ; ~ q). Мыможем zz ( ; ~ найтисреднююполнуюy - проекцию спинаhS^y i в системе,в которойприложенослабоевнеłнееодноро дноемагнитное полеH 0y в y-направлении как откликна переменное магнитное полеH y (t) = H 0y cos t в пределе → 0.

Этовозмущение описываетс я Гамиль тонианом взаимо действия: g ^ U(t) = − где S^y определено в (1.35),а

B

B

2

H y (t) S^ y ;

(1.52)

- магнетонБора.

Делаемвыкладки, подобныеприво дящимк (1.44-1.46), и получаем,что матричный ýлементвозмущения имеетвид:   g B H 0y −iΩt g B H 0y iΩt 1 ^y e + e Um0 = − ( S ) m0 : 2 2 2 P (0) Подставляявозмущенные волновые функции 0 = 0 + m bm0 мулу КубоhS^y i = h † |S^y | 0 i, длясреднегоспинанаходим:

(1.53) (0) m

в фор-

0

hS^y (t)i =

X m

bm0



S^ y



0m

e

iω0m t

+

b∗m0



S^y



m0

e

iωm0 t



;

гдекоýффициенты bm0 даютс я выраж ением:   iΩt −iΩt e e g B H 0y  ^y  S eiωm0 t : + bm0 = − m0 4~ ! m0 − − i0 ! m0 + − i0 35

(1.54)

(1.55)

Окончательно, дляhS^y (t)i получаем hS^y (t)i = (1.56)         −iΩt iΩt e e g B X ^y S^y S + − + h:c: H 0y : 0m ! m0 − m0 4~ m − i0 ! m0 + − i0

˙аметим,чтотеперьправаясторонауравнения (1.51),полностью аналогична (с точностьюдо заменымножителяe=m на (g

B)

2

) уравнению (1.56)-

выраж ениюлинейного отклик а дляспиновой восприимчивости Паули относительно продольного магнитного поляH y (t) = H 0y cos t, котороезаменило быýлектрическ ое полеE x (t). 2) Этонаблю дениенемедленно приво дитнаск соотноłению (1.57) q = 0) = k( ; ~

g2 2B m 2e2

sH (

;~ q = 0);

(1.57)

котороеявляетс я главнымрезультатомданногораздела.˙аметим,чтосоотноłение(1.57)вернодлялинейного отклик а на одноро дныев пространстве возмущения (~ q = 0) на произвольной частоте . В пределе~ q = 0 мнимая частьобоихмагнитнойвосприимчивости и спин-х олловск ой прово димости равнанулю. В статье[19] подобноесоотноłение междуспин-х олловск ой прово димостьюи восприимчивостью Паули обсуждалось для невзаимо действующего ýлектронного газа. Функцияотклик а Ферми-жидк остиобычнозависитот отноłения =qvF . Например, в нормальной изотропной Ферми-жидк ости q → 0,

= 0, еслипредел

→ 0 взятс отноłением qvF = → 0, как следствие сохранения пол-

ногоспина.Обычнаявосприимчивость Паули

P auli

= 2

2 B

(

F)

получаетс я

в результате противополо жнойпоследовательност и пределов, =qvF → 0 и

q → 0 [20].Мы наłли,что 2

k

=

1 2 P auli

и

zz

gµB ˆy 2 hS (t)i

=

P auli Rt

при qvF =

= 0

χk (t − t0 )Hy (t0 )dt0 , которая в
случае косинусоидального магнитного поля преобразуется к виду My (t) = χk (−Ω)eiΩt + χk (Ω)e−iΩt H0y , Мы следуем определению восприимчивости My (t) =

My (Ω) = χk (Ω)Hy (Ω), χk = 21 (χxx + χyy ).

36

=

−∞

→ 0. В соотноłении (1.57),пределнулевойчастотывосприимчивости

и (

→ 0) =

1 2 P auli

и спин-х олловск огоотклик а

sH (

→ 0) =

1 4πe

получа-

ется путемвзятиясначалапределаq → 0 приотличномот нуля , а затем

устремления к нулю.Поýтомумыожидаем,чтосоотноłение (1.57)будет верноприqvF =  1.

Мывычислили спиновые восприимчивости и спин-х олловские прово димо-

сти для чистойсистемыневзаимо действующих фермионов болеевысок ого спинаj , уравнение(1.58),и убедились, что они удовлетвор яют соотноłению(1.57).Интересно, что в случаеидеального двумерного газа фермионовпроизвольного полуцелого спинаj со взаимо действием Раłбы,величина спин-х олловск ойконстантытакже универсальна и растетс j : j e X 2 m : sH (j ) = 2 m=−j

1.3.2

ˇоправки

оò вçаиìо äåØсòвиÿ

(1.58)

к спин-х оººовск оØ прово äиìо-

сòи В ýтом подразделемы вычисляемпоправкиот взаимо действияк спинхолловск ойпрово димости(1.1)длячистойсистемыв пределенулевойчастоты:lim Ω→0 limτ →∞

sH ()

. Мыиспользу ем техникуКелдыłа [14]. В самом

низком порядке по ýлектрон-ýлектронн омувзаимо действиюU(|~ r |), вкладв sH ()

вносят тридиаграммы, показанныена Рис.1.4.

Мывыбираемкалибровку дляодноро дногоýлектрическ огополяE~ (t) = ~ ~ eiΩt, где E~ () e−iΩt, вектор-потенциал зависящийот времениA(t) = A() ~ A()

= −ic E~ () = . Использу я техникуКелдыłа, усредняемоператорспи-

новоготока по ýлектронному состоянию,возмущенному как ýлектромагнитR r ^j ν (~ r )( t), так и ýлектрон-ýлектронн ым нымгамиль тонианом,H^ em = − 1c d2~ R R 1 † взаимо действием r ) β† (~ r 0 )U(|~ r −~ r 0 |) β (~ r 0) α (~ r ) d2~ r d 2~ r 0 , в первомпоα (~ 2 рядке по теориивозмущений. Поправк а к спин-х олловск ой прово димостиот 37

G( ε ,p)

jyz

α α

+ −

G(ε - Ω,p)

G( ε’,p’) β β

αα

jx

G(ε’- Ω,p’)

G(ε +Ω,p)

G( ε’,p’) G( ε ,p)

jyz

α α G( ε ,p)

αα

β

+ −

β

jyz

jx

β

+ −

β αα

G(ε ,p) α α G(ε - Ω,p)

jx

G( ε ,p)

G( ε’,p’)

,

Рис. 1.4: Поправка к спин-холловской проводимости от электрон-электронного взаимодействия дается суммой трех диаграмм, которые имеют одинаковый знак и коэффициент. Индексы +, −, α, β соответствуют пространству Келдыша. Пунктирные линии соответ-

ствуют взаимодействию U (|~ p − p~0 |). Диаграммы (следуя сверху вниз и слева направо)

соответствуют выражениям A, B, C в тексте.

38

ýлектрон-ýлектронн оговзаимо действия нияh^j µz () i = sH ()

µν ( sH ()

e = 2V

+

sH ())

sH

тогда находитьс я из соотноłе-

E ν () , и имеетвид:

XZ d d 0 Tr[A + B + C ]−+ U(|~ p − p~0 |); 2 2 p~,~ p0 где

A = J yz G( − ; p~) [ z ; G( 0 − ; ~ p0) z J x G( 0 ; p~0)]+ G(; p~); B = J yz G( − ; ~ p) z J x G(; p~) [ z ; G( 0; p~0)]+ G(; p~); C = J yz G(; p~) [ z ; G( 0; p~0 )]+ G(; p~) z J x G( +

;~ p); (1.59)

где

z

- матрица4x4- произведение матрицПаули^ z в пространстве Келдыłа

и единичной матрицыв спиновом пространстве. Индек сы−+ соответствуют пространству Келдыłа. Усредненная Келдыłевск ая функцияГринаG(; p~) - матрица4x4,определенная в уравнении (1.14),в которомсделаназамена N ( ) → N (p). В ýтомразделемыможемвыбратьýлектронное распределение N (p) какфункцию импу льсаp из-засохраненной трансляционной симметрии

(нетбеспор ядка). Дляопереж ающейи запаздывающей функцийГринамы полаг аемв уравнении (1.11) → ∞. Операторы тока в уравнении (1.59)-

произведения матриц(1.40,1.41)и единичной матрицыв пространстве Келдыłа.Tr в уравнении (1.59)действу еттольк о в спиновом пространстве, и все операторы, включаяфункции Грина,выписаны в спиновом базисе. Посколькуфункцияраспределения хороłоопределена длядвухФермиокружностей металлаРаłбы,удобноперейти к киральному базису , в котором функции Гринаи функция распределения диагональны. Припреобразовании операторов и функций Гринаот спинового к киральному базисуприпомощи унитарнойматрицыU(p), определенной в (1.4):J^(sp) (p) = U(p) J^(ch)(p)U +(p),

39

выраж ениядлятрехдиаграмм (1.59)преобразуютс я к виду A = J yz G( − ; p)w(p; p0) [ z ; G( 0 − ; p0) z J x G( 0 ; p0)]+ w(p0; p)G(; p); B = J yz G( − ; p) z J x G(; p)w(p; p0) [ z ; G( 0 ; p0)]+ w(p0; p)G(; p); C = J yz G(; p)w(p; p0) [ z ; G( 0; p0)]+ w(p0; p)G(; p) z J x G( − ; p); (1.60) и в нихпоявляютс я дополнительные множителиw(p; p 0) = U +(p)U(p0), сидящиена кулоновских линиях.Подразумеваетс я, что w(p; p 0) домно жены наединичную матрицув пространстве Келдыłа (в киральном пространстве U + (p)U(p0) - матрицы2x2,в пространстве Келдыłа - числа). Послевзятияв матричном произведении (1.59)−+ ýлемент а в пространствеКелдыłа, в киральном базисе(A,B,C даютс я уравнением (1.60))получаем: nR

d d0 2π 2π Tr

 z A J (p)aG ( ) + y p~,~ p0 o R d  z R A R A z + 2π Tr J y (p)G ( − ) bG ( ) − G ( )cG ( + ) J y (p) U(|~ p − p~0|); sH ()

h

=

e 2V Ω

P



i   0 R 0 0 A 0 0 a = N (p); G ( − ) w(p; p ) N (p ); G ( − ) J x(p ) − G ( )w(p ; p) ; −  R    0 A 0 b = J x (p) G ( )u(p; p ); N (p) − + J x (p)G ( ); N (p) − u(p; p );     c = u(p; p0) N (p); G R ( )J x(p) − + N (p); u(p; p0)G A ( ) − J x (p); 0

R

(1.61)

где взят интеграл по 0 для диаграммB и C : матричноепроh i 1 0 0 ^ по 0 - диагональизведение 2 z ; G( ; p ) , после интегрирования +

ная в пространствеКелдыłаматрицаdiag(iN (p0); −iN (p0)), поскольку
R d A R G (; p) − G (; p) = iN (p). В уравнении (1.61)введенообозна чение 2π u(p; p0) = U +(p)U(p0)N (p0)U + (p0)U(p). ˙аметим,что в уравнении (1.61)и

функцииГрина,и функциираспределения, и операторытока записаныв (R,A)

3 киральном базисе : G R,A = diag(G + 3

(R,A)

; G−

(R,A)

), G λ

(R,A)

( ) = Gλ

(; p) =

Если, например, выражение a в уравнении (1.61) записать в спиновом базисе, то в нем не будет

40

1=( − p2 =2m +

p ± i0) (уравнение (1.11)),N (p) = diag(N +(p); N −(p)) ; опе-

раторытоков в киральном базисе: p  p p µ y ν z (ch) ^j ν = − ^ + ^ p m p ^j yz = py ^ x ; m

zµν

; (1.62)

^j (ch) = U +^j (sp) U операторов получены поворотом тока в спиновом базисе^j (sp) , уравнения (1.40,1.41). Припреобразовании выраж енийb и c в уравнении (1.61)мы воспользовалисьравенством N (p)G R,A( ) = G R,A ( )N (p): в киральном базисефункции Гринаи функции распределения коммутируют .4 Перваядиаграмма A раскладываетс я напроизведение левойи правойчасти,зависящихсоответственно от ýнергий и 0 : интегралы по ;

0

в обоих

частях берутс я независимо. ВзятиеTr и вычисление интегралов в (1.61)в пределе → 0 приво дитк

следующему результатудляпоправки к статическ ойпрово димости: = Z Z

sH

−e

˙десь

d2 p~ d2p~0 N (p) N (p0) U(|~ p − p~0 |)F (~ p; p~0): 2 2 (2 ) (2 )

N (p) = N +(p) − N −(p) и  2 0 0 0 cos (’ − ’ ) −p + pp cos (’ − ’ ) F (~ p; p~0) = ; 8m 2 p2 p02

(1.63)

гдеN ± (p) - функции распределения надвухФерми-окружност яхразличных киральностей. Длянулевойтемпературы N ± (p) = (−p + pF ±): Наłрезульмножителей w(p, p0 ), и функции Грина будут недиагональны и будут даваться формулами (1.12, 1.13), операторы токов - формулами (1.40, 1.41) (спиновый базис). 4 Две нижние диаграммы B и C на Рис. 1.4 подобны, если их обходить в противоположных направлениях. Соответствующие им вклады в уравнении (1.61) также подобны, если их считывать в противоположных направлениях, с точностью до замены опережающих функций Грина на запаздывающие. Вычисление вкладов B и C дает одинаковое значение.

41

Ферми.Может бытькак pF  Tc, так и pF  Tc. Второйслучайсла-

богоспин-орбит альноговзаимо действиябылрассмотрен в работ ах [27,28],

однако на повер хностиспин-орбит альноевзаимо действиеусиленоскачком химическ ого потенциалаи

pF может достиг ать значений0:1eV. Теория

сверхпрово дника при сильномспин-орбит альномвзаимо действиибылапостроенав статьеГорькова и Раłбы[20]. Такое сверхпрово дящеесостояние должнообладатьрядомнеобычных свойствблаго даря тому, чтона повер хностикрист алланаруłенасимметрияверх-низ;волноваяфункцияконденсат а являетс я в ýтом случаесмесьюсинглетнойи триплетной волновой функции[27, 20].Принизкихтемпературах восприимчивость Паули увеличенапо сравнению с обычными сверхпрово дниками[20]; парамагнитный пределв параллельном магнитном полесмещенв сторонунамногоболеевысокихзначенийполяблаго даря возникновению неодноро дногосверхпрово дящегосостояния [29], подобногопредск азанномуЛаркиным-Овчинник овым и Фульде-Феррелом [30, 31] (LOFF)дляферромагнитного сверхпрово дника. Йип[32] предск азалнеобычные свойстватакого сверхпрово дника в параллельноммагнитномполе,а именносуществование сверхпрово дящеготока перпендику лярногонаправлению поляи пропорционального полю.Всеýти свойствавытек ают из кирального расщепления спектраýлектроновна поверхностиблаго даря присутствию спин-орбит альногочленаРаłбы[1]; величинаýтого расщепленияpF малапо сравнению с ýнергиейФерми,но может бытьдовольнобольłойпо сравнению с другимиýнергиямив задаче. ˙адача о неодноро дномсостояниив спин-орбит альномсверхпрово днике отличаетс я от задачи Ларкина-Овчинник ова в связис тем,как магнитное полеменяетФерми-повер хность.В LOFFзадаче Ферми-повер хности,соответствующие спинувверх илиспинувниз,увеличиваютс я илиуменьłаютс я в радиу се;а в спин-орбит альномсверхпрово днике проис ходитпараллельный переносФерми-повер хностей,чтоблагоприятству ет возникновению неодно45

родногосостояния.В работе [33],исходя из феноменологическ ой модели, дляспин-орбит альногосверхпрово дника былапоказанавозмо жностьсуществованиясостояниятипабегущейволны- киральная фаза.Возмо жность такогосостояниябыларассмотрена также в задаче Ларкина-Овчинник ова, которыеобнаружили, чтоононе являетс я сверхпрово дящим,а сверхпроводящаяплотность в немобращаетс я в ноль[30].Какбылопоказано[34],неоднородноесостояниеLOFFподавляетс я примес ями,поýтомупредст авляетс я интересным изучитьвлияниепримесейна спин-орбит альнуюсверхпрово димостьи неодноро дноесостояние.Линияперех ода от нормального в сверхпрово дящеесостояниеTc(h) былаопределена в [29]; однако перех од между обычным одноро днымсверхпрово дящимсостояниемБКØ, существующем в низкихмагнитных поляхи состояниемтипаLOFF,возник ающимв высоких поляхизученнебыл. В ýтой Главе детальноизучаетс я фазоваядиаграммаповер хностного сверхпрово дника в параллельном магнитном полеh, исходя из микроск опической модели.Показано,что придостаточнонизких(по сравнению с парамагнитным пределом) значенияхполяh ∼ Tc =

B

поведение ýтойсистемы

довольно сильноотличаетс я от двумерной моделиLOFF [36].А именно,демонстриру ется существование кирального состоянияс параметром порядка ∝ exp( Qr) (где Q ⊥ h) и Q ∼

B h=vF

в значительной частифазовой

диаграммы, котораяизображ енав итогенаРис.2.5.Мыдоказали,чтотокв основном состоянииравеннулюв противоречии с предск азаниями Йипа[32]. Мыдоказали,чтосверхпрово дящаяплотность всюду отличнаот нуля в киральнойфазе.Однак о на границеразделаодноро дногоБКØ и киральной фазыпредск азываетс я возмо жностьразруłения сверхпрово димости;изучена ýволюцияфазовойдиаграммы в присутствии примесей. Каки в обычной LOFFфазе,примесиразруłают неодноро дноесостояние.Однак о в подтверждениерезультатовКлеммаи Лютера[35] найденоувеличение верхнегокри46

тическ огополядляодноро дногосостоянияБКØ.

2.2

Модель двумерного спин-орбитального сверхпроводника

Наповер хностикрист аллатрансляционная симметрия пониж ена,а симметрияинверсиинаруłена, даже еслионаприсутству ет в обœеме.(Компонента импу льсаýлектронаp~^, параллельная повер хностисохраняетс я благо даря существующей двумерной трансляционной симметрии.) В результатеможет появитьс я ýлектрическ оеполеперпендику лярноеповер хности.Cпинýлектрона цепляетс я за ýто ýлектрическ ое полепосредством релятивистк ого спинорбит альноговзаимо действия, известного в ýтомслучаекак взаимо действие h i Раłбы:H so = ~^ × p~^ · ~ n , где > 0 - константа спин-орбит альноговзаимодействия,имеющаяразмерность скорости,~ n; - единичный вектор,перпендику лярныйк повер хности,~^ = ( ^ x ; ^ y ; ^ z ) - матрицыПаули.Этовзаи-

модействиеявнонаруłает симметрию инверсии. Операторспинаýлектрона некоммутиру ет с оператором Раłбы,такимобразомпроекция спинанеесть хороłееквантовое число.С другойстороны, оператор киральности [~^ × ~e^]· ~ n

коммутиру ет с гамиль тонианом; здесь~e^ = p~^=p - операторнаправления импульса,которому соответству етсобственное число~ep = (cos ’ p ; sin ’ p ), где’

p

- уголмеждуимпу льсомýлектронаи осьюx. Собственное значениеоператора киральности = ±1 вместес импу льсомýлектронасоставлютквантовые числаýлектронного состояния(~ p; ). ×лен Раłбысохраняетдвукратное вы-

рождение, и состоянияýлектрона ( p~; ) и (−~ p; ) имеютодинак овуюýнергию. В ýтой Главемы рассматриваем самуюпростуюмодельповер хностного сверхпрово дника: модельГорьковадлядвумерного металласо включенным членомРаłбы [20],в пределе pF  Tco . Гамиль тониан,написанный в ко-

47

ординатном предст авлении,имеетвид Z i h P^ 2 + ^ ^ ^ H = r) ~ αβ × P · ~ n −g αβ + α (~ 2m

гдеm - массаýлектрона;,

~ · ~^ αβ

Bh

U 2

Z

!

r )d β (~

+ + α β β

2

r−

αd

2

r;

(2.1)

~ r ) - опера~ + e A(~ - спиновые индек сы;P^ = −i ∇ c

торимпу льсаýлектрона в присутствии бесконечномалоговектор-потенциала ~ = A(~ ~ r ). Мывключили в плоск ости A в гамиль тониан˙еемановск ое взаимодействиес одноро днымвнеłниммагнитным полем~h, параллельным поверхности,и считаем,что ~h направлено по оси x. Вектор-потенциал поля в плоск остиможет бытьвыбранимеющим тольк о z-компоненту поýтомуон выпадаетиз членадля кинетическ ой ýнергиидвумерного ýлектрона. B магнетонБора,g - факторЛанде.Ниже вездемы использу ем обозна чение H = g

B h.

Волноваяфункцияýлектронаможет бытьразло женапо базису P i~p~r p), и одночастичная частьгамиль тониана плоскихволн: ^α (~ r) = p~ e a α (~ (2.1)в импу льсномпредст авлении можетбытьнаписана каксуммаH^ 0 и H^ em :  2  h i X p ~ · ~^ αβ a β (~ ^1 + H^ 0 = a+ p) p) (2.2) ~^ αβ × p~ · ~ n −H α (~ 2m p ~   X ^~ + ^ ~ H em = a α (~ p): p) −1=cj A a β (~ p~

^ предст авлении: здесь~j - оператортока в спиновом ~^j = −e(~ p=m +

e2 ~ ^ [~ × ~ n ]) − A: 2mc

H^ 0 можетбытьдиагонализован преобразованием a α (~ p) =

(2.3) p)^a λp λα (~

с двух-

компонентным спинором 

где



1 1  ; √ (p) = λ 2 i exp( i’ p(H )) py − H ; ’ p (H ) = arcsin p ( p) 2 − 2 py H + H 2 48

(2.4)

(2.5)

λ=+1

−>

p

e

−>

s

−>

λ=−1

s

Рис. 2.1: Киральность λ = ±1 соответствует повороту спина электрона перпендикулярно

вправо и перпендикулярно влево от направления импульса электрона.

H Рис. 2.2: При приложении слабого внешнего магнитного поля H  αpF вдоль оси x,

две Ферми-окружности, соответствующие двум киральным ветвям λ = ±1, смещаются

в противоположных y-направлениях на величину Q = ±H/vF В меру параметра α/vF

окружность, соответствующая одной киральности, больше, чем соответствующая другой.

являетс я модифик ациейугла’

p

в присутствии продольного магнитного поля.

Собственные значениягамиль тониана(2.2),соответствующие киральност ям = ±1 имеютвид p) λ (~

= p =2m − 2

q

2 |p|2

− 2 py H + H 2 ;

(2.6)

и следовательно, состоянияýлектроновс одинак овымимпу льсом,но принадлеж ащимразным = ±1 Ферми-окружност ям, ýнергетически разделеp ны величиной 2 pF , с радиу сом pF = 2m + m 2 2 ± m , где  m 2 - химический потенциал, см.Рис.2.1.Плотности состоянияна двухФерми  m окружност ях почтиодинак овы, ± = 2π аем 1 ± vαF , и здесьмы пренебрег различием+ −

−.

Когда прикладываетс я слабоевнеłнеемагнитное поле

H  pF вдольосиx, ýти двеФерми-окружности смещаютс я в противоположныхy-направлениях на величину Q = ±H =vF , как показанона Рис.2.2.

Двухчастичный гамиль тонианвзаимо действияв (2.1)в импу льсномпред49

ставленииимеетвид: −

UX + 0 0 a αp+q/2 a + β−p+q/2 a β−p +q/2 a αp +q/2 ; 2 0

(2.7)

pp q

и может бытьупрощенв киральном базисе(2.4)в предполо женииH  pF 

. В длинноволновом пределеq  pF он может бытьфакторизо-

ванследующим образом:

U H^ int = − 4 где ^ q) = A(~

X

e

^ q); A^+ (~ q) A(~

(2.8)

a λ−p+q/2a λp+q/2

(2.9)

X q

iϕp

pλ

естьоператоруничто женияпары. Длятого,чтобывычислить термо динамический потенциал = −T ln Z ,

мыиспользу емтехникуфункционального интегрирования вомнимомвременипо Грассмановым ýлектронным полямa λ,p ; a λ,p и вводимдополнительное комплек сноеполе( r; ), расщепляющее членH int , [38].Эффективный Лагранжиан имеетвид: L[a; a;

;

∗

]=

X p,λ

Xh q

−

|

q|

2

U

a λp (@τ −

1X + 2

qe

p)) λ (~

−iϕp

a λp +

(2.10)

a λ,p+q/2 a λ,−p+q/2 +

∗ iϕp a λ,−p+q/2 a λ,p+q/2 qe

pλ

i

:

Термодинамический потенциал = −T ln Z описывает системув равновесии,

где Z - статистическ ая сумма.Мывыраж аем функционала = [ ; ] :

как пределпроизво дящего

η→0

exp = +



[

; ] T



∗



[

; ; ; T

D D exp − Z  Z 1/T  ∗ L[a; a; ; DaDaD D exp 0 Z   ( ( r)a( r) + a( r) ( r)) dr d : −

=

Z

50

∗

∗

]



=

]d + (2.11)

Ниже мы будемработ ать в приближ ениисреднегополя,котороеуправляется малостьюпараметраГинзбург а Gi. Длячистогодвумерного сверхпрово дника Gi ∼ Tc=E F и может рассматриватьс я как маленьк ое,хотя и не

пренебрежимое (мыобсуждаем флукту ационные ýффектыв последнем разделеданнойГлавы). Средне-полевое приближ ениеýквивалентно приближ ениюседловой точки

дляфункционального интеграла по

и

∗

(первоеуравнение в (2.11)),таким

образоммыбудемизучатьминимумфункционала [ ;

∗

], появляющегос я

послеГауссоваинтегрирования поГрассмановым полям: [

; (

∗

r)

]

= 0;

(2.12)

известноетакже как уравнениесамосог ласования.(Другимисловами,в средне-полевом приближ ениипервоеуравнение в (2.11)ограничено окрестностьюглобального минимума термо динамическ огопотенциала [ относительно ( r).) [ ; ; ; ∗]

;

∗

]=

η→0

Далееиспользу ем метод функцийГрина.Электронная функцияГрина

определяетс я как вариационная произво днаяпроизво дящегофункционала: G( r; 0r0 ) =

2.3

[ ; ] : ( r) ( 0r0 ) η→0

(2.13)

Сверхпроводящий фазовый переход

Вблизифазовогоперех ода из нормального металлав сверхпрово дящеесостояниепараметрпорядка ( r) всюду мал на двумернойплоск ости.Поýтомутермо динамический потенциал может бытьразло жен по степеням ( r) и егоградиент ам.Эторазло жениеизвестно какфункционал Гинзбург аЛанда у. КакпоказалиГорьков и Барзыкин [29], основноесостояниеможет бытьнеодноро днымв направлении, перпендику лярномк магнитному полю. Соответственно мырассматриваем параметрпорядка как суперпозицию ко51

∆Q -p+Q/2

∆Q p+Q/2

∆*Q

∆*Q p+Q/2

p+Q/2

-p+Q/2

∆*Q

-p+Q/2

∆*-Q -p-3Q/2

p+Q/2

∆Q

∆ -Q

Рис. 2.4: Диаграммы, соответствующие членам четвертого порядка по ∆ в разложении Гинзбурга-Ландау: βQQQQ|∆Q |4 и βQQ−Q−Q|∆Q |2 |∆−Q |2 .

Гинзбург а-Ланда у(2.15);коýффициент , стоящийпередчленом|

Q|

2

|

−Q |

2

в

(2.15)- ýто суммачетырехравныхпо величине коýффициентовQQ−Q−Q = Q−Q−QQ

=

Условие

−Q−QQQ QQ

=

−QQQ−Q:

= 0 определяет линиюперех одавторогорода(если

QQQQ

>

0) междунормальным металломи сверхпрово дником: 1 = U

(

F )T

max Q

X

p : 2 + (H + v Q=2) 2 ! F ω>0,λ

(2.24)

ДляразныхзначенийH , максимумпоQ в правойчастиуравнения (2.24) достиг ается либона Q = 0, либона отличномот нуля Q = ±|Q|. Поло же-

ниеTc(H ) линии,найденное численным реłением уравнения (2.24),показано на Рис.2.5, на котороми температура Tc и магнитноеполеH в плоскостинормированы критическ ой температурой в нулевоммагнитном поле: Tc0 = 2! D exp( −1= U +

)= , где

= 0:577 - постояннаяЭйлера.Линии

Tc (H ) соответствуют двеасимптотики, найденные в [29]: 7 (3)H 2 Tc (H ) = − приH =Tc0 → 0; log 2 Tc0 8 2 Tc0 Tc0 H Tc (H ) = − приH =Tc0  1; H =( pF )  1: Tc0 2eγ H 4 pF

(2.25)

Последняя асимптотик а получена приучетеследующего малогочленапоH в знаменателе функцииГрина(2.19)H 3 =( pF ) 2 , и из нееследу ет значение p верхнегокритическ огополяH c2 = 2(0) pF . Точка Лифłица L отделяет 54

1

T / Tc0 = H

critical temperature

∆

0,8

L 0,6

h. τ

BCS

0,4

S

τ’

s t r i p e

0,2

0

O 0

1

2

3

in-plane magnetic field

H / Tc0

Рис. 2.5: Линия сверхпроводящего фазового перехода Tc (H) (жирная) и две линии фазового перехода второго рода в чистом случае: LT линия между однородным и “киральным”

состоянием и линия устойчивости “кирального” состояния ST 0 . “Киральное” состояние по-

мечено буквой h. (“helical”). Пунктирная линия отделяет от области “бесщелевой” сверхпроводимости. Точечная линия обозначает границу устойчивости БКШ состояния.

10

pairing wave vector

vFQ/Tc0

5

S

0

L 0

1

2

3

in-plane magnetic field

4

H/Tc0

5

Рис. 2.6: Волновой вектор Куперовской пары Q на линии Tc (H). Кружком обозначена симметричная точка S. 55

реłенияс Q = 0 и Q 6= 0 на линииTc(H ), а также конецфазового перех ода

второгородамеждудвумясверхпрово дящимифазами.Коор динатыL точки

- (H L; TL) = (1:536; 0:651)Tc0. Таккак

QQ

(Eq.(2.21)) симметрично позамене

−Q → Q, оновсегдаимеетýкстремумв точке Q = 0: Поýтомуаналитически

точка ЛифłицаL может бытьопределена как точка, где ýтот ýкстремум меняетс я с max на min припониж ениитемпературы: @2 QQ = 0; @Q 2 Q=0

Этоусловиедаетотноłение H L =TL ≈ 2:36, котороесогласуется с отноłением значенийдляH L и TL, найденных черезчисленное реłение(2.24).

НаРис.2.6показанволновой векторКуперовск ойпарыQ налинииTc(H ) какфункция магнитного поляH в плоск ости.Этотволновой векторявляетс я p параметром порядка вблизиL точки:vF Q(H ) ∼ H 2 − H L2 . Мынаходим

асимптотику

vF Q = 2H −

4 Tc0 7 (3)e2γ H 3 4

приH =Tc0 → ∞:

(2.26)

Обратимвнимание, чтоQ = 2H =vF - вектор,на которыйразœезжаются две = ±1 Ферми-повер хностиприприло жениипараллельного магнитного

поля.ВблизиTc (H ) линиикоýффициент может бытьразло жен: (T; H ) ≈ (

F)

T − Tc (H ) X Y(Tc (H ); H λ); 2T

(2.27)

λ

гдеY(T; ) - функция Йосиды, !n=

T(2n+ 1) - Мацубаровск аячастот а.При

H > H L ниже Tc (H ) линиивозник аетнеодноро днаясверхпрово дящаяфаза. Из вида(2.24)ясно,что чутьниже Tc(H ) линиив ( r) входят не больłе, чемдвегармоники: ( y) =

+e

iQy

+

−e

−iQy

.

Ниже линииперех одаTc(H ) плотность термо динамическ огопотенциала в сверхпрово дящемсостояниименьłе,чемв нормальном, на величину sn

=

(T; H )| |2 +

s (T; H )|

|4 + 56

a (T; H )( |

+|

2

−|

−|

) ;

2 2

(2.28)

2.4

Свойства сверхпроводника вблизи симметричной точки

Послепреобразования растяжениякоординатx = x

p p cx =cy и y = y cy =cx

(при которомплощадьсохраняетс я), в симметричной точке функционал Гинзбург а-Ланда у приметвид Z √ F s −F n = d2 r cx cy |@µ + |2 + |@µ где

2 0

−|

2




+

s(

2 0

−|

+|

2

−|

−|

) −

2 2

s

4 0




;

(2.30)

значениепараметра прядка. ×лен четверто= − 2βαs естьравновесное

го порядка в GL(2.28)может бытьразделен на симметричную и анизотропнуючасть: a (T; H )( | a (TS ; H S )

+|

2

−|

−|

) , и в симметричной точке коýффициент

2 2

= 0. Коýффициенты cx , cy даютс я выраж ениями(2.23),и ихотно-

łениев точке S равноcx =cy = 1:7232: Минимум ýнергии(2.30)достиг ается в одноро дномсостоянииприусловии|

и z2 =

−=

+|

2

+ |

−|

2

=

2

. Еслиz1 =

+=

, то в симметричной точке спинорпараметрапорядка (z 1 ; z2)

(|z1 |2 + |z2 |2 = 1) пробег аетсферуS 3 и ýквивалентен четырех-к омпонентному ~ . Градиентная векторуN частьýнергииГинзбург а-Ланда у имеетвид Z ~2 ~ ) 2 d2~ n s (@µ N r: (2.31) E = 8m  2 −1 ~ Уравнение ренорм-группы назаряд 2m ns дляN -компонентного единичногополябылонайденоПоляк овым[39]и длянаłегослучаяN = 4 имеет вид:

4Tm dn s = − 2 dx ~

(2.32)

где x = log(L= ). Анизотропияa (T; H )( N12 + N22 − N32 − N42) 2 подчиняетс я

РГуравнению:

d a 8Tm = − 2 dx ~ ns

58

a

(2.33)

Уравнение ренорм-группы справедливо до масłт абаL 2anis = Такимобразомнаходим n s = n 0s − где

Перенормировк а коýффициент а

s

Tc2 s =(

2Tm X; ~2

1 X = log 1 − T=Tc 

2

s a

2

a ).

(2.34) 

(2.35)

пренебрежимо мала,посколькуфлукту а-

циипродольнойкомпоненты малы.Анизотропия перенормиру ется как  4 4Tm 0 X : (2.36) a = a 1− ~2 n 0s Изучимвозмо жностьточечныхдефектовв параметрепорядка. Градиентнаяýнергияфизическ ого дефект а должнабытьконечна.Анизотропная ýнергиястанет∞, еслине удовлетвор яется условиеминимума на больłих рассто янияхот дефект а. Например левеесимметричной точкиS имеемлибо

|z1 | = 1 либо|z2 | = 1. Этоподмножествопространства вырожденияпарамет-

рапорядка, соответствующего анизотропной ýнергии,S 1 . Правеесимметрич-

нойточкипространство вырожденияпараметра порядка, соответствующего анизотропной ýнергии,S 1 ⊗ S 1 . Напротив, в коредефект а параметр порядка

может принимать любоезначениена пространстве вырожденияS 3 симметрическ ойчастиýнергии. В таком физическ ом случаеналичиетопологическ ого дефект а определяется неединичными ýлемент ами группыгомотопии 2 (S 3; S 1) = Z или 2 (S

3

; S 1 ⊗ S 1 ) = Z ⊗ Z . Действительно, отображ ение,соответствующее фи-

зическ омудефекту , ýто отображ ениедиска с границейS 1 , котораясоответствует далек ой от дефект а областиплоск ости.ГраницаS 1 пространства R2 отображ ается на подмножествоS 1 вырожденияанизотропной ýнергиииз S 3 (z1 = eiψ ). А ýто естьотносительная гомотопическ ая группа 2 (S 3 ; S 1) = Z: Еслибыне былоанизотропии, то любуюконфигурацию параметра порядка на плоск остиможностянутьв одноро дноесостояние,так как 59

2 (S

3

) = 0.

В наłемслучаена бесконечности направление спинора(z 1 ; z2) фиксировано анизотропным членомв ýнергии,и значитнельзястянутьдефектв точку . Проекция Хопфаразделяетспинорпараметра порядка z ∈ S 3 на вектор ~ n = z †~^ z ∈ S 2 сфереи общуюфазу ∈ U(1). Общаяфазаканонически сопряженнаявеличина плотности ýлектронов, а значитзаряду. Напротив, вектор~ n

- нейтральное поле.Еслизапараметризовать спинорпараметра порядка как 

z= 

z1 z2





 = eiχ 

e

−iϕ/2

e

iϕ/2

cos =2

sin =2



;

(2.37)

то дляединичного вектора~ n имеемпараметризацию насфереS 2 черезуглы Эйлера:



cos ’ sin   ~ n =  sin ’ sin  cos



  : 

(2.38)

Тогда градиентная ýнергия(2.31)может бытьпредст авленакак суммаградиентной ýнергии~ n -поляи кинетическ огочлена: Z ~2 r = n s @µ z † @µz d2~ E = 4m  Z  ~2 1 2 2 ns (@µ~ n ) + Aµ d2~ = r; 4m 4

(2.39)

где 1 Aµ = −i(z † @µ z − z@µ z † ) = (@µ − @µ ’ cos ): 2

(2.40)

Непосредственным вычислением можнопроверить, что имеетместоравенство

1 Q= 4

Z

R2

1 ~ n [@x~ n × @y~ n]d ~ r = 2 2

I

~ ~ · dl: A

(2.41)

C∞

˙аметим,что правееточкиS, где анизотропия легкая плоск остьи π 2,

получаем

=

= 2 Q; для топологическ ого заряда Q = 1 общаяфаза

меняетс я на 2 приобходепоконтурувокругдефект а. 60

Мывзялипробноереłение r eiϕ z1 = p ; |R|2 + r 2

R z2 = p ; |R|2 + r 2

(2.42)

которому соответству еттопологический заряд(2.41)Q = 1, и котороеудовлетворяетграничным условиям левеесимметричной точки( рассто янияхвыживает тольк о однакомпонент а z1 =

∆+ |∆|

a

< 0):набольłих

= eiϕ . Реłение(2.41)

двупараметрическ ое: обладаетпроизвольным параметром R , которыйможно домно житьна любоекомплек сноечисло.Пробнаяфункция(2.42)- ýто R n ) 2 d2~ r, анзацБелавина-Поляк ова для нелинейной сигма-мо дели = 12 (@µ~

так называемая топологическ ая текстураскирмионс ненулевыминдек сом отображ ениясферывырожденияпараметрапорядка S 2 на реальнуюдвумернуюплоск остьR 2. Текстурадоставляетнелинейной сигма-мо делиглобальныйминимум в своемтопологическ омклассеввидуобщегонеравенства texture

> 4 Q (непосредственное вычисление показывает texture = 4 Q и

Q = 1). Подчеркнем ещераз,что длянаłейзадачи (2.39)реłение(2.42)не доставляетминимума, а являетс я пробнойфункцией - соответствующей непрерывному вихрюс неразруłенной сверхпрово димостью в коре,пропу скающему одинквантпоток а. Мынаходимýнергиюýтогопробногонепрерывного вихря: cont

где

a

=



0

4

2

log =L

anis

+ 0:5 + | a |L 2anis=

2




;

(2.43)

- маленьк ая анизотропия, и сравниваем ее с ýнергиейсингу лярного

вихря Абрик осова: A

∼



0

4

2 

log

 + 1:2 :

Сравнивая (2.43)и (2.44),видим,чтопри| a |  1 а значитL anis 

(2.44) ýнергия

непрерывного вихря меньłеýнергиисингу лярногона величину ∝ log Lanis = ξ q log |ββas | . 61

Энергиявихря, доставляющего глобальный минимум (2.30)в точке S (ес-

ли в последнем учестьи анизотропный член),ещениже (2.43)и получаетс я вариацией функционала ГЛ, и далеечисленным реłением получающегос я дифференциального уравнения. Такимобразом,(2.43)- верхняяоценк а для ýнергиинепрерывного вихря в симметричной точке. Аниçоòропиÿ

ºåгк аÿ пºоск осòü. ПравееточкиS параметрпорядка

есть~ n · eiχ , где - общаяфаза.Пространство вырождениядля вектора~ n

- ýто окружность S 1 (ýкваторсферыS 2); для общейфазы пространство вырождениятоже окружность. Есливзятьконтурна реальнойплоск ости вокругдефект а - вихря, то на ýтомконтурепараметрпорядка непрерывен: 1) обычный абрик осовский вихрь:~ n =const, a

меняетс я от 0 до2 ;

2) дефектполя~ n дисклинация:=const, ~ n повора чиваетс я от 0 до 2 ; никакогопроникновения поляс ýтимвихремне связано;он тоже имеетлогарифмическую ýнергию. 3) полуквантовый вихрь:~ n повора чиваетс я от0 до и общаяфаза поворачиваетс я 0 до приобходепоконтурувокругдефект а. Эта конфигурация параметра порядка тоже непрерывная :~ ne iχ = −~ ne i(χ+π) , но поле~ n и поле

имеютразрыввдольлинииразреза,начинающейс я с дефект а в реальном

пространстве. Физический же смыслимееттольк о поле~ n · e iχ . ˙аметим,что

общаяфаза набег аетв ýтомвихрена , а значит, потокмагнитного поля

естьполовинк а от поток а в вихреАбрик осова,поýтому-то они полуквантовый.Полуквантовые вихрибывают4 типов:вектор~ n может вращатьс я на 180o какпочасовойстрелк е,таки против,и ýтомусоответству етзаряд±1=2. Нои общаяфазаможет либоувеличиватьс я от 0o до180o, либоуменьłатьс я от 0o до −180o приобходе вокругвихря, и ýтомусоответству ет другойза-

ряд ±1=2. Двавихря с противополо жнымиобоимизарядамипритягиваютс я и могутаннигилировать. Обычный непрерывный вихрьможет распастьс я на

дваполуквантовых вихря с противополо жнымипервыми зарядами(соответ62

ствующим ~ n ), но одинак овымивторымизарядами(соответствующими фазе илитокам). Аниçоòропиÿ

ºåгк аÿ осü. ЛевееточкиS, когда параметрпорядка или

z1 = 0 илиz2 = 0, может бытьдоменнаястенка, разделяющая областис z1 = 0 и z2 = 0: Можнопосчит ать ýнергиюдоменнойстенкина единицу √ ее длины,ответпорядка cx a : Такая доменная стенка быларассмотрена в [37] и былопоказано,чтообычныйодноквантовый вихрьбудетсадитьс я на доменную стенку . В центредоменнойстенкипараметрпорядка принимает значенияизподмножестваS 1 ýкваторасферы.Отображ ениелиниидоменной стенки,т. е. S 1 на S 1 ýкваторхарактеризу ется целымчисломZ ,- ýто и есть числоквантовпоток а (сознаком)в вихряхпритянутыхнадоменную стенку .

2.5

Фазовая диаграмма

Теперьмысосредоточимс я на свойствахкирального состояниязначительно ниже Tc (H ), и получимместополо жениялинийфазовыхперех одови линийустойчивости одноро дногои кирального состоянийLT , ST 0 и T O. Это вычисление возмо жноблаго даря тому, что | |2 = const в киральном со-

стоянии,и такимобразомявноможновыписатьаналитические уравнения, определяющие | | и соответствующий Q глубок о внутрисверхпрово дящего состояния.Термодинамический потенциалв киральном состоянииможет бытьвычислен: hel

=

2

U

− (

F )T

XZ ω,λ

2π 0

p (! + iH λ sin ’ ) 2 +

2

− |! |

 d’

2

;

(2.45)

а уравнения, определяющие | | и Q определяютс я изстационарных условий: X Z 2π @ hel 2 d’ p = − ( F )T = 0; (2.46) 2+ 2 2 @ U (! + iH sin ’ ) 0 λ ω,λ

63

@ hel vF = − ( @Q 2

XZ

F )T

λω

2π 0

(! + iH λ sin ’ ) sin ’ d’ = ip (! + iH λ sin ’ ) 2 + 2 2 X vF = ( F )T f (H λ ; ! ) = 0: 2

(2.47)

λω

Интегралы поуглу’ могутбытьпреобразованы кýллиптическим интегралам (подробнеесм.Прило жениеА).Послетакогопреобразования двастационарныхусловиядлякиральной фазыимеютвид: 1 = 2 ( U

F )T

K (k) p ! 2 + (|H λ | + ) ω>0,λ

X

X

2

;

f (H λ ; ! ) = 0;

(2.48)

(2.49)

ω>0,λ

гдемодульßк оби p 2 |H λ |

k= p ! 2 + (|H λ | + )

2

;

(2.50)

функцияf (H λ; ! ) выраж ается черезполныеýллиптические интегралы первогои второгорода: 1 f (H λ) = Hλ При

(! 2 + H λ2 +

2

K(k)

)p ! 2 + (|H λ | + )

2

p − ! 2 + (|H λ | + )

2 E(k)

!

:

(2.51)

= 0 первоеуравнение самосог ласования (2.48)сводится к уравнению

(2.24),определяющему сверхпрово дящийфазовыйперех од, а второестационарноеусловие(2.49)сводится к условиюmax Q дляправойчастиуравнения (2.48). Из термо динамическ ого потенциаладля кирального состояния (2.45) можноисключить зависимость от

при помощиуравнения(2.48).Тогда

термо динамический потенциал станетфункцией тольк о Q, и прималеньк ом Q может бытьразло женпостепенямQ: hel (Q)

=

hel (0)

+ aQ 2 + bQ4 + cQ 6 ; 64

(2.52)

гдеc > 0,  v 2 1 @2 F a= ( = 2 2! @Q 2

F )T

b=

XZ λ,ω

2π 0

2

sin2 ’

(( ! + iH sin ’

@4 d4 E = −3 dQ 4 @Q 4



∂3Ω ∂∆∂Q2 ∂ 2Ω ∂∆2

2

)2

+

d’ ; 2 ) 3/2 2

(2.53)

:

Условиеa = 0, b > 0 определяет линиюЛифłица LT - линиюперех одавто-

рогорода, котораяоканчиваетс я в точке T , где коýффициент b = 0 меняет знак.Использу я уравнения (2.48,2.49), мывычисляем координатыT точки:

(H ; T) = (1:547; 0:455)Tc0. Ниже точкиT , припониж ениитемпературы, b< 0

и имеетместоперех од первогорода из одноро дногосостояния.Такимобразом,точка T - ýто критическ ая точка перех одоввторогорода, и, согласно

[40], в ýтойточке криваяперех ода второгорода должнасмыкаться с кривой перех ода первогорода безизлома. Одноро дныйсверхпрово дник,существующий приполяхлевеелинииЛифłица,может статьбесщелевым приповыłении температуры. Известно[13], что полюсфункцииГрина соответству ет спектруквазичастицы: Ep = p 2+ 2 − H sin ’ : Oтку давидим,чточтоневсепарыимеютодинак овую p ýнергиюсвязии минимальная ýнергиясвязи(ýнергетическ ая щель)может обратитьс я в ноль.Такимобразом, приH > димость.ЛинияH =

имеембесщелевую сверхпрово-

- линияперех ода в бесщелевую сверхпрово димость,-

показанана Рис.2.5пунктиром. ЛинияустойчивостиLO БКØ

состояния может быть определенаи

другимспособом,- вычислением вариациитермо динамическ ого потенциала при слабойстатическ ой модуляциипараметрапорядка вида ( ~ r) = −q

exp( −iqy) +

q

exp( iqy), гдеq = vF Q - маленький волновой вектор,нако-

торомвозник аетнеодноро дноесостояние(присутствие двухФурье-г армоник в возмущении обязаночетностипоQ стационарных условийв киральной фа-

65

F*

G δ∆

δ∆

δ∆*

δ∆ F*

G

Рис. 2.8: Диаграммы, определяющие зависимость свободной энергии от δ∆q .

зе): δ∆

^ u; = ~ u +C(q)~

(2.54)

гдемыввелиспинорвозмущения ~ u = ( −q ; ∗q ), и куперовскую матрицу   X ^ G (p − q=2)G λ (−p − q=2) F λ (p − q=2)F λ(−p − q=2) ^ = 1−  λ ; C(q) ∗ ∗ U F λ (p − q=2)F λ (−p − q=2) G λ (p + q=2)G λ (−p + q=2) ω>0,λ,p (2.55) здесьфункции Гринасоответствуют основному БКØ состоянию:   i! − H sin ’ p + + q=2 sin ’ p ~ q ; = − Gλ ! ; p~ + 2 (! + iH sin ’ p ) 2 + ( + q=2 sin ’ p) 2 + | |2   ~ q e −iϕp Fλ ! ; p~ + = = 2 (! + iH sin ’ p ) 2 + ( + q=2 sin ’ p ) 2 + | |2   q~ (2.56) = −Fλ −! ; −~ p− 2 Куперовскиепетли, соответствующие возмущению(2.54), показаны на Рис.2.8. МатрицаC^ имеетдвасобственных значения 2 (q) > 1 (q): Z 2π !~2 + 2 − i !~ 2q sin ’ 1 TX 1 ≈ ( F) − d’ √ 1 (q) = 2 + ( q sin ’ ) 2 2+ 2 !~ 2 + U 2 ! ~ 0 2 ω,λ  Z 2π 2  q TX 1 i!~ q ; ≈ 1 (0) + d’ sin ’ + sin ’ ( F) 2+ 2 ) 3/2 2 2+ 2 ) 3/2 2 2 ( ! ~ ( ! ~ 0 ω,λ

(2.57)

где введенообозна чение~ ! = ! + iH sin ’ ; во второйстрочк е сделаноразложениедо второйстепенипо q. Двасобственных значениясоответствуют 66

существованию двухтиповвозмущения,продольных q

∼i :

и фазовых

∼

q

=

| |q + i ’ q ; (2.58) | | (мысоздалималенькую неодноро дностьна на фонеосновного БКØ состояq

ния

= | |eiϕ : ( ~ r ) = (| | + |

|(~ r )) eiϕ+iδϕ(~r) ≈

˙аметим,что ’ - действительное, и ’q= Послевзятияинтеграла по’

p

+ R

| |

’e

|(~ r) + i

|

d~ r = ’

i~ q~r 2

’ (~ r ):

∗ −q :)

в (2.57)получаем,что выполнено уравнение

самосог ласованиядля параметрапорядка

(2.48)для Q = 0, а значит -

статическ ая фазоваямода - бесщелевая: 1 (q

= 0) = 0:

(2.59)

В уравнении дляýнергиивозмущения (2.57)коýффициент передлинейным по q членомобращаетс я в нольприодновременной замене → − , sin ’ →

− sin ’ , поýтому 1 (q) имеетвсегдаýкстремумприq = 0. Мыищемлинию,на

которойýтот ýкстремумменяетс я с minна maxприувеличении магнитного

поля:

@2 1 (q) = 0; (2.60) @q2 и ýто есть второеусловиедля фазовогоперех ода из БКØ в киральное состояние.Послевзятияинтегралов по’ p , (2.60)имеетвид:  2 X @ −! 2 @ J + 2! J + J = 0; @ ! @ ω>0

(2.61)

гдеJ -ядроуравнения (2:48) приQ = 0 : q  4∆H K ω 2 +(H+∆)2 J = p : ! 2 + (H + ) 2

˙аметим,чтокоýффициент приQ 2 в разло жениисверхпрово дящейýнергии киральной фазы(2.52)совпадает с коýффициентом приq2 в разло женииýнергии фазовоговозмущения (2.57)c точностьюдо умноженияна 67

2

. Таким

образом,условия(2.53)и (2.60),определяющие границустабильности БКØ состояния,равносильны. Мыреłаемчисленно системудвухуравнений: уравнение(2.59)(котороесводится к уравнению (2.48)приQ = 0) и второеуравнение- (2.61);получаемлиниюLO фазовогоперех ода междуодноро дной БКØ фазойи комплек снымпараметром порядка, показаннуюна Рис.2.5. Обратимвнимание, чтобылодоказаноLT - линияфазового перех одавторого рода,а ниже точкиT начинаетс я перех од первогорода,так чтоT O - ýто

своегорода областьлокальнойустойчивости БКØ состояния.Действительная линияперех ода первогорода T O 0 лежитприболеенизкихзначениях магнитного поля(H O0 < H O = 1:76Tc0).

Линияустойчивости ST 0 кирального состоянияопределена посредством

вычисления вариациитермо динамическ огопотенциала прислабойстатическоймодуляциипараметра порядка вида ( ~ r ) = v−q exp( −iqy) + vq+2Q exp( i(q + 2Q)y)

(присутствие двухФурье-г армоникв возмущении обязанонеодноро дности основного кирального состояния): δv

^ v; = ~v+A(q)~

(2.62)

∗ где ~v = ( v−q ; vq+2Q ) - спинорвозмущения, а куперовск ая матрицавозму-

щениядается

^ ^ = 1 − A(q) U  X G (p − q=2)G λ(−p − q=2) F λ (p − q=2)F λ(−p − q=2)  λ : ∗ ∗ F λ (p − q=2)F λ (−p − q=2) G λ (p + q=2 + Q)G λ (−p + q=2 + Q) ω>0,λ,p

(2.63)

Квазичастичные возбуждения формируютс я на основенеодноро дногоки^ сделаныиз рального состояния,поýтомуКуперовские петлив матрицеA(q) 68

киральных функций Грина:   i! − (H + Q=2) sin ’ p + − q+Q ~ q 2 sin ’ p G λ ! ; p~ − = − ; 2 + | |2 2 sin ’ ) (! + i(H + Q=2) sin ’ p ) 2 + ( − q+Q p 2   −iϕp q~ e F λ ! ; p~ − = = 2 + | |2 2 sin ’ ) (! + i(H + Q=2) sin ’ p ) 2 + ( − q+Q p 2   q~ ~ (2.64) = −F λ −! ; −~ p+ + Q 2  −i! + (H + Q=2) sin ’ p + + q~ p− = − G λ −! ; −~ 2 (! + i(H + Q=2) sin ’ p ) 2 + ( +   ~ q e −iϕp = − p− F λ −! ; −~ 2 (! + i(H + Q=2) sin ’ p ) 2 + ( + 



q~ ~ ! ; p~ + + Q 2



i! − (H + Q=2) sin ’

p

+

= − (! + i(H + Q=2) sin ’ p ) 2 + (   q~ ~ G λ −! ; −~ p+ + Q = 2 −i! + (H + Q=2) sin ’ p + − q+Q 2 sin ’ p − sin ’ p ) 2 + | |2 (! + i(H + Q=2) sin ’ p ) 2 + ( − q+Q 2 Gλ

69

q+Q 2 sin ’ p q+Q 2 2 sin ’ p ) q+Q 2

+ | |2

;

sin ’ p ) 2 + | |2 (2.65)

q+Q 2 sin ’ p 2 + q+Q 2 sin ’ p )

+

+ | |2

;

(2.66)

МатрицаA^ имеетдвасобственных значения 1(q) < 2 (q):   s 2 g−q + gq+2Q 1 g−q − gq+2Q ± − + |f −q |2 ; 2,1 (q) = U 2 2 где g−q + gq+2Q 1 − = U 2

ω>0,λ

× g−q − gq+2Q 2

1−

2π 0

d’ 1 p 4 (! + i(H + Q=2) sin ’ ) 2 +

(! + i(H + Q=2) sin ’ )

×

2 − ( q+Q 2 sin ’ ) 2 ( q+Q 2 sin ’ ) +

2 (! + i(H + Q=2) sin ’ ) 2 + ( q+Q 2 sin ’ ) + X Z 2π d’ 1 p = 4 (! + i(H + Q=2) sin ’ ) 2 + ω>0,λ 0 2

g−q

2

2

2i(! + i(H + Q=2) sin ’ )( q+Q 2 sin ’ )

2

ω>0,p,λ G λ,p+q/2+Q G λ,−p+q/2+Q

ций Грина,а f −q =

P

2

!

;

×

;

2

×

: 2+ 2 sin ’ ) (! + i(H + Q=2) sin ’ ) 2 + ( q+Q 2 P = и gq+2Q ω>0,p,λ G λ,p−q/2 G λ,−p−q/2

× ˙десь P

2

(! + i(H + Q=2) sin ’ p ) 2 + X Z 2π d’ 1 p = 4 (! + i(H + Q=2) sin ’ ) 2 + ω>0,λ 0

× f −q

X Z

(2.67) =

- Куперовские петли из нормальных функ-

ω>0,p,λ F λ,p−q/2 F λ,−p−q/2

- Куперовск ая петля из

аномальных функцийГрина,1=U беретс я из уравнениясамосог ласования (2.46). Интегралы (2.67)можновыразить черезýллиптические интегралы первого и второгорода,подробнеесм.Прило жениеБ. Линияустойчивости кирального состоянияST 0 определяетс я как множествоточекна фазовойдиаграмме, в которыхвозникновение моды v становитс я ýнергетически выгодным:min q 1 (q) = 0. Мыреłаемчисленночетыреуравнения одновременно: двауравнения самосог ласования (2.48,2.49), которыеопределяют равновесные и Q, совместнос двумяуравнениями 70

@q 1 (q) = 0 и 1 (q) = 0 ( 1 (q) дается (2.67)). Подчеркнем,что линияST 0 действительно соответству ет фазовомупереходу из кирального состояния, если ýтот перех од - второгорода;другой возмо жныйсценарий- ýто перех од первогорода от кирального к пространственно-че тнойи симметричной по обращению времениполосатой структуре, которыйпроис ходитприслегк а болеенизкихзначенияхполяH дляданногоT. В частности,мы наłли,что вблизиTc (H ) имеетместофазовыйпереход второго рода,оценивая членывосьмого порядка по|

Q|

в функционале

Гинзбург а-Ланда у. А именно,еслизапараметризовать спинорпараметра порядка вблизисимметричной точкикак     −iϕ/2 e cos =2 u ;   = eiχ  iϕ/2 e sin =2 v

(2.68)

то анизотропная частьв разло женииГинзбург а-Ланда у приметвид f( )=

a

4

cos2 +

От знака коýффициент а передчленомcos4

8

cos4 : зависиткакогорода перех од

вблизилинииTc(H ): Еслиудерживатьчленыне выłевосьмогопорядка, то функционал Гинзбург а-Ланда у имеетвид F sn = + + + + где

s,a

+ s 4 + a (u 2 − v2 ) 2 + (C 1 + C 2 ) 6 (3C 1 − C 2 ) 2 2 + (u − v2 ) 2 + 4 4 (D 1 + D 2 + D 3 =2) 8 (6D 1 − D 3) 2 + (u − v2) 2 8 8 (D 1 − D 2 + D 3 =2) 2 (u − v2 ) 4 + 8 E 3Q; 2

4

+

(2.69)

определены в (2.29),а E 3Q = V + AV + (X + V + V + X ) 71

(2.70)

и матрицаA и векторX содержат численные значенияl i дляпетельс двумя, четырьмя и łестьюверłинами (подробнеесм.Прило жениеВ):   l7 + l9|u|2 + l10|v|2 l11uv  ; A = ∗ ∗ 2 2 l11u v l7 + l10|u| + l9|v| V + = (u ∗3Q; v−3Q);

X + = (x ∗; y);

x = l8u 2v∗ + l12u 2v∗ |u|2 + (l13 + l14)u 2v∗ |v|2 ; y = l8 v2u ∗ + l12v2 u ∗|v|2 + (l13 + l14)v2u ∗|u|2 :

(2.71)

В функционале Гинзбург а-Ланда у в E 3Q удержанывсе члены,содержащие гармоники u 3Q и (либо)v−3Q и дающиевкладне выłе,чемвосьмогопоряд-

ка по u ±Q. И ýтогодостаточно,посколькуучетв (2.69)как болеевысоких

гармоник(следующая пара,котораянепрерывно появляетс я припониж ении температуры, ýто (u ∗5Q; v−5Q)), так и членов,содержащихболеевысокиесте-

пениu ±3Q, чемвторая(а следующая - ýто четверт ая,из законовсохранения

импу льсав петле)даcтвкладтольк о болеевысок огопорядка, чемвосьмойпо

u ±Q. ˙наченияu 3Q и v−3Q; накоторыхдостиг ается минимум сверхпрово дящей ∂E

следу ет ýнергии,находятся из условия ∂V3Q = 0. Изпоследнего V = −A−1X

(2.72)

и, соответственно, E 3Q = −X + A−1X :

(2.73)

Выраж ение(2.73)можноразло житьпостепеняммалыхU = |u| 2 и V = |v|2 :
E 3Q = d2 · |u|6|v|2 + |u|2 |v|6 + d3 · |u|4 |v|4 ; (2.74) где

1 @3E 3Q @E 3Q l8 (−2l12l7 + l8l9 ) = d2 = 3! @U 3 @V l72  2 2 @E 3Q @2E 3Q 2l8(−2(l13 + l14 )l7 + l8(l10 + l11)) 1 : = d3 = 2! @U 2 @V 2 l72 (2.75) 72

Посленесло жныхалгебраических преобразований, из(2.74)и (2.69)получим, чтоанизотропная частьс учетомчленоввосьмого порядка поu ±Q сверхпро-

водящейýнергиидается выраж ением anis F sn =

a (u

2

− v2 ) 2 +

1 (D 1 − D 2 + D 3 =2 − d2 + d3=2)(u 2 − v2) 4 ; 8

(2.76)

гдемыпренебрег личленами =Tc посравнению с 1. Мыполучили (см.ПриложениеВ)D 1 − D 2 + D 3=2 − d2 + d3=2 = 0:0053 > 0: Откудаи последовало, чтоперех од второгорода.

Правеесимметричной точкиS (приполяхвыłеH S ), под линиейсверхпрово дящегоперех одаTc(H ), припониж ениитемпературы непрерывно индуцируютс я нечетныегармоники парами±3Q; ±5Q; ::: ввидусвойствазакона

сохраненияимпу льсав коýффициент ах разло женияГинзбург а-Ланда у. При ∗ ýтомзаметим,чтоеслидляполосатой структуры u Q = v−Q , то из уравнений

∗ (2.71,2.72), а также из ýрмитовости матрицыA следу ет, что u 3Q = v−3Q ,а

значитпространственная четностьи симметрия по обращению временипо-

лосатойструктуры с учетомвысłихгармониксохраняетс я. Поýтомуизсимметрийных соображ енийи ввидутого,чтонайденный намиперех од второго рода из киральной фазыпроис ходит в фазу, у которойтоже наруłена пространственная четностьи симметрия пообращению времени, долж енсуществовать ещеодинперех од из последней в четнуюполосатую структуру . Этотперех од будетначинатьс я в точке S, нобудетлежатьчутьправее(более

высокиезначенияполя)от линииST 0 .

Тот факт , чтоточкиT и T 0 , различны, ноблизкидругк другу- в пользу

существования критическ ой точкиK на линииST 0 (подобнойточке T на

линииLO), ниже которойфазовыйперех од от кирального в состояниетипа LOFFстановитс я перех одомслабопервогорода.

73

2.6

Ток и электромагнитный отклик в киральной фазе

Видпараметра порядка (2.14),состоящегоизконечного числагармоник и Qi отличныхот нуля в основном состоянии,неозначает, чтонадосопост авлять ýлектрический токкаждойкомплек снойгармоник е. Мыпоказываем,чтоток возник аеттольк о в неравновесном состоянии. Cверхпрово дящийтокможет бытьзаписанв следующем виде:   X @ λ,p+Q/2 @ λ,−p+Q/2 e ~js = T G λλ (p + Q=2; ! ) − G λλ (−p + Q=2; −! ) ; 2 @p @p ω,p,λ

(2.77)

гдефункция Гринаýлектрона в киральном состоянии(|( r)| = const)соспектромодночастичного гамиль тонианаравным λ,p дается i! + λ,−p+Q/2 G λλ (p + Q=2; ! ) = −     λ,p+Q/2 −λ,−p+Q/2 2 λ,p+Q/2 +λ,−p+Q/2 2 ! + i + + 2 2

; 2

(2.78)

Термодинамический потенциал в киральном состоянииможет бытьявно выписандляпроизвольного спектра λ,p ýлектрона: " 2  T X λ,p+Q/2 + λ,p+Q/2 − λ,−p+Q/2 + log ! + i = − 2 2 2

λ,−p+Q/2

ω,p,λ

а егопроизво дная- легко вычислена:    ∂λ,p−Q/2 ∂λ,p+Q/2 ∂λ,p+Q/2 + + − ∂p ∂p ∂p T X i !~ @ = − ~ 4 !~2 + 2 + 2 @Q

∂λ,p−Q/2 ∂p

ω,p,λ

гдедлясокращения записивведеныобозна чения λ,p+Q/2 − λ,−p+Q/2 λ,p+Q/2 + !~ = ! + i ; = 2 2

2

+

2

#

;

(2.79)



;

λ,−p+Q/2

(2.80)

:

Подставляяв оператор тока (2.77)функцию Грина(2.78),и непосредственно сравнивая получающеес я выраж ениесостационарным условиемдлякиральнойфазы(2.80),видим

~js = 2e @ hel : ~ ~ @Q 74

(2.81)

Такимобразом,прямоевычисление сверхпрово дящеготока ~js показало,что в любомпорядке по =vF токв равновесии равеннулю. 2

e n αβ Мывычислили ýлектромагнитный отклик j α = Aβ = − mc s в кираль-

номсостоянии,использу я стандартные диаграммные методыи форму лыдля (ch)

(ch)

токовj x ; j x jx jy

в киральном базисе,уравнение (1.62),и получили:   p  2 e2 X  2  2 2 ~ ~ = T G p~ + Q=2 + F p~ + Q=2 cos ’ − Ax ; c m ω,p,λ 2    p e2 X  2  2 2 ~ ~ Ay T G p~ + Q=2 + F p~ + Q=2 sin ’ − = c m ω,p,λ

(2.82)

и наłли n yy s

m @2 = 4 ; ~ @Q 2

(2.83)

то естьпропорциональный параметру a из уравнения (2.52).Такимобразом, на линииЛифłицаLT нет никакого линейного сверхпрово дящеготока в

направлении перпендику лярномк магнитному полю.Компонент а n xx s нигде

не исчезаетв киральной областии порядка n s БКØ состояния:  2    2 @ v 1 @ @ 4m hel hel F − : n xx s = 2 ~ 2 @ @ @Q 2

(2.84)

Этотслучайсильноотличаетс я от классическ ой LOFFзадачи,где показано,чтов киральном состоянииn s вездеобращаетс я в ноль[30]. Различие - вероятновследствие того,чтов наłейзадаче направление Q фиксируется прикладываемым полемh, в то времякак дляслучаяферромагнитного сверхпрово дника онопроизвольно. Полученное поведение тензораn αβ s указываетнасущественно анизотропный ýлектромагнитный откликповер хностного сверхпрово дника вблизилинииЛифłица LT .

75

2.7

Преобразование состояния БКШ в “слабо киральную” фазу

Выраж ение(2.45)для термо динамическ ого потенциала в киральнойфазе былополученов пренебреж ениичленом Q малымпо сравнению с vF Q в ýнергииýлектрона. В ýтомприближ ениитермо динамический потенциал был симметричен по заменеQ на −Q и, соответственно, разло жение(2.52)łло

по четнымстепенямQ: Еслиучитывать члены =vF , то в уравнении (2.45) надозаменить H λ = H + vF Q=2 наH + vF Q=2 −

Q=2, послечеговторое

стационарное условие(2.47)существенно изменитс я и приметвид:  X  vF @ hel = ( F )T − f (H λ; ! ); @Q 2 2

(2.85)

λω

откудаследу ет, чтотеперьниприкакихзначенияхполянебудетдостиг аться

минимум сверхпрово дящейýнергиина Q = 0: X @ hel = − ( )T f (H ; ! ) = F @Q Q=0 ω " X (! 2 + H 2 + 2) p p ( F )T K(k) − ! 2 + (H + ) = − H ! 2 + (H + ) 2 ω

(2.86) 2 E(k)

#

6= 0;

и разло жениетермо динамическ ого потенциала по степенямQ будет содержатьлинейный член: hel (Q)

где =



∂Ωhel ∂Q Q=0

и a~ =

=

hel (0)

+ Q + a~Q 2 + ::: ;

(2.87)



1 ∂ 2 Ωhel днаядается выраж ением 2! ∂Q2 Q=0, а втораяпроизво

X @f (H ; ! ) vF2 @2 hel vF2 = ( )T = ( F )T × F 2 @Q 2 Q=0 2 @ H 2H ω " X (! 2 + 2) (! 2 + 2) 2 + H 2(! 2 − 2) −p K(k) + p 2 + (H + ) 2 ! ! 2 + (H + ) 2 (! 2 + (H − ) ω

k - модульßк оби(2.50).

76

(2.88)

2)

#

E(k) ;

Ввидумалостикоýффициент а можемвездев областилевеелинииЛифłицаLT для сверхпрово дящейýнергиипользоватьс я разло жением(2.87), из которогоможем найтиравновесный векторслабоймодуляциипараметра порядка в ýтойобласти: Q hel

P



(ω 2 +H 2 +∆2 ) √ K(k) ω 2 +(H+∆)2

ω 2 H  = − = × P 2 2 2~ a vF2 √ (ω2 +∆ ) ω −

ω +(H+∆)2

p − ! 2 + (H + )

K(k) + √

2 E(k)

(ω 2 +∆2 )2 +H 2 (ω 2 −∆2 )

ω 2 +(H+∆)2 (ω 2 +(H−∆)2 )



E(k)



(2.89)

˙аметим,чтов пределе H → 0 выраж ения(2.86)и (2.88)можноразло жить

в ряд поH : 2 X H H @ hel = − ( )T ( F )(1 − Y(T; )) ; ≈ − F 2+ 2 ) 3/2 @Q Q=0 2 2 (! ω 2 2 2 X vF2 vF @ hel = ( F )T ( F )(1 − Y(T; )) (2.90) ≈ 2+ 2 ) 3/2 @Q 2 Q=0 4 4 (! ω Такимобразом, учетчленовпервогопорядка по =vF в (2.45)преобразу ет

одноро днуюфазув слабокиральную фазус маленьким волновым вектором Q hel = 2 H =vF2 ;

(2.91)

а линиюперех ода второгорода LT расłир яетдо узкой областикроссовера.Форму ла (2.91)применима длямаленьких магнитных полейH < 0:5Tc0.

Приболеевысокихполяхзависимость вектораспаривания от магнитного полястановитс я нелинейной; в слабокиральной фазелевеелинииЛифłица применима форму ла (2.89);графикQ hel (H ) показанна Рис.2.9. Согласно[41],градиент фазыконденсатной волновой функции определяет плотность сверхпрово дящеготока: j(1) s =

e~ ~ n s Q hel ; 2m

(2.92)

гдеn s - плотность числасверхпрово дящихýлектронов, e = −|e| - зарядýлек-

трона,а m - его истиннаямасса.Согласно(2.83)и (2.90),дляслабыхмаг77

3

vFQ / Tc0

critical point

pairing wave-vector

2,5

T/Tc0= 0.542 2

1,5

1

0,5

0.1 0.01 0

0

1

0,5

1,5

in-plane magnetic field

H / Tc0

2

Рис. 2.9: Волновой вектор Куперовской пары как функция магнитного поля для постоянного значения температуры T = 0.542Tc0 . Жирная линия построена в пренебрежении, а тонкие линии - при учете в сверхпроводящей энергии киральной фазы малых членов α/vF . Пунктирные линии строятся по формуле (2.89), область применимости которой малые Q. Графики построены для двух значений α/vF равных 0.1 и 0.01.

78

j/jmax quintized current

1

0

-1

0

1

2

H/Ho

in-plane magnetic field

Рис. 2.11: Пилообразная зависимость сверхпроводящего тока j на цилиндре от продольного магнитного поля H; амплитуда jmax =

e~ n /R, 2m s

период Ho = vF2 /(2αR). Строго линейная

зависимость, показанная на рисунке, имеет место в случае Ho  Tc0 и T = 0, когда можно пренебречь флуктуациями тока.

буюпространственную модуляциюпараметра порядка. Насамомделебудет проис ходитьследующее: приприло жениимагнитного поляв плоск оститок не потечет , но на концахсверхпрово дника можнобудетнаблю датьразность фаз

= LQ hel :

Однак о, если свернутьсверхпрово дник в цилиндр,и прило жить магнитноеполевдольоси, то по повер хностицилиндраток будет течь (см. Рис.2.10),посколькунафазубудетналоженоусловиеквантования = 2 n; n = 0; ±1; ±2; :: Полныйтокбудет даватьс я суммойтока от спин-орбиты (2)

js и тока от градиент а квантованной фазы:   2 n e~ n s −Q hel + ; j quant = 2m 2 R

где R -радиу с цилиндра, Q hel = 2 H =vF2 . Öелое числоn будетрастис увеличением полятак,чтобытокбылминимален: n = целаячасть[H =H o]; где Ho =

vF2 2αR :

Токбудетобращатьс я в нольтольк о приH = nH o , n = 0; ±1; ±2; :::

Максимальное значениетока будетравноj max =

e~ 2m n s =R:

˙ависимостьтока

от магнитного полябудетпилообразной как показанона Рис.2.11. 80

2.8

Фазовая диаграмма в присутствии немагнитных примесей

В ýтомразделемыизучаемвлияниенемагнитных примесей, характеризующихся временем междуупругими столкновениями, нафазовую диаграмму . Взаимо действиюмеждуýлектронами и атомамипримесисоответству ет гамильтониан

H^ int =

XZ

+ α (r) α (r)u(r −

i

Ri )d2r:

(2.96)

В последнем волновуюфункциюýлектронараскладываем по базисуплосP ipr кихволн α (r) = a α (p); и считаемпримеситочечными u (r − Ri ) = p e

u (r − Ri ). Получаем примесный гамиль тонианв импу льсномпредст авлении

в спиновом базисе:

1 X X −i(p−p0)Ri ^ H int = ue V i 0

+ 0 α (p) α (p ):

(2.97)

p,p

Перех од в киральный базисa α (p) =

a λp λα (p)^

задаетс я матрицей изстолбцов

спинора(2.4);и примесный гамиль тонианв киральном базисеимеетвид: 1 X X −i(p−p0 )Ri + H^ int = ue a pλ M λµ (p; p0)a p0 µ ; (2.98) V i 0 p,p

где

 1 i(ϕp −ϕp0 ) 1+ e M λµ (p; p ) = : (2.99) 2 Послестандартной процедуры (см.[13], стр.328)дляпримесного гамиль то0

нианав киральном предст авлении(2.98),мынаходимфункцию Гринав присутствиинемагнитных примесей длянормального металла: G λ (p; ! ) = где

1 i! − (p) − H sin ’ 1 = 2

n imp u 2 ( 81

F );

p+

i sgn! 2τ

;

(2.100)

(2.101)

n imp - числоатомовпримесив единицеобœема.Мыиспользу емстандартный крестовый метод, в которомматрица(2.99)соответству ет примесному кресту, а множительn impu 2 - линиипримеси.Куперовск ая петля в присутствии немагнитных примесей дается непересек ающимис я диаграммами, показанныминаРис.2.12.Это- чередующаяс я последовательност ь блоковиздвухГриновскихфункцийи линийпримеси.Линияпримесинесетнулевуючастоту , что соответству ет статическ омупримесному потенциалу , и рассеяниеýлектронана такой примесиупругое.ЖирныефункцииГрина-функцииГрина свобо дныхдиффузных ýлектронов, то естьпринятывовнимание процессы рассеянияотдельногоквазичастичного возбуждения вблизиTc (H ). В ведущемпорядке в каждомблоке импу льсына верхнихи нижнихлиниях- противополо жны,а киральности одинак овы.Выраж ение(2.102),с точностью до численных множителей- матричный ýлементвозмущения (2.96).Есливерхнийи нижнийýлектроныв одномблоке принадлеж ат Ферми-окружност ям, соответствующим разнымкиральност ям,то их ýнергияотличаетс я на больłуювеличину2 pF , и соответствующий вкладв лестничную диаграмму от форму лы (2.104)либопорядка Tc0=( pF ) дляне оченьбольłойконцентрациипримесей1= ∝ Tc0, либопорядка 1=(

pF ) для грязногопредела

pF  1=  Tc0; такимивкладами мыпренебрег аем;физически ихмалость

означаетмаленькую вероятностьпроцесса рассеяния наоднойи тойже примесидвухýлектронов с равнымии противополо жнымиимпу льсами,нопринадлеж ащиеразнымкиральным ветвям.В оченьгрязномслучае1= ∝ p F ,

действительно, надобылобы учитывать рассеяние двухýлектронов разной киральности наоднойи тойже примеси, номыýтотпределнерассматриваем. Этоуже другая задача,длякоторойфункции Гринане равны(2.100). Выраж ениедлялиниипримеси,оканчивающейс я двумякрестами: Vλµ (’ p; ’ p0 ) = 0

1 n imp u 2(1 + e 4

Оно равняетс я n impu 2eiϕp −iϕp cos2

ϕp −ϕ0p 2 ,

82

если

) :

iϕp −iϕp0 2

=

(2.102) , либо −n impu 2

G ∆

∆ G

Рис. 2.12: Куперовская петля в присутствии примесей.

eiϕp −iϕp0 sin2

ϕp −ϕp0 , 2

и в виде Vλµ (’ p; ’ p0 ) = где и

если = − . Поýтомупримесную линиюможнозаписать

1 n impu 2eiϕp −iϕp0 ( 2

+ sin ’ p sin ’

p0

+ cos ’ p cos ’ p0 )

(2.103)

- киральности налевоми правомблоке, прилег ающихк примесной

линии.Последнее слагаемоев правойчастивыраж ения(2.103)обращаетс яв R 2π нольпослеинтегрирования по’ p или’ p0 : заметим, что 0 d’f (sin ’ ) cos ’ =

0 дляпроизвольной функции f (x).

В блоке из двухГриновских функций можновзятьинтегралпо : Z ∞   q q d Gλ ! ; p + C λ (! ; sin ’ p ) = ( F ) G λ −! ; −p + = 2 2 −∞ i ( F)
= : (2.104) i! + 2τi − H + q2 sin ’ p

Тогда Куперовск ая петля в присутствии примесей приобрет аетвид: ∞ X Z 2π XX d’ pn n (2.105) L λn (! ; ’ pn )C λn (! ; sin ’ pn ) n e−iϕpn ; T 2 0 ω>0 n=0 λn

гдеL nλn (! ; ’

pn )

- выраж ениедлялестничной диаграммы, содержащейn при-

месныхлинийи со сверхпрово дящейверłинойв левомуглу

0e

iϕp0

. Для

лестничных диаграммможнонаписатьрекуррентное интегральное соотноłение: L n+1 λn+1 (!

X Z d’ p n ; ’ pn+1 ) = L nλn (! ; ’ 2

pn )C λn (!

λn

83

; sin ’

pn )Vλn λn+1 (’ pn ; ’ pn+1 ):

(2.106)

Очевидно(см. (2.103)),L nλn (! ; ’

pn )

= ln0 (

n; !

) + sin ’

1 pn l n ( n ; !

). Тогда

Eq.(2.106) может бытьпереписано в матричной форме:  или





0 ln+1 ( n+1) 1 ln+1 ( n+1)

=

X







0  ln+1(+)  1  ln+1(+)   0  ln+1(−)  1 ln+1 (−)

   =   

λn



0 n n+1 I λn



1 n n+1 I λn

I λ1n

I λ2n

0 1 0 1  I + I + −I − −I −  1  I + I +2 I −1 I −2    −I +0 −I +1 I −0 I −1  I +1 I +2 I −1 I −2

 

ln0 ( n ) ln1 ( n )





0   ln (+)   1    ln (+)   ;  0    ln (−)    1 ln (−)



;

(2.107)

(2.108)

гдематрицаT в правойчастисодержиттриинтеграла I λ0 = q (! +  I λ1

I λ2

1

1 ; 1 2 24 2τ ) + h λ

(2.109) 

! + 2τ1 i   1 = − 1 ; q hλ 4 (! + 2τ1 ) 2 + h 2λ  

! + 2τ1  ! + 2τ1  1 q − 1 = −  ;  h 2λ 4 1 2 2 (! + 2τ ) + h λ

здесьвведенообозна чениеh λ = H + q=2. Суммавсехлестничных диаграмм, показанныхна Рис.2.12,дается wT

∞ X 0

гдевекторv = ( векторw = (I

0e

−iϕp0

0 1 λ; I λ)

L n v = wT (1 − T) −1 v;

(2.110)

; 0) соответству етначальному условиюв левомуглу, а

- интегралу в последнем блоке в правомуглу. Вычисляя

ýто скалярноепроизведение, мынаходимкуперовскую петлюс примес ямии, соответственно, уравнение на Tc (H ): 84

1 ( гдеядроимеетвид

F )U

=

T max q

X

K

ω>0



1 ! ; h + ; h −; 2



;

  (I +0 + I −0 ) 1 − (I +2 + I −2 ) + (I +1 − I −1 ) 2 : K = 4 (1 − (I +0 + I −0 )) [1 − (I +2 + I −2 )] − (I +1 − I −1 ) 2

(2.111)

(2.112)

Уравнение (2.111)дляTc(H ) можетбытьреłеночисленно, и линиифазовых перех одовдлявременрассеянияна примеси1=2 Tc0 = 0.5,1.2,2.1,3.2,4.5, 7.7,11.7показанына Рис.2.13. ˙амечаем,чтов чистомпределеTc0  1 рассеяние на примес ях умень-

łаеткритическ оепараллельное магнитное поле(в чистомслучаеонодается p 2 pF (0) , впервыенайденное в [29]) и одновременно выталкивает H p0 = положениеL точкик болеевысоким значениямH и болеенизкимзначениям

T. Врезультате,обанеодноро дныхсостоянияисчезают с фазовой диаграммы при

−1

≤ 9Tc0.

В пределеH = 0; q = 0 ядроимеетвид 2 ; |! |

K (! ) =

(2.113)

согласующийс я с теоремой Андерсона.

В пределесильнойконцентрации примесей 1=  Tc0 ядроупрощаетс я: K (! ) =

! + 2H 2

2 ; + vF2 q2 =4

(2.114)

из чеговидим,чтоприпониж ениитемпературы сверхпрово дящеесостояние впервыевозник ает на q = 0, так чтов грязномпределевыживает тольк о одноро днаясверхпрово дящаяфаза.Парамагнитный пределH p может быть R P найденкак точка, где T = 0, чтопозволяет сделатьзаменуT ω = dω 2π в

грязномуравнении самосог ласования (2.111);принимая во внимание упрощениеядрав (2.114)и призаменев немq = 0, получаем Hp =

r 85

Tc0 ; 4 eγ

(2.115)

1

T/Tc0 critical temperature

0,8

0,6

2.1 3.2

4.5

0,4

7.7

11.7

0,2

0.5

1.2

0

0

1

2

3

4

in-plane magnetic field

H / Tc05

Рис. 2.13: Линии сверхпроводящего фазового перехода для разных времен τ между упругими столкновениями на примесях: 1/2τ Tc0 = 0.0, 0.5, 1.2, 2.1, 3.2, 4.5, 7.7, 11.7. Крестиками обозначены точки Лифшица.

и в грязномпределе1=  Tc0 парамагнитное критическ ое полерастет с

увеличением беспор ядка.

Всевыłеперечисленные результатыо влияниинемагнитных примесей на фазовую диаграмму былиполучены в пренебреж ениичленами порядка =vF : Учетýтих членовв первомпорядке приведетк заменев ядре(2.112)h λ на H + vF Q=2 −

Q=2. В пределесильнойконцентрации примесей 1=  Tc0

и приучетечленовпервогопорядка по =vF ядроприметвид(ср.c (2.114)): K (! ) =

2 ! +

2H 2

+

vF2 q2

=4 − 2

qH

:

(2.116)

Минимизиру я куперовскую петлюс ядром(2.116)повекторуспаривания q @ qq = 0 @q 86

получаем, чтосверхпровящее состояниев грязномпределеприпониж ении температуры впервыевозник аетна ненулевомимпу льсепары,равным qhel =

4 H vF2

(2.117)

длялюбыхмагнитных полей.Такимобразом,учетчленов =vF так же, как и в чистомслучае,привелк преобразованию одноро дногов слабокиральное состояние.˙аметим,что маленький волновойвектор,модулирующий параметрпорядка в грязномпределе,в дваразабольłе,чемв чистомслучае дляслабыхмагнитных полей(см.2.91).Носледу ет помнить, чтонаýтотраз результат (2.117)получентольк о вблизилинииперех ода Tc (H ):

2.9

Переход Березинского-Костерлица-Таулеса

В предыдущих разделахмы вычисляли линиюсверхпрово дящегоперех ода Tc (H ) в приближ ениисреднегополя(MF A). Точностьтакогоприближ ения длячистогодвумерного сверхпрово дника обычнопорядка Tc = F . Реальный физический перех од - ýто перех од типа Березинск ого-Костерлица-Т аулеса (BKT),соответствующий распариванию вихревого состояния.Относительно линииперех ода, посчит аннойметодомсреднегополя,линияперех ода BKT смещенавнизпо температуре на величинупорядка Tc2 = F . В наłейсистеме флукту ацииусиленывблизиточекL и S. ВблизиточкиL ýто проис хо-

дитблаго даря малостикомпоненты сверхпрово дящейплотности n yy s налинии

Лифłица, что соответству ет малостиодногоиз коýффициентов передградиентным членомв разло женииГинзбург а-Ланда у, и следовательно, уменьłениюкоýффициент а передлогарифмическим членомв ýнергиидвумерного вихря вблизиточкиЛифłицаL. Множитель,соответствующий усилеp yy −1/3 ниюфлукту ацийв точке L, порядка n xx . В окрестности s =ns ∝ ( =vF ) симметричной точкиS флукту ацииусиленыблаго даря расłиренной U(2)

симметрии параметра порядка. 2Dренорм-групповое вычисление показыва87

L (1.536, 0.651)

T/ Tc0 0,6

(1.779, 0.525)

BCS (1.547, 0.455)

h.

st

T

0,4

S

ri

pe

T’ 1,4

1,8

1,6

H / Tc0

Рис. 2.14: Фазовая диаграмма, на которой точечной линией показана физическая линия TBKT (H) перехода Березинского-Костерлица-Таулеса для численных значений Tc0 /F = 0.02 и α/vF = 0.34. Эффект усиленных флуктуаций в области точек L и S - смещение

TBKT (H) линии в направлении (0,0). Средне-полевое положение линии перехода TC (H) показано жирной линией.

ет, что U(2) флукту ационныемоды сдвигаютреальнуюлиниюперех ода Tc на Tc ∝ 4(Tc2= F ) log

s= a

для

a



s.

В результате,линияфазовогопе-

рехода Tc (H ) сильнодеформирована вблизиточекL и S, как показанона Рис.2.14.

88

ˆº

3

˜

æ º

æ

Ł

Ł

ı

º Œ 3.1

æŒŁØ

ŒŁæ Ł

Œ

Œ ı

ŁŒ-

ßØ

ßØ ª -æ

ı

ŁŒ

Введение

Джозефсоновские перех оды двухсверхпрово дников черездвумерный ýлектронныйгаз, (обычноосуществляемые в Nb/InAs/Nbструктурах) активно изучались и ýксперимент ально,и теоретически, см.например [43, 44,45,46, 47,48].Общаяособенность всехýтихструктур- малоеýксперимент альноизмеренное произведение I c R N , намногоменьłее теоретических предск азаний. В частности,ýто несоответствие известнодля короткихперех одов с высококачественными S/N границами, чтодемонстриру ется измерением несинусоидальной зависимости ток-фаза[48]. Притемпературах намногониже Tc , параметрI cR N ≈ 0:22mV былизмеренв работе[48],и ýто значениенамного

меньłесверхпрово дящейщелидляниобия ≈ 1:5meV . Такимобразом,ка-

жется естественным искатьýффекты, которыенебылипринятывовнимание в существующей теории,см.например [49, 50],номоглибыотвечатьзастоль сильноеподавление критическ оготока. 89

Очевидный кандидат , которыйисследу ется - спин-орбит альноевзаимо действиеРаłбы[1] H R = [~^ × p] · n, котороеприсутству ет в структурах с дву-

мернымýлектронным газомиз-заасимметрии квантовой ямыверх-низ(здесь

n - единичный вектор,перпендику лярныйк плоск остидвумерного ýлектронногогаза).В гетероструктурах InAsспин-орбит альноерасщепление особенно велик о (см.работу[51]),и приво дитк расщеплениюR = 2 pF ≈ 5meV , что

значительнобольłесверхпрово дящейщелиниобия.Поýтомукажется есте-

ственным,что учетвзаимо действияРаłбыможет бытьважнымпри анализеджозефсоновск ого тока в ýтих структурах. В ýтом отноłении можно также упомянуть статью[52], где показано,чтопостоянныетокив мезоск опическихметаллических кольцахзаметноварьируютс я присутствием спинорбит альногоспаривания - что,казалосьбы,указываетна возмо жностьсуществования подобногоýффект а и дляджозефсоновск оготока. В литературе можновстретитьмнение,чтоспин-орбит альноевзаимо действиене может влиятьна ýффектблизостив сверхпрово дящихструктурах, так как оносохраняетсимметрию по обращению времени.Однак о ýтот аргумент , вообщеговор я, не верен,когда рассматриваетс я критический джозефсоновский ток,так как присутствие тока уже наруłаетсимметрию по обращению времени. В недавних статьях[53,54],в которыхизучалось влияниекакспаривания Раłбы,таки магнитного ˙еемановск огополянакритический токS-N-Sконтактов,былонайдено, чтов отсутствии ˙еемановск огочленавзаимо действие Раłбы(еслионорассматриваетс я длясамойпростоймоделиравныхФермискоростейна обоихкиральных ветвях),полностью выпадаетиз уравнений дляандреевских уровней.Мыпокажем,чтоýто сокращение не являетс я общим,а проис ходит из-заразныхупрощений, использу емыхв упомянутых работ ах:в статье[53]вводиласьмодельполностью прозра чныхS/N границ, а в статье[54] - прост ая одномерная модель. 90

Ниже будет показано,что в общемслучае,когда присутству ет некотороенормальное отраж ениедляпроизвольного угла паденияна S-Nграницу , спин-орбит альноеспаривание действительно изменяетýнергииандреевских уровнейи сверхпрово дящийток,которыйониперенос ят. Мыпокажем,что ýффектSOвзаимо действия возник аетиз-замодифик ацииканаловпрохождения,определенных матрицей рассеяния S , котораяописывает свойствапереходав нормальном состоянии.Длямоделиперех одабесконечной длины(или перио дическихграничных условий)в направлении, поперечном к сверхпроводящемутоку, найденоспин-орбит альноерасщепление коýффициентов прохождения,котороеприво дит к расщеплению каждогоандреевск ого уровня на паруспин-поляризованны х уровней,с зависящейот фазыразницей ýнергий E ( ). ˙аметим,ýто E (0) = 0, в согласиис сохранением симметрии по обращению времени,котораявосстанавливаетс я при отсутствииразности сверхпрово дящихфаз.Идеяо том,чтоандреевские уровнимогутбыть спин-расщеплены из-заSO спаривания, былапредло женав работе[55] для узкого(небольłое числоканалов)перех ода. SO ýффект , которыймы здесь обсуждаем, отличаетс я от рассмотренного в работе[55]. В ýтой Главе мы рассматриваем самую простуюдвумернуюмодель баллистическ ого перех ода сверхпрово дник-двумерный ýлектронныйгазсверхпрово дник(см.например [50])бесконечнойłириныв направлении поперечномк направлению протек аниятока, см. Рис.3.1. Мыпренебрег аем возмо жнымипотенциальными барьерами наS/Nграницах, предполаг ая,что нормальное отраж ениепроис ходиттольк о из-заразности Ферми-ск оростей, и рассматриваем баллистическ оераспространение ýлектроннов в 2Dструктуре междусверхпрово дящимиконтактами. В разделе3.2ýтойГлавымыпоказываем, чтов пределекоротк огоперех ода (длинаперех ода L 

SC

= ~vF = , где vF - Ферми-ск оростьдвумерного

ýлектронного газа)положенияандреевских уровнеймогутбытьвыраж ены 91

черезсобственные значенияпрохожденияT полнойматрицырассеянияS

точнотакимже способом,как былонайденоБеенакк ером[57] дляперех одовс независ ящимот спинарассеянием. ˙атем в разделе3.3мывычисляем матрицырассеяния S длясамойпростойдвумерной моделибаллистическ ого перех ода сверхпрово дник-двумерный ýлектронный газ-свер хпрово дник(см. например работу[50])бесконечнойłириныв направлении, поперечном к направлению тока, см. Рис.3.1. Мыдемонстриру ем явноеспин-расщепление вероятностейпрохожденияT± (py ) дляканаловпрохождения,характеризую-

щихся проекцией импу льсаpy . Мыпоказываем,чтофункцияраспределения длявероятностейпрохожденияP(T ) совпадает с обсуждавłейс я Мелсеном и Беенакк ером[59] в отсутствииспин-орбит альногоспаривания. В разделе 3.4мыполучаем выраж ениедляджозефсоновск оготока коротк огоперех ода

и демонстриру ем,чтосреднийтокнечувствителен к взаимо действию Раłбы. В разделе3.5мывыходимза рамкипределакоротк огоконтакта: мыполучаем уравнение дляспин-расщепленных андреевских уровнейдляперех одовс произвольным L=

SC

отноłением и демонстриру ем,чтоих вкладв средний

(квазиклассический ) сверхпрово дящийтокнечувствителен к SOспариванию. Вразделе3.6изучаетс я спиновая поляризация, возник ающаяв джозефсоновском перех оде в областидвумерного ýлектронного газа со взаимо действием Раłбы.Мыпоказываемчисленно, чтоспиноваяполяризация существу ет, и как функцияспин-орбит альногоспаривания напоминает универсальные мезоскопические флукту ациипрово димости.раздел3.7посвящен обсуждению применимости наłихрезультатовк перех одам сверхпрово дник-двумерный ýлектронный газ-свер хпрово дникконечнойłириныи возмо жныхспособов обнаружить спин-расщепленные андреевские уровни.Наконец,в разделе3.8 мыприво димнаłизаключения и обсуждаем нереłенные задачи;в частности,предполо жено,чтоучетýлектрон-ýлектронн оговзаимо действия одновременно с спариванием Раłбымогбыобœяснитьподавление джозефсоновск ого 92

y m vs

mn vn Rashba 2DEG n

Superconductor

Superconductor

ϕ 0

−L/2

L/2

x

Рис. 3.1: Двумерная модель джозефсоновского перехода сверхпроводник/двумерный электронный газ Рашбы/сверхпроводник, бесконечного в направлении перпендикулярном к току (вдоль оси y). Область двумерного электронного газа Рашбы имеет толщину L; m/m n эффективная масса, и vs /vn - скорость Ферми в сверхпроводнике/двумерном электронном газе; ϕ - угол между направлением скорости квазичастицы и осью x в области двумерного электронного газа; n - единичный вектор, перпендикулярный к плоскости двумерного электронного газа.

тока.

3.2

Спектр андреевских состояний

Спектрвозбужденных состоянийсостоитиз положительныхсобственных значенийуравнения Боголюбова-Де Жена(БдЖ): νu νv

α

α

= [ + U]α β u β +

= −[

∗

где (U ∗ ) α β = g^να (U( ; )) ∗g^µβ , ;

+ U ∗]α β vβ +

vα ; u ;

∗ α

(3.1)

- спинорные индек сы, g^ = i ^ y - метриче-

скийтензорв спиновом пространстве;=

93

p2 2m

− E F - кинетическ ая ýнергия

квазичастицы (ýнергииизмер яются относительно ýнергииФерми);   u(~ r ↑)  ; u α = g^αβ u β ; u α = u β g^βα ; u(~ r )α =  u(~ r ↓) U( ; ) = U σ µ :

(3.2)

В наłеймоделив нормальной области(обозна ченнойна Рис. 3.1 как Rash ba2DEG)оператор U = [~^ ×p]·n - спин-орбит альноевзаимо действие,

котороесохраняетсимметрию по обращению времени.В сверхпрово дниках

взаимо действиеРаłбыотсутству ет, U = 0. Полаг аем,чтосверхпрово дящая щель

являетс я ступенчатой функцией: равняетс я нулю в нормальной об-

ласти,и ее модуль| | постоянени одинак ов в обоихсверхпрово дниках.Эф-

фектомблизостиможнопренебречь, посколькуобычнов джозефсоновских

перех одахчерездвумерный ýлектронный газ сверхпрово дящиеостровамассивны(трехмерны), и сверхпрово димостьв нихслабоподавляетс я нормальнойобластью- двумерным ýлектронным газом. Уравнение, котороесвязывает спектрвозбуждения джозефсоновск огоперехода с матрицейрассеянияв нормальном состоянииS , былополученов работе[57]: det[1 − r heS e ( )r ehS h ( )] = 0;

(3.3)

где r he =

r A;

r eh =

r A∗ ;

= e−i arccos(/∆) ;



rA = 

e

0

iχ/2

0

e

−iχ/2



;

(3.4)

r he - матрицаандреевск огоотраж ениядляe → h рассеяния в пространстве

каналовпадения(отраж ения)слеваи справаN/Sграницы, ±= 2 - фазыле-

вого(правого) сверхпрово дника, S e(h) - ýлектронная (дырочная) матрицарассеянияв нормальном состоянии.Когда рассеяние не зависитот спина,матрицанормального рассеяния S e тривиальна в спиновом пространстве, тоесть 94

пропорциональна единичной матрице^ 0. В дальнейłем, в пределекоротк ого контакта L 

SC ,

матрицырассеяния S e,h независят отýнергии,крометого

S h = S e∗ . Поýтомууравнение (3.3)может бытьпреобразовано к явномуреłеq нию[57]дляспин-выро жденных андреевских уровней,j = ± 1 − Tj sin 2 χ2 , гдеTj естьj -оесобственное значениематрицы вероятностипрохожденияT^ † T^ (собственные векторыýтой матрицыопределяют каналырассеяния). Ниже мыпоказываем,чтореłениетогоже самоговидаможет бытьполучено ив присутствии спин-орбит альногорассеяния. В присутствииспин-орбит альноговзаимо действияматрицарассеяния в (3.3)становитс я зависящейот спина,но все ещеудовлетвор яет симметриипо обращению времени. Этопозволяет обобщить вывод Беенакк ерадля андреевских уровнейв коротк ом контакте[61], использу я следующий набор соотноłений дляS -матрицы: S S † = 1;

S T (−py ) = g^T S (py )^ g; S h (; py ) = g^T S e∗(−; −py )^ g;

(3.5)

где верхнийиндек с T означаетполноематричное транспонирование. Первое соотноłение в (3.5)- ýто условиеунитарности,второеследу ет из симметриипообращению времени (мыиспользовали здесьпреобразование волновых функций под действием операции обращения времени, t−r (py ) = g^

∗

(−py )).

Наконец,третьесоотноłение в (3.5)проис ходитиз-заспециальной симметрииуравнения Боголюбова-Де Жена: h (; py ) = g^T

∗ e (−;

−py ).

Важноотметитьизменение знака параметра py во второми третьемсоотноłении выłе:когдавсесостояниярассеяния характеризуютс я сохраняющимс я импу льсом(py ), операция обращения временисодержиткомплек сное сопряжениеи инверсию py → −py , так как обращение по времениматрицы

рассеяния должноизменить знактольк о у px , сохраняяpy . Другими словами, дополнительная операцияpy → −py необходимаиз-заиспользования кана-

ловрассеяния, характеризующих ся комплексными собственными функциями 95

∝ eipy y . Обычноже в вычислениях такогорода использу етсяреальный базис

каналовпрохождения,прикоторомтакая дополнительная операцияотсут-

ствует. Использу я соотноłения (3.5),можнопреобразовать уравнение (3.3)к виду: det



1

g^

T

S e∗(;

py )^ gr A∗

Длякоротк ого контакта L 

SC ,

−

r A∗ g^T S e∗ (−;

 py )^ g = 0:

(3.6)

в уравнении (3.6)мы пренебрег аем за-

висимостью от ýнергиив матрицерассеяния, и получаем уравнение второго порядка относительно2 , котороесводитьс я к следующему реłению: r 1 − Ts (py ) sin2 ; (3.7) s,η (py ) = 2 где = ± и Ts (py ) - вероятностипрохождения- собственные значенияматри^ зависящиеот спинового цы T^ † T, индек са s = ± и сохраняющегос я импу льса

py . Вообще,T+ (py ) 6= T− (py ), такимобразомкаждомуpy значениюсоответ-

ствуютчетыреневыро жденных андреевских уровня,какпоказанонаРис.3.3.

Отметим,что в рамках наłеймоделиполныйнаборандреевских уровней всеещесодержитпопарное вырождение.А именно,вырождениесуществу ет междусостояниямис py = ±|py |. Ниже мырассматриваем конкретный при-

мерзадачи рассеяния,имеющейотноłение к структурам сверхпрово дникдвумерный ýлектронный газ-свер хпрово дник,и вычисляем собственные значенияTs (py ).

3.3

S-матрица и коэффициенты прохождения

Наłацель- исследовать специфические спин-орбит альныеýффекты,и поýтомурассматриваем самуюпростуюмодельS/N границ,предполаг ая, что нормальное отраж ениеýлектронов проис ходиттольк о из-заразностиФермискоростей,vs 6= vn (здесьvs и vn - скоростиФермисоответственно в сверх-

прово дящемметаллеи в двумерном ýлектронном газе).Дополнительный ис96

точникотраж енияиз-заýффективного потенциального барьерана границе (см.например [50]),можнобылобывключить, но ýто не изменило бынаłи результатыкачественно. Так как ýффективная массаm n в двумерном ýлектронном газе сильно отличаетс я от ýффективной массыm в металлическ омсверхпрово днике (типично,m n =m ≈ 0:03 длядвумерных структурс InAs),то различие ýтихмасс

должнобытьявноучтено.Наłаперваяцельтеперьсостоитв том,чтобы найтиамплиту дыотраж ения/про хождениянаединичных S/Nграницах (для нормального состояниисверхпрово дящегометаллаS). Мыбудемследовать работе[56], и использовать уравнения непрерывности, которыеследуютиз уравнения Øредингера с пространственно-за висящеймассойm(x) и спинорбит альнымпарметром(x):   p^x − (x) m(x)

|SN = 0 ;

|SN = 0;

(3.8)

где F |SN обозна чаютF (x = − L2 + 0) − F (x = − L2 − 0) длялевойграницы (см.Рис.3.1)и аналогично дляправойграницы,располо женнойв x = L=2.

Далее,P F = mv s и pF = m n vn - Ферми-импу льсысоответственно в металлеS и в двумерном ýлектронном газе;обычноpF  P F , тогда как vs и vn одина-

ковыпопорядкувеличины. Ниже мыпредполо жим,чтопараметр =vn  1,

характеризующий относительную силувзаимо действия Раłбы,являетс я малымпо сравнению с разностью Ферми-ск оростей,  |vs − vn |. Приýтом

условии,амплиту дыотраж ениянакаждойизS/Nграницопределены тольк о

отноłением vn =vs. Тогда амплиту дыотраж енияи прохождениятривиальны → − − в спиновом пространстве, например r αβ = αβ → r , и так далее.Дляпадаю1

1

щейволны,приходящейиз x = −∞, амплиту ды отраж енияи прохождения

на левой(1)границе:

w−1 → − r 1= ; 1+ w

→ − t1=

2 ; 1+ w

(3.9)

гдеw = vnx =vsx - отноłение x-компонент скоростейýлектрона, vnx = vn cos ’ 97

и vsx =

1/2  2 vs − ( mmn ) 2vn2 sin 2 ’ ≈ vs . ˙десь ’ - уголмеждунаправлением

скоростии осьюx в двумерном ýлектронном газе;заметим,чтоvsx - очень близк о к vs длялюбогоугла ’ , начинаяс (m n =m) 2  1. Другиеамплиту ды

отраж ения/про хожденияопределены следующим образом: ← − → − ← − − r 2= → r 1; t 2 = t 1; 2w ← − → − ← − − − r 1= → r 2 = −→ r 1; t1= t2= : 1+ w

(3.10)

ПолнаяматрицарассеянияS перех ода сверхпрово дник/двумерный ýлектронныйгаз Раłбы/свер хпрово дникв нормальном состоянии,составленная из амплиту д на однойгранице,имеетвид(подобныеуравнения могутбыть написаны дляT^2 и R^ 2): i−1 → − → − ^r h ← − − l −1 → r ^ ^ ^ t 1; T1 = t 2 S 1 − r 1 ( S ) r 2 S i−1 → h − ← − ^l −1→ ← − − − l −1→ r r ^ ^ ^ ^ t 1+ R 1 = t 1( S ) r 2S 1 − r 1 ( S ) r 2 S − +→ r 1;

(3.11) где R^ и T^ - блокиотраж енияи прохожденияв матрицерассеяния:   R^ 1 T^2  ; S= (3.12) ^ ^ T1 R 2 ^ T^ в уравнении индек с 1 в амплиту дахR, (3.11)означает, чтоуравнения напи-

саныдляслучаяýлектрона,распространяющего ся слеванаправо.Матрицы в спиновом пространстве S^r(l) описывают вращение спинаприраспространенииýлектронав областидвумерного ýлектронного газасо взаимо действием РаłбымеждудвумяS/Nграницами. ßвная формаýтихматрицможет быть полученапреобразованием собственных мод плоск ой волныс определенной киральностью к спиновому базисус определенной проекцией S y: S^r = eiξ [cosA − i sin A sin ’ ^ x + i sin A cos ’ ^ z ] ;

( S^l ) −1 = eiξ [cosA − i sin A sin ’ ^ x − i sin A cos ’ ^ z ] : 98

(3.13)

˙десь ( ) = k( )L, где k( ) = k + m=k и k = pF cos ’ ; ( ) - ýто главная квазиклассическ аяфаза,тогдакакA = m n L= cos ’ - дополнительная фаза, возник ающаяиз-завращения спинав потенциале Раłбы.В рамках наłего приближ ения =vn  1 весьýффектот спаривания Раłбысодержится в

фазеA, котораяне являетс я малой,еслидлинаL перех ода сравнимаили

больłеспин-орбит альнойдлиныL so = 2 ~=mn . Дляудобствамы вводимновыйпараметрx = log 1+w , где w определен 1−w послеуравнения(3.9).Обœединяяуравнения(3.11)и (3.13),мы получаем матрицупрохожденияв виде: T^1 = T0 + T1 ^ x + T3 ^ z ; T^2 = T0 + T1 ^ x − T3 ^ z ;

(3.14)

где T0 = t sinh( x − i ) cosA; T1 = −i t cosh(x − i ) sinA sin ’; T3 = i t sinh( x − i ) sinA cos ’;

(3.15)

sinh x : sinh (x − i ) + sin 2 A sin2 ’

(3.16)

гдемыобозна чили t=

2

Матрицаотраж енияR^ имеетвид:

R^ 1 = R 0 + R 1 ^ x + R 2 ^ y ; R^ 2 = R 0 + R 1 ^ x − R 2 ^ y ;

(3.17)

где R0 = t



 sin coth x sin 2 A sin2 ’ − i sinh( x − i ) ; sinh x

i t sin2A sin ’; 2 i R 2 = t sin 2A sin2’ : 2 R1 =

(3.18) 99

Теперьмы использу ем уравнения (3.14,3.15),чтобыполучитьвероятности ^ прохождениякак собственные значенияматрицыT^ = T^ † T: T±( ; x(’ )) = гдефаза , определенная как cos

sinh 2 x ; sinh 2 x + sin2 ( ± β2 )

= 1 − 2 sin 2’ sin 2A;

(3.19)

(3.20)

возник аетиз-завзаимо действия Раłбы.Уравнение (3.19)явнодемонстрируетспин-расщепление коýффициентов прохожденияT ± . ˙аметим,что = 0, и

расщепление отсутству ет длятраекторий с ’ = 0, какбылопоказанодляодномерного (одинканал)контакта [54].В отсутствии нормального отраж ения, то естьприx → ∞, всесобственные значенияпрохожденияравныединице,

и спин-орбит альныеýффектытакже исчезают[53].

Влияниеспин-орбит альноговзаимо действияна T ± сводится, согласно

уравнению (3.19),к сдвигуглавнойквазиклассическ ой фазы, →

± =2,

в согласиис результатом,предст авленнымв уравнении (1) из работы[52]. Примерзависимости коýффициентов прохожденияT ± , какфункций углапа-

дения,показанна Рис.3.2.Важнозаметить,что ýта зависимость являетс я

нечетнойотносительно замены’ → −’ , см. уравнение (3.20).Эта симметриянесетследвырожденияКрамерса, которое,как известно,существу ет

длякоýффициентов прохождения,определенных в рамках реального базиса состоянийрассеяния (заметим, чтодоказательство Крамерсовск оговырождениякоýффициентов прохождения[58]намногосложнеедоказательства стандартнойтеоремыКрамерса длявырожденияуровнейýнергии).Мыхарактеризуем состояниярассеяниякомплек снымиволнамираспространения e ipy y , чтоприво дитк наруłению симметрии пообращению времени. ПоýтомутеоремаКрамерса неприменима к наłеймодели,и возмо жноспин-расщепление, имеющеес я в уравнении (3.19)1 . Изуравнения (3.19)следу ет, чтоквазиклас1

Мы благодарны Карло Беенаккеру за обсуждение этого вопроса, и указание на работу [58]

100

Ts -1

-0.5

0.5

1

j

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

Рис. 3.2: Зависимость спин-расщепленных коэффициентов прохождения Ts , s = ±1, от угла распространения ϕ квазичастиц в двумерном электронном газе. Здесь использо-

вались параметры, соответствующие реалистическому SNS переходу: v s = 7 · 107 cm/s, vn = 5 · 107 cm/s, m = me , mn = 0.035me , mn α/~ = 5 · 104 cm−1 , L = 190nm. Для этих

параметров и для значения сверхпроводящей щели ∆ = 1.4meV: (1) длина контакта L

короче длины когерентности, ξSC = ~vs /∆ = 330nm; (2) скорость Рашбы намного меньше скорости Ферми в двумерном электронном газе, α/vn ≈ 0.03; (3) систему можно изу-

чать в рамках квазиклассического предела, pF L/~ = mn vn L/~ ≈ 30; (4) спин-орбитальное расщепление 2αpF ≈ 3.3meV больше сверхпроводящей щели ∆; (5) S/N границы почти прозрачны (vs /vn ≈ 1.4), что позволяет наблюдать большое экспериментальное значение

критического тока.

101

сическ ое среднеелюбойфизическ ой величины, котораяможет бытьвыражена как суммачленов,содержащихотдельныеT переменные (то естьне

содержащихсмеłанных членовнаподобиеT+T− ), независитот SOспаривания.Действительно, привычислении любойсреднейвеличины в наłеймо-

делипроис ходитинтегрирование по компоненте импу льсаp y , параллельной границам (илипоуглураспространения ’ , определенного какp y = pF sin ’ ). Подынтегральное выраж ение,какфункция ’ , содержитбыстрые осцилляции с характерным масłт абом1=pF L, и относительно медленную зависимость от cos ’ . Поýтомуудобносначалаусреднитьпобыстрымосцилляциям, используя распределение вероятностикоýффициентов прохождения: Z Pϕ (T±) = (T − T± ( ; x(’ )) ) d :

(3.21)

ßсно, чтоприсутствие сдвига фазы± не изменяетраспределение вероят-

ности,котороеимееттот же самыйвидкак, например, в работе[59],и не зависитот спин-орбит альногоспаривания: Pϕ (T ) =

tanh x p : √ 2T 1 − T T − tanh 2 x

(3.22)

Теперьрассмотрим, как самыйпростойпример,вычисление среднейпроводимостиконтакта в нормальном состоянии.Прово димостьзаписываетс я как Z Z π/2 d’ G = GQ cos ’ T Pϕ (T ) dT : (3.23) −π/2

Универсальность функциираспределения Pϕ (T ) приво дитк независимости среднейпрово димостиG, так же как и другихвеличин, которыемогутбыть

выраж енычерезýти функциираспределения, от спин-орбит альнойфазыA (напомним, чтомыпренебрег лислабымиýффект амипорядка =vn  1). ˙а-

метимещераз,чтовыłеупомянутые простыерассмотрения неприменимы к вычислению любойвеличины, котораяне является аддитивной как функцияразныхканаловпрохождения,то естькотораясодержитпроизведения разныхкоýффициентов прохождения. 102

Εs D 1 0.5

1

2

3

4

5

6

Χ

-0.5 -1

Рис. 3.3: Четыре спин-расщепленных андреевских уровня ±s , s = ±1, как функции разницы сверхпроводящих фаз χ, показанные для значения угла распространения

ϕ = π/5, и для реалистических контактов сверхпроводник-двумерный электронный газсверхпроводник с параметрами vs = 7 · 107 cm/s, vn = 5 · 107 cm/s, α ≈ 0.2 · 107 cm/s, m = me , mn = 0.035me , L = 190nm.

3.4

Джозефсоновский ток

Уравнение дляандреевских уровней(3.7)и уравнение (3.19)длякоýффициентовпрохождениясоставляютцентральный результат ýтой Главы.Теперь можновычислить джозефсоновский ток[57]: Z e 2 L y dpy X Ts (py ) I( ) = sin tanh 2~ 2 ~ s=±1 s,+ ( )

s,+ (

2T

)

:

(3.24)

Уравнение (3.24)применимо дляджозефсоновск оготока приконечнойтемпературе в пределе коротк огоконтакта. Вквазиклассическ омпределе pF L →

∞ среднийджозефсоновский токможетбытьвычислен припомощи функции распределения Pϕ (T ), уравнение (3.22),следующим образом: Z +π/2 d ’ cos ’ e × I( ) = 2~ −π/2 q Z 1 − T sin 2 χ2 T sin Pϕ (T ) dT q tanh : 2T 2 χ 1 − T sin

(3.25)

2

Уравнение (3.25)демонстриру ет независимость среднегоджозефсоновск ого тока от спин-орбит альногоспаривания. Такой среднийтокявляетс я осмыс103

леннойхарактеристик ой контакта, еслиоба продольныхразмераконтакта намногобольłефермиевск ойдлиныволны,L; L y  ~=pF .

Вопрособосцилляциях I c какфункции ýлектронной плотности обсуждал-

ся теоретически в работе[50]в рамках модели,оченьпохожей на здесьрассматриваемую (нобез спаривания Раłбы).Утвер ждалось,что осцилляции должныпоявитьс я из-засуществования нормальных резонансов в структуре двойногобарьера,наподобиетех описанных в наłемуравнении (3.19),как функции = pF L cos ’ . Сильныйýффектвращения спина,ожидаемый при L ≥ L so , создаетдополнительную фазу ∼ 1, котораяприво дитк расщеп-

лениюрезонансов как функцийpF L. Вследствие ýтого,приL ≥ L so , осцилляции,обсуждаемые в работе[50] будутиметьперио д в дваразакороче,и

уменьłенную амплиту ду.

3.5

Уравнение на спектр и ток для контакта произвольной длины

В ýтом разделемы находимуравнение, определяющее андреевские уровни для контакта произвольной длины,и показываем,что квазиклассическ ое среднееджозефсоновск оготока независитот SOспаривания длялюбогоотноłенияL=

SC .

Использу емальтернативный метод вычисления: вместовы-

раженияандреевских уровнейчерезсобственные значенияматрицыпрохождения,сłиваемволновые функции, удовлетвор яющиеуравнениям БдЖв двумерном ýлектронном газеи в обоихсверхпрово дящихобласт ях.Дляупрощениявычислений, в ýтом разделемы рассмотрим модельравныхýффективныхмасс,m n = m. Собственные функции уравнения БдЖдляперех ода сверхпрово дник- двумерный ýлектронный газ - сверхпрово дникмогутбыть предст авленыкак8-мерные векторы, таккаконисодержаттри2-мерных блока: i) ýлектронные и дырочные компоненты ii) двепроекции спина,и iii)два

104

направления импу льсавдольоси x, px = ±pF | cos ’ |. Условиясłивкидля

волновыхфункцийна обоихS/N границахсостоят из 16 скалярныхуравнений,которыесвязывают8 компонентволновойфункциив областидвумерногоýлектронного газас 4 компонент амив каждомиз сверхпрово дящих островов (последние ýкспоненциально затухаютвглубьсверхпрово дников,если соответствуют андреевским уровням,лежащимпод щелью).Следующий łаг- свестиýту системуиз 16 уравнений к 8 уравнениям: либона 4+4=8 обœединенных амплиту д волновых функций в обоихсверхпрово дниках,либо на8 амплиту д волновой функции в нормальной области.Условиеразреłимостиýтойсистемыиз8 линейных уравнений ýквивалентно условиюзануления соответствующего детерминант а, g(;

) = 0 (которыйýквивалентен опреде-

ленномув уравнении (3.6)). Приведем здесьвывод системыуравнений на амплиту дыволновой функции- стоячейволны- в нормальной области. Вводимсокращенные обозна чениядляволновых функций - реłений уравненияБдЖ.2 Всверхпрово дникахволновые функции удобнозаписать в виде: S, lef t (x)

1 = √ S l (x)Alef t; 2

S, right (x)

1 = √ S r (x)Aright; 2

(3.26)

гдеAlef t,right - ýто4-компонентные спиноры, описывающие состоянияýлектронав левом(правом) сверхпрово днике, причемволновые функции ýлектрона, 2

см. уравнения (Г.6) и (Г.7) из раздела Г Приложений

105

где

d L S r (x) [S r (x)]−1 приx = : dx 2 Подобнымобразомнаходимусловиерассеяния на левойгранице:     L L B − + (ik − S l ( l )) R − B + = 0; −(ik + S l ( l )) L − 2 2 Sr(

r)

=

причемS l ( ) = −S r ( ) = −S ( ), где  0 − eiχ    0 0 K  S( ) = √ 2− 2   e−iχ 0 −  0 − e−iχ 0

0 eiχ 0 −



    − K ^1;   

(3.33)

(3.34)

(3.35)

причемв вычислениях вторымслагаемым K (определенным послеуравне-

ний(3.27))пренебрег аемв силумалостиотноłения =E F S . Системаиз восьмиуравнений (3.32,3.34)на компоненты спиноровB − и

B + имеетненулевоереłение,еслидетерминант ýтой системыg(; нулю.Посленекоторыхвычислений, уравнение g(;

) равен

) = 0 (котороеи явля-

ется уравнением на спектр)может бытьпреобразовано к следующему виду: g(;

g± (;

) ≡ g+ (;

)g−(; ) = 0 ; p ) = cos 2 − Q cos ± 1 − Q 2 sin ;

где параметр определен в (3.20), = фаз.

r

−

l

(3.36)

- сверхпрово дящаяразность

4k 2K 2 2 (cos + cos ) ; Q = cos + (K 2 − k 2) 2 ( 2 − 2 ) 2kK √ = 2 arctan + E; 2− 2 (K 2 + k 2)

(3.37)

гдеE = 2mL=k - зависящаяотýнергиичастьфазы ( ). Изуравнения (3.36) видно,чтов присутствии взаимо действияРаłбы,дляконтакта произвольнойдлины,спин-расщепление являетс я общейхарактеристик ойандреевских уровней. 108

В пределенулевогоспин-орбит альноговзаимо действия = 0, а также дляýлектронных траекторий с py = ’ = 0, спектральное уравнение (3.36) сводится к стандартному уравнению cos 2 = Q с двукратно вырожденным (благо даря спину)реłением. В специальном случаеидеальнопрозра чных границpF = P F общееспектральное уравнение (3.36)также сводится к стандартному уравнению cos 2 = Q, котороетеперьупрощаетс я:   = cos : cos −E + 2 arccos

(3.38)

Дляотносительно коротк ого контакта с 0 < E  1 мы раскладываем

уравнение андреевск ого спектра(3.36)по степеняммалогопараметра = m∆L k ,

и находимпервуюпоправку к результату(3.7),полученному в разделе

3.2,в пределе → 0: r 1 − T± sin 2 ± =



1− 2 гдеT± определены в уравнении (3.19).



3/2 T± sin

2

 coth x ;

(3.39)

В общемслучаеконтакта произвольной длины,спектральное уравне-

ние(3.36)слиłк омсложное,чтобыегоможнобылоявнореłитьдляýнергий андреевских уровней. Крометого,нужнопомнить, чтодляперех одовс произвольным L= отноłением непрерывная частьспектра(состо яниярассеяния) вноситсвойвкладв джозефсоновский ток так же, как и локализованные уровни,которыемы рассмотрели. Тем не менее,полныйджозефсоновский ток(которыйпереноситьс я одновременно и локализованными андреевскими уровнями, и непрерывной частьюспектра)может бытьнайденметодом,изложеннымв работе[62],длячегонужнолиłьзнаниеспектральной функции g(;

). Мыбудемиспользовать уравнения (I.9),(A.48)и (A.49)изработы[62],

измененные в наłемслучаяиз-заприсутствия спин-расщепления, и непрерывныхканаловрассеяния, характеризующих ся поперечным импу льсомp y . Поýтомуполныйтоксодержитинтегралповсемpy : Z dpy X 4e X @χ ln gs (i! ; ); I total ( ) = L y T ~ s=± 2 ~ ω >0 n

109

(3.40)

здесьинтегрирование идетпоположительным Мацубаровским частот ам:! = 2 T(n + 1=2), n = 0; 1; ::. В рамках квазиклассическ ого предела(Lp F  1), вычисление интегра-

ла по py в уравнении (3.40),может бытьвыполнено темже самымметодом, которыйранееиспользовалс я в последней частираздела3.3.А именно,мы

сначалаусредняем поперио дубыстрыхосцилляций cos ≡ cos(kL) прификRπ сированном угле’ , а затеминтегриру емпо’ . Интегрирование 0 d ::: в урав-

нении(3.40)приво дитк результату, которыйнесодержитспин-орбит альную фазу : Z π 4e X 2 d’ @χ Q ; cos ’ p I total ( ) = −L y · pF 2 T 2| ~ ω >0 − π2 |1 − Q n

(3.41)

где Q ≡ Q( = i! n; ), как определено в уравнении(3.37),и мы приня-

ли во внимание, чтоdpy = pF cos ’d’ . Уравнение (3.41)демонстриру ет, что

квазиклассическ ое среднееджозефсоновск оготока черезконтакт сверхпроводник/двумерный ýлектронный газ Раłбы/свер хпрово дникне зависит от константывзаимо действияРаłбы,и ýтот результат верендля произвольнойразностиФерми-ск оростей,и произвольной длиныконтакта. Отметим, что ýтот результат верендо тех пор,пока не учтеноýлектрон-ýлектронн ое взаимо действиев областидвумерного ýлектронного газа.

3.6

Спиновая поляризация

Симметрия задачи джозефсоновск огоперех ода черездвумерный ýлектронныйгаз совзаимо действием Раłбыпозволяет возникновение спиновой поляризацииhS^y i в областидвумерного ýлектронного газаприненулевомсверх-

прово дящемтоке, см. например работу[55].Наруłенная симметрия инверсиивдольосиz и наруłенная t-инвариантность (протек аниетока вдольоси x) разреłают существование аксиального вектора(спиновой поляризации) в перпендику лярномнаправлении: ~ n ×~ e x = ~ey (здесь~ex - направление протек а110

ниятока,~ey - направление спиновой поляризации, ~ n - нормальк повер хности 2DEG). Среднюю спиновую поляризацию (наединицуплощади) вычисляем пообщейквантово-мех аническ ойформу ле: hS^y i(x) = где N (py ) = Z ∞ L/2

Z

−L/2 −∞

† S, right (x;

† S, lef t (x;

py )

† R (x;

~ XX 2L y s=± p y

py )

S, right (x;

S, lef t(x;

py ) ^ y R (x; py ) ; N (py )

py ) dx +

Z

L/2 −L/2

† R (x;

(3.42)

py )

R (x;

py ) dx

py ) dx + (3.43)

нормировочный множительволновойфункции,соответствующей квазичастицес даннымpy ; L y - łиринаконтакта в направлении поперечном к току; S, lef t (x;

py ),

S, right (x;

py ),

R (x;

py ) - волновые функции соответственно ле-

вого,правогосверхпрово дника,и нормального слоя,даютс я форму лами(3.26, 3.28). 

^y = 

^

y

0

0 −^

y

 

операторматрицыПаули в пространстве Намбу . Волновые функции,соответствующие определенному py , подразумеваютс я зависящимии от ýнергии андреевск огоуровня:( x; py ) = ( x; py ;

s,η (py )) ,

поýтомув форму ле (3.42)

произво дитьс я также суммирование и поандреевским состояниям(каждому py соответству ет4 спин-расщепленных андреевских уровня,см.Рис.3.3).Мы рассматриваем случайT = 0, когдазаполнены тольк о состоянияс

s,η

< 0, по-

ýтомусуммирование (s = ±) ведетс я тольк о подвумнижним отрицательным (соответствующим = −) расщепленным (благо даря спин-орбит альному взаимодействию) андреевским уровням.Рассматриваем случайкоротк огоконтакта (L 

уровнейпользу емся форSC ), поýтомудляýнергииандреевских

мулой(3.7).В случаекоротк огоконтакта упрощаетс я также видматрицL(x), 111

R(x) (уравнение (3.29)),в которыхпренебрег аемзависимостью от ýнергиив волновых векторах, kλe = kλh . Считаем, что вдольоси y систематрансляционно-инва риантна(с циклическимиграничными условиями),поýтомузависящая от y часть волновойфункции,одинак овая для всех трех областей,имеетвид бегущей е (3.43)уже взят интегралпо y: волны: (y) = √1 eipy y (и в нормировк Ly R † (y) (y) dy = 1). Конечнаятолщинаперех ода и перио дическиегранич-

ныеусловия (0) =

(L y ) приво дятк квантованию y - проекции импу льса: py,n =

2 ~ n; Ly

n = 0; ±1; :::

(3.44)

то естьк квантованию разреłенных угловраспространения квазичастиц в нормальном слое:

 2 ~n : (3.45) ’ n = arcsin L y m n vn Форму ла(3.42)определяет значениев даннойточке x полной плотности спи

новойполяризации, поýтомув нейпроизво дитьс я суммирование повсем траекториям (cсоответствующим разнымpy ). В пределеоченьłирок огоконтакта (L → ∞) суммирование перейдетв интегрирование: Z N max X X dpy f (py ) = f (’ n) → L y f (py ); 2 ~ py n=−Nmax i h p F Ly [a] означает где ’ n дается форму лой(3.45);N max = Round 2π~ , где Round наиболее близк ое к a целоечисло,меньłеечемa.

Уравнения (3.32,3.34),определяющие коýффициенты B ±(

s,η ),

в сокра-

щенныхобозна ченияхимеютвид: (f r − f l )B + = 0; B − = f r B +;

(3.46)

−1 где f r(l) = L −1 ченияR r(l) = r(l) (ik + s r(l) ) (ik − s r(l) )R r(l) , и введеныобозна

R(± L2 ), L r(l) = L(± L2 ), s r = S r (

тов B ±(

s,η )

r ),

s l = S l ( l ). ßвный вид коýффициен-

громоздок и предст авитьих в аналитическ ом обозримом виде 112

нельзя.Поýтомудалееявныеграфикиволновых функций, зависимости спиновойполяризации от разныхпараметров в задаченаходятся численно, при конкретных фиксированных остальныхпараметрах. ˙аметим,что в рассматриваемом случаекоротк огоконтакта вся зависимостьот ýнергиив коýффициент ах B ±(

матрицS r(l) (

s,η ),

s,η )

беретс я из сверхпрово дящих

уравнение (3.35).

Волновые функциив металлеРаłбыи сверхпрово дниках, определенные черезгромоздкие коýффициенты B ± (3.46),соответствующие локализованномуАндреевск омусостоянию,даютс я форму лами: 1 = √ (L(x)B − + R(x)B +); 2   −1 L S,lef t(x) = S l (x) S l − 2   −1 L S,right (x) = S r (x) S r 2

R (x)

 L ; R − 2   L ; R 2 

(3.47)

гдематрицыS r(l) (x) определены в уравнениях (3.27). Квадратымодулей волновыхфункцийв трех област ях SNS контакта, прификсированном угле ’ , имеютследующую простуюзависимость от xкоординаты: † R (x)

R (x)

=

B −† B −

+

B +† B +

+



B +† rl(x)B −



+ h:c: ;

1 rl(x) = R † (x)L(x) = 2    M rl 0 e−2iAx/Li sin ’ −2iξx/L −iϕ   ; M rl = e e  0 M rl cos ’ и в форму ле (3.48) мы использовали rlT (x) =  ∗ † † † † B − lr(x)B + = B − rl (x)B + = B +rl(x)B − .

cos ’ e

2iAx/L

i sin ’

rl(x), L(x) =



;

(3.48) R ∗(x):

Изуравнения (3.48)видно,чтоквадратмодуля волновой функции в нор-

мальномслоебыстроосциллиру ет на длиневолныФермикак cos 2 x=L, и 113

имеетмедленную огибающую типаcos 2Ax=L. ˙десь мыопределяем фермиевскуюи спин-орбит альнуюдлинуволныв нормальном слоекак: L so =

Fn

=

2π~ , mn v n

2π~ . Согласноýтимопределениям и согласноуравнению (3.48),а также mn α

ввидуравенствA = m n L=~ cos ’ и = m n vnL cos ’= ~, надлинеконтакта L приходитьс я n F = 2 cos ’

L λF n

фермиевских и n so =

спин-орбит альных

2 L cos ϕ Lso

осцилляций. 



M ss 0 1 ; ∝ S l† (x)S l (x) =  2 0 M ss   1 e2iKx+ (1 + e2iγ ) 2δKx+  ; M ss (x +) = e −2iKx+ −2iγ e (1 + e ) 1   ~ ss 0 M 1 † † ;  S,right (x) S,right (x) ∝ S r (x)S r (x) = 2 ~ 0 M ss † S,lef t(x)

S,lef t (x)

~ ss (x) = M ss (−x −): M

(3.49) Из форму лы (3.49)видно,чтовероятностьнайтиквазичастицу в сверхпроводниках ýкспоненциально падаетна рассто яниипорядка длиныкогерентностипоскольку K ∝

−1 SC

(сверхпрово дящаядлинакогерентности опре-

s деленакак SC = ~v ), а также осциллиру ет с Ферми-перио дом Kπ (где ∆ p m 2s vs2 − m 2n vn2 sin 2 ’ =~). В сверхпрово K = дниках перио д фермиевских ос-

цилляций меньłе,чемв нормальном слое,т. к. vs > vn.

НаРис.3.4изображ енпримерзависимости откоординатыx парыквадратовмодулейволновых функций, соответствующих двумспин-расщепленным отрицательным андреевским уровнямв одноми томже каналеp y . ˙аметим, что графикволновыхфункций,соответствующий положительной пареандреевских уровней,совпадает с показаннымна рисунк е. Норму N (py ), уравнение(3.43), можно легко проинтегрировать по x, использу я явнуюзависимостьот координатывходящихв нее вели114

Ψ2 0.25

s=-1

0.2 Αvn =0.023 0.15 0.1 s=+1 0.05 -1

-0.5

0.5

1

x

Рис. 3.4: Изображена зависимость квадрата модуля отнормированной волновой функции электрона,

1 Ψ† (x, py )Ψ(x, py ), N (py )

от координаты x в канале, характеризующимся углом ϕ.

Две волновые функции (с пометками s = ±1) соответствуют двум спин-расщепленным

андреевским состояниям с отрицательной энергией. На рисунке область двумерного электронного газа расположена между координатами x = ±L/2 = ±0.5, и выбраны парамет-

ры: ϕ = 1, χ = 1, α/vn = 0.023, vn /vs = 5/7, ξSC = 6.6, Lso = 2π, λF n = 0.15,

π K

≈ 0.07.

Для выбранных параметров число фермиевских и спин-орбитальных осцилляций на длине контакта равно nF ≈ 7.4 и nso ≈ 0.6.

115

чин(3.48,3.49). Можнопродемонстрировать и зависимость откоординатыx вкладав спиновуюполяризацию от одногоканала(характеризующегос я углом’ ):   † † † ∗ † ^ R (x) y R (x) = B − mA (x)B − − B + mA (x)B + + B − mξ (x)B + + h:c: ; h i∗ † ^ ^ mA (x) = L (x) y L(x) = − R (x) y R(x) =     2iAx/L − cos ’ −e i sin ’ M 0  ; MA =   A ; −2iAx/L e i sin ’ cos ’ 0 MA †

h i∗ † ^ ^ mξ (x) = L (x) y R(x) = − R (x) y L(x) =     0 −1 M 0 ;  ξ  ; M ξ = 1 eiϕ e2iξx/L  2 1 0 0 Mξ †

(3.50)

откуда видно,что вкладв спиновуюполяризацию от одногоканала’ состоитиз слагаемого,осиллирующего на спин-орбит альнойдлиневолныкак cos 2Ax=L, и из слагаемого,быстроосциллирующего на фермиевск ой длине волныкак cos 2 x=L. Однак о можнодоказать,чтопоследнее слагаемоеобращаетс я в нольдля любыхуг ˙а лов’ и прочихостальныхпараметров.

нулениеслагаемогоB −† ( s,η )

^y



0

 B +(

s,η )

= 0 равносильно уравнению

0 ^ на андреевский спектр(см.Рис.3.5).Отсюда следу ет, чтополнаяспиновая y

поляризация (послесуммирования и по всемканалам’ ) как функцияx не содержитосцилляций на длиневолныФерми. Спиновая поляризация отодногоканалаpy - приT = 0 - суммадвухвкладов,соответствующих двумотрицательным андреевским уровням:s^y (py ) = P сокращают другдруга, как s=± s^y ( s,− (py ); py ). Этидва вкладачастично виднонаРис.3.6,и ýто сокращение тембольłе,чемближ е отноłение vn=vs

к 1. Так что приvn = vs спиноваяполяризация пропадает(как былопоказано,и в андреевских уровняхпри vn = vs исчезаетспин-расщепление: 116

150 1 100 0.5

50 -2.18

2.12

2.14

-2.16

-2.14

-2.12 -0.5

2.16

Рис. 3.5: показана зависимость от энергии  мнимой и реальной части коэффициента  † ˆ B− 1⊗σ ˆ y B+ перед членом e2iξx/L в уравнении (3.50): он обращается в ноль при  = s,η (s = ±, η = ±).

Sy Αvn =0.02

0.04 s=-1 0.02

-0.4

-0.2

vn vs =57

ΞSC =6.6 ΛF =0.15

0.2

0.4

-0.02

x

Χ=1 j=1

s=+1 -0.04

Рис.

3.6:

Изображена зависимость спиновой поляризации, sˆy (x, py ) = 1 ˆ y ΨR (x, py ), от координаты x в канале, характеризующимся углом ϕ. Ψ† (x, py )Σ 2N (py ) R

Бирюзовым цветом показаны два вклада (s = ±) в спиновую поляризацию соответствен-

но от двух спин-расщепленных андреевских состояний с отрицательной энергией. Синим

цветом изображена полная спиновая поляризация в канале, сумма вкладов от двух P андреевских состояний: sˆy (py ) = ˆy (s,− (py ), py ). Все параметры выбраны такими s=± s же, как и на предыдущем рисунке, на котором показаны графики волновых функций. Осцилляции на фермиевской длине волны отсутствуют.

117

Sy

Sy

nso =5.9 nso =4.1

0.03

Αvn =0.23

0.175

Αvn =0.16

0.15

Αvn =0.23

0.125 nso =3

Αvn =0.12

0.02

Αvn =0.16

0.1 0.075

nso =1.8

Αvn =0.07

0.01

Αvn =0.02

nso =0.6 -0.75 -0.5 -0.25

0.25

0.5

0.75

x

0.05

Αvn =0.12

0.025

Αvn =0.07 Αvn =0.02 0.6 0.8

-0.4 -0.2

0.2

0.4

x

Рис. 3.7: График слева) Спиновая поляризация в одном канале (ϕ = 1) как функция x осциллирует на спин-орбитальной длине: согласно уравнению (3.50), на длине контакта L укладывается nso =

2 L cos ϕ Lso

= 0.6, ..., 5.9 “спин-орбитальных” осцилляций. График справа)

Полная спиновая поляризация - сумма по всем 2Nmax = 26 каналам (Ly = 2). Для наглядности графики для набора значений спин-орбитальной константы α/vn = 0.023, ..., 0.23 подняты относительно оси x. Горизонтальные пунктирные линии означают смещенную ось x. Графики построены при параметрах: χ = 1, vn /vs = 5/7, ξSC = 6.6, λF n = 0.15.

s ΞSC =15 vn vs =57 ΛF =0.15 Ly =2 Χ=1

0.02 0.01

0.05

0.1

0.15

0.2

Α €€€€€€€ vn

-0.01 -0.02

Рис. 3.8: Средняя спиновая поляризация s, как функция спин-орбитального взаимодействия. Здесь длина контакта принята равной L = 1. Наибольшему значению α/v n = 0.23 соответствует спин-орбитальная длина Lso = 0.63.

118

Σ

Σ 0.0012

Αvn =0.02

0.001 0.0008

HLso =6.28L

0.04

vn vs =57

0.03

0.0006

Χ=1

0.0004

ΛF =0.15 Ly =2

Αvn =0.1 vn vs =57

HLso =1.25L Χ=1 ΛF =0.15

0.02

Ly =2 0.01

0.0002 0.001

0.002

0.003

0.004

D €€€€€€€€€ 0.005 ΕFs

0.001

0.002

0.003

0.004

D €€€€€€€€€ 0.005 ΕFs

Рис. 3.9: Среднеквадратичная спиновая поляризация σ, как функция сверхпроводящего параметра порядка ∆ в единицах энергии Ферми EF s . Ширина контакта (вдоль оси x): L = 1, ширина контакта Ly = 2, что соответствует 2Nmax = 26 каналам. Два графика - для двух разных значений спин-орбитальной константы α/vn = 0.02 и 0.1. Сверхпроводящей длине когерентности ξSC = 15 соответствует отношение ∆0 /EF s = 0.002; σ приведена в единицах ∆0 hSˆy i↑↑..↑ . EF s

ониперест аютзависетьотвзаимо действия Раłбы).Каждый же вкладпоотдельности пропорционален спин-орбит альнойконстанте , и зануляется при = 0. Нарисунк е 3.7изображ енаспиноваяполяризация длянесколькихзначений =vn. Видноотсутствие осцилляций на фермиевск ой длиневолны.Для спиновойполяризации от одногоканала’ (графикслевана Рис.3.7)видно соответствие форму ле n so =

2 L cos ϕ Lso ,

определяющей числоосцилляций на

спин-орбит альнойдлиневолны(см.уравнение (3.50)).Приувеличении сверхпрово дящейдлиныкогерентностиSC у график ов на Рис.3.7плавноуменьłаетс я амплиту да. Спиноваяполяризация являетс я осциллирующей на длинеконтакта величиной(см. Рис. 3.7), поýтомуполезноввестисреднюювеличину , котораябы характеризовала среднююполнуюполяризацию, приходящуюс я на весь контакт. Посколькусредняяполяризация, определенная как s = R 1 L/2 ^ y я знакопеременной величиной как функцияспинL −L/2hS (x)idx, являетс

орбит альногоспаривания (cм. Рис.3.8),то удобноввестипонятиесредне-

119

Σ 0.06 0.05 0.04

vn vs =57 Αvn =0.12 Χ=1

ΛF =0.15 ΞSC =15

0.03 0.02 0.01 1

2

3

4

5

6

Χ

Рис. 3.10: Среднеквадратичная спиновая поляризация σ, как функция сверхпроводящей разности фаз χ. Длина контакта (вдоль оси x): L = 1, ширина контакта Ly = 2, что соответствует 2Nmax = 26 каналам.

Σ 0.03

ΞSC =15 vn vs =57

0.025 0.02 0.015 0.01 ΛF =0.15 0.005

Χ=1

Ly =2 0.05

0.1

0.15

0.2

Α €€€€€€€ vn

Рис. 3.11: Среднеквадратичная спиновая поляризация σ, как функция спин-орбитального взаимодействия. Наибольшему значению α/vn = 0.23 соответствует спин-орбитальная длина Lso = 0.63. Длина контакта принята равной L = 1.

120

са ýлектронанаосьx обращаетс я в ноль.Послевыполнения интегрирования поx, в среднеквадратично й спиновой поляризации, уравнение (3.51),должна наблю даться осциллирующая зависимость на спин-орбит альнойдлинес перио дом cos ’~ L L = = : L so vn F 4

(3.52)

Соответственно форму ле (3.52)на график ах ( =vn) и (L) должнонаблюдаться n so α =

4L F cos ’~ vn

n so L =

и

4 L L so cos ’~

(3.53)

спин-орбит альныхосцилляцийна длине =vn (Рис. 3.11) и на длинеL (Рис.3.12).Крометого,в зависимости среднеквадратично й спиновой поляризации от длиныL (Рис.3.12)должнынаблю даться осцилляции и надлине волныФермис перио дом L F

=

1 ; 2 cos ’~

посколькуспиноваяполяризация зависитот

(3.54) черезвходящиев множите-

ли B ± коýффициенты e±iξ . Согласноформу ле (3.54)на длинеL на график е Рис.3.12наблю дается

n FL =

2 cos ’~ F

L

(3.55)

фермиевских осцилляций. Согласноформу лам(3.53),еслив нихдляоценкиположитьcos ’~ ≈ 0:6,

привыбранных параметрах, награфик е ( =vn) наблю даютс я n so α ≈ 11 спинорбит альныхосцилляций соответственно для L = 1 (Рис.3.11);а на графике (L) наблю даютс я n so альныхосцилляций для L ≈ 11=1:1 спин-орбит

=vn = 0:23=0:023 (верхний/нижний графикРис.3.12).Крометого,согласно

форму ле(3.55),на график ах (L) наблю даютс я n FL ≈ 8 фермиевских осцилляций.

123

Видзависимости среднеквадратично й спиновойполяризации от величины спин-орбит альногоспаривания напоминает универсальные мезоск опическиефлукту ациипрово димости.В связис ýтим стоитотметить,что спинорбит альноевзаимо действие(связывающее спиновуюпеременную с протекающимтоком) вместес квантовой приро дойспинаýлектронаприво дят к усилению интерференционных ýффектов, находящих ся внерамокквазиклассическ огоприближ ения.Этообстоятельство былонедавно отмечено в другом контек стев работеОсиповаи др.[64]. В рассмотренном намислучаеаналогичныеýффектыприво дят к нерегу лярнымосцилляциям среднеквадратичнойспиновой поляризации, приисчезающей (в термо динамическ омпределе) среднейполяризации.

3.7

Обсуждение

РезультатыýтойГлавыбылиполучены длямоделибесконечнодлинного переходав направлении перпендику лярномк току, когдаблаго даря трансляционнойинвариантности движ ениевдольy-осиполностью определялось волновымвекторомpy соответствующей плоск ой волны.Очевидным обобщением такой модельнойсистемыбыл бы контакт с перио дическими граничными условиямив y направлении. В ýтом случаевсе наłирезультаты остаются верными,еслизаменитьнепрерывные py дискретным наборомволновых векторовpn = 2 n=L y . Такая геометриянесколько ýкзотичнадля SNSсоединений, но тем не менееее кажется возмо жнымизготовить ýкспериментально,особенноеслипринятьво вниманиенедавниеуспехив изготовлениисложныхструктурInAs,см. например[63]. Обычно,однако, структурасверхпрово дник-двумерный ýлектронный газ-свер хпрово дникимеетконечнуюдлинув y направлении (L y ) с нулевыми граничными условиями,при которыхканалысобственных состоянийхарактеризуютс я стоячимиволнами - смесьюплоскихволнeipy Ly и e−ipy Ly . В присутствии взаимо действияРаłбы 124

направление импу льсаýлектронасвязанос направлением его спина,и такимобразомопределение правильных собственных состоянийстоячихволн нетривиально. Основной ýффектконечного L y  L so - дискретный наборканаловпрохождения,N ch = 2L y =

F,

где

F

- длинаволныФермидвумерного

ýлектронного газа.Однак о имеетместои некоторыйкачественный ýффект нулевыхграничных условий:состояниярассеяния записываютс я в реальном базисе,а значит, применима теоремаКрамерсадля собственных значений прохождения[58].Этоозначает, чтодлянулевыхграничных условий,и в пределекоротк огоконтакта L=

SC

→ 0, не может произойти спин-расщепление

андреевских уровней. Другими словами, в конечной(вy направлении) системе спаривание Раłбыизменяет собственные значенияпрохождения,но не расщепляет их. Какмыможем согласоватьýтот результат с естественной идеей,чтодля оченьдлинногоL y типграничных условийне долж ен игратьроли?Делов

том,чтополныйандреевский спектрсистемыявляетс я дваждывырожденнымкакдляперио дических граничных условий,таки длянулевых.В первом случае,вырождениепроис ходитиз-засимметрии T ± (py ) относительно отра-

женияpy → −py , тогда как во второмслучаеýто проис ходитиз-затеоремы

Крамерса.×тобы получитьглобальный андреевский спектрбез вырожде-

ния,должнабытьнаруłенасимметрия по обращению времени.В частности,ýто проис ходит, еслипринятьво внимание отличноеот нуля отноłение L=

я в работе[55].Другаявозмо жность- открытая SC , каксообщаетс

геомет-

рияобразца,какиспользу емаяв работе[47],гдедополнительный токможно подаватьв направлении, поперечном к сверхпрово дящемутоку. Отдельные андреевские уровнивозмо жномогутбытьнаблю деныýксперимент альномикроволновой спектроск опией,или измерением туннельной прово димостив областьдвумерного ýлектронного газа из дополнительного точечногоконтакта. Однаверсиятакоготипаýксперимент а былапредло женатеоретиче125

ски,для одноканальногоперех ода, в работе[60]. В ýтом случаерезонансная частот а оченьвысок ая, порядка

=~, так как единственно возмо жные

перех оды - междуположительными и отрицательными андреевскими уровнями.Эта частот а - приблизительно 0.4 ThzдляострововNb(значительно болеенизкиечастотымогутбытьнайденыдляслучаяоченьмалойвероятностиотраж ения,1 − T  1 и разностифаз

≈

). В многок анальных

перех одахинтервалýнергиимеждусоседнимандреевскими уровнями мень-

łепопараметру ∼

=N ch, нообычно(безспин-орбит альногоспаривания)

невозмо жнонаблю датьвызванные микроволнами перех оды междууровнями,которыепринадлеж ат различным каналампрово димости.Причина- сохранениеимпу льса:различные каналыпрохожденияхарактеризуютс я разнымиволновыми векторами py =~, которыеотличаютс я на =Ly , тогда как длинаволныфотона

ph

= hc=

намногобольłеL y , их отноłение поряд-

ка (E F2DEG=)( c=vn) ∼ 104. Кажется возмо жным,чтоýто правилоотборане

будетýффективным в рассматриваемой ситуациисоспариванием Раłбы,ко-

тороезначительно изменяет каналыпрово димостиприL y ≥ L so . Делов том, чтотеперьканалыпрово димостибудутопределены в пространстве запутан-

ныхорбит альныхи спиновыхпеременных, и такимобразом,казалосьбы, нет никакой причиныдля занулениямежк анальногоматричного ýлемент а фотона.Однак о ýтот вопроснуждаетс я в дальнейłем исследовании.

3.8

Заключение

Исследованазависимостьджозефсоновск ого тока в чистом перех оде сверхпрово дник- двумерныйýлектронныйгаз Раłбы-свер хпрово дник от спин-орбит альноговзаимо действияРаłбы.Полученообобщение форму лы Беенакк ера для андреевских уровнейдля случаяспин-орбит альногорассеянияи найдено,что для случаябесконечноłирок ого перех ода (в направлении,поперечном к току),андреевские уровни- спин-расщепленные. Этот 126

результат - в согласиисо статьями[53, 54],где былизученýффектспинорбит альноговзаимо действияРаłбына сверхпрово дящийток или [53] в случаеотсутствиянормального отраж ения на границах(p F = P F ), или в одномерном случае[54].Показано,что квазиклассическ ое среднееджозефсоновск оготока темне менеене зависитот взаимо действияРаłбы,если пренебрег атьýлектрон-ýлектронн ымвзаимо действием в двумерном ýлектронномгазе.Поýтомуприведенные результатыпоказывают , чтоучетспинорбит альноговзаимо действияРаłбыдляобычной моделиSNSперех ода,без учета ýлектрон-ýлектронн оговзаимо действияв нормальной области,не достаточен,чтобыобœяснитьýксперимент альнонаблю даемоесильноеподавлениепараметра I c R N относительно еготеоретическ огозначения.Мыполаг аем, что длятого,чтобыобœяснитьýто подавление,надопринятьво внимание ýлектрон-ýлектронн ое взаимо действиеодновременно со спин-орбит альными ýффект ами.Отметим,что ýлектрон-ýлектронн ые взаимо действиякак в каналеплотность-плотност ь, так и в каналеспин-спин немалыв структурах с двумерным ýлектронным газом. Вытек ающаянереłенная задачасостоитв нахожденииджозефсоновск ого тока в присутствии ýлектрон-ýлектронн оговзаимо действияи с учетомнайденнойспиновойполяризации, осциллирующей на длинеконтакта на спинорбит альнойдлине.˙аметим,чтовызванная сверхпрово дящимтоком средняя спиноваяполяризация создаст , в присутствии ýлектрон-ýлектронн ого взаимо действия, ýффективное ˙еемановск оеполе,котороеможет сильномодифицировать как андреевские уровни,так и джозефсоновский ток.

127

в котором a=

s

(! 2 + (|H λ | + ) (! 2 + (|H λ | − )

2) 2)

:

Теперьв (А.5)делаемобратную замену = tg ’; получаем: X 2 Z π/2 d’ √ r T  √ √ −1 2 A 0 a− a ω>0,λ 1+ cos2 2’ 2

Учитывая, что

R π/2 0

f (cos2 2’ )d’ =

R π/2 0

(А.6)

(А.7)

f (sin 2 ’ )d’ , заменяемв последнем

интеграле cos2 2’ наsin 2 ’ и, следу я определению ýллиптическ огоинтеграла R 2π (А.7)в виде: первогорода K(k) = 0 (1 − k 2 sin 2 ’ ) −1/2, переписываем ! √ √ −1 X 2 a− a √ K i : (А.8) T 2 A ω>0,λ

ИнтегралK - табличный,применяяк немустандартныепреобразования (см.[42]),записываем окончательно уравнение самосог ласования как: q  1 1 − a2 X 2 K 1 √ √ ; = T U ( F) a A ω>0,λ

(А.9)

Подставляяв (А.9)значения(А.4)и (А.6)дляA и a, получаем (2.48). ˙аметим,что второгоуравнениясамосог ласованияу нас пока что нет. Кромекак из минимизации сверхпрово дящейýнергиикирального состояния (2.47),егоможновывести,создаваяслабуюнеодноро дностьна основном состоянии( r ) = ue iQr .

Б

Линия ST 0

Интегралы поуглу’ (2.67),возник ающиеприопределении положениялинии устойчивости киральной фазыST 0 , можнопредст авитьв видеýллиптических 129

интегралов первогои второгорода: Z 2π 1 −1 + (! + i(H + X ) sin ’ ) 2 p = 2 + (X sin ’ ) 2 2+ 2 (! + iH sin ’ ) 2 + 4 (! + iH sin ’ ) 0 X zK(k) − z1 Π(l1 ; k) − z2 Π(l2; k) p ; (Б.1) = 2+ ! 2 ( + H ) ω>0,λ 2 1 p 4 (! + iH sin ’ ) 2 + 2 (! + iH sin ’ ) 2 + 0 X yK(k) − y1 Π(l1; k) − y2 Π(l2; k) p ; = 2+ ! 2 ( + H ) ω>0,λ

Z

2π

2

+ (X sin ’ ) 2

= (Б.2)

гдевведеныобозна чения (

l1 (S) = 1 −

( l2 (S) = l1 (−S);

H (2i! X + ( H + 2X )) ; ( + i! ) 2X 2 ( − H + i! )   L(S); 2 2 2 2 2 + i! ) X − (H − i! ) + X S

z = −2 − z1 (S) = −

− H + i! )( 2 − (H + i! ) 2 ) + X 2 ) ; + H + i! )( 2 + H 2 + ! 2 − X 2 − 2iS)

2(

z2 (S) = z1 (−S);

y =

H2 + i! ) 2X 2 2

(

y1 (S) = −

i 2(

+ i! )

y2 (S) = y1 (−S);

2

( 

2

X2

− H + i! )

2

130

2

− (H − i! ) +

X2

 M (S); S

(Б.3)

L(S) = −i

где

4

H (H + X ) 2 −

− 2! 2 X 2 (H − i! + X )( ! X + S) + + 2i ! X (H + X )( H − i! + X )( ! X + S) + +

3

(H + X ) 2(−iH 2 − H ! + 2! X + iX 2 + S) +

+

2

(H + X )( H 2 − iH ! + H X + i! X )(2! X + S) −

− ! X2

2

(H + X ) 2

p S= −

и

M (S) =

2H 2

H 3(

+

В

2

+ ! 2) X 2;

X =

q+ Q ; 2

(Б.4)

+ H − i! ) −

− HX2 ( + (

+ (

+ 2H ) − i(

− H )! + 2!

+ i! )X 4 + H 2 (i(

+ H ) + ! ) + (−i(

2




+


+ H ) + ! ) X 2 S:

(Б.5)

Восьмой порядок в функционале ГЛ

Каждомукоýффициенту разло жения восьмогопорядка по Ланда у соответствуют диаграммы и выраж ение:     X Q Q G 4 −p + ; G4 p + D 1 = 1=8Ts 2 2

Гинзбург а-

(В.1)

ω,p,λ

D2

Q p+ 2

 3Q G = Ts G G −p − + 2 ω,p,λ         X 5Q Q 3Q Q + Ts G 2 −p + G 2 −p − G p+ ; G3 p + 2 2 2 2 X

4





3



Q −p + 2





ω,p,λ

(В.2)

131

v

u u*

p+Q/2

v*

u*

-p+Q/2

-p+Q/2

p+Q/2

u

u*

-p+Q/2

p+Q/2

p+Q/2

-p+Q/2

-p+Q/2 p+Q/2

-p+Q/2

v*

v

u p+Q/2

-p+Q/2

p+Q/2

u*

v

v*

p+Q/2

-p+Q/2

v*

v

u

Рис. 3.13: Диаграммы, соответствующие коэффициенту D1 при члене |u|8 + |v|8 в раз-

ложении Гинзбурга-Ландау. Диаграмме соответствует комбинаторный коэффициент 1/8.

Заметим, что все петли симметричны по замене Q на −Q, что эквивалентно замене на диаграммах всех u на v; значит, такие диаграммы равны.

     Q 3Q Q 2 2 D 3 = 3=2Ts G −p + G −p − + G p+ 2 2 2 ω,p,λ         X Q 3Q 5Q Q Ts G −p + G 3 −p − G p+ + G3 p + 2 2 2 2 ω,p,λ         X Q Q 3Q 3Q G3 p + G 3 −p + G −p − G p− + Ts 2 2 2 2 ω,p,λ           X Q 3Q 3Q 5Q Q 2 2 2 Ts G −p + G −p − G p− G p+ ; G p+ 2 2 2 2 2 X

4



ω,p,λ

(В.3)

    1 3Q 3Q Ts X l7 = G p+ G −p + ; − U 2 2 2

(В.4)

ω,p,λ

        Ts X Q Q 3Q 5Q l8 = G p+ G −p + G −p − G p+ ; (В.5) 2 2 2 2 2 ω,p,λ

l9 = Ts

X

ω,p,λ

l10 = Ts

X

ω,p,λ

l11 = Ts

X

ω,p,λ

Q G −p + 2 

5Q G −p + 2 

Q G −p + 2 





G



2

G

 2

3Q p− 2



3Q G p− 2 

132



3Q p− 2



3Q G −p − 2





3Q G −p − 2 

3Q G −p − 2 





;



(В.6)

;

5Q G p+ 2 

(В.7)



; (В.8)

u u*

u p+Q/2

-p+Q/2

u*

u*

u

-p-3Q/2

v*

-p+Q/2

u

v p+Q/2

p+Q/2 p+Q/2

v* p+Q/2

-p-3Q/2

-p+Q/2

p+Q/2

v

-p-3Q/2

p+5Q/2

u*

u*

-p+Q/2 p+Q/2

-p+Q/2

u*

u

u

Рис. 3.14: Две разные диаграммы, составляющие коэффициент D2 перед членом |v|2 |u|6 .

Обеим диаграммам соответствует комбинаторный коэффициент 1.

u u*

u -p+Q/2

p+Q/2

-p+Q/2

u*

-p+Q/2

p+Q/2

u* p+Q/2

-p-3Q/2

p+Q/2

v

v v

u p+Q/2

v*

v*

-p-3Q/2 p+Q/2

-p-3Q/2

-p-3Q/2

p+Q/2

v*

u*

p+Q/2

-p+Q/2

v*

u

v

coeff.=1/2

coeff.=1

Рис. 3.15: Диаграммы, дающие вклад в коэффициент D3 при |u|4 |v|4 . Значения этих двух

диаграмм равны, а их коэффициенты разные - 1 и 1/2. При замене всех u на v обе диаграммы не меняются. Комплексно сопряженные им изменят только обход вдоль петли и такие диаграммы мы учли в комбинаторных коэффициентах.

u

v u*

-p-3Q/2

p+Q/2

-p+Q/2

-p+Q/2

p+Q/2

u*

-p+Q/2

p+Q/2

p-3Q/2

-p-3Q/2

p+Q/2

v

v v

u p+Q/2

v*

u*

v*

-p-3Q/2 p+5Q/2

-p-3Q/2

u*

v*

p+Q/2

-p+Q/2

v*

u

u

Рис. 3.16: Диаграммы, дающие вклад в коэффициент D3 при |u|4 |v|4 . Коэффициент для обеих полагаем равным 1, поскольку учитываем равные им комплексно сопряженные диаграммы. Заметим, что эти две петли переходят друг в друга при замене всех u на v.

133

u u*

p+5Q/2

-p-3Q/2

-p-3Q/2

v* p+Q/2

v

u p+Q/2

u*

-p+Q/2 p-3Q/2

-p+Q/2

v*

v coeff.=1

Рис. 3.17: Диаграмма, дающая вклад в коэффициент D3 при |u|4 |v|4 . Комбинаторный ко-

эффициент 1.

G(p-3Q/2)

G(p+3Q/2)

* v-3Q

v-3Q

u* 3Q

u3Q G(-p+3Q/2)

G(-p-3Q/2)

Рис. 3.18: Диаграмма шестого прядка по u, дает вклад в коэффициент l7 . Куперовская петля для третьей гармоники. Коэффициент 1/2.

u*Q -p+Q/2

v-Q* p+Q/2

u3Q

-p-Q/2

v-Q

uQ

v-3Q p-5Q/2

-p-3Q/2

p+5Q/2

p-Q/2

-p+3Q/2

u*Q

v-Q*

coeff.=1/2

uQ

v-Q p+Q/2

-p+Q/2

u*3Q

-p-Q/2

v-Q* -p-3Q/2

p+5Q/2

p-Q/2

* v-3Q

u*Q -p+3Q/2

p-5Q/2

uQ

v-Q

Рис. 3.19: Диаграммы шестого прядка по u, соответствующие члену l8 (u3Q u∗Q 2 v−Q + ∗ 2 v−3Q v−Q uQ + h.c.) Коэффициент для всех четырех 1/2.

134

u*3Q

* v-3Q

u3Q

uQ

v-Q

v-3Q p-3Q/2

-p-Q/2

p+3Q/2

u*Q

-p+Q/2

v-Q*

coeff.=1

* v-3Q

u3Q p+3Q/2

-p+3Q/2

p-3Q/2

-p-3Q/2

p+3Q/2

-p+3Q/2

u*3Q

v-Q*

* v-3Q

-p-5Q/2

p+3Q/2

p-3Q/2

-p-3Q/2

u*Q -p+5Q/2

p-3Q/2

uQ

v-Q

Рис. 3.20: Диаграммы восьмого прядка по u. Коэффициент для всех четырех 1. Верхний ряд соответствует члену l9 (|u3Q |2 |uQ |2 + |v−3Q |2 |v−Q |2 ), Нижний ряд соответствует члену l10 (|u3Q |2 |v−Q |2 + |v−3Q |2 |uQ |2 )

u*Q -p-Q/2

p+3Q/2

v-3Q

u3Q -p+3Q/2

p-5Q/2

v-Q* uQ p+3Q/2

-p-Q/2

u*3Q

* v-3Q

coeff.=1

-p+3Q/2

p-5Q/2

v-Q ∗ + Рис. 3.21: Диаграммы восьмого прядка по u, соответствующие члену l11 (u3Q v−3Q u∗Q v−Q

h.c.) Нижняя петля - комплексное сопряжение верхней. Коэффициент 1.

135

u*Q

uQ

-p-Q/2 p+3Q/2

coeff.=1

p+3Q/2

u3Q u*Q -p-Q/2

-p+3Q/2

coeff.=1 u*Q

p-Q/2 -p-Q/2

p+3Q/2

u*Q

v-Q

-p+3Q/2

v-Q*

p-Q/2

v-Q* -p-Q/2

-p+3Q/2 p-Q/2

p-5Q/2

v-Q

u3Q

u*Q

-p+3Q/2

-p-Q/2

p+3Q/2

p-Q/2

u3Q

coeff.=1/2

u*Q

v-Q

v-Q

v-Q

u*Q

Рис. 3.22: Диаграммы восьмого прядка по u, соответствующие членам l 12 u3Q u∗Q 2 v−Q |uQ |2

и (l13 + l14 )u3Q u∗Q 2 v−Q |v−Q |2 . Еще есть петли комплексно сопряженные показанным на рисунке, а также с заменой всех u на v. Значения их те же самые, поэтому мы их не рисуем.

l12 = Ts

X

ω,p,λ

l13

Q G p+ 2 



G

2



Q −p + 2



G

2



3Q p− 2



3Q G −p − 2 



; (В.9)

        Q Ts X 2 Q 3Q 3Q G p+ = G 2 −p + G p− G −p − ;(В.10) 2 2 2 2 2 ω,p,λ

l14 = Ts

X

ω,p,λ

5Q G p+ 2 



Q G p+ 2 



Q G −p + 2 



3Q G p− 2 



G

2



3Q −p − 2

ВездеG - функции Гринанормального металла. R R 2π по Суммапо импу льсузаменяетс я на ( F ) d 0 dϕ 2π и интеграл



(В.11)

вы-

числяетс я. Интегралпо ’ вычисляетс я с помощьюпроизво дящейфункции p 1= ! 2 + (H ± nQ ) 2, где n = 1; 3; 5: В получивłиес я аналитические вы-

раженияподставлялисьTS = 1:779Tc0, H S = 0:525Tc0 и Q S = 2:647Tc0, и оставłаяс я суммапо! браласьчисленно. В результатемынаłли:

136

:

Г

Спиноры, описывающие состояния квазичастиц в переходе S/Rashba 2DEG/S

В ýтомразделеПрило жениймыопределяем спиноры, описывающие состоянияквазичастицы во всехтрехобласт ях перех ода SNS. Благо даря трансляционной инвариантности вдольосиy состоянияквазичастицыхарактеризуютс я квантовым числом- сохраняющимс я импу льсом py вдольосиy. Дискретные андреевские состояниясуществуют тольк о для || <

и здесьмы ограничиваемс я тольк о ýтим случаем.В андреевск ом

состоянииýлектронные и дырочные состоянияперемеłаны. Рассмотрим сначаласверхпрово дники.В приближ ениисреднегополяГамильтониандвумерного сверхпрово дника имеетвид:  0 eiχ 0  E (p)  X  0 E (p) 0 − eiχ †  ^ HS = p  e−iχ 0 −E (p) 0 p  0 − e−iχ 0 −E (p)

       

p;

(Г.1)

где eiχ - комплек сныйсверхпрово дящийпараметр порядка, причем - ам  † † † плиту да,а - сверхпрово дящаяфаза. p = - спи↓−p ↑−p ↑p ↓p

нор,содержащийоператоры рожденияи уничто женияýлектрона. Мыисполь-

зовалиобозна чениеE (p) =

p2 2M

− , где - ýнергияФермисверхпрово дящей

области,p = (k; py ) - двумерный импу льс,а M - массаквазичастиц. Полаг аем,чтосверхпрово дящаящель

и ýнергииФерми одинак овыдлялевого

и правогосверхпрово дника. Очевидно, чтогамиль тониан(Г.1)- блочно-диагональны й в спиновом пространстве, гдеобаблока имеютразмерность 2x2.Собственные состояниягамильтониана(Г.1)имеютвид: k + 2M 2

2

(p) =

−

138

p2y

!2

+

2

:

(Г.2)

Удобнорассмотреть(p) как независимую переменную, и характеризоватьсобственное состояниеx компонентой импу льсаk квазичастицы. Реłая уравнение (Г.2)относительно k, получаем 4 реłения: q p 2 2 − 2: k = ± 2M − py ± i2M

(Г.3)

Выборправильного знака дляk в (Г.3) определяетс я тем,чтомы рассматриваемдискретный спектр| | <

, и соответственно волновыефункции

должныубыватьприx = ±∞. Принимая последнее условиево внимание,

из четырехимпу льсов- реłений длялевогосверхпрово дника оставляемдва физических импу льсаk:  q √  2 + i2M  2M − p − y   l k± =  q  √   + 2M − p2 − i2M y

2

2

− 2;

(Г.4)

− 2;

и дляправогосверхпрово дника - двафизических импу льсаk:  q √  2 + i2M 2 − 2;  2M − p + y   r k± =  q  √   − 2M − p2 − i2M 2 − 2; y

(Г.5)

l,r 2 √ p2y +(k± ) 2 − 2 = − e∓iγ + , где = Использу я равенство: 2M − = ±i arccos ∆ , получаем четыресобственных векторав левомсверхпрово днике:

l 1

l

l

l l ik− x+ = l1 eik+ x+ ; e ; ↑,− =  2      1   1        0  l  0  l  ; =    =   3   ; 2 =    wl   zl       0 0

l ↑,+

l ↓,+

= 

0   1  ;  0   −zl

l l ik+ x+ ; 3e

l 4



= 

l ↓,−

 0     1  ; =     0    −wl

l l ik− x+ ; 4e

(Г.6)

гдеx + = x + L=2, zl = exp( −i −i l ), wl = exp(i −i l ); и четыресобственных

139

векторав правомсверхпрово днике:

r 1

r

r

r r ik− x− = r1 eik+ x− ; e ; ↑,− = 2       1   1        0  r  0  r  ; =  ; =  =   3   2     wr   zr       0 0

r ↑,+

где x − = x − L=2, zr = exp( −i − i

r ↓,+

r

= r3 eik+ x− ;  

0   1  ;  0   −zr

r ),

r 4

   =    

= 

r ↓,−

0 1 0 −wr

wr = exp(i − i

r r ik− x− ; 4e

   ;   

r ).

(Г.7)

В волновых

функциях, уравнениях (Г.6, Г.7),и в дальнейłем, мы опускаеммножитель eipy y , которыйодинак ов длявсехспиноров во всехтрехобласт ях. Найдемспиноры,описывающие состоянияквазичастицы с ýнергией во областидвумерного ýлектронного газа,ограниченного в x направлении (см. Рис.3.1). Рассмотрим гамиль тонианметаллаРаłбы:  (py + ik) 0  E R (p)  X  (py − ik) E R (p) 0 †  H^ R = p  0 0 −E R (p) p  0 0 (py − ik)

где введенообозна чениеE R (p) =

p2 2m

−

R,

где

0



   0   (py + ik)   −E R (p) R

p;

(Г.8)

- ýто ýнергияФер-

ми, p = (k; py ) - двумерныйимпу льс, а m - масса квазичастицв металле Раłбы(отличнаяот массыM в сверхпрово дниках). ˙десь также   † † † - спинор,содержащийоператоры рожденияи p = ↓−p ↑−p ↑p ↓p

уничто женияýлектрона. Очевидно, гамиль тониан(Г.8)блочно-диагонален в ýлектронно-дырочно м пространстве, гдеобаблока имеютразмерность 2x2. Собственные состоянияГамиль тониана(Г.8)имеютвид: p2 − λ (p) = 2m p2 + (p) = − λ 2m 140

R

−

|p|;

R

+

|p|:

(Г.9)

Поскольку λ (p) являетс я независимой переменной, характеризу ем собственноесостояниеx компонентой импу льсаk квазичастицы. Реłая(Г.9) относительно k, получаем восемьреłений: v r u u 2 e 2 + 2m 2 2 1 + kλ,± = ±t2m + − p y R m v r u u 2 h 2 + 2m 2 2 1 + kλ,± = ±t2m − − p y R m где

± R

=

R

+ R 2 − R 2

!

+ 1 ; !

+ 1 ; (Г.10)

± . Индек сы ± соответствуют положительному (направо) или

отрицательному (налево)x -направлению, вдолькоторогодвижутс я квазичастицыв металлеРаłбы. Восемьсобственных векторов в металлеРаłбыимеютвид:     0 1         iϕke λ,±   ikh x   0 ie e h ikλ,± x e  e λ,± ;    ; e = = λ,± λ,±         1 0     iϕkh λ,± −ie 0

(Г.11)

гдемыввелиобозна чение

k + ip y eiϕk = eiϕk,p = q : 2 2 k + py

(Г.12)

Мы можем уменьłитьчислопеременных в уравнении(Г.11), использу я (e,h)

(e,h)

kλ,− = −kλ,+ и eiϕ−k,py = ei(π−ϕk,py ) . Эта подстановк а помог ает заметить, что из восьмиспиноров(Г.11)четыресопряженыостальнымчетырем,что соответству ет частицам, движущимс я направои налево.

141

Д

Матрица рассеяния в нормальном состоянии перехода S/Rashba 2DEG/S

˜.1

S - ìаòриöа,

поºу÷åннаÿ

сłивк оØ воºновßх

ôункöиØ

на äвух

граниöах В ýтомподразделе находимявныйвидматрицы рассеяния S/Rashba2DEG/S контакта в нормальном состояниии в присутствии магнитного поля,направленного вдольy-оси,Рис.3.1,посредством сłивкиволновых функций надвух границах. Обасверхпрово дника находятся в нормальном состоянии,

= 0.

Так как нетсверхпрово дящегопараметра порядка, то числоýлектронов сохраняетс я, и ýлектроннигде не преобразу ется в дырку , поýтомусостояние ýлектрона вездев SNSконтактеможетбытьописанодвухк омпонентным спинором,у котороговерхняяи нижняякомпоненты соответствуют спинувверх и спинувниз.Этопротивополо жнослучаю 6= 0, когдачислоýлектронов не

сохраняетс я (ýлектронможет бытьпреобразован в дырку),и состояниеква-

зичастицнадоописывать в пространстве Намбу(см.разделГ).Считаем,что Гамиль тонианýлектронавключаеткинетическую ýнергию,взаимо действие Раłбы(1.3),и ˙еемановск оевзаимо действиес магнитным полемнаправленнымвдольосиy: H^ Zeeman = −g B ^ y H =2. Пустьпадающий ýлектрон,движущийс я в левомсверхпрово днике, имею-

щийx компоненту импу льсаK и спиннаправленный вверх, падаетналевую границу . Описываем падающий ýлектрондвухк омпонентным спинором:   1   eiK(x+L/2); (Д.1) 0 гдемыположилиамплиту ду равнойединице.

Отраж енныйýлектронописываетс я двумяспинорами:     1 0 Al↑   e−iK(x+L/2); Al↓   e−iK(x+L/2); 0 1 142

(Д.2)

где Al↑ и Al↓ - амплиту дыотраж енияýлектронас темже самымилис противополо жнымнаправлением спина. Проłедłий ýлектронв правомсверхпрово днике описываетс я двумяспинорами: 

Ar↑ 

1 0



 eiK(x−L/2);



Ar↓ 

0 1



 eiK(x−L/2):

(Д.3)

Посколькутребу ется выполнение условиянепрерывности на обоихграницахкаксамойволновой функции, таки еепроизво дной,то мыможемввести четырехк омпонентные спиноры, построенные такимобразом, чтоверхниедве компоненты соответствуют волновой функции, а нижниедве- произво дной волновой функции: 

1





    0      iK(x+L/2) , Al↑   e  iK      0    1      0    iK(x−L/2)  , Ar↓  Ar↑  e   iK     0

1





0

   1    −iK(x+L/2) , Al↓  e  0  −iK   0 −iK  0  1   iK(x−L/2) . e 0   iK 0



   −iK(x+L/2) , e   (Д.4)

Аналогично составляемчетырехк омпонентные спиноры дляметаллаРаłбы: 

1





1



     −ieiϕk   ieiϕk   ik− x   ik+ x  , , B−1,+  B+1,+  e e     ik ik     iϕ iϕ k k ke −ke     1 1      −ie−iϕk   ie−iϕk    −ik+ x   −ik− x B+1,−  , B−1,−  , e e  −ik   −ik      −iϕ −iϕ k k −ke ke

(Д.5)

где мы раскладываем векторk± = k ± m pF =k + m=k , и везде,где он не

домно жается на больłойпространственный масłт аб L, заменяемего просто на k такимже образом,как и в уравнении (3.29).В вектореk ± знак± 143

соответству ет киральности. В коýффициент ах B первыйнижнийиндек с соответству еткиральности, а второйнижнийиндек с соответству етнаправлениюдвиж енияýлектронных квазичастиц в металлеРаłбы. Теперьсоставляемматрицыиз четырехк омпонентных спиноров(Д.4) и (Д.5).Волноваяфункцияплюспроизво днаяот волновойфункцииýлектроннойквазичастицы в металлеРаłбы(Д.5)может бытьвыписанапосредством матрицы4x4:

Rashba

= T(x)B с четырехк омпонентным вектором

B † = (B +1,+ B −1,+ B +1,− B −1,−) и матрицей T(x) равной:  ei(k+ +h)x ei(k− −h)x e−i(k+ −h)x e−i(k− +h)x    ie iϕk +i(k+ +h)x −ie iϕk +i(k− −h)x −ie −iϕk −i(k+ −h)x ie −iϕk −i(k− +h)x    ikei(k+ +h)x ikei(k− −h)x −ike−i(k+ −h)x −ike−i(k− +h)x  −keiϕk +i(k+ +h)x keiϕk +i(k− −h)x −ke−iϕk −i(k+ −h)x ke−iϕk −i(k−+h)x гдеh = g



   ;   

(Д.6)

B H =2vF .

Аналогично мысоставляемматрицыS Left и S Right, соответствующие спинорам(Д.4)в сверхпрово дниках, взятыхна левой(x = −L=2) и на правой

границе(x = L=2), такимобразом,чтобыматричные уравнения удовлетворялидвумусловиямнепрерывности волновой функциии ее произво днойна двухграницах: T(−L=2)B = I + S Left A; T(L=2)B = S RightA;

(Д.7)

где I†↑ = (1; 0; iK ; 0) - четырехк омпонентный спинор,соответствующий пада-

144

ющемуýлектронусо спиномвверх;A † = (Al↑; Al↓; Ar↑ ; Ar↓ ), и    0 0 0 0 0 0 0  1    0 0 0 0  0 1 0 0  ; S = S Left =  Right     0 0 iK 0  −iK 0 0 0    0 0 0 iK 0 −iK 0 0



   :   

(Д.8)

Мыразреłаем двауравнения (Д.7)относительно четырехкомпонент B и находимсистемууравнений длячетырехкомпонент A дляслучаяýлектрона, падающего с левойстороны:

где

−1  A1,α = T(−L=2)T −1(L=2)S Right − S Left I1,α ;

(Д.9)

† - ýто спинпадающего ýлектрона:I1,↑ = (1; 0; iK ; 0) дляспинавверх, и

† = (0; 1; 0; iK ) дляспинавниз. I1,↓

Мыможемполучить аналогичные уравнения дляамплиту д A дляслучая ýлектрона, падающего с правойстороны: −1  A2,α = T(L=2)T −1(−L=2)S Left − S Right I2,α ;

(Д.10)

† где векторI2,α описывает падающий ýлектрон:I2,↑ = (1; 0; −iK ; 0) дляспина

† вверх, илиI2,↓ = (0; 1; 0; −iK ) дляспинавниз.

Если - спинпадающего ýлектрона, тогда реłенияA соответствуют ам-

плиту дамотраж енныхи проłедłих волн:
1 1 ; r ↓α ; t 1↑α ; t 1↓α ; A†1,α = r ↑α
2 2 A†2,α = t 2↑α ; t 2↓α ; r ↑α ; r ↓α :

Определяем S^-матрицуследующим образом:   R^ 1 T^2 ; S=  ^ ^ T1 R 2 145

(Д.11)

(Д.12)

где 

R^ 1(2) = 

1(2) r ↑↑ 1(2) r ↓↑

1(2) r ↑↓ 1(2) r ↓↓





T^1(2) = 

;

1(2) t ↑↑ 1(2) t ↓↑

1(2) t ↑↓ 1(2) t ↓↓



:

(Д.13)

Реłаяуравнение (Д.9)и уравнение (Д.10),и принимая вовнимание (Д.11), дляматрицпрохожденияполучаем: T^1 = T0(h) + T1(h) ^ x + T2 (h) ^ y ; T^2 = T0(−h) + T1(−h) ^ x − T2 (−h) ^ y ; (Д.14) причем Ti(h) = Ti cos h + H i sin h;

(Д.15)

T0 = t sinh( x − i ) cosA; T1 = −i t cosh(x − i ) sinA sin ’; T2 = i t sinh( x − i ) sinA cos ’;

(Д.16)

H 0 = −t cosh(x − i ) sinA; H 1 = −i t sinh( x − i ) cosA sin ’; H 2 = i t cosh(x − i ) cosA cos ’;

(Д.17)

гдемыввелиобозна чение t= и

sinh x ; sinh 2 (x − i ) + sin 2 A sin2 ’ + sin2 h cos2 ’ K −k e−2x = K + k pF A= m L : k 

146

2

(Д.18)

; (Д.19)

Матрицаотраж енияимеетвид: R^ 1 = R 0 + R 1 ^ x + R 2 ^ y + R 3 ^ z ; R^ 2 = R 0 + R 1 ^ x + R 2 ^ y − R 3 ^ z ;

(Д.20)

где  sin sinh( x − i ) + R 0 = t coth x sin 2 A sin 2 ’ − i sinh x + t coth x sin 2h cos2 ’; i R 1 = t sin2A sin ’; 2 i R 2 = − t sin2h cos ’; 2 i R 3 = − t (sin 2A − sin 2 h) sin2’ : 2 

(Д.21)

˙аметим,что в выłеприведенных форму лах везденадосделатьзамену k → k + m=k , и K → K + m=K .

В ýтомразделемыработ алив спиновом базисес определенной проекцией спинаS^z , поýтомуполученная матрицарассеяния(Д.14-Д.21), еслив ней

положитьh = 0, отличаетс я от приведенной в основномтексте (3.14-3.18), гдеонавыписана в спиновом базисес определенной проекцией спинаS^y .

147

˙ Œº

Ł

Научнаяновизнаработызаключаетс я в следующих оригинальных результатах,которыевынос ятся на защиту: Глава1. • Длямоделиневзаимо действующих ýлектронов в присутствии примесей показываем, чтостатическ аяспин-х олловск аяпрово димостьравнанулю

благо даря сокращению двухвкладов:верłинная поправк а сокращает вкладот однойпетли.Результат полученв линейном порядке по спинорбит альномурасщеплению, длялюбойнеисчезающей силыбеспор ядка и в общемслучаезависящейот импу льсаскоростиРаłбы (p) и непараболическ омспектре(p). • Дляслучаяпараболическ огоспектраи постояннойскоростиРаłбы

приведено простоедоказательство зануленияспин-х олловск огоýффек-

та на основеанализаобщихкоммут ационныхсоотноłений дляоператоров.Этотрезультат остается вернымитакже и для случаявзаимодействующих ýлектронов (покрайнеймере,есливзаимо действиене зависитот спинов),а также для болееобщегослучаязонногоспектра (p) и спин-орбит альногорасщепления(p), есливыполнено условие p (p) = const · @=@p. • В чистомпределеl → ∞ и в присутствии ýлектрон-ýлектронн оговзаимодействия,получено универсальное соотноłение междузависящейот

148

частотыспин-х олловск ой прово димостью sH ()

и восприимчивостью

Паули () . • В чистомпределедлямоделиневзаимо действующих фермионов более

высок ого спинаj найденаспин-х олловск ая прово димостьи показано,

что

sH (j )

также универсальна и растетс j .

• Показано, что ýлектрон-ýлектронн ое взаимо действиеперенормиру ет универсальное значение

(0) sH

= e=8 ~, на величину относительной по-

правки,определяющейс я тольк о стандартным параметром Кулона.

Глава2. • В рамках моделиспин-орбит альногометаллас иерар хиейýнергий F 

pF  ! D  Tc длячистогоповер хностного сверхпрово дника в парал-

лельноммагнитном поленайденфункционал Гинзбург а-Ланда у, включаяразло жениедостепенейвосьмогопорядка. • На линииTc (H ) найденыдвекритические точки:точка Лифłица Lи

симметричная точка S и тем самымпоказаносуществование кираль-

нойсверхпрово дящейфазыс параметром порядка ( r) ∝ exp( iQr) и большим Q ∼ H =vF на фазовойдиаграмме.

• В киральной фазенайденыдваусловиясамосог ласования на

и на Q.

• Нафазовойдиаграмме найденыграницыустойчивости БКØ и киральнойфазы:линияЛифłица, оканчивающаяс я в критическ ойточке Лан-

дау T ; и линия,начинающаяс я в симметричной точке. • Установлено, чтокиральная фазаи пространственно четнаяфаза(полосатая структура) разделены двумяфазовыми перех одамивторогорода

и промежуточной новойсверхпрово дящейфазой. 149

• В БКØ и в киральной фазенайденравновесный сверхпрово дящийток,

пропорциональный вариациисвобо днойýнергиипо волновому вектору

параметра порядка, и доказано,чторавновесный токв основном состоянииобращаетс я в ноль. • Найдентензорсверхпрово дящейплотности ýлектронов в БКØ и в ки-

ральнойфазеи обнаруж ено,чтона линииЛифłица сверхпрово дящая плотность длянаправления тока ⊥ h обращаетс я в ноль,чтосимволизи-

руетразруłение сверхпрово димости в окрестности ýтойлинии.Вглубине

киральной фазысверхпрово дящийоткликподобеноткликув обычной БКØ фазе. • Исследовано влияниеслабойкиральной анизотропии на фазовуюдиа-

граммуи найденслабыйградиент параметра порядка в основном состоянииБКØ, преобразующий еев длинноволновую киральную фазу(на существование последней указалAgterb erg[33]).

• В присутствии немагнитных примесей с помощью методатрансфер матрицынайденакритическ ая силапримесей, прикоторойпроис ходитисчезновение неодноро дныхсверхпрово дящихсостояний. • В грязномпределеобнаруж еноувеличение критическ огомагнитного поля с усилением беспор ядка.

• В грязномпределеи в первомпорядке по =vF найденаслабаянеоднородностьБКØ состояния.

• Установлено, чтов симметричной точке S непрерывный вихрьс неразруłеннойсверхпрово димостью в коревихря ýнергетически болеевыгоден,

чемсингу лярныйвихрьАбрик осова. • Показано,чтовблизисимметричной точки,из-заприсутствия расłирен-

нойдо U(2) симметрии параметра порядка, имеютместосущественные 150

флукту ации.

Глава3. • Получено обобщение уравнения Беенакк ера,связывающее андреевский спектрджозефсоновск огоперех одас матрицей рассеяния в нормальном

состоянии,на случайприсутствия спин-орбит альноговзаимо действия. • Дляслучаякоротк огоконтакта в присутствии спин-орбит альноговзаи-

модействияполучено явноереłениедляýнергииандреевских уровней, выраж енныхчерезкоýффициенты прохождения.

• Получена матрицарассеяния в нормальном состояниидлямоделибеско-

нечнодлинного непрозра чногоконтакта (присутствие нормального отраженияна границенормальный металл-свер хпрово дник).Показано,что спин-орбит альноевзаимо действие спин-расщепляет коýффициенты прохождения.

• Показано,чтоквазиклассическ оесреднееджозефсоновск оготока темне

менеенезависитотвзаимо действия Раłбы,еслипренебрег атьýлектрон-

ýлектронным взаимо действием в областидвумерного ýлектронного газа. • Найденоуравнение на андреевский спектрдляконтакта произвольной длиныи показано,что в присутствии взаимо действияРаłбыспин-

расщепление являетс я общейхарактеристик ойандреевских уровней. • Получена форму ладляполногосреднего джозефсоновск оготока, выра-

женнаячерезспектральную функцию дляслучаяконтакта произвольнойдлины,изкоторойвидно,чтополныйсреднийджозефсоновский ток независитот взаимо действияРаłбынезависимо от длиныконтакта.

• Найдена спиновая поляризация в областидвумерного ýлектронного газа

приненулевомджозефсоновск ом токе. Видзависимости среднеквадра151

тичнойспиновой поляризации от величины спин-орбит альногоспариваниянапоминает универсальные мезоск опические флукту ациипрово димости.

152

— Æ

ß,

æ

º

ß

øŁ

1. O.V.Dimitro va, M.V.Feigel’man, Phase diagram of a surface superconductor in parallel magnetic field, Письмав ЖЭТФ,том78 , стр.637(2003). 2. O. V. Dimitro va, Spin-Hall conductivityin a two-dimensional Rashba electron gas, Phys.Rev.B 71 , 245327(2005). 3. O. V.Dimitro va, M.V.Feigel’man, 2D SNS junction with Rashba spin-orbit interaction, ЖЭТФ,т. 129,вып.4, с. 742-750(2006).

153

¸Ł [1]E. I. Rashba,Sov. Phys.- SolidState2, 1109(1960). [2]S. Murak ami,N. Nagaosa,and S. C. Zhang, Science301 , 1348(2003);S. Murak ami,N.Nagaosa,andS. C. Zhang,Phys.Rev.B 69 , 235206(2004). [3]J. Sinova, D. Culcer,Q. Niu,N.A. Sinitsyn,T. Jungwirth, andA. H.MacDonald,Phys.Rev.Lett.92 , 126603(2004). [4]J. I. Inoue,G. E. W. Bauer,and L. W. Molenk amp,Phys. Rev.B 70 , 041303(R) (2004). [5]E. G. Mishc henko, A. V. Shytov, andB. I. Halperin,Phys. Rev.Lett.93 , 226602(2004). [6]Al.Khaetskii, Phys.Rev.Lett.96 , 056602(2006). [7]R.Raimondi andP. Schwab,Phys.Rev.B 71 , 033311(2005). [8]D. N. Sheng,L. Sheng,Z. Y. Weng,F. D. M. Haldane,Phys. Rev.B 72 , 153307. [9]E. I. Rashba,Phys.Rev.B 68 , 241315(2003). [10]E. I. Rashba,Phys.Rev.B, 70 , 201309(2004). [11]E. I. Rashba,Phys.Rev.B 70 , 161201(2004). [12]P. L. Krotk ov andS. DasSarma,Phys.Rev.B 73 , 195307(2006).

154

[13]A.A.Abrik osov, L. P. Gor’k ov andI. E.Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Dover,NewYork,1975). [14]L. V. Keldysh,Sov. Phys. Zh. Eksp.Teor.Fiz.47 , 1515(1964)[Sov. Phys. JETP20 , 1018(1965)]. [15]A. G. Arono v, Yu. B. Lyanda-Geller, PismaZhETF50 , 398(1989). [16]V. M.Edelstein,SolidStateComm unications, Vol. 73 , No.3, pp.233-235, (1990). [17]E. I. Rashba,Phys.Rev.B 70 , 201309. [18]L. D. LandauandE. M.Lifshitz,Statistical Physics (Course on Theoretical Physics), PergamonPress;2drev.andenl.ededition(1969). [19]S. I. Erlingsson, JohnSchliemannand D. Loss,Phys. Rev.B 71 , 035319 (2005). [20]L. P. Gor’k ov andE. I. Rashba,Phys.Rev.Lett.87 , 037004(2001). [21]A. Shekh ter,M. Khodas andA. M. Finkel’stein,Phys. Rev.B 71 , 165329 (2005). [22]Y. K. Kato,R. C. Myers,A. C. Gossard,D. D. Awschalom,Science, 306, 1910(2004b). [23]J. Wunderlic h, B. Kaestner, J. Sinova andT. Jungwirth, Phys. Rev.Lett., 94 , 047204(2005). [24]V. Sih, R. C. Myers, Y. K. Kato,W. H. Lau, A. C. Gossardand D. D. Awschalom,Nature Phys., 1, 31. [25]S.Reich andY.Tsabba,Eur.Ph ys.J. B 9, 1 (1999).Y.Levietal.,Europh ys. Lett.,51 , 564(2000). [26]X.S.Wu andP. W.Adams,Y.YangandR.L.McCarley , cond-mat/0509385. 155

[27]V. M.Edelstein, JETP , 95 , 2151(1989). [28]Л.Н.Булаевский, А.А.Гусейнов,А.И.Русинов,ЖЭТФ,71 , 2356(1976). [29]V. BarzykinandL. P. Gork ov, Phys.Rev.Lett. 89 , 227002(2002). [30]A. I. LarkinandYu. N. Ovchinnik ov, Zh. Eksp.Teor.Fiz.47 , 1136(1964) [Sov. Phys.JETP20 , 762(1965)]. [31]P. FuldeandR.A. Ferrel,Phys.Rev.135 , A550(1964). [32]S. K.Yip,Phys.Rev.B 65 , 144508(2002). [33]D.F. Agterb erg,PhysicaC 387,13(2003). [34]L. G. Aslamazo v, Sov. Phys.JETP28 , 773(1969). [35]R.A. KlemmandA. Luther,Phys.Rev.B 12 , 877(1975). [36]H.Burkhardt andD.Rainer,Ann.Phys.(Berlin)3 , 181(1994). [37]ManfredSigristandDanielF. Agterb erg,Progressof Theoretical Physics, Vol.102,No.5, 965(1999). [38]V.N.Popov,Functional Integrals and Collective Excitations, CambridgeUniversity Press,Cambridge(1987). [39]А.М.Поляк ов,Калибровочныеполя и струны , ИТФим.Ланда у (1995). [40]Л. Д. Ланда у, Е. М.Лифłиц, томV, Статистическая

Физика, часть

1, Физмат лит, Москва(2001). [41]Л.Д.Ланда у, Е. М.Лифłиц, томIX,Статистическая

Физика, часть

2, Физмат лит, Москва(2001). [42]И. С. Градłтейн и И. М. Рыжик,Таблицы интегр алов, сумм, рядов и произведений, Государственное издательство физик о-математическ ой литературы, Москва(1963). 156

[43]B. J. van Weeset al, PhysicaB 203 , 285(1994). [44]H.Takayanagi,J. B. HansenandJ. Nitta,PhysicaB 203 , 291(1994). [45]F. Giazottoet al, Journalof Superconductivit y: Incorp oratingNovel Magnetism,17 , 317(2004);cond-mat/0207337. [46]A. Chrestin, T. Matsuy amaandU.Merkt,Phys.Rev.B 55 , 8457(1997). [47]Th.Sc haperset  al, Phys.Rev.67 , 014522(2003). [48]M.Ebel et al, Phys.Rev.B 71 , 052506(2005). [49]A. Brinkman andA. A. Golub ov, Phys.Rev.B 61 , 11297(2000). [50]A. Chrestin, T. Matsuy amaandU.Merkt,Phys.Rev.B 49 , 498(1994). [51]J. Nitta,T. Akazaki,H.TakayangaiandT. Enoki,Phys.Rev.Lett.78 , 1335 (1997). [52]Y. Meir,Y. GefenandO. Entin-W ohlman,Phys.Rev.Lett.63 , 798(1989). [53]E. Bezuglyiet al, Phys.Rev.B. 66 052508(2002). [54]I. V. Krive et al, Fiz.Niz.Temp.30 , 535(2004). [55]N. M. Chtchelkatchev and Yu. V. Nazaro v, Phys. Rev.Lett.90 , 226806 (2003). [56]M.Khodas,A.Shekh terandA.M.Finkel’stein,Phys.Rev.Lett.92 , 086602 (2004). [57]C. W.J. Beenakk er,Phys.Rev.Lett.67 , 3836(1991). [58]P.A.MelloandJ.-L.Pic hard,J.Phys.I(Paris),1, 493(1991). [59]J. A. MelsenandC. W.J. Beenakk er,PhysicaB 203 , 219(1994). [60]N.I. Lundinet al, Superlattices and Microstructures, Vol. 20, No. 1, 1996. 157

[61]Идеяýтоговычисления принадлежит Н.М.Ùелк ачеву. [62]Н. М. Ùелк ачев, Диссерт ация (2002), ИТФ им. Л. Д. Ланда у, http://nms.itp.ac.ru/phd_nms.pdf. [63]T.Koga,

Y.Sekine and

J.Nitta, cond-mat/0504743;M.K onig,

A.Tscheschetkin, E.M.Hankiewicz et al, Phys. Rev. Lett.96 , 076804 (2006). [64]A. Ossipov et al, cond-mat/0603524.

158