Конспект лекций О.Б.Лупанова по курсу ''Введение в математическую логику''

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ èìåíè Ì. Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ

Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà ïî êóðñó

"Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó"

Mocêâà 2007

ÓÄÊ 510.6 : 510.7 : 519.7 ÁÁÊ 22 Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà ïî êóðñó "Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó"/Îòâ. ðåä. À. Á. Óãîëüíèêîâ. Ì.: Èçä-âî ÖÏÈ ïðè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, 2007. 192 ñ.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîñòàâëåíî íà îñíîâå êîíñïåêòîâ ëåêöèé àêàäåìèêà ÐÀÍ Î. Á. Ëóïàíîâà ïî êóðñó "Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó", ïðî÷èòàííûõ èì íà ïåðâîì êóðñå ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà â 1982 2006 ãã.  ïîñîáèè ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëåäóþùèå âîïðîñû: ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè, ôóíêöèè ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè, èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé, ëîãèêà è èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ, ëîãè÷åñêèå ñåòè, êîíå÷íûå àâòîìàòû, àëãîðèòìû è âû÷èñëèìûå ôóíêöèè. Äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ.

Îòâåòñòâåííûé ðåäàêòîð: Àëåêñàíäð Áîðèñîâè÷ Óãîëüíèêîâ

c Ëóïàíîâ Î. Á., 2007 °

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ Ïðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè Ëåêöèÿ  1. Áóëåâû ôóíêöèè. Çàäàíèå ôóíêöèé òàáëèöàìè. Ñóùåñòâåííûå è íåñóùåñòâåííûå ïåðåìåííûå. Ðàâåíñòâî ôóíêöèé. Ôîðìóëû. Ðåàëèçàöèÿ ôóíêöèé ôîðìóëàìè. Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóë. Ïðèìåðû ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìóë. Òåîðåìà î ðàçëîæåíèè ôóíêöèè ïî ìíîæåñòâó ïåðåìåííûõ. Ñîâåðøåííàÿ äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Ëåêöèÿ  2. Ïîëíûå ñèñòåìû. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïîëíîòû. Ïðèìåðû ïîëíûõ ñèñòåì. Ïîëèíîìû Æåãàëêèíà. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé ïîëèíîìàìè. Çàìûêàíèå ñèñòåìû ôóíêöèé. Çàìêíóòûå êëàññû. Ëèíåéíûå ôóíêöèè. Ëåììà î íåëèíåéíîé ôóíêöèè. Êëàññû T0 è T1 . Ñàìîäâîéñòâåííûå ôóíêöèè. Ëåììà î íåñàìîäâîéñòâåííîé ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Ëåêöèÿ  3. Ìîíîòîííûå ôóíêöèè. Ëåììà î íåìîíîòîííîé ôóíêöèè. Òåîðåìà î ôóíêöèîíàëüíîé ïîëíîòå. Ïðåäïîëíûå êëàññû. Òåîðåìà î ïðåäïîëíûõ êëàññàõ â P2 . Ôîðìóëèðîâêè îñíîâíûõ òåîðåì Ý. Ïîñòà. Ëåììà î ñîõðàíåíèè ôóíêöèÿìè ñóùåñòâåííîé çàâèñèìîñòè îò ïåðåìåííûõ . . 26

Ôóíêöèè k -çíà÷íîé ëîãèêè Ëåêöèÿ  4. Ôóíêöèè ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ïîëíûå ñèñòåìû. Ïðèìåðû ïîëíûõ ñèñòåì. Çàìêíóòûå êëàññû. Ïðåäïîëíûå êëàññû. Àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ ïîëíîòû êîíå÷íûõ ñèñòåì ôóíêöèé â Pk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Ëåêöèÿ  5. Ñóùåñòâåííûå ôóíêöèè. Ëåììà î òðåõ íàáîðàõ. Ëåììà î êâàäðàòå. Òåîðåìà Ñëóïåöêîãî. Òåîðåìà ßáëîíñêîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Ëåêöèÿ  6. Ôóíêöèè Øåôôåðà. Êðèòåðèé øåôôåðîâîñòè ôóíêöèé. Îñîáåííîñòè ôóíêöèé k -çíà÷íîé ëîãèêè, k > 3. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé ïîëèíîìàìè. Ïðèìåð çàìêíóòîãî êëàññà, íå èìåþùåãî áàçèñà. Ïðèìåð çàìêíóòîãî êëàññà ñî ñ÷åòíûì áàçèñîì. Ìîùíîñòü ñåìåéñòâà çàìêíóòûõ êëàññîâ. Êëàññû ñîõðàíåíèÿ ìíîæåñòâ ôóíêöèé è èõ ñâîéñòâà. Òåîðåìà Êóçíåöîâà î ôóíêöèîíàëüíîé ïîëíîòå . . . . . . . . . 50

Ëîãè÷åñêèå ñõåìû Ëåêöèÿ  7. Ãðàôû. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ïðàâèëüíàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Äåðåâüÿ. Îðèåíòèðîâàííûå ãðàôû. Ëåììà î íóìåðàöèè âåðøèí. Ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ðåàëèçàöèÿ ôóíêöèé ñõåìàìè. Ðåàëèçàöèÿ ñèñòåìû êîíúþíêöèé. Ôóíêöèÿ L(n). Ïðîñòåéøèå ìåòîäû ñèíòåçà. Òåîðåìà Øåííîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Ëåêöèÿ  8. Âåðõíÿÿ îöåíêà ÷èñëà ñõåì. Íèæíÿÿ îöåíêà äëÿ ôóíêöèè L(n). Êîíòàêòíûå ñõåìû. Ôóíêöèÿ ïðîâîäèìîñòè. Ôóíêöèÿ Lk (n). Ïðîñòåéøèå ìåòîäû ñèíòåçà. Êîíòàêòíîå äåðåâî. Ìåòîä êàñêàäîâ. Âåðõíÿÿ îöåíêà äëÿ ôóíêöèè Lk (n). Âåðõíÿÿ îöåíêà ÷èñëà äâóõïîëþñíûõ êîíòàêòíûõ ñõåì. Ïîðÿäîê ôóíêöèè Lk (n). Ìåòîä êàñêàäîâ äëÿ ñõåì èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Âåðõíÿÿ îöåíêà ñëîæíîñòè ñõåì, ïîñòðîåííûõ ìåòîäîì êàñêàäîâ. . . . . . . . . 73

Êîíå÷íûå àâòîìàòû Ëåêöèÿ  9. Äåòåðìèíèðîâàííûå ôóíêöèè. Èíôîðìàöèîííûå äåðåâüÿ. Ýêâèâàëåíòíîñòü äåðåâüåâ. Îãðàíè÷åííîäåòåðìèíèðîâàííûå ôóíêöèè. Äèàãðàììû ïåðåõîäîâ. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Êîíå÷íûå àâòîìàòû. Àâòîìàòíûå ôóíêöèè. Ëåììà î ïðåîáðàçîâàíèè ïåðèîäè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Ëåêöèÿ  10. Ñõåìû èõ ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå. Ðåàëèçàöèÿ ôóíêöèé ñõåìàìè. Àâòîìàòû ñ n âõîäàìè. Ñõåìû èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ. Òåîðåìà îá îòñóòñòâèè ïîëíûõ êîíå÷íûõ ñèñòåì àâòîìàòíûõ ôóíêöèé. Ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ è ýëåìåíòîâ çàäåðæêè. Ðåàëèçàöèÿ àâòîìàòíûõ ôóíêöèé ñõåìàìè èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ è ýëåìåíòîâ çàäåðæêè . . . . . . 100

Àëãîðèòìû è âû÷èñëèìûå ôóíêöèè Ëåêöèÿ  11. Ìàøèíû Òüþðèíãà. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Âû÷èñëèìûå ôóíêöèè. Ïðèìåð ìàøèíû, óäâàèâàþùåé ñëîâà. Òåçèñ Òüþðèíãà. Êîäèðîâàíèå ìàøèí. Ïðîáëåìà ñàìîïðèìåíèìîñòè. Àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû ñàìîïðèìåíèìîñòè. Ïðîèçâåäåíèå ìàøèí. Ïðîáëåìà ïðèìåíèìîñòè. Àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû ïðèìåíèìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Ëåêöèÿ  12. Êîäèðîâàíèå êîíôèãóðàöèé. Ïðîáëåìà ïåðåâîäèìîñòè. Àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû ïåðåâîäèìîñòè. Àññîöèàòèâíûå èñ÷èñëåíèÿ. Ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ â àññîöèàòèâíûõ èñ÷èñëåíèÿõ. Àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ àññîöèàòèâíûõ èñ÷èñëåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Ëåêöèÿ  13. Íîðìàëüíûå àëãîðèôìû. Ñõåìà íîðìàëüíîãî àëãîðèôìà. ×àñòè÷íûå ñëîâàðíûå ôóíêöèè. Âû÷èñëåíèå ñëîâàðíûõ ôóíêöèé ïðè ïîìîùè íîðìàëüíûõ àëãîðèôìîâ. Íîðìàëüíî âû÷èñëèìûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè. Ïðèíöèï íîðìàëèçàöèè. ×àñòè÷íûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè. Ïðîñòåéøèå ôóíêöèè. Îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè è ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè. Ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Îïåðàöèÿ ìèíèìèçàöèè. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Òåçèñ ×åð÷à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé Ëåêöèÿ  14. Âûñêàçûâàíèÿ. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. Àêñèîìû. Ïðàâèëî âûâîäà. Âûâîä; âûâîäèìûå ôîðìóëû. Âûâîä èç ñèñòåìû ãèïîòåç. Ïðîñòûå ñâîéñòâà âûâîäèìîñòè. Âûâîä ôîðìóëû A → A. Òåîðåìà î äåäóêöèè. Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû î âûâîäèìîñòè ôîðìóë. Òîæäåñòâåííàÿ èñòèííîñòü âûâîäèìûõ ôîðìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Ëåêöèÿ  15. Íåïðîòèâîðå÷èâîñòü èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ëåììà î âûâîäèìîñòè ôîðìóëû A² , ² ∈ {0, 1}. Òåîðåìà î ïîëíîòå. Ïðîòèâîðå÷èâîñòü èñ÷èñëåíèÿ, ïîñòðîåííîãî â ðåçóëüòàòå äîáàâëåíèÿ ê àêñèîìàì íîâîé ñõåìû. Íåçàâèñèìîñòü ñõåì àêñèîì. Òåîðåìà î íåçàâèñèìîñòè ñõåì àêñèîì èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Ëîãèêà ïðåäèêàòîâ Ëåêöèÿ  16. Ïðåäèêàòû. Ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ïðåäèêàòàìè. Òåîðåìà î ïîëíîòå ñèñòåìû îäíîìåñòíûõ ïðåäèêàòîâ, çàäàííûõ íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå. Êâàíòîðû. Ñâÿçü ìåæäó ëîãè÷åñêèìè è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûìè îïåðàöèÿìè. Ìîäåëü. Ñèãíàòóðà ìîäåëè. Ôîðìóëà â ìîäåëè; ñâîáîäíûå è ñâÿçàííûå ïåðåìåííûå; çíà÷åíèÿ ôîðìóëû â ìîäåëè. Èñòèííîñòü ôîðìóë â ìîäåëè. Ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóë â ìîäåëè, íà ìíîæåñòâå. Ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Ëåêöèÿ  17. Ïðàâèëà ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïðèâåäåííûå ôîðìóëû. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ïðèâåäåííîé ôîðìóëû, ýêâèâàëåíòíîé çàäàííîé. Íîðìàëüíàÿ ôîðìà. Ïðèâåäåíèå ôîðìóë ê íîðìàëüíîìó âèäó. Èñòèííîñòü ôîðìóë íà ìíîæåñòâå. Òîæäåñòâåííî èñòèííûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Ëåêöèÿ  18. Çàäà÷à óñòàíîâëåíèÿ òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóë, ñîäåðæàùèõ òîëüêî îäíîìåñòíûå ïðåäèêàòû. Ãîìîìîðôèçì ìîäåëåé. Ëåììà î çíà÷åíèÿõ ôîðìóë â ãîìîìîðôíûõ ìîäåëÿõ. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ìîäåëè, ãîìîìîðôíîé çàäàííîé. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóë. Àëãîðèòì ïðîâåðêè òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóë . . . . . . 178

Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ Ëåêöèÿ  19. Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ. Àêñèîìû. Ïðàâèëà âûâîäà. Âûâîä; âûâîäèìûå ôîðìóëû. Ñïåöèàëüíûé âûâîä èç ñèñòåìû ãèïîòåç. Òåîðåìà î äåäóêöèè (îñëàáëåííûé âàðèàíò). Òîæäåñòâåííàÿ èñòèííîñòü âûâîäèìûõ ôîðìóë. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ãåäåëÿ î ïîëíîòå. Ïðèìåðû âûâîäèìûõ ôîðìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 7 8

7

Ïðåäèñëîâèå

Ýòà êíèãà âûõîäèò â ñâåò, êîãäà Îëåãà Áîðèñîâè÷à Ëóïàíîâà (02.06.1932  03.05.2006) óæå íåò â æèâûõ. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå Î. Á. Ëóïàíîâ ÷èòàë íà ïåðâîì êóðñå ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ íà ïðîòÿæåíèè 25 ëåò ñ 1982 ïî 2006 ã. Âñå ýòè ãîäû Îëåã Áîðèñîâè÷ áûë çàâåäóþùèì êàôåäðîé äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè è äåêàíîì ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ.  ëåêöèÿõ îòðàæåíà òî÷êà çðåíèÿ Î. Á. Ëóïàíîâà  âûäàþùåãîñÿ ñîâåòñêîãî ìàòåìàòèêà, àêàäåìèêà ÐÀÍ, îäíîãî èç îñíîâàòåëåé îòå÷åñòâåííîé øêîëû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè  íà ïðåïîäàâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ñòóäåíòàì ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Îòëè÷èòåëüíàÿ ÷åðòà ëåêöèé  òùàòåëüíûé îòáîð èçëàãàåìîãî ìàòåðèàëà, ïðîñòîé è äîñòóïíûé ñòèëü èçëîæåíèÿ. Îëåã Áîðèñîâè÷ ïðåäïîëàãàë ïîäãîòîâèòü ê èçäàíèþ ñâîè ëåêöèè è íà÷àë ðàáîòàòü íàä ðóêîïèñüþ. Ýòèì ïëàíàì íå ñóæäåíî áûëî îñóùåñòâèòüñÿ. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîñòàâëåíî â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè íà îñíîâå êîíñïåêòîâ ëåêöèé ðàçíûõ ëåò, ëþáåçíî ïðåäîñòàâëåííûõ ñòóäåíòàìè (ìíîãèå èç êîòîðûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ óæå ÿâëÿþòñÿ àñïèðàíòàìè è ñîòðóäíèêàìè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà), èñïîëüçîâàëèñü òàêæå ÷åðíîâèêè, ñòàòüè è ó÷åáíûå ïîñîáèÿ1) Îëåãà Áîðèñîâè÷à, à êðîìå òîãî, ýëåêòðîííûå âåðñèè êóðñà2) . Ñîäåðæàíèå êóðñà â ðàçíûå ãîäû ìåíÿëîñü. Ïðè ïîäãîòîâêå íàñòîÿùåãî èçäàíèÿ áûëà ïðåäïðèíÿòà ïîïûòêà ñîáðàòü âåñü ìàòåðèàë, ïðî÷èòàííûé Î. Á. Ëóïàíîâûì â ðàçíûå ãîäû ïî äàííîìó 1)  ïåðâóþ î÷åðåäü èñïîëüçîâàëèñü ó÷åáíûå ïîñîáèÿ ïî êóðñó ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, ïðî÷èòàííûõ èì íà ôàêóëüòåòå ÂÌèÊ ÌÃÓ â 1970/71 ó÷. ã. (ñì.: Ëóïàíîâ Î. Á. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, ÷. 1. Ì.: ÌÃÓ, ôàêóëüòåò ÂÌèÊ, 1970. 80 ñ.; Ëóïàíîâ Î. Á. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, ÷. 2. Ì.: ÌÃÓ, ôàêóëüòåò ÂÌèÊ, 1970. 27 ñ.), à òàêæå ñëåäóþùèå ìàòåðèàëû:  Ëóïàíîâ Î. Á. Àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè ñëîæíîñòè óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1984. 136 ñ.;  Ëóïàíîâ Î. Á. Î ñèíòåçå íåêîòîðûõ êëàññîâ óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì// Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè. Âûï. 10. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. 63-97, 2) Ñì.: http://dmvn.mexmat.net.

8

Ïðåäèñëîâèå

êóðñó, ÷òî îò÷àñòè îáúÿñíÿåò íåêîòîðóþ íåîäíîðîäíîñòü ëåêöèé îòíîñèòåëüíî îáúåìà ïðåäñòàâëåííîãî â íèõ ìàòåðèàëà. Îäíàêî îñóùåñòâèòü ýòè íàìåðåíèÿ óäàëîñü íå â ïîëíîé ìåðå.  íàñòîÿùåå èçäàíèå, â ÷àñòíîñòè, íå âêëþ÷åí àñèìïòîòè÷åñêè íàèëó÷øèé ìåòîä ñèíòåçà ñõåì èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, íå âîøëî îïèñàíèå óíèâåðñàëüíîé ìàøèíû Òüþðèíãà, íå îòðàæåíû òàêæå íåêîòîðûå äðóãèå âîïðîñû. Ýòè ïðîáåëû, âîçìîæíî, óäàñòñÿ âîñïîëíèòü â ïîñëåäóþùèõ èçäàíèÿõ. Ìàòåðèàë, ñîäåðæàùèéñÿ â äàííîì ó÷åáíîì ïîñîáèè, ïî îáúåìó ñîîòâåòñòâóåò ïðèìåðíî ãîäîâîìó êóðñó ëåêöèé. Ïðè ðàáîòå íàä êíèãîé õîòåëîñü ñîõðàíèòü ñòèëü èçëîæåíèÿ, ïðèñóùèé Î. Á. Ëóïàíîâó. Íàñêîëüêî ýòî óäàëîñü, ñóäèòü ÷èòàòåëÿì. Õî÷åòñÿ íàäåÿòüñÿ, ÷òî äàííîå èçäàíèå áóäåò ïîëåçíî êàê ñòóäåíòàì è àñïèðàíòàì, òàê è ñïåöèàëèñòàì ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå è ìàòåìàòè÷åñêîé êèáåðíåòèêå. *** Ýòà êíèãà âûøëà â ñâåò â ðåçóëüòàòå ñîâìåñòíûõ óñèëèé áîëüøîãî ÷èñëà ëþäåé, â àäðåñ êîòîðûõ íåîáõîäèìî ñêàçàòü ñëîâà áëàãîäàðíîñòè. Ïðåæäå âñåãî õî÷åòñÿ ïîáëàãîäàðèòü Í. Á. Ëóïàíîâó, êîòîðàÿ äàëà ñîãëàñèå íà èçäàíèå ëåêöèé è ïðåäîñòàâèëà â ðàñïîðÿæåíèå àâòîðà ýòèõ ñòðîê ÷åðíîâèêè è ðóêîïèñè Îëåãà Áîðèñîâè÷à äëÿ ïîäãîòîâêè íàñòîÿùåãî èçäàíèÿ, Ð. Ì. Êîëïàêîâà çà ïîäðîáíûé (íàïèñàííûé â àñïèðàíòñêèå ãîäû) êîíñïåêò ëåêöèé 1992/93 ó÷. ã., à òàêæå âñåõ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ñîòðóäíèêîâ ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà çà ïðåäîñòàâëåííûå êîíñïåêòû. Îñîáóþ áëàãîäàðíîñòü çàñëóæèâàåò Î. Ì. Êàñèì-Çàäå, èíèöèàòèâà êîòîðîãî âî ìíîãîì ñïîñîáñòâîâàëà òîìó, ÷òî äàííîå ïîñîáèå áûëî íàïèñàíî è îïóáëèêîâàíî. Îòäåëüíóþ áëàãîäàðíîñòü çàñëóæèâàþò Ï. À. Áîðîäèí è Þ. Â. Áîðîäèíà çà êðîïîòëèâóþ ðàáîòó ïî ïîäãîòîâêå ýëåêòðîííîé âåðñèè òåêñòà, Í. À. Ëåîíòüåâà çà òùàòåëüíîå ðåäàêòèðîâàíèå ðóêîïèñè, Â. Ì. Ñòàðîâåðîâ è Î. Ñ. Äóäàêîâà çà äåÿòåëüíîå ó÷àñòèå â ïîäãîòîâêå îêîí÷àòåëüíîé âåðñèè îðèãèíàëà-ìàêåòà. Õî÷åòñÿ âûðàçèòü òàêæå èñêðåííþþ ïðèçíàòåëüíîñòü ñîòðóäíèêàì êàôåäðû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè çà ïëîäîòâîðíûå îáñóæäåíèÿ, êîëëåãàì è äðóçüÿì çà ìîðàëüíóþ ïîääåðæêó. ***  ýòè äíè èñïîëíÿåòñÿ 75 ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ Îëåãà Áîðèñîâè÷à Ëóïàíîâà, ïàìÿòè êîòîðîãî ïîñâÿùàåòñÿ íàñòîÿùàÿ êíèãà. 2 èþíÿ 2007 ã. À. Á. Óãîëüíèêîâ

9

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 9 18

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ Ëåêöèÿ  1 Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ), îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâå íàáîðîâ (σ1 , . . . , σn ) èç íóëåé è åäèíèö è ïðèíèìàþùèå íà êàæäîì èç ýòèõ íàáîðîâ çíà÷åíèÿ 0 èëè 1. Òàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ áóëåâûìè ôóíêöèÿìè èëè ôóíêöèÿìè àëãåáðû ëîãèêè. Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ôóíêöèé îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç P2 . Òàê êàê íàáîðîâ (σ1 , . . . , σn ) äëèíû n èç íóëåé è åäèíèö êîíå÷íîå ÷èñëî (èìåííî 2n øòóê!), òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ çàäàíà òàáëèöåé (òàáë. 1).

x1 0 0

x2 0 0

σ1

σ2

1

1

... ... ... ... ... ... ...

xn−1 0 0

xn 0 1

σn−1

σn

1

1

Òàáëèöà 1 f (x1 , x2 , . . . , xn1 , xn ) f (0, 0, . . . , 0, 0) f (0, 0, . . . , 0, 1) ... f (σ1 , σ2 , . . . , σn−1 , σn ) ... f (1, 1, . . . , 1, 1)

 ëåâîé ÷àñòè òàáë. 1 âûïèñàíû âñå íàáîðû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, â ïðàâîé ÷àñòè  ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ ôóíêöèé. Íà êàæäîì èç 2n íàáîðîâ ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ìîæåò èìåòü ëþáîå èç äâóõ çíà÷åíèé. Îòñþäà ñëåäóåò

Òåîðåìà. ×èñëînôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè îò n ïåðåìåííûõ x1 , x2 , . . . , xn ðàâíî 22 . Ýòî ÷èñëî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç p2 (n). Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÷èñëî ôóíêöèé îò ôèêñèðîâàííîãî (êîíå÷íîãî) ìíîæåñòâà ïåðåìåííûõ êîíå÷íî, à ñ äðóãîé  ýòî ÷èñëî "íåâåðîÿòíî áûñòðî" ðàñòåò ñ ðîñòîì ÷èñëà ïåðåìåííûõ. Äåéñòâèòåëüíî, n+1 n n p2 (n + 1) = 22 = 22 ·2 = (22 )2 = p22 (n); ò. å. ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà àðãóìåíòîâ íà 1 ÷èñëî ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè âîçâîäèòñÿ â êâàäðàò. Íàïðèìåð, 0

1

2

3

22 = 2, 22 = 4, 22 = 16, 22 = 256, 4 5 22 = 65 536, 22 = 4 294 967 296. Çàìåòèì, ÷òî ñ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé òî÷êè çðåíèÿ ôóíêöèÿ àëãåáðû ëîãèêè f (x1 , . . . , xn )  ýòî íå ïðîñòî îòîáðàæåíèå

10

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

ìíîæåñòâà âñåõ íàáîðîâ äëèíû n èç íóëåé è åäèíèö â ìíîæåñòâî {0, 1}, à ñîâîêóïíîñòü òàêîãî îòîáðàæåíèÿ è óïîðÿäî÷åííîãî íàáîðà (x1 , . . . , xn ) ïåðåìåííûõ.  ýòîì ñìûñëå ôóíêöèè f (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) è f (x2 , x1 , x3 , . . . , xn ), âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íû, õîòÿ è îïðåäåëÿþòñÿ îäíèì è òåì æå îòîáðàæåíèåì {0, 1}n → {0, 1}.  äàëüíåéøåì âàæíóþ ðîëü áóäóò èãðàòü íåêîòîðûå ôóíêöèè îäíîãî è äâóõ àðãóìåíòîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå àíàëîãàìè "ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé" â àðèôìåòèêå, àëãåáðå è ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå. Ðàññìîòðèì ýòè ôóíêöèè ïîäðîáíî. Ïðè n = 1 áóäåò âñåãî 4 ôóíêöèè, óêàçàííûå â òàáë. 2, ãäå 0  êîíñòàíòà 0, x  òîæäåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, x  îòðèöàíèå x, 1  êîíñòàíòà 1; ôóíêöèÿ x èãðàåò îñîáî âàæíóþ ðîëü â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. Òàáëèöà 2 x 0 x x 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Ïðè n = 2 áóäåò óæå 16 ôóíêöèé. Íåêîòîðûå èç íèõ óêàçàíû â òàáë. 3. Òàáëèöà 3 x1 x2 x1 &x2 x1 ∨ x2 x1 ⊕ x2 x1 → x2 x1 /x2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 Ôóíêöèÿ x1 &x2 íàçûâàåòñÿ êîíúþíêöèåé x1 è x2 èëè ëîãè÷åñêèì óìíîæåíèåì (È), îíà îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå x1 · x2 èëè x1 x2 . Ôóíêöèÿ x1 ∨ x2 íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèåé x1 è x2 èëè ëîãè÷åñêèì ñëîæåíèåì (ÈËÈ); x1 ⊕ x2 íàçûâàåòñÿ ñóììîé x1 è x2 ïî ìîäóëþ 2; x1 → x2 íàçûâàåòñÿ èìïëèêàöèåé x1 è x2 (ýòà ôóíêöèÿ èìååò âàæíîå çíà÷åíèå â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå); x1 /x2  ýòî øòðèõ Øåôôåðà. Ïåðåìåííàÿ xi ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ) íàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííîé, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå äâà íàáîðà (α1 , . . . , αi−1 , 0, αi+1 , . . . , αn ) è (α1 , . . . , αi−1 , 1, αi+1 , . . . , αn ), ðàçëè÷àþùèåñÿ òîëüêî â i-é êîìïîíåíòå, ÷òî

11

Ëåêöèÿ  1

f (α1 , . . . , αi−1 , 0, αi+1 , . . . , αn ) 6= f (α1 , . . . , αi−1 , 1, αi+1 , . . . , αn ).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííîé xi . Ïåðåìåííàÿ xi , íå ÿâëÿþùàÿñÿ ñóùåñòâåííîé, íàçûâàåòñÿ íåñóùåñòâåííîé èëè ôèêòèâíîé ïåðåìåííîé ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ); â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) íå çàâèñèò ñóùåñòâåííî îò ïåðåìåííîé xi .

Ïðèìåð. Ôóíêöèÿ f (x1 , x2 ) = x1 x2 ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííîé x1 , òàê êàê f (0, 1) 6= f (1, 1). Îíà òàêæå ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííîé x2 , òàê êàê f (1, 0) 6= f (1, 1). Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå ôóíêöèè, ïðèâåäåííûå â òàáë. 3, ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò îáåèõ ïåðåìåííûõ. Î÷åâèäíî, ÷òî êîíñòàíòû 0 è 1 íå èìåþò ñóùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì çíà÷åíèé åå ñóùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) íåñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííîé xi . Òîãäà åñëè f (α1 , . . . , αi−1 , 0, αi+1 , . . . , αn ) = β , òî âûïîëíÿåòñÿ è ðàâåíñòâî f (α1 , . . . , αi−1 , 1, αi+1 , . . . , αn ) = β . Ïîýòîìó ýòà ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà â âèäå òàáë. 4.

x1

...

xi−1

α1

...

αi−1

α1

...

αi−1

xi ... 0 ... 1 ...

xi+1

...

xn

αi+1

...

αn

αi+1

...

αn

Òàáëèöà 4 f (x1 , . . . , xn ) ... β ... β ...

Âû÷åðêíåì â ýòîé òàáëèöå i-é ñòîëáåö è âñå íàáîðû, ó êîòîðûõ i-ÿ êîìïîíåíòà ðàâíà 1. Ïîëó÷èì íîâóþ ôóíêöèþ g(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ), òàêóþ, ÷òî

g(α1 , . . . , αi−1 , αi+1 , . . . , αn ) = f (α1 , . . . , αi−1 , 0, αi+1 , . . . , αn ) äëÿ ëþáûõ α1 , . . . , αi−1 , αi+1 , . . . , αn èç ìíîæåñòâà {0, 1}. Ýòà ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå òàáë. 5.

12

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

x1

...

α1

...

xi−1 ... αi−1 ...

xi+1

. . . xn

αi+1

...

αn

Òàáëèöà 5

g(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) ... f (α1 , . . . , αi−1 , 0, αi+1 , . . . , αn ) ...

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ g ïîëó÷èëàñü èç ôóíêöèè f óäàëåíèåì íåñóùåñòâåííîé ïåðåìåííîé xi . Àíàëîãè÷íî ìîæíî ââåñòè è, òàê ñêàçàòü, îáðàòíóþ îïåðàöèþ  äîáàâëåíèå íåñóùåñòâåííîé ïåðåìåííîé (îãîâîðêà "òàê ñêàçàòü" èìååò òîò ñìûñë, ÷òî ýòà îïåðàöèÿ íåîäíîçíà÷íà). Ïóñòü äàíà ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ). Ïîñòðîèì íîâóþ ôóíêöèþ h(x1 , . . . , xn , xn+1 ). Çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè íà ëþáîì íàáîðå (α1 , . . . , αn , αn+1 ) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì h(α1 , . . . , αn , αn+1 ) = f (α1 , . . . , αn ). Òîãäà xn+1 áóäåò íåñóùåñòâåííîé ïåðåìåííîé ôóíêöèè h, ïîñêîëüêó h(α1 , . . . , αn , 0) = f (α1 , . . . , αn ) = h(α1 , . . . , αn , 1). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ h ïîëó÷èëàñü èç ôóíêöèè f äîáàâëåíèåì íåñóùåñòâåííîé ïåðåìåííîé xn+1 . Íåîäíîçíà÷íîñòü îïåðàöèè äîáàâëåíèÿ íåñóùåñòâåííîé ïåðåìåííîé îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî â êà÷åñòâå òàêèõ ïåðåìåííûõ ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ ðàçëè÷íûå ïåðåìåííûå. Ìû íå áóäåì ðàçëè÷àòü ôóíêöèè, ïîëó÷àþùèåñÿ äðóã èç äðóãà äîáàâëåíèåì íåñóùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Äâå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îäíà èç íèõ ïîëó÷àåòñÿ èç äðóãîé â ðåçóëüòàòå äîáàâëåíèÿ è (èëè) óäàëåíèÿ íåñóùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ.

Ïðèìåð. Ïóñòü äàíà ôóíêöèÿ h1 (x1 , x2 ) (ñì. òàáë. 6). x1 0 0 1 1

x2 0 1 0 1

h1 (x1 , x2 ) 0 1 0 1

→

x2 0 1

g(x2 ) 0 1

→

x2 0 0 1 1

x3 0 1 0 1

Òàáëèöà 6 h2 (x2 , x3 ) 0 0 1 1

Ýòà ôóíêöèÿ íåñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííîé x1 . Óäàëèì ýòó ïåðåìåííóþ. Ïîëó÷èì ôóíêöèþ g(x2 ). Äîáàâèì çàòåì íåñóùåñòâåííóþ ïåðåìåííóþ x3 . Ïîëó÷èì ôóíêöèþ h2 (x2 , x3 ). Ôóíêöèè h1 è h2 ðàâíû (õîòÿ òàáëèöû ó íèõ ðàçíûå!).

Ëåêöèÿ  1

13

Ôîðìóëû. Ïóñòü äàíî íåêîòîðîå (êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå) ìíîæåñòâî ôóíêöèé F = {f1 (x1 , . . . , xn1 ), f2 (x1 , . . . , xn2 ), . . . , fs (x1 , . . . , xns ), . . . }. Ââåäåì ïîíÿòèå ôîðìóëû íàä ìíîæåñòâîì F . Ýòî ïîíÿòèå îïðåäåëÿåòñÿ èíäóêòèâíî. 1. Âûðàæåíèÿ fi (x1 , . . . , xni ) (ò. å. çíàê ôóíêöèè, ëåâàÿ ñêîáêà, ïåðåìåííûå ôóíêöèè fi â èõ ïîðÿäêå, ïðàâàÿ ñêîáêà) ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè íàä F . 2. Åñëè A1 , . . . , Ani  ëèáî ïåðåìåííûå, ëèáî ôîðìóëû íàä F , òî fi (A1 , . . . , Ani )  ôîðìóëà íàä F ; âûðàæåíèÿ A1 , . . . , Ani (îòëè÷íûå îò ñèìâîëîâ ïåðåìåííûõ) íàçûâàþòñÿ ïîäôîðìóëàìè ôîðìóëû F . Çàìåòèì, ÷òî ïðè îáðàçîâàíèè íîâûõ ôîðìóë âìåñòî ïåðåìåííûõ èñõîäíûõ ôóíêöèé ìîæíî ïîäñòàâëÿòü êàê ôîðìóëû, òàê è ïåðåìåííûå. Ïåðåìåííàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé; ïåðåìåííàÿ ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé, åñëè îíà âõîäèò â ñèñòåìó F (è îáîçíà÷àåòñÿ òåì æå ñèìâîëîì).

Ïðèìåð. Ïóñòü F = {ϕ(x1 , x2 )}. Òîãäà âûðàæåíèÿ ϕ(x1 , x2 ), ϕ(x1 , x1 ), ϕ(x2 , ϕ(x3 , x4 )) áóäóò ôîðìóëàìè íàä F , à ϕ(x1 , x2 , x3 ) íå áóäåò ( ϕ èìååò äâå ïåðåìåííûå!). Êàæäîé ôîðìóëå ñîïîñòàâèì íåêîòîðóþ ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè. Ïóñòü äàíà ôîðìóëà Φ íàä ìíîæåñòâîì ôóíêöèé F = {f1 (x1 , . . . , xn1 ), . . . , fs (x1 , . . . , xns ), . . . }, ñîäåðæàùàÿ ïåðåìåííûå x1 , . . . , xn è íå ñîäåðæàùàÿ íèêàêèõ äðóãèõ ïåðåìåííûõ (ò. å. {x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî âñåõ åå ïåðåìåííûõ). È ïóñòü R = (α1 , . . . , αn )  íåêîòîðûé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Îïðåäåëèì çíà÷åíèå ôîðìóëû Φ íà íàáîðå ïåðåìåííûõ R (îáîçíà÷åíèå Φ|R ) èíäóêòèâíî.

1. Çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé xi íà íàáîðå R ðàâíî xi |R = αi . 2. Ïóñòü óæå îïðåäåëåíû çíà÷åíèÿ A1 |R , . . . , Ani |R . Òîãäà fi (A1 , . . . , Ani )|R = fi (A1 |R , . . . , Ani |R ). Òàê êàê ìû ìîæåì îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ôîðìóëû Φ íà ëþáîì íàáîðå ïåðåìåííûõ, òî òåì ñàìûì ìû ñîïîñòàâèì ýòîé ôîðìóëå íåêîòîðóþ ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ). Ïðî ôóíêöèþ, ñîïîñòàâëåííóþ óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì ôîðìóëå, ãîâîðÿò, ÷òî îíà ðåàëèçóåòñÿ èëè âûðàæàåòñÿ ýòîé ôîðìóëîé. Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ ôîðìóëà âûðàæàåò êàêóþ-òî ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè.

14

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

Ôîðìóëû, ðåàëèçóþùèå ðàâíûå ôóíêöèè, íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî F = {x1 &x2 , x1 ∨x2 , x1 ⊕x2 , x, x, 0, 1}. Îòìåòèì íåñêîëüêî âàæíûõ ïðèìåðîâ ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìóë íàä F . Ïðè ýòîì äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ââåäåì íåêîòîðûå ñîãëàøåíèÿ: à) áóäåì îïóñêàòü âíåøíèå ñêîáêè; á) íå áóäåì çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ïåðåìåííûå è êîíñòàíòû. 1. Êîììóòàòèâíîñòü îïåðàöèé &, ∨, ⊕ :

x1 &x2 = x2 &x1 , x1 ∨ x2 = x2 ∨ x1 , x1 ⊕ x2 = x2 ⊕ x1 . 2. Àññîöèàòèâíîñòü îïåðàöèé &, ∨, ⊕ :

x1 &(x2 &x3 ) = (x1 &x2 )&x3 , x1 ∨ (x2 ∨ x3 ) = (x1 ∨ x2 ) ∨ x3 , x1 ⊕ (x2 ⊕ x3 ) = (x1 ⊕ x2 ) ⊕ x3 . 3. Äèñòðèáóòèâíîñòü:

(x1 ∨ x2 )&x3 = (x1 &x3 ) ∨ (x2 &x3 ), (x1 ⊕ x2 )&x3 = (x1 &x3 ) ⊕ (x2 &x3 ), (x1 &x2 ) ∨ x3 = (x1 ∨ x3 )&(x2 ∨ x3 ). 4. Çàêîí ïîãëîùåíèÿ:

x1 &(x1 ∨ x2 ) = x1 , x1 ∨ (x1 &x2 ) = x1 . 5. Èäåìïîòåíòíîñòü êîíúþíêöèè è äèçúþíêöèè:

x&x = x,

x ∨ x = x.

6. Ïåðåíîñ îòðèöàíèÿ ÷åðåç êîíúþíêöèþ è äèçúþíêöèþ:

(x1 &x2 ) = x1 ∨ x2 , (x1 ∨ x2 ) = x1 &x2 .

15

Ëåêöèÿ  1

7. "Ñíÿòèå" äâîéíîãî îòðèöàíèÿ:

x = x. 8. Íåêîòîðûå ýêâèâàëåíòíîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì îòðèöàíèÿ è ñóììû ïî ìîäóëþ 2 :

x&x = 0,

x ∨ x = 1,

x ⊕ x = 1,

x ⊕ x = 0.

9. Îïåðàöèè ñ êîíñòàíòàìè:

x&1 = x,

x&0 = 0,

x ∨ 1 = 1,

x ∨ 0 = x,

x ⊕ 1 = x,

x ⊕ 0 = x.

Ýòè ðàâåíñòâà ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ ïóòåì âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèé â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâ íà êàæäîì íàáîðå çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, ïåðâîå ðàâåíñòâî â ï. 3. x1 0 0 0 0 1 1 1 1

x2 0 0 1 1 0 0 1 1

x3 0 1 0 1 0 1 0 1

x1 ∨ x2 0 0 1 1 1 1 1 1

(x1 ∨ x2 )x3 0 0 0 1 0 1 0 1

x1 x3 0 0 0 0 0 1 0 1

x2 x3 0 0 0 1 0 0 0 1

x1 x3 ∨ x2 x3 0 0 0 1 0 1 0 1

Èç ýòèõ "ýëåìåíòàðíûõ" ïðàâèë ëåãêî âûâåñòè íåêîòîðûå ïðîèçâîäíûå ïðàâèëà (èëè ïðÿìî äîêàçàòü èõ ñïðàâåäëèâîñòü). 10 , 20 .  äèçúþíêöèè èç íåñêîëüêèõ ÷ëåíîâ ìîæíî ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì èõ ïåðåñòàâëÿòü è ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàññòàâëÿòü ñêîáêè. Àíàëîãè÷íî äëÿ êîíúþíêöèè è ñóììû ïî ìîäóëþ 2. Íàïðèìåð,

((x1 ∨ x2 ) ∨ (x3 ∨ x4 )) ∨ x5 = (x1 ∨ (x3 ∨ x5 )) ∨ (x4 ∨ x2 ). Ýòî ïðàâèëî ïîçâîëÿåò ââåñòè äàëüíåéøèå ñîãëàøåíèÿ, óïðîùàþùèå âèä ôîðìóë:

16

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

â) â ôîðìóëàõ, ïîëó÷àþùèõñÿ ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì îïåðàöèè ∨ ê áîëåå ïðîñòûì ôîðìóëàì, áóäåì îïóñêàòü ñêîáêè. Àíàëîãè÷íî äëÿ îïåðàöèé êîíúþíêöèè è ñóììû ïî ìîäóëþ 2. Íàïðèìåð, âìåñòî

((A1 ∨ A2 ) ∨ A3 ) ∨ (A4 ∨ A5 ) áóäåì ïèñàòü

A1 ∨ A2 ∨ A3 ∨ A4 ∨ A5 . Ââåäåì íåêîòîðûå ñîãëàøåíèÿ äëÿ çàïèñè ôîðìóë: n

& Ai = A1 &A2 & . . . &An ,

i=1 n W i=1 n P i=1

Ai = A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An , Ai = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ An .

Äàëåå íàì ÷àñòî áóäåò óäîáíî íóìåðîâàòü ôîðìóëû íå íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè, à íàáîðàìè èç íóëåé è åäèíèö. Íàïðèìåð,

A000 ∨ A001 ∨ A010 ∨ A011 ∨ A100 ∨ A101 ∨ A110 ∨ A111 .  ýòîì ñëó÷àå áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîêðàùåíèå 1 1 1 _ _ _

Aσ1 σ2 σ3

σ1 =0 σ2 =0 σ3 =0

èëè êîðî÷å

_

Aσ1 σ2 σ3 .

(σ1 σ2 σ3 )

Ââåäåì ôóíêöèþ

½ σ

x =

x, åñëè σ = 1; x, åñëè σ = 0

(òî, ÷òî x1 = x, ïðèâû÷íî; îáû÷íî x0 = 1, íî â àëãåáðå ëîãèêå óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî x0 = x). Ýòà ôóíêöèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèì

17

Ëåêöèÿ  1

ñâîéñòâîì: xσ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ïðèíèìàåò çíà÷åíèå σ . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êîíúþíêöèÿ

xσ1 1 xσ2 2 . . . xσnn íà íàáîðå (σ1 , σ2 , . . . , σn ) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, à íà âñÿêîì äðóãîì íàáîðå  çíà÷åíèå 0.

Òåîðåìà (o ðàçëîæåíèè ôóíêöèè ïî ìíîæåñòâó ïåðåìåííûõ). Ïóñòü äàíû ôóíêöèÿ f (x1 , x2 , . . . , xn ) è ÷èñëî k , 1 6 k 6 n. Òîãäà ôóíêöèþ f ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåé ôîðìå: _ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = xσ1 1 . . . xσk k f (σ1 , . . . , σk , xk+1 , . . . , xn ), (σ1 ,...,σk )

ãäå äèçúþíêöèÿ áåðåòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì íàáîðàì çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xk ). Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé íàáîð (α1 , . . . , αn ). Íàéäåì çíà÷åíèÿ ôîðìóëû íà ýòîì íàáîðå. Åñëè (σ1 , . . . , σk ) = (α1 , . . . , αk ), òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî α1σ1 . . . αkσk f (σ1 , . . . , σk , αk+1 , . . . , αn ) = f (α1 , . . . , αn ). Åñëè (σ1 , . . . , σk ) 6= (α1 , . . . , αk ), òî

α1σ1 . . . αkσk f (σ1 , . . . , σk , αk+1 , . . . , αn ) = 0. Òî åñòü _

α1σ1 . . . αkσk f (σ1 , . . . , σk , αk+1 , . . . , αn ) = f (α1 , . . . , αn ).

(σ1 ,...,σk )

Îòìåòèì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè f â âèäå ôîðìóëû íàä ìíîæåñòâîì

{∨, &, , f (0, . . . , 0, xk+1 , . . . , xn ), f (0, . . . , 0, 1, xk+1 , . . . , xn ), . . . , f (1, . . . , 1, xk+1 , . . . , xn )}. Ðàññìîòðèì îòäåëüíî äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ: k = 1 è k = n.

18

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

1) k = 1.  ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f ïî ïåðâîé ïåðåìåííîé

f (x1 , . . . , xn ) = x01 f (0, x2 , . . . , xn ) ∨ x11 f (1, x2 , . . . , xn ) = = x1 f (1, x2 , . . . , xn ) ∨ x1 f (0, x2 , . . . , xn ). 2) k = n. Òîãäà

f (x1 , . . . , xn ) =

_

xσ1 1 . . . xσnn f (σ1 , . . . , σn ).

(σ1 ,...,σn )

Òàê êàê f (σ1 , . . . , σn )  ýòî ëèáî 0, ëèáî 1, òî â ýòîé äèçúþíêöèè íàì äîñòàòî÷íî îñòàâèòü ëèøü òàêèå íàáîðû, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (σ1 , . . . , σn ) = 1. Ïîëó÷èì _ f (x1 , . . . , xn ) = xσ1 1 . . . xσk n . (σ1 ,...,σn )|f (σ1 ,...,σn )=1

Ýòî âûðàæåíèå áóäåò ôîðìóëîé íàä ìíîæåñòâîì {∨, &, }. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè f íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÑÄÍÔ). Òàêèì îáðàçîì, êàæäóþ ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè ìîæíî âûðàçèòü â âèäå ôîðìóëû íàä ìíîæåñòâîì {∨, &, }.

Ïðèìåð.

x → y = x&y ∨ x&y ∨ x&y, x ⊕ y = x&y ∨ x&y.

Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ êîíñòàíòå 0 (ò. å. ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå 0 íà ëþáîì íàáîðå çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ), íå èìååò ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ÑÄÍÔ.

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 19 25

19

Ëåêöèÿ  2 Ñèñòåìà áóëåâûõ ôóíêöèé F íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ëþáàÿ ôóíêöèÿ àëãåáðû ëîãèêè âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé íàä F .  êîíöå ïðîøëîé ëåêöèè ìû äîêàçàëè, ÷òî F = {∨, &, } ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ñèñòåìîé.  äàëüíåéøåì áóäåò óñòàíîâëåí êðèòåðèé ïîëíîòû ñèñòåì ôóíêöèé èç P2 . Íî ïðåäâàðèòåëüíî ìû ïðèâåäåì åùå íåêîòîðûå ïðèìåðû ïîëíûõ ñèñòåì. Ïîëíîòà ñèñòåì ôóíêöèé ìîæåò óñòàíàâëèâàòüñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñëåäóþùåãî ïðîñòîãî óòâåðæäåíèÿ (äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ïîëíîòû ñèñòåìû áóëåâûõ ôóíêöèé).

Òåîðåìà. Ïóñòü äàíû ñèñòåìû áóëåâûõ ôóíêöèé F è G, òàêèå, ÷òî F ïîëíàÿ è ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç F âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé íàä G. Òîãäà G  ïîëíàÿ ñèñòåìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F = {f1 , f2 , . . . , fs , . . . }  ïîëíàÿ ñèñòåìà, à Φ1 , Φ2 , . . . , Φs , . . .  ôîðìóëû íàä G, âûðàæàþùèå ôóíêöèè f1 , f2 , . . . , fs , . . . ñîîòâåòñòâåííî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ f èç P2 . Òàê êàê F  ïîëíàÿ ñèñòåìà, òî ñóùåñòâóåò ôîðìóëà Φ íàä F , âûðàæàþùàÿ ýòó ôóíêöèþ. Çàìåíèì â ôîðìóëå Φ êàæäóþ èç ôóíêöèé fi íà ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ïîäôîðìóëó Φi .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ôîðìóëó íàä ñèñòåìîé G, ðåàëèçóþùóþ ôóíêöèþ f . Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç P2 âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé íàä G. Ïîýòîìó ñèñòåìà G ïîëíàÿ. Òåîðåìà. Èç ëþáîé ïîëíîé ñèñòåìû ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íóþ ïîëíóþ ïîäñèñòåìó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F  ïîëíàÿ (âîçìîæíî, áåñêîíå÷íàÿ) ñèñòåìà. Òîãäà ñóùåñòâóþò ôîðìóëû Φ& , Φ∨ è Φ íàä F , âûðàæàþùèå ôóíêöèè &, ∨ è ñîîòâåòñòâåííî.  êàæäóþ èç ýòèõ ôîðìóë âõîäèò êîíå÷íîå ÷èñëî ôóíêöèé èç F . Âîçüìåì âñå ýòè ôóíêöèè. Ïîëó÷èì ñèñòåìó F1 , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîäñèñòåìîé ñèñòåìû F è ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé. Òàê êàê ôóíêöèè &, ∨, âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè íàä F1 , à {&, ∨, }  ïîëíàÿ ñèñòåìà, òî â ñèëó äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ïîëíîòû F1 òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé (êîíå÷íîé) ñèñòåìîé. Èñïîëüçóÿ äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïîëíîòû, ïîñòðîèì åùå íåñêîëüêî ïîëíûõ ñèñòåì. 1. Ñèñòåìà F = {∨, } ïîëíàÿ. Äåéñòâèòåëüíî, î÷åâèäíî, ÷òî êîíúþíêöèÿ è îòðèöàíèå âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè íàä F . Òàê êàê x1 ∨x2 = (x1 &x2 ), òî è äèçúþíêöèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé íàä F . Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé.

20

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

2. Ñèñòåìà {&, } ïîëíàÿ. Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì, ïîñêîëüêó x1 x2 = (x1 ∨ x2 ). 3. Ñèñòåìà F = {&, ⊕, 1} ïîëíàÿ. Äåéñòâèòåëüíî, êîíúþíêöèÿ è îòðèöàíèå (x = x + 1) âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè íàä F . Ïîýòîìó, òàê êàê {&, }  ïîëíàÿ ñèñòåìà, òî è F  ïîëíàÿ ñèñòåìà. 4. Ñèñòåìà F = {/} (ãäå ”/”  øòðèõ Øåôôåðà) ïîëíàÿ. Âûðàçèì îòðèöàíèå è êîíúþíêöèþ ÷åðåç øòðèõ Øåôôåðà:

x = x/x,

x1 x2 = x1 /x2 = (x1 /x2 )/(x1 /x2 ).

Ñëåäîâàòåëüíî, F ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ñèñòåìîé (ñîñòîÿùåé èç îäíîé ôóíêöèè). Ñóùåñòâóåò åùå îäíà ôóíêöèÿ (äâóõ ïåðåìåííûõ), îáðàçóþùàÿ ïîëíóþ ñèñòåìó,  ýòî ôóíêöèÿ x1 ↓ x2 = x1 ∨ x2 (ñòðåëêà Ïèðñà). Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ñëåäóþùèå ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè: {&, ∨, }, {&, }, {∨, }, {&, ⊕, 1}, {/}, {↓}.

Ïîëèíîìû Æåãàëêèíà. Ðàññìîòðèì êîíúþíêöèè âèäà xi1 . . . xik , ãäå âñå i1 , . . . , ik ðàçëè÷íû, k > 1. Ïðè k = 1 ïîëó÷àåì êîíúþíêöèè äëèíû 1, ò. å. ïåðåìåííûå. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêæå êîíñòàíòó 1 è íàçûâàòü åå êîíúþíêöèåé äëèíû 0 (îò ïóñòîãî ìíîæåñòâà ïåðåìåííûõ). Ïîëèíîìîì Æåãàëêèíà íàçûâàåòñÿ ñóììà ïî ìîäóëþ 2 ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ êîíúþíêöèé. Ïóñòîé ïîëèíîì Æåãàëêèíà (ò. å. íå ñîäåðæàùèé êîíúþíêöèé) ïî îïðåäåëåíèþ âûðàæàåò êîíñòàíòó 0. Òàêèì îáðàçîì, ïîëèíîì Æåãàëêèíà  ýòî âûðàæåíèå âèäà X xi1 . . . xik {i1 ,...,ik }

(ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîèñõîäèò ïî ðàçëè÷íûì ïîäìíîæåñòâàì ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , n}).

Òåîðåìà (È.È. Æåãàëêèí). Ëþáàÿ ôóíêöèÿ àëãåáðû ëîãèêè ïðåäñòàâèìà â âèäå ïîëèíîìà Æåãàëêèíà, ïðè÷åì ýòî ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè ñëàãàåìûõ è ïåðåñòàíîâêè ìíîæèòåëåé â ñëàãàåìûõ.

21

Ëåêöèÿ  2

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà ïðåäñòàâèìîñòü ëþáîé áóëåâîé ôóíêöèè â âèäå ïîëèíîìà. Òàê êàê {&, ⊕, 1}  ïîëíàÿ ñèñòåìà, òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ïðåäñòàâèìà ôîðìóëîé Φ íàä {&, ⊕, 1}. Ïðåîáðàçóåì ýòó ôîðìóëó â ïîëèíîì Æåãàëêèíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1. Ïðèâåäåíèå ôîðìóëû Φ ê âèäó A1 ⊕ · · · ⊕ Al , ãäå A1 , . . . , Al  ôîðìóëû íàä {&, 1}. Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, ðàñêðûâàÿ âñå ñêîáêè è ïðèìåíÿÿ êàæäûé ðàç äèñòðèáóòèâíûé çàêîí (A1 ⊕ A2 )A3 = A1 A2 ⊕ A2 A3 , êîãäà êàêàÿ-íèáóäü ñóììà óìíîæàåòñÿ íà äðóãóþ ôîðìóëó. 2. Óäàëåíèå ïîâòîðÿþùèõñÿ ïåðåìåííûõ â ïðîèçâåäåíèÿõ. Òàê êàê xx = x, òî â êàæäîì ïðîèçâåäåíèè ìîæíî îñòàâèòü òîëüêî ïî îäíîìó ýêçåìïëÿðó êàæäîé âñòðå÷àþùåéñÿ â íåì ïåðåìåííîé. 3. Óäàëåíèå ëèøíèõ åäèíèö. Òàê êàê x&1 = x, òî ìû ìîæåì óäàëèòü âñå 1 âî âñåõ ïðîèçâåäåíèÿõ, ñîäåðæàùèõ êàê ïåðåìåííûå, òàê è 1. Åñëè æå êàêîå-íèáóäü ïðîèçâåäåíèå èìååò âèä 1& . . . &1 (ò. å. íå ñîäåðæèò ïåðåìåííûõ), òî ìû ïðåîáðàçóåì åãî ê âèäó 1. 4. Ïðèâåäåíèå ïîäîáíûõ. Òàê êàê x ⊕ x = 0, òî ïðè íàëè÷èè ïàðû îäèíàêîâûõ ñëàãàåìûõ (ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè ìíîæèòåëåé) îáà ýòèõ ñëàãàåìûõ ìîæíî óäàëèòü.  èòîãå ìû ïîëó÷èì ïîëèíîì Æåãàëêèíà. Ïðè ýòîì â ñëó÷àå, êîãäà ïðè ïðèâåäåíèè ïîäîáíûõ ïðîïàäóò âñå ñëàãàåìûå, ýòîò ïîëèíîì áóäåò ïóñòûì. Äîêàæåì òåïåðü åäèíñòâåííîñòü. Òàê êàê ëþáîå ïðîèçâåäåíèå ëèáî ñîäåðæèò, ëèáî íå ñîäåðæèò êàæäóþ èç ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn , òî âñåãî ðàçëè÷íûõ ïðîèçâåäåíèé èç ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn áóäåò 2n . Ïðè ýòîì âìåñòî ïóñòîãî ïðîèçâåäåíèÿ (íå ñîäåðæàùåãî íè îäíîé èç ïåðåìåííûõ) ìû áåðåì êîíñòàíòó 1. Äàëåå, òàê êàê ëþáîé ïîëèíîì ëèáî ñîäåðæèò, ëèáî íå ñîäåðæèò êàæäîå èç 2n ïðîèçâåäåíèé, òî âñåãî ðàçëè÷íûõ ïîëèíîìîâ Æåãàëêèíà (âêëþ÷àÿ ïóñòîé) n áóäåò ðîâíî 22 , ò. å. ñòîëüêî æå, ñêîëüêî è âñåõ ôóíêöèé â P2 îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn . Ïîýòîìó åñëè êàêàÿ-íèáóäü ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå äâóõ ðàçëè÷íûõ ïîëèíîìîâ Æåãàëêèíà, òî íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ íå áóäåò ïðåäñòàâèìà â âèäå ïîëèíîìà (òàê êàê êàæäûé ïîëèíîì âûðàæàåò ðîâíî îäíó ôóíêöèþ), ÷òî íåâîçìîæíî. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ðàññìîòðèì ïîëèíîìû Æåãàëêèíà, ñîñòîÿùèå èç ïðîèçâåäå-

22

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

íèé, äëèíà êîòîðûõ íå ïðåâûøàåò 1. Êàæäûé òàêîé ïîëèíîì ðåàëèçóåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ âèäà xi1 ⊕ xi2 ⊕ · · · ⊕ xik ⊕ c, ãäå c ∈ {0, 1}, k > 0. Òàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè. Ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ áóëåâûõ ôóíêöèé îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç L. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà áóëåâûõ ôóíêöèé F . Çàìûêàíèåì F íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî [F ], ñîñòîÿùåå èç âñåõ ôóíêöèé, âûðàæàåìûõ ôîðìóëàìè íàä F .

Ïðèìåðû.

1. Ïóñòü F = {x1 ⊕x2 }. Òîãäà ìíîæåñòâî [F ] ñîäåðæèò ñóììû ëþáîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ (â òîì ÷èñëå êîíñòàíòó 0 è ñàìè ïåðåìåííûå, òàê êàê x ⊕ x = 0 è x ⊕ x ⊕ x = x). Òî åñòü çàìûêàíèå ìíîæåñòâà F  ýòî ìíîæåñòâî âñåõ îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèé (ò. å. òàêèõ, ó êîòîðûõ ñâîáîäíûé ÷ëåí c = 0). 2. Ïóñòü F = {x1 ⊕ x2 , 1}. Òîãäà çàìûêàíèå F  ýòî ïðîñòî ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ ôóíêöèé, ò. å. L = [{x1 ⊕ x2 , 1}]. Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà îïåðàöèè çàìûêàíèÿ. 1. 2. 3. 4. 5.

F ⊆ [F ]. Åñëè F1 ⊆ F2 , òî [F1 ] ⊆ [F2 ]. [F1 ∪ F2 ] ⊇ [F1 ] ∪ [F2 ]. [[F ]] = [F ]. Åñëè F  ïîëíàÿ ñèñòåìà, òî [F ] = P2 .

Ìíîæåñòâî F íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè F = [F ]. Çàìêíóòûå ìíîæåñòâà ôóíêöèé íàçûâàþò òàêæå çàìêíóòûìè êëàññàìè.

Ïðèìåð. Ìíîæåñòâî L ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì. Ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíûì, ò. å. L 6= ∅ è L 6= P2 . Äîêàæåì ñëåäóþùóþ ëåììó.

Ëåììà (o íåëèíåéíîé ôóíêöèè). Èç ëþáîé íåëèíåéíîé ôóíêöèè, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî íåêîòîðûõ ïåðåìåííûõ êîíñòàíòû 0 è 1 è, ìîæåò áûòü, îòðèöàíèå ïåðåìåííûõ, à òàêæå, ìîæåò áûòü, íàâåøèâàÿ îòðèöàíèå íà ôóíêöèþ, ìîæíî ïîëó÷èòü êîíúþíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x1 , . . . , xn ) 6⊆ L. Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå f â âèäå ïîëèíîìà Æåãàëêèíà. Òîãäà â ýòîì ïîëèíîìå åñòü ïðîèçâåäåíèå, äëèíà êîòîðîãî áîëüøå 1 (íåëèíåéíîå ïðîèçâåäåíèå). Âîçüìåì ñàìîå êîðîòêîå èç íèõ. Ïóñòü îíî èìååò âèä x1 . . . xp , p > 2. Òîãäà f (x1 , . . . , xn ) = x1 . . . xp ⊕ A1 ⊕ · · · ⊕ Al . Êàæäîå äðóãîå íåëèíåéíîå ïðîèçâåäåíèå ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó ïåðå-

23

Ëåêöèÿ  2

ìåííóþ, îòëè÷íóþ îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xp . Ïîäñòàâèì êîíñòàíòó 0 âìåñòî âñåõ ïåðåìåííûõ xp+1 , . . . , xn . Òîãäà âñå îñòàëüíûå êîíúþíêöèè (èç A1 , . . . , Al ) îáðàòÿòñÿ â íóëü. Ïîýòîìó

f (x1 , . . . , xp , 0, . . . , 0) = x1 . . . xp ⊕ l(x1 , . . . , xp ), ãäå l(x1 , . . . , xp )  íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xp . Äàëåå, îñòàâèì äâå ïåðâûå ïåðåìåííûå áåç èçìåíåíèÿ, à âìåñòî îñòàëüíûõ (åñëè îíè åñòü) ïîäñòàâèì 1. Ïîëó÷èì ôóíêöèþ

f (x1 , x2 , 1, . . . , 1, 0, . . . , 0) = x1 x2 ⊕ l(x1 , x2 ) = x1 x2 ⊕ ax1 ⊕ bx2 ⊕ c, ãäå a, b, c ∈ {0, 1}. Îáîçíà÷èì ýòó ôóíêöèþ ÷åðåç g(x1 , x2 ). Ïîñòàâèì â ôóíêöèþ g âìåñòî ïåðåìåííûõ x1 è x2 ôóíêöèè x1 ⊕ b è x2 ⊕ a ñîîòâåòñòâåííî è ïðèáàâèì êî âñåé ôóíêöèè êîíñòàíòó ab⊕c (ò. å. ëèáî íè÷åãî íå èçìåíèì, ëèáî íàâåñèì îòðèöàíèå). Ïîëó÷èì

g(x1 ⊕ b, x2 ⊕ a) ⊕ (ab ⊕ c) = = (x1 ⊕ b)(x2 ⊕ a) ⊕ a(x1 ⊕ b) ⊕ b(x2 ⊕ a) ⊕ c ⊕ (ab ⊕ c) = = x1 x2 ⊕ x1 a ⊕ bx2 ⊕ ba ⊕ ax1 ⊕ ab ⊕ bx2 ⊕ ba ⊕ c ⊕ (ab ⊕ c) = x1 x2 .

Ñëåäñòâèå. Åñëè f ∈/ L, òî xy ∈ [{f, 0, 1, }]. Ðàññìîòðèì òàêæå åùå íåêîòîðûå çàìêíóòûå êëàññû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç T0 ìíîæåñòâî âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé f (x1 , . . . , xn ), òàêèõ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (0, . . . , 0) = 0, n > 1. Ýòî ìíîæåñòâî íåòðèâèàëüíî (ò. å. íåïóñòî è íå ñîâïàäàåò ñ P2 ). Ïîêàæåì, ÷òî T0  çàìêíóòûé êëàññ. Î÷åâèäíî, ÷òî òîæäåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò ýòîìó êëàññó. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè f0 (x1 , . . . , xn ) ∈ T0 è f1 , . . . , fn ∈ T0 , òî è ôóíêöèÿ f = f0 (f1 , . . . , fn ) ïðèíàäëåæèò T0 . Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê fi (0, . . . , 0) = 0 ïðè âñåõ i = 0, 1, . . . , n, òî

f (0, . . . , 0) = f0 (f1 (0, . . . , 0), . . . , fn (0, . . . , 0)) = f0 (0, . . . , 0) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, T0  çàìêíóòûé êëàññ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç T1 ìíîæåñòâî âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé f (x1 , . . . , xn ), òàêèõ, ÷òî f (1, . . . , 1) = 1, n > 1. Ýòîò êëàññ òàêæå íåòðèâèàëåí è çàìêíóò (äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî).

24

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ àëãåáðû ëîãèêè. Ôóíêöèÿ f ∗ (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé ê ôóíêöèè f .

Ïðèìåðû. (x)∗ = x = x, 0∗ = 0 = 1,

(x)∗ = x = x, 1∗ = 1 = 0,

(x1 &x2 )∗ = (x1 &x2 ) = x1 ∨ x2 , (x1 ∨ x2 )∗ = x1 x2 .

Êàê âèäíî èç ýòèõ ïðèìåðîâ, äëÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèé f âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f ∗ = f . Òàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûìè. Ìíîæåñòâî âñåõ ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç S . Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî S íåòðèâèàëüíî. Äîêàæåì, ÷òî îíî çàìêíóòî. Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðîâ âèäíî, ÷òî òîæäåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S . Ïîýòîìó íàì è â ýòîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åñëè f0 (x1 , . . . , xn ) ∈ S è f1 , . . . , fn ∈ S , òî è ôóíêöèÿ f = f0 (f1 , . . . , fn ) ïðèíàäëåæèò S . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ó âñåõ ôóíêöèé fi , i = 1, . . . , n, îäèíàêîâûé íàáîð ïåðåìåííûõ y1 , . . . , ym (òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåäîñòàþùèå ïåðåìåííûå ìîæíî äîáàâèòü, ïðèìåíÿÿ îïåðàöèþ äîáàâëåíèÿ íåñóùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ). Òî åñòü

f (y1 , . . . , ym ) = f0 (f1 (y1 , . . . , ym ), . . . , fn (y1 , . . . , ym )). Òîãäà

f ∗ (y1 , . . . , ym ) = f0 (f1 (y 1 , . . . , y m ), . . . , fn (y 1 , . . . , y m )) = = f0 (f1∗ (y1 , . . . , ym ), . . . , fn∗ (y1 , . . . , ym )) = = f0∗ (f1∗ , . . . , fn∗ ) = f (y1 , . . . , ym ), òàê êàê f0 , f1 , . . . , fn ∈ S . Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ) ðàâåíñòâî f (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ), ò. å. êîãäà f (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ). Ïîýòîìó êàæäàÿ ñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íà ëþáîé ïàðå ïðîòèâîïîëîæíûõ íàáîðîâ ïðèíèìàåò ïðîòèâîïîëîæíûå çíà÷åíèÿ.

25

Ëåêöèÿ  2

Äîêàæåì ñëåäóþùóþ ëåììó. Ëåììà (î íåñàìîäâîéñòâåííîé ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S . Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ â íåå âìåñòî ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn ïåðåìåííóþ x èëè åå îòðèöàíèå x, ìîæíî ïîëó÷èòü êîíñòàíòó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x1 , . . . , xn ) ∈/ S . Òîãäà ñóùåñòâóåò ïàðà ïðîòèâîïîëîæíûõ íàáîðîâ (α1 , . . . , αn ) è (α1 , . . . , αn ), òàêèõ, ÷òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f íà ýòèõ íàáîðàõ ðàâíû, ò. å.

f (α1 , . . . , αn ) = f (α1 , . . . , αn ). Ïîäñòàâèì â ôóíêöèþ f âìåñòî ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn ôóíêöèè x ⊕ α1 , . . . , x ⊕ αn ñîîòâåòñòâåííî (ò. å. âìåñòî êàæäîé ïåðåìåííîé xi ïîäñòàâëÿåòñÿ ëèáî x, ëèáî x). Ïîëó÷èì íåêîòîðóþ ôóíêöèþ h(x) = f (x ⊕ α1 , . . . , x ⊕ αn ). Òàê êàê h(0) = f (α1 , . . . , αn ), à h(1) = f (α1 , . . . , αn ), òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî h(0) = h(1). Ïîýòîìó ôóíêöèÿ h ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé.

Ñëåäñòâèå. Åñëè f ∈/ S , òî 0, 1 ∈ [{f, }]. Äîêàçàòåëüñòâî. Îäíó èç êîíñòàíò ýòî ìíîæåñòâî ñîäåðæèò

ïî ïðåäûäóùåé ëåììå; âòîðàÿ êîíñòàíòà ïîëó÷àåòñÿ ïðè ïîìîùè îòðèöàíèÿ.

26

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 2632

Ëåêöèÿ  3 Îïðåäåëèì ïðàâèëî ñðàâíåíèÿ íàáîðîâ èç íóëåé è åäèíèö îäèíàêîâîé äëèíû. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (α1 , . . . , αn ) 6 (β1 , . . . , βn ), åñëè α1 6 β1 , . . . , αn 6 βn . Ïðè ýòîì ìû ñ÷èòàåì, ÷òî 0 6 0, 0 6 1, 1 6 1 è 1 66 0. Òåïåðü ìû ìîæåì óïîðÿäî÷èòü íåêîòîðûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàáîðîâ èç íóëåé è åäèíèö: (0, . . . , 0) 6 · · · 6 (α1 , . . . , αn ) 6 · · · 6 (1, . . . , 1). Îòìåòèì, ÷òî íå âñå íàáîðû îäèíàêîâîé äëèíû ñðàâíèìû, íàïðèìåð (0, 1) 66 (1, 0) è (1, 0) 66 (0, 1). Ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ íàáîðîâ èç íóëåé è åäèíèö (α1 , . . . , αn ) è (β1 , . . . , βn ), òàêèõ, ÷òî (α1 , . . . , αn ) 6 (β1 , . . . , βn ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

f (α1 , . . . , αn ) 6 f (β1 , . . . , βn ). Ìíîæåñòâî âñåõ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç M .

Ïðèìåðû. 1. Ôóíêöèè 1, 0, x, x1 x2 , x1 ∨ x2 ÿâëÿþòñÿ ìîíîòîííûìè (ýòî âèäíî èç òàáë. 3 ëåêöèè 1). 2. Ôóíêöèè x, x1 /x2 íå ÿâëÿþòñÿ ìîíîòîííûìè.

Êàê âèäíî èç ïðèìåðîâ, ìíîæåñòâî M íåòðèâèàëüíî. Äîêàæåì, ÷òî îíî çàìêíóòî. Òàê êàê òîæäåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò M , òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åñëè f0 (x1 , . . . , xn ) ∈ M è f1 , . . . , fn ∈ M , òî è ôóíêöèÿ f = f0 (f1 , . . . , fn ) ïðèíàäëåæèò M . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî f1 , . . . , fn  ôóíêöèè îò îäíîãî è òîãî æå íàáîðà ïåðåìåííûõ y1 , . . . , ym (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåäîñòàþùèå ïåðåìåííûå ìîæíî äîáàâèòü â êà÷åñòâå íåñóùåñòâåííûõ). Ïóñòü (α1 , . . . , αm ) è (β1 , . . . , βm )  ïðîèçâîëüíûå íàáîðû, òàêèå, ÷òî (α1 , . . . , αm ) 6 (β1 , . . . , βm ). Òàê êàê ôóíêöèè f1 (y1 , . . . , ym ), . . . , fn (y1 , . . . , ym ) ïðèíàäëåæàò M , òî fi (α1 , . . . , αm ) 6 fi (β1 , . . . , βm ) äëÿ âñåõ i = 1, . . . , n. Ïîýòîìó

(f1 (α1 , . . . , αm ), . . . , fn (α1 , . . . , αm )) 6 6 (f1 (β1 , . . . , βm ), . . . , fn (β1 , . . . , βm )). Òàê êàê f0 ìîíîòîííà, òî

f (α1 , . . . , αm ) = f0 (f1 (α1 , . . . , αm ), . . . , fn (α1 , . . . , αm )) 6

27

Ëåêöèÿ  3

6 f0 (f1 (β1 , . . . , βm ), . . . , fn (β1 , . . . , βm )) = f (β1 , . . . , βm ). Òî åñòü f ∈ M . Äîêàæåì ñëåäóþùóþ ëåììó.

Ëåììà 1 (î íåìîíîòîííîé ôóíêöèè). Èç ëþáîé íåìîíîòîííîé ôóíêöèè, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî íåêîòîðûõ åå ïåðåìåííûõ êîíñòàíòû, ìîæíî ïîëó÷èòü îòðèöàíèå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x1 , . . . , xn ) ∈/ M . Òîãäà ñóùåñòâóþò äâà íàáîðà (α1 , . . . , αn ) è (β1 , . . . , βn ), òàêèå, ÷òî (α1 , . . . , αn ) 6 (β1 , . . . , βn ), à f (α1 , . . . , αn ) 66 f (β1 , . . . , βn ), ò. å. f (α1 , . . . , αn ) = 1, à f (β1 , . . . , βn ) = 0. Ïîýòîìó íàáîðû (α1 , . . . , αn ) è (β1 , . . . , βn ) ðàçíûå. Ïóñòü îíè ðàçëè÷àþòñÿ â m ðàçðÿäàõ, m > 1. Ïåðåñòàâèì êîìïîíåíòû ýòèõ íàáîðîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà ïåðâûå m ìåñò ïîïàëè òå êîìïîíåíòû, â êîòîðûõ ýòè íàáîðû ðàçëè÷àþòñÿ.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì íàáîðû (0, . . . , 0, αm+1 , . . . , αn ) è (1, . . . , 1, αm+1 , . . . , αn ) (òàê êàê αm+1 = βm+1 , . . . , αn = βn ), ïðè÷åì âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà f (0, . . . , 0, αm+1 , . . . , αn ) = 1, f (1, . . . , 1, αm+1 , . . . , αn ) = 0. Ðàññìîòðèì íàáîðû α ˜ (0) , . . . , α ˜ (m) , òàêèå, ÷òî α ˜ (i) = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0, αm+1 , . . . , αn ). | {z } | {z } i

m−i (1)

Ðàññìîòðèì çíà÷åíèÿ f (˜ α ), . . . , f (˜ α(m) ) ôóíêöèè f íà ýòèõ íàáîðàõ. Òàê êàê f (˜ α(0) ) = f (0, . . . , 0, αm+1 , . . . , αn ) = 1, à f (˜ α(m) ) = f (1, . . . , 1, αm+1 , . . . , αn ) = 0, òî íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð j (1 6 j 6 m), ÷òî f (˜ α(j−1) ) = 1, f (˜ α(j) ) = 0. Òî åñòü

f (1, . . . , 1, 0, 0, . . . , 0, αm+1 , . . . , αn ) = 1, | {z } | {z } j−1

m−j

f (1, . . . , 1, 1, 0, . . . , 0, αm+1 , . . . , αn ) = 0. | {z } | {z } j−1 (j−1)

m−j (j)

 íàáîðàõ α ˜ è α ˜ âñå êîìïîíåíòû ñîâïàäàþò, êðîìå êîìïîíåíòû ñ íîìåðîì j . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ h(x) = f (1, . . . , 1, x, 0, . . . , 0, αm+1 , . . . , αn ). Î÷åâèäíî, ÷òî h(x) = x, ÷òî è òðåáîâàëîñü ïîëó÷èòü. Èòàê, èç ôóíêöèè f ìû ïîëó÷èëè ôóíêöèþ h(x) = x.

28

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

Ñëåäñòâèå. Åñëè f ∈/ M , òî x ∈ [{f, 0, 1}]. Òåïåðü ìû â ñîñòîÿíèè ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü îäíó èç îñíîâíûõ òåîðåì àëãåáðû ëîãèêè.

Òåîðåìà (î ôóíêöèîíàëüíîé ïîëíîòå). Ñèñòåìà F ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F 6⊆ T0 , F 6⊆ T1 , F 6⊆ L, F 6⊆ S , F 6⊆ M . Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Åñëè F ñîäåðæèòñÿ â êàêîì-ëèáî èç ýòèõ ìíîæåñòâ, íàïðèìåð â M , òî [F ] ⊆ [M ] 6= P2 , ò. å. ñèñòåìà F íåïîëíàÿ. Äîñòàòî÷íîñòü. Òàê êàê F 6⊆ T0 , òî íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ f0 ∈ F , òàêàÿ, ÷òî f0 ∈ / T0 . Àíàëîãè÷íî íàéäóòñÿ ôóíêöèè f1 , fL , fS , fM èç F , òàêèå, ÷òî f1 ∈ / T1 , fL ∈ / L, fS ∈ / S , fM ∈ / M (íåêîòîðûå èç íèõ ìîãóò ñîâïàäàòü). Ðàçîáüåì äàëüíåéøåå äîêàçàòåëüñòâî íà òðè ýòàïà. 1. Ïîëó÷åíèå êîíñòàíò. Âîçüìåì ôóíêöèþ f0 ∈ / T0 . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(x) = f0 (x, . . . , x). Òîãäà ϕ(0) = f0 (0, . . . , 0) = 1. Åñëè ϕ(1) = 1, òî ôóíêöèÿ ϕ  êîíñòàíòà 1, à ôóíêöèÿ ψ(x) = f1 (ϕ(x), . . . , ϕ(x)) = f1 (1, . . . , 1) = 0  êîíñòàíòà 0. Åñëè ϕ(1) = 0, òî ϕ(x) = x. Òîãäà ïî ëåììå î íåñàìîäâîéñòâåííîé ôóíêöèè ïðè ïîìîùè îòðèöàíèÿ èç fS ìîæíî ïîëó÷èòü îáå êîíñòàíòû, ò. å. 0, 1 ∈ [{fS , }] ⊆ [F ]. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èì îáå êîíñòàíòû. 2. Ïîëó÷åíèå îòðèöàíèÿ. Ïî ëåììå î íåìîíîòîííîé ôóíêöèè ïðè ïîìîùè êîíñòàíò èç ôóíêöèè fM ìîæíî ïîëó÷èòü îòðèöàíèå, ò. å. x ∈ [{fM , 0, 1}] ⊆ [F ]. 3. Ïîëó÷åíèå êîíúþíêöèè. Ïî ëåììå î íåëèíåéíîé ôóíêöèè ïðè ïîìîùè êîíñòàíò, îòðèöàíèÿ è ôóíêöèè fL ìîæíî ïîëó÷èòü êîíúþíêöèþ, ò. å. x1 x2 ∈ [{fL , 0, 1, }] ⊆ [F ]. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ìíîæåñòâî [F ] ñîäåðæèò ïîëíóþ ïîäñèñòåìó. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà F ïîëíàÿ. Ñëåäñòâèå. Èç ëþáîé ïîëíîé ñèñòåìû ìîæíî âûäåëèòü ïîëíóþ ïîäñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ íå áîëåå ÷åì èç ïÿòè ôóíêöèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî âçÿòü èç ñèñòåìû F ôóíêöèè f0 , f1 , fL , fS è fM . Ïîêàæåì, ÷òî íà ñàìîì äåëå ìîæíî âñåãäà îáîéòèñü íå áîëåå ÷åì ÷åòûðüìÿ ôóíêöèÿìè. Âåðíåìñÿ ê ïåðâîìó øàãó äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû (ïîëó÷åíèå êîíñòàíò).  ïåðâîì ñëó÷àå, êîãäà

29

Ëåêöèÿ  3

ϕ(x) = 1, ôóíêöèÿ ϕ(x) ÿâëÿåòñÿ íåñàìîäâîéñòâåííîé è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî îáîéòèñü áåç ôóíêöèè fS . Âî âòîðîì ñëó÷àå, êîãäà ϕ(x) = x, ôóíêöèÿ ϕ(x) ÿâëÿåòñÿ íåìîíîòîííîé è ïîýòîìó ìîæíî îáîéòèñü áåç ôóíêöèè fM . Òàêèì îáðàçîì, èç ëþáîé ïîëíîé ñèñòåìû ìîæíî âûäåëèòü ïîëíóþ ïîäñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ íå áîëåå ÷åì èç ÷åòûðåõ ôóíêöèé. Ïîêàæåì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòî ÷èñëî óìåíüøèòü íåëüçÿ. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó F = [0, 1, x1 x2 , x1 ⊕ x2 ⊕ x3 ]. Ñîñòàâèì òàáëèöó, â êîòîðîé óêàæåì, êàêèì êëàññàì èç T0 , T1 , L, S , M ïðèíàäëåæàò ôóíêöèè ñèñòåìû F . Áóäåì ñòàâèòü çíàê 00 +00 , åñëè ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò ñîîòâåòñòâóþùåìó êëàññó, è çíàê 00 −00 , åñëè íå ïðèíàäëåæèò (ñì. òàáë. 1).

0 1 x1 x2 x1 ⊕ x2 ⊕ x3

T0 + − + +

T1 − + + +

L + + − +

Òàáëèöà 1 S M − + − + − + + −

 ýòîé òàáëèöå âñå î÷åâèäíî, êðîìå, ìîæåò áûòü, òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ x1 ⊕ x2 ⊕ x3 ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííîé è íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. Ýòà ôóíêöèÿ ñàìîäâîéñòâåííàÿ, òàê êàê âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

(x1 ⊕ x2 ⊕ x3 )∗ = x1 ⊕ 1 ⊕ x2 ⊕ 1 ⊕ x3 ⊕ 1 ⊕ 1 = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 , è íåìîíîòîííàÿ, ïîñêîëüêó èç íåå ïîäñòàíîâêîé êîíñòàíò ìîæíî ïîëó÷èòü îòðèöàíèå: x = 1 ⊕ 0 ⊕ x. Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå ñèñòåìà F ïîëíàÿ, òàê êàê äëÿ ëþáîãî èç ïÿòè êëàññîâ â F íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ íå ïðèíàäëåæèò ýòîìó êëàññó. Îäíàêî íè îäíó ôóíêöèþ èç ýòîé ñèñòåìû óäàëèòü íåëüçÿ, òàê êàê âñå ôóíêöèè, êðîìå êîíñòàíòû 0, ïðèíàäëåæàò êëàññó T1 , âñå ôóíêöèè, êðîìå êîíñòàíòû 1, ïðèíàäëåæàò êëàññó T0 , âñå ôóíêöèè, êðîìå x1 x2 , ïðèíàäëåæàò êëàññó L, âñå ôóíêöèè, êðîìå x1 ⊕ x2 ⊕ x3 , ïðèíàäëåæàò êëàññó M . Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî F= {T0 , T1 , L, S, M }. Ïîêàæåì, ÷òî íè îäèí èç êëàññîâ ýòîãî ñåìåéñòâà íå ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì.

Ëåììà 2. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ èç ñåìåéñòâà F ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ, ïðèíàäëåæàùàÿ îäíîìó èç íèõ è íå ïðèíàäëåæàùàÿ äðóãîìó.

30

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîñòàâèì òàáëèöó èç ïÿòè ñòðîê è ïÿòè ñòîëáöîâ. Êàæäîé ñòðîêå è êàæäîìó ñòîëáöó ñîîòâåòñòâóþò êëàññû T0 , T1 , L, S , M .  êëåòêó òàáëèöû, êîòîðàÿ ñòîèò íà ïåðåñå÷åíèè i-é ñòðîêè è j -ãî ñòîëáöà, i 6= j , ïîìåñòèì ôóíêöèþ, ïðèíàäëåæàùóþ êëàññó, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò i-é ñòðîêå, è íå ïðèíàäëåæàùóþ êëàññó, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò j -ìó ñòîëáöó. Êëåòêè òàáëèöû, ñòîÿùèå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, îñòàâèì ïóñòûìè (ñì. òàáë. 2). T0 T0 T1 L S M

1 1 x 1

T1 0 0 x 0

L x1 x2 x1 x2 ψ(x1 , x2 , x3 ) x1 x2

S 0 1 1

Òàáëèöà 2 M x1 ⊕ x2 x1 ⊕ x2 ⊕ x3 x1 ⊕ x2 x

1

 ýòîé òàáëèöå ôóíêöèÿ ψ(x1 , x2 , x3 ) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

ψ(x1 , x2 , x3 ) = x1 (x2 ∨ x3 ) ∨ x2 x3 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ψ  ñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ (ñì. òàáë. 3); ôóíêöèÿ ψ íåëèíåéíàÿ, òàê êàê ïîäñòàíîâêîé êîíñòàíòû 0 ìû èç íåå ìîæåì ïîëó÷èòü êîíúþíêöèþ: ψ(x1 , x2 , 0) = x1 x2 .

x1 0 0 0 0 1 1 1 1

x2 0 0 1 1 0 0 1 1

x3 0 1 0 1 0 1 0 1

Òàáëèöà 3 ψ(x1 , x2 , x3 ) 0 0 0 1 0 1 1 1

Òåîðåìà. Ïóñòü A  çàìêíóòûé êëàññ, òàêîé, ÷òî A 6= P2 . Òîãäà A ñîäåðæèòñÿ â îäíîì èç ïÿòè êëàññîâ T0 , T1 , L, S , M . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî A íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîì èç ýòèõ ïÿòè êëàññîâ. Òîãäà ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå A  ïîëíàÿ ñèñòåìà, ò. å. A = [A] = P2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.

Ëåêöèÿ  3

31

Ìíîæåñòâî áóëåâûõ ôóíêöèé F íàçûâàåòñÿ ïðåäïîëíûì êëàññîì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) F 6= P2 ; 2) F = [F ]; 3) äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f , òàêîé, ÷òî f ∈ / F , ñèñòåìà F ∪ {f } ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé.

Òåîðåìà.  P2 ñóùåñòâóåò òîëüêî ïÿòü ïðåäïîëíûõ êëàññîâ: T0 , T1 , L, S , M . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ëþáîé èç ýòèõ ïÿòè êëàññîâ ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëíûì. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, êëàññ S . Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðâûå äâà óñëîâèÿ âûïîëíåíû. Ïî ëåììå 2 ìíîæåñòâî S ñîäåðæèò ôóíêöèè f0 , f1 , fL , fM , êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò êëàññàì T0 , T1 , L, M ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé ôóíêöèè fS , òàêîé, ÷òî fS ∈ / S , â ñèñòåìå S ∪ {fS } íàéäóòñÿ ôóíêöèè, íå ïðèíàäëåæàùèå íè îäíîìó èç ýòèõ ïÿòè êëàññîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, S ∪ {fS }  ïîëíàÿ ñèñòåìà. Ïîýòîìó S  ïðåäïîëíûé êëàññ. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî äðóãèõ ïðåäïîëíûõ êëàññîâ íåò. Ïóñòü A  çàìêíóòûé êëàññ, îòëè÷íûé îò P2 è íå ñîâïàäàþùèé íè ñ îäíèì èç ïÿòè ðàññìàòðèâàåìûõ êëàññîâ. Òîãäà ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå A ñîäåðæèòñÿ â êàêîì-òî èç ýòèõ êëàññîâ. Ïóñòü, íàïðèìåð, A ⊆ L. Òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ A 6= L, òî èìååì ñòðîãîå âêëþ÷åíèå A ⊂ L. Òîãäà íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ f , òàêàÿ, ÷òî f ∈ L è f ∈ / A. Òî åñòü A∪{f } ⊆ L. Ïîýòîìó [A∪{f }] ⊆ L 6= P2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà A ∪ {f } íåïîëíàÿ. Ïîýòîìó (òàê êàê íå âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî 3) êëàññ A íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëíûì. Çàìêíóòûå êëàññû áóëåâûõ ôóíêöèé áûëè îïèñàíû àìåðèêàíñêèì ìàòåìàòèêîì Ý. Ïîñòîì. Îí èçó÷èë ðÿä âàæíûõ ñâîéñòâ ýòèõ êëàññîâ. Ðàññêàæåì êîðîòêî îá îñíîâíûõ ðåçóëüòàòàõ Ïîñòà. Ïóñòü F  ïðîèçâîëüíûé çàìêíóòûé êëàññ áóëåâûõ ôóíêöèé, è ïóñòü A  íåêîòîðàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé, ñîäåðæàùèõñÿ â F . Ñèñòåìà A íàçûâàåòñÿ ïîëíîé â F , åñëè [A] = F . Ñèñòåìà A íàçûâàåòñÿ áàçèñîì êëàññà F , åñëè îíà ïîëíà â F , íî âñÿêàÿ åå ñîáñòâåííàÿ ïîäñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé â F . Òåîðåìà. Ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ êëàññîâ àëãåáðû ëîãèêè èìååò ñ÷åòíóþ ìîùíîñòü. Òåîðåìà. Êàæäûé çàìêíóòûé êëàññ áóëåâûõ ôóíêöèé èìååò êîíå÷íûé áàçèñ.

32

ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ

 íàøåì êóðñå ýòè òåîðåìû Ïîñòà äîêàçûâàòüñÿ íå áóäóò. Áîëåå ïîäðîáíûå ñâåäåíèÿ î ôóíêöèÿõ àëãåáðû ëîãèêè ñîäåðæàòñÿ, íàïðèìåð, â êíèãå 1) . Óïîìÿíåì åùå îá îäíîì âàæíîì ñâîéñòâå ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè.

Ëåììà 3. Ïóñòü ôóíêöèè f (x1 , x2 , . . . , xn ) è g(y1 , y2 , . . . , ym ) ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò âñåõ ñâîèõ ïåðåìåííûõ. Òîãäà ôóíêöèÿ h(x1 , x2 , . . . , xn−1 , y1 , y2 , . . . , ym ) = = f (x1 , x2 , . . . , xn−1 , g(y1 , y2 , . . . , ym ))

òàêæå ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âñåõ ïåðåìåííûõ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âñå ïåðåìåííûå x1 , x2 , . . . , xn−1 è âñå ïåðåìåííûå y1 , y2 , . . . , ym ðàâíîïðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî h ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ x1 è ym . Òàê êàê ïî óñëîâèþ f ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò x1 , òî ñóùåñòâóþò íàáîðû (0, α2 , . . . , αn ) è (1, α2 , . . . , αn ), òàêèå, ÷òî f (0, α2 , . . . , αn ) 6= f (1, α2 , . . . , αn ). Òàê êàê g ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âñåõ ïåðåìåííûõ, òî îíà íå êîíñòàíòà. Ïîýòîìó íàéäåòñÿ íàáîð (β1 , . . . , βm ), íà êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî g(β1 , . . . , βm ) = αn . Íî òîãäà h(0, α2 , . . . , αn , β1 , . . . , βm ) 6= h(1, α2 , . . . , αn , β1 , . . . , βm ). Òî åñòü h ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííîé x1 . Äàëåå, òàê êàê f ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò xn , òî ñóùåñòâóþò íàáîðû (α1 , . . . , αn−1 , 0) è (α1 , . . . , αn−1 , 1), òàêèå, ÷òî

f (α1 , . . . , αn−1 , 0) 6= f (α1 , . . . , αn−1 , 1). Òàê êàê g ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ym , òî íàéäóòñÿ íàáîðû (β1 , . . . , βm−1 , 0) è (β1 , . . . , βm−1 , 1), òàêèå, ÷òî

g(β1 , . . . , βm−1 , 0) 6= g(β1 , . . . , βm−1 , 1). Ïîýòîìó

h(α1 , . . . , αn−1 , β1 , . . . , βm−1 , 0) 6= h(α1 , . . . , αn−1 , β1 , . . . , βm−1 , 1). À çíà÷èò, ym  ñóùåñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ ôóíêöèè h. 1) Ñì.: ßáëîíñêèé Ñ.Â., Ãàâðèëîâ Ã.Ï., Êóäðÿâöåâ Â.Á. Ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè è êëàññû Ïîñòà. Ì.: Íàóêà, 1966.

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 33 40

33

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ Ëåêöèÿ  4 Íà ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû îïðåäåëèëè ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè è èçó÷èëè ðÿä ñâîéñòâ ýòèõ ôóíêöèé. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèè k -çíà÷íîé ëîãèêè. Çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ è ñàìèõ ôóíêöèé áåðóòñÿ èç ìíîæåñòâà Ek = {0, 1, . . . , k − 1}, k > 3. Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ôóíêöèé îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Pk . Êàê è áóëåâû ôóíêöèè, êàæäóþ ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ) èç Pk ìîæíî çàäàòü òàáëèöåé (ñì. òàáë. 1).

x1 0 σ1 k−1

... ... ... ... ... ...

xn 0 σn k−1

Òàáëèöà 1 f (x1 , . . . , xn ) f (0, . . . , 0) ... f (σ1 , . . . , σn ) ... f (k − 1, . . . , k − 1)

Ïóñòü pk (n)  ÷èñëî âñåõ ôóíêöèé f (x1 , . . . , xn ) èç Pk . Êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ðàâíî k n . Íà êàæäîì èç ýòèõ íàáîðîâ ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå èç k n çíà÷åíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñåãî òàêèõ ôóíêöèé áóäåò pk (n) = k k . Ýòî ÷èñëî î÷åíü áûñòðî ðàñòåò, íàïðèìåð óæå â P3 ÷èñëî ôóíêöèé îò ïåðåìåííûõ x1 è x2 ðàâíî p3 (2) = 19 683. Âñå îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, òàêèå, êàê ôîðìóëà íàä ìíîæåñòâîì ôóíêöèé, çíà÷åíèå ôîðìóëû íà íàáîðå çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ôóíêöèÿ, ðåàëèçóåìàÿ ôîðìóëîé, ñóùåñòâåííàÿ è íåñóùåñòâåííàÿ ïåðåìåííûå è äð., ââîäÿòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è â äâóçíà÷íîé ëîãèêå (îïðåäåëåíèÿ ïî÷òè äîñëîâíî ïîâòîðÿþòñÿ), è ìû íå áóäåì èõ âîñïðîèçâîäèòü. Îäíàêî íå ñëåäóåò çàáûâàòü, ÷òî ïåðåìåííûå è ôóíêöèè ïðèíèìàþò óæå íå äâà çíà÷åíèÿ, à áîëüøå.  ÷àñòíîñòè, åñëè èçâåñòíî çíà÷åíèå x èç Ek , òî íåëüçÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèå y èç Ek òîëüêî íà îñíîâå ñîîòíîøåíèÿ y 6= x (k > 3). Ýòî ïðèâîäèò ê ïðèíöèïèàëüíûì îòëè÷èÿì Pk , k > 3, îò P2 .  êîíöå ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè ïîäñòàíîâêå îäíîé áóëåâîé ôóíêöèè â äðóãóþ ñîõðàíÿåòñÿ ñóùåñòâåííàÿ çà-

34

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

âèñèìîñòü îò ïåðåìåííûõ. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ôóíêöèé k -çíà÷íîé ëîãèêè ïðè k > 3 àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(x1 , x2 ), çàäàííóþ òàáë. 2.

x1 0 1 2

Òàáëèöà 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Ôóíêöèÿ ϕ ïðèíàäëåæèò P3 è ïðèíèìàåò íåíóëåâîå çíà÷åíèå òîëüêî íà íàáîðå (2, 2). Ïîýòîìó ôóíêöèÿ ϕ(x, ϕ(y, z))  êîíñòàíòà 0, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ β, γ ∈ E3 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ϕ(β, γ) 6= 2. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå "ýëåìåíòàðíûå" ôóíêöèè k -çíà÷íîé ëîãèêè. 1. Êîíñòàíòû 0, 1, . . . , k − 1. 2. Òîæäåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ x. 3. Ôóíêöèè x = x + 1 (mod k), N (x) = k − 1 − x. Ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèÿìè îòðèöàíèÿ â P2 . Ôóíêöèÿ N (x) ÿâëÿåòñÿ "çåðêàëüíûì" îòðàæåíèåì x. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå ∼ x è íàçûâàåòñÿ îòðèöàíèåì Ëóêàøåâè÷à. 4. Ôóíêöèè Ii (x) è ji (x), i = 0, 1, . . . , k − 1: ½ k − 1, åñëè x = i; Ii (x) = 0, åñëè x 6= i,

½ ji (x) =

1, åñëè x = i; 0, åñëè x 6= i.

Ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ àíàëîãàìè ôóíêöèè xσ â P2 . 5. Ôóíêöèè min(x1 , x2 ) è x1 x2 (mod k). Ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèåì êîíúþíêöèè. Ôóíêöèÿ min(x1 , x2 ) îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå x1 &x2 . 6. Ôóíêöèÿ max(x1 , x2 ). Îíà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì äèçúþíêöèè â P2 è îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå x1 ∨ x2 . 7. Ôóíêöèÿ x1 + x2 (mod k). Ýòè ôóíêöèè, òàê æå êàê è èõ àíàëîãè â P2 , îáëàäàþò ðÿäîì âàæíûõ ñâîéñòâ. Íàïðèìåð, ôóíêöèè max(x1 , x2 ), x1 x2 (mod k),

35

Ëåêöèÿ  4

min(x1 , x2 ) è x1 + x2 (mod k) îáëàäàþò ñâîéñòâàìè êîììóòàòèâíîñòè è àññîöèàòèâíîñòè, èìååò ìåñòî äèñòðèáóòèâíîñòü max(x1 , x2 ) îòíîñèòåëüíî min(x1 , x2 ) è òàê äàëåå. Ýòè ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò ââîäèòü íåêîòîðûå ñîãëàøåíèÿ, óïðîùàþùèå âèä ôîðìóë, íàïðèìåð: n

& Ai = min(A1 , A2 , . . . , An ),

i=1 n _

Ai = max(A1 , A2 , . . . , An ).

i=1

Ñèñòåìà F ôóíêöèé k -çíà÷íîé ëîãèêè íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç Pk âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé íàä F .

Òåîðåìà 1. Ñèñòåìà F = {0, 1, . . . , k − 1, I0 (x), . . . , Ik−1 (x), min(x1 , x2 ), max(x1 , x2 )}

ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ôóíêöèé k-çíà÷íîé ëîãèêè èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû: _ f (x1 , . . . , xn ) = Iσ1 (x1 )& . . . &Iσn (xn )&f (σ1 , . . . , σn ), (σ1 ,...,σn )

ãäå ìàêñèìóì áåðåòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì íàáîðàì çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xn ). Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð (α1 , . . . , αn ). Íàéäåì çíà÷åíèå ôîðìóëû íà ýòîì íàáîðå. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (σ1 , . . . , σn ) = (α1 , . . . , αn ), òî

Iσ1 (α1 )& . . . &Iσn (αn )&f (σ1 , . . . , σn ) = f (α1 , . . . , αn ), òàê êàê Iσ1 (α1 ) = · · · = Iσn (αn ) = k − 1 (ò. å. ðàâíû ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ èç ìíîæåñòâà Ek ). Åñëè æå (σ1 , . . . , σn ) 6= (α1 , . . . , αn ), òî íàéäåòñÿ i (1 6 i 6 n), òàêîå, ÷òî σi 6= αi . Òîãäà Iσi (αi ) = 0 (ðàâíî íàèìåíüøåìó çíà÷åíèþ èç Ek ). Ïîýòîìó

Iσ1 (α1 )& . . . &Iσn (αn )&f (σ1 , . . . , σn ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, _ Iσ1 (α1 )& . . . &Iσn (αn )&f (σ1 , . . . , σn ) = f (α1 , . . . , αn ). (σ1 ,...,σn )

36

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìàÿ ôîðìóëà ïîñòðîåíà èç ôóíêöèé ñèñòåìû F , òî F  ïîëíàÿ ñèñòåìà.

Ñëåäñòâèå. Äëÿ ëþáîãî k > 3 â Pk ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïîëíûå ñèñòåìû. Äëÿ ôóíêöèé k -çíà÷íîé ëîãèêè, êàê è äëÿ áóëåâûõ ôóíêöèé, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïîëíîòû). Óòâåðæäåíèå 1. Åñëè F  ïîëíàÿ ñèñòåìà è ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç F ðåàëèçóåòñÿ ôîðìóëîé íàä G, òî G  ïîëíàÿ ñèñòåìà. Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ñîîòâåòñòâóþùåãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ P2 . Èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ è òåîðåìû ïîëó÷àåì Ñëåäñòâèå. Èç ëþáîé ïîëíîé ñèñòåìû ôóíêöèé k-çíà÷íîé ëîãèêè ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íóþ ïîëíóþ ïîäñèñòåìó. Èñïîëüçóÿ äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïîëíîòû, ïðèâåäåì ïðèìåðû äðóãèõ ïîëíûõ ñèñòåì â Pk . Óòâåðæäåíèå 2. Ñèñòåìà {max(x1 , x2 ), x + 1 (mod k)} ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçîáüåì äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ íà íåñêîëüêî ýòàïîâ. Ïîñòðîèì ñíà÷àëà êîíñòàíòû. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè x = x + 1, (x + 1) = x + 2, . . . , (x + k − 2) = x + k − 1, x + k = x. Ïðè êàæäîì çíà÷åíèè x èç Ek = {0, 1, . . . , k−1} ìíîæåñòâî çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ âñåìè ýòèìè ôóíêöèÿìè, ðàâíî Ek . Ïîýòîìó

max(x + 1, x + 2, . . . , x + k − 1, x) = k − 1. Îñòàëüíûå êîíñòàíòû ïîëó÷àþòñÿ ïðè ïîìîùè ôóíêöèè x + 1 (mod k). Ïîñòðîèì çàòåì ôóíêöèè Ii (x), i = 0, 1, . . . , k − 1. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(x) = max(x, x + 1, . . . , x + k − 2) + 1. Åñëè x = 0, òî ϕ(0) = max(0, 1, . . . , k − 2) + 1 = k − 1. Åñëè æå x = σ 6= 0, òî ñðåäè ÷èñåë σ, σ + 1, . . . , σ + k − 2 åñòü ÷èñëî k − 1. Ïîýòîìó ϕ(σ) = k − 1 + 1 = 0. Òî åñòü

37

Ëåêöèÿ  4

½ ϕ(x) =

k − 1, åñëè x = 0; 0, åñëè x 6= 0,

à çíà÷èò, ϕ(x) = I0 (x). Àíàëîãè÷íî ôóíêöèÿ

ψ(x) =

max {x + α} + 1

α6=k−1−i

ðàâíà ôóíêöèè Ii (x). Äåéñòâèòåëüíî, ïðè x = i âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

ψ(i) =

max {i + α} + 1 =

α6=k−1−i

max {i + α} + 1 = k − 2 + 1 = k − 1.

α+i6=k−1

À ïðè x = σ 6= i ñðåäè ÷èñåë

σ, σ + 1, . . . , σ + k − 1 − (i − 1), σ + k − 1 − (i + 1), . . . , σ + k − 1 åñòü ÷èñëî k − 1. Ïîýòîìó ψ(σ) = k − 1 + 1 = 0. Òî åñòü ψ(x) = Ii (x). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ íàì îñòàëîñü ïîëó÷èòü òîëüêî ôóíêöèþ min(x1 , x2 ). Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì: min(x1 , x2 ) = N (max(N (x1 ), N (x2 ))), êîòîðîå àíàëîãè÷íî ðàâåíñòâó x1 &x2 = x1 ∨ x2 äëÿ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè. Òàêèì îáðàçîì, íàì äîñòàòî÷íî ïîëó÷èòü ôóíêöèþ N (x). Ïîêàæåì, êàê ïîëó÷àòü ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé èç Pk . Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ α, β èç Ek ðàññìîòðèì ôóíêöèè ½ β , åñëè x = α; ϕα,β (x) = 0, åñëè x 6= α,

ψ(x) = max(Iα (x), k − 1 − β). Ïðè x = α ôóíêöèÿ ψ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå k − 1, à ïðè x = γ 6= α âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ψ(γ) = k − 1 − β . Ïîýòîìó ϕα,β (x) = ψ(x) + β + 1. Ïóñòü òåïåðü g(x)  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ (îäíîé ïåðåìåííîé) èç Pk . Òîãäà

g(x) = max(ϕ0,g(0) (x), ϕ1,g(1) (x), . . . , ϕk−1,g(k−1) (x)). Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì ïîëó÷èòü è ôóíêöèþ N (x).

38

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

Èòàê, ìû âûðàçèëè êàæäóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû

F = {0, 1, . . . , k − 1, I0 (x), . . . , Ik−1 (x), min(x1 , x2 ), max(x1 , x2 )} â âèäå ôîðìóë íàä èñõîäíîé ñèñòåìîé. Ïîñêîëüêó ñèñòåìà F ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé, òî â ñèëó äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ïîëíîòû ïîëó÷àåì, ÷òî {max(x1 , x2 ), x + 1 (mod k)}  ïîëíàÿ ñèñòåìà. Ïðèâåäåì ïðèìåð ïîëíîé ñèñòåìû â Pk , ñîñòîÿùåé èç îäíîé ôóíêöèè. Ïîëîæèì

Vk (x1 , x2 ) = max(x1 , x2 ) + 1. Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Âåááà. Îíà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì øòðèõà Øåôôåðà.

Óòâåðæäåíèå 3. Ñèñòåìà {Vk (x1 , x2 )} ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, Vk (x, x) = x + 1. Ïîýòîìó

ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáóþ ôóíêöèþ ϕ(x) = x + c, c ∈ Ek . Êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Vk (x1 , x2 ) + k − 1 = max(x1 , x2 ). Ïîñêîëüêó ïîëó÷åííûå ôóíêöèè îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó, òî è ñèñòåìà {Vk (x1 , x2 )} ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Ïóñòü F  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé k -çíà÷íîé ëîãèêè. Çàìûêàíèåì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî [F ] âñåõ ôóíêöèé èç Pk , âûðàçèìûõ ôîðìóëàìè íàä F . Ìíîæåñòâî F íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè F = [F ]. Çàìêíóòûå ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ òàêæå çàìêíóòûìè êëàññàìè. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà F ïîëíàÿ, åñëè [F ] = Pk . Ìíîæåñòâî F íàçûâàåòñÿ ïðåäïîëíûì êëàññîì, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) F 6= Pk ; 2) F = [F ]; 3) äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f , òàêîé, ÷òî f ∈ / F , ñèñòåìà F ∪ {f } ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ

Òåîðåìà 2 (À. Â. Êóçíåöîâ). Äëÿ ëþáîãî k ñóùåñòâóåò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ïðåäïîëíûõ êëàññîâ M1 , M2 , . . . , Mq ; ïðè ýòîì ñèñòåìà F ïîëíà â Pk òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F 6⊆ Mi äëÿ âñåõ i = 1, . . . , q . Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû áóäåò ïðèâåäåíî íèæå. Ïóñòü k > 2. Îáîçíà÷èì ÷åðåç π(k) ÷èñëî ïðåäïîëíûõ êëàññîâ

39

Ëåêöèÿ  4

â Pk . Ñ. Â. ßáëîíñêèé ïîêàçàë, ÷òî ïðè k = 3 èõ ÷èñëî ðàâíî 18. Ïðè ðîñòå k ÷èñëî π(k) ðàñòåò î÷åíü áûñòðî (ñì. òàáë. 3).

k π(k)

2 3

3 18

4 80

Òàáëèöà 3 5 6 547 15 267

Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà: [ k−1 ] 2

π(k) ∼ δ(k)k2Ck−1 , ãäå Cnm  ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî m, à δ(k) = 1, åñëè k íå÷åòíî, è δ(k) = 2, åñëè k ÷åòíî. Ïîëíîå îïèñàíèå ïðåäïîëíûõ êëàññîâ â Pk áûëî ïîëó÷åíî È. Ðîçåíáåðãîì â 1965 ã. Áîëåå ïîäðîáíûå ñâåäåíèÿ î ïðåäïîëíûõ êëàññàõ ôóíêöèé ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â êíèãå 1) .  çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ ïîëíîòû êîíå÷íûõ ñèñòåì ôóíêöèé â Pk . Òåîðåìà 3. Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ ïîëíîòû êîíå÷íûõ ñèñòåì ôóíêöèé â Pk . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F  íåêîòîðîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé k -çíà÷íîé ëîãèêè, F = {f1 (x1 , . . . , xn1 , . . . , ft (x1 , . . . , xnt )}. Âîçüìåì äâå ïåðåìåííûå x1 è x2 . Ïîñòðîèì ïî èíäóêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ R0 , R1 , . . . , êàæäîå èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç ôóíêöèé îò ïåðåìåííûõ x1 è x2 . Ïîëîæèì R0 = ∅. Ïóñòü óæå ïîñòðîåíû ìíîæåñòâà ôóíêöèé R0 , R1 , . . . , Rr , è ïóñòü |Rr | = sr (sr = 0 ïðè r = 0). Äëÿ êàæäîãî j = 1, . . . , t ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ôîðìóëû âèäà fj (A1 , . . . , Anj ), ãäå A1 , . . . , Anj  ëèáî ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà Rr , ëèáî ïåðåìåííûå x1 èëè x2 . Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäàÿ òàêàÿ ôîðìóëà ðåàëèçóåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò ïåðåìåííûõ x1 è x2 . Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òàêèõ ôóíêöèé ÷åðåç ∆r . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî |∆r | 6 t(sr + 2)nj . Ïîëîæèì Rr+1 = Rr ∪ ∆r . Òîãäà

R0 ⊆ R1 ⊆ . . . ⊆ Rr ⊆ Rr+1 ⊆ . . . . Èç ïîñòðîåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè Rr+1 = Rr , òî âñå ïîñëåäóþùèå êëàññû ñîâïàäàþò ñ Rr . Òàêèì îáðàçîì, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî r∗ 1) Ñì.: ßáëîíñêèé Ñ.Â., Ãàâðèëîâ Ã.Ï., Íàáåáèí À.À. Ïðåäïîëíûå êëàññû â ìíîãîçíà÷íûõ ëîãèêàõ. Ì.: Èçä-âî ÌÝÈ, 1997.

40

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

ïðîöåññ ñòàáèëèçèðóåòñÿ, ïîñêîëüêó êàæäûé êëàññ Ri ñîäåðæèò òîëüêî ôóíêöèè îò ïåðåìåííûõ x1 è x2 , à âñåãî òàêèõ ôóíêöèé 2 2 pk (2) = k k . Òî åñòü r∗ 6 k k . Çàìåòèì,÷òî ìíîæåñòâî Rr∗ ñîäåðæèò âñå ôóíêöèè îò ïåðåìåííûõ x1 è x2 èç êëàññà [F ]. Ïîýòîìó ñèñòåìà F ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ Vk (x1 , x2 ) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Rr∗ . Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïîñêîëüêó ÷èñëî π(k) ðàñòåò î÷åíü áûñòðî ñ ðîñòîì k , òî ïðèâåäåííûé àëãîðèòì ÿâëÿåòñÿ áîëåå íàãëÿäíûì (è ìåíåå òðóäîåìêèì) ïî ñðàâíåíèþ ñ àíàëîãè÷íûì àëãîðèòìîì, ïîñòðîåííûì íà îñíîâå ïðèâåäåííîãî âûøå êðèòåðèÿ ðàñïîçíàâàíèÿ ïîëíîòû â òåðìèíàõ ïðåäïîëíûõ êëàññîâ.

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 41 49

41

Ëåêöèÿ  5 Ïðèâåäåì êðèòåðèè ïîëíîòû ñèñòåì ôóíêöèé â Pk , îñíîâàííûå íà íåêîòîðîé äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè îá èñõîäíûõ ñèñòåìàõ. Ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) èç Pk íàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííîé, åñëè îíà ñóùåñòâåííî çàâèñèò íå ìåíåå ÷åì îò äâóõ ïåðåìåííûõ è ïðèíèìàåò k çíà÷åíèé.

Òåîðåìà 1 (êðèòåðèé E. Ñëóïåöêîãî). Ïóñòü ñèñòåìà F èç Pk , k > 3, ñîäåðæèò âñå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. Òîãäà F ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F ñîäåðæèò ñóùåñòâåííóþ ôóíêöèþ. Òåîðåìà 2 (êðèòåðèé C. B. ßáëîíñêîãî). Ïóñòü ñèñòåìà F èç Pk , k > 3, ñîäåðæèò âñå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, ïðèíèìàþùèå íå áîëåå k−1 çíà÷åíèé. Òîãäà F ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F ñîäåðæèò ñóùåñòâåííóþ ôóíêöèþ. Êðèòåðèé ßáëîíñêîãî ÿâëÿåòñÿ óñèëåíèåì êðèòåðèÿ Ñëóïåöêîãî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ óòâåðæäåíèé ìû óñòàíîâèì íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé òåîðåìû 1 è äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèé òåîðåìû 2.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü (òåîðåìà 1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî F ñîäåðæèò âñå ôóíêöèè èç Pk îò îäíîé ïåðåìåííîé è íå ñîäåðæèò ñóùåñòâåííûõ ôóíêöèé. Ïîêàæåì, ÷òî F  íåïîëíàÿ ñèñòåìà. Äåéñòâèòåëüíî, êàæäàÿ ôîðìóëà Φ íàä F , êîòîðàÿ ðåàëèçóåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ, ñóùåñòâåííî çàâèñÿùóþ áîëåå ÷åì îò îäíîé ïåðåìåííîé, èìååò âèä Φ = fi1 (fi2 (. . . fim (g(A1 , . . . , An )) . . . )), ãäå fi1 , . . . , fim  ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, g  ôóíêöèÿ èç F , ñóùåñòâåííî çàâèñÿùàÿ îò n > 2 ïåðåìåííûõ, à A1 , . . . , An  ëèáî ïåðåìåííûå, ëèáî ôîðìóëû íàä F . Òàê êàê ôóíêöèÿ g ïðèíàäëåæèò F , òî îíà ïðèíèìàåò íå áîëåå k −1 çíà÷åíèé. Ïîýòîìó ôîðìóëà Φ òàêæå ïðèíèìàåò íå áîëåå k −1 çíà÷åíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëû íàä F íå ìîãóò ðåàëèçîâûâàòü ñóùåñòâåííûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, F  íåïîëíàÿ ñèñòåìà. Íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå ëåììû.

Ëåììà (î òðåõ íàáîðàõ). Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ôóíêöèÿ èç Pk , ñóùåñòâåííî çàâèñÿùàÿ íå ìåíåå ÷åì îò äâóõ ïåðåìåííûõ è ïðèíèìàþùàÿ íå ìåíåå òðåõ çíà÷åíèé. Ïóñòü x1  åå ñóùåñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ. Òîãäà ñóùåñòâóþò òðè íàáîðà (α, α2 , . . . , αn ),

42

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

(β, α2 , . . . , αn ) è (α, γ2 , . . . , γn ), òàêèå, ÷òî ôóíêöèÿ f íà ýòèõ íàáîðàõ ïðèíèìàåò òðè ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííîé x1 , òî ñóùåñòâóþò íàáîðû (α, α2 , . . . , αn ) è (β, α2 , . . . , αn ), òàêèå, ÷òî f (α, α2 , . . . , αn ) 6= f (β, α2 , . . . , αn ). Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M íàáîðîâ ñëåäóþùåãî âèäà:

M = {(0, α2 , . . . , αn ), (1, α2 , . . . , αn ), . . . , (k − 1, α2 , . . . , αn )} è ìíîæåñòâî Mf çíà÷åíèé ôóíêöèè f íà ýòèõ íàáîðàõ:

Mf = {f (0, α2 , . . . , αn ), f (1, α2 , . . . , αn ), . . . , f (k − 1, α2 , . . . , αn )}. Ìíîæåñòâî Mf ñîäåðæèò íå ìåíåå äâóõ ýëåìåíòîâ. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. Ïóñòü |Mf | = 2, è ïóñòü Mf = {ε1 , ε2 }. Òàê êàê ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò ïî êðàéíåé ìåðå òðè çíà÷åíèÿ, òî íàéäåòñÿ íàáîð (γ, γ2 , . . . , γn ), òàêîé, ÷òî f (γ, γ2 , . . . , γn ) ∈ / Mf . Ðàññìîòðèì íàáîð (γ, α2 , . . . , αn ). Îí ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M . Ïîýòîìó f (γ, α2 , . . . , αn ) ∈ {ε1 , ε2 }. Ïóñòü, íàïðèìåð, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (γ, α2 , . . . , αn ) = ε1 . Òîãäà ñóùåñòâóåò íàáîð (δ, α2 , . . . , αn ) ∈ M , òàêîé,÷òî f (δ, α2 , . . . , αn ) = ε2 . Òàêèì îáðàçîì, íàáîðû (δ, α2 , . . . , αn ), (γ, α2 , . . . , αn ) è (γ, γ2 , . . . , γn ) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ëåììû. Ïóñòü òåïåðü |Mf | > 3. Òàê êàê f ñóùåñòâåííî çàâèñèò ïî êðàéíåé ìåðå îò äâóõ ïåðåìåííûõ, òî íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî α ∈ Ek , ÷òî ôóíêöèÿ f (α, x2 , . . . , xn ) íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò íàáîð (γ2 , . . . , γn ), òàêîé, ÷òî

ε1 = f (α, γ2 , . . . , γn ) 6= f (α, α2 , . . . , αn ) = ε2 . Òàê êàê |Mf | > 3, òî íàéäåòñÿ ýëåìåíò β ∈ Ek \ {α}, òàêîé, ÷òî f (β, α2 , . . . , αn ) ∈ Mf \ {ε1 , ε2 }. Òàêèì îáðàçîì, íà íàáîðàõ (α, α2 , . . . , αn ), (β, α2 , . . . , αn ) è (α, γ2 , . . . , γn ) ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò òðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿ. Ëåììà äîêàçàíà. Çàìåòèì, ÷òî ýòè íàáîðû âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî ìàòðèöà A, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ ñòðîê è n ñòîëáöîâ è ñîñòàâëåííàÿ èç ýòèõ íàáîðîâ, â êàæäîì ñòîëáöå ñîäåðæèò íå áîëåå äâóõ ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ:

43

Ëåêöèÿ  5

 α α2 . . . αn A =  β α2 . . . αn  . α γ2 . . . γn 

Îòìåòèì òàêæå, ÷òî (α2 , . . . , αn ) 6= (γ2 , . . . , γn ).

Êâàäðàòîì íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà èç ÷åòûðåõ íàáîðîâ âèäà a ˜1 = (α1 , . . . , αi−1 , α, αi+1 , . . . , αj−1 , β, αj+1 , . . . , αn ), a ˜2 = (α1 , . . . , αi−1 , γ, αi+1 , . . . , αj−1 , β, αj+1 , . . . , αn ), ˜b1 = (α1 , . . . , αi−1 , α, αi+1 , . . . , αj−1 , δ, αj+1 , . . . , αn ), ˜b2 = (α1 , . . . , αi−1 , γ, αi+1 , . . . , αj−1 , δ, αj+1 , . . . , αn ), ãäå α 6= γ , β 6= δ . Êâàäðàò K = {˜ a1 , a ˜2 , ˜b1 , ˜b2 } óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ãåîìåòðè÷åñêîãî êâàäðàòà, â âåðøèíàõ êîòîðîãî ðàñïîëîæåíû íàáîðû a ˜1 , a ˜2 , ˜b1 , ˜b2 ; ïðè ýòîì â ñîñåäíèõ âåðøèíàõ íàõîäÿòñÿ íàáîðû, ðàçëè÷àþùèåñÿ ðîâíî â îäíîì ðàçðÿäå (ñì. ðèñ. 1).

a ˜1 c

˜ c b1

c

c˜ b2

a ˜2

Ðèñ. 1

Ëåììà (î êâàäðàòå). Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ôóíêöèÿ èç Pk , ñóùåñòâåííî çàâèñÿùàÿ íå ìåíåå ÷åì îò äâóõ ïåðåìåííûõ è ïðèíèìàþùàÿ íå ìåíåå òðåõ çíà÷åíèé. Òîãäà ñóùåñòâóåò êâàäðàò, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ f íåêîòîðîå çíà÷åíèå ïðèíèìàåò ðîâíî îäèí ðàç. Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû î òðåõ íàáîðàõ. Ïîýòîìó ñóùåñòâóþò òðè íàáîðà a ˜1 = (α, α2 , . . . , αn ), a ˜2 = (β, α2 , . . . , αn ) è c˜ = (α, γ2 , . . . , γn ), íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò òðè ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ ε1 , ε2 è ε3 ñîîòâåòñòâåííî. Âîçüìåì òàêæå íàáîð d˜ = (β, γ2 , . . . , γn ). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàáîðû (α2 , . . . , αn )

44

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

è (γ2 , . . . , γn ) ðàçëè÷àþòñÿ â ïåðâûõ m − 1 ðàçðÿäàõ, ò. å. γi 6= αi äëÿ âñåõ i = 2, . . . , m; γm+1 = αm+1 , . . . , γn = αn , m > 2. Òàêèì îáðàçîì, íàáîðû a ˜1 , a ˜2 , c˜ è d˜ èìåþò âèä

a ˜1 = (α, α2 , α3 , . . . , αm , α ˜ m+1 ), a ˜2 = (β, α2 , α3 , . . . , αm , α ˜ m+1 ), c˜ = (α, γ2 , γ3 , . . . , γm , α ˜ m+1 ), d˜ = (β, γ2 , γ3 , . . . , γm , α ˜ m+1 ), ãäå α ˜ m+1 = (αm+1 , . . . , αn ). Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè m = 2 ýòè íàáîðû îáðàçóþò èñêîìûé êâàäðàò, òàê êàê îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ çíà÷åíèå èç ìíîæåñòâà {ε1 , ε2 , ε3 }, êîòîðîå f ïðèíèìàåò ðîâíî îäèí ðàç. Ïóñòü m > 3. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êâàäðàòîâ K1 , K2 , . . . , Km−1 , òàêóþ, ÷òî a ˜1 , a ˜2 ∈ K1 , c˜ ∈ Km−1 è ïðè âñåõ i = 1, . . . , m − 2 ìíîæåñòâî Ki ∩ Ki+1 ñîñòîèò èç äâóõ íàáîðîâ. Äëÿ âñåõ i = 1, . . . , m − 2 îïðåäåëèì íàáîðû ˜bi1 , ˜bi2 ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì

˜b1 = (α, γ2 , α ˜ 2 ), 1

˜b1 = (β, γ2 , α ˜ 2 ), 2

à ïðè i > 2

˜bi = (α, γ˜ i , γi+1 , α ˜ i+2 ), 1

˜bi = (β, γ˜ i , γi+1 , α ˜ i+2 ), 2

ãäå γ˜ i = (γ2 , . . . , γi ), α ˜ i+2 = (αi+2 , . . . , αn ). Ïîëîæèì

K1 = {˜ a1 , a ˜2 , ˜b11 , ˜b12 }, . . . , Ki = {˜bi−1 , ˜bi−1 , ˜bi , ˜bi }, . . . , 1

2

1

2

Km−1 = {˜bm−2 , ˜bm−2 , ˜bm−1 , ˜bm−1 }. 1 2 1 2 Êàæäîå èç ýòèõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. Äåéñòâèòåëüíî, ìíîæåñòâî K1 ñîñòîèò èç íàáîðîâ

a ˜1 = (α, α2 , α ˜ 2 ),

˜b1 = (α, γ2 , α ˜ 2 ), 1

a ˜2 = (β, α2 , α ˜ 2 ),

˜b1 = (β, γ2 , α ˜ 2 ), 2

à ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. Àíàëîãè÷íî ìíîæåñòâî Ki ñîñòîèò èç íàáîðîâ

˜bi−1 = (α, γ˜ i , αi+1 , α ˜ i+2 ), 1

˜bi = (α, γ˜ i , γi+1 , α ˜ i+2 ), 1

45

Ëåêöèÿ  5

˜bi−1 = (β, γ˜ i , αi+1 , α ˜ i+2 ), 2

˜bi = (β, γ˜ i , γi+1 , α ˜ i+2 ) 2

è ïîòîìó òàêæå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì ïðè âñåõ i = 2, . . . , m − 1. Êðîìå òîãî, ïî ïîñòðîåíèþ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Ki ∩ Ki+1 = {˜bi1 , ˜bi2 } äëÿ âñåõ i = 1, . . . , m − 2, íàáîðû a ˜1 è a ˜2 ïðèíàäëåæàò êâàäðàòó K1 , à êâàäðàò Km−1 ñîäåðæèò íàáîð ˜bm−1 = (α, γ˜ m−1 , γm , α ˜ m+1 ) = 1 (α, γ2 , . . . , γm , αm+1 , . . . , αn ) = c˜. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êâàäðàòîâ ïîñòðîåíà (ñì. ðèñ. 2). Îíà ïðåäñòàâëåíà â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ êâàäðàòîâ, â âåðøèíàõ êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû ïðèíàäëåæàùèå ýòèì êâàäðàòàì íàáîðû. ˜b11

a ˜1

c

˜b21

c

K1

˜bi1

c ppp c

K2

c

Ki

c ppp c

c

c ppp c

c

a ˜2

˜b12

˜b22

˜bi2

c

Km−1

Ki+1

c

˜bm−1 = c˜ 1

c ppp c

c ˜bm−1 2

Ðèñ. 2 Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ai ìíîæåñòâî {f (˜bi1 ), f (˜bi2 )}, i > 1, è ïîëîæèì A0 = {f (˜ a1 ), f (˜ a2 )}. Òàê êàê f (˜bm−1 ) = f (˜ c) ∈ / {ε1 , ε2 } = A0 , òî 1 Am−1 6= A0 . Ïîýòîìó íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî s (0 6 s 6 m − 2), ÷òî A0 = A1 = · · · = As 6= As+1 . Òîãäà êâàäðàò Ks+1 ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì. Äåéñòâèòåëüíî, ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè f íà íàáîðàõ ýòîãî êâàäðàòà ðàâíî As ∪As+1 . Çíà÷èò, f íà íàáîðàõ ýòîãî êâàäðàòà ïðèíèìàåò ïî êðàéíåé ìåðå òðè ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ ( ε1 , ε2 è êàêîå-òî åùå èç As+1 ). Ïîýòîìó îäíî èç ýòèõ çíà÷åíèé íà íàáîðàõ êâàäðàòà Ks+1 ïðèíèìàåòñÿ ðîâíî îäèí ðàç, ÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó. Ïåðåéäåì òåïåðü íåïîñðåäñòâåííî ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2. Äîñòàòî÷íîñòü (òåîðåìà 2). Ñíà÷àëà ïîñòðîèì âñå ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå ðîâíî äâà çíà÷åíèÿ. À çàòåì ïî èíäóêöèè èç âñåõ ôóíêöèé, ïðèíèìàþùèõ íå áîëåå ÷åì l − 1 çíà÷åíèé, ïîëó÷èì âñå ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå l çíà÷åíèé, l 6 k . Ïóñòü h(x1 , . . . , xn )  ñóùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ èç F . Ïî ëåììå î êâàäðàòå íàéäóòñÿ íàáîðû, îáðàçóþùèå êâàäðàò, íà êîòîðîì íåêî-

46

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

òîðîå çíà÷åíèå, íàïðèìåð ε, ïðèíèìàåòñÿ ðîâíî îäèí ðàç. Ïóñòü ýòè íàáîðû èìåþò âèä, ïðåäñòàâëåííûé â ëåâîé ÷àñòè òàáë. 1; â ïðàâîé ÷àñòè âûïèñàíû ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f . Òîãäà ε ∈ {ε1 , ε2 , ε3 }.

x1 α γ α γ

x2 β β δ δ

x3 α3 α3 α3 α3

... ... ... ... ...

xn αn αn αn αn

Òàáëèöà 1 f (x1 , . . . , xn ) ε ε1 ε2 ε3

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(x1 , x2 ) = f (x1 , x2 , α3 , . . . , αn ). Òàê êàê êîíñòàíòû  ôóíêöèè îò îäíîé ïåðåìåííîé, ïðèíèìàþùèå îäíî çíà÷åíèå, òî ϕ ∈ [F ]. Ðàññìîòðèì òàêæå ñëåäóþùèå ôóíêöèè: ½ 0, åñëè x = ε; ψ(x) = 1, åñëè x 6= ε, ½ α, åñëè x = 0; λ1 (x) = γ , åñëè x 6= 0, ½ β , åñëè x = 0; λ2 (x) = δ , åñëè x 6= 0. Âñå ýòè ôóíêöèè ïðèíèìàþò 2 6 k − 1 çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó îíè ïðèíàäëåæàò ñèñòåìå F . Ïîëîæèì ω(x1 , x2 ) = ψ(ϕ(λ1 (x1 ), λ2 (x2 ))). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íà íàáîðàõ èç íóëåé è åäèíèö ôóíêöèÿ ω âåäåò ñåáÿ êàê äèçúþíêöèÿ x1 è x2 (ñì. òàáë. 2). Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç ∨(0,1) (x1 , x2 ).

x1 0 0 1 1

x2 0 1 0 1

Òàáëèöà 2 ω(x1 , x2 ) 0 1 1 1

Êðîìå òîãî, ñèñòåìå F ïðèíàäëåæàò ôóíêöèè jα (x), α ∈ Ek : ½ 1, åñëè x = α, jα (x) = 0, åñëè x 6= α, ïîñêîëüêó îíè ïðèíèìàþò òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ.

47

Ëåêöèÿ  5

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ &(0,1) (x1 , x2 ) = j0 (ω(j0 (x1 ), j0 (x2 ))). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íà íàáîðàõ èç íóëåé è åäèíèö îíà âåäåò ñåáÿ êàê êîíúþíêöèÿ x1 è x2 . Ýòè ôóíêöèè ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü âñå ôóíêöèè èç Pk , ïðèíèìàþùèå ëþáûå äâà çíà÷åíèÿ. Ïóñòü g(x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ òîëüêî çíà÷åíèÿ 0 è 1. Òîãäà

=

g(x1 , . . . , xn ) =

_ (0,1)

jσ1 (x1 ) &(0,1) . . . &(0,1) jσn (xn )&(0,1) g(σ1 , . . . , σn ).

(σ1 ,...,σn )

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðàâåíñòâà ïðîâîäèòñÿ ïðÿìîé ïðîâåðêîé (êàê ðàíåå äëÿ àíàëîãè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé). Ïóñòü òåïåðü h(x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ òîëüêî çíà÷åíèÿ α è β (α 6= β ). Ðàññìîòðèì ôóíêöèè ½ 0, åñëè h(x1 , . . . , xn ) = α; g(x1 , . . . , xn ) = 1, åñëè h(x1 , . . . , xn ) = β, ½ α, åñëè x = 0; µ(x) = β , åñëè x 6= 0. Î÷åâèäíî, ÷òî µ ∈ F è, êàê óñòàíîâëåíî âûøå, ôóíêöèÿ g ïðèíàäëåæèò [F ]. Êðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî h(x1 , . . . , xn ) = µ(g(x1 , . . . , xn )). Ïîýòîìó h ∈ [F ]. Òàêèì îáðàçîì, âñå ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå ïðîèçâîëüíûå äâà çíà÷åíèÿ, âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè íàä F . Ïîñòðîèì òåïåðü ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå l çíà÷åíèé, èç ôóíêöèé, ïðèíèìàþùèõ íå áîëåå l − 1 çíà÷åíèé, l − 1 < k . Ñíà÷àëà ïîñòðîèì ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå íåêîòîðûå l çíà÷åíèé èç ìíîæåñòâà Ek . Ïî ëåììå î òðåõ íàáîðàõ íàéäóòñÿ òàêèå íàáîðû β˜1 = (α, α2 , . . . , αn ), β˜2 = (β, α2 , . . . , αn ) è β˜3 = (α, γ2 , . . . , γn ), ÷òî (ñóùåñòâåííàÿ) ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) íà íèõ ïðèíèìàåò òðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ. Ïóñòü f (β˜1 ) = ε1 , f (β˜2 ) = ε2 , f (β˜3 ) = ε3 . Îáîçíà÷èì êîìïîíåíòû ýòèõ íàáîðîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

β˜1 = (β11 , . . . , βn1 ),

β˜2 = (β12 , . . . , βn2 ),

β˜3 = (β13 , . . . , βn3 ).

Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ ε4 , . . . , εl èç ìíîæåñòâà Ek \ {ε1 , ε2 , ε3 }. Ïîëó÷èì ìíîæåñòâî I = {ε1 , ε2 , . . . , εl }, |I| = l. Òàê êàê ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà

48

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

Ek , òî íàéäóòñÿ òàêèå íàáîðû β˜i = (β1i , . . . , βni ), ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà f (β˜i ) = εi , i = 4, . . . , l. Ïðåäñòàâèì ýòè íàáîðû â âèäå òàáëèöû, â ëåâîé ÷àñòè êîòîðîé ïî ñòðîêàì âûïèñàíû ñàìè íàáîðû, à â ïðàâîé ÷àñòè ñòîÿò ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (ñì. òàáë. 3). x1 β11

x2 β21

β1i

β2i

β1l

β2l

... ... ... ... ... ...

xn βn1 βni βnl

Òàáëèöà 3 f (x1 , . . . , xn ) ε1 ... εi ... εl

Èç ñâîéñòâ íàáîðîâ β˜1 , β˜2 è β˜3 ñëåäóåò, ÷òî â êàæäîì ñòîëáöå ëåâîé ÷àñòè òàáëèöû íàõîäèòñÿ íå áîëåå l − 1 ðàçíûõ çíà÷åíèé èç ìíîæåñòâà Ek . Ïóñòü g(x1 , . . . , xm )  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ l çíà÷åíèé èç ìíîæåñòâà I . Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó íàáîðó σ ˜ = (σ1 , . . . , σm ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xm ÷èñëî i(˜ σ ) èç ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , l}, òàêîå, ÷òî g(˜ σ ) = εi(˜σ) . Îïðåäåëèì ôóíêöèè h1 (x1 , . . . , xm ), . . . , hn (x1 , . . . , xm ) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîj j æèì hj (σ1 , . . . , σm ) = βi(˜ σ ) , j = 1, . . . , n, ãäå βi  êîìïîíåíòû íàáîðîâ β˜1 , . . . , β˜l . Îòìåòèì, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé ïðèíèìàåò íå áîëåå ÷åì l − 1 çíà÷åíèé. Ïîýòîìó ïî ïðåäïîëîæåíèþ h1 , . . . , hn ∈ [F ]. Êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

g(x1 , . . . , xm ) = f (h1 (x1 , . . . , xm ), . . . , hn (x1 , . . . , xm )). Ïîýòîìó g ∈ [F ]. Ïóñòü òåïåðü h(x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ ïðîèçâîëüíûå l, l 6 k − 1, çíà÷åíèé, íàïðèìåð, èç ìíîæåñòâà {η1 , . . . , ηl } ⊂ Ek . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ η(x), òàêóþ, ÷òî ½ ηi , åñëè x = εi , i = 1, . . . , l; η(x) = η1 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Îïðåäåëèì òàêæå ôóíêöèþ g(x1 , . . . , xn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì: g(x1 , . . . , xn ) = εi òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà h(x1 , . . . , xn ) = ηi ,

Ëåêöèÿ  5

49

i = 1, . . . , l. Î÷åâèäíî, ÷òî h(x1 , . . . , xn ) = η(g(x1 , . . . , xn )). Ôóíêöèÿ η ïðèíèìàåò l 6 k − 1 çíà÷åíèé. Ïîýòîìó ïî óñëîâèþ η ∈ F , à ôóíêöèÿ g ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà I = {ε1 , . . . , εl }. Ïîýòîìó g ∈ [F ]. Òàêèì îáðàçîì, h ∈ [F ]. Îòìåòèì, ÷òî ïðè l = k ïîñëåäíèé ýòàï íå íóæåí, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî I = Ek . Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.

50

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 5057

Ëåêöèÿ  6  êà÷åñòâå òåðèÿ ïîëíîòû, Ôóíêöèÿ f ïîëíàÿ ñèñòåìà

ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ïðèëîæåíèå êðèäîêàçàííîãî íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè. ∈ Pk íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Øåôôåðà, åñëè {f }  â Pk . Óòâåðæäåíèå. Ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) èç Pk , k > 3, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Øåôôåðà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f ïîðîæäàåò âñå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, ïðèíèìàþùèå íå áîëåå k−1 çíà÷åíèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü î÷åâèäíà. Ïîêàæåì, ÷òî f  ñóùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f íå ïðèíèìàåò íåêîòîðîå çíà÷åíèå α èç Ek . Òîãäà ëþáàÿ ôîðìóëà íàä {f } íå ïðèíèìàåò çíà÷åíèå α. À çíà÷èò, êîíñòàíòà α íå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëàìè íàä {f }, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ èç Ek . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f èìååò íå áîëåå îäíîé ñóùåñòâåííîé ïåðåìåííîé. Ïîñêîëüêó f ïðèíèìàåò âñå k çíà÷åíèé, òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé. Ïîýòîìó ëþáàÿ ôîðìóëà íàä {f } ðåàëèçóåò íåêîòîðóþ ïåðåñòàíîâêó. À çíà÷èò, èç f íåëüçÿ ïîëó÷èòü íèêàêóþ äðóãóþ ôóíêöèþ îäíîé ïåðåìåííîé (íàïðèìåð, êîíñòàíòó). Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò âñå k çíà÷åíèé è ñóùåñòâåííî çàâèñèò ïî êðàéíåé ìåðå îò äâóõ ïåðåìåííûõ, ò. å. f  ñóùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ. Ïîýòîìó â ñèëó êðèòåðèÿ ßáëîíñêîãî {f }  ïîëíàÿ ñèñòåìà. Êîñíåìñÿ òåïåðü îòëè÷èé k -çíà÷íîé ëîãèêè îò äâóçíà÷íîé. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âîïðîñ î ïðåäñòàâëåíèè ôóíêöèè ïîëèíîìàìè. Äîêàæåì ïðåäâàðèòåëüíî ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà. Ëåììà 1. Åñëè k ïðîñòîå è a 6= 0 (mod k), òî ak−1 = 1 (mod k). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a ∈ Ek \ {0}. Ðàññìîòðèì ÷èñëà b1 = a· 1, b2 = a·2,. . ., bk−1 = a·(k−1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ i, j , i 6= j , âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî bi = bj . Òîãäà ÷èñëî bi − bj = a(i − j) äåëèòñÿ íà k . Ïîñêîëüêó a è k  âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà, òî i − j = 0, ò. å. i = j . Òàêèì îáðàçîì, {b1 , b2 , . . . , bk−1 } = Ek \ {0}. Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå b1 · b2 · . . . · bk−1 ýòèõ ÷èñåë. Èìååì

b1 · b2 · . . . · bk−1 = (a · 1)(a · 2) . . . (a · (k − 1)) = 1 · 2 · . . . · (k − 1). Ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî ak−1 (k − 1)! = (k − 1)!. Òàê êàê (k − 1)! 6= 0 (mod k), òî ak−1 = 1 (mod k).

51

Ëåêöèÿ  6

Òåîðåìà. Ñèñòåìà F = {0, 1, . . . , k − 1, xy

(mod k), x + y

(mod k)}

ïîëíà â Pk òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà k  ïðîñòîå ÷èñëî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü k  ïðîñòîå ÷èñëî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(x) = 1 − xk−1 (mod k). Òîãäà ϕ(0) = 1, à â ñèëó ëåììû 1 ϕ(x) = 0 ïðè âñåõ x 6= 0. Ïîýòîìó ϕ(x) = j0 (x). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ji (x) = j0 (x − i), i = 1, . . . , k − 1. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèè j0 , j1 , . . . , jk−1 âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè íàä F . Êðîìå òîãî, äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ) èç Pk èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå X f (x1 , . . . , xn ) = jσ1 (x1 ) . . . jσn (xn )f (σ1 , . . . , σn ) (mod k). (σ1 ,...,σn )

Ïîýòîìó F  ïîëíàÿ ñèñòåìà â Pk . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî k = k1 k2 , 1 < k1 , k2 < k . Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ j0 (x) íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

j0 (x) = c0 + c1 x + . . . + ct xt , ãäå c0 , c2 , . . . , ct ∈ Ek , 1 6 t < k − 1. Òàê êàê j0 (0) = 1, òî c0 = 1. Ïðè x = k1 ïîëó÷àåì

0 = 1 + c1 k1 + . . . + ct k1t

(mod k).

Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà k2 , ïîëó÷àåì 0 = k2 (mod k), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñîñòàâíîì k ñèñòåìà F íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé â Pk . Íàïîìíèì, ÷òî êàæäûé çàìêíóòûé êëàññ â P2 (èç ñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà çàìêíóòûõ êëàññîâ) èìååò êîíå÷íûé áàçèñ.  Pk ïðè k > 3 ýòî óòâåðæäåíèå íåâåðíî, ò. å. ñóùåñòâóþò çàìêíóòûå êëàññû, êîòîðûå íå èìåþò áàçèñà. Ïðèìåð òàêîãî êëàññà âïåðâûå áûë ïîñòðîåí Þ. È. ßíîâûì.

Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîãî k, k > 3, â Pk ñóùåñòâóþò çàìêíóòûå êëàññû, íå èìåþùèå áàçèñà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ôóíêöèé: F = {f0 , f1 , . . . , fn , . . . }, ãäå f0 = 0, ½ 1 ïðè x1 = x2 = . . . = xn = 2; fn (x1 , . . . , xn ) = 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ

52

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

äëÿ êàæäîãî n > 1. Ïîëîæèì Mk = [F ]. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ âñåõ m > 1 è ëþáûõ α1 , . . . , αm ∈ Ek âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî fm (α1 , . . . , αm ) 6= 2. Ïîýòîìó êàæäàÿ ôîðìóëà Φ íàä F , êîòîðàÿ èìååò âèä Φ = fn (A1 , . . . , An ) è â êîòîðîé ñðåäè A1 , . . . , An , n > 1, íàéäåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäíî âûðàæåíèå, îòëè÷íîå îò ñèìâîëà ïåðåìåííîé, ðåàëèçóåò êîíñòàíòó 0 = f0 . Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ ôóíêöèÿ èç Mk ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèé ñèñòåìû F íåêîòîðîé ïîäñòàíîâêîé ïåðåìåííûõ. Ïîêàæåì, ÷òî êëàññ Mk íå èìååò áàçèñà. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé G  áàçèñ êëàññà Mk . Òîãäà åñëè G ñîäåðæèò ïî êðàéíåé ìåðå äâå ôóíêöèè fn (xi1 , . . . , xin ) è fm (xj1 , . . . , xjm ), ó êîòîðûõ ÷èñëî ñóùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ n è m ñîîòâåòñòâåííî, n > m, òî ôóíêöèÿ fm ïîëó÷àåòñÿ èç fn ïîäñòàíîâêîé (â ÷àñòíîñòè, îòîæäåñòâëåíèåì) ïåðåìåííûõ. Åñëè æå G = {fm }, m > 1, òî â ñèëó óñòàíîâëåííûõ âûøå ñâîéñòâ íèêàêàÿ ôóíêöèÿ fn èç F ïðè n > m íå ìîæåò âûðàæàòüñÿ ôîðìóëîé íàä {fm }. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî Mk íå èìååò áàçèñà. Ïðèâåäåì òåïåðü ïðèìåð çàìêíóòîãî êëàññà â Pk ñî ñ÷åòíûì áàçèñîì, k > 3. Îïðåäåëèì äëÿ âñåõ n > 2 ìíîæåñòâî íàáîðîâ Rn ñëåäóþùåãî âèäà:

Rn = {(α1 , . . . , αn ) | αj = 1, α1 = . . . = αj−1 = αj+1 = . . . = αn = 2, j = 1, 2, . . . , n}. Êàæäûé íàáîð èç Rn èìååò ðîâíî îäíó åäèíè÷íóþ êîìïîíåíòó, âñå îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ýòîãî íàáîðà ðàâíû 2. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ôóíêöèé F = {Ψ2 , Ψ3 , . . . } èç Pk , òàêóþ, ÷òî ½ 1, åñëè (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; Ψn (x1 , . . . , xn ) = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,

n > 2. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè âñåõ n > 2 ôóíêöèè Ψn ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò âñåõ ïåðåìåííûõ è ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà {0, 1}. Ïîëîæèì Gk = [F ]. Ïîêàæåì, ÷òî Gk ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì êëàññîì. Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîãî n > 2 ôóíêöèÿ Ψn íå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé íàä ñèñòåìîé F \ {Ψn }.

53

Ëåêöèÿ  6

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü Φ  ôîðìóëà íàä F \ {Ψn }, ðåàëèçóþùàÿ ôóíêöèþ Ψn . Ïóñòü îíà èìååò âèä Φ = Ψm (A1 , . . . , Am ), ãäå A1 , . . . , Am  ëèáî ôîðìóëû íàä F \ {Ψn }, ëèáî ïåðåìåííûå, m > 2, m 6= n. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôîðìóëà Φ ñîäåðæèò ïåðåìåííûå òîëüêî èç ìíîæåñòâà {x1 . . . , xn }. Ðàññìîòðèì òðè âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ. 1. Ñðåäè A1 , . . . , Am ïî êðàéíåé ìåðå äâå ôîðìóëû îòëè÷íû îò ñèìâîëîâ ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð Ai è Aj , i 6= j . Òîãäà äëÿ ëþáîãî íàáîðà α = (α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèÿ Ai (α) è Aj (α) ýòèõ ôîðìóë íà íàáîðå α ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó {0, 1}. Ïîýòîìó íàáîð (A1 (α), . . . , Am (α)) íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Rm . À çíà÷èò, Φ(α) = Ψm (A1 (α), . . . , Am (α)) = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Ψn íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé. 2. Ñðåäè A1 , . . . , Am åñòü ðîâíî îäíà ôîðìóëà Ai , êîòîðàÿ îòëè÷íà îò ñèìâîëà ïåðåìåííîé. Òàê êàê m > 2, òî ñðåäè A1 , . . . , Am íàéäåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ñèìâîë ïåðåìåííîé; ïóñòü, íàïðèìåð, Aj  ýòî ñèìâîë ïåðåìåííîé xs , 1 6 s 6 n. Ðàññìîòðèì íàáîð α = (α1 , . . . .αn ), òàêîé, ÷òî

αs = 1, α1 = . . . = αs−1 = αs+1 = . . . = αn = 2. Ñ îäíîé ñòîðîíû, íàáîð α ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Rn è ïîýòîìó Ψn (α) = 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê Ai (α) ∈ {0, 1}, òî íàáîð (A1 (α), . . . , Am (α)) íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Rm è ïîýòîìó Φ(α) = Ψm (A1 (α), . . . , Am (α)) = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. 3. Âñå A1 , . . . , Am ÿâëÿþòñÿ ñèìâîëàìè ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð xi1 , . . . , xim ñîîòâåòñòâåííî; xi1 , . . . , xim ∈ {x1 , . . . , xn }. Èìååì

Ψn (x1 , . . . , xn ) = Ψm (xi1 , . . . , xim ), ãäå m 6= n. Òàê êàê ôóíêöèÿ Ψn ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âñåõ ïåðåìåííûõ, òî m > n. À ïîñêîëüêó m 6= n, òî m > n. Ïîýòîìó ñðåäè ïåðåìåííûõ xi1 , . . . , xim åñòü äâå îäèíàêîâûå. Ïóñòü, íàïðèìåð, xi1 = xi2 = xl , 1 6 l 6 n. Ðàññìîòðèì íàáîð α = (α1 , . . . , αn ), òàêîé, ÷òî

αl = 1, α1 = · · · = αl−1 = αl+1 = · · · = αn = 2.

54

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

Î÷åâèäíî, ÷òî α ∈ Rn , è ïîýòîìó Ψn (α) = 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Φ(α) = 0, ïîñêîëüêó íàáîð (A1 (α), . . . , Am (α)) íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Rm . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå. Ñëåäñòâèå. Ñèñòåìà F ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì êëàññà Gk = [F ]. Ïîëó÷èì åùå îäíî âàæíîå ñëåäñòâèå èç ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ. Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîãî k > 3 ìîùíîñòü ñåìåéñòâà çàìêíóòûõ êëàññîâ k -çíà÷íîé ëîãèêè ðàâíà êîíòèíóóìó. Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ñíà÷àëà íà îñíîâå ñèñòåìû F = {Ψ2 , Ψ3 , . . . } êîíòèíóàëüíîå ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ êëàññîâ. Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ A = {i1 , i2 , . . . }, òàêîãî, ÷òî 2 6 i1 < i2 , . . . , ïîñòðîèì ñèñòåìó [ F (A) = {Ψi }; i∈A

F (A) ÿâëÿåòñÿ ïîäñèñòåìîé ñèñòåìû F . Ïîëîæèì GA = [F (A)]. Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà ðàçëè÷íûõ ìíîæåñòâà èíäåêñîâ A è B . Òîãäà íàéäåòñÿ n, òàêîå, ÷òî n ∈ A è n ∈ / B . Ïîýòîìó Ψn ∈ G(A), íî â ñèëó ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ Ψn ∈ / G(B), ò. å. G(A) 6= G(B). Çíà÷èò, ðàçëè÷íûå ìíîæåñòâà èíäåêñîâ îïðåäåëÿþò ðàçíûå çàìêíóòûå êëàññû. Ïîñêîëüêó ñåìåéñòâî ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà {2, 3, . . .} èìååò êîíòèíóàëüíóþ ìîùíîñòü, òî êëàññ Gk ñîäåðæèò êîíòèíóàëüíîå ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ êëàññîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Pk ñîäåðæèò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé, à êàæäûé çàìêíóòûé êëàññ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ýòîãî ìíîæåñòâà. Ïîýòîìó ìîùíîñòü ñåìåéñòâà çàìêíóòûõ êëàññîâ â Pk íå ïðåâûøàåò ìîùíîñòè ñåìåéñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Pk . Ïðèâåäåííûå âûøå óòâåðæäåíèÿ ãîâîðÿò î ïðèíöèïèàëüíûõ îòëè÷èÿõ k -çíà÷íûõ ëîãèê îò äâóçíà÷íîé. Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü àíàëîã òåîðåìû î ïîëíîòå äëÿ P2 , îñíîâàííûé íà ðàñïîçíàâàíèè íåêîòîðûõ ñâîéñòâ ôóíêöèé. Ïóñòü A  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç Pk , óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) êàæäàÿ ôóíêöèÿ èç A çàâèñèò îò îäíîãî è òîãî æå íàáîðà ïåðåìåííûõ y1 , . . . , yp , p > 1; 2) ôóíêöèè gi (y1 , . . . , yp ) = yi , i = 1, . . . , p, ñîäåðæàòñÿ â A. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ñîõðàíÿåò ìíîæåñòâî A, åñëè äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé hi1 (y1 , . . . , yp ), . . . , hin (y1 , . . . , yp ) èç A ôóíêöèÿ

55

Ëåêöèÿ  6

f (hi1 (y1 , . . . , yp ), . . . , hin (y1 , . . . , yp )) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A. Îáîçíà÷èì ÷åðåç MA ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé èç Pk , ñîõðàíÿþùèõ ìíîæåñòâî A.

Ëåììà 2. Ïóñòü A  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç Pk , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì 1 è 2. Òîãäà MA  çàìêíóòûé êëàññ. Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî MA ñîäåðæèò òîæäåñòâåííóþ ôóíêöèþ. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè f0 (z1 , . . . , zm ) ∈ MA è f1 , . . . , fm ∈ MA , òî è f = f0 (f1 , . . . , fm ) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó MA . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ó âñåõ ôóíêöèé f1 , . . . , fm îäèíàêîâûé íàáîð ïåðåìåííûõ x ˜ = (x1 , . . . , xn ), ò. å. f (˜ x) = f0 (f1 (˜ x), . . . , fm (˜ x)). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé íàáîð ôóíêöèé hi1 (y1 , . . . , yp ), . . . , hin (y1 , . . . , yp ) èç A. Òàê êàê ôóíêöèè f1 , . . . , fm ñîõðàíÿþò ìíîæåñòâî A, òî ôóíêöèè H1 (y1 , . . . , yp ) = f1 (hi1 , . . . , hin ), . . . , Hm (y1 , . . . , yp ) = fm (hi1 , . . . , hin ) ïðèíàäëåæàò A. Ïîýòîìó è ôóíêöèÿ

f (hi1 , . . . , hin ) = f0 (f1 (hi1 , . . . , hin ), . . . , fm (hi1 , . . . , hin )) = = f0 (H1 , . . . , Hm ) ïðèíàäëåæèò A. Ïóñòü F  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç Pk , à x ˜  íàáîð ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xp , p > 1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Fx˜ ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç F , çàâèñÿùèõ îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xp .

Ëåììà 3. Ïóñòü A  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç Pk , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì 1 è 2, òàêîå, ÷òî [A]x˜ = A, ãäå x ˜ = (x1 , . . . , xp ). Òîãäà (MA )x˜ = A. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x1 , . . . , xp )  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ èç A. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè hi1 , . . . , hip èç A. Òîãäà ôóíêöèÿ g = f (hi1 , . . . , hip ) ïðèíàäëåæèò [A] è çàâèñèò òîëüêî îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xp . Ïîýòîìó g ∈ [A]x˜ . Íî ïî óñëîâèþ [A]x˜ = A. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ f ñîõðàíÿåò ìíîæåñòâî A, ò. å. f ∈ (MA )x˜ .

56

ÔÓÍÊÖÈÈ k -ÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ôóíêöèÿ f ïðèíàäëåæèò (MA )x˜ , òî f ñîõðàíÿåò ìíîæåñòâî A è çàâèñèò òîëüêî îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xp . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

F (x1 , . . . , xp ) = f (g1 (x1 , . . . , xp ), . . . , gp (x1 , . . . , xp )). Òàê êàê ôóíêöèè f, g1 , . . . , gp ñîõðàíÿþò ìíîæåñòâî A, òî F ∈ A. Íî äëÿ âñåõ i = 1, . . . , p âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî gi (x1 , . . . , xp ) = xi . Ïîýòîìó F (x1 , . . . , xp ) = f (x1 , . . . , xp ), ò. å. f ∈ A. Äîêàæåì òåïåðü òåîðåìó À. Â. Êóçíåöîâà.

Òåîðåìà (î ôóíêöèîíàëüíîé ïîëíîòå). Ñóùåñòâóþò çàìêíóòûå êëàññû M1 , . . . , Ms , òàêèå, ÷òî íè îäèí èç íèõ íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîì èç îñòàëüíûõ è ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà F èç Pk ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F öåëèêîì íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîì èç êëàññîâ M1 , . . . , Ms . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ñíà÷àëà ñèñòåìó êëàññîâ. Ïóñòü A1 , . . . , Al  ñèñòåìà âñåõ ñîáñòâåííûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà (Pk )x1 x2 (ìíîæåñòâà âñåõ ôóíêöèé èç Pk îò ïåðåìåííûõ x1 è x2 ), òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ i = 1, . . . , l âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) ôóíêöèè g1 (x1 , x2 ) = x1 è g2 (x1 , x2 ) = x2 ñîäåðæàòñÿ â Ai ; 2) [Ai ]x1 x2 = Ai . Óêàçàííàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà ïóòåì ïåðåáîðà âñåõ ñîá2 ñòâåííûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Pk (2). Ïîñêîëüêó |Pk (2)| = k k , k2

òî ÷èñëî òàêèõ ïîäìíîæåñòâ íå ïðåâûøàåò 2k . Ïîëîæèì Hi = MAi . Èç ëåìì 2 è 3 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé i = 1, . . . , l ìíîæåñòâî Hi  çàìêíóòûé êëàññ, òàêîé, ÷òî [Hi ]x1 x2 = Ai . Óäàëÿÿ èç ïîñòðîåííîé ñèñòåìû H1 , . . . , Hl òå êëàññû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â êàêîì-ëèáî èç îñòàëüíûõ, ïîëó÷àåì ñèñòåìó M1 , . . . , Ms êëàññîâ, òàêèõ, ÷òî Mi 6= Pk , Mi 6⊆ Mj ïðè âñåõ i, j = 1, . . . , s, i 6= j . Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ñèñòåìà êëàññîâ ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé. Ïóñòü F  ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé èç Pk . Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ïðè íåêîòîðîì i , 1 6 i 6 s, âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå F ⊆ Mi , òî [F ] ⊆ Mi 6= Pk . Òî åñòü F  íåïîëíàÿ ñèñòåìà. Ïóñòü F öåëèêîì íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîì èç êëàññîâ M1 , . . . , Ms . Ïîëîæèì

F1 = F ∪ {g1 (x1 , x2 ), g2 (x1 , x2 )}.

Ëåêöèÿ  6

57

Î÷åâèäíî, ÷òî F  ïîëíàÿ ñèñòåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F1  ïîëíàÿ ñèñòåìà. Ïîëîæèì B = [F1 ]x1 x2 . Ïîêàæåì, ÷òî B ñîäåðæèò âñå ôóíêöèè èç Pk îò ïåðåìåííûõ x1 è x2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà B 6= (Pk )x1 x2 . Ïîñêîëüêó B ñîäåðæèò ôóíêöèè g1 (x1 , x2 ) = x1 è g2 (x1 , x2 ) = x2 , à [B]x1 x2 = B , òî íàéäåòñÿ òàêîå i, 1 6 i 6 l, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî B = Ai . Òàê êàê êàæäàÿ ôóíêöèÿ èç F1 ñîõðàíÿåò ìíîæåñòâî B = [F1 ]x1 x2 , òî F1 ⊆ Hi = MAi . Ïîýòîìó íàéäåòñÿ òàêîå j , 1 6 j 6 s, ÷òî F1 ⊆ Hi ⊆ Mj . Òàê êàê F ⊆ F1 , òî F ⊆ Mj , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Èòàê, B = (Pk )x1 x2 . Ïîýòîìó F1 ñîäåðæèò ôóíêöèþ Vk (x1 , x2 ) = max(x1 , x2 ) + 1. À çíà÷èò, è ñèñòåìà F ñîäåðæèò ôóíêöèþ Vk (x1 , x2 ). Òàêèì îáðàçîì, F  ïîëíàÿ ñèñòåìà.

58

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 5872

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ Ëåêöèÿ  7 Ãðàôû. Ïóñòü èìåþòñÿ äâà êîíå÷íûõ (èëè ñ÷åòíûõ) ìíîæåñòâà V = {v1 , . . . , vn } è E = {e1 , . . . , ek } è êàæäîìó ýëåìåíòó ei èç E ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå íåóïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (vi1 , vi2 ) ýëåìåíòîâ èç V (ïðè ýòîì äîïóñêàþòñÿ ïàðû (v, v) èç îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ; ðàçíûì ýëåìåíòàì èç E ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü îäíà è òà æå ïàðà ýëåìåíòîâ èç V ; íåêîòîðûå ýëåìåíòû èç V ìîãóò íå âõîäèòü íè â îäíó èç ïàð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàì èç E ). Ïîëó÷åííûé îáúåêò íàçûâàåòñÿ ãðàôîì. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà V íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè ãðàôà, ýëåìåíòû ìíîæåñòâà E  ðåáðàìè ãðàôà. Èíûìè ñëîâàìè, ãðàô ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîâîêóïíîñòü òðåõ óïîðÿäî÷åííûõ îáúåêòîâ (V, E, ρ)  ìíîæåñòâà âåðøèí V , ìíîæåñòâà ðåáåð E è îòîáðàæåíèÿ ρ : E → V1 ∪ V2 ìíîæåñòâà E â ìíîæåñòâî âñåõ íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð ýëåìåíòîâ èç V (V1 è V2  ìíîæåñòâà âñåõ îäíîýëåìåíòíûõ è äâóõýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà V ñîîòâåòñòâåííî). Åñëè ρ(e) ∈ V1 , òî ðåáðî e íàçûâàåòñÿ ïåòëåé; åñëè ρ(e1 ) = ρ(e2 ), òî ðåáðà e1 è e2 íàçûâàþòñÿ êðàòíûìè èëè ïàðàëëåëüíûìè. Âåðøèíû vi1 è vi2 èç V , êîòîðûå îáðàçóþò ïàðó (vi1 , vi2 ), ñîîòâåòñòâóþùóþ ðåáðó ei ∈ E , íàçûâàþòñÿ êîíöàìè ýòîãî ðåáðà; ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ðåáðî ei ñîåäèíÿåò vi1 è vi2 . Âåðøèíû vi1 è vi2 íàçûâàþòñÿ òàêæå ñìåæíûìè, à ïðî êàæäóþ èç íèõ ãîâîðÿò, ÷òî îíà èíöèäåíòíà ðåáðó ei . ×èñëî ðåáåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíå v , íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ âåðøèíû v è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç d(v). Åñëè d(v) = 0, òî âåðøèíà v íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàííîé; åñëè d(v) = 1, òî v íàçûâàåòñÿ âèñÿ÷åé (èëè êîíöåâîé).  äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì èçîáðàæàòü ðåáðî ñ êîíöàìè vi1 è vi2 ñèìâîëîì (vi1 , vi2 ). Ýòî áóäåò äåëàòüñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èç òåêñòà áóäåò ÿñíî, î êàêîì èìåííî ðåáðå èäåò ðå÷ü, èëè êîãäà ýòî íåñóùåñòâåííî. Ïîäãðàôîì ãðàôà G = (V, E, ρ) íàçûâàåòñÿ òàêîé ãðàô (V 0 , E 0 , ρ0 ), ó êîòîðîãî âñå âåðøèíû è ðåáðà ïðèíàäëåæàò G, ò. å. V 0 ⊆ V , E 0 ⊆ E è ρ0 = ρ|E 0 , ãäå ρ|E 0  ýòî îãðàíè÷åíèå ρ íà E 0 , ò. å. äëÿ âñåõ e èç E 0 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ρ0 (e) = ρ(e); ïðè ýòîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû ρ(e) ∈ V10 ∪ V20 äëÿ ëþáîãî e èç E 0 . Êàæäîìó ãðàôó ñîïîñòàâèì íåêîòîðóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ôèãóðó (ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ãðàôà) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âû-

59

Ëåêöèÿ  7

áåðåì íà ïëîñêîñòè (èëè â ïðîñòðàíñòâå) n òî÷åê è ñîïîñòàâèì èõ âåðøèíàì ãðàôà v1 , . . . , vn . Ýòè òî÷êè áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëàìè v1 , . . . , vn . Çàòåì äëÿ êàæäîãî ðåáðà (vi1 , vi2 ) ãðàôà âûáåðåì îòðåçîê (âîîáùå ãîâîðÿ, êðèâîëèíåéíûé), ñîåäèíÿþùèé òî÷êè vi1 è vi2 . Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè îòðåçêè (èëè êðèâûå) íå èìåþò ïîïàðíî îáùèõ òî÷åê, êðîìå îáùèõ èíöèäåíòíûõ âåðøèí.

Ïðèìåð. Ïóñòü V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 }. Ýòè äâà ìíîæåñòâà âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâèåì ρ: e1 → (1, 1), e2 → (1, 2), e3 → (1, 2), e4 → (1, 3), e5 → (1, 4), e6 → (2, 3), e7 → (2, 5) îáðàçóþò ãðàô G. Åãî ïðàâèëüíàÿ (ïëîñêàÿ) ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1. Ó ýòîãî ãðàôà ðåáðî e1  ïåòëÿ; ðåáðà e2 è e3 êðàòíûå; âåðøèíû 1 è 4 ñìåæíûå, à âåðøèíû 1 è 5  íåò; âåðøèíà 1 è ðåáðî e2 èíöèäåíòíû; d(1) = 5; âåðøèíà 6 èçîëèðîâàííàÿ; âåðøèíû 4 è 5 êîíöåâûå. 2c

e2

@ e3

e1 G

c 1@

@

e4

@ e5 @ @c

@

e7 e6 @ @ @c c 3

5

c6 4

Ðèñ. 1

Óòâåðæäåíèå 1.  òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ãðàôà èìååòñÿ ïðàâèëüíàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g = (V, E, ρ)  ïðîèçâîëüíûé êîíå÷íûé ãðàô, V = {v1 , . . . , vn }, E = {e1 , . . . , eq }. Âûáåðåì â R3 íåêîòîðóþ ïðÿìóþ I . Îòìåòèì íà ýòîé ïðÿìîé n òî÷åê 1, 2, . . . , n è ñîïîñòàâèì èõ âåðøèíàì ãðàôà v1 , . . . , vn . Ïðîâåäåì â R3 q ïëîñêîñòåé π1 , . . . , πq , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ïðÿìóþ I , è ñîïîñòàâèì èõ ðåáðàì ãðàôà e1 , . . . , eq . Çàòåì â êàæäîé ïëîñêîñòè πi ïðîâåäåì êðèâóþ, êîòîðàÿ ñîåäèíÿåò êîíöû vi1 è vi2 ðåáðà ei = (vi1 , vi2 ) è íå èìååò äðóãèõ ïåðåñå÷åíèé ñ ïðÿìîé I (ñì. ðèñ. 2). Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ãðàôà G ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé.

60

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà êîíñòðóêöèÿ ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé, êîãäà ãðàô G èìååò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî âåðøèí è ðåáåð.

¢

¢

¢ ¢

I

¢

¢

¡

π1 ¡

πi

¢ ¡ ¢ ¡ πq ³ ¢ ¡ ³³ ³¢ ¡ ³ ³ ³ ³ ¢ ¡ ¢ ¡ ³³ ³³ ³ ³ ¢¡³³ ¢¡³ ¢³ ¡³ ¢ ³c ¡ ³ c vi1 vi2 Ðèñ. 2

Äâà ãðàôà G1 = {V1 , E1 , ρ1 } è G2 = {V2 , E2 , ρ2 } íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè (îáîçíà÷åíèå G1 ∼ = G2 ), åñëè ñóùåñòâóþò âçàèìíî îäíîçíà÷íûå ñîîòâåòñòâèÿ ϕ : V1 → V2 è ψ : E1 → E2 , òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåáðà e = (v, w) èç E1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ψ(e) = (ϕ(v), ϕ(w)). Ïóñòü G = {V, E, ρ}  íåêîòîðûé ãðàô, V = V1 ∪ {v1 , v2 }, v1 , v2 ∈ / V1 , E = E1 ∪ {e}, e ∈ / E1 , e = (v1 , v2 ), ò. å. ρ(e) = (v1 , v2 ). Ïóñòü w ∈ / V , e1 , e2 ∈ / E . Îïðåäåëèì ãðàô G2 = (V2 , E2 , ρ2 ) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì V2 = V ∪ {w}, E2 = E1 ∪ {e1 , e2 }, ρ2 (e1 ) = (v1 , w), ρ2 (e2 ) = (v2 , w), ρ2 (x) = ρ(x) äëÿ âñåõ x ∈ E1 . Ïåðåõîä îò ãðàôà G ê ãðàôó G2 íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèåì ðåáðà e â ãðàôå G. Äâà ãðàôà íàçûâàþòñÿ ãîìåîìîðôíûìè, åñëè èõ ìîæíî ïîëó÷èòü èç îäíîãî ãðàôà ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé ðåáåð.

Ïðèìåðû.

1. Ãðàô K5  ïîëíûé ãðàô íà ïÿòè âåðøèíàõ, êàæäûå äâå èç êîòîðûõ ñîåäèíåíû ðîâíî îäíèì ðåáðîì (ñì. ðèñ. 3, à). 2. Ãðàô K3,3 = (V, E, ρ), ãäå V = {1, 2, 3, 4, 5, 6},

E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 },

e1 = (1, 4), e2 = (1, 5), e3 = (1, 6), e4 = (2, 4), e5 = (2, 5), e6 = (2, 6), e7 = (3, 4), e8 = (3, 5), e9 = (3, 6) (ñì. ðèñ. 3, á).

Èçâåñòíî, ÷òî ãðàôû K3,3 è K5 íå èìåþò ïðàâèëüíîé ïëîñêîé ðåàëèçàöèè. Â êîíöå äâàäöàòûõ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà Ë. Ñ. Ïîíòðÿ-

61

Ëåêöèÿ  7

ãèíûì, à ïîçæå ïîëüñêèì ìàòåìàòèêîì Ê. Êóðàòîâñêèì áûëî óñòàíîâëåíî1) , ÷òî ãðàô äîïóñêàåò ïëîñêóþ ðåàëèçàöèþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí íå ñîäåðæèò ïîäãðàôà, ãîìåîìîðôíîãî K5 èëè K3,3 (äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû â ýòîì êóðñå íå áóäåò).

K5

K3,3

2

c H ©© ¢ A HH © © ¢ A HH © © Hc3 ¢ A 1 cP ³ ³³¡ @PPP¢ A ³ ³ ¡ P @ ¢P ³³ A @ ¢c³³ PPPAc¡ 5

4

1c

4

à

2c 3c © H © ¡@ @H ¡ © © ¡ @HH¡ @ © H @¡ H© @¡ ¡@©©HH¡@ ¡ ©©@ ¡HH@ © HH © @ c¡ @c c¡ 5

6

á Ðèñ. 3

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåáåð (vi1 , vi2 ), (vi2 , vi3 ), . . . , (vik−1 , vik ) áóäåì íàçûâàòü ïóòåì, ñîåäèíÿþùèì âåðøèíû vi1 è vik . Åñëè âñå âåðøèíû vi1 , . . . , vik ðàçëè÷íû, òî ýòîò ïóòü áóäåì íàçûâàòü öåïüþ. Öèêëîì íàçûâàåòñÿ ïóòü, ó êîòîðîãî ïåðâàÿ è ïîñëåäíÿÿ âåðøèíû ñîâïàäàþò (ò. å. vi1 = vik ); ïðîñòûì öèêëîì íàçûâàåòñÿ öèêë, ó êîòîðîãî âñå âåðøèíû vi1 , . . . , vik−1 ðàçëè÷íû è âñå ðåáðà ðàçëè÷íû. Ãðàô G íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ëþáàÿ ïàðà åãî âåðøèí ñîåäèíåíà ïóòåì. Äåðåâîì íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûé ãðàô áåç ïðîñòûõ öèêëîâ.

Óòâåðæäåíèå 2.  êàæäîì êîíå÷íîì ñâÿçíîì ãðàôå ìîæíî âûäåëèòü ïîäãðàô, êîòîðûé ñîäåðæèò âñå âåðøèíû èñõîäíîãî ãðàôà è ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G  ïðîèçâîëüíûé ñâÿçíûé êîíå÷íûé ãðàô. Åñëè G ñîäåðæèò ïðîñòîé öèêë, òî âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðåáðî ýòîãî öèêëà è óäàëèì åãî èç ìíîæåñòâà ðåáåð ãðàôà G.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîäãðàô G1 ãðàôà G. Î÷åâèäíî, ÷òî G1 ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì è ñîäåðæèò âñå âåðøèíû ãðàôà G. Ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó íåîáõîäèìîå ÷èñëî ðàç, ïîëó÷èì èñêîìîå äåðåâî. Ãðàô G = (V, E, ρ) íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì, åñëè ñîîò1) Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â êíèãå: Õàðàðè Ô. Òåîðèÿ ãðàôîâ. Ì.: Ìèð, 1973.

62

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

âåòñòâèå ρ èìååò âèä ρ : E → V × V .  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî êàæäîìó ðåáðó e ∈ E ïðèïèñàíî íàïðàâëåíèå; åñëè ρ(e) = (v, w), òî ðåáðî e âûõîäèò èç âåðøèíû v è âõîäèò â âåðøèíó w. Îðèåíòèðîâàííûì öèêëîì íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðèåíòèðîâàííûõ ðåáåð (vi1 , vi2 ), (vi2 , vi3 ), . . . , (vik , vi1 ).

Óòâåðæäåíèå 3.  ëþáîì êîíå÷íîì îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå áåç îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ íàéäåòñÿ âåðøèíà, èç êîòîðîé íå âûõîäèò íè îäíî ðåáðî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü èç êàæäîé âåðøèíû ãðàôà G âûõîäèò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ðåáðî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó vi1 ãðàôà G è ïðîèçâîëüíîå ðåáðî, êîòîðîå âûõîäèò èç vi1 . Ïóñòü îíî èìååò âèä (vi1 , vi2 ). Çàòåì âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðåáðî ãðàôà G, âûõîäÿùåå èç âåðøèíû vi2 è òàê äàëåå.  ðåçóëüòàòå ïîñëå k øàãîâ, k > |V | (ãäå V  ìíîæåñòâî âåðøèí ãðàôà G), ìû ïîëó÷èì îðèåíòèðîâàííûé ïóòü (vi1 , vi2 ), (vi2 , vi3 ), . . . , (vik , vik+1 ), êîòîðûé â ñèëó êîíå÷íîñòè ãðàôà G áóäåò ñîäåðæàòü îðèåíòèðîâàííûé öèêë. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ãðàôîâ àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Äåéñòâèòåëüíî, ãðàô, ìíîæåñòâî âåðøèí êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì Z öåëûõ ÷èñåë, à ìíîæåñòâî ðåáåð ñîñòîèò èç âñåõ ïàð (i, i + 1) èäóùèõ ïîäðÿä öåëûõ ÷èñåë, íå èìååò îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ, íî èç êàæäîé åãî âåðøèíû âûõîäèò ðåáðî.

Ëåììà 1 (î íóìåðàöèè âåðøèí).  ëþáîì êîíå÷íîì îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå áåç îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ ìîæíî çàíóìåðîâàòü âåðøèíû ïåðâûìè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè òàê, ÷òî êàæäîå ðåáðî áóäåò íàïðàâëåíî îò âåðøèíû ñ ìåíüøèì íîìåðîì â âåðøèíó ñ á
îëüøèì íîìåðîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì äîêàçûâàòü ëåììó èíäóêöèåé ïî ÷èñëó p âåðøèí ãðàôà G. Ïðè p = 1 óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïóñòü p > 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ êîíå÷íûõ îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ áåç îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ ñ ÷èñëîì âåðøèí p0 < p. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ãðàô G ñ p âåðøèíàìè, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì ëåììû. Èç óòâåðæäåíèÿ 3 ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ âåðøèíà v , èç êîòîðîé íå âûõîäèò íè îäíî ðåáðî. Óäàëèì èç ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà G âåðøèíó v , à èç ìíîæåñòâà ðåáåð

63

Ëåêöèÿ  7

ãðàôà G  âñå ðåáðà, âõîäÿùèå â âåðøèíó v . Ïîëó÷èì ïîäãðàô G1 ãðàôà G. Î÷åâèäíî, ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû è èìååò p0 = p − 1 âåðøèí. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ãðàô G1 äîïóñêàåò èñêîìóþ íóìåðàöèþ ÷èñëàìè 1, 2, . . . , p − 1. Âåðíåìñÿ òåïåðü ê ãðàôó G. Ïðèñâîèì âåðøèíå v íîìåð p. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè íóìåðàöèþ âåðøèí ãðàôà G ÷èñëàìè 1, 2, . . . , p. Ïîêàæåì, ÷òî îíà îáëàäàåò òðåáóåìûì ñâîéñòâîì. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ðåáðî e = (vi1 , vi2 ) ãðàôà G. Åñëè ðåáðî e âõîäèò â âåðøèíó v (ò. å. vi2 = v ), òî vi1  âåðøèíà ãðàôà G1 è ïîýòîìó åå íîìåð íå ïðåâûøàåò p − 1. Åñëè æå vi2 6= v , òî e ÿâëÿåòñÿ ðåáðîì ãðàôà G1 è ïîýòîìó ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè íàïðàâëåíî îò âåðøèíû ñ ìåíüøèì íîìåðîì â âåðøèíó ñ á
îëüøèì íîìåðîì.

Ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ñõåìà èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ (ÑÔÝ)  ýòî îðèåíòèðîâàííûé ãðàô áåç îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ, â êàæäóþ âåðøèíó êîòîðîãî âõîäèò íå áîëåå äâóõ ðåáåð è âåðøèíàì êîòîðîãî ïðèïèñàíû ñèìâîëû â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè: a) åñëè â âåðøèíó íå âõîäÿò ðåáðà, òî ýòîé âåðøèíå ïðèïèñûâàåòñÿ ñèìâîë íåêîòîðîé ïåðåìåííîé; b) åñëè â âåðøèíó âõîäèò îäíî ðåáðî, òî ýòîé âåðøèíå ïðèïèñûâàåòñÿ ñèìâîë (îòðèöàíèå); c) åñëè â âåðøèíó âõîäÿò äâà ðåáðà, òî ýòîé âåðøèíå ïðèïèñûâàåòñÿ ëèáî ñèìâîë & (êîíúþíêöèÿ), ëèáî ñèìâîë ∨ (äèçúþíêöèÿ); d) êðîìå òîãî, íåêîòîðûì âåðøèíàì ïðèïèñûâàåòñÿ ñèìâîë ∗. x1 c Q

x2 c

´ Q Q ´´ ´ Q ´ Q ? Q s c?∨ + & c´ ¢ ¢ c ¢ − ? ¢ @ @ ¢ @ R c¢® ∗ & Ðèñ. 4

64

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

Ïðèìåð ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ èçîáðàæåí íà ðèñ. 4. Êàæäîé âåðøèíå ÑÔÝ ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðóþ ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì: 1) åñëè âåðøèíå áûëà ïðèïèñàíà ïåðåìåííàÿ, òî åé ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ ýòîé ïåðåìåííîé; 2) åñëè äàííîé âåðøèíå v áûë ïðèïèñàí çíàê îòðèöàíèÿ, à âåðøèíå, èç êîòîðîé âûõîäèò âõîäÿùåå â âåðøèíó v ðåáðî, óæå ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèÿ ϕ, òî âåðøèíå v ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèÿ ϕ; 3) åñëè äàííîé âåðøèíå v áûë ïðèïèñàí çíàê & (ñîîòâåòñòâåííî ∨), à âåðøèíàì, èç êîòîðûõ âûõîäÿò âõîäÿùèå â âåðøèíó v ðåáðà, óæå ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèè ϕ1 è ϕ2 , òî äàííîé âåðøèíå ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèÿ ϕ1 &ϕ2 (ñîîòâåòñòâåííî ϕ1 ∨ ϕ2 ). Ýòîò ïðîöåññ â êîíöå êîíöîâ ïîñòàâèò êàæäîé âåðøèíå ãðàôà íåêîòîðóþ ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè îò ïåðåìåííûõ, ïðèïèñàííûõ âåðøèíàì ñõåìû (ýòî ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç âîçìîæíîñòè çàíóìåðîâàòü âåðøèíû â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé î íóìåðàöèè âåðøèí); ïðè ýòîì ñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå âåðøèíàì ôóíêöèè ñëåäóåò â ïîðÿäêå èõ íóìåðàöèè. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð èçîáðàæåí íà ðèñ. 5. Ôóíêöèè, ïîñòàâëåííûå â ñîîòâåòñòâèå âåðøèíàì, ïîìå÷åííûì ñèìâîëîì ∗, ïî îïðåäåëåíèþ ðåàëèçóþòñÿ ýòîé ñõåìîé.

x1 Q

1ic

x1 &x2 x1 &x2

x2 c i ´ 2

Q Q ´´ ´ Q ´ Q ? ? s Q +3i c´ c 4i x1 ∨ x2 ¢ ¢ ? c 5i ¢ ¢ @ @ ¢ R ¢c® @ ∗ x1 &x2 &(x1 ∨ x2 ) = x1 x2 ∨ x1 x2 = x1 ⊕ x2 6i Ðèñ. 5

65

Ëåêöèÿ  7

Âåðøèíû, êîòîðûì ïðèïèñàíû ïåðåìåííûå, íàçûâàþòñÿ âõîäàìè ñõåìû; âåðøèíû, êîòîðûì ïðèïèñàíû ñèìâîëû &, ∨, , íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè (ôóíêöèîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè); âåðøèíû, êîòîðûì ïðèïèñàí ñèìâîë ∗,  âûõîäàìè ñõåìû. Îáû÷íî ýëåìåíòû â ñõåìå èçîáðàæàþòñÿ â âèäå ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð (íàïðèìåð, òðåóãîëüíèêîâ), âíóòðè êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ ñèìâîëû, ïðèïèñàííûå ýòèì ýëåìåíòàì (ðèñ. 6).

x1 q HH

x2 q © © H © ¼©HH j ? ?© A &¢ A∨ ¢ A¢ A¢ @ R @ A¢ A¢ @ R ? @ A &¢ A¢ ∗ ? Ðèñ. 6

Ñ êàæäîé ÑÔÝ, â êîòîðîé âåðøèíû çàíóìåðîâàíû ïðàâèëüíûì îáðàçîì, ìîæíî ñâÿçàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ âû÷èñëåíèå ôóíêöèé, ñîïîñòàâëåííûõ âåðøèíàì. Äëÿ íàøåãî ïðèìåðà ýòà ñèñòåìà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

y1 = x1 , y3 = y1 &y2 , y5 = y 3 ,

y2 = x2 , y4 = y1 ∨ y2 , y6 = y4 &y5 .

Èìååòñÿ ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ÑÔÝ, â êîòîðîé îíè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ðåàëüíûõ ýëåêòðîííûõ ñõåì: åñëè íà âõîä ïîäàåòñÿ íàáîð çíà÷åíèé (íàëè÷èå òîêà ñîîòâåòñòâóåò åäèíèöå, îòñóòñòâèå  íóëþ), òî íà âûõîäå ïîëó÷àåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè íà ýòîì íàáîðå.

66

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

Ñëîæíîñòüþ ñõåìû S áóäåì íàçûâàòü ÷èñëî åå ýëåìåíòîâ (îáîçíà÷åíèå L(S)). Cõåìà íà ðèñ. 6 èìååò ñëîæíîñòü 4. Ïóñòü f  ôóíêöèÿ àëãåáðû ëîãèêè. Ïîëîæèì L(f ) =

min

S ðåàëèçóåò f

L(S).

Âåëè÷èíà L(f ) íàçûâàåòñÿ ñëîæíîñòüþ ôóíêöèè f (â êëàññå ÑÔÝ). Îïðåäåëèì òåïåðü ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ:

L(n) =

max

f (x1 ,...,xn )∈P2

L(f (x1 , . . . , xn )).

L(n) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Øåííîíà. Äðóãèìè ñëîâàìè, L(n) åñòü íàèìåíüøåå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, äîñòàòî÷íîå äëÿ ðåàëèçàöèè ëþáîé áóëåâîé ôóíêöèè îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn . Îïèøåì ïðîñòåéøèé ìåòîä ñèíòåçà, îñíîâàííûé íà ìîäåëèðîâàíèè ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû.

x1 c

n−1

x2 c

A¢ A¢ A¢ A¢ A ¢ AU ¢® A &¢ A¢ A AU A &¢ A¢ A pp

xi c

p p p

A¢ A¢ ¢ ppH p

xn c

p p p

p p"ëèáî  ëèáî" ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ p ¢ ¢ ¢ ®¢ ¢ A &¢ ¢ A¢ ¢ A pp ¢ p ¢ ¢® A &¢ A¢

A¢ A¢ ¢ ¢

pp

?∗ Ðèñ. 7

67

Ëåêöèÿ  7

Ëåììà 2. Äëÿ ëþáîé êîíúþíêöèè xσ1 1 . . . xσnn L(x1σ1 . . . xσnn ) 6 2n − 1.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñõåìà ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà èç n ýëåìåíòîâ îòðèöàíèÿ, ïðèñîåäèíåííûõ ê âõîäàì, è öåïî÷êè èç ýëåìåíòîâ êîíúþíêöèè, èìåþùèõ n "ñâîáîäíûõ" âõîäîâ. Êàæäûé (i-é) âõîä ýòîé öåïî÷êè ïðèñîåäèíÿåòñÿ ê âõîäó ñõåìû, åñëè i-é ìíîæèòåëü ðàâåí xi , èëè ê âûõîäó i-ãî ýëåìåíòà îòðèöàíèÿ, åñëè i-é ìíîæèòåëü ðàâåí xi (ðèñ. 7). Î÷åâèäíî, ÷òî ñëîæíîñòü ïîñòðîåííîé ñõåìû ðàâíà 2n − 1. Ïîýòîìó L(xσ1 1 . . . xσnn ) 6 2n − 1. Òåîðåìà 1. Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî L(n) 6 n2n+1 .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ. Åñëè f 6= 0, òî f ìîæåò áûòü çàäàíà ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé f (x1 , . . . , xn ) = K1 ∨ K2 ∨ · · · ∨ Ks , ãäå s 6 2n è êàæäàÿ êîíúþíêöèÿ èìååò âèä σ

σ

σ

Kj = x1 j1 x2 j2 . . . xnjn . Ñõåìà S äëÿ f ñîñòîèò èç êîíúþíêöèé Kj (êàæäàÿ èç íèõ â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 2 èìååò ñëîæíîñòü íå áîëåå 2n − 1) è öåïî÷êè èç s−1 ýëåìåíòà äèçúþíêöèè ñ s ñâîáîäíûìè âõîäàìè; ñâîáîäíûå âõîäû ýòîé öåïî÷êè ïðèñîåäèíÿþòñÿ ê âûõîäàì ñõåì äëÿ êîíúþíêöèé Kj (ðèñ. 8). Èìååì

L(S) 6 s(2n − 1) + s − 1 < s(2n − 1) + s = 2ns 6 n2n+1 . Åñëè f = 0, òî ñõåìà ñòðîèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñòàâëåíèåì 0 = x1 &x1 , ò. å. L(0) 6 2. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî L(f (x1 , . . . , xn )) 6 n2n+1 . Ïîýòîìó L(n) 6 n2n+1 . Òåîðåìà äîêàçàíà.

68

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

Äàííûé ìåòîä ðåàëèçàöèè ôóíêöèé ñõåìàìè èìååò ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê: êàæäàÿ êîíúþíêöèÿ ðåàëèçóåòñÿ îòäåëüíî. Ïîýòîìó âîçíèêàåò ìíîãî äóáëèðóþùèõ äðóã äðóãà ýëåìåíòîâ. Ìîæíî ðåàëèçîâàòü âñå ýòè êîíúþíêöèè ñîâìåñòíî. K1

s−1

K2

p p p

K3

A ¢ ¢ AU ¢® ¢ A∨ ¢ ¢ A¢ ¢ A ¢ AU ¢® A∨ ¢ A¢ A pp p

Ks

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢ ¢

¢

¢ ¢

UA ¢® A∨ ¢ A¢ ?∗

Ðèñ. 8 Ïóñòü Kn (x1 , . . . , xn )  ñèñòåìà âñåõ 2n êîíúþíêöèé xσ1 1 . . . xσnn . Îáîçíà÷èì ÷åðåç L(Kn ) ñëîæíîñòü ðåàëèçàöèè ýòîé ñèñòåìû ôóíêöèé ñõåìàìè èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî

L(Kn ) 6 n2n+1 . Óñòàíîâèì áîëåå ñèëüíóþ îöåíêó

Ëåììà 3. Èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå2) L(Kn ) ∼ 2n . 2) Ñîîòíîøåíèå

a(n)

. b(n) îçíà÷àåò, ÷òî limn→∞ a(n) b(n)

a(n) ∼ b(n)  ÷òî limn→∞

a(n) b(n)

= 1.

6 1, à ñîîòíîøåíèå

69

Ëåêöèÿ  7

Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäàÿ êîíúþíêöèÿ xσ1 1 . . . xσnn ìîæåò áûòü

ïðåäñòàâëåíà â âèäå êîíúþíêöèè äâóõ êîíúþíêöèé äëèíû k è n−k : σ

k+1 xσ1 1 . . . xσnn = (xσ1 1 . . . xσk k )(xk+1 . . . xσnn ).

Ïîýòîìó ñõåìà äëÿ Kn ìîæåò áûòü îáðàçîâàíà èç ñõåì äëÿ Kk (x1 , . . . , xk ) è Kn−k (xk+1 , . . . , xn ) è ñèñòåìû èç 2n ýëåìåíòîâ êîíúþíêöèè, îñóùåñòâëÿþùèõ âûøåïðèâåäåííóþ îïåðàöèþ (ðèñ. 9). Ñëåäîâàòåëüíî, L(Kn ) 6 L(Kk ) + L(Kn−k ) + 2n .

x1 c

p p p

xk c

xk+1 c

Kk (x1 , . . . , xk )

p p p

xn c

Kn−k (xk+1 , . . . , xn )

Z xσ1 1 . . . xσk k ZZ

Z

½ ½xσk+1 . . . xσn

½

½

Z

k+1

n

½ Z ~ ½ = A &¢ A¢ Ðèñ. 9

Òàê êàê L(Kk ) 6 k2k+1 , L(Kn−k ) 6 (n − k)2n−k+1 , òî

L(Kn ) 6 k2k+1 + (n − k)2n−k+1 + 2n . Ïîëîæèì k = [ n2 ]. Òîãäà3) k 6

n 2,

n−k 6

n 2

+1 è

n n n n +1 n 2 2 + ( + 1)2 2 +2 + 2n = 2n + O(n2 2 ). 2 2 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè n > 2 êàæäàÿ êîíúþíêöèÿ ðåàëèçóåòñÿ íà âûõîäå íåêîòîðîãî ýëåìåíòà, ò. å. ïðè n > 2 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî L(Kn ) > 2n . Òàêèì îáðàçîì,

L(Kn ) 6

L(Kn ) ∼ 2n . 3) Ñîîòíîøåíèå a(n) = O(b(n)) îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà c, òàêàÿ, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

a(n) 6 cb(n).

70

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

Òåîðåìà 2. Èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå L(n) . 2n+1 .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ, f 6= 0. Çàìåíèì â ñõåìå ðèñ. 8 âåðõíþþ ÷àñòü ñõåìû, ðåàëèçóþùóþ êîíúþíêöèè K1 , . . . , Ks , ñõåìîé, ðåàëèçóþùåé âñå êîíúþíêöèè èç Kn . Òîãäà äëÿ ëþáîé òàêîé ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ) (íå ðàâíîé íóëþ) èìååì L(f ) 6 L(Kn ) + s − 1 6 L(Kn ) + 2n − 1 . 2n+1 . Òàêèì îáðàçîì,

L(n) . 2n+1 .

Ïðèâåäåì òåïåðü ìåòîä, ïðåäëîæåííûé Ê. Ý. Øåííîíîì4) â 1949 ã. äëÿ êîíòàêòíûõ ñõåì.

Òåîðåìà 3. Èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå L(n) . 12 ·

2n . n

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå f ïî ïåðåìåííûì x1 , . . . , xm , ãäå 1 6 m 6 n: _ xσ1 1 . . . xσmm f (σ1 , . . . , σm , xm+1 , . . . , xn ). f (x1 , . . . , xn ) = (σ1 ,...,σm )

Ñõåìà äëÿ ôóíêöèè f ñòðîèòñÿ èç òðåõ ïîäñõåì: S1 , S2 è S3 (ðèñ. 10). Ñõåìà S1 ðåàëèçóåò âñå êîíúþíêöèè èç ìíîæåñòâà Km (x1 , . . . , xm ). Â ñèëó ëåììû 3 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

L(S1 ) 6 L(Km ) . 2m . Ñõåìà S2 ðåàëèçóåò ñèñòåìó F (xm+1 , . . . , xn ) âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò ïåðåìåííûõ xm+1 , . . . , xn . Â ñèëó òåîðåìû 1

L(S2 ) 6 (n − m)2n−m+1 22

n−m

.

4) Shannon C. E. The synthesis of two-terminal switching circuits// Bell Syst. Techn. J. 1949. 28, N 1. 59-98 (ðóñ. ïåð.: Øåííîí Ê. Ðàáîòû ïî òåîðèè èíôîðìàöèè è êèáåðíåòèêè. Ì.: ÈË, 1963. 59101).

71

Ëåêöèÿ  7

x1 c

p p p

xm c

xm+1 c

Km (x1 , . . . , xm ) @ xσ1 1 . . . xσmm @

p p p

xn c

F (xm+1 , . . . , xn )

@

@

@

¡

¡ ¡ϕ(xm+1 , . . . , xn ) = ¡ = f (˜ σ , xm+1 , . . . , xn )

¡

@ R ¡ ª A &¢ pp A¢ p ¢ AU ¢® A∨ ¢ A¢ A pp p

AU A∨ ¢ A¢ ?∗ Ðèñ. 10 Ñõåìà S3 ïðîèçâîäèò "ñáîðêó" â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçëîæåíèåì ôóíêöèè f : äëÿ êàæäîãî íàáîðà σ ˜ = (σ1 , . . . , σm ) ðåàëèçóåòñÿ êîíúþíêöèÿ xσ1 1 . . . xσmm f (˜ σ , xm+1 , . . . , xn ) (2m ýëåìåíòîâ êîíúþíêöèè) è îáðàçóåòñÿ äèçúþíêöèÿ òàêèõ êîíúþíêöèé (2m − 1 ýëåìåíòîâ äèçúþíêöèè). Ïîýòîìó âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî L(S3 ) 6 2m + 2m − 1. Òàêèì îáðàçîì,

L(S) = L(S1 ) + L(S2 ) + L(S3 ) . 3 · 2m + (n − m)2n−m+1 22

n−m

.

Ïîëîæèì (äëÿ óïðîùåíèÿ äàëüíåéøèõ âûêëàäîê) k = n − m. Òîãäà k

L(n) . 3 · 2n−k + k2k+1 22 .

72

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

Äëÿ ìèíèìèçàöèè ýòîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî áûëî áû ïîïûòàòüñÿ ïðèìåíèòü ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà (âçÿòü ïðîèçâîäíóþ, íàéòè åå íóëü è ò. ä.). Îäíàêî, âî-ïåðâûõ, ïîëó÷èëîñü áû ñëîæíîå óðàâíåíèå è, âî-âòîðûõ, ìû óæå îãðóáëÿëè îöåíêó, çàìåíèâ âåëè÷èíó L(Km ) åå àñèìïòîòè÷åñêèì âûðàæåíèåì. Ïîýòîìó áóäåì èñêàòü "ïðèáëèçèòåëüíûé ìèíèìóì". Çàìåòèì, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå "î÷åíü áûñòðî" ðàñòåò ñ ðîñòîì k (äâîéíàÿ ýêñïîíåíòà îò k ), à ïåðâîå ñëàãàåìîå óáûâàåò ñ ðîñòîì k ìåäëåííåé. Ïîýòîìó, ïî-âèäèìîìó, ñëåäóåò âçÿòü òàêîå çíà÷åíèå k , ïðè êîòîðîì ïåðâîå è âòîðîå ñëàãàåìûå "ïðèáëèçèòåëüíî" ðàâíû, è ïîòîì "íåìíîãî" óìåíüøèòü k . Òîãäà âòîðîå ñëàãàåìîå "ñèëüíî" óìåíüøèòñÿ, à ïåðâîå "íå î÷åíü ñèëüíî" âîçðàñòåò. Âîçüìåì, íàïðèìåð, k = log2 n. Òîãäà

3 · 2n−k = 3 ·

2n , n

k

k · 2k+1 · 22 = log2 n · (2n) · 2n ,

ò. å. ïîëó÷èëè "ñëèøêîì ìíîãî". Âîçüìåì k íà åäèíèöó ìåíüøå: k = log2 n − 1. Òîãäà

3 · 2n−k = 3 ·

2n · 2, n

k

n

k · 2k+1 · 22 = (log2 n − 1) · n · 2 2 .

Âñïîìíèì òåïåðü, ÷òî k äîëæíî áûòü öåëûì ÷èñëîì, è ïîëîæèì k = [log2 n − 1]. Òîãäà

n − k < n − log2 n + 2,

3 · 2n−k < 12 ·

k

2n , n

n

k · 2k+1 · 22 6 (log2 n − 1) · n · 2 2 . Ïðè ýòîì âûáîðå k îêîí÷àòåëüíî èìååì

L(n) . 12 ·

2n . n

Òåì ñàìûì òåîðåìà äîêàçàíà. Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî áûëî áû óëó÷øèòü ýòó îöåíêó, óòî÷íèâ n êîíñòàíòó (ïðè k = [log2 (n − 3 log2 n)] ïîëó÷èì L(n) . 6 · 2n ).

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 73 86

73

Ëåêöèÿ  8 Ïîêàæåì, ÷òî ïîðÿäîê âåðõíåé îöåíêè ôóíêöèè L(n), ïîëó÷åííîé ìåòîäîì Øåííîíà, íå ìîæåò áûòü óìåíüøåí. Ïðè ýòîì íå áóäåò óêàçàí ïðèìåð êîíêðåòíîé ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ), äîïóñêàþùåé ëèøü ñëîæíóþ ðåàëèçàöèþ, íî áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî êîëè÷åñòâî "ïðîñòî ðåàëèçóåìûõ" ôóíêöèé f (x1 , . . . , xn ) ìåíüøå, ÷åì ÷èñëî âñåõ ôóíêöèé îò n àðãóìåíòîâ. Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ÿâëÿåòñÿ "êîíå÷íûì àíàëîãîì" äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë: àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë (êîðíåé àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè)  ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë  êîíòèíóóì; ïîýòîìó ñóùåñòâóþò äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, íå ÿâëÿþùèåñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè, ò. å. òðàícöåíäåíòíûå ÷èñëà. Òàêîå äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ñëîæíî ðåàëèçóåìûõ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè âïåðâûå áûëî èñïîëüçîâàíî â ðàáîòå Äæ. Ðèîðäàíà è Ê. Øåííîíà 1) . Ïóñòü N (n, h)  ÷èñëî ôóíêöèé f (x1 , . . . , xn ), äîïóñêàþùèõ ðåàëèçàöèþ ñõåìàìè ñëîæíîñòè íå áîëåå h, à N 0 (n, h)  ÷èñëî ôóíêöèé f (x1 , . . . , xn ), äîïóñêàþùèõ ðåàëèçàöèþ ñõåìàìè ñëîæíîñòè h. Î÷åâèäíî, ÷òî N (n, h) = N 0 (n, h), òàê êàê åñëè ôóíêöèÿ f äîïóñêàåò ðåàëèçàöèþ ñõåìîé ñëîæíîñòè h0 , h0 6 h, òî îíà äîïóñêàåò ðåàëèçàöèþ è ñõåìîé ñëîæíîñòè â òî÷íîñòè h: äëÿ ýòîãî ê ñõåìå S äîñòàòî÷íî ïðèñîåäèíèòü h − h0 ýëåìåíòîâ, âûõîäû êîòîðûõ "íè ê ÷åìó" íå ïðèñîåäèíÿþòñÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç N 00 (n, h) ÷èñëî ñõåì ñëîæíîñòè h ñ îäíèì âûõîäîì, ðåàëèçóþùèõ ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn . Î÷åâèäíî, ÷òî N 0 (n, h) 6 N 00 (n, h).

Ëåììà. Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî N 00 (n, h) 6 3h (n + h)2h+1 .

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì n âåðøèí, ïîìå÷åííûõ ñèìâîëàìè x1 , . . . , xn ,  âõîäû ñõåìû è h íåïîìå÷åííûõ âåðøèí  ýëåìåíòû ñõåìû. Êàæäûé èç ýëåìåíòîâ ïîìåòèì îäíèì èç ñèìâîëîâ &, ∨, ; èìååì 3h âîçìîæíîñòåé. Òåì ñàìûì îïðåäåëèòñÿ ÷èñëî âõîäîâ âñåõ ýëåìåíòîâ; ýòî ÷èñëî íå ïðåâîñõîäèò 2h. Êàæäûé âõîä ïðèñîåäèíèì ëèáî ê îäíîìó èç âõîäîâ ñõåìû, ëèáî ê îäíîìó èç âûõîäîâ 1) Ñì.:Riordan J., Shannon C. E. The number of two-terminal series-parallel networks // J. Math. and Phys. 1942. 21, N 2. 8393 (ðóñ. ïåð.: Øåííîí Ê. Ðàáîòû ïî òåîðèè èíôîðìàöèè è êèáåðíåòèêè. Ì.: ÈË, 1963. 4658).

74

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

ýëåìåíòîâ  n + h âîçìîæíîñòåé äëÿ êàæäîãî âõîäà; ÷èñëî ñïîñîáîâ ïðèñîåäèíåíèÿ äëÿ âñåõ âõîäîâ íå ïðåâîñõîäèò (n + h)2h . Êðîìå òîãî, îäíà èç âåðøèí ìîæåò áûòü ïîìå÷åíà ñèìâîëîì ∗  n + h âîçìîæíîñòåé. Ñðåäè ïîëó÷èâøèõñÿ êîíôèãóðàöèé îêàæåòñÿ áîëüøîå ÷èñëî áåññìûñëåííûõ (ñîäåðæàùèõ îðèåíòèðîâàííûå öèêëû), íî âñå "íàñòîÿùèå" ñõåìû ñðåäè íèõ áóäóò. Òàêèì îáðàçîì,

N 00 (n, h) 6 3h (n + h)2h+1 .

Òåîðåìà 1. Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âûïîëíÿåòñÿ íåðà-

âåíñòâî

1 2n · . 3 n

L(n) >

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè N (n, h0 )
òîðîãî h0 , òî L(n) > h0 . Ïîêàæåì, ÷òî ïðè h0 = 13 · 2n âûïîëíÿåòñÿ n íåðàâåíñòâî N 00 (x, h0 ) < 22 . Â ñàìîì äåëå, èñïîëüçóÿ ëåììó 1, èìååì2)

log2

N 00 (n,h0 ) 2 2n

= log2 N 00 (n, h0 ) − 2n 6

6 (2h0 + 1) log2 (n + h0 ) + h0 log2 3 − 2n 6 6 ( 32 ·

2n n

+ 1) log2 (n +

<· ( 23 · =

2n n

1 3

·

2n n )

+ 1) log2 (2n ) +

log2 3 3

·

2n n

+n−

1 3

+

log2 3 3

log2 3 3

·

·

2n n

2n n

− 2n <·

− 2n =

· 2n → −∞

ïðè n → ∞. Ïîýòîìó

N 00 (n, h0 ) →0 22n n (ïðè n → ∞) è N 00 (n, h0 ) < · 22 . Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà 00 N (n, h0 ) 6 N (n, h0 ) ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû. n Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ L(n) ïî ïîðÿäêó ðàâíà 2n . Íà ñàìîì äåëå ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî3) L(n) ∼

2n . n

2) Ñîîòíîøåíèå a(n) <· b(n) îçíà÷àåò, ÷òî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n. 3) Ñì.: Ëóïàíîâ Î. Á. Î ñèíòåçå íåêîòîðûõ êëàññîâ óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì // Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè. Âûï. 10. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. 63-97.

75

Ëåêöèÿ  8

Êîíòàêòíûå ñõåìû. Ðàññìîòðèì êîíå÷íûé íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô G è êîíå÷íûé àëôàâèò X = {x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn }. Êîíòàêòíîé ñõåìîé íàçûâàåòñÿ íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô ñ âûäåëåííûìè âåðøèíàìè  ïîëþñàìè, êàæäîìó ðåáðó êîòîðîãî ïðèïèñàíà íåêîòîðàÿ áóêâà àëôàâèòà X (ðàçíûì ðåáðàì ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü îäèíàêîâûå áóêâû). Ðåáðî âìåñòå ñ ïðèïèñàííîé åìó áóêâîé xσ (σ = 0, 1) íàçûâàåòñÿ êîíòàêòîì, ïðè÷åì çàìûêàþùèì êîíòàêòîì, åñëè σ = 1, è ðàçìûêàþùèì êîíòàêòîì, åñëè σ = 0. Êàæäîé ïàðå ïîëþñîâ (a, b) ñîïîñòàâèì ôóíêöèþ ïðîâîäèìîñòè fab (x1 , . . . , xn ) (ìåæäó ïîëþñàìè a è b) ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1) åñëè a = b, òî fab (x1 , . . . , xn ) = 1; 2) åñëè a 6= b è â ñõåìå íå ñóùåñòâóåò öåïåé ìåæäó a è b, òî fab (x1 , . . . , xn ) = 0; 3) åñëè a 6= b è ìíîæåñòâî öåïåé ìåæäó a è b íåïóñòî, òî ñîïîñòàâèì êàæäîé öåïè I âèäà (a, vi1 ), (vi1 vi2 ), . . . , (vim−1 , b) m êîíúþíêöèþ xσr11 . . . xrσm (ïðîâîäèìîñòü öåïè I ), ãäå xσrtt  áóêâà èç X , ïðèïèñàííàÿ ðåáðó (vit−1 , vit ) (çäåñü vi0 = a, vim = b). Ïîëîæèì _ m fab (x1 , . . . , xn ) = xσr11 . . . xσrm ,

I

ãäå äèçúþíêöèÿ áåðåòñÿ ïî âñåì öåïÿì I ìåæäó a è b. Áóäåì ãîâîðèòü òàêæå, ÷òî ñõåìà ðåàëèçóåò ñîïîñòàâëåííûå åé ôóíêöèè. x2

c ¡@ ¡ @

s¡ a@

¡ x1

x2

c ¡@ ¡ @

¡ x2

x3

@ @s ¡ b x3 ¡ @ ¡ @ @ c¡

@

@¡ ¡@

¡ @ x1 ¡ @ @ c¡

x2

Ðèñ. 1

Ïðèìåð. Ñõåìà (ñ ïîëþñàìè a è b), èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1, ðåà-

ëèçóåò ôóíêöèþ

76

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

fab (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 .

Òàê êàê ãðàô íåîðèåíòèðîâàííûé, òî fab = fba .

Äëÿ êàæäîé êîíòàêòíîé ñõåìû ìîæíî ñîñòàâèòü ìàòðèöó ôóíêöèé ïðîâîäèìîñòè, â êîòîðóþ ïîìåñòèì ôóíêöèè ïðîâîäèìîñòè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàð ïîëþñîâ. Äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1, ýòà ìàòðèöà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

a b

a 1 x1 ⊕ x2 ⊕ x3

b x1 ⊕ x2 ⊕ x3 1

Ïóñòü â ñõåìå èìååòñÿ k ïîëþñîâ a1 , a2 , . . . , ak . Âîçíèêàåò âîïðîñ: êàêèå óñëîâèÿ íåîáõîäèìî íàëîæèòü íà ïðîèçâîëüíóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó M ïîðÿäêà k , â êëåòêàõ êîòîðîé ðàñïîëîæåíû áóëåâû ôóíêöèè, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà òàêàÿ êîíòàêòíàÿ ñõåìà, ó êîòîðîé ìàòðèöà ôóíêöèé ïðîâîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ M ? Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ òðåõ ïîëþñîâ ai , aj è ak ôóíêöèÿ fai ak äîëæíà ïðèíèìàòü çíà÷åíèå 1 íà âñåõ íàáîðàõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, íà êîòîðûõ ôóíêöèè fai aj è faj ak îäíîâðåìåííî ïðèíèìàþò çíà÷åíèå 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî fai ak > fai aj &faj ak . Î÷åâèäíî, ÷òî ìàòðèöà äîëæíà áûòü ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè (òàê êàê ãðàôû íåîðèåíòèðîâàííûå). Êðîìå òîãî, íà ãëàâíîé äèàãîíàëè äîëæíû ñòîÿòü åäèíèöû. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòèõ òðåõ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé äîñòàòî÷íî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êîíòàêòíîé ñõåìû ñ çàäàííîé ìàòðèöåé ôóíêöèè ïðîâîäèìîñòè. Ñëîæíîñòü êîíòàêòíîé ñõåìû S îïðåäåëèì êàê ÷èñëî åå êîíòàêòîâ; îáîçíà÷èì ýòó âåëè÷èíó ÷åðåç L(S). Îïðåäåëèì äàëåå ôóíêöèè, àíàëîãè÷íûå ââåäåííûì ðàíåå äëÿ ñõåì èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ:

Lk (f ) = min L(S),

Lk (n) = max Lk (f ),

ãäå ìèíèìóì áåðåòñÿ ïî âñåì êîíòàêòíûì ñõåìàì, ðåàëèçóþùèì ôóíêöèþ f , à ìàêñèìóì  ïî âñåì ôóíêöèÿì f îò àðãóìåíòîâ x1 , . . . , xn . Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ñõåìà S1 ðåàëèçóåò ôóíêöèþ f1 , à ñõåìà S2  ôóíêöèþ f2 , òî â ðåçóëüòàòå ïàðàëëåëüíîãî (ñîîòâåòñòâåííî

77

Ëåêöèÿ  8

ïîñëåäîâàòåëüíîãî) ñîåäèíåíèÿ ýòèõ ñõåì ïîëó÷àåòñÿ ñõåìà, ðåàëèçóþùàÿ f1 ∨ f2 (ñîîòâåòñòâåííî f1 &f2 ). Ïîêàæåì, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà êîíòàêòíîé ñõåìîé. Ðàññìîòðèì ñîâåðøåííóþ äèçúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó ýòîé ôóíêöèè. Ïóñòü σ ˜ 1 = (σ11 , . . . , σn1 ), . . . , s s s σ ˜ = (σ1 , . . . , σn )  âñå íàáîðû, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, s 6 2n . Äëÿ êàæäîãî íàáîðà σ ˜ i ïîñòðîèì öåïü, ñîåäèíÿþùóþ äâà ïîëþñà ñõåìû (a è b) è ðåàëèçóþùóþ êîíúþíêöèþ σi

σi

x1 1 . . . xnn , è ñîåäèíèì âñå ýòè öåïè ïàðàëëåëüíî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñõåìó S , êîòîðàÿ ðåàëèçóåò ôóíêöèþ f (ðèñ. 2). Î÷åâèäíî, ÷òî L(S) 6 n2n . σ1

2 c x2 c

¡ ¡σ11 ¡ x1 s¡ a @ σ1s @ x1 σ2s @ @ c x2 c

q q q

c @ σ1n @ x1

q q q

@ @s s σn ¡ b xn ¡ ¡ c¡

Ðèñ. 2 Äëÿ ôóíêöèè, òîæäåñòâåííî ðàâíîé íóëþ, ìîæíî âçÿòü ñõåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ èçîëèðîâàííûõ ïîëþñîâ. Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî

Òåîðåìà 2. Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Lk (n) 6 n2n . Ïðèâåäåííîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, ðåàëèçóåìîé êîíòàêòíîé ñõåìîé, îòðàæàåò "ôèçè÷åñêóþ" ñòîðîíó äåëà. Íàïðèìåð, ñõåìà íà ðèñ. 1 ñîîòâåòñòâóåò "ôèçè÷åñêîé ñõåìå", èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3. Êîíòàêò íà ðèñ. 4, à ðàçîìêíóò ïðè íåâîçáóæäåííîé îáìîòêå ðåëå è çàìêíóò ïðè âîçáóæäåííîé îáìîòêå; êîíòàêò, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 4, á, íàîáîðîò, çàìêíóò ïðè íåâîçáóæäåííîé îáìîòêè ðåëå è ðàçîìêíóò ïðè âîçáóæäåííîé. Ñ÷èòàåì, ÷òî îáìîòêà âîçáóæäåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïåðåìåííàÿ ðàâíà 1.

78

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

Òîãäà êîíòàêò "ôèçè÷åñêîé ñõåìû", ñîîòâåòñòâóþùèé êîíòàêòó xσ (ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè), ðàçîìêíóò, êîãäà xσ = 0, è çàìêíóò, êîãäà xσ = 1. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî íàáîðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ çíà÷åíèå ôóíêöèè, ðåàëèçóåìîé êîíòàêòíîé ñõåìîé, ðàâíî 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà "ôèçè÷åñêàÿ ñõåìà" ïðîâîäèò òîê.

» » »» a

s

»»

s

X X

s

s s

XX

x1

X X » »

s

b

XX

x2

x3 Ðèñ. 3

»»

XX

a

b Ðèñ. 4

Êîíòàêòíàÿ ñõåìà íàçûâàåòñÿ (1, k)-ïîëþñíèêîì, åñëè â íåé íåêîòîðûé ïîëþñ ñ÷èòàåòñÿ âõîäíûì, à îñòàëüíûå k ïîëþñîâ  âûõîäíûìè (ïðè ýòîì äîïóñêàåòñÿ, ÷òî ïîëþñ ìîæåò áûòü âõîäíûì è âûõîäíûì îäíîâðåìåííî). Ñ êàæäûì (1, k)-ïîëþñíèêîì ñâÿçûâàåòñÿ ñèñòåìà èç k ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ðåàëèçóåòñÿ ìåæäó âõîäîì è íåêîòîðûì âûõîäîì. Åñëè ïðîâîäèìîñòü ìåæäó ëþáûìè

79

Ëåêöèÿ  8

äâóìÿ ðàçëè÷íûìè âûõîäàìè (1, k)-ïîëþñíèêà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ, òî îí íàçûâàåòñÿ ðàçäåëèòåëüíûì. Êîíòàêòíûì äåðåâîì íàçûâàåòñÿ òàêîé (1, 2n )-ïîëþñíèê, êîòîðûé ðåàëèçóåò (ìåæäó âõîäîì è âûõîäàìè) ñèñòåìó K(x1 , . . . , xn ) âñåõ 2n êîíúþíêöèé âèäà xσ1 1 . . . xσnn . Ïðèìåð êîíòàêòíîãî äåðåâà èçîáðàæåí íà ðèñ. 5.

c x1 ¡ @

¡ q ¡ ¢A x2 ¢ A x2 q¢ Aq

x

@ 1 @q ¢A x2 ¢ A x2 q¢ Aq

q q q q ¢A x ¢ A n Ac c¢

xn

q ¢A x ¢ A n Ac c¢

xn

q q q

q q q

q ¢A x ¢ A n Ac c¢

xn

q ¢A x ¢ A n Ac c¢

xn

Ðèñ. 5 Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äàííîå êîíòàêòíîå äåðåâî ñîäåðæèò

2 + 4 + · · · + 2n = 2n+1 − 2 êîíòàêòîâ. Çàìåòèì, ÷òî êîíòàêòíîå äåðåâî, ïðèâåäåííîå íà ðèñ. 5, ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëèòåëüíûì (1, 2n )-ïîëþñíèêîì. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â êëàññå ðàçäåëèòåëüíûõ êîíòàêòíûõ ñõåì äàííîå êîíòàêòíîå äåðåâî ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì. Âìåñòå ñ òåì åñëè îòêàçàòüñÿ îò ñâîéñòâà ðàçäåëèòåëüíîñòè, òî ñèñòåìó âñåõ êîíúþíêöèé K(x1 , . . . , xn ) ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñî ñëîæíîñòüþ, àñèìïòîòè÷åñêè ðàâíîé 2n . Íà îñíîâå êîíòàêòíîãî äåðåâà ìîæíî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèé ìåòîä ñèíòåçà êîíòàêòíûõ ñõåì. Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ. Åñëè f 6= 0, òî f ìîæåò áûòü çàäàíà ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé

f (x1 , . . . , xn ) = K1 ∨ K2 ∨ · · · ∨ Ks ,

80

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

σ

σ

σ

ãäå s 6 2n è êàæäàÿ êîíúþíêöèÿ èìååò âèä Kj = x1 j1 x2 j2 . . . xnjn . Âîçüìåì ïîñòðîåííîå âûøå êîíòàêòíîå äåðåâî (ðèñ. 5), ðåàëèçóþùåå âñå êîíúþíêöèè âèäà xσ1 1 . . . xσnn . Îòîæäåñòâèì â íåì âñå âûõîäû, ñîîòâåòñòâóþùèå êîíúþíêöèÿì K1 , K2 , . . . , Ks . Ïîëó÷èì êîíòàêòíóþ ñõåìó S . Ïîñêîëüêó ïðîâîäèìîñòü ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ðàçëè÷íûìè âûõîäàìè êîíòàêòíîãî äåðåâà ðàâíà íóëþ, òî ôóíêöèÿ ïðîâîäèìîñòè ñõåìû S ìåæäó âõîäîì è íîâûì âûõîäîì ðàâíà f . Ïðè ýòîì L(S) 6 2n+1 −2, ò. å. Lk (f ) 6 2n+1 . Òåì ñàìûì äîêàçàíà

Òåîðåìà 3. Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî Lk (n) 6 2n+1 . Ïðèâåäåì òåïåðü ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîíòàêòíûõ ñõåì è ñõåì èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ó÷èòûâàþùèé ñïåöèôèêó êîíêðåòíûõ ôóíêöèé. Ýòîò ìåòîä ïîëó÷èë íàçâàíèå "ìåòîä êàñêàäîâ" è áûë îïèñàí â óïîìÿíóòîé ðàíåå ðàáîòå Ê. Øåííîíà â 1949 ã. Ìåòîä êàñêàäîâ ó÷èòûâàåò íåêîòîðûå ñâîéñòâà ôóíêöèé è áëàãîäàðÿ ýòîìó ïîçâîëÿåò äëÿ ìíîãèõ ôóíêöèé ñòðîèòü ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûå ñõåìû. Ìåòîä ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ. Ñíà÷àëà èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ ðàçëàãàåòñÿ ïî ïåðåìåííûì è ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ ôóíêöèé, à çàòåì íà îñíîâå ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñòðîèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñõåìà. Ïóñòü äàíà ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ). Îáðàçóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ G0 , G1 , . . . , Gn−1 , ãäå

Gi = {gi,1 (xi+1 , . . . , xn ), . . . , gi,ri (xi+1 , . . . , xn )}, äëÿ êàæäîãî i = 0, 1, . . . , n − 1 Gi  ìíîæåñòâî ôóíêöèé îò ïåðåìåííûõ xi+1 , . . . , xn . Îïðåäåëèì ìíîæåñòâà Gi èíäóêöèåé ïî i. Ïîëîæèì

G0 = {f (x1 , . . . , xn )} = {g0,1 (x1 , . . . , xn )}. Ïóñòü ìíîæåñòâî Gi óæå ïîñòðîåíî. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå 2ri ôóíêöèé:

gi,1 (0, xi+2 , . . . , xn ), . . . , gi,ri (0, xi+2 , . . . , xn ), gi,1 (1, xi+2 , . . . , xn ), . . . , gi,ri (1, xi+2 , . . . , xn ). Ìíîæåñòâî Gi+1 ïî îïðåäåëåíèþ ñîñòîèò èç âñåõ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé, âñòðå÷àþùèõñÿ ñðåäè ýòèõ 2ri ôóíêöèé.  ÷àñòíîñòè, Gn−1 åñòü íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà {xn , xn , 0, 1}.

81

Ëåêöèÿ  8

Èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâ Gi âûòåêàåò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: êàæäàÿ ôóíêöèÿ g(xi+1 , . . . , xn ) èç Gi , 0 6 i 6 n − 2, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

g(xi+1 , . . . , xn ) = xi+1 g (1) (xi+2 , . . . , xn ) ∨ xi+1 g (2) (xi+2 , . . . , xn ), ãäå g (1) , g (2) ∈ Gi+1 . Çàìåòèì, ÷òî |G0 | = r0 = 1 è |Gi+1 | = ri+1 6 2ri äëÿ âñåõ i = 0, 1, . . . , n − 2, ò. å. ÷èñëî ôóíêöèé â êàæäîì ïîñëåäóþùåì êëàññå íå áîëåå ÷åì â äâà ðàçà ïðåâûøàåò ÷èñëî ôóíêöèé â ïðåäûäóùåì êëàññå. Ïîýòîìó ri 6 2i , i = 0, 1, . . . , n − 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, n−i ri 6 22 , ïîñêîëüêó Gi  ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà âñåõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò ïåðåìåííûõ xi+1 , . . . , xn . Ñõåìà ñòðîèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ îïèñàííûì âûøå ðàçëîæåíèåì, íî â "îáðàòíîì ïîðÿäêå". À èìåííî ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíòàêòíûõ ñõåì Sn−1 , Sn−2 , . . . , S0 , ãäå Si  (1, ri )-ïîëþñíèê, ìåæäó âõîäîì è ri âûõîäàìè êîòîðîãî ðåàëèçóþòñÿ âñå ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà Gi , i = 0, 1, . . . , n − 1. Òàê êàê Gn−1 ⊆ {xn , xn , 0, 1}, òî â êà÷åñòâå ñõåìû Sn−1 ìîæíî âçÿòü ñõåìó, ïðèâåäåííóþ íà ðèñ. 6 (âûõîä, íà êîòîðîì ðåàëèçóåòñÿ 1, ñîâïàäàåò ñ âõîäîì). xn

xn

c A

xnA

c

0 c

¢ ¢xn

A ¢ A¢c

Ðèñ. 6 Ïóñòü óæå ïîñòðîåíà ñõåìà Si+1 ((1, ri+1 )-ïîëþñíèê). Ïîñòðîèì ñõåìó Si ñëåäóþùèì îáðàçîì.  êà÷åñòâå åå âõîäà âîçüìåì âåðøèíó a  âõîä ñõåìû Si+1 , à â êà÷åñòâå âûõîäîâ âîçüìåì ri íîâûõ âåðøèí v1 , . . . , vri ; âåðøèíàì v1 , . . . , vri ñîîòâåòñòâóþò ôóíêöèè gi,1 , . . . , gi,ri èç ìíîæåñòâà Gi . Ïóñòü gij ∈ Gi , j = 1, . . . , ri . Èç ïðèâåäåííîãî âûøå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ Gi ñëåäóåò, ÷òî íàéäóòñÿ ôóíêöèè g (1) è g (2) èç Gi+1 , òàêèå, ÷òî

gij (xi+1 , . . . , xn ) = xi+1 g (1) (xi+2 , . . . , xn ) ∨ xi+1 g (2) (xi+2 , . . . , xn ). Ïîýòîìó â ñõåìå Si+1 íàéäóòñÿ âûõîäû w(1) è w(2) , íà êîòîðûõ ðåàëèçóþòñÿ ôóíêöèè g (1) è g (2) ñîîòâåòñòâåííî (ò. å. faw(1) = g (1) ,

82

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

faw(2) = g (2) ). Ñîåäèíèì âåðøèíû vj è w(1) êîíòàêòîì xi+1 , à âåðøèíû vj è w(2)  êîíòàêòîì xi+1 . Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ ïðîâîäèìîñòè favj ìåæäó ïîëþñàìè a è vj ðàâíà gij . Èòàê, ìû ïîñòðîèëè (1, ri )-ïîëþñíèê  ñõåìó Si . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîñêîëüêó èç êàæäîãî âûõîäà v1 , . . . , vri ñõåìû Si âûõîäÿò ðîâíî äâà êîíòàêòà xi+1 è xi+1 , òî ìåæäó âåðøèíîé a è âûõîäàìè v1 , . . . , vri áóäóò ðåàëèçîâàíû âñå ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà Gi (ñì. ðèñ. 7). v1

vj

q q q

c

xi+1 ¢

b

b

c

b

qqq

vri

q q q

c ¢A

A xi+1 A Ac q q q

c

¢ c¢

(1)

(2)

" c " " " "

ω ω b Si+1 b " b " b " b " b b c" a

Ðèñ. 7 Òàêèì îáðàçîì, ñõåìà S0 ðåàëèçóåò ôóíêöèþ f . Ïîýòîìó Lk (f ) 6 L(S0 ). Òàê êàê L(Sn−1 ) = 2 è L(Si+1 )+2ri , i = 0, 1, . . . , n−2, òî n−2 X Lk (f ) 6 2 + 2 ri . i=0

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî k = 1, . . . , n − 1 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

L(S0 ) 6 2

n−k−1 X

ri + L(Sn−k ) 6 2 · 2n−k + L(Sn−k ),

i=0

ãäå Sn−k  ñõåìà, ðåàëèçóþùàÿ âñå ôóíêöèè g(xn−k+1 , . . . , xn ) èç ìíîæåñòâà Gn−k . Çàìåíèì â ñõåìå S0 ïîäñõåìó Sn−k íà k (1, 22 )-ïîëþñíèê Uk , ðåàëèçóþùèé âñå ôóíêöèè îò k ïåðåìåííûõ k xn−k+1 , . . . , xn .  ñèëó òåîðåìû 3 L(Uk ) 6 2k+1 22 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñõåìó S , ðåàëèçóþùóþ ôóíêöèþ f ; ïðè ýòîì k

L(S) 6 2 · 2n−k + 2k+1 · 22 .

83

Ëåêöèÿ  8

k

Ïîýòîìó âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Lk (f ) 6 2 · 2n−k + 2k+1 · 22 . Ïîëîæèì k = [log2 n − 1]. Òîãäà

Lk (n) . 8 ·

2n . n

Òàê æå è äëÿ ñõåì èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ âåðõíÿÿ îöåíêà ôóíêöèè Lk (n) ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé ïî ïîðÿäêó. Ïóñòü Nk (n, h)  ÷èñëî áóëåâûõ ôóíêöèé f (x1 , . . . , xn ), äîïóñêàþùèõ ðåàëèçàöèþ êîíòàêòíûìè ñõåìàìè ñëîæíîñòè íå áîëåå h, à Nk0 (n, h)  ÷èñëî ôóíêöèé f (x1 , . . . , xn ), äîïóñêàþùèõ ðåàëèçàöèþ êîíòàêòíûìè ñõåìàìè ñëîæíîñòè h. Î÷åâèäíî, ÷òî Nk (n, h) = Nk0 (n, h). Îáîçíà÷èì ÷åðåç Nk00 (n, h) ÷èñëî äâóõïîëþñíûõ êîíòàêòíûõ ñõåì ñ h ðåáðàìè, êîòîðûå íå ñîäåðæàò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí, îòëè÷íûõ îò ïîëþñîâ, è ó êîòîðûõ ðåáðà ïîìå÷åíû ñèìâîëàìè èç ìíîæåñòâà {x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn }. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Nk0 (n, h) 6 Nk00 (n, h). Ïîëó÷èì âåðõíþþ îöåíêó äëÿ Nk00 (n, h). Êàæäàÿ êîíòàêòíàÿ ñõåìà ñ h ðåáðàìè, â êîòîðîé íåò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí, îòëè÷íûõ îò ïîëþñîâ, ñîäåðæèò íå áîëåå 2h + 2 âåðøèí. Êàæäîå ðåáðî ìîæíî ïðîâåñòè íå áîëåå ÷åì (2h + 2) (2h + 2) ñïîñîáàìè, ÷èñëî ñïîñîáîâ ïðîâåñòè h ðåáåð íå ïðåâîñõîäèò (2h + 2)2h . Êàæäîå èç ðåáåð ìîæíî ïîìåòèòü îäíèì èç 2n ñèìâîëîâ x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ; èìååì (2n)h âîçìîæíîñòåé. Êðîìå òîãî, äâå âåðøèíû âûáèðàþòñÿ â êà÷åñòâå ïîëþñîâ; èìååì íå áîëåå (2h + 2)2 ñïîñîáîâ. Òàêèì îáðàçîì,

N 00 (n, h) 6 (2h + 2)2 · (2n)h · (2h + 2)2h = (2n)h · (2h + 2)2h+2 . Äàëåå ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè h0 = øèõ n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

1 3

n

N 00 (n, h0 ) < 22 . Ïîýòîìó

Lk (n) & Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî

1 2n · . 3 n

n

· 2n äëÿ äîñòàòî÷íî áîëü-

84

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

Òåîðåìà 4. Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå4) Lk (n) ³

2n . n n

Èòàê, ôóíêöèé Lk (n) ïî ïîðÿäêó ðàâíà 2n . Íà ñàìîì äåëå ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî5) 2n Lk (n) ∼ . n Ïðèìåð. Äëÿ ôóíêöèè x1 ⊕ · · · ⊕ xn , n > 2, ìíîæåñòâî G0 ñîñòîèò èç îäíîé ôóíêöèè x1 ⊕ · · · ⊕ xn , à ìíîæåñòâî Gi ïðè 1 6 i 6 n − 1  èç äâóõ ôóíêöèé xi+1 ⊕ · · · ⊕ xn è xi+1 ⊕ · · · ⊕ xn ⊕ 1. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñõåìà èçîáðàæåíà íà ðèñ. 8. x1

© ©©

c x

© 1 r ©x r © Q 2 x2 ´ Q ´ Q´ x2 x2 ´Q ´ Q ´ Qr r q q q r x r Q n−1 ´ Q ´ Q´ xn−1 xn−1 ´Q ´xn−1 Q ´ Qr r © © © xn © xn c©© Ðèñ. 8 Ñëîæíîñòü äàííîé ñõåìû ðàâíà 2 · 2 + 4(n − 2) = 4n − 4. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷èë Ê. Êàðäî â 1952 ã., õîòÿ ñàìà ñõåìà áûëà èçâåñòíà åùå Øåííîíó, êîòîðûé ïðèâåë åå â ñâîåé ðàáîòå 1949 ã. a(n) ³ b(n) îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ a(n) 4 4 a(n); ñîîòíîøåíèå a(n) 4 b(n) îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîëîæè-

4) Ñîîòíîøåíèå

b(n) è b(n)

òåëüíàÿ êîíñòàíòà c, òàêàÿ, ÷òî a(n) <· cb(n) (ò. å. íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n). 5) Ñì.: Ëóïàíîâ Î. Á. Î ñèíòåçå íåêîòîðûõ êëàññîâ óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì// Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè. Âûï. 10. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. 63-97.

85

Ëåêöèÿ  8

Ìåòîä êàñêàäîâ ìîæíî ïðèìåíèòü è äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñõåì èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ðåàëèçóþùèõ çàäàííóþ ôóíêöèþ f . À èìåííî áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî ñòðîèòü ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ Sn−1 , Sn−2 , . . . , S0 , ðåàëèçóþùèõ ôóíêöèè èç ìíîæåñòâ Gn−1 , Gn−2 , . . . , G0 ñîîòâåòñòâåííî.  êà÷åñòâå ñõåìû Sn−1 ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, ñõåìó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 9.

xcn

A¢ A¢

A &¢ A¢

A∨ ¢ A¢ r 1

r xn

r 0

Ðèñ. 9 Ïðè i = 0, 1, . . . , n − 2 ñõåìà Si ñòðîèòñÿ íà îñíîâå ñõåìû Si+1 ñ èñïîëüçîâàíèåì îäíîãî äîïîëíèòåëüíîãî ýëåìåíòà îòðèöàíèÿ äëÿ âñåãî ìíîæåñòâà Gi è îäíîãî ýëåìåíòà äèçúþíêöèè è äâóõ ýëåìåíòîâ êîíúþíêöèè äëÿ êàæäîé ôóíêöèþ g(xi+1 , . . . , xn ) èç ìíîæåñòâà Gi (ñì. ðèñ. 10). Òàêèì îáðàçîì, L(Sn−1 ) = 3 è L(Si ) = L(Si+1 ) + 1 + 3ri ïðè i = 0, 1, . . . , n − 2. Ïîýòîìó

L(S0 ) = 3 + 3

n−2 X

ri + n − 1 = n + 2 + 3

i=0

i=0

Òàê êàê ñõåìà S0 ðåàëèçóåò ôóíêöèþ f , òî

L(f ) 6 n + 2 + 3

n−2 X

n−2 X i=0

ri .

ri .

86

ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÕÅÌÛ

xi+1 c

xi+2 c

xn c

q q q

A¢ A¢ g (2) (xi+2 , . . . , xn ) g (1) (xi+2 , . . . , xn ) A &¢ A¢

A &¢ A¢

A∨ ¢ A¢ g = xi+1 g (1) (xi+2 , . . . , xn ) ∨ xi+1 g (2) (xi+2 , . . . , xn ) Ðèñ. 10

Ïðèìåð. Êàê ìû ïîêàçàëè âûøå, äëÿ ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ) = x1 ⊕ · · · ⊕ xn , n > 2, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ri = 2 ïðè âñåõ i = 1, . . . , n − 1. Ïîýòîìó ñëîæíîñòü ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ïîñòðîåííîé ïî ìåòîäó êàñêàäîâ, äëÿ ýòîé ôóíêöèè ðàâíà n+2+3

n−2 X

2 + 3 = 7n − 7.

i=1

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè f ñóùåñòâóåò ñõåìà èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ñëîæíîñòü êîòîðîé íå ïðåâîñõîäèò 4n − 4. Òåì ñàìûì ìåòîä êàñêàäîâ íå ïðèâîäèò ê ïîñòðîåíèþ ìèíèìàëüíîé ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè.

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 87 99

87

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ Ëåêöèÿ  9 Ðàññìîòðèì äâà êîíå÷íûõ àëôàâèòà A = {a1 , . . . , aν } è B = {a1 , . . . , aµ }. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A∞ è B ∞ ìíîæåñòâà âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé α = (α(1), α(2), . . . ) è β = (β(1), β(2), . . . ) â àëôàâèòàõ A è B ñîîòâåòñòâåííî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè f (x), îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâå áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé α èç A∞ è ïðèíèìàþùèå íà êàæäîé èç ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé çíà÷åíèå β èç B ∞ ; α è β íàçûâàþòñÿ âõîäíîé è âûõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè ôóíêöèè f (x) ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ ôóíêöèÿ f (x) çàäàåò îòîáðàæåíèå f : A∞ → B ∞ . Îòìåòèì, ÷òî ñðåäè ýòèõ ôóíêöèé åñòü òàêèå, ïðè âû÷èñëåíèè çíà÷åíèé êîòîðûõ âîçíèêàþò îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ. Ïóñòü A = B = {0, 1}. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ˜ 0 è ˜1 áåñêîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòîÿùèå èç îäíèõ íóëåé è åäèíèö ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü f (˜ 0) = ˜0, f (α) = ˜1 äëÿ âñåõ α ∈ A∞ , α 6= ˜0. Òîãäà çíà÷åíèå ïåðâîãî ðàçðÿäà âûõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèè f íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ˜ 0 íåëüçÿ íàéòè, çíàÿ ëèøü êîíå÷íîå (êàêèì áû áîëüøèì îíî íè áûëî) ÷èñëî ðàçðÿäîâ âõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.  ñâÿçè ñ ýòèì ââîäèì ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå íà ðàññìàòðèâàåìûå ôóíêöèè. Ïóñòü y = f (x), ãäå

x = (x(1), x(2), . . . , x(t), . . . ),

y = (y(1), y(2), . . . , y(t), . . . ).

Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííîé, åñëè äëÿ ëþáîãî t, t = 1, 2, . . . , çíà÷åíèå y(t) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâûìè t ÷ëåíàìè âõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x(1), x(2), . . . , x(t). Èíûìè ñëîâàìè, êàæäàÿ äåòåðìèíèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ôóíêöèé

f1 (x(1)), f2 (x(1), x(2)), . . . , ft ((1), x(2), . . . , x(t)), . . . , ãäå ft : At → B , t = 1, 2, . . . .

Ïðèìåð. Ïóñòü A = B = {0, 1}. Ñëåäóþùèå ôóíêöèè y = f (x), ãäå f : A∞ → B ∞ , x = (x(1), . . . , x(t), . . . ), y = (y(1), . . . , y(t), . . . ), ÿâëÿþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûìè:

88

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ



a) y(t) =

0, åñëè x(1) = x(2) = · · · = x(t − 1) = 0; 1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå;

b) ôóíêöèÿ ÷åòíîñòè: y(t) = x(1) ⊕ x(2) ⊕ · · · ⊕ x(t); c) ôóíêöèÿ åäèíè÷íîé çàäåðæêè:  0, åñëè t = 0; y(t) = x(t − 1) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå; 

d) y(t) =

0 , åñëè t = 2n äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî n; 1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

Äåòåðìèíèðîâàííûå ôóíêöèè ìîæíî çàäàâàòü ïðè ïîìîùè èíôîðìàöèîííûõ äåðåâüåâ. Èíôîðìàöèîííîå äåðåâî â àëôàâèòàõ A è B ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íîå îðèåíòèðîâàííîå äåðåâî, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) ñóùåñòâóåò âåðøèíà v0  êîðåíü èíôîðìàöèîííîãî äåðåâà, â êîòîðóþ íå âõîäèò íè îäíî ðåáðî; 2) â êàæäóþ âåðøèíó, îòëè÷íóþ îò êîðíåâîé, âõîäèò ðîâíî îäíî ðåáðî; 3) èç êàæäîé âåðøèíû äåðåâà âûõîäèò ν = |A| ðåáåð, êîòîðûì ïðèïèñàíû ïàðû (a1 , bi1 ), (a2 , bi2 ), . . . , (aν , biν ), ãäå bi1 , . . . , biν ∈ B . Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ âåðøèíà äåðåâà äîñòèæèìà èç êîðíåâîé è êàæäîé âûõîäÿùåé èç êîðíÿ îðèåíòèðîâàííîé öåïè â èíôîðìàöèîííîì äåðåâå ñîîòâåòñòâóåò ïàðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé α ∈ A∞ è β ∈ B ∞ , êîòîðûå ñîñòàâëåíû èç ïðèïèñàííûõ ðåáðàì ýòîé öåïè áóêâ àëôàâèòîâ A è B ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäîå èíôîðìàöèîííîå äåðåâî T â àëôàâèòàõ A è B çàäàåò âïîëíå îïðåäåëåííóþ äåòåðìèíèðîâàííóþ ôóíêöèþ fT (x); fT : A∞ → B ∞ . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå. À èìåííî äëÿ êàæäîé äåòåðìèíèðîâàííîé ôóíêöèè ìîæíî ïîñòðîèòü èíôîðìàöèîííîå äåðåâî â àëôàâèòàõ A è B , êîòîðîå áóäåò çàäàâàòü ôóíêöèþ f . Íà ðèñ. 1 è 2 èçîáðàæåíû íà÷àëüíûå ôðàãìåíòû èíôîðìàöèîííûõ äåðåâüåâ â àëôàâèòàõ A = {0, 1} è B = {0, 1} äëÿ ïåðâîé è âòîðîé ôóíêöèé èç ïðèâåäåííîãî âûøå ïðèìåðà ñîîòâåòñòâåííî. Âîçüìåì â äåðåâå T ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó v è ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîå ïîääåðåâî Tv äåðåâà T ñ âåðøèíîé v â êà÷åñòâå êîðíÿ, ñîäåðæàùåå âñå âåðøèíû äåðåâà T , äîñòèæèìûå èç âåðøèíû v .

89

Ëåêöèÿ  9

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî Tv òàêæå áóäåò ÿâëÿòüñÿ èíôîðìàöèîííûì äåðåâîì â àëôàâèòàõ A è B , çàäàþùèì íåêîòîðóþ äåòåðìèíèðîâàííóþ ôóíêöèþ fTv (x); fTv : A∞ → B ∞ .

r BM B

B

(0, 0) B

£

£

r £±

r BM B

(0, 1) B

£

£

r £±

B £ (1, 1) £ B £ B £ (1, 1) B£r B£r r r ¢¸ AK ¢¸ AK ¢ A ¢ A ¢ A ¢ A (0, 0)A ¢(1, 1) ¢(1, 1) (0, 1)A A ¢ A ¢ Ar¢ Ar¢ J ] ­ Á J ­ J ­ (0, 0)J ­(1, 1) J ­ Jr­

Ðèñ. 1 Äâà èíôîðìàöèîííûõ äåðåâà T1 è T2 â àëôàâèòàõ A è B íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè (îáîçíà÷åíèå T1 ∼ T2 ), åñëè îíè çàäàþò îäíó è òó æå äåòåðìèíèðîâàííóþ ôóíêöèþ (ò. å. fT1 (x) = fT2 (x)). Èíûìè ñëîâàìè, èíôîðìàöèîííûå äåðåâüÿ ýêâèâàëåíòíû, åñëè ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì ñîîòâåòñòâóþùèõ áåñêîíå÷íûõ äåðåâüåâ, ñîõðàíÿþùèé ïîìåòêè íà ðåáðàõ. Äåòåðìèíèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîäåòåðìèíèðîâàííîé (î.-ä. ôóíêöèåé), åñëè â èíôîðìàöèîííîì äåðåâå, çàäàþùåì ôóíêöèþ f (x), ñîäåðæèòñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ïîïàðíî íåýêâèâàëåíòíûõ èíôîðìàöèîííûõ ïîääåðåâüåâ. Ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïîïàðíî íåýêâèâàëåíòíûõ ïîääåðåâüåâ â èíôîðìàöèîííîì äåðåâå, çàäàþùåì î.-ä. ôóíêöèþ f (x), íàçûâàåòñÿ âåñîì ôóíêöèè f .

90

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

r BM B

B

(0, 0) B

£

£

r £±

r BM B

(0, 1) B

£

£

r £±

£ B £ (1, 0) B £ B £ (0, 1) B£r B£r r r ¢¸ ¢¸ AK AK ¢ A ¢ A ¢ A ¢ A (0, 0)A ¢(1, 0) ¢(1, 1) (0, 1)A A ¢ A ¢ Ar¢ Ar¢ J ] ­ Á J ­ J ­ (0, 0)J ­(1, 1) J ­ Jr­

Ðèñ. 2 Ïóñòü f (x)  î.-ä. ôóíêöèÿ âåñà r, T  èíôîðìàöèîííîå äåðåâî, çàäàþùåå f , v0  êîðåíü äåðåâà T , à v0 , v1 , . . . , vr−1  âåðøèíû äåðåâà T , òàêèå, ÷òî Tvi 6∼ Tvj äëÿ âñåõ i, j = 0, 1, . . . , r−1, i 6= j . Çàíóìåðóåì âñå âåðøèíû äåðåâà T ÷èñëàìè 0, 1, . . . , r − 1 ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1) âåðøèíû v0 , v1 , . . . , vr−1 íóìåðóþòñÿ ÷èñëàìè 0, 1, . . . , r − 1 ñîîòâåòñòâåííî; 2) êàæäàÿ âåðøèíà v ∈ / {v0 , v1 , . . . , vr−1 } íóìåðóåòñÿ ÷èñëîì i, òàêèì, ÷òî Tv ∼ Tvi , 0 6 i 6 r − 1. Íîìåðà 0, 1, . . . , r − 1 âåðøèí v0 , v1 , . . . , vr−1 â èíôîðìàöèîííîì äåðåâå T íàçûâàþòñÿ ñîñòîÿíèÿìè ôóíêöèè f ; ìíîæåñòâî Q = {0, 1, . . . , r−1} íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé î.-ä. ôóíêöèè f . Âåñ ôóíêöèè ÷åòíîñòè èç ïðèâåäåííîãî âûøå ïðèìåðà ðàâåí 2. Íà ðèñ. 3 óêàçàí íà÷àëüíûé ôðàãìåíò çàäàþùåãî ýòó ôóíêöèþ

91

Ëåêöèÿ  9

èíôîðìàöèîííîãî äåðåâà, ó êîòîðîãî âåðøèíû çàíóìåðîâàíû ÷èñëàìè 0 è 1; äëÿ íàãëÿäíîñòè âåðøèíû äåðåâà èçîáðàæåíû â âèäå êðóæêîâ, âíóòðè êîòîðûõ ïîìåùåíû ñîîòâåòñòâóþùèå íîìåðà.

1k 1k

0k

BM B

B

(0, 0)

BM £± £ (0, 1)B

B

£ £(0, 1)

£ Bk 0

£± £

B

£ £ (1, 0)

£ Bk 1 1k AK A

¢¸ ¢

AK A

A

(0, 0)

B

0k

0k

¢¸

¢

¢(1, 0) ¢(1, 1) (0, 1)A A ¢ ¢ ¢ A k A k ¢ 1 0 J ] Á ­ J ­ ­(1, 1) (0, 0)J J ­ J k ­

A

0

Ðèñ. 3 Ïîëó÷åííîå èíôîðìàöèîííîå äåðåâî T ñ çàíóìåðîâàííûìè ÷èñëàìè 0, 1, . . . , r − 1 âåðøèíàìè ñîäåðæèò èçáûòî÷íûå ñâåäåíèÿ îá èñõîäíîé î.-ä. ôóíêöèè f ; âñÿ íåîáõîäèìàÿ èíôîðìàöèÿ ñîäåðæèòñÿ â r êîíå÷íûõ ôðàãìåíòàõ äåðåâà, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 4, ãäå bi1 , . . . , biv ∈ B , à j1 , j2 , . . . , jv ∈ Q, i = 0, 1, . . . , r − 1. Íà ðèñ. 5 èçîáðàæåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ôðàãìåíòû äëÿ èíôîðìàöèîííîãî äåðåâà ñ çàíóìåðîâàííûìè âåðøèíàìè, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3. Ýòà èíôîðìàöèÿ ñîäåðæèòñÿ òàêæå â óñå÷åííîì äåðåâå. Óñå÷åííîå äåðåâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíå÷íîå îðèåíòèðîâàííîå äåðåâî, ÿâëÿåòñÿ ïîäãðàôîì äåðåâà T ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ ïîìåòîê íà âåðøèíàõ è ðåáðàõ, ñîäåðæèò êîðåíü v0 äåðåâà T è îáëàäàåò

92

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ëþáàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ öåïü, âûõîäÿùàÿ èç êîðíÿ, ñîäåðæèò ðîâíî äâå âåðøèíû ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè, à íèêàêîå åãî ñîáñòâåííîå ïîääåðåâî ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óñå÷åííîå äåðåâî ñîäåðæèò âñå óïîìÿíóòûå âûøå ôðàãìåíòû äåðåâà T (ñì. ðèñ. 4); ïðè ýòîì ÷èñëî ðåáåð â ëþáîé îðèåíòèðîâàííîé öåïè ýòîãî äåðåâà íå ïðåâûøàåò r. Òàêèì îáðàçîì, óñå÷åííîå äåðåâî ñîäåðæèò âñþ íåîáõîäèìóþ èíôîðìàöèþ äëÿ íàõîæäåíèÿ îáðàçà ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèè f .

²¯ j1 ±° I @ @

²¯ ²¯ j2 jν q q q ±° >±° ½ COC ½ ½ C @ ½ ½ C @ (a1 , bi1 ) @ ½ (aν , biν ) C (a2 , bi2 ) ½ C @ ½ ½ @ C ½ @ C ½ C ½ @²¯ i ±°

Ðèñ. 4

0k

1k

1k

Á J ] ­ ­ J ­(1, 1) (0, 0)J ­ J ­ Jk 0

0k

Á J ] ­ ­ J ­(1, 0) (0, 1)J ­ J ­ J k 0

Ðèñ. 5

93

Ëåêöèÿ  9

Íà ðèñ. 6 èçîáðàæåíî óñå÷åííîå äåðåâî, ïîñòðîåííîå íà îñíîâå èíôîðìàöèîííîãî äåðåâà ðèñ. 3.

1k

0k

AK

A

¢

¢¸

¢(1, 0)

A A

(0, 1)

¢

¢ A k 1

0k

J ] Á ­ J ­ ­(1, 1) (0, 0)J J ­ Jk ­ 0

Ðèñ. 6 Îãðàíè÷åííî-äåòåðìèíèðîâàííûå ôóíêöèè óäîáíî çàäàâàòü äèàãðàììàìè ïåðåõîäîâ (äèàãðàììû Ìóðà), êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç óñå÷åííûõ äåðåâüåâ îòîæäåñòâëåíèåì âåðøèí ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì êîíå÷íûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô ñ r âåðøèíàìè, êîòîðûå çàíóìåðîâàíû ÷èñëàìè 0, 1, . . . , r − 1, è v · r ðåáðàìè; ïðè ýòîì èç êàæäîé âåðøèíû ãðàôà âûõîäèò v ðåáåð, êîòîðûì ïðèïèñàíû ïàðû

(a1 , bi2 ), (a2 , bi2 ), . . . , (aν , biν ), ãäå {a1 , . . . , aν } = A, bi1 , . . . , biν ∈ B . Êðîìå òîãî, âåðøèíà ýòîãî ãðàôà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîðíþ èñõîäíîãî èíôîðìàöèîííîãî äåðåâà T (ïðè ïðèâåäåííîì ñïîñîáå íóìåðàöèè âåðøèí îíà èìååò íîìåð 0), îáû÷íî ïîìå÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∗. Íà ðèñ. 7 ïðèâåäåíà äèàãðàììà ïåðåõîäîâ äëÿ ôóíêöèè ÷åòíîñòè. Ñ äèàãðàììàìè ïåðåõîäîâ ìîæíî ñâÿçàòü äâå ôóíêöèè, F è G, F : A × Q → B è G : A × Q → Q, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè

94

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

âûõîäîâ è ïåðåõîäîâ ñîîòâåòñòâåííî. Çíà÷åíèÿ ýòèõ ôóíêöèé äëÿ âñåõ ai ∈ A, qi ∈ Q íàõîäÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 8.

(1, 1) (0, 0)

¶³ 0 >µ´

~¶³ 1 >µ´ }

∗

(0, 1)

(1, 0)

Ðèñ. 7

¶³(ai , F (ai , qj )) qj µ´

- G(ai , qj )

Ðèñ. 8  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñïîñîá çàäàíèÿ î.-ä. ôóíêöèé â âèäå òàáëèö, â v · r = |A| · |Q| ñòðîêàõ êîòîðûõ ïåðå÷èñëåíû âñå ïàðû (ai , qj ) èç A × Q è çíà÷åíèÿ ôóíêöèé F è G íà íèõ (òàáë. 1).

x ... ai ...

q ... qj ...

F ... F (ai , qj ) ...

Òàáëèöà 1 G ... G(ai , qj ) ...

95

Ëåêöèÿ  9

Çíà÷åíèÿ ôóíêöèé F è G äëÿ ôóíêöèè ÷åòíîñòè ïðèâåäåíû â òàáë. 2.

Òàáëèöà 2 q F G 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0

x 0 0 1 1

Î.-ä. ôóíêöèè ìîæíî çàäàâàòü òàêæå ïðè ïîìîùè óðàâíåíèé:  y(t) = F (x(t), q(t));  q(t + 1) = G(x(t), q(t));  q(1) = q0 , ãäå x(t) ∈ A, y(t) ∈ B , q(t) ∈ Q ïðè âñåõ t = 1, 2, . . . ; q0  íîìåð âåðøèíû â äèàãðàììå ïåðåõîäîâ, êîòîðàÿ îòìå÷åíà ñèìâîëîì ∗, q0 ∈ Q. Ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè î.-ä. ôóíêöèè f ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì q0 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïî êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèÿì, êîòîðûå çàäàþò î.-ä. ôóíêöèþ f , ìîæíî ïîëó÷èòü è âñå äðóãèå ïåðå÷èñëåííûå âûøå ñïîñîáû çàäàíèÿ ýòîé ôóíêöèè. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ÷åòíîñòè (a) è åäèíè÷íîé çàäåðæêè (b) èìåþò ñëåäóþùèé âèä: (à)

 

y(t) = x(t) + q(t); q(t + 1) = x(t) + q(t);  q(1) = 0; (b)

 

y(t) = q(t); q(t + 1) = x(t);  q(1) = 0.

Êîíå÷íûé àâòîìàò  ýòî óñòðîéñòâî, ôóíêöèîíèðóþùåå â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè t = 1, 2, . . . , èìåþùåå âõîä, âûõîä è êîíå÷íîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé q1 , . . . , qλ .  ìîìåíò âðåìåíè t àâòîìàò íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè q(t) ∈ Q = {q1 , . . . , qλ }, íà åãî âõîä ïîäàåòñÿ

96

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

ñèìâîë x(t) èç êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A = {a1 , . . . , aν }, à íà âûõîäå âîçíèêàåò ñèìâîë y(t) èç êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà B = {b1 , . . . , bµ } (ðèñ. 9).

x(t) ? q(t)

y(t) ? Ðèñ. 9 Ïðè ýòîì âõîäíîé ñèìâîë x(t) è ñîñòîÿíèå àâòîìàòà q(t) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò âûõîäíîé ñèìâîë y(t) â ìîìåíò âðåìåíè t è ñîcòîÿíèå q(t + 1) àâòîìàòà â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè:

½

y(t) = F (x(t), q(t)); q(t + 1) = G(x(t), q(t)),

t = 1, 2, . . . . Ôóíêöèè F : A × Q → B è G : A × Q → Q íàçûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè âûõîäîâ è ïåðåõîäîâ ñîîòâåòñòâåííî; ìíîæåñòâà A, B è Q íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âõîäíûì àëôàâèòîì, âûõîäíûì àëôàâèòîì è àëôàâèòîì ñîñòîÿíèé. Àâòîìàò íàçûâàåòñÿ èíèöèàëüíûì, åñëè çàäàíî åãî ñîñòîÿíèå q(1) â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 1, q(1) ∈ Q. Òàêèì îáðàçîì, êîíå÷íûé àâòîìàò ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ ñèñòåìîé V = (A, B, Q, F, G), ãäå A, B è Q  êîíå÷íûå ìíîæåñòâà âõîäíûõ ñèìâîëîâ, âûõîäíûõ ñèìâîëîâ è ñèìâîëîâ ñîñòîÿíèé ñîîòâåòñòâåííî; F  ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå A × Q è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç B , à G  ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà A × Q è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç Q. Ýòà ñèñòåìà V òàêæå íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì àâòîìàòîì. Èíèöèàëüíûé àâòîìàò V ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì q0 ∈ Q îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Vq0 .

Ëåêöèÿ  9

97

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êàæäûé êîíå÷íûé èíèöèàëüíûé àâòîìàò Vq0 âû÷èñëÿåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå A∞ è ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà B ∞ . Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ àâòîìàòíîé è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç fVq0 ; ñîñòîÿíèÿìè ýòîé ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ñîñòîÿíèÿ àâòîìàòà Vq0 . Áîëåå òî÷íî, ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå A∞ è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç B ∞ , íàçûâàåòñÿ àâòîìàòíîé, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èíèöèàëüíûé àâòîìàò, âû÷èñëÿþùèé ýòó ôóíêöèþ, ò. å. ïåðåðàáàòûâàþùèé ëþáóþ âõîäíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü α èç A∞ â âûõîäíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü β èç B ∞ , òàêóþ, ÷òî β = f (α). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ êàæäîé î.-ä. ôóíêöèè âåñà r ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èíèöèàëüíûé àâòîìàò ñ r ñîñòîÿíèÿìè, âû÷èñëÿþùèé ýòó ôóíêöèþ, è, íàîáîðîò, êàæäûé èíèöèàëüíûé êîíå÷íûé àâòîìàò ñ λ ñîñòîÿíèÿìè âû÷èñëÿåò íåêîòîðóþ î.-ä. ôóíêöèþ âåñà r, ãäå r 6 λ. Òåì ñàìûì ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ àâòîìàòíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà îãðàíè÷åííî-äåòåðìèíèðîâàííàÿ. Îòìåòèì, ÷òî êîíå÷íûå àâòîìàòû (êàê è î.-ä. ôóíêöèè) ìîæíî çàäàâàòü ïðè ïîìîùè òàáëèö, äèàãðàìì ïåðåõîäà, èíôîðìàöèîííûõ äåðåâüåâ è èõ êîíå÷íûõ ôðàãìåíòîâ. Ïóñòü α = (α(1), α(2), . . . )  íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç A∞ . Íàòóðàëüíîå ÷èñëî d íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè α, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå N , ÷òî äëÿ ëþáîãî t > N âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî α(t + d) = α(t). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè äëÿ íåå ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ïåðèîä. Çàìåòèì, ÷òî åñëè d ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè α, òî ïåðèîäàìè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿþòñÿ òàêæå âñå ÷èñëà, êðàòíûå d. Ïîñêîëüêó èç âñåõ ïåðèîäîâ ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè α ìîæíî âûáðàòü ìèíèìàëüíûé ïåðèîä d0 , òî âñå ïåðèîäû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êðàòíû d0 .

Ëåììà (î ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Êîíå÷íûé èíèöèàëüíûé àâòîìàò ñ λ ñîñòîÿíèÿìè ïðåîáðàçóåò ïåðèîäè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ ïåðèîäîì d â ïåðèîäè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ ïåðèîäîì λ1 · d, ãäå λ1  íàòóðàëüíîå ÷èñëî, λ1 6 λ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Vq0 = {A, B, Q, F, G}  èíèöèàëüíûé àâòîìàò, |Q| = λ, q0 ∈ Q, fVq0 (x)  àâòîìàòíàÿ ôóíêöèÿ, âû÷èñëÿåìàÿ àâòîìàòîì Vq0 , α = (α(1), α(2), . . . )  ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç A∞ ñ ïåðèîäîì d, à β = fVq0 (α) = (β(1), β(2), . . . )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç B ∞ .

98

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

Òàê êàê d  ïåðèîä ïîñëåäîâàòåëüíîñòè α, òî ñóùåñòâóåò òàêîå N , ÷òî äëÿ ëþáîãî t > N âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî α(t) = α(t + d). Ïîýòîìó

α(N ) = α(N + d) = α(n + 2d) = · · · = α(N + λd). Ðàññìîòðèì α + 1 ñîñòîÿíèé àâòîìàòà:

q(N ), q(N + d), . . . , q(N + λd). Òàê êàê |Q| = λ, òî ñðåäè íèõ íàéäóòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâà îäèíàêîâûõ. Òî åñòü ñóùåñòâóþò òàêèå i, j , 0 6 i < j 6 λ, ÷òî q(N + id) = q(N + jd). Ïîëîæèì λ1 = j − i. Ïîêàæåì èíäóêöèåé ïî t, ÷òî äëÿ ëþáîãî t > N + id âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà

β(t) = β(t + λ1 d),

q(t) = q(t + λ1 d).

(∗)

Ïóñòü t = N + id. Òîãäà

q(t) = q(N + id) = q(N + jd) = q(t + λ1 d), β(t) = F (α(t), q(t)) = F (α(t + λ1 d), g(t + λ1 d)) = β(t + λ1 d). Ïóñòü ðàâåíñòâà (∗) ñïðàâåäëèâû äëÿ íåêîòîðîãî t > N + it. Òîãäà

q(t + 1) = G(α(t), q(t)) = = G(α(t + λ1 d), q(t + λ1 d)) = q(t + 1 + λ1 d), β(t + 1) = F (α(t + 1), q(t + 1)) = = F (α(t + 1 + λ1 d), q(t + 1 + λ1 d)) = β(t + 1 + λ1 d). Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü β ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì λ1 d. Èç ëåììû ñëåäóåò, ÷òî êîíå÷íûé àâòîìàò ñ λ ñîñòîÿíèÿìè ìîæåò ïðåîáðàçîâûâàòü ïåðèîäè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òîëüêî â ïåðèîäè÷åñêóþ, ó êîòîðîé äëèíà ìèíèìàëüíîãî ïåðèîäà ìîæåò óâåëè÷èòüñÿ íå áîëåå ÷åì â λ ðàç.

Ëåêöèÿ  9

99

Çàìåòèì, ÷òî äàæå åñëè ÷èñëî d  ìèíèìàëüíûé ïåðèîä âõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òî ìèíèìàëüíûé ïåðèîä âûõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå îáÿçàòåëüíî ðàâåí λ1 d.  êà÷åñòâå ïðèìåðà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü àâòîìàò ñ λ ñîñòîÿíèÿìè, êîòîðûé ëþáóþ âõîäíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåîáðàçóåò â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (b1 , b1 , . . . ) ∈ B ∞ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ak ìíîæåñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç A∞ , ó êîòîðûõ ìèíèìàëüíûå ïåðèîäû íå èìåþò ïðîñòûõ äåëèòåëåé, íå ïðåâîñõîäÿùèõ k , k ∈ N. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî A2 ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ìèíèìàëüíûå ïåðèîäû êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó {2n , n = 0, 1, . . . }, à A6  èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ìèíèìàëüíûìè ïåðèîäàìè èç ìíîæåñòâà {2n 3l , n, l = 0, 1, . . . }. Èç ëåììû î ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëó÷àåì

Ñëåäñòâèå. Êîíå÷íûé èíèöèàëüíûé àâòîìàò ñ λ ñîñòîÿíèÿìè ïðè λ 6 k ïðåîáðàçóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç Ak â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç Ak .

100

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 100113

Ëåêöèÿ  10 Îáîáùèì ââåäåííîå íàìè ðàíåå ïîíÿòèå ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. (n ) (n ) Ïóñòü F = {f1 1 (x1 , . . . , xn1 ), . . . , fk k (x1 , . . . , xnk )}  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî áóëåâûõ ôóíêöèé. Ñõåìà èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå F  ýòî êîíå÷íûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô áåç îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ, â êàæäóþ âåðøèíó êîòîðîãî ëèáî íå âõîäèò íè îäíî ðåáðî, ëèáî âõîäèò ni ðåáåð, çàíóìåðîâàííûõ ÷èñëàìè 1, 2, . . . , ni , 1 6 i 6 k , è âåðøèíàì êîòîðîãî ïðèïèñàíû ñèìâîëû â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè: a) åñëè â âåðøèíó íå âõîäÿò ðåáðà, òî ýòîé âåðøèíå ïðèïèñûâàåòñÿ ñèìâîë íåêîòîðîé ïåðåìåííîé; b) åñëè â âåðøèíó âõîäèò ni ðåáåð (çàíóìåðîâàííûõ ÷èñëàìè (n ) 1, 2, . . . , ni ), òî ýòîé âåðøèíå ïðèïèñûâàåòñÿ ñèìâîë fi i ; c) êðîìå òîãî, íåêîòîðûì âåðøèíàì ïðèïèñûâàåòñÿ ñèìâîë ∗ . Ïðèìåð ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå (3) (1) {f1 (x1 , x2 , x3 ), f2 (x1 )} èçîáðàæåí íà ðèñ. 1.

x1 x2 x3 x4 c c c c ´ £ 2A 1 ¢ 3´ £ ¢ ´ A + AUA ¢¢®´´ £ ¢ (3)A c´ £ f1 S £ S £ ? S £ (1) £ f2 ∗cQ S £ Q SS w Q S 1 ££° 2 s S £ 3 Q QS £ Qc ∗ f (3) 1 Ðèñ. 1 Ïîñëå ýòîãî êàæäîé âåðøèíå ñõåìû ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðóþ áóëåâó ôóíêöèþ ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì: 1) åñëè âåðøèíå áûëà ïðèïèñàíà ïåðåìåííàÿ, òî åé ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ ýòîé ïåðåìåííîé;

101

Ëåêöèÿ  10

(n )

2) åñëè âåðøèíå v áûë ïðèïèñàí ñèìâîë fi i , à âåðøèíàì w1 , . . . , wni , èç êîòîðûõ âûõîäÿò âõîäÿùèå â âåðøèíó v ðåáðà, çàíóìåðîâàííûå ÷èñëàìè 1, 2, . . . , ni ñîîòâåòñòâåííî, óæå ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèè ϕ1 , . . . , ϕni , òî âåðøèíå v ñîïîñòàâëÿåòñÿ (n ) ôóíêöèÿ fi i (ϕ1 , . . . , ϕni ) (ðèñ. 2).

ω1 c @ ϕ1 @ @ @

ω2 ωni c q q q c ´ C ´ ϕ2 C ´ ϕni ´ C ´ ´ C ´ @ C ´ @ ´ C ´ 1@ 2C ´ ni @ R CW ´ + @ C ´´ @C c´ (n ) v fi i (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕni ) Ðèñ. 2

Ýòîò ïðîöåññ â êîíöå êîíöîâ ïîñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé âåðøèíå ñõåìû íåêîòîðóþ ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè îò ïåðåìåííûõ, ïðèïèñàííûõ âåðøèíàì ñõåìû. Ôóíêöèè, ïîñòàâëåííûå â ñîîòâåòñòâèå âåðøèíàì, ïîìå÷åííûì ñèìâîëîì ∗, ïî îïðåäåëåíèþ ðåàëèçóþòñÿ ýòîé ñõåìîé. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1, ðåàëèçóåò ôóíêöèè ϕ1 (x1 , x2 , x3 ) è ϕ2 (x1 , x2 , x3 , x4 ), ãäå (1)

(3)

ϕ1 (x1 , x2 , x3 ) = f2 (f1 (x1 , x2 , x3 )), (3)

(3)

ϕ2 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = f1 (f1 (x1 , x2 , x3 ), x4 , ϕ1 (x1 , x2 , x3 )). Âåðøèíû, êîòîðûì ïðèïèñàíû ïåðåìåííûå, íàçûâàþòñÿ âõî(n ) äàìè ñõåìû; âåðøèíû, êîòîðûì ïðèïèñàíû ñèìâîëû fi i , ãäå i = 1, . . . , k , íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè (ôóíêöèîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè); âåðøèíû, êîòîðûì ïðèïèñàí ñèìâîë ∗ ,  âûõîäàìè ñõåìû. Íàðÿäó ñ ââåäåííûì ðàíåå ïîíÿòèåì êîíå÷íîãî àâòîìàòà (ñ îäíèì âõîäîì) ìîæíî ðàññìîòðåòü àâòîìàòû ñ íåñêîëüêèìè âõîäàìè. À èìåííî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíå÷íûé àâòîìàò èìååò n

102

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

âõîäîâ, çàíóìåðîâàííûõ ÷èñëàìè 1, 2, . . . , n.  ìîìåíò âðåìåíè t, t = 1, 2, . . . , àâòîìàò íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè q(t) èç àëôàâèòà ñîñòîÿíèé Q = {q1 , . . . , qλ }, íà åãî âõîäû 1, 2, . . . , n ïîäàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñèìâîëû x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) èç âõîäíîãî àëôàâèòà A = {a1 , . . . , aν }, à íà âûõîäå âîçíèêàåò ñèìâîë y(t) èç âûõîäíîãî àëôàâèòà B = {b1 , . . . , bµ } (ðèñ. 3).

x1 (t) c

x2 (t) c

?

?

q q q

xn (t) c ? q(t)

?y(t) Ðèñ. 3 Ïðè ýòîì âõîäíûå ñèìâîëû x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) è ñîñòîÿíèå àâòîìàòà q(t) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò âûõîäíîé ñèìâîë y(t) è ñîñòîÿíèå àâòîìàòà â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè: ( y(t) = F (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), q(t));

q(t + 1) = G(x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), q(t)), t = 1, 2, . . . . Ôóíêöèè F : An × Q → B è G : An × Q → Q òàê æå, êàê è ðàíåå, íàçûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè âûõîäîâ è ïåðåõîäîâ ñîîòâåòñòâåííî. Àâòîìàò íàçûâàåòñÿ èíèöèàëüíûì, åñëè çàäàíî åãî ñîñòîÿíèå q(1) â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïóñòü α1 = (α1 (1), α1 (2), . . . ), α2 = (α2 (1), α2 (2), . . . ), . . . , αn = (αn (1), αn (2), . . . )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç A∞ , êîòîðûå ïîäàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íà âõîäû 1, 2, . . . , n àâòîìàòà ñ n âõîäàìè. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî àâòîìàò ïåðåðàáàòûâàåò óïîðÿäî÷åííûé íàáîð âõîäíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé α1 , α2 , . . . , αn â âûõîäíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü β = (β(1), β(2), . . . ) èç B ∞ . Ïîýòîìó àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ àâòîìàòíîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå àâòîìàòíîé ôóíêöèè îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. À èìåííî ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ), îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå (A∞ )n è ïðèíèìà-

103

Ëåêöèÿ  10

þùàÿ çíà÷åíèÿ èç B ∞ , íàçûâàåòñÿ àâòîìàòíîé, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èíèöèàëüíûé àâòîìàò ñ n âõîäàìè, âû÷èñëÿþùèé ýòó ôóíêöèþ, ò. å. ïåðåðàáàòûâàþùèé ëþáîé íàáîð ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé α1 , . . . , αn èç A∞ â âûõîäíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü β èç B ∞ , òàêóþ, ÷òî β = f (α1 , . . . , αn ). Ñîñòîÿíèÿìè àâòîìàòíîé ôóíêöèè áóäåì íàçûâàòü ñîñòîÿíèÿ àâòîìàòà, âû÷èñëÿþùåãî ýòó ôóíêöèþ. Îòìåòèì, ÷òî îïèñàííûé âûøå àâòîìàò ñ n âõîäàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òàê æå, êàê àâòîìàò ñ îäíèì âõîäîì, íà êîòîðûé â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t, t = 1, 2, . . . , ïîäàåòñÿ ñèìâîë x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ An . Òàêîé àâòîìàò áóäåò âû÷èñëÿòü íåêîòîðóþ àâòîìàòíóþ ôóíêöèþ f (x), îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå (An )∞ è ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ èç B ∞ .

x1 (t) c

x2 (t) c

?

?

q q q

xn (t) c ? q(t)

y1 (t)

?

y2 (t)

?

q q q

y (t) ?m

Ðèñ. 4 Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ðàññìîòðåòü àâòîìàòû ñ n âõîäàìè è m âûõîäàìè, çàíóìåðîâàííûìè ÷èñëàìè 1, 2, . . . , m.  ìîìåíò âðåìåíè t àâòîìàò íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè q(t) ∈ Q, íà åãî âõîäû ïîäàþòñÿ ñèìâîëû x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) ∈ A, à íà m âûõîäàõ 1, 2, . . . , m âûäàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñèìâîëû y1 (t), y2 (t), . . . , ym (t) èç B (ðèñ. 4). Ïðè ýòîì x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) è q(t) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò âûõîäíûå ñèìâîëû y1 (t), y2 (t), . . . , ym (t) è ñîñòîÿíèå q(t+1) â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè:    y1 (t) = F1 (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), q(t));  ... y (t) = F  m m (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), q(t));   q(t + 1) = G(x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), q(t)),

t = 1, 2, . . . , ãäå Fi : An × Q → B , i = 1, . . . , m, è G : An × Q → Q.

104

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

Àâòîìàòû ñ n âõîäàìè è m âûõîäàìè âû÷èñëÿþò óïîðÿäî÷åííûé íàáîð àâòîìàòíûõ ôóíêöèé.

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñóììàòîð, èìåþùèé äâà âõîäà, íà êîòîðûå ïîäàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç íóëåé è åäèíèö x1 = (x1 (1), x1 (2), . . . ) è x2 = (x2 (1), x2 (2), . . . ), è îäèí âûõîä. Íà âûõîäå ñóììàòîðà âûäàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç íóëåé è åäèíèö y = (y(1), y(2), . . . ), êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïóòåì îáû÷íîãî ñëîæåíèÿ â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x1 è x2 êàê öåëûõ ÷èñåë, èìåþùèõ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàçðÿäîâ: x1 (t)

x2 (t)

?

?

c

x1 (1) x1 (2) x1 (3)

p p p

x2 (1) x2 (2) x2 (3)

p p p

y(1)

p p p

+ y(2)

y(3)

c

?y(t)  êà÷åñòâå òàêîãî ñóììàòîðà ìîæíî âçÿòü èíèöèàëüíûé àâòîìàò Vq0 = (A, B, Q, F, G) ñ äâóìÿ âõîäàìè, ó êîòîðîãî A = B = {0, 1}, Q = {0, 1}, à ôóíêöèîíèðîâàíèå çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè: 8 <

y(t) = x1 (t) + x2 (t) + q(t); q(t + 1) = x1 (t)(x2 (t) ∨ q(t)) ∨ x2 (t)q(t); : q(1) = 0.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç PA ìíîæåñòâî âñåõ àâòîìàòíûõ ôóíêöèé (îò ëþáîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ), äëÿ êîòîðûõ âõîäíîé è âûõîäíîé àëôàâèòû ðàâíû A (ò. å. B = A). Àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå èç ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ñõåìû èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå (n1 )

F = {f1

(nk )

(x1 , . . . , xn1 ), . . . , fk

(x1 , . . . , xnk )} ⊆ PA .

Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî òî÷íî òàê æå, êàê ìû ýòî äåëàëè äëÿ ñõåì èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ðàññìîòðåòü êîíå÷íûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô áåç îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ ñ çàíóìåðîâàííûìè ðåáðàìè, ïðèïèñàòü êàæäîé âåðøèíå ãðàôà ëèáî ñèìâîë ïåðåìåííîé

Ëåêöèÿ  10

105

(åñëè â ýòó âåðøèíó íå âõîäèò íè îäíî ðåáðî), ëèáî ñèìâîë àâòî(n ) ìàòíîé ôóíêöèè fi i (åñëè â âåðøèíó âõîäèò ni ðåáåð) è, êðîìå òîãî, ïîìåòèòü íåêîòîðûå âåðøèíû ñèìâîëîì ∗. Ïîëó÷åííûé îáúåêò íàçûâàåòñÿ ñõåìîé èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå F . Âåðøèíû, êîòîðûì ïðèïèñàíû ïåðåìåííûå, íàçûâàþòñÿ âõîäàìè ñõåìû; âåðøèíû, êîòîðûì ïðèïèñàíû ñèì(n ) âîëû fi i , i = 1, . . . , k , íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè (àâòîìàòíûìè ýëåìåíòàìè); âåðøèíû, êîòîðûì ïðèïèñàí ñèìâîë ∗,  âûõîäàìè ñõåìû. Ïîñëå ýòîãî (òàê æå, êàê è ðàíåå) êàæäîé âåðøèíå ñõåìû èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ ìîæíî ñîïîñòàâèòü íåêîòîðóþ àâòîìàòíóþ ôóíêöèþ èç PA . Ôóíêöèè, ïîñòàâëåííûå â ñîîòâåòñòâèå âåðøèíàì, ïîìå÷åííûì ñèìâîëîì ∗, ïî îïðåäåëåíèþ ðåàëèçóþòñÿ ýòîé ñõåìîé. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ àâòîìàòíûõ ôóíêöèé ëþáîé ýëåìåíò ñõåìû èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîíå÷íûé èíèöèàëüíûé àâòîìàò ñ íåñêîëüêèìè âõîäàìè, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèñîåäèíåí ëèáî êî âõîäó ñõåìû, ëèáî ê âûõîäó äðóãîãî ýëåìåíòà ñõåìû. Ïîýòîìó âñþ ñõåìó èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðûé "ñëîæíûé" èíèöèàëüíûé àâòîìàò ñ íåñêîëüêèìè âõîäàìè è âûõîäàìè. Ñîñòîÿíèå ýòîãî àâòîìàòà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèÿìè âñåõ ýëåìåíòîâ ñõåìû, è ïîýòîìó îí äîëæåí èìåòü íå áîëåå ÷åì êîíå÷íîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Êðîìå òîãî, íà êàæäîì âûõîäå äàííûé àâòîìàò âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé, ñîïîñòàâëåííîé ýòîìó âûõîäó ñõåìû. Òàêèì îáðàçîì, âñå ôóíêöèè, êîòîðûå ðåàëèçóþòñÿ ñõåìàìè èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñàõ èç PA , ÿâëÿþòñÿ àâòîìàòíûìè, ò. å. ïðèíàäëåæàò PA . Ïóñòü F  íåêîòîðàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé èç PA . Çàìûêàíèåì ñèñòåìû F íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Σ(F), ñîñòîÿùåå èç âñåõ ôóíêöèé, êîòîðûå ðåàëèçóþòñÿ ñõåìàìè èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå F . Ñèñòåìà F íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè Σ(F) = PA .

Òåîðåìà. Ïóñòü |A| > 2. Òîãäà â PA íå ñóùåñòâóåò êîíå÷íûõ ïîëíûõ ñèñòåì àâòîìàòíûõ ôóíêöèé. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ëåììà. Ïóñòü k  íàòóðàëüíîå ÷èñëî, F  êîíå÷íàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé èç PA , êàæäàÿ ôóíêöèÿ êîòîðîé èìååò íå áîëåå k ñîñòîÿíèé, S  ñõåìà èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå

106

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

F , f (x1 , . . . , xn )  àâòîìàòíàÿ ôóíêöèÿ, ðåàëèçóåìàÿ ñõåìîé S , à α1 , . . . , αn  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç Ak . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü β = f (α1 , . . . , αn ) ïðèíàäëåæèò Ak .

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ èíäóêöèåé ïî ÷èñëó N ýëåìåíòîâ ñõåìû S . Åñëè N = 0, òî óòâåðæäåíèå ëåììû î÷åâèäíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå ëåììû ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ ñõåì, èìåþùèõ íå áîëåå N − 1 ýëåìåíòîâ. Ðàññìîòðèì ñõåìó S â áàçèñå F , ñîñòîÿùóþ èç N ýëåìåíòîâ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé âûõîä ñõåìû S . Åñëè îí ñîâïàäàåò ñî âõîäîì, òî óòâåðæäåíèå ëåììû î÷åâèäíî.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýòîò âûõîä ÿâëÿåòñÿ âûõîäîì íåêîòîðîãî ýëåìåíòà g ∈ F ñõåìû S . Îáîçíà÷èì ÷åðåç h è λ ÷èñëî âõîäîâ è ÷èñëî ñîñòîÿíèé ýëåìåíòà g ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü i-é âõîä ýëåìåíòà g ïðèñîåäèíåí ê âåðøèíå vi ñõåìû S , i = 1, . . . , h (ðèñ. 5). Òîãäà âåðøèíû v1 , . . . , vh ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âûõîäû íåêîòîðîé ïîäñõåìû S1 ñõåìû S , êîòîðàÿ íå ñîäåðæèò ýëåìåíò g è íà âûõîäàõ v1 , . . . , vh ðåàëèçóåò íåêîòîðûå àâòîìàòíûå ôóíêöèè ϕ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ϕh (x1 , . . . , xn ) ñîîòâåòñòâåííî.

S1 v1 c A

v2 vh c pp p c C ¢ U CW 2 ¢®h 1A A C ¢ ¢ A A g ¢ A ¢ A¢ ∗

S

Ðèñ. 5 Ïóñòü α1 , . . . , αn  ïðîèçâîëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç Ak . Ðàññìîòðèì γ1 = ϕ1 (α1 , . . . , αn ), . . . , γh = ϕh (α1 , . . . , αn ). Òàê êàê S1 ñîäåðæèò ìåíåå N ýëåìåíòîâ è ÿâëÿåòñÿ ñõåìîé â áàçèñå F , òî ïî

107

Ëåêöèÿ  10

ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè γ1 , . . . , γh ïðèíàäëåæàò Ak . Îáîçíà÷èì ÷åðåç d1 , . . . , dh ìèíèìàëüíûå ïåðèîäû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé γ1 , . . . , γh ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíò g ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àâòîìàò ñ îäíèì âõîäîì, íà êîòîðûé ïîñòóïàþò áåñêîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè γ = (γ(1), γ(2), . . . ) èç (Ah )∞ . Òî åñòü â ìîìåíò âðåìåíè t íà âõîä g ïîñòóïàåò ñèìâîë γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t), . . . , γh (t)) èç Ah . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî γ  ýòî ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ó êîòîðîé ìèíèìàëüíûé ïåðèîä d = ÍÎÊ(d1 , . . . , dh ). Ïîýòîìó â ñèëó ëåììû î ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà âûõîäå g âûäàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü β = g(γ) èç A∞ ñ ïåðèîäîì λ1 d, ãäå λ1 6 λ 6 k . Òàê êàê ÷èñëà d1 , . . . , dh íå èìåþò ïðîñòûõ äåëèòåëåé, ïðåâûøàþùèõ k , òî d òàêæå íå èìååò ïðîñòûõ äåëèòåëåé, ïðåâûøàþùèõ k . Ïîýòîìó è λ1 d íå èìååò ïðîñòûõ äåëèòåëåé, ïðåâîñõîäÿùèõ k . Òàêèì îáðàçîì, β ∈ Ak . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â PA ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïîëíàÿ ñèñòåìà F . Îáîçíà÷èì ÷åðåç k ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé ó ôóíêöèè ñèñòåìû F . Ïóñòü p  ïðîñòîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî p > k , à β  ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç A∞ ñ ïåðèîäîì p ñëåäóþùåãî âèäà:

β = (a1 , . . . , a1 , a2 , a1 , . . . , a1 , a2 , a1 , . . . ), | {z } | {z } p−1

p−1

ãäå a1 , a2 ∈ A, a1 6= a2 . Î÷åâèäíî, ÷òî β ∈ / Ak . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x), òàêóþ, ÷òî f : A∞ → A∞ , è äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè α èç A∞ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (α) = β . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî f ∈ PA . Òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ F  ïîëíàÿ ñèñòåìà, òî ñóùåñòâóåò ñõåìà S â áàçèñå F , ðåàëèçóþùàÿ ôóíêöèþ f (x). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γ = (a1 , a1 , . . . ) ∈ A∞ , ñîñòîÿùóþ òîëüêî èç áóêâ a1 , è ïîäàäèì åå íà âõîä ñõåìû S . Òàê êàê ìèíèìàëüíûé ïåðèîä ïîñëåäîâàòåëüíîñòè γ ðàâåí 1, òî γ ∈ Ak . Ïîýòîìó â ñèëó ïðåäûäóùåé ëåììû íà âûõîäàõ ñõåìû S áóäóò âûäàâàòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç Ak , ò. å. f (γ) ∈ Ak . Íî ïî âûáîðó ôóíêöèè f èìååì f (γ) = β ∈ / Ak . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî â PA íå ñóùåñòâóåò êîíå÷íûõ ïîëíûõ ñèñòåì àâòîìàòíûõ ôóíêöèé. Òåîðåìà äîêàçàíà. Òàêèì îáðàçîì, ýòà òåîðåìà äàåò îòðèöàòåëüíûé îòâåò íà âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè êîíå÷íûõ ïîëíûõ ñèñòåì àâòîìàòíûõ ôóíê-

108

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

öèé. Îäíàêî åñëè ðàñøèðèòü íåêîòîðûì îáðàçîì âîçìîæíîñòè ïðè ïîñòðîåíèè ñõåì èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ, òî òàêèå ñèñòåìû ìîæíî ïîñòðîèòü.

Ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ è ýëåìåíòîâ çàäåðæêè. Áóäåì ðåàëèçîâûâàòü àâòîìàòíûå ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà

PE , ãäå E = {0, 1}, ïðè ïîìîùè ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ äèçúþíêöèè, êîíúþíêöèè è îòðèöàíèÿ è ýëåìåíòà åäèíè÷íîé çàäåðæêè (ðèñ. 6). x1 (t) x2 (t) A

?

? ¢ A ∨ ¢ A ¢ A¢ y(t) ?

x1 (t) x2 (t)

x(t)

? ¢ A &¢ A ¢ A¢ y(t) ?

A

?

?

A

x(t) ¢

A  ¢ A ¢ A¢ y(t) ?

? − → f y(t) ?

Ðèñ. 6 Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûå ýëåìåíòû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé àâòîìàòîâ, à òî÷íåå, êàê àâòîìàòû ñ îäíèì ñîñòîÿíèåì. Òàêèå àâòîìàòû íàçûâàþòñÿ àâòîìàòàìè áåç ïàìÿòè.  ÷àñòíîñòè, êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ àâòîìàòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàì äèçúþíêöèè, êîíúþíêöèè è îòðèöàíèÿ, èìåþò ñëåäóþùèé âèä:  y(t) = x1 (t) ∨ x2 (t);  q(t + 1) = q(t);  q(1) = 0,  y(t) = x1 (t)&x2 (t);  q(t + 1) = q(t);  q(1) = 0,  y(t) = x(t);  q(t + 1) = q(t);  q(1) = 0.

109

Ëåêöèÿ  10

Áóäåì îáîçíà÷àòü àâòîìàòíûå ôóíêöèè èç PE , êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ ýòèìè àâòîìàòàìè, ÷åðåç f∨ (x1 , x2 ), f& (x1 , x2 ) è f− (x) ñîîòâåòñòâåííî. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýëåìåíòà åäèíè÷íîé çàäåðæêè èìåþò âèä  y(t) = q(t);  q(t + 1) = x(t);  q(1) = 0, ñîîòâåòñòâóþùàÿ àâòîìàòíàÿ ôóíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç f~(x). Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ àâòîìàòíàÿ ôóíêöèÿ èç PE , à Vq0 = (A, B, Q, F, G)  èíèöèàëüíûé àâòîìàò, âû÷èñëÿþùèé ôóíêöèþ f , ãäå A = E n = {0, 1}n , B = {0, 1}, Q = {q1 , . . . , qλ }, q0 ∈ Q, F : {0, 1}n × Q → {0, 1}, G : {0, 1}n × Q → Q. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýòîãî àâòîìàòà èìåþò âèä

 

y(t) = F (x1 (t), . . . , xn (t), q(t)); q(t + 1) = G(x1 (t), . . . , xn (t), q(t));  q(1) = q0 . Ïîëîæèì1) l =] log2 λ[. Çàíóìåðóåì ñîñòîÿíèÿ q1 , . . . , qλ íàáîðàìè èç 0 è 1 äëèíû l, ïðè÷åì íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ q0 ñîïîñòàâèì íàáîð (0, . . . , 0). Ðàññìîòðèì òåïåðü íîâûå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà íàáîðàõ èç íóëåé è åäèíèö:

 

y(t) = F 1 (x1 (t), . . . , xn (t), q1 (t), . . . , ql (t)); ˜ 1 (x1 (t), . . . , xn (t), q1 (t), . . . , ql (t)); (q (t + 1), . . . , ql (t + 1)) = G  1 (q1 (1), . . . , ql (1)) = (0, . . . , 0), ˜1 = ãäå ôóíêöèÿ F 1 è êîìïîíåíòû G11 , . . . , G1l âåêòîð-ôóíêöèè G 1 1 (G1 , . . . , Gl ) îïðåäåëåíû íà íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà E n+l âñåõ íàáîðîâ èç íóëåé è åäèíèö äëèíû n + l è ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç {0, 1}, ò. å. ÿâëÿþòñÿ ÷àñòè÷íûìè áóëåâûìè ôóíêöèÿìè.  ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä: 1) ×åðåç

]a[ îáîçíà÷àåòñÿ íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ìåíüøåå a.

110

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

 y(t) = F 1 (x1 (t), . . . , xn (t), q1 (t), . . . , ql (t));     q1 (t + 1) = G11 (x1 (t), . . . , xn (t), q1 (t), . . . , ql (t));     ...  ql (t + 1)) = G1l (x1 (t), . . . , xn (t), q1 (t), . . . , ql (t));   q1 (1) = 0;     ...    ql (1) = 0. Äîîïðåäåëèì ôóíêöèè F 1 , G11 , . . . , G1l äî âñþäó îïðåäåëåííûõ ˜2 = áóëåâûõ ôóíêöèé F 2 , G21 , . . . , G2l ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëîæèì G 2 2 (G1 , . . . , Gl ). Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè èíèöèàëüíûé àâòîìàò Vq˜20 = ˜ 2 ) ñ n âõîäàìè, âõîäíûì àëôàâèòîì ({0, 1}n , {0, 1}, {0, 1}l , F 2 , G n {0, 1} , âûõîäíûì àëôàâèòîì {0, 1}, àëôàâèòîì ñîñòîÿíèé {0, 1}l , ôóíêöèåé âûõîäîâ F 2 : {0, 1}n × {0, 1}l → {0, 1}, âåêòîð-ôóíêöèåé ˜ 2 : {0, 1}n × {0, 1}l → {0, 1}l è íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì ïåðåõîäîâ G q˜0 = (0, . . . , 0). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòîò àâòîìàò âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ). Ïîñòðîèì ñõåìó S èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå {∨, &, } ñ n + l âõîäàìè, êîòîðûì ïðèïèñàíû ñèìâîëû x1 , . . . , xn , q1 , . . . , ql , è 1 + l âûõîäàìè y, z1 , . . . , zl ; ïðè ýòîì íà âûõîäå y ðåàëèçóåòñÿ ôóíêöèÿ F 2 (x1 , . . . , xn , q1 , . . . , ql ), à íà âûõîäàõ z1 , . . . , zl  ôóíêöèè G21 (x1 , . . . , xn , q1 , . . . , ql ), . . . , G2l (x1 , . . . , xn , q1 , . . . , ql ) ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 7).

x1

q q q

?

xn q1 ?

q q q

?

ql ?

S F2

G21

? y

? z1 q q q Ðèñ. 7

q q q

G2l ? zl

111

Ëåêöèÿ  10

Ïðåîáðàçóåì ñõåìó S ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âîçüìåì l ýëåìåíòîâ åäèíè÷íîé çàäåðæêè. Ïðèñîåäèíèì âõîä i-ãî ýëåìåíòà çàäåðæêè ê âûõîäó zi , à âûõîä  êî âõîäó qi ñõåìû S , i = 1, . . . , l. Êðîìå òîãî, ñèìâîëû x1 , . . . , xn çàìåíèì íà x1 (t), . . . , xn (t) ñîîòâåòñòâåííî, à ñèìâîëû ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ∨, &,  íà ñèìâîëû f& , f∨ è f− ñîîòâåòñòâåííî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì "ñõåìó" S1 èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå {f& , f∨ , f− , f~} (ðèñ. 8).

x1 (t) q q q xn (t) ?

?

?

q q q

?

q1

q q q

ql

z1

q q q

zl

S1

? y(t)

6

6

q q q

Ðèñ. 8 Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì ìû âûøëè çà ðàìêè äàííîãî ðàíåå îïðåäåëåíèÿ ñõåìû èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ, ïîñêîëüêó â S1 âîçíèêëè îðèåíòèðîâàííûå öèêëû. Îäíàêî èõ íàëè÷èå â "ñõåìå" S1 íå ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èÿì ïðè åå ôóíêöèîíèðîâàíèè, ïîñêîëüêó âñå ýòè öèêëû ïðîõîäÿò ÷åðåç ýëåìåíòû çàäåðæêè. Îïåðàöèÿ ïîñòðîåíèÿ â ñõåìàõ îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ýëåìåíòû çàäåðæêè, íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé îáðàòíîé ñâÿçè. Èíäóêöèåé ïî t íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t ïîäàâàòü íà âõîäû ñõåìû S1 çíà÷åíèÿ x1 (t), . . . , xn (t) èç {0, 1}, òî íà åå âûõîäå áóäåò âûäàâàòüñÿ çíà÷åíèå y(t) èç {0, 1}, êîòîðîå âû÷èñëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè àâòîìàòà Vq˜20 .

112

ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛ

Òåì ñàìûì ñõåìà S1 ðåàëèçóåò àâòîìàòíóþ ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ). Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî

Òåîðåìà. Ëþáóþ àâòîìàòíóþ ôóíêöèþ èç PE ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñõåìîé èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå {f& , f∨ , f− , f~} ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàöèè îáðàòíîé ñâÿçè. Çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ñõåìà S , ïîñòðîåííàÿ èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàöèè îáðàòíîé ñâÿçè, ðåàëèçóåò íåêîòîðóþ àâòîìàòíóþ ôóíêöèþ èç PE , ïîñêîëüêó ñîñòîÿíèå ñõåìû ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèÿìè ýëåìåíòîâ çàäåðæêè, à çíà÷èò, ñõåìà S èìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Òàêèì îáðàçîì, çàìûêàíèå ñèñòåìû {f& , f∨ , f− , f~} (ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàöèè îáðàòíîé ñâÿçè) ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì PE âñåõ àâòîìàòíûõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîëüíóþ àâòîìàòíóþ ôóíêöèþ f (x), f : A∞ → B ∞ . Ïóñòü Vq0 (A, B, Q, F, G)  èíèöèàëüíûé àâòîìàò, âû÷èñëÿþùèé ôóíêöèþ f , ãäå A = {a1 , . . . , aν }  âõîäíîé àëôàâèò, B = {b1 , . . . , bµ }  âûõîäíîé àëôàâèò, Q = {q1 , . . . , qλ }  àëôàâèò ñîñòîÿíèé, F : A × Q → B è G : A × Q → Q  ôóíêöèè âûõîäîâ è ïåðåõîäîâ ñîîòâåòñòâåííî, à q0  íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå àâòîìàòà Vq0 . Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýòîãî àâòîìàòà èìåþò âèä  y(t) = F (x(t), q(t));  q(t + 1) = G(x(t), q(t));  q(1) = q0 . Ïîëîæèì

n =] log2 ν[,

m =] log2 µ[,

l =] log2 λ[.

Çàíóìåðóåì áóêâû àëôàâèòîâ A, B è Q íàáîðàìè èç íóëåé è åäèíèö äëèíû n, m è l ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì ñîñòîÿíèþ q0 ñîïîñòàâèì íàáîð (0, . . . , 0). Îïðåäåëèì íîâûå ôóíêöèè:

 

(y1 (t), . . . , ym (t)) = F˜ (x1 (t), . . . , xn (t), q1 (t), . . . , ql (t)), ˜ 1 (t), . . . , xn (t), q1 (t), . . . , ql (t)), (q (t + 1), . . . , ql (t + 1)) = G(x  1 (q1 (1), . . . , ql (1)) = (0, 0, . . . , 0), ˜ = (G1 , . . . , Gl )  âåêòîð-ôóíêöèè, êîìïîãäå F˜ = (F1 , . . . , Fm ) è G íåíòû êîòîðûõ îïðåäåëåíû íà íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà E n+l è êîòîðûå ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç E = {0, 1}.

113

Ëåêöèÿ  10

˜ äî âñþäó îïðåäåëåííûõ âåêòîðÄîîïðåäåëèì ôóíêöèè F˜ è G 1 1 ˜ ˜ ôóíêöèé F è G ñîîòâåòñòâåííî.  ðåçóëüòàòå ìû ïîñòðîèëè èíèöèàëüíûé àâòîìàò ˜1) Vq˜10 = ({0, 1}n , {0, 1}m , {0, 1}l , F˜ 1 , G ñ n âõîäàìè è m âûõîäàìè, âõîäíûì àëôàâèòîì {0, 1}n , âûõîäíûì àëôàâèòîì {0, 1}m , àëôàâèòîì ñîñòîÿíèé {0, 1}l , âåêòîð-ôóíêöèåé âûõîäîâ F˜ 1 : {0, 1}n × {0, 1}l → {0, 1}m , âåêòîð-ôóíêöèåé ïåðåõîäîâ

˜ 1 : {0, 1}n × {0, 1}l → {0, 1}l G è íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì q˜0 = (0, . . . , 0). Ýòîò àâòîìàò âû÷èñëÿåò íåêîòîðóþ ñèñòåìó àâòîìàòíûõ ôóíêöèé f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn ) èç PE .  ìîìåíò âðåìåíè t íà âûõîäàõ àâòîìàòà Vq˜10 âûäàåòñÿ íàáîð (y1 (t), . . . , ym (t)) èç íóëåé è åäèíèö, ïî êîòîðîìó îäíîçíà÷íî äåêîäèðóåòñÿ çíà÷åíèå y(t) ∈ B âûõîäà àâòîìàòà Vq0 â òîò æå ìîìåíò âðåìåíè, t = 1, 2, . . . . Òàêèì îáðàçîì, àâòîìàò Vq˜10 ìîäåëèðóåò ôóíêöèîíèðîâàíèå àâòîìàòà Vq0 . Ïîñêîëüêó àâòîìàò Vq˜10 âû÷èñëÿåò ñèñòåìó àâòîìàòíûõ ôóíêöèé èç PE , òî â ñèëó òåîðåìû ñóùåñòâóåò ñõåìà S â áàçèñå {f& , f∨ , f− , f~}, êîòîðàÿ ðåàëèçóåò ýòè ôóíêöèè. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé àâòîìàòíîé ôóíêöèè f (x) ìîæíî ïîñòðîèòü ñõåìó èç àâòîìàòíûõ ýëåìåíòîâ â áàçèñå {f& , f∨ , f− , f~} ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàöèè îáðàòíîé ñâÿçè, ðåàëèçóþùóþ ñèñòåìó àâòîìàòíûõ ôóíêöèé f1 , . . . , fm èç PE , çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò çíà÷åíèå èñõîäíîé ôóíêöèè f .

114

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 114125

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ Ëåêöèÿ  11 Âàæíóþ ðîëü â ìàòåìàòèêå èãðàåò ïîíÿòèå àëãîðèòìà  ÷åòêî îïèñàííîé è ïðèâîäÿùåé ê ðåçóëüòàòó ïðîöåäóðû ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè.  ñèëó áîëüøîãî ðàçíîîáðàçèÿ ñóùåñòâóþùèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñëîæíóþ çàäà÷ó.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ àëãîðèòì â êàêîì-òî âèäå óäàåòñÿ íàéòè, ýòèì îáû÷íî è îãðàíè÷èâàþòñÿ. Îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ ýôôåêòèâíûõ ñïîñîáîâ âû÷èñëåíèÿ äîëãîå âðåìÿ íàéòè íå óäàâàëîñü (ê èõ ÷èñëó îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, ðàçðåøèìîñòü â öåëûõ ÷èñëàõ äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé). Ýòî ïîñëóæèëî ïîâîäîì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òàêèõ àëãîðèòìîâ âîîáùå íå ñóùåñòâóåò. Ïîëüçóÿñü èíòóèòèâíûì ïîíÿòèåì àëãîðèòìà, ýòîò ôàêò óñòàíîâèòü íåâîçìîæíî.  ñâÿçè ñ ýòèì áûëè ïðåäïðèíÿòû ïîïûòêè ôîðìàëèçîâàòü ïîíÿòèå àëãîðèòìà.  ñåðåäèíå 30-õ ãã. XX â. áûëè ïðåäëîæåíû ðàçëè÷íûå ôîðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ àëãîðèòìà (À. Òüþðèíã, À. ×åð÷, Ý. Ïîñò, À. À. Ìàðêîâ è äð.). Íî âñå îíè îêàçàëèñü ýêâèâàëåíòíûìè äðóã äðóãó. Ïîýòîìó áûëî âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ê äàííûì îïðåäåëåíèÿì ìîæåò áûòü ñâåäåíî ëþáîå êîððåêòíîå îïðåäåëåíèå àëãîðèòìà, ò. å. êàæäîå èç íèõ îïèñûâàåò êëàññ âñåõ âîçìîæíûõ ýôôåêòèâíûõ âû÷èñëåíèé. Ýòî ïîçâîëÿåò äàòü ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó âîïðîñó îá àëãîðèòìè÷åñêîé ðàçðåøèìîñòè òîé èëè èíîé ïðîáëåìû. Ìû äàäèì îïðåäåëåíèå àëãîðèòìà ïðè ïîìîùè ìàøèíû Òüþðèíãà. Ìàøèíû Òüþðèíãà. Ìàøèíà Òüþðèíãà  ýòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âû÷èñëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà. Êàæäàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íîé â îáå ñòîðîíû ëåíòû, ðàçáèòîé íà ÿ÷åéêè, è ÷èòàþùåé è ïèøóùåé ãîëîâêè, êîòîðàÿ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ âäîëü ëåíòû. Ìàøèíà ðàáîòàåò âî âðåìåíè, êîòîðîå ïðåäïîëàãàåòñÿ äèñêðåòíûì (ìîìåíòû âðåìåíè çàíóìåðîâàíû ÷èñëàìè 1, 2, . . . ).  êàæäîé ÿ÷åéêå ëåíòû â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè çàïèñàí ñèìâîë èç íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî àëôàâèòà A = {a0 , a1 , . . . , ak } (áóäåì òàêæå íàçûâàòü A âõîäíûì àëôàâèòîì ìàøèíû). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñðåäè áóêâ àëôàâèòà A èìååòñÿ

115

Ëåêöèÿ  11

ïóñòîé ñèìâîë a0 (ýòîò ñèìâîë îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå ÷åðåç 0). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ëåíòå â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè çàïèñàíî êîíå÷íîå ÷èñëî íåïóñòûõ ñèìâîëîâ. ×èòàþùàÿ è ïèøóùàÿ ãîëîâêà èìååò êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé Q = {q0 , q1 , . . . , qn }, Q ∩ A = ∅.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t îíà íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè q(t) ∈ Q è âîñïðèíèìàåò ñîäåðæèìîå x(t) ∈ A îäíîé èç ÿ÷ååê ëåíòû.  çàâèñèìîñòè îò ñîñòîÿíèÿ q(t) è áóêâû x(t) îíà çàïèñûâàåò íîâóþ áóêâó y(t) ∈ A â òó æå ÿ÷åéêó, ê ñëåäóþùåìó ìîìåíòó âðåìåíè t + 1 ïåðåõîäèò â íîâîå ñîñòîÿíèå q(t + 1) ∈ Q è ñäâèãàåòñÿ ïî ëåíòå  ëèáî íà îäíó ÿ÷åéêó âëåâî, ëèáî íà îäíó ÿ÷åéêó âïðàâî, ëèáî îñòàåòñÿ íà ìåñòå. Ñðåäè ñîñòîÿíèé ìàøèíû èìååòñÿ çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå q0 ∈ Q, ïîïàâ â êîòîðîå ìàøèíà ïåðåñòàåò ðàáîòàòü.

q q q

x(t) ? q(t) y(t)

q q q 6

∨ ? Ðèñ. 1

Òàêèì îáðàçîì, ÷èòàþùàÿ è ïèøóùàÿ ãîëîâêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíå÷íûé àâòîìàò V = (A, A, Q, F, G), ó êîòîðîãî âõîäíûì è âûõîäíûì àëôàâèòîì ñëóæèò A = {a0 , a1 , . . . , ak }, ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé ÿâëÿåòñÿ Q = {q0 , q1 , . . . , qn }, n > 1, à F : A × Q → A è G : A × Q → Q  ôóíêöèè âûõîäîâ è ïåðåõîäîâ ñîîòâåòñòâåííî. Êðîìå òîãî, ó ýòîãî àâòîìàòà çàäàíû çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå q0 ∈ Q è ôóíêöèÿ äâèæåíèÿ ãîëîâêè D : A × Q → {L, R, S}, ãäå ñèìâîëû L, R è S îáîçíà÷àþò ñäâèã ãîëîâêè íà îäíó ÿ÷åéêó âëåâî, ñäâèã íà îäíó ÿ÷åéêó âïðàâî è îòñóòñòâèå äâèæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 1).  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè íà ëåíòå çàïèñàíî íåêîòîðîå ñëîâî, ñîñòàâëåííîå èç áóêâ àëôàâèòà A, ÷èòàþùàÿ è ïèøóùàÿ ãîëîâêà íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè q ∈ Q è îáîçðåâàåò íåêîòîðóþ ÿ÷åéêó ëåíòû. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ òðåõ îáúåêòîâ áóäåì íàçûâàòü

116

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

êîíôèãóðàöèåé. Îáû÷íî áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êîíôèãóðàöèè, â êîòîðûõ íà ëåíòå çàïèñàíî êîíå÷íîå ÷èñëî íåïóñòûõ ñèìâîëîâ. Òàêàÿ êîíôèãóðàöèÿ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 2, ãäå èçîáðàæåíà ÷àñòü ëåíòû, ñîäåðæàùàÿ âñå íåïóñòûå ñèìâîëû; ïîä îòìå÷åííîé îáîçðåâàåìîé ÿ÷åéêîé óêàçûâàåòñÿ ñîñòîÿíèå q ãîëîâêè; ai1 , . . . , air ∈ A. Ìîæíî ñ÷èòàòü â ýòîì ñëó÷àå, ÷òî íà ëåíòå çàïèñàíî ñëîâî êîíå÷íîé äëèíû â àëôàâèòå A, ñàìàÿ ëåâàÿ è ñàìàÿ ïðàâàÿ áóêâû êîòîðîãî  íåïóñòûå (ëèáî íà ëåíòå çàïèñàíû ëèøü ïóñòûå ñèìâîëû). Î÷åâèäíî, ÷òî êîíôèãóðàöèÿ ìàøèíû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò åå ðàáîòó. Êàê ïðàâèëî, â íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè ãîëîâêà áóäåò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè q1 ∈ Q è îáîçðåâàòü ñàìóþ ëåâóþ ÿ÷åéêó, çàíÿòóþ íåïóñòîé áóêâîé. a i1

...

aij ↑ q

...

a ir

Ðèñ. 2 Ìàøèíà M íàçûâàåòñÿ ïðèìåíèìîé ê íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè (èëè ê íà÷àëüíîìó ñëîâó), åñëè îíà, ðàáîòàÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óñòàíîâëåííûìè ïðàâèëàìè, â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ïðèäåò â çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå. Ðåçóëüòàòîì ðàáîòû ìàøèíû ñ÷èòàåòñÿ ñëîâî, çàïèñàííîå íà ëåíòå â çàêëþ÷èòåëüíîé êîíôèãóðàöèè. Åñëè æå ìàøèíà íè â êàêîé ìîìåíò âðåìåíè íå îêàæåòñÿ â çàêëþ÷èòåëüíîì ñîñòîÿíèè, òî îíà íàçûâàåòñÿ íåïðèìåíèìîé ê íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè (èëè ê íà÷àëüíîìó ñëîâó); ðåçóëüòàò åå ðàáîòû â ýòîì ñëó÷àå íåîïðåäåëåí. Êàæäàÿ ìàøèíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì êîìàíä âèäà qa → q 0 a0 d, ãäå q  ñîñòîÿíèå ãîëîâêè; a  áóêâà â îáîçðåâàåìîé ÿ÷åéêå; q 0 = G(a, q)  ñîñòîÿíèå ãîëîâêè â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè; a0 = F (a, q)  áóêâà, çàïèñûâàåìàÿ âìåñòî áóêâû a â îáîçðåâàåìóþ ÿ÷åéêó; d = D(a, q)  ñäâèã ãîëîâêè ê ñëåäóþùåìó ìîìåíòó âðåìåíè: L, åñëè ïðîèñõîäèò ñäâèã âëåâî; R, åñëè âïðàâî; S , åñëè ãîëîâêà îñòàåòñÿ íà ìåñòå. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ êîìàíä ìàøèíû íàçûâàåòñÿ åå ïðîãðàììîé. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âñåõ qi , aj (i = 1, . . . , n; j = 0, . . . , k ) ïðîãðàììà ìàøèíû ñîäåðæèò â òî÷íî-

117

Ëåêöèÿ  11

ñòè îäíó êîìàíäó, êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ ñëîâîì qi aj . Òàêèì îáðàçîì, ïðîãðàììà ìàøèíû ñ âõîäíûì àëôàâèòîì A = {a0 , a1 , . . . , ak } è ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé Q = {q0 , q1 , . . . , qn } ñîäåðæèò â òî÷íîñòè n(k + 1) êîìàíä.

Ïðèìåð. Ïóñòü M1  ìàøèíà Òüþðèíãà ñî ñïèñêîì êîìàíä qi aj → qi aj S (i = 1, . . . , n; j = 0, . . . , k),

à M2  ìàøèíà Òüþðèíãà ñî ñïèñêîì êîìàíä qi aj → q0 aj S (i = 1, . . . , n; j = 0, . . . , k).

Î÷åâèäíî, ÷òî ìàøèíà M1 íå ïðèìåíèìà íè ê êàêîìó ñëîâó, à ìàøèíà M2 ïðèìåíèìà ê ëþáîìó ñëîâó, çàïèñàííîìó íà ëåíòå â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íà ìàøèíàõ Òüþðèíãà ÷èñëîâûõ ôóíêöèé èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå êîäèðîâàíèå ÷èñåë (ïîä ÷èñëàìè ïîíèìàþòñÿ öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà 0, 1, 2, . . . , ìíîæåñòâî êîòîðûõ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç N). ×èñëî m ∈ N êîäèðóåòñÿ ñëîâîì äëèíû m + 1, ñîñòîÿùèì èç îäíèõ åäèíèö; íàáîð α ˜ = (m1 , m2 , . . . , mn ) êîäèðóåòñÿ ñëîâîì k(˜ α) èç íóëåé è åäèíèö ñëåäóþùåãî âèäà:

. . 1} 0 . . . 0 1| .{z . . 1} , k(˜ α) = 1| .{z . . 1} 0 1| .{z m1 +1

m2 +1

mn +1

m1 , m2 , . . . , mn ∈ N ; ñëîâî k(˜ α) íàçûâàåòñÿ êîäîì íàáîðà α ˜. Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå D(f ) ìíîæåñòâà N × N × · · · × N = Nn è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà N; D(f ) íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f . Ïóñòü M  íåêîòîðàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà. Ìàøèíà M âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ), åñëè äëÿ ëþáîãî íàáîðà α ˜ = (m1 , m2 , . . . , mn ) èç Nn âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: a) åñëè α ˜∈ / D(f ), òî M íåïðèìåíèìà ê ñëîâó k(˜ α); b) åñëè α ˜ ∈ D(f ), òî M ïðèìåíèìà ê ñëîâó k(˜ α), è çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ èìååò âèä 0 1| .{z . . 1} 0 , m+1

↑ q0 ãäå m = f (m1 , . . . , mn ).

118

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

×àñòè÷íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ âû÷èñëèìîé (ïî Òüþðèíãó), åñëè ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåò ýòó ôóíêöèþ. Îòìåòèì, ÷òî ìàøèíà M1 èç ïåðâîãî âû÷èñëÿåò íèãäå íå îïðåäåëåííóþ ôóíêöèþ (ñ÷èòàåì, ÷òî 0, 1 ∈ A).

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ìàøèíó M3 ñ âõîäíûì àëôàâèòîì A = {0, 1}, ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé Q = {q0 , q1 , q2 } è êîìàíäàìè q1 1 → q1 1R, q1 0 → q2 1L, q2 1 → q2 1L, q2 0 → q2 0R.

Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíèðîâàíèå ýòîé ìàøèíû íà ñëåäóþùåé íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè: 01 . . 1} 0 . | .{z m+1

↑ q1 Îíà ñíà÷àëà äîéäåò äî êîíöà ìàññèâà èç åäèíèö, îáíàðóæèò íóëü, çàìåíèò åãî íà åäèíèöó, ïîéäåò îáðàòíî è áóäåò èäòè äî òåõ ïîð, ïîêà íå íàéäåò íóëü, ðàñïîëîæåííûé â íà÷àëå ÷èñëà, ïîñëå ÷åãî îñòàíîâèòñÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàøèíà M3 âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x) = x + 1. Åñëè âçÿòü äâà ÷èñëà m1 è m2 è ðàññìîòðåòü ôóíêöèîíèðîâàíèå ìàøèíû M3 ïðè íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè 01 . . 1} 0 1 . . 1} 0 , | .{z | .{z m1 +1

m2 +1

↑ q1

òî â çàêëþ÷èòåëüíîé êîíôèãóðàöèè ïîëó÷èì êîä ÷èñëà m1 + m2 + 2. Òî åñòü ìàøèíà M3 âû÷èñëÿåò òàêæå ôóíêöèþ f (x, y) = x + y + 2.

Óäâîåíèå ñëîâà. Ïóñòü A = {a0 , a1 , . . . , ak }, a0 = 0. Ïîñòðîèì ìàøèíó Òüþðèíãà M D , êîòîðàÿ óäâàèâàåò ñëîâà â àëôàâèòå A è ïîìåùàåò ìåæäó äâóìÿ ýêçåìïëÿðàìè ñëîâà ñèìâîë ¤ ∈ / A: ai1 ai2 . . . air → ai1 . . . air ¤ ai1 . . . air , ãäå ai1 , . . . , air 6= 0, r > 1. Òî åñòü ýòà ìàøèíà ïåðåâîäèò ëþáóþ êîíôèãóðàöèþ âèäà ai1 ai2 . . . air , ↑ q1 ai1 , . . . , air 6= 0, â êîíôèãóðàöèþ âèäà

119

Ëåêöèÿ  11

ai1 ai2 . . . air ¤ ai1 ai2 . . . air . ↑ q0 Ìàøèíà M D ðàáîòàåò â ðàñøèðåííîì àëôàâèòå

A0 = {0, a1 , . . . , ak , ¤, a01 , . . . , a0k }, ãäå a01 , . . . , a0k  "äâîéíèêè" áóêâ a1 , . . . , ak ñîîòâåòñòâåííî, a01 , . . . , a0k ∈ / A. Ðàáîòà ìàøèíû M D ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ öèêëîâ.  î÷åðåäíîì öèêëå ãîëîâêà îòìå÷àåò ìåñòî, ãäå ñòîèò î÷åðåäíàÿ áóêâà, çàïîìèíàåò åå è ïåðåíîñèò ýòó áóêâó ÷åðåç íåîáðàáîòàííóþ ÷àñòü ñëîâà, ñèìâîë ¤ è ÷åðåç ïîñòðîåííóþ ê ýòîìó ìîìåíòó ÷àñòü âòîðîãî ýêçåìïëÿðà ñëîâà, ñòàâèò áóêâó íà ïåðâîå ïóñòîå ìåñòî è èäåò çà ñëåäóþùåé áóêâîé. Ïîñëå òîãî êàê âñå áóêâû ïåðåíåñåíû, îòìåòêè ñòèðàþòñÿ è ãîëîâêà âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíóþ ïîçèöèþ. Ìàøèíà M D èìååò ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé

{q0 , q1 , q4 , q5 , q6 , q2,i , q3,i , i = 1, . . . , k}; ïðîãðàììà ìàøèíû M D èìååò ñëåäóþùèé âèä:

q1 ai → q2,i a0i R çàïîìèíàíèå áóêâû ai ; q2,i aj → q2,i aj R ïåðåíîñ áóêâû ai ÷åðåç íåîáðàáîòàííóþ ÷àñòü ñëîâà; q2,i 0 → q3,i ¤R çàïèñü ñèìâîëà ¤; q2,i ¤ → q3,i ¤R ïåðåíîñ ai ÷åðåç ñèìâîë ¤; q3,i aj → q3,i aj R ïåðåíîñ ai ÷åðåç ïîñòðîåííóþ ÷àñòü âòîðîãî ýêçåìïëÿðà ñëîâà; q3,i 0 → q4 ai L çàïèñü ai íà ïåðâîì ïóñòîì ìåñòå; q4 ai → q4 ai L äâèæåíèå âëåâî ÷åðåç ïîñòðîåííóþ ÷àñòü âòîðîãî ýêçåìïëÿðà ñëîâà; q4 ¤ → q5 ¤L ïåðåõîä ÷åðåç ñèìâîë ¤; q5 ai → q5 ai L äâèæåíèå âëåâî ÷åðåç íåîáðàáîòàííóþ ÷àñòü ñëîâà; q5 a0i → q1 a0i R îáíàðóæåíèå ëåâîé íåîáðàáîòàííîé áóêâû; q1 ¤ → q6 ¤L îáíàðóæåíèå, ÷òî âñå áóêâû ïåðåíåñåíû; q6 a0i → q6 ai L ñòèðàíèå øòðèõîâ; q6 0 → q0 0R îáíàðóæåíèå, ÷òî âñå øòðèõè ñòåðòû, ãäå i, j = 1, 2, . . . , k.

120

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ìàøèíà ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé. Âûäâèãàåòñÿ ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå.

Òåçèñ Òüþðèíãà. Ëþáîé èíòóèòèâíî îñóùåñòâèìûé àëãîðèòì ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí â íåêîòîðîé ìàøèíå Òüþðèíãà. Òåçèñ Òüþðèíãà íå ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé, åãî íåëüçÿ äîêàçàòü èççà òîãî, ÷òî ïîíÿòèå èíòóèòèâíî îñóùåñòâèìîãî àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ íåôîðìàëüíûì. Ìîæíî ëèøü ïðèâîäèòü äîâîäû â åãî ïîëüçó. Ïðåæäå âñåãî ýòî ïðåäïîëîæåíèå ïîäòâåðæäàåòñÿ îïûòîì ëþäåé, çàíèìàâøèõñÿ ïîñòðîåíèåì àëãîðèòìîâ â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ òûñÿ÷ ëåò. Âàæíûì äîâîäîì â ïîëüçó ýòîãî òåçèñà ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñëåäóþùèé. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ðÿäîì àâòîðîâ áûëè ïðåäëîæåíû ðàçíûå ôîðìàëüíûå óòî÷íåíèÿ ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà. Âñå îíè îêàçàëèñü ýêâèâàëåíòíûìè. Òåïåðü ìû ìîæåì óêàçàòü íåêîòîðûå ïðîáëåìû, ÿâëÿþùèåñÿ àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìûìè. Ïîêàæåì, ÷òî âñå ìàøèíû Òüþðèíãà ìîæíî çàêîäèðîâàòü ñëîâàìè â àëôàâèòå {1, ∗} òàê, ÷òîáû ïî ïðîãðàììå ìàøèíû ýôôåêòèâíî ñòðîèëñÿ êîä è, íàîáîðîò, ïî êîäó ýôôåêòèâíî âîññòàíàâëèâàëàñü ïðîãðàììà. Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà ñ âõîäíûì àëôàâèòîì A = {a0 , a1 , . . . , ak } è ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé Q = {q0 , q1 , . . . , qn }. Çàíóìåðóåì âñå ñèìâîëû, âñòðå÷àþùèåñÿ â êîìàíäàõ ìàøèíû M , öåëûìè íåîòðèöàòåëüíûìè ÷èñëàìè: S L R a0 a1 . . . ak q0 q1 . . . qn 0 1 2 3 4 ... k + 3 k + 4 k + 5 ... k + n + 4.  ðåçóëüòàòå êàæäîìó ñèìâîëó b èç ìíîæåñòâà

{S, L, R, a0 , a1 , . . . , ak , q0 , q1 , . . . , qn } ñîïîñòàâëåíî íåêîòîðîå ÷èñëî n(b) ∈ N . Êàê è ðàíåå, ÷èñëî n(b) áóäåì çàäàâàòü ñëîâîì èç åäèíèö äëèíû n(b) + 1; áóäåì ýòî ñëîâî íàçûâàòü êîäîì ñèìâîëà b è îáîçíà÷àòü ÷åðåç K(b). Êîìàíäå F âèäà qa → q 0 a0 d ìàøèíû M ñîïîñòàâèì ñëîâî

K(q) ∗ K(a) ∗ K(q 0 ) ∗ K(a0 ) ∗ K(d) (êîä êîìàíäû); îáîçíà÷èì êîä êîìàíäû F ÷åðåç K(F ). Ïóñòü F1 , . . . , Fl  ñïèñîê âñåõ êîìàíä ìàøèíû M . Ñîïîñòàâèì ìàøèíå M

121

Ëåêöèÿ  11

ñëîâî K(F1 ) ∗ K(F2 ) ∗ · · · ∗ K(Fl ). Ýòî ñëîâî áóäåì íàçûâàòü êîäîì ìàøèíû M è îáîçíà÷àòü ÷åðåç K(M ). Èç ïîñòðîåíèÿ âèäíî, ÷òî îí ýôôåêòèâíî îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé êîìàíä. Ëåãêî âèäåòü òàêæå, ÷òî ïî êîäó K(M ) ìàøèíû ýôôåêòèâíî îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìà êîìàíä.  ñàìîì äåëå, ïðîñìàòðèâàÿ â êîäàõ êîìàíä âòîðûå êîìïîíåíòû, ìîæíî íàéòè ÷èñëî k . Ïîñëå ýòîãî ïî êîäó K(q) ñîñòîÿíèÿ q ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ íîìåð ýòîãî ñîñòîÿíèÿ. Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìàøèíû, âõîäíûå àëôàâèòû êîòîðûõ ñîäåðæàò ñèìâîëû 0, 1 è ∗. Ìàøèíà M , ïðèìåíèìàÿ ê ñëîâó K(M ) (ò. e. ê ñîáñòâåííîìó êîäó), íàçûâàåòñÿ ñàìîïðèìåíèìîé. Ìàøèíà, íåïðèìåíèìàÿ ê ñîáñòâåííîìó êîäó, íàçûâàåòñÿ íåñàìîïðèìåíèìîé. Êàæäàÿ ìàøèíà ÿâëÿåòñÿ ëèáî ñàìîïðèìåíèìîé, ëèáî íåñàìîïðèìåíèìîé. Ñóùåñòâóþò ñàìîïðèìåíèìûå ìàøèíû. Ïðèìåðàìè òàêèõ ìàøèí ÿâëÿþòñÿ ìàøèíû, â ïðàâûõ ÷àñòÿõ êîìàíä êîòîðûõ âñòðå÷àåòñÿ òîëüêî çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå, â ÷àñòíîñòè ìàøèíà M2 èç ïåðâîãî ïðèìåðà. Ñóùåñòâóþò è íåñàìîïðèìåíèìûå ìàøèíû. Ïðèìåðàìè òàêèõ ìàøèí ÿâëÿþòñÿ ìàøèíû, â ïðàâûõ ÷àñòÿõ êîìàíä êîòîðûõ íå âñòðå÷àåòñÿ çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå; ê èõ ÷èñëó îòíîñèòñÿ ìàøèíà M1 (èç ïåðâîãî ïðèìåðà).

Ïðîáëåìà ñàìîïðèìåíèìîñòè. Ïðîáëåìà ñàìîïðèìåíèìîñòè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ïî êîäó K(M ) ïðîèçâîëüíîé ìàøèíû M óñòàíîâèòü, ÿâëÿåòñÿ îíà ñàìîïðèìåíèìîé èëè íåò. Èëè, òî÷íåå, íàéòè àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Ïîñêîëüêó ìû ïðèíÿëè òåçèñ Òüþðèíãà, àëãîðèòì äîëæåí áûòü âûðàæåí â âèäå ñîîòâåòñòâóþùåé ìàøèíû Òüþðèíãà. Òàêèì îáðàçîì, òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà, êîòîðàÿ áûëà áû ïðèìåíèìà ê êîäàì âñåõ ìàøèí è çàêëþ÷èòåëüíûå êîíôèãóðàöèè ïðè ðàáîòå íàä êîäàìè ñàìîïðèìåíèìûõ è íåñàìîïðèìåíèìûõ ìàøèí ýôôåêòèâíî áû ðàçëè÷àëèñü. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìàøèíà M S ðåøàåò ïðîáëåìó ñàìîïðèìåíèìîñòè, åñëè 1) M S ïðèìåíèìà ê êîäó ëþáîé ìàøèíû; 2) â ñëó÷àå ñàìîïðèìåíèìîé ìàøèíû çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ èìååò âèä ...

1 ... ↑ q0

;

122

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

3) â ñëó÷àå íåñàìîïðèìåíèìîé ìàøèíû çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ èìååò âèä ... 0 ... ↑ q0 (âíå îáîçðåâàåìîé ãîëîâêîé ÿ÷åéêè ìîæåò ñòîÿòü ÷òî óãîäíî).

Òåîðåìà 1. Ïðîáëåìà ñàìîïðèìåíèìîñòè àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà. ò. å. íå ñóùåñòâóåò ìàøèíû Òüþðèíãà, ðåøàþùåé ýòó ïðîáëåìó â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ ìàøèíà M S , ðåøàþùàÿ ïðîáëåìó ñàìîïðèìåíèìîñòè. Ïîñòðîèì íîâóþ c, êîòîðàÿ ïðèìåíèìà ê êîäàì íåñàìîïðèìåíèìûõ ìàøèí ìàøèíó M è íåïðèìåíèìà ê êîäàì ñàìîïðèìåíèìûõ ìàøèí. c ïîëó÷àåòñÿ èç ìàøèíû M S ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìàøèíà M Äîáàâèì ê ìíîæåñòâó Q ñîñòîÿíèé ìàøèíû MS íîâîå ñîñòîÿíèå q00 ∈ / Q, êîòîðîå áóäåì ñ÷èòàòü çàêëþ÷èòåëüíûì ñîñòîÿíèåì ìàøèc; ïðè ýòîì çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå q0 ìàøèíû M S áóäåò íû M c. Ñîõðàíåçàêëþ÷èòåëüíûì ("îáû÷íûì") ñîñòîÿíèåì ìàøèíû M S íèì âñå êîìàíäû ìàøèíû M è äîáàâèì ê íèì äâå íîâûå êîìàíäû q0 1 → q0 1S,

q0 0 → q00 0S.

c (ðèñ. 3).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìàøèíó M

c M

MS q0 0 → q00 0S q0 1 → q0 1S Ðèñ. 3

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé. Òî åñòü åñëè ñóùåc, îáëàäàþùàÿ óêàñòâóåò ìàøèíà M S , òî ñóùåñòâóåò è ìàøèíà M çàííûìè âûøå ñâîéñòâàìè.

Ëåêöèÿ  11

123

c íàä ñîáñòâåííûì Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíèðîâàíèå ìàøèíû M c c êîäîì K(M ). Ìàøèíà M ÿâëÿåòñÿ ëèáî ñàìîïðèìåíèìîé, ëèáî íåñàìîïðèìåíèìîé. c),  ïåðâîì ñëó÷àå îíà ïðèìåíèìà ê ñîáñòâåííîìó êîäó K(M ò. å. ê êîäó ñàìîïðèìåíèìîé ìàøèíû, à ýòî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó ïî ïîñòðîåíèþ îíà íåïðèìåíèìà ê êîäàì ñàìîïðèìåíèìûõ ìàøèí. c), ò. å. ê êîäó íåñàÂî âòîðîì ñëó÷àå îíà íåïðèìåíèìà ê êîäó K(M c ïðèìåíèìà ìîïðèìåíèìîé ìàøèí, à ýòî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó M ê êîäàì íåñàìîïðèìåíèìûõ ìàøèí. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèøëè c íå ñóùåñòâóåò. ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ñëåäîâàòåëüíî, òàêîé ìàøèíû M Ïîýòîìó íå ñóùåñòâóåò è ìàøèíû M S , ðåøàþùåé ïðîáëåìó ñàìîïðèìåíèìîñòè. Ïóñòü M1 è M2  äâå ìàøèíû ñ îäèíàêîâûì âõîäíûì àëôàâèòîì A = {a0 , a1 , . . . , ak }, èìåþùèå ìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé {q0 , q1 , . . . , qn } è {q0 , q10 , . . . , qr0 } ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñòðîèì òðåòüþ ìàøèíó M ñ òåì æå âõîäíûì àëôàâèòîì A è ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé {q0 , q1 , . . . , qn , qn+1 , . . . , qn+r }, ðàáîòà êîòîðîé ðàâíîñèëüíà ïîñëåäîâàòåëüíîé ðàáîòå ìàøèí M1 è M2 . À èìåííî ñíà÷àëà èñõîäíîå ñëîâî íà ëåíòå ïåðåðàáàòûâàåòñÿ ìàøèíîé M1 , çàòåì åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ìàøèíà M1 ïåðåõîäèò â çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå q0 , òî â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè ñîäåðæèìîå ëåíòû íà÷èíàåò ïåðåðàáàòûâàòü ìàøèíà M2 , ãîëîâêà êîòîðîé íàõîäèòñÿ â òîì æå ìåñòå ëåíòû, ãäå îñòàíîâèëàñü ãîëîâêà ìàøèíû M1 . Ìàøèíà M íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìàøèíû M1 è ìàøèíû M2 . Ïðîãðàììà ìàøèíû M ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âî âñåõ êîìàíäàõ ìàøèíû M1 , ñîäåðæàùèõ ñèìâîë çàêëþ÷èòåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ q0 ìàøèíû M1 , çàìåíèì q0 íà ñèìâîë qn+1 ; âñå îñòàëüíûå ñèìâîëû â ïðîãðàììå M1 îñòàâèì áåç èçìåíåíèÿ. Âî âñåõ êîìàíäàõ ìàøèíû M2 ñèìâîë q0 (çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå ìàøèíû M2 ) îñòàâèì áåç èçìåíåíèÿ, à êàæäûé ñèìâîë qi0 çàìåíèì íà ñèìâîë qn+i , i = 1, . . . , r. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ êîìàíä ìàøèí M1 è M2 , èçìåíåííûõ óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì, è áóäåò ïðîãðàììîé ìàøèíû M . Íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì ìàøèíû M áóäåò íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå q1 ìàøèíû M1 , à çàêëþ÷èòåëüíûì  çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå q0 ìàøèíû M2 . Ïðîèçâåäåíèå ìàøèíû M1 è ìàøèíû M2 îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç M1 · M2 .

Ïðîáëåìà ïðèìåíèìîñòè. Ïóñòü A  ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ñèìâîëû 0, 1, ∗ è íå ñîäåðæàùåå ñèìâîë

124

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

¤, M  ïðîèçâîëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà ñ âõîäíûì àëôàâèòîì A, à A  êîíå÷íîå ñëîâî â àëôàâèòå A \ {0}. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: ïî êîäó K(M ) ìàøèíû M è ñëîâó A óçíàòü, ïðèìåíèìà M ê ñëîâó A èëè íåò. Ýòà çàäà÷à íàçûâàåòñÿ ïðîáëåìîé ïðèìåíèìîñòè.  òåðìèíàõ ìàøèí Òüþðèíãà îíà ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìàøèíà M P ðåøàåò ïðîáëåìó ïðèìåíèìîñòè (ê ñëîâàì â àëôàâèòå A \ {0}), åñëè: 1) M P ïðèìåíèìà ê ëþáîìó ñëîâó âèäà K(M ) ¤ A, ãäå K(M )  êîä íåêîòîðîé ìàøèíû ñ âõîäíûì àëôàâèòîì A, à A  íåêîòîðîå êîíå÷íîå ñëîâî â àëôàâèòå A \ {0}; 2) â ñëó÷àå, êîãäà M ïðèìåíèìà ê A, çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ ìàøèíû M P èìååò âèä ...

1 ... ↑ q0

;

3) â ñëó÷àå, êîãäà M íåïðèìåíèìà ê A, çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ èìååò âèä ...

0 ↑ q0

...

(âíå îáîçðåâàåìîé ãîëîâêîé ÿ÷åéêè ìîæåò ñòîÿòü ÷òî óãîäíî).

Òåîðåìà 2. Íå ñóùåñòâóåò ìàøèíû Òüþðèíãà, ðåøàþùåé ïðîáëåìó ïðèìåíèìîñòè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A  íåêîòîðûé êîíå÷íûé àëôàâèò, òàêîé, ÷òî 0, 1, ∗ ∈ A, ¤ ∈ / A. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìàøèíà M P , ðåøàþùàÿ ïðîáëåìó ïðèìåíèìîñòè ê ñëîâàì â àëôàâèòå A \ {0}. Ïóñòü M D  ìàøèíà Òüþðèíãà, óäâàèâàþùàÿ ñëîâà â àëc = M D · M P  ïðîèçâåäåíèå ôàâèòå {1, ∗}. Ïîñòðîèì ìàøèíó M D P ìàøèíû M è ìàøèíû M , ðàáîòà êîòîðîé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: ñíà÷àëà ðàáîòàåò ìàøèíà M D , çàòåì ìàøèíà M P . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ðàáîòå íàä êîäîì K(M ) ïðîèçâîëüíîé ìàøèíû M c ñíà÷àëà çàïèøåò íà ëåíòå ñëîâî K(M ) ¤ K(M ) (ïðè÷åì ìàøèíà M ãîëîâêà áóäåò îáîçðåâàòü ñàìûé ëåâûé ñèìâîë ýòîãî ñëîâà), à çà-

125

Ëåêöèÿ  11

òåì çàñòàâèò ðàáîòàòü íàä ýòèì ñëîâîì ìàøèíó M P . Ìàøèíà M P ïðèìåíèìà êî âñåì òàêèì ñëîâàì è îñòàíîâèòñÿ â êîíôèãóðàöèè ...

1 ... ↑ q0

,

êîãäà ìàøèíà M ïðèìåíèìà ê ñëîâó K(M ) (ò. å. êîãäà M ñàìîïðèìåíèìà) è îñòàíîâèòñÿ â êîíôèãóðàöèè ...

0 ... ↑ q0

,

êîãäà â ñâîþ î÷åðåäü M íåïðèìåíèìà ê ñëîâó K(M ) (ò. å. êîãäà c ðåøàåò ïðîáëåM íåñàìîïðèìåíèìà). Òàêèì îáðàçîì, ìàøèíà M ìó ñàìîïðèìåíèìîñòè.  ñèëó òåîðåìû 1 ýòî íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ìàøèíû M P íå ñóùåñòâóåò. Îòìåòèì, ÷òî â ýòîé òåîðåìå äîêàçàíî áîëüøåå: àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû ïðèìåíèìîñòè ê ñëîâàì â àëôàâèòå {1, ∗}.

126

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 126135

Ëåêöèÿ  12 Ïóñòü A  êîíå÷íûé àëôàâèò, ñîäåðæàùèé ñèìâîëû 0, 1, ∗ è íå ñîäåðæàùèé ñèìâîëîâ α è ¤. Ïóñòü M  ìàøèíà Òüþðèíãà ñ âõîäíûì àëôàâèòîì A è ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé Q. Áóäåì êîäèðîâàòü êîíôèãóðàöèè ìàøèíû M , â êîòîðûõ íà ëåíòå çàïèñàíî êîíå÷íîå ÷èñëî íåïóñòûõ ñèìâîëîâ, ñëîâàìè â àëôàâèòå A ∪ {α}. Ïóñòü êîíôèãóðàöèÿ T ìàøèíû M èìååò âèä

a(1)

...

a(i−1)

a(i) ↑ q

a(i+1)

...

a(m)

,

ãäå a(1) , . . . , a(m) ∈ A, q ∈ Q, a(1) , a(m) 6= 0, è âñå íåïóñòûå ñèìâîëû, çàïèñàííûå íà ëåíòå, íàõîäÿòñÿ ñðåäè áóêâ a(1) , a(2) , . . . , a(m) . Ñîïîñòàâèì êîíôèãóðàöèè T ñëîâî

a(1) a(2) . . . α K(q) α a(i) . . . a(m) (êîä êîíôèãóðàöèè); îáîçíà÷èì êîä êîíôèãóðàöèè T ÷åðåç N (T ). Êîíôèãóðàöèþ T áóäåì íàçûâàòü ïðàâèëüíîé, åñëè ñðåäè a(1) , a(2) , . . . , a(m) íåò ïóñòûõ ñèìâîëîâ. Ñëîâà, çàïèñàííûå íà ëåíòå â ïðàâèëüíûõ êîíôèãóðàöèÿõ, áóäåì íàçûâàòü ïðàâèëüíûìè; ê ïðàâèëüíûì ñëîâàì îòíåñåì òàêæå ñëîâî, ñîñòîÿùåå òîëüêî èç ïóñòûõ ñèìâîëîâ. Ïðîáëåìà ïåðåâîäèìîñòè. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: ïî êîäó K(M ) ìàøèíû M è êîäàì N (T1 ) è N (T2 ) êîíôèãóðàöèé T1 è T2 ñîîòâåòñòâåííî óçíàòü, ïåðåâîäèò ìàøèíà M êîíôèãóðàöèþ T1 â êîíôèãóðàöèþ T2 èëè íåò. Ýòà çàäà÷à íàçûâàåòñÿ ïðîáëåìîé ïåðåâîäèìîñòè (êîíôèãóðàöèé).  òåðìèíàõ ìàøèíû Òüþðèíãà îíà ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìàøèíà M K ðåøàåò ïðîáëåìó ïåðåâîäèìîñòè (êîíôèãóðàöèé), åñëè: 1) ìàøèíà M K ïðèìåíèìà ê ëþáûì ñëîâàì âèäà

K(M ) ¤N (T1 ) ¤ N (T2 ), ãäå K(M )  êîä íåêîòîðîé ìàøèíû Òüþðèíãà M , à N (T1 ) è N (T2 )  êîäû íåêîòîðûõ êîíôèãóðàöèé T1 è T2 ñîîòâåòñòâåííî;

127

Ëåêöèÿ  12

2) â ñëó÷àå, êîãäà ìàøèíà M ïåðåâîäèò êîíôèãóðàöèþ T1 â êîíôèãóðàöèþ T2 , çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ ìàøèíû M K èìååò âèä ...

0

1 0 ↑ q0

...

;

3) â ñëó÷àå, êîãäà ìàøèíà M íå ïåðåâîäèò êîíôèãóðàöèþ T1 â êîíôèãóðàöèþ T2 , çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ ìàøèíû M K èìååò âèä ...

0

0 ↑ q0

0

...

(âíå îáîçðåâàåìîé ãîëîâêîé ÿ÷åéêè ñòîÿò ïóñòûå ñèìâîëû). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðèâåäåííîå âûøå êîäèðîâàíèå ìàøèíû M è êîíôèãóðàöèé T1 è T2 â íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè T ìàøèíû M K íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì. Âàæíî ëèøü, ÷òîáû ïî T ýôôåêòèâíî îïðåäåëÿëèñü ìàøèíà M è êîíôèãóðàöèè T1 è T2 è, íàîáîðîò, ïî ìàøèíå M è êîíôèãóðàöèÿì T1 è T2 ýôôåêòèâíî ñòðîèëàñü êîíôèãóðàöèÿ T .

Òåîðåìà 1. Íå ñóùåñòâóåò ìàøèíû Òüþðèíãà, ðåøàþùåé ïðîáëåìó ïåðåâîäèìîñòè. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñëåäóþùóþ ëåììó. Ëåììà. Äëÿ ëþáîé ìàøèíû Òüþðèíãà M ñóùåñòâóåò ìàøèc, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: íà Òüþðèíãà M 1) åñëè íà÷àëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ T0 ïðàâèëüíàÿ è M ïðèìåíèìà c òàêæå ïðèìåíèìà ê T0 ; ê T0 , òî M c òàêæå 2) åñëè M íåïðèìåíèìà ê êîíôèãóðàöèè T0 , òî M íåïðèìåíèìà ê T0 ; c èìååò âèä 3) çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ ìàøèíû M ...

0

∗ ↑ q0

0

...

(âíå îáîçðåâàåìîé ãîëîâêîé ÿ÷åéêè ñòîÿò ïóñòûå ñèìâîëû, c ). q0  çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå ìàøèíû M

128

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà ñ âõîäíûì àëôàâèòîì A = {a0 , a1 , . . . , ak }, ãäå a0 = 0, è ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé Q = {q0 , q1 , . . . , qn }, ãäå q0  çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå ìàøèíû. Ïîñòðîèì ñíà÷àëà ìàøèíó M1 , êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì 1 è 2 èç óñëîâèÿ ëåììû, à òàêæå ñâîéñòâó 30 ) åñëè íà÷àëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ T0 ìàøèíû M1 ïðàâèëüíàÿ, òî âñå ïîñëåäóþùèå êîíôèãóðàöèè ìàøèíû M1 òàêæå ïðàâèëüíûå. Ïóñòü ñèìâîë (íåïóñòîé) 01 íå ñîäåðæèòñÿ â A. Ìàøèíà M1 èìååò âõîäíîé àëôàâèò A1 = A ∪ {01 } è ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé Q1 = {q0 , q1 , . . . , qn , qn+1 }. Ñèìâîë 01 îíà âîñïðèíèìàåò êàê 0 è ïèøåò âìåñòî 0. Íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå q0 ìàøèíû M ñòàíîâèòñÿ îáû÷íûì ñîñòîÿíèåì qn+1 ìàøèíû M1 ; çàêëþ÷èòåëüíûì ñîñòîÿíèåì ìàøèíû M1 ÿâëÿåòñÿ q0 . Ïðîãðàììà ìàøèíû M1 ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà êàæäàÿ êîìàíäà F = qa → q 0 a0 d, ãäå q ∈ Q \ {q0 }, a ∈ A, ïðåîáðàçóåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè: a) åñëè a 6= 0 è a0 6= 0, òî êîìàíäà F îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ; b) åñëè a 6= 0, a0 = 0, òî êîìàíäà F = qa → q 0 0d çàìåíÿåòñÿ íà êîìàíäó F 0 = qa → q 0 01 d; c) åñëè a = 0, a0 6= 0, òî êîìàíäà F = q0 → q 0 a0 d îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ è, êðîìå òîãî, ê ñïèñêó êîìàíä äîáàâëÿåòñÿ êîìàíäà F 0 = q01 → q 0 a0 d; d) åñëè a = a0 = 0, òî êîìàíäà F = q0 → q 0 0d çàìåíÿåòñÿ íà äâå êîìàíäû F 0 = q0 → q 0 01 d è F 00 = q01 → q 0 01 d. Çàòåì âî âñåõ ïîëó÷åííûõ êîìàíäàõ, ñîäåðæàùèõ ñèìâîë q0 çàêëþ÷èòåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ìàøèíû M , ñèìâîë q0 çàìåíÿåòñÿ íà ñèìâîë qn+1 ; âñå îñòàëüíûå ñèìâîëû îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ. Êðîìå òîãî, îáðàçóåì k + 2 íîâûå êîìàíäû

qn+1 a → q0 aS, ãäå a ∈ A1 , è äîáàâèì èõ ê ïîëó÷åííîìó ðàíåå ñïèñêó êîìàíä.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïðîãðàììó ìàøèíû M1 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî M1 óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì 1, 2 è 30 . Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàøèíó M2 ñ âõîäíûì àëôàâèòîì A∪ {01 },

129

Ëåêöèÿ  12

ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé Q2 = {q0 , q10 , q20 } (q10  íà÷àëüíîå, q0  çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèÿ) è ïðîãðàììîé

q10 a q10 0 q20 a q20 0

→ → → →

q10 aR (a 6= 0), q20 0L, q20 0L (a 6= 0), q0 ∗ S.

Ìàøèíà M2 ïðèìåíèìà ê ëþáîìó ïðàâèëüíîìó ñëîâó; ïðè ýòîì çàêëþ÷èòåëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ ìàøèíû M2 èìååò âèä ...

0

∗ 0 ↑ q0

...

.

c = M1 · M2  ïðîèçâåäåíèå ìàøèí M1 è Ïîñòðîèì ìàøèíó M c óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû. M2 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàøèíà M

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìàøèíà M K , ðåøàþùàÿ ïðîáëåìó ïåðåâîäèìîñòè êîíôèãóðàöèé. Ïîêàæåì òîãäà, ÷òî ñóùåñòâóåò ìàøèíà R, ðåøàþùàÿ ïðîáëåìó ïðèìåíèìîñòè äëÿ ïðàâèëüíûõ ñëîâ. Ìàøèíà R ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ÷àñòåé  ìàøèí R1 , R2 , R3 è M K . Îïèøåì ðàáîòó êàæäîé èç ýòèõ ìàøèí, óêàçûâàÿ ïðè ýòîì ñëîâà, çàïèñàííûå íà ëåíòå â çàêëþ÷èòåëüíûõ êîíôèãóðàöèÿõ. Ìàøèíà R1 íà÷èíàåò ðàáîòàòü íàä ñëîâîì K(M ) ¤ A, ãäå K(M )  êîä íåêîòîðîé ìàøèíû Òüþðèíãà, à A  ïðîèçâîëüíîå ïðàâèëüíîå ñëîâî â àëôàâèòå A. Ìàøèíà R1 ïðåîáðàçóåò êîä K(M ) c) ìàøèíû M c, ñîîòâåòñòâóþùåé ìàøèíå M (ñì. ëåììó), è â êîä K(M ñòðîèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ýôôåêòèâíîé ïðîöåäóðîé, óêàçàííîé ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû.  ðåçóëüòàòå ðàáîòû ìàøèíû R1 ïîëó÷àåòñÿ ñëîâî c) ¤ A. K(M Ìàøèíà R2 ïðåîáðàçóåò ñëîâî A = a(1) . . . a(m) íàä àëôàâèòîì c: A \ {0} â êîä N (T0 ) íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè T0 ìàøèíû M

a(1) ↑ q1

...

a(m)

,

130

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

c) ò. å. â ñëîâî N (T0 ) = α K(q1 ) αa(1) . . . a(m) . Äëÿ ýòîãî ïî êîäó K(M ìàøèíà R2 ñíà÷àëà îïðåäåëÿåò ÷èñëî áóêâ â àëôàâèòå A, à çàòåì c.  ðåçóëüòàòå ñòðîèò êîä K(q1 ) íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ q1 ìàøèíû M ðàáîòû ìàøèíû R2 ïîëó÷àåòñÿ ñëîâî c) ¤ N (T0 ). K(M Ìàøèíà R3 ñíà÷àëà äîïèñûâàåò ñïðàâà ñèìâîë ¤, çàòåì ñòðîèò c, êîòîðàÿ êîä N (T1 ) çàêëþ÷èòåëüíîé êîíôèãóðàöèè T1 ìàøèíû M èìååò âèä ...

0

ò. å. ñëîâî

∗ 0 ↑ q0

...

,

N (T1 ) = α K(q0 ) α ∗ (îòìåòèì, ÷òî âñå ìàøèíû, ïîñòðîåííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé, èìåþò çàêëþ÷èòåëüíóþ êîíôèãóðàöèþ òàêîãî âèäà), è ïðèïèñûâàåò åãî ñïðàâà ê ïîëó÷åííîìó ðàíåå ñëîâó.  ðåçóëüòàòå ðàáîòû ìàøèíû R3 ïîëó÷àåòñÿ ñëîâî c) ¤ N (T0 ) ¤ N (T1 ). K(M Íàêîíåö, íà÷èíàåò ðàáîòó ìàøèíà M K . Îíà ïðèìåíèìà êî âñåì ñëîâàì òàêîãî òèïà è ïðèâîäèò ê çàêëþ÷èòåëüíîé êîíôèãóðàöèè ...

0

1 0 ↑ q0

...

,

c ïåðåâîäèò êîíôèãóðàöèþ T0 â êîíôèãóðàöèþ T1 êîãäà ìàøèíà M (ò. å. êîãäà M ïðèìåíèìà ê ñëîâó A) è ïðèâîäèò ê çàêëþ÷èòåëüíîé êîíôèãóðàöèè ...

0

0 0 ↑ q0

...

,

c íå ïåðåâîäèò êîíôèãóðàöèþ T0 â êîíôèãóðàöèþ êîãäà ìàøèíà M T1 (ò. å. êîãäà M íåïðèìåíèìà ê ñëîâó A). Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåííàÿ ìàøèíà R ðåøàåò ïðîáëåìó ïðèìåíèìîñòè (äëÿ ïðàâèëüíûõ ñëîâ).  ñèëó äîêàçàííîé ðàíåå òåîðåìû è çàìå÷àíèÿ ê íåé ýòî íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ìàøèíû M K íå ñóùåñòâóåò.

131

Ëåêöèÿ  12

Îòìåòèì, ÷òî â äàííîé òåîðåìå äîêàçàíî áîëüøåå: àëãîðèòìè÷åñêàÿ íåðàçðåøèìîñòü ïåðåâîäèìîñòè â çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå.

Ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ â àññîöèàòèâíûõ èñ÷èñëåíèÿõ. Ìû ïðèâåëè íåñêîëüêî ïðèìåðîâ àëãîðèòìè÷åñêè

íåðàçðåøèìûõ çàäà÷. Âñå ýòè çàäà÷è áûëè ñâÿçàíû ñ ðàáîòîé ìàøèí Òüþðèíãà. Óêàæåì òåïåðü ïðèìåð âíåøíåé àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìîé çàäà÷è  çàäà÷è ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ. Ââåäåì ïîíÿòèå àññîöèàòèâíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ïóñòü A  êîíå÷íûé àëôàâèò. Àññîöèàòèâíîå èñ÷èñëåíèå U çàäàåòñÿ êîíå÷íûì íàáîðîì äîïóñòèìûõ ïîäñòàíîâîê, ò. å. ïàð ñëîâ â àëôàâèòå A: P1 ↔ Q1 ,

P2 ↔ Q2 , ... Pl ↔ Ql . Ñ÷èòàåì, ÷òî ìíîæåñòâó A∗ âñåõ êîíå÷íûõ ñëîâ â àëôàâèòå A ïðèíàäëåæèò òàêæå ïóñòîå ñëîâî Λ, íå ñîäåðæàùåå ñèìâîëîâ. Ïóñòîå ñëîâî Λ îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî ñëîâà α â àëôàâèòå A âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà Λα = αΛ = α. Ïîäñòàíîâêà Pi ↔ Qi (1 6 i 6 l) çàäàåò ñëåäóþùåå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñëîâ â àëôàâèòå A: ëþáîå ñëîâî âèäà αPi β , ãäå α, β ∈ A∗ , ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ñëîâî αQi β (ïðèìåíåíèå ïîäñòàíîâêè Pi ↔ Qi ñëåâà íàïðàâî) è, íàîáîðîò, èç ñëîâà αQi β ìîæíî ïîëó÷èòü ñëîâî αPi β (ïðèìåíåíèå ïîäñòàíîâêè Pi ↔ Qi ñïðàâà íàëåâî). Äâà ñëîâà R è T íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè â àññîöèàòèâíîì èñ÷èñëåíèè U , åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëîâ α1 , α2 , . . . , αm â àëôàâèòå A, òàêàÿ, ÷òî R = α1 , T = αm è êàæäîå ñëîâî αi+1 (1 6 i < m) ïîëó÷àåòñÿ èç ñëîâà αi ïðèìåíåíèåì íåêîòîðîé äîïóñòèìîé ïîäñòàíîâêè (ñëåâà íàïðàâî èëè ñïðàâà íàëåâî).

Ïðèìåð. Ïóñòü A = {a, b, c}, à ñèñòåìà äîïóñòèìûõ ïîäñòàíîâîê

èìååò âèä

a ↔ aa, b ↔ bc,

ba ↔ bc. Òîãäà, íàïðèìåð, ñëîâî aaabca ýêâèâàëåíòíî ñëîâó aab â ðàññìàòðèâàåìîì èñ÷èñëåíèè: aaabca, aabca, aaba, aabc, aab.

132

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

Âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè: ïî ïðîèçâîëüíîìó àññîöèàòèâíîìó èñ÷èñëåíèþ è ïî äâóì ïðîèçâîëüíûì ñëîâàì ýòîãî èñ÷èñëåíèÿ óçíàòü, ýêâèâàëåíòíû ýòè ñëîâà â äàííîì èñ÷èñëåíèè èëè íåò.

Òåîðåìà 2. Ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ àññîöèàòèâíûõ èñ÷èñëåíèé àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç àëãîðèòìè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû ïåðåâîäèìîñòè êîíôèãóðàöèé â ìàøèíàõ Òüþðèíãà. ß÷åéêà ëåíòû íàçûâàåòñÿ àêòèâíîé, åñëè ëèáî â íåé çàïèñàí íåïóñòîé ñèìâîë, ëèáî åå îáîçðåâàåò ãîëîâêà, ëèáî îíà íàõîäèòñÿ ìåæäó äâóìÿ ÿ÷åéêàìè, îäíó èç êîòîðûõ îáîçðåâàåò ãîëîâêà, à â äðóãîé çàïèñàí íåïóñòîé ñèìâîë. Ñîïîñòàâèì êàæäîé ìàøèíå Òüþðèíãà M íåêîòîðîå àññîöèàòèâíîå èñ÷èñëåíèå UM . Ïóñòü M èìååò âõîäíîé àëôàâèò A = {a0 , a1 , . . . , ak }, a0 = 0, è ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé Q = {q0 , q1 , . . . , qn }, q0  çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå. Ïðîãðàììà ìàøèíû M äëÿ âñåõ qi , aj (ãäå i = 1, . . . , n; j = 0, 1, . . . , k ) ñîäåðæèò â òî÷íîñòè îäíó êîìàíäó, êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ ñëîâîì qi aj . Èñ÷èñëåíèå UM èìååò àëôàâèò AM = A ∪ Q ∪ {λ, π}, ãäå ñèìâîëû λ, π íå ïðèíàäëåæàò A ∪ Q. Ðàññìîòðèì êîíôèãóðàöèþ T ìàøèíû M a(1)

...

a(i−1)

a(i) ↑ q

a(i+1)

...

a(m)

,

â êîòîðîé âñå ñèìâîëû a(1) , . . . , a(m) íàõîäÿòñÿ â àêòèâíûõ êëåòêàõ. Ñîïîñòàâèì êîíôèãóðàöèè T ñëîâî

λ a(1) . . . a(i−1) q a(i) a(i+1) . . . a(m) π (K -ñëîâî êîíôèãóðàöèè T ). Îáîçíà÷èì K -ñëîâî êîíôèãóðàöèè T ÷åðåç K(T ); K -ñëîâà çàêëþ÷èòåëüíûõ êîíôèãóðàöèé íàçûâàþòñÿ çàêëþ÷èòåëüíûìè K -ñëîâàìè. Ñîïîñòàâèì êîìàíäàì ìàøèíû M ñëåäóþùèå äîïóñòèìûå ïîäñòàíîâêè:

133

Ëåêöèÿ  12

à) êîìàíäå qa → q 0 a0 S ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïîäñòàíîâêè

bqac λqac bqaπ λqaπ

↔ ↔ ↔ ↔

bq 0 a0 c, λq 0 a0 c, bq 0 a0 π, λq 0 a0 π ,

ãäå b è c  ëþáûå ñèìâîëû èç A; b) êîìàíäå qa → q 0 a0 R ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïîäñòàíîâêè

bqac λqac λqac bqaπ λqaπ λqaπ

↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔

ba0 q 0 c, λa0 q 0 c λq 0 c ba0 q 0 0π, λa0 q 0 0π λq 0 0π

(åñëè a0 6= 0), (åñëè a0 = 0), (åñëè a0 6= 0), (åñëè a0 = 0),

ãäå b è c  ëþáûå ñèìâîëû èç A; c) êîìàíäå qa → q 0 a0 L ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïîäñòàíîâêè

bqac λqac bqaπ bqaπ λqaπ λqaπ

↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔

qba0 c, λq 0 0a0 c, q 0 ba0 π q 0 bπ λq 0 0a0 π λq 0 0π

(åñëè (åñëè (åñëè (åñëè

a0 a0 a0 a0

6= 0), = 0), 6= 0), = 0),

ãäå b è c  ëþáûå ñèìâîëû èç A. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî äîïóñòèìûå ïîäñòàíîâêè èñ÷èñëåíèÿ UM îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) ê êàæäîìó íåçàêëþ÷èòåëüíîìó K -ñëîâó ïðèìåíèìà ñëåâà íàïðàâî íå áîëåå ÷åì îäíà ïîäñòàíîâêà, ïðèâîäÿùàÿ íå áîëåå ÷åì ê îäíîìó ñëîâó; 2) ê êàæäîìó çàêëþ÷èòåëüíîìó K -ñëîâó íå ïðèìåíèìà ñëåâà íàïðàâî íèêàêàÿ ïîäñòàíîâêà; 3) åñëè K(T1 )  K -ñëîâî êîíôèãóðàöèè T1 è ê ýòîìó ñëîâó ñëåâà ïðèìåíèìà ñëåâà íàïðàâî íåêîòîðàÿ ïîäñòàíîâêà, â ðåçóëüòàòå

134

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

÷åãî ïîëó÷àåòñÿ ñëîâî K2 , òî K2 åñòü K -ñëîâî íåêîòîðîé êîíôèãóðàöèè T2 , â êîòîðóþ ìàøèíà M ïåðåâåäåò êîíôèãóðàöèþ T1 çà îäèí øàã. Äîêàæåì òåïåðü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü K1 = K(T1 )  K -ñëîâî ïðîèçâîëüíîé êîíôèãóðàöèè T1 , K2 = K(T2 )  K -ñëîâî çàêëþ÷èòåëüíîé êîíôèãóðàöèè T2 . K -ñëîâî K1 ýêâèâàëåíòíî K -ñëîâó K2 â èñ÷èñëåíèè UM òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàøèíà M ïåðåâîäèò êîíôèãóðàöèþ T1 â êîíôèãóðàöèþ T2 .  ñàìîì äåëå, åñëè ìàøèíà M ïåðåâîäèò êîíôèãóðàöèþ T1 â êîíôèãóðàöèþ T2 , òî â ñèëó ñâîéñòâà 3 K -ñëîâî K1 ýêâèâàëåíòíî K -ñëîâó K2 â èñ÷èñëåíèè UM . Ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ â äðóãóþ ñòîðîíó. Ïóñòü ñëîâà K1 è K2 ýêâèâàëåíòíû â èñ÷èñëåíèè UM . Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

α1 , α2 , . . . , αt ñëîâ â àëôàâèòå AM , òàêàÿ, ÷òî α1 = K1 , αt = K2 è αj+1 (1 6 j < t) ïîëó÷àåòñÿ èç αj ïðèìåíåíèåì íåêîòîðîé ïîäñòàíîâêè èñ÷èñëåíèÿ UM (ñëåâà íàïðàâî èëè ñïðàâà íàëåâî). Ïîìåñòèì ìåæäó αj è αj+1 (j = 1, . . . , t − 1) ñèìâîë →, åñëè ñëîâî αj+1 ïîëó÷åíî èç ñëîâà αj ïðèìåíåíèåì ïîäñòàíîâêè ñëåâà íàïðàâî, è ñèìâîë ←, åñëè ïîäñòàíîâêà ïðèìåíÿëàñü ñïðàâà íàëåâî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü I

α1 e1 α2 e2 . . . et−1 αt , ãäå e1 , . . . , et−1 ∈ {→, ←}. Îáðàçóåì òåïåðü íîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ òàêæå íà÷èíàåòñÿ ñëîâîì α1 è çàêàí÷èâàåòñÿ ñëîâîì αt è â êîòîðîé âñå ñòðåëêè íàïðàâëåíû ñëåâà íàïðàâî. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ñâîéñòâà 2 èñ÷èñëåíèÿ UM âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî et−1 = →. Åñëè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè I âñå ñòðåëêè íàïðàâëåíû ñëåâà íàïðàâî, òî îíà ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàéäåì â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè I ñàìóþ ïðàâóþ ñòðåëêó, íàïðàâëåííóþ ñïðàâà íàëåâî. Ïóñòü, íàïðèìåð, ei−1 = ←, 1 < i < t. Ñîîòâåòñòâóþùèé ôðàãìåíò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìååò âèä

αi−1 ← αi → αi+1 . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ñëîâà αi−1 è αi+1 ïîëó÷åíû èç ñëîâà αi ïðèìåíåíèåì íåêîòîðûõ ïîäñòàíîâîê èñ÷èñëåíèÿ UM ñëåâà íàïðàâî.

135

Ëåêöèÿ  12

Ïîýòîìó â ñèëó ñâîéñòâà 1 αi−1 = αi+1 . Ñëåäîâàòåëüíî, èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè I ìîæíî óäàëèòü ôðàãìåíò αi−1 ← αi →.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ áîëåå êîðîòêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü I1

α1 e1 α2 . . . ei−2 αi+1 → αi+2 . . . → αt . Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, íà íåêîòîðîì øàãå ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â êîòîðîé âñå ñòðåëêè íàïðàâëåíû ñëåâà íàïðàâî. Ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíôèãóðàöèé, êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ êîíôèãóðàöèåé T1 , çàêàí÷èâàåòñÿ êîíôèãóðàöèåé T2 , ïðè÷åì êàæäàÿ ñëåäóþùàÿ êîíôèãóðàöèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåé â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ îäíîé êîìàíäû ìàøèíû M . Òåì ñàìûì óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Òàêèì îáðàçîì, ïîñêîëüêó ïðîáëåìà ïåðåâîäèìîñòè â çàêëþ÷èòåëüíóþ êîíôèãóðàöèþ àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà, òî â ñèëó äîêàçàííîãî âûøå óòâåðæäåíèÿ àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìà è ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè ïðîèçâîëüíîãî K -ñëîâà çàêëþ÷èòåëüíîìó K -ñëîâó â èñ÷èñëåíèè UM , à ïîýòîìó è îáùàÿ ïðîáëåìà ýêâèâàëåíòíîñòè. Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

136

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 136144

Ëåêöèÿ  13 Íîðìàëüíûå àëãîðèôìû (À. À. Ìàðêîâà). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé êîíå÷íûé àëôàâèò A = {a1 , . . . , ak }. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A∗ ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ñëîâ â àëôàâèòå A. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî A∗ ñîäåðæèò òàêæå ïóñòîå ñëîâî, â êîòîðîì íåò ñèìâîëîâ; ïóñòîå ñëîâî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Λ. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ñëîâ α = ai1 ai2 . . . aik è β = bj1 bj2 . . . bjn ÷åðåç αβ îáîçíà÷àåòñÿ ñëîâî ai1 ai2 . . . aik bj1 bj2 . . . bjn . Äëÿ ïóñòîãî ñëîâà Λ è ëþáîãî ñëîâà α ∈ A∗ âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà Λα = αΛ = α. Ñëîâî β íàçûâàåòñÿ ïîäñëîâîì ñëîâà α, åñëè íàéäóòñÿ ñëîâà γ è δ èç A∗ , òàêèå, ÷òî α = γβδ ; â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ñëîâî β âõîäèò â α. Î÷åâèäíî, ÷òî ïóñòîå ñëîâî Λ ÿâëÿåòñÿ ïîäñëîâîì ëþáîãî ñëîâà èç A∗ . Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî àëôàâèò A íå ñîäåðæèò ñèìâîëîâ → è · â êà÷åñòâå áóêâ. Ïîäñòàíîâêàìè â àëôàâèòå A íàçûâàþòñÿ âûðàæåíèÿ âèäà P →Q (íåçàêëþ÷èòåëüíàÿ ïîäñòàíîâêà) èëè

P → ·Q (çàêëþ÷èòåëüíàÿ ïîäñòàíîâêà), ãäå P è Q  ñëîâà èç A∗ . Ñëîâà P è Q íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòüþ ïîäñòàíîâêè. Ïóñòü F  íåêîòîðàÿ ïîäñòàíîâêà â àëôàâèòå A, à α  íåêîòîðîå ñëîâî èç A∗ . Ïîñòàíîâêà F ïðèìåíèìà ê α, åñëè ëåâàÿ ÷àñòü ïîäñòàíîâêè âõîäèò â α.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå F íåïðèìåíèìà ê α.  òîì ñëó÷àå, êîãäà F ïðèìåíèìà ê α, ðåçóëüòàòîì ïîäñòàíîâêè ñ÷èòàåòñÿ ñëîâî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç α çàìåíîé ïåðâîãî (ñàìîãî ëåâîãî) âõîæäåíèÿ ëåâîé ÷àñòè ïîäñòàíîâêè F â ñëîâî α íà ïðàâóþ ÷àñòü ïîäñòàíîâêè; ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç F (α).  ÷àñòíîñòè, êîãäà ëåâàÿ ÷àñòü ïîäñòàíîâêè åñòü Λ, à ïðàâàÿ ÷àñòü  íåêîòîðîå ñëîâî Q, òî ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì, ÷òî ðåçóëüòàòîì óêàçàííîé ïîäñòàíîâêè ÿâëÿåòñÿ ñëîâî Qα. Íîðìàëüíûé àëãîðèôì â àëôàâèòå A çàäàåòñÿ êîíå÷íîé óïîðÿäî÷åííîé ñèñòåìîé Σ ïîäñòàíîâîê F1 , . . . , Fl (ñõåìîé íîðìàëüíîãî àëãîðèôìà). Íîðìàëüíûé àëãîðèôì ïðåîáðàçóåò ñëîâà èç A∗ â ñëîâà èç A∗ . Ðàáîòà íîðìàëüíîãî àëãîðèôìà M íàä ñëîâîì α ∈ A∗ ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýòàïîâ 1, 2, . . . ïåðåðàáîòêè ñëîâà α, â ðåçóëüòàòå

Ëåêöèÿ  13

137

êîòîðûõ ïîëó÷àþòñÿ ñëîâà α1 , α2 , . . . , αj , αj+1 , . . . èç A∗ . Íà ïåðâîì ýòàïå ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì α1 = α è ãîâîðèì, ÷òî ñëîâî α1 ïîëó÷åíî ïîñëå ïåðâîãî ýòàïà ïåðåðàáîòêè. Ïóñòü ïîñëå j -ãî ýòàïà ïåðåðàáîòêè ïîëó÷åíî ñëîâî αj (è àëãîðèôì M ê ýòîìó ìîìåíòó åùå íå çàâåðøèë ðàáîòó), j > 1. Òîãäà àëãîðèôì ðàáîòàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1. Åñëè â ñõåìå Σ íåò ïîäñòàíîâîê, ïðèìåíèìûõ ê ñëîâó αj , òî M çàâåðøàåò ñâîþ ðàáîòó è ðåçóëüòàòîì M (α) ðàáîòû àëãîðèôìà íàä ñëîâîì α ñ÷èòàåòñÿ ñëîâî M (α) = αj . 2.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå â ñõåìå Σ âûáèðàåòñÿ ïåðâàÿ ïî ïîðÿäêó ïîäñòàíîâêà F , ïðèìåíèìàÿ ê αj , è ýòà ïîäñòàíîâêà ïðèìåíÿåòñÿ ê ñëîâó αj . Ðåçóëüòàò F (αj ) îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç αj+1 . Ïðè ýòîì (a) åñëè ϕ  çàêëþ÷èòåëüíàÿ ïîäñòàíîâêà, òî àëãîðèôì M çàâåðøàåò ñâîþ ðàáîòó, è ðåçóëüòàòîì ðàáîòû M íàä ñëîâîì α ÿâëÿåòñÿ ñëîâî M (α) = αj+1 ; (b) åñëè F  íåçàêëþ÷èòåëüíàÿ ïîäñòàíîâêà, òî àëãîðèôì M ïåðåõîäèò ê ñëåäóþùåìó ýòàïó ïåðåðàáîòêè. Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà àëãîðèôìà M çàêàí÷èâàåòñÿ â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) êîãäà íà î÷åðåäíîì ýòàïå íè îäíà èç ïîäñòàíîâîê ñõåìû Σ íå ïðèìåíèìà; 2) ïîñëå ïðèìåíåíèÿ çàêëþ÷èòåëüíîé ïîäñòàíîâêè. Íîðìàëüíûé àëãîðèôì M íàçûâàåòñÿ ïðèìåíèìûì ê ñëîâó α, åñëè îí, ðàáîòàÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óñòàíîâëåííûìè ïðàâèëàìè, íà íåêîòîðîì ýòàïå j + 1 (j > 1) çàâåðøèë ñâîþ ðàáîòó. Ðåçóëüòàòîì ðàáîòû àëãîðèôìà M íàä ñëîâîì α â ýòîì ñëó÷àå ñ÷èòàåòñÿ ñëîâî M (α) (M (α) = αj , åñëè íè îäíà èç ïîäñòàíîâîê íå ïðèìåíèìà ê αj , è M (α) = αj+1 = F (αj ), åñëè íà ýòàïå j + 1 ïðèìåíÿëàñü çàêëþ÷èòåëüíàÿ ïîäñòàíîâêà F ).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ò. å. åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü α1 = α, α2 , . . . áåñêîíå÷íà) àëãîðèôì M íàçûâàåòñÿ íåïðèìåíèìûì ê ñëîâó α, è â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå M (α) íåîïðåäåëåíî. Ïðè ðàññìîòðåíèè íîðìàëüíîãî àëãîðèôìà M â àëôàâèòå A èíîãäà èíòåðåñóþòñÿ òîëüêî ðåçóëüòàòàìè åãî ðàáîòû íàä ñëîâàìè â àëôàâèòå B , ãäå B ⊆ A. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî íîðìàëüíûé àëãîðèôì â àëôàâèòå A åñòü àëãîðèôì íàä àëôàâèòîì B . Ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëåííàÿ íà íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå D(f ) ìíîæåñòâà A∗ è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç A∗ , íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷-

138

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

íîé ñëîâàðíîé ôóíêöèåé â àëôàâèòå A; D(f )  îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f . Ïóñòü f (x)  íåêîòîðàÿ îäíîìåñòíàÿ ÷àñòè÷íàÿ ñëîâàðíàÿ ôóíêöèÿ â àëôàâèòå A, à M  íåêîòîðûé íîðìàëüíûé àëãîðèôì íàä A. Àëãîðèôì M âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f , åñëè äëÿ ëþáîãî α ∈ A∗ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) åñëè α ∈ / D(f ), òî M íåïðèìåíèì ê α; 2) åñëè α ∈ D(f ), òî M ïðèìåíèì ê α è M (α) = f (α). ×àñòè÷íàÿ ñëîâàðíàÿ ôóíêöèÿ f (x) â àëôàâèòå A íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíî âû÷èñëèìîé (âû÷èñëèìîé ïðè ïîìîùè íîðìàëüíûõ àëãîðèôìîâ), åñëè ñóùåñòâóåò íîðìàëüíûé àëãîðèôì íàä A, êîòîðûé âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f . Îòìåòèì, ÷òî êàæäûé íîðìàëüíûé àëãîðèôì M â àëôàâèòå A âû÷èñëÿåò íåêîòîðóþ îäíîìåñòíóþ ñëîâàðíóþ ôóíêöèþ fM (x) â àëôàâèòå A, â òî âðåìÿ êàê íîðìàëüíûå àëãîðèôìû íàä A (ðàáîòàþùèå â íåêîòîðûõ ðàñøèðåíèÿõ A) ýòèì ñâîéñòâîì, âîîáùå ãîâîðÿ, íå îáëàäàþò, ïîñêîëüêó ðåçóëüòàòû ðàáîòû ýòèõ àëãîðèôìîâ ìîãóò ñîäåðæàòü ñèìâîëû, íå ïðèíàäëåæàùèå A. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðîñòûõ ïðèìåðîâ.

Ïðèìåðû. 1) Íîðìàëüíûé àëãîðèôì â àëôàâèòå A = {a1 , . . . , ak } ñî ñõåìîé a→,

ãäå a  ïðîèçâîëüíûé ñèìâîë èç A, âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ, çíà÷åíèå êîòîðîé íà ëþáîì ñëîâå èç A∗ ðàâíî Λ; 2) íîðìàëüíûé àëãîðèôì â àëôàâèòå A = {a1 , . . . , ak } ñî ñõåìîé →

âû÷èñëÿåò íèãäå íå îïðåäåëåííóþ ÷àñòè÷íóþ ñëîâàðíóþ ôóíêöèþ â àëôàâèòå A; 3) íîðìàëüíûé àëãîðèôì â àëôàâèòå A = {a1 , . . . , ak } ñî ñõåìîé → ·

âû÷èñëÿåò òîæäåñòâåííóþ ñëîâàðíóþ ôóíêöèþ f (x) = x â àëôàâèòå A; 4) íîðìàëüíûé àëãîðèôì â àëôàâèòå A = {a, b, c} ñî ñõåìîé 8 < a→b :

ab → · c c → aba

139

Ëåêöèÿ  13

âû÷èñëÿåò ñëîâàðíóþ ôóíêöèþ g(x) â àëôàâèòå A, òàêóþ, ÷òî g(Λ) = Λ è äëÿ ëþáîãî ñëîâà α = a1 . . . ak èç A∗ , ñîäåðæàùåãî m ñèìâîëîâ c, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî g(α) = b| .{z . . }b. k+2m

Ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé ïðèìåð.

Ïðèìåð. Ïóñòü A = {a1 , . . . , ak }  íåêîòîðûé êîíå÷íûé àëôàâèò, íå ñîäåðæàùèé ñèìâîëîâ ∗, β, γ , è ïóñòü B = A ∪ {∗, β, γ}. Ðàññìîòðèì íîðìàëüíûé àëãîðèôì M íàä A ñî ñëåäóþùåé ñõåìîé: abβ ∗a β γ ∗

→ → → → → →

bβa, aβa∗, γ, , · , ∗,

ãäå a, b ∈ A (ò. å. ýòà ñõåìà ïðè |A| = k ñîñòîèò èç k2 + k + 4 ïîäñòàíîâêè). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî àëãîðèôì M óäâàèâàåò ñëîâà â àëôàâèòå A, ò. å. äëÿ ëþáîãî ñëîâà α èç A∗ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî M (α) = αα. Ïðèìåð ðàáîòû àëãîðèôìà M íàä ñëîâîì α = a1 a2 a3 (ãäå a1 , a2 , a3 ∈ A): α1 = a1 a2 a3 ; α2 = ∗a1 a2 a3 ; α3 = a1 βa1 ∗a2 a3 ; α4 = a1 βa1 a2 βa2 ∗ a3 ; α5 = a1 βa2 βa1 a2 ∗a3 ; α6 = a1 βa2 βa1 a2 a3 βa3 ∗; α7 = a1 βa2 βa1 a3 βa2 a3 ∗; α8 = a1 βa2 βa3 βa1 a2 a3 ∗; α9 = a1 γa2 βa3 βa1 a2 a3 ∗; α10 = a1 γa2 γa3 βa1 a2 a3 ∗; α11 = a1 γa2 γa3 γa1 a2 a3 ∗; α12 = a1 a2 γa3 γa1 a2 a3 ∗; α13 = a1 a2 a3 γa1 a2 a3 ∗; α14 = a1 a2 a3 a1 a2 a3 ∗; α15 = a1 a2 a3 a1 a2 a3 (â ñëîâàõ αi îòìå÷åíû ïîäñëîâà, ê êîòîðûì ïðèìåíÿþòñÿ ïîäñòàíîâêè íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòàïàõ ðàáîòû àëãîðèôìà).

140

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ÷àñòè÷íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ èç PN D(f )  îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ f , à M  íåêîòîðûé íîðìàëüíûé àëãîðèôì íàä àëôàâèòîì {0, 1}. Àëãîðèôì M âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ), åñëè äëÿ ëþáîãî íàáîðà α = (m1 , . . . , mn ) èç Nn âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) åñëè α ∈ / D(f ), òî M íåïðèìåíèì ê ñëîâó

. . 1} 0 . . . 0 |1 .{z . . 1}; K(α) = 1| .{z . . 1} 0 1| .{z m1 +1

m2 +1

mn +1

2) åñëè α ∈ D(f ), òî M ïðèìåíèì ê α è M (K(α)) = K(m), ãäå m = f (m1 , . . . , mn ), à K(m) = 1| .{z . . 1}. m+1

×àñòè÷íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíî âû÷èñëèìîé (âû÷èñëèìîé ïðè ïîìîùè íîðìàëüíûõ àëãîðèôìîâ), åñëè ñóùåñòâóåò íîðìàëüíûé àëãîðèôì íàä àëôàâèòîì {0, 1}, êîòîðûé âû÷èñëÿåò ýòó ôóíêöèþ. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå1) . Òåîðåìà. Âñÿêàÿ ÷àñòè÷íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ âû÷èñëèìà ïðè ïîìîùè íîðìàëüíûõ àëãîðèôìîâ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó. Âàðèàíòîì òåçèñà ×åð÷à, îòíîñÿùèìñÿ ê íîðìàëüíûì àëãîðèôìàì, ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ïðèíöèï (À. À. Ìàðêîâà).

Ïðèíöèï íîðìàëèçàöèè. Âñÿêèé àëãîðèôì â àëôàâèòå A ýêâèâàëåíòåí îòíîñèòåëüíî A íåêîòîðîìó íîðìàëüíîìó àëãîðèôìó íàä A. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Ïóñòü f (x1 , . . . , xn )  ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïîäìíîæåñòâå D(f ) ìíîæåñòâà Nn è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà N = {0, 1, , . . . }, n > 1; D(f ) íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (çíà÷åíèÿ f íà íàáîðàõ èç Nn \ D(f ) ñ÷èòàþòñÿ íåîïðåäåëåííûìè). Áóäåì íàçûâàòü òàêèå ôóíêöèè ÷àñòè÷íûìè ÷èñëîâûìè ôóíêöèÿìè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòè÷íûõ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé îáîçíà÷èì ÷åðåç PN . Ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) èç PN íàçûâàåòñÿ âñþäó îïðåäåëåííîé ÷èñëîâîé ôóíêöèåé, åñëè D(f ) = Nn . Ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn ) è g(x1 , . . . , xn ) íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè (îáîçíà÷åíèå f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn )), åñëè D(f ) = D(g) è äëÿ ëþáîãî íàáîðà α ˜ èç D(f ) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (˜ α) = g(˜ α ). 1) Ñì.:

Ìàðêîâ À. À., Íàãîðíûé Í. Ì. Òåîðèÿ àëãîðèôìîâ. Ì.: Íàóêà, 1984.

141

Ëåêöèÿ  13

Ñëåäóþùèå âñþäó îïðåäåëåííûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ïðîñòåéøèìè:

0(x) = 0,

s(x) = x + 1,

n Im (x1 , . . . , xn ) = xm ,

1 6 m 6 n, n = 1, 2, . . . . Îïðåäåëèì íà ìíîæåñòâå PN ÷àñòè÷íûõ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè, ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè è ìèíèìèçàöèè. Ïóñòü g(x1 , . . . , xm ), f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )  íåêîòîðûå ÷àñòè÷íûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè, à D(g), D(f1 ), . . . , D(fm )  îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé g, f1 , . . . , fm ñîîòâåòñòâåííî. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ F (x1 , . . . , xn ) = g(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )) ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèé g, f1 , . . . , fm ïðè ïîìîùè îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè F íà íàáîðå α ˜ ∈ N îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1) åñëè α ˜ ∈ D(fi ) äëÿ âñåõ i = 1, . . . , m è (f1 (˜ α), . . . , fm (˜ α)) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó D(g), òî

F (˜ α) = g(f1 (˜ α), . . . , fm (˜ α)); 2) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå çíà÷åíèå F (˜ α) ñ÷èòàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ôóíêöèè g, f1 , . . . , fm âñþäó îïðåäåëåííûå, òî è F  âñþäó îïðåäåëåííàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ. Ïóñòü çàäàíû íåêîòîðûå ôóíêöèè g(x1 , . . . , xn−1 ) è h(x1 , . . . , xn+1 ) èç PN , n > 2. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ïîëó÷åíà èç ôóíêöèé g è h ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè (ïî ïåðåìåííîé xn ), åñëè äëÿ âñåõ x1 , . . . , xn ∈ N âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà ( f (x1 , . . . , xn−1 , 0) = g(x1 , . . . , xn−1 ), f (x1 , . . . , xn−1 , xn + 1) = h(x1 , . . . , xn−1 , xn , f (x1 , . . . , xn )). Ýòè ðàâåíñòâà íàçûâàþòñÿ ñõåìîé ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè (ïî ïåðåìåííîé xn ). Äàííîå îïðåäåëåíèå ïðèìåíÿåòñÿ òàêæå ïðè n = 0. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) ïîëó÷åíà èç ïîñòîÿííîé îäíîìåñòíîé ôóíêöèè, ðàâíîé ÷èñëó a ∈ N, è ôóíêöèè h(x1 , x2 ) ∈ PN , åñëè ( f (0) = a, f (x + 1) = h(x, f (x)).

142

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ÷àñòè÷íûõ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé g(x1 , . . . , xn−1 ) è h(x1 , . . . , xn+1 ) ñóùåñòâóåò â òî÷íîñòè îäíà ÷àñòè÷íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ), ïîëó÷àþùàÿñÿ èç ôóíêöèé g è h ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè (ïî ïåðåìåííîé xn ). Ïðè ýòîì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) íàáîð (α1 , . . . , αn−1 , 0) ïðèíàäëåæèò D(f ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (α1 , . . . , αn−1 ) ∈ D(g) (α1 , . . . , αn−1 ∈ N); 2) íàáîð (α1 , . . . , αn−1 , αn + 1) ïðèíàäëåæèò D(f ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (α1 , . . . , αn−1 , αn ) ∈ D(f ) è îäíîâðåìåííî (α1 , . . . , αn−1 , αn , f (α1 , . . . , αn )) ∈ D(h) (α1 , . . . , αn ∈ N).  ÷àñòíîñòè, åñëè äëÿ íåêîòîðûõ α1 , . . . , αn−1 , αn çíà÷åíèå f (α1 , . . . , αn−1 , αn ) íå îïðåäåëåíî, òî è äëÿ âñåõ β > αn çíà÷åíèÿ f (α1 , . . . , αn−1 , β) áóäóò òàêæå íå îïðåäåëåíû. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè ôóíêöèè g è h âñþäó îïðåäåëåííûå, òî è ôóíêöèÿ f âñþäó îïðåäåëåííàÿ. Îïåðàöèþ ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè ìîæíî ïðèìåíÿòü ïî ëþáîé ïåðåìåííîé. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé, åñëè åå ìîæíî ïîëó÷èòü êîíå÷íûì ÷èñëîì îïåðàöèé ñóïåðïîçèöèè è ïðèìèn òèâíîé ðåêóðñèè èç ïðîñòåéøèõ ôóíêöèé s, 0, Im , 1 6 m 6 n, n = 1, 2, . . . . Ïîñêîëüêó îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè è ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè, ïðèìåíåííûå êî âñþäó îïðåäåëåííûì ôóíêöèÿì, äàþò ñíîâà âñþäó îïðåäåëåííûå ôóíêöèè, òî êàæäàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âñþäó îïðåäåëåííîé ÷èñëîâîé ôóíêöèåé.

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x, y) = x+y. Îíà óäîâëåòâîðÿåò

ñîîòíîøåíèÿì

(

f (x, 0) = x = I11 (x), f (x, y + 1) = (x + y) + 1 = s(f (x, y)).

Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ x + y ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèé I11 è h(x, y, z) = s(I33 (x, y, z)) = z + 1 ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè. Ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ôóíêöèè I11 , s è I33 ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû, à ôóíêöèÿ h ïîëó÷åíà èç ôóíêöèé s è I33 ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè, òî ôóíêöèÿ x + y ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà.

143

Ëåêöèÿ  13

Ïóñòü f (x1 , . . . , xn+1 )  ÷àñòè÷íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, n > 1. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ g(x1 , . . . , xn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü α ˜= (α1 , . . . , αn )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð èç Nn . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

f (α1 , . . . , αn , y) = 0 : a) åñëè ñóùåñòâóåò y0 ∈ N, òàêîé, ÷òî f (α1 , . . . , αn , y0 ) = 0, à çíà÷åíèÿ f (˜ α, 0), f (˜ α, 1), . . . , f (˜ α, y0 − 1) îïðåäåëåíû è îòëè÷íû îò 0, òî ïîëîæèì g(˜ α ) = y0 ; α) ñ÷èòàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì. b) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå çíà÷åíèå g(˜ Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ g(x1 , . . . , xn ) ïîëó÷åíà èç ôóíêöèè f (x1 , . . . , xn+1 ) ïðè ïîìîùè îïåðàöèè ìèíèìèçàöèè (ïî ïåðåìåííîé xn+1 ); ýòó ôóíêöèþ îáîçíà÷àþò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

µy (f (x1 , . . . , xn , y) = 0) (÷èòàåòñÿ êàê "íàèìåíüøèé y , òàêîé, ÷òî f (x1 , . . . , xn , y) = 0"). Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå g(α1 , . . . , αn ) áóäåò íåîïðåäåëåííûì â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ: 1) çíà÷åíèå f (α1 , . . . , αn , 0) íå îïðåäåëåíî; 2) çíà÷åíèÿ f (˜ α, 0), f (˜ α, 1), . . . , f (˜ α, y0 −1) îïðåäåëåíû, íî îòëè÷íû îò 0, à çíà÷åíèå f (˜ α, y0 ) íå îïðåäåëåíî; 3) çíà÷åíèÿ f (˜ α, y) îïðåäåëåíû äëÿ âñåõ y = 0, 1, . . . è îòëè÷íû îò 0.

Ïðèìåð. Ïóñòü f (x, y) = x + y. Ïîëîæèì g(x) = µy (f (x, y) = 0).

Î÷åâèäíî, ÷òî

(

g(x) =

0, åñëè x = 0;

íå îïðåäåëåíî, åñëè x 6= 0.

Îïåðàöèþ ìèíèìèçàöèè ìîæíî òàêæå ïðèìåíÿòü ïî ëþáûì ïåðåìåííûì. ×àñòè÷íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ïðîñòåéøèõ ôóíêöèé 0, s, n Im , 1 6 m 6 n, n = 1, 2, . . ., êîíå÷íûì ÷èñëîì îïåðàöèé ñóïåðïîçèöèè, ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè è ìèíèìèçàöèè. Âñþäó îïðåäåëåííûå ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ îáùåðåêóðñèâíûìè.

144

ÀËÃÎÐÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

Äëÿ ÷àñòè÷íûõ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé àíàëîãîì òåçèñà Òüþðèíãà ÿâëÿåòñÿ

Òåçèñ ×åð÷à. Êëàññ àëãîðèòìè÷åñêè âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé ñîâïàäàåò ñ êëàññîì âñåõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå2) . Òåîðåìà. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ ÷àñòè÷íûõ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé, âû÷èñëèìûõ ïî Òüþðèíãó.

2) Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â êíèãå: Ìàëüöåâ À. È. Àëãîðèòìû è ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Ì.: Íàóêà, 1965.

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 145 154

145

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ Ëåêöèÿ  14 Áóäåì ðàññìàòðèâàòü âûñêàçûâàíèÿ, êîòîðûå áûâàþò ëèáî èñòèííûìè, ëèáî ëîæíûìè. Íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå "4  ÷åòíîå ÷èñëî" è "2 < 5" ÿâëÿþòñÿ èñòèííûìè, à âûñêàçûâàíèÿ "4  ïðîñòîå ÷èñëî" è "1 + 2 = 4"  ëîæíûìè. Òåì ñàìûì ïðîèçâîëüíîå âûñêàçûâàíèå A ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåëè÷èíó, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, åñëè A èñòèííî, è 0, åñëè A ëîæíî. Îòìåòèì, ÷òî èñòèííîñòü è ëîæíîñòü âûñêàçûâàíèé ìîæíî îáîçíà÷àòü è èíûì ñïîñîáîì, íàïðèìåð áóêâàìè È è Ë ñîîòâåòñòâåííî (íà÷àëüíûå áóêâû ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëîâ). Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïðèìåíÿòü ê âûñêàçûâàíèÿì ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè, ïîëó÷àÿ ïðè ýòîì ñëîæíûå âûñêàçûâàíèÿ.  ÷àñòíîñòè, åñëè A è B  ïðîèçâîëüíûå âûñêàçûâàíèÿ, òî 1) A&B  âûñêàçûâàíèå, èñòèííîå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èñòèííû îáà âûñêàçûâàíèÿ (â îáû÷íîì ÿçûêå ýòîìó âûñêàçûâàíèþ ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèå "A è B "); 2) A ∨ B  âûñêàçûâàíèå, èñòèííîå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíî èç âûñêàçûâàíèé A, B èñòèííî (â îáû÷íîì ÿçûêå ýòîìó âûñêàçûâàíèþ ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèå "A èëè B "); 3) A  âûñêàçûâàíèå, èñòèííîå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûñêàçûâàíèå A ëîæíî (â îáû÷íîì ÿçûêå ýòîìó âûñêàçûâàíèþ ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèå "íå A"); 4) A → B  âûñêàçûâàíèå, èñòèííîå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíî èç âûñêàçûâàíèé B , A èñòèííî (â îáû÷íîì ÿçûêå ýòîìó âûñêàçûâàíèþ ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèå "åñëè A, òî B "); ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñîãëàøåíèå îá èñòèííîñòè ýòîãî âûñêàçûâàíèÿ ñäåëàíî äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøèõ ïðèìåíåíèé; 5) A ∼ B  âûñêàçûâàíèå, èñòèííîå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûñêàçûâàíèÿ A, B îäíîâðåìåííî èñòèííû èëè ëîæíû (â îáû÷íîì ÿçûêå ýòîìó âûñêàçûâàíèþ ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèå "A ýêâèâàëåíòíî B ").

146

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ

Ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííûì, åñëè îíî èñòèííî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ýëåìåíòàðíûõ âûñêàçûâàíèé. Íàïðèìåð, A → A  òîæäåñòâåííî èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. Àíàëîãè÷íî ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííî ëîæíûì, åñëè îíî ëîæíî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ýëåìåíòàðíûõ âûñêàçûâàíèé. Íàïðèìåð, A&A  òîæäåñòâåííî ëîæíîå âûñêàçûâàíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííûì (ñîîòâåòñòâåííî òîæäåñòâåííî ëîæíûì) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî åñëè ïîäñòàâèòü â íåãî âìåñòî ýëåìåíòàðíûõ âûñêàçûâàíèé íåêîòîðûå áóêâû ïåðåìåííûõ, òî ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà áóäåò âûðàæàòü ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè, òîæäåñòâåííî ðàâíóþ 1 (ñîîòâåòñòâåííî 0). Âàæíûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ìíîæåñòâà âñåõ ôîðìóë, âûðàæàþùèõ òîæäåñòâåííî èñòèííûå âûñêàçûâàíèÿ. Îäèí èç ñïîñîáîâ òàêîãî îïèñàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. 1. Óêàçûâàåòñÿ íåêîòîðûé íàáîð èñõîäíûõ ôîðìóë (ñ ýòèì ñâîéñòâîì). 2. Óêàçûâàþòñÿ ïðàâèëà îáðàçîâàíèÿ ïî îäíèì ôîðìóëàì äðóãèõ. Ôîðìóëû, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû òàêèì ñïîñîáîì, è åñòü òðåáóåìûå. Ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ôîðìóë íàä ìíîæåñòâîì { , →}. Õîòÿ ýòî ìíîæåñòâî ôîðìóë è ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà âñåõ ôîðìóë íàä {&, ∨, , →, ∼, 0, 1}, ýòîò ÿçûê ÿâëÿåòñÿ "íå ìåíåå âûðàçèòåëüíûì", ïîñêîëüêó âñå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç è →:

x&y = x → y,

x ∨ y = x → y,

x ∼ y = (x → y) → (y → x), 1 = x → x,

0 = x → x.

Ïîýòîìó ôîðìóëû A&B , A ∨ B , A ∼ B , 1, 0 íàä ìíîæåñòâîì {&, ∨, , →, ∼, 0, 1} ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñîêðàùåííûå îáîçíà÷åíèÿ ôîðìóë A → B, A → B,

(A → B) → (B → A), A → A, ñîîòâåòñòâåííî.

A→A

Ëåêöèÿ  14

ïîâ:

147

Èñõîäíûìè ôîðìóëàìè áóäóò ôîðìóëû ñëåäóþùèõ òðåõ òè-

(1) A → (B → A); (2) (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)); (3) (A → B) → (B → A), ãäå âìåñòî A, B è C ìîãóò ïîäñòàâëÿòüñÿ ëþáûå ôîðìóëû. Ôîðìóëû ýòèõ òèïîâ áóäåì íàçûâàòü àêñèîìàìè. Ñàìè ýòè âûðàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ òàêæå ñõåìàìè àêñèîì, òàê êàê êàæäîå èç íèõ îïðåäåëÿåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ôîðìóë. Ââåäåì ñëåäóþùåå ïðàâèëî âûâîäà:

A → B, A , B ò. å. ôîðìóëà B ïîëó÷åíà èç ôîðìóë A → B è A (ïî ïðàâèëó âûâîäà). Âûâîäîì íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë F1 , F2 , . . . , Fk , ãäå Fi (1 6 i 6 k ) ëèáî ÿâëÿåòñÿ àêñèîìîé, ëèáî ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùèõ ôîðìóë ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî ïðàâèëó âûâîäà, ò. å. ñóùåñòâóþò ôîðìóëû Fj è Fr (1 6 j, r < i), òàêèå, ÷òî Fj èìååò âèä Fr → Fi . Âûâîäîì ôîðìóëû F íàçûâàåòñÿ âûâîä, çàêàí÷èâàþùèéñÿ ôîðìóëîé F . Ôîðìóëà F íàçûâàåòñÿ âûâîäèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä ýòîé ôîðìóëû, ò. å. ñóùåñòâóåò âûâîä F1 , . . . , Fk , â êîòîðîì Fk ñîâïàäàåò ñ F . Âûâîäèìîñòü ôîðìóëû F îáîçíà÷àåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ` F . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèå âûâîäèìîé ôîðìóëû èç ñèñòåìû ãèïîòåç. Ïóñòü T = {A1 , . . . , An }  êîíå÷íîå (áûòü ìîæåò, ïóñòîå) ìíîæåñòâî ôîðìóë. Âûâîäîì èç ñèñòåìû ãèïîòåç T íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë F1 , F2 , . . . , Fk , ãäå Fi (1 6 i 6 k ) ÿâëÿåòñÿ ëèáî àêñèîìîé, ëèáî îäíîé èç ôîðìóë ñèñòåìû T , ëèáî ïîëó÷àåòñÿ ïî ïðàâèëó âûâîäà èç íåêîòîðûõ ôîðìóë Fj è Fr ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ ìåíüøèìè íîìåðàìè j, r < i. Òàêèì îáðàçîì, âûâîä åñòü âûâîä èç ïóñòîé ñèñòåìû ãèïîòåç. Ïóñòü T  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ôîðìóë, à A, B , A1 , . . . , An  ëþáûå ôîðìóëû. Áóäåì ïèñàòü T, A1 , . . . , An ` B âìåñòî T ∪ {A1 , . . . , An } ` B . Îòìåòèì ñëåäóþùèå ïðîñòûå ñâîéñòâà âûâîäèìîñòè.

148

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ

1. T, A ` A. 2. Åñëè T ` A è B  ëþáàÿ ôîðìóëà, òî T, B ` A. 3. Åñëè T, B ` A è T ` A, òî T ` B (âûâîäèìóþ ãèïîòåçó ìîæíî óäàëèòü). 4. Åñëè T ` A1 , . . . , T ` An è A1 , A2 , . . . , An ` B , òî T ` B (n > 1). 5. Åñëè T ` A → B è T ` A, òî T ` B . 6. Åñëè T ` A è B  ëþáàÿ ôîðìóëà, òî T ` B → A. Â ñàìîì äåëå, åñëè F1 , F2 , . . . , Fk  âûâîä ôîðìóëû A èç T , A =Γ Fk , òî1) âûâîäîì ôîðìóëû B → A èç T áóäåò ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë:

F 1 , . . . , Fk ,

A → (B → A),

B → A.

Óñòàíîâèì íåêîòîðûå óòâåðæäåíèÿ î âûâîäèìîñòè ôîðìóë.

Ëåììà 1. Ïóñòü A  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà. Òîãäà ` A → A.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì âûâîä ôîðìóëû A → A. 1. (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A)) (ïîäñòàíîâêà â ñõåìó àêñèîì (2); â íåé B çàìåíåíî íà A → A, à A è C  íà A). 2. A → ((A → A) → A) (ïîäñòàíîâêà â ñõåìó àêñèîì (1); B çàìåíåíî íà A → A). 3. (A → (A → A)) → (A → A) (èç 1 è 2 ïî ïðàâèëó âûâîäà). 4. A → (A → A) (ïîäñòàíîâêà â ñõåìó àêñèîì (1); B çàìåíåíî íà A). 5. A → A (èç 3 è 4 ïî ïðàâèëó âûâîäà) .

Òåîðåìà 1 (î äåäóêöèè). Ïóñòü T  ìíîæåñòâî ôîðìóë, A è B  ôîðìóëû. Åñëè T, A ` B , òî T ` A → B . 1) Çäåñü

=Γ  çíàê ãðàôè÷åñêîãî ðàâåíñòâà.

Ëåêöèÿ  14

149

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B1 , . . . , Bn  âûâîä ôîðìóëû B èç T ∪ {A}; Bn =Γ B . Èíäóêöèåé ïî n äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò âûâîä ôîðìóëû A → B èç ñèñòåìû T . Ïóñòü n = 1. Òîãäà B1 =Γ B . Âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñëó÷àè: a) B  àêñèîìà, b) B ∈ T , c) B =Γ A. Ïî ñõåìå àêñèîì (1) ôîðìóëà B → (A → B)  àêñèîìà. Ïîýòîìó â ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ T ` A → B ïî ïðàâèëó âûâîäà.  ñëó÷àå c ôîðìóëà A → B èìååò âèä A → A.  ñèëó ëåììû 1 ` A → A. Ïîýòîìó â ñèëó ñâîéñòâà âûâîäèìîñòè 2 T ` A → A. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âûâîä ôîðìóëû B èç T, A èìååò äëèíó ìåíåå n. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà äëèíà ýòîãî âûâîäà ðàâíà n. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñëó÷àè: a) b) c) d)

B  àêñèîìà, B ∈ T, B =Γ A, B ïîëó÷àåòñÿ ïî ïðàâèëó âûâîäà èç íåêîòîðûõ ôîðìóë Bi è Bk , ãäå i, k < n è Bi èìååò âèä Bk → B .

Ïåðâûå òðè ñëó÷àÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ òàê æå, êàê è ðàíåå äëÿ ñëó÷àÿ n = 1. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé d. Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ èìååì 1) T ` A → (Bk → B), 2) T ` A → Bk , 3) T ` (A → (Bk → B)) → ((A → Bk ) → (A → B)) (ïîäñòàíîâêà â ñõåìó àêñèîì (2); B çàìåíåíî íà Bk , C  íà B ). Ïî ïðàâèëó âûâîäà èç 1 è 3 â ñèëó ñâîéñòâà 5 4) T ` (A → Bk ) → (A → B). Íàêîíåö, ïî ïðàâèëó âûâîäà èç 2 è 4 â ñèëó ñâîéñòâà 5 îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì 5) T ` A → B . Îòìåòèì, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòîé òåîðåìû èñïîëüçîâàëèñü òîëüêî ñõåìû àêñèîì (1) è (2).

150

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ

Ñëåäñòâèå. Ïóñòü A, B è C  ôîðìóëû. Òîãäà A → B, B → C ` A → C.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë A → B, B → C, A, C ÿâëÿåòñÿ âûâîäîì ôîðìóëû C èç A → B, B → C, A. Ïîýòîìó

A → B, B → C, A ` C. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î äåäóêöèè, ïîëó÷àåì

A → B, B → C ` A → C.

Ëåììà 2. Ïóñòü A, B, C  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû. Òîãäà a ) ` B → (B → C) ; b) `A→A; c ) ` A → A.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà óòâåðæäåíèå a. 1. 2. 3. 4. 5.

B → (C → B) B C→B (C → B) → (B → C) B→C

ñõåìà àêñèîì (1) ãèïîòåçà ïî ïðàâèëó âûâîäà èç 1 è 2 ñõåìà àêñèîì (3) ïî ïðàâèëó âûâîäà èç 3 è 4

Òàêèì îáðàçîì, B ` B → C , îòêóäà ïî òåîðåìå î äåäóêöèè ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå a. Äîêàæåì òåïåðü óòâåðæäåíèå b.

1. A → A

ãèïîòåçà

2. (A → A) → (A → A) ñõåìà àêñèîì (3) 3. A → A Â ñèëó ñîîòíîøåíèé 13

ïî ïðàâèëó âûâîäà èç 1 è 2

A → A ` A → A; à â ñèëó ï. a

A ` A → A (B çàìåíåíî íà A, C  íà A). Ïîýòîìó â ñèëó ñâîéñòâà âûâîäèìîñòè 4 A ` A → A. Êðîìå òîãî, A ` A. Ïîýòîìó â ñèëó ñâîéñòâà (âûâîäèìîñòè) 5 A ` A, îòêóäà ïî òåîðåìå î äåäóêöèè ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå b.

151

Ëåêöèÿ  14

Óñòàíîâèì, íàêîíåö, ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ c.

1. (A → A) → (A → A) ñõåìà àêñèîì (3) 2. A → A

ï. b, äîêàçàííûé âûøå

3. A → A

ïî ïðàâèëó âûâîäà èç 1 è 2

Îòìåòèì, ÷òî íà ñàìîì äåëå â ïðèâåäåííîì âûâîäå âìåñòî ôîðìóëû A → A äîëæåí áûòü çàïèñàí âåñü åå âûâîä, ñóùåñòâóþùèé â ñèëó ï. b. Ìû ýòîãî íå äåëàåì äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè.

Ëåììà 3. Ïóñòü A, B è C  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû, à T  ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà ãèïîòåç. Òîãäà a ) ` (A → B) → (B → A); b ) ` B → (C → (B → C)); c ) åñëè T ` A → C è T ` A → C , òî T ` C . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà óòâåðæäåíèå a.  ñèëó ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû î äåäóêöèè

A → A, A → B, B → B ` A → B. Òàê êàê â ñèëó ëåììû 2 ` A → A è ` B → B , òî ïî ñâîéñòâó 3

A → B ` A → B. Èç ñõåìû àêñèîì (3) ñëåäóåò, ÷òî

A → B ` B → A. Ïîýòîìó â ñèëó ñâîéñòâà 4 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå

A → B ` B → A, îòêóäà ï. a ïîëó÷àåòñÿ ïî òåîðåìå î äåäóêöèè. Äîêàæåì òåïåðü óòâåðæäåíèå b. Î÷åâèäíî, ÷òî B, B → C ` C . Ïîýòîìó ïî òåîðåìå î äåäóêöèè B ` (B → C) → C .  ñèëó ï. a èìååì

(B → C) → C ` C → (B → C) (A çàìåíåíî íà B → C , B  íà C ). Ïîýòîìó â ñèëó ñâîéñòâà 4

B ` C → (B → C), îòêóäà ñîîòíîøåíèå b ïîëó÷àåòñÿ ïî òåîðåìå î äåäóêöèè.

152

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ

Óñòàíîâèì, íàêîíåö, ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ c. Â ñèëó ï. a

A → C ` C → A,

A → C ` C → A.

Òàê êàê ïî óñëîâèþ T ` A → C è T ` A → C , òî â ñèëó ñâîéñòâà 4

T ` C → A è T ` C → A, à çíà÷èò,

T, C ` A è T, C ` A. Â ñèëó ï. b

A, A ` A → A. Ïîýòîìó â ñèëó ñâîéñòâà 4

T, C ` A → A, îòêóäà ïî òåîðåìå î äåäóêöèè

T ` C → (A → A). Èç ñõåìû àêñèîì (3) ïîëó÷àåì

C → (A → A) ` (A → A) → C. Ïîýòîìó â ñèëó ñâîéñòâà 4

T ` (A → A) → C.  ñèëó ëåììû 1 ` A → A. Ïîýòîìó ïî ïðàâèëó âûâîäà T ` C . Áóäåì òåïåðü ñ÷èòàòü, ÷òî ôîðìóëàì íàä { , →} åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîïîñòàâëåíû ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè. Âñÿêóþ ôîðìóëó, êîòîðaÿ ðåàëèçóåò òîæäåñòâåííî èñòèííóþ ôóíêöèþ, áóäåì íàçûâàòü òîæäåñòâåííî èñòèííîé.

Òåîðåìà 2. Ëþáàÿ âûâîäèìàÿ ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî âñÿêàÿ ôîðìóëà, ïîëó÷àþùàÿñÿ ïî ïðàâèëó âûâîäà èç òîæäåñòâåííî èñòèííûõ ôîðìóë, ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé. Ýòî óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ñâîéñòâà èìïëèêàöèè (òàáë.1).

153

Ëåêöèÿ  14

Òàáëèöà 1 x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

x→y 1 1 0 1

 ñàìîì äåëå, åñëè x → y = 1 è x = 1, òî y = 1, ò. å. åñëè A è A → B  òîæäåñòâåííî èñòèííûå ôîðìóëû, òî B  òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ôîðìóëà. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî êàæäàÿ àêñèîìà èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé. Ñõåìà àêñèîì (1). Ðàññìîòðèì ôîðìóëó

A → (B → A), ãäå A è B  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû. Åñëè A = 0, òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè B èìååì A → (B → A) = 1; à åñëè A = 1, òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè B èìååì B → A = 1, è ïîýòîìó A → (B → A) = 1. Òàêèì îáðàçîì, A → (B → A)  òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ôîðìóëà. Ñõåìà àêñèîì (2). Ðàññìîòðèì ôîðìóëó

(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)), ãäå A, B è C  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû. Åñëè A = 0, òî A → C = 1, à çíà÷èò,

(A → B) → (A → C) = 1, (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) = 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ B è C . Åñëè A = 1, òî

A → B = B, A → C = C, A → (B → C) = B → C. Ïîýòîìó ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ B è C âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) = = (B → C) → (B → C) = 1 Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) òîæäåñòâåííî èñòèííà.

154

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ

Ñõåìà àêñèîì (3). Ðàññìîòðèì ôîðìóëó

(A → B) → (B → A), ãäå A è B  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû. Åñëè A = 1 èëè B = 0, òî B → A = 1 è (A → B) → (B → A) = 1; åñëè æå A = 0 è B = 1, òî A → B = 0, è ïîýòîìó (A → B) → (B → A) = 1. Òàêèì îáðàçîì, (A → B) → (B → A)  òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ôîðìóëà. Ïóñòü A  âûâîäèìàÿ ôîðìóëà. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû èíäóêöèåé ïî äëèíå n âûâîäà ôîðìóëû A. Åñëè n = 1, ò. å. âûâîä ñîñòîèò èç îäíîé ôîðìóëû, òî A  àêñèîìà, à çíà÷èò, ïî äîêàçàííîìó âûøå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé ôîðìóëîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå âûâîäèìûå ôîðìóëû, ó êîòîðûõ äëèíà âûâîäà íå ïðåâûøàåò n, ÿâëÿþòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííûìè. Ïóñòü A  ôîðìóëà, âûâîä êîòîðîé èìååò äëèíó n + 1:

A1 , A2 , . . . , An , An+1 =Γ A. Òîãäà ëèáî A ÿâëÿåòñÿ àêñèîìîé, à çíà÷èò, ïî äîêàçàííîìó âûøå åñòü òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ôîðìóëà, ëèáî ïîëó÷àåòñÿ ïî ïðàâèëó âûâîäà èç íåêîòîðûõ ôîðìóë Aj è Ar (ãäå 1 6 j, r 6 n), òàêèõ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Aj =Γ Ar → A. Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ ôîðìóëû Aj è Ar ÿâëÿþòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííûìè. Ïîýòîìó è ôîðìóëà A òîæäåñòâåííî èñòèííà.

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 155 163

155

Ëåêöèÿ  15 Èñ÷èñëåíèå íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîðå÷èâûì, åñëè íàéäåòñÿ ôîðìóëà A, òàêàÿ, ÷òî â ýòîì èñ÷èñëåíèè îäíîâðåìåííî âûâîäèìû ôîðìóëû A è A.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå èñ÷èñëåíèå íàçûâàåòñÿ íåïðîòèâîðå÷èâûì.

Òåîðåìà 1. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé íåïðîòèâîðå÷èâî. Äîêàçàòåëüñòâî.  ñàìîì äåëå, äîïóñòèì, ÷òî ôîðìóëà A âû-

âîäèìà. Òîãäà â ñèëó òåîðåìû 2 èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè îíà ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé. Çíà÷èò, A  òîæäåñòâåííî ëîæíàÿ ôîðìóëà, è ïîýòîìó îíà íå ìîæåò áûòü âûâîäèìîé. Îòìåòèì, ÷òî èç íåïðîòèâîðå÷èâîñòè èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå íåâûâîäèìûõ ôîðìóë, íàïðèìåð ôîðìóëà A → A íå ÿâëÿåòñÿ âûâîäèìîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåïðîòèâîðå÷èâîñòü èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé ñëåäóåò èç ôàêòà ñóùåñòâîâàíèÿ íåâûâîäèìûõ ôîðìóë. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü A  íåâûâîäèìàÿ ôîðìóëà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ïðîòèâîðå÷èâî. Òîãäà íàéäåòñÿ ôîðìóëà B , òàêàÿ, ÷òî ` B è ` B .  ñèëó ëåììû 2, ï. a èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè B, B ` A. Ïîýòîìó ` A. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé íåïðîòèâîðå÷èâî. Ïóñòü A(x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà íàä ìíîæåñòâîì {x, x → y}, ãäå x1 , . . . , xn  âñå ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â ôîðìóëó A. Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Aε ôîðìóëó A, åñëè ε = 1, è ôîðìóëó A, åñëè ε = 0; A(α1 , . . . , αn )  çíà÷åíèå ôîðìóëû A íà íàáîðå (α1 , . . . , αn ) ∈ E n (E = {0, 1}).

Ëåììà. Ïóñòü A(x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà, (α1 , . . . , αn )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð ïåðåìåííûõ èç E n , à ε  çíà÷åíèå A(α1 , . . . , αn ). Òîãäà α2 αn ε 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` A .

Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì äîêàçûâàòü óòâåðæäåíèå ëåììû èíäóêöèåé ïî äëèíå k ôîðìóëû A. Åñëè k = 1, òî ôîðìóëà A èìååò αi i âèä xi , 1 6 i 6 n, è óòâåðæäåíèå ëåììû (xα i ` xi ) î÷åâèäíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå ëåììû ñïðàâåäëèâî äëÿ ôîðìóë, äëèíà êîòîðûõ ìåíüøå k . Äîêàæåì åãî äëÿ ôîðìóë äëèíû k . Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.

156

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ

1. Ôîðìóëà A èìååò âèä B . Òîãäà B èìååò äëèíó k−1. Ïîëîæèì ε1 = B(α1 , . . . , αn ). Òîãäà ε = ε1 . Â ñèëó èíäóêòèâíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ α2 αn ε1 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` B . Åñëè ε1 = 0, òî ε = 1 è α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` B,

ò. å. Aε =Γ B , è ïîýòîìó α2 αn ε 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` A .

Åñëè ε1 = 1, òî ε = 0 è α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` B.

 ñèëó ëåììû 2, ï. c èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè B ` B . Ïîýòîìó α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` B.

Òàê êàê Aε =Γ B , òî α2 αn ε 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` A .

Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî. 2. Ôîðìóëà A èìååò âèä B → C . Òîãäà ôîðìóëû B è C èìåþò äëèíó ìåíüøå k . Ïîëîæèì ε1 = B(α1 , . . . , αn ), ε2 = C(α1 , . . . , αn ). Òîãäà ε = ε1 → ε2 .  ñèëó èíäóêòèâíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ α2 ε1 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` B , α2 αn ε2 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` C

(â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ôîðìóëû B èëè C ñîäåðæàò íå âñå ïåðåìåííûå x1 , x2 , . . . , xn , â ëåâûå ÷àñòè ýòèõ âûðàæåíèé äîáàâëÿþòñÿ ëèøíèå ãèïîòåçû). Åñëè ε = 0, òî ε1 = 1 è ε2 = 0, ò. å. Aε =Γ (B → C), è α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` B, α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` C.

Èç ëåììû 3, ï. b èìååì B, C ` (B → C). Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó ñâîéñòâà âûâîäèìîñòè 4 α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` (B → C).

157

Ëåêöèÿ  15

Åñëè ε = 1, ε1 = 0, òî Aε =Γ B → C è α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` B.

Èç ëåììû 2, ï. à èìååì B ` B → C , à çíà÷èò, α2 αn ε 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` A .

Åñëè ε = 1, ε1 = 1, òî ε2 = 1, ò. å. Aε =Γ B → C è α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` C.

 ñèëó ñâîéñòâà âûâîäèìîñòè 6 α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` B → C.

Òàêèì îáðàçîì, ëåììà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Òåîðåìà 2 (î ïîëíîòå). Âñÿêàÿ ôîðìóëà, âûðàæàþùàÿ òîæäåñòâåííî èñòèííóþ ôóíêöèþ, ÿâëÿåòñÿ âûâîäèìîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A(x1 , . . . , xn )  ïðîèçâîëüíàÿ òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ôîðìóëà, à (α1 , . . . , αn )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð èç E n . Â ñèëó ëåììû α2 αn 1 xα 1 , x2 , . . . , xn ` A.

Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî èñêëþ÷àòü ãèïîòåçû, ïîëüçóÿñü ëåììîé 3, ï. c èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè. Ïðè αn = 1 è αn = 0 èìååì α

α2 n−1 1 xα 1 , x2 , . . . , xn−1 , xn ` A, α

α2 n−1 1 xα 1 , x2 , . . . , xn−1 , xn ` A.

Ïîýòîìó â ñèëó ëåììû 3, ï. c α

α2 n−1 1 xα 1 , x2 , . . . , xn−1 ` A.

Òî÷íî òàêèì æå îáðàçîì, ðàññìîòðåâ ñëó÷àè, êîãäà αn−1 = 1 è αn−1 = 0, ïðèìåíèâ ëåììó 3, ï. c, èñêëþ÷èì xn−1 è òàê äàëåå; ïîñëå øàãà n − 1 ïîëó÷èì

x1 ` A, x1 ` A, îòêóäà, ïðèìåíèâ ëåììó 3, ï. c, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

` A. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà äîêàçàíà.

158

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ

Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî äîáàâëåíèå ê ìíîæåñòâó àêñèîì ëþáîé íåâûâîäèìîé ôîðìóëû â êà÷åñòâå íîâîé ñõåìû àêñèîì ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èâîñòè èñ÷èñëåíèÿ.  ñàìîì äåëå, ïóñòü D(x1 , . . . , xn )  íåâûâîäèìàÿ ôîðìóëà. Ðàññìîòðèì íîâóþ ñèñòåìó àêñèîì, ñîñòîÿùóþ èç ñõåì àêñèîì (1)(3), à òàêæå íîâîé ñõåìû (4) D(A1 , A2 , . . . , An ), ãäå A1 , A2 , . . . , An  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû. Ïîëó÷èì íîâîå èñ÷èñëåíèå, â êîòîðîì ïðè âûâîäå ôîðìóë ðàçðåøàåòñÿ ïðèìåíÿòü ëþáóþ èç ñõåì àêñèîì (1)(4). Âûâîäèìîñòü ôîðìóëû F â íîâîì èñ÷èñëåíèè áóäåì îáîçíà÷àòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: `H F . Òàê êàê ôîðìóëà D(x1 , . . . , xn ) íåâûâîäèìà â ïðåæíåì èñ÷èñëåíèè, òî â ñèëó òåîðåìû î ïîëíîòå îíà íå ðàâíà òîæäåñòâåííî 1. Ïîýòîìó íàéäåòñÿ íàáîð (α1 , . . . , αn ) èç E n , òàêîé, ÷òî

D(α1 , . . . , αn ) = 0. Îáîçíà÷èì ÷åðåç F (1) è F (0) ôîðìóëû x → x è x → x ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèì òåïåðü ôîðìóëû F1 , F2 , . . . , Fn ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì Fi =Γ F (1) , åñëè αi = 1, è Fi =Γ F (0) , åñëè αi = 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôîðìóëà D(F1 , . . . , Fn )  òîæäåñòâåííî ëîæíàÿ ôîðìóëà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôîðìóëà D(F1 , . . . , Fn ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñõåìû àêñèîì (4). Ïîýòîìó

`H D(F1 , . . . , Fn ). Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîëüíóþ ôîðìóëó B . Òîãäà ôîðìóëà D(F1 , . . . , Fn ) → B ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû î ïîëíîòå

` D(F1 , . . . , Fn ) → B, à çíà÷èò, `H B . Òàêèì îáðàçîì, â íîâîì èñ÷èñëåíèè âûâîäèìà ëþáàÿ ôîðìóëà, è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî ïðîòèâîðå÷èâî.

Íåçàâèñèìîñòü àêñèîì. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëåäóþùèé âîïðîñ. Ìîæíî ëè èç ñõåì àêñèîì (1)(3) óäàëèòü êàêóþ-íèáóäü ñõåìó (èçìåíèâ ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ïîíÿòèå âûâîäà) ñ ñîõðàíåíèåì ïîëíîòû èñ÷èñëåíèÿ? Òî åñòü ÿâëÿåòñÿ ëè êàêàÿ-íèáóäü èç ýòèõ ñõåì àêñèîì çàâèñèìîé îò îñòàëüíûõ? Ñõåìà àêñèîì (i), 1 6 i 6 3, äàííîãî èñ÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé, åñëè íàéäåòñÿ ôîðìóëà, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

159

Ëåêöèÿ  15

÷àñòíûé ñëó÷àé ñõåìû àêñèîì (i) è êîòîðóþ íåëüçÿ âûâåñòè ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà âûâîäà èç îñòàëüíûõ àêñèîì èñ÷èñëåíèÿ. Áóäåì íàçûâàòü ôîðìóëó (j, m)-âûâîäèìîé, åñëè ïðè åå âûâîäå èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî ñõåìû àêñèîì (j) è (m), 1 6 j, m 6 3, j 6= m. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåçàâèñèìîñòè ñõåìû àêñèîì (i) èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé ïîäõîä. Ôóíêöèè x è x → y ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ôîðìóëû k -çíà÷íîé ëîãèêè (k > 2) è îïðåäåëÿþòñÿ íåêîòîðûì ñïåöèàëüíûì îáðàçîì; êðîìå òîãî, âûáèðàåòñÿ íåêîòîðîå çíà÷åíèå α ∈ Ek = {0, 1, . . . , k − 1}. Ïðè ýòîì çàäàíèå ýòèõ ôóíêöèé è âûáîð α îñóùåñòâëÿþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) êàæäàÿ ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñõåì àêñèîì (j) èëè (m), j, m 6= i, òîæäåñòâåííî ðàâíà α (ò. å. ðåàëèçóåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ k -çíà÷íîé ëîãèêè, òîæäåñòâåííî ðàâíóþ α); 2) ïðàâèëî âûâîäà, ïðèìåíåííîå ê ôîðìóëàì, òîæäåñòâåííî ðàâíûì α, äàåò ôîðìóëó, òîæäåñòâåííî ðàâíóþ α; 3) íàéäåòñÿ ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñõåìû àêñèîì (i), íå ðàâíàÿ òîæäåñòâåííî α.

Óòâåðæäåíèå 1. Ôîðìóëà (x → y) → (y → x) íå ÿâëÿåòñÿ

(1, 2)-âûâîäèìîé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè x è x → y êàê ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè, îïðåäåëåííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ òàáë. 1 è 2. Òàáëèöà 1 x x 0 0 1 1

x→y:

Òàáëèöà 2 x\y 0 1 0 1 1 1 0 1

Ïîñêîëüêó òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè x → y ñîâïàäàåò ñ ïðåæíèì çàäàíèåì èìïëèêàöèè, òî êàæäàÿ ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñõåì àêñèîì (1) èëè (2), òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ïðàâèëî âûâîäà, ïðèìåíåííîå ê ôîðìóëàì, òîæäåñòâåííî ðàâíûì 1, áóäåò äàâàòü ôîðìóëó, òîæäåñòâåííî ðàâíóþ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ (1, 2)-âûâîäèìàÿ ôîðìóëà òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôîðìóëà (x → y) → (y → x) íå ðàâíà òîæäåñòâåííî 1, ïîñêîëüêó ïðè x = 0, y = 1 ïðèíèìàåò çíà÷åíèå

160

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ

(0 → 1) → (1 → 0) = (0 → 1) → 0 = 1 → 0 = 0. Ïîýòîìó ýòà ôîðìóëà íå ÿâëÿåòñÿ (1, 2)-âûâîäèìîé.

Óòâåðæäåíèå 2. Ôîðìóëà (x → (y → z)) → ((x → y) → (x → z))

íå ÿâëÿåòñÿ (1, 3)-âûâîäèìîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè x → y è x êàê ôóíêöèè 3-çíà÷íîé ëîãèêè, îïðåäåëåííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ òàáë. 3 è 4. Òàáëèöà 3 x x 0 1 1 0 2 2

x→y:

x\y 0 1 2

Òàáëèöà 4 0 1 2 1 1 1 0 1 2 2 1 1

Ïîêàæåì, ÷òî êàæäàÿ ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñõåì àêñèîì (1) è (3), òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ñõåìà àêñèîì (1). Ðàññìîòðèì ôîðìóëó

A → (B → A), ãäå A è B  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû. Åñëè A = 0, òî

A → (B → A) = 1 ïðè ëþáîì çíà÷åíèè B ; åñëè A = 1, òî B → A = 1 è

A → (B → A) = 1 ïðè ëþáîì çíà÷åíèè B ; åñëè A = 2, òî

A → (B → A) = 2 → (B → 2) = 1 ïðè ëþáîì çíà÷åíèè B . Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà A → (B → A) òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ñõåìà àêñèîì (3). Ðàññìîòðèì ôîðìóëó

(A → B) → (B → A), ãäå A è B  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû. Åñëè A = 1, òî B → A = 1 è (A → B) → (B → A) = 1. Åñëè A = 0, òî (A → B) = 1 → B = B ,

161

Ëåêöèÿ  15

à (B → A) = B → 0 = B , è ïîýòîìó (A → B) → (B → A) = B → B = 1. Åñëè A = 2, à B 6= 1, òî B → A = 1, à çíà÷èò, (A → B) → (B → A) = 1; åñëè æå A = 2, B = 1, òî

(A → B) → (B → A) = (2 → 1) → (1 → 2) = = (2 → 0) → 2 = 2 → 2 = 1. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (A → B) → (B → A) òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ïîñêîëüêó ïðàâèëî âûâîäà, ïðèìåíåííîå ê ôîðìóëàì, òîæäåñòâåííî ðàâíûì 1, áóäåò äàâàòü ôîðìóëó, òîæäåñòâåííî ðàâíóþ 1, òî êàæäàÿ (1, 3)-âûâîäèìàÿ ôîðìóëà òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôîðìóëà

(x → (y → z)) → ((x → y) → (x → z)) íå ðàâíà òîæäåñòâåííî 1, ïîñêîëüêó ïðè x = y = 2, z = 0 ïðèíèìàåò çíà÷åíèå (2 → (2 → 0)) → ((2 → 2) → (2 → 0)) =

= (2 → 2) → (1 → 2) = 1 → 2 = 0. Ïîýòîìó ýòà ôîðìóëà íå ÿâëÿåòñÿ (1, 3)-âûâîäèìîé.

Óòâåðæäåíèå 3. Ôîðìóëà x → (y → x)

íå ÿâëÿåòñÿ (2, 3)-âûâîäèìîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè x → y è x êàê ôóíêöèè 3-çíà÷íîé ëîãèêè, îïðåäåëåííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ òàáë. 5 è 6. Òàáëèöà 6 Òàáëèöà 5 x\y 0 1 2 x x 0 1 0 1 1 1 x→y: 1 0 1 0 1 0 2 2 2 0 1 1 Ïîêàæåì, ÷òî êàæäàÿ ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñõåì àêñèîì (2) è (3), òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ñõåìà àêñèîì (2). Ðàññìîòðèì ôîðìóëó

(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)),

162

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ

ãäå A, B è C  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû. Åñëè A = 0, òî A → C = 1, à çíà÷èò, (A → B) → (A → C) = 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ B è C ; åñëè C = 1, òî A → C = 1 è (A → B) → (A → C) = 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ A è B ; åñëè A = C = 2, òî A → C = 1 è

(A → B) → (A → C) = 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ B ; åñëè B = 0, A ∈ {1, 2} èëè åñëè B = 2, A = 1, òî A → B = 0, à çíà÷èò (A → B) → (A → C) = 1. Èòàê, âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñëó÷àÿõ (A → B) → (A → C) = 1, à çíà÷èò, ôîðìóëà

(A → (B → C)) → (A → B) → (A → C) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1. Ðàññìîòðèì îñòàâøèåñÿ ÷åòûðå ñëó÷àÿ: 1) A = 1, B = 1, C = 0; 2) A = 1, B = 1, C = 2; 3) A = 2, B = 1, C = 0; 4) A = 2, B = 2, C = 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â êàæäîì èç ýòèõ ÷åòûðåõ ñëó÷àåâ âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà

B → C = 0,

A → (B → C) = 0.

Ïîýòîìó

(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) = 1. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìàÿ ôîðìóëà òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ñõåìà àêñèîì (3). Ðàññìîòðèì ôîðìóëó

(A → B) → (B → A), ãäå A è B  ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû. Åñëè A = 1, òî B → A = 1 è (A → B) → (B → A) = 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ B ; åñëè B = 0, òî B → A = 1 è (A → B) → (B → A) = 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ A; åñëè A = B = 2, òî (A → B) → (B → A) = 1. Ðàññìîòðèì îñòàâøèåñÿ òðè ñëó÷àÿ:

163

Ëåêöèÿ  15

1) A = 0, B = 1; 2) A = 0, B = 2; 3) A = 2, B = 1. Ïîêàæåì, ÷òî â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ çíà÷åíèå ôîðìóëû A → B ðàâíî 0.  ñàìîì äåëå, åñëè A = 0, B = 1, òî

A → B = 0 → 1 = 1 → 0 = 0; åñëè A = 0, B = 2, òî A → B = 0 → 2 = 1 → 2 = 0; åñëè A = 2, B = 1, òî A → B = 2 → 1 = 2 → 0 = 0. Òàê êàê â êàæäîì èç ýòèõ òðåõ ñëó÷àåâ B → A = 0, òî

(A → B) → (B → A) = 0 → 0 = 1. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (A → B) → (B → A) òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ïîñêîëüêó ïðàâèëî âûâîäà, ïðèìåíåííîå ê ôîðìóëàì, òîæäåñòâåííî ðàâíûì 1, áóäåò äàâàòü ôîðìóëó, òîæäåñòâåííî ðàâíóþ 1, òî êàæäàÿ (2, 3)-âûâîäèìàÿ ôîðìóëà òîæäåñòâåííî ðàâíà 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôîðìóëà x → (y → x) íå ðàâíà òîæäåñòâåííî 1, ïîñêîëüêó ïðè x = 2, y = 1 ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 2 → (1 → 2) = 2 → 0 = 0. Ïîýòîìó ýòà ôîðìóëà íå ÿâëÿåòñÿ (2, 3)-âûâîäèìîé. Èç óòâåðæäåíèé 13 ñëåäóåò Òåîðåìà 3. Êàæäàÿ èç ñõåì àêñèîì (1)(3) èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé.

164

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 164171

ËÎÃÈÊÀ ÏÐÅÄÈÊÀÒΠËåêöèÿ  16 Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðåäëîæåíèÿ, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðîâ. Íàïðèìåð, "x  ïðîñòîå ÷èñëî", "x 6 y ", "x äåëèòñÿ íà i". Êàæäîå èç ýòèõ ïðåäëîæåíèé ïðè êîíêðåòíûõ çíà÷åíèÿõ x, y , i ñòàíîâèòñÿ âûñêàçûâàíèåì, ïðèíèìàþùèì çíà÷åíèå "èñòèíà" èëè "ëîæü". Òàêîãî ðîäà ïðåäëîæåíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðåäèêàòàìè. Áîëåå òî÷íî, ïðåäèêàòàìè áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèè P (x1 , . . . , xn ), àðãóìåíòû êîòîðûõ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà M , à ñàìè ôóíêöèè  çíà÷åíèå 1 ("èñòèíà") èëè 0 ("ëîæü"). Ïðåäèêàò, çàâèñÿùèé îò n ïåðåìåííûõ, íàçûâàåòñÿ n-ìåñòíûì ïðåäèêàòîì. Ïðåäèêàò, ïåðåìåííûå êîòîðîãî ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà M , áóäåì íàçûâàòü ïðåäèêàòîì, îïðåäåëåííûì íà ìíîæåñòâå M (èëè ïðåäèêàòîì íàä M ). Íàïðèìåð, ïðåäèêàò P (x): "x  ïðîñòîå ÷èñëî" ÿâëÿåòñÿ îäíîìåñòíûì ïðåäèêàòîì, à ïðåäèêàò S(x, y): "x 6 y "  äâóìåñòíûì. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî i ìîæíî ðàññìîòðåòü îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò Pi (x): "x äåëèòñÿ íà i"; â òî æå âðåìÿ ïðåäëîæåíèå "x äåëèòñÿ íà i" ÿâëÿåòñÿ äâóìåñòíûì, åñëè ñ÷èòàòü i ïåðåìåííîé, ïðèíèìàþùåé íàòóðàëüíûå çíà÷åíèÿ. Òàê æå êàê è ê âûñêàçûâàíèÿì, ê ïðåäèêàòàì ìîæíî ïðèìåíÿòü îáû÷íûå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè (ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè).  ðåçóëüòàòå òàêæå áóäóò ïîëó÷àòüñÿ ïðåäèêàòû. Íàïðèìåð, P2 (x)&P3 (x). Òåì ñàìûì èç íåêîòîðîãî èñõîäíîãî ìíîæåñòâà ïðåäèêàòîâ, èñïîëüçóÿ îïåðàöèè &, ∨, , →, ìû ìîæåì ñîñòàâëÿòü ðàçëè÷íûå ôîðìóëû, êîòîðûå áóäóò âûðàæàòü íåêîòîðûå ïðåäèêàòû. Ðàññìîòðèì îäíîìåñòíûå ïðåäèêàòû, îïðåäåëåííûå íà íåêîòîðîì êîíå÷íîì ìíîæåñòâå M . Ñèñòåìà îäíîìåñòíûõ ïðåäèêàòîâ íàä M íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ÷åðåç íèõ ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé (&, ∨, , →) ìîæíî âûðàçèòü ëþáîé îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò íàä M .

Òåîðåìà. Ïóñòü M  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Ñèñòåìà {A1 (x), . . . , As (x)} îäíîìåñòíûõ ïðåäèêàòîâ íàä M ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ a è b ìíîæåñòâà M íàéäåòñÿ ïðåäèêàò Ai , 1 6 i 6 s, òàêîé, ÷òî Ai (a) 6= Ai (b). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàéäóòñÿ äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà a è b èç M , òàêèå, ÷òî Ai (a) = Ai (b) äëÿ âñåõ i = 1, . . . , s.

165

Ëåêöèÿ  16

Òîãäà ëþáàÿ ôîðìóëà, ñîñòàâëåííàÿ èç ïðåäèêàòîâ A1 (x), . . . , As (x) ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàöèé &, ∨, , → , áóäåò âûðàæàòü íåêîòîðûé ïðåäèêàò íàä M ñ ýòèì æå ñâîéñòâîì. Ñëåäîâàòåëüíî, íåëüçÿ ïîëó÷èòü, íàïðèìåð, ïðåäèêàò, êîòîðûé ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 íà ýëåìåíòå a è çíà÷åíèå 0 íà âñåõ îñòàëüíûõ ýëåìåíòàõ ìíîæåñòâà M . Ïîýòîìó ñèñòåìà {A1 (x), . . . , As (x)} íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M íàéäåòñÿ ïðåäèêàò èç ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, êîòîðûé ïðèíèìàåò íà íèõ ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ. Ïóñòü a ∈ M . Ïîëîæèì ½ Ai (x), åñëè Ai (a) = 1; (a) Ai (x) = Ai (x), åñëè Ai (a) = 0,

i = 1, . . . , s. Òîãäà Ai (a) = 1 äëÿ âñåõ i = 1, . . . , s. Ðàññìîòðèì ïðåäèêàò (a) (a) A(a) (x) = A1 (x)&A2 (x)& . . . &A(a) s (x). Íàéäåì çíà÷åíèå ýòîãî ïðåäèêàòà íà ýëåìåíòàõ ìíîæåñòâà M . Î÷åâèäíî, ÷òî A(a) (a) = 1. Ïóñòü b ∈ M , b 6= a. Ïî óñëîâèþ ñóùåñòâóåò ïðåäèêàò Aj (x), 1 6 j 6 s, òàêîé, ÷òî Aj (b) 6= Aj (a). Ëåãêî âèäåòü, (a) (a) (a) ÷òî Aj (b) 6= Aj (a), ò. å. Aj (b) = 0. Ïîýòîìó A(a) (b) = 0. Òàêèì îáðàçîì, ½ 1, åñëè x = a; A(a) (x) = 0, åñëè x 6= a. Ïóñòü P (x)  ïðîèçâîëüíûé ïðåäèêàò íàä M . Åñëè P (x)  òîæäåñòâåííî ëîæíûé ïðåäèêàò, òî P (x) = A1 (x)&A1 (x).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîñòðîèì àíàëîã ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû. Ïóñòü a1 , . . . , ar  âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà M , íà êîòîðûõ ïðåäèêàò P (x) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, r > 1. Òîãäà

P (x) =

r _

A(ai ) (x).

i=1

Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò íàä ìíîæåñòâîì M âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðåäèêàòû A1 (x), . . . , As (x) ïðè ïîìîùè îïåðàöèé ∨, &, . Îïðåäåëèì äâå íîâûå îïåðàöèè íàä ïðåäèêàòàìè  îïåðàöèè íàâåøèâàíèÿ êâàíòîðîâ. Êâàíòîð îáùíîñòè. Ïóñòü A(x, y1 , . . . , yn )  íåêîòîðûé ïðåäèêàò, çàâèñÿùèé îò ïåðåìåííûõ x, y1 , . . . , yn . Âûñêàçûâàíèå

166

ËÎÃÈÊÀ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

"A(x, y1 , . . . , yn ) èñòèííî äëÿ âñåõ x" áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì (∀x)A(x, y1 , . . . , yn ) (÷èòàåòñÿ "äëÿ âñåõ x A(x, y1 , . . . , yn )"). Ýòî âûñêàçûâàíèå çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ y1 , . . . , yn , ïðè÷åì íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå (β1 , . . . , βn ) çíà÷åíèé ñâîèõ ïåðåìåííûõ îíî ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ α ïåðåìåííîé x âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî A(α, β1 , . . . , βn ) = 1. Ïåðåõîä îò ïðåäèêàòà A(x, y1 , . . . , yn ) ê ïðåäèêàòó (∀x)A(x, y1 , . . . , yn ) íàçûâàåòñÿ íàâåøèâàíèåì êâàíòîðà îáùíîñòè. Êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ. Ïóñòü A(x, y1 , . . . , yn )  íåêîòîðûé ïðåäèêàò. Âûñêàçûâàíèå "A(x, y1 , . . . , yn ) èñòèííî ïðè íåêîòîðîì x" áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì (∃x)A(x, y1 , . . . , yn ) (÷èòàåòñÿ "ñóùåñòâóåò x, äëÿ êîòîðîãî A(x, y1 , . . . , yn )"). Ýòî âûñêàçûâàíèå çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ y1 , . . . , yn , ïðè÷åì íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå (β1 , . . . , βn ) çíà÷åíèé ñâîèõ ïåðåìåííûõ îíî ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå çíà÷åíèå α ïåðåìåííîé x, òàêîå, ÷òî A(α, β1 , . . . , βn ) = 1. Ïåðåõîä îò ïðåäèêàòà A(x, y1 , . . . , yn ) ê ïðåäèêàòó (∃x)A(x, y1 , . . . , yn ) íàçûâàåòñÿ íàâåøèâàíèåì êâàíòîðà ñóùåñòâîâàíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ïðèìåíåíèå êàæäîé òàêîé îïåðàöèè óìåíüøàåò ÷èñëî ïåðåìåííûõ, îò êîòîðûõ çàâèñèò ïðåäèêàò, íà åäèíèöó.

Ïðèìåðû. 1. (∀x)P (x)  ëîæíîå âûñêàçûâàíèå. 2. (∃x)P2 (x)&P3 (x)  èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. 3. (∀x)(∀y)(∀z)(S(x, y)&S(y, z) → S(x, z))  èñòèííîå âûñêàçûâàíèå (çäåñü P (x), P2 (x), P3 (x) è S(x, y)  ïðåäèêàòû èç ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ).

ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ïîçâîëÿåò âûðàæàòü áîëåå ñëîæíûå ïðåäëîæåíèÿ, ÷åì ÿçûê ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ñâÿçü ìåæäó ëîãè÷åñêèìè è òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûìè îïåðàöèÿìè. Ïóñòü P (x1 , . . . , xn )  íåêîòîðûé n-ìåñòíûé ïðåäèêàò íàä M . Îáîçíà÷èì ÷åðåç MP ìíîæåñòâî âñåõ íàáîðîâ (α1 , . . . , αn ) èç M n , íà êîòîðûõ ïðåäèêàò P ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1. Ïóñòü òåïåðü Q1 (x1 , . . . , xn ) è Q2 (x1 , . . . , xn )  íåêîòîðûå n-ìåñòíûå ïðåäèêàòû íàä M , à MQ1 è MQ2  ìíîæåñòâà, íà êîòîðûõ ïðåäèêàòû Q1 è Q2 ñîîòâåòñòâåííî ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1. Òîãäà ïðåäèêàòó Q1 &Q2 áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ

167

Ëåêöèÿ  16

MQ1 è MQ2 , ïðåäèêàòó Q1 ∨ Q2 áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü îáúåäèíåíèå ýòèõ ìíîæåñòâ, à ïðåäèêàòó Q1  äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà MQ1 , ò. å. MQ1 &Q2 = MQ1 ∩ MQ2 , MQ1 ∨Q2 = MQ1 ∪ MQ2 , MQ1 = M n \ MQ1 . Ïðåäèêàòó (∃x1 )Q1 (x1 , x2 , . . . , xn ) ñîîòâåòñòâóåò ïðîåêòèðîâàíèå ìíîæåñòâà MQ1 âäîëü îñè x1 . Â ñàìîì äåëå, åñëè â MQ1 âõîäèò õîòÿ áû îäèí íàáîð (α1 , α2 , . . . , αn ), òî íàáîð (α2 , . . . , αn ) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M(∃x1 )Q1 . Ïðåäèêàòó (∀x1 )Q1 (x1 , x2 , . . . , xn ) ñîîòâåòñòâóåò âçÿòèå äîïîëíåíèÿ ê ïðîåêöèè âäîëü îñè x1 äîïîëíåíèÿ ìíîæåñòâà MQ1 , ïîñêîëüêó

(∀x1 )Q1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = (∃x1 )Q1 (x1 , x2 , . . . , xn ) (ýòî ðàâåíñòâî áóäåò ðàññìîòðåíî äàëåå). Îïðåäåëèì áîëåå ôîðìàëüíî ïîíÿòèå ôîðìóëû. Ïóñòü M  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî M ñ îïðåäåëåííûìè íà íåì ïðåäèêàòàìè (n1 )

P1

(n2 )

(x1 , . . . , xn1 ), P2

(nk )

(x1 , . . . , xn2 ), . . . , Pk

(n )

(x1 , . . . , xnk ) (n )

áóäåì íàçûâàòü ìîäåëüþ. Ìíîæåñòâî Σ = {P1 1 , . . . , Pk k } ñèìâîëîâ ïðåäèêàòîâ (ñ óêàçàíèåì ÷èñëà ïåðåìåííûõ, îò êîòîðûõ çàâèñÿò ïðåäèêàòû), âõîäÿùèõ â ìîäåëü, áóäåì íàçûâàòü ñèãíàòóðîé ìîäåëè. Ïóñòü X = {x1 , x2 , . . . }  ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïåðåìåííûõ, M = hM, Σi  ìîäåëü, Σ  ñèãíàòóðà ìîäåëè M. Îïðåäåëèì ïî èíäóêöèè ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ: a) b) c) d)

ôîðìóëà â ìîäåëè M; ìíîæåñòâî XF ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû F ; ìíîæåñòâî YF ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû F ; çíà÷åíèå F |α˜ ôîðìóëû F â ìîäåëè M íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå α ˜ çíà÷åíèé ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ýòîé ôîðìóëû. (n )

1. Âûðàæåíèå Pi i (xj1 , . . . , xjni )  ôîðìóëà; òàêèå ôîðìóëû áóäåì íàçûâàòü àòîìíûìè. Ïóñòü x1 , . . . , xs  âñå ðàçëè÷íûå ïåðåìåííûå ýòîé ôîðìóëû, xj1 , . . . , xjni ∈ {x1 , . . . , xs }. Ìíîæåñòâî

168

ËÎÃÈÊÀ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ýòîé ôîðìóëû åñòü ìíîæåñòâî {x1 , . . . , xs }; ìíîæåñòâî ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ýòîé ôîðìóëû ïóñòî. Ïóñòü α ˜ = (α1 , . . . , αs )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð çíà÷åíèé ïå(n ) ðåìåííûõ èç M s . Òîãäà çíà÷åíèå ôîðìóëû Pi i (xj1 , . . . , xjni ) íà (n )

íàáîðå α ˜ ðàâíî Pi i (αj1 , . . . , αjni ). 2. Ïóñòü F  ôîðìóëà, XF  ìíîæåñòâî åå ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ, YF  ìíîæåñòâî åå ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ. Òîãäà F  ôîðìóëà; ìíîæåñòâî XF åå ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ åñòü XF , ìíîæåñòâî YF åå ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ åñòü YF . Çíà÷åíèå ýòîé ôîðìóëû íà ëþáîì íàáîðå α ˜ ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ïðîòèâîïîëîæíî ñîîòâåòñòâóþùåìó çíà÷åíèþ ôîðìóëû F , ò. å. ¯ F ¯α˜ = F |α˜ . 3. Ïóñòü F è G  ôîðìóëû, XF è XG  ìíîæåñòâà ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóë F è G ñîîòâåòñòâåííî, à YF è YG  ìíîæåñòâà ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóë F è G ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì XF ∩YG = ∅ è XG ∩YF = ∅ (ò. å. íèêàêàÿ ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ ôîðìóëû F íå ÿâëÿåòñÿ ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé ôîðìóëû G è íèêàêàÿ ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ ôîðìóëû G íå ÿâëÿåòñÿ ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé ôîðìóëû F ). Òîãäà âûðàæåíèÿ

F ∨ G,

F &G,

F →G

ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè. Ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ êàæäîé èç íèõ åñòü XF ∪ XG ; ìíîæåñòâî ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ êàæäîé èç íèõ åñòü YF ∪ YG . Ïóñòü α ˜  ïðîèçâîëüíûé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ èç ìíîæåñòâà XF ∪ XG . Ýòèì íàáîðîì îïðåäåëÿåòñÿ íàáîð β˜ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ èç XF è íàáîð γ˜ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ èç XG . Òîãäà

(F ∨ G)|α˜ = (F |β˜ ) ∨ (F |γ˜ ); (F &G)|α˜ = (F |β˜ ) & (F |γ˜ ); (F → G)|α˜ = (F |β˜ ) → (F |γ˜ ). 4. Ïóñòü F  ôîðìóëà, XF è YF  ìíîæåñòâà åå ñâîáîäíûõ è ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ñîîòâåòñòâåííî, x ∈ XF . Òîãäà (∀x) (F )  ôîðìóëà; ìíîæåñòâî åå ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ åñòü XF \ {x}, ìíîæåñòâî åå ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ åñòü YF ∪ {x}.

169

Ëåêöèÿ  16

Ïóñòü XF \ {x} = {x1 , . . . , xt }, à α ˜ = (α1 , . . . , αt )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xt ) (åñëè x  åäèíñòâåííàÿ ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ ôîðìóëû F , òî òàêîé íàáîð íå áåðåòñÿ). Çíà÷åíèå (∀x)(F )|α˜ ôîðìóëû (∀x)(F ) íà íàáîðå α ˜ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàññìàòðèâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ôîðìóëû F íà âñåõ íàáîðàõ (α0 , α1 , . . . , αt ), ãäå α1 , . . . , αt ôèêñèðîâàíû, à α0  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà M . Åñëè íà âñåõ òàêèõ íàáîðàõ ôîðìóëà F ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, òî

(∀x) (F )|α˜ = 1. Åñëè æå õîòÿ áû äëÿ îäíîãî íàáîðà (α0 , α1 , . . . , αt ) âûïîëíÿåòñÿ F |(α0 ,α1 ,...,αt ) = 0, òî (∀x) (F )|α˜ = 0.  ôîðìóëå (∀x) (F ) ôîðìóëà F íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ äåéñòâèÿ êâàíòîðà (∀x). 5. Ïóñòü F  ôîðìóëà, XF è YF  ìíîæåñòâà ñâîáîäíûõ è ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû F ñîîòâåòñòâåííî, x ∈ XF . Òîãäà (∃x)(F )  ôîðìóëà; ìíîæåñòâî åå ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ åñòü XF \ {x}, ìíîæåñòâî åå ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ åñòü YF ∪ {x}. Ïóñòü XF \ {x} = {x1 , . . . , xt }, à α ˜ = (α1 , . . . , αt )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xt ) (åñëè XF = {x}, òî òàêîé íàáîð íå áåðåòñÿ). Çíà÷åíèå (∃x) (F )|α˜ ôîðìóëû (∃x) (F ) íà íàáîðå α ˜ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàññìàòðèâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ôîðìóëû F íà âñåõ íàáîðàõ (α0 , α1 , . . . , αt ), ãäå α1 , . . . , αt ôèêñèðîâàíû, à α0  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà M . Åñëè íà âñåõ òàêèõ íàáîðàõ ôîðìóëà F ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0, òî

(∃x) (F )|α˜ = 0. Åñëè æå õîòÿ áû äëÿ îäíîãî íàáîðà (α0 , α1 , . . . , αt ) âûïîëíÿåòñÿ F |(α0 ,α1 ,...,αt ) = 1, òî (∃x) (F )|α˜ = 1.  ôîðìóëå (∃x) (F ) ôîðìóëà F íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ äåéñòâèÿ êâàíòîðà (∃x). Èç îïðåäåëåíèÿ ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî íèêàêàÿ ïåðåìåííàÿ íå ìîæåò áûòü îäíîâðåìåííî ñâîáîäíîé è ñâÿçàííîé. Äëèíîé ôîðìóëû áóäåì íàçûâàòü îáùåå ÷èñëî âõîäÿùèõ â íåå çíàêîâ ïðåäèêàòîâ, êâàíòîðîâ è ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé.

170

ËÎÃÈÊÀ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

Ââåäåì íåêîòîðûå ñîãëàøåíèÿ, óïðîùàþùèå çàïèñè ôîðìóë (äîïîëíèòåëüíî ê ñîãëàøåíèÿì, ïðèíÿòûì â àëãåáðå ëîãèêè): a) íå áóäåì çàêëþ÷àòü â ñêîáêè àòîìíûå ôîðìóëû, à òàêæå ôîðìóëû, â êîòîðûõ âíåøíÿÿ îïåðàöèÿ åñòü îòðèöàíèå; b) íå áóäåì çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ôîðìóëó, â êîòîðîé âíåøíÿÿ îïåðàöèÿ åñòü íàâåøèâàíèå êâàíòîðà, åñëè ñëåäóþùàÿ îïåðàöèÿ òàêæå íàâåøèâàíèå êâàíòîðà; c) áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êâàíòîð ñâÿçûâàåò ñèëüíåå âñåõ äðóãèõ îïåðàöèé, è áóäåì îïóñêàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñêîáêè. Íàïðèìåð, âìåñòî ³ ³ ´´ (∀x) (∀y) (A(x, y) → B(y, y)) áóäåì ïèñàòü

(∀x)(∀y) A(x, y) → B(y, y).

Ñèãíàòóðîé ôîðìóëû áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ âõîäÿùèõ â íåå ïðåäèêàòîâ. Ïðè ôèêñèðîâàííîé ìîäåëè M = hM, Σi êàæäàÿ ôîðìóëà, èìåþùàÿ ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, âûðàæàåò íåêîòîðûé ïðåäèêàò íàä M îò ýòèõ ïåðåìåííûõ; ôîðìóëà, íå èìåþùàÿ ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ, âûðàæàåò íåêîòîðóþ êîíñòàíòó (0 èëè 1). Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ èñòèííîé â ìîäåëè M, åñëè îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 íà âñåõ íàáîðàõ çíà÷åíèé ñâîèõ ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ.

Ïðèìåð. Ïóñòü P2 (x), P3 (x), P5 (x) è P6 (x)  ïðåäèêàòû äåëèìîñòè íà 2, 3, 5 è 6 ñîîòâåòñòâåííî, à M = {1, 2, 3, . . . }. Ðàññìîòðèì ìîäåëü (1) (1) (1) (1) M = hM, Σi, ãäå Σ = {P2 , P3 , P5 , P6 }. Òîãäà ôîðìóëà P2 (x)&P3 (x) → P6 (x)

èñòèííà â ìîäåëè M, à ôîðìóëà P2 (x)&P5 (x) → P6 (x) íå ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé â M.

Ïóñòü ôîðìóëû F è G èìåþò îäíî è òî æå ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. Áóäåì íàçûâàòü ýòè ôîðìóëû ýêâèâàëåíòíûìè â ìîäåëè M, åñëè íà ëþáîì íàáîðå çíà÷åíèé ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ îíè ïðèíèìàþò ðàâíûå çíà÷åíèÿ (ò. å. ýòè ôîðìóëû âûðàæàþò îäèí è òîò æå ïðåäèêàò). Áóäåì íàçûâàòü ýòè ôîðìóëû ýêâèâàëåíòíûìè íà ìíîæåñòâå M , åñëè îíè ýêâèâàëåíòíû âî âñåõ ìîäåëÿõ M = hM, Σi, çàäàííûõ íà ìíîæåñòâå M è èìåþùèõ ñèãíàòóðó

171

Ëåêöèÿ  16

Σ, âêëþ÷àþùóþ çíàêè ïðåäèêàòîâ ýòèõ ôîðìóë. Áóäåì íàçûâàòü ôîðìóëû ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè ýêâèâàëåíòíû íà âñåõ ìíîæåñòâàõ.

Ïðèìåðû. 1. Ôîðìóëû P2 (x)&P3 (x) è P6 (x) ýêâèâàëåíòíû â ìîäåëè M èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Ðàññìîòðèì òåïåðü ìîäåëü M1 , îòëè÷àþùóþñÿ îò ìîäåëè M òåì, ÷òî ïðåäèêàò P6 (x) çàäàåòñÿ èíà÷å: P6 (x) = 0 äëÿ âñåõ x ∈ M . Òîãäà ïðè x = 6 ïåðâàÿ ôîðìóëà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, à âòîðàÿ  çíà÷åíèå 0. Ïîýòîìó ýòè ôîðìóëû íå ýêâèâàëåíòíû â ìîäåëè M1 . 2. Ðàññìîòðèì ôîðìóëû (∃x)A(x) è (∀x)A(x).

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòè ôîðìóëû ýêâèâàëåíòíû íà ìíîæåñòâå èç îäíîãî ýëåìåíòà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå {a, b} ìîäåëü, â êîòîðîé ýòè ôîðìóëû íå ýêâèâàëåíòíû; äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðåäèêàò A(x) îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: A(a) = 0, A(b) = 1. 3. Î÷åâèäíî, ÷òî ôîðìóëû A(x) è A(x)

ýêâèâàëåíòíû â ëþáîé ìîäåëè, ò. å. ýêâèâàëåíòíû.

172

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 172177

Ëåêöèÿ  17 Ðàññìîòðèì ïðàâèëà ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóë, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëû, âîçìîæíî, áîëåå óäîáíîãî âèäà. Ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóë áóäåì èçîáðàæàòü ïðè ïîìîùè çíàêà ðàâåíñòâà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ñïðàâåäëèâû âñå ïðàâèëà ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èç àëãåáðû ëîãèêè. Ñïðàâåäëèâ è àíàëîã ïðàâèëà çàìåíû íà ýêâèâàëåíòíóþ ïîäôîðìóëó. Èìåþòñÿ òàêæå ïðàâèëà, îòíîñÿùèåñÿ ê êâàíòîðàì. 1. Ïðàâèëî ïåðåèìåíîâàíèÿ ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ.  ëþáîé ôîðìóëå ïðè çàìåíå ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé íà äðóãóþ ïåðåìåííóþ (â êâàíòîðå è âñþäó â îáëàñòè äåéñòâèÿ êâàíòîðà) òàê, ÷òîáû íå íàðóøàëîñü îïðåäåëåíèå ôîðìóëû, ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà, ýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé. Ýòî ïðàâèëî íåòðóäíî äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî äëèíå ôîðìóëû (ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðàâèëà çàìåíû íà ýêâèâàëåíòíóþ ïîäôîðìóëó).

Ïðèìåð. Ôîðìóëû

(∀x)(P (x, y) ∨ Q(z)) è (∀u)(P (u, y) ∨ Q(z))

ýêâèâàëåíòíû. Â ïåðâîé ôîðìóëå ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé ÿâëÿåòñÿ x, âî âòîðîé  u; â îáåèõ ôîðìóëàõ ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè ÿâëÿþòñÿ y è z.

2. Ïðàâèëî ïåðåíîñà êâàíòîðà ÷åðåç îòðèöàíèå. Ïóñòü A(x)  ôîðìóëà, XA  ìíîæåñòâî åå ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ, x ∈ XA . Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ

(∀x)A(x) = (∃x)A(x), (∃x)A(x) = (∀x)A(x). Äîêàæåì ñíà÷àëà ïåðâîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé. Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ ìîäåëü, ñèãíàòóðà êîòîðîé ñîäåðæèò çíàêè âñåõ ïðåäèêàòîâ, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó A. Ïóñòü XA = {x, x1 , . . . , xt }, à α ˜ = (α1 , . . . , αt )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xt (åñëè XA = {x}, òî òàêîé íàáîð íå ðàññìàòðèâàåòñÿ). Ðàññìîòðèì âñå íàáîðû (α0 , α1 , . . . , αt ), ãäå α1 , . . . , αt ôèêñèðîâàíû, à α0  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà M .

173

Ëåêöèÿ  17

Åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà α0

A(x)|(α0 ,α1 ,...,αt ) = 1, òî (∀x)A(x)|α˜ = 1 è (∀x)A(x)|α˜ = 0. C äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê A(x)|(α0 ,α1 ,...,αt ) = 1 äëÿ ëþáîãî α0 , òî A(x)|(α0 ,α1 ,...,αt ) = 0 è ïîýòîìó (∃x)A(x)|α˜ = 0. Åñëè æå ñóùåñòâóåò ýëåìåíò α0 , äëÿ êîòîðîãî

A(x)|(α0 ,α1 ,...,αt ) = 0, òî (∀x)A(x)|α˜ = 0 è (∀x)A(x)|α˜ = 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê A(x)|(α0 ,α1 ,...,αt ) = 0, òî A(x)|(α0 ,α1 ,...,αt ) = 1 è ïîýòîìó

(∃x)A(x)|˜ α = 1. Òàêèì îáðàçîì, â îáîèõ ñëó÷àÿõ çíà÷åíèÿ ýòèõ ôîðìóë ðàâíû. Âòîðîå ñîîòíîøåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî ïðè ïîìîùè ïðàâèë ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè.  ñàìîì äåëå, ïðèìåíèì ïåðâîå ñîîòíîøåíèå ê ôîðìóëå A(x). Òîãäà ñ ó÷åòîì ïðàâèëà ñíÿòèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ ïîëó÷èì

(∀x)A(x) = (∃x)A(x) = (∃x)A(x). Ïîýòîìó

(∀x)A(x) = (∃x)A(x) è, íàêîíåö,

(∀x)A(x) = (∃x)A(x).

3. Ïðàâèëî âûíîñà êâàíòîðà ÷åðåç ñêîáêè. Ïóñòü A(x), B è A(x)∨B  ôîðìóëû, XA è XB  ìíîæåñòâà ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóë A è B ñîîòâåòñòâåííî, x ∈ XA è ôîðìóëà B íå ñîäåðæèò ïåðåìåííóþ x. Òîãäà

(∀x)(A(x) ∨ B) = (∀x)A(x) ∨ B.  ñàìîì äåëå, ïóñòü x, x1 , x2 , . . . , xt  âñå ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå ôîðìóëû A(x) ∨ B . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð α ˜ = (α1 , . . . , αt ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xt ). Ýòîò íàáîð îïðåäåëÿåò íàáîð β˜ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ èç XB . Òàê êàê ôîðìóëà B íå ñîäåðæèò ïåðåìåííóþ x, òî ìîæíî îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ôîðìóëû B íà íàáîðå β˜.

174

ËÎÃÈÊÀ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

Åñëè B|β˜ = 1, òî ((∀x)A(x) ∨ B)|α˜ = 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ëþáîãî íàáîðà (α0 , α1 , . . . , αt ), ãäå α1 , . . . , αt ôèêñèðîâàíû, à α0  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà M , èìååì

(A(x) ∨ B)|(α0 ,α1 ,...,αt ) = 1. Ïîýòîìó

(∀x)(A(x) ∨ B)|α˜ = 1. Åñëè æå B|β˜ = 0, òî (òàê êàê B íå ñîäåðæèò x)

(∀x)(A(x) ∨ B)|α˜ = (∀x)A(x)|α˜ = ((∀x)A(x) ∨ B)|α˜ . Ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:

(∀x)(A(x)&B) = (∀x)A(x)&B; (∃x)(A(x) ∨ B) = (∃x)A(x) ∨ B; (∃x)(A(x)&B) = (∃x)A(x)&B. Ýòè ñîîòíîøåíèÿ äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Ôîðìóëó áóäåì íàçûâàòü ïðèâåäåííîé, åñëè â íåé èç ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé âñòðå÷àþòñÿ ëèøü êîíúþíêöèÿ, äèçúþíêöèÿ è îòðèöàíèå, ïðè÷åì çíàê îòðèöàíèÿ âñòðå÷àåòñÿ òîëüêî íàä àòîìíûìè ôîðìóëàìè.

Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ åé ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëà B , ïðè÷åì ìíîæåñòâà ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóë A è B ñîâïàäàþò. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî äëèíå ôîðìóëû. Äëÿ ôîðìóë äëèíû 1 óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî äëÿ ôîðìóë, äëèíà êîòîðûõ ìåíüøå n. Äîêàæåì åãî äëÿ ôîðìóë äëèíû n. Ïóñòü A  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà äëèíû n. Îíà ìîæåò áûòü îäíîãî èç ñëåäóþùèõ âèäîâ: 1) A1 ∨ A2 ; 2) A2 &A2 ; 3) A1 → A2 ; 4) (∀x)A1 (x);

Ëåêöèÿ  17

175

5) (∃x)A1 (x); 6) A1 (x  ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ ôîðìóëû A1 (x)). Ðàññìîòðèì êàæäûé èç ýòèõ ñëó÷àåâ îòäåëüíî. 1) Êàæäàÿ èç ôîðìóë A1 , A2 èìåþò äëèíó ìåíåå n. Ïîýòîìó äëÿ íèõ â ñèëó èíäóêòèâíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ñóùåñòâóþò ýêâèâàëåíòíûå ïðèâåäåííûå ôîðìóëû B1 è B2 ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì XAi = XBi , YAi = YBi , i = 1, 2 (ãäå XAi è YAi  ìíîæåñòâà ñâîáîäíûõ è ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëû Ai , à XBi è YBi  ìíîæåñòâà ñâîáîäíûõ è ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëû Bi , i = 1, 2). Òàê êàê A1 ∨ A2  ôîðìóëà, òî B1 ∨ B2 òîæå ôîðìóëà. Îíà ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå A è ÿâëÿåòñÿ ïðèâåäåííîé. Ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ (XB1 ∪ XB2 ) ôîðìóëû B1 ∨ B2 ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì (XA1 ∪ XA2 ) ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû A; ìíîæåñòâî (YB1 ∪ YB2 ) ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû B1 ∨ B2 ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì (YA1 ∪ YA2 ) ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû A. 2) Ýòîò ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. 3)  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà A ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå A1 ∨A2 . Òàê êàê êàæäàÿ èç ôîðìóë A1 , A2 èìååò äëèíó ìåíåå n − 1, òî ôîðìóëà A1 èìååò äëèíó ìåíåå n. Ïîýòîìó ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ äëÿ ôîðìóë A1 è A2 ñóùåñòâóþò ýêâèâàëåíòíûå ïðèâåäåííûå ôîðìóëû B1 è B2 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà â êà÷åñòâå ïðèâåäåííîé ôîðìóëû, ýêâèâàëåíòíîé ôîðìóëå A, âîçüìåì ôîðìóëó B1 ∨ B2 . 4) Ôîðìóëà A1 (x) èìååò äëèíó ìåíåå n. Ïîýòîìó äëÿ íåå ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëà B(x).  êà÷åñòâå ïðèâåäåííîé ôîðìóëû, ýêâèâàëåíòíîé ôîðìóëå A, âîçüìåì ôîðìóëó (∀x)B(x). 5) Ýòîò ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. 6) Ýòîò ñëó÷àé ðàñïàäàåòñÿ íà íåñêîëüêî ïîäñëó÷àåâ â çàâèñèìîñòè îò âèäà ôîðìóëû A1 . Åñëè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî A1 =Γ C1 ∨ C2 , òî A ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå C 1 &C 2 ; åñëè A1 =Γ C1 &C2 , òî A ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå C 1 ∨ C 2 ; åñëè A1 =Γ C1 → C2 , òî A ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå C1 &C 2 ; åñëè A1 =Γ (∀x)C(x), òî A ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå (∃x)C(x); åñëè A1 =Γ (∃x)C(x), òî A ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå (∀x)C(x); íàêîíåö, åñëè A1 =Γ C , òî A ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå C .

176

ËÎÃÈÊÀ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

Ôîðìóëû C1 , C2 , C 1 , C 2 , C(x), C èìåþò äëèíó ìåíåå n. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîé èç íèõ ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëà. Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ ïîäñëó÷àåâ àíàëîãè÷íû ðàññóæäåíèÿì, ïðèâåäåííûì âûøå äëÿ ñëó÷àåâ 15 (â ïîñëåäíåì ïîäñëó÷àå äîñòàòî÷íî âçÿòü ïðèâåäåííóþ ôîðìóëó, ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëå C ). Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé, åñëè èëè îíà íå ñîäåðæèò êâàíòîðîâ, èëè â íåé îïåðàöèè âçÿòèÿ êâàíòîðîâ ñëåäóþò çà âñåìè äðóãèìè îïåðàöèÿìè. Äðóãèìè ñëîâàìè, íîðìàëüíàÿ ôîðìóëà ñî ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè x1 , . . . , xk è ñâÿçàííûìè ïåðåìåííûìè y1 , . . . , ys èìååò ñëåäóþùèé âèä:

(Q1 y1 )(Q2 y2 ) . . . (Qs ys )A(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , ys ), ãäå Qi ∈ {∀, ∃}, i = 1, . . . , s, à A(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , ys )  ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëà, íå ñîäåðæàùàÿ êâàíòîðîâ.

Òåîðåìà 2. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ åé íîðìàëüíàÿ ôîðìóëà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà.  ñèëó òåîðåìû 1 ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ åé ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëà B . Ïóñòü XB è YB  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ è ìíîæåñòâî ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû B ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè B íå ñîäåðæèò êâàíòîðîâ, òî îíà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé è óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî. Ïóñòü ôîðìóëà B ñîäåðæèò k êâàíòîðîâ (Q1 yi1 ), . . . , (Qk yik ), ãäå Q1 , . . . , Qk ∈ {∀, ∃}, yi1 , . . . , yik ∈ YB ; k > |YB |. Âûáåðåì k íîâûõ ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ z1 , . . . , zk ∈ / XB ∪ YB è ïðè ïîìîùè ïðàâèëà ïåðåèìåíîâàíèÿ ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ (â êâàíòîðå è âñþäó â îáëàñòè äåéñòâèÿ êâàíòîðà) çàìåíèì ïåðåìåííûå yi1 , . . . , yik íà ïåðåìåííûå z1 , . . . , zk ñîîòâåòñòâåííî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôîðìóëó C . Îíà ýêâèâàëåíòíà ôîðìóëå B . Ìíîæåñòâî XC ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ýòîé ôîðìóëû ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì XB ; ìíîæåñòâî YC ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ åñòü ìíîæåñòâî {z1 , . . . , zk }. Äàëåå, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëà âûíîñà êâàíòîðà ÷åðåç ñêîáêè, âûíîñèì âñå êâàíòîðû íàðóæó, ïîñëå ÷åãî ôîðìóëà ïðèíèìàåò íîðìàëüíûé âèä. Áîëåå òî÷íî, åñëè â ôîðìóëå C èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ïîäôîðìóëà C1 âèäà (Qz)D(z)◦E (èëè E◦(Qz)D(z)), ãäå Q ∈ {∀, ∃},

177

Ëåêöèÿ  17

◦ ∈ {∨, &}, à z ∈ {z1 , . . . , zk }, òî çàìåíèì C1 íà ýêâèâàëåíòíóþ åé â ñèëó ïðàâèëà 3 ôîðìóëó (Qz)(D(z) ◦ E) (ïîñêîëüêó ôîðìóëà E íå ñîäåðæèò z ). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿÿ íåîáõîäèìîå ÷èñëî ðàç äàííîå ýêâèâàëåíòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ìîæíî ïðèâåñòè ôîðìóëó C ê íîðìàëüíîìó âèäó.

Ïðèìåð.

(∀x)A(x) ∨ (∃x)B(x) = (∀z1 )A(z1 ) ∨ (∃z2 )B(z2 ) = = (∀z1 )(A(z1 ) ∨ (∃z2 )B(z2 )) = (∀z1 )(∃z2 )(A(z1 ) ∨ B(z2 )).

Ïóñòü ôîðìóëà A èìååò ñèãíàòóðó Σ. Áóäåì íàçûâàòü ýòó ôîðìóëó èñòèííîé íà ìíîæåñòâå M , åñëè îíà èñòèííà âî âñåõ ìîäåëÿõ, îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå M è èìåþùèõ ñèãíàòóðó Σ. Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé (èëè îáùåçíà÷èìîé), åñëè îíà èñòèííà íà âñåõ ìíîæåñòâàõ (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, åñëè îíà èñòèííà âî âñåõ ìîäåëÿõ).

Ïðèìåðû. 1. Ôîðìóëà (∃x)A(x) → (∀x)A(x) ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé íà îäíîýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâàõ è íå ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé íà ìíîæåñòâàõ èç áîëüøåãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. 2. Ôîðìóëà ((∀x1 )(∃x2 )A(x1 , x2 )&(∀y2 )(∃y1 )A(y1 , y2 )) → → ((∀z1 )A(z1 , z1 ) ∨ (∀z2 )A(z2 , z2 ))

ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé íà ìíîæåñòâàõ, èìåþùèõ íå áîëåå äâóõ ýëåìåíòîâ, è íå ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé íà ìíîæåñòâàõ èç òðåõ è áîëåå ýëåìåíòîâ. 3. Ôîðìóëà (∃x)(∀y)A(x, y) → (∀y)(∃x)A(x, y)

ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé.

Çàäà÷à óñòàíîâëåíèÿ òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî áîëåå ñëîæíîé, ÷åì äëÿ ôîðìóë àëãåáðû ëîãèêè.  îáùåì ñëó÷àå âîîáùå íå ñóùåñòâóåò àëãîðèòìà äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ýôôåêòèâíîå ðåøåíèå âîçìîæíî, íàïðèìåð äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âñå ïðåäèêàòû â ôîðìóëàõ ÿâëÿþòñÿ îäíîìåñòíûìè.

178

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 178183

Ëåêöèÿ  18 Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óñòàíîâëåíèÿ òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóë, ñèãíàòóðà êîòîðûõ ñîñòîèò òîëüêî èç îäíîìåñòíûõ ïðåäèêàòíûõ ñèìâîëîâ. (1) (1) Ïóñòü Σ = {P1 , . . . , PK }  ìíîæåñòâî îäíîìåñòíûõ ïðåäèêàòíûõ ñèìâîëîâ, à M1 = hM1 , Σi è M2 = hM2 , Σi  äâå ìîäåëè ñèãíàòóðû Σ, îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâàõ M1 è M2 ñîîòâåòñòâåííî. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìîäåëü M1 ãîìîìîðôíà ìîäåëè M2 , åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ ϕ(x), îòîáðàæàþùàÿ ìíîæåñòâî M1 íà ìíîæåñòâî1) M2 , òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a èç M1 è ëþáîãî (1) ïðåäèêàòà Pi (x) (1 6 i 6 k ) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (1)

(1)

Pi (a) = Pi (ϕ(a)) (â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñòîèò ïðåäèêàò â ìîäåëè M1 , à â ïðàâîé  â ìîäåëè M2 ). Ëåììà. Ïóñòü ìîäåëü M1 = hM1 , Σi ãîìîìîðôíà ìîäåëè M2 = hM2 , Σi, F  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà ñèãíàòóðû Σ, {x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû F , α ˜ = (α1 , . . . , αn )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xn ), à ϕ(˜ α) = (ϕ(α1 ), . . . , ϕ(αn )). Òîãäà

F |α˜ = F |ϕ(α) ˜ ,

ãäå F |α˜  çíà÷åíèå ôîðìóëû F íà íàáîðå α ˜ â ìîäåëè M1 , à F |ϕ(α) ˜  çíà÷åíèå ôîðìóëû F íà íàáîðå ϕ(˜ α) â ìîäåëè M2 . Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó òåîðåìû 2 èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî F  íîðìàëüíàÿ ôîðìóëà. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà F íå ñîäåðæèò êâàíòîðîâ. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå ëåììû èíäóêöèåé ïî äëèíå l ôîðìóëû F . (1) Äëÿ ôîðìóë äëèíû 1 è 2 (ò. å. ôîðìóë âèäà Pi1 (xj1 ) è (1)

Pi2 (xj2 )) óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ãîìîìîðôèçìà ìîäåëåé M1 è M2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå ëåììû ñïðàâåäëèâî äëÿ íîðìàëüíûõ ôîðìóë, êîòîðûå íå ñîäåðæàò êâàíòîðîâ è èìåþò äëèíó ìåíåå l. Ïóñòü F  íîðìàëüíàÿ ôîðìóëà áåç êâàíòîðîâ äëèíû l, l > 2. Òîãäà îíà èìååò îäèí èç ñëåäóþùèõ âèäîâ: 1) Òî åñòü êàæäîìó ýëåìåíòó a èç M ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò 1 ϕ(a) èç M2 , è äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà b èç M2 ñóùåñòâóåò íåêîòîðûé (íåîáÿçàòåëüíî åäèíñòâåííûé) ýëåìåíò a èç M1 , òàêîé, ÷òî ϕ(a) = b.

179

Ëåêöèÿ  18

1) F1 ∨ F2 ; 2) F1 &F2 . Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé. Ïóñòü XF = {x1 , x2 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû F , à {xi1 , . . . , xir } è {xj1 , . . . , xjq }  ìíîæåñòâà ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóë F1 è F2 ñîîòâåòñòâåííî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð α ˜ = (α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xn ) â ìîäåëè M1 . Íàáîð α ˜ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íàáîðû β˜ = (αi1 , . . . , αir ) è γ˜ = (αj1 , . . . , αjq ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (xi1 , . . . , xir ) è (xj1 , . . . , xjq ) ñîîòâåòñòâåí˜ = íî â ìîäåëè M1 . Ïîëîæèì ϕ(˜ α) = (ϕ(α1 ), . . . , ϕ(αn )), ϕ(β) (ϕ(αi1 ), . . . , ϕ(αir )), ϕ(˜ γ ) = (ϕ(αj1 ), . . . , ϕ(αjq )). Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ

F1 |β˜ = F1 |ϕ(β) ˜ ,

F2 |γ˜ = F2 |ϕ(˜γ ) .

Ïîýòîìó

F |α˜ = (F1 ∨ F2 )|α˜ = F1 |β˜ ∨ F2 |γ˜ = = F1 |ϕ(β) ˜ ∨ F2 |ϕ(˜ γ ) = (F1 ∨ F2 )|ϕ(α) ˜ = F |ϕ(α) ˜ . Âòîðîé ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Äîêàæåì òåïåðü óòâåðæäåíèå ëåììû äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íîðìàëüíûõ ôîðìóë èíäóêöèåé ïî ÷èñëó m êâàíòîðîâ. Äëÿ ñëó÷àÿ m = 0 ýòî óòâåðæäåíèå áûëî äîêàçàíî âûøå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå ëåììû ñïðàâåäëèâî äëÿ ôîðìóë, ñîäåðæàùèõ ìåíåå m êâàíòîðîâ. Äîêàæåì åãî äëÿ ôîðìóë ñ m êâàíòîðàìè. Ïóñòü F  íîðìàëüíàÿ ôîðìóëà ñ m êâàíòîðàìè. Òîãäà îíà èìååò îäèí èç ñëåäóþùèõ âèäîâ: a) (∀x)F1 (x); b) (∃x)F1 (x) (ãäå F1  ôîðìóëà ñ m−1 êâàíòîðàìè, à x  ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ ôîðìóëû F1 ). Ðàññìîòðèì ñëó÷àé a. Ïóñòü XF1 = {x, x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû F1 . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð α ˜ = (α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , x2 , . . . , xn ) â ìîäåëè M1 (åñëè XF1 = {x}, òî òàêîé íàáîð íå ðàññìàòðèâàåòñÿ). Ðàññìîòðèì òàêæå âñå íàáîðû (α0 , α1 , . . . , αn ) , ãäå α1 , . . . , αn ôèêñèðîâàíû, à α0  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç M1 . Ïîëîæèì

180

ËÎÃÈÊÀ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

ϕ(˜ α) = (ϕ(α1 ), . . . , ϕ(αn )). Â ñèëó èíäóêòèâíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà α0 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî F1 |(α0 ,α1 ,...,αn ) = F1 |(ϕ(α0 ),ϕ(α1 ),...,ϕ(αn )) .

(∗)

Åñëè äëÿ ëþáîãî α0 èç M1

F1 |(α0 ,α1 ,...,αn ) = 1, òî â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (∗) è äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà β0 èç M2

F1 |(β0 ,ϕ(α1 ),...,ϕ(αn )) = 1. Ïîýòîìó

F |α˜ = (∀x)F1 |α˜ = 1, F |ϕ(α) ˜ = (∀x)F1 |ϕ(α) ˜ = 1. Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà α0 èç M1

F1 |(α0 ,α1 ,...,αn ) = 0, òî â ñèëó (∗)

F1 |(ϕ(α0 ),ϕ(α1 ),...,ϕ(αn )) = 0.

Ïîýòîìó

F |α˜ = (∀x)F1 |α˜ = 0, F |ϕ(α) ˜ = (∀x)F1 |ϕ(α) ˜ = 0. Ñëó÷àé b ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü ìîäåëü M1 ñîäåðæèò òîëüêî îäíîìåñò(1) (1) íûå ïðåäèêàòû P1 (x), . . . , Pn (x). Òîãäà ñóùåñòâóåò ìîäåëü M2 òîé æå ñèãíàòóðû, îïðåäåëåííàÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå èç q ýëåìåíòîâ, q 6 2n , îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì. Ëþáàÿ ôîðìóëà F ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé â ìîäåëè M1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà èñòèííà â ìîäåëè M2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M1 = hM1 , Σi, ãäå Σ  ñèãíàòóðà (1) (1) ìîäåëè M1 , Σ = {P1 , . . . , Pn }, à M1  ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì îïðåäåëåíà ìîäåëü M1 . Ðàçîáüåì ìíîæåñòâî M1 íà 2n êëàññîâ Kα1 ,α2 ,...,αn , ãäå α1 , α2 , . . . , αn ∈ {0, 1}, ñëåäóþùèì îáðàçîì: a ∈ KP (1) (a),P (1) (a),...,P (1) (a) , 1

2

n

181

Ëåêöèÿ  18

ò. å. êàæäûé ýëåìåíò ïðèíàäëåæèò êëàññó, ó êîòîðîãî íàáîð èí(1) (1) äåêñîâ åñòü íàáîð çíà÷åíèé ïðåäèêàòîâ P1 (x), . . . , Pn (x) íà ýòîì ýëåìåíòå. Ïðè ýòîì íåêîòîðûå èç êëàññîâ ìîãóò îêàçàòüñÿ ïóñòûìè. Ïóñòü q  ÷èñëî íåïóñòûõ êëàññîâ, q > 1. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî M2 ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì â êàæäîì íåïóñòîì êëàññå ïî îäíîìó ýëåìåíòó; ïóñòü a1 , . . . , aq  âûáðàííûå ýëåìåíòû. Ïîëîæèì

M2 = {a1 , . . . , aq }. (1)

Ðàññìîòðèì ìîäåëü M2 = hM1 , Σi, â êîòîðîé çíà÷åíèå Pi (a) (1) êàæäîãî ïðåäèêàòà Pi (x) íà ëþáîì ýëåìåíòå a èç M2 ñîâïàäàåò ñî (1) çíà÷åíèåì ïðåäèêàòà Pi (x) íà ýëåìåíòå a â ìîäåëè M1 , 1 6 i 6 n. Ïîêàæåì, ÷òî ìîäåëü M2 ãîìîìîðôíà ìîäåëè M1 . Îïðåäåëèì ôóíêöèþ ϕ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü a  íåêîòîðûé ýëåìåíò èç M1 . Îí ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó êëàññó Kα1 ,...,αn . Ïóñòü ai  ýëåìåíò, âûáðàííûé èç ýòîãî êëàññà (ai ∈ M2 ). Ïîëîæèì

ϕ(a) = ai . Òàê êàê a ∈ Kα1 ,...,αn è ai ∈ Kα1 ,...,αn , òî äëÿ âñåõ j = 1, . . . , n (1) (1) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Pj (a) = Pj (ai )(= αj ). Ïîýòîìó äëÿ êàæ(1)

äîãî ýëåìåíòà a èç M1 è ëþáîãî ïðåäèêàòà Pj (x), ãäå 1 6 j 6 n, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (1)

(1)

Pj (a) = Pj (ϕ(a)). Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëü M1 ãîìîìîðôíà ìîäåëè M2 . Ïóñòü F  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà â ìîäåëè M1 . Â ñèëó ëåììû F èñòèííà â ìîäåëè M1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà èñòèííà â ìîäåëè M2 (ãîìîìîðôíîé ìîäåëè M1 ). Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò

Òåîðåìà 2. Ïóñòü F  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà ñèãíàòóðû (1)

(1)

Σ = {P1 , . . . , Pn }. Äëÿ òîãî ÷òîáû F áûëà òîæäåñòâåííî èñòèííîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà òîæäåñòâåííî èñòèííîé íà âñåõ ìîäåëÿõ, îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâàõ, ñîñòîÿùèõ íå áîëåå ÷åì èç 2n ýëåìåíòîâ.

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ìîäåëè, êîòîðûå îïðåäåëåíû íà ìíîæåñòâàõ, ñîäåðæàùèõ ðîâíî 2n ýëåìåíòîâ.

182

ËÎÃÈÊÀ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìà 2 äàåò ýôôåêòèâíûé ñïîñîá ïðîâåðêè òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóë, ñîäåðæàùèõ òîëüêî îäíîìåñòíûå ïðåäèêàòû. Ïóñòü M = {b1 , . . . , bk }  íåêîòîðîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, M = hM, Σi  ìîäåëü ñèãíàòóðû Σ, F (x)  ôîðìóëà â ìîäåëè M, XF = {x, x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû F, à α ˜ = (α1 , . . . , αn )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xn ) â ìîäåëè M. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:

(∃x)F (x)|α˜ = F (x)|(b1 ,α1 ,...,αn ) ∨ · · · ∨ F (x)|(bk ,α1 ,...,αn ) ; (∀x)F (x)|α˜ = F (x)|(b1 ,α1 ,...,αn ) & . . . &F (x)|(bk ,α1 ,...,αn ) . Êðîìå òîãî, ôîðìóëà F (x, x1 , . . . , xn ), ãäå {x, x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû F , ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé íà ìíîæåñòâå M òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èñòèííà íà ìíîæåñòâå M ôîðìóëà (∀x)(∀x1 ) . . . (∀xn ) F (x, x1 , . . . , xn ). Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåðêà òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóë, ñèãíàòóðà êîòîðûõ ñîäåðæèò òîëüêî îäíîìåñòíûå ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû, ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóë àëãåáðû ëîãèêè. Ïðè ýòîì äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ôîðìóëû, íå ñîäåðæàùèå ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ.

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôîðìóëó F ñëåäóþùåãî âèäà: (1)

(1)

(∀x)(∃y) (P1 (x) ∨ P2 (y)),

ãäå P1(1) è P2(1)  îäíîìåñòíûå ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû. Ïî òåîðåìå 2 äëÿ ïðîâåðêè òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóëû F äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ìîäåëè M = hM, Σi, òàêèå, ÷òî |M | = 22 = 4, Σ = {P1(1) , P2(1) }. Ïóñòü M = {a1 , a2 , a3 , a4 }. Òîãäà (1)

(1)

(∀x)(∃y) (P1 (x) ∨ P2 (y)) = (1)

(1)

= (∀x) ((P1 (x) ∨ (∃y)P2 (y)) = (1)

(1)

(1)

(1)

= P1 (a1 ) & P1 (a2 ) & P1 (a3 ) & P1 (a4 ) ∨ (1)

(1)

(1)

(1)

∨(P2 (a1 ) ∨ P2 (a2 ) ∨ P2 (a3 ) ∨ P2 (a4 )).

183

Ëåêöèÿ  18

Îáîçíà÷èì Pi(1) (aj ) ÷åðåç xij (1 6 i 6 2, 1 6 j 6 4). Ïîëó÷èì ôîðìóëó x11 x12 x13 x14 ∨ x21 ∨ x22 ∨ x23 ∨ x24 , êîòîðàÿ âûðàæàåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè f (x11 , x12 , x13 , x14 , x21 , x22 , x23 , x24 )

îò âîñüìè ïåðåìåííûõ. Ïî òåîðåìå 2 ôîðìóëà F òîæäåñòâåííî èñòèííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà òîæäåñòâåííî èñòèííà âî âñåõ ìîäåëÿõ, îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ. Ïîýòîìó F ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ f òîæäåñòâåííî ðàâíà åäèíèöå. Ïîñêîëüêó f (0, 0, . . . , 0) = 0, òî ôîðìóëà F íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé.

184

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà. Ñ. 184191

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÏÐÅÄÈÊÀÒΠËåêöèÿ  19 Âñå òîæäåñòâåííî èñòèííûå ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ (òàê æå, êàê ýòî áûëî â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïðè ïîìîùè íåêîòîðîãî èñ÷èñëåíèÿ. Êàê è â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé, óêàçûâàþòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî èñõîäíûõ ôîðìóë è íåêîòîðûå ïðàâèëà îáðàçîâàíèÿ ïî îäíèì ôîðìóëàì äðóãèõ. Òàê æå, êàê è ðàíåå, ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ôîðìóë, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè: èìïëèêàöèÿ è îòðèöàíèå. Èñõîäíûìè ôîðìóëàìè áóäóò ôîðìóëû ñëåäóþùèõ ïÿòè òèïîâ: (1) A → (B → A); (2) (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)); (3) (A → B) → (B → A); (4) (∀x)A(x) → A(y); (5) A(x) → (∃y)A(y), ïðè ýòîì â ïåðâûå òðè âûðàæåíèÿ âìåñòî A, B è C ìîãóò ïîäñòàâëÿòüñÿ ëþáûå ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ, òàêèå, ÷òî âûðàæåíèÿ (1)(3) òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (ò. å. âûïîëíåíû âñå òðåáîâàíèÿ äëÿ ñâîáîäíûõ è ñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ); âûðàæåíèÿ (4) è (5) ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè, è â ýòèõ âûðàæåíèÿõ A(x)  ôîðìóëà, ó êîòîðîé x  ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ, à ôîðìóëà A(y) ïîëó÷àåòñÿ èç A(x) çàìåíîé âñåõ âõîæäåíèé ïåðåìåííîé x íà ïåðåìåííóþ y . Ôîðìóëû ýòèõ òèïîâ áóäåì íàçûâàòü àêñèîìàìè. Ñàìè ýòè âûðàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ òàêæå ñõåìàìè àêñèîì, òàê êàê êàæäîå èç íèõ (êàê è â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé) îïðåäåëÿåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ôîðìóë. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïðàâèëà âûâîäà: A → B, A I. . B B → A(x) II. , ãäå ôîðìóëà B íå ñîäåðæèò x. B → (∀x)A(x)

185

Ëåêöèÿ  19

A(x) → B , ãäå ôîðìóëà B íå ñîäåðæèò x. (∃x)A(x) → B IV. Ïåðåèìåíîâàíèå ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé: ñâîáîäíóþ ïåðåìåííóþ, âõîäÿùóþ â ôîðìóëó A, ìîæíî çàìåíèòü (âî âñåõ âõîæäåíèÿõ) äðóãîé ïåðåìåííîé, íå ÿâëÿþùåéñÿ ñâÿçàííîé â A. V. Ïåðåèìåíîâàíèå ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé: ñâÿçàííóþ ïåðåìåííóþ ôîðìóëû A ìîæíî çàìåíèòü äðóãîé ïåðåìåííîé (âî âñåõ âõîæäåíèÿõ â îáëàñòè äåéñòâèÿ êâàíòîðà è â êâàíòîðå) òàê, ÷òîáû ïîëó÷èâøååñÿ âûðàæåíèå áûëî ôîðìóëîé. III.

 ïðàâèëàõ IIII áóäåì ãîâîðèòü î ôîðìóëå, ñòîÿùåé ïîä ÷åðòîé, ÷òî îíà ïîëó÷åíà èç ôîðìóëû (ôîðìóë), ñòîÿùåé íàä ÷åðòîé, ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó ïðàâèëó.  ïðàâèëàõ IV è V áóäåì ãîâîðèòü î ôîðìóëå, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå îïèñàííîé â ïðàâèëå ïðîöåäóðû, ÷òî îíà ïîëó÷åíà èç ôîðìóëû A ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó ïðàâèëó. Âûâîäîì íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë

F1 , F2 , . . . , Fk , ãäå Fi (1 6 i 6 k ) ëèáî ÿâëÿåòñÿ àêñèîìîé, ëèáî ïîëó÷åíà èç ïðåäûäóùèõ ôîðìóë ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî îäíîìó èç ïðàâèë âûâîäà IV. Ôîðìóëà F íàçûâàåòñÿ âûâîäèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä ýòîé ôîðìóëû, ò. å. ñóùåñòâóåò âûâîä F1 , F2 , . . . , Fk , â êîòîðîì ôîðìóëà Fk ñîâïàäàåò ñ F . Âûâîäèìîñòü ôîðìóëû F (êàê è â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé) áóäåì îáîçíà÷àòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ` F.  èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå âûâîäà èç ñèñòåìû ãèïîòåç. Îäíàêî ýòî ïîíÿòèå ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñëîæíûì, ÷åì â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé, è çäåñü èñïîëüçîâàòüñÿ íå áóäåò. Ïðèâåäåì îñëàáëåííûé âàðèàíò ýòîãî ïîíÿòèÿ. Ïóñòü T = {A1 , . . . , An }  êîíå÷íîå (áûòü ìîæåò, ïóñòîå) ìíîæåñòâî ôîðìóë. Ñïåöèàëüíûì âûâîäîì èç ñèñòåìû ãèïîòåç T íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë

F1 , F2 , . . . , Fk , ãäå Fi (1 6 i 6 k ) ÿâëÿåòñÿ ëèáî àêñèîìîé (îäíîé èç (1)(5)), ëèáî îäíîé èç ôîðìóë ñèñòåìû T , ëèáî ïîëó÷åíà ïî ïðàâèëó I èç íåêîòîðûõ ôîðìóë Fj è Fr ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ ìåíüøèìè íîìåðàìè j, r < i.

186

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

Ôîðìóëà F íàçûâàåòñÿ ñïåöèàëüíî âûâîäèìîé èç ñèñòåìû ãèïîòåç T , åñëè ñóùåñòâóåò ñïåöèàëüíûé âûâîä F1 , F2 , . . . , Fk èç ñèñòåìû ãèïîòåç T , â êîòîðîì ôîðìóëà Fk ñîâïàäàåò ñ F . Ñïåöèàëüíóþ âûâîäèìîñòü ôîðìóëû F áóäåì îáîçíà÷àòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: `C F . Î÷åâèäíî, ÷òî ñïåöèàëüíûé âûâîä èç ïóñòîé ñèñòåìû ãèïîòåç åñòü ïðîñòî âûâîä. Ïîýòîìó åñëè `C F , òî ` F .  èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ñïðàâåäëèâà òàêæå (â áîëåå ñëîæíîé ôîðìóëèðîâêå) òåîðåìà î äåäóêöèè. Ïðèâåäåì îñëàáëåííûé âàðèàíò ýòîé òåîðåìû.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü T  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ôîðìóë, A è B  ôîðìóëû. Åñëè T, A `C B , òî T `C A → B . Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû äîñëîâíî ñîâïàäàåò ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû î äåäóêöèè äëÿ èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé.  ñèëó ýòîé òåîðåìû âñå ïîëó÷åííûå ðàíåå óòâåðæäåíèÿ î âûâîäèìîñòè ôîðìóë â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê óòâåðæäåíèÿ î ñïåöèàëüíîé âûâîäèìîñòè ôîðìóë èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.

Ëåììà 1. Êàæäàÿ àêñèîìà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé ôîðìóëîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ñõåì àêñèîì (1)(3) óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè àêñèîì äëÿ èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ñõåìà àêñèîì (4). Ðàññìîòðèì ôîðìóëó (∀x) A(x) → A(y). Ïóñòü {x, x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû A(x). Òîãäà {y, x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû (∀x) A(x) → A(y). Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ ìîäåëü (ñèãíàòóðà êîòîðîé ñîäåðæèò ñèãíàòóðó ôîðìóëû A(x)). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð (β0 , α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (y, x1 , . . . , xn ) â ìîäåëè M. Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà (α0 , α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x, x1 , . . . , xn )

A(x)|(α0 ,α1 ,...,αn ) = 0, òî (∀x)A(x)|(α1 ,...,αn ) = 0 è

((∀x) A(x) → A(y))|(β0 ,α1 ,...,αn ) = 1.

187

Ëåêöèÿ  19

Åñëè æå äëÿ âñåõ íàáîðîâ (α0 , α1 , . . . , αn ) (ãäå α1 , . . . , αn ôèêñèðîâàíû, à α0  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò)

A(x)|(α0 ,α1 ,...,αn ) = 1, òî A(y)|(β0 ,α1 ,...,αn ) = 1. Ïîýòîìó

((∀x) A(x) → A(y))|(β0 ,α1 ,...,αn ) = 1. Ñõåìà àêñèîì (5). Ðàññìîòðèì ôîðìóëó

A(x) → (∃y) A(y). Ïóñòü {x, x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû A(x). Òîãäà ôîðìóëà A(x) → (∃y) A(y) èìååò òî æå ìíîæåñòâî {x, x1 , . . . , xn } ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ ìîäåëü, ñèãíàòóðà êîòîðîé ñîäåðæèò ñèãíàòóðó ôîðìóëû A(x). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð α ˜ = (α0 , α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x, x1 , . . . , xn ). Åñëè A(x)|α˜ = 0, òî

(A(x) → (∃y) A(y))|α˜ = 1. Åñëè æå A(x)|α˜ = 1, òî (∃y) A(y)|(α1 ,α2 ,...,αn ) = 1. Ïîýòîìó

(A(x) → (∃y) A(y))|α˜ = 1.

Ëåììà 2. Ôîðìóëà, ïîëó÷åííàÿ èç òîæäåñòâåííî èñòèííûõ ôîðìóë ïî ëþáîìó èç ïðàâèë âûâîäà IV, ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðàâèëà âûâîäà I ýòî óòâåðæäåíèå áûëî óñòàíîâëåíî ïðè äîêàçàòåëüñòâå òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè ôîðìóë èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ðàññìîòðèì ïðàâèëî âûâîäà II: B → A(x) . B → (∀x) A(x) Ïóñòü {x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû B → (∀x) A(x). Òîãäà {x, x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû B → A(x). Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ ìîäåëü.

188

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð α ˜ = (α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xn ) â ìîäåëè M. Åñëè B|α˜ = 0, òî

(B → (∀x) A(x))|α˜ = 1. Åñëè æå B|α˜ = 1, òî ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ ëåììû ôîðìóëà B → A(x) ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé, òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà (α0 , α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x, x1 , . . . , xn )

(B → A(x))|(α0 ,α1 ,...,αn ) = 1. Ïîýòîìó (òàê êàê B|α˜ = 1)

A(x)|(α0 ,α1 ,...,αn ) = 1. Ñëåäîâàòåëüíî,

(∀x) A(x)|α˜ = 1. Ðàññìîòðèì ïðàâèëî âûâîäà III:

A(x) → B . (∃x) A(x) → B Ïóñòü {x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû (∃x) A(x) → B . Òîãäà {x, x1 , . . . , xn }  ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû A(x) → B . Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ ìîäåëü. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð α ˜ = (α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x1 , . . . , xn ) â ìîäåëè M. Åñëè B|α˜ = 1, òî

((∃x) A(x) → B)|α˜ = 1. Åñëè æå B|α˜ = 0, òî ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ ëåììû ôîðìóëà A(x) → B ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé, òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà (α0 , α1 , . . . , αn ) çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ (x, x1 , . . . , xn )

(A(x) → B)|(α0 ,α1 ,...,αn ) = 1. Ïîýòîìó

A(x)|(α0 ,α1 ,...,αn ) = 0.

189

Ëåêöèÿ  19

Ñëåäîâàòåëüíî,

(∀x) A(x)|α˜ = 0

è

((∃x) A(x) → B)|α˜ = 1. Ñïðàâåäëèâîñòü ëåììû äëÿ ïðàâèë IV è V î÷åâèäíà.

Òåîðåìà 2. Ëþáàÿ âûâîäèìàÿ ôîðìóëà â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ëåìì 1 è 2. Ñïðàâåäëèâà è îáðàòíàÿ1) Òåîðåìà (Ãåäåëÿ î ïîëíîòå). Ëþáàÿ òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ âûâîäèìîé. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ çäåñü ïðèâîäèòüñÿ íå áóäåò. Èç òåîðåìû 2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò Òåîðåìà 3. Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ íåïðîòèâîðå÷èâî. Äîêàæåì âûâîäèìîñòü íåêîòîðûõ ôîðìóë.  ðàññìàòðèâàåìûõ íèæå ïðèìåðàõ A(x, y)  ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà, ó êîòîðîé x è y  ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå. Ïðèìåðû.

1. ` (∀x)(∀y) A(x, y) → (∀y)(∀x) A(x, y). Äîêàçàòåëüñòâî. 1. (∀x)(∀y) A(x, y) → (∀y) A(z, y) 2. (∀y)A(z, y) → A(z, v)

ñõåìà àêñèîì (4) ñõåìà àêñèîì (4)

Èç îñëàáëåííîé òåîðåìû î äåäóêöèè äëÿ ëþáûõ ôîðìóë A, B è C ñëåäóåò, ÷òî A → B, B → C `C A → C. Ïîýòîìó â ñèëó 1, 2 ` (∀x)(∀y) A(x, y) → A(z, v).

Ïî ïðàâèëó âûâîäà II èç ïîëó÷åííîé ôîðìóëû áóäåì èìåòü ` (∀x)(∀y) A(x, y) → (∀z) A(z, v),

îòêóäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì âûâîäà II ïîëó÷àåì ` (∀x)(∀y)A(x, y) → (∀v)(∀z)A(z, v). 1) Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â êíèãå: Íîâèêîâ Ï. Ñ. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ì.: Íàóêà, 1973.

190

ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ

Ïðèìåíÿÿ ê ýòîé ôîðìóëå ïðàâèëî âûâîäà V çàìåíû ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåì ñíà÷àëà ` (∀x)(∀y) A(x, y) → (∀y)(∀z) A(z, y),

à çàòåì (ïî ïðàâèëó âûâîäà V) ` (∀x)(∀y)A(x, y) → (∀y)(∀x)A(x, y).

2. ` (∃x)(∃y) A(x, y) → (∃y)(∃x) A(x, y). Äîêàçàòåëüñòâî. 1. A(z, v) → (∃x) A(x, v) 2. (∃x) A(x, v) → (∃y)(∃x) A(x, y)

ñõåìà àêñèîì (5) ñõåìà àêñèîì (5)

Òàê êàê äëÿ ëþáûõ ôîðìóë A, B è C A → B, B → C `C A → C,

òî â ñèëó 1, 2 èìååì ` A(z, v) → (∃y)(∃x)A(x, y).

Ïî ïðàâèëó âûâîäà III èç ïîëó÷åííîé ôîðìóëû ïîëó÷àåì ` (∃v) A(z, v) → (∃y)(∃x) A(x, y),

îòêóäà ïî ïðàâèëó âûâîäà III áóäåì èìåòü ` (∃z)(∃v) A(z, v) → (∃y)(∃x) A(x, y).

Ïðèìåíÿÿ ê ýòîé ôîðìóëå äâà ðàçà ïðàâèëî âûâîäà V, ïîëó÷àåì ñíà÷àëà ` (∃x)(∃v) A(x, v) → (∃y)(∃x) A(x, y), à çàòåì ` (∃x)(∃y) A(x, y) → (∃y)(∃x) A(x, y).

3. ` (∃x)(∀y) A(x, y) → (∀y)(∃x) A(x, y). Äîêàçàòåëüñòâî. 1. (∀y) A(x, y) → A(x, v) 2. A(x, v) → (∃z) A(z, v)

ñõåìà àêñèîì (4) ñõåìà àêñèîì (5)

191

Ëåêöèÿ  19

Òàê êàê äëÿ ëþáûõ ôîðìóë A, B è C A → B, B → C `C A → C,

òî â ñèëó 1, 2 ` (∀y) A(x, y) → (∃z) A(z, v).

Ïî ïðàâèëó âûâîäà III èç ïîëó÷åííîé ôîðìóëû áóäåì èìåòü ` (∃x)(∀y) A(x, y) → (∃z) A(z, v),

îòêóäà ïî ïðàâèëó âûâîäà II ïîëó÷àåì ` (∃x)(∀y) A(x, y) → (∀v)(∃z) A(z, v).

Ïðèìåíÿÿ ê ýòîé ôîðìóëå ïðàâèëî âûâîäà V, ïîëó÷àåì ` (∃x)(∀y) A(x, y) → (∀y)(∃z) A(z, y),

è, íàêîíåö, ïî ïðàâèëó âûâîäà V ` (∃x)(∀y) A(x, y) → (∀y)(∃x) A(x, y).

Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà

(∀x)(∃y) A(x, y) → (∃y)(∀x) A(x, y) íå ÿâëÿåòñÿ âûâîäèìîé, ïîñêîëüêó íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé. Â ñàìîì äåëå, â ìîäåëè M = hM, Σi, ãäå M = {a, b}, Σ = {A(2) }, à A(2) (x, y)  ïðåäèêàò ðàâåíñòâà (ò. å. A(2) (a, a) = A(2) (b, b) = 1, A(2) (a, b) = A(2) (b, a) = 0), ïðèâåäåííàÿ âûøå ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ ëîæíîé.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Êîíñïåêò ëåêöèé Î. Á. Ëóïàíîâà ïî êóðñó "Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó"

Îòâåòñòâåííûé ðåäàêòîð: Àëåêñàíäð Áîðèñîâè÷ Óãîëüíèêîâ

Ðåäàêòîð: Í. À. Ëåîíòüåâà Êîìïüþòåðíûé íàáîð: Ï. À. Áîðîäèí, Þ. Â. Áîðîäèíà Îðèãèíàë-ìàêåò: Â. Ì. Ñòàðîâåðîâ, Î. Ñ. Äóäàêîâà

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 04.06.2007 ã. Ôîðìàò 60×90 1/16. Óñë. ïå÷. ë. 12 Çàêàç Òèðàæ 500 ýêç. Èçäàòåëüñòâî Öåíòðà ïðèêëàäíûõ èññëåäîâàíèé ïðè ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ ã. Ìîñêâà, Ëåíèíñêèå ãîðû. Èçä. ëèö.  04059 îò 20.02.2001 ã. Îòïå÷àòàíî íà òèïîãðàôñêîì îáîðóäîâàíèè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà è Ôðàíêî-ðóññêîãî öåíòðà èì. À. Ì. Ëÿïóíîâà ÌÃÓ