Введение в математический анализ: Учебное пособие

Н.Б.Шепелявая

Введение в математический анализ Учебное пособие.

СЗТУ,2003

Предисловие Данное учебное пособие является первым в серии пособий, подготовленных кафедрой высшей математики СЗТУ по различным разделам математического анализа. Как правило, с материалом, изложенным во "Введении в математический анализ", студенты всех специальностей знакомятся в конце первого семестра. Хочется отметить, что изложение ведется на современном математическом языке, который предполагает использование логической символики и теоретико-множественных понятий. Необходимые для понимания текста сведения из математической логики и теории множеств содержатся в первых двух пунктах главы 1, которые носят в данном случае вспомогательный характер. Далее следует обычное для начала курса математического анализа знакомство с вещественными (или действительными) числами и их свойствами, а также с функциями одной вещественной переменной и их свойствами. Опыт показывает, что достаточно часто такие важнейшие понятия как предел функции и непрерывность функции не очень легко воспринимаются студентами. Поэтому хочется посоветовать студентам особенно внимательно изучить вторую главу данного пособия, озаглавленную "Предел функции". В этой главе следует также обратить особое внимание и на понятия бесконечно малой и бесконечно большой функции. Третья глава содержит понятия производной функции и её дифференциала, очень важные для понимания дальнейшего курса математического анализа и его приложений. Для проверки усвоения теории в конце каждой главы приведены вопросы, ответы на которые студент должен извлечь из изложенного в данной главе материала. Полезно также научиться самостоятельно воспроизводить доказательства теорем, приведенные в тексте. Автор надеется, что работа с учебным пособием "Введение в математический анализ" поможет студентам подготовиться к восприятию дальнейших более сложных разделов курса математики, а также обрести элементы того, что принято называть математической культурой.

Глава 1

Основные

понятия

1.1 Логическая символика Современный математический язык использует большую группу логических понятий и символов, которые позволяют четко и компактно формулировать математические предложения. Основное логическое понятие - высказывание (предложение, предикат). По определению, высказывание может быть либо истинно, либо ложно. Например, "стороны квадрата равны" − истинное высказывание, а " 0 ⋅1 = 1 " − ложное. Обозначим два произвольных высказывания соответственно буквами P и Q . Над ними можно производить операции отрицания (¬P ) , логического сложения (P ∨ Q ) , логического умножения ( P ∧ Q ) , эквивалентности (P ⇔ Q ) , следствия (P ⇒ Q ) . Их результат в зависимости от истинности (1) или ложности (0) P и Q определяется так: P Q P∨Q

0 0 1 1

P ¬P

0 1 1 0

P Q P⇔Q

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 1

0 1 0 1

P Q P∧Q

0 1 1 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

P Q P⇒Q

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 1

Легко видеть, что значение отрицания ¬P противоположно значению P ; сумма высказываний P ∨ Q истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из слагаемых; произведение P ∧ Q истинно тогда и только тогда, когда истинны оба сомножителя; эквивалентность P ⇔ Q истинна тогда и только тогда, когда истинность высказываний P и Q совпадает; следствие P ⇒ Q истинно всегда, кроме того случая, когда из истинной посылки P следует ложный вывод Q .

Заметим, что в виде следствия формулируются наиболее часто встречающиеся в математике предложения - теоремы. Если условие теоремы обозначить P , а заключение – Q , то теорема примет вид: P ⇒ Q . Говорят также, что P есть достаточное условие Q , а Q - необходимое условие P . Назовем теорему P ⇒ Q прямой, теорему Q ⇒ P - обратной, а теоремы ¬P ⇒ ¬Q и ¬Q ⇒ ¬P соответственно, противоположной прямой и противоположной обратной. Пример 1.1. Прямая теорема: если выпуклый четырехугольник - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Здесь: "выпуклый четырехугольник - ромб" − это высказывание P , а утверждение, что "диагонали взаимно перпендикулярны" − это высказывание Q . Обратная теорема - “если диагонали взаимно перпендикулярны, то выпуклый четырехугольник – ромб”; противоположная прямой- “ если выпуклый многоугольник не ромб, то его диагонали взаимно не перпендикулярны”; противоположная обратной“если диагонали не взаимно перпендикулярны, то выпуклый многоугольник не ромб”. Очевидно, что в данном примере прямая теорема верна, теорема, противоположная обратной, также верна, а обратная и противоположная прямой - нет. Такая связь между истинностью не случайна: соответствующие теоремы просто эквивалентны. Установим эквивалентность прямой и противоположной обратной теорем: ( P ⇒ Q ) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ).

Рассмотрим значения левой и правой части в зависимости от истинности P и Q . Если указанные значения во всех возможных случаях совпадут, то эквивалентность будет доказана. 1. P - истинно, Q - истинно. Тогда слева (1 ⇒ 1) - истинно по определению следствия, справа (¬1 ⇒ ¬1) , что по определению отрицания эквивалентно (0 ⇒ 0) . Последнее истинно по определению следствия. 2. P - истинно, Q - ложно. Слева (1 ⇒ 0) - ложно, справа (¬0 ⇒ ¬1) ⇔ (1 ⇒ 0) − ложно.

3. P

- ложно, Q - истинно. Слева (0 ⇒ 1) - истинно, справа

(¬1 ⇒ ¬0) ⇔ (0 ⇒ 1) − истинно.

4.

- ложно. Слева (0 ⇒ 0) - истинно, справа (¬0 ⇒ ¬0) ⇔ (1 ⇒ 1) − истинно. Эквивалентность доказана. Заметим, что известный метод доказательства от противного представляет собой замену доказательства прямой теоремы на доказательство эквивалентной ей противоположной обратной. Используя этот же подход, устанавливают эквивалентность обратной и противоположной прямой теорем. Аналогично доказывается еще одна очень важная эквивалентность: P

- ложно, Q

( P ⇔ Q ) ⇔ (( P ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ P )),

то есть P эквивалентно Q тогда и только, когда Q следует из P и следует из Q .

P

В математике часто приходится иметь дело с выражениями, зависящими от параметра. Например, P( x) = {x 2 > 5} . Очевидно, что P (1) ложно, а P(3) - истинно. В связи с этим применяют особые символы: квантор общности В математике часто приходится иметь дело с выражениями, зависящими от параметра. Например, P( x) = {x 2 > 5} . Очевидно, что P (1) ложно, а P(3) - истинно. В связи с этим применяют особые символы: квантор общности (∀) и квантор существования (∃) . Так, запись ( ∃ x : P ) означает, что "существует по крайней мере один x , для которого высказывание P истинно", а запись ( ∀x : P ) следует читать: "для всякого x высказывание P истинно". Обратим внимание на то, что при построении отрицания кванторы общности и существования замещают друг друга, а финальное высказывание P заменяется противоположным, то есть ¬(∀x : P ) ⇔ (∃x : ¬P ),

¬(∃x : P ) ⇔ (∀x : ¬P ).

Пример 1.2. Отрицанием выражения "для каждого x выполнено неравенство f ( x) ≤ 0 " будет следующее - "существует по крайней мере один x такой, что выполняется неравенство f ( x) > 0 ", и наоборот, противоположным к предложению "существует по крайней мере один x , такой, что f ( x) ≤ 0 " будет следующее - "для каждого x верно f ( x) > 0. " Утверждение P в общем случае может зависеть от двух и более параметров. Пример 1.3. Пусть P ( x, y ) ≡ {студент x решил задачу y} . При этом различные кванторы, относящиеся к такому высказыванию, нельзя менять местами. Действительно, выражение (∀x∃y : P ( x, y )) означает, что "для каждого студента существует по крайней мере одна задача, которую он решил", а (∃y∀x : P ( x, y )) читается так: "найдется по крайней мере одна задача, которую решили все студенты".

1.2 Множества 1.2.1. Понятие множества Множество относится к простейшим неопределенным понятиям и понимается как собрание, совокупность объектов. Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Если таковых нет, то множество называют пустым. Если x - элемент множества A , то пишут x ∈ A ; в противоположном случае: x∈A (или x ∈/ A ). Пустое множество обозначают символом ∅ . Считается, что множество задано, если перечислены все его элементы или указано некоторое характеристическое свойство, которое их определяет. Заметим, что перечисление может быть произведено непосредственно или с помощью рекуррентных формул. Пример 1.4. 1. Множество A = {,d ,V} задано непосредственным перечислением элементов.

2. Множество натуральных чисел N определяют рекуррентно с помощью следующих двух утверждений: 1∈ N , и, если n ∈ N , то n + 1∈ N . 3. Множество A = {x : ( x ∈ N ) ∧ (1 ≤ x < 4)} задано характеристическими свойствами, а именно: его элементы x есть натуральные числа, удовлетворяющие неравенству 1 ≤ x < 4 . Этому условию удовлетворяют числа 1, 2, 3 и только они. Следовательно, A = {1, 2, 3}. Установим некоторые отношения между множествами. Определение 1.1. Множества A и B называются равными ( A = B) , если они состоят из одних и тех же элементов, то есть ( A = B ) ⇔ ((∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ) ∧ (∀x : x ∈ B ⇒ x ∈ A)).

Определение 1.2. Если каждый элемент множества B является элементом множества A , то говорят, что B -подмножество A (B ⊂ A ). Очевидно, ( A = B) ⇔ ((B ⊂ A ) ∧ ( A ⊂ B)). Пример 1.5. Доказать, что если A = {x : x 2 − 8 x + 15 = 0} и B = {1, 6} , то A = B. Множество A задано характеристическим свойством. Его элементы есть корни уравнения x 2 − 8 x + 15 = 0 . Решая данное уравнение, найдем, что x1 = 1, x2 = 6. Тогда A = {1, 6} . Следовательно, A = B по определению равенства множеств (см. опp.1.1). Пример 1.6. A = {1, 2}. Найти все его подмножества. По определению (см. опр.1.2), каждый элемент подмножества должен содержаться в A . Перечислим все возможные подмножества: {1},{2} , а также {1, 2} и ∅ , ибо по определению A ⊂ A и ∅ ⊂ A. Множества A и ∅ называют несобственными подмножествами множества A . J Определение 1.3. Множество называется универсальным множеством для системы множеств A, B, C,L , если каждое из этих множеств является его подмножеством. 1.2.2

Операции над множествами

Определение 1.4. Объединением ( A ∪ B ) или суммой множеств A , B называется множество, состоящее из элементов, входящих в множества A или B , и только из них: A ∪ B = {x : ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B )} . Определение 1.5. Пересечением ( A ∩ B) или произведением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A , так и множеству B , и только из них: A ∩ B = {x : ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B )}.

Определение 1.6. Разностью A 5 B множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множества A , не входящих в B , и только из них: A 5 B = {x : ( x ∈ A ) ∧ ( x∈B)}. Определение 1.7. Дополнением B′ множества B называется разность J 5 B , где - универсальное множество.

Пример 1.7. Пусть A = {1, 2, 6, 9}, B = {2, 3, 7, 9,11}. 1. По определению объединения (см. опр.1.4) A ∪ B = {1, 2, 6, 9, 3, 7,11} ; 2. По определению пересечения (см. опр.1.5) A ∩ B = {2, 9} ; 3. По определению разности (см. опр.1.6 ) A 5 B = {1, 6} , B 5 A = {3, 7,11} .

a).

б).

в). Рис. 1. 1.

а) A ∪ B ;

б) A ∩ B ;

в) A 5 B

1.2.3 Эквивалентность множеств. Mощность Определение 1.8. Если каждому элементу множества A по некоторому правилу можно сопоставить один и только один элемент множества B и обратно, каждому элементу множества B можно сопоставить один и только один элемент множества A, то говорят, что между множествами A и B установлено взаимно - однозначное соответствие. Множества A и B называются эквивалентными ( A : B ), если между ними можно установить взаимно - однозначное соответствие, в противном случае говорят, что множества не являются эквивалентными. Для доказательства эквивалентности двух множеств достаточно установить между ними какое-либо взаимно - однозначное соответствие. Заметим, что из равенства множеств следует их эквивалентность, обратное же утверждение неверно. Пример 1.8. 1. Пусть A = {a, b, c} и B = {1, 2, 3} . Установим взаимнооднозначное соответствие между ними, например так: a ↔ 1 , b ↔ 2 , c ↔ 3 . Тогда A : B (см. опр.1.8). Однако при этом A ≠ B, (см. опр.1.1) 2. Установим взаимно - однозначное соответствие между множествами A = {x : 0 ≤ x ≤ 1} и B = {y : a ≤ y ≤ b} . Положим y = (b − a ) x + a. Если x ∈ A, то

соответствующий ему элемент y ∈ B, и обратно, если y ∈ B, то соответствующий ему элемент x = ( y − a ) / (b − a ) принадлежит A. Заметим, что отношение эквивалентности транзитивно: если A : B и B : C , то A : C. Определение 1.9. Непустое множество A называется конечным, если существует такое натуральное число n ∈ N, что A : {1, 2,L , n}. В этом случае говорят, что множество имеет n элементов. Пустое множество по определению считается конечным. Множество, не являющееся конечным называется бесконечным. Множество A, эквивалентное множеству N натуральных чисел называется счетным. A, R Множество эквивалентное множеству вещественных (действительных) чисел называется множеством мощности континуума. Определение 1.10. Мощностью множества A называется класс всех множеств, эквивалентных множеству A . Тем самым, мощность есть общая характеристика всех эквивалентных между собой множеств. Для конечных множеств мощность множества это число его элементов. Все элементы любого из счетных множеств могут быть перенумерованы, несмотря на то, что их число бесконечно. Элементы множества, имеющего мощность континуума, перенумеровать невозможно.

1. 3. Множество вещественных чисел В школьном курсе математики Вы уже знакомились с множеством вещественных (действительных) чисел R . Уточним некоторые его свойства, наиболее важные для данного курса. Итак, целые положительные числа 1, 2, 3,L образуют множество натуральных чисел, которое обычно обозначается буквой N . Целые отрицательные числа, ноль и целые положительные числа образуют множество целых чисел, которое будем обозначать буквой Z . Множество рациональных чисел Q образовано всевозможными обыкновенными дробями. m : (m ∈ Z) ∧ ( n ∈ N )}. n Очевидно, что N ⊂ Z , N ⊂ Q , Z ⊂ Q . Q = {±

Существует бесконечное множество чисел, которые не являются рациональными. К ним относятся, например, 2 , 5, π& и т.д. Эти числа называют иррациональными. Пусть C - множество иррациональных чисел. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество вещественных чисел R , т.е. R = Q ∪ C. Известно, что любое вещественное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби, периодической или непериодической.

Заметим, что число 0 , которое является периодом бесконечной дроби, обычно не пишут, превращая тем самым бесконечную дробь в конечную. При этом рациональные числа представимы в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные - в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Далее будут использоваться следующие основные свойства вещественных чисел: 1. Упорядоченность. Это значит, что любые два вещественных числа a и b находятся в одном и только в одном из трех соотношений: a < b , a = b , a > b.

2. Плотность. Между любыми двумя числами находится бесконечно много рациональных и иррациональных чисел. Из последнего свойства следует, что всякое иррациональное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным числом. На практике такое приближение осуществляют, оставляя в бесконечной непериодической дроби, которая соответствует иррациональному числу, только конечное число первых десятичных знаков и заменяя остальные нулями. Известно, что множество рациональных чисел счётно, а множество вещественных чисел R не является счетным и имеет, по определению, мощность континуума. Это связано со свойством непрерывности R . Подробнее о свойствах множества R можно прочесть в одном из полных курсов математического анализа. 1.3.1 Геометрическая интерпретация вещественных чисел Установим эквивалентность множества вещественных чисел и множества точек числовой оси (вещественной прямой). Напомним, что числовой осью называется прямая, на которой установлено положительное направление (обычно указывается стрелкой); точка 0, называемая началом отсчета и масштаб, т.е. отрезок, длина которого принята за единицу.

Рис. 1. 2

На рис.1.2 числовая ось расположена горизонтально, за положительное выбрано направление слева направо. Точка, соответствующая числу x строится так: если x > 0 , то эта точка лежит правее точки 0 на расстоянии x от нее; если x < 0 , то точка лежит слева от точки 0 на расстоянии − x от нее; если x = 0 , то соответствующая точка совпадает с точкой 0. Аналогичным образом, каждой точке на числовой оси можно поставить в соответствие единственное число x . Установленное взаимно однозначное соответствие

позволяет отождествить понятия "точка x на числовой оси" и "вещественное число x ." Определим некоторые часто встречающиеся подмножества R . Пусть a, b, x - вещественные числа. ( a, b) = { x : a < x < b}, - открытый интервал; [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} - замкнутый интервал; ( a, b] = {x : a < x ≤ b} и [ a, b) = {x : a ≤ x < b} - полуоткрытые интервалы. Эти интервалы называются конечными промежутками и на числовой оси изображаются отрезками с включением или без включения в них конечных точек. Введем бесконечные промежутки: ( −∞, +∞ ) = {x : x ∈ R} , т.е. ( −∞, +∞ ) = R ; ( −∞, b) = {x : x < b}; [a, +∞ ) = {x : x ≥ a};

( −∞, b) = {x : x ≤ b}; {a, +∞) = {x : x > a}.

Можно показать, что любой промежуток имеет мощность континуума. 1.3.2

Ограниченность числовых множеств

Определение 1.11. Пусть X ⊂ R . Говорят, что X ограничено сверху, если существует M ∈ R , такое что ∀x ∈ X выполнено x ≤ M . При этом число M называется верхней границей множества X . Наименьшая из всех верхних границ множества X называется точной верхней границей (или верхней гранью) множества X . Множество, что X называют ограниченным снизу, если существует m ∈ R , такое что ∀x ∈ X выполнено x ≥ m . При этом число m называется нижней границей множества X . Наибольшая из всех нижних границ множества X называется точной нижней границей (или нижней гранью) множества X . Верхняя грань множества X обозначается supX, нижняя - infX (от латинских слов supremum - наивысшее и infimum - наинизшее). Верхняя и нижняя грани могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему. Пример 1.9. 1. Полуоткрытый интервал [a, b) есть множество, ограниченное сверху и снизу, причем нижняя грань - точка a принадлежит ему, a верхняя грань - точка b не принадлежит ему. 1 ему 2. Множество X = {x : x = 2− n , n ∈ N} имеет верхней гранью число 2, принадлежащее, а нижней - число 0, которое ему не принадлежит. 1.3.3.

Абсолютная величина вещественного числа

Пусть x - произвольное вещественное число, т.е. x ∈ R ⎧− x, если x < 0 ⎪ | x |= ⎨ x, если x > 0 ⎪ 0, если x = 0 ⎩

Заметим, что с геометрической точки зрения | x | - это расстояние от точки, соответствующей числу x на числовой оси, до начала координат.

Рис. 1.3.

Отсюда следует что, | x − y | - это расстояние между точками, соответствующими числам x и y на числовой оси. Перечислим основные свойства модуля: 1. | x |≥ 0 для любого x, причем | x |= 0 ⇔ x = 0 2. | − x |=| x | . 3. | x + y |≤| x | + | y | 4. | xy |=| x || y | |x| 5. Если y ≠ 0 то | xy |= | y| 6. | x − y |≥|| x | − | y || 7. Если ε > 0, то (| x |< ε ) ⇔ (−ε < x < ε )

При этом следует отметить, что пункты 1 - 3 характеризуют свойства модуля как расстояния. 1.3. 4. Окрестности точек. Расшиpенная вещественная пpямая Важным для дальнейшего изложения является понятие окрестности. Определение 1.12. Пусть ε > 0. ε -окрестностью точки x0 будем называть множество точек x , расстояние ρ ( x, x0 ) от которых до точки x0 меньше ε . Обозначим ε -окрестность точки x0 так: R ε ( x0 ). Как следует из определения окрестности и определения расстояния (абсолютной величины) на множестве R. R ε ( x0 ) = {x :| x − x0 |< ε }

или

R ε ( x0 ) = ( x0 − ε , x0 + ε ).

Геометрически Rε ( x0 ) - это отрезок длины 2ε с серединой в точке x0 , без включения в него концевых точек (рис.1.4 a). а)

б)

Рис. 1.4.

Любую точку числовой оси, соответствующую некоторому вещественному числу, принято называть конечной точкой. Пусть x0 - конечная точка. Введем в рассмотрение левую R ε− ( x0 )

ε - окрестность точки x0 и правую R ε+ ( x0 ) ε - окрестность точки x0 . По определению, R ε+ ( x0 ) = ( x0 − ε , x0 ) , R ε+ ( x0 ) = ( x0 , x0 + ε ) (см. рис.1.4 б) Наряду с ε - окрестностью точки используют и понятие окpестности

точки. Определение 1.13. Окpестностью X конечной точки x0 называется любое подмножество X ⊂ R , cодеpжащее некотоpую ε -окpестность точки x0 . Расшиpим числовую ось (соответственно и множество вещественных чисел R ), введя на ней три бесконечные точки: +∞, −∞, ∞. Сделаем это путем определения их ε - окрестностей R ε (+∞), R ε (−∞), R ε (∞), ибо интересовать нас будут впоследствии не сами точки, а их окрестности. Итак, пусть ε > 0 . Определение 1.14. 1 1 R ε ( +∞) = ( , +∞); R ε ( −∞) = ( −∞, − );

ε

ε

1 1 R ε (∞) = ( −∞, − ) ∪ ( , +∞), (см.рис. 1.5)

ε

ε

Рис. 1. 5.

Следовательно, 1 1 ( x ∈ R ε (+∞)) ⇔ ( x > ), ( x ∈ R ε (−∞)) ⇔ ( x < − ),

ε

ε

1 ( x ∈ R ε (∞)) ⇔ ( x > ).

ε

Естественно считать бесконечные точки +∞ и −∞ частными случаями точки ∞. 1.3.5

Открытые и замкнутые подмножества R

Определение 1.15. Пусть X - некоторое множество вещественных чисел ( X ⊂ R ) или некоторое множество точек числовой оси. Точка x называется внутренней точкой множества X , если она принадлежит X вместе с некоторой своей ε - окрестностью. Точка x называется граничной точкой множества X , если любая окрестность этой точки содержит как точки, принадлежащие X , так и точки, не принадлежащие X . При этом

точка x может принадлежать или не принадлежать X . Пример 1.10. 1. Пусть X = (1, 4) . Любая точка x , принадлежащая этому открытому интервалу, принадлежит ему вместе с некоторой своей достаточно малой окрестностью. В силу этого любая точка промежутка (1, 4) является его внутренней точкой. Любые окрестности точек x = 1 и x = 4 содержат как точки, принадлежащие промежутку (1, 4) , так и точки, ему не принадлежащие. Следовательно, точки x = 1 и x = 4 будут граничными точками промежутка (1, 4) , ему не принадлежащими. 2. Пусть X = [0, +∞) . Любая точка x > 0 будет внутренней точкой этого промежутка. Точка x = 0 будет граничной точкой промежутка X , ему принадлежащей. Определение 1.16. Множество X ⊂ R называется открытым, если все его точки внутренние. Примером открытого множества может служить рассмотренный выше интервал (1, 4) . Определение 1.17. Точка x0 ∈ R называется предельной точкой для множества X ⊂ R , если любая окрестность точки x0 содержит хотя бы одну точку множества X 5 {x0 } , т.е. ∀ε > 0 : R ε (x0 ) ∩ ( X 5 {x0 }) ≠ ∅ . Заметим, что предельные точки могут быть как внутренними, так и граничными. Пример 1.11. Пусть X = [0, +∞) . Любая точка x ≥ 0 будет предельной для X по определению, но точка x = 0 при этом является граничной, а остальные - внутренними. Определение 1.18. Множество X называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Примерами замкнутых множеств могут служить, например, замкнутые интервалы [a, b]. Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема 1.1. Для того, чтобы множество X ⊂ R было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение X′ = R 5 X было замкнутым.

1. 4

Функции

1.4.1 Отображения множеств. Определение 1.19. Если даны два непустых множества X , Y и закон f , ставящий в соответствие каждому x ∈ X один и только один y ∈ Y , то говорят, что задано отображение f множества X в множество Y (1.1) f :X→Y Заметим, что в определении не требуется, чтобы каждый элемент y ∈ Y множества Y был непременно поставлен в соответствие некоторому x ∈ X . Не требуется также и чтобы различным элементам из X были сопоставле-

ны различные элементы из Y . Любое y0 , которое получается при отображении f элемента x0 ∈ X , называется образом элемента x0 . Любое x0 , которое при отображении f переходит в y0 , называется прообразом элемента y0 . Пусть X1 ⊂ X . Тогда f ( X1 ) = { y ∈ Y : y = f ( x), x ∈ X1} называется образом множества X1 при отображении f . Пример 1.12. Пусть X - множество студентов x из одной студенческой группы численностью 25 человек. Y - подмножество множества натуральных чисел: Y = 1, 2, 3, 4, 5. Зададим отображение f следующим образом: каждому студенту x из множества X сопоставим элемент y из множества Y , равный оценке, полученной данным студентом на экзамене по математике. Тогда оценка y0 , полученная студентом x0 , будет его образом при данном отображении f . При этом может оказаться, что для некоторых элементов множества Y (например, для y = 1 и y = 5 ) не найдется подходящих x , так как не будет студентов, получивших оценки "1" и "5". Некоторые же элементы Y (например y = 3 ) будут сопоставлены сразу нескольким элементам x из множества X , т.к. именно оценка "3" будет самой распространенной . 1.4.2 Функции. Способы задания Часто (особенно, если множества X и Y - числовые) вместо термина отображение используют слово функция. Определение 1.20. Если X ⊂ R, Y ⊂ R , то отображение f называют вещественной функцией одной вещественной переменной или просто функцией. Заметим также, что для числовой функции принято называть функцией не только закон соответствия между элементами x и y множеств X и Y , но и саму переменную y , изменяющуюся на множестве f ( X) . Вместо записи (1.1) в этом случае обычно применяется запись вида y = f ( x) , или, чтобы не вводить лишних букв, пишут y = y ( x ) , где x называют аргументом функции, y - значением функции. Образ a при отображении f (т.е. f (a ) или y (a) ) тогда называют значением функции в точке a . Для функции y = f ( x) множество X называют областью определения функции, а множество f ( X) , - областью изменения функции или областью значений функции. Очевидно, что f ( X) ⊂ Y. Иногда область определения X функции f обозначают через D( f ) , а множество значений f ( X) , соответственно - E( f ) . Если функция y = f ( x) задана с помощью формулы (т.е. аналитически), то под областью определения X понимают множество тех вещественных значений аргумента x , при которых аналитическое выражение f ( x) имеет смысл, то есть, выполнимы все указанные в нём действия. В этом случае множество X принято называть естественной

областью определения ) . Пример 1.13. Рассмотрим формулу y = 2 − x . Эта формула каждому значению x ∈ (−∞, 2] ставит в соответствие единственное значение y , причем все эти значения y образуют промежуток [0, +∞). Следовательно, приведенная формула определяет функцию, для которой X = (−∞, 2], f ( X) = [0, +∞ ).

Числовые функции могут задаваться различными формулами на разных промежутках, принадлежащих множеству определения. В этом случае говорят, что функция задана кусочно-аналитически. Формулы ⎧− x, если x ∈ [−1, 0] y=⎨ 2 ⎩ 2 x , если x ∈ (0,1] определяют функцию, для которой X = [−1,1], f ( X) = [0, 2].

Иногда функцию, заданную кусочно-аналитически можно задать и аналитически. Например, ⎧2 x, если x ∈ [0, +∞) y=⎨ или y = x + | x | ⎩ 0, если x ∈ (−∞, 0) Если множество f ( X) содержит единственный элемент C (то есть, всем x ∈ X ставится в соответствие одно и то же число C ), то функция называется постоянной . В этом случае пишут f ( x) = C или f ( x) = const . Если задано уравнение F ( x, y ) = 0 , связывающее аргумент x и функцию y , то говорят, что функция задана неявно. В некоторых случаях удается от

неявного задания перейти к явному. Например, выражение y = −5/ 1 − x задает функцию y 1 − x + 5 = 0 в явном виде. К сожалению, эта задача не всегда выполнима. Отметим однако, что для решения многих задач переход к явной форме не требуется . При решении прикладных задач закон соответствия между элементами множеств X и Y , то есть функция y = f ( x) , часто задается с помощью графика, получаемого в результате некоторого эксперимента. Такой способ задания называется графическим. Если функция задана иначе ( не графически ), то может быть полезно рассмотреть её график. Определение 1.21. Графиком функции y = f ( x) в декартовой прямоугольной системе координат Oxy называется множество Γ f точек M плоскости Oxy , абсциссы которых являются значениями аргумента x , а ординаты - соответствующими им значениями функции y = f ( x) . Γ f = {M ( x, y ) : x ∈ X, y = f ( x )}.

Множество точек Γ f обычно заполняет некоторую линию l . Так что выражение y = f ( x) , где x ∈ X можно рассматривать как уравнение линии l .

Существует еще один способ задания функции - параметрический. Его часто используют в приложениях. С этим способом мы познакомимся в паpагpафе 1.4.9. 1.4.3. Сложная функция Рассмотрим две формулы y = f (u ), u ∈ U

(1.2)

u = ϕ ( x ), x ∈ X.

(1.3)

Первая формула определяет функцию y = f (u ) на множестве U , а вторая функцию u = ϕ ( x) на множестве X . Пусть ϕ ( X) ∩ U ≠ ∅ . Определение 1.22. Функция y = f (ϕ ( x)) , аргументом которой является функция ϕ ( x ) называется сложной функцией переменной x . В этом случае говорят, что функция (1.2) - внешняя, а функция (1.3) - внутренняя. Сложную функцию называют также суперпозицией (наложением) функций (1.2) и (1.3). Область определения X∗ сложной функции состоит из тех и только тех значений x ∈ X , для которых соответствующие значения u = ϕ ( x) принадлежат множеству определения U функции (1.2). ( x ∈ X∗ ) ⇔ (ϕ ( x) ∈ U).

Переменная u = ϕ ( x) называется промежуточным аргументом сложной функции, тогда как x , принимающая значения из множества X∗ , аргументом сложной функции в обычном смысле. Можно сказать, что промежуточный аргумент u - это зависимая переменная, а x - независимая. Если ни один элемент множества ϕ ( X) значений функции (2) не принадлежит множеству U , то есть, если ϕ ( X) ∩ U = ∅, то сложная функция не определена. Аналогично вводятся сложные функции, являющиеся суперпозицией трех и большего числа функций. Пример 1. 14. 1. Рассмотрим функции y = lg u, u ∈ U = (0, +∞ ),

u = 1 − x 2 , x ∈ X = R, ϕ ( X) = (−∞,1].

Множества ϕ ( X) и U имеют общие элементы (т.е. их пересечение не является пустым множеством), в силу чего данные формулы определяют сложную функцию на множестве X∗ тех значений x , для которых 1 − x 2 > 0 . Последнее неравенство эквивалентно следующему: −1 < x < 1. Итак, сложная функция y = lg(1 − x 2 ) определена на множестве X∗ = (−1,1). 2 2. Найдём область определения X функции y = arcsin 1+2 xx . Так как arcsin u определен только для −1 ≤ u ≤ 1 , то

X = {x : −1 ≤

1 + x2 ≤ 1}. 2x

2 2 Преобразуем неравенство 1+2 xx ≥ −1 к виду (1+2 xx) ≥ 0 . Множество его решений {−1} ∪ (0, +∞) . Аналогично получим множество решений 2 ( −∞, 0) ∪ {−1} неравенства 1+ x ≤ 1. Искомая область определения X есть 2x

пересечение этих множеств, то есть X = {−1;1} Интересно заметить, что область определения в данном случае состоит из двух изолированных точек. 1.4.4

Чётные и нечётные функции.

Определение 1.23. Функция y = f ( x) с областью определения X называется чётной, если ∀x ∈ X выполняется равенство f (− x) = f ( x) . Функция y = f ( x) с областью определения X называется нечётной, если ∀x ∈ X выполняется равенство f ( − x ) = − f ( x) . Функции не чётные и не нечётные называют функциями общего вида. Из определения следует, что: 1. Область определения чётной и нечётной функций симметрична относительно начала координат. 2. График чётной функции симметричен относительно оси ординат. 3. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Полезно также иметь ввиду следующее: сумма, разность, произведение и частное (знаменатель отличен от нуля) двух чётных функций также чётна; сумма и разность двух нечётных функций нечётна; произведение и частное двух нечётных функций чётно; произведение и частное чётной и нечётной функций нечётно. Заметим, что сказанное выше предполагает совпадение областей определения обеих функций. Пример 1.15. 1. Функция y = 2 x − 1 является функцией общего вида, так как её область определения X = [ 12 ;= ∞) не симметрична относительно начала координат. 2. Область определения X = (−2; 2) функции y = log 2 22+− xx симметрична относительно

начала

координат.

При

этом

f (− x) = log 2 2+ x = 2− x

= log 2 ( 2− x ) −1 = − log 2 2− x = − f ( x) . Следовательно, данная функция нечётна 2+ x 2+ x

(см. определение 1.23). 2 3. Функция y = tg x + cos x является чётной функцией, так как из 2

чётности y = tg x и cos x следует чётность их суммы.

1.4. 5

Периодические функции

Определение 1.24. Функция y = f ( x) с областью определения X называется периодической, если существует такое T > 0 , что: 1) x − T ∈ X и x + T ∈ X ; 2) ∀x ∈ X выполняется равенство f ( x) = f ( x + T ) ; 3) среди всех таких чисел T есть наименьшее. Это наименьшее T называется периодом функции y = f ( x) . Сформулируем свойства периодических функций: 1. Область определения периодической функции симметрична относительно начала координат. 2. Для периодической функции y = f ( x) с периодом T на всей области определения справедливо равенство f ( x + kT ) = f ( x) , где k - целое число. 3. Если y = f ( x) периодическая функция с периодом T , то y = f ( x + a ) также периодическая с периодом T . 4. Если y = f ( x) периодическая функция с периодом T , то y = f (ax) также периодическая с периодом T / | a | , где a ≠ 0 . Пример 1.16 1. Рассмотрим функцию y = 3 . Равенство f ( x) = f ( x + T ) выполнено ∀x ∈ R и для всех T > 0 , но среди указанных значений T нет наименьшего. Поэтому данная функция не является периодической. 2. Функция y = sin 2 x периодическая с периодом π . Действительно, sin 2 x = 1−cos2 x , а функция y = cos x имеет период равный π (см. свойство 4). 2 1.4.6

Ограниченные функции

Определение 1.24. Говорят, что функция y = f ( x) с областью определения X ограничена сверху на множестве X 0 , ( X0 ⊂ X ), если существует такое M , что ∀x ∈ X0 выполнено неравенство f ( x) ≤ M . Функцию y = f ( x) называют ограниченной снизу на множестве X 0 , если существует такое m , что ∀x ∈ X 0 выполнено неравенство f ( x) ≥ m . Функцию y = f ( x) называют ограниченной на множестве X 0 , если существует такое L > 0 , что ∀x ∈ X0 выполнено неравенство | f ( x) |≤ L . Если X0 = X , где X - область определения функции y = f ( x) , то эту функцию называют ограниченной (соответственно, ограниченной сверху, ограниченной снизу). Очевидно, что функция ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена сверху и ограничена снизу. Отметим также, что сумма и произведение ограниченных функций также есть ограниченная функция. Пример 2.17. 1. Рассмотрим функцию y = x 2 + 4 x + 5 . Выделяя полный квадрат, получим y = ( x + 2)2 +1 . Наименьшее значение y = 1 эта функция принимает при x = −2 . Поэтому множество её значений [1;+∞) . По определению 1.25 данная функция ограничена снизу.

2. Функция y = sin x + cos x ограничена как сумма ограниченных функций. 1.4.7 Взаимно - однозначные функции. Монотонность Определение 1.26. Функция y = f ( x) с областью определения X и множеством значений f ( X) называется взаимно-однозначной, если для любых x1 и x2 , принадлежащих области определения X из условия x1 ≠ x2 следует, что f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Иначе говоря, на всей области определения различным значениям аргумента должны соответствовать различные значения функции. Можно говорить о взаимной однозначности функции y = f ( x) на некотором подмножестве области определения (в частности, на промежутке). Пример 1.18. 1. Функция y = x 4 − 3 не является взаимно - однозначной в области определения X = R , так как f (− x) = f ( x) , но она взаимно- однозначна на промежутках (−∞, 0], [0, +∞) . 2. Функция y = 2 cos x не взаимно - однозначна в области определения X = ( −∞, +∞ ) (например, в силу периодичности), но обладает этим свойством на любом из промежутков [kπ , π + kπ ) , где k - произвольное целое число. Как легко заметить, достаточным условием взаимной - однозначности функции на некотором подмножестве области определения (промежутке) будет строгая монотонность данной функции на нем. Напомним соответствующие определения. Определение 1.27. Функция y = f ( x) называется возрастающей на некотором множестве X , если для любых x1 , x2 ∈ X выполняется соотношение ( x2 > x1 ) ⇒ ( f ( x2 ) > f ( x1 )), означающее, что большему значению аргумента отвечает и большее значение функции. Функция y = f ( x) называется убывающей на X , если для любых x1 , x2 ∈ X верна импликация: ( x2 > x1 ) ⇒ ( f ( x2 ) < f ( x1 )), то есть, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если функция y = f ( x) возрастает на X , или убывает на X , то она называется строго монотонной на X . Функция называется неубывающей на множестве X , если ( x2 > x1 ) ⇒ ( f ( x2 ) ≥ f ( x1 )) для любых x1 , x2 ∈ X , и невозрастающей на множестве X , если ( x2 > x1 ) ⇒ ( f ( x2 ) ≤ f ( x1 )) для любых x1 , x2 ∈ X . Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие на X функции называются функциями, монотонными на X . Заметим следующее: если функция y = f ( x) монотонна на X , то она монотонна на любом подмножестве множества X . При этом характер монотонности сохраняется.

Пример 1.19. Функция y = x 2 возрастает на промежутке X = [0, +∞) . Множество натуральных чисел N ⊂ [0, +∞) . Следовательно, если n2 > n1 , то ( n2 ) 2 > (n1 ) 2 для ∀n1 , n2 ∈ N . Отметим следующие важные свойства монотонных функций: 1. Сумма двух возрастающих (убывающих) функций есть возрастающая (убывающая) функция. 2. Если функция y = f ( x) возрастающая (убывающая), то функция y = − f ( x ) убывающая ( возрастающая) функция. 3. Если функция y = f ( x) возрастающая (убывающая), то функция y = 1 убывающая (возрастающая) функция. f ( x) 4. Суперпозиция (см. пункт 1.4.3) двух монотонно возрастающих (убывающих) функций есть монотонно возрастающая функция. 5. Суперпозиция двух функций, одна из которых монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, есть монотонно убывающая функция. 2 Пример 1.20. Функция y = x x−1 убывает на X = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) как сумма двух убывающих функций. Действительно, свойства 1-3). 1.4.8

2 y = 1−xx = 1x − x

(см. выше

Обратная функция

Пусть дана функция y = f ( x) , для которой X - область определения, Y0 = f ( X ) - множество значений. Пусть эта функция взаимно - однозначна на множестве X . Тогда каждому y ∈ Y0 будет соответствовать одноединственное значение x ∈ X , такое что f ( x) = y . Определение 1.28. Функция x = ϕ ( y ) , определённая на множестве Y0 и ставящая в соответствие каждому y ∈ Y0 то единственное значение x ∈ X , для которого f ( x) = y , называется обратной к функции y = f ( x) . В этом случае функцию y = f ( x) называют прямой функцией по отношению к своей обратной. Соответственно, для функции x = ϕ ( y ) областью определения будет Y0 , а множеством значений - X . Если прямая функция y = f ( x) задана аналитически, то выражение для обратной функции x = ϕ ( y ) (при условии, что она существует) получается в результате разрешения уравнения y = f ( x) относительно x . Интересно отметить, что, так как у прямой и обратной функций область определения и множество значений меняются местами, то обратную функцию можно использовать для нахождения множества значений прямой. Пример 1.21. Найдем множество значений функции y = xx−+12 . Для этого выразим x через y : x = 2yy−+11 . Получили обратную функцию

x = ϕ ( y) ,

область определения которой y ≠ 1 совпадает с множеством значений исходной функции. Итак, нашли множество значений: Y0 = (−∞,1) ∪ (1, +∞) . Вводя обычные обозначения для значений аргумента и функции, будем далее обратную функцию записывать в виде y = ϕ ( x) . Из школьного курса известно, что графики прямой и обратной функций y = f ( x) и y = ϕ ( x ) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рис.1.6).

Рис. 1.6.

Если функция y = f ( x) не является взаимно-однозначной в области определения X , то существуют такие значения x1 , x2 ∈ X для которых f ( x1 ) = f ( x2 ) . В этом случае обратной функции не существует. Но иногда удается выделить такое подмножество X0 ⊂ X на котором исходная функция взаимно-однозначна (что обеспечивается строгой монотонностью). Тогда, если рассмотреть функцию y = f ( x) , где x ∈ X0 , то можно построить функцию y = ϕ ( x) , обратную к ней. Пример 1.22. 1. Функция y = x3 ( X = R, Y0 = R) возрастает на X . Поэтому она имеет обратную функцию y = 3 x с областью определения и множеством значений равным R . 2. Функция y = sin x, где X = R, Y0 = [−1,1] не возрастает и не убывает на X , а поэтому обратной функции не имеет. Однако на интервале ⎡⎣− π2 , π2 ⎤⎦ она возрастает и принимает все значения из промежутка [−1,1] . Поэтому функция y = sin x, x ∈ [− π2 , π2 ] , имеет обратную функцию y = arcsin x , с областью определения [−1,1] и множеством значений [− π2 , π2 ]. 1.4.9

Параметрическое задание функции

Введение понятий сложной и обратной функций позволяет рассмотреть еще один способ задания функции, который часто используют в прикладных задачах. Итак, пусть две функции x = ϕ (t ),

y = ψ (t )

(1.4)

аргумента t заданы на некотором промежутке T . Предположим, что x = ϕ (t ) взаимно-однозначна на T . Тогда для неё существует обратная

функция t = g ( x) (см.п. 1.4.8), подставив которую во вторую из формул (1.4), получим y = ψ ( g ( x )) = f ( x).

(1.5)

Таким образом, в результате исключения t из двух равенств (1.4), мы пришли к формуле (1.5), определяющей y как функцию от x . Следовательно, задание двух равенств (1.4) равносильно заданию функции y аргумента x . То есть, эти равенства каждому значению t ∈T ставят в соответствие пару чисел x и y . Первое из них - аргумент функции, а второе - ее значение Определение 1.29. Задание функции y = f ( x) при помощи равенств (1.4) называется параметрическим способом задания этой функции. Независимая переменная t при этом называется параметром. Если графиком функции y = f ( x) в декартовой прямоугольной системе координат Oxy служит некоторая линия l , то равенства (1.4) называются параметрическими уравнениями этой линии. Тогда равенства (1.4), выражают координаты ( x, y ) произвольной точки линии l как функции вспомогательной независимой переменной t (параметра). В то время как параметр t пробегает промежуток T , точка ( x, y ) вычерчивает линию l на плоскости XOY. Пример 1. 23. Рассмотрим параметрические уравнения (1.6) x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0, π ]. Функция x = a cos t убывает на промежутке [0, π ] и, следовательно, она взаимно - однозначна на нем. Поэтому равенства (1.6) определяют функцию y = f ( x) с областью определения X = a ⋅ cos(T ) = [−a, a ] и областью значений Y = b sin(T) = [0, b] . Исключим из данных формул параметр t . x = cos t , a

y x2 y 2 = sin t , откуда 2 + 2 = 1. b a b

Таким образом, уравнения (1.6) являются параметрическими уравнениями верхней части эллипса. Если предположить, что t ∈ [π , 2π ] , то получим уравнения нижней части эллипса. Соответственно для t ∈ [0, 2π ] уравнения (1.6) будут в силу 2π периодичности синуса и косинуса задавать замкнутую кривую: эллипс. Заметим, что выбор параметра t при задании функции y = f ( x) в параметрической форме неоднозначен. Поэтому одна и та же функция может быть записана различными параметрическими уравнениями. 1.4.10 Элементарные функции В курсе математического анализа нам будут встречаться в основном элементарные функции. К ним относятся все алгебраические функции (целые рациональные, дробно- рациональные, иррациональные), элементарные трансцендентные функции (степенная с иррациональным показателем, показательная, логарифмическая, тригонометрическая и обратные тригонометрические функции), а затем все функции, полученные

из них с помощью четырех арифметических действий и операции взятия функции от функции, примененных последовательно конечное число раз. Элементарная функция всегда может быть задана аналитически. Мы не будем относить к классу элементарных функции, заданные более чем одной формулой при условии, что задать их одним выражением невозможно. Пример 1.24. Функция y = lg(2 x + x 2 + 4) является элементарной. Пример 1.25. Функция ⎧ 0, если x ≤ 0 y=⎨ ⎩sin x + 1 если x > 0

элементарной не является. 1.5 Вопросы для самоконтроля к главе 1 1. Сформулируйте основные свойства множества вещественных (действительных) чисел. 2. Дайте определение абсолютной величины вещественного числа. Сформулируйте её свойства. 3. Дайте определение ε - окрестности конечной точки, ε - окрестности бесконечной точки. 4. Сформулируйте, какие множества называют открытыми, замкнутыми. 5. Дайте определения отображения множеств. Приведите примеры. 6. Дайте определение функции одной вещественной переменной, её области определения, множества значений, графика функции. 7. Перечислите способы задания функции. 8. Дайте определение сложной функции. Приведите примеры. 9. Дайте определение и приведите примеры чётной функции, нечётной функции, функции общего вида. Укажите, какими свойствами обладают их графики. 10. Дайте определение периодической функции. Приведите примеры. 11. Сформулируйте определения функции, ограниченной на данном множестве. Приведите примеры. 12. Что такое взаимно - однозначная функция? Сформулируйте, какие функции называют монотонными. 13. Дайте определение обратной функции. Укажите условия её существования. 14. Какие обратные тригонометрические функции Вам известны? Укажите области их задания и множества значений. 15. Вспомните, какие функции называются элементарными.

Глава 2

Предел функции 2.1

Числовая последовательность

При изучении различных разделов математического анализа достаточно часто приходится иметь дело с функциями, определенными на множестве натуральных чисел. 2.1.1 Определение и способы задания числовой последовательности Определение 2.1. Функция, заданная на множестве натуральных чисел называется числовой последовательностью. Итак, пусть задана последовательность f : N → R . Значения функции в данном случае образуют счётное множество и их обычно обозначают так: f (1) = x1 , f (2) = x2 , f (3) = x3 ,L , f (n) = xn ,L . По сложившейся традиции совокупность чисел x1 , x2 ,L , xn ,L также называют бесконечной числовой последовательностью и обозначают {xn } . При этом сами числа xn называют членами последовательности, а выражение xn = f ( n) - общим членом последовательности {xn } . Для задания последовательности достаточно каким-либо способом задать функцию f . Очевидно, что способы ее задания, то есть способы задания последовательности {xn } могут быть различны (см. способы задания функций (пункт 1.4.2)).Очевидно, что последовательность задана, если указан ее общий член. Пример 1. 1. Пусть xn = sin π2n , тогда последовательность {xn } = {sin π2n } имеет вид 1, 0, −1, 0,1, 0,L . ⎧1, при n − нечетном ⎩ 0, при n − четном.

2. Пусть xn = ⎨

Данная последовательность имеет вид 1, 0,1, 0,1,L . 3. Пусть x1 = 2 и xn = xn −1 + 3 для каждого n ≥ 2 . Вид последовательности {xn } будет таким: 2, 5, 8,11,L . Заметим, что рассмотренная последовательность есть арифметическая прогрессия с первым членом равным 2 и разностью равной 3.

4. Пусть x1 = 0, x2 = 1, xn +1 = xn −1 + 2 xn , n ≥ 2. Соответственно, задана последовательность 0,1, 2, 6,16,L . Способ задания последовательности, при котором её последующие члены определяются как функции предыдущих, называется рекуррентным. Очевидно, что для однозначного задания последовательности в этом случае необходимо знать начальные данные. Последовательность {xn } может быть изображена на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны величинам соответствующих членов последовательности. 2.1.2

Ограниченность числовой последовательности

Последовательность может быть ограниченной или неограниченной (т.е. не являющейся ограниченной). Дадим определение ограниченной последовательности. Определение 2.2. Последовательность {xn } называется ограниченной, если существует число M > 0, такое, что для всех n ∈ N выполняется неравенство xn ≤ M . То есть, по определению ({xn } − ограничена) ⇔ (∃M > 0 : ∀n ∈ N

xn ≤ M )

или, используя понятие окрестности ({xn } − ограничена) ⇔ (∃L > 0 : ∀n ∈ N

xn ∈ R L (0)).

Заметим, во-первых, что число M не обязано быть наименьшим, из всех подходящих по условию чисел, а во-вторых, что в качестве числа L в определении, использующем понятие окрестности, можно брать любое L , удовлетворяющее условию L > M . Аналогично, последовательность {xn } называют ограниченной сверху (справа), если все ее члены не превосходят некоторого числа M , и ограниченной снизу (слева), если все ее члены не меньше некоторого числа m. Очевидно, что ограниченная последовательность ограничена как слева, так и справа. Если же последовательность ограничена с одной стороны, то она может быть неограниченной. Очевидно, что определение неограниченности (как отрицания ограниченности) будет следующим: Определение 2.3. Последовательность {xn } называется неограниченной, если для любого числа M > 0, найдется такое n0 ∈ N , что выполняется неравенство xn > M . 0

({xn } − неограничена) ⇔ (∀M > 0 : ∃n0 ∈ N | xn0 |> M )

Пример 2.2. 1. Последовательность {xn } = { 1n} ограничена, так как при всех n ∈ N верно неравенство xn ≤ 1 . 2. Последовательность {xn } = {n − 5} ограничена снизу, так как xn ≥ −4 при всех n ∈ N . 3. Последовательность {xn } = {−1 − n} ограничена сверху; так как xn ≤ 1/3. 4. Последовательности {n − 5} и {−1 − n} не являются ограниченными. Отметим, что, так как последовательности - это функции, заданные на подмножестве N множества R (см. определение 2.1), то они обладают всеми теми свойствами ограниченных функций, которые перечислены в пункте 1.4.6. 2.1.3

Монотонность

Определение 2.4. Последовательность {xn } называется возрастающей , если для любых n ∈ N выполняется соотношение xn+1 > xn , означающее, что последующий член последовательности всегда больше предыдущего. Последовательность {xn } называется убывающей , если для любых n ∈ N выполняется соотношение xn+1 < xn , означающее, что последующий член последовательности всегда меньше предыдущего. Если последовательность {xn } возрастает на или убывает, то она называется строго монотонной. Последовательность {xn } называется неубывающей , если для любых n ∈ N выполняется соотношение xn+1 ≥ xn , означающее, что последующий член последовательности всегда не меньше предыдущего и невозрастающей , если для любых n ∈ N выполняется соотношение xn+1 ≤ xn , означающее, что последующий член последовательности всегда не больше предыдущего. Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными. Пример 2.3. Докажем, что последовательность x n = n 2 − 1 монотонна. Для доказательства монотонности достаточно определить знак разности xn+1 − xn при всех n ∈ N . Итак, xn+1 − xn = (n + 1) 2 − 1 − n 2 − 1 =

=

2n − 1 (n + 1) 2 − 1 + n 2 − 1

(n + 1) 2 − 1) − (n 2 − 1) (n + 1) 2 − 1 + n 2 − 1

> 0 при n ∈ N.

Доказано строго монотонное возрастание. 2.1.4. Конечный предел последовательности Наибольший интерес представляет поведение последовательностей в тех случаях, когда их аргумент n стремится к бесконечности, принимая значения

строго в порядке возрастания n = 1, 2, 3,L . Определение 2.5. Число a называется пределом последовательности {xn } ,если для любого положительного числа ε найдется такой номер N , зависящий от ε , что для всех n > N выполнено неравенство xn − a < ε . Тот факт, что число a есть предел последовательности {xn } , записывается так: lim n→∞ xn = a или xn → a ( lim есть сокращение латинского слова limes, которое означает "предел"). Говорят также, что a - предельная точка последовательности {xn } . Итак, по определению, (lim xn = a) ⇔ (∀ε > 0∃N = N (ε ) : n > N ⇒ xn − a < ε ) n→∞

Так как ( xn − a < ε ) ⇔ ( xn ∈ Rε (a)) , то требование выполнения неравенства xn − a < ε в определении может быть заменено требованием принадлежности xn окрестности R ε (0) . С геометрической точки зрения определение lim n→∞ xn = a означает, что какова бы ни была ε - окрестность точки a , начиная с некоторого номера, все точки xn попадут в эту окрестность; то есть вне ее останется лишь конечное число членов. Отсюда следует, что две последовательности, отличающиеся между лишь собой конечным числом членов, ведут себя одинаково с точки зрения наличия у них конечного предела a . (−1) n = 0. Пример 2.4. Докажем, что lim n→∞ n

Пусть ε - произвольное положительное число Найдем для него такой номер N , для которого выполнение условия n > N влечёт за собой вы-

полнение неравенства 0 − (−n1) < ε или, что эквивалентно, неравенства 1/n < ε . n

Последнее же неравенство выполняется в случае, если n > 1/ε , поэтому N можно положить равным целой части числа 1/ε . Тогда из неравенства n > N ⇒ 0−

(−1)n n < ε , то есть по определению (см. определение 2.5) данный

предел равен 0 . Что и требовалось доказать. 2.1.5 Бесконечный предел последовательности Определение предела последовательности, сформулированное с помощью ε - окрестности, имеет смысл и в том случае, когда вместо конечного числа a стоит бесконечность ( ∞, + ∞ или −∞ ). Получаем: (lim xn = ∞ ) ⇔ (∀ε > 0∃N = N (ε ) : n > N (ε ) ⇒ ( xn ∈ R ε (∞ )). n→∞

Вспомним, что ( xn ∈ Rε (∞)) ⇔ ( xn > 1/ε ).

С учетом этого, определение бесконечного предела означает, что для любого наперед заданного числа M = 1/ε найдется соответствующее ему число N , такое, что для всех n > N выполнено неравенство xn > M . Определение 2.6. Последовательность, предел которой равен ∞ , называют бесконечно большой. Аналогично, вспомнив определения R ε (+∞) и R ε (−∞) (см. опр. 1.14) получим: 1 (lim xn = +∞) ⇔ (∀ε > 0∃N = N (ε ) : n > N (ε ) ⇒ xn > ),

ε

n→∞

1 (lim xn = −∞) ⇔ (∀ε > 0∃N > N (ε ) : n > N (ε ) ⇒ xn < − ).

ε

n →∞

В первом случае говорят о том, что последовательность {xn } бесконечно большая и положительная, а во втором - последовательность называют бесконечно большой и отрицательной. Наличие в первом случае конечного числа отрицательных членов, а во втором - конечного числа положительных членов как отмечалось выше (см. пункт 2.1.4.) не влияет на предел. Очевидно, что lim( x − 2) = +∞ , а lim(5 − n) = −∞ n→∞ n →∞

Принята терминология, согласно которой последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а имеющая бесконечный предел или не имеющая предела, называется расходящейся. Ecли сравнить определения бесконечно большой последовательности (см. опр. 2.6. ) и неограниченной последовательности (см. опр. 2.3.), то станет очевидной следующая теорема. Теорема 2.1(о неограниченности бесконечно большой). Если последовательность {xn } бесконечно большая, то она неограниченная. Замечание. Обратная теорема не верна, то есть из неограниченности не следует существование бесконечного предела. Действительно, рассмотрим последовательность ⎧ 1 , при n − нечетном xn = ⎨ n ⎩ n, при n − четном.

Эта последовательность не ограничена, но при этом не является бесконечно большой, так как вообще не имеет предела. 2.1.6

Свойства последовательностей, имеющих конечный предел

Теорема 2.2 ( о единственности предела). Если последовательность имеет конечный предел, то этот предел единственен. Доказательство. Проведем доказательство от противного. Предположим, что lim n→∞ xn = a, и lim n→∞ xn = b , где a ≠ b. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда (lim xn = a) ⇒ (∃N1 = N1 (ε ) : n > N1 ⇒ xn − a < ε ), n→∞

(lim xn = b) ⇒ (∃N 2 = N 2 (ε ) : n > N 2 ⇒ xn − b < ε ). n→∞

Пусть N - наибольшее из чисел N1 и N 2 , то есть N = max{N1, N 2}. Следовательно, при n > N оба неравенства будут выполнятся одновременно, то есть xn − a < ε и xn − b < ε . В силу этого, для n > N a − b = (a − xn ) + ( xn − b) ≤ a − xn + xn − b < 2ε

для любого положительного числа ε . Взяв ε < 12 a − b , получим a − b > 2ε , что противоречит написанному выше неравенству. Полученное противоречие говорит о неверности предположения. Теорема доказана. Теорема 2.3 (об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел). Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена. xn = a. Следовательно, для ε = 1 найдется Доказательство. По условию, lim n →∞ N = N (1) , такое, что для любого

n>N

будет выполнено неравенство

| a − xn |< 1. Тогда для всех n > N получим:

xn = ( xn − a) + a ≤ xn − a + a < 1 + a .

Пусть теперь M = max{| x1 |,| x2 |,L ,| xN |,1+ | a |}. Тем самым, для всех n ∈ N | xn |≤ M . Ограниченность обеспечено выполнение неравенства последовательности {xn } доказана (см. определение 2.2). Замечание. Обратная теорема не верна. То есть, из ограниченности последовательности не следует ее сходимость. Действительно, последовательность {xn } = {( −1) n } ограничена, так как ∀n ∈ N верно неравенство | xn |≤ 1 . Но при этом она не имеет предела. Покажем это. Заметим, что все члены данной последовательности, имеющие чётные номера, равны 1. Члены последовательности с нечётными номерами равны, соответственно, −1 . Предположим, что последовательность имеет предел и этот предел равен a . Так как из определения предела (см. опр.2.5,) следует, что в произвольной окрестности предельной точкой a должно быть бесконечное число членов последовательности, то для данной последовательности a может быть либо равно 1, либо равно −1 . Пусть lim n→∞ xn = 1 . Положим ε = 1 . По определению предела найдется N = N (1) такое, что для всех n > N должно быть выполнено неравенство | xn − 1 |< 1 , то есть (−1) n − 1 < 1. Однако, если n - нечетно, то неравенство неверно. Значит, предложение ложно и a ≠ 1. Аналогично, можно показать, что a = −1 также не является пределом данной последовательности. Следовательно, данная последовательность не имеет предела, то есть расходится.

Докажем также важную теорему. Теорема 2.4 (о предельном переходе в неравенстве). Если последовательность {xn } сходится и xn ≥ 0 при любом n , то lim n→∞ xn ≥ 0 . Доказательство. Пусть lim n→∞ xn = a < 0 . Тогда для произвольного числа ε > 0 найдется номер N , такой что при n > N будет выполнятся неравенство |a| | a − xn |< ε . Выберем такое ε , что 0 < ε < . Тогда на основании неравенства 2 xn < a + ε получим, что

|a| a = < 0при n > N . 2 2 Это противоречит условию теоремы. Исходное утверждение доказано. В частности, если последовательность {xn } сходится и при всех n выполнено неравенство xn > 0 , то lim n→∞ xn ≥ 0 . xn < a +

2.2 Определение предела функции Пусть функция y = f ( x) задана в некоторой окрестности конечной или бесконечной точки a , причем если a - конечная точка (число), то в самой этой точке функция может быть и не определена. Часто бывает, что с приближением значений аргумента x и a соответствующие значения функции y = f ( x) приближаются к некоторому A (где A - конечная или бесконечная точка). Таким образом, ясно что для точек x , принадлежащих достаточно малой окрестности a соответствующие точки y = f ( x) принадлежат сколь угодно малой окрестности A . Определение 2.7. Если для любого наперед заданного положительного числа ε можно указать такое положительное число δ = δ (ε ), зависящее от ε , что из условия x ∈ Rδ (a) ( x ≠ a , если a -число) следует f ( x) ∈ R ε ( A) , то A называется пределом функции f ( x) в точке a (или при x , стремящемся к a ). В этом случае пишут lim x→a f ( x) = A или f ( x) → A при x → a . В зависимости от того, конечны или бесконечны a и A , использование соответствующих определений (см. пункт 1.3.4) окрестностей позволяет приведенное выше общее определение предела функции формулировать для различных случаев на языке неравенств. Так, если a и A числа, то запись lim x→a f ( x) = A означает, что ∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) такое, что из условия 0 < x − a < δ ⇒| f ( x) − A |< ε .

(lim f ( x ) = A) ⇔ (∀ε > 0∃δ = δ (ε ) : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − A < ε ). x→a

(2.1)

Принадлежность точки x δ - окрестности точки a мы записываем здесь в виде 0 < x − a < δ исключая, тем самым, из рассмотрения точку x = a , в которой функция f ( x ) может быть не определена. Если a - число, A = +∞ , то имеем определение

1 (lim f ( x ) = +∞ ) ⇔ (∀ε > 0∃δ = δ (ε ) > 0 : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > ).

ε

x→a

При a = −∞, A = ∞ имеем (lim f ( x ) = ∞) ⇔ (∀ε > 0∃δ = δ (ε ) > 0 : x < − x→a

1

δ

1 ⇒ f ( x) > ).

ε

В оставшихся случаях определения на языке неравенств строятся аналогично. Отметим следующие два очевидных равенства, непосредственно следующих из определения предела функции (см. формулу. 1). x=a 1). lim (2.2) x→a 2). Если f ( x) = C , где С − const , то lim f ( x ) = lim C = C . x →a

(2.3)

x →a

Формула (2.2) следует из того, что в этом случае речь идет о пределе функции, совпадающей со своим аргументом. Формула (1) - из того, что в этом случае, независимо от характера поведения аргумента, значения функции всегда принадлежит произвольной ε - окрестности точки C , так как просто совпадает с C . Дадим еще одно определение предела функции. Оно использует уже знакомое определение предела числовой последовательности. Определение 2.8. Говорят, что A есть предел функции f ( x) при x → a , если для любой последовательности {xn } значений аргумента x , сходящейся к a , ( xn ≠ a ) , соответствующая последовательность значений функции { f ( xn )} стремится к A . При этом предполагается, что последовательность {xn } принадлежит области определения X функции f ( x ) . Итак, (lim f ( x) = A) ⇔ x →a

⇔ ((∀{xn } : ( xn ∈ X) ∧ (lim xn = a )) ⇒ (lim f ( xn ) = A)) n →∞

n→∞

. Теорема 2.5 (об эквивалентности определений предела) Данные выше определения предела функции (см. опр.2.7 и опр.2.8) эквивалентны. Доказательство. Докажем эквивалентность двух данных определений. Ограничимся случаем, когда a и A - числа. В тех случаях, когда хотя бы одна из этих величин бесконечна, доказательство аналогично. Пусть A - предел функции f ( x) при x → a в смысле первого определения. Выберем произвольное ε > 0 , тогда ∃δ = δ (ε ) > 0 : 0 <| x − a |< δ ⇔| f ( x ) − A |< ε . xn = a . Рассмотрим любую последовательность {xn }, xn ≠ 0 , такую что lim n→∞

Для указанного значения δ (δ > 0) существует число N такое, что при n > N выполняется неравенство xn − a < δ . Следовательно, согласно определению 2.7, f ( x) − A < ε . Так как ε выбиралось произвольно, то это и означает, что f ( xn ) → A. Тем самым, доказано, что для любой последовательности {xn }, ( xn ≠ 0) сходящейся к a , последовательность { f ( xn )} сходится к A . Итак из определения 2.7 следует определение 2.8. Докажем обратное. Пусть A - предел f ( x) в смысле второго определения. Покажем, что A - предел функции f ( x) при x → a и в смысле первого определения. Проведем доказательство от противного. Предположим, что число A не является пределом f ( x) при x → a в смысле первого определения. Тогда существует хотя бы одно такое число ε 0 > 0, что для каждого δ > 0 найдется число x , удовлетворяющее условию 0 < x − a < δ , для которого f ( x) − A ≥ ε 0 .Рассмотрим

последовательность чисел δ1, δ 2 , δ 3 ,L , δ n ,L , стремящуюся к нулю, например, {δ n } = { 1n }. Тогда для каждого δ n найдется свое xn , xn ≠ a такое, что xn − a < δ n , в то время как f ( xn ) − A ≥ ε 0 . Так как lim n→∞ δ n = 0 , то, переходя к пределу в неравенстве xn − a < δ n , получим, что

lim n→∞ xn − a = 0 (см. теорему (2.4)), то есть, что xn → a . Но в то же время последовательность { f ( xn )} не сходится к A (так как при n имеет место

неравенство f ( xn ) − A ≥ ε ). Полученное противоречие доказывает обратное утверждение. Заметим, что второе определение дает возможность установить отсутствие предела функции при определенном значении аргумента. Пример 2.5. Покажем, что функция f ( x) = sin 1x не имеет предела при x → 0. Действительно, возьмем последовательность 1 1 {xn } = { }, где → 0. Тогда f ( xn ) = sin nπ = 0. nπ nπ Следовательно, f ( xn ) → 0. Возьмем теперь последовательность 2 2 → 0. {xn } = { }, где (4n + 1)π (4n + 1)π

(4n + 1)π π = sin = 1. Откуда f ( x′′) → 1. 2 2 Следовательно, функция y = sin 1x при x → 0 не имеет предела, так как для двух различных последовательностей {xn } , сходящихся к нулю, получаем различные пределы значений функции. Исходя из эквивалентности двух определений предела, а также из единственности предела последовательности (см. теорему 2.2), можно При этом

f ( xn ) = sin

утверждать единственность предела функции. Опираясь на теорему (см. теорему 2.3.) можно доказать также ограниченность функции, имеющей конечный предел при x → a , в некоторой окрестности данной точки a . Используя же теорему о предельном переходе в неравенстве (см. теорему 2.4) можно получить аналогичный результат для функций. Приведем без доказательства соответствующие теоремы. Теорема 2.6 Если при x → a функция f ( x) стремится к конечному пределу, то этот предел является единственным. Теорема 2.7 Если при x → a функция f ( x) стремится к конечному пределу, то в некоторой окрестности X предельной точки a эта функция ограничена. Теорема 2.8 Если при x → a функция f ( x) стремится к конечному пределу A и в некоторой окрестности X точки a эта функция положительна (отрицательна), то A ≥ 0 ( A ≤ 0 ). 2.2.1 Односторонние пределы функции Пусть a - конечная точка (число). Определение предела функции y = f ( x) в точке a (при x → a ) не накладывает никаких условий на характер приближения значений аргумента x к точке a . Введем теперь дополнительно такие условия: пусть значения x приближаются к a , оставаясь при этом строго меньше a , либо больше a , то есть, находясь либо в левой, либо в правой окрестности точки a (п.1.3.4), и сформулируем два определения. Определение 2.9. Если ∀ε > 0∃δ = δ (ε ) > 0 что из условия x ∈ R δ− (a ) следует условие f ( x) ∈ R ε ( A) , то A называется левым пределом функции f ( x ) в точке a и обозначается одним из символов lim f ( x). lim f ( x), f (a − 0), x→a x→a −0

x
+

Определение 2.10. Если ∀ε > 0∃δ = δ (ε ) > 0 что из условия x ∈ Rδ (a) следует условие f ( x) ∈ R ε ( A) , то A называется правым пределом функции f ( x ) в точке a и обозначается одним из символов f (a + 0),

lim f ( x),

x →a + 0

lim f ( x). x→a x >a

Итак: ( lim f ( x) = A) ⇔ (∀ε > 0∃δ = δ (ε ) > 0 : x ∈ Rδ− (a) ⇒ f ( x) ∈ R ε ( A)); x →a −0

+

(2.4)

( lim f ( x) = A) ⇔ (∀ε > 0∃δ = δ (ε ) > 0 : x ∈ Rδ ( a ) ⇒ f ( x) ∈ R ε ( A)). (2.5) x →a + 0

Левый и правый пределы функции в точке a называются односторонними пределами функции в этой точке. Из рис. 2.1 видно, что односторонние пределы f (a − 0) и f (a + 0) могут быть не равны друг другу. Очевидно, что из существования конечного предела функции f ( x) в точке a ( иногда его называют двусторонним пределом функции в точке a ) вытекает существование и равенство друг другу обоих односторонних пределов функции в этой точке

И обратно, из существования и равенства друг другу обоих пределов следует существование конечного предела. Таким образом, если a и A числа, то (lim f ( x ) = A) ⇔ ( f ( a − 0) = f (a + 0) = A). (2.6) x →a

Рис.2.1. 2.2.2 Признаки существования конечного предела функции. Неперово число e В некоторых случаях следующие две теоремы позволяют решить вопрос о наличии предела функции. Теорема 2.9 (о пределе промежуточной функции) Пусть функции f1 ( x), f 2 ( x), f3 ( x) определены в некоторой окрестности точки a (исключая может быть, саму эту точку, если a - число), причем в этой окрестности выполнены неравенства f1 ( x) ≤ f 2 ( x) ≤ f 3 ( x). (2.7) Тогда, если

lim f1 ( x) = lim f 3 ( x ) = A, x →a

то существует

x→a

lim f 2 ( x ) = A. x →a

(2.8) (2.9)

Доказательство. В соответствии с определением предела функции (см. опр. 2.7) равенства (2.8) означают, что ∀ε > 0 ∃δ1 > 0, такое что ∀x ∈ Rδ1 (a), f1 ( x) ∈ R ε ( A) . Аналогично ∃δ 2 > 0, такое что x ≠ a верно: где ∀x ∈ R δ 2 (a ) : f3 ( x) ∈ R ε ( A). Пусть δ = min(δ1, δ 2 ). Тогда ∀x ∈ Rδ ( A) выполнены соотношения f1 ( x) ∈ R ε ( A) и f 3 ( x) ∈ R ε ( A). Но тогда в силу (2.7) для всех x ∈ R δ (a) и f 2 ( x) ∈ R δ ( A). Отсюда и следует утверждение (2.9). Теорема доказана. Приведем без доказательства еще одну теорему, позволяющую установить наличие предела функции, хотя и не дающую возможности найти этот предел. Теорема 2.10 (o пределе монотонной ограниченной функции) Пусть функция f ( x ) монотонна и ограничена в окрестности точки a . Тогда существуют конечные левый и правый пределы f ( x) в точке a , если a - конечная точка, и конечный предел f ( x ) при x → a , если a = +∞ или a →= −∞. Примером использования последней теоремы служит введение неперова числа. n f (n) = (1 + 1n ) n. Рассмотрим функцию натурального аргумента Преобразуем эту функцию, используя бином Ньютона n n(n − 1) n−2 2 n( n − 1)(n − 2) n−3 3 n a b + a b +L ( a + b) = a n + a n−1b + 1! 2! 3! n( n − 1)(n − 2)L [n − (n − 1)] n b . n! Положив здесь a = 1, b = 1/n, получим n 1 n(n − 1) 1 n(n − 1)(n − 2) 1 1 f ( x) = (1 + ) = 1 + n + ⋅ + ⋅ 3 1⋅ 2 n2 1⋅ 2 ⋅ 3 n n n + n(n − 1)( n − 2)L [ n − ( n − 1)] 1 1 1 1 1 2 L + ⋅ n = 2 + (1 − ) + (1 − )(1 − ) + L n n 2⋅3 n n 1 ⋅ 2 ⋅ 3L n 2 L +

L +

1 1 2 n −1 (1 − )(1 − )L (1 − ). 1 ⋅ 2 ⋅ 3L n n n n

Пусть аргумент функции возрастает от n до ( n + 1). Тогда с одной стороны, увеличатся все члены в выражении написанном выше, так как величины в скобках возрастут с заменой n на ( n + 1) , а с другой стороны, добавится одно положительное слагаемое. Следовательно, f ( n + 1) > f ( n) и

функция f ( n) возрастающая (то есть монотонная). Докажем, что рассматриваемая функция f ( n) ограничена. Заменим с этой целью единицей каждую скобку в правой части (а все эти скобки меньше 1). В результате правая часть возрастет, и мы получим оценку n 1 1 1 1 f (n) = (1 + ) < 2 + + +L + . 2 2⋅3 2 ⋅ 3L n n Усилим это неравенство, заменив в знаменателях его правой части числом 2 все множители, отличные от 2 n 1 1 1 1 f ( n) = (1 + ) < 2 + + 2 + L + n−1 . 2 2 2 n В правой части, начиная со второго члена, мы имеем сумму членов геометрической прогрессии, которая равна 1 − 21n−1 . Это число меньше единицы. Таким образом, n 1 ∀n ∈ N : f (n) = (1 + ) < 2 + 1 = 3. n Рассматриваемая функция возрастает, в силу чего наименьшее значение она имеет при n = 1 ; это значение равно f (1) = 2. Итак, ∀n ∈ N : 2 ≤ f (n) < 3, откуда и следует ограниченность f ( n) . n Таким образом, на множестве N натуральных чисел функция f (n) = (1 + 1n ) монотонна и ограничена, откуда в силу теоремы (2.10) следует, что при n → +∞ эта функция стремится к конечному предeлу. Предел этот называется неперовым числом и обозначается буквой e . Итак, n 1 lim (1 + ) = e. n→∞ n Можно показать, что и вообще x 1 lim (1 + ) = e. x→∞ x Доказано, что e - число иррациональное, то есть, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. В дальнейшем будет изложен метод, позволяющий вычислить любое число десятичных знаков этой дроби; пока же приведем несколько первых ее значащих цифр: e = 2, 718281828L

Неперово число e играет большую роль в математике. В частности, в теоретических исследованиях бывает особенно выгодно пользоваться логарифмами, основанием которых служит неперово число. Такие логарифмы называются натуральными. Натуральный логарифм числа x

обозначается символом ln x. Так как в практических расчетах пользуются преимущественно десятичными логарифмами, то получим модуль перехода от десятичных логарифмов к натуральным. Пусть ln x = M lg x, где M упомянутый модуль. Отсюда 1 x = e M lg x , lg x = M lg x lg e, M = = 2, 3026L lg e 2.2.3 Бесконечно малая и бесконечно большая функции Определение 2.11. Функция α ( x) называется бесконечно малой в точке a (или при x → a ), если lim α ( x ) = 0 (2.10) x→a Определение 2.11. Функция f ( x) называется бесконечно большой в точке a (или при x → a ), если (2.11) lim f ( x ) = ∞. x →a

Теорема 2.11 ( о связи бесконечно малой и бесконечно большой). Если α ( x) - бесконечно малая в точке a , то функция α (1x) - бесконечно большая в этой точке; если f ( x) - бесконечно большая в точке a , то f 1(x) бесконечно малая. Доказательство. Пусть α ( x) - бесконечно мала в точке a , то есть имеет место (2.10). Это значит, что ∀ε > 0∃δ > 0 : x ∈ Rδ (a) ⇒ α ( x) − 0 < ε ⇒ ⇒

1 1 1 > ⇒ ∈ R ε (∞). α ( x) ε α ( x)

Итак, для ∀ε > 0∃δ > 0 : x ∈ R δ (a ) ⇒

1 ∈ Rε (∞), α ( x)

1 = ∞, обозначающее, что функция x →a α ( x ) f ( x ) бесконечно большая в точке a . Вторая часть теоремы доказывается аналогично. 1 x = ∞ , то . В силу равенства (2.2) имеем lim Пример 2.6 Вычислить lim x→∞ x x →∞ есть x - бесконечно большая при x → ∞, но тогда по доказанной теореме

откуда следует соотношение

lim

1 =0. функция 1x - бесконечно малая при x → ∞ , то есть lim x→∞ x Замечание. Иногда тот факт, что бесконечно малая и бесконечно большая функции взаимно обратны, записывается одним из следующих 1 = 0 . Эти равенства не выражают символических равенств: 10 = ∞ и ∞

никакой количественной связи (ибо деление на 0 невозможно, а ∞ - не число) и понимать их надо только в указанном предельном смысле. Бесконечно малые функции играют существенную роль в математическом анализе, связанную, в частности, с тем, что определение конечного предела может быть сведено к понятию бесконечно малой. Это вытекает из следующей теоремы. Теорема 2.12. (Необходимое и достаточное условие существования конечного предела) Для того, чтобы функция f ( x) при x → a стремилась к конечному пределу A , необходимо и достаточно, чтобы функция α ( x ) = f ( x ) − A была бесконечно малой в точке a . Доказательство. Необходимость. Если lim x→a f ( x) = A , то ∀ε > 0∃δ > 0 : ∀x ∈ Rδ (a) 5 {a} ⇒ f ( x) − A < ε . Очевидно, что f ( x) − A < ε ⇒ α ( x) − 0 < ε . Откуда немедленно следует, что lim x→a α ( x) = 0 . Достаточность. Если lim x→a ϕ ( x) = 0 , то ∀ε > 0∃δ > 0 : ∀x ∈ Rδ (a) 5 {a} ⇒ α ( x) − 0 < ε .

Так как α ( x) − 0 < ε ⇒ f ( x) − A < ε , то это и означает, что lim x→a f ( x) = A . Доказанную теорему можно сформулировать иначе: функция f ( x) при x → a стремится к конечному пределу A тогда и только тогда, когда f ( x ) равна сумме числа A и некоторой функции α ( x) , бесконечно малой в точке a (2.12) f ( x ) = A + α ( x). Докажем некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теорема 2.13 (о сумме конечного числа бесконечно малых). Сумма конечного числа бесконечно малых в точке a функций есть также функция, бесконечно малая в этой точке. Доказательство. Проведем его для случая двух слагаемых (общий случай можно доказать аналогично). Пусть функция α1 ( x) и α 2 ( x) - бесконечно малые в точке a , то есть lim x→a α1 ( x) = 0 и lim x→a α 2 ( x) = 0 . Тогда ε ∀ε > 0∃δ1 > 0 : ∀x ∈ R δ1 ( a ) 5 {a} : α1 ( x) < 2 и

ε

∃δ 2 > 0 : ∀x ∈ R δ 2 (a ) 5 {a} : α 2 ( x) < . 2

Пусть δ = min(δ1, δ 2 ) . Тогда ∀x ∈ Rδ (a ) 5 {a} одновременно α1 ( x ) < ε2 и α 2 ( x) < ε2 , а потому для тех же x ∈ R δ (a) 5 {a} будет ε ε α1 ( x ) + α 2 ( x ) ≤ α1 ( x ) + α 2 ( x ) < + = ε , 2 2 α1 ( x) + α 2 ( x)) = 0. Но последнее и означает, что откуда следует что, lim( x →a функция α1 ( x) + α 2 ( x) бесконечно мала в точке a. Теорема 2.14 (о произведении ограниченной и бесконечно малой). f ( x ) , ограниченной в достаточно малой Произведение функции окрестности точки a и функции α ( x ), бесконечно малой в этой точке, есть функция бесконечно малая в точке a . Доказательство. Так как функция f ( x) ограничена в достаточно малой окрестности точки a , то ∃p > 0 , что ∀x ∈ Rδ (a) : f ( x) ≤ p, (2.13) а из того, что α ( x) бесконечно малая в точке a следует, что ∀ε > 0∃δ > 0, что ε ∀x ∈ Rδ (a) 5 {a} : α ( x) < p при этом ε берем настолько малым, чтобы для соответствующего δ действительно выполнилось условие (2.13). Но тогда для тех же x ∈ R δ (a ) 5 {a} будет f ( x) ⋅ α ( x) = f ( x) α ( x) < p ⋅

ε p

= ε,

f ( x) ⋅ α ( x)) = 0. Теорема доказана. откуда и следует, что lim( x→0

Замечание 1. Воспользовавшись определением ограниченной функции (см.п. 2.8), легко заметить, что всякая постоянная функция f ( x ) = C ограничена в окрестности любой точки. Это позволяет сформулировать следующее утверждение: Следствие 1 теоремы 2.14 Произведение Cα ( x ) постоянной C на бесконечно малую в точке a функцию α ( x) есть функция, бесконечно малая в этой точке. Замечание 2. Из определения бесконечно малой функции (опр.2.11) и теоремы 2.7 вытекает, что функция α ( x ) , бесконечно малая в точке a , ограничена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому имеет место и второе следствие. Следствие 2 теоремы 2.14 Произведение α1 ( x) ⋅ α 2 ( x) двух функций бесконечно малых в точке a есть функция бесконечно малая в этой точке. Сформулируем теорему, которая может быть полезна при работе с бесконечно большими функциями. Теорема 2.15. Если при x → a функция g ( x ) стремится к отличному от нуля пределу, а f ( x) - бесконечно большая при x → a , то произведение

g ( x) ⋅ f ( x) является бесконечно большой функцией при x → a. Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из определения 2.12 и теоремы 2.11 по аналогии с доказательством теоремы 2.14.

2.2.4

Теорема о конечных пределах

Содержание этого пункта представляет собой одну из важнейших теорем теории пределов. Сформулируем её. Теорема 2.16 ( о конечных пределах). Если при x → a функции f1 ( x) и f 2 ( x) стремятся каждая к своему конечному пределу, то lim[ f1 ( x) + f 2 ( x)] = lim f1 ( x) + lim f 2 ( x); x →a

x →a

x →a

(2.14)

lim[ f1 ( x ) ⋅ f 2 ( x )] = lim f1 ( x ) ⋅ lim f 2 ( x);

(2.15)

f1 ( x ) lim x→a f1 ( x) = , lim f 2 ( x) ≠ 0. f 2 ( x) lim x→a f 2 ( x) x→a

(2.16)

x →a

lim x→a

x →a

x→a

Доказательство. Так как доказательство всех частей теоремы проводится по одной и той же схеме, докажем только одну из этих частей, например, вторую (соответственно, доказательства первого и третьего утверждений предлагаются студентам в качестве упражнения). Пусть lim f1 ( x ) = A1, lim f 2 ( x ) = A2 , где A1 и A2 − числа . (2.17) x→a x→a Отсюда (теорема 2.12) следует, что f1 ( x) = A1 + ϕ1 ( x), f 2 ( x) = A2 + ϕ 2 ( x), где функции α1 ( x) и α 2 ( x) бесконечно малы в точке a . Тогда f1 ( x) ⋅ f 2 ( x) = ( A1 + α1 ( x))( A2 + 2 ( x)) = A1 A2 + ( A2α1 ( x) + A1α 2 ( x) + α1 ( x)α 2 ( x)). Все слагаемые в последней скобке бесконечно малы в точке a (следствия теоремы 2.14), а потому и вся эта скобка является функцией, бесконечно малой в точке a ( теорема 2.13). Итак, функция f1 ( x) ⋅ f 2 ( x) равна сумме числа A1 ⋅ A2 и некоторой бесконечно малой в точке a функции, откуда (теорема 2.12) следует, что lim( f1 ( x) ⋅ f 2 ( x)) = A1 ⋅ A2 , x→a

но на основании предположения (2.17) это и есть равенство (2.15). Формулы (2.14) и (2.15) обобщаются на любое конечное число слагаемых (или, соответственно, сомножителей). В частности, для любого n ∈ N имеем lim( f ( x)) n = lim[ f ( x) ⋅ f ( x)L f ( x)] = x →a

x →a

= lim f ( x) ⋅ lim f ( x)L lim f ( x) = (lim f ( x)) n . x →a

x →a

x →a

x →a

(2.18)

Это означает, что при отыскании предела натуральной степени можно переходить к пределу в основании степени. Из формулы (2.15), в силу свойства (2.3) при f1 ( x) = C получаем lim(Cf 2 ( x )) = lim C ⋅ lim Cf 2 ( x ) = C lim f 2 ( x ), (2.19) x→a x →a x→a x→a то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела. Доказанная теорема не только характеризует свойства предельного перехода как операции, но и лежит в основе фактического вычисления пределов рациональных функций. С ее помощью можно вычислить предел любой рациональной функции. Так, далее в примерах используются формулы (2.14)-(2.15), (2.2), (2.3), (2.18), (2.19) и результат примера 1.4. Пример 2.7. lim(3 − 2 x + 4 x3 ) = lim3 − 2lim x + 4(lim x)3 = 3 − 2 ⋅ 4 ⋅13 = 5. x→1

x→1

Пример 2.8.

x→1

x→1

x − 4 lim x→0 ( x − 4) 0 − 4 = = = − 4. x →0 2 x + 1 lim x→0 (2 x + 1) 0 + 1

lim

2 x +2 Пример 2.9. Рассмотрим подробно вычисление lim x −1 . x →0 2

x − 1) = 0, следовательно, функция x − 1 бесконечно мала в точке Имеем lim( x →1 x = 1 . Тогда обратная ей функция x1−1 бесконечно велика в этой точке x 2 + 2) = 4 , то есть конечен, то функция 2 x 2 + 2 (теорема 2.11). Так как lim(2 x →1

ограничена в некоторой окрестности точки x = 1 . Тогда (см. теорему 2.15) получаем 2 x2 + 2 1 ⎤ ⎡ lim = lim ⎢(2 x 2 + 2) ⋅ =∞. x→1 x→1 x −1 x − 1 ⎥⎦ ⎣ Заметим, что обычно при вычислении подобных пределов запись ведется с использованием символических равенств

1 = 0, ∞

1 = ∞ (см. замечание к 0

теореме 2.11). Итак,

lim x→1

2 x2 +2 x −1

=

lim(2 x 2 + 2) x→1

lim( x − 1) x→1

=

4 = 4 ⋅ ∞ = ∞. 0

Пример 2.10.

1 + 4 lim( 1x + 4) 4 = x→∞ = = 4 ⋅ 0 = 0. lim x x →∞ x + 2 lim( x + 2) ∞ x →∞

Пример 2.11. 1 − 12 lim(1 − x12 ) 1 x2 −1 x = x→∞ = lim = = 1. lim 2 + 1) 1 x→∞ 2 + x 2 x→∞ 2 + 1 lim( 2 x2 x→∞ x

Пример 2.12.

Пример 2.13

1 +1 2 x2 + 2x x x3 = 0 = 0; lim 4 = lim x→∞ x − 3 x→∞ 1 1 − 34 x 1 + 22 1 x2 + 2 x x = = ∞. lim = lim 2 x→∞ 1 − x x→∞ 1 − 1 0 x3 x

Первые два примера показывают, что для вычисления предела рациональной функции при x → a , где точка a принадлежит множеству определения функции, достаточно просто вычислить значение функции в точке a . Далее будет показано, что аналогичное правило предельного перехода справедливо не только для рациональных функций, но и для всех элементарных функций. 2.3 Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность Предположим, что функция y = f ( x) определена в некоторой окрестности X точки a , (то есть a принадлежит области определения функции). Определение 2.13. Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке a , если предел функции при x → a равен ее значению f ( a ) .

( f ( x ) − непрерывна в точке a ) ⇔ (lim f ( x ) = f ( a )) x→a

(2.20)

Замечание. Если это определение записать подробно с использованием ε и δ , и заменить при этом неравенства 0 <| x − a |< δ , | f ( x ) − f ( a ) |< ε соответственно условиями x ∈ R δ (a ) 5 {a}, f ( x) ∈ R ε (a ) , то получим определение непрерывности на языке окрестностей. Используя понятие односторонних пределов (опр. 2.5, 2.4), можно переформулировать определение непрерывности так: Определение 2.14. Говорят, что функция y = f ( x) непрерывна в точке a , если в этой точке односторонние пределы существуют, равны и их значение совпадает со значением функции в точке a , то есть, выполнены равенства

f ( a − 0) = f ( a + 0) = f ( a )

(2.21)

При доказательстве многих теорем используется необходимое и достаточное условие непрерывности, сформулированное на языке бесконечно малых. Обозначим Δx = x − a и назовем Δx приращением аргумента в точке a (при переходе к точке a ). Обозначим Δy = f ( x ) − f ( a ) и назовем Δy приращением функции f ( x ) в точке a , соответствующим приращению аргумента Δx . Теорема 2.17 (Необходимое и достаточное условие непрерывности на языке бесконечно малых ). Функция, определенная в окрестности X, ( a ∈ X) называется непрерывной в точке a , если при стремлении к нулю Δx, Δy также стремиться к нулю. lim Δy → 0 (2.22) Δx → 0 Доказательство. Действительно, пусть функция f ( x ) непрерывна по определению 2.13. Тогда согласно равенству (2.20) lim f ( x ) = f ( a ). x→a

f ( x) − f (a) = 0) ⇒ ( lim | f ( x) − f (a) |= 0). Отсюда получим, что (lim x →a ( x −a )→0

Используя обозначения приращения аргумента и приращения функции, перепишем последнюю формулу в виде равенства (2.22). Необходимость доказана. Проведя эти же рассуждения в обратном порядке, докажем достаточность. Иначе говоря, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Отметим, что в некоторых учебниках это необходимое и достаточное условие приводится в качестве определения непрерывности функции в точке. В том случае, когда функция определена на промежутке ( a − h, a ] (или [ a, a + h) ), где h > 0 и значение соответствующего одностороннего предела равно f ( a ) , то говорят об односторонней непрерывности функции в этой точке. Определение 2.15. Функция y = f ( x) , определенная на промежутке ( a − h, a ] (или [a, a + h) ) называется непрерывной слева (непрерывной справа), если lim f ( x ) = f ( a ) ( lim f ( x ) = f ( a )) x→a −0

x→a +0

Очевидно, что функция, определенная в окрестности

X,

(a ∈ X)

непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и непрерывна справа в этой точке. Отметим также, что, если f ( x ) непрерывна в точке a , то её график не имеет разрыва в точке ( a; f ( a )) .

2.3.1. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций Теорема 2.18 ( о сохранении знака). Если функция f ( x ) непрерывна и отлична от нуля в точке a , то существует достаточно малая окрестность точки a в которой функция f ( x ) сохраняет тот же знак, который она имеет в точке a . Доказательство. По условию f ( x ) непрерывна в точке a . Тогда по f ( x) = f (a ) , то есть, для любого ε > 0 найдется такое определению 2.13 lim x →a

δ > 0 , что ∀x ∈ Rδ (a) : (| f ( x) − f (a) |< ε ) ⇒ ( f (a) − ε < f ( x) < f (a) + ε ).

Пусть f (a) > 0 . Положим ε = 1/ 2 f ( a ) , тогда ∀x ∈ Rδ (a) : f ( x) > f (a) − ε = 1/ 2 f (a ) > 0, что и требовалось доказать. Теорема 2. 19 (о непрерывности суммы, произведения, разности). Если функция f ( x ) и g ( x ) непрерывны в точке a , то в этой точке непрерывны и f ( x) ) При этом функции Cf ( x ) , где (C = const ) , f(x)+g(x), f ( x) ⋅ g ( x) , g ( x) последняя функция будет непрерывна при условии g ( a ) ≠ 0. Доказательство. Доказательство теоремы основывается на формулах (2.14), (2.15) и на определении (2.13) непрерывности функции в точке. Например, lim[ f ( x ) g ( x)] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = f ( x) g ( x ), x→a

x →a

x →a

отсюда сразу следует непрерывность функции f ( x ) g ( x) в точке a . Приведем без доказательства следующие важные теоремы. Теорема 2.20 (о непрерывности сложной функции). Пусть y = f (u ), u = ϕ ( x) . Если функции ϕ ( x ) и f (u ) непрерывны в соответствующих точках a и b = ϕ ( a ), то сложная функция f (ϕ ( x )) непрерывна в точке a . Теорема 2.21 (о непрерывности обратной функции). Если функция y = f ( x) взаимно-однозначна в некоторой окрестности точки a и непрерывна в точке a , то обратная функция x = ϕ ( y ) непрерывна в соответствующей точке b = f ( a ).

Теоремы настоящего пункта лежат в основе методов исследования функций на непрерывность. Рассмотрим, например, функцию x n при любом натуральном n . В силу формулы (2.18) в любой конечной точке a для нее имеем n lim x n = (lim x) = a n , x→a

x →a

n

откуда следует непрерывность x в любой точке числовой оси. Но тогда на основании теоремы 2.19 можно утверждать, что целая рациональная функция тоже непрерывна в каждой точке числовой оси, а дробная рациональная функция непрерывна во всех тех точках x , в которых ее знаменатель не обращается в ноль. Таким образом, всякая алгебраическая рациональная функция непрерывна в любой точке, принадлежащей её области определения. Можно показать, что этим свойством обладает не только алгебраическая рациональная функция, но и все явные алгебраические и все простейшие трансцендентные функции. Из этого факта и теорем настоящего пункта, вытекает следующая теорема. Теорема 2.22 Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке области определения. Действительно, любая элементарная функция получается из явных алгебраических и простейших трансцендентных функций в результате некоторой последовательности алгебраических операций и конечного числа взятия функции от функции. Любая алгебраическая операция над непрерывными функциями также приводит к функции, непрерывной в каждой точке ее области определения (см. теорему 2.19). Операция взятия непрерывной функции от непрерывной также дает в результате непрерывную функцию (см. теорему 2.20). Таким образом, на каждом этапе той последовательности операций, в результате которой получается рассматриваемая элементарная функция, непрерывность сохраняются. Отсюда и вытекает справедливость теоремы. 2.3.2 Вычисление пределов непрерывных функций Если функция f ( x) непрерывна в точке a , то согласно (2.13) lim f ( x ) = f ( a ). x→a

x , то эту формулу можно переписать так: Так как a = lim x→a lim f ( x ) = f (lim x ). x→a

x→a

(2.23)

Последняя формула показывает, что при отыскании предела непрерывной функции можно совершать предельный переход под знаком этой функции. Иными словами, символы предела и непрерывной функции можно менять местами. Таким образом, если, заранее известна непрерывность функции f ( x ) в точке a , то формула (1.23) выражает общее правило предельного

перехода. Так как все элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения ( теорема 2.22), то имеет место следующее правило предельного перехода. Если a принадлежит области определения элементарной функции f ( x ) , то для отыскания предела этой функции при x → a достаточно вычислить значение функции при x = a ; это значение и будет искомым пределом. Приведем примеры вычисления пределов. Пример 2.14. 1 1 = = 1; lim x→2 x −1 2 −1 Пример 2.15. ⎛ x+2⎞ ⎛ −2 + 2 ⎞ = limsin ⎜ sin ⎟ ⎜ ⎟ = sin 0 = 0; x →−2 ⎝ x +1 ⎠ ⎝ 1− 2 ⎠

Пример 2.16. limlg x3 − 3 = lg 22 − 3 = lg1 = 0. x→2

В том случае когда, точка a не принадлежит множеству определения функции f ( x) , для отыскания предела этой функции при x → a можно пытаться использовать свойства бесконечно малых и бесконечно больших 0 ∞ , или иная, то функций. Если при этом возникает неопределенность 0 ∞ для вычисления предела требуется использование специальных приемов. В простейших случаях для избавления от неопределенности может оказаться достаточным выполнения элементарных алгебраических преобразований. Пример 2.17. lim x→1

x3 − 1 ( x − 1)( x 2 + x + 1) = lim = lim( x 2 + x − 1) = 12 + 1 − 1 = 1. x → x →1 1 x −1 x −1

Иногда существенно облегчает задачу избавления от неопределённости использование эквивалентных бесконечно малых. 2.4 Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые

Пусть при x → a функции α = α ( x) и бесконечно малы (см.п. 2.2.3). Вычисление предела α ( x) , lim (2.24) x →a β ( x )

называется сравнением этих двух бесконечно малых друг с другом. Здесь обычно пользуются следующей терминологией: 1. Если предел (2.24) равен нулю, то говорят, что α ( x ) бесконечно малая более высокого порядка, чем β ( x ) ; в этом случае пишут α ( x) = 0( β ( x)) (читается: " α ( x ) равно 0 - малое от β ( x ) "). 2. Если предел (2.24 ) равен ∞ (или, в частности, +∞ или −∞ ), то говорят, что β ( x ) - бесконечно малая более высокого порядка, чем α ( x ) . 3. Если предел (2.24) равен любому числу A ≠ 0 , то говорят, что бесконечно малые α ( x ) и β ( x ) - одного порядка. 4. Если предел (2.24) не существует, то говорят, что бесконечно малые несравнимы. Важным частным случаем бесконечно малых функций одного порядка являются эквивалентные бесконечно малые. Определение 2.16. Функции α ( x ) и β ( x ) , бесконечно малые при x → a , называются эквивалентными бесконечно малыми, если α ( x) lim = 1. x →a β ( x ) В этом случае пишут: α ( x ) : β ( x ) при x → a . Докажем три важные теоремы о сравнении бесконечно малых. Теорема 2.23 (о сравнении произведения ). Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждый из сомножителей. Доказательство. Если при x → a функции α = α ( x) и β = β ( x) бесконечно малы то, сравнивая их, получим

α ( x) ⋅ β ( x) = lim β ( x) = 0; x →a x →a α ( x)

lim

α ( x) ⋅ β ( x) = lim α ( x) = 0. x →a x →a β ( x)

lim

Отсюда и следует, что α ( x) β ( x) = 0(α ) и α ( x ) β ( x ) = 0( β ( x )) . Теорема доказана. Теорема 2.24 (о замене бесконечно малых эквивалентными). Если функции α1 ( x), α ( x), β1 ( x), β ( x) бесконечно малы при x → a, причем α1 ( x) : α ( x), β1 ( x) : β ( x) , то α ( x) α ( x) lim 1 = lim (2.25) x →a β ( x ) x →a β ( x ) 1 Доказательство. Для доказательства выполним преобразования

⎛ α ( x) β ( x) α ( x) ⎞ α1 ( x ) = lim ⎜ 1 ⋅ ⋅ ⎟= x →a β ( x ) x →a α ( x ) β ( x ) β ( x ) ⎝ ⎠ 1 1

lim

α1 ( x ) β ( x) α ( x) α ( x) ⋅ lim ⋅ lim = lim . x→a α ( x ) x→a β ( x ) x→a β ( x ) x→a β ( x ) 1

lim

Теорема 2.25 (необходимое и достаточное условие эквивалентности). Для того, чтобы функции α ( x ) и β ( x ) были при x → a эквивалентными бесконечно малыми, необходимо и достаточно, чтобы разность α ( x ) − β ( x ) была бесконечно малой более высокого порядка, чем α ( x ) или β ( x ) .

(α ( x) : β ( x) при x → a ) ⇔ ⎛ ⎞ α ( x) − β ( x) α ( x) − β ( x) ⇔ ⎜ lim = 0 ∨ lim = 0 ⎟. x →a α ( x) β ( x) ⎝ x →a ⎠ Доказательство. Необходимость. Пусть α ( x) : β ( x) при x → a . Тогда

α ( x) − β ( x) β ( x) β ( x) = lim(1 − = 1 − 1 = 0; ) = 1 − lim x →a x →a x →a α ( x ) α ( x) α ( x)

lim

α ( x) − β ( x) α ( x) α ( x) = lim( − 1 = 1 − 1 = 0, ) = lim x →a x→a β ( x ) x →a β ( x ) β ( x)

lim

откуда следует, что α ( x) − β ( x) = 0(α ( x)) и α ( x ) − β ( x) = 0( β ( x )) . Достаточность. Пусть, например, α ( x) − β ( x) = 0(α ( x)) , тогда

α ( x) − β ( x) β ( x) β ( x) = 0 или lim(1 − ) = 0 ⇒ lim = 1 ⇒ α ( x) : β ( x). x →a x →a x →a α ( x ) α ( x) α ( x)

lim

Теорема 2.24 играет большую роль при вычислении пределов. Из формулы (2.25) следует, что если функция, предел которой разыскивается, имеет множителем или делителем некоторую бесконечно малую, то эту бесконечно малую можно заменить любой эквивалентной ей бесконечно малой. С теоремой 2.25 связан важный вопрос о приближенном представлении одной функции посредством другой. Пусть α ( x) : β ( x ) , если x → a . Положим приближенно α ( x) ≈ β ( x). (2.26) Абсолютная и относительная погрешности этого равенства соответственно

α ( x) − β ( x) . Но (α ( x) − β ( x)) → 0 при x → a , а в α ( x) α ( x)−β ( x ) → 0 при x → a. Таким образом, соответствии с теоремой (2.25), и α ( x) при x → a стремятся к нулю абсолютные и относительные погрешности приближенного равенства (2.26). Следовательно, для значений x , достаточно близких к a , это приближенное равенство будет осуществляться со сколь угодно большой относительной точностью. Таким образом, приходим к следующему выводу: если функции α ( x ) и β ( x ) при x → a являются эквивалентными бесконечно малыми, то для значений x , достаточно близких к a , любую из этих функций можно приближенно заменить другой со сколь угодно высокой относительной точностью. будут α ( x) − β ( x) и

2.5 Замечательные пределы

Для отыскания пар эквивалентных бесконечно малых особое значение имеет так называемый "первый замечательный предел" Теорема 2. 26 (первый замечательный предел).

sin x = 1. x →0 x

lim

Доказательство. Возьмем окружность единичного радиуса (см. рис.2.2) с центром в точке 0 прямоугольной системы координат Oxy и обозначим через A точку с координатами (1,0). Обозначим через B точку, в которую отобразится точка A при повороте на ориентированный угол α вокруг начала координат, считая, что 0 < α < π2 .

Пусть перпендикуляр AC, восстановленный в точке A к OA , пересекается с продолжением OB в точке С. Тогда площадь треугольника OAB 1 sin α , площадь сектора равна 2 1 α , а площадь AOB равна 2 треугольника AOC равна 1 tgα , так что Рис.2.2.

1 1 1 sin α < α < tgα . 2 2 2

2

Откуда, поделив на

1 sin α > 0, получим 2

α

1 . sin α cos α Перейдя к неравенствам между обратными величинами, найдем 1<

cos α <

<

sin α

α

< 1.

Последнее неравенство установлено для промежутка 0 < α < π/ 2 . Легко видеть, что замена α на −α не нарушает этого неравенства, откуда следует справедливость его и на промежутке −π/ 2 < α < 0 . В силу непрерывности α = cos 0 = 1, и тогда по теореме 2.9 после перехода к функции cos α , limcos α →0

пределу получаем (если заменить α на x ) следующий результат sin x = 1. lim x →0 x Это означает, что sin x : x при x → 0 . Вычислим еще один весьма полезный предел ln(1 + x ) lim = 1. x →0 x

(2.27)

Так как символы предела и непрерывной функции можно менять местами (см. пункт 2.3.1), то, положив y = 1x ( y → ∞ при x → 0 ), в силу определения числа e имеем: y y ⎡ 1 1 1 ⎤ ln(1 + x) lim = lim(ln (1 + x) x ) = lim(ln (1 + ) ) = ln ⎢ lim (1 + ) ⎥ = ln e = 1. x →0 x →0 y →∞ y →∞ y y ⎦⎥ x ⎣⎢ Итак,

ln(1 + x) = 1, (2.28) x →0 x откуда следует, что ln(1 + x) : x при x → 0. Под вторым "замечательным пределом" обычно понимают уже знакомый нам предел 1 lim (1 + x) x = e. (2.29) x →0 lim

Пример 2.18. sin 2 x 2x 1 = lim = , x→0 ln(1 + 6 x ) x→0 6 x 3 так как sin α : α при α → 0 , ln(1 + β ) : β при β → 0 (здесь α = 2x , β = 6x ). lim

2 Пример 2.19. При x → a функции α = 1 − cos x и β = x2 бесконечно малы. Используя результаты (2.15) и (2.27), находим

α 1 − cos s 2sin 2 x lim = lim = lim 2 = x2 x →0 β x →0 x →0 x (1 + cos x ) 2

2

sin x ⎞ 1 1 ⎛ = 2⎜ lim ⋅ lim = 2 ⋅ = 1. ⎟ 2 ⎝ x→0 x ⎠ x→0 1 + cos x Отсюда в силу определения эквивалентности заключаем, что α и β эквивалентные бесконечно малые. Результата примера 2.19 означает, что при x → 0 верна эквивалентность 1 − cos x : x 2 / 2. 2.6 Разрыв функции. Классификация точек разрыва

Непрерывность функции f ( x ) в точке a означает выполнение в этой точке равенства (2.20) f (a − 0) = f ( a + 0) = f ( a ) Введем теперь понятие о точках разрыва функции как о таких точках, в которых функция свойством непрерывности не обладает. Определение 2.17. Конечную точку a называют точкой разрыва функции f ( x ) , если функция f ( x ) определена на множестве X 5 {a} , где X некоторая окрестность точки a и в этой точке не выполняются условия непрерывности функции f ( x ) . Пример 2.20. Рассмотрим функцию ⎧ 1 − x, если x < 1 f ( x) = ⎨ 2 ⎩ 2 x − x если x ≥ 1 Эта функция определена на всем множестве вещественных чисел. У любой точки, отличной от x = 1 , найдется окрестность в которой исходная функция элементарна (задана одним аналитическим выражением). Следовательно, во всех таких точках функция заведомо непрерывна (см. теорему 2.22). Единственная возможная точка разрыва - x = 1. Для нее f (1 − 0) = 0, f (1 + 0) = 1, f (1) = 1, то есть, f (1 − 0) ≠ f (1 + 0). В этой точке нарушается равенство (2.20). Следовательно, точка x = 1 будет точкой разрыва этой функции. 1 Пример 2.21. Областью определения функции f ( x) = x− 2 будет множество X = ( −∞, 2) ∪ (2, +∞ ) . Во всех точках, принадлежащих X , функция непрерывна как элементарная. Точка x = 2 не входит в область

определения, следовательно, не существует f (2) . Поэтому равенство (2.20) x = 2 - точка разрыва не может быть выполнено. По определению 2.18 данной функции. Установлена следующая классификация точек разрыва. Определение 2.18. 1. Точка разрыва a функции f ( x ) называется точкой разрыва 1-го рода, если оба односторонних предела f (a − 0) и f (a + 0) существуют и конечны. Разность f (a + 0) − f (a − 0) = Δ a f называется скачком функции f ( x ) в точке a . В частности, если Δ a f = 0 , то a называется точкой устранимого разрыва. 2. Точка разрыва a функции f ( x ) называется точкой разрыва 2-го рода в том случае, если по крайней мере один из односторонних пределов f (a − 0), f (a + 0) бесконечен или не существует. В частности, если по крайней мере один из пределов f ( a − 0), f ( a + 0) бесконечен, то a - называется точкой бесконечного разрыва. Замечание. Разрыв функции в точке устранимого разрыва можно убрать доопределив (или переопределив) функцию в указанной точке. Для этого достаточно положить f (a ) = f (a − 0) = f ( a + 0) . Пример 2.22. Вернемся к примеру 2.20. В точке разрыва x = 1 рассмотренной там функции оба односторонних предела конечны: f (1 − 0) = 0, f (1 + 0) = 1, причем скачок Δ1 f = 1 − 0 = 1 . Следовательно, для функции из данного примера x = 1 будет точкой разрыва 1-го рода, (см.2.3 а).

а)

б) Рис.2.3.

1 терпит в точке x = 2 разрыв. Это x−2 разрыв 2-го рода, причем бесконечный, так как 1 f (2 + 0) = lim = +∞ . x→2 2 x − ( x >2)

Пример 2.23. Функция f ( x) =

Здесь бесконечен и второй односторонний предел 1 f (2 − 0) = lim = −∞, x →2 2 x − ( x<2) но для определения типа разрыва это несущественно (см.2.3 б). 2.6.1 Непрерывность функции на промежутке Определение 2.19. Функция f ( x ) называется непрерывной на некотором открытом промежутке X (конечном или бесконечном), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Если X = [ a, b] - замкнутый интервал, то в его граничных точках a и b предполагается односторонняя непрерывность - правосторонняя в точке a и левосторонняя в точке b . То есть должны быть выполнены соответственно равенства f (a + 0) = f (a ) и f (b − 0) = f (b). Графиком функции, непрерывной на промежутке, является сплошная линия без разрывов; ее можно вычертить одним движением карандаша, не отрывая его от бумаги. Сформулируем без доказательства достаточно очевидные теоремы, выражающие свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале. Теорема 2.27 (первая теорема Вейерштрасса). Функция непрерывная на замкнутом промежутке ограничена на нем. Теорема 2.28 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f ( x ) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ] , то найдется по крайней мере одна точка x1 ∈ [a, b] такая, что ∀x ∈ [a, b] выполнено f ( x1 ) ≤ f ( x) и найдется по крайней мере одна такая точка x2 ∈ [a, b] , что ∀x ∈ [a, b] верно f ( x2 ) ≥ f ( x) . Определение 2.20. Числа f ( x1 ) = m и f ( x2 ) = M называются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции f ( x ) на замкнутом интервале [ a, b ] , если ∀x ∈ [a, b] выполнено m ≤ f ( x ) ≤ M . Теорема 2.29 (первая теорема Больцано-Коши). Если функция f ( x ) непрерывна на замкнутом промежутке [ a, b] и f ( a ) ⋅ f (b) < 0 , то ∃c ∈ (a, b) : f (c) = 0. Точку x = c называют нулем или корнем функции f ( x ) . Теорема 2.30 (вторая теорема Больцано-Коши). Если функция f ( x ) непрерывна на замкнутом промежутке [ a, b ] и в точках x1, x2 ∈ [a, b] принимает значения f ( x1 ) = A и f ( x2 ) = B , то каково бы ни было число C , заключённое между A и B, ∃c ∈ ( a, b) : f (c ) = C . Следствие 1 к теореме 2.30. Если функция f ( x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b] , то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между её наименьшим m и наибольшим M значениями.

Теоремы 2.28 и 2.30 можно легко проиллюстрировать (см. рис.2.4.a) и рис. 2.4.b))

Рис 2.4.

1. Вопросы для самоконтроля к главе 2

1. Дайте определение числовой последовательности. Ответьте на вопрос, что какая последовательность называется монотонной, ограниченной. 2. Дайте определение конечного предела числовой последовательности. 3. Перечислите свойства последовательностей , имеющих конечный предел. 4. Дайте определение бесконечного предела числовой последовательности. 5. Дайте определение предела функции в конечной точке на языке ε − δ . 6. Дайте определение предела функции в конечной точке на языке последовательностей. 7. Что такое односторонние пределы функции? 8. Сформулируйте признаки существования конечного предела. 9. Что такое неперово число? 10. Дайте определения бесконечно малой и бесконечно большой функций. Как они связаны? 11. Сформулируйте теоремы о свойствах бесконечно малых. 12. Сформулируйте теорему о конечных пределах. 13. Какие бесконечно малые называются эквивалентными? 14. Какие "замечательные пределы" Вам известны? 15. Дайте определение непрерывности функции в точке. 16. Сформулируйте необходимое и достаточное условие непрерывности на языке бесконечно малых. 17. Сформулируйте теоремы о непрерывных функциях. 18. Какие точки разрыва называют точками разрыва первого рода? Приведите примеры. 19. Какие точки разрыва называют точками разрыва второго рода? Приведите примеры. 20. Сформулируйте свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.

Глава 3

Производная и дифференциал 3.1 Определение производной. Ее геометрический и механический смысл Пусть функция y = f ( x) задана на некотором промежутке X . Возьмем какую-нибудь конечную точку x0 ∈ X и зададим в ней произвольное приращение Δx ≠ 0 , такое, что и x0 + Δx ∈ X. Приращение функции в точке x0 , соответствующее приращению аргумента Δx , будет Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ). Δy Рассмотрим отношение Δx. Δy Δx → 0 отношение Δx стремится к Определение 3.1. Если при конечному или бесконечному пределу, то этот предел называется производной функции y = f ( x) по переменной x в точке x0 и обозначается символами y′, y x или f ′( x0 ). Итак, по определению Δy f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) y′ = f ′( x0 ) = lim = lim . (3.1) Δx→0 Δx Δx →0 Δx Определение 3.2. Производная f ′( x0 ) называется конечной или бесконечной в зависимости от того, конечен или бесконечен предел (3.1). Таким образом, конечная производная в данной точке представляет собой число. Определение 3.3. Если конечная производная от функции y = f ( x) существует в каждой точке промежутка X , то на множестве X оказывается заданной функция, которая ставит в соответствие каждой точке x ∈ X значение производной в этой точке. Назовем эту функцию производной от функции f и обозначим f ′ . n Пример 1. Вычислить производную функции f ( x) = x , в произвольной точке x ∈ R, если n ∈ N.

Пользуясь определением (3.1) и формулой бинома Ньютона, находим 2 ( x + Δx) − x 2 = f ′( x) = lim Δx →0 Δx

n(n − 1) n−2 x Δx + L + ( Δx) n−1} = nx n−1 . Δx →0 1⋅ 2 n ( x )′ = nx n−1, n ∈ N. Итак, для любого x Рассмотрим геометрическое содержание понятия производной. Пусть в декартовой прямоугольной системе координат Oxy задана кривая l , являющаяся графиком функции y = f ( x) (рис. 3.1). Требуется найти уравнение касательной к этой кривой в некоторой ее точке M 0 ( x0 , y0 ) . = lim{nx n−1 +

Рис.3.1.

На кривой l возьмем какую-нибудь другую точку M ( x0 + Δx, y0 + Δy ) и M 0M , приведем секущую Ox образующую с осью ориентированный угол ϕ . Напомним определение касательной к кривой l в точке M0 . Пусть точка M приближается к точке M 0 так, что расстояние между ними ρ ( M 0 M ) → 0 . Если при этом секущая M 0 M будет приближается к некоторому предельному положению M 0T так, что угол между прямыми M 0 M и M 0T стремится к нулю, то прямая M 0T называется касательной к M0 . l кривой в точке

В силу этого определения наличие в точке M 0 касательной M 0T , образующей с осью Ox ориентированный угол ϕ 0 , эквивалентно равенствам

(ϕ0 = lim ϕ ) ⇔ (tgϕ0 = lim tgϕ ). Δx→0

Δx→0

(3.2)

На рис.3.1..

PM Δy f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = = , M 0 P Δx Δx в силу чего, на основании (3.2) и определения 3.1 для углового коэффициента k0 искомой касательной M 0T получаем f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) k0 = tgϕ0 = lim = f ′( x0 ). (3.3) Δx → 0 Δx tgϕ =

Зная угловой коэффициент k0 = f ′( x0 ) касательной M 0T и точку M 0 ( x0 , y0 ), через которую она проходит, пишем уравнение этой касательной в виде

y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ).

(3.4)

Итак, производная f ′( x ) функции y = f ( x) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x. Замечание. Условие существования производной f ′( x ) в точке x эквивалентно условию существования и единственности касательной к кривой y = f ( x) в этой точке (в точке с абсциссой x ). При этом случаю конечной производной отвечает касательная, не параллельная оси Oy , а случаю бесконечной производной - касательная, параллельная оси Oy. Механический смысл производной виден из следующих рассуждений. Пусть материальная точка движется по оси Ox (рис.3.2). Рис.3.2. Положение точки определяется ее абсциссой x , которая будет функцией времени t : x = f (t ) . Последнее равенство называется уравнением движения точки. Пусть в момент времени t0 точка занимала на траектории положение M 0 и имела абсциссу x0 , а затем, по прошествии времени Δt переместилась в положение M 0 и имеет абсциссу x0 + Δx. Таким образом, если за время Δt точка не меняла направления движения, то Δx есть путь, пройденный точкой за время Δt . Очевидно, Δx = f (t0 + Δt ) − f (t0 ). x Отношение Δ Δt называется средней скоростью точки за промежуток времени Δt , а предел этого отношения при Δt → 0 называется скоростью V (t0 ) точки в момент времени t0 . В силу определения производной (3.1). Δx f (t0 + Δt ) − f (t0 ) V (t0 ) = lim = lim = f ′(t0 ). Δt →0 Δt Δt → 0 Δt

Следовательно, если x = f (t ) есть уравнение прямолинейного движения точки, то производная f ′(t ) представляет собой скорость точки в момент времени t. 3.2 Дифференцируемость функции в точке

Пусть функция y = f ( x) определена в некоторой окрестности X точки x0 . Зададим в этой точке произвольное приращение аргумента Δx ≠ 0 так, чтобы x0 + Δx ∈ X . Определение 3.4. Функция y = f ( x) называется дифференцируемой в точке x , если приращение функции в этой точке, соответствующее приращению Δx аргумента, можно, представить в форме

Δy = AΔx + α (Δx)Δx,

(3.5)

где A - число, а α (Δx) - функция Δx , бесконечно малая при Δx → 0 , то есть α (Δx) → 0 при Δx → 0. Заметим, что число A ставится в соответствие фиксированной точке x0 и не зависит от Δx . При изменении точки x0 число A , вообще говоря, изменится. Условия дифференцируемости функции в точке определяются теоремами 3.1 и 3.2. Теорема 3.1. Для того, чтобы функция y = f ( x) была дифференцируема в точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы эта функция обладала в этой точке конечной производной. Доказательство. Необходимость. Пусть y = f ( x) дифференцируема в точке x0 , то есть в этой точке имеет место соотношение (3.5). Разделим его почленно на Δx ≠ 0. Δy = A + α ( Δx ). Δx Если Δx → 0 , то получим, что f ′( x0 ) = A . Это и означает конечность производной f ′( x0 ). Достаточность. Пусть f ′( x0 ) - число. По определению производной (3.1) имеем: Δy lim = f ′( x0 ). Δx →0 Δx Отсюда получаем (теорема 2.12), что Δy = f ′( x0 ) + α (Δx), где α (Δx) → 0 при Δx → 0. Δx

Но это и есть определение дифференцируемости. При этом величина A , входящая в условие (см. формулу (3.5)), совпадает со значением f ′( x0 ) производной f ′( x ) в точке x0 . Поэтому данное условие можно записать в форме Δy = f ′( x0 )Δx + α (Δx)Δx, где α (Δx) → 0 при Δx → 0. (3.6) Теорема доказана. Замечание 1. В некоторых учебниках в качестве определения дифференцируемости в точке дается именно существование конечной производной в данной точке. Важно выяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Теорема 3.2. Если функция y = f ( x) дифференцируема в точке x0 , то она и непрерывна в этой точке. Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из условия (3.6). Действительно, переходя в нем к пределу при Δx → 0 получаем lim Δy = 0. Данное равенство и означает непрерывность, так как бесконечно Δx → 0 малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Замечание 2. Из непрерывности функции в некоторой точке, вообще говоря, не следует дифференцируемость функции в этой точке. Рассмотрим, например, две функции, графики которых представлены на рис.3.3. Обе эти функции непрерывны в точке x0 , но они не будут дифференцируемы в этой M 0 ( x0 , y0 ) точке. Касательная к графику первой функции в точке параллельна оси Oy , то есть, первая функция обладает в точке x0 бесконечной производной. График второй функции в точке x0 вообще не имеет единственной касательной, поэтому функция в точке x0 не может иметь конечной производной .

Рис. 3.3. Определение 3.5. Точки, подобные x0 на рис. 3.3а, называются точками возврата функции, а подобные точкам x0 на рис.3.3 b -угловыми точками.

3.3 Дифференцируемость функции на промежутке Определение 3.6. Функция y = f ( x) называется дифференцируемой на некотором промежутке X (конечном или бесконечном), если эта функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка. Отметим при этом, что в принадлежащих X граничных точках должна иметь место односторонняя дифференцируемость (правосторонняя или левосторонняя). В частности, если X = [a, b] - замкнутый интервал, то в его граничных точках a и b должны существовать, соответственно, односторонние конечные пределы f ( a + Δx ) − f ( a ) f (b + Δx ) − f (b) lim lim . и Δx→0 Δx→0 Δ x Δ x Δx >0 Δx <0

Графиком функции, дифференцируемой на некотором промежутке, служит сплошная линия без точек возврата и угловых точек. Такую линию будем называть гладкой. 3.4 Дифференциал функции

Пусть функция y = f ( x) дифференцируема в точке x . Тогда в точке x0 для любого Δx ≠ 0 имеет место соотношение (3.6)

Δy = f ′( x0 )Δx + α (Δx)Δx, где α (Δx) → 0 при Δx → 0, которое представляет функцию от Δx в точке x0 в виде двух слагаемых. Первое из этих слагаемых f ′( x0 )Δx является линейной функцией аргумента Δx , а второе слагаемое α (Δx)Δx - нелинейной функцией Δx. Определение 3.7. Произведение f ′( x0 )Δx , представляющее собой Δx часть приращения функции в точке x0 , линейную относительно называется дифференциалом функции y = f ( x) в этой точке и обозначается одним из символов dy или df ( x0 ). Итак, dy = f ′( x0 )Δx. (3.7) Заметим, что приращение Δx аргумента x , который здесь выступает как dx и называют независимая переменная, обычно обозначают дифференциалом независимой переменной. (Это непосредственно следует из определения дифференциала, если положить f ( x) = x ). Таким образом, формулу (3.7) для дифференциала функции пишут еще в виде dy = f ′( x0 )dx, (3.8) то есть дифференциал функции в данной точке равен произведению производной функции в этой точке на дифференциал (приращение) независимой переменной.

dy Из формулы (3.8) находим, что f ′( x0 ) = dx . Таким образом, производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к dy дифференциалу независимой переменной. Символ dx часто применяют для обозначения производной функции y по переменной x . Вернемся к графику функции y = f ( x) , представленному на рис.3.1. Как легко заметить, дифференциал функции y = f ( x) в точке x0 , геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к графику этой функции в точке M 0 ( x0 , y0 ) на интервале [ x0 , x0 + Δx] . Перепишем теперь формулу для приращения функции в виде

Δy − dy = α (Δx)Δx, где α ( Δx ) → 0 при Δx → 0. (3.9) Если f ′( x0 ) ≠ 0, то функция α (Δx)Δx аргумента Δx является при Δx → 0 бесконечно малой более высокого порядка, чем функция dy = f ′( x0 )dx того же аргумента. Действительно α ( Δx ) Δ x 1 = lim lim α ( Δx ) = 0. Δx →0 f ′( x ) Δx Δx → 0 ′ f ( x ) 0 0 Итак, α ( Δx)Δx = 0(dy ) при Δx → 0 , в силу чего (3.9) можно переписать в виде Δy − dy = 0( dy ) при Δx → 0 . Отсюда следует (см. теорему 2.25), что приращение Δy и дифференциал dy функции y = f ( x) в точке x0 , являются эквивалентными бесконечно малыми при Δx → 0 и при условии, что f ′( x0 ) ≠ 0, Следствием этого является возможность приближенной замены приращения функции Δy дифференциалом этой функции dy со сколь угодно высокой относительной точностью. Итак, имеем приближенное равенство Δy ≈ dy, (3.10) абсолютная и относительная погрешности которого сколь угодно малы при достаточно малом по модулю Δx. Структура дифференциала, являющегося линейной функцией Δx , проще структуры приращения функции, в силу чего равенство (3.10) играет большую роль как в теоретических исследованиях, так и в приближенных вычислениях. Операции нахождения производной и дифференциала функции называются дифференцированием этой функции. Общее название обеих операций объясняется их очевидной зависимостью. В силу формулы (3.8) дифференциал функции получается простым умножением ее производной на величину Δx = dx. Пример 3.2. Найти приращение и дифференциал функции y = 3 x 2 + x в точке x = 1 , если Δx = 0,1. Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые возникают при замене приращения функции ее

дифференциалом. Найдём приращение и дифференциал функции Δy = 3( x + Δx ) 2 + ( x + Δx ) − 3 x 2 − x = 6 xΔx + 3( Δx ) 2 + Δx = (6 x + 1) Δx + ( Δx ) 2. Тогда dy = (6 x + 1)Δx . Вычислим Δy и dy в точке x = 1 , если Δx = 0,1 Δy = 7 ⋅ 0,1 + 3 ⋅ 0, 01 = 0, 73; dy = 7 ⋅ 0,1 = 0, 7. Абсолютная погрешность погрешность

Δy − dy = 0, 73 − 0, 7 = 0, 03,

а

относительная

Δy − dy 0, 03 = ≈ 0, 04. 0, 73 Δy 3.5 Производная суммы, произведения и частного функций

Напомним известные из курса средней школы правила дифференцирования, которые позволяют в некоторых случаях находить производные функций, не прибегая непосредственно к определению. Теорема 3.3. Если функции u = u ( x) и v = v( x) дифференцируемы в точке x , то в этой точке (u + v)′ = u′ + v′ (3.11)

(uv)′ = u′v + v′u;

(3.12)

⎛ u ⎞ u′v − v′u , v = v ( x ) ≠ 0. (3.13) ⎜ ⎟= 2 v v ⎝ ⎠ Умножив эти равенства почленно на dx , получим те же правила, записанные в терминах дифференциалов d (uv) = du + dv; (3.14)

d (uv) = udv + vdu;

(3.15)

⎛ u ⎞ udv − vdu . d⎜ ⎟= (3.16) v2 ⎝v⎠ Доказательство. Так как для всех частей теоремы доказательство проводится совершенно единообразно, докажем одну из них, например, вторую. Обозначим y = uv. Придадим x приращение Δx, и пусть Δu, Δv, Δy будут приращения функций u, v, y в точке x , соответствующие приращению Δx, аргумента. Тогда Δy = (u + Δu )(v + Δv) − uv = vΔu + uΔv + Δu Δv.

Учитывая, что u и v - значения функций в точке x не зависят от приращения аргумента Δx, в силу определения (3.1) и свойств предельного перехода (см. формулы (2.14),(2.15) находим Δy Δu Δv Δu y′ = lim = v lim + u lim + lim ⋅ lim Δv. Δx→0 Δx Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δx→0 Функция v = v( x) в рассматриваемой точке x по условию теоремы дифференцируема, а значит, и непрерывна ( теорема 3.2), следовательно lim Δv = 0 (определение непрерывности 2.17) и предыдущее равенство дает Δx → 0

выражение для производной: y′ = vu′ + uv′ + u′ ⋅ 0. Подставив сюда y = uv , придем к формуле (3.12). Производная и дифференциал постоянной функции y = C ( здесь С постоянное число при всех x ∈ X ) равны нулю.

∀x ∈ X C ′ = 0; dC = C ′dx = 0.

(3.17)

Действительно, в любых точках множества X такая функция имеет одно и то же значение, в силу чего для нее Δy ≡ 0 при любых x и Δx таких что x, x + Δx ∈ X. Отсюда, в силу определения производной и дифференциала, следуют формулы (3.17). Формула (3.11) обобщается на случай любого конечного числа слагаемых функций. При u = C , где C − const , формулы (3.12) и (3.15), в силу (3.17), дают равенства: (Cv)′ = Cv′, d (Cv) = Cdv. То есть, постоянный множитель можно выносить за знаки производной и дифференциала. Для случая трех сомножителей, последовательно применяя формулу (3.12), находим (uvw)′ = ((uv) w)′ = (uv)′w + (uv) w′ + (u′v + uv′) w + uvw′ = u′vw + uv′w + uvw′. Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения любого числа сомножителей. В следующих пунктах будут получены производные основных элементарных функций. 3.6 Производные от тригонометрических функций

Найдем производные от тригонометрических функций, а именно

1. (sin x)′ = cos x 3. (tgx)′ =

1 cos 2 x

2. (cos x)′ = − sin x 4. (ctgx)′ = −

1 sin 2 x

Получим первую из них. Приращение функции y = sin x в точке x , соответствующее приращение Δx аргумента, будет Δx Δx Δy = sin( x + Δx) − sin x = 2sin cos( x + ). 2 2 Учитывая, что sin Δ2x : Δ2x при Δx → 0 и используя определение производной, находим 2sin Δx cos( x + Δx ) Δy 2 2 = y′ = lim = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx

2 ⋅ Δx cos( x + Δx ) 2 2 = limcos( x + Δx ) = cos x. = lim Δx → 0 Δx → 0 2 Δx Вторая формула доказывается аналогично. Третья и четвертая формулы получаются, если тангенс и котангенс выразить через синус и косинус и воспользоваться формулой (3.13). 3.7 Дифференцирование логарифмических функций

Имеют место формулы

1.

(log a x )′ =

1 log a e x

1 2.(ln x )′ = . x

Докажем первую из них. Приращение функции y = log a x в точке x , соответствующее приращению Δx аргумента, будет x + Δx Δx Δx Δy = log a ( x + Δx) − log a x = log a = log a (1 + ) = log a e ln(1 + ); x x x (мы воспользовались здесь тождеством log a A = log a e ln A ). Так как ln(1 + Δxx ) : Δxx при Δx → 0 , то по определению производной получаем: Δy 1 Δx y′ = lim = log a e lim ln(1 + ) = Δx→0 Δx Δx →0 Δx x

1 Δx 1 = log a e. Δx →0 Δx x x

= log a e lim

3.7 Дифференцирование сложной функции. Производные от степенной и показательной функций

Пусть сложная функция y аргумента x задана формулами y = f (u ), u = ϕ ( x) (см. пункт 1.4.3)

Теорема 3.4 (о производной сложной функции). Если функции y = f (u ), u = ϕ ( x) дифференцируемы в соответствующих друг другу точках u и x , то сложная функция f [ϕ ( x)] тоже дифференцируема в точке x , причем y′ = f ′(u )u′ или y′ x = y′u ⋅ u′ x. (3.18) Доказательство. Независимой переменной x придадим приращение Δx, тогда функция u = ϕ ( x) получит приращение Δu , что вызовет приращение Δy функции y = f (u ) . Так как функция y = f (u ) по условию теоремы дифференцируема в рассматриваемой точке u , то ее приращение в этой точке можно представить в виде (см.определение 3.4) Δy = f ′(u )Δu + α (Δu )Δu, где α (Δu ) → o при Δu → 0. Отсюда: Δy Δu Δu = f ′(u ) + α ( Δu ) . Δx Δx Δx

Функция u = ϕ ( x) дифференцируема, а значит и непрерывна в точке x , соответствующей рассмотренной выше точке u (теорема 3.2). Δu = 0, а поэтому lim α ( Δu ) = 0. Следовательно, в силу непрерывности Δlim x →0 Δx → 0 Учитывая это, при переходе в последнем равенстве к пределу при Δx → 0 , придем к (3.18). Умножив равенство (3.18) почленно на dx , получим выражение для дифференциала сложной функции dy = f ′(u )du. Замечание. Дифференциал функции y = f (u ) имел бы точно такой же вид и в том случае, если бы аргумент u был не функцией, а независимой переменной. В этом состоит так называемое свойство инвариантности (независимости) формы дифференциала по отношению к аргументу. Следует иметь в виду, что если u - независимая переменная, то du = Δu есть ее произвольное приращение, если же u - промежуточный аргумент (то есть функция), то du - дифференциал этой функции, то есть величина, не совпадающая с ее приращением Δu. С помощью последней теоремы легко получить формулы дифференцирования степенной и показательной функции: α α −1 x x x x 1). ( x )′ = α x ; 2). (a )′ = a ln a; 3). (e )′ = e . Действительно, предполагая x > 0 , прологарифмируем обе части формулы y = xα ; ln y = α ln x. Здесь y - это функция от x , в силу чего левая часть последнего равенства является сложной функцией от x . Продифференцировав обе части последнего равенства по x (левую - как сложную функцию), получим

1 1 y′ = a , y x откуда

ay ax a y′ = = = ax a−1. x x Легко показать, что этот результат верен и при x < 0 , если только при этом сл xα имеет смысл. Ранее был получен результат для случая α = n. Аналогично получается и вторая формула, из которой в частном случае при a = e вытекает последняя формула. Замечание. Прием предварительного логарифмирования, который был использован при получении формулы дифференцирования степенной функции, имеет самостоятельное значение и называется в совокупности с последующим нахождением производной логарифма функции логарифмическим дифференцированием. Покажем его применение для дифференцирования функций вида y = u ( x )v ( x ) . Пример 3.3. Найдем производную функции y = xsin x . ln y = ln xsin x = sin x ln x

ln y = y′/y = (sin x)′ ln x + sin x (ln x )′ = cos x ln x +

sin x . x

Следовательно,

y′ = xsin x (cos x ln x +

sin x ) x

Замечание. Правило дифференцирования сложной функции может быть применено и для отыскания производной функции, заданной неявно. Действительно, если зависимость между x и y задана в форме F ( x, y ) = 0 и это уравнение разрешимо относительно y , то производную y′ можно найти из уравнения d ( F ( x, y ( x)) = 0. dx Пример 3.4. Найти производную функции y = f ( x) , заданной неявно уравнением arctg ( y ) − y + x = 0 . Дифференцируем равенство по x , считая y функцией от x : y′ 1+ y ′ ′ y 1 0 откуда y − + = , = 1+ y2 y2

3.9 Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Пусть даны две взаимно обратные функции y = f ( x) и x = ϕ ( y ) (см.п. 1.4.8). Теорема 3.5 (о производной обратной функции). Если функции y = f ( x ), u = ϕ ( y ) возрастают (убывают) и в точке x функция f ( x ) дифференцируема, причем f ′( x ) ≠ 0, то в соответствующей точке y функция ϕ ( y ) тоже дифференцируема (по y ), причем 1 ϕ ′( y ) = . (3.19) f ′( x) Доказательство. В точке y зададим приращение Δy. Так как функция x = ϕ ( y ) возрастает (убывает) (см.п. 1.4.7), то Δx = ϕ ( y + Δy ) − ϕ ( y ) ≠ 0 и Δx = 1 . Δy Δy В условиях теоремы функция x = ϕ ( y ) непрерывна (теорема 3.2), в Δx силу чего Δx → 0 при Δy → 0 и пользуясь последним соотношением, находим Δx 1 1 ϕ ′( y ) = lim = = . Δy → 0 Δ y lim Δx→0 ΔΔyx f ′( x)

Таким образом, дифференцируемость функции x = ϕ ( y ) в точке y и формула (3.19) доказаны. С помощью этой теоремы выводятся формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций: 1 1 1. (arcsin x )′ = 2. (arccos x)′ = − 1 − x2 1 − x2

1 1 ′ 4 ( x ) . = − 1 + x2 1 + x2 Функции y = arcsin( x) и y = sin x , где x ∈ [−1,1], y ∈ [− π2 , π2 ] взаимно обратны. В соответствии с формулой (3.19), находим 1 1 1 1 (arcsin x )′ = = = = . (sin y )′ cos y ± 1 − sin 2 y ± 1 − x 2 3. ( x)′ =

Но ∀y ∈ [− π2 , π2 ] cos y ≥ 0, поэтому перед квадратным корнем остается положительный знак, и мы получаем первую формулу. Аналогично доказываются и остальные. 3.10 Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f ( x) дифференцируема на некотором промежутке. Тогда производная f ′( x ) этой функции, называемая еще производной первого порядка, будет новой функцией x , заданной на этом промежутке, и

может, в свою очередь, иметь производную. Эту производную называют производной второго порядка функции y = f ( x) и обозначают одним из символов y′′, y′′ xx, f ′′( x ), y (2) , f (2) ( x ). Производную производной 2-го порядка называют производной третьего порядка функции y = f ( x) и обозначают f ′′′, y′′′ xxx, f ′′( x ), y (3) f (3) ( x ). Аналогично определяются производные 4-го, 5-го и старших порядков. Определение 3.8. Производной n -го порядка от функции y = f ( x) называется производная от производной n − 1 порядка данной функции. (n) (n) Производная n -го порядка обозначается одним из символов: y , f ( x). Пример 3.5. y = 5 x3 + 6 x − 1. y′ = 15 x 2 + 6, y′′ = 30 x, y′′′ = 30, y (4) = L = y ( n ) = 0. Очевидно, что для алгебраического многочлена n − ой степени все производные, начиная с (n + 1) - ого порядка, равны нулю. Пример 3.6. y = eax , y′ = aeax , y" = a 2eax , L , y ( k ) = a k eax . Определение 3.9. Функция f ( x) называется дифференцируемой k раз в некоторой точке (на некотором промежутке), если в этой точке (на этом промежутке) дифференцируемы функции f ( x), f ′( x), f ′′( x). f (3) ( x),L , f ( n−1) ( x). Дифференциал функции y = f ( x) , где x - независимая переменная, называемый еще дифференциалом 1-го порядка, определяется формулой dy = f ′( x)dx, (3.20) где dx = Δx - произвольное достаточно малое приращение аргумента x . Зафиксируем dx; тогда dy будет функцией от x . Дифференциал этой функции называется дифференциалом 2-го порядка функции y = f ( x) и 2 обозначается d 2 y или d f ( x). Поскольку dx зафиксирован (постоянен), то d 2 y = d (dy ) = d [ f ′( x)dx] = [ f ′( x)dx]′dx = f ′′( x)dx 2 . 2 Дифференциал функции d y называется дифференциалом 3-го порядка 3 функции y = f ( x) и обозначается d y или d 3 f ( x).

d 3 y = d (d 2 y ) = d [ f ′′( x)dx 2 ] = [ f ′′( x)dx 2 ]′ = f ′′′( x)dx 3 . Определение 3.10. Дифференциалом n - ого порядка функции y = f ( x) называется величина, которая обозначается и определяется в соответствии с равенством d ( n ) y = d ( d n−1 y ).

Методом математической индукции легко показать, что d n y = f ( n ) ( x)df n . (3.21) Итак, дифференциал n - ого порядка равен произведению производной n - ого порядка этой функции на n -ную степень дифференциала независимой переменной. Если имеется сложная функция y = f (u ), u = ϕ ( x), то и тогда dy = f ′(u ) du (3.22) с той разницей, что теперь уже и f ′(u ) и du = ϕ ′( x)dx являются функциями от x . Поэтому при отыскании дифференциалов старших порядков нельзя выносить du за знак производной, а следует дифференцировать формулу 3.22 как произведение. Поэтому формулы для дифференциалов высших порядков сложной функции отличаются от полученных выше формул. Отметим, что дифференциалы высших порядков сложной функции по отношению к аргументу свойством инвариантности формы не обладают. dk y (n) Из формулы (3.21) следует: f = dxk , то есть, что производную n - ого порядка функции можно истолковать как отношение дифференциала n - ого порядка функции к n - ой степени дифференциала независимой переменной. dk y Поэтому символ dxk часто применяют для обозначения производной n - ого порядка функции y по переменной x . 3.11

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция y = f ( x) задана параметрическими уравнениями x = ϕ (t ), y = ψ (t ), t ∈ T. (3.23) y по переменной x можно вычислить, Производную y′ x функции пользуясь только параметрическими уравнениями (3.23), минуя представление функции y = f ( x) в явной форме. Теорема 3.6. Если на промежутке T функция x = ϕ (t ) возрастает (убывает) и в точке t ∈ T функции ϕ (t ) и ψ (t ) дифференцируемы, причем ϕ ′(t ) ≠ 0 , то в соответствующей точке x y будет переменная дифференцируемой функцией от x . При этом ψ ′ (t ) y′ y′ x = t = t . (3.24) ϕ ′t (t ) x′t Доказательство. Так как функция x = ϕ (t ) возрастает (убывает) на T , то она имеет на этом промежутке обратную функцию t = g ( x). В силу теоремы 3.5 эта обратная функция будет дифференцируема в точке x , которая соответствует точке t и g ′( x) = ϕ ′1(t ) . Учитывая это, на основании теоремы о дифференцировании сложной функции находим производную функции

y′ x = ψ ′(t ) g ′( x ) =

ψ ′(t ) , ϕ ′t (t )

что и требовалось доказать. Производная второго порядка y′′ xx есть производная по Применяя формулу (3.24) не к y , а к y′ x , получим ( y′ )′ y′′ xx = x t . x′t

x от y′ x .

Продолжая эти действия, можно найти производную любого порядка функции y по переменной x . Пример 3.7. Вычислить y′ x и y′′ xx , если x = a(t − sin t ), y = a(1 − cos t ). Имеем y′ a sin t t = ctg . y′ x = t = 2 x′t a (1 − cos t )

y′′ xx =

3.12

( y′ x )′t x′t

=−

1 1 = − . 2a sin 2t (1 − cos t ) 4a sin 4 2t 2

Вопросы для самоконтроля к главе 3

1. Что называется приращением аргумента и приращением функции? 2. Дайте определение производной функции в точке. Каково её геометрическое и механическое истолкование? 3. Выведите уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. 4. Дайте определение дифференцируемости функции в точке. Сформулируйте необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. 5. Что называется дифференциалом функции? Каково его геометрическое истолкование? 6. Покажите, что абсолютная и относительная погрешности при замене приращение функции её дифференциалом есть величины бесконечно малые. Для какой функции дифференциал тождественно равен приращению? 7. Докажите теорему о непрерывности дифференцируемой функции. Покажите на примерах, что обратная теорема неверна. 8. Может ли функция иметь производную в точке разрыва. 9. Сформулируйте и докажите основные правила дифференцирования. 10. Выведите формулы для нахождения производных функций: sin x , cos x , tgx , ctgx , log a x , ln x . 11. Сформулируйте и докажите правило дифференцирования сложной функции.

12. Где используется понятие непрерывности при выводе правила дифференцирования сложной функции? 13. Выведите формулы для нахождения производных функций: xα , где α ∈ R , a x , где a ≠ 1 , a > 0 . 14. Выведите правило нахождения производных обратных функций. 15. Выведите формулы для нахождения производных функций: arcsin x , arccos x , arctg ( x) , arcctg ( x) . 16. На чем основан метод логарифмического дифференцирования? Приведите примеры его использования. 17. Дайте определения производных и дифференциалов высших порядков. 18. Выведите формулы для нахождения производных первого и второго порядка от функций, заданных параметрически.