Квантовая теория поля и топология

А.С.Шварц КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ И ТОПОЛОГИЯ В последние годы топология прочно вошла в математический арсенал физики. С ее помощью сделано очень много, прежде всего в квантовой теории поля. Открываются широкие перспективы для приложений топологии в других областях физики. Основной целью настоящей книги является изложение результатов квантовой теории поля, полученных топологическими методами. Однако в ней освещены и некоторые топологические вопросы теории конденсированных сред. Книга содержит также ориентированное на физиков изложение основ топологии и необходимую информацию по теории групп и алгебр Ли. Включение главы, посвященной основным лагранжианам, используемым в физике элементарных частиц, делает книгу независимой от учебников квантовой теории поля. Для физиков, интересующихся применениями .топологии, и для математиков, желающих ознакомиться с квантовой теорией поля и математическими методами, используемыми в ней. ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 5 ВВЕДЕНИЕ 7 ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 11 Глава I. ОСНОВНЫЕ ЛАГРАНЖИАНЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 14 § 1. Простейшие лагранжианы 14 § 2. Квадратичные лагранжианы 18 § 3. Внутренние симметрии 20 § 4. Калибровочные теории 25 § 5. Частицы, отвечающие неквадратичным лагранжианам 28 § 6. Лагранжианы сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий 30 § 7. Большие объединения 38 Глава II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 41 § 1. Топологически стабильные дефекты 41 § 2. Топологические интегралы движения 57 § 3. Двумерная модель. Абрикосовские вихри 64 § 4. Монополи Полякова-Хоофта 70 § 5. Топологические интегралы движения в калибровочных теориях 76 § 6. Частицы в калибровочных теориях 84 § 7. Магнитный заряд 87 § 8. Общие формулы для электромагнитной напряженности и 94 магнитного заряда в калибровочных теориях § 9. Экстремумы симметричных функционалов 99 § 10. Симметричные калибровочные поля 100 § 11. Оценка энергии магнитного монополя 110 § 12. Топологически нетривиальные нити 114 § 13. Частицы в присутствии нити. 120

§ 14. Нелинейные поля § 15. Многозначные функционалы действия § 16. Функциональные интегралы § 17. Применение функциональных интегралов в квантовой теории § 18. Квантование калибровочных теорий § 19. Эллиптические операторы § 20. Свойства эллиптических операторов. Индекс эллиптического оператора § 21. Детерминанты эллиптических операторов § 22. Квантовые аномалии § 23. Инстантоны § 24. Число инстантонных параметров § 25. Вычисление инстантонного вклада § 26. Функциональные интегралы для теорий, содержащих фермионные поля § 27. Инстантоны в квантовой хромодинамике Глава III. ОСНОВЫ ТОПОЛОГИИ §1. Основные топологические понятия § 2. Степень отображения § 3. Фундаментальная группа § 4. Накрывающие пространства § 5. Многообразия § 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве § 7. Гомологии и когомологии областей евклидова пространства. § 8. Гомологии и гомотопии § 9. Гомологии произвольных пространств § 10. Дифференциальные формы на гладком многообразии и гомологии гладкого многообразия § 11. Гомологии римановых многообразий § 12. Гомотопическая классификация отображений сферы(основные утверждения). § 13. Отображения сферы в неодносвязное пространство § 14. Гомотопические группы сфер. § 15. Гомотопические группы произвольных пространств § 16. Расслоенные пространства § 17. Связь между гомотопическими группами базы, слоя и пространства расслоения § 18. Теорема о накрывающей гомотопии. Точная гомотопическая после довательность § 19. Относительные гомотопические группы § 20. Гомотопические группы групп Ли и однородных многообразий § 21. Гомрлогии групп Ли и однородных многообразий § 22. Калибровочные поля и связности

127 134 139 145 152 165 170 176 180 187 199 204 213 222 228 228 242 250 255 259 265 274 282 286 294 298 302 306 308 310 315 321 326 332 335 339 346

§ 23. Калибровочные поля на многообразиях 353 § 24. Характеристические классы калибровочных полей 356 § 25. Геометрия калибровочных полей на многообразии 361 § 26. Пространства калибровочных полей. Грибовские неоднозначности 363 Задачи 366 ПРИЛОЖЕНИЕ 370 §1. Топологические пространства 370 § 2. Группы 372 § 3. Отождествление (наглядные примеры) 376 § 4. Эквивалентность и отождествление 380 § 5. Представления групп 381 § 6. Действие группы на пространстве 387 § 7. Присоединенное представление группы Ли 392 § 8. Кватернионы 393 ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 395 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 397 ПРЕДИСЛОВИЕ В последние годы топология прочно вошла в математический арсенал физики. С ее помощью сделано очень много, прежде всего в квантовой теории поля. Открываются широкие перспективы для приложений топологии в других областях физики. Достаточно отметить, что топологические идеи играют важную роль в одном из предложенных объяснений высокотемпературной сверхпроводимости. Топология применяется также при анализе другого замечательного открытия последних лет — квантового эффекта Холла. Основной целью настоящей книги является изложение результатов квантовой теории поля, полученных топологическими методами. Однако в ней освещены некоторые топологические вопросы теории конденсированных сред. Топологические понятия и теоремы, применяемые в физике, чрезвычайно многообразны. В связи с этим в книгу пришлось включить большой объем чисто математической информации. Мне хотелось, чтобы книга была полезна разным категориям читателей. Чтобы, с одной стороны, она была доступна студентам, знакомым только с основами анализа, линейной алгебры и квантовой механики, а с другой стороны, была интересна как специалистам по квантовой теории поля, так и математикам, желающим ознакомиться с физическими приложениями топологии. Это определило сложность структуры книги. Начало (гл.1) можно рассматривать как введение в квантовую теорию поля. В ней описываются основные лагранжианы, используемые в теории элементарных частиц. Центральная часть (гл. II) посвящена приложениям топологии в квантовой теории поля. Далее следуют топологическая часть (гл. III), которую можно рассматривать как учебник топологии, рассчитанный на физиков, и Приложение. Ссылка вида § Т12 обозначает § 12 топологической части (гл. III), ссылки на главы I, II и Приложение

отмечаются буквами В, Ф и А соответственно. Куски текста, заключенные между знаками А и V, можно при первом чтении пропустить. К сожалению, ограниченность объема книги вместе с желанием сохранить ее элементарный "учебный" характер привели к тому, что вне рамок книги оказались многие чрезвычайно интересные физические результаты, полученные топологическими методами. В частности, в книге не получила отражения бурно развивающаяся в последнее время теория суперструны, хотя топология играет в ее построении важную роль. Глава II (как и гл. III) состоит из нескольких в значительной мере независимых частей. В частности, § Ф1, посвященный топологически стабильным дефектам в сплошной среде, формально почти не используется в дальнейшем. Далее, § Ф2 — Ф8, Ф11 посвящены топологическим интегралам движения и топологически Нетривиальным частицам, в частности магнитным монополям. В § Ф9, 10 дан общий анализ симметричных калибровочных полей; этот анализ применен к магнитным монополям. В § Ф12-Ф13 изучаются топологически нетривиальные нити. В тесно связанных между собой § Ф14 и Ф15 исследуются нелинейные поля и многозначные функционалы действия. В § Ф16, 17 рассматриваются функциональные интегралы и их применение в квантовой теории; на этой основе в § Ф18 изучается квантование калибровочных теорий. Далее, § Ф19, 20, 21 содержат необходимые для дальнейшего математические сведения об эллиптических операторах и их детерминантах. В § Ф22 на базе этих сведений анализируются квантовые аномалии. В § Ф23 —25'исследуются инстантоны в калибровочных теориях. Наконец, в § Ф26 рассматриваются функциональные интегралы в теориях, содержащих фермионные поля; в § Ф27 на этой основе изучается вклад инстантонов в квантовой хромодинамике. Для того чтобы получить минимальное представление о применении топологических методов в квантовой теории поля, можно прочесть § Ф2—6 и перейти к § Ф23, ознакомившись предварительно с § Ф16—18. Если читатель интересуется топологически нетривиальными частицами и нитями, он может после этого обратиться к независимым друг от друга § Ф7, Ф12 и Ф14, которые могут быть дополнены § Ф11 (зависящим от §Ф7), § Ф13 (основанным на § Ф7, 12) и § Ф15, примыкающим к § Ф14. Читатель, интересующийся инстантонами, должен обратиться к концу книги ( § Ф24-27), прочитав перед этим § Ф19—22. Студенту разумно начать чтение книги с Приложения и § Т1, содержащих необходимые для чтения гл. I и II сведения из теории групп и топологии. К гл. Ill он может обращаться лишь для уточнения и доказательства результатов, на которые есть ссылки в гл. II. Однако, конечно, читать будет легче при наличии большей топологической информации; разумно ознакомиться прежде всего с §Т12,16, 17. Специалист по квантовой теории поля, просмотрев Приложение, § Т1 и список определений и обо значений, может приступать непосредственно к чтению гл. II. Математик может воспринимать гл. I как источник для ознакомления с квантовой теорией поля, позволяющий приступить к изучению физических приложений топологии.