Ф е де рал ь ное аг е нт с т во по образованию В ороне ж с к ий г ос ударс т ве нны й униве рс ит е т
М АТЕМ АТИКА Ч ис...
7 downloads
200 Views
263KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ф е де рал ь ное аг е нт с т во по образованию В ороне ж с к ий г ос ударс т ве нны й униве рс ит е т
М АТЕМ АТИКА Ч ис л овы е ряды . Ф унк ционал ь ны е ряды (с борник задач) Уче бно-ме т одиче с к ое пос обие дл я с т уде нт ов Cп ециа л ьно с т и: 020804 – гео эко л о гия, 020304 – гидро гео ло гия иинж енерна я гео л о гия
В ороне ж 2005
2
Ут ве рж де но научно-ме т одиче с к им с ове т ом мат е мат иче с к ог о фак ул ь т е т а 2 с е нт ября 2005 г ода П рот ок ол № 1
Сос т авит е л и: Савче нк о Ю .Б., Тк аче ваС.А.
Уче бно-ме т одиче с к ое пос обие подг от овл е но нак афе дре уравне ний в час т ны хпроизводны х и т е ории ве роят нос т е й мат е мат иче с к ог о фак ул ь т е т а В ороне ж с к ог о г ос ударс т ве нног о униве рс ит е т а Ре к оме ндуе т с я дл я с т уде нт ов 2 к урс а дне вног о от дел е ния г е ол ог ичес к ог о фак ул ь т е т а, обучаю щ ихс я по с пе циал ь нос т ям: г е оэ к ол ог ия, г идрог е ол ог ия и инж е не рная г идрог е ол ог ия.
3
В В ЕД ЕН ИЕ У ч ебно-м етодич ес к ое п ос обие нап ис ано в с оот вет с т вии с дейс т вую щ ей п рог рам м ой к урс а « М ат ем ат ик а» дляс т удентов г еолог ич ес к ог о фак ульт ет а, с одержит к рат к ие т еорет ич ес к ие с ведения и п одробное решение т ип ич ных п рим еров п оразделу « Ч ис ловые ряды. Ф унк циональные ряды». 1. Ч ИСЛ О В Ы Е РЯ Д Ы 1.1. П о няти е чи с л о в о го ряда
П ус т ь дана ч ис ловаяп ос ледоват ельнос т ь a1 , a2 , a3 ,..., an ,... В ыра ж ение вида ∞
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑ an
(1)
n =1
называет с ячис ло вымрядо мили п рос т орядо м. Ч ис ла a1 , a2 , a3 ,..., an ,... называю т ч ленам и ряда, ч лен an с п роизвольным ном ером – о бщ им чл ено м ряда . Сум м ы к онеч ног о ч ис ла ч ленов ряда
S1 = a1 ; S 2 = a1 + a 2 ; S 3 = a1 + a 2 + a3 ;...; S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n ; называю т с яча с т ичнымис умма миряда (1). Так к ак ч ис ло ч ленов ряда бес к онеч но, то ч ас т ич ные с ум м ы образую т бес к онеч ную п ос ледовательнос т ь ч ас тич ных с ум м : S 1 , S 2 , S 3 ,..., S n ... . (2) Ряд (1) называетс я с хо дящ имс я, ес ли п ос ледоват ельнос т ь ч ас тич ных с ум м (2) с ходит с я к к ак ом у – нибудь ч ис лу S , к от орое в эт ом с луч ае называет с яс уммо йряда (1) ∞
S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... или S = ∑ an
(3)
n =1
Ес ли же п ос ледовательнос т ь ч ас тич ных с ум м рас ходитс я, т о ряд (1) называет с яра с хо дящ имс я. Рас ходящ ийс яряд с ум м ы не им еет . ∞
П рим ер 1. Ис с ледоват ь на с ходим ос т ьряд Рас с м от рим с ум м у
Sn =
1 ∑ n(n + 1) . n =1
S n - п ервых n - ч ленов ряда
1 1 1 + + ... + . 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n(n + 1)
4
Слаг аем ые эт ой с ум м ы м ог ут быт ьп редс т авлены в виде
1 1 1 1 1 1 1 1 =1− , = − , = − ,… . 1⋅ 2 2 2⋅3 2 3 3⋅ 4 3 4 О ч евидно,
1 1 1 = − , ( n = 1, 2 ,3,...) n(n + 1) n n + 1
П оэт ом у
1 1 1 1 1 1 1 1 =1 − S n = 1 − + − + − + ... + − . n n ( n + 1 ) n ( n + 1 ) 2 2 3 3 4 1 1 lim S n = lim − =1. n→ ∞ n→ ∞ n n ( n + 1 )
П рим ер 2. У с т ановим , с ходит с яили рас ходит с яряд
1−1+1−1+ ...+ (−1)
n−1
∞
+ ... = ∑(−1)n−1 n=1
П ос ледоват ельнос т ь ег о ч ас тич ных с ум м им еет вид: S1 = 1, S 2 = 0 , S 3 = 1 , S 4 = 0 , … и, с ледоват ельно, не с ходит с яни к к ак ом у п ределу, п оэт ом у данный ряд рас ходит с я. П рим ер 3. Рас с м от рим ряд, с ос тавленный из ч ленов г еом етрич ес к ой п рог рес с ии
1, q , q 2 , q 3 ,..., q n −1 ,... : ∞
1 + q + q + q + ... + q ... = ∑qn−1 . 2
Ес ли
q ≠ 1,
n−1
3
n=1
т о, к ак извес т но,
Sn = 1+ q + q + q + ...+ q 2
3
n−1
qn−1 ⋅ q −1 = , q −1
или
1− qn 1 qn Sn = = − . 1− q 1− q 1− q 1. При | q |< 1 , Sn =
1 , 1− q
т .е. ряд с ходит с яи ег ос ум м а S =
1 . 1− q
2. При q = 1 п олуч аем ряд Следоват ельно, Sn = n и
1+1+1+ ...+1+ ....
lim S n = ∞ ,
n→ ∞
т.е. ряд п ри q = 1 рас ходит с я.
5
3. При
| q |> 1 ,
1 − qn lim Sn = = ∞ , т. е. ряд рас ходитс я. n→∞ 1− q
1.2. С в о йс тв а с хо дящ и хс я рядо в Ес ли в ряде (1) отброс ит ь к онеч ное ч ис ло п ервых ч ленов, нап рим ер mч ленов, топ олуч им ряд
am+1 + am+2 + am+3 + ...+ am+k + ...,
(3)
к от орый называет с яm-м о с т а т ко мряда (1). Те оре ма1.1. Ряд (3) с хо дит с я (ил ира с хо дит с я) о дно временно с рядо м (1). Т . е. на с хо димо с т ь ряда не влияет о т бра с ыва ние лю бо го ко нечно го чис ла чл ено в. О бознач им ч ерез rm - m- ый ос т аток ряда. Те оре ма2.1. Предел с уммы rm m- го о с т а т ка с хо дящ его с я ряда (1) п ри m → ∞ ра вен нул ю . Те оре ма3.1. Ес лиряд (1) с хо дит с я иего с умма ра вна S, ∞
т о иряд
∑ can , где c - неко т о ро е чис л о , т а кж
е с хо дит с я, иего с умма ра вна
n =1
cS .
∞
Те оре ма 4.1. Ес ли ряды с о о т вет с т венно ра вны S
∑ an n =1
∞
и
и σ , т о и ряд
с умма ра вна S + σ .
∑ bn n =1 ∞
с хо дят с я и их с уммы
∑ (an + bn ) n =1
с хо дит с я и его ∞
Те оре ма 5.1(не о бхо ди м ы й при знак с хо ди м о с ти ряда). Ес л и ряд с хо дит с я, т о его о бщ ий чл ен с т ремит с я к нул ю , т .е.
lim a n = 0 .
∑ an n =1
n→ ∞
О братное ут верждение неверно. П рим ер 4. Рас с м от рим ряд ∞ 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... = ∑ . 2 3 n n =1 n
(4)
Так ой ряд называет с я г арм онич ес к им рядом . О ч евидно, ч то для г арм онич ес к ог оряда вып олнено необходим ое ус ловие с ходим ос ти, так к ак
6
lim a n = lim
n→ ∞
n→ ∞
1 =0 n
Д ок ажем рас ходим ос т ь ряда (4). Предп оложим , ч то ряд с ходит с яи ег о с ум м а равна S . Тог да
lim ( S 2n − S n ) =
n →∞
1 1 1 1 + ... + > n⋅ = . n +1 2n 2n 2
Следоват ельно, г арм онич ес к ий ряд рас ходит с я. Дл я с хо димо с т иряда (1) нео бхо димо идо с т а т о чно , чт о бы для вс яко го п о ло ж ит ел ьно го чис ла ε > 0 мо ж но было п о до бра т ь т а ко е N, чт о п ри n>N ил ю бо мп о ло ж ит ельно м p вып о лнял о с ь нера венс т во
| an +1 + an + 2 + ... + an + p |< ε
(кри те ри й Ко ш и ). Конт рол ь ны е приме ры Н ап ис ат ь п рос т ейшую форм улу n-г оч лена ряда п оук азанным ч ленам : 1 1 1 1. 1 + + + + ... 3 5 7 1 1 1 1 2. + + + + ... 2 4 6 8 2 3 4 3. 1 + + + + ... 2 4 8 1 1 1 4. 1 + + + + ... 4 9 16 3 4 5 6 + + + + ... 5. 4 9 16 25 2 4 6 8 6. + + + + ... 5 8 11 14 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... 7. + + + + 2 6 12 16 20 30 42 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + + + ... 8. 1 + 1 ⋅ 4 1 ⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅10 9. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... 1 1 1 10. 1 + + 3 + + 5 + + ... 2 4 6 Н ап ис ат ь 4-5 п ервых ч лена ряда п оизвес т ном у общ ем у ч лену a n
7
3n − 2 ; 11. a n = 2 n +1
(−1) n n 2 + (−1) n 12. a n = ; 13. a n = ; 2n n2 nπ 2 + sin cos nπ 1 2 14. a n = ; 15. a n = . ( 3 + ( −1 ) n ) n n!
1.3. Ряды с не о три цате л ьны м и чл е нам и ∞
Те оре ма6.1. Дл я т о го чт о бы ряд
∑ an n =1
с нео т рица т ел ьнымичл ена ми
с хо дил с я, нео бхо димо и до с т а т о чно , чт о бы п о с л едо ва т ел ьно с т ь ча с т ичных с уммэт о го ряда был а о гра ничена . Д ос т ат очны е ус л овия с ходимос т и чис л овы х рядов. 0 ≤ an ≤ bn , на чина я с Те оре ма 7.1(при знак с рав не ни я). Ес л и неко т о ро го n = n0 , иряд ∞
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ... = ∑ bn
(5)
n =1
с хо дит с я, т о и ряд (1) т о ж е с хо дит с я. Ес л и ряд (1) ра с хо дит с я, т о ра с хо дит с я иряд (2). Те оре ма8.1(о бщ и й при знак с рав не ни я). Ес лиряд (1) п о л о ж ит ел ьный, а ряд (5) с т ро го п о л о ж ит ел ьный ис ущ ес т вует
lim
n→ ∞
an = c, bn
где c=const, c ≠ 0, т о из с хо димо с т иряда (5) с л едует с хо димо с т ь ряда (1),а из ра с хо димо с т и ряда (1) с л едует ра с хо димо с т ь ряда (5) . В ча с т но с т и, ес ли a n ~ bn , п ри n → ∞ , т о ряды с чл ена ми an и bn с хо дят с я ил ира с хо дят с я о дно временно . ∞
П рим ер 5. Ис с с ледоват ьна с ходим ос т ь ряд
1
∑ (n + 1) 2 . n=1
Сравниваем данный ряд с ос ходящ им с ярядом (с м . п рим ер 1). ∞
1 ∑ n(n + 1) . О ч евидно, n=1 1 1 < , (n=1,2,3,… ) 2 n(n + 1) (n + 1) О т с ю да, с ог лас нот еорем е 7, п олуч аем , ч т оданный ряд с ходит с я. П рим ер 6. Ряд
8
с ходит с я, т.к . здес ь
1 1 1 1 + + + ... + + ... 1⋅ 2 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 n ⋅ 2n an =
1 1 < , n ⋅ 2n 2n
∞
п рич ем ряд, с ос т авленный из элем ентов г еом етрич ес к ой п рог рес с ия знам енат ель к оторой q =
1
∑ 2n , n =1
1 , с ходит с я. 2
П рим ер 7. Ряд
1 1 1 1 + + + ... + + ... 3 5 2n −1
рас ходит с я, т.к .
1 1 1 lim ÷ = ≠ 0 , n→ ∞ 2n − 1 n 2 а ряд с общ им ч леном a n =
1 рас ходит с я. n
П рим ер 8. Ряд
1 1 1 1 + 2 + 3 + ...+ n + ... 2 −1 2 − 2 2 − 3 2 −n
с ходит с я, т. к .
1 1 lim n ÷ n =1≠ 0, n→ ∞ 2 − n 2 т .е.
1 1 1 ~ , а ря д с о бщ им ч лен о м с ходит с я. 2n − n 2n 2n ∞
Те оре ма 9.1(при знак Д ал ам бе ра).
Пус т ь да н ряд
п о ло ж ит ел ьнымичл ена ми ис ущ ес т вует п редел
∑ an n =1
an+1 = ρ . Т о гда n→∞ a n lim
а ) п ри ρ < 1 ряд с хо дит с я; б) п ри ρ > 1 ряд ра с хо дит с я. При ρ = 1 о с хо димо с т иряда ничего с ка за т ь нел ьзя.
с
9 ∞
П рим ер 9. Ряд
1
∑ n! n =1
с ходит с я, т ак к ак
an+1 n! 1 = lim = lim = 0 < 1. n→∞ a n→∞ ( n + 1 )! n→∞ n + 1 n lim
П оп ризнак у Д алам бера этот ряд с ходит с я. ∞
nn рас ходит с я, т ак к ак П рим ер 10. Ряд ∑ n ! n =1 an +1 ( n + 1 )n +1 n! n + 1 lim = lim = lim = e > 1. n n→∞ a n → ∞ ( n + 1 )!⋅n n → ∞ n n n
∞
Те оре ма 10.1(при знак Ко ш и ).
Ес л и ряд
∑ an n =1
п о л о ж ит ел ен
и
lim n an = q , т о п ри q < 1 эт о т ряд с хо дит с я, а п ри q > 1 ра с хо дит с я.
n→∞
При q = 1 о с хо димо с т иряда ничего с ка за т ь нел ьзя. ∞
Те оре ма11.1(и нте грал ьны й при знак Ко ш и ). Пус т ь чл ены ряда т а кие, чт о
∑ an n =1
a1 = f (1) , a2 = f (2) ,… , an = f (n) , где ф ункция f (x) п риx ≥ 1 ∞
неп рерывна , п о л о ж ит ел ьна и убыва ет . Т о гда ряд ∞
инт егра л
∑ an n =1
и нес о бс т венный
∫ f ( x)dx с хо дят с я ил ира с хо дят с я о дно временно . 1
∞
1 П рим ер 11. Рас с м отрим ряд ∑ α , ( α > 0 ). (6) n =1 n 1 Ф унк ция f ( x) = α , x ≥ 1 удовлет воряет ус ловиям теорем ы 11. Ч лены ряда x (6) равны
знач ениям
эт ой
функ ции
п ри x=1,2,3,… . К ак
извес тно,
∞
нес обс твенный интег рал
1 ∫ xα dx п ри α > 1 1
с хо дит с я, а
п ри α ≤ 1
ра с хо дит с я. Следоват ельно, данный ряд с ходит с яп ри α > 1 и рас ходит с яп ри α ≤ 1. Зам етим , ч топ ри α ≤ 0 т ак ие ряды так же рас ходятс я, т ак к ак их общ ий
10
ч лен не с трем итс як нулю п ри n → ∞ , т .е. нарушает с янеобходим ое ус ловие с ходим ос т и ряда (с м . т еорем у 5). Конт рол ь ны е приме ры Ис с ледоват ь с ходим ос ть рядов, п рим еняя п ризнак и с равнения (или необходим ый п ризнак ): 1. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... + ( −1 )n−1 + ... 2
3
n
2 1 2 1 2 1 2 + + + ... + + ... 2. 5 25 35 n5 3. 4. 5. 6. 7.
2 3 4 n +1 + + + ... + + ... 3 5 7 2n + 1 1 1 1 ( −1 )n+1 −3 +4 − ... + n+1 + ... 10 10 10 10 1 1 1 1 + + + ... + + ... 2 4 6 2n 1 1 1 1 + + + ... + + ... 11 21 31 10 n + 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... 1⋅ 2 2⋅3 3⋅ 4 n( n + 1 )
2 2 23 2n + + ... + + ... 8. 2 + 2 3 n 1 1 1 1 + + + ... + + ... 9. 1 + 2 n 3 4 1 1 1 1 + ... 10. 2 + 2 + 2 + ... + 2 5 8 ( 3n − 1 )2 3 3 1 3 2 3 n + + + ... + + ... 11. 2 3 2 4 3 (n + 1) n
Ис с ледоват ь с ходим ос т ь рядов (с п ом ощ ью Д алам бера): 1 3 5 2n − 1 + + + ... + + ... 12. 2 2 2 2 ( 2 )n 2 2⋅5 2⋅5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8...( 3n − 1 ) + + ... + + ... 13. + 1 1⋅ 5 1⋅ 5 ⋅ 9 1 ⋅ 5 ⋅ 9...( 4 n − 3 )
п ризнак ов К оши и
11
2 3 4 n +1 + ... 14. + + + ... + 1 3 5 2n − 1 2
3
n
3
5
2 n −1
1 2 3 n 15. + + ... + 2 5 8 2n − 1
+ ...
Ис с ледоват ь с ходим ос т ь знак оп оложит ельных рядов: 1 1 1 1. 1 + + + ... + + ... 2! 3! n! 1 1 1 1 + + + ... + + ... 2. 3 8 15 (n + 1) 2 − 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... 3. (3n − 2) ⋅ (3n + 1) 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅10
1 4 9 n2 + + + ... + + ... 4. 3 9 19 2n 2 + 1 1 2 3 n + + + ... + 2 + ... 5. 2 5 10 n +1 3 5 7 2n + 1 + 2 2 + 2 2 + ... + + ... 6. 2 2 2 ⋅3 3 ⋅4 4 ⋅5 ( n + 1) 2 ⋅ ( n + 2) 2 2
2
3 6 9 3n + + + ... + + ... 7. 4 7 10 (3n + 1)2 1
3
n
3 2 5 7 2 2n + 1 2 + ... 8. + + + ... + 7 10 4 3n + 1
n3 1 8 27 + + + ... + n + ... 9. e e 2 e3 e 10. 11. 12. 13. 14.
2 4 2 n −1 1 + 2 + 3 + ... + n + ... 2 3 2 +1 1! 2! 3! n! + 2 + 3 + ... + n + ... 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 4 2 n −1 1 + + + ... + + ... 1! 2! ( n − 1)! 1 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) + + + ... + + ... 4 4 ⋅ 8 4 ⋅ 8 ⋅12 4 ⋅ 8 ⋅12 ⋅ ... ⋅ 4n (1!) 2 ( 2!) 2 (3!) 2 (n!) 2 + + ... + + ... 2! 4! 6! (2 n)!
12
1000 ⋅1002 1000 ⋅1002 ⋅1004 1000 ⋅1002 ⋅1004...( 998 + 3n ) + + ... + + ... 1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7...( 3n − 2 ) 2 2 ⋅5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅11 ⋅14...( 6n − 7 )( 6n − 4 ) + ... + + ... 16. + 1 1⋅ 5 ⋅ 9 1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅13 ⋅17...( 8n − 11 )( 8n − 7 ) 1 1⋅ 5 1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 3 ) + ... + + ... 17. + 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅10 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 4 )( 4n − 2 ) 1 1 ⋅ 11 1 ⋅ 11 ⋅ 21 1 ⋅ 11 ⋅ 21 ⋅ (10 n − 9) + ... + + ... + 18. + 1! 3! 5! ( 2 n − 1)!
15. 1000 +
1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 9 1 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ n 2 + + ... + + ... 19. 1 + 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) 1 3 5 2n − 1 + + + ... + + ... 20. 1 + n 2 2 2 2 2
( )
∞
21. 23. 25. 27. 30. 32.
1 ; n =1 n ∞ 1 ln1 + ; ∑ n =1 n ∞ 1 ; ∑ n =2 ln n ∞ 1 ; ∑ 2 n = 2 n ⋅ ln n ∞ 1 ; ∑ n =1 n( n + 1 ) ∞ 1
∞
∑ arcsin
∑
22.
∞
π 35. ∑ 1 − cos ; n n =1 ∞ 3 n n! 38. ∑ n ; n =1 n
n =1
2
;
n2 + 1 ln 2 ; ∑ n =1 n ∞ 1 ; ∑ n = 2 n ⋅ ln n ∞ 1 ; ∑ n = 2 n ⋅ ln n ⋅ ln ln n ∞ 1 ; ∑ n =1 n( n + 1 )( n + 2 ) ∞ 1 ; ∑ 3 n= 2 n ⋅ n− n ∞
24. 26. 28. 31. ;
n ⋅ ln n + ln 3 n 3 ∞ n 34. ∑ ; 3 n =1 ( 2 n − 1 ) ⋅ ( 5 ⋅ n −1) n=2
1
∑ sin n
33.
∞
n! 36. ∑ n ; n =1 n ∞ e n n! 39. ∑ n ; n =1 n
∞
∞
29.
2 n n! 37. ∑ n ; n =1 n ∞ 5 n n! 40. ∑ n n =1 n
∑n n=2
2
1 ; −n
13
1.4. Знако че ре дующ и е с я ряды П ерейдем к рас с м от рению рядов, ч лены к от орых им ею т ч ередую щ иес я знак и. Будем с ч ит ать, ч то п ервый ч лен т ак ог о ряда п оложит елен. Тог да знак оч ередую щ ийс яряд м ожнозап ис ат ь в виде
a1 − a2 + a3 − a4 + ... + (−1) n+1 an + ... ,
(7)
г де an > 0 . Те оре ма12.1(при знак Ле йбни ца). Ес лиа бс о лю т ные величины чл ено в зна ко чередую щ его с я ряда (6) мо но т о нно убыва ю т :
a1 > a2 > a3 > ... > an > ...
ио бщ ийчл ен ряда с т ремит с я к нулю : lim a n = 0 , т о ряд с хо дит с я. n→ ∞
П рим ер 12. Ряд
1−
∞ 1 1 1 1 1 + − + ... + ( −1) n +1 + ... = ∑ ( −1) n +1 , 2 3 4 n n n =1
с ходит с я, т. к . удовлет воряет ус ловиям п ризнак а Л ейбница: 1) 1 >
1 1 > > ... > … ; 2 3
1 = 0. n→∞ n
2) lim
Рас с м от рим теп ерь ряды с ч ленам и п роизвольных знак ов. Так ие ряды называю т знак оп ерем енным и рядам и. В озьм ем к ак ой-нибудь зна ко п еременный ряд ∞
a1 + a 2 + a3 + ... + a n + ... = ∑ a n , n =1
(8)
г де ч ис ла a1 , a2 , a3 ,..., an ... м ог ут быт ь к ак п оложит ельным и, так и от рицат ельным и, п рич ем рас п оложение их в ряде п роизвольно. Рас с м от рим ряд, с ос т авленный изм одулей ч ленов данног оряда (8): ∞
| a1 | + | a2 | + | a3 | +...+ | an | +... = ∑ | an | n =1
(9)
Те оре ма 13.1(при знак с хо ди м о с ти знако пе ре м е нны х рядо в ). Ес ли с хо дит с я ряд (9), т о с хо дит с я иряд (8). Опреде л е ни е 1. Ряд (8) на зыва ю т а бс о лю т но с хо дящ имс я, ес ли ряд (9) с хо дит с я. Ес лиж е ряд (8) с хо дит с я, а ряд (9) ра с хо дит с я, т о ряд (8) на зыва ю т неа бс о лю т но с хо дящ имс я ил иус л о вно с хо дящ имс я. Д ля ис с ледования на абс олю т ную с ходим ос т ь ряда (8) ис п ользую т с я извес т ные п ризнак и с ходим ос т и знак оп оложит ельных рядов. В ч ас т нос ти, ряд (8) с ходит с яабс олю тно, ес ли
14
lim |
n →∞
an +1 |< 1 an
lim n | an | < 1 .
или
n →∞
В общ ем с луч ае израс ходим ос т и ряда (9) не с ледует рас ходим ос т и ряда (8). Н оес ли
lim |
n →∞
an +1 |> 1 an
lim n | an | > 1 ,
или
n →∞
т орас ходит с яне тольк оряд(8), нои ряд (9). Д ляос т ат к а ряда rn в эт ом с луч ае с п раведлива оценк а | rn |≤ bn +1 . П рим ер 13. Ис с ледоват ь с ходим ос т ь ряда 2
3
4
2 3 4 1 − − + + ... + (−1) 3 5 7
n ( n −1) 2
Сос т авим ряд изабс олю тных велич инч ленов ряда: 2
3
4
n
n + ... . 2n − 1
n
2 3 4 n 1 + + + + ... + + ... 3 5 7 2n − 1
Т.к .
n
n 1 1 n lim n = lim = , = lim 1 2 n → ∞ 2n − 1 n → ∞ 2n − 1 n→∞ 2− n
т оданный ряд с ходитс яабс олю тно. Ряд, рас с м отренный в п рим ере 12, с ходит с яус ловно (неабс олю т но), т.к . ряд 1 +
1 1 1 + + ... + + ... - рас ходитс я(г арм онич ес к ий ряд). 2 3 n
Конт рол ь ны е приме ры Ис с ледоват ь с ходим ос т ь с ледую щ их знак оп ерем енных рядов. В с луч ае с ходим ос т и ис с ледоват ь на абс олю т ную и ус ловную с ходим ос т ь.
1 1 (−1) n−1 + ... 1. 1 − + − ... + 3 5 2n − 1 1 1 ( −1) n −1 1 − + + ... + + ... 2. 2 3 n 1 1 (−1) n −1 1 − + − ... + + ... 3. 4 9 n2
15
2 3 ( −1) n−1 n − ... + + ... 4. 1 − + 7 13 6n − 5 3 5 7 2n + 1 − + − ... + (−1) n −1 + ... 5. 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n ⋅ ( n + 1) n2 + n
1 2 3 n + ... 6. − − + − ... + ( −1) 2 2 4 8 2n 2 3 4 n +1 + − + ... + ( −1 )n + ... 7. − 2 2 3 3 −1 4 4 −1 ( n + 1) n + 1 − 1 3 5 7 n 2n + 1 + ... 8. − + − + ... + ( −1) 4 7 10 3n + 1 3 3⋅5 3⋅5⋅ 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1) + − ... + (−1) n −1 + ... 9. − 2 2 ⋅5 2 ⋅5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ ... ⋅ (3n − 1) 1 1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ (3n − 2) + ... + − ... + (−1) n −1 10. − 7 7 ⋅ 9 7 ⋅ 9 ⋅11 7 ⋅ 9 ⋅11 ⋅ ... ⋅ (2n + 5) sin α sin 2α sin 3α sin nα + + − ... + + ... 11. 2 3 ln 10 (ln 10) (ln 10) (ln 10 ) n 2
∞
12.
∑
n =1
3
( − 1 ) n ln n ; n
n
∞
13.
∑ ( −1 ) n =1
n −1
tg
1 n n
.
2. Ф унк ционал ь ны е ряды . 2.1. Ос но в ны е о преде л е ни я П ерейдем к рас с м от рению рядов, ч ленам и к оторых являю тс яне ч ис ла, а функ ции: u1 ( x ) + u 2 ( x ) + u3 ( x ) + ... + u n ( x ) + ... (1) Так ие ряды называю т с я ф ункцио на л ьными. Н ап рим ер, ряд
1 + x + x 2 + x 3 + ... + x 3 + ... являет с яфунк циональным . Ес ли в ряде (1) п ридат ь x к ак ое-либознач ение x0 изоблас т и оп ределения функ ции u n (x) , n = 1,2,3,... , топ олуч им ч ис ловой ряд
u1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...
(2)
Э тот ряд м ожет с ходит ьс яили рас ходит ьс я. Ес ли он с ходит с я, то точ к а x0 называет с я т о чко й с хо димо с т и функ циональног о ряда (1). Ес ли ряд (2) рас ходит с я, то точ к а x0 называет с яточ к ой рас ходим ос т и функ циональног о
16
ряда (1). Д ляодних т оч ек , взятых изоблас т и оп ределенияфунк ции u n (x ) , ряд (1) м ожет с хо дит ьс я, а длядруг их - ра с хо дит ьс я. Опреде л е ни е 2.1. Совок уп нос т ь вс ех точ ек с ходим ос ти функ циональног о ряда называю т о бла с т ью его с хо димо с т и. Сум м а S (x ) функ циональног о ряда (1) являет с янек от орой функ цией от x , оп ределенной в облас ти с ходим ос ти ряда (1). В этом с луч ае п ишут
S (x ) = u1 ( x0 ) + u 2 ( x0 ) + u3 ( x0 ) + ... + un ( x0 ) + ... Сум м у n п ервых ч ленов ряда ( n -ю ч ас т ич ную с ум м у) будем обознач ат ь ч ерез S n (x) , а ос т аток ряда – ч ерез rn (x) .
S n (x) = u1 ( x0 ) + u 2 ( x0 ) + u3 ( x0 ) + ... + u n ( x0 ) + ... rn ( x) = S ( x) − S n ( x) Изоп ределения облас ти с ходим ос т и функ циональног оряда с ледует , ч то длялю бой точ к и x эт ой облас ти с ущ ес т вует п редел ч ас т ич ной с ум м ы S n (x) п ри n → ∞ . В т оч к ах, не п ринадлежащ их облас т и с ходим ос т и, ч ас т ич наяс ум м а S n (x) не им еет п редела. Ес ли ряд с ходитс я, п ри нек отором знач ении x , то
lim S n ( x ) = S ( x ) , lim rn ( x ) = 0 n→ ∞
n →∞
Д ляоп ределенияоблас т и с ходим ос т и ряда (1) дос тат оч но п рим енит ь к эт ом у ряду извес т ные п ризнак и с ходим ос ти, с ч ит аяx фик с ированным . П рим ер 1. О п ределит ь облас т ь с ходим ос т и ряда
x + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1) 3 ( x + 1) n + + + ... + + ... 1⋅ 2 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 n ⋅ 2n О бознач им ч ерезu n (x) общ ий ч ленряда, п олуч им :
| un+1( x ) | | x + 1|n+1 2 n n | x + 1| lim = lim n+1 = . n →∞ | un ( x ) | n→∞ 2 ( n + 1 ) | x + 1|n 2 Н а ос новании п ризнак а Д алам бера м ожно ут верждать, ч т оряд с ходит с я | x +1| < 1, т.е. п ри –3< x <1; ряд рас ходит с я, ес ли (и п ритом абс олю т но), ес ли 2
| x +1| > 1 , т.е. ес ли 2
г арм онич ес к ий ряд: 1 +
− ∞ < x < −3 или 1 < x < ∞ . При x = 1 п олуч аем
1 1 + + ..., к от орый рас ходит с я, а п ри x = −3 -ряд: 2 3
17
1 1 − + ..., к от орый (в с оот вет с т вии с п ризнак ом Л ейбница) с ходитс яне 2 3 абс олю т но. Следоват ельно, ряд с ходит с яп ри − 3 ≤ x < 1. −1+
Конт рол ь ны е приме ры Н айт и облас т ь с ходим ос т и ряда ∞
∞
1 1. ∑ x . n =1 n
2.
∞
3.
1
∑ ( − 1) n + 1 n ln x n =1 ∞
5.
x
∑ 2 n sin 3n . n =0 ∞
7.
∑ ( −1 )
e
− n⋅sin x
n =0
.
.
sin( 2n − 1) . 2 n =1 ( 2n − 1) ∞ cos nx 6. ∑ . e nx n =0
4.
∑
8.
∞
11.
n!
∑ xn . n =1
∞
∞
1 9. ∑ n . n =1 n! x n =1
n
.
( −1 ) 13. ∑ n n . n =1 n ⋅ 3 ( x − 5 ) ∞ 1 n 15. ∑ x + n n . 2 x n =1 ∞
n −1
1
10.
∑ ( 2n − 1 ) x
12.
∑ ( n + 1)
n =1 ∞
n
∑( x − 2)
.
n =1 ∞
∞
n +1
1
∑ ( − 1) n + 1 n x
n=0
n
.
2n + 1 5 2n . x
nn 14. ∑ n n . n =1 x ∞
2.2. С те пе нны е ряды Опре де л е ни е 2.2. Ст еп еннымрядо м называет с яфунк циональный ряд
a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + a3 ( x − x0 )3 + ... + an ( x − x0 )n + ... = ∞
= ∑ an ( x − x0 )n n =0
(3)
18
a0 , a1, a2 , a3 ,...,an ,... называю т с я ко эф ф ициент а ми с т еп енно го ряда . В ч ас тнос т и, ес ли x0 = 0 . Будем им ет ь с т еп енной ряд, рас п оложенный п ос теп еням x : a0 + a1x + a2 x2 + a3x3 + ...+ an xn + ... (4) Ч ис ла
В дальнейшем будем рас с м атриват ь им енно т ак ие с теп енные ряды, п отом у ч т о вс який с теп енной ряд (1) п одс тановк ой x − x0 = x1 п реобразует с я к ряду ук азанног овида. Те оре ма 2.1(те о ре м а Абе л я). Ес л ис т еп енно й ряд (4) с хо дит с я в т о чке
x = x0 , x 0 ≠ 0 ,
т о о н с хо дит с я, и п ри т о м а бс о лю т но , дл я вс ех x ,
удо влет во ряю щ их ус л о вию
| x |<| x0 | ; ес л и ряд (4) ра с хо дит с я п ри x = x1 , т о
о н ра с хо дит с я дл я вс ех x, удо влет во ряю щ их ус ло вию | x |>| x1 | Очевидно , чт о с т еп енно йряд (4) с хо дит с я п ри x = 0 . Д ляк аждог о с т еп енног о ряда, им ею щ ег о к ак т оч к и с ходим ос ти, т ак и т оч к и рас ходим ос т и, с ущ ес т вует так ое п оложит ельное ч ис лоR, ч тодлявс ех x, т ак их ч т о: | x |< R , ряд абс олю т нос ходит с я, а длявс ех x , т ак их ч т о: | x |> R, ряд рас ходит с я. Опре де л е ни е 2.3. Ра диус о м с хо димо с т ис т еп енног о ряда (4) называет с я т ак ое ч ис ло R , ч т о длявс ех x, | x |< R , с т еп енной ряд с ходит с я, а длявс ех x, | x |> R , рас ходит с я. Инт ервал ( − R, R ) называет с яинтервалом с ходим ос ти. Д ля с т еп енных рядов вида (3) интервалом с ходим ос т и будет инт ервал ( x0 − R , x 0 + R ) .
lim
Те оре ма 2.2. Ес ли с ущ ес т вует п редел с хо димо с т ис т еп енно го ряда (4) ра вен
R= lim n→∞
n →∞
| an + 1 | | an |
≠ 0, т о ра диус
| an | . | a n +1 |
П рим ер 2. Н айдем радиус с ходим ос т и ряда
1+ x + Им еем
R= lim n→∞
1 2 1 x + ... + x n + ... 2! n!
| an | ( n + 1 )! = lim( n + 1 ) = ∞ . = lim n→∞ | a n +1 | n→ ∞ n!
Следоват ельно, ряд с ходит с я абс олю тнона вс ей ч ис ловой п рям ой. ∞
П рим ер 3. Ряд т оч к и
x = 0 , так
∑ n! x n n =1
рас ходитс яна вс ей ч ис ловой п рям ой, к ром е
к ак ег орадиус с ходим ос т и
19
R=lim n →∞
1 | an | n! =0. = lim = lim | a n +1 | n → ∞ ( n + 1 )! n → ∞ ( n + 1 ) ∞
| xn | П рим ер 4. Н айдем радиус с ходим ос т и ряда ∑ . n =1 n 1 | an | n +1 lim ( 1 + ) = 1 . = lim = R=lim n→∞ n →∞ | an+1 | n→∞ n n Следоват ельно, п о т еорем е 2.2 данный ряд с ходит с яна интервале (-1,1). Ис с ледуем п оведение ряда на к онцах интервала с ходим ос т и, т .е. в точ к ах ∞
x = −1, x = 1. П ри x = 1 п олуч аем г арм онич ес к ий ряд ∞
∑ (−1) n
x = −1, ряд
n =1
1
∑ n , а п ри n =1
1 , к оторый с ходитс яв с илу п ризнак а Л ейбница. Так им n
образом , данный ряд с ходит с яв лю бой т оч к е п олуинт ервала [− 1,1) и рас ходит с я вне ег о. Конт рол ь ны е приме ры Н айт и инт ервал с ходим ос ти с т еп енног оряда и ис с ледоват ь с ходим ос т ь на к онцах инт ервала с ходим ос ти: ∞
∞
n x ∑ 1. .
xn 2. ∑ n . n =1 n ⋅ 2
n =0
x 2 n−1 3. ∑ . n =1 2n − 1 ∞
2 n −1 x 2 n −1 4. ∑ 2 . n =1 ( 4n − 3) ∞
(−1) n−1 x n 5. ∑ . n n =1 ∞
∞
7.
∑ (−1)
n −1
∞
(n + 1) 5 x 2 n 6. ∑ . 2n + 1 n =1
(2n + 1) x . 2
n =1
∞
9.
∑ n! x
∞
8.
∑
n =1
xn . n!
∞
n
10.
n =1 ∞
n
n 11. ∑ n + 2 1 n =1
2 n −1 n
x .
xn ∑ nn n =1 ∞
12.
.
∑ 3n x n n =0
2
2
.
20 2
n x2 ⋅ . 13. ∑ n =1 n + 1 2
n! x n 14. ∑ n . n =1 n
x n−1 15. ∑ . n n = 2 n ⋅ 3 ⋅ ln n
( x − 5 )n 16. ∑ ( −1 ) n ⋅ 3n n =1
∞
∞
∞
( x − 3) n 17. ∑ n . n =1 n ⋅ 5 2n ∞ n−1 ( x − 2) 19. ∑ ( −1) . 2n n =1 ∞
21.
∑ n n ( x + 3) n . n =1
( x − 2) n 23. ∑ n . n =1 ( 2n − 1) ⋅ 2 ∞
∞
(3n − 2)( x − 3) n . 25. ∑ 2 n +1 n =1 ( n + 1) 2
∞
∞
n −1
∞
( x − 1) 2 n 18. ∑ . n n =1 n ⋅ 9 ∞
( x + 3) n . 20. ∑ n2 n =1 ∞ ( x + 5) 2 n−1 22. ∑ . n n =1 2n ⋅ 4 ( x − 3) 2 n 24. ∑ . n =1 ( n + 1) ⋅ ln(n + 1) ∞
∞
( x − 3) n . 26. ∑ ( −1) (2n + 1) n + 1 n =1 n
2.3. С в о йс тв а с те пе нны х рядо в П ус т ь функ ция f (x ) являет с яс ум м ой с теп енног оряда
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ..., (5) инт ервал с ходим ос т и к от орог о ( − R, R ) . В эт ом с луч ае г оворят, ч то на
инт ервале ( − R , R ) функ ция f (x) разлаг ает с я в с теп енной ряд (или ряд п о с т еп еням x). Те оре ма 2.3. Ес ли ф ункция f (x) на инт ерва л е ( − R, R) ра зла га ет с я в с т еп енно й ряд (5), т о о на диф ф еренцируема на эт о м инт ерва л е и ее п ро изво дна я f ' ( x ) мо ж ет быт ь на йдена п о чл енным диф ф еренциро ва нием ряда (5), т .е.
f ' ( x ) =( a0 +a1x +a2x2 +...+anxn +...)' = a1 +2a2 x +3a3x2 +...+ nan xn−1 +..., А налог ич ном ог ут быт ь выч ис лены п роизводные лю бог оп орядк а функ ции f (x) . П ри этом с оот вет с т вую щ ие ряды им ею т т от же инт ервал с ходим ос т и, ч то и ряд (5). Те оре ма 2.4. Ес ли ф ункция f (x) на инт ерва л е (− R, R ) ра зла га ет с я в с т еп енно й ряд (5), т о о на инт егрируема в инт ерва л е ( − R, R ) и инт егра л о т
21
нее мо ж ет быт ь вычис л ен п о чл енным инт егриро ва нием ряда (5), т .е., ес ли x1 , x2 ∈ (− R, R) , т о x2
x2
∫ f ( x)dx = ∫ (a0 + a1 x + a2 x
x1
x1
2
x2
x2
x2
x1
x1
x1
+ ... + an x + ...)dx = ∫ a0 dx + ∫ a1 xdx + ... + ∫ an x n dx + ... n
Конт рол ь ны е приме ры П рим еняя п оч ленное дифференцирование и интег рирование, найти с ум м ы рядов: x 2 x3 xn + + ... + + ... 2 3 n x2 x3 xn 2. x − + − ... + ( −1 )n −1 + ... 2 3 n x3 x5 x 2 n −1 3. x + + + ... + + ... 3 5 2n − 1 x3 x5 x 2 n −1 4. x − + + ... − ... + ( −1 )n −1 3 5 2n − 1 5. 1 + 2 x + 3x 2 + ... + ( n + 1 )x n + ... 6. 1 − 3x 2 + 5x 4 − ... + ( −1 )n −1 ( 2n − 1 )x 2 n −2 + ... 7. 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3x + 3 ⋅ 4 x 2 + ... + n( n + 1 )x n−1 + ... 1. x +
Н айт и с ум м ы рядов: 1 2 3 n 8. + 2 + 3 + ... + n + ... x x x x 5 9 x x x 4 n −3 9. x + + + ... + + ... 5 9 4n − 3 2.4. Разл о ж е ни е функци й в с те пе нны е ряды Те оре ма 2.5. Ес л и ф ункция f (x) на инт ерва л е ( x0 − R, x0 + R ) ра зла га ет с я вс т еп енно й ряд 2 3 n f (x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x0 ) + ... + a n ( x − x0 ) + ... , (6) т о эт о ра зло ж ение единс т венно .
22
Ряд f ( x) = f ( x0 ) +
f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f (n) ( x0 ) ( x − x0 ) + ( x − x 0 ) 2 + ... + ( x − x 0 ) n + ..., (7) 1! 2! n!
называет с ярядо мТ ейло ра функ ции f (x) , к оэффициент ы этог оряда
f ( n ) ( x0 ) f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) a0 = f (x0 ), a1 = , a2 = , , … , an = 1! n! 2! называю т ко эф ф ициент а миТ ейло ра ф ункции f (x) вт о чке x . Так им образом , ес ли функ ция f (x ) разлаг ает с я в с т еп енной ряд п о с т еп еням x − x0 , т о эт от ряд обязат ельно являет с я рядом Тейлора эт ой функ ции. Ес ли в ряде Тейлора п оложит ь x0 = 0, то п олуч им ч ас т ный с луч ай ряда Тейлора, к оторый называю т рядо мМ а кл о рена : f ' (0 ) f ''(0) 2 f (n ) (0 ) n f ( x ) = f (0) + x+ x + ... + x + ... (8) 1! 2! n! За меча ние. В с е рас с уждения были с деланы в п редп оложении, ч то функ ция f (x) мо ж ет быт ь ра зло ж ена вс т еп енно йряд. П ус т ь т еп ерь функ ция f (x ) в интервале ( x0 − R, x0 + R) им еет п роизводные лю бог о п орядк а. Тог да длялю бог о x из эт ог о инт ервала и для лю бог оn будет с п раведлива ф о рмул а Т ейл о ра
f ( x) = f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f (n) ( x0 ) 2 ( x − x0 ) n + ... + rn ( x), ( x − x0 ) + ... + ( x − x0 ) + = f ( x0 ) + 2! 1! n!
(9)
г де
f (n+1) (x0 +θ (x − x0 )) rn (x) = (x − x0 ) (n +1)!
(10)
Ф о рмула М а кло рена длялю бой бес к онеч нодифференцируем ой функ ции им еет вид f ' (0 ) f ' ' (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0 ) + x+ x + ... + x + ... + R n ( x ), n! 1! 2!
г де ос т ат оч ный ч лен
(11)
23
f ( n+1) (ξ ) n+1 Rn ( x) = x , ξ = θx, 0 <θ < 1 (n + 1)!
(12)
Ес ли обознач ит ь ч ерез S n (x) ч ас тич ную с ум м у ряда М ак лорена, то форм улу (11) м ожнозап ис ат ь т ак :
f ( x) = Sn ( x) + Rn ( x)
(13) Те оре ма 2.6. Дл я т о го чт о бы ряд М а кл о рена (8) с хо дил с я на инт ерва л е ( − R, R ) и имел с во ей с уммо й ф ункцию f (x ) , нео бхо димо и до с т а т о чно ,
(− R, R ) о с т а т о чный чл ен Rn (x) ф о рмул ы М а кл о рена (12) Rn ( x ) = 0 дл я лю бо го x ∈ (−R, R). с т ремил с я к нул ю п ри n → ∞ , т .е. lim n→∞
чт о бы на
П рим ер 5. Разложит ь в ряд М ак лорена функ цию
f ( x) = e x . Так к ак ,
f (n) (x) = e x и f ( n ) (0) = 1 , п оформ уле (8) дляфунк ции
ex
с ос тавим ряд М ак лорена
x x2 xn 1 + + + ... + + ... 1! 2! n!
(14)
Н айдем интервал с ходим ос т и ряда (14)
an n! ( n + 1) = lim = ∞. n→∞ an+1 n→∞ n!
R = lim
Следоват ельно, ряд абс олю т нос ходит с яна вс ей ч ис ловой п рям ой. x
- с ум м а ряда (14). В с илу Д ок ажем т еп ерь, ч т о функ ция e необходим ог оус ловияс ходим ос т и ряда длялю бог о x с п раведливаоравенс т во
| x |n = 0. lim n→ ∞ n!
(15)
(ξ ) = eξ , т о f (n+1) (ξ ) n+1 eξ Rn ( x) = x = x n+1 , (n + 1)! (n + 1)!
Так к ак f
( n +1)
г де ξ = θx , 0 <θ < 1. О т с ю да, уч ит ывая, ч то
eξ < e | x | , п олуч аем
eξ e|x| n+1 | Rn ( x) |= | x| < | x |n+1 . (n + 1)! (n + 1)! В с илу (15)
| x |n | x | n +1 lim = 0 , с ледоват ельно, lim = 0. n→ ∞ n →∞ n! n!
24
П оэт ом у, п ереходяк п ределу в п ос леднем неравенс т ве п ри n → ∞ , п олуч аем , Rn ( x ) = 0 п ри лю бом x и , с ледовательно, функ цияe x являетс яс ум м ой ч т о lim n →∞ ряда (14). П рим ер 6. Разложит ь в ряд М ак лорена
f
(k )
( x ) = sin( x +
kπ ), f 2
(k )
( 0 ) = sin
функ цию
f ( x) = sin x . Здес ь
kπ = 0 п ри k = 2n , 2
k = 2n + 1 ( n) П ри этом | f ( x ) |≤ 1 на вс ей ч ис ловой ос и. П оэт ом у п олуч им ряд для функ ции sin x : x3 x 2n+1 n sin x = x − + ... + ( −1 ) + ..., 3! ( 2n + 1 )! п ри вс ех x ∈ (−∞, ∞) f
(k )
( 0 ) = ( − 1) n п ри
А налог ич но дляcos x :
x2 x 2n n cos x = 1 − + ... + ( −1 ) + ... ( 2 n )! 2! Конт рол ь ны е приме ры Разложит ь п о целым п оложит ельным с т еп еням x ук азанные функ ции, найти инт ервалы с ходим ос т и п олуч енных рядов и ис с ледоват ь п оведение их ос т аточ ных ч ленов:
sin( x +
1.
a x , ( a > 0) .
2.
3.
cos( x + a) .
4. sin x .
π ). 4
2
5. ln( 2 + x ) . Н ап ис ат ь разложение п о с т еп еням рядов:
x и ук азат ь инт ервалы с ходим ос ти
6. cos x .
7. sin 3x + x cos 3x.
8.
9.
2
2x − 3 . ( x − 1) 2
3x − 5 . x2 − 4x + 3 2
10.
xe −2 x .
x 11. e .
12.
cos 2 x.
13.
x . 9 + x2
25
14. 16.
1 4 − x2
15. ln
.
1+ x . 1− x
ln(1 + x − 2 x 2 ).
П рим еняя дифференцирование, разложит ь п о с теп еням x с ледую щ ие функ ции и ук азат ь инт ервалы, в к оторых эти разложенияим ею т м ес то: 17. (1 + x ) ln(1 + x ) . 18. arctgx . 20. ln( x + 1 + x ) . 2
19. arcsin x.
П рим еняя различ ные п рием ы, разложит ь п о с т еп еням x заданные функ ции и ук азат ь инт ервалы, в к оторых эти разложенияим ею т м ес то:
sin 2 x cos 2 x. x 3 23. (1 + e ) . 21.
25.
1 . 1 − x4
−x 22. (1 + x)e .
24.
3
8+ x .
26. ln( x + 3 x + 2). 2
Н ап ис ат ь т ри п ервых отлич ных от нуля ч лена разложения в ряд п о с т еп еням x функ ций. cos x 27. tgx . 28. e . 29.
x
ln cos x.
30. e sin x.
31. Разложит ь ln x в ряд п о с т еп еням x − 1. 32. Разложит ь
1 в ряд п о с т еп еням x − 1. x
1 в ряд п о с т еп еням x + 1. x2 1 34. Разложит ь 2 в ряд п о с т еп еням x + 4. x + 3x + 2 1 35. Разложит ь 2 в ряд п о с т еп еням x + 2. x + 4x + 7
33. Разложит ь
x
36. Разложит ь e в ряд п о с т еп еням x + 2. 37. Разложит ь
x в ряд п о с т еп еням x − 4.
38. Разложит ь cos x в ряд п о с теп еням x −
π . 2
26
39. Разложит ь cos x в ряд п о с т еп еням x − 2
40. Разложит ь ln x в ряд п о с т еп еням
рядом
1− x . 1+ x
π . 4
41. К ак ова велич ина доп ущ енной ошибк и, ес ли п риближенноп оложит ь 1 1 1 t ≈2+ + + ? 2! 3! 4! π 42. С к ак ой точ нос тью будет выч ис лено ч ис ло , ес ли вос п ользоват ьс я 4
x3 x5 + − ... , 3 5 взяв с ум м у ег оп ервых п яти ч ленов п ри x = 1 ? 43. Ск ольк онужновзять ч ленов ряда x2 cos x = 1 − + ..., 2! ч т обы выч ис лит ь cos18o с т оч нос т ью до0,001? 44. Ск ольк онужновзять ч ленов ряда x3 sin x = x − + ..., 3! ч т обы выч ис лит ь sin15o с т оч нос т ью до0,0001? 45. Ск ольк онужновзять ч ленов ряда arctgx = x −
x x 2 x3 + + + ..., 1! 2! 3! ч т обы найти ч ис ло e с точ нос т ью до0,0001? 46.Ск ольк онужновзять ч ленов ряда x2 ln( 1 + x ) = x − + ..., 2 ч т обы выч ис лит ь ln 2 с т оч нос т ью до0,01, 0,001? 47. В ыч ис лит ь 3 7 с т оч нос тью до 0,01 с п ом ощ ью разложенияфунк ции 3 8 + x в ряд п ос теп еням x . 48. В ыч ис лит ь 4 19 с т оч нос т ью до0,001. 49. П ри к ак их знач ениях x п риближеннаяформ ула x2 cos x ≈ 1 − + ..., 2! дает ошибк у, не п ревышаю щ ую 0,01, 0,001, 0,0001? 50. П ри к ак их знач ениях x п риближеннаяформ ула sin x ≈ x , дает ошибк у, не п ревышаю щ ую 0,01, 0,001? ex = 1 +
27
3. Ряды Ф урь е 3.1 Три го но м етри че с ки й ряд и е го о с но в ны е с в о йс тв а 3.1. Опре де л е ни е 3.1. Ряд вида
a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin 2x + ... + an cosnx + bn sin nx + ... = 2 ∞ a = 0 + ∑ (an cosnx +bn sin nx) 2 n=1
(1)
называет с я
т риго но мет ричес ким рядо м; а ч ис ла a0 , a1 , b1 , a2 , b2 ,..., an , bn ,... - ко эф ф ициент а мит риго но мет ричес ко го ряда . Те оре ма3.1. Ес л иф ункция
f (x ) о п редел ена иинт егрируема на о т резке
[− π , π ], ра зл а га ет с я вт риго но мет ричес кийряд
a0 ∞ f ( x) = + ∑ ( a n cos nx + bn sin nx ) , 2 n =1
(2)
ко т о рый мо ж но инт егриро ва т ь п о чл енно , т о эт о ра зло ж ение единс т венно . К о эф ф ициент ы
a0 , an , bn о п редел яю т с я ф о рмула ми:
π
1 a0 = ∫ f ( x)dx . π −π
(3)
1π an = ∫ f ( x) cos nxdx . π −π
(4)
π
1 bn = ∫ f ( x) sin nxdx . π −π Оп редел ение 3.2. Пус т ь
[− π , π ]. Т о гда
(5)
f (x ) - ф ункция, о п редел енна я на о т резке
чис л а a0 , a n , bn , на йденные п о ф о рмул а м (3)-(5), на зыва ю т с я ко эф ф ициент а миФ урье, а ряд
a0 ∞ + ∑ ( a n cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 с эт имико эф ф ициент а мина зыва ет с я рядо мФ урье ф ункции
f (x )
З а меча ние. Ес ли функ ция f (x ) , оп ределеннаяна отрезк е чет на я, т ог да ее к оэффициенты Ф урье оп ределяю т с яп оформ улам :
[− π , π ],
28
bn = 0 ,
2π a0 = ∫ f ( x )dx , π 0
2π an = ∫ f ( x) cos nxdx . π0
Ес ли функ ция f (x ) , оп ределеннаяна отрезк е ее к оэффициенты Ф урье оп ределяю т с яп оформ улам :
an = 0 ,
(6)
[− π , π ], нечет на я, тог да
2π bn = ∫ f ( x) sin nxdx . π0
(7)
f (x ) , ч етная, т о ряд Ф урье с одержит т ольк ок ос инус ы и тольк ос инус ы, ес ли функ ция f (x ) неч етная. Так им образом , ес ли функ ция
П рим ер 1. Рас с м отрим функ цию f ( x ) = x . Э т а функ циянеч етная, ее к оэффициенты находятс яп оформ улам (7). Им еем
an = 0 ,
π
2 bn = ∫ f ( x) sin nxdx = π 0 π π 2 2 1 1 2 = ∫ x sin nxdx = − x cos nx + ∫ cos nxdx = (−1) n +1 π 0 π n n0 n
Так им образом , п олуч аем ряд Ф урье данной функ ции
sin nx sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x x = 2 − + − + ... + ( −1) n +1 + ... . 2 3 4 n 1 Ряд Фурье с пе ри о до м 2l П ус т ь функ ция f (x ) оп ределена на отрезк е [− l, l ] (l-п роизвольное п оложит ельное ч ис ло) и разлаг ает с я на эт ом отрезк е в ряд Ф урье. Тог да форм ула (2) п риним ает вид
г де
a0 ∞ nπ nπ f ( x) = x + bn sin x) , + ∑ ( a n cos 2 n =1 l l
(8)
l
1 a0 = ∫ f ( x )dx . l −l 1l nπ an = ∫ f ( x) cos xdx , l −l l
(9) n = 1,2,3,....
(10)
29
1l nπ bn = ∫ f ( x) sin xdx , l −l l
n = 1,2,3,....
Конт рол ь ны е приме ры Разложит ь в ряд Ф урье с ледую щ ие функ ции на п ром ежут к е [− π , π ] 5.
2.
f ( x) =| x | . f ( x) = π + x .
6.
f ( x) = sin x . f ( x) = cos x .
3.
f ( x) = x 2 .
7.
f ( x) = sin ax .
4.
f ( x) = e x .
8.
f ( x) = cos ax .
9.
f ( x) = e ax . f ( x) = chx .
10.
f ( x) = shx .
1.
11.
В ук азанных инт ервалах разложит ь в ряд Ф урье функ ции: 12. f ( x) =| x | , (−1 ≤ x ≤ 1) 13.
f ( x) = 2 x , (0 ≤ x ≤ 1)
14.
f ( x) = e x , (−l ≤ x ≤ l ) f ( x) = 10 − x , (−5 ≤ x ≤ 15)
15.
Разложит ь в неп олные ряды Ф урье: а) п ос инус ам к рат ных дуг ; б) п о к ос инус ам к рат ных дуг с ледую щ ие функ ции: 16. f ( x) = 1 , (0 ≤ x ≤ 1) . 17.
f ( x ) = x , (0 ≤ x ≤ l ) .
18.
f ( x) = x 2 , (0 ≤ x ≤ 2π ) .
19.
x , 0 < x ≤ 1 f(x)= 2 − x , 1 < x < 2.
(11)
30
3 20. Разложит ь п ок ос инус ам к рат ных дуг в инт ервале , 3 функ цию 2
3 <x≤2 1, f(x)= 2 3 − x , 2 < x < 3.
Ис п ользуем аялит ерат ура 1. БавринИ.И. В ыс шаям ат ем атик а / И.И. Баврин. - М . : Изд. Ц ент р « А к адем ия»; В ыс ш. шк ., 2000. – 616 с . 2. Ш ип ач ев В .С. В ыс шаям ат ем ат ик а / В .С. Ш ип ач ев. - М . : В ыс ш. шк ., 2001. – 479 с . 3. Ш ип ач ев В .С. Сборник задач п овыс шей м ат ем атик е / В .С. Ш ип ач ев. – М . : В ыс ш. шк ., 1998. – 304 с . Э лек т ронный к ат алог Н ауч ной библиотек и В Г У –(http://www.lib.vsu.ru)
31
Сос т авит ели: Савч енк оЮ лияБорис овна Тк ач ева Светлана А натольевна Редак т ор Тихом ирова О .А
