Устойчивость вязкоупругих элементов стенок проточных каналов

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет

А.В.Анкилов, П.А.Вельмисов

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ СТЕНОК ПРОТОЧНЫХ КАНАЛОВ

Ульяновск 2000

УДК 519.3:533.6:517.9 ББК 22.253:22.213:22.161.2 А67 Рецензенты: доктор технических наук

Семушин И.В.

доктор физико-математических наук Андреев А.С. Научный редактор доктор физико-математических наук П.А.Вельмисов Одобрено редакционно-издательским советом УлГТУ

УДК 519.3:533.6:517.9 Анкилов А.В., Белым и сов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов стенок проточных каналов / Ульян, гос. техн. ун-т. - Ульяновск: УлГТУ, 2000. - 115 с. В монографии исследуется динамическая устойчивость вязкоупругих элементов стенок каналов, подверженных старению, сжатых (растянутых) продольными усилиями, с учетом взаимодействия с потоком идеальной жидкости (газа). Механическое поведение материала элементов описывается моделью, согласно которой связь между напряжением и деформацией определяется уравнением Вольтерра-Фойхта. Аэрогидродинамическое воздействие определяется на основе асимптотических уравнений движения жидкости или газа. Получены условия устойчивости решений задач о динамике стенок плоских и трехмерных каналов при протекании в них несжимаемой среды. Представлены результаты исследований динамической устойчивости нелинейного трансзвукового движения сжимаемого идеального газа. Предназначена для научных работников, аспирантов, специализирующихся в области механики сплошных сред, теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, теории функций комплексного переменного, устойчивости движения механических систем с распределенными параметрами. Печатается в авторской редакции.

ISBN 5-89146-213-3

© А.В.Анкилов,П.А.Вельмисов, 2000 © Оформление. УлГТУ, 2000

Оглавление Введение............................................................................................, 4 Глава 1. Динамическая устойчивость вяокоупругих элементов стенок бесконечно длинного канала..................................…………............... 11 1.1. Математическая модель ........................................................... 11 1.2. Решение аэрогидродинамической задачи ............................... 13 1.3. Исследование устойчивости вяокоупругих элементов ............ 17 1.4. Канал с одной деформируемой стенкой .................................. 33 Глава 2. Устойчивость колебаний вяокоупругих элементов стенок канала конечной длины .......................................................…............. 37 2.1. Исследование устойчивости при оадании в граничных сечениях продольных составляющих скорости (первый метод) ...…………… 37 2.2. Исследование устойчивости при оадании в граничных сечениях продольных составляющих скорости (второй метод) ...…………… 47 2.3. Исследование устойчивости при оадании в граничных сечениях потенциала скорости ........................................................…………… 55 2.4. Пространственные оадачи ...................................................... 58 Глава 3. Устойчивость колебаний вяокоупругих стенок канала при оадании в граничных сечениях оаконов изменения давления .... 69 3.1. Канал с двумя деформируемыми стенками ........................... 69 3.2. Канал с одной деформируемой стенкой .................................. 74 3.3. Пространственная оадача ........................................................ 77 Глава 4. Исследование динамической устойчивости нелинейных течений жидкости (гаоа) ......................................…………............................ 81 4.1. Устойчивость трансзвуковых течений гаоа .......................... 81 4.2. Устойчивость движения вяокой несжимаемой жидкости ....... 96 Библиографический список ........................................................ 107

Введение Важной народно-хозяйственной проблемой во многих отраслях техники является повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Такая проблема, в частности, возникает в авиа-ракетостроении, турбо-компрессоростроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, трубопроводных систем, проточных каналов различного назначения и т.д. При проектировании таких конструкций одним из важнейших является вопрос об устойчивости колебаний деформируемых элементов, так как воздействие потока может не только возбуждать колебания, но и приводить к увеличению с течением времени амплитуды или(и) скорости колебаний до значений, при которых может произойти разрушение конструкции или ее элементов. Задача об исследовании динамической устойчивости, а именно - устойчивости по начальным данным, или устойчивости по Ляпунову, может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему "газтело" (основными параметрами являются скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, действующие в связи с конструктивными особенностями заданные усилия, силы трения и т.д.), малым отклонениям (деформациям) тела от положения равновесия в начальный момент времени t = 0 будут соответствовать малые отклонения (деформации) и в любой момент времени t > 0. Такая постановка вопроса является существенной для многих задач механики и техники, описываемых дифференциальными уравнениями, в которых важно знать не только (а иногда не столько) конкретные значения решения этих уравнений при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения при изменении аргумента, в частности, при его неограниченном возрастании. Примерами потери динамической устойчивости являются: флаттер крыла самолета и панельный флаттер пластин и оболочек, обтекаемых потоком; срывной флаттер лопаток турбин и винтов, возникающих в случае обтекания с большими углами атаки; колебания проводов, дымовых труб, балок жесткости висячих мостов и т.д. В статических задачах вопрос об исследовании устойчивости можно поставить следующим образом: при каких значениях параметров (вне-

шних, внутренних) система может совершать скачкообразный переход (бифуркацию) ио одного состояния равновесия в другое. В качестве таких основных параметров в задачах аэрогидроупру гости опять же выступают скорость потока, прочностные характеристики, приложенные усилия и т.д. Примерами статической потери аэроупругой устойчивости являются дивергенция (закручивание) крыла самолета, статическое выпучивание пластин и оболочек при обтекании потоком. В то же время для функционирования некоторых технических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации технологических процессов) явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым. Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с определением характеристик, требуемых для их функционирования и надежности их эксплуатации. Тонкостенные элементы в форме оболочки, пластины, стержня могут относительно легко изгибаться и заметно изменять форму при воздействии потока. Это в свою очередь приводит к изменению поля скоростей и давлений в жидкости (газе) около тела, и, как следствие, нагрузок на него. Поэтому существенным моментом в теории аэрогидроупругости является учет взаимного (обратного) влияния деформаций тела и поля скоростей и давлений потока (т.е. учет взаимодействия аэрогидродинамических сил, сил упругости, сил инерции и т.д.). Следовательно, теория аэроупругости является комплексной областью механики, в которой объединены методы механики деформируемого тела с одной стороны, и методы аэрогидромеханики - с другой. В настоящее время аэрогидроупругость представляет собой хорошо развитый раздел механики сплошной среды. Большие успехи достигнуты в исследованиях динамики и статики несущих поверхностей (крыловых профилей). Задачи, поставленные в этом направлении еще на ранних стадиях развития авиационной техники, в дальнейшем стали актуальными и в турбо-компрессоростроении. Соответствующие результаты освещены в работах Белоцерковского С.М., Кочеткова Ю.А., Красовского А.А., Новицкого В.В. [17], Келдыша М.В., Гроссмана Б.П., Марина Н.И. [90], Самойяовича Г.С. [130,131], Смирнова А.И.[136,137], Степанова Г.Ю.[138], Фершинга Г. [140], Фына Я.Ц.[145], и др. Существенным является предположение

о малой относительной толщине профиля, что позволяет применять линейную теорию течения. Облегчает исследование часто принимаемое допущение о возможности рассматривать только изгиб и кручение крыла как балки. Более сложные модели движения и взаимодействия приходится принимать при исследовании поведения упругих пластин и оболочек в потоке. Это диктуется как более сложной формой их деформирования, так и ориентацией по отношению к направлению невозмущенного потока (например, большой угол атаки). В этих задачах предполагается малая толщина стенок, в связи с чем при сопряжении решений для двух сред контактная поверхность отождествляется со срединной поверхностью. В частности, сведение деформированной срединной поверхности к исходной и дополнительное предположение о малых возмущениях течения позволяют использовать линейную теорию движения жидкости (газа). Подробно изучен сверхзвуковой панельный флаттер с применением закона плоских сечений ("поршневой" теории). Результаты, полученные в этом направлении, представлены в работах Бо-лотина В.В.[21],Вольмира А.С.[51-53], Гонткевича B.C.[59], Григолюка Э.И.[64], Григолюка Э.И., Лампера Р.Е., Шандарова Л.Г.[65], Нович-кова Ю.Н.[116], Бисплингхоффа Р.Л., Эшли X., Халфмана Р.Л.[19], До-уелла Е.Х.[157-160], Доуелла Е.Х., Ильгамова М.А.[161], Фына Я.Ц. [144,145], Фершинга Г.[140], Ильюшина А.А., Кийко И.А.[81-83], Алгазина С.Д., Кийко И.А.[1,2], Мовчана А.А.[110], Дж. Майлса [104,105], Пановко Я.Г., Губановой И.И.[117], Амбарцумяна С.А., Багдасаряна Г.Е., Белубекяна М.В.[6], Швейко Ю.Ю.[149, 150], Кийко И.А.[91,92], Ильгамова М.А.[77-79] и др. Гидроупругость плохообтекаемых элементов конструкций (в том числе антенн, мостов, трубопроводов) рассматривалась в работах Девнина С.И.[73], Казакевича М.И.[85,86], Светлицкого В.А.[132,133] и др. Существенным здесь является отрыв потока с поверхности, моделирование которого представляет большие трудности. К этим вопросам тесно примыкают и задачи о динамическом поведении мягких оболочек в потоке, сложность моделирования поведения которых заключается в больших изменениях формы тела и картины течения, а также проницаемости оболочек. Исследованию парашютных систем посвящены работы Гулина Б.В., Ильгамова M.A.J72], Шевлякова Ю.А., Тищенко В.Н., Темненко В.А.[151] и др. Широкий круг исследований включает в себя описание колебаний

и распространение волн в оболочке, находящейся в газожиджостной среде или содержащей ее, в частности, анализ динамических явлений в камерах сгорания и реакторах. Этой проблеме посвящены работы Буйвола В.Н.[22], Ильгамова М.А.[78], Рапопорта И.М.[126], Фролова К.В., Антонова В.Н.[143], Шейнина И.С.[152] и др. Поведение конструкций при набегании волн давления рассматривалось в работах Вестяка А.В., Горшкова А.Г., Тарлаковского Д.В.[49], Гапиева Ш.У.[54,55], Горшкова А.Г.[60], Григолюка Э.И., Горшкова А.Г. [66-68], Гузя А.Н., Кубенко В.Д.[97), Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабаева А.Э.[71], Кармишина А.В., Скурлатова Э.Д., Старцева В.Г., Фельдштейна В.А.[88], Мнева Е.И., Перцева А.К. [109] и др. В работах Светлицкого В.А.[132,133], Челомея С.В.[146,147], ФеодосьеваВ.И.[139], Казакевича М.И.[85], Милославского А.И.[108] и других рассматривается динамика трубопроводов. Аэрогидродинамическое воздействие в указанных выше работах, как правило, определяется из линейных уравнений движения жидкости или газа. Нелинейность течений учитывается в работах [51,52,55, 72,161]. Существенным фактором, влияющим на прочностные характеристики деформируемых тел, является старение материала (изменение его физико-механических свойств с течением времени). Хорошо разработанной является модель стареющего вязкоупругого тела, согласно которой напряжение в любой точке тела зависит от предыстории деформирования материала в данной точке, а связь между напряжением и деформацией подчиняется уравнению Вольтерра-Фойхта. Фундаментальные результаты в теории вязкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел изложены в работах Александрова А.В., Потапова В.Д.[3], Качанова Л.М.[89], Колтунова М.А.[95], Постникова В.С.[120], Работнова Ю.Н.[123-125], Ржаницына А.Р.[128], Арутюняна Н.Х., Коямановского В.Б.[13], Арутюняна Н.Х., Дроздова А.Д., Колмановского В.Б.[12], Ильюшина А.А., Б.Е.Победри[84] и др. Невозможность в задачах аэрогидроупругости определения силового воздействия потока на обтекаемое деформируемое тело до решения задачи об определении его деформации (математически это выражается в том, что совместное движение тела и жидкости или газа описывается связанной системой дифференциальных уравнений для функций прогибов и аэрогидродинамических функций) и учет вявкоупру-гих свойств материала (что приводит к появлению в уравнениях дви-

жения теп дополнительных интегральных членов) увеличивают сложность решения задач о динамике и устойчивости вязкоупругих конструкций при аэрогидродинамическом воздействии, не позволяют использовать некоторые классические подходы и приводят к необходимости разработки специальных методов исследования, отличающихся от методов расчета деформаций упругих элементов конструкций при заданных нагрузках. Аналитические (в т.ч. приближенные аналитические, численно-аналитические) решения явно содержат основные параметры механической системы, и в таком виде они наиболее приспособлены для решения задач оптимизации, автоматического управления, автоматизированного проектирования, а также для работы в диалоговом режиме с ЭВМ, что существенно повышает эффективность их использования. Определение требуемых свойств конструкций осуществляется на основе вычислительного эксперимента. В то же время такие решения получены лишь для некоторых классов задач аэрогидроупругости. Поэтому разработка аналитических и численно-аналитических методов, ориентированных на решение широкого класса новых задач динамики и устойчивости вязкоупругих конструкций в потоке газа (жидкости), является актуальной научно-технической проблемой. Монография состоит из четырех глав. В первой главе исследуется задача о динамической устойчивости вязкоупругих элементов стенок бесконечно длинного плоского канала, через который протекает поток жидкости (газа). Количество и места расположения элементов на двух или одной стенках произвольные. Решение аэрогидродинамической задачи, основанное на методах теории функций комплексного переменного (ТФКП), позволяет получить замкнутую систему уравнений для функций прогибов, не содержащую аэрогидродинамических функций. Во второй главе рассматривается задача о динамической устойчивости вязкоупругих элементов стенок плоского и трехмерного канала прямоугольного сечения конечной длины. Количество и места расположения элементов на стенках произвольные. В первом и втором параграфах исследуется динамическая устойчивость вязкоупругих элементов стенок плоского канала при задании в граничных сечениях продольных составляющих скорости, при этом решение задачи сведено к исследованию системы уравнений для неизвестных функций прогибов на основе представления потенциала скорости в виде отрезка ряда, яв-

лающегося точным решением уравнения Далласа (метод 1), и использования методов ТФКП (метод 2). В третьем параграфе изучается аналогичная задача при задании в граничных сечениях потенциала скорости, с помощью метода 1 исключения аэрогидродинамических функций получена система уравнений для функций прогибов. В четвертом параграфе проведено исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин - элементов стенки трехмерного канала прямоугольного сечения в случае, когда на входе в канал и на выходе из него задан потенциал или продольные составляющие скорости. Решение задачи на основе метода 1 также сведено к исследованию системы уравнений для функций прогибов. В третьей главе исследуется динамическая устойчивость колебаний вязкоупругих стенок плоского и трехмерного каналов конечной длины, в начальном и конечном сечениях которого заданы законы изменения давления. Для решения задачи аэрогидроупругости использовался метод 1 исключения аэрогидродинамических функций. В четвертой главе в первом параграфе исследуется динамическая устойчивость нелинейного трансзвукового неустановившегося течения сжимаемого идеального газа, в том числе при взаимодействии с упругими стенками сопла. Во втором параграфе рассматривается задача об устойчивости совместного нелинейного движения вязкой несжимаемой жидкости и движения пластин, являющихся частями границ областей с жидкостью. Исследуется также устойчивость движения пластин с учетом взаимодействия со слоистыми течениями вязкой несжимаемой жидкости. В связанных задачах аэроупругости, рассматриваемых в монографии, используется методика исключения аэрогидродинамических функций, основанная на методах ТФКП или представлении точного решения для потенциала скорости в виде отрезка ряда, позволяющая свести решение задач к исследованию интегро-дифференциальных уравнений для прогибов пластин. При решении аэрогидродинамической задачи давление газа или жидкости на пластины определяется через функции, описывающие их неизвестные прогибы. При подстановке выражения для давления в уравнения колебаний пластин получаем замкнутую систему связанных уравнений для функций прогибов. Исследование динамической устойчивости вявкоупругих элементов проводится на основе построения положительно определенных функционалов, соответствующих указанным

системам уравнений для прогибов. В главе 4 исследование устойчивости проводится на основе построения смешанных функционалов, содержащих как функции прогибов пластин, так и потенциал скорости течения. Полученные условия устойчивости накладывают ограничения на меры релаксации пластин и оснований, сжимающие (растягивающие) пластины усилия, скорость невозмущенного однородного потока, а также на коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования, коэффициент жесткости основания и другие параметры. Аэрогидродинамическое воздействие на конструкции определяется из асимптотических уравнений движения жидкости или газа в модели идеальной несжимаемой (главы 1-3) или идеальной сжимаемой (глава 4) среды. При этом различия между терминами "жидкость", "газ" в главах 1-3 не делается, так как предполагается, что скорость потока V значительно меньше скорости звука. Для описания колебаний деформируемых элементов используется модель вяокоупругого стареющего тела из материала с наследственностью. Принятые в работе определения динамической устойчивости вязкоупругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Разработанные математические модели и методы позволяют усовершенствовать теоретическую базу современного проектирования взаимодействующих с потоком жидкости или газа вязкоупругих тонкостенных конструкций и соответствующих технических устройств, повысить уровень расчетного анализа взаимодействия, и тем самым сократить время и средства, затрачиваемые на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением компьютерных исследований. Полученные в работе результаты углубляют представление о механических процессах взаимодействия деформируемых тел с газожидкостными средами и имеют практическое значение для развития методов расчета аэроупругих конструкций. В каждой главе принята своя двойная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер формулы в главе.

Библиографический список 1. Алгаоин С.Д., КИЙЕО И.А. Исследование собственных (значений оператора в задачах панельного флаттера // МТТ.- 1999.- N1.- С.170-176. 2. Алгаоин С.Д., Кийко И.А. Численно-аналитические исследование флаттера пластины проиовольной формы в плане // ПММ.- 1997.- Т.61.- Вып.1.- С.171-174. 3. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности.-М.: Высш. шк.- 1990.- 400 с. 4. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем.- М: Машиностроение.- 1978. - 311 с. 5. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.- М.: Наука,-1974- 448 с. 6. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин.- М.: Наука, 1977.- 272 с. 7. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Устойчивость вяокоупругих элементов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии // Деп. в ВИНИТИ 06.08.98, N2522-B98.- 131 с. 8. Анкилов А. В., Вельмисов П.А. Устойчивость вяокоу пру гих элементов проточных каналов // Деп. в ВИНИТИ 03.12.99, N3601-B99.- 100 с. 9. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Устойчивость вяокоупругих элементов стенки канала при аэрогидродинамическом воодействии // Вестник УлГТУ.- Ульяновск.1999.- С86-89. 10. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Устойчивость вяокоупругой стенки канала // Механика и процессы управления: Сб. науч. тр.- Ульяновск.- 2000.- С.4-8. 11. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений в одной оадаче аэроупругости.// Математическое моделирование.- 1998.- Т.Ю.- N11.- С.42-43. 12. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вяокоупругих тел и элементов конструкций // Итоги науки и техники: Механика деформируемого твердого тела.- М.: ВИНИТИ.- 1987.- Т.19.- С.3-77. 13. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория полоучести неоднородных тел.-М.: Наука.- 1983.- 336 с. 14. Бабаев А.Э. Нестационарные волны в сплошных средах с системой отражающих поверхностей. - Киев: Наукова думка.- 1990.- 176 с. 15. Баничук Н.В. Оптимиоация форм упругих тел.- М.: Наука.- 1980.- 255 с. 16. Баничук Н.В., Бирюк В.И., Сейранян А.П., Фролов В.М., Яремчук Ю.Ф. Методы оптимиоации авиационных конструкций,- М.: Машиностроение.- 1989.-296с. 17. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский А.А., Новицкий В.В. Введение в аэроавтоупругость.— М.: Наука.- 1980.— 384 с. 18. Белоцерковский С.М. Численное моделирование в механике сплошных сред,М.: Наука.- 1984.- 520 с. 19. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфман Р.Л. Аэроупругость.- М.: ИЛ,-1958.860 с. 20. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука.- 1974,- 503 с.

21. Болотин В.В. Неконсервативные (задачи теории упругой устойчивости.-М.: Фиоматгио.- 1961.- 339 с. 22. Буйвол В.Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в жидкости.Киев: Наукова думка.- 1975.- 190 с. 23. Вайнберг М.М., Треногий В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений.- М.: Наука.- 1969.- 524 с. 24. Вельмисов П. А. Неустановившееся движение гава в соплах Лаваля // Аэродинамика: Сб. науч. тр.- Саратов: СГУ.- 1973.- Вып.2(5).- С.48-61. 25. Вельмисов П.А., Фалькович С.В. К теории околозвуковых течений вязкого гава // Известия вуоов. Математика.- 1974.- N5.- С.52-61. 26. Вельмисов П.А., Фалькович С.В. О нестационарном обтекании тела свободной оуковой струей гава // Аэродинамика: Сб.науч.тр.: Саратов: СГУ.- 1974. Вып.З(б).- С.46-60. 27. Вельмисов П.А., Фалькович С.В. Неустановившиеся течения гава в соплах Лаваля с местными сверхзвуковыми оонами // Прикладная математика и механика.- 1975.- Т.39.- Вып.2.- С.271-279. 28. Вельмисов П.А. К теории околоввуковых неустановившихся течений гава // Аэродинамика: Сб. науч. тр.- Саратов: СГУ.- 1975.- Вып.4(7).- С.3-17. 29. Вельмисов П.А. К вопросу о неустановившемся движении гава в соплах Лаваля // Известия вузов. Математика.- 1976.- N12.- С.3-10. 30. Вельмисов П. А. О распространении возмущений в звуковом потоке гава // Аэродинамика: Сб. науч. тр.- Саратов: СГУ.- 1976.- Вып.5(8).- С.58-67. 31. Вельмисов П.А. О распространении малых возмущений в ввуковом потоке и покоящемся гаве // Прикладная математика и механика.- 1976.- Т.40.- Вып.1.-С.7478. 32. Вельмисов П.А. О некоторых уравнениях в теории околозвуковых неустановившихся течений // Аэродинамика: Сб. науч. тр.- Саратов: СГУ.- 1978.Вып.6(9).- С.3-10. 33. Вельмисов П.А. О единственности решения прямой задачи сопла Лаваля // Известия вузов. Математика.- 1979.- N1.- С.15-17. 34. Вельмисов П.А. Асимптотическое исследование нелинейных эффектов в задаче о нестационарном сверхзвуковом обтекании профиля // Прикладная математика и механика.- 1979. - Т.43. - Вып.1. - С.30-37. 35. Вельмисов П.А. К вопросу единственности в теории трансзвуковых течений гава // Аэродинамика: Сб. науч. тр.- Саратов: СГУ.- 1981.- С.3-13. 36. Вельмисов П.А., Новиков А.А. О некоторых приближенных уравнениях газовой динамики // Прикладная математика и механика: Сб. науч. тр.- Саратов: СГУ.- 1983.- Вып.1.- С.15-26. 37. Вельмисов П.А., Маценко П.К. О некоторых задачах внешнего пространственного обтекания тел околозвуковым потоком гаоа // Известия вузов. Математика.- 1986- N9.- С. 10-16. 38. Вельмисов П.А. Асимптотические уравнения газовой динамики (монография).- Саратов: СГУ.- 1986.- 135 с. 39. Вельмисов П.А. О приближенных уравнениях газовой динамики // Прикладная математика и механика: Сб. науч. тр.- Саратов: СГУ.- 1986.- Вып.З.-С.314.

40. Вельмисов П.А., Болгова Т.В. О вариационной постановке одного класса оадач в теории трансовукового движения гаоа // Аэродинамика: Сб. науч. тр.Саратов: СГУ.- 1987.- Вып. 10(13).- С. 15-22. 41. Вельмисов П.А., Савинов Н.В., Сорокин И,А. К асимптотической теории трансовукового движения газа // Аэродинамика: Сб. науч. тр.— Саратов: СТУ.1988.- Вып.11(14).- С.59-65. 42. Вельмисов П.А., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вявкоупругих систем (монография) // Саратов: СГУ.- 1991.- 179 с. 43. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. О некоторых оадачах движения идеального несжимаемого гаоа в канале с деформируемыми стенками // Аэродинамика: Сб. науч. тр.- Саратов: СГУ.- 1991.- Вып.12(15).- С.62-70. 44. Вельмисов П.А., Колмановский В.Б., Решетников Ю.А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью // Дифференциальные уравнения.- 1994.- Т.ЗО.- Вып.11.- С.1966-1981. 45. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость вяокоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии (монография).- Саратов: СГУ.- 1994.-176с. 46. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии // Математическое моделирование.- 1995,- Т.7.N5.- С.38-39. 47. Вельмисов П.А., Логинов Б.В., Милушева С.Д. Исследование устойчивости трубопровода // Приложение на математиката в техниката: сб. доклади и научни съобщения. XXI национална школа.- Болгария, Варна: Софийский технич. ун-тет.1995.- С.299-304. 48. Вельмисов П.А,, Решетников Ю.А. Устойчивость уравнений, описывающих динамику тонкостенных конструкций // Application of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXII Summer School,- Sozopol, Bulgaria: Technical University of Sofia.- 1996.- P.62-69. 49. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела.- М.: ВИНИТИ.- 1983.- Т. 15.- С.69-148. 50. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.- М.: Наука.-1972.432 с. 51. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и гаоа. Задачи аэроупругости.М.: Наука.- 1976.-415 с. 52. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости,-М.: Наука.-1979.-320 с. 53. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем.- М.: Фиоматгио, 1963,- 880с. 54. Галиев Ш.У. Динамика воаимодействия элементов конструкций с волной давления в жидкости,- Киев: Наукова думка.- 1977.- 172 с. 55. Галиев Ш.У. Динамика гидроупругопластических систем.— Киев: Наукова Думка.- 1981.- 276 с. 56. Гахов Ф.Д. Краевые оадачи,- М.: Гос. иод-во фио-мат лит., 1963.- 640 с. 57. Гимадиев Р.Ш., Ильгамов М.А. Статическое взаимодействие профиля мягкого крыла с потоком несжимаемой жидкости.- Авиационная техника.- 1998.— N1. 58. Глазатов С.Н. О периодических трансзвуковых течениях вязкого гаоа // Сибирск. математич. журнал.- 1997.- Т.38,- N1.- С.69-77.

59. Гонткевич B.C. Собственные колебания оболочек в жидкости,- Киев: Наукова думка.- 1964.- 103 с. 60. Горшков А.Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми преградами // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела.- М.: ВИНИТИ.- 1979.- Т.13.- С.105-186. 61. Горшков А.Г., Кузнецов В.Н., Селеоов И.Т. Цилиндрическая оболочка в нестационарном потоке вяокой жидкости // МТТ, 1996.- N3,- С.89-94. 62. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарняя аэрогидроупругость тел сферической формы,- М.: Наука, 1990.- 260 с. 63. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.- М.: Наука.- 1978.360с.

64. Григолюк А.Г. (ред.) Аорогидроупругость/ Пер. с англ. М.:ИЛ, 1961.-101 с. 65. Григолюк А.Г., Лампер Р.Е., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек // Итоги науки. Механика.- М.: ВИНИТИ, 1965.- Т.2.- С.34-90. 66. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек.-Л.: Судостроение.- 1974.- 208 с.

67. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью.- Л.: Судостроение.- 1976.- 200 с. 68. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Погружение упругих оболочек вращения в жидкость // Итоги науки и техники. Мех. деформ. тверд, тела.- М.: ВИНИТИ.-1977.Т.Ю.- С.63-113. 69. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений.- М.: Ивд-во иностр. лит.1960.- 421 с. 70. Гувь А.Н., Кубенко В.Д. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек.- Киев: Наукова думка.- 1982.- 400 с. 71. Гуоь А.Н., Кубенко В.Д., Бабаев А.Э. Гидроупругость систем оболочек.— Киев: Вища школа.- 1984.- 208 с.

72. Гулин Б.В., Ильгамов М.А. Обзор исследований по теории взаимодействия мягких оболочек с потоком жидкости и газа // Статика и динамика гибких систем,М.: Наука.- 1987.- С.5-34. 73. Девнин С.И. Гидроупругость конструкций при отрывном обтекании.- Л.: Судостроение.- 1975.- 192 с. 74. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания.-М: Физматиздат, I960.-580 с. 75. Зефиров В.Н., Колесов В.В., Мшюславский А.И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода // МТТ, 1985.- N1.- С.179-188. 76. Золотенко Г.Ф. К динамике гидроупругой системы "прямоугольный бак жидкость"// МТТ.- 1996.- N5. 77. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроу пру гость. -М.: Наука,-1991.195с. 78. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и гао,-М.: Наука.- 1969.- 184 с. 79. Ильгамов М.А. Равновесие мембраны, контактирующей с жидкостью // МТТ.- 1995.- N5.- С.134-141. 80. Ильюшин А. А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ.- 1956.- Т.20.- Вып.6.- С.733-755. 81. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Закон плоских сечений в сверхзвуковой аэродинамике и проблемы панельного флатера // МТТ, 1995.- N6,- С. 138-142.

82. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком гаоа //Вестник Московск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика.- 1994.- N4.- С.40-44. 83. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки // ПММ.- 1994.- Т.58.- Вып.З.- С.167-171. 84. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовявкоупругости.- М.: Наука.- 1970,- 280 с. 85. Кавакевич М.И. Аэродинамическая устойчивость надоемных и висячих трубопроводов.- М.: Недра.- 1977.- 200 с. 86. Каоакевич М.И. Аэродинамика мостов.— М.: Транспорт.— 1987.- 240 с. 87. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего аналиоа.М.-Л.: Фиоматгио.- 1962.- 696 с. 88. Кармишин А.В., Скурлатов Э.Д., Старцев В.Г., Фельдштейн В.А. Нестационарная аэроупругость конструкций.- М.: Машиностроение.- 1982.- 240 с. 89. Качанов Л.М. Теория полоучести.- М: Фиоматгио.- I960,- 455 с. 90. Келдыш М.В., Гроссман Е.П., Марин Н.И. Вибрации на самолете.- М.: Оборонгио.- 1942.- 56 с. 91. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком гаоа с большой сверховуковой скоростью // ПММ.1999.- Т.63.- Вып.2.- С.317-325. 92. Кийко И.А. Флаттер вяокоупругой пластины // ПММ.- 1996.- Т.60.-Вып.1.С.172-175. 93. Коллатц Л. Задачи на собственные «значения.- М.: Наука.- 1968.- 503 с. 94. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последствием.- М.: Наука.- 1981.- 448 с. 95. Колтунов М.А. Полоучесть и релаксация.-М.: Высшая школа.- 1976.-277с. 96. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.- М.: Мир.- 1972.274с. 97. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой.- Киев: Наукова думка.- 1979.- 184 с. 98. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного,- М.: Наука,- 1987.- 688 с. 99. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.- М.: Наука.- 1977.- 407 с. 100. Ларионов Г.С. Нелинейный флаттер упруговязкой пластины // МТТ,-1974.N4.- С.95-100. 101. Ларькин Н.А. Гладкие решения уравнений трансзвуковой гаводинамики.Новосибирск: Наука. Сибирское отделение.- 1991.- 145 с. 102. Логинов Б.В., Кожевникова О.В. Бифуркационная задача о прогибе прямоугольной пластины в сверхзвуковом газовом потоке // Деп. в ВИНИТИ, N2145В98.- 52 с. 103. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1987,- 840 с. 104. Майлс Дж.У. О флаттере панели с учетом пограничного слоя // Механика: сб. переводов.- 1959.- N4.- С.97-122. 105. Майлс Дж.У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений.- М.: фио.-мат.лит..- 1963,- 272 с.

106. Матяш В.И. Флаттер упруговяокой пластинки // Механика полимеров.1971.- N6.- С.1077-1083. 107. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.- М.: Наука.-1976.319 с. 108. Милославский А.И. Неустойчивость прямолинейного трубопровода при большой скорости жидкости, протекающей черео него,- Харьков, 1981. Деп. в ВИНИТИ 11.11.81. N5184-81.- 21 с. 109. Мнев Е.И., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек.- Л.: Судостроение.-1970.365 с. 110. МовчанА.А. О колебаниях пластинки, движущейся в гаое//ПММ.-1956.— Т.20.- Вып.2.- С.211-222.

111. Мовчан А. А, Об одной оадаче устойчивости трубы при протекании черео нее жидкости // ПММ.- 1965- Вып.4.- С.760-762. 112. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики.-М.: Наука. 1981.- 400 с. 113. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем,- М.: фио.-мат. лит.- 1995.- 736 с. 114. Найфе А. Методы возмущений.- М.: Мир.- 1976.- 455 с. 115. Нгуен В.Л. О динамической устойчивости трубы при протекании черео нее жидкости.- Вести, моек, ун-та, сер.1. Математика. Механика,- 1993.- N3.-С.3-9. 116. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела.- М.: ВИНИТИ.- 1978,- Т.Н.- С.67-122. 117. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.М.:Наука.- 1987.- 352 с. 118. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Гавовая динамика сопел.- М.: Наука, гл. ред. фио.-мат.лит.- 1990.- 364 с.

119. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала.- Киев: Наукова думка.- 1970.- 379 с. 120. Постников B.C. Внутреннее трение в металлах.-М.: Металлургия.-1974.351с. 121. Потапенко Э.Н. Вибрация пластины на поверхности идеальной жидкости бесконечной глубины // ДАН.- 1994.- Т.334.- N6- С.712-715. 122. Петров В.В., Овчинников И.Г., Инооемцев В.К. Деформирование элементов конструкций ио нелинейного раономодульного неоднородного материала.— Саратов: СГУ.- 1989.- 158 с. 123. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.— М.: Наука.— 1988,712 с.

124. Работнов Ю.Н. Полоучесть элементов конструкций.- М.: Наука, 1966.-752с. 125. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.- М.: Наука.1977.- 383 с.

126. Рапопорт И.М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью,- М.: Машиностроение,- 1967,- 357 с. 127. Реутов В.П., Рыбушкина Г.В. Стохастический флаттер цепочки пластин в турбулентном пограничном слое несжимаемого течения // ПМТФ.- 1996.- Т. 37.N5.- С.52-62.

128. Ржаницын А.Р. Теория ползучести.- М.: Стройиодат.- 1968.- 416 с. 129. Рыжов О.С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля.- М.: ВЦ АН СССР.- 1965.- 238 с. 130. Самойлович Г.С. Вообуждение колебаний лопаток турбомашин.— М.: Машиностроение.- 1975.— 288 с. 131. Самойлович Г.С. Нестационарное обтекание и аэроупругие колебания решеток турбомашин.- М.: Наука.- 1969.- 444 с.

132. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов: Задачи вваимодействия стержней с потоком жидкости или воздуха.- М.: Машиностроение.- 1982.280с. 133. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.2. Динамика.- М.: Высшая школа.1987.- 304 с. 134. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.- М.-Л.: гос. ивд-во технико-теоретич. лит-ры.- 1950.- 443 с. 135. Сергеев B.C. О кручении крыла. // В книге "Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения".- М.: Вычислительный центр РАН.- 1998.-С. 1828. 136. Смирнов А.И. Аороупругость.- М.: МАИ.- 1971.- 184 с. 137. Смирнов А.И. Авроупругая устойчивость летательных аппаратов. - М.: Машиностроение.- 1980.- 231 с. 138. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин.- М.: Фиоматгиз,1962.- 512 с. 139. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб.- Иод-во АН СССР.- 1951.- Т.Ю.- С.169-170. 140. Фершинг Г. Основы аороупругости.- М.: Машиностроение.- 1984,- 600 с. 141. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина.- М.: Мир,-1988.352 с.

142. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике.- М.: Наука, гл. ред. фио.-мат. лит.- 1973.- 711 с. 143. Фролов К.В., Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости.-М.: Наука.— 1983.- 143 с. 144. Фын Я.Ц. О двумерном флаттере панели // Механика: Сб. переводов.-М.: ИЛ.- 1959.- N1.- С.75-106. 145. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости.- М.: Физматгиз.- 1959.-490с. 146. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости // МТТ.- 1984.- N5.- С.170-174. 147. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР.- 1980.- Т.252.- N2.- С.307-310. 148. Чуешов И.Д. Глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики // Успехи математич. наук.- 1993.- Т.48.- Вып.3(291).- С.135-162. 149. Швейко Ю.Ю. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки в потоке газа // Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машиностроение.- I960.- N6.- С.71-79. 150. Швейко Ю.Ю. О влиянии сверхзвукового потока газа на нижнее критическое усилие для цилиндрических паналей // Иов. АН СССР, ОТН, Мех. и машиностроение.- 1961.- N4.- С.14-19.

151. Шевляков Ю.А., Тищенко В.Н.Демненко В.А. Динамика парашютных систем.- Киев: Вища школа.- 1985.- 160 с. 152. Шейнин И.О. Колебания конструкций гидросооружений в жидкости.- Л.: Энергия.- 1967.- 314 с. 153. Шестаков А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами.- М.: Наука.- 1990.- 320 с. 154. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.- М.: Наука.- 1969.- 742 с. 155. Chandiramani N.K., Plant R.H., Librescu L.I. Non-linear flutter of buckled shear-deformable composite panel in a high-supersonic flow // Int.J. Non-linear Mechanics.- 1995.- Vol.30.- N2.- P. 149-167. 156. Chen S.S. Dynamic stubility of a tube converging fluid // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng.- 1971,- V.97,- P.1469-1485. 157. Dowell E.H. Aeroelasticity of plates and shells.- Leyden: Noordhoff Internat. Publ- 1975.- 139 p. 158. Dowell E.H. Panel flutter: a review of the aerolastic stability of plates and shells // AIAA Journal.- 1970.- V.8.- N3.- P.385-399. 159. Dowell E.H. Flutter infinitely long plates and shells. Part. I: Plate. Part. II: Cylindrical shell // AIAA Journal.- 1966.- V.4.- N8.- P.1370-1377; N9.- P.1510-1518. 160. Dowell E.H. Nonlinear oscillations of a fluttering plate // AIAA Journal.-1966.V. 4.- N7.- P.1267-1275. 161. Dowell E.H., Ilgamov M. Studies in nonlinear acrolasticity.- New-York, SpringerVerlag,- 1988.- 455 p. 162. Gregory R.W., Paidoussis M.P. Unstable oscillation of tubular cantelevers conveging fluid // Theory and Experiments. Proc. Roy. Soc. A.- 1996. 293.- P.512-542. 163. Holmes P., Marsden J. Bifurcation to Divergence and Flutter in Flow-induced Oscillations: an infinite deminsional analysis // J. Automatica.- 1978.- Vol.14.- P.367384. 164. Housner G.W. Bending vibrations of a pipeline containing flowing fluid // J. Appl. Mech.- 1952.- V.19.- N2.- P.205-208. 165. U. Jin Choi, R.C.MacCamy. Fractional order Volterra equations with applications to elastcity // J. of mathematical analysis and applications.- 1989.- V.139.- N2.P.448-464. 166. Xia Jin-zhu. Hydroelasticity theories of slender floating structures // J. of Hydrodynamics. Ser. B, 2.- 1995.- P.104-110. 167. L.B. de Monvel, I.D.Chueshov Non-linear occillations of a plate in a flow of gas. C.R.Acad. Sci.Paris, t.322, serie 1.- 1996.- P.1001-1006. Mathematical Problems in Mechanics. 168. Loginov B.V., Trenogin V.A., Velmisov P.A. Bifurcation and Stability in Some Problems of Continua Mechanics // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik.- 1996.- Volume 76, Supplement 2.- P.241-244. 169. Long R.H. Experiments and theoretical study of transverse vibrations of a tube containing flowing fluid // J. Appl. Mech.- 1955- V.22.- Nl.- P.65-68. 170. Paidoussis M.P., Issid N.T. Dynamic Stability of pipes conveging fluid // J. of Sound and Vibr.- 1974.- V.33.- N3.- P.267-294. 171. Parks P.C. A stability criterion for a panel flutter problem via the second method of Liapunov // J."Differential equations and dynamical systems". Proc.int.symp,,

Puerto Rico, Acad. Press, N.-Y.- 1967.- N4.- P.287-298. 172. Peake N. On the behavior of a fluid-loaded cylindrical shell with mean flow // J. Fluid Mech.- 1997.- V.338- P.387-410. 173. Plaut R.H. Asymptotic stability and instability criteria for some elastic systems bu Liapynov's direct method // Quarterly of applied mathematics.- 1972.- P.535-540.

174. Ray P.S. Han, Hanzhong Xu. A simple and accurate added mass model for hudrodynamic fluid-structure interaction analysis // J.Franklin Inst.- 1996.- V.333B.-N6.P.929-945. 175. Sean F.Wu., Lucio Maestrello. Responses of Finite Baffled Plate to turbulent Flow Excitations // AIAA Jounal.- 1995.- V.33.- N1.- P.13-19. 176. Velmisov P.A. Dynamic stability of viscoelastic bodies interacting with fluid or gas // The 25 th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.Technion, Haifa, Israel.- 1994.- P. 626-627.

177. Velmisov P.A., Kolmanovsky V.B., Reshetnikov Yu.A. On the stability of viscoelastic plate oscillations at jet flow around by ideal gas flow // Proceedings of the third Conference on Applied and Industrial Mathematics. (Oradea-Chisinau, 1995). Romai.- 1996.- P.113-117. 178. Velmisov P.A. Stability of Viscoelastic Bodies Accounting Aging and Interaction with Fluid or Gas // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik.-1996.Volume 76, Supplement 2.- P.249-252. 179. Velmisov P.A. To a question of stability in some problems in continua mechanics // The 26th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.Technion, Haifa- 1996- P.504-506. 180. Velmisov P.A., Ankilov A.V. On stability of vescoelastic elements of thinshelled constructions under aerohydrodynamic action // The 27 th Conference on Mechanical Engineering: conference proceedings.- Technion City, Haifa, Israel.- 1998.- P.12-14. 181. Velmisov P.A., Ankilov A.V. Dinamical Stability of Viscoelastic Elements of the Thin-Wall Constructions in a Subsonic Flow // Applications of Mathematics in Engineering: proceedings of the XXIV summer school.- Sozopol 98, Bulgaria: Heron Press, Sofia.- 1999.- P.31-40. 182. Velmisov P.A., Ankilov A.V. On stability of viscoelastic elements of thin-shelled constructions under aerohydrodynamic action // Proceedings 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos".- St.Petersburg.- 2000.- P.271-274.

183. Velmisov P.A., Ankilov A.V. On stability of viscoelastic elements of thinshelled constructions under aerohydrodynamic action // ICONNE-2000. Proceeding of Int. Conference on Nonlinear Dynamics, Chaos, Control and their Applications in Engeneering Sciences.- Brasil.- 2000.- Vol.6: "Applications of nonlinear phenomena".P.78-87.