Математика. Геометрия: Учебное пособие для иностранных учащихся предвузовского этапа обучения

В О Р О НЕ Ж С К И Й ГО С У Д А РС Т В Е ННЫ Й У НИ В Е РС И Т Е Т И НС Т И Т У Т М Е Ж Д У НА РО Д НО ГО О Б РА З О В А НИ Я

Ж -137 В .В . С имд я н кин а, Т .В . Б елоглазова, Т .Б . М ан аен кова

М АТЕ М АТИ К А Г ЕО МЕТ РИ Я У Ч Е Б НО Е П О С О Б И Е Д ЛЯ И НО С Т РА ННЫ Х У Ч А Щ И ХС Я П Р Е Д В У З О В С К О Г О Э Т А П А О Б У Ч Е НИ Я

В О РО НЕ Ж 2004

Б Б К 22.1 С 37

С имд янкинаВ .В . Матем атик а. Г ео м етрия: У чеб. пособие д ля иностранны х учащ их ся пред вузовского этапаобучения / В .В . Симд янкина, Т.В . Б елоглазова, Т.Б . М анаенкова. – В оронеж : В оронеж . гос. ун-т, 2004. – 92 с.

О тветственны й ред актор – д оц ., канд . ф ил. на ук Е .В . К ож евникова. Рец ензент– зав. каф ед рой математического анализаВ оронеж ского госуниверситета, проф ., д октор ф из.-ма т. на ук Ю .В . П окорны й .

Б Б К 22.1

В пред лагаемом пособии пред ставлены учебны е материалы , направленны е на ф ормирование теоретических знаний и практических навы ков в области геометрии, а такж е навы ков употребления спец иальной лексики в учебно-проф ессиональной сф ере общ ения. П ред назначается д ля занятий по математике во втором семестре этапа пред вузовской под готовки в группах иностранны х учащ ихся естественно-научного и тех нического проф илей .

2

© И нститутмеж д ународ ного образования В ГУ, 2004

Предисло ви е У чебное пособие "М атематика. Геометрия" является частью учебного комплекса по математике, пред назначенного д ля иностранны х учащ их ся пред вузовского этапа обучения. Ц ель д анного пособия – ф ормирование математических знаний , коммуникативны х умений и речевы х навы ков, необх од имы х при изучении ма тематических д исц иплин в россий ском вузе. В д анном пособии в соответствии спрограммой по математике излож ены основы курсагеометрии; д аны опред еления наиболее важ ны х понятий , аксиомы и теоремы , которы е проиллю стрированы спомощ ью ф ормул, рисунков, примеров, символических записей . С од ерж ание, структура, послед овательность излож ения учебного материала опред еляю тся логикой геометрии как науки; его лингвометод ическое оф ормление соответствуетуровню влад ения учащ имися русским язы ком над анном этапе обучения. У чебны й материал пособия ад аптирован и строго минимизирован. К аж д ая тема сопровож д ается упраж нениями д ля самостоятельной работы , призванны ми закрепить у учащ их ся теоретические знания, вы работать у них практические навы ки применения знаний при реш ении зад ач, усвоитьлексический минимум по д анной д исц иплине. П особие состоит из трех частей : часть I – "Элементы планиметрии", часть II – "Элементы стереометрии", частьIII – "А налитическая геометрия наплоскости". В первой частипред ставлены все плоскостны е геометрические ф игуры . В торая частьпосвящ ена свой ствам пространственны х ф игур. З д есьтакж е излож ены способы преобразования ф игур на плоскости и в пространстве. В третьей части, пред ставляю щ ей собой д ополнение к программному курсу геометрии, рассматриваю тся д екартовы коорд ина ты , уравнения прямой на плоскости, кривы е второго поряд ка: окруж ность, эллипс, гипербола. В опросы , излож енны е в третьей части пособия, пред варяю тизучение курса аналитической геометрии в вузе. К аж д ая темаэтой части пособия, помимо кратких теоретических свед ений , сод ерж ит типовы е зад ачи с под робны ми реш ениями, раскры ваю щ ими сод ерж ание основны х понятий и д елаю щ ими материал более д оступны м д ля понимания и усвоения. М атериалы пособия "М атема тика. Геометрия" апробировалисьавторами при работе с иностранны ми студ ентами естественно-научного и тех нического проф илей пред вузовского этапаобучения И М О В ГУ в течение нескольких лет. 3

Ч АС Т Ь 1. Э Л Е М Е НТ Ы ПЛАНИ М Е Т Р И И 1. Линия. Пло ск о сть. Ф игура. Уго л 1.1. О сно вные по нятия планим етрии Т о чк а – это основной геометрический Линия – это след д виж ения точки.

элемент.

П р я мая лин ия а

В А

К р ивая лин ия

О пределение

Ломан ая лин ия

Луч – это частьпрямой линии, ограниченная сод ной стороны точкой . ТочкаO – начало луча ON .

О пределение

О трезо к – это частьпрямой линии, ограниченная д вумя точками.

Точки A и B – к о нц ы о трезк а AB.

4

По верх но сть – это след д виж ения линии. Пло ск о сть – это простей ш ая поверх ность. О пределение

Г ео м етрическ ая фигура – это совокупностьточек, линий и поверх ностей .

О пределение

Пло ск ая фигура – это ф игура, все точкикоторой леж а тв од ной плоскости. Г ео м етрия изучаетсвой стваф игур. Планим етрия изучаетсвой стваплоских ф игур.

1.2. Углы. В и ды угло в О пределение

Уго л – это ф игура, которая состоитиз д вух лучей , имею щ их общ ее начало.

У голобозначается ∠ AOB , ∠ α , ∠ 1 . ТочкаO – верш ина угла. Лучи OA и OB – сто ро ны угла. О пределение

Б иссек триса угла – это луч, которы й д елитд анны й уголнад ва равны х угла.

Луч ON – биссектриса∠ AOB ; ∠ 1= ∠ 2.

У глы измеряю тся в град усах (1o ), в минутах (1′), в секунд ах (1′′). 1° = 60′; 1′ = 60′′.

5

В иды угло в О пределение

Пло ск ий уго л – это частьплоскости, ограниченная д вумя лучами, имею щ имиобщ ее начало.

Ост р ый угол

П р я мой угол

0o < ∠ А О В < 90 o

∠ А О В = 90 o = α

Т упой угол

Развер н ут ый угол

0o < ∠ А О В < 180 o

∠ А О В = 180 o

П олн ыйугол

∠ А О В = 360 o

С меж н ые углы – это д ваугла, у которы х од насторонаобщ ая, ад ве д ругие составляю тпрямую . ∠ А О В и ∠ BО C – смеж ны е углы ;

OB – общ ая сторона.

Т ео рем а

6

Суммасмеж ны х углов равна180 o

( 2d ) .

В ер т икальн ые углы – это д ваугла, у которы х верш инаобщ ая, астороны од ного углаявляю тся прод олж ением сторон д ругого угла.

∠ А О В и ∠ COD – вертикальны е углы ; ∠ BО D и ∠ А О C – вертикальны е углы .

Т ео рем а

В ертикальны е углы равны меж д у собой .

1.3. Перпендик уляр и нак ло нная О пределение

Перпендик уляр – это общ ая сторонад вух равны х смеж ны х углов. ∠А О В

и ∠ ВО С – смеж ны е углы ; ∠ А О В = ∠ ВО С = 90o ; О В – перпендик уляр к прям о й А С. Прям ые О В и А С перпендик улярны. О В ⊥ А С.

О пределение

Про ек ц ия то чк и на прям ую – это основаниеперпенд икуляра, опущ енного из д анной точкинаэту прямую . CC0 ⊥ AB. Точка C0 – о сно вание перпендик уляра CC0 . Точка C0 – проекц ия точки C напрямую AB.

О пределение

Нак ло нная – это общ ая сторонад вух неравны х смеж ны х углов.

∠ А DC и ∠ CDВ – смеж ны е углы . ∠ А DC ≠ ∠ CDВ .

CD – нак ло нная к прям о й AB . 7

О пределение

Про ек ц ия нак ло нно й на прям ую – это отрезокпрямой меж д у проекц иямиконц ов наклонной наэту прямую .

ТочкаD – проекц ия точки D напрямую AB. ТочкаC0 – проекц ия точки C напрямую AB. О трезок DC0 – проекц ия наклонной CD напрямую AB.

1.4. Параллельные прям ые О пределение

Параллельные прям ые – это прямы е, которы е леж атв од ной плоскостиине пересекаю тся. П рямы е AB и CD параллельны . AB

CD .

Т ео рем а

П араллельны е прямы е, пересекаю щ ие стороны угла, д елятстороны угланапропорц иональны е отрезки:

А 1B1

A3 B3

A2 В 2

О А1 О A2 О A3 А A А A А A = = = 1 2 = 2 3 = 1 3 и т.д . О B1 О В2 О B3 B1 В 2 B2 В 3 B1 В 3

Т ео рем а

СA

8

LM ;

Е слистороны од ного острого (тупого) углапараллельны сторонам д ругого острого (тупого) угла, то этиуглы равны . CB

LN

⇒

∠ 1 = ∠2

Т ео рем а

Е слистороны од ного острого (тупого) углаперпенд икулярны сторонам д ругого острого (тупого) угла, то этиуглы равны .

1) СM ⊥ CA ; CN ⊥ CB ⇒ ∠ А CB = ∠ MCN . 2) LM ⊥ CA ; LN ⊥ CB ⇒ ∠ ACB = ∠ MLN .

Упр аж н ен и е 1 . О тветитьнавопросы : 1. К акие прямы е вы знаете? 2. Ч то назы вается лучом? 3. Ч то назы вается плоскостью ? 4. К акая ф игураназы вается плоской ? 5. Ч то изучает планиметрия ? 6. Ч то назы вается биссектрисой угла? 7. К акие вид ы углов вы знаете? 8. К акие углы смеж ны е? 9. К акие углы вертикальны е? 10. Ч то назы вается перпенд икуляром? 11. Что назы вается наклонной ? 12. Ч то назы вается проекц ией точки(наклонной ) напрямую ? 13. К акие прямы е назы ваю тся параллельны ми(перпенд икулярны ми)? 14. К акое свой ство имею тд ваугла, у которы х стороны од ного перпенд икулярны (параллельны ) сторонам д ругого?

9

Упр аж н ен и е 2 . Реш итьзад а чи: 1. Най ти угол, образованны й биссектрисами смеж ны х углов. 2. Д оказать, что вертикальны е углы равны меж д у собой . 3. С тороны од ного углапараллельны сторонам д ругого угла. О д ин угол больш е д ругого на40 o . Най ти эти углы . О т вет : 110 o и 70o . 4. С тороны тупого углаперпенд икулярны сторонам острого угла. О д ин угол больш е д ругого в 3 раза. Най ти эти углы . О т вет : 135 o и 45o .

2. К руг. О к руж но сть. М етрическ ие со о тно ш ения в о к руж но сти 2.1. Э лем енты о к руж но сти и к руга О пределение

О к руж но сть– это множ ество точекплоскости, которы е наход ятся наод инаковом расстоянииотод ной точкиплоскости.

ТочкаО – ц ентр о к руж но сти. О трезок О А – радиус о к руж но сти (R). О трезок BA – диам етр о к руж но сти. BA = 2OA = 2R О пределение

Х о рда о к руж но сти – это отрезок, соед иняю щ ий д ве точки окруж ности. AB – х о рда.

10

О пределение

С ек ущ ая – это прямая, имею щ ая д веобщ ие точкисокруж ностью . CD – секущ ая.

О пределение

К асательная к о к руж но сти – это прямая, имею щ ая только од ну общ ую точку сокруж ностью . MN – к асательная к окруж ности. ТочкаA – то чк а к асания.

О пределение

Д уга о к руж но сти – это частьокруж ности. ∪ BnA – д угаокруж ности. ∠ BOA – ц ентральный уго л.

∠ ABC – вписан н ыйугол

О пределение

∠ ABC – описан н ыйугол

К руг –это частьплоскости, леж ащ ая внутриокруж ности.

11

Ч асти к руга

сек то р круга

сегм ент круга

2.2. М етрическ ие со о тно ш ения в о к руж но сти Т ео рем а 1

Ц ентральны й уголизмеряется д угой , накоторую опирается.

∠ А О С – ц ентральны й угол. ∠ А О С опирается на ∪ A m C . ∠ А О С измеряется ∪ A m C .

Т ео рем а 2

В писанны й уголизмеряется половиной д уги, накоторую опирается. ∠ ABC – вписанны й угол. ∠ ABC опирается на∪ A m C . ∠ ABC измеряется

Т ео рем а 3

1 ∪ AmC ; 2

∠ А ВС =

1 ∠ А О С. 2

К аса тельная перпенд икулярнак рад иусу, провед енному в точку касания. AM – касательная; OA – рад иус. AM ⊥ OA ;

Т ео рем а 4

12

∠ OAM = 90o .

О трезкикасательны х , провед енны х из од ной точки, равны меж д у собой .

BA – касательная, BC – касательная. AB = BC ∠ ABC измеряется

Т ео рем а 5

1 (∪ А m C − ∪ A n C ) . 2

Е слииз точки, леж ащ ей вне круга, провед ены секущ ая икасательная, токвад раткасательной равенпроизвед ению секущ ей наее внеш ню ю часть. AB – касательная, BC – секущ ая, BD – внеш няя частьсекущ ей BC, AB 2 = BC ⋅ BD ∠ 1 измеряется

Т ео рем а 6

1 ( ∪ AmC − ∪ AnD ) . 2

Е слид ве хорд ы пересекаю тся, то произвед ение отрезков од ной х орд ы равно произвед ению отрезков д ругой х орд ы .

AD – х орд а. AB и BD – отрезки хорд ы AD. EC – хорд а. EB и ВС – отрезки х орд ы EC. AB ⋅ BD = EB ⋅ BC ∠ ABC измеряется

Т ео рем а 7

1 (∪ A m C + ∪D n E ). 2

О тнош ение д лины окруж ностикд иаметру равно числу π ("пи").

Длина о к руж но сти: C = 2π R , гд е R – рад иусокруж ности. С = π ; π = 3,14159253... 2R

13

Пло щ адьк руга: S = π R 2 , гд е R – рад иус круга.

Д лина дуги: l=

πR α , гд е α – ц ентральны й угол л. 180

Пло щ адьсек то ра: S=

π R 2α , гд е α – ц ентральны й угол л. 360

Упр аж н ен и е 3. О тветитьнавопросы ивы полнитьзад ания: 1. Ч то назы вается окруж ностью , кругом? 2. П еречислите элементы окруж ности, круга. 3. К аковавеличинавписанного угла, опираю щ егося над иаметр? 4. Ч ему равенквад ратд лины касательной кокруж ности? 5. К акрасполож ены касательная кокруж ностиирад иус, провед енны й в точку касания? 6. Ч ему равнаплощ ад ькруга? 7. Чему равнад линаокруж ности? Упр аж н ен и е 4 . Реш итьзад а чи: 1. Д ве окруж ности касаю тся внеш ним образом. Най ти расстояние отточки касания окруж ностей д о их общ их касательны х . О т вет : R ⋅ r . 2. Най ти угол меж д у касательны ми к окруж ности, если расстояние от верш ины углад о окруж ности равно рад иусу. О т вет : 60o . 3. AB – д иаметр окруж ности, BC – касательная к окруж ности. С екущ ая AC д елится окруж ностью в точке D наравны е отрезки. Най ти ∠ DAB. О т вет : 45o . 4. Д иаметр AB и х орд а CD пересекаю тся в точке M. ∠ AMD = 70o . ∪ AB сод ерж ит 40o . С колько град усов сод ерж ит ∪ AC ?

О т вет : 80o . 14

3. Т реуго льник и 3.1. М но го уго льни к и О пределение

Мно го уго льник (плоский многоугольник) – это частьплоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией . ABCDE – многоугольник. Точки A, B, C , D , E – это верш ины м но го уго льник а. ∠ А , ∠ В , ∠ С, ∠ D , ∠ Е – углы м но го уго льник а. О трезки AB, BC , CD, DE , EA – это сто ро ны м но го уго льник а.

Суммавсех сторон А В + ВС + СD + DЕ + Е А = P – это перим етр р м но го уго льник а. О трезки AC , BD, CE , DA – это диаго нали м но го уго льник а.

В ыпуклый многоугольник

Н евыпуклый многоугольник

О пределение

Мно го уго льник назы вается вписанным в о к руж но сть, а о к руж но стьо писанно й о к о ло м но го уго льник а, есливсе верш ины многоугольникалеж атнаокруж ности.

О пределение

Мно го уго льник назы вается о писанным о к о ло о к руж но сти, а окруж ностьвписанно й в м но го уго льник , есливсе стороны многоугольникакасаю тся окруж ности.

В писанный многоугольник А О = R – рад иус описанной окруж ности.

О писанный многоугольник OK = r – рад иус вписанной окруж ности. 15

3.2. Т реуго льни к . Э лем енты треуго льник а О пределение

Т реуго льник – это многоугольник, которы й имееттристороны . ∆ А ВС – треугольник ABC. А , В , С – верш ины ∆ А ВС . А В = с, ВС = а , А С = b – сто ро ны ∆ А В С .

а + b + с = Р – перим етр ∆ А ВС .

∠ А В С, ∠ ВСА , ∠ ВА С – внутренние углы ∆ А ВС . ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, ∠ 4, ∠ 5, ∠ 6 – внеш ние углы ∆ А ВС .

О пределение

В ысо та треуго льник а – это перпенд икуляр, опущ енны й из верш ины треугольниканапротивополож ную сторону. BD ⊥ AС ⇒

BD – вы сота ∆ А ВС .

BD = hb = 2 ⋅

p ( p − a )( p − b )( p − c ) , b

гд е p = Т ео рем а

О пределение

Тривы соты треугольникапересекаю тся в од ной точке.

Б иссек триса треуго льник а – это отрезок биссектрисы угла треугольникаотверш ины д о пересечения спротивополож ной стороной . ∠ В А D = ∠DА С

А D = βа =

гд е p = 16

a+b+c . 2

2 b+с

a+b+c . 2

⇒

А D – биссектриса∆ А ВС .

bcp ( p − a ) ,

Т ео рем а

О пределение

Трибиссектрисы треугольникапересекаю тся в од ной точке.

Медиана треуго льник а – это отрезок, соед иняю щ ий верш ину треугольникассеред иной противополож ной стороны . AM = MС ⇒ BM – мед иана∆ А В С . ВM = mb =

Т ео рем а

О пределение

1 2a 2 + 2c 2 − b 2 . 2

Тримед ианы треугольникапересекаю тся в од ной точке.

С редняя линия треуго льник а – это отрезок, соед иняю щ ий серед ины д вух сторонтреугольника. AM = MB BN = NC

⇒

MN – сред няя линия ∆ А ВС.

Т ео рем а

С ред няя линия треугольникапараллельнаоснованию и равнаего половине. MN – сред няя линия ∆ А ВС ⇒ MN

AC ;

MN =

1 AC 2

Три сред ние линиитреугольника образую тновы й треугольник.

17

3.3. В иды треуго льник о в Остр оугольн ыйт р еугольн ик – это треугольник, у которого все углы остры е. 0° < ∠ BAC < 90°, 0° < ∠ ABC < 90°, 0° < ∠ BCA < 90°.

П р я моугольн ый т р еугольн ик – это треугольник, у которого од ин угол прямой . ∠ А СВ = 90 o . С т орон ы А С = b, CB = a – к атеты ∆ А ВС .

С торона AB = c – гипо тенуза ∆ А ВС .

Т упоугольн ыйтр еугольн ик – это треугольник, у которого од инуголтупой . ∠ ACB – тупой угол. 90° < ∠ ACB < 180°.

Разн ост ор он н ийт р еугольн ик – это треугольник, у которого все стороны имею т разную д лину.

А В ≠ ВС ≠ А С .

Равн обед р ен н ыйт р еугольн ик – это треугольник, у которого д ве стороны равны . AB = BC ≠ AC. С тороны А В , ВС – б о к о вые сто ро ны ∆ А ВС . С торона А С – о сно вание ∆ А ВС . B – верш ина ∆ А ВС .

18

Т ео рем а

В равнобед ренном треугольнике углы приоснованииравны . ∠ А = ∠С.

Т ео рем а

В равнобед ренном треугольнике биссектрисауглаприверш ине есть такж е мед ианаивы сота. А B = BС;

∠ А ВD = ∠ DВС ⇒

AD = DC; В D ⊥ А С.

Равн ост ор он н ийт р еугольн ик – это треугольник, у которого все стороны равны .

А В = ВС = А С

⇒

∠ А = ∠ B = ∠ C = 60 ° .

3.4. О писанные и вписанные треуго льни к и О коло лю бого треугольникамож но описатьи в него мож но вписатьокруж ность. Т ео рем а 1

Точкапересечения биссектристреугольникаявляется ц ентром вписанной окруж ности.

д иусвписанной окруж ности. О М = r – ра

Т ео рем а 2

Точкапересечения перпенд икуляров, которы е провед ены через серед ины сторонтреугольника, является ц ентром описанной окруж ности.

А О = R – рад иусописанной окруж ности.

19

3.5. М етри ческ и е со о тно ш ения в треуго льни к е Т ео рем а 1

Суммавнутренних углов треугольникаравна180 o .

∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180 o .

Т ео рем а 2

В неш ний угол треугольника равен сумме внутренних углов, несмеж ны х сним. ∠ 4 = ∠1 + ∠ 2 .

Т ео рем а 3

В треугольнике биссектрисауглад елитпротивополож ную сторону начасти, пропорц иональны е прилеж ащ им сторонам. ∠ ABD = ∠ DBC , BD – биссектриса ∆ А ВС ⇒ А D DС = АВ ВС

Т ео рем а 4

или

AD AB = . DC BC

М ед ианы треугольникав точке пересечения д елятся в отнош ении 2 : 1 , считая отверш ины . В D = DС. AD – мед иана ∆ А ВС. ТочкаO – точкапересечения мед иан треугольника. АО 2 = ОD 1

Т ео рем а 5

или

AO : OD = 2 : 1 .

Т ео рем а синусо в. О тнош ение д лины стороны треугольника к синусу противолеж ащ его углаестьвеличинапостоянная, равная д иаметру описанной окруж ности. a b c = = = 2R , sin A sin B sin C

гд е R – рад иусописанной окруж ности, BC = a; AC = b; AB = c. 20

Т ео рем а 6

Т ео рем а к о синусо в. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

3.6. М етри ческ ие со о тно ш ени я в прям о уго льно м треуго льник е Т ео рем а 7

Т ео рем а Пифаго ра. В прямоугольном треугольнике квад рат гипотенузы равенсумме квад ратов катетов. ∠ AСB = 90o . А В 2 = ВС2 + А С 2

или

c2 = a2 + b2 , гд е a и b – катеты , c – гипотенуза. Т ео рем а 8

В прямоугольном треугольнике катетпротив угла 30 o равен половине гипотенузы . ∠С = 90 o ∠В = 30 o

Т ео рем а 9

Т ео рем а 10

⇒

АС=

1 А В. 2

В прямоугольном треугольнике, гд е ∠ С = 90o , a, b – катеты , c – гипотенуза. a = c sin A =

b = c cos B . tg B

b = c sin B =

a = c cos A . tgA

В ы сота, опущ енная из верш ины прямого угла, является сред ней пропорц иональной величиной меж д у проекц иями катетов нагипотенузу.

21

∠ С = 90o ; СD – вы сота∆ А ВС AB – гипотенуза;

( СD ⊥ А В ) ;

AD – про ек ц ия к атета AC наAB;

BD – про ек ц ия к атета CB наAB. А D СD = СD DВ

или СD 2 = А D ⋅ DВ . n h = h m

Е сли AD = n, CD = h, BD = m, то Т ео рем а 11

АВ АС = АС АD

Е сли

Д линакатетаявляется сред ней пропорц иональной величиной меж д у д линой гипотенузы ипроекц ией этого ка тетанагипотенузу.

Т ео рем а 12

АВ ВС = ВС ВD

или А С2 = А В ⋅ А D ;

AB = c,

c b = b n

h2 = n ⋅ m .

или

или

AC = b,

или ВС2 = А В ⋅ ВD .

BD = m, то

AD = n,

c a = a m

b2 = c ⋅ n ;

или

a2 = c ⋅ m .

М ед иана, провед ённая из верш ины прямого угланагипотенузу, равна ее половине иявляется рад иусом описанной окруж ности. ∠ С = 90o ,

AO = OB

⇒

О С=

1 АВ=R 2

или

OC = AO = OB = R .

3.7. Р авенство треуго льни к о в Т ео рем а 1

Е слисторонаид ваприлеж ащ их к ней углаод ного треугольника равны стороне ид вум прилеж ащ им к ней углам д ругого треугольника, то такие треугольникиравны . А B = А 1 B1 ∠А = ∠А1 ∠ B = ∠ B1

22

⇒

∆ А ВС = ∆ А 1 В1С1

Т ео рем а 2

Е слид ве стороны иуголмеж д у нимиод ного треугольникаравны д вум сторонам иуглу меж д у нимид ругого треугольника, то такие треугольникиравны . А В = А 1 В1 BС = B1С1

⇒

∆ А ВС = ∆ А 1 В1С1

∠ B = ∠ B1

Т ео рем а 3

Е слитристороны од ного треугольникаравны трем сторонам д ругого треугольника, то такие треугольникиравны . А В = А 1В 1 А С = А 1С1

⇒

∆ А ВС = ∆ А 1 В1С1

ВС = В1С1

Т ео рем а 4

Е слигипотенузаикатетод ного прямоугольного треугольникаравны гипотенузе икатету д ругого треугольника, то треугольникиравны .

А В = А 1 В1 BС = B1С1

⇒ ∆ А ВС = ∆ А 1В 1С1

3.8. Пло щ адь треуго льник а AB = c;

AC = b;

BC = a.

S ∆ABC =

1 a ⋅ ha , гд е h – вы сота , опущ енная насторону a , а 2

S ∆ABC =

1 a ⋅ b ⋅ sin C 2

S=

p( p − a )( p − b)( p − c ) , гд е p =

a+b+c 2

– это фо рм ула Г еро на.

Упр аж н ен и е 5 . О тветитьнавопросы ивы полнитьзад ания: 1. Ч то назы вается вы сотой треугольника? 2. Ч то назы вается биссектрисой треугольника?

23

Ч то назы вается мед ианой треугольника? Ч то назы вается сред ней линией треугольника? Назовите вид ы треугольников. К акой многоугольник назы вается описанны м около окруж ности(вписанны м в окруж ность)? 7. Гд е располож енц ентр окруж ности, вписанной в треугольник(описанной около треугольника)? 8. К акие признакиравенстватреугольников вы знаете? 9. К акие теоремы метрических соотнош ений в лю бом (прямоугольном, равнобед ренном) треугольнике вы знаете? 3. 4. 5. 6.

Упр аж н ен и е 6 . Реш итьзад а чи: 1. П ериметр равнобед ренного треугольникаравен 35 см. О д насторона в 3 разабольш е д ругой . Най ти его стороны . О т вет : 5 см; 15 см; 15 см. 2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠ С = 90 o , ∠ А = 30o , гипотенуза й ти отрезки AD и BD . А В = 10 см, CD – вы сота. На О т вет : 2,5 см; 7,5 см. 3. В треугольнике ABC ∠ А = 50 o , ∠ С = 60 o . Най ти уголмеж д у вы сотами, провед енны ми через верш ины А и С. О т вет : 110 o . 4. В треугольнике ABC ∠ А = 60o , ∠ В = 40 o . Най ти угол меж д у биссектрисами этих углов. О т вет : 130 o . 5. В прямоугольном треугольнике ∠ А = 30 o , гипотенуза c = 11 см. Ч ему равнапроекц ия гипотенузы наменьш ий катет? О т вет : 5,5 см. 6. О круж ностьописанаоколо ∆ ABC . AB = BC = 6 см, ∠ ABC = 120 o . Най ти д иаметр окруж ности. О т вет : 12 см. 7. В прямоугольны й треугольник, гипотенузакоторого равна 30 см, вписана окруж ностьрад иусом 6 см. Най ти периметр треугольника. О т вет : 72 см. 8. ∆ ABC вписан в окруж ность. Точка О – ц ентр окруж ности; ∠ В = 70 o . Най ти ∠ О А С. О т вет : 20o .

24

4. Ч етырех уго льник и 4.1. Ч етырех уго льни к . Э лем енты четырех уго льни к а. В иды четырех уго льни к о в О пределение

Ч етырех уго льник – это многоугольник, которы й имеет четы ре стороны . ABCD – выпук лый четырех уго льник , A, B, C , D – верш ины четырех уго льник а, AB, BC , CD , AD – сто ро ны четырех уго льник а, ∠ A, ∠ B, ∠ C , ∠ D – углы четырех уго льник а, AC, BD – диаго нали четырех уго льник а, AB и DC ; AD и BC – про тиво по ло ж ные

сто ро ны четырех уго льник а.

4.2. В иды четырех уго льник о в

25

4.3. Т рапец и я. С во йства трапец и и. Пло щ адь трапец ии О пределение

Т рап е ция – это четы рехугольник, у которого д ве

противополож ны е стороны параллельны , ад ве д ругие нет. AD C BC; ABDCD ⇒ ABCD – трапец ия. AD и BC – о сно вания трапец ии, AB и CD – б о к о вые сто ро ны трапец ии, AC и BD – диаго нали трапец ии, BK ⊥ AD, ВК – высо та трапец ии. AM = MB ⇒ CN = ND MN – средняя линия трапец ии. Равн обед р ен н ая (р авн обочн ая ) т р апеция – это трапец ия, у которой боковы е стороны равны . AB = CD ⇒

AC = BD ; ∠ A = ∠ D.

П р я моугольн ая т р апеция – это трапец ия, у которой од набоковая сторона перпенд икулярнаоснованиям. AB ⊥ AD,

Т ео рем а

AB ⊥ BC .

Сред няя линия трапец иипараллельнаее основаниям и равнаих полусумме. AM = MB; CN = ND MN

BC

AD ;

Пло щ адьтрапец ии: S=

S=

26

a+b ⋅ h , гд е a и b – основания трапец ии, 2 пец ии. h – вы сотатра 1 d1 d 2 ⋅ sin α , гд е d1 , d 2 – д иагона ли трапец ии, 2 ∠α – уголмеж д у д иагоналями.

MN =

⇒ 1 ( AD + BC ). 2

4.4. Параллело грам м . С во йства параллело грам м а. Пло щ адь параллело грам м а О пределение

Параллело грам м – это четы рех угольник, у которого противополож ны е стороны параллельны .

AB CD, AD

BC ⇒ ABCD – параллелограмм.

BE ⊥ AD, BE – высо та параллело грам м а.

Т ео рем а 1

У параллелограммапротивополож ны е стороны ипротивополож ны е углы равны меж д у собой . AB = CD ; AD = BC . ∠ A = ∠C ; ∠D = ∠ B.

∠ A + ∠ D = 180o . Т ео рем а 2

Д иагоналипараллелограммав точке пересечения д елятся пополам.

AO = OC ; BO = OD .

Т ео рем а 3

С уммаквад ратов сторон параллелограммаравна сумме квад ратов д иагоналей . AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = AC 2 + BD 2

Пло щ адьпараллело грам ма: S = a ⋅ ha , гд е a – сторонапа раллелограмма а, ha – вы сота, опущ енная насторону a .

мма, S = a b sin A , гд е a и b – стороны параллелогра A – уголпараллелограмма.

27

4.5. Прям о уго льник . С во йства прям о уго льни к а. Пло щ адь прям о уго льник а О пределение

Прям о уго льник – этопараллелограмм, у котороговсеуглы прямы е. AB

CD , AD

BC

⇒

∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90

o

ABCD – прямоугольник.

Т ео рем а

Д иагоналипрямоугольникаравны . AC = BD .

Пло щ адьпрям о уго льник а: S = ab , гд е a и b – стороны прямоугольника.

4.6. Р о м б . С во йства ро м б а. Пло щ адь ро м б а О пределение

Ро м б – это параллелограмм, у которого все стороны равны .

AB

CD , AD

BC

AB = BC = CD = AD

Т ео рем а

⇒

ABCD – ромб.

Д иагоналиромбавзаимно перпенд икулярны ид елятуглы ромба пополам. AC ⊥ BD , ∠ BAC = ∠ DAC ; ∠ ABD = ∠ CBD .

Пло щ адьро м б а:

S = a 2 sin A , гд е a – сторонаромба, A – угол ромба. S=

28

1 d 1 d 2 , гд е d1 и d 2 – д иагонали ромба. 2

4.7. К вадрат. С во йства к вадрата. Пло щ адь к вадрата О пределение

К вадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны .

∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90 o

AB = BC = CD = AD

т. ⇒ ABCD – квад ра

К вад ра тимеетвсе свой ствапараллелограмма, прямоугольникаи ромба. 1) AB

CD; AD

3) AC ⊥ BD;

BC ;

2) AB = BC = CD = AD ;

AO = OC = BO = OD ;

∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90 o ;

∠ ABD = ∠ DBC = ∠ BCA = ∠ ACD .

Пло щ адьк вадрата: S = a 2 , гд е a – сторонаквад ра та.

4.8. О пи санные и впи санные четырех уго льник и Т ео рем а 1

Е слив четы рех угольнике суммы противополож ны х сторонравны меж д у собой , то в него мож но вписатьокруж ность. AB + CD = AD + BC ⇒

д иусвписанной окруж ности. OM = r – ра S ABCD = r ⋅ p , гд е p =

a+b+c+d , 2

AB = a; BC = b; CD = c; DA = d – стороны четы рехугольника. Т ео рем а 2

Е слив четы рехугольнике суммапротивополож ны х углов равна180°, тооколо него мож но описатьокруж ность. ∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 180 o

⇒

OD = R – рад иусописанной окруж ности.

S=

( p − a )( p − b)( p − c )( p − d )

, гд е p =

a+b+c+d , 2

AB = a; BC = b; CD = c; DA = d – стороны четы рехугольника. 29

О коло квад рата, прямоугольникаи равнобед ренной трапец ии мож но описа ть окруж ность, так как ∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 180 o .

Т ео рем а 3

Е сличеты рех угольниквписанв окруж ность, то произвед ение д иагоналей равно сумме произвед ений противополож ны х сторон.

AC ⋅ BD = AB ⋅ DC + AD ⋅ BC .

Упр аж н ен и е 7 . О тветитьнавопросы ивы полнитьзад ания: 1. Что назы вается трапец ией ? 2. Ч то назы вается параллелограммом, ромбом? 3. Ч то назы вается прямоугольником, квад ратом? 4. Назовите свой стватрапец ии, параллелограмма, ромба, прямоугольника, квад рата. 5. У какого параллелограммад иагоналиравны иперпенд икулярны ? 6. Ч ем отличается квад ратотпрямоугольникаиромба? 7. М ож но лиописатьокруж ностьоколо прямоугольника, равнобочной трапец ии? П очему? 8. В какой четы рехугольник мож но вписатьокруж ность? 9. О коло какого четы рехугольникамож но описа тьокруж ность? 10. О коло каких четы рех угольников всегд амож но описа тьокруж ность?

30

Упр аж н ен и е 8 . Реш итьзад а чи: 1. В равнобочной трапец ии боковая сторонаравнасред ней линии, апериметр равен 10 см. Най ти боковую сторону. О т вет : 2,5 см. 2. П ериметр параллелограммаравен 2 м, астороны относятся как 2 : 3. Най ти стороны . О т вет : 0,4 м; 0,6 м. 3. С тороны квад ратаравны 5 см, его д иагональявляется стороной второго

квад рата. Най ти д иагональвторого квад рата. О т вет : 10 см. 4. П ериметр ромбаравен 16 см, вы сота 2 см. Най ти тупой уголромба. О т вет : 150 o . 5. ∆ А В C – равносторонний . В ы сота h =10 см. Най ти проекц ию д анной вы соты над ругую вы соту. О т вет : 5 см. 6. В равнобочную трапец ию , периметр которой равен 20 см, вписана окруж ность. Най ти д лину боковой стороны . О т вет : 5 см.

5. Правильные м но го уго льник и 5.1. С во йства правильных м но го уго льни к о в О пределение

Правильный м но го уго льник – это вы пуклы й многоугольник, у которого все стороны иуглы равны . AB = BC = CA ∠ А =∠ В = ∠C

⇒

∆ А В C – правильны й треугольник.

AB = BC = CD = DE ∠ А =∠ В =∠C =∠ D

⇒

квад ра т ABCD – правильны й многоугольник.

А B = ВC = CD = DE = EF = FA ∠ А =∠ В = ∠C =∠ D = ∠E =∠ F

⇒

ш естиугольник ABCDEF – правильны й многоугольник.

В нутренний уго л правильно го м но го уго льник а равен

180 o (n − 2 ) , n

гд е n – число сторон правильного многоугольника.

31

Т ео рем а

О коло правильного многоугольникамож но описатьив него мож но вписатьокруж ность. Рад иусописанной окруж ности R – радиус правильно го м но го уго льник а: R=

a 180o 2 sin n

,

гд е n – число сторон правильного многоугольника, a – сторонаправильного многоугольника.

Рад иусвписанной окруж ности r – апо фем а правильно го м но го уго льник а: r =

a 180 o 2 tg n

, гд е a – сторонаправильного многоугольника ,

n – число сторон правильного многоугольника.

В ид правильного многоугольника

n

треугольник

n=3

R=

a 3 3

четы рех угольник

n=4

R=

a 3 2

ш естиугольник

n=6

Т ео рем а

R=а

a

r

R r=

a 3 6

a=R 3

180 o

a 2

a=R 2

360 o

a 3 2

a=R

720 o

r= r=

С тороны правильны х од ноименны х многоугольников относятся как рад иусы описанны х иликакрад иусы вписанны х окруж ностей .

AB R r P = = = A1 B1 R1 r1 P1

∠ А О В – ц ентральный уго л правильно го м но го уго льник а. ∠ А О В = ∠ А 1О 1 В1 =

32

С умма углов

360 o . n

5.2. Пло щ адь правильно го м но го уго льник а O – ц ентр многоугольника; О М ⊥ А В;

OM = a – апоф емаправильного многоугольника. S=

1 P ⋅ a , гд е P – периметр, a – а поф емаправильного многоугольника. 2

S =

1 2 360 o R n sin , гд е R – радиусправильного многоугольника, 2 n

n – число сторон правильного многоугольника.

Упр аж н ен и е 9 . О тветитьнавопросы : 1. К акие многоугольникиназы ваю тся правильны ми? 2. Б уд етлиравносторонний треугольникправильны м многоугольником? 3. Б уд етлиромб правильны м многоугольником? 4. Б уд етлипрямоугольник правильны м многоугольником? 5. К аквы числитьвнутренний уголправильного многоугольника? 6. К акпостроитьправильны й ш естиугольник? 7. К ак относятся стороны вписанного в окруж ностьиописанного около нее правильноготреугольника? Упр аж н ен и е 10 . Реш итьзад а чи: 1. У какого правильного многоугольникац ентральны й угол равен 30o ? 2. Най ти сторону правильного треугольника, описанного около окруж ности рад иуса r. О т вет : 2r 3. 3. Сторонаквад ратаравнаa . Найти рад иусвписанной и рад иусописанной окруж ностей . О т вет :

а ; 2

а 2. 2

4. Сторонаправильного ш естиугольникаравнаa. Най ти радиусвписанной окруж ности. О т вет :

а 3 . 2

33

6. О б щ ая ф о рм ула пло щ ади пло ск о й ф игуры 6.1. Ф о рм ула Нью то на-Л ейб ниц а П устьф ункц ия

опред еленаи непреры внанаотрезке

[ a, b ] и

b

, тогд а

∫

f ( x) dx = F (b) − F (a) = F ( x) a . b

(1)

a

6.2. Пло щ адь к ри во линейно й трапец ии О пределение

К риво линейная трапец ия – это ф игура, ограниченная кривой , осью ипрямы ми x = a ; x = b ( a < b) .

П лощ адькриволиней ной трапец ии равна: b

S=

b

∫ f ( x) dx

, или S = − ∫ f ( x) dx , если

, если

a

.

(2)

a

П р и мер . Най ти площ ад ьф игуры , ограниченной линиями

и

.

Р еш ен и е: 1) П остроим параболу

.

П олучим криволиней ную трапец ию ( a = −2 ; b = 2 ). 2) П о ф ормуле (2) получим:

∫ f ( x) dx = ∫ (4 − x ) dx = ∫ 4 dx − ∫ x b

S =

2

2

2

2

a

(

−2

)

1 32 = 4(2 + 2) − 2 3 + 23 = . 3 3

−2

−2

2

2

dx = 4 x − 2

x3 − 3

2

= −2

6.3. Пло щ адь пло ск о й ф игуры П устьплоская ф игура Φ – это ф игура, ограниченная непреры вны ми кривы ми 34

и

( f 1 (x ) ≥

f 2 (x ) ) и прямы ми x = a ; x = b

(a < b ) .

П лощ ад ьплоской ф игуры Φ равна: b

S =

∫ ( f ( x ) − f ( x )) dx 1

.

2

(3)

a

П р и мер . Най ти площ ад ьф игуры , ограниченной линиями

и

.

Р еш ен и е: 1) П остроим граф икиф ункц ий 2 y = f1 ( x ) = x − 2 и y = f 2 ( x ) = x − 4 x + 2. П олучим ф игуру, площ ад ькоторой нуж но най ти. 2) Най д ем точки пересечения прямой и параболы y = f 2 ( x ) = x 2 − 4 x + 2. y = x − 2  y = x 2 − 4 x + 2 ⇒ x1 = 1 ; x 2 = 4.  3) П о ф ормуле (3) получим:

∫ ( f ( x) − f ( x )) dx = ∫ (( x − 2 ) − (x b

S =

1

a 4 2

x =5 2

))

4

1

2

2

− 4 x + 2 dx =

1

4

∫ (5 x − x 4

2

)

− 4 dx =

1

x3 5  16 1  1  43 1  4 − − 4x 1 =  − −  −  − 4(4 − 1) = 4,5. 3 1 2  2 2  3  3 3 

Упр аж н ен и е 11 . В ы полнитьзад ания: 1. И зобразить криволиней ны е трапец ии и най ти интегралы : π

8

а)

∫

3

x dx; б)

1

∫ sin x dx;

2

∫ 1 − x dx.

в)

0

О т вет : а)

;

б) 2;

0

в) 1.

2. Най ти площ ад ьф игуры , ограниченной линиями: а) y = x ; y = 5 − x ; x = 1 ; x = 2 ; б) y = x 2 ; x + y = 2; в) y = x ; y = x − 2 . О т вет : а) 2;

б) 4,5; в)

. 35

Ч АС Т Ь 2. Э ЛЕ М Е НТ Ы С Т Е Р Е О М Е Т Р И И 7. Прям ые и пло ск о сти в про странстве 7.1. О сно вные по няти я стерео м етрии С терео м етрия – это частьгеометрии, которая изучаетсвой ствапространственны х ф игур.

Куб О пределение

Ш ар

Т ет р аэд р

Про странственные фигуры – это ф игуры , не все точки которы х леж атв од ной плоскости. ТочкаА и прямая l леж ат в пло ск о сти α (принадлеж ат пло ск о сти α ).

Точка М и прямая MN не леж ат в пло ск о сти α (не принадлеж ат пло ск о сти α ).

О сно вные ак си о м ы стерео м етри и: 1. Через три точки, не леж ащ ие наод ной прямой , мож но провести плоскость, и только од ну.

2. Через прямую и не леж ащ ую наней точку мож но провести плоскость, и только од ну.

3. Е сли д ве точки прямой принад леж атплоскости, то вся прямая принад леж итплоскости. 36

4. Е сли д ве прямы е имею тобщ ую точку, то через них мож но провести плоскость, и только од ну.

5. Е сли д ве плоскости имею тобщ ую точку, то они пересекаю тся по прямой .

7.2. Р аспо ло ж ение двух прям ых в про странстве

Пересек аю щ иеся прям ые леж а тв од ной плоскости, имею тобщ ую точку.

Параллельные прям ые леж а тв од ной плоскости ине имею тобщ их точек.

С к рещ иваю щ иеся прям ые не леж а тв од ной плоскости ине имею тобщ их точек.

7.3. Р аспо ло ж ени е прям о й и пло ск о сти в про странстве

Прям ая леж ит в пло ск о сти, еслипрямая иплоскость имею тд ве общ ие точки.

Т ео рем а

Прям ая и пло ск о сть пересек аю тся, еслипрямая иплоскость имею тод ну общ ую точку.

Прям ая и пло ск о сть параллельны, еслипрямая иплоскость не имею тобщ их точек (не пересекаю тся).

Признак параллельно сти прям о й и пло ск о сти. Е слипрямая m, не леж ащ ая в плоскости α , параллельналю бой прямой n, леж ащ ей в плоскости α , топрям ая m параллельна пло ск о сти α . (m α ) n леж итв плоскости α m

n

⇒ m

α

37

О пределение

Т ео рем а

П рямая назы вается перпендик улярно й к пло ск о сти, еслиона перпенд икулярнак лю бой прямой , леж ащ ей в этой плоскости.

Признак препендик улярно сти прям о й и пло ск о сти. Е сли прямая m, пересекаю щ ая плоскость α , перепенд икулярнак д вум м пересекаю щ имся прямы м n и k, леж ащ им в плоскости α , то прям ая m перпендик улярна к пло ск о сти α . (m ⊥ α ) П ересекаю щ иеся прямы е n и k леж а тв плоскости α ,

⇒

m ⊥ n и m ⊥ k

О пределение

m ⊥α

Уго л м еж дупрям о й и пло ск о стью – это уголмеж д у прямой и ее проекц ией наплоскость. CB – нак ло нная к пло ск о сти α

( CВ

⊥/ α ),

AB – про ек ц ия нак ло нно й CB на пло ск о сть α (СA ⊥ α ). ∠ СВА – это уголмеж д у прямой CB и плоскостью α .

О пределение

Т ео рем а

Р ассто яние о т то чк и С до пло ск о сти α – это д лина перпенд икуляра AC. Т ео рем а о трех перпендик улярах . Е слипрямая k леж итна плоскости α иперпенд икулярнак проекц иинаклонной , то прямая k перпенд икулярнак наклонной .

k леж итнаплоскости α k ⊥ AB

В ернао б ратная тео рем а: если k ⊥ СВ , то k ⊥ BA . 38

⇒ k ⊥ CB

7.4. Д вугранные углы

П рямая l леж ит в плоскости α и д елитеё над ве е части – д ве по лупло ск о сти.

О пределение

Д вугранный уго л – это ф игура, состоящ ая из д вух полуплоскостей α и β собщ ей границ ей l. ∧

α l β – двугранный уго л.

П олуплоскости α и β – грани угл ла. а П рямая l – реб ро двугранно го угла.

П усть γ ⊥ l ( OB ⊥ l; OA ⊥ l ), тогдд а ∧

∠ AOB – линейный уго л двугранно го угла α l β .

Д вугранны й угол измеряется своим линей ны м углом. ∧

α l β = ∠ AOB ;

∧

α l β = ∠ AOB = ∠ A1O1B1 ;

∠ AOB – это уго л м еж ду пло ск о стям и α и β .

7.5. Р аспо ло ж ени е двух пло ск о стей в про странстве

Пересек аю щ иеся пло ск о сти имею тобщ ую точку, тогд аони пересекаю тся по прямой .

Параллельные пло ск о сти не имею т общ их точек (не пересекаю тся).

П усть ∠ ϕ – это угол меж д у плоскостями α и β , тогдд а если α

β , то ∠ ϕ = 0 ;

если α ⊥ β , то ∠ ϕ = 90o . 39

О пределение

Т ео рем а

Д ве пло ск о сти назы ваю тся перпендик улярным и ( α ⊥ β ), если ониобразую тпрямы е д вугранны е углы .

Признак перпендик улярно сти пло ск о стей. Е слиплоскость α проход итчерез прямую AB, перпенд икулярную к плоскости β , то пло ск о сти α и β перпендик улярны. (α ⊥ β )

α прох од итчерез прямую AB АВ ⊥ β

Т ео рем а

⇒

α ⊥ β

Признак параллельно сти пло ск о стей. Е слиплоскость α параллельнад вум пересекаю щ имся прямы м m и n, леж ащ им в плоскости β , то пло ск о сти α и β параллельны. (α

β)

П ересекаю щ иеся прямы е m и n леж а тв плоскости β ; m α и n α.

40

⇒ α

β

Упр аж н ен и е 11 . О тветитьнавопросы : 1. К акие ф игуры назы ваю тся пространственны ми? 2. Ч то изучаетстереометрия ? 3. С колько плоскостей мож но провестичерез триточки, не леж ащ ие наод ной прямой (леж ащ ие наод ной прямой ) ? 4. Ч то вы мож ете сказатьо прямой , еслионаимеетд ве общ ие точкис плоскостью ? 5. К акмогутбы тьрасполож ены в пространстве д ве прямы е ? 6. С колько плоскостей мож но провестичерез прямую иточку, не леж ащ ую наней ?

7. М ож но липровестиплоскостьчерез д ве пересекаю щ иеся (непересекаю щ иеся, скрещ иваю щ иеся) прямы е ? 8. К акназы ваю тся д ве непересекаю щ иеся прямы е, через которы е мож но провестиплоскость? 9. К ак назы ваю тся скрещ иваю щ иеся прямы е, еслиуголмеж д у нимипрямой ? 10. К ак могутбы тьрасполож ены в пространстве прямая иплоскость? 11. К акая прямая назы вается параллельной (перпенд икулярной к) плоскости? 12. Ч то назы вается углом меж д у прямой иплоскостью ? 13. Ч то назы вается расстоянием отточкид о плоскости? 14. К ак могутбы тьрасполож ены в пространстве д ве плоскости? 15. К ак располож ены д ве плоскости, имею щ ие общ ую точку (перпенд икулярны е код ной прямой ) ?

Упр аж н ен и е 12 . В ы полнитьзад ания: 1. Д оказать, что через д ве прямы е, пересекаю щ иеся в од ной точке, мож но провести плоскостьи только од ну. 2. Д оказать, что д ве прямы е, параллельны е третьей , параллельны меж д у собой . 3. Наплоскости α д ан отрезок А В = 5 см. В конц ах отрезкапостроены перпенд икуляры к плоскости α ; А С ⊥ α ; ВС ⊥ α . А С = 4 см; ВD = 16 см. Най ти CD. О т вет : 13 см. 4. О д ин ка тет прямоугольного треугольникалеж итнаплоскости α , д ругой образуетс ней угол 45°. К акой угол образуетгипотенузасплоскостью α ? О т вет : 30°. 5. О трезок д линой 20 см пересекаетплоскость. К онц ы отрезканаход ятся на расстоянии 10 см и 6 см отплоскости. Най ти проекц ию отрезкана плоскость. О т вет : 12 см. 6. К атеты прямоугольного треугольникаравны 15 м и 20 м. И з верш ины прямого угла C провед ен к плоскости этого треугольникаперпенд икуляр CD = 35 м. Най ти расстояние отточки D д о гипотенузы AB. О т вет : 37 м. 7. И з точки A к плоскости α провед ены д ве наклонны е AB = AC = 6 см. У гол меж д у ними равен 60°, аугол меж д у их проекц иями – прямой . Най ти расстояние от точки A д о плоскости α . О т вет : 3 2 см.

∧

8. Д ан д вугранны й угол α l β и точки A и B награни α . Расстояния этих точек д о плоскости β : AC = 2,5 см, BD = 4 см. Расстояние точки A д о ребра l равно AM = 5 см. Най ти расстояние от точки B д о ребра l. (С д елатьчертеж .) О т вет : 8 см.

41

8. М но го гранник и 8.1. О сно вные по нятия О пределение

Г ео м етрическ о е тело – это частьпространства, ограниченная замкнутой поверх ностью .

О пределение

Мно го гранник – это тело, поверх ностькоторого состоитиз конечного числаплоских многоугольников.

К уб ABCDA1B1C1 D1 – это м но го гранник . К вад раты ABCD, A1B1C1D1, AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D, AA1D1D – грани к уб а. О трезки AA1, BB1, CC1, DD1, AB, DC, CB, DA, A1B1, B1C1, C1D1, A1D1 – реб ра к уб а. Точки A, A1, B, B1, C, C1, D, D1 – верш ины к уб а. О трезок BD1 – диаго наль к уб а. BB1D1D – диаго нально е сечение к уб а.

В ыпуклые многогранники О пределение

Н евыпуклый многогранник

Правильный м но го гранник – это вы пуклы й многогранник, у которого все грани– равны е правильны е многоугольники и у каж д ой верш ины сх од ится од инаковое число ребер.

В сего сущ ествуетпятьправильны х вы пуклы х многогранников:

т ет р аэд р (четы рех гранник);

42

гексаэд р (ш естигранник) – куб;

октаэд р (восьмигранник);

д од екаэд р (д венадц атигранник);

икосаэд р (д вадц атигранник).

О пределение

По лная по верх но стьм но го гранник а ( S ) – это сумма площ ад ей всех граней многогранника.

О пределение

Б о к о вая по верх но стьм но го гранник а ( Sбок ) – это сумма площ ад ей боковы х граней многогранника.

О пределение

О б ъем м но го гранник а (V ) – это полож ительное число, которое соответствуеткаж д ому многограннику итакое, что – равны е многогранники имею травны е объемы ; – объем многогранникаравен сумме объемов его частей .

О пределение

Р авно велик ие м но го гранник и – это многогранники, которы е имею травны е объёмы .

8.2. Призм а О пределение

Призм а – это многогранник, у которого д ве грани– многоугольники– леж атнапараллельны х плоскостях , аостальны е грани– параллелограммы . ABCDЕ A1B1C1D1Е

1

– призм а.

М ногоугольники ABCDЕ = A1 B1C1D1Е 1 – о сно вания призм ы. (AB = A1B1; BC = B1C1; CD = C1D1; DE = D1E1; EA = E1A1) П араллелограммы AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D, DD1E1E, EE1A1A – б о к о вые грани призм ы. Ребра AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = EE1

(AA

1

BB1

CC1

DD1

EE1 ) – б о к о вые реб ра

призм ы. П ерпенд икуляр HH1 ( HH 1 ⊥ ABCDE ) – высо та а призм ы. 43

В иды призм Т р еугольн ая пр изма – это призма, у которой основания – треугольники. ∆ KNM = ∆ K1 N1M 1

Ч етыр ех угольн ая пр изма – это призма, у которой основания – четы рехугольники. ADCB = A1D1C1B1

и т.д . П р я мая пр изма – это призма, у которой боковы е ребра перпенд икулярны к основаниям. AA1 ⊥ ADCB ; AA1 ⊥ A1D1C 1B1

Н аклон н ая пр изма – это призма, у которой боковы е ребране перпенд икулярны к основаниям. KK1 ⊥/ KNM ; KK1 ⊥/ K1 N1M 1

П р авильн ая пр изма – это прямая призма, у которой основания – правильны е многоугольники. AA1 ⊥ ADCB ; AA1 ⊥ A1D1C 1B1

AD = DC = BC = AB О пределение

Перпендик улярно е сечение призм ы– это сечение, образованное плоскостью , перпенд икулярной к боковому ребру.

ABCDEA1B1C1 D1 E1 – на клонная призма β ⊥ AA1

⇒

A0B0C0D0E0 – перпенд икулярное сечение призмы .

44

По верх но сть и о б ъем прям о й призм ы: S = S бок + 2Sосн S бок= Pосн ⋅ H V = Sосн ⋅ H ,

гд е Sосн – площ ад ьоснования; H – вы сота; Pосн – периметр основания. По верх но сть и о б ъем нак ло нно й призм ы: S = S бок + 2Sосн S бок = Р сеч ⋅ а V = S сеч ⋅ а ,

гд е Pсеч – периметр перпенд икулярного сечения; a – боковое ребро; S сеч – площ ад ьперпенд икулярного сечения.

8.3. Параллелепи пед О пределение

Параллелепипед– это призма, у которой основания – параллелограммы .

П р я мой параллелепипед

Н аклон н ыйпараллелепипед

О снования ABCD = A1B1C1D1 – параллелограммы . У параллелепипед авсе грани – параллелограммы . Т ео рем а

П ротивополож ны е гранипараллелепипед апараллельны иравны . AA1B1B = DD1C1C ; AA1D1D = BB1C1C ; ABCD = A1B1C1D1

45

Т ео рем а

Д иагоналипараллелепипед апересекаю тся в од ной точке ид елятся в ней пополам. AC1; CA1; BD1; DB1 – д иа гона липара ллелепипед а . AO = OC1 CO = OA1 BO = OD1 DO = OB1

О пределение

Прям о уго льный параллелепипед – этопрямой параллелепипед , у котороговсе грани– прямоугольники. AA1 ⊥ ABCD; AA1 ⊥ A1B1C1D1

AA1D1D; DD1C1C; BB1C1C; AA1B1B ⇒ ABCD; A1B1C1D1 – прямоугольники. ABCDA1 B1C1 D1 – прямоугольны й параллелепипедд

Т ео рем а

К вад ратд иагоналипрямоугольного параллелепипед аравенсумме квад ратов его ребер, прох од ящ их через од ну верш ину. d – д иагональпараллелепипед аABCDA1B1C1D1. Ребра AD = a; DC = b; DD1 = c проход ятчерез верш ину D. 2 d 2 = AD 2 + DC 2 + DD1 = a 2 + b 2 + c 2 , гд е

a, b, c – это изм ерения прям о уго льно го параллелепипеда.

С ледствие

В прямоугольном параллелепипед е все четы ре д иагоналиравны .

По верх но сть и о б ъем прям о уго льно го параллелепипеда: S = 2(ab + bc + ac ) , S бок = 2c (a + b ) = 2 H (a + b ) , V = abc = Sосн H ,

гд е a, b, c – измерения прямоугольного параллелепипед а. 46

О пределение

К уб – этопрямоугольны й параллелепипед , у котороговсе грани– квадраты . AA1 ⊥ ABCD; AA1 ⊥ A1B1C1D1 ;

AA1BB1 = BB1C1C = CC1D1D = DD1A1A – квад раты . ABCDA1B1C1D1 – куб.

⇒

В се ребракубаравны . Д иагонали кубас ребром a равны : AC = CA1 = B1D = BD1 = a 3 . По верх но сть и о б ъем к уб а: S = 6a 2 , S бок = 4а 2 , V = a 3 , гд е a – ребро куба.

Упр аж н ен и е 13 . О тветитьнавопросы : 1. Ч то назы вается геометрическим телом? 2. Ч то назы вается многогранником? 3. К акой многогранник назы вается призмой ? 4. К акая призманазы вается треугольной , четы рехугольной ит.д .? 5. К акая призманазы вается прямой (наклонной )? 6. Ч то назы вается д иагональной плоскостью многогранника? 7. Ч то назы вается перпенд икулярны м сечением призмы ? 8. Ч то назы ва ется боковой поверх ностью (полной поверх ностью ) многогранника? 9. Ч ему равнабоковая поверх ностьпрямой (наклонной ) призмы ? 10. Ч ему равенобъем прямой (наклонной ) призмы ? 11. Ч то назы вается параллелепипед ом? 12. К аково свой ство д иагоналей параллелепипед а? 13. К акой параллелепипед назы вается прямоугольны м? 14. Ч ему равны д иагоналипрямоугольного параллелепипед а? 15. К акой многогранник назы вается кубом? 16. С колько граней , ребер, верш ин, д иагоналей имееткуб? 17. К ак измеряется полная поверх ностькуба? 18. К акие правильны е многогранникивы знаете? Упр аж н ен и е 14 . Реш итьзад а чи: 1. Ребро кубаравно a. Най ти площ ад ьсечения кубаплоскостью , 47

прох од ящ ей через конц ы трех ребер, вы х од ящ их из од ной верш ины . О т вет :

3 2 а . 8

2. И змерения комна ты равны 6 м, 8 м и 3 м. Най ти площ ад ьее стен, полаи потолка. О т вет : 180 м2. 3. П олная поверх ностьпрямоугольного параллелепипед аравна 352 м2. Най ти его измерения, если они относятся как 1 : 2 : 3. О т вет : 4 м, 8 м, 12 м. 4. Д иагональправильной четы рех угольной призмы равна 9 см; полная поверх ностьпризмы 144 см2. Най ти сторону основания и боковое ребро призмы . О т вет : 6 см и 3 см или 4 см и 7 см. 5. О бъем кубаравен 64 д м2. Най ти полную поверх ность. О т вет : 96 д м2. 6. П лощ адитрех граней прямоугольного параллелепипед аравны 2 д м2, 3 д м2 и 6 д м2. Най ти объем параллелепипед а. О т вет : 6 д м3. 7. В прямом параллелепипед е основание – ромб со стороной 4 см, угол меж д у сторонами 60o . М еньш ая д иагональпараллелепипед аравна 5 см. Най тиобъем параллелепипед а. О т вет : 24 3 см3. 8. Най ти объем наклонной треугольной призмы , у которой ребро основания равно боковому ребру и равно a, боковы е ребраобразую т сплоскостью основания углы 60o . О т вет :

3 3 а . 8

8.4. Пи рам и да О пределение

Пирам ида – это многогранник, у которого од награнь– многоугольник, аостальны е грани– треугольникисобщ ей верш иной . SABCD – пирам ида.

М ногоугольник ABCD – о сно вание пирам иды. ТочкаS – верш ина пирам иды. ∆ SAB; ∆ SBC; ∆ SDC; ∆ SAD – б о к о вые грани пирам иды. П рямы е SA; SB; SC; SD – б о к о вые реб ра пирам иды. П ерпенд икуляр SH – высо та пирам иды. ( SH ⊥ ABCD ) ∆ SDB – диаго нально е сечение пирам иды. 48

В иды пирам ид Т р еугольн ая (четыр ё х угольн ая и т.д .) пир амид а – это пирамид а, у которой основание – треугольник (четы рёх угольник и т.д .).

Т р еугольн ая пира мид а

Ч етыр ех угольн ая пира мид а

П р авильн ая пир амид а – это пирамид а, у которой основание – правильны й многоугольник и вы сотапрох од итчерез ц ентр основания.

AB = BC = CD = DE = EF = FA = a ; SABCDEF – правильная ш естиугольная пирамид а.

Т ео рем а

Б оковы еребраправильной пирамид ы равны . SA = SB = SC = SD = SE = SF

Т ео рем а

Б оковы е граниправильной пирамид ы – равны е равнобед ренны е треугольники. ∆ SAB = ∆ SBC = ∆ SCD = ∆ SDE = ∆ SEF = ∆ SFA

О пределение

Апо фем а пирам иды– это вы сота h боковой граниправильной пира мид ы .

Б о к о вая по верх но сть правильно й пирам иды: S бок =

1 1 а ⋅ h ⋅ n = Pосн ⋅ h , гд е P – периметр основа ния, a – сторонаоснова ния, осн 2 2

h – апоф емапирамид ы , n – число боковы х граней .

По верх но сть и о б ъем пирам иды:

, гд е S осн – площ ад ьоснования. 49

О пределение

Усеченная пирам ида – это частьпирамид ы меж д у основанием и сечением, параллельны м основанию . ABCDEA1 B1C1 D1 E1 – усеченная пирам ида.

М ногоугольники ABCDE и A1 B1C1 D1 E1 – о сно вания усеченно й пирам иды. О трезок OO1 – высо та усеченно й пирам иды.

П р авильн ая усечен н ая пир амид а – это частьправильной пирамид ы .

AB = BC = CD = DE = EF = FA = a ABCDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная усеченная пирамид а.

Т ео рем а

Б оковы е граниправильной усеченной пирамид ы – равны е равнобед ренны е трапец ии. AA1BB1 = BB1C1C = CC1D1D = DD1E1E = EE1F1F = FF1A1A AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = EE1 = FF1

О пределение

Апо фем а правильно й усеченно й пирам иды– это вы сотаh боковой граниправильной усеченной пира мид ы .

Б о к о вая по верх но сть правильно й усеченно й пирам иды: , гд е h – апоф емаусеченной пирамид ы , P1, P2 – периметры оснований . По верх но сть и о б ъем усеченно й пирам иды:

, гд е H – вы сотаусеченной пирамид ы , S1, S2 – площ ад и оснований .

Упр аж н ен и е 14 . О тветитьнавопросы : 1. К акой многогранник назы вается пирамид ой ? 2. К акая пирамид аназы вается треугольной , четы рех угольной ит.д .? 50

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

К акая пирамид аназы вается правильной ? Что такое апоф емаправильной пирамид ы ? К акая пирамид аназы вается тетраэд ром? К акой тетраэд р назы вается правильны м? К акая пирамид аназы вается усеченной ? Ч ему равнабоковая поверх ностьправильной пирамид ы ? Ч ему равнабоковая поверх ностьусеченной пирамид ы ? Ч ему равенобъем пирамид ы ? К акую частьобъемапирамид ы отд еляетплоскость, параллельная основанию ид елящ ая ее вы соту пополам?

Упр аж н ен и е 15 . Реш итьзад а чи: 1. О снование пирамид ы – ромб, д иагонали которого 12 см и 16 см. В ы сотапирамид ы прох од итчерез точку пересечения д иагоналей 6,4 см. Най типолную поверх ностьпирамид ы . О т вет : 256 см2. 2. С торонаоснования правильной четы рех угольной пирамид ы равна 14 см, а площ ад ьд иагонального сечения – 14 см2. Най ти боковое ребро пирамид ы . О т вет : 10 см. 3. В ы сотапирамид ы 16 м, площ ад ьоснования равна 512 м2. Най ти площ ад ьсечения пирамид ы плоскостью , провед енной параллельно основанию нарасстоянии 11 м отнего. О т вет : 50 м2. 4. Най ти полную поверх ностьусеченной правильной четы рехугольной пирамид ы . С тороны ее оснований равны 18 см и 8 см, вы сота– 12 см. О т вет : 1064 см2. 5. Д иагональквад ратного основания правильной пирамид ы равна 8 д м, а ее вы сота – 12 д м. Най ти объем пирамид ы . О т вет : 128 д м3. 6. Най ти объем правильного тетраэд ра, ребро которого равно a. О т вет :

2 3 а . 12

7. П ирамид а, вы сотакоторой равна H, разд еленаплоскостью , параллельной основанию , над ве равновеликие части. Най ти расстояние отэтой плоскости д о верш ины пирамид ы . О т вет :

3

4 Н. 2

8. О ткубаотрезаны его углы плоскостями, прох од ящ ими через серед ины ребер, вы ход ящ их из отрезанны х верш ин. Ребро кубаравно a. Най ти объем оставш егося тела. О т вет :

5 3 а . 6

51

9. По верх но сти и тела вращ ения О пределение

По верх но стьвращ ения – это поверх ность, образованная вращ ением линиивокруг оси.

П рямая m – о сь вращ ения. Линия ACB вращ ается вокруг оси m. Линия ACB – это о б разую щ ая по верх но сти вращ ения.

Т ео рем а

Лю бая плоскость, перпенд икулярная к осивращ ения, пересекает поверх ностьвращ ения по окруж ностисц ентром наосивращ ения.

9.1. Ц илиндр О пределение

Ц илиндрическ ая по верх но стьвращ ения – это поверх ность, образованная вращ ением прямой , параллельной осивращ ения.

П рямая m – осьвращ ения. П рямая AB – о б разую щ ая ц илиндрическ о й по верх но сти. АB m

О пределение

Ц илиндр (к руго во й ц илиндр) – это тело, ограниченное ц илинд рической поверх ностью ид вумя параллельны ми плоскостями, пересекаю щ имиее.

П рямая AB – о б разую щ ая ц илиндра. α

β

К руги сц ентрами O и O1 – о сно вания ц илиндра. Ра сстояние H меж д у основа ниями– высо та ц илиндра.

52

Т ео рем а

О снования ц илинд раравны .

Т ео рем а

О бразую щ ие ц илинд рапараллельны иравны . А А1

ВВ1

СС1

и А А 1 = BB1 = CC1

В иды ц илиндро в П р я мой цилин д р – это ц илинд р, у которого образую щ ие перпенд икулярны к основаниям.

BB1 ⊥ OB ;

BB1 ⊥ O1 B1 ; OO1 = H

Н аклон н ый цилин д р – это ц илинд р, у которого образую щ ие не перпенд икулярны к основанию . BB1 ⊥/ OB ; BB1 ⊥/ O1B1 ; OO1 ≠ Η

Прям о й к руго во й ц илиндр (или ц илиндр) мож но получитьвращ ением прямоугольника BB1O1O вокруг стороны OO1.

OO1 – о сьпрям о го ц илиндра. OО 1

BB1

ABB1A1 – о сево е сечение ц илиндра.

По верх но сть и о б ъем ц илиндрa:

V =

1 S осн ⋅ H 3

V = πR 2 H ,

гд е R – радиусоснования ц илинд ра, H – вы сотац илинд ра.

53

9.2. К о нус О пределение

К о ническ ая по верх но стьвращ ения – это поверх ность, образованная вращ ением прямой , пересекаю щ ей осьвращ ения.

П рямая m – о сьвращ ения. П рямая AB – о б разую щ ая к о ническ о й по верх но сти. ТочкаS – верш ина к о ническ о й по верх но сти. К оническая поверх ностьимеетдве по ло сти (д ве части).

О пределение

К о нус ( к руго во й к о нус) – этотело, ограниченное од ной полостью конической поверх ности и плоскостью , перпенд икулярной к оси вращ ения. П рямая SA – о б разую щ ая к о нуса. SO ⊥ α

К руг с ц ентром O – о сно вание к о нуса. ТочкаS – верш ина к о нуса. П ерпенд икуляр H, опущ енны й из верш ины на основание, – высо та к о нуса. П рямая SO, соед иняю щ ая верш ину конусаи ц ентр основания, – о сь к о нуса.

В и ды к о нусо в П р я мой кон ус – это конус, у которого оськонусаперпенд икулярнак основанию . SO = H

Н аклон н ый кон ус – это конус, у которого осьне перпенд икулярнак основанию .

SO ≠ H

54

Прям о й к руго во й к о нус (или к о нус) мож но получитьвращ ением прямоугольного треугольникавокруг его катета.

SO – о сь прям о го к о нуса. ASB – о сево е сечение к о нуса.

По верх но сть и о б ъем к о нуса: S бок = πR ⋅ l ; S = πR( R + l ) V =

1 S осн ⋅ H 3

V =

1 2 πR H 3

,

гд е R – рад иусоснования конуса, l – образую щ ая конуса, H – вы сотаконуса. О пределение

Усеченный к о нус– это частьконусамеж д у основанием и сечением, перпенд икулярны м косиконуса. К руги сц ентрами O и O1 – о сно вания усеченно го к о нуса; AA1 – о б разую щ ая усеченно го к о нуса; OO1 = H – высо та усеченно го к о нуса.

По верх но сть и о б ъем усеченно го прям о го к руго во го к о нуса: S бок = π l ( R + r ) S = π l (R + r ) + πR 2 + π r 2 V =

(

1 π H R 2 + Rr + r 2 3

)

,

гд е R и r – рад иусы оснований усеченного конуса, l – образую щ ая усеченного конуса.

55

9.3. Ш ар О пределение

Ш аро вая по верх но сть(илисфера) – это множ ество точек пространства, которы е наход ятся наод инаковом расстоянииот д анной точки– ц ентра сферы. ТочкаО – ц ентр сферы. О трезок OA = R – радиус сферы. О трезок CD – х о рда сферы. Хорд аAB – диам етр сферы.

Т ео рем а

С ечение сф еры лю бой плоскостью естьокруж ность.

Ш аро вую по верх но сть (или сферу) мож но получитьвращ ением полуокруж ности вокруг ее д иаметра. П рямая m – о сь вращ ения. ТочкаO – ц ентр сф еры . ТочкаA – лю бая точкаполуокруж ности. Расстояние OA не изменяется при вращ ении.

О пределение Т ео рем а

Ш ар – это тело, ограниченное ш аровой поверх ностью . С ечение ш араплоскостью естькруг.

С ечение ш араплоскостью , прох од ящ ей через ц ентр ш ара, естьнаибольш ий (больш ой ) круг. Рад иусбольш ого кругаравен рад иусу ш ара.

56

Ш ар мож но получитьвращ ением полукруга(или круга) вокруг д иаметра.

По верх но сть и о б ъем ш ара: V =

S = 4πR 2 ;

4 3 πR 3

Части ш ара О пределение

Ш аро во й сегм ент – это частьш ара, ограниченная частью ш аровой поверх ностиисечением ш ара.

К руг сц ентром N – о сно вание ш аро во го сегм ента. П ерпенд икуляр MN = H – высо та ш аро во го сегм ента.

По верх но сть и о б ъем ш аро во го сегм ента: S = 2π RH , гд е R – рад иусш а ра, H – вы сотасегмента.

(

1  1  V = π H 2  R − H  = π H H 2 + 3r 2 3  6 

О пределение

)

, гд е r – рад иусоснования сегмента.

Ш аро во й сек то р – эточастьш ара, ограниченная ш аровы м сегментом иконусом, у которого верш инав ц ентре ш ара, аоснование – основание сегмента.

По верх но сть ш аро во го сек то ра – это сумма поверх ностей ш арового сегментаи конуса.

О б ъем ш аро во го сек то ра: V =

1 2 RSосн = πR 2 H , гд е H – вы соташ арового сегмента. 3 3

57

Упр аж н ен и е 16 . О тветитьнавопросы : 1. Ч то назы вается поверх ностью вращ ения? 2. К акая поверх ностьназы вается ц илинд рической ? 3. К акое тело назы вается ц илинд ром? 4. Ч ему равнабоковая поверх ностьц илинд ра? 5. Ч ему равенобъем ц илинд ра? 6. К акизменится объем ц илинд ра, есливы соту ид иаметр основания ц илинд ра увеличитьв 2 раза? 7. К акая поверх ностьназы вается конической ? 8. К акое тело назы вается конусом? 9. Ч ему равнабоковая поверх ностьконуса? 10. Ч ему равенобъем конуса? 11. К акая поверх ностьназы вается ш аровой ? 12. К акой ф игурой является сечение сф еры плоскостью ? 13. Ч ему равнаплощ ад ьш аровой поверх ности? 14. К акое тело назы вается ш аром? 15. Ч ему равенобъем ш ара? 16. Ч то назы вается ш аровы м сегментом (сектором)? 17. Ч ему равны поверх ностьиобъем ш арового сегмента(сектора)?

58

Упр аж н ен и е 17 . Реш итьзад а чи: 1. В ы сотац илинд раравнад иаметру его основания. Радиусоснования равен 1 м. Найтиполную поверх ностьи объем ц илинд ра. О т вет : 6π м2; 2π м3. 2. Сколько тонн неф ти сод ерж итц илинд рическая ц истерна, д иаметр которой 18 м и вы сота 7 м (уд ельны й веснеф ти 0,85 г/см2)? О т вет : ≈ 1514 т. 3. П лоскость, прох од ящ ая через вы соту конуса, д аетв сечении треугольник, площ ад ькоторого равна 12 м2. В ы сотаконуса– 4 м. Най ти его боковую поверх ность. О т вет : 15π м2. 4. П рямоугольны й треугольник, катеты которого – 12 см и 16 см, вращ ается вокруг гипотенузы . Най ти поверх ностьи объем телавращ ения. О т вет : 268,8π см2; 614 ,4π см3. 5. Рад иусш араравен 4 д м. Через конец рад иусапровед енаплоскостьпод углом 60o . Най ти площ ад ьсечения. О т вет : 4π д м2. 6. Рад иусЗ емли равен ≈ 6000 км. Най ти д лину параллели (сечение плоскостью , перпенд икулярной земной оси), если ее ш иротаравна60o . О т вет : 6000π км.

7. Рад иуссф еры равен 15 см. В не сф еры д анаточка A нарасстоянии 10 см отсф еры . Най ти д лину сечения сф еры , все точки которого уд алены отточки A на20 см. О т вет : 24π см. 8. О бъем ш араравен V. Най ти его поверх ность. О т вет :

3

36πV 2 .

9.4. О б щ ая ф о рм ула о б ъем а тела вращ ени я О бъем тела, образованного вращ ением криволиней ной трапец ии

(0

≤ y ≤ f ( x ); a ≤ x ≤ b ) вокруг оси OX, равен b

V =π

∫ f ( x ) dx 2

,

(1)

a

тельная гд е y = f ( x) – непреры вная, неотриц а

наотрезке [a, b ] ф ункц ия.

П р и мер 1 . Най тиобъем ц илинд ра. Р еш ен и е: Ц илинд р мож но получитьвращ ением прямоугольникавокруг оси О Х . 1) П остроим прямоугольник: 0 ≤ y ≤ f (x ) = R;

0 ≤ x ≤ h.

2) П о ф ормуле (1) получим: h

V = π ∫ R 2 dx = π R 2 x 0 = π R 2 h . h

0

П р и мер 2 . Най ти объем конуса. Р еш ен и е: К онусмож но получитьвращ ением прямоугольного треугольникавокруг оси OX. 1) П остроим прямоугольны й треугольник 0 ≤ y ≤ f ( x ) = kx; 0 ≤ x ≤ h. . И з ∆ ABО , гд е OB = h; AB = R ; най д ем R AB R x. = , тогд а y = f ( x ) = h OB h 2) П о ф ормуле (1) получим: k = tgϕ =

59

πR 2 x 3  Rx  V = π∫  dx = 2 ⋅ h  h 3 0  h

2

h

0

πR 2 h πR 2 h . = = 3h 2 3

П р и мер 3 . Най ти объем ш ара. Р еш ен и е: Ш ар мож но получитьвращ ением полукругавокруг оси OX. 1) П остроим полукруг y 2 + x 2 = R 2 ; y ≥ 0; − R ≤ x ≤ R. 2 2 2 2 2 2 2) Так как y + x = R ⇒ y = R − x , тогд а по ф ормуле (1) получим: R

   x3  R3  R3  4πR 3  − π  − R 3 +  = V = π ∫ (R 2 − x ) dx = π  R 2 x −  = π  R 3 − . 3 3 3 3       −R −R R

Упр аж н ен и е 18 . В ы полнитьзад ания: 1. Най ти объем ш арового сегмента. 2. Най ти объем ш арового сектора. 3. Най ти объем усеченного конуса. 4. Най ти объем тела, образованного вращ ением криволиней ной трапец ии вокруг оси OX: а) 0 ≤ y ≤ 2 x − x 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 б) 0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ π 16π π2 О т вет : а) ; б) . 15 2

10. Прео б разо вания ф игур Прео б разо вание фигуры F в фигуру F1 – это получение ф игуры F1 из ф игуры F. П реобразование ф игуры на плоскости и в пространстве од инаково. Рассмотрим разны е преобразования ф игур.

10.1. С им м етрия о тно сительно то чк и (ц ентральная сим м етри я) О пределение

Т о чк и A и A1 сим м етричныо тно сительно то чк и O, если : 1) точки A, O, A1 леж ат наод ной прямой и 2) А О = О А 1.

ТочкаO – ц ентр сим м етрии. 60

О пределение

Ф игура F назы вается сим м етрично й о тно сительно ц ентра O, есликаж д ой точке ф игуры F соответствуетсимметричная относительно O точка, принад леж ащ ая этой ж е ф игуре F.

П рямая AA1 симметричнаотносительно O.

П араллелограмм, окруж ность, куб, ш ар – симметричны е относительно O (ц ентрально-симметричны е) ф игуры . О пределение

С им м етрия о тно сительно то чк и O – это преобразование ф игуры F в ф игуру F1 , прикотором каж д ая точка А ф игуры F преобразуется в точку А 1 , симметричную относительноточки O.

О пределение

Ф игуры F и F1 назы ваю тся сим м етричным и о тно сительно то чк и O, еслиф игура F (F1) получается из ф игуры F (F1) симметрией относительно точки O.

П лоскости α и β симметричны относительно точкиO. (α

β)

∆ А ВС и ∆ А 1В1С1 симметричны относительно O. ∆ А ВС и ∆ А 1В1С1 – это симметричны е ф игуры ,

но эти симметричны е ф игуры нельзя совместить.

10.2. С им м етрия о тно сительно прям о й (о севая сим м етри я) О пределение

Т о чк и A и A1 сим м етричныо тно сительно прям о й m, если:

1) А А

1

⊥ m и

2) А О = О А 1 .

П рямая m – о сь сим м етрии.

61

О пределение

Ф игура F назы вается сим м етрично й о тно сительно прям о й l, есликаж д ой точке ф игуры F соответствуетсимметричная относительно прямой l точка, принад леж ащ ая этой ф игуре.

Ромб симметричен относительно д иагоналей .

О круж ностьсимметричнаотносительно лю бого д иаметра.

К уб симметричен относительно оси O1O2.

П рямоугольны й параллелепипед , конус, правильная четы рехугольная пирамид а имею тоси симметрии.

О пределение

С им м етрия о тно сительно прям о й – это преобразование ф игуры F в ф игуру F1 , прикотором каж д ая точка А ф игуры F преобразуется в точку А 1 , симметричную относительно прямой .

О пределение

Ф игуры F и F1 назы ваю тся сим м етричным и о тно сительно прям о й, еслиф игураF1 ( F ) получается из ф игуры F ( F1 ) симметрией относительно прямой .

∆CА B и ∆C1 А 1B1 симметричны относительно прямой m.

Д ве сф еры симметричны относительно прямой l. 62

10.3. С им м етри я о тно си тельно пло ск о сти О пределение

Т о чк и A и A1 сим м етричныо тно сительно пло ск о сти α, если:

1) А А 1 ⊥ α

и

2) А О = О А 1 .

П лоскость α – пло ск о сть сим м етрии.

О пределение

Ф игура F назы вается сим м етрично й о тно сительно пло ск о сти α, есликаж д ой точке ф игуры F соответствует симметричная относительно плоскости α точка, принадлеж ащ ая этой ж е ф игуре.

П лоский ∆ А CA1 симметричен относительно плоскости α .

К уб, сф ераимею тплоскости симметрии. У сф еры их бесконечное множ ество.

О пределение

С им м етрия о тно сительно пло ск о сти α – это преобразование ф игуры F в ф игуру F1 , прикотором каж д ая точка А ф игуры F преобразуется в точку А 1 , симметричную относительно плоскости α . 63

О пределение

Ф игуры F и F1 назы ваю тся сим м етричным и о тно сительно пло ск о сти α, еслиф игура F1 (F) получается из ф игуры F (F1) симметрией относительно плоскости.

Д ве сф еры симметричны относительно плоскости α.

10.4. Д виж ение ф игур О пределение

Д виж ение – это преобразованиеф игуры F в ф игуру F1 , при котором точки A и B ф игуры F преобразую тся в точки A1 и B1 ф игуры F1 так, что AB = A1B1 .

Т ео рем а

С им м етрии о тно сительно то чк и, прям о й и пло ск о сти – это д виж ение.

Рассмотрим ещ е д вад виж ения: 1) По во ро т на пло ск о сти.

∆ А 1В1С1 получается из ∆ А ВС поворотом

на60 o по часовой стрелке около точки О .

2) В ращ ение во к руг о си в про странстве. П рямая l – о сь вращ ения; ∠ ϕ – уго л вращ ения. П рямая А ′В ′ получается из прямой А В вращ ением вокруг оси l наугол ϕ .

64

Т ео рем а

К омпозиц ия д виж ений естьд виж ение. ФигураF2 получается из ф игуры F композиц ией д вух д виж ений : 1) ФигураF1 получается из F симметрией относительно оси p. 2) Фигура F2 получается из F1 симметрией относительно точки О .

О пределение

Ф игуры F и F1 равны( F = F1) , еслиполучаю тся д руг из д ругад виж ением.

10.5. По до б ие ф игур О пределение

По до б ие – это преобразование ф игуры

F в ф игуру F1,

прикотором точки А и В ф игуры F преобразую тся в точки А 1 и В 1 ф игуры F1 так, что A1B1 = k ⋅ AB , гд е k > 0 .

Ч исло k – к о эффиц иент по до б ия. П ри k = 1 преобразование под обия естьд виж ение.

О пределение

Ф игуры F и F1 назы ваю тся по до б ным и (F ë F1 ) , еслиф игура F1 ( F ) получается из ф игуры

нием под обия. F ( F1 ) преобразова

ABCD ë A1B1C1D1 ; k =

A1 B1 = 1, 7 AB

65

Т ео рем а

Д ва м но го уго льник а по до б ны, если: 1) соответствую щ ие углы равны , 2) соответствую щ ие стороны пропорц иональны . 1) ∠ A = ∠ A1; ∠ B = ∠ B1; ∠ C = ∠ C1; ∠ D = ∠ D1 ;

⇒

AB BC CD DA = = = =k; 2) A1 B1 B1C1 C1 D1 D1 A1

ABCD ë A1 B1C1 D1

A1 B1 P = =k . AB P1

Т ео рем а

Д ва треуго льник а по до б ны, если: 1) два угла од ного треугольникаравны д вум углам д ругого: ⇒ ∆ А ВС ë∆ А 1 В1С1 ; ∠ A = ∠ A1 , ∠ B = ∠ B1 ; 2) две сто ро ныод ного треугольникапро по рц ио нальны д вум сторонам д ругого и углы меж д у ними равны: AB BC = ; A1B1 B1C1

⇒ ∆ А ВС ë ∆ А 1В 1С1 ;

∠ В1 = ∠ В ;

3) сто ро ны од ного треугольника про по рц ио нальны сторонам д ругого: AB BC CA = = A1B1 B1C1 C1 A1

Т ео рем а

⇒

∆ А ВС ë∆ А 1В 1С1 .

Д ве призм ы(пирам иды) по до б ны, если: 1) соответствую щ ие основания и грани под обны , 2) д вугранны е углы , образованны е под обны ми гранями, равны . 1) ABCDE ë A1B1C1D1E1 ∆ SAB ë ∆ SA1 B1;

⇒ SABCDE ë SA1 B1C1 D1 E1

∆ SBC ë ∆ SB1C1

2) ∠ ABC = ∠ A1B1C1 S ABCDE (SH ) = k 2 = SA BC D E (SH1 )2 2

1 1 1

66

1 1

Т ео рем а

Д ва ц илиндра (к о нуса) по до б ны, еслирад иусы их оснований пропорц иональны вы сотам. R OS = r O1S1

⇒

SА 1O ë SА O

V R3 = 3 = k3 ν r

10.6. Параллельный перено с П устьнаплоскости зад анапрямоугольная система коорд инат. Тогд аполож ение лю бой точки наплоскости опред еляется д вумя коорд инатами x и y. А (x , y )

О пределение

Параллельный перено сна пло ск о сти – это преобразование ф игуры F в ф игуру F1, прикотором каж д ая точка а A ( x; y ) ф игуры F переносится в точку B ( x + a; y + b) ф игуры F1 (a и b – постоянны е). x + a = x1 y + b = y1 B ( x + a; y + b) = B ( x1; y1 )

П усть в пространстве зад ана прямоугольная система коорд инат. Тогд аполож ение лю бой точки в пространстве опред еляется тремя коорд ина тами x, y, z . A ( x; y; z) О пределение

Параллельный перено св про странстве – это преобразование а А ( x, y, z) ф игуры F в ф игуру F1, прикотором каж д ая точка ф игуры F переносится в точку B ( x + a; y + b; z + c) ф игуры F1 ( a, b, c – постоянны е). x + a = x1 y + b = y1 z + c = z1 B ( x + a; y + b; z + c ) = B ( x1; y1; z1 )

67

П ризма A′ B′C ′A1′B1′C1′ получается из призмы ABCA1 B1C1 параллельны м переносом. Т ео рем а

П араллельны й перенос – это д виж ение.

Т ео рем а

К омпозиц ия д вух параллельны х переносов естьпараллельны й перенос.

Упр аж н ен и е 19 . Реш итьзад а чи: 1. В треугольник соснованием а и вы сотой h вписан квад рат. Най ти сторону квад рата. О т вет :

ah . a+h

2. В равнобед ренном треугольнике ABC ( AB = BC ) вы сотад елитсторону BC наотрезки BD = m и DC = n . На й ти AC . О т вет :

2n( m + n ) .

3. В ∆ ABC вписан ромб ADEF . AB = 24 см; AC = 36 см. Най ти сторону ромба. О т вет : 14,4 см. 4. Стороны од ного четы рех угольникаотносятся как 20 : 15 : 9 : 8. В под обном ему четы рехугольнике суммад вух меньш их сторон равна 51 см. Найти все стороны второго четы рехугольника. О т вет : 60 см, 45 см, 27 см, 24 см. 5. П ериметр параллелограммаравен 48 см, аего вы соты относятся как 5 : 7. О пред елитьстороны параллелограмма. О т вет : 14 см, 10 см.

11. О птим изац ио нные задачи З ад ача 1 . В трапец ию с углом α меж д у основанием и боковой стороной вписанаокруж ностьрад иусаR. О пред елить уголмеж д у основанием и д ругой стороной , при котором сред няя линия трапец ии минимальная, и най ти ее д лину. Р еш ен и е: 1) П усть NP – сред няя линия трапец ии ABCD , тогд а NP = 68

AD + BC . 2

Так как окруж ностьвписанав трапец ию , то AD + BC = BA + CD и NP =

И з ∆ ABL най д ем BA =

BA + CD . 2

2R . sin α

П усть ∠ CDM = x; 0 < x < π . И з ∆ CMD най д ем CD = Тогд а NP =

2R . sin x

BA + CD 1  2R 2R  1   2 + = ⋅ +  = l ( x) .  = R 2 2  sin α sin x   sin α sin x 

2) И сслед уем наэкстремум ф ункц ию l ( x ), 0 < x < π . 1   l′ ( x ) = R  − ⋅ cos x  ; 2  sin x  cos x l′ ( x) = − R = 0 ⇒ cos x = 0 sin 2 x

Так как 0 < x < π , то x =

π 2

⇒ x =

π + kπ , k ∈ Z . 2

– критическая точка.

М етод ом интервалов получим: cos x > 0 при 0 < x <

cos x < 0 при

π 2

π < x <π 2

С лед овательно: x =

⇒ l′ ( x ) < 0 ; ⇒ l′ ( x) > 0 .

π – точкаминимума. 2

   1 1  1  π   = R  Тогд а l   = R  + 1 = l min . +  sin α sin π   sin α  2    2

О т вет : cред няя линия трапец ии минимальная при x =

π . 2

 1  + 1  sin α .

Е е д линаравна: R 

З ад ача 2 . В конус, у которого рад иусоснования R и вы сотаH , вписан ц илинд р. Найтирадиусоснования r и вы соту ц илинд раh , при которы х боковая поверх ностьц илинд ранаибольш ая. Р еш ен и е: 1) Рад иусоснования ц илинд раr , вы сотаh. Так как ∆ SAO ë ∆ M 1 AM , то

69

R−r R = h H

⇒

h=

(R − r )H . R

Тогд аS бок = 2πrh = 2πrH −

2πH 2 r = S (r ), r ∈ [0 , ∞ ) . R

2) И сслед уем наэкстремум ф ункц ию S (r). S ′(r ) = 2πH − S ′(r ) = 0

⇒

4πH r; R 2πH −

4πH r =0 R

⇒ r =

R – критическая точка. 2

М етод ом интервалов получим: S ′( r ) > 0 при r <

R ; 2

S ′( r ) < 0 при r >

R . 2

С лед овательно: r =

R – точкамаксимума. 2

R   R − H H 2 Тогд а h =  = . R 2

О т вет : наибольш ее зна чение боковой поверх ности ц илинд рапри r =

H R ; h= . 2 2

Упр аж н ен и е 20 . Реш итьзад а чи: 1. В прямоугольны й треугольник сгипотенузой 24 см и углом 60 o вписан прямоугольник, основание которого леж итнагипотенузе. К аковы д олж ны бы ть д лины сторон прямоугольника, чтобы его площ ад ьбы ланаибольш ей ? О т вет : 3 3 ; 12 . 2. О пред елитьд лины сторон прямоугольниканаибольш ей площ ад и, вписанного в прямоугольную трапец ию сд линами оснований 24 см, 8 см и вы сотой 12 см (д ве верш ины прямоугольникалеж атнабоковы х сторонах). О т вет : 9 см, 12 см. 3. Н а ящ ик с кры ш кой н уж н о 4800 см 2 ма териала. О снование ящ ика– прямоугольник, у которого од насторонав д варазаменьш е д ругой . Най ти размеры ящ ика, которы й имеетнаибольш ий объем. О т вет : AB = 20 см, AD = 40 см, AA′ =

70

80 см. 3

Ч АС Т Ь 3. АНАЛИ Т И Ч Е С К АЯ Г Е О М Е Т Р И Я НА ПЛО С К О С Т И 12. Прям о уго льные к о о рдинаты на пло ск о сти 12.1. Р ассто яние м еж ду двум я то чк ам и П устьнаплоскости зад анапрямоугольная (д екартова) системакоорд ина т. A ( x1 , y1 ) и B ( x2 , y 2 ) – точки коорд ина тной плоскости.

Тогд арассто яние d м еж ду то чк ам и най ти по ф ормуле:

A и B мож но

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .

d = AB =

(1)

З ад ача Д аны верш ины треугольника: А ( 1; 2 ), B ( − 3; 4 ), C ( 0; − 2 ) . О пред елить, естьли сред и внутренних углов треугольникатупой угол? Р еш ен и е: 1) П о ф ормуле (1) най д ем д лины сторон треугольника: АВ =

(− 3 − 1)2 + (4 − 2)2

ВС =

32 + (− 2 − 4 ) =

АС =

12 + (2 − (− 2)) =

2

= 45 ;

2

2) Так как А В

2

= 20;

20 ;

17 . ВС = 45;

А С = 17 , то

2

2

В С > AB + AC . 2

2

2

ВС = AC + AB − 2 А С ⋅ А В ⋅ cos A

3) П о теореме косинусов

2

2

2

AC + AB − BC получим cos A = . 2 AC ⋅ AB 2

2

2

Тогд а – если AC + AB > ВС , то cos A > 0 , ∠ A – остры й ; 2

2

2

– если AC + AB < ВС , то cos A < 0 , 2

2

2

∠ A – тупой ;

– если AC + AB = ВС , то cos A = 0 , ∠ A – прямой . 2

2

2

О т вет : угол, леж ащ ий против стороны В С, тупой .

71

12.2. Д елени е о трезк а в данно м о тно ш ении П устьточка С (x; y ) леж итнапрямой

.

Тогд ато чк а C делит о трезо к А В в о тно ш ении ±

АC = λ. СВ

1) Е сли отрезки AC и CB направлены в од ну сторону (точкаC леж итмеж д у точками A и B), то λ > 0 .

2) Е сли отрезки AC и CB направлены в противополож ны е стороны (точка C леж ит напрямой вне отрезка ), то λ < 0 .

К о о рдинаты то чк и x =

С ( x; y

)

мож но най ти по ф ормулам:

x1 + λ x2 ; 1+ λ

y =

y1 + λ y2 ; 1+ λ

λ ≠ −1 .

(2)

3) Е сли точкаС (x; y ) – серед инаотрезка AB , то λ = 1. К о о рдинаты середины о трезк а равны : x =

x1 + x2 ; 2

y =

y1 + y 2 . 2

З ад ача О трезок разд елен натри равны е части. Най ти коорд инаты точек д еления и д лину отрезка , если А

( 3; 2 ),

В (12; 8 ) .

Р еш ен и е: 1) П устьточки C и P – точки д еления (начиная отточки A). Тогд а AC = CP = PB , CB = 2 AC; AP = 2PB и АС 1 = = λ. СВ 2

72

(3)

П о ф ормуле (2) най д ем коорд инаты точки C: xC =

1 ⋅ 12 2 = 6; 1 1+ 2

3+

yC =

1 ⋅8 2 = 4 1 1+ 2

2+

⇒

C ( 6; 4 ) .

2) Точка P – серед инаотрезка CB, тогд акоорд инаты точки P най д ем по ф ормулам (3): xP =

6 + 12 = 9; 2

yP =

3) Д лину отрезка AB =

4+8 = 6 2

⇒

P ( 9; 6 ).

най д ем по ф ормуле (1):

(12 − 3)2 + (8 − 2)2

=

117 ≈ 10,82 .

О т вет : ( 6; 4 ) ; ( 9; 6 ) – точки д еления отрезка

. AB ≈ 10,82 .

12.3. Пло щ адь треуго льник а П устьточки А

( x1;

y1 ), B ( x 2 ; y 2 ), C ( x3 ; y3

) – верш ины треугольника.

Тогд апло щ адь ∆ ABC мож но най ти по ф ормуле: 1 1 S = ∆ , гд е ∆ = x1 2 y1

1

1

x2 y2

x3 y3

(4)

или S=

1 1 x1 ( y 2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y 2 ) = ( x2 − x1 ) ⋅ ( y3 − y1 ) − ( x3 − x1 ) ⋅ ( y2 − y1 ) (5) 2 2

З ад ача Най ти площ ад ьтреугольникас верш инами А ( − 2; − 4 ), В ( 2; 8 ) и С ( 10; 2 ). Р еш ен и е: О бозна чим: A ( x1 , y1 ) = A ( − 2; − 4 ); B ( x 2 , y 2 ) = B ( 2; 8 ); C ( x3 , y3 ) = C ( 10; 2 ) . Тогд апо ф ормуле (5) получим: S =

1 (− 2) ⋅ (8 − 2) + 2 ⋅ (2 − (− 4)) + 10((− 4) − 8) = 1 − 12 + 12 − 120 = 60 . 2 2

О т вет :

кв.ед .

Упр аж н ен и е 21 . В ы полнитьзад ания: 1. Най ти расстояние меж д у точками A ( 3; 8 ) и B ( − 5; 14 ) . О т вет : AB = 10 . 2. П оказать, что треугольник с верш инами А ( − 3; − 3 ), В ( − 1; 3 ), C ( 11; − 1) – прямоугольны й .

73

3. Д аны серед ины сторон треугольника: М ( 3; 2 ), Р ( − 2; 0), О ( 1; 3 ) . Най ти верш ины треугольника. О пред елитьплощ ад ьтреугольника. О т вет : ( 6; 5 ), ( 0; − 1 ), ( − 4; 1 ); S = 18 кв. ед . 4. О трезок AP разд еленнатриравны е частиточками В ( 0; − 1 ) и С ( 2; − 3 ) . Най ти коорд инаты конц ов отрезка AP . О т вет : ( − 2; 1 ), ( 4; − 5 ). 5. Най ти наоси О Х точку, равноуд аленную от точек А ( 3; − 4 ) и С ( − 2; 1 ). О т вет : ( 0; − 2 ) .

6. Д аны верш ины треугольника: А ( 5; 3 ), В ( 2; − 1 ), С ( 1; 1 ) . Най ти д лины мед иан треугольника. О пред елитькоорд инаты точки пересечения мед иан. О т вет : 15,25 ;

14,5 ;

 2 21, 25 ;  2 ; 2  3

.  

13. Прям ая на пло ск о сти 13.1. О б щ ее уравнение прям о й О пределение

О б щ ее уравнение прям о й – это уравнение вид а Ax + By + C = 0 .

(1)

2 2 A, B, C – постоянны е коэф ф иц иенты , A + B ≠ 0 ;

x и y – коорд инаты лю бой точки коорд ина тной плоскости. , то прямая By + C = 0

C   раллельнаоси  y = −  па B  

.

2) Е сли B = 0 , то прямая Ax + C = 0

C   раллельнаоси  x = −  па A  

.

1) Е сли

3) Е сли C = 0 , то прямая Ax + By = 0 прох од итчерез начало коорд ина т. 4) Е сли A = C = 0 , то прямая By = 0 5) Е сли B = C = 0 , то прямая Ax = 0

(y (x

) совпад ает сосью 0 ) совпад ает сосью

= 0 =

. .

Рассто яние d о т то чк и M 0 ( x0 ; y 0 ) до прям о й Ax + By + C = 0 мож но най ти по ф ормуле: .

(2)

З ад ача 1 . Составитьуравнение прямой , проход ящ ей через на чало коорд ина ти точку A ( − 2; − 3 ) . 74

Р еш ен и е: 1) Так как прямая прох од итчерез начало коорд инат, то уравнение прямой имеет вид Ax + By = 0 . 2) Так как прямая проход итчерез точку A ( − 2; − 3 ) , то коорд инаты точки A обращ аю туравнение прямой в верное равенство: A ⋅ (−2) + b(−3) = 0

⇒

П усть A = 1 , тогд а B = −

− 2 A − 3B = 0

⇒ A=−

3B , гд е A ∈ R, B ∈ R . 2

2 . 3

3) П од ставим значения коэф ф иц иентов A и B в уравнение прямой ; получим x−

2 y = 0 3

или 3x − 2 y = 0 .

О т вет : 3x − 2 y = 0 . З ад ача 2 . Най ти расстояние отточки ( − 1; 1 ) д о прямой 3x − 4 y + 5 = 0 . Р еш ен и е: П о ф ормуле (2) най д ем d = О т вет : d =

3 ⋅ (−1) − 4 ⋅ 1 + 5 3 + ( −4 ) 2

2

=

−2 2 = . 5 25

2 . 5

13.2. Уравнени е прям о й с угло вым к о эф ф и ц иенто м О пределение

Уравнение прям о й сугло вым к о эффиц иенто м k – это уравнение вид а y = kx + b .

(2)

У гловой коэф ф иц иент k = tgα , гд е – угол ол (уголмеж д у прямой и наклонапрямой к оси полож ительны м направлением оси О Х ); b – свобод ны й член. Уго л м еж ду прям ым и y1 = k1 x + b1 и y 2 = k 2 x + b2 опред еляется по ф ормул ле tgϕ =

k 2 − k1 , 1 + k1k 2

( 0 < ϕ < 90 ) . o

(3)

Усло вие параллельно сти двух прям ых : k1 = k 2 .

Е сли k1 = k 2 , то прямы е

(4)

и y 2 параллельны . ( y1 y 2 ). 75

Усло вие перпендик улярно сти двух прям ых : k1 ⋅ k 2 = −1 .

или Е сли k1 ⋅ k 2 = − 1, то прямы е

(5)

перпенд икулярны . ( y1 ⊥ y2 ).

и

З ад ача 1 . Най ти уравнение прямой , образую щ ей сосью

угол α = − 45o и прох од ящ ей

через точку B ( 0; − 3 ). Р еш ен и е: 1) Угловой коэф ф иц иентпрямой k = tgα = tg(− 45o ) = − 1. Тогд ауравнение прямой имеетвид y = kx + b = − x + b . 2) Так как прямая прох од ит через точку B ( 0; − 3 ), то b = − 3 . 3) П олучим уравнение прямой y = − x − 3 . О т вет : y = − x − 3 . З ад ача 2 . Най ти угол меж д у прямы ми: а) 4 x + 2 y − 5 = 0 и 6 x + 3 y + 1 = 0 ; б)

3x − y − 2 = 0 и

3x + y − 1 = 0 .

Р еш ен и е: П ривед ем уравнения прямы х с угловы м коэф ф иц иентом к вид у (2). а) 4 x + 2 y − 5 = 0 6x + 3y + 1 = 0

5 2

⇒

y = − 2x +

⇒

1 y = − 2x − 3

⇒

k1 = k 2 = − 2

Так как угловы е коэф ф иц иенты прямы х равны , то прямы е параллельны . б)

3x − y − 2 = 0

⇒

y =

3x − 2

3x + y − 1 = 0

⇒

y =

3x + 1

⇒ ⇒

k1 =

3

k2 = − 3

П о ф ормуле (3) получим tgϕ =

− 3− 3 −2 3 = = −2 1− 3 ⋅ 3

3

⇒

ϕ = 60. o

О т вет : а) прямы е 4 x + 2 y − 5 = 0 и 6 x + 3 y + 1 = 0 параллельны ; б) угол меж д у прямы ми 3x − y − 2 = 0 и 3x + y − 1 = 0 равен

76

.

⇒

k1 ≠ k 2

13.3. Уравнение прям о й с угло вым к о эф ф иц иенто м , про х о дящ ей через данную то чк у О пределение

Уравнение прям о й сугло вым к о эффиц иенто м k, про х о дящ ей черезданную то чк у M 0 ( x0 ; y 0 ) , – это уравнение вид а y − y0 = k ⋅ ( x − x0 ),

k ≠ 0 .

(6)

Ч ерез од ну точку прох од ит множ ество прямы х (пучок прямы х ). П оэтому уравнение (6) – это уравнение пучка. З ад ача Най ти уравнение прямой , прох од ящ ей через точку M 0 ( 1; 4 ) и перпенд икулярной к прямой 3x − 2 y = 12 . Р еш ен и е: 1) П о ф ормуле (6) получим y − 4 = k (x − 1) . 2) Ч тобы най ти k, используем условие перпенд икулярности прямы х : 3x − 2 y = 12 ⇒

y =

3 3 x − 6 ⇒ k1 = ; 2 2

y − 4 = k ( x − 1) ⇒ k = −

1 2 = − . k1 3

3) У равнение прямой имеетвид О т вет : y = −

y−4 = −

2 ( x − 1) или 3

y = −

2 2 x+4 . 3 3

2 2 x+4 . 3 3

13.4. Уравнение прям о й, про х о дящ ей через две то чк и О пределение

Уравнение прям о й, про х о дящ ей черездве то чк и A ( x1; y1 B ( x2 ; y 2 ) , – это уравнение вид а

y − y1 x − x1 = ; ( x2 ≠ x; y2 ≠ y1 ) y 2 − y1 x2 − x1

или

x 2 − x1 x − x1

y 2 − y1 = 0 . y − y1

)

и

(7)

Угловой коэф ф иц иентэтой прямой опред еляется по ф ормуле: k =

y2 − y1 x2 − x1

.

(8)

77

1) Е сли x1 = x 2 , то уравнение прямой (7) имеетвид

x = x1 .

2) Е сли y1 = y 2 , то уравнение прямой (7) имеетвид

y = y1 .

3) Е сли

y3 − y1 x − x1 = 3 y 2 − y1 x2 − x1

или

x2 − x1 y 2 − y1 = 0 x3 − x1 y3 − y1

(9),

то три точки A ( x1; y1 ), B ( x2 ; y 2 ), С ( x3 ; y3 ) леж атнаод ной прямой . Формула(9) – это усло вие, при к о то ро м три то чк и леж ат на о дно й прям о й. З ад ача 1 . Най ти уравнение прямой , прох од ящ ей через точки А ( − 1; 3 ) и В ( 2; 5 ) . Р еш ен и е: 1) О бозначим: A ( x1; y1 ) = A ( − 1; 3 ) , B ( x2 ; y2 ) = B ( 2; 5 ) . Тогд апо ф ормуле (7) получим y −3 x +1 = 5−3 2 +1

2) Уравнение прямой имеетвид О т вет : 2 x − 3 y + 11 = 0 .

y −3 x +1 = . 2 3 2 x − 3 y + 11 = 0 .

или

З ад ача 2 . Д аны верш ины треугольника: А ( 0; 1) ; В ( 6; 5 ) ; С ( 12; − 1 ) . Най ти уравнение вы соты треугольника, провед енной из верш ины C. Р еш ен и е: 1) П о ф ормуле (8) най д ем угловой коэф ф иц иентстороны AB: k =

5 −1 4 2 = = . 6−0 6 3

2) Так как вы сота, провед енная из верш ины C, перпенд икулярнак стороне AB, то угловой коэф ф иц иентвы соты равен − 3 . 2

3) П о ф ормуле (6) получим уравнение вы соты : y +1 = −

3 (x − 12 ) 2

или

3x + 2 y − 34 = 0 .

О т вет : 3x + 2 y − 34 = 0 . З ад ача 3 . П рямая, прох од ящ ая через точки A ( − 2; 5 ) и B ( 3; − 3 ) , пересекает ось OX в некоторой точке M. Най тикоорд инаты точки M. Р еш ен и е: Точки A ( − 2; 5 ); В ( 3; − 3 ); М ( x; 0 ) леж атнаод ной прямой , поэтому вы полняется условие (9): 0−5 x − (− 2 ) = −3−5 3 − (− 2 )

или

5 x+2 = ; 8 5

x =

9 – абсц иссаточки M. 8

Точка M леж ит наоси OX, поэтому ее орд ината y = 0 . 78

9 О т вет : M  ; 0  .  8



13.5. Уравнение прям о й в о трезк ах О пределение

Уравнение прям о й в о трезк ах – это уравнение вид а x y + = 1, (a ≠ 0, b ≠ 0) . a b

(10)

a – абсц иссаточки пересечения прямой с осью OX; b – орд инататочки пересечения прямой сосью OY. П оэтому a и b называю тся о трезк ам и прям о й на о сях к о о рдинат. П рямая о тсек ает на о сях к о о рдинат о трезк и a и b. З ад ача Най ти уравнение прямой , отсекаю щ ей наосях коорд ина тотрезки а = 3, b = − 5 . Р еш ен и е: П о ф ормуле (10) получим

x y − =1 3 5

или 5 x − 3 y − 15 = 0 .

О т вет : 5 x − 3 y − 15 = 0 .

13.6. Но рм ально е уравнение прям о й О пределение

Но рм ально е уравнение прям о й – это уравнение вид а .

(11)

p – д линаперпенд икуляра, опущ енного из на чалакоорд ина тнапрямую , – уголмеж д у этим перпенд икуляром и полож ительны м направлением оси OX.

П р ави ло : Ч тобы общ ее уравнение прямой (1) Ax + By + C = 0 привести к нормальному вид у (11), над о все члены уравнения (1) умнож ить нано рм ирую щ ий м но ж итель М : M = ±

1 A + B2 2

.

1) Е сли C < 0 , то M > 0 . 2) Е сли C > 0 , то M < 0 . 3) Е сли С = 0 , то д ля M мож но взятьлю бой знак. 79

Рассто яние о т данно й то чк и M 0 ( x0 ; y 0

) до прям о й

x cosα + y sinα − p = 0 мож но най ти по ф ормуле d = x0 cosα + y0 sinα − p

.

З ад ача 1 . П ривести к нормальному вид у уравнение прямой 2 x − 3 y − 10 = 0 . Р еш ен и е: 1) Най д ем нормирую щ ий множ итель M = ± Так как C = − 10 < 0 , то M =

1 2 2 + 32

= ±

1 . 13

1 . 13

2) У множ им все члены д анного уравнения нанормирую щ ий множ итель. П олучим нормальное уравнение прямой вид а(11): 2 3 10 x− y− = 0 , гд е cos α = 13 13 13

О т вет :

2 3 10 ; sin α = − ; p = . 13 13 13

2 3 10 x− y− = 0. 13 13 13

З ад ача 2 . Най ти расстояние меж д у параллельны ми прямы ми 3x + y − 3 10 = 0

и 6 x + 2 y + 5 10 = 0 .

Р еш ен и е: 1) П усть M – лю бая точка, леж ащ ая напервой прямой . П усть x = 0 ; тогд а y = 3 10 .

(

)

С лед овательно, M 0; 3 10 – точка, леж ащ ая напервой прямой . 2) П о ф ормуле (2) най д ем расстояние от точки M д о второй прямой : d =

6 ⋅ 0 + 2 ⋅ 3 10 + 5 10 ± 6 +2 2

О т вет :

2

=

11 10 = 5,5 . 2 10

.

Упр аж н ен и е 22 . В ы полнитьзад ания: 1. Д ано общ ее уравнение прямой 12 x − 5 y − 65 = 0 . Най ти: а) уравнение сугловы м коэф ф иц иентом; б) уравнение в отрезках; в) нормальное уравнение. О т вет : y = 80

12 x − 13; 5

x y − = 1; 65 − 65 12 5

12 x 5 y − − 5 = 0. 13 13

(12)

2. Най ти уравнение прямой , отсекаю щ ей наоси орд инатотрезок b = 1 и образую щ ей сполож ительны м направлением оси OX угол α =

2π . 3

О т вет : 3x + y − 1 = 0 . 3. Най ти периметр треугольника, ограниченного прямой и осями коорд инат. О т вет : P = 30 .

5 x − 12 y − 60 = 0

4. Най ти уравнение прямой , отрезок которой , заклю ченны й меж д у осями коорд инат, д елится в точке А ( − 3; 2 ) пополам. О т вет : 2 x − 3 y + 12 = 0 . 5. О пред елитьплощ ад ьтреугольника, образованного прямой т. 4 x + 3 y − 36 = 0 сосями коорд ина О т вет : 54 кв. ед . 6. Най ти уравнения прямы х , прох од ящ их через точку А ( − 3; − 4 ) и параллельны х осям коорд инат. О т вет : x + 3 = 0; y + 4 = 0 . 7. Най ти остры й угол меж д у прямы ми: а) y = − 2 x и y = 3 x + 5 ; б) 3x + 4 y − 5 = 0

и 5x − 2 y + 7 = 0 .

О т вет : а) ϕ = 45o ; б) ϕ = arctg 3,714 ≈ 74 o56 . 8. П оказать, что прямы е 3x − 5 y + 7 = 0 и 10 x + 6 y − 3 = 0 перпенд икулярны . 9. Най ти точку, равноуд аленную от точек А ( 6; − 3 ) ; B ( − 10; 5 ) ; C ( 2; 9 ) . О т вет : D ( − 2; 1 ). 10. О пред елить, леж атли наод ной прямой точки: а) А ( 1; 2 ); B ( 2; 4 ); C ( 3; 6 ); б) P ( 2; 3 ); E ( − 2; 1 ); F ( 3; 4 ) . О т вет : а) леж ат; б) не леж ат. 11. Най ти прямую , прох од ящ ую через точку пересечения прямы х  4  x + 6 y + 5 = 0; 3x − 2 y + 1 = 0 и через точку M  − ; 1  .  5  О т вет : 5 x + 4 = 0 .

12. Най ти уравнение прямой , проход ящ ей через точку пересечения прямы х 2 x − 3 y + 21 = 0 и 3x + 2 y − 1 = 0 а) параллельно прямой y = 2 x − 3 ; б) перпенд икулярно прямой y = 3 x + 2 . О т вет : а) y = 2 x + 11 ;

б) y = −

1 x + 4. 3

13. Д аны верш ины треугольника: А ( 1; 1 ); B ( 4; 5 ); C ( 13; − 4 ) . Най ти уравнение мед ианы , провед енной из верш ины B, и вы соты , провед енной из верш ины C. О т вет : 13 x + 6 y − 82 = 0; 3x + 4 y − 23 = 0 .

81

14. Наоси OX най ти точку, расстояние д о которой отпрямой 8x + 15 y + 10 = 0 равно 1. 7 О т вет :  ; 0  и  − 27 ; 0  . 8





8



15. Най ти расстояние отначалакоорд инатд о прямой : б) 3 x − 4 y + 36 = 0 . а) 4 x + 3 y − 60 = 0 ; О т вет : а) AO = 12 ; б) AO = 7,2 .

14. К ривые вто ро го по рядк а 14.1. Алгеб раическ ие линии и их по рядо к О пределение

Алгеб раическ ая линия n-о го по рядк а – это линия, уравнение которой в прямоугольной системе коорд ина тестьалгебраическое уравнение n-ой степени.

1. У равнение прямой Ax + By + C = 0 ( A2 + B 2 ≠ 0 ) – это алгебраическое е уравнение первой степени (первого поряд ка). П оэтому прямая естьалгебраическая линия первого поряд ка. П р и мер 1 .

У равнение (x + y + 2)2 − (x + y + 1)2 = 0 – это уравнение первой степени, так как

(x +

y + 2) − (x + y + 1) 2

2

= 0 ⇔ 2x + 2 y + 3 = 0 .

П оэтому линия (x + y + 2)2 − (x + y + 1)2 = 0 – алгебраическая линия первого поряд ка. 2. У равнение вид а Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , гд е A, B, C , D, E, F ∈ R , ическое уравнение второй степени (второго поряд ка). A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 – это алгебра П р и мер 2 . У равнение y = 5x 2 – это алгебраическое уравнение второго поряд ка, так как y = 5 x 2 ⇔ 5 x 2 − y = 0 , гд е A = 5, B = 0, C = 0, D = 0, E = − 1, F = 0 .

П оэтому парабола y = 5x 2 – алгебраическая линия второго поряд ка. П р и мер 3 . У равнение xy = 1 – это алгебраическое уравнение второго поряд ка, так как xy = 1 ⇔ xy − 1 = 0 , гд е A = 0, B = 1, C = 0, D = 0, E = 0, F = − 1 . П оэтому гипербола xy = 1 – алгебраическая линия второго поряд ка. П р и мер 4 . У равнение y = sin x не является алгебраическим уравнением, поэтому линия ическая линия. y = sin x (синусоид а) – это не алгебра Рассмотрим различны е линии второго поряд ка.

82

14.2. О к руж но сть О пределение

О к руж но сть– это множ ество точек плоскости М равноуд аленны х отд анной точки C ( a; b ) .

О пределение

( x; y ),

Уравнение о к руж но сти – это уравнение вид а

(x − a )2 + ( y − b )2

= R2 .

(1)

C ( a; b ) – ц ентр о к руж но сти, R – радиусо к руж но сти.

Е сли ц ентр о к руж но сти – начало к о о рдинат ( 0; 0 ) , то уравнение окруж ности имеетвид x2 + y2 = R2 .

(2)

1) Е сли x0 2 + y0 2 = R 2 , то точкаМ

0

( x0 ; y0 ) леж итнаокруж ности.

2) Е сли x0 2 + y0 2 > R 2 , то точкаМ

0

( x0 ; y0 ) леж итвне окруж ности.

3) Е сли x0 2 + y0 2 < R 2 , то точкаМ

0

( x0 ; y0 ) леж итвнутри окруж ности.

З ад ача 1 . Най ти коорд инаты ц ентраи рад иусокруж ности x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3 = 0 . Р еш ен и е: 1) П ривед ем д анное уравнение к вид у (1):

(x

2

) (

)

− 4x + 4 + y2 + 6 y + 9 − 4 − 9 − 3 = 0

2 2 или (x − 2 ) + ( y + 3) = 16 .

2) Тогд аC ( 2; − 3 ) – ц ентр окруж ности; д иусокруж ности. R = 4 – ра О т вет : C ( 2; − 3 ) ; R = 4 . З ад ача 2 . Най ти уравнение окруж ности, прох од ящ ей через точки A ( 5; 0 ) и B ( 1; 4 ) , если ее ц ентр леж ит на прямой x + y − 3 = 0 . Р еш ен и е: 1) На й д ем коорд ина ты точки M – серед ины хорд ы AB. xM =

5+1 = 3; 2

yM =

0+4 = 2. 2

83

2) Ц ентр окруж ностилеж итнаперпенд икуляре к хорд е AB, проход ящ ем через точку M. П о ф ормуле (7) най д ем уравнение прямой AB: y−0 x−5 = 4−0 1−5

или x + y − 5 = 0 .

3) Так как угловой коэф ф иц иентпрямой AB равен –1, то угловой коэф ф иц иент перпенд икулярак ней равен 1. Тогд ауравнение перпенд икулярак AB, прох од ящ его через точку M, имеет вид : y − 2 = 1 ⋅ (x − 3) или x − y − 1 = 0 .

4) Ц ентр окруж ности C – это точкапересечения прямой перпенд икуляра x − y − 1 = 0 . x+ y −3 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ x − y − 1 = 0 y = 1 

Реш им систему 

x+ y−3 = 0 и

С ( 2; 1 ) – ц ентр окруж ности.

5) Рад иус окруж ности равен д лине отрезкаCA; тогд а R =

(5 − 2 )2 + (0 − 1)2

=

10 .

6) У равнение окруж ности имеетвид : (x − 2)2 + ( y − 1)2 = 10 . О т вет : (x − 2)2 + ( y − 1)2 = 10 .

14.3. Э ллипс О пределение

а ( х; y ), сумма х д о д вух точек F1 ( − c; 0 ) и F2 ( c; 0 )

Э ллипс– это множ ество точек плоскости М расстояний откоторы

естьвеличинапостоянная – 2a : F1M + F2M = 2a . F1 и F2 – фо к усы эллипса; F1F2 = 2c – фо к усно е рассто яние. F1M + F2 M > F1F2 , поэтому 2a > 2c , или a > c . F1M = r1; F2 M = r2 . r1 и r2 – фо к альные радиусы.

П о опред елению эллипсад ля лю бой его точки r1 + r2 = 2a .

О пределение

К ано ническ о е (про стейш ее) уравнение эллипса – это уравнение вид а x2 y2 + =1 , a 2 b2

84

гд е a, b – по луо си эллипса. ТочкаО – ц ентр эллипса.

(3)

1) Е сли a > b , то ф окусы эллипса F1 и F2 леж атнаоси OX. c =

Р ассто яние о т ц ентра эллипса до фо к уса равно Ч исло

a2 − b2 .

c = ε < 1 (так как a > c ) – эк сц ентриситет эллипса. a

Фокальны е рад иусы опред еляю тся по ф ормулам: r1 = a + ε ⋅ x ;

r2 = a − ε ⋅ x .

2) Е сли a < b , то ф окусы эллипса F1 и F2 леж атнаос си OY. ε =

Тогд а

c ; b

r1,2 = b ± ε y

c =

b2 − a 2

3) Е сли a = b , то ф окусы эллипса F1 и F2 совпад аю тсц ентром эллипса. ε = 0;

Тогд а

c = 0.

У равнение эллипсаимеетвид :

x2 + y2 = a2 .

З ад ача Най ти каноническое уравнение эллипса, проход ящ его через точки  5 6   M 1  ;   2 4 

  и M 2  − 2; 15  .  5  



Р еш ен и е: 1) Так как точки M 1 и M 2 леж атнаэллипсе, то вы полняю тся равенства 2

5    2 + a2

2

2

 6    4    =1 2 b

   Реш им систему   

и

(− 2 )2 a2

25 3 + 2 =1 2 4a 8b 4 3 + 2 =1 2 a 5b

У равнение эллипсаимеетвид : О т вет :

 15     5  +  2  = 1. b

; получим a 2 = 10; b 2 = 1.

x2 + y 2 = 1. 10

x2 + y 2 = 1. 10

14.4. Г и перб о ла О пределение

( х; y ), разность F1 ( − c; 0 ) и F2 ( c; 0 )

Г иперб о ла – это множ ество точек плоскости М расстояний откоторы х д о д вух точек естьвеличинапостоянная – 2a : F1M − F2 M = 2a .

85

F1 и F2 – фо к усы гиперб о лы; F1F2 = 2c – фо к усно е рассто яние. F1M − F2 M < F1F2 , поэтому 2a < 2c , или a < c . F1M = r1;

F2 M = r2 .

r1 и r2 – фо к альные радиусы.

О пределение

К ано ническ о е (про стейш ее) уравнение гиперб о лы– это уравнение вид а x2 y2 − =1, a2 b2

(4)

гд е a и b – по луо си гиперб о лы. Гиперболасостоитиз д вух ветвей , симметричны х относительно осей коорд ина т. Точка O – ц ентр гиперб о лы. Точки пересечения гиперболы сосью OX A1 ( − a; 0 ) и A2 ( a; 0 ) – это верш ины гиперб о лы. A1 A2 = 2a – действительная о сь гиперб о лы. B1B2 = 2b – м ним ая о сь гиперб о лы.

Р ассто яние о т ц ентра гиперб о лы до фо к уса равно Ч исло

c =

a2 + b2 .

c = ε > 1 (так как a < c ) – эк сц ентриситет гиперб о лы. a

Фокальны е рад иусы опред еляю тся по ф ормулам: r1 = ε ⋅ x + a

r2 = ε ⋅ x − a

Гиперболаимеет д ве асим пто ты: y =

b x, a

y = −

b x. a

Е сли a = b , то гиперболаравно сто ро нняя. Уравнение равно сто ро нней гиперб о лы имеетвид :

x2 + y2 = a2 .

(5)

Е сли д ей ствительной осью гиперболы является отрезок B1B2 = 2b , то уравнение гиперболы имеетвид : x2 y2 − = −1 a2 b2

Гиперболы

x2 y2 − =1 a2 b2

или

y2 x2 − =1 b2 a2

и

З ад ача Эксц ентриситетгиперболы равен прох од ящ ей через точку M 86

(

y2 x2 − =1. b2 a2

)

2; 1 .

назы ваю тся со пряж енным и .

2 . Най ти простей ш ее уравнение гиперболы ,

Р еш ен и е: c = 2 , или c 2 = 2a 2 . a 2 a + b 2 = 2a 2 или a 2 = b 2 .

1) Эксц ентриситетгиперболы Так как c 2 = a 2 + b 2 , то

С лед овательно, гиперболаравносторонняя. 2) П од ставим коорд инаты точки M

( 2)

2

− (1) = a 2 2

(

)

внение (5), получим 2 ; 1 в ура

или a 2 = 1.

3) У равнение гиперболы имеет вид

x 2 − y 2 = 1.

О т вет : x 2 − y 2 = 1.

14.5. Параб о ла О пределение

Параб о ла – это множ ество точек плоскости М ( х; y ), равноуд аленны х отд анной точки F ид анной прямой KC (дирек трисы). FM = MK  p  F  ; 0  – фо к ус параб о лы;   2 x = −

p – дирек триса параб о лы. 2

П араболасимметричнаотносительно оси OX. FM = r – фо к альный радиус. Фокальны й рад иуспараболы FM = r опред еляется по ф ормуле: r = x+

О пределение

p , 2

p > 0 .

К ано ническ о е уравнение параб о лы– это уравнение вид а y 2 = 2 px,

p >0 .

(6)

У равнение параболы , симметричной относительно оси OY, имеетвид : x 2 = 2 py .

Тогд а F  0; 

(7)

p болы ;  – ф окуспара 2

p – д иректрисапараболы . 2 p Фокальны й рад иус r = y + . 2 y = −

87

З ад ача Най ти уравнение параболы , симметричной относительно оси OX, сверш иной в на чале коорд инат, если д линахорд ы этой параболы , перпенд икулярной к оси OX, равна16, арасстояние отверш ины д о х орд ы равно 6. (С д ела тьчертеж .) Р еш ен и е: 1) П устьточкаМ ( х; y ) , леж ащ ая напараболе, – конец хорд ы . Так как д линах орд ы равна16, арасстояние отнее д о верш ины равно 6, то коорд инаты точки M: х = 6; у = 8. 2) П од ставим коорд ина ты точки М получим 82 = 2 p ⋅ 6

или 2 p =

( 6; 8 ) в уравнение (6),

32 . 3

3) У равнение параболы имеетвид y 2 = 2 О т вет : y =

32 x. 3

32 x. 3

Упр аж н ен и е 23 . В ы полнитьзад ания: 1. Най ти коорд ина ты ц ентраи радиусокруж ности x 2 + y 2 + 10 x − 4 y + 29 = 0.

О т вет : C ( − 5; 2 ) ; R = 0. 2. Най ти уравнение окруж ности, прох од ящ ей через точки

А ( 1; 2 ), В ( 0; − 1 ), С ( − 3; 0 ) .

2 2 О т вет : (x + 1) + ( y − 1) = 5.

3. Най тиуравнение окруж ности, проход ящ ей через точки А ( 7; 7 ), В ( − 2; 4 ), если ц ентр ее леж итнапрямой 2 x − y − 2 = 0. О т вет : (x − 3)2 + ( y − 4 )2 = 25. 4. Най ти каноническое уравнение эллипса, проход ящ его через точки P ( 2; 2 ) и Q ( 3; 1 ). О т вет :

3x 2 5 y 2 + = 1. 32 32

5. О си эллипсасовпад аю тс осями коорд инат. Эллипспрох од итчерез точку M ( 1; 1 ) и имеетэксц ентриситет ε =

3 . Най ти уравнение эллипса. 5

О т вет : 16 x 2 + 25 y 2 = 41. 6. Ч ерез ф окус F ( c; 0 ) эллипса

x2 y2 + = 1 провед енах орд а, a 2 b2

перпенд икулярная к больш ой оси. Най ти д лину этой хорд ы . 88

О т вет :

9b 2 . a

7. Най ти направой ветви гиперболы

x2 y2 − = 1 точку, ра сстояние 16 9

д о которой отправого ф окусав д варазаменьш е ее расстояния отлевого ф окуса.

(

)

(

)

О т вет : M 1 9,6; 0,6 119 ; M 2 9,6; − 0,6 119 .

10. Най ти уравнение гиперболы , прох од ящ ей через точку M ( 9; 8 ) , если асимптоты гиперболы имею туравнения y = ±

2 2 x. 3

x2 y2 − = 1. О т вет : 9 8

11. Найтиуравнение параболы , симметричной относительно осиOY, сверш иной в на чале коорд ина ти отсекаю щ ей набиссектрисе I и III коорд ина тны х углов хорд у д линой 8 2. О т вет : x 2 = 8 y . 12. Най ти напараболе y 2 = 8 x точку, расстояние д о которой отд иректрисы равно 4. О т вет : M 1 ( 2; 4 ) ; M 2 ( 2; − 4 ) .

14.6. К о ни ческ и е сечени я К о ническ ие сечения – это линии пересечения плоскости сбоковой поверх ностью кругового конуса. Е сли секущ ая плоскость пересекает од ну полость кругового конусаи не параллельнаобразую щ им, то к о ническ о е сечение – эллипс. Е сли секущ ая плоскость пересекает од ну полость кругового конусаи параллельнаод ной образую щ ей , то к о ническ о е сечение – параб о ла.

Е слисекущ ая плоскостьпересекаетд ве полости кругового конуса, то к о ническ о е сечение – гиперб о ла.

89

ЛАТ И НС К И Й АЛ Ф АВ И Т

А B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

90

а b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

а бе це де е эф ге аш и й от ка эль эм эн о пэ ку эр эс тэ у ве д убль-ве икс игрек зет

Г Р Е Ч Е С К И Й АЛФ АВ И Т

Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

альф а бета гамма д ельта эпсилон д зета(зета) эта тэта й ота каппа ламбд а ми (мю ) ни (ни) кси омикрон пи ро сигма тау ипсилон фи хи пси омега

С О Д Е Р Ж АНИ Е Предисло ви е.............................................................................................................. 3 Ч АС Т Ь 1. Э ЛЕ М Е НТ Ы ПЛАНИ М Е Т РИ И ........................................ 4 1. Линия. Пло ск о сть. Ф и гура. Уго л ................................................................. 4 1.1. О сновны е понятия планиметрии..................................................................... 4 1.2. У глы . В ид ы углов................................................................................................ 5 1.3. П ерпенд икуляр и наклонная ............................................................................. 7 1.4. П араллельны е прямы е ....................................................................................... 8 2. К руг. О к руж но сть. М етри ческ и е со о тно ш ени я в о к руж но сти ........... 10 2.1. Элементы окруж ности и круга...................................................................... 10 2.2. М етрические соотнош ения в окруж ности................................................... 12 3. Т реуго льник и ..................................................................................................... 15 3.1. М ногоугольники............................................................................................... 15 3.2. Треугольник. Элементы треугольника......................................................... 16 3.3. В ид ы треугольников ........................................................................................ 18 3.4. О писанны е и вписанны е треугольники........................................................ 19 3.5. М етрические соотнош ения в треугольнике................................................. 20 3.6. М етрические соотнош ения в прямоугольном треугольнике ................... 21 3.7. Равенство треугольников ................................................................................ 22 3.8. П лощ ад ь треугольника.................................................................................... 23 4. Ч етырех уго льни к и ........................................................................................... 25 4.1. Четы рех угольник. Элементы четы рех угольника. В ид ы четы рех угольников ............................................................................... 25 4.3. Трапец ия. Свой стватрапец ии. П лощ ад ьтрапец ии.................................... 26 4.4. П араллелограмм. С вой ствапараллелограмма. П лощ ад ь параллелограмма............................................................................. 27 4.5. П рямоугольник. Свой ствапрямоугольника. П лощ ад ь прямоугольника.............................................................................. 28 4.6. Ромб. Свой стваромба. П лощ ад ь ромба...................................................... 28 4.7. К вад ра т. Свой стваквад ра та. П лощ ад ь квад рата........................................ 29 4.8. О писанны е и вписанны е четы рех угольники............................................... 29 5. Правильные м но го уго льни к и ...................................................................... 31 5.1. Свой стваправильны х многоугольников...................................................... 31 5.2. П лощ ад ь правильного многоугольника....................................................... 33 6. О б щ ая ф о рм ула пло щ ади пло ск о й ф игуры............................................. 34 6.1. ФормулаНью тона-Лей бниц а.......................................................................... 34 6.2. П лощ ад ь криволиней ной трапец ии............................................................... 34 6.3. П лощ ад ьплоской ф игуры ............................................................................... 34 Ч АС Т Ь 2. Э ЛЕ М Е НТ Ы С Т Е Р ЕО М Е Т Р И И ...................................... 36 7. Прям ые и пло ск о сти в про странстве ......................................................... 36 7.1. О сновны е понятия стереометрии. ................................................................ 36 7.2. Располож ение д вух прямы х в пространстве............................................... 37 91

7.3. Располож ение прямой и плоскости в пространстве.................................. 37 7.4. Д вугранны е углы ............................................................................................... 39 7.5. Располож ение д вух плоскостей в пространстве......................................... 39 8. М но го гранни к и ................................................................................................. 42 8.1. О сновны е понятия ........................................................................................... 42 8.2. П ризма................................................................................................................ 43 8.3. П араллелепипед ................................................................................................. 45 8.4. П ирамид а............................................................................................................ 48 9. По верх но сти и тела вращ ения ...................................................................... 52 9.1. Ц илинд р.............................................................................................................. 52 9.2. К онус................................................................................................................... 54 9.3. Ш ар...................................................................................................................... 56 9.4. О бщ ая ф ормулаобъемателавращ ения ........................................................ 59 10. Прео б разо вани я ф и гур .................................................................................. 60 10.1. Симметрия относительно точки (ц ентральная симметрия) ................... 60 10.2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия) .......................... 61 10.3. Симметрия относительно плоскости.......................................................... 63 10.4. Д виж ение ф игур.............................................................................................. 64 10.5. П од обие ф игур ................................................................................................ 65 10.6. П араллельны й перенос.................................................................................. 67 11. О птим изац и о нные задачи ........................................................................... 68

Ч АС Т Ь 3. АНАЛИ Т И Ч ЕС К АЯ Г Е О М Е Т РИ Я НА ПЛО С К О С Т И ............................................................... 71 12. Прям о уго льные к о о рдинаты на пло ск о сти ........................................... 71 12.1. Расстояние меж д у д вумя точками............................................................... 71 12.2. Д еление отрезкав д анном отнош ении ....................................................... 72 12.3. П лощ ад ь треугольника.................................................................................. 73 13. Прям ая на пло ск о сти .................................................................................... 74 13.1. О бщ ее уравнение прямой .............................................................................. 74 13.2. У равнение прямой с угловы м коэф ф иц иентом ......................................... 75 13.3. У равнение прямой с угловы м коэф ф иц иентом, прох од ящ ей через д анную точку ............................................................... 77 13.4. У равнение прямой , прох од ящ ей через д ве точки..................................... 77 13.5. У равнение прямой в отрезках ...................................................................... 79 13.6. Нормальное уравнение прямой .................................................................... 79 14. К ривые вто ро го по рядк а.............................................................................. 82 14.1. А лгебраические линии и их поряд ок.......................................................... 82 14.2. О круж ность..................................................................................................... 83 14.3. Эллипс.............................................................................................................. 84 14.4. Гипербола......................................................................................................... 85 14.5. П арабола........................................................................................................... 87 14.6. К онические сечения ....................................................................................... 89 Прило ж ени е 1. Латинск и й алф авит. Г реческ ий алф авит ........................ 90

В алентина В асильевна С имд янкина, ТатьянаВ лад имировнаБ елоглазова, ТамараБ орисовнаМ анаенкова

Ма тематика. Геометрия У чебное пособие д ля иностранны х учащ их ся пред вузовского этапаобучения Н/К Д изай н облож ки Н.К . Ш а х ин, Т.В . Б елоглазовой В ерсткаО .И . П оповой С ерия И Д № 00437 от 10.11.1999. С д ано в набор 15.02.2003. П од п. в печать 15.03.2004. Б умагаоф сетная. Т ираж 200 экз. П еч. л. 5,8.

В оронеж ский госуд арственны й университет. 394063, В оронеж , Университетская пл., 1. О тпечатано натипограф ской технике И нститутамеж д ународ ного образования В ГУ. 394068, В оронеж , ул.Хользунова, 40а.