Линейные операторы в квантовой механике

1 МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. С.М. КИРОВА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

(Учебно-методическое пособие)

ПСКОВ 2002

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2 ББК 22.314я73 К 435 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им. С.М. Кирова

Рецензент: доктор физ. мат. наук, профессор Розман Г.А. Автор-составитель: Кирсанов А.А. Линейные операторы в квантовой механике. Псков: ПГПИ, 2002-48с.

Учебно-методичесое пособие предназначено студентам физико-математического факультета, изучающим нерелятивистскую квантовую механику. К 435

© Псковский государственный педагогический институт им. С.М. Кирова (ПГПИ им. С.М.Кирова), 2002

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3

§1. Линейные самосопряжённые операторы Основой математического аппарата квантовой механики является теория линейных самосопряженных операторов. Каждой динамической переменной, т.е. физической величине, зависящей от состояния частицы или системы частиц, в квантовой механике сопоставляется некоторый линейный самосопряженный оператор. Говорят, что физические величины изображаются операторами. Изображение физических величин операторами – основной постулат квантовой механики. Чтобы понять смысл этого постулата рекомендуется прочитать вначале первую часть следующего параграфа (до формулы 11), а затем изучить математический аппарат, изложенный ниже в данном параграфе, после чего продолжить изучение квантовой механики на основе знаний теории линейных операторов. Оператором в математике как известно называется правило, по которому любой функции u ( x ) из некоторого множества

функций M сопоставляется другая функция f ( x ) из того же множества. Число независимых переменных может любым. Мы будем обозначать операторы латинскими буквами со значком ^ над буквой. В квантовой механике для изображения физических величин используются линейные операторы. Оператор L€ называется линейным, если для любых функций u1 , u 2 , ..., u n ,... из множества функций M , на которые может действовать оператор, и любых постоянных c1 , c2 ,..., c n ,... выполняется равенство:

L€(c1u1 + c 2u 2 + ... + c n u n ) = c1 L€u1 + c2 L€u 2 + ... + cn L€u n . (1) Это равенство означает, что результат действия линейного оператора на сумму функций равен сумме результатов действия на каждую функцию и что постоянные множители можно выносить за знак линейного оператора.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4 Примеры линейных операторов:

d , dx

∫ ...dx ,

∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∆ = + + . , оператор Лапласа ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x∂y

Одним из видов линейного оператора является оператор умножения V€ = V ( x, y, z ) . Действие этого оператора на функцию

u ( x, y, z ) состоит в том, что функция u умножается на функцию

V ( x, y, z ) :

V€u = V ( x, y, z ) ⋅ u ( x, y , z ) .

(2)

Операторы, изображающие физические величины должны обладать также свойством самосопряженности или эрмитовости (Эрмит – французский математик XIX века). Линейный оператор L€ называют самосопряженным (эрмитовым), если для любых функций u1 и u 2 рассматриваемого класса выполняется равенство:

∫ u (x )L€u (x )dx = ∫ u (x )L€ u (x )dx , * 1

2

2

* * 1

(3)

где интегрирование производится по области определения функций, причём на границе области определения функции u1 и u 2 должны обращаться в нуль. Если функции u1 и u 2 определены в неограниченной области, то они должны стремиться к нулю при удалении точки на бесконечность. Значком * обозначены комплексно-сопряженные функции и операторы. Комплексно-сопряженный оператор L€* образуется так же, как комплексно-сопряженная величина, т.е. путём замены мнимой единицы i в выражении оператора на − i . Очевидно, что оператор умножения на вещественную функцию V€ = V ( x, y, z ) является самосопряженным, так как для вещественных величин V = V * . Легко показать,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5 что операторы i

∂ ∂2 , оператор Лапласа ∆ (в одномерном случае 2 ) ∂x ∂x

– эрмитовые операторы, а оператор например, что оператор L€ = i

d - не эрмитовый. Проверим, dx

d эрмитовый. Подставляя этот опеdx

ратор в (3) и производя интегрирование по частям по области опре-

деления функции [a, b] , получим b

* ∫ u1 i a

*

b du 2 du *  d  dx = iu1*u 2 − i ∫ u 2 1 dx = ∫ u 2  i  u1* dx . (4) a dx dx  dx  a a

* (Член iu1 u 2

b

b a

b

= 0 , так как на границах области определения фун-

кции u1 и u 2 обращаются в нуль).

§2. Действия над операторами Суммой операторов A€ + B€ называется оператор C€ = A€ + B€ ,

действие которого на функцию u ( x ) выражается равенством:

(

)

C€u ( x ) = A€ + B€ u ( x ) = A€u ( x ) + B€u ( x ) .

(5)

d2 € 2 B = € Например, суммой операторов A = x и является опеdx 2 ратор x + 2

d2 , действующий на функцию u ( x ) следующим dx 2

образом:

(A€ + B€)u(x ) = x u (x ) + dxd

2

2

2

u (x ) .

(6)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

6 Очевидно, что сумма операторов обладает свойством аддитивности:

A€ + B€ = B€ + A€ .

(7)

Произведением операторов A€B€ называется оператор C€ = A€B€ , действие которого на функцию u ( x ) определяется равенством

(

)

C€u ( x ) = A€ B€u ( x ) .

(8)

Иначе говоря, действие оператора C€ на функцию u ( x ) зак-

лючается в том, что сначала на функцию u ( x ) действует опера-

тор B€ , а затем на полученную в результате действия этого оператора функцию действует оператор A€ . Произведение операторов вообще говоря зависит от порядка сомножителей, т.е. результат последовательного действия двух операторов на функцию зависит от того, какой из операторов действует в первую очередь. Рассмотрим, например, произведение оператора умножения A€ = x 2

d и оператора дифференцирования B€ = . Произведение оператоdx

ров A€B€ действует на функцию u ( x ) так:

du (x ) A€B€u ( x ) = x 2 . dx

(9а)

С другой стороны

d 2 du ( x ) B€A€u ( x ) = x u ( x ) = 2 xu ( x ) + x 2 . dx dx

(

)

(9б)

Мы видим, что A€B€u (x ) ≠ B€A€u ( x ) , а следовательно и

A€B€ ≠ B€A€ .

В то же время существуют пары операторов, произведение

которых не зависит от порядка сомножителей: A€B€ = B€A€ . В этом

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

7 случае говорят, что операторы A€ и B€ коммутируют. Например, опе-

∂ € ∂ и B= при действии на функцию двух переменраторы A€ = ∂y

∂x

ных u ( x, y ) коммутируют, поскольку смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. Суммы операторов можно перемножать также, как перемножаются многочлены, но при этом следует помнить, что произведение операторов вообще говоря, зависит от порядка сомножителей, а потому в полученном произведении операторов нельзя считать подобными члены, отличающиеся порядком входящих в них сомножителей. Например, при перемножении операторов

A€ + B€ и A€ − B€ члены − A€B€ и B€A€ взаимно не уничтожаются: (10) A€ + B€ ⋅ A€ − B€ = A€2 − A€B€ + B€A€ + B€2 .

(

)(

)

Оператор A€B€ − B€A€ называется коммутатором операторов

[ ]

A€ и B€ и обозначается A€B€ . Рассмотрим теперь очень важные для квантовой механики понятия собственных функций и собственных значений линейного самосопряженного оператора. Если при действии оператора L€ на функцию u ( x ) получается та же функция, умноженная на некоторый множитель λ , т.е.

L€u ( x ) = λu ( x ) ,

(11)

то функция u ( x ) называется собственной функцией оператора L€ , а множитель λ собственным значением данного оператора. Например, функция cos 3 x является собственной функцией оператора

d2 при собственном значении λ = −9 , так как dx 2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

8

d2 (cos 3x ) = −9 cos 3x . dx 2

(12)

Уравнение вида (11) является обычно дифференциальным

(иногда интегральным) уравнением относительно функции u ( x ) . На собственные функции накладываются некоторые дополнительные условия непрерывности, однозначности, обращения в нуль на границе области определения или на бесконечности. Может быть наложено условие существования интеграла

∫ u (x )

2

dx , где интегрирование производится по области опре-

деления функции u ( x ) . Оказывается, что решения уравнения (11), удовлетворяющие указанным дополнительным условиям, существуют не при всех значениях λ , а лишь при значениях из некоторого множества. Это множество значений λ называется спектром собственных значений оператора L€ . Спектр собственных значений может быть дискретным, непрерывным и смешанным. В случае дискретного спектра множество значений λ является счётным, то есть собственные значения могут быть пронумерованы. В случае непрерывного спектра любое значение λ из некоторой области является собственным. Смешанный спектр состоит из непрерывного спектра и дискретных значений, не принадлежащих к области непрерывного спектра. Если функция u (x ) является собственной функцией опера-

тора L€ , то в виду линейности оператора, функции cu (x ) , где c константа, так же является собственной функцией оператора L€ при том же собственном значении λ . Если функции u1 и u 2 - собственные функции оператора L€ при некотором собственном значении, то их линейная комбинация c1u1 + c2 u 2 так же есть собственная функция при собственном значении λ . Следовательно,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

9 умножая собственные функции на константы и образуя их линейные комбинации всегда можно получить бесконечное число собственных функций, относящихся к данному собственному значению. Можно, однако, поставить вопрос: сколько линейно независимых собственных существует для данного собственного значения? Напомним, что функции u1 , u 2 ,..., u n называются линейно независимыми, если тождество

c1u1 + c 2u 2 + ... + cn u n ≡ 0

(13)

имеет место тогда и только тогда, когда все коэффициенты ci равны нулю. Общий ответ на поставленный вопрос в рамках данного курса дать нельзя, так как для этого требуется знание теории групп. Обычно каждому собственному значению соответствует либо одна, либо несколько линейно независимых функций. Собственное значение, которому соответствует одна линейно независимая функция, называется простым. Если же собственному значению соответствуют n линейно независимых собственных функций, то такое собственное значение называется кратным или вырожденным, а число n называется кратностью или степенью вырождения собственного значения. Докажем теперь два важных свойства собственных функций и собственных значений самосопряженных операторов. Свойство I. Собственные значения самосопряженных операторов вещественны. Доказательство. Напишем равенство, комплексно-сопряженное равенству (11):

L€*u * ( x ) = λ*u * ( x ) .

(14)

Умножим слева равенство (11) на u * , а равенство (14) на u .

u * ( x )L€u ( x ) = u * ( x )λu ( x ) , u ( x )L€*u * ( x ) = u ( x )λ*u * ( x ) . Вычтем из первого полученного равенства второе и проинтегрируем по области определения функции u :

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

10

∫ (u (x )L€u(x ) − u(x )L u (x ))dx = (λ − λ )∫ u(x )u (x )dx . (15) *

* *

*

*

Согласно определению эрмитовости (3) (где надо положить

u1 = u 2 = u ) левая часть равенства (15) обращается в нуль. В правой части (15)

∫ uu dx может быть равен нулю только если u ≡ 0 , *

так как uu * = u ≥ 0 . Этот тривиальный случай не представляет 2

для нас интереса, поэтому будем считать, что

∫ uu dx > 0 . Тогда *

равенство (15) выполняется, если λ = λ* , т.е. если λ вещественная величина, что и требовалось доказать. Прежде чем рассмотреть второе свойство дадим следующее определение. Функции u1 и u 2 - называются ортогональными, если выполняется равенство

∫ u (x )u (x )dx = 0 , * 1

(16)

2

где интегрирование выполняется по всей области определения функций. При этом интеграл

∫ u (x )u (x )dx * 1

2

называется скалярным

произведением функций. По аналогии со скалярным произведением векторов этот интеграл записывается в виде (u1 ,u 2 ) .

Свойство II. Собственные функции оператора L€ , относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны друг к другу. Доказательство. Пусть u1 и u 2 - собственные функции, относящиеся к собственным значениям λ1 и λ 2 оператора L€ :

L€u1 = λ1u1 ,

(17а)

L€u 2 = λ 2 u 2 .

(17б)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

11 Запишем равенство, комплексно сопряженное равенству (17а), умножив его на u 2

u 2 L€*u1* = u 2 λ*1u1* ,, затем (17б) умножим на u1*

u1* L€u 2 = u1*λ 2 u 2 . Вычтем полученные равенства и проинтегрируем их разность по области определения функций u1 и u 2 :

∫ u L€ u dx − ∫ u L€u dx = (λ *

2

* 1

* 1

2

* 1

− λ )∫ u1*u 2 dx .

(18)

Левая часть по определению (3) равна нулю. В правой части по условию λ*1 − λ 2 = λ1 − λ 2 ≠ 0 . Поэтому получаем

∫ u u dx = 0 , * 1 2

(19)

что и требовалось доказать. Собственные функции, относящиеся к одному и тому же собственному значению оператора L€ , вообще говоря не являются ортогональными. Мы отмечали выше, что любая линейная комбинация собственных функций, относящихся к одному и тому же собственному значению, так же является собственной функцией. Поэтому вместо n исходных линейно-независимых собственных функций можно построить n других, так же линейно-независимых собственных функций. Можно доказать, что всегда можно выбрать взаимно-ортогональные линейные комбинации собственных функций. Таким образом, собственные функции, относящиеся к разным собственным значениям ортогональны автоматически, а собственные функции, относящиеся к одному и тому собственному значению могут быть выбраны ортогональными. Следовательно, все собственные функции эрмитового оператора могут быть выбраны ортогональными. Каждая собственная функция может быть умножена на такой множитель, чтобы выполнялось условие

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

12

∫u

2 i

dx = 1,

(20)

где интегрирование ведётся по области определения функций. Функции, удовлетворяющие условию (20) называются нормированными, а система взаимно-ортогональных и нормированных функций называется ортонормированной. При наличии вырожденных собственных значений собственные функции удобно нумеровать двумя индексами: первый индекс указывает номер собственного значения, а второй - номер собственной функции, относящийся к данному собственному значению. Тогда ортонормированность системы функций запишется в виде:

∫u

* kl

u mn dV = δ km δ ln ,

(21)

1, если i = j символ Кронекера. Ради простоты запи0, если i ≠ j

где δ ij = 

си формул мы будем ниже нумеровать функции одним символом. Условие ортонормированности функций непрерывного спектра имеет несколько другой вид, который мы рассматривать не будем. В математике доказывается, что если система собственных функций эрмитовых операторов является не только ортогональной, но и полной, что значит, что любую функцию Ψ ( x ) , удовлетворяющую тем же граничным условиям, что и собственные функции ui ( x ) , можно представить в виде ряда по этим функциям:

Ψ ( x ) = ∑ cn u n ( x ) . n

(22)

Напомним, что в математическом анализе изучаются ряды Фурье по ортонормированным функциям

1 1 1 1 1 cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... на отрезке , π π 2π π π

[− π, π]:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

13

u (x ) =

a1 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) . 2 n=1

(23)

Ряд (22) является обобщением ряда Фурье (23) по тригонометрическим функциям. Чтобы найти коэффициенты ряда (22) умножим его на одну из функций u k* ( x ) и проинтегрируем почленно по области определения функций u k ( x ) :

∫ u (x )Ψ (x )dx = ∑ c ∫ u (x )u (x )dx . * k

n

n

* k

k

(24)

в силу свойства ортонормированности в правой части только член с n = k отличен от нуля, поэтому:

ck = ∫ u k* ( x )Ψ ( x )dx .

(25)

Разложение (22) можно сравнить с разложением вектора по

единичным ортогональным векторам. Функции u k ( x ) играют

роль ортов векторного пространства, а коэффициенты ck аналогичны проекциям вектора на орты.

§3. Средние значения динамических переменных. Изображение динамических переменных операторами Из статистического толкования волн де Бройля следует, что состояние элементарной частицы в данный момент времени, в отличие от классической материальной точки, нельзя характеризовать определёнными значениями координат и проекций импульса. Заранее невозможно предсказать каков будет результат измерения указанных величин. Можно лишь указать какова вероятность того, что частица окажется в заданном элементе объёма и будет иметь координаты и проекции импульсов в заданных промежутках. Значения других динамических переменных, являю-

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

14 щихся функциями координат и импульсов, вообще говоря также нельзя точно определить и точно предсказать какой будет результат измерения данной динамической переменной. Поэтому динамические переменные в квантовой механике должны рассматриваться как случайные величины и описываться методами теории вероятностей. Существуют, однако, частные, но очень важные случаи, когда динамические переменные имеют определённые значения. Эти случаи будут рассмотрены отдельно. Из теории вероятностей известно, что случайные величины можно охарактеризовать числовыми характеристиками, среди которых наиболее важными являются математическое ожидание и дисперсия. В данном параграфе мы должны установить выражение математического ожидания. Наиболее просто устанавливается математическое ожидание величины, зависящей только от координат. Известно, что математическое ожидание дискретной случайной величины L , принимающей значения Li с вероятностями pi выражается формулой:

L = ∑ Li pi . i

(1)

Разобьем объём V , в котором может находиться частица, на элементы ∆Vi и в каждом элементе выберем точку M i . Вероятность попадания частицы в элемент ∆Vi записывается как

pi = f (M i )∆Vi , где f (M i ) - плотность вероятности. Тогда формула (1) примет вид:

L ≈ ∑ L(M i ) f (M i )∆Vi . i

(2)

Переходя к пределу при max ∆Vi → 0 , получим

r r L = ∫∫∫ L(r ) f (r )dV .

(3)

V

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

15 Как известно из предыдущего раздела плотность вероятности обнаружения частицы равна квадрату модуля волновой функции:

r f (r ) = Ψ

2

r r = Ψ * (r )Ψ (r ) .

(4)

Подставляя (4) в (3) и переставляя сомножители, получим:

r r r L = ∫∫∫ Ψ * (r )L* (r )Ψ (r )dV .

(5)

V

(Сомножители переставлены ради того, чтобы вид этой формулы соответствовал виду формулы в более общем случае). Лишь немногие динамические переменные зависят только от координат. К числу таких переменных относится потенциальная энергия. Большинство динамических переменных зависит как от координат, так и от проекций импульса, либо только от проекций импульса. Теоретический вывод выражения математического ожидания для этого случая очень сложен. Поэтому в курсах квантовой механики формула математического ожидания даётся как постулат, который проверяется затем по следствиям. В отличие от постулатов математики постулаты квантовой механики не очевидны. Чтобы пояснить постулат о математическом ожидании, мы подойдём к нему исходя из простого частного случая, то есть пользуясь методом индукции. Известно, что состояние частицы с определённым импульсом описывается плоской волной де Бройля

p x x + p y y + p z z − Et r Ψ (r , t ) = A exp i . h

(6)

Если частица локализована в объёме V , то нормировочная константа A равна

∫∫∫ Ψ ΨdV =1 . *

1

V . В этом случае (7)

Умножим равенство (7) на одну из проекций импульса, например на p x . Учитывая, что в этом частном случае среднее значение

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

16

p x совпадает с точным значением p x можно написать: p x = p x = ∫∫∫ Ψ * p€x ΨdV . (8) r Произведение p x Ψ (r , t ) может быть записано на основании (6) как

h ∂Ψ . Поэтому (8) переписывается в виде: i ∂x

r h ∂Ψ p x = ∫∫∫ Ψ * (r , t ) dV . i ∂x V

(9)

Сделаем предположение, что формула (9) верна не только для свободной частицы, состояние которой описывается волновой функцией (6), но и для частицы в любом состоянии. Сравни-

r

вая с формулой (5) видим, что роль величины L(r ) играет в случае проекции импульса p x оператор

h ∂ . Формулы, аналогичi ∂x

ные (9) могут быть написаны и для проекций p y и p z . Таким образом составляющим импульса p x , p y , p z сопоставляются операторы

h ∂ h ∂ h ∂ h r , , , а вектору p оператор ∇ , где ∇ i ∂x i ∂y i ∂z i

(“набла”) оператор

r ∂ r ∂ r ∂ ∇=i + j +k . ∂x ∂y ∂z Переходя к следующему шагу обобщений сформулируем следующий постулат. Чтобы вычислить математическое ожидание динамической

(

)

переменной L x, y, z , p x , p y , p z , зависящей от координат и проекций импульсов частицы, следует сопоставить динамической переменной L оператор

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

17

 h ∂ h ∂ h ∂  , L€ = L x, y , z , , , i ∂x i ∂y i ∂z  

(10)

заменив в классическом выражении величины L проекции импульсов операторами

h ∂ h ∂ h ∂ , , и вычислить затем матеi ∂x i ∂y i ∂z

матическое ожидание величины L по формуле:

r r L = ∫∫∫ Ψ * (r , t )L€Ψ (r , t )dV .

(11)

V

Значение оператора в квантовой механике не ограничивается задачей определения математических ожиданий. В следующих параграфах на основе операторов, изображающих динамические переменные, мы рассмотрим другие вопросы. Средние значения динамических переменных должны быть, конечно, вещественными величинами, хотя волновые функции могут быть комплексными. Легко видеть, что если оператор L€ эрмитовый, то L вещественно. Действительно, рассмотрим * L = ∫∫∫ ΨL€* Ψ * dV .

(12)

V

Полагая в формуле (3) предыдущего параграфа u1 = u 2 = Ψ видим, что L = L , то есть L вещественно. Таким образом, *

требование эрмитовости операторов, изображающих динамические переменные, выражает требование вещественности их средних значений.

Подставим в (12) разложение волновой функции Ψ (r, € t ) по

r

собственным функциям оператора L€ Ψn (r , t ) :

r r Ψ (r , t ) = ∑ c n Ψn (r , t ), n

(13)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

18 а также разложение комплексно-сопряженной функции

r r Ψ * (r , t ) = ∑ cm* Ψm* (r , t ) .

(13а)

m

Внося оператор L€ под знак суммы, перемножая суммы и интегрируя почленно, получим:

L = ∫∫∫ ∑ cm* Ψm* L€∑ cn Ψn dV = V

m

n

= ∫∫∫ ∑ cm* Ψm* ∑ cn L€Ψn dV =∑ c m* cn ∫∫∫ Ψm* L€Ψn dV . m n m ,n V

(14)

V

Так как собственными функциями оператора L€ являются Ψn , то L€Ψn = Ln Ψn , где Ln - собственные значения оператора L€ . Внесём Ln за знак интеграла и воспользуемся ортонормированностью функций Ψn :

∫∫∫ Ψ

* m

Ψn dV = δ mn . При этом получим:

V

L = ∑ cm* cn Ln δmn .

(15)

m ,n

В этой двойной сумме отличны от нуля только члены с

m = n , следовательно, мы получаем: L = ∑ cm* c m Lm = ∑ cm Lm . 2

m

(16)

m

Из условия нормировки функции Ψ вытекает:

∫ Ψ ΨdV = ∫ ∑ c *

m

* m

Ψm* ∑ c n Ψn dV = n

= ∑ c m* c n ∫ Ψm* Ψn dV = ∑ c m* c n δ mn = ∑ c m m,n

m, n

m

2

= 1.

(17)

сравнивая (16) с (1) мы видим, что собственные значения оператора L€ являются допустимыми значениями случайной величины L , а

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

19 квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции Ψ в ряд Фурье по собственным функциям являются вероятностями этих значений. Если волновая функция Ψ совпадает с одной из собственных функций Ψn , то разложение (13) содержит только один член с m = n и cm

2

= 1.

Это означает, что в данном частном случае при измерении величины L мы с вероятностью, равной единице, получим значение Lm . Другими словами физическая величина имеет опреде-

r

ленное значение, если волновая функция Ψ (r , t ) , описывающая состояние частицы, является собственной функцией оператора физической величины. При этом собственное значение оператора является определённым значением физической величины. В следующем параграфе мы придём к этому заключению другим путём. Пример. Частица движется вдоль оси Ox на отрезке [0, l ] . Её состояние описывается волновой функцией Ψ ( x ) = A sin

πx . l

Найти нормировочный множитель A , среднюю координату частицы x , среднюю кинетическую энергию T . Решение. Множитель A находится из условия l

∫Ψ

2

dx = 1 ;

0

l

A 2 ∫ sin 2 0

πx dx = A2 ∫ l 0 l

1 − cos 2

2πx l dx =

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

20 l

A2  l 2πx  A 2l = =1.  =  x − sin 2  2π l 0 2 Откуда A =

2 . l

2 πx πx x = ∫ xΨ dx = ∫ x sin dx = u = x, dv = sin dx = l 0 l l 0 l

l

2

l

l l 2 1 2πx  1  2πx  =  x =  x − sin dx =  − ∫  x − sin l l  0 2 0  l  2 2π 2π l

l 2  l 2 1  x 2 2πx   l2   =  −  − 2 cos l  2 2  2 4π l  0   

l2  l 2  l2 l2 l2 =  − − 2 + 2  = . l  2 4 8π 8π  2 Средняя координата находится в середине отрезка [0, l ] . В данном случае частица движется только по оси Ox , поэтому оператор кинетической энергии имеет вид: 2

1 2 1 h d  h2 d 2 € € T= px =   =− . 2m 2m  i dx  2m dx 2 l

T = ∫ Ψ *T€Ψdx = − 0

2 h2 * d Ψ Ψ dx = dx 2 2m ∫0 l

h2 2 πx d 2 πx =− ⋅ ∫ sin sin dx = 2 2m l 0 l dx l l

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

21

h2  π  = ⋅  ml  l 

h 2π2 2 πx = dx sin ∫0 l ml 3

2 l

l

1 − cos

0

2

∫

2πx l dx =

l

l 2πx  h 2 π2 1  h 2π 2 l h 2π 2 x sin = ⋅ = = ⋅ −   . 2π l  0 ml 3 2 2ml 2 ml 3 2 

§4. Дисперсия физической величины. Условие, при котором физическая величина имеет определённое значение Дисперсия случайной величины - это числовая характеристика случайной величины, характеризующая разброс значений случайной величины. В теории вероятностей дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D (L ) = (L − L

)

2

.

(1)

Применим эту формулу к динамической переменной L . Оператором величины l − L является L€ − L . Подставляя в формулу (11) предыдущего параграфа вместо оператора L€ оператор

L€ − L , получим:

(

)

D (L ) = ∫ Ψ * L€ − L ΨdV .

(2)

V

(

перепишем эту формулу, заменив оператор L€ − L

(

)(

)

)

2

на произ-

ведение операторов L€ − L ⋅ L€ − L :

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

22

(

)(

)

D (L ) = ∫ Ψ * L€ − L ⋅ L€ − L ΨdV .

(3)

V

Воспользуемся самосопряженностью оператора L€ − L , по-

( ) L ) Ψ dV = ∫ (L€ − L )Ψ

лагая в формуле (3) §1 u1 = Ψ ; u 2 = L€ − L Ψ :

(

) (

D( L ) = ∫ L€ − L Ψ L€ − V

Так как

(L€− L )Ψ

*

*

2

dV .

(4)

V

2

- вещественная неотрицательная вели-

чина, то D( L ) ≥ 0 , как и должно быть в соответствии со смыслом этой величины. Если физическая величина L имеет в данном состоянии частицы определённое значение, то среднее значение L совпадает с этим значением L и дисперсия равна нулю. Это имеет место только тогда, когда подынтегральная функция в (4) тождественно равна нулю:

(L€− L )Ψ

2

= 0 , или L€Ψ = LΨ .

(5)

Обратно, если выполняется условие (5), то дисперсия тождественно рана нулю. Условие (5) означает, что Ψ есть собственная функция оператора L€ соответствующая собственному значению L . Итак, чтобы величина L имела определённое значение в данном состоянии частицы, необходимо и достаточно, чтобы волновая функция этого состояния частицы была собственной функцией оператора L€ . Так как волновые функции должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям (непрерывность, однозначность, обращение в нуль на бесконечности), решения уравнения (5) возможно не для всех L , а лишь для значений L , принадлежащих

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

23 спектру собственных значений. Решая уравнение (5) необходимо не только определить собственные функции, но и найти значения L , при которых возможны решения, удовлетворяющие дополнительным условиям, т.е. найти спектр собственных значений. Таким образом, в то время как в теории Бора, допустимые стационарные значения физических величин находились на основе искусственно введённых условий квантования, противоречащих законам электродинамики, в квантовой механике возможные определённые значения физических величин находятся по единому алгоритму как собственные значения соответствующих операторов. Пример. Найти собственные значения квадрата импульса частицы, движущейся вдоль оси Ox по отрезку [0, l ] в поле с потенциальной энергией U ≡ 0 . За пределы отрезка частица не выходит. Решение. Известно (см. §2), что оператор x -вой составляющей импульса имеет вид:

p€x =

h ∂ . i ∂x

(6)

Соответственно, оператор квадрата импульса имеет вид:

p€x2 = −h 2

∂2 . ∂x 2

(7)

Уравнение (5) в данном случае имеет вид:

d 2Ψ −h = &p& x2 Ψ . 2 dx 2

(8)

∂2Ψ d 2Ψ = ). (В данном случае переменная одна, поэтому ∂x 2 dx 2 Граничные условия в соответствии с условием задачи:

Ψ (0 ) = Ψ (l ) =0.

(9) Уравнение (8) является уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое урав-

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

24 нение

− h 2 α 2 = p x2 .

(10)

Его корни:

α=i

px h

.

(11)

Общее решение уравнения (8) имеет вид:

Ψ ( x ) = A sin

px h

x + B cos

px h

x.

(12)

Потребуем, чтобы функция Ψ ( x ) удовлетворяла граничным условиям (9):

Ψ (0 ) = A sin 0 + B cos 0 = B = 0 . Ψ (l ) = A sin

px h

l = 0.

(13а) (13б)

Если положить A = 0 , то функция (12) обратится в тождественный нуль. Такое решение интереса не представляет, оно соответствует отсутствию частицы. Поэтому исходя из (13) полагаем

sin

px h

l =0,

откуда

px h

l = πn ; p x =

hπn l

или

h 2 π2 n2 p = . (14) l2 Значок n у p x2 поставлен для нумерации собственных значений p x2 . 2 x, n

Результат (14) можно получить также непосредственно из гипотезы де Бройля. На ограниченном отрезке волна де Бройля

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

25 должна быть стоячей волной с узлами на концах отрезка. Поэтому на длине l должно укладываться целое число полуволн:

λ n =l. 2 Отсюда

λn =

2l . n

(15)

Подставляя это значение в соотношение де Бройля между импульсом и длиной волн, получим:

p x ,n =

h 2πhn πhn = = , λ 2l l

(16)

что соответствует (14).

§5. Условие, при котором две динамические переменные могут иметь определённые значения (условие измеримости динамических величин) Соотношение неопределённостей ∆x ⋅ ∆p ≥ h , рассмотренное в предыдущем разделе, показывает, что координата и одноимённая проекция импульса, не могут одновременно иметь определённые значения. Существуют и другие пары динамических переменных, которые не могут одновременно иметь определённые значения. В то же время существуют такие пары динамических переменных, которые могут одновременно (т.е. в одном и том же состоянии частицы) иметь определённые значения, например, две координаты, координата и неодноименная проекция импульса и др. Такие пары динамических переменных называются соизмеримыми, а пары динамических переменных, которые не могут иметь одновременно определённых значений - несоизмеримыми. Задача данного параграфа - найти общее условие (общий критерий) соизмеримости динамических переменных. Это условие определено следующей теоремой:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

26 Для того, чтобы динамические переменные L и M были соизмеримы, необходимо и достаточно, чтобы их операторы коммутировали, т.е.

L€M€ = M€L€ .

(1) Доказательство необходимости. Дано, что динамические переменные L и M одновременно имеют определённые значения. Требуется доказать, что их операторы коммутируют. По условию существуют такие состояния частицы, волновые функции которых

Ψn одновременно являются собственными функциями операторов LиM: L€Ψn = Ln Ψn , M€Ψn = M n Ψn .

(2а) (2б)

Подействуем на левую и правую части уравнения (2а) оператором M€ , а на левую и правую части (2б) - оператором L€ . Пользуясь линейностью операторов, получим:

M€L€Ψn = Ln M€Ψn = Ln M n Ψn ,

(3а)

L€M€Ψn = M n L€Ψn = M n Ln Ψn .

(3б)

Правые части равенств (3а) и (3б) равны, приравняем и их левые части:

M€L€Ψn = L€M€Ψn .

(4)

Равенство (4) ещё не означает, что операторы L€ и M€ коммутируют, так как для доказательства коммутативности надо показать, что

M€L€Ψ = L€M€Ψ , где Ψ - любая функция того класса функций, на которые действуют операторы , Ψn - собственные функции обоих операторов. Однако, мы можем разложить любую функцию Ψ по

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

27 собственным функциям Ψn :

Ψ = ∑ cn Ψn . n

Пользуясь равенством (4), получим:

M€L€Ψ = M€L€∑ cn Ψn = ∑ cn M€L€Ψn = n

n

= ∑ cn L€M€Ψn = L€M€ ∑ cn Ψn = L€M€Ψ . n

n

(5)

Необходимость доказана. Доказательство достаточности, мы рассмотрим не для общего случая, а для случая, когда собственные значения операторов L€ и M€ простые. Дано, что операторы L€ и M€ коммутируют. Требуется доказать, что они имеют общую систему собственных функций. Пусть Ψn - собственные функции оператора L€ , то есть

L€Ψn = Ln Ψn .

(6)

Докажем, что Ψn являются также собственными функциями оператора M€ . Для этого подействуем оператором M€ на левую и правую части уравнения (6). Пользуясь коммутативностью операторов и линейностью оператора M€ , получим:

(

)

(

)

L€ M€Ψn = Ln M€Ψn .

(7)

€ является собственной функциОтсюда мы видим, что MΨ n ей оператора L€ при собственном значении Ln . Таким образом собственному значению Ln соответствуют две собственные фун-

€ . Но по наложенному ограничекции оператора L€ : Ψn и MΨ n нию мы считаем собственные значения простыми. Это значит,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

28 что каждому собственному значению оператора L€ может соответствовать только одна линейно-независимая собственная функция, а полученные две функции должны быть линейно-зависимыми, т.е. отличаются постоянным множителем, который мы обозначим M n :

M€Ψn = M n Ψn .

(8)

Равенство (8) означает, что Ψn - собственная функция оператора M€ , т.е. собственные функции оператора L€ являются и собственными функциями M€ . Теорема доказана.

Пример. Может ли потенциальная энергия U ( x, y, z ) и про-

екция импульса p x одновременно иметь определённые значения? Решение. Оператор потенциальной является оператором умножения U€ = U ( x, y, z ) . Оператор проекции импульса p x имеет вид p€x =

h ∂ . Подействуем произведением этих операторов на i ∂x

произвольную функцию Ψ ( x, y, z ) заданного класса функций:

h ∂ (U (x, y, z )Ψ (x, y, z )) = h  ∂U + U ∂ Ψ . p€xU€Ψ = ∂x  i ∂x i  ∂x С другой стороны

h ∂Ψ U€p€x Ψ = U ( x, y, z ) . i ∂x Отсюда видно, что вообще говоря

p€xU€ ≠ U€p€x , т.е. операторы не коммутируют и значит соответствующие величины не могут иметь одновременно определённых значений. Только в частном случае, когда U не зависит от x и следова-

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

29 тельно

∂U = 0 операторы коммутируют и величины p x и U ( x, y, z ) ∂x

могут иметь определённые значения.

§6. Операторы основных динамических переменных и соотношения коммутативности между ними Составим таблицу классических выражений и операторов основных динамических переменных частицы в декартовой системе координат. Рассмотрим какие пары из перечисленных операторов коммутируют, а какие не коммутируют. Очевидно, операторы x, y, z ,

U ( x, y, z ) попарно коммутируют, так как это операторы умножения и их произведения представляют собой простые произведения функций. Очевидно, также, попарно коммутируют проекции импульсов ввиду независимости смешанных производных от порядка дифференцирования:

p€x p€y = −h 2

∂2 ∂2 = −h 2 = p€y p€x . ∂x∂y ∂y∂x

(1)

Каждая координата коммутирует с не одноименными проекциями импульса, так как координату можно выносить за знак производной по другой независимой переменной:

p€y xΨ =

h ∂ (xΨ ) = x h ∂Ψ = xp€y Ψ . i ∂y i ∂y

(2)

Рассмотрим коммутатор координаты и одноимённой проекции импульса

[x€p€x ]Ψ = (x€p€x − p€x x€)Ψ = h  x ∂Ψ − ∂ (xΨ ) = i  ∂x

∂x



PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

30

∂Ψ  h  ∂Ψ h h ⋅i2 −Ψ − x = x  = − Ψ = − 2 Ψ = i hΨ . ∂x  i⋅i i i  ∂x Отсюда

[x€p€x ] = [y€p€y ] = [z€p€z ] = ih .

(3)

Эта некоммутативность операторов находит своё выражение в соотношении неопределённостей

∆x ⋅ ∆p x ≥ h ; ∆y ⋅ ∆p y ≥ h ; ∆z ⋅ ∆p z ≥ h . Оператор любой проекции импульса коммутирует с оператором кинетической энергии, но не коммутирует с оператором потенциальной энергии, а значит не коммутирует с оператором полной энергии. Координаты наоборот коммутируют с потенциальной энергией, но не коммутируют с оператором кинетической энергии, а значит и с оператором полной энергии. Покажем, что проекции момента импульса друг с другом не коммутируют, например:

[L€ L€ ] = (yp€ − zp€ )(zp€ − xp€ ) − (zp€ − xp€ )(yp€ − zp€ ) . x

y

z

y

x

z

x

z

z

y

При перемножении операторов соединим попарно такие произведения, которые отличаются только порядком сомножителей. Подставлять явные выражения операторов проекций импульса нет необходимости.

[L€ L€ ] = ( yp€ zp€ − zp€ yp€ ) − ( yp€ xp€ − xp€ ) − x

y

z

x

x

z

z

z

− (zp€y zp€x − zp€x zp€y ) + (zp€y xp€z − xp€z zp€y ) .

z

Произведения операторов во второй и третьей скобках коммутируют, поэтому эти коммутаторы равны нулю. Произведения операторов в первой и четвёртой скобках содержат некоммутирующие операторы z и p€z , поэтому эти коммутаторы не обращаются в нуль. Учитывая коммутативность координат с операторами неодноимённых проекций импульса выносим из первой скобки y€ px , а

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

31

py : из четвёртой - x€

[L€ L€ ] = yp€ ( p€ z − zp€ ) + xp€ ( p€ z − zp€ ) = x

y

x

z

z

y

z

z

= − yp€x [zp€z ] + xp€y [zp€z ] . Учитывая (3) и выражение для оператора L€z (см. Таблицу 1), получаем:

[L€ L€ ] = ih(xp€ − yp€ ) = ihL€ . x

y

y

x

(4)

z

Аналогично

[L€ L€ ] = ihL€ ; [L€ L€ ] = ihL€ . y

z

x

z

x

y

Покажем, что оператор каждой проекции момента количества движения коммутирует с оператором квадрата момента количества движения, например:

[L€ L€ ] = L€ (L€ + L€ + L€ )− (L€ + L€ + L€ )L€ = 2

x

2 x

x

2 y

2 z

2 x

2 y

2 z

x

= L€3x − L€3x + L€x L€2y − L€2y L€x + L€x L€2z + L€2z L€x =

(

)

(

) (

)

(

)

= L€x L€y L€y − L€y L€y L€x + L€x L€z L€z − L€z L€z L€x . На основании соотношений коммутативности (4), имеем:

L€x L€y = L€y L€x + ihL€z ; L€y L€x = L€x L€y − ihL€z ; L€x L€z = L€z L€x − ihL€y ; L€z L€x = L€x L€z + ihL€y . Подставляя эти выражения в (5), получаем:

[L€ L€ ] = (L€ L€ + ihL€ )L€ − L€ (L€ L€ − ihL€ )+ + (L€ L€ − ihL€ )L€ − L€ (L€ L€ + ihl€ ) = = L€ L€ L€ − L€ L€ L€ + ih (L€ L€ + L€ L€ )+ + L€ L€ L€ − L€ L€ L€ − ih(L€ L€ + L€ L€ ) = 0 . 2

x

y

z

x

y

x

y

z

x

z

x

z

y

z

y

x

z

x

y

z

y

x

z

y

z

y

z

y

y

y

x

z

z

z

z

y

y

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

32 Таблица 1. Координаты частицы

x, y, z .

Операторы координаты частицы

x€ = x, y€ = y, z€ = z

Проекции импульса Операторы проекции импульса

p€x , p€, p€z

h ∂ h ∂ p€ h ∂ , y = , p€z = i ∂ y i ∂x i ∂z r r r r Импульс (вектор) и его оператор p = px i + p y j + pz k p€x =

r h p€ = ∇ i Потенциальная энергия

U = U ( x, y, z )

Оператор потенциальной энергии

U€ = U ( x, y, z )

Кинетическая энергия

T=

Оператор кинетической энергии

h2 T€ = − ∆ 2m

p x2 + p y2 + p z2 2m

Полная энергия (функция Гамильтона) и её оператор

H=

Момент импульса Оператор момента импульса

p x2 + p 2y + p z2 2m

+ U ( x, y, z )

h2 € H =− ∆ + U ( x, y, z ) 2m r r r L = [r , p ] r€ h r L = [r , ∇] i

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

33 Проекции момента импульса и их операторы

Lx = yp z − zp y

h ∂ ∂  L€x =  y − z  i  ∂z ∂y 

L y = zp x − xp z

h ∂ ∂ L€y =  z − x  i  ∂x ∂z 

Lz = xp y − yp x

h ∂ ∂  L€z =  x − y  i  ∂y ∂x 

Квадрат момента импульса и его оператор

L2 = L2x + L2y + L2z 2 2 2  ∂     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   L€ = −h  y − z  +  z − x  +  x − y   . ∂y   ∂x ∂z   ∂y ∂x    ∂z 2

2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

34

Задачи для самостоятельного решения

1. Показать, что если операторы A€ и B€ линейные, то их сумма A€ + B€ и произведение A€B€ есть также линейные операторы. 2. Возвести в квадрат оператор

d + x. dx

3. Возвести в квадрат операторы x

d d x . Сравнить резульи dx dx

таты их действия. 2

d2 2 d  x и  x . 4. Найти результаты действия операторов 2 dx  dx  2 5. Найти результат действия оператора x ⋅

6. Найти коммутатор

d 1 ⋅ . dx x

d d x−x . dx dx

∂ и f ( x, y , z ) . ∂x 8. Найти коммутатор оператора x и оператора Лапласа ∆ . 9. Для операторов L€ и M€ , удовлетворяющих соотношению L€M€ − M€L€ = 1 , найти L€M€ 2 − M€ 2 L€ .

7. Найти коммутатор оператора

10. Найти оператор, переводящий Ψ (x ) в Ψ ( x + a ) . 11. Выразить оператор параллельного переноса r r r T€ Ψ (r ) = Ψ (r + a ) через оператор импульса. a

12. Найти оператор поворота пространства на угол α , переводящий Ψ (ϕ) в Ψ (ϕ + α ) , где ϕ - угловая переменная. 13. Найти результат действия оператора e

k

∂ ∂x

на функцию Ψ (x ) .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

35

(

)

14. Является ли оператор комплексного сопряжения A€Ψ = Ψ * линейным? 15. Чему равен оператор комплекно-сопряженный оператору комплексного сопряжения? Является ли оператор комплексного сопряжения эрмитовым? 16. Показать, что сумма произвольного оператора A€ и его комплексно сопряженного оператора A€* есть эрмитов оператор. 17. Показать, что если операторы A€ и B€ эрмитовы, то и операторы A€ + B€ и A€B€ + B€A€ также эрмитовы. ∂ 18. Является ли оператор A€ = эрмитовым? ∂x ∂ € . 19. Проверить самосопряженность оператора A = i ∂y d

20. Найти оператор, эрмитово-сопряженный оператору T€ = e a dx . a r

21. Найти оператор, эрмитово-сопряженный оператору T€a = e ( a ,∇ ) . 22. Найти оператор, эрмитово-сопряженный произведению операторов A€ и B€. 23. Показать эрмитовость операторов p€x , p€x2 , H€ . 24. Доказать эрмитовость оператора L€2 , если операторы L€x , L€y , L€z эрмитовы. 25. Доказать, что если операторы A€ коммутируют с оператором i

€2 €2 B€, то с ним коммутирует и оператор A = ∑ Ai .

[

]

26. Проверить правила коммутации L€x L€y = ihL€z . 27. Доказать, что оператор L€2 коммутирует с оператором кинетической энергии T€ .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

36 28. Найти собственные функции и собственные значения оператора d . dx 29. Найти собственные функции и собственные значения операd . dx 30. Найти собственные функции и собственные значения опера-

тора i

d . dx 31. Найти собственные функции и собственные значения опера-

тора x +

тора

d . dϕ

d2 для Ψ A = sin 3x . dx 2 33. Найти собственные значения и нормированные собственные

32. Найти собственные функции оператора −

2 € = −ih ∂ €2 = −h 2 ∂ L L и z функции операторов z . ∂ϕ ∂ϕ 2

34. Определить среднее значение механической величины, опи2 €2 = −h 2 ∂ L сываемой оператором z в состоянии Ψ (ϕ) = A sin 2 ϕ . ∂ϕ 2

Решения некоторых задач 1. Пусть операторы A€ и B€ - линейные, а Ψ = c1 Ψ1 + c 2 Ψ2 . В силу линейности операторов A€ и B€ A€Ψ = A€(c Ψ + c Ψ ) = A€(c Ψ ) + A€(c Ψ ) = c A€Ψ + c A€Ψ , 1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

B€Ψ = B€(c1 Ψ1 + c 2 Ψ2 ) = B€(c1 Ψ1 ) + B€(c 2 Ψ2 ) = c1 B€Ψ1 + c 2 B€Ψ2 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

37 Складывая правые и левые части равенств и приводя подобные, получим:

(A€ + B€)Ψ = (A€ + B€)(c Ψ + c Ψ ) = (A€ + B€)(c Ψ ) + (A€ + B€)(c Ψ ) = , = c (A€ + B€)Ψ + c (A€ + B€)Ψ что доказывает линейность оператора (A€ + B€) . Линейность опе1

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

2

ратора A€B€ доказывается подобным образом. d + x , это значит найти 2. Возвести в квадрат оператор A€ = dx результат последовательного действия двух таких операторов на функцию Ψ . 2

 d  dΨ  d  d d  + xΨ  =  + x  Ψ =  + x  ⋅  + x Ψ =  + x  dx dx dx dx dx         

(

)

d 2Ψ dΨ dΨ d 2Ψ dΨ 2 x x x + Ψ + + + Ψ = + 2x + 1+ x2 Ψ . 2 2 dx dx dx dx dx Таким образом =

(

)

d2 d A€2 = 2 + 2 x + 1 + x 2 . dx dx Задачи 3, 4 и 5 решаются аналогично. d d x−x = 1 , где 1 - единичный оператор. Для решения dx dx этой задачи следует воспользоваться результатами решения задачи 3. 6.

∂  ∂f (x, y, z ) 7.  , f (x, y , z ) = . ∂x  ∂x  8. [∆, x ] = 2

∂ . ∂x

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

38 9. Пусть L€M€ − M€L€ = 1 . Для определения коммутатора (*) L€M€ 2 − M€ 2 L€ надо так дополнить это выражение, чтобы при приведении подобных членов получился заданный коммутатор L€, M€ = 1 . При-

[ ]

бавим и вычтем из (*) произведение операторов M€L€M€ L€M€ 2 − M€ 2 L€ + M€L€M€ − M€L€M€ = L€M€ 2 − M€L€M€ + M€L€M€ − M€ 2 L€ =

(

)

(

)

(

) (

)

= L€M€ − M€L€ M€ + M€ L€M€ − M€L€ = 2M€ . 10. Нам дан оператор T€a осуществляющий перенос вдоль оси x на величину a , т.е. T€a Ψ (x ) = Ψ (x + a ) . Полагая a малым разложим Ψ ( x + a ) в ряд по степеням a . ∞ dΨ ( x ) a 2 d 2 Ψ ( x ) a n d n Ψ( x ) T€a Ψ (x ) = Ψ (x + a ) = Ψ (x ) + a + + ⋅ ⋅ ⋅ = . ∑ 2! dx 2 dx dx n n = 0 n! Откуда ∞ d a2 d 2 an d n T€a = 1 + a + + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ n . dx 2! dx 2 n = 0 n! dx Сравнивая полученное выражение с разложением

ex =1+ x +

∞ d x2 x3 xn + + ⋅⋅⋅ = ∑ , получим T€ = e a dx . a 2! 3! n = 0 n!

i r h i r 11. T€r = e (a ,∇ ) = e h (a , p€ ) , так как p€ = ∇ или ∇ = p€ . a i h

12. T€ = e α

α

d dϕ

.

13. Задача, обратная задаче 10, если положить a = k . 14. Да. 15. Оператор комплексного сопряжения A€ удовлетворяет равенству

A€Ψ = Ψ * . Помножим это равенство слева ещё раз на

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

39

( )

* уда A€, тогда A€ A€Ψ = A€Ψ = Ψ или A€2 Ψ = Ψ , откуда A€2 = 1 или A€ = A€−1 . Оператор комплексного сопряжения равен своему обратному оператору. С другой стороны

(A€Ψ ) = Ψ *

**

= Ψ или A€* Ψ * = Ψ .

Помножим последнее равенство слева на A€ , тогда A€A€* Ψ * = A€Ψ = Ψ * или A€A€* Ψ * = Ψ * , откуда A€A€* = 1 . Умножая последнее равенство слева на A€−1 , получим A€−1 A€A€* = A€−11 = A€−1 = A€ . С другой стороны, левая часть этого равенства есть A€−1 A€A€* = 1A€* = A€* . Окончательно мы можем записать A€* = A€ , т.е. оператор комплексного сопряжения есть самосопряженный оператор. Вопрос об эрмитовости оператора A€ можно решить используя равенство (3а) §1. 16. Для решения данной задачи докажем одну простую теорему: Произвольный линейный оператор L€ можно представить в виде суммы (1) L€ = M€ + iN€ , где M€ и N€ - эрмитовы операторы, т.е. M€ * = M€ , а N€ * = N€ . Допустим, что (1) возможно, тогда

( )

* L€* = M€ * + iN€ = M€ * − iN€* = M€ − iN€

или L€* = M€ − iN€ . Складывая (1) и (2) получим:

(2)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

40

(

)

€ 1 €* € L€ + L€* = 2M€ или M = 2 L + L .

(

)

1 * * Далее M€ = L€ + L€ = M€ , т.е. M€ - эрмитов оператор. 2 Вычитая (2) из (1), получим:

(

)

i N€ = L€* − L€ , 2 тогда

(

) (

)

i i N€* = − L€ − L€* = L€* − L€ = N€ - эрмитов оператор. 2 2 Таким образом, сумма произвольного линейного оператора L€ и его комплексно сопряженного оператора L€* есть эрмитов оператор: L€ + L€* = 2M€ . 17. Если операторы A€ и B€ - эрмитовы, то * * * * * * ∫ Ψ1 A€Ψ2 dx = ∫ Ψ2 A€ Ψ1 dx , а ∫ Ψ1 B€Ψ2 dx = ∫ Ψ2 B€ Ψ1 dx . (*) Складывая правые и левые части равенств (*), получим:

∫ Ψ1 (A€ + B€)Ψ2 dx = ∫ Ψ2 (A€ *

*

)

(

)

* + B€* Ψ1* dx = ∫ Ψ2 A€ + B€ Ψ1* dx ,

откуда следует эрмитовость оператора A€ + B€ . Для выяснения эрмитовости оператора A€B€ + B€A€ нам надо доказать справедливость равенства

∫ Ψ1 (A€B€ + B€A€)Ψ2 dx = ∫ Ψ2 (A€B€ + B€A€) Ψ1 dx . *

*

Итак

*

∫ Ψ1 (A€B€ + B€A€)Ψ2 dx = ∫ Ψ1 A€B€Ψ2 dx + ∫ Ψ1 B€A€Ψ2 dx . *

*

*

Рассмотрим первое слагаемое в правой части

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

41

∫ Ψ1 A€B€Ψ2 dx = ∫ Ψ1 A€(B€Ψ2 )dx = B€Ψ2 = Ψ3 = ∫ Ψ1* A€Ψ3 dx = ∫ Ψ3 A€* Ψ1* dx *

=

*

= A€* Ψ1* = Ψ4* = ∫ Ψ3 Ψ4* dx = ∫ Ψ4* Ψ3 dx = ∫ Ψ4* B€Ψ2 dx = = ∫ Ψ2 B€* Ψ4* dx = ∫ Ψ2 B€* A€* Ψ1* dx Рассуждая подобным образом, мы можем показать, что Ψ * B€A€Ψ dx = Ψ A€* B€* Ψ * dx .

∫

1

2

∫

2

1

Таким образом мы показали, что если L€1 = A€B€ и L€2 = B€A€ , то

( )

( )

* * L€*1 = A€B€ = B€* A€* , а L€*2 = B€A€ = A€* B€* . Тогда окончательно можно записать

∫ Ψ1 (A€B€ + B€A€)Ψ2 dx = ∫ Ψ2 (A€B€ + B€A€) Ψ1 dx , *

*

*

что доказывает эр-

митовость оператора A€B€ + B€A€ . ∂ 18. Для доказательства эрмитовости оператора A€ = надо ∂x показать, что +∞

∫

Ψ1*

−∞

+∞ ∂Ψ2 ∂Ψ1* dx = ∫ Ψ2 dx . ∂x ∂x −∞

(*)

При этом мы должны полагать, что Ψ1* (± ∞ ) = Ψ2 (± ∞ ) = 0 . Интегрируя по частям левую часть (*), получим: +∞

∫ Ψ1

*

−∞

=

∂Ψ2 dΨ1* dx = Ψ1* = u , du = dx, dΨ2 = v, v = Ψ2 = ∂x dx

Ψ1* Ψ2

+∞ −∞

+∞

+∞ dΨ1*  dΨ1  − ∫ Ψ2 dx = ∫ Ψ2  −  dx . dx  dx  −∞ −∞ *

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

42 *

d d  Сравнивая с правой частью (*) получим   = − . dx  dx  ∂ Таким образом мы показали, что данный оператор A€ = ∂x не является эрмитовым. 19. Решается аналогично задаче 18. 20. Оператор, эрмитово сопряженный оператору T€ опредеa

лится из равенства (3) §1 * * * ∫ Ψ1 (x )T€a Ψ2 (x )dx = ∫ Ψ2 (x )T€2 Ψ1 (x )dx , которое можно переписать так: I = Ψ * (x )T€ Ψ (x )dx = Ψ * ( x )Ψ ( x + a )dx .

∫

1

a

∫

2

1

2

(1)

(2)

Сделаем замену переменной, положив x ′ = x + a . Так как a мало, а интегрирование ведётся по всему пространству, замена переменной не скажется на пределах интегрирования. I = ∫ Ψ1* (x ′ − a )Ψ2 (x ′)dx′ .

(3)

Очевидно, что Ψ1 (x − a ) = T€−a Ψ1 (x ) и тогда правая часть (2) может быть записана как

[

]

* I = ∫ Ψ2 ( x ) T€−a Ψ1 (x ) dx .

Сравнивая с правой частью (1) получим T€a* = T€− a . 21. См. решение предыдущей задачи.. 22. Решается способом, изложенным в задаче 17. 23. 1. Для выяснения вопроса об эрмитовости оператора p€x можно воспользоваться результатами решения задачи 19. 2. Для выяснения вопроса об эрмитовости оператора p€x2 можно воспользоваться результатами решения задачи 17, поло-

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

43 жив A€ = B€ = p€x . 3. Оператор Гамильтона есть функция от эрмитова оператора −

h2 ∆ и оператора U€(x, y , z ) , который тоже эрмитов, в силу 2m

вещественности функции U (x, y, z ) . Оператор Гамильтона, таким образом, является эрмитовым оператором. 24. Если операторы L€x , L€y , L€z эрмитовы, то и оператор L€2 эрмитов, так как является функцией эрмитовых операторов. 25. Пусть A€ B€ − B€A€ = 0 , тогда i

i

(

)

( = ∑ [A€ (A€ B€ − B€A€ ) + (A€ B€ − B€A€ )A€ ] = 0 .

)

A€2 B€ − B€A€2 = ∑ A€i2 B€ − B€A€i2 = ∑ A€i2 B€ − B€A€i2 + A€i B€A€i − A€i B€A€i = i

i

i

i

€2

i

i

€ €2

Таким образом A B€ − BA = 0 и операторы A€2 и B€ коммутируют. 26. См. §5. 2

h ∆ зависит толь27. Оператор кинетической энергии T€ = − 2m ко от радиус вектора r , оператор квадрата момента импульса (в сферических координатах) L€2 = −h 2 ∆ зависит только от углов θ ,ϕ

θ, ϕ и поэтому не действует на функции зависящие от r . В силу

[

]

сказанного выше T€, L€2 = 0 . 28. Составим уравнение для собственных функций dΨ dΨ = λΨ или = λdx . dx Ψ Решение этого уравнения есть ln Ψ = λx или Ψ = e λx . Так как при x → ±∞ Ψ должна быть конечной, необходимо положить λ = im . Окончательно, собственные функции операто-

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

44 ∂ есть Ψ = e imx , собственные значения данного оператора ра A€ = ∂x есть λ = im , где m - любое вещественное число . 29. Решается аналогично задаче 28. 30. Составим уравнения для собственных функций A€Ψ = λΨ . d   dΨ  x + Ψ = λΨ или xΨ = = λΨ , dx  dx  которое можно привести к виду dΨ = (λ − x )dx . Ψ Интегрируя последнее равенство, получим λx −

x2 2

. Ψ = Ce Очевидно, что Ψ удовлетворяет требованиям конечности, непрерывности и однозначности при любом λ , как вещественном, так и комплексном. Спектр собственных значений данного оператора непрерывный. 31. Ψ = Ce λϕ . В силу однозначности собственных функций надо потребовать Ψ (ϕ) = Ψ (ϕ + 2π ) .

Тогда Ce λϕ = Ce λ (ϕ+2 π ) = Ce λϕ e 2 λπ , откуда e 2 λπ = 1 . Это возможно, если положить λ = im , где m = 0,±1,±2,... Таким образом, собственные функции данного оператора есть Ψ = Ce im , а собственные значения λ = im , где m = 0,±1,±2,... 33. Решение данной задачи подробно изложено в [2] стр. 111-115. 34. Данную задачу следует решать используя [7] по аналогии с примером, изложенным на стр. 19 данного пособия. Мно2π

житель A находится из условия нормировки

∫Ψ

2

dϕ = 1 .

0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

45 2π

2π

sin 2ϕ sin 4ϕ  3π 2 2 6π ∫ A sin ϕdϕ = A  8 − 4 + 32  = A 8 = 4 A = 1, 0 0 2

2  3ϕ

4

2 откуда A =

L€2z =

2π

4 . 3π

(

)

0

0

=

2π

2 2 2 2 2 2 ∫ A sin ϕL€z A sin ϕ dϕ = − A h ∫ sin ϕ

(

∂2 sin 2 ϕdϕ = 2 ∂ϕ

)

∂2 ∂ sin 2 ϕ = sin 2ϕ = −2 cos 2ϕ = −2 1 − 2 sin 2 ϕ = 2 ∂ϕ ∂ϕ 2π

2π

0

0

= 2 A 2 h 2 ∫ sin 2 ϕdϕ − 4 A2 h 2 ∫ sin 4 ϕdϕ = 2π

2π

ϕ sin 2ϕ  sin 2ϕ sin 4ϕ  2 2  3ϕ = 2A h  − +  = −4 A h  −  = 4 0 4 32  0 2  8 2

2

= 2 A2 h 2

2π 3 ⋅ 2π 3  A2 h 2 π 2 2  = h . − 4 A2 h 2 = 2 A2 h 2  π − π  = 2 8 4  2 3 

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

46

Литература 1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1970. 2. Левич В.Г., Вдовин Ю.А., Мямлин В.А. Курс теоретической физики. Том II. Квантовая механика. Квантовая статистика и физическая кинетика. М.: Наука, 1971. 3. Ферми Э. Квантовая механика. М.: Мир, 1965. 4. Воробьёв Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1970. 5. Кирсанов А.А. Элементы теории симметрии. Псков, ПГПИ, 2000. 6. Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф., Федорченко А.М. Сборник задач по теоретической физике. М.: Высшая школа, 1972. 7. Двайт Г.В. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1964.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

47

Содержание §1. Линейные самосопряжённые операторы .................................... 3 §2. Действия над операторами ......................................................... 5 §3. Средние значения динамических переменных. Изображение динамических переменных операторами ..... 13 §4. Дисперсия физической величины. Условие, при котором физическая величина имеет определённое значение ........... 21 §5. Условие, при котором две динамические переменные могут иметь определённые значения (условие измеримости динамических величин) ................................. 26 §6. Операторы основных динамических переменных и соотношения коммутативности между ними .................... 29 Задачи для самостоятельного решения ................................ 34

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

48

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (Учебно-методическое пособие). Автор-составитель А.А. Кирсанов.

Издательская лицензия ИД №06024 от 09.10.2001 года. Подписано в печать 06.02.2002 г. Формат 60х90/16. Объем издания в усл.печ.л. 3,0. Тираж 100 экз. Заказ 57. Псковский государственный педагогический институт им. С.М.Кирова, 180760, г. Псков, пл. Ленина, 2. Редакционно-издательский отдел ПГПИ им. С.М.Кирова, 180760, г. Псков, ул. Советская, 21, телефон 2-86-18. Отпечатано в типографии газеты «Товары и цены»

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com