Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 66-73
УДК 512.56
СВОЙСТВА РЕШЕТОК, СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ПРИ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ Ю. Л. Е Р Ш О В Памяти Виктора Александровича Горбунова
Цель настоящей статьи — указать ряд интересных свойств решеток, которые сохраняются при свободных произведениях. Определение свобод ных произведений и их основные свойства, используемые нами в доказа тельствах, можно найти в [1]. Гомоморфизм решеток <р : LQ —> L\ называется ограниченным сверху (см. [2]), если для любого l\ E Ь\ множество
P~~1(i h)j либо пусто, либо имеет наименьший элемент. Если <р ограничен
сверху и снизу, то он называется ограниченным. Если ср — эпиморфизм, то ограниченность сверху (снизу) равносиль на существованию монотонного отображения а : L\ —>• LQ (/3 : L\ ~* LQ) такого, что для любых 1Q G LQ, 1\ £ LQ /о < a(h) &
y(/o)).
Решетка L называется ограниченной [ограниченной сверху, ограни ченной снизу) (см. [2]), если существует эпиморфизм <р : F -» L свободной решетки F с конечным числом образующих, который ограничен (ограни чен сверху, ограничен снизу). Пусть А — подмножество решетки L. Будем говорить, что гомомор-
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
Свойства, решеток, сохраняющиеся при свободных произведениях
67
физм <р : L —»• Li решеток разделяет А, если для любых /о> h € А из IQ j£ l\ следует, что
• £ i , разделяю щий Л. Т Е О Р Е М А , Свободное произведение LQ * Li решеток LQ и L\ со храняет следующие свойства: 1) финитная аппроксимируемость] 2) аппроксимируемость
[конечными) ограниченными
[ограничен
ными сверху, ограниченными снизу) решетками] 3) ограниченность [ограниченность сверху, ограниченность
снизу),
В доказательствах будут использованы понятия терма, ранга тер ма, верхнего и нижнего покрытия терма и их свойства, описанные в [1, гл. VI, §1]. Если L — решетка, то через L± [LT) обозначается решетка, получен ная из L внешним присоединением нуля ± (единицы Т). Если <р : L -> V — гомоморфизм решеток, то (р± : L± -> Ь'± [(рТ : LT —> LfT) — естественно определенное [(р±[±) = ± , Lf0 — гомомор физм решеток, разделяющий ТЬ; I^ — гомоморфизм решеток, разделяющий Т\. ПРЕДЛОЖЕНИЕ
1. Существуют
конечная
последователь
ность решеток L(0) ^ L'0± х L'J x L'1± x L[r, L(l),...,
L(n)
68
Ю. Л. Ершов
такая, что для любого к < п решетка L(k + 1) является
расширением
Дэя (см. [3]) L(k)[Ik] решетки L(k) для подходящего интервала 1*. С L(k), и гомоморфизм ц>п : LfQ * L[ -+ L(n) такой} что гомоморфизм (рпф : LQ * *L\ -» L(n) (где <р : LQ * L\ -> LQ * L^ — гол40л*ор$шлс, определенный по <^о? ^ i ) разделяет множество {to,...,ia}
(здесь i — элемент свободного
произведения Lo * £ ъ представленный термом t). Рассмотрим вложения г0 : Lf0 -> £(0), «i : L[ —» L(0) решеток, опре деленные так:
Вложения г'о и н однозначно определяют гомоморфизм <р° : L Q * ! ^ -» -+ £(0). Образ <^°(^) < ^(0) отождествим с £(, г = 0 , 1 . Пусть 7Го, тгц 7Г2 и 7Гз — проекции 2/(0) на Lf0±, LQ T , L'1JL И LJ7" соот ветственно. Л Е М М А 1. Для любого терма t свободного произведения Lo * L\, определяющего элемент i £ LQ*L\}
справедливы следующие соотношения:
по<Р°<Р® = VO-L(*(O)), ^ V ( * ~ ) = Vo (*(0))>
7r2VV(«) = m(*(i)). WV(*) = vi"(*(1)). Заключение леммы сразу следует из определения покрытий £(ф *W, г = 0,1, терма t и определений гомоморфизмов <р°, ср. П Л Е М М А 2. Яусть t,t' €T,t£t*
и
[A(t),^V(?)]n(4uLi) = 0. Предположим противное, и пусть для /о € ^о выполняется и f(0) собственные, $(№)
= ¥>о(*(0)), <А)±(*'(0)) = Ы*' ( 0 ) )> ¥>о(*(0)) <
< ^о(*(о))> **°^ *(о) G Г°> и
ь к у ¥?о разделяет Т 0 , то *(°) < £'(0); тогда
поскол
i < t'y что приводит к противоречию. •
Свойства решеток, сохраняющиеся при свободных произведениях
69
Перенумеруем все пары термов (ро, go)? (Pi» 9i)»•••» (Pm Яп) из Г так, что r(pi) + r(qi) ^ r(pk) + r(qk), если I ^ k ^ n. Для k ^ n будем строить решетку L(fc + 1), гомоморфизм (pk+1 : LfQ * *L[ -> L(fc+1) и эпиморфизм £fc+i : L(fc+1) ~> L(k) так, чтоtfjb+iV*'4"1= V* и для всех / ^ &, если р/ ^ д), то ^ * + V ( w ) jC ^* + V(®)Пусть для к < п решетка JD(fc), гомоморфизм y?fc : Lf0 * I^ -+ L(fc) и эпиморфизм Sic : L(k) -* L(k - 1) (если fc > 0) с нужными свойствами уже построены. Если рк < % или <рк<р(рк) ii ^V(
то
> полагая Ь(к + 1) ^=± L(fc),
^k* 1 ^ ^ и 8k+i ^ idj^^)? получим искомое. Пусть pk ^ д* но <рк<р(рк) < <Рк(р(Як)- Покажем, что тогда рк имеет видр^Лр£. Действительно, если ранг терма рк равен 1, т.е. р* = /о G ^о (или РА: = h e JDi), то <рк<р(10) < 0{р{Як), ¥>о(*о) = = Vo(40)) = ^ o v M ' o ) < ir0о(?*(о)) влекут, что /£0) < дЛ(0) и pfc = / 0 < gfc, а это противоречит предположению р* ^ д*. Пусть ранг терма рк больше 1 и р& = р'к V р£; тогда р^ = р£. V р£ j£ % влечет, что р^ ^ д& (или pj£ j( %), но г(рд.) < г(р^) и, следовательно, существует I < к такое, что pj = р{, g/ = g^. Тогда по индукционному предположению имеем <£*VCPfc) = ^PiPi)
^ ^viQl)
=
^^(Як)
и тем более
Ч^Ф&к) £ фк(р{Як)> нто противоречит предположению. Итак, возможен лишь случай, когда р& имеет вид р£. Л р£. Покажем теперь, что д* имеет вид qfk V g£. Если ранг терма qk равен 1, т.е. qk = h £ h\ (или qk = fo € L 0 ), то <рк<р(рк) <
¥>°¥>(Йь) < ¥>ММ> ^3^V(Pfc) =r WOi**) < ^3^V('i) = W('i) = ¥>i('i); отсюда p^' — собственное покрытие,
==
^ i ( l i )» Pfc V i ^ -Ti
и
¥>i(Pfc) < Vi(*i) влекут, что р^1} < h = (/i)(i) и pfc < /i = gfc — а это противоречит предроложению. Пусть ранг терма qk больше 1 и qk = g£ Л g£; тогда р* £ д£ = д£ Л д£ влечет р* <£ д£ (или р* ^ д£); так как у пары (р*,д£) номер меньше Л, то (ffitpipk) £ Ч>кЧ>{Як) и тем более, *¥>(<& А д^) = <рку>(Як),
Ю. Л. Ершов
70
что противоречит предположению. Итак, возможен лишь случай, когда qk имеет вид q'k V qk. Заметим теперь, что для элементов <£*у>(^), 4>кф{р'1), ^к(р(Як)^ <Рк(р(<1к) нарушаются условия Уитмена, т. е.
Предположим противное. Пусть, например, <£*V(Pfc) < <Рк(р(Як) V У<Рк(Р(Чк)
=
V9* ¥>(<&)• Так как у пары термов (pk,qk) номер меньше ку
¥>V(P*) < Фк(+>{Чк) влечет, что рк < qk и тем более рк = рк Лрк < qk, а, это противоречит предположению. Аналогично рассматриваются и остальные случаи. Итак, интервал h ^ [^^(p*)»^*^?*)] Q £(&)
не
содержит элемен
тов <рк<р(р'к), <рк<р{рк), Ч*Ч>Ш и ^ М ? * 0 - П У С Т Ь £ ( * + 0 — £(*)[**] ~ расши рение Дэя (см. [3]). Так как <рк<р(рк) < фкф{Чк) влечет <р°<р(рк) < ф0(р(Як), то по лемме 2 выполняется Ik П (L'0 U L[) = 0 . Вложения V0 и L[ в £(&) индуцируют вложения L'Q и L[ в L(k + 1). Последние определяют гомоморфизм <рк+1 : L'0 * Vk -л L(k + 1) такой, что К[к<рк+1 = (рк, где к/ л : L(fc + 1) = L(k)[Ik] -> L(k) — эпиморфизм расширения Дэя. Полага ем 5fc+i ^
К
1к- Остается проверить, что <рк<р{рк) £ <£*+1^{Чк)• Поскольку
^/*¥?*:+1¥?(9Jk) ^ <Рк¥($%)<> п о лемме ЗЛ [3] справедливо +
+
+
+
fe+1
/ + V ( P * ) = v* V&) л / V(pfc) £ / V(&) v / V ( $ ) = v
v(%).
Предложение доказано. D С Л Е Д С Т В И Е 1. В условиях предложения гомоморфизм (р : Lo * *Li —> V0 * Lj_ разделяет множество {fo? ..-ДЛДоказательство предложения вместе со свойствами конструкции L[I] позволяет получить ряд следствий. Установим сначала еще одну лемму. Л Е М М А 3. Если LQ, L\ — ограниченные {ограниченные сверху, ограниченные снизу) решетки, то и LoXL\ — ограниченная (ограниченная сверху, ограниченная снизу) решетка.
Свойства решеток, сохраняющиеся при свободных произведениях
71
Пусть Lo, L\ — ограниченные сверху решетки, тогда Lo, L\ конечно порождены и Lo х Li, порождаемая подрешетками LQ Х {OI}, {OQ} x Li, которые изоморфны решеткам Lo, L\ соответственно, также конечно по рождена. Пусть (р : F -» Lo x L\ — произвольный эпиморфизм свободной решетки с конечным числом порождающих, <ро : F -» Lo, о(/о)
=
^о> a / i 6 F - наибольший элемент F такой, что y?i(/i) = /i,
то, как нетрудно проверить, / ?=± / 0 Л / i будет наибольшим элементом F , для которого у>(/) = {lo,h). Следовательно, Lo x Li ограничена сверху. Аналогично устанавливаются и остальные утверждения леммы. D Теорема 4.1 [3] вместе с замкнутостью класса конечных ограничен ных (ограниченных сверху, ограниченных снизу) решеток относительно подрешеток и прямых произведений показывает, что если Lo и L\ — ко нечные ограниченные (ограниченные сверху, ограниченные снизу) решет ки, то для любого к 6 ш решетка L(k) конечна и ограничена (ограничена сверху, ограничена снизу). Отсюда получаем С Л Е Д С Т В И Е 2. Если LQ и L\ аппроксимируются
{ограничен
ными, ограниченными сверху, ограниченными снизу) конечными решет ками, то и Lo * L\ обладает этим же свойством. Для доказательства свойства 2 теоремы о сохранении аппроксимиру емости (не обязательно конечными) ограниченными решетками и свойства 3 теоремы достаточно установить следующее П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2, Пусть <р,- : F, -» Li, г = 0,1, - ограниченные сверху эпиморфизмы, тогда эпиморфизм <р : Fo*Fi -» Lo*Li,
естественно
определенный по щ, ipi, также ограничен сверху. Пусть а,- : L t ~* F, — такие отображения, что /, < <*,-(/,•) <£> ¥>•(/«) < ^ /,- < E F t , / t e L „ i = 0,/. Будем строить отображение а : L 0 * Li -» F 0 * Р\ со свойством / < < а(/) f> <£>(/) < /, / G Fo*Fi, / G Lo*Li индукцией по рангу наименьшего терма, представляющего элемент / Е Lo * L\.
72
Ю. Л. Ершов Л Е М М А 4. Если I e Li} то а(1) = а. (/,-), * = 0,1. Для любого / € F 0 *Fi имеет место равенство т - е -
диаграмма F 0 * Fi
-»
4,<°>
£ 0 * £i
|(°)
коммутативна. Пусть / G L 0 , / € F 0 * Fx и у>(/) < /. Тогда ¥>J(/ (0) ) = ^ ( / ) ( 0 ) < < /(о) = / ; /(о) - собственное, /(°) 6 F 0 , ^о(/ ( 0 ) ) < 1, / ( 0 ) < «о(0 = = «о(/)(о); следовательно, / < с*о(/).
D
Если для /, У £ Lo * L\ элементы а(1) и a(V) уже определены, то, очевидно, а(1 А V) ?± a(l) A a(V) удовлетворяет нужным свойствам. Как определить а(1 V /')? Положим а(1 V /') ;=± а(/) V а(/') V а0((1 V v
0 ( o ) ) V Q J I ( ( / V / / ) ( I ) ) . В случае, когда (/ V70(о) и л и (/V/0(i) несобственное,
соответствующее слагаемое опускается. Ясно, что из / < a(/V/') следует (р) < /V/'. Рассмотрим возможные случаи. С л у ч а й 1. Ранг терма р равен 1, т. е. р = / £ Fo U Fi. Пусть / G Fo; тогда (/) € l o , (/)(0) < (/ V Г)(о) и / < с*о((/ V /0(о)) < а '(/ V /')• Случай 1 невозможен. С л у ч а й 2. Пусть р = jp0Vpi; и з р ^ a(l\/V) следует, что jp0 ^
a(l\/lf)
или pi j£ а(/V/')- Пусть ро ^ а(/V/'); <^>(ро) < <^0Р) ^ /V/'. Поскольку ранг Ро меньше ранга р, то этот случай также невозможен. С л у ч а й 3. Пусть р = ро Арг; заметим, что (р) = (р) < / V /'. Тогда либо у>(р)(°) < (/ V Г)(о) (*>(р)(1) < (/ V Г)(1)), либо у(р) < / Ш Если ^(р(°) < (/ V /')(о), то v(p) ;
а
(0)
< /'). е ! 0 и у>(р)(°) < (/ V /') ( 0 ) . Следо
вательно, р < ао((/ V / )(о)) £ ( / V /'), что невозможно. Если ф(р) < /, то
Свойства, решеток, сохраняющиеся при свободных произведениях
73
Р < <*(/) < ®{1 V /'), что также невозможно. Итак, все случаи невозможны. Поэтому для любого / € FQ * Fi имеем / < a(l V /') <-> у ( / ) < / V /'. Предложение доказано,. • Справедливо, очевидно, и двойственное П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2'. Пусть щ : Fi -» L$, t = 0,1, -
ограничен
ные снизу эпиморфизмы, тогда эпиморфизм <р : FQ * Fi -» Lo * ^ ь есте ственно определенный по <ро, ,- : F,- ->• Li, г = 0,1, — ограниченные эпиморфизмы, тогда эпиморфизм <р : Fo * Fi -» Хо * £ ъ
естественно
определенный по <ро, <рх, такэюе ограничен. С Л Е Д С Т В И Е 2. Пусть LQ, LI — ограниченные (сверху, снизу) ре шетки. Тогда их свободное произведение LQ*L\ такэюе ограничено (сверху, снизу).
ЛИТЕРАТУРА 1. Г. Гретцер, Общая теория решеток, М., Мир, 1982. 2. R. Freese, J.Jezek,
J. В. Nation, Free lattices (Math. Surv. Monogr., 42),
Providence, RI, Am. Math. Soc, 1995. 3. A. Day., Splitting lattices generate all lattices, Algebra Univers., 7, N 2 (1977), 163-169.
Адрес автора: ЕРШОВ Юрий Леонидович, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, ул. Мальцева, д. 4. e-mail: [email protected]
Поступило 10 марта 1999 г.
