Границы разрешимости некоторых классов нильпотентных и разрешимых групп

Алгебра и логика, 39, N 2 (2000), 127-133

УДК 512.54.0:512.57

ГРАНИЦЫ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НИЛЬПОТЕНТНЫХ И РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП

Ю. М. В А Ж Е Н И Н , В, Ю. ПОПОВ

Обозначим через 91* и JH* многообразия fc-ступенно нильпотентных и /-ступенно разрешимых групп соответственно, а через F^U и F9fy — свободные в этих многообразиях группы счетного ранга с множеством С = {ei, ...,€„,...} свободных порождающих. Пусть, далее, a = (•, _ 1 , l) — групповая сигнатура и 77 = tf U С. А. И. Мальцев в [1] доказал неразрешимость элементарной ??-теории группы FOTfc. В.А.Романьков [2] и Н.Н.Репин [3] установили неразреши­ мость 3-теорий сигнатуры ц группы FJH2 и, соответственно, групп F9U для любого k ^ 3. В [4] получено описание критических сг-теорий много­ образия (5 всех групп, а в [5] указаны некоторые критические сг-теории многообразий ОТ*; и Dfy. Эти резз^льтаты делают актуальным описание всех критических теорий указанных свободных групп и многообразий, т. е. опи­ сание границ разрешимости (опр. см. в [6]) B(F9Tfc), B{F%K\), B(OI^), J3(9fy). Основным результатом нашей работы является следующая Т Е О Р Е М А . ДЛЯ любых натуральных к ^ 4 u I ^ 3 границы разре­ шимости многообразий ОТ* и SHj, рассматриваемых как а-классы, опреде­ ляются равенствами В(91*) = {V3,3V-A/}, B(9t/).= {V3,V-A/}. Интересно заметить, что границы разрешимости многообразия ниль­ потентных и многообразия разрешимых групп отличаются от границы раз­ решимости многообразия всех групп, но совпадают с границами разреши­ мости ряда многообразий колец (см. [7—9]).

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

128

Ю. М. В&женин, В. Ю. Попов Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма,

представляющая самостоятельный интерес. Л Е М М А . Для любых натуральных к ^ 3 u I ^ 2 границы разреши­ мости групп F9T* и F%Ki, рассматриваемых как rj-алгебры, определяются равенствами B{FVlk) = B(FD\i) = {3,V-i}. Прежде чем приступить к доказательству теоремы, напомним необ­ ходимые определения из работ [4, 6]. Схемпо-алътерпативной

иерархи­

ей языков фиксированной сигнатуры £ называется упорядоченное вклю­ чением семейство SA всевозможных множеств Ci...C n -» r A'V* и uHrA*Vs ^-формул логики первого порядка, рассматриваемых в предваренной нор­ мальной форме и определяемых равенствами

{

cf+lc(t)+l

QiS-..Qvy\l

Л t=l

^m{iJ)Xij\(v
j=l

y(v = n A Q i = Ci)) A s g n ^ P r a ( i , j ) ^ r A s g n ^ c ( i ) ^ t Asgnd ^ s >, GJ-VAV = (J C I . . . C „ - . P A V , где C i , . . . , C n , Q i , . . . , Q v e {V,3}, C,- /

C t > b Q,- ^ Qj+i; r , * , s , m ( i , j ) 6

£ {0,1}; it;1 = w, w° — пустой символ; х = Ж1...жр,..., у = yi---Vq'i Xij — атомарная ^-формула; sgnu — знак числа и. Таким образом, язык С\ ...C n -i r А*Vе состоит из тех и только тех ^-формул у>, блочная схема кванторной приставки которых является, возможно, пустым подсловом слова Ci...C n , а в бескванторной части <р любая из связок -i, A, V может при­ сутствовать лишь при условии, что г = 1, £ = 1, s = 1 соответственно. Например, язык УЗ составляют все ^-формулы вида х> Vafx, За?х, VfByx? где х ~ атомарная f-формула; язык V-iV состоит из всех ^-формул вида ф, У я ^ , где ^ не содержит кванторов и конъюнкции. Иерархия языков SA определяет иерархию SAX теорий данного класса алгебраических систем сигнатуры £, которая задается равенством SAX=({LX\LeSA};C), где LX — это £-теория класса X. Теория LX называется

критической,

если она является минимальной в SAX неразрешимой теорией. Границей

Границы разрешимости некоторых классов групп

129

разрешимости класса X называется список В(Х) языков L E SA таких, что LX — критическая теория, т. е. В(Х) = {L£ SA\LX - критическая}. Рассмотрев SA как частично упорядоченное множество, легко понять, что описание J3(3C) автоматически дает описание всех в рамках SA разреши­ мых теорий ЗС, поскольку теория LX G SAX разрешима тогда и только тогда, когда она не включает ни одной критической теории. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО леммы. В [3] доказана неразрешимость теории 3F9Tb Произвольное предложение языка 3 истинно на FVlk тогда и только тогда, когда его отрицание, т.е. предложение языка V-i, ложно на F9U, поэтому теория V-iF9tfc тоже неразрешима. Покажем, что найденные две неразрешимые теории являются кри­ тическими. Для этого, в силу устройства 5Л, достаточно показать, что все покрываемые ими теории разрешимы. Теория 3F9U покрывает только теорию OFOTfc, которая очевидно разрешима, так как в группе F9U разре­ шима проблема равенства слов. Теория V-iF9U покрывает теории -«F^U и VFtTtfc. Первая теория тривиально сводится к 0F9U. Произвольное пред­ ложение языка второй теории имеет вид Vz(/(x, ei, ...,e g ) = 1). Любое соотношение между свободными порождающими относительно свободной группы является тождеством, следовательно, FOTjfc \=Vx(f(x,ei,...,eq)

= 1) <* 9t* \= / ( e g + i , ...}eq+p}eu

...,e g ) = 1,

где х = a?i, ...,ж р . Тогда теория VF9tfc сводится к теории OFtft*, т.е. тоже является разрешимой. Поэтому теории 3F9Tfc и V-iFOTfc будут критически­ ми. Покажем, что иных критических теорий группы FVlk нет. Восполь­ зовавшись устройством схемно-альтернативной иерархии (см. [б]), заме­ тим, что для этого достаточно показать разрешимость теорий -i Л VFOTfc и V Л VF9tfc> так как на третьем этаже иерархии SA FCU разрешимыми могут быть только эти теории, а на четвертом этаже уже все теории нераз­ решимы. Теория -i Л VF9U легко сводится к теории 0F9U. Произвольное предложение языка V Л V равносильно конъюнкции предложений языка

130

Ю, М. Важенин, В. Ю. Попов

W . Разрешимость теории V V F9Tfc можно показать совершенно аналогич­ но тому, как это сделано для теории V F ^ . Неразрешимость теории 3FJH2 доказана в [2]. Неразрешимость тео­ рии 3F1H/ при / ^ 3 анонсирована в [10]. Используя эти факты, можно завершить доказательство леммы по той же схеме, что и для группы FOlfc. Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

теоремы. Докажем сначала, что

теория

1

V3F9tfc сигнатуры (-,""* ) неразрешима. Для этого, в силу леммы, до­ статочно показать, что для любого предложения ф\ языка 3 сигнатуры {•, ~ 1 , l , e i , ...,е п ,...) найдется предложение V>2 языка V3 сигнатуры {-,"1), для которого F*ftk \= Фг <& F9t* И Фг* Сделаем это по схеме, кото­ рая использовалась при доказательстве разрешимости теории VF9T* в лемме. Предложение ф\ имеет вид: Зу (/(
Пусть ф<1 ^±

Очевидно, что F9U И Фг => FOT* f= Фг-

По

~

кажем FWk (= Фг =* ^^fc h Фъ- В самом деле, рассмотрим отображение е\ -> «1, ..., ер —>• х р , где a?i, ..., жр - произвольные элементы F91*. В силу свободы группы FOljt это отображение можно продолжить до эндоморфиз­ ма. Поэтому FWk h /(е,у) = у(е, у) => F9t* И /(*,У) = *(*, 0)Поскольку я?1, ...,жр произвольные, то F9T* И Я * 2?) =
Границы разрешимости некоторых классов групп

131

можно эффективно построить предложение ф2 языка ЗУ-Л/, для которого 9^2 П 9Т4 И Фх & Wk И ^2 (тогда теория 3V-» V 91* будет неразрешимой). В самом деле, представим фх в виде Уж^(ж). Рассмотрим предложение Ф2 ^ (ЗУ1У2УЗУ4^1^1И2«3«4«5^2([[1/1,У2],[УЗ>У4]]^1 7^ *1

V[[[[t*i, « 2 ], ^з], щ], иф2 Ф z2)) V Ух(л(х). Легко понять, что ф2 является предложением языка 3V-»V. Пусть G G УХкПредложение ф2 истинно на группе G тогда и только тогда, когда на этой группе истинно либо предложение ф±, либо предложение Фз ^ Зу1У2УзУ4^1^1гА211з«4^б«2([[УЬ Уг], [УЗ, У4]]*1 Ф *1 Щ[иЪ t*2], ^з], 1*4], ^б]^2 ^ ^ ) .

Допустим, что G ^ % П 9^4- Тогда на G истинно ф3, а значит, и ^2- Сле­ довательно, ф2 истинно на 9Tfc тогда и только тогда, когда оно истинно на У1к П 9*2 П 9^4- Легко понять, что предложение ^з ложно на произвольной группе из У1к П 9^2 П 9^4- Поэтому ф2 истинно на 9 ^ тогда и только тогда, когда ф\ истинно на 9 ^ П 912 П 9Т4- Поскольку п ^ 4, многообразие 9Т& П П 912 П 9Т4 совпадает с многообразием 9*2 П 9^, т. е. ф2 истинно на 9 ^ то­ гда и только тогда, когда ф\ истинно на 912 П 9^4. Итак, теория ЗУ-» V 91^ неразрешима. Согласно [13] cr-теория V-i V 91/ неразрешима, поэтому неразрешимы следующие ег-теории: У39Т*, 3V-i V 9 t b V391/, У-п V 9*,. Покажем, что они являются критическими и других критических теорий нет. Для этого, в силу устройства схемно-альтернативной иерархии, доста­ точно показать разрешимость теорий 3V Л Vtffc, 3V-n л 9t*, 3 ^ Л V9ljb, V-. Л V9tfc, 3V Л V9t/, 3V-n Л 91/, 3-. Л V9t/. Произвольное предложение языка 3V Л V, не содержащее квантора всеобщности, истинно на единичном наборе в произвольной группе. Допу­ стим, что ф ^ Зх Уу/г(ж, у) — предложение языка ЗУЛ V, содержащее кван­ тор всеобщности. Тогда ф истинно на группах F91/ и F9rtfc в том и только

132

Ю. М. Важенин, В. Ю. Попов

в том случае, если на этих группах истинно предложение ф* ;=± Vy/x(l, у). Достаточность этого утверждения очевидна. Пусть теперь ф* ложно. Если предложение ф истинно, то существует набор fo такой, что предложение Vy/i(x"o, у) тоже должно быть истинно. Поскольку предложение ф* ложно, взяв в качестве у набор ef, который состоит из не входящих в набор XQ образующих, получаем, что предложение /i(xo,e) ложно, а значит, лож­ но и предложение Уу^(ж"о, у). Поэтому предложение ф истинно на группах FfRi и FVtk тогда и только тогда, когда на этих группах истинно пред­ ложение ф*. Таким образом, построен алгоритм, выясняющий истинность предложений языка 3V Л V на группах FJH/ и FVXk- Отсюда, поскольку эти предложения позитивны, и из [11] также, как было отмечено выше, вытекает разрешимость теорий 3V Л VJH/ и 3V Л V^t*. Произвольное предложение языка 3-» Л V равносильно дизъюнкции предложений языка 3-v\. Произвольное предложение языков ЗУ-»Л и 3-»Л, не содержащее отрицания, является предложением языка 3V Л V. Если предложение языков 3V-iA и 3-пЛ содержит отрицание, то оно ложно на одноэлементной группе. Поэтому теории 3V-i Л 91*, Э-i Л V9t*, 3V-i Л 9t/ и 3-1 Л VJH/ разрешимы. Произвольное предложение языка V-» Л V равносильно конъюнк­ ции предложений языка V-iV. Поскольку каждая конечно-порожденная нильпотентная группа конечно представима и финитно аппроксимируема [14, 15], теория V-» Л V9T* разрешима. Теорема доказана. Авторы благодарят профессора Н. С. Романовского и рецензента за указание ошибки в первом варианте статьи.

ЛИТЕРАТУРА 1. А. И. Мальцев, Об одном соответствии между кольцами и группами, Матем. сб., 50, N 3 (1960), 257-266. 2. В.А.Романъков, Об уравнениях в свободных метабелевых группах, Сиб. матем. ж., 20, N 3 (1979), 671-673. 3. Н.Н.Репин, Об уравнениях в нильпотентных группах, 9-й Всесоюзный симпозиум по теории групп, Тез. докл., М., 1982, 55.

Границы

разрешимости

4. Ю.М.Важенин,

некоторых классой групп

133

Критические теории, Сиб. матем. ж., 29, N 1 (1988), 23—

31. 5. Ю. М. Важенин, О границах разрешимости многообразий нильпотентных и разрешимых групп, 11-я Межреспубликанская конф. по математической логике, Тез, сообщ., Казань, КГУ, 1992, 32. 6. Ю. М. Важенин, Множества, логика, алгоритмы, 2-е изд., испр., Екатерин­ бург, УрГУ, 1997. 7. Ю. М. Важенин, Алгоритмические проблемы и иерархии языков первого порядка, Алгебра и логика, 26, N 4 (1987), 419—434. 8. Ю. М. Важенин, Критические теории некоторых классов неассоциативных колец, Алгебра и логика, 28, N 4 (1989), 393—401. 9. В,Ю.Попов,

Критические теории над-коммутативно-ассоциативных мно­

гообразий колец, Сиб. матем. ж., 36, N 6 (1995), 1364—1374. 10. В. А, Романьков, О некоторых алгоритмических вопросах для разрешимых групп, Тезисы докл. 6-го Всесоюзн. симп. по теории групп, Киев, 1978, 52. 11. А. И.Мальцев, Алгебраические системы, М., Наука, 1970. 12. В. А, Романъков, Об универсальной теории нильпотентных групп, Матем. заметки, 25, N 4 (1979), 487-495. 13. О. Г. Харлампович, Проблема равенства в многообразии ZN^A, Изв. вузов, Математика, N 1 1 , 1988, 82-84. 14. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1977. 15. А.И.Мальцев,

О гомоморфизмах на конечные группы, Учен. зап. Ива-

новск. пед. ин-та, 18 (1958), 49—60.

Поступило 17 ноября 1998 г. Адреса авторов:

Окончательный вариант 20 декабря 1999 г.

В А Ж Е Н И Н Ю р и й Михайлович,

П О П О В Владимир Юрьевич,

РОССИЯ,

РОССИЯ,

620142, г. Екатеринбург,

620077, г. Екатеринбург,

а / я 172.

ул. Маршала Ж у к о в а , д . И , кв. 6.

e-mail: [email protected]