Введение в теорию колебаний и волн

М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН Современная теория колебаний и волн представлена в книге не формальнометодической стороной, а своими явлениями и эффектами, встречающимися в медицине, биофизике, гидродинамике, радиоэлектронике, физике плазмы и других областях науки и техники. В новом издании (1-е изд. — 1984 г.) отражены результаты последних лет. Для студентов и аспирантов, имеющих дело в своих исследованиях с колебательными и волновыми процессами, а также для научно-технических работников, занятых в этой области. Содержание Предисловие ко второму изданию 8 Предисловие к первому изданию 9 Введение 11 Часть I. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ Глава 1. Линейный осциллятор 17 1.1. Общие замечания 17 1.2. Два примера. Фазовый портрет осциллятора 19 1.3. Резонанс. Действие непериодической внешней силы на осциллятор 28 1.4. Нормальные колебания. Аналогия с квантовой механикой. Операторы 35 рождения и уничтожения Глава 2. Колебания в системе двух связанных осцилляторов 38 2.1. Исходные уравнения 38 2.2. Свободные колебания двух связанных осцилляторов 40 2.3. Возбуждение двух связанных осцилляторов внешней силой. Теорема 49 взаимности Глава 3. Колебания в ансамбле невзаимодействующих осцилляторов 51 3.1. Классическая теория дисперсии 51 3.2. Колебания в ансамбле нетождественных невзаимодействующих 56 осцилляторов с заданной функцией распределения Глава 4. Колебания в упорядоченных структурах. Предельный переход 60 к сплошной среде. Волны. Дисперсия 4.1. Общие замечания 60 4.2. Колебания в упорядоченных структурах (цепочки из связанных частиц 61 и из тождественных связанных осцилляторов) 70 4.3. Предельный переход от упорядоченных структур к одномерной сплошной среде. Временная и пространственная дисперсия. Физическая природа дисперсии 4.4. Типичные дисперсионные характеристики сред-моделей 76 4.5. Формальный способ получения дисперсионного уравнения. Волны в 81 одномерном резонаторе. Резонанс волновых систем 4.6. Квазичастицы 88 Глава 5. Свойства волн малой амплитуды в сплошных средах 90 5.1. Общие замечания 90

5.2. Уравнения гидродинамики. Дисперсионное уравнение для звуковых волн 5.3. Стратифицированная жидкость. Звук в океане 5.4. Гравитационные волны в несжимаемой жидкости. Внутренние волны. Волны Россби 5.5. Волны в сверхтекучей жидкости 5.6. Волны в плазме. Гидродинамическое описание Глава 6. Устойчивость и неустойчивость линеаризованных систем с дискретным спектром 6.1. Общие замечания и определения 6.2. Критерий Рауса-Гурвица и трехмерные системы 6.3. Метод D-разбиений 6.4. Устойчивость неавтономных систем 6.5. Механизмы неустойчивостей Глава 7. Устойчивость распределенных систем со сплошным спектром 7.1. Общие замечания 7.2. Примеры неустойчивостей 7.3. Абсолютная и конвективная неустойчивости. Метод характеристик 7.4. Волны в потоках. Электронные потоки. Неустойчивость Гельмгольца 7.5. Усиление и непропускание. Критерии разделения Глава 8. Скорость распространения волн 8.1. О различных способах введения понятия групповой скорости 8.2. Групповая скорость волн в некоторых сплошных средах Глава 9. Энергия и импульс волн 9.1. Уравнение переноса усредненной плотности энергии для волнового пакета в диспергирующей среде 9.2. Плотность энергии электромагнитного поля в среде с дисперсией 9.3. Импульс волнового пакета Глава 10. Волны с отрицательной энергией. Связанные волны 10.1. Общие замечания 10.2. Волны с положительной и отрицательной энергией 10.3. Связанные волны, синхронизм. Нормальный и аномальный эффект Доплера Глава 11. Параметрические системы и параметрическая неустойчивость 11.1. Общие замечания 11.2. Параметрический резонанс. Теорема Флоке (Блоха). Уравнение Матье 11.3. Волны в периодических структурах. Зоны Матье и диаграммы Бриллюэна 11.4. Движение в быстро осциллирующем поле. Маятник Капицы. Лазеры на свободных электронах Глава 12. Адиабатические инварианты. Распределение волн в неоднородных средах 12.1. Приближение Вентцеля-Крамерса- Бриллюэна и адиабатические

91 94 98 111 118 129 129 132 136 139 141 149 149 152 160 164 172 177 177 184 190 190 193 198 200 200 201 207 216 216 217 229 234 240 240

инварианты 12.2. Эквивалентность ротатора осциллятору 12.3. Распространение волн в неоднородных средах Приближение геометрической оптики 12.4. Распространение волн в плоскослоистой среде в приближении геометрической оптики 12.5. Линейное взаимодействие волн в неоднородной среде Часть II. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ Глава 13. Нелинейный осциллятор 13.1. Вводные замечания 13.2. Качественное и аналитическое описание. Примеры нелинейных систем 13.3. Нелинейный резонанс 13.4. Перекрытие нелинейных резонансов Глава 14. Периодические автоколебания 14.1. Определение 14.2. Генератор Ван-дер-Поля. Зависимость формы автоколебаний от параметров системы 14.3. Релаксационные автоколебания. «Быстрые» и «медленные» движения Глава 15. Нелинейные динамические системы (общие свойства и методы исследования) 15.1. Основные типы траекторий. Грубость (структурная устойчивость) динамической системы 15.2. Основные бифуркации на плоскости. Индексы Пуанкаре 15.3. Точечные отображения 15.4. Бифуркации периодических движений 15.5. Гомоклинические структуры Глава 16. Автоколебания в многочастотных системах 16.1. Вынужденная синхронизация 16.2. Конкуренция 16.3. Взаимная синхронизация мод Глава 17. Резонансное взаимодействие осцилляторов 17.1. Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью 17.2. Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией 17.3. Взрывная неустойчивость Глава 18. Простые волны и образование разрывов 18.1. Кинематические волны 18.2. Бегущие волны в нелинейной среде без дисперсии 18.3. Определение координат разрыва 18.4. Слабые ударные волны. Граничные условия на разрыве Глава 19. Стационарные ударные волны и солитоны 19.1. Структура разрыва

245 247 254 260 271 271 273 284 288 296 296 299 302 307 307 312 316 319 322 328 328 341 346 350 350 360 367 370 370 374 382 385 389 389

19.2. Уединенные волны — солитоны 397 19.3. Солитоны как частицы 403 19.4. Неодномерные солитоны 405 Глава 20. Модулированные волны в нелинейных средах 410 20.1. Общие замечания 410 20.2. Самомодуляция. Возвращаемость 414 20.3. Самофокусировка 424 20.4. Взаимодействие волновых пучков и пакетов 428 20.5. Взаимодействие друг с другом волн, имеющих случайно 431 модулированные фазы. Кинетика волн Глава 21. Автоколебания в распределенных системах 438 21.1. Общие замечания 438 21.2. Среды без дисперсии. Разрывные волны 439 21.3. Стационарные волны 440 21.4. Существование и роль предельных циклов 444 21.5. Конкуренция стационарных волн в активной среде 446 21.6. Периодические автоколебания в гидродинамических течениях 448 Глава 22. Стохастическая динамика простых систем 456 22.1. Как появляется случайность в динамической системе 456 22.2. Стохастическая динамика одномерных отображений 465 22.3. Генератор шума. Качественное описание и эксперимент 470 22.4. Статистическое описание простого генератора шума 473 22.5. Пути возникновения странных аттракторов 477 22.6. Размерность стохастических множеств 489 Глава 23. Возникновение турбулентности 493 23.1. Общие замечания 493 23.2. Возникновение стохастических автоколебаний в гидродинамическом 496 эксперименте 23.3. Стохастическая модуляция 503 23.4. Идеальные течения и турбулентность 508 Глава 24. Самоорганизация 513 24.1. Основные явления, модели, математические образы 513 24.2. Бегущие импульсы 519 24.3. Спиральные и цилиндрические волны. Ведущие центры 521 24.4. О механизмах самоорганизации 524 Литература 528 Предметный указатель 558 Предметный указатель — удвоения 320, 497 Автономная система 18 Брюсселятор 154 Акустическая ветвь 66 Взаимодействие резонансное волн Аттрактор 299 350, 360 — странный 305, 464, 470, 477, 496 — — осцилляторов 350 Бифуркация 312 Вина график 342 — рождения инвариантного тора 320

Волна Россби 98, 407 — внутренняя 98 — гравитационная 100, 379 — кинематическая 370 — модулированная 410 — простая 376 — разрывная 439 — с положительной и отрицательной энергией 201 — стационарная 440 — ударная 385, 389 Волновод 107 Волновой пакет 178, 191 Вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна 350, 360 Ганна диод 142 Гомоклиническая структура 322 Двухжидкостная гидродинамика 120 Диаграмма Ламерея 317, 477 Динамическая система 129, 307 — — грубая 307, 311 Дисперсия 60, 70 — аномальная 53 — временная 74 — нормальная 53 — пространственная 74 Диссипативная структура 515 Заряд топологический 522 Затухание Ландау 125 Звук ионный 126 Клистрон 31, 371 Колебания нормальные, форма 45 — связанные, форма 45 Критерий Бриггса 173 — Рауса - Гурвица 132 Лазер на свободных электронах 237 Лампа бегущей волны 86, 155, 157, 283 — двухлучевая 165 — обратной волны 155, 158 Ленгмюровские колебания 121 Ляпуновский характеристический показатель 219

Маятник Капицы 235 Метод Ван-дер-Поля 261, 285, 288, 331, 342 — Галеркина 451 — D-разбиений 136 — Уизема 193, 243 — асимптотический 220 — возмущений в теории колебаний и волн 221. 377 — множителей Лагранжа 34 — обратной задачи рассеяния 401 — прямой вариационный 243 — связанных волн 208 — усреднения при движении в быстро осциллирующем поле .234 Мода бароклинная 110 — баротропная 111 Модель Вольтерра 20, 345 — Ландау-Хопфа 494 — Лотки 19 — «хищник-жертва» 20 Модуляция 410 — стохастическая 503 Мультипликатор 318 Неустойчивость 27, 129, 148 — Гельмгольца 102 — Джинса 152 — Тьюринга 153 — абсолютная 150, 160 — взрывная 367 — конвективная 149, 160 — стохастическая 296 Оптическая ветвь 66 Отображение Пуанкаре 316, 476 Парадокс Ферми-Паста-Улама 421 Перекрытие резонансов 290 Перемежаемость 487 Переход к турбулентности 499, 501 Постоянная Фейгенбаума 478 Предельный цикл 296 Приближение Буссинеска 96 — Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна 240, 241, 248

— геометрической оптики 182 Равновесия состояния 21-28, 134, 136, 298, 307, 313, 335 Радиус Дебая 118 Реакция Белоусова-Жаботинского 513, 522. 523 Резистивный усилитель 205 Резонанс 28 — волновых систем 81 — нелинейный 284 — параметрический 217 Релаксационные автоколебания 302 Рефрактерности время 521, 523 Связанность 45 Сепаратриса 24, 276, 319, 519 Сила Миллера 238 Синергетика 513 Синхронизм волн 86, 207, 368 Синхронизма условие 360, 431 Система Лоренца 483 — Морса-Смейла 325 Скорость групповая 76, 177, 184 — распространения энергии 184 — фазовая 72, 76, 177 Солитон 277, 389, 397. 419 — Россби 409 — диссипативный 519 — как частица 403 Теорема Лиувилля 463 — Чу 201 Турбулентности возникновение 500 Турбулентность 436, 493 — волновая 436 — гидродинамическая 493 — слабая 436 Уравнение Бюргерса 370 — Ван-дер-Поля 299 —— Гинзбурга-Ландау 417 — Кадомцева-Петриашвили 405 — Клейна-Гордона 71. 78, 190. 370

— Кортевега-де Вриза 277, 397 — Ландау 507 — Матье 217 — Хилла 218 — Хохлова-Заболотской 405 — Шредингера 400 — дисперсионное 81 — нелинейное параболическое 415 — характеристическое 27, 83 Устойчивость 129, 149 — асимптотическая 131 — неавтономных систем 139 — орбитальная 131 — по Ляпунову 130 — структурная 307 Фазовая плоскость 21 Фазовое пространство 134, 135, 307, 459 Формула Рэлея 183 Функция Мельникова 327 — корреляционная 462 Центр ведущий 521 Цепочка одинаковых маятников 67 — связанных частиц 61 — точечных вихрей 509 Частота Вяйсяля 97 — нормальная 42 — парциальная 42 — плазменная 119 — циклотронная 214 Число Маха 511 — Прандтля 484 — Рейнольдса 494 — Рэлея 484 — Тейлора 501 Энтропия Колмогорова-Синая 469 Эргодичность 461 Эффект Доплера 207, 215 Ячейка Бенара 513, 514 — Хеле-Шоу 449