Математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики статистики и информатики Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права

Геворкян Э.А. Малахов А.Н. Фохт А.С. Щербакова Н.С.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ЧАСТЬ I)

Москва, 2001

УДК - 517 ББК – 22.161 Г - 27

Геворкян Э.А., Малахов А.Н., Фохт А.С., Щербакова Н.С. Математический анализ (Часть I). / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2001, 179-с.

© Геворкян Э.А., Малахов А.Н., Фохт А.С., Щербакова Н.С., 2001 г. ©Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2001 г. © Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права, 2001 г.

Содержание: Введение…………………………………………………………………………………..5 Раздел I. Теория последовательностей и функций одной переменной……………….6 1.1. Множество вещественных чисел………………………………………………...6 1.2. Ограниченные и неограниченные множества вещественных чисел…………..7 1.3. Некоторые конкретные числовые множества…………………………………..9 1.4. Понятие числовой последовательности……………………………………..…10 1.5. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности….11 1.6. Сходящиеся числовые последовательности. Предел числовой последовательности..…………………………………………………………………16 1.7. Основные свойства сходящихся числовых последовательностей…..………..17 1.8. Монотонные числовые последовательности…………………………..……….18 1.9. Число е……………………………………………………………………..……...20 1.10. Предельный переход в неравенствах……………………………………..…...21 1.11. Подпоследовательности числовых последовательностей………………..….22 1.12. Функция одной переменной…………………………………………………...23 1.13. Предел функции………………………………………………………………...24 1.14. Бесконечно большие и бесконечно малые функции…………………………27 1.15. Свойства функций, имеющих предел…………………………………………29 1.16. Замечательные пределы………………………………………………………..29 1.17. Сравнение бесконечно малых функций……………………………………….32 1.18. Непрерывность функций в точке………………………………………………33 1.19. Классификация точек разрыва…………………………………………………34 1.20. Определение непрерывности функции в точке с использованием понятия приращения функции…………………………………………………………………35 1.21. Арифметические действия над непрерывными функциями…………………36 1.22. Непрерывность сложной функции…………………………………………….36 1.23. Свойства функций, непрерывных на сегменте……………………………….36 Примеры……………….………………………………………………………………….39 Тест………………………………………………………………………………………..46 Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной…………….48 2.1. Определение производной функции первого порядка………………………...48 2.2. Геометрический смысл производной…………………………………………...49 2.3. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл………………………………………………………………..50 2.4. Правила вычисления производных, связанных с арифметическими действиями над функциями…………………………………………………………..53 2.5. Производные элементарных функций. Производная обратной функции……54 2.6. Правила диференцирования сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала……………………………………………………...57 2.7. Дифференцирование степенно-показательной функции и функций, заданных параметрически и в неявном виде………………………………………..58 2.8. Производные и дифференциалы высших порядков……………………………59 2.9. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум. Теорема о нуле производной (теорема Ролля)…………………………………………………..62 2.10. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Обобщенная формула конечных приращений (теорема Коши)…………………………………..65 2.11. Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя)………………………….67 2.12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша, Лагранжа, Коши и Пеано……………………………………………………………..70

3

2.13. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций……………………………………………………………….71 2.14. Интервалы монотонности и точки экстремума функции…………………….74 2.15. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба……………….76 2.16. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построение ее графика……………………………………………………………………………...78 Примеры……………….…………………………………………………………… ……80 Тест………………………………………………………………………………………..87 Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных……...89 3.1. Определение m-мерного евклидова пространства и области…………………89 3.2. Предел функции нескольких переменных……………………………………...90 3.3. Непрерывность функций нескольких переменных ……………………………92 3.4. Частные производные функций нескольких переменных первого и высших порядков...……………………………………………………………………………..93 3.5. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных….97 3.6. Производная функции нескольких переменных по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности…………………………………..99 3.7. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных……..102 3.8. Формула Тейлора для функции нескольких переменных……………………104 3.9. Локальный экстремум функции нескольких переменных…………………...105 3.10. Условный экстремум функции нескольких переменных…………………...107 Примеры………………..………………………………………………………………..110 Тест………………………………………………………………………………………114 Раздел IV. Неопределенный интеграл…………………………………………………117 4.1. Определение неопределенного интеграла…………………………………….117 4.2. Основные правила интегрирования……………………………………………118 4.3. Интегрирование заменой переменной…………………………………………120 4.4. Интегрирование по частям. Применение этого метода при вычислении некоторых важных интегралов……………………………………………………...121 4.5.Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Лагранжа………...126 4.6.Интегрирование тригонометрических выражений……………………………131 4.7. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей и дифференциальных биномов………………………………………………………..134 4.8.Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера…135 Примеры……………….………………………………………………………………...139 Тест.………………………………………………………………………………………144 Раздел V. Определенный интеграл и его применение…………………………..……147 5.1. Определение определенного интеграла……………………………………….147 5.2. Верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу и их свойства………………148 5.3. Интегрируемость функций. Свойства определенного интеграла. Формула среднего значения определенного интеграла……………………………………...150 5.4. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница…..155 5.5. Вычисление длин дуг плоских кривых………………………………………..157 5.6. Вычисление площадей плоских фигур………………………………………...159 5.7. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения……………..162 Примеры………………..………………………………………………………………..165 Тест………………………………………………………………………………………169 Итоговый тест…………………………………………………………………………...171 Литература………………………………………………………………………………179

4

Введение Первая часть пособия по математическому анализу посвящена изучению таких важных разделов курса математического анализа, как пределы, функции одной и многих действительных переменных, дифференциальное и интегральное исчисление. При написании пособия авторы старались сделать акцент в большей степени на практический аспект изучения курса математического анализа, не увлекаясь изложением подробного теоретического материала. Авторы надеются, что настоящее пособие может стать основой для изучения студентами курса математического анализа.

5

Раздел I. Теория числовых последовательностей и функций одной переменной 1.1. Множество вещественных чисел Из школьного курса читателю известны различные классы чисел, образующие множество вещественных чисел, такие как натуральные, целые, рациональные и иррациональные. В дальнейшем для указанных классов чисел будем использовать следующие обозначения: N - натуральные числа - 1, 2, 3,...; Z - целые числа - 0, ±1, ±2,...; Q - рациональные числа (числа вида

p , где p,q∈Z и q≠0); q

I - иррациональные числа - те, которые не относятся к перечисленным выше; R - множество всех вещественных чисел. Читатель знаком также с геометрической интерпретацией вещественного числа, как точки числовой оси. Числовая ось - это прямая, на которой задано начало отсчета (точка 0), направление (обычно слева на право), отрезок, длина которого равна единице (масштабная единица) (рис. 1.1.) 0

1

M

Рис. 1.1. Каждой точке М числовой оси ставится в соответствие число Х, равное длине отрезка ОМ, положительное, если точка М смещена относительно токи О в направлении оси, и отрицательное если это направление противоположно направлению оси. При таком подходе возникает проблема измерения, соизмеримости и несоизмеримости отрезков. Длина отрезка, соизмеримого с масштабной единицей, выражается рациональным числом. Если же длина отрезка несоизмерима с масштабной единицей, то ее невозможно представить рациональным числом, и соответствующие длинам таких отрезков числа называются иррациональными. Например, если сторона квадрата равна масштабной единице, то его диагональ равна 2 . Можно доказать, что нет рациональной дроби, равной 2 , т.е. такой, что ее квадрат равен 2. Отметим, что любое рациональное число делением числителя на знаменатель представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью. Иррациональные числа - это 6

бесконечные непериодические десятичные дроби. Для единообразного представления всех чисел в форме бесконечной десятичной дроби в случае целых чисел или конечных десятичных дробей принята двоякая форма представления таких чисел. Например так:

1 =0,5 можно 2

записать

1 1 =0,5000... или =0,49999... 2 2

Бесконечные десятичные дроби образуют множество R вещественных чисел. Описанный подход к введению понятия вещественного числа является одним из возможных и ориентирован на традиционно сложившуюся веками десятичную систему счета. В настоящее время используются и другие системы счета, например двоичная. Однако, при любом подходе результат расчета или измерения представляется с помощью рациональных чисел, отражающей этот результат с нужной точностью. Ниже приведем основную символику алгебры логики, которые мы в дальнейшем будем использовать при изложении материала. 1. ∀ - символ, означающий “каково бы ни было”, “для любого”. 2. ∃ - символ, означающий “существует”. 3. : - символ, означающий “такое, что”, “выполняется”, “удовлетворяет условию”. 4. ∈ - символ, означающий “принадлежит”. 5. def - символ, означающий “определяется”. 6. U(x0) - означает “некоторая окрестность точки х0”. 7. Uδ(x0) - означает “δ-окрестность точки х0”. ∧

8. U ( x0 ) - означает “проколотая окрестность точки х0” (окрестность точки х0, за исключением быть может самой точки х0). 1.2. Ограниченные и неограниченные множества ь вещественных чисел Определение 1.1. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число М(m), что каждый элемент множества удовлетворяет неравенству x ≤ M (x ≥ m ). При этом число М(m) называется верхней (нижней) гранью множества. В символической форме это записывается так: def

({x} ограничено сверху) ≡ (∃M∈R)(∀X∈{x}: X ≤ M), def

({x} ограничено снизу) ≡ (∃m∈R)(∀X∈{x}: X ≥ m).

7

(1.1.1.)

Рассмотрим,

например,

рациональных дробей

множество

{x}

всех

правильных

p , p∈Z, q∈Z, q≠0. |p|<|q| (рис. 1.2.). q

Рис. 1.2. Так

как модуль любого из этих чисел меньше 1, то все они p q

удовлетворяют неравенствам -1< <1. Поэтому любое число ≥ 1 может служить для этого множество верней гранью, а любое число ≤ -1 нижней гранью. Геометрически это означает, что все точки числовой оси, соответствующие числам, образующим рассматриваемое множество, лежат слева от точки 1 и справа от точки -1, а любое число, лежащее вне указанной области, может рассматриваться как верхняя (≥ 1) или как нижняя (≤ -1) грань. Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из всех верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из всех нижних граней ограниченного снизу множества. Определение 1.2. Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества {x} называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом x = sup{x} (supremum наивысшее). Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества {x} называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом x = inf {x} (infimum - наинизшее). Определение 1.2. можно сформулировать и по-другому, более конструктивно. Определение 1.3. Число x ( x ) называется точной верхней (нижней) гранью множества {x}, если выполняются два требования: 1. для всех элементов множества {x} справедливо x ≤ x (x ≥ x ); 2. для любого положительного (сколь угодно малого) вещественного числа ε найдется хотя бы один элемент x* множества {x}, удовлетворяющий неравенствам x -ε < x* ≤ x ( x ≤ x* < x +ε) (рис. 1.3.). 8

Рис. 1.3. Запишем эти определения в символической форме:

(

)

 (∀x ∈ {x}): x ≤ x x = sup{x} ≡  (1.2.) (∀ε > 0)(∃ x* ∈ {x}): x − ε < x* ≤ x def  ∀x ∈ {x} : ( x ≥ x ) (x = inf {x}) ≡ ((∀ε > 0)(∃) x* ∈{x}): (x ≤ x* < x + ε) (1.3.) 

(

)

def

(

)

Для любого ли ограниченного сверху (снизу) множества обязательно существует точная верхняя (нижняя) грань? На этот вопрос дает ответ следующая теорема. Теорема 1.1. Если множество вещественных чисел {x} содержит хотя бы один элемент и ограниченно сверху (снизу), то существует вещественное число x ( x ), которое является точной верхней (нижней) гранью множества {x}. Определение 1.4. Множество, ограниченное и сверху и снизу называется ограниченным множеством. 1.3. Некоторые конкретные числовые множества Наиболее часто встречаются следующие множества вещественных чисел: 1. сегмент (“замкнутый отрезок” или “отрезок”) - вещественные числа, удовлетворяющие неравенствам a ≤ x ≤ b. Геометрически сегмент - это отрезок числовой оси, заключенный между точками а и b и включающий эти точки, называемые граничными. Сегмент обозначается символом [a;b] (рис. 1.4.). a

b

Рис. 1.4. 9

2. Интервал (“незамкнутый отрезок”) - вещественные числа, удовлетворяющие неравенствам a<x
Рис. 1.5. 3. полусегмент или полуинтервал - множество вещественных чисел, которое включает одну из граничных точек. Полусегмент или полуинтервал обозначается символом [a;b) или (a;b]. 4. окрестность точки а - интервал (a-ε1; a+ε2), где ε1 и ε2 положительные вещественные числа. 5. δ окрестность точки а - интервал (а- δ; a+ δ), где δ - положительное вещественное число. 6. числовая прямая - интервал (-∞; +∞). Определение 1.5. Множество {x} называется неограниченным, если каково бы ни было положительное вещественное число А, найдется элемент х* этого множества, такой, что |x*|>A. В символической форме это определение запишется так: def

({x} неограниченное) ≡ (∀A>0, A∈R)(∃x*∈{x}) : (|x*|>A). (1.4.) Примером неограниченного множества вещественных чисел может служить множество R (все точки на числовой оси). 1.4. Понятие числовой последовательности Определение 1.6. Пусть каждому натуральному числу n∈N поставлено в соответствие по определенному правилу или закону вещественное число xn. Тогда множество занумерованных вещественных чисел x1, x2, x3, ..., xn, ... называется числовой последовательностью. 10

Каждое отдельное число xn называется элементом или членом числовой последовательности. Числовая последовательность обозначается символами {xn}, {yn}, {zn}, {αn}, {βn}, {γn} и т.д. Отметим, что если числовые последовательности {xn} и {yn}, то xn   нужно понимать yn 

под обозначениями {xn+yn}, {xn-yn}, {xnyn}, 

сумму, разность, произведение и частное числовых последовательностей xn   нужно предполагать, что yn 

{xn} и {yn}. При определении частного 

для всех n члены последовательности yn≠0. Ниже приведем примеры числовых последовательностей: 1, 5, 9, 13, ..., (4n-3), ...; 1, 0, 1, 0, ...,

1 − ( −1)

1 1 1 , - , ..., 2 3 4

1, - ,

n

, ...;

2 (−1) n +1 n

, ... .

Последние можно записать и в виде формул: xn=4n-3, xn= n +1 −1) ( x= .

n

1 − ( −1) 2

n

,

n

Числовая последовательность является бесконечным множеством, особенность которого в упорядоченности его элементов. Поэтому для числовых последовательностей применимы такие понятия, как ограниченные сверху (снизу), ограниченные и неограниченные. В этом случае речь идет о последовательности, как о множестве значений ее элементов. Как правило, исследователей интересуют не конкретные значения отдельных элементов числовой последовательности, а тенденции их изменений при неограниченном возрастании номеров. Это неограниченное возрастание номеров записывается символом n→∞. 1.5. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности Определение 1.7. Числовая последовательность называется бесконечно большой (ББП), если для любого положительного вещественного числа А (сколь бы большим оно ни было) существует номер n0 зависящий от А, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n≥n0 справедливо |xn|>A. 11

В символической форме это определение можно записать так: def

({xn} - ББП) ≡ (∀A>0)(A∈R)(∃n0(A)∈N)(n∈N) : (n≥n0⇒|xn|>A). (1.5.) A

-A

Рис. 1.6. Геометрически это определение означает, что начиная с некоторого номера n0(A), точки, соответствующие элементам ББП могут находится только “вне” сегмента [-A;A], каким бы большим ни было число А (рис. 1.6). Внутри этого сегмента могут находится только элементы последовательности с номерами меньшими n0(A), т.е. конечное число элементов. Нетрудно заметить, что из данного определения следует, что ББП является неограниченной, т.е. ({xn} - ББП) ⇒ ({xn} - неограниченна). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Для доказательства этого рассмотрим следующий пример числовой последовательности: xn = n ⋅

1 + ( −1)

n

2

или {xn}=0, 2, 0, 4, 0, 6, ..., n ⋅ или в иной форме

1 + ( −1)

0, если n=2k-1 (нечетное)

{x n } = n,

 если n=2k (четное)

2

n

, ...

, k ∈N

Данная последовательность является неограниченной, т.к. для любого А>0 можно указать элемент с номером 2k*, такой, что |x2k*|=2k*>A. Покажем теперь, что эта последовательность не является ББП. Действительно, для всех нечетных номеров n=2k+1 |xn|=0 и неравенство |xn|>A не имеет места. Еще раз обратим внимание на то, что для ББП неравенство |xn|>A должно выполняться для всех xn с номерами, начиная с n0(A), т.е. при n ≥ n0(A). 12

Рассмотрим еще один пример числовой последовательности xn=

n +2 и покажем, что она является бесконечно большой. Для это нам 2n − 1 2

нужно доказать, что n2 + 2 >A). (∀A>0)(A∈R)(∃n (A)∈N) : (n ≥ n ) ⇒ ( 2n − 1 0

0

Решим последнее неравенство, замечая, что знак модуля можно опустить (

n2 + 2 >0 для n∈N) 2n − 1

и пользуясь свойством транзитивности

неравенств, имеем n2 + 2 n2 + 2 n2 n = > = >A. 2n − 1 2n − 1 2n 2

Отсюда n ≥ 2A ⇒

n2 + 2 > A. 2n − 1

Таким образом, начиная с номера n0=2A, т.е. при n ≥ n0(A)=2A, все n2 + 2 члены рассматриваемой последовательности таковы, что |xn|= >A, 2n − 1

где А - любое положительное сколь угодно большое вещественное число. Определение 1.8. Числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой (б.м.п.), если для любого положительного вещественного числа ε (сколь бы малым оно ни было) существует номер n0, зависящий от ε, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n ≥ n0(ε), справедливо |αn|<ε. В символической форме определение 1.8. имеет вид: def

({αn} - б.м.п.) ≡ (∀ε>0)(ε∈R)(∃n0(ε)∈N) : (∀n∈N)(n≥n0(ε)⇒|αn|<ε). (1.6) Геометрический смысл этого определения заключается в том, что начиная с некоторого номера n0(ε) все члены бесконечно малой последовательности оказываются в ε окрестности точки 0, как бы мало ни было положительное число ε (рис. 1.7.) -ε

0

Рис. 1.7.

13

ε

Ниже αn=

2n − 1 n + 2n + 5 2

рассмотрим и

пример

покажем,

что

числовой

она

последовательности

является

бесконечно

(∀ε>0)(ε∈R)(∃n0(ε)∈N) : (∀n∈N)(n≥n0(ε)⇒

2n − 1 <ε). n + 2n + 5

малой

последовательностью, т.е.

2

Решим последнее неравенство, предварительно упростив его. Имеем: 2n − 1 2n − 1 2n 2 < 2 = < ε. = 2 n n + 2n + 5 n + 2n + 5 n 2

Отсюда 2 2 2 2 и n0(ε)=[ ]+1, где [ ] есть целая часть вещественного числа . ε ε ε ε 2 2 Таким образом, при n>n0(ε)=[ ]+1 выполняется неравенство <ε, ε n 2n − 1 а значит и неравенство 2 <ε. Последнее означает, что заданная n + 2n + 5

n>

последовательность является бесконечно малой последовательностью. Ниже приведем основные теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших последовательностях, причем некоторые из них будем доказывать. Отметим также, что здесь и далее вместо обозначения, например, (∀ε>0)(ε∈R) будем пользоваться обозначением

(∀ε > 0) . ∈R

Теорема 1.2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Дано: {αn} - б.м.п.; {βn} - б.м.п. Доказать: {αn±βn} - б.м.п. (3). Пусть ε>0 - любое вещественное число. Из (1.7.), по определению, следует: ε <  2 ε 0 ∈N n ≥ n ⇒ βn <  2 ε ( )  2 

(∀ε > 0) (∃ n 10( ε ) , n 02( ε ) ) (∀n ) :  n ≥ n 1( ε ) ⇒ α n ∈R

∈N

0

Пусть n 0 (ε) = max{n 10 (ε ), n 02 (ε)} , тогда

n≥n0(ε)⇒|αn ± βn| ≤ |αn| + |βn|< 14

ε ε + =ε. 2 2

Мы доказали, что

(∀ε > 0) (∃ n 0 (ε) = max{n 10 (ε), n 02 (ε)})(∀n ) : (n ≥ n 0 (ε) ⇒ α n ± β n ∈R

<ε

),

т.е. {αn±βn} - б.м.п. Следствие 1.1. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Следствие 1.2. Бесконечно малая последовательность есть ограниченная последовательность. Дано: {αn} - б.м.п. Доказать: {αn} - ограничена. Пусть ε>0 некоторое вещественное число членов бесконечно малой последовательности, начиная с номера n0(ε), т.е. при n≥ n0(ε), справедливо |αn|<ε. Так как n0(ε) - конечное число, то из конечного числа элементов α1, α2, ..., αn0(ε) можно выбрать наибольшее по модулю А=max{|α1|, |α2|, ..., |αn0(ε)|}. Пусть М=max{A,ε}, тогда справедливо:

(∀n ) ( α n ∈N

≤ M)

,

а

это

и

означает,

что

{αn}

-

ограниченная

последовательность. Теорема 1.3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность. Дано: {αn} - б.м.п. {xn} - ограниченная последовательность (1.8.) Доказать: {αn xn} - б.м.п. Из (1.8.) по определению следует

(∃ M > 0)(∀n ) : ( x n ∈R

∈n

≤ M)

,

(∀ε > 0) (∃n 0 (ε)) (∀n ) :  n ≥ n 0 (ε) ⇒ α n ∈R

∈N



<

ε  M .

Итак имеем, что n ≥ n 0 (ε) ⇒ α n ⋅ x n = α n ⋅ x n <

а это и означает, что {αn xn} - б.м.п.

15

ε ⋅M = ε , M

Теорема 1.4. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу, то это число есть ноль. Теорема 1.5. а) Если последовательность {xn} бесконечно большая последовательность, и xn ≠ 0 то, начиная с некоторого номера n, 1   , которая является бесконечно xn 

определена последовательность  малой последовательностью.

Теорема 1.5. б) Если последовательность {αn} бесконечно малая 1   - бесконечно α n 

последовательность, и αn ≠ 0, то последовательность  большая последовательность.

1.6. Сходящиеся числовые последовательности. Предел числовой последовательности называется Определение 1.9. Последовательность {xn} сходящийся к а, если для любого вещественного числа ε>0 (сколь угодно малого), существует номер n0(ε), начиная с которого для всех членов последовательности справедливо: |xn-a|<ε. Это означает, что предел последовательности {xn} равен а. Этот факт записывается так: lim x n = a . n →∞

Само определение в символической форме имеет вид:

(

)

(

)

(

0 0 lim x n = a ≡ (∀ε > 0) ∃ n (ε ) (∀n ) : n ≥ n ⇒ x n − a < ε n →∞ ∈R ∈N ∈N def

)

(1.9)

Если в последнем неравенстве xn-a=αn, то записанное высказывание отражает тот факт, что {xn-a} есть б.м.п. и потому справедливо второе определение, сходящейся к а последовательности, которое запишем только в символической форме. Определение 1.10.

(lim x = a ) ≡ ({x def

n →∞

n

n

− a} − б м . .п .) (1.10)

Ниже сформулируем теоремы о необходимых и достаточных условиях последовательностей в символической форме. Теорема 1.6.

(lim x = a ) ⇔ (x =a+α ) ∧ ({α } - б.м.п.) (1.11) n →∞

n

n

n

16

n

Теорема 1.7.

(

)

lim x n = a ⇔

n →∞

(∀ε > 0) (∃ n 0 (ε)) (∀p ) : (n ≥ n 0 (ε) ⇒ x n + p − x n ∈R

∈N

∈N

<ε

) (1.12.)

Заметим, что символическая запись (A)⇔(B) говорит о том, что В является необходимым и достаточным условием для А. Теорема 1.7. известна как “критерий Коши”. Теоремы о необходимом и достаточном условии всегда рассматриваются как две теоремы: а) о необходимом условии; б) о достаточном условии. Так, например, для доказательства теоремы 1.6 следует доказать два утверждения: x n = a ⇒ (xn=a+αn) ∧ (αn - б.м.п.). а) необходимость nlim →∞

(

)

(

)

xn = a . Дано: nlim →∞

Доказать: (xn=a+αn) ∧ (αn - б.м.п.).

(

)

xn = a . б) достаточность: (xn=a+αn) ∧ (αn - б.м.п.) ⇒ nlim →∞

Дано: (xn=a+αn) ∧ (αn - б.м.п.). xn = a . Доказать: nlim →∞

(

)

Аналогично следует понимать и теорему 1.7. 1.7. Основные свойства сходящихся числовых последовательностей Теорема 1.8. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Дано: lim x n =а и lim x n =b. n →∞

n →∞

Доказать: а=b. Пользуясь необходимым условием сходимости последовательности (теорема. 1.6.) имеем lim x n =а ⇒ (xn=a+αn) ∧ (αn - б.м.п.),

числовой

n →∞

lim x n =b ⇒ (xn=b+βn) ∧ (βn - б.м.п.).

n →∞

(1.13)

Отсюда xn-xn=0=a-b+αn-βn

или

βn-αn=a-b. Так как {αn} и {βn} являются б.м.п. (см. (1.13)), то, согласно теореме 1.1., последовательность {βn-αn} также является б.м.п. То есть lim (β n − α n ) = lim (a − b ) = 0 . Но с другой стороны a-b является постоянным n →∞

n →∞

17

числом и lim (a − b ) =a-b. Таким образом получаем, что а-b=0 и a=b, что и n →∞ требовалось доказать. Теорема 1.9. Сходящаяся последовательность является ограниченной. Заметим, что теорема 1.9 легко доказывается, если пользоваться теоремами о необходимом условии сходимости числовой последовательности и об ограниченности б.м.п. Отметим, что обратное утверждение не имеет места. Ограниченая последовательность необязательно является сходящейся. Хорошим примером этому может служить последовательность xn=1+(1-)n, которая ограничена, но не сходится. Теорема 1.10. Если числовые последовательности {xn} и {yn} сходятся к а и b, то их сумма (разность), произведение и частное (при условии b≠0) сходятся соответственно к a+b, a-b,ab,

a . b

Приведем доказательство для суммы(разности). Дано: lim x n =а и lim y n =b. (1.14) n →∞

n →∞

Доказать: lim (x n ± y n ) = a ± b . n→∞ Из (1.14), опираясь на необходимом условии сходимости последовательности, имеем: lim x n =a ⇒ (xn = a+αn) ∧ (αn - б.м.п.), n →∞

lim y n =b ⇒ (yn = b+βn) ∧ (βn - б.м.п.).

n →∞

Отсюда xn±yn = a ± b + (αn ± βn), где {αn ± βn} является б.м.п. Тогда, согласно достаточному условию сходимости последовательности (теорема 1.6), получим, что lim (x n ± y n ) = a ± b . n→∞

Аналогично можно доказать и остальные части теоремы. 1.8. Монотонные числовые последовательности Определение 1.11. Числовая последовательность {xn} называется монотонной (неубывающей или невозрастающей), если для любого n∈N справедливо xn+1≤xn или xn+1≥xn.. Определение 1.12. Числовая последовательность {xn} называется строго монотонной (убывающей или возрастающей), если для любого n∈N справедливо xn+1<xn или xn+1>xn..

18

Теорема 1.11. (необходимое и достаточное условие сходимости монотонной числовой последовательности). Неубывающая (невозрастающая) числовая последовательность {xn} сходится тогда и только тогда, когда последовательность {xn} ограничена сверху (снизу). Необходимость: Дано: {xn} - неубывающая (невозрастающая). lim x n =а (1.15) n →∞

Доказать: {xn} - ограничена сверху (снизу). Доказательство необходимого условия следует из теоремы 1.9 о том, что сходящаяся последовательность является ограниченной. Достаточность (для случая неубывающей последовательности). Дано: {xn} - неубывающая (1.16) {xn} - ограничена сверху (1.17) Доказать: ∃ lim x n = a . n →∞

Рассматриваемая последовательность является ограниченной сверху. Значит она имеет точную верхнюю грань. Пусть sup{xn}=а. Докажем, что число а и есть предел этой последовательности. По определению точной верхней грани имеем:

(a = sup{x }) ≡ (∀ε > 0) (∃ x ) def

n

∗ n

∈R

∈ {x n }

(

: a - ε < x ∗n ≤ a

)

Пусть n0 - номер этого элемента xn*. Из условия (1.16) следует, что при n>n0 x ≥ xn*, а из условия (1.17) следует, что xn ≤ a. То есть имеем, что при n>n0 a-ε< xn* ≤ xn ≤ a или |xn-a|<ε. Другими словами, все члены последовательности с номерами, большими n0 могут быть только “ближе” к точке а, оставаясь “слева” от нее или совпадать с ней. Итак получаем, что

(∀ε > 0)(∃ n 0 )(∀n ) : (n ≥ n 0 ⇒ ∈R

∈N ∈N

)

def

x n − a < ε ≡ lim x n = a . n →∞

Аналогично доказывается теорема для случая невозрастающей последовательности.

19

1.9. Число е Рассмотрим применение теоремы 1.11 для обоснования результата, который имеет в математике фундаментальное значение. Докажем, что 1 последовательность xn= 1 +   n

n

имеет предел при n→∞ (этот предел

называется числом е≈2,7). Доказательство этого утверждения сводится к доказательству двух фактов: n

1 а) последовательность 1 +  является возрастающей.   n

n

1 б) последовательность 1 +  ограниченна сверху.  n 1 Для доказательства утверждения а) разложим 1 +   n

n

по известной

формуле бинома Ньютона. Имеем: 1 n (n − 1)  1   1 x n = 1 +  = 1 + n ⋅ +   +  n 2!  n  n 2

n

n (n − 1)(n − 2)  1  3 n (n − 1)(n − 2)...1  1  n +   +... +   n n 3! n!

или

[

(1.18)

]

n (n − 1)... n − (n − 1) 1 n (n − 1) 1 n (n − 1)(n − 2) 1 ⋅ + ⋅ +... + ⋅ = 3! n ⋅ n 2! n ⋅n ⋅n n ⋅ n ⋅ n ⋅...⋅n n!  1   2   n − 1 1  1 1  1 2 1 = 2 + 1 ⋅ 1 −  + 11 −  1 −  +... +11 −  1 −  ... 1 −   n  n    n  2!  n   n  3! n  n!

xn = 2 +

Заметим, что последняя сумма содержит n положительных слагаемых. Запишем следующий n+1 член рассматриваемой последовательности: 2 1 1  2 1 1 1    x n +1 = 2 + 1 ⋅ 1 −  + 11 −  +... +11 −  1 −  +...  n + 1 2 !  n + 1 3 !  n + 1  n + 1 3 ! 1  2   n  1  ... +11 −  1 −  ... 1 −   n + 1  n + 1  n + 1 (n + 1) !

(1.19)

Сумма (1.19) содержит n+1 положительный член. Каждый член в сумме (1.19), начиная со второго, больше соответствующего члена в k n

сумме (1.18), так как 1- <1-

k для любого k∈[1;n]. Отсюда следует, n +1

20

что xn+1>xn. Итак утверждение а) о том, что последовательность n

1 xn= 1 +  возрастающая, доказано.  n

Для доказательства утверждения б) воспользуемся очевидным неравенством:  1 1  1 2 1  1 2 3 x n = 2 + 1 ⋅ 1 −  + 1 ⋅ 1 −  1 −  +... +1 ⋅ 1 −  1 −  1 −  ...  n  2!  n   n  3!  n  n  n  1 1 1 1 1 1 1  n − 1 1 ... 1 −  < 2 + + +... + < 2 + + 2 + 3 +... + n −1  2! 3! 2 2 n  n! n! 2 2

(1.20)

В (1.20) сумму членов, начиная со второго, вычислим по формуле убывающей геометрической прогрессии. Имеем: 1 1 1 − ⋅ n −1 1 1 1 1 2 2 2 = 1 − n −1 + 2 +... + n −1 = 1 2 2 2 2 1− 2

Итак, имеем: x < 2 +1 −

1 2

n −1

= 3−

1 2 n −1

.

1 Следовательно последовательность xn= 1 +   n

n

ограничена сверху

(одна из ее верхних граний есть число 3). Таким образом, утверждения а) и б) доказаны и на основании n

1 теоремы 1.11 числовая последовательность xn= 1 +  имеет предел, т.е.  n n

 1 lim 1 +  = e n →∞  n

1.10. Предельный переход в неравенствах Теорема 1.12. Если, начиная с некоторого номера n*, все члены последовательности {xn} удовлетворяют неравенству xn ≥ 0 (xn ≤ 0), и последовательность {xn} сходится к а, то а ≥ 0 (а ≤ 0).

21

Теорема 1.13. Если начиная с некоторого номера n*, члены последовательностей {xn} и {yn} связаны неравенством xn ≤ yn, и lim x n =a, lim y n =b, то a≤b. n →∞

n →∞

Теорема 1.14. Если, начиная с некоторого номера, члены последовательностей {xn}, {yn}, {zn} удовлетворяют неравенствам xn≤yn≤zn, и lim x n = lim z n =a, то тогда lim y n =а. n →∞

n →∞

n →∞

Приведем доказательство этой теоремы. (1.21) Дано: n ≥ n* ⇒ xn ≤ yn ≤ zn, lim x n = lim z n =a (1.22) n →∞

n →∞

Доказать: lim y n =а. n →∞

Из условия (1.22) следует, что

(∀ε > 0) (∃ n' (ε)) : (∀n ) (n ≥ n ' (ε) ⇒ x n − a ∈R

и

∈N

∈N

(∀ε > 0) (∃ n'' (ε)) : (∀n ) (n ≥ n '' (ε) ⇒ ∈R

∈N

∈N

< ε)

,

z n − a < ε)

.

Но в силу условия (1.21) начиная с номера N0=max{n’, n’’, n*}, т.е. при n ≥ N будет иметь место и неравенство |yn - a|<ε. А это и означает, что lim y n =а. n →∞

Доказательства теорем 1.13 и 1.14 оставляем читателю. 1.11. Подпоследовательности числовых последовательностей Пусть имеем числовую последовательность {xn}=x1, х2, х3,...,хn,... Рассмотрим последовательность возрастающих натуральных чисел n1, n2,...,nk,... и соответствующие им члены последовательности {xn} x n , x n , ..., x n ,... = x1, x2,...,xk,...={xk}. (1.23) Определение 1.13. Полученная описанным выше образом числовая последовательность (1.23) называется подпоследовательностью последовательности {xn}. Ниже сформулируем основные свойства подпоследовательностей числовой последовательности. 1. Если lim x n =а и {x n } является подпоследовательностью 1

2

k

n →∞

k

x n =а. последовательности {xn}, то nlim →∞ k

k

2. Если последовательность {xn} подпоследовательность {x n } также ББП. k

22

ББП,

то

любая

ее

3. Если последовательность {xn} сходится к а, то из нее можно выделить подпоследовательность {x n } монотонно сходящуюся к а. k

4. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Свойство 4 известно как теорема Больцано-Вейерштрасса. 1.12. Функция одной переменной Определение 1.14. Пусть даны два подмножества {x} и {y} множества вещественных чисел R. Если каждому x∈{x} по определенному правилу, или закону ставится в соответствие один элемент y∈{y}, то у называется функцией аргумента х. Множество {x} называется областью определения D(y), а множество {y} - областью значений Е(у) функции у. Известна символическая запись этого факта: у=f(x) или y=y(x). Аргумент х называют независимой, а у - зависимой переменной, а соответствие между ними функциональной зависимостью. Частым значением функции y=f(x) при х=а, называется значение у, соответствующее данному значению х. Оно обозначается как у(а), или f(a), или y|x=a. Закон или правило, по которому значению аргумента x ставится в соответствие значение функции у, может быть описано аналитически (математической формулой у=f(x)), графически или таблицей. Приведем некоторые примеры аналитического задания функции. Пример 1. Показательная и логарифмическая функции основанием е аналитически задаются следующим образом: y=ex, x∈R; y=lnx, x>0. (1.24)

с

Пример 2. Функция Дирехле задается следующим образом: 1 при x ∈ Q (рациональное число) D( x) =  0 при x ∉ Q

(1.25)

Пример 3. Знаковая функция (signum) от х имеет вид:  1 п ри x> 0  sgn x =  0 п ри х= 0 (1.26) -1 п ри x< 0 

Зависимость функции у от аргумента х можно задать в форме таблицы, в которой рядом со значением аргумента х0 записывается соответствующее значение функции у(х0). Неудобство этой формы 23

заключается в том, что таблица может содержать только определенные значения аргумента и функции. Наглядным представлением функциональной зависимости являются график функции в той или иной системе координат. Определение 1.15. Графиком функции у=f(x) в выбранной системе координат называется множество точек с координатами (x,f(x)). Читатель хорошо знаком с графиком различных, изучаемых в школе, функций. Ниже приведем еще график упомянутой выше функции 1.26 (y=sign x).

Рис. 1.8. В некоторых случаях мы имеем дело с так называемой суперпозицией двух или нескольких функций или со сложной функцией. Пусть y=y(x) с областью определения {x}, а переменная х, в свою очередь, есть функция аргумента t, т.е. х=х(t) с областью определения {t}. В этом случае говорят о сложной функции y=y(x(t)). Областью определения этой функции являются те элементы множества {t} при которых x(t)∈{x}. Итак функциональная зависимость связывает две переменные, одна из которых является аргументом, а другая - функцией. Пусть у=у(х) с областью определения {x} и областью значений {y}. Если каждому значению y∈{y} соответствует только одно значение x∈{x}, то можно говорить об обратной функции х=х(у) с областью определения {y} и областью значений {x}. 1.13. Предел функции Трудно переоценить значение понятия предела функции в математическом анализе. Читатель не раз убедится, что это понятие 24

используется во многих определениях, теоремах, доказательствах и является одним из основных. Наиболее часто упоминаются два подхода к определению этого понятия, которое связывают с именами двух математиков Гейне и Коши. Определение 1.16 (определение предела функции по Гейне). Число b называется пределом функции y=f(x) (область определения {x}) в точке a∈{x} (при х, стремящемся к а), если для любой последовательности {xn} (xn∈{x}), сходящейся к а, соответствующая последовательность {f(xn)} сходится к b. В символической форме это определение можно записать в виде:

(

)

(

{

}

)

lim f (x) = b ≡ (∀{x n })(x n ∈ {x n })(x n ≠ a ): {x n } → a ⇒ f (x n ) → b (1.27) x →a

def

Приведенное определение в некоторых случаях позволяет доказать отсутствие предела функции. Пример 1. Докажем, что функция y = sin

1 при х→0 не имеет x

предела. Рассмотрим две последовательности x (n1) =

1 π + 2πn 2

и x (n2) =

1 , 2πn

элементы которых принадлежат области определения рассматриваемой 1 x

функции sin . Хотя обе эти последовательности стремятся к нулю при n→∞,

т.е.

б.м.п.,

 1    π  sin (1)  = sin  + 2πn     x n    2

соответствующие и

 1  sin ( 2)  = {sin 2πn}  x n 

последовательности стремятся

пределам. А именно: π  lim sin  + 2πn  = 1 и lim sin 2πn = 0 . n →∞ n →∞ 2 

Таким образом, получим, что  

1  → 1, 1  x (n ) 

 

1  → 0. 2  x (n ) 

{xn(1)}→0, sin {xn(2)}→0, sin

25

к

разным

Отсюда

на

основании

рассматриваемая функция sin

определения

1.16

следует,

что

1 не имеет предела при x→0. x

Определение 1.17 (определение предела функции по Коши). Число b называется пределом функции y=f(x) при х→а, если для любого положительного вещественного числа ε (сколь угодно малого) существует такое положительное вещественное число δ, зависящего от ε, что из неравенства 0<|x-a|<δ следует неравенство |f(x)-b|<ε. В символической форме определение 1.17 записвается в виде:

(

)

(

)

(

lim f (x) = b ≡ (∀ε > 0) ∃ δ ( ε ) > 0 (∀x) : 0 < x − a < δ ( ε ) ⇒ f (x) − b < ε x →a ∈ {x} ∈R ∈R def

) (1.28)

Условие 0<|x-a|<δ(ε) означает, что точка х принадлежит δ(ε) окрестности точки а и х≠а, а условие |f(x)-b|<ε означает, что значение функции принадлежит ε окрестности точки b (или значение “отличается от b” менее, чем на b). Поэтому определение 1.17 можно сформулировать и так: Число b называется пределом f(x) при х→а, если, каково бы ни было вещественное число ε>0, существует вещественное число δ>0, зависящее от ε, такое, что для всех х из δ(ε) окрестности точки а, соответствующие значения функции принадлежат ε окрестности точки b. Воспользуемся определением 1.17 для доказательства следующего утверждения lim cos x = cos x 0

x→ x0

Очевидно, что |cos x - cos x0|<ε ⇔ 2 sin

x + x0 x −x ⋅ sin 0 < ε. 2 2

Для решения последнего неравенства воспользуемся очевидным неравенствами |sin α|≤1 и |sin α|<|α| и свойством транзитивности неравенств. Имеем |cos x - cos x0|< 2 ⋅1 ⋅

x0 − x < ε. 2

То есть, если удовлетворяется неравенство |x0 - x|<ε, то удовлетворяется и неравенство |cos x - cos x0|<ε. Итак, мы убедились в существовании такого числа δ(ε) (в данном случае δ(ε)=ε), что из 26

|x0-x|<δ(ε)=ε ⇒ |cos x- cos x0|<ε. А это, на основании определения 1.17 cos x = cos x 0 . означает, что xlim →x 0

В математике, в том случае, когда одному понятию дается два определения, обязательно доказывается их эквивалентность. В данном случае справедлива следующая теорема (приводится без доказательства). Теорема 1.15. Определения предела функции 1.16 (по Гейне) и 1.17 (по Коши) эквивалентны. Заметим далее, что существуют понятия пределов функции y=f(x) при х стремятся к а справа (правосторонний предел) и при х стремящемся к а слева (левосторонний предел). Эти односторонние пределы обозначаются так: lim f (x) или f(a+0) - правосторонний предел, x →a + 0

lim f (x) или f(a-0) - левосторонний предел.

x →a − 0

Теорема 1.16. Предел функции y=f(x) при х→а равен b тогда и только тогда, если существует пределы этой функции справа и слева при х→а и равны b. В символической форме теорема 1.16 записывается так: lim f (x) = b ⇔ lim f (x) = b ∧ lim f (x) = b . (1.29) x →a x →a + 0 x →a − 0

(

) (

) (

)

Ниже приведем определение предела функции y=f(x) при х→∞ в символической форме. Определение 1.19.

(

)

(

)

lim f (x) = b ≡ (∀ε > 0) (∃ B(ε ) > 0) : x > B(ε ) ⇒ f (x) − b < ε (1.30) x →∞ ∈R ∈R def

В частных случаях, когда х→+∞ и х→-∞, имеем: Определение 1.20.

(

)

(

)

lim f (x) = b ≡ (∀ε > 0) (∃ B(ε ) > 0) : x > B(ε ) ⇒ f (x) − b < ε (1.31) x →+∞ ∈R ∈R def

Определение 1.21.

( lim f (x) = b) ≡ (∀ε∈ R> 0) (∃ B∈(εR) > 0) : ( x < −B(ε) ⇒ f (x) − b < ε) (1.32) def

x →−∞

1.14. Бесконечно большие и бесконечно малые функции Определение 1.22. Функция y=f(x) называется бесконечно большой функцией (ББФ) при х→а, если для любого вещественного 27

числа В>0 (сколь бы большим оно ни было) существует вещественное число δ>0, зависящее от В такое, что если 0<|x-a|<δ, то выполняется |f(x)|>B. Это определение (по Коши) в символической форме имеет вид:

(

)

(

)

lim f (x) = ∞ ≡ (∀ B > 0) (∃ δ(B) > 0) : 0 < x - a < δ ⇒ f (x) > B (1.33) x →a ∈R ∈R def

Определение этого же понятия на языке последовательностей (по Гейне) имеет вид:

(lim f (x) = ∞) ≡ (∀ {xx∈}x→ a ) : ({f (x )} − Б. Б. П. ) (1.34) def

n

x →a

n

{}

Теорема 1.17. Если функции f(x) и ϕ(x) являются ББФ при х→а и имеют один знак в некоторой окрестности точки а, то их сумма f(x)+ϕ(x) также является ББФ. Определение 1.23. Функция α(х) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при х→а (при х→∞), если lim α(x) = 0 ( lim α ( x) = 0 ). x →a

x →∞

Эти определения в символической форме имеют вид:

(α ( x ) (α ( x )

(

б м . .ф. п ри х→ а ) ≡ (∀ ε > 0) (∃ δ( ε ) > 0) : 0 < x − a < δ( ε ) ⇒ α(x) < ε ∈R ∈R def

(

- б м ф пир х → ∞) ≡ (∀ ε > 0) (∃ β( ε ) > 0) : x > β( ε ) ⇒ α(x) < ε ∈R ∈R def

)

),

(1.35)

Бесконечно большие и бесконечно малые функции обладают свойствами, аналогичными свойствам бесконечно больших и бесконечно малых числовых последовательностей. Относительно этих свойств справедливы следующие теоремы. Теорема 1.19. Если α(х) является б.м.ф. при х→а (х→∞) и α(х)≠0 в окрестности точки а, то функция

1 является Б.Б.Ф. при х→а (х→∞). α( x)

Теорема 1.20. Если f(x) является Б.Б.Ф. при х→а (х→∞), то функция

1 является б.м.ф. при х→а (х→∞). α( x)

28

Теорема 1.21. Если α(х) и β(х) являются б.м.ф. при х→а (х→∞), то функции α(х) ± β(х) также являются б.м.ф. Отметим здесь, что использование класса бесконечно малых функций позволяет сформулировать необходимое и достаточное условие существования предела функции. Теорема 1.22. Функция f(x) имеет предел b при х→а (х→∞) тогда и только тогда, когда f(x)=b+α(x), где α(х) является б.м.ф. при х→а (х→∞). Теорема 1.22. В символической форме записывается так:       lim f (x) = b ⇔ f (x) = b + α(x) ∧ α(x) - б .м . ф. ( )  x →a   x →a     x→∞   x→∞ 

1.15. Свойства функций, имеющих предел Теорема 1.23. Пусть lim f1 (x) = b 1 , lim f 2 (x) = b 2 , тогда: x →a x →a

а) lim(f1 (x) ± f 2 (x)) = b1 ± b 2 . x →a

б) lim f1 (x) ⋅ f 2 (x) = b 1 ⋅ b 2 . x →a в) lim x →a

f1 (x)

f 2 (x)

=

b1 , если b2≠0. b2

Теорема 1.24. Пусть в некоторой окрестности точки а функции связанны неравенством: f1(x) ≤ f2(x), и lim f1 (x) = b 1 , lim f 2 (x) = b 2 , тогда b1 ≤ x →a

x →a

b2. Теорема 1.25. Пусть в некоторой окрестности точки а функции связаны неравенствами: f1(x) ≤ f2(x) ≤ f3(x), и lim f1 (x) = lim f 3 (x) = b , тогда x →a

lim f 2 (x) = b .

x →a

x →a

Эти теоремы легко доказать, если воспользоваться определением предела функции “по Гейне” и уже доказанными теоремами о свойствах сходящихся последовательностей (см. п. 1.1.17.). 1.16. Замечательные пределы Теорема 1.26. lim x →0

sin x = 1. x

29

Дано: х→0. sin x = 1. x →0 x

Доказать: lim

π 2

Пусть х есть радианная мера угла и 0<x< . Пользуясь очевидными неравенствами (см. рис. 1.9) S∆AOB<Sсект. AOB<S∆AOC 1 2

и учитывая, что S ∆AOB = R 2 sin x , Sсект.

AOB=

1 1 2 R x , S ∆AOC = R 2 tgx , где R 2 2

есть радиус круга, получим 0<sin x<x
x

O

A

Рис. 1.9. Деля полученные неравенства на sin x>0, имеем 0<1<

x 1 < sin x cos x

или cosx<

sin x <1, (1.37) x

π 2

которые верны и для - <x<0, так как cosx и

sin x являются четными x

функциями. Если теперь в неравенствах (1.37) перейти к пределу при х→0 и пользоваться теоремой о предельном переходе в функциональных неравенствах (см., например, теорему 1.14), то получим sin x = 1. x →0 x

lim

Результат (1.36) известны как первый замечательный предел. Теорема 1.27. x

 1 lim 1 +  = e. x →∞  x

30

(1.38)

Эту теорему можно доказать, пользуясь определением предела функции по Гейне. Результат (1.38), который известен как второй замечательный предел, можно записать и в форме 1

lim (1 + x) x = e . x →0

(1.39)

Ниже приведем еще некоторые известные пределы, которые получаются из первого и второго замечательных пределов. 1. lim x →0

ln (1 + x) x

(1.40)

= 1.

Действительно, так как lim

ln (1 + x)

ln (1 + x)

x →0

x

x

1

= ln (1 + x) x , то 1

= lim ln (1 + x) x = ln e = 1. x →0

ex −1 = 1. 2. lim x →0 x

(1.41)

Для получения этого результата сделаем замену ex -1= t, причем заметим, что при x→0 t→0. ex −1 t = lim = 1. x →0 t →0 ln (1 + t ) x

Тогда x=ln (1+t) и имеем lim

3. lim x →0

lo g a (1 + x) x

=

a x −1 = ln a . x →0 x

4. lim

1 . ln a

(1.42) (1.43)

Отметим, что доказательства (1.42) и (1.43) проводятся аналогично (1.40) и (1.41). 5. lim x →0

1 − cos x 1 = . 2 x2

(1.44)

x имеем 2 2 x  2 x 2 x 2 sin 2 sin  sin  1 1 − cos x 2 = 1. 2 2 lim = lim = lim = lim  2 2 2 0 0 x →0 x → 0 x → x → 2 2 x x  x   x 4⋅    2  2

Действительно, пользуясь формулой 1-cosx=2sin2

В заключении отметим, что все полученные выше формулы инвариантны относительно аргумента. То есть, эти формулы 31

справедливы  1   lim 1 + ϕ ( x ) →∞  ϕ( x ) 

в

более

ϕ( x)

= e, lim

f ( x ) →0

общем

[

виде.

] = 1,

ln 1 + f (x) f (x)

Например,

1 − cos f (x)

lim

f ( x)

f ( x ) →0

2

=

lim

f ( x ) →0

sin f (x) f ( x)

= 1,

1 и т.д. 2

1.17. Сравнение бесконечно малых функций Пусть при x → a (x → ∞ ) две функции α(х) и β(х) являются бесконечно малыми функциями. Примерами таких функций могут служить α1 (x) = sin x при x→0, α 2 (x) = 3 (1 − x) при x → 1, α 3 (x) = e x − 1 при x → 0, α 4 (x) =

1 x

при x → ∞ .

Определение 1.24. Если lim x →a

α(x )

βx ( x→∞ ) ( )

= k ≠ 0, то α(х) и β(х) называются

б.м.ф. одного порядка. α (x)

Определение 1.25. Если lim x →a

( x→∞ )

β(x)

= 1, то α(х) и β(х) называются

эквивалентными (примерно равными). Этот факт записывается так: α ( x ) ~ β ( x ) при x→a (x→ ∞ ). α(x )

Определение 1.26. Если lim x →a

( x→∞ )

β(x)

= 0, то α(х) называется б.м.ф.

высшего порядка по отношению к β(х) (или β(х) называется б.м.ф. низшего порядка по отношению к α(х)). Этот факт записывается так: α ( x ) = о(β ( x )).

Определение 1.27. Если lim x →a

α( x)

βx ( x→∞ ) ( )

= ∞, то α(х) называется б.м.ф.

низшего порядка по отношению к β(х) (или β(х) называется б.м.ф. высшего порядка по отношению к α(х)). Легко видеть, что определения 1.26 и 1.27 относятся к одному и тому же случаю, когда сравниваются б.м.ф. разного порядка. Определение 1.28. Если

α (x ) = k ≠ 0, x → a ( β ( x ))n ( x→∞ ) lim

то n называется

порядком б.м.ф. α(х) по отношению к β(х).

Пример 1. Сравнить б.м.ф. α(х)=sinx, β(x)=x при x→0. Имеем 32

lim x →0

α(x ) β(x)

sin x = 1. x →0 x

= lim

Следовательно: sin x ~ x при x→0. Пример 2. Сравнить б.м.ф. α(x)=x2 и β(x)=sin x при x→0. Имеем lim x →0

α(x ) β(x)

x2 x = lim ⋅ x = 0. x →0 sin x x→0 sin x

= lim

Следовательно: α(x)=x2- б.м.ф. высшего порядка по отношению к β(x)=sinx при x→0, т.е. x2=0 (sin x) при x→0. Найдем, какого порядка б.м.ф. α(x)=x2 по сравнению с б.м.ф. β(x)=sin x при x→0. Обозначая порядок через l, по определению 1.28 имеем lim x →0

α( x)

(β(x))

l

= lim x →0

x

2

(sin x) l

l<2 , 0при  = 1, при l=2 l>2 ∞при  ,

Следовательно: α(x) = x 2 - б.м.ф. 2-ого порядка по отношению к б.м.ф. β(x) = sin x при x→0. 1.18. Непрерывность функции в точке Пусть f(x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности. Определение 1.29. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если lim f (x) = f (x 0 ). (1.45.) x→ x 0

Определение 1.30. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если любой последовательности { xn} → x0 соответствует { f ( x n )} → f ( x0 ). . В силу эквивалентности определений предела функции “по Коши” и “по Гейне” определения 1.29 и 1.30 также эквивалентны. Определение 1.31. Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если x→lim f (x) = f (x 0 ) x +0 0

( x→ x0 −0 )

Определение 1.32. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 справа и слева, то она непрерывна в точке x0. Имея ввиду определение 1.32 условие непрерывности f(x) в точке x0 (1.45) можно переписать в виде lim f (x) = lim f (x) = f (x 0 ), f ( x 0 ) - существует x→ x0 +0

x→ x0 −0

33

Пример 1. Функция f (x) = cos x непрерывна в точке x0, так как lim cos x = cos x 0 (см. п. 1.1.13). x→ x 0

Определение 1.33. Точка, в которой функция y=f(x) не обладает свойством непрерывности, называется точкой разрыва. Пример 2. Покажем, что функция y=sgn x (см. (1.26)) разрывна в точке x0=0. На самом деле, так как lim sgn x = 1, lim sgn x = −1, sgn x=0 = 0 , то не x →0 + 0

x→0-0

выполняется условие непрерывности (1.46) для функции sgn x в точке x0=0. То есть функция sgn x в точке x0=0 является разрывной функцией. Пример 3. Рассмотрим функцию f (x) =

1 в окрестности точки x −1

x0=1. Данная функция не определена в этой точке, следовательно, она разрывна в точке x0=1. Пример 4. Рассмотрим функцию

f (x) =

sin x . x

Эта функция

разрывна в точке x0=0, т.к. не определена в этой точке. Если доопределить ее в точке x0=0, задав ее значение в этой точке f(0)=1, т.е. при x≠0  sin x рассмотреть функцию ϕ(x) =  x , то таким образом при х=0  1 доопределенная функция ϕ(x) окажется непрерывной в точке x0=0.

Действительно:

lim x →0

sin x = 1 = f (0) = 1 x

и

выполняется

условие

непрерывности (1.46) в точке x=0. В заключении отметим, что если функция f(x) непрерывна в точке x0, то можно перейти к пределу в аргументе этой функции. Этот факт следует из условия непрерывности функции f(x) в точке x0 (см. (1.45)). На самом деле, согласно (1.45) имеем lim f (x) = f (x 0 ) = f  lim x . x→ x0

x→ x0

1.19. Классификация точек разрыва Как уже говорилось выше, если функция f(x) в точке x0 удовлетворяет условию непрерывности 1.46, то функция f(x) будет непрерывна в точке x0. Если в этом условии что-то нарушается, то функция f(x) оказывается разрывной в точке x0. 1. Разрыв первого рода. Если в точке разрыва x0 существуют конечные правосторонний и левосторонний неравные пределы функции f(x), то функция f(x) в точке 34

x0 имеет разрыв первого рода. Примером такой функции может служить уже рассмотренная выше функция sgn x. Она имеет разрыв первого рода в точке x0=0. 2. Устранимый разрыв. Если в точке разрыва x0 существуют конечные односторонние 



пределы функции f(x) и равны  lim f (x) = lim f (x) , но функция f(x) не 

x→ x0 +0

x→ x0 −0



определена в точке x0 , то функция f(x) в точке x0 имеет устранимый разрыв. Примером такой функции может служить выше рассмотренная функция

sin x , которая в точке x0=0 имеет устранимый разрыв. x

3. Разрыв второго рода. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода и устранимого разрыва, называются точками разрыва второго рода. Подобного рода разрыв имеет уже выше рассмотренная функция f (x) =

1 1 = ±∞. в точке x0=1, так как lim x → 1 ± 0 x −1 x −1

1.20. Определение непрерывности функции в точке с использованием понятия приращения функции Пусть функция f(x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, а точка x0+∆x принадлежит этой окрестности, тогда разность f(x0+∆x) - f(x0) = ∆f (x 0 ) ∆x называется приращением функции f(x) в точке x0 при приращении аргумента ∆x. Определение 1.34. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если (1.47) lim ∆f (x 0 ) = 0. ∆x →0

Данное определение и определение 1.32. эквивалентны. Для доказательства этого утверждения необходимо доказать справедливость двух высказываний: lim (f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )) = 0 ⇒ lim f (x) = f (x 0 )

∆x →0

и

x→ x0

lim f (x) = f (x 0 ) ⇒ lim (f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )) = 0.

x→ x0

∆x →0

Читатель может самостоятельно выполнить эти доказательства, воспользовавшись определением предела функции, обозначением x0+∆x= x и тем фактом, что x→x0 ⇔ ∆x→0. 35

1.21. Арифметические действия над непрерывными функциями Теорема 1.28. Если функции f(x) и ϕ(x) непрерывны в точке x0, то функции f(x) ± ϕ(x), f (x) ⋅ ϕ(x) и

f (x) ϕ(x)

(при условии ϕ(x0)±0) также

непрерывны в точке x0. Для доказательства этой теоремы следует использовать определение функции, непрерывной в точке и теоремы об арифметических действиях над функциями, имеющими предел (п. 1.1.15). Ниже приведем доказательство этой теоремы для случая произведения функций f (x) ⋅ ϕ(x). Дано: xlim f (x) = f (x 0 ), lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ). →x x→ x 0

0

Доказать: xlim f (x) ⋅ ϕ(x) = f (x 0 ) ⋅ ϕ(x 0 ). →x 0

По теореме 1.23. имеем lim f (x) ⋅ ϕ( x) = lim f (x) ⋅ lim ϕ(x) = f (x 0 ) ⋅ ϕ(x 0 ).

x→ x0

x→ x0

x→ x0

А последнее и означает, что функция f (x) ⋅ ϕ(x) непрерывна в точке x0. 1.22. Непрерывность сложной функции Пусть x=ϕ(t) задана на множестве {t} и имеет множество значений {x}. Пусть на этом множестве {x} задана функция y=f(x). Тогда на множестве {t} задана сложная функция y=f(ϕ(t)). Теорема 1.29. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x0∈{x}, а функция x=ϕ(t) непрерывна в соответствующей точке t0 (ϕ(t)=x0). Тогда сложная функция y=f(ϕ(t)) непрерывна в точке t0. Для доказательства воспользуемся определением 1.30. Имеем, что для любой последовательности {tn}→t0⇒{ϕ(tn}→x0⇒{f(xn)=f(ϕ(tn)}→f(x0)=f(ϕ(t0)), т.е. lim f (ϕ(t )) = f (ϕ(t 0 )). t →t 0

Этот результат полезно записать и в следующей форме: lim f (ϕ(t )) = f  lim ϕ(t )   t →t 0 t →t 0

(1.48)

1.23. Свойства функций, непрерывных на сегменте Определение 1.35. Функция f(x) называется непрерывной на сегменте [a;b] (непрерывной на интервале (a;b)), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

36

Определение 1.36. Функция f(x) называется непрерывной на множестве {x}, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Символически это записывается так: f(x)∈C(x). Оказывается, что непрерывные на сегменте функции обладают интересными свойствами. Ниже эти свойства сформулируем в виде теорем. Некоторые из них приведем с доказательствами. Теорема 1.30. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0. Если f(x0)≠0, то существует окрестность точки x0, где функция f(x) имеет знак, совпадающий со знаком f(x0). f (x) = f (x 0 ), Дано: xlim →x 0

f(x0)≠0. (1.49) Доказать ∃ окрестность x0, где sgn f(x)=sgn f(x0). Из условия (1.49) следует, что для ∀ε>0 (ε∈R) ∃ δ(ε)>0 (δ(ε)∈R) такое, что для всех х из δ(ε) окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x) − f (x 0 ) <ε или f(x0)-ε0. Тогда для ε = неравенства f (x 0 ) −

f (x 0 ) > 0 найдется такое δ1>0, что из 2

будет

0 < x − x 0 < δ1

следовать

неравенство

f (x 0 ) f (x 0 ) . Последнее означает, что в δ1 окрестности < f (x) < f (x 0 ) + 2 2

точки х0 знак функции f(x) совпадает со знаком f(x0) (f(x0)>0 и f(x)>0). Аналогично можно доказать теорему в случае f(x)<0. Теорема 1.31. (первая теорема Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b] и на его концах принимает значения f(a) и f(b) разных знаков, то внутри сегмента[a;b] существует точка С такая, что f(C)=0. На рисунке 1.10 приведена геометрическая иллюстрация этой теоремы в случае f(a)<0 и f(b)>0. y y=f(x) a 0

c

Рис. 1.10. 37

b

x

Теорема 1.32. (вторая теорема Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b] и на его концах принимает значения f(a)=A, f(b)=B, то для любого С, заключенного между А и В, существует точка с∈[a;b] такая, что f(c)=C. Отметим, что теорема 1.32 другими словами гласит, что непрерывная на сегменте функция принимает все значения, заключенные между значениями этой функции на концах сегмента (см. рис. 1.11). y

y=f(x)

B C A 0

c b x

a

Рис. 1.11. Теорема 1.33. (первая теорема Вейерштраcа). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b], то она ограничена на этом сегменте. Дано: y=f(x) непрерывна на [a;b]. Доказать: y=f(x) ограничена на [a;b]. Предположим, что функция f(x) не является ограниченной на [a;b]. Это означает, что существует тоска с∈[a;b], где функция f(x) стремится к бесконечности, что противоречит условию непрерывности функции f(x) в точке c∈[a;b] (ведь функция f(x) непрерывна и в точке c∈[a;b] по условию теоремы). Теорема 1.34. (вторая теорема Вейерштраcа). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a;b] и m = inf{f (x)}, M = sup {f (x)} (их x ∈[a ;b ]

x ∈[a ;b ]

существование следует из теоремы 1.32), то существуют точки c∗ и с∗∗, принадлежащие сегменту [a;b] такие, что f(c∗)=m, f(c∗∗)=M. Теорема 1.35. (необходимое и достаточное условие непрерывности монотонной функции на сегменте). Монотонная на сегменте [a;b] функция f(x) непрерывна на этом сегменте тогда и только тогда, если функция f(x) принимает все все промежуточные значения между f(a) и f(b).

38

Примеры Пример 1. Доказать существование следующих пределов исходя из определения предела функции: 1 − 2x 2 1 5 =∞ = − ; б) lim sin 3x = 0 , в) lim 2 x →∞ 2 + 4x x →0 x →3 9 − x 2 2

а) lim

Решение: а) Нам следует доказать, что для любого числа ε 〉 0 существует β (ε )〉 0 такое, что: x 〉 В (ε ) ⇒

1− 2x2  1  −  −  〈ε 2 + 4x2  2 

Решим последнее неравенство 1− 2x2  1  1− 2x2 +1+ 2x 2 = 〈ε − −  = 2 2 2 + 4x 2 + 4x 2 + 4x2  2

или 1 〈ε 1 + 2x 2

⇔

Итак, из неравенства x〉

1

ε

1 + 2x 2 〉 x 〉 В (ε )

1

⇔

ε

x〉

1

ε

−1

должно следовать неравенство

− 1 . Очевидно, что это возможно при

В (x ) ≥

1

ε

− 1 . Таким

образом, мы убедились, что для ∀ε 〉 0 существует число β (ε )〉 0 , такое, что из x 〉 В(ε ) ⇒

1 - 2x 2  1  −  −  〈ε . 2 + 4x 2  2 

Решение: б) Докажем, что для любого ε 〉 0 существует δ (ε )〉 0 такое, что: x 〈δ (ε ) ⇒ sin 3 x 〈ε

На самом деле, из последнего неравенства имеем sin 3 x 〈 3 x 〈ε

Отсюда ε

x 〈 ⇒ sin 3 x 〈ε 3

ε

Чтобы из неравенства x 〈δ (ε ) следовало неравенство x 〈 , δ (ε ) должно удовлетворять условию δ (ε ) ≤

39

ε 3

3

.

Итак

x 〈 δ (ε

мы

)

⇒

убедились, sin3x 〈 ε .

что

существует

δ (ε )

число

такое,

что

Решение: в) В данном случае необходимо доказать, что для любого сколь угодно большого числа А>0 существует число δ ( А )〉 0 такое, что: x − 3 〈δ ( A) ⇒

5 〉A. 9 - x2

Решим последнее неравенство: 5 〉A 9 - x2

9 - x2 1 〈 ⇒ 5 A

⇒

9-

5 5 〈 x〈 9 + . A A

Итак, из неравенства 3 − δ ( A )〈 x 〈3 + δ ( A ) должно следовать неравенство 9−

5 5 〈 x〈 9 + . А A

Очевидно, 

δ ( A) = наименьшее 9 + 

что

это

5 5 〈 x〈 9 − . А A

выполнится,

Таким

образом

существует δ ( А )〉 0 такое, что из x − 3 〈δ ( A) ⇒ Пример 2. Лопиталя.

если

выбрать

показано,

что

5 〉A . 9 − x2

Найти следующие пределы, не применяя правила

a) lim

x →∞

x 2 + 9x − 6 7x 2 + 10x 4 + 5x

в) lim 3 x →0

x2 + 1 −1 x2 + 2 − 3 2

x2 − 9 ; x →3 x 3 − x 2 − x − 15

; б) lim ; г) lim x →1

sin (x − 1) 3x 2 − 6x + 3

2

e x − cos x  2x  ; е) lim д) lim   2 x →∞ x →0  1 + 2x  x

;

−4 x

.

Решение: а) При x → ∞ числитель и знаменатель этой дроби ∞

Б.Б.Ф., то есть имеет место неопределенность типа   . Для раскрытия ∞ этой неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на высшую степень числителя или знаменателя. Имеем 9 6 − 2 x + 9x − 6 x x = lim lim 2 4 x→∞ x→∞ 5 7 x + 10 x + 5 x 7 + 10 + 3 x 1+

2

40

Далее

пользуясь

теоремами

об

арифметических

функциями, имеющими предел, и учитывая, что lim x→∞ lim

x→∞

действиях 9 = 0, x 1

lim

x→∞

над

6 = 0, x2

5 x2 + 9x − 6 = 0 lim = , окончательно получим . x→∞ x3 7 x 2 + 10 x 4 + 5 x 7 + 10

Ответ:

1 7 + 10

.

Решение: б) При x → 3 числитель и знаменатель этой дроби б.м.ф., то есть имеет место неопределенность типа   . Число 3 является 0 корнем и многочлена, стоящего в числителе, и многочлена, стоящего в знаменателе. Разлагая числитель и знаменатель на простые множители, получим: 0

x2 − 9 x+3 ( x − 3)( x + 3) 3 = lim = lim 2 = lim 3 x → ∞ x − x 2 − x − 15 x → 3 ( x − 3)( x 2 + 2 x + 5) x →3 x + 2 x + 5 10

Ответ:

3 . 10

Решение: в) В данном случае неопределенность типа   может 0 быть раскрыта, если выполнить следующие преобразования: 0

lim

x→0 3

x2 +1 −1

= lim

x2 + 2 − 3 2

x→0

lim x→0

Ответ:

( x 2 + 1 − 1)( x 2 + 1 + 1)( 3 ( x 2 + 2) 2 + 3 2( x 2 + 2) + 3 4 ) ( 3 x 2 + 2 − 3 2 )( x 2 + 1 + 1)( 3 ( x 2 + 2) 2 + 3 2( x 2 + 2) + 3 4 ) x 2 ( 3 ( x 2 + 2) + 3 2( x 2 + 2) + 3 4 ) x 2 ( x 2 + 1 + 1)

33 4 ) = . 2

33 4 . 2

Решение:

г)Заметим,

lim(3 x 2 − 6 x + 3) = 3 lim( x − 1) 2 = 0 . x →1

=

x →1

что

lim sin( x − 1) = 0 x →1

и

То есть в данном случае числитель и

знаменатель этой дроби б.м.ф. при x → 1 и имеем неопределенность типа 0  0  . Заменяя б.м.ф. sin( x − 1) эквивалентной величиной x − 1 , получим

41

lim x →1

sin( x − 1) x −1 = lim = ∞. 2 x → 1 3x − 6 x + 3 3( x − 1) 2

Ответ: ∞ . Решение: д) Числитель и знаменатель этой дроби б.м.ф. при x → 0 . То есть имеем неопределенность типа   . Прибавляя и отнимая 0 0

2

ex −1 единицу в числителе данной дроби и пользуясь тем, что lim 2 = 1 и x →0 x 1 − cos x 1 = , получим lim x →0 2 x2 2 2 e x − 1 + 1 − cos x ex −1 1 − cos x 1 3 = lim + lim = 1+ = . lim 2 2 2 x →0 x →0 x →0 2 2 x x x

Ответ:

3 . 2

Решение: е) Перепишем данный предел в виде  2x  lim  x →∞ 1 + 2 x  

Так как lim x →∞

2x = lim 1 + 2 x x →∞

−4 x

=

1

 2x  lim  x →∞ 1 + 2 x  

4x

.

2x

= 1 , а показатель 4 x → ∞ , то имеем дело с 1 2 x(1 + ) 2x неопределенностью типа 1∞ . Для ее раскрытия пользуемся вторым

[ ]

замечательным пределом, преобразования:  2x     1 + 2x 

4x

 2x + 1 − 1 =   1 + 2x 

4x

предварительно

−1   = 1 +   1 + 2x 

4x

−1 1+ 2 x ⋅ 1+ 2 x −1

выполняя −4 x

1+ 2 x 1+ 2 x   −1 − 1     = 1 + .   1 + 2 x    

Итак мы имеем  2x  lim  x →∞ 1 + 2 x  

Ответ:

4x

1+ 2 x   −1 − 1     = lim 1 +  x →∞    1 + 2x   

1 . e2

42

−

4x 1+ 2 x

=e

lim

−4 x

x → ∞ 1+ 2 x

= e −2 .

следующие

Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций:  sin x а) f ( x ) =  x при x ≠ 0,  2 при x = 0.  2 при x = 0, x = ±2, б) f ( x ) = 4 - x 2 при 0 ≠ x < 2. 4 при x > 2. 

в) f (x) = arctg

2 x−2

1

г) f (x) = e x .

Решение: а) Нетрудно заметить, что для всех точек числовой оси, кроме точки x = 0 условие непрерывности (1.46) выполняется. А что происходит в точке x = 0 ? Так как sin x lim = 1 , а f (0) = 2 , то в точке x = 0 нарушается условие x →0 ± 0 x

непрерывности заданной функции. Таким образом, заданная функция в точке x = 0 нарушается условие непрерывности заданной функции. Таким образом, заданная функция в точке x = 0 имеет устранимый разрыв. Ответ: в точке x = 0 - устранимый разрыв. Решение: б) Непрерывность данной функции во всех точках числовой оси, кроме точек 0; -2;+2, очевидна. А что происходит в точках 0;-2;2? Проверим условие непрерывности (1.46) для данной функции в точке x = 0 . Имеем lim f ( x) = lim (4 − x 2 ) = 4 и f (0) = 2 . Значит точка x = 0 x →0 ± 0

x →0 ± 0

для данной функции является точкой разрыва первого рода. Теперь проверим условие непрерывности (1.46) для данной функции в точках x=2 и x=-2.Имеем lim f ( x) = lim 4 = 4, lim f ( x) = lim (4 − x 2 ) = 0, f (2) = 2.

x→2+0

x→ 2+ 0

x → 2 -0

x →2 −0

lim f ( x) = lim (4 − x 2 ) = 0,

x → −2 + 0

lim f ( x) = lim 4 = 4, f (−2) = 2.

x → −2 + 0

x → −2 − 0

x → −2 − 0

Отсюда заключаем, что точки x=2 и x=-2 для данной функции являются точками разрыва первого рода (рис. 1.12) f(x) 43 4

Рис. 1.12. Ответ: в точках, x=2, x=-2- разрыв первого рода, в точке x=0 устранимый разрыв. Решение: в) Очевидно, что рассматриваемая функция является непрерывной во всех точках числовой оси, кроме точки x=2, которая не входит в область ее определения. Определим характер разрыва данной функции в точке x=2. Имеем lim arctg

x→2+ 0

π 2 = , x−2 2

lim arctg

x →2 −0

π 2 =− , 2 x−2

Следовательно, точка x=2- точка разрыва первого рода. Ответ: точка x=2 – точка разрыва первого рода. Решение: г) Очевидно, что заданная функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки x=0 (она не входит в область определения функции). Определим характер разрыва заданной функции в точке x=0. Имеем 1 x

1 x

lim f ( x) = lim e = ∞,

x→0+0

lim f ( x) = lim e = 0.

x→0+0

x→0−0

x→0−0

Так как один из односторонних пределов (в данном случае правосторонний) не равен конечному числу, то точка x=0 для данной функции является точкой разрыва второго рода. Ответ: точка x=0 - точка разрыва второго рода. Пример 4. Определить порядок малости б.м.ф. f(x) по отношению к основной бесконечно малой ϕ(x)=x при х→0. 44

а) f(x)=2( e x -1) при х→0; ϕ(x)=x при х→0. б) f(x)=ln(sin x2+1) при х→0; ϕ(x)=x при х→0. 3

3

Решение: а). Пусть функция f(x)=2( e x -1) б.м.ф. порядка n по отношению к основной бесконечно малой ϕ ( x ) = x при x → 0 . Тогда по определению (1.28.) и с учетом того, что e x -1 ~ x 3 при x → 0 , имеем 3

∞, n〉 3, 3 2(e x − 1) 2x3 f ( x)  3− n lim n = lim = lim n = 2 lim x = 2, n = 3, n x →0 x x →0 x →0 ϕ ( x ) x →0 x 0, n〈3. 

3

Отсюда заключаем, что б.м.ф. f(x)=2( e x -1) бесконечно малая третьего порядка по отношению к основной бесконечно малой x при x → 0. 3

Ответ: e x -1 бесконечно малая третьего порядка по отношению к бесконечно малой x при x→ 0. Решение: б) Рассуждая аналогично примеру а) имеем ∞, n 〉 2, x2 ln(sin x 2 + 1) sin x 2  2− n lim = lim n = lim n = lim x = 1, n = 2, . n x →0 x → x → x → 0 0 0 x x x 0, n 〈 2. 

Ответ: ln(sin x2 + 1) бесконечно малая второго порядка по отношению к бесконечно малой x при x→0.

45

Тест Вычислить пределы: 4n 6 − n + 5 . 1. lim 6 n →∞ n + 3n 2 + 1

а) 0; б) ∞; в) 4; г) 5.  1 + 2 + 3+... + n 2 + n 2  − . n 3n  

2. lim 

а) 1; б) ∞; в)

1 ; 2

г) 0. 3. lim x →0

3x 1+ x − 1− x

.

а) 0; б) ∞; в) 5№ г) 3. 4. lim x[ln (3x − 1) − ln (3x − 2)] . x →∞

а) ∞; б) 0; в)

1 ; 3

г) 2. 3

5. limπ (1 + cos x) cos x . x→

2

а) 1; б) е3; в) e; г) 0.

46

 6. lim  x →∞ 

x + 4  x + 8

−3 x

.

а) 1; б) ∞; в) е; г) е12. 7. lim x →0

tgx − sin x . x sin x

а) 0; б) 2; в)

1 ; 2

г) 5. Определите порядок б.м.ф. f(x) по отношению к б.м.ф. ϕ(х): 8. f(x)=

x(x + 1) 1+ x

, ϕ(x)=x, x→0.

а) 1; б) 3; в) 4; г) 6; 9. f(x)= 1 + x 2 ⋅ tg

πx , ϕ(x)=x, x→0. 2

а) 2; б) 1; в) 3; г) 4. Найти точку разрыва функции и определить его характер: 10. f(x)=

x . x

а) х=0 - точка разрыва первого рода; б) х=0 - точка разрыва второго рода; в) х=0 - точка устранимого разрыва.

47

Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 2.1. Определение производной функции первого порядка Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и пусть х0+∆х, где ∆х есть приращение аргумента, есть некоторая точка этой окрестности. Определение

2.1.

Если

существует

предел

отношения

∆y f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) при ∆х→0, то этот предел называется производной = ∆x ∆x

первого порядка функции y=f(x) в точке х0 и обозначается так: f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) dy ∆y = y © ( x0 ) = f © ( x0 ) = = lim ∆x → 0 ∆x dx ∆x

=

lim

Если в некоторой точке х0 имеет место lim

∆x →0

lim

∆x →0

∆y = ∞, ∆x

x = x0

df ( x) dx

(2.1) x = x0

∆y ∆y = +∞ ; lim = −∞ ; ∆ x → 0 ∆x ∆x

то говорят, что для этого значения х0 существует

бесконечная производная, равная соответственно +∞; -∞; ∞. Определение 2.2. Если функция y=f(x) определена в правосторонней (левосторонней) окрестности точки х0 и существует f (x 0 + ∆x) − f (x)  f (x 0 + ∆x) − f (x)   lim  , то ∆x →0 +0 ∆x ∆x  ∆x→0−0 

конечный или бесконечный lim

он называется, соответственно, конечной или бесконечной правосторонней (левосторонней) производной функции y=f(x) в точке х=х0 и обозначается так: lim

f (x 0 + ∆x) − f (x)

∆x f (x 0 + ∆x) − f (x)

∆x →0 +0

lim

∆x →0 −0

∆x

=f′(x0+0),

=f′(x0-0). (2.2)

Теорема 2.1. Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки х=х0, имеет конечную производную f′(x0) тогда и только тогда, когда существуют равные друг другу конечные правосторонняя и левосторонняя производные этой функции в точке х0, т.е. когда f′(x0+0)=f′(x0-0). В этом случае f′(x)= f′(x0+0)=f′(x0-0). Заметим, что доказательство этой теоремы следует из теоремы 1.16 об односторонних пределах. 2.2. Геометрический смысл производной. 48

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на некотором интервале (а;b) и имеет конечную производную в точке x0∈(a;b). Рассмотрим график этой функции (рис. 2.1.). y

A ϕ (x0 )

M

∆y

A0

0

x0

N ∆x ϕ (∆x) x 0 + ∆x

dy

x

Рис. 2.1. На графике точка А0 имеет координаты А0[x0;f(x0)], а точка А координаты A[x0+∆x; f(x0+∆x)], где приращение аргумента ∆х>0 и x0+∆x∈(a;b). Через ϕ(∆х) обозначим угол, который образует секущая А0А с положительным направлением оси 0х. Очевидно, что tgϕ ( ∆x ) =

∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x ) . = ∆x ∆x

(2.3)

Заметим, что при стремлении точки А к точке А0 по графику, т.е. при стремлении ∆х к нулю, секущая А0А займет свое предельное положение, совпадающего с касательной к графику в точке х0. При этом ϕ(∆х)→ϕ(х0), где ϕ(х0) есть угол между касательной к графику в точке х0 и положительным направлением оси 0х. Итак, учитывая вышесказанное, из (2.3) имеем f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) ∆y = lim = f ' (x 0 ) , ∆x →0 ∆x ∆x→0 ∆x

lim tgϕ( ∆x) = tgϕ( ∆x) = lim

∆x →0

т.е. f′(x0)=tgϕ(x0).

(2.4)

(2.4) показывает, что производная функция y=f(x) первого порядка в точке х0 равна тангенсу угла между касательной к графику функции y=ϕ(x) в точке х0 и положительным направлением оси 0х. 49

2.3. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a;b), х - некоторое фиксированное значение аргумента, ∆х - любое приращение аргумента такое, что (х+∆х)∈(a;b). Определение 2.3. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если приращение ∆у=∆f(x) этой функции в точке х, соответствующее приращению аргумента ∆х, может быть представлено в виде ∆у=А⋅∆х+α(∆х)⋅∆х,

(2.5)

где А - константа, не зависящая от ∆х, а α(∆х) - является бесконечно малой при ∆х→0. Заметим, что функция α(∆х) при ∆х=0, вообще говоря, не определена. Поэтому в этой точке приписываем значение α(0)=0, чтобы функция α(∆х) стала непрерывной в точке ∆х=0. Тогда равенство (2.5) можно распространить и на значение ∆х=0. Заметим также, что так как α(∆х) и ∆х бесконечно малые при ∆х→0, то α(∆х)⋅∆х=0(∆х), т.е. второй член в (2.5) бесконечно малая величина более высокого порядка, чем ∆х. С учетом того (2.5) можно переписать в виде ∆у=А⋅∆х+0(∆х).

(2.6)

Теорема 2.2. Для того, чтобы функция у=f(x) являлась дифференцируемой в точке х (символически это записывается так: f(x)∈C′(x)), необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Необходимость. Дано: у=f(x)∈C′(x). (2.7) Доказать: ∃y′=f′(x) (конечная) (2.8) Из (2.7) следует, что ∆у=А⋅∆х+α(∆х)∆х. Отсюда, при условии ∆х≠0, имеем ∆y = A + α( ∆x) ∆x

и ∆y = lim A + lim α( ∆x) = A . ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x→0 lim

50

Последнее, по определению 2.1 означает, что

y′=f′(x)=A.

Достаточность. Дано: ∃ конечная y′=f′(x). Доказать: ∆у=А⋅∆х+α(∆х)⋅∆х.

(2.9) (2.10)

Из (2.9) с учетом (1.36) имеем ∆y − f ' (x) = α( ∆x) или ∆y=f′(x)⋅∆x+α(∆x)⋅∆x, (2.11) ∆x

где α(∆х)→0 при ∆х→0. Если теперь постоянную величину f′(x) обозначить через А, то (2.11) перепишется в виде ∆y=A⋅∆x+α(∆x)⋅∆x, что и доказывает дифференцируемость функции y=f(x). Теорема 2.3. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке. Дано: f(x)∈C′(x). Доказать: f(x)∈C(x) Из (2.12) следует, что

(2.12) (2.13)

∆y=f′(x)⋅∆x+α(∆x)⋅∆x. Но когда lim ∆y = lim [f ' (x) ⋅ ∆x + α( ∆x) ⋅ ∆x] = 0 . В силу разностной формы ∆x →0

∆x →0

условия непрерывности (см. определение 1.34) функция y=f(x) непрерывна в точке х. Отметим, что обратное утверждение, не имеет места, т.е. непрерывная в точке х функция не обязательно является дифференцируемой в этой точке. Для примера, рассмотрим функцию у=|x|, график которой приведен на рисунке 2.2.

51

y

y=|x|

0

x

Рис. 2.2. Поскольку ∆у=|x+∆x|-|x|≤|x+∆x-x|=|∆x| и lim ∆y = 0 , то функция ∆x →0

y=|x| непрерывна в любой точке x∈(-∞;+∞). Покажем, что эта функция в точке х=0 не имеет производной. Действительно, так как ∆x  1, ∆y 0 + ∆x − 0 = = = ∆x ∆x ∆x −1,

если ∆х>0 если ∆х<0

то ∆y  1, = ∆x →0 ∆x -1, lim

если ∆х>0 если ∆х<0

и правосторонняя производная функции в точке х=0 отлична от левосторонней производной, т.е. функция y=|x| в точке х=0 не имеет конечной производной. В остальных точках конечная производная функции y=|x| существует и равна  1, x > 0 x ' = sgn x =  -1, x < 0

Теперь перейдем к определению понятия дифференциала функции y=f(x). предполагая, что y=f(x)∈C′(x), на основании теоремы 2.2 имеем ∆y=f′(x)⋅∆x+α(∆x)⋅∆x.

(2.14)

Пусть f′(x)≠0, т.е. первое слагаемое в (2.14) является главной линейной относительно ∆х частью приращения дифференцируемой функции. Определение 2.4. При f′(x)≠0 дифференциалом функции у=f(x) в точке х, соответствующим приращению аргумента ∆х, называется главная линейная относительно ∆х часть приращения ∆у в точке х и 52

обозначается так: dy=f′(x)⋅∆x. При f′(x)=0 по договоренности считается, что dy=0. Заметим, что если взять функцию у=х, то dy=dx=x′⋅∆x=∆x (x′=1), т.е. dx=∆x. С учетом этого, имеем dy=f′(x)dx или f′(x)=

dy . dx

(2.15)

Для выяснения геометрического смысла дифференциала функции y=f(x) первого порядка, обратимся еще раз к рисунку 2.1. Как нетрудно заметить, ∆y=AN, а f′(x)∆x=dy=MN. Отсюда следует, что величины AN и MN различны, ибо если ∆у есть приращение ординаты кривой в точке х, то dy есть приращение ординаты касательной к кривой в точке х. 2.4. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями Теорема 2.4. Если функции y1=f1(x) и y2=f2(x) имеют производные в точке х0, то их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии y2(x0)=f2(x0)≠0) также имеют производные в точке х0, причем а) (y1 ± y 2 )' x = x = f1' (x 0 ) ± f 2' (x 0 ) , 0

б) (y1 ⋅ y 2 )' x = x = f1' (x 0 ) ⋅ f 2 (x 0 ) + f1 (x 0 ) ⋅ f 2' (x 0 ) , 0

y  в)  1   y2 

|

=

f1' (x 0 ) ⋅ f 2 (x 0 ) − f1 (x 0 ) ⋅ f 2' (x 0 ) f 22 (x 0 )

x = x0

Приведем доказательство этой рассмотрением пункта а). Итак: Дано: ∃ y1| x = x = f1| (x 0 ) , y |2 x = x = f 2| (x 0 ) . 0

теоремы,

.

ограничиваясь

0

Доказать: (y1 ± y 2 )' x = x = f (x 0 ) ± f 2' (x 0 ) . ' 1

0

Очевидно, что ∆(y1±y2)=f1(x0+∆x)±f2(x0+∆x)-[f1(x0) ±f2(x0)]= =[f1(x0+∆x)-f1(x0)] ±[f2(x0+∆x)-f2(x0)]=∆y1±∆y2. Тогда, если ∆х≠0, то ∆(y1 ± y 2 ) ∆x

=

∆y1 ∆y 2 ± . ∆x ∆x

(2.17)

В (2.17) перейдем к пределу при ∆х→0. Так как по условию теоремы существует lim

∆x →0

∆y1 ∆y 2 = f1| (x 0 ) и lim = f 2| (x 0 ) , то существует ∆ x → 0 ∆x ∆x

53

предел правой части (2.17) и равен f1|(x0)± f2|(x0). Тогда существует и предел левой части (2.17) и равен lim

∆x →0

∆ ( y1 ± y 2 ) ∆x

= ( y1 ± y 2 )

| x = x0

= f1| (x 0 ) ± f 2| (x 0 ) .

Аналогично можно доказать и остальные пункты теоремы. 2.5. Производные элементарных функций. Производная обратной функции Правила вычисления производных некоторых элементарных функций можно получить непосредственно из определения производной (см. определение 2.1). Покажем это, например, для функции y=sinx. Имеем ∆y=sin(x+∆x)-sinx=2sin

∆x ∆x ⋅cos(x+ ). 2 2

Отсюда, при ∆х≠0, следует ∆y = ∆x

∆x 2 ⋅ cos x + ∆x  .   ∆x  2 2

sin

Если в последнем перейти к пределу при ∆х→0 с учетом первого замечательного предела (см. (1.37)) и непрерывности функции cosx, то получим

lim

∆x →0

∆y = (sin x)' = lim ∆x →0 ∆x

Итак: (sin x)|=cos x.

∆x 2 ⋅ lim cos x + ∆x  = cos x .   ∆x ∆x→0  2 2

sin

Аналогично доказывается, что (cos x)| = - sin x. Чтобы

вычислить

производную.

функции

воспользуемся пунктом б) теоремы 2.4. Имеем | cos 2 x − sin x ⋅ ( − sin x) 1  sin x  = . (tgx) =  cos x  = 2 cos x cos 2 x |

54

y=tgx=

sin x , cos x

Аналогично |

1 cos x (ctgx)' =  sin x  = − 2 . sin x

Прежде чем перейти к получению правил дифференцирования других элементарных функций, приведем теорему о производной обратной функции без доказательства. Теорема 2.5. Если функция y=f(x) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки х0 и в этой точке существует производная y' x = x = f ' (x 0 ) ≠ 0 , то и обратная функция x=f-1(y) 0

имеет производную в точке y0=f(x0), причем

[f С

помощью

(y 0 )]

=

1 . f ' (x 0 )

(2.18)

теоремы

2.5.,

например,

−1

|

π 2

можно

получить

π 2

производную функции y=arcsin x, где -1<x<1 и -
1 1 1 1 . = = = 2 (sin y)' cos y 1 − sin y 1 − x 2

Здесь уместно заметить, что все правила дифференцирования элементарных функций, которые получаются одним из выше приведенных методов, оказываются инвариантными относительно аргументов. Например, d sin f (x) df (x)

dtgf (x) df (x)

=

= cos f (x) ,

(2.19)

1 , cos f (x)

(2.20)

2

d arcsin f (x) 1 = . (2.21) df (x) 1 − f 2 ( x)

Ниже приведем правила дифференцирования элементарных функций с учетов инвариантности этих правил относительно аргумента.

55

df α (x)

= α ⋅ f α −1 (x) , (α=const),

df (x)

(2.22)

da ( ) f x = a ( ) ⋅ ln a (0
(2.23)

de ( ) f x =e ( ), df (x)

(2.24)

f x

f x

d log a f (x) df (x)

d ln f (x)

d cos f (x)

df (x)

=−

(2.25) (2.26) (2.27)

= − sin f (x) ,

df (x)

dctgf (x)

1 ⋅ log a e (f(x)>0, 0
1 , f (x)

=

df (x)

=

(2.28)

1 , sin f (x) 2

d arccos f (x) 1 =− (|f(x)|<1), df (x) 1 − f 2 ( x)

(2.29)

darctgf (x)

(2.30)

df (x)

=

1 , 1 + f 2 ( x)

(2.31)

darcctgf (x) 1 =− , df (x) 1 + f 2 (x) dshf (x) df (x)

dchf (x) df (x)

dthf (x) df (x)

(2.32)

= chf (x) ,

(2.33)

= shf (x) , =

(2.34)

1 , ch f (x) 2

dcthf (x) 1 =− 2 (f(x)≠0). df (x) sh f (x)

(2.35)

Отметим, что гиперболические синус (shf(x)), косинус (chf(x)), тангенс (thf(x)) и катангенс (cthf(x)), входящие в (2.32)-(2.35) определяются формулами: f x −f x f x −f x e ( ) −e ( ) e ( ) +e ( ) , ch f (x) = , 2 2 shf (x) chf (x) , ct hf (x) = . thf (x) = chf (x) shf (x)

shf (x) =

2.6. Правило дифференцирования сложной функции. 56

Инвариантность формы первого дифференциала Теорема 2.6. Пусть задана сложная функция y=f[ϕ(t)], где х=ϕ(t) дифференцируема в точке t0, а y=f(x) дифференцируема в соответствующей точке х0=ϕ(t0). Тогда сложная функция f[ϕ(t)] дифференцируема в точке t0, причем

[

]

df ϕ(t ) dt

= t =t 0

df (x) dx

⋅ x = x0

d ϕ( t ) dt

(2.36) t =t 0

Заметим, что для доказательства этой теоремы нужно пользоваться определением производной функции (см. определение 2.1). Приведем примеры. 1. y=ln(cos(ex)). Найти производную заданной сложной функции по х.

(

)

dy 1 = ⋅ − sin e x ⋅ e x = − tge x ⋅ e x . x dx cos e

2. y=arctg(x2+1) Найти производную заданной сложной функции по х. dy 1 2x = ⋅ 2x = 4 2 dx 1 + x 2 + 1 x + 2x 2 + 2

(

)

Теперь перейдем к вопросу инвариантности первого дифференциала. В пункте 2.3 было показно, что если х есть независимая переменная функции y=f(x), то dy=f′(x)dx. Покажем, что эта формула справедлива и в том случае, когда аргумент х является дифференцируемой функцией некоторой новой переменной t. Это свойство дифференциала называется инвариантностью его формы. Итак, пусть дана функция y=f(x)∈C′(x) и x=ϕ(t)∈C′(t). Рассмотрим сложную функцию y=f[ϕ(t)]. Если рассматривать здесь t как независимую перемену, то по определению дифференциала функции dy={ f[ϕ(t)]}′dt.

(2.37)

Аналогично этому dx=ϕ′(t)dt

(2.38)

57

Используя теорему 2.6 и учитывая (2.38) равенство (2.37) можно переписать в виде dy=f′(x)dx

(2.39)

Итак, в любом случае дифференциал функции y=f(x) может быть записан в форме dy= f′(x)dx, будет ли х независимой переменной или нет. Разница будет в том, что если за независимую переменную выбрано t, то dx означает не произвольное приращение ∆х, а дифференциал х как функции от t. 2.7. Дифференцирование степенно-показательной функции и функций, заданных параметрически и в неявном виде Пусть задана степенно-показательная функция y=U(x)V(x), где U(x)>0 и U(x)∈C′(t), V(x)∈C′(t). Чтобы найти правило дифференцирования рассматриваемой функции, вычислим натуральный логарифм от у ln y=V(x)lnU(x). Далее имеем (ln y)′=(V(x)lnU(x))′ или

V(x) ⋅ U ' (x) y| . = V(x)' ln U (x) + U ( x) y

Отсюда окончательно получаем

(

y' = U (x)

V( x )

) = U (x) |

V( x )

  V(x)  V' (x) ln U (x) + U ' (x) U (x)  

(2.40)

Пример: y=xx. Найти y′. Согласно (2.40), имеем y′=xx(lnx+1).

Пусть теперь функция y=f(x) задана в параметрическом виде x=ϕ(t), y=ψ(t), 58

где ϕ(t)∈C′(t), ψ(t)∈C′(t). Тогда имеем y' =

dy ψ' (t )dt ψ ' (t ) . = = dx ϕ' (t )dt ϕ' (t )

(2.41)

Пример: y=sint, x=cost. Найти y′. Согласно (2.41) имеем dy (sin t ) cos t y = = = = −ctgt . ' dx (cos t ) − sin t '

'

В заключение рассмотрим неявном виде

случай функции y=f(x) заданной в

F(x,y)=0. Для нахождения y' =

(2.42)

dy в этом случае нужно обе части уравнения dx

(2.42) продифференцировать по х и найти y′ из полученного уравнения.

Пример:

x2 y2 + − 1 = 0 . Найти y′. 4 9

Согласно сказанному выше имеем:

y' = −

2x ⋅ 9 9x =− . 4 ⋅ 2y 4y

(2.43)

2.8. Производные и дифференциалы высших порядков Определение 2.5. Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b) и дифференцируема в точке x0∈(a,b). Если существует производная функции f′(x) в точке х0, то она называется второй производной функции f(x) в точке х0 и обозначается символом f′′(x0) или Итак согласно этому определению имеем 59

d 2 f (x) dx 2

. x = x0

f ' ' (x 0 )=

d 2 f (x) dx

[

]

= f ' (x)

2

|

= (y' (x 0 )) = y' ' (x 0 ) (2.44) |

x = x0

x = x0

Аналогично определяется производная y(n)(x0) любого порядка. Т.е. если в точке х0∈(a,b) существует производная функции y(n-1)(x0), то она называется производной функции y(x) порядка n в точке x0. При этом y

(n)

(x 0 ) = [

n −1 y (( x ) )

]

|

=f

(n)

x = x0

(x 0 ) =

d n f (x) dx n

(2.45) x = x0

Заметим, что под производной нулевого порядка нужно понимать саму функцию (y(0)=y). Определение 2.6. Функция y=f(x) называется n раз дифференцируемой на множестве {x}, если на этом множестве {x} она имеет производные до порядка n, включительно. Ниже сформулируем (без доказательства) теорему о вычислении производной n-го порядка от произведения и суммы двух функций, имеющих большое прикладное значение. Теорема 2.7. Пусть функции y1=f1(x) и y2=f2(x) определены в некоторой окрестности точки х0, имеют производные порядка n в точке x0. Тогда функции y1+y2=f1(x)+f2(x) и y1y2=f1(x)f2(x) также имеют производные порядка n в точке х0, причем

( y1 + y 2 ) ( n )

( y1 ⋅ y 2 )

(n)

n n n n = y1( ) + y 2( ) = f1( ) (x) + f 2( ) (x) ,

= (f1 (x) ⋅ f 2 (x))

(n)

n

= ∑ C in f1( i =0

n −i )

(x) ⋅ f2( i ) (x)

(2.46) (2.47)

где C in означает число сочетаний из n элементов по i и определяется формулой C in =

n! i !⋅ (n − i) !

(2.48)

Отметим, что формулу (2.47), которая называется формулой Лейбница, с учетом (2.48) можно переписать в виде

60

(y1 ⋅ y 2 ) ( n ) = (f1 (x) ⋅ f2 (x)) n (n − 1) ( n −2) + f 2!

(n)

1

n = f1( ) (x) ⋅ f 2 (x) + nf1n −1 (x) ⋅ f 2| (x) +

(x) ⋅ f (x)+...+f1 (x)f2 (x) (n)

2 2

(2.49)

Пример. Пользуясь формулой Лейбница, вычислить y(n), если y=f1(x)f2(x)=exx2. (n) n f1( ) (x) = (e x ) = e x , f 2| (x) = 2x , f 2|| (x) = 2 , Так как 3 4 n f 2( ) (x) = f 2( ) (x) =... = f 2( ) (x) = 0 , то согласно (2.49) имеем

n (n − 1) x (n) n y( ) = ex x2 = x 2e x + 2nxe x + 2 e = e x x 2 + 2nx + n (n − 1) . 2!

(

[

)

]

Ниже приведены формулы для вычисления производной порядка n некоторых функций (вывод этих формул без труда может выполнить читатель). 1. y=xα (x>0, α∈R), y(n)=α(α-1)(α-2)...(α-n+1)xα-n. 2. y=ax (0
(2.50) (2.51) (2.52) (2.53)

π 2

y(n)=sin(x+n ). 5. y=cosx,

(2.54) π 2

y(n)=cos(x+n ).

В заключение можно перейти к рассмотрению вопросу о дифференциалах высших порядков функции y=f(x). Пусть, функция y=f(x) дифференцируема в некоторой ∆ окрестности точки х0, т.е. f(x)∈C′{(x0-∆, x0+∆)}. Тогда дифференциал функции y=f(x) первого порядка имеет вид dy=f′(x)dx и является функцией двух переменных х и dx. Пусть далее y1=f′(x)∈C′{(x0-∆, x0+∆)} и dx имеет одно и то же фиксированное значение для ∀ ∈ (x0-∆, x0+∆). Тогда существует дифференциал функции dy=f′(x)dx в точке х0., которой обозначим символом d(dy) и который определяется формулой: ' d (dy ) = d [ f ' ( x )dx ] = [ f ' ( x )dx ] dx = f '' ( x0 )dxδx = f '' ( x 0 )dx 2 . x= x 0

x = x0

61

Определение 2.7. Значение d(dy) дифференциала от первого дифференциала dy, называют вторым дифференциалом функции u=f(x) в точке х0 и обозначают символом d2y=f′′(x0)(dx)2=f′′(x0)dx2.

(2.55)

Аналогично этому, имеем

(

d n y = d d n −1 y

)

x = x0

= f (n ) ( x 0 )dx n

(2.56)

Заметим, что до сих пор речь шла о случае, когда х является независимой переменной. В случае зависимой переменной х=ϕ(t) формулы дифференциалов при n>1 не сохраняют форму. Например: d 2 y = d (df ( x )) x = x = d ( f ' ( x)d x) x = x = d ( f ' ( x )) 0

0

f " ( x0 )dx 2 + f ' ( x0 )d 2 x

x = x0

dx + f ' ( x0 )d (dx) =

(2.57)

2.9. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум. Теорема о нуле производной (теорема Ролля) Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности U(x0) точке х0. Определение 2.8. Функция f(x) называется возрастающей в точке х0, если существует δ-окрестность Uδ(x0) точки х0 такая, что x < x 0 ⇒ f ( x ) < f ( x 0 )   0 ⇒ f ( x ) > f ( x 0 ) 

(U (x ) ⊂ U (x )) ∧ (∀x ∈ U (x ))x > x δ

0

0

δ

0

(2.58)

Определение 2.9. Функция f(x) называется убывающей в точке х0, если существует δ-окрестность Uδ(x0) точки х0 такая, что  x < x0 ⇒ f ( x ) > f ( x0 )   x > x0 ⇒ f ( x ) < f ( x0 )

(U δ ( x0 ) ⊂ U ( x0 )) ∧ (∀x ∈ U δ ( x0 ))

(2.59)

Определение 2.10. Точка х0 называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x), если существует такая δ-окрестность Uδ(x0) точки х0, что

62

(U (x ) ⊂ U (x )) ∧ (∀x ∈ U (x ) ⇒ f (x) ≤ f (x )) (U (x ) ⊂ U (x )) ∧ (∀x ∈ U (x )) ⇒ f (x) ≥ f (x )) δ

0

0

δ

0

δ

0

0

δ

0

0

(2.60)

0

Определение 2.11. Будем говорить, что функция y=f(x) в точке х0 имеет локальный экстремум, если она в точке х0 имеет либо локальный максимум, либо локальный минимум (рис. 2.3). y

max y=f(x)

min x1

0

x2

x

Рис. 2.3. Теорема 2.8. (лемма Ферма) (достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке) Если y=f(x)∈C′(x0) и f′(x0)>0(f′(x0)<0) то y=f(x) возрастает (убывает) в точке х0. Доказательство. Пусть f′(x0)<0 (случай f′(x0)>0 доказывается аналогично): Согласно определению (2.1) f ' (x 0 ) = lim

∆x →0

f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )

∆x

= lim

x→ x0

f (x) − f ( x 0 ) x − x0

.

Последнее, по определению предела функции по Коши, означает, что

(∀ε > 0)(∃δ > 0): (∀x ∈ U δ (x 0 ))(0 < x − x 0

Положим ε=-f′(x0)>0. Тогда имеем

63

< δ) ⇒

f (x) − f (x 0 ) x − x0

− f ' (x 0 ) < ε

f ( x) − f ( x 0 ) x − x0

− f ' (x 0 ) < − f ' (x 0 ) ⇔ 2f ' (x 0 ) <

f (x) − f (x 0 ) x − x0

< 0.

Таким образом получаем, что ∀x∈Uδ(x0) f ( x) − f ( x 0 ) x − x0

x − x 0 < 0 ⇒ f (x) − f (x 0 ) > 0 <0⇔  ⇔ x − x 0 > 0 ⇒ f (x) − f (x 0 ) < 0 x < x 0 ⇒ f ( x ) > f ( x 0 )  ⇔  x > x 0 ⇒ f ( x ) < f ( x 0 ) 

(2.61)

т.е. функция f(x) в точке х0 убывает. Заметим, что положительность (отрицательность) производной f′(x0) не является необходимым условием возрастания (убывания) дифференцируемой в точке х0 функции у=f(x). Например, функция y=x3 возрастает в точке х0=, но y′(0)=0. Теорема 2.9. (теорема Ферма) (необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции). Если функция y=f(x)∈C′(x0) и имеет в этой точке локальный экстремум, то f′(x0)=0 (рис. 2.3.) Дано: f(x)∈C′(x0). Доказать: f′(x0)=0. По условию теоремы существует f′(x0). Так как функция y=f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то она не может в этой точке не возрастать не убывать. Следовательно, по теореме 2.8 f′(x0) не может быть ни положительной, ни отрицательной, т.е. f′(x0)=0. Теорема 2.10. (теорема Ролля или теорема о нуле производной). Если функция y=f(x) определена и непрерывна на сегменте [a;b], дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и f(a)=f(b), то внутри сегмента найдется точка ξ, что f′(ξ)=0. Дано: f(x)∈C([a,b]), f(x)∈C′((a,b)), f(a)=f(b). (2.62) Доказать: ∃ξ∈(a,b), а′(ξ)=0. Так как по условию теоремы f(x)∈С[a,b], то по теореме Вейерштрассе (теорема 1.1.33) f(x) на [a,b] достигает своих точных верхней и нижней граней M и m. Может быть m=M и M>m. Рассмотрим эти два случая по отдельности. 1. m=M. Тогда очевидно, что f(x)=m=M=const. Отсюда следует, что 64

f′(x)≡0 для ∀х∈[a,b]. 2. M>m В этом случае согласно (2.62) хотя бы одно из двух значений m и M достигается во внутренней точке ξ на сегменте [a,b]. Но тогда в точке ξ функция f(x) имеет локальный экстремум и по теореме Ферма (теорема 2.9) f′(ξ)=0 (рис. 2.4). y y=f(x)

y=f(x)

0

a

ξ

ξ

b

x

Рис. 2.4. 2.10. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Обобщенная формула конечных приращений (теорема Коши) В этом пункте теорему Лагранжа и теорему Коши сформулируем в символической форме. Теорема 2.11. (теорема Лагранжа). [(f(x)∈C[a,b])∧(∀x∈(a,b) ∃f′(x)]⇒[∃ ξ∈(a,b) : f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)] (2.63) Доказательство. Рассматривая на (а,b) вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-

f (b ) − f (a ) b −a

(x − a )

замечаем, что для нее выполнены все условия теоремы Ролля, т.е.: 1. F(x)∈C)[a,b]) 2. ∃F′(x)=f′(x)-

f (b ) − f (a ) b −a

для ∀x∈(a,b)

3. F(a)=F(b)=0. Тогда ∃ξ∈(a,b) такая, что F′(ξ)=0, т.е. F′(ξ)=f′(ξ)-

f (b ) − f (a )

65

b −a

=0.

Из последнего следует, что f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).

(2.64)

Формула (2.64) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Если ее записать для сегмента [x0,x0+∆x], где x0∈[a,b], x0+∆x∈[a,b], то получим формулу конечных приращений в другом виде f(x0+∆x)-f(x0)=f′(ξ)∆x.

(2.65)

где ξ∈(x0,x0+∆x). Введя величину 0<θ<1 и имея ввиду, что ξ=х0+θ∆х, (2.65) можно переписать в виде f(x0+∆x)-f(x0)=f′(x0+θ∆x)∆x

(2.66)

Отметим также, что на рисунке 2.5 приведена геометрическая иллюстрация теоремы Лагранжа.

y

0

a

ζ

x Рис. 2.5.

Теорема 2.12. (теорема Коши). [(f(x)∈C([a,b]))∧(g(x)∈C([a,b]))∧(∀x∈(a,b)(∃f′(x))∧(∃g′(x))∧  f (b ) − f (a )

∧(∀x∈(a,b)g′(x)≠0)]⇒(∃ξ∈(a,b)): 

 g(b ) − g(a )

66

=

f ' (ξ)  . g' (ξ) 

Доказательство. Нетрудно заметить, что g(a)≠g(b). Если предположить, что g(a)=g(b), то по теореме Ролля ∃ξ∈(a,b), где g′(ξ)=0. А это противоречит условию теоремы g′(x)≠0 для ∀x∈(a,b).

Теперь, создавая вспомогательную функцию F (x) = f (x) − f (a ) −

f (b ) − f (a )

g(b ) − g(a )

[

]

⋅ g(x) − g(a ) ,

заметим, что для нее выполнены все условия теоремы Ролля. Последнее означает, что ∃ξ∈(a,b) такая, что F′(ξ)=0. Отсюда f ' (ξ ) −

или

f (b ) − f (a )

g(b ) − g(a )

f (b ) − f (a )

g(b ) − g(a )

=

⋅ g' (ξ ) = 0

f ' (ξ )

g' ( ξ )

.

(2.67)

Формула (2.67) называется обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши. В заключение этого пункта отметим, что формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши для g(x)=0. 2.11. Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя) В первом разделе при изучении вопросов, касающихся пределов функций, мы говорили о неопределенностях различных типов. Оказывается, что их раскрытие облегчается, если пользоваться правилом Лопиталя. Ниже приводится первое и второе правило Лопиталя без доказательств, причем они сформулируются в виде теорем в символической форме. Теорема

2.13.

(первое

правило

0 неопределенностей типа   ). 0 

67

Лопиталя

для

раскрытия

[

((

) (

))]

) (

 (∀x ∈ U (a ) ) ∃f ' ( x ) ∧ ∃g ' ( x ) ∧ g ' ( x ) ≠ 0 ∧      ⇒ f ' (x )  f ( x ) = lim g ( x ) = 0 ∧  ∃ lim '  ∧ lim  x→a x→a  x→a g ( x )    '  f (x )   f (x ) f ( x )   ∧  lim ⇒  ∃ lim = lim '  x→a g ( x )   x →a g ( x ) x→ a g ( x )  

(

Теорема

2.14.

)

(второе

правило

(2.68)

Лопиталя

для

раскрытия

∞ неопределенностей типа   ). ∞

[

((

) (

) (

))]

 (∀x ∈ U (a )) ∃f ' ( x ) ∧ ∃g ' ( x ) ∧ g ' ( x ) ≠ 0 ∧      ⇒ f ' (x )  f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ ∧  ∃ lim '  ∧ lim  x→a x→a  x→a g ( x )    '  f (x )   f (x ) f ( x )   ∧  lim ⇒  ∃ lim = lim '  x→a g ( x )   x → a g ( x ) x →a g ( x )  

(

)

(2.69)

Заметим, что если производные функций f(x) и g(x) до порядка n-1 обладают теми же свойствами, что и функции f(x) и g(x), то правила Лопиталя можно применить n раз, т.е. lim x →a

f ( x)

g(x)

= lim x →a

f ' (x)

g' (x)

= lim x →a

f '' (x)

g' ' (x)

n f ( ) (x)

=... = lim ( n ) (2.70) x →a g ( x)

Примеры. 4x 3 x4 0  0  lim = = = = 2   x →0 x + 2 cos x − 2  0  x→0 2x − 3 sin x  0  12x 2 24x 24 0  0  = lim =   = lim =   = lim = 12 x →0 2 − 2 cos x  0  x→0 2 sin x  0  x→0 2 cos x ln x  ∞  1 =0 1. lim 2 =   = lim 2 x → +∞ x  ∞  x →+∞ 2 x 1. lim

Отметим, что кроме неопределенностей

0  0   

и

∞ ∞  

часто

встречаются и неопределенности вида [0⋅∞], [∞-∞], [1∞], [∞0], [00].Все эти неопределенности так или иначе сводятся к изученным выше двум неопределенностям, к которым можно применить правила Лопиталя. 1. Неопределенность вида [0⋅∞]. Пусть lim f (x) = 0 и lim g(x) = ∞ . x →a

x →a

68

Тогда lim f (x)g(x) = [0 ⋅ ∞] = lim x →a x →a

f ( x)  0  =   и дальше можно применить 1 0  g(x)

первое правило Лопиталя. 2. Неопределенность вида [∞-∞]. Пусть lim f (x) = ∞ и lim g(x) = ∞ . x →a

x →a

1 1   −   g(x) f (x)  0  1 1  Тогда lim(f (x) − g(x)) = [ ∞ − ∞] = lim  − = lim =  x →a x →a  1 1  x →a 1 1 0  ⋅   f x g x f x g x ( ) () ()  ( )

и дальше можно применить первое правило Лопиталя. 3. Неопределенности вида [1∞], [∞0], [00]. Пусть lim f (x) = ∞ (f(x)>0) и lim g(x) = 0 . x →a

x →a

Тогда lim f (x)

g( x)

x →a

[ ]

= ∞0 ,

т.е. имеем неопределенность вида [∞0]. Чтобы раскрыть ее, сначала рассмотрим предел натурального логарифма от f(x)g(x), т.е. lim ln f (x)

g( x )

x →a

= lim g(x) ln f (x) = [0 ⋅ ∞] . x →a

Отсюда видно, что мы приходим к неопределенности вида [0⋅∞], которую умеем раскрыть с помощью правил Лопиталя. Аналогично поступаем и в случаях неопределенностей вида [1∞] и [00]. Примеры. 1 x 2 cos 2 x − sin 2 x = ∞ − ∞ = lim ] x→0 x 2 sin 2 x =  [ x2  sin x  x cos x + sin x x cos x − sin x x cos x − sin x  = lim lim = lim  cos x + lim =  2 x →0 x →0 x →0  x x  x →0 x sin x x sin 2 x  2 1. lim  ctg x − x →0 

−x cos x − x sin x − cos x x cos x − sin x  0  = = 2 lim =   = 2 lim 2 2 x → 0 x → 0 2x cos x + sin x 2x sin x cos x + sin x x sin x 0  1 2 0  =− =   = −2 lim x →0 3osx − 2x sin x 3 0  = 2 lim x →0

1

 sin x  1−cos x y = lim  = 1∞ 2. lim  x →0 x →0  x 

[ ] (0 < x ≤ π) . 69

1

sin x  1−cos x ln sin x − ln x Возьмем ln y = ln  = .   x  1 − cos x

Тогда cos x 1 − ln sin x − ln x  0  x x = lim x cos x − sin x = − 1 sin lim ln y = lim =   = lim x →0 x →0 x → 0 x →0 1 − cos x 3 sin x x sin 2 x 0 

и 1 lim ln y = − . x →0 3 −

1 3

Отсюда lim y = e . x →0

2.12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша, Лагранжа, Коши и Пеано В данном пункте мы будем затрагивать вопросы, связанные с представлением функции y=f(x) в виде сумм степенных функций (аппроксимация функции y=f(x) степенными функциями). На эти важные для практики вопросы дает ответ теорема Тейлора, которую приведем без доказательства. Теорема 2.15. Если функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка n+1 (n любой фиксированной номер), х есть любое значение аргумента из указанной окрестности, р есть произвольное положительное число, то между точками а и х найдется точка ξ такая, что справедлива формула f (x) = f (a ) +

f ' (a ) 1!

(x − a ) +

f '' (a ) 2!

(x − a )

где x−a R n +1 (x) =    x − ξ

p

2

+... +

n f ( ) (a )

n!

(x − ξ) n +1 ⋅ f ( n +1) n !⋅ p

(x − a ) n + R n +1 (x) , (2.71)

(ξ) (2.72)

Формула (2.71) называется формулой Тейлора с центром в точке а, а (2.72) называется остаточным членом в форме Шлемильха-Роша. Ниже приведем и другие формы остаточного члена Rn+1(x) в формуле Тейлора. 1. Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: n +1 x − a) ( n +1 R n +1 (x) = f ( ) [a + θ(x − a )] , (2.73) (n + 1) !

70

где 0<θ<1. 2. Остаточный член в форме Коши имеет вид: R n +1 (x)

n +1 n x − a ) (1 − θ) ( n +1 = ⋅f( )

n!

[a + θ(x − a )] .

(2.74)

3. Остаточный член в форме Пеано имеет вид

[

R n +1 (x) = 0 (x − a )

n

].

(2.75)

Отметим, что последняя форма Rn+1(x) показывает, что Rn+1(x) бесконечно малая при х→а более высокого порядка малости, чем (x-a)n. 2.13. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Формулой Маклорена называют формулу Тейлора с центром в точке а=0, т.е. формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х=0. Ниже приведем формулу Маклорена и разные виды остаточного члена Rn+1(x). Итак имеем: f (x) = f (0) +

где

f ' (x) 1!

x+

f '' (0) 2!

x +... + 2

n f ( ) (0)

n!

x n + R n +1 (x) , (2.76)

(θx) ⋅ x n +1 (форма Лагранжа), (2.77) (n + 1) ! n +1 f ( ) ( θx ) n R n +1 (x) = ⋅ (1 − θ) x n +1 (форма Коши), (2.78) (n + 1) ! R n +1 (x) = 0(x n ) (форма Пеано). (2.79) R n +1 (x) =

f(

n +1)

Пользуясь (2.76) можно без труда получить разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена. Ниже приведем эти разложения. x x2 x3 xn 1. e = 1 + + + +... + + R n +1 (x) (2.80) 1! 2! 3 ! n! x

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид 71

R n +1 (x) =

e θx ⋅ x n +1 , (n + 1) !

причем на любом сегменте [-ε; ε] (ε>0) ε θx R n +1 (x) < ⋅ eε . (n + 1) !

2. sin x = x −

x3 x5 x 7 x 2n +1 n + − +... +( −1) ⋅ +R (x) , (2.81) 3! 5! 7! (2n + 1) ! 2n +3

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: R 2n +3 (x) = ( −1)

n +1

cos θx

x 2n +3 , (2n + 3) !

причем на любом сегменте [-ε; ε] (ε>0) R 2 n + 3 ( x) ≤

ε 2n +3 . (2n + 3) !

2n x2 x4 x6 n x 3. co s x = 1 − + − +... +(−1) +R (x) , (2.82) 2! 4 ! 6! (2n ) ! 2n +2

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: R 2n +2 (x) = ( −1) cos θx n

x 2 n +2 , (2n + 2) !

причем на любом семщение [-ε; ε] (ε>0) ε 2n +2 R 2 n + 2 ( x) ≤ . (2n + 2) !

4. ln (1 + x) = x −

n x2 x3 x4 n −1 x + − +... +( −1) + R n +1 (x) , (2.83) 2 3 4 n

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид n ( − 1) x n +1 Rn +1 ( x ) = (n + 1)(1 + θx )n+1

5.

72

α

(1 + x) α = 1 + 1! x +

α(α − 1)

+ R n +1 (x)

2!

x 2 +... +

α(α − 1)(α − 2)... (α − n + 1) n!

xn +

(2.84)

где есть вещественное число, а остаточный член Rn+1(x) в форме Лагранжа имеет вид R n +1 (x) =

6.

α(α − 1)(α − 2)... (α − n )

(n + 1) !

arctgx = x −

(1 + θx) α −( n +1) x n +1

2 n +1 x3 x5 n +1 x + −... +( −1) + R 2n +3 (x) , 3 5 2n + 1

(2.85)

где остаточный член в форме Пеано имеет вид

(

)

R 2 n + 3 (x) = 0 x 2 n +3 .

В заключении этого пункта отметим, что разложения элементарных функций по формуле Маклорена имеют большое практическое значение. Например, с их помощью можно вычислить пределы, интегралы, а также выполнить приближенные вычисления. Пример. Вычислить lim x →0

e sin x − e tgx

(

x 3 1 + sin 3 x

)

(2.86)

Так как в знаменателе старшая степень х - третья, то в числителе нужно учитывать степени, не выше третьей. Если пользоваться разложениями (2.81), (2.82), то получим

( )

1 e sin x = 1 + x + x 2 + 0 x 3 , 2 1 1 e tgx = 1 + x + x 2 + x 3 + 0 x 3 2 2

( )

Подставляя последние разложения в (2.86), имеем

( ) )

1 − x3 + 0 x3 1 e −e lim 3 = lim 32 =− . 3 3 x →0 x →0 2 x 1 + sin x x 1 + sin x sin x

(

tgx

(

)

Отметим, что при решении этого примера использование правила Лопиталя было бы затруднительным, в то время как применение формулы Маклорена опиралось только на известные разложения элементарных функций. 73

2.14. Интервалы монотонности и точки экстремума функции Напомним, что функция называется возрастающей (убывающей) или строго монотонной в интервале, если в любой его точке при ∆х>0 ∆f(x)>0 (∆f(x)<0) или при ∆x<0 ∆f(x)<0 (∆f(x)>0). Для возрастающей функции ∆х и ∆f(x) одного знака, а для убывающей - разных. Функция называется неубывающей (невозрастающей) или монотонной на интервале, если в каждой его точке при ∆х>0 ∆f(x)≥0 (∆f(x)≤0) или при ∆х<0 ∆f(x)≤0 (∆f(x)≥0). Теорема 2.16. (необходимое и достаточное условие монотонности функции на интервале). Функция y=f(x), дифференцируемая на интервале, неубывает (невозрастает) или монотонна на этом интервале тогда и только тогда, когда ее производная f′(x)≥0 (f′(x)≤0) во всех точках интервала. Теорему докажем для случая неубывающей функции (для невозрастающей функции теорема доказывается аналогично). Необходимость. Дано: f(x) неубывающая на интервале. Доказать: f′(x)≥0 на интервале. Так как функция y=f(x) неубывающая, то в каждой точке интервала справедливо неравенство Следовательно, lim

∆x →0

∆f (x) ∆x

∆f (x) ∆x

≥ 0.

= f ' ( x) ≥ 0 .

Достаточность: Дано: f′(x)≥0 на интервале. Доказать: f(x) неубывающая на интервале. Запишем приращение функции ∆f(x), Лагранжа (2.66), переписав ее в виде

используя

формулу

∆f(x)=f′(x+θ∆x)∆x, (0<θ<1). Отсюда видно, что если ∆х>0 и f′(x)≥0, то ∆f(x)≥0, а если ∆х<0 и f′(x)≥0, то ∆f(x)≤0. Таким образом, при f′(x)≥0 функция f(x) неубывающая. Теорема 2.16. указывает на то, что знак производной характеризует поведение функции, ее возрастание (неубывание) или убывание (невозрастание). Другими словами смена знака производной функции является признаком изменения характера поведения функции в этом аспекте. Точки, в которых непрерывная функция от возрастания переходит к убыванию или наоборот, и являются точками экстремума. 74

Заметим, что если в точке х0 функция f(x) имеет экстремум и она дифференцируема в точке х0, то, как уже было показано ранее (см. теорему Ферма 2.9), f′(x)=0. Но можно привести пример и функций, непрерывных и не дифференцируемых в точке х0 и имеющих экстремум в точке х0. Пример. Исследуем поведение функции f ( x ) =

точки х0=0. Так как f′(x)=

2 33 x

3

x 2 вокруг

, то ясно, что f′(x<0)<0 и f′(x>0)>0, т.е.

точка х0=0 является для функции f (x) = 3 x 2 точкой минимума, хотя не существует f ' (x) x =0 . Таким образом, обобщенное необходимое условие экстремума функции f(x) может быть сформулировано так: если в точке х0 функция f(x) имеет экстремум, то в этой точке или f′(x0)=0, если функция дифференцируема в точке х0, или f′(x) вообще не существует. Точки, в которых f′(x0)=0 или f′(x) не существует, называются критическими. Теорема 2.17. (достаточное условие экстремума функции). Если функция f(x) непрерывна в точке х0, дифференцируема в ее окрестности и при переходе через точку х0 ее производная f′(x) меняет знак, то точка х0 является точкой экстремума, причем, если f′(x<x0)<0 и f′(x>x0)>0, то точка х0 есть точка минимума, а если f′(x<x0)>0 и f′(x>x0)<0, то точка х0 есть точка максимума (рис. 2.6) f(x)

max f'(x)>0

f'(x)<0 f'(x)<0 f'(x)>0

min

0

x

Рис. 2.6. 2.15. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба Определения 2.12. График дифференцируемой функции f(x) на интервале (a;b) имеет выпуклость, направленную вверх (вниз), если в

75

пределах этого интервала он лежит не выше (не ниже)любой своей касательной (рис. 2.7). f(x)

выпуклость вниз

выпуклость вверх

f''(x)≥ 0

f''(x)≤ 0

x

0

Рис. 2.7. Теорема 2.18. Если на интервале (a;b) функция f(x) дважды дифференцируема и f′′(x) неположительна (неотрицательна), то график функции f(x) на (a;b) имеет выпуклость направленную вверх (вниз) (рис. 2.7). Определение 2.13. Точка (x0,f(x0)) графика функции f(x) называется точкой перегиба, если существует окрестность точки х0, в которой график функции слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпуклости. В такой точке график функции переходит через касательную (рис. 2.8). f(x) (x 0 ,f(x0 ))

x0

x

Рис. 2.8. Теорема 2.19. (необходимое условие точки перегиба). Если точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба графика функции f(x), которая в этой точке имеет непрерывную производную второго порядка f′′(x), то f '' (x) x = x = 0 . 0

Доказательство. Дано: точка М0(х0,f(x0)) - точка перегиба. Доказать: f '' (x) x = x = 0 . 0

Предположим, что f '' (x) x = x ≠ 0 . Тогда в некоторой окрестности 0

точки х0 f′′(x) сохранит знак, а, следовательно, слева и справа от точки х0 76

выпуклость графика будет иметь одинаковое направление и точка М0(х0,f(x0)) не будет точкой перегиба. Значит предположение f '' (x) x = x ≠ 0 ложно, в то время как f '' (x) x = x = 0 - истинно.

0

0

Теорема 2.20. (достаточное условие точки перегиба). Если функция f(x) дифференцируема в точке х0 и дважды диффернцируема в некоторой δ окрестности этой точки, и если слева и справа от точки х0 f′′(x) имеет разные знаки, то точка М0(х0,f(x0)) для графика функции f(x) является точкой перегиба. Доказательство. Дано: f(x)∈C′(x0), f(x)∈C′′(Uδ(x0)), f′′(x<x0)>0 и f′′(x>x0)<0, или f′′(x<x0)<0 и f′′(x>x0)>0. Доказать: М0(х0,f(x0)) - есть точка перегиба. Так как функция f(x) дифференцируема в точке х0, то график функции f(x) в точке М0(х0,f(x0)) имеет касательную. Смена знака у f′′(x) при переходе через точку х0 говорит о том, что слева и справа от этой точки выпуклость графика имеет разные направления. Т.е. точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба. Теорема 2.21. (достаточное условие экстремума и перегиба, связанное с высшими производными функции). Пусть n - некоторое целое положительное число, и пусть функция y=f(x) имеет в некоторой окрестности точки х0 производную порядка n+1, причем указанная производная непрерывна в точке х0. Пусть, далее, справедливы следующие соотношения: f(2)(x0)= f(3)(x0)=...= f(n)(x0)=0 и f(n+1)(x0)≠0. Тогда, если n+1 - нечетное число, то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке М0(х0,f(x0)). Если же n+1- четное число М, кроме того f′(x0)=0, то функция y=f(x) имеет локальные экстремум в точке х0, точнее, максимум, если f(n+1)(x0)<0, и минимум, если f(n+1)(x0)>0.

2.16. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построения ее графика

77

Определение 2.14. Прямая х=х0 называется = ∞(− ∞ ) . асимптотой графика функции f(x), если x→lim x +0

вертикальной

0

( x → x0 ± 0 )

Из определения (2.14) следует, что если функция f(x) в точке х0 имеет вертикальную асимптоту, то она является для функции f(x) точкой разрыва второго рода. Определение 2.15. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции f(x), если f(x)=kx+b+α(x), где α(х) - б.м.ф. при х→+∞ (х→-∞). Заметим, что частным случаем наклонных асимптот являются горизонтальные асимптоты в случае, если к=0 (у=b). Теорема 2.22. (необходимое и достаточное условия наклонной асимптоты). Прямая Y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой графика функции f(x) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы lim

f (x) x

x →∞

( x→−∞ )

= k , lim (f (x) − kx) = b . x →∞

(2.87)

( x→−∞ )

Доказательство (в случае правой асимптоты). Необходимость: Дано: f(x)=kx+b+α(x), lim α(x) = 0 . x →+∞

Доказать: ∃ lim

f (x)

x →+ ∞

x

= k, ∃ lim (f (x) − kx) = b . x →+ ∞

Имеем lim

x →+∞

f (x)

= lim

x

kx + b + α(x) x

x→+∞

 b α(x)   = k, = lim  k + + x→+∞ x x  

lim (f (x) − kx) = lim ( kx + b + α(x) − kx) = b ,

x →+∞

x→+∞

что и требовалось доказать.

Достаточность: Дано: lim

x →+ ∞

f ( x) x

= k,

lim (f (x) − kx) = b .

x →+ ∞

Доказать: f(x)=kx+b+α(x), где 78

lim α(x) = 0 .

x →+∞

Из условия теоремы имеем lim (f (x) − kx) = b ⇒ f (x) − kx = b + α(x) ,

x →+∞

где α(x) - б.м.ф. при х→+∞. Следовательно, f(x)=kx+b+α(x), что и требовалось доказать. Отметим, что геометрическое свойство любой ассиммптоты заключается в том, что расстояние между точками графика функции и точками прямой (асимптотой) стремятся к нулю при удалении от начала координат. График функции как бы “сливается” с прямой, бесконечно к ней приближаясь. Отметим также, что график функции может любое количество раз пересекать асимптоту. Ниже приведем схему исследования функции f(x) и построения ее графика с помощью дифференциального исчисления, которая включает в себя выполнение следующих основных этапов: 1. Нахождение области определения функции, определение точек пересечения графика функции с осями координат, определение четности, нечетности, периодичности функции, нахождение точек разрыва функции. 2. Определение поведения функции на ±∞. 3. Нахождение асимптот графика функции (вертикальных, наклонных, горизонтальных). 4. Определение интервалов монотонности, точек экстремумов функции, нахождение значений функции в точках экстремумов. 5. Определение интервалов сохранения направления выпуклости графика функции, нахождение точек перегиба и значений функции в них. Далее на основании проведенных исследований можно довольно точно представить график исследуемой функции.

79

Примеры Пример 1. Найти f '(x) с помощью определения производной, если а) f(x)=sin(x2), б) f(x)=ln(2x2+2). Решение: а) Согласно определению 2.1 имеем ( x + ∆x) 2 − x 2 ( x + ∆x) 2 + x 2 ⋅ cos sin sin(x + ∆x) 2 − sin x 2 ' 2 ' 2 2 = 2 lim = f ( x) = (sin x ) = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x

2x ⋅ ∆x + (∆x)2 sin 2x2 + 2x ⋅ ∆x + (∆x)2 2 = 2 lim ⋅ lim cos . ∆x→0 ∆x→0 ∆x 2 Если теперь учитывать, что sin

2 x ⋅ ∆x + (∆x) 2 2 x ⋅ ∆x + (∆x) 2 ~ при ∆x → 0 и 2 2

lim cos

∆x→0

2x2 + 2x ⋅ ∆x + (∆x)2 = cosx2 , то получим 2

2x ⋅ ∆x + (∆x)2 ⋅ cosx2 = 2x cosx2 f (x) = (sinx ) = 2 lim ∆x→0 2 ⋅ ∆x '

2 '

Ответ: (sinx2)’ = 2xcosx2 Решение: б) пользуясь определением 2.1 с учетом того, что ln(1+α) ~α при α→0, имеем ln[3( x + ∆x) 3 + 2] − ln(3x 3 + 2) ' ' 3 = f ( x) = ln (3x + 2) = lim ∆x→0 ∆x  3x3 + 9x 2 ⋅ ∆x + 9x ⋅ (∆x) 2 + (∆x)3 + 2   ln 3 3 2 x + = = lim  ∆x→0 ∆x

80

 9x 2 + 9x∆x + (∆x) 2   ln1 + ∆x 3x 3 + 2 9x 2 + 9x∆x + (∆x) 2 9x 2   = lim = lim = 3 . ∆x→0 ∆x→0 ∆x 3x 3 + 2 3x + 2

Ответ:

f ' ( x) = ln ' (3x 3 + 2) =

9x 2 . 3x 3 + 2

Пример 2. Найти производную функции y=f(x), если она задана: а) в явном виде (y=f(x)= ln  tg 3 + 1 );   x 6

 3   y = 2t   б) в параметрической форме   e +1  ; −2 t  x = 4 − e 

в) в неявном виде (3x+y-xyln3=15).

Решение: а) пользуясь правилами элементарных и сложных функций, имеем

y ' = f ' ( x) = ln ' (tg 3

x + 1) = 6

дифференцирования

sin 2

x 1 1 1 1 . ⋅ 3tg 2 ⋅ ⋅ = ⋅ 6 2  3 x 2 x 6 4 x  3 x tg +1 cos cos ⋅  tg + 1 6 6 6  6 

x sin 2 x   6 ln '  tg 3 + 1 = . x 6   2 cos 4 ⋅  tg 3 x + 1   6  6 

Ответ:

Решение: б) Согласно (2.41) имеем

dy y ' (t ) − 6e 2t 3e 4t y = = = = − 2t . dx x ' (t ) (e 2t + 1) 2 ⋅ (−2) ⋅ (−e −2t ) (e + 1) 2 '

Ответ:

x 6

3e 4t . y = − 2t (e + 1) 2 '

81

Решение: в) Продифференцировав обе части уравнения, имеем 3 x + y (1 + y ' ) − y ln 3 − x ln 3 y ' = 0 ' Отсюда, решая последнее относительно y , получим

y − 3 x+ y y = x+ y . 3 −x '

Ответ:

y − 3 x+ y y = x+ y . 3 −x '

Пример 3. Исследовать функцию f(x) и построить ее график, если: а) f(x)=

x2 + 4 , б) f(x)= 3 x 2 (x − 5) . 4x

Решение: а) f ( x) =

x2 + 4 4x

1. Данная функция определена для -∞<x<0 U 0<x<∞. Так как f ( x) =

x2 + 4 ≠ 0 ни при каком значении x и функция не определена при 4x

x=0, то график этой функции не пересекается с координатными осями (−x) 2 + 4 x2 + 4 =− = − f (x). Ox и Oy. Функция нечетная, так как f (−x) = − 4x 4x Значит, график функции симметричен относительно начала координат. Функция не является периодической. Точка x=0 есть точка разрыва второго рода. 2. Функция стремится к ± ∞ при x → ± ∞ , так как x 2 + 4x 1 4 lim f ( x) = lim = lim x(1 + ) = ±∞ x →±∞ 4x 4 x→±∞ x x →±∞

3. График функции имеет вертикальную асимптоту x=0 (ось Оy), потому что x2 + 4 = ±∞ x→0±0 4 x

lim f ( x) = lim x→0±0

Для нахождения наклонной асимптоты, вычисляем предел 82

x2 + 4 1 4 1 = lim (1 + 2 ) = = k , lim f ( x) = lim x→±∞ 4 x ⋅ x 4 4 x→±∞ x x→±∞

lim ( f ( x) − kx) = lim (

x→±∞

x→±∞

Значит, прямая y =

1 x2 + 4 x x2 + 4 − x2 − ) = lim = lim = 0 = b x→±∞ x 4x 4x 4 x→±∞

x является наклонной асимптотой для графика 4

данной функции. 4. Вычисляя производную первого порядка данной функции и приравнивая к нулю, получим x2 + 4 ' 1 x2 − 4 f ( x) = ( ) = ⋅ 2 = 0 ⇒ x2 − 4 = 0 ⇒ x1 = −2, x2 = 2. 4x 4 x '

То есть, необходимое условие экстремума дифференцируемой функции выполняется в точках x1 =-2, x2 = 2. И так как f’(x < -2) >0 f’(x < 2) < 0

f’(x > -2) < 0, f’(x > 2) > 0,

и и

то согласно достаточному условию экстремума в точке x1 =-2 функция имеет максимум (fmax = f (-2) = -1), а в точке x2 = 2 функция имеет минимум (fmin = f (2) = 1). Нетрудно заметить, что при x < -2 и x > 2 f’(x) >0 и функция монотонно возрастает, а при –2 < x < 0 и 0 < x < 2 f’(x) < 0 и функция монотонно убывает. 5. Для определения интервалов сохранения направления выпуклости и точек перегиба графика функции, вычислим вторую данной функции. Имеем: производную f’’(x) '

 x2 − 4  2  = 3 . f ( x ) =  2 x  4x  "

83

2 ≠ 0 ни при одном значении x, то график данной x3 2 " функции не имеет точек перегиба. Для значений x < 0 f ( x ) = 3 〈 0 и x

" Так как f ( x) =

график имеет направление выпуклости вверх, а для значений x > 0

f " ( x) =

2 〉 0 и график имеет направление выпуклости вниз. x3

В заключении, пользуясь полученными результатами можно построить график функции (рис. 2.9.)

Рис. 2.9.

Решение: б) f ( x) = 3 x 2 ( x − 5) 1. Данная функция определена и непрерывна для всех -∞<x<∞. Так как f ( x) = 3 x 2 ( x − 5) = 0 при x1=0 и x2=5, а f (0) = 0 , то график данной функции пересекает ось Оx при x1=0 и x2=5, а ось Оy при x=0. Функция не обладает четностью. Она не является периодической. 2. Так как lim f ( x) = lim 3 x 2 ( x − 5) = ±∞ , x→±∞

x→±∞

то нет горизонтальных асимптот y графика данной функции.

84

3. В силу непрерывности функции для x ∈ R ее график не имеет вертикальных асимптот. Для нахождения наклонных асимптот вычислим предел

3 f ( x) x 2 ( x − 5)  5 = lim = lim 3 x 2 1 −  = ∞. lim x→±∞ x→±∞ x→±∞ x x  x

Последнее указывает на то, что график функции не имеет наклонных асимптот. 4. Вычислим производную первого порядка данной функции f ( x) = '

[ x (x − 5)] = 2(3x −x5) + 3

2

'

3

3

x2 =

5 x − 10 . 33 x

Из полученного выражения следует, что f’(2)=0 и f’(0) не существует. То есть точки x1 =2, x2 = 0 являются точками возможного экстремума функции. Пользуясь достаточными условиями экстремума, устанавливаем, что при x1 = функция имеет минимум (fmin = f (2) = − 33 4 ), а при x2 = 0 функция имеет максимум (fmax = f (0) = 0) . Функция монотонно возрастает при x < 0 и x > 2, и монотонно убывает при 0 < x < 2. 5. Вторая производная данной функции имеет вид '

10 x + 1  5 x − 10  . f ( x) =  3 ⋅3  = 4 9  3 x  x "

Так как

f " ( x) =

10 x + 1 ⋅3 = 0 при x = -1 и f " ( x 〈− 1) 〈 0 , а 4 9 x

f " ( x 〉 − 1) 〉 0 , то точка (-1;-6) является точкой перегиба графика данной функции. Для x < -1 – направление выпуклости графика вверх, для x > -1 – направление выпуклости графика вниз. На основании полученных выше результатов, теперь можно построить график данной функции (рис. 2.10.).

85

Рис. 2.10.

Тест 86

Используя правила Лопиталя, вычислить пределы: e 2x − 1 . x →0 ln (1 + 2x )

1. lim а) 0; б) ∞; в) 2; г) 1.

2. lim x

1 1− x

x →1

.

а) 1; б) е; в)

1 ; е

г) ∞. 1

3. lim(2x + x) x . x →0

а) 1; б) е2; в) e 3 ; г)

1 . e

Найти точки экстремума функции: 4. y=xlnx. а) e(max); 1 (min); e 1 в) 2 (max); e

б)

г) 1(max). 5. y=1- 3 (x − 4) . 2

а) 0(min); б) нет; в) 4(max); г) 2(min).

87

6. y =

3 − x2 . x+2

а) -3(min);-1(max); б) 3 (min);0(max); в) -3(max;1(min); г) нет. Найти абсциссы точек перегиба графика функции. 7. y =

1 2 − 2. 4 x x

а) 1;-1; б)

5 5 ;- ; 3 3

в)

3 3 ;- ; 5 5

г) 2;-2. 8. y =

e ⋅ ln x . x

а) e ; б) 1; в) e 3 ; г) e. Найти вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты функции 9. y=

3 − 4x 2 . x+2

а) х=-1; у=-4х-8; б) х=-2; у=-4х+8; в) х=-3; у=-2х+8; г) х=4; у=х+8.

10. y=2arctg x -

x 2 + 3x . x−4

а) x=3; y=-x+π; б) x=4; y=-x+π-1; y=-x-π-1; в) x=-2; y=x+π; г) x=1; y=x.

88

Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 3.1. Определение m-мерного евклидова пространства и области Определение 3.1. Координатное пространство Am называется mмерным евклидовым пространством Еm, если между любыми точками M′(x1′, x2′,... ,xm′) и M′′(x1′′, x2′′,... ,xm′′) координатного пространства Am определено расстояние ρ(М′,М′′) по формуле ρ(M ', M '') =

(x

'' 1

− x1|

) + (x 2

'' 2

)

2

(

− x |2 +... + x ''n − x |n

)

2

.

Определение 3.2. Множество {M} пространства Еm называется открытым множеством, если любая точка М(х1, х2,... хm) этого множества входит в него вместе со своей малой окрестностью. Определение 3.3. Если каждая граничная точка множества {M} является точкой этого множества, то множество {M} называется замкнутым. Определение 3.4. Множество {M} пространства Еm называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству. Определение 3.5. Открытое и связное множество {M} в пространстве Еm называется областью. Приведем некоторые примеры множеств {M} точек евклидова плоскости и пространства. 1. (x-a)2+(y-b)2≤R2 - множество {M} точек евклидовой плоскости, называемой кругом радиуса R с центром в точке M0(a;b). 2. (x-a)2+(y-b)2
89

3.2. Предел функции нескольких переменных Пусть функция f(M)=f(x,y,z) определена в окрестности точки M0(x0,y0,z0) трехмерного евклидова пространства, кроме, быть может, самой этой точки. Определение 3.6. Число b называется пределом функции f (M ) = b ), если для любого ε>0 f(M)=f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) ( Mlim →M 0

найдется δ>0 такое, что из неравенства 0<ρ(M,M0)<δ следует неравенство |f(M)-b|<ε, где ρ(M , M 0 ) =

(x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + ( z − z 0 )2 есть

расстояние от точки М до точки M0. Заметим, что формально это определение совпадает с аналогичным определением предела функции одной независимой переменной. Однако, на самом деле это не так. Ведь здесь для существования предела ставится более жесткое требование. На самом деле, требуется, чтобы для любой последовательности точек М, стремящихся к М0 по произвольной кривой, существовал один и тот же предел. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Пусть f (M ) = f (x, y) = Найдем

lim

M →M 0 ( 0;0 )

Имеем lim x →0 y →0

x2 − y2 . x2 + y2

x2 − y2 , когда M→M0 по прямой y=kx. x →0 x 2 + y 2

f (M ) = lim y →0

x −y 1− k2 . Но при разных = x2 + y2 1 + k 2 2

2

k получим разные

ответы, т.е. значение предела зависит от пути, по которому M→M0. Следовательно, предела от рассматриваемой функции не существует. x3 + y3 . x2 + y2

Пример 2. Пусть ϕ(M ) = ϕ(x, y) = Найдем

lim

M →M 0 ( 0;0 )

x3 + y3 . x →0 x 2 + y 2

= lim y →0

Так как x 3 + y 3 ≤ (x 2 + y 2 ) 2 , то 3

(x ϕ ( x, y ) ≤

)

+ y2 x2 + y2 2

Тогда

90

3

2

(

= x2 + y2

)

1 2

.

x3 + y3 = lim x 2 + y 2 x →0 x 2 + y 2 x →0

(

lim y →0

Пример

3.

Пусть

)

1 2

= 0.

y →0

функция

x2y f(M)=f(x,y)= 4 2 . x +y

Найдем

x2y x2y lim = lim 4 . x →0 x + y 2 M →M 0 ( 0;0 ) x 4 + y 2 y →0

Очевидно, что при стремлении M→M0 по любой прямой y=kx (k≠0) имеем x2y x 2 − kx kx lim 4 = lim 4 = lim 2 = 0. x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 2 x →0 k + x 2 y →0

С другой стороны, если M→M0 по параболе y=x2, то имеем 1 x2y x4 = lim = . x →0 x 4 + y 2 x →0 2x 4 2

lim y →0

Таким образом, при стремлении M→M0 по разным путям (последовательности точек) получаем разные ответы, как в примере 1. Это означает, что рассматриваемый предел не существует. Ниже перейдем к рассмотрению повторных пределов для функции двух независимых переменных f(x,y). Если при любом фиксированном у для функции f(x,y) существует предел при х→а, то этот предел, вообще говоря, будет зависеть от фиксированного у, т.е. lim f (x, y) = ϕ(y) . x →a

Затем можно поставить вопрос о пределе функции ϕ(y) при у→b lim ϕ(y) = lim lim f (x, y) . y→ b

y → b x →a

(3.1)

Последнее и называется одним из повторных пределов функции f(x,y). Другой повторный предел имеет вид lim lim f (x, y) .

(3.2)

x →a y → b

Вообще говоря, повторные пределы (3.1) и (3.2) равны при удовлетворении определенных условий. 91

Теорема 3.1. Пусть для функции f(x) удовлетворяются следующие условия: 1) существует двойной предел lim f (x + y) ;

(3.3)

x →a y→ b

2) существует простой предел по х при любом фиксированном у: lim f (x, y) = ϕ(y) ;

(3.4)

x →a

3) существует простой предел по у при любом фиксированном х: lim f (x, y) = ψ (y) ;

(3.5)

x→ b

Тогда существуют и повторные пределы lim ϕ(y) = lim lim f (x, y) и lim ψ (y) = lim lim f (x, y) y→ b

y → b x →a

y →a

(3.6)

y →a x → b

и они равны двойному пределу (3.3). Если f (x, y) =

lim x →0 y →0

sin (x + y) x+y

sin (x + y) x+y

, то очевидно, что

= lim lim x →0 y →0

sin (x + y) x+y

= lim lim y →0 x →0

sin (x + y) x+y

= 1.

3.3. Непрерывность функций нескольких переменных Определение 3.7. Функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если предельное значение этой функции в точке М0 существует и равно значению f(M0), то есть, если lim f (M ) = f (M 0 ) = f  lim M  .  M →M 0 

M →M 0

(3.6)

Определение 3.8. Функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если для произвольного ε>0 можно указать δ>0, такое, что из неравенства 0<ρ(M,M0)<δ следует неравенство |f(M)-f(M0)|<ε. 92

Теорема 3.1. Для того, чтобы функция f(M)=f(x1, x2,..., xk,... ,xm) была непрерывной в точке M0(x10, x20,..., xk0,... ,xm0), необходимо и достаточно, чтобы приращение ∆f(M) представляло собой бесконечно малую в точке М0, то есть lim ∆f (M ) = lim ∆f (x1 , x 2 ,..., x k ,..., x m ) = lim (f (M ) − f (M 0 )) = 0 ∆x1 →0 ∆x 2 →0 : ∆x m →0

M →M 0

M →M 0

Условие (3.7) называется разностной непрерывности функции нескольких переменных.

формой

(3.7)

условия

Определение 3.9. Функция f(M)=f(x1, x2,..., xk,... ,xm) называется непрерывной в точке M0(x10, x20,..., xk0,... ,xm0) по переменной xk, если частное приращение ∆ x f(M)= f(x1, x2,..., xk+ ∆ x ,... ,xm)-f(x1, x2,..., xk,... ,xm) этой функции в точке М0 представляет собой бесконечно малую, то есть, если k

k

lim ∆ x k f (M ) = 0 .

∆x k →0

(3.8)

Отметим, что из условия непрерывности функции f(x1,x2,...,xk,...,xm) в точке М0 (см. (3.7)) вытекает непрерывность этой функции по каждой из переменных x1, x2,..., xk,... ,xm (см. (3.8)). Однако, из непрерывности функции f(M) в точке М0 по каждой из переменных x1, x2,..., xk,... ,xm не вытекает, вообще говоря, непрерывность функции f(M) в этой точке. В конце этого пункта отметим, что все свойства непрерывных функций одной переменной сохраняются и для непрерывных функций нескольких переменных. 3.4. Частные производные функций нескольких переменных первого и высших порядков Пусть функция U=f(x1, x2,..., xk,... ,xm) m независимых переменных определена в ε окрестности точки M0(x10, x20,..., xk0,... ,xm0). Составим отношение

∆ xk U ∆x k

, где

∆ x k U= f(x1, x2,..., xk+ ∆ x k ,... ,xm)-f(x1, x2,..., xk,... ,xm)

есть частное приращение функции U переменной xk.

93

Определение 3.10. Если существует предел отношения ∆ x U в точке М0 к соответствующему приращению ∆ x , то этот предел называется частной производной функции U=f(x1, x2,..., xm) в точке М0 по аргументу xk и обозначается символами k

k

lim

∆x k →0

∆ xk ∆x k

=

∂U ∂f = = U |x k = f x| k . ∂x k ∂x k

(3.9)

Заметим, что вычисление частной производной по одной из переменных хk производится по известным правилам вычисления производных функций одной независимой переменной в предположении, что при этом остальные переменные считаются постоянными. Пример. Найти частные производные первого порядка функции двух независимых переменных x y

U=arctg . Решение. ∂U ∂  x y = ,  arctg  = 2 ∂x ∂x  y x + y2 ∂U ∂  x x = .  arctg  = − 2 ∂y ∂y  y x + y2

Так как частная производная функции U=f(x1, x2,..., xk,... ,xm) по  ∂U   в свою очередь является функцией переменных x1,  ∂x k 

переменной x k 

x2,..., xk,... ,xm (

∂U =ϕ(x1, x2,..., xk,... ,xm)), то естественно считать, что ∂x k

полученная функция может иметь производные по каждой из этих переменных. Если существуют эти производные, то они называются частными производными функции U=f(x1, x2,..., xk,... ,xm) второго порядка, т.е. ∂U =ϕ(x1, x2,..., xk,... ,xm), ∂x k ∂ϕ ∂  ∂U  ∂2U = =   ∂x l ∂x l  ∂x k  ∂x k ∂x l

k=1,2,..., m; l=1,2,... ,m. 94

(3.10)

Аналогично вводятся и понятия частных производных третьего, четвертого и т.д. порядков. Например, для функции трех независимых переменных U=f(x,y,z) они обозначаются символически следующим образом ∂  ∂U  ∂ 2 U ∂  ∂U  ∂ 2 U ∂  ∂U  ∂ 2 U || || = U x2 , = U |z2| , = U y2 , =   =  = 2 2 2 ∂x  ∂x  ∂x ∂z  ∂z  ∂z ∂y  ∂y  ∂y

∂  ∂U  ∂ 2 U ∂  ∂U  ∂ 2 U = U |yx| , = U |yx| , =   = ∂y  ∂x  ∂x∂y ∂x  ∂y  ∂y∂x

(3.11)

∂  ∂2U  ∂3U || и т.д. = U |xyz  = ∂z  ∂x∂y  ∂x∂y∂z

Пример. Найти все частные производные функции двух независимых переменных U=x2y2 до третьего порядка включительно. Решение. ∂U ∂2U ∂2U ∂2U ∂2U ∂U 2 2 = y = x 2 , 2 , 4 , = 2xy 2 , = xy = 4yx , = 2yx 2 , ∂x∂y ∂y∂x ∂y ∂x ∂x 2 ∂y 2 ∂3U ∂3U ∂3U ∂3U ∂3U ∂3U = = = x = x = 4y . 0 , 4 , 0 , 4 , 4 , = y ∂x∂y ∂x 3 ∂y 3 ∂y 2 ∂x ∂x∂y 2 ∂y∂x 2

Теорема 3.2. (достаточный признак равенства смешанных производных функции двух независимых переменных). Пусть функция двух независимых переменных U=f(x,y) определена в открытой области D и в этой области существуют частные производные f x| , f y| , f xy|| , f yx|| , причем смешанные производные f xy|| и f yx|| непрерывны в некоторой точке М0(х0,у0) области D. Тогда в этой точке М0 смешанные производные равны, т.е. f xy|| (x0,y0)= f yx|| (x0,y0)

(3.12)

Доказательство. Составим выражение H=

f ( x 0 + h, y 0 + k ) − f (x 0 + h, y 0 ) − f (x 0 , y 0 + k ) + f (x 0 , y 0 ) hk

, (3.13)

где h>0, k>0 для определенности и они настолько малы, что в области D содержится весь прямоугольник [x0, x0+h; y0, y0+k].

95

Если теперь ввести функцию ϕ( x ) =

f (x, y 0 + k ) − f (x, y 0 ) k

,

(3.14)

которая в силу условий теоремы имеет на сегменте [x0, x0+h] производную ϕ' (x) =

f x ' (x, y 0 + k ) − f x ' (x, y 0 ) k

и следовательно является переменной функцией, то выражение (3.13) можно переписать в виде H=

ϕ( x 0 + h ) − ϕ( x 0 ) h

.

(3.15)

Теперь пользуясь тем, что для функции ϕ(x) на сегменте [x0,x0+h] выполняются все условия теоремы Лагранжа о конечных приращениях, выражение (3.15) можем преобразовать к виду H = ϕ' (x 0 + θh ) =

f x| (x 0 + θh, y 0 + k ) − f x| (x 0 + θh, y 0 ) k

,

(3.16)

где 0<θ<1. Если опять применить формулу конечных приращений Лагранжа (можно, так как по условию теоремы существует f xy|| ) на сегменте [y0,y0+k], то (3.16) примет вид Н= f xy|| (x0+θh, y0+θ1k),

(3.17)

где 0<θ1
f (x 0 + h, y ) − f (x 0 , y) h

,

аналогичным рассуждениям получим H= f yx|| (x0+θ2h,y0+θ3k), где 0<θ2<1, 0<θ3<1. Сравнивая (3.17) и (3.18), имеем 96

(3.18)

f xy|| (x0+θh, y0+θ1k)= f yx|| (x0+θ2h,y0+θ3k).

(3.19)

Теперь если в (3.19) перейти к пределу при h→0 и k→0 с учетом того, что по условию теоремы f xy|| и f yx|| непрерывные функции (можно перейти к пределу в аргументах этих функций), то получим f xy|| (x0,y0)= f yx|| (x0,y0),

что и требовалось доказать. 3.5. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных Определение 3.11. Функция U=f(x1, x2, ..., xm) называется дифференцируемой в точке M0(x10, x20, ..., xm0), если ее полное приращение ∆U может быть представлено в виде ∆U=A1∆x1+A2∆x2+...+Am∆xm+ α1∆x1+α2∆x2+...+αm∆xm

(3.20)

где Ai(i=1,2,...,m) некоторые не зависящие от ∆xi (i=1,2,...,m) числа, а αi(i=1,2,...,m) бесконечно малые при ∆хi→0 функции, равные нулю при ∆xi=0. Если учесть, что |α1∆x1+...+αm∆xm| бесконечно малая более высокого

порядка,

чем

ρ=

( ∆x1 )2 +...+( ∆x m )2

при

∆xi→0

(ρ≠0)

(α1∆x1+...+αm∆xm=0(ρ)), то условия дифференцируемости (3.20) можно переписать в виде ∆U=A1∆x1+A2∆x2+...+Am∆xm+0(ρ).

(3.21)

Отметим, что если хотя бы одно из чисел Ai (i=1,2,...,m) не равно нулю, то A1∆x1+A2∆x2+...+Am∆xm называется главной линейной частью приращения ∆U. Теорема 3.3. Если функция U=f(x1, x2, ..., xm) дифференцируема в точке M0(x10, x20, ..., xm0), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем ∂U = A i (i=1,2,...,m). ∂x i

(3.22)

Теорема 3.4. (достаточные условия дифференцируемости) 97

Если функция f(x1, x2, ..., xm) имеет все частные производные

∂U ∂x i

(i=1,2,...,m) первого порядка в некоторой окрестности точки M0(x10,x20,..., xm0) и все они непрерывны в точке М0, то указанная функция дифференцируема в точке М0. Определение 3.11. Главная линейная часть A1∆x1+A2∆x2+...+Am∆xm приращения ∆U дифференцируемой в точке М0 функции U=f(x1, x2, ..., xm) называется дифференциалом функции и обозначается так: dU=A1∆x1+A2∆x2+...+Am∆xm

(2.23)

Заметим, что если все Ai=0 (i=1,2,...,m) в (3.23), то dU=0. Если теперь договориться под dxi понимать ∆xi (i=1,2,...,m) и учитывать (3.22), то (3.23) принимает вид: dU =

∂U ∂U ∂U dx1 + dx 2 +... + dx m . ∂x1 ∂x 2 ∂x m

(3.24)

До сих пор мы рассматривали функцию U=f(x1, x2, ..., xm) m независимых переменных. Но встречаются случаи, когда эти m переменные в свою очередь зависят, например, от k независимых переменных t1,t2,...,tk формулами xi=ϕi(t1, t2, ..., tk) (i=1, 2, ..., m). Тогда мы имеем сложную функцию U=f[ϕ1(t1, t2, ..., tk), ϕ2(t1, t2, ..., tk), ..., ϕm(t1, t2, ..., tk)]. Отметим, что вычисление частных производных функции U по независимым переменным tl(l=1,2,...,k), основывается на следующей теореме. Теорема 3.5. Пусть функции xi=ϕi(t1, t2, ..., tk) (i=1, 2, ..., m) дифференцируемы в точке N0(t10, t20, ..., tk0), а функция U=f(x1, x2, ..., xm) дифференцируема в соответствующей точке M0(x10, x20, ..., xm0), где xi0=ϕi(t10, t20, ..., tk0) (i=1,2,...m). Тогда сложная функция U=f(x1,x2, ..., xm) дифференцируема в точке N0 и ее частные производные по переменным tl (l=1, 2, ..., k) определяются формулами ∂U ∂x m ∂U ∂U ∂x1 ∂U ∂x 2 = ⋅ + ⋅ +... + ⋅ ∂x m ∂t l ∂t l ∂x1 ∂t l ∂x 2 ∂t l

98

(3.25)

(l=1,2,...,k), где все частные производные точке М0, а все частные производные

∂U (i=1, 2, ..., m) берутся в ∂x i

∂x i (l=1, 2, ..., k) берутся в точке ∂t l

N0.

Можно доказать что дифференциал первого порядка сложной функции U=f[ϕ1(t1, t2, ..., tk), ϕ2(t1, t2, ..., tk), ..., ϕm(t1, t2, ..., tk)] также вычисляется по формуле (3.24), где под dx1, dx2, ..., dxm подразумеваются выражения dx i =

∂x ∂x ∂x i dt 1 + i dt 2 +... + i dt k ∂t 2 ∂t k ∂t 1

(3.26)

(i=1, 2, ..., m). Внешнее совпадение форм первого дифференциала в случаях функции U от m независимых переменных и сложной функции U называется инвариантностью формы первого дифференциала. Пример. Пусть U=x2+y2, а x=U2V, y=V2U. Найти dU. Решение. Согласно формулам (3.24) и (3.26), имеем dU =

∂U ∂U ∂U  ∂x ∂x ∂y   ∂U  ∂y dU  . dV + dU  + dV + dy = dx +     ∂y  ∂V ∂x ∂y ∂x  ∂V ∂U ∂U

Но ∂U = 2x = 2VU 2 , ∂x ∂x = 2UV , ∂U

∂U ∂x = U2, = 2y = 2U V 2 , ∂y ∂V ∂y ∂y = 2UV , = V2 ∂V ∂U

и получим dU=2U2V(U2dV+2UVdU)+2V2U(2UVdV+V2dU)= =2VU2(U2+2V2)dV+2V2U(2U2+V2)dU. 3.6. Производная функции нескольких переменных по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Рассмотрим функцию трех переменных U=U(x,y,z) в некоторой окрестности точки M0(x0,y0,z0). Через эту точку проведем ось l , l0 который будет иметь координаты единичный вектор l 0={cosα,cosβ,cosγ}, где α, β, γ есть углы между осью l и координатными осями 0x, 0y, 0z. На оси l возьмем точку М(х,у,z) и обозначим через l величину направленного отрезка M0M (см. рис. 3.1). 99

Рис. 3.1. Так как x=x0+ l cosα, y=y0+ l cosβ, z=z0+ l cosγ,

(3.27)

то имеем сложную функцию одной переменной l в виде U=U(x0+ l cosα, y0+ l cosβ, z0+ l cosγ).

(2.28)

Определение 3.12. Производная функции (3.28) по переменной l в точке l =0 называется производной по направлению l функции U=U(x,y,z) в точке М0 и вычисляется так: ∂U ∂U dx ∂U dy ∂U dz = ⋅ + ⋅ + ⋅ . ∂l ∂x dl ∂y dl ∂z dl

Если учесть, что переписать в виде

dx =cosα, dl

(3.29)

dy dz =cosβ, =cosγ, то (3.29) можно dl dl

∂U ∂U ∂U ∂U = cos α + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z

Определение 3.13. Вектор с координатами

(3.30) ∂U ∂U ∂U , , , в точке ∂x ∂y ∂z

М0, называется градиентом функции U=U(x,y,z) в точке М0 и обозначается символом

gradu = i ∂U + j ∂U + k ∂U , ∂x

∂y

100

∂z

(3.31)

где i , j , k есть единичные векторы осей 0х, 0у, 0z. Заметим, что с учетом (3.31) (3.30) можно переписать в виде скалярного произведения векторов l 0 и gradu, т.е. ∂U = l0 ∂l

gradu =| l 0 || gradu |cosϕ,

(3.32)

где ϕ есть угол между векторами l 0 и gradu . Так как | l 0 |=1, то  ∂U  = gradu    ∂l  max

(cos ϕ=1).

Далее рассмотрим дифференцируемую функцию z=f(x,y) двух независимых переменных, которая описывает некоторую поверхность в декартовой прямолинейной системе координат. Определение 3.14. Плоскость π, проходящая через точку М0(x0,y0,z0) поверхности z=f(x,y), называется касательной плоскостью в этой точке, если угол ψ между этой плоскостью и секущей М0М, где M(x,y,z) любая точка на поверхности z=f(x,y), стремится к нулю, когда M→M0 (рис. 3.2). z

h

M ψ

M0

0 y x

Рис. 3.2. Можно показать, что из условия дифференцируемости функции z=f(x,y) в точке М0 вытекает существование касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке М0, уравнение которой имеет вид

Z − z0 =

∂f ∂x

( X − x0 ) + M0

∂f ∂y

(Y − y 0 ) , M0

101

(3.33)

где Z, X, Y являются текущими координатами касательной плоскости. Определение 3.15. Нормалью n к поверхности z=f(x,y) в точке М0(x0,y0,z0) называется нормальный (перпендикулярный) вектор  ∂f  ∂f n = , , -1  ∂x M 0 ∂y M 0 

касательной плоскости этой поверхности в точке

М0. Из курса аналитической геометрии следует, что уравнение нормали к поверхности z=f(x,y) в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид: Z − z0 X − x0 Y − y0 = = , ∂f −1 ∂f ∂x M 0 ∂y M 0

(3.34)

где Z, X, Y являются текущими координатами нормали. 3.7. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных Пусть функция двух независимых переменных U=U(x,y) дважды дифференцируема точке M(x,y). Дифференциал первого порядка этой функции, как нам известно, выражается формулой dU=

∂U ∂U dx+ dy. ∂y ∂x

(3.35)

Очевидно, что dU также является функцией переменных х, у и dх, dу. Вычислить дифференциал от dU, то есть дифференциал второго порядка d(dU)=d2U.  ∂U   ∂U ∂U  ∂U  ∂U  d (dU ) = d 2 U = d  dx + dy = d  d (dx) +  dy +  dx + d   ∂x  ∂y  ∂x  ∂y   x +

∂U d (dy) = ∂y

 ∂  ∂U   ∂  ∂U  ∂  ∂U   ∂  ∂U    ∂x  ∂x  dx + ∂y  ∂x  dy dx +  ∂x  ∂y  dx + ∂y  ∂y  dy dy +     ∂U 2 ∂U 2 + d x+ d y ∂x ∂y

Теперь согласно (3.11) и с учетом того, что d2x=0, d2y=0 (x и у независимые переменные и dx=const, dy=const), а смешанные 102

производные второго порядка равны (функция U(x,y) дважды дифференцируема) последнее выражение можно преобразовать к виду d 2U =

∂2U 2 ∂2U ∂2U 2 dy dx dxdy + 2 + ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

(3.36)

Заметим, что (3.36) можно записать в символическом виде: 2

 ∂ ∂  d U =  dx + dy U . ∂y   ∂x

(3.37)

2

Если функция U=U(x1, x2, ..., xm) m независимых переменных n раз дифференцируема в точке M(x1, x2, ..., xm), то дифференциал этой функции порядка n вычисляется по формуле: n

  ∂ ∂ ∂ d U = dx1 + dx 2 +... + dx m  U . ∂x 2 ∂x m   ∂x1 n

(3.38)

Символические записи вычисления дифференциалов второго порядка (3.37) и порядка n (3.38) означают, что мы раскрываем скобки по биному Ньютона, взяв dx1, dx2, ..., dxm в соответствующих степенях, а частные производные от U(x,y) соответствующих порядков. Например, если U=U(x,y) то 4

 ∂ ∂  ∂4 U 4 ∂4 U ∂4 U 3 d U =  dx + dy U = dx + 4 dx dy + 6 dx 2dy 2 + 4 3 2 2 ∂y   ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y 4

+4

∂4 U ∂4 U 4 3 dxdy + dy . ∂x∂y 3 ∂y 4

Теперь рассмотрим функцию m переменных U=U(x1, x2, ..., xm), где в свою очередь переменные x1, x2, ..., xm зависят еще от k переменных x1=x1(t1,t2,...,tk), x2=x2(t1,t2,...,tk), ..., xm=xm(t1,t2,...,tk). Так как в этом случае dx1, dx2, ..., dxm не являются непостоянными числами, то дифференциалы высших порядков от функции U(x1,x2,...,xm) будут отличаться от дифференциалов высших порядков функции U(x1,x2,...,xm) в случае независимых переменных x1,x2,...,xm. Например, если U=U(x,y) и x=x(t1,t2) и y=y(t1,t2), то 2

 ∂ ∂  ∂U 2 ∂U 2 d U =  dx + dy U + d x+ d y. ∂y  ∂x ∂y  ∂x 2

103

(3.39)

3.8. Формула Тейлора для функции нескольких переменных Теорема 3.6. Если функция U=U(M)=U(x1, x2, ..., xm) m переменных n+1 раз дифференцируема в некоторой ε окрестности точки M0(x10, x20, ..., xm0), то полное приращение ∆U=U(M)-U(M0) этой функции для произвольной точки М из указанной ε окрестности точки М0 может быть представлено в форме: ∆U=U(M)-U(M0)= dU M + 0

1 2 1 1 d U M +... + d n U M + d n +1 U 0 0 2! n! (n + 1) !

N

(3.40)

где N Есть некоторая зависящая от M(x1, x2, ...,xm) точка указанной ε окрестности точки М0, а дифференциалы dxi (i=1,2,...,m), входящие в (3.40), равны xi-xi0. Разложение (3.40) называется формулой Тейлора для функции U=U(M) с центром в точке М0. Пример. Функцию z=xy разложить по формуле Тейлора вокруг точки (1;1), ограничиваясь членами да второго порядка включительно. Решение. Согласно (3.40) имеем z = xy = xy

(1;1)

+ dz (1;1) +

 ∂z ∂z  1 2 + d z = 1 +  dx + dy (1;1) ∂y  (1;1) 2!  ∂x

 ∂2 z ∂2 z 1  ∂2 z +  2 dx 2 + 2 dxdy + 2 dy 2  ∂x∂y 2 !  ∂x ∂y 

(3.41)

(1;1)

Учитывая, что ∂z ∂z = y ⋅ x y −1 = 1, = x y ln x = 0, ; 1 1 ( ) (1;1) ∂x (1;1) ∂y (1;1) ∂2 z ∂2 z y −2 , = y y − 1 x = 0 = ln 2 x ⋅ x y = 0, ( ) 2 2 ; 1 1 ( ) (1;1) ∂x (1;1) ∂y (1;1) ∂2 z = x y −1 + y ⋅ x y −1 ⋅ ln x = 1, (1;1) ∂x∂y (1;1)

(

)

(3.41) можно преобразовать к виду z=1+(x-1)+(x-1)(y-1). 104

3.9. Локальный экстремум функции нескольких переменных Пусть функция U=U(x1, x2, ..., xm) задана на множестве {M}, а M0(x1 , x20, ..., xm0), есть некоторая точка этого множества. 0

Определение 3.16. Функция U=U(x1, x2, ..., xm) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если найдется такая δ окрестность точки М0, в пределах которой значение этой функции в точке М0 U(M0) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции. Локальный максимум и локальный минимум объединяются под общим названием локального экстремума. Если функция U(M) в точке М0 имеет локальный экстремум, то полное приращение ∆U=U(M)U(M0) этой функции в точке М0 (М - любая точка из указанной δокрестности точки М0) удовлетворяет одному из условий: ∆U≤0 (локальный максимум), ∆U≥0 (локальный минимум).

(3.42)

Очевидно и обратное: если в точке М0 удовлетворяются (3.42), то в этой точке функция U(M) имеет локальный максимум или локальный минимум. Теорема 3.7 (необходимые условия экстремума). Если функция U=U(x1, x2, ..., xm) в точке М0 имеет локальный экстремум и в этой точке существуют частные производные этой функции первого порядка, то все они в точке М0 равны нулю, ∂U = 0 (i=1,2,...,m). ∂x i

(3.43)

Заметим, что необходимые условия экстремума (3.43) можно переписать в виде: (3.44)

dU M = 0 0

Отметим, что условия (3.43) (или 3.44) являются только необходимыми, и не достаточными условиями локального экстремума. Например, для функции U=xy в точке М0(0;0) имеем ∂U ∂x

M0

= y M = 0, 0

∂U ∂y

105

= x M = 0, M0

0

но эта функция, как будет показано далее, в точке М0(0,0) не имеет локального экстремума. Ниже перейдем к рассмотрению достаточных условий экстремума для функции двух переменных U=U(x,y). Теорема 3.8 (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть функция U=U(x,y) один раз дифференцируема в окрестности точки М0(х0,у0) и два раза дифференцируема в самой точке М0 и пусть М0 является точкой возможного экстремума. Тогда если в точке М0(х0,у0) выполнено условие

A=

∂2U ∂x 2

M0

∂ U ∂y∂x M

∂2U ∂x∂y M ∂2U ∂y 2

2

0

0

>0,

(3.45)

M0

то функция U=U(x,y) в точке М0 имеет экстремум (максимум при ∂2U ∂x 2

< 0 и минимум при M0

∂2U ∂x 2

> 0 ). Если же A<0, то функция M0

U=U(x.y) в точке М0 не имеет экстремума. А если А=0, то ничего определенного об экстремуме сказать нельзя и требуется дополнительное исследование. Заметим, что для рассмотренной выше функции U=xy в точке М0(0;0) имеем ∂2U ∂2U ∂2U ∂2U , , , = 0 = 0 = 1 =1 ∂x∂y ( 0;0) ∂y∂x ( 0;0) ∂x 2 ( 0,0) ∂y 2 ( 0,0)

и A=

0 1 = −1 < 0 , 1 0

что означает отсутствие экстремума в точке М0(0;0). 3.10. Условный экстремум функции нескольких переменных

106

В пункте 3.9 мы занимались отысканием локальных экстремумов функции нескольких переменных, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями. Но часто встречаются задачи, где нужно искать экстремумы функции, аргументы которой удовлетворяют условиям связи. Экстремумы такого рода называются условными экстремумами. Пусть имеем функцию двух переменных U=U(x,y). Нужно найти экстремумы этой функции при условии связи ϕ(x,y)=0,

(3.46)

то есть нужно исследовать функцию U=U(x,y) на условный экстремум. Можно показать, что отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа ψ(x,y)=U(x,y)+λϕ(x,y),

(3.47)

где λ - неопределенный множитель Лагранжа. Пользуясь необходимым условием экстремума (3.43) и условием связи (3.46), имеем  ∂ψ (x, y) ∂U ∂ϕ = +λ = 0,  ∂x ∂x  ∂x ∂ϕ  ∂ψ (x, y) ∂U = +λ = 0,  ∂y ∂y  ∂y ϕ(x, y) = 0   

(3.48)

Решая систему уравнений (3.48) относительно трех переменных x, y, z, найдем λ и точки возможного экстремума. Далее с помощью условий (3.45) исследуем каждую стационарную точку на экстремум. Пример. Найти экстремум функции U=x2+y2 (параболоид вращения) при условии, что х и у удовлетворяют уравнению связи х+у1=0 (прямая). Другими словами, мы должны искать экстремум функции не на всей плоскости х0у, а на прямой х+у=1 (рис. 3.3).

107

z

1 0

y

(1/2;1/2)

1

x

Рис. 3.3. Решение. Функция Лагранжа имеет вид ψ(x,y)=x2+y2+λ(x+y+1). Согласно (3.48) ∂ψ =2x+λ=0, ∂x ∂ψ =2y+λ=0, ∂y

(3.49)

x+y=1. Решая систему (3.49), получим 1 2

1 2

хэ= , уэ= , λ=-1.

Далее остается с помощью достаточных условий (3.45) исследовать 1 1 2 2

функцию ψ(x,y)=x2+y2-x-y+1 на локальный экстремум в точке ( , ). Имеем

108

∂2 ψ ∂x 2 A=

 1 1  ,   2 2

∂2 ψ ∂y∂x  1, 1   2 2

∂2 ψ ∂x∂y  1, 1   2 2

∂2 ψ ∂y 2

=

2 0 =4 >0, 0 2

 1 1  ,   2 2

1 1 2 2

что означает существование экстремума функции ψ(х,у) в точке ( , ). ∂2 ψ Замечая, что 2 ∂x

 1 1  ,   2 2

=2>0, приходим к выводу, что функция ψ(х,у)

1 1 2 2

1 1 2 2

в точке ( , ) имеет минимум, а функция U=x2+y2 в точке ( , ) имеет 1 4

1 4

1 2

условный минимум, причем Umin= + = . В заключение этого пункта отметим, что наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области ищем так: находим максимумы и минимумы этой функции в данной области, определяем значения этой функции на границах области и в конечном счете среди максимумов, минимумов и значений на границах выбираем наибольшее и наименьшее значения.

109

Примеры Пример 1. Пусть z=exy и x=U+V, y=U-V. Найти: d2z. Решение: Согласно (3.39.) имеем 2

∂  ∂ ∂z ∂z d z =  dx + dy  z + d 2 x + d 2 y = ∂y  ∂x ∂y  ∂x 2

=

∂2z 2 ∂2z ∂ 2 z 2 ∂z 2 ∂z dx + dxdy + dy + d x + d 2 y . (3.50) 2 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

Учитывая, что ∂z ∂z ∂2z = ye xy , = xe xy , = y 2 e xy , ∂x ∂y ∂x 2

∂ 2 z 2 xy x e , ∂y 2

∂2z ∂2z = e xy (1 + xy ), = e xy (1 + xy ) ∂x∂y ∂y∂x

(3.50) можно преобразовать к виду

d 2 z = y 2 e xy dx 2 + 2(1 + xy)e xy dxdy + x 2 e xy dy 2 + ye xy dx 2 + xe xy dy 2 . (3.51) Так как x = U+V, y = U-V, то dx =

∂x ∂x dU + dV = dU + dV , ∂V ∂U

dy =

∂y ∂y dU + dV = dU − dV , ∂V ∂U

(3.52)

d 2 x = d (dx) = d (dU + dV ) = d 2U + d 2V = 0, d 2 y = d (dy ) = d (dU − dV ) = d 2U − d 2V = 0.

Подставляя (3.52) в (3.51), после несложных преобразований получим 2 2 d 2 z = 2eU −V (2U 2 + 1)dU 2 − 4UVdUdV + (2V 2 − 1)dV 2 .

[

2 U Ответ: d z = 2e

]

2

−V 2

[(2U

2

+ 1)dU 2 − 4UVdUdV + (2V 2 − 1)dV 2

]

Пример 2. Пусть дана поверхность (параболоид вращения) уравнением z=x2+y2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке М(1,2,5). 110

Решение: Учитывая, что ∂z ∂x

M

= 2 x M = 2,

∂z ∂y

= 2 y M = 4, M

из (3.33) и (3.34) для касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке М(1,2,5) получим следующие уравнения z - 5 x −1 y − 2 = = . -1 2 4

z = 2 x + 4 y − 5,

Ответ:

z - 5 x −1 y − 2 = = . -1 2 4

z = 2 x + 4 y − 5,

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2+y2-xy+x+y в области x≤0, y≤0, x+y≥-3. Решение: Сначала исследуем заданную функцию на обычный экстремум внутри заданной области (в треугольнике (рис. 3.4)). Согласно (3.43) имеем

    

∂z = 2 x − y + 1 = 0, ∂x ∂z = 2 y − x + 1 = 0. ∂y

Решая эту систему уравнений, получим xэ = -1, yэ = -1. Итак, имеем единственную точку М(-1,-1) возможного экстремума внутри треугольника. Теперь пользуемся достаточным условием (3.43). Учитывая, что ∂2z ∂x 2

= 2, M

∂2z ∂y 2

= 2, M

111

∂2z ∂x∂y

= M

∂2z ∂x∂y

= −1, M

Имеем

2 −1 = 3〉 0 . −1 2

Последнее означает, что в точке М(-1,-1) есть экстремум, причем, так как

∂2z ∂x 2

= 2〉 0 , то эта точка есть точка минимума. M

Очевидно, что zmin = z(-1,-1) = -1.

(3.53)

Далее исследуем заданную функцию на условный экстремум на границах треугольника. Так как функция Лагранжа ψ на прямой x+y=3 принимает вид

ψ =x2 + y2 –xy + x + y + λ (x + y + 3),

(3.54)

то согласно (3.48) имеем  ∂ψ  ∂x = 2 x − y + 1 + λ = 0,   ∂ψ = 2 y − x + 1 + λ = 0,  y ∂   x + y = −3.   1 2

Откуда λ = ,

3 x∋ = − , 2

3 y ∋ = − .Тогда 2 1 2

ψ = x 2 + y 2 − xy + x + y + x +

1 3 y+ . 2 2

Проводя исследование полученной функции

ψ на обычный

3 3 экстремум в точке  − ,−  , получим, что на прямой x + y = -3 исходная  2

2

функция имеет минимум z min =

3 z  3 3 = z  − ,−  = − . 4 x + y = −3  2 2

(3.55)

На прямой x = 0 имеем z = y2+y, и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одного аргумента в области − 3 ≤ y ≤ 0 . Исследование известным методом показывает, что

112

1 1 z min = z (0,− ) = − , 2 4

z(0,0) = 0,

z(0,-3) = 6.

(3.56)

Аналогично, при y = 0 и -3 ≤ x ≤ 0 имеем

1 1 z min = z (− ,0) = − , 2 4

z(0,0) = 0,

z(-3,0) = 6.

(3.57)

Сопоставляя все полученные значения функции (3.53), (3.55), (3.56) и (3.57), заключаем, что z наиб = 6 в точках (0,-3) и (-3,0), z наим = −1 в стационарной точке М(-1,-1).

113

Тест 1. Найти предел функции двух переменных lim x →0 y →0

(

sin x 3 + y 3 x +y 2

2

).

а) 0; б) 1; в) -1; г) 2. 2. Пусть U=x3y-y3x. Найти: ∂U ∂U + ∂x ∂y ∂U ∂U ⋅ ∂x ∂y

. x =1 y =2

15 ; 22 13 б) - ; 22 1 в) ; 12 3 г) . 22

а) -

3. Пусть U(x,y)=x2y-y2x и x=UcosV, y=UsinV. Найти: ∂U ∂V

а) 0; б)

1 ; 2

в) 1; г) 2. 114

U =1 V =0

.

4. Найти полный дифференциал первого порядка функции U=arctg(xy) xdy + ydx ; 1 + x2y2 dx б) 2 2 ; x y dy в) ; 1 + x2y2 dx + dy г) 2 2 . x y

а)

5. Найти полный деференциал третьего порядка функции U=x2y. а) 6dx2dy2; б) dx2dy2; в) 6dx2dy; г) 6dy. 6. Найти величину градиента функции U=x2+y2+z2 в точке (2;-2;-;1). а) 5; б) 0; в) 4; г) 6. 7. Найти уравнение касательной к поверхности U=sin x ⋅cos y в π π 1 4 4 2

точке M  ; ;  .   а) x-y-2z+1=0; б) x-y-z+1=0; в) x-y-z=0; г) x+1=0.

115

8. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (0;0) до членов третьего порядка включительно функцию U(x,y)=exsin y. 3x 2 y − y 3 ; 6 3x 2 y − y 3 б) xy + ; 6 3x 2 y − y 3 в) ; 6

а) y + xy +

г) y+xy. 9. Найти максимум функции: U=

1  x y xy + (47 − x − y) +  .  3 4 2

а) 280; б) 282; в) 200; г) 240. 10. Найти наименьшее значение функции U=x2+y2 в круге:

(x − 2 ) + (y − 2 ) 2

а) 1; б) 3; в) 4; г) 0.

116

2

≤ 9.

Раздел IV. Неопределенный интеграл 4.1. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства Определение 4.1. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (а;b), если в любой точке х интервала (а;b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F'(x)=f(x). Например, функция F(x)=sin x является первообразной для функции f(x)=cos x на интервале ( −∞;+∞) , т.к. в любой точке х бесконечной прямой (sin x) '=cos x. Заметим, что если функция F(x) является одной из первообразных функций для функции f(x) на интервале (а;b), т.е. F’(x)=f(x), то любая другая первообразная Ф(х) для функции f(x) на интервале (а;b) имеет вид Ф(х)=F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Последнее утверждение следует из того, что С'=0 и Ф'(х)=F'(x)+C'=F'(x)=f(x). Определение 4.2. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (а;b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается символом

∫ f (x)dx ,

где

∫

-знак неопределенного интеграла, выражение f(x)dx

называется подынтегральным выражением, а f(x) называется подынтегральной функцией. Итак, если функция F(x) является одной из первообразных функций для функции f(x) на интервале (a;b), то согласно определению 4.2. имеем (4.1) ∫ f (x)dx = F (x) + C, (С=const). Отметим также, неопределенного интегрированием.

что математическое действие интеграла от функции f(x)

нахождения называется

Ниже приведем основные свойства неопределенного интеграла с доказательствами. 1. d ∫ f (x)dx =f(x)dx. (4.2)

(

)

Доказательство- Пусть ∫ f (x)dx = F (x) + C . Тогда d

(∫ f (x)dx) =d(F(x)+C)=dF(x)+dC=dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.

2. ∫ dF (x) = F (x) + C . (4.3) Доказательство- Пусть dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx. Тогда имеем 117

∫ dF (x) = ∫ f (x)dx = F (x) + C. 3. Неопределенный интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности неопределенных интегралов от этих функций. (4.4) ∫ [f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx. Доказательство- Предположим, что функции F(x) и G(x) являются первообразными функциями для функций f(x) и g(x), т.е. F’(x)=f(x) ∫ f (x)dx = F (x) и G’(x)=g(x) ∫ g(x)dx = G (x) . Тогда очевидно, что

(

)

(

)

функции F(x)±G(x) являются первообразными для функций f(x)±g(x), так как (F(x)±G(x))’=F’(x)±G’(x)=f(x)±g(x). А это по определению неопределенного интеграла означает

∫ [f (x) ± g(x)]dx = F (x) ± G (x) = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx,

что и требовалось доказать. 4. Постоянный множитель можно вынести из под знака неопределенного интеграла (4.5) ∫ a ⋅ f ( x)dx = a ⋅ ∫ f ( x)dx, a=const. Доказательство. Пусть функция F(x) есть первообразная для функции f(x). Тогда функция a⋅F(x) есть первообразная для функции a⋅f(x), так как (a⋅F(x))’=a⋅F’(x)=a⋅f(x). Откуда и следует (4.5). 4.2. Основные правила интегрирования Правила интегрирования от элементарных функций можно получить из правил их дифференцирования( см. раздел 1.2.) с использованием определения 4.2 неопределенного интеграла. Например, известно, что (tg x) '=

1  π  x ' x '  x ≠ + πn, n = 0, ±1, ±2, K  , (e ) =e , (cos x) =-sin x. 2  2 cos x 

Тогда, согласно определению 4.2 имеем dx

∫ cos

2

π   = tgx + C,  x ≠ + πn, n = 0, ±1, ±2, K    2 x

∫ e dx = e x

x

+ C, ∫ sin xdx = − cos x + C ,

что дают нам правила интегрирования от функций

(4.6) 1 x , e , sin x. 2 сos x

Отметим, что полученные правила интегрирования (4.6) инвариантны относительно аргумента подынтегральных функций, т.е. имеет место 118

π dϕ ( x )   = tgϕ ( x) + C ,  ϕ ( x) ≠ + πn, n = 0,±1,±2, K 2 2 ϕ ( x)  

∫ cos

∫e

ϕ( x)

d ϕ(x) = e ϕ ( x) + C, ∫ sin ϕ( x)d ϕ(x) = − cos ϕ(x) + C

(4.7)

Аналогично можно получить правила интегрирования от остальных элементарных функций. Ниже приведем эти правила с учетом свойства инвариантности. ϕ n +1 ( x)

n ∫ dϕ ( x ) = ϕ ( x ) + C , ∫ ϕ ( x ) dϕ ( x ) =

∫ ϕ( x) ∫ a d ϕ(x) =

n +1

+ C , (n ≠ −1)

d ϕ(x) = ln ϕ(x) + C,(ϕ(x) ≠ 0 ϕ(x)

a ϕ ( x) + C,(a ≠ 1, a > 0) ln a ∫ cos ϕ(x)d ϕ(x) = sin ϕ(x) + C,

(4.9)

d ϕ(x) = −ctgϕ(x) + C,(ϕ(x) ≠ πn, n = 0, ±1, ±2,...) 2 ϕ(x)

∫ sin

∫

(4.8)

(4.10)

arcsin ϕ(x) + C = , 1 − ϕ 2 (x) −ar cos ϕ(x) + C

d ϕ(x)

(4.11)

arctgϕ(x) + C d ϕ(x) ∫ 1 + ϕ 2 (x) = −arcctgϕ(x) + C ,

∫ sh ϕ(x)d ϕ(x) = ch ϕ(x) + C, ∫ chϕ(x)d ϕ(x) = shϕ(x) = sh ϕ(x) + C,

(4.12)

d ϕ(x) d ϕ(x) = th ϕ(x) + C, ∫ 2 = −cth ϕ(x) + C ( ϕ(x) ≠ 0 ) 2 ϕ(x) sh ϕ(x)

∫ ch

Заметим, что не все интегралы от элементарных функций вычисляются в конечном виде в элементарных функциях. К таким интегралам относятся, например, интегралы:

∫e

− ϕ2 ( x)

d ϕ(x),

d ϕ(x)

∫ ln ϕ(x) (ϕ(x) > 0), ∫ cos(ϕ

2 ∫ sin(ϕ (x))d ϕ(x),

∫

2

)

(x) d ϕ(x),

e ϕ( x) . ) ∫ ϕ(x) dϕ(x)(ϕ(x) ≠ 0),(413

sin ϕ(x) d ϕ(x)(ϕ(x) ≠ 0), ϕ(x)

∫

(4.13)

cos ϕ(x) (ϕ(x) ≠ 0). ϕ(x)

Отметим также, что интегралы (4.13) приближенными или численными методами. 119

можно

вычислить

4.3. Интегрирование заменой переменной Заметим, что с помощью основных правил интегрирования, приведенных в пункте 4.2, удается выполнить интегрирование ограниченного количества функций. В большинстве случаев нужно пользоваться заменой переменной, что является одним из основных методов интегрирования. Право пользования этим методом дает следующая теорема. Теорема 4.1. Пусть функция x=ϕ(t) определена и дифференцируема на множестве {t} и множестве {x} есть множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции f(x) на множестве {x} существует первообразная функция F(x), т.е.

∫ f (x)dx = F (x) + C

(или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx)

Тогда на множестве {t} для функции первообразная функция, равная F[ϕ(t)], т.е.

∫ f [ϕ(t)]ϕ'(t)dt = F [ϕ(t)] + C

f[ϕ(t)]ϕ‘(t)

(C=const).

(4.14) существует

(4.15)

Доказательство. Для доказательства воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции dF [ϕ(t)] d ϕ(t) d F [ ϕ(t)] = ⋅ dt d ϕ(t) dt

c учетом того, что dF [ϕ(t)] d ϕ(t)

=

dF (x) = f (x). dx

Итак имеем dF [ϕ(t)] d ϕ(t) d F [ ϕ(t)] = ⋅ dt d ϕ(t) dt

или dF [ϕ(t)] =

dF [ϕ(t)] d ϕ(t)

d ϕ(t) =

dF (x) dx = F '(x)dx = f (x)dx, dx

120

что совпадает с (4.14). Теорема доказана. Ниже вычислены два важных интеграла, применяя метод замены переменной. 1.

∫

dx a 2 − x2

, x0. x a

Введем новую переменную t = . Так как x=at и dx=adt, то с учетом (4.14) имеем

∫

dx a 2 − x2

=

∫

adt a 2 − a 2t 2

=∫

dt 1− t2

= arcsin t + C.

Переходя в последнем к переменной х, окончательно получим

∫ 2.

∫a

2

dx a 2 − x2

= arcsin

x + C (4.17). a

dx + x2

Введя новую переменную t =

∫a

2

x и учитывая (4.14), имеем a

dx adt 1 dt 1 =∫ 2 = ∫ = arctg t+C. 2 2 2 2 a 1+ t a +x a +a t

Переходя в последнем к переменной х, получим

∫a

2

dx 1 x = arctg + C. (4.18) 2 a a +x

4.4. Интегрирование по частям. Применение этого метода при вычислении некоторых важных интегралов Теорема 4.2. Пусть функции U(x) и V(x) дифференцируемы на множестве {x} и на этом множестве существует первообразная для функции V(x)⋅U'(x), т.е. существует ∫ U (x) ⋅ V' (x)dx, при чем справедлива формула

∫ U (x) ⋅ V'(x)dx = U (x) ⋅ V(x) − ∫ V(x) ⋅ U '(x), или

(4.19)

∫ U (x)dV(x) = U (x) ⋅ V(x) − ∫ V(x)dU(x). 121

Доказательство. По правилу дифференцирования от произведения двух функций имеем (U(x)⋅V(x))'=U(x)⋅V'(x)+U'(x)⋅V(x).

(4.20)

Возьмем интеграл от обеих частей (4.20)

∫ (U (x) ⋅ V(x))' dx = ∫ U (x) V'(x)dx + ∫ U '(x) V(x)dx.

(4.21)

или с учетом (U(x)⋅V'(x))'dx=d(U(x)V(x)) и (4.3) U(x)⋅ V(x)= ∫ U (x) ⋅ V'(x)dx + ∫ U '(x) ⋅ V(x)dx. Так как по условию теоремы существует ∫ V(x) ⋅ U '(x)dx , то существует и

∫ U (x) V'(x)dx

и он равен

∫ U (x) ⋅ V'(x)dx = U (x) ⋅ V(x) − ∫ U '(x) ⋅ V(x)dx или

(4.22)

∫ U (x)dV(x) = U (x) ⋅ V(x) − ∫ V(x)dU (x), что совпадает с (4.19). Теорема доказана. Отметим, что метод интегрирования по частям (см.(4.22)) удобно применить в основном в следующих трех случаях: а) подынтегральные функции содержат в качестве множителя одну из функций: ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и т.д. При интегрировании по частям за функцию U(x) нужно брать одну из указанных функций. б) подынтегральные функции имеют вид: (ax+b)n cos kx, (ax+b)n sin kx,(ax+b)n ekx, где a,b,k- некоторые постоянные, n- произвольное положительное целое число. Формулу (4.22) нужно применить n-кратно, взяв каждый раз в качестве функции U(x) функцию ax+b в соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям степень ax+b будет понижаться на единицу. в) подынтегральные функции имеют вид: eaxcos bx, eaxsin bx, sin (ln x), cos (ln x) и т.д., 122

где a, b- некоторые постоянные. Обозначая каждый из интегралов ax ax ∫ e cos bxdx, ∫ e sin bxdx, ∫ sin(ln x)dx, ∫ cos(ln x)dx через I и произведя двукратное интегрирование по частям, получим для определения I уравнение первой степени. Указанные выше случаи не ограничивают возможности применения метода интегрирования по частям и при вычислении других интегралов. Ниже методом интегрирования по частям получим некоторые важные формулы, которые часто используют при вычислении многих интегралов. 1. ∫ a 2 − x 2 dx, x ≤ a , a>0. Пусть U(x)= a 2 − b 2 и dV(x)=dx. Тогда dU (x) = −

2xdx 2 a −x 2

2

=−

∫

xdx a 2 − x2

, V(x) = x и согласно (4.22) и (4.17) имеем

x 2dx

a 2 − x 2 dx = x a 2 − x 2 + ∫

x a 2 − x2 − ∫

a 2 − x2

=

∫

= a 2 − x2 x a 2 − x 2 dx + a 2 arcsin + C. a

a 2 − x2

= x a 2 − x2 − ∫

dx + a

a 2 − x2 dx 2

Или перенеся второй член правой части налево и приведя подобные члены получим

∫ 2.

∫

a 2 − x 2 dx =

x a 2 − x2 a 2 x + arcsin + C. 2 2 a

(4.23)

x 2 ± a 2 dx, x > a , a>0.

Пусть U(x)= x 2 ± a 2 и dV(x)=dx. Тогда dU(x)=

xdx x2 ± a 2

, V(x) = x и

согласно (4.22) имеем

∫ −∫

x 2 ± a 2 dx = x x 2 ± a 2 − ∫

x ± a ma 2

2

x2 ± a 2

2

x 2dx x ±a 2

2

= x x2 ± a 2 −

dx = x x ± a − ∫ x ± a dx ± a 2

2

2

где, как покажем далее (см. пункт 4.8), 123

2

2

∫

dx x2 ± a 2

(4.24) ,

dx

∫

x ±a 2

2

(4.25)

= ln x + x 2 ± a 2 + C.

Перенеся второй член правой части (4.24) влево и приведя подобные члены, получим

∫

x 2 ± a 2 dx =

x x2 ± a 2 a 2 ± ln x + x 2 ± a 2 + C. 2 2

(4.26)

3. Получим рекуррентную формулу для вычисления интеграла

∫

(

dx x2 + a 2

Для этого вычислим Пусть U (x) =

(x

1 2

+a

)

Тогда, так как dU (x) = −

∫ =

(x =

(

(x

x +a

2

2

+a2

)

2 n −1

x x2 + a

)

(

dx

)

x2 + a 2

интегрированием по частям.

n −1

2(n − 1) dx, V(x) = x, то согласно (4.22) имеем (x 2 + a 2 ) n

)

n −1

=

(x

+ 2(n − 1) ∫

2 n −1

, n=1,2,3,...,а=const.

и dV(x)=dx.

2 n −1

dx

∫

)

n

x 2

+a2

n −1

+ 2(n − 1) ∫

x2 + a 2

(x

+ 2(n − 1) ∫

)

(

2

+a

)

2 n

dx x2 + a

)

(x

x 2dx +a2

2

dx − 2(n − 1)a 2 ∫

2 n −1

− 2(n − 1)a 2 ∫

)

(x (

n

= dx +a2

2

dx x2 + a 2

) )

n

n

= .

Или

∫

(x

dx 2

4.

+a2

)

n

 1 x  = 2 2 2a (n − 1)  x + a 2 

Вычислим

∫e

(

)

x

sin xd x

n −1

+ (2n − 3) ∫

(

  2 2 n −1  x +a 

двукратным

dx

)

(4.24)

применением

метода

интегрирования по частям. Пусть U(x)=ex и sin xdx=dV(x). Тогда так как dU(x)=exdx и V(x)=cos x, то по формуле (4.22) имеем

∫e

x

sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx.

124

(4.25)

Применяя еще раз метод интегрирования по частям для вычисления x x ∫ e cos xd x, взяв U(x)=e и cos xdx=dV(x), придем к выражению

∫e

x

sin xdx = −e x cos x + e x sin x − ∫ e x sin xd x.

(4.26)

Перенеся последний член правой части (4.26) влево и решая полученное уравнение относительно ∫ e x sin xd x, окончательно получим x ∫ e sin xdx =

e x (sin x − cos x) + C. 2

(4.27)

Аналогично можно получить и формулу x ∫ e cos xdx =

e x (sin x + cos x) + C. 2

(4.28)

5. Интерферированием по частям можно получить и рекуррентные формулы для вычисления неопределенных интегралов от некоторых тригонометрических функций. положительное Рассмотрим, например, ∫ sin n xdx, где n- целое

число. Предположим, что U(x)=sinn-1x и dV(x)=sin xdx. Тогда dU(x)=(n)sinn-2x⋅ ⋅cos xdx, V(x)=-cos x и

∫ sin

n

xdx = − cos x ⋅ sin n −1 x + (n − 1) ∫ cos 2 x ⋅ sin n −2 xdx =

= − cos x ⋅ sin n −1 x + (n − 1)∫ sin n −2 xdx − (n − 1) ∫ sin n xdx.

Решая

полученное

уравнение

относительно

(4.29)

∫ sin

n

xdx ,

перенеся

последний член правой части (4.29) налево, получим

∫ sin

n

n −1 1 xdx = − cos x ⋅ sin n −1 x + sin n −2 xdx. n n ∫

(4.30)

Аналогично можно получить и следующие рекуррентные формулы n −1 1 sin x ⋅ cos n −1 x + cos n −2 xdx, n>0- целое, n n ∫ sin x dx 1 n −2 dx (4.31) ∫ cos n x = n − 1 cos n −1 x + n − 1 ∫ cos n −2 x, n>0- целое, dx 1 cos x n −2 dx (4.32) ∫ sin n x = − n − 1 sin n −1 x + n − 1 ∫ sin n −2 x, n>0- целое

∫ cos

n

xdx =

125

4.5. Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Лагранжа Определение 4.3. Рациональной дробью называется отношение двух

алгебраических

многочленов

Pn(x)

и

Qm(x)

 Pn (x)     Q m (x) 

с

действительными коэффициентами, где многочлен Pn(x) степени n, а многочлен Qm(x)- степени m, т.е. Pn(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, Qm(x)=bmxm+bm-1xm-1+...+b1x+b0. Определение

4.4.

Рациональная

дробь

Pn ( x) Qm ( x )

называется

правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе (n〉 m ) (например, Определение

4.5.

Рациональная

дробь

Pn (x) Q m (x)

x ). x +1 2

называется

неправильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе(n≥m) (например, x2 x3 + 1 или ). x +1 x2 + 2

Таким

образом,

при

интегрировании

дробно-рациональных



Pn (x)  dx мы столкнемся со случаями:  Q m (x) 

функций  ∫

1). n≥m Pn (x) − неправильная рациональная дробь. Q m (x)

2). n<m Pn (x) − правильная рациональная дробь. Q m (x)

Оказывается, первый случай сводится ко второму простым делением многочлена степени n на многочлен степени m с использованием известного правила алгебры Pn (x) о с т ат о к . =целая часть + д е лит е ль Q m (x)

126

(4.33)

Например, пусть

Pn (x) x 4 − x 3 + 1 = , тогда Q m (x) x 2 + x + 2

деля числитель на

знаменатель столбиком имеем x4 -x3 +1 x4 +x 3 +2x

x2 +x+2 2

x2 -2x

-2x3 -2x2 +1 -2x3 -2x2 -4x 4x+1

Итак, согласно (4.33) x4 − x3 + 1 4x + 1 = x 2 − 2x + 2 , 2 x +x+2 x +x+2

т.е. неправильную рациональную дробь

x4 − x3 + 1 представили в виде x2 + x + 2

суммы многочлена второй степени x2-2x(что просто интегрировать) и правильной

рациональной

4x + 1 (см. x +x+2

дроби

2

также

пункт

4.9

настоящего раздела). Таким образом, приходим к выводу, что нам необходимо знакомиться с методами интегрирования правильных рациональных дробей. Заметим, что правильные рациональные дроби в основном интегрируются методом неопределенных коэффициентов Лагранжа, на основании следующей теоремы. Теорема 4.3. Пусть

Pn (x) Q m (x)

правильная рациональная дробь с

действительными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид: Qm(x)= (x − a 1 ) (x − a 2 ) ... (x − a k ) α1

⋅ (x 2 + p l x + q l ) ,

α2

αk

(x

βl

2

+ p1x + q 1

) (x β1

2

+ p 2x + q 2

)

β2

⋅...

(4.34)

где квадратные трехчлены x2+p1x+q1,...,x2+pℓx+qℓ имеют комплексные корни. Тогда для этой дроби справедливо разложение на сумму правильных простейших рациональных дробей в виде:

127

(1)

(1)

(k )

(k )

(1) Pn ( x) Aα 1 A A A2 A 2 = 1 + + ... + + ... + 1 + + ... + α1 2 Qm ( x) x − a1 ( x − a1 ) x − ak ( x − ak ) 2 ( x − a1 ) (1)

(1)

(k ) (1) (1) (1) (1) C β x + D β1 Aαk C1 x + D1 C 2 x + D2 + + + + ... + 2 1 + ... + αk 2 2 2 ( x − ak ) x + p1 x + q1 ( x + p1 x + q1 ) ( x + p1 x + q1 ) β1

(l)

(4.35)

( l)

(l) ( l) (l) ( l) Cβl x + Dβl C1 x + D1 C2 x + D2 + 2 + 2 + + ... , x + pl x + ql (x + pl x + ql )2 (x2 + pl x + ql ) βl

где

A1(1),...,

(k )

(1)

(l)

(1)

(l)

Aαk , C1 ,...,Cβl , D1 ,...,Dβl −

пока

неизвестные

действительные постоянные, часть из которых могут быть нули, а α1,..., αk, β1,...,βℓ - целые положительные числа. Ниже, основываясь на теорему 4.3, на простейшем примере покажем, как можно разложить неправильную рациональную дробь на сумму правильных простых рациональных дробей и как можно найти неопределенные коэффициенты Лагранжа(подробнее см. пункт 4.9. настоящего раздела). Итак, пусть имеем P1 (x) x , = Q 3 (x) (x − 1) x 2 + x + 1

(

)

где квадратный трехчлен x2+x+1 имеет комплексные корни. Согласно(4.35) имеем x

(x − 1)(x

2

)

+ x +1

=

A Bx + D , + 2 x −1 x + x +1

(4.36)

где A, B, D- пока неопределенные действительные коэффициенты Лагранжа. Для их нахождения приведем правую часть разложения (4.36) к общему знаменателю. После некоторых преобразований получим x

(x − 1)(x 2 + x + 1)

=

(A + B)x 2 + (A − B + D )x + A − D

(x − 1)(x 2 + x + 1)

. (4.37)

Как видно из(4.37), у равных правильных рациональных дробей знаменатели одинаковые, откуда следует, что и числители должны быть одинаковыми, т.е. x=(A+B)x2+(A-B+D)x+A-D или

0⋅x2+1⋅x+0⋅x0=(A+B)x2+(A-B+D)x+(A-D)x0. 128

Как известно из алгебры, постеднее равенство удовлетворяется для произвольного х, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева, т.е. если x 2 A + B = 0, x A − B + D = 1, x 0 A − D = 0.

Решая полученную систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов А, В, D, получим 1 1 1 A = ,D = ,B = − . 3 3 3

Тогда(4.36) перепишется в виде x x −1 1 1 1 = ⋅ − ⋅ 2 . 2 ( x − 1) x + x + 1 3 x − 1 3 x + x + 1

(

)

Таким образом, согласно теореме 4.3, вопрос интегрирования правильных рациональных дробей сводится к вопросу интегрирования простейших правильных дробей следующих видов: 1.

A x−a

3.

Bx + D x + px + q

A (x − a ) α Bx + D 4. 2 , (x + px + q ) β

2.

2

(4.38)

где A, B, D- действительные постоянные, α и β- целые положительные числа (α≠1, β≠1), а квадратный трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней(p2-4q<0). Заметим, что

Adx

∫ x−a

и

Adx

∫ (x − a )

α

вычисляются непосредственно по

формулам(4.8), т.е. d (x − a ) = A ln x − a + C, x−a ( x − a )1−α + C. Adx −α ( ) = A ( x − a ) d x − a = A ∫ ( x − a)α ∫ 1−α A

∫ x − a dx = A ∫

129

(4.39)

∫x

Теперь займемся вычислением

Bx + D dx. + px + q

2

Выделяя полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции и введя

новую

переменную

по

формуле

t = x+

p p   x = t − , dx = dt  и  2 2

учитывая(4.8) и (4.18), получим

∫x

=

∫

Bp   Bt +  D −   2   p2  t 2 +  q −  4  

Bx + D dx = ∫ + px + q

2

2

dt = B∫

(Bx + D )dx  p p2    x +  +  q −   2 4   2

2

=

Bp  dt  = + D − ∫ 2  2  2  2   p p q −  t 2 +  q −  4  4  

tdt

2

 t 2 +  

2    p2   2  d t +  q −   4      dt B  2 p2  B  Bp  t q D ln = + − = ∫ + −  +   2 2  2  4 2 2 ∫ 2  2    p p t 2 +  q −  t 2 +  q −  4  4   

Bp   + D −   2 

1 2

p q− 4

arctg

t p2 q− 4

+ C.

(4.40)

Далее переходя к переменной х в (4.40), окончательно имеем

∫x

Bx + D B Bp   dx = ln x 2 + px + q +  D − ⋅  2 2  + px + q p x+ 1 2 + C. ⋅ arctg 2 p p2 q− q− 4 4

(

2

Аналогично выражению:

∫ (x

2

вычисляя

)

∫

(x

Bx + D 2

+ px + q

)

β

dx ,

мы

1 β Bx + D ⋅ dx = − β 2 2 (β − 1) x + px + q + px + q )

(

p  d x +  2 

(4.41)

переходим

)

β −1

Bp   + D − + C,  2 β 2 ∫   2 2    p   q− p   + + x      2 4     

130

+

(4.42)

к

где интеграл в правой части берется с помощью рекуррентной формулы(4.24). В заключение этого пункта методом Лагранжа получим следующую формулу

∫a Для

этого

2

1 a+x dx ln = +C . 2 2a a − x −x

заметим,

рациональную дробь

что

1 a − x2

подынтегральную

правильную

можем представить в виде суммы

2

простейших правильных рациональных дробей с неопределенными коэффициентами А и В.

∫a

2

(A − B)x + aA + aB . dx 1 A B = = + = 2 −x (a − x)(a + x) a − x a + x (a − x)(a + x)

Отсюда 0⋅х+1=(A-B) х + aA + aB и для определения A и В приходим к системе линейных уравнений A − B = 0,

x

x aA + aB = 1. 0

Решая последнюю, получим A=B=

1 . 2a

Тогда имеем

∫a

2

dx 1  dx 1 a +x dx  1 = +∫ + C. ln ∫  = ( − ln a − x + ln a + x ) = 2 2a  a − x 2a a − x a + x  2a −x

Отсюда, как следствие, можно получить и формулу

∫x

2

dx 1 a −x = + C. ln 2 2a a + x −a

4.6. Интегрирование тригонометрических выражений В пункте 1.4.5 мы установили, что интеграл от любой рациональной дроби представляет собой элементарную функцию. В настоящем пункте и далее мы рассмотрим другие классы функций, которые также интегрируются в элементарных функциях. Как правило, 131

мы с помощью определенной подстановки будем сводить интеграл к интегралу от рациональной дроби. Определение 4.6. Рациональной функцией R(x,y) от двух аргументов x и у называется отношение вида R ( x, y ) =

Pn ( x, y ) , Qm ( x , y )

где Pn(x,y) и Qm(x,y) являются многочленами степени n и m с действительными коэффициентами относительно двух аргументов х и у, т.е. Pn(x,y)=a00+a10x+a01y+a20x2+a11xy+a02y2+...+a0nyn, Qm(x,y)=b00+b10x+b01y+b20x2+b11xy+b02y2+...+b0mym. Теперь перейдем к рассмотрению интегралов от функций вида R(cos x,sin x), т.е. к интегралам

∫ R (cos x, sin x)d x.

(4.43)

Для вычисления подобных интегралов делаем подстановку π t = tg , − π < x < π . 2

x=2arctg t, dx =

(4.44) 2dt . 1+ t2

Теперь используя известные тригонометрические формулы x 2 и cos x = sin x = 2 x 2 x 1 + tg 1 + tg 2 2 2tg

x 2

1 − tg 2

и учитывая(4.44), получим sin x =

1− t2 2t = и cos x . 1+ t2 1+ t2

Тогда исходный интеграл(4.43) превращается в следующий

132

 2t 1 − t 2  2dt R x x R (cos , sin )dx = ∫ ∫  1 + t 2 , 1 + t 2  1 + t 2 .

Так как рациональная функция от рациональной функции также является рациональной функцией, то стоящий справа в (4.45) интеграл есть интеграл от рациональной дроби, который умеем интегрировать (см. пункт 1.4.5). Заметим далее, что хотя (4.44) является универсальной подстановкой, но иногда приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях подынтегральной функции R(cos x,sin x) в (4.43) удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим эти частные случаи. 1. Пусть рациональная функция R(cos x,sin x) в(4.43) меняет знак при изменении знака одного из аргументов, т.е. R(-cos x/sin x)=-R(cos x,sin x) или R(cos x ,-sin x)=-R(cos x,sin x). Тогда удобнее сделать подстановки sin x=t или cos x=t. (4.45) 2. Пусть рациональная функция R(cos x,sin x) в(4.43) не меняет своего значения при одновременном изменении знаков cos x и sin x, т.е. R(-cos x,-sin x)=R(cos x,sin x). Тогда удобнее пользоваться подстановкой π 2

t=tg x, − < x <

π 2

(4.46)

c учетом того, что x = arctgt, dx =

1 1 tg 2 x t2 dt 2 2 ,cos = = , sin = = . x x 1+ t2 1 + tg 2 x 1 + t 2 1 + tg 2 x 1 + t 2

В заключение этого пункта еще раз напомним, что некоторые рекуррентные формулы, связанные с интегрированием тригонометрических функций, нами получены в пункте 1.4.5 методом интегрирования по частям. Ими также часто пользуются при вычислении интегралов от тригонометрических функций.

133

4.7. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей и дифференциальных биномов Рассмотрим интегралы вида 

∫ R  x, 

где R  x, n 

a 1x + b 1   a 2x + b 2 

линейной

n

a 1x + b 1   dx, a 2x + b 2 

(4.47)

есть рациональная функция от х и от дробно-

иррациональности n

a 1x + b 1 , a 2x + b 2

a1,

b1,

a2,

b2-некоторые

действительные постоянные, n- целое положительное число. Покажем, что при условии a1b2-a2b1≠0 интеграл (4.47) можно вычислить подстановкой t= n

a 1x + b 1 . a 2x + b 2

(4.48)

На самом деле, так как из(4.48) следует, что x=

и dx =

(

)

b 2 t n − b1 a 1 − a 2t n

(

b 2 nt n −1 a 1 − a 2 t n − a 2 nt n −1 b 2 t n − b1

(a

1

− a 2t

)

n 2

) dt = n (a b − a b ) ⋅ t (a − a t ) 1

2

2

1

n 2

1

n

dt ,

2

то(4.47) примет вид  b 2 t n − b 1  n (a 1b 2 − a 2 b 1 )t n R ∫  a 1 − a 2 t n , t  a − a t n 2 dt 1 2

(

)

(4.49)

и мы приходим к интегралу от дробно рациональной функции, интегрировать которую мы умеем(см. пункт 1.4.5). Теперь перейдем к вопросу интегрирования дифференциальных биномов. Определение 4.7. Дифференциальным дифференциальное выражение вида 134

биномом

называется

xm(a+bxn)pdx,

(4.50)

где а,b- произвольные действительные постоянные. Еще в середине прошлого столетия известным математиком Чебышевым было доказано, что интегралы от дифференциальных биномов, т.е. интегралы вида

(

m n ∫ x a + bx

)

p

(4.51)

dx,

рационализируются только в трех случаях значений m, n, p. Рассмотрим эти случаи по отдельности: 1. p- целое число В этом случае для вычисления (4.51) можно пользоваться двумя способами. Или вводим новую переменную t= r x , где r есть общий знаменатель дробей m и n, или просто возведя a+bxn в целую степень p, приходим к сумме интегралов от степенных функций. 2.

m +1 - целое число n

В этом случае интеграл (4.51) вычисляется подстановкой a+b⋅xn=tν ,

(4.52)

s где ν- знаменатель дроби p = . ν

3.

m +1 + p - целое число n

В этом случае интеграл(4.51) вычисляется подстановкой a+bxn=tν⋅xn, s ν

где ν- знаменатель дроби p = . Заметим, что во всех остальных случаях значений чисел m, n, p, не совпадающих с выше разобранными случаями, для вычисления интеграла(4.51) требуется применение приближенных или численных методов интегрирования. 4.8. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера Рассмотрим интеграл вида 135

∫ R (x,

(

где R x, ax 2 + bx + d

)

)

(4.53)

ax 2 + bx + d dx,

есть рациональная функция от независимой

переменной х и от квадратичной иррациональности ax 2 + bx + d , ax2+bx+d ≥0, a, b, d- действительные постоянные числа. Отметим, что если у квадратного трехчлена ax2+bx+d равные действительные корни и а>0, то иррациональность ax 2 + bx + d заменяется рациональным выражением и для рационализации интеграла(4.53) не требуется никакой подстановки. А если у квадратного трехчлена ax2+bx+d нет равных действительных корней, то для вычисления интеграла (4.53) необходимо пользоваться известными тремя подстановками Эйлера. Рассмотрим их по отдельности. 1. Первая подстановка Эйлера. Пусть квадратный трехчлен ax2+bx+d не имеет действительных корней(D=b2-4ad<0) и a>0. В этом случае интеграл (4.53) вычисляется первой подстановкой Эйлера ax 2 + bx + d =t- a x ,

(4.54)

ax 2 + bx + d =t+ a x .

(4.55)

или

Возведя обе части (4.54) в квадрат ax 2 + bx + d = t 2 − 2 a tx + a x 2

и решая относительно х, получим x=

t2 − d 2 at + b

.

(4.56)

Нетрудно заметить, что при этом dx = 2

a t 2 + bt + d a

(2

ax 2 + bx + d =

at + b

)

2

dt.

a t 2 + bt + d a 2 a +b

136

(4.57) .

(4.58)

Тогда с учетом (4.56),(4.57),(4.58) подынтегральное выражение в (4.53) принимает вид

(

)

2  t2 − d a t 2 + bt + d a  2 a t + bt + d a ∫ R  2 a t + b , 2 a t + b  (2 a t + b) 2 dt.

Отметим, что подстановка(4.55) приведет нас к аналогичному результату. 2. Вторая подстановка Эйлера. Если квадратный трехчлен ax2+bx+d не имеет действительных корней (D=b2-4ad<0) и d > 0, то интеграл(4.53) вычисляется второй подстановкой Эйлера: ax 2 + bx + d =xt-

d,

(4.59)

ax 2 + bx + d =xt+ d .

(4.60)

или

Если возвести обе части (4.59) в квадрат, то получим ax2+bx+d=x2t2-2 d tx+d. Отсюда следует, что b + 2 dt , t2 − a a d + bt dx = −2 ⋅ dt, 2 t2 − a

(4.61)

x=

(

ax 2 + bx + d =

(4.62)

)

dt 2 + bt + da t2 − a

(4.63)

Теперь с учетом(4.61), (4,62), (4,63) интеграл принимает вид  b + 2 dt dt 2 + bt + da  bt + a d  , dt. 2 2 t2 − a  t −a  t2 − a

-2 ∫ R 

(

)

Подстановка(4.60) приводит к аналогичному результату. 3. Третья подстановка Эйлера.

137

Если корни х1 и х2 квадратного трехчлена ax2+bx+d действительные и х1≠х2, то ax2+bx+d=a(x-x1)(x-x2) и для вычисления интеграла (4.53) пользуемся третьей подстановкой Эйлера ax 2 + bx + d = a (x − x1 )(x − x 2 ) =t(x-x1),

(4.64)

или ax 2 + bx + d = a (x − x1 )(x − x 2 ) =t(x-x2).

(4.65)

Если возвести обе части(4.64) в квадрат и найти х через новую переменную t, то получим x=

2a (x1 − x 2 )t x1t 2 − ax 2 dt, , dx = 2 2 t −a t2 − a2

(

ax 2 + bx + d =

Тогда, как нетрудно интеграл(4.53) принимает вид

a( x1 − x 2 ) ⋅ t. t2 − a

заметить,

(4.66)

)

(4.67) с

учетом

(4.66),

(4.67)

 x t 2 − ax 2 a (x1 − x 2 )t  (x1 − x 2 )t  2a ∫ R  1 2 , dt. t 2 − a  (t 2 − a ) 2  t −a

В заключение этого пункта получим формулу (4.25) с помощью первой подстановки Эйлера (4.54). Рассмотрим

dx

∫

x ±a2 2

. Так как многочлен второй степени под

квадратным корнем не имеет действительных корней и коэффициент при х2 имеет положительный знак, то пользуемся первой подстановкой Эйлера x 2 ± a 2 =t-x. Отсюда x=

t 2 ma 2 t2 ± a2 , dx= dt, 2t 2t 2 x2 ± a 2 =

и

∫

dx x ±a 2

2

=

(

2t ⋅ t 2 ± a 2

∫ (t

2

±a

2

) dt =

) ⋅ 2t

2

t2 ± a2 2t

∫ dt =ln t +C=ln x +

что совпадает с (4.25). 138

x 2 ± a 2 + C,

Примеры Пример 1. Вычислить

∫

(2

3

) (

x + 1 ln

33 x 2

Решение: Заменяя, что формуле

3

x + 2

3

dx 3

3 x

2

) dx , x>0.

(4.68)

= d 3 x и введя новую переменную по

x = y , (4.68) перепишем в виде

∫ (2

3

x + 1) ln(3 x + 2)d 3 x = ∫ (2 y + 1) ln( y + 2)dy .

(4.69)

Интеграл (4.69), вычислим методом интегрирования по частям, взяв U = ln( y + 2 ), dU =

dy и dV = ( 2 y + 1) dy , y+2

V = y2 + y .

Тогда, согласно (4.19), имеем 2 ∫ (2 y + 1) ln( y + 2)dy = ( y + y ) ln( y + 2) − ∫

y2 + y dy . y+2

(4.70)

Второй член в правой части (4.70) представляет собой неопределенный интеграл от неправильной рациональной дроби y2 + y . y + 2

Выделяя в этой дроби целую часть (см. пункт 4.5.) и представляя ее в виде

∫

y2 + y 2 = y −1+ , y + 2 y + 2

после вычисления интеграла

y2 + y y2 dy = − y + 2 ln( y + 2) + C , из (4.70) получим y+2 2

y2 ∫ (2 y + 1) ln( y + 2)dy = ( y + y ) ln( y + 2) − 2 + y − 2 ln( y + 2) + C . 2

Теперь остается перейти к переменной x в (4.71).

Ответ: 139

(4.71)

∫

( 23 x + 1) ln( 3 x + 2) 3

3 x

2

dx = ( 3 x 2 + 3 x − 2) ln( 3 x + 2) −

13 2 3 x + x + C. 2

Пример 2. Вычислить

∫

tg

π x sin x(1 + cos x ) ⋅ dx , 0 ≤ x ≤ . 2 2 sin x + 1

(4.72)

Решение: Применяя подстановку (4.44) с учетом x = 2arctgt, dx = 2dt 2t 1− t2 , sin x = , cos x = получим 1+ t2 1+ t2 1+ t2

∫

x sin x(1+ cosx) tg ⋅ dx = ∫ 2 sin x +1

2t  1− t 2  1+  1+ t 2  1+ t 2  2dt tdt ⋅ = 4∫ . (4.73) t⋅ 2 2t 1+ t (t +1)2 (t 2 +1) +1 1+ t 2

Подынтегральная функция в (4.73) является правильной рациональной дробью относительно переменной t. Представим ее в виде суммы простейших правильных дробей методом Лагранжа (см. (4.35)). Имеем t A B Et + D = + + 2 , 2 2 (t + 1) (t + 1) t + 1 (t + 1) t +1

(4.74)

2

что приводит к системе линейных уравнений для определения неопределенных коэффициентов A, B, E, D: t 3  A + B = 0,  t 2  A + B + 2 E + D = 0,  t  A + E + 2 D = 1, t 0  A + B + D = 0.

(4.75)

1 2

Решая систему (4.75), получим А=0, В = − , Е = 0, D = вместо интеграла (4.73) будем иметь

140

1 . Тогда 2

4∫

tdt dt dt = −2∫ + 2∫ 2 = 2(t + 1) −1 + 2arctgt + C 2 2 2 (t + 1) (t + 1) (t + 1) t +1

Возвращаясь к старой переменной, получим

∫

Ответ:

∫

tg

tg

x sin x(1 + cos x) ⋅ dx = 2 sin x + 1

x sin x(1 + cos x) ⋅ dx = 2 sin x + 1

2 + x+C x tg + 1 2

2 + x+C . x tg + 1 2

Пример 3. Вычислить:

∫x

dx 3

1 + x5

.

(4.76)

Решение: Если перепишем (4.76) в виде −

1

−1 5 ∫ x (1 + x ) 3 dx ,

(4.77)

то заметим, что под интегралом в (4.77) стоит дифференциальный бином (см. пункт 4.7), причем m=-1, n=5, p = −

1 m +1 и = 0 - целое число. Для 3 n

вычисления интеграла (4.77) делаем подстановку (4.52). Итак имеем 1+x5 = t3 , (1+x5)

−

1 3

1

= t-1, x = (t3 -1) 5 , dx =

4

− 3 3 (t - 1) 5 t2 dt . 5

(4.78)

Тогда (4.77) с учетом (4.78) принимает вид 1

4

− − 3 tdt 3 3 . (t − 1) 5 t −1 (t 3 − 1) 5 t 2 dt = ∫ ∫ 5 (t − 1)(t 2 + t + 1) 5

Функция

t (t − 1)(t 2 + t + 1)

(4.79)

под интегралом в (4.79) представляет

собой правильную рациональную дробь, которую можем представить в виде суммы простейших правильных рациональных дробей методом Лагранжа в виде 141

t (t − 1)(t + t + 1) 2

=

A Bt + D + 2 . t −1 t + t +1

Для определения пока неизвестных коэффициентов A, B, D получим систему уравнений t 2  A + B = 0,  t  A − B + D = 1, t 0  A − D = 0.

Отсюда А =

1 1 1 , В = − , D = и интеграл (4.79) принимает вид 3 3 3

tdt dt 1 dt 1 (t − 1)dt 1 1 1 − ∫ 2 = ln t − 1 − ∫ + ∫ = 2 2 ∫ 5 t −1 5 t + t +1 5 5  1 3 5  1 3 t +  + t +  + 4 4  2  2 1 1 3 2t + 1 1 (t − 1) 2 3 2t + 1 = ln t − 1 − ln t 2 + t + 1 + arctg + C = ln 2 + arctg +C, 5 10 5 10 t + t + 1 5 3 3

где t = 3 1 + x 5 . 1 (3 1 + x5 −1) 2 3 23 1 + x5 + 1 + arctg +C. = ln Ответ: ∫ 3 3 x 1 + x5 10 (3 1 + x5 ) 2 + 3 1 + x5 + 1 5 dx

Пример 4. Вычислить:

∫x

(x − 1)dx 2

2x 2 − 2x + 1

, x≠0.

(4.80)

Решение: Так как квадратный трехчлен 2x2 – 2x + 1 не имеет действительных корней (D = -4 < 0) и коэффициент при x2 положительное число (2 > 0), то для вычисления (4.80) можно пользоваться первой подстановкой Эйлера (4.54). Имеем 2x 2 − 2x + 1 = t − 2x ,

dx =

2t 2 − 2t + 2 2( 2t − 1) 2

dt ,

2x 2 − 2x + 1 =

142

x=

t 2 −1 2( 2t − 1)

2t 2 − 2t + 2 2( 2t − 1)

,

.

(4.81)

Тогда с учетом (4.81) интеграл (4.80) принимает вид

∫x

( x − 1)dx 2

2x 2 − 2x + 1

= 2∫

t 2 − 2 2t + 1 dt . (t − 1) 2 (t + 1) 2

(4.82)

Для вычисления (4.82) разложим подынтегральную правильную рациональную дробь на простые правильные рациональные дроби с неопределенными коэффициентами в виде t 2 − 2 2t + 1 A B E D . = + + + 2 2 2 t − 1 (t − 1) t + 1 (t + 1) 2 (t − 1) (t + 1)

(4.83)

Приведя правую часть (4.83) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t справа и слева в знаменателях (4.83), получим следующую систему линейных уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D. t 3  A + E = 0,  t 2  A + B − E + D = 1,  t  − A + 2 B − E − 2 D = −2 2 , t 0 − A + B + E + D = 1.

Решая систему (4.84), получим А = E = 0, В =

(4.84)

1− 2 1+ 2 , D= . 2 2

Тогда вместо интеграла (4.82) будем иметь 2∫

t 2 − 2 2t + 1 dt dt dt = (1 − 2 ) ∫ + (1 + 2 ) ∫ 2 +C = 2 2 2 2 (t + 1) (t + 1) (t − 1) (t + 1) 2 =−

1− 2 1+ 2 2 −t +C , − +C = 2 2 t −1 t +1 t −1

(4.85)

где С - производная постоянная . Взяв С = 2 +С, где С – производная постоянная , и переходя в (4.85) к переменной x, окончательно получим 2 −t 2 2 + 2 +C = t −1

143

2x 2 − 2x + 1 + C. x

∫x

Ответ:

( x − 1)dx 2x 2 − 2x − 1

2

=

2x 2 − 2x + 1 + C. x

Тест Вычислить неопределенные интегралы. 1.

∫

2x − arcsin x 1 − x2

dx , -1<x<1.

а) − ln 1 − x − 2

2 (arcsin x) 3

б) ln|1-x2|+c;

(arcsin x)3

в)

3

3

+c;

+c;

2 3

г) - x+c/ 2.

∫

xdx 3

x + 43 x 2

, x>0.

а) 966 x − 192arctg б)

6

x + x; 2

6 x 66 5 x − 8 x + 966 x − 192arctg + c; 5 2

в) 6 x 5 − 8 x + c ; г) ar ctg 3.

∫ (x e

2 x

6

x +c. 2

)

+ ln 2 x dx , x>0.

а) ex(x2-2x+2)+c; б) lnx(lnx-2)+c; в) xlnx+c; г) ex(x2-2x+2)+xlnx(lnx-2)+2x+c. 4. ∫ x 3ch 3xdx .  x 3 2x  +  sh 3x + c ; 9  3

а) 

144

 x 3 2x  x2 +  sh 3x − + c; 9 3  3

б) 

 x 3 2x   x3 2  в)  +  sh 3x −  +  sh 3x + c ; 9  3  3 27 

г) 5.

x3 sh 3x + c . 3 dx

∫ 5 − 4 sin x + 3 cos x . 1

+c; x 2 − tg 2 1 б) +c; 2 x в) tg +c; 2 1 +c. г) − x tg 2

а)

6.

∫

(

dx sin 2 x + 2 cos 2 x

а) −

)

tgx

(

2

)

4 tg 2 x + 2

б) arctg

tgx 2

.

+c;

+c;

1 +c; tg x + 2 tgx tgx 3 arctg г) − + +c. 2 4 tg x + 2 4 2 2

в)

2

(

7.

∫

)

dx x

3

(1 − x) а) б)

3

, x≠0, x≠-1.

15x 2 + 5x − 1 4x 2 1 + x

+c;

1 1 + x −1 +c; + ln 1+ x 8 1 + x +1 1

145

8.

∫

в)

15x 2 + 5x − 2 15 1 + x −1 +c; + ln 2 8 4x 1 + x 1 + x +1

г)

1 1 + x −1 +c; + ln 2 x 1 + x +1

x 3 + x 4 d x , x>0.

а)

(x + x )

1 3

2 3

−

1 + 2x 1 x + x 2 + ln x + 1 + x + c ; 8 8

3 1 x + x2 x + x2 − +c; 3 8 1 в) ln x + 1 + x + c ; 2 1 + 2x 1 x + x 2 + ln x + 1 + x + c . г) − 8 8

(

б)

9.

∫

(

x 9dx

)

x4 − 1

2

)

, x≠±1.

а)

1 2x 6 − 3x 2 1 x 2 − 1 + c; + ln 2 ⋅ 4 x4 −1 2 x +1

б)

1 2x 6 − 3x 2 3 x 2 − 1 + c; + ln 2 ⋅ 4 x4 −1 8 x +1

в)

1 ln|x2-1|+c; 8

г) 3ln|x2+1|+c. 10.

∫

(x

xdx 2

а)

)

− 3x + 2 x 2 − 4x + 3

∫

, x<1 U x>3.

d F (x) = F (x) + C

б) arcsin

;

1 +c; x−2

в)

x 2 − 4x + 3 +c; x −1

г)

x 2 − 4x + 3 1 − arcsin +c. x −1 x−2

146

Раздел V. Определенный интеграл и его применение 5.1. Определение определенного интеграла Рассмотрим геометрическую задачу вычисления площади криволинейной трапеции и покажем, как при ее решении приходим к понятию определенного интеграла. Пусть на плоскости X0Y имеем криволинейную трапецию ABCD, ограниченную кривой y=f(x), определенной и непрерывной при x∈[a;b], и двумя прямыми x=a и x=b (см.рис.5.1). y

C

y=f(x)

B

0

A x0=a

D x1

x2

xi

x i+1

xn=b

x

Рис. 5.1. Разделим основание AB этой трапеции на n частей произвольным образом(разбиение Т) и проведем ординаты соответствующих точек деления x0=a<x1<x2<...<xi<xi+1<...<xn=b. Точки x0, x1, x2,..., xi, xi+1,...,xn называются точками разбиения T. Возьмем i-тую элементарную трапецию и заменим ее приближенно прямоугольником с основанием ∆xi=xi+1-xi и высотой f(ξi), где ξi абсцисса произвольной точки из сегмента [xi;xi+1]. Тогда площадь i-той трапеции приближенно равна площади i- того прямоугольника, т.е. Si≈f(ξi)⋅∆xi. Если суммировать площади всех элементарных прямоугольников (i=1,2,...,n), то получим приближенную площадь криволинейной трапеции ABCD в виде

S ABCD

n

∑ f (ξ ) ⋅ ∆x i =1

i

i

147

(5.1)

Очевидно, что точное значение криволинейной площади SABCD получим, если в (5.1) перейдем к пределу, когда max ∆xi→0 (n→∞), т.е. S ABCD =

Последнее,

как

n

lim

max ∆xi →0 i

∑ f (ξ )∆x .

(5.2)

i =1

покажем

ниже,

по

определению

и

есть

b

определенный интеграл от функции f(x) в пределах от a до b ( ∫ f (x)dx ). a

Определение 5.1. Сумма вида n

I(xi,ξi)= ∑ f (ξ i )∆xi =f(ξ1)∆x1+f(ξ2)∆x2+...+f(ξn)∆xn

(5.3)

i =1

называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению Т сегмента [a;b] и данному выбору промежуточных точек ξi на частичных сегментах [xi-1,xi]. Определение 5.2. Конечный предел интегральных сумм функции f(x) при стремлении к нулю max ∆xi называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается так b

∫ f (x)dx = a

n

lim

max ∆x i →0

∑ f (ξ) ∆x

i

.

(5.4)

i =1

5.2. Верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу и их свойства Пусть функция f(x) определена и ограничена на сегменте [a;b] и для этого сегмента имеем разбиение Т a=x0<x1<x2<...<xi-1<xi<...<xn. Предположим, что Мi является точной верхней гранью, а mi точной нижней гранью функции f(x) на i-ом элементарном сегменте [xi-1, xi] (см. рис. 5.2. для случая непрерывной функции f(x)).

148

y Mi

y=f(x)

mi

a

xi

xi-1

b

x

Рис. 5.2.

Определение 5.2. Суммы вида n

S=M1∆x1+M2∆x2+...+Mn∆xn= ∑ M i ∆xi , i =1

n

s=m1∆x1+m2∆x2+...+mn∆xn= ∑ mi ∆xi ,

(5.5.)

i =1

называются, соответственно верхней и нижней интегральными суммами Дарбу функции f(x) для данного разбиения Т сегмента [a,b]. Как видно из рисунка 5.2, верхняя сумма Дарбу S равна площади ступенчатой фигуры, которая содержит криволинейную трапецию, а нижняя сумма Дарбу s равна площади ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции. Ниже приведем основные свойства сумм Дарбу (5.5.) без доказательства. 1. Для любого фиксированного разбиения Т сегмента [a,b] и для любого ε>0 промежуточные точки ξi на сегменте [xi-1; xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi,ξi} будет удовлетворять неравенствам 0≤S-J{xi, ξi}<ε,

(5.6)

0≤ J{xi, ξi}-s<ε,

(5.7)

или

149

2. Если разбиение Т′ сегмента [a,b] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента, то верхняя сумма Дарбу S′ разбиения Т′ не больше верхней суммы S разбиения Т, а нижняя сумма Дарбу s′ разбиения Т′ не меньше нижней суммы Дарбу s разбиения Т, т.е. s≤s′, S≤S′.

(5.8)

3. Если Т′ и Т′′ любые два разбиения сегмента [a,b], то нижняя сумма Дарбу одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму Дарбу другого, т.е. s′≤S′′, s′′≤S′

(5.9)

4. Множество {S} верхних сумм Дарбу данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [a,b] ограничено снизу, а множество {s} нижних сумм Дарбу ограничено сверху.

5.3. Интегрируемость функций. Свойства определенного интеграла Определение 5.2. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b], если существует определенный интеграл от b

функции f(x) по сегменту [a,b] (т.е. существует ∫ f (x)dx ). a

Теорема 5.1 (необходимое и достаточное условие интегрируемости). Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], что S-s≤ε  lim (S − s) = 0 . mzx ∆x i →0

(5.10)

Заметим, что условие (5.10) можно записать и в другой форме. Пусть Mi=sup{f(x)} и mi=inf{f(x)} являются точными верхней и нижней гранями функции f(x) на сегменте [xi-1,xi]. Так как Mi-mi≥0 то величина ωi=Mi-mi, называется колебанием функции f(x) на сегменте [xi-1,xi], не отрицательно, т.е. ωi≥0. Тогда согласно (5.5) имеем

150

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

S − s = ∑ M i ∆x i − ∑ m i ∆x i = ∑ (M i − m i )∆x i = ∑ ω i ∆x i .

Поскольку ωi ≥ 0 и ∆х>0, то каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно, условие (5.10) можно переписать в виде: n

∑ ω ∆x i

i

(5.11)

≤ε

i =1

Теорема 5.2. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то она интегрируема на этом сегменте. Теорема 5.3. Если функция f(x) определена и ограничена на сегменте [a,b] и если для произвольного ε>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва первого рода этой функции и имеющих общую сумму длин меньше ε, то функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b]. Теорема 5.4. Монотонная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте. Доказательство. Теорему докажем для случая монотонно неубывающей функции f(x) (xi ≥ xi-1 ⇒ f(xi) ≥ f(xi-1)) в предположении, что f(b)≠f(a) (в случае f(b)=f(a) справедливость теоремы очевидна, так как удовлетворяется достаточное условие интегрируемости (см. (5.10)). Очевидно, что монотонная функция f(x) ограничена на [a,b], так как ее значения заключены между f(a) и f(b) (f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)). Возьмем произвольное положительное число ε>0 и разобьем сегменты [a,b] на равные части, длины которых меньше

∆xi<

ε . f (b ) − f (a )

ε , т.е. f (b ) − f (a )

(5.12)

Для этого разбиения оценим разность n

S − s = ∑ ω i ∆x i i =1

с учетом того, что для неубывающей монотонной функции f(x) на сегменте [a,b] имеем n

∑ω

i

=ω1+ω2+...+ωn=(M1-m1)+(M2-m2)+...+(Mn-mn)=f(b)-f(a).

i =1

151

(5.13)

Нетрудно заметить, что согласно (5.12) и (5.13) имеем оценку n

S − s = ∑ ω i ∆x i <ε i =1

Теорема доказана. Ниже приведем некоторые основные свойства определенного интеграла без доказательств. 1. Определенный интеграл от интегрируемой функции f(x) в пределах от а до а равен нулю, т.е. a

∫ f (x)dx = 0 .

(5.14)

a

2. При перестановки пределов интегрирования в определенном интеграле знак интеграла меняется на обратное, т.е. если a
b

a

a

∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx .

(5.15)

3. Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте [a,b], то функции f(x) + ϕ(х) и f(x) - ϕ(х) также интегрируемы на сегменте [a,b] и b

∫[ a

]

b

b

a

a

f (x) ± ϕ(x) dx = ∫ f (x)dx ± ∫ ϕ(x)dx .

(5.16)

4. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то c⋅f(x), где с=const, также интегрируема на сегменте [a,b] и b

b

a

a

∫ c ⋅ f (x)dx = c ⋅ ∫ f (x)dx .

(5.17)

5. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то она интегрируема на любом другом сегменте [c,d], содержащемся в сегменте [a,b]. 6. Если функция f(x) интегрируема на сегментах [a,c] и [c,b], то она интегрируема и на сегменте [a,b], причем 152

b

c

b

a

a

c

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

(5.18)

7. Если интегрируемая на сегменте [a,b] функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл о этой функции в пределах от а до b также неотрицателен, т.е. b

f(x) ≥ 0 ⇒ ∫ f (x)dx ≥ 0 .

(5.19)

a

8. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и f(x) ≥ m, где m=const, то b

∫ f (x)dx ≥ m(b − a ) .

(5.20)

a

9. Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте [a,b] и f(x) ≥ ϕ(х) всюду на этом сегменте, то b

b

∫ f (x)dx ≥ ∫ ϕ(x)dx . a

(5.21)

a

10. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то |f(x)| также интегрируема на этом сегменте и справедливо неравенство b

b

∫ f (x)dx ≤ ∫ f (x) dx . a

(5.22)

a

11. Если функции f(x) и ϕ(х)≥0 интегрируемы на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{ϕ(x)} на этом сегменте, то справедливы неравенства b

b

b

a

a

a

m ∫ ϕ(x)dx ≤ ∫ f (x) ⋅ ϕ(x)dx ≤ M ∫ ϕ(x)dx .

(5.23)

Теперь перейдем к получению формул среднего значения определенного интеграла. Теорема 5.5. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{f(x)} являются точными гранями функции f(x) на этом сегменте, то найдется такое число µ, удовлетворяющего неравенству m ≤ µ ≤ M, что 153

b

∫ f (x)dx = µ(b − a ) .

(5.24)

a

Доказательство. Если в (5.23) положить ϕ(х)=1, то получим b

m(b-a)≤ ∫ f (x)dx ≤M(b-a) a

или b

1 m≤ f (x)dx ≤ M . b − a ∫a

(5.25)

b

Полагая в (5.25) µ =

1 f (x)dx , получим требуемое равенство b − a ∫a

(5.24), которое представляет собой формулу среднего значения определенного интеграла. Теорема 5.6. Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{f(x)} и, кроме того, ϕ(х)≥0 (или ϕ(х)≤0) на всем сегменте [a,b], то найдется между m и М такое число µ, что b

b

a

a

∫ f (x)ϕ(x)dx = µ ∫ ϕ(x)dx .

(5.26)

В частности, если f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то на этом сегменте существует такое число ξ, что b

b

a

a

∫ f (x)ϕ(x)dx = f (ξ)∫ ϕ(x)dx . (5.27) представляет обобщенной форме.

собой

формулу

(5.27) среднего

значения

в

5.4. Вычисление определенного интеграла по формуле НьютонаЛейбница Определение 5.3. Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале (а,b), и пусть с есть некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда для произвольного х∈(a,b) 154

функция f(x) интегрируема н сегменте [c,x]. Поэтому на интервале (a,b) определена функция x

F (x) = ∫ f (t )dt ,

(5.28)

c

которая называется интегралом с переменным верхним пределом. Теорема 5.7. Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразых является функция (5.28). Доказательство. Достаточно доказать, что для фиксированного х из интервала (a,b) и для ∆х>0 существует lim

F (x + ∆x) − F (x) ∆x

∆x →0

= f (x) (т.е. F′(x)=f(x)).

(5.29)

В силу свойства 6 определенного интеграла (см. 5.18) с учетом (5.28) имеем F (x + ∆x) − F (x) = +

x + ∆x

x

x

c

c

c

∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt +

x + ∆x

x

x + ∆x

x

c

x

(5.30)

∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = ∫ f (x)dt

С другой стороны из (5.27) в случае ϕ(х)=1 имеем F (x + ∆x) − F (x) = f (ξ)

x + ∆x

∫ dt = f (ξ)∆x ,

(5.31)

x

где x<ξ<x+∆x (или ξ=х+θ∆х, 0<θ<1). (5.31) перепишем в виде F (x + ∆x) − F (x) ∆x

= f (ξ)

(5.32)

и перейдем к пределу при ∆х→0 с учетом того, что функция f(x) непрерывна в точке ξ и справедливо

(

)

lim f (ξ) = lim f (x + θ∆x) = f lim (x + θ∆x) = f (x)

∆x →0

∆x →0

Имеем 155

∆x→0

lim

F (x + ∆x) − F (x) ∆x

∆x →0

= F ' (x) = lim f (ξ) = f (x) ,

(5.33)

∆x→0

что и требовалось доказать. Теперь перейдем к получению формулы Ньютона-Лейбница для b

∫ f (x)dx ,

вычисления определенного интеграла

основываясь на теорему

a

(5.7). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a,b]. Обозначая через Ф(х) любую из первообразных этой функции на [a,b], согласно теореме (5.7) имеем x

Ф(х)= ∫ f (t )dt + c ,

(5.34)

a

где c=const. Подставляя в (5.34) х=а и учитывая (5.14), получим a

Ф(а)= ∫ f (x)dx + c = c .

(5.35)

a

Если теперь подставим в (5.34) х=b, то получим b

b

a

a

Ф(b)= ∫ f (x)dx + c = ∫ f (x)dx + Ф(а) или b

∫ f (x)dx =Ф(b)-Ф(а),

(5.36)

a

что представляет собой и формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Принято (5.36) переписать и в другом виде: b

∫ f (x)dx = Ф (x) a

b a

= Ф (b ) − Ф (а ) .

(5.37)

Теорема 5.8. Если функции f(x) и ϕ(t) удовлетворяют следующим условиям: 1. функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a,b]; 2. функция x=ϕ(t) определена на сегменте [α,β] и имеет непрерывную производную на этом сегменте; 3. ϕ(α)=a, ϕ(β)=b; 156

4. сегмент [a,b] является множеством значений функции ϕ(t), то справедлива формула b

β

a

α

∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ(t )]ϕ' (t )dt ,

(5.38)

которая называется формулой замены переменной под знаком определенного интеграла. В заключение этого раздела приведем формулу интегрирования по частям для определенного интеграла b

∫ U (x)dV(x) = U (x) ⋅ V(x) a

b a

b

− ∫ V(x)dU (x) .

(5.39)

a

5.5. Вычисление длин дуг плоских кривых В этом пункте перейдем к рассмотрению вопроса о применении определенного интеграла для вычисления длины дуги плоской кривой. Определение 5.4. Множество {M} всех точек М, координаты х и у которых определяются уравнениями x=ϕ(t), y=ψ(t), будем называть простой плоской кривой L, если различным значениям параметра t из сегмента [α,β] отвечают различные точки этого множества (кривая L не имеет точек самопересечения и участков самоналегания). При этом, если длина l кривой L конечное число, то кривая L называется спрямляемой. 1. Пусть плоская спрямляемая кривая L задана параметрическии уравнениями x=ϕ(t), y=ψ(t), t∈[α,β] и ϕ′(t), ψ′(t) непрерывные функции. Можно доказать, что в этом случае длину l кривой L можно выразить по формуле β

l=∫ α

β

(x ) + (y ) dt = ∫ [ϕ' (t )] + [ψ' (t )] dt | 2 t

| 2 t

2

2

(5.40)

α

2. Пусть плоская спрямляемая кривая L задана уравнением y=f(x) на сегменте x∈[a,b] и пусть f′(x) непрерывна на этом сегменте (рис. 5.3).

157

y

y=f(x)

0

a

b

x

Рис. 5.3. Тогда, как нетрудно заметить, можно считать, что кривая L задана параметрическими уравнениями вида x(t)=t, y(t)=f(t),

(5.41)

x′(t)=1, y′(t)=f′(t)=f′(x), t∈[a,b],

(5.42)

причем

Подставляя (5.41) и (5.42) в (5.40), получим формулу для вычисления длины l кривой L в виде b

l = ∫ 1 + (y') dx = a

2

b

∫

1 + (f ' (x)) dx . 2

(5.43)

a

3. Пусть плоская спрямляемая кривая L задана в полярной системе координат полярным уравнением ρ=ρ(θ), θ∈[θ1, θ2] и пусть функция ρ′(θ) непрерывна на сегменте [θ1, θ2] (см. рис. 5.4).

158

y ρ= ρ(θ)

θ2

θ1

0

p

x

Рис. 5.4. Так как декартовые координаты x,y связаны с полярными координатами θ, ρ соотношениями: x=ρ(θ)cosθ, y=ρ(θ)sinθ,

(5.44)

то можно считать, что кривая L фактически задана следующими параметрическими уравнениями x(θ)=ϕ(θ)=ρ(θ)cosθ, y(θ)=ψ(θ)=ρ(θ)sinθ.

(5.55)

Подставляя (5.55) в (5.40) с учетом того, что x′(θ)=ϕ′(θ)=ρ′(θ)cosθ-ρ(θ)sinθ, y′(θ)=ψ′(θ)=ρ′(θ)sinθ-ρ(θ)cosθ.

(5.56)

после несложные преобразований получим формулу для вычисления длины в кривой l в полярной системе координат в виде l =

θ2

∫ [ρ © (θ )] θ

2

+ [ρ (θ

)]2 d θ

(5.57)

1

5.6. Вычисление площадей плоских фигур Ниже покажем, как с помощью определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур (об этом уже было упомянуто в пункте 5.1).

159

Определение 5.5. Часть плоскости, ограниченной плоской спрямляемой замкнутой кривой L с нулевой площадью называется квадрируемой плоской фигурой, т.е. плоской фигурой имеющей конечную площадь. Рассмотрим некоторые конкретные случаи квадрируемых фигур. 1. Квадрируемая фигура (криволинейная трапеция) ограничена графиком непрерывной и неотрицательной функции y=y(x), заданная на сегменте [a,b], прямыми x=a и x=b и отрезком оси Ох между точками а и b (рис. 5.5) y

y(x)

0

a

b

x

Рис. 5.5. Тогда площадь этой криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определенного интеграла формулой (см. также пункт 5.1) b

S = ∫ y(x)d x

(5.58)

a

2. Квадрируемая фигура ограничена графиками непрерывных и неотрицательных функций y1=y1(x) и y2=y2(x) (y2(x)≥y1(x)) и прямыми x=a и x=b (рис. 5.6). y y2 (x)

y1 (x) 0

a

b

Рис. 5.6. 160

x

Тогда площадь этой криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определенного интеграла формулой b

S=

∫ [y (x) − y (x)]d x . 2

(5.59)

1

a

3. Квадрируемая фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной функции y=y(x), прямыми x=a и x=b и отрезком оси 0х между точками а и b (рис. 5.7). у 0

x

b

a

y(x)

Рис. 5.7. Тогда площадь этой фигуры можно вычислить определенным интегралом формулой b

S = − ∫ y(x)dx

(5.60)

a

4. Квадрируемая фигура ограничена графиком непрерывной и неотрицательной функции x=x(y), заданная на сегменте [c,d], прямыми y=c и y=d и отрезком оси 0y между точками c и d (рис. 5.8.) y d x(y)

c 0

x

Рис. 5.8. 161

В этом случае площадь этой фигуры выражается формулой: d

S = ∫ x(y)d x

(5.61)

c

Отметим, что если в рассмотренных случаях уравнения кривых заданы не в явном виде, а в параметрической форме x=x(t), y=y(t), t∈[α,β], то для вычисления соответствующих площадей можно пользоваться формулами (5.58)-(5.61) с последующим переходом к переменной t∈[α,β]. 5. Квадрируемая фигура (криволинейный сектор) ограничена графиком непрерывной и неотрицательной функции ρ=ρ(θ), заданная на сегменте [α,β] в полярной системе координат и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β (рис. 5.9). ρ(θ)

β

α

0

p

Рис. 5.9. Можно показать, что площадь подобного криволинейного сектора с помощью определенного интеграла выражается формулой: β

1 S = ∫ ρ2 (θ)d θ . 2α

(5.62)

5.7. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения В этом пункте нас будет интересовать вопросы вычисления площадей поверхностей вращения и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. Пусть поверхность вращения образована вращением вокруг оси 0х графика функции y=y(x), заданной на сегменте [a,b] (рис. 5.10).

162

y

y=y(x)

b

0 a

x

Рис. 5.10. Можно доказать, что если при этом y′(x) на сегменте [a,b] непрерывна, то поверхность вращения квадрируема и ее площадь Sox можно вычислить по формуле: b

[

]

S ox = 2π ∫ y(x) 1 + y' (x) dx . 2

(5.63)

a

Если график функции х=х(у), заданной на сегменте [c,d] (х′(у) непрерывна на [c,d]), вращается вокруг оси 0у, то площадь Soy поверхности вращения в этом случае можно вычислить по формуле b

[

]

S oy = 2π ∫ x(y) 1 + x' (y) dy . 2

(5.64)

a

В случае, когда кривые у=у(х) и х=х(у) заданы в параметрической форме уравнениями х=х(t), y=y(t), где t∈[α,β], то из (5.63) и (5.64) получим β

[

] [

]

2

[

] [

]

2

S ox = 2π ∫ y(t ) x' (t ) + y' (t ) dt, α β

2

(5.65)

S oy = 2π ∫ x(t ) x' (t ) + y' (t ) dt. α

2

Заметим далее, что при вращении вокруг 0х криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции у=у(х) (х∈[a,b]), ординатами х=а и х=b и отрезком оси 0х между точками a и b (рис. 5.10), получаем кубируемое тело вращения (объем границы S этого 163

тела равен нулю, а объем тела вращения конечное число), объем которого можно вычислить по формуле b

Vox = π ∫ y 2 (x)dx .

(5.66)

a

Если тело вращения получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции х=х(у) (у∈[c,d]), абсциссами y=с и у=d и отрезком оси 0у между точками c и d, то его объем можно вычислить по формуле b

Voy = π ∫ x 2 (y)dy .

(5.67)

a

При параметрическом задании кривых у=у(х) и х=х(у) уравнениями х=х(t), y=y(t) (t∈[α,β]) для вычисления объемов тел вращения нужно в формулах (5.66) и (5.67) перейти к переменной t и выполнить интегрирование.

164

Примеры Пример 1. С помощью определенного интеграла вычислить длину l спирали Архимеда от начала до конца первого завитка, если она задана уравнением ρ=aθ, a>0 в полярной системе координат (рис. 5.11).

0

p

Рис. 5.11. Решение: По условию задачи 0 ≤ Θ ≤ 2π и ρ / =а. Согласно формуле (5.57) имеем 2π

l=

∫ 0

2π

a 2 + a 2 Θ dΘ = a ∫ 1 + Θ 2 d Θ .

(5.68)

0

Теперь вычисляя определенный интеграл с учетом (4.26) и (5.37), получим 2π

а∫ 0

2π

a a 1 + Θ dΘ =  Θ 1 + Θ2 + ln Θ + 1 + Θ2  = πa 1 + 4π 2 + ln(2π + 1 + 4π 2 ). (5.69) 0 2 2 2

2 Ответ: l = π a 1 + 4π +

a ln( 2π + 1 + 4π 2 ). 2

Пример 2. С помощью определенного интеграла вычислить площадь одной арки циклоиды, если она задана своими параметрическими уравнениями в виде (рис. 5.12) x=a(t-sint), a>0, y=a(1-cost), 0≤t≤2π.

(5.68)

y

2a 0

2πa

Рис. 5.12. 165

x

Решение: согласно формуле (5.58) имеем 2πa

S=

∫ y( x)dx . 0

Для вычисления этого определенного интеграла перейдем к переменной t по формуле (5.68) с учетом того, что dx = a(1-cost)dt и 0 ≤ t ≤ 2π . Имеем 2π

2π

S = ∫ a 2 (1 − cos t ) 2 dt = a 2 ∫ (1 − 2 cos t + cos 2 t )dt = 0

2π

0

2π    2π  1 2π = a 2  ∫ dt − 2 ∫ cos tdt + ∫ cos 2 tdt  = a 2  t 0 − 2 sin t 0 + ∫ (1 + cos 2t )dt  = 2 0 0 0 0   

= a 2 (2π +

2π

2π

2π

2π

1 1 1 2π 1 2π 2 2 dt + ∫ cos 2tdt ) = a 2 (2π + t 0 + sin 2t 0 ) = a (2π + π ) = 3πa . ∫ 2 0 2 0 2 4

Ответ: S = 3πa 2 . Пример 3. С помощью определенного интеграла вычислить объем тела, получаемого вращением астроиды вокруг оси Оx, если астроида задана уравнением 3

x2 + 3 y2 = 3 a2 ,

a〉0 ,

x ≤ a,

(5.69)

y ≤a

в декартовой системе координат (рис. 5.13.). а

-а

0

-а

Рис. 5.13 166

а

x

Решение: Если из (5.69) найти явную зависимость y от x 3

2 2  2  y =  a 3 − x 3  и воспользоваться формулой (5.66), то получим  

3

2 4 2 2 4 a   2   23 2 3 3 3 Vox = π ∫  a − x  dx = π ∫  a − x − 3a x + 3a 3 x 3 dx = − a − a  

a

= πa 2 x

a

−

−a

= 2πa 3 −

Ответ:

Vox =

π 3

x3

9π 3 3 a x 5 4

a

−

−a

5 a

2

7 a

9 + a3x3 7 −a

=

−a

2π 3 18π 3 18π 3 32 3 a − a + a = πa . 3 5 7 105

32 3 πa . 105

Пример 4. С помощью определенного интеграла вычислить площадь поверхности Sox, полученной вращением эллипса (рис. 5.14) вокруг оси 0х (эллипсоид вращения), если эллипс задан своим каноническим уравнением x2 y2 + =1 25 16

(5.60)

в декартовой системе координат. y 4

-5

0

5

-4

Рис. 5.14.

167

x

Решение: Для вычисления Sox воспользуемся формулой (5.63),   4 x ' предварительно вычисляя y из (5.60)  y ' = − ⋅ 25 x2  1 −  25 

   .   

Тогда согласно (5.63) и (4.23) имеем

s

S

' ox

s

2

16 48 x2 x2  25  dx = π ∫   − x 2 dx = = 2π ∫ 4 1 − ⋅ 1+ ⋅ 2 25 25 25 − x 25 0  3  −s

  25  2 5 2 x   −x  48   3  625 3x  48  5 625 3 arcsin  = π  ⋅ 20 + arcsin  = = π + 25  2 18 25  25  6 18 5    0 3 25  arcsin . = 8π  4 + 5 3 

 

Ответ: S ox = 8π  4 +

25 3 arcsin . 3 5

168

Тест 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y2+8x=16, y2-24x=48. 32 6 ; 3 32 б) ; 3 6 ; в) 3

а)

г) 32. 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, уравнение которой задано в параметрической форме x=2acos t - acos 2t, y=2asin t - asin 2t, a>0. а) πа2; б) 6πа2; в) 3πа2; г) 2π; 3. Вычислить площадь четырехлепестковой розы, уравнение которой задано в полярных координатах ρ=asin 2ϕ, a>0. a2 а) ; 2 πa 2 б) ; 3 πa 2 в) ; 2

г) а2.

169

4. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в декартовой системе координат x=

1 2 1 y − ln y , 1≤y≤e. 4 2

e +1 ; 4 1 б) ; 4 e в) ; 4 e2 + 1 г) . 4

а)

5. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в параметрической форме x=etcos t, y=etsin t, 0 ≤ t ≤ ln π. а) 2 ; б) 2 (π-1); в) π-1; г) π. 6. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в полярной системе координат ρ=a(1+cos θ), a>0. а) 8; б) 8а; в) а; г)

a . 2

7. Вычислить объем тела, полученного от вращения ограниченной кривыми y=sin x, y=0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0у. а) 2π2; б) 2π; в) 2; г) π. 170

фигуры,

8. Вычислить объем тела, полученного вращением одной арки циклоиды (уравнение циклоиды задано в параметрической форме) x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0 вокруг своего основания. а) 5а3; б) 5π; в) π; г) 5π2a3. 9. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением эллипса x2 y2 + =1 25 9

вокруг малой оси (эллипсоид вращения).

а) π(50+22,5ln3); б) 50π; в) 22,5ln3; г) 50+22,5ln3. 10. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0. вокруг оси 0у. а) 16π2a2; б) 16π2; в) а2; г) π.

171

Итоговый тест Найти пределы  1. hlim  + + +... + →∞ 1 2

1 4

1 8

1 . 2n 

а) 1; б) 0,5; в) 3; г) -2.

(

)

x 2 − 5x + 6 − x . 2. xlim →+∞ 1 2 5 б) - ; 2

а) - ;

в) 1; г) 2. 3. limπ x→

3

1 − 2 cos x . π − 3x

а) -3; б) 4; в) г)

1 3

;

1 . 2

 x 2 − 2x + 3  4. lim  2  x →0  x − 3x + 2 

sin x x

.

а) 1; б) -2; в) 3; г) 1,5. 5. Определить порядок б.м.ф. f(x) по отношению к б.м.ф. ϕ(x). f(x)=arcsin ( 4 + x 2 -2), ϕ(x)=x, x→0. 172

а) 2; б) 1; в) 3; г) 5. 6. Найти точку разрыва функции и определить его характер x2 . x−2

f ( x) =

а) х=2 - точка разрыва 2-го рода; б) х=2 - точка разрыва 1-го рода; в) х=2 - точка устранимого разрыва. Найти пределы.  sin 4x

 7. lim x →0

 x +1 −1

+

3

1 + 6x − 1 . arctg2x 

а) 8; б) 5; в) 0; г) 9. x 1   2x − 1 2 2 x  8. lim  x + 3x + 1 − x − x + 2 +   x →+∞  2x + 1 

2

 .  

а) ∞; б) 2; в) 2+е; г) 3; Найти производную второго порядка функции в точке (9;6).  x = t 2,  9.  t 3 y = 3 − t.

а) 1; 1 3 5 ; в) 54

б) - ;

г) 5. 173

Найти точки экстремумов функций. 10. y= 33 (x + 1) − 2x . 2

а) (0;3) - max; б) (-1;2) - min; (0;3) - max; в) (-1;1) - max; г) (-1;2) - max. 11. y=x+arctg2x. 3 π а)  −1;  - min; 1; π - max; 

 4 

4

1 3π − 2   1 π + 2 б)  − ;  - max;  ;  - min;  2

4



2

4 

в) экстремумов нет. Найти асимптоты графика функции. 12. y =

x 3 + 3x 2 − 5 . x2 − 4

а) х=2; х=-2; у=х+3; б) у=2х+3; в) х=4; у=х. Найти полный дифференциал первого порядка. 13. U = a rctg

2(x + sin y) 4 − x sin y

.

2dx 2 cos ydy + ; 2 x + 4 sin 2 y + 4 dx dy б) 2 + ; 2 x dx cos ydy + ; в) 2 x + 4 sin 2 y + 4 cos ydy г) ; sin 2 y

а)

14. Найти величину градиента функции U=ln(x2+y2) в точке (3;4).

174

а)

1 ; 5

б) 0,5; 3 ; 4 2 г) ; 5

в)

15. Найти полный дифференциал второго порядка функции U=cos(x+y). а) -cos(x+y)(dx+dy)2; б) -cos(x+y)dx2; в) (dx+dy)2; г) cosxdy2. 16. Разложить функцию U=ex+y по формуле Тейлора в окрестности точки (1;-1) до членов второго порядка включительно. а) (x-1)+(y+1); 1 2

б) 1+[(x-1)+(y+1)]+ [(x-1)+(y+1)]2; в) [(x-1)+(y+1)]2; г) 1+(x-1)2.

17. Найти минимум функции U=x2+xy+y2-3x-6y. а) 10; б) 0; в) 1; г) -9. 18. Найти условный максимум функции U=xy при условии, что 2х+3у=5. 25 ; 23 25 б) ; 24 25 в) ; 4

а)

г) 25.

175

Вычислить неопределенные интегралы. 19.

x + arctg 2 x ∫ 1 + x 2 dx .

а) ln (1 + x 2 ) +

1 arctgx +c; 2 3 1 б) ln 1 + x 2 + c ; 2 arctgx +c; в) 3 1 г) x 2 + c . 2 20. ∫ x 2 shxdx .

(

)

а) x2chx-2xshx+2chx+c; б) x2chx+2chx+c; в) 2xshx+c; г) chx+c. 21.

а)

∫ (x

x 4 dx

2

)

− 1 (x + 2)

.

x2 − 2x + c ; 2

1 x − 1 (x + 2) x2 б) − 2x + ln 3 6 2 x +1

32

+c;

в) 2х+с; г) ln

x −1 x +1

22. ∫ e sin x

3

+c.

x cos 3 x − sin x dx . cos 2 x

а) esinx+c; б) x-secx+c; в) esinx(x-secx)+c; г) sinx+c. 23.

∫x

x+2 2

1 − x2

dx , |x|<1.

176

а) −

2 1 + 1 − x2 +c; 1 − x 2 − ln x x

б) −

2 1 − x2 + c ; x

в) ln

1 + 1 − x2 +c; x

г) 1 − x 2 + c . 24.

∫

а) ln

(x

(2x + 3)dx 2

)

+ 2x + 3 x 2 + 2x + 4

x 2 + 2x + 4 − 1 x 2 + 2x + 4 + 1

.

+c;

б) ar ctg 2(x 2 + 2x + 4) + c ; x 2 + 2x + 4 − 1

в) ln

x 2 + 2x + 4 + 1

−

1 2

arctg

(

2 x 2 + 2x + 4 x +1

) +c;

г) x 2 + 4 + c . 25.

Вычислить площадь, ограниченную локоном Аньези y=

параболой y=

1 1 + x2

и

x2 . 2

π 1 − ; 2 3 π б) ; 2 1 в) ; 3

а)

г) π. 26. Вычислить площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля, уравнение которой задано в полярной системе координат ρ=2+cosθ. а)

9 π; 2

б) π; в)

9 ; 2

177

г)

π . 2

27. Вычислить длину дуги гиперболической спирали ρθ=1 от точки 1 2

1 2

(2; ) до точки ( ;2) (координаты точек заданы в декартовой системе координат). 5 3+ 5 + ln ; 2 2 5 ; б) 2 1 в) ; 2 5 . г) ln 2

а)

2 + 4 − y2 от 28. Вычислить длину дуги ветви трактриссы x = 4 − y + 2 ln y 2

у=2 до у=1. а) 2ln2; б) ln2; в) 2; г)

1 . 2

29. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривой y=sin2x и прямой у=0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0х. а)

3 2 π; 8

б) π2; в)

3 ; 8

г) π. 30. Вычислить площадь поверхности тора, образованного вращением окружности x2+(y-2)2=1 вокруг оси 0х. а) 8π2; б) 8; в) 8π; г) π2. 178

Литература 1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, ч.1, М, Наука, 1971; ч.2, М., Наука, 1973. 2. Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа, т. 1,2,3, М., Наука, 1968. 3. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. Математический анализ, М., Наука, 1979. 4.В.С. Шипачев. Высшая математика, М., Высшая школа, 1985. 5. Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М., Наука, 1989. 6. В.А. Никишкин, Н.И. Максюков, А.Н. Малахов. Высшая математика, М., МЭСИ, 2000. 7. П.Е. Данко, А.Т. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1,2, М., Высшая школа, 1980. 8. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1962. 9. Г.С. Бараненков, Б.П. Демидович и др. Задачи и упражнения по математическому анализу (для ВТУЗов), М., Наука,1970.

179