Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна без треугольников

Алгебра и логика, 44, № 3 (2005), 335—354

УДК 519.14

ОБ АВТОМОРФИЗМАХ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФОВ КРЕЙНА БЕЗ ТРЕУГОЛЬНИКОВ∗) А. А. МАХНЁВ, В. В. НОСОВ Введение В работе рассматриваются неориентированные графы без петель и кратных рёбер. Если a, b — вершины графа Γ, то через d(a, b) обозначается расстояние между a и b, а через Γi (a) — подграф графа Γ, индуцированный множеством вершин, находящихся в Γ на расстоянии i от вершины a. Подграф Γ1 (a) называют окрестностью вершины a и обозначают через [a], а число |[a]| называют степенью вершины a. Через a⊥ обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром a. Полный n-дольный граф с долями порядков m1 , . . . , mn обозначим через Km1 ,...,mn . Если m1 = . . . = mn = m, то соответствующий граф обозначим через Kn×m . Граф K1,m называют m-лапой. Граф Γ называется сильно регулярным с параметрами (v, k, λ, µ), если Γ содержит v вершин, является регулярным степени k, каждое ребро Γ лежит точно в λ треугольниках и для любых двух несмежных вершин a, b подграф [a]∩[b] содержит точно µ вершин. Для подграфа ∆ графа Γ через Xi (∆) обозначается множество всех вершин из Γ − ∆, смежных точно с i вершинами из ∆. Под n-кокликой графа Γ понимается вполне несвязный подграф из Γ на n вершинах. Пусть сильно регулярный граф Γ с параметрами (v, k, λ, µ) имеет собственные значения k, r, s. Если графы Γ и Γ связны, то выполняются ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект № 05-01-00046. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

336

А. А. Махнёв, В. В. Носов

неравенства, называемые условиями Крейна: (1) (r + 1)(k + r + 2rs) 6 (k + r)(s + 1)2 ; (2) (s + 1)(k + s + 2rs) 6 (k + s)(r + 1)2 . Граф Γ назовём графом Крейна, если для него достигается равенство в одном из условий Крейна. В [1, теор. 8.15] доказывается, что для любой вершины a графа Крейна Γ подграфы [a] и Γ2 (a) сильно регулярны. В силу [1, предлож. 8.12 и теор. 8.8] граф Крейна без треугольников имеет параметры ((r2 + 3r)2 , r3 + 3r2 + r, 0, r2 + r) и неглавные собственные значения r, −(r2 + 2r). Граф с такими параметрами обозначим через Kre(r). Пусть Γ = Kre(r). Для любых смежных вершин a, b ∈ Γ подграфы Γ2 (a) и Γ2 (a)∩Γ2 (b) сильно регулярны с параметрами ((r2 +2r −1)(r2 +3r +1), r3 + +2r2 , 0, r2 ) и ((r2 +2r)(r2 +2r−1), r3 +r2 −r, 0, r2 −r) и имеют неглавные собственные значения r, −(r2 +r) и r, −r2 , соответственно. Сильно регулярный граф без треугольников Γ имеет параметры ((r2 +3r)2 , r3 +3r2 +r, 0, r2 +r) для некоторого r > 2 тогда и только тогда, когда любая 3-коклика из Γ попадает в окрестности одного и того же числа вершин (а именно, числа r) [1, теор. 8.8]. Известно, что в случаях r = 1, 2 существуют единственные графы с такими параметрами — граф Клебша и граф Хигмена–Симса, соответственно. Граф вида Kre(3) не существует (см. [2]). В [3, теор. 1] утверждалось, что граф Kre(r) не содержит подграфов Kr,r . Однако позже было обнаружено, что в [3, лемма 3] параметр x1 равен 8r3 (а не 6r3 , как было в [3]). Следующие два результата относятся к произвольному графу Крейна без треугольников. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть Γ — сильно регулярный граф с параметрами ((r2 + 3r)2 , r3 + 3r2 + r, 0, r2 + r), g — автоморфизм порядка 3 графа Γ, Ω = Fix(g). Тогда |Ω| делится на r + 3, и если r не делится на 3, то (1) либо Ω — четырёхугольник и Γ является графом Клебша, либо Ω содержит 3-коклику и каждая 3-коклика из Ω лежит в окрестности некоторой вершины из Ω; (2) либо Γ является графом Клебша, либо степень каждой вершины в графе Ω не меньше 3;

Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна

337

(3) в случае, когда Ω содержит две несмежные вершины, не лежащие в 3-коклике из Ω, либо Ω является четырёхугольником и Γ — графом Клебша, либо Ω является графом Kr+3,r+3 с удалённым максимальным паросочетанием и r несравнимо с 1 по модулю 3; (4) a ∈ Ω и Ω(a) содержит различные вершины b, c, d, в случае, когда выполняется одно из условий: (i) r ≡ 1 (mod 3), подграф [b] ∩ [c] ∩ [d] содержит единственную вершину из Ω или не менее четырёх, а подграф [b] ∩ [c] содержит не менее двух вершин из Ω; (ii) r ≡ −1 (mod 3), подграф [b] ∩ [c] ∩ [d] содержит две вершины из Ω или не менее пяти, а подграф [b] ∩ [c] содержит не менее трёх вершин из Ω. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть Γ — сильно регулярный граф с параметрами ((r2 + 3r)2 , r3 + 3r2 + r, 0, r2 + r), g — автоморфизм нечётного простого порядка p графа Γ и Ω = Fix(g) является ω-кликой. Тогда выполняется одно из утверждений: (1) Ω = {a}, p делит r2 − 3r + 1 и если p > r, то α1 (g) = (r − 1)(r2 + +3r) + r; (2) Ω = {a, b}, p делит r2 + 2r − 1 и если p > r, то α1 (g) = (r − −1)(r2 + 3r) + 2r. ТЕОРЕМА. Пусть Γ — граф Крейна Kre(5), G = Aut(Γ). Если g — элемент нечётного простого порядка p из G, Ω = Fix(g), то верно одно из утверждений: (1) Ω — пустой граф, и p равно 2 или 5; (2) Ω — одновершинный граф и p = 41, или Ω является 2-кликой и p = 17; (3) Ω является графом K8,8 с удалённым максимальным паросочетанием и p = 3. § 1. Предварительные результаты ЛЕММА 1.1. Пусть Γ — сильно регулярный граф, имеющий параметры (v, k, λ, µ), ∆ — индуцированный подграф с N вершинами, M

338

А. А. Махнёв, В. В. Носов

рёбрами и степенями вершин d1 , . . . , dN . Тогда (v − N ) − (kN − 2M ) +

!  X   N   di N = −M − λM + µ 2 2 i=1

 N  X i−1 = x0 + xi , 2 i=3

где xi = |Xi (∆)|.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подсчитав число вершин вне ∆, число рёбер между ∆ и Γ−∆, а также число 2-путей с концами в ∆ и средней вершиной вне ∆, получим уравнения: N P xi ; (1) v − N = i=0

(2) kN − 2M =

N P

ixi ;

i=1

(3) λM + µ(

N 2




− M) −

N P

i=1

di 2




=

N P

i=2

i 2


xi .

Вычитая (2) из суммы (1) и (3), получим требуемое. Лемма доказана. В леммах 1.2–1.5 граф Γ является графом Крейна Kre(r). ЛЕММА 1.2 [2]. Пусть ∆ является Kr−t,r -подграфом из Γ, t 6 6 r − 3, Xi = Xi (∆), xi = |Xi |. Тогда P (1) xi = r4 + 6r3 + 9r2 − 2r + t; P (2) ixi = 2r4 + (6 − t)r3 − 3tr2 + tr; P i
4 3 2 2 (3) 2 xi = r − (t + 1)r + (t + 2t)r /2 − tr/2;
P i
r (4) 3 xi = 3 t.

ЛЕММА 1.3. Пусть ∆ = {a1 , . . . , ar−1 ; b1 , . . . , br } является Kr−1,r
P i
r подграфом из Γ, Xi = Xi (∆), xi = |Xi |. Тогда 3 xi = 3 , каждая

3-коклика из {b1 , . . . , br } лежит в окрестности единственной вершины из Γ − ∆, а также справедливы следующие свойства: P i−1
3 2 (1) x0 + 2 xi = −r + 27r /2 − 7r/2 + 1 и r 6 12;

(2) если xi = 0 для i > 3, то 6x0 = −7r3 + 84r2 − 23r + 6 и r 6 11;

(3) если r = 5, то x0 + x3 + 3x4 + 6x5 = 196, x3 + 4x4 + 10x5 = 10 и x4 6 1.

339

Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Подставив t = 1 в условия леммы 1.2, получим, что каждая 3-коклика из {b1 , . . . , br } лежит в окрестности един
P i
r ственной вершины из Γ − ∆ и 3 xi = 3 . Подставив то же равенP ство в (1)–(3) из леммы 1.2, получим xi = r4 + 6r3 + 9r2 − 2r + 1,
P P i 4 3 2 ixi = 2r4 + 5r3 − 3r2 + r, 2 xi = r − 2r + 3r /2 − r/2. Отсюда P i−1
3 2 x0 + 2 xi = −r + 27r /2 − 7r/2 + 1 и r 6 13. Допустим, что r = 13. Тогда x0 + x3 + 3x4 + 6x5 + 10x6 + 15x7 + 21x8 +

+28x9 + 36x10 = 40 (xi = 0 для i > 11, т. к. коэффициенты при таких xi больше 40). С другой стороны, x3 + 4x4 + 10x5 + 20x6 + 35x7 + 56x8 + 84x9 + +120x10 = 286. Противоречие с тем, что учетверённая левая часть первого уравнения больше левой части второго уравнения. (2) Если xi = 0 для i > 3, то x0 + r(r − 1)(r − 2)/6 = −r3 + 27r2 /2 − −7r/2 + 1. Поэтому 6x0 = −7r3 + 84r2 − 23r + 6 и r 6 11. (3) Если r = 5, то xi = 0 для i > 6 и x3 + 4x4 + 10x5 = 10. Подставляя в формулу из (1) значение r = 5, получаем x0 + x3 + 3x4 + 6x5 = 196. Заметим, что x4 6 1, иначе для различных u, w ∈ X4 подграф [u] ∩ [w] содержал бы три вершины из {b1 , . . . , b5 }, а пересечение окрестностей этих вершин содержало бы шесть вершин, противоречие. Лемма доказана. ЛЕММА 1.4. Пусть выполняются условия леммы 1.3. P i−1
3 (1) Если f ∈ X0 , Yi = Xi − f ⊥ , yi = |Yi |, то y0 + 2 yi = −r +

+27r2 /2 − 13r/2;

(2) если g ∈ X0 ∩ [f ], Zi = Yi − g ⊥ , zi = |Zi |, то z0 + = −r3 + 27r2 /2 − 19r/2 + 1;

P

i−1 2




zi =

(3) если r = 5, то y0 + y3 + 3y4 + 6y5 = 180, z0 + z3 + 3z4 + 6z5 = 166; (4) если r = 5, X4 содержит элемент w, ui = |Xi (∆ ∪ {w})|, то ui = 0 для i > 4, u0 = 114, u3 = 12 и [w] содержит 73 вершины из X0 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) По лемме 1.1, применённой к подграфу ∆ P P из Γ2 (f ), получим равенства yi = r4 + 5r3 + 6r2 − 3r, iyi = 2r4 +
P P i−1
i 4 3 2 +3r3 − 4r2 + 2r, 2 yi = r − 3r + 7r /2 − 3r/2. Отсюда y0 + 2 yi =

= −r3 + 27r2 /2 − 13r/2.

(2) Пусть g ∈ X0 ∩ [f ], Zi = Yi − g ⊥ , zi = |Zi |. Применяя лемму 1.1 к P подграфу ∆ из Γ2 (f )∩Γ2 (g), получим равенства zi = r4 +4r3 +3r2 −4r+1,

340

А. А. Махнёв, В. В. Носов

P i
4 3 2 izi = 2r4 + r3 − 5r2 + 3r, 2 zi = r − 4r + 11r /2 − 5r/2. Отсюда P i−1
3 2 z0 + 2 zi = −r + 27r /2 − 19r/2 + 1.

P

(3) Пусть r = 5. Тогда yi = zi = 0 для i > 6 и Γ имеет параметры

(1600,205,0,30). По лемме 1.3 выполняется x0 + x3 + 3x4 + 6x5 = 196, а по (1) получаем y0 + y3 + 3y4 + 6y5 = 180. Если g ∈ [f ] ∩ X0 , то по (2) верно z0 + z3 + 3z4 + 6z5 = 166. Пусть r = 5, X4 содержит элемент w и ui = |Xi (∆ ∪ {w})|. Применяя P i−1
лемму 1.1 к подграфу ∆∪{w}, получаем u0 + 2 ui = 126. По лемме 1.3 имеем ui = 0 для i > 4. Поэтому X3 (∆ ∪ {w}) содержит по шесть вершин,

смежных с тройками вершин из {w, a1 , . . . , a4 } и из {b1 , . . . , b5 }. Таким образом, u3 = 12, u0 = 114. Далее, x0 = 187 и [w] содержит 73 вершины из X0 . ЛЕММА 1.5. Пусть Γ содержит подграф Σ, полученный удалением из K2×(r+3) максимального паросочетания. Тогда каждая вершина из Γ − Σ смежна точно с двумя из Σ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Xi = Xi (Σ), xi = |Xi |. Тогда xi = 0 для i > 3 и по лемме 1.1 получаем x0 + x1 + x2 = (r2 + 3r)2 − 2r − 6, x1 + 2x2 = (2r + 6)(r3 + 3r2 − 2), x2 = (r + 3)(r + 2)(r2 − 1) + (r + 3)r(r + 1) = = (r + 3)(r3 + 3r2 − 2). Отсюда x1 = x0 = 0. Лемма доказана. ЛЕММА 1.6. Пусть Γ содержит Kr,r -подграф ∆, Xi = Xi (∆), xi = |Xi |. Тогда (1) x0 = −r3 + 9r2 − 2r, x1 = 8r3 , x2 = r4 − r3 , в частности, r < 9; (2) окрестность вершины из X0 ∪ ∆ содержит r3 − r2 вершин из X2 и 4r2 из X1 , окрестность вершины из X1 содержит (2r3 − 5r2 + 3r)/2 вершин из X2 , 6r2 − 5r из X1 и (−r2 + 9r − 2)/2 из X0 , окрестность вершины из X2 содержит r(r − 2)2 вершин из X2 , 8r2 − 12r из X1 и −r2 + 9r − 2 из X0 ; (3) если u, w — две несмежные вершины из X0 и [u] ∩ [w] содержит точно i вершин из X0 , то [u] ∩ [w] содержит 2r − 2i вершин из X1 и r2 − r + i из X2 ; (4) если r нечётно, то для любой пары несмежных вершин u, w ∈ X0

341

Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна подграф [u] ∩ [w] содержит не более r − 1 вершины из X0 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Пусть ∆ является Kr,r -подграфом из Γ, Xi = Xi (∆), xi = |Xi |. Поскольку каждая 3-коклика из ∆ попадает в окрестности r вершин из ∆, то xi = 0 для i > 3. По лемме 1.2, x0 +x1 +x2 = = r4 + 6r3 + 9r2 − 2r, x1 + 2x2 = 2r4 + 4r3 , x2 = r4 − r3 , откуда x0 = = −r3 + 9r2 − 2r, x1 = 8r3 , x2 = r4 − r3 . Далее, r3 − 9r2 + 2r 6 0, r 6 8 и x0 6= 0 для любого r 6 8. (2) Выберем вершину f из X0 и положим Yi = Xi − f ⊥ , yi = |Yi |. Применяя лемму 1.1 к подграфу ∆ из Γ2 (f ), получаем y0 + y1 + y2 = = r4 + 5r3 + 6r2 − 3r − 1, y1 + 2y2 = 2r4 + 4r3 − 2r2 , y2 = r4 − 2r3 + r2 . Отсюда y0 = −r3 + 9r2 − 3r − 1, y1 = 8r3 − 4r2 , y2 = r4 − 2r3 + r2 , и [f ] содержит r вершин из X0 , 4r2 из X1 и r3 − r2 из X2 . Пусть a ∈ ∆. Тогда |∆ − a⊥ | = r − 1 и [a] ∩ [b] содержит r2 вершин из X2 для b ∈ ∆ − a⊥ . Поэтому [a] содержит r3 − r2 вершин из X2 , 4r2 из X1 и r из ∆. Пусть b ∈ X1 . Тогда [b] содержит вершину из ∆,

r 2


(r − 1) +

r−1 2


r=

= (2r3 −5r2 +3r)/2 вершин из X2 . Далее, [b] содержит 3r −2 вершин из X1 ,

смежных с вершиной, лежащей в чужой для b коклике из ∆, и 3r вершин из X1 , смежных с вершиной, лежащей в своей коклике из ∆. Поэтому [b] содержит (3r − 2)r + 3r(r − 1) = 6r2 − 5r вершин из X1 и (−r2 + 9r − 2)/2 из X0 .
Пусть c ∈ X2 . Тогда [c] содержит две вершины из ∆ и 2r (r − 2) +
2 + r−2 2 r = r(r−2) из X2 . Далее, [c] содержит 4r−4 вершин из X1 , смежных

с вершиной, лежащей в чужой для c коклике из ∆, и 4r вершин из X1 ,

смежных с вершиной, лежащей в своей коклике из ∆. Поэтому [c] содержит r(4r − 4) + 4r(r − 2) = 8r2 − 12r вершин из X1 и −r2 + 9r − 2 из X0 . (3) Пусть u, w — две несмежные вершины из X0 . Тогда для y ∈ ∆ подграф [y] ∩ [u] ∩ [w] содержит r вершин (в итоге получаем 2r2 вершин). Если [u]∩[w] содержит точно i вершин из X0 , то [u]∩[w] содержит r2 +r −i из X1 ∪ X2 , поэтому [u] ∩ [w] содержит r2 − r + i вершин из X2 и 2r − 2i из X1 . (4) Для вершины ai ∈ ∆ подграф [ai ] ∩ [u] ∩ [w] содержит r вер-

342

А. А. Махнёв, В. В. Носов

шин (всего r2 вершин для i = 1, . . . , r). Пусть δi — число вершин из Xi ({a1 , . . . , ar }) ∩ [u] ∩ [w]. Тогда δ1 + 2δ2 = r2 и для нечётного r выполняется δ2 6 (r2 − 1)/2. В этом случае [u] ∩ [w] содержит не менее двух вершин из X1 и не более r − 1 вершины из X0 . Лемма доказана. Доказательство основных результатов статьи опирается на метод Д. Хигмена работы с автоморфизмами сильно регулярного графа, изложенный в [3, глава 3]. При этом графу Γ соответствует симметричная схема отношений (X, {R0 , R1 , R2 }), где R0 — отношение равенства на множестве вершин X графа Γ, R1 — отношение смежности в Γ, R2 — отношение смежности в дополнительном графе Γ. Если P и Q — первая и вторая матрицы собственных значений схемы, то 

 P = 

1

1

1

k

r

s

v − k − 1 −r − 1 −s − 1



 , 

P Q = QP = vI. Здесь v — число вершин, k, r, s — собственные значения графа Γ кратностей 1, f, g, соответственно (указанные кратности образуют первый столбец матрицы Q). Подстановочное представление группы G = Aut(Γ) на вершинах графа Γ обычным образом даёт матричное представление ψ группы G в GL(v, C). Пусть πi — ортогональное проектирование Cv на i-ое собственное подпространство Wi матрицы смежности A графа Γ. Поскольку A перестановочна с любой матрицей из ψ(G), подпространство Wi является ψ(G)-инвариантным. Пусть χi — характер представления группы G, полученного при проектировании πi . Тогда для любого g ∈ Aut(Γ) справедливо χi (g) = v

−1

2 X

Qij αj (g),

j=0

где αj (g) — число точек x из X таких, что (x, xg ) ∈ Rj . Значения характеров являются целыми алгебраическими числами, и из рациональности значения χi (g) следует, что оно является целым. ЛЕММА 1.7. Пусть Γ — сильно регулярный граф, G = Aut(Γ).

Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна

343

(1) Если Γ имеет параметры ((r2 + 3r)2 , r3 + 3r2 + r, 0, r2 + r), то значение характера, полученного при проектировании на подпространство размерности r3 + 3r2 + r, на элементе g ∈ G равно χ1 (g) = = (rα0 (g) − α1 (g) + r2 (r + 3))/(r2 + 3r); (2) если Γ имеет параметры ((r2 +2r−1)(r2 +3r+1), r3 +2r2 , 0, r2 ), то значение характера, полученного при проектировании на подпространство размерности r3 + 2r2 , на элементе g ∈ G равно ϕ1 (g) = (rα0 (g) − −α1 (g) + (r3 + 2r2 − r))/(r2 + 2r); (3) если Γ имеет параметры ((r2 +2r)(r2 +2r −1), r3 +r2 −r, 0, r2 −r), то значение характера, полученного при проектировании на подпространство размерности r3 + 3r2 + r − 2, на элементе g ∈ G равно ψ1 (g) = (rα0 (g) − α1 (g) + r3 + r2 − 2r)/(r2 + r). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Γ имеет параметры ((r2 +3r)2 , r3 +3r2 + +r, 0, r2 + r). Тогда   P = 

1

1

1

r3 + 3r2 + r

−(r2 + 2r)

r

r4 + 5r3 + 6r2 − r − 1 r2 + 2r − 1 −r − 1

   

и P = Q. Поэтому значение характера, полученного при проектировании на подпространство размерности r3 + 3r2 + r, равно χ1 (g) = (r2 + 3r)−2 ((r3 + 3r2 + r)α0 (g) − (r2 + 2r)α1 (g) + rα2 (g)). Подставляя в эту формулу значение α2 (g) = v − α0 (g) − α1 (g), получаем χ1 (g) = (rα0 (g) − α1 (g) + r2 (r + 3))/(r2 + 3r). Пусть Γ имеет параметры ((r2 + 2r − 1)(r2 + 3r + 1), r3 + 2r2 , 0, r2 ). Тогда для матриц собственных значений P1 , Q1 графа Γ получаем   1 1 1   3 + 2r 2 2 + r) , P1 =  r −(r r   4 3 2 2 r + 4r + 4r − r − 2 r + r − 1 −r − 1  1 1 1  2 4 3 2  r + 2r − 1 r + 4r + 4r − 1 r3 + 3r2 + r − 1 − Q1 =  2  r + 2r r+2  r4 + 4r3 + 3r2 − 2r − 1 r2 + 3r + 1 4 3 2 r + 4r + 3r − 2r − 1 − r2 + 2r r+2



  .  

344

А. А. Махнёв, В. В. Носов Поэтому значение характера ϕ1 , полученного при проектировании на

подпространство размерности r3 + 2r2 , на элементе g ∈ G равно ϕ1 (g) = = ((r3 + 3r2 + r − 1)α0 (g) − (r4 + 4r3 + 4r2 − 1)α1 (g)/(r2 + 2r) + (r2 + 2r − −1)α2 (g)/(r+2))/(r4 +5r3 +6r2 −r−1). Подставляя α2 (g) = v−α0 (g)−α1 (g), получаем ϕ1 (g) = (rα0 (g) − α1 (g) + (r3 + 2r2 − r))/(r2 + 2r). Пусть Γ имеет параметры ((r2 + 2r)(r2 + 2r − 1), r3 + r2 − r, 0, r2 − r). Тогда для матриц собственных значений P2 , Q2 графа Γ получаем 

 P2 =  

1

1

1

r3 + r2 − r

−r2

r

r4 + 3r3 + 2r2 − r − 1 r2 − 1 −r − 1



 , 

 1    3 r2 + r − 2  2+r−2 2 − 2r .  r + 3r −r Q2 =   r+1  2 + 2r − 1  r r4 + 3r3 − 3r + 1 r2 + 2r − 1 − r+1 Поэтому значение характера ψ1 , полученного при проектировании 

1

1

на подпространство размерности r3 + 3r2 + r − 2, на элементе g ∈ G равно ψ1 (g) = (rα0 (g) − α1 (g) + r3 + r2 − 2r)(r2 + r). Лемма доказана. При r = 5 значения характеров принимают вид χ1 (g) = (5α0 (g) − −α1 (g) + 200)/40, ϕ1 (g) = (5α0 (g) − α1 (g) + 170)/35 и ψ1 (g) = (5α0 (g) − −α1 (g) + 140)/30.

§ 2. Автоморфизмы графов Крейна без треугольников Пусть Γ — сильно регулярный граф с параметрами ((r2 + 3r)2 , r3 + +3r2 + r, 0, r2 + r), g — автоморфизм нечётного простого порядка p графа Γ, и Ω = Fix(g). ЛЕММА 2.1. При p = 3 верно α1 (g) = 0 и α0 (g) делится на r + 3. Если, кроме того, r не делится на 3, то (1) либо Ω — четырёхугольник и Γ является графом Клебша, либо Ω содержит 3-коклику и каждая 3-коклика из Ω лежит в окрестности некоторой вершины из Ω;

Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна

345

(2) либо Γ является графом Клебша, либо степень каждой вершины в графе Ω не меньше 3; (3) если Ω содержит две несмежные вершины, не лежащие в 3коклике из Ω, то либо Ω — четырёхугольник и Γ является графом Клебша, либо Ω является графом Kr+3,r+3 с удалённым максимальным паросочетанием и r ≡ 0, 2 mod 3; (4) если Γ не является графом Клебша, a ∈ Ω, b, c, d — различные вершины из Ω(a), то выполняется одно из условий: (i) r ≡ 1 (mod 3), подграф [b] ∩ [c] ∩ [d] содержит либо единственную вершину из Ω, либо не менее четырёх, подграф [b] ∩ [c] содержит не менее двух вершин из Ω; (ii) r ≡ −1 (mod 3), подграф [b] ∩ [c] ∩ [d] содержит либо две вершины из Ω, либо не менее пяти, подграф [b]∩[c] содержит не менее трёх вершин из Ω. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Если вершина x смежна с xg , то подграф 2

{x, xg , xg } является треугольником, противоречие. Значит, α1 (g) = 0. По лемме 1.7, χ1 (g) = α0 (g)/(r+3)+r и α0 (g) = s(r+3) для подходящего натурального s. Любая нетривиальная g-орбита является 3-кокликой, поэтому точно r вершин графа Γ смежны со всеми вершинами этой орбиты. Пусть r не делится на 3. Тогда v и k не делятся на 3, и Ω — непустой граф без изолированных вершин. Действительно, если a — изолированная вершина из Ω, то Ω − a⊥ не содержит 2-коклик и |Ω| 6 3, противоречие. Пусть Xi = Xi (Ω), xi = |Xi |. Допустим, что Ω не содержит 3-коклик. Тогда степень каждой вершины в графе Ω равна 1 или 2. Если Ω(a) содержит две вершины b, c, то [b] ∩ [c] содержит не менее трёх вершин из Ω в случае r ≡ 0, 2 (mod 3). Поэтому r ≡ 1 (mod 3) и [b] ∩ [c] содержит две вершины из Ω. В этом случае Ω — четырёхугольник, x0 = xi = 0 для i > 2, x1 = 4(r3 + r2 − r − 2), x2 = 2(r2 + r − 2), откуда r = 1, v = 16 и Γ является графом Клебша. Если Ω содержит лишь вершины степени 1, то r ≡ −1 (mod 3) и Ω является объединением двух изолированных рёбер. В этом случае x0 = = xi = 0 для i > 2, x1 = 4(r3 + r2 − 1), x2 = 4(r2 + r). Снова v = 16,

346

А. А. Махнёв, В. В. Носов

получаем противоречие с тем, что r ≡ −1 (mod 3). Пусть Ω содержит 3-коклику. Тогда каждая 3-коклика из Ω лежит в окрестности точно r вершин, по крайней мере одна из которых попадает в Ω. (2) Пусть Ω не является графом Клебша. Тогда Ω содержит 3коклику C. Если Ω содержит вершину a степени 1, то a лежит в 3-коклике C ′ из {a} ∪ (C − [a]). Поскольку пересечение окрестностей вершин из C ′ содержит точно r вершин, то r ≡ 1 (mod 3) и µ = r(r + 1) сравнимо с 2 по модулю 3. Получаем противоречие с тем, что для c ∈ C ′ − [a] подграф [a] ∩ [c] содержит не менее двух вершин из Ω. Пусть Ω содержит вершину a степени 2, {b, c} = Ω(a). Если Ω − a⊥ не содержит 2-коклик, то |Ω| 6 5 и Ω не содержит 3-коклик. Значит, a лежит в 3-коклике из Ω, поэтому r ≡ −1 (mod 3) и [b] ∩ [c] содержит две отличных от a вершины d, e из Ω. Получаем противоречие с тем, что [a]∩[d] содержит точно две вершины из Ω. (3) Допустим, что найдутся две несмежные вершины a, b из Ω такие, что Ω ⊂ a⊥ ∪ b⊥ . Если c ∈ Ω(a) ∩ [b], то степень c в графе Ω равна 2. Из (1) и (2) следует, что Γ является графом Клебша, а Ω — четырёхугольником. Значит, Ω(a) не пересекает [b]. Если c, d — различные вершины из Ω(a), то Ω(b) ⊂ [c] ∪ [d], иначе для e ∈ Ω(b) − ([c] ∪ [d]) тройка e, c, d не попадала бы в окрестность любой вершины из Ω, что противоречит (2). Таким образом, Ω является полным двудольным графом Ks,s с удалённым максимальным паросочетанием. Поскольку 2s делится на r +3, то s = r +3 или (r +3)/2. В последнем случае для a ∈ Ω граф Γ−a⊥ имеет параметры ((r2 +2r−1)(r2 + +3r+1), r3 +2r2 , 0, r2 ) и, по лемме 1.7, ϕ1 (g) = (rα0 (f )+(r3 +2r2 −r))/(r2 + +2r), где α0 (f ) = (r + 3)/2 и r + 1 делит 4, противоречие. Если s = r + 3, то 2(r + 3) сравнимо с 0 или 1 по модулю 3 (т. к. v = (r2 + 3r)2 сравнимо с 0 или 1 по модулю 3), поэтому r не сравнимо с 1 по модулю 3. (4) Пусть Γ не является графом Клебша. Зафиксируем вершину a из Ω. По (2) подграф Ω(a) содержит три вершины b, c, d. Предположим, что r ≡ 1 (mod 3). Тогда [b] ∩ [c] ∩ [d] содержит либо единственную вершину из Ω, либо не менее четырёх. Далее, [b] ∩ [c] содержит не менее двух вершин

Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна

347

из Ω. Пусть теперь r ≡ −1 (mod 3). Тогда [b] ∩ [c] ∩ [d] содержит либо две вершины из Ω, либо не менее пяти. Далее, [b] ∩ [c] содержит не менее трёх вершин из Ω. Лемма, а вместе с ней и предложение 1 доказаны. ЛЕММА 2.2. Пусть Ω является ω-кликой. Тогда (1) Ω = {a}, p делит r2 − 3r + 1, и если p > r, то α1 (g) = (r − 1)(r2 + +3r) + r; (2) Ω = {a, b}, p делит r2 + 2r − 1, и если p > r, то α1 (g) = (r − −1)(r2 + 3r) + 2r. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Пусть Ω = {a}. Тогда p делит r3 + 3r2 + r и v − 1, значит, p делит r2 + 3r + 1. По лемме 1.7, χ1 (g) = (r − α1 (g) + +r3 + 3r2 )/(r2 + 3r), поэтому α1 (g) = s(r2 + 3r) + r для некоторого целого s. Применяя лемму 1.7 к графу Γ − a⊥ , получаем ϕ1 (g) = (−α1 (g) + +(r3 + 2r2 − r))/(r2 + 2r), α1 (g) + r = s(r2 + 3r) + 2r делится на r2 + 2r и s + 2 = t(r + 2) для некоторого целого t. Если p > r, то t = 1, в противном случае t > r + 1 и α1 (g) > v + r. (2) Пусть Ω = {a, b}. Тогда p делит r3 + 3r2 + r − 1 и v − 2, значит, p делит r2 + 2r − 1. По лемме 1.7, χ1 (g) = (2r − α1 (g) + r3 + 3r2 )/(r2 + +3r), поэтому α1 (g) = s(r2 + 3r) + 2r для некоторого целого s. Применяя лемму 1.7 к графу Γ − a⊥ , получаем, что ϕ1 (g) = (−α1 (g) + (r3 + 2r2 − −r))/(r2 + 2r), α1 (g) + r = s(r2 + 3r) + 3r делится на r2 + 2r и s + 3 = t(r + 2) для некоторого целого t. Отсюда α1 (g) сравнимо с (r + 3)(t − 1) по модулю r2 +2r−1. Если p > r, то t = 1, в противном случае t > r+1 и α1 (g) > v+2r. Лемма и предложение 2 доказаны. ПРИМЕР 1. Рассмотрим автоморфизмы графа Клебша Γ (возникающего при r = 1). Пусть g — автоморфизм простого порядка графа Γ. Тогда 4 делит α0 (g) − α1 (g), и для графа Ω = Fix(g) возможны следующие случаи: (а) Ω — пустой граф, |g| = 2 и α1 (g) делится на 4; (б) Ω = {a} — одновершинный граф, |g| = 5, α1 (g) = 5 и существует единственная hgi-орбита длины 5, индуцирующая пятиугольник в Γ (Ω не является двухвершинной кликой, иначе |g| = 2 и для a ∈ Ω, x ∈ [a] − Ω подграф [x] ∩ [xg ] содержит a и несмежную с a вершину из Ω, противоре-

348

А. А. Махнёв, В. В. Носов

чие); (в) Ω — четырёхугольник, |g| = 3 и α1 (g) = 0; (г) Ω является регулярным графом степени 3 на восьми вершинах (это кубический подграф), |g| = 2 и α1 (g) = 0. Таким образом, порядок группы G автоморфизмов графа Клебша делит 2l ·3·5. Фактически, G является точным расширением элементарной группы порядка 16 с помощью симметрической группы S5 . ПРИМЕР 2. Рассмотрим автоморфизмы графа Хигмена–Симса Γ (возникающего при r = 2). Пусть g — автоморфизм простого порядка графа Γ. Тогда 10 делит 2α0 (g) − α1 (g) и для графа Ω = Fix(g) возможны следующие случаи: (а) Ω — пустой граф, |g| = 2 или 5, а α1 (g) делится на 10; (б) Ω = {a} — одновершинный граф, |g| = 11 и α1 (g) − 2 делится на 10; (в) Ω является двухвершинной кликой, |g| = 7 и α1 (g) = 14; (г) Ω является регулярным графом степени 3 на восьми вершинах (это кубический подграф), |g| = 2 и α1 (g) = 0; (д) |g| = 3, g фиксирует некоторую вершину a и вершину b из [a], [a] содержит четыре точки из Ω и шесть g-орбит длины 3; две из этих орбит попадают в окрестность точки a∗ , находящейся на расстоянии 3 в Ω от a, каждая вершина из Ω2 (a) смежна с единственной g-орбитой длины 3 из [a] и с тремя вершинами из Ω(a), поэтому Ω получается удалением из K5,5 максимального паросочетания и α1 (g) = 0; (е) |g| = 5, g фиксирует пятиугольник и α1 (g) = 20. Итак, порядок группы G автоморфизмов графа Kre(2) делится только на простые числа 2, 3, 5, 7, 11. Фактически, G является группой автоморфизмов группы Хигмена–Симса порядка 210 32 53 7 · 11.

§ 3. Автоморфизмы нечётного порядка графа Kre(5) Везде далее Γ является графом Крейна Kre(r) для r = 5, G = = Aut(Γ). Тогда Γ имеет параметры (1600, 205, 0, 30) и собственные зна-

Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна

349

чения 5 и −35 кратностей 1394 и 205, соответственно. Пересечение окрестностей любых трёх попарно несмежных вершин является 5-кокликой. Для любой вершины a подграф Γ2 (a) сильно регулярен с параметрами (1394, 175, 0, 25). Для смежных вершин a, b подграф Γ2 (a) ∩ Γ2 (b) сильно регулярен с параметрами (1190, 145, 0, 20). ЛЕММА 3.1. Пусть g — автоморфизм порядка 3 графа Γ, Ω = = Fix(g). Тогда Ω является полным двудольным графом на 16 вершинах с удалённым максимальным паросочетанием. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 2.1 степень каждой вершины в Ω не 2

меньше трёх. Если вершина x отлична от xg , то [x] ∩ [xg ] ∩ [xg ] является 5кокликой, пересекающей Ω по двум или пяти вершинам. Поэтому каждая вершина из Γ − Ω смежна с двумя или пятью вершинами из Ω. По той же лемме число вершин ω графа Ω делится на r + 3 = 8. Далее, v сравнимо с 1 по модулю 3, поэтому ω сравнимо с 1 по модулю 3. Положим ω = = 2u, тогда максимальное число рёбер в Ω достигается в случае, когда Ω — регулярный граф степени u. Поэтому число рёбер между Ω и Γ − Ω не меньше 2u(205 − u), но не больше 5(1600 − 2u). Отсюда u2 − 210u + 4000 > 0 и либо u 6 21, либо u > 189. Если u 6 21, то 2u = 16 или 40. В случае 2u = 16 степень каждой вершины в графе Ω равна 4 или 7. Если вершина a имеет степень 4 в графе Ω, то |Ω − a⊥ | = 11, но, по лемме 1.7, ϕ1 (g) = (55 + 170)/35. Значит, Ω — регулярный граф степени 7 на шестнадцати вершинах и является полным двудольным графом с удалённым максимальным паросочетанием. Пусть 2u = 40. Если вершина a имеет степень k ′ в графе Ω, то |Ω − −a⊥ | = 39 − k ′ , а по лемме 1.7, ϕ1 (g) = (5(39 − k ′ ) + 170)/35 и k ′ = 3 + 7s для подходящего целого числа s. Из 205 ≡ 1 (mod 3) следует k ′ ≡ 1 (mod 3) и s = 1 или 4. Поэтому степень вершины в графе Ω равна 10 или 31. Итак Ω — регулярный граф степени 10. Если вершины a, b из Ω смежны, то |Ω − (a⊥ ∪ b⊥ )| = 20 и по лемме 1.7 получаем ψ1 (g) = (5 · 40 + 140)/30, противоречие. Пусть u > 189. Поскольку 2u сравнимо с 1 по модулю 3 и делится на 8, то 2u > 400. Число рёбер между Ω и Γ − Ω не превосходит 5 · 1200,

350

А. А. Махнёв, В. В. Носов

поэтому некоторая вершина a из Ω смежна не более чем с 15 вершинами из Γ − Ω. Это противоречит тому, что для b ∈ Γ − ([a] ∪ Ω) подграф [a] ∩ [b] содержит не более 5 вершин из Ω и не менее 25 вершин из Γ − Ω. Лемма доказана. Далее будем считать, что G содержит элемент g простого порядка p > 5, Ω = Fix(g) — непустой граф, α1 (g) = pw. Для двух несмежных вершин a, b из Ω через Ωab обозначим множество вершин из Ω2 (a) ∩ Ω2 (b), смежных по крайней мере с одной вершиной из Ω(a) ∩ Ω(b). Заметим, что при p > 5 верно Ωab = Ω2 (a) ∩ Ω2 (b). ЛЕММА 3.2. (1) Если a, b — две несмежные вершины из Ω, |Ω(a) ∩ ∩ Ω(b)| = β > 3, то β(β − 1)(β − 2)/2 = 10|Ωab |, β 6= 30; (2) если Ω является кликой, то либо |Ω| = 1 и p = 41, либо |Ω| = 2 и p = 17; (3) если Ω не является кликой, то Ω содержит 3-коклику. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Пусть a, b — две несмежные вершины из Ω, |Ω(a) ∩ Ω(b)| = β > 3. Тогда число 3-лап с центральной вершиной из
Ω2 (a) ∩ Ω2 (b) и 3-кокликой из Ω(a) ∩ Ω(b) равно 3 β3 = 10|Ωab |.

Допустим, что β = 30. Тогда |Ωab | = 1218. С другой стороны, |Γ −

−(a⊥ ∪b⊥ )| = v −2k −2+µ = 1218, поэтому Γ−(a⊥ ∪b⊥ ) ⊂ Ω. В этом случае любая вершина c ∈ [a] − Ω смежна с 30 вершинами из [b] и 174 вершинами из Ω − (a⊥ ∪ b⊥ ), получаем противоречие с тем, что каждая вершина из hgi-орбиты вершины c смежна с указанными 174 вершинами. (2) Пусть Ω является ω-кликой. Если Ω = {a}, то, по лемме 2.2, p = 41 и w = 5. Для любого 1 6 i 6 20 существует пять hgi-орбит, в i

каждой из которых любая вершина x смежна с xg . Поскольку число hgiорбит на Γ−a⊥ равно 34, то либо одна из этих орбит является регулярным графом степени, не меньшей 8, либо одна из этих орбит имеет степень 2, а 33 орбиты — степень 6, либо две из этих орбит имеют степень 4, а 32 орбиты — степень 6. Если ω = 2, то, по лемме 2.2, p = 17 и w = 5. Пусть Ω содержит несмежные вершины a, b, но не содержит 3-коклик. Тогда p делит 30 − |[a] ∩ [b] ∩ Ω| и либо {c} = [a] ∩ [b] ∩ Ω и p = 29,

Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна

351

либо подграф [a] ∩ [b] содержит 2 вершины c, d из Ω и p = 7. Поскольку p делит |[c]−{a, b}|, то p = 7 и Ω является четырёхугольником. В этом случае g имеет единственную неподвижную точку в Γ2 (a). По лемме 1.7 значение характера равно χ1 (g) = (220 − 7w)/40 и w = 40u + 20. Поскольку любая вершина x, смежная с xg , не смежна с вершинами из Ω и по лемме 1.7 значение характера равно ψ1 (g) = −280u/30 и u = 3u′ . Заметим, что число вершин, несмежных с вершинами из Ω, равно 1600 − 4 − 56 − 4 · 175 = 840, получаем противоречие с тем, что α1 (g) > 140 · 7. Лемма доказана. ЛЕММА 3.3. Число p равно 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть p > 5. По лемме 3.2 подграф Ω содержит 3-коклику {a, b, c}. Тогда [a] ∩ [b] ∩ [c] является g-допустимой 5кокликой, откуда [a]∩[b]∩[c] ⊂ Ω. Поскольку p действует без неподвижных точек на [a] ∩ [b] − Ω, то p < 24. Положим |Ω(a) ∩ Ω(b)| = β, тогда β > 5. Если p = 23, то β = 7, что противоречит лемме 3.2. Пусть p = 19, тогда β = 11, что противоречит лемме 3.2. Если p = 17, то β = 13, снова противоречие. Пусть p = 13. По лемме 3.2, β 6= 4, следовательно, [a] ∩ [b] содержит 17 вершин из Ω для любых двух несмежных a, b ∈ Ω. Поэтому Ω является сильно регулярным графом степени k ′ без треугольников с µ = 17. По [1, теор. 8.7] выполняется k ′ = 17(s + 1) + s2 > 90, причём k − k ′ делится на 13. Отсюда k ′ равно 101 или 127, получаем противоречие с тем, что µ = 17 не делит k ′ (k ′ − 1). Пусть p = 11. По лемме 3.2, β 6= 8, поэтому [a] ∩ [b] содержит 19 вершин из Ω для любых двух несмежных вершин a, b ∈ Ω. Отсюда Ω является сильно регулярным графом степени k ′ без треугольников с µ = = 19. По той же теореме, k ′ = 19(s + 1) + s2 > 101, причём k − k ′ делится на 11. Отсюда k ′ = 139, получаем противоречие с тем, что µ = 19 не делит k ′ (k ′ − 1). Пусть p = 7. По лемме 3.2, β равно 2 или 16. Пусть β = 16, тогда по той же лемме |Ω − (a⊥ ∪ b⊥ )| = 168. В этом случае число 2-путей со средней вершиной в Ω − (a⊥ ∪ b⊥ ) и концами в Ω(a) ∩ Ω(b) равно 1680. С другой стороны, это число равно 14 · 120, противоречие.

352

А. А. Махнёв, В. В. Носов ЛЕММА 3.4. Подграф Ω является ω-кокликой, ω 6 20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 3.3, p = 5. Покажем, что Ω является

кокликой. Пусть a, b — две несмежные вершины из Ω, |Ω(a) ∩ Ω(b)| = = β > 0. Тогда β делится на 5, и по лемме 3.2, β 6= 15. Пусть Σ — связная компонента графа Ω, содержащая a. При β = 5 по лемме 3.2 верно |Ωab | = 3. Пересечение окрестностей любых двух вершин из [a] ∩ [b] содержит не менее пяти вершин из Ω, поэтому Ω содержит K5,5 -подграф ∆ = {a1 , . . . , a5 ; d1 , . . . , d5 }, где a = a1 , b = a2 . Пусть Xi = Xi (∆), xi = |Xi |. По лемме 1.6, x0 = 90, x1 = 1000, x2 = 500, окрестность вершины из X0 ∪ ∆ содержит по 100 вершин из X2 и X1 , окрестность вершины из X1 — 70 вершин из X2 , 125 вершин из X1 и 19 вершин из X0 , окрестность вершины из X2 — 45 вершин из X2 , 140 вершин из X1 и 38 вершин из X0 . Далее, X1 ∪ X2 не содержит вершин из Ω, смежных с вершиной из {d1 , . . . , d5 }, поэтому |Ω(di ) ∩ [dj ]| = 5 для любых различных i, j ∈ {1, . . . , 5}. Отсюда Ω ⊂ X0 ∪ ∆, причём Ω ∩ X0 — коклика, иначе X0 содержал бы путь xyz из Ω и [x] ∩ [z] содержал бы пять вершин из X0 ∩Ω, что противоречит лемме 1.6. Любая вершина x, смежная с xg , не смежна с вершинами из Ω, поэтому и по лемме 1.7 степени вершин в графе Ω различаются на число, кратное 7. Значит, X0 не пересекает Ω и χ1 (g) = (250 − 5w)/40, тогда w = 1 + 8s для некоторого целого s. По лемме 1.7 справедливо ϕ1 (g) = (190 − 5(1 + 8s))/35 и s = 2 + 7t для некоторого целого t. Наконец, ψ1 (g) = (140−5(17+56t))/30 и 2t+1 делится на 6, противоречие. При β = 10 по лемме 3.2 верно |Ωab | = 36. Пара (Ω(a) ∩ Ω(b), Ωab ) является 3-(10,5,3) схемой, поэтому любая пара вершин из Ω(a)∩Ω(b) смежна точно с восемью вершинами из Ωab , а вершина из Ω(a) ∩ Ω(b) — с восемнадцатью. Любая вершина e ∈ Ωab смежна с парой вершин c, d из Ω(a) ∩ [b], поэтому |Ω(a) ∩ [e]| = 10 и Ω(a) − [b] ⊂ Ωcd . Отсюда Σ является вполне регулярным графом с параметрами (v ′ , 20, 0, 10), Ω(a) − [b] содержит единственную вершину a′ из Ω2 (b) и девять из Ω3 (b). Получаем противоречие с тем, что для смежных вершин e, e′ ∈ Ω2 (a) ∩ Ω2 (b) 9-вершинный подграф Ω(b) − ([a] ∪ {b′ }) содержит по пять вершин из [e] и из [e′ ].

Об автоморфизмах сильно регулярных графов Крейна

353

При β = 20 по лемме 3.2 выполняется |Ωab | = 342 и число 2-путей со средней вершиной в Ωab и концами в Ω(a) ∩ Ω(b) равно 3420. Пусть x — число неупорядоченных пар вершин из Ω(a) ∩ Ω(b), смежных точно с восемнадцатью вершинами из Ωab . Поскольку для любых двух вершин x, y, находящихся на расстоянии 2 в Ω, подграф Ω(x) ∩ [y] содержит двадцать или двадцать пять вершин, то 18x + 23(190 − x) = 3420 и x = 150. При β = 25 по лемме 3.2 верно |Ωab | = 690 и число 2-путей со средней вершиной в Ωab и концами в Ω(a) ∩ Ω(b) равно 6900. Пусть y — число неупорядоченных пар вершин из Ω(a) ∩ Ω(b), смежных точно с восемнадцатью вершинами из Ωab . Тогда 18y + 23(300 − y) = 6900 и y = 0, откуда |Ω(p) ∩ Ω(q)| = 6 20 для любых двух несмежных вершин p, q ∈ Ω и (Ω(a) ∩ Ω(b), Ωab ) является 3-(25, 5, 3) схемой. Теперь любая пара вершин из Ω(a)∩[b] смежна точно с 23 вершинами из Ωab , а вершина из Ω(a)∩[b] — со 138 вершинами из Ωab . Таким образом, Σ является вполне регулярным графом с параметрами (v ′ , 140, 0, 25), противоречие. Итак, Ω является ω-кокликой. Заметим, что для любых трёх вершин a, b, c ∈ Ω подграф [a] ∩ [b] ∩ [c] является hgi-орбитой. Подграф [a] ∩ [b] содержит шесть hgi-орбит, каждая орбита смежна не более чем с тремя вершинами из Ω − {a, b}, следовательно, ω 6 20. Лемма доказана. ЛЕММА 3.5. Если g — автоморфизм порядка 5 графа Γ, то Fix(g) является пустым графом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. По лемме 3.4 подграф Ω = Fix(g) является ω-кокликой, ω равно 5, 10, 15 или 20. Пусть Xi = Xi (Ω), xi = |Xi |, тогда x2 + x5 = 1600 − ω и 2x2 + 5x5 = 205ω. Вычитая из второго равенства два первых, получим 3x5 = 207ω + 3200, противоречие. Лемма, а вместе с ней и теорема доказаны.

ЛИТЕРАТУРА 1. P. Cameron, J. Van Lint, Designs, graphs, codes and their links (Lond. Math. Soc. Stud. Texts, 22), Cambridge, Cambridge Univ. Press., 1981. 2. С. Р. Зарипов, А. А. Махнёв, И. П. Яблонко, О сильно регулярных графах

354

А. А. Махнёв, В. В. Носов без треугольников, в кн. „Алгебра и линейная оптимизация“, Тр. межд. семин., Екатеринбург, УрО РАН, 2002, 117—121. 3. P. Cameron, Permutation groups (Lond. Math. Soc. Stud. Texts, 45), Cambridge, Cambridge Univ. Press., 1999.

Поступило 5 января 2004 г. Окончательный вариант 12 января 2005 г. Адреса авторов: МАХНЁВ Александр Алексеевич, Ин-т математики и механики УрО РАН, ул. Ковалевской, 16, г. Екатеринбург, 620219, РОССИЯ. e-mail: [email protected] НОСОВ Виталий Валерьевич, Ин-т математики и механики УрО РАН, ул. Ковалевской, 16, г. Екатеринбург, 620219, РОССИЯ.