Асимптотические методы: Учебное пособие

М инисте р ство о б р а зо ва ния и на уки Р о ссийско й ф е д е р а ц ии Во р о не ж ский го суд а р стве нный униве р сите т

А С И МП Т О Т И Ч Е С К И Е МЕ Т О Д Ы по со б ие д ля студ е нто в по спе ц иа льно сти 010101 «М а те ма тика »

Во р о не ж 2004

2

У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом м а т ем а т ического ф а ку льт ет а 1 сен тя б ря 2004 год а П ротокол № 1

С ост а вители: Глу ш ко А.В., Глу шко В.П .

П особ ие под готовлен о н а ка ф ед ре у ра вн ен ий в ча стн ы х производ н ы х и т еории вероя тн ост ей м а т ем а тического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу н иверситет а

Реком ен д у ет ся д ля ст у д ен тов 4-6 ку рсов м а т ем а т ического ф а ку льт ет а всех ф орм об у чен ия

3

Введ ен ие Ка либ ровочн ы е ф у н кции.

М ы б у д ем за н им а т ься исслед ова н ием

пред елов ра зличн ы х ф у н кций, в ча стн ости, пред ела ф у н кции f (ε ) при ε → ∞ . Э тот пред ел м ож ет за висет ь от того, ст рем ит ся ли ε → +∞ или ε → −∞ . На прим ер, lim e ε →+∞

−

1 ε

= 0 ; lim e ε →−∞

−

1 ε

=∞.

В д а льн ейшем м ы б у д ем пред пола га т ь, чт о все па ра м етры вы б ра н ы т а к, что ε > 0 . Если пред ел f (ε ) при ε → ∞ су щест ву ет , то им еет м есто од н а из т рех возм ож н ост ей f ( ε ) → 0 , f ( ε ) → A , 0 < A < ∞ , f ( ε ) → ±∞ . Ча ще всего т а ка я кла ссиф ика ция ока зы ва ется н е слишком у д об н ой, поскольку су щест ву ет б есчислен н ое м н ож ест во ф у н кций, ст рем я щих ся к н у лю при ε → 0 . Т а к, lim sin ε = 0 ; lim (1 − cos ε ) = 0 ; lim ( ε − sin ε ) = 0 ; lim e

ε →+∞

ε →+∞

ε →0

ε →+∞

−

1 ε

=0 .

Т очн о та кж е им еет ся б ескон ечн о м н ого ф у н кций, которы е стрем я т ся к б ескон ечн ост и при ε → 0 . На прим ер, 1 = ∞ ; lim lim ε →0 sin ε ε →0

1 ε

1

= ∞ ; lim ε = ∞ . ε →0 ε2 − cos ε 1− 2 Чт об ы у т очн ить вы ш епривед ен н у ю кла ссиф ика цию , м ы б у д ем под ра зд еля т ь ка ж д ы й из у ка за н н ы х кла ссов ф у н кций в соот вет ст вии со «скорост ью », с кот орой он и ст рем я т ся к н у лю или б ескон ечн ости. Д ля эт ого м ы б у д ем сра вн ива т ь скорост ь соот вет ст ву ю щего у б ы ва н ия или возра ст а н ия эт их ф у н кций со скорост ью стрем лен ия к н у лю или б ескон ечн ост и извест н ы х ф у н кций. Э ти ф у н кции сра вн ен ия н а зы ва ю т ся ка либ ровочн ы м и ф у н кция м и. П рост ейш им и и н а иб олее у потреб ля ем ы м и из н их я вля ю т ся целы е полож ит ельн ы е ст епен и па ра м ет ра ε : 1, ε , ε 2 , ε 3 , ... , а т а кж е его об ра тн ы е ст епен и ε −1 , ε −2 , ε −3 , ... . П ри эт ом

извест н о,

чт о

д ля

м а лы х

ε : 1> ε > ε 2 > ε 3 > ε 4 ...

и

ε −1 < ε −2 < ε −3 < ε −4 ... .

П рим еры скорости стрем лен ий к у пом я н у т ы х ф у н кций. И спользу ем ра злож ен ия Т ейлора .

н у лю

или

б ескон ечн ост и

4

ε3 ε5 ε7 sin ε = ε − + − + ... , след ова т ельн о, sin ε → 0 , ка к ε , 3! 5! 7!

а) поскольку

 ε2 ε4  sin ε lim = lim 1 − + + ...  = 1 . ε →0 ε ε →0 3! 5!   ε2 ε4 Д а лее: 1 − cos ε = − + ..., след ова т ельн о, 1 − cos ε → 0 , ка к 2! 4!

б)

 1 ε2  1 1 1 − cos ε = lim − + ...  = = .  2 ε →0 ε →0 2! ε 4!   2! 2

ε 2 , поскольку

lim

в) Д а лее: ε − sin ε → 0 ка к ε 3 , поскольку ε3 ε5 ε − sin ε = − + ... 3! 5!

и

 1 ε2  1 ε − sin ε lim = lim − + ...  = . ε →0 ε →0 3! ε2 5!   3!

Д ля т ого чтоб ы опред елит ь скорост ь, с кот орой ст рем ит ся к н у лю  1 exp  −   ε

при

ε → +0 , попы та ем ся прим ен ит ь пра вило Л опит а ля и

у вид им , что д ля лю б ого n = 0, 1,2,... −

1

ε ε xn n! lim n = lim = lim =0 . x ε →+0 ε x →∞ e x x =ε −1 →∞ e Т а ким об ра зом , скорост ь ст рем лен ия к н у лю эт ой ф у н кции н е м ож ет б ы т ь сра вн ен а с вы б ра н н ы м и н а м и ст епен н ы м и ка либ ровочн ы м и ф у н кция м и. Ан а логичн ы е резу льт а т ы полу ча ю т ся при изу чен ии скорости ст рем лен ия к б ескон ечн ост и вы писа н н ы х вы ш е ф у н кций:

( sinε )

−1

−1

−1

→ ∞ ка к ε ;

 1 2  1 −4 1 − ε − cos ε  → −∞ ка к ε ; exp   → ∞  2  ε 

б ы стрее лю б ой ε − n , n ∈ ! . П ривед ен н ы е ра ссу ж д ен ия пока зы ва ю т , чт о д ля полу чен ия д оста т очн о полн ого н а б ора ка либ ровочн ы х ф у н кций кром е ε n , n ∈ ! н еоб х од им о вклю чит ь в н его ф у н кции вид а 1

1

ε

−ε ε

n

−n

 1  1 e , e , ln , ln ln ,  ln  ,  ln  и т.д . ε ε  ε  ε С им волы поря д ка . Вм есто у т верж д ен ия о том , что sin ε → 0 c т ой ж е скорост ью , чт о и ε , об ы чн о говоря т, чт о « sinε им еет поря д ок ε при 1

1

5

ε → 0 » и за писы ва ю т эт о sin ε = O(ε ), ε → 0 . f (ε ) = O ( g (ε ) ) , ε → 0 ,

Вооб ще, м ы пола га ем т а кое число A , что lim ε →0

f (ε ) = A, g (ε )

если су щест ву ет

0 < A < ∞ . (О б ы чн о в вид е g (ε ) = ε n )

Т а ким об ра зом , при ε → 0 : cos ε = O(1) ; cos ( ε − 1) = O ( ε 2 ) , tg ε = O(ε ) и т .д . За м етим , что при этом числен н ое зн а чен ие A н е у чит ы ва ет ся . Во м н огих слу ча я х им ею ща я ся ин ф орм а ция о за д а н н ой ф у н кции ока зы ва ется н ед оста т очн ой д ля опред елен ия скорости, с кот орой эт а ф у н кция стрем ит ся к пред елу , од н а ко с ее пом ощью м ож н о у ст а н овит ь, б у д ет ли эт а скорост ь б ольш е или м ен ьше скорост и изм ен ен ия соот вет ст ву ю щей ка либ ровочн ой ф у н кции. П ри этом м ы использу ем сим вол поря д ка о («о м а лое»), опред еля ем ы й след у ю щим об ра зом : f (ε ) = o ( g ( ε ) )

ε →0

при

если

lim ε →0

f (ε ) = 0 . Т а к, при g (ε )

 − 13   12  −1 ε → 0 : sin ε = o(1) ; sin ε = o  ε  ; cos ε = o ( ε ) ; cos ε = o  ε  .    

Асим пт отические ря д ы .

Ра ссм отрим т еперь вопрос об оцен ке

∞

ин т егра ла

ω e− x dx при б ольших ω > 0 . ω + x 0

f (ω ) = ∫

∞ −1) x n ( ω x x 2 x3 1 ω = = 1 − + 2 − 3 + ... = ∑ в ря д Ра злож им , ω + x 1+ x ω ω ω ωn ω+x n=0 ω x < ω . П од ст а вля я эт о пред ст а влен ие в кот оры й сх од ит ся при под ы н т егра льн ое вы ра ж ен ие, им еем n

f (ω ) =

∞ ∞

∫∑

( −1)

n

ω

n

0 n=0

∞

н о поскольку д ля целы х n :

∫e

xn

−x

∞

e dx = ∑ −x

( −1) ω

n =0

n

n ∞

∫x e

n −x

dx,

0

x n dx = n! , то

0

∞

f (ω ) = ∑ n=0

( −1)

n

ωn

n!

.

П рим ен им призн а к Д а ла м б ера д ля исслед ова н ия сх од им ости ря д а

(1)

6

( −1) n!ω n−1 = lim −n = −∞ , n − ы й член lim = n n −1 n→∞ ( n − 1) − ы й член ω ( −1) ( n − 1)! n→∞ ω n

след ова т ельн о, ря д (1) ра сх од ит ся во всех ω . Ка к ж е использова т ь (1)? Вы числим оста ток, полу ча ю щийся при у сечен ии этого ря д а н а N -м член е. За м ет им при этом , что от резок ря д а N

∑ n=0

( −1)

n

ωn

xn

ест ь геом ет рическа я прогрессия с су м м ой

 x 1− −   ω x 1+ ω

N +1

.

N ω ( −1) x + R! x, ω , =∑ О тсю д а след у ет , что N ( ) ω + x n =0 ω n n

 x 1− −   ω ! N ( x, ω ) = ω − R x ω+x 1+ ω

N +1

n

N +1

 x −  ω = x 1+ ω

( − x) N +1 = N , ω (ω + x )

N ω ( −1) N x n (− x) N +1 =∑ + N или, окон ча тельн о, . ω + x n =0 ω n ω (ω + x )

П од ста вим это в пред ст а влен ие f (ω ) N ( −1) ωe− x f (ω ) = ∫ dx = ∑ n ω+x n =0 ω 0 ∞

N

f (ω ) = ∑

( −1)

n

n!

ωn

n=0

О цен им RN (ω ) . Т .к.

∫x e

n −x

dx + RN (ω ) ,

0

+ RN (ω ) , гд е RN (ω ) =

∞

( −1) N +1 x N +1e− x dx . ω N ∫0 ω + x

1 1 < , то ω+x ω

1 RN (ω ) = N ω

О тсю д а

n ∞

∞ ( N + 1)! x N +1e − x 1 N +1 − x ∫0 ω + x dx < ω N +1 ∫0 x e dx = ω N +1 .

∞

(−1) n n! + 0 (ω − N +1 ) . N ω n =0 N

f (ω ) = ∑

у сечен ием исх од н ого ря д а н а

И т а к,

ош иб ка ,

об у словлен н а я

N -м член е ст рем ится к н у лю при ω → ∞

ка к ω N +1 . П оэт ом у , х от я ря д (1) ра сх од ится , первы е N член ов этого ря д а м огу т пред ст а вля т ь

f (ω ) с ошиб кой, кот ора я м ож ет б ы т ь произвольн о

м а лой с пом ощью вы б ора д ост а точн о б ольшого ω . Т а кой ря д н а зы ва ется

7

а сим пт отическим ря д ом типа П у а н ка ре и об озн а ча ет ся ка к ∞

f (ω ) ! ∑ n=0

( −1) ω

n

n!

n

, ω →∞.

Ка к Асим птот ическое ра злож ен ие и послед ова т ельн ост и. от м еча лось, су щест ву ет м н ож ество ф у н кций, которы е н е м огу т б ы т ь описа н ы ря д а м и по ст епен я м м а лого па ра м етра ε . Д ля а сим пт отического пред ста влен ия за д а н н ой ф у н кции н е об я за т ельн о огра н ичива т ься ст епен я м и, лога риф м а м и, экспон ен т а м и. Вм ест о эт ого м ож н о воспользова т ься произвольн ой послед ова тельн ост ью ф у н кций об щего вид а δ n ( ε ) , у д овлет воря ю щих у словию δ n ( ε ) = 0 (δ n−1 ( ε ) ) при ε → +0 . Т а ка я

послед ова т ельн ост ь

послед ова т ельн ост ью . П рим еры  ξn  {ε } , ε  ,   n

н а зы ва ет ся

а сим птотической

а сим пт отических послед ова тельн ост ей:

{( ln ε ) } , {(sin ε ) } , {(ctg ε ) }, n ∈ ! . −n

В т ерм ин а х

−n

n

а сим пт отических

послед ова тельн ост ей м ы

опред елит ь и а сим пт от ические ра злож ен ия . Т а к, су м м у вид а

∞

∑ a δ (ε ) , n=0

гд е

an

н е за вися т

ε,

от

а

{δ n ( ε )} −

м ож ет n n

а сим птот ическа я

послед ова т ельн ост ь, м ы б у д ем н а зы ва т ь а сим птот ическим ра злож ен ием ф у н кции f ( ε ) при ε → 0 , если N

f ( ε ) = ∑ anδ n ( ε ) + O (δ N +1 ( ε ) ) ,

(2)

n =0

или N

f ( ε ) = ∑ anδ n ( ε ) + o (δ N ( ε ) ) ,

(3)

n =0

за писы ва я это соотн ош ен ием ∞

f ( ε ) ! ∑ anδ n ( ε ) при ε → 0 . n =0

П ри этом ра злож ен ие (2) н а зы ва ет ся а сим птот ическим ра злож ен ием с ква лиф ицирова н н ы м ост а точн ы м член ом , а ра злож ен ие (3) н а зы ва ет ся а сим пт отическим ра злож ен ием с н еква лиф ицирова н н ы м ост а точн ы м член ом .

8

О т м ет им , чт о а сим пт отическое пред ста влен ие ф у н кции

f (ε ) н е

ед ин ст вен н о, т .к. су щест ву ет б ескон ечн ое число а сим птотических послед ова т ельн ост ей. О д н а ко при за д а н ии послед ова т ельн ости ф у н кций {δ n ( ε )} а сим птот ическое пред ста влен ие ф у н кции f ( ε ) с ее пом ощью

ока зы ва ется у ж е ед ин ст вен н ы м , т .к. ед ин ст вен н ы м об ра зом опред еля ет ся an . П олож им f ( ε ) ! a0δ 0 ( ε ) + a1δ1 ( ε ) + a2δ 2 ( ε ) + ... δ (ε ) f (ε ) f (ε ) ! a0 + a1 1 + ... ; lim = a0 − ε →0 δ ( ε ) δ 0 (ε ) δ 0 (ε ) 1 a0 - опред еля ет ся ед ин ст вен н ы м об ра зом .

Д а лее f ( ε ) − a0δ 0 ( ε ) δ (ε ) ! a1 + 2 + ... ; δ1 ( ε ) δ1 ( ε )

lim ε →0

f ( ε ) − a0δ 0 ( ε ) = a1 . δ1 ( ε )

П род олж а я этот процесс, полу чим об щу ю ф орм у лу n −1

an = lim

f (ε ) − ∑ amδ m (ε ) m=0

δ n (ε )

ε →0

.

Алгеб ра ические у ра вн ен ия П рим ер1. Ра ссм отрим у ра вн ен ие f ( z) = ε при м а лы х

ε . П у ст ь у ра вн ен ие (1) при

(4) ε = 0 им еет решен ие

z0 :

f ( z 0 ) = 0 , z0 ≠ ∞ , f / ( z0 ) ≠ 0 .

П ост а вим за д а чу : н а йти реш ен ие у ра вн ен ия (4). За д а д им ф у н кцию F ( z , ε ) = f ( z ) − ε , Fz/ ( z0 , ε ) = f z/ ( z0 ) ≠ 0 .

П оэтом у

Fz/ ( z ) ≠ 0

при

z − z0 < δ . П о т еорем е об об ра т н ой ф у н кции су ществу ет н епреры вн а я

ф у н кция

z = z (ε ), 0 < ε < ε 0

и

F ( z (ε ) , ε ) = f ( z (ε ) , ε ) − ε = 0 .

П ри

д ополн ительн ы х у словия х гла д кости (н а прим ер, если f ( z ) ∈ C ∞ ) ф у н кция z (ε ) регу ля рн а (б ескон ечн о д иф ф ерен циру ем а ) и ра зла га ет ся в ря д Т ейлора

∞

z ( ε ) = z0 + ∑ cnε n , сх од я щийся при ε < ρ , гд е ρ - д ост а т очн о n =1

м а ло.

9

П у ст ь ∞

f ( z ) = f ( z0 ) + ∑ an ( z − z0 ) , n

n =1

∞

F ( z, ε ) = f ( z0 ) − ε + ∑ an ( z − z0 ) , n

n =1

∞

z = z0 + ∑ bnε n .

а

n =1

П о д ока за н н ы м в ку рсе м а т ем а т ического а н а лиза ф орм у ла м Бу рм а н а - Л а гра н ж а : b1 =

2a 2 − a a a 1 ; b2 = − 23 ; b3 = 2 5 1 3 и т .д . a1 a1 a1

Но об ы чн о коэф ф ициен т ы коэф ф ициен тов.

н а х од я т

П рим ер2. Бу д ем иска т ь корн и у ра вн ен ия при м а лом

ε . В слу ча е ε = 0 им еем

м ет од ом

н еопред елен н ы х

x 2 − ( 3 + 2ε ) x + 2 + ε = 0

x 2 − 3 x + 2 = ( x − 2 )( x − 1) = 0 с

корн я м и x = 1, x = 2 . И сх од н ое у ра вн ен ие н а зы ва ет ся возм у щен н ы м , а при ε = 0 - н евозм у щен н ы м или вы рож д ен н ы м у ра вн ен ием .

П ред полож им , что иском ы е корн и м ож н о пред ста вит ь в вид е x = x0 + ε x1 + ε 2 x2 + O(ε 3 ) . П од ста вим ра злож ен ие в исх од н ое у ра вн ен ие

(x

0

+ ε x1 + ε 2 x2 + O (ε 3 ) ) − ( 3 + 2ε ) ( x0 + ε x1 + ε 2 x2 + O (ε 3 ) ) + 2 + ε = 0 . 2

Ра скроем скоб ки и перегру ппиру ем по ст епен я м ε

(x

2 0

− 3 x0 + 2 ) + ε ( 2 x0 x1− 3 x1 − 2 x0 + 1) + ε 2 ( 2 x0 x2 + x12 − 3 x2 − 2 x1 ) + O (ε 3 ) = 0 .

П рира вн я ем н у лю коэф ф ициен т ы при послед ова тельн ы х степен я х ε .  x =1 . 1)  0  x0 = 2 2) Если x0 = 1

2 x1 − 3x1 − 2 + 1 = 0 ; x1 + 1 = 0 , x1 = −1 .

3) x0 = 1 ; x1 = −1 ; + 2 x2 + 1 − 3 x2 + 2 = 0 ; x2 = 3 ; x = 1 − ε + 3ε 2 + O (ε 3 ).

Если x0 = 2 , а н а логичн о им еем x = 2 + 3ε − 3ε 2 + O (ε 3 ) . П рим ер 3. И сслед у ем у ра вн ен ие z 3 − z 2 = ε , а сим птот ические ра злож ен ия корн ей кот орого м огу т сод ерж а т ь д роб н ы е ст епен и ε . 1) ε = 0;

z02 ( z0 − 1) = 0;

z0 = 1.   z = 0 − (д в укр а т ны й кор ень).  0

10

И зу чим вн а ча ле а сим птотику корн я , кот оры й при ε = 0 прин им а ет зн а чен ие z0 = 1 . Э т от од н окра тн ы й корен ь по извест н ой т еорем е из т еории ф у н кций ком плексн ого перем ен н ого я вля ет ся б ескон ечн о д иф ф ерен циру ем ой ф у н кцией коэф ф ициен тов исх од н ого у ра вн ен ия и, ка к след ст вие, б ескон ечн о д иф ф ерен циру ем ой ф у н кцией па ра м етра ε . П оэт ом у след у ет ра зы скива т ь его ра злож ен ие в ря д по целы м ∞

н еотрица тельн ы м ст епен я м ε : z = 1 + ∑ ck ε k . П од ст а вим это ра злож ен ие в k =1

2

исх од н ое

у ра вн ен ие,

∞ ∞  k   k  1 c + ε  ∑ k   ∑ ck ε  = ε ;  k =1   k =1 

полу чим :

(1 + c ε + c ε + O(ε ) ) ( c + c ε + O(ε ) ) = 1; (1 + 2c ε + 0 (ε )) ( c + c ε + O(ε ) ) = 1; c + ( 2c + c )ε + 0 (ε ) = 1; 2

1

3

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

2

 c1 = 1;  c1 = 1; z = 1 + ε − 2ε 2 + 0 ( ε 3 ) .   2c1 + c2 = 0. c2 = −2. В слу ча е д ву кра т н ого корн я н а д о ра ссм а т рива т ь ра злож ен ие по 1

ст епен я м

ε2:

1

3

z = c1ε 2 + c2ε + c3ε 2 + 0 ( ε 2 ) . П осле под ста н овки эт ого

пред ста влен ия в исх од н ое у ра вн ен ие им еем 3 1 3  12  2  2 2 2 c ε + c ε + c ε + 0 ε c ε + c ε + c ε + 0 ( ε 2 ) − 1 = ε ; ( )  1  1 2 3 2 3    2

1 3 1 3     2 2 2 2  c1 + c2ε + c3ε + O(ε )   −1 + c1ε + c2ε + c3ε 2 + O (ε )  = 1 ;     1 3 1 3  2  2 2  2 2 2 2  c1 + 2c1c2ε + ε ( c2 + 2c1c3 ) + O (ε )  −1 + c1ε + c2ε + c3ε + O (ε )  = 1;    1

3

−c12 + ( −2c1c2 + c13 ) ε 2 + ε ( −c22 − 2c1c3 + 2c12 c2 + c13 c2 ) + O (ε 2 ) = 1.

О тсю д а

( )

1 −c12 = 1 ; c1 = ±i ; m 2 ic2 − 1 ⋅ ± i = 0 , c2 = − ; − c22 − 2c1c3 + 3c12 c2 = 0 ; 2 1 3 7 7 7i − m 2 ic3 − = 0 ; m 2 ic3 = ; m ic3 = ; c3 = ± . 4 2 4 8 8

11 1 2

1 7i 23 С лед ова т ельн о, z2,3 = ±iε − ε ± ε + 0 ( ε 2 ) . 2 8 О т вет : z1 = 1 + ε − 2ε + 0 ( ε ) ; z2,3 2

3

3

1 7i = ±i ε − ε ± ε 2 + 0 ( ε 2 ) . 2 8

П рим ер4. «С ин гу ля рн ое возм у щен ие»: ε x 2 + x + 1 = 0 , ε → +0 . В эт ом прим ере м а лы й па ра м етрст оит м н ож ителем при н а иб ольш ей x . Когд а ε → 0 у ра вн ен ие вы рож д а ет ся в у ра вн ен ие первого

ст епен и

поря д ка x + 1 = 0 , им ею щее т олько од ин корен ь. Т а ким об ра зом , величин а x

ε = 0 . Т а ку ю

прет ерпева ет ра зры в при

за д а чу прин я то н а зы ва т ь

«за д а чей син гу ля рн ы х возм у щен ий». Ест ест вен н о пред полож ит ь, что од ин из корн ей у ра вн ен ия след у ет x = x0 + ε x1 + O (ε 2 )

писа т ь в вид е ра злож ен ия

вы числен ий м ы огра н ичим ся н а х ож д ен ием поря д ка ). П од ста вим ра злож ен ие в у ра вн ен ие

(д ля

у прощен ия

т олько член ов первого

ε ( x0 + ε x1 + O (ε 2 ) ) + x0 + ε x1 + O (ε 2 ) + 1 = 0; x0 + 1 + ε ( x1 + x02 ) + O (ε 2 ) = 0; 2

 x0 + 1 = 0;  2  x1 + x0 = 0;

x0 = −1 ;

x1 = −1 ;

x = −1 − ε + O(ε 2 ).

.

Ка к н а йти вт орой корен ь? Д ля ра зра б отки м од иф ицирова н н ой процед у ры , позволя ю щей эт о, об ра тим ся к точн ом у решен ию у ра вн ен ия

Ра злож ив

1 − 4ε

(

)

1 −1 ± 1 − 4ε . 2ε

(5)

в ря д при ε → 0 , им еем

1 − 4ε = 1 − 2ε −2ε 2 + O (ε 3 ).

x=

П од ст а вим д а н н ое ра злож ен ие в (5). П олу чим  −1 + 1 − 2ε − 2ε 2 + ... = −1 − ε + O (ε 2 ) − изв ест ны й кор ень; x = 2ε  −1 − 1 + 2ε + 2ε 2 + ... 1  = − + 1 + ε + O (ε 2 ) − в т ор ой кор ень.  x = ε 2ε

Т а ким об ра зом , об а ра злож ен ия – по ст епен я м ε , н о од н о из н их н а чин а ет ся с ε −1 . В об щем слу ча е, когд а т очн ое решен ие н еизвестн о, х а ра кт ер корн ей т ож е н е известен за ра н ее и д олж ен опред еля т ься в процессе н а х ож д ен ия реш ен ия . Вм есте с т ем я сн о, что при сох ра н ен ии поря д ка исх од н ого у ра вн ен ия , вт орой корен ь ст а н овится н еогра н ичен н ы м

12

при ε → 0 и поэтом у ст а рший член ра злож ен ия след у ет иска т ь в вид е y + o(ε −ν ) с полож ит ельн ы м ν , опред еля ем ы м в процессе ν ε д а льн ейшего реш ен ия . П од ст а вим эт о ра злож ен ие в исх од н ое у ра вн ен ие: x=

ε 1− 2ν y 2 + ε −ν y + 1 + ... = 0 .

(6)

Д а лее вы д елим в (6) член ы , игра ю щие опред еля ю щу ю роль. Д ля восста н овлен ия стру кт у ры вт орого корн я м ы д олж н ы сох ра н ит ь первы й член ε 1− 2ν (ин а че б у д ет т олько од ин y , след ова т ельн о, од ин корен ь). Т а к ка к ν > 0 ,

то

ε −ν y ! 1 ,

след ова тельн о,

гла вн а я

ча ст ь (6) б у д ет

ε 1−2ν y 2 + ε −ν y = 0 . П ри этом ст епен и ε в об оих сла га ем ы х д олж н ы б ы т ь од ин а ковы , т.е. Зн а чен ие

y=0

1 − 2ν = −ν , т .е. ν = 1 . За т ем :

соот вет ству ет первом у

соот вет ст ву ет вт ором у

 y=0 y2 + y = 0 :  . y = − 1 

корн ю , зн а чен ие

y = −1

корн ю . П ервое приб лиж ен ие вт орого корн я

1 x = − + O(1) . Д ля опред елен ия след у ю щих член ов в ра злож ен ии д ля ε 1 вт орого корн я , полож им x = − + x0 + O(ε ) . П од ст а вим эт о ра злож ен ие в ε 2

 1  1 исх од н ое у ра вн ен ие ε  − + x0 + O(ε )  − + x0 + O(ε ) + 1 = 0, или  ε  ε −2 x0 + x0 + 1 + 0 ( ε ) = 0 . С лед ова т ельн о, x0 = 1 . С лед ова тельн о, x = − С д ру гой сторон ы , ка к т олько величин а преоб ра зова т ь исх од н ое у ра вн ен ие за м ен ой x =

1 + 1 + O (ε ) . ε ν опред елен а , м ож н о

y к вид у ε

кот орое н е я вля ет ся вы рож д а ю щим ся . Ку б ические у ра вн ен ия П рим ер5. Ра ссм отрим у ра вн ен ие x 3 − ( 6 + ε ) x 2 + (11 + 2ε ) x − 6 + ε 2 = 0 ,

ε →0 .

y2 + y + ε = 0 ,

13

П опы т а ем ся

построит ь ра злож ен ие по целы м

ε:

степен я м

x = x0 + ε x1 + O(ε 2 ) . П од ст а вим ра злож ен ие в исх од н ое у ра вн ен ие

(x

0

+ ε x1+ O(ε 2 ) ) − ( 6 + ε ) ( x0 + ε x1+ O(ε 2 ) ) + 3

2

+ (11 + 2ε ) ( x0 + ε x1+ O(ε ) ) − 6 + ε = 0; 2

,

2

x03 + 3ε x02 x1 − 6 x02 − 12 x0 x1 − ε x02 + 11x0 + 11ε x1 + 2ε x0 − 6 + O(ε 2 ) = 0 . П ри ε 0 : x03 − 6 x02 + 11x0 − 6 = 0 .

(7)

П ри ε 1 : 3 x02 x1 − 12 x0 x1 + 11x0 − x02 + 2 x0 = 0 .

У ра вн ен ие (7) им еет вид : x0 = 1 ; x0 = 2 ;

( x0 − 1)( x0 − 2 )( x0 − 3) = 0 ,

П ри x0 = 1 полу ча ем x1 = − и

чт о д а ет

x0 = 3 . И з у ра вн ен ия (8) след у ет , чт о

(3x02 − 12 x0 + 11) x1 = x02 − 2 x0 ; x1 =

x1 = 0

(8)

1 и 2

x = 2 + 0 ⋅ ε + O(ε 2 ) ;

x =1− при

x02 − 2 x0 . 3x02 − 12 x0 + 11

ε + O (ε 2 ) ; при 2 x0 = 3

x0 = 2 полу ча ем x1 =

полу ча ем

3 2

и

3ε + O (ε 2 ) . 2 П рим ер6. И сслед у ем у ра вн ен ие

x =3+

x 3 − ( 4 + ε ) x 2 + ( 5 − 2ε ) x − 2 + ε 2 = 0 при ε → 0 .

П опы т а ем ся

вн а ча ле

использова т ь

ра злож ен ие

вид а

x = x0 + ε x1 + O (ε 2 ) . П од ст а вим в исх од н ое у ра вн ен ие ( x0 +ε x1+ O (ε 2 ))3 − (4 + ε )( x0 +ε x1+ O (ε 2 ))2 + (5 − 2ε )( x0 +ε x1+ O (ε 2 )) − 2 +ε 2 = 0

или x03 − 4 x02 + 5 x0 − 2 + ε ( 3 x02 x1 − 8 x0 x1 − x02 + 5 x1 − 2 x0 ) + O (ε 2 ) = 0 . П рира вн я ем н у лю коэф ф ициен т ы при од ин а ковы х ст епен я х ε :  x03 − 4 x02 + 5 x0 − 2 = 0 ,  2 2 3x0 x1 − 8 x0 x1 − x0 + 5 x1 − 2 x0 = 0. У ра вн ен ие (9) м ож н о преоб ра зова т ь к вид у

(9) (10)

( x0 − 1) ( x0 − 2 ) = 0 , 2

от ку д а x0 = 1 − д ву кра т н ы й корен ь и x0 = 2 − од н окра тн ы й корен ь. На йд ем

14

из(10) коэф ф ициен т x1 :

(3x02 − 8x0 + 5) x1 = x02 + 2 x0 ; x1 = 8, след ова т ельн о,

x1 =

x02 + 2 x0 ; 3 x02 − 8 x0 + 5

при

x0 = 2 :

x0 = 1 :

x1 = ∞, след ова тельн о вы б ра н н ое ра злож ен ие н еверн о.

На пом н им , что д ля

x = 2 + 8ε + O (ε 2 ) ;

при

д ву кра т н ого корн я м ы иска ли ра злож ен ие по

1 2

ст епен я м ε , попроб у ем тот ж е под х од : под ст а вим в исх од н ое у ра вн ен ие 1 2

3 2

1 2

3 2

x = x0 + ε x1 + +ε x2 + O (ε ) = 1 + ε x1 + ε x2 + O (ε ) .

пред ста влен ие П олу чим

3

2

1 3 1 3     2 2 2 1 + ε x1 + ε x2 + O(ε )  − ( 4 + ε ) 1 + ε x1 + ε x2 + O (ε 2 )  +     1 3   2 + ( 5 − 2ε ) 1 + ε x1 + ε x2 + O (ε 2 )  − 2 + O(ε 2 ) = 0  

или 1 2

1 2

3 2

1 2

1 + 3ε x1 + 3ε x2 + 3ε x − 4 − 8ε x1 − 8ε x2 − 4ε x − ε − 2ε x1 + 5 + 5ε x1 + 2 1

2 1

 32  + 5ε x2 − 2ε − 2ε x1 − 27 + 0  ε  = 0 .   3 2

П ри ε 1 : 3 x2 + 3 x12 − 8 x1− 4 x12 − 1 + 5 x2 − 2 = 0; 8 x2 − 8 x2 −x12 − 3 = 0; x12 = −3 ; x1 = ±i 3 . 3 2

Не б у д ем иска т ь x2 . (Д ля эт ого н а д о вы писы ва т ь все член ы ε ). И м еем 1 2

x = 1 ± i 3ε + 0 ( ε ) .

П рим ер7. У ра вн ен ие ε x3 + x + 2 + ε = 0 при ε → +0 . О чевид н о, эт о за д а ча о син гу ля рн ом возм у щен ии. П ри ε = 0 у ра вн ен ие прин им а ет вид x + 2 = 0 . И сх од я из эт ого полож им , что од ин из корн ей исх од н ого у ра вн ен ия м ож н о пред ст а вит ь в вид е x = −2 + x1ε + O (ε 2 ) . П од ст а н овка этого ра злож ен ия в исх од н ое у ра вн ен ие

(

)

д а ет ε ( −2 + x1ε + ...) − 2 + ε x1 + ... + 2 + ε = 0 или ε x1 + ( −2 ) + 1 = 0 или 3

x1 = 7 , т .е. x = −2 + 7ε + 0 ( ε 2 ) .

3

15

П реж д е чем прист у пит ь к н а х ож д ен ию ост а льн ы х корн ей, от м етим , чт о при ε → 0 он и б у д у т ст рем ит ься к б ескон ечн ости, поскольку ε вх од ит м н ож ит елем в член н а ивы сшего поря д ка . П оэтом у при вы б оре ра злож ен ий д ля этих корн ей прим ем , чт о их гла вн ы е член ы им ею т вид y + ... , ν > 0 . П од ст а вим это ра злож ен ие в исх од н ое у ра вн ен ие, εν полу чим x=

ε 1−3ν y 3 + ε −ν y + 2 + ... = 0 .

(11)

Д ля т ого чт об ы опред еля ю щие член ы в (11) ком пен сирова ли д ру г

y=0

от ку д а

1 , поэтом у y3 + y = 0 , 2 y = 0 соот вет ст ву ет первом у корн ю

1 − 3ν = −ν ; ν =

д ру га , н еоб х од им о, чт об ы

y = ±i . С лу ча й

и

исх од н ого у ра вн ен ия и поэтом у зд есь н е ра ссм а трива ет ся . П ри пост роен ии ра злож ен ий д ля второго и трет ьего корн я воспользу ем ся полу чен н ой ин ф орм а цией и б у д ем иска т ь ра злож ен ие в вид е x = y = ±i . П од ст а н овка

этого

ра злож ен ия

в

y 1 2

1 2

+ x0 + O(ε ) , гд е

ε исх од н ое у ра вн ен ие д а ет

 3 y2 x 1  1 y y 0 ε 3 + + O(ε 2 )  + 1 + x0 + O(ε 2 ) + 2 + ε = 0 или  2  ε ε  ε2 ε

−

1 2

(y

3

+ y ) + 3 y 2 x0 + x0 + 2 + ... = 0 .

y 3 + y = 0 − вы полн ен о; 3 y 2 x0 + x0 + 2 = 0 или x0 = − П оэт ом у x = ±iε

−

1 2

ра злож ен ия

вт орого

и

т рет ьего

корн ей

2 3y2 + 1

= 1.

им ею т

вид

 1 + 1 + 0 ε 2  .  

У ра вн ен ия вы сших поря д ков Ра ссм от рим у ра вн ен ия вы сших поря д ков, причем особ о н а с б у д ет ин т ересова т ь слу ча й син гу ля рн ого возм у щен ия . В ча ст н ост и, исслед у ем у ра вн ен ие ε x n = x m + am−1 x m−1 + am −2 x m− 2 + ... + a1 x1 + a0 , гд е коэф ф ициен ты as н е за вися т от ε и x ; n и m - целы е числа n > m . П ри ε = 0 у ра вн ен ие

16

x m + am −1 x m −1 + am −2 x m− 2 + a1 x1 + a0 , им ею щем у корн и

свод ит ся к вид у

α s , s = 1, m . П ред полож им , чт о все эт и корн и од н окра тн ы е. Д ля

у т очн ен ия эт их корн ей полож им x = x0 + ε x1 + O(ε 2 ) , под ст а вим послед н ее пред ста влен ие в исх од н ое у ра вн ен ие, полу чим ε ( x0 + ε x1 + ...) = ( x0 + ε x1 + ...) + am−1 ( x0 + ε x1 + ...) n

m

+ am −2 ( x0 + ε x1 + ...)

m −2

m −1

+

+ ... + a1 ( x0 + ε x1 + ...) + a0

или

(x

m 0

+ am −1 x0m−1 + am− 2 x0m −2 + a1 x0 + a0 ) +

+ε ( mx0m−1 + ( m − 1) x0m− 2 + ( m − 2 ) am −2 x0m−3 + ... + a1 ) x1 − ε x0n + 0 ( ε 2 ) = 0 . П рира вн ива я н у лю коэф ф ициен т ы при од ин а ковы х степен я х полу ча ем

ε,

x0m + am −1 x0m −1 + am− 2 x0m −2 + ... + a1 x0 + a0 = 0 ,

(12)

 mx0m −1 + ( m − 1) am−1 x0m−2 + ( m − 2 ) am −2 x m−3 + ... + a1  x1 = x0n .

(13)

У ра вн ен ие (12), ка к м ы от м еча ли, им еет корн и α s , s = 1, m . Т огд а из (13) след у ет , что x1 = α sn  mx0m−1 + ( m − 1) am−1 x0m− 2 + ( m − 2 ) am− 2 x0m −3 + ... + a1 

−1

.

Т а ким об ра зом , −1

x = α s + εα sn  mα sm−1 + ( m − 1) am −1α sm −2 + ( m − 2 ) am −2α sm−3 + ... + a1  + O (ε 2 ). .

С лед у ет

от м ет ит ь,

чт о

послед н ее

ра злож ен ие

ста н овит ся

н епригод н ы м вся кий ра з, когд а член ы в ква д ра тн ы х скоб ка х ст а н овя т ся н у лем . Э т о соот вет ст ву ет слу ча ю кра т н ого корн я у ра вн ен ия (12). П ри эт ом ра злож ен ие д олж н о вклю ча т ь в себ я д роб н ы е ст епен и ε и строит ся в соот вет ст вии с м етод икой, излож ен н ой ра н ее в та ких слу ча я х . П реж д е чем прист у пит ь к опред елен ию ост а вших ся n − m корн ей, за м ет им , что он и ст рем я тся к б ескон ечн ост и при ε → +0 , поскольку ε ст оит м н ож ит елем при н а иб ольшей ст епен и н еизвестн ой x . П оэтом у ра злож ен ие д ля н их б у д ем иска т ь в вид е y + x0 + O(ε ν ) , ν > 0 . ν ε П од ста вля я (14) в исх од н ое у ра вн ен ие, полу чим x=

(14)

17

=

m

y ε mν

Вы д еля я

гла вн ы е

член ы ,

им еет корен ь 0

кра т н ости

ν=

(15)

ε (1−nν ) y n = ε − mν y m

полу ча ем

1 − nν = −mν , т а к чт о

след ова т ельн о, yn = ym

 y n ny n −1 x0  ε  nν + ( n−1)ν + ...  = ε ε  m −1 m −1 am−1 ( m − 1) y m −2 x0 my x0 am−1 y + ( m −1)ν + ... + ( m−1)ν + + ... . ε ε ε ( m −2)ν

1 ; yn = ym . n−m

и,

У ра вн ен ие y n−m = 1 . Э то

m , кром е того,

у ра вн ен ие, ка к извест н о из т еории ф у н кций ком плексн ого перем ен н ого, им еет n − m корн ей вид а

 2π i  y = ω , ω 2 ,..., ω n− m , гд е ω = exp   . Корен ь n−m

y = 0 м ы отб ра сы ва ем , т а к ка к он соответст ву ет первы м И спользу я , чт о ν = ε

m корн я м .

1 и y n = y m , перепиш ем (15) в вид е n−m

ny n −1 x0 my m−1 x0 am−1 y m −1 = ( m−1)ν + ( m−1)ν + ... × ε nν , ( n −1)ν ε ε ε

ny n −1 x0ε ν +1 = my m−1 x0ε ν ⋅ ε ( n− m )ν + am −1 y m−1ε ν ⋅ ε ( n −m )ν + ... ,

т а к ка к ( n − m)ν = 1 , то ny

n −1

x0 = my

m −1

x0 + am −1 y

m −1

am −1 y m −1 am −1 ; x0 = n −1 = , (т .к. y n = y m ) . m −1 ny − my n−m

Т а ким об ра зом , ост а вш иеся ( n − m) корн ей д а ю т ся ра злож ен ия м и x=

a ωr 1 + m −1 + 0 ( ε ν ) , ν = , r = 1, 2,..., n − m . ν ε n−m n−m

Т ра н сцен д ен тн ы е у ра вн ен ия П рим ер 8. Ра ссм отрим у ра вн ен ие у ра вн ен ия ,

tg x =

у д овлет воря ю щий н ера вен ст ва м

1 . x

П у ст ь πn −

xn - корен ь

π π < x <πn + , 2 2

n = 0, 1, 2, ... . О б озн а чим

1 = ε и н а йд ем а сим птот ику xn при n → ∞ или πn

18

 π π ε → 0 . П у ст ь y ∈  − ;  , x = π n + y ;  2 2 y

y=

0

y=

x0

π 2

1 x

π

x1

3π 2

5π 2

2π x2

3π

x3

x

1 x

sin (π n + y ) ( −1) sin y sin y tg x = = = . cos (π n + y ) ( −1)n cos y cos y n

И сх од н ое у ра вн ен ие прин им а ет после за м ен ы вид sin y 1 = ; y sin y + π n sin y = cos y ; cos y − y sin y = π n sin y ; cos y π n + y cos y − y sin y 1 sin y = πn = ; ; ε = f ( y) , sin y π n cos y − y sin y

гд е

f ( y) =

sin y . cos y − y sin y

1)

Ра ссм от рим вн а ча ле вы рож д ен н ы й слу ча й ε = 0 . И сх од н ое

у ра вн ен ие прим ет вид f ( y ) = 0 , от ку д а f y/ =

 π π y0 = 0 т.к. y ∈  − ;  . И м еем  2 2

cos y ( cos y − y sin y ) + sin y ( sin y + y cos y + sin y )

( cos y − y sin y )

2

=

1 + sin 2 y

( cos y − y sin y )

2

≠0 .

Воспользу ем ся ф орм у ла м и Бу рм а н а -Л а гра н ж а ∞

y = ∑ ck ε k , c1 = k =1

1 1  1 = 1; y = ε + 0 (ε 2 ) ; xn = π n + + 0 2  , n → ∞ . f (0) πn n  /

19

Асим птот ические ра злож ен ия ин т егра лов, за вися щих от б ольшого вн ешн его па ра м етра М ет од Л а пла са (од н ом ерн ы й слу ча й) И н т егра ла м и Л а пла са н а зы ва ю т ся

Э вристические сооб ра ж ен ия . ин т егра лы вид а b

F (t ) = ∫ f ( x)e(tS ( x))dx ,

(16)

a

гд е

S ( x) - вещест вен н озн а чн а я ф у н кция ,

па ра м етр. Ф у н кция

t - б ольшой полож ит ельн ы й

f ( x) м ож ет прин им а т ь ком плексн ы е зн а чен ия . Бу д ем

счит а т ь д ля простоты , что I = [ a, b ] - кон ечн ы й от резок и чт о f ( x), S ( x) д ост а т очн о e

tS ( x )

гла д кие

ф у н кции. П у ст ь

x∈I

при

max S ( x) = S ( x0 ) и x∈I

д ост ига ет ся только в т очке x0 . Т огд а ф у н кция exp ( tS ( x) ) им еет м а ксим у м в т очке x0 , кот оры й т ем резче, чем б ольш е t . И н т егра л 0

x0

a

b

x

F (t ) м ож н о

приб лиж ен н о за м ен ит ь ин т егра лом по м а лой окрест н ост и т очки

м а ксим у м а x0 и эт о приб лиж ен ие т ем точн ее, чем б ольш е t . Д а лее в эт ой окрестн ости ф у н кции f , S м ож н о приб лиж ен н о за м ен ит ь по ф орм у ле Т ейлора и м ы полу чим ин т егра л, а сим птот ика которого легко вы числя ет ся . Э тот м етод б ы л пред лож ен Л а пла сом . 1) П у ст ь S

//

( x0 ) ≠ 0 ,

a < x0 < b . Т огд а

f ( x0 ) = 0 . Т огд а

F (t ) ≈

S / ( x0 ) = 0 и пу ст ь д ля простоты x0 +ε

∫

f ( x)exp ( tS ( x) ) dx , гд е

ε >0 -

x0 −ε

м а лое ф иксирова н н ое число и f ( x) ≈ f ( x0 ) , S ( x ) ≈ S ( x0 ) + след ова т ельн о,  tS // ( x0 ) 2  F (t ) ≈ f ( x0 ) exp tS ( x0 )  ∫ exp  t  dτ . −ε  2  ε

( x − x0 ) S // 2

( x0 ) ,

20

За м етим , что S // ( x0 ) < 0 . П ослед н ий ин тегра л ра вен  −tS

//

( x0 )

−

1 ε t 2

∫

e

−

τ2 2

dτ !

−ε t

2π , ( t → ∞ ) , т а к ка к −tS // ( x0 )

∞

∫e

−

τ2 2

dτ = 2π .

−∞

И т а к, м ы полу чили а сим пт отическу ю ф орм у лу F (t ) ≈ − 2) П у ст ь теперь

2π tS x f ( x0 ) e ( 0 ) , tS ( x0 ) //

( t → +∞ )

.

совпа д а ет с од н им из кон цов отрезка

x0

(17) I,

н а прим ер, x0 = a , и пу ст ь д ля простот ы S / (a) ≠ 0 , f (a) ≠ 0 . За м ен я я F (t ) ин т егра лом по отрезку ф у н кции

[a ; a + ε ]

и за м ен я я приб лиж ен н о н а этом от резке

f ( x) ≈ f (a ) ; S / ( x) ≈ S ( a ) + ( x − a ) S / (a )

полу ча ем ,

чт о

ε

F (t ) ≈ f ( a )exp ( tS (a ) ) ∫ exp (τ S / (a ) ) dt . За м етим , что S / (a ) < 0 . Вы числя я 0

послед н ий ин тегра л, полу ча ем F (t ) = −

f (a)exp ( tS (a ) ) , t → +∞ . tS / (a )

(18)

С т рогий вы вод ф орм у л (17) и (18) привед ен в след у ю щих ра зд ела х . Э ти д ве ф орм у лы я вля ю т ся осн овн ы м и а сим птот ическим и ф орм у ла м и д ля ин т егра лов Л а пла са . На м у д а лось полу чит ь прост ы е а сим пт отические ф орм у лы д ля ин т егра лов Л а пла са . П рост ы е ф орм у лы у д а лось полу чит ь по след у ю щим причин а м : 1) под ы н тегра льн а я ф у н кция в (16) им еет при б ольших t резкий м а ксим у м (т .е. ин тегра л I ) м ож н о приб лиж ен н о за м ен ит ь ин т егра лом по м а лой окрестн ост и т очки м а ксим у м а ; 2) в окрест н ости т очки м а ксим у м а под ы н тегра льн у ю ф у н кцию м ож н о за м ен ит ь б олее простой. П ростейшие оцен ки Л ем м а 1. П у ст ь M = sup S ( x) < ∞ и при н екотором t0 > 0 ин т егра л a < x
b

(16) сх од ит ся а б солю т н о

∫ a

оцен ка F (t ) ≤ c etM , ( t ≥ t0 ) .

f ( x) exp [t0 S ( x )] dx < 0 .

Т огд а им еет м есто

21

Д ока за т ельст во. И м еем при t ≥ t0 b

F (t ) ≤ exp(tM ) ∫ exp t0 ( S ( x) − M )  ⋅ exp ( t − t0 )( S ( x ) − M )  f ( x ) dx ≤ 14444244443 a =1

b

≤ exp [tM ] exp ( −t0 M ) ∫ f ( x ) exp [t0 S ( x )] dx = c / exp ( t − t0 ) M ≤ c exp tM . a

Л ем м а Ва т сон а Ра ссм от рим ин т егра л Л а пла са , в котором S ( x) - ст епен н а я ф у н кция a

Ф (t ) = ∫ x β −1 f ( x)exp ( −txα ) dx , гд е 0 < α < ∞ , β > 0 , α > 0 . 0

∞

На м пон а д об ится ф орм у ла

β −1 − tx ∫ x e dx = t α

0

−

β α

1 β  ⋅ Г   при t > 0 . 2 α 

Л ем м а 2 (Ва т сон а ). П у ст ь α > 0 , β > 0 , f ( x) ∈ C ∞ ([ 0; a ]) . Т огд а при t → ∞ спра вед ливо а сим пт отическое ра злож ен ие 1 ∞ −( Ф (t ) ! ∑ t α k =0

k +β ) α

(k )  k + β  f (0) Г  .   α  k! Э то ра злож ен ие м ож н о д иф ф ерен цирова т ь по t лю б ое число ра з. Гла вн ы й член а сим пт отики им еет вид p − 1 β  α . Ф (t ) = Г   [ f (0) + O(1) ] t α α 

Д ока за т ельст во.

Ра злож им ф у н кцию

f ( x)

(19) в ря д

Т ейлора в

окрестн ости точки x = 0 . N

f ( x) = ∑ k =o

f ( k ) (0) k x + rN ( x) ; k!

rN ( x) ≤ cN x N +1 ,

(0 ≤ x ≤ a ) .

П ока ж ем , чт о при t → ∞ a

Ф k (t ) ≡ ∫ x

k + β −1

0

1 − exp ( −tx ) dx = t α α

(k + β ) α

+ O ( e − ct ) ,

гд е c > 0 . П од ста вим Ф k (t ) в вид е ра зн ости ин т егра лов по полу ося м (0; + ∞) и ( a; + ∞) , тогд а первы й ин т егра л ра вен

1 β Г  2 α

 − t 

k +β α

. Т а к ка к

− xα ≥ −aα > 0 при x ≥ a , т о ин т егра л по полу оси ([ a ; ∞ ) в силу лем м ы 1 ест ь

O ( e −α ) , c > 0

при

t → ∞ . Т ем са м ы м пред ст а влен ие д ля

22

Ф k (t ) д ока за н о. О цен им д ост а т очн ы й член b

| RN (t ) | = ∫ x

β −1

a

∞

rN ( x )exp ( −tx ) dx ≤ cN ∫ x 2

β +N

exp  −tx  dx = c t α

/

−( β + N +1) α

.

0

Т а к ка к O ( e − ct ) = O ( t − N ) при лю б ом целом N ≥ 0 , т о N

Ф (t ) = ∑ k =0

1 N f ( k ) (0)  k + β f ( k ) (0) Ф k (t ) + RN (t ) = ∑ Г  k! α k =0 k !  α

− t 

k+β α

 − ( β + N +1)  + Ot α  .    

Асим птот ическое ра злож ен ие Ф (t ) д ока за н о. Д иф ф ерен цирова н ие Ф (t ) по t привод ит к ин тегра лу т ого ж е вид а , от ку д а след у ет возм ож н ость почлен н ого д иф ф ерен цирова н ия . Л ем м а 3. Если ф у н кция

f ( x) н епреры вн а при

x ∈ [ 0; a ] и

α > 0, β > 0 , т о при t → ∞ спра вед лива а сим пт отическа я ф орм у ла (19). Д ока за т ельст во. П у ст ь 0 < δ < 1 . Т огд а ин т егра л a

∫

Ф 1 (t ) = t

δ −1 α

x β −1 f ( x)exp ( −txα ) dx

( ) в силу лем м ы

им еет поря д ок O e− ct t

ин т егра л Ф 2 (t ) =

δ −1 α

∫

δ

1. П оэт ом у д оста т очн о д ока за т ь, чт о

x β −1 f ( x)exp ( −txα ) dx им еет а сим птотику (19). И м еем

0

t α  t α α β −1 − txα   Ф 2 (t ) = ∫ x e dx f (0) + ∫ x β −1e−tx [ f ( x) − f (0) ] dx ≡ F1 (t ) + F2 (t ) .   0  0  δ −1

δ −1

Ра ссм от рим ин т егра лы F1 и F2 по отд ельн ости. ∞ ∞ F1 (t ) =  ∫ − ∫  0 δ −1  t α

В

 p  f (0) x β −1e − txα dx = f (0) t − α Г  α 

силу

н епреры вн ост и

β  α

( )

 − ct δ , гд е c > 0 . +O e 

ф у н кции

f ( x) ,

δ −1   f ( x) − f (0) ≤ ε (t ) ,  0 ≤ x ≤ t α , ε (t ) → 0 при t → ∞  . С лед ова т ельн о,   ∞

F2 (t ) = ε (t ) ∫ x 0

β −1 − txα

e

 − αβ  dx = O  t  .  

23 ∞

П рим ер9. Ра ссм отрим преоб ра зова н ие Л а пла са F (t ) = ∫ f ( x )e − tx dx . 0

П у ст ь

f ( x) ∈ C ∞ при м а лы х

x ≥ 0 и ин т егра л сх од ится а б солю т н о ∞

при н екотором t0 > 0 . Т огд а F (t ) ! ∑ t −( k +1) f ( k ) (0), (t → ∞) . k −0

∞

Д ейст вит ельн о,

∫ f ( x )e

− tx

dx = O ( e

−t

), а

1

1

F1 (t ) = ∫ f ( x )exp( −tx )dx 0

ин т егра л, под х од я щий под у словия лем м ы Ва т сон а при β = 1, α = 1 F1 (t ) =

1 ∞ − k1+1  k + 1  f k (0) ∞ −( k +1) k t f (0) . ∑ t Г  1  k ! =∑ 1 k =0 k =0

О сн овн ой слу ча й м ет од а Л а пла са 1. Вкла д от гра н ичн ой точки м а ксим у м а Т еорем а 1.

П у ст ь

I = [ a ; b ] - кон ечн ы й отрезок и вы полн ен ы

у словия : 1о. max S ( x) д ост ига ет ся только в точке x = a ; x∈I

о

2.

f ( x), S ( x) ∈ C ( I ) ;

3о.

f ( x), S ( x) ∈ C ∞ при x , б лизких к a и S / (a ) ≠ 0 .

Т огд а при t → ∞ :

∞   F (t ) = exp tS (a )∑ ck t − k −1  , причем коэф ф ициен т ы  k =0 

 f ( x)  1 d ; M =− / ck им ею т вид ck = − M k  / .  S ( x) dx  S ( x)  x=a Э то ра злож ен ие м ож н о д иф ф ерен цирова т ь по t лю б ое число ра з. Д ока за т ельст во.

Вы б ерем

δ

т а кое, чт о

f ( x), S ( x) ∈ C ∞

при

x ∈ [ a ; a + δ ] и полож им F (t ) = F1 (t ) + F2 (t ) , гд е F1 (t ) - ин т егра л по от резку

[a ; a + δ ] .

В силу лем м ы

1 ин т егра л F2 (t ) экспон ен циа льн о м а л по

сра вн ен ию с exp ( tS (a ) ) , т а к ка к exp [tS ( x) ] = exp tS (a ) ⋅ exp t ( S ( x) − S (a ) )  , а т а к ка к S (a) = max S ( x) , т о S ( x ) − S (a ) = S! ( x ) : S! ( x ) < −ε < 0 при x ∈ I . x∈I

Д а лее, ин т егриру я F1 (t ) по ча ст я м , полу ча ем

24

1 F1 (t ) = t

a +δ

∫ a

f ( x)exp [ S ( x)t ] f ( x) S ( x )t   α = e  S / ( x)  S / (t ) a

a +δ

1 − t

d  f ( x)  exp ( tS ( x ) ) dx dx  S / ( x) 

a +δ

∫ a

И н т егриру я т очн о та к ж е еще N − 1 ра з, полу ча ем N

F1 (t ) = ∑ ( −t ) k =0

− k −1

 f (k )  a +δ Mk  /  exp ( tS ( x ) ) a −  S ( x) 

(20) /     f ( x ) 0 −t − N −1 ∫  M N  /   exp ( tS ( x ) ) dx , ( M = I ) .  S ( x)   a  Вн еин т егра льн ы е под ст а н овки в (20) при x = a д а ю т N сла га ем ы х а сим пт отического ря д а , а под ст а н овка x = a + δ экспон ен циа льн о м а ла по a +δ

сра вн ен ию

exp ( tS ( x ) ) .

с

П ослед н ий

ин т егра л

в

ест ь

(20)

0 ( t − N −1 exp ( tS (a ) ) ) , т.е., по кра йн ей м ере, того ж е поря д ка , чт о и послед н ее сла га ем ое

в

су м м е

а сим пт отического

ра злож ен ия :

 N −1  F (t ) = exp ( tS (a ) )  ∑ ck t − k −1 + O ( t − n )  , причем N - произвольн о.  k =0  Д иф ф ерен цирова н ие F (t ) по t привод ит к ин т егра лу т ого ж е вид а . Д ля н его м ож н о повторит ь те ж е ра ссу ж д ен ия , чт о д ока зы ва ет возм ож н ост ь почлен н ого д иф ф ерен цирова н ия . Т еорем а 2. П у ст ь у словия 1о и 2о т еорем ы 1 вы полн ен ы и S ( x) ∈ C1 при x , б лизких к a , S / (a) ≠ 0 . Т огд а при t → ∞ спра вед лива ф орм у ла − f ( a)etS ( a ) F (t ) ! , t →∞ . tS / (a ) Д ока за т ельст во. П у ст ь δ > 0 т а кое, что

(21) при

x ∈ [ a ; a + δ ] = Iδ

S ′( x ) ≠ 0 . И н тегра л по ост а вшем у ся у ча ст ку м ы от б росим , т .к. он им еет

поря д ок

0 ( exp ( t ( S (a ) − c ) ) ) , c > 0 .

S ( x ) − S (a ) = −τ , x ∈ Iδ .

Т огд а

по

С д ела ем

т еорем е об

за м ен у

об ра тн ой ф у н кции,

x = ϕ (τ ) , ϕ ∈ C1 0, δ /  . (О чевид н о, δ / = S ( a ) − S ( a + δ ) > 0 ). δ/

П рим ен я я к ин т егра лу exp ( tS (a ) ) ∫ exp ( −tτ ) f (ϕ (τ ) ) ϕ / (τ ) dτ лем м у 0

3, полу ча ем (21). П рим ер10. Еще Л а пла с полу чил а сим пт отическое ра злож ен ие д ля

25

ф у н кции ошиб ок ∞

e− x Erfc( x) = ∫ e dt ! 2x x

2

−t2

∞

∑ k =0

( −1)

(2k − 1)!! , x → +∞ . 2k x 2 k

k

∞

(22)

Д ела я за м ен у перем ен н ой t → xt , полу ча ем Erfc( x) = x ∫ e − x t dt . 2 2

1

В д а н н ом прим ере м а ксим у м а т олько при

f (t ) ≡ 1 , S (t ) = −t 2 . Ф у н кция

S ( x) д ост ига ет

t = 1 и S / (1) ≠ 0 . П рим ен я я т еорем у 1, полу ча ем

иском ое ра злож ен ие (22), в ча ст н ости (по т еорем е 2): e− x Erfc( x) = (1 + o(1) ) . 2x Ря д (22) ра сх од ит ся при всех x . 2

2. Вкла д от вн у т рен н ей н евы рож д ен н ой точки м а ксим у м а Л ем м а 4. П у ст ь S ( x ) ∈ C ∞ в окрестн ост и точки x0 , причем S / ( x0 ) = ... = S ( N −1) ( x0 ) = 0 , S ( N ) ( x0 ) ≠ 0

и S ( x) - вещест вен н озн а чн а я ф у н кция . Т огд а су щест ву ет от резок I x = [ x0 − δ1 ; x0 + δ 2 ] , I y = [ −δ 0 ;δ 0 ] , δ 0 > 0 , l = 0,2 и ф у н кция x = ϕ ( y ) та кие, чт о 1о. S (ϕ ( y ) ) = S ( x0 ) + ε y N , y ∈ I y , ε = sgn S ( N ) ( x0 ) . 2о.

Ф у н кция ϕ ( y ) ∈ C ∞ ( I y )

вза им н о од н озн а чн о отоб ра ж а ет

 N! от резок I y н а отрезок I x и ϕ ( y ) = x0 ; ϕ0/ =  ( N )  S ( x0 )  Д ока за т ельст во. S ( x) − S ( x0 ) = ( x − x0 )

П у ст ь д ля опред елен н ости N

1 N

  .   S ( N ) ( x0 ) > 0 .

Т огд а

S ( N ) ( x0 ) h( x) , h ( x ) > 0, h( x0 ) = при м а лы х x − x0 , N!

гд е h( x) ∈ C ∞ , та к чт о ф у н кция y = ( x − x0 ) N h( x) прин а д леж ит кла ссу C ∞ при м а лы х

( x − x0 )

и

y / ( x − x0 ) ≠ 0 . И з т еорем ы об об ра т н ой ф у н кции

след у ю т об а у т верж д ен ия лем м ы . Все оста льн ы е у т верж д ен ия этого ра зд ела след у ю т из лем м ы 4 и

26

лем м ы Ва т сон а . Т еорем а 3.

I = [ a ; b ] - кон ечн ы й отрезок и вы полн ен ы

П у ст ь

у словия 1о.

f ( x) , S ( x) ∈ C ( I ) .

2о. max S ( x) д ост ига ет ся только в точке x0 : a < x0 < b . 3о.

f ( x) ∈ C , S ( x) ∈ C ∞ при x , б лизких к x0 и S // ( x0 ) ≠ 0 .

Т огд а при t → ∞ спра вед ливо а сим пт отическое ра злож ен ие F (t ) = e

tS ( x0 )

−

2π f ( x0 ) (1 + o(1) ) , t → ∞ . tS // ( x0 )

В окрестн ост и точки

Д ока за т ельст во.

сд ела ем

x0

за м ен у

перем ен н ой S ( x ) − S ( x0 ) = − y 2 , x = ϕ ( y ) и вы б ерем окрестн ост ь т а кой, чт об ы

−δ 0 ≤ y ≤ δ 0 .

И н тегра л

по

ост а вшейся

ча ст и

отрезка

I

экспон ен циа льн о м а л по сра вн ен ию с exp ( tS ( x0 ) ) , и м ы его отб росим . И м еем (при н екотором c > 0 )

(

F (t ) = exp ( tS ( x0 ) ) 1 + O ( c

(

)

− ct

δ

) ) ⋅ ∫ exp ( −ty ) f (ϕ ( y ) )ϕ ( y)dy = 2

/

−δ

δ

= exp ( tS ( x0 ) ) 1 + O ( c − ct ) ⋅ ∫ e − ty  f (ϕ ( y ) ) ϕ / ( y ) + f (ϕ ( − y ) ) ϕ / ( − y )  dy . 2

0

1 1 F ( t ) = exp ( tS ( x0 ) ) Г    f ( x0 ) ϕ / (0) + f ( x0 ) ϕ / (0) + o(1)  = 2 2 = exp ( tS ( x0 ) ) π f ( x0 ) ⋅

2π −2 1 (1) o f ( x0 ) + o(1) ) etS ( x0 ) . + = − ( ) ( // // tS ( x0 ) t S ( x0 )

Т очн о та к ж е д ока зы ва ет ся Т еорем а 4. П у ст ь все у словия т еорем ы 3 вы полн ен ы за исклю чен ием од н ого x0 = a . Т огд а при t → ∞ : F (t ) = (т .е. пра ва я

1 −2π [ f (a ) + o(1)]etS ( a ) 2 tS ′′(a )

ча сть а сим пт отического пред ст а влен ия

соот вет ст ву ю щего вы ра ж ен ия в т еорем е 3 м н ож ит елем

1 ). 2

П рим ер11. Д ока ж ем ф орм у лу С тирлин га Γ( x + 1) = 2π xe− x x x (1 + o(1) ) , x → +∞ .

от лича ет ся

от

27

Воспользу ем ся ин тегра льн ы м пред ст а влен ием Г - ф у н кции Эйлера ∞

Γ( x + 1) = ∫ t x e− t dt . 0

М ет од Л а пла са н епосред ст вен н о н е прим ен им к эт ом у ин т егра лу , т .к. под ы н т егра льн ое вы ра ж ен ие н е привед ен о к ста н д а рт н ом у вид у (16). П реоб ра зу ем ин т егра льн ое пред ста влен ие Γ − ф у н кции, д ела я за м ен у t → xt , тогд а Γ( x + 1) = x

x +1

∞

∫ exp  x ( ln t − t ) dt . П ослед н ий ин тегра л им еет 0

ст а н д а рт н ы й вид (16), гд е f (t ) ≡ 1, S (t ) = ln t − t . Ф у н кция S (t ) д ост ига ет м а ксим у м а н а [ 0;∞ ] только в т очке t = 1 , причем S / (1) = 0 , S // (1) = −1 . В силу лем м ы 1 м ож н о за м ен ит ь ин т егрирова н ие по полу оси ин т егрирова н ием по лю б ом у кон ечн ом у от резку , сод ерж а щем у вн у т ри себ я точку t = 1 . П рим ен я я т еорем у 3, полу ча ем Γ( x + 1) =

2π x +1 ⋅ x [1 + 0(1)] ⋅ e− x , или Г ( x + 1) = 2π x ⋅ x x ⋅ e − x (1 + 0(1)) , x

чт о и треб ова лось д ока за ть. П рим ер12. П ока ж ем , что при n → ∞ :

π 2

n ∫ sin xdx = 0

π [1 + 0(1)] . 2n

И м еем sin n t = exp ( n ln ( sin t ) ) , т а к чт о использу ем ы й ин т егра л им еет ст а н д а рт н ы й вид Ф у н кция

S ( x)

м ет од а

Л а пла са , гд е t = n , S ( x ) = ln sin x , f ( x) = 1 .

д ост ига ет

м а ксим у м а

в

т очке

x=

π , 2

причем

π  π  S   = S /   = −1 и а сим птот ика вы числя ет ся по ф орм у ле из теорем ы 4. 2 2 π 2

За м еча н ие. И звестн о из спра вочн иков, чт о

2n ∫ sin tdt = 0

( 2n − 1)!! ⋅ π 2n!!

2

при n ≥ 2 . С ра вн ива я послед н ее вы ра ж ен ие с а сим птотической ф орм у лой, 1  ( 2n )!!  полу ча ем ф орм у лу Ва ллиса π = lim   . n→∞ n ( 2n − 1)!!   2

П рим ер13. На йд ем а сим пт отику при n → +∞ ф у н кции Бесселя

28 π

1 I n ( x ) = ∫ e x cosθ cos ( nθ ) dθ , π 0

гд е

f = cos nθ , S = cosθ

n ≥ 1 - целое. Зд есь

max S (θ ) = S (0) = 1 ,

и

[0; π ]

S / (0) = 0 , S // (0) = −1 . П рим ен я я т еорем у 4, полу ча ем I n ( x) =

ex 2π x

[1 + o(1)]

, x → +∞ .

П рим ер14. На йд ем а сим пт отику полин ом а Л еж а н д ра π

(

)

n

1 Pn ( x) = ∫ x + x 2 − 1cosθ dθ при x > 1, n → +∞ . π 0 П ред ва рит ельн о б у д ет решен а след у ю ща я За д а ча . П у ст ь [ a ; b ] - кон ечн ы й от резок,

S ( x) > 0 , f , S ∈ C ∞

и

пу ст ь S ( x) д остига ет м а ксим у м а т олько в т очке a . Если S // ( a ) ≠ 0 , т о при b

t → ∞ : I (t ) = ∫ f ( x) [ S ( x )] dx = t

a

f (θ )

−

2

1 2π t+ S ( a ) [ ] 2 (1 + o(1)). tS // (a ) b

Д ейст вит ельн о, I (t ) им еет ста н д а рт н ы й вид I (t ) = ∫ f ( x )et ln S ( x ) dx . a

S / ( x) / , от ку д а ( ln S ( x) ) ( ln S ( x) ) = S ( x) /

поэт ом у I (t ) =

( ln S ( x) )

// x=a

=

S // ( x) S ( x) − S 3 ( x) = 0; ( ln S ( x) ) = , S 2 ( x) //

x=a

S // (a) < 0 . П о т еорем е 4 им еем S (a)

1 t+ 1 2π S (a ) ln S ( a )t 1 2π 2 − // e f a + o = − S a ( ) (1) ( ) ( ) ( f (a) + o(1) ) , // 2 tS (a ) 2 tS (a )

чт о и треб ова лось д ока за т ь. Верн ем ся к прим еру 14. Воспользу ем ся резу льт а т а м и за д а чи. В д а н н ом слу ча е

S (θ ) = x + x 2 − 1 ⋅ cosθ , f ≡ 1, ф у н кция

S ( x) д остига ет

м а ксим у м а при θ = 0 и S (0) = x + x 2 − 1; S / (0) = 0 ; S // (0) = − x 2 − 1 .

О т сю д а

Pn ( x) =

(x +

x −1 2

)

n+

2π ⋅ x − 1 4

2

1 2

(1 + o(1) ) .

Д ополн ит ельн ы е ста н д а ртн ы е м етод ы

29

1. Ра злож ен ие под ы н тегра льн ой ф у н кции П рим ер 15. На йт и а сим птот ическое

ра злож ен ие

ин т егра ла

1

J ( ε ) = ∫ sin ε x 2 dx при ε → +0 . 0

Решен ие. Ра злож им под ы н т егра льн у ю ф у н кцию в ря д ε 3 x 6 ε 5 x10 sin ε x = ε x − + + O (ε 7 ) 3! 5! 2

2

( x < 1) . И н т егриру я , полу чим

 2 ε 3 x 6 ε 5 x10 ε ε3 ε5 7  J (ε ) = ∫  ε x − + + O ( ε ) dx = − + + O (ε 7 ) . 3! 5! 3 3!7 5!11  0 1

На йт и а сим птот ическое ра злож ен ие ин т егра ла

П рим ер 16. x

−

3 4 −t

J ( ε ) = ∫ t e dt при x → +0 . 0

Решен ие. e− t = 1 − t +

Ра злож им

под ы н т егра льн у ю

ф у н кцию

в

ря д

t2 t3 t4 − + + 0 ( t 5 ) . П роин т егриру ем полу чен н ое вы ра ж ен ие 2 6 24 5 x

−

3 4 −t

x

J ( x) = ∫ t e dt = ∫ (t 0

−

4 4

0

9

13

1 4

17 t4 t4 t 4 −t + − + + O(t 4 )) dt = 2 6 24

1 4

17 4 54 2 94 2 134 = 4 x − x + x − x + O( x 4 ). 5 9 39

2. И н т егрирова н ие по ча ст я м П рим ер 17. На йт и а сим птотическое ра злож ен ие ин т егра ла ∞

e−t J ( x) = ∫ 2 dt при x → +∞ . t x

Решен ие. О б озн а чим u = e− t J ( x) = − 2 t

О тсю д а ∞

2 1 ; d v = e− t dt , т огд а du = − 3 dt ; v = −e− t . 2 t t

t =∞

t=x

∞

∞

e−t e− x e−t − 2 ∫ 3 dt = 2 − 2∫ 3 dt , t x t x x

∞

e−t e− x e− x e −t dt = − 2 + 6 dt . Т а к ка к 3 2 3 4 ∫ t x x t x x

J ( x) = ∫

∞

∞ −t ∞ −t e−t e e −x −4 −x 1 −x 1 dt = e ⋅ x − 4 dt = e − 4 e + 20 ∫x t 4 ∫x t 5 ∫x t 6 dt < x4 x5

д а лее

30

<e

−x

∞

−x 1 1 1 1 120 −x e −e 20 ∫ 6 dt < e − x 4 − 4e − x 5 + 5 = O ( x −4 ), то 4 5 x x t x x x x

J ( x) = e − x ( x −2 − 2 x −3 + O ( x −4 )).

Д ополн ен ие Т еорем а 5. П у ст ь I = [ a ; b ] - кон ечн ы й от резок, f ( x), S ( x) ∈ C ( I ) и max S ( x) д остига ется только в т очке x0 . Т огд а x∈I

1о.

Если a < x0 < b и S ( j ) ( x0 ) = 0 , 1 ≤ j ≤ 2m − 1 , S (2 m ) ( x0 ) ≠ 0 , гд е

m ≥ 1 , т о при t → +∞ F (t ) = 2о.

1  1   ( 2m ) !  Γ   − m  2m   S (2 m ) ( x0 ) 

1 2m

⋅t

−

1 2m

exp ( tS ( x0 ) ) ⋅  f ( x0 ) + o(1)  .

П у ст ь x0 = a и S / (a) = ... = S ( m−1) (a ) = 0 ; S ( m ) (a) ≠ 0 . Т огд а при

t → +∞ 1

1 1  1  m !  m − m tS ( a ) F (t ) = Γ  ⋅  f ( a ) + o(1)  .  ⋅t e  − m  2m   S ( m ) ( a ) 

Д ока за т ельст во. В слу ча е 1о осн овн ой вкла д в а сим птотику

x0 . Д ела я в этой окрестн ости за м ен у

д а ет м а ла я окрестн ост ь точки x = ϕ ( y ) , т а ку ю

чт о

F (t )

S (ϕ ( y ) ) − S ( x0 ) = − y 2 m , полу ча ем

эт а лон н ы й

ин т егра л лем м ы Ва т сон а . Т очн о т а к ж е использу ет ся слу ча й 2о. Т еорем а 6. (Ан а лог лем м ы Ва т сон а в слу ча е, когд а

f ( x) им еет

лога риф м ическу ю особ ен н ост ь). П у ст ь γ ∈ R , β > 0 , f ∈ C1 при м а лы х

x≥0

и

f ( x) ∈ C ([ 0; a ]) .

Т огд а при t → ∞ спра вед ливо а сим пт отическое пред ста влен ие a

∫x

β −1

ln x e − tx f ( x )dx = t − β ( ln t ) Г ( β ) [ f (0) + o(1) ] . γ

γ

0

S ( x) = − x д ост ига ет м а ксим у м а

Д ока за т ельст во. Т а к ка к ф у н кция

при x = 0 , м ож н о счит а ть a < 1 ; от б рош ен н ы й ин тегра л экспон ен циа льн о м а л. П олож им f ( x) = f (0) + h( x) .Т а к ка к h( x) = O( x) , то при t > 0 : a

∫x 0

β −1

γ

h( x) ln x e

− tx

a

dx ≤ c ∫ x β −δ e− xt dx ≤ c / t −( β −δ +1) . 0

31

М ы воспользова лись т ем , что ln x = 0 ( x −δ ) , x → 0 при лю б ом сколь γ

у год н о м а лом δ > 0 . a

О ст а ет ся исслед ова т ь ин т егра л I (t ) = f ( x0 ) ∫ x β −1 ln x e − xt dx . γ

0

С д ела ем за м ен у tx = y , x =

y . Т огд а (т.к. при a < 1 им еем 0 < y < at < t ) t at

I (t ) = f ( x0 ) ⋅ t −( β ) ∫ y β −1 ln y − ln t e− y dy = γ

0

= f ( x0 ) t

−( β )

at

( ln t ) ∫ y γ

γ

β −1

0

(1 − z )

γ

Ра злож им ф у н кцию I (t ) = f ( x0 ) t

−β

at

( ln t ) ∫ y γ

, z < 1 в ря д Т ейлора : (1 − z ) = 1 + 0( z ) . γ

e dy + f ( x0 ) t

β −1 − y

0

= f ( x0 ) t

−β

( ln t )

∞

зд есь Ф (t ) = ∫ y at

γ

 ln y  − y 1 −  e dy . ln t  

−β

at

( ln t ) ∫ y β −1 0 ( ln y ) e− y dy = γ −1

0

 ∞ β −1 − y  γ −β  ∫ y e dy + Ф (t )  = f ( x0 ) t ( ln t ) [ Γ( β ) + Ф (t )] , 0  at

1 e dy + y β −1 0 ( ln y ) e − y dy = o(1) . ∫ ln t 0

β −1 − y

1

П рим ер18. На йти а сим пт отику ин т егра ла F (t ) = ∫ e

1 − −tx x

dx при t → ∞ .

0

−

1

Решен ие. В эт ом ин т егра ле S ( x) = x ; f ( x) = − x −1e x . Ф у н кция

e

−

1 x

об ра ща ет ся в н у ль при x = 0 вм ест е со всем и своим и производ н ы м и. П рим ен ен ие лем м ы Ва т сон а д а ет только оцен ку б олее т очн у ю

0 ( t −∞ ) . Чтоб ы полу чит ь

оцен ку , за м ет им , что ф у н кция −

−tx − x −1 д ост ига ет

1 2

−

1 2

м а ксим у м а при x = t . С д ела ем за м ен у перем ен н ой x = τ t , тогд а F (t ) = t

−

1 t 2

∫ exp(− 0

Ф у н кция

1 t (τ + )) dτ . τ

S (τ ) = −τ − τ −1 д ост ига ет м а ксим у м а при

S (1) = −2, S // (1) = −2 . П рим ен я я т еорем у 3, полу ча ем −

3

F (t ) = π t 4 e −2

t

(1 + O (1) ) ,

t → +∞ .

τ = 1, причем

32

М ет од ст а цион а рн ой ф а зы 1. Ф а зова я ф у н кция б ез критических точек. М ы б у д ем ра ссм а т рива т ь ин т егра лы Ф у рье b

F (t ) = ∫ f ( x)eitS ( x ) dx . a

t > 0 . Ф у н кция

Зд есь S ( x) - вещест вен н озн а чн а я ф у н кция ,

S ( x)

н а зы ва ет ся ф а зовой ф у н кцией. И н т егра л F (t ) б у д ет м а л при t → ∞ за счет б ы строй осцилля ции eitS ( x ) Л ем м а Рим а н а -Л еб ега . Если f ∈ L1 ( ! ) , то F (t ) =

∞

∫

f ( x)eitS ( x ) dx = o(1) , t → ∞ .

(23)

−∞

f ( x) = χ[ a ; b] - х а ра кт ерист ическа я ф у н кция

Д ока за т ельст во. П у ст ь ин т ерва ла

( a ; b ) , тогд а

ее преоб ра зова н ие Ф у рье F (t ) ст рем ит ся к н у лю

∞

eitb − eita 1 при t → ∞ : ∫ χ[ a ; b]e dx = ∫ e dx = eitx = →0. it it a −∞ a b

b

itx

itx

С овершен н о а н а логичн о д ля лю б ой кон ечн озн а чн ой (ст у пен ча той) ф у н кции

∞

∫ ϕ ( x )e

ϕk :

itx

k

dx → 0

t → ∞.

при

Ка к

известн о

из

−∞

ф у н кцион а льн ого

а н а лиза ,

д ля

f ∈ L1 ( !

лю б ой

)

су щест ву ет

послед ова т ельн ост ь кон ечн озн а чн ы х ф у н кций ϕ k ( x) , а ппроксим иру ю ща я её в L1 ( ! ) : ϕ k ( x) → f ( x) в

L1 ( ! ) , т .е.

∞

∫

f ( x) − ϕk ( x) dx → 0 . П оэт ом у

−∞

д ля

лю б ого ε > 0 им еем

∞

∫

f ( x)e dx ≤ itx

−∞

С лед ова т ельн о, ∞

∫

−∞

ε f ( x)e dx ≤ + 2 itx

при ∞

∫ϕ e k

−∞

itx

∞

∫

f ( x) − ϕk ( x) dx +

−∞

∫ϕ e k

itx

dx .

−∞

k ≥ k0 ( ε )

dx , а при t ≥ t0 ( ε ):

∞

и

лю б ом

∞

∫ ϕ ( x )e k

−∞

itx

dx ≤

t > 0:

ε . 2

Ника кой б олее точн ой ин ф орм а ции при эт их у словия х полу чит ь н ельзя . Ясн о т олько, что осн овн ой вкла д в а сим пт отику ин тегра лов Ф у рье (при гла д ких f , S ) д олж н ы вн осит ь крит ические т очки ф а зовой ф у н кции

33

S ( x) (т .к. вб лизи н их осцилля ция за м ед ля ется ), а т а кж е особ ен н ости ф у н кций

f и S . За м ет им , что в от личие от ин т егра лов Л а пла са , д ля

ин т егра лов Ф у рье гла д кость f и S су щест вен н а

н а всем пром еж у т ке

ин т егрирова н ия . В слу ча е, когд а ф а зова я ф у н кция т очек, а сим птотика

S ( x) н е им еет ст а цион а рн ы х

F (t ) легко вы числя ется с пом ощью ин тегрирова н ия

по ча ст я м . Т еорем а 1. П у ст ь

I = [ a ; b ] - кон ечн ы й от резок

S / ( x) ≠ 0 , x ∈ I ,

f ( x) ∈ C N +1 ( I ), S ( x) ∈ C N + 2 ( I ) . Т огд а при t → ∞ k  1 d   f ( x)   itS ( x ) b ( it )  / ⋅   /   ⋅ e a + O ( t − N ) . (24) ∫a f ( x)e dx = ∑ k =0  S ( x) dx   S ( x)   Д ока за т ельст во. И н т егриру я по ча ст я м , полу ча ем , что ра зн ост ь N −1

b

− k −1

itS ( x )

м еж д у

( it )

−N

и

F (t )

су м м ой

в

пра вой

ча сти

(24)

ра вн а

/

 N f ( x)  −1 d ∫a  M S / ( x)  exp ( itS ( x) )dx , гд е M = S / ( x) ⋅ dx . b

П о лем м е Л еб ега -Рим а н а послед н ий ин т егра л ест ь O(1) . Гла вн ы й член а сим птотики им еет вид F (t ) = С пом ощью

1  f (b) itS ( b ) f ( a) itS ( a )  e − / e + O ( t −2 ) .   / it  S (b) S (a) 

ин т егрирова н ия по ча стя м м ож н о вы числя т ь т а кж е ∞

а сим пт отику при x → ∞ ин т егра лов вид а F ( x) = ∫ f (t )eiS ( t ) dt , гд е S (t ) x

веществен н озн а чн а я ф у н кция , S / (t ) ≠ 0 при t ! 1 . П рим ер19. П у ст ь f (t ) ∈ C 2 ([ 0; ∞ ]) , f (t ) > 0, f / (t ) < 0 , f // (t ) > 0 при t ! 1 , f ( j ) (t ) = o(1), j = 0,1; f / (t ) = o ( f (t ) ) , t → +∞ . Т огд а при x → +∞ ∞

∫ f (t )e

iS ( t )

dt = −if ( x)eix (1 + o(1) ) .

x

П роин т егриру ем F ( x) по ча ст я м д ва ж д ы . ∞

∞

∞ 1 F ( x) = ∫ f (t ) d ( eit ) = − ieit f ( x) + i ∫ f / (t )eit dt = x t x x

34 ∞

= ie f ( x) + ∫ f (t )d ( e ix

/

it

) = ie

ix

f ( x) + f ( x )e /

it ∞ x

x

∞

+ ∫ f // (t )eit dt = x

∞

= ieix f ( x) − f / ( x )eix + ∫ f // (t )eit dt . x

О цен им по м од у лю ин т егра л в пра вой ча ст и послед н его ра вен ст ва ∞

∫f x

∞

//

(t )e dt ≤ ∫ f // (t )dt = − f / ( x ) = o ( f ( x ) ) . it

x

И з послед н ей оцен ки и у словий прим ера след у ет его у т верж д ен ие. П рин цип лока лиза ции П у ст ь x ∈ Ω ⊂ ! . Через

C0∞ ( Ω )

об озн а чим м н ож ест во всех ϕ ( x ) т а ких , что

ф ин итн ы х б ескон ечн о д иф ф ерен циру ем ы х ф у н кций suppϕ ⊂ Ω . П рим ерф у н кции из C0∞ ( Ω ) . О б озн а чим

  1  exp  2  , x < 1; ϕ0 ( x) =   x −1  0, x ≥ 1. 

Ф у н кция ϕ0 ∈ C0∞ ( ! ) ,

supp ϕ0 = [ −1;1].

Л ем м а 1.

П у ст ь

S ( x ) ∈ C ∞ ( ! ) , f ( x) ∈ C0∞ ( !

)

и S ′( x ) ≠ 0 н а

supp f . Т огд а при t → +∞

∫ f ( x)exp ( itS ( x) ) dx = O ( t ). −∞

Д ока за т ельст во. И н т егра л ф а кт ически б ерет ся по a ≤ x ≤ b , т а к ка к ф у н кция

f

ф ин итн а . П рим ен им

т еорем у

1, у чит ы ва я , что

вн еин т егра льн ы е член ы ра вн ы н у лю в силу ф ин итн ост и ф у н кции

все f , та к

чт о F (t ) = O ( t − N ) , ∀ ( N ≥ 0 ) . Л ем м а д ока за н а . За м еча н ие. Т а к ка к гла вн ы й член а сим пт отики об ы чн о им еет ст епен н ой х а ра кт ер, то ин тегра ла м и, у д овлет воря ю щим и у словия м прин ципа лока лиза ции, м ож н о прен еб речь. На м пон а д об ится н екот оры й тех н ический а ппа ра т – ра зб иен ие ед ин ицы . Т еорем а о ра зб иен ии ед ин ицы . П у ст ь м н ож ест во M ⊂ ! n покры т о

35

{Ωα } .

кон ечн ы м или счет н ы м числом откры ты х м н ож еств

Т огд а

су щест ву ет сем ейство ф у н кций Ф = {ϕα ( x )} т а кое, чт о 1о. ϕα ( x) ∈ C0∞ ( Ωα ) . 2о.

∑ϕ α

α

( x) ≡ 1, x ∈ M .

3о. 0 ≤ ϕα ( x) ≤ 1 , x ∈ M . 4о. Ка ж д а я т очка x ∈ M им еет т а ку ю окрест н ост ь, в кот орой т олько кон ечн ое число ф у н кций ϕα отличн о от н у ля . Если м н ож ест во M - ком па ктн о, т о покры т ие

{Ωα }

м ож н о вы б ра ть

кон ечн ы м . b

Ра ссм от рим ин т егра л F (t ) = ∫ f ( x)eiS ( x ) t dx . П род олж им

f , S н у лем

a

при x ∉ [ a ; b ] и об озн а чим прод олж ен н ы е ф у н кции т а кж е через f , S . О пред елен ие. Бу д ем н а зы ва т ь x0 об ы кн овен н ой точкой ин т егра ла F (t ) , если ф у н кции

f , S ∈ C ∞ ( x0 − δ ; x0 + δ ) при н екотором

δ >0 и

S / ( x0 ) ≠ 0 . В противн ом слу ча е б у д ем н а зы ва ть x0 крит ической точкой

ин т егра ла

F (t ) .

Мы

б у д ем

ра ссм а т рива т ь т олько

изолирова н н ы е

крит ические точки. Вкла д ом от критической т очки x0 в ин т егра л F (t ) н а зовем ин т егра л F ( t , x0 ) =

∞

∫

f ( x)ϕ ( x, x0 ) exp ( itS ( x) ) dx . Зд есь ϕ ( x , x0 ) -

−∞

ф ин итн а я б ескон ечн о д иф ф ерен циру ем а я ф у н кция т а ка я , чт о 1) suppϕ н е сод ерж ит крит ических точек, отличн ы х от x0 ; 2) ϕ ( x , x0 ) ≡ 1 в н екот орой окрестн ост и точки x0 (н а пом н им , чт о м ы прод олж или ф у н кции f , S н у лем вн е I ). Т еорем а 2

(прин цип лока лиза ции).

П у ст ь I = [ a ; b ] - кон ечн ы й

от резок и пу ст ь ин т егра л F (t ) им еет кон ечн ое число изолирова н н ы х крит ических точек x1 ,..., xk ∈ I . Т огд а F (t ) = ∑ F ( t , x j ) + O ( t −∞ ) , t → ∞ , k

j =a

т .е. ин т егра л F (t ) ра вен су м м е вкла д ов от крит ических точек с точн ост ью

36

д о O ( t −∞ ) . Д ока за т ельст во. П окроем отрезок ин т ерва лов

{Ωα }

кон ечн ы м числом откры т ы х

I

т а к, чт об ы ка ж д а я критическа я т очка

x j сод ерж а ла сь

{ϕ ( x )} ,

ровн о в од н ом ин терва ле Ωα j и у ст роим ра зб иен ие ед ин ицы от веча ю щее покры т ию т очки

{Ωα } .

Т огд а

ϕα j ≡ 1

α

в н екот орой окрест н ост и

x j . П род олж им ф у н кции f ( x), S ( x) н а всю ось, пола га я

их

ра вн ы м и н у лю при x ∉ [ a, b ] . Т огд а ∞

F (t ) = ∑ ∫ f ( x)exp ( itS ( x) )ϕα dx . α −∞

Если

α ≠ α j , 1 ≤ j ≤ k , то ин т егра л, сод ерж а щий ϕα ( x) , им еет

поря д ок O ( t −∞ ) в силу лем м ы 1. Вы числим вкла д от гра н ичн ой критической точки в прост ейшем слу ча е. Т еорем а 3.

f ( x), S ( x) ∈ C ∞ [ a ; a + δ ) , δ > 0

П у ст ь

и

S / (a) ≠ 0 .

b

Т огд а д ля ин т егра ла F (t ) = ∫ f ( x)exp ( itS ( a ) )dx вкла д в а сим птотику F (t ) a

при t → ∞ от точки a им еет вид ∞

F ( t , a ) ! eitS ( a ) ∑ ( −it ) k =0

− k −1

 f ( x)  Mk /   S ( x)  x=a

 1 d   M = S / ( x) dx  .  

Э то ра злож ен ие м ож н о д иф ф ерен цирова т ь по t лю б ое число ра з. Гла вн ы й член а сим пт отики им еет вид F (t , a ) = −

f ( a)exp ( itS ( a) ) . itS / (a )

Д ока за т ельст во след у ет из т еорем ы 1 и опред елен ия вкла д а . Э т а лон н ы е ин т егра лы Ра ссм отрим ин т егра л a

Ф (t ) = ∫ x β −1 f ( x)eitx dx . α

0

Л ем м а 2 (Э рд ейи). П у ст ь α ≥ 1 , β > 0 , ф у н кция

f ( x) ∈ C ∞ ([ 0; a ]) и

f ( x) об ра ща ется в н у ль вм ест е со всем и своим и производ н ы м и в т очке x = a . Т огд а

37 a

∫x

β −1

f ( x)exp ( itx

α

∞

) dx ! ∑ a t

ak =

f ( k ) (0)  k + β Г  αk!  α

k+β α

k

k =0

0

−

, t → +∞

 iπ ( k + β )    exp  . 2 α   

Э то ра злож ен ие м ож н о д иф ф ерен цирова т ь по t лю б ое число ра з. Л ем м а Эрд ейи игра ет та ку ю ж е роль д ля ин тегра лов Ф у рье, ка к лем м а Ва т сон а д ля ин т егра лов Л а пла са . S ( x) = xα им еет ед ин ст вен н у ю

Д ока за т ельст во. Ф а зова я ф у н кция

крит ическу ю т очку x = 0 н а у ча ст ке ин т егрирова н ия . Ра ссм от рим вн а ча ле f ( x) ≡ 1

слу ча й, когд а

0 ≤ x ≤ δ , гд е

при

0 < δ < a . Т огд а

( 0;δ ) .

под ы н т егра льн а я ф у н кция а н а литичн а н а ин т ерва ле 0 < arg x <

π α

(

Re ( ixα ) = Re i x

им еем

α

( cos ( arg x ) − i sin ( arg x ) )

α

= x Re i ( cos ( arg x ) − i sin ( arg x ) )  = − x sin (α arg x ) , α

α

0 < α arg x < π ,

след ова тельн о,

sin (α arg x ) > 0

и,

но

след ова тельн о,

ка к

iπ

e 2α − ρ 0 ρ0

П о т еорем е Коши ин т егра л н а ра вен ин тегра лу по

та к

)=

Im x

Re ( ixα ) < 0 .  δ от резке  0;   2

В сект оре

π 2α

0

l1 l2 δ 2

δ

 2iπα  лом а н ой b = l1 U l2 , гд е l1 - от резок 0; e ρ0  , l2 - отрезок  

a

Re x

 2iπα  0; e ρ0  ,  

π δ (2) (3) = . Т огд а Φ β (t ) = Φ (1) β (t ) + Φ β (t ) + Φ β (t ) . Зд есь Φ β − исх од н ы й 2α 2 ин т егра л при у словии, что 0 ≤ | x| ≤ δ ; ρ0 cos

δ Φ (βk ) ( x) = ∫ f ( x)exp(itS ( x)) dx, k = 1, 2, 3; l3 = [ ; a ] . 2 lk На йд ем а сим птот ику при t → ∞ ин т егра ла Φ (1) с пом ощью лем м ы β Ва т сон а , с у чет ом того, что н а пром еж у т ке ин т егрирова н ия f ( x) ≡ 1 . Φ (t ) = (1) β

ρ0 eiπ /( 2 α )

∫ 0

x

β −1 itxα

e

=

x =eiπ / 2 α x%

e

1πβ ρ0 2α

∫ x% 0

β −1 − tx%α

e

1 β 12πβα − β / α dx = Γ( )e t + O (e−ct ), c > 0 . α α

38

И н т егриру я по ча стя м , им еем Φ ( x) + Φ β ( x) = (2) β

(3)

δ 2

∫

ρ0 α

x β −1eitx = itα xα −1

δ 2

x

β −1

iπ e 2α

a

α α 1 1 d [eitx ] + ∫ f ( x) x β −1 d [eitx ] = α −1 α −1 itα x itα x δ

2 α

iπ

ρ0 e 2 α

x β −1 f ( x)eitx 1 itxα β −α ′ − e ( x ) dx + itα l∫2 itα xα −1

Вн еин тегра льн а я под ст а н овка при x = ρ0e

i

π 2α

a

a

− δ 2

α 1 eitx ( f ( x) x β −α )′dx. ∫ itα δ

2

экспон ен циа льн о м а ла , т а к

α

ка к в эт ой т очке eitx = e−t ρ0 . Вн еин т егра льн а я под ст а н овка при x = a ра вн а н у лю , та к ка к f ( a) = 0 , н а кон ец, вн еин т егра льн ы е под ст а н овки в т очке x=

δ 2

сокра ща ю т ся . С лед ова т ельн о, вн еин т егра льн ы е под ста н овки в

послед н ем

ра вен ст ве

им ею т

поря д ок

O ( t −∞ ) .

Кром е

т ого,

(3) −1 Φ (2) и t → ∞ , т а к ка к exp ( itxα ) ≤ 1 н а l1 , l2 , l3 при β (t ) + Φ β (t ) = O ( t ) пр

t ≥ 0 . Д а лее, (3) Φ (2) β (t ) + Φ β (t ) = −

β −α itα

 β −α −1  exp ( itxα ) dx + ∫ x β −α −1 f ( x)eitx dx  − ∫ x  l2  l3

a

1 − x β −α f / ( x)eitx dx + O(t −∞ ) . ∫ itα δ 2

П оскольку

f / ( x) ∈ C ∞ ([ 0; a ])

и

f / ( x) ≡ 0 ,

при

0≤ x≤δ и

f ( k ) ( a ) = 0 при k = 0, 1,2... , т о послед н ий ин т егра л им еет поря д ок O ( t −∞ ) в

силу лем м ы 1, т а к чт о α −β (3) −∞ Φ (2)  ). β −α (t ) + Φ β −α (t )  + O ( t itα П овт оря я эти вы кла д ки произвольн ое число ра з (н а l2 и l3 x ≠ 0 ), (3) Φ (2) β (t ) + Φ β (t ) =

полу ча ем

(3) −∞ Φ (2) ). П оэт ом у , а т а кж е из ра злож ен ия д ля β (t ) + Φ β (t ) = O ( t

Φ (1) β (t ) им еем Φ β (t ) =

Г (β /α ) α

e

iπ

β β − 2α α

t

+ O ( t −∞ ) , t → ∞ ,

(25)

39

если f ( x) ≡ 1 при м а лы х x . Д ока ж ем лем м у в об щем слу ча е. П о ф орм у ле Т ейлора N

f ( x) = ∑ k =0

N f ( k ) (0) k f ( k ) (0) k x + f N ( x) =∑ x + x N +1hN ( x) , hN ( x) ∈ C ∞ ([ 0; a ]) . k! k! k =0

f ( x)ψ ( x) , гд е ψ ( x) ∈ C ∞ ([ 0; a ]) ,

За м ен им в ин тегра ле Ф (t ) f ( x) н а ψ ≡ 1 при

0 ≤ x ≤ δ < a и ψ ( x) об ра ща ет ся в н у ль при x = a вм ест е со f ( x) − f ( x)ψ ( x) ≡ 0 при 0 ≤ x ≤ δ , то по

всем и производ н ы м и. Т а к ка к лем м е 1: Φ (t ) = Ψ (t ) + O ( t

−∞

),

a

гд е Ψ (t ) = ∫ x β −1 f ( x)ψ ( x)eitx dx . Д а лее α

0

N

Ψ (t ) = ∑ k =0

a

f k (0) Φ β + k (t ) + RN (t ) , k!

Φ k + β (t ) = ∫ x β + k −1ψ ( x )eitx dx . α

0

П о д ока за н н ом у вы ш е пред ст а влен ию (25), а сим птотика Φ k + β д а ет ся ф орм у лой

1 k +β Φ k + β (t ) = Γ  α  α a

 − t 

(k +β ) α

e

 k +β  iπ    2α 

ост а ток RN (t ) , гд е RN (t ) = ∫ ϕ N ( x)eitx dx , α

+ O ( t −∞ ) . О ст а ет ся оцен ит ь

ϕ N ( x) = x β + N hN ( x)ψ ( x) .

0

И н т егриру я по ча стя м , полу ча ем α 1 RN (t ) = ϕ ( x )eitx { α −1 N если β + N > α itα x

a 0

/

 ϕ ( x)  α − ∫  N α −1  eitx dx . itα x  0 a

Ф у н кция ϕ N ( x) об ла д а ет след у ю щим и свойства м и: 1) при x = a он а ра вн а н у лю вм ест е со всем и производ н ы м и; 2) при x = 0 он а им еет н у ль поря д ка S = β + N . П оэт ом у вн еин т егра льн а я под ст а н овка ра вн а н у лю при N > α − β . /

Ф у н кция  x −α +1ϕ N ( x)  об ла д а ет та ким и ж е свойст ва м и при s = β + N − α . П оэт ом у т а кое ж е ин тегрирова н ие м ож н о повторить k ра з, гд е k ∈ ! , s > 0 ; β + N − 2k > 0 , k < ( β + N ) / α ,

от ку д а

k = [(β + N ) / α ] .

П ри эт ом все вн еин т егра льн ы е под ст а н овки об ра тя т ся в н у ль и RN (t ) = cN t

 β +N  a −  α 

itx ∫ qN ( x)e dx , α

0

гд е q N ( x) - н епреры вн а я при 0 ≤ x ≤ a ф у н кция . С лед ова т ельн о,

40

 −  β α+ N   RN (t ) = O  t    , t → ∞ .    

Д а лее м ы б у д ем д ейст вова т ь т а к ж е, ка к и при д ока за т ельство т еорем м ет од ом Л а пла са , а им ен н о, ком б ин ирова т ь лем м у Э рд ейи и лем м у 4 о за м ен е перем ен н ой. Т еорем а 4.

П у ст ь

I = [ x0 − δ ; x0 + δ ] - кон ечн ы й от резок и

вы полн ен ы у словия 1о.

f ( x) ∈ C0∞ ( I ) , S ( x) ∈ C ∞ ( I ) .

2о.

Ф у н кция S ( x) им еет при

x ∈ I ед ин ст вен н у ю ст а цион а рн у ю

т очку x0 . 3о. S // ( x0 ) ≠ 0 . Т огд а при t → ∞ F ( t , x0 ) =

x0 +δ

∫

f ( x)exp [itS ( x)]dx =

x0 −δ

=

2π

t S // ( x0 )

  − 12   π   f x O +  ( 0)  t   exp itS ( x0 ) + i sgn S ′′ ( x0 )  . 4      

Д ока за т ельст во. С д ела ем за м ен у перем ен н ой x = ψ ( y ) т а ку ю , что S ( x) = S ( x0 ) +

ε 2 y , ε = sgn S // ( x0 ) . П ри этом 2

δ > 0 м ож н о счит а т ь

н а столько м а лы м , чтоб ы ф у н кции x = ψ ( y ) , y = ψ −1 ( x) ∈ C ∞ . Т огд а δ2

F ( t , x0 ) = exp [itS ( x0 ) ] ∫ exp itε y 2  f (ψ ( y ) )ψ / ( y )dy . −δ1

δ2

0

П рим ен я я к ка ж д ом у из ин т егра лов

∫

и

−δ1

∫

лем м у Э рд ейи,

0

полу ча ем т реб у ем ое ра злож ен ие. Т еорем а 5.

П у ст ь I = [ x0 ; x0 + δ ] - кон ечн ы й отрезок,

ф у н кции f ( x), S ( x ) ∈ C ∞ ( I )

δ > 0,

и f ( k ) ( x0 + δ ) = 0 , k = 0,1,2,... .

П у ст ь ф у н кция S ( x) им еет н а I ед ин ст вен н у ю ст а цион а рн у ю т очку x = x0 t → +∞

и

S ( k ) ( x0 ) = 0 , 1 ≤ k ≤ m − 1 , S ( m ) ( x0 ) ≠ 0 , гд е

m ≥ 2 . Т огд а при

41 1 1 Г   1  m − m!  m F ( t , x0 ) = ∫ f ( x)eitS ( x dx =   ⋅ t m ⋅  ( m )  × m S x ( )  x0 0     − m1   iπ    (m) × exp itS ( x0 ) + sgn S ( x0 )  ⋅  f ( x0 ) + O  t   . 2m       x0 +δ

Д ока за т ельст во. П у ст ь д ля опред елен н ости за м ен у перем ен н ой x = ψ ( y ) т а ку ю , чт о

(26)

S ( m ) ( x0 ) > 0 . С д ела ем

S ( x ) − S ( x0 ) = y m при м а лы х

x − x0 , и к полу чен н ом у ин т егра лу прим ен им лем м у Э рд ейи.

П рим ер 20.

Ф у н кция Бесселя целого ин д екса

ин т егра льн ое пред ст а влен ие J n ( x) = π

−1

n ≥ 0 им еет

π

∫ cos ( x − sin ϕ − nϕ ) dϕ .

Вы числим

0

а сим пт отику J n ( x) при x → +∞ и ф иксирова н н ом n . И м еем π

1 J n ( x) = Re ∫ eix sin ϕ e −inϕ dϕ . π 0

Ф у н кция S (ϕ ) = sin ϕ им еет при x ∈ [0; π ] ед ин ст вен н у ю ст а цион а рн у ю π π  π  , в кот орой S   = 1; S //   = −1 . П оэтом у гла вн ы й вкла д в 2 2 2 а сим пт отику д а ет им ен н о эт а точка . И зф орм у лы т еорем ы 4 полу ча ем , что

т очку ϕ =

J n ( x) =

πn π  2  −  + O ( x −1 ) . cos  x − πx 2 4 

Вкла д от ϕ = 0 и ϕ = π ест ь O ( x −1 ) .

П рим ер 21. Ф у н кция Бесселя вещест вен н ого ин д екса ин т егра льн ое пред ст а влен ие Jν (ν x ) =

π

∞

1 sinνπ cos ν (ϕ − x sin ϕ )  dϕ − exp  −ν ( t + x sh t )  dt . (27) ∫ π 0 π ∫0

Вы числим а сим птотику

Jν (ν x ) при ν → +∞ , x > 1 - ф иксирова н о.

Вт орое сла га ем ое в (27) им еет поря д ок /

ν им еет

O (ν −1 ) , т.к.

sh t =

et − e − t . 2

 et − e − t  et − e − t > 0 - м он отон н о возра ст а ю ща я ф у н кция sh t ≥ 0 .   = 2  2 

42

e

−ν x sh t

≤ 1 (ν > 0 , x > 1) . П оэтом у ин т егра л н е превосх од ит

∞

∫e

−ν t

dt = ν −1 .

0

П ервое

сла га ем ое

в

(27)

π

π Re ∫ exp [iν S (ϕ ) ]dϕ , гд е −1

ра вн о

0

S = ϕ − x sin ϕ . У ра вн ен ие S / (ϕ ) = 0 им еет вид 1 − x cos ϕ = 0 , от ку д а cos ϕ =

1 1 , ( x > 1) . Ед ин ст вен н а я ст а цион а рн а я т очка ϕ0 = arccos . x x

П ричем S // (ϕ0 ) = x sin ϕ0 = x 1 −

1 = x2 − 1 ; 2 x

1 1 1 S (ϕ0 ) = arccos − x 1 − 2 = arccos − x 2 − 1. x x x П о ф орм у ле т еорем ы 4: Jν (ν x ) =

π 1  cos ν arccos − ν x 2 − 1 +  + O (ν −1 ) . x 4  πν x 2 − 1 2

(Вкла д от ϕ = 0 и ϕ = π ра вен O (ν −1 ) ). За м еча н ие. О т д ельн о вы числим а сим птот ику Jν (ν ) при ν → +∞ . π

1 Jν (ν ) = Re ∫ exp ( iν S (ϕ ) ) dϕ + O (ν −1 ) , π 0 (Вкла д от точки ϕ = π

S (ϕ ) = ϕ − sin ϕ .

сост а вля ет O (ν −1 ) ). С та цион а рн а я точка ϕ = 0 ,

причем S (0) = S // (0) , S // (0) = 1 . П рим ен им ф орм у лу (26) : 1 1 Γ   1 − 3   − 13    1 i π 3! 3      3  Jν (ν ) = ⋅ ⋅ν Re exp iν ⋅ 0 + ⋅ 1   1 + O ν    =  π 3 6  1         1 1 6 Γ  Γ   33 2 3 2   − 3   − 23   π 3 3   = cos 1 + O ν   = 1 1 + O ν   = 1 1  6          3 3  2 3πν 3 ⋅ 2πν 1

1

3

1 Γ   3

  − 23   = 1 2 1 1 + O ν   .    36 ⋅ 2 3 ⋅ν 3 ⋅ π 

43

М ет од перева ла Ввод н ы е ра ссу ж д ен ия и прим еры . Д о сих пор м ы ра ссм а т рива ли только ин т егра лы , у кот оры х пока за т ель экспон ен т ы в под ы н т егра льн ой ф у н кции б ы л чисто м н им ы м или вещест вен н ы м . В эт ом па ра гра ф е исслед у ем слу ча й ком плексн ы х пока за т елей степен и экспон ен ты , т.е. об ра т им ся к ин т егра ла м вид а I (t ) = ∫ f ( z )eth ( z ) dz ,

(28)

C

гд е

t > 0 − д оста т очн о б ольшое число, C − кон т у р ин т егрирова н ия в

ком плексн ой z − плоскост и, а f ( z ) и h( z ) − а н а литические ф у н кции z , регу ля рн ы е в н екот орой об ла ст и плоскост и z , сод ерж а щей кон т у р ин т егрирова н ия . Ка к извест н о, ф у н кция h( z ) н а зы ва ется а н а лит ической в н екот орой об ла ст и D , если он а опред елен а и им еет производ н у ю в ка ж д ой т очке эт ой об ла ст и. Ф у н кция

h( z ) , а н а литическа я в н екот орой об ла ст и D , за

исклю чен ием кон ечн ого числа т очек, н а зы ва ет ся м ером орф н ой в D . Э ти исклю чит ельн ы е т очки н а зы ва ю тся особ ен н ост я м и д а н н ой ф у н кции. Ф у н кция

h( z ) ком плексн ого перем ен н ого z = x + iy н а зы ва ет ся

д иф ф ерен циру ем ой в

точке

z0 , если

су щест ву ет и н е за висит от вы б ора

h( z0 + ∆z ) − h( z0 ) ∆z →0 ∆z ∆z . Э тот пред ел н а зы ва ет ся пред ел

lim

производ н ой ф у н кции h( z ) в т очке z 0 и об озн а ча ется h′( z0 ) или z = x + iy

П од ст а н овка

в

вы ра ж ен ие

h( z )

dh( z0 ) . dz д а ет

h( z ) = h( x + iy ) = ϕ ( x, y ) + iψ ( x, y ) . О тсю д а dh( z0 ) ϕ ( x0 + ∆x, y0 ) − ϕ ( x0 , y0 ) ψ ( x0 + ∆x, y0 ) − ψ ( x0 , y0 ) = lim + i lim . ∆x →0 ∆x →0 dz ∆x ∆x Т а ким об ра зом ,

dh ∂ϕ ∂ψ = +i при z = z0 . Ан а логичн о, вы б ира я ∆z = i∆y , dz ∂x ∂x

н а х од им dh( z0 ) ϕ ( x0 , y0 + ∆y ) − ϕ ( x0 , y0 ) ψ ( x0 , y0 + ∆y ) − ψ ( x0 , y0 ) = lim + i lim . ∆y →0 ∆y → 0 dz i∆y i∆y О тсю д а

dh( z ) ∂ψ ∂ϕ = −i dz ∂y ∂y

при

z = z0 .

Если

ф у н кция

h( z )

44

д иф ф ерен циру ем а , т о величин а производ н ой н е м ож ет за висет ь от вы б ора ∆z , след ова т ельн о,

∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ +i = −i . Ра зд еля я веществен н у ю ∂x ∂x ∂y ∂y

и

м н им у ю ча ст и, полу ча ем т а к н а зы ва ем ы е у ра вн ен ия Кош и-Рим а н а ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ = ; =− . ∂x ∂y ∂y ∂x И склю чен ие ψ из эт ой сист ем ы пу т ем перекрестн ого д иф ф ерен цирова н ия д а ет

∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ψ ∂ 2ψ + = 0 . Ан а логичн о, исклю ча я , им еем + = 0. ϕ ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 Д ля т ого чт об ы н а йт и а сим пт отическое пред ст а влен ие ин т егра ла

I (t ) , воспользу ем ся свойст вом а н а лит ичн ост и под ы н т егра льн ой ф у н кции и, прим ен я я теорем у Коши, д еф орм иру ем кон т у р C в н овы й кон т у р C ′ с т а ким ра счетом , чтоб ы н а C ′ либ о вещест вен н а я , либ о м н им а я ча ст ь ф у н кции h( z ) ока за ла сь постоя н н ой. Т ем са м ы м исх од н ы й ин т егра л преоб ра зу ет ся либ о в ин т егра л Л а пла са , либ о в ин т егра л Ф у рье. Т огд а а сим пт отика преоб ра зова н н ого ин тегра ла м ож ет б ы т ь н а йд ен а с пом ощью м ет од а Л а пла са , либ о с пом ощью м етод а ст а цион а рн ой ф а зы . Во м н огих слу ча я х ока зы ва ется пред почтит ельн ее т ра н сф орм ирова т ь исх од н ы й ин т егра л в ин т егра л Л а пла са , поскольку полн ое а сим пт отическое пред ста влен ие ин тегра ла Л а пла са порож д а ет ся лишь окрест н ост ью т ой т очки н а кон т у ре C ′ , гд е ф у н кция ϕ = Re h( z ) прин им а ет н а иб ольшее зн а чен ие. П олн ое ж е а сим птотическое ра злож ен ие ин т егра ла Ф у рье опред еля ет ся н е только ст а цион а рн ы м и т очка м и ψ = Im h( z ) , н о и, вооб ще говоря , повед ен ием

под ы н т егра льн ой ф у н кции в кон цевы х

точка х

пром еж у т ка ин т егрирова н ия . О т м ет им т а кж е, что лин ии пост оя н н ой ф а зы ψ = const я вля ю т ся т а кж е од н оврем ен н о лин ия м и н а иб олее б ы строго изм ен ен ия (спу ска или под ъем а ) д ля ф у н кции ϕ . Чт об ы д ока за т ь эт о, воспользу ем ся пон я т ием T

 ∂ϕ ∂ϕ  ; гра д иен т а . И звест н о, чт о ∇ϕ =   , T − зн а к т ра н спон ирова н ия , а ∂ x ∂ y  

производ н а я

ф у н кции

ϕ по н а пра влен ию , за д а ва ем ом у ед ин ичн ы м

45

вект ором ф у н кция

n , опред еля ет ся вы ра ж ен ием

∂ϕ = (∇ϕ , n ) . Т а ким об ра зом , ∂n

∂ϕ !ϕ , n ) = 1 , д ост ига ет своего н а иб ольш его зн а чен ия , когд а cos(∇ ∂n

т .е. n || ∇ϕ , отку д а n =

∇ϕ . П ри эт ом , когд а n и ∇ϕ ра вн он а пра влен ы , | ∇ϕ |

д а н н ое н а пра влен ие б у д ет

н а пра влен ием

н а иб ольшего возра ст а н ия

(под ъем а ) ф у н кции ϕ , а противополож н ое н а пра влен ие – н а пра влен ием н а иб ольшего у б ы ва н ия (спу ска ) ϕ . Кром е т ого, из у ра вн ен ий КошиРим а н а след у ет , что ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ⋅ + ⋅ = ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ = ⋅ + (− ) = 0. ∂y ∂x ∂x ∂y

(∇ϕ , ∇ψ ) =

Вект оры Если

∇ϕ

и

ϕ ( x, y )

z0

∇ψ орт огон а льн ы . l || ∇ϕ ,

то

 ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ  1 ∂ψ ∂ψ ∂ψ = ⋅ l1 + ⋅ l2 =  ⋅ + ⋅ =0 ⋅ ∂l ∂x ∂y  ∂x ∂x ∂y ∂y  | ∇ϕ | . Т а ким об ра зом , ф у н кция ψ ока зы ва ет ся постоя н н ой н а

лин ия х ,

ка са т ельн ы е к кот оры м па ра ллельн ы ∇ϕ , от ку д а сра зу след у ет , чт о лин ии постоя н н ой ф а зы я вля ю т ся лин ия м и н а искорейшего спу ска (или под ъем а ) д ля ф у н кции ϕ . О т м ет им т а кж е, что ф у н кция ϕ ( x, y ) н е м ож ет им ет ь в т очка х регу ля рн ости h( z ) н и м а ксим у м а , н и м ин им у м а . Д ейст вит ельн о, из ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ у ра вн ен ия + = 0 след у ет , что < 0, то < 0 и н а об орот. ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂x 2 Вм ест е с т ем , поверх н ост ь ϕ = ϕ ( x, y ) м ож ет им ет ь т очки, в которы х ∂ϕ ∂ϕ = = 0 , н о он и н е я вля ю тся т очка м и экст рем у м а ф у н кции ϕ ( x, y ) , а ∂x ∂y лиш ь сед ловы м и т очка м и (или т очка м и перева ла ). И з у ра вн ен ий Кош иРим а н а след у ет , что в т а ких точка х т а кж е

∂ψ ∂ψ = = 0 . Т а ким об ра зом , ∂x ∂y

сед лова я т очка ф у н кции ϕ ( x, y ) я вля ет ся од н оврем ен н о и сед ловой т очкой ф у н кции ψ ( x, y ) , а зн а чит, т очкой, гд е h′( z ) = 0 . П ри эт ом , если z = z0 -

46

сед лова я точка и если h′( z0 ) = h′′( z0 ) = ... = h ( m ) ( z0 ) = 0, н о h ( m +1) ( z0 ) ≠ 0 , т очку z 0 н а зы ва ю т сед ловой точкой поря д ка m + 1 . Через сед лову ю т очку прох од я т д ве (или б олее) лин ии у ровн я (т .е. кривы х ϕ = const ). Кром е т ого, через сед лову ю т очку прох од я т д ве или б олее лин ии постоя н н ой ф а зы (т.е. кривы х ψ = const ), я вля ю щих ся лин ия м и н а искорейшего спу ска или под ъем а ф у н кции ϕ ( x, y ) . На йт и вид и ра сполож ен ие этих лин ий в окрестн ости сед ловой точки н етру д н о. Если сед лова я точка им еет поря д ок h( z ) ≈ h ( z0 ) +

то

m,

1 ( m) h ( z0 ) = Keiκ и m!

1 (m) h ( z0 )( z − z0 )m . m!

П оэтом у ,

если

z − z0 = zeiθ , т о h( z ) ≈ h( z0 ) + Kr m ei (κ + mθ ) = ϕ + iψ или

ϕ ≈ ϕ0 + Kr m cos(κ + mθ ); ψ ≈ ψ 0 + Kr m sin(κ + mθ ), зд есь

Т а ким

об ра зом ,

лин ии

у ровн я

ϕ = ϕ0

cos(κ + mθ ) = 0

у ра вн ен ием

полож ить

приб лиж ен н о или

h( z0 ) = ϕ 0 + iψ 0 .

описы ва ю т ся

κ + mθ = ( n + 0,5)π ;

0,5π − κ + π n , n = 1, 2, ...,2m. Э то у ра вн ен ие д а ет 2m лин ий у ровн я m ф у н кции ϕ . Э ти лин ии д еля т окрестн ост ь z0 н а m «х олм ов» и m «д олин ». θ=

Т очн о

та к

ж е

из

у ра вн ен ия

ψ = ψ 0 + Kr m sin(κ + mθ ); ψ = ψ 0 ,

−κ + π n ; n = 1, 2, ..., 2m . m Э ф ф ект ивн ы м м етод ом построен ия а сим пт отических ра злож ен ий д ля ин т егра лов по кон т у ра м , кон цевы е т очки которы х ра спола га ю т ся в след ова т ельн о, sin(κ + mθ ) = 0; κ + mθ = π n; θ =

д ву х ра зн ы х «д олин а х », я вля ет ся «м ет од перева ла », ра звит ы й Рим а н ом и Д еб а ем . И д ея этого м етод а за клю ча ет ся в д еф орм ирова н ии кон т у ра ин т егрирова н ия C в н екоторы й н овы й кон т у р C ′ , у д овлетворя ю щий след у ю щим у словия м 1. Кон т у р C ′ прох од ит через сед лову ю т очку (т.е. через н у ль ф у н кции h′( z ) ). 2. М н им а я ча ст ь ψ ф у н кции h( z ) н а эт ом кон т у ре д олж н а б ы т ь постоя н н а . 3. Кон т у р C ′ пред ста вля ет соб ой лин ию н а искорейшего спу ска . П ривед ем прим ер. П рим ер22. На йти а сим пт отику при t → ∞ ин т егра ла Э йри

47 ∞

1 1 Ai(t ) = ∫ cos( s 3 + ts) ds . π 0 3

Д ля т ого чт об ы преоб ра зова т ь эт от ин т егра л в ст а н д а ртн ы й вид , введ ем преоб ра зова н ие s = t z . ∞

3

∞

3

3

z3

z3

it 2 ( + z ) − it 2 ( + z ) t 1 3 t 3 3 2 Ai(t ) = cos[ ( )] [ ]dz = t z + z dz = e + e π ∫0 3 2π ∫0 ∞

3

z3

it 2 ( + z ) t [ ∫ e 3 dz − = 2π 0

П оэт ом у

t Ai(t ) = 2π

∞

∫e

3 it 2

(

z3 +z) 3

dz .

−∞

∫e

3

it 2 (

z3 +z ) 3

dz ].

0

И н т егрирова н ие

по

ча ст я м

д а ет

−∞

т ривиа льн ы й резу льт а т: Ai(t ) = 0 ⋅ t −1 + 0 ⋅ t −2 + ... , поскольку , ка к б у д ет пока за н о н иж е, в а сим пт отическое ра злож ен ие вх од ит экспон ен циа льн о у б ы ва ю щий м н ож ит ель, кот оры й стрем ит ся к н у лю б ы ст рее, чем лю б а я ст епен ь t −1 . Д ля того чтоб ы

н а йти а сим птотическое пред ста влен ие ф у н кции

z3 Ai(t ) , воспользу ем ся м ет од ом перева ла . В д а н н ом слу ча е h( z ) = i ( + z ) 3 и h′( z ) = i ( z 2 + 1) . Т а к чт о сед ловы е т очки, т .е. н у ли производ н ой h′( z ) эт о i 2 z = ±i . В этих т очка х h( ±i ) = i (m ± i ) = m и, след ова т ельн о, Im h(±i ) = 0 . 3 3 П олож им

т еперь

z = x + iy , им еем

1 h( z ) = i ( ( x + iy )3 + x + iy ) . П осле 3

преоб ра зова н ий полу чим 1 1 h( z ) = y ( y 2 − 1 − x 2 ) + ix( x 2 − y 2 + 1) . 3 3 y П оскольку в сед ловы х точка х Im h = 0 , т о у ра вн ен ие лин ий н а искорейш его спу ска , прох од я щих через эт и т очки, i полу ча ет ся из у словия Im h = 0 . В 0 соот вет ст вие с (29) эт о у ра вн ен ие им еет 1 вид x( x 2 − y 2 + 1) = 0 . Э т о у ра вн ен ие 3

−i

(29)

x

48

опред еля ет 3 лин ии н а искорейшего спу ска : x = 0 и д ве гиперб олы 1 2 x − y 2 + 1 = 0 . Э ти лин ии изоб ра ж ен ы н а рису н ке, причем стрелка м и 3 у ка зы ва ет ся н а пра влен ие, в кот ором Re h( z ) у б ы ва ет . Т а ким об ра зом , чт об ы

прим ен ит ь м ет од

перева ла , д еф орм иру ем

исх од н ы й кон т у р

ин т егрирова н ия в кон т у р C1 , которы й 1) прох од ит через сед лову ю т очку z = i ; 2) пред ста вля ет соб ой криву ю постоя н н ой ф а зы ; 3) я вля ет ся лин ией н а искорейшего спу ска изсед ловой т очки. За м етим , что 3

N

z3

it 2 ( + z ) t Ai(t ) = lim ∫ e 3 dz = lim J N , гд е N →∞ 2π N →∞ − N + N

− N

J N = GN + I + I .

Д ля

ввест и ин т егра лы

GN ; I N+ ; I N− , введ ем

т ого

y CN

чтоб ы

i lN−

l N+

−N

0

N

x

вн а ча ле кон т у ры ин т егрирова н ия CN − ча ст ь вет ви гиперб олы

3

∫e

it 2 (

z3 +z) 3

3

t I (t ) = 2π

∫e

± N

dz;

CN

∫e

lN±

3 1 it 2 ( z 3 + z )

3

z3 +z) 3

dz. Ра ссм отрим z ∈ lN± :

1  1  y  y 2 − N 2 − 1 ± iN  N 2 − y 2 + 1 ; 3  3 

11   8 2  y   N 2 + 1 − N 2 − 1 =  − N 2 −  y , след ова тельн о, 3   3 3   9

dz ≤ ∫ e lN±

it 2 (

lN±

 z3  1  i  + z  = i  (± N + iy )3 ± N + iy  =   3  3 1  Re i  z 3 + z  ≤ 3 

та ка я , что x ∈ [ − N ; N ] . Кон т у ры

1 2 N + 1) . Т огд а 3

lN± : x = m N ; y ∈ (0; t GN (t ) = 2π

1 2 x − y2 + 1 = 0 2

3 8 2 −t 2 y ( N 3 + )

9

3

dy =

3

1 2 N +1 3

∫

3

e

8 2 − ( N 2 + )t 2 y 9 3

dy = −

[e

0

при N → ∞ . П ерех од я к пред елу при N → ∞ , им еем

8 2 1 2 −( N 2 + )t 2 N +1 9 3 3 3 2

− 1]

8 2 t ( N2 + ) 9 3

→0

49 1 2

3

it 2 ( z 3 + z )  t e 3 dz , зд есь C% = ( x, y ) Ai(t ) = ∫ 2π C%  1

1 2  x − y 2 + 1 = 0 , след ова тельн о, 3 

8 x 2 = 3( y 2 − 1) . П оэтом у из (29) h( z ) = y (2 − y 2 ) . Д ейст вит ельн о, Im h = 0, 3 1 1 8 h( z ) = Re h( z ) = y ( y 2 − 1 − x 2 ) = y ( y 2 − 1 − 3( y 2 − 1)) = y (2 − y 2 ) при y ≥ 1 . 3 3 3 3 2 ∞

3

8 2

y ( 2− y ) 2t 3 t2 С лед ова т ельн о, Ai(t ) = e d [ 3( y 2 − 1) + iy )] , ∫ 2π 1

 3y  ( dz =  + i  dy ) . П ровед ем за м ен у y = τ + 1. П олу чим  y2 − 1   

1 (τ + 1) 2 − 1

1

= 2τ

1 2

τ 1+ _ 2

=

1 2τ

1 2

(1 + O(τ )) ;

3 −2 8 8(τ + 1) 2 8τ 2 + 16τ + 8 dz = τ + O(1); y (2 − y 2 ) = (τ + 1)(2 − ) = (τ + 1)(2 − )= 3 3 3 2 (τ + 1)( −2 − 8τ 2 − 16τ ) −2 − 18τ − 24τ 2 − 8τ 3 2 = = − − 6τ (1 + O (τ )) . 3 3 3 О тсю д а 1

3

2 1 − t2 3 2

1  ∞ −6τ (1+O (τ ))t 32 − 12  t e 2 AI (t ) = e τ + O τ (1 ( ))dτ  . Д а льн ейшие преоб ра зова н ия : ∫ π 2 0  3

2 1 − t2 3 2

3 1 ∞ 1 1 −  1 −6τ (1+O (τ ))t 32 − 12  t e −6τ (1+O (τ )) t 2 2 2 Ai(t ) = τ (1 + O(τ ))dτ + ∫ e τ (1 + O(τ 2 ))dτ  , ∫ e π 2 0 1 

∞

причем , по лем м е 1:

∫e

3

−6τ (1+O (τ )) t 2

τ

−

1 2

1

(1 + O (τ 2 ))dτ = O (e − ε t ), t → ∞, ε > 0 .

1

Т ак 1

∫e

ка к 3

−6τ (1+ O (τ )) t 2

τ

−

1 2

e

3

3

−6τ (1+ O (τ )) t 2

−6τ t 2

=e

3

(1 + t 2 O (τ 2 )),

то

ин т егра л

1 2

(1 + O (τ ))dτ пред ст а вим в вид е су м м ы ин т егра лов

0

1

∫e 0

3

−6τ t 2

τ

−

1 2

1 2

(1 + O (τ )) dτ + t

3 1 2

∫e 0

3

−6τ t 2

3 2

O (τ )dτ . Вт орой ин т егра л в послед н ей

50

су м м е легко оцен ить с прим ен ен ием лем м ы Ва тсон а : t

3 1 2

∫e

3 2

3

−6τ t 2

3 2

O(τ ) dτ = t ⋅ O(t

35 − ⋅ 22

−

3 2

) = O(t ). П оэтом у

0

3

2 1 − t2 3 2

1 3 −  1 −6τ t 32 − 12  t e 2 2 Ai(t ) = e τ (1 + O ( τ )) d τ + O ( t ) ∫  . П осле прим ен ен ия лем м ы π 2 0 

Ва т сон а к ост а вш ем у ся ин т егра лу полу чим окон ча тельн ы й резу льт а т : 3

3

2 1 − t2 3 2

3 1 − 2 2

1 1 t e Γ( )(6t ) (1 + o(1)) = π 2 1 2

Ai(t ) =

e

2 − t2 3

2 πt

1 4

(1 + o(1)), t → ∞. 3

П ра кт ические за д а н ия 1) Ра злож ен ия ф у н кций. На йт и первы е три член а ра злож ен ий след у ю щих ф у н кций при м а лом ε : −1

 3a 2 51a 4 2  1.1. 1 − ε+ ε  ; 1.2. cos 1 − ε t , ( 0 ≤ t ≤ T ) ; 8 256   1 1 − ε + 2ε 2 . 2 2) О пред елит ь поря д ок след у ю щих ф у н кций при ε → 0 :

1.3.

2.1. ln (1 + 5ε ) ; 2.2.

ε ; sin ε

1 2.3. 1 − ε 2 − cos ε . 2

3) Ра сполож ит ь ф у н кции по поря д ку у б ы ва н ия при м а лы х ε 1 2

1 2

3.1. ε , ε , 1, ε , ln ε 2

3.2. ln (1 + ε ) , ctg ε ,

−1

, ε ln ε

sin ε ε

3 2 2

−1

,e

−

1 ε

(ε > 0 )

3 2

,ε ;

1 , ε ln ε , ln −1   ; ε 

− 1 1  1 3.3. e , , ε 2 ,  ln  , e ε , 3 , ε 0,0001 , 5ε , 5 ε . ε  ε ε2 4) О пред елит ь д ва член а ра злож ен ия д ля ка ж д ого корн я след у ю щих −

1 ε

1

1

у ра вн ен ий при м а лы х ε 4.1. x 3 − ( 2 + ε ) x 2 − (1 − ε ) x + 2 + 3ε = 0 ;

1

1

51

4.2. x 3 − ( 3 + ε ) x − 2 + ε = 0 ; 4.3. x 4 + ( 2 − 3ε ) x 3 − ( 2 − ε ) x − 1 + 4ε = 0 ; 4.4. ε ( u 3 + u 2 ) + 4u 2 − 3u − 1 = 0 ; 4.5. ε u 3 + u − 2 = 0 ; 4.6. ε u 4 − u 3 + 3u − 2 = 0 ; 4.7. ε u 4 + u 2 − 3u + 2 = 0 ; 4.8. x −

ε 3ε 2 − =0; 3x 2 10 x 4 ε

21ε 2 4.9. 1 − − = 0. 5x 3 x 5) На йт и д ва член а ра злож ен ия д ля корн ей след у ю щих т ра н сцен д ен тн ы х у ра вн ен ий при б ольших зн а чен ия х а ргу м ен т а 5.1. x ctg x = 1 ; π 1 π   5.2. sin  x −  − cos  x −  = 0 . 4  8x 4  

6. На йт и а сим пт отику при x → ∞

∞

∫e

−t x

t dt .

x

7. На йт и а сим пт отику при x → ∞ 9. На йт и а сим пт отику при x → ∞

∞

e−t ∫x t dt . ∞

∫e

−t − n

t dt .

x

1

10. На йти а сим птот ику при x → ∞

∫ sin ε t ⋅ t

−1

dt .

0 x

11. На йти а сим птот ику при x → ∞

∫t

−

3 4 −t

e dt .

0

12. На йти а сим птот ику при x → ∞

∞

∫e

−t 2

dt .

x

13.

На йт и а сим пт отику эллиптического ин т егра ла 2 род а при π 2

m → 0 I (m) = ∫ 1 − m sin 2 θ dθ . 0

52

14. На йти а сим птот ику при x → ∞

∞

∫ cos t ⋅ t

−1

dt .

x

15. На йти а сим птот ику при x → ∞

cos ( t − x ) dt . x x

∞

∫

∞

16. На йт и гла вн ы й член а сим птот ики при x → ∞

ln (1 + t ) dt .

∫e

− xt

1

x − +t + x t

x

∫e

17. На йт и гла вн ы й член а сим птот ики при x → ∞

dt .

0

∞

e− x ∫0 ω + x + x ω dx .

18. На йт и а сим пт отику при ω → ∞ 19. Д ока за т ь, чт о при t → ∞ ∞

19.1.

∫ (1 + x )

−α

e dx = it + 0 ( t itx

−1

0

∞

19.3.

∫ (1 + x )

−2

∞

) ; 19.2. ∫ (1 + x )

−α

sin txdx = t −1 + 0 ( t −2 ) ;

0

−α

cos txdx = α t −2 + 0 ( t −3 ) .

0

20. П ока за т ь, чт о при ω → ∞ ∞

20.1.

5

−ω x ∫ e x 2 ln (1 + x ) dx ! 2

1

∞

20.2.

∫ 0

e−ω ln 2 ; 2ω

1 Г   e a dx !  1  ; 20.3. 2 x+x 2ω 4 − x 2ω

∞

−ω x 2 ∫ e ln ( 2 + x ) dx ! 2

−∞

π ln 2 ; ω

1 Г   π −2ω e 4 20.4. ∫ e dt = e ; 20.5. ∫ dt !  1 e−2ω . 2 2 x t −1 1 1 2 2ω 4 21. П ока за т ь, чт о при α → ∞ 2

 1 −ω  t +   t

2

π

1 i Г  e 6 1 3 3 21.1. ∫ eiα t dt !  1 ; 0 3α 3

 1 −ω  t +   t

π

1 i Г   e 12 1 iα t 3 e 6 21.2. ∫ dt !  1 ; t 0 3α 6 π

2 i Г  e 3 1 3 3 21.3. ∫ eiα t ln (1 + t ) dt =  2 . 0 3α 3

53

22. Вы числит ь а сим пт отику при t → ∞ ин т егра ла  − x1α F (t ) = ∫ e f ( x)exp  −te  0  23. П ока за т ь, чт о при x → ∞ a

∞

e − xt

23.1. R0 ( x) = ∫

t2 −1

1

− x−α

dt !

 dx . 

π −x e ; 2x 

∞

π

2 eixt 2 i x − 4  ! e ; 23.2. H ( x) = ∫ π 1 1− t2 πx (1) 0

∞

π 2 sin xt 2  23.3. J 0 ( x) = ∫ ! cos  x −  ; π 1 t2 −1 πx 4  23.4. Y0 ( x) = − 1

23.5.

∞

2 cos xt 2 π  ! sin x −  ; π ∫1 t 2 − 1 πx 4  1 2 n− 2

∫ e (1 − t ) ixt

−1

2 dt !    x

n+

1 2

1 π 1    Γ  n +  cos  x −  n +   . 2 2 2   

24. С пом ощью м ет од а перева ла вы числит ь а сим птот ическое пред ста влен ие при α → ∞ ин т егра льн ого пред ст а влен ия ф у н кции Бесселя 1 eiα z первого род а н у левого поря д ка J 0 (α ) = ∫ dz . π −1 1 − z 2 1

54

Л итера т у ра 1. Ф ед орю к М .В. М етод перева ла / М .В.Ф ед орю к. -М .: На у ка , 1977. 368 с. 2. На йф э А. Введ ен ие в м етод ы возм у щен ий / А.На йф э. -М .: М ир, 1984.- 535 с.

55

С оста вители: Глу ш ко Ан д рей Вла д им ирович Глу ш ко Вла д им ирП а влович

Ред а кт ор Т их ом ирова О .А.