Математические модели на основе процесса размножения и гибели объектов

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ПРОЦЕССА РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ ОБЪЕКТОВ Б. П. ЗЕЛЕНЦОВ Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Новосибирск

ВВЕДЕНИЕ

MATHEMATICAL MODELS BASED ON REPRODUCTION AND DEATH PROCESSES B. P. ZELENTSOV

The processes of reproduction and death are discussed, and the formulas to calculate the steady state probabilities are given, which are then applied to the modeling of two queuing processes: without a waiting room and with the infinite waiting room. Formulas describing some of the parameters are derived.

© Зеленцов Б.П., 2001

Рассмотрены процессы размножения и гибели и приведены формулы для вычисления предельных вероятностей, которые применены для описания систем массового обслуживания с потерями и ожиданием на базе простейшего потока вызовов. Получены формулы для некоторых характеристик.

92

www.issep.rssi.ru

Процесс размножения и гибели – это случайный процесс со счетным (конечным или бесконечным) множеством состояний, протекающий в дискретном или непрерывном времени. Он состоит в том, что некоторая система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое, причем переходы между состояниями происходят скачком, когда наступают некоторые события. Как правило, эти события бывают двух типов: одно из них условно называют рождением некоторого объекта, а второе – гибелью этого объекта. С помощью процессов размножения и гибели составляются математические модели управления различными процессами, а также модели многих явлений в биологии, физике и других областях. Так, с помощью этой теории могут быть изучены процессы возникновения случайных мутаций, процессы сохранения и распространения мутационного гена, размножение и отмирание живых организмов, случайные блуждания частиц, описание радиоактивных превращений, обслуживание абонентов телефонной станции, организация ремонта работающего оборудования, вырождение и выживание популяций организмов [1]. Термин “схема размножения и гибели” заимствован из биологических задач, где состояние популяции определяется числом живых объектов. Представление о характере возникающих задач могут дать следующие примеры. 1. В цепной ядерной реакции при столкновении нейтрона с атомным ядром происходит расщепление ядра. В результате появляются различные частицы, в том числе и случайное число новых нейтронов. Поведение потомства нейтронов во времени в зависимости от условий может быть различным: оно может неограниченно возрастать (что ведет к ядерному взрыву), находиться в фиксированных пределах (управляемая ядерная реакция) или быть равным нулю (реакции нет). Таким образом, характер реакции зависит от рождений и гибели нейтронов [2].

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА рождение или гибель только одного объекта. Число объектов в системе может быть конечным или бесконечным. Математическая модель не зависит от природы объектов и их физических свойств. Процесс (или схема) размножения и гибели описывается графом состояний, приведенным на рис. 1. Число состояний равно m + 1. Из каждого состояния wk , k = 1, 2, …, m − 1, возможны переходы только в соседние состояния w k – 1 и w k + 1 . Переход w k wk + 1 (k = 0, 1, 2, …, m − 1) означает рождение некоторого объекта, а переход w k w k – 1 (k = 1, 2, …, m) – его гибель. Таким образом, индекс k в обозначении wk показывает число объектов, находящихся в системе. С помощью математических моделей такого процесса находят характеристики, которые позволяют производить его анализ, сравнивать между собой различные процессы, выбирать и конструировать лучшие варианты и даже управлять такими процессами. Мы рассмотрим модель на основе теории марковских процессов.

2. При совместном обитании зайцев и волков в некоторой местности чрезмерное увеличение численности зайцев приводит к ускоренному росту популяции волков, но заметное увеличение численности волков ведет к снижению численности зайцев. В результате происходит взаимосвязанный колебательный процесс изменения популяции зайцев и волков [2]. 3. В морской порт прибывают суда со случайными отклонениями от графика. Их разгрузка-погрузка также производится с некоторыми отклонениями от графика. Прибытие судна является рождением объекта, а завершение разгрузочно-погрузочных работ – гибелью объекта. Очевидно, что математическая модель этого процесса позволит рационально распорядиться площадками и оборудованием порта [3]. 4. В техническом устройстве (или системе) в случайные моменты времени появляются отказы, в результате чего ухудшается или теряется его работоспособность. После появления (рождения) отказа происходят его поиск и устранение (ремонт), в результате чего отказ гибнет. Как рождение, так и гибель отказа происходят в случайный момент времени. На основе математической модели этого процесса организуются ремонтно-восстановительные работы и обосновывается необходимый резерв оборудования. 5. В последние три года крупные коллективы ученых заняты определением порядка нуклеотидов в геномах многих организмов, включая человека (см.: СОЖ, 1998. № 12. С. 4–11; 2000. Т. 6, № 1. С. 15–22). Сначала анализируют последовательности произвольно выбранных отрезков ДНК организмов, а затем стараются их сопоставить, чтобы восстановить все более протяженные участки. Для этого нужно установить совпадение последовательностей концов уже изученных участков и наращивать длину изученных участков. Для установления совпадения последовательностей используют “цепи Маркова” и мощнейшие компьютерные программы, запоминающие последовательности миллионов нуклеотидов и сравнивающих их совпадения с вновь секвенированными (от англ. sequence – последовательность) последовательностями.

ОПИСАНИЕ С ПОМОЩЬЮ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА Марковский процесс относится к случайным процессам с дискретными состояниями и непрерывным временем, то есть нахождение в состояниях и переходы между ними происходят в непрерывном времени. Переход из состояния wi в состояние wj за достаточно малый промежуток времени ∆t описывается вероятностью pij(∆t)= λij(∆t) + o(∆t), где λij – параметр, называемый интенсивностью перехода wi wj в непрерывном времени, o(∆t) – бесконечно малая величина более высокого порядка малости по сравнению с ∆t при ∆t 0. Если интенсивности не зависят от времени, то процесс будет однородным, а вероятности pij(∆t) будут зависеть только от wi , wj и длины ∆t и не будут зависеть от положения промежутка ∆t на оси времени. Для однородного марковского процесса время нахождения в каждом состоянии распределено по показательному закону. (Более детально с этими понятиями можно ознакомиться в приведенных литературных источниках.) Будем полагать, что время нахождения в каждом состоянии распределено по показательному закону, а переходы между состояниями описываются постоянными

СХЕМА РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ Перейдем к формальному описанию процесса размножения и гибели в непрерывном времени. Будем полагать, что в каждый момент времени может произойти λ0 w0

µ1

λ1 w1

µ2

λ2 w2

µ3

λ3 w3

λm – 1 µ4

µm

wm

Рис. 1. Граф состояний схемы размножения и гибели

З Е Л Е Н Ц О В Б . П . М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Е М О Д Е Л И Н А О С Н О В Е П Р О Ц Е С С А РА З М Н О Ж Е Н И Я И Г И Б Е Л И О Б Ъ Е К Т О В

93

МАТЕМАТИКА во времени интенсивностями. В этом случае для составления математической модели процесса размножения и гибели может быть применена теория однородных марковских процессов. Мы ограничимся рассмотрением только стационарного (установившегося) режима, который описывается предельными вероятностями и некоторыми обобщенными характеристиками на основе этих вероятностей. Формулы для предельных вероятностей процесса размножения и гибели на базе однородных марковских процессов известны (см., например, [3, 4]): m

π0 = 1

1+

i–1

∑∏

k–1

ρj ,

πk = π0

i=1j=0

k = 1, 2, …, m;

∏ρ , j

j=0

(1)

λj -, ρ j = --------µj + 1

где ρj – параметр, равный отношению интенсивности перехода wj wj + 1 к интенсивности перехода wj + 1 wj . Можно сформулировать правило вычисления предельной вероятности состояния wk (k = 1, 2, …, m): вероятность состояния πk равна произведению параметров ρj для всех переходов левее состояния wk , умноженному на вероятность крайнего левого состояния π0 . Следует отметить, что при µk = 0 имеет место процесс чистого размножения. Одно из наиболее разработанных приложений схемы размножения и гибели – это ее использование для моделирования систем массового обслуживания. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Системы массового обслуживания (СМО) предназначены для удовлетворения массового спроса на определенный вид потребностей, при этом массовый спрос осуществляется благодаря потоку некоторых событий, называемых вызовами, требованиями, заявками и др. Такие системы можно наблюдать практически во всех областях деятельности человека [3–5]. Мы рассмотрим простые и типичные СМО с акцентом на их смысловое содержание и математическое описание. СМО состоит из совокупности линий, на которые поступает поток вызовов, обслуживаемых по некоторому алгоритму. Природа вызовов может быть самой разнообразной (заявки, требования, телефонные вызовы, покупатели, самолеты на посадку и т.д.). После наступления такого вызова возникает необходимость в его обслуживании. Обслуживание вызова – это операция по удовлетворению потребности, которую несет с собой вызов. Операция обслуживания реализуется линией обслуживания (каналом, прибором, элементом).

94

Если линия выполняет эту операцию, то она занята, а если не выполняет, то свободна. СМО может быть однолинейной или многолинейной. Предметом теории массового обслуживания является математическое описание процесса функционирования СМО, при этом абстрагируются от физической природы вызовов и вида обслуживания. Мы будем изучать только моменты времени поступления вызовов и моменты завершения обслуживания. Таким образом, эта теория занимается не конкретными СМО, а их математическими моделями. Математическая модель позволяет установить зависимость между обобщенными характеристиками СМО и исходными характеристиками этой системы. Обобщенными характеристиками СМО являются характеристики функционирования и эффективности (качество обслуживания вызовов, пропускная способность системы, загруженность линий и др.). К исходным характеристикам СМО относятся характеристики потока вызовов, характеристики обслуживания и порядок обслуживания, число линий. Теория массового обслуживания позволяет изучать явления и обоснованно проектировать новые и совершенствовать существующие СМО. Основной особенностью СМО с точки зрения их моделирования является то обстоятельство, что их функционирование носит случайный характер, так как поток вызовов является случайным, время обслуживания вызовов также случайно. Поэтому случайным является также и число занятых линий в произвольный момент времени. Поэтому процесс изменения числа занятых линий во времени является также случайным. А это значит, что в СМО бывают сгущения и разрежения (очереди, простои линий, отказы в обслуживании и др.). И тем не менее СМО поддаются математическому описанию. В результате получают обобщенные вероятностные характеристики СМО. В качестве замечания хотелось бы отметить, что если бы поток вызовов был детерминированным (вызовы поступали бы в строго определенные моменты времени) и время обслуживания было бы также детерминированным, то расчет такой системы был бы простым и необходимости в специальной теории не было бы. Теория массового обслуживания появилась в связи с задачами организации телефонной связи. Ее родоначальником явился датский инженер А.К. Эрланг (1878–1929), первые публикации которого относятся к 1920-м годам. В 1940–1950-х годах теория получила развитие в работах К. Пальма (Швеция), Ф. Поллачека (Франция), А.Я. Хинчина и Б.В. Гнеденко (СССР). Термин “теория массового обслуживания” ввел А.Я. Хинчин. На английском языке используется термин “queuing theory”, в прямом переводе “теория очередей”. По существу теория массового обслуживания – это ветвь

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА kµ, так как в состоянии wk обслуживается одновременно k вызовов. Это обстоятельство приводит к завершению обслуживания одного из вызовов (с интенсивностью kµ), при этом одна линия освобождается, то есть число занятых линий уменьшается на 1. Таким образом, в данном случае занятие линии рассматривается как рождение вызова, а освобождение линии (завершение обслуживания вызова) – как гибель вызова. Рассмотрим сначала однолинейную систему (m = 1). Число состояний такой системы равно двум. Предельные вероятности состояний, определенные по (1), будут

теории вероятностей, а точнее, ее раздела “случайные процессы”. Мы рассмотрим простые СМО на основе схемы размножения и гибели, при этом событие, означающее рождение объекта, будем называть вызовом, а его гибель – завершением обслуживания. Принимается, что один вызов обслуживается только одной линией, одна линия обслуживает один вызов; число линий равно m. Время обслуживания одного вызова является случайным и распределено по показательному закону с параметром µ и средним временем обслуживания 1/ µ. СМО является полнодоступной, то есть каждая линия доступна для любого вызова. Это значит, что любой поступивший вызов может быть обслужен любой из свободных линий. Из этого допущения следует, что вероятность занятости фиксированного числа линий зависит только от этого числа и не зависит от того, какие линии заняты. Принято также, что поток вызовов является простейшим. Параметры m и µ характеризуют производительность системы: чем больше m и чем больше µ, тем выше производительность системы, то есть тем больше вызовов может быть обслужено.

µ 1 π 0 = ------------- = ------------, λ+µ 1+ρ

где ρ = λ/µ – удобный параметр, равный отношению соответствующих интенсивностей. Вероятность потерь pпот , или вероятность того, что произвольный вызов, поступивший в систему, будет потерян, то есть получит отказ в обслуживании ввиду отсутствия свободной линии, а также среднее число занятых линий mср находят по формулам λ ρ p пот = π 1 = ------------- = ------------, λ+µ 1+ρ

СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ

λ µ

λ w1

m

π0 = 1

∑ i=0

ρ π k = π 0 ----- , k!

ρ ---- , i! i

k

k = 1, 2, …, m.

Эти формулы для предельных вероятностей числа занятых линий носят название формул Эрланга. Видно, что предельные вероятности зависят от параметра ρ и числа линий m. Предельная вероятность состояния имеет следующий смысл: πk – это средняя доля времени на интервале бесконечно большой длины, в течение которого занято ровно k линий. Вероятность потерь и среднее число занятых линий: ρ p пот = π m = ------ π 0 , m! m

m

m ср =

ρ

m

- π  = ρ(1 – p ∑ iπ = ρ  1 – ----m!  0

i

пот

).

i=0

Таким образом, потери и загруженность линий зависят от параметра ρ и числа линий m. Интересно λ

w2 2µ

λ ρ m ср = π 1 = ------------- = ------------. λ+µ 1+ρ

Перейдем теперь к многолинейной СМО с потерями. Предельные вероятности состояний

Итак, в систему, состоящую из m линий, поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ, при этом каждый принятый вызов обслуживается с интенсивностью µ. При поступлении очередного вызова могут быть две ситуации: 1) хотя бы одна линия свободна, тогда вызов принимается и обслуживается свободной линией; 2) все линии заняты обслуживанием, тогда вызов получает отказ и покидает систему, то есть теряется (отсюда и название система с потерями). Таким образом, при отсутствии свободной линии вызов покидает систему (теряется), не оказывая на нее никакого влияния. На рис. 2 приведен граф состояний СМО с потерями. Состояние системы wk , k = 0, 1, 2, …, m, определяется числом занятых линий k, которое равно числу вызовов, обслуживаемых системой. Переход вправо (всегда с интенсивностью λ при простейшем потоке) означает поступление очередного вызова и увеличение числа занятых линий на одну. Переход влево означает завершение обслуживания одной линии и ее освобождение. При этом интенсивность перехода зависит от состояния: переход w k w k – 1 происходит с интенсивностью

w0

λ ρ π 1 = ------------- = ------------, λ+µ 1+ρ

λ

λ

w3 3µ

wm 4µ

mµ

Рис. 2. Граф состояний СМО с потерями

З Е Л Е Н Ц О В Б . П . М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Е М О Д Е Л И Н А О С Н О В Е П Р О Ц Е С С А РА З М Н О Ж Е Н И Я И Г И Б Е Л И О Б Ъ Е К Т О В

95

МАТЕМАТИКА отметить, что при возрастании ρ потери растут, а при убывании (ρ 0) потери уменьшаются (pпот 0).

Для случая однолинейной системы (m = 1) предельные вероятности состояний определяются по формуле πk = ρk(1 − ρ),

СИСТЕМЫ С ОЖИДАНИЕМ Имеется система с m линиями обслуживания. При поступлении очередного вызова в систему с ожиданием могут быть две ситуации в зависимости от состояния системы: 1) хотя бы одна линия свободна, вызов принимается и обслуживается свободной линией; 2) все линии заняты, вызов не покидает систему, он становится в очередь и ожидает, пока не освободится какая-либо линия, при освобождении линии она берет вызов из очереди. Итак, при отсутствии свободной линии вызов поступает в очередь. После освобождения линии он обслуживается, а после обслуживания вызов освобождает линию и покидает систему. Таким образом, главная особенность системы с ожиданием состоит в том, что необслуженные вызовы образуют очередь и ждут освобождения линий. Очередь образуется из вызовов, ожидающих обслуживания в момент, когда все линии заняты. При освобождении линии вызов на обслуживание берется из очереди. Длина очереди является случайной и может быть как угодно велика. Отличие данной системы от системы с потерями заключается в том, что потерь в прежнем виде нет. Обслуживание вызова, поставленного в очередь, только задерживается.

Вероятность задержки обслуживания и среднее число занятых линий соответственно будут pзад = 1 − π0 = ρ,

m

π0 = 1

1+

∑ i=1

λ w0

µ

λ

λ

w1

∞

ρ

∑  ---m-

mµ

l

l=1

l

.

l=1

ρ = -------------. m–ρ

π0 = 1

ρ

ρ

i

m

ρ

- ------------∑ ---i!- + ----m! m – ρ

,

i=0

ρ π k = ----- π 0 , k! k

k = 1, 2, …, m;

ρ ρ k–m π0 , π k = ------  ---- m!  m m

k = m + 1, m + 2, …

Вероятность задержки обслуживания и среднее число занятых линий: ρ m p зад = π m + π m + 1 + π m + 2 + … = ------ -------------π 0 , m! m – ρ m

∞

m ср =

∑ iπ = ρ. i

i=0

Интересно отметить, что при условии ρ < m или λ < < mµ рассмотренный выше геометрический ряд сходится. λ

λ

λ

wm + 1 mµ

λ wm + 2

mµ

Рис. 3. Граф состояний СМО с ожиданием

96

ρ

∑  ---m-

С учетом этого формулы для предельных вероятностей примут вид

wm 2µ

m ∞

i ρ ρ ---- + -----i! m!

Видно, что под знаком второй суммы находится геометрический ряд со знаменателем q = ρ/m. Найдем сумму этого ряда при условии, что q < 1 или ρ < m:

m

Характеристики СМО с ожиданием являются более разнообразными, чем характеристики СМО с потерями. Ограничимся рассмотрением вероятностей состояний, вероятности задержки обслуживания и среднего числа занятых линий.

mср = 1 − π0 = ρ.

Перейдем к многолинейной СМО с ожиданием, то есть m > 1. Состояния системы могут быть двух видов: 1) состояния, в которых очереди нет, 0 # k # m; 2) состояния, в которых очередь есть, k > m. Прежде всего предельная вероятность состояния w0 вычисляется по формуле

Состояние системы удобно обозначать числом вызовов, находящихся в системе. На рис. 3 показан граф состояний системы для обслуживания простейшего потока. Множество состояний является счетным (число возможных состояний бесконечно, так как очередь может быть бесконечной). Интенсивности переходов w k w k + 1 определяются параметром простейшего потока λ и поэтому не зависят от состояния. Интенсивности переходов wk wk − 1 зависят от состояния: 1) при k # m очереди нет, все вызовы обслуживаются, поэтому µk = kµ; 2) при k > m или k = m + l, l > 0, обслуживается m вызовов, а l вызовов (l = k − m) находятся в очереди, поэтому µk = mµ.

k = 0, 1, 2, …

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1

mµ

mµ

МАТЕМАТИКА В противном случае он расходится. Условие сходимости ряда λ < mµ имеет следующий смысл. Число mµ определяет наибольшую производительность системы. Если λ < mµ, то система справляется с обслуживанием, если же λ $ mµ, то система не справляется с обслуживанием, при этом длина очереди неограниченно возрастает, предельные вероятности не существуют. Из проведенных рассуждений следует, что СМО с потерями может обслужить любой входящий поток, при этом чем больше интенсивность потока, тем больше потери. А система с ожиданием может обслужить поток ограниченной мощности, для которого обязательно должно выполняться условие λ < mµ, так как при λ $ mµ очередь бесконечно растет. Система с ожиданием является более сложной по сравнению с системой с потерями, так как она требует создания бункера с неограниченной емкостью для создания очереди. Наличие такого бункера объясняет независимость среднего числа занятых линий от количества линий в системе. ПРИМЕР Пусть СМО состоит из трех линий и обслуживает простейший поток с интенсивностью λ = 4 1/ч. Интенсивность обслуживания µ = 2 1/ч. Рассмотрим оба типа СМО. 1. Для СМО с потерями получаем следующие характеристики: π0 = 3/19 = 0,158; pпот = 4/19 = 0,211; mср = = 30/19 = 1,579. 2. Для СМО с ожиданием условие существования установившегося режима выполняется (ρ = 2, ρ < m), поэтому предельные вероятности состояний существуют. Характеристики системы: π0 = 1/9 = 0,111; pзад = = 4/9 = 0,444; mср = 2. Сравнение полученных результатов показывает, что вероятность задержки вызова в СМО с ожиданием в два раза превышает вероятность потерь в другой системе, но при этом линии используются более эффективно: в среднем заняты две линии из трех, в то время как в СМО с потерями в среднем занято около половины линий. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Итак, мы рассмотрели сущность и математическую модель процесса размножения и гибели и на ее основе – модели двух базовых типов СМО: с потерями и с ожи-

данием. Такие системы в чистом виде на практике встречаются редко. Чаще бывают смешанные (комбинированные) системы. Математические модели смешанных СМО являются более сложными, а числовые характеристики – более разнообразными по сравнению с чистыми системами. При более широкой постановке задачи на события “рождение” и “гибель” объекта могут накладываться другие события и процессы. В результате граф состояний усложняется, например, он может иметь ветвящуюся структуру, где расширены возможности переходов между состояниями. Так возникает актуальная проблема моделирования систем с произвольным множеством состояний и другими предположениями о законах распределения случайных величин, отличных от показательного. Для составления математических моделей таких систем используются различные аналитические методы: логико-вероятностные, методы теории графов, методы, основанные на составлении и решении дифференциальных уравнений, метод производящих функций для решения системы дифференциальных уравнений, методы математического программирования, теория марковских и полумарковских процессов, матричные методы и др. ЛИТЕРАТУРА 1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 1. 528 с.; Т. 2. 738 с. 2. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1982. 160 с. 3. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высш. шк., 1982. 256 с. 4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1991. 384 с. 5. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.

Рецензент статьи А.П. Маркеев *** Борис Павлович Зеленцов, доктор технических наук, профессор Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики. Область научных интересов – математическое моделирование сложных вероятностных систем. Читает курс высшей математики, в том числе на английском и немецком языках. Автор около 200 научных публикаций, изобретений и учебных пособий, включая три монографии.

З Е Л Е Н Ц О В Б . П . М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Е М О Д Е Л И Н А О С Н О В Е П Р О Ц Е С С А РА З М Н О Ж Е Н И Я И Г И Б Е Л И О Б Ъ Е К Т О В

97