Определение моментов инерции некоторых тел при помощи крутильного маятника: Методические указания к лабораторной работе по физике

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный технический университет»

Утверждаю в печать Ректор университета д-р техн. наук______ С.Н. Иванченко «___» ________________ 2003 г.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА Методические указания к лабораторной работе № 104 по физике для студентов всех специальностей и всех форм обучения Составил: В.В. Белых

Рассмотрены и рекомендованы к изданию кафедрой физики «___» _________________________ 2001 г. Зав. кафедрой ___________________

Кныр В.А.

Рассмотрены и рекомендованы к изданию советом факультета математического моделирования и процессов управления «___» __________________________ 2001 г. Председатель совета _______________

Намм Р.В.

Нормоконтролер __________________

Крамарь Е.И.

Хабаровск Издательство ХГТУ 2003

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный технический университет»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА Методические указания к лабораторной работе № 104 по физике для студентов всех специальностей всех форм обучения

Хабаровск Издательство ХГТУ 2003

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Хабаровск 2003

УДК 531.5 (0.75) Определение моментов инерции некоторых тел при помощи крутильного маятника: Методические указания к лабораторной работе № 104 по физике для студентов всех специальностей всех форм обучения / Сост. В. В. Белых. – Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2003. – 11 с.

Содержатся указания для изучения законов динамики вращательного движения, моментов инерции некоторых тел правильной геометрической формы, теоремы Гюйгенса-Штейнера. Объем выполнения лабораторной работы – 2 часа.

Печатается в соответствии с решениями кафедры «Физика» и методического совета факультета математического моделирования и процессов управления.

© Издательство Хабаровского государственного технического университета, 2003

3

Цель работы: определение моментов инерции некоторых тел при помощи крутильного маятника. Приборы и принадлежности: миллисекундомер, крутильный маятник (рамка на проволочке), параллелепипед, цилиндр, стержень, 2 шара, линейка, штангенциркуль и технические весы.

ВВЕДЕНИЕ Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: n

J = ∑ m i ri2 . i =1

Для сплошной среды с непрерывным распределением массы эта сумма сводится к интегралу 2 J = ∫ r 2 dm = ∫ ρ r dV , V

где интегрирование производится по всему объему тела; ρ – плотность материала; dV – элементарный объем; dm = ρdV – элементарная масса; r = r(x, y, z) – функция положения точки с координатами х, у, z. Момент инерции тела относительно произвольной оси z является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению. Ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве (рис. 1) благодаря →

V

z

→

F

х3

r (x,y,z)

dm

C

х2

х1 →

F

О действию внешних сил F . х Существуют оси вращения у тел, которые не изменяют своей Рис. 1. Закрепленная (Оz) ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. и свободные (х1, х2, х3) оси вращения тела

4

Эти оси называются свободными (или осями свободного вращения). У любого тела существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси вращения (х1, х2, х3), проходящие через центр масс тела (т. С), называемые главными осями инерции (рис. 1). Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J/ относительно произвольной оси равен моменту его инерции J относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: J/ = J + mа2.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ Для определения моментов инерции твердых тел в работе используется прибор «Крутильный маятник FРМ-05» (рис. 2). На основании 1 прикреплен миллисекундомер FРМ-14 2.

Рис. 2. Крутильный маятник FРМ-05

5

В основании закреплена колонка 3, на которой находятся кронштейны 4, 5, 6. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы для подвеса рамки 7. Конструкция рамки позволяет укреплять изучаемые тела 8, значительно отличающиеся по внешним размерам. Закрепление тела производится с помощью подвижной балки 9, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками 10, путем затягивания гаек 11 на зажимных втулках, помещенных на подвижной балке. Крутильные колебания маятника описываются уравнением d 2ϕ J 2 + Dϕ = 0 , dt

(1)

где J – момент инерции; ϕ – угол поворота; D – величина модуля кручения материала проволоки. Циклическая частота ω и период колебаний Т связаны D ⎛ 2π ⎞ ω = =⎜ ⎟ , J ⎝T ⎠ 2

2

(2)

откуда следует T = 2π

J . D

(3)

В работе использован относительный метод оценки момента инерции механической системы. С этой целью определяются периоды колебаний пустой рамки Т0 и колебаний рамки с изучаемым телом ТС. Момент инерции рамки с телом рассчитывается по формуле

TC2 , T02

(4)

J = JC – J0.

(5)

JC = J0 где J0 – момент инерции пустой рамки. Момент инерции изучаемого тела

6

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Ознакомиться с установкой. При измерении периода крутильных колебаний маятника выполнять последовательность операций: 1. Поворачивая рамку 7, приблизить ее стрелку 12 к электромагниту 13 так, чтобы электромагнитная сила фиксировала положение рамки. 2. Нажать кнопку «Пуск». После подсчета n (n ≥ 10) крутильных колебаний нажать кнопку «Стоп». 3. Определить по миллисекундомеру время колебаний t и вычислить период крутильных колебаний по формуле Т = t/n. Данная последовательность операций выполняется при всех последующих измерениях колебаний механической системы. В табл. 1 приводятся моменты инерции параллелепипеда, цилиндра и шара относительно главных осей. Таблица 1 Моменты инерции некоторых сплошных тел относительно осей, проходящих через центр масс

Графическое изображение х3

с х1

m( a 2 + c 2 ) J x1 = 12

С а

Формула

b

J x2

m( b 2 + c 2 ) = 12

J x3

m( a 2 + b 2 ) = 12

х2

7

Окончание табл. 1 Графическое изображение

Формула

х3 J x1 = J x 2 =

R

l

1 ml2 12

х2

С

J x3 =

х1

1 mR 2 2

при l >> R х3

J x1 = J x 2 = J x 3 =

С

х1

R

2 mR2 5

х2

В табл. 2 приведены параметры изучаемых тел. Таблица 2 Параметры тел

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Масса параллелепипеда Размеры параллелепипеда Масса цилиндра Радиус цилиндра Масса шара Радиус шара Масса стержня Длина стержня Расстояние от центра шара до оси вращения Момент инерции пустой рамки

1 926 г 50х50х100 мм3 705 г 22,5 мм 235 г 19 мм 326 г 240 мм 142,5 мм 6,37 · 10 – 4 кг · м2

Задание 1. Определение моментов инерции параллелепипеда

1.1. Составить табл. 3. Внести в нее результаты измерений.

8

Таблица 3 Результаты наблюдений колебаний параллелепипеда вместе с рамкой

i

T0, c

TC, c

JC, кг·м2

Jпар, кг·м2

TC, c

JC, кг·м2

Jпар, кг·м2

1 2 3 х 1.2. Измерить период колебаний пустой рамки Т0 не менее трех раз. 1.3. Закрепить в рамке между неподвижной и подвижной балками параллелепипед горизонтально (ось вращения параллелепипеда параллельна наименьшему ребру) с помощью зажимных втулок. 1.4. Измерить период колебаний рамки с параллелепипедом ТС не менее трех раз. 1.5. Определить моменты инерции JС рамки с параллелепипедом и Jпар параллелепипеда по формулам (4) и (5). 1.6. Закрепить в рамке между неподвижной и подвижной балками параллелепипед вертикально (ось вращения параллельна наибольшему ребру) с помощью зажимных втулок. 1.7. Повторить пп. 1.4 − 1.5. 1.8. Вычислить главные моменты инерции параллелепипеда на основе формул (табл. 1) и его параметров (табл. 2). 1.9. Сделать вывод о точности метода. Задание 2. Определение моментов инерции тел цилиндрической формы

2.1. Составить табл. 4. Внести в нее результаты измерений. Таблица 4 Результаты наблюдений колебаний вместе с рамкой цилиндра, цилиндра и стержня

i 1 2 3 х

T0, c

TC, c

JC, кг·м2

Jц, кг·м2

TC, c

J С/ , кг·м2

Jст, кг·м2

9

2.2. Измерить период колебаний пустой рамки Т0, если указанная операция не выполнялась. 2.3. Закрепить в рамке между неподвижной и подвижной балками цилиндр с помощью зажимных втулок. 2.4. Измерить период колебаний рамки с цилиндром ТС не менее трех раз. 2.5. Определить моменты инерции JС рамки с цилиндром и Jц цилиндра по формулам (4) и (5). 2.6. Измерить период колебаний рамки с цилиндром и стержнем Т С/ не менее трех раз. 2.7. Определить момент инерции J С/ рамки с цилиндром и стержнем по формуле (4). Момент инерции стержня определить как разность

J ст = J о + ц + ст − J о + ц , где J о + ц + ст и J о + ц – моменты инерции системы "рамка с цилиндром и стержнем" и системы "рамка с цилиндром". 2.8. Вычислить моменты инерции цилиндра и стержня на основе формул (табл. 1) и их параметров (табл. 2). 2.9. Сделать вывод о точности метода. Задание 3. Проверка выполнения теоремы Гюйгенса-Штейнера

3.1. Составить табл. 5. Внести в нее результаты измерений. Таблица 5 Результаты наблюдений колебаний вместе с рамкой цилиндра стержня и двух шаров

i

T0, c

TC, c

JC, кг·м2

T С/ , c

J С/ , кг·м2

J m/ , кг·м2

Jш, кг·м2

1 2 3 х 3.2. Измерить периоды колебаний: – пустой рамки Т0, если указанная операция не выполнялась; – системы "рамка с цилиндром и стержнем" ТС; – системы "рамка с цилиндром и стержнем с двумя шарами" Т С/ не менее трех раз.

10

3.3. Определить моменты инерции: – системы "рамка с цилиндром и стержнем" JС; – системы "рамка с цилиндром и стержнем с двумя шарами" J С/ по формуле (4). 3.4. Определить момент инерции шара относительно оси вращения как разность 1 J ш/ = (J C/ − J C ) . 2 3.5. Определить главный момент инерции шара с учетом теоремы Гюйгенса-Штейнера J ш = J ш/ − md 2 , где m – масса шара; d – расстояние от центра шара до оси вращения, l d = + R , где l – длина стержня; R – радиус шара). 2 3.6. Вычислить главный момент инерции шара на основе формулы (табл. 1) и его параметров (табл. 2). 3.7. Сделать вывод о справедливости теоремы Гюйгенса-Штейнера.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое момент инерции и каков физический смысл этой величины? 2. Каковы единицы измерения момента инерции? 3. Что такое момент силы относительно оси? Как строится вектор, изображающий момент силы? 4. Вывести основное уравнение динамики вращающегося тела. 5. Как выражается работа, мощность и кинетическая энергия вращающегося тела? 6. Что называется моментом импульса тела? Как он направлен? 7. В чем состоит теорема Гюйгенса-Штейнера? Пользуясь теоремой, вывести формулу для момента инерции относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец. 8. Пусть дано семейство параллельных осей, проходящих через все возможные точки тела и вне его. Относительно какой из этих осей осевой момент инерции минимален?

11

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1997. С. 34 – 43. 2. Савельев И. В. Курс физики: В 3 т. М.: Наука, 1989. Т. 1. С. 101 – 108. 3. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М.: Высшая школа, 1989. С. 44 – 47.

12

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Методические указания к лабораторной работе № 104 по физике для студентов всех специальностей всех форм обучения

Вячеслав Вячеславович Белых

Главный редактор Л. А. Суевалова Редактор Л. С. Бакаева Компьютерная верстка В. Н. Адамович

Подписано в печать 23.06.03. Формат 60х84 1/16. Бумага писчая. Гарнитура "Таймс". Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,6. Тираж 200 экз. Заказ .

Издательство Хабаровского государственного технического университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136. Отдел оперативной полиграфии издательства Хабаровского государственного технического университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.