Дифференциальные уравнения динамического баланса и их приложения

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО БАЛАНСА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ А. П. ЧЕРНЯЕВ Московский физико-технический институт, Долгопрудный Московской обл.

THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE DYNAMIC BALANCE AND THEIR APPLICATIONS A. P. CHERNYAEV

Differential equations of the dynamic balance are given. These equations may be one-dimensional and multi-dimensional, they possess ecological and economical interpretations. Main attention is directed to the economic interpretation connected with the family budget. В статье приведены дифференциальные уравнения динамического баланса. Эти уравнения могут быть как одномерными, так и многомерными, они имеют экологическую и экономическую интерпретации. Основное внимание направлено на экономическую интерпретацию, которая связана с семейным бюджетом.

Природа и общество изобилуют процессами, происходящими около положений равновесия, интерес к которым сильно вырос в последнее время. Простые модели таких процессов в живой природе и обществе должны найти достойное место в учебных программах, начиная со школы [1]. Мы ограничимся лишь дифференциальными моделями процессов и явлений, происходящих в живой природе и обществе. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО БАЛАНСА Рассмотрим уравнение x' = P − R,

P $ 0,

R $ 0,

(1)

где x = x(t) – изучаемая величина, P = P(t, x) – источник, а R = R(t, x) – потери. Они выводятся аналогично [2], в предположениях существования x', непрерывности P и R по совокупности переменных: представления τ + ∆τ

x ( τ + ∆τ ) – x ( τ ) =

∫

[ P ( t, x ( t ) ) – R ( t, x ( t ) ) ] dt

(2)

τ

и формулы Ньютона–Лейбница для левой части (2). Остановимся теперь на примерах процессов, описываемых уравнением (1). Дифференциальное уравнение экологического баланса

© Черняев А.П., 2000

Мальтузианская и логистическая модели

www.issep.rssi.ru

Рассмотрим дифференциальную модель популяции, связанную с ее размножением и вымиранием [3, гл. 1]. Пусть x = x(t) – число особей в популяции в момент времени t. Тогда, если в (1) P и R – число особей, рождающихся и умирающих в популяции в единицу времени соответственно, то можно утверждать, что уравнение (1) описывает скорость изменения x со временем. Если предположить, что рождаемость и смертность от времени не зависят, то приходим к простому случаю

Ч Е Р Н Я Е В А . П . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я Д И Н А М И Ч Е С К О ГО Б А Л А Н С А И И Х П Р И Л О Ж Е Н И Я

117

МАТЕМАТИКА P = ax,

R = bx;

a > 0, b > 0,

(3)

где a и b – коэффициенты рождения и смерти особей в единицу времени соответственно. С учетом (3) уравнение (1) перепишется в виде x' = (a − b)x.

(4)

Решая (4) с начальным условием x(t0) = x0 ,

x0 $ 0

(5)

(для этого достаточно разделить (4) на x, проинтегрировать и перейти от логарифма к экспоненте), находим x = x0 exp[(a − b)(t − t0)].

(6)

Из (6) следует, что если a > b, то при t +∞ x +∞, а если a < b, то при t +∞ x 0 и популяция становится вымирающей. Эта простейшая модель роста (4) при a > b была предложена Т.Р. Мальтусом (см. [3, с. 8, 15]) для описания роста населения Земли. Однако число особей любой популяции ограничено размерами и ресурсами места ее проживания. И тогда вместо модели с функциями (3) вступает в силу модель, также описываемая (1) с функциями [3, с. 8] P − R = ax − bx2;

a > 0, b > 0.

(7)

Уравнение (1) при (7) перепишется в виде x' = ax − bx2.

(8)

Сразу указываем на решения x = 0 и x = a / b. Чтобы найти решения, отличные от этих, нужно представить (1) в виде dx ----------------------- = dt x ( a – bx ) и проинтегрировать. Разлагая на простые дроби, переходя от логарифма к экспоненте и используя условие (5), мы находим, что x0 ( a ⁄ b ) -. x = -------------------------------------------------------------------------x 0 + [ a ⁄ b – x 0 ] exp [ – a ( t – t 0 ) ]

(9)

Из (9) видно, что при t +∞ x a / b, причем если a / b < x0 , то x убывает, а если a / b > x0 , то x возрастает. Уравнение (8) описывает модель популяции, рост численности которой не беспределен, но ограничен некоторым необходимым ей ресурсом. Оно называется уравнением Ферхюльста–Пирла. Уравнение (9) называется уравнением логистической кривой, а (8) при (5) – логистической моделью. Уравнения (4) и (8) можно при малых x рассматривать как частные случаи уравнения (1), правая часть которого зависит лишь от x и в ней используется конечное число членов разложения по формуле Тейлора. В слу-

118

чае (4) берется один член разложения, а в случае (8) – два члена. Популяция, подверженная промыслу Рассмотрим теперь популяцию, подверженную промыслу [3, c. 21], то есть из популяции в единицу времени изымается некоторое число особей c, которое мы будем называть “урожаем”. В этом случае P − R = ax − bx2 − c,

a > 0, b > 0, c > 0.

(10)

Уравнение (1) при (10) перепишется в виде x' = ax − bx2 − c

(11)

и решается аналогично (8). Однако поступим проще. В случае, когда D = a2 − 4bc > 0, существуют два корня − D ) ⁄ 2b и мы делаем замену x − x1 = z. Уравx 1, 2 = ( a + нение (11) и начальное условие (5) преобразуются к виду z' = b(x2 − x1)z − bz2 и z(t0) = x0 − x1 соответственно. Пользуясь для получения z формулой (9) и производя обратную замену к x, получаем формулу, обобщающую (9): x 2 ( x 0 – x 1 ) + x 1 ( x 2 – x 0 ) exp [ – b ( x 2 – x 1 ) ( t – t 0 ) ] - . (12) x = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x 0 – x 1 + ( x 2 – x 0 ) exp [ – b ( x 2 – x 1 ) ( t – t 0 ) ] Из полученных формул следует, что стационарные решения уравнения (11) x = x1 > 0, x = x2 < a/b при возрастании c от нуля до a2 /4b приближаются друг к другу с одинаковой скоростью и становятся равными a/2b при c = a2 /4b. Это значение c является критическим, ибо при его увеличении популяция вымирает. Это следует из неравенства x' < a2 /4b − c, правая часть которого является максимумом квадратного трехчлена правой части (11) и отрицательна. Этот максимум достигается при x = a/2b. Далее, применяя теорему Лагранжа, с учетом последнего неравенства получаем x(t) < x0 + (a2 /4b − c)t, откуда следует обращение x в нуль за конечное время. При D > 0 популяция имеет два равновесных состояния, соответствующие указанным выше стационарным решениям, из которых первое неустойчиво, а второе устойчиво, что следует из формулы (12) при t −∞ и t +∞. Из неустойчивости первого состояния следует, что если вследствие каких-либо причин численность популяции упадет хоть немного ниже уровня x1 , то в дальнейшем популяция будет уничтожена полностью за конечное время. Устойчивость второго состояния означает, что популяция в этом случае восстанавливается при малых отклонениях x от равновесного значения x2 . Из сказанного видно, что выбор значения параметра c важен при управлении промыслом. Стремясь к увеличению урожая c, разумная планирующая организация не должна превышать критический уровень. При критическом значении c популяция не уничтожается, а

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 1 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА доход от промысла максимален. Однако небольшое случайное уменьшение численности популяции при критическом значении c приводит к полному уничтожению популяции за конечное время. Рассмотрим теперь второй режим промысла [3, с. 21], когда из популяции изымается постоянная доля особей от численности популяции c = kx, где параметр k подлежит выбору. Из (11) имеем x' = ax − bx2 − kx = (a − k)x − bx2,

k > 0.

(13)

Мы видим, что (13) получается из (8) заменой a на a − k. Заменяя в (9) a на a − k, получаем формулу для решения уравнения (13) при начальном условии (5) x0 [ ( a – k ) ⁄ b ] -. x = -------------------------------------------------------------------------------------------------x 0 + [ ( a – k )b – x 0 ] exp [ – ( a – b ) ( t – t 0 ) ]

(14)

Исследование формулы (14) аналогично исследованию формулы (9). Остановимся лишь на случае k < a. При t +∞ x (a − k)/b, причем если (a − k)/b < < x0 , то x убывает, а если (a − k)/b > x0 , то x возрастает. В этих условиях количество изымаемых из популяции в единицу времени особей, то есть урожай c = kx при t +∞, стабилизируется к величине c = (a − k)k/b, которая достигает максимума c = a2 /4b при k = a/2, причем отклонение k от a/2 как в одну, так и в другую сторону влечет снижение урожая, а не гибель популяции. Отсюда следует различие режимов промысла, хотя максимальный стационарный урожай для них один и тот же c = a2 /4b. Второй режим, при котором из популяции изымается определенная ее доля, явно более предпочтителен, так как не приводит к исчезновению популяции. Остановимся теперь на биологической трактовке уравнений (4) и (8). В уравнении (4) рождаемость a и смертность b не зависят от численности популяции. Предположение о независимости рождаемости и смертности от численности отвечает представлению о свободной популяции [3, с. 18]. Очевидно, что беспредельный рост популяций невозможен из-за ограниченности внешних ресурсов: источников пищи, мест обитания и т.п. Эта ограниченность приводит к внутривидовой конкуренции, которая проявляется в зависимости рождаемости, смертности или их обеих от плотности популяции, а значит, и численности [3, с. 18], поскольку в условиях ограниченности мест обитания плотность и численность популяции становятся пропорциональными. Рождаемость с ростом плотности падает, а смертность растет. Наиболее простым, общепринятым и подтвержденным во многих случаях экспериментально является предположение о линейном характере этих зависимостей. Отсюда

P = x(α − βx), R = x(γ + δx); α > 0, β > 0, γ > 0, δ > 0. Подставляя последние равенства в (1), получим совпадающее с (8) уравнение x' = (α − γ)x − (β + δ)x2. Квадратичный член в уравнении (8) указывает на то, что принятый линейный вид зависимости рождаемости, смертности или их обеих от плотности популяции допускает довольно естественную, хотя и механистическую интерпретацию внутривидовой конкуренции: абсолютная недостача особей в условиях ограниченности ресурсами по сравнению с ростом свободной популяции пропорциональна количеству контактов (столкновений) между особями [3, с. 18]. Дифференциальное уравнение семейного денежного баланса Уравнение семейного денежного баланса и свойства функции расхода Пусть x = x(t) $ 0 – денежные накопления (сбережения) семьи [2], тогда доход P = P(t) зависит только от времени, а расход R = R(x) считаем зависящим только от накоплений. Уравнение (1) будет тогда выглядеть x'(t) = P(t) − R(x).

(15)

Будем называть (15) уравнением семейного денежного баланса [2, 4]. В простейшем случае R(x), x $ 0, лишь повседневные расходы. Считаем функцию R(x) удовлетворяющей условию Липшица и требуем выполнения следующих условий: 1) функция R(x) монотонно не убывает по x; 2) существует положительное число R*, не зависящее от t, такое, что семья за время, не превосходящее единицу, не может истратить денег больше, чем R*, то есть для любого ϑ ∈ (0, 1] t+ϑ

∫ R ( x ( τ ) ) dτ # R*.

(16)

t

При наложении этих условий мы руководствовались достаточно простыми экономическими соображениями. Условие 1 мы наложили на основании того, что при увеличении накоплений семьи увеличиваются и расходы. Условие 2 основано на том, что, как бы ни была богата семья, истратить денег на повседневные расходы больше какой-то определенной суммы она не может. Может быть, это соображение небезусловно, однако мы считаем его экономически оправданным и придерживаемся его в этой статье. Укажем теперь на некоторые простые геометрические свойства функции расхода, характеризующие

Ч Е Р Н Я Е В А . П . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я Д И Н А М И Ч Е С К О ГО Б А Л А Н С А И И Х П Р И Л О Ж Е Н И Я

119

МАТЕМАТИКА поведение R(x) на бесконечности и в правой окрестности нуля. 1. Рассмотрим поведение R на бесконечности. Условие 2 имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию, оно фактически означает ограниченность функции расхода на бесконечности. Действительно, для выполнения условия 2 необходима и достаточна справедливость неравенства R(x) # R*

(17)

для любого x $ 0. Пусть выполнено (17). Тогда справедливость условия 2 получается из цепочки t+ϑ

∫

t+ϑ

R ( x ( τ ) ) dτ # R*

t

∫ dτ = R*ϑ # R*. t

Доказательство обратного утверждения сложнее и полностью приведено в [2]. Заметим, что можно было вместо условия 2 сразу постулировать справедливость (17), однако из-за указанной выше экономической трактовки неравенства (16) мы считаем наложение условия 2 экономически более состоятельным. Из условия 1 и (17) следует существование такой положительной постоянной R* , что R * = lim R ( x ) = sup R ( x ) # R*. x → +∞

x$0

Исходя из (17), последнего выражения и условия 1 можно кратко охарактеризовать поведение R на бесконечности следующим образом: R ( x ) # R * = lim R ( x ). x → +∞

(18)

С экономической точки зрения (18) может служить индикатором семей по доходам. Семьи, доходы которых не могут приблизиться к R* , можно назвать семьями с низкими доходами. Семьи, доходы которых находятся вблизи R* , можно назвать семьями со средними доходами. Семьи, доходы которых значительно превышают R* , можно назвать семьями с высокими доходами. 2. Рассмотрим теперь поведение R в правой окрестности нуля. Предположим, что в какой-то момент времени t* x(t*) = 0. Поскольку для жизни семьи нужно, чтобы x(t) $ 0, то получаем, что при t = t* x(t) имеет минимум и из теоремы Ферма следует, что x'(t*) = 0. Используя уравнение (15), имеем R(0) = P(t*).

(19)

Равенство (19) характеризует поведение R в правой окрестности нуля и может быть названо условием выживания.

120

Свойства решений уравнения баланса Исследуем теперь поведение решений уравнения (15) при t +∞. Пусть сначала для простоты P не зависит от t. Тогда в уравнении (15) переменные разделяются. Если доход невысокий, то есть 0 < P < R*, то уравнение (15) имеет стационарное решение x = x1 , где x1 – решение уравнения P = R(x).

(20)

В силу свойств R(x) решение x1 существует. Если дополнительно предположить строгую монотонность R(x), то x1 единственно. Стационарное решение является решением задачи (15), (5), если x1 = x0 . Таким образом, при условии x1 < R* , если x0 удовлетворяет уравнению (20), то задача (15), (5) имеет стационарное решение x = x0 . Если x0 не является решением уравнения (20), то справедливо равенство dx --------------------- = dt, P – R( x )

P ≠ R ( x ).

При P = const нестационарное решение задачи (15), (5) удовлетворяет уравнению x

ds

-=t–t . ∫ -------------------P – R(s)

(21)

0

x0

Здесь x1 – решение уравнения (20) – не задевает отрезка с концами x0 и x. Пользуясь конкретным видом (21) и свойствами R(x), можно установить асимптотические свойства x(t) при t +∞ и сделать из этих свойств экономические выводы. Ограничиваясь случаем, когда R'(x) существует и положительна, заменяя в левой части (21) |s − x1 | на 1/u и пользуясь результатом по асимптотике получившегося интеграла [5, гл. 1, п. 4], получаем, что при x x1 x

ds

ln x – x 1

- ∼ ----------------------. ∫ -------------------R' ( x ) P – R(s)

(22)

1

x0

Из (21) и (22) будем иметь при x ln x – x t – t 0 ∼ – ---------------------1- . R' ( x 1 )

x1 (23)

Соотношение (23) дает, что при x x1 t +∞, а значит, при t +∞ x x1 . Экономический вывод отсюда таков: невыгодно иметь большие накопления x0 , так как x1 не зависит от x0 . Выгодно так вложить деньги, чтобы увеличить P (положить в надежный банк, перевести в более твердую валюту и т.д.), тогда увеличится и x1 .

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 1 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА В работе [2] рассмотрены свойства решений уравнения (15), когда P зависит от t, при более сильных предположениях, чем в настоящей статье. В [2] дополнительно предполагаются существование и непрерывность P'(t) и R'(x), отличие от нуля P'(t) при достаточно больших t и доказано неравенство нулю x'(t) для достаточно больших t. Отсюда следует монотонность x(t), а значит, в силу условия 1 и монотонность R(x(t)). Используя ограниченность R(x), имеем существование конечного предела R(x(t)) при t +∞. Предполагая существование конечного предела P(t) при t +∞, из (15) получаем существование конечного предела x'(t) при t +∞, если только x(t) не становится отрицательным. В случае семей с низкими доходами, то есть lim P ( t ) = p ∞ < R * ,

(24)

t → +∞

либо x'(t) 0 при t +∞, либо x(t) становится отрицательным. Предположив противное, то есть что x'(t) стремится к положительному пределу при t +∞, получаем, что x(t) +∞ при t +∞. Но тогда из (15) и (24) получаем, что при больших t x'(t) < 0, что противоречит нашему предположению. Не рассматривая случая отрицательных сбережений, переходим к пределу при t +∞ в уравнении (15). Пользуясь непрерывностью R(x), получаем R(x∞) = p∞ ,

(25)

где x ∞ = lim x ( t ). Мы можем рассматривать (25) как t → +∞

трансцендентное уравнение для определения x∞ . В случае семей не с низкими доходами, то есть когда p∞ $ R* , x'(t) не обязана стремиться к нулю при t

+∞.

Пример точного решения уравнения динамического баланса Нетрудно видеть, что условиям, которым должна удовлетворять функция расхода, удовлетворяет, например, при x $ 0 функция R* ( x + a1 ) -, R ( x ) = ------------------------x + a1 + a2

a 1 > 0,

a 2 > 0,

(26)

так как она имеет положительную производную и ограничена сверху [4]. Рассмотрим теперь в качестве примера частный случай уравнения (15) при P = const и (26), то есть R * ( x + a 1 ) ( P – R * ) ( x + a 1 ) + Pa 2 - = -------------------------------------------------------- . x' = P – ------------------------x + a1 + a2 x + a1 + a2

(27)

Интегрируя (27) в случае P = R* [4] и находя константу интегрирования из условия (5), будем иметь

x = – ( a 1 + a 2 ) + ( a 1 + a 2 + x 0 ) + 2Pa 2 ( t – t 0 ) . 2

(28)

Знак плюс перед корнем в (28) следует из условия (5). Итак, если P = R* , то решение задачи (27), (5) дается формулой (28). Легко видеть, что сбережения в этом случае растут как

2Pa 2 t.

Пусть теперь P ­ R* , тогда (27) имеет стационарное решение, Pa 2 P ( a1 + a2 ) – R* a1 -. - – a 1 = -----------------------------------------x = --------------R* – P R* – P

(29)

Разделяя переменные в уравнении (27), интегрируя полученное [4] и находя константу интегрирования из условия (5), получим R* a2 - ln ( P – R * ) ( x + a 1 ) + Pa 2- = x – x 0 – --------------P – R * --------------------------------------------------------( P – R * ) ( x 0 + a 1 ) + Pa 2 = ( P – R * ) ( t – t 0 ).

(30)

Итак, если P ­ R* , то решение задачи (27), (5) дается формулой (30). Выражение (30) позволяет выяснить зависимость сбережений от времени. Пусть сначала P > R* . Если t +∞, тогда левая часть (30) также стремится к +∞, а значит, и x − x0 +∞. Разделив (30) на x − x0 и переходя к пределу при t + ∞, получаем, что x − x0 ∼ ∼ (P − R*)t при t +∞. Пусть теперь P < R* . Если t +∞, то обе части (30) стремятся к −∞. Однако в левой части (30) к −∞ может стремиться только второе слагаемое при стремлении x к стационарному решению (29). Таким образом, при t +∞ x из (30) стремится к стационарному решению. Итак, если P < R* , то с ростом t x из (30) стремится к постоянной, равной стационарному решению уравнения (27); если P = R* , то с ростом t x из (30) стремится к + ∞ как const t, а при P > R* с ростом t x из (30) стремится к +∞ линейно по времени. 2. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОГО БАЛАНСА Если (1) рассматривать в векторном виде x ( t ) = P – R,

(31)

то полученную систему можно интерпретировать как систему дифференциальных уравнений динамического баланса. В двумерном случае (31) будет иметь вид

Ч Е Р Н Я Е В А . П . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я Д И Н А М И Ч Е С К О ГО Б А Л А Н С А И И Х П Р И Л О Ж Е Н И Я

121

МАТЕМАТИКА dx 1 ------- = P 1 – R 1 , dt

dx 2 ------- = P 2 – R 2 ; dt

1–β

P 1, R 1, P 2, R 2 $ 0, (32)

где x = ( x 1, x 2 ) – изучаемая величина, P = P ( t, x ) = = (P1 , P2) – источник, а R = R ( t, x ) = ( R 1, R 2 ) – потери. Соображения, приводящие к системам (31) и (32), аналогичны одномерному случаю. Система дифференциальных уравнений семейного денежного баланса Разберем двумерную модель формирования сбережений и спроса на деньги [6]. В системе уравнений dx 1 σx ------- = ρx 1 + rx 2 + --------2 – pR 1 – R 2 + P, dt θ

dx 2 R2 x 2 ------- = ----- – ---- (33) dt σ θ

имеются активы двух видов: наличные деньги x1 и ценные бумаги x2 , которыми обладает домашнее хозяйство, доходы которого складываются из зарплаты P, процентов по деньгам ρx1 , процентов по ценным бумагам rx2 (ρ и r – ставки процентов по деньгам и ценным бумагам) и выплаты денег при погашении ценных бумаг σx2 /θ (σ и θ – текущий рыночный курс и среднее время погашения ценных бумаг). Доходы домашнего хозяйства идут на текущее потребление pR1 (p – индекс потребительских цен, R1 – объем совокупного потребления) и приобретение ценных бумаг R2 . Предположим, что приобретение и продажа ценных бумаг осуществляются не мгновенно: −σx2 /∆ < R2 < x1 /∆, где ∆ – малый промежуток времени, поэтому введем параметр z ∈ [0, 1], такой, что zx ( 1 – z )σx R 2 = -------1 – -------------------------2 . ∆ ∆

(34)

Будем считать, что платежи pR1 нельзя осущестx1 вить, если нет достаточного запаса денег: pR 1 < ----, что τ дает возможность ввести управление c ∈ [0, 1]: cx 1 pR 1 = -------. τ

(35)

Интересы домашнего хозяйства описываются полезностью будущего потребления на интервале времени (0, T). Предполагается, что полезность от немедленного потребления в exp(tδ) раз больше, чем полезность от того же объема продуктов через время t (δ – коэффициент дисконтирования полезности), и максимизируемый функционал запишется в виде T

∫

ω = exp ( – tδ )u ( R 1 ( t ) ) dt ⇒ max, 0

122

(36)

где u ( R 1 ) = R 1 , β > 1, – функция полезности потребления. Таким образом, поставлена задача оптимального управления (36) при (35), (33) с условиями x1(0) = x10 , x2(0) = x20 и управлениями c и z. Необходимым и достаточным условием оптимальности в поставленной задаче является принцип максимума Понтрягина: управление (c, z) оптимально, когда оно доставляет максимум функции Гамильтона [6]. При помощи принципа максимума утверждается, что система может находиться в трех режимах. Первый и второй режимы соответствуют максимально быстрому переводу средств в более выгодную форму (продажа акций, если деньги предпочтительнее, или покупка акций в противном случае). Третий режим соответствует равноценности активов, в теории оптимального управления он называется особым. Оказывается, что большую часть времени оптимальная траектория находится в особом режиме. Интересно отметить, что, несмотря на сложную постановку этой задачи, ее решение по характеру совпадает с решениями уравнений Ланчестера [7, с. 238], которые истолковываются как простейшая модель войны двух популяций. В результате этой войны либо одна популяция, побеждая, уничтожает другую, либо они постепенно истребляют друг друга. ЛИТЕРАТУРА 1. Вейцман И.Б. О преподавании темы «Дифференциальные уравнения» в школе // Обучение в математических школах. М.: Просвещение, 1965. С. 87–123. 2. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Свойства решений динамического уравнения семейного баланса // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: МФТИ, 1997. С. 124–131. 3. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. 182 с. 4. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Точное решение уравнения динамического баланса для денежных семейных накоплений // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: МФТИ, 1998. С. 94–98. 5. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. 375 с. 6. Гуриев С.М. Модель формирования сбережений и спроса на деньги. I, II // Мат. моделирование. 1994. Т. 6, № 7. С. 15–54. 7. Вентцель Е.С., Лихтерев Я.М., Мильграм Ю.Г., Худяков И.В. Основы теории боевой эффективности и исследования операций. М.: ВВИА, 1961. 524 с.

Рецензент статьи А.А. Цхай *** Александр Петрович Черняев, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Московского физико-технического института. Область научных интересов – теория фильтрации, математическая биофизика, математическая экономика. Автор более 60 научных статей по различным вопросам математики.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 1 , 2 0 0 0