Теория функций

Е.Титчмарш ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ Книга видного английского математика Е. Титчмарша, написанная в 30-е годы, была впервые издана на русском языке в 1951 г. Её безусловно можно отнести к классическим сочинениям, и она до сих пор не потеряла своего значения. Книга содержит много материала, не входящего в распространенные у нас учебники, Ее автор — блестящий аналитик и педагог — прекрасно излагает разнообразные темы аналитической теории функций, выпукло оттеняя ведущие идеи выкладок. В книге много примеров и задач. Наряду с темами из комплексного анализа книга содержит изложение некоторых вопросов вещественного анализа (несобственные интегралы, теория меры и интегралы Лебега, ряды Фурье и др.). Она послужит ценным дополнением к существующей на русском языке учебной литературе по теории функций. Содержание От переводчика Предисловие автора ко второму изданию Из предисловия автора к первому изданию ГЛАВА I. Ряды, бесконечные произведения, несобственные интегралы 1.1. Равномерная сходимость ряда 1.2. Ряды с комплексными членами. Степенные ряды 1.3. Ряды, которые не сходятся равномерно 1.4. Бесконечные произведения 1.5. Сходимость несобственных интегралов 1.6. Двойные ряды 1.7. Интегрирование рядов 1.8. Повторные интегралы Гамма-функция 1.9. Дифференцирование интегралов Различные примеры ГЛАВА II. Аналитические функции 2.1. Функции комплексного переменного 2.2. Комплексное дифференциальное исчисление 2.3. Комплексное интегрирование. Теорема Коши 2.4. Интеграл Коши 2.5. Неравенство Коши 2.6. Нули аналитической функции 2.7. Ряд Лорана

7 9 9 11 12 18 21 23 29 36 46 58 68 69 74 74 80 80 90 94 97 98

2.8. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций 2.9. Замечание о рядах Лорана ГЛАВА III. Вычеты. Контурное интегрирование. Нули 3.1. Вычет относительно особой точки 3.2. Разложение мероморфной функции 3.3. Суммирование некоторых рядов 3.4. Полюсы и нули мероморфной функции 3.5. Функции |f(z)|, Re(f(z), Im(f(z) 3.6. Интеграл Пуассона. Теорема Иенсена 3.7. Теорема Карлемана 3.8. Теорема Литтлвуда Различные примеры ГЛАВА IV. Аналитическое продолжение 4.1. Общая теория 4.2. Особенности аналитической функции 4.3. Римановы поверхности 4.4. Функции, определенные интегралами 4.5. Принцип отражения 4.6. Мультипликационная теорема Адамара 4.7. Функции с естественными границами Различные примеры ГЛАВА V. Теорема о максимуме модуля 5.1. Теорема о максимуме модуля 5.2. Лемма Шварца. Теорема Витали. Теорема Монтеля 5.3. Теорема Адамара о трех окружностях 5.4. Средние значения функции |f(z)| 5.5. Теорема Бореля и Каратеодори 5.6. Теоремы Фрагмена и Линделефа 5.7. Функция Фрагмена-Линделефа и h(θ) 5.8. Применения Различные примеры ГЛАВА VI. Конформное отображение 6.1. Конформное отображение 6.2. Линейное преобразование

105 110 111 111 119 123 124 128 132 138 141 142 146 146 151 154 155 163 166 167 169 174 174 177 181 183 184 186 191 194 196 197 197 199

6.3. Другие преобразования 6.4. Однолистные функции z

6.5. Функция

∫ 0

dt 1 − t2

6.6. Отображение многоугольника на полуплоскость 6.7. Отображение произвольной области на круг 6.8. Дальнейшие свойства однолистных функций Различные примеры ГЛАВА VII. Степенные ряды с конечным радиусом сходимости 7.1. Круг сходимости 7.2. Расположение особых точек 7.3. Сходимость ряда и регулярность функции 7.4. Сверхсходимость 7.5. Асимптотическое поведение функции вблизи границы круга сходимости 7.6. Теорема Абеля и ее обращение 7.7. Частичные суммы степенного ряда 7.8. Нули частичных сумм Различные примеры ГЛАВА VIII. Целые функции 8.1. Разложение целой функции на множители 8.2. Функции конечного порядка 8.3. Коэффициенты разложения функции конечного порядка 8.4. Примеры 8.5. Производная 8.6. Функции, все нули которых вещественны 8.7. Минимум модуля 8.8. а-точки целой функции 8.9. Мероморфные функции Различные примеры ГЛАВА IX. Ряды Дирихле 9.1. Введение 9.2. Сходимость ряда и регулярность функции 9.3. Асимптотическое поведение функции при t → ∞ 9.4. Функции конечного порядка

203 206 211 213 215 217 219 220 220 221 224 227 231 236 243 246 249 254 254 256 261 263 265 268 273 278 287 292 297 297 302 303 306

9.5. Формула для среднего значения 9.6. Теорема единственности. Нули 9.7. Представление функций рядами Дирихле Различные примеры ГЛАВА Х. Теория меры и интеграл Лебега 10.1. Интегрирование по Риману 10.2. Множества точек. Мера 10.3. Измеримые функции 10.4. Интеграл Лебега от ограниченной функции 10.5. Теорема Лебега о сходимости (теорема об ограниченной сходимости) 10.6. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана 10.7. Интеграл Лебега от неограниченной функции 10.8. Общая теорема Лебега о сходимости 10.9. Интегралы по бесконечному интервалу ГЛАВА XI. Дифференцирование и интегрирование 11.1. Введение 11.2. Дифференцируемость. Недифференцируемые функции 11.3. Производные числа функции 11.4. Функции ограниченной вариации 11.5. Интегралы 11.6. Лебеговское множество 11.7. Абсолютно непрерывные функции 11.8. Интегрирование производной Различные примеры ГЛАВА XII. Дальнейшие теоремы об интегрировании по Лебегу 12.1. Интегрирование по частям 12.2. Аппроксимация интегрируемой функции 12.3. Вторая теорема о среднем значении 12.4. Лебеговские классы Lp 12.5. Сходимость в среднем 12.6. Повторные интегралы Различные примеры ГЛАВА XIII. Ряды Фурье 13.1. Тригонометрические ряды и ряды Фурье

311 316 320 322 326 326 327 338 341 346 348 349 354 356 358 358 359 363 364 369 372 373 376 380 384 384 385 388 390 395 399 403 409 409

13.2. Интеграл Дирихле 412 13.3. Суммирование ряда арифметическими средними 421 13.4. Непрерывная функция с расходящимся рядом Фурье 426 13.5. Интегрирование рядов Фурье 429 2 13.6. Функции класса L 432 13.7. Свойства коэффициентов Фурье 435 13.8. Единственность тригонометрических рядов 437 13.9. Интегралы Фурье 442 Различные примеры 449 Библиография 456 Предметный указатель 462 Предметный указатель Интегрирование контурное 112 Абсцисса сходимости ряда 299 - производной 376 a-точка 279 - рядов 46 "Бесконечность" 191, 350 Классы лебеговские 390 Вариация функции 365 Континуум 329 Ветвь многозначной функции 150 Контур 84 Вычет 111 и д. Косинус-преобразование Фурье 445 Гамма-функция 64 и д., 115, 116, 156 Коэффициенты Фурье 410, 435 Граница функции естественная 168 Круг сходимости 19, 220 Дзета-функция 160, 162 Лемма Кантора 438 Дифференцирование интегралов 68 - Шварца 177 - рядов 47 Леммы Серпинского 366 Значение, исключительное В, Р 279 Линия уровня 129 - функции асимптотическое 285 Мера множества 331 Интеграл Данжуа 359 - - внешняя 331 - Дирихле 412 - - внутренняя 331 - комплексный 82, 89 Минимум модуля 273 - Коши 90 Многочлен 254 - Лебега 64, 112, 341, 348, 369 Множества пересекающиеся 328 - неопределенный 89, 359 Множество замкнутое 329 - несобственный 109 - измеримое 331 - - сходящийся 29 - канторово 338 - - - абсолютно 30 - лебеговское 373 - - - равномерно 32 - открытое 329 - - - условно 30 - предельное последовательности - повторный 58 и д., 399 внешнее 337 - Пуассона 132 - - - внутреннее 337 - Римана 29, 326, 348 - счетное 329 - Фейера 423 Множитель первичный 254 - Фурье 442

Неравенство Бесселя 432 - Гельдера 391, 393 - Коши 94 - Минковского 393 - Шварца 390 Нуль аналитической функции 97 - частичной суммы 246 Отображение конформное 197 и д. Перемножение рядов 41 - - по Дирихле 43 Поверхность риманова 154 Показатель сходимости нулей 258 Порядок функции 256, 306 - - мероморфной 290 Преобразование Фурье 446 Признак сходимости ряда ВаллеПуссена 418, 419 - - - Дини 415, 419 - - - Жордана 416, 419 "Принцип отражения" РиманаШварца 164 Продолжение аналитическое 146 и д. Произведение бесконечное 23 - - каноническое 258 - - сходящееся 24 - - - абсолютно 25 - - - равномерно 27 Протяженность множества 327 Путь регулярный 239 Равенство Парсеваля 433 Радиус сходимости 220 Разложение целой функции 122, 254 Род канонического произведения 258 Ряд двойной 36 и д. - - расходящийся 38 - - сходящийся 38 - Дирихле 297 и д. - Ламберта 168 - Лорана 98, 110, 411 - с комплексными членами 18 - степенной "сверхсходящийся" 228 - сходящийся 12 - - ограниченно в интервале 50 - - равномерно 13 и д.

- тригонометрический 409 - Фурье 410, 411 - - теорема Римана вторая 440 - - - - первая 439 Сверхсходимость 228 Синус-преобразование Фурье 445 Сумма множеств 328 Суммирование ряда арифметическими средними 421 - рядов Фурье 422 Сходимость последовательности в среднем 395 - произведения 24 - - абсолютная 25 - - равномерная 27 - ряда 12 - - равномерная 13 и д. Теорема Абеля 19, 237 - Адамара мультипликационная 166 - - о пропусках 230 - - о разложении на множители 259, 274, 292 - - о трех окружностях 181 - Бореля о показателе сходимости аточек 279 - - о продолжении 172 - Бореля-Каратеодори 184 - Вейерштрасса 102 - - аппроксимационная 425 - - в теории целых функций 255 - Витали о сходимости 178 - Гурвица 128 - Дирихле 303 - Егорова 348 - Иенсена 134 - Иенча 246 - Каулемана 139 - Коши 85 и д. - Коши-Тейлора 93 - Лагерра 265 - Ландау 284 - Лебега о сходимости 346 - - - - общая 354

- Лиувилля 94 - Монтеля 179, 189 - Морера 92 - основная алгебры 128 - - теории меры вторая 332 - - - - первая 332 - о выпуклости 182 - о максимуме модуля 174 и д. - о непрерывности 33 - о среднем значении 343 - - - - вторая 388 - о сходимости для монотонных последовательностей 355 Теорема Парсеваля 432, 433, 435 - Римана в теории конформных отображений 215 - - - - рядов вторая 440 - - - - - первая 439 - Римана-Лебега 413 - Рисса-Фишера 433 - Руше 125 - Стирлинга 68 - Таубера 20 - - для регулярных путей 239 - Фату 355 - Фейера 424 - Фейера-Лебега 425 - Фрагмена-Линделефа 186 - Харди-Литтлвуда 233 - Шварца 441 - Шоттки 281 - Фурье интегральная 442 Теоремы Лагерра 268 - Литтлвуда 141, 241 - Пикара 278, 283, 284 Точка двойная 129 - особая 101, 102, 151, 223

- предельная множества 329 - разветвления 152 Уравнения Коши- Римана 76, 77 Условия Дирихле 417 Формула Адамара 321 - Иенсена 134, 257 - Коши интегральная 90 - Перрона 307 - Пуассона интегральная 132 - Пуассона-Иенсена 137 - Стирлинга 158 - Фурье интегральная 442 Формулы обращения Меллина 453 - Эйлера-Фурье 409 Функция аналитическая 77, 148 - Ван-дер-Вардена 362 - Вейерштрасса 360 - выпуклая 182 - гармоническая (потенциальная) 129, 176 - голоморфная 119 - измеримая 339 - интегрируемая 350 - конечного порядка 256 - мероморфная 119, 287 - многозначная 150 - непрерывная абсолютно 373 - ограниченной вариации 364 - однолистная 206 - регулярная 151 - Фрагмена-Линделефа 191 - характеристическая множества 337 - - функции 289 - целая 264 Часть функции главная 101 Число Бернулли 161 Элемент функции 149