Модели Неймана-Гейла: Учебное пособие

Министерство образования Российской Федерации

Дальневосточный государственный университет

А.И. Абакумов

Модели Неймана - Гейла

Владивосток 2004

УДК 519.95

Абакумов А.И. Модели Неймана - Гейла. Владивосток: ДВГУ, 2004. 44 с. Математические модели экономической динамики используют технику многозначных квазилинейных отображений. Основным результатом модельных исследований являются теоремы о магистралях. Для студентов математических специальностей, научных работников и преподавателей, занимающихся математическим моделированием экономических процессов.

c

ДВГУ, 2004 c

А.И.Абакумов, 2004

Содержание Обозначения

4

Введение

5

I

Основные понятия

7

1.1 Конусы и функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Суперлинейные функционалы и опорные множества . . . . . 11 1.3 Сублинейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Нормальные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Многозначные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Упражнения

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II Модели Неймана-Гейла

25

2.1 Темпы роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Теорема о магистрали в слабой форме . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Теорема о магистрали в сильной форме . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Упражнения

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Заключение

43

Список литературы

44

3

Обозначения X, Y - конечномерные нормированные пространства; N - множество натуральных чисел; R - множество действительных чисел; A × B - декартово произведение множеств A и B; {x | T (x)} - множество таких элементов x, которые обладают свойством T (x); h : A → B - отображение h множества A в множество B; Для D ⊂ A × B обозначено: P r1 D = {x ∈ A | ∃ y ∈ B

(x, y) ∈ D},

P r2 D = {y ∈ B | ∃ x ∈ A (x, y) ∈ D}; h ◦ g - суперпозиция отображений g : A → B и h : B → C; −

D - замыкание множества D; o

D - множество всех внутренних точек для множества D; r(D) - множество всех относительно внутренних точек для множества D; a(D) - аффинная оболочка множества D; c(D) - выпуклая оболочка множества D; C(D) - коническая оболочка множества D; S = {x ∈ X | kxk ≤ 1} - единичный шар в пространстве X; ∂S = {x ∈ X | kxk = 1} - единичная сфера в пространстве X; X ∗ - пространство линейных функционалов на пространстве X. Для D, G ⊂ X, α ∈ R обозначено: D + G = {x ∈ X|∃y ∈ D, ∃z ∈ G x = y + z}, αD = {x ∈ X|∃y ∈ D x = αy}; P (D) - множество всех подмножеств множества D.

4

Введение Математическое моделирование экономической динамики и равновесия имеет многолетнюю историю [9]. Классические модели основаны на функциональных и дифференциальных уравнениях [4]. Некоторые разделы математики, например, теория оптимизации, развивались под воздействием необходимости математического моделирования экономических процессов [1,4]. В более позднее время появились, в частности, математические модели, связанные с понятием многозначного отображения [5,6]. Именно последнему классу моделей посвящено это учебное пособие. Основное содержание определяется теоремами о магистральных свойствах оптимальных решений в моделях экономической динамики. Сами модели НейманаГейла описываются с помощью многозначных отображений. Для полного изложения теорем о магистралях рассматриваются свойства квазилинейных многозначных отображений, подходящих к описанию экономической динамики. Изучается ряд сопутствующих понятий: суперлинейные и сублинейные функционалы, опорные множества линейных функционалов и т.п. Автор в основном следует работам [5, 6], но для связности и большей автономности изложения сведений о многозначных отображениях и теорем о магистралях пришлось добавить ряд теорем, утверждений и в необходимых случаях их доказательств. Для краткого и ясного рассказа пришлось часть доказательств переделать с целью использования минимального набора дополнительных сведений. Наиболее часто используемые обозначения приведены в начале отдельно. Конечно, этот список не полон. Часть обозначений вводится прямо по тексту. Есть не совсем обычные символы. Например, конец доказательства обозначается ♦. Таких значков немного, все они поясняются. Вместе с тем автор надеется на знание читателем основных понятий и обозначений из 5

математического или функционального анализов [2, 8]. Автор надеется, что эта работа послужит популяризации тех модельных разработок для экономических процессов, которые достаточно давно появились, но в силу разных причин мало используются специалистами по математическому моделированию экономических процессов. Представленный материал является основой полугодового спецкурса, может служить частью курса математического моделирования или курса математических методов в экономике.

6

I

Основные понятия

1.1

Конусы и функционалы

Основным объектом наших исследований будет конечномерное нормированное пространство X над полем R действительных чисел. Для x, y ∈ X и множества A ⊂ R обозначим ξA (x, y) = {(1 − α)x + αy|α ∈ A}. Отсюда получаем следующие понятия: отрезок [x; y] при A = [0; 1], луч [x; y) при A = [0, ∞), прямую (x, y) при A = (−∞, ∞). Множество D выпукло, если ∀x, y ∈ D [x, y] ⊂ D. Множество D называется конусом с вершиной в точке x, если ∀y ∈ D луч [x, y) содержится в множестве D. Множество D называется плоским множеством (аффинным многообразием), если ∀x, y ∈ D прямая (x, y) ∈ D. Множество H ⊂ X называется гиперплоскостью, если это максимальное плоское множество, не совпадающее со всем пространством X. В конечномерном нормированном пространстве X функционалом будем называть отображение p : D → R для некоторого множества D ⊂ X. Функционал p называется линейным, если D = R и ∀ α, β ∈ R, x, y ∈ X выполняется равенство p(αx + βy) = αp(x) + βp(y). Функционал p называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке x множества D. А последнее означает, что ∀ ε > 0 ∃ Uε (x) - такая окрестность точки x, что ∀ y ∈ Uε (x) ∩ D выполняется неравенство |p(y) − p(x)| < ε. Функционал p называется ограниченным, если образ любого ограниченного в D множества является ограниченным в R. Линейный функционал всегда оказывается непрерывным и ограниченным [8]. Пространство X ∗ таких функционалов тоже является конечномерным нормированным пространством той же размерности, что и X.Для любой гиперплоскости H существует такой ненулевой линейный функционал ϕ ∈ X ∗ и число α ∈ R, 7

что H = {x ∈ X|ϕ(x) = α} [8]. Всякая гиперплоскость определяет два открытых или замкнутых полупространства в пространстве X. Для множества D ⊂ X его аффинная оболочка a(D) определяется как пересечение всех аффинных многообразий, содержащих D. Относительная внутренность r(D) множества D - это множество всех относительно внутренних точек, то есть тех точек, для которых пересечение некоторой окрестности точки с аффинной оболочкой D содержится в D. Известно [6], что всякое непустое выпуклое множество D ⊂ X имеет r(D) 6= ∅. Напомним, что внутренность множества D в обычном смысле обознаo

o

чается D. Множество D называется телесным, если D6= ∅. Говорят, что гиперплоскость H разделяет (строго разделяет) множества D1 , D2 , если D1 , D2 лежат в разных замкнутых (открытых) полупространствах, определяемых гиперплоскостью H. Нам понадобятся следующие известные теоремы отделимости множеств в пространстве X [2, 6, 8]. 1.Пусть D1 , D2 - выпуклые подмножества в пространстве X, причем r(D1 ) ∩ r(D2 ) = ∅. Тогда существует гиперплоскость H, разделяющая D1 и D2 . 2.Пусть D1 , D2 - выпуклые замкнутые непересекающиеся подмножества в X, причём хотя бы одно из них ограничено. Тогда существует гиперплоскость H, строго их разделяющая. Гиперплоскость H называется опорной к множеству D в точке x, если x ∈ H и множество D содержится в одном из замкнутых полупространств, определяемых H. Точка x называется относительно граничной для ¯ \ r(D). Нам потребуется тот факт, что для люмножества D, если x ∈ D бой относительно граничной точки x выпуклого множества D существует гиперплоскость, опорная к D в точке x. Постоянным объектом наших исследований будет выпуклый замкну8

тый конус K с вершиной в точке 0. Это значит, что 0 ∈ K и ∀x ∈ K ∀α > 0 αx ∈ K. В дальнейшем все конусы будут именно такими. Приведем формулировку теоремы отделимости для случая, когда одно из множеств является конусом, Именно в таком виде она потребуется нам в дальнейшем наиболее часто. Теорема отделимости для конуса. Для выпуклого замкнутого конуса K и непересекающегося с ним выпуклого замкнутого множества D существует разделяющая их гиперплоскость H, проходящая через вершину конуса. При этом конус K лежит в одном замкнутом полупространстве, а множество D - в другом открытом полупространстве. На языке функционалов это означает, что существует такой линейный функционал ϕ, что ∀x ∈ Kϕ(x) ≥ 0, а ∀y ∈ Dϕ(y) < 0. Конус K называется выступающим, если из x, −x ∈ K следует x = 0. Конус K называется воспроизводящим, если K − K = X. Конус является воспроизводящим тогда и только тогда, когда он телесный. Через K ∗ ⊂ X ∗ обозначим множество K ∗ = {ϕ ∈ X ∗ | ∀x ∈ K ϕ(x) ≥ 0}. Если задан выпуклый выступающий конус K ⊂ X, то можно определить отношение частичного порядка x ≤K y: x ≤K y ⇐⇒ y − x ∈ K. Для этого отношения выполняются свойства: 1) рефлексивности x ≤ x; 2) антисимметричности x ≤K y, y ≤K x ⇒ y = x (это следует из того факта, что K - выступающий конус); 3) транзитивности x ≤K y, y ≤K z ⇒ x ≤K z (это следует из выпуклости множества K; действительно, y − x ∈ K, z − y ∈ K ⇒ z − x = (y − x) + (z − y) ∈ K). Указанный порядок является, вообще говоря, частичным. Индекс ”K” у символа ” ≤ ” в дальнейшем будем опускать, если это не вызовет путаницы в понимании. 9

Определим конусный отрезок относительно конуса K как множество hx, yiK = {z ∈ X|x ≤K z ≤K y}. Здесь индекс ”K” также будет опускаться, если это не вызовет недоразумений. Каждый линейный функционал из X ∗∗ на пространстве X ∗ может быть отождествлен с элементом x ∈ X: ∀ ϕ ∈ X ∗ x(ϕ) = ϕ(x). Это отождествление есть изоморфизм пространств X ∗∗ и X, сохраняющий норму [2, 8]. С учетом такого отождествления выполняется равенство K ∗∗ = K для всякого выпуклого замкнутого конуса K. Введём следующие обозначения: c(D) - это выпуклая оболочка множества D, то есть это пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество D; конической оболочкой C(D) множества D называется пересечение всех выпуклых конусов, включающих D. Из определений следует, что c(D) - выпуклое множество, а C(D) - выпуклый конус [6, 7]. Функционал p : D → R называется полунепрерывным сверху (снизу) в точке x, если ∀ε > 0 существует такая окрестность Uε (x) точки x, что ∀y ∈ Uε (x) ∩ D, p(y) ≤ p(x) + ε (p(y) ≥ p(x) − ε). Пусть множество D выпукло. Функционал p называется выпуклым (вогнутым), если ∀x, y ∈ D, α ∈ [0; 1], выполняется неравенство p((1−α)x+αy) ≤ (1−α)p(x)+αp(y) (p((1−α)x+αy) ≥ (1−α)p(x)+αp(y)). (1) Функционал p называется строго выпуклым (строго вогнутым), если неравенства (1) строгие для α ∈ (0; 1). Известна следующая Теорема о минимаксе [6]. Пусть X, Y - конечномерные нормированные пространства, D - выпуклое компактное множество в X, G - выпуклое множество в Y . Пусть задан функционал p : D × G → R, вогнутый по x и выпуклый по y, а также полунепрерывный сверху по x. Тогда max inf p(x, y) = inf max p(x, y). x∈D y∈G

y∈G x∈D

10

1.2

Суперлинейные функционалы и опорные множества

Рассматриваем конечномерное нормированное пространство X. В этом разделе постоянно фигурирует выпуклый замкнутый конус K ⊂ X. Функционал p : K → R называется суперлинейным, если он супераддитивен p(x + y) ≥ p(x) + p(y), положительно однороден p(αx) = α p(x) для α > 0, полунепрерывен сверху. Функционал p сублинеен, если он субаддитивен p(x+y) ≤ p(x)+p(y), положительно однороден, полунепрерывен снизу. Через Φ(K) обозначим множество суперлинейных функционалов на конусе K, а через Ψ(K) - множество сублинейных функционалов на конусе K. Для конуса K ⊂ X и непустого множества U ⊂ X ∗ определим следующий функционал на этом конусе: ∀x ∈ K pU (x) = inf ϕ(x). ϕ∈U

(2)

При этом если pU (x) = −∞, то будем считать, что функционал pU в этой точке x не определён. Утверждение о суперлинейном функционале. Если функционал pU определён на всём выпуклом замкнутом конусе K, то этот функционал pU является суперлинейным. Доказательство. Если функционал pU определён на конусе K, то его супераддитивность и положительная однородность следуют из определений точной нижней границы и линейности функционалов из множества U ⊂ X ∗ . Полунепрерывность сверху для функционала pU следует из непрерывности линейных функционалов. Действительно, пусть для ε > 0 существует x ∈ K и такая последовательность (xk )∞ k=1 , xk → x, xk ∈ K, что inf ϕ(xk ) > inf ϕ(x) + ε.

ϕ∈U

ϕ∈U

11

С другой стороны, для всех ϕ ∈ U и достаточно больших k ϕ(xk ) ≤ ϕ(x) + ε. Из последнего неравенства для фиксированного k следует inf ϕ(xk ) ≤ ϕ∈U

inf ϕ(x) + ε. Это противоречит предыдущему предположению. Полуне-

ϕ∈U

прерывность сверху для pU доказана. ♦ Функционал ϕ ∈ X ∗ называется опорным к суперлинейному функционалу p ∈ Φ(K), если ∀x ∈ K ϕ(x) ≥ p(x). Через Up обозначим множество всех опорных к p линейных функционалов из X ∗ . Теорема Фенхеля. Для всякого p ∈ Φ(K) множество Up непусто и ∀x ∈ K

p(x) = inf ϕ(x). ϕ∈Up

Доказательство. Обозначим через Zp = {(x, α) ∈ X × R | x ∈ K, α ≤ p(x)} подграфик функционала p. Для p ∈ Φ(K) множество Zp является выпуклым замкнутым конусом. Пусть ε > 0. Тогда для любого y ∈ K (y, p(y)+ε) ∈ / Zp и по теореме отделимости для конуса существует такой линейный функционал ψ ∈ (X × R)∗ , что ψ(x, α) ≥ 0 для (x, α) ∈ Zp и ψ(y, p(y) + ε) < 0 для y ∈ K. Пусть ψ = (ϕ, β), ϕ ∈ X ∗ , β ∈ R∗ . Тогда для всех x, y ∈ K выполняются неравенства ϕ(x) + βp(x) ≥ 0, ϕ(y) + β(p(y) + ε) < 0. Возьмём x = y и получим β < 0. Тогда для всех x ∈ K выполняется − β1 ϕ(x) ≥ p(x). Отсюда следует, что − β1 ϕ ∈ Up , то есть множество Up непусто. Далее из неравенства − β1 ϕ(y) < p(y) + ε следует p(x) = inf ϕ(x). ♦ ϕ∈Up

Для выпуклого замкнутого конуса K ⊂ X множество D называется K-устойчивым, если D + K = D. Множество U ⊂ X ∗ называется Kопорным, если U выпукло, замкнуто, K ∗ -устойчиво и ∀x ∈ K inf ϕ(x) > ϕ∈U

−∞. 12

Непосредственно из определений вытекает следующий факт: если p ∈ Φ(K), то множество Up − K-опорное. Из утверждения о суперлинейном функционале получаем: если U ⊂ X ∗ , U − K-опорное, то функционал pU суперлинеен. Лемма о функционале pU . Если множества U1 , U2 ⊂ X ∗ являются K-опорными, то из неравенства U1 6= U2 следует неравенство pU1 6= pU2 . Доказательство. Пусть ϕ ∈ U1 , ϕ ∈ / U2 . Тогда по теоремам отделимости множеств найдется такой x ∈ X, что inf ψ(x) > ϕ(x) (в случае ψ∈U2

необходимости множества U1 и U2 следует поменять местами). Покажем, что x ∈ K. Пусть K 6= X. Если x ∈ / K, то по теореме отделимости для конуса существует такой функционал ψ ∈ X ∗ , что ψ(y) ≥ 0 для y ∈ K и ψ(x) < 0. Тогда ψ ∈ K ∗ . Пусть χ ∈ U2 . Тогда ∀α > 0 χ+αψ ∈ U2 , ϕ(x) < inf ψ(x) ≤ inf (χ + αψ(x)) = −∞, что невозможно. Отсюда следует, что

ψ∈U2

α>0

x ∈ K. Тогда pU2 (x) = inf ψ(x) > ϕ(x) ≥ inf ψ(x) = pU1 (x) ⇒ pU1 6= pU2 . ψ∈U2

ψ∈U1

♦ Обозначим P Φ(K) совокупность всех K-опорных подмножеств из X ∗ . Для U ∈ P Φ(K) положим g(U ) = pU . Теорема об отображении g. Отображение g : P Φ(K) → Φ(K) является взаимно однозначным отображением на все множество Φ(K). Доказательство. Для любого K-опорного множества U функционал pU определяется однозначно и является суперлинейным. Для любого суперлинейного функционала p множество Up является K-опорным. Следовательно, g - отображение на все Φ(K). Его взаимная однозначность следует из леммы о функционале pU . ♦

13

1.3

Сублинейные функционалы

Напомним, что функционал q : K → R называется сублинейным, если он субаддитивен q(x + y) ≤ q(x) + q(y), положительно однороден ∀ α > 0 q(αx) = αq(x) и полунепрерывен снизу. Если функционал q сублинеен, то −q суперлинеен. Линейный функционал ϕ ∈ X ∗ назовем субопорным к сублинейному функционалу q, если ∀ x ∈ K ϕ(x) ≤ q(x). Совокупность всех сублинейных функционалов на конусе K обозначена Ψ(K). Множество всех субопорных к q функционалов ϕ ∈ X ∗ обозначим Vq . Аналогично теореме Фенхеля доказывается Теорема о сублинейных функционалах. Если ∅и∀x∈K

q ∈ Ψ(K), то Vq 6=

q(x) = sup ϕ(x). ϕ∈Vq ∗

Множество V ⊂ X называется K-субопорным, если оно выпукло, замкнуто, (−K ∗ ) - устойчиво, и ∀x ∈ K

sup ϕ(x) < +∞. Совокупность ϕ∈V

всех K-субопорных множеств обозначим QΨ(K). Для V ∈ QΨ(K) положим h(V ) = qV ,

где qV (x) = sup ϕ(x). ϕ∈V

Аналогично теореме об отображении g доказывается Теорема об отображении h. Отображение h : QΨ(K) → Ψ(K) является взаимно однозначным отображением на все множество Ψ(K). Пусть q - сублинейный функционал на конусе K. Обозначим Vq+ = Vq ∩ K ∗ . Оказывается, что множество Vq+ непусто тогда и только тогда, когда q принимает на K неотрицательные значения. Функционал q ∈ Ψ(K) называется монотонным, если из неравенства x ≤K y следует q(x) ≤ q(y). 14

Теорема о монотонных сублинейных функционалах. Пусть q - монотонный сублинейный функционал на воспроизводящем конусе K. Тогда для x ∈ K справедливо q(x) = sup ϕ(x). ϕ∈Vq+

Доказательство. По теореме о сублинейных функционалах q(x) = sup ϕ(x). Из монотонности функционала q следует:

∀ x ∈ K

x ≥K

ϕ∈Vq

0 ⇒ q(x) ≥ q(0) = 0 ⇒ Vq+ 6= ∅. Положим q˜(x) = sup ϕ(x). ϕ∈Vq+

Предполагаем от противоположного, что ∃ x0 ∈ K: q˜(x0 ) < q(x0 ).

(3)

n Выберем такое число γ, что q˜(x0 ) < γ < q(x0 ). Рассмотрим: Zq = (x, β) ∈ o 1 X × R | x ∈ K, β ≥ q(x) - надграфик функционала q. Образуем: n o 1 Z0 = (x, β) ∈ X × R | x ∈ x0 + K, β = γ . Так как q - сублинейный функционал, то Zq - выпуклый замкнутый конус, Z0 - выпуклое замкнутое множество. Проверим, что Zq ∩ Z0 = ∅. Пусть (y, ν) ∈ Zq ∩ Z0 , тогда y ≥K x0 ,

ν = γ,

y ∈ K,

ν ≥ q(y). В этом случае из монотоности q сле-

дует γ = ν ≥ q(y) ≥ q(x0 ) > γ, что невозможно. Отсюда Zq ∩ Z0 = ∅. По теореме отделимости для конуса существует такой функционал (ϕ, µ) ∈ (X × R1 )∗ , (ϕ, µ) 6= 0 , что (выбираем функционал противоположного знака по сравнению с формулировкой теоремы об отделимости) ϕ(x) + µβ ≤ 0, β ≥ q(x), ϕ(x) + ϕ(x0 ) + µγ > 0 для x ∈ K.

(4)

Отсюда следует ограниченность снизу функционала ϕ на конусе K, что означает ϕ ∈ K ∗ . 15

Покажем, что µ 6= 0. В противном случае ∀ x ∈ K из ϕ ∈ K ∗ следует ∀ x ∈ K

ϕ(x) ≤ 0, но тогда

ϕ(x) = 0 Так как K - воспроизводящий

конус, то тогда ϕ ≡ 0 на X. В этом случае (ϕ, µ) = 0, чего быть не может. Отсюда следует µ 6= 0. Если µ > 0, то для подходящего x1 ∈ K и β ≥ q(x1 ) получаем ϕ(x1 )+µβ > 0, что противоречит (4). Отсюда µ < 0 и без ограничения общности можно считать µ = −1. Тогда из (4) следует, что ϕ ∈ Vq (так как можно выбрать β = q(x)), а отсюда ϕ ∈ Vq+ . С другой стороны, из (3) и (4) при x = 0 получаем ϕ(x0 ) ≥ γ > q˜(x0 ). Это противоречит определению q˜, следовательно, (3) невозможно. ♦

1.4

Нормальные множества

Выпуклое компактное подмножество D конуса K назовём нормальным (в смысле K), если (D − K) ∩ K = D. Через nD обозначим нормальную оболочку множества D, то есть пересечение всех нормальных множеств, содержащих множество D. Утверждение о нормальных множествах. Выпуклое компактное подмножество D конуса K нормально тогда и только тогда, когда ∀ x ∈ D h0, xi ⊂ D. Доказательство. Заметим, что h0, xi = (x − K) ∩ K. Необходимость. Пусть множество D нормально. Если x ∈ D, то x − K ⊂ D − K, а отсюда следует, что h0, xi = (x − K) ∩ K ⊂ (D − K) ∩ K = D. Достаточность. Пусть ∀x ∈ D выполняется h0, xi ⊂ D. Пусть z ∈ (D − K) ∩ K. Тогда найдется такое x ∈ D, что z ∈ (x − K) ∩ K = h0, xi ⊂ D. Отсюда следует, что z ∈ D и (D − K) ∩ K ⊂ D. Обратное включение следует из D ⊂ K и D = D − 0 ⊂ D − K. Утверждение доказано. ♦ 16

1.5

Многозначные отображения

Рассматриваются два конечномерных нормированных пространства X, Y . Для множества G ⊂ Y через P (G) обозначаем множество всех подмножеств множества G. Задано отображение f : D → P (G), D ⊂ X, G ⊂ Y , это отображение f мы будем называть многозначным.  График f есть множество Z = (x, y) ∈ D × G | x ∈ D, y ∈ f (x) . Обратное многозначное отображение определяется обычным образом: f −1 (y) = {x ∈ D| y ∈ f (x)}, для y ∈ f (D).  При этом f −1 : G → P (D), его график есть множество Z −1 = (y, x) ∈ f (D) × D| (x, y) ∈ Z . Отображение f называется замкнутым, если множество Z замкнуто. Отображение f называется ограниченным, если f отображает ограниченные множества в ограниченные. Далее в этом разделе рассматриваются выпуклые замкнутые выступающие воспроизводящие конусы K, Q в пространствах X, Y соответственно. Многозначное отображение f : K → P (Q) называется квазилинейным, если это отображение супераддитивно ∀x1 , x2 ∈ K f (x1 ) + f (x2 ) ⊂ f (x1 + x2 ), положительно однородно ∀α > 0, ∀x ∈ K f (αx) = αf (x), o

замкнуто, гейловское f (0) = {0}, невырожденное f (K)∩ Q6= ∅. Обозначим через F (K, Q) множество квазилинейных многозначных отображений f : K → P (Q). Квазилинейное отображение f : K → P (Q) является ограниченным. Отсюда следует, что ∀x ∈ K множество f (x) компактно. Тогда для ψ ∈ Q∗ определим pψ (x) = max ψ(y).

(5)

y∈f (x)

Утверждение о многозначных отображениях и функционалах. Если f - квазилинейное отображение, f ∈ F (K, Q), ψ ∈ Q∗ , то формула (5) определяет суперлинейный функционал pψ на конусе K. 17

Доказательство. Последовательно доказываем свойства суперлинейности. 1) pψ (x1 + x2 ) =

max

ψ(y) ≥

max

(ψ(y1 ) + ψ(y2 )) =

y1 ∈f (x1 ), y2 ∈f (x2 )

y∈f (x1 +x2 )

max ψ(y1 ) + max ψ(y2 ) = pψ (x1 ) + pψ (x2 ). Этим доказана суперадди-

y1 ∈f (x1 )

y2 ∈f (x2 )

тивность функционала pψ . При доказательстве использована супераддитивность многозначного отображения f . 2) Положительная однородность pψ следует из положительной однородности f и линейности ψ. 3) Докажем полунепрерывность сверху функционала pψ . Пусть (xk )∞ k=1 , xk ∈ K, yk ∈ f (xk ) с условием ψ(yk ) = pψ (xk ) и xk → x0 при k → ∞. ∞ ∞ S S {xk } ограничено. Множество f ( {xk }) ограничено. ТоМножество k=1

k=1

гда последовательность (yk )∞ k=1 имеет сходящуюся подпоследовательность (ykl )∞ l=1 , ykl → y0 при l → ∞. Из замкнутости f следует, что y0 ∈ f (x0 ), и тогда ψ(y0 ) ≤ max ψ(y)) = pψ (x0 ). Отсюда следует lim pψ (xk ) ≤ pψ (x0 ), k→∞

y∈f (x0 )

что означает полунепрерывность сверху функционала pψ в точке x0 .♦ Пусть f : K → P (Q) - квазилинейное отображение. Его график Z выпуклый замкнутый конус.  Обозначим через Z 0 = (ϕ, ψ) ∈ K ∗ × Q∗ | ∀ (x, y) ∈ Z

ϕ(x) ≥ ψ(y)

конус, который будем называть двойственным по отношению к конусу Z. Этот конус также выпуклый и замкнутый. Определим отображение f 0 : K ∗ → P (Q∗ ), двойственное по отношению к отображению f , с графиком Z 0 . Для ϕ ∈ K ∗ : n f (ϕ) = ψ ∈ Q∗ | ∀ x ∈ K 0

o ϕ(x) ≥ max ψ(y) . y∈f (x)

Теорема двойственности. Пусть f ∈ F (K, Q), тогда f 0 (K ∗ ) = Q∗ и ∀ ψ ∈ Q∗ ∀ x ∈ K выполняется равенство max ψ(y) = y∈f (x)

inf

ϕ∈(f 0 )−1 (ψ)

18

ϕ(x).

Доказательство. Пусть ψ ∈ Q∗ . По определению отображения f 0 выполняется равенство (f 0 )−1 (ψ) = Upψ , где pψ определяется формулой (5). Из теоремы Фенхеля следует непустота множества (f 0 )−1 (ψ) = Upψ . Тогда ψ ∈ f 0 (K ∗ ) и f 0 (K ∗ ) = Q∗ . По теореме Фенхеля далее следует: max ψ(y) = pψ (x) = inf ϕ(x) = ϕ∈Upψ

y∈f (x)

inf

ϕ∈(f 0 )−1 (ψ)

ϕ(x).♦

Утверждение о двойственном отображении. Пусть f ∈ F (K, Q). Тогда f 0 ∈ F (K ∗ , Q∗ ) и f 0 нормально (относительно конуса Q∗ ). Доказательство. Супераддитивность и положительная однородность f 0 вытекают из определения. Проверим замкнутость отображения f 0 . Пусть имеется последовательность (ϕk , ψk )∞ k=1 со свойствами: (ϕk , ψk ) → (ϕ, ψ) при k → ∞ и ψk ∈ f 0 (ϕk ) при всех k. Тогда из определения f 0 следует, что ψ ∈ f 0 (ϕ),

ϕ∈

K ∗. Проверим гейловость отображения f 0 . Если ψ ∈ f 0 (0), то ∀y ∈ f (K) выo

полняется равенство ψ(y) = 0. Из невырожденности f : f (K)∩ Q6= ∅ o

следует, что ψ(y) = 0 для некоторого y ∈Q. Так как ψ ∈ Q∗ , то для некоo

торой окрестности V (y) ⊂ Q выполняется ∀ z ∈ V (y) ψ(z) = 0. В этом случае линейный функционал ψ ≡ 0 в пространстве Y . o

o

o

Из теоремы двойственности следует, что f 0 (K ∗ )∩ Q∗ =Q∗ и Q∗ 6= ∅, так как конус Q∗ воспроизводящий и, следовательно, телесный. Квазилинейность f 0 доказана. Остается проверить нормальность отображения f 0 . Выбираем любое ϕ ∈ K ∗ , докажем, что f 0 (ϕ) - нормальное множество относительно конуса Q∗ . Пусть ψ ∈ f 0 (ϕ) и 0 ≤ χ ≤ ψ. Согласно утверждению о нормальных множествах достаточно доказать, что χ ∈ f 0 (ϕ). Из условия ψ ∈ f 0 (ϕ) следует, что ∀ x ∈ K

ϕ(x) ≥ max ψ(y). Отсюда вытекает, что y∈f (x)

∀x∈K

ϕ(x) ≥ max χ(y), откуда следует χ ∈ f 0 (ϕ). ♦ y∈f (x)

В следующей теореме используются три конечномерных нормирован19

ных пространства X, Y1 , Y2 и три конуса K, Q1 , Q2 в них соответственно. Теорема о суперпозиции двойственных отображений. Пусть f1 ∈ F (K, Q1 ), f2 ∈ F (Q1 , Q2 ). Тогда выполняются свойства f2 ◦ f1 ∈ F (K, Q2 ) и (f2 ◦ f1 )0 = f20 ◦ f10 . Доказательство. Супераддитивность, положительная однородность, замкнутость и гейловость многозначного отображения f2 ◦f1 доказываются аналогично приведенным ранее доказательствам. Докажем невырожo

денность отображения f2 ◦f1 . Отображение f2 невырождено f2 (Q1 ) ∩ Q2 6= o

∅. Это означает, что ∃ y2 ∈ Q1 f2 (y2 ) ∩ Q2 6= ∅. Покажем, что для люo

o

бого y1 ∈ Q1 выполняется f2 (y1 ) ∩ Q2 6= ∅. Возьмём y(α) =

y1 −αy2 1−α .

При
малом α выполняется y(α) ∈ Q1 . Тогда f2 (y1 ) = f2 αy2 + (1 − α)y(α) ⊃ o

αf2 (y2 ) + (1 − α)f2 (y(α)). Так как αf2 (y2 ) ∩ Q2 6= ∅ (из-за того, что Q2 o

конус), то f2 (y1 ) ∩ Q2 6= ∅. Здесь используется выпуклость конуса Q2 . o

o

Так как f1 (K) ∩ Q1 6= ∅, то ∃ y0 ∈ f1 (K), y0 ∈ Q1 . Из предыдущеo

го следует, что f2 (y0 ) ∩ Q2 6= ∅, а отсюда получаем невырожденность o

f2 ◦ f1 : (f2 ◦ f1 )(K) ∩ Q2 6= ∅. Далее докажем свойство суперпозиции двойственных отображений. Отображение f20 ◦ f10 определено корректно. Пусть χ ∈ Q∗2 , построим pχ (x) =

max

z∈(f2 ◦f1 )(x)

χ(z).

Из утверждения о многозначных отображениях и функционалах следует, что pχ - суперлинейный функционал. Далее используем теорему двойственности pχ (x) = = max

max

z∈(f2 ◦f1 )(x)

inf

y∈f1 (x) ψ∈(f20 )−1 (χ)

χ(z) = max max χ(z) = y∈f1 (x) z∈f2 (y)

ψ(y) =

inf

max ψ(y)

ψ∈(f20 )−1 (χ) y∈f1 (x)

(последнее равенство следует из теоремы о минимаксе). Множество (f20 )−1 (χ) является подмножеством конуса Q∗1 . По теореме 20

двойственности выполняется равенство max ψ(y) =

inf

ϕ(x).

inf

ϕ(x) =

ϕ∈(f10 )−1 (ψ)

y∈f1 (x)

(6)

Отсюда следует pχ (x) = =

inf

ψ(f20 )−1 (χ) ϕ∈(f10 )−1 (ψ)

inf

ϕ∈(f10 )−1 ◦(f20 )−1 (χ)

ϕ(x) =

inf

ϕ∈(f20 ◦f10 )−1 (χ)

ϕ(x).

Множество (f20 ◦ f10 )−1 (χ) является K-опорным. Из определения следует, что оно K ∗ -устойчиво (f20 ◦ f10 )−1 (χ) + K ∗ ⊂ (f20 ◦ f10 )−1 (χ) и выпукло. Его замкнутость вытекает из замкнутости отображений f10 и f20 . Из формулы (6) получаем: inf

ϕ∈(f20 ◦f10 )−1 (χ)

ϕ(x) > −∞.

Следовательно, (f20 ◦ f10 )−1 (χ) - K-опорное. Из связи опорных функционалов и опорных множеств следует Upχ = (f20 ◦f10 )−1 (χ). С другой стороны, из определения двойственного отображения следует: Upχ = ((f2 ◦ f1 )0 )−1 (χ). Отсюда: −1

(f20 ◦ f10 )−1 (χ) = ((f2 ◦ f1 )0 )

(χ),

то есть (f20 ◦ f10 )−1 = ((f2 ◦ f1 )0 )−1 . Отсюда следует равенство f20 ◦ f10 = (f2 ◦ f1 )0 . Теорема доказана. ♦ Теорема о втором двойственном отображении. Пусть f ∈ F (K, Q). Тогда f 00 = nf . Доказательство. Из теоремы двойственности и теоремы Фенхеля следует, что ∀ ψ ∈ Q∗ (f 0 )−1 (ψ) 6= ∅. Для x ∈ K определим функционал на Q∗ : qx (ψ) =

inf

ϕ∈(f 0 )−1 (ψ)

ϕ(x).

По теореме двойственности qx (ψ) = max ψ(y). y∈f (x)

21

(7)

Из формулы (7) следует, что qx - сублинейный монотонный функционал на Q∗ . Обращаем внимание на разницу в формулах (5) и (7). В формуле (5) в качестве аргумента выступают элементы конуса K, а в формуле (7) - элементы конуса Q∗ . = Vqx ∩ Q. Напомним, что в данном случае o ψ(y) ≤ qx (ψ) .

Пусть Q∗

Vq+x

Vq+x

n = y∈Q|∀ψ∈

Предположим, что y ∈ f 00 (x). Тогда ∀ ψ ∈ Q∗ ∀ ϕ ∈ (f 0 )−1 (ψ) выполняется ϕ(x) ≥ ψ(y). Отсюда следует, что qx (ψ) =

inf

ϕ∈(f 0 )−1 (ψ)

ϕ(x) ≥ ψ(y). Тогда

y ∈ Vq+x . Отсюда следует, что f 00 (x) ⊂ Vq+x . Пусть, наоборот, y ∈ Vq+x . Тогда ∀ ψ ∈ Q∗ ψ(y) ≤ qx (ψ), y ∈ Q. Отсюда следует, что ∀ ψ ∈ Q∗ , ∀ ϕ ∈ K ∗ из условия ψ ∈ f 0 (ϕ) получается ψ(y) ≤ ϕ(x). Это означает, что y ∈ f 00 (x) и Vq+x ⊂ f 00 (x). Таким образом, доказано, что Vq+x = f 00 (x). Теперь докажем, что множество Vq+x нормально. Пусть y ∈ Vq+x , 0 ≤ z ≤Q y. Тогда z − 0 ∈ Q, т.е. z ∈ Q. Так как y ∈ Vq+x , то ∀ ψ ∈ Q∗ выполняется неравенство ψ(y) ≤ qx (ψ). Отсюда следует, что 0 ≤ ψ(z) ≤ ψ(y) ≤ qx (ψ). Это означает, что z ∈ Vq+x . Отсюда следует, что множество Vq+x нормально относительно конуса Q. Равное ему множество f 00 (x) тоже является нормальным. Теперь докажем, что f 00 = nf . Множество nf (x) − Q является Q∗ - субопорным. При этом для ψ ∈ Q∗ выполняется

sup

ψ(y) = sup ψ(y).

y∈nf (x)−Q

Это следует из того факта, что

sup y∈nf (x)−Q

y∈Vq+x

ψ(y) = max ψ(y) = max ψ(y). y∈nf (x)

y∈f (x)

Последнее равенство следует из цепочки преобразований max ψ(y) ≤ y∈nf (x)

max y∈(f (x)−Q)∩Q

ψ(y) ≤

max

ψ(y) = max ψ(y) ≤ max ψ(y).

y∈(f (x)−Q)

y∈f (x)

y∈nf (x)

Отсюда по теореме об отображении h следует, что Vqx = nf (x) − Q и Vq+x = (nf (x) − Q) ∩ Q = nf (x). Теорема доказана.♦ Следствие. 1. Для f ∈ F (K, Q) равенство f = f 00 выполняется тогда 22

и только тогда, когда f нормально. 2. Если f ∈ F (K, Q), то nf ∈ F (K, Q). 1.6

Упражнения

Решить следующие задачи, примеры или доказать сформулированные факты. Соотвествующие обозначения и понятия приведены в тексте раздела. 1. Привести примеры выступающих и воспроизводящих конусов в пространствах X = R2 и X = R3 . 2. Телесный конус является воспроизводящим. 3. Определить условия на конус K, при которых порядок ≤K станет линейным. 4. Конечномерное нормированное пространство является полным. 5. Для выступающего конуса K конус K ∗ является воспроизводящим. 6. Если K - выпуклый конус, то ∀x, y ∈ K выполняется x + y ∈ K. 7. Если линейный функционал ϕ ∈ X ∗ равен нулю на некотором телесном подмножестве пространства X, то ϕ ≡ 0 на всём пространстве X. 8. Если K - выпуклый замкнутый конус, то K ∗ - также выпуклый замкнутый конус. 9. Если K - выступающий конус, то K ∗ - воспроизводящий конус. 10. Если K - воспроизводящий конус, то K ∗ - выступающий конус. 11. Функционал pU является супераддитивным и положительно однородным. 12. Множество Zp в доказательстве теоремы Фенхеля является выпуклым замкнутым конусом. 13. Если p ∈ Φ(K), то множество Up − K-опорное. 14. Если U ⊂ X ∗ , U − K-опорное, то функционал pU суперлинеен. 15. Если функционал q сублинеен, то −q суперлинеен.

23

16. Отображение g : P Φ(K) → Φ(K) является взаимно однозначным отображением на все множество Φ(K). 17. Если

q ∈ Ψ(K), то Vq 6= ∅ и ∀ x ∈ K

q(x) = sup ϕ(x). ϕ∈Vq

18. Отображение h : QΨ(K) → Ψ(K) является взаимно однозначным отображением на все множество Ψ(K). 19. Множество Vq+ непусто тогда и только тогда, когда q принимает на K неотрицательные значения. 20. В доказательстве теоремы о монотонных сублинейных функционалах множество Zq является выпуклым замкнутым конусом. 21. В доказательстве теоремы о монотонных сублинейных функционалах множество Z0 является выпуклым замкнутым, но не конусом. 22. Квазилинейное отображение f : K → P (Q) является ограниченным. 23. Функционал pψ (5) положительно однородный. 2 24. Построить K ∗ для K = {(x1 , x2 ) ∈ R+ | x1 = x2 }.

25. Множество Z 0 является выпуклым замкнутым конусом. 26. Функционал qx (7) является сублинейным и монотонным. 27. В теореме о втором двойственном отображении множество nf (x)−Q является Q∗ - субопорным.

24

II

Модели Неймана-Гейла Через X по-прежнему обозначаем конечномерное нормированное про-

странство. Модель Неймана-Гейла - это такой выпуклый замкнутый конус o

n n n Z ⊂ R+ × R+ , что ∀y 6= 0, (0, y) ∈ / Z, P r2 Z ∩ (R+ ) 6= ∅. Модель Z назыn вается правильной, если P r1 Z = R+ . В дальнейшем мы рассматриваем

правильные модели Неймана - Гейла. Для пары (x, y) ∈ Z вектор x называется вектором затрат, а y - вектором выпуска. Подчеркивая этот содержательный смысл векторов, иногда пару (x, y) ∈ Z будем называть процессом. n По конусу Z можно построить многозначное отображение f : K → P (R+ ),

где K = P r1 Z, f (x) = {y | (x, y) ∈ Z}. Отображение f называется производственным отображением модели Неймана-Гейла. Утверждение о модели Неймана - Гейла. Конус Z - модель Неймана-Гейла тогда и только тогда, когда соответствующее отображение f является квазилинейным многозначным отображением. Доказательство. Необходимость. Пусть конус Z - модель Неймана-Гейла. Определим множество K = P r1 Z и отображение f : ∀x ∈ K

n | (x, y) ∈ f (x) = {y ∈ R+

Z}. Из выпуклости конуса Z получаем, что для: (x, y) ∈ Z, (u, v) ∈ Z справедливо (x + u, y + v) ∈ Z. Это означает супераддитивность f . Положительная однородность f следует из определения конуса Z. Остальные свойства f прямо указаны в определении модели Неймана-Гейла. Достаточность. Пусть f - квазилинейное многозначное отображение. Обозначим через Z график для f . Тогда Z является выпуклым замкнутым конусом. Остальные свойства Z прямо указаны в определении квазилинейного отображения f .♦

25

Состоянием равновесия модели Неймана-Гейла называется набор элементов σ = (α, (¯ x, y¯), ϕ) ¯ с числом α > 0, парой (¯ x, y¯) ∈ Z и функциоn ∗ ) , для которых выполняются условия: налом ϕ¯ ∈ (R+ n 1) α¯ x ≤ y¯ (неравенство понимается в смысле конуса R+ );

2) ∀ (x, y) ∈ Z выполняется неравенство ϕ(y) ¯ ≤ αϕ(x) ¯ и ϕ(¯ ¯ y ) > 0. Число α = α(σ) называется темпом роста модели Неймана-Гейла Z (или производственного отображения f ). Утверждение о свойствах пар из модели Z. Для любых (x, y) ∈ Z выполняются неравенства ϕ(y) ¯ ≤ αϕ(x) ¯ и неравенство ϕ(¯ ¯ y ) > 0 тогда и только тогда, когда α1 ϕ¯ ∈ f 0 (ϕ). ¯ Доказательство. Вспомним определение f 0 (ϕ). ¯ А именно: f 0 (ϕ) ¯ = n o n ∗ ) | ∀x ∈ K ϕ(x) ψ ∈ (R+ ¯ ≥ max ψ(y) . Тогда верна следующая цеy∈f (x)

почка эквивалентных преобразований: условие ∀(x, y) ∈ Z

¯ ϕ(x) ¯ ≥ α1 ϕ(y)

эквивалентно неравенству ϕ(x) ¯ ≥ max α1 ϕ(y), ¯ а последнее эквивалентно y∈f (x)

условию

2.1

1 ¯ αϕ

0

∈ f (ϕ). ¯ ♦

Темпы роста

Если Z модель Неймана - Гейла, то Z 0 также модель Неймана - Гейла (с заменой Rn на (Rn )∗ ). Тогда и для Z 0 можно говорить о темпах роста. Модель Z 0 будем называть двойственной по отношению к модели Z. Утверждение о темпах роста двойственных отображений. Пусть Z - модель Неймана-Гейла, f - производственное отображение в n этой модели, f ∈ F (K, R+ ). Тогда число

α > 0 является темпом ро-

ста модели Неймана-Гейла в том и только в том случае, когда число

1 α

является темпом роста отображения f 0 . Доказательство. Необходимость. Пусть α - темп роста отображения f и (α, (¯ x, y¯), ϕ) ¯ - соответствующее равновесие. Тогда α¯ x ≤ y¯, откуда следует условие α¯ x ∈ 26

nf (¯ x) = f 00 (¯ x). Из условий равновесия следует, что ∀ (x, y) ∈ Z

ϕ(y) ¯ ≤

αϕ(x), ¯ то есть ϕ(x) ¯ ≥ α1 ϕ(y). ¯ Это влечёт за собой α1 ϕ¯ ∈ f 0 (ϕ) ¯ и ϕ(¯ ¯ x) > 0. Из α¯ x ∈ f 00 (¯ x) следует ∀ ϕ ∈ K ∗ , ∀ψ ∈ f 0 (ϕ) выполняется неравенство 
 1 1 ¯ α ϕ¯ , x¯ - равновесие для отобраϕ(¯ x) ≥ ψ(α¯ x). Это означает, что α , ϕ, жения f 0 . Следовательно,

1 α

- темп роста для отображения f 0 .

Достаточность. Пусть β - темп роста для отображения f 0 . Из доказанной необходимости следует, что

1 β

- темп роста для отображения f 00 . От-

сюда следует существование равновесия для отображения f 00 = nf вида ( β1 , (¯ x, y¯), ϕ). ¯ Это означает выполнение следующих условий: β1 x¯ ≤ y¯, ∀ x, y при условии y ∈ f 00 (x) выполняется неравенство β1 ϕ(x) ¯ ≥ ϕ(y), ¯ а также выполняется неравенство ϕ(¯ ¯ y ) > 0. Так как y¯ ∈ f 00 (¯ x) = nf (¯ x), то найдётся z¯ ∈ f (¯ x) с условием y¯ ≤ z¯. Так как z¯ ∈ f (¯ x) ⊂ nf (¯ x) = f 00 (¯ x), ¯ x) ≥ ϕ(¯ ¯ z ). Тогда ( β1 , (¯ x, z¯), ϕ) ¯ - состояние то выполняется неравенство β1 ϕ(¯ равновесия для f .♦ Показателем роста процесса (x, y) ∈ Z называется число α(x, y) = sup{α | αx ≤ y}. Напомним, что в Rn есть стандартный базис и любой x ∈ Rn предx1 ! .. ставляется столбцом своих координат x = . Введём обозначения . xn I = {1, . . . , n}, Ix = {i ∈ I | xi > 0}. Тогда α(x, y) = min xyii = min xyii i∈I

(условно будем считать, что при yi > 0 выполняется равенство

yi 0

i∈Ix

= +∞

и +∞ больше любого действительного числа). Утверждение об отображении α. Отображение α : (x, y) 7−→ α(x, y) на Z\{0} является полунепрерывным сверху и положительно однородным нулевой степени функционалом. Доказательство. Положительная однородность нулевой степени очевидна. Докажем полунепрерывность сверху. Пусть (xk , yk ) ∈ Z, (xk , yk ) → (x0 , y0 ) (считаем x0 6= 0 без ограничений общности). Пусть α ˜ - предельная 27

точка последовательности α(xk , yk ), α ˜ = lim α(xki , yki ). Из определений i→∞

следует, что α(xki , yki )xki ≤ yki . Тогда α ˜ < ∞ (иначе x0 = 0), в пределе α ˜ x0 ≤ y0 , откуда α ˜ ≤ α(x0 , y0 ). Это означает, что lim α(xn , yn ) ≤ n→∞

α(x0 , y0 ).♦ Число α(Z) =

max

(x,y)∈Z, ||(x,y)||=1

α(x, y) =

sup

α(x, y) назовем

(x,y)∈Z, (x,y)6=0

неймановским показателем роста модели Z. Замечание. Неймановский показатель роста α(Z) всегда положителен и конечен. o

n Доказательство следует из того, что P r2 Z∩ R+ 6= ∅, а неймановский

показатель роста достигается на некотором процессе, и пара (0, y) не принадлежит конусу Z ни при каком y 6= 0. ♦ Утверждение о неймановском показателе роста. Пусть Z - моn ∗ ) , что дель Неймана-Гейла. Тогда найдется такой функционал ϕ¯ ∈ (R+

∀ (x, y) ∈ Z выполняется неравенство ϕ(y) ¯ ≤ α(Z)ϕ(x). ¯  Доказательство. Обозначим D = y − α(Z)x | (x, y) ∈ Z . Это выпукo

n = ∅. По лый замкнутый конус. Из определения α(Z) следует, что D ∩ R+

теореме отделимости для конуса следует существование такого линейного функционала ϕ, ¯ что ϕ¯ 6= 0 и max ϕ(z) ¯ = 0 ≤ minn ϕ(u). ¯ Это означает, что z∈D

u∈R+

функционал ϕ¯ является искомым.♦ В работе [6] приводится пример, когда в модели Неймана-Гейла вообще нет равновесных состояний. Все дело в том, что для неймановского показателя роста α(Z) можно найти набор (α(Z), (¯ x, y¯), ϕ) ¯ с выполнением всех условий для состояния равновесия, кроме ϕ(¯ ¯ y ) > 0. Поэтому даже для неймановского показателя роста не всегда справедливо то, что он является темпом роста. Пару (x, y) с α(x, y) = α(Z) назовем неймановским процессом. Соответствующее неймановскому показателю роста состояние равновесия

28

(если оно существует) назовем неймановским состоянием равновесия. Неймановским темпом роста назовём неймановский показатель роста, являющийся темпом роста. Утверждение о множестве Cα . Пусть Z - модель Неймана-Гейла и  число α такое, что Cα = (x, y) ∈ Z | αx ≤ y 6= ∅, тогда найдется такая пара (˜ x, y˜) ∈ Cα , что ∀ (x, y) ∈ Cα выполняются включения Ix˜ ⊃ Ix , Iy˜ ⊃ Iy . Доказательство. В множестве Cα существует конечное число пар (xi , yi ) (i = 1, m), для которых множества Ixi × Iyi попарно различны. m P Тогда искомая пара есть (xi , yi ).♦ i=1

Согласно утверждению о множестве Cα среди неймановских процессов модели Z найдется такой процесс (ˆ x, yˆ), что его множества Ixˆ , Iyˆ включают в качестве подмножеств такие же множества любого другого неймановского процесса. Тогда пару (ˆ x, yˆ) будем называть полным неймановским процессом. Множество Iyˆ в этом случае обозначим через I(Z). Рассмотрим следующую процедуру построения конусов. Пусть Z - модель Неймана-Гейла. Положим Z1 = Z, Γ1 = Rn . Если I1 = I(Z1 ) = I, то останавливаемся. Если же I1 6= I, то рассматриваем подпространство Γ2 пространства Rn на ортах с номерами I \ I1 . Обозначаем Z2 = P rΓ2 ×Γ2 Z1 . Конус Z2 является моделью Неймана-Гейла в пространстве Γ2 × Γ2 . Далее мы рассматриваем ее в этом пространстве. Если I2 = I(Z2 ) = I \ I1 , то останавливаемся, иначе обозначаем через Γ3 подпространство пространства Rn на ортах с номерами I \ (I1 ∪ I2 ) и Z3 = P rΓ3 ×Γ3 Z2 . Конус Z3 является моделью Неймана-Гейла в пространстве Γ3 × Γ3 . И так далее. Этот процесс заканчивается на некотором шаге m. Действительно, из опредеj−1 S ления Ij вытекает, что Ij 6= ∅ при Ik 6= I. Отсюда следует конечность k=1

описанной процедуры и существование числа m ≤ n. Получаем конечную последовательность непустых конусов Z1 29

=

Z, Z2 , . . . , Zm и множества индексов I1 . . . Im , Ij = I(Zj ), Ij ∩ Ij 0 = ∅ m S для j 6= j 0 , при этом Ij = I. Из описания конструкции следует, что j=1

каждый из конусов Zj представляет из себя модель Неймана-Гейла в соответствующем пространстве Γj × Γj . Через αj обозначим неймановский показатель роста этой модели Zj . Непосредственно из способа построения последовательности конусов Zj вытекает неравенство αj > 0 для всех j = 1, . . . , m. Лемма об экстремальных парах модели Z. Для любого j = 1, . . . , m и любого ε > 0 найдется такая пара (xj , yj ) ∈ Z, что выполняются следующие условия: 1) min αk − min(yji /xji ) ≤ ε; k=1...j

i∈I

2) для j < m для всех i ∈

m S

Ik выполняются равенства xji = yji = 0 и

k=j+1

для всех i ∈

j S

Ik выполняются неравенства yji > 0. При j = m для всех

k=1

i ∈ I выполнено yji > 0. Доказательство. Зафиксируем число j < m. Пусть (ˆ xj , yˆj ) - полный неймановский процесс модели Zj в пространстве Γj × Γj . Тогда найдется такая пара (¯ xj , y¯j ) из конуса Z, проекция которой на пространство Γj × Γj совпадает с (ˆ xj , yˆj ). Для пары (¯ xj , y¯j ) справедливы неравенства y¯ji > 0 m S для i ∈ Ij и x¯ji = y¯ji = 0 для i ∈ Ik . При этом выполняется условие: k=j+1

min(¯ yji /¯ xji ) = αj . i∈Ij

Теперь будем выбирать искомую пару (xj , yj ) в виде (xj , yj ) = j P βk (¯ xk , y¯k ) со специально подобранными β1 , ..., βj . Пусть min αk = αl . k=1,...,j

k=1

Тогда выберем βk = 1 для k 6= l и βl таким большим, чтобы min i∈

j S

yji xji

≥

Ik

k=1

αl − ε. Тогда пара (xj , yj ) обладает требуемыми свойствами. Случай j = m рассматривается аналогично с тем отличием, что некоторые из используемых множеств оказываются пустыми. ♦

30

Через Λ ⊂ {1, 2, ..., m} обозначим множество таких индексов j, что неймановский показатель роста αj = α(Zj ) модели Zj является темпом роста модели Zj и ∀ k < j

αk > αj . Множество Λ назовем множеством

темпов роста. Теорема о темпе роста. Число α > 0 является темпом роста модели Неймана-Гейла Z тогда и только тогда, когда оно является неймановским темпом роста модели Zj при некотором j ∈ Λ. Доказательство. Начнем с достаточности. Пусть j ∈ Λ. Для неймановского темпа роста αj модели Zj существует неймановское состояние равновесия в соответствующем пространстве Γj × Γj . Обозначим это состояние равновесия (αj , (x¯j , y¯j ), ϕ¯j ). Через ϕ¯ обозначим линейный функционал на Rn , совпадающий с ϕ¯j на пространстве Γj и равный нулю на ортогональном дополнении Γj . Тогда ∀ (x, y) ∈ Z ϕ(y) ¯ ≤ αj ϕ(x). ¯ Существует такая пара (ˆ x, yˆ) ∈ Z, что P r

x, yˆ) Γj ×Γj (ˆ

= (¯ xj , y¯j ) и ϕ(ˆ ¯ y ) > 0. Из определения проек-

ции следует min (ˆ yi /ˆ xi ) = min (¯ yji /¯ xji ). m m i∈

S

k=j

Ik

i∈

S

Ik

k=j

Из леммы об экстремальных парах модели Z следует существование таj−1 S кой пары (x, y) ∈ Z, что yi > 0 для i ∈ Ik и yi = xi = 0 для i∈

m S k=j

k=1

Ik и min(yi /xi ) > αj (здесь лемма применена для индекса j − 1 i∈I

с учетом того, что αj−1 > αj ). Рассмотрим (˜ xj , y˜j ) = (ˆ x, yˆ) + β(x, y), где β настолько большое, что min(˜ yji /˜ xji ) ≥ αj . Тогда y˜j ≥ αj x˜j , ϕ(˜ ¯ yj ) > 0. i∈I

Тогда (αj , (˜ xj , y˜j ), ϕ) ¯ - равновесие, αj - темп роста для Z. Необходимость. Покажем, что каждый темп роста совпадает с одним из αj , j ∈ Λ. Пусть (¯ α, (¯ x, y¯), ϕ) ¯ - состояние равновесия для Z. Положим  I¯ = i ∈ I | y¯i /¯ xi = α ¯ , ϕ¯i > 0 (здесь имеется в виду стандартный базис в (Rn )∗ ). В состоянии равновесия α ¯ ϕ(¯ ¯ x) = ϕ(¯ ¯ y ) и ϕ(¯ ¯ y ) > 0, отсюда I¯ 6= ∅. Обозначим через j первый из таких индексов, что Ij ∩ I¯ 6= ∅, тогда

31

j−1 m S S ¯ Ik . Из соотношения Ik . Если j > 1, то ϕ¯i = 0 для i ∈ I⊂ k=1

k=j

αj =

sup

min m

(x,y)∈Z, (x,y)6=0 i∈ S Ik

yi xi

k=j

следует αj ≥ α ¯ . Если αj > α ¯ , то существует такая пара (x, y) ∈ Z , m S что ∀ i ∈ Ik yi > α ¯ xi . Тогда ϕ(y) ¯ >α ¯ ϕ(x), ¯ что невозможно. Отсюда k=j

α ¯ = αj . Следствие. Правильная модель Неймана - Гейла может иметь лишь конечное число темпов роста. 2.2

Теорема о магистрали в слабой форме

Траекторией правильной модели Неймана-Гейла Z называется последовательность (xt )∞ t=0 с (xt , xt+1 ) ∈ Z (то есть xt+1 ∈ f (xt )). Содержательно это означает, что в момент времени t затраты xt порождают продукцию xt+1 , которая полностью является затратами следующего момента времени t + 1. Если в xt учесть все экономические процессы "вокруг"моделируемого объекта, то подобные траектории описывают обширный класс экономических явлений. Конечная траектория (xt )Tt=0 называется оптимальной, если сущеn ∗ ствует такой линейный функционал ϕ ∈ (R+ ) , что

ϕ(xT ) = max ϕ(y), T y∈f (x0 )

где f t - суперпозиция отображения f с собой t раз. Пусть α - темп роста модели. Положим  n ∗ Πα = ϕ ∈ (R+ ) |ϕ ∈ αf 0 (ϕ), ϕ 6= 0 . Из определения равновесия и свойств двойственного отображения f 0 следует, что Πα 6= ∅, Πα ∪ {0} - выпуклый замкнутый конус. Рассмотрим стандартный базис (Rn )∗ . Пусть (α, (¯ x, y¯), ϕ) ¯ - равновесие для 32

темпа роста α. Тогда из αx¯i < y¯i следует ϕ¯i = 0. Множество ненулевых координат ϕ¯ есть подмножество множества Jα = {i | αx¯i = y¯i }. Так как любой ϕ ∈ Πα должен выполнять неравенство αϕ(¯ x) ≥ ϕ(¯ y ), то множество индексов его ненулевых координат также включено в Jα . Утверждение о траекториях модели Z. Пусть ϕ ∈ Πα , тогда последовательность (ϕ, α−1 ϕ, ..., α−t ϕ, ...) является траекторией двойственной модели Z 0 . Доказательство непосредственно следует из определений.♦ Траектория (xt )∞ t=1 модели Z имеет средний темп роста α, если −1 −t (xt )∞ t=1 согласована с траекторией (ϕ, α ϕ, . . . , α ϕ, . . .) при некотором

ϕ ∈ r(Πα ), то есть, если lim α−t ϕ(xt ) > 0. t→∞

Заметим, что из ϕ ∈ Πα следует α−t ϕ(xt ) ≥ α−(t+1) ϕ(xt+1 ). Так как для любого t справедливо α−t ϕ(xt ) ≥ 0, то lim α−t ϕ(xt ) всегда существует. t→∞

Изучим асимптотику тракторий, имеющих средний темп роста α. Пусть α - темп роста модели Z. Обозначим для ϕ ∈ Πα через Hϕ = {(x, y) ∈ Rn × Rn | αϕ(x) = ϕ(y)} . Если (α, (¯ x, y¯), ϕ) ¯ состояние равновесия, то луч (λ(¯ x, y¯))λ≥0 ⊂ Hϕ ∀ ϕ ∈ Πα . Множество Nα = Z ∩

 T

Hϕ



называется неймановской гранью ко-

ϕ∈Πα

нуса Z. Утверждение об условиях оптимальности траекторий. Если ϕ ∈ r(Πα ), то Nα = Z ∩ Hϕ . Доказательство. Пусть (x, y) ∈ Z ∩ Hϕ и ϕ0 ∈ Πα . Пусть ϕ ∈ r(Πα ). Тогда ϕ − δϕ0 ∈ Πα ( δ > 0 и δ мало). Тогда ϕ(y) = αϕ(x), (ϕ − δϕ0 )(y) ≤ α(ϕ−δϕ0 )(x). Отсюда следует неравенство ϕ0 (y) ≥ αϕ0 (x). В нашем случае ϕ0 ∈ αf 0 (ϕ0 ), откуда следует неравенство ϕ0 (y) ≤ αϕ0 (x). В совокупности с предыдущим это означает, что ϕ0 (y) = αϕ0 (x), то есть (x, y) ∈ Hϕ0 .

33

Из этого рассуждения следует включение  \  Nα = Z ∩ H ϕ0 ⊃ Z ∩ H ϕ . ϕ0 ∈Πα

Обратное включение очевидно.♦ Пусть B, C - два компактных подмножества пространства X. Расстояние ρ(x, y) между точками x, y ∈ X можно определить как ρ(x, y) = ||x − y||. Расстояние от точки x ∈ X до компактного множества C определяется как ρ(x, C) = min ρ(x, y). Наконец, расстояние между комy∈C

пактными множествами B, C определяется формулой n o ρ(B, C) = max max ρ(x, C), max ρ(B, y) . x∈B

y∈C

(8)

Через CP (D) обозначим множество всех компактных подмножеств замкнутого множества D в пространстве X. Оно является полным метрическим пространством в метрике (8) [3, 8]. Метрика (8) называется метрикой Хаусдорфа. Лемма Мак-Кензи. Пусть α - темп роста модели Z. Тогда для люϕ ∈ r(Πα ) существует такое δ > 0, что ∀ (x, y) ∈  (x,y) Z с условием ρ kxk , Nα ≥ ε выполняется неравенство ϕ(y) < (1 −

бого

ε > 0 и



δ)αϕ(x). Доказательство. Пусть лемма неверна. Тогда ∀ k ∈ N найдется такая пара (xk , yk ) ∈ Z , что kxk k = 1, ρ((xk , yk ), Nα ) ≥ ε, ϕ(yk ) ≥

k−1 k αϕ(xk )

(выбираем δk = k1 ). Переходя, возможно, к подпоследовательности, предположим, что (xk , yk ) → (x0 , y0 ) при k → ∞ (это можно предполагать на основе компактности множества, которому принадлежат члены последовательности (xk , yk )). Этот предел (x0 , y0 ) ∈ Z удовлетворяет условиям ||x0 || = 1, ρ((x0 , y0 ), Nα ) ≥ ε, в то же время ϕ(y0 ) = αϕ(x0 ), то есть (x0 , y0 ) ∈ Nα .♦

34

Теорема о магистрали в слабой форме. Пусть α - темп роста модели Z, точка x0 > 0, функционал ψ ≥ 0 таковы, что выполнены следующие условия: а) из точки x0 исходит траектория (¯ xt ) со средним темпом α; б) существуют положительные числа k1 , k2 и такой функционал ϕ ∈ ri(Πα ), что k1 ϕ ≤ ψ ≤ k2 ϕ. Пусть задано положительное число ε. Тогда для любой конечной траектории (xt )Tt=0 , исходящей из точки x0 и оптимальной в смысле ψ, число процессов (xt , xt+1 ), для которых   (xt , xt+1 ) ρ ≥ ε, не превосходит некоторого числа β, не зависящего kxt k , Nα от T . Доказательство. Пусть γ - число таких процессов (xt , xt+1 ), что  (xt , xt+1 ) ρ ||xt || , Nα ≥ ε. По числу ε > 0 согласно лемме Мак-Кензи най

дём такое число δ > 0, что (условно считаем ϕ(xt+1 )/ϕ(xt ) = α при ϕ(xt ) = ϕ(xt+1 ) = 0): ϕ(xT ) =

ϕ(xT ) ϕ(xT ) ϕ(x1 ) · ϕ(x0 ) = ϕ(x0 ) · ··· · ≤ ϕ(x0 )αT (1 − δ)γ , ϕ(x0 ) ϕ(xT −1 ) ϕ(x0 )

откуда следует ϕ(xT )α−T ≤ ϕ(x0 )(1 − δ)γ . Положим c = lim α−t ϕ(¯ xt ) (c>0 по условию). Из условия (б) теоремы t→∞

и оптимальности (¯ xt ) следует ϕ(xT )α−T ≥

1 1 k1 k1 ψ(xT )α−T ≥ ψ(¯ xT )α−T ≥ ϕ(¯ xT )α−T ≥ c. k2 k2 k2 k2

Отсюда: (1 − δ)γ ≥ kk12 ϕ(xc 0 ) . Последнее неравенство приводит к оценке  . k1 c γ ≤ ln k2 · · ϕ(x0 ) ln(1 − δ) = β. ♦

35

2.3

Теорема о магистрали в сильной форме

n ) телесное подмножество конуса Пусть A - нормальное (в смысле R+ n R+ . В Rn вводим норму

||x||A = inf{λ > 0 | x ∈ λSA }. При этом SA = A − A. Тогда SA - единичный шар в этой норме. Из норn n в определении . Поэтому для x ∈ R+ мальности A следует A = SA ∩ R+

kxkA множество SA можно заменить на A. Положительной границей нормального множества A называется n o n ∂ A = x ∈ R+ | kxkA = 1 . +

Утверждение об оптимальности конечной траектории. Пусть (xt )Tt=0 - конечная траектория правильной модели Z Неймана-Гейла с норn n мальным производственным отображением f : R+ → P (R+ ). Эта траек
тория (xt )Tt=0 оптимальна тогда и только тогда, когда xT ∈ ∂ + f T (x0 ) .

Доказательство. Необходимость будем доказывать от противного. Пусть xT ∈ / ∂ + (f T (x0 )). n ∗ ) с Тогда ∃ α > 1 αxT ∈ ∂ + (f T (x0 )), в этом случае для ϕ ∈ (R+

ϕ(xT ) = max ϕ(y) > 0 выполнено ϕ(αxT ) > ϕ(xT ) и траектория (xt )Tt=0 T y∈f (x0 )

неоптимальна. Достаточность. Пусть xT ∈ ∂ + (f T (x0 )). Тогда xT ∈ f T (x0 ) \ ri(f T (x0 )), то есть xT - относительно граничная точка выпуклого множества f T (x0 ). По теореме об опорной гиперплоскости существует гиперплоскость {x ∈ X | ϕ(x) = a}, опорная к f T (x0 ) в точке xT . Можно считать a > 0, тогда n ∗ ϕ ∈ (R+ ) и траектория (xt )Tt=0 оптимальна. ♦

Утверждение о пределе множеств. Пусть (Ak )∞ k=1 - последовательность телесных нормальных множеств, Ak ⊂ X, причём Ak → A в метрике Хаусдорфа, множество A - также телесное нормальное множество. Тогда 36

∀ ε > 0 ∃ kε ∈ N

∀ k > kε ∂ + Ak ⊂ ∂ + A + εS,

(9)

где S = {x ∈ Rn | kxk ≤ 1} - единичный шар пространства X. Доказательство. Тот факт, что A - телесное нормальное множество, следует из определений. Формулу (9) будем доказывать от противного. ∂ + Ak 6⊂ ∂ + A + ε0 S. Тогда найдется такая

Пусть ∃ ε0 > 0 ∀ k = 1, 2, . . .

последовательность (xk )∞ k=1 , что x k ∈ ∂ + Ak , x k ∈ / ∂ + A + ε0 S.

(10)

Если xk ∈ ∂ + Ak , то существует ϕk ∈ (Rn+ )∗ с ϕk (xk ) = max ϕk (y). Для n ∗ (R+ )

ϕ∈

y∈Ak

определим kϕkA = max ϕ(y) = max ϕ(y). Можно выбрать ϕk kykA ≤1

y∈A

так, что kϕk kA = 1. Из компактности множеств считаем, что существуют пределы последовательностей (переходя на самом деле к подпоследовательностям): lim xk = k→∞

x0 , lim ϕk = ϕ0 . k→∞

Из xk ∈ ∂ + Ak ⊂ Ak , Ak → A следует x0 ∈ A, то есть kx0 kA ≤ 1. Из kϕk kA = 1 следует, что kϕ0 kA = 1. n o ∗ n ∗ На множестве ∂SA = ψ ∈ (R+ ) | kψkA = 1 определим функционалы pk , p следующим образом: pk (ψ) = max ψ(y), p(ψ) = max ψ(y). y∈Ak

y∈A

Тогда p(ψ) = kψkA = 1. Из условия Ak → A следует, что pk равномерно стремятся к p. Отсюда получаем pk (ϕk ) → p(ϕ0 ) = 1. Это означает, что ϕ0 (x0 ) = lim ϕk (xk ) = k→∞

lim pk (ϕk ) = p(ϕ0 ) = max ϕ0 (y) = 1. Следовательно, ||x0 ||A = 1, так как

k→∞

y∈A

иначе найдётся такое число α > 1, что αx0 ∈ A и ϕ0 (αx0 ) > ϕ0 (x0 ). Отсюда x0 ∈ ∂ + A, что противоречит предположениям (10). Утверждение доказано. ♦ 37

Отметим без доказательства следующую теорему. Теорема Бляшке [6]. Если множество D компактно, то пространство CP (D) в метрике Хаусдорфа также компактно. Далее снова переходим к правильной модели Неймана-Гейла с нормальn n ным квазилинейным производственным отображением f : R+ → P (R+ ).

Для нормального множества A определим множество Gt (A) = f −t (∂ + f t (A)) ∩ A для t = 0, 1, . . . . Утверждение о множествах Gt (A). Если A - телесное нормальное n множество в R+ и f - нормальное многозначное отображение, то множе-

ства Gt (A) компактные и обладают свойством: G0 (A) = ∂ + A ⊃ G1 (A) ⊃ G2 (A) ⊃ . . . ⊃ Gt (A) ⊃ . . . . Доказательство утверждения сводится к доказательству включения (f −(t+1) ∂ + f t+1 (A)) ∩ A ⊂ (f −t ∂ + f t (A)) ∩ A. Заменим B = f t (A). Тогда предыдущее включение эквивалентно (f −1 (∂ + f (B))) ∩ A ⊂ (∂ + B) ∩ A. Последнее включение мы и будем доказывать. Надо доказать, что выполняется включение ∂ + f (B) ⊂ f (∂ + B). Пусть y ∈ ∂ + f (B), это означает, что inf {λ | y ∈ λf (B)} = 1. Но λf (B) = f (λB). Это означает, что n , y ∈ f (x), inf {λ | x ∈ λB} = 1, то есть x ∈ ∂ + B. Отсюда следу∃ x ∈ R+

ет y ∈ f (∂ + B). Это доказывает требуемое включение и все утверждение. Компактность Gt (A) следует из определений. ♦ Обозначим G(A) =

T

Gt (A), тогда в метрике Хаусдорфа Gt (A) →

t

G(A), при этом множество G(A) компактное [8]. n n Теорема о магистрали в сильной форме. Пусть f : R+ → P (R+ )

- нормальное квазилинейное отображение, причём: а) существует телесное нормальное множество A со свойством αA = f (A), где α - темп роста модели Z (это множество A называется собственным для отображения f ); б) существует функционал ϕ ∈ r(Πα ), который принимает на множестве G(A) постоянное значение. 38

n Если точка x0 ∈ R+ такова, что lim α−t f t (x0 ) = A (в метрике Хаусдорt→∞

фа), то для любого ε > 0 найдутся такие t0 , k0 ∈ N , что для всякой конечной оптимальной траектории (xt )Tt=0 , T > t0 + k0 , исходящей из точки x0 , выполняется неравенство (xt , xt+1 ) ρ , Nα kxt k

! ≤ ε,

при t0 < t < T − k0 . Доказательство теоремы опирается на две леммы. Обе леммы доказываются в условиях теоремы. Не умаляя общности, считаем α = 1, заменив везде f на αf . Лемма о множествах Btk . ∀ε > 0 ∃ tk ∈ N ∀ t > tk выполняется Btk ⊂ (f −k (∂ + A) ∩ A) + εS, (k = 1, 2, . . .), где Btk = Gk (Bt ), Bt = f t (x0 ). Доказательство. Покажем, что по ε > 0 найдётся такое ε1 > 0, что f −k (∂ + A + ε1 S) ∩ (A + ε1 S) ⊂ f −k (∂ + A) ∩ A + εS. (11) i h 1 −k + Пусть это не так, тогда ∀ m ∈ N ∃ ym ∈ f (∂ A + m S) ∩ A +

1 −k + S , y ∈ / (f (∂ A) ∩ A) + εS . Из-за компактности соответствуюm m щих множеств можно предполагать, что ym → y. Тогда y ∈ f −k (∂ + A) ∩ A и y ∈ / f −k ((∂ + A) ∩ A) + εS. Это противоречие доказывает соотношение (11). Из условий теоремы следует, что Bt → A, и, следовательно, Bt ⊂ A + ε1 S

(12)

для достаточно больших t > τ1 . Из утверждения о пределе множеств вытекает существование такого τ2 , что ∀ t > τ2 ∂ + Bt ⊂ ∂ + A + ε1 S и f −k (∂ + Bt ) ⊂ f −k (∂ + A + ε1 S). Тогда для t > tk = max{τ1 , τ2 − k} выполняются включения Btk = f −k (∂ + Bt+k ) ∩ Bt ⊂ f −k (∂ + A + ε1 S) ∩ Bt . 39

С помощью (12) получаем: Btk ⊂ f −k (∂ + A + ε1 S) ∩ (A + ε1 S). Далее применяем формулу (11): Btk ⊂ f −k (∂ + A) ∩ A + εS, что и означает утверждение леммы.♦ n Введём обозначения двух типов множеств: Q(δ, t) = x ∈ Bt | ϕ(x) ≥ o n o (1 − δ) max ϕ(y) и Q(δ) = x ∈ A | ϕ(x) ≥ (1 − δ) max ϕ(y) для любых y∈Bt

δ ∈ (0; 1), ϕ ∈ Лемма

y∈A

n ∗ ) ,ϕ (R+

о

6= 0.

множествах

Q(δ, t).

Выполняется

соотношение

lim Q(δ, t) = Q(δ) (в метрике Хаусдорфа).

t→∞

Доказательство. Положим ct = max ϕ(y), c = max ϕ(y). y∈Bt

y∈A

Так как Bt → A, то ct → c. Множества Q(δ, t) компактны, последовательность множеств (Q(δ, t))∞ t=0 ограничена. Тогда по теореме Бляшке существует сходящаяся подпоследовательность (Q(δ, tk ))∞ k=0 . Покажем, что Q(δ) = lim Q(δ, tk .) k→∞

Пусть x ∈ η = lim Q(δ, tk ). Тогда существует такая последовательность k→∞

(xtk )∞ k=0 элементов множества Q(δ, tk ), что xtk → x. Так как Q(δ, tk ) ⊂ Btk , то xtk ∈ Btk и x ∈ A. Так как ϕ(xtk ) ≥ (1 − δ)ctk , то ϕ(x) ≥ (1 − δ)c. Отсюда следует x ∈ Q(δ) и η ⊂ Q(δ). Наоборот, пусть x ∈ A и ϕ(x) > (1 − δ)c. Тогда существует последовательность (xtk )∞ k=0 , что xtk ∈ Btk , xtk → x. Положим ε = ϕ(x) − (1 − δ)c. Тогда найдется такое k1 , что

∀ k > k1 выполняются неравенства

(1 − δ)ctk < (1 − δ)c + 2ε , ϕ(xtk ) > ϕ(x) − 2ε . Тогда для k > k1 справедливо ϕ(xtk ) > ϕ(x) −

ε 2

= (1 − δ)c +

ε 2

> (1 − δ)ctk . Отсюда следует

xtk ∈ Q(δ, tk ), что означает x ∈ η. Так как η замкнуто, то Q(δ) ⊂ η. Вместе с предыдущей частью доказательства получаем η = Q(δ). Поскольку η - любая предельная точка последовательности (Q(δ, t))∞ t=1 , то это означает, что lim Q(δ, t) = Q(δ). ♦ t→∞

40

Теперь перейдём к доказательству теоремы о магистрали в сильной форме. Доказательство теоремы о магистрали в сильной форме. Рассмотрим собственное множество A. Выполняются соотношения Gk (A) = f −k (∂ + A) ∩ A,

k ∈ N,

f −k (∂ + A) ∩ A → G(A). Выберем малое δ1 > 0. Тогда из предыдущего следует, что существует k0 ∈ N , что выполнено включение 1 f −k0 (∂ + A) ∩ A ⊂ G(A) + δ1 S. 4 k По лемме о множествах Bt для достаточно больших t выполняется   1 k0 −k0 + Bt ⊂ f (∂ A) ∩ A + δ1 S, 4 тогда 1 Btk0 ⊂ G(A) + δ1 S. (13) 2 n ∗ ) , указанному в п. б) Построим Q(δ1 , t), Q(δ1 ) по функционалу ϕ ∈ (R+ теоремы. Докажем, что ∀ t ≥ 0 выполняется включение !  
kϕk Q(δ1 , t) + δ1 S ∩ Bt ⊂ Q δ1 1 + ,t , ct

(14)

где ct = max ϕ(y). y∈Bt

Действительно, пусть x ∈ (Q(δ1 , t)+δ1 S)∩Bt . Тогда найдутся такие x1 , x2 , что x = x1 + x2 , ϕ(x1 ) ≥ (1 − δ1 )ct , ϕ(x2 ) ≥ −δ1 ||ϕ||. Отсюда следует    ||ϕ|| ct , что означает справедливость соотношения ϕ(x) ≥ 1 − δ1 1 + ct (14). Обозначим через M = 2 + ct → c, то 1 +

||ϕ|| ct

||ϕ|| c .

Так как по лемме о множествах Q(δ, t)

≤ M для достаточно больших t.

Тогда для этих t из (14) получаем (Q(δ1 , t) + δ1 S) ∩ Bt ⊂ Q(M δ1 , t). 41

(15)

Из условия б) теоремы следует G(A) ⊂ Q(δ1 ).

(16)

Это включение обосновывается соотношениями G(A) ⊂ ∂ + A, ∂ + A ⊂ Q(δ1 ). Последнее верно из-за того, что ϕ постоянно на G(A), а это значение ϕ(G(A)) должно быть равно max ϕ(y) на основе свойств ∂ + A. y∈A

Из леммы о множествах Q(δ, t) следует, что для достаточно больших t 1 Q(δ1 ) ⊂ Q(δ1 , t) + δ1 S. 2 Отсюда и из формул (15), (16) получаем для достаточно больших t следующие включения:       1 1 G(A)+ δ1 S ∩Bt ⊂ Q(δ1 )+ δ1 S ∩Bt ⊂ Q(δ1 , t)+δ1 S ∩Bt ⊂ Q(M δ1 , t). 2 2 k0 k0 Так как Bt ∩ Bt = Bt , то из последних включений и (13) следует существование таких t0 , k0 , что Btk0 ⊂ Q(M δ1 , t) для t ≥ t0 .

(17)

Возьмём произвольное ε > 0. По лемме Мак-Кензи существует такое δ >   (x,y) 0, что ∀ (x, y) ∈ Z с условием ρ kxk , Nα ≥ ε выполняется неравенство 1 2 M δ . Тогда (ct )∞ t=0 , где ct =

ϕ(y) < (1 − δ)ϕ(x). Положим в (17) δ1 =

∀ t > t0 выполняется

Btk0 ⊂ Q(δ 2 , t). Последовательность

max ϕ(y), сходится к y∈Bt

c = max ϕ(y). В этом случае t0 можно считать таким большим, что ∀ t > t0 y∈A

max ϕ(y) ≤ (1 + δ) max ϕ(y). y∈Bt

y∈Bt+1

Рассмотрим конечную траекторию (xt )Tt=0 с T > t0 + k0 . Пусть для неко  (xt−1 ,xt ) торого t, t0 < t < T − k0 выполняется ρ kxt−1 k , Nα ≥ ε. Тогда по лемме Мак-Кензи выполняются неравенства ϕ(xt ) < (1 − δ)ϕ(xt−1 ) ≤ (1 − δ) max ϕ(y) ≤ (1 − δ 2 ) max ϕ(y). Получаем xt ∈ / Q(δ 2 , t), то есть xt ∈ /

y∈Bt−1 k0 Bt .

y∈Bt

По определению Btk0 = Gk0 (Bt ) = f −k0 (∂ + Bt+k0 ) ∩ Bt . 42

Так как xt ∈ Bt и xt ∈ / Btk0 , то xt ∈ / f −k0 (∂ + Bt+k0 ). Отсюда следует, что f k0 (xt ) ∩ ∂ + Bt+k0 = ∅. Это означает, что xt+k0 ∈ / ∂ + f t+k0 (x0 ), а отсюда сле0 дует, что последовательность (xτ )t+k τ =0 не оптимальна и последовательность

(xt )Tt=0 также не оптимальна. Следовательно, для любой оптимальной конечной траектории (xt )Tt=0 (T > t0 + k0 ) выполняется неравенство ! (xt−1 , xt ) , Nα < ε ρ kxt−1 k для t0 < t < T − k0 . Теорема о магистрали в сильной форме полностью доказана.♦ 2.4

Упражнения

Решить следующие задачи, примеры или доказать сформулированные факты. Соотвествующие обозначения и понятия приведены в тексте раздела. 1. Сформулировать определение полунепрерывности сверху для функционалов на языке последовательностей. 2. Множество D в доказательстве утверждения 4.5 является выпуклым замкнутым конусом. 3.

Для

неймановского

показателя

роста

существует

набор

(α(z), (¯ x, y¯), ϕ), ¯ для которого выполнены все условия равновесия, кроме, возможно, ϕ(¯ ¯ y ) > 0. 4. Множество Nα является гранью конуса Z. 4. kxkA удовлетворяет всем условиям нормы. 5. Формула (7) определяет функцию расстояния.

Заключение Многозначные отображения позволяют создать общее описание процессов экономической динамики. Сюда вкладываются модели Леонтьева 43

"затраты - выпуск"и серия моделей Неймана и Неймана-Гейла. В наиболее общем виде проявляются свойства магистральности оптимальных траекторий. Приведены две формы теоремы о магистралях - слабая и сильная. В различных постановках моделей экономической динамики теоремы о магистральных свойствах оптимальных траекторий могут иметь различную форму, но принципиально эти формы мало отличаются от указанных здесь вариантов.

Список литературы 1. Канторович Л.В. Математические методы организации и планирования производства. Л.: Изд-во ЛГУ, 1939. 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 4. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Советское радио, 1972. 5. Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математические модели экономического взаимодействия. М.: Наука, 1993. 6. Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973. 7. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. 8. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 9. Newmann, J. von. Uber ein ¨okonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung das Brounerschen Fixpunkt-satzes, Ergebnisse eines Math. Kolloguiums, No 8, Vienna, 1937. 44