Приближенное вычисление площади методом Монте-Карло: Методические указания к лабораторной работе

ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО Из кн. «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло» — методических указаний по курсу «Информатика» для студентов направления 550200 «Автоматизация и управление» и специальности 210100 «Управление и информатика в технических системах». — Т.: Изд-во ТПУ, 1998. — 6 с.

Цель работы Целью работы является изучение метода Монте-Карло (метода статистических испытаний) на примере вычисления площади фигуры и получение навыков в использовании встроенных функций генерации случайных чисел на Паскале.

Метод Монте-Карло Метод Монте-Карло — численный метод, основанный на воспроизведении большого числа реализаций случайного процесса, специально построенного по условиям задачи. В настоящее время этот метод применяется при исследовании функционирования сложных систем, к которым относятся разнообразные производственные и информационные системы, автоматизированные системы управления, многопроцессорные, вычислительные системы, некоторые биологические, экономические системы. При решении подобных задач ранее, без применения компьютеров, источником случайных чисел служили различные эксперименты: бросание монеты или кубика, верчение рулетки и т.п. С именем города в княжестве Монако, известного своими игорными домами, и связано происхождение названия метода.

Алгоритм вычисления площади фигуры Рассмотрим задачу определение площади фигуры, например, представленной на рисунке 1. Фигура может быть любой, но обязательно должны быть известны: - границы фигуры, в виде аналитического выражения или совокупности таких выражений и логических условий; - площадь в виде прямоугольника, часть которой занимает исследуемая фигура.

Рисунок 1. К задаче определения площади

В нашем примере граница фигуры определяется уравнениями: ⎧ x = 0 Kπ ; ⎨ ⎩ y = 0K sin( x). Неизвестная пока нам площадь этой фигуры составляет часть прямоугольника площадью S = 1× π = π . Алгоритм решения задачи: 1. Генерируем случайное число x1 в диапазоне от 0 до π , а также случайное число y1 в диапазоне от 0 до 1. Получаем случайную точку внутри прямоугольника с координатами ( x1 , y1 ) . Эта точка может попасть в исследуемую фигуру, а может и не попасть. 2. Проверяем принадлежность точки

( x1 , y1 )

к исследуемой фигуре. Если

попадания нет, т.е. y1 > sin ( x1 ) , то переходим к пункту 1 и генерируем координаты новой точки ( x2 , y2 ) . Если попадание есть, т.е. y1 < sin ( x1 ) , то необходимо зафиксировать, запомнить это попадание и снова перейти к пункту 1. В итоге мы должны считать число попаданий. Примечание: попадание точки точно на границу фигуры y1 = sin ( x1 ) можно отнести как к первому, так и ко второму исходу — это воля экспериментатора или автора программы. 3. Предыдущие пункты следует повторить достаточно большое число раз. От этого, в конечном итоге, зависит точность вычислений. Для нашей задачи это число N может быть от 1000 до 3000 раз. 4. После проведения N повторов имеем несложную пропорцию: общее число опытов соответствует всей площади прямоугольника, равной π , а число попаданий P будет соответствовать неизвестной площади S исследуемой фигуры. Отсюда P S = ×π . N Блок-схема алгоритма приведена на рисунке 2.

Рисунок 2. Блок-схема алгоритма

Генерация случайных чисел Генерация случайных вещественных чисел (REAL) в диапазоне от 0 до 1 осуществляется с помощью функции RANDOM: x:=random;

Если необходимо генерировать случайные числа в другом диапазоне, то необходимо преобразовать это выражение с помощью операций смещения и масштабирования. Например, для того, чтобы получить случайное число в диапазоне от 10 до 12, необходимо написать: x:=10+2*random; Для генерации целых случайных чисел (INTEGER) в диапазоне от 0 до N используется функция RANDOM с аргументом: x:=random(N); Для смены базы генерации случайных чисел, чтобы при каждом новом прогоне программы числа были другие, используется процедура RANDOMIZE. Обращение к этой процедуре идёт до обращения к функциям RANDOM, например: begin randomize; for i:=1 to N do begin x:=random; y:=random; end; end.

Программа работы Составить и отладить программу определения площади фигуры методом МонтеКарло в соответствии с индивидуальным заданием. Представить алгоритм решения задачи, детально показав операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №1 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №2 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №3 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №4 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №5 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №6 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №7 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №8 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №9 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.

Лабораторная работа №4 «Приближённое вычисление площади методом Монте-Карло»

Вариант №10 ЗАДАНИЕ §1 Составить и отладить программу определения площади представленной ниже фигуры методом Монте-Карло.

§2 Представить отчёт по лабораторной работе. В отчёт должен быть включён алгоритм решения задачи, детально показывающий операции определения принадлежности случайной точки к исследуемой фигуре.