( . . , 1- !, "#"#, " 1999/2000 !(.)#) 1. 2. 3. 4...
14 downloads
194 Views
959KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
( . . , 1- !, "#"#, " 1999/2000 !(.)#) 1. 2. 3. 4. 5.
, ! "
2 7 8 9 15
5.1. : : : : : : : : : : : 19 5.2. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20
6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ! "
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
21 21 25 26 28
7. &
28
8. , '( " ( 9. ) , * (),)
32 34
7.1. % : : : : : 30 7.2. & : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31
9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.
'( &' : : : : : : : : : : &' ( ( : : : : : : : : : : : : : ) ( (" ) : : : : : : , ( : : : : : : : : : - : : : : : : : : : : . .
10./ 0 *
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
10.1. /( : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10.2. 0 ( : : : : : : : : : 10.3. ) ( 10.4. 1 23 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
: : : : : :
: : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
34 35 38 40 45 46
48 48 52 55 58
10.5. 4 : : : : : : : : : : 59 10.6. 4 . \ " 7 ( . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
11.( 1 * 1 11.1. ! ( : 11.2. - % 11.3. 9 : : : : 11.4. ' : : : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
63 65 67 70 72
12. 2 0 * 13.3 *
74 77
14.4''
82
15.4''
( ' " 16. 0 *
89 91
13.1. ( : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79 14.1. 07( :7 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
16.1. ) ( : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96 16.2. ):3 : : : : : : : : : : : : : : : 104 16.3. ,"" ( " % 108
17.) 1 *
17.1. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17.2. 97 : : : : : : 17.3. :7 : : : : : : : : : : : : : 17.4. -"" :7 : : : : : : : : 17.5. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17.6. /
1.
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
: : : : : :
109 109 110 113 114 114 117
& ( 1.1. 9 -( , 7 ( . / 1.2. < | 7 , . . ( ( . > :7( ;! AB ;! CD : : : ;! / 1.3. ? AA 7 :7( 0A . 2
/ 1.4.
| %:
j;! ABj := (A B ):
? ( , 2 , . / 1.5. < , 3 ,
. ! (
, ,
2: . / 1.6. < , 3 ,
. / 1.7. < ,
, . / 1.8. ! , ( M 7 ( S (. . S M M ), ( ( (m n) 2 S :( 7 m n): m m ( ) 7 m n n m ( ( ) 7 m n n k m k (7 ) 2: m n k 2 M . ? B % M 23 , 3 7 B , B . & 72 . / B , 3 m 2 M , :7( Cm].
5 1.9. .
. )(. 2 / 1.10. ( ) 7 23 B . > :7( ;! AB ;! CD : : : ( C;! AB] C;! CD] : : :)
a b : : :, 3 ( | : : :
( :) .
/ 1.11. 1)
!
:
:
a
3
6 @ @
b
@ @ R @ :
a+b
2)
"
3 ( :
; ;
; ;
; ; ;
b = a
; ;
a
: 1) b
aF 2) jbj = jj jajF 3) b a, > 0, , < 0. & % ( :) .
1 1 0 "1 :
1. a + b = b + a ( =
)F 2. a + (b + c) = (a + b) + c ( % = ( )F 3. a + 0 = a ( 3 = C0A])F ( 3 :)F 4. a + (;1) a = 0 5. ( )a = (a) ( % )F ) 6: ( + )a = a + a ( : )F 7: (a + b) = a + b 8. 1 a = a (%). / 1.12. G % % ( , 23 B , 7 . <, ( % ( : 7 B , :7 ( % (, , B . .). ? B :72 2 . > , 7 H (( : ?). / 1.13. a1 : : : an ## 1 : : : n 2 R 7 1a1 + : : : + n an. J i 2, :% 7 $, ( | $.
/ 1.14. ? a1 : : : an
, 3 :%, 2, . . ( 1 : : : n , 2, ( 1a1 + : : : + n an = 0. ? ( , . . 7 1a1 + : : : + nan = 0 1 = 2 = : : : = n = 0.
4
5 1.15. !
% $ % , % $ .
. . -
:% , 2: 1a1 + : : : + n an = 0. ) 7 B""%, , i, 2. 4 ai = ; 1 a1 + : : : + ; i;1 ai;1 + ; i+1 ai+1 + : : : + ; n an: i i i i . ai = 1a1 + : : : + i;1ai;1 + i+1ai+1 + : : :nan. 4 (;1)ai + 1a1 + : : : + i;1ai;1 + i+1ai+1 + : : : nan = 0 | ( B""% | ) :%, 2. 2 5 1.16. &$ a1 : : : ak |
. (% a1 : : : ak ak+1 : : : an |
, ak+1 : : : an.
. J 1a1 + : : :k ak = 0 | :%, 1a1 + : : : k ak + 0 ak+1 + : : : + 0 an = 0 :%. 2 5 1.17. 1) % $ % , % .
2) ( % $ % , % . 3) - % .
. 1. 2 % ( .
2. 1.15 7 7 , ( c = a + b, . . c
a b. ):, a b
, 7 1.16 a b c 7 . J a b
, c c = a + b, \
". 3. J - : 3 , 7 3 , 1.16 7 4. J 3 a b c d , a b, c d
, 2 ( ( 2
) ,
(( 4 : : ). 4 23 f ( , , 2 :%2 a b, | c d ( . 7 . 2): a + b = f = c + d: 5
J B 7 B""%, , , 0, b c d , ( ( 2. 4 :7,
a + b ; c ; d = 0 | :%.
2
/ 1.18. . ( ., , ) 7 ( : 7 1 ( ., 2, 3) 7 . & ( 1.19. - B 7(, ( . 7 1.20. ( ., , ) 0
% .
. - 3 :%. e1 e2 e3 |
:7 , a | 7 . 1.17 ( . 3) a e1 e2 e3 7 , ( 3 :% a+1e1 +2e2 + 3e3 = 0. = 0. 4 1e1 + 2e2 + 3e3 = 0 |
:%, ( ( 7 :7 . <(, 6= 0 :% 1 2 3 a = ; e1 + ; e2 + ; e3: - . 2 7 ( : 1 2 3 1 2 3, (
a = 1e1 + 2e2 + 3e3 = 1e1 + 2e2 + 3e3: 4 0 = (1 ; 1)e1 + (2 ; 2)e2 + (3 ; 3)e3 | :%, ( ( 7 :7 . , ( . 2 / 1.21. 1 ( ) a $ e1 e2 e3 72 (7( ) ( 1 2 3, ( a = 1e1 + 2e2 + 3e3. > 7 a(1 2 3).
5 1.22. 1
a
1 2 3 (
. 1 0 ).
. a = 1e1 + 2e2 + 3e3, b = 1e1 + 2e2 + 3e3. 1, 2, 5, 6, 7:
a + b = (1e1 + 2e2 + 3e3) + (1e1 + 2e2 + 3e3) = = 1e1 + 1e1 + 2e2 + 2e2 + 3e3 + 3e3 = (1 + 1)e1 + (2 + 2)e2 + (3 + 3)e3 a = (1e1 + 2e2 + 3e3) = (1e1) + (2e2) + (3e3) = (1)e1 + (2)e2 + (3)e3: 2 6
/ 1.23.
7 : | 7 ( O :7 e1 e2 e3. 1 0 X Oe1 e2e3 2 ;! :7 e e e : ; OX 1 2 3 ;OX ;! = x e + x e + x e 1 1 2 2 3 3 ( : :7( : ). < X (x1 x2 x3). 5 1.24. &$ X (x1 x2 x3) Y (y1 y2 y3) | 0. (% ;;! XY $ , 3% 4 ## 4 , (y1 ; x1 y2 ; x2 y3 ; x3). 2##
;!(x x x ) . 2 "" ;OX 1 2 3 ;! ; ; ! ;! ; ; ! OY (y1 y2 y3), XY = OY ; OX . 1.22 ( : 7 . 2
/ 1.25. >7 7 % $ , e1 e2 e3 -
. J ( , :7 7 . ,"" 7 %$, 23 :7 .
2.
7 ( A B "" (a1 a2 a3) (b1 b2 b3) ( ) H . ! "" AX j = , . . 3 7 (x1 x2 x3) ( X 7 AB , ( jjXB j H. ;! :7 1.24 , / ;! AX ; XB , (x1 ; a1 x2 ; a2 x3 ; a3) (b1 ; x1 b2 ; x2 b3 ; x3). 1.22 H ( ) : (x1 ; a1) = (b1 ; x1) (x2 ; a2) = (b2 ; x2) (x3 ; a3) = (b3 ; x3) 23 H + bi i = 1 2 3: xi = ai + <, ( % , ( B :3 " : ;! ;! AX = ; XB: . :, (, , ( H. 7
3. / 3.1.
! ( ) 7 ( , 72 B : ha bi := jaj jbj cos adb: J 7 , ha bi := 0. 5 3.2. &$ e1 e2 e3 a a1 a2 a3. (% ai = ha eii i = 1 2 3: . / : %
(. . 7). 4 :7, ai = jaj cos adei = jaj jeij cos adei = ha eii: 2
7 3.3. ! 43 , 43 % 0:
ha bi = hb ai (
0$)5 2) ha + b ci = ha ci + hb ci5 3) ha bi = ha bi (2)+3) = $ % )5 4) ha ai = jaj2 0, 0 , ha ai = 0 , a = 0 ( $$
1)
$ ).
. 1, 3 4 (. J c = 0, . 2 . J c = 6 0, jcj . 1 3 (2 jcj = 1. ? B % :7 e1 = c e2 e3. 4
23 7 2 : ha ci = ha e1i = a1 hb ci = hb e1i = b1: , ha + b ci = a1 + b1 = ha ci + hb ci: , ( 1-4 7( 2 7( 7. 9 4 ha ai. ? . 1 4 ha + b a + bi = ha ai + ha bi + hb ai + hb bi = 2ha bi + ha ai + hb bi ha bi = 21 fha ai + hb bi ; ha + b a + big : 2 8
7 3.4. $ e1 e2 e3 ha bi = a1b1 + a2b2 + a3b3: . 3 X
3 X
i=1
i=1
ha bi = ha1e1 + a2e2 + a3e3 bi =2) haiei bi =3) =
3 X
i=1
aihb1e1 + b2e2 + b3e3 eii =2=3)
3 X
ij =1
aihei bi =1)
3 X
i=1
aihb eii =
aibj hei ej i = a1b1 + a2b2 + a3b3:
3.5. %$ % #
2
-
ha bi = jahaj bjibj = q 2 a1b21 + a22b2q+2a3b32 2 : a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3
4. , ! "
?( 3 S
K(a b), a b . 7 :7 e1 e2 , ( a = (a1 a2), b = (b1 b2). 4 ( a b ') v u q u a1b1 + a2b2)2 = 2 S = jaj jbj sin ' = jaj jbj 1 ; cos ' = jaj jbj t1 ; (a2(+ a22) (b21 + b22) 1 q q = (a21 + a22) (b21 + b22) ; (a1b1 + a2b2)2 = (a1b2)2 + (a2b1)2 ; 2a1b1a2b2 = ja1b2 ; a2b1j: ! ( a1b2 ; a2b1 7 det % ! , a1 a2 . b1 b2 / 4.1. 9 3 $4 %
! K(a b) :7 e1 e2 7 ( Sor (a b) = det ab 1 ab 2 . J : 2 1 2 ( 32
, 7 ( ( 7 a b) 7 a b :7 e1 e2.
5 4.2. 9 3 $ 43 : 1) Sor (a b) = ;Sor (b a) (
0$)5 2)
Sor (a + b c) = Sor (a c) + Sor (b c), 9
3) 4)
Sor (a b) = Sor (a b) Sor (a a) = 0.
(2+3= $ % )5
. ? 2 7 " . 2 5 4.3. 9 a b $ e1 e2 $ , 0 e2.
a b
, 0
e1
. > 7 (. 2 / 4.4. 9 : K(a b c), -
a, b c , :7 " := (e1 e2 e3) 7 1 0 a1 a2 a3 Vor" (a b c) = det B @ b1 b2 b3 CA = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 ; b1a2c3 ; a1c2b3 ; c1b2a3: c1 c2 c3
? ( 7 a b c 7 7 a b c :7 e1 e2 e3. 7 23 , 23 B 7.
7 4.5. 24
0 % :
: .
5 4.6. &$ # e1 e2 e3
3 % $4. (% % ## 4 # . 2 % 0 .
. " -
:7 2 " % B""% :7 , 7 ( : :7 . - 3 : e3 = 3 ( 3 % e3 ((
, e1 = % ( . 4 ( ( 2 : 3) 323 : ( cos t sin t ). - | (t t t), t : 7 . & " 72 2 2 7 . 2
5 4.7 ( 8 * ). 9 $ 4 % $ % , % % % .
10
5 4.8. 9 : 4 % $ % , % .
-
. 97 7 3 . 2 7 4.9. . a b c $4 4 $ e1 e2 e3 % $ % , % #
% e1 e2 e3 ( #
, % # ).
. - , "% 3 . 4
Vor" (a(t) b(t) c(t)) " % t ( 7(. ? ( , 7( Vor" (a b c) < 0, - ( 0, Vor" (e1 e2 e3) = 1. & ( 3
. ):, 4.6 2 "%2: ( a e1 , (: b e1 e2 , ( e2. < b e2. 17 7 +, e3 c . 2
4.10 ( ). 4 4 -
4 % $ % , % $% 0 % 3 ( , 0 ).
4.11. 4 ,
% $ #
.
-
/ 4.12.
; 7 : 7 B . ):( \ " ( . 4.10) % 7 , ( | . : % : 7 (. .). & ( 4.13. G 7, ( % 7 :7 72 % . ) B 2 . 4 :7, :7 2 :L .
5 4.14. 9 b a c a b c. . b a c , (: b
2 a, a | b. 4 c :7 c 7 a b. / 4.15. 9 :
, a b c % 7 ( Vor (a b c), 11
: 2 ( :L B
, 23 7 \+", a b c , 7 \-" (. < ( 7 :7(), ( 7 :7 . / 4.16. a b 7 c, :7( Ca b], 23 :7. J a b , c : 23 : 1) c 3
K(a b)F 2) c a bF 3) a b c 2 %2. 2 % c 3 7( . J a b , c := 0. 5 4.17. &$ e1 e2 e3 | $ . (%
Ce1 e3] = ;e2 Ce2 e3] = e1: Ce1 e2] = e3 . )(. 2 / 4.18. M ha b ci := hCa b] ci 7 a b c. 7 4.19. ha b ci := Vor (a b c). . 4, ( 7 2, 7 7 %. : 2 (, . . ( H 7 :L
. jha b cij = j Ca b] j jcj j cos (c d Ca b])j = S h = jVor (a b c)j c , a b. < (7 S :7( 3
, a b, h | 23
. 2
7 4.20. !
0 4 % :
ha b ci = ;hb a ci = hb c ai = ;hc b ai = hc a bi = ;ha c bi5 2) ha + b c di = ha c di + hb c di5 ha b ci = ha b ci5 ha b + c di = ha b di + ha c di5 ha b ci = ha b ci5 ha b c + di = ha b ci + ha b di5 ha b ci = ha b ci. 1)
12
. 1) 3 2 : 2 ( (. . :L
) . 7 7 4.14. 2) N (. 07 B 3 . 1 . 2
7 4.21. 43 : 1) Ca b] = ;Cb a]5 2) 3)
Ca b] = Ca b]5 Ca + b c] = Ca c] + Cb c].
. . 1 2 7 2 7 . - 7 . 3 d = Ca + b c] ; Ca c] ; Cb c]. 4 hd di = hCa + b c] ; Ca c] ; Cb c] di = ha + b c di ; ha c di ; hb c di = 0: <(, d = 0, B . 3.
2
7 4.22. &$ e1 e2 e3 | $ . (%
! a 2 a3 Ca b] = det b b e1 + det ab3 2 3 3 0 a1 B ha b ci = det @ b1 c1
& 0 4
! ! a1 e + det a1 a2 e 2 3 b1 b1 b2 1 a2 a3 b2 b3 C A: c2 c3
1 0 e1 e2 e3 Ca b] = det B @ a1 a2 a3 CA b1 b2 b3 . ? 7 3 4.17: Ca b] = Ca1e1 + a2e2 + a3e3 b1e1 + b2e2 + b3e3] = a1b1 C|e1{z e1}] +a1b2 C|e1{z e2}] +a1b3 C|e1{z e3}] + e3
0
;e2
+a2b1 C|e2{z e1}] +a2b2 C|e2{z e2}] +a2b3 C|e2{z e3}] +a3b1 C|e3{z e1}] +a3b2 C|e3{z e2}] +a3b3 C|e3{z e3}] = ;e3
0
e1
e2
;e1
= (a2b3 ; a3b2)e1 + (a3b1 ; a1b3)e2 + (a1b2 ; a2b1)e3 = ! ! ! a a a 2 a3 3 a1 1 a2 = det b b e1 + det b b e2 + det b b e3: 2 3 3 1 1 2 13
0
- 7 H 7 H 7, H 7 2 7 : ! ! ! a a a 2 a3 3 a1 1 a2 ha b ci = hCa b] ci = det b2 b3 c1 + det b3 b1 c2 + det b1 b2 c3 = 0 1 a 1 a2 a3 = det B @ b1 b2 b3 CA : 2 c1 c2 c3
4.23. &$
$ . (%
" = (e1 e2 e3) ha b ci = Vor (a b c) = Vor" (a b c) 4 a b c. 0 , 4.5, # 4 0 % # : jVor" (a b c)j : 43%
.
> :7( det (A) (7 jAj.
4.24. &3 $ %
, %
a b %$ (4 !)
v 2 2 2 u u a a a a a a 2 3 3 1 1 2 S (K(a b)) = t b b + b b + b b : 2 3 3 1 1 2
7 4.25. = 4 43 # : 1) Ca Cb c]] = bha ci ; cha bi (# % \ ")5
2)
Ca Cb c]] + Cb Cc a]] + Cc Ca b]] = 0
%
( @ ).
. 1). ?: :7 e1 e2 e3
% , ( a = (a1 a2 a3) b = (b1 b2 0) c = (c1 0 0) . . e1 c, e2 b c. 4 ! b 2 0 0 b1 b1 b2 Cb c] = 0 0 0 c c 0 = (0 0 ;b2c1) 1 1 ! a a a a a a Ca Cb c]] = 02 ;b 3c ;b 3c 01 01 02 = (;a2b2c1 a1b2c1 0): 2 1 2 1 14
9 ,
ha ci = a1c1
ha bi = a1b1 + a2b2
2). . 1) :
2
bha ci = (a1c1b1 a1c1b2 0) cha bi = (a1b1c1 + a2b2c1 0 0)
bha ci ; cha bi = (;a2b2c1 a1c1b2 0) = Ca Cb c]]: Ca Cb c]] + Cb Cc a]] Cc Ca b]] Ca Cb c]] + Cb Cc a]] + Cc Ca b]]
= = = =
bha ci ; cha bi cha bi ; ahb ci ahb ci ; bha ci 0
5. / 5.1.
| , 7 "" F (x y) = 0, F | ( : X ij F (x y) = aij x y i j = 0 1 2 : : : 2% 0 ( )
ij n
M n 7 $4 %0 F : 7 B""% aij i + j = n ( 0. & 0 7 ( x = f (t) ~r = ~r (t) y = g(t): t | . 5.2. ) x2 + y2 = 1 : 7 ( x = cos t y = sin t: ( : ( x = x0 + t ~r = ~r 0 + ~at y = y0 + t: 15
43 ,
6 : ; ; ; ; 0 ; -
~a
~r
< ~r 0 = (x0 y0) | ( (( ), ~a = ( ) | ( 23). ? t, ( 0 x ; x0 = y ; y0 : & ( 5.3. ? ( 2 ( ) 7 . B 23 (
0. 5.4. x ; x0 = y ; y0 , x = x0: 0 3 4 : (x ; x0) ; (y ; y0) = 0 Ax + By + C = 0
A = B = ; C = y0 ; x0: 0 , 7 . ):, 7 2. - , Ax + By + C = 0. , , A 6= 0. ?7 ( ( ( (x0 0), x0 7 Ax0 + C = 0 x0 = ; CA : ? ( 23 : (;B A). 4 ( x + CA = y ; 0 : ;B A
7 5.5. & $ % . &
0 % 0 -
F1(x y) := A1x + B1y + C1 = 0 16
F2(x y) := A2x + B2y + C2 = 0
4 4 % $ % , % $ (
# !), . . 3 = 0, 0 F1 = F2 , 0 A1 = A2, B1 = B2 , C1 = C2 .
6
. 7. - ( (. - : . 72 2. / 7 , 23 (;B1 A1) (;B2 A2). )
, ( = 6 0, ( A1 = A2
B1 = B2:
1 2:2 ( (x0 y0) . 4
A1x0 + B1y0 + C1 ; (A2x0 + B2y0 + C2) = 0 C1 ; C2 = 0 C1 = C2: 2 5 5.6. ( ), $ Ax + By + C = 0, 4 43 A + B = 0. . ? 2: ( ),
, ;! PQ, P , , Q, . 4, P (xP yP ), Q(xQ yQ), AxP + ByP + C = 0
AxQ + ByQ + C = 0
(
A(xQ ; xP ) + B (yQ ; yP ) = 0 A + B = 0: ):, A + B = 0, ( (xP yP ) . 4 % (xQ yQ) = (xP + yP + ) 2 AxQ+ByQ+C = A(xP +)+B (yP + )+C = (AxP +ByP +C )+(A+B ) = 0+0 = 0: 2
7 5.7. A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0 A B1 = 4 ( 0), 1 A2 B2 6 0, $ ( . 0. %
A B 1 $), 1 A2 B2 = 0.
.
, 23
, . . (;B1 A1)
(;B2 A2), ( 7( 17
; B A 1 A1 1 B1 2 ;B A = A B . G 2( 2 2 2 2 ( . 2 / 5.8. " (!) F (x y) = Ax + By + C = 0. & $ $ F F+ ( (x y), 23 F (x y) > 0. , ( $ $ F; F (x y ) < 0. & ( 5.9. 7 , ( B .
7 5.10. A 0 P Q
, $ PQ . A P Q , PQ 4 4. 0 , F+ F; $ % , .
. P (xP yP ), Q(xQ yQ). / ( 7 PQ 2 4
8 <x = :y =
xP + xQ + yP + yQ +
> 0:
+ xQ +B yP + yQ +C + = 1 CF (P )+F (Q)] F (X ) = Ax+By +C = A xP + + + + ( . <(, P Q F+ F;, . . F (P ) F (Q) 7 , F (X ) 7 . J F (P ) F (Q) 7 7 , = jF (1P )j = jF (1Q)j 23 F (X ) :3 0. 2 & ( 5.11. ? (A B ) B \ 7" 2 23 . J ( (x0 y0) , % F+. - ,
A(x0 + A) + B (y0 + B ) + C = (Ax0 + By0 + C ) + A2 + B 2 = A2 + B 2 > 0:
/ 5.12. G , 3 (7
" 2 ( , 7 0 , " ( | 0 . G ,
, 7 0 . (4 7 .)
7 5.13. &
l F = Ax + By + C = 0 (-
) 0, 43 l1 l2 F1 = A1x + B1y + C1 = 0, F2 = A2x + B2y + C2 = 0, % $ % % $ l1 l2: F = F1 + F2.
18
. 1 ( ( : l1 \ l2 = P0(x0 y0). l B ( , P0 2 l. . P 6= P0 | 7 ( l. 1 Fe := F2(P0) F1 ; F1(P0) F2 = 0:
& H . B F1(P0) F2(P0) : e Be ) 6= 0. 0. 4 (A1 B1) (A2 B2)
, (, ( (A 4 :7, B 7 2. P P0 Fe , : , ( B (7 , . . l. 5.5 F F = Fe = (F2(P0)) F1 + (;F1(P0 )) F2 = 0 6= 0: . F (P0) = F1(P0) + F2(P0) = 0, P0 2 l. 1 ( ( : l1kl2, l1 6= l2. . P0 | 7 ( l. 1 Fe := F2(P0) F1 ; F1(P0) F2 = 0: & H . B F1(P0) F2(P0) 2 e Be ) = 0, : 0. 4 (A1 B1) (A2 B2)
, (, ( : (A B
(A1 B1) (A2 B2). Fe = 0 e Be ) = 0 Ce = 0, . . F1 F2 H, , P0 , 7 (A % , 7(, 5.5 l1 = l2, ( ( . 4 :7, B , 723 2, 32 (7 P0
2 l1 l2, . . l. - 7 : 7H , : (. . F = F1 + F2, 7(, (A B )
(A1 B1) (A2 B2). 17 B , (A B ) 6= 0. 9 , lkl1kl2. 2 5.14. ( Aix + Biy + Ci = 0, i = 1 2 3, 0 % $ % , %
A1 B1 C1 A2 B2 C2 = 0: A3 B3 C3
5.1. 5 5.15. n := (A B ) Ax + By + C = 0. . ? ,
, 72 ( .
5.6) A + B = 0 (. . ) hn ( )i = 0.
2
/ 5.16. ? n = (A B ) 7
$4 Ax + By + C = 0. ( " .) 19
2 5.17. 0 P (x0 y0) l,
Ax + By + C = 0
(P l) = jAxp+2By +2C j : A +B . P1(x1 y1) | 7 ( . 4 d ! ;;! nij = jA(x0 ;px1) + B (y0 ; y1)j = (P l) = jPP1j cos ; P;1! P n = jhP1jP nj A2 + B 2 = j(Ax0 + By0 +pC )2; (Ax2 1 + By1 + C )j = jAxp0 +2By0 +2 C j : 2 A +B A +B / 5.18. Ax + By + C = 0 7
$ , A2 + B 2 = 1, . . n = (A B ) (2 . & ( 5.19. / . ) (2 7 7 Ax + By + C = 0 ! B C A pA2 + B 2 x + pA2 + B 2 y + pA2 + B 2 = 0: / 5.20. - F (x y) = Ax + By + C = 0 ( F (x y) 7 ( (x y) . 0 ( ) ( +1 (x y) 2 F+ : F (x y) = " ((x y) l) " = ; 1 (x y) 2 F; 5.2. 2 A1x + B1y + C = 0 A2x + B2y + C2 = 0. 4
h n 1 n2 i q j2A1A22+qB1B2 2j 2 : cos ' = = jn1j jn2j A1 + B1 A2 + B2
4 ( . .)
20
A S S
(1)
A A A
A
A
A (1) S
A S +
(1) S A
>
1 ; S
AK
A 2 S
A S (2) A S + A S S S (2) S ; S S (2) S + S S (2) ; S S S
S
F
F
n
n
;
(2)
F
F
F
F
"
cos = q 2A1A22+qB1B2 2 2 A1 + B1 A2 + B2 7 ( , (2 F+(1) \ F;(2) ( F;(1) \ F+(2)).
6. 6.1. 7 "". ~a ~b | 7 ,
. & :7 . B 2: 7( :%. 9 , 7 7 2 ( ~r 0, ( 0
~r = ~r 0 + t~a + s~b s t | . 07 B ( 7 ( :) , ( ( - ~r , ~r ; ~r 0, ~a ~b 21
, . . 7 . "" 7 :, ( x ; x0 y ; y0 z ; z0 a1 a2 a3 = 0: b b b 1
):7(
2
3
a 2 a3 A := b b 2 3
a 3 a1 B := b b 3 1 ;x0 D := ;(Ax0 + By0 + Cz0) = a1 b 1
:7
a 1 a2 C := b b 1 2 ;y0 ;z0 a2 a3 b b 2
3
A(x ; x0) + B (y ; y0) + C (z ; z0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0: ~a ~b
, (A B C ) 6= 0. B , , 7 23 . - , ai bj | ~a0 ~b0 "0 = (e01 e02 e03) %. & ( % , ( ~a0 ~b0
. <(, C~a0 ~b0] 6= 0. ! B ( "0) ( (A B C ). 0 , Ax + By + Cz + D = 0 | . ) 7 3 .
):, 7 Ax + By + Cz + D = 0. 4 7 B""% , , A, 0. 1 ( M (; DA 0 0) ~a = (;B A 0) ~b = (;C 0 A). ?
, B x + DA y z ;B A 0 = 0 ;C 0 A 7 , 32 (7 ( M
~a ~b. ! H , ( ( . 4 :7, :( | B ( 7( " "" ). 22
& ( 6.1. ? ( , , 7 F (x y z) = Ax + By + Cz + D = 0, 7:
F+ = f(x y z) j F (x y z) > 0g
F; = f(x y z) j F (x y z) < 0g:
? (A B C ) 7 F+.
5 6.2. ( ) Ax + By + Cz + D = 0 % $ % , %
A + B + C = 0.
. , ( . 2 7 6.3. & 1 2, A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0 $ % $ % , % (A1 B1 C1) (A2 B2 C2) , . . AA21 = BB21 = CC12 . B A1 = B1 = C1 = D1 . 4 % $ % , % A B2 C2 D2 2
. . 07 % , (
H A1 + B1 + C1 = 0 A2 + B2 + C2 = 0 2, . .
, 7(,
. . (G 7 3 " 7 , 7 ). ) 7 B""% : ( . >7 ( :3 , B A1. 4 ,
(;B1 A1 0) (;C1 0 A1)
1 , :7, :72 :7 . 1 k 2,
A2 (;B1) + B2 A1 + C2 0 = 0
A2 (;C1) + B2 0 + C2 A1 = 0
A1 = B1 A1 = C1 : A2 B2 A2 C2 B . (. . ( A2 = A1, B2 = B1 C2 = C1. (x0 y0 z0) | 7 ( 23 , ( 0 = (A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1) ; (A2x0 + B2y0 + C2z0 + D2) = D1 ; D2: % ( .
6.4.
2
& 1 2 ( 0 3 ) 4 ( ) % $ % , % (A1 B1 C1) (A2 B2 C2 ) .
23
/ 6.5.
7 , 3 (7 " 2 2. C 0
7 ,
. ! 0
7 6.6. &$ F = Ax + By + Cz + D = 0 0 -
, 43 F1 = A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0 F2 = A2x+B2y +C2z +D2 = 0 % $ % , % F = 1F1 +2F2, % 1 2 4.
. 2 ( (2 . ! B . 1 ( ( : 1 \ 2 = l. B ( , l . . P0 62 l | 7 ( . 1 Fe := F2(P0) F1 ; F1(P0) F2 = 0: & (A1 B1 C1) (A2 B2 C2)
(( : : ( ). 4 :7, B 7 . B l P0 . <(, B . - H
. (. 1 ( ( : 1k2, 1 6= 2. . P0 | 7 ( ,
1 2. 1 Fe := F2(P0) F1 ; F1(P0) F2 = 0: & . - , (A1 B1 C1) (A2 B2 C2) e B e Ce ) = 0, : B
, : (A (A1 B1 C1) (A2 B2 C2). Fe = 0 H, , P0, 7 e B e Ce ) = 0 D f = 0, . . F1 F2 % , 7(, (A 1 = 2, ( ( . 4 :7, B , 723 , 32 (7 P0
2 1 2, . . . - 7 : 7H , : (. (. 2 / 6.7. ! 7 , 3 (7 " 2 ( . C 7 ,
. & ( 6.8. 4 2: , 3 ( , 7( 2 7 . ( . 7( 7 7( 7 ) 24
7 6.9. &$ F = Ax + By + Cz + D = 0 -
, 43 Fi = Ai x + Bi y + Ci z + Di = 0, (i = 1 2 3) % $ % , % F = 1F1 + 2F2 + 3F3 ( , 0 $ 0 $ $, . . % ), , ,
A1 A2 A 3 A
B1 B2 B3 B
C1 C2 C3 C
D1 D2 D3 D
= 0:
. B .
? (. ? 2: , ( 2 ( 7 ). 4 7 . - , ( B""% F 2, . . 7 Fi = 0, (i = 1 2 3). 7 , : ( (, 7: (). . (x0 y0 z0) | ( ( . . J 2 :%2, 7 Fi(x0 y0 z0) = 0, (i = 1 2 3), , ( F (x0 y0 z0) = 1F1(x0 y0 z0) + 2F2(x0 y0 z0) + 3F3(x0 y0 z0) = 0. . (x0 y0 z0) | ( ( ( . 4 7 % 7 B""% :% :% B""% (x0 y0 z0 1) 2. <(, 2. . ( ) | 23 ,
7 . . J 2 :%2, 7 Ai + Bi + Ci = 0, (i = 1 2 3), , ( :% (1A1+2A2+3A3)+: : : 2. ) 7
. . N :% :% B""% ( 1) 0, ( ( 2 . 2 6.2. 2 6.10. $ Ax + By + Cz + D = 0. (% n := (A < B C ) .
. ? ( )
,
0 = A + B + C = hn ( )i . . n 2: . 2 / 6.11. & n, 7 3 , 7
$4 . 25
7 6.12. &$ $ Ax + By + Cz + D = 0, P0
(x0 y0 z0) |
$ 0 . (%
(P ) = jAxp+ 2By +2Cz +2Dj : A +B +C . P1(x1 y1 z1) | 7 ( . 4 d ! ;;! nij = jA(x0 ; x1)p+ B (y0 ; y1) + C (z0 ; z1)j = (P ) = jPP1jcos ; P;1! P n = jhP1jP nj A2 + B 2 + C 2 ) ; (Ax1 + By1 + Cz1 + D)j = jAx0p+ By0 + Cz0 + Dj : 2 = j(Ax0 + By0 + Cz0p+ D 2 A + B2 + C 2 A2 + B 2 + C 2 , . . 2 ( 2 2 ( (2 . 6.3. 4 3 ( 7 H ~r = ~r 0 + ~a t, ~r 0 | - ( ( , ~a | 23 ( . . 1).
: 3 ; ; ; 0 ; ;
~a
~r
~r
1 . 1. J ~a = ( ), ( 0 8 > < x = x0 + t y = y + t > : z = z00 + t >7 : 7 0 x ; x0 = y ; y0 = z ; z0 : 26
<, ( , , ( . - , ~a 6= 0, , ( 6= 0 7 2 23
(x ; x0) ; (y ; y0) = 0 (x ; x0) ; (z ; z0) = 0 ):, ( , . . ( A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ( (A1 B1 C1) (A2 B2 C2)
.
2 6.13. 0 43
0 -
! B 1 C1 C1 A1 A1 B1 ( ) := B C C A A B : 2 2 2 2 2 2
. <, ( 7 7, :7 : . ! 7, ( (1) 7 (2)
, . . ( A1 + B1 + C1 = 0 A2 + B2 + C2 = 0 !( (2): A1 B1 C1 C1 A1 + C1 A1 B1 = A1 B1 C1 = 0: 1 C1 A1 B + B 1 C2 A 2 A2 B2 A B C B2 C2 2
2
2
, (, . (1). - , ( . 4 B1 = C1 C1 = A1 A1 = B1 B2 C2 C2 A2 A2 B2 (A1 B1 C1) (A2 B2 C2)
. (. (G 7, 7 .)
2
27
6.4.
-
1. 9* 28 ( ~r = ~r 1 + ~a 1 t ~r = ~r 2 + ~a 2 t: a 2ij = q j12 + 1q2 + 1 2j cos ' = jjh~a~a j1~ : a 2j 1 j~ 21 + 12 + 12 22 + 22 + 22 2. 9* 28 1 ~r = ~r 0 + ~a t : Ax + By + Cz + D = 0: + Bp+ C j : sin ' = p 2 jA A + B 2 + C 2 2 + 2 + 2 3. ; 28 : ( ~r = ~r 1 + ~a 1 t ~r = ~r 2 + ~a 2 t.
~r 1 ; ~r 2, ~a 1 ~a 2. 4 | B
: 0 1 B x1 ; x2 y1 ; y2 z1 ; z2 C 1 1 A det @ 1 2 2 2 r 1 ; ~r 2ij = v = VS = jh~a 1~jaC~a2~~ 2 2 2 : u 1 a 2 ]j u t 1 1 1 1 1 1
+ + 2 2 2 2 2 2 4. ; ( 8- ~r 1 1 ( ~r = ~r 0 + ~a t.
~r 1 ; ~r 0 ~a . 4 | B
: = j~aS j = jC~r 1 ;j~a~rj 0~a ]j = v 2 2 2 u u y ; y z ; z z ; z x ; x x ; x y ; y 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 t + + p2 + 2 + 2 = :
7. &
! , ( "" 7 ;! = x~e + y~e + z~e . Oe1e2e3, ( M : (x y z), ; OM 1 2 3 1 O0e01e02e03 232 . 17 :7 : 8 0 > < ~e 10 = c11 ~e 1 + c21 ~e 2 + c31 ~e 3 ~e = c ~e + c ~e 2 + c32 ~e 3 > : ~e 032 = c1312 ~e 11 + c22 e 2 + c33 ~e 3 23 ~ 28
/ 7.1.
D
Oe1e2e3 O0e01e02e03 7 % 1 c12 c13 c22 c23 C A c32 c33
0 c11 C=B @ c21 c31 . . %, :% :7 :7 . & ( 7.2. / : 7, , %, e01e02e03 :7 , C , . . det C 6= 0. ! % %. A = kaij k | % m n, ( m n :%, i = 1 : : : m, j = 1 : : : n. B = kbklk | % n p. &
A B (( :% A ( B ) 7 % C 7 m p, ( B 2 " n X cij := aik bkj k=1
(\ i- A j - :% B "). ( % % A 7 % AT = kaTij k 7 n m, ( aTij = aji. ? 23 ( , , % ): 1) (AB )T = B T AT , 2) det AT = det A, 3) det (AB ) = det A det B , 4) (AT );1 = (A;1)T ( : % 3 ).
7 7.3. 1 0
%
0 1 0 0 x B@ y CA = C B@ xy0 z z0
1 0 CA + B@ xy00 z0
C |
%
O0 ( % 0 )
| 0 .
1 CA
(1)
, (x0 y0 z0 ) | , (x y z ) (x0 y 0 z 0 )
, -
29
. ):7( 2 ( (7 M . 4 ;!0 + ;;! ;;! ;OM ;! = ;OO O0M OO0 = x0~e 1 + y0~e 2 + z0~e 3 ;;! O0 M = x0~e 01 + y0~e 02 + z0~e 03 =
= x0(c11 ~e 1 + c21 ~e 2 + c31 ~e 3) + y0(c12 ~e 1 + c22 ~e 2 + c32 ~e 3) + z0(c13 ~e 1 + c23 ~e 2 + c33 ~e 3) = = (x0c11 + y0c12 + z0c13) ~e 1 + (x0c21 + y0c22 + z0c23) ~e 2 + (x0c31 + y0c32 + z0c33) ~e 3
;;! = (x + x0c + y0c + z0c ) ~e + OM 0 11 12 13 1 +(y0 + x0c21 + y0c22 + z0c23) ~e 2 + (z0 + x0c31 + y0c32 + z0c33) ~e 3:
7.4. 1 :
2
-
0 01 0 1 B@ CA = C B@ 0 CA : 0
& ( 7.5. ? H (1) % C
: . ? ( , :7 , ( 7( .
7 7.6. &$ C
|
Oe1 e2 e3 Oe01 e02e03, D |
Oe01 e02e03 Oe001 e002 e003 . (% CD |
Oe1 e2e3 Oe001 e002 e003 .
. (. ( B .) 0 1 0 01 0 00 1 x x B@ y CA = C B@ y0 CA = CD B@ xy00 CA : z z0 z00
2
7.1. # / 7.7. / % C 7 % $, C T = C ;1, . . C T C = E CC T = E .
7 7.8. D C % $ % $ % , %
% .
30
. 1 H C T C = E . ? % C T i- 0
7 ~e i :7 ~e j ( , i- :% C ). B, ~e j | 7 :7 , % \ :%" 7 H
h~e 0i~e 0j i = Eij = ij B :7 ~e 0j .
2
9 2 7.9. 9% $
2 2 4 43 : ! ! cos ' ; sin ' cos ' sin ' C = sin ' cos ' C = sin ' ; cos ' : "%
-
' 0 $ 3 C0 2).
. 1 2 % % 0 0
:7 ~e 1~e 2 :7 ~e 1~e 2. 4 ~e 01 (cos ' sin ') '. ( () ( sin ' cos '). 2 & ( 7.10. ? ( det 1, ( | '. ? ( det C = ;1, ( | 7% ' ~e 1, '.
9 2 7.11. 9 $ % $
C 4% 1. . 1 = det E = det (C T C ) = det (C T )det C = (det C )2. 2 / 7.12. ) % +1 7 $ % $. G % 7 n n :7( SO(n). ( !) cos ' ; sin ' & ( 7.13. G 7 , ( SO(2) = . ) SO(3) 23 .
sin ' cos '
7.2. $ 1 Oe1e2e3 0 Oe1e02e03. 9(, ( %. J ~e 03 = ~e 3, 7 det = +1. J ~e 03 = ;~e 3, 7 det = ;1. 4 :7, (, ( ~e 3 ~e 03
. & = Oe1e2 0 = 0e01e02. 4 f~ := k ~~ee 33 ~~ee 33]] k 23 d ( B . 7 0
0
31
Oe1e2e3 Ofge3, %2. & 3 ~e 3
' ( ~e 1 f~, ' 2 C0 2)). 4 :7, 23 % 0 1 cos ' ; sin ' 0 C=B @ sin ' cos ' 0 CA : 0 0 1 4 3 f~ , (: ~e 3 ~e 03. ? : f~ B 3 2 C0 ]. ( Ofhe03, ( Ofh Oe01e02, % 0 1 1 0 0 D=B @ 0 cos ; sin CA : 0 sin cos ) 3 3 ~e 03 (. . Ofh = Oe01e02), (: f~ ~e 01. B, %, :7 ~e 2 ~e 02. 9 23 % 0 1 cos ; sin 0 F =B @ sin cos 0 CA 2 C0:2): 0 0 1 ? 7.6, 7 23 % Oe1e2e3 Oe01e02e03 0 10 10 1 cos ' ; sin ' 0 1 0 0 cos ; sin 0 CDF = B @ sin ' cos ' 0 CA B@ 0 cos ; sin CA B@ sin cos 0 CA = 0 0 1 0 sin cos 0 0 1 10 1 0 cos ; sin 0 cos ' ; sin ' cos sin ' sin =B @ sin ' cos ' cos ; cos ' sin CA B@ sin cos 0 CA = 0 sin cos 0 0 1 0 1 cos ' cos ; sin ' cos sin ; cos ' sin ; sin ' cos cos sin ' sin =B @ sin ' cos + cos ' cos sin ; sin ' sin + cos ' cos cos ; cos ' sin CA sin sin sin cos cos ' 2 C0 2) | ~e 1 f~, 2 C0 2) | f~ ~e 01, 2 C0 ] |
~e 3 ~e 03.
8. , () ")
/ 8.1.
&
7 : ( O, 7 0 4 , (, 3 7 ( O, 7 $4.
32
& ( M | 2 : r = OM , % ',
B , 2 M j j 2 ( OM , ( 7 % ( :7 ' 3 ( , ( 2 2k, k 2 Z). - ( O
' , ( B ( . J , ( 2 , ~e 1 , , ( . ! 7 ( 23 .
9 2 8.2. %$ -
4 43 # , 43 0 % : (
p
x = r cos ' y = r sin ':
r = x2 + y2, ' ( 0$4 % 2k ) # cos ' = p 2x 2 sin ' = p 2y 2 x +y x +y y 8 > x > 0 arctg x > < + arctg y x < 0 x '=> 2 x = 0 y > 0 > : = ;=2 x = 0 y < 0: ? 2 ::3 . ?: 1) 2 ( $ $ ), 2) ( O (4 ), 3) ( Ox ( $ ), 4) 2 Oz ( $ ). - 7 ( M :7( (7 M 0 2 %2 , (7 M 00 | 2 %2 Oz. E 0 ( ' z ) ( M 2 23 :7: ' | M 0 (. . = jOM 0 I , ' |
Ox OM 0), z | M 00 Oz. - ( 7 = 0,
' . !# 0 (r ' ) ( M 2 23 :7: r = jOM j ( ), 9 ,
33
' | Ox OM 0 (% ), | OM 0 OM ( 7 2 Oz) ( ), 2 C;=2 =2]. - ( 7 = =2, ' . - ( O:
r = 0, ' . 1 2 Oe1e2e3, ~e 1 Ox, ~e 2 2 , ( % ~e 1~e 2 , ~e 3 Oz. ', ( 7 7 H "( % ( . 4 % ( 7 " : 8 z = z > 8 p > > > x = cos ' < < = x2 + y2 y = sin ' cos ' = pxx2+y2 > > : z = z > > : sin ' = pxy2+y2 ( (, ( : , ). "( 7 " : p 8 r = x2 + y2 > 8 > > > x = cos cos ' < < = arcsin px2 +zy2 +z2 y = cos sin ' cos ' = pxx2+y2 > > : z = sin > > : sin ' = pxy2+y2
p
( r cos = x2 + y2).
9. ,, (,.) 9.1. &' $& / 9.1. B 7 ( ( ('G4) X , ( F1 F2 7 ( ( . . 2): jF1X j + jF2X j = 2a: 4( F1 F2 72 # . , ( a > c 0, 2c = jF1F2j. ? ( a = c ( 7 , ( c = 0 | .
34
X
D DD
F1
F2
2c
1 . 2.
/ 9.2.
F 7 'G4 X , 7 ( F1 F2 7 ( ( . . 3): jF1X j ; jF2X j = 2a: 4( F1 F2 72 # . H H
H H
H H
H H
H H
H H
H H
F1
H H
H H
H H H H H H
2c
H H
F2 H H
H H
H H
H H
H H
H H
H H
1 . 3. , ( c > a > 0, 2c = jF1F2. ? ( a = c ( (, 3 7 " . / 9.3. & 7 'G4 X , ( F , 7 # , d, 7 ( . . 4). , ( F 62 d. 9.2. $& ' ' 7 9.4. !0 % % % (0%
35
)
d r
F
1 . 4. $4, 3 0 , , % , .
. 7 :: 1) F 2) : F 3) :
:723 . ! 7: ( 2, 3 (7 H, ( ( 7: ):
HH HH 3 H H HH H HH H HH S HH 1 H H H HHH HH 2 H H HHHH HH u
36
> (, , ( ( 1 ( B
, 2 | : 3 | : . ) ( : H - | H, 23 . . c | 23 ( 2 K. ):7( (7 F1 F2 ( H - K, (7 c1 c2 | H . X | 7 ( ( c. X1 X2 | ( ( SX c1 c2 .
4 ( , H 7 ( )
jXF1j = jXX1 j jXF2j = jXX2j jXF1j + jXF2j = jXX1j + jXX2j = jX1X2j = const: . 9 :7(.
37
4 ( , H 7 ( )
jXF1j = jXX1 j jXF2j = jXX2j jXF1j ; jXF2j = jXX1j ; jXX2j = jX1X2j = const: . ? B ( H - 1.
c1 | H , K1 | , 3 B , d = K \ K1, Y | % 7 ( X ( d, Y1 | ( ( SX c1. / H, 7 ( , jXF j = jXY1j. - , SY1, , XY1 K1 =2 ; , | :723
2. 9 , Y X
:723 ,
K. <(, :7 K1 =2 ; . 9 , jXY1j = jXY j K1 7 ( . 4 :7, jXF j = jXY j. 2 / 9.5. ? B &' 3 72 . & ( 9.6. 7 : :3 : ( 2 . 9.3. ( ' ( ) & ( 9.7. 1H 2 7(: l ( A B , 3 , 2 ( X 2 l, ( jXAj + jXB j . ( B 0, (2 B l.
38
B
A
H H H
; ; ;
HH
HH H HH H; @
X
; ; ; ;
l
@ @ @ @
@ @ @
B0
P , ( jAX j + jXB 0j X = (AB 0) \ l. ! jXB j = jXB 0j, ( , :7 AX BX l. & ( 9.8. / 7 ( 2. 4( ( ( . / , 23 B :2 ( ,
: ). 0 B (, : 7 : 2 ( 7 , ( 3 7 B \ :( " \ " "). B ( ( ( (H ) : ( . !: ( (, 723 7 ) : 7: 7. & ( 9.9. ) : ( .
7 9.10. 4
% .
0 ,
3 % #
= ,
-
* ,
0 , 3 % # \ " %%, . . % 0 0 % #. 0 , 3 # $ % %.
, -
. ) . ( H 7 " A , 7H (
X B
, " B . <(, l | ( X , l 7(2 9.9. <(, 7(2 9.7, jAX j + jBX j : X l. ! B ( ( 2 B
, ( ( 7(2 9.8). 39
, . , ( B
. . 1 : " F d. l |
Y F . 2 : , : l (7 X . - , ( l : ( X . , ( 7(2 9.8) 3 ( ( l : | X 0 6= X , Y 0 | % d. 4 ( ) jY X 0j = jX 0F , X 0 | ( : , jY 0X 0j = jX 0F j. <(, jX 0Y 0j = jX 0Y j, : : H . 4 :7, l . B Y X l FX l , ( (
Y X ?d. 2
9.11. B 3 # 4
% .
. le lh | ( ( B
: , . 7 , : , :7( : C
C
C
C
lh C
C C
C C e PP i PP C PP PP C PPC CPP 7 PP PP C PP C PP q P C C C 1 C
l
F
9 , 2 + 2 = + = =2.
F2
2
9.4. + '
/ 9.12. ( ( ),) B 7
, 7 x2 + y2 = 1 (a b)F (2) a2 b2 40
%
| |
x2 ; y2 = 1F a2 b2 y2 = 2px
(3)
(p > 0):
(4)
7 9.13. 2 0 % 0 BF& . . ) . ? 2 , 7
y
6
X (x y) r
HH HH H HH Hr
O
F1(;c 0)
F2(c 0)
x
-
4 ( fX j jXF1j + jXF2j = 2ag H q q r1 + r2 = 2a r1 = (x + c)2 + y2 r2 = (x ; c)2 + y2 q q (x + c)2 + y2 = 2a ; (x ; c)2 + y2 q (x + c)2 + y2 = 4a2 + (x ; c)2 + y2 ; 4a (x ; c)2 + y2 q a2 ; cx = a (x ; c)2 + y2 a4 ; 2a2cx + c2x2 = a2x2 + a2c2 ; 2a2cx + a2y2 a4 ; a2c2 = (a2 ; c2)x2 + a2y2 x2 + y2 = 1 b2 := a2 ; c2: (5) a2 b2 ! 7 , ( B
7 2( , ( % H ( ( :
41
y
6
b x
O
;a F1(;c 0) r
r
F2(c 0)
a
-
;b & 2a 2b 7 %$
B
. ):, ( (x y) 2 (5), . . 4
2 y2 = b2 ; ab 2 x2:
s 2 r1 := (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + b2 ; ab 2 x2 = s 2 2 s2 a ; b c x2 + 2cx + c2 + b2 = 2 + 2cx + c2 + b2 = = x 2 a a2 c = a x + a = a + ac x 7 , jxj < a, ac x < c. , (, r2 = a ; ac x: 4 :7, 2: ( , 23 2 (5) r1 + r2 = 2a, . . ( B
. , ( (2 : , 23 . / 9.14. )H q
p
2 2 e := ac = a a; b 7 B
. , . ? 2 , 7
42
y
6
0 r
r
F1(;c 0)
-
F2(cF 0)
x
, ( B
, 3 H jr1 ; r2j = 2a 7 : , 2 x2 ; y2 = 1 b2 := c2 ; a2: (6) a2 b2 - :
p
2 2 e := ac = a a+ b : 4 :7 B
e > 1, : e < 1. ): ( , B
, (
r1 = ja + exj
r2 = ja ; exj
( : (. . x > 0)
r2 = ;a + ex
r1 = a + ex
: (. . x < 0)
r1 = ;a ; ex
r2 = a ; ex
( 7H : . ) 2a 2b :
43
y
Q
6
Q Q Q Q
b
Q Q Q Q Q Q
Q(x)
Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
0
;a
a
x
;b
J 2
y = ab x
2 : . - B, , y = ab x. 0 ( . .) s 2 b Q(x) = a x ; b xa2 ; 1
b (x ; px2 ; a2) = 0: lim Q( x ) = lim x!1 x!1 a . - : %: e = 1. <, ( H :( 2 : y = a x2. 4 :7( : a = 1=2p. ( y2 = 2px. M p 7 # $ .
?: , 7 , p 2 " .
44
y
d
6
X (x y)
J J
J J
(; 0p 0)
J
0
F ( p2 0)
x
-
4 H 7 ( : : s 2 p x ; 2 + y2 = x + p2 2 2 x2 ; px + p4 + y2 = x2 + px + p4 y2 = 2px: ):, , y2 = 2px, :7( (7 d 2 y = ;p=2, (7 F | ( (p=2 0). <, ( ( B x 0, ( 7 ( X (x y) (X d) = p=2 + x, s s 2 p (X F ) = x ; 2 + y2 = x ; p2 + 2px = x + p2 = x + 2p ( : . 9.5. , 9 232 : % ( : B
: ). c " () B %- p 2 2 x + y = 1 c = a2 ; b2 F12 = ( c 0) e = c < 1 x = a = a2 B
a22 b22 a e c p x : a2 ; yb2 = 1 c = a2 + b2 F12 = ( c 0) e = ac > 1 x = ae = ac2 : y2 = 2px | F = ( p2 0) e=1 x = ae <, ( (. . B
a = b e = 0) .
45
7 9.15. 9
0 ( 0 ) # 4 43 ( ) .
. - : B .
1 ( B
. 4 ( :7( " , a 3 ) jF1X j = r1 = a + ex, (X d1 ) = x + e = x + ae , (
jF1X j = e: (X d) - : H 7 . 2 & ( 1. - 7 : . 0, d ( j = e > 0, B
F 62 d. - 7, ( 'G4 X , 23 j(FX X d) ( e < 1), : ( e > 1) : ( e = 1). & ( 2. - ( 7 , 7 H - . 9.6. - . / 9.16. G $ p , 23 2 (2), (3) (4), B ( p 7 ( : , (
p := ba
2
(. 4 :7, 7 , p 7 . ) , " ( ( . 9.18) / 9.17. G $ 7 (. . 7 , 23 ( ), 3 (7 " # $ | , H " ( 7(, , ).
7 9.18. G $ p # $ . . " &' :
v ! s2 2 u 2 u c b =b tb2 1 ; = b 2 a a2 a v 2 ! s2 2 u u tb2 c ; 1 = b b = b a2 a2 a 46
r p 2p 2 = p: 2 ? 2 , 2 ( B
7 " 2 , 2 ( : 7 " 2 , ( : 2 " 2 : O
u
F1
u
F2
-
w
F1
O F2
-
w
O F
u
-
)% 7 , 23 ( 7 . ? 7 , . B : 7 # $ .
7 9.19. # $ , % , 4, $ # :
r = 1 ; epcos '
% % |
r = ; 1 ; epcos ' :
. B
. X | 7 ( B
-
, OR | " , Q | ( ( , (7 ( X : d1 Q X 6 Rr O ' F2 F1 u
47
u
(r ') | ( X . ? 7 . 0: ORj = e jORj = p jQX j = r cos ' (jR d1 ) j = p (Q d1) = (R d1) = jOR e e e = (Xr d ) = jXQj +r(Q d ) = jXQrj + p = r cos r' + p 1 1 e e p (7) r = er cos ' + p r = 1 ; e cos ' : M: 7, ( : H ( , 7, ( B ' 2 C0 2) 7( r. 4 :7,
2: , 3 (7 " , ( H (7) ( . ) 7, ( : B
. - , (7 " (;c 0), ( ( x = ;c + t y = t: 4( ( B
7 t: (;c + t)2 + (t)2 = 1 a2 b2 (b22 + a2 2)t2 ; 2cb2t + (c2 ; a2)b2 = 0: - D ( c2 = a2 ; b2):
D=4 = c22b4 ; (c2 ; a2)b2(b22 + a2 2) = = c22b4 ; c2b42 ; c2b2a2 2 + a2b42 + a4b2 2 = = ;a4b2 2 + b4a2 2 + a2b42 + a4b2 2 = b4a2(2 + 2) > 0: 4 :7, H . 2 & ( 3. 7 (.
10.
1
10.1. /' 9 :3 2 72 "" F (x y) = 0, F (x y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = (8)
48
! ! ! x + 2(a a ) x + a = X T QX + 2LX + a = (9) 1 2 0 0 y y 10 1 0 1 0 x x a11 a12 a1 C B C B B (10) = (x y 1) @ a12 a22 a2 A @ y A = (x y 1) A @ y C A a1 a2 a0 1 1 : 7 B""% aij ( . G% Q 7 2 2 7 % 0 0 , % L 7 1 2 7 % 0 , & ( 10.1. <, ( 7 % 7( 2 , . . , 0 1 0 1 x x B C B F (x y) = (x y 1) A @ y A = (x y 1) B @ y C A 1 1 A = B . 2 10.2. & (x y) ! (x0 y0) F (x y ) = 0 = (x y) aa11 aa12 12 22
F 0(x0 y0) := F (x(x0 y0) y(x0 y0)) = 0:
. < 3 " ! ! 0 ! ! x = c11 c12 x + x0 : y c21 c22 y0 y0
9 , deg F 0 2. J deg F 0 1, :2 7 , (, ( deg F 1. H (2. 2 & ( 10.3. - , . . , : (, ( F = 0 G = 0 72 2 ,
F = G . - B . / 10.4. 1 : 7 B 2- : (F = 0) (G = 0)
,
F = G 6= 0:
7 (x y) ! (x0 y0) F (x y) = 0
F 0(x0 y0) := F (x(x0 y0) y(x0 y0)) = 0:
- : 7, ( 7 3 7( : , : , ( 7 ( ( ( , ). 49
10.5.
| , 7 2 2 x2 + y2 = ;1. D $ a b
| y 2 + a2 = 0, a 6= 0. ): 72 3 ( , H 7 . D
7 10.6. 4 3 %$
, 43 ( ( 8
1 ): 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
x2 + y2 = 1, (a b > 0), 5 a2 b2 x2 + y2 = ;1, (a b > 0), 5 a2 b2 x2 + y2 = 0, (a b > 0), 43 5 a2 b2 x2 ; y2 = 1, (a > 0 b > 0), % 5 a2 b2 x2 ; y2 = 0 (a b > 0), 43 5 a2 b2 y2 = 2px, (p > 0), 5 y2 ; a2 = 0, (a > 0), $ 5 y2 + a2 = 0, (a > 0), $ 5 y2 = 0, 43 .
. 1 7 2 2 . ? (8) { (9). ) ( 7 7 23 , 23 7 , H 7 0 . 5 10.7. &3 $ %, 0 0 a12 = 0, % 0 .
43 ##
. ( ) 1 7 : ! ! 0 ! x = cos ' ; sin ' x : y
sin ' cos ' 50
y0
4
F 0(x0 y0) := F (x(x0 y0) y(x0 y0)) = a11(cos ' x0 ; sin ' y0)2+ +2a12(cos ' x0 ; sin ' y0) (sin ' x0 + cos ' y0) + a22(sin ' x0 + cos ' y0)2 + ( : /B""% 2x0y0, . . a012,
;a11 cos ' sin ' + a12(cos2 ' ; sin2 ') + a22 cos ' sin ' = = (a22 ; a11) sin22' + a12 cos 2': G ', (: a012 = 0, . . 2' = a11 ; a22 : ctg 2' = cos sin 2' 2 a12 <( 7H, : a12 = 0, : : . ? (H) ( F
F 0(x0 y0) = 1x02 + 2 y02 + 2b1x0 + 2b2y0 + b0 = 0:
5 10.8. D%0 43 : 1) 2) 3)
(11)
2
(11)
$
F 00 = 1(x00)2 + 2(y00)2 + (1 2 6= 0)5 F 00 = 2(y00)2 + 2b1x00 (2 b1 6= 0)5 F 00 = 2(y00)2 + (2 6= 0).
. 1: 1 2 6= 0: 4 : F 0(x0 y0) = 1 x02 + 2y02 + 2b1x0 + 2b2y0 + b0 = !2 !2 ! 2 2 b b b b 1 2 1 2 0 = 1 x0 + + 2 y + + b0 ; ; = 1
2
= 1(x00)2 + 2(y00)2 +
1
2
x00 := x0 + b1 y00 := y0 + b2 1 2 | " 7 , : . 2: 1 = 0 2 6= 0 ( 2 = 0 1 6= 0, ). ?7 (. ) J b1 6= 0, F 0(x0 y0) = 2y02 + 2b1x0 + 2b2y0 + b0 = 51
!2 ! 2 b b 2 2 0 = 2 2 + 2b1x + b0 ; 2 = = 2(y00)2 + 2b1x00 ! 2 1 b 2 00 0 x := x + 2 b b0 ; y00 := y0 + b2 1 2 2 | " 7 , : . ) J b1 = 0, F 0(x0 y0) = 2y02 + 2b2y0 + b0 = !2 ! 2 b b 2 2 0 = 2 y + + b0 ; = 2(y00)2 + 2 2 x00 := x0 y00 := y0 + b2 2 | " 7 , : . N 7. 2 ? 7 7: 7 ( ( 7 3 . G : ( %, 7 . 1). 1. 1 2 | 7 , | . ( B
. 2. 1 2 | 7 . ( B
. 3. 1 2 | 7 , = 0. 23 . 4. 1 2 | 7 7 , 6= 0. ' : . 5. 1 2 | 7 7 , = 0. 23 . 2). 6. : . 3). 7. < 0.
. 8. > 0.
. 9. = 0. 23 . 2
y0 +
10.9. "
43 ( 0): 5 % 5 5 43 5 $ 5 43 5 0 5 .
10.2. 0 ' / 10.10. . % J B""% ( F 7 % $ , , . .
J (a11 a12 a22 a1 a2 a0) = J (a011 a012 a022 a01 a02 a00): 52
/ 10.11. 9 B % A 7
A:
Tr A := a11 + a22 + : : : + ann:
7 10.12. !43 # : S := Tr Q
:= det Q
Q := det A
4 % $ .
. 1 (x y) 0 0
(x y ):
! ! 0 ! ! x = c11 c12 x + x0 y c21 c22 y0 y0
! c 11 c12 C := c c | 7 %. ! C 21 22 3 3 3-% 0 1 c11 c12 x0 D := B @ c21 c22 y0 CA : 0 0 1 4 H 0 1 0 01 0 10 0 1 x x c11 c12 x0 B@ y CA = D B@ y0 CA = B@ c21 c22 y0 CA B@ xy0 CA : 1 1 0 0 1 1 - 2 .
5 10.13. D A0 Q0, 0 43 %0
F 0(x0 y0) := F (x(x0 y0) y(x0 y0))
A Q A0 = DT AD Q0 = C T QC:
.
0 1 0 1T 0 1 x x x C B B C B 0 0 0 F (x y ) = (x y 1) A @ y A = @ y A A @ y C A= 1 1 1 0 0 0 11T 0 0 1 0 01 x x x =B A AD B@ y0 CA = (x0 y0 1)DT AD B@ y0 CA : @D B@ y0 CAC 1 1 1 53
? 7( 10.1 B 7(, ( A0 = DT AD. , ( 7 . 2 7 . 07 , C D ( det Q0 = det (C T QC ) = det C T det Qdet C = (det C )2det Q = det Q det A0 = det (DT QD) = det DT det Adet D = (det D)2 det A = det A det C = 1, det A = det C . 0 Q . 0 0 ! ! ! ! a c a c 11 c21 11 a12 11 c12 0 T 11 a12 Q = C QC a012 a022 = c12 c22 a12 a22 c21 c22 = ! ! c c 11a11 + c21 a12 c11 a12 + c21a22 11 c12 = c a +c a c a +c a c21 c22 12 11 22 12 12 12 22 22 a011 = c211a11 + c21c11a12 + c11c21a12 + c221a22 a022 = c212a11 + c22c12a12 + c12c22a12 + c222a22 a011 + a022 = a11(c211 + c212) + 2a12(c11c21 + c12c22) + a22(c221 + c222): ? %: ! ! cos ' ; sin ' cos ' sin ' sin ' cos ' sin ' ; cos ' : 4 ( c211 + c212 = cos2 ' + sin2 ' = 1 c11c21 + c12c22 = cos '( sin ') sin ' cos ' = 0 c221 + c222 = sin2 ' + cos2 ' = 1: <(, a011 + a022 = a11 + a22. 2 & ( 10.14. 7 2 . & % 7 . & ( 4. G : H 7, (: 7 ? & ( 10.15. 0 S ( 7 : :3 , 2 ( . / 10.16. M 0 %0
Q 7 Q := det (Q ; E ), E | ( %. 7 10.17. 1## 0% %0
Q 4 % $ .
.
Q () = det (Q0 ; E ) = det (C T QC ; E ) = det (C T QC ; C T C ) = = det (C T (Q ; E )C ) = (det C )2det (Q ; E ) = Q(): 2 0
54
10.3. ( ' / : 7 7 ( , 2: 7 7 23 1) F = 1(x)2 + 2(y)2 + (1 2 6= 0)F 2) F = 2(y)2 + 2b1x (2 b1 6= 0)F 3) F = 2(y)2 + (2 6= 0). ! B B : 7 ( 3 7 ), B . <(, B , . 9( 0 A 1 S
Q 1 0 0 B 1 @ 0 2 0 CA 1 + 2 12 1 2 0 0 0 1 0 0 b1 C 9 : % B 2 0 ;2b21 @ 0 2 0 A 2 0 b1 0 0 1 0 0 0C B 3 2 0 0 @ 0 2 0 A 0 0 )( 23 . 2 10.18. ( 1 ; 3 0 4 0
6= 05 2) = 0, Q 6= 05 3) = 0, Q = 0, S 6= 0. 1 ( . 1. F = 1 (x)2 + 2(y)2 + (1 2 6= 0). 2 10.19. 1## 1 2 4 0% %0
Q. ! 0 1; . Q = det 0 2 ; = (1 ; )(2 ; ). 2 0 , ( 23: 1 2 ( ( 2 ; S + = 0, = Q= . 1)
55
10.20. M 0 %0 3 . 2. F = 2 (y)2 + 2b1x (2 b1 6=s0). ? B ( 2 = S , b1 = ; Q S . & : " s
p = ; SQ3 . 3. F = 2 (y)2 + (2 6= 0). 4 2 = S , ( (7 S , Q 7. !: 3 \ ( ". ) " %2 K " a a 11 a1 22 a2 K := a a + a a : 1 0 2 0
5 10.21. 1 0% %0
A 4 %$ 3 0 .
0 1 c 11 c12 0 . ? B ( % D = B@ c21 c22 0 CA . 0 0 1 - H 10.17. 2
7 10.22. A = Q = 0, # K % $ .
. <, ( ( ( A a1 a11 ; a12 a12 a22 ; a2 = a1 a2 a0 ;
! a a a 11 a1 22 a2 11 a12 = ; + (a0 + a11 + a22) ; a a + a a + a a + Q = 1 0 2 0 12 22 = ;3 + (a0 + S )2 ; (K + ) + Q: ? 3 k 7, 23 ( . ? :3 ( : = Q = 0. : a12 = 0 , (23 , (, ( a12 = 0 . B ( = a11a22 = 0, :7 ( :3 (, ( a11 = 0, a22 6= 0. 07 Q = ;a21a22 = 0 ( a1 = 0. 4 F F = a22y2 + 2a2y + a0. 1 3
2
x = x0 + x0
y = y 0 + y0 : 56
4 F 0 = a22(y0 + y0)2 + 2a2(y0 + y0) + a0 = a22(y0)2 + 2(a22y0 + a2)y0 + (a22y02 + 2a2y0 + a0) a022 = a22 a02 = a22y0 + a2 a00 = a22y02 + 2a2y0 + a0: B 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 A=B @ 0 a22 a2 CA A0 = B@ 0 a022 a02 CA : 0 a2 a0 0 a02 a00 4 K = a22a0 ; a22, K 0 = a22(a22y02 + 2a2y0 + a0) ; (a22y0 + a2)2 = a22a0 ; a22 = K: 2 ? (2: F = 2y2 + , 0 1 0 0 0 A=B @ 0 2 0 CA S = 2 = Q = 0 0 0 K = 2 = KS :
7 10.23. !43
0 % :
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
&
G B
23 ' : 23 :
23 . B
.
>0
>0
>0
<0
<0
=0
=Q=0
=Q=0
=Q=0
SQ < 0 SQ > 0 Q=0 Q 6= 0 Q=0 Q 6= 0 K<0 K>0 K=0
0 1 1 0 0 2 a F = xa2 + yb2 ; 1 = 0 A = B @ 0 b12 0 CA 0 0 ;1
= a12 b12 > 0 S = a12 + b12 > 0 Q = ; a12 b12 < 0: 7 . J F 2 , 7 , 2
2
57
F % 2 , 7 7 , 7 S Q 7 , 7(, 7 S Q . ):, > 0 S Q < 0. 4 6= 0, :
F = 1 (x)2 + 2(y)2 + (1 2 6= 0) 0 1 1 0 0 A=B @ 0 2 0 CA S = 1 + 2 = 12 Q = 12: 0 0 4 > 0, 1 2 7 , 7(, S 7 . 4 S Q < 0, Q 7 , = Q= . B ; 2 B
. 2
10.24. &$
## 0% 4 0 , 0.
10.25. ) x2 ; 5xy + 4y2 + x + 2y ; 2 = 0. 0 1 1 ;5=2 1=2 1 C A=B @ ;5=2 4 A 1=2 1 ;2 S = 5 = 4 ; 254 = ; 94 Q = ;8 ; 54 ; 45 ; 1 ; 1 + 25 2 = 0 :7, B 23 . 10.26. ) 5x2 + 12xy ; 22x ; 12y ; 19 = 0. 0 1 5 6 ;11 A=B @ 6 0 ;6 CA ;11 ;6 ;19 S = 5 = ;36 Q = 2 36 11 + 36 19 ; 36 5 = 792 + 504 = 1296 :7, B : . & ( 5. ! ( 32 ) ( B . 10.4. 1 23 / 10.27. , :( F (x y) = 0 7 3, F = F1 F2 , F1 F2 | ( .
4-
2 10.28. A % 0 $% F = 0 Ax + By + C = 0, F = f F1, . . %0 F
4 f $ .
58
. A 6= 0 ( B 6= 0 (). 17 ( F f ( x r(y). , ( r = 6 0, . . ( y0, ( r(y0) = 6 0. ?: x0 , (: f (x0 y0) = Ax0 + By0 + C = 0
::
4 (x0 y0) 2 ff = 0g fF = 0g
x0 = ; A1 (By0 + C ):
0 = F (x0 y0) = f (x0 y0) F1(x0 y0) + r(y0) = 0 F1(x0 y0) + r(y0) = r(y0): (.
2
10.29. A
F (x y) = 0 4 Ax + By + C = 0, F = (Ax + By + C ) (A1x + B1y + C1). B $ % $ % , % Q = 0. %
. ( 7 7 3 , | 7 : . 2
10.30.
F (x y) = x2 ; 5xy + 4y2 + x + 2y ; 2 = x2 ; (5y ; 1)x + (4y2 + 2y ; 2) x12 = 5y ; 1 2(3y ; 3) x1 = 4y ; 2 x2 = y + 1 F (x y) = (x ; x1) (x ; x2) = (x ; 4y + 2) (x ; y ; 1): & ( 6. - 7, ( a11 6= 0, F (x y) = 0 x ( y, 2 ( a11Q. ? ( , 7 ( Q = 0.
7 10.31. & $ % $ J %0
, $ 3 % ## , %0
S , Q.
10.5. 4 ! , ( | B :( ( 2 .
7 10.32. !3 , 3 0 0 $ 0, 0 .
59
. Pi(xi yi), i = 1 : : : 5, | B ( -
. - B""%
7 7 5 :
a11x2i + 2a12xiyi + a22yi2 + 2a1xi + 2a2yi + a0 = 0
i = 1 : : : 2
6 7 ( 2 . 4 H. ) 7( ( 2 , 7 . - . , , : (, ( 2: , 3 (7 P1 : : : P4, (7 P5. 1 (. 1: ( 7 P1 : : : P4, , P1 P2 P3 , 2 :7( l.
m P5
r
P4
r
r 2 r
P1
r
l
P3
P
2 m, 32 P4 32 P5. 4 4 ( , m 6= l m l | , 3 P5. (. 2: ( 7 P1 : : : P4 . 4 : q1 := (P1P2) (P3P4) q2 := (P1P4) (P2P3). PP # PP PP 2# # PP P 3 PP # PP # PPP # hhhP1# P hhh # hhhh P4 r
r
r
#
# # #
hhh r hhh h
P5
r
2, P5 2 q1, P5 2 q2. ! q1 \ q2 = fP1 P2 P3 P4g. (.
2
60
7 10.33. A F = 0 G = 0 4 4, . . 0, 0 34 0 , F = G, = 6 0. . 'G4, 23 " , 7 -
(&' , : 23), ( | (( ). - ,
23 , 3 2 3 4 ( , 3 . B 7 3 . ) ( 23 . F = 0 G = 0 Ax + Bx + C = 0. 4 2 23 , F = (Ax + By + C ) (A1x + B1y + C1) G = (Ax + By + C ) (A2x + B2y + C2): / ( H , 2 Ax + Bx + C = 0, 7(, : , 723 2, A1x + B1y + C1 = (Ax + Bx + C ) A2x + B2y + C2 = (Ax + Bx + C ) 2 ( G = F . 10.6. 4 . \ " 7 ' . / 10.34. N 7 ( : A1 : : : A6 H ( , 3 :3 , . . 3 ( . J : A1A2, A2A3, ... A6A1. & : A1A2 A4A5 , A2A3 A5A6, A3A4 A6 A1. 1
A
A2ZZZ A3Z
6 A A 4 A 5 A
A
A
A
A2
XX XXX X 6 5
DS DS D S D S D S D S
A
A1
A
A4
A
S 3 S
A
T T 6T
A
2 T C @ T C @ T C @ TT C @ C @ 5 3 CC @ @ 1
A
A
A
4
A
& ( 10.35. ! 3 ( &' . & 7 ( ( , 7 ( ,
. ? 7 ( H . <(, : H, ( 2 ( , 2 . : : 23 ". 4 :7, ( : 6 7 ( ( &' 7 H H . 61
7 10.36 ( ). (0 0 , %
BF&, .
. P1 = (A1A2) \ (A4A5), P2 = (A2A3) \ (A5A6), P3 = (A3A4) \ (A6A1). - , ( P3 2 (P1P2). 1
P (x y) = a111x3+a112x2y+a122y2+a222y3+a011x2+a012xy+a022y2+a001x+a002y+a000 = 0 3 (7 8 ( : A1 : : : A6 P1 P2. ?7 7 8 10 B""% aijk . , ( B 8 7 . , ( B , . . 7 (7 . & 7(, ( 2: :( , 3 (7 7 ( , (7 2. - , , (23 P2, (7 . 1
:( , 72 H , 3 (7 P1, (7 P2. (. , ( P1. \7 " ( | A1. 4 ( ( 7 : (A4A5) (A2A3) (A5A6). , ( Ai. 0 8 7 2: H :% 7 H. - H, 23 7 ( 'G4 : 7 ( ). ? ( , :( 'G4 (A1A2) (A3A4) (A5A6) (A2A3) (A4A5) (A6A1) 7 . <(, Q (P1P2), Q | , :%. <(, P3 2 (A1A2) (A3A4) (A5A6) \ (A2A3) (A4A5) (A6A1) Q (P1P2): ? 7( 10.35 P3 Q. <(, P3 2 (P1P2). 2 4 7 23 32
. 1. - , 7 5 ( A1 : : : A5, 3 ( : ( 3). 1 ( P1 = (A1A2) \ (A4A5) l2 = (A2A3) l3 = (A3A4). 4 ( P2 l2 ( A6 23 . 2 (P2P1) ( l3 ( P3 . 4 A6 = (P2A5) \ (P3A1). 2. 3, , A6 ! A5, 23. - , 7 5 ( A1 : : : A5, 3 ( : ( 3). G 2 ( A5. ( P1 = (A1A2) \ (A4A5), P3 = (A3A4) \ (A5A1). P2 = (P1P3) \ (A2A3). 4 (P2A5) | . 62
7 10.37 (
). (
&
0 43 , $, 0 % 0 , . . A1 A3 A4 | , $ | %.
? 7 7 , : , (
7 10.38 ( ).
A 0 0 , % %
$ .
& ( 7. : 7 . & ( 8. : 7 : .
11. ) 2 2 1 2 ;, 72 ""
F (x y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0 2 l, 72 ( ( x = x0 + t : y = y0 + t - ( ( ; l ( F = 0: a11(x0 + t)2 +2a12(x0 + t)(y0 + t)+ a22(y0 + t)2 +2a1(x0 + t)+2a2 (y0 + t)+ a0 = 0 F2t2 + 2F1t + F0 = 0 F2 = a112 + 2a12 + a22 2 = q( ) F1 = (a11x0 + a12y0 + a1) + (a12x0 + a22y0 + a2) F0 = F (x0 y0): / 11.1. ! ( ) 0 2 H2 ;, F2 = q( ) = a11 + 2a12 + a22 2 = 0. N , ( B , . . , . 63
2 11.2. 9
0% , . . .
. . ( : : 7 ( ( ( 2, (, ( ) % C , ! ! ! = C 0 Q0 = C T QC Q = a11 a12 : 0 a12 a22 4
! !T ! 0 !!T 0 ! q( ) = ( )Q = Q = C 0 QC 0 = 0 ! 0 !!T 0 ! 0 !!T C T QC 0 = 0 Q0 0 = q0(0 0): = 0 4 :7, 7 (2 ( 7 : . 2
7 11.3. &
l 0% 4 -
% ; 2 3 0 ( 0 ) . &
l 0% 4 % ; ;, 34 0, .
& ( 11.4. \- H ( " 7(, (
: 7 , 23 2 ( ( ( 3). 1 2 ( , ( ( ( 23 , ( 23 ( 23 . . 1 F2t2 + F1t + F0 = 0, F2 = q( ), ( ) | 23 l. J ( , F2 = q( ) 6= 0 . ) 2, 1 0 H. B 1 H, . G (, ( ( ( (x0 y0) . 4 F0 = 0 ( ( , F1 = 0. - , ( 2: 7 ( (x0 y0) ( (x1 y1) , : ( F1 = 0. & 7(, ( : B""% ( )
: 7 ( , . . a11x1 + a12y1 + a1 = ; : a12x1 + a22y1 + a2 64
<(, (x0 y0), , , 23 . ): 2( ( H, 23 ( (), , ( B ( ( ( . (G 7 : 7
, (: 7 7 11.12 ( 7% ( . J 73 , 3 ( . ).) J ( , F2 = 0 2F1t + F0 = 0. J F1 6= 0, ( (. J F1 = 0, F0 6= 0, ( . J F1 = F0 = 0, ( l ; l. 2
11.5. C 0 . . - . 4 , 3 B ( , ( % . <(, . 2
11.1. ' ( : a112 + 2a12 + a22 2 = 0: J a11 6= 0, 6= 0, ( = 0. - 2:
!2 ! a11 + 2a12 + a22 = 0 a11k2 + 2a12k + a22 = 0, k = . 4 q ; a12 a212 ; a11a22 ;a12 p;
k= = : a11 a11 / 11.6. / F = 0 0 , % 0 0 , , , > 0, < 0 = 0. 5 11.7. B , . . . . <, ( | 7, 7 7 sgn 0 = sgn det Q0 = sgn det (C T QC ) = sgn (det C )2det Q = sgn : F F , :7, 2 . 2 65
7 11.8. 1 0% 4 0 5 % 0% 4 0 5 0% 4 0 .
p ; a 12 ;
. J a11 =6 0, : ( " k = , 7 a11
( :7. , ( ( a22 = 6 2 0. J a11 = a22 = 0, = ;a12 < 0 (
q( ) = 2a12 = 0 ( ( : (0 1) (1 0). 2 11.9. , ( : x2 ; y2 = 1 a2 b2 2 ; 2 = 0 k = = a : a2 b2 b 4. . ( : | . 11.10. B
x2 + y2 = 1 a2 b2 ( : 2 + 2 = 0 , = = 0: a2 b2 211.11. : ( ( 2 ): y ; 2px = 0 q( ) = = 0 (1 0). & ( 9. , ( ( 23 | B ( ( (7 ( ( (). , ( (
H | B .
11.12 ( 11.3, ().
$ , 40 , $ 0 % 0 :
l 0 % $ % , % $
, 43 4 0 .
66
11.2. , # 1 2 2 ;, 72 ""
F (x y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0 2 l ( , 72 ( ( x = x0 + t : y = y0 + t l ; (7 H) ( , (x0 y0) | 23 7 (). t1 t2, 23 ( (,
F2t2 + 2F1t + F0 = 0
F2 = a112 + 2a12 + a22 2 = q( ) F1 = (a11x0 + a12y0 + a1) + (a12x0 + a22y0 + a2) F0 = F (x0 y0) ( H ( F2 6= 0. ? t0 = 0, (23 (x0 y0), F1 = 0: 0 = t0 = t1 +2 t2 = ; FF1 2 7 11.13. ! ; % 0% ( )
(a11x + a12y + a1) + (a12x + a22y + a2) = 0:
. ? , 7, (
7 2, . . B , . H: (a11 + a12 )x + (a12 + a22 )y + (a1 + a2 ) = 0 J : ( ( a11 + a12 = 0 a112 + a12 = 0 + 2 a12 + a22 = 0 a12 + a22 = 0 a112 + 2a12 + a22 2 = 0, ( ( ( .
2
67
/ 11.14. (a11x + a12y + a1)+ (a12x + a22y + a2) = 0 7
F = a11x2 + : : : = 0, 0 4 ( ). E ; | ( M (x0 y0), ( 2-
/ 11.15.
: ( P ( P 0, (2 P M . 4 :7, M | % ;.
5 11.16. &$ M (x0 y0) | ;.
!3 4 0 0 , 3 0 M 43 ;.
. - ( (. - &' ( P Q, ( M , ( M 3 ;. 4 (PM ) \ ; fP P 0g, (QM ) \ ; fQ Q0g, P 0 Q0 | 23 ( ( . > , ( ( , B ( 2 11.5. 4 :7, B . 2
7 11.17. (0 M (x0 y0)
% -
F (x y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0
% $ % , %
(
a11x0 + a12y0 + a1 = 0 a12x0 + a22y0 + a2 = 0
( )
0
1 @F (x y ) = 0 2 @x 0 0
1 @F (x y ) = 0: 2 @y 0 0
. ) (i i), i = 1 2, | 23 ,
3 . 4 (x0 y0), 23 , 23 , . .
i(a11x0 + a12y0 + a1) + i(a12x0 + a22y0 + a2) = 0
i = 1 2:
):7( : (7 u v , (, ( u v 2 ( 1u + 1v = 0 2u + 2v = 0 B 7 , (i i)
. <(, 7 : u = v = 0. 68
( ( M (x0 y0) \ %". -
(x0 y0): ( 4
x0 = x ; x0
y0 = y ; y0
x = x0 + x0
y = y 0 + y0 :
F 0(x0 y0) = a11(x0+x0)2+2a12(x0+x0)(y0+y0)+a22(y0+y0)2+2a1(x0+x0)+2a2(y0+y0)+a0 = = a11(x0)2 +2a12x0y0 + a22(y0)2 +2(a11x0 + a12y0 + a1)x0 +2(a12x0 + a22y0 + a2)y0 + F (x0 y0) = = a11(x0)2 + 2a12x0y0 + a22(y0)2 + a00 = 0: )(, ( ( (x0 y0) B 2, (;x0 ;y0) | , M : (0 0). 2
11.18. C % F (x y) = a11x2 + : : : = 0 1) , = 05 2) , = 0 Q = 6 0, . . ; | 5 3) 4 4 , = Q = 0. . - , % (
a11x0 + a12y0 + a1 = 0 a12x0 + a22y0 + a2 = 0
a 11 a12 2 H , a a = 6= 0. J 12 22 :7( (7 r % ! a 11 a12 a1 B= a a a 12 22 2 = 0 H , r = 2, : ( H , r = 1 ( : ). )(, ( Q 6= 0 ( r = 2, r = 1 ( Q = 0. - : %. 0 , = Q = 0 :, . . r = 2. <(, % 0 1 a 11 a12 a1 A=B @ a12 a22 a2 CA a1 a2 a0 69
( Q) (7 . ? ( , a1 = a11 + a12, a2 = a12 + a22 . & 7(, ( :% % B (7 , , 2 (, 7 ( = 0). <(, r = 1. (. G ( 2( ( 2 :2 %2. 2
11.19. 4 0 . . 9 ( ,
, : , (7 %. N: B ( , 23 , : 2 . ? 2: ( B ( . 2 11.3. 8
7 11.20. A % , . . = 6 0, , 0 4 ( ), ( ), 43 0 . & , 4 ( ), ( ).
. 9 ( )
(a11x + a12y + a1) + (a12x + a22y + a2) = 0: ! (u v) ax+by+c = 0, 7, : 2 ( : au + bv = 0. ? H (: ! (a11 + a12 ) + (a12 + a22 ) = ( )A = 0: (12) , ( ( ) | ( . 4 (|a11 + a 12 ) + (a12 + a22 ) = 0: {z } | {z } V
W
? (12) ( (
V + W = 0 + W = 0: J V W :32 , ( ) ( )
, ( , ( ) ( ( ) ( | ( ( , ( ( : :
). <(, V = W = 0, . . a11 + a12 = 0 a12 + a22 = 0: V
70
! 6= 0, B H = = 0, ( : 23 . ? ( ( 7 (12) ( ). 2
11.21. 4
0% , 3 0 , .
. & | , 2 . 2 / 11.22. - %, 3 ,
, 72 .
-
/ 11.23. - ( ) ( ) 72
(12).
( ), 2 2
& ( 11.24. 07 7 , ( 2 . ):, :3 , .
7 11.25. A , . . = 0, Q 6= 0, 4 0 .
. 1 ( ). 4
: ( ), 23 (a11 + a12 ) + (a12 + a22 ) = 0 , ( 2 , = ;(a12 + a22 ) = a11 + a12: 0 ( = 0): ( a11 + a12 = ; = 0 + a12 + a22 = = 0
a11()2 + 2a12 + a22( )2 = 0 . . ( . 2 & ( 10. - 7, ( 2: ( H2 : . & ( 11. : , ( 3 3 : ( , : . & ( 12. < B
, , :7 | B . 71
11.4. & ? B " . l | $
;, . . ;
2: ( P P 0, (2 P l. ;: F (x y) = a11x2 + : : : = 0. ?7 (: : l ( . J ; ( l, ; = l. J ( P , ( ;;! l ( P 0 ;. PP 0 | ( , (PP 0) ;. 0 , ; B ( (PP 0) 2 2 m, : ( l. ?7 (: m = (PP 0), mk(PP 0) m = l. 0 , 7 ( 2, 7 23 : 1) ; | H . ) 2 : B 2: , . 2) ; |
. ) 2 : 2: , . 3) ; | . 0 ( ( : ). : l ( . / 11.26. ! ( , 7 % ;, 7 % .
7 11.27. F $4
;. 9 , $ % , 0 $ , 43 (. . 0 0 ), $
% .
. ? B ( 7
, . . 2 . ):, 2 (, 2( (, : ( 2. B | ( . / , B , :7, . , . 2 72
7 11.28. ( ) % F = a11x2+: : : = 0, % $ % , % ! ! ! a 11 a12 Q = Q = a a 12 22
|
$ 0%
det (Q ; E ) = 2 ; S + = 0:
Q, 0 43
. . ( ) | . 4 (
23
(a11x + a12y + a1) + (a12x + a22y + a2) = 0 ( n 2
( ), . . ! ! a 11 + a12 n = a + a = 12 22 ! ! Q = : H: ! ! (Q ; E ) = 00 : & H ( ). - B 2: det (Q ; E ) = Q() = 2 ; S + = 0. 1 . J = 0, H : ( a11 + a12 = 0 a12 + a22 = 0 +
a112 + 2a12 + a22 2 = 0 . . ( ) | ( . ):, 6= 0, ( a11 + a12 = a12 + a22 = + a112 + 2a12 + a22 2 = (2 + 2) 6= 0: 73
4 :7, , : Q, (23 6= 0, ( , , ,
( ) , 7 , B 2 ! ! (Q ; E ) = 00 : 2 5 11.29. &$ 1 6= 2 | 0% . (% 43 (1 1) (2 2) . . 4 7 ( 0, | 1. / , (, ( 23, :7( (7 ( ). 4 ! ! ! 1 = Q = 2 ( 7 ( ). 2 11.30. B 0 (. . 0 ) % 4
,
4 0 . & $
, 434 $4 Ox 0 .
. 1 2 | ( ( . J 7 ( , 7 .
2
& ( 11.31. - , 1 = 2, 2: .
12. 3 1 ? ( ( 32 . / , 32 : ', . . 9( : , : ( , ( : : ). 1. 1H %: ( 1 @F 2 @x = a11x + a12y + a1 = 0 1 @F 2 @y = a12x + a22y + a2 = 0 (x0 y0) | H (7 ). 9 ( : . 2. 7 : ( 0 x = x ; x0 y0 = y ; y0 74
F 0(x0 y0) = a11(x0)2 + 2a12x0y0 + a22(y0)2 + = 0 = F (x0 y0) ( B""% ( ( ). 3. 03 1 2 ( ( a a = 0 11 ; 12 2 ; S + = 0 a a ; 12 22 23 : (1 1), (2 2). J 1 2 7 ( , e00i := q 21 2 (i i) i = 1 2: i + i J 23 ( ), % ( ( (a12 = 0). ?
F 00(x00 y00) = 1(x00)2 + 2(y00)2 + = 0: 4 :7 ( . J F 0 = 0 7 1 = 0, . ) ( . ? B ( ( ( ( ) 7 a112 + 2a12 + a22 2 = 0: -, 23 2, @F = 0 + ; @F @x @y 2. <, ( : : (x ; y)2 + Ax + By + C = 0: (13) ?H (x0 y0) 7
; @F@x + @F@y = 0
F (x y) = 0:
/( :
e1 = " p21+ 2 ( )
e2 = p21+ 2 (; )
" = 1. < e1 : 7 23 :. (13) 7, ( : % Ax + By + C = 0. 75
<(, , (, e1, :7 (A B ). 4 :7, 7 : 7 "(A + B ) < 0. /( 3 , 3 ( . 12.1. ) 5x2 +12xy ; 22x ; 12y ; 19 = 0. 1. U: ( ( 10x + 12y ; 22 = 0 x0 = 1 ) 12x ; 12 = 0 y0 = 1: 2. <: ( x = x0 + 1 y = y0 + 1 ( : F 0(x0 y0) = 5(x0)2 + 12x0y0 + F (1 1) = 5(x0)2 + 12x0y0 ; 36 = 0: ! ! 5 6 5 ; 6 2 3. Q = 6 0 , Q ; E = 6 ; , Q() = ; 5 ; 36 = 0, 1 = 9, 2 = ;4. 4 :7, ( (x00 y00):
F 00(x00 y00) = 9(x00)2 ; 4(y00)2 ; 36 = 0
(x00)2 ; (y00)2 = 1 4 9
| ( . 4. - e001 : ! ! ! ; 4 6 (Q ; 1E ) = 6 ;9 = 00 ( H: = 3 = 2 07 e001 ( , e002 : e001 = p1 (3 2) e002 = p1 (;2 3): 13 13 ) ( (: : 7 ( ( ( (1 1) :7 e001 e002 .4. 12.2. ) x2;4xy+4y2+4x;3y;7 = 0. 1. U: ( 2x ; 4y + 4 = 0 ) : . ;4x + 8y ; 3 = 0 2. , ( : 2 ; 4 + 4 2 = 0 ( ; 2 )2 ( H: = 2 = 1: 76
3. ) : @F = (;1) (2x ; 4y + 4) + 2 (;4x + 8y ; 3) = 0 + ; @F @x @y ;10x + 20y ; 10 = 0 x ; 2y + 1 = 0 | . 4. ?H: ( ( x ; 2y = ;1 x ; 2y = ;1 2 (x ; 2y) + 4x ; 3y ; 7 = 0 4x ; 3y = 6 H: (3 2). 5. /( :7 :
e01 = " p1 (2 1) e02 = p1 (;1 2) 5 5 ( " = 1 7 "(4 2 ; 3 1) < 0, ( " = ;1. 4 :7, 7 : ! ! ! x = p1 ;2 ;1 x0 + 3 : y0 2 y 5 ;1 2 6. /( : p (x ; 2y)2 + 4x ; 3y ; 7 = (; 5y0 ; 1)2 ; p4 (2x0 + y0) + 12 + p3 (x0 ; 2y0) ; 6 ; 7 = 5 5 p p p = 5(y0)2 + 2 5y0 + 1 ; p5 x0 ; 10 5y0 ; 1 = 5(y0)2 ; 5x0 = 0 5 (y0)2 = 2 p1 x0: 2 5
13. 4 / 13.1.
9 0 7 %, 3 (( ( 23 , ( 23 ( 23 ). @F & ( 72 @F @x (x0 y0) = @y (x0 y0) = 0. / 13.2. 1 $ ; : ( (x0 y0) 7 , 3 (7 B ( 23 ; H ( , : 3 ;.
77
7 13.3. 1 $ F (x y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0 0 (x0 y0) @F (x y )(x ; x ) + @F (x y )(y ; y ) = 0 0 0 @x 0 0 @y 0 0
(a11x0 + a12y0 + a1)x + (a12x0 + a22y0 + a2)y + (a1x0 + a2y0 + a0) = 0:
.
(
(14)
x = x0 + t y = y0 + t 2 ( , 23 H F2t2 + 2F1t + F0 = 0 F2 = a112 + 2a12 + a22 2 = q( ) @F (x y ) ( x F1 = (a11x0 + a12y0 + a1) + (a12x0 + a22y0 + a2) = @F 0 y0 ) + @x @y 0 0 F0 = F (x0 y0) = 0 ( . : F1 = 0, . . @F (x y ) = 0 @F ( x 0 y0 ) + @x @y 0 0 ( ( H ( ) @F (x y ): ( x = = ; @F 0 y0) @y @x 0 0 ( :, B . 73 ( ) : F1 6= 0, . . 3, B H ( . ( @F (x y )(x ; x ) + @F (x y )(y ; y ) = 0 0 0 @x 0 0 @y 0 0 (a11x0 + a12y0 + a1)(x ; x0) + (a12x0 + a22y0 + a2)(y ; y0) = 0: 9 ( F (x0 y0) B (a11x0 + a12y0 + a1)x + (a12x0 + a22y0 + a2)y + (a1x0 + a2y0 + a0) = 0: 2 78
13.1. ' ; 7 F (x y) = a11x2 + : : : 7 "" . 4 (14) : 7
0 1 xC B (x0 y0 1)A @ y A = 0 1
(15)
A | % F . 1 2:2 ( P (x0 y0) , (2 % . / 13.4. 15 7 0 P $ ;. & ( 13.5. ( P % , ( ( 2, . . , . 13.6. J ( P (x0 y0) ;, (, ( .
2 13.7.
A 0 P 0 M N , MN P .
;
$-
. J (xk yk ) | 0 1 ( , -
x 7 ( P (x0 y0), (xk yk 1)A B @ y CA = 0 | B . 10 1 x0 C B P , (xk yk 1)A @ y0 A = 0: 4 , (, 1 ( (xk yk) 8 F0(xk yk1) = 0 | ; > > < xk B > ( x y 1) A @ yk CA = 0 | . P > : 0 0 1 4 :7, (xk yk ) | ( ( , 7. 2 & ( 13.8. " 7 : . !7 7 ( : ( . ), B .
2 13.9. & 79
.
. ! ( . x ), ( % A (x y 1) 2 7 A0 = DT AD, 0 1 0 01 0 x x C B c11 c12 B@ y C B A = D @ y0 A = @ c21 c22 0 0 1 1 ) 7 (15) ( : 7 .
10 1 x0 C B x0 C y0 A @ y0 A : 1 1 2
7 13.10. &$ A B C D | 0 0 3 , -
P , 0 E . (%
F | 0 0 AD BC (EF ) P .
AC
BD,
. F
u
B B B
B B
B B
B B B
x
B ( B (((( ( ( ( (((( (B u ((" ( B ( ( u " B ((( b " (((( ( b ( " ( B (( bu " u h hhh B "" bb hhhh B hhh "h b u hhhh b B b u hhh h Bhhh b b hhhh B h h B
A
P
B
E
C
D
y
1 ""2 , AB CD 2 , ( P | ( . 4 :7, A B 2 y = 0, 7(, A B 2 (x1 0) (x2 0) , x1 x2 | a11x2 + 2a1x + a0 = 0: (16) , (, C D 2 y1 y2, ( a22y2 + 2a2y + a0 = 0: (17) ( 23 \ 7 ": x + y = 1 (AD) : x1 y2 80
x + y = 1 x2 y1 x + y = 1 x1 y1 x + y = 1: x y
(BC ) : (AC ) : (BD) :
2
2
B (AD) \ (BC ) = E (AC ) \ (BD) = F . EF x + x + y + y = 2 x1 x2 y1 y2 E F 2 ( 23 7 (, 7 H). 9 , x1 + x2 x + y1 + y2 y = 2: (EF ) : x1x2 y1y2 07 (16) (17) ? ( x1 + x2 = ; 2aa1 x1x2 = aa0 y1 + y2 = ; 2aa2 y1y2 = aa0 11 11 22 22 ;2a1 x + ;2a2 y = 2 (EF ) : a0 a0 a1x + a2y + a0 = 0: / , B ( P , 23 (0 0) 7 . 2
13.11. (0 0
% 0 %$ , 3 , 0 , | 0 .
13.12.
%$ PEF
, . . .
7 13.13. (0 P %
Q
0 P .
Q %
$ % ,
. 97 7 . ) H . 2 / 13.14. 4( , , 7 4
B .
81
& ( 13.15. - H ( 2 7( -
2 13.7. - B 7 : . . ( . : ). & ( 13.16. ? :( ( ) ( ( , % ) 2 , . . ( % ). 9( : 3 : . G : ( . P | ( . (7 3 (), (7 % | . J P %, :
. 4 ( ( : ( (, : ( . G %, : 2 . 0 , ( (: E F . , ( EF | P . - , 2 13.7, ( P E F , 7(, 3 , E F P . & ( 13. (4 >H) - H ,
, 2 ( . " : - 2 ( ( H , :7 ( . , B ( ( . 4( ( | 2 .
14. 5((
/ 14.1. & 7 7-7( : :. / 14.2. ): ( ) : 7
## , "" ,
( 2: ( 7 2 :7 . & ( 14.3. )(, ( "" :7 :7. & ( 14.4. - , 7 "23 "" :7 f Oe1e2e3 " ( ( ). Mi | % ei, ( O. 4 ;;;;;;;! :7 O0 = f (O), e0i = f (O)f (Mi ) (i = 1 2 3 i = 1 2 ). & 7 7 .
7 14.5. &$ f
| ## , Oe1 e2e3 O0 e01e02e03 |
, # % 43 . &$ C |
f ( 3 ): e0i . &$ 0 (x0 y0 z0) | O . $4 0
82
P 0 = f (P ). (% # 0 1 0 1
(x y z) (x0 y0 z0) 0 1 e x x x0 C B C B C B @ ye A = C @ y A + @ y0 A : ze z z0
P
(18)
9 , # ##
, 4 # (18)
C ## . 2 % 0 .
. 4 :7, % C | B % :7 e1e2e3 :7 e01e02e03:
e01 = c11e1 + c21e2 + c31e3 e02 = c12e1 + c22e2 + c32e3 e03 = c13e1 + c23e2 + c33e3: - 7 ( P (x y z) :7 Pe (xe ye ze) ( ( )
;!e ;;!0 ;;0!e OP = OO + O P ;!e
;OO ;!0 = x e + y e + z e 0 3 0 1 0 2
;;0!e
O P = x e01 + y e02 + z e03
OP = xe e1 + ye e2 + ze e3 = x0 e1 + y0 e2 + z0 e3 + x e01 + y e02 + z e03 = = x0 e1+y0 e2+z0 e3+x (c11e1+c21e2+c31e3)+y (c12e1+c22e2+c32e3)+z (c13e1+c23e2+c33e3) 0e1 0 1 0 1 0 1 x x c x C B x0 C 11 + y c12 + z c13 + x0 B C B C B e @ y A = @ x c21 + y c22 + z c23 + y0 A = C @ y A + @ y0 A : z0 ze x c31 + y c32 + z c33 + z0 z 4 , : , 72, ( : . B % C , ( H , . . 7 . 2
14.6. A
f ## $ % , $ 4%.
. f "" Oe1e2e3,
2 " (18). Oe1e2e3 | 7 . D | % Oe1e2e3 Oe1e2e3, ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 x x x0 x B@ y CA = D @B y CA + B@ y CA B@ y CA = D;1 B@ xy CA + B@ xy1 CA : 0 1 z z z0 z z z1 83
4 (xe ye ze) :7 Pe = f (P ) (x y z) ( P O e1e2e3 7 " 0 1 0 1 0e 1 0e1 0 1 0 1 x x0 x1 x x x 1 B@ ye CA = D;1 B@ ye CA + B @ y1 CA = D;1 C B@ y CA + D;1 B@ y0 CA + B@ y1 CA = z z0 z1 ze ze z1 0 1 0 1 0 1 0 1 x x0 x0 x1 B C B C C B ; 1 ; 1 ; 1 B = D C D @ y A + D C @ y0 A + D @ y0 A + @ y1 C A: z z0 z0 z1 {z } | : , ( : . 2 / 14.7. ) "" :7 f ;;;;;;! " f (;! AB) = f (A)f (B ). 14.8. f # 0 e 1 0 1 B@ e CA = C B@ CA e e e ) | f (v). e % ( ) | v , ( 0 ,
f
X i
! X i vi = i f (vi): i
7 14.9. ## 1)
, | , $ , 2) $ .
.
2 :7 . & 7 1). 2) 7 : . 2 & ( 14. - 7 :: :7 1) 2) "". 14.1. 07' 97 / 14.10. ,"" :7 7 0
( ), ( : (f (P ) f (Q)) = (P Q):
84
& ( 15. - 7, ( "" :, . . 7 "" .
2 14.11. = % . . 1 , ( , . 2
7 14.12. &$ f | ## , Oe1e2e3 | %$
. (% 43 :
1) f | 5 2) 43 O0 e01e02e03 = f (O)f (e1 )f (e2)f (e3) 5
3)
43 $.
f
%$-
C
%-
. ? B 7.8.
07 1) 2) 7 , 2, . ):, 7 ( P Q 2 (x1 y1 z1) (x2 y2 z2) , Oe1e2e3. 4 :7 Pe Qe 2 O0e01e02e03. " : q (P Q) = (x1 ; x2)2 + (y1 ; y2)2 + (z1 ; z2)2 e Qe ) = q(x1 ; x2)2 + (y1 ; y2)2 + (z1 ; z2)2: 2 (P / 14.13. :7, 7 "
ye = ;y
xe = x + a
7 $3
. & 7% .
7 14.14 (> ). $ , $ 0 , $3
$ .
85
. ! , ( % 2 2 2 7 23 :
! cos ' ; sin ' C = sin ' cos '
! cos ' sin ' C = sin ' ; cos ' :
1 ( 7 det C = 1 (7 ). J ' = 0, C = E f
: ! ! ! xe = x + x0 : ye y y0 J ' 6= 0 ( ( 2 2k), ( : f , . . P , ( f (P) = P. 0 (x y) ( P ( xe = x cos ' ; y sin ' + x0 = x ye = x sin ' + y cos ' + y0 = y ( x(cos ' ; 1) ; y sin ' = ;x0 : x sin ' + y(cos ' ; 1) = ;y0 ' 6= 0, cos ' 6= 1 cos ' ; 1 ; sin ' = (cos ' ; 1)2 + sin2 ' 6= 0: sin ' cos ' ; 1 9 , ( P(x y) 3 . 1 2 (x0 y0), 72 H x0 = x ; x y0 = y ; y (. . ( ( P). ? " :7 f : xe0 = x0 cos ' ; y0 sin ' ye0 = x0 sin ' + y0 cos ' . . :7 '. 1 72 : det C = ;1. , ( B ( 3 ( :) . 0 ( ) ( cos ' + sin ' = sin ' ; cos ' = ! ! ! cos ' ; 1 sin ' = 0 : sin ' ;(cos ' + 1) 0 86
B
sin ' = 1 ; cos2 ' ; sin2 ' = 0 cos ' ; 1 sin ' ;(cos ' + 1) 2: '. B 3 H ( ). 1 ( , ( , :7 e01 := p21+ 2 ( ) e02 := p21+ 2 (; ): ! 1 ? 0 0 0 f (e1) = e1, C = 0 ? . 4 C 0 det C 0 = ;1, ! 1 0 0 C = 0 ;1 . <(, H f " xe0 = x0 + a ye0 = ;y0 + b a b | . (x00 y00), x00 = x0 y00 = y0 ; 2b : 4 :7 (xf00 yf00) ( (x00 y00) xf00 = x00 + a yf00 = ye0 ; 2b = ;y0 + b ; 2b = ;y00 ; 2b + b ; 2b = ;y00 . . 732 2 O00x00. 2 ? 23 : / 14.15. 3 | 7% F $3
| 7%
F $ 3 | 7% . , ( 3 , 2 .
5 14.16. 4
% $
, 0 43 0 4 1.
. 7, : , 3 , 7 . B : 7( : 1.
9 , ( ( ( 3, 3 . <(, : 7 3 , , 1. 2 87
7 14.17. 43 :
1) 3 ( 0 , $ )5 2) $3
5 3) $ 3 . . ?: :7 , 7 ( e1 : -
7 . 4 B :7 % f : : 0 1 0 0 1 C = @ 0 G A 0 G | 2 2-%. det G = ;1, 7 7 14.14 , ( e2 e3 ! 1 0 : :7, ( G = 0 ;1 , % f 7 : 1 0 1 0 ; 1 0 0 1 0 0 C=B @ 0 1 0 CA C = @B 0 1 0 CA : 0 0 ;1 0 0 ;1 , (;1), 7 , 14.14. ? 7 ( " f : xe0 = x0 + a xe0 = ;x0 0 ye0 = y + b ye0 = y0 + b : e(z0) = ;z0 e(z0) = ;z0 ? ( 732 2, | 3 . ! cos ' ; sin ' det G = 1. 4 G = sin ' cos ' . J ' = 0, (
:
(( ( 3), :, (;1), \ : ( ", : " xe0 = ;x0 ye0 = y0 + b ze0 = z0 + c . . 732 2. J ' 6= 0, 23 ( 7 14.14, ( (y z) 7 23 :7, ( (x0 y0 z0) " f : xe0 = x0 + a ye0 = y0 cos ' ; z0 sin ' ze0 = y0 sin ' + z0 cos ': 88
? ( (+) ( 3. ? ( (;), \ : ( ", ( : " xe0 = ;x0 ye0 = y0 cos ' ; z0 sin ' ze0 = y0 sin ' + z0 cos ' . . 7 3. 2
15. 5(( ) (" / 15.1. - 3 ## ( ., 0 )
, 7 : 2 "" ( .,
7( ) :7 ( . / 15.2. - $ ## ( ., 0 ) , 7 : 2 "" ( ., 7( ) :7 ( 2: ( ( 2 ) : . <, ( :7 3 "" :7 |
, 23 : , ( . 4 :7 3 B B 2.
7 15.3.
3 0 % $ % , % 4 0 . 3 0 0 0 . $ 0 % $ % , % 4 0 .
. - ( . N2: -
( ( ) ( 7 , ( 7( ( ( ( ), 7 . 2 ( Oe1e2 O0e01e02 . 4 7, 3 , 2 2. !: . 1 ( B 3 . 1 ( 2 Oxy 7 :7 O0x0y0 7. ? 2 F1(x y) = 0 F2(x y) = 0, ( F1 | ( . 4 89
: , ( , . . F1(x0 y0) = 0 , ( ( 7 , . . F20(x0 y0) = F2(x(x0 y0) y(x0 y0)) = 0. ! 3 , (2 H . 4 :7, F1(x0 y0) = 0 | ( . )(, ( : B , 3 7 . 2
5 15.4. 4 3 ##
, 43 : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
x2 + y2 = 1, 5 x2 + y2 = ;1, 5 x2 + y2 = 0, 43 5 x2 ; y2 = 1, % 5 x2 ; y2 = 0, 43 5 y2 ; 2x = 0, 5 y2 ; 1 = 0, $ 5 y2 + 1 = 0, $ 5 y2 = 0, 43 .
. > ( . 2 7 15.5. $ ## % $ % , % 4 .
. , ( ( " %,
(, ( 7 "" B . ):, , ( 7 ( 7 "" B . &' ( , (
. "" :7 ( ( ( H, % %, ( | ( . 4 : %, B
: | , ( B
( , : | , B
, : : "" B . 90
93 23 7 (2 ( ( B B ). ! %, B
( ,
| . 2
15.6.
3 ## % $ % , % 4 .
- 7 ( ) 2 5 * 2 . ! , 2
x2 ; 4xy + 6y2 + 2x + 4y ; 10 = 0 (x ; 2y + 1)2 ; 4y2 + 4y ; 1 + 6y2 + 4y ; 10 = 0 (x ; 2y + 1)2 + 2y2 + 8y ; 11 = 0 p p (x ; 2y + 1)2 + ( 2y + 2 2)2 ; 8 ; 11 = 0 p! ! p x ;p2y + 1 2 + 2yp+ 2 2 2 ; 1 = 0 19 19 (x0)2 + (y0)2 ; 1 = 0 B
. <, ( :7 %, . . .
16. 1 72 ""
F (x y z) = |a11x2 + a22y2 + a33z2 + {z 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz} + q(x y z)
( ( + 2| a1x + 2a{z2y + 2a3z} +a0 = 0: (19) l(x y z) ( B : , (: ( ( : ( . J :7( 0a a a a 1 0 1 0 1 11 12 13 1 a11 a12 a13 x B C a C B B 12 a22 a23 a2 C Q := B a a a A := B yC C L := ( a a a ) X := @ 12 22 23 A @ A 1 2 3 @ A a a a a 13 23 33 3 a13 a23 a33 z a1 a2 a3 a0 91
0x1 B y CC (20) X T QX + LX + a0 = (x y z 1)A B B@ z CA = 0: 1 / H : 7 ( ( 2 . : ( .
7 16.1 (7 :). &$
%$ 0 0 $ q (x y z ). (% % %$
0 , 0 0 $ % $
q0(x0 y0 z0) = 1 (x0)2 + 2(y0)2 + 3(z0)2 % 1 2 3 | 0 Q, . . 0% %0 Q() = det (Q E ) = 0
;
e01 e02 e03 4 43 . 0 , 0 3 , , 0 43 0 0 , % $ .
5 16.2.
4% %0 3 %$
,
43 :
(i) (ii) (iii) (iv) (v)
F = 1x2 + 2y2 + 3z2 + (12 3 6= 0)F F = 1x2 + 2y2 + 2b3z (1 2b3 6= 0)F F = 1x2 + 2y2 + (1 2 6= 0)F F = 1x2 + 2c2y (1c2 6= 0)F F = 1x2 + (1 6= 0):
. ? 3 2 2 , ( ( , . .
F = 1 x2 + 2y2 + 3z2 + 2b1x + 2b2y + 2b3z + b0 = 0: 1 7 (. 92
(i) 123 6= 0 !2 !2 !2 ! 2 2 2 b b ( b ( b ( b b 1 2 3 1) 2) 3) F = 1 x + + 1 y + + 3 x + + b0 ; ; ; = 1
2
3
1
2
3
= 1(x0)2 + 2(y0)2 + 3(z0)2 + : (ii) 3 = 0 12 3 6= 0 !2 !2 ! 2 2 b b ( b ( b 1 2 1) 2) F = 1 x + + 1 y + + 2b3z + b0 ; ; = 1
2
1
2
0 2 0 2 2 2 = 1(x ) + 2(y ) + 2b3z + = 1x + 2y + 2b3 z + 2b = 1 x2 + 2y2 + 2b3z0: 3
(iii) 3 = 3 = 0 12 6= 0 !2 !2 ! 2 2 b ( b ( b b 2 1) 2) 1 F = 1 x + + 1 y + + b0 ; ; = 1
2
1
2
= 1(x0)2 + 2(y0)2 + : (iv) 3 = 2 = 0 , 1 6= 0 : 7 b2 b3 2. 4 !2 ! 2 b ( b 1 1) F = 1 x + + 2b2y + 2b3z + b0 ; = 1(x0)2 + 2c2y0 1 1 q b 1 0 x = x+ c2 = (b2)2 + (b3)2 1 !! 2 1 ( b 1 1) 0 b2y + b3z + 2 b0 ; y = q 2 1 (b2) + (b3)2 z0 = q 21 (;b3y + b2z) : (b2) + (b3)2 4 \ " " % 23 % , , 7. J b2 = b3 = 0, 7 ( . (v) 3 = 2 = b2 = b3 = 0 1 6= 0. 4 !2 ! 2 b ( b 1) 1 F = 1 x + + b0 ; = 1(x0)2 + : 1
N 7.
1
2 93
7 16.3. 4 3 %$
,
43 17 :
-
2 2 2 1) xa2 + yb2 + zc2 = 1 (a b c > 0) ( )F 2 2 2 2) xa2 + yb2 + zc2 = ;1 (a b c > 0) ( )F 2 2 2 3) xa2 + yb2 ; zc2 = 1 (a b > 0) ( % )F 2 2 2 4) ; xa2 ; yb2 + zc2 = 1 (a b > 0) ( % )F 2 2 2 5) xa2 + yb2 ; zc2 = 0 (a b > 0) ( ( % ))F 2 2 2 y z x 6) a2 + b2 + c2 = 0 (a b > 0) ( ( % ))F 2 2 7) xp + yq = 2z (p q > 0) ( 0 )F 2 2 8) xp ; yq = 2z (p q > 0) (% 0 )F 2 2 9) xa2 + yb2 = 1 (a b > 0) ( 0 )F 2 2 10) xa2 + yb2 = ;1 (a b > 0) ( 0 )F 2 2 11) xa2 + yb2 = 0 (a b > 0) ( 43 )F 2 2 12) x2 ; y2 = 1 (a b > 0) (% 0 )F a2 b 2 x 13) a2 ; yb2 = 0 (a b > 0) ( 43 )F 14) y2 = 2px (p > 0) ( 0 )F 15) y2 = a2 (a > 0) ( $ )F 16) y2 = ;a2 (a > 0) ( $ )F 17) y2 = 0 ( 43 ): . 9( , 7 (i){(v) (. ! , 7 (i). ?7 (: J i 7 , | , ;t 1) (B
). J i 7 , t 2) ( B
). J i 7 , = 0, 6) ( ). J i 7 7 , = 0, 5) ( ). J i 7 7 , ( 7 , ( , ;t 3) ( : ).
94
J i 7 7 , ( 7 , ( , ;t 4) ( : ). 4 :7, ( (i) 1){6). , ( : (i) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (ii) 7, 8 (iii) 9, 10, 11, 12, 13 (iv) 14 (v) 15, 16, 17
2
7 16.4. 1 0
, , 0 (
).
0 0 5 6 11 13 | 0$4
. 4 , ( , 7 , ( B""%-
( ( , S ) i ( ( % Q 2 , Q % A. 4 r R % Q A. 4 7( 7 (i){(v), (i) r = 3F R = 3 R = 4 (ii) r = 2, R = 4 (iii) r = 2, R = 2 R = 3 (iv) r = 1, R = 3 (v) r = 1, R = 1 R = 2 ? (i) i | , = Q= . ? (ii) 1 2 | , (b3)2 = ; Q . 1 2 ) , % ( , 2 ( , 3 z. - , 7 , 3 7 . 4 x y 7 z0 ( B 7 7 (2). B, , x2 + y2 + = 0. x = c11x0 + c21y0 + c31z0 + c1 y = c12x0 + c22y0 + c32z0 + c2, 7 23 7 z0. 4 c11c31 = ;c12c32 c21c31 = ;c22c32 c31c31 = ;c32c32 c1c31 = ;c2c32 ( , : 7 c31 c32 ( 0, % 7 ( (. 23 (11, 13, 15, 16, 17) 2 7( 7 ( : ( ). 2 95
16.1. ( ' 2 2 2 1) = . xa2 + yb2 + zc2 = 1
z
6
;a ;
; ; ; ;
; ;
y
;6 ; ;
-
a
x
jxj a, jyj b, jzj c, B
(.
7 16.5. & .
0
% $ -
. ?: , : z = 0. 4 ( G(x y) := F (x y 0) = 0.
2
16.6. C 0 | 0 . . & ( 0, 1 2- .
2
2 2 2 3) 1 * ( . 5 a) xa2 + yb2 ; zc2 = 1 2 2
? ( 2 z = 0 ( B
xb2 + yb2 = 1, 7 % . ) : : 23 7( . / 16.7. !7 43 2, % 32 . / , B 23 .
7 16.8. 9 %
43 . - 4 0
% , 4 0. 0 % 3 4, | 4 $ .
96
z
z
6
6
; ; @ ; @ ; @ ; : , ,@ @; , , ;@ , , ; @ ; @ ; @ ; @ @ ; @
y
; ; ;
; ; ;
y
-
x
-
)
x
:) 1 . 5.
. <, ( 7 2 "", ( , B ( 7 : x2+y2;z2 = 1. H B
x2 ; z2 = 1 ; y2
(x ; z)(x + z) = (1 ; y)(1 + y):
) 2 7 :723: ( ( ( x ; z ) = (1 ; y ) (x ; z) = (1 + y) I: II: (x + z) = (1 + y) (x + z) = (1 ; y) | 7 3 ( , :323 . 4 = ;2 ; 2 < 0 ; = 2 + 2 > 0 ; ( ( 2 2. ( (x0 y0 z0) : . 4, 7 I = x0 + z0 = 1 + y0, II | = x0 + z0 = 1 ; y0, ( , 3 (7 2 ( . 7 ( 1 ; y0 1 + y0 ( 0, ( ) ( (x0 y0 z0) 7( ( ( 2 ) . 0 , (7 2 (
. , ( :723 . - , ( :723
z = 0, . . z = z0. 4 x2 + y2 = 1 + z02, ( 7. 0 , :723 z = 0, 7(, B
( ). ? 3 97
( ( , , (1 0 0). (7 :723 23 ( ): 8 > < x = 1 + t y = t > : z = t ( (7 : ) (2 + 2 ; 2)t2 + 2t = 0 H 2: t, ( 2 2 2 ( + ; = 0 = 0 2 = 0 2 ; 2 = 0 <(, 23 ( ( 2 ) (0 1 1), . . 2 7 , H | B . 0 , :723 . 07 ( : (, ( .
( ). <(,
7 4- , "23 7 . 4 H 4- % 0 ; 1 BB ; CC B@ 0 0 ;0 CA 0 ;0 0 J = 0 = 0, 2. J = 0 0 6= 0, . . ( = 0 = 1, H ( : 0 = u 0 = ;u). , ( : %. <(, (, ( = 0 = 1, 0 | . 4 rk < 3 : ; 1 ; ; = 1 ; 1 = ;2 + 1 + 0 ; 2 ; 1 + 0 = 2(0 ; ) = 0 0 ;0 0 1 ;0 1 ( % 7 = 0 2. 0 , 32 . 9 2 , : (x y z) 7! (;x ;y ;z) ,
:7. - , : : , :7 | , , :
7 . 4 l1 l2 7 7 . | , 3 (7 l1 2 ( P 2 l2, P 62 l1. B 23 98
( : , 16.5 H 2, :
23 . ) 7 | l1, | :723 l 3 P . ) 3 l1, B, 7, , 7(, , , 3 (7 P , l2. 22 2 2 4) 8 1 * ( . 5 :) ; xa2 ; yb2 + zc2 = 1 z = 0 : 7 ( , 7 .
7 16.9. % 43 . . :723 z =
0. <(, z = z0. ! 23 ( x2 + y2 = z02 ; 1 a2 b2 c2 ( (B
, ( ) 2. 2 2 2 2 x y z 5) 8 * ( . 6 )) a2 + b2 ; c2 = 0 z 6 ; ; ; @ ; @ ; : @ ; @ ;@ ; @ ; @ ; @ ; @ @ ;
@ @
y
-
x
)
O
EA LC ECLA EC LA E C LA ; ; EE C LA C LA ; ; ; ;
;
:)
O
; , %
;
, %
, ; %
, ; % , %
, ; ; ; ;
)
1 . 6. <, ( ( ): F (x y z) = 2 F (x y z), :7, 2: , 3 O 2 2 ( , :723. / 16.10. ; | 7 , 3 , ( O . 1 0 $4 ; % O 7 :L OX , X 2 ; ( . 6 :)). OX 72 43 , ; | 43 ( . 99
7 16.11. 1 0 $
.
%
. ?: 2 % O, ( 7 z = h = 6 0 ( . 6 )). J :
Ox Oy
B
;, B
: F (x y) = a11(x ; x0)2 + a22(y ; y0)2 ; 1 = 0 0 < a11 a22. 4 ( : W(x y z) = z2 F xz h yz h = 0: - , ( x (yx y z), z 6= 0, x y , ( z h z h h , . . F z h z h = 0. ! z 6= 0 . ) 7, ( z = 0 H O. ) 7 , ( 1=z 2 . 3 ( z = 0) h2 q(x y) = 0. ( B
, x = y = 0. 0 , 2 y ; y0 2 ! x ; x 0 2 W(x y z) = z a11 z h + a22 z h ; 1 = 0: 7 x0 = x ; x0, y0 = y ; y0, z0 = z ( W(x0 y0 z0) = a11h2(x0)2 + a22h2(y0)2 ; (z0)2 = 0 . . . 2 & ( 16. M 2 : ( : : ? ): :( :7 . 2 2 y x 7) = (1 ( . 7 )) p + q = 2z
7 16.12. B 0 43 . . - : . 2 2 2 x y 8) * (1 ( . 7 :)) p ; q = 2z / 16.13. ! ( ) 7 0 F = 0, : (2 " q( ) = a112 + a22 2 + a33 2 + 2a12 + 2a13 + 2a23 = 0:
100
z
y
;
; ;
; ;
z
6
6
;
; ;
-
x
; ;
;
; ;
y
; ; ; ; ;
-
x
;
:)
) 1 . 7.
7 16.14. 2 0 .
. - , . 2 7 16.15. & 43 4 4 0 .
.
8 > < x = x0 + t y = y + t > : z = z00 + t | :723. F = 0, ( F2t2 + 2F1t + F0 = 0 2: t. <(, F2 = q( ) = 0. 2
7 16.16. F 0
43 , 3 0 4 0. 9 43 % 3 4 $ , | 4.
. , ( ( ) : ( 2 2 : 7 p ; q = 0, . . 1 : pp ; pq = 0 1 : pp + pq = 0: 9 ( : ! ! x ; y x + y = 2z pp pq pp pq 101
B 7(, ( 2 :723 8 8 < pxp + pyq = k < pxp ; pyq = k I : : k px + py = 2 z F II : : k px ; py = 2 z : p q p q - , :7232,
2, , 1, ( 7 ) 2: ( 1 , . . k pxp ; pyq = k, 7 ( (I). 4 :7, :723 . M7 2 ( : :723 , k 7(. <, ( : :723. - , B ( x = const, y = const, z = const. - 2 . - , , ( :3 23 ( ). 4 ( : : 8 < pp ; pq = 0 : pp + pq = 0 = = 0 , ( 7. ):723 7 , B ( : . ) :
, 23 p p | ( p q k) 7 ( k. <(, 32 , ( ( 2)
" . l1 l2 | :723 7 7 . , ( 2 . 1 ( : , 3 (7 l1 P 2 l2, P 62 l1. & , H 2, 7( 3 7 l1 l. l 6= l2, ( 2 ( ( P ). <(, l , . . . ! 3 l1 . <(, l = l2. - , l1kl2. 4 ( ) 2 pp ; pq = 0 pp + pq = 0 = = 0 :723 , ( 7. 2 ? * . 0 0 x2 + y2 ; z2 = 0: (21) a2 b2 c2 07 : z: s 2 2 z1 = c xa2 + yb2 ; 1 102
7 (21) |
s
2 2 z2 = c xa2 + yb2 c ;! 0 z2 ; z1 = q x2 y2 q x2 + y2 ; 1 + + 2 2 2 2 a b a b , ( .
(x2 + y2 ! 0):
2 16.17. 2 0 ( ) % % -
4 43 % 0% 4 (21).
. 2 ( . 2 7 16.18. C 0 43 -
% % % $ . 4 3 43 , $ , 4 43 % % % .
. 1 :723 7 . - ,
. 4 % ( ( ( ) 7 23 , 7 :
. (. 1 323 2 ""2 , 2 : ( ( ( x = x x = x y = y3 1 2 l1 : l l 2 : 3 : y = y1 z = z2 z = z3 9 23 B : (x ; x1)(y ; y3)(z ; z2) ; (x ; x2)(y ; y1)(z ; z3) = 0: & , B""% x3 2, , xy ;z2+z3 6= 0, 32 . 07 " % 7 , ( B | : ( % :723 :, B 23 16.19).
2
1 23 % 2 2 9) = (1 " xa2 + yb2 = 1 2 2 12) * (1 " xa2 ; yb2 = 1 14) (1 " y2 = 2px 103
2 16.19. 43 43
4 43 ( 43 4 % 0 ) , $, $ .
. 1 7 2 2 :7232 -
z = 0. 4 7 % % 23 ( ), ( 7 , % | ( , . . :723
Oz, . . :723.
2
16.2. (93 1 (19), :7( (( 7): Fx = 2(a11x + a12y + a13z + a1) Fy = 2(a12x + a22y + a23z + a2) Fz = 2(a13x + a23y + a33z + a3): ( 8 > < x = x0 + t y0 + t > yz = : = z0 + t 2 F2t2 + 2F1t + F0 = 0 F2 = q( ) 2F1 = (Fx + Fy + Fz )j(x0y0 z0) F0 = F (x0 y0 z0):
(22) (23)
7 16.20. &
0% $4
3 0 ( , ), . &
0% , 4 34 0, .
. 1 F2t2 + F1t + F0 = 0, F2 = q( ), ( ) | 23 l. J ( , F2 = q( ) = 6 0 -
. ) 2, 1 0 H. B 1 H,
. G (, ( ( ( (x0 y0 z0) . 4 F0 = 0 ( ( , F1 = 0. 73 ( ) ( ) : F1 6= 0, . . 3, B H ( . 104
J ( , F2 = 0 2F1t + F0 = 0. J F1 6= 0, ( (. J F1 = 0, F0 6= 0, ( . J F1 = F0 = 0, ( l ; l. 2
7 16.21. ! % 0% ( )
Fx + Fy + Fz = 0
(24)
, !" . . l, 7 ( (22),
(7 H) ( , (x0 y0 z0) | 23 7 (). - t1 t2, 23 ( (, (23), ( H ( F2 6= 0. ? t0 = 0, (23 (x0 y0), 0 = t0 = t1 +2 t2 = ; FF1 F1 = 0: 2 - , ( 7 , . . B , . H: (a11 + a12 + a13 )x +(a12 + a22 + a23)y +(a13 + a23 + a33 )z +(a1 + a2 + a3 ) = 0 J 8 8 > > < a112 + a122 + a13 = 0 < a11 + a12 + a13 = 0 a + a + a = 0 + a + a + a = 0 > > : a1213 + a2223 + a2333 2 = 0 : a1213 + a2223 + a2333 = 0 q( ) = 0, ( ( ( .
2
5 16.22.
% 3 4 0 .
.
( q( ) = 0 , 7%, , 23 (: , ) . ? . 2
7 16.23. $ (
)
-
8 > < Fx = 0 F = 0 > : Fyz = 0: 105
(25)
. ) (x0 y0 z0) | %. (i i i), i = 1 2 3, |
23 , 3 , ( 23 . 4 (x0 y0 z0), 23 , 23 , . .
i(a11x0 + a12y0 + a13z0 + a1) + i(a12x0 + a22y0 + a23z0 + a2)+ i = 1 2 3: + i (a13x0 + a23y0 + a33z0 + a3) = 0 ):7( : (7 u, v w , (, ( u, v w 2 8 > < 1u + 1v + 1w = 0 u+ v+ w = 0 > : 23u + 23v + 23w = 0 B 7 , (i i i)
. <(, 7 : u = v = w = 0. ( ( M (x0 y0 z0) \ %". (x0 y0 z0): ( 4
x0 = x ; x0
y0 = y ; y0
z0 = z ; z0
x = x0 + x0
y = y 0 + y0
z = z0 + z0:
F 0(x0 y0 z0) = a11(x0 + x0)2 + 2a12(x0 + x0)(y0 + y0) + a22(y0 + y0)2 + a33(z0 + z0)2+ +2a13(x0 + x0)(z0 + z0)+2a23(y0 + y0)(z0 + z0)+2a1(x0 + x0)+2a2 (y0 + y0)+2a3(z0 + z0)+ a0 = = a11(x0)2 + 2a12x0y0 + a22(y0)2 + 2a13x0z0 + 2a23y0z0 + a33(z0)2+ +2(a11x0 + a12y0 + a13z0 + a1)x0 + 2(a12x0 + a22y0 + a23z0 + a2)y0+ +2(a13x0 + a23y0 + a33z0 + a1)z0 + F (x0 y0 z0) = = a11(x0)2 + 2a12x0y0 + a22(y0)2 + 2a13x0z0 + 2a23y0z0 + a33(z0)2 = 0: )(, ( ( (x0 y0 z0) B 2, (;x0 ;y0 ;z0) | , M : (0 0 0). 2
7 16.24. & $ % , . . , % $ % , % = det Q = 6 0. 106
. G% % Q. 2 / 16.25. ! ( 7 % ,
. 9 23 :7 7 , ( (2 .
7 16.26 (*). F 4
Q
0 0 .
7 16.27 (*). &$,
% 4, $4
.
/ 16.28. 4( P (x0 y0 z0) F = 0 7 ,
Fx(x0 y0 z0) = Fy (x0 y0 z0) = Fz (x0 y0 z0) = 0. 4 :7, : ( | B %, 3 . 7 , : ( . ! : : B
, : , : , % ,
. ) : : , 23 , 23 . / 16.29. 7 , det A 6= 0. ! : B
, : , : . / 16.30. 1 $
F = 0 0 P | , 23 2 :3 ( , 23 P , : 3 .
7 16.31. D $ P
$4
0
Fx(x0 y0 z0)(x ; x0) + Fy (x0 y0 z0)(y ; y0) + Fz (x0 y0 z0)(z ; z0) = 0
(26)
(a11x0 + a12y0 + a13z0 + a1)x + (a12x0 + a22y0 + a23z0 + a2)y+ + (a13x0 + a23y0 + a33z0 + a3)z + (a1x0 + a2y0 + a3z0 + a0) = 0
(27)
. . P = (x0 y0 z0), (22) F0 = F (P ) = 0
( ( 7 F2t2 + 2F1t = 0, ( ( F1 = 0, . . Fx(P ) + Fy (P ) + Fz (P ) = 0: & : (. , ( 7 , ( B H ( F2 6= 0 :723, F2 = 0. 2 107
7 16.32. &
43 % % % 0% , 3 0 4 0 4 0 $ $4 0.
. :723 2 , , . - ( ( , ( | H . 2
16.3. + ' # 7 3 , ( ,
" % B .
7 16.33.
$ 0 % % , % 4 0 .
7 16.34.
$ ## % % , % 4 .
- 7 ( , 7 2( 7 "" B 7 7. . 7, ( r R 2 "", . B 7 B H 7 (i){(v). 4( ( ), ( 23 ),
, 23 23 , (, "" B , . - : B
( % 1 ( , B
( ,
% 2 ( . / , B
( ( . ? (ii) . - H 4 !7 (i) : : B
( : : ( :
! ( % 1 1 108
. :723
4 !7 (iii) B
( % : ( % : ( % 4 7.
! ( % , .
2
17. , 2 17.1. & $ | B , \: ( " B (( ). 0, : ( 0 . B ( , ( : ( : ( , : | : . ):L : ( 7 . 4 :7, 23 : AI. M7 2: 7 ( ( . AII. - 2: 7 ( 2 ( . J 7: , ( ( : : , . . , 2 . - , (: B 7 : ( , 23 % . / 17.1. 4( 7 , ( B . 7 ( , (7 B ( . , : AI. - 2: 7 ( ( 3 , % . AII. - 2: 7 ( 3 ( , % . 9" 23 " 1
: J :3 ( , % , , ( 2 . G : : : , ( . G 2 ,
: 7 % .
109
17.2. 87 / 17.2. ! % O 7 , 3 (7 2 ( O. ):7( 7 : : O. 7 , , 7 , (7 . / 17.3. & 3 7 7( : 7 , . . : ( 7 , 23 :7. 1 2 32 . ( O 7 . / : ( 2 2 7 , 32 (7 . / : ( , . . 2 : ( , 2 2 7 , 232 . )(, ( 23 .
2 17.4. &
. & 4 \0 ", | \ " .
& ( 17.5. : 7 ,
2 . 4 :7, 7 2, | 7 . Oe1e2e3 | 7 % O. 1 23 l 7 7 O. - , ( (x1 x2 x3). / 23 l : ( . 4 ( (x1 : x2 : x3), ( 2 7 l 7 . <, ( ( x1 x2 x3 : . 1 : x3 = 1 Ee1e2 , E Oe1e2e3
(0 0 1) ( . 8). , : , ( (x1 : x2 : x3) x3 6= 0 ( ( x = xx1 y = xx2 : 3
3
) ( 2 : ( . a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0 110
e21 E e1
;
; ;
; ; ;
; ;
; ;
; ;
e3
; ; 2 ; 1 ; ; ;
; ;
e
O
e1
; ;
; ;
1 . 8. (a1 a2 a3) ( 2 , a1 a2 a3 :32 . 4 :7, : \ " (a1 : a2 : a3). J a1 a2 :32 , B :( , : ( . J a1 = a2 = 0, a3 6= 0, B : x3 = 0.
2 17.6. ( 0 X , Y Z (x1 : x2 : x3), (y1 % $ % , %
: y2 : y3) (z1 : z2 : z3)
x1 x2 x3 y1 y2 y3 = 0: z1 z2 z3
. 1 2 23 .
2
7 17.7. .
. % 7 a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0 ( :L .
2 111
7 17.8 ( * ). &$
-
%$ ABC A0B 0C 0, 0 , 0, , 3 , 4. (% AA0, BB 0 CC 0 4 AB
0 $ 0 , 0 0 BC B 0C 0, AC A0C 0 .
A0 B 0 ,
. ):7( 7 ( ( (7 P , Q R, ) S | ( ( AA0, BB 0 CC 0. 0 0 0
a b c a b c p q r s | ( ) ( A B C A0 B 0 C 0 P Q R S : a = (a1 a2 a3) : : : 4 0 0 0 8 > < s = a + 00a00 s = b + b > : s = c + 0c0 <, ( B : : a a0 . . 4 8 > < u := b ; c = 00c0 0; 0b0 00 v := c ; a = a ; c > : w := a ; b = 0b0 ; 0a0
4 :7, u ( ( 3 BC B 0C 0, . . Q. , (, v | R, w | P . 9 ( , 23 u, v w, ( u + v + w = (0 0 0), . . ( ( 7 ). ( " 7 23 . &$ 0 ABC A0B 0 C 0,
A B C A B abc
, 0 0 , , , 0 , 0 , 0 , B C , A C , A B , B 0 C 0, A0 C 0, A0 B 0, $ A = A0, = 0, B = B 0, = 0, C = C 0, = 0. 9 0 0 , , , 0 A A0, B B 0, C C 0 . 9 0 0 , , 0 ,
0, 0, 0 . &$ , , 0. (% 0 , , .
C
A6 A
6
A B C
6
B6 B
a b c
6
C6 C A A B B C C
A B C
% , 7 23 .
ABC A B C B C A C A BB C A C A B 6 B6 B 6 C6 C A B C A A B B C C A B C a b c
&$ 0 0 0, 0, 0 0 A, B , C , A0, B 0, C 0 0 , , , , 0 0 , 0 0, 0 0, $ A = A0, = 0, B = B 0, = 0, C = C 0, = 0. 9 0 0 , , 0 ,
0, 0, 0 . 9 0 0 , , , 0 A A0, B B 0, C C 0 . &$ 0 , , . (% , , 0.
A6 A
6
a b c
! B : .
112
2
17.3. 97 / 17.9. ? "" :7 , 23 % 7 O , : , 3 (7 O , 3 (7 O. ?7 23 :7 : 7 : 7 . ! 7 , ( :7 , H % . J C | % "" :7 Oe1e2e3, 23 :7 7 H
0f1 0 1 x1 x1 B C B f @ x2 A = C @ x2 C A xf3 x3 | 7 . ? 23 "" : f c12x2 + c13x3 = c11x + c12y + c13 (28) xe = xxf1 = cc11xx1 + c31x + c32y + c33 3 31 1 + c32 x2 + c33 x3 f c22x2 + c23x3 = c21x + c22y + c23 : ye = xxf2 = cc21xx1 + (29) c31x + c32y + c33 3 31 1 + c32 x2 + c33x3 / 17.10. G $ 0 7 ( ( X1X2X3 E ( , 7 . ? 7 B ( , 7 . ? " 2 ( X1 = (1 : 0 : 0), X2 = (0 : 1 : 0), X3 = (0 : 0 : 1), E = (1 : 1 : 1). ):, ( : ( 2 B""% % 7( e1 e2 e3. ! % , ( 2 B""%. 4 :7, " ( . & ( 17. X1X2X3 E X10 X20 X30 E 0 | " ( . 4 3 :7, 3 2. & ( 18. / , 2: 3 :7, 3 : 2. & ( 19. U % :7. 113
17.4. - 97 / 17.11. :7 ' (. . , : ), 3 B 2 2 :, 7 - ## . )(, ( B : (, (: 7 ( : ( H : . 2, ( , : , : ( :7 : 2. B 23 . / 17.12. ):7( (7 f0 ( f : ( , . . 2 . 4 f0 : 2 :.
2 17.13. 9 f0 ## . . x3 = 0 | : . f (2 7 xf1 = c11x1 + c12x2 + c13x3 xf2 = c21x1 + c22x2 + c23x3 xf3 = c31x1 + c32x2 + c33x3
J 2: x1 x2 7 x3 = 0 xf3 = 0, c31 = c32 = 0 7 (28) (29) (
xe = cc11 x + cc12 y + cc13 33 33 33 c c c 21 22 23 ye = c x + c y + c : 33
33
2
33
17.5. ( , ( ) ( :7. 1 7 : ( , ( ,
, : ( ( . :7 7 "
(
xf1 = c11x1 + c12x2 xf2 = c12x1 + c22x2
det C = det kcij k 6= 0:
& 0 0
A1, A2 A3 | B
( , ( ; A;;A! = ; A;;A!. ):7(: = A1A3 . 1
3
2
A2A3
3
114
( ) 0 0 0 | B
? ""
A1, A2, A3 A4
1A3 A1A4 (A1A2A3A4) := A AA :AA: 2
3
2
4
; x1 : x4 ; x1 : (A1A2A3A4) = xx3 ; x2 x4 ; x2 3 )( H: 1) (A1A2A3A4) = (A3A4A1A2), 2) (A1A2A4A3) = (A A 1A A ) . 1 2 3 4 - H A1A3 = x3 ; x1 : (A1A2A31) := A x3 ; x2 2A3
5 17.14. 43 (x : y): x1 y (A1A2A3A4) = 1 x2 y2
x3 y3 x3 y3
x1 y1 : x2 y2
x4 y4 x4 y4
:
. ( , . . 7 (xi yi) ! (xi yi) " "" yi = 1, (, y4 = 0, " (A1A2A31). 2 7 17.15. 0 0 .
! 0! x . 7 y = C xy0 ! 0 0 ! x x i j i j y y = C xyi0 xy0j i j i j 0 0 x x i j ij y y = det C xyi0 xy0j : i j i j , , ( i det C 32 . 2
17.16. .
115
H :7 ( ( ""). > 23 .
7 17.17.
4 0 0 A1 A2 A3 A01 A02 A03 3 f , 0 f (Ai) = A0i, i = 1 2 3.
. ? ( : , ( e2 = e1 + e3, e02 = e01 + e03 ( . . 9). :7 ( A01
A1 A2 A3
A02
A03
@ ; @ \ \ JJ 0" ; 2 ; @ \ J " "; @ \ J "; " @ 2\ J l " ; o S @ J \S lJ " ; " @ J\SJ ] 3 0 ; @J\SJ 1 ; J\ @ SJ 30 ; J @ J\ 3 SJ ; I @ @ \ S J ; 1@ @ \ S @ J ; @ \ S @ J;
e
e
e
e
e
e
O
1 . 9. Oe1e3 O0 e01e03. - . :7 ' | . 4 ( A4, , ( '(A4) 6= (A4). ! :7 ( A4 2 H A4 A1 A2 A3, H 7 , , :7. 2
5 17.18. &$ li (i = 1 2 3 4) | 0 % 0 -
,
l 0 . 9 0 0 0 l li 0 Ai (i = 1 2 3 4). (% (A1A2A3 A4) $ li l.
. J 2 2, ( ( 3 2
:7 (% %), 3 ( ( l ( ( . 17.15 H . 2
116
17.6. / 1 % :
q(x) = a11(x1)2 + 2a12x1x2 + a22(x2)2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 + a33(x3)2 = 0: )(, ( :7 2 , ( , . . 7 . 7 :, 7 , , 3 7 , ( q0(x0) = 1(x01)2 + 2 (x02)2 + 3(x03)2 = 0: ? 7 7 i 7 (: 1 1 2 7 , 3 | , 7 :7 (x001 )2 + (x002 )2 ; (x003 )2 = 0: 2 i 7 , (x001 )2 + (x002 )2 + (x003 )2 = 0: 3 3 = 0, 1 2 7 7 , (x001 )2 ; (x002)2 = 0: 4 3 = 0, 1 2 7 , (x001 )2 + (x002 )2 = 0: 5 2 = 3 = 0, (x001 )2 = 0: G 7 232 .
7 17.19. !3
, % 43 : 1 (x1)2 + (x2)2 ; (x3)2 = 0 ( ) 2 3 4 5
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 0 (x1)2 ; (x2)2 = 0 (x1)2 + (x2)2 = 0 (x1)2 = 0
7 17.20. !3
( ) ( 7 ( ) ( ) ( H )
$ % $ .
117
. ? 3 7, ( -
7 7 B . & 7 7 , ( ( % . 2 & ( 17.21. / , "" :7 | B , 3 : 2 2 : 2, ( : ( . 4 :7, "". 0, | B B
, : : ,
| B
, 7 ( |
23 , ( . B B
| , 23 : 2 2, : | , 23 : 2 2, : | ,
23 : .
118