Задачи по стереометрии

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

7. Задачи по стереометрии

методические указания для абитуриентов физического факультета

Ростов-на-Дону 2002

2 Печатается по решению учебнофакультета РГУ.

методической комиссии физического

Составители — А.Н. Румянцев, канд. физ.-мат. наук, доц., Т.Г. Румянцева, канд. физ.-мат. наук, доц., П.В. Махно, студент физического факультета.

Методические указания предназначены для подготовки к вступительному экзамену по математике на физический факультет университета и содержат основные формулы для решения задач по стереометрии; задачи для самостоятельного решения с ответами; контрольную работу.

3 1. Основные формулы 1). Произвольная призма ( S — площадь основания; H — высота; V — объём ): V = S ⋅H . 2). Прямая призма ( P — периметр основания; l — боковое ребро; S b — боковая поверхность): Sb = P ⋅l .

3). Прямоугольный параллелепипед ( a,b ,c — его измерения; d — диагональ): V = abc ; d 2 = a 2 + b 2 + c 2 . 4). Куб ( a — ребро): V = a3 ; d = a 3 . 5). Произвольная пирамида ( S — площадь основания; H — высота; V — объём): 1 V = S ⋅H . 3 6). Правильная пирамида ( P — периметр основания; l — апофема; S b — пло-

щадь боковой поверхности): Sb =

1 1 P ⋅l ; V = S ⋅H . 2 3

7). Произвольная усечённая пирамида ( S 1 и S 2 — площади оснований; h — высота; V — объём): V = 1 h S 1 + S 2 + S 1S 2 . 3

(

)

8). Цилиндр ( R — радиус основания; H — высота; S b — площадь боковой поверхности; V — объём): S b = 2π RH ; V = π R 2 H . 9). Конус ( R — радиус основания; H — высота; l — образующая; S b — площадь боковой поверхности; V — объём): 1 S b = π Rl ; V = π R 2 H . 3 10). Шар, сфера ( R — радиус шара; S — площадь сферической поверхности; V — объём): S = 4π R 2 ; V = 4 3 ⋅ π R 3 .

11). Шаровой сегмент ( R — радиус шара; h — высота сегмента; S — площадь сферической поверхности сегмента; V — объём): 1 ⎞ ⎛ S = 2π Rh ; V = π h 2 ⎜ R − h ⎟ . ⎝ 3 ⎠

12). Шаровой сектор ( R — радиус шара ; h — высота сегмента; V — объём): V =

2 πR 2h . 3

4 2. Задачи для самостоятельного решения 1). Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6 см, 5 см, 5 см. Боковые грани пирамиды образуют с её основанием равные двугранные углы, содержащие по 45o . Определить объём этой пирамиды. Ответ: 6 куб. см. 2). В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α при основании . Все боковые рёбра пирамиды составляют с основанием один и тот же угол величины ϕ . Найти объём пирамиды. 1 6

Ответ: V = a 3 cosα tg ϕ . 3). Основанием пирамиды служит прямоугольник с острым углом величины α между диагоналями. Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол величины ϕ . Найти объём пирамиды, если радиус шара, описанного около неё, равен R . 2 3

Ответ: V = R 3 sin 3 2ϕ ⋅ sin α ⋅ tg ϕ . 4). В конус вписан шар радиуса R . Найти радиус основания конуса, если угол при вершине в осевом сечении конуса имеет величину 2α . π

α

4

2

⎛ ⎞ Ответ: Rctg ⎜ − ⎟ . ⎝ ⎠

5). Основанием пирамиды служит ромб со стороной a и острым углом α , а высота её проходит через центр основания и имеет длину H . Найти полную поверхность пирамиды. ⎛

H2⎞

Ответ: a 2 ⎜⎜ sin α + sin 2 α + 4 2 ⎟⎟ . a ⎠ ⎝ 6). В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной c , и острым углом 30o . Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45o . Найти объём пирамиды. Ответ: V =

c3 3 . 48

7). Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из боковых граней две перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ней углы α и β . Высота пирамиды равна H . Определить объём пирамиды. 1 3

Ответ: V = H 3ctgα ctgβ . 8). Определить объём правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ образует с боковой гранью угол α , а сторона основания равна b . Ответ: V = b 3 ctg 2α − 1 . 9). В прямом параллелепипеде стороны основания равны a и b , острый угол между ними 60o . Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объём параллелепипеда.

5 1 2

Ответ: V = ab 6ab . 10). Центр верхнего основания правильной четырёхугольной призмы и середины сторон нижнего основания служат вершинами вписанной в призму пирамиды, объём которой равен V . Найти объём призмы. Ответ: 6 V . 11). Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной четырёхугольной пирамиды, равна её боковому ребру и равна a . Найти полную поверхность пирамиды и её объём. Ответ: a 2 1 + 7 / 2 ; a 3 3 / 12 .

(

)

12). Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Выразить объём V цилиндра через площадь S этого прямоугольника и длину C окружности, описанной точкой пересечения его диагоналей. Ответ: V = S ⋅ C . 13). Радиус основания конуса равен R , а боковая поверхность равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определить объём конуса. 2 π 2R 3 . 3 π2 −1

Ответ: V = ⋅

14). Около шара радиуса R описана правильная шестиугольная призма. Определить её полную поверхность. Ответ: 12R 2 3 . 15). Треугольник со сторонами, равными a , b , c вращается поочерёдно вокруг каждой из своих сторон. Найти отношение объёмов полученных при этом фигур. Ответ:

1 1 1 : : . a b c

6 3. Контрольная

работа

1). В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом α при основании. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под равными углами ϕ = 90o − α . Площадь сечения, проведённого через высоту пирамиды и через вершину равнобедренного треугольника, лежащего в основании, равна Q . Определить объём пирамиды. 2). Пирамида имеет в основании квадрат. Из двух противолежащих друг другу рёбер одно перпендикулярно к плоскости основания, другое наклонено к ней под углом β и имеет длину l . Определить длины остальных боковых рёбер и углы наклона их к плоскости основания пирамиды. 3). Определить объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, если сторона большего основания равна a , сторона меньшего основания равна b , а острый угол боковой грани равен α . 4). В правильной треугольной призме угол между диагональю боковой грани и другой боковой гранью равен α . Определить боковую поверхность призмы, зная, что ребро основания равно a . 5). Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диагональных сечений этой призмы равны P и Q . Найти боковую поверхность призмы. 6). Боковая поверхность конуса равна S , а полная поверхность — P . Определить угол между высотой и образующей. 7). В полушар радиуса R вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании полушара, а другие четыре вершины расположены на его сферической поверхности. Определить объём куба. 8). Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 30o . Боковая поверхность конуса равна 3π 3 кв.ед. Определить объём правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус. 9). Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны a и b . Определить полную поверхность параллелепипеда. 10). Конус образован вращением прямоугольного треугольника площади S вокруг одного из катетов. Найти объём конуса, если длина окружности, описанной при вращении этого треугольника точкой пересечения медиан, равна L .