І.Ю. ІВЧЕНКО
МАТЕМАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ Навчальний посібник Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів
Киів – 2007
УДК 519.85(075.8) Гриф надано ББК 22.18я73 Міністерством освіти і науки України І 17 (Лист № 1.4/18–Г–547 від 13.04.2007 р.) Рецензенти: Альохін О. Б. – доктор економічних наук, професор кафедри «Інформаційні системи у менеджменті» Одеського національного пол ітехнічного університету; Андрієнко В. О. – доктор фізико математичних наук, професор Інституту математики, економіки і механіки Одеського національно го університету ім. І. І. Мечникова; Продіус І. П. – доктор економічних наук, професор, заслужений діяч науки і техніки України, академік інженерної академії України, завідувач кафедри «Менеджмент» Одеського національного політех нічного університету.
Івченко І.Ю. I 17
Математичне програмування: Навчальний посібник. — К.: Центр учбової літератури, 2007 — 232 с.
ISBN 978 966 364 491 2 У навчальному посібнику «Математичне програмування» розгля даються питання, які традиційно включаються в курс «Математичне програмування», що викладається у вузах фінансово економічного профілю. Навчальний посібник орієнтований на розв’язання практич них задач, які можна описати за допомогою математичних моделей. Передбачено вивчення основних класів моделей і залежностей, вжи ваних в економіці, у описані основи теорії лінійного і цілочисельного програмування, методи розв’язання задач лінійного програмування (графічний метод, симплекс метод, метод штучних змінних, метод по тенціалів для розв’язання транспортних задач), метод гілок і границь, основи динамічного програмування. В кінці кожного розділу наводить ся набір комплексних задач, пов’язаних з висвітленою темою, які значно поглиблюють і розширюють її. Книга буде корисна широкому колу читачів: студентам, аспіран там і викладачам вищих навчальних закладів, економістам, інжене рам, розробникам програмного забезпечення і т. д. ISBN 9789663644912
© Івченко І.Ю. 2007. © Центр учбової літератури, 2007.
Çì³ñò
1. . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. !" . . . . . . . . . . . . 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.
’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 14 14
2. #$ % $& !" . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 3. ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. ". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 15 15 17 18 19 20 20 21 23 24 25
3. $' % ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. #
$ . . . . . 2. % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 29 30 32 33 33
9 9 11 12
4. $' % $ !%)%* + +! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1. & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2. & . . . . . . . . . . . . . 35 3
3. & . . . . . . . . . . . 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5. + % $&, $ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1. ' , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2. ( n- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6. . - ++ $" %!’"%" % $& !" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1. * + -/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7. % 0 % + % $& !" 53 1. :;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2. ; !< :; " . . . . . . . . . . 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2. ’ ( . . . . . . . . . . . 8. $ " % ( . . . . . . . . . . . . . . . 1. ' < :; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. * ’ :; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. +$! $ 1" $ . . . . . . . . . . . 1. " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
63 63 63 66 66 67 67 70 71 72 73 73
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. %!’"%" % $& !" + $#+- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. = . . . . . . . . . . . . . . 2. * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.
- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. - %!’"%" % ( . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. * - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. + % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. ;$ % . . . . . . . . . . . . . . 2. ; -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. ; " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ; -
. . . . . . . . . . . 2 ;
. . . . . . . . . . . . 3 < . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
74 78 81 82 83 83 84 86 95 95 95 96 97 97 98 99 99 100 100 100 102 105 105 107 108 108 109 110 111 112 112 115 116 116 116 117 118 118 121 126 133 133 135
13. "# ! $& + * % . . . . . . . . 1. ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. !,+ % ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. ; <
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. :; $= . . . . . . . . 3. :; " . . . . . . . . . . . . . 4. < :; . . . . . . . . . . . . 5. * $ < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 23( 4(5 . . . . . . . . . . 15. 6$+$' !" . . . . . . . . . . 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. - . . . . . . . . . . . 3. $< . . . . . . . . . . . 4. > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. $$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. $ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. $ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. $ %6, %# 7 $ . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. $' %" - -$ !- 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. $ %!’"%" % %" 1. )# ’ 6
136 136 137 137 138 139 139 140 142 143 145 146 147 147 148 149 150 151 151 151 151 152 153 154 155 156 157 158 159 159 160 161 161 161 161 163 163 164 164 165 167 167 168 168
2. ? ’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168 169 170 170 174 174
4. 3(8 3 25 ( ’ 3239 : . . . . . . 19. $# 6' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. = . . . . . . . . . . . . . 2. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. #!"; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. '$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. ;$ = " . . . . . . . . . . . . . . 6. ;$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. ! + — % ;+ . . . . 1. * ’ @= . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. !" . . . . . . . . . . . . . 1. > . . . . . . . . . . . 2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177 177 177 179 180 180 180 181 181 181 183 184 185 185 186 187 187 194 197 197 200 200 202 204 205 205 209 209 213 213 213 214 215 215 219 219 230
7
Ïåðåäìîâà
' = < $ $ > , > $ $ > # . $ ! . A >! $ < >< = $ " < . &$ > $
$ « » ! $ - , $< <
!
$B " # $ $= $ = . C $ « » ! $ $ " $ . , $ « » > $ # ( ) > $= .
, # > = . ? = < < -$=
. C $ "
! . $ >!
,
$ , $ > « ». ) =
> $ - , <
" > # < <.
$ " $ ,
> " - . 8
×àñòèíà 1
1 3 1. 43 ' = < $ $ > , # > $ $>> # . C << " =. ) , <, #, > < . @ = , ,
, , , < — . @ = XX
$ . A " $ < >< = $ " < . @ = — , # ! $> $ " ( $ ) . = > $ # ( ) > $= . 9
& = , >! " , ! , ! . >< , $ $ = $ , , " $ $ , . C « » ’ , # > ’ ! $ . — , < ’ = = , $= ( > ). A 40—70- FF
. A $ , , $ > ", =, = > $$ < " , ’ , " , $> < , . ' << :
*. C. % ( > ); (. , :;, # ! «$ $» $
« »; :. '. . . / 1949 . ’ $ ; @ ( - ). ; " :; C:; = $
I , I , , :, (
. @ . $- < > ! () ’ ( = $ ; , $’ , ’ ! ), $=, # > (, # $ = > $= ) . (- ’ , > $= , ! " . = ! , $ ", < = > . ) ’ ! = " , 10
’ "! «@ = ». = > . 2. 8(4 ?3823 . ; # < , ! > . J# = $ , ! > . C $ " ! . @ ’ $ , . ) $" . A ,
’ ! $ < ( <) <, < =. ? > ,
" = . '
’
! ( $ ) < < , # << >
$ $ , # ,
. ! , $- . ? = " . ? $ <, # > = , $ ", = . ? $- ! " , <, # > = ,
= ! . ' > . J# < $ , # > = , ,
. 11
, = ’ < ! $
, = . 3. 84 (53 3 ?
< ! $ " $ " < < f ( x1 , x2 ,..., xn ) g i ( x1 , x2 ,..., xn ) d bi , f
g i — <, bi . ; > $ < < < "
max f ( x1 , x 2 ,..., x n ),
g1 ( x1 , x2 ,..., xn ) d 0, g 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) d 0, """""""" g m ( x1 , x2 ,..., xn ) d 0, #
( x1 , x 2 ,..., x n ) D
= f gi > (f gi ), ( $ f $ qi = ), ( $ f
$ gi ! ). @ @ — n- Rn ( "
). J# ! = , > . C $ "
! . 4. ’ 84 (5 : I — $
=< < ". $ $ . * $- 12
! ! = $= = , $ ’ $ $= , $ . &’ = $
: 1. ;$ ; 2. = ’ ; 3. ; = . - — , $ = ! $ > >. ;$ ! #< < , $ = , # ! . ; $ > $ $ $= , =
. ; > ’ , $ > > > .
= < <, — " ($=). $ $ = ,
$ = > = ". '$ < B , !’ = ,
( ). = $ = ,
$> . K $ " , !’ ! , " $ = ! "
!. % > , , # , >
. %. .,
$ : 1. ) >
> . 2. I . 3. ;$ , $ > -$= . @ ’ $ $’!
, $ > !’ < ’ = - ’ . 13
— $ $B #
". ' = , # $ > , > > >
’ . ! > " . ! $> < ’ . — , ’ = # ( ) > $= <. 1. $ ? 2. %& !' . 3. ()). 4. $ * ! ! ?
14
2 8( (339 1. (5 3 (339
: (:;) — , < ’ = , # > . %
:; ! : < <: m
L( x)
¦ c j x j o max ,
(2.1)
j 1
xj t 0 ( j 1,...m) ,
(2.2)
¦ aij x j d bi (i 1,...n) ,
(2.3)
m
j 1
cj, aij bi — . :; ! - . &
. 2. 8 4 4
C ! $ ! ;1 ;2, ! 4 S1, S2, S3, S4 $= > b1, b2, b3, b4 . '
= <
$ 1. ' !
< ;1 ;2, ! < !< < $ . 15
+ 1
'
' < ;1
;2
S1 S2 S3 S4
11 21 31 41
12 22 32 42
@
c1
c2
b1 b2 b3 b4
: C ! — ;j — Si — bi, aij — i- > j- $. cj — ! < ;j. ' ! <, # ! , xj . : @ ! < !< < %$
F(,) = c1x1 + c2x2 N max F(,)= ¦ c j x j N max
(2.4)
j
Si $= ! bi,
=< : a11x1 + a12x2< = b1 ( S1) a21 x1 + a22x2< = b2 ( S2) a31 x1 + a32 x2< = b3 ( S3) a41 x1 + a42 x2< = b4 ( S4) (2.5) ¦ aij x j <= bi, i =1,n j
C ’ > = " . , # x1> = 0
x2> = 0, $ xj> = 0 (2.6) ; > < : @ (2.5)—(2.6) (2.4). ' ! F (2.4) $= (2.5)—(2.6). 16
%$ $ ’ x1, x2 (2.5)—(2.6), $
, #$ (2.4) $ " (max). ? $ ( < <) , # > $= , >
:;. * $ , $, $ > #, ’ , = $, $ , => ’ > $ . ? 1938 . $
:; $B ’ !< . ? 1948 . @ $B - . $ $
$
:; $ > < . 3. 3B : F ! «n» ;1, ;2,..., ;n. @ < =
! = $ = — $ , =, , , ,
. . ? $ = ;j. ) ! , # ! . : ; xj $ = j- ;j. @!
! . . > X = (x1, x2, ..., xn). ; aij — i-< =< j- . % i-< $: ai1 x1 + ai2 x2 +... + ain xn, i = 1, m,
=<: bi < = ai1 x1+ai2 x2 +... + ain xn, i = 1, m (2.7) * = $=, 0< = xj < = aj, j = 1, n. F cj — . ;j, !< ! L(x) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn.
(2.8)
> ! >
,
! min L(x) $= (2.7). 17
O = $ = ,
! $= (2.7) : bi< = ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn<= bi, i = 1, m. (2.9) 4. 43C3 ? $ ( ,
, , $ .) " " . J < < !< <. ? ’ ! $ ’! , $ . ! = < < ! $> - , « > "», # >!
$: a) < < ! m , -
< ! 1. ; k "
! , # < "! (1- ), m – k = = ( ). b) $ < <
n , $= bj, j = 1, …, n. c) - j- aij. d) $ $ j- < < aij. e) < < — ). ; $ " ! (), #$ $ $ , << $ $ $ >5@. ’ : ; x — j- !
() > ". A : m
L( x)
¦ c j x j o min . j 1
18
(2.10)
$= : > $ < (" ): m
¦ aij x j d aiM i (1,..., k )
(2.11)
j 1
2- : m
¦ aij x j d aiM i (k 1,..., m)
(2.12)
j 1
$ : n
¦ xj
M
(2.13)
j 1
! : 0 d xj d bj, (j = 1, …, n)
(2.14)
xJ t 0 (j = 1, …, n),
(2.15)
@ ( ) « ’ », «% », « <
= $ = », (2.1)—(2.3). @ $ $ , $ > -$= . %
:; ! : m
: : L( x) ¦ c j x j o max . j 1
m
$= : ¦ aij x j d bi , (i 1,...n) . j 1
xj t 0 ( j 1,...m) cj, aij
bi — . 19
1. 6$' !# +" + ! : @ < 61 62 > : 71, 72, 73. ', # 6j < ij . %$ 61 < 3, 2, 0 . . * 62 < 1, 2, 3 . . % ij 7i 6j $.
§ 3 2· a ij ¨ 2 2 ¸ . ¨ ¸ © 0 3¹ ;! ! ! = b = 21, b = 30, b = 10 . . ' , = < = $: cj = (3, 2) . % , = $ 61 ! 3 ., = $ 62 ! 2 . )
<, ! < !< < $ $ . ’ : @ ’ "
$ > 2. + 2
'
'
'$ 61
'$ 62
*1
21
3
1
*2
30
2
2
*3
16
0
3
3
2
;$
20
@ $ < ! : ;-", $ . ,1 — $ 61 ,2 — $ 62, # = ! , ,j — $ 6j . > = !< $ , = $=, # ! = ,1 ,2. 3x1 x 2 d 21 ° ®2 x1 x 2 d30 — $= . °¯ x 2 d16 ?
$ , # ! $, = # ! . ' , > $= : x1 t 0 x 2 t 0 , (xj = 0, # j- $ ! ). % , $ , ! < ,1 $ 61 ,2 $ 62 : F(x) = 3x1 + 2x2 o max.
? : 8, > > F = c1x1 + c2x2 o max. m
; $= : ¦ aijxj t bi, : j 1
i (1,...n) , x j t 0 . >4@
2. %!;" -$" @ $ 7, B ) ! , , > " $ . ' $$ $ = $
$ . ? = $ = $ ,
= $ < $ = (.
$ . 3). 21
+ 3
' (
— .) $$ $ 7
%
$ $ (.)
I
2
4
5
120
%
1
8
6
280
>
7
4
5
240
P
4
6
7
360
;$ ()
10
14
12
% $
' ! , $ $ ! , #$ $ < < $ . ) . ’ : ; , # $ x1 $ 7, x2 x3 %. % $
< $ $ $ 2 x1 4 x2 5 x3
-
. $
= # 120, 2 x1 4 x2 5 x3 d 120 .
* # =
, > "
: x1 8 x2 6 x3 d 280, 7 x1 4 x2 5 x3 d 240, 4 x1 6 x2 7 x3 d 360.
; , $, # > , (2.17) = $ >, x1 t 0, x2 t 0, x3 t 0 . @ # $ ,1 $ 7, ,2 ' ,3 %, $ < 10 x1 14 x2 12 x3 22
x2 .
% , < < : 2 x1 4 x2 5 x3 d 120, °° x 8 x 6 x d 280, 1 2 3 ®7 x 4 x 5 x d 240, 1 2 3 ° °¯4 x1 6 x2 7 x3 d 360
(2.18)
(2.19) # = F 10 x1 14 x2 12 x3 ; ; $ " (2.18)
, (2.19) $ ! . : (2.19), < $ , > (2.18) > (2.17) >> < . (2.19) , (2.18) , (2.17)—(2.19) ! > . 3. +#$" ! -, ;!> ! ,
, ". C $ 1 ,
$ 1010, 1010 9450 . ; $ 1 > 0,18 0,19 "-. 1
3,25 . ' $ $ < < < = 13 600 .
= $ 21,4 "-., >
— 16,25 . $ < 1 ,
>! 30, 22 136 $. # $ " 100 , ". C $ "< < ! $=. ' ! , > # , #$ $ << < $ . ) . 23
’ : ; , # # $ ,1 , ,2 ,3
. % !< < $ 1010 x1 1010 x2 9450 x3 . = # $ " 13 600 , 1010 x1 1010 x 2 9450 x3 d 13 600 .
* , # = $ < < < >
, > : 0,18 x1 0,19 x2 d 21,4 3,25 x2 d 16,25 .
# ! $ " 100 ,
x1 d 100 . @ < = : $ < ,1 , ,2 ,3
30 x1 22 x2 136 x3 . % , < < : 1010 x1 1010 x2 9450 x3 d 13 600, °°0,18 x 0,19 x d 21,4, 1 2 ®3,25 x d 16,25, 3 ° °¯ x1 t 100
(2.20)
, x1 , x2 , x3 , # = F
30 x1 22 x2 136 x3 ;
(2.21)
, , ’ ' (2.20) ' ', & (2.21) * . : (2.20) * ! ', ' & (2.20) ' , * ! ' . 1. %& !' - * . 24
2. %& !' - ;. 3. 6 , '. % - : 1.
) '' * * , ' , , , . : 35 52 28 48 22 44 68 30 23 10 14 16 : 370 125 256 348 : 160 455 198 , ’ : A. ' ' , H '. B. ' , H 1- ; 55 .,2- — ; 88 ., 3 4- — ; 4: 3. 2.
' ' , . * * * , ' , , , , . : 3 5 2 4. 22 14 18 30. 10 14 8 16. : 30 25 56 48. : 60 400 128. 25
, ’ : A. $' , H . B. ' ' : 1- ; 5 ., 2- — ; 8 ., 3 4- ; 1:2. 3.
* * 61, 62, 63
10, 20, 30 . . K 4 . K 61 — 1, 4, 2, 5 , 62 — 5, 7, 3, 2, 63 — 3, 1, 4, 1 . — 14, 15, 29, 9 . N ! , : ; 15, 25, 35 . 4, 7, 2 . . . 4.
* * * , ' , , , .
. + 4
6
% , . 6 , . : , - .
1
2
3
4
3 22 10
5 14 14
2 18 8
4 30 16
. : 30, 25, 56, 48 . : 60, 400, 128. ’ : 1. $' , H , H . : 6, 9, 12, 3. 7 H 96 . 2. ' : 1- ; 5 ., 2- ; 8 ., 3 4- — 1:2. 3. ' . O * , H 17, 35, 20, 15. 26
5.
) & * , , ! ; &. P ! ;. , * 1500 ; 1- 1000 ; 2- . Q , 800 ! .- . N . . . : 30, 25, 56, 48 . : 60, 400, 128. + 5
%
%
T!
U &
P; 1- , .
5
1
9
12
P; 2- , .
2
3
4
1
+ , /; .
3
2
5
10
! : 12, 5, 15, 10 . . ’ : 1. ' , H * . , : ; 40, 130, 30 10 . . 2. K ! ;: 130, 130, ! 30, ; & ; 10. 3. N : , 1:6. 4. : 32, 12, 15, 80 . . ' , H * ! * — 1:6. 6.
+ , * , , , ! !. P ! & . N (/ ) & ( . 1000 .). 27
+ 6
1
2
3
1- , . -
20
10
3
2- , . -
8
20
10
, . .
120
180
210
W , . .
10
5
8
Y 1 . + 15, 15, 20 . :’* 30, 45, 30, 1 . ’ : 1. ' , H * ! & . 2. ' ; , H , 2:1:3, , & . 3. ' , H * , H 1 * 8, 5 15 . 4. 6’ , H ;
1- ! . 5. , , H , ' 1.
28
3 (5 ( 1. 3D 4
8 :
E 2
( < # !
(<< = < ): : C $ $ $- < < ( ). ; , $ $ , $ $ !< < = . ; = $ (i). '
=<
<. ; $
$ , , # $ $ $ = < $ $ . : i — , i = 1,…,n; Ai — i- ; j — $ < (
, ! , $ $ ); bj — $ $ < ( $ ) j- ; aij —
i- < j- ; cij — $ $ < - j- . ? # . ’ C$ ,j — <, < - j- $
, #$ $ $ ( $ $ < $ j, (j = 1, …, m) $ <. 29
!: Y & n m
L( x)
¦ ¦ cij xij o min .
(3.1)
i 1j 1
; $= :
) m
¦ aij x dAi
(i = 1, …, n);
(3.2)
j 1
$) $ $ n
¦ xij bi
(j = 1, …, m);
(3.3)
i 1
) < xij t 0 (i = 1, …, n; j = 1, …, m),
(3.4) @ ( ) « ’ », «% », « <
= $ = », (3.1)—(3.4). 2. 4 % > :;, < ! < ’ :; , # > $ . C "
< ! . ? m
$ *1, *2,…, *n > 1, 2,…, n . C$
= '1, '2,…, 'm = ! b1, b2,…, bm. = $ = $- = . % < (
=) *i 'j > % = = ¨¨ij¨¨; i = 1, …, n; j = 1, …, m. ! "
, $ $ , 30
$ . , +- :
ª c11 c12 ! c1m º ª a1 º «c c ! c2 m » «#» C « 21 22 A « » ai # # # # » «c c ! c » «a » nm ¼ ¬ n1 n 2 ¬ n¼ ' = (b1,…, bj,…, bm) @ < xij t 0 , i = 1,…, n, j = 1,…, m, >
=, i- $ j- = . ’ : ; $ $ ,ij> = 0, > > n m
L( x) ¦ ¦ cij xij o min
(3.5)
i 1j 1
O > : m
¦ xij ai (i = 1,…, n),
(3.6)
j 1
n
¦ xij
bj (j = 1,…, n),
(3.7)
i 1
xij t 0 (i = 1, …,m; j = 1, …, n), (3.8) %- ! $> :; m · n $=- m + n. C $ ,ij, # > (3.6)—(3.8), > ª x11 x12 ! x1n º «x x22 ! x2 n » , x « 21 # # # # » «x » x x ! mn ¼ ¬ m1 m 2
> F > %- , ,ij — . ; 8 , < < , ! . % = [ij], 31
i = 1, …, n, j = 1, …, m ! ! , . ? (3.6) ! $ , (3.7) ! . C > , ! = $ ( $ ) n
¦ ai i 1
m
¦ bj
(3.9)
j 1
, : n
m
i 1
j 1
¦ ai z ¦ b j .
(3.10)
3. 8 38 (3 4 : (3.5)—(3.8) (3.9) ! ! !, (3.10) — ! !. & (3.9) ! $ >
> > (3.6) (3.7) ’ , , =, = ’ . J# ! $> , $ < < . n
m
i 1
j 1
; ¦ ai ! ¦ b j $ = , $ bn + 1 = 6ai – 6bj, n
m
i 1
j 1
(3.11)
# ¦ ai ¦ b j , $ . ; = ’ >4@. O> " ’ +- . @ , . @ " — , . &’ +- > !
: Q ; Q ; Q , # " !< $ . 32
@ :;
= « < $ = », < (1.1)—(1.3) = $ < >4@. < :;: Y & n m
L( x ) ¦ ¦ cij xij o min . i 1j 1
; $= : m
¦ aij x dAi (i = 1, …, n); j 1 n
¦ xij bi (j = 1, …, m); i 1
xij t 0 (i = 1, …, n; j = 1, …, m).
@ ( )
= « ’ », «% », « <
= $ = ». 1. P « & , ', ’ », «+ », « , '»? K ; , . 2. [ ! , ? 3. ' ()) .
33
4 3 (5 3( B3 : 4 43 1. 3(53 3 ! = , . : n ! , # > 1, 2,…, n, m $ b1, b2,…, bm cij Oij, ij —
i- j- $ Oij — j- $, # > > i- . ’ : ? ,ij — i- , j- $. ! k = mn ,ij, # > $= xij t 0 (i = 1, …, n; j = 1, …, m); (4.1) m
¦ xij d ai (i =1, …, n);
(4.2)
j 1
n
¦ xij Oij t bj (j = 1, …, m)
(4.3)
i 1
> (> ) > n m
Z
¦ ¦ cij xij .
(4.4)
i 1j 1
= = > ,
ai, bj, cij, Oij, #, > < < . % , , Oij = = i- , > j- $. m
xij t bj . 1 Oij
n
% $= (4.2), (4.3) ¦ xij d ai ¦ j 1
i
J# ij > j- $ 34
m
n
/" ., < < ¦ ¦
j 1 i 1
cij O ij
xij
. . I Z = , # ij > $ , . ., , # >> , $ . . I
= $ xij. ; = > (4.1)— (4.4), ! $ <. $= = Oij ( # «O- »), . & => > $ > , # > $> > ’ . ; Oij > , # = . % !: — ( Oij = const $- i j); — ( Oij , $ Oij = O1j; — i); (Oij DiOij i). 2. 3(53 3 3 4 4
& 1, …, , …, an — ! , $ b1, …, bj, …, bm — (> ). K Oij = Oj (j = 1, …, m) > k- $, # = $ > $- . K cij, =, > i j- $. C xij , # > i- , # > j- $. $= (4.1)—(4.4), " $= (4.3), # > n
¦ xij O ij t bj (j = 1, …, m). i 1
35
@ $ = ,
! , $ . ? > Oi, # > $, = $ > i- . 3. 3(53 3 239 4 4
& 1, …, i,…, an $ b1, …, bj, …, bm — , Oij, <
>> ’ = $, , $ Oij = DiOij (j = 1, …, m), Di > i- . K cij " > i- j- $, xij — , # > i- , # > j- $. ; "
< ij Oij, (4.1)—(4.3). (4.1)—(4.4), (O- >), O. @ ’ ! $ , # ! $> , $ ( , ). '
$ >5@. 6 — ! . I = $ xij ( i- , j- $). = = > ,
ai, bj, cij, Oij. ; Oij > , # = . % !: — ; — ; — . 36
1. O ! ? 2. $ ! ,ij, , ai, bj, cij, Oij , ,. 3. & O- ? 4. ' : Q ; Q ; Q ' . ' . 1.
+ , 7, , % 1, 2, 3. 6 , (3/ ): 8 6 9 4 6 8 9 8 3 * , (/ ): 2 4 4 4 2 6 5 3 7 6 : 540, 430, 150 ( .). A. , H * ' : : = 1 : 2 : 3. B. ' , , , = 60, = 50, = = 80 3. 2.
), ' , , ' 1, 2, 3 * , & . 37
' +1, +2, +3. K ' : 1 : 4 9 5 8 8 3 — 7 5 2 : 2 5 — 9 4 3 7 — 3 3 : 4 — — 5 8 — 3 6 — 6 200, 400, 300. 22, 18, 30 . A. % ' , ' . B. !, H ! ', H ! , * ; 1 : 2 : 1, , H * . 3.
), 7, , % 1, 2, 3. * , (/ ): 12 24 34 63 32 56 35 53 67 K , (3/ ): 55 66 77 45 36 89 39 68 53 6 : 640, 330, 128 ( ). A. , , . B. , H * ' : : = 1 : 2 : 3. 38
4.
+ , 1, 2, 3 7, , %. 6 , (3/ ): 30 20 40 31 30 50 32 40 20 * , ( / .): 2 4 3 3 2 5 5 3 6 6 : 400, 300, 280 ( ). A. , , . B. , H * ' : : = 1 : 2 : 3. C. ' , ! , , = 6000, = 50 000, = 8000 3.
39
5 34 3 (339F (E
1. 8 , 23, 8
? n A (a1 , a2 ,..., an ) ! n- — . K ai ( i 1, n ) >
. A (a1 , a2 ,..., an ), & ( x1 , x2 ,..., xn ).
(5.1)
@ A B , # < : ai = bi, i 1, n . )> (>) * ' ! ), i >> () * ': ci
ai bi , i 1, n
@$ D * ! DA = (Da1, Da2, …, Dan). : > $ !> # 1 ( x11 , x12 ,..., x1n ), # 2 ( x21 , x22 ,..., x2 n ), """"""""" # k ( xk1 , xk 2 ,..., xkn )
(5.2)
]1 # 1 ]2 # 2 ! ]k # k ,
(5.3)
! ^
]1,]2 ,...,]k — . '
! - 0 (0,0,...,0).
) (5.2) ! — =>, # ! ]1 # 1 ] 2 # 2 ! ]k # k
0,
(5.4)
Di >> > ( 0 ! - ). 40
) (5.2) ! - =>, # (5.4) ! , , Di >> > [12]. @ < = (5.2) $
, #$ !< $ > $ !> " !< [4]. - = ! . ) n- [13]. & — . & n- >! n [12]. (- n - = n- ! $ . 2. E 4 N-3 4 ) A1 (a,0,...,0), A2 (0, a,...,0), """""" An (0,0,..., a )
(5.5)
! $ n- , — $- . @ = $ >: D1 A1 D 2 A2 ! D n An
0.
(5.6)
' " (5.6) < = , =! (D1a, D2a, …, Dna) = (0, 0, …, 0),
, a z 0 : D1
0, D 2
0,..., D n
0.
% , (5.6) = D i 0 , ( i 1, n ). !, # n- ! $ $ . (- ! $ = $ < $ < ( ) $ 41
[12]. ? = > = * ', ,
$ [13]. J# A (a1 , a2 ,..., an ) B (b1 , b2 ,..., bn ),
$ $ , (*, ') (
!
: * = ') $ >! >: n
( A, B) ¦ aibi .
(5.7)
i 1
§ a1 · ¨ ¸ a ? n ¨ 2 ¸ ! n- ¨" ¸ ¨a ¸ © n¹
— . ? # $ - . 3. 4 4 (339 : 35 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn a10 , a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn a20 , """""""""""" am1 x1 am 2 x2 ... amn xn am 0
(5.8)
! > $ < . & > - =, # Ai (ai1 , ai 2 ,..., ain ) , ! , - =. & ! - = . & >! ! . '
& (0)
§ x1( 0) · ¨ (0) ¸ ¨ x2 ¸ ¨" ¸ ¨¨ ( 0) ¸¸ © xn ¹ 42
! ’ (5.8), # xj x(j0) ( j 1, n) >! (5.8) = ( , # X(0) ! ). &’ ! X(0), # ! > . @ ’ > . — + -/ [11], ! ’ . & < < $ - , - , , : Q ( ) ; Q $ D *; Q = * '.
< $: Q — = ; Q - = ; Q ; Q $ n- . 1. $ * '- !? 2. O n- ? 3. O * ’ ? 1. , * '- . {(1,0), (3,0)}, {(1,2,4), (2,2,8), (1,0,4)}, {(2,3,0), (6,1,0), (0,2,4)}, {(2,3,1), (1,0,4), (2,4,1), (0,3,2)}, {(1,3), (2,2)} 43
2. [ E3? ) (3.0,2), (7,0,9), (4,1,2), ) (1,1,0), (3,0,1), (5,2,1), ) (1,5,7), (4,0,6), (1,0,0). 3. 6 bi (a1 , a2 , a3 ) : a1
(2,6,3), a2 (9,1,0), a3 b1 (4,1,2), b2 (3,7,9), b3 (3,0,2), b4 (1,1,1), b5 (3,3,3), b6 (3,7,1), b7 (9,1,4), b8 (2,2,2).
44
(1,2,7),
6 . -44 ( ’ (339 1. ( . -44 * : 1. ;
$ . 7 ! : + 7 - X1
Xj
…
Xp
…
Xn
i0
in + 1
,
11
…
1j
…
1p
…
1n
10
1n + 1
—
—
—
—
—
—
…
…
…
…
i
i1
…
ij
…
ip
…
in
i0
in + 1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
q
q1
…
qj
…
qp
…
qn
q0
qn + 1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
m
m1
…
mj
…
mp
…
mn
m0
mn + 1
O! !- =
$ . 2. @
$ > ain + 1, ain + 1 >> ain1
n
¦ aij , i 1, m .
(6.1)
j 0
A ! $ . 3. '$ !
’ aqp z 0 (- q – w
$ > ’ ). 4. ?
$ > q- , $ >> aqjc
aqi aqp
, j 0, n 1
(6.2)
5. $ $ , $ n
c 1 ¦ aqjc
aqn j 0
45
. J# $ > ,
$ , = 4. 6. ;
$ , # " , aijc
aij
aqi aip aqp
, i 1, m , i z q , j 0, n 1 .
(6.3)
7. ; > ,
> 5. ; 3—7 > . 8. ; = :
) k-
$ ; $) k-
$ 1- n- , «ai0» ak 0 z 0 . ' « » =
, # k- ! > $ !> " . &’ = . ' «» =
, # k- (
<
$ ) ! 0 x1 0 x2 ... 0 xn
ak0 z 0 ,
(6.4)
! ’ Xi, i 1, n . &’ . 9. C l- < (l = 2, 3,…) $ aql pl z 0 , # $ ’ , $ ql z q1 ,..., ql z ql 1
10. ; > 3—9 , = $ $ ’ aql pl z 0 , $ $ . 9. , # >! m ( ), # 8, $ " m. 11. ; , # >
$ . ,j, # >
< , > $ , " — ( #
!, # = m < n). 46
’ ( , " n) !
’ , = $ = ( ) ’ . @ #$ ’ , $ < . + -/ [11], ! ’ . ' ! ’
X, # ! > . ' " # > / , $ , " $ , = = $ $ . ; ! , # !
$ . ,j, # > < , > $ . ; = ’ < >> , " — ( #
!, # = m < n), < >> . @ #$ ’ , $ < . 1. C A1
§ 1 · ¨ ¸ ¨ 2 ¸ A2 ¨ 3 ¸ © ¹
§ 2 · ¨ ¸ ¨ 1 ¸ A3 ¨ 2¸ © ¹
§ 1· ¨ ¸ ¨ 2 ¸ A4 ¨4¸ © ¹
§ 2 · ¨ ¸ ¨ 1 ¸ A5 ¨ 3¸ © ¹
§ 3 · ¨ ¸ ¨ 6¸ ¨ 2 ¸ © ¹
, , , - = . ' 3- , # $ , " $ . C $ $ A1, A2, A3. % A4 A1 x1c A2 x2c A3 x3c A5 A1 x1cc A2 x2cc A3 x3cc (.
$ . 8). 47
+ 8
A1
A2
A3
A4
A5
¦
1
2
–1
2
3
7
–2
–1
2
1
–6
–6
3
–2
4
–3
2
4
1
2
–1
2
3
7
0
3
0
5
0
8
0
–8
7
–9
–7
17
1
0
–1
–4/3
3
5/3
0
1
0
5/3
0
8/3
0
0
7
13/3
–7
13/3
1
0
0
–5/7
2
16/7
0
1
0
5/3
0
8/3
0
0
1
13/21
–1
13/21
? 74, 75 ! $ 71, 72, 73 A4 A5
5 / 7 A1 5 / 3 A2 13 / 2 A3 , 2 A1 0 A2 A3 .
' " # > / , $ , " $ , = = $ $ . C , $ A4 71. '$ ’ –5/7, =: –7/5
0
0
1
–14/5
7/3
1
0
0
14/3
13/15
0
1
0
11/15
A1 A5
7 / 3 A2 13 / 15 A3 7 / 5 A4 , 14 / 3 A2 11 / 15 A3 14 / 5 A4 . 48
2. ' n > r (= ’ ): 5 x1 2 x 2 3x3 3x 4 1, 2 x1 2 x 2 5 x3 2 x 4 4, 3x1 4 x 2 2 x3 2 x 4 2.
+ 9 V
A1
A2
A3
A4
A0
W
0
5
2
3
3
1
14
2
–2
5
2
4
11
3
4
2
2
–2
9
1
2/5
3/5
3/5
1/5
14/5
0
–14/5
19/5
4/5
18/5
27/5
0
14/5
1/5
1/5
–13/5
3/5
1
0
8/7
5/7
5/7
25/7
0
1
19/7
–2/7
–9/7
15/7
0
0
4
1
1
6
1
0
0
3/7
3/7
17/7
0
1
0
–1/56
–53/56
2/56
0
0
1
1/4
1/4
6/4
1
2
3
’ = : x1 3 / 7 x4 x2 1 / 56 x4 x3 1 / 4 x4
3 / 7, 53 / 56 ,
1/ 4
( ’ &
(3 / 7;53 / 56;1 / 4;0).
1. :; _ -` . 2. O * ’ ? 49
3. $ ' ’ ? 4. $ ’ * ? 1. 6’ _ -` : ) 2x1 – 2x2 = 1 x1 – x2 + 2,3 – x4 + ,5 = 4 x2 + x3 – x4 = 0 x1 – x2 + 2x5 = 3 x1, …, x5 > = 0 : x2, ,3, x4, x5 ) x1 + x2 + ,3 + x4 = 15 7x1 – + 5x2 + 3,3 + 2x4 = 120 3x1 + 5x2 + 10,3 + 15x4 = 100 x1, …, x5 > = 0 : x2, ,3, x4 ) 2x1 + 2x2 + 12,3 + 4x4 = 4 x1 + 6x2 + 12,3 + 8x4 = 8 x1, …, x5 > = 0 : ,3, x4 : x2, ,3. 2. ' ’ ', 1. 2. 3. 4. 5. 6.
x1 2 x2 x3 4, 2 x1 x2 5 x3 5. x1 2 x2 x3 1, 2 x1 4 x2 5 x3 3. 3x1 2 x2 x3 4 x4 6 x5 2, 4 x1 x2 x3 5 x4 7 x5 10, x1 9 x2 3x3 x4 x5 7. x1 3x3 6, x2 6 x3 8. 3x1 x2 x3 x4 4, 5 x1 x2 x3 x4 4. x1 4 x2 4 x3 x4 5, x1 7 x2 8 x3 2 x4 9.
50
x13x2 x3 2 x4 5, 2 x1 x3 x4 1. 6 x1 9 x2 3x3 2 x5 x6 x7 12, 4 x2 3x3 3x4 x5 x6 x8 5, 8. 2 x1 8 x2 5 x3 6 x4 8 x5 4 x6 x9 20, 5 x1 x2 2 x3 4 x4 9 x5 5 x6 x10 24. 5 x1 2 x2 6 x3 5, 9. x1 x2 5 x3 3 4 x1 5 x2 x3 6. 3x1 x2 2 x3 4, 10. 4 x1 4 x2 2 x3 3 3x1 2 x2 3 x3 4. 2 x1 2 x2 3x3 4 x4 4, 11. . x1 2 x2 2 x3 5 x4 12, 4 x1 2 x2 3x3 x4 3. 3 x1 3 x3 5 x3 5, 12. 2 x2 3 x3 x3 4 x1 5 x2 5 x3 x4 3, 13. x1 2 x2 3 x3 x4 5. 2 x1 3x2 4 x3 x4 1, 14. x1 7 x2 8 x3 2 x4 9 x1 4 x2 4 x3 x4 5, 4 x1 4 x 2 x3 5, 15. x1 3x 2 x3 5, 2 x1 x 2 x3 4. 6 x1 9 x 2 3x3 2 x5 12, 4 x 2 3 x3 3x 4 x5 5, 16. 2 x1 8 x 2 5 x3 6 x 4 8 x5 20, 5 x1 x 2 2 x3 4 x 4 24. 4 x1 5 x 2 x3 7, 17. 4 x1 2 x 2 5 x3 5 .x1 2 x 2 x3 x 4 2, x1 2 x2 x3 4 x4 2, x x 2 x3 5 x4 5 18. 1 2 x1 2 x2 3x3 x4 2 x1 4 x2 4 x3 x4 5,.
7.
51
x1 x2 x3 x4 2, x1 5 x2 4 x3 3 x4 2. 5 x1 6 x2 2 x3 5, x 7 x2 8 x3 9. 20. 1 5 x1 4 x2 4 x3 5, 3x1 4 x2 x3 3,
19.
K - ! ! ( , %++), ’ * _ ` . : 1. K , , , ’ ', . 2. K , , ’ , , , . 3. K , ; n-, (n ).
52
7
33 ? 4 (339 1. 8(4 ?3823 ( ! > :; ! , ! ( ) < n
F
¦cjxj
(7.1)
j 1
n
¦ aij x j d bi (i = 1, k)
(7.2)
¦ aij x j bi (i = k + 1, m)
(7.3)
x j t 0 (j = 1, l, l d n),
(7.4)
j 1
n
j 1
aij , bi , c j k d m. I (7.1) ! > !> ( $ > >, $ ! ) (7.1)—(7.4), (7.2)— (7.4) — $= < ( $ > ). "# # ( $ >) > :; ! , ! < (2.8) (7.2) (7.4), k = m l = n. $%& ( $ >) > :; ! , ! < (7.1) (7.3) (7.4), k = 0 l = n. ) , X ( x1 , x2 ,..., xn ) # > (7.1)—(7.4), ! ’ ( $ ,
$ > :;). · § a11 a12 ! a1n ¸ ¨ ¸ ¨ .......................... > ¨ a mi 1 a mi 2 ! a mi n ¸ ! ¸ ¨ ¨ ............................... ¸ ¸ ¨a © m1 a m 2 ! a mn ¹
(7.2)—(7.3) > > . 53
; Aj —
Aj
§ aij · ¨ ¸ ¨ .... ¸ ¨a ¸ B ¨ m1 j ¸ ¨ ..... ¸ ¨ amj ¸ © ¹
§ b1 · ¨ ¸ ¨ .... ¸ ¨ bm1 ¸ — - $=. ¨ .... ¸ ¨¨ ¸¸ © bm ¹
A j — j- - , (7.2)—(7.3) =
A1 x1 A2 x2 ... An xn d B
«=» " m1 , « d » — " m m1 . C $ x ( x1 ,..., xn ) > (7.2)— (7.4) < . K xi , #
x, >
x. (- ! < (7.1). O $ " < ( # max L), « #» . ; X ( x1 ,..., xn ), ! = < L, ! $ ’ .
O" , X ! , X ( x1 ,..., xn ) — ,
X ( x1 ,..., xn ) — $- " < . J# min L, $ , # ! F(X ) d F(X ) .
, # ! $ , ! >. ; (7.2)—(7.4) =
: 1. ? (7.2)—(7.4) , $ !
x1, x2, ......., xn > (7.2)—(7.4), ! = . 2. ? (7.2)—(7.4) , $= , $ >
. 54
3. ) (7.2)—(7.4) , $= . 2. :3 3BF ? 4 ( 3C C " :;. % , " , , = = (,i) 2- (,ij). ? = $
, $ . O max $ min < , maxmin $ minmax. % :; ! ’ :;. % ! $ :; "< "< = . " ( ,
) :; , # = > = $ "< . A !, # # ! $ = ’ !< , = $ $- < . Y$ !< :; "<, $ , -", < < <, -, $=- $=- , , - !, > , # =, . J ? 1. ? ! <, = = <, =" (–1) >: F c1 x1 c2 x2 ... cn xn , min F = – max (–F). 2. $= - < :;, # ! « d », = $= - < < < <, $= - « t » — $= - < < < <. % , $= - ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn d bi 55
$= — ain xn xn1 bi (xn + 1 t 0),
$= -
ai1 x1 ai 2 x2 ...
(7.5)
ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn t bi
$= - ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn xn 1 bi (xn + 1 t 0).
(7.6)
? = = $= ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn
bi
= : ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn d bi , ® a x a x ... a x d b i2 2 in n i ¯ i1 1
(7.7)
K , # , $=- $= - >! > . @ , # , > . % , # $= < :; $ = !
$ , < < , < <, $’! = . 3. @ xk, > $: 1-' . \< uk vk, " xk= uk – vk. (# $ " ). 2-' . J# = , =
$ , "! . ; >
. = ! , ’ > ’! ", =
! > " , $ , . ( :; ( ,
, ). 1. P , = = (,i) 2- (,ij). 2. C > . 56
3. ? = $
, $ . 4. O max $ min < , maxmin $ minmax. = > = $ "< . 1. < :; : < F 3x1 2 x2 5 x4 x5 2 x1 x 3 x 4 x 5 d 2 °x x 2x x d 3 3 4 5 ° 1 ®2 x 2 x3 x 4 2 x 5 d 6 ° x1 x 4 5 x 5 t 8 ° ¯ x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 t 0
’ : ? ! <, $= . =, #$ << < , $ $= — $= — . , # $= , , = $ . ?
$= $ > 2 x1 x3 x4 x5 x6 2 °x x 2x x x 3 4 5 7 ° 1 3 : ®2 x2 x3 x4 2 x5 x8 6 . ° x1 x4 5 x5 x9 8 ° ¯ x1 , x2 ,..., x9 t 0
=, = $ <
: > F 3x1 2 x2 5 x4 x5 2 x1 x3 x4 x5 x6 2 °x x 2x x x 3 4 5 7 ° 1 3 : ®2 x2 x3 x4 2 x5 x8 6 . ° x1 x4 5 x5 x9 8 ° ¯ x1 , x2 ,..., x9 t 0 57
2. < :; : F 6,5 x1 7,5 x2 23,5 x4 5 x5 N max x1 3x2 x3 4 x4 x5 12 °°2 x x 12 x x 14 4 5 ® 1 3 x x x x 2 3 6 2 4 5 ° 1 °¯ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 t 0
’ . > <: < F
6,5 x1 7,5 x2 23,5 x4 5 x5
x2 x3 x4 6 °°3x 10 x x 26 4 5 ® 3 . x x x 11 20 4 ° 1 3 °¯ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 t 0
< , # ! = < F x3 2x4 N max x3 x4 d 6 °°3x 10 x d 26 4 ® 3 . x x 11 4 d 20 ° 3 ¯° x3 , x4 t 0
A >
x1 x5 < $= .
1. [ ! , ? 2. K , * & ; . 3. P , ' '!! '?
& ( ) ( ) : 58
1. F = x1 + x2 o min 3x1 + x2 > = 8 x1 + 2x2 > = 6 x1 – x2 < = 3 3x1 – 2x2 = 6 x1, x2 > = 0 2. F = 5x1 – 3x2 o min 3x1 + 2x2 > = 6 2x1 – 3x2 – > = –6 x1 – x2 = 4 4x1 + 7x2 < = 8 x1 > = 0 3. F = 2x1 + x2 o max x1 – x2 t 4 x1 + x2 t 10 4x1 – x2 d 12 7x1 + x2 d 7 x1, x2 t 0 4. F = 2x1 – 4x2 o max 8x1 – 5x2 d 16 x1 + 3x2 t 2 2x1 + 7x2 d 9 x1, x2 t 0 5. F = 7x1 – x2 o min x1 + x2 t 3 5x1 + x2 t 5 x1 + 5x2 t 5 0 d x1 d 4 6. F = x1 + x2 o min 3x1 + x2 t 7 –x1 + 2x2 t 2 x1 + 2x2 d 3 x1, x2 t 0 7. F = 2x1 + x2 o max x1 – x2 t 4 x1 + x2 t 10 59
4x1 – x2 d 12 7x1 + x2 d 7 x1, x2 t 0 8. F = 2x1 – 4x2 o max 8x1 – 5x2 d 16 x1 + 3x2 t 2 2x1 + 7x2 d 9 x1, x2 t 0 9. F = 7x1 – x2 o min x 1 + x2 t 3 5x1 + x2 t 5 x1 + 5x2 t 5 0 d x1 d 4 x1, x2 > = 0 10. F = x1 + x2 o min 3x1 + x2 t 8 x1 + 2x2 t 6 x1 – x2 d 3 x1, x2 t 0 11. F = 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 – x5 o min x1 + 2 x2 – 3x3 + x4 – 5x5 d 5 2x1 + 3x2 –5x3 + 2x4 –7x5 t 8 3x1 + x2 – 2x3 + 6x4 + 2x5 d 6 x1, x2, x3 > = 0 12. F = 10x1 + 2x2 + 5x3 + 3x4 o max x1 – 4x2 – 5x3 + x4 = 12 2x1 – 8x2 + 7x3 + x4 d 8 3x1 + x2 + 44x3 – 2x4 d 8 x3, x4, > = 0 13. F = x1 + 2x2 + 8x3 + 3x4 o max 2x1 + x2 + 5x3 – 2x4 t 12 8x1 – 2x2 + 3x3 + 3x4 d 8 x1, x2, x3> = 0 8x1 + x2 + 2x3 + 7x4 = 3 14. F = 3x1 + 2x2 + 8x3 + 8x4 o max 2x1 – 2x2 + 3x3 – x4 d 30 60
3x1 + 6x2 – 2x3 + 3x4 t 8 –x1 + x2 + x3 – 2x4 d 5 x1, x2, x3 > = 0 15. F = 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 – x5 o min x1 + 2 x2 – 3x3 + x4 – 5x5 = 5 2x1 + 3x2 –5x3 + 2x4 –7x5 t8 3x1 + x2 – 2x3 + 6x4 + 2x5 d 6 x1, x2, x3, x4, x5> = 0 16. F = 10x1 + 2x2 + 5x3 + 3x4 o max x1 – 4x2 – 5x3 + x4 d 2 2x1 – 8x2 + 7x3 + x4 t 8 3x1 + x2 + 44x3 – 2x4 t 4 x1, x2, x3, x4> = 0 17. F– = 5x1 + 2x2 + 8x3 + 3x4 o max 2x1 + x2 + 5x3 – 2x4 = 5 x1 – 2x2 + 3x3 + 3x4 d 6 x1 + x2 + 2x3 + 7x4 d 7 x1, x2, x3, x4> = 0 18. F = 3x1 + 2x2 – x3 + 4x4 o max 2x1 – x2 + 3x3 – x4 t 7 –3x1 + x2 – 2x3 + 3x4 = 8 x1, x2, x3, x4> = 0 19. F = 4x1 – 2x2 – 8x3 + 3x4 o min x1 + x2 – 5x3 + 4x4 t 7 8x1 + x2 + 2x3 + 7x4 d 9 x1, x2, x3, x4,> = 0 20. F = 2x2 + 8x3 + 8x4 o max 2x1 – 2x2 + 3x3 = 3 3x1 + 6x2 – 2x3 d 4 –x1 + x2 + x3 t 1 x1, x2> = 0 61
K ( %++) * & ; . 1. K & & . 2. K & . 3. K - & & .
62
×àñòèíà 2 ’
8 ( 3 ( 1. (4 4 3 83 F ( C
< :; >! $ . = " $ ! . ? " $ ’ < < ! ( , # $= $ ), # ! $ " = , # ! > > $ !> ". '" $ ’ , ! , , # ,
<, $ " = $ , <, $ " = , — , < ! $= . ’ , # ! < F
c1 x1 c2 x2
(8.1)
(8.2)
ai1 x1 ai 2 x2 d bi i 1, k , xj t 0
j 63
1,2 .
(8.3)
= (8.2), (8.3) $= ! ai1 x1 ai 2 x2 bi i 1, k , x1 0 x2 0 . ? , # (8.2), (8.3) , > << ’ ! $ , # = . $ , > ’ (8.1)—(8.3) ! = , ! $ ’ . ) $ = , < $= >
< . % , :; ! =
< $ ’ , ! . A ! , $ ’ $= . " $ ’ ! . @ < " $! > c1 x1 c 2 x 2 h ( h — ), $ ’
, << C c1 ,c2 ,
> << $ ’ . < > < . = < < $= ! = << = $= " , # c1 x1 c2 x2 h ! C c1 ,c2 , = . @ ’ = $ =>, # $= (. 1 ( )), !> > (. 1 ($)), $ (. 1 ()) $=> > $ > > (. ()). @ , $=> > ’ , = : < < ! ! (. 1 ()); < < " 7 , =, $- 7 (. 1 (=)).
64
,2
,2
0
0
,1
&. ( )
&. ($) ,2
,2
,1 0
,1
&. ()
&. ()
,2
,2 A
8'
8 8
@&
@&
8''
B
n
0
n
,1
0
&. ()
,1
&. (=) 65
? ’ ! $=>, = : ! (. 1 ()); $= , Fmax = ^, Fmin = –^ . 1 ()); ,2
,2
,1
,1
&. ()
&. ()
2. ( ’ ( ?3 =, = ’ :; (8.1)—(8.3) << <
< > !
: 1. (> ,
$= (8.2) (8.3) < . 2. , = $= . 3. $ ’ . 4. (> C c1 , c2 . 5. (> c1x1 c2 x2 h , # $ ’ . 6. ; > c1x1 c2 x2 h C , $ ( ), ! , $
>> $= < $ . 7. ' > < $ >> < < . '" $ ’ , ! , , # 66
,
<, $ " = $ , <, $ " = . @ > ’ ! = , ! $ ’ . ! =
< $ ’ , ! .
< < $ ’ ! < .
@ $ $ * B ! ! . C = <
$ . ? = $ < $ = , = $
! (.
$ . 10). + 10
C () $
*
'
()
1
12
4
300
2
4
4
120
3
3
12
252
;$ < $ ()
30
40
'
' >, # $ * B = $ $ " ($ $ ), ! 67
< , $ ! < $ ! . ’ . ; , # ! x1 $ * x2 $ '. $ < $= > = , # ! = ! , $, # ! , = $ , > : 12 x1 4 x2 d 300 °°4 x 4 x d 120 1 2 ®3x 12 x d 252 1 2 ° °¯ x1 , x2 t 0.
$ < x1 $ 7 x2 $ F 30 x1 40 x2 . % , < < : ’ < !
, F ! . ’ < , > <<
>. ) $ ’ . @ $= < : 12 x1 4 x2 300 °4 x 4 x 120 2 ° 1 ®3x1 12 x2 252 . ° x1 0 4 ° ¯ x2 0 5
(1) (2) (3)
= $ # #. !< # > , "< — . Y$ " #, $ -$ , # = #, , > << . J# < > , " > !
# , = , " — " # (. . 2). 68
82
7
81 (1)
(2)
(3)
&. 2. /
, , #, > 300 , -$ , # = = #, , . . (0;0). !< > 12 · 0 + 4 · 0 < 300; , # , = . (0; 0), ! > 12 x1 4 x2 d 300 . ; = # ! $ ’ < . ( ’ ! ’ OABCD. $- < , # = ’ , > . % $ ’ , # = , # = ’ OABCD, F ! . Y$ , # = ’ OABCD, F ! , $! C 30;40 , . ;# > $ 30 x1 40 x2 480 C , $ , #
> > > << $ ’ = . !< > $ 7 , $ < < ! . 12 x1 4 x2 d 300 . @ , $ " 12 x1 4 x2
69
' (2) (3). =, << > 4 x1 4 x2 120, . ¯3x1 12 x2 252
®
&’ " > , =, x1* 12 , x2* 18 . =, # ! ! 12 $ 7 18 $ , = $ , Fmax 30 12 40 18 1080 . &’ . F 3x1 3x2 o max x1 x2 d 4 x1 x2 d 7 x1 x2 t 2 3x1 2 x2 d 6 x1 , x2 t 0
1. ;$! # ,10,2 ’ . 2. C ,1 t 0 ,2 t 0 > , # ’ $
" > $. 3. @ =< $! ( " ). 4. ’ # =< . 5. @ $ > ’ . 6. < < $ < $ $ ’ . < < = $- 8 = (,1, ,2) ’ . G 7. ;$! , # , < ! ! <. G 8. ; , , $ 8 = (,1, ,2), ! G . 9. ' ! $= # <, # ! $ "> < <. 70
10. # , $ . !< $ ’ = $ ’ , " . @ =< < $! : 1) (0;–1); (4;0) 2) (0,7); (–7;0) 3) (0;1); (2;0) 4) (0;3); (2;0). G : = (3; 3) (. . 3). ,2
(2)
4
7
3
% 1
1
2
,1 3 (2)
4 (3)
(1)
&. 3. /
*') — ’ . I ! 7. 8 = (0; 3) F = 9. 1. O ! , ’ ? 2. 6 , * ’ & . 3. $ ' & ? 71
1. 6’ &: F = x1 + 2x2 o max –3x1 + 2 x2 + x3 = 9 3x1 + 4x2- x4 = 27 2x1 + x2 + x5 = 14 x1, …, x5 > = 0 2. F = x1 + x2 o min 3x1 + x2 – x3 = 8 x1 + 2x2 – x4 = 6 x1 – x2 + x5 = 3 x1, …, x5 > = 0 3. F = 5x1 – 3x2 o min 3x1 + 2x2 – x3 = 6 2x1 – 3x2 – x4 = –6 x1 – x2 + x5 = 4 4x1 + 7x2 + x6 = 8 x1, …, x5 > = 0 4. ! !, ' ’ : max jx1 x2
,
2 j x1 x2 d 13 jx1 x2 t j 1 , j — & ( , & +1 ' ).
72
9 4(3 (3 C ( 1. 8 (54 3 4(3 (3 C (
’ :; . — , — $ =. ) : 1. " ( - ). 2. . 3. = . O> < <. > = ’ :;. * $- ’ = $
. " . A ! " ". $ @ 1947 . O : 1. ? ! $ $ . 2. '
>! , # ! , ! . 3. ? ! $ " , $ = . * ! ’ :;, $ < !
, $> $= < <. ? ;.;.;. . C ( !
> ). n
max N L (X) = ¦ cjxj
(9.1)
j 1
: n
¦ Ajxj = B (j = 1, m ), j 1
73
(9.2)
A0
Aj
§ b1 · ¨ ¸ B ¨ ... ¸ — $= ¨b ¸ © m¹ § a1 j · ¨ ¸ ¨ ... ¸ — , # i = 1, m ¨ amj ¸ © ¹
(9.3)
xj j 0 (j = 1, n ).
; , # m < n, # (9.2) :C , $ << m. C ! $ . ; X = (x1, …, xn) :; (9.1)—(9.3) ( < ) ! , # Aj,
(xj > 0), :C . % , # (m). ( m :C , > ! Aj, # > . , # > $ , $ , " $ $ . J# $ $ " ,
! =, " — =. 2. 3 (339 C ! =
!< :; ". :; [5] >!
$. ; $ ( $ ) < < n ( x1 , x2 ,..., xn ) : n
L( x)
L( x1 , x2 ,..., xn )
¦cjxj :
(9.4)
j 1
$= , x1 , x2 ,..., xn : n
¦ aij x j d bi , i 1, m1 , j 1
74
(9.5)
n
¦ aij x j bi , i m1 1, m ,
(9.6)
j 1, n1 , (n1 d n, )
(9.7)
j 1
xj t 0,
: > (9.4) — $ — > > , $ & ( x1 , x2 ,..., xn ) , # > (9.5)—(9.7) — > . > A (aij ) , ! , > > . ' -
Aj
§ a1 j · ¨ ¸ ¨ a2 j ¸ ¨" ¸ ¨¨ ¸¸ © amj ¹ ,
! aij, # xj (9.5)— (9.6), (9.4)—(9.7). ' A0
B
§ b1 · ¨ ¸ ¨ b2 ¸ ¨" ¸ ¨b ¸ © m¹
$= < . ' - C
(c1 , c2 ,..., cn )
(9.4)—(9.7). ' - # ( x1 , x2 ,..., xn ) , # ! (9.5)— (9.7), ! . ? (9.4)—(9.7) = . max o L( x) (c, x) , (9.8) n
¦ Aj x j d B ,
(9.9)
X t0,
(9.10)
j 1
75
d > , # «=» " m1 , «k» — " m – m1, # ! (9.9), $ : max o D( x) (c, x) , (9.11) Ax
B,
d
(9.12)
x t0. *
* 1
* 2
(9.13)
* n
; X ( x , x ,..., x ) ! = < (9.4)—(9.7), ! $ ’ ( # $ (9.4)). @ X* $- X " D ( x* ) t L( x )
(9.14)
? D( x* ) ! < . J# !
)
, # max L( x) M , $- X L(X), , # L(X) $= . J# ! : n
¦cjxj ,
(9.15)
¦ aij x j bi , i 1, m ,
(9.16)
max o L( x)
j 1
n
j 1
x j t 0,
j 1, n ,
(9.17)
! > [1]. (9.15)—(9.17) ! > (9.4)—(9.7), (9.4)—(9.7) = (9.15)—(9.17) [1], " (9.6) $ > xn l t 0 (l 1, m m1 ) , >" x j ( j n1 1, n) , (9.4)—(9.6), $ " < xcj xcjc , xcj , xcjc t 0 ( j
n1 1, n) .
J# $ (9.4),
= <, # L(X) L(X). =
$ 4. 76
yx y = –f (x) Xx
y = f (x)
yx
&. 4. ; < < < min L( x) max( L( x)).
(9.18)
% , = $ < . ; # ’ < , $ X * ( x1* , x2* ,..., xn* , xn*1 ,..., xn* m m1 ) , ’ < (9.4)—(9.7) $ X * ( x1* , x2* ,..., xn* ) [1].
! = ! . ; X ( x1 , x2 ,..., xn ) ! (9.15)—(9.17), #
( xsi ! 0) > - = Asi. Aj ! m- , ! $ " m . % $ , # (9.16) >! m, $ . ) m - = , # > !
Asi, xsi ! 0 , $ X. xsi, ’ $ , > $
. J# $ $ " 0,
! =, = — =. . J# (9.16) ! $ ,
D( x) $= , L(X) . (9.15)— (9.17) ! [1]. A ! " , $ " Cnm . 77
) ( ’ :;) :;. 3. 8 (54 3 ( & :;, n
¦cjxj
(9.19)
¦ aij x j bi , i 1, m,
(9.20)
xj t 0
(9.21)
max o L( x)
j 1
n
j 1
( , # (9.20) = # m > n. C X ( x1 , x2 ,..., xn ) = (9.19)—(9.21) $
xsi ! 0, i 1, m . ) (9.20) " n
¦ Aj x j B
(9.22)
j 1
% Asi , i 1, m $ X. K Ix $ $ 8, $ Ix
{s1 , s2 ,..., sm }
(9.23)
xj
0 , # j I x .
)" (9.22) = $
: n
¦ Asi B
(9.24)
j 1
? xsi
xi 0 , A0 78
B0 .
(9.25)
% (9.24) ! m
A0
¦ Asi xi 0 .
(9.26)
i 1
)" (9.26) = a0 $ Asi. { Asi }im 1 { As1 , As 2 ,..., Asm }
(9.27)
$ m- , - Aj = $ : m
Aj
¦ Asi xij , j 1, n ,
(9.28)
i 1
xij (i 1, m) ! Aj $ Asi (i 1, m) . ;!> (9.26) (9.28), = " m
Aj
¦ Asi xij ; j 0, n ,
(9.29)
j 1
> : m
akj
¦ aksi xij , k 1, m , j 0, n .
(9.30)
i 1
' : =j
m
¦ csi xij , j 1, n ,
(9.31)
Z j cj,
(9.32)
i 1
'j
j 1, n ,
csi — ! < (9.19) $
X. ; Zj ' j > , $ 8 $ { Asi }im 1 . (%# $'+ $ ) 8 ! ’ (9.19)—(9.21), # ' j t 0 j 1, n [5]. !"#$ J# $ < , 8 $ ' j d 0, j 1, n . J# 79
' j $ >> (9.32), , #
! " . ' / (O1 , O 2 ,..., O m ) : m
¦ aksi O k
csi i 1, m .
(9.33)
k 1
% = =j
m
¦ csi xij
i 1
m
m
¦ ( ¦ aksi O k ) xij
i 1 k 1
m
m
¦ (¦ aksi xij )O k
k 1 i 1
m
¦ akj O k ,
(9.34)
k 1
$ =j
m
¦ akj O k , j 1, n .
(9.35)
k 1
J# Zj $ >! (9.35), , # ! . )" (9.34) . % , # X, >
< = . ; ' j > Aj. J# , = > . !'( 1 (9.29) !, # ! xisl ( j Sl ) $ Asl $ $ >> : xisl
1, # i l . ® ¯0, # i z l , i 1, m
!'( 2 (9.31), (9.32) (9.36) !, # j I x ' j $ ' si 0 . 80
(9.36)
0 , $
? = : 1. lj j 0 j p Jx Aj = rAsixij, j = si => Asi = Asi · 1; lj = rcsixij – cj = csi = lsi =csi · 1 – csi = 0. ; j p Jx, lj = 0. 2. lj < 0 j, , # > Xij k 0, (i = 1, m ).
3. lj < 0 ji =
j " xij ’!. ? 1, , ! . * ;;; ! ’ :;,
$ < !
, $> $= < <. ;;;: 1. ? ! $ $ . 2. '
>! , # ! , ! . 3. ? ! $ " , $ = . :; [5] >!
$. ; $ ( $ ) < < n ( x1 , x2 ,..., xn ) : n
L( x)
L( x1 , x2 ,..., xn )
¦cjxj j 1
$= , x1 , x2 ,..., xn : n
¦ aij x j d bi , i 1, m1 , j 1
n
¦ aij x j bi , i m1 1, m , j 1
x j t 0,
j 1, n1 , (n1 d n, ) . 81
; $ = $- m , - > m
Aj = ¦ Asixij, (j = 1, n ) i 1
8 ! ’ (9.19)—(9.21), # ' j t 0 j 1, n . 1. P ' ' . 2. ' , * & ; . 3. %& !' . 4. $ * ?
82
10
’ (339 4 (84- 1. 43 (. 4 (84
’ :; ! . / ! . @ = (9.6)—(9.7) ! > $ > => ( # $= , $ $ ). J# :; ! ’ , ! " * $ < =, # ! . ) !
$ ", < <
! " ". = " ! , $ (9.6) — (9.7), $ > ! ’ $. ;
$ < . ; X ( x1 , x2 ,..., xn ) !:
) 8 ( 8
>! > ); $) X ( x1 , x2 ,..., xn ) X c ( x1c, x2c ,..., xnc ) , L( xc) t L( x) $ { Asi }si I x 8 $ { Asi }si I xc , I xc — $ $ X c ; ) $ xijc , 'cj , L( xc) , # > X c , xij , ' j , L( x) 8 > > $ ; )
’ :;. ; =
: ) ' j t 0 j 1, n ( ); ) ! ' j0 0 , X ij0 0, i 1, m , ( :; $= < L(X)); 83
=) ' j 0 > X ij ! 0 ( = , #
! $ " L(X)); 2. ( 4 (84
* , X, !
[I] 1.
8 $ { Asi }im 1 , I x {S1 , S2 ,..., Sm } .
2. $ Xij (9.29). @ $ ’ (n – m) ( j I x , j I x ). 3. -
$ (.
$ . 11) ! . + 11 " )*+$"- Cj Asi
C0 = 0
C1
…
Cj
…
Ck
…
Cn
Csi
Asi
A0
A1
…
Aj
…
Ak
…
An
T
I
cs1
A s1
X10
X11
…
X1j
…
X1k
…
X1n
T1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
i
csi
Asi
Xi 0
Xi 1
…
Xij
…
Xik
…
Xin
Ti
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
r
csr
Asr
Xr0
Xr1
…
Xrj
…
Xrk
…
Xrn
Tr
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
m
csm
Asm
Xm0
Xm1
…
Xmj
…
Xmk
…
Xmn
Tm
m+1
'j
'
'1
…
'j
…
'k
…
'n
V
L(x)
%& #'
) $ , # A0 Aj ( j 1, n) ! , $ bi aij 84
( i 1, m, j 1, n ),
!
X i0
X ij
( i 1, m, j 1, n ) $ { Asi }i 1 . 4. $ ' j : 'j
m
¦ csi xij c j , ( j 0, n, c0 0)
(10.1)
i 1
< (m + 1)
$ . 5. ; 8 > ' j :
) # ' j t 0 , , $
"> A0, , ’ . 13. $) # ! ' j0 0 ,
, # X ij0 (#
"> ' j0
$ ) ! X ij0 d 0 , :; $= L(X), ’ ; ) # = ' j 0 ! , X ij ! 0 ’ = . 6. ) ' j 0 $ $ > > > ' k : 'k
max ' j ' j 0
(10.2)
7. @ X ik ! 0 " X i0 , X ik
Ti
(10.3)
$ : T min
xik ! 0
X i0 X ik
X r0 . X rk
(10.4)
8. O «k» (10.2) !, Ak < $ <, «r» (10.3) — Asr, # $ $ . O «k» «r» > "> (Ak); (Asr) Xrk / : 85
xijc
X m1,0
'0
xrj , i r , j 0, n ° ° xrk ® ° x xrj x , i 1, m 1 i °¯ ij xrk ik L( x), X m1, j
' j ; X mc 1
(10.5) r,
j
0, n ,
'cj o X mc 1, 0
'c0
L( X c)
L( X ) T' k .
9. «Csi» «Asi» < -
$ , $ r-' , Ck *k . 10. ;
$ (10.5) 11. % ' j = $ > $ : (10.5) i = m + 1, j 1, n (10.1), ! = > $ . > . 12. ; . 5. 13. '
$ X * ( x1* , x2* ,..., xn* ) : X *j
X 10 , ® ¯0,
j
Si ,
j Ix
L( X * ) : L( X * )
'0
X m1; 0
3. 83 3 23 4 (84-
@ $ 7, B % ! ! . C $ $ = , $ A, B %,
= , = $
! ,
$ . 12. ) $ $, !< $< ! < ! >. 86
+ 12
C '
A
B
C
1
18
15
12
360
2
6
4
8
192
3
5
3
3
180
A $
9
10
16
’ : ) . ' $ 7 x1 , $ B — x2 , $ % — x3 . ! $= ! = , x1 , x2 , x3 : 18 x1 15 x2 12 x3 d 360, ° ®6 x1 4 x2 8 x3 d 192, °¯5 x1 3x2 3 x3 d 180.
$ < ! < ! F 9 x1 10 x2 16 x3 N max x1 , x2 , x3 t 0 .
" > < :;. @ $=- $=- . ' , $= 18 x1 15 x2 12 x3 x4 °
360,
" : ®6 x1 4 x2 8 x3 x5 192, °¯5 x1 3x2 3x3 x6 180.
A > $ $ " . C , x4 — = 1 . ; " : x1P1 x2 P2 x3 P3 x4 P4 x5 P5 x6 P6 P0 , 87
§18 · ¨ ¸ P1 ¨ 6 ¸ ; ¨5 ¸ © ¹ § 360 · ¸ ¨ P0 ¨192 ¸ . ¨180 ¸ ¹ ©
P2
§15 · ¨ ¸ ¨4 ¸; ¨3 ¸ © ¹
P3
§12 · ¨ ¸ ¨8 ¸ ; ¨3 ¸ © ¹
P4
§1 · ¨ ¸ ¨ 0¸ ; ¨ 0¸ © ¹
P5
§ 0· ¨ ¸ ¨1 ¸ ; ¨ 0¸ © ¹
§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ ; ¨1 ¸ © ¹
P6
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ! , < = $ . % ! X 0; 0; 0; 360; 192; 180 , > P4 , P5 , P6 , >> $ . ) !
$ > 1 < (
$ . 13), ! F0 , z j c j ! :
C , P0
F0
z1 c1
0; z1
C , P1
0; z 2
0 9 9; z2 c2
@ $ z j c j
C , P2
0; z3
0 10 10; z3 c3
C , P3
0;
16 .
0.
+ 13 " )*+$"-
I
(
CV
9
10
16
0
0
0
P1
P2
63
P4
P5
P6
Q
P0
1
P4
0
360
18
15
12
1
0
0
360/12
2
65
0
192
6
4
8
0
1
0
192/8
3
P6
0
180
5
3
3
0
0
1
180/3
0
–9
–10
–16
0
0
0
4
J
$ 13, x1 , x2 , x3 >> >, > < 88
$= . A >
« », $ ! , ! < < > ( $ $ < < ). A 4-
$ , ! : z1 c1 9; z3 c3 16 . C = $ " < $ > < <, > , $ " $ " <. % , –9 !, # > $ $ 7 $! $ " < 9 , # > $ $ B %, <, # ! , 10 16 . % < " ! > $ $ %. A = $ $
< , $ > > > ' j < 4- P3 . =, $ P3 . ' ! , # ! >> $ . @ 40 min bi / ai 3 ai 3 ! 0 , $ 40 min 360 / 12;192 / 8;180 / 3 192 / 8 . "" 192 / 8 = 24, <
, $ ) ! = $’! = . ! 360, 192 180 , $ ) ! = 12, 8 3 , $ ), = $ ! , min(360 / 12;192 / 8;180 / 3) 192 / 8 24 , $ $=> $ $ ) ! $’! 2- . ! = 24 $ ). ; 2 $ >
. =, P5 ! >> $ . ) P3 2- ! >. ) !
$ > 2 < (
$ . 14). ) >! , $ ,
$ , $ ! > . % > ! 2- . 89
+ 14 " )*+$"- 9
10
16
0
0
0
P1
62
P3
P5
P5
P6
72
9
9
0
1
–3/2
0
72/3
16
24
3/4
1/2
1
0
1/8
0
24/ 1/2
0
108
3/2
0
0
–3/8
1
108/3/2
–2
0
0
2
0
I
(
CV
P0
1
64
0
2
P3
3
P6
4
384
11/ 4 3
Q
$ . 14
$ . 13 < "> ( $ 8). ; CV ! ! C3 16 , # < , $ P3 . ; >! , # $ . ?
! , > " = ! > >. @ "
$ . 14 ! . A = $ $ $ . $
$ . 14, # P0 . ;" 1- . @ $ : 1) , # <
$ . 13 P0 1- (360); 2) , # <
$ . 13 P3 1- (12); 3) , # <
$ . 14 P0 2- (24). ' > " = " , " : 360 – 12 · 24 = 72; ! " P0
$ . 14. @ P0
$ . 14 $ = $ ". @ $
P0
= . ;" (180) 3- P0
$ . 13, (3) — 3- P3 , ! (24) — 2- 90
P0
$ . 13. =, ! 180 – 24 · 3=108. K 108 ! 3- P0
$ . 14. F0 4- = = $ : 1) > F0 C , P0 , . . F0 0 72 16 24 0 108 384 ; 2) ; 0, –16, 24. $ =
: 0 – (–16) · 24 = 384. ; P0
! , # < = " , " " " . ' ! = P1
$ . 13. @ $ " $ P1 P3
$ . 13, ! —
$ . 14. A < 2- P1
<
$ . ?
$ ! " : 18 – – 12 · (3 / 4) = 9; 5 – 3 · (3 / 4) = 11 / 4. K z1 c1 4- P1
$ . 14 = $ : 1) > z1 c1 C , P1 c1 ! 0 · 9 + 16 · (3 / 4) + 0 (11 / / 4) – 9 = 3; 2) = 9 – (–16) · (3 / 4) = 3. * P2 . P5 $ >! . ; $ $ ". ; $
1- , 0, 12 1/8. =, " 0 – 12 · (1 / 8) = –3/2. , # < 3- , 0 – 3 · (1 / 8) = –3/8. ;
$ . 14 = ! c c P j 1,6 $ P4 , P3 , P6 ' j F0 . J !<
$ , ! X 0; 0; 24; 72; 0; 108 . ; $ ! 24 $ 3- " >
72 1- 108 3- . ' !< $ > < < 384 . ' P0
$ . 14. J , ! < , 91
. " , <
". % , , P2 . K ½ !, " $ ), # $ B. K 9 3/2 1- 3- P2 > , $ 1 2 > $ $ B, 2 4 !, # # $ $ B, $ $ " < 2 . O" , # > $ < $ B, = ! " $ 1/2 . = !
9 1- 3/2 3- , < , 2 . % , 9 3/2 > $ « » 1- 3- $ ' (
$ . 13, " $ 15 3), # >! " $ ). % = > P1
$ . 14. @# " > , P5 . K 1/8 2- !, # $ " $’! 2- 1 $ $ " $ ) 1/8 . $ $ 3/2 1- 3/8 3- . $ " $ ) 1/8 .
< 2 . #
$ . 14 , # 2- < ! . A 4-
$ . 14, P2 < -2. , $ P2 , $ $ $ B. ; = $ B = , : = $ B ! min§¨ bic / ai 2c ·¸ ai 2 ! 0 , $ 4 0
§ 72 24 2 108 2 · min¨ ; ; ¸ 1 3 ¹ © 9 92
© 72 9
¹
8.
=, >> $ P4 ! , " , $ B $= > 1- , # ! = ! . $’! !< ! 8 $ B. K 9 ! , # ! , P2 1-
$ . 14 ! >. ) !
$ > 3-< < (
$ . 15). + 15 " )*+$"- 9
10
16
0
0
0
P1
P2
P3
P5
P5
P6
8
1
1
0
1/9
–1/6
0
16
20
1/4
0
1
–1/18
5/24
0
0
96
5/4
0
0
–1/6
–1/8
1
400
5
0
0
2/9
5/3
0
I
(
CV
P0
1
P2
10
2
P3
3
P6
4
?
$ . 15 >! 1- , ! , # $ P2 . =! 1-
$ . 14
> ( $ 9). ; CV ! C2 10 . ; >! $ $ >! " . ?
$ . 15 =! X 0; 8; 20; 0; 0; 96
! Pj j 1,6 $ s
s
P2 , P3 , P6 ' j F0 . ; !, ! , . @ 4-
$ . 15. ? ' j s ! . A !, # ! Fmax 400 . =, <, # > ! 8 $ B 20 $ ), ! . ; $ > ! 1- 2- " >
96 3- , $ > < < 400 . 93
$ < $ ! $ *. ' < $ * $ " < < . A 4- P1 , 5 !, # > $ * " " < 5 . &" = $ $ , > "
$ > (
$ . 16). ?
$ > < $ > . + 16 " )*+$"-)+,
I
(
CV
P0
9
10
16
0
0
0
P1
P2
63
P5
P5
P6
1
P4
0
360
18
15
12
1
0
0
2
65
0
192
6
4
8
0
1
0
3
P6
0
180
5
3
3
0
0
1
0
–9
–10
–16
0
0
0
4
1
64
0
72
9
9
0
1
–3/2
0
2
P3
16
24
3/4
1/2
1
0
1/8
0
3
P6
0
108
11/4
3/2
0
0
–3/8
1
384
3
–2
0
0
2
0
8 20 96
1 1/4 5/4
1 0 0
0 1 0
1/9 –1/18 –1/6
–1/6 5/24 –1/8
0 0 1
400
5
0
0
2/9
5/3
0
4
1 2 3 4
P2 P3 P6
10 16 0
94
) !
$ ", < <
! " ". = " ! , $ (9.6)—(9.7),
$ > ! ’ $. ; X ( x1 , x2 ,..., xn ) !:
) 8 ( 8
>! > ); $) X ( x1 , x2 ,..., xn ) X c ( x1c , x2c ,..., xnc ) , L( x c) t L( x) $ { Asi }si I x 8 $ { Asi }si I xc , I xc — $ $ X c ; ) $ xijc , 'cj , L ( xc) , # > X c , xij , ' j , L( x ) 8 > > $ ; )
’ :;. 1 ; $ L(x) = X1 + 2X2 + 3X3 + 2X4 2X1 + X2 + 3X3 – X4 d 4, X1 + 3X2 + X3 + X4 d 2, 8ij t 0 j = 1,4
Y$ < , X5, 86: 2X1 + X2 + 3X3 – X4 + X5 = 4, X1 + 3X2 + X3 + X4 + X6 = 2. 95
;, $ *5, *6 $ . ' ’
$ . 17: + 17 " )*+$"-
C
V .
—
—
—
—
1
2
3
2
0
0
V
%,
(,
*0
*1
*2
*3
*4
*5
*6
T
1
0
*5
4
2
1
3
–1
1
0
4/3
2
0
*6
2
1
3
1
1
0
1
2
0
–1
–2
–3
–3
0
0
–
3 1
3
*3
4/3
2/3
1/3
1
–1/3 –1/3
0
2
0
*6
4/3
1/3
8/3
0
4/3
–1/3
1
4
1
–1
0
–3
1
0
3 1
3
*3
5/3
3/4
7/3
1
0
1/4
1/4
2
2
*4
1
1/4
2
0
1
–1/4
3/4
7
7/4
5
0
0
1/4
9/4
3
1
0
1
2
% $ ! , # > . /
$ 17 ( <<
) >> $= (70) (71, 72 73, 74, 75, 76), # $ 75 76 , Xij = aij. ?
$ < < 'j t 0, !, # X* = (0, 0, 5/3, 1) ! ’ . 2 &’ 4X1 + 2X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 o max, 2X1 + 3X2 + X3 = 18, 2X1 – X2 + X4 = 10, –X1 + 3X2 + X5 = 9, Xj t 0, j = 1,5 96
+ 18 " )*+$"- (
Cj
4
2
0
0
0
A0
A1
A2
A3
A4
A5
%si
A3
0
18
2
3
1
0
0
9
A4
0
10
2
–1
0
1
0
5
A5
0
9
–1
3
0
0
1
0
–4
–2
0
0
0
A3
0
8
0
4
1
1
0
A1
4
5
1
–1/2
0
1/2
0
A5
0
14
0
5/2
0
1/2
1
20
0
–4
0
2
0
A2
2
2
0
1
1/4
–1/4
0
A1
4
6
1
0
1/8
3/8
0
A5
0
9
0
0
–5/8
9/8
1
28
0
0
1
1
0
2 28/5
= $
81, X2, X5. &’ : X*= (6, 2, 0, 0, 9), L(X) = 28. 1. %& !' . 2. $ ? 3. :, ' . 4. :; - . 5. N * ' - ? 1. 6’ - : F= x1 + 3x2 o max 97
–x1 + x2 d 3 4x1 + 3x2 d 20 x1, x2 t 0 2. 6’ - : F = 2x1 + x2 o mn x1 – x2 d 4 x1 + x2 d 10 4x1 – x2 d 12 7x1 + x2 d 7 x1, x2 t 0 K ( , %++) & 8 . : 1. K & 8 , . 2. K & 8 , .
98
11 - ’ ( 1. ( - )-.# ’ (9.8)—(9.10) >
> $ [1] , . ;
)-.# ’ :; ! )- &: max o L( X )
n
m
j 1
i 1
¦ c j x j M ¦ X ni ;
(11.1)
n
¦ aij x j xn i bi ; i 1, m ;
(11.2)
j 1
X j t 0,
j 1, m n ,
(11.3)
M > 0 , b j t 0 , ". @ !< X
0
(0,...,0, b1 ,..., bm )
n = = , $ !
An i
§0· ¨ ¸ ¨ ...¸ ¨1¸ ¨ ...¸ ¨¨ ¸¸ ©0¹
i
i 1, m
(11.1)—(11.3) = $ ’ - . ; #.: 1. J# ’ )- &% X
*
( x1* , x2* ,..., xn* , xn 1 ,..., xn* m ) * ni
(11.4) *
X 0 , X ( x , x ,..., xn* ) ! i 1, m ’ < . 2. J# (11.4) )- &% $ X n i z 0 (1 d i d m) , (9.15)—(9.17) ! ’ $= (9.13)—(9.14); 99
* 1
* 2
3. J# )- & ’ > ! ’ [1]. M Aj, =, Xij = ), ! < (11.1) ! ), 'j
m
¦ csi xij c j i 1
= 'j
'cj 'ccj M ,
(11.5)
'cj 'ccj = ). % M > 0 ,
' j "
'ccj . * ’ )- &% " ! $ , (m + 1)- ( 'j), # $ (11.5) ! (.
$ . 19): + 19 ,$ , ,$
m+1 m+2
M
'cj
'co
'c1
…
'cn
'ccj
'cco
'cc1
…
'ccn
- # ! " . ;
)-.# ’ :; ! )- &. % $= -" $ " , # ! < < <, " $ > = !
). * ’ )- &% " ! $ , (m + 1)- ( 'j). 1. &’ )- . C $ ’ " < 100
L(X) = 5X1 + 3X2 + 4X3 – X4 o max, X1 + 3X2 + 2X3 + 2X4 = 3, 2X1 + 2X2 + X3 + X4 = 3, Xj t 0, j = 1,4 . (! " ' " $ X5 X6 $= . ? < = !
«–)». &" < : L(X) = 5X1 + 3X2 + 4X3 – X4 – MX5 – MX6, X1 + 3X2 + 2X3 + 2X4 + X5 = 3, 2X1 + 2X2 + X3 + X4 + X6 = 3, Xj t 0, j = 1,6 . + 20 " )*+$"-)+, (
%si
5
3
4
–1
–M
–M
A1
A2
A3
A4
A5
A6
T
A0
X5
–)
3
1
3
2
2
1
0
1
X6
–)
3
2
2
1
1
0
1
3/2
+1
–
–5
–3
–4
1
0
0
+2
–6
–3
–5
–3
–3
0
0
X2
3
1
1/3
1
2/3
2/3
1/3
0
3
X6
–)
1
4/3
0
–1/3
–1/3
–2/3
1
3/4
+1
3
–4
0
–2
3
1
0
+2
–1
–4/3
0
1/3
1/3
5/3
0
X2
3
3/4
0
1
3/4
3/4
1/2
–1/4
1
X1
5
3/4
1
0
–1/4
–1/4
–1/2
3/4
–
6
0
0
–3
2
–1
3
+1 X3
4
1
0
4/3
1
1
X1
5
1
1
1/3
0
0
9
0
4
0
5
+1
X*= (1, 0, 1, 0), L(X*) = 9. 101
2. <
F
2 x1 3x2 6 x3 x4
2 x1 x2 2 x3 x4 24, ° ® x1 2 x2 4 x3 d 22, °¯ x1 x2 2 x3 t 10, x1 , x2 , x3 , x4 t 0 .
’ . " < : < F1 2 x1 3x2 6 x3 x4 2 x1 x2 2 x3 x4 24, ° ® x1 2 x2 4 x3 x5 22, °¯ x1 x2 2 x3 x6 10, x j t 0, ( j 1,6) .
?
< ! : P1
P5
§ 0· ¨ ¸ ¨1 ¸; P6 ¨ 0¸ © ¹
§ 2· ¨ ¸ ¨1 ¸; P2 ¨1 ¸ © ¹
§1 · ¨ ¸ ¨ 2 ¸; P3 ¨ 1¸ © ¹
§ 2· ¨ ¸ ¨ 4 ¸; P4 ¨2 ¸ © ¹
§1 · ¨ ¸ ¨ 0 ¸; ¨ 0¸ © ¹
§0 · ¨ ¸ ¨0 ¸ . ¨ 1¸ © ¹
) P1 , P2 , P3 , P4 , P5 P6 ! " ( P4 P5 ). % x $= 7 " , # ! < < F 2 x1 3x2 6 x3 x4 Mx7 2 x1 x2 2 x3 x4 24, ° ® x1 2 x2 4 x3 x5 22, °¯ x1 x2 2 x3 x6 x7 10, x j t 0, ( j 1,7) .
&" ! X (0; 0; 0; 24; 22; 0; 10) , > : P4 , P5 P7 . 102
+ 21 )-.# 2
i
(
CV
6
–3
1
0
0
M
P0
Q
P1
P2
63
P4
P5
P6
P7
1
P4
1
24
2
1
–2
1
0
0
0
—
2
P5
0
22
1
2
4
0
1
0
0
22/4
3
67
–)
10
1
–1
2
0
0
–1
1
10/2
4
24
0
4
–8
0
0
0
0
5
–10
–1
1
–2
0
0
1
0
) !
$ > "< < (
$ . 21), # ’ . @ 4- 5- F0 : z c , ( j 1,7) : F 24 10M ; z1 c1 0 M ; j
0
j
z2 c2 z6 c6
4M ; z3 c3 8 2 M ; z 4 c4 0 ; z5 c5 0 ; 0 M ; z7 c7 0 . F0 z j c j > , M , — . @ M ! 5- , , M , — 4- . ? 5-
$ . 21 Pj , ( j 1,7) ! -
(–1 –2). C , # "< ! . ; "< . ? $ P3 . Y$ , # > ! $ , 4 min(22 / 4;10 / 2) 10 / 2 . =, P7 > ! $ . A ! = " $ , >! (
$ . 22 23). ) !
$ > < < (
$ . 22). '
, " $ > . 103
+ 22 )-.#
i
(
CV
P0
2
–3
6
1
0
0
P1
P2
P3
P4
P5
66
1
P4
1
34
3
0
0
1
0
–1
2
65
0
2
–1
4
0
0
1
2
3
P3
6
5
1/2
–1/2
1
0
0
–1/2
64
4
0
0
0
0
–4
4
J
$ . 22, < ! (0; 0; 5; 34; 2) . ; . @ 4- . ? P6 ! (–4). =, ! = $ " > $ P6 . $ > ! P5 . ) !
$ > < <. + 23 X
)-.# 2
–3
6
1
0
0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
35
5/2
2
0
1
1/2
0
0
1
–1/2
2
0
0
1/2
1
6
11/2
1/4
1/2
1
0
1/4
0
68
2
8
0
0
2
0
i
(
CV
P0
1
P4
1
2
P6
3
P3
4
? 4-
$ . 23 ' j ! . A !, # < X * (0; 0; 11 / 2; 35; 0; 1) ! . ; < Fmax 68 . &’ < = $ $ , >
$ > (
$ . 24), <. 104
+ 24 )-.# 2
–3
6
1
0
0
M
P1
P2
63
P4
P5
P6
P7
24
2
1
–2
1
0
0
0
0
22
1
2
4
0
1
0
0
–)
10
1
–1
2
0
0
–1
1
4
24
0
4
–8
0
0
0
0
5
–10
–1
1
–2
0
0
1
0
i
(
1
CV
P0
P4
1
2
P5
3
67
1
P4
1
34
3
0
0
1
0
–1
2
65
0
2
–1
4
0
0
1
2
3
P3
6
5
1/2
–1/2
1
0
0
–1/2
64
4
0
0
0
0
–4
4
1
P4
1
35
5/2
2
0
1
1/2
0
2
P6
0
1
–1/2
2
0
0
1/2
1
3
P3
6
11/2
1/4
1/2
1
0
1/4
0
68
2
8
0
0
2
0
4
1. 7 )- . 2. $ ? 3. N )- ’ ? ’ - «; , ,»: 1. F= 7x1 + 6x2 o max 2. F= 3x1 – 2x2 o max 2x1 + x2 d 11 2x1 + 5x2 t 10 105
5x1 + 2x2 t 10 x2 d 6 x2 d 5 x1,
–3x1 + 2x2 d 10 3x1 + 4x2 t 20 x1, x2 t 0 x2 t 0
3. F= 5x1 – 3x2 o min 3x1 + 2x2 ]t 6 2x1 – 3x2 t – 6 x1 – x2 d 4 4x1 + 7x2 d 28 x1,
4. F= x1 + 2x2 o max –3x1 + 2x2 d 9 3x1 + 4x2 t 27 2x1 + x2 d 14 x1, x2 t 0 x2 t 0
5. F= 7x1 — 2x2 o max 5x1 – 2x2 d 3 x1 + x2 t 1 –3x1 + x2 d 3 2x1 + x2 d 4 x1, x2 t 0
6. F= 2x1 + x2 o max x1 – 2x2 t 4 5x1 + 2x2 t 10 4x1 – 3x2 d 12 7x1 + 4x2 d 28 x1, x2 t 0
7. F= 2x1 + 2x2 o max 3x1 – 2x2 t –6 x1 + x2 t 3 x1 d 3 x2 t 5 x1, x2 t 0
8. F= 2x1 – 4x2 o max 8x1 – 5x2 d 16 x1 + 3x2 d 2 2x1 + 7x2 t 9 x1, x2 t 0
9. F= x1 + 2x2 o max 5x1 – 2x2 d 4 x1 – 2x2 t –4 x1 + x2 t 4 x1, x2 t 0
10. F= 3x1 + 3x2 o max x1 – 4x2 d 4 –x1 + x2 d 7 x1 +2x2 t 2 3x1 + 2x2 d 6 x1, x2 t 0
11. F= 2x1 – x2 o max x1 – x2 t –3 6x1 + 7x2 d 42 2x1 – 3x2 d 6 x1 + x2 t 4 x1, x2 t 0
12. F= 5x1 + x2 o min x1 + 7x2 t 7 –2x1 + x2 d 6 2x1 + 5x2 t 10 7x1 + x2 t 7 5x1 + 2x2t 10 x1 d 6 x2 d 7 x1, x2 t 0 106
13. F= x1 – x2 o max –x1 + x2 t 8 8x1 + 5x2 d 80 x1 – 2x2 d 2 x1 + 4x2 t 4 x1, x2 t 0
14. F= 7x1 + x2 o max x1 + x2 d 14 3x1 – 5x2 d 15 5x1 + 3x2 t 21 x1, x2 t 0
15. F= 7x1 – x2 o min x 1 + x2 t 3 5x1 + x2 t 5 x1 + 5x2 t 5 0 d x1 d 4 0d x2 d 4 x1, x2 t 0
16. F= x1 + x2 o min 3x1 + x2 t 8 x1 + 2x2 t 6 x1 – x2 d 3 x1, x2 t 0
17. F= x1+ 3x2 o max –x1 + x2 d 3 4x1 + 3x2 d 20 x1, x2 t 0
18. F= 2x1 + x2 o max x1 – x2 t 4 x1 + x2 t 10 4x1 – x2 d 12 7x1 + x2 d 7 x1, x2 t 0
19. F= 2x1 + 2x2 o max 3x1 + 2x2 t –6 x1 + x2 t 3 x1 d 3 x2 d 5 x1, x2 t 0
20. F= 2x1 – 4x2 o max 8x1 – 5x2 d 16 x1 + 3x2 t 2 2x1 + 7x2 d 9 x1, x2 t 0
K ( %++) & 8 . : 1. K ( %++) , )- . 2. K & )- . 107
12 4 1. E 8 : : (3 ' = > < :; ! (% ), < ! . & ! , & ! Ai (i = 1, P )
$ $ ai (i = 1, P ) q = Bj (j = 1,q ) $ = bj (j = 1,q ) ;$ ! , # = $
= Bj $- Ai,
Ai Bj > ij " . ; $
, #$ $ Bj,
. J# ,ij $ , #
> Ai (i = 1, P ) Bj (j = 1,q ), % ! : q
p
min o L(x) = ¦ ¦ cij xij
(12.1)
j 1i 1
q
¦ xij ai , i = 1, P
(12.2)
j 1
p
¦ xij b j , j = 1,q
(12.3)
i 1
Xij t 0, i = 1, P , j = 1,q ,
p
q
i 1
j 1
¦ ai ¦ b j .
(12.4) (12.5)
; (12.5) , # % ! ($ $ ¦ ai = ! = , $ = ¦ b j ). J# (12.5) "! , % ! >. ' % (12.1)— (12.5), # ! $ =108
¦ ai ¦ b j ( ¦ ai² ¦ b j ) $ $ $ i
j
i
j
¦ b j ¦ ai ( ¦ ai ¢ ¦ b j ) [1]. j
i
i
j
(12.1)—(12.5) = $ ’ > , $ !< > = $ " << ’ . ? ¦ ai ¦ b j ! $ >
> > = i
j
’ % (12.1)—(12.5). & $= (12.2)—(12.3) >! (p + q – – 1) [1]. =, % $ " (p + q – 1) , ,ij >0. 2. ( 33 -:3 8 % ’ > <
$ . 25. + 25 ,!*, 5 ! Ai
Bj
bj ai A1
a1
A2
a2
...
...
Ai
ap
"
B1
B2
...
Bq
"
b1
b2
...
bq
a', 0
c11 X11
c12 X12
c21
c22
X21
X22
...
... cp1
... ... ...
cp2
XP1
XP2
0
B'2, b''2, 0
...
c1q X1q c2q X2q ...
0 0 ...
cpq Xpq
; $ %
$ . 25 = $ $ " (p + q – 1) , # > $
,ij > 0. ;$ ! < < (- <)
$ , $ ,11. ! 109
$: $ = B1 >! b1, $ $ 71 >! a1. C a1 > b1, ,11 = b1 $ B1 ( B ! " , $ « "» B1 «0»). " a1' a1 b1 « "» A1. @ " a1' = $ ( # a1' > b2) $ ( # a1' < b2) $ B2. C ' ' a1 < b2, ,12 = a1 . ? a1 ( $ A1 , ! , « "» 7 «0»). ; $ B2 b2 – a1' >. ' b'2 b2 – a1' # ! « "» B2. ; $ B2 = $ ! A2 ( # a2 > b'2 ) $ ( # a2 < b'2 ). C a2 > b'2 , x22 = a2, b'2' b'2 a 2 b'2 $ =! xpq. ? $ " = ! $
$
( xpq ! , $ $ p + q – 1 xij
$ ). ' ! , # $ ! [1]. 3. ( 33(5 ( ; < -
$ . 25 ! = ,11, " ,ij, ! ij. ;
$ ij. %
$ ! , < ij ! " , $ 2 " $ $ > ,14 = 2 (a1 = 4, b4 = 2) a1' a1 b 4 2 ,
# 14 min cij 1 ( < < $ i, j
"). @ A1 ( # 12 13 min c1 j (3,2,2) 2 "
j
A1 ). %& #'
= , # $ -
,
110
= !
$ . % $ ">, = p + q – 1, # = ’ . % $= < «$ », #
>
$ , # ! = $ ($ =, = $ $ >). 1. ; $
. + 26 ,!*, 5 ! Bj Ai
bj ai A1
5
A2
2
A3
4
"
B1
B2
B3
2
3
6
2 2
1
"
3
a1'' = 0
3 4
3
5 2
3
6
4
0
4
b1' = 0
b2' = 0
a1' = 2
a2' = 0 a3' = 4 a3'' = 0
b3' = 2 b3'' = 0
,31 = 0, # ,12 = 2, ! B1 A1 c31 min ci 3 , = $ $ ,31 i ,13 = 0. ! . 4. 39F
? = > V min >. ; = $ = . ?
> VV. ? >> , 111
V. ; $ , # " , >>
. @ = . 5. :3 3 ( 3C (
&
$ . 26 ($
). C $ $ " ,24 = T > 0 ( # 24 = 1 " $ ij ). * "! $ 4 72. @ $ > T ,14 = 2, "! $ 71, ,12 = 2 T. K " $ 2 T ,32 = 3. @ $ 73 ,33 = 1 T. O
, > T ,23 = 2, >! $ 3, "
, A2, " " (.
$ . 25 ), , #$ ,ij ( ) , T $ $ ", = ,ij, T . ;! " ( = ). % T $ : T d min x ij ; .
min $ >! . ,24 = T, , #$ $ p + q – 1,
$ . A = $ , # T = min x ij .
(12.6)
.
' ! , # $ . )$ $ ! T . 6. 23(3 ? > 'j, # < $ >! 112
m
' j ¦ aij O k c j , j= 1,n ,
(12.7)
k 1
Ok — ! : m
¦ a ksi * O k C si , i= 1,m .
(12.8)
k 1
) (12.7) (12.8) = $ : 'j = / · Aj – Cj, j = 1,n .
(12.9)
/ Asi = si, i= 1,m .
Aj
§ a1 j · ¨ ¸ ¨ a2 j ¸ ¨ ... ¸ , Asi ¨¨ ¸¸ © a mj ¹
§ a1si · ¨ ¸ ¨ a 2 si ¸ , / = (O1, O2,..., Om). ¨ ... ¸ ¨ ¸ © a msi ¹
Aj — (9.15)—(9.17), ! ,j. Asi — - , # $ . * = $ Aij (12.1)—(12.4), ! ,ij $ % , >
Aij
§0 · ¨ ¸ ¨ ...¸ ¨1 ¸ ¨ ...¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨ ...¸ ¨1 ¸ ¨ ¸ ¨ ...¸ ¨0 ¸ © ¹
P+j
(12.10)
K Ix (i, j), # >
$ . 25, $ ,ij > 0. 113
Ix = {(i, j), ,ij > 0}
(12.11)
? W = /
W = (U1, U2, …, Up, – X1, – X2, …, –Xq)...
(12.12) K 'ij 7ij ( !> 'j Aj), (12.9) ! : 'ij = WAij – ij = Ui – Xj – ij. (12.13) =! $ Ui Xj — W WAij = Ui – Xj = ij, (i, j) Ix (12.14) ) (12.14) p + q – 1 p + q Ui Xj. ' Aij (12.14), - = $ . =, ! ! ’ , # ( , U1 = 0). ; Ui –Xj (12.13) = $ 'ij
$ . . % . X % , # 'ij d 0 (i = 1,p ; j = 1,q ). ) (12.13) ! !, > , << ’ . J
$ . 26. '" , # > $
$ . 26. A: (1,1), (1,2), (2,2), (3,2), (3,3), (3.4). ) (12.14): U1 – X1 = 11 = 3, U1 – X2 = 12 = 2, U2 – X2 = 22 = 4,
U3 – X2 = 32 = 2, U3 – X3 = 33 = 3, U3 – X4 = 34 = 2.
" . @ ! U1 = 0, –X1 = 3, –X2 = 2, U2 = 2, U3 = 0, –X3 = 3, –X4 = 2.
@ $ Ui -Xj :
) >
§ %11 %12 ...C1q · ¸ ¨ ¨ C 21 C 22 ...C 2 q ¸ C= ¨ ; .......................¸ ¸¸ ¨¨ © C p1 C p 2 ...C pq ¹ 114
$) > «Ui» «-Xj» Ui
§ %11 %12 ...C1q · ¸ ¨ ¨ C 21 C 22 ...C 2 q ¸ C= ¨ 0; .................... ¸ ¸¸ ¨¨ © C p1 C p 2 ...C pq ¹ – Xj
) % , # > ; ) U1 0 " Ui; ) Ui (U1 = 0)
ij(1j) " $ –Xj
, #$ (12.14), –Xj «–Xj»; ) , ! ij – Xj; $ Ui (12.14); =) > . .; ) ) Ui –Xj. 7. ( 23(3 1.
$ > % . 2. ;$ X, $ L(X). 3. ' > %, , # > . 4. $ Ui –Xj. 5. $ > %`. 6. ; . J# 'ij d 0, . &’ . J# ! 'ij t 0, ’ = . 7. ) 'ij t 0 $ 'st = max'ij. 8. @ 'st $ T. 9. $ T, T = min X ij , r ,k ! ,ij, #
"> (. .) . 10. ;$ X`, # > T , $ L(X`) L(X`) = L(X) – T'st. 115
% (% ) ! = > > < :;. % ! : q
p
min o L(x) = ¦ ¦ cij xij j 1i 1
q
¦ xij a i , i = 1,P j 1
p
¦ xij b j , j = 1,q
i 1
Xij t 0, i = 1,P , j = 1,q , p
¦ a i i 1
q
¦b j . j 1
; ’ % : 1. (! X. 2. $ >! %`. 3. ; ! . 4. J# 'ij d0, . &’ . J# ! 'ij t0, ’ = . 1. !$ !-%* # ; = ’
¦ ai ¦ b j 12. i
j
116
+ 27 ,!*, 5 ! Bj
bj
B1
B2
B3
B4
Ai
ai
2
5
3
2
A1
4
A2
2
A3
6
"
3
2
2
1
2 2
b1' = 0
=2 =0
4
3
1
2
3
2
2 2
"
2
1
3
2
b2' = 3 b2'' = 1 b2''' = 0
b3' = 0
b4' = 0
=0 =5 =2 =0
L(X) = 33. 2. !$ $' $ + 28 ,!*, 5 !
bj ai
Bj Ai
B1
B2
B3
B4
2
5
3
2
3 A1
2
4
2
2
2 4
2
2
2
b1' = 0
2 2
1
b2' = 3 b2'' = 0
b3' = 2 b3'' = 0
5
117
a2' = 0
1
3
3 4
"
T 6
2 6
1
3 2
2
a1' = 2 a1'' = 0
2
2
A3
1
2
3 A2
"
b4' = 0
a3' = 3 a3'' = 1 a3''' = 0
C ,12 = 2 ( # b2=5> a1' 2 ). @ , # C32= min ci 2 min(4,2) 2 x32 3, a 3' a 3 b '2 6 3 3 . . ' i ! , # , $
,
= . 3.
!&, !
+ 29
,!*, 5 !
Bj A A1 A2 A3
bj ai
B1
B2
B3
B4
2
5
3
2
"
3
V
2
4 2
4 1
VV
"
2
2 2
6
V
2 4
0
1,0
2 3
V
2,0 1
1 2
2
VV 1
1,0 3
2 4,0
0
0
L(X) = 21 % . X % , # 'ij d 0 (i = 1,p ; j = 1,q ). 4.
6$!
) " > %
$ . 25; $) ij, # >
$ ; ) " «Ui» «–Xj»; Ui §3 2 2 1· ¨ ¸ % = ¨2 4 3 1¸ 0 ¨ 2 2 3 2¸ © ¹
–Xj 118
) U1 ! (U1 = 0); ) " : 11 = 3 12 = 2, (12.14): U1 – X1=3 o 0 – X1=3 o –X1 = 3.
O" , U1 $ $ –X1, #$ > $ 11 –X2 = 2; Ui §3 2 2 1· ¨ ¸ % = ¨2 4 3 1¸ 0 ¨ 2 2 3 2¸ © ¹ –Xj 3 2;
) –X2 –X1 " ! ij ! 22 = 4, 32 = 2 –X2 = 2, $ = ’ U2 – X2=4 o U2=2, U3 – X2=2 o U3=0; Ui §3 2 2 1·0 ¨ ¸ % = ¨2 4 3 1¸ 2 ¨ 2 2 3 2¸ 0 © ¹ –Xj 3 2;
=) U2 = 2 U3 = 0, -X3 –X4: U3 – X3 = 33 = 3 o –X3 = 3, U3 – X4 = 2 o –X4 = 2. Ui §3 2 2 1·0 ¨ ¸ % = ¨2 4 3 1¸ 2 ¨ 2 2 3 2¸ 0 © ¹ –Xj 3 2 3 2.
%, Ui –Xj, = $ 'ij (12.3). @ Ui + (–Xj) $ ij (i = 1,p ) (j = 1,q )
> C`. § 0 0 1 1· ¨ ¸ C=¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ '11 = U1 + ( – X1) – 11 = 0 + 3 – 3 = 0, `
119
'12 = U1 + ( – X2) – 12 = 0 + 2 – 2 = 0, '13 = U1 + ( – X3) – 13 = 0 + 3 – 2 = 1, '14 = U1 + ( – X4) – 14 = 0 + 2 – 1 = 1.
;=> , = > §0 0 1 1· ¸ ¨ C` = ¨ 3 0 2 3 ¸ ¨1 0 0 0¸ ¹ ©
; , # > ($ $ $ ), >> >. %, , = . * # 'ij t 0, % ,
$ . 25, . @ < :; ! " L(X`) = L(X) – T'k, (12.15) 8 8` — « » . @ % (12.15) ! : L(X`) = L(X) – T'st, (12.16) T ! (12.6), 'st (12.13). @ #$ "" min(X), (s,t) $
, #$ T'st = max T'ij.
(12.17)
(i , j )
* # $ T'st ’ < $ T, (12.17) ! 'st = max 'ij.
(12.18)
(i , j )
?
$ (12.18) !
$ , < ! $ . ; , # 'st = '21 = '24 = 3 ( 'st = '24), T = min(X22, X34) = min(2,2) = 2. % # T ! , , < ! ,24 = T. ?
$ $ = (p + q – 1) – 1
, # $ (« #») . % ,`22 $ ,`24
$ 120
$ ( , > min (22, 24) = min (4, 2) = 2, $ ,24 = 0). % ,
$ . 26 ! : + 30 ,!*, 5 ! Bj Ai bj ai
A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
2
5
3
2
3 4
2
2
1
2
4
3
1
2
2
3
2
2
2
2
6
3 p
3
2 0
q
L(X) = ¦ ¦ C ij X ij
$ . 26 >! 33 i 1j 1
( $ ij ,ij, # ). L (X`) >! L(X`) = L(X) – T'34 = 33 – 2 · 3 = 27.
% T'34 = 6. @ X $ $ > C`` . . 5.
$'& $ % : 60, 55, 40, 35. ; $ : 70, 5, 45, 70. % : 1 2 9 7 3 40 15 5 . 6 4 8 3 24 3 3 1
« !-%* # » ' ! ,m · n >
. ,11 = min ( 1, b1). J# b1 < a1, x11 = b, " " , $ xi1 = 0, i = 2, 3, …, n. J# b1 > a1, ,11 = 11 ,1j = 0 j = 2, 3, …, m. 121
; $ >! ,12 = min (a1 – x11, b2) 1 > b1, x21 = min (a2, b1 – x11) a1 < b1. A =! ,
> n $ bm. + 31 ,!*, 5 ! B1
B2
B3
B4
70
5
45
70
5
40
" 71
60
60
72
55
10
73
40
74
35 "
5
10, 0
0
5, 0
45, 40, 0 35
35, 0
35
0
35, 0
«$' $» A $ . ! min cij. ;! )
ij. > , > <. + 32 ,!*, 5 ! B1
B2
B3
B4
70
5
45
70
1 60 1
2
9
7
3
13
11
40
15 45 14
5
15
5 35 5
5,0
0
"
71
60
72
55
73
40
74
35
3 10 4
16
45,0 9
10
40 5 8
12
24
3
3
15
6
7
1 35 2
10,0
0
0
35,0
3
"
0
122
« !&, ! » ? = «V» min >. ; = «V» min >. ?
. ? >> . ; — , «V». ; —
.
6$! ( %*;" $' $ ) 1.
$ > % . 2. ;$ 8, $ L(x). 3. ' > %, , . 4. @ > «ui» «–vj». C u1 = 0. 5. $ (ui – vj), > > ui – vj = ij > u1 ij. 6. $ > > 'ij = ui – vj – cij. 7. J# ! $ 'ij > 0, . 8. 'st = max 'ij. 9. @ 'st $ $ Q =min xij, min ! xij,
" . 10. ;$ , #> Q , $ L( xc) L( xc) L( x) 4' st 11. ; 3. ’ :
O 1. 123
+ 33 ,!*, 5 ! B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
"
2 71
–Q
10
30
0
13
+Q
5
–Q
7
0 50, 30, 0
20 30
14
4 5
7
9 2
6
0 20
50 10
8
"
0
20, 0
11
4
20
70
+Q
6
3 9
73
3
20
1 72
7
+Q 30
12 20, 0
0
30, 0
–Q
20, 0
5_ 0
ui 0 0 5 4 8 2 7 3 6 0 0 Cij = 9 4 5 7 0 3 'ij= 10 0 0 0 5 max'14 = 8 – Qmin = 20 11 8 6 0 0 5 7 6 2 0 8 L = 610
–vj 2 7 8 10 O 2.
8
+ 34 ,!*, 5 ! B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
"
71
30
72
70
73
50
7
2
3
6
10
0 20
40 5
5
4
9
20 7
7 10 –Q
6
2 50 +Q
"
124
0 +Q 0 0 –Q
ui 0 8 3 4 0 2 7 3 6 00 %ij = 9 4 5 7 0 5 'ij = 2 0 0 0 5 max '25= 5 – Qmin= 0 3 8 6 0 0 5 7 6 2 00 L = 450 –vj 2 –1 0 2 0
O 3. + 35 ,!*, 5 !
71
30
72
70
73
50
B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
7
2 10
6
3 +Q
4
9 40 5
0 –Q 20
5 20 –Q
7
"
7 10
6
0 +Q
0 0
2 50
"
0 3 2 1 0 2 7 3 6 00 %ij = 9 4 5 7 0 0 'ij = 7 0 0 0 0 max '13= 2 – Qmin = 20 8 8 6 0 5 5 7 6 2 05 L = 445 – vj 2 4 5 7 0
O 4.
+ 36 ,!*, 5 !
71
30
72
70
73
50
B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
7
2 10
3 20
9
+Q
4
5
7
6
40 5
6
125
0 –Q 0
7
0
–Q 10
+Q 20
2
0
50
"
"
0 3 0 1 0 2 7 3 6 0 0 %ij = 9 4 5 7 0 0 'ij = 7 0 2 0 0 8 8 8 0 5 5 7 6 2 0 5 – vj 2
4
3
7
0
max '14= 1
–Qmin = 0
O 5.
L = 410
+ 37 ,!*, 5 ! B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
"
2 71
30
72
70
73
50
3
7
10
20 9
4
0
7
0
0 5
40 5
6
10 7
6
20 2
0
50
"
ui 0 4 0 0 1 2 7 3 6 0 0 %ij = 9 4 5 7 0 1 'ij = 6 0 1 0 0 7 8 7 0 5 5 7 6 2 04
– vj 2
3
3
6
–1
' <= 0, . L = 410
+!# %: & ! , & ! 7i (i = 1, …, n)
$’! 126
$ i (i = 1, …, n) $’! = bj (j = 1, …, m). = $ = $- = . % < 7i j > > ij. ! "
, $ $ , = > . ’ : J# ,ij $’! , #
! 7i Bj, % ! : n
L( x)
m
¦ ¦ cij xij o min i 1 j 1
m
¦ xij
ai , i 1,..., n
¦ xij
b j , j 1,..., m
j 1 n
i 1
xij t 0 n
_ ¦ ai i 1
m
¦ bj j 1
2 7 3 6 9 4 5 7 % : : 30, 70, 50. ; $ : 5 7 6 2
10, 40, 20, 60.
« !-%* # » $ . 150 > 130 @ = $> 20 . 127
+ 38 ,!*, 5 ! B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
2
7
3
6
0
10
20
1
3
"
71
30
9 72
70
50
13
11
4
5
7
20
20
30
4 73
20, 0 0 50, 30, 0 9
14
5
7
6
2
0
10
8
12
30
20
20, 0
5 "
0
20, 0
0
30, 0
0
L = 10 · 2 + 20 · 7 + 20 · 4 + 20 · 5 + 30 · 7 + 30 · 2 + 2 · 0 = 466
«$' $»
+ 39
,!*, 5 ! B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
2
7
3
6
0
10
—
—
—
20
4
12
6
10
1
9
4
5
7
0
—
40
20
10
—
15
7
8
13
2
5
7
6
2
0
—
—
—
50
—
9
14
11
5
3
0
0
0
10, 0
0
"
71
72
73
30
70
50
"
L = 10 · 2 + 40 · 4 + 20 · 5 + 10 · 7 + 50 · 2 + 20 · 0 = 450 128
10, 0
30, 10, 0
0
« !&, ! »
+ 40
,!*, 5 ! B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
3 V
71
30
2 V
72
70
9 —
7 — 4 4 V
73
50
5 — 2
7 — 6
10
40
—
5 20 1 6 — 3
6 —
0 VV 20
7 10 5 2 V 50
0 VV — 0 VV —
L = 10 · 2 + 40 · 4 + 20 · 5 + 10 · 7 + 50 · 2 + 20 · 0 = 450
6$! ( %*;" $' $ ) #(: O 1. + 41 ,!*, 5 !
71
72
30
B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
2
–Q
3
6
0
10
20
1
3
13
9
+Q 4
5
–Q
20
20
30
70
7
+Q
4 5 73
11
7
6
2 +Q
8
12
129
0 9
14
50 10
7
0 30
20 –Q 5
_
ui 2 7 3 6 0 0 Cij = 9 4 5 7 0 3 5 7 6 2 0 8
– vj 2
7
8
10
8
0 0 5 4 8 'ij = 10 0 0 0 5 11 8 6 0 0 max '14 = 8 –Qmin = 20 L = 610.
O 2. + 42 ,!*, 5 !
71
30
B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
2
7
3
6
0
10 9
72
70
73
50
5
20 4
5
40
20
7
6
7 10 –Q
ui 0 8 3 4 0 2 7 3 6 00 %ij = 9 4 5 7 0 5 'ij = 2 0 0 0 5 3 8 6 0 0 5 7 6 2 00
130
+Q
2 50 +Q
–vj 2 –1 0 2 0 max '25 = 5 – Qmin= 0 L = 450
0
0 0
–Q
O 3. + 43 ,!*, 5 !
71
30
72
70
73
50
B1
B2
B3
B4
5
10
40
20
60
20
2 10
7
3 +Q
6
0 –Q 20
9
4 40 7
7 10 2 50
0 +Q 0
5
5 20 6
–Q
0
ui 2 7 3 6 00 %ij = 9 4 5 7 0 0 5 7 6 2 05
– vj 2
4
5
7
0
0 3 2 1 0 'ij = 7 0 0 0 0 8 8 6 0 5 max '13 = 2 –Qmin = 20 L = 445
O 4. + 44 ,!*, 5 ! B1 10 71 72 73
30 70 50
2 10 9 5
B2
B3
B4
5
40
20
60
20
7
3 20 5
4 40 7
6
"
131
6 +Q 7 –Q 10 2 50
"
0 –Q
0 0
+Q
20 0
2 7 3 6 0 0 %ij = 9 4 5 7 0 0 5 7 6 2 0 5
–vj 2
4
3
7
0
0 3 0 1 0 'ij = 7 0 2 0 0 8 8 8 0 5 max '14 = 1 –Qmin = 0 L = 410
O 5. + 45 ,!*, 5 ! B1
B2
B3
B4
5 "
71
30
72
70
73
50
10
40
20
60
20
2
7
3
6
0
20
0
5
7
0
10
20
250
0
10 9
4 40
5
7
6
"
ui 2 7 3 6 0 0 %ij = 9 4 5 7 0 1 5 7 6 2 0 4 –vj 2
3
3
6
–1
0 4 0 0 1 'ij = 6 0 1 0 0 7 8 7 0 5
' <= 0, , L = 410. 132
1. %& !' ()) . 2. $ * , , +? 3. :, ' . 4. $' ' * ? 1. ' ' . , : 1. : 20, 20, 40, 45
+ :
1 8 7 5
3 6 7 2
3 2 3 4
8 6 8 5
+ :
2 6 3
5 1 4
3 2 3
4 5 8
+ :
2 9 5
7 4 7
3 5 6
6 7 2
+ :
1 3
7 8
2 4
5 1
+ :
1 3 6 2
9 1 8 3
7 5 3 1
2 5 4 3
+ :
1 8 4
3 6 7
3 2 7
8 6 3
: 25, 30, 40, 15 2. : 45, 35, 70 : 20, 60, 55, 45 3. : 30, 70, 50 : 10, 40, 20, 60 4. : 40, 30, 50 6353 : 40, 20, 60 5. : 30, 40, 70, 60
: 35, 80, 25, 70 6. : 50, 20, 35 : 25, 30, 40, 15 133
7. : 30, 40, 70
+ :
1 3 6
9 1 8
7 5 3
2 5 4
+ :
3 7 6 3
7 5 4 1
1 8 8 7
5 6 3 4
4 3 2 2
+ :
4 5 6 10 3 2 4 10 5
8 3 1
10 15 16
+ :
1 3 6 4
2 4 4 3
9 6 8 3
7 5 3 1
+ :
2 3 5 4
3 4 1 5
9 6 2 8
7 1 2 1
+ :
18 2 30 4 6 4
9 1 8
7 55 3
: 35, 40, 25, 70 8. : 30, 5, 45, 70
: 30, 35, 25, 25, 35 9. : 130, 90, 80 : 110, 30, 50, 30, 90 10. : 60, 55, 40, 35
: 70, 5, 45, 70 11. : 20, 16, 14, 11
: 16, 18, 12, 15 12. : 68, 55, 40 : 42, 25, 33, 56 13. : 130, 90, 100, 140 + 2 : 8 7 2 : 110, 50, 90, 60
3 1 4 8
6 2 4 5
8 3 1 1
14. : 60, 40, 100, 50 + 8 : 7 9 5 : 30, 80, 65, 35, 40
12 5 4 3
4 15 6 2
9 3 12 6
134
10 6 7 4
15. : 50, 40, 20
+ :
3 2 3
2 3 2
4 1 7
1 5 4
+ :
10 5 7 7 4 9 6 14 8
4 10 7
+ :
2 3 5
4 1 4
3 2 1
2 3 5
+ :
1 3 5
2 1 7
6 3 5
4 2 1
+ :
2 2 3
4 3 4
5 9 2
1 4 5
+ :
1 5 6 7
3 2 4 1
3 7 8 5
4 5 2 7
: 30, 25, 35, 20 16. : 40, 25, 35 : 15, 40, 30, 15 17. : 60, 65, 70 : 40, 60, 70, 25 18. : 40, 30, 20 : 30, 25, 15, 20 19. : 60, 70, 20 : 40, 30, 30, 50 20. : 50, 20, 30, 20
: 40, 30, 35, 15 K ( %++) , : 1. - , ; 2. ) ; 3. ' .
135
13 83 (9 4 : 1. 38 3 4 3 3 @ < , < ! n
¦ ai
i 1
n
¦bj ,
(13.1)
j 1
* ’ " > , ! , $ (13.2) ¦i ai ! ¦ j b j
$
¦ i ai ¦ j b j
(13.3)
% (13.2) " -
A > $ i , $ ¦i ai ¦ j b j
def
bq 1 .
(13.4)
* , # $= $ > (13.5) ¦ j xij d ai * (13.3)
¦ j b j ¦i ai
(13.6)
a p 1
¦i xij d b j .
(13.7)
@ " p-$ (13.5) x1,q 1 , x2,q 1 ,..., x p ,q 1 , p
¦ xi ,q 1 ¦i ai ¦i ¦ j xij i 1
136
bq 1 ,
(13.8)
* x p 1,1 ,..., x p 1,q ,
¦ j x p 1, j
¦ j b j ¦ j ¦i xij
¦ b j ¦ ai
a p 1
(13.9)
?
= <
$ >
(2- ) $ = (1- ). * $ ! = 0. 2. E(8 5 K $ ! $ $= , $ >. A , # $ $’ . $ ! " " $ " Cij (< > M $ < " # ’ ). O = $ >, " $= < , $ xij d d ij ,
d ij const . * ’ < = , # $, xij t 0 xij d d ij . * = ’ = $ . * #
, = ! ’ . 3. 3 8 F m
$ $ ! p < $’! , aik , i 1, m , k 1, p , ($’! < - i- $ ). A ! n
= $’! , bik , j 1, n, k 1, p . 137
'
Cijk — > - < i-
j- = . F xijk — $’! - i- j-. m
F , ¦ aik i 1
n
¦ b jk k = 1, p j 1
¦ ¦ ¦ cijk xijk o min n
¦ xijk
aik , i 1, m, k 1, p
j 1 n
¦ xijk
bik , j 1, n, k 1, p
i 1
xijk t 0 , i, j , k .
A . J# # , # = $
, 4- . $ " $ = ’
< ( ). C $ "
- . * m, n, p, …, $ "! << ’
! = . 1. $ ' , ? 2. K ; , . 3. K ; , ; ! . 4. $ ?
138
14 F4 ( 1. 3 F4 3 O < :; ! . = :; =
" :;, # ! < > <. %
>! ,
$ ’ = $> . ) :; < < < !
’ = < . C :; . ' ! , # . n
max o L (x)= ¦ ci xi
(14.1)
i 1
n
:
¦ aij xj = bi (i = 1, m)
(14.2)
xj j 0
(14.3)
i 1
*$ L (X) = (C, X)c
(14.1c)
AX = B
(14.2c)
X = j0 (14.3c) @< > > (14.7)—(14.9) $ : , # < m
L (y) = ¦ bi yi o min.
(14.4)
¦ aij yi > = cj (j = 1, n), xj > = 0.
(14.5)
i 1
m
i 1
*$ L (Y) = (B, X)c 139
(14.10c)
; YA > = B. (14.11c) ' ) $ . , # ! (14.4)—(14.5), %. ., , ! min L , ’ ’! , > :;, > ’ . ? (14.4)—(14.5) :; (14.1)— (14.3): 1. ' $= (14.1)—(14.3)
! (14.4)—(14.5); 2. ' (14.1)—(14.3)
! $= (14.5); 3. (14.4)—(14.5) ! > > (14.1)—(14.3); 4. (14.4)—(14.5) — min L, (14.1)—(14.3) — m L; 5. $= " $= ; 6. $ < n m. (14.1)—(14.3) ! <, (14.4)—(14.5) — < > <. 2. ( 3 E. 3
& :; $= . X = (x1, …, xn), # max < L: n
L (x) = (C, X) = ¦ ci xj N max
(14.6)
i 1
n
¦ aij xj <= bi (i=1, m)
(14.7)
i 1
xj > = 0 (14.8) @ #$ , < (14.6)—(14.8),
> ! . A $ > (# $ > ) xn + i (i = 1, m). n
¦ a ijxj + xn+i = bi; i = 1, n
(14.7`)
xj j 0; j = 1, n m
(14.8`)
j 1
140
* ! : n
L (X) = ¦ cixj + 0³ xn+i + … + 0³ xn + m j 1
@< < (14.6c)—(14.7c) (
n
L (N)= ¦ bi yi o min
(14.9)
i 1
:
m
¦ aij yi >= cj (j = 1, n )
(14.10)
i 1
Ni j 0 (i =) 1,.m .
(14.11)
? $= (14.7c) (14.10), (14.11) ( = > * = (*/) a *c = (*c /)). ; =, # (14.9)—(14.11) < > $ (14.6)—(14.8). ' aijc = –aij bic = –bi cic = –ci
% (14.9)—(14.11) : m
¦ bi yi o max
(14.12)
¦ aijc yi <= cjc (j = 1, n )
(14.13)
i 1
m
i 1
(14.14) (14.12)—(14.14) $ ! > (14.6)— (14.8). C " < < : NI j 0 (i = 1,.m )
n
¦ cjc xjc o min
(14.15)
¦ aijc xj > = bic (i= 1, m )
(14.16)
x j j 0 (j = 1, n ).
(14.17)
j 1
:
n
j 1
141
(14.6) — (14.8) " ¦ bi xi o max
(14.15c)
n
¦ aij xj k bi (i = 1, m )
:
(14.16c)
j 1
(14.17c)
x j j 0 (j = 1, n ).
%. . (14.6)—(14.8) (14.15c)—(14.17c) $ > . ; (14.6)—(14.8) (14.9)—(14.11) ! > ’ > > :;. 3. (5 ( 3 3C
& :; " . n
'
max L( X )
¦cjxj
(14.18)
j 1
:
n
¦ aij x j d bi , (i 1, m1 ) m1 d m j 1
n
¦ aij x j bi , (i m1 1, m)
(14.19)
j 1
xj t 0
( j 1, n1 )
n1 d n
(14.20)
"> (14.18)—(14.20), (’ >), ! < :I. m
L(Y ) ¦ bi yi
(14.21)
i 1
:
m
¦ aij yi t c j ( j 1, n1 ) n1 d n i 1
m
¦ aij yi
cj ( j
n1 1, n)
(14.22)
i 1
yi t 0
(i 1, m1 )
m1 d m
(14.23)
% ’ = > " , $! : J# xj (14.18)—(14.20) ! >,
j- (14.22) ! >. J# = xj 142
’ > ’! ,
j- (14.22)— . * ! $= (14.19) (14.23). J = , (14.21)—(14.23) ! < > "> (14.18)—(14.20). % > > > ( $ ! ’ ) . C <
> ". ; . (- ’ < = = >, << > >. = !< "> "<, < > ! ’ > >. 4. 83 4 39F 3 ( C $ ! n < ;1, ;2, …, ;n. ; > S1, S2, …, Sm . C > < ;j ! aij Si. $= b1, b2, …, bm. < ;j ! ! %j . ! , # xi , # > <, ;j: L = c1x1 + c2x2 + … +cnxn
(14.24)
;
">: ai1x1 + ai2x2 + …+ ainxn d bi, (i 1, m)
(14.25)
O $ , # ! #! , . ., xi t 0
(14.26)
;, , # ! $ ;j xj,
#$ $ (14.24) $ , (14.25) (.
$ . 46). 143
+ 46
' < '
;$
'
a1n
b1
S1
…
…
…
…
am2
…
amn
bm
Sm
x2
…
xn
;1
;2
…
;n
1
2
…
n
y1
a11
a12
…
…
…
…
ym
am1 x1
; $
C $ = ! $ ! , # ! , S1, S2, …, Sm. ! , #$ $ , . ., = $ , ! < ;j ( j 1, n) . % << $ ! , # ! . C ,
, $ , = ! $ !< >. ; Y = (y1, … ym) — , $ . ; ;j < > Si aij. ' !< ;j > : m
¦ aij yi t c j
( j 1, n)
(14.27)
i 1
, # ! , # = !< $ " $ , ! ! $ !< >. : m
L(Y ) ¦ bi yi
(14.28)
i 1
, # <, # $ ! , $ > "", . . (14.28). 144
% , # Y: Y t 0, #. . yi t 0
(i 1, m) .
(14.29)
% ! :;. ; ! > $ ! . 5. ( E 39F 3 = :; " $= n
F
¦ ci ai 0 o max
(14.30)
i 1
$= m
¦ aij x j d bi , i 1,..., n1 , n1 d n j 1 m
¦ aij x j bi , i n1 1, n2 2,..., n
(14.31)
j 1
x j t 0, j 1,..., m1 , m1 m.
=
" , ! ~
n
> "> "< F ¦ bi yi o min i 1 $=
(14.32)
n
¦ aij yi t c j , j 1,..., m1 , m1 d m
i 1 n
¦ aij yi c j , j m1 1, m2 2,..., m
(14.33)
i 1
yi t 0, i 1,..., n1 , n1 n.
> < < , =
: 1. J# ! > <, $ > <, . 2. J# , d, $ =" (–1); # , t. 145
3. ! < < <
> $= < . 4. ' < b1, b2, …, bn
> !
< < < . 5. $= < $= < . 6. K < $= <, $= < < . 7. ' ! = < $= < < ! =>: j- $= < < $ >, # j-> < ; # = j- $= , j- $= $ . ; < > >
$ > < = < . )
! " Y % 7,1 ' % — - ! < < $ , <
"> = , # $ , < (
<) -
$ . 7, ! , $= < ("< -
$ ), = , # $ , < (
<) -
$ . 7,1 ! ,
< ( <) -
$ , = , # $ , < ("<)
$ . (O ": 7,1 ! < -
$ , = <
$ ). max, $= «>».
= :; =
" :;, # ! < <. 146
J # : n
max o L (x)= ¦ ci xi i 1
n
¦ aij xj = bi (i = 1, m) i 1
xj j 0,
> > $ : m
L (y)= ¦ bi yi o min i 1
m
¦ aij yi > = cj (j = 1, n) i 1
xj > =0.
’ = : 7 $= < ! > > . ! < < < ! $= < , $= < ! !
< < < . $B < . ; ) < < ,j $ $ , #$ > < ij bi $ <, # ! , # $ (i) < <.
;
— , $ = , #$ bi < j . yi > $ $
F 5 x1 3 x2 o min 3x1 2 x2 t 6 2 x1 3x2 t 6 x1 x2 t 4 4 x1 7 x2 t 28 x1 , x2 t 0 147
; : ~ F ( y)
6 y1 67 y2 4 y3 28 y4 o max 3 2 2 3 A 1 1 4 7 3 2 1 4 AT
2 3 1 7 3 y1 2 y2 y3 4 y4 d 5 2 y1 3 y2 y3 7 y4 d 3 yj t 0
)
! " Y % 7,1 , #$ . > > Y % 7,1 . % = (–5; 3; 0; 0) 1 2/3 0 0 0 3 / 13 0 0 7,1 = (*1; *4; *5; *6) = 0 5 / 13 1 0 1 0 1 0 ? Y % 7,1
-
. Y
1 2/3 0 3 / 13 (5;3;0;0) 0 5 / 13 0 1
0 0 1 0
0 0
Y 0 1
(0,69; 1,46; 0; 0) F = –4,61.
1. N * ' ? 2. ' '! !. 3. 6 . 4. 6 ; . 5. P ' ' . 148
2. ' ' ’ - . : 2. F = 5x1 + x2 o min 1. F = 2x1 – x2 o max x1 + 7x2 t 7 x1 – x2 t –3 –2x1 + x2 d 6 6x1 + 7x2 d 42 2x1 + 5x2 t 10 2x1 – 3x2 d 6 7x1 + x2 t 7 x1 + x2 t 4 5x1 + 2x2 t 10 x1, x2 t 0 x1 d 6 x2 d 7 x1, x2 t 0 3. F = x1 – x2 o max –x1 + x2 t 8 8x1 + 5x2 d 6 x1 – 2x2 d 2 x1 + 4x2 t 4 x1, x2 t 0
4. F = 7x1 + x2 o max x1 + x2 d 14 3x1 – 5x2 d 15 5x1 + 3x2 t 21 x1, x2 t 0
5. F = 7x1 – x2 o min x 1 + x2 t 3 5x1 + x2 t 5 x1 + 5x2 t 5 0 d x1 d 4 0d x2 d 4 x1, x2 t 0
6. F = x1 + x2 o min 3x1 + x2 t 8 x1 + 2x2 t 6 x1 – x2 d 3 x1, x2 t 0
7.F = x1+ 3x2 o max –x1 + x2 d 3 4x1 + 3x2 d 20 x1, x2 t 0
8. F = 2x1 + x2 o max x1 – x2 t 4 x1 + x2 t 10 4x1 – x2 d 12 7x1 + x2 d 7 x1, x2 t 0
9. F = 2x1 + 2x2 o max 3x1 + 2x2 t –6 x1 + x2 t 3
10. F = 2x1 – 4x2 o max 8x1 – 5x2 d 16 x1 + 3x2 t 2 149
x1 d 3 x2 d 5
2x1 + 7x2 d 9 x1, x2 t 0 x1, x2 t 0
11. F = 5x1 +4 x2 o max 2 x1 – 3x2 t 3 x1 + 4x2 d 8 x1 + 3x2 d –6 x1 + 3x2 t –4 x1, x2 t 0
12. F = 2x1 – x2 o min x1 + 7x2 t 7 –2x1 + x2 d 6 2x1 + 5x2 t 10 7x1 + x2 t 7 5x1 + 2x2t 10 x1, x2 t 0
13. F = 5x1 – 4x2 o min –x1 + x2 t –3 x1 + 5x2 d 1 x1 – x2 d –2 x1 + 4x2 t 4 x1, x2 t 0
14. F = 5x1 + 6x2 o max 6 x1 + 3x2 d 12 –3x1 + 5x2 d 15 2x1 + 3x2 t –6 x1, x2 t 0
15. F = 4x1 – x2 o min 3x1 + x2 t 8 5x1 + x2 t 5 x1 + 5x2 t 5 x1, x2 t 0
16. F = x1 + x2 o min 5x1 + x2 t 5 x1 + 2x2 t 6 x1 – x2 d 3 x1, x2 t
17. F = 2x1 – 3x2 o max x1 – x2 d 3 –4x1 + 3x2 d –10 5x1 – x2 t 5 x1, x2 t 0
18. F = 2x1 +3x2 o max x1 – x2 d 4 x1 – x2 t 5 4x1 – x2 d 3 x1, x2 t 0
19. F = 6x1 + 2x2 o min 4x1 + 5x2 t 6 x1 + x2 t 3 x1 d 5 x2 d –5 x1, x2 t 0
20. F = 2x1 + x2 o max x1 – x2 d 6 x1 + 3x2 t 6 2x1 – 3x2 d –9 x1, x2 t 0
K ( , %++) ' . 150
×àñòèíà 3
15 3 23( 4(5 1. (53 , # :;, ! ’ . @ = , > < <, , $ = ! , ,
=
, ,
$ < <. !
, , > ! , ! , # , ’ $ ( xij t 0 , xij — ). ? : xij (,ij – 1) = 0, $ ,ij — @$> > ^,` ! ^,` = , – >,@, >,@ — , $ $ " , # #! ,. ( # ,ij = 1, 1 – (1 – 1) = 0). 2. (3 -8( ( ' " > $< <, $ ,
$$
. 151
@ $ > - , $ > $ . - > , $ ! $ ! $
. & . 3. 3(
E F 43 : @ < $ $ = $’!- . ? $= I — , i – 1, ..., m; j — $< , # ! K
; k = 1,..., K (k-
); j — , ! ; t — , ! ; aijkt —
k-<
> i- , # = j- t- ; A kt —
"
k-
t- ; cij — (
) i- , # j- ; ,ij — = 1, # i- j- ; (1 — $ , $ $’ > . - !: — max
= $ = >6@. A m T
L( x)
¦ ¦ cij xij o max .
i 1j 1
152
(15.1)
) : cji
¦ ¦ aijkt k
(15.2)
t
$= : ; $
m T
¦ ¦ aijkt xij Akt , k = 1, …, K t = 1, …, T.
(15.3)
i 1j 1
; $’ > T
¦ xij 1, i E1
(15.4)
j 1
(i- j- , # > ). ; $’ >
¦ xij d 1 i E1. >
(15.5)
(15.6) Y — «
», = « > » >7@. xij (,ij – 1) = 0, ,ij —
4. N88 > ! $ $ "> > >, # # > > . A ! $ - ( $>=
. .). = . : p (> ) $’! $= = N . @ =
i- i = 1, 2, ..., N $’! . ? = . ;
!
, #$ , # , $ , < $’! # V. 153
=
= ’ /- ,
. @ = $ <
= ,
= . . !
, =: ' 1, 2, …, n ( « » $ « » ), 1, 2, …, n (« » ) B («» > ). < < F
n
¦ c j x j (15.7) j 1
$= «> » n
¦ ai xi
B ,
j 1
xi ^0;1`
(i = 1, m)
(15.8)
5. EE (5 8 p m — " B = (b1, ….., bm) $= , = <
=. = j-
= (j = 1, n) !
: 1. , $ = $ $-
= xj 1; 2. — cj ( ); 3. i- j-
= aij i = 1, m, j = 1, n. ' ! $
$
= , ! : n
¦ c j x j o max
F
(15.9)
j 1
n
¦ aij x j d bi , j 1
x j t 0, ( j 1, n) x j e
(15.10)
— < . = n = $ $ (xj = 1), $ (xj = 0). % (15.7)—(15.8) ! : x j ^0;1` (15.11) A . 154
6. E3 4 ; !, # , $ "
<== ! > . $ ! $ = " ! > =
$ > . (@ — , — $ > , ,
).
: $ = "
, $ $ = $ . ’ : F j- " <== ! bj = (j = 1, n). ; = > m (i),
: 1. ai1 — = ; 2. ai2 — $ > ; 3. ai3 —
; 4. ij — $ i- j- " ; 5. b2 — $ > : 6. b3 —
. F xij — i- j- " . % : F
m
n
i 1
j 1
¦ ¦ cij xij o max
(15.12)
' = "
$ : m
¦ ai1 xij t b1
(15.13)
i 1
$= $ > : m
¦ ai 2 xij t b2 i 1
155
(15.14)
m
$= : ¦ ai 3 xij t b3 (15.15) i 1
xI t 0 , ,i — . 7. 8E3 & = ($ ). p n P1, P2, ….., Pn. F < Pi Pj ! tij. = , # Pi — $’< , $ " = , . ' = (n – 1)! ( Pi = $ ) . = = > xij i, j = 1, n, i j, xij = 1, # = Pi <== ! Pj xij = 0 — ". % >
F
n
n
i 1
j 1
¦ ¦ tij xij o min
(15.16)
= Pi $ $ ,ij = 1, # = Pi ! Pj ( $ # Pi Pj $ ), ,ij = 0 ", i-< " 1 $: n
¦ xij 1
(15.17)
j 1
jzi
O j-> " 1 $: n
¦ xij 1
(15.18)
i 1
izj
* (15.17)—(15.18)
$ = $= , . 4
= ! (15.17)—(15.18). % $ $= , # > # > " = n " "< = ( $ > ! b) . 5. 156
P2
P6
P7
P1
P5
P4 P. a)
P2
P4 u4
P3 u3
P5 u5
P6 P8 u8
P1
P7 u7
P. b)
j z i. &. 5. ' = "
= Pi ’ = ui (i = 1, n – 1) $ : ui – uj + nxij d n – 1 i, j = 1, n i z j (15.19) F {xij} ! "
. % ! ui, $ {xij} (15.19). ? (15.19) $! " . % , = min o+(x), $ < (15.16) $= (15.17), (15.18), (15.19) $= 0, i, j = 1, n i z j (15.20)
$ ,ij = 1, i, j = 1, n i z j ui — i = 1, n – 1. !
, , > ! 157
, ! , # : , ’ $ ( xij t 0 , xij — ). A ! $ - ( $>=
. .). ? - : n
¦ c j x j o max
F
j 1
n
¦ aij x j d bi , , j 1
x j t 0, ( j 1, n) x j e
1. $ ? 2. K ; , - . 3. 6 , H * ; ' .
158
16 (3 323F 8 N 3( 1. 23( 4(5 : O! N ( , " , ", . .) => l #> s. C$ < m , => lj #> sj, j = (1, …, m) — . K j- , < bj. & = $ $ n $ . ; , j- = i- $ >. K (j) i- < >! aij. @ = $ > i (i = = 1, …, n). K i , i- $ (,i — ). ! ?
. ; $ $ xI t 0 (i = 1, … n) — , i- $, # > : A n
L( x) ¦ ci xi o min
(16.1)
i 1
$= n
¦ xi d N
(16.2)
i 1
$= = n
¦ aij xi bj (j = 1, …, n)
(16.3)
i 1
J# $ ! (,) , n
¦ aij xi bjx
i 1
159
(16.4)
¦ ai1xi j
¦ aij xi j
…=
bj
b1
¦ anj xi j
bm
xI t 0 , ,i — .
(16.5) (16.6)
2. 8 39 8
: C " $ = $ ! $ $
" $. F j- > (j = 1, n) ! b
i- (i = 1, m), > cj. >, #
i- Bi " , ! <
, #$ $ = $
= . ’ : ; , # j- >! x j 2
. < j- bij
i- ,
> $ = bi1 x1 bi 2 x2 ... bin xn
i-. $ Bi
, bi1 x1 bi 2 x2 ... bin xn Bi (i = 1, m).
> F c1 x1 c2 x2 ... cn xn . % , < < : < n
F
¦cjxj
(16.7)
j 1
, # << > n
¦ bij x j
B j (i = 1, m)
j 1
xij t 0 (j = 1, n). 160
(16.8)
) ! > , (16.7) , (16.8) . ;! $ " =$
’ «&> » ( ,
— , $
, , , " , . .). ? $ " $ ! , # $> = , $ $ <. '
; = > = " 20 % . &$ > > ; $ $ $ , ’ = . 6$' %# 7!" $ & (. . 6). 2000
2500
1500 3000
&. 6. 161
; $ (. . 2)
, => l = 6 ( N = 100 " .) i = 1 — => 1500 — 2 " . i = 2 — => 2000 — 2 " . i = 3 — => 2500 — 3 " . i = 4 — => 3500 — 2 " . ' >
=> 6
$ . 47. C : xi — , i- (,i — ) + 47
,!$,9 '
N
>
3
2,5
2
1,5
1 (,1)
2
—
—
—
—
2 (,2)
1
1
—
—
0,5
3 (,3)
1
—
1
1
1,0
4 (,4)
1
—
—
—
—
5 (,5)
—
2
—
—
1,0
6 (,6)
—
1
1
1
—
7 (,7)
—
1
—
—
0,5
8 (,8)
—
—
3
3
—
9 (,9)
—
—
2
2
0,5
10 (,10)
—
—
1
1
1,0
11 (,11)
—
—
—
—
—
2
3
2
2
;
' ()
? $ N1 : 2 x4 + x6 + x7 + x9 + 2x10 + 4x11 = 2 N2 : ,3 + ,6 + 3,8 + 2,9 + ,10 = 2 N3 : ,2 + 2,3 + ,6 + ,7 = 3 N4 : 2 ,1 + ,2 + ,3 + ,4 = 2 (2x4 + x6 + x7 + x9 + 2x10 + 4x11) / 2 = (,3 + ,6 + 3,8 + 2,9 + ,10) / 2 = = (,2 + 2,3 + ,6 + ,7) / 3 = (2,1 + ,2 + ,3 + ,4) / 2 ¦ xj d 100 — N = 100 " . 162
A L(x) = 0,5x2 + x3 + x5 + 0,5x7 + 0,5x9 + x10omin 1. K ; - « '» 2. K ; & ! . 1.
K '; ;: 1- * 50 ; . ! 6,5 , 2- 200 ; . 4 . , ; , H ! 2-, 2 1- 1,25 . + ;, H . 2.
K * , ;! 700 , , : 1-' ;! 230 , 2-' — 190 , 3-' — 80 . : 1 = = 60 ; ., 2 = 90 ; ., 3 = 80 ; . * , . , H * . 3.
5- , 1,5; 2,4; 3,2 ; 2: 3:5 , H , . 4.
P , 0,6; 1,5; 2,5 ; 2 : 1: 3 , ! 3 2 . % ; 3- 2- * 1:3. , H * . 163
17 (53 E E( E 1. (53 # $ =
= ! < = $ > $ ! « > ». : p n m . i-
j- >! V (i, j). ' !
, #$ < $ >. *$ =: " i-
j- V (i, j). ' !
, #$ " >. @ % = (ij) D = (dij) , # "< " : dij = ij + i + fj j 1, n , i 1, m
, # ij = d ij – i – fj j
(17.1)
1, n , i 1, m .
. = $ $ ! . : @ =. ' ! % D (17.1): f1
f2 "
c11 c12 °" " %= ° ® ci1 ci 2 °" " °c ¯ n1 cn 2
(d)
fj " " " " "
fn c1 j " cij " cnj
" " " " "
c1n ½ "° ° cin ¾ "° cnn °¿
d ij = ij + i + fj 164
e1 " a D = (ij + i + fj) ei " en
C Ic* — %. Ic* = {(1, j1), (2, j2), …, (n, jn)}
C > D ! " , # = Ic*. ID* = {(1, j1’), (2, j2’), …, (n, jn’)}
A !, #
ID‘*
I%*
d1 j ' d 2 j ' ... d nj ' ! d1 j1 d 2 j2 ... d njn 1
n
2
(d): (*) c1 j ' e1 f j ' ... cnj ' e n f j ' ! c1 j e1 f j ... cnj e n f j 1
n
1
n
1
1
n
n
6 fj’i = 6 fji,
= fj = $ " . (*), ! c1 j ' ... cnj ' ! c1 j ... cnj n
1
1
n
ID*
$ # = I%*. ) , # D = $ ", = % . ! ,
, # $- D %. 2. C $ n $ ! n ( ") < , = = $
$- , $ . ; i- j-< $ — ij. ; $
$
, #$ $ >. ' xij — i- j- $ , xij = 1, # ! xij = 0 " . : ) : m
n
L(x) = ¦ ¦ cij xij o max .
(17.2)
i 1j 1
= ! $ : n
¦ xij 1 , i 1, m . j 1
165
(17.3)
= $
! : n
¦ xij 1 , j 1, n
(17.4)
1½ ¯0¿
(17.5)
i 1
xij = ® ¾ , i, j.
$= (17.5) $ . :. ;. A $ . * !< < ( (79) — $ < ( # $ (17.5)). ( " , % ai bj xij = . % (17.2)—(17.4) > > xij t 0, i, j (17.6) = $ ’ , ’ xij $ 0 $ 1. " - , ’ (17.2)—(17.5) " . ’ : C § c11 " c1n · ¨ ¸ % = ¨" " "¸ ¨c " c ¸ nn ¹ © n1
. &’ (17.2)—(17.5) — !: $ = % = % ij,
, #$ 6 6 ij, $ $ >. ) *: &’ (17.2)—(17.5) > < (17.4) — =, # ’ (17.2), (17.3), (17.5) >: L(x) = 6 6 (–cij) xij o min % (17.2), (17.4), (17.5), (17.6) > «–%» > D, $ . O = = $ $ $ . @ = «–%» $ " , %. ! > %'
= ! $ >. 166
% = %' min . ! > D dij t 0, = < ! $ > (dij = –cij + max cij — min c'ij 1 d i d n, 1 d j d n). C < . = n < >!, , >. %. ., "
$ D, $ <
, n = = . , # $ ! , ! , #$, $ ", # $ ", = , $ $ ( ). ; > = = . J$ $
n, #$ = , " , $ $ ’ . J# $ ! , !, # " $ $!, >> $ " $ , " >. J#, $ " , $’! , $ >
, #$ ’ $ " ( > $ ). ; = $ $ $ " . ! $
: $ = , = $ < = $ $ . . ; << ’ " > < , . ; = =< $ ! . . ! < . C " << ’ ! , , , = $ . 1. %& !' . 2. K ; ()) 167
18 ( ’ 3 1. 4 D 9 ’ 3 " : 1. ; = < = $ =
. (; = < = $ =
) 2. ? = $ =
. (; = < = $ =
). 3. )$ «*»
, #$ «*»
= = . ? . 4. J# «*»
> ,
, #$ $ = . 5. ) $ h. 6. ;$ >, : x h; x @ , > , h; x , > " $ . 7. ; 3. 2. 458 9 ’ 3 " : 1. ' ! % o D. 2. '$ «0». 2.1. ' «*» $- «0» 1- D. ' «*» $- «0» 2- D, = , # «0» " . ' «*» $- «0» 3- D, = = , # «0» " . . 168
2.2. J# «*» n «0», ’ . ' $
D (dij = 0*) xij = 1. ; $’! $ . &’ . 2.3. J# «0*» " = n, . 3. 3. '$ «0». 3.1. ' «+» , «0*» $ (" ’ $ , $ $ - — «0'»). , # $ $ , > $
. O" $ . 3.2. J# ! $ «0», $ $ , $ ( . . $= 0*). ! >, # $ . ; . >! , . ., " =
L(,). ; . 3.3. 3.3. J# ! $ , , > $ , $ " «*»- $ «'» «'». A — . ; «+» ( ) — $ . J# , $ «0'» ! «0*», . 5 ( $ «0» $ "). J# = ! «0*», . 4 ( $ $ " ,
«0'» «0*»). 4. ( «+») , # «0*», , # = «0'». ; . 3.2. 5. (? , 0', ! 0*). ; > 0'
$! >= : «0'» «0*», = , «0'», «0*» «0'», «0'» «0*» >
. . >= $ 0' (= , $ " = 0'). ? >= «0’» $ " «0*», $ 0 $ $ ". «*» 0*, # >=, «'» «*». . 2.2. : >= $! , #$ = « »
" $ ( 1 ). )# ’
’ ! = 169
$ =
= !- < = $ > $ . , # $ ! , ! , #$, $ ", # $ " = , $ $ ( ). J#, $ " , $’! ,
$ >
, #$ ’ $ " ( > $ ). ; = $ $ . 1. & . max 2 4 2 4 0
3 2 2 3 1
3 4 2 4 0
5 6 4 3 2
4 2 3 5 0
4
3
4
6
5
2 0 2 0 4
0 1 1 0 2
1 0 2 0 4
1 0 2 3 4
1 3 2 0 5
min –2 –4 –2 –4 0
4
–3 –2 –2 –3 –1
3
–3 –4 –2 –4 0
4
+ + + 2 0* 1 0* 1 0 1 0 1 0' 0 0* 2 0 2
1 2
–5 –6 –4 –3 –2
–4 –2 –3 –5 0
6
1 0' 1 3 2
5
1 3 1 0 3
+ +
' ( $ ). 170
* * *, + + +, $ . % ! 0*43, . 3.2. ' o *, + [,' o*+ …]. min h = 1, $ >! $ ! $ h = 1. 1 0* 0 0' 1
0 0 0 0* 1
0 0' 0 3 1
0 3
+ +
0 2
1 0* 0 '* 0' 1
! h = 1
+ –1* 1 –1 0 –1
0* 2 0 1 0
0 0 0 0* 1
0 0 '* 0 3 1
0 3 0 0 2
+ +
: 2—3; 1—2—4; 3. ! , «*». +
1 0 0* 0' 1
*
+
0 2 0' 1 0* '
0 0' 0 0* 1
+ 0 0* 0 3 1
0 '* 3 0 0 2
+ + +
1 0 0* 0 1
0 1 0 0 0*
0 0 0 0* 0
0 0* 0 0 0
0* 3 0 0 0
.
+
h = c52 = 0. ! . ; ! L(,) = 4 + 6 + 2 + 4 + 1 = 17. 2. 5 8 4 8 1 7
4 2 6 5 6 4
6 5 7 3 7 3
2 6 2 5 9 5
3 1 1 4 10 7
max. 8
6
7
9
10
3 0 4 0 7 1
1 3 2 1 1 8
1 = min, !. 2 1 7 7 4 2 3 9 0 0 7 9 1 4 4 5 0 0 0 0 2 4 4 3
7 5 6 7 7 0
min = 3. ) ! «+»
8
. ; !.
8 — opt. 171
+
+
+
+
+
2 0* 4 0 7 1
1 4 1 0 2
0* 2 0 4 0 4
6 3 7 4 0* 4
6 9 9 5 0' 3
+ 2 0* 4 0* 10
+ 1 4 0* 1 3
+ 0* 2 0 4 3
+ 3 0*' 4 1 0*
3 6 6 2 0 '*
6 5 6 7 7 0*
+ 6 5 6 7
–1 –2 –3* –3* 1 –1 1 –3* –3 –3 –2 1 + 7 0 0 –2 –1 1
+
+
3 0 4 1 0* 1
3 3 6 2 6 3 2 4 0' 7 0 –3*
+
+
+
+
+
+
2 0* 4 0* 10 1
1 4 0* 1 3 2
0* 2 0 4 3 4
3 0* 4 1 0 1
3 6 6 2 0* 0
3 5 6 4 10 0*
+ 1 0 1 0* 2
1 0' 1 3 2
opt. L = 6 + 6 + 6 + 8 + 10 + 8 = 44 3. 2 4 2 4 0
3 2 2 3 1
3 4 2 4 0
5 6 4 3 2
2 0 4 0 1 2 3 a 2 1 0 0 5 4 2 0
1 0 2 0 4
1 0 2 3 4
1 3 1 2 0 2 5
+ 2 0* 1 0' 2
+ 0* 1 0 0 0
1 3 + 1 0 + 3
4 3 4 6 5
' «0» $ . = 0' = «0*». '$ ! $ min = 1 = h. 172
+ + + + + +
' ! $ ! $ h = 1. + 1 –1* 0 0* 1 0 0 –1 0 0' 0 0* 1 –1 1
0 0' 0 3 1
+ 0 0 0 0* 1
+ 0 0* 0 3 1
+ 1 0' 0* 0 1
+ 0* 2 0' 1 0
0 3 0 0 2
+ a
+
1 0* 0 '* 0' 1
'*
0 + 3 + 0 + 0 2
1 0 0* 0 1
min = 0
0 2 0 1 0*
0 0 0 0* 1
+ 0* 2 0 1 0
1 0' 0* 0' 1
0 0* 0 3 1
0* 3 0 0 2
+ 2 0* 4 0 7 1
+ 1 4 0* 1 0 2
0 0 0 0* 1
0* 2 0' 1 0'
+ + + +
0 0 '* 0 3 1
+ 0 0 0 0* 1
0 3 0 0 2
0 0* 0 3 1
+ +
0' 3 0 0 2
.
L = 4 + 6 + 2 + 4 + 1 = 17. 4. 5 8 4 8 1 7
4 2 6 5 6 4
6 5 7 3 7 3
2 6 2 5 9 5
3 1 1 4 10 7
1 3 2 1 1 8
8
6
7
9
10
8
+ 0* 2 0 4 0 4
+ 6 3 7 4 0* 4
min = 3 173
6 9 9 5 0' 3
+ 6 5 6 7 7 0*
–1 –3* 1 –3 7 –2
+ 2 0* 4 0 7 1
–2 1 –3* –2 0 –1
+ 1 4 0* 1 0 2
–3* –1 –3 1 0 1
+ 0* 2 0 4 0 4
3 0 4 1 0* 1
+ 6 3 7 4 0* 4
3 6 6 3 0' 0
3 2 3 4 7 –3*
2 0* 4 0*' 10 1
+ 6 5 6 7 7 + 0*
6 9 9 5 0' 3
+ 2 0* 4 0' 10 1
1 4 0* 1 3 2
0* 2 0 4 3 4
3 0*' 4 1 0* 1
+ 1 4 0* 1 3 2
+ 0* 2 0 4 3 4
3 0' 4 1 0* 1
3 6 6 3 0* 0
3 6 6 2 0' 0
6 5 + 6 7 10 + 0*
+ 6 5 6 7 10 0*
+ + +
min = 3 Lmax = 44 2
1
0*
3
3
6
0
4
2
0*
6
5
4
0*
0
4
6
6
0*
1
4
1
2
7
10
3
3
0
0*
10
1. H ’ . 2. ’ . 1. <, > # "
" . 174
%# '&: 1.
11.
1 15 7 4 3 6 8 7 6 1 10 5 3 4 11 7 6 7 8 1 9 2 3 5 15 17 4 3 5 6 7 4 8 15 3 2
4 15 3 2 7 8 5 14 3 6 11 7 7 1 10 5 8 6 4 7 6 7 3 11 11 2 3 5 18 9 17 3 5 6 15 4
2.
12.
7 4 8 15 3 2 18 17 4 3 5 6 8 1 9 2 3 5 3 4 11 7 6 7 8 7 6 1 10 5 1 15 7 4 3 6
27 58 48 83 88 61
3.
13.
2 16 8 5 4 7 9 8 7 2 11 6 4 5 12 8 7 8 9 2 10 3 4 6 16 18 5 4 6 7 8 5 9 16 4 3
42 19 64 19 16 38
4.
14.
1 5 3 8 7 2
7 5 4 3 1 4
2 6 5 9 4 8
4 3 7 2 3 9
3 7 6 3 5 6
4 2 3 2 7 2
3 5 2 5 6 7
5. 7 8 3 9 8 6
64 17 51 84 87 15
48 64 89 11 56 77
53 85 43 46 10 83
72 76 85 47 75 56
15 93 92 57 71 44
16 28 77 52 18 45
48 37 12 10 15 59
45 52 78 53 56 16
74 11 47 64 46 84
47 56 58 62 27 13
3 5 8 2 3 7
4 7 7 3 5 6
18 14 29 21 23 21
15 23 12 27 11 14
13 25 23 16 14 13
12 26 25 17 15 16
6 7 4 5 1 4
9 4 5 3 4 5
7 5 6 5 6 7
15. 9 1 1 4 7 5
2 7 9 1 6 7
7 3 2 7 1 4
1 5 3 6 5 3
17 18 19 23 18 21
4 6 5 7 5 6 175
14 27 21 14 22 25
6. 17 18 19 23 18 21
16. 14 27 21 14 22 25
18 14 29 21 23 21
15 23 12 27 11 14
13 25 23 16 14 13
15 1 7 6 4 3 7 8 6 5 1 10 4 3 11 7 7 6 1 8 9 5 2 3 17 15 4 6 3 5 4 7 8 2 15 3
12 26 25 17 15 16
7. 9 4 4 9 5 8
17. 15 7 4 8 3 2 3 5 9 7 5 6 2 8 14 9 3 5 7 3 4 11 6 7 10 4 7 6 10 5 4 12 15 7 13 6
2 10 3 4 6 3 5 7 8 6 5 12 8 7 8 8 7 2 11 6 6 7 2 1 9 5 9 16 4 3
8. 8 7 13 18 7 12
18. 12 9 4 9 16 8
9 1 5 3 7 15 11 12 7 15 14 15 7 6 12 3 9 12 3 15 11 4 13 5 6 14 8 9 6 17
9. 5 8 1 9 6 6
19. 4 1 3 4 3 5
8 7 4 1 2 7
7 3 9 7 1 4
3 5 7 6 7 3
23 13 14 13 16 14
19 21 18 17 23 12
21 15 13 18 17 25
9 6 5 7 4 6
10. 21 25 22 14 14 10
16 8 5 4 7 8 7 22 11 6 15 12 8 7 8 22 10 13 14 6 18 5 14 16 17 5 9 16 14 13 44 25 24 23 31 54
22 26 25 9 44 48
4 33 27 12 13 59
9 1 5 4 7 1
1 5 3 6 5 3
33 47 16 33 35 66
20. 29 21 23 18 21 15
12 14 11 15 27 11
2 7 7 1 6 9
25 16 15 12 17 15 176
7 8 6 9 8 3
4 6 6 7 5 5
7 3 4 7 1 2
33 15 22 15 46 47
×àñòèíà 4
’
19 3(8 3 25 1. 43 (. 3(8 3 25 @ $ , $
, ’ " ! = = . C , = ( " (n!), ( ), " " = ( " ). / ’ = !
$ $ $= = $ . O" , # ’ = $ > < " , ! ( //). // " $ : @ 1960 ., = " ’ $ :
, , ) 1963 ., = . O ! . & : $ , #
min o Z = f (8)
(19.1)
8 G,
(19.2)
G — = , f(8) = G . 177
' = $, # > " $ . ? G0 = G. C $-
[(G0), = >, # ! f (x) t [(G0), x G0,
(19.3)
$ $ x G , f(x) = $ t [(G0),
$ [(G0) ! => > Z. [(G0) = G0, # ! , $ ! 8*
, # f(8*) = [(G0), $ 8* — ’ (f(x) = $ > [(G0),
= , # " > => , " > G0 ’ " ). &$ $ G0 = Gi(1)
, #$ 0
n
(1) (1) (1) Gi , Gi G j , i, j, i z j
G0
(19.4)
i 1
@ = Gi(1) ! => > (1) 0 [(Gi(1) ) . ;, # Gi G , [(Gi(1) ) t [(G0) = > [ = Gi
>! $ " , = G0. ' !: [(GX(1) )
(1) min [(Gi ) .
(19.5)
1d i d n1
J# ! 8* GQ(1) f (x*) = [(GQ(1) ) , 8* — ( ! , # F* GQ(1) , , # 8* ! (19.1)—(19.2)). J# f(X) t [(GQ(1) ) , X GQ , = GQ(1) = ! > << $ > G0 (4) = GQ(1i ) i 1, n 2 . ; = Gi(1) GQ(1i ) Gi( 2) i 1, n 2 . n2
Gi i 1
( 2)
G (0) ,
Gi( 2) G (j 2)
,i z j
(19.6)
(19.5) . ., , $ . % , # " => > =, " = , < =< $ d < = . 178
2. 8( 3 48 @ = (. . 7).
2
3
4
6 3
4 1
6
3
4
1
6
1
1
4 2
3
4
5
7
&. 7. % =
; $ " " " 1 7, # " 4 5. ; ! " , # " 1 " 4 5 " 7. 1. &$ ! = " , # " 1 2 =: G1 — = " , # > " 1 " 2 " 7;G2 — = " , # > " 1 " 3 " 7 (. . 8). J [ = $ [1,2] [1,3], # " , = " = t [i. G 1) 2)
[2 = 1
[1 = 3 [1,2]
[1,3]
[1 = 9 [1,2,4]
[1,2,6]
[1,2,7]
[1,3,2]
[1,3,4]
[4 = 3 [1,3,5]
4 5
3)
[1 = 11 [1,3,2,6] 4)
[3 = 5
[2 = 5
[1,3,2,7]
[1,3,2,4]
[2 = 11 [1,3,4,6]
[3 = 6 [1,3,4,7]
4 5
&. 8. @ ’ 179
[4 = 6 [1,3,5,4]
[5 = 7 [1,3,5,7]
C " [1, 3, 5, 7], # ! ,
$ # < " 1 — 7 ! " 5, " " = " : ([1, 3, 2] = ([1, 3, 4] = 5 < f ([1, 3, 5, 7]) = 7, =! = " [1, 3, 2] [1, 3, 4]. C [1, 3, 4, 7] f(X) = 6. % ((G ( ) = 6 ! f (X) = 6, ’ . P " " = $ " , # " # ! . // ! ’ $ . ) ! # $ $ = = = $ , # = < . 1. $ ? 2. N * 3. K &’ (. 9). 5
4
2 5 1
6
8 6
8
4
5
7
6 7
7 3
4 6
5
&. 9. % = 180
7
20 83. 1. 4 8 3 = $ n 71, 72, …, 7n. '
=
: C
§ f c12 ¨ ¨ c21 f ¨ ... ... ¨c © n1 cn 2
... c1n · ¸ ... c11 ¸ ... ... ¸ ... f ¸¹
(20.1)
? cij cji. = $ = . A !, # = . " $ = $-
. * = , . C$ $ " , #
"< =. «^» %,
" , > $ =
= , $ $ . ; t " # =
i1, i2, …, in, " : t = (i1, i2, …, in)
t = {(i1, i2), (i1, i2), …, (in – 1, in), (in, i1)}
@= " t l: l(t) = l(i1, i2, …, in) = ¦ cij ( (i, j) ! t).
2. 48( 23 8: &
" 71
" : c12, c13, …, c1n... 181
'$ : h1 = min (c12, c13, …, c1n)...
; h1 = , #
, = , "
71 (, 71). * = "
= hi. % " ! =
, n
' = ¦ hi
(20.2)
i 1
! => > = " , $ " !<
= , $ " $. ' = «!» hi ( ! ). % ) " «# » -$
hi
( ) $- " ( ). 1
" n
2
1 § f c'12 ¨ 2 ¨ C '21 f C' "¨ ... ... n ¨© c'n1 c'n 2
... c'1n · h1 ¸ ... c'11 ¸ h2 ... ... ¸ " ¸ ... f ¹ hn
(20.3)
%
c'ij = cij – hi cij = c'ij +hi i = 1, n, j = 1,n.
?
, = << ’ $ . ' (20.2) = = . * = , $ < = " < =. " = " $ (90): l(t) = l(i1, i2, …, in) =
¦ cij
(i, j)t
=
¦ (c'ijhi ) =
(i, j)t
n
=
¦ c'ij + ¦hi = ¦ c'ij
(i, j )t
i1
(i, j)t
+ 0, (20.4)
(i, j) ! t ( , # " ), n
0 = ¦hi . i1
182
& 1- %'. J ! , # ? ? % —
71. * , # ,
. *, , '21 —
, $ h2, #$, ""
72, 71. * '31 —
, $ h3, #$, ""
73, 71 . . J# c'i1 $ H1 = min ('12, '13, …, c'1n),
(20.5)
, # #$ 71 ( $- "), = $ 0 $ " " = H1. * "
. =, n
0 = $ ¦ Hj . ?
j 1
n
n
n
j 1
i 1
j 1
= 0+ ¦ Hj = ¦ hi + ¦ Hj .
(20.6)
3. 48( 23 4 2: ) > " Hj : § f c' '12 ¨ c' ' f C cc ¨ 21 ¨ ... ... ¨ c' ' © n1 c' 'n 2
... c' '1n · ¸ ... c' '11 ¸ ... ... ¸ ... f ¸¹
(20.7)
%
(20.8) ?
= << ’ $ . * = " t = $ c"ij = c’ij – Hj = cij – hi – H j cij = c"ij + hi + Hi i = 1, n, j = 1, n.
l(t) = l (i1, i2, …, in)= ¦ c"ij + ...
(20.9)
( i , j )t
(20.8) !, # " $ >
, #$
¦ c"ij $ $ >. %
( i , j )t
183
= = " . ' — ! > > %
=
. J$ $ = = ,
$ $ " => . *
! . ? ’ $ $ " . 4. E3 34 C # $ ’ , $ > %", $ > " (i, j), c"ij = 0. * , n ? @
« » «$ » " (i, j). C c"pq = 0. (
7 7q, « »,
7 7q, " k- , «$ ». @ =< (p, q), < c"pq = 0, = : (p, q) = min c pj min ciq . jz q
iz p
(20.10)
@ > " $ , < c"k, m = 0 (k, m) = max (p, q).
(20.11)
% , # > >, ,
$ ! " 7k 7. &$’! = " (n!) = 8 N. ? 8 " , # 7k 7m, > = (k, m), N — " , # 7k 7m, (k, m). % = ' = , (N) = + (k, m),
(20.12)
$- " , # " 7 7, ( ?
" ), " $ " (k, m). 184
5. E 238 ( . C 3 ;$! = " 8. @ "m, k = ^, # ! 7k 7m, 7m 7k $ !. % 7k > " ( = $ " $), $ > , $ k-> . * > ! m- ( 7m > " , =, $ " $ , , = # $ ). ; $ > . ; , = ( ). = (
$ = = $
, "
> (k, m), < h'i. ; > — = i- h'i. ; = j- h'i. K'j ! . ' n
n
i 1
j 1
’= ¦ hi '+ ¦ Hj ,
(20.13)
= , # =, ’ > " (k, m), $ $ " #
', $ = " , # = 8, >! (8) = + '. (20.14) 6. E 3 3 % , $ (. 10): 0 (8)
(G ) = G0
8 = (k, m) (N) N = (k, m)
&. 10. ’ 185
? ", $ , < " . C " , , , # $ " => 8 = (k, m). @ ! = $ < = =, < # $
(20.10)—(20.11) = . ;, $ $’ $ = = $ " " . A $ > , " , # " $ " . ; $ $ = = , #$ $ . C , " >
( ): (4,3), (5,4) (6,5), " (3,5) , (5,4), (4,3) (3,5), > (4,6) — (6,5), (5,4) (4,6). @ #$ >
= , $ " ! ^
"3, 5 = ^ "4, 6 = ^. ; $ " = = , # !< " $ " $ #, =
< ". %
< " = <<. % > "> =, , " 8,
N. J#
> " 8, = !< " . J# =
> "> " = (e, f), , $ $ (e, f), $ ("e, f = ^) !< ,
. = $ n 71, 72, …, 7n,
=
:
C
§ f c12 ¨ ¨ c21 f ¨ ... ... ¨c © n1 cn 2 186
... c1n · ¸ ... c11 ¸ ... ... ¸ ... f ¸¹
= $ = . A !, # = . C$ $ " , #
"< =. " : 1. ) > . 2. ) > . 3. @= " $ ">, = n
n
n
j 1
i 1
j 1
= 0 + ¦ Hj = ¦ hi + ¦ Hj .
4. = (p, q)= min c pj min ciq . jz q
iz p
5. @ > " $ , < c"k, m = 0 (k, m) = max (p, q).
6. ;$! = " N
8. (N) = + (k, m), (8) = + '.
7. ? $ ", < " . 8. ; . 1. 1. & . C
! :
C=
1
2
3
4
5
6
hi
1
^
26
43
16
30
26
16
2
7
^
16
1
30
25
1
3
20
13
^
35
5
0
0
4
21
16
25
^
18
18
16
5
12
46
27
48
^
5
5
6
23
5
5
9
5
^
5
187
) > :
C=
1
2
3
4
5
6
hi
1
^
10
27
0
14
10
2
6
^
15
0
29
24
3
20
13
^
35
5
0
4
5
0
9
^
2
2
5
7
41
22
43
^
0
6
18 Kj 5
0
0
4
0
^
) > :
C=
1
2
3
4
5
6
hi
1
^
10
27
010
14
10
2
1
^
15
01
29
24
3
15
13
^
35
5
05
4
01
0
0
9
^
2
2
5
2
41
22
43
^
02
6
13
00
09
4
02
^
= (16 + 1 + 0 + 16 + 5 + 5) + 5 = 48
=, = " $ ", = 48. = (20.10): (1, 4) = min (10, 27, 14, 10) + min (0, 35, 43, 4) = 10; (2, 4) = min (1, 15, 29, 24) + min (0, 35, 43, 4) = 1; (3, 6) = min (15, 13, 35, 5) + min (10, 24, 2, 0) = 5; (4, 1) = min (0, 9, 2, 2) + min (1, 15, 2, 13) = 1; (4, 2) = min (0, 9, 2, 2) + min (10, 13, 41, 0) = 0; (5, 6) = min (2, 41, 22, 43) + min (10, 24, 0, 2) = 2; (6, 2) = min (13, 0, 4, 0) + min (10, 13, 0, 41) = 0; (6, 3) = min (13, 0, 4, 0) + min (27, 15, 9, 22) = 9; (6, 5) = min (13, 0, 4, 0) + min (14, 29, 5, 2) = 2.
" = %''. ; (20.11): (k, m) = max (10,1, 5, 1, 0, 2,0, 9, 2) =10 = (1, 4).
% , "> >, # > ! " , $ (1,4). $ ! (4, 1) >! 1-> 4- : 188
2 3 4 5 6
2 1 15 ^ 2 13
3 ^ 13 0 41 0
5 15 ^ 9 22 0
6 29 5 2 ^ 0
hi 24 0 2 0 ^
1 0 0 0 0
2 0 15 ^ 2 13
2 3 4 5 6
3 ^ 13 0 41 0
5 14 ^ 9 22 0
6 28 5 2 ^ 0
hi 23 0 2 0 ^
) > : 016 15 ^ 2 13
2 3 4 5 6 ' = 1.
^ 13 02 41 00
14 ^ 9 22 09
28 5 2 ^ 02
23 05 2 02 ^
% = $ ’ (. 11) (G0) = 48
(8) = 48 + 1
0
8 = (1, 4)
G
(?) = 48 + 10 = 58 N = (1, 4)
&. 11. ’
@ > " <
< , > < . C > > $ (2,1), # < ! $ "> >, > 16.
(1, 2) , #$ $ $. ' >! " 2: 2 3 4 5 6
3 13 ^ 41 0
5 ^ 9 22 0
6 5 2 ^ 0
hi 0 2 0 ^
2
189
2 3 4 5 6
3 13 ^ 41 0
5 ^ 7 22 0
6 5 0 ^ 0
hi 0 0 0 ^
) > . C ! 4 ( ! ).
, # , h2 = 2. ' ! 2 =! >, . * = !< = ! , $ . ?
" 8 = (2,1): (8) = = 49 + 2 = 51. * " Y = (2, 1) : (Y) = 49 + 16 = 65. / ’ $ ! : (G0) = 48
0
G
(1, 4) = 49
F = (1, 4)
F = (2, 1)
(2, 1) = =49 + 2 = 51
(1, 4) = 58 ? = (1, 4)
F = (2, 1)
(2, 1) = = 49 + 16 = 65
&. 12. / ’
'$ " , ! < : min ((1, 4), (2, 1), (2, 1)) = min (58, 51, 65) = 51.
%. ., > ! " (2, 1). ( > ". !
: 2 3 4 5 6
3 5 13 ^ ^ 7 41 22 013 07
6 hi 5 05 00 00 ^ 022 00 ^
3 4 6
2 3 13 ^ ^ 7 013 07
5 5 00 ^
hi 5
3 4 6
2 8 ^ 0
3 ^ 7 0
5 hi 0 0 ^
? " > ! (5,6). * (6,5) $ ! $. ; : (1,4), (2,1) (5,6) = $ (4,2) "4, 2 = ^. ' 5 6 > : = . % ’ $ ! : = 48 G
0
= 49 (1, 4)
(1, 4)
= 51 (2, 1) (2, 1)
= 58
= 65
&. 13. / ’ 190
= 51 + + 5 = 56 (5, 6) = 51 + + 22 = 73 (5, 6)
@ =
: 2 3 4 6
3 8 ^ 08
5 ^ 7 07
hi 08 07 ^
4 6
2 ^ 0
hi 7
3 7 ^
2 ^ 0
4 6
3 0 ^
hi (26)
% 8, $ 3 –5. ' < , ’ > ! " (3, 5), $ , > ! (6, 3): "6, 3 = ^. ) > . = 48 0
= 49 (1, 4)
G
(1, 4)
(2, 1)
(2, 1)
= 58
= 51
= 56 (5, 6)
(5, 6)
= 65
(5, 6) = 56 + 7 = 63 (3, 5)
= 73
= 56 + 8 = 64
&. 14. / ’
) " $ ! ", ! " : min ((1, 4), (2, 1), (5, 6), (3, 5)) = min (58, 65, 73,63) = 58.
' ! , # #> ! " Y, $ ". ;
! >, < $ = , # ! ". A , $ $ (1,4) > " .
$ $
, $ $ (1,4) , $ . =,
! < ( "1,4 = ^).
C=
1 2 3 4 5 6
1 ^ 7 20 21 12 23
2 26 ^ 13 16 46 5
3 43 16 ^ 25 27 5
4 ^ 1 35 ^ 48 9 191
5 30 30 5 18 ^ 5
6 26 25 0 18 5 ^
hi 26 1 0 16 5 5
) > :
C=
1
2
3
4
5
6
1
^
0
17
^
4
0
2
6
^
15
0
29
24
3
20
13
^
35
5
0
4
5
0
9
^
2
2
5
7
41
22
43
^
0
6
18
0
0
4
0
^
1
2
3
4
5
6
^
0
4
0
0
29
24
hi
Kj 5
1 C=
0
17
^ 5
2
1
^
15
0
3
15
13
^
35
5
05
4
01
00
9
^
2
2
5
2
41
22
43
^
02
6
13
00
09
4
02
^
hi
= (26 + 1 + 0 + 16 + 5 + 5) + 5 = 58.
@ > " , $ ! (6, 3), (3, 6) > ! ("3, 6 = ^). ' >! 6 3 >: 1
2
3
4
5
1
^
0
^
4
2
1
^
0
3
15
13
4
0
5
2
6
hi
1
2
3
4
5
6
0
1
^
0
^
4
0
29
24
2
1
^
0
29
24
35
5
^
3
15
13
35
5
^
0
^
2
2
4
0
0
^
2
2
41
43
^
0
5
2
41
43
^
0
5
%: = (6, 3) = 58 + 5 = 63 = (6, 3) = 58 + 9 = 67 192
hi
* ’ $ ! : G0
= 48
= 49 (1, 4)
= 51
= 56
(2, 1) (2, 1)
(1, 4) = 58
(6, 3)
(5, 6) (5, 6)
= 65
= 73
(3, 5) = 56 + (3, 5) + 7 = 63 = 56 + + 8 = 64
(6, 3) (6,3) = 63
= (6,3) = 67
&. 15. / "
) " ! " (3, 5) = (6, 3) = 63.
J ? , , < ! " " , $ (3,5). ? $ " (20.14). ? . J# $ , " — , # = " . ? ’ , # ! [2,2], " > $ !< . % , . ’
$ ! : = 48
= 49
G0
= 51
(1, 4)
(2, 1)
= 58 (1, 4)
(5, 6)
= 65 (2, 1)
(6, 3) = 63 (6, 3)
= 56
= 63 (3, 5)
= 73 (5, 6)
(4, 3), (6, 2) = 64
(3, 5)
= (6, 3) = 67 (6, 3)
&. 16. / . ’
'" $, > < " : (1,4), (2,1), (5,6), (3,5), (4,3) (6,2)
: t = {(1,4), (4,3), (3,5), (5,6), (6,2), (2,1)}. (20.15) 193
@= " l (t) = c1,4 + c4,3 + c3,5 + c5,6 + c6,2 + c2,1 = = 16 + 25 + 5 + 5 + 5 + 7 = 63.
J , = " $ ! > $. " $ = . $ = $- , (20.15) , "> = . &’ . 2. ’(< &%: 1
2
3
4
5
6
hi
1
—
41
60
39
46
10
10
2
31
—
59
16
1
51
1
3
29
51
—
14
42
50
14
4
32
12
52
—
16
26
12
5
16
39
15
60
—
57
15
6
15
30
38
47
36
—
15
Hj
67
(1, 6) 110
(1, 6) 83
(3, 4) 102
(3, 4) 83
(2, 5) 114
(2, 5) 83
(4, 2) 108
67
1
2
3
4
5
6
hi
i
1
—
31
50
29
36
043
10
29
2
30
—
58
15
019
50
1
15
3
15
37
—
030
28
36
14
15
4
20
019
40
—
4
14
12
4
5
1
24
019
45
—
42
15
1
6
016
15
18
32
21
—
15
15
Hj
0
0
0
0
0
0
67
j
1
15
18
15
4
14
(4, 2) 83
(5, 1) 83
(6, 3) 83
&. 17. @ ’ 194
1
2
3
4
5
hi
2
30
—
58
15
0
0
3
15
37
—
0
28
0
4
20
0
40
—
4
0
5
1
24
0
45
—
0
6
0
15
18
32
21
15
1
2
3
4
5
hi
2
30
—
58
15
0
0
3
15
37
—
0
28
0
4
20
0
40
—
4
0
5
1
24
0
45
—
0
6
0
0
3
17
6
15
1
0
0
0
0
16
1
2
3
4
5
hi
2
29
—
58
15
019
15
3
14
37
—
029
28
14
4
29
00
58
—
4
0
5
014
24
03
45
—
0
6
0
03
3
17
6
3
14
0
3
15
4
i
Hj j
i
j
Hj j
195
i
1
2
3
5
hi
i
29
—
58
031
0
29
4
29
025
58
4
0
25
5
029
24
03
—
0
0
6
0
03
3
6
0
3
Hj
0
0
0
0
0
j
29
0
3
4
1
2
3
hi
i
4
25
025
58
0
25
5
025
24
03
0
0
6
0
03
3
0
3
Hj
0
0
0
0
j
25
0
3
1
3
hi
2
0
0
0
6
0
3
0
Hj
0
0
0
i
j
': L = 83 : 1—6—3—4—2—5—1 1
2
3 6
5
4
&. 18. / . " 196
1. %& !' 2. $' ? 3. 6 , ; 8 N. 4. $ ? 1. &’ = = . 1. 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
— 2 8 5 6 5
4 — 5 8 4 1
10 9 — 5 4 4
13 7 5 — 9 8
4 6 5 7 — 3
8 7 9 10 4 —
1
2
3
4
5
6
— 43 54 16 19 3
51 — 13 37 12 44
21 6 — 15 26 42
21 10 33 — 60 46
24 9 21 55 — 30
59 15 35 43 30 —
11. 1 2 3 4 5 6
2. 1 2 3 4 5 6
2
3
4
5
6
36 — 22 40 9 12
45 49 — 14 16 33
30 31 48 — 39 30
52 25 16 45 — 31
17 27 60 31 41 —
1
2
3
4
5
6
— 29 58 17 5 40
53 — 55 39 5 12
9 31 — 5 46 36
51 43 5 — 19 5
5 5 31 28 — 37
5 24 19 9 19 —
12. 1 2 3 4 5 6
3. 1 2 3 4 5 6
1
— 27 42 16 55 23
13. 1
2
3
4
5
6
— 31 29 32 16 15
41 — 51 12 39 30
60 59 — 52 15 38
39 16 14 — 60 47
46 1 42 16 — 36
10 51 50 26 57 —
1 2 3 4 5 6
197
1
2
3
4
5
6
— 15 17 10 13 21
19 — 18 15 43 35
15 12 — 37 13 45
21 10 25 — 10 10
17 22 30 42 — 10
13 10 10 12 27 —
5.
15. 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
—
48
4
46
0
0
1
—
46
16
26
19
54
2
24
—
26
38
0
19
2
38
—
1
5
44
10
3
53
50
—
0
26
14
3
49
8
—
28
16
30
4
12
34
0
—
23
4
4
11
32
10
—
50
38
5
0
0
41
14
—
14
5
14
7
21
55
—
25
6
35
7
31
0
32
—
6
0
39
37
41
25
—
1
2
3
4
5
6
6.
16. 1
2
3
4
5
6
1
—
20
28
12
39
32
1
—
2
8
11
2
6
2
21
—
15
9
17
27
2
12
13
—
20
25
5
3
30
25
—
45
29
47
3
6
3
—
3
3
7
4
7
52
40
—
15
1
4
3
6
3
—
5
8
5
60
46
11
5
—
34
5
4
2
2
7
—
2
6
11
45
14
21
30
—
6
16
30
40
5
5
—
1
2
3
4
5
6
7.
17. 1
2
3
4
5
6
1
—
19
40
30
15
9
1
—
15
20
26
32
18
2
56
—
14
57
12
8
2
20
—
17
15
27
15
3
42
4
—
28
33
24
3
22
23
—
30
35
15
4
1
12
5
—
21
16
4
15
20
42
—
45
17
5
21
16
38
52
—
59
5
18
48
18
15
—
32
6
51
1
17
22
29
—
6
26
41
50
15
15
—
198
8.
18. 1
2
1
—
40
2
20
3
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
100 130
40
80
1
12
16
8
5
4
7
—
90
70
60
70
2
9
8
7
22
11
6
80
50
—
50
50
90
3
4
15
12
8
7
8
4
50
80
50
—
70
100
4
9
22
10
13
14
6
5
60
40
40
90
—
40
5
16
18
5
14
16
17
6
50
10
40
80
30
—
6
8
5
9
16
14
13
1
2
3
4
5
6
9.
19. 1
2
3
4
5
6
1
—
56
26
66
29
64
1
—
25
46
31
50
25
2
48
—
11
15
14
20
2
16
—
28
31
29
13
3
59
18
—
38
26
40
3
21
32
—
43
21
17
4
21
42
20
—
60
48
4
34
51
32
—
45
38
5
24
17
31
65
—
35
5
17
21
15
23
—
17
6
8
49
47
51
35
—
6
45
34
65
50
34
—
1
2
3
4
5
6
10.
20. 1
2
3
4
5
6
1
—
46
65
44
51
15
1
—
20
34
19
34
25
25
36
—
64
21
6
55
2
45
—
50
34
38
29
3
34
56
—
19
47
55
3
36
7
—
18
23
19
4
37
17
57
—
21
31
4
35
12
4
—
50
20
5
21
44
20
65
—
62
5
43
50
60
25
—
32
6
20
35
43
52
41
—
6
45
56
78
60
50
—
199
21 4 — .4 1. ( ’ 3 .4 C$ $$
n
. ?
= $$: 1, 2 3-
. K $$
=
$ . 48: + 48 >" ,,$ ++? +"
@
1
2
…
n
W
'
1
a1
a2
…
an
Wai
'
2
b1
b2
…
bn
Wbi
'
3
c1
c2
…
cn
Wci
'
; $ $$ n
, $
$$, < $$
$ ". A =! , : k = {i1, i2, …, ik} — k
; k + 1 = {k, ik + 1} — k + 1
; A(k), B(k) C(k) — $$
k ",
. @ k + 1 = $ : A(k + 1) = A(k) + ak + 1; B(k + 1) = max(A (k + 1), B(k)) + bk + 1;
(21.1) C(k + 1) = max (B(k + 1),C (k)) + ck + 1. Ak = A(k) + Wai + min (bi + ci), i p k (
i k); (21.2) Bk = B(k) + Wbi + min ci, i k; Ck = C(k) + Wci, i k. ' Ak ! $$ !<
, # " 200
$$ k << $$ "
A (k),
, " k, $ $$ "
" = Wai ( k),
— " = min (bi + ci) ( i k). % , = , # $$
" = Ak. * > Bk Ck,
. =, # )(n) — $$
( =,
), " : )(n) j Ak, (21.3) )(n) j Bk, )(n) j Ck. ?
(21.4) = max(Ak, Bk, Ck),
)(n) j ,
. ., > (=> >) n
, , # k " $$
. , # " ( " )
, = $ ">. % k, < ! " , ! #> " . ' $ = = (n!) $ =. J $ ? =
. C " > = = $$ $’! n = (
)
: "> = , "< $ $$
1; < = — "> $$ > >
> 2; . . @ = n , "> $$ !
n. ' > =< = (21.1)— (21.4), =, # ! $ " ,
$ $ ", = " = . C = — , << $ , " « ». &$’! > = = $$
=: {i, 1, …}, {i, 2, …}, … {i, i-1, …}, {i, i+1, …}, …, {i, n, …}... (21.5) 201
%
! (21.1)—(21.4). @ =< = . & = (11) $ $ " . @ $ < = $! =, ! (21.1)—(21.4) . . ; >! , $ = ( ), > n
, < $ > # $ ’ . C " 0- , $ , ! # =< < =, $ $ $ (21.1)—(21.4) 0 = Ø (=> =>). , # A0 = B0 = C0. % A0 = 0 +Wai + min (bi + ci), i 1, n ; B0 = 0 +Wbi + min ci, i 1, n ; C0 = 0 +Wci, i 1, n ;
2. 8 ’ 3 C
$ . 49: + 49 >" ,,$ ++? +"
@
1
2
3
4
5
W
'
1
2
5
1
3
3
14
'
2
3
2
1
4
5
15
'
3
4
4
2
2
2
14
'
A0 = B0 = C0. A0 = 0 +14 + 3 = 17; B0 = 0 +15 + 2 = 17; C0 = 0 + 14 = 14
= max (17, 17, 14), $ " = 17 $$
. 202
&$ ! > = (5! = 120 = ) 5 =: {1, ...}, {2, ...},..., {n, ...}. @ $!
=, 2, $
!< = $
V 2: {2, 1, 3, 4, 5}, {2, 1, 3, 5, 4}, {2, 1, 4, 3, 5}, {2, 1, 4, 5, 3}, {2, 1, 5, 3, 4}, {2, 1, 5, 4, 3}, {2, 3, 1, 4, 5}, {2, 3, 1, 5, 4}, {2, 3, 4, 1, 5}, {2, 3, 4, 5, 1}, {2, 3, 5, 1, 4}, {2, 3, 5, 4, 1}, {2, 4, 1, 3, 5}, {2, 4, 1, 5, 3}, {2, 4, 3, 1, 5}, {2, 4, 3, 5, 1}, {2, 4, 5, 1, 3}, {2, 4, 5, 3, 1}, {2, 5, 1, 3, 4}, {2, 5, 1, 4, 3}, {2, 5, 3, 1, 4}, {2, 5, 3, 4, 1}, {2, 5, 4, 1, 3}, {2, 5, 4, 3, 1}.
* = $ $ " =. C " =< =,
$ =< $ $ < i, i = 1, 2, 3, 4, 5. @ i = 1: A (1) = A (o) +a1 = 0 + 2 = 2; B (1) = max (A (1), B (0)) + b1 = max (2,0) + 3 = 5 C (1) = max (B (1), C (0)) + c1 = max (5,0) + 4 = 5 + 4 = 9; A1 = A(1) +Wai + min (bi + ci)= 2 + 12 + 3 = 17, i 1; B1 = B(1) +Wbi + min ci = 5 + 12 + 2 = 19, i 1; C1 = C(1) +Wci = 9 +10 = 19, i 1.
?
1 = max (17, 19, 19) = 19. % = , # # $$
V 1, $$ " = 19 . @ i = 2: A (1) = A (o) + a2 = 0 + 5 = 5; B (1) = max (A (1), B (0)) + b2= max (5,0) + 2 = 7 C (1) = max (B (1), C (0)) + c2= max (7,0) + 4 = 7 + 4 = 11; A1 = A (1) + Wai + min (bi + ci) = 5 +9 + 3 =17, i 1; B1 = B (1) + Wbi + min ci = 7 + 13 + 2 = 22, i 1; C1 = C (1) + Wci = 11 + 10 = 21, i 1.
?
2 = max (17, 22, 21) = 22.
% = , # # $$
V 2, $$ " = 22 . * =! " =: i = 3: A(1) = 1, B(1) = 2, C(1) = 4, A1 = 20, B1 = 18, C1 = 16, 3 = 20; i = 4: A(1) = 3, B(1) = 7, C(1) = 9, A1 = 17, B1 = 20, C1 = 21, 4 = 21; i = 5: A(1) = 3, B(1) = 8, C(1) = 10, A1 = 20, B1 = 22, C1 = 22, 5 = 22. 203
% = , #
$ " > => ! = V 1. ? $
$ . 50: + 50 ,> "+ !> ,", A(k)
B(k)
C(k)
Ak
Bk
Ck
k
k
$ $
$ ! " =: 3, 4 5 (. . 1, 0—5.). ; > ! = 1. &$ ! > = = $$ =: 6—9. ? = >
> V 1,
, # " ( V 1). ; $ (6)—(9) = 2 — 9, = = 8 (
2 = {1, 4}, $$, # !
1, 4). ; 10—12 13—14, 15—16. ; $ " 7,
# << 20
(15— 16) ">. ; 17—19, 22—23 24, =! $$
: 5* = {1, 3, 5, 2, 4} " $$ 20 . ? ’ ! " 3 9 , 20, < !, # < #> < 5* # =
,
, # > " , . ? ’ , # 5
= $ " < , $ $ $ " 20, = " , $ 20. =, > 5*, $ ".
=! . ; $
$$, < $$
$ ". 204
' , $ = = (n!) $ =. ) $ >> $$
k ",
. ; $ >> (= ) n
. ' > =, # ! $ " (< « »). \ > . ; >! , $ = ( ) > n
, < $ > $ ’ . 1. 1. @= (
$ . 51). + 51 >" ,,$ ++? +"
@
1
2
3
4
)
1
4
8
3
8
)
2
10
12
7
9
)
3
6
8
4
9
)
;
: C$ >
n
. ?
= $$: 1, 2 3-
. K $$
=
$ . 52. + 52 >" ,,$ ++? +"
@
1
2
…
n
W
)
1
a1
a2
…
an
Wai
)
2
b1
b2
…
bn
Wbi
)
3
c1
c2
…
cn
Wci
)
205
' ! $$ n
, $
$$, < $$
$ ". " ’ A ’ ! =, : k + 1 = {k, ik + 1} — k + 1
; A (k), B (k) C (k) — $$
k ",
. @ k + 1 = $ : A (k + 1) = A(k) + ak + 1; B (k + 1) = max (A (k + 1), B (k)) + bk + 1; C (k + 1) = max (B (k + 1), C (k)) + ck + 1.
: Ak = A (k) + Wai + min (bi + ci), i Vk (
, # k); Bk = B (k) + Wbi + min ci, i Vk ; Ck = C (k) + Wci, i ! Vk . ' Ak ! $$ !<
. % , = , # $$
" " = Ak, Bk
Ck. ' = max (Ak, Bk, Ck),
% (n) j ,
$ > (=> =>) n
, , # k " $$
. , # " ( " )
, = $ ">. % = $ ">. % k, < ! " , ! ="> " . 206
’ $ +# F
$ . 53: + 53 >" ,,$ ++? +"
@
1
2
3
4
'
1
4
8
3
8
'
2
10
12
7
9
'
3
6
8
4
9
'
0- , 0
: , # A0 = B0 = C0. % A0 = 0 + Wai + min (bi + ci)=34, i 1, n ; B0 = 0 + Wbi + min ci = 42, i 1, n ; C0 = 0 + Wci = 27, i 1, n ;
=< = $$, $ =< = $ $ < i, i = 1, 2, 3, 4. @ i = 1: A (1) = A (o) + a1 B (1) = max (A (1), B (0)) + b1 C (1) = max (B (1), C (0)) + c1 A1 = A (1) + Wai + min (bi + ci), i 1; B1 = B (1) + Wbi + min ci, i 1; C1 = C (1) + Wci, i 1.
?
1 = max (A1, B1, C1).
% = , # # $$
V 1, $$ " = 1. @ i = 2: A (1) = A (o) + a2; B (1) = max (A (1), B (0)) + b2 C (1) = max (B (1), C (0)) + c2 A1 = A (1) + Wai + min (bi + ci), i 1; B1 = B (1) + Wbi + min ci, i 1; C1 = C (1) + Wci, i 1.
max 2. * $ >! " =. 207
208
0
0 0
34 42 27
0
42
4
3
2
1
29 40 44
8 17 26 44
37
47
36
34
32
31
14
13
29 38 43
11 20 29
29 38 46
11 23 31
41 39 37
7 10 20
34 44 42
12 21 30
41 43 35
7 14 18
34 44 45
12 24 32
43
46
41
44
43
4
342
341
314
312
134
132
29 38 46
19 32 40
43 40 43
15 20 35
43 44 41
15 24 33
41 45 44
15 27 35
43 44 41
15 24 33
41 45 44
15 27 35
208
&. 19. @ ’ @=
29 37 37
3 10 14
29 40 47
8 20 28
34 36 31
4 4 10
12
46
43
44
45
44
4
3412 23 35 43
23 35 43 43
% = , =
! ">. ; > ! = 1. &$ ! > $ = $$ =. ? = >
> V 1,
, # " ( V 1). ; $ = = = (
2 = {1, 2}, $$, # !
1, 2). O
. ; , =! $$
: 5* = {3, 4, 1, 2} " $$ 43 . ' $ 19. 1. " ’ @= . 2. ) > «
». &’ @= . ' @=
: 1. 1
2
3
4
20
8
7
15
48
18
20
40
24
10
6
20
1
2
3
4
20
20
10
6
11
12
5
4
22
23
12
8
2.
209
3. 1
2
3
4
4
8
3
8
10
12
7
9
6
8
4
9
1
2
3
4
1
7
9
5
1
2
5
1
1
1
4
1
1
2
3
4
20
8
7
15
48
18
20
40
24
10
6
20
1
2
3
4
4
2
5
5
8
5
10
7
9
3
6
6
1
2
3
4
10
13
9
8
6
7
1
2
15
14
5
7
1
2
3
4
12
15
11
10
8
9
3
4
17
16
7
9
4.
5.
6.
7.
8.
210
9. 1
2
3
4
15
3
2
10
43
13
15
35
19
5
1
15
1
2
3
4
17
7
7
6
8
9
2
1
19
20
9
5
1
2
3
4
2
6
1
6
8
10
5
7
4
6
2
3
1
2
3
4
13
6
7
8
9
4
5
5
12
6
8
4
1
2
3
4
6
4
7
7
10
7
12
9
11
5
8
8
1
2
3
4
15
10
10
7
8
6
9
10
6
7
15
6
10.
11.
12.
13.
14.
211
15. 1
2
3
4
10
5
5
2
3
1
4
5
1
2
10
1
1
2
3
4
15
8
9
10
11
6
7
7
14
8
10
4
1
2
3
4
8
6
11
8
5
7
10
4
8
9
13
7
1
2
3
4
10
5
7
5
5
15
10
7
6
10
12
7
1
2
3
4
6
1
3
1
1
11
6
3
2
6
8
3
1
2
3
4
8
3
5
3
3
13
8
5
4
8
10
5
16.
17.
18.
19.
20.
212
22 3 3 1. 43 2 3 (N ? :; = !
, $ = , ’
. % >
. ? = (
() ), ! ’ ( =
), # $> . @; > $
$ $ . @; ! $> , # ! $ , # = . ! , # = . ! ", =
> ( $ =
). C , < $- ! — , # ! > ,
, $
. . ;
= ! " (
,
. .). ;
> . ; > $
, , $ "
= $ . 2. (5 4 8 3 3
C ! < s ! 61, 62, …, 6j, …, 6n +, # ! k ti, (t = 1, …, k), T = ¦ti. C + ! $ D. 213
C = $ ! !< ! , $ ! $. '
S0, ! > $, = !
Sk, > D. J ! $ D, #$ + W !< ! $ $ max? ’ ; xij , i- j- ! (i = 1, …, k), (j = 1, …, n). ; , # $ i-
, $ $ u1, ! , # i- ! 61 $ xi1, ! 62 – xi2 . . % Ui = (xi1, xi2, …, xin) ! $ i . ) $ ( ) k = ! > U1 = (x11, x12, …, x1n) U2 = (x21, x22, …, x2n) ………… Uk = (xk1, xk2, …, xkn)
) k = ,
$ ! !> U1, U2, …, Uk: W = W (U1, U2, …, Uk).
! , #: =
$ $
, #$ !< ! $ max. @;
! " . )# ! , # =
, , >
, $ " ! $ !. , = !
k-' , " = $ . % $ > , # ! = $ " . ) " , = !
214
(k – 1) – , , > , (k – 2) – . . '
S0. ; $ $
! >7, . 274@. % '&+# '' 1. # $ *#< &%: " " , # (.
$ . 54). + 54 ) "*,
1
5
6
7
2
11
7
12
3
8
5
9
4
10
10
6
1
2
3
4
7
5
9
5
11
6
12
8
9
10
13 9
7
8
8
7
9
6
10
" ’ : fn(s) — , # ! < min " s, # " n . jn(s) — ’ , # ! fn(s). & $, > " : fn (s) = min (csj + fn – 1 (j)) s
j =. 215
’ : $< 1 ' 10
f
j
7
8
10
8
8
7
10
7
9
6
10
6
O
$< 2 ' 7
8
5
11 + 8
13 + 7
6
12 + 8
f
j
19
7
9+6
15
9
9
O
$< 3 ' 5
6
7
f
j
2
11 + 19
7 + 15
12 + 8
20
7
3
8 + 19
5 + 15
9+8
17
7
4
10 + 19
10 + 15
6+8
14
7
2
3
4
f
j
7 + 20
5 + 17
9 + 14
22
3
O
$< 4 ' O
1
216
2
1
7
3
5
8
4
6
9
10
&. 20. % =
': F = 22, " " 1 — 3 — 7 — 10. 2. $ !' $ +#: " " , # (
$ . 55). + 55 ) "*,
1
5
6
7
8
9
2
3
7
5
3
4
7
9
4
5
3
7
5
9
5
6
4
7
7
7
5
1
2
3
4
4
6
5
10
8
1
9
1
" ’ : fn(s) — , # ! < min " s, # " n . jn(s) — ’ , # ! fn(s). 217
& $, > " : fn(s) =min (csj + fn – 1(j)) s j =. ’ : $< 1 ' 10
f
j
8
1
10
1
9
1
10
1
O
$< 2 ' 8
9
f
j
5
9+1
5+1
9
6
6
4+1
7+1
8
5
7
7+1
5+1
9
6
O
$< 3 ' 5
6
7
f
j
2
3+6
7+5
5+6
5
9
3
4+6
7+5
9+6
5
10
4
5+6
3+5
7+6
6
8
2
3
4
f
j
4+9
6 + 10
5+8
2, 4
13
O
$< 4 ' O
1
218
2
5
3
6
4
7
8
10 1
9
&. 21. % =
1. $ ! ? 2. %& !' . 3. K ; ; . 1. 1
5
6
7
2
11
7
12
3
8
5
4
10
10
1
2
3
4
10
15
14
8
5
11
13
6
12
9
9
10
6
7
10
8
2
9
6
10
219
2. 1
5
6
7
2
10
9
15
3
7
7
4
9
12
1
2
3
4
12
17
16
8
5
14
10
6
15
6
9
10
6
7
12
8
4
9
8
10
3. 1
5
6
7
2
11
7
12
3
8
5
9
4
14
15
6
1
2
3
4
8
7
11
5
11
6
12
8
9
10
13 9
7
8
8
7
9
6
10
220
4. 1
5
6
7
2
16
17
12
3
18
15
19
4
10
10
16
1
2
3
4
9
12
9
8
9
5
11
13
12
6
12
10
9
10
7
3
8
7
9
6
10
5. 1
1 2
2
3
4
5
2
4
5
6
7
6
7
2
5
9
4
6
3 4
5
8
9
5
11
13
12
6
4
4
5
10
7
8
8
7
9
8
10
221
6. 1
5
6
7
2
26
15
12
3
21
15
19
4
20
10
1
2
3
4
29
22
22
8
9
10
10
5
11
13
12
6
12
10
9
7
23
8
17
9
23
10
7. 1
5
6
7
2
4
12
12
3
8
15
19
4
7
13
1
2
3
4
9
12
9
8
9
10
8
5
11
13
12
6
12
10
9
7
3
8
7
9
6
10
222
8. 1
5
6
7
9
10
4
5
8
3
7
8
9
4
6
8
7
5
11
10
6
10
9
7
12
8
1
2
3
4
12
8
7
2
8
8
11
7
9
6
10
9
11
9. 1
5
6
7
9
10
7
8
10
3
7
9
5
4
6
8
7
5
10
8
6
10
11
7
12
4
1 2
2
3
4
9
11
7
8
8
11
7
9
6
10
9
11
223
10. 1
5
6
7
9
10
17
18
10
3
17
19
25
4
26
18
17
5
10
8
6
10
11
7
12
14
1
2
3
4
24
23
17
2
8
8
11
7
9
16
10
19
11
11. 1
5
6
7
9
10
37
28
30
3
27
29
5
4
26
28
17
5
20
18
6
19
11
7
22
14
1 2
2
3
4
36
31
37
8
8
11
17
9
6
10
9
11
224
12. 1
5
6
7
9
10
7
8
10
3
7
9
5
4
6
8
7
5
10
8
6
10
11
7
12
4
1
2
3
4
9
11
7
2
8
8
11
7
9
6
10
9
11
13. 1
5
6
7
8
2
7
8
10
12
3
9
7
9
5
4
6
6
8
7
1
2
3
4
9
10
7
9
10
5
10
6
10
11
7
12
4
8
11
7
11
9
16
10
19
11
225
14. 1
5
6
7
8
2
15
19
14
12
3
9
7
9
5
4
7
5
7
9
1
2
3
4
11
10
12
9
10
5
7
6
6
11
7
3
4
8
11
7
11
9
7
10
9
11
15. 1
5
6
7
8
2
7
8
9
12
3
9
8
7
5
4
6
9
8
7
1
2
3
4
4
5
6
9
10
5
7
6
10
11
7
8
4
8
11
7
11
9
9
10
5
11
226
16. 1
5
6
7
8
9
2
3
7
5
3
4
7
9
4
5
3
7
5
9
5
6
4
7
7
7
5
1
2
3
4
4
6
5
10
8
1
9
1
10
17. 1
5
6
7
8
9
2
9
5
5
3
4
7
5
4
7
8
7
5
7
5
6
4
7
7
3
5
1
2
3
4
7
10
5
10
8
8
9
5
10
227
18. 1
5
6
8
9
2
5
8
3
4
5
19
5
6
14
7
7
17
5
1
2
3
4
4
6
5
4
7
10
9 3
7
8
10
9
1
10
19. 1
5
6
7
8
9
2
23
17
25
3
24
17
19
4
15
13
17
5
9
5
6
24
27
7
17
25
1
2
3
4
24
26
15
10
8
21
9
19
10
228
20. 1
5
6
8
9
2
15
18
3
14
5
11
15
6
10
17
7
17
11
1
2
3
4
7
8
5
4
7
10
20 3
7
8
21
9
23
10
229
Ñïèñîê ë³òåðàòóðè
1. . ' . — .: , 1973. 2. `. ). , . 1—3, . ., ., 1972—73. 3. ` o. . — .: *
, 1996. 4. ' . ., U %. 7. . )$. . — .: '" "., 1990. 5. ' . . . — .: '# "., 1990. 6. Q , o. . )$ >. — .: '". "., 1975. 7. Q ;' 7. ., @ - > >. — .: % , 1982. 8. Q . K., Q . o., H 7. T. . — .: '". "., 1976. 9. ); ). ). - - $. — .: — '". "., 1999. 10. K; 7. ). ; . — .: % , 1975. 11. : / ; $# . C. : ". — .: '". " , 1975. 12. Q , o. . : $ . — .: '" " , 1967. 13. Q . K. . — .: '" " , 1976. 14. Q H 7. `. " $. — .: C , 1971. 15. T. T. `; ' (. `. . — .: ) , 1964. 16. ,' %. o., 7 . o. : , 2 ., ., 1967. 17. 8 P. C , . — ., 1967. 18. ) W. )., Q P. (. , .
. — ., 1956. 230
19. Q& 7., W P. , . . — ., 1966. 20. [ [. N., 7&& 6., 7& . ' , . . — ., 1968. 21. 7&& 6., % ). . , .
. — ., 1971. 22. (. %. . — ., 1972. 23. + ' . ). = . — .: &@:, 2000. 24. Operationsforschung. Mathematische Grundlagen, Methoden und Modelle, Hrsg. von W. Dück, . Bliefernich, Bd 1—3, '., 1971—1973. 25. T , (. 7. . )$ >. — C$, 1994.
231
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ІРИНА ЮРІЇВНА ІВЧЕНКО
МАТЕМАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ Навчальний посібник Керівник видавничих проектів – Б.А.Сладкевич Друкується в авторській редкації Дизайн обкладинки – Б.В. Борисов
Підписано до друку 20.04.2007. Формат 60x84 1/16. Друк офсетний. Гарнітура PetersburgC. Умовн. друк. арк. 14,5. Видавництво “Центр учбової літератури” вул. Електриків, 23 м. Київ, 04176 тел./факс 425 01 34, тел. 451 65 95, 425 04 47, 425 20 63 8 800 501 68 00 (безкоштовно в межах України) e mail:
[email protected] сайт: WWW.CUL.COM.UA Свідоцтво ДК №2458 від 30.03.2006
