Курс теории чисел и криптографии

Н.Коблиц КУРС ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И КРИПТОГРАФИИ Москва: Научное изд-во ТВП, 2001, х+254 с.

Цель данной книги — ввести читателя в те области арифметики, как классические, так и самые современные, которые находятся в центре внимания приложений теории чисел, особенно криптографии. Предполагается, что знание высшей алгебры и теории чисел ограничено самым скромным знакомством с их основами; по этой причине излагаются также необходимые сведения из этих областей математики. Авторами избран алгоритмический подход, причем особое внимание уделяется оценкам эффективности методов, предлагаемых теорией. Особенностью книги является изложение совсем недавно разработанных приложений теории эллиптических кривых. Перевод на русский язык осуществлен с оригинала второго издания, существенно пересмотренного по сравнению с первым изданием и снабженного обновленным списком литературы. Каждая глава включает в себя тщательно составленную подборку задач, как правило, снабженных подробными указаниями и решениями. Все это позволяет рекомендовать книгу не только в качестве ценного пособия для общетеоретической подготовки специалистов по защите информации, но и как полезный источник примеров практической применимости целого ряда абстрактных разделов математики и кибернетики. Книга прекрасно подходит и для самообразования. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие V Предисловие ко второму изданию vii Глава I. Некоторые вопросы элементарной теории чисел 1 § 1. Временные оценки сложности арифметических операций 1 § 2. Делимость и алгоритм Евклида 13 § 3. Сравнения 20 § 4. Некоторые применения к разложению на множители 30 Глава II. Конечные поля и квадратичные вычеты 34 § 1. Конечные поля 36 § 2. Квадратичные вычеты и закон взаимности 47 Глава III. Криптография 61 § 1. Некоторые простые криптосистемы 61 § 2. Шифрующие матрицы 73 Глава IV. Открытый ключ 91 § 1. Суть криптографии с открытым ключом 91 § 2. Криптосистема RSA 101 § 3. Дискретное логарифмирование 107 § 4. Задача о рюкзаке 123 § 5. Протоколы с нулевым разглашением и скрытая передача 130 Глава V. Простота и факторизация 139 § 1. Псевдопростые числа 140 § 2. Ро-метод 155

§ 3. Факторизация Ферма и факторные базы 160 § 4. Метод цепных дробей 174 § 5. Метод квадратичного решета 180 Глава VI. Эллиптические кривые 188 § 1. Основные факты 188 § 2. Криптосистемы на эллиптических кривых 200 § 3. Критерий простоты, использующий эллиптические кривые 212 § 4. Разложение на множители при помощи эллиптических кривых 217 Ответы к упражнениям 227 Предметный указатель 255 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ - спаривание 204 Абелева группа 37 векторное пространство 34 -, тип 197 вероятностное шифрование 99 автоморфизм 35, 41 вероятностный алгоритм 95, 104-105, Адлемана-Померанца-Румели тест на 141-142 простоту 151 вещественные точки на Адлемана-Хуана тест на простоту эллиптической кривой 199, 251 215-216 взаимно простые (числа) 16 алгебраический элемент 35 Виженера шифр 74 алгоритм 10 Вильсона теорема 28 - Берлекампа 116 возведение в степень 25-26, 107 - вероятностный 95, 104-105, 141-142 - в кольце 26, 107 - детерминистический 142 временные оценки 5 - дискретного логарифмирования для 113-118 - алгоритма Евклида 15-16, 18, 19 - индексный 114-118 - алгоритма факторных баз 166-172 - Силвера-Полига-Хеллмана 113- арифметических операций 3-8 114,208 - возведения в степень в кольце - факторных баз 115-116, 166 вычетов 26 - Шуфа 202, 207 - извлечения квадратного корня по алфавит 92 модулю p 57-58 аутентичность, подлинность 97, 105 - метода квадратичного решета 185 аффинная плоскость 192 - нахождения обратного 21 аффинное отображение 64, 67, 76, 84 - перевода в новую систему Бесконечно удаленная прямая 192 счисления 10-11 бесконечность 193 - ро-метода 158-159 - - точка 189, 193 биграмма 61 бит 3 - теста Миллера-Рабина на простоту «больших и малых шагов» метод 114 153 Бонд Джеймс 90, 210, 236, 239 - точек на эллиптической кривой 201 бросание монетки 100, 106, 240 - факторизации на эллиптической быстрорастущий набор 123 кривой 224-226 B-число 162, 180-181 - факторизационных алгоритмов 171Вейля 172 - гипотеза 198

вскрытие кода 63 вычет - квадратичный 49 - наименьший абсолютный 162 - по модулю m 20-21, 219 Галуа расширение поля 35 гауссова сумма 50, 52, 151 гауссовы числа 19, 42, 48, 193 гладкая точка 189 гладкое целое 113 глобальная эллиптическая кривая 208 граф 130 группа - абелева 37 - циклическая 38 Двоичная - операция 3 - система счисления 1-3 двоичный разряд (бит) 3 делимость 13 - точная 13 делитель 13 - нетривиальный 13 - собственный 13 делящая точка 195 детерминистический алгоритм 142 дешифрование 61 -, ключ 91 -, преобразование 61 дзета-функция 198 - на эллиптической кривой 198 дискретный логарифм 107-108 - на эллиптической кривой 203 DES (стандарт шифрования данных) 111-112 DSS (стандарт цифровой подписи) 111-113 Евклида алгоритм 14-15 - для гауссовых чисел 19-20 - для многочленов 19 Жермен Софи 233 - простое число 233 Закон сложения на эллиптической кривой 190 зашифрование 61

Изоморфизм 35 индексный алгоритм 114-118 Казакова 92-93 квадратичная взаимность 51, 54 квадратичное решето 180-182 квадратичный - вычет 49 - невычет 49 - характер 196 квадратный корень в конечном поле 47, 55, 59, 106, 203 кириллица 71, 87 китайская теорема об остатках 23 классическая криптосистема 96 ключ 64 - дешифрования 91 - шифрования 64, 91 ключами обмен 98, 108 кодирование 202 кольцо 76 - матриц 76-77 - многочленов 34 коммивояжера задача 124 комплексные точки на эллиптической кривой 193 комплексные числа 19 композиция криптосистем 72, 87-88 конечное поле 21, 36 -, автоморфизм 41 -, образующий элемент 38 -, подполе 43 -, существование и единственность 40 корень из единицы в конечном поле 47 Коэна-Ленстры тест на простоту 151 КПСС 237 кратная точка 201 кратность корня 36 криптоанализ 63 криптография 61 - с открытым ключом 93 криптосистема 61-62, 91 - Диффи-Хеллмана 108-109, 205

- классическая 96-97 - Меркля-Хеллмана 124 - Мэсси-Омуры 110-111, 120-121,206207, 241 - на эллиптических кривых 204-206 - рюкзачная 124-128 - с секретным ключом 96 - симметричная 96 - Эль-Гамаля 111, 121, 206-207 - RSA 24, 101-103, 118, 139140,154,172 кручения подгруппа 195, 209 Лагранжа теорема 176 Лежандра символ 49, 196 Ленстры факторизация на эллиптической кривой 217, 221222 линейная алгебра 66, 74-76 - по модулю N 76-79, 116-117 - по модулю 2 164 линейное отображение 65, 74, 76, 78 L-ряды Дирихле 151 Матрица 74-76 - обратная 75, 77 Меркля-Хеллмана криптосистема 124-126 Мерсенна простое (число) 31, 32, 58, 139, 216, 233 - гауссово 252 Миллера-Рабина тест на простоту 146 многочлен 19 - неприводимый 35 - нормированный 19, 35 - примитивный 43 модуль 20 Монте-Карло метод факторизации 155-159 Морделла теорема 195 Мэсси-Омуры криптосистема 110111, 120-121, 206-207, 241 Наибольший общий делитель 14 - гауссовых чисел 19 - многочленов 19, 36 наименьшее общее кратное 14

наименьший абсолютный вычет 162 невычет квадратичный 49 неинтерактивность 136 неприводимый многочлен 35, 115, 122 - над конечным полем 43-45, 115, 122 нормированный многочлен 19, 35 нулевое разглашение 130 для - задачи дискретного логарифмирования 130, 137 - разложения на множители 136-137 - раскраски карты 131-132 нулевой элемент 190 (n, k)-пороговая система 29 Образующий элемент конечного поля 38 обратный (по умножению) элемент 21 однонаправленная функция 94 - с замком (лазейкой) 93 определитель 75 основание системы счисления 1 основная теорема арифметики 13, 29 открытый - ключ 95, 97 - текст 61 O-большое (символика) 8 Параметры криптосистемы 64, 91 Пепина тест на простоту 216 периодическая дробь 12, 227, 246 повторного возведения в квадрат метод 26, 107, 116 подпись 97, 105 подъем (квадратного корня) 59, 89 Поклингтона тест на простоту 212,216 поле 34 - из p элементов 21, 36 - конечное 21, 36 - простое 36 - разложения 36 Полига-Силвера-Хеллмана алгоритм 113-114, 208

полиномиальное время 11 Полларда (p - 1)-метод 217-219 поля - автоморфизм 35, 41 - изоморфизм 35 - расширение Галуа 35 - характеристика 36 порядок - точки 195 - элемента 37 предварительный этап вычислений дискретного логарифма 115 предположение Диффи-Хеллмана 109, 135 представление открытого текста 202 преобразование - дешифрования 61 - на биграммах 67 - сдвига 63 приближение (цепной дроби) 175 примитивный - корень из единицы 47 - многочлен 43 пробы делением 140, 155 проективная - плоскость 192 - точка 192 проективное уравнение 192 производная многочлена 35 простое - поле 36 - число 13 - - в арифметической прогрессии 39 - - Мерсенна 31, 32, 58, 139, 216, 233 - - Ферма 32, 58-59, 121, 216 псевдопростое (число) 140 -, сильно 145 - Эйлера 144 Разделение секрета 29 разложения на множители алгоритм цепных дробей 177-179 разложения поле 36 разряд двоичный (бит) 3 ранг эллиптической кривой 195

раскрашивание - в три цвета 130-131 - карты или графа 131 расшифрование 61 редукция эллиптической кривой 209, 219-221 решетка 193 решето - квадратичное 180-182 - Эратосфена 181 Римана гипотеза 57, 151 ро-метод 155-159 русский алфавит 71, 87 рюкзачная система Чора-Райвеста 127 RSA 24,101-103, 118, 139-140, 154, 172 Силвера-Полига-Хеллмана алгоритм 113-114, 208 сильно псевдопростое 145 симметричная криптосистема 96 система обмена ключами ДиффиХеллмана 108-109, 205 скрытая передача 134-137 след 210 случайное блуждание 196 случайность 101 Соловея-Штрассена тест на простоту 144 сообщения элемент 61 сопряженный корень 35 составное число 13 сравнение 20-21, 219 СССР 236 Стирлинга формула для n! 11, 166,173 структура криптосистемы 63 суперсингулярная эллиптическая кривая 204 Теорема о простых числах 12-13, 102 тест на простоту - Адлемана-Померанца-Румели 151 - Адлемана-Хуана 215-216 - Коэна-Ленстры 151

- методом проб делением 140 - Миллера-Рабина 146 - на эллиптических кривых 213-215 - Пепина 216 - Поклингтона 212, 216 - Соловея-Штрассена 144 - Эткина 212,215 тор 194 триграмма 61 Факторизации метод - квадратичного решета 180-182 - Монте-Карло 155-157 - Лолларда (p - 1) 217-219 - проб делением 140, 155 - ро-метод 155-159 - Ферма 106, 160-161 - цепных дробей 177-179 факторизация -, разложение на множители 3032,101 - с помощью эллиптических кривых 217, 221-226 факторная база 162 факторных баз алгоритм 115, 166 Ферма - малая теорема 22, 140 - простое число 32, 58-59, 121, 216 - факторизация 106, 160-161 Фибоначчи числа 18, 86-87, 180, 237, 247 фиксированная биграмма 89 фиксированный элемент сообщения 71, 72

Фробениус 207, 252 функция - Вейерштрасса 193-194 - однонаправленная 94 - с замком (лазейкой) 93 Характеристика поля 36 Хассе теорема 197 хеш-функция 98 Цезарь Юлий 63 цепная дробь 174 циклическая группа 38 Частотный анализ 64 число Кармайкла 142-143, 152-153 число разрядов 3 Шестнадцатиричная система 12 шифрование 61 -, ключ 64, 91 -, матрица 80 -, преобразование 61 шифртекст 61 Шуфа алгоритм 202, 207 Эллиптическая кривая 188-189 - над конечным полем 196 эллиптическая функция 194-195 эллиптической кривой - подгруппа кручения 195, 209 - редукция 209, 219-221 Эль-Гамаля - криптосистема 111, 121, 206-207 - система подписи 121 Эткина тест на простоту 212, 215 Якоби символ 54