РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
7. Задачи по стереометрии
методические указания для абитуриентов физического фа...
9 downloads
172 Views
166KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
7. Задачи по стереометрии
методические указания для абитуриентов физического факультета
Ростов-на-Дону 2002
2 Печатается по решению учебнофакультета РГУ.
методической комиссии физического
Составители — А.Н. Румянцев, канд. физ.-мат. наук, доц., Т.Г. Румянцева, канд. физ.-мат. наук, доц., П.В. Махно, студент физического факультета.
Методические указания предназначены для подготовки к вступительному экзамену по математике на физический факультет университета и содержат основные формулы для решения задач по стереометрии; задачи для самостоятельного решения с ответами; контрольную работу.
3 1. Основные формулы 1). Произвольная призма ( S — площадь основания; H — высота; V — объём ): V = S ⋅H . 2). Прямая призма ( P — периметр основания; l — боковое ребро; S b — боковая поверхность): Sb = P ⋅l .
3). Прямоугольный параллелепипед ( a,b ,c — его измерения; d — диагональ): V = abc ; d 2 = a 2 + b 2 + c 2 . 4). Куб ( a — ребро): V = a3 ; d = a 3 . 5). Произвольная пирамида ( S — площадь основания; H — высота; V — объём): 1 V = S ⋅H . 3 6). Правильная пирамида ( P — периметр основания; l — апофема; S b — пло-
щадь боковой поверхности): Sb =
1 1 P ⋅l ; V = S ⋅H . 2 3
7). Произвольная усечённая пирамида ( S 1 и S 2 — площади оснований; h — высота; V — объём): V = 1 h S 1 + S 2 + S 1S 2 . 3
(
)
8). Цилиндр ( R — радиус основания; H — высота; S b — площадь боковой поверхности; V — объём): S b = 2π RH ; V = π R 2 H . 9). Конус ( R — радиус основания; H — высота; l — образующая; S b — площадь боковой поверхности; V — объём): 1 S b = π Rl ; V = π R 2 H . 3 10). Шар, сфера ( R — радиус шара; S — площадь сферической поверхности; V — объём): S = 4π R 2 ; V = 4 3 ⋅ π R 3 .
11). Шаровой сегмент ( R — радиус шара; h — высота сегмента; S — площадь сферической поверхности сегмента; V — объём): 1 ⎞ ⎛ S = 2π Rh ; V = π h 2 ⎜ R − h ⎟ . ⎝ 3 ⎠
12). Шаровой сектор ( R — радиус шара ; h — высота сегмента; V — объём): V =
2 πR 2h . 3
4 2. Задачи для самостоятельного решения 1). Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6 см, 5 см, 5 см. Боковые грани пирамиды образуют с её основанием равные двугранные углы, содержащие по 45o . Определить объём этой пирамиды. Ответ: 6 куб. см. 2). В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α при основании . Все боковые рёбра пирамиды составляют с основанием один и тот же угол величины ϕ . Найти объём пирамиды. 1 6
Ответ: V = a 3 cosα tg ϕ . 3). Основанием пирамиды служит прямоугольник с острым углом величины α между диагоналями. Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол величины ϕ . Найти объём пирамиды, если радиус шара, описанного около неё, равен R . 2 3
Ответ: V = R 3 sin 3 2ϕ ⋅ sin α ⋅ tg ϕ . 4). В конус вписан шар радиуса R . Найти радиус основания конуса, если угол при вершине в осевом сечении конуса имеет величину 2α . π
α
4
2
⎛ ⎞ Ответ: Rctg ⎜ − ⎟ . ⎝ ⎠
5). Основанием пирамиды служит ромб со стороной a и острым углом α , а высота её проходит через центр основания и имеет длину H . Найти полную поверхность пирамиды. ⎛
H2⎞
Ответ: a 2 ⎜⎜ sin α + sin 2 α + 4 2 ⎟⎟ . a ⎠ ⎝ 6). В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной c , и острым углом 30o . Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45o . Найти объём пирамиды. Ответ: V =
c3 3 . 48
7). Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из боковых граней две перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ней углы α и β . Высота пирамиды равна H . Определить объём пирамиды. 1 3
Ответ: V = H 3ctgα ctgβ . 8). Определить объём правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ образует с боковой гранью угол α , а сторона основания равна b . Ответ: V = b 3 ctg 2α − 1 . 9). В прямом параллелепипеде стороны основания равны a и b , острый угол между ними 60o . Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объём параллелепипеда.
5 1 2
Ответ: V = ab 6ab . 10). Центр верхнего основания правильной четырёхугольной призмы и середины сторон нижнего основания служат вершинами вписанной в призму пирамиды, объём которой равен V . Найти объём призмы. Ответ: 6 V . 11). Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной четырёхугольной пирамиды, равна её боковому ребру и равна a . Найти полную поверхность пирамиды и её объём. Ответ: a 2 1 + 7 / 2 ; a 3 3 / 12 .
(
)
12). Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Выразить объём V цилиндра через площадь S этого прямоугольника и длину C окружности, описанной точкой пересечения его диагоналей. Ответ: V = S ⋅ C . 13). Радиус основания конуса равен R , а боковая поверхность равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определить объём конуса. 2 π 2R 3 . 3 π2 −1
Ответ: V = ⋅
14). Около шара радиуса R описана правильная шестиугольная призма. Определить её полную поверхность. Ответ: 12R 2 3 . 15). Треугольник со сторонами, равными a , b , c вращается поочерёдно вокруг каждой из своих сторон. Найти отношение объёмов полученных при этом фигур. Ответ:
1 1 1 : : . a b c
6 3. Контрольная
работа
1). В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом α при основании. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под равными углами ϕ = 90o − α . Площадь сечения, проведённого через высоту пирамиды и через вершину равнобедренного треугольника, лежащего в основании, равна Q . Определить объём пирамиды. 2). Пирамида имеет в основании квадрат. Из двух противолежащих друг другу рёбер одно перпендикулярно к плоскости основания, другое наклонено к ней под углом β и имеет длину l . Определить длины остальных боковых рёбер и углы наклона их к плоскости основания пирамиды. 3). Определить объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, если сторона большего основания равна a , сторона меньшего основания равна b , а острый угол боковой грани равен α . 4). В правильной треугольной призме угол между диагональю боковой грани и другой боковой гранью равен α . Определить боковую поверхность призмы, зная, что ребро основания равно a . 5). Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диагональных сечений этой призмы равны P и Q . Найти боковую поверхность призмы. 6). Боковая поверхность конуса равна S , а полная поверхность — P . Определить угол между высотой и образующей. 7). В полушар радиуса R вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании полушара, а другие четыре вершины расположены на его сферической поверхности. Определить объём куба. 8). Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 30o . Боковая поверхность конуса равна 3π 3 кв.ед. Определить объём правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус. 9). Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны a и b . Определить полную поверхность параллелепипеда. 10). Конус образован вращением прямоугольного треугольника площади S вокруг одного из катетов. Найти объём конуса, если длина окружности, описанной при вращении этого треугольника точкой пересечения медиан, равна L .