Современная математика. Фундаментальные направления. Том 3 (2003). С. 43–62 УДК 517.95+517.958
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ c 2003 г.
В. А. СОЛОННИКОВ
АННОТАЦИЯ. В работе рассматривается задача устойчивости фигур равновесия для равномерно вращающейся вязкой несжимаемой самогравитирующей жидкой массы, подверженной действию капиллярных сил на границе. Показано, что вращательно-симметричная фигура равновесия F экспоненциально устойчива, если некоторый функционал, определенный на множестве областей Ω, близких к F , и удовлетворяющий условиям инвариантности объема (|Ω| = |F |) и положения барицентра, достигает своего минимума при Ω = F . Доказательство основано на непосредственном анализе соответствующей эволюционной задачи с начальными данными, близкими к режиму вращения жидкости как твердого тела.
СОДЕРЖАНИЕ
1. 2. 3. 4.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . Оценки обобщенной энергии . . . . Локальная теорема существования Доказательство теоремы 1.1 . . . . Список литературы . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
1.
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
43 47 51 58 61
ВВЕДЕНИЕ
Задача о движении вязкой несжимаемой самогравитирующей жидкости, подверженной действию капиллярных сил на границе, состоит в определении ограниченной области Ωt ⊂ R3 , t > 0, с гладкой границей Γt , векторного поля скоростей ~v (x, t) = (v1 , v2 , v3 ) и (скалярного) давления p(x, t), удовлетворяющих соотношениям ~vt + (~v · ∇)~v − ν∇2~v + ∇p = κ∇U (x, t), ∇ · ~v = 0,
x ∈ Ωt ,
~v (x, 0) = ~v0 , T (~v , p)~n − σH~n = 0,
t > 0,
x ∈ Ω0 ,
Vn = ~v · ~n,
x ∈ Γt ≡ ∂Ωt .
Здесь ν, σ и κ — положительные константы: коэффициенты вязкости, поверхностного натяжения и гравитационная постоянная соответственно, T (~v , p) = −pI + νS(~v ) — тензор напряжений, ∂vj ∂vk + — удвоенный тензор скоростей деформации, H — удвоенная средняя S(~v ) = ∂xk ∂vj j,k=1,2,3 кривизна границы Γt , отрицательная для выпуклых областей, Vn — скорость перемещения Γt в направлении внешней нормали ~n, Z dz U (x, t) = |x − z| Ωt
есть ньютонов потенциал, зависящий от неизвестной области Ωt . Плотность жидкости предполагается равной единице. Область Ω0 считаем заданной. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 01-01-0330. c
2003 МАИ
43
44
В. А. СОЛОННИКОВ
Заменяя p на p + κU , запишем указанные уравнения в виде ~vt + (~v · ∇)~v − ν∇2~v + ∇p = 0, ∇ · ~v = 0,
x ∈ Ωt ,
t > 0,
(1.1)
x ∈ Ω0 ,
~v (x, 0) = ~v0 , T (~v , p)~n − σH~n − κU~n = 0,
Vn = ~v · ~n,
x ∈ Γt ≡ ∂Ωt .
Напомним (более подробно см. [5,6]), что в задаче (1.1) выполняются следующие законы сохранения: Z
|Ωt | = |Ω0 | (сохранение массы), Z ~v (x, t)dx = ~v0 (x)dx (сохранение момента),
Ωt
Ω0
Z
Z ~v (x, t) × ~x dx =
Ωt
~v0 (x) × ~x dx (сохранение углового момента). Ωt
Без ограничения общности можно считать, что Z Z ~v (x, t)dx = ~v0 (x)dx = 0, Ωt
Ω0
(1.2)
Z
Z ~v (x, t) × ~x dx =
~v0 (x) × ~x dx = β~e3 , Ωt
Ωt
Z (1.3)
~x dx = 0. Ωt
Эти условия могут быть получены путем перехода к соответствующей инерциальной системе координат. Они означают, что барицентр области Ωt расположен в начале координат и что угловой момент направлен вдоль оси x3 . Далее, напомним, что уравнения Навье–Стокса имеют решение, отвечающее вращению всей жидкости как твердого тела. Соответствующие скорость и давление определяются по формулам ω2 0 2 |x | + p1 , 2 где ω — постоянная угловая скорость вращения, p1 — некоторая константа, |x0 |2 = x21 +x22 . Краевые условия принимают вид ω2 0 2 σH + |x | + p1 + κU(x) = 0. (1.4) 2 Это уравнение задает замкнутую поверхность, которая ограничивает область, заполненную вращающейся жидкостью. Такая область называется фигурой равновесия. Обозначим ее через F и положим G = ∂F. Уравнение (1.4) выполняется на G, причем H есть удвоенная средняя кривизна поверхности G, Z dz U(x) = . |x − z| ~ (x) = ω(~e3 × ~x) = ω(−x2 , x1 , 0), V
P (x) =
F
Константа p1 определяется из дополнительного условия на объем области F, которое в нашем случае имеет вид |F| = |Ω0 |. (1.5) Предположим также, что барицентр области F совпадает с началом координат, то есть Z ~x dx = 0. (1.6) F
Угловая скорость ω и момент β связаны друг с другом соотношением β = −ωI,
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
45
где Z I=
|x0 |2 dx.
(1.7)
F
Для малых значений β уравнение (1.4) с дополнительными условиями (1.5)–(1.7) однозначно разрешимо, причем поверхность G является бесконечно дифференцируемой (см., например, [6]). Нас будет интересовать проблема устойчивости фигур равновесия. Постулируем существование гладкого вращательно-симметричного решения задачи (1.4)–(1.7). Введем новые неизвестные функции ~ (x), ~v 0 (x, t) = ~v (x, t) − V p0 (x, t) = p(x, t) − P (x) и перейдем к системе координат, вращающейся вокруг оси x3 с угловой скоростью ω; для этого воспользуемся стандартными формулами x = Z(t)y,
w(y, ~ t) = Z −1 (t)~v 0 (Z(t)y, t),
s(y, t) = p0 (Z(t)y, t),
где
cos ωt − sin ωt 0 Z(t) = sin ωt cos ωt 0 . 0 0 1 Данная замена переменных переводит (1.1) в следующую систему уравнений: w ~ t + (w ~ · ∇)w ~ + 2ω(~e3 × w) ~ − ν∇2 w ~ + ∇s = 0, y ∈ Ω0t ≡ Z −1 Ωt ,
∇ · w(y, ~ t) = 0,
~ (y) ≡ w w(y, ~ 0) = ~v0 (y) − V ~ 0 (y), 0
0
y ∈ Ω0 ,
0
(1.8)
0
T (w, ~ s)~n − (σH + P (y) + κU (y, t))~n = 0, Vn0 = w ~ · ~n0 ,
y ∈ Γ0t ≡ ∂Ω0t ,
где Vn0 — нормальная скорость перемещения Γ0t и Z 0 U (y, t) =
dz . |y − z|
Ω0t
Для произвольной области Ω, близкой к F и удовлетворяющей условиям Z |Ω| = |F|, ~xdx = 0,
(1.9)
Ω
определим функционал ω2 G = σ|Γ| − 2
Z
κ |x | dx − 2 0 2
Ω
Z Z
dxdy − p1 |Ω|. |x − y|
(1.10)
Ω Ω
Будем считать, что граница Γ ≡ ∂Ω задается уравнением x = y + N (y)ρ(y),
y ∈ G,
(1.11)
где N (y) — внешняя нормаль к поверхности G, а ρ(y) — малая функция: |ρ|C 1 (G) 6 δ 1.
(1.12)
Тогда можно рассматривать G как функционал, определенный на множестве функций ρ(y), таких, что соответствующие области Ω удовлетворяют условиям (1.9). Эти условия могут быть записаны в виде Z Z η(y; ρ)dSy = 0, G
ψk (y; ρ)dSy = 0, G
k = 1, 2, 3,
(1.13)
46
В. А. СОЛОННИКОВ
где ρ2 ρ3 H(y) + K(y), 2 3 ρ 2 ρ3 ρ4 ψk (y; ρ) = yk η(y; ρ) + Nk (y) − H(y) + K(y) , 2 3 4 а K есть гауссова кривизна поверхности G. Определим вариации функционала G[ρ] при помощи стандартных формул ∂ ∂ δG[ρ; r] = G[ρ + λr] , δ 2 G[ρ; r] = δG[ρ + λr; r] ∂λ ∂λ λ=0 λ=0 и положим 2 2 0 0 δ0 G[ρ] = δG[ρ0 ; r0 ] 0 , δ G[ρ] = δ G[ρ ; r ] . 0 0 0 0 η(y; ρ) = ρ −
ρ =0, r =ρ
ρ =0, r =ρ
Тогда 1 G[ρ] = G[0] + δ0 G[ρ] + δ02 G[ρ] + G1 [ρ], 2 Z1 d2 d2 0 G1 [ρ] = (1 − µ) G[µρ] − G[µ ρ] dµ. dµ2 dµ0 2 µ0 =0 0
Можно показать, что Z δ0 G[ρ] = −
ω2 0 2 |y | + p1 + κU(y) ρ(y)dy = 0 σH + 2
G
в силу уравнения (1.4) и Z h i ω 2 ∂|y 0 |2 δ02 G[ρ] = σ(|∇G ρ|2 + 2Kρ2 ) − − |y 0 |2 H ρ2 + p1 Hρ2 dS+ 2 ∂N G Z Z Z dSy dSz ∂U(y) 2 ρ dS − κ ρ(y)ρ(z) +κ U(y)H − ∂N |y − z| G
(1.14)
G G
(см. предложение 2.1 ниже). Наше основное предположение относительно функционала G[ρ] состоит в том, что он достигает своего минимального значения при ρ = 0, то есть вторая вариация функционала G положительно определена: существуют две положительные константы c1 и c2 , такие, что c1 kρk2W 1 (G) 6 δ02 G[ρ] 6 c2 kρk2W 1 (G) 2
(1.15)
2
для произвольных малых ρ(y), удовлетворяющих условиям (1.12), (1.13). Основной результат данной статьи заключается в следующем. Теорема 1.1. Пусть граница Γ0 = ∂Ω0 задана уравнением (1.11), где ρ = ρ0 ∈ C 3+α (G), α ∈ (0, 1), G — поверхность вращательно-симметричной фигуры равновесия F, причем R ~ ∈ C 2+α (Ω0 ) удовлетворяет условиям |F| = |Ω0 |, ~x dx = 0. Предположим, что w ~ 0 = ~v0 − V F
совместности ∇·w ~ 0 = 0,
S(w ~ 0 )~n0 − ~n0 (~n0 · S(w ~ 0 )~n0 )
Γ0
= 0,
где ~n0 — внешняя нормаль к Ω0 , ~v0 удовлетворяет соотношениям (1.2), и пусть kw ~ 0 kL2 (Ω0 ) + kρ0 kW21 (G) 6 ε 1.
(1.16)
Тогда, если выполняются неравенства (1.15), то задача (1.8) имеет единственное классическое решение, определенное при всех t > 0, Γt задается уравнением (1.11) с функцией ρ = ρ(y, t) и |w ~ t (·, t)|C α (Ω0t ) + |w(·, ~ t)|C 2+α (Ω0t ) + |q(·, t)|C 1+α (Ω0t ) + +|ρ(·, t)|C 3+α (G) 6 ce−bt |~v0 |C 2+α (Ω0 ) + |ρ0 |C 3+α (G) , b > 0.
(1.17)
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
47
Фигуры равновесия вращающейся жидкости были предметом исследования во многих работах: как уже ставших классическими, так и современных (см., например, [1–4, 8]). Эволюционная задача (1.1) рассматривалась в [5, 6], где, в частности, была доказана теорема существования (аналогичная теореме 1.1) для медленных движений, то есть для малых ~v0 и β. В случае κ = 0 это ограничение было снято в [7,9] при помощи глобальных оценок обобщенной энергии (см. раздел 2). Для других задач динамики вязких сжимаемых и несжимаемых жидкостей обобщенная энергия вводилась в работах [10, 11], там же были получены ее оценки. 2.
ОЦЕНКИ
ОБОБЩЕННОЙ ЭНЕРГИИ
Начнем с обоснования формулы (1.14), которое сводится к вычислению вариаций интеграла Z Z dxdz J= . |x − z| Ω Ω
Указанный интеграл берется по области Ω, граница которой задается уравнением (1.11) с функцией ρ(y), удовлетворяющей (1.12). Удобно отобразить Ω на F при помощи замены переменных, обратная к которой определяется формулой x = y + N ∗ (y)ρ∗ (y) ≡ eρ (y), N ∗ (y)
y ∈ F.
(2.1)
ρ∗ (y)
Здесь и — продолжения N (y) и ρ(y) с G в F, которые осуществляются следующим ∗ образом: N (x) = N (y), ρ∗ (x) = ρ(y) для x = y + N (y)λ, y ∈ G, |λ| 6 λ0 1 и далее произвольным образом, но с сохранением класса и так, что |ρ∗ |C 1 (F ) 6 c|ρ|C 1 (G) 6 cδ. Если число δ достаточно мало, то последнее неравенство гарантирует обратимость преобразования (2.1). Ясно, что ~ ∗ (y) ∂ρ∗ (y) ∂N ~ · ∇ρ∗ (y) = 0, ≡N =0 ∂N ∂N на поверхности G и в ее λ0 -окрестности. Обозначим через Lρ матрицу Якоби преобразования (2.1): ∂e ∂Ni∗ (y)ρ∗ (y) ρi Lρ (y) = = δij + ∂yj i,j=1,2,3 ∂yj i,j=1,2,3 и положим ij Lρ (y) = det Lρ (y), L−1 ρ (y) = (l )i,j=1,2,3 , ˆ ij )i,j=1,2,3 . Lˆρ (y) = Lρ (y)L−1 (y) = (L ρ
Предложение 2.1. Пусть Γ = ∂Ω задано уравнением (1.11). Тогда Z δ0 J[ρ] = 2 ρ(y)U(y)dSy ,
(2.2)
G
δ02 J[ρ]
Z = −2
Z
2
ρ (y)H(y)U(y)dSy + 2 G
и
∂U(y) ρ (y) dSy + 2 ∂N 2
G
Z Z ρ(y)ρ(z)
dSy dSz |y − z|
G G
J[ρ] − J[0] − δ0 J − 1 δ02 J 6 c|ρ|C 1 (G) kρk2 L2 (G) . 2
Доказательство. Переходя к переменным y = e−1 ρ (x) ∈ F, мы можем записать J в виде Z Z Z Lρ (y)Lρ (z)dydz J[ρ] = = Lρ (y)U (eρ (y))dy. |eρ (y) − eρ (z)| F F
F
Следовательно, δJ[ρ; r] =
Z F
(2.3)
δLρ [ρ, r]U (eρ (y)) + Lρ (y)δU (eρ )[ρ, r] dy.
(2.4)
48
В. А. СОЛОННИКОВ
Легко видеть, что 3 X ∂Ni∗ (y)r∗ (y) ˆ δLρ [ρ, r] = Lji (y; ρ), ∂yj i,j=1
и, следовательно, Z hX 3 ˆ ji (z; ρ) L ∂Ni∗ (z)r∗ (z) δU (eρ )[ρ; r] = + ∂zj |eρ (y) − eρ (z)| i,j=1
F
+Lρ (z)
i eρ (y) − eρ (z) ∗ ∗ ∗ ∗ · (N (z)r (z) − N (y)r (y)) dz. |eρ (y) − eρ (z)|3
Интегрируя по частям и учитывая соотношения 3 X ˆ ji (z; ρ) ∂L
∂zj
j=1
3 X ∂eρi
= 0,
j=1
∂zj
ˆ jk (z; ρ) = δik Lρ (z), L
получаем Z δU (eρ )[ρ; r] =
Λ(z; ρ)r(z)
dSz ~ ∗ (y)r∗ (y) · ∇U (ξ) +N . |eρ (y) − eρ (z)| ξ=eρ (y)
(2.5)
G
Отсюда следует Z δJ[ρ; r] = 2
r(y)Λ(y; ρ)U (eρ (y))dSy , G
где Λ(y; ρ) =
3 P
ˆ ij (y; ρ) = 1 − ρH + ρ2 K (см. [7]). Из последней формулы вытекаNi (y)Nj (y)L
i,j=1
ет (2.2). Далее, имеем 2
Z
δ J[ρ, r] = 2
h i r(y) δΛ[ρ; r]U (eρ (y)) + Λ(y; ρ)δU (eρ )[ρ; r] dSy .
G
Еще раз используя (2.5), получаем Z 2 δ J[ρ; r] = −2 r2 (y) H(y) − 2ρ(y)K(y) U (eρ (y))dSy + G
Z +2
~ (y) · ∇U (z) r2 (y)Λ(y; ρ)N
Z Z z=eρ (y)
dSy + 2
G
r(y)r(z)Λ(y; ρ)Λ(z; ρ)
dSy dSz . |eρ (y) − eρ (z)|
(2.6)
G G
Отсюда вытекает (2.3). Наконец, поскольку 1 J[ρ] − J[0] − δ0 J − δ02 J = 2
Z1
∂ ∂ 0 (1 − µ) J[µρ] − J[µ ρ] dµ = ∂µ ∂µ0 µ0 =0
0
Z1 =
(1 − µ)(δ 2 J[µρ; ρ] − δ 2 J[0, ρ])dSy ,
0
то из (2.3) и (2.6) при помощи элементарных вычислений нетрудно вывести (2.4). В случае κ = 0 функционал G рассматривался в [7, 9]. Формула (1.14) следует из соотношения (2.27) в [7] и из формулы (2.3) настоящей работы. Более того, из (2.28) в [7] и неравенства (2.4) настоящей работы вытекает, что G[ρ] − G[0] − δ0 G − 1 δ02 G 6 c|ρ|C 1 (G) kρk2 1 . (2.7) W2 (G) 2 Перейдем к оценке обобщенной энергии. Нам потребуется следующее вспомогательное утверждение, доказанное в [7, 9].
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
49
Предложение 2.2. Пусть Ωt задается уравнением (1.11) с некоторой функцией ρ = ρ(y, t), и ~ (x, t), x ∈ Ωt , удовлетворяющее условиям пусть |Ωt | = |F|. Тогда существует векторное поле U ~ (x, t) = 0, ~ · ~n ∇·U U = f (x, t), (2.8) x∈Γt Z ~ (x, t) · ~ηi (x)dx = 0, U i = 1, 2, 3, (2.9) Ωt
где ~ηi (x) = ~ei × ~x, f (eρ (y), t) =
η(y; ρ) , ~| |LˆTρ N
и неравенствам ~ (·, t)k 1 kU W2 (Ωt ) 6 ckη(·, t)kW 1/2 (G) ,
(2.10)
~ (·, t)kL (Ω ) 6 ckη(·, t)kL (G) , kU t 2 2 ~ t (·, t)kL (Ω ) 6 c kηt (·, t)kL (G) + kη(·, t)kL (G) , kU t 2 2 2
(2.11)
2
(2.12)
где η(y, t) ≡ η(y, ρ(y, t)). Сформулируем основной результат данного параграфа. Предложение 2.3. Предположим, что задача (1.8) имеет классическое решение, определенное при t ∈ (0, T ), и что Γ0t задается уравнением (1.11) с функцией ρ = ρ(y, t), имеющей ограниченные производные ∇G ∇G ρ, ∇G ρt (∇G есть градиент на G) и удовлетворяющей условию sup |ρ(·, t)|C 1 (G) 6 δ (2.13) t
с некоторым малым δ > 0. Наконец, предположим, что имеет место (1.15). Тогда существует функция E(t) (обобщенная энергия), удовлетворяющая неравенствам c1 kw(·, ~ t)k2L2 (Ωt ) + kρ(·, t)k2W 1 (G) 6 E(t) 6 c2 kw(·, ~ t)k2L2 (Ωt ) + kρ(·, t)k2W 1 (G) (2.14) 2
2
и E(t) 6 e−bt E(0),
(2.15)
b > 0.
Доказательство. Как и в работах [7, 9], определим E(t) по формуле Z 1 2 ~ (x, t)dx, E(t) = kw(·, ~ t)kL2 (Ωt ) + G(ρ) − G(0) + γ w(x, ~ t) · U 2 Ωt
где γ — малое положительное число. Очевидно, (2.14) вытекает из (2.10) и (1.15). Для того чтобы доказать (2.15), умножим первое из уравнений (1.8) на w ~ и проинтегрируем по Ωt . В результате получим (более подробно см. [5, 6, 9]) ν d 1 kw(·, ~ t)k2L2 (Ωt ) + G[ρ] − G[0] + kS(w)k ~ 2L2 (Ωt ) = 0. (2.16) dt 2 2 ~ (x, t) Однако из этого соотношения еще не следует (2.15). Умножим первое из уравнений (1.8) на U и снова проинтегрируем по Ωt . После несложных вычислений получаем Z Z Z d ~ dx − w ~ t + (w ~ ) dx + 2 ω(~e3 × w) ~ dx+ w ~ ·U ~ · (U ~ · ∇)U ~ ·U dt Ωt
ν + 2
Z Ωt
Ωt
~ ) dx − S(w) ~ : S(U
Ωt
Z σH + Γt
ω2 2
0 2
|x | + κU + p1 f (x, t) dS = 0,
(2.17)
50
В. А. СОЛОННИКОВ
где f (x, t) определена в предложении 2.2. Используя уравнение (1.4), мы можем записать поверхностный интеграл в виде Z h i ω2 0 σ(H(eρ (y)) − H(y)) + (|eρ (y)|2 − |y 0 |2 ) + κ(U (eρ (y)) − U(y)) η(y; ρ)dSy . 2 G
Умножая (2.17) на γ и прибавляя результат к (2.16), получим d E(t) + E1 (t) = 0, dt
(2.18)
где Z h i ν 2 ~ t − 2ω(~e3 × w) ~ dx− E1 (t) = kS(w)k ~ L2 (Ωt ) − γ w ~ ·U ~ ·U 2 Ωt Z Z γν ~ ~ )dx− −γ w ~ · (w ~ · ∇)U )dx + S(w) ~ : S(U 2 Ωt
−γ
Z h
Ωt
σ(H(eρ (y)) − H(y)) +
i ω2 0 (|eρ (y)|2 − |y 0 |2 ) + κ(U (eρ (y)) − U(y)) η(y; ρ)dSy . 2
G
Теперь докажем, что E1 (t) > bE(t), если γ достаточно мало. Как показано в [7, 9], Z h ν Z i Z ~ )dx 6 ~ t − 2ω(~e3 × w) ~ dx + w ~ )dx + S(w) ~ : S(U w ~ ·U ~ ·U ~ · (w ~ · ∇)U 2 Ωt Ωt Ωt 6 c kS(w)k ~ L2 (Ω) kρkW21 (G) + kS(w)k ~ 2L2 (Ω) + δkρk2W 1 (G) , 2
и поверхностный интеграл в (2.19) можно записать в виде Z h ω2 0 σ(H(eρ (y))Λ(y; ρ) − H(y)) + (|eρ (y)|2 − |y 0 |2 )+ 2 G i +κ(U (eρ (y)) − U(y)) η(y; ρ)dSy + Z h 2 i ω 02 + |y | + κU(y) + p1 (Λ − 1)η − σ(H(eρ ) − H(y))(Λ − 1)η dSy = 2 G
= −δ02 σ|Γt | −
ω2 2
Z
Z h i |x0 |2 dx − p1 |Ωt | + κ ρ(y)δ0 U (y) − ρ2 (y)U(y)H dSy + I1 , G
Ωt
где I1 есть сумма слагаемых, мажорируемых cδkρk2W 1 (G) . Далее, в силу (2.5) и (2.3) 2 Z Z Z ρ(y)ρ(z) (ρ(y)δ0 U (y) − ρ2 (y)U(y)H)dSy = dSy dSz + |y − z| G G G Z Z 1 ∂U(y) + ρ2 (y) dSy − ρ2 (y)U(y)H(y)dSy = δ02 J[ρ]. ∂N 2 G
G
Следовательно, Z h
σ(H(eρ (y))Λ(y; ρ) − H(y)) +
ω2 0 (|eρ (y)|2 − |y 0 |2 )+ 2
G
i +κ(U (eρ (y)) − U(y)) η(y; ρ)dSy = −δ02 G[ρ] + I1
(2.19)
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
51
и ν kS(w)k ~ 2L2 (Ωt ) + γδ02 G[ρ]− 2
E1 (t) >
−cγ kS(w)k ~ L2 (Ω) kρkW21 (G) + kS(w)k ~ 2L2 (Ω) + δkρk2W 1 (G) > bE(t), 2
если γ и δ достаточно малы. Из данного неравенства и из (2.18) получаем E 0 (t)+bE(t) 6 0. Отсюда следует (2.15). 3.
ЛОКАЛЬНАЯ
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
Для того чтобы доказать теорему о локальной (по времени) разрешимости задачи (1.8), перейдем к лагранжевым координатам ξ ∈ Ω0 , связанным с координатами Эйлера x ∈ Ωt формулами ~x = ξ~ +
Zt ~u(ξ, τ )dτ ≡ X(ξ, t),
(3.1)
0
где ~u(ξ, t) = w(X(ξ, ~ t), t). В силу хорошо известной формулы H~n = ∆(t)X(ξ, t), где ∆(t) есть оператор Лапласа–Бельтрами на Γt , задача (1.8) может быть записана в виде ~ut − ν∇2u ~u + 2ω~e3 × ~u + ∇u q = 0,
∇u · ~u = 0,
~u(ξ, 0) = w ~ 0 (ξ), ω2 Tu (~u, q)~n − σ∆(t)X = |X 0 (ξ, t)|2 + p1 + κU (X) ~n, 2
ξ ∈ Ω0 ,
(3.2) (3.3)
ξ ∈ Γ0 .
(3.4)
Здесь q(ξ, t) = s(X, t) есть функция давления, записанная в лагранжевых координатах, ∇u = A∇, A = (Aij )i,j=1,2,3 есть матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы Якоби преобразования (3.1) (якобиан данного преобразования равен единице), |X 0 |2 = X12 + X22 ; наконец, Tu (~u, q) = −qI + νSu (~u) и X 3 ∂uj ∂ui Su (~u) = Aik + Ajk ∂ξk ∂ξk i,j=1,2,3 k=1
суть преобразованные тензор напряжений и тензор скоростей деформации соответственно. Легко проверить, что если ~n · ~n0 > 0, то краевое условие (3.4) эквивалентно двум уравнениям Π0 ΠSu (~u)~n = 0, ω2 ~n0 · Tu (~u, q)~n − σ~n0 · ∆(t)X(ξ, t) = |X 0 (ξ, t)|2 + p1 + κU (X) ~n · ~n0 , 2
ξ ∈ Γ0 ,
где ~n0 — внешняя нормаль к Γ0 , а Π, Π0 — проекторы на касательные плоскости к Γt и Γ0 соответственно: Π~g = ~g − ~n(~n · ~g ),
Π0~g = ~g − ~n0 (~n0 · ~g ).
Наконец, пользуясь (1.4) и тождеством ~n0 (ξ) · ∆(t)X(ξ, t) = ~n0 · ∆(0) ξ~ +
Zt
Zt
! ~u(ξ, τ )dτ
+ ~n0 (ξ) ·
0
∂ (∆(τ ) − ∆(0))X(ξ, τ )dτ = ∂τ
0
Zt = ~n0 (ξ) ·
∆(0)~u(ξ, τ )dτ + H0 (ξ)+ 0
Zt + 0
∂∆(τ ) ~ ~n0 (ξ) · ξ+ ∂τ
Zτ
0
0
Zt ~n0 (ξ) · (∆(τ ) − ∆(0))~u(ξ, τ )dτ,
~u(ξ, τ )dτ dτ + 0
0
52
В. А. СОЛОННИКОВ
где H0 (ξ) — удвоенная средняя кривизна поверхности Γ0 , запишем рассматриваемую задачу в следующем виде: ~ut − ν∇2 ~u + 2ω~e3 × ~u + ∇q = F~1 (~u, q),
∇ · ~u = F2 (~u),
ξ ∈ Ω0 ,
(3.6)
~u(ξ, 0) = w ~ 0 (ξ), Π0 S(~u)~n0 = F~3 (~u),
ξ ∈ Γ0 ,
(3.7)
Zt ~n0 · T (~u, q)~n0 − σ~n0 · ∆(0)
(3.5)
Zt ~u(ξ, τ )dτ = M (ξ)~n · ~n0 + F4 (~u, q) + F5 (~u) +
0
F6 (~u)dτ.
(3.8)
0
Здесь F~1 (~u, q) = ν(∇2u − ∇2 )~u + (∇ − ∇u )q, ~h = (I − AT )~u, F2 (~u) = (∇ − ∇u ) · ~u = ∇ · ~h(~u), F~3 (~u) = Π0 Π0 S(~u)~n0 − ΠSu (~u)~n , F4 (~u, q) = −(1 − ~n0 · ~n)q − ν~n0 · (Su (~u)~n − S(~u)~n0 ), Zt ~n0 ·
F5 (~u) = σ
ω2 ∂∆(τ ) ~ ξdτ + (|X 0 |2 − |ξ 0 |2 ) + κ(U (X) − U0 (ξ)) ~n · ~n0 − ∂τ 2
0
−σH0 (ξ)(~n · ~n0 − 1), ∂∆(t) F6 (~u) = σ~n0 · ∂t
Zt ~u(ξ, τ )dτ + σ~n0 · (∆(t) − ∆(0))~u(ξ, t), 0
ω2 0 2 (|ξ | − |η 0 |2 ) + κ(U0 (ξ) − U(η)), 2Z dζ U0 (ξ) = , |ξ − ζ|
M (ξ) = σ(H0 (ξ) − H(η)) +
Ω0
η = e−1 ρ0 (ξ) ∈ G есть точка, связанная с ξ соотношением ξ = η + N (η)ρ0 (η). Доказательство разрешимости задачи (3.5)–(3.8) основано на анализе линеаризованной задачи ~vt − ν∇2~v + 2ω~e3 × ~v + ∇p = f~(ξ, t),
∇ · ~v = g(ξ, t),
ξ ∈ Ω,
(3.10)
~v (ξ, 0) = ~v0 (ξ), Π0 S(~v )~n = ~b(ξ, t),
ξ ∈ Γ ≡ ∂Ω,
Zt ~n · T (~v , p)~v − σ~n ·
(3.9) (3.11)
Zt ∆~v (ξ, τ )dτ = b(ξ, t) +
0
B(ξ, τ )dτ,
(3.12)
0
где ∆ — оператор Лапласа–Бельтрами на Γ. Имеет место следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть Ω есть ограниченная область в R3 с границей Γ ∈ C 2+α , α ∈ (0, 1), и пусть f~(·, t) ∈ C α (Ω), ∀t ∈ (0, T ), g(·, t) ∈ C 1+α (Ω), ~b ∈ C 1+α,(1+α)/2 (Γ × (0, T )), b(·, t) ∈ C 1+α (Γ), B(·, t) ∈ C α (Γ) удовлетворяют условиям совместности Π0 S(~v0 )~n|Γ = b(ξ, 0),
∇ · ~v0 (ξ) = g(ξ, 0),
Π0~b(ξ, t) = 0
(3.13)
и условию g(ξ, t) = ∇ · ~h(ξ, t)
(3.14)
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
53
с ~ht (·, t) ∈ C α (Ω), ∀t ∈ (0, T ). Тогда задача (3.9)–(3.12) имеет единственное решение ~v ∈ C 2+α (Ω), p ∈ C 1+α (Ω) с ~vt ∈ C α (Ω), ∀t < T < ∞, и это решение удовлетворяет неравенству sup |~vt (·, t)|C α (Ω) + sup |~v (·, t)|C 2+α (Ω) + sup |p(·, t)|C 1+α (Ω) 6 t
t
Данная теорема доказана в [12, 13] для системы уравнений, которая отличается от (3.5) лишь в младших членах, что в данном случае совершенно несущественно. Нам также потребуются оценки разностей H(x)−H(y) и U (x)−U(y), где x = y+N (y)ρ(y, t) ∈ Γt , y ∈ G. Предложение 3.1. Пусть Γt задается уравнением (1.11) с функцией ρ = ρ(·, t) ∈ C k+α (G), k = 2, 3, такой, что |ρ(·, t)|C k−1+α (G) 6 δ1 , (3.16) где δ1 > 0 достаточно мало. Тогда c1 |ρ(·, t)|C k+α (G) 6 |H − H|C k−2+α (G) + c2 kρ(·, t)kL2 (G) 6 c3 |ρ(·, t)|C k+α (G) . Более того, |U − U|C 1+α (G) 6 c4 |ρ(·, t)|C 1+α (G)
(3.17)
с константой c4 , зависящей от максимума модулей вторых производных функции ρ(y, t) на G: sup |∇G ∇G ρ(y, t)|. G
Доказательство. Пусть ∆0 и ∆(t) — операторы Лапласа–Бельтрами на G и на Γt соответственно. В локальных координатах (s1 , s2 ) на G они выражаются через метрические тензоры на этих поверхностях, элементы которых определяются по формулам γjk (s) =
∂~y (s) ∂~y (s) · ∂sj ∂sk
и gjk (s) =
∂~x(s) ∂~x(s) · , ∂sj ∂sk
~ (s)ρ(s, t). ~x(s) = ~y (s) + N
Имеем 2 1 X ∂ jk √ ∂ ∆0 = √ γ γ , γ ∂sj ∂sk j=1
γ jk
2 1 X ∂ jk √ ∂ ∆= √ g g , g ∂sj ∂sk j=1
g jk
где и — элементы матриц, обратных к матрицам указанных выше метрических тензоров, γ = det(γjk ), g = det(gjk ). Если δ1 достаточно мало, то g близко к γ и ограничено снизу некоторой положительной константой. Воспользуемся тождеством ~ ρ) − N ~ · ∆0 ~y = N ~ ∆0 · (N ~ ρ) + (~n∆ − N ~ ∆0 ) · (N ~ ρ)+ H − H = ~n · ∆(~y + N ~ ) · ∆0 ~y + (~n − N ~ ) · (∆ − ∆0 )~y + N ~ · (∆ − ∆0 )~y , +(~n − N из которого следует, что ∆0 ρ = (H − H) + f1 (ρ) + f2 (ρ).
(3.18)
Здесь ~ ∆0 − ~n∆) · (N ~ ρ) − (~n − N ~ )(∆ − ∆0 ) · ~y f1 (ρ) = (N есть сумма слагаемых, удовлетворяющая неравенствам |f1 |C k−2+α (G) 6 c|ρ|C k−1+α (G) |ρ|C k+α (G) 6 cδ1 |ρ|C k+α (G) ,
k = 2, 3,
а ~ ∆0 · (N ~ ρ) − ∆0 ρ) − N ~ · (∆ − ∆0 )~y − (~n − N ~ ) · ∆0 ~y f2 (ρ) = −(N
(3.19)
54
В. А. СОЛОННИКОВ
есть сумма остальных слагаемых низшего порядка, для которых выполняется оценка |f2 |C k−2+α (G) 6 c|ρ|C k−1+α (G) .
(3.20)
Первое утверждение теоремы вытекает из (3.19), (3.20) и из шаудеровских коэрцитивных оценок для эллиптического уравнения (3.18). Перейдем к доказательству второго утверждения. Имеем Z U (x) − U(y) =
Lρ (z)dz − |eρ (y) − eρ (z)|
F Z1
+
dz = |y − z|
F
Z
ds 0
Z
Lρ (z, sρ)
Z1 ds
Z X 3 ∂Ni∗ ρ∗ ˆ dz Lji (z; sρ) + ∂zj |esρ (y) − esρ (z)|
F i,j=1
0
esρ (z) − esρ (y) · (N ∗ ρ∗ (y) − N ∗ ρ∗ (z))dz = I1 + I2 . |esρ (z) − esρ (y)|3
G
Пусть δ1 настолько мало, что c1 |z − y| 6 |eρ (z) − eρ (y)| 6 c2 |z − y| с некоторыми константами, не зависящими от ρ. Положим 1 K1 (y, z) = , |esρ (y) − esρ (z)| esρ (z) − esρ (y) K2 (y, z) = · (N ∗ ρ∗ (y) − N ∗ ρ∗ (z)). |esρ (z) − esρ (y)|3 Ядро K1 удовлетворяет неравенствам |K1 (y, z)| 6
c , |z − y|
|∇y K1 (y, z)| 6
c |z − y|2
и, если |y − y˜| 6 |y − z|/2, |∇y K1 (y, z) − ∇y˜K1 (˜ y , z)| 6
c|y − y˜|α |z − y|2+α
(последняя константа зависит от вторых производных функции ρ∗ ). Аналогичные неравенства имеют место для K2 : c c |K2 (y, z)| 6 |ρ∗ |C 1 (F ) , |∇K2 (y, z)| 6 |ρ∗ |C 1 (F ) ; |z − y| |z − y|2 c|y − y˜|α ∗ |∇y K2 (y, z) − ∇y˜K2 (˜ y , z)| 6 |ρ |C 1+α (F ) . |z − y|2+α Из этих неравенств легко следует, что |I1 |C 1+α (G) + |I2 |C 1+α (G) 6 c|ρ|C 1+α (G) . Таким образом, (3.17) доказано. Точно так же оценивается разность U (X(ξ, t)) − U0 (ξ). Предложение 3.2. Если t настолько мало, что c1 |ξ − ζ| 6 |X(ξ, t) − X(ζ, t)| 6 c2 |ξ − ζ|, то
(3.21)
Zt |U (X) − U0 |C 1+α (Γ0 ) 6 c
|~u(·, τ )|C 1+α (Γ0 ) dτ.
(3.22)
0
Более того, если X 0 (ξ, t) = ξ~ +
Rt
~u 0 (ξ, τ )dτ также удовлетворяет (3.21), то
0 0
Zt
|U (X) − U (X )|C 1+α (Γ0 ) 6 c 0
|~u(·, τ ) − ~u 0 (·, t)|C 1+α (Γ0 ) dτ,
(3.23)
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
55
где U (X 0 ) =
Z
dη . |X 0 (ξ, t) − X 0 (η, t)|
Ω0
Доказательство. Неравенство (3.22) получатся точно так же, как и (3.17). Для того чтобы доказать (3.23), запишем разность U (X) − U (X 0 ) в виде Z1
0
U (X) − U (X ) =
ds 0
Z1 =
d dη = ds |Xs (ξ, t) − Xs (η, t)|
Ω0
Xs (η, t) − Xs (ξ, t) · |Xs (ξ, t) − Xs (η, t)|3
Z ds
0
Z
Zt (~ ϕ(ξ, τ ) − ϕ ~ (η, τ ))dτ, 0
Ω0
Rt где Xs (ξ, t) = ξ~ + (~u0 (ξ, τ ) + s~ ϕ(ξ, τ ))dτ , ϕ ~ = ~u − ~u0 . Как и K2 в предложении 3.1, ядро 0
Xs (η, t) − Xs (ξ, t) K(ξ, η) = · |Xs (ξ, t) − Xs (η, t)|3
Zt (~ ϕ(ξ, τ ) − ϕ ~ (η, τ ))dτ 0
удовлетворяет неравенствам c |K(ξ, η)| 6 |ξ − η|
Zt |~ ϕ(·, τ )|C 1 (Ω0 ) dτ, 0
c |∇ξ K(ξ, η)| 6 |ξ − η|2
Zt |~ ϕ(·, τ )|C 1 (Ω0 ) dτ, 0
c|ξ − ξ 0 |α |∇ξ K(ξ, η) − ∇ξ0 K(ξ , η)| 6 |ξ − η|2+α 0
Zt |~ ϕ(·, τ )|C 1+α (Ω0 ) dτ, 0
если |ξ − ξ 0 | 6 |ξ − η|/2. Из этих оценок легко получаем (3.23). Теперь перейдем к доказательству локальной теоремы существования. Конечно, она имеет место ~ , см. [5,13]). для произвольной гладкой области Ω0 и произвольного ~v0 (не обязательно близкого к V Но в данной работе всегда будут накладываться ограничения (1.12) и (1.16). Теорема 3.2. Предположим, что Ω0 и w ~ 0 удовлетворяют условиям теоремы 1.1. Тогда задача (3.5)–(3.8) имеет единственное решение ~u(·, t) ∈ C 2+α (Ω0 ), q(·, t) ∈ C 1+α (Ω0 ) c производной ~ut (·, t) ∈ C α (Ω0 ), определенное на некотором конечном интервале времени t ∈ (0, T0 ), и выполняется неравенство sup |~uτ (·, τ )|C α (Ω0 ) + sup |~u(·, τ )|C 2+α (Ω0 ) + sup |q(·, τ )|C 1+α (Ω0 ) 6 τ
(3.24)
Число T0 неограниченно возрастает при стремлении норм в правой части (3.24) к нулю; c(t) является невозрастающей функцией переменной t. Доказательство. Следуя схеме, предложенной в работе [13] (теорема 5.2), запишем задачу (3.5)– (3.8) в виде (~u, q) = Φ(~u, q) + (~u0 , q0 ) ≡ Ψ(~u, q), (3.25) где (~u0 , q0 ) есть решение задачи (3.9)–(3.12) с f~ = 0, g = 0, ~v0 = w ~ 0 , ~b = 0, B = 0, b = M (ξ)~n · ~n0 , а Φ(~u, q) есть решение той же задачи с f~ = F~1 (~u, q), g = F2 (~u), ~v0 = 0, ~b = F~3 (~u), b = F4 (~u, q)+F5 (~u),
56
В. А. СОЛОННИКОВ
B = F6 (~u). Воспользуемся методом последовательных приближений и определим (~um+1 , qm+1 ) равенствами (~um+1 , qm+1 ) = Φ(~um , qm ) + (~u0 , q0 ), ~u1 = ~u0 ,
m = 1, 2, . . . ,
q 1 = q0 .
Положим Nt (~u, q) = sup |~ut |C α (Ω0 ) + sup |~u|C 2+α (Ω0 ) + sup |q|C 1+α (Ω0 ) . τ
τ
τ
В силу (3.15) и предложения 3.1 имеем Nt (~u0 , q0 ) 6 c(t) |M |C 1+α (G) + |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) 6 c |ρ0 |C 3+α (G) + |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) , Nt (~u2 , q2 ) 6 c(t)Nt (Ψ(~u0 , q0 )). Разности (~um+1 − ~um , qm+1 − qm ) удовлетворяют уравнениям (~um+1 − ~um , qm+1 − qm ) = Φ(~um , qm ) − Φ(~um−1 , qm−1 ),
m = 2, 3, . . .
Оценка правой части основана на результатах, полученных в [13, раздел 7], и на интерполяционном неравенстве |w ~ 0 |C α (Ω) 6 θ2 |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) + cθ−3/2−α kw ~ 0 kL2 (Ω0 ) , ∀θ ∈ (0, 1). Из этих неравенств и из (1.16) вытекает, что 3+2α 4 7+2α |w ~ 0 |C α (Ω0 ) 6 cε 7+2α |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) . Аналогичным образом оцениваются другие нормы w ~ 0 , порядка, меньшего 2 + α. Объединяя эти оценки с неравенствами (7.18)–(7.21) в [13], получаем следующее утверждение: если tNt (~u, q) 6 δ2 ,
tNt (~u0 , q 0 ) 6 δ2 ,
|w ~ 0 |C α (Ω0 ) 6 δ2
(3.26) (3.27)
с достаточно малым δ2 > 0 и ~u(ξ, 0) = ~u0 (ξ, 0) = w ~ 0 (ξ), то Nt (Φ(~u, q) − Φ(~u0 , q 0 ) 6 c1 δ2 Nt (~u − ~u0 , q − q 0 )) + c2
Zt
Nτ (~u − ~u0 , q − q 0 )dτ.
0
Считая, что ~u = ~uk , k = 1, . . . , m, удовлетворяют (3.26), получим Nt (~uk+1 − ~uk , qk+1 − qk ) 6 c1 δ2 Nt (~uk − ~uk−1 , qk − qk−1 )+ Zt Nτ (~uk − ~uk−1 , qk − qk−1 )dτ
+c2 0
и, как следствие, m X
Nt (~uk+1 − ~uk , qk+1 − qk ) 6 c1 δ2
k=1
+c2
m X
Nt (~uk − ~uk−1 , qk − qk−1 )+
k=1
Zt X m
Nτ (~uk − ~uk−1 , qk − qk−1 )dτ + Nt (~u2 − ~u1 , q2 − q1 ).
0 k=1
Если c1 δ2 6 1/2, то Σm (t) =
m P
Nt (~uk+1 − ~uk , qk+1 − qk ) удовлетворяет неравенству
k=1
Zt Σm (t) 6 2c2
Σm (τ )dτ + 2Nt (Φ(~u0 , q0 )), 0
(3.28)
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
57
поскольку (~u2 − ~u1 , q2 − q1 ) = Φ(~u0 , q0 ). Согласно лемме Гронуолла Σm (t) 6 2e2c2 t Nt (Φ(~u0 , q0 )) и Nt (~um+1 , qm+1 ) 6 Σm (t) + Nt (~u0 , q0 ) 6 2e2c2 t Nt (Φ(~u0 , q0 )) + Nt (~u0 , q0 ) 6 6 c3 e2c2 t |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) + |ρ0 |C 3+α (G) . В частности, (~um+1 , qm+1 ) удовлетворяет (3.26), если te2c2 t Nt (Φ(~u0 , q0 )) + Nt (~u0 , q0 ) 6 δ2 ,
(3.29)
t ∈ [0, T0 ].
Очевидно, T0 → ∞ при |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) + |ρ0 |C 3+α (G) → 0. Предыдущие рассуждения показывают, что последовательность (~um , qm ) сходится по норме Nt (~u, q). Предельный элемент (~u, q) есть решение задачи (3.5)–(3.8), удовлетворяющее неравенству Nt (~u, q) 6 c Nt (Φ(~u0 , q0 )) + Nt (~u0 , q0 ) 6 c |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) + |ρ0 |C 3+α G) . (3.30) Теперь пусть ~u, ~u0 ∈ C 2+α (Ω0 ), q, q 0 ∈ C 1+α (Ω0 ) — два решения задачи (3.5)–(3.8). Тогда разности ~v = ~u − ~u0 , p = q − q 0 удовлетворяют уравнению (~v , p) = Φ(~u, q) − Φ(~u0 , q 0 ). Пусть t0 настолько мало, что оба эти решения удовлетворяют условиям (3.26) при t 6 t0 . Тогда Zt Nt (~v , p) 6 c1 δ2 Nt (~v , p) + c2
Nτ (~v , p)dτ,
t < t0 ,
0
откуда следует, что (~v , p) = 0 при t < t0 . Повторяя при необходимости эти рассуждения, мы покажем, что (~v , p) = 0 при t < 2t0 , и т. д. Рассмотрим задачу (1.8). Следующее утверждение вытекает из теоремы 3.2. Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда задача (1.8) имеет единственное решение w(·, ~ t) ∈ C 2+α (Ω0t ), s(·, t) ∈ C 1+α (Ω0t ) с производной w ~ t (·, t) ∈ C α (Ω0t ), определенное при t ∈ (0, T0 ) и удовлетворяющее неравенству sup |w ~ τ (·, τ )|C α (Ω0t ) + sup |w(·, ~ τ )|C 2+α (Ω0t ) + sup |s(·, τ )|C 1+α (Ω0t ) 6 τ
(3.31)
При малых t поверхность Γ0t может быть задана уравнением (1.11) с ρ(·, t) ∈ C 3+α (G); более того, ρt (·, t) ∈ C 2+α (G), ρtt ∈ C α (G) и |ρtt (·, t)|C α (G) + |ρt (·, t)|C 2+α (G) + |ρ(·, t)|C 3+α (G) 6 c(t) |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) + |ρ0 |C 3+α (G) . (3.32) Доказательство. Первое утверждение теоремы выводится из теоремы 3.2 переходом к эйлеровым координатам. Докажем второе утверждение. Поверхность Γ0t задается уравнением ~x = ξ~ +
Zt ξ ∈ Γ0 ,
~u(ξ, τ )dτ, 0
откуда следует, что
Γ0t
∈
C 2+α .
Далее, очевидно, что для произвольного x ∈ Γ0t Zt dist(x, G) 6 |ρ0 (ξ)| +
|~u(ξ, τ )|dτ. 0
58
В. А. СОЛОННИКОВ
Правая часть не превосходит δ, если sup |ρ0 (ξ)| 6 δ/2,
(3.33)
G
Zt |~u(ξ, τ )|dτ 6 δ/2.
(3.34)
0
В силу интерполяционного неравенства sup |ρ0 (ξ)| 6 θ3+α |ρ0 |C 3+α (G) + cθ−1 kρkL2 (G) , G
которое выполняется для произвольного достаточно малого θ > 0, и из условия (1.16) имеем 1
3+α
sup |ρ0 (ξ)| 6 (cε) 4+α |ρ0 |C4+α 3+α (G) . G
Таким образом, выбирая достаточно малое ε, получим (3.33). Неравенство (3.34) выполняется, если ct |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) + |ρ0 |C 3+α (G) 6 δ/2, t 6 T0 , (3.35) где c — константа из (3.24). Это — дополнительное ограничение на T0 . Следовательно, Γ0t может быть задана уравнением (1.11) с функцией ρ(·, t) ∈ C 2+α (G), удовлетворяющей неравенству Zt |ρ(y, t)| 6 sup |ρ0 (y)| + G
sup |~u(ξ, τ )|dτ. 0
Γ0
Далее, из краевого условия σ(H(x) − H(y)) +
ω2 0 2 (|x | − |y 0 |2 ) + κ(U (x) − U(y)) = ~n · T (w, ~ s)~n 2
и предложений 3.1, 3.2 вытекает, что ρ ∈ C 3+α (G) и |ρ(·, t)|C 3+α (G) 6 c |w(·, ~ t)|C 2+α (Ωt ) + |s(·, t)|C 1+α (Ωt ) + kρ(·, t)kL2 (G) 6 c |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) + |ρ0 |C 3+α (G) . (3.36) w ~ · ~n Наконец, кинематическое краевое условие Vn = w ~ · ~n эквивалентно ρt = . Таким образом, ~ ~n · N 2+α α имеем ρt ∈ C (G), ρtt ∈ C (G), и выполняется неравенство (3.32). 4.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ТЕОРЕМЫ
1.1
Для завершения доказательства теоремы 1.1 не хватает равномерной (по времени) оценки норм высокого порядка решения задачи (1.8). Теорема 4.1. Пусть задача (1.8) имеет классическое решение w ~ ∈ C 2+α (Ω0t ), s ∈ C 1+α (Ω0t ), α 0 0 причем w ~ t ∈ C (Ωt ), ∀t ∈ (0, T ), T 6 ∞, Γt задана уравнением (1.11) с ρ = ρ(·, t) ∈ C 3+α (G), |ρ(y, t)| 6 δ. Тогда |w ~ t (·, t)|C α (Ω0t ) + |w(·, ~ t)|C 2+α (Ω0t ) + |s(·, t)|C 1+α (Ω0t ) + +|ρ(·, t)|C 3+α (G) 6 c sup kw(·, ~ t0 )kL2 (Ω0t ) + sup kρ(·, t0 )kW21 (G) , t−2τ0
t−2τ0
(4.1)
где τ0 — некоторое малое число, t > 2τ0 . Константа c в (4.1) не зависит от T . Доказательство. Пусть t0 > 2τ0 , t1 = t0 −2τ0 , λ ∈ (0, τ0 ), и пусть ζλ (t) — гладкая функция, равная единице при t > t1 + λ, нулю при t < t1 + λ/2 и удовлетворяющая неравенствам 0 6 ζλ (t) 6 1 и ∂kζ λ k = 1, 2. 6 cλ−k , ∂t
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
59
Перейдем к лагранжевым координатам ξ ∈ Ωt1 (опуская штрихи и полагая Ω0t1 = Ωt1 , Γ0t1 = Γt1 ): Zt
~x = ξ~ +
~u(ξ, τ )dτ ≡ X(ξ, t), t1
~u(ξ, t) = w(X(ξ, ~ t), t) и введем функции q(ξ, t) = s(X(ξ, t), t), ~uλ (ξ, t) = ~u(ξ, t)ζλ (t), qλ (ξ, t) = q(ξ, t)ζλ (t). Очевидно, ~uλt − ν∇2u ~uλ + 2ω~e3 × ~uλ + ∇u qλ = ~uζλ0 (t), ∇u · ~uλ = 0,
ξ ∈ Ωt1 ,
t ∈ (t1 , T ),
~uλ (ξ, t1 ) = 0, ξ ∈ Γt1 ,
Π0 ΠSu (~uλ )~n = 0,
Zt
Zt ~n1 · ∆(τ )~uλ (ξ, τ )dτ = bλ +
~n1 · Tu (~uλ , qλ )~n − σ
Bλ (ξ, τ )dτ,
(4.2)
t1
t1
где ~n1 — внешняя нормаль к Γt1 , Zt bλ (ξ, t) = σ~n1 ·
ζλ (τ )
d∆(τ ) ~ ξdτ, dτ
t1
Bλ (ξ, t) = ~n1 ·
Tu (~u, q)~nζλ0 (t)
d∆(t) + σ~n1 (ξ) · ζλ (t) dt
Zt ~u(ξ, τ )dτ + t1
i ∂ h ω 2 0 +ζλ (t) |X (ξ, t)|2 + p1 + κU (X) (~n · ~n1 ) . ∂t 2 Условие (4.2) легко получается из h i ~n1 · Tu (~uλ , qλ )~n − σ~n1 · ∆(t)X(ξ, t) ζ(t)− Zt h i − ~n1 · Tu (~uλ , qλ )~n − σ~n1 · ∆(τ )X(ξ, τ ) ζλ0 (τ )dτ = t1
=
h ω2
i 0 X 2 + p1 + κU (X) (~n · ~n1 )ζλ (t)−
2 Zt h 2 i ω 02 − X + p1 + κU (X) (~n · ~n1 )ζλ0 (τ )dτ 2 t1
интегрированием по частям в некоторых слагаемых. Из результатов раздела 3 вытекает, что если 2τ0 sup |~ut (ξ, t)|C α (Ωt1 ) + sup |~u(ξ, t)|C 2+α (Ωt1 ) + t1
(4.3)
t1
то sup |~uλt (·, t)|C α (Ωt1 ) + sup |~uλ (·, t)|C 2+α (Ωt1 ) + t1
t1
+
sup t1 +λ/2
t1 +λ/2
|bλ (·, t)|C 1+α (Γt1 ) +
sup t1 +λ/2
|Bλ (·, t)|C α (Γt1 ) .
(4.4)
60
В. А. СОЛОННИКОВ
d∆(t) являются линейными комбинациями слагаемых, пропорциональdt ных первой и второй производным функций uk (ξ, t), ξ ∈ Γt1 , и при этом только первые производные возникают в скалярном произведении d∆(t) ~ ~n1 · ξ. dt Следовательно, Zt0 sup |bλ (·, t)|C 1+α (Γt1 ) 6 c |~uλ (·, τ )|C 2+α (Ωt1 ) dτ.
Коэффициенты оператора
t1 +λ/2
t1
То же самое имеет место для производных по времени от ~n · ~n1 = (~n1 · A~n1 )|A~n1 |−1 . Функция Z ∂ X(η, t) − X(ξ, t) U (X(ξ, t)) = · (~u(ξ, t) − ~u(η, t))dη ∂t |X(ξ, t) − X(η, t)|3 Ωt1
оценивается точно так же, как и разность U (X) − U (X 0 ) в предложении 3.2. Следовательно, при малом τ0 из (4.4) вытекает sup |~uλt (·, t)|C α (Ωt1 ) + sup |~uλ (·, t)|C 2+α (Ωt1 ) + sup |qλ (·, t)|C 1+α (Ωt1 ) 6 t1
t1
t1 +λ/2
t1 +λ/2
Оценим норму q при помощи краевого условия s(x, t) = 2~n · S(w)~ ~ n − σH − = 2~n · S(w)~ ~ n − σ(H(x) − H(y)) −
ω2 0 2 |x | − p1 − κU (x) = 2
ω2 0 2 (|x | − |y 0 |2 ) − κ(U (x) − U(y)) 2
и предложения 3.1. Имеем |s(·, t)|C α (Γt ) 6 c |w(·, ~ t)|C 1+α (Γt ) + |ρ(·, t)|C 2+α (G) . Следовательно, |~ut (·, t)|C α (Ωt1 ) + sup |~u(·, t)|C 2+α (Ωt1 ) + sup |q(·, t)|C 1+α (Ωt1 ) 6 t1 +λ
sup
t1 +λ
t1 +λ/2
t1 +λ/2
Теперь воспользуемся интерполяционными неравенствами |~u(·, t)|C 1+α (Ωt1 ) 6 θ|~u(·, t)|C 2+α (Ωt1 ) + θ−5/2−α k~u(·, t)kL2 (Ωt1 ) , |ρ(·, t)|C 2+α (G) 6 θ|ρ(·, t)|C 3+α (G) + θ−5/2−α kρ(·, t)kW21 (G) с θ = λε1 и неравенством (3.36). После несложных вычислений получим f (λ) 6 cε1 f (λ/2) + K,
(4.5)
где f (λ) = λα+7/2
|~ut (·, t)|C α (Ωt1 ) + sup |~u(·, t)|C 2+α (Ωt1 ) + sup |q(·, t)|C 1+α (Ωt1 ) , t1 +λ
t1
t1
Полагая ε1 = 1/2c, из (4.5) без труда выводим неравенство f (λ) 6 2K. При λ = τ0 получаем отсюда оценку (4.1) для w ~ и s. Очевидно, ρ также удовлетворяет этой оценке.
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
61
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 1.1. В силу теоремы 3.3 существуют ε ∈ (0, ε0 ) и T0 > 0, такие, что решение задачи (1.8) определено на интервале (0, T0 ), Γt задана уравнением (1.11) с функцией ρ = ρ(y, t) и выполнено неравенство (3.31). Запишем это неравенство в виде L 6 c0 L0 , где L = sup |w(·, ~ t)|C 2+α (Ωt ) + sup |w ~ t (·, t)|C α (Ωt ) + sup |s(·, t)|C 1+α (Ωt ) , t
t
t
L0 = |w ~ 0 |C 2+α (Ω0 ) + |ρ0 |C 3+α (G) . Константа c0 не зависит от норм начальных данных. Далее, зафиксируем число τ0 < T0 /2, удовлетворяющее на интервале (0, T0 ) всем ограничениям, наложенным в теореме 4.1. Дополнительно к (3.31) имеем неравенство |w(·, ~ t)|C 2+α (Ωt ) + |w ~ t (·, t)|C α (Ωt ) + |s(·, t)|C 1+α (Ωt ) + |ρ(·, t)|C 3+α (G) 6 c1 (L)e−bt ε,
t > 2τ0 , (4.6)
которое следует из (4.1) и (2.15), и потребуем c1 (c0 L0 )ε < L0 . Тогда |w(·, ~ T0 )|C 2+α (ΩT ) + |ρ(·, T0 )|C 3+α (G) 6 L0 . 0
Кроме того, имеем согласно (2.15) kw(·, ~ T0 )kL2 (ΩT0 ) + kρ(·, T0 )kW21 (G) 6 c2 (L)ε, и потребуем, чтобы неравенства (1.12), (3.16), (3.27) выполнялись для t ∈ (0, T0 ] при замене ε на ε0 = c2 (c0 L0 )ε. Теперь мы можем еще раз применить теорему 3.3 и продолжить решение задачи (1.8) на интервал t ∈ (T0 , 2T0 ), и так далее. Неравенство (3.31) выполняется с той же константой при t ∈ (T0 , 2T0 ), и определенное выше число τ0 удовлетворяет на этом интервале всем необходимым условиям. Оценка (4.6) также выполняется при 2τ0 < t < 2T0 . Очевидно, мы можем продолжить решение далее на интервал t ∈ (2T0 , 3T0 ), и так далее. Неравенство (1.17) вытекает из (3.31), (2.15), (4.1). Теорема 1.1 полностью доказана. Автор выражает благодарность П. Л. Гуревичу и М. А. Скрябину за помощь в подготовке рукописи к печати. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. — М.—Л., 1936 2. Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. — М.: Наука, 1965 3. Ляпунов А. М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости// Собр. соч. — 1959. — 3. — С. 5–113 4. Мышкис А. Д. Гидромеханика невесомости. — М.: Наука, 1976 5. Солонников В. А. О неустановившемся движении конечной массы жидкости, ограниченной свободной поверхностью// Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1986. — 152. — С. 137–157 6. Солонников В. А. О неустановившемся движении конечной изолированной массы самогравитирующей жидкости// Algebra Anal. — 1989. — 1, № 1. — С. 207–249 7. Солонников В. А. Оценка обобщенной энергии в задаче со свободной границей для вязкой несжимаемой жидкости// Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2001. — 282. — С. 216–243 8. H¨older E. Gleichgewichtsfiguren rotierenden Fl¨asigkeiten mit Oberfl¨achen-spannung// Math. Z. — 1926. — 25, № 1. — С. 188–208 9. Padula M., Solonnikov V. A. Existence of non-steady flows of an incompressible, viscous drop of fluid in a frame rotating with finite angular velocity// In: Elliptic and Parabolic Problems. — River Edge, New Jersey: World Scientific Publ., 2002. — С. 180–203 10. Padula M. On the exponential stability of the rest state of a viscous isotermal fluid// J. Math. Fluid Mech. — 1999. — 1. — С. 62–67 11. Padula M., Solonnikov V. A. On Rayleigh–Taylor stability// Ann. Univ. Ferrara, Nuova Ser., Sez. VII. — 2000. — 46. — С. 307–336
62
В. А. СОЛОННИКОВ
12. Solonnikov V. A. On the justification of quasistationary approximation in the problem of motion of a viscous capillary drop// Interfaces Free Boundaries. — 1999. — 1. — С. 125–173 13. Solonnikov V. A. Lectures on evolution free boundary problem: classical solutions// In: Mathematical aspects of evolving interfaces, Lect. Notes Math., Springer. — 2003
Всеволод Алексеевич Солонников Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (Санкт–Петербургское отделение), Россия, 191011, Санкт–Петербург E-mail:
[email protected],
[email protected]
