ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Е. Г. Беломытцева, Н. М. Ратинер, Е. Б. Туленко
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЕОМЕТРИИ И ФИЗИКЕ Учебно-методическое пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2007
Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà 17 ìàÿ 2007 ã., ïðîòîêîë 5
Ðåöåíçåíò äîöåíò, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê À. À. Êîñàðåâ
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 1-ãî êóðñà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà äíåâíîé è âå÷åðíåé ôîðì îáó÷åíèÿ. Äëÿ ñïåöèàëüíîñòåé: 010801 (013800) Ðàäèîôèçèêà è ýëåêòðîíèêà, 010803 (014100) Ìèêðîýëåêòðîíèêà è ïîëóïðîâîäíèêîâûå ïðèáîðû, 010701 (010400) Ôèçèêà.
2
Ââåäåíèå Ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ñîäåðæèò ìàòåðèàë, îòíîñÿùèéñÿ ê âàæíîìó ðàçäåëó êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èíòåãðàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ. Ïîñîáèå âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå òåìû: îïðåäåëåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà è åãî ñâîéñòâà, íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà, òåîðåìû ñðàâíåíèÿ, àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Áîëüøîå âíèìàíèå óäåëåíî ïðèëîæåíèÿì îïðåäåëåííîãî è íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ê ðåøåíèþ ãåîìåòðè÷åñêèõ è ôèçè÷åñêèõ çàäà÷. Ïîñîáèå ðàññ÷èòàíî íà ñàìîñòîÿòåëüíóþ ðàáîòó ïî òåìå è ñîäåðæèò èíäèâèäóàëüíûå çàäàíèÿ ïî êàæäîìó ðàçäåëó.  ïîñîáèè òàêæå ïðèâåäåíû íåîáõîäèìûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ è èìååòñÿ ðÿä çàäà÷ ñ ðåøåíèÿìè, êîòîðûå ïîìîãóò ñòóäåíòàì ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèé.
1.
Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë Ðèìàíà
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [a, b]. Ðàçîáü¼ì îòðåçîê [a, b] íà ÷àñòè òî÷êàìè a = x0 < x1 < · · · < xN = b. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆xi = xi+1 − xi äëèíó i-ãî îòðåçêà ðàçáèåíèÿ è ïóñòü λ ìàêñèìàëüíàÿ èç ýòèõ äëèí. Íà êàæäîì ïðîìåæóòêå [xi , xi+1 ] âûáåðåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ïî òî÷êå ξi ∈ [xi , xi+1 ], âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (ξi ) â ýòèõ òî÷êàõ è ñîñòàâèì ñóììó
σ=
N −1 X
f (ξi )∆xi ,
i=0
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé. ×èñëî I íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî íàéòè òàêîå δ > 0, ÷òî ïðè ëþáîì âûáîðå ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] íà ÷àñòè, äëÿ êîòîðîãî λ < δ , è ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê ξi ∈ [xi , xi+1 ] âûïîëíÿåòñÿ 3
íåðàâåíñòâî:
| σ − I| < ε.
Ïðåäåë I èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ , åñëè îí ñóùåñòâóåò, íàçûâàåòñÿ îïðåäåë¼ííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f (x) ïî îòðåçêó [a, b] è îáîçíà÷àåòñÿ
Zb f (x) dx. a
Ôóíêöèÿ f (x) â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé íà îòðåçêå [a, b]. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò: 1. 2.
Ra
f (x) dx = 0;
a
Ra
f (x) dx = −
Rb
f (x) dx;
a
b
Ñâîéñòâà îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà òî
Åñëè ôóíêöèè f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìû íà îòðåçêå [a, b],
1. 2. 3.
Rb
[f (x) ± g(x)] dx =
a
Rb
a
f (x) dx ±
a
kf (x) dx = k
a
Rb
Rb
Rb
Rb
g(x) dx;
a
f (x) dx;
a
f (x) dx =
Rc a
f (x) dx +
Rb c
f (x) dx ïðè ëþáîì ðàñïîëî-
æåíèè òî÷åê a, b, c íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, ïðè óñëîâèè, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà áîëüøåì èç îòðåçêîâ.
4
2.
Ïðîèçâîäíàÿ èíòåãðàëà ïî ïåðåìåííîìó âåðõíåìó ïðåäåëó
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Òîãäà ôóíêöèÿ Φ(x) =
Rx a
f (t) dt äèôôåðåíöèðóåìà íà îò-
ðåçêå [a, b] è å¼ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà: x Z d Φ0 (x) = f (t) dt = f (x). dx a
Åñëè ïåðåìåííûé âåðõíèé ïðåäåë ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò x, òî ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè, ïîëó÷èì: ϕ(x) Z d f (t) dt = f (ϕ(x))ϕ0 (x). dx a
Åñëè ïåðåìåííûì ÿâëÿåòñÿ íèæíèé, à íå âåðõíèé ïðåäåë, òî íàäî ñíà÷àëà ïîìåíÿòü ìåñòàìè ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ: ψ(x) b Z Z d d f (t) dt = − f (t) dt = −f (ψ(x))ψ 0 (x). dx dx ψ(x)
b
È íàêîíåö, êîãäà ïåðåìåííûìè ÿâëÿþòñÿ îáà ïðåäåëà èíòåãðèðîâàíèÿ, íàäî ïðåäñòàâèòü èíòåãðàë â âèäå ñóììû äâóõ èíòåãðàëîâ, îäíîãî ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì è äðóãîãî ñ ïåðåìåííûì íèæíèì ïðåäåëîì.
Ïðèìåð
Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ îò èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûìè âåðõ-
5
íèì è íèæíèì ïðåäåëîì:
d dx
Zx5
sin(t + 1) dt = x3
a x5 Z Z d d = sin(t + 1) dt + sin(t + 1) dt = dx dx a
x3
= 5x4 sin(x5 + 1) − 3x2 sin(x3 + 1). Ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà âñåé îñè, ïîýòîìó ïðîèçâîäíàÿ ñóùåñòâóåò äëÿ x ∈ (−∞, +∞).
Çàäà÷à 1 Ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèÿ òåîðåìû î äèôôåðåíöèðîâàíèè èíòåãðàëà ïî ïåðåìåííîìó âåðõíåìó ïðåäåëó. Íàéòè ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîèçâîäíóþ è óêàçàòü ïðîìåæóòîê, íà êîòîðîì ýòà ïðîèçâîäíàÿ ñóùåñòâóåò. 1.
d dx
3.
d dx
5.
d dx
7.
d dx
Rx 0
Rx 0
arcsin 2t dt;
√ 2dt ; 1−4t2
cos Rx
4
(cos t + 3) dt;
2.
d dt
4.
d dx
6.
d dx
8.
d dx
sin x
R3x arccos(6t+1) 0
5t2 +1
dt;
6
t+2 R
arctg 2x dx;
t
6x R2
ln2
0
cos Rx 1
5x R3 3
t+1 3−t
dt;
dt ; 2t2 +1
3 √t 6+t
dt;
9.
d dx
11.
13.
15.
3.
R0
(t2 + 7t + 2) dt ;
3x
d da
d dx
d dx
Rb a
Rx3 x2
4
arcctg x dx;
√ dt ; 1+t4
R4x ln x2
√ dt ; t2 −5t+9
10.
d dt
12.
d db
14.
d dx
16.
d dt
Rt3 √ 3 1
R4b a
sin x dx;
sin(t3 + 2) dt;
cos Rx
cos πt3 dt;
sin x
t2R+1 1
sin x x
dx;
Îöåíêè èíòåãðàëîâ
Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå
[a, b] è m ≤ f (x) ≤ M äëÿ âñåõ x ∈ [a, b], òîãäà Zb m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a). a
Ïðèìåð Îöåíèì âåëè÷èíó èíòåãðàëà I =
R2π sin x+cos x 0
x2 +1
dx.
JÏðåîáðàçóåì ÷èñëèòåëü ïîäèíòåãðàëüíîé äðîáè: ³ √ π´ , sin x + cos x = 2 sin x + 4 òîãäà ëåãêî âèäíî, ÷òî ÷èñëèòåëü óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå: √ 0 ≤ sin x + cos x ≤ 2. 7
Çíàìåíàòåëü äðîáè îöåíèì ñíèçó: 1 + x2 ≥ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, sin x + cos x √ 0≤ ≤ 2, x2 + 1 ïîýòîìó Z2π √ sin x + cos x 0≤ dx ≤ 2 2π.I x2 + 1 0
Çàäà÷à 2 Íå âû÷èñëÿÿ äàííûé îïðåäåëåííûé èíòåãðàë, îöåíèòü åãî âåëè÷èíó 1.
4.
7.
R18 10
√cos x 1+x4
R1
0
10.
13.
9 √x 1+x
R1 0
Rπ 0
2.
2 sin x+3 cos x 2+x2
−1
R1
dx;
dx;
dx;
8.
dx ; x e +e−x
sin√x−cos x 5 2 x +2
5.
π/2 R 0
π/2 R
sin2 x
e
0
Rπ
e
−x2
0
11.
dx;
dx ; 5+3 cos2 x
14.
R1 0
Rπ π/2
dx;
2
cos x dx;
x11 √ 3 1+x4
sin x x
8
dx;
dx;
3.
6.
9.
R1 0
x(1 − x)2 dx;
100 R 0
e−x x+100
R10 e−5x
x3 +1
0
12.
15.
R1 0
0
dx;
1+x5 1+x10
π/2 R
dx;
dx;
1 1+sin2 x
dx.
4.
Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà. Ôîðìóëû çàìåíû ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â îïðåäåë¼ííîì èíòåãðàëå
Òåîðåìà 3 (Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà). Åñëè ôóíê-
öèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b] è ôóíêöèÿ F (x) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ f (x), òî
Zb f (x) dx = F (b) − F (a). a
Ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå Òåîðåìà 4. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâ-
íà íà îòðåçêå [a, b]; ôóíêöèÿ x = ϕ(t) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà âìåñòå ñî ñâîåé ïðîèçâîäíîé íà îòðåçêå [α, β], ãäå a = ϕ(α); b = ϕ(β); ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà [α, β]. Òîãäà èìååò ìåñòî ôîðìóëà:
Zb
Zβ f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt.
f (x) dx = a
α
Ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå Òåîðåìà 5. Ïóñòü ôóíêöèè u(x), v(x) îïðåäåëåíû è íåïðå-
ðûâíû âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè íà îòðåçêå [a, b], òîãäà
Zb
Zb u(x)dv(x) = u(x)v(x)|ba −
a
v(x)du(x). a
Çàäà÷à 3 Âû÷èñëèòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë, ïîëüçóÿñü ôîðìó9
ëîé ÍüþòîíàËåéáíèöà, ôîðìóëîé çàìåíû ïåðåìåííîé èëè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå. π
1.
4.
7.
R3
x sin 2x dx; 2
− π3
R2
R2
ln 2
x+2 x2 −3x
1
dx;
2 −2x
xe
0
5.
dx;
R9 √ 10. x 3 1 − x dx; 1
8.
R5 1
Ra
dx ; ex −1
x
2
√
π/3 R
0
arctg x+x 1+x2
dx;
14.
R1
−1
a2 − x2 dx;
x sin x cos2 x
3/2 R 1/2
ln(x + x) dx;
0
11.
3.
2
−π/3
√ R3
13.
2.
2R ln 2
dx;
6.
9.
−1 R 0
Rπ 0
12.
x arctg x dx;
15.
1+ln2 x x
dx;
dx ; x3 +1
ex cos2 x dx;
R2
x3 dx ; x2 +4
0
√ R8 √
3
√dx . x x2 +1
Çàäà÷à 4 Âû÷èñëèòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. 1.
4.
π/6 R 0
R2π 0
sin2 x cos x
2
dx;
x cos x dx;
2.
5.
R3
x
1
π/4 R 0
3
√
x2 − 1 dx;
sin √x dx
cos x
10
1+sin2 x
;
3.
6.
π/4 R 0
R1 0
sin3 x cos4 x
dx;
√ x √ 3 (1+ x)2
dx;
7.
R1 0
10.
13.
e2x +2ex e2x +1
R9 4
R1 0
5.
dx;
8.
√ x dx √ ; x−1
R2 1
11.
x4 dx ; (2−x2 )3/2
14.
√ √ x+1− √ √x−1 x+1+ x−1
R2 0
2x−1 2x+1
dx;
R3 q 3−2x 2
dx;
2x−7
dx;
9.
R1 −1
12.
15.
Re 1
√x dx ; 5−4x
cos(ln x) dx ; x
π/2 R 0
sin x dx . 2+sin x
Òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè
Òåîðåìà 6. Ïóñòü f (x) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a, b] è
ïóñòü äëÿ ëþáîãî x ∈ [a, b] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: m ≤ f (x) ≤ M, òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî µ, m ≤ µ ≤ M , ÷òî Zb f (x)dx = µ(b − a). a
×èñëî µ[f ] =
1 b−a
Rb a
f (x)dx íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì çíà÷å-
íèåì ôóíêöèè f (x) íà ïðîìåæóòêå [a, b].
 ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà, çíà÷åíèå µ ïðèíèìàåòñÿ ôóíêöèåé f (x) â íåêîòîðîé òî÷êå c ïðîìåæóòêà [a, b]. Òàêèì îáðàçîì,
Zb f (x)dx = (b − a)f (c) a
è µ[f ] = f (c), ãäå c ∈ [a, b].
11
Ïðèìåð
Ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè sin x íà îòðåçêå [ π4 , π2 ] ðàâíî
µ=
π 2
1 −
π 4
√ Zπ/2 2 4 2 π/2 . sin x dx = (− cos x)|π/4 = π π π/4
Çàäà÷à 5 Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè íà çàäàííîì îòðåçêå. 1. f (x) =
sin 2x , 1+cos2 2x
[0, π2 ];
2. f (x) =
ln x , x3
3. f (x) =
√ x , 2−3x3
[−2, 0];
4. f (x) =
cos5 x , sin x
5. f (x) =
√ sin x , cos x+1
[0, π2 ];
6. f (x) =
x arctg x , (x2 +1)2
7. f (x) =
1+tg2 x , 1+tg x
8. f (x) =
cos3 x , sin4 x
9. f (x) =
2
√
x ln2 x,
11. f (x) =
2 √x , 2−x
13. f (x) =
sin x , 2+sin x
15. f (x) = x2 e3x ,
[0, π4 ]; [1, e];
[1, e]; [ π6 , π3 ]; [0, 1]; [ π6 , π2 ];
10. f (x) = x cos x,
[−2; 1]; [0; π/2]; [0; 1].
12
12. f (x) =
x2 , 1+x
14. f (x) =
√ x2 −1 , x4
[0, π3 ];
[0, 2]; [1, 2];
6.
Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî ðîäà (ñ áåñêîíå÷íûìè ïðåäåëàìè)
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ x ∈ [a, +∞) è èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [a; A]. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ZA lim f (x) dx, A→+∞
a
òî ýòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ôóíê+∞ R öèè f (x) íà ïðîìåæóòêå [a; +∞) è îáîçíà÷àåòñÿ f (x) dx. a
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
+∞ R
f (x) dx
a
ñõîäèòñÿ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå (åñëè ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò +∞ R èëè ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè), ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë f (x) dx a
ðàñõîäèòñÿ. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ
Rb −∞
Zb
f (x) dx: Zb
f (x) dx = lim
A→+∞ −A
−∞
f (x) dx,
åñëè ïðåäåë ñïðàâà ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñ áåñêîíå÷íûìè íèæíèì è âåðõíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ îò ôóíêöèè f (x), çàäàííîé íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è èíòåãðèðóåìîé íà êàæäîì êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå, îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Z+∞ Zc Z+∞ f (x) dx = f (x)dx + f (x) dx, −∞
−∞
c
13
ãäå c íåêîòîðîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì,
Z+∞ Zc ZA f (x) dx = lim f (x) dx + lim f (x) dx. B→+∞ −B
−∞
A→+∞
c
Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ÷èñëà A è B ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Åñëè æå â ïðåäûäóùåé ôîðìóëå âîçüìåì A = B , òî ìû ïîëó÷èì èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ (valeur principale):
Z+∞ ZA v.p. f (x) dx = lim f (x) dx. A→∞ −A
−∞
Çàìåòèì, ÷òî âñòðå÷àþòñÿ ñèòóàöèè, êîãäà èíòåãðàë â ñìûñ+∞ R f (x) dx ñõîäèòñÿ, â òî âðåëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ v.p. ìÿ êàê
+∞ R −∞
−∞
f (x) dx ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ. Íàïðèìåð, äëÿ
ôóíêöèè f (x) = x èìååì: +∞ R
x dx = lim
Rc
RA
x dx + lim x dx = A→+∞ c ¯c ¯A 2 2 ¯ ¯ = lim x2 ¯ + lim x2 ¯ = lim B→+∞ −B
−∞
B→+∞
−B
A→+∞
c
Ýòîò ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó äðóãîé ñòîðîíû:
v.p.
+∞ R
A2 A→+∞ 2
+∞ R −∞
B2 . B→+∞ 2
− lim
x dx ðàñõîäèòñÿ. Ñ
x dx =
−∞
ZA = lim
A→+∞ −A
¯ µ 2 ¶ 2 x ¯ A A x dx = lim − = 0. = lim A→+∞ 2 ¯ A→+∞ 2 2 −A 2 ¯A
14
Çàäà÷à 6 Íàéòè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë èëè äîêàçàòü åãî ðàñõîäèìîñòü. 1. 4. 7.
+∞ R
−ax
e
2 +∞ R
√
0
R0
−∞
10.
1/2
13.
+∞ R 1
7.
(2x+5) dx (x2 +5x+25)3
( x2x+1
+∞ R
sin bx dx;
−
;
x2 ) dx; 3 x −1
arctg 2x π 2 (4x2 +1)
x4 dx ; (x5 +1)4
dx;
2. 5. 8.
+∞ R √ 0 +∞ R 0 +∞ R
14.
dx;
x dx ; π(x4 +16)
−x
x2
0
11.
x2 +1−x x2 +1
+∞ R 1 +∞ R 1
dx;
√dx ; x x−1
3.
R0
−∞
6. 9.
+∞ R 0 −8 R
−∞
12.
dx √ ; (x+1) x
15.
√x dx ; x4 +8
dx ; x2 +x+ 14 dx ; x2 −4x
+∞ R 6 +∞ R 0
x dx ; x4 −16
x2 +1 x4 +1
dx.
Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà (îò íåîãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé)
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå [a; b) è èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [a; ξ], a < ξ < b (è, ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [a; ξ]). Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåîãðàíè÷åíà íà ëþáîì ïðîìåæóòêå [ξ; b). Òî÷êà b â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ îñîáîé òî÷êîé. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë Zb−ε lim f (x) dx, ε→+0
a
òî îí íàçûâàåòñÿ íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f (x) Rb íà ïðîìåæóòêå [a; b) è îáîçíà÷àåòñÿ f (x) dx.  ýòîì ñëóa
15
÷àå ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
Rb a
f (x) dx ñõîäèò-
ñÿ. Åñëè æå ýòîò ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò èëè áåñêîíå÷åí, ãîRb âîðÿò, ÷òî èíòåãðàë f (x) dx ðàñõîäèòñÿ. a
Àíàëîãè÷íî, åñëè ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå (a; b] è íåîãðàíè÷åíà â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a, ò. å. òî÷êà a ÿâëÿåòñÿ îñîáîé, ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ:
Zb
Zb f (x )dx = lim
ε→+0 a+ε
a
f (x) dx.
Åñëè ôóíêöèÿ íåîãðàíè÷åíà â ëþáîé îêðåñòíîñòè âíóòðåíRb íåé òî÷êè c ∈ (a; b), òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë f (x) dx a
îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
Zb
Zc f (x )dx =
a
Zb f (x)dx +
a
f (x) dx = c
Zc−ε Zb = lim f (x) dx + lim f (x) dx. ε→+0
η→+0 c+η
a
Çäåñü ε è η ñòðåìÿòñÿ ê +0 íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Åñëè æå ìû ïîëîæèì ε = η , òî ïîëó÷èì èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ:
Z+∞ Zc−ε Zb v.p. f (x) dx = lim f (x) dx + lim f (x) dx. ε→+0
−∞
ε→+0 c+ε
a
Çàäà÷à 7 Íàéòè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë èëè äîêàçàòü åãî ðàñõîäèìîñòü. 16
1. 4. 7.
Re 1 π/2 R 0
dx ; x ln3 x
sin3 x dx ; cos2 x
π/2 R
10. 13.
0
R1 0
Re 0
2. 5.
3 cos √ x dx ; sin x
8.
π/4 R 0
R1 0
π/2 R
11.
dx ; 1−ex
14.
3.
dx √ ; (1−x2 ) arcsin x
π/4
dx √ ; 3 x ln x
dx √ ; cos2 x 1−tg x
dx √ ; sin2 x 1−ctg x
π/4 R 0
R3 0
sin x+cos x √ 3 sin x−cos x
Re 1
dx ; x(ln x−1)2
1/e R
6.
0
dx ; x ln x
R0
9.
−π/6
dx;
2 √x dx ; 9−x2
12. 15.
R2 0
Rπ 0
√cos x dx ; sin x+0,5
2 √x dx ; 8−x3
tg x dx.
Çàäà÷à 8 Íàéòè ãëàâíîå çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà: 1. v.p.
4. v.p. 7. v.p.
R8 0
dx ; x−5
π/2 R 0 +∞ R −∞
10. v.p. 13. v.p.
2. v.p.
dx ; 3−5 sin x
arctg x dx;
+∞ R −∞ +∞ R −∞
sin 2x dx; 13+x 17+x2
dx;
5. v.p. 8. v.p.
+∞ R −∞
Rπ 0
0
14. v.p.
dx ; x2 −3x+2
+∞ R 0
R4 1
17
dx;
x tg x dx;
+∞ R
11. v.p.
1+x 1+x2
dx ; 1−x2
dx ; (x−2)5
R4
3. v.p.
dx ; x ln x
1/2
6. v.p. 9. v.p.
R2
dx ; x2 −1
0
R7
dx ; (x−1)3
−1
12. v.p. 15. v.p.
+∞ R 0
R2 0
dx ; 1−x2
x2 1−x
dx.
8.
Ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ (òåîðåìû ñðàâíåíèÿ)
 çàäà÷àõ 6 è 7 äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñõîäèìîñòè èëè ðàñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ìû ïðîèçâîäèëè èõ íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå. Îäíàêî ñóùåñòâóåò ðÿä òåîðåì, êîòîðûå ïîçâîëÿþò äåëàòü âûâîä î ñõîäèìîñòè èëè ðàñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, íå âû÷èñëÿÿ èõ. Ýòî òàê íàçûâàåìûå òåîðåìû ñðàâíåíèÿ. Ìû ñôîðìóëèðóåì èõ îòäåëüíî äëÿ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà.
Òåîðåìà 7. Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x) íåîòðèöàòåëüíû è èíòåãðèðóåìû íà ëþáîì îòðåçêå [a, b], b < +∞. Åñëè
0 ≤ f (x) ≤ g(x),
∀x ∈ [a; +∞),
òî: à) èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà ìîñòü èíòåãðàëà
+∞ R a
+∞ R a
(1)
g(x) dx ñëåäóåò ñõîäè-
f (x) dx;
á) èç ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëà õîäèìîñòü èíòåãðàëà
+∞ R a
+∞ R a
f (x) dx ñëåäóåò ðàñ-
g(x) dx;
×àñòî íà ïðàêòèêå âìåñòî óñòàíîâëåíèÿ íåðàâåíñòâà (1), ò. å., êàê ïðèíÿòî ãîâîðèòü, ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ñâåðõó äàííîé ôóíêöèè íåêîòîðîé èçâåñòíîé ôóíêöèåé (åñëè ìû õîòèì äîêàçàòü ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà), èëè îöåíêè ñíèçó (åñëè äîêàçûâàåì ðàñõîäèìîñòü), óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé ñðàâíåíèÿ â ïðåäåëüíîé ôîðìå.
Òåîðåìà 8. Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìû íà ëþáîì îòðåçêå [a, b], b < +∞, è f (x) ≥ 0, g(x) > 0. a) Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë
f (x) = k 6= 0, x→+∞ g(x) lim
18
òî èíòåãðàëû
+∞ R a
f (x) dx è
äÿòñÿ îäíîâðåìåííî; á) åñëè
+∞ R a
g(x) dx ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõî-
f (x) = 0, x→+∞ g(x) lim
òî èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà ìîñòü èíòåãðàëà +∞ R f (x) dx; a
â) åñëè
+∞ R a
g(x) dx ñëåäóåò ñõîäè-
f (x) = +∞, x→+∞ g(x) lim
òî èç ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëà äèìîñòü èíòåãðàëà
+∞ R a
+∞ R a
g(x) dx ñëåäóåò ðàñõî-
f (x) dx.
Òåîðåìû 7 è 8 íå äàþò îòâåòà íà âîïðîñ, êàêóþ ôóíêöèþ äëÿ ñðàâíåíèÿ íóæíî ïîäáèðàòü. ×àùå âñåãî â êà÷åñòâå òàêîé ¾ïðîáíîé¿ ôóíêöèè äëÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà áåðóò ôóíêöèþ x1λ . Ïðè÷èíà òàêîãî âûáîðà ñî+∞ R 1 ñòîèò â òîì, ÷òî dx ëåãêî âû÷èñëèòü íåïîñðåäñòâåííî xλ a
(ïðîäåëàéòå ýòó ðàáîòó ñàìîñòîÿòåëüíî!). Ìû ïîëó÷èì, ÷òî
Z+∞ a
1 dx xλ
½ −
ñõîäèòñÿ, ïðè λ > 1; ðàñõîäèòñÿ, ïðè λ ≤ 1.
Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ x1λ â êà÷åñòâå ¾ïðîáíîé¿ ôóíêöèè, ìû ïîëó÷èì ñïåöèàëüíûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ:
19
Òåîðåìà 9. Åñëè f (x) ≥ 0 íà ïðîìåæóòêå [a; +∞) è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë
lim f (x) · xλ = k,
x→+∞
òîãäà a) ïðè λ > 1 è 0 ≤ k < +∞, èíòåãðàë äèòñÿ; á) ïðè λ ≤ 1 è 0 < k ≤ +∞ ðàñõîäèòñÿ.
+∞ R a
f (x) dx ñõî-
Òåîðåìû 7 è 8 äîñëîâíî ïåðåíîñÿòñÿ íà ñëó÷àé íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ âòîðîãî ðîäà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé. Ñôîðìóëèðóåì èõ äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ:
Òåîðåìà 10. Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x) íåîòðèöàòåëü-
íû íà ïðîìåæóòêå [a; b) è èíòåãðèðóåìû íà êàæäîì îòðåçêå [a; ξ), 0 < ξ < b. Òîãäà: 1. Åñëè f (x) è g(x) óäîâëåòâîðÿþò íà ïðîìåæóòêå [a; b) íåðàâåíñòâó f (x) ≤ g(x), òî: Rb à) èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà g(x) dx ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà
a
Rb
f (x) dx;
a
á) èç ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëà äèìîñòü èíòåãðàëà
Rb a
Rb a
f (x) dx ñëåäóåò ðàñõî-
g(x) dx.
Òåîðåìà 11. a) Åñëè f (x) ≥ 0, g(x) > 0 íà ïðîìåæóòêå [a; b) è èíòåãðèðóåìû íà êàæäîì îòðåçêå [a; ξ), 0 < ξ < b è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë f (x) = k 6= 0, x→b−0 g(x) lim
20
òî èíòåãðàëû
Rb a
f (x) dx è
äÿòñÿ îäíîâðåìåííî; á) åñëè
Rb a
g(x) dx ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõî-
f (x) = 0, x→b−0 g(x) lim
òî èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà èíòåãðàëà Rb f (x) dx; a
â) åñëè
Rb a
g(x) dx ñëåäóåò ñõîäèìîñòü
f (x) = +∞, x→b−0 g(x) lim
òî èç ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëà ìîñòü èíòåãðàëà
Rb a
Rb a
g(x) dx ñëåäóåò ðàñõîäè-
f (x) dx.
Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû 9 äëÿ ñëó÷àÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ âòîðîãî ðîäà íåìíîãî îòëè÷àåòñÿ îò òåîðåìû äëÿ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî ðîäà, ïîñêîëüêó â êà÷åñòâå ¾ïðîáíîé¿ 1 âûáèðàþò ôóíêöèþ: (b−x) λ â ñëó÷àå, åñëè b ÿâëÿåòñÿ îñîáîé 1 òî÷êîé; ôóíêöèþ (x−a) λ â ñëó÷àå, åñëè a ÿâëÿåòñÿ îñîáîé 1 òî÷êîé; è ôóíêöèþ |c−x| λ â ñëó÷àå, åñëè c ∈ (a; b) ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé. Ìû ñôîðìóëèðóåì ýòó òåîðåìó, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îñîáîé òî÷êîé ÿâëÿåòñÿ b.
Òåîðåìà 12. Åñëè f (x) ≥ 0 íà ïðîìåæóòêå [a; b) è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë
lim f (x) · (b − x)λ = k,
x→b−0
òîãäà 21
a) ïðè λ < 1 è 0 ≤ k < +∞, èíòåãðàë
Rb a
f (x) dx ñõîäèò-
ñÿ; á) ïðè λ ≥ 1 è 0 < k ≤ +∞ ðàñõîäèòñÿ.
Çàäà÷à 9 Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü èíòåãðàë ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêîâ ñðàâíåíèÿ. 1. 4. 7.
+∞ R 0 +∞ R 1 +∞ R
10. 13. 16.
2
R1 0
Rπ 0
Rπ 0
9.
x dx √ ; 3 5 x +2
sin2 x x2
ln x x3
dx;
5.
dx;
sin2 (1/x) √ 3x
sin x x2
2.
8.
dx;
0 +∞ R 0 +∞ R
11.
dx;
1−cos x x2
+∞ R
14.
dx;
17.
1
R1 0
x dx √ ; 3 1+x7
sin2 3x √ 3 4 x +2
Rπ 0
dx;
6.
1+arcsin(1/x) √ 1+x x √ ln(1+ x) √ √ x sin x
π/4 R 0
3.
dx; 9.
dx;
dx √ ; 3 sin x
1−cos x x3
+∞ R 1 +∞ R 2
dx;
dx ; x ln3 x
+∞ R √
12. 15.
dx;
cos2 x x3
18.
x dx ; ln x
2
R2 1
(x−2) dx ; x3 −3x2 +4
R2 0
R1 0
√
x dx
esin x −1
| ln x| x2
;
dx.
Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëîâ
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [a; A], +∞ R A > a. Èíòåãðàë f (x) dx íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîa
äÿùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ èíòåãðàë 22
+∞ R a
|f (x)| dx. Èíòåãðàë
+∞ R a
f (x) dx íàçûâàåòñÿ óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè èíòå-
ãðàë ñÿ.
+∞ R a
f (x) dx ñõîäèòñÿ, à èíòåãðàë
+∞ R a
|f (x)| dx ðàñõîäèò-
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå Rb [a; ξ], ξ < b. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë f (x) dx íàçûâàåòñÿ a
àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ èíòåãðàë è óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè èíòåãðàë èíòåãðàë
Rb a
Rb a
Rb a
|f (x)| dx,
f (x) dx ñõîäèòñÿ, à
|f (x)| dx ðàñõîäèòñÿ.
Òåîðåìà 13. Åñëè èíòåãðàë àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, òî îí
ñõîäèòñÿ.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà èñïîëüçóþò òå æå ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ, ÷òî è äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé, ñì. 8. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè óñëîâíîé ñõîäèìîñòè èñïîëüçóþò ïî ñóòè òîò ôàêò, ÷òî ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ìåíÿåò çíàê. Ìû èçëîæèì èõ â ñëåäóþùåì ïóíêòå.
10.
Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè óñëîâíîé ñõîäèìîñòè
Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïåð+∞ R âîãî ðîäà. Ðàññìîòðèì f (x)g(x) dx.
Ïðèçíàê Äèðèõëå Èíòåãðàë
+∞ R a
a
f (x)g(x) dx ñõîäèòñÿ, åñëè:
à) ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà è èìååò îãðàíè÷åííóþ ïåðâîîáðàçíóþ íà [a; +∞); 23
á) ôóíêöèÿ g(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è ìîíîòîííà íà [a; +∞), ïðè÷åì lim g(x) = 0. x→+∞
Ïðèçíàê Àáåëÿ Èíòåãðàë
+∞ R a
f (x)g(x) dx ñõîäèòñÿ, åñëè:
à) ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà [a; +∞) è èíòåãðàë
+∞ R
f (x)dx
a
ñõîäèòñÿ; á) ôóíêöèÿ g(x) îãðàíè÷åíà, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è ìîíîòîííà íà [a; +∞). Àíàëîãè÷íûå äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè èìåþò ìåñòî è äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ âòîðîãî ðîäà. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x)g(x) îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå [a; b) è íåîãðàíè÷åíà â ëåâîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x = b.
Ïðèçíàê Äèðèõëå
Åñëè: à) ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà è èìååò îãðàíè÷åííóþ ïåðâîîáðàçíóþ íà [a; b); á) ôóíêöèÿ g(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è ìîíîòîííà íà [a; b), ïðè÷åì lim g(x) = 0; x→b−0
òîãäà èíòåãðàë
Rb a
f (x)g(x) dx ñõîäèòñÿ.
Ïðèçíàê Àáåëÿ Åñëè:
à) ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà [a; b) è èíòåãðàë
Rb a
f (x) dx
ñõîäèòñÿ; á) ôóíêöèÿ g(x) îãðàíè÷åíà, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è ìîíîòîííà íà [a; b); Rb òîãäà èíòåãðàë f (x)g(x) dx ñõîäèòñÿ. a
24
Ïðèìåð
Èññëåäóåì èíòåãðàë
Z+∞
sin x dx x
(2)
1
íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü. JÏîëîæèì f (x) = sin x, g(x) = x1 . Òîãäà a) ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà è, ïîñêîëüêó, ¯ ¯ A ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sin x dx¯ = ¯− cos x |A 1 = | cos 1 − cos A| ≤ 2, ¯ ¯ ¯ ¯ 1
òî f (x) èìååò îãðàíè÷åííóþ ïåðâîîáðàçíóþ íà [1; +∞); b) ôóíêöèÿ g(x) = x1 íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è ìîíîòîííà íà [1; +∞), è lim x1 = 0. x→+∞
Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíû îáà óñëîâèÿ ïðèçíàêà Äèðèõëå, ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë (2) ñõîäèòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, óñëîâíî. ×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò èíòåãðàë íå ñõîäèòñÿ àáñîëþò+∞ R | sin x| dx. Ïîñêîëüêó íî, ðàññìîòðèì x 1
| sin x| ≥ sin2 x = òî èç ñõîäèìîñòè òåãðàëà
+∞ R 1
| sin x| x
Z+∞µ
1 − cos 2x , 2
dx âûòåêàëà áû ñõîäèìîñòü èí-
1 cos 2x − 2x 2x
¶ dx.
1
Ïîñëåäíèé æå èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ðàñõî+∞ R 1 1 äÿùåãîñÿ èíòåãðàëà 2 dx è ñõîäÿùåãîñÿ (ïî ïðèçíàêó x 1
25
Äèðèõëå)
+∞ R 1
cos 2x 2x
dx, è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿ-
ùèìñÿ. Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë (2) ñõîäèòñÿ óñëîâíî.I
Ïðèìåð
Èññëåäóåì èíòåãðàë
Z+∞
sin x arctg x dx x
(3)
1
íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü. JÄëÿ èññëåäîâàíèÿ ñõîäèìîñòè ýòîãî èíòåãðàëà ïðèìåíèì ïðèçíàê Àáåëÿ. Ïîëîæèì f (x) = sinx x , g(x) = arctg x. Òîãäà +∞ R sin x a) ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà è dx ñõîäèòñÿ; x 1
b) ôóíêöèÿ g(x) = arctg x íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà íà [1; +∞): π | arctg x| ≤ . 2 Òàêèì îáðàçîì, ïî ïðèçíàêó Àáåëÿ èíòåãðàë (3) ñõîäèòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, óñëîâíî. +∞ R | sin x| Ðàññìîòðèì arctg x dx. Ïîñêîëüêó äëÿ x ∈ [1, +∞) x 1
| sin x| π sin2 x π(1 − cos 2x) arctg x ≥ = , x 4 x 8x +∞ R | sin x| òî èç ñõîäèìîñòè dx âûòåêàëà áû ñõîäèìîñòü èíx òåãðàëà
1
Z+∞µ
1 cos 2x − 2x 2x
¶ dx,
1
êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ðàñõîäÿùåãîñÿ è ñõîäÿùåãîñÿ èíòåãðàëà, à çíà÷èò, ðàñõîäèòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë (3) ñõîäèòñÿ óñëîâíî.I 26
Çàäà÷à 10 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà, èñïîëüçóÿ ïðèçíàêè Äèðèõëå è Àáåëÿ. Óêàçàíèå.  íåêîòîðûõ çàäà÷àõ ïîëåçíî ïðåäâàðèòåëüíî ñäåëàòü çàìåíó ïåðåìåííîé ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, âûáèðàÿ çà íîâóþ ïåðåìåííóþ àðãóìåíò ñèíóñà èëè êîñèíóñà.  çàäà÷å 13 ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé äëÿ ñèíóñà ñóììû. +∞ R1 1 R 2 R1 1 1 x 1. x cos e dx; 2. x(x2 +1) sin x dx; 3. x2 sin x12 dx; 0
4. 7.
+∞ R
x cos x 2 x +2x+2
0 +∞ R 0
10. 13.
0
0
dx;
2
sin x dx;
+∞ R 1
sin x √ 3x
+∞ R 1
11.
5. 8.
+∞ R 0 +∞ R 0
arctg x dx; 11.
sin(x+ x1 ) x
dx;
14.
(x−1) sin x x2 −4x+5
dx;
4
x cos x dx;
+∞ R 1 +∞ R 1
cos x √ 5x
6. 9.
+∞ R 1 +∞ R 1
arctg x dx; 12.
sin 3x dx; ln x
15.
x2 sin x x3 +1
sin x √ 3x
+∞ R 1 +∞ R 0
dx;
dx;
cos x √ 3 2 x
dx;
x cos(x+1) x2 −2
dx.
Âû÷èñëåíèå äëèíû êðèâîé
1. Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì y = y(x), a ≤ x ≤ b, ãäå ôóíêöèÿ y = y(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ, òî å¼ äëèíà ðàâíà
L=
Zb p
1 + y 0 (x)2 dx.
(4)
a
2. Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ½ x = x(t), y = y(t), 27
ãäå y(t) è x(t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, t1 ≤ t ≤ t2 , òî äëèíà êðèâîé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Zt2 p L= x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt. t1
3. Åñëè ãëàäêàÿ êðèâàÿ çàäàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèåì r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β , òî äëèíà äóãè êðèâîé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Zβ p L= r2 (ϕ) + r0 (ϕ)2 dϕ. α
Çàäà÷à 11 Íàéòè äëèíû óêàçàííûõ êðèâûõ è èçîáðàçèòü èõ íà ÷åðòåæå. ½ x = 3t2 , 1. (ïåòëÿ). y = 3t − t3 2. y = 1 − ln cos x, îò x = 0 äî x = π/6. ½ x = cos3 t, 3. îò t = 0 äî t = π/2. y = sin3 t, 4. y = ln sin x, îò x = π/3 äî x = π/2. ½ x = 3 sin t + 4 cos t, 5. y = 4 sin t − 3 cos t. √ 6. r = 2 sin ϕ. 7. r = 3ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 3/4. 8. y =
x2 4
−
ln x 2
îò x = 1 äî x = 2. 28
½ 9.
x = et (cos t + sin t), îò t = 0 äî t = 2π. y = et (cos t − sin t),
10. r = 2e4ϕ/3 îò ϕ = −π/2 äî ϕ = π/2. 11. r = 2 cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π/12. 12. y 2 = 16x, îòñå÷åííîé ïðÿìîé x = 4. √ √ 13. y = ln x îò x = 8 äî x = 15. ½ x = et cos t, 14. îò t = 0 äî t = 1. y = et sin t, 15. r =
12.
1 ϕ
îò ϕ = 3/4 äî ϕ = 4/3.
Ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû
1. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = y(x) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà îòðåçêå [a, b]. Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè Q, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = y(x), îòðåçêîì [a, b] îñè Ox è ñîîòâåòñòâóþùèìè îòðåçêàìè ïðÿìûõ x = a è x = b, ðàâíà Zb S = y(x)dx. a
2. Ïóñòü ôóíêöèè y = y1 (x) è y = y2 (x) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b] è y2 (x) ≤ y1 (x), a ≤ x ≤ b. Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè Q, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêàìè ôóíêöèé y1 (x) è y2 (x) è ñîîòâåòñòâóþùèìè îòðåçêàìè ïðÿìûõ x = a è x = b, ðàâíà
Zb S=
(y2 (x) − y1 (x))dx. a
29
3. Ïóñòü ïëîñêàÿ ôèãóðà îãðàíè÷åíà êðèâîé r = r(ϕ) â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ è ëó÷àìè ϕ = α è ϕ = β , òî å¼ ïëîùàäü ðàâíà
S=
1 2
Zβ ρ2 (ϕ) dϕ. α
4. Ïóñòü ïëîñêàÿ ôèãóðà Q îãðàíè÷åíà ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé C , êîòîðàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè r¯(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [t1 , t2 ], r¯(t1 ) = r¯(t2 ), ãäå ôóíêöèè x(t), y(t) êóñî÷íî ãëàäêèå. Ïóñòü ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà t îò t1 ê t2 òî÷êà (x(t), y(t)) äâèæåòñÿ ïî êðèâîé C ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, à îáëàñòü Q ïðè ýòîì îñòàåòñÿ ñëåâà îò êðèâîé. Òîãäà ïëîùàäü ôèãóðû Q ðàâíà
Zt2
Zt2 y(t)x0 (t) dt =
S=− t1
y(t)x0 (t) dt. t1
Çàäà÷à 12 Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé äàííûìè ëèíèÿìè. Ñäåëàòü ÷åðòåæ. 1. y = sin x, y = cos x, x = 0, 0 ≤ x ≤ π/4. 2. y = −x2 , y = x2 − 2x − 4. 3. x2 + y 2 = 2, y 2 = 2x − 1, x ≥ 1/2. √ 2 √ 4. y = 3 x , y = 4 − x2 . 5. y 2 = 4x3 , y = 2x2 . 6. y = sin2 x, y = x sin x, 0 ≤ x ≤ π. 7. x2 + y 2 = 8, 2y = x2 , y ≥ 0. 30
8. y = ln(x + 6), y = 3 ln x, x = 0, y = 0. 9. y = x, y = x + sin2 x, 0 ≤ x ≤ π. 10. y = 2x , y = 2, x = 0. 11. y 2 = 6 x, 81 y 2 = 8(x − 3)3 . 12. y = x − π/2, y = cos x, x = 0. √ 13. y = x 9 − x2 , y = 0, 0 ≤ x ≤ 3. 14. x = arccos y, x = 0, y = 0. √ 15. y = ex − 1, y = 0, x = ln 2.
Çàäà÷à 13 Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïåòëåé äàííîé ëèíèè, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Ñäåëàòü ÷åðòåæ. 1. r = a(1 + cos ϕ) (êàðäèîèäà). 3. r =
2. r = 4 cos 3ϕ.
p , 1+ε cos ϕ
4. r = 3 sin 2ϕ.
0 < ε < 1 (ýëëèïñ). 5. r = 2 − cos ϕ, r = cos ϕ.
√ 6. r = 2 sin 2ϕ.
7. r = 3(1 + sin ϕ).
8. r = 2 + cos ϕ.
9. r = 2(cos ϕ + sin ϕ).
10. r = cos3 ϕ.
11. r = sin2 ϕ2 .
12. r = ϕa , ϕ ∈ [ π4 ; 2π].
13. r = cos ϕ − sin ϕ. √ 15. r = 3 cos ϕ, r = sin ϕ,
14. r = 3 sin ϕ, r = 5 sin ϕ.
(0 ≤ ϕ ≤ π/2, (ñïðàâà îò ëó÷à ϕ = π/2).
31
Çàäà÷à 14 Íàéòè ïëîùàäè ôèãóð, îãðàíè÷åííûõ ïåòëåé äàííîé êðèâîé, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè. Ñäåëàòü ÷åðò¼æ. ½ ½ 2 x = t2 − a 2 , x=t−t , 2. 1. y = t2 − t3 . y = t3 − a2 t. ( ( 2) 3 x = t(1−t , x=1+t−t , 1+3t2 3. 4. 4t2 y = 1 − 15t2 . y = 1+3t 2. ( ½ 1 x = 1+t 2, x = sin 2t, 6. 5. y = sin t. y = t(1 − t2 ). ( ½ x = π2 t − sin t, x = 1 + 2 cos t, 7. 8. y = tg t + 2 sin t. y = 1 − cos t. ½ ½ x = 2 + 3 cos t, x = t2 + 1, 9. 10. y = 3 + 2 sin t. y = t3 − 3t. ½ ½ x = a cos3 t, x = cos t, 12. 11. 3 y = sin t cos2 t. y = a sin t. √ x = √2 cos t, x = 4t − t3 , y = sin(πt/2), 13. y = 4 2 sin t, 14. 0 ≤ t ≤ 2. y = 4, (y ≥ 4). x = 4(t − sin t), y = 4(1 − cos t), 15. y=6 (0 < x < 8π, y ≥ 6).
13.
Îáúåì òåëà âðàùåíèÿ
Îáúåì òåëà âðàùåíèÿ, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè Ox êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé êðèâîé y = 32
f (x), ïðÿìûìè x = a, x = b, y = 0, ðàâåí Zb y 2 dx.
V =π a
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè x = x(t), y = y(t), t ∈ [t0 , t1 ], ãäå ôóíêöèÿ x(t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò íåîòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ x0 (t) íà [t0 , t1 ], x(t0 ) = a, x(t1 ) = b, à y(t) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî, äåëàÿ çàìåíó ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, ïîëó÷èì ôîðìóëó: Zt1 V = π y 2 (t)x0 (t) dt. t0
 ñëó÷àå óáûâàþùåé ôóíêöèè x(t) ôîðìóëà ïðèìåò âèä:
Zt1 y 2 (t)x0 (t) dt.
V = −π t0
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà íåÿâíûì óðàâíåíèåì, òî åå íàäî ïàðàìåòðèçîâàòü, ëèáî çàïèñàòü ÿâíûì óðàâíåíèåì.
Çàäà÷à 15 Ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ äàííûìè ëèíèÿìè, âðàùàåòñÿ âîêðóã îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò. Âû÷èñëèòü îáúåì òåëà âðàùåíèÿ. Èçîáðàçèòü òåëî âðàùåíèÿ íà ÷åðòåæå. ½ x = sin t + 1, x = 0, y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, âðàùåíèå 1. y = sin3 t, âîêðóã îñè Ox. 2. Âåðõíÿÿ ½ √ ïîëîâèíà ýëëèïñà: x = 3 cos t, x = 0, y = 0, âðàùåíèå âîêðóã îñè Oy . y = 2 sin t, 33
3. y 3 = x2 , y = 1, âðàùåíèå âîêðóã îñè Ox. 4. x3 = (y − 1)2 , y = 0, x = 0, âðàùåíèå âîêðóã îñè Ox. 1 5. y = √cos , y = 0, x = 0, x = π/6, âðàùåíèå âîêðóã îñè x Ox. ½ x = cos t, 6. y = 0, âðàùåíèå âîêðóã îñè Ox, −1 ≤ y = 2 sin2 t, x ≤ 1.
7. y = ln x, x = 1, x = e, y = 0, âðàùåíèå âîêðóã îñè Ox. √ 8. y = x ex , x = 0, , x = ln 2, âðàùåíèå âîêðóã îñè Ox. 9. Ýëëèïñ
x2 a2
+
y2 b2
= 1, âðàùåíèå âîêðóã îñè Oy .
10. xex , x = 1, y = 0, âðàùåíèå âîêðóã îñè Ox. 11.
1 , 1+x2
âðàùåíèå âîêðóã å¼ àñèìïòîòû.
√ 12. x −x, x = −1, y = 0, âðàùåíèå âîêðóã îñè Oy . 13. Ñèììåòðè÷íûé ïàðàáîëè÷åñêèé ñåãìåíò, îñíîâàíèå êîòîðîãî a, âûñîòà b, âðàùàåòñÿ âîêðóã îñíîâàíèÿ (¾ëèìîí¿ Êàâàëüåðè). 14. Öåïíàÿ ëèíèÿ y = ch x âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè àáñöèññ. Ïîëó÷àåòñÿ ïîâåðõíîñòü, íàçûâàåìàÿ êàòåíîèäîì. Íàéòè îáúåì òåëà, îãðàíè÷åííîãî êàòåíîèäîì è ïëîñêîñòÿìè x = a, x = b. ½ x = a(t − sin t), 15. Îäíà àðêà öèêëîèäû âðàùàåòñÿ âîy = a(1 − cost), êðóã ñâîåãî îñíîâàíèÿ.
14.
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
Ïóñòü y = y(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ. Ïëîùàäü S ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì ãðàôèêà ôóíêöèè âîêðóã îñè Ox, 34
ðàâíà:
Zb S = 2π
|y(x)|
p
1 + y 0 2 (x) dx.
a
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè x = x(t), y = y(t), t ∈ [α; β], òî ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ðàâíà: Zβ p 0 S = 2π |y(t)| x 2 (t) + y 0 2 (t) dt. α
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: r = r(ϕ), ϕ ∈ [ϕ1 ; ϕ2 ], 0 ≤ ϕ1 < ϕ2 ≤ π , òî ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ýòîé êðèâîé âîêðóã ïîëÿðíîãî ëó÷à ðàâíà:
Zϕ2 S = 2π
p r(ϕ) r2 (ϕ) + r0 2 (ϕ) sin ϕ dϕ.
ϕ1
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ êðèâîé r = r(ϕ), ϕ ∈ [ϕ1 ; ϕ2 ], 0 ≤ ϕ1 < ϕ2 ≤ π , âîêðóã ëó÷à ϕ = π/2 ðàâíà:
Zϕ2 S = 2π
p r(ϕ) r2 (ϕ) + r0 2 (ϕ) cos ϕ dϕ.
ϕ1
Çàäà÷à 16 Êðèâàÿ âðàùàåòñÿ âîêðóã îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. Èçîáðàçèòü ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ íà ÷åðòåæå. 1. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì ïàðàáîëû y 2 = 4ax âîêðóã îñè àáñöèññ îò âåðøèíû ïàðàáîëû äî òî÷êè ñ àáñöèññîé x = 3a. 35
2. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè êàòåíîèäà ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì öåïíîé ëèíèè y = a ch xa âîêðóã îñè àáñöèññ (îò x1 = 0 äî x2 = a). 3. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âûòÿíóòîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ (ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì ýëëèïñà âîêðóã áîëüøåé îñè).
Óêàçàíèå. Â îòâåòå èñïîëüçîâàòü ýêñöåíòðèñèòåò ýë-
ëèïñà ε = c/a, ãäå c ðàññòîÿíèå ìåæäó ôîêóñàìè, b2 = a2 − c2 . 4. Íàéòè ïëîùàäü âåðåòåíîîáðàçíîé ïîâåðõíîñòè , îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì îäíîé àðêè ñèíóñîèäû y = sin x âîêðóã îñè àáñöèññ. 5. ×åòâåðòü îêðóæíîñòè x2 + y 2 = 1, ðàñïîëîæåííàÿ â ïåðâîì êâàäðàíòå, âðàùàåòñÿ âîêðóã ïðÿìîé y = 1. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. 6. Îêðóæíîñòü r = 4 sin ϕ âðàùàåòñÿ âîêðóã ïîëÿðíîé îñè. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. 7. Îêðóæíîñòü r = 2 cos ϕ âðàùàåòñÿ âîêðóã ïîëÿðíîé îñè. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. 8. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ îäíîé àðêè öèêëîèäû ½ x = a(t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2π, y = a(1 − cos t), âîêðóã åå îñè ñèììåòðèè. 9. Êàðäèîèäà r = 10(1 + cos ϕ) âðàùàåòñÿ âîêðóã ïîëÿðíîé îñè. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. 10. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, √ îáðàçîâàííîé ïðè âðàùåíèè ëåìèíèñêàòû r = a 2cos2ϕ âîêðóã ëó÷à ϕ = π2 . 36
11. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé êðèâîé ½ √ x = t3 /3, |t| ≤ 2 2. y = 4 − t2 /2, 12. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé êðèâîé ½ x = et sin t, 0 ≤ t ≤ π/2. y = et cos t, 13. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé âðàùåíèåì 2 2 2 àñòðîèäû x 3 + y 3 = a 3 âîêðóã îñè Oy .
Óêàçàíèå. Ïîäîáðàòü ïîäõîäÿùóþ ïàðàìåòðèçàöèþ êðèâîé.
14. Äóãà êðèâîé r = cos12 ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π/2, âðàùàåòñÿ âîêðóã 2 ïîëÿðíîé îñè. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. 15. Îêðóæíîñòü r = 4 sin ϕ âðàùàåòñÿ âîêðóã ëó÷à ϕ = π2 . Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.
15.
Ìàññà, ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû, ìîìåíòû èíåðöèè è êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè êðèâîé
Ïóñòü ïëîñêàÿ êðèâàÿ L çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì
y = y(x),
x ∈ [a, b],
èëè ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ½ x = x(t), t ∈ [t1 , t2 ]. y = y(t),
(5)
(6)
Ôóíêöèè y(x), x(t), y(t) â (5) è (6) ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûìè. 37
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü êðèâóþ L êàê ìàòåðèàëüíóþ, òî åñòü èìåþùóþ ìàññó. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàññà ðàñïðåäåëåíà âäîëü êðèâîé ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ ðàâíîé åäèíèöå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàññà êàæäîãî êóñî÷êà êðèâîé ðàâíà åãî äëèíå. Òîãäà ìîìåíò êðèâîé L îòíîñèòåëüíî îñè Ox ðàâåí
Zb Mx =
p y(x) 1 + y 0 (x)2 dx,
(7)
a
â ñëó÷àå ÿâíî çàäàííîé êðèâîé, è
Zt2 Mx =
p y(t) x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt,
(8)
t1
â ñëó÷àå ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé êðèâîé. Ìîìåíò êðèâîé L îòíîñèòåëüíî îñè Ox ðàâåí
Zb My =
p x 1 + y 0 (x)2 dx,
(9)
a
â ñëó÷àå ÿâíî çàäàííîé êðèâîé, è
Zt2 My =
p x(t) x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt,
(10)
t1
â ñëó÷àå ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé êðèâîé. Ïîëåçíî èìåòü ïðåäñòàâëåíèå î òîì, îòêóäà áåðóòñÿ ôîðìóëû (7), (8), (9) è (10). Ïîÿñíèì èõ âîçíèêíîâåíèå. Êàê èçâåñòíî, ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû m îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îñè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìàññû ýòîé òî÷êè íà ðàññòîÿíèå äî îñè. Äëÿ ñëó÷àÿ ñèñòåìû èç k ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìîìåíò áóäåò ðàâåí ñóììå ìîìåíòîâ îòäåëüíûõ òî÷åê. Åñëè æå ìàññû íå ñîñðåäîòî÷åíû â îòäåëüíûõ òî÷êàõ, íî ðàñïîëîæåíû ñïëîøíûì îáðàçîì, 38
çàïîëíÿÿ ëèíèþ èëè ïëîñêóþ ôèãóðó, òî äëÿ âûðàæåíèÿ ñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïóñòü êðèâàÿ L çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì (5). Ðàçîáüåì îòðåçîê [a, b] íà ÷àñòè òî÷êàìè: a = x0 < x1 < . . . < xN = b. Ýòîìó ðàçáèåíèþ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ðàçáèåíèå êðèâîé íà ìàëåíüêèå ÷àñòè.  êàæäîé ÷àñòè âûáåðåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ïî òî÷êå Mi ñ êîîðäèíàòàìè (ξi ; y(ξi )). Ìàññà xR i+1 p 1 + y 0 (x)2 dx. Ïî i-ãî êóñî÷êà ðàâíà åãî äëèíå è ðàâíà xi
òåîðåìå î ñðåäíåì èìååì: xi+1 Z p p 0 2 1 + y (x) dx = 1 + y 0 (ξi )2 ∆xi , xi
ãäå Mi (ξi , y(ξi )) íåêîòîðàÿ òî÷êà íà i-òîì êóñî÷êå êðèâîé, à ∆xi = xi+1 − xi . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìàññà i-ãî êóñî÷êà ñîñðåäîòî÷åíà â òî÷êå Mi . Òîãäà ìîìåíò èíåðöèè i-ãî êóñî÷êà îòíîñèòåëüíî îñè Ox ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìàññû ýòîãîpêóñî÷êà íà ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Mi äî îñè Ox, ò. å. y(ξi ) 1 + y 0 (ξi )2 ∆xi . ×òîáû ïîëó÷èòü ìîìåíò èíåðöèè âñåé êðèâîé, íàäî ïðîñóììèðîâàòü ïî âñåì êóñî÷êàì. Ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ñóììó äëÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà: Zb p y(x) 1 + y 0 (x)2 dx. a
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè èçìåëü÷åíèè ðàçáèåíèÿ, ïîëó÷àåì íóæíóþ ôîðìóëó (5). Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìîìåíò i-ãî êóñî÷êà êðèâîé îòíîñèòåëüíî îñè Oy ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ðàññòîÿíèÿ òî÷êè Mi (ξi , y(ξi )) äî îñè Oy , êîòîðîå ðàâíî ξi , íà ìàññó i-ãî êóñî÷êà, ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëû (9) è (10). Ïóñòü òåïåðü êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè êðèâîé (x0 , y0 ). Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ìàññà m âñåé êðèâîé ñîñðåäîòî÷åíà â îäíîé òî÷êå, öåíòðå òÿæåñòè, òî ìîìåíò ýòîé ìàòåðèàëüíîé 39
òî÷êè ìàññû m îòíîñèòåëüíî îñè Ox ðàâåí my0 . À ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòî ìîìåíò Mx âñåé êðèâîé îòíîñèòåëüíî îñè Ox, ñëåäîâàòåëüíî, Mx = my0 , îòêóäà
y0 = Àíàëîãè÷íî,
Mx . m
My = mx0 ,
îòêóäà
My , m ãäå ìàññà m êðèâîé L ðàâíà äëèíå êðèâîé: x0 =
m=
Zb p
1 + y 0 (x)2 dx
a
äëÿ ÿâíî çàäàííîé êðèâîé è
m=
Zt2 p
x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt
t1
äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîé êðèâîé. Åñëè ìàññà ðàñïðåäåëåíà âäîëü êðèâîé ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ ρ(x), òî â ôîðìóëàõ äëÿ m, Mx , My ïîä çíàêîì èíòåãðàëà íóæíî äîáàâèòü ìíîæèòåëü ρ(x). Èç ôîðìóëû äëÿ îðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè êðèâîé ìîæíî ïîëó÷èòü çàìå÷àòåëüíîå ãåîìåòðè÷åñêîå ñëåäñòâèå. Óìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà Mx = my0 íà 2π è ïîäñòàâèì âìåñòî My èíòåãðàë èç ôîðìóëû (7) (äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÿâíî çàäàííóþ êðèâóþ):
Zb 2π
p y(x) 1 + y 0 (x)2 dx, = 2πmy0 .
a
40
(11)
Òîãäà â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñòîèò ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ïîëó÷åííîé ïðè âðàùåíèè êðèâîé y = (x), x ∈ [a, b], y(x) ≥ 0, âîêðóã îñè Ox (ñì. ðàçäåë 14.). À â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû äëèíà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé öåíòðîì òÿæåñòè êðèâîé ïðè âðàùåíèè âîêðóã îñè Ox, óìíîæåííàÿ íà ìàññó êðèâîé, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, íà äëèíó êðèâîé. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíà ïåðâàÿ òåîðåìà Ãóëüäèíà.
Òåîðåìà 14. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, ïîëó÷åííîé ïðè âðà-
ùåíèè êðèâîé âîêðóã îñè, ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè, îïèñàííîé ïðè âðàùåíèè öåíòðîì òÿæåñòè êðèâîé, íà äëèíó êðèâîé.
16.
Ìàññà, ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû, ìîìåíòû èíåðöèè è êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè ïëîñêîé îäíîðîäíîé ïëàñòèíêè
Ïóñòü ïëîñêàÿ ôèãóðà Q çàäàíà íåðàâåíñòâàìè:
y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x),
a ≤ x ≤ b,
ãäå y1 (x), y2 (x) íåïðåðûâíûå íà [a, b] ôóíêöèè. Ïóñòü íà Q ðàñïðåäåëåíà ìàññà ñ ïëîòíîñòüþ ρ(x). Òîãäà ìàññà m ôèãóðû Q ðàâíà
Zb m=
(y2 (x) − y1 (x)) ρ(x) dx.
(12)
a
 ÷àñòíîñòè, åñëè ïëîòíîñòü ðàâíà 1, òî ìàññà ñîâïàäàåò ñ ïëîùàäüþ ôèãóðû Q. ×òîáû âû÷èñëèòü ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû, ðàçîáüåì îòðåçîê [a, b] íà ÷àñòè òî÷êàìè: a = x0 < x1 < . . . < xN = b, è ïóñòü ξk ∈ [xk , xk+1 ] ïðîèçâîëüíûå òî÷êè. Ñîñòàâèì ñòóïåí÷àòóþ ôèãóðó, ñîñòàâëåííóþ èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ:
Pi = {(x, y) : xi ≤ x ≤ xi+1 , y1 (ξi ) ≤ y ≤ y2 (ξi )}. 41
Öåíòð òÿæåñòè ïðÿìîóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ â åãî öåíòðå. Ðàññòîÿíèå îò öåíòðà òÿæåñòè ïðÿìîóãîëüíèêà Pi äî îñè Ox ðàâíî 21 [y1 (ξi ) + y2 (ξi )]. Ìîìåíò ïðÿìîóãîëüíèêà Pi îòíîñèòåëüíî îñè Ox ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà òÿæåñòè äî îñè Ox íà ìàññó ïðÿìîóãîëüíèêà, êîòîðàÿ ðàâíà: [y2 (ξi ) − y1 (ξi )]ρ(ξi )∆xi . Òàêèì îáðàçîì, ýòîò ìîìåíò ðàâåí: 1 2 [y2 (ξi ) − y12 (ξi )]ρ(ξi )∆xi . 2 Ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ñóììó äëÿ îïðåäåëåíRb 2 1 íîãî èíòåãðàëà: 2 (y2 (x) − y12 (x)) ρ(x) dx. Òàêèì îáðàçîì, a
ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò Mx ïëàñòèíû Q îòíîñèòåëüíî îñè Ox ðàâåí: Zb ¢ ¡ 2 1 2 Mx = y2 (x) − y1 (x) ρ(x) dx. 2 a
Àíàëîãè÷íî, ìîìåíò ïðÿìîóãîëüíèêà Pi îòíîñèòåëüíî îñè Oy ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà òÿæåñòè äî îñè Oy íà ìàññó ïðÿìîóãîëüíèêà:
1 (xi + xi+1 )[y2 (ξi ) − y1 (ξi )]ρ(ξi )∆xi . 2 Åñëè ðàçáèåíèå äîñòàòî÷íî ìåëêîå, òî÷êè xi , xi+1 è ξi ∈ [xi , xi+1 ] áëèçêè äðóã ê äðóãó. Ïîýòîìó ìîæíî çàìåíèòü xi è xi+1 íà ξi , òîãäà 12 (xi + xi+1 ) = ξi . Ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ñóììó äëÿ îïðåäåRb ëåííîãî èíòåãðàëà: My = x (y2 (x) − y1 (x)) ρ(x) dx. Òàêèì a
îáðàçîì, ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò My ïëàñòèíû Q îòíîñèòåëüíî îñè Oy ðàâåí:
Zb My =
x (y2 (x) − y1 (x)) ρ(x) dx. a
42
Êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè ôèãóðû Q ðàâíû:
x0 =
My , m
y0 =
Mx . m
(13)
Óìíîæàÿ, êàê è âûøå, ôîðìóëó Mx = my0 íà 2π , ïîëó÷èì (ïðè ρ = 1):
Zb π
¡
y22 (x)
−
¢
y12 (x)
dx = 2πmy0 .
a
 ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñòîèò îáúåì òåëà, ïîëó÷åííîãî ïðè âðàùåíèè ôèãóðû Q âîêðóã îñè Ox, à â ïðàâîé ïðîèçâåäåíèå äëèíû îêðóæíîñòè, îïèñàííîé öåíòðîì òÿæåñòè ôèãóðû ïðè âðàùåíèè âîêðóã îñè Ox, íà ïëîùàäü ôèãóðû Q. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíà âòîðàÿ òåîðåìà Ãóëüäèíà.
Òåîðåìà 15. Îáú¼ì òåëà, ïîëó÷åííîãî ïðè âðàùåíèè ïëîñêîé ôèãóðû âîêðóã îñè, ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè, îïèñàííîé ïðè âðàùåíèè öåíòðîì òÿæåñòè ôèãóðû, íà ïëîùàäü ôèãóðû.
Ìîìåíòû èíåðöèè Ix , Iy îòíîñèòåëüíî îñåé Ox, Oy , ñîîòâåòñòâåííî, âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:
Ix =
1 3
Zb
¡
¢ y23 (x) − y13 (x) ρ(x) dx,
a
Zb x2 (y2 (x) − y1 (x)) ρ(x) dx.
Iy = a
Åñëè ïëîñêàÿ ôèãóðà çàäàíà â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íåðàâåíñòâàìè:
ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ,
0 ≤ r ≤ r(ϕ), 43
ãäå 0 < ϕ2 − ϕ1 < 2π , r(ϕ) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà [ϕ1 , ϕ2 ], è ïóñòü íà ñåêòîðå Q ðàñïðåäåëåíà ìàññà ñ ïëîòíîñòüþ ρ(ϕ). Òîãäà
m=
Zϕ2
1 2
r2 (ϕ)ρ(ϕ) dϕ, ϕ1
Mx =
1 3
Zϕ2 r3 (ϕ) sin ϕ ρ(ϕ) dϕ, ϕ1
My =
1 3
Zϕ2 r3 (ϕ) cos ϕ ρ(ϕ) dϕ, ϕ1
Ix =
1 4
Zϕ2 r4 (ϕ) sin ϕ ρ(ϕ) dϕ, ϕ1
Iy =
1 4
Zϕ2 r4 (ϕ) cos ϕ ρ(ϕ) dϕ. ϕ1
Êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè âû÷èñëÿþòñÿ ïî òåì æå ôîðìóëàì (17).
Ïðèìåð
Íàéòè êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ ïëàñòèíû, îãðàíè÷åííîé êðèâûìè: x2 + y 2 = R2 , y ≥ 0, y = 0. JÎ÷åâèäíî, äàííàÿ ïëàñòèíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëîâèíó êðóãà ðàäèóñà R, ðàñïîëîæåííóþ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè. Ïóñòü ρ = const ïëîòíîñòü ïëàñòèíû. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàññû ïëàñòèíû âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (12).  äàííîì √ 2 ñëó÷àå ôóíêöèÿ y2 (x) = R − x2 çàäàåò âåðõíþþ ïîëîâèíó îêðóæíîñòè, à y1 (x) ≡ 0. Ïîýòîìó ìàññà ðàâíà
ZR √ ZR √ ρ R2 − x2 dx = 2 m= ρ R2 − x2 dx = 0
−R
44
¶¯R 2 2 ¯ x√ 2 R ρπ R x 2 ¯ = R ρ arcsin 1 = = 2ρ R − x2 + arcsin . 2 2 R ¯0 2 Ìû âîñïîëüçîâàëèñü çäåñü ÷åòíîñòüþ ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Äàëåå âû÷èñëÿåì ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû îòíîñèòåëüíî îñåé Ox, Oy : µ
1 Mx = 2
ZR
ZR 2
2
2R3 ρ , (R − x )ρ dx = 3 2
(R − x )ρ dx =
2
0
−R
ZR x(R2 − x2 ) dx = 0,
My = −R
â ñèëó íå÷åòíîñòè ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Òåïåðü íàõîäèì êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ:
x0 =
My = 0, m
y0 =
Mx 4R = .I m 3π
Çàäà÷à 17  ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ íàéòè êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé óêàçàííûìè ëèíèÿìè. Èçîáðàçèòü ôèãóðó è îòìåòèòü åå öåíòð ìàññ íà ÷åðòåæå. 1. y = h(1 − x2 /a2 ), y = 0, h > 0, a > 0. 2. y = sin x, 0 ≤ x ≤ π , y = 0. 3. y = ch x, y = 0, |x| = 1. 4. y =
2x , π
y = sin x, y = 0.
5. y 2 = 4x, y = 2, x = 0, ïëîòíîñòü ôèãóðû ρ = x. 6. Íàéòè àáñöèññó öåíòðà òÿæåñòè ôèãóðû, îãðàíè÷åí½ x = a(t − sin t), íîé îäíîé àðêîé öèêëîèäû è îñüþ y = a(1 − cos t), àáñöèññ. 45
7. Íàéòè îðäèíàòó öåíòðà òÿæåñòè ôèãóðû, îãðàíè÷åí½ x = a(t − sin t), íîé îäíîé àðêîé öèêëîèäû è îñüþ y = a(1 − cos t), àáñöèññ. 8. Íàéòè àáñöèññó öåíòðà òÿæåñòè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ïîëóâèòêîì àðõèìåäîâîé ñïèðàëè r = aϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π , è ëó÷àìè ϕ = 0, ϕ = π . 9. Íàéòè îðäèíàòó öåíòðà òÿæåñòè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ïîëóâèòêîì àðõèìåäîâîé ñïèðàëè r = aϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π , è ëó÷àìè ϕ = 0, ϕ = π . 10. Íàéòè àáñöèññó öåíòðà òÿæåñòè ôèãóðû, îãðàíè÷åí√ íîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ êðèâûìè r = 2, r = 2 sin ϕ, π4 ≤ ϕ ≤ 3π . 4 11. Íàéòè îðäèíàòó öåíòðà òÿæåñòè ôèãóðû, îãðàíè÷åí√ íîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ êðèâûìè r = 2, r = 2 sin ϕ, π4 ≤ ϕ ≤ 3π . 4 12. Íàéòè ìîìåíòû èíåðöèè îäíîðîäíîãî ïðÿìîóãîëüíèêà îòíîñèòåëüíî åãî îñåé ñèììåòðèè. 13. Íàéòè ìîìåíò èíåðöèè îäíîðîäíîãî êðóãà ðàäèóñà R îòíîñèòåëüíî åãî äèàìåòðà. 14. Íàéòè ìîìåíòû èíåðöèè Ix , Iy ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé 2 êðèâûìè: y = xa2h , y = h. 15. Èñïîëüçóÿ òåîðåìû Ãóëüäèíà, íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè è îáúåì òîðà, êîòîðûé ïîëó÷åí âðàùåíèåì îêðóæíîñòè x2 + y 2 = 8x − 15 âîêðóã îñè Oy .
17.
Ôèçè÷åñêèå (ìåõàíè÷åñêèå) ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
1. Ïóòü, ïðîéäåííûé òåëîì, ïåðåìåùàþùèìñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = v(t), çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè [t1 ; t2 ], âûðà46
æàåòñÿ èíòåãðàëîì
Zt2 S=
v(t)dt.
(14)
t1
2. Ðàáîòà ïåðåìåííîé ñèëû, çàäàííîé ôóíêöèåé F = F (x) è íàïðàâëåííîé âäîëü îñè Ox íà îòðåçêå [a; b], ðàâíà èíòåãðàëó
Zb A=
F (x)dx.
(15)
a
Ðàáîòà, çàòðà÷åííàÿ íà ðàñòÿæåíèå èëè ñæàòèå ïðóæèíû, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
Zx2 A=k
xdx,
(16)
x1
ãäå k êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, çàâèñÿùèé îò ñâîéñòâ ïðóæèíû, x1 è x2 íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ âåëè÷èíû ñæàòèÿ èëè ðàñòÿæåíèÿ ( ñîîòâåòñòâåííî). Ïî çàêîíó Ãóêà óïðóãàÿ ñèëà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ðàñòÿæåíèÿ èëè ñæàòèÿ ïðóæèíû, ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå ðàñòÿæåíèÿ èëè ñæàòèÿ: F = kx. 3. Äàâëåíèå æèäêîñòè íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëàñòèíó ðàâíî âåñó ñòîëáà ýòîé æèäêîñòè (¾Çàêîí Ïàñêàëÿ¿), ò. å. P = gγSh, ãäå g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, γ ïëîòíîñòü æèäêîñòè, S ïëîùàäü ïëàñòèíêè, h ãëóáèíà åãî ïîãðóæåíèÿ.
Äàâëåíèå æèäêîñòè íà âåðòèêàëüíóþ ïëàñòèíó, îãðàíè÷åííóþ ëèíèÿìè
x = a,
x = b,
y1 = f1 (x) èy2 = f2 (x) 47
(ñì. ðèñ. 1), âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Zb P = gγ
(f2 (x) − f1 (x))xdx.
(17)
a
Ðèñ. 1
Ïðèìåð
Îïðåäåëèòü ðàáîòó , ñîâåðøàåìóþ ïðè ïîäúåìå ñïóòíèêà ñ ïîâåðõíîñòè Çåìëè íà âûñîòó H . Ìàññà ñïóòíèêà ðàâíà m, ðàäèóñ Çåìëè Rç , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè g . JÂîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (15). Äëÿ ýòîãî íàì íóæíî çíàòü çàâèñèìîñòü ñèëû F îò âûñîòû x, íà êîòîðóþ ïîäíÿò ñïóòíèê îò ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Èç çàêîíà ãðàâèòàöèè èìååì:
mM , r2 ãäå G ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, m ìàññà ñïóòíèêà, M ìàññà Çåìëè, r ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ öåíòðàìè ìàññ. Äëÿ ñïóòíèêà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè F (r) = G
Fç = G
mM = mg. Rç2
Äëÿ ñïóòíèêà, íàõîäÿùåãîñÿ íà âûñîòå x íàä Çåìëåé
F (x) = G
mM . (Rç + x)2
48
Îòñþäà
F (x) Rç2 = , F3 (Rç + x)2
è ñëåäîâàòåëüíî,
Fç Rç2 mgRç2 mg F (x) = = = . (Rç + x)2 (Rç + x)2 (1 + Rx )2 ç Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ðàáîòû èìååì
ZH A=
F (x)dx = 0
ZH mg 0
ZH 0
mg dx = (1 + Rx )2 ç
µ ¶ dx Rç .I = mqRç 1 − (1 + Rx )2 Rç + H ç
Çàäà÷à 18 1. Íàéòè ñèëó äàâëåíèÿ âîäû ( ïëîòíîñòü γ ) íà êðóãëûé èëëþìèíàòîð äèàìåòðîì D ( â âåðòèêàëüíîì áîðòó ñóäíà ) íàïîëîâèíó ïîãðóæåííûé â âîäó. 2. Ïëàñòèíà â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè a è b îïóùåíà âåðòèêàëüíî â æèäêîñòü ïëîòíîñòè ρ òàê, ÷òî êàòåò a íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Íàéòè ñèëó äàâëåíèÿ æèäêîñòè íà ïëàñòèíó. 3. Ïëàñòèíà, èìåþùàÿ ôîðìó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ îñíîâàíèåì a è âûñîòîé b, âåðòèêàëüíî ïîãðóæåíà â æèäêîñòü ïëîòíîñòè ρ. Âåðøèíà òðåóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Íàéòè ñèëó äàâëåíèÿ æèäêîñòè íà ïëàñòèíó. 4. Ïëàñòèíà, èìåþùàÿ ôîðìó ýëëèïñà ñ ïîëóîñÿìè a è b (a > b) âåðòèêàëüíî ïîãðóæåíà â æèäêîñòü ïëîòíîñòè 49
ρ òàê, ÷òî ìàëàÿ îñü ýëëèïñà íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Íàéòè ñèëó äàâëåíèÿ íà ïîãðóæåííóþ ÷àñòü ïëàñòèíû. 5. Ïëàñòèíà, èìåþùàÿ ôîðìó ïàðàáîëû ñ ïàðàìåòðîì p âåðòèêàëüíî ïîãðóæåíà â æèäêîñòü ïëîòíîñòè ρ òàê, ÷òî åå äèðåêòðèñà ïàðàëëåëüíà ïîâåðõíîñòè âîäû, à âåðøèíà íàõîäèòñÿ îò ïîâåðõíîñòè íà ãëóáèíå h. Íàéòè ñèëó äàâëåíèÿ íà ïîãðóæåííóþ ÷àñòü ïëàñòèíû. 6. Äëÿ ðàñòÿæåíèÿ ïðóæèíû íà 4 ñì íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü ðàáîòó 24 Äæ. Íà êàêóþ äëèíó ìîæíî ðàñòÿíóòü ïðóæèíó, ñîâåðøèâ ðàáîòó â 150 Äæ 7. Ïðè ðàñòÿæåíèè ïðóæèíû íà 0,05 ì çàòðà÷åíà ðàáîòà â 19,62 Äæ. Êàêóþ ðàáîòó (â äæîóëÿõ) íóæíî çàòðàòèòü íà ñæàòèå ïðóæèíû íà 0,03 ì. 8. Äëèíà ïðóæèíû â ñïîêîéíîì ñîñòîÿíèè 0,2 ì. Ñèëà â 10 Í ðàñòÿãèâàåò ïðóæèíó íà 0,02 ì. Íàéòè ðàáîòó (â äæîóëÿõ), çàòðà÷åííóþ íà ðàñòÿæåíèå ïðóæèíû îò äëèíû 0,25 ì äî 0,35 ì. 9. Îïðåäåëèòü ðàáîòó , ñîâåðøàåìóþ ïðè ïîäúåìå ñïóòíèêà ñ ïîâåðõíîñòè Çåìëè íà âûñîòó H = 200 êì. Ìàññà ñïóòíèêà ðàâíà m = 7 ò, ðàäèóñ Çåìëè Rç = 6380 êì. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè ïîëîæèòü ðàâíûì 10 ì/c2 . 10. Îïðåäåëèòü ðàáîòó , ñîâåðøàåìóþ ïðè ïîäúåìå ñïóòíèêà ñ ïîâåðõíîñòè Çåìëè íà âûñîòó H = 300 êì. Ìàññà ñïóòíèêà ðàâíà m = 6 ò, ðàäèóñ Çåìëè Rç = 6380 êì. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè ïîëîæèòü ðàâíûì 10 ì/c2 . 11. Ñèëà ïåðåìåííîãî òîêà èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó I = I0 sin 2π t, T ãäå I0 = 2 À àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå òîêà, T = 0, 02 ñ Rt2 ïåðèîä. Íàéòè êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà q = Idt, t1
50
ïðîõîäÿùåå ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà çà ïîëïåðèîäà îò t0 = 0 äî t = T2 . 12. Ýíåðãèÿ, âûäåëÿåìàÿ çà âðåìÿ T ïðè ïðîõîæäåíèè òîêà I â ýëåêòðîëèòå ñ ñîïðîòèâëåíèåì r, îïðåäåëÿåòñÿ RT 2 ïî ôîðìóëå W = rI dt. Íàéòè êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, 0
âûäåëåííîå íà ñîïðîòèâëåíèè r = 100 Îì çà ïåðèîä T = 0, 02 ñ, åñëè I = Im sin(ωt + ϕ), Im = 3 À, ω = 100π ñ−1 . 13. Òîê êîíäåíñàòîðà I = 20 sin(ωt + π2 ). Îïðåäåëèòü åãî Rt çàðÿä q ïðè t = 0, 005 ñ, åñëè q = Idt è ω = 100π ñ−1 . 0
14. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òî÷êè ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó v = 12t − 3t2 ì/ñ, ãäå t âðåìÿ. Íàéòè ïóòü, ïðîéäåííûé òåëîì çà âòîðóþ ñåêóíäó; ñðåäíþþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè [0;2]; ïåðåìåùåíèå òî÷êè çà ïåðâûå 6 ñåêóíä äâèæåíèÿ. 15. Èç îäíîé òî÷êè â îäíîì íàïðàâëåíèè îäíîâðåìåííî íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ äâà òåëà ñî ñêîðîñòÿìè v = 3t2 −4t ì/ñ è 5t + 25 ì/ñ ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç ñêîëüêî ñåêóíä è íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò íà÷àëà äâèæåíèÿ òåëà ñíîâà áóäóò âìåñòå?
51
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Êóäðÿâöåâ Ë. Ä. Êðàòêèé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà : â 2 ò. / Ë. Ä. Êóäðÿâöåâ. Ì. : Ôèçìàòëèò. 2002. Ò. 1. 400 ñ. [2] Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó : â 3 ò. / Ë. Ä. Êóäðÿâöåâ [è äð.]. Ì. : Ôèçìàòëèò. 2003. Ò. 2. 504 ñ. [3] Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå: Ñ êîíòðîëüíûìè ðàáîòàìè. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà / Ê. Í. Ëóíãó [è äð.]. Ì. : Àéðèñ Ïðåññ. 2003. 576 ñ. [4] Äàíêî Ï. Å. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà â óïðàæíåíèÿõ è çàäà÷àõ : â 2 ÷. / Ï. Å. Äàíêî, À. Ã. Ïîïîâ, Ò. ß. Êîæåâíèêîâà. Ì. : Âûñø. øê. 1996. ×. 1. 304 ñ.
52
Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë Ðèìàíà . . . . . . . . 2. Ïðîèçâîäíàÿ èíòåãðàëà ïî ïåðåìåííîìó âåðõíåìó ïðåäåëó . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Îöåíêè èíòåãðàëîâ . . . . . . . . . . . . . . . 4. Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà. Ôîðìóëû çàìåíû ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â îïðåäåë¼ííîì èíòåãðàëå . . . . . . . . 5. Òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè . . . . . . . . . . 6. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî ðîäà (ñ áåñêîíå÷íûìè ïðåäåëàìè) . . . . . . . . . . . . . 7. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà (îò íåîãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé) . . . . . . . . . . . 8. Ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ (òåîðåìû ñðàâíåíèÿ) . . . . . . . . . . . . 9. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëîâ 10. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè óñëîâíîé ñõîäèìîñòè . 11. Âû÷èñëåíèå äëèíû êðèâîé . . . . . . . . . . . 12. Ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû . . . . . . . . . . . 13. Îáúåì òåëà âðàùåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . 14. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ . . . . . . . . 15. Ìàññà, ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû, ìîìåíòû èíåðöèè è êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè êðèâîé 16. Ìàññà, ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû, ìîìåíòû èíåðöèè è êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè ïëîñêîé îäíîðîäíîé ïëàñòèíêè . . . . . . . . . . . . . . 17. Ôèçè÷åñêèå (ìåõàíè÷åñêèå) ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3 3 5 7 9 11 13 15 18 22 23 27 29 32 34 37 41 46 52
Учебное издание
Беломытцева Елена Геннадьевна, Ратинер Надежда Марковна, Туленко Елена Борисовна
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЕОМЕТРИИ И ФИЗИКЕ Учебно-методическое пособие для вузов
Подписано в печать 19.06.07. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 3,1. Тираж 200 экз. Заказ 1240. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. 208-298, 598-026 (факс) http://www.ppc.vsu.ru; e-mail:
[email protected] Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133.
