Методические указания по обработке результатов измерений в общем физическом практикуме

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общей физики

В.И.НОСОВА, О.М.ГОЛИЦЫНА

Методические указания по обработке результатов измерений в общем физическом практикуме

для студентов I курса дневного и вечернего отделений физического факультета

ВОРОНЕЖ - 2000

2

ВВЕДЕНИЕ Изучение литературы по обработке результатов измерений требует от читателя достаточной математической подготовки, в частности, знания основ теории вероятностей. Поэтому оно вызывает затруднения у студентов I курса. Настоящее руководство дает сжатое изложение основных методов обработки результатов наблюдений в общем физическом практикуме с необходимыми пояснениями, но без подробного анализа математической стороны вопроса. Оно не требует большой затраты времени и может служить пособием для самостоятельной работы студентов в лаборатории. § 1. Понятие об измерениях. Классификация погрешностей Основной задачей физического эксперимента принято считать количественное исследование физических явлений, которое дает возможность определить числовые значения физических величин и установить в конечном итоге законы исследуемых явлений. Под измерением понимают процесс сравнения наблюдаемой в опыте величины с однородной величиной, принятой за единицу. Различают два вида измерений: прямые и косвенные. Прямыми называются измерения, результат которых отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора (измерение длины линейкой, времени секундомером, температуры термометром и т.д.). В большинстве случаев физические величины вычисляются по формулам, выведенным из физических законов, с использованием результатов прямых измерений. Такие измерения называются косвенными (измерение объема прямоугольного параллелепипеда, плотности тела, ускорения свободного падения и др.). В эксперименте никогда не получают истинное значение искомой величины, а лишь некоторое приближение. Это различие обусловлено, главным образом, тем, что любое явление существует не изолированно, а в неразрывной

3

связи с множеством других явлений и факторов, неизбежно присутствующих в эксперименте и влияющих на его результат. Разность между истинным значением и значением, полученным в опыте, называется погрешностью (ошибкой) измерения. Экспериментатор обязан оценить погрешность, допущенную при измерениях, и указать ее вместе с результатом эксперимента. Погрешности делятся на два класса: систематические и случайные. Иногда выделяют еще грубые ошибки (промахи), имеющие место при недостаточном внимании или неаккуратности экспериментатора. Систематическими называются погрешности, имеющие одну и ту же величину и знак во всех одинаково проведенных измерениях (при одних и тех же условиях, теми же самыми приборами, с теми же образцами). Систематические погрешности могут быть обусловлены несовершенством или неисправностью измерительных приборов, недостатками метода измерений или еще какими – либо постоянными факторами, которые экспериментатор не учитывает или упускает из виду. Примеры систематических погрешностей: 1. Стрелка амперметра при отсутствии тока в цепи отклонена на одно деление шкалы. Все результаты измерений имеют одну и ту же погрешность, равную цене деления. Эту погрешность можно устранить, отрегулировав прибор или вводя поправки в результаты измерений. 2. Измеряется коэффициент объемного расширения жидкости без учета расширения сосуда. Систематическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерений. Она должна быть устранена введением в результат соответствующей поправки. 3. При определении плотности металлического образца по известным значениям его массы и объема не было известно, что внутри имеется полость, заполненная воздухом. Результат любого измерения содержит погрешность одной и той же величины, которая в подобных случаях может быть значительной. Выявление таких систематических погрешностей обычно оказывается сложным и требует тщательных исследований.

4

Важную разновидность систематических погрешностей составляют так называемые инструментальные погрешности, связанные в основном с ограниченной точностью изготовления и градуировки измерительных приборов. При выпуске прибора предел инструментальной погрешности оценивается специальными методами и указывается в паспорте прибора или на его шкале. Следует подчеркнуть, что погрешность прибора всегда бывает, согласована с ценой наименьшего деления шкалы, поэтому, если нет никаких указаний относительно инструментальной погрешности, ее принимают равной цене наименьшего деления или ее половине (если экспериментатор различает, в какой половине деления лежит отсчет). По этой же причине нет смысла, например, отсчитывать десятые доли миллиметра по шкале обычной миллиметровой линейки, т.к. погрешность, допущенная при изготовлении и градуировке линейки, может достигать 0,5 – 1 мм. Случайные погрешности различны по величине и знаку и обуславливают разброс результатов измерений относительно истинного значения. Причины их появления имеют случайный, непредсказуемый характер. Это могут быть колебания воздуха, вибрации, различные малые изменения в окружающей среде и т.д. Существенным источником погрешностей является несовершенство наших органов чувств. Так, измеряя время падения шарика в вязкой среде, мы не можем абсолютно точно зафиксировать моменты прохождения шариком верхней и нижней отметок. Это приводит к случайному разбросу значений времени. Случайные погрешности нельзя устранить полностью, однако, можно оценить их и указать способ их уменьшения. Предположим, что промахи отсутствуют, а систематические погрешности, за исключением инструментальных, устранены. Тогда полная погрешность результата определяется совокупностью инструментальной и случайной погрешностей.

5

§ 2. Распределение Гаусса случайных погрешностей прямых измерений Теория случайных погрешностей базируется на методах теории вероятностей. В основу ее положены следующие предположения: 1. Погрешность может принимать любое значение от - ∞ до +∞. 2. При большом числе измерений (строго говоря, бесконечно большом), погрешности одинаковой величины, но разного знака, равновероятны, то есть встречаются одинаково часто. 3. При возрастании величины погрешности вероятность ее появления быстро уменьшается. Пусть в результате n прямых измерений физической величины x получены значения xi , x2 ,… xn . n→∞

среднее арифметическое

Из предположения 2 сразу следует, что при 1 n

x = ∑ xi

результатов всех измерений

совпадает с истинным значением величины x: x=x

при n→ ∞

По этой причине в качестве результата серии измерений используют x . В реальных измерениях число n всегда ограничено, поэтому указанное равенство выполняется лишь приближенно; разность ∆x= x - x

называется абсолютной

погрешностью, или просто погрешностью результата измерений. Оценка этой величины и является основной нашей задачей. Абсолютная погрешность ∆x, очевидно, не может в достаточной мере характеризовать

точность

измерения.

Необходимо

указывать

также

относительную погрешность, то есть отношение абсолютной погрешности к самой измеряемой величине

Е=

∆x . 100% x

≈

∆x . 100% x

6

Составим разности ∆xi= xi - x, i=1,2,…n, имеющие смысл абсолютных погрешностей отдельных измерений. В каждом отдельном измерении вероятность появления погрешности ∆xi зависит от величины этой погрешности. Эта зависимость описывается так называемым законом распределения вероятностей случайных погрешностей. При различных условиях погрешности могут подчиняться разным законам распределения. Наиболее часто встречается гауссов, или нoрмальный, закон распределения, справедливый для большого числа измерений (n→∞) при выполнении условий 1-3. Закон этот состоит в том, что функция f(∆xi ), характеризующая вероятность появления в отдельном i -м измерении погрешности ∆xi , зависит от величины погрешности следующим образом: f(∆xi)=

1

e

σ 2π

−

( ∆xi )2 2σ 2

,

(1)

где σ2 – некоторая постоянная для данной серии измерений величина, называемая дисперсией отдельного измерения. Функция f(∆xi) называется функцией Гаусса (рис.1). Гауссово распределение случайных погрешностей хорошо подтверждается на опыте. f ( ∆xi )

σ2

σ1

σ1

>

σ2

∆xi

Дисперсия σ2 , как показывает теория, должна вычисляться по формуле:

σ2= lim n →∞

1 n

n

∑ (∆x ) i

i =1

2

.

7

Отсюда видно, что дисперсия характеризует разброс данного ряда измерений относительного истинного значения. Чем меньше дисперсия, тем острее максимум кривой Гаусса (рис.1) и меньше вероятность появления погрешностей значительной величины, что означает большую точность измерений. При ограниченном числе наблюдений приближенной оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия σ n2 , то есть дисперсия, вычисленная по некоторому “выбранному” конечному числу измерений n:

σ n2 =

1 n

n

∑ (∆x ) i

2

.

i =1

Кроме того, на практике при нахождении абсолютных погрешностей ∆xi отдельных измерений приходится заменять истинное значение x на наиболее близкое к нему x , то есть вычислять ∆xi= xi - x . В теории погрешностей показано, что в этом случае выборочную дисперсию следует определять по формуле σ n2 =

1 n −1

n

∑ (∆x )

2

i

.

(2)

i =1

Квадратный корень из выборочной дисперсии называется средней квадратичной погрешностью отдельного измерения:

n

σn=

∑ ( ∆x ) i =1

2

i

n −1

.

(3)

Перейдем теперь к погрешности среднего значения. Доказано, что погрешность ∆x среднего арифметического результатов серии n измерений также распределена по Гауссу, но с дисперсией σ x2 , в n раз меньшей дисперсии отдельного измерения:

8

σ x2 = σ 2 /n. Величина σ x2 называется дисперсией среднего арифметического. Так как на практике дисперсия σ 2 оценивается по формуле (2), то n

σ x2 =

∑ (∆x )

2

i

i =1

n(n − 1)

.

(4)

Отсюда для средней квадратичной погрешности среднего арифметического σ x получаем: n

σx =

∑ ( ∆x ) i =1

2

i

n(n − 1)

.

(5)

Из соотношений (4) и (5) следует важный вывод: случайная погрешность результата серии измерений может быть снижена путем увеличения числа измерений. § 3. Оценка случайной погрешности прямых измерений Опыт экспериментальной работы показывает, что нерационально указывать погрешность ∆x так, чтобы она строго определяла предел возможной ошибки. Разумно ввести ее таким образом, чтобы истинное значение величины x находилось в интервале [ x - ∆x, x +∆x ]

(6)

лишь с некоторой заданной вероятностью α, называемой доверительной вероятностью, или надежностью. Интервал (6), в котором находится истинное значение с заданной вероятностью α, называется доверительным интервалом. Таким образом, случайную погрешность принято характеризовать двумя числами – доверительным интервалом и соответствующей ему доверительной

9

вероятностью. Для наиболее распространенных функций распределения, в том числе и для гауссовой, составлены таблицы, по которым можно, задавшись величиной ∆x, найти соответствующее α, и наоборот. В частности, если положить ∆x кратным σ x , т.е. ∆x = σ x , 2 σ x , 3 σ x …, то в случае гауссова распределения получим соответственно α= 0,68; 0,95; 0,997… . Так как последнее число мало отличается от 1, то часто доверительный интервал задают в виде [ x -3 σ x , x +3 σ x ] , причем истинное значение x попадает в этот интервал практически

достоверно. В этом состоит так называемое правило “трех сигма”. Подчеркнем, что применимо оно лишь при достаточно большом числе измерений, так как использована гауссова функция распределения. При небольшом числе измерений

n погрешности подчиняются закону

распределения Стьюдента. Функция распределения в этом случае зависит не только от величины погрешности, но и от числа измерений. Явный вид функции ввиду его сложности здесь не приводится. Погрешность ∆x представляют в виде :

n

∆x=t αn. σ x = t αn

∑ ( ∆x ) i =1

2

i

n(n − 1)

.

(7)

где tαn - так называемые коэффициенты Стьюдента. Эти величины с использованием функции распределения Стьюдента вычислены для различных α и n и представлены в таблицах (см. Приложение). Величина надежности подбирается в соответствии с характером измерений и целями эксперимента. Для учебной лаборатории принято использовать α= 90% или α= 95% .

10

§4. Учет инструментальной погрешности При прямых измерениях могут встретиться следующие три ситуации: 1.Случайная погрешность значительно меньше инструментальной. В этом случае общая погрешность результата равна погрешности измерительного прибора. Бывает и так, что повторные измерения вообще не дают разброса, например, при отсчете температуры по шкале комнатного термометра. Тогда следует повторить измерения 2-3 раза только с целью избежания промахов. 2.Случайная погрешность намного превосходит инструментальную. Можно попытаться путем увеличения числа измерений снизить случайную погрешность так, чтобы она стала на порядок меньше инструментальной, которая тогда снова будет определять общую погрешность результата. Однако расчеты показывают, что этот прием часто требует такого количества измерений, которое на практике неосуществимо. В таком случае следует проводить измерения до тех пор, пока случайная и инструментальная погрешности не станут величинами одного порядка. Тогда имеем дело со следующей ситуацией. 3. Случайная и инструментальная погрешности одного порядка и в равной мере определяют общую погрешность результата измерений. Строгих рекомендаций в этом случае дать невозможно. Дело в том, что цена деления шкалы прибора задает лишь предельное значение погрешности, которую может внести прибор. Закон, по которому в действительности распределена погрешность внутри этого интервала, неизвестен. Обычно пользуются следующим правилом. Пусть (∆x)сл – случайная погрешность величины x , вычисленная по формуле (7) с доверительной вероятностью α, (∆x)инстр. – инструментальная погрешность, ∆x – общая погрешность результата. Тогда

∆x =

2 2 + (Vx)инстр . (Vx)сл

(8)

11

Полной погрешности ∆x приписывается та же доверительная вероятность α , что и при вычислении (∆x)сл . Результат измерений должен быть представлен в виде : x = x ± ∆x Ex =

с надежностью α.

∆x . 100% x

Пример обработки результатов прямых измерений. Проведены прямые измерения длины l

предмета линейкой с инструменталь-

ной погрешностью 0,1 см. Результаты занесены в таблицу: li , см

i

∆li , см

(∆li)2 , см2

1

24,9

-0,14

0,0196

2

24,8

-0,04

0,0016

3

24,6

0,16

0,0256

4

24,8

-0,04

0,0016

5

24,7

0,06

0,0036

n=5

∑ (∆li)2 =0,0520

l =24,76

Пусть α= 95%. По таблице коэффициентов Стьюдента находим tαn= 2,8. n

∆lсл = tαn

∑ (∆l ) i =1

2

i

n(n − 1)

0,0520 5⋅4

= 2,8

= 0,14 (см)

∆lинстр = 0,1 см ∆l = Еl =

2 2 + (Vl )инстр (Vl )сл

=

(0,14) 2 + (0,1) 2

∆l 0,17 . 100 % = 0,7 % 100 % = 24,76 l

= 0,17 (см)

12

Округляя, результаты представим в виде* l= (24,76 ± 0,17) см с надежностью 95 % Еl = 0,7 %

§ 5. Погрешности косвенных измерений При проведении косвенных измерений искомая величина y находится как функция некоторого числа N непосредственно измеряемых величин: y= f( x1 , x2 ,…, xN ) В теории погрешностей получена следующая общая формула, выражающая абсолютную погрешность ∆y функции любого вида через погрешности непосредственно измеряемых величин: ∆y =

N

∂f

∑ ( ∂x ∆x ) i =1

2

i

(9)

i

Здесь ∆xi , i = 1,2, …, N- полные погрешности прямых измерений, рассчитанные по формуле (8),

∂f - частные производные функции f по каждой из не∂x i

посредственно измеряемых величин. Все производные вычисляются в точках xi= xi . Всем ∆xi должна соответствовать одна и та же надежность α , она же приписывается и погрешности ∆y . Если, например, функция имеет вид суммы (разности), т.е. то

∂f ∂f =1, = ± 1, и по формуле (9) ∂x1 ∂x 2

∆y= *

y = x1 ± x2 ,

О правилах округления см. §7.

(Vx1 ) 2 + (Vx2 ) 2 .

(10)

13

Иногда бывает проще находить сначала относительную погрешность. Общая формула относительной погрешности:

Ey =

∆y y

=

N

∑( i =1

∂ ln f ∆xi ) 2 . ∂xi

(11)

Применение формулы (11) является удобным, если функция легко логарифмируется, т.е. имеет вид произведения двух или нескольких сомножителей или частного. Действительно, если y = x1 . x2 или y = x1 / x2 , то ln y= ln x1 ± ln x2 ,

1 ∂ ln y 1 ∂ ln y = , =± , x1 x2 ∂x1 ∂x 2

и используя (11), получаем простую формулу:

2

2

Ey = (∆x1/x1) + ( ∆x2 /x2)

2

 Vx1   Vx2    +   x1   x2 

2

=

2

2

Е x1 + E x2 . (12)

Для нахождения ∆y достаточно Ey умножить на x1 . x2 или x1 / x2 соответственно. При N=1, y= f( x) и формула (9) упрощается

∆y=|

∂f |∆x ∂x1

(9´)

Например, если y =С x ( С- точное число), то из (9´) получаем: ∆ y =С ∆ x, Если y =xk

Ey = ∆x/x = Ex .

(13)

y =kxk-1 ∆ x, Ey = k ∆x/x = k Ex .

(14)

(k – точное число), то

Сделаем 2 важных замечания: 1) бывают случаи, когда какая-либо непосредственно измеряемая величина входит в рабочую формулу более одного раза, например, y = x1(x1 + x2). Автоматически применить формулу (12) для погрешности произведения здесь нель-

14

зя, так как сомножители x1 и (x1 + x2) не являются независимыми. В подобных случаях погрешность функции должна вычисляться только по общим формулам (9) или (11). Результат косвенных измерений должен быть представлен в виде y = y ± ∆y c надежностью α Ey = …% ; 2) если в последовательно повторяемых опытах условия эксперимента в точности не воспроизводятся, то результаты прямых измерений не могут быть усреднены и разброс их является не проявлением случайных погрешностей, а результатом различных условий эксперимента. В таких случаях поступают следующим образом. Для каждого из n опытов находят все N непосредственно измеряемых величин и вычисляют значение искомой функции, то есть получают набор y1 , y2, …yn . Затем эти значения усредняют и оценивают погрешность так же, как в случае прямых измерений:

n

∑ (∆y )

2

i

∆y= tαn

i =1

n(n − 1)

,

где ∆yi= yi - y .

Очевидно, таким способом может быть оценена только случайная погрешность косвенных измерений. §6. Пример обработки результатов измерений Определение плотности

ρ однородного тела, имеющего форму цилинд-

ра: ρ=

4m , πd 2 H

15

где m – масса тела, d – диаметр, H – высота. Массу m будем измерять на рычажных весах, причем наименьшая разновеска, используемая при взвешивании, имеет массу 20 мг. Взвешивание с такой точностью не дает разброса при повторных измерениях. Поэтому оно может быть сделано однократно (однако с целью проверки рекомендуется повторить его еще раз). Тогда

∆m = (∆m)инстр. =

0,02 г =0,01 г 2

Высоту, H и диаметр d измерим штангенциркулем с нониусом, имеющим точность 0,1 мм. Измерения повторяем 5 раз в разных местах бруска. Инструментальные погрешности: (∆H)инстр. =

0,1мм =0,05 мм, 2

(∆d)инстр. =

0,1мм =0,05 мм 2

Таблица результатов прямых измерений. i 1

m, г

∆di мм

(∆di)2

Hi, мм

∆Hi,мм

(∆Hi)2

14,9

-0,04

0,0016

57,4

-0,04

0,0016

2

14,8

0,06

0,0036

57,4

-0,04

0,0016

3

14,8

0,06

0,0036

57,3

0,06

0,0036

4

14,9

-0,04

0,0016

57,4

-0,04

0,0016

5

14,9

-0,04

0,0016

57,3

0,06

0,0036

n=5

78,08

d i мм

d=14,86

∑ (∆di)2 Hi=57,36 =0,012

Вычисляя результат косвенных измерений, получим

ρ=

4m = 7,831 (г/см3) 2 πd H

∑ ∆Hi) =0,012

16

Зададим доверительную вероятность α = 95%. По таблице коэффициентов Стьюдента находим tαn = 2,8 . Согласно формуле (7)

Так как

∆dсл= 2,8

0,0120 5⋅4

= 0,07 (мм)

∆Hсл = 2,8

0,0120 5⋅4

= 0,07 (мм)

∆dсл и ∆Hсл

имеют один порядок величины с соответствую-

щими инструментальными погрешностями, то по формуле (8) находим

∆d =

(0,05) 2 + (0,07) 2 = 0,09 (мм) ,

∆H =

(0,05) 2 + (0,07) 2 = 0,09 (мм)

Относительные погрешности:

Еm =

0,01 78,08

.

100 % = 0,013 % ,

Еd =

0,09 14,86

.

100 % = 0,6 % ,

ЕH =

0,09 57,36

.

100 % = 0,16 % .

Так как функция ρ= ρ(m,d,H) сдержит умножение и деление, удобно написать выражение для относительной погрешности. Используя (12) и (13), а затем (14), получаем ( то же самое можно получить, используя общую формулу (11) ):

Еρ =

Em2 + EH2 + 4 Ed2 ≈ 1,2 % .

17

Основной вклад в погрешность плотности вносит погрешность измерения диаметра. Находим абсолютную погрешность плотности ∆ ρ= ρ .Е ρ = 7,831.0,012 = 0,09 (г/см3) Результат записываем в виде ρ= (7,83 ± 0,09) г/см3 с надежностью 95 % Еρ = 1,2 %

§7. Число цифр при записи результата и его погрешности. Правило округления при вычислениях Округление результата измерений должно производиться в соответствии с допущенной при измерениях погрешностью. Действительно, если погрешность велика, то нет никакого смысла сохранять при записи результата большое количество значащих цифр, создавая этим ложную видимость высокой точности измерений, которой на самом деле нет. Наоборот, слишком грубое округление результата, полученного с хорошей точностью, обесценивает проведенный эксперимент, перечеркивая все усилия экспериментатора, направленные на повышение точности измерений. Следует помнить, что сначала округляется погрешность и только потом – само число! Точность определения погрешности изложенными выше элементарными методами обычно невелика, особенно при небольшом числе измерений. Так, при n=10 она не превышает 30%. Поэтому указывать погрешность с большим количеством значащих цифр не имеет смысла. Принято значение погрешности округлять, оставляя одну значащую цифру, если она дольше трех, и две значащие цифры, если первая из них меньше четырех. При n < 10 погрешность оценивается еще более грубо. Поэтому в литературе часто можно встре-

18

тить случаи, когда вторую значащую цифру указывают только после 1 и 2, а иногда – даже только после 1. Рассмотрим пример: ∆x=0,004215…мм ≈ 0,004 мм, т.к. первая значащая цифра(4) больше трех (напомним, что нули слева значащими цифрами не являются), ∆x= 1,23448… мм ≈ 1,2 мм, т.к. первая значащая цифра (1) меньше четырех. Теперь совсем просто можно округлить само число, используя следующее правило. Число и его погрешность должны быть выражены в одних и тех же единицах, причем их последние цифры должны принадлежать к одному и тому же разряду. Неверно написать l=(27,748 ± 0,5) мм. Правильная запись l=(27,7 ± 0,5) мм. Заметим, что нули справа или в середине числа являются значащими цифрами, поэтому написание их в нужной позиции обязательно, как и любой другой цифры. Так, если a =246,032 … мм , ∆а=0,521… мм, то нельзя написать а=(246 ± 0,5) мм. Следует писать а=(246,0 ± 0,5) мм Если, например,

b= 16,2343 … мм, ∆b= 0,2023 … мм, то неверными будут за-

писи b= (16,23 ± 0,2) мм

или b= (16,2 ± 0,2) мм.

Правильное написание b= (16,23 ± 0,20) мм. Десятичный порядок числа и его погрешности должен быть одинаковым, то есть не допускаются записи вида x=(3,387.102± 0,6) мм,

19

т.к. они не позволяют сразу увидеть, какая цифра результата является ненадежной. В приведенном примере следует представить результат в виде x=(338,7± 0,6) мм, или x=(3,387± 0,006) .102 мм. Несмотря на то что появление современных вычислительных средств в определенной степени снижает актуальность вопроса об округлениях при промежуточных расчетах, представляется необходимым в нескольких словах сформулировать принципиальный подход к проблеме и рассмотреть простейший пример. Сохранять лишние цифры при вычислениях нежелательно, так как это затрудняет расчеты, увеличивает опасность вычислительной ошибки и, кроме того, создает ложное впечатление о высокой точности измерений. В то же время слишком грубые округления вносят в результат большую дополнительную погрешность (заметим, что любое округление чисел влечет за собой систематическую погрешность). Точность вычислений должна быть согласована с точностью измерений. Чтобы при вычислениях не возникала дополнительная погрешность существенной величины, принято округлять числа так, чтобы относительная погрешность, полученная в результате округления, была примерно на порядок меньше относительной погрешности результата косвенных измерений. Придерживаясь этого простого правила, можно быть уверенным в том, что вычислительные операции не исказят заметным образом результат наших измерений. Рассмотрим, например, определение площади S круга диаметра d : πd 2 S= . 4

Возникает вопрос, какое количество значащих цифр следует оставить в трансцендентном числе π при вычислении площади S. Округляя это число с различной степенью точности, получаем соответствующие относительные погрешности Eπ =

π − π " точн " × 100% . π " точн "

20

π ≈ 3

Eπ ≈ 5%

π ≈ 3,1

Eπ ≈ 1,3%

π ≈ 3,14

Eπ ≈ 0,05%

π ≈ 3,142

Eπ ≈ 0,013%

и так далее. Здесь в качестве точного значения числа π было принято значение 3,14159. Пусть для диаметра d круга в результате серии прямых измерений получено d = (10,000 ± 0,025) мм. Пользуясь формулой (14), напишем: Es=2Ed= 2.

0,025 = 0,005, 10

или Es= 0,5%. Согласно принятому выше правилу округления, число π должно быть взято с таким количеством значащих цифр, чтобы Eπ было примерно на порядок меньше, чем Es . Этому соответствует π = 3,14. Тогда S =

3,14 ⋅ 100 = 78,500 (мм2), 4

S= Es. S = 0,005 . 78,5 = 0,3925 (мм2) Округляя погрешность до двух значащих цифр (так как первая из них меньше четырех), представляем результат измерений в виде S= ( 78,50 ± 0,39) мм2 , Es =0,5% с указанием доверительной вероятности, выбранной при измерении диаметра круга.

21

Задачи для самостоятельного решения 1. В таблице даны результаты прямых измерений времени секундомером с ценой деления 0,2 с. N0

t, c

1

16,8

Сделайте полную обработку измерений и

2

16,4

представьте результат совместно с его

3

16,2

погрешностью.

4

16,6

Доверительную вероятность принять

5

16,8

равной 95%. В качестве инструментальной

6

16,4

погрешности взять 0,2 с.

7

16,6

Ответ: t=(16,54 ± 0,28) c надежностью 95% E=1,7 %

2. Выведите формулы для относительной погрешности измерения плотности ρ однородного тела массы m , если оно имеет форму: а) прямоугольного параллелепипеда с длинами ребер а, b, c; б) полого цилиндра высоты

h с внутренним диаметром а и внеш-

ним d ; в) шара диаметра d. 3. Плотность вещества тела, имеющего неправильную форму, можно определить методом гидростатического взвешивания: ρ = ρ0

m1 , m1 − m2

где m1 – масса, полученная при взвешивании тела в воздухе, m2 – масса, полученная при взвешивании тела в жидкости с известной плотностью ρ0. (ρ0 берется из таблиц). Получите выражение для относительной погрешности плотности тела ρ, пользуясь общей формулой (11). Почему в этом случае нельзя автоматически применить формулу погрешности частного (12) ? ρ0 считать точным числом. Ответ:

22

E ρ=

1 m1 (m1 − m2 )

.

(m2 ∆m1 )2 + (m1∆m2 ) 2

4. Измерения диаметра шара винтовым микрометром дали значение d = (12,050 ± 0,005) мм. До какой значащей цифры следует округлить числа π= 3,14159… и 1/6 = 0,16666… при вычислении объема шара V=1/6. π d3 ? Ответ:

π ≈ 3,142 ; 1/6 ≈ 0,1667

5. В таблице приведены результаты измерения сторон прямоугольного треугольника (а и b – катеты, с – гипотенуза) линейкой с ценой наименьшего деления 1 мм. Показать справедливость теоремы Пифагора с2= а2 + b2 в пределах погрешностей измерений. Инструментальную погрешность линейки считать равной 0,5 мм. Доверительную вероятность принять равной 90 %. а, см

b, см

с, см

15,1

10,1

18,0

15,1

10,0

18,0

15,1

9,9

18,0

Указание. Для экспериментального подтверждения равенства с2= а2 + b2 ( как и любого другого равенства) следует вычислить левую и правую части и выписать их совместно с их погрешностями, после чего убедиться, что доверительные интервалы, соответствующие левой и правой частям, пересекаются между собой (например, изобразив эти интервалы на числовой оси).

ЛИТЕРАТУРА 1. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М.: Высшая школа, 1970. –150 с. 2. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин. –Л.: Просвещение, 1974. –50 с.

23

ПРИЛОЖЕНИЕ Коэффициенты Стьюдента tαn n

α

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

2

2,0

3,1

6,3

12,7

31,8

63,7

3

1,3

1,9

2,9

4,3

7,0

9,9

4

1,3

1,6

2,4

3,2

4,5

5,8

5

1,2

1,5

2,1

2,8

3,7

4,6

6

1,2

1,5

2,0

2,6

3,4

4,0

7

1,1

1,4

1,9

2,4

3,1

3,7

8

1,1

1,4

1,9

2,4

3,0

3,5

9

1,1

1,4

1,9

2,3

2,9

3,4

10

1,1

1,4

1,8

2,3

2,8

3,3

11

1,1

1,4

1,8

2,2

2,8

3,2

12

1,1

1,4

1,8

2,2

2,7

3,1

13

1,1

1,4

1,8

2,2

2,4

3,1

14

1,1

1,4

1,8

2,2

2,7

3,0

15

1,1

1,3

1,8

2,1

2,6

3,0

16

1,1

1,3

1,8

2,1

2,6

2,9

17

1,1

1,3

1,7

2,1

2,6

2,9

18

1,1

1,3

1,7

2,1

2,6

2,9

19

1,1

1,3

1,7

2,1

2,6

2,9

20

1,1

1,3

1,7

2,1

2,5

2,9

24

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. В чем состоит основная причина возникновения погрешностей измерений? 2. Что такое систематическая погрешность ? Приведите примеры систематических погрешностей. 3. Какие погрешности относятся к классу случайных? Какими факторами они вызываются? 4. Гауссово распределение случайных погрешностей. 5. Как связаны дисперсии отдельного измерения и среднего арифметического? 6. Средние квадратичные погрешности отдельного измерения и среднего арифметического. 7. Каким образом можно уменьшить случайную погрешность измерений? 8. Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность? 9. В каком случае применимо правило «трех сигма»? 10.Когда следует применять метод Стъюдента? Как найти в этом случае доверительный интервал? 11.Что такое косвенные измерения? Как найти доверительный интервал при косвенных измерениях? 12.В каких случаях удобнее сначала найти относительную погрешность? 13.Напишите формулы для погрешностей суммы, разности, произведения, частного, степенной функции. 14.Как находят погрешность косвенных измерений, если условия опыта не воспроизводятся?

СОСТАВИТЕЛИ: Носова Валентина Ивановна Голицына Ольга Михайловна РЕДАКТОР Тихомирова О.А.