Современная математика. Фундаментальные направления. Том 4 (2003). С. 121–143 УДК 517.9
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ c 2003 г. °
М. А. СКРЯБИН
СОДЕРЖАНИЕ
1. 2. 3. 4.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сведение нелокальной краевой задачи к дифференциально-разностному уравнению . . Нелокальные задачи и формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сведение формально сопряженной задачи к краевой задаче . . . . . . . . . . . . . . . . Однозначная разрешимость некоторых нелокальных краевых задач в двугранных углах Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121 122 130 133 136 142
ВВЕДЕНИЕ Нелокальные эллиптические краевые задачи возникают в теории многомерных диффузионных процессов [4, 18, 26, 29, 31–33, 36, 37, 39, 40], теории плазмы [3], стохастической теории управления [25] и т. д. Решения этих задач могут иметь степенные особенности вблизи точек сопряжения границы [19–21]. Поэтому естественно рассматривать такие задачи в весовых пространствах. Вышеупомянутые пространства были введены для исследования эллиптических задач в областях с угловыми точками [13] и ребрами [14,15]. Если преобразование переменных в нелокальных членах порождает конечную группу на множестве точек сопряжения (условие Карлемана), то специальное разбиение единицы позволяет свести нелокальную эллиптическую краевую задачу в ограниченной области Q ⊂ Rn , n > 3, к нелокальной эллиптической задаче в двугранном угле Θ, [21]. В [20] однозначная разрешимость нелокальной эллиптической задачи в двугранном угле была сведена к однозначной разрешимости модельной нелокальной эллиптической задачи в плоском угле K с параметром ω на единичной сфере S n−3 = {ω ∈ Rn−2 : |ω| = 1}. Там также были получены достаточные условия фредгольмовой разрешимости модельной нелокальной эллиптической задачи с параметром ω в плоском угле K. Теория сопряженных операторов для нелокальных эллиптических задач была развита в [6, 7, 35]. Формулы сопряженных операторов позволяют получить необходимые и достаточные условия для фредгольмовой разрешимости модельных нелокальных задач в плоском угле, [35]. Сопряженные задачи к нелокальным в области с гладкой границей и в одномерном случае были изучены в [11, 17] и т. д. В [6] и [35, глава I, раздел 2] доказана связь между нелокальными краевыми задачами и краевыми задачами для дифференциально-разностных уравнений. Этот результат и вышеупомянутые формулы для сопряженных нелокальных операторов дают пример модельной эллиптической задачи с нелокальными членами на биссектрисе угла K и параметром ω, имеющей тривиальное ядро и коядро, см. [35, раздел 10]. Поэтому соответствующая нелокальная эллиптическая задача в двугранном угле Θ имеет единственное решение. Цель этой работы — описать некоторый класс нелокальных краевых задач в двугранном угле, для которых соответствующий оператор является изоморфизмом. Это исследование базируется на сведении нелокальных эллиптических краевых задач к краевым задачам для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений [6] и на формуле Грина для нелокальных эллиптических краевых задач [35]. В разделе 1 мы сформулируем нелокальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка и получим условия на коэффициенты, которое является необходимым и достаточным для того, чтобы эту задачу можно было свести к краевой задаче для дифференциально-разностного уравнения. Ранее было известно только необходимое c °2003 МАИ
121
122
М. А. СКРЯБИН
условие в симметрическом случае (см. [10]). Как уже было сказано, такое сведение позволяет в некоторых случаях доказать тривиальность ядра исходной нелокальной краевой задачи. В разделе 2 мы докажем формулу Грина для нелокальных краевых задач, которая порождает формально сопряженную нелокальную задачу (можно показать, что эти задачи сопряжены в смысле неограниченных операторов в L2 (0, d), см. [35]). Формально сопряженная задача выглядит совсем не так, как исходная задача. Она является системой дифференциальных уравнений на подинтервалах интервала (0, d) с нелокальными условиями трансмиссии во внутренних точках интервала (0, d). Для исследования ядра сопряженной задачи (и, соответственно, коядра исходной задачи) мы докажем в разделе 3, что эта сопряженная задача тоже может быть сведена к нелокальной задачи такого же вида, что и исходная, но с другими коэффициентами (тривиальность ядра последней задачи доказывается так же, как описано выше). В разделе 4 мы применим результаты разделов 1–3 для изучения однозначной разрешимости некоторых нелокальных краевых задач в двугранных углах. Отметим, что нелокальные эллиптические задачи изучались также в [1, 2, 5, 8, 9, 12, 16, 23, 24, 27, 28, 30]. 1. СВЕДЕНИЕ
НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОМУ УРАВНЕНИЮ
Рассмотрим дифференциальное уравнение (Au)(x) ≡ u00 (x) + a1 u0 (x) + a0 u(x) = f (x)
(x ∈ (0, d))
(1.1)
с нелокальными краевыми условиями B0 u ≡ u(0) − Bd u ≡ u(d) −
N X k=1 N X
γ1k u(k) = 0, (1.2) γ2k u(d − k) = 0.
k=1
Здесь d = N + θ, где N — натуральное число и 0 < θ 6 1; a0 , a1 , γ1k , γ2k — вещественные числа, f ∈ L2 (0, d) — вещественнозначная функция. Все полученные результаты могут быть обобщены на случай 1-периодических функций a1 (x) и a0 (x), комплексных коэффициентов и комплекснозначных функций. Рассмотрим разностный оператор R : L2 (R) → L2 (R), заданный формулой (R y)(x) =
N X
bk y(x + k),
(1.3)
k=−N
где bk — некоторые вещественные числа. Обозначим Q = (0, d). Введем следующие операторы: 1. IQ : L2 (Q) → L2 (R) — оператор продолжения нулем функции из Q в R \ Q. 2. PQ : L2 (R) → L2 (Q) — оператор сужения функции из R на Q. 3. RQ : L2 (Q) → L2 (Q) — оператор, действующий по формуле RQ = PQ R IQ .
(1.4)
Выше bk — некоторые фиксированные, но пока неизвестные коэффициенты. Наша цель — показать, что при некоторых условиях на коэффициенты γ1k , γ2k в (1.2) существует (единственный) набор ˚1 (Q) на коэффициентов bk такой, что оператор RQ отображает H HΓ1 (Q) = {u ∈ H 1 (Q) : u удовлетворяет (1.2)} непрерывно и взаимнооднозначно. Замечание 1.1. В этом случае u ∈ H 2 (0, d) является решением нелокальной краевой зада−1 ˚1 (0, d) и является обобщенным чи (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда y = RQ u принадлежит H решением дифференциально-разностного уравнения (RQ y)00 + a1 (RQ y)0 + a0 (RQ y) = f (x) (x ∈ (0, d)).
(1.5)
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
123
Будем говорить (см. [38]), что функция y является обобщенным решением задачи Дирихле для ˚1 (0, d), RQ y ∈ H 2 (0, d), и выполняется уравнения (1.5) с правой частью f ∈ L2 (0, d), если y ∈ H уравнение (1.5). Если 0 < θ < 1, обозначим Q1k = (k − 1, k − 1 + θ) (k = 1, . . . , N + 1) и Q2k = (k − 1 + θ, k) (k = 1, . . . , N ). Если θ = 1, обозначим Q1k = (k − 1, k) (k = 1, . . . , N S + 1). Следуя [38], введем изоморфизм гильбертовых пространств Uα : L2 ( Qαk ) → LM 2 (Qα1 ) по форk
муле (Uα y)k (x) = y(x + k − 1),
(x ∈ Qα1 , k = 1, . . . , M ),
(1.6)
где LM 2 (Qα1 ) =
M Y
L2 (Qα1 ),
k=1
см. рис. 1.1. Здесь и далее M = N + 1, если α = 1, и M = N , если α = 2. Через R1 обозначим матрицу порядка (N + 1) × (N + 1) с элементами rij = bj−i
(i, j = 1, . . . , N + 1).
(1.7)
Через R2 обозначим матрицу порядка N × N , полученную из R1 удалением последнего столбца и последней строки. Введем оператор M RQα = Uα RQ Uα−1 : LM (1.8) 2 (Qα1 ) → L2 (Qα1 ). Здесь и далее α = 1, 2, если 0 < θ < 1, и α = 1, если θ = 1. Сформулируем следующие три леммы, которые понадобятся в дальнейшем. Лемма 1.1. Оператор RQα является оператором умножения на матрицу Rα . Для произвольного линейного оператора A : H → H, где H — гильбертово пространство, через σ(A) обозначим спектр оператора A. Лемма 1.2.
( σ(R1 ) ∪ σ(R2 ), если 0 < θ < 1, σ(RQ ) = σ(R1 ), если θ = 1.
˚k (0, d) в H k (0, d). Лемма 1.3. Оператор RQ отображает непрерывно H Доказательства лемм 1.1, 1.2 и 1.3 приведены в [38, глава I, раздел 2]. Пример 1.1. Пусть d = 2 и (Ru)(t) = b0 u(t) + b1 u(t + 1) + b−1 u(t − 1), где bj ∈ R. В этом случае мы имеем только один класс интервалов Q11 = (0, 1), Q12 = (1, 2). Очевидно, что матрицы R1 и R2 имеют вид: µ ¶ b0 b1 R1 = , b−1 b0 R2 = (b0 ). 1 и (Ru)(t) = b0 u(t) + b1 u(t + 1) + b−1 u(t − 1), где bj ∈ R. 3 В этом случае мы имеем два класса интервалов Q1k = (k − 1, k − 1 + 1/3) (k = 1, 2, 3) и Q2k = (k − 1 + 1/3, k) (k = 1, 2). Матрицы R1 и R2 имеют следующий вид: b0 b1 0 R1 = b−1 b0 b1 , 0 b−1 b0 µ ¶ b0 b1 R2 = . b−1 b0 Пример 1.2. Пусть d = 2
124
М. А. СКРЯБИН
РИС. 1.1.
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
125
Сначала выберем коэффициенты bk так, чтобы выполнялось следующее включение: ˚1 (0, d)) ⊂ HΓ1 (0, d). RQ (H
(1.9)
Для этого мы обозначим через R11 (R12 ) матрицу, него) столбца. Обозначим через ei (gi ) i-ю строку
полученную из R1 удалением первого (последматрицы R11 (R12 ). Докажем, что если 2N + 1 коэффициентов bk , k = −N, . . . , N , удовлетворяют следующей системе 2N линейных алгебраических уравнений N N X X e1 = γ1k ek+1 , gN +1 = γ2k gN +1−k (1.10) k=1
k=1
(которая всегда допускает нетривиальное решение b−N , . . . , bN ), то включение (1.9) имеет место. ˚1 (0, d)) ⊂ H 1 (0, d). Пусть y ∈ H ˚1 (0, d). Положим Действительно, по лемме 1.3, RQ (H Y = (U1 y)(0) = (0, y(1), . . . , y(N ))T , Y 0 = (y(1), . . . , y(N ))T . Используя лемму 1.1 и первое соотношение в (1.10), получаем [R11 Y 0 ]1
(RQ y)(0) = [R1 Y ]1 =
0
= e1 Y =
N X
γ1k ek+1 Y 0
k=1
=
N X
γ1k [R1 Y ]k+1 =
N X
(1.11)
γ1k (RQ y)(k).
k=1
k=1
Здесь через [ · ]k обозначен k-й элемент вектора. Аналогично, используя лемму 1.1 и второе соотношение в (1.10), мы получим (RQ y)(d) =
N X
γ2k (RQ y)(d − k).
k=1
Таким образом, включение (1.9) доказано. Обозначим γ10 = γ20 = γ0 = −1. Введем и (2N + 1)-мерные векторы γ, b: γ10 γ11 .. . 0 . .. . . . Γ= ... 0 0 γ 2N . .. .. . 0 ...
b0 .. . b−N +1 B = b−N 0 . .. 0
следующие матрицы Γ, B порядка (2N + 1) × (2N + 1) ... .. .
γ1N .. .
0 .. .
... .. .
γ10 0 ... .. .
γ11 γ10 γ21 .. .
0
γ2N
. . . γ1N γ11 . . . γ20 0 .. .. . . . . . γ21
0 .. . 0 γ1N , 0 0 γ20
. . . bN −1 .. .. . . ... b0 . . . b−1 ... 0 .. .
bN .. .
0 .. .
...
b1 b0 b−1 .. .
0 0 b0 .. .
... ... ... .. .
...
b−N
0
(1.12)
b−N +1 . . .
0 .. . 0 0 , bN −1 .. . b0
³ ´T γ = γ1N , . . . , γ11 , γ0 , γ21 , . . . , γ2N , ³ ´T b = bN , . . . , b1 , b0 , b−1 , . . . , b−N .
(1.13)
(1.14) (1.15)
126
М. А. СКРЯБИН
Мы также введем матрицы Γ1 и B1 порядка 2N × (2N + 1), полученные из матриц Γ и B, соотвественно, удалением (N + 1)-й строки. Заметим, что имеют место следующие равенства: Bγ = Γb,
(1.16)
B1 γ = Γ1 b.
(1.17)
Используя матрицу Γ1 , мы можем переписать систему (1.10) следующим образом: Γ1 b = 0.
(1.18)
Очевидно, что dim ker Γ1 > 1, т.е. система (1.18) имеет хотя бы одно нетривиальное решение. Нам нужно, чтобы коэффициенты bk удовлетворяли следующим условиям. Условие 1.1. Матрица R1 невырожденная: det R1 6= 0.
(1.19)
Условие 1.2. Матрица R2 невырожденная: det R2 6= 0.
(1.20)
Верна следующая теорема об изоморфизме (доказательство дано в [38, глава I, раздел 2]). 0 (j = 1, 2; Теорема 1.1. Пусть выполнены условия 1.1, 1.2. Тогда существуют числа γji ˚1 (0, d) на H 10 (0, d) непрерывно и взаимi = 1, . . . , N ) такие, что оператор RQ отображает H Γ нооднозначно. Здесь через HΓ10 (0, d) обозначено подпространство функций из H 1 (0, d), удовлетворяющих условиям N X 0 u(0) = γ1i u(i),
u(d) =
i=1 N X
(1.21) 0 γ2i u(d
− i),
i=1 0 — вещественные числа (j = 1, 2, i = 1, . . . , N ). где γji
Замечание 1.2. Далее (см. теорему 1.3) мы покажем, что если условия 1.1 и 1.2 выполнены, то 0 (j = 1, 2; i = 1, . . . , N ). Таким образом, здесь H 1 (0, d) = H 1 (0, d). γji = γji Γ Γ0 Замечание 1.3. И условие 1.1, и условие 1.2 существенны. Если условие 1.1 нарушается, то в силу леммы 1.2 оператор RQ необратим (более точно, он имеет бесконечномерное ядро, см. [38, глава 1, раздел 6]), и поэтому он не может устанавливать взаимнооднозначное соответствие между нелокальной задачей (1.1), (1.2) и соответствующей краевой задачей для дифференциальноразностного уравнения (см. замечание 1.1). Предположим, что условие 1.1 выполнено, а условие 1.2 нет. Если 0 < θ < 1, то по лемме 1.2 оператор RQ также необратим. Наконец, ес0 , что ли θ = 1, то RQ обратим по лемме 1.2. Но в этом случае не существует таких чисел γji ˚1 (0, d)) ⊂ H 10 (0, d) (см. [34]). Далее мы покажем (см. лемму 1.4), что этот случай невозмоRQ (H Γ жен, если коэффициенты b−N , . . . , bN удовлетворяют (1.10). Лемма 1.4. Пусть коэффициенты b−N , . . . , bN разностного оператора R удовлетворяют (1.10). Тогда µ N ¶ µ N ¶ 1 X 1 X γ1k b−k det R2 = γ2k bk det R2 . (1.22) det R1 = γ0 γ0 k=0
k=0
Доказательство. Умножая первую строку матрицы R1 на γ0 = γ10 = −1 6= 0 и добавляя к ней k-ю строку, умноженную на γ1, k−1 , (k = 2, . . . , N + 1), получаем ¯ ¯ N N ¯ ¯ ¯P ¯ P ¯ ¯ ¯ ¯ b0 e γ e γ b 1 1k k+1 1k −k ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b−1 k=0 k=0 e2 ¯ 1 ¯ ¯ ¯ b e −1 2 = det R1 = ¯ .. ¯. ¯ .. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . γ . . 0 . .. .. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯b−N eN +1 ¯ ¯ b−N eN +1 ¯
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
Так как, в силу (1.10),
N P k=0
127
γ1k ek+1 = 0, мы получаем первое равенство в (1.22). Второе равенство
доказывается аналогично.
Установим связь между матрицами Γ и R1 . Сначала мы докажем следующие леммы. Лемма 1.5. Пусть N > 2, dim ker Γ1 > 1. Тогда det R1 = 0 для любого решения b системы (1.18). Доказательство. Обозначим через Γ1N , . . . , Γ11 , Γ21 , . . . , Γ2N строки матрицы Γ1 , а через Γ10 обозначим (N + 1)-ю строку матрицы Γ. Если dim ker Γ1 > 1, то rank Γ1 < 2N . Поэтому строки матрицы Γ1 линейно зависимы, т.е., N X существуют постоянные c1k , c2k , k = 1, . . . , N , такие, что (|c1k | + |c2k |) 6= 0 и k=1 N X
c1k Γ1k +
k=1
N X
c2k Γ2k = 0.
(1.23)
k=1
Так как γ10 = γ20 = −1 6= 0, имеем c1N = c2N = 0. Используя (1.24), мы можем переписать (1.23) следующим образом: N −1 X
c1k Γ1k +
N −1 X
(1.24)
c2k Γ2k = 0.
(1.25)
k=1
k=1
Обозначим через Γ2 матрицу порядка (2N − 2) × (2N − 1), полученную из матрицы Γ1 удалением первой и последней строк и первого и последнего столбцов: γ10 γ11 . . . γ1, N −1 γ1N ... 0 .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . ... γ10 γ11 . . . γ1, N −1 γ1N 0 Γ2 = (1.26) . γ21 γ20 ... 0 γ2N γ2, N −1 . . . . .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . 0 ... γ2N γ2, N −1 . . . γ21 γ20 (2)
(2)
(2)
(2)
Через Γ1, N −1 , . . . , Γ11 , Γ21 , . . . , Γ2, N −1 обозначим строки матрицы Γ2 . Из (1.25) получаем N −1 X
(2)
c1k Γ1k +
N −1 X
(2)
c2k Γ2k = 0.
(1.27)
k=1
k=1
Таким образом, строки матрицы Γ2 линейно зависимы. (2) (2) Заметим, что строки Γ21 , . . . , Γ2, N −1 линейно независимы (так как γ20 = −1 6= 0). Возьмем (2)
(2)
(2)
(2)
Γ1, N −1 . Если строки Γ1, N −1 , Γ21 , . . . , Γ2, N −1 линейно независимы, возьмем строку Γ1, N −2 . Продолжая этот процесс, убеждаемся в существовании такого s, что (2)
Γ1s =
N −1 X
(2) (2)
c1k Γ1k +
k=s+1
N −1 X
(2) (2)
c2k Γ2k
(1.28)
k=1 (2)
(2)
(2)
(2)
(если s = N − 1, то первая сумма отсутствует), и строки Γ1, s+1 , . . . , Γ1, N −1 , Γ21 , . . . , Γ2, N −1 (2)
линейно независимы. Если s > 1, то из (1.28) следует, что c2, N −1 = 0 (так как γ20 = −1 6= 0). Аналогично мы получаем, что c2k = 0 для k = N − s + 1, . . . , N − 1. Поэтому равенство (1.28) можно переписать следующим образом: (2)
Γ1s =
N −1 X k=s+1
(2) (2)
c1k Γ1k +
N −s X k=1
(2) (2)
c2k Γ2k .
(1.29)
128
М. А. СКРЯБИН
Заметим, что (1.29) верно и для s = 1; в этом случае оно просто совпадает с (1.28). Из (1.29) и специального вида матрицы Γ следует, что Γ10 =
N −1 X
(2)
c1k Γ1, k−s +
k=s+1
N −s X
(2)
c2k Γ2, k+s .
(1.30)
k=1
Из (1.30) следует, что если b ∈ ker Γ1 , то b ∈ ker Γ. Используя (1.16), мы получаем, что 0 = Γb = Bγ для любого решения b системы (1.18). Из этого равенства и соотношения γ0 6= 0 вытекает, что матрица B вырожденная, т.е. det B = 0. Так как det B = det R1 det R2 , мы имеем либо det R1 = 0, либо det R2 = 0. Но в силу (1.22) равенство det R2 = 0 влечет det R1 = 0. Поэтому матрица R1 также вырожденная. Лемма 1.6. Пусть det Γ = 0. Тогда det R1 = 0 для любого решения b системы (1.18). Доказательство. Предположим противное, а именно, что det R1 6= 0. Если N > 2, то в силу леммы 1.5 dim ker Γ1 = 1. Если N = 1, то всегда имеет место dim ker Γ1 = 1. Так как det Γ = 0, то существуют κ 6= 0, κ ∈ ker Γ. Очевидно, что κ ∈ ker Γ1 . Но dim ker Γ1 = 1, b ∈ ker Γ1 и b 6= 0 (так как det R1 6= 0 по предположению). Следовательно, κ = βb, где 0 6= β ∈ R1 . Используя (1.16), получаем 0 = Γκ = Γβb = Bβγ, т.е., в силу равенства γ0 = −1 6= 0 матрица B вырожденная. Таким образом, матрица R1 также вырожденная, что противоречит нашему предположению о том, что det R1 6= 0. Из леммы 1.6 следует, что условие det Γ 6= 0 является необходимым для выполнения условия 1.1. Сейчас мы докажем, что условие det Γ 6= 0 является и достаточным. Сначала докажем следующие леммы. Лемма 1.7. Пусть b является нетривиальным решением системы (1.18). Если det R1 = 0 и det R2 6= 0, то det Γ = 0. Доказательство. Так как Γ1 b = B1 γ и Γ1 b = 0, имеем B1 γ = 0. Так как det R1 = 0, det R2 6= 0, используя (1.22), получаем, что В силу (1.16) и условия b 6= 0 получаем, что det Γ = 0.
N P k=0
γ1k b−k = 0. Поэтому Bγ = 0.
Сейчас мы рассмотрим другой случай, когда det R1 = 0 и det R2 = 0. Заметим, что в силу (1.22) из условия det R2 = 0 вытекает условие det R1 = 0. Лемма 1.8. Пусть b является нетривиальным решением системы (1.18). Если det R2 = 0, то det Γ = 0. Доказательство. Обозначим через p1 , . . . , pN столбцы матрицы R2 и через P0 , . . . , PN столбцы матрицы R1 . Так как det R2 = 0, то существуют s, 1 6 s 6 N , и постоянные ck , k = 1, . . . , s − 1, такие, что столбцы p1 , . . . , ps−1 линейно независимы и ps =
s−1 X
ck pk .
(1.31)
ck Pk−1 .
(1.32)
k=1
Докажем, что Ps−1 =
s−1 X k=1
Из (1.31) следует, что векторы (b0 , . . . , bs−1 ), (b−1 , . . . , bs−2 ), . . . , (b−N +1 , . . . , bs−N ) ортогональны вектору (c1 , . . . , cs−1 , −1). В силу второго соотношения из (1.10) вектор (b−N , . . . , bs−N −1 ) также ортогонален вектору (c1 , . . . , cs−1 , −1), что влечет (1.32). Из (1.32) следует, что P0 , . . . , Ps−1 линейно зависимы, но P1 , . . . , Ps−1 линейно независимы (так как p1 , . . . , ps−1 линейно независимы). Поэтому P0 является линейной комбинацией столбцов
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
129
P1 , . . . , Ps−1 . Тогда, используя специальный вид R1 , легко видеть, что последняя строка R1 также является линейной комбинацией предыдущих s − 1 строк. Следовательно, из Γ1 b = B1 γ = 0 вытекает Bγ = 0. Из (1.16) следует, что Γb = 0. Таким образом, матрица Γ является вырожденной (так как b 6= 0). Из лемм 1.6, 1.7 и 1.8 следует теорема 1.2. Теорема 1.2. Если det Γ = 0, то det R1 = 0 для любого решения b системы (1.18). Если det Γ 6= 0, то а) система (1.18) имеет единственное (с точностью до умножения на ненулевую постоянную) нетривиальное решение b; б) это нетривиальное решение b удовлетворяет условиям det R1 6= 0 и det R2 6= 0. Сейчас мы докажем следующую теорему. Теорема 1.3. Пусть det Γ 6= 0. Тогда для нетривиального решения системы (1.18) оператор ˚1 (0, d) на H 1 (0, d) непрерывно и взаимнооднозначно. RQ отображает H Γ Доказательство. Если det Γ 6= 0, то в силу теоремы 1.2 для нетривиального решения систе0 , γ 0 такие, мы (1.18) выполнены условия 1.1 и 1.2. Следовательно, по теореме 1.1 существуют γ1k 2k ˚1 (0, d) на H 10 (0, d) непрерывно и взаимнооднозначно. Покажем, что оператор RQ отображает H Γ 0 =γ 0 что в этом случае γ1k 1k и γ2k = γ2k для k = 1, . . . , N . Действительно, по построению оператора RQ (в силу (1.11)) для любой функции ˚1 (0, d) имеет место y∈H N X (RQ y)(0) = γ1i (RQ y)(i). (1.33) i=1
˚1 (0, d) С другой стороны, в силу теоремы 1.1 для каждого k = 1, . . . , N существует функция y ∈ H 0 такая, что (RQ y)(0) = γ1k , (RQ y)(k) = 1 и (RQ y)(i) = 0 для всех i 6= k. Для этой функции равенство (1.33) принимает вид 0 γ1k = γ1k . 0 Равенства γ2k = γ2k для k = 1, . . . , N доказываются аналогично. Теоремы 1.2 и 1.3 дают явное условие на коэффициенты γ1k , γ2k , необходимое и достаточное для сведения задачи (1.1), (1.2) к краевой задаче для дифференциально-разностного уравнения. Действительно, предположим, что det Γ 6= 0; тогда по теореме 1.2 и леммам 1.1 и 1.2 можно построить обратимый разностный оператор RQ . Из теоремы 1.3 следует, что u ∈ H 2 (0, d) является решением −1 ˚1 (0, d) нелокальной краевой задачи (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда y = RQ u принадлежит H и является обобщенным решением дифференциально-разностного уравнения (1.5). Пример 1.3. Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорему 1.2. Рассмотрим следующие краевые условия: u(0) − γ1 u(1) = 0, (1.34) u(2) − γ2 u(1) = 0. В этом случае матрицы Γ и Γ1 имеют вид:
−1 Γ= 0 0 µ −1 Γ1 = 0
γ1 0 −1 γ1 , γ2 −1 ¶ γ1 0 . γ2 −1
Очевидно, что det Γ = −(1 − γ1 γ2 ). Система Γ1 b = 0 в данном случае всегда имеет единственное (с точностью до умножения на ненулевую постоянную) решение γ1 b = 1 . γ2
130
М. А. СКРЯБИН
Матрицы R1 и R2 для этого решения имеют вид: µ ¶ 1 γ1 R1 = , γ2 1 R2 = (1). В данном случае матрица R2 всегда невырождена, а det R1 = − det Γ. Теоремы 1.2 и 1.3 позволяют решать задачу Дирихле для дифференциально-разностного уравнения (1.5) вместо того, чтобы решать нелокальную задачу (1.1), (1.2). Это иногда может оказаться значительно удобнее и будет использовано в разделе 4. 2. НЕЛОКАЛЬНЫЕ
ЗАДАЧИ И ФОРМУЛА
ГРИНА
Найдем задачу, формально сопряженную к задаче (1.1), (1.2). Для целых s > 1 введем пространства Hs (0, d) = {v ∈ L2 (0, d) : v1k ∈ H s (Q1k ), k = 1, . . . , N + 1} в случае θ = 1, и Hs (0, d) = {v ∈ L2 (0, d) : v1k ∈ H s (Q1k ), v2j ∈ H s (Q2j ),
(2.1)
k = 1, . . . , N + 1, j = 1, . . . , N } в случае 0 < θ < 1. Здесь и далее через vαk мы обозначаем сужение функции v на Qαk . Лемма 2.1. При θ = 1 для всех u ∈ H 2 (0, d), v ∈ H2 (0, d) справедлива следующая формула Грина: N +1 X
(Au, v1k )L2 (Q1k ) + B0 u C00 v + Bd u Cd0 v =
=
k=1 N +1 X
∗
(u, A v1k )L2 (Q1k ) +
N X
Bk u Ck0 v
k=1
k=1
+
N +1 X
(2.2) Bk0 u Ck v,
k=0
где A, B0 , и Bd заданы формулами (1.1), (1.2) и (A∗ v)(x) ≡v 00 (x) − a1 v 0 (x) + a0 v(x), Bk u ≡u(k),
k = 1, . . . , N,
Bk0 u
k = 0, . . . , N + 1,
0
≡u (k),
C0 v ≡ − v11 (0), Ck v ≡v1k (k) − v1, k+1 (k),
k = 1, . . . , N,
Cd v ≡v1, N +1 (d), 0 C00 v ≡ − v11 (0) + a1 v11 (0), 0 0 0 0 Ck0 v ≡v1, k+1 (k) − v1k (k) + γ1k v11 (0) − γ2, N +1−k v1, N +1 (d)− ¡ ¢ −a1 v1, k+1 (k) − v1k (k) + γ1k v11 (0) − γ2, N +1−k v1, N +1 (d) ,
Cd0 v
0 ≡v1, N +1 (d)
k = 1, . . . , N,
− a1 v1, N +1 (d).
Доказательство. Умножая (u00 + a1 u0 + a0 u) на v1k , интегрируя по Q1k и используя формулу интегрирования по частям, для k = 1, . . . , N + 1 получаем Zk
¡ ¢¯k 0 (u + a1 u + a0 u)v1k dx = u0 v1k − u(v1k − a1 v1k ) ¯k−1 + 00
k−1
Zk
0
k−1
00 0 u(v1k − a1 v1k + a0 v1k ) dx.
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
131
Просуммируем эти равенства по k = 1, . . . , N + 1: N +1 X
N +1 X
k=1 N +1 X
k=1
(Au, v1k )L2 (Q1k ) =
−
u0 (k)v1k (k) −
u0 (k − 1)v1k (k − 1) +
k=1
+
N +1 X
0 u(k)(v1k (k) − a1 v1k (k))−
k=1 N +1 X
0 u(k − 1)(v1k (k − 1) − a1 v1k (k − 1))+
(2.3)
k=1 N +1 X
(u, A∗ v1k )L2 (Q1k ) .
k=1
Используя (2.3), мы можем переписать левую часть (2.2) следующим образом N +1 X
(Au, v1k )L2 (Q1k ) + B0 u C00 v + Bd u Cd0 v =
k=1
−
N X k=1 0
N X
¡ 0 ¢ γ2,N +1−k u(k) v1, N +1 (d) − a1 v1, N +1 (d) +
k=1 N X
0
+u (N + 1)v1k (N + 1) − u (0)v1k (0) + −
(u, A∗ v1k )L2 (Q1k ) −
k=1
¡ ¢ 0 γ1k u(k) − v11 (0) + a1 v11 (0) −
N X
N +1 X
0 u(k)(v1k (k) − a1 v1k (k)) +
0
u (k)v1k (k) −
N +1 X
u0 (k − 1)v1k (k − 1)−
k=2
k=1 N +1 X
0 u(k − 1)(v1k (k − 1) − a1 v1k (k − 1)).
k=2
k=1
Меняя пределы суммирования и группируя слагаемые, получаем правую часть (2.2). Формула Грина (2.2) порождает задачу, формально сопряженную задаче (1.1), (1.2) (в случае θ = 1): 00 0 v1k (x) − a1 v1k (x) + a0 v1k (x) = f1k (x) (x ∈ Q1k , k = 1, . . . , N + 1),
(2.4)
v11 (0) = 0,
(2.5)
v1, N +1 (d) = 0,
(2.6)
v1, k+1 (k) − v1k (k) = 0, 0 v1, k+1 (k)
−
0 v1k (k)
=
k = 1, . . . , N,
0 γ2, N +1−k v1, N +1 (d)
(2.7) −
0 γ1k v11 (0),
k = 1, . . . , N.
(2.8)
Пример 2.1. Рассмотрим следующую задачу (см. также рис. 2.1): u00 (x) = f (x) (x ∈ (0, 2)), u(0) − γ1 u(1) = 0, u(2) − γ2 u(1) = 0.
РИС. 2.1.
(2.9) (2.10)
132
М. А. СКРЯБИН
Формально сопряженная задача к задаче (2.9), (2.10) имеет вид:
00 v11 (x) = f11 (x)
(x ∈ (0, 1)),
00 v12 (x) = f12 (x) (x ∈ (1, 2)),
v11 (0) = 0, v12 (2) = 0, v12 (1) − v11 (1) = 0, 0 0 0 0 v12 (1) − v11 (1) = γ2 v12 (d) − γ1 v11 (0).
Лемма 2.2. В случае 0 < θ < 1 для всех u ∈ H 2 (0, d), v ∈ H2 (0, d) справедлива следующая формула Грина:
N +1 X
N N +1 X X 0 0 (Au, v1k )L2 (Q1k ) + (Au, v2k )L2 (Q2k ) + B0 u C0 v + Bd u Cd v = (u, A∗ v1k )L2 (Q1k ) +
k=1
k=1
+
N X
k=1
(u, A∗ v2k )L2 (Q2k ) +
N X
Bk u Ck0 v +
+
N X
Bk0 u Ck v +
0 Bk−1+θ u Ck−1+θ v+
(2.11)
k=1
k=1
k=1
N X
N +1 X
0 Bk−1+θ u Ck−1+θ v,
k=1
k=0
где A, B0 , и Bd заданы формулами (1.1), (1.2) и (A∗ v)(x) ≡v 00 (x) − a1 v 0 (x) + a0 v(x), Bk u ≡u(k),
k = 1, . . . , N,
Bd−k u ≡u(d − k), Bk0 u ≡u0 (k), 0 Bd−k u
k = 1, . . . , N,
k = 0, . . . , N,
0
≡u (d − k),
k = 0, . . . , N,
C0 v ≡ − v11 (0), Ck v ≡v2k (k) − v1, k+1 (k),
k = 1, . . . , N,
Ck−1+θ v ≡v1k (k − 1 + θ) − v2k (k − 1 + θ),
k = 1, . . . , N,
Cd v ≡v1, N +1 (d), 0 C00 v ≡ − v11 (0) + a1 v11 (0), 0 0 0 Ck0 v ≡v1, k+1 (k) − v2k (k) + γ1k v11 (0)− ¡ ¢ − a1 v1, k+1 (k) − v2k (k) + γ1k v11 (0) , 0 Ck−1+θ v
Cd0 v
0 ≡v2k (k
k = 1, . . . , N,
0 − 1 + θ) − − 1 + θ) − γ2, N +1−k v1, N +1 (d)− ¡ ¢ − a1 v2k (k − 1 + θ) − v1k (k − 1 + θ) − γ2, N +1−k v1, N +1 (d) ,
0 ≡v1, N +1 (d)
0 v1k (k
− a1 v1, N +1 (d),
Доказательство. Лемма доказывается аналогично лемме 2.1.
k = 1, . . . , N,
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
133
Формула Грина (2.11) порождает задачу, формально сопряженную задаче (1.1), (1.2) (в случае 0 < θ < 1): 00 0 v1k (x) − a1 v1k (x) + a0 v1k (x) = f1k (x) (x ∈ Q1k , k = 1, . . . , N + 1), 00 0 v2k (x) − a1 v2k (x) + a0 v2k (x) = f2k (x) (x ∈ Q2k , k = 1, . . . , N ),
v11 (0) = 0,
(2.13)
v1, N +1 (d) = 0,
(2.14)
v1, k+1 (k) − v2k (k) = 0,
k = 1, . . . , N,
v2k (k − 1 + θ) − v1k (k − 1 + θ) = 0,
k = 1, . . . , N,
0 0 0 v1, k+1 (k) − v2k (k) = −γ1k v11 (0), 0 v2k (k
− 1 + θ) −
0 v1k (k
(2.12)
− 1 + θ) =
k = 1, . . . , N,
0 γ2, N +1−k v1, N +1 (d),
k = 1, . . . , N.
(2.15) (2.16)
Пример 2.2. Рассмотрим следующую задачу (см. также рис. 2.2): u00 (x) = f (x)
(x ∈ (0, 3/2)),
u(0) − γ1 u(1) = 0, u(3/2) − γ2 u(1/2) = 0.
(2.17) (2.18)
РИС. 2.2. Формально сопряженная задача к задаче (2.17), (2.18) имеет вид: 00 v11 (x) = f11 (x) (x ∈ (0, 1/2)), 00 v12 (x) = f12 (x) (x ∈ (1, 3/2)), 00 v21 (x) = f21 (x) (x ∈ (1/2, 1)),
v11 (0) = 0, v12 (3/2) = 0, v21 (1/2) − v11 (1/2) = 0, v12 (1) − v21 (1) = 0, 0 0 0 v12 (1) − v21 (1) = −γ1 v11 (0), 0 0 0 v21 (1/2) − v11 (1/2) = γ2 v12 (3/2). 3.
СВЕДЕНИЕ
ФОРМАЛЬНО СОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ К КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
Пусть R∗ : L2 (R) → L2 (R) — сопряженный к R оператор. Он определяется формулой ∗
(R y)(x) =
N X
b−k y(x + k).
(3.1)
k=−N ∗ : L (0, d) → L (0, d), сопряженный к R , определен формулой: Оператор RQ 2 2 Q ∗ RQ = PQ R∗ IQ .
(3.2)
Лемма 3.1. Пусть v ∈ H2 (0, d) и удовлетворяет (2.7), (2.8) (в случае θ = 1) или (2.15), (2.16) ∗ v. Тогда w ∈ H 2 (0, d). (в случае 0 < θ < 1). Пусть w = RQ
134
М. А. СКРЯБИН
Доказательство. Имеем wαk (x) =
N X
b−l vα, k+l (x + l),
x ∈ Qαk ,
k = 1, . . . , M
(3.3)
l=−N
(мы положили vαk (x) ≡ 0 для k < 1 и для k > M ). Так как vαk ∈ H 2 (Qαk ), то wαk ∈ H 2 (Qαk ), k = 1, . . . , M . Таким образом, w ∈ H2 (0, d). Рассмотрим случай θ = 1. Достаточно показать, что w1k (k) = w1, k+1 (k),
k = 1, . . . , N,
0 w1k (k)
k = 1, . . . , N.
=
0 w1, k+1 (k),
В силу (3.3) мы имеем N X
w1k (k) =
b−l v1, k+l (k + l),
l=−N N X
w1, k+1 (k) =
b−l v1, k+l+1 (k + l).
l=−N
Вычитая первое равенство из второго, для k = 1, . . . , N получаем w1, k+1 (k) − w1k (k) =
N X
h i b−l v1, k+l+1 (k + l) − v1, k+l (k + l) = 0,
l=−N
так как v удовлетворяет (2.7) и v(x) = 0 для x ∈ / (0, d). Таким образом, w1k (k) = w1, k+1 (k),
k = 1, . . . , N.
Дифференцируя формулу (3.3), получаем 0 wαk (x)
=
N X
0 b−l vα, k+l (x + l),
x ∈ Qαk ,
k = 1, . . . , M
(3.4)
l=−N 0 (x) ≡ 0 для k < 1 и для k > M ). (мы также положили vαk Используя (3.4), мы получаем (в случае θ = 1) 0 w1, k+1 (k)
−
0 w1, k (k)
=
N X
h i 0 0 b−l v1, k+l+1 (k + l) − v1, k+l (k + l) =
l=−N
=
N −k X
h i h i 0 0 0 0 b−l v1, k+l+1 (k + l) − v1, k+l (k + l) + b−N +k−1 v1, N +2 (N + 1) − v1, N +1 (N + 1) +
l=−k+1 N h i X h i 0 0 0 0 0 +bk v11 (0) − v10 (0) = bk−l v1, l+1 (l) − v1l (l) − b−N +k−1 v1, N +1 (d) + bk v11 (0). l=1
Так как v удовлетворяет (2.8), мы имеем 0 0 w1, k+1 (k) − w1k (k) =
N X l=1
0 −bk γ10 v11 (0)
=
£ ¤ 0 0 bk−l γ2, N +1−l v1, N +1 (d) − γ1l v11 (0) + b−N +k−1 γ20 v1, N +1 (d)− · NX +1
¸ ·X ¸ N 0 0 bk−l γ2, N +1−l v1, N +1 (d) − bk−l γ1l v11 (0).
l=1
l=0
Но коэффициенты bk удовлетворяют (1.18); таким образом, выражения в скобках равны нулю. Поэтому, 0 wk0 (k) = wk+1 (k), k = 1, . . . , N. Случай 0 < θ < 1 рассматривается аналогично.
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
135
Лемма 3.2. Пусть v ∈ H1 (0, d) и удовлетворяет (2.5), (2.6) (в случае θ = 1) или (2.13), ∗ v. Тогда w ∈ H1 (0, d) и удовлетворяет следующим (2.14) (в случае 0 < θ < 1). Пусть w = RQ условиям: w(0 + 0) −
w(d − 0) −
N X k=1 N X
γ2k w(k + 0) = 0,
(3.5)
γ1k w(d − k − 0) = 0.
(3.6)
k=1
Доказательство. Из (3.3) следует, что если v ∈ H1 (0, d), то w ∈ H1 (0, d). Сначала докажем равенство (3.5). Обозначим через (R1∗ )1 ((R1∗ )2 ) матрицу, полученную из R1∗ удалением первого (последнего) столбца. Обозначим через fi (hi ) i-ю строку матрицы (R1∗ )1 ((R1∗ )2 ). Из вида матриц R1 и R1∗ и из (1.10) следует, что f1 =
N X
γ2k fk+1 ,
hN +1 =
k=1
N X
γ1k hN +1−k ,
(3.7)
k=1
Положим V = (U1 v)(0 + 0) = (0, v(1 + 0), . . . , v(N + 0))T и V 0 = (v(1 + 0), . . . , v(N + 0))T . Используя лемму 1.1, имеем w(0 + 0) =
[R1∗ V ]1
=
[(R1∗ )1 V 0 ]1
0
= f1 V =
N X
0
γ2k fk+1 V =
N X
γ2k [(R1∗ )1 V 0 ]k+1
=
γ2k w(k + 0),
k=1
k=1
k=1
N X
где через [ · ]k обозначен k-й элемент вектора. Равенство (3.6) доказывается аналогично. Из лемм 3.1 и 3.2 следует, что если v ∈ H2 (0, d) и удовлетворяет условиям (2.5)–(2.8) (в случае ∗ v ∈ H 2 (0, d) и удовлетворяет следующим θ = 1) или (2.13)–(2.16) (в случае 0 < θ < 1), то w = RQ нелокальным краевым условиям: w(0) −
w(d) −
N X k=1 N X
γ2k w(k) = 0, (3.8) γ1k w(d − k) = 0.
k=1
Пусть det Γ 6= 0; тогда в силу теоремы 1.2 условия 1.1 и 1.2 выполнены. Поэтому по лемме 1.2 ∗ имеет ограниченный обратный оператор (R∗ )−1 . Следовательно, оператор RQ Q ∗ −1 vαk (x) = ((RQ ) w)αk (x),
k = 1, . . . , M,
и уравнения (2.4), (2.12) могут быть записаны в виде ∗ −1 ∗ −1 ∗ −1 ((RQ ) w)00αk (x) − a1 ((RQ ) w)0αk (x) + a0 ((RQ ) w)αk (x) = fαk (x), x ∈ Qαk , k = 1, . . . , M.
(3.9)
Пусть Wα (x) = (Uα w)(x), Fα (x) = (Uα f )(x). Тогда уравнения (3.9) можно переписать следующим образом: d d2 (Rα∗ )−1 Wα (x) − a1 (Rα∗ )−1 Wα (x) + a0 (Rα∗ )−1 Wα (x) = Fα (x) 2 dx dx Следовательно, получаем
(x ∈ Qα1 ).
(3.10)
(Rα∗ )−1 (Wα00 (x) − a1 Wα0 (x) + a0 Wα (x)) = Fα (x) (x ∈ Qα1 ), или
Wα00 (x) − a1 Wα0 (x) + a0 Wα (x) = Rα∗ Fα (x) (x ∈ Qα1 ). Так как w ∈ H 2 (0, d), уравнение (3.11) эквивалентно уравнению ∗ w00 (x) − a1 w0 (x) + a0 w(x) = RQ f (x)
(x ∈ (0, d)).
(3.11) (3.12)
136
М. А. СКРЯБИН
Таким образом, доказана следующая теорема. ∗ v. Теорема 3.1. Пусть det Γ 6= 0, b является решением системы (1.18), v ∈ H2 (0, d) и w = RQ Если v удовлетворяет задаче (2.4)–(2.8) (в случае θ = 1) или задаче (2.12)–(2.16) (в случае 0 < θ < 1), то w ∈ H 2 (0, d) и удовлетворяет нелокальной краевой задаче (3.12), (3.8).
4.
ОДНОЗНАЧНАЯ
РАЗРЕШИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ
Положим (для n > 3)
© ª Θ = x = (y, z) : r > 0, 0 < ϕ < (N + θ)h, z ∈ Rn−2 , © ª Υψ = x = (y, z) : r > 0, ϕ = ψ, z ∈ Rn−2 (ψ = 0, (N + θ)h), © ª M = x = (0, z) : z ∈ Rn−2 .
Здесь x = (y, z) ∈ Rn , y ∈ R2 , z ∈ Rn−2 ; r, ϕ — полярные координаты точки y; 0 < (N + θ)h < 2π, N — натуральное число и 0 < θ 6 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение −4U = f (x)
(x ∈ Θ)
(4.1)
с нелокальными краевыми условиями U(0, r, z) −
U((N + θ)h, r, z) −
N X k=1 N X
γ1k U(kh, r, z) = g1 (x)
(x ∈ Υ0 ), (4.2)
γ2k U((N + θ − k)h, r, z) = g2 (x)
(x ∈ Υ(N +θ)h ).
k=1
Здесь U(ϕ, r, z) — функция U(x), записанная в цилиндрических координатах; γ1k , γ2k — вещественные числа, f , g1 , g2 — комплекснозначные функции. ¯ \ M ) по норме Введем пространство Has (Θ) как пополнение C0∞ (Θ Ã !1/2 XZ 2(a−s+|α|) α 2 kwkHas (Θ) = r |Dx w(x)| dx , |α|6s Θ
¯ \ M ) — множество бесконечно дифференцируемых функций в Θ ¯ с компактным носигде C0∞ (Θ s−1/2 ¯ \ M , a ∈ R, s > 0 — целое. Через Ha телем, принадлежащим Θ (Υ) (для s > 1) обозначим ¯ с нормой пространство следов на луче Υ ⊂ Θ kvkH s−1/2 (Υ) = inf kwkHas (Θ) a
(w ∈ Has (Θ) : w|Υ = v).
Далее мы найдем некоторые достаточные условия для однозначной разрешимости задачи (4.1), (4.2). Сейчас мы рассмотрим вспомогательную задачу в плоском угле. Показано (см. [35]), что если эта вспомогательная задача имеет единственное решение, то задача (4.1), (4.2) также имеет единственное решение. Для n = 2 положим K = {y : r > 0, 0 < ϕ < (N + θ)h}, K(ψ1 , ψ2 ) = {y : r > 0, ψ1 < ϕ < ψ2 } (0 6 ψ1 < ψ2 6 (N + θ)h), `ψ = {y : r > 0, ϕ = ψ} (0 6 ψ 6 (N + θ)h). ˚s (K) как пополнения множеств C ∞ (K ¯ \ {0}) и C ∞ (K), соотВведем пространства H s (K) и H 0 0 ветственно, по норме µXZ ¶1/2 α 2 kwkH s (K) = |Dy w(y)| dy . |α|6s K
Аналогично введем пространства
H s (K(ψ1 ,
ψ2 )).
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
137
¯ Также введем пространство Eas (K) как пополнение множества C0∞ (K\{0}) по норме Ã ! 1/2 XZ 2a 2(|α|−s) α 2 r (r + 1)|Dy w(y)| dy . kwkEas (K) = |α|6s K s−1/2
Через Ea
¯ с нормой (`) (для s > 1) обозначим пространство следов на луче ` ⊂ K kvkE s−1/2 (`) = inf kwkEas (K) a
(w ∈ Eas (K) : w|` = v).
Запишем соответствующую задачу в плоском угле K: −4u + u ≡ −
2 X
uyi yi (y) + u(y) = f (y)
(y ∈ K),
(4.3)
i=1 N X
u(0, r) −
k=1 N X
u((N + θ)h, r) −
γ1k u(kh, r) = g1 (y) (y ∈ `0 ), (4.4) γ2k u((N + θ − k)h, r) = g2 (y)
(y ∈ `(N +θ)h ).
k=1 3/2+s
Введем оператор LK : Ea2+s (K) → Eas (K) × Ea ³ LK u =
− 4u + u, u(0, r) −
N X
3/2+s
(`0 ) × Ea
(`(N +θ)h ) по формуле
γ1k u(kh, r), u((N + θ)h, r) −
N X
´ γ2k u((N + θ − k)h, r) .
k=1
k=1
Оператор LK будет фредгольмов, если выполнены некоторые условия на a. Эти условия связаны с распределением собственных чисел следующей однородной задачи с параметром λ: −e uϕϕ + λ2 u e=0 u e(0) −
u e((N + θ)h) −
N X k=1 N X
(0 < ϕ < (N + θ)h),
(4.5)
γ1k u e(kh) = 0, (4.6) γ2k u e((N + θ − k)h) = 0.
k=1
e : H s+2 (0, (N + θ)h) → H s (0, (N + θ)h) × C × C по формуле Введем оператор L(λ) N N ´ ³ X X 00 2 e γ1k u e(kh), u e((N + θ)h) − γ2k u e((N + θ − k)h) . L(λ)e u= −u e +λ u e, u e(0) − k=1
k=1
Справедлива следующая теорема. Теорема 4.1. Предположим, что прямая Im λ = a − s − 1 не содержит собственных чисел e операторнозначной функции L(λ); тогда оператор LK : Ea2+s (K) → Eas (K) × Ea3/2+s (`0 ) × Ea3/2+s (`(N +θ)h ) фредгольмов. Обратно, если оператор LK фредгольмов, то прямая Im λ = a − s − 1 не содержит собственe ных чисел операторнозначной функции L(λ). Доказательство приведено в [35]. Далее мы предположим, что оператор LK фредгольмов, и покажем тривиальность его ядра и коядра при выполнении некоторых условий. Для этого мы сведем нелокальную краевую задачу к краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения. Введем оператор R : L2 (R2 ) → L2 (R2 ) по формуле (Rw)(y) =
N X k=−N
bk w(ϕ + kh, r),
138
М. А. СКРЯБИН
где w(ϕ, r) — функция w(y), записанная в полярных координатах; bk ∈ R. Пусть IK : L2 (K) → L2 (R2 ) — оператор продолжения нулем вне K; PK : L2 (R2 ) → L2 (K) — оператор сужения на K. Введем оператор RK : L2 (K) → L2 (K) по формуле RK = PK RIK . Мы также введем разностный оператор R : L2 (R) → L(R) по формуле (Rw)(ϕ) e =
N X
bk w(ϕ e + kh)
k=−N
с коэффициентами bk такими, как и в R, и оператор RQ : L2 (0, (N + θ)h) → L2 (0, (N + θ)h) по формуле RQ = PQ RIQ , где IQ : L2 (0, (N + θ)h) → L2 (R) — оператор продолжения нулем вне Q = (0, (N + θ)h) и PQ : L2 (R) → L2 (0, (N + θ)h) — оператор сужения на Q. Если 0 < θ < 1, обозначим Q1k = ((k − 1)h, (k − 1 + θ)h)
(k = 1, . . . , N + 1),
Q2k = ((k − 1 + θ)h, kh)
(k = 1, . . . , N ).
Если θ = 1, обозначим Q1k = ((k − 1)h, kh) (k = 1, . . . , N + 1). Положим α = 1, 2, если 0 < θ < 1, и α = 1, если θ = 1. S Введем изоморфизм гильбертовых пространств Uα : L2 ( Qαk ) → LM 2 (Qα1 ) по формуле k
(Uα w) e k (ϕ) = w(ϕ e + k − 1)
(ϕ ∈ Qα1 , k = 1, . . . , M ),
(4.7)
где LM 2 (Qα1 ) =
M Y
L2 (Qα1 ).
k=1
Здесь и далее M = N + 1, если α = 1, и M = N , если α = 2. Введем также изоморфизм гильбертовых пространств Uα : L2 (K) → LM 2 (Kα ) по формуле (Uα w)k (y) = w(ϕ + (k − 1)h, r)
(y ∈ Kα , l = 1, . . . , M ),
где Kα = K(0, θh), если α = 1, и Kα = K(θh, h), если α = 2, и LM 2 (Kα ) =
M Y
L2 (Kα ).
k=1
Если 0 < θ < 1, обозначим K1k = K((k − 1)h, (k − 1 + θ)h)
(k = 1, . . . , N + 1),
K2k = K((k − 1 + θ)h, kh) (k = 1, . . . , N ). Если θ = 1, обозначим K1k = K((k − 1)h, kh) (k = 1, . . . , N + 1). Все леммы и теоремы предыдущих разделов, которые справедливы для разностного оператора RQ , справедливы и для оператора RQ этого раздела. Сейчас мы сформулируем аналогичные леммы для оператора RK . M M Лемма 4.1. Оператор RKα = Uα RK U−1 α : L2 (Kα ) → L2 (Kα ) является оператором умножения на матрицу Rα .
Лемма 4.2.
( σ(RK ) =
σ(R1 ) ∪ σ(R2 ), если 0 < θ < 1, σ(R1 ), если θ = 1.
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
139
Обозначим через vαk сужение функции v на Qαk . Введем пространство Eas (K) = {v : vαk ∈ Eas (Qαk )}. Очевидна следующая лемма. Лемма 4.3. Оператор RK отображает Eas (K) в Eas (K). Найдем коэффициенты bk , удовлетворяющие (1.18). Предположим, что выполнено следующее условие на коффициенты γ1k , γ2k в (4.2). Условие 4.1. Матрица Γ, определенная по формуле (1.12), невырожденная, т. е. det Γ 6= 0. Если выполнено условие 4.1, то по теореме 1.2 система (1.18) имеет единственное (с точностью до умножения на ненулевую постоянную) нетривиальное решение b, и для этого нетривиального решения b мы имеем det R1 6= 0. Также предположим, что выполнено следующее условие. Условие 4.2. Матрица R1 + R1∗ положительно определена. Справедлива следующая лемма. ∗ положительно определены тогда и только Лемма 4.4. Операторы RK + R∗K и RQ + RQ ∗ тогда, когда матрица R1 + R1 положительно определена.
Доказательство для RQ приведено в [38, глава 1, раздел 2]. Доказательство для RK проводится аналогично. Если условия 4.1, 4.2 выполнены, мы можем уточнить распределение собственных чисел операe торнозначной функции L(λ). Лемма 4.5. Пусть условия 4.1 и 4.2 выполнены. Тогда прямая Im λ = 0 не содержит собe ственных чисел операторнозначной функции L(λ). Доказательство. Если условие 4.1 выполнено, то по теореме 1.3 оператор RQ отображает ˚1 (0, (N + θ)h) на H 1 (0, (N + θ)h) непрерывно и взаимнооднозначно. Положим u H e = RQ w, e где Γ 1 ˚ w e ∈ H (0, (N + θ)h). Если u e удовлетворяет задаче (4.5), (4.6), то w e удовлетворяет следующей задаче: −(RQ w) e 00 + λ2 (RQ w) e = 0,
(4.8)
w(0) e = w((N e + θ)h) = 0
(4.9)
и наоборот. Так как условие 4.2 выполнено и λ2 > 0 (так как λ ∈ R), имеем Re(λ2 (RQ w), e w)) e L2 (0, (N +θ)h) > 0. Тогда используя теорему 3.3 [38, глава 1, раздел 3], получаем, что задача (4.8), (4.9) имеет только тривиальное решение. Из леммы 4.5 и теоремы 4.1 следует, что оператор 3/2
3/2
LK : E12 (K) → E10 (K) × E1 (`0 ) × E1 (`(N +θ)h ) фредгольмов. Покажем тривиальность его ядра и коядра. Пусть u ∈ E12 (K) — решение однородной задачи (4.3), (4.4) (с f = 0, g1 = g2 = 0). Так как коэффициенты оператора RK удовлетворяют (1.10), мы можем свести задачу (4.3), (4.4) к краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения. Полагая w = RK u (здесь w ∈ E11 (K) ∩ E12 (K)), мы получаем: −4RK w + RK w = 0
(y ∈ K),
w(y) = 0 (y ∈ `0 ), w(y) = 0 (y ∈ `(N +θ)h ).
(4.10) (4.11)
140
М. А. СКРЯБИН
Используя положительную определенность оператора RK + R∗K , получаем Re(−4RK w + RK w, w)L2 (K) = 2
=
1X 1 ((RK + R∗K )wyi , wyi )L2 (K) + ((RK + R∗K )w, w)L2 (K) > c1 kwk2H 1 (K) . 2 2 i=1
Поэтому в силу теоремы 10.1 [38, глава 2, раздел 10], мы получаем, что w ≡ 0 — единственное решение задачи (4.10), (4.11) в H 1 (K). Используя E11 (K) ∩ E12 (K) ⊂ H 1 (K), мы получаем, что эта задача имеет единственное решение в E11 (K) ∩ E12 (K). Поэтому w = 0. Так как RK обратим, то u = 0. Таким образом, мы доказали, что ker LK = {0}. Для того чтобы доказать тривиальность коядра оператора LK , мы изучим задачу, формально сопряженную к задаче (4.3), (4.4). Запишем формально сопряженную задачу с нулевой правой частью. Эти задачи получаются так же, как и в одномерном случае (см. раздел 2). Если θ = 1, имеем −4v1k (y) + v1k (y) = 0 v11 (0, r) = 0 v1, N +1 ((N + θ)h, r) = 0
(x ∈ K1k , k = 1, . . . , N + 1),
(4.12)
(y ∈ `0 ),
(4.13)
(y ∈ `(N +θ)h ),
(4.14)
v1, k+1 (kh, r) − v1k (kh, r) = 0 (y ∈ `kh , k = 1, . . . , N ), ∂ ∂ ∂ ∂ v1, k+1 (kh, r) − v1k (kh, r) = γ2, N +1−k v1, N +1 ((N + θ)h, r) − γ1k v11 (0, r) ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (y ∈ `kh , k = 1, . . . , N ).
(4.15) (4.16)
Если 0 < θ < 1, имеем −4v1k (y) + v1k (y) = 0 (y ∈ K1k , k = 1, . . . , N + 1), −4v2k (y) + v2k (y) = 0 (y ∈ K2k , k = 1, . . . , N ), v11 (0, r) = 0
(y ∈ `0 ),
v1, N +1 ((N + θ)h, r) = 0 v1, k+1 (kh, r) − v2k (kh, r) = 0
(y ∈ `(N +θ)h ), (y ∈ `kh , k = 1, . . . , N ),
v2k ((k − 1 + θ)h, r) − v1k ((k − 1 + θ)h, r) = 0 (y ∈ `(k−1+θ)h , k = 1, . . . , N ), ∂ ∂ ∂ v1, k+1 (kh, r) − v2k (kh, r) = −γ1k v11 (0, r) ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (y ∈ `kh , k = 1, . . . , N ), ∂ ∂ ∂ v2k ((k − 1 + θ)h, r) − v1k ((k − 1 + θ)h, r) = γ2, N +1−k v1, N +1 ((N + θ)h, r) ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (y ∈ `(k−1+θ)h , k = 1, . . . , N ).
(4.17) (4.18) (4.19) (4.20)
(4.21)
Функция v ∈ E12 (K) называется решением задачи (4.12)–(4.16) (задачи (4.17)–(4.21)), если она удовлетворяет системе уравнений (4.12) (соответственно, (4.17)) и условий (4.13)–(4.16) (соответственно, (4.14)–(4.21)). Доказано (см. лемму 8.1 [35]), что размерность ядра сопряженной задачи в весовых пространствах равна коразмерности образа исходной задачи. Доказательство следующей теоремы подобно доказательству теоремы 3.1. ∗ v. Если Теорема 4.2. Пусть det Γ 6= 0, b — решение системы (1.18), v ∈ E12 (K) и w = RK v удовлетворяет задаче (4.12)–(4.16) (в случае θ = 1), либо задаче (4.17)–(4.21) (в случае
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
141
0 < θ < 1), то w ∈ E12 (K) и удовлетворяет следующей нелокальной краевой задаче: −4w + w ≡ −
2 X
wyi yi (y) + w(y) = 0
(y ∈ K),
(4.22)
i=1
w(0, r) −
w((N + θ)h, r) −
N X k=1 N X
γ2k w(kh, r) = 0
(y ∈ `0 ), (4.23)
γ1k w((N + θ − k)h, r) = 0 (y ∈ `(N +θ)h ).
k=1
Условия 4.1 и 4.2 гарантируют существование оператора R∗K , который сводит эту задачу к однородной краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения. Подобно тому, как показано выше, мы можем доказать, что последняя задача имеет единственное тривиальное решение ˚1 (K). Так как E 2 (Kαk ) ⊂ H 1 (Kαk ), задача (4.12)–(4.16), если θ = 1, и задача (4.17)–(4.21), v вH 1 если 0 < θ < 1, имеет единственное тривиальное решение. Таким образом, в силу леммы 8.1 [35] coker LK = {0}. Мы доказали следующую теорему. Теорема 4.3. Предположим, что выполнены условия 4.1 и 4.2. Тогда оператор 3/2
3/2
LK : E12 (K) → E10 (K) × E1 (`0 ) × E1 (`(N +θ)h ) является изоморфизмом.
РИС. 4.1. Используя теорему 1.17 [35] и теорему 4.3 настоящей работы, получаем следующий результат. Теорема 4.4. Пусть выполнены условия теоремы 4.3. Тогда нелокальная краевая задача (4.1), (4.2) имеет единственное решение U ∈ H12 (Θ) для любой правой части 3/2
3/2
{f, g1 , g2 } ∈ H10 (Θ) × H1 (Υ0 ) × H1 (Υ(N +θ)h ).
142
М. А. СКРЯБИН
Пример 4.1. Пусть N = 1, θ = 1. Рассмотрим следующую задачу в двугранном угле Θ (см. рис. 4.1): −4U = f (x) (x ∈ Θ),
(4.24)
U(0, r, z) − γ1 U(h, r, z) = g1 (x)
(x ∈ Υ0 ),
U(2h, r, z) − γ2 U(h, r, z) = g2 (x)
(x ∈ Υ2h ).
(4.25)
Предположим, что |γ1 + γ2 | < 2. Тогда в этом случае задача (4.24), (4.25) однозначно разрешима для 3/2
(4.26)
3/2
{f, g1 , g2 } ∈ H10 (Θ) × H1 (Υ0 ) × H1 (Υ2h ). Действительно, матрица R1 в данном случае имеет вид (ср. с примером 1.3): µ ¶ 1 γ1 R1 = . γ2 1 Несложно показать, что при выполнении (4.26) условия теоремы 4.4 также выполняются. Таким образом, задача (4.24), (4.25) однозначно разрешима для 3/2
3/2
{f, g1 , g2 } ∈ H10 (Θ) × H1 (Υ0 ) × H1 (Υ2h ). Автор выражает глубокую признательность П. Л. Гуревичу и А. Л. Скубачевскому за постоянное внимание к этой работе. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бицадзе А. В. К теории нелокальных краевых задач// ДАН СССР. — 1984. — 277. — C. 17–19 2. Бицадзе А. В. Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функций// ДАН СССР. — 1985. — 280. — C. 521–524 3. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// ДАН СССР. — 1969. — 185. — C. 739–740 4. Вентцель А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов// Теория вероятн. и ее примен. — 1959. — 4. — C. 172–185 5. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Мат. сб. — 1951. — 29 (71), № 3. — С. 615–676 6. Гуревич П. Л. Нелокальные эллиптические задачи в двугранных углах и формула Грина// Докл. РАН. — 2001. — 379. — C. 735–738 7. Гуревич П. Л. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в двугранных углах// Мат. заметки. — 2002. — 72. — C. 178–197 8. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка// Мат. сб. — 1994. — 185, № 1. — С. 121–160 9. Житарашу Н. В., Эйдельман С. Д. О нелокальных граничных задачах для эллиптических уравнений// Мат. исслед. — 1971. — 6, № 2 (20). — C. 63–73 10. Иванова Е. П., Скубачевский А. Л. Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка// Депонировано в ВИНИТИ, № 3646-81, 1981 11. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, опряженной к нелокальной краевой задаче первого рода// Дифф. ур-я. — 1988. — 24, № 5. — C. 795–804 12. Кишкис К. Ю. Об индексе задачи Бицадзе—Самарского для гармонических функций// Дифф. ур-я. — 24, №1. — C. 105–110 13. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Тр. ММО. — 1967. — 16. — С. 209–292 14. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Lp –оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Тр. ММО. — 1978. — 37. — С. 49–93 15. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991 16. Панеях Б. П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов// Мат. заметки. — 1984. — 35. — C. 425–434 17. Ройтберг Я. А., Шефтель З. Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем// Сиб. мат. журнал. — 1972. — 13, № 1. — C. 165–181
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННЫХ УГЛАХ И ФДУ
143
18. Скубачевский А. Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// ДАН СССР. — 1989. — 307, № 2. — C. 287–291 19. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Мат. сб. — 1986. —129(171), № 2. — C. 279–302 20. Скубачевский А. Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах// Дифф. ур-я. — 1990. — 26. — C. 119—131 21. Скубачевский А. Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифф. ур-я. — 1991. — 27. — C. 128—139 22. Скубачевский А. Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач// Дифф. ур-я. — 1989. — 25, №1. — C. 127—136 23. Bade W. G., Freeman R. S. Closed extensions of the Laplace operator determined by a general class of boundary conditions// Pac. J. Math. — 1962. — 12, № 2. — C. 395–410 24. Beals R. Nonlocal elliptic boundary value problems// Bull. Am. Math. Soc. — 1964. — 70, № 5. — C. 693-696 25. Bensoussan A., Lions J.-L. Impulse control and quasi-variational inequalities. — Paris: Gauthier-Villars, 1984 26. Bony J. M., Courrege P., Priouret P. Semi-groups de Feller sur une vari´et´e a` bord compacte et probl`emes aux limites int´egro-diff´erentiels du second ordre donnant lieu au principe du maximum// Ann. Inst. Fourier. — 1968. — 18. — C. 369–521 27. Browder F. Nonlocal elliptic boundary value problems// Am. J. Math. — 1964. — 86. — C. 735–750 28. Calkin J. W. General self-adjoint boundary conditions for certain partial differential operators// Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 1939. — 25, №4. — 201–206 29. Cancelier C. Probl`emes aux limites pseudo-diff´erentiels donnant lieu au principe du maximum// Commun. Partial Differ. Equations. — 1986. — 11. — C. 1677–1726 30. Carleman T. Sur la th´eorie des equations integrales et ses applications// Verhandlungen des Internat, ¨ Math. Kongr., Zurich. — 1932. — 1. — C. 132–151 31. Feller W. Diffusion processes in one dimension// Trans. Am. Math. Soc. — 1954. — 77. — C. 1–30 32. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations// Ann. Math. — 1952. — 55. — C. 468–519 33. Galakhov E., Skubachevskii A. L. On Feller semigroups generated by elliptic operators with integrodifferential boundary conditions// J. Differ. Equations. — 2001. — 176. — C. 315–355 34. Gurevich P. L. Solvability of the boundary-value problem for some differential-difference equations// Funct. Differ. Equ. — 1998. — 5, № 1–2. — C. 139–157 35. Gurevich P. L. Nonlocal problems for elliptic equations in dihedral angles and the Green formula// Mitt. Math. Semin. Giessen. — 2001. — 247. — C. 1–74 36. Sato K., Ueno T. Multi-dimensional diffusion and the Markov process on the boundary// J. Math. Kyoto Univ. — 1965. — 4. — C. 529–605 37. Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes// Rus. J. Math. Physics. — 1995. — 3, № 3. — C. 327–360 38. Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. — Basel–Boston–Berlin: Birkh¨auser, 1997 39. Taira K. Diffusion Processes and Partial Differential Equations. — New York—London: Academic Press, 1988 40. Watanabe S. Construction of diffusion processes with Wentzell’s boundary conditions by means of Poisson point processes of Brownian excursions// Probability Theory. — 1979. — 5. — C. 255–271
Максим Александрович Скрябин Московский авиационный институт, Москва E-mail:
[email protected]
