Задачи по квантовой механике

Œˆˆ‘’…‘’‚Ž Ž€‡Ž‚€ˆŸ Ž‘‘ˆ‰‘ŠŽ‰ ”…„…€–ˆˆ ˆ†…ƒŽŽ„‘Šˆ‰ ƒŽ‘“„€‘’‚…›‰ “ˆ‚…‘ˆ’…’ ¨¬..ˆ.‹Ž€—…‚‘ŠŽƒŽ

‚»±¸ ¿ ¸ª®«  ®¡¹¥© ¨ ¯°¨ª« ¤­®© ´¨§¨ª¨

‡€„€—ˆ Ž Š‚€’Ž‚Ž‰ Œ…•€ˆŠ…

¨¦­¨© ®¢£®°®¤, 1998

“„Š 530.145 ‡ ¤ ·¨ ¯® ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥ /‘®±². ƒ.€.‚³£ «¼²¥°. - .®¢£®°®¤: ƒ“, 1998. - 56 ±. °®¸¾°  ±®¤¥°¦¨² § ¤ ·¨ ¯® ª³°±³ ­¥°¥«¿²¨¢¨±²±ª®© ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¨, ª®²®°»© ·¨² ¥²±¿ ±²³¤¥­² ¬ ‚»±¸¥© ¸ª®«» ®¡¹¥© ¨ ¯°¨ª« ¤­®© ´¨§¨ª¨ ¨¦¥£®°®¤±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥­­®£® ³­¨¢¥°±¨²¥²  ¨¬. .ˆ.‹®¡ ·¥¢±ª®£®. €¤°¥±®¢ ­  ±²³¤¥­² ¬-´¨§¨ª ¬. ¨±.1 ‘®±² ¢¨²¥«¼ ¯°®´. ƒ.€.‚³£ «¼²¥° ¥¶¥­§¥­² ±² °¸¨© ­ ³·­»© ±®²°³¤­¨ª ˆ­±²¨²³²  ¯°¨ª« ¤­®© ´¨§¨ª¨ €, ª ­¤.´¨§.-¬ ². ­ ³ª, ¤®¶¥­² €..°®²®£¥­®¢

¨¦¥£®°®¤±ª¨© £®±³¤ °±²¢¥­­»© ³­¨¢¥°±¨²¥² ¨¬. .ˆ.‹®¡ ·¥¢±ª®£®, 1998

1. Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ¯¯ ° ² ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¨

Ž¯¥° ²®°» ®²° ¦¥­¨¿ I^, ±¤¢¨£  T^a, ª®¬¯«¥ª±­®£® ±®¯°¿¦¥^ ­¨¿ K ®¯°¥¤¥«¥­» ±®®²­®¸¥­¨¿¬¨ I^ (x) = (,x); T^a (x) = (x + a); K^ (x) =  (x). Ÿ¢«¿¾²±¿ «¨ ½²¨ ®¯¥° ²®°» «¨­¥©­»¬¨?  ©¤¨²¥ ®¯¥° ²®°», ®¡° ²­»¥ ª ­¨¬.  ©¤¨²¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ®¯¥° ²®°  ª®®°¤¨­ ²» x^, ¥±«¨ x^ (x)  x (x).  ©¤¨²¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ®¯¥° ²®°  p^x - ®¯¥° ²®°  ¯°®¥ª¶¨¨ ¨¬¯³«¼±  ­  ®±¼ x, ¥±«¨ p^x = ,ih @=@x. °¬¨²®¢ ®¯¥° ²®° f^ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±®®²­®¸¥­¨¾ f^2 = cf^, £¤¥ c - ¢¥¹¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«®. Š ª®¢» ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ² ª®£® ®¯¥° ²®° ? °¬¨²®¢ ®¯¥° ²®° A^ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±®®²­®¸¥­¨¾ (A^ , 1)(A^ , 2) = 0, £¤¥ 1; 2 - § ¤ ­­»¥ ·¨±« .  ©¤¨²¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ®¯¥° ²®°  A^. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ' - ¢¥ª²®°, ­¥ ¿¢«¿¾¹¨©±¿ ±®¡±²^ , 1' ¨ A' ^ , 2' ¢¥­­»¬ ¢¥ª²®°®¬ ®¯¥° ²®°  A^, ²® ¢¥ª²®°» A' ^ ±®¡±²¢¥­­»¥ ¢¥ª²®°» ®¯¥° ²®°  A.  ©¤¨²¥ px-¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ±®¡±²¢¥­­®© ´³­ª¶¨¨ ®¯¥° ²®°  x^.  ©¤¨²¥ ¢¨¤ ®¯¥° ²®°  x^ ¢ px-¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨. Š ª®© ¢¨¤ ¨¬¥¥² ®¯¥° ²®° p^x ¢ px-¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨? ³±²¼ L^ - ¯°®¨§¢®«¼­»© «¨­¥©­»© ®¯¥° ²®°. ®ª ¦¨²¥, ·²®  ) + + ^ (L ) = L^, ¡) ®¯¥° ²®°» L^+L^ ¨ L^ L^ + ½°¬¨²®¢», ¢) ®¯¥° ²®°» L^ + L^ + ¨ i(L^ , L^+ ) ½°¬¨²®¢». ^ C^ ±¯° ®ª ¦¨²¥, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ «¨­¥©­»µ ®¯¥° ²®°®¢ A;^ B; + + + + ^ ^ ^ ^ ^ ^ ¢¥¤«¨¢® ±®®²­®¸¥­¨¥ (AB C ) = C B A . ³±²¼ ®¯¥° ²®°» A;^ C^ «¨­¥©­»¥, ¯°¨·¥¬ C^ - ½°¬¨²®¢. ®ª ¦¨²¥, ·²® ®¯¥° ²®° G^ = A^C^A^+ ¿¢«¿¥²±¿ ½°¬¨²®¢»¬. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¯°®¨§¢®«¼­»© «¨­¥©­»© ®¯¥° ²®° F^ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ F^ = A^ + iB^, £¤¥ A^ ¨ B^ - ½°¬¨²®¢» ®¯¥° ²®°». ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ F (z) ª®¬¯«¥ª±­®© ¯¥°¥¬¥­­®© z ¿¢«¿¥²±¿  ­ «¨²¨·¥±ª®© ¢ ª°³£¥ ± ¶¥­²°®¬ ¢ ²®·ª¥ z = 0 ¨ ¯³±²¼ ¢±¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ fn ½°¬¨²®¢  ®¯¥° ²®°  f^ «¥¦ ² ¢ ½²®¬ ª°³£¥. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¯®¤ ®¯¥° ²®°®¬ F (f^) ¬®¦­® ¯®­¨¬ ²¼ ®¯¥° ²®° 1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6. 1.7. 1.8.

1.9.

1.10. 1.11. 1.12.

F (f^) =

1 X cn f^n ;

n=0

3

£¤¥ cn - ª®½´´¨¶¨¥­²» °¿¤  ’¥©«®°  ´³­ª¶¨¨ F (z), ². ¥. F (z ) =

1 X

n=0

cn z n :

(® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, ¥±«¨ § ¤ ­» ´³­ª¶¨¿ F (z) ¨ ½°¬¨²®¢ ®¯¥° ²®° f^ ± ±®¡±²¢¥­­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ n ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ¨¬ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ fn, ²® ¯®¤ ®¯¥° ²®°®¬ F (f^) ¯®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿ «¨­¥©­»© ®¯¥° ²®° ± ²¥¬¨ ¦¥ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ n ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ¨¬ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ F (fn).) ˆ±¯®«¼§³¿ °¥§³«¼² ² ¯°¥¤»¤³¹¥© § ¤ ·¨, ­ ©¤¨²¥ ¿¢­»© ¢¨¤ ®¯¥° ²®°®¢ exp(iaI^); exp(a dxd ); exp(ax dxd ); £¤¥ I^ - ®¯¥° ²®° ®²° ¦¥­¨¿, a - ¢¥¹¥±²¢¥­­»© ¯ ° ¬¥²°.  ©¤¨²¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ®¯¥° ²®°  ²° ­±«¿¶¨¨ T^a, £¤¥ T^a (x) = (x + a). °¬¨²®¢ ®¯¥° ²®° f^(), ®¡« ¤ ¾¹¨© ¤¨±ª°¥²­»¬ ±¯¥ª²°®¬ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨©, § ¢¨±¨² ®² ¯ ° ¬¥²°  . „®ª ¦¨²¥ ±®®²­®¸¥­¨¥ @fn () = ( ; @ f^() ); n n 1.13.

1.14.

1.15.

@

@ £¤¥ fn() - ±®¡±²¢¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥, n(x; ) - ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¥¬³ ­®°¬¨°®¢ ­­ ¿ ±®¡±²¢¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®¯¥° ²®°  f^(). ^ 2 = U^ . 1.16. “­¨² °­»© ®¯¥° ²®° ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±®®²­®¸¥­¨¾ U

 ©¤¨²¥ ¥£® ¿¢­»© ¢¨¤. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢³µ ³­¨² °­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ³­¨² °­»¬ ®¯¥° ²®°®¬. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ F^ - ½°¬¨²®¢ ®¯¥° ²®°, ²® ®¯¥° ²®° U^ = exp(iF^) ¿¢«¿¥²±¿ ³­¨² °­»¬. ³±²¼ A;^ B^ - ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ª¢ ¤° ²­»¥ ¬ ²°¨¶» ®¤­®© ° §¬¥°­®±²¨. ®ª ¦¨²¥, ·²® ±¯° ¢¥¤«¨¢® ° ¢¥­±²¢® @ ^ ^ ^ ^ ^ @ Tr(exp(A + B )) = Tr(A exp(A + B )): ‘³¹¥±²¢¥­­® «¨ ¢§¿²¨¥ ±«¥¤  ¬ ²°¨¶ ¢ ½²®¬ ±®®²­®¸¥­¨¨? 1.17. 1.18.

1.19.

4

³±²¼ ª®¬¬³² ²®° ®¯¥° ²®°®¢ A;^ B^ ¿¢«¿¥²±¿ ·¨±«®¬: [A;^ B^ ] = ic. ®ª ¦¨²¥, ·²® ±¯° ¢¥¤«¨¢® ±®®²­®¸¥­¨¥ exp((A^ + B^)) = exp(A^) exp(B^ )exp(,ic2=2):  ©¤¨²¥ ®¯¥° ²®°, ½°¬¨²®¢® ±®¯°¿¦¥­­»© ª ®¯¥° ²®°³ L^ = ,ih @=@r (r - ° ¤¨ «¼­ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ±´¥°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ²). Ÿ¢«¿¥²±¿ «¨ ®¯¥° ²®° L^ ½°¬¨²®¢»¬? Ž¯¥° ²®°» ¤¢³µ ´¨§¨·¥±ª¨µ ¢¥«¨·¨­ ¨¬¥¾² ¢¨¤ 0 1 0! 0 ,i 0 ! ^L1 = p1 1 0 1 ; L^2 = p1 i 0 ,i : 2 0 1 0 2 0 i 0 Œ®¦­® «¨ ½²¨ ¤¢¥ ´¨§¨·¥±ª¨¥ ¢¥«¨·¨­» ¨§¬¥°¨²¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­®?  ©¤¨²¥ ¢¨¤ ®¯¥° ²®°  L^1 ¢ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ®¯¥° ²®°  L^2. 1.20.

1.21.

1.22.

2. Ž¤­®¬¥°­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ 2.1. ‘² ¶¨®­ °­»¥ ±®±²®¿­¨¿ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²° 

 ©¤¨²¥ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨¥ ³°®¢­¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© · ±²¨¶» ¢ ¡¥±ª®­¥·­® £«³¡®ª®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥ ¸¨°¨­» a (².¥. ¢ ¯®²¥­¶¨ «¥ U (x) = 0 ¯°¨ 0 < x < a, U (x) = 1 ¯°¨ x 2= (0; a)). ‚»¿±­¨²¥ ±¢®©±²¢  ±¨¬¬¥²°¨¨ ¯®«³·¥­­»µ ´³­ª¶¨©.  ©¤¨²¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢¥°®¿²­®±²¥©, ±°¥¤­¨¥ §­ ·¥­¨¿ ¨ ±°¥¤­¥ª¢ ¤° ²¨·­»¥ ´«³ª²³ ¶¨¨ ª®®°¤¨­ ²» ¨ ¨¬¯³«¼±  · ±²¨¶» ¢ ª ¦¤®¬ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨.  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  · ±²¨¶» ¢ ¯®«¥ U (x) = , (x), £¤¥  > 0. ‚»·¨±«¨²¥ ±°¥¤­¨¥ §­ ·¥­¨¿ ª¨­¥²¨·¥±ª®© ¨ ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ½­¥°£¨¨ ¢ ½²¨µ ±®±²®¿­¨¿µ. ‘ª®«¼ª® ±®±²®¿­¨© ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ¨¬¥¥² · ±²¨¶  ¢ ¯®«¥  1; x < 0, U (x) = + , (x , a); x > 0, £¤¥  > 0; a > 0? Ž² ª ª®£® ¯ ° ¬¥²°  § ¢¨±¨² ®²¢¥² ­  ¯®±² ¢«¥­­»© ¢®¯°®±?  ©¤¨²¥ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨¥ ³°®¢­¨ · ±²¨¶» ¢ ¯®«¥  (x); jxj < a, U (x) =  +1; jxj > a, 2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

5

£¤¥  > 0. ˆ±±«¥¤³©²¥ ±²°³ª²³°³ ³°®¢­¥© ­¨¦­¥© · ±²¨ ±¯¥ª²°  ¯°¨ ³±«®¢¨¨ ma=h2  1. ®ª ¦¨²¥, ·²® ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨© ±¯¥ª²° ±®±²®¨² ¨§ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯ ° ¡«¨§ª® ° ±¯®«®¦¥­­»µ ³°®¢­¥©, ¨ ­ ©¤¨²¥ ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ½²¨¬¨ ¡«¨§ª® ° ±¯®«®¦¥­­»¬¨ ³°®¢­¿¬¨. Š ª®¢ ±¯¥ª²° ±¨«¼­® ¢®§¡³¦¤¥­­»µ ±®±²®¿­¨© · ±²¨¶»? Š ª®¢  ª °²¨­  ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨µ ³°®¢­¥© ¯°¨  < 0?  ©¤¨²¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨¬¨ ³°®¢­¿¬¨ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¬¨ ¢®«­®¢»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© · ±²¨¶» ¢ ¯®«¿µ U (x) ¨ U~ (x), £¤¥ U (x) - ·¥²­ ¿ ´³­ª¶¨¿,  (x); x > 0, U~ (x) = U+1 ; x < 0. ®ª ¦¨²¥, ·²® ±°¥¤­¥¥ §­ ·¥­¨¥ ±¨«», ¤¥©±²¢³¾¹¥© ­  · ±²¨¶³ ¢ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²° , ° ¢­® ­³«¾. — ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ¯®«¥ U (x), ¨¬¥¾¹¥¬ ¢¨¤ ¤¢³µ ®¤¨­ ª®¢»µ ¯®²¥­¶¨ «¼­»µ ¿¬. Ž¤­  ¿¬  ° ±¯®«®¦¥­  ¢ ®¡« ±²¨ x > 0, ¤°³£ ¿ - ¢ ®¡« ±²¨ x < 0. ”³­ª¶¨¿ U (x) ·¥²­ ¿, ¯°¨·¥¬ U (0) = U (1) = 0; U (x 6= 0) < 0. ®ª ¦¨²¥, ·²® ±°¥¤­¨¥ ±¨«», ± ª®²®°»¬¨ · ±²¨¶  ¤¥©±²¢³¥² ­  ¿¬» ¢ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨¿µ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²° , ¯°¨¢®¤¿² ª ¢§ ¨¬­®¬³ ¯°¨²¿¦¥­¨¾ ¿¬ ¢ ·¥²­»µ ±®±²®¿­¨¿µ ¨ ª ¨µ ¢§ ¨¬­®¬³ ®²² «ª¨¢ ­¨¾ ¢ ­¥·¥²­»µ ±®±²®¿­¨¿µ. — ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ¡¥±ª®­¥·­® £«³¡®ª®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥. ‚»·¨±«¨²¥ ±°¥¤­¾¾ ±¨«³, ± ª®²®°®© · ±²¨¶  ¤¥©±²¢³¥² ­  ª ¦¤³¾ ¨§ ±²¥­®ª ¿¬» ¢ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨. ‘° ¢­¨²¥ °¥§³«¼² ² ± °¥§³«¼² ²®¬, ¯®«³· ¾¹¨¬±¿ ¢ ° ¬ª µ ª« ±±¨·¥±ª®© ¬¥µ ­¨ª¨. — ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±®±²®¿­¨¨ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ¢ "¬¥«ª®©" ¯°¿¬®³£®«¼­®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥. ƒ«³¡¨­  ¿¬» U0, ¸¨°¨­  a. ‚»·¨±«¨²¥ ±°¥¤­¾¾ ±¨«³, ± ª®²®°®© · ±²¨¶  ¤¥©±²¢³¥² ­  ±²¥­ª³ ¿¬». ‘° ¢­¨²¥ °¥§³«¼² ² ± ¢»° ¦¥­¨¥¬, ¯®«³· ¾¹¨¬±¿ ¢ ° ¬ª µ ª« ±±¨·¥±ª®© ¬¥µ ­¨ª¨. 2.5.

2.6. 2.7.

2.8.

2.9.

2.2. Ž²° ¦¥­¨¥ ®² ¯®²¥­¶¨ «¼­»µ ¡ °¼¥°®¢

Ž¯°¥¤¥«¨²¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» ®²° ¦¥­¨¿ ¨ ¯°®µ®¦¤¥­¨¿ · ±²¨¶ ± ½­¥°£¨¥© E, ¯ ¤ ¾¹¨µ ±«¥¢  ­  ¯®²¥­¶¨ «¼­³¾ ±²¥­ª³ n 0, U (x) = 0U;0 ; xx < > 0. 2.10.

6

 ±±¬®²°¨²¥ ¯°¥¤¥«¼­»¥ ±«³· ¨ E ! 1; E ! U0. ¥¸¨²¥ ¯°¥¤»¤³¹³¾ § ¤ ·³ ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  · ±²¨¶» ¯ ¤ ¾² ±¯° ¢ . ‘·¨² ©²¥ E > U0. ‘° ¢­¨²¥ °¥§³«¼² ² ± °¥§³«¼² ²®¬ § ¤ ·¨ 2.10. „®ª ¦¨²¥, ·²® §­ ·¥­¨¿ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ®²° ¦¥­¨¿ ¨ ¯°®µ®¦¤¥­¨¿ ¯°¨ ¤ ­­®© ½­¥°£¨¨ ­¥ § ¢¨±¿² ®² ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¯ ¤¥­¨¿ · ±²¨¶ ­  ¯®²¥­¶¨ « ¯°®¨§¢®«¼­®© ´®°¬». Ž¯°¥¤¥«¨²¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» ®²° ¦¥­¨¿ ¨ ¯°®µ®¦¤¥­¨¿ · ±²¨¶ ± ½­¥°£¨¥© E, ¯ ¤ ¾¹¨µ ­  ¯®²¥­¶¨ « U (x) = (x). Š ª ¢«¨¿¥² §­ ª  ­  ¯®«³·¥­­»© °¥§³«¼² ²? °¨ ª ª¨µ §­ ·¥­¨¿µ ½­¥°£¨¨ · ±²¨¶» ­¥ ®²° ¦ ¾²±¿ ®² ¯®²¥­¶¨ «¼­®£® ¡ °¼¥°  U (x) = [(x) + (x , a)]?  ©¤¨²¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» ®²° ¦¥­¨¿ ¨ ¯°®µ®¦¤¥­¨¿ · ±²¨¶ ·¥°¥§ ¯°¿¬®³£®«¼­»© ¯®²¥­¶¨ «¼­»© ¡ °¼¥° ¢»±®²®© U0 ¨ ¸¨°¨­®© a, ° ±±¬ ²°¨¢ ¿ ¬­®£®ª° ²­»¥ ®²° ¦¥­¨¿ · ±²¨¶» ®² ª° ¥¢ ¡ °¼¥°  (±¬. § ¤ ·¨ 2.10, 2.11). ‘·¨² ©²¥, ·²® ½­¥°£¨¿ · ±²¨¶ E > U0. 2.11.

2.12.

2.13.

2.14. 2.15.

3. ƒ °¬®­¨·¥±ª¨© ®±¶¨««¿²®°

 ©¤¨²¥ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨© ±¯¥ª²° ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© · ±²¨¶» ¢ ¯®«¥  +1; <0, U (x) = 1 m!2 x2 ; xx > 0. 2 ‚®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ¢ ¬®¬¥­² t = 0 ¨¬¥¥² ¢¨¤ p (x; 0) = ( 0(x) + i2 1(x))= 5; £¤¥ 0(x); 1(x) - ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ®±¶¨««¿²®°  ± ­®¬¥° ¬¨ n = 0; 1. “¡¥¤¨²¥±¼, ·²® (x; 0) ­®°¬¨°®¢ ­  ­  ¥¤¨­¨¶³.  ©¤¨²¥ (x; t > 0). ‚»·¨±«¨²¥ ±°¥¤­¾¾ ½­¥°£¨¾ ®±¶¨««¿²®° .  ©¤¨²¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ w(E0); w(E1) ²®£®, ·²® ®±¶¨««¿²®° ¨¬¥¥² ½­¥°£¨¾ E0; E1. Š ª®¢® ±°¥¤­¥¥ §­ ·¥­¨¥ ª®®°¤¨­ ²» ®±¶¨««¿²®°  x(t)? ƒ °¬®­¨·¥±ª¨© ®±¶¨««¿²®° ± ¬ ±±®© m, · ±²®²®© ! ¨ § °¿¤®¬ q ¯®¬¥¹¥­ ¢ ½«¥ª²°¨·¥±ª®¥ ¯®«¥ E , ¯ ° ««¥«¼­®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¾ ª®«¥¡ ­¨©.  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ®±¶¨««¿²®° . 3.1.

3.2.

3.3.

7

‚®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ¢ ¬®¬¥­² t = 0 ¨¬¥¥² ¢¨¤ (x; 0) = exp(,m!(x , x0)2=2h):  ©¤¨²¥ j (x; t > 0)j2.  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© · ±²¨¶» ¬ ±±®© m, ¤¢¨¦³¹¥©±¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ xy ¢ ¯®«¥ U (x; y) = 12 m!12 x2 + 12 m!22 y2 ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  ®²­®¸¥­¨¥ !1=!2 ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¶¨®­ «¼­»¬ ·¨±«®¬. ¥¸¨²¥ ¯°¥¤»¤³¹³¾ § ¤ ·³ ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  !1=!2 - ° ¶¨®­ «¼­®¥ ·¨±«®, ¢ · ±²­®±²¨, ¯°¨ !1 = !2.  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© · ±²¨¶» ¬ ±±®© m, ¤¢¨¦³¹¥©±¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ xy ¢ ¯®«¥ U (x; y) = 12 m!2 (x2 + y2 ) + xy (jj < m!2 ):  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¬¥µ ­¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬», ¨§®¡° ¦¥­­®© ­  °¨±. 1. Š ª®¢» ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¯®«³·¥­­»µ °¥§³«¼² ²®¢? 3.4.

3.5.

3.6. 3.7.

3.8.

m, ±®¥¤¨­¥­­»¥ ¯°³¦¨­ ¬¨ ± k; k1 ; k. ‚ ° ¢­®¢¥±­®¬ ¯®«®¦¥­¨¨ ¯°³¦¨­» ­¥ ° ±²¿­³²» ¨ ¨¬¥¾² ¤«¨­» l (¤¢¥ ª° ©­¨¥) ¨ l1 (±°¥¤­¿¿). Œ ²¥°¨ «¼­»¥ ²®·ª¨ ¬®£³² ¨±. 1. „¢¥ ¬ ²¥°¨ «¼­»¥ ²®·ª¨ ¬ ±±®©

¦¥±²ª®±²¿¬¨

¤¢¨£ ²¼±¿ «¨¸¼ ¢¤®«¼ ®±¨ ±¨±²¥¬»

4. „¢¨¦¥­¨¥ ¢®«­®¢»µ ¯ ª¥²®¢ 4.1. ‘®±²®¿­¨¥ · ±²¨¶» ¢ ¯®«¥ U (x) = , (x) ( > 0) ¯°¨ t = 0 ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¥© (x; 0) = A exp(, jxj), £¤¥

8

> 0. Š ª®¢  ¢¥°®¿²­®±²¼ dw(x) ®¡­ °³¦¨²¼ · ±²¨¶³ ­  ¨­²¥°¢ «¥ R +1 (x; x + dx) ¯°¨ t ! +1?  ©¤¨²¥ ,1 dw(x), ±° ¢­¨²¥ ¥£® ± ¯¥°¢®-

­ · «¼­»¬ §­ ·¥­¨¥¬ ¨ ®¡º¿±­¨²¥ ¯®«³·¥­­»© °¥§³«¼² ². ¥¸¨²¥ ¯°¥¤»¤³¹³¾ § ¤ ·³ ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  (x; 0) = Ax exp(, jxj), £¤¥ > 0.  ±±¬®²°¨²¥ ®²° ¦¥­¨¥ ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥²  ®² ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ±²³¯¥­¼ª¨ n 0, U (x) = 0U;0 ; xx < > 0, ¯®« £ ¿, ·²® ¯ ¤ ¾¹¨© ±«¥¢  ­  ¡ °¼¥° ¯ ª¥² ¢ª«¾· ¥² ± ®¤¨­ ª®¢»¬¨  ¬¯«¨²³¤ ¬¨ ±®±²®¿­¨¿, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¨¬¯³«¼± ¬2 ¨§ ¨­²¥°¢ «  p0 ,
p < px < p0 +
p, £¤¥
p  p0. ‘·¨² ©²¥, ·²® p0=2m < U0.  ©¤¨²¥ ¢°¥¬¿ § ¤¥°¦ª¨ ¢ ¯°®¶¥±±¥ ®²° ¦¥­¨¿ ®² ¡ °¼¥°  ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ±® ±«³· ¥¬ ª« ±±¨·¥±ª®© · ±²¨¶». “ª ¦¨²¥ ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¯®«³·¥­­»µ ´®°¬³«. ‚ ­ · «¼­»© ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ ½«¥ª²°®­­»© ¢®«­®¢®© ¯ ª¥² ¨¬¥¥² ¸¨°¨­³ 10,8±¬. —¥°¥§ ª ª®¥ ¢°¥¬¿ ¸¨°¨­  ¯ ª¥²  ³¢¥«¨·¨²±¿ ¢¤¢®¥ ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¯¥°¢®­ · «¼­®©? 4.2.

4.3.

4.4.

5.Œ®¬¥­² ¨¬¯³«¼± 

 ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¯«®±ª®£® °®² ²®°  ± ¬®¬¥­²®¬ ¨­¥°¶¨¨ I . Š ª®¢  ª° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ ³°®¢­¥©?  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¯°®±²° ­±²¢¥­­®£® (±´¥°¨·¥±ª®£®) °®² ²®°  ± ¬®¬¥­²®¬ ¨­¥°¶¨¨ I . Š ª®¢  ª° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ ³°®¢­¥©? ‚®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¯«®±ª®£® °®² ²®°  ¨¬¥¥² ¢¨¤ = A cos3 ' (' - ³£®« ¯®¢®°®²  ¢®ª°³£ ®±¨ °®² ²®° ).  ©¤¨²¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ° §«¨·­»µ §­ ·¥­¨© ½­¥°£¨¨ ¨ ¯°®¥ª¶¨¨ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  ­  ®±¼ °®² ²®° ,   ² ª¦¥ ±°¥¤­¨¥ §­ ·¥­¨¿ ¨ ±°¥¤­¥ª¢ ¤° ²¨·­»¥ ´«³ª²³ ¶¨¨ ½²¨µ ¢¥«¨·¨­ ¢ ³ª § ­­®¬ ±®±²®¿­¨¨. °®±²° ­±²¢¥­­»© °®² ²®° ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±®±²®¿­¨¨, ®¯¨±»¢ ¥¬®¬ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¥© = C cos2 .  ©¤¨²¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ° §«¨·­»µ §­ ·¥­¨© ½­¥°£¨¨, ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  ¨ ¥£® ¯°®¥ª¶¨¨ ­  ®±¼ z,   ² ª¦¥ ±°¥¤­¨¥ §­ ·¥­¨¿ ½²¨µ ¢¥«¨·¨­ ¢ ³ª § ­­®¬ ±®±²®¿­¨¨. ‚ ±®±²®¿­¨¨ lm ± ®¯°¥¤¥«¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  l ¨ ¥£® ¯°®¥ª¶¨¨ m ­  ®±¼ z ­ ©¤¨²¥ ±°¥¤­¥¥ §­ ·¥­¨¥ ¨ ±°¥¤­¥ª¢ ¤° ²¨·­³¾ ´«³ª²³ ¶¨¾ ¯°®¥ª¶¨¨ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  ­  ®±¼ z~, ±®±² ¢«¿¾¹³¾ ³£®«  ± ®±¼¾ z. 5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

9

“£«®¢ ¿ · ±²¼ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¨ · ±²¨¶» ¨¬¥¥² ¢¨¤ = ¯³«¼±  · ±²¨¶» ¢ ½²®¬ ±®±²®¿­¨¨? — ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±®±²®¿­¨¨ ± ¬®¬¥­²®¬ ¨¬¯³«¼±  l = 1. ®ª ¦¨²¥, ·²® ®¯¥° ²®°» ^lx3 ; ^lx4 ; ^lx5 ; : : : ¢»° ¦ ¾²±¿ ·¥°¥§ ^lx; ^lx2 . 5.6.

A cos 
exp(2i'). Š ª®¢  ¢¥°®¿²­®±²¼ §­ ·¥­¨¿ l = 1 ¬®¬¥­²  ¨¬5.7.

6. „¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¶¥­²° «¼­®¬ ¯®«¥

 ©¤¨²¥ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨¥ ³°®¢­¨ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  · ±²¨¶» ¢ ¤¢³¬¥°­®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥  U0 ;  < a, U () = , 0;  > a, ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  ¯°®¥ª¶¨¿ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  · ±²¨¶» ­  ®±¼, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­³¾ ¯«®±ª®±²¨ ¤¢¨¦¥­¨¿, ° ¢­  ­³«¾. ‘¯¥¶¨ «¼­® ®¡±³¤¨²¥ ±«³· © "¬¥«ª®©" ¿¬» (a2U0=h 2  1;  - ¬ ±±  · ±²¨¶»); ±° ¢­¨²¥ ± ®¤­®¬¥°­»¬ ¤¢¨¦¥­¨¥¬ (±¬. § ¤ ·³ 2.9).  ©¤¨²¥ ~r; rn ¤«¿ ½«¥ª²°®­  ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨  ²®¬  ¢®¤®°®¤ .  ©¤¨²¥ ½´´¥ª²¨¢­»© (±°¥¤­¨©) ½«¥ª²°®±² ²¨·¥±ª¨© ¯®²¥­¶¨ «, ±®§¤ ¢ ¥¬»© ­¥¢®§¡³¦¤¥­­»¬  ²®¬®¬ ¢®¤®°®¤ . ®«³·¨²¥  ±¨¬¯²®²¨ª³ ¯®²¥­¶¨ «  ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ ¨ ¬ «»µ ° ±±²®¿­¨¿µ ®² ¿¤°   ²®¬ .  ©¤¨²¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ° §«¨·­»µ §­ ·¥­¨© ¨¬¯³«¼±  ½«¥ª²°®­  ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨  ²®¬  ¢®¤®°®¤ . ³±²¼ n - ­®¬¥° ³°®¢­¿ · ±²¨¶» ¢ ª³«®­®¢±ª®¬ ¯®²¥­¶¨ «¥. Š ª®¢® ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  · ±²¨¶» ¢ ½²®¬ ±®±²®¿­¨¨? Š ª®¢  ª° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ n-®£® ³°®¢­¿? Š ª®¢  ª° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ ½²®£® ³°®¢­¿ ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ®­ ¨¬¥¥² ®¯°¥¤¥«¥­­³¾ ·¥²­®±²¼?  ©¤¨²¥, ¯°¨ ª ª®¬ ³±«®¢¨¨ ¯®¿¢«¿¥²±¿ s-±®±²®¿­¨¥ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ¢ ±´¥°¨·¥±ª®© ¿¬¥  U0 ; r < a, U (r) = , 0; r > a. ‘° ¢­¨²¥ ¯®«³·¥­­»© °¥§³«¼² ² ± °¥§³«¼² ² ¬¨ ¢ ±«³· ¥ ®¤­®¬¥°­®£® ¨ ¤¢³¬¥°­®£® ¤¢¨¦¥­¨¿ (±¬. § ¤ ·¨ 2.9, 6.1).  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ±´¥°¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®° , ².¥. · ±²¨¶», ¤¢¨¦³¹¥©±¿ ¢ ¯®«¥ U (r) = kr2=2 (k > 0). ¥¸¨²¥ ³° ¢­¥­¨¥ 6.1.

6.2.

6.3.

6.4. 6.5.

6.6.

6.7.

10

˜°¥¤¨­£¥°  ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ - ¢ ¤¥ª °²®¢®© ¨ ±´¥°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬ µ ª®®°¤¨­ ². 7. „¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¥

 ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© § °¿¦¥­­®© ¡¥±±¯¨­®¢®© · ±²¨¶» ¢ ®¤­®°®¤­®¬ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¥ H~ , ¨±¯®«¼§³¿ ª «¨¡°®¢ª³ ¢¥ª²®°­®£® ¯®²¥­¶¨ «  A~ = 12 [H~  ~r].  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© § °¿¦¥­­®© ¡¥±±¯¨­®¢®© · ±²¨¶», ­ µ®¤¿¹¥©±¿ ¢® ¢§ ¨¬­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»µ ®¤­®°®¤­»µ ¬ £­¨²­®¬ H~ ¨ ½«¥ª²°¨·¥±ª®¬ E~ ¯®«¿µ. ®ª ¦¨²¥, ·²® · ±²¨¶  ¤°¥©´³¥² ¢ ­ ¯° ¢«¥­¨¨, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®¬ E~ ¨ H~ . ’®­ª ¿ ¬¥² ««¨·¥±ª ¿ ¯« ±²¨­  ²®«¹¨­®© d ¯®¬¥¹¥­  ¢ ¯®±²®¿­­®¥ ¬ £­¨²­®¥ ¯®«¥ H~ , ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®¥ ¥¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨.  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ½«¥ª²°®­  ¯°®¢®¤¨¬®±²¨ ¢ ¯« ±²¨­¥ (±¯¨­ ­¥ ³·¨²»¢ ©²¥).  ¡®²  ¢»µ®¤  ½«¥ª²°®­  ¨§ ¯« ±²¨­» U0. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¬ £­¨²­®¥ ¯®«¥ H~ (~r), ®²«¨·­®¥ ®² ­³«¿ ¢ ®£° ­¨·¥­­®© ®¡« ±²¨ ¯°®±²° ­±²¢ , ­¥ ¬®¦¥² "±¢¿§ ²¼" § °¿¦¥­­³¾ ¡¥±±¯¨­®¢³¾ · ±²¨¶³, ².¥. ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© · ±²¨¶», ¢ ª®²®°»µ ®­  «®ª «¨§®¢ ­  ¢ ®£° ­¨·¥­­®© ®¡« ±²¨ ¯°®±²° ­±²¢ .  ©¤¨²¥ ¬ £­¨²­®¥ ¯®«¥, ±®§¤ ¢ ¥¬®¥ ½«¥ª²°®­®¬ (±¯¨­ ­¥ ³·¨²»¢ ©²¥) ­  ¿¤°¥  ²®¬  ¢®¤®°®¤ , ¥±«¨  ²®¬ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨. «®±ª¨© °®² ²®° ± ¬®¬¥­²®¬ ¨­¥°¶¨¨ I ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¥ H~ , ¯ ° ««¥«¼­®¬ ®±¨ ¢° ¹¥­¨¿. ‘·¨² ¿, ·²® ¬ £­¨²­»© ¬®¬¥­² °®² ²®°  ¯°®¯®°¶¨®­ «¥­ ¥£® ¬®¬¥­²³ ¨¬¯³«¼±  (± ª®½´´¨¶¨¥­²®¬ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®±²¨ =h ), ­ ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ °®² ²®° . 7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

8.  §«¨·­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢ ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥

— ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ¡¥±ª®­¥·­® £«³¡®ª®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥ ¸¨°¨­» a. ‚ ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ t = 0 ¥¥ ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ¢¨¤ 3x ): (x; 0) = p1a (sin x + sin a a 8.1.

11

 ¯¨¸¨²¥ £ ¬¨«¼²®­¨ ­ · ±²¨¶» ¨ ¥¥ ¢®«­®¢³¾ ´³­ª¶¨¾ (x; t > 0) ¢ ½­¥°£¥²¨·¥±ª®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨.  ¯¨¸¨²¥ £ ¬¨«¼²®­¨ ­ ®¤­®¬¥°­®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®° ,   ² ª¦¥ ®¯¥° ²®°» x^; p^x ¢ ½­¥°£¥²¨·¥±ª®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨. ‚ ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ t = 0 ¯«®±ª¨© °®² ²®° ± ¬®¬¥­²®¬ ¨­¥°¶¨¨ I ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±®±²®¿­¨¨ ('; 0) = A cos3 '.  ¯¨¸¨²¥ £ ¬¨«¼²®­¨ ­ °®² ²®°  ¨ ¥£® ­®°¬¨°®¢ ­­³¾ ¢®«­®¢³¾ ´³­ª¶¨¾ ¯°¨ t > 0 ¢ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ®¯¥° ²®°  ¯°®¥ª¶¨¨ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  ­  ®±¼ ¢° ¹¥­¨¿. ¥¸¨²¥ § ¤ ·³ 2.2, ¨±¯®«¼§³¿ ¨¬¯³«¼±­®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥.  ©¤¨²¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ½«¥ª²°®­  ¢ ®¤­®°®¤­®¬ ¯¥°¥¬¥­­®¬ ½«¥ª²°¨·¥±ª®¬ ¯®«¥ E~0 cos !t (¢®±¯®«¼§³©²¥±¼ ¨¬¯³«¼±­»¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥¬). Š ª ¯°¥®¡° §³¥²±¿ ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ · ±²¨¶» ¢ ª®®°¤¨­ ²­®¬ ¨ ¨¬¯³«¼±­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ ¯°¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨ ƒ «¨«¥¿, ².¥. ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­®¢³¾ ¨­¥°¶¨ «¼­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ²? Š ª ¯°¥®¡° §³¥²±¿ ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ · ±²¨¶» ¢ ª®®°¤¨­ ²­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ¯°¨ ª «¨¡°®¢®·­®¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨ ¯®²¥­¶¨ «®¢ ½«¥ª²°®¬ £­¨²­®£® ¯®«¿? 8.2. 8.3.

8.4. 8.5.

8.6.

8.7.

9. ‘² ¶¨®­ °­ ¿ ²¥®°¨¿ ¢®§¬³¹¥­¨©

  § °¿¦¥­­»© ®¤­®¬¥°­»© £ °¬®­¨·¥±ª¨© ®±¶¨««¿²®° ­ «®¦¥­® ±« ¡®¥ ®¤­®°®¤­®¥ ½«¥ª²°¨·¥±ª®¥ ¯®«¥ E , ­ ¯° ¢«¥­­®¥ ¢¤®«¼ ®±¨ ª®«¥¡ ­¨©. ‚»·¨±«¨²¥ ¢ ¯¥°¢»µ ¤¢³µ ¯®°¿¤ª µ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ±¤¢¨£ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨µ ³°®¢­¥© ®±¶¨««¿²®° .  ©¤¨²¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ¯¥°¢®£® ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿. ‘° ¢­¨²¥ ¯®«³·¥­­»¥ °¥§³«¼² ²» ± ²®·­»¬ °¥¸¥­¨¥¬ (±¬. § ¤ ·³ 3.3). “ª ¦¨²¥ ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨©. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¯®¯° ¢ª  ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  En(1) ª ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨¬ ³°®¢­¿¬ · ±²¨¶» ¢ ¡¥±ª®­¥·­® £«³¡®ª®© ®¤­®¬¥°­®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥ ¸¨°¨­» a ­¥ § ¢¨±¨² ®² ­®¬¥°  ³°®¢­¿ n ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ §­ ·¥­¨¿µ n ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¢®§¬³¹¥­¨¿ V (x).   § °¿¦¥­­³¾ · ±²¨¶³, ­ µ®¤¿¹³¾±¿ ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ¯®²¥­¶¨ «¥ U (x) = ,(x);  > 0, ­ ª« ¤»¢ ¥²±¿ ±« ¡®¥ ®¤­®°®¤­®¥ ½«¥ª²°¨·¥±ª®¥ ¯®«¥ E , ­ ¯° ¢«¥­­®¥ ¢¤®«¼ ®±¨ x.  ©¤¨²¥ ±¤¢¨£ ½­¥°£¥²¨·¥±ª®£® ³°®¢­¿ ®±­®¢­®£® ±®±²®¿­¨¿ ¨ ¯®«¿°¨§³¥¬®±²¼ · ±²¨¶»2 ¢ ½²®¬2 ±®±²®¿­¨¨ (¯®«¿°¨§³¥¬®±²¼¾ ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥«¨·¨­  = , @ E0=@E ¯°¨ E = 0, £¤¥ E0 - ½­¥°£¨¿ ®±­®¢­®£® ±®±²®¿­¨¿ · ±²¨¶» ¯°¨ ­ «¨·¨¨ ½«¥ª²°¨·¥±ª®£® ¯®«¿ E ). 9.1.

9.2.

9.3.

12

9.4.

­¨¿

— ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢­³²°¨ ­¥¯°®­¨¶ ¥¬®£® ½««¨¯±®¨¤  ¢° ¹¥x2 + y2 + z 2 = 1; a2 a2 b2

ja , bj  a:

 ©¤¨²¥ ¢ ¯¥°¢®¬ ¯®°¿¤ª¥ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ±¤¢¨£ ®±­®¢­®£® ½­¥°£¥²¨·¥±ª®£® ³°®¢­¿ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ®±­®¢­®¬³ ³°®¢­¾ ¢ ±´¥°¨·¥±ª®© ¿¬¥ ² ª®£® ¦¥ ®¡º¥¬ .  ©¤¨²¥ ¢ ¯¥°¢®¬ ¯®°¿¤ª¥ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ° ±¹¥¯«¥­¨¥  )¯¥°¢®£®, ¡)¢²®°®£® ¢®§¡³¦¤¥­­®£® ³°®¢­¿ ¯«®±ª®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  (².¥. · ±²¨¶» ¢ ¯®²¥­¶¨ «¼­®¬ ¯®«¥ U (x; y) = m!2 (x2 + y2 )=2, £¤¥ m - ¬ ±±  · ±²¨¶», ! - · ±²®²  ®±¶¨««¿²®° ) ¯®¤ ¤¥©±²¢¨¥¬ ¢®§¬³¹¥­¨¿ V = xy. “ª ¦¨²¥ "¯° ¢¨«¼­»¥" ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ­³«¥¢®£® ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿. Š ª®¢» ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨©? ‘° ¢­¨²¥ ¯®«³·¥­­»¥ °¥§³«¼² ²» ± ²®·­»¬ °¥¸¥­¨¥¬ (±¬. § ¤ ·³ 3.7). Š ª ¨§¬¥­¨²±¿ ½­¥°£¨¿ ¯¥°¢®£® ¢®§¡³¦¤¥­­®£® ±®±²®¿­¨¿  ²®¬  ¢®¤®°®¤ , ¥±«¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¯°®²®­ ,­¥13ª ª ²®·ª³,   ª ª ° ¢­®¬¥°­® § °¿¦¥­­»© ¸ ° ° ¤¨³±  b = 5
10 ±¬?   ° ±±²®¿­¨¨ b ®² ¶¥­²°  ª®«¥¡ ­¨© ¯«®±ª®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ± § °¿¤®¬ q, ¬ ±±®© m ¨ · ±²®²®© ! ¯®¬¥±²¨«¨ ¨¤¥ «¼­³¾ ¬¥² ««¨·¥±ª³¾ ¯«®±ª®±²¼, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­³¾ ¯«®±ª®±²¨ ª®«¥¡ ­¨© xy. ‘·¨² ¿ ° ±±²®¿­¨¥ b ¡®«¼¸¨¬,­ ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ®±¶¨««¿²®°  ¢ ­¨§¸¥¬ ­¥¨±·¥§ ¾¹¥¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ¯® 1=b. “ª ¦¨²¥ ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¯®«³·¥­­®£® °¥¸¥­¨¿. Ž±¼ ¢° ¹¥­¨¿ ¯«®±ª®£® °®² ²®°  ± ¬®¬¥­²®¬ ¨­¥°¶¨¨ I ­ µ®¤¨²±¿ ­  ° ±±²®¿­¨¨ b ®² ¨¤¥ «¼­®© ¬¥² ««¨·¥±ª®© ¯«®±ª®±²¨.   °®² ²®°¥ § ª°¥¯«¥­ ²®·¥·­»© § °¿¤ q, ³¤ «¥­­»© ®² ®±¨ ¢° ¹¥­¨¿ ­  ° ±±²®¿­¨¥ a  b.  ©¤¨²¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ °®² ²®°  ¢ ­¨§¸¥¬ ­¥¨±·¥§ ¾¹¥¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ¯® ¯ ° ¬¥²°³ a=b. 9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

10. ¥±² ¶¨®­ °­ ¿ ²¥®°¨¿ ¢®§¬³¹¥­¨©

Ž¤­®¬¥°­»© £ °¬®­¨·¥±ª¨© ®±¶¨««¿²®° ¯®¤¢¥°£ ¥²±¿ ¢®§¤¥©±²¢¨¾ ®¤­®°®¤­®£® ½«¥ª²°¨·¥±ª®£® ¯®«¿ E (t) = E0 ( 1 arctan t + 21 ): ‘·¨² ¿, ·²® ¤® ¢ª«¾·¥­¨¿ ¯®«¿ (¯°¨ t ! ,1) ®±¶¨««¿²®° ­ µ®¤¨«±¿ ¢ n-¬ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨, ­ ©¤¨²¥ ¢ ¯¥°¢®¬ ¯®°¿¤ª¥ ²¥®°¨¨ 10.1.

13

¢®§¬³¹¥­¨© ¢¥°®¿²­®±²¨ ¢®§¡³¦¤¥­¨¿ ° §«¨·­»µ ¥£® ±®±²®¿­¨© ¯°¨ t ! +1. “ª ¦¨²¥ ³±«®¢¨¥ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨©.   ¯«®±ª¨© °®² ²®°, ¨¬¥¾¹¨© ¬®¬¥­² ¨­¥°¶¨¨ I ¨ ¤¨¯®«¼­»© ¬®¬¥­² d~, ­ ª« ¤»¢ ¥²±¿ ®¤­®°®¤­®¥ ½«¥ª²°¨·¥±ª®¥ ¯®«¥ E~(t) = E~0 exp(,jtj= ) (¢¥ª²®° E~0 ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥­ ®±¨ ¢° ¹¥­¨¿). „® ¢ª«¾·¥­¨¿ ¯®«¿ °®² ²®° ¨¬¥« ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ m ¯°®¥ª¶¨¨ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  ­  ®±¼ ¢° ¹¥­¨¿. ‚»·¨±«¨²¥ ¢ ¯¥°¢®¬ ¯®°¿¤ª¥ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ¢¥°®¿²­®±²¨ ° §«¨·­»µ §­ ·¥­¨© ¯°®¥ª¶¨¨ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼± ,   ² ª¦¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ° §«¨·­»µ §­ ·¥­¨© ½­¥°£¨¨ °®² ²®°  ¯°¨ t ! +1. “ª ¦¨²¥ ³±«®¢¨¥ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨©. «®±ª¨© °®² ²®° ± ¬®¬¥­²®¬ ¨­¥°¶¨¨ I ¢° ¹ ¥²±¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ xy ¨ ­¥±¥² § °¿¤ q ­  ° ±±²®¿­¨¨ a ®² ®±¨ ¢° ¹¥­¨¿ z. °¨ t ! ,1 °®² ²®° ­ µ®¤¨«±¿ ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨.  ° ««¥«¼­® ®±¨ z ­  ° ±±²®¿­¨¨ b  a ®² ­¥¥ ¯°®«¥² ¥² ²®·¥·­»© § °¿¤ Q ±® ±ª®°®±²¼¾ v ² ª, ·²® ¯°¨ t = 0 ½²®² § °¿¤ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¯«®±ª®±²¼ z = 0.  ©¤¨²¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ¯® ½­¥°£¨¿¬ °®² ²®°  ¯°¨ t ! +1. “ª ¦¨²¥ ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¯®«³·¥­­®£® °¥§³«¼² ² . „¢³¬¥°­»© £ °¬®­¨·¥±ª¨© ®±¶¨««¿²®° ± · ±²®²®© ! ¨ § °¿¤®¬ q ±®¢¥°¸ ¥² ª®«¥¡ ­¨¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ xy ®ª®«® ²®·ª¨ x = y = 0.   ° ±±²®¿­¨¨ b ®² ®±¨ z ¯ ° ««¥«¼­® ¥© ¯°®«¥² ¥² ²®·¥·­»© § °¿¤ Q ±® ±ª®°®±²¼¾ v ² ª, ·²® ¯°¨ t = 0 ®­ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¯«®±ª®±²¼ xy. °¨ t ! ,1 ®±¶¨««¿²®° ­ µ®¤¨«±¿ ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨.  ©¤¨²¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ¯® ½­¥°£¨¿¬ ®±¶¨««¿²®°  ¯°¨ t ! +1, ¯®« £ ¿ (h=m!)1=2  b. “ª ¦¨²¥ ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¯®«³·¥­­®£® °¥§³«¼² ² .   § °¿¦¥­­³¾ · ±²¨¶³, ­ µ®¤¨¢¸³¾±¿ ¯°¨ t < 0 ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ¢ ¯®«¥ U (x) = ,(x);  > 0, ¯°¨ t > 0 ­ ª« ¤»¢ ¥²±¿ ±« ¡®¥ ®¤­®°®¤­®¥ ½«¥ª²°¨·¥±ª®¥ ¯®«¥ E (t) = E0 sin !t, ­ ¯° ¢«¥­­®¥ ¢¤®«¼ ®±¨ x. ‚»·¨±«¨²¥ ¢¥°®¿²­®±²¼ ¨®­¨§ ¶¨¨ -¿¬» ¢ ¥¤¨­¨¶³ ¢°¥¬¥­¨.  ©¤¨²¥ ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® · ±²¨¶  ª ¬®¬¥­²³ t ®±² ­¥²±¿ ±¢¿§ ­­®© ¢ ¯®«¥ ¿¬». „® ¬®¬¥­²  t = 0 · ±²¨¶  ­ µ®¤¨« ±¼ ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ¢ ¡¥±ª®­¥·­® £«³¡®ª®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥ ¸¨°¨­» a. °¨ t > 0 ­  · ±²¨¶³ ±² «  ¤¥©±²¢®¢ ²¼ ¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿ ±¨«  F sin !t. ‘·¨² ¿  ¬¯«¨²³¤³ ±¨«» ¬ «®©,   ¥¥ · ±²®²³ ! ² ª®©, ·²® ¢¥«¨·¨­  h! ¡«¨§ª  ª ° §­®±²¨ ½­¥°£¨© ¤¢³µ ­¨¦­¨µ ³°®¢­¥© (h! = E1 , E0 + h, £¤¥ h j j  E1 , E0), ­ ©¤¨²¥ ¢¥°®¿²­®±²¼ ®¡­ °³¦¨²¼ · ±²¨¶³ ¢ n-¬ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ¯°¨ t > 0. 10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

10.6.

14

— ±²¨¶» ± ½­¥°£¨¥© E ¯ ¤ ¾² ­  ®¤­®¬¥°­»© ¯®²¥­¶¨ « U (x) (U (x) ! 0 ¯°¨ x ! 1).  ±±¬ ²°¨¢ ¿ ½²®² ¯®²¥­¶¨ « ª ª ¢®§¬³¹¥­¨¥, ­ ©¤¨²¥ ª®½´´¨¶¨¥­² ®²° ¦¥­¨¿ · ±²¨¶ ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ¤«¿ ¯¥°¥µ®¤®¢ ¢ ­¥¯°¥°»¢­®¬ ±¯¥ª²°¥. Š ª®¢» ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¯®«³·¥­­®£® °¥§³«¼² ² ? — ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ¢ ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥ U (x) = ,(x);  > 0. ‚­¥§ ¯­® ¯ ° ¬¥²°  ±² ­®¢¨²±¿ ° ¢­»¬ ~ .  ©¤¨²¥ ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® · ±²¨¶  ®±² ­¥²±¿ ¢ ±¢¿§ ­­®¬ ±®±²®¿­¨¨,   ² ª¦¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ° §«¨·­»µ §­ ·¥­¨© ¨¬¯³«¼±  · ±²¨¶», ¯®ª¨¤ ¾¹¥© ¿¬³ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® ¯°®¶¥±± .   § °¿¦¥­­»© ®¤­®¬¥°­»© £ °¬®­¨·¥±ª¨© ®±¶¨««¿²®°, ­ µ®¤¿¹¨©±¿ ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨, ¢­¥§ ¯­® ­ ª« ¤»¢ ¥²±¿ ®¤­®°®¤­®¥ ½«¥ª²°¨·¥±ª®¥ ¯®«¥, ­ ¯° ¢«¥­­®¥ ¢¤®«¼ ®±¨ ª®«¥¡ ­¨©.  ©¤¨²¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ¢®§¡³¦¤¥­¨¿ ° §«¨·­»µ ±®±²®¿­¨© ®±¶¨««¿²®°  ¯®±«¥ ¢ª«¾·¥­¨¿ ¯®«¿. "’®·ª  ¯®¤¢¥± " ®¤­®¬¥°­®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®° , ­ µ®¤¨¢¸¥£®±¿ ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨, ¢ ¬®¬¥­² t = 0 ­ ·¨­ ¥² ¤¢¨£ ²¼±¿ ± ¯®±²®¿­­®© ±ª®°®±²¼¾ V .  ©¤¨²¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ¢®§¡³¦¤¥­¨¿ ° §«¨·­»µ ±®±²®¿­¨© ®±¶¨««¿²®°  ¯°¨ t > 0. 10.7.

10.8.

10.9.

10.10.

11. Š¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¥

 ©¤¨²¥ ¢ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ · ±²¨¶», ­ µ®¤¿¹¥©±¿ ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ¯®²¥­¶¨ «¥ U (x) = ,A=jxj, £¤¥ A > 0.  ©¤¨²¥ ¢ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ¤¨±ª°¥²­»© ±¯¥ª²° · ±²¨¶», ­ µ®¤¿¹¥©±¿ ¢ ¯®²¥­¶¨ «¥ U (x) = ,U0 = cosh2(x=a); U0 > 0. ®«³·¨²¥ ¯° ¢¨«® ª¢ ­²®¢ ­¨¿ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨µ ³°®¢­¥© ¨ ­ ©¤¨²¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¨¬ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª¨¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  ¯®²¥­¶¨ «¼­ ¿ ¿¬  ¨¬¥¥² ¢¨¤  1; x < 0, U (x) = + U~ (x); x > 0, £¤¥ U~ (x) - ´³­ª¶¨¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¯¥°¢®© ¯°®¨§¢®¤­®©.  ©¤¨²¥ ¢ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ · ±²¨¶», ­ µ®¤¿¹¥©±¿ ¢ ®¤­®°®¤­®¬ ¯®«¥ ²¿¦¥±²¨. ‘·¨² ©²¥, ·²® ¤¢¨¦¥­¨¥ ®£° ­¨·¥­® ±­¨§³ ¨¤¥ «¼­® ®²° ¦ ¾¹¥© ¯«®±ª®±²¼¾. 11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

15

11.5.

«¥ª²°®­ ¤¢¨¦¥²±¿ ¢ ¯®±²®¿­­®¬ ®¤­®°®¤­®¬ ¬ £­¨²­®¬ ¯®-

«¥ H~ , ¯ ° ««¥«¼­®¬ ®±¨ z. ˆ§-§  ¡¥±ª®­¥·­® ¢»±®ª®£® ¯®²¥­¶¨ «¼­®£® ¡ °¼¥°  ¢ ¯«®±ª®±²¨ y = 0 ¤¢¨¦¥­¨¥ ½«¥ª²°®­  ¢®§¬®¦­® «¨¸¼ ¢ ¯®«³¯°®±²° ­±²¢¥ y > 0.  ©¤¨²¥ ¢ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨

½­¥°£¥²¨·¥±ª¨¥ ³°®¢­¨ ½«¥ª²°®­  (±¯¨­ ­¥ ³·¨²»¢ ©²¥). Š ª ¤¢¨¦¥²±¿ ª« ±±¨·¥±ª¨© ½«¥ª²°®­ ¢ ±¨±²¥¬¥, ®¯¨± ­­®© ¢ § ¤ ·¥?  ©¤¨²¥ ¢ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨¥ ³°®¢­¨ ½«¥ª²°®­ , ª®²®°»© ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ¯®±²®¿­­®¬ ­¥®¤­®°®¤­®¬ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¥ H~ (x), ¯ ° ««¥«¼­®¬ ®±¨ z, ¯°¨·¥¬ H(x > 0) = H1 ; H(x < 0) = H2. ‘·¨² ©²¥ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨, ·²® H1 < H2 . ‘¯¨­ ­¥ ³·¨²»¢ ©²¥. Ž¯¨¸¨²¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ª« ±±¨·¥±ª®£® ½«¥ª²°®­  ¢ ¯®«¥ H~ (x). ®²¥­¶¨ « U (x) ­¥¯°¥°»¢¥­ ¢ ²®·ª¥ x = 0, ­® ¥£® ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¢ ½²®© ²®·ª¥ ¨±¯»²»¢ ¥² ª®­¥·­»© ±ª ·®ª. °¨ ª ª®¬ ³±«®¢¨¨ ®¡»·­»¥ ´®°¬³«» ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ‚Š ¤«¿ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¨ ®±² ¾²±¿ ±¯° ¢¥¤«¨¢»¬¨? („«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ±·¨² ©²¥, ·²® ¢¡«¨§¨ ²®·ª¨ x = 0 U (x) = Fx(x), £¤¥ F > 0; (x) = 1 ¯°¨ x > 0; (x) = 0 ¯°¨ x < 0.) ‚»·¨±«¨²¥ ¢ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°®§° ·­®±²¨ ¯ ° ¡®«¨·¥±ª®£® ¡ °¼¥°   2 2 a, U (x) = U0;0 (1 , x =a ); jjxxjj < > a, £¤¥ U0 > 0. “ª ¦¨²¥ ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¯®«³·¥­­®£® °¥§³«¼² ² . Ž¶¥­¨²¥ ¢ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°®§° ·­®±²¨ ¡ °¼¥°   0, U (x) = 0U;0 (1 , x=a); xx < > 0, £¤¥ U0 > 0.  ©¤¨²¥ ­¥ ²®«¼ª® ½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­»©, ­® ¨ ¯°¥¤½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­»© ¬­®¦¨²¥«¼, ¢µ®¤¿¹¨© ¢ ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°®§° ·­®±²¨. ¥¸¨²¥ ¯°¥¤»¤³¹³¾ § ¤ ·³ ¤«¿ ¯®²¥­¶¨ «¼­®£® ¡ °¼¥°   0, U (x) = 0U;0 exp(,x=a); xx < > 0, £¤¥ U0 > 0. 11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

12. ‚ °¨ ¶¨®­­»© ¬¥²®¤ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ±¯¥ª²° 

16

ˆ±¯®«¼§³¿ ¯°®¡­³¾ ´³­ª¶¨¾ (x) = Ax exp(,jxj) ( - ¢ °¨ ¶¨®­­»© ¯ ° ¬¥²°), ­ ©¤¨²¥ ½­¥°£¨¾ ¯¥°¢®£® ¢®§¡³¦¤¥­­®£® ±®±²®¿­¨¿ ®¤­®¬¥°­®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®° . ‘° ¢­¨²¥ ¥¥ ± ²®·­»¬ §­ ·¥­¨¥¬.  ©¤¨²¥ ¢ °¨ ¶¨®­­»¬ ¬¥²®¤®¬ ½­¥°£¨¾ ®±­®¢­®£® ±®±²®¿­¨¿ · ±²¨¶» ¢ ®¤­®°®¤­®¬ ¯®«¥ ²¿¦¥±²¨, ±·¨² ¿, ·²® ¤¢¨¦¥­¨¥ ®£° ­¨·¥­® ±­¨§³ ¨¤¥ «¼­® ®²° ¦ ¾¹¥© ¯«®±ª®±²¼¾. ‘° ¢­¨²¥ ¯®«³·¥­­»© °¥§³«¼² ² ± °¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨ 11.4. Š ª®© ¢¨¤ ¤®«¦­  ¨¬¥²¼ ¯°®¡­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ·²®¡» ­ ©²¨ ½­¥°£¨¾ ¯¥°¢®£® ¢®§¡³¦¤¥­­®£® ³°®¢­¿? ¢²®°®£® ¢®§¡³¦¤¥­­®£® ³°®¢­¿? 12.1.

12.2.

13. ‘¯¨­

„«¿ · ±²¨¶» ±® ±¯¨­®¬ s = 1=2 ­ ©¤¨²¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¨ ±®¡±²¢¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ ®¯¥° ²®°®¢ s^x; s^y . “ª ¦¨²¥ ¢¨¤ ®¯¥° ²®°  s^n ¯°®¥ª¶¨¨ ½«¥ª²°®­­®£® ±¯¨­  ­  ®±¼, § ¤ ¢ ¥¬³¾ ¥¤¨­¨·­»¬ ¢¥ª²®°®¬ ~n. —¥¬³ ° ¢­® ±°¥¤­¥¥ §­ ·¥­¨¥ ¯°®¥ª¶¨¨ ±¯¨­  ­  ½²³ ®±¼ ¢ ±®±²®¿­¨¨ ± ®¯°¥¤¥«¥­­®© ¯°®¥ª¶¨¥© ±¯¨­  sz = 1=2 ­  ®±¼ z? Š ª®¢» ¢¥°®¿²­®±²¨ ¯°®¥ª¶¨¨ ±¯¨­  1=2 ­  ®±¼ ~n ¢ ³ª § ­­®¬ ±®±²®¿­¨¨?  ©¤¨²¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ®¯¥° ²®°  f^ = a + ~b~^, £¤¥ a § ¤ ­­®¥ ·¨±«®, ~b - § ¤ ­­»© ¢¥ª²®°, ~^ - ¬ ²°¨¶»  ³«¨. Œ®£³² «¨ ª¢ ¤° ²» ¯°®¥ª¶¨© ½«¥ª²°®­­®£® ±¯¨­  ­  ®±¨ x; y; z ¨¬¥²¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿? “¯°®±²¨²¥ ¢»° ¦¥­¨¥ (~a~^)n, £¤¥ ~a - § ¤ ­­»© ¢¥ª²®°, ~^ ¬ ²°¨¶»  ³«¨, n - ¶¥«®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«®. „«¿ ¤¢³µ · ±²¨¶ ±® ±¯¨­ ¬¨ s = 1=2 ­ ©¤¨²¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ SSz ®¯¥° ²®°®¢ ª¢ ¤° ²  ±³¬¬ °­®£® ±¯¨­  ¨ ¯°®¥ª¶¨¨ ±³¬¬ °­®£® ±¯¨­  ­  ®±¼ z. „«¿ ¤¢³µ · ±²¨¶ ±® ±¯¨­ ¬¨ s = 1=2 ¯®ª ¦¨²¥, ·²® ±®±²®¿­¨¿ ± ®¯°¥¤¥«¥­­»¬ §­ ·¥­¨¥¬ ±³¬¬ °­®£® ±¯¨­  ¿¢«¿¾²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ ¤«¿ ®¯¥° ²®°  ~^1
~^2, £¤¥ ~^1; ~^2 - ¬ ²°¨¶»  ³«¨ ¤«¿ · ±²¨¶ 1, 2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. Ž¡¬¥­­»© £ ¬¨«¼²®­¨ ­ ¤¢³µ · ±²¨¶ ±® ±¯¨­ ¬¨ s = 1=2 ¨¬¥¥² ¢¨¤ H^ = ,"s^x1s^x2.  ©¤¨²¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¨ ±®¡±²¢¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ £ ¬¨«¼²®­¨ ­ .  ©¤¨²¥ § ¢¨±¨¬®±²¼ ®² ¢°¥¬¥­¨ ±¯¨­®¢®© ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¨ ¨ ±°¥¤­¨µ §­ ·¥­¨© ª®¬¯®­¥­² ±¯¨­  ­¥©²° «¼­®© · ±²¨¶» ±® ±¯¨­®¬ s = 1=2 ¨ ¬ £­¨²­»¬ ¬®¬¥­²®¬ , ­ µ®¤¿¹¥©±¿ ¢ ¯®±²®¿­­®¬ ®¤­®°®¤­®¬ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¥ H~ . 13.1. 13.2.

13.3.

13.4.

13.5. 13.6.

13.7.

13.8.

13.9.

17

‚ ³±«®¢¨¿µ ¯°¥¤»¤³¹¥© § ¤ ·¨ ­ ©¤¨²¥ ®¯¥° ²®° ±ª®°®±²¨ ¨§¬¥­¥­¨¿ ¬ £­¨²­®£® ¬®¬¥­²  · ±²¨¶». 13.10.

14. ’®¦¤¥±²¢¥­­®±²¼ · ±²¨¶

‚ ±¨±²¥¬¥ ¨§ ¤¢³µ ®¤¨­ ª®¢»µ ¡®§®­®¢ ±® ±¯¨­®¬ s = 0 ®¤­  · ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±®±²®¿­¨¨, ®¯¨±»¢ ¥¬®¬ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¥© 1 (~r), ¤°³£ ¿ - 2(~r). ²¨ ´³­ª¶¨¨ ­®°¬¨°®¢ ­» ­  ¥¤¨­¨¶³ ¨ ¨¬¥¾² ®¯°¥¤¥«¥­­»¥, ¯°¨·¥¬ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¥, ·¥²­®±²¨.  ©¤¨²¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ª®®°¤¨­ ²» ®¤­®© · ±²¨¶» ¯°¨ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ¯®«®¦¥­¨¨ ¤°³£®© · ±²¨¶». Š ª®¢  ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ®¤­  · ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¯°®±²° ­±²¢  z  0? Š ª®¢  ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ®¡¥ · ±²¨¶» ­ µ®¤¿²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¯°®±²° ­±²¢  z  0? ‘° ¢­¨²¥ ¯®«³·¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ±® ±«³· ¥¬ ° §«¨·¨¬»µ · ±²¨¶. ¥¸¨²¥ ¯°¥¤»¤³¹³¾ § ¤ ·³ ¤«¿ ¤¢³µ ®¤¨­ ª®¢»µ ´¥°¬¨®­®¢, ­ µ®¤¿¹¨µ±¿ ¢ ®¤­®¬ ¨ ²®¬ ¦¥ ±¯¨­®¢®¬ ±®±²®¿­¨¨. ’°¨ ²®¦¤¥±²¢¥­­»µ ¡®§®­  ±® ±¯¨­ ¬¨ s = 1 ­ µ®¤¿²±¿ ¢ ®¤¨­ ª®¢»µ ®°¡¨² «¼­»µ ±®±²®¿­¨¿µ, ®¯¨±»¢ ¥¬»µ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¥© '(~r).  ¯¨¸¨²¥ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ¢®§¬®¦­»µ ±®±²®¿­¨© ±¨±²¥¬». Š ª®¢® ·¨±«® ² ª¨µ ±®±²®¿­¨©? 14.1.

14.2. 14.3.

15. ®°­®¢±ª®¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¥ ¢ ²¥®°¨¨ ° ±±¥¿­¨¿

 ©¤¨²¥ ¢ ¡®°­®¢±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨  ¬¯«¨²³¤³ ° ±±¥¿­¨¿ ¨ ¯®«­®¥ ±¥·¥­¨¥ ° ±±¥¿­¨¿ · ±²¨¶ ¢ ¯®«¿µ a)U (r) =  (r , R); ¡ )U (r) = r exp(, Rr ); 15.1.

 R, ¢)U (r) = U0;0 ; rr < > R.

ˆ±±«¥¤³©²¥ ¯°¥¤¥«¼­»¥ ±«³· ¨ ¬ «»µ ¨ ¡®«¼¸¨µ ½­¥°£¨© · ±²¨¶. “ª ¦¨²¥ ³±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¯®«³·¥­­»µ ´®°¬³«.  ©¤¨²¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨ ¯®«­®¥ ±¥·¥­¨¥ ³¯°³£®£® ° ±±¥¿­¨¿ ¡»±²°»µ ½«¥ª²°®­®¢ ­   ²®¬¥ ¢®¤®°®¤ , ­ µ®¤¿¹¥¬±¿ ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨, ¯°¥­¥¡°¥£ ¿ ¯®«¿°¨§ ¶¨¥©  ²®¬ . 15.2.

18

16. Ž²¢¥²» 16.1. Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ¯¯ ° ² ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¨

Ž¯¥° ²®°» ®²° ¦¥­¨¿ ¨ ±¤¢¨£  ¿¢«¿¾²±¿ «¨­¥©­»¬¨, ®¯¥° ²®° ª®¬¯«¥ª±­®£® ±®¯°¿¦¥­¨¿ - ­¥«¨­¥©­»©, ² ª ª ª K^ (C (x)) = C  K^ (x) (§¤¥±¼ C = const). Ž¯¥° ²®°», ®¡° ²­»¥ ª ¤ ­­»¬: I^,1 = I^; T^a,1 = T^,a ; K^ ,1 = K^ . ‹¾¡®¥ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®¥ ·¨±«® x0 ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬ §­ ·¥­¨¥¬ ®¯¥° ²®°  x^. ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ §­ ·¥­¨¾ x0 ±®¡±²¢¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ¢¨¤ x (x) = (x , x0). ‹¾¡®¥ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®¥ ·¨±«® px ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬ §­ ·¥­¨¥¬ ®¯¥° ²®°  p^x. ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ §­ ·¥­¨¾ px ±®¡±²¢¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ¢¨¤ px (x) = (2h ),1=2 exp(ipxx=h). 0; c. 1; 2. „«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© ®¯¥° ²®°  A^ ¯®¤¥©±²¢³©²¥ ®¯¥° ²®°­»¬ ±®®²­®¸¥­¨¥¬, ¯°¨¢¥¤¥­­»¬ ¢ ³±«®¢¨¨ § ¤ ·¨, ­  ±®¡±²¢¥­­³¾ ´³­ª¶¨¾ ®¯¥° ²®°  A^. ‘®¡±²¢¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®¯¥° ²®°  x^, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ±®¡±²¢¥­­®¬³ §­ ·¥­¨¾ x0, ¢ px-¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ x (px) = (2h ),1=2 exp(,ipxx0=h ). ‚ px-¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ x^ = ih @=@px; p^x = px. ˆ±¯®«¼§³¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ½°¬¨²®¢® ±®¯°¿¦¥­­­®£® ®¯¥° ²®°  ¨ ±¢®©±²¢  ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿, ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ´³­ª¶¨© (¢¥ª²®°®¢) '; ¯®«³·¨¬, ·²® ('; L^ ) = (L^+ '; ) = ( ; L^+ ') = ((L^+ )+ ; ') = ('; (L^+ )+ ), ®²ª³¤  ±«¥¤³¥² ³²¢¥°¦¤¥­¨¥   § ¤ ·¨. “²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¡ ; ¢ ¤®ª §»¢ ¾²±¿  ­ «®£¨·­®. ‘ ®¤­®© ±²®°®­», ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ´³­ª¶¨© (¢¥ª²®°®¢) '; ^ ^ ('; AB C^ ) = ((A^B^ C^ )+'; ); ± ¤°³£®© ±²®°®­», ('; A^B^C^ ) = (A^+ '; B^ C^ ) = (B^+ A^+ '; C^ ) = (C^ +B^+ A^+ '; ). ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ((A^B^ C^ )+'; ) = (C^ +B^+ A^+ '; ). “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ³²¢¥°¦¤¥­¨©, ±´®°¬³«¨°®¢ ­­»µ ¢ § ¤ · µ 1.9, 1.8 ( ). A^ = (F^ + F^ + )=2; B^ = (F^ , F^ + )=2i. ³±²¼ - ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿.  §«®¦¨¬ ¥¥ ¢ °¿¤ (¨­²¥£° «) ¯® ±®¡±²¢¥­­»¬ ´³­ª¶¨¿¬ ®¯¥° ²®°  f^: = Pm am m . ’®£¤  X X F (f^) = am F (f^) m = am F (fm ) m = 1.1.

1.2.

0

1.3.

1.4. 1.5.

1.6.

0

1.7. 1.8.

1.9.

1.10.

1.11. 1.12.

m

m

19

= 1.13.

XX m n

am cn (fm )n m =

X ^n X cn f am n

m

m=

X ^n cn f : n

 ) “·¨²»¢ ¿, ·²® I^2k = 1; I^2k+1 = I^ (k = 0; 1; 2; : : :), ¯®«³·¨¬ 1

1

n=0

k=0

X nn X 2k 2k exp(iaI^) (x) = i na! I^n (x) = i(2ka)! (x)+

+

1 i2k+1a2k+1 X I^ (x) = (cos a + iI^ sin a) (x); k=0 (2k + 1)!

².¥. exp(iaI^) = cos a + iI^ sin a.

1 an dn (x) d ) (x) = X ¡ ) exp(a dx n! dxn = (x + a); n=0

².¥. exp(a dxd ) = T^a, £¤¥ T^a - ®¯¥° ²®° ±¤¢¨£ . ¢) ‘ ¯®¬®¹¼¾ § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­®© y = ln jxj ¯®«³·¨¬ 1 n n X exp(ax dxd ) (x) == an! d dy(xn(y)) = (x(y + a)) = (xea ): n=0 „«¿ °¥¸¥­¨¿ § ¤ ·¨ ³¤®¡­® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ´³°¼¥¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬ ³° ¢­¥­¨¿ ­  ±®¡±²¢¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ®¯¥° ²®°  ²° ­±«¿¶¨¨. ‘®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ½²®£® ®¯¥° ²®°  ¨¬¥¾² ¢¨¤  = exp(iqa), £¤¥ ,=a < q  =a (¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® q ¯°¨­ ¤«¥¦¨² «¾¡®¬³ ¤°³£®¬³ ¨­²¥°¢ «³ ¸¨°¨­®© 2=a). ‘®¡±²¢¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ §­ ·¥­¨¾ , ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ´®°¬³«®© (x) = exp(iqx)U (x), £¤¥ U (x) - ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ± ¯¥°¨®¤®¬ a. „¨´´¥°¥­¶¨°³¿ ±®®²­®¸¥­¨¥ fn() = ( n; f^() n) ¯® , ¯°¨¢¥¤¥¬ ¥£® ª ¢¨¤³ @fn () = ( ; @ f^() ) + f () @ ( ; ); n n n n n 1.14.

1.15.

@

@

@

®²ª³¤  ±«¥¤³¥² ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ § ¤ ·¨, ¯®±ª®«¼ª³ ( n; n) = 1. 20

^ = 1. ‚®±¯®«¼§³©²¥±¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ³­¨² °­®£® ®¯¥° ²®° : 1.16. U U^ U^ + = 1.

‚®±¯®«¼§³©²¥±¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ³­¨² °­®£® ®¯¥° ²®° . ‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ³²¢¥°¦¤¥­¨¥¬ § ¤ ·¨ 1.12 U^ = 1 + iF^ + 2!1 (iF^ )2 + : : :; ¯®½²®¬³ U^ + = 1 , iF^ + 2!1 (,iF^ )2 + : : : = exp(,iF^ ): Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® U^ U^ + = 1. °¥¦¤¥ ¢±¥£® § ¬¥²¨¬, ·²® ®¯¥° ¶¨¨ ¢§¿²¨¿ ±«¥¤  ¬ ²°¨¶» ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ¬®¦­® ¬¥­¿²¼ ¬¥±² ¬¨.  µ®¤¨¬ 1 1 1 @ exp(A^ + B^ ) = @ X ^ + B^ )n = X 1 fA^(A^ + B^)n,1+ (  A @ @ n=0 n! n=1 n! 1.17. 1.18.

1.19.

+(A^ + B^)A^(A^ + B^)n,2 + : : : + (A^ + B^)n,1A^g: °¨ ¢§¿²¨¨ ±«¥¤  ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¬ ²°¨¶ ¤®¯³±²¨¬  ¨µ ¶¨ª«¨·¥±ª ¿ ¯¥°¥±² ­®¢ª , ¯®½²®¬³ 1 1 Tr(A^(A^+B^ )n,1) = Tr(A^ exp(A^+B^)): @ exp(A^+B^ ) = X T r @ ( n , 1)! n=1 ‚§¿²¨¥ ±«¥¤  ¬ ²°¨¶ ­¥±³¹¥±²¢¥­­® «¨¸¼ ²®£¤ , ª®£¤  ¬ ²°¨¶» A^ ¨ B^ ª®¬¬³²¨°³¾². ‚»·¨±«¨¬ ¯°®¨§¢®¤­³¾ ®¯¥° ²®°  F^ () = exp((A^ + B^ )) , exp(A^) exp(B^ ) exp(,ic2 =2) ¯® ¯ ° ¬¥²°³ : @ F^ () = (A^ + B^ )e(A^+B^ ) , Ae ^ A^eB^ e,ic =2, 1.20.

2

@

^ B^ e,ic2=2 + iceA^eB^ e,ic2=2: ,eA^ Be 21

ˆ±¯®«¼§³¿ ª®¬¬³² ¶¨®­­®¥ ±®®²­®¸¥­¨¥ ¤«¿ ®¯¥° ²®°®¢ A;^ B^ , ¯®«³·¨¬ A^n B^ = A^n,1B^ A^ + icA^n,1 = : : : = B^ A^n + icnA^n,1 ; ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 1

X n exp(A^)B^ = B^ exp(A^) + ic (n , 1)! A^n,1 = n=1

’ ª¨¬ ®¡° §®¬,

= B^ exp(A^) + ic exp(A^):

@ F^ () = (A^ + B^ )F^ (): @ Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® F^() = exp((A^ + B^ ))G^, £¤¥ G^ - ®¯¥° ²®°, ­¥ § ¢¨±¿¹¨© ®² ¯ ° ¬¥²°  . °¨  = 0 F^ = 0, ¯®½²®¬³ G^ = 0 ¨ F^  0, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 1.21. ³±²¼ 1 (r; ; '); 2(r; ; ') - ´³­ª¶¨¨, ®£° ­¨·¥­­»¥ ¯°¨ r ! 0. °¥®¡° §³¥¬ ¢»° ¦¥­¨¥ Z 1 (L^ 2)r2 dr sin dd'

¯³²¥¬@ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¯® · ±²¿¬ ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© r.  ©¤¥¬, ·²® L^ + = 2 ^ ,ih ( @r + r ), ².¥. L ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ½°¬¨²®¢»¬. ‚¥«¨·¨­» L1; L2 ­¥«¼§¿ ¨§¬¥°¨²¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­®, ² ª ª ª ¨µ ª®¬¬³² ²®° ­¥ ° ¢¥­ ­³«¾. ‚ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ®¯¥° ²®°  L^2 ¬ ²°¨¶  L^ 1 ¨¬¥¥² ¢¨¤ ¬ ²°¨¶» L^ 2, ¯°¨¢¥¤¥­­»© ¢ ³±«®¢¨¨ § ¤ ·¨. 1.22.

16.2. Ž¤­®¬¥°­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥

­¥°£¥²¨·¥±ª¨¥ ³°®¢­¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© · ±²¨¶» ¢ ¡¥±ª®­¥·­® £«³¡®ª®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥ ¨¬¥¾² ¢¨¤ 2 2 n + 1)2 En = h  2(ma 2 ; n = 0; 1; 2; : ::; 2.1.

22

n (x) =

r

2 sin (n + 1)x :

a

a

”³­ª¶¨¨ n(x) ®¡« ¤ ¾² ·¥²­®±²¼¾ (,1)n ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ±¥°¥¤¨­¥ ¿¬», ².¥. ®­¨ ·¥²­» ®²­®±¨²¥«¼­® ±¥°¥¤¨­» ¿¬» ¯°¨ ·¥²­»µ n ¨ ­¥·¥²­» ¯°¨ ­¥·¥²­»µ n. ‚ n-¬ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ª®®°¤¨­ ²» · ±²¨¶» ¨¬¥¥² ¢¨¤ dwn(x) = n2 (x)dx, ±°¥¤­¨¥ §­ ·¥­¨¿ ª®®°¤¨­ ²», ¨¬¯³«¼±  ¨ ¨µ ±°¥¤­¥ª¢ ¤° ²¨·­»¥ ´«³ª²³ ¶¨¨ ° ¢­» ±®®²¢¥²±²¢¥­­® (x)n = a2 ; (px)n = 0; ((
x)2)n = (x2)n ,(x)2n = a2( 121 , 22(n1+ 1)2 ); ((
px)2)n = (p2x)n = 2mEn:  ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ¨¬¯³«¼±  · ±²¨¶» ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢»° ¦¥­¨¥¬ Za dwn(px ) = j(2h ),1=2 exp(,ipx x=h ) n (x)dxj2dpx = 0

 2 2 dpx 4 h ( h  ( n + 1) =a ) (p a=2h); n = 0, 2, 4, .. ., = a (p2 , (h(n + 1)=a)2)2  cos 2 (pxxa=2h); n = 1, 3, 5, .. .. sin x ‘³¹¥±²¢³¥² ®¤­® ±®±²®¿­¨¥ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ± ½­¥°£¨2 =2h2 ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­®© ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¥© 0 (x) = ¥© E = , m 0 p exp(,jxj), £¤¥  = p2mjE j=h . ‘°¥¤­¨¥ §­ ·¥­¨¿ ª¨­¥²¨·¥±ª®© 0 ¨ ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ½­¥°£¨¨ ¢ ½²®¬ ±®±²®¿­¨¨ T = ,E0; U = 2E0. —¨±«® ±®±²®¿­¨© ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¯ ° ¬¥²°®¬  = ma=h 2. Ž­® ° ¢­® ¥¤¨­¨¶¥ ¯°¨  > 1=2 ¨ ­³«¾ ¯°¨   1=2. ¥·¥²­»¬ ±² ¶¨®­ °­»¬ ±®±²®¿­¨¿¬ (².¥. ±®±²®¿­¨¿¬ ± ­¥·¥²­®© ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¥©) ±®®²¢¥²±²¢³¾² ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ En = h2 2 n2=2ma2 ; n = 1; 2; 3; : : :: —¥²­»¬ ±² ¶¨®­ °­»¬ ±®±²®¿­¨¿¬ (².¥. ±®±²®¿­¨¿¬ ± ·¥²­®© ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¥©) ±®®²¢¥²±²¢³¾² ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ E~n, ª®²®°»¥ ¯°¨ 2  = ma=h  1 ¨ n   ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ¢»° ¦¥­¨¥¬ E~n ' En(1 , 2= ); n = 1; 2; 3; : : :: 2.2.

2.3. 2.4.

23

Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ¯°¨ ³ª § ­­»µ ¢»¸¥ ³±«®¢¨¿µ En , E~n  En+1 , En, ².¥. ·¥²­»© ¨ ­¥·¥²­»© ³°®¢­¨ ®¡° §³¾² ¯ °³, ³¤ «¥­­³¾ ®² ² ª¨µ ¦¥ ±®±¥¤­¨µ ¯ °, ¯°¨·¥¬ E~n < En. ‘¨«¼­® ¢®§¡³¦¤¥­­»¥ ·¥²­»¥ ±®±²®¿­¨¿ ¨¬¥¾² ½­¥°£¨¾ E~n ' h 2 2 (n , 1=2)2=2ma2; n  : °¨  < 0 ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ­¥·¥²­»µ ±®±²®¿­¨© ®±² ¾²±¿ ² ª¨¬¨ ¦¥, ª ª ¯°¨  > 0, ­® ¯°¨ jj > 1 ¯®¿¢«¿¥²±¿ ·¥²­®¥ ±®±²®¿­¨¥ ± ®²°¨¶ ²¥«¼­®© ½­¥°£¨¥©. ®«¥§­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¤ ¦¥ ¯°¨ jj < 1, ª®£¤  ­¥² ±®±²®¿­¨¿ ± ®²°¨¶ ²¥«¼­®© ½­¥°£¨¥©, ­¨¦­¥¬³ ³°®¢­¾ ½­¥°£¨¨ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ·¥²­®¥ ±®±²®¿­¨¥. “°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ E~m ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ~m (x) ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¢ ¯®«¥ U~ (x) ±¢¿§ ­» ± ³°®¢­¿¬¨ ½­¥°£¨¨ En ¨ ¢®«­®¢»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ n(x) ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¢ ¯®«¥ U (x) ±®®²­®¸¥­¨¿¬¨ p E~m = E2m+1 ; ~m (x) = 2 2m+1 (x); x  0 (m = 0; 1; 2; : ::): ‘¨«¥, ¤¥©±²¢³¾¹¥© ­  · ±²¨¶³ ¢ ¯®«¥ U (x), ±² ¢¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®¯¥° ²®° F^ = ,dU (x)=dx. ‚ n-¬ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  2.5.

2.6.

F =2

Z +1 ,1

U (x) n (x) n0 (x)dx:

“¬­®¦ ¿ ±² ¶¨®­ °­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  ­  n0 (x) ¨ ¨­²¥£°¨°³¿ ¯® x ¢ ¡¥±ª®­¥·­»µ ¯°¥¤¥« µ, ¯®«³·¨¬, ·²® F = 0. ‘¨«¥, ¤¥©±²¢³¾¹¥© ­  ¯° ¢³¾ ¿¬³ ±® ±²®°®­» · ±²¨¶», ±² ¢¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®¯¥° ²®° F^¯° = (x)dU (x)=dx, £¤¥ (x > 0) = 1; (x < 0) = 0. €­ «®£¨·­® ±¨«¥, ¤¥©±²¢³¾¹¥© ­  «¥¢³¾ ¿¬³, ±² ¢¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®¯¥° ²®° F^« = (,x)dU (x)=dx. ®±ª®«¼ª³ U (x) - ·¥²­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ n(x) n-£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ®¡« ¤ ¥² ·¥²­®±²¼¾ (,1)n. Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ¢ ½²®¬ ±®±²®¿­¨¨ 2.7.

F ¯° = ,F « = ,2

Z +1 0

24

U (x) n(x) n0 (x)dx:

“¬­®¦ ¿ ±² ¶¨®­ °­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  ­  n0 (x) ¨ ¨­²¥£°¨°³¿ ¯® x ®² 0 ¤® +1, ¯®«³·¨¬  2 0 2 =2m; n - ­¥·¥²­®¥, F ¯° = h,j(E nj(0)) 2 (0) n - ·¥²­®¥. n n ;  ±±¬®²°¨¬ ¤¢¨¦¥­¨¥ · ±²¨¶» ¢ ¯®«¥ ( 1; x < 0, U (x) = 0; 0 < x < a, U0 ; x > a, ¨ ­  § ª«¾·¨²¥«¼­®© ±² ¤¨¨ ° ±·¥²®¢ ³±²°¥¬¨¬ U0 ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨. ‘¨«¥, ¤¥©±²¢³¾¹¥© ­  ¯° ¢³¾ ±²¥­ª³ ¿¬», ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®¯¥° ²®° F^ = (x , a2 ) dUdx(x) = U0  (x , a): ¥¸ ¿ ±² ¶¨®­ °­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  ¨ ¢»·¨±«¿¿ F ¢ n-¬ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨, ­ ©¤¥¬ ¯°¨ U0 ! +1, ·²® F = 2En=a (En ½­¥°£¨¿ n-£® ³°®¢­¿ ¢ ¡¥±ª®­¥·­® £«³¡®ª®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥). ’ ª®¥ ¦¥ ±®®²­¸¥­¨¥ ¬¥¦¤³ ±°¥¤­¥© §  ¯¥°¨®¤ ±¨«®©, ¤¥©±²¢³¾¹¥© ­  ±²¥­ª³, ¨ ª¨­¥²¨·¥±ª®© ½­¥°£¨¥© · ±²¨¶» ¯®«³· ¥²±¿ ¢ ° ¬ª µ ª« ±±¨·¥±ª®© ¬¥µ ­¨ª¨. "Œ¥«ª®©" ­ §»¢ ¥²±¿ ¿¬ , ¤«¿ ª®²®°®© ma2U0=h 2  1. ‚ ² ª®© ¿¬¥ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤­® ±² ¶¨®­ °­®¥ ±®±²®¿­¨¥ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ± ½­¥°£¨¥© E0 ' U0 , ma2U02=2h2 (¯®²¥­¶¨ «¼­³¾ ½­¥°£¨¾ ®²±·¨²»¢ ¥¬ ®² ¤­  ¿¬»).  µ®¤¿±¼ ¢ ½²®¬ ±®±²®¿­¨¨, · ±²¨¶  ¤¥©±²¢³¥² ­  ±²¥­ª³ ± ±¨«®© F = 2(U0 , E0)=a, ¢ ²® ¢°¥¬¿ ª ª ° ±·¥², ¢»¯®«­¥­­»© ¢ ° ¬ª µ ª« ±±¨·¥±ª®© ¬¥µ ­¨ª¨ ¤«¿ · ±²¨¶» ± ½­¥°£¨¥© E0, ¤ ¥² §­ ·¥­¨¥ F ª« = 2E0 =a. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¢ "¬¥«ª®©" ¿¬¥ F  F ª« . Š®½´´¨¶¨¥­²» ®²° ¦¥­¨¿ ¨ ¯°®µ®¦¤¥­¨¿ ° ¢­» ±®®²¢¥²±²¢¥­­® p  pE , pE , U 2 4 0 ; D(E ) = p E (pE , U0 ) 2 : R(E ) = p p E + E , U0 ( E + E , U0) ¥§³«¼² ² ®ª §»¢ ¥²±¿ ² ª¨¬ ¦¥, ª ª ¢ § ¤ ·¥ 2.10. ³±²¼ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ U (x ! ,1) ! 0; U (x ! +1) ! U0 . Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ (x) ( ~(x)) °¥¸¥­¨¥ ±² ¶¨®­ °­®£® ³° ¢­¥­¨¿ 2.8.

2.9.

2.10.

2.11. 2.12.

25

˜°¥¤¨­£¥° , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ±«³· ¾, ª®£¤  · ±²¨¶» ± ½­¥°£¨¥© E ¯ ¤ ¾² ­  ¯®²¥­¶¨ «¼­»© ¡ °¼¥° ±«¥¢  (±¯° ¢ ). €±¨¬¯²®²¨ª  ´³­ª¶¨© (x); ~(x) ² ª®¢ :  ikx ,ikx ,1, (x)  eBeik+x;Ae ; xx ! ! +1, 1



x + Ae ~ ik x; x ! +1, ~(x)  e~,ik,ikx Be ; x ! ,1, p p £¤¥ k = 2mE=h; k1 = 2m(E , U0)=h; A; B; A;~ B~ - ­¥¨§¢¥±²­»¥ ¯®±²®¿­­»¥. “¬­®¦ ¿ ³° ¢­¥­¨¥ ¤«¿ (x) ­  ´³­ª¶¨¾ ~(x), ³° ¢­¥­¨¥ ¤«¿ ~(x) ­  ´³­ª¶¨¾ (x) ¨ ¢»·¨² ¿ ®¤­® ³° ¢­¥­¨¥ ¨§ ¤°³£®£®, ­ ©¤¥¬, ·²® 0 (x) ~(x) , ~0 (x) (x) = const: “±²°¥¬¨¬ x ¢ ½²®¬ ±®®²­®¸¥­¨¨ ±­ · «  ª +1, § ²¥¬ ª ,1 ¨ ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¯°¨¢¥¤¥­­®© ¢»¸¥  ±¨¬¯²®²¨ª®© ´³­ª¶¨© (x); ~(x). ®«³·¨¬: kB~ = k1B. Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ª®½´´¨¶¨¥­²» ¯°®µ®¦¤¥­¨¿ ¯°¨ ¯ ¤¥­¨¨ · ±²¨¶ ±«¥¢  D(E) = k1jBj2=k ¨ ±¯° ¢  D~ (E) = kjB~ j2=k1 ° ¢­». Š®½´´¨¶¨¥­²» ®²° ¦¥­¨¿ ¨ ¯°®µ®¦¤¥­¨¿ ° ¢­» ±®®²¢¥²±²¢¥­­® jE0j ; D(E ) = E ; R(E ) = E + jE0j E + jE0j 1

1

2.13.

£¤¥ jE0j = m2=2h2 (±°. ± § ¤ ·¥© 2.2). — ±²¨¶» ­¥ ®²° ¦ ¾²±¿ ®² ¡ °¼¥°  ¯°¨ §­ ·¥­¨¿µ ½­¥°£¨¨ En 2= h 2 kn2 =2m (n = 1; 2; 3; : ::), £¤¥ kn - ª®°­¨ ³° ¢­¥­¨¿ tan ka = ,h k=m. ³±²¼ t(E); r(E) -  ¬¯«¨²³¤» ¯°®¸¥¤¸¥© ¨ ®²° ¦¥­­®© ¢®«­ ¢¥°®¿²­®±²¨, ­ ©¤¥­­»¥ ¢ § ¤ ·¥ 2.10 ¤«¿ · ±²¨¶ ± ½­¥°£¨¥© E ; ~t(E ); r~(E ) -  ¬¯«¨²³¤» ¯°®¸¥¤¸¥© ¨ ®²° ¦¥­­®© ¢®«­, ­ ©¤¥­­»¥ ¢ § ¤ ·¥ 2.11 ¤«¿ · ±²¨¶ ± ²®© ¦¥ ½­¥°£¨¥©, ²®£¤   ¬¯«¨²³¤  T (E ) ¢®«­», ¯°®¸¥¤¸¥© ·¥°¥§ ¯°¿¬®³£®«¼­»© ¯®²¥­¶¨ «¼­»© ¡ °¼¥°, ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®© ¯°®£°¥±±¨¨ T = teik a t~ + teik a r~eik a r~eik a t~ + : : : = 2.14.

2.15.

1

1

1

26

1

~ ik1a) = 1 , t(~trexp( )2 exp(2ik1a) ; £¤¥ k1 = p2m(E , U0)=h . ’¥¯¥°¼ ­ µ®¤¨¬ ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°®µ®¦¤¥­¨¿ 4E(E ,pU0) D(E ) = jT (E )j2 = 4E(E , U ) + U 2 sin2 2m(E , U )a=h : 0

0

€­ «®£¨·­® ¬®¦­® ­ ©²¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ®²° ¦¥­¨¿.

0

16.3. ƒ °¬®­¨·¥±ª¨© ®±¶¨««¿²®°

‘¬. °¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ 2.5. ‚®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®±¶¨««¿²®°  ¢ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ p (x; t > 0) = ( 0(x)e,iE t=h + i2 1(x)e,iE t=h)= 5: ‘°¥¤­¿¿ ½­¥°£¨¿ ®±¶¨««¿²®°  ¨ ¨±ª®¬»¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ° ¢­» ±®®²¢¥²±²¢¥­­® E = (E0 + 4E1)=5; w(E0) = 1=5; w(E1) = 4=5. —²®¡» ­ ©²¨ x(t), ³¤®¡­® ¢»° §¨²¼ ®¯¥° ²®° ª®®°¤¨­ ²» ·¥°¥§ ®¯¥° ²®°» °®¦¤¥­¨¿ ¨ ³­¨·²®¦¥­¨¿: x^ = (h=2m!)1=2(^a+ + a^). ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³· ¥¬ r 2 2h sin !t: x(t) = 5 m! ‡ ¤ ·  °¥¸ ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­®© y = x , qE =m!2 . ‚ °¥§³«¼² ²¥ ­ µ®¤¨¬ 2E 2 En = h!(n + 12 ) , 2qm! 2 ; n = 0; 1; 2; : ::; n (x) = n®±¶(x , qE =m!2 ); £¤¥ n®±¶(x) - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ n-£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ ®±¶¨««¿²®°  ¢ ®²±³²±²¢¨¥ ½«¥ª²°¨·¥±ª®£® ¯®«¿. „«¿ ª° ²ª®±²¨ § ¯¨±¨ °¥¸¨¬ § ¤ ·³, ¯®«¼§³¿±¼ ¡¥§° §¬¥°­®© ª®®°¤¨­ ²®©  = (m!=h )1=2x, ²®£¤  3.1. 3.2.

0

1

3.3.

3.4.

(; t) =

1 X

n=0

Cn n( )e,i!(n+1=2)t;

27

£¤¥ n() = (2nn!p),1=2 exp(,2=2)Hn() - ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®° , Hn() - ¯®«¨­®¬» °¬¨² . Š®½´´¨¶¨¥­²» Cn ­ µ®¤¨¬ ¨§ ­ · «¼­®£® ³±«®¢¨¿, ¨±¯®«¼§³¿ ¿¢­»© ¢¨¤ ¯®«¨­®¬®¢ °¬¨²  ¨ ¢»¯®«­¿¿ n ° § ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ¯® · ±²¿¬: Z +1 Cn = n ( ) (; 0)d = ,1

= (2nn!p),1=2(,1)ne,02=2

Z +1 ,1

dn e,2 d = e0 d n

= 1=4(2nn!),1=2e, =40n: ‡¤¥±¼ 0 = (m!=h)1=2x0. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, 2 0

(; t) = e,i!t=2, =4 2 0

1 X 1=4(2n n!),1=2 n ( )(0 e,i!t )n :

n=0

‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± 2­ · «¼­»¬ ³±«®¢¨¥¬ ¢µ®¤¿¹ ¿ ±¾¤  ±³¬¬  ¯°¨ t = 0 ° ¢­  exp(, =2 + 0 , 02 =4). °¨ t > 0 ½²  ±³¬¬  ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ¢»° ¦¥­¨¿ ¯°¨ t = 0 ¯³²¥¬ § ¬¥­» 0 ! 0 exp(,i!t). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, (; t) = exp(,i!t=2 , 02=4 , 2=2 + 0e,i!t , 02e,2i!t=4): Ž²±¾¤  ­ µ®¤¨¬ j (; t > 0)j2 = exp(,( , 0 cos !t)2). ²® ¢ ° ¦¥­¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ± ²¥·¥­¨¥¬ ¢°¥¬¥­¨ ¸¨°¨­  ¢®«­®¢®£® ¯ ª¥²  ­¥ ¨§¬¥­¿¥²±¿,   ¶¥­²° ¥£® ª®«¥¡«¥²±¿ ¯® ª« ±±¨·¥±ª®¬³ § ª®­³ (ª®£¥°¥­²­®¥ ±®±²®¿­¨¥). ‘² ¶¨®­ °­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  °¥¸ ¥²±¿ ¬¥²®¤®¬ ° §¤¥«¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ­ µ®¤¨¬ En ;n = h !1 (n1 + 1=2) + h !2 (n2 + 1=2); n1; n2 = 0; 1; 2; : ::; 3.5.

1

2

n1;n2 (x; y) = n(1)1 (x) n(2)2 (y);

£¤¥ n(1) - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ n1-£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ ®¤­®¬¥°­®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ± ¬ ±±®© m ¨ · ±²®²®© !1, n(2) 1

2

28

- ² ª ¿ ¦¥ ´³­ª¶¨¿ n2-£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ± ¬ ±±®© m ¨ · ±²®²®© !2. °¨ !1 = !2 ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ®±¶¨««¿²®°  ¢»°®¦¤¥­»: El = h !1(l + 1); l = 0; 1; 2; : : :; 3.6.

(1) l;n (x; y) = n(1) (x) l,n (y);

n = 0; 1; 2; : : :; l:

Ž¡®§­ ·¥­¨¥ n(1) ¯®¿±­¥­® ¢ § ¤ ·¥ 3.5. Š° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ n-£® ³°®¢­¿ ° ¢­  l + 1. ³²¥¬ ¯®¢®°®²  ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² xy ­  2³£®« =4 § ¤ ·  ±¢®¤¨²±¿ ª § ¤ ·¥ 3.5 ± · ±²®² ¬¨ !1 = !(1 + =m! )1=2 ; !2 = !(1 , =m!2 )1=2. ƒ ¬¨«¼²®­¨ ­ ±¨±²¥¬» ¨¬¥¥² ¢¨¤ H^ = 21m p^2x1 + 21m p^2x2 + 21 kx21 + 12 kx22 + 12 k1 (x2 , x1)2 ; £¤¥ x1; x2 - ª®®°¤¨­ ²» «¥¢®© ¨ ¯° ¢®© ¬ ²¥°¨ «¼­®© ²®·¥ª, ®²±·¨²»¢ ¥¬»¥ ®² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¯®«®¦¥­¨© ° ¢­®¢¥±¨¿. ‡ ¬¥­  ¯¥°¥¬¥­­»µ x = (x1 + x2)=2; y = x2 , x1 ¯°¨¢®¤¨² £ ¬¨«¼²®­¨ ­ ª ´®°¬¥, ª®²®° ¿ ¤®¯³±ª ¥² ° §¤¥«¥­¨¥ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ±² ¶¨®­ °­®¬ ³° ¢­¥­¨¨ ˜°¥¤¨­£¥° : H^ = 41m p^2x + kx2 + m1 p^2y + 12 (k1 + k2 )y2 : ‡¤¥±¼ ¯¥°¢»¥ ¤¢  ±« £ ¥¬»µ - £ ¬¨«¼²®­¨ ­ ®¤­®¬¥°­®£® ®±¶¨««¿²®°  ± ¬ ±±®© 2m ¨ · ±²®²®© !1 = (k=m)1=2, ¤¢  ¯®±«¥¤­¨µ ±« £ ¥¬»µ - £ ¬¨«¼²®­¨ ­ ®¤­®¬¥°­®£® ®±¶¨««¿²®°  ± ¬ ±±®© m=2 ¨ · ±²®²®© !2 = ((k + 2k1)=m)1=2 . “°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ´®°¬³«®©, ¯°¨¢¥¤¥­­®© ¢ °¥¸¥­¨¨ § ¤ ·¨ 3.5, ­® ²¥¯¥°¼ §­ ·¥­¨¿ n1; n2 ®£° ­¨·¥­» ³±«®¢¨¿¬¨ ¬ «®±²¨ ª®«¥¡ ­¨©: r q 2h (n2 + 1 )  l1; 2 y = m! 2 2 3.7.

3.8.

s   q q x21 = x22 = 2hm !1 (n1 + 21 ) + !1 (n2 + 12 )  l: 1

2

29

16.4. „¢¨¦¥­¨¥ ¢®«­®¢»µ ¯ ª¥²®¢

‚»¯®«­¨¬ ­®°¬¨°®¢ª³ ´³­ª¶¨¨ (x; 0) ¨ ° §«®¦¨¬ ¥¥ ¯® ¢®«­®¢»¬ ´³­ª¶¨¿¬ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© (±°¥¤¨ ª®²®°»µ ¥±²¼ ®¤­® ±®±²®¿­¨¥ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²° , ±¬. § ¤ ·³ 2.2). ’®£¤  ¯°¨ t > 0 ¬®¦­® ­ ¯¨± ²¼ 4.1.

(x; t) = C0 0(x)e,iE t=h + 0

Z +1 ,1

C (p) p (x)e,ip2 t=2mh dp;

£¤¥ 0(x); E0 ¯°¨¢¥¤¥­» ¢ °¥¸¥­¨¨ § ¤ ·¨ 2.2; p(x) - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ±®±²®¿­¨¿ ­¥¯°¥°»¢­®£® ±¯¥ª²°  (± ³·¥²®¬ -¿¬»); Z +1 2p C0 = 0 (x) (x; 0)dx =  + ;  = m=h2 : ,1 °¨ t ! +1 ¨­²¥£° « ¯® ±®±²®¿­¨¿¬ ­¥¯°¥°»¢­®£® ±¯¥ª²°  ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ ¨§-§  ¡»±²°»µ ®±¶¨««¿¶¨© ¯® p. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, 2 dw(x) = (4+ )2 e,2jxj dx: ˆ­²¥£°¨°³¿ ½²® ¢»° ¦¥­¨¥ ¯® x, ¯®«³·¨¬ 4 =( + )2  1, ¯°¨·¥¬ §­ ª ° ¢¥­±²¢  ¨¬¥¥² ¬¥±²® «¨¸¼ ¯°¨ = . dw(x) = 0.  ¤ ¾¹³¾ ­  ¡ °¼¥° · ±²¨¶³ ®¯¨±»¢ ¥² ¢®«­®¢®© ¯ ª¥² 4.2. 4.3.

¯ ¤ (x; t) = A

Z p0 +
p p0 ,
p

2

ip t dp exp( ipx h , 2mh ) p2h :

®±²®¿­­ ¿ A ­ µ®¤¨²±¿ ¨§ ³±«®¢¨¿ ­®°¬¨°®¢ª¨. °¨ t  2mh=(
p)2 sin((x , vt)
p=h ) ; i ¯ ¤ (x; t) ' A(2h=)1=2 e h (p x,E t) 

0

0

x , vt

£¤¥ E0 = p20=2m; v = p0=m. Ž²° ¦¥­­³¾ ®² ¡ °¼¥°  · ±²¨¶³ ®¯¨±»¢ ¥² ¢®«­®¢®© ¯ ª¥² Z p +
p p , ih  ipx , ip2 t ) pdp ' exp( , ( x; t ) = A ®²° h 2mh 2h p ,
p p + ih  0

0

30

 h 1=2 p ,2i arctan U0 =E0 ,1, hi (p0 x+E0 t) sin((x + vt , vt0 )
p=h) ; ' A 2 e  x + vt , vt0 p £¤¥ t0 = h= E0(U0 , E0). °¨ ¢»¢®¤¥ ¯®±«¥¤­¥£® ¢»° ¦¥­¨¿ ¤«¿ ®²°(x; t) ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²®
p  (2m(U0 , E0 ))1=2. ‚¥«¨·¨­³ t0 = 2l=v, £¤¥ l = h(2m(U0 , E0)),1=2 - µ ° ª²¥°­ ¿ £«³¡¨­  ¯°®­¨ª­®¢¥-

­¨¿ · ±²¨¶» ¯®¤ ¡ °¼¥°, ¬®¦­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª ¢°¥¬¿ § ¤¥°¦ª¨ · ±²¨¶» ¯°¨ ®²° ¦¥­¨¨. ’ ª ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ®¯° ¢¤ ­ , ¥±«¨ t0 ¬ «® ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ±® ¢°¥¬¥­¥¬ ° ±¯«»¢ ­¨¿ ¯ ª¥²  2m1=h2=(
p)2. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¢ ±¨«³ ³±«®¢¨©
2 p  p0; (2m(U0 , E0)) , ³ª § ­­»µ ¢»¸¥, ³±«®¢¨¥ t0  2mh =(
p) ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¢»¯®«­¿¥²±¿. ˜¨°¨­  £ ³±±®¢  ¯ ª¥² 
x ¢ ¬®¬¥­² t ±¢¿§ ­  2± 1­ · «¼­®© ¸¨°¨­®©
x0 ±®®²­®¸¥­¨¥¬
x = [(
x0)2 + (,ht=m
x0) ] =2, ®²ª³¤  16 ­ µ®¤¨¬, ·²® ¢°¥¬¿ ³¤¢®¥­¨¿ ¸¨°¨­» 1:6
10 ±. 4.4.

16.5.Œ®¬¥­² ¨¬¯³«¼± 

‚®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¨ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¯«®±ª®£® °®² ²®°  ¨¬¥¾² ¢¨¤ m (') = (2),1=2eim' ; 0  ' < 2; m = 0; 1; 2; : : :; 5.1.

Ejmj = h2 m2 =2I:

‚±¥ ³°®¢­¨, ª°®¬¥ ­¨§¸¥£®, ¤¢³ª° ²­® ¢»°®¦¤¥­». ‚®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¯°®±²° ­±²¢¥­­®£® °®² ²®°  - ±´¥°¨·¥±ª¨¥ ´³­ª¶¨¨ Ylm (; '); (jmj = 0; 12; : : :; l; l = 0; 1; 2; : : :). “°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ´®°¬³«®© El = h l(l +1)=2I , ª° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ l-£® ³°®¢­¿ 2l + 1. ‚»¯®«­¿¿ ­®°¬¨°®¢ª³ ´³­ª¶¨¨ ¨ ° §« £ ¿ ¥¥ ¢ °¿¤ ¯® ´³­ª¶¨¿¬ m('), ¯°¨¢¥¤¥­­»¬ ¢ °¥¸¥­¨¨ § ¤ ·¨ 5.1, ­ ©¤¥¬, ·²® ¨­²¥°¥±³¾¹¨¥ ­ ± ¢¥°®¿²­®±²¨ ° ¢­» w(lz = h ) = 9=20; w(lz = 3h) = 1=20; w(E1) = 9=10; w(E3) = 1=10. ˆ§ ³±«®¢¨¿ ­®°¬¨°®¢ª¨ ­ µ®¤¨¬, ·²® C = (5=4)1=2. ®±ª®«¼ª³ ^lz = 0, ²® w(lz = 0) = 1; lz = 0.  §«®¦¨¬ ´³­ª¶¨¾ ¯® ±´¥°¨·¥±ª¨¬ ´³­ª¶¨¿¬ Yl0, ª®²®°»¥ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­» ¯®«¨­®¬ ¬ ‹¥¦ ­¤°  Pl(cos ). Ž·¥¢¨¤­®, ¢ ° §«®¦¥­¨¥ ¬®£³²p ¢µ®¤¨²¼ «¨¸¼ P0(cos ) ¨ P2(cos ). ²® ° §«®¦¥­¨¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤ = 5Y00=3+2Y20=3, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨­²¥°¥±³¾¹¨¥ ­ ± ¢¥°®¿²­®±²¨ ¨ ±°¥¤­¨¥ §­ ·¥­¨¿ 5.2.

5.3.

5.4.

31

½­¥°£¨¨ ¨ ª¢ ¤° ²  ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  ° ¢­» w(l = 0) = 5=9; w(l = 2) = 4=9; w(E0) = 5=9; w(E2) = 4=9; E = E0w(E0) + E2w(E2) = 4h2=3I; ~l 2 = 2IE=h 2 = 8=3. ³±²¼ ~n - ¥¤¨­¨·­»© ¢¥ª²®°, § ¤ ¾¹¨© ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ®±¨ z~, ²®£¤  ®¯¥° ²®° ¯°®¥ª¶¨¨ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  ­  ®±¼ z~ ¨¬¥¥² ¢¨¤ ^lz~ = (~n; ^~l). ‚»¡¥°¥¬ ®±¼ x ² ª, ·²®¡» ®±¼ z~ «¥¦ «  ¢ ¯«®±ª®±²¨ xz. °¨ ½²®¬ ^lz~ = ^lz2 cos  + ^lx sin . Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® lz~ = h m cos ; (
lz~)2 = lx2 sin  + sin  cos ( lm ; (^lz ^lx + ^lx ^lz ) lm ) = (sin2 )h2(l(l+1),m2)=2. ‡¤¥±¼ ³·²¥­®, ·²® lx2 = ly2 = (h2l(l+1),lz2)=2. ®±ª®«¼ª³ ^lz = 2h ,   l  jmj = 2, ²® w(l = 1) = 0. ‚ ±®¡±²¢¥­­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ®¯¥° ²®° ^lx § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ¤¨ £®­ «¼­®© ¬ ²°¨¶» ± ½«¥¬¥­² ¬¨ h; 0; ,h, ®²ª³¤  ¨ ±«¥¤³¥² ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. 5.5.

5.6. 5.7.

16.6. „¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¶¥­²° «¼­®¬ ¯®«¥

®±ª®«¼ª³ ¯°®¥ª¶¨¿ ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  · ±²¨¶» ­  ®±¼, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­³¾ ¯«®±ª®±²¨ ¤¢¨¦¥­¨¿, ° ¢­  ­³«¾, ²® ¢ ¯®«¿°­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ § ¢¨±¨² «¨¸¼ ®²  ¨ ° ¢­   () = CC12JK00((k));;  <> aa,, £¤¥ k = p2(U0 , jEj)=h ;  = p2jEj=h; E < 0 - ½­¥°£¨¿ ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿; J0; K0 - ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ´³­ª¶¨¨ ¥±±¥«¿ ¨ Œ ª¤®­ «¼¤  ­³«¥¢®£® ¯®°¿¤ª . ˆ§ £° ­¨·­»µ ³±«®¢¨© ¯°¨  = a ±«¥¤³¥² ³° ¢­¥­¨¥ ¤«¿ E : J0(ka)K1(a) = kJ1(ka)K0(a), £¤¥ J1; K1 ´³­ª¶¨¨ ¥±±¥«¿ ¨ Œ ª¤®­ «¼¤  ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª . ˆ±¯®«¼§³¿  ±¨¬¯²®²¨ª³ ½²¨µ ´³­ª¶¨© ¯°¨ ¬ «»µ §­ ·¥­¨¿µ  °£³¬¥­² , ¯®«³·¨¬, ·²® ¢ ±«³· ¥ "¬¥«ª®©" ¿¬» ³° ¢­¥­¨¥ ¤«¿ E ³¯°®¹ ¥²±¿: (ka)2 ln(1=a) ' 2. Ž­®2¨¬¥¥²2 ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °¥¸¥­¨¥ E0 ' ,U0 (1=2) exp(,2=),£¤¥  = a U0 =h  1. 0; an(n + 2)!=2n+1, £¤¥ a = h 2=mee2 - ° ¤¨³± ®° , me - ¬ ±±  ½«¥ª²°®­ . «¥ª²°¨·¥±ª®¥ ¯®«¥  ²®¬  ¢®¤®°®¤  ¯®°®¦¤ ¥²±¿ § °¿¤®¬ ± ¯«®²­®±²¼¾ (~r) = ,e(~r) + ej 000(~r)j2, £¤¥ e < 0 - § °¿¤ ½«¥ª²°®­ , 000(~r) - ´³­ª¶¨¿ ®±­®¢­®£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ ½«¥ª²°®­  ¢  ²®¬¥,1¢®¤®°®¤ . «¥ª²°®±² ²¨·¥±ª¨© ¯®²¥­¶¨ « ¨¬¥¥² ¢¨¤ '(~r) = ,e(a + r,1) exp(,2r=a), £¤¥ a - ° ¤¨³± ®° . 6.1.

6.2. 6.3.

32

 ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ° §«¨·­»µ §­ ·¥­¨© ¨¬¯³«¼±  ½«¥ª²°®­  ¢ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨  ²®¬  ¢®¤®°®¤  ®¯¨±»¢ ¥²±¿ 5 =2a5 (p2 + h 2 =a2)4 . ®«¥§­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ´³­ª¶¨¥© w ( p ~ ) = 8 h R w(~p)d3 ~p = 1. lmax = n , 1; ª° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ ³°®¢­¿ ° ¢­  n2; ¯°¨ ­¥·¥²­®¬ n ª° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ ·¥²­®£® ±®±²®¿­¨¿ ° ¢­  n(n + 1)=2, ­¥·¥²­®£® - n(n , 1)=2 ; ¯°¨ ·¥²­®¬ n ª° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ ·¥²­®£® ±®±²®¿­¨¿ ° ¢­  n(n , 1)=2, ­¥·¥²­®£® - n(n + 1)=2. ‚ ±´¥°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ § ¢¨±¨² «¨¸¼ ®² r ¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ (r) = (r)=r, £¤¥  kr; r < a, (r) = CC12 sin exp(,(r , a)); r > a. p p ‡¤¥±¼ C1; C2 - ¯®±²®¿­­»¥, k = 2(U0 , jEj)=h ;  = 2jEj=h ; E < 0 - ½­¥°£¨¿ ®±­®¢­®£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿. Ž­  ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¾ p p tan( 2(U0 , jEj)a=h ) = , U0=jEj , 1: ƒ° ´¨·¥±ª®¥ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¥ ½²®£® ³° ¢­¥­¨¿1=¯®ª §»¢ ¥², ·²® ®­® ¨¬¥¥² µ®²¿ ¡» ®¤­® °¥¸¥­¨¥ «¨¸¼ ¯°¨ (2U0) 2a=h > =2. ‚ ¤¥ª °²®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ·  «¥£ª® °¥¸ ¥²±¿ ¬¥²®¤®¬ ° §¤¥«¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ. “°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¨¬¥¾² ¢¨¤ En = h!(n + 3=2); n = 0; 1; 2; : : :; 6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

n;n1;n2 (x; y; z ) = n1 (x) n2 (y) n,n1 ,n2 (z );

£¤¥ n1; n2 = 0; 1; : : :; n; n1 + n2  n; p (p = n1; n2; n , n1 , n2) ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ p-£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ ®¤­®¬¥°­®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ± · ±²®²®© ! = pk= ¨ ¬ ±±®© . Š° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿ ³°®¢­¿ En ° ¢­  n X

(n , n1 + 1) = (n + 1)(n + 2)=2:

n1 =0

2 ®±ª®«¼ª³ ®¯¥° ²®°» ^~l ; ^lz ª®¬¬³²¨°³¾² ± £ ¬¨«¼²®­¨ ­®¬, ¢ ±´¥°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² °¥¸¥­¨¥ ±² ¶¨®­ °­®£® ³° ¢­¥­¨¿

33

˜°¥¤¨­£¥°  ±«¥¤³¥² ¨±ª ²¼ ¢ ¢¨¤¥ = Ylm (; ')(r)=r, £¤¥ Ylm (; ') - ±´¥°¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿. ”³­ª¶¨¿  ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¾ (­¨¦¥ ¢¢¥¤¥­  ¡¥§° §¬¥°­ ¿ ª®®°¤¨­ ²   = (h=!),1=2r) d2  , l(l + 1)  ,  2  + 2E  = 0: d 2 2 h ! °¨  ! 0   l+1 ; l¯°¨  ! +1   exp(, 2 =2), ¯®½²®¬³ ¨¹¥¬ +1 °¥¸¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥  =  2 exp(,2=2)u(). ¥°¥µ®¤¿ ¢ ³° ¢­¥­¨¨ ¤«¿ u( ) ª ¯¥°¥¬¥­­®©  =  , ¯®«³·¨¬ u00 + (l + 3=2 , )u0 , (,E=2h! + l=2 + 3=4)u = 0: Ž£° ­¨·¥­­®¥ ¯°¨  ! 0 °¥¸¥­¨¥ ½²®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ¢»°®¦¤¥­­³¾ £¨¯¥°£¥®¬¥²°¨·¥±ª³¾ ´³­ª¶¨¾: u() = CF (,E=2h! + l=2 + 3=4; l + 3=2; ), £¤¥ C = const. —²®¡» (r) ¡»«  ®£° ­¨·¥­  ¯°¨ r ! 1, ­¥®¡µ®¤¨¬®, ·²®¡» ¢»¯®«­¿«®±¼ ³±«®¢¨¥ ,E=2h! + l=2 + 3=4 = ,nr ; nr = 0; 1; 2; : : : (¯°¨ ½²®¬ F ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ¯®«¨­®¬). Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥² ­ ©¤¥­­»© ¢»¸¥ ±¯¥ª²° ±´¥°¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®° , ¯°¨·¥¬ ²¥¯¥°¼ n = l +2nrl. Š ª ¨§¢¥±²­®, Ylm (; ') ¨¬¥¥² ®¯°¥¤¥«¥­­³¾ ·¥²­®±²¼, ° ¢­³¾ (,1) , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­ ©¤¥­­»¥ °¥¸¥­¨¿ ¨¬¥¾² ·¥²­®±²¼ (,1)l = (,1)n. 16.7. „¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¥

®±ª®«¼ª³ ®¯¥° ²®°» p^z ; ^lz ª®¬¬³²¨°³¾² ± £ ¬¨«¼²®­¨ ­®¬, °¥¸¥­¨¥ ±² ¶¨®­ °­®£® ³° ¢­¥­¨¿ ˜°¥¤¨­£¥°  ±«¥¤³¥² ¨±ª ²¼ ¢ ¶¨«¨­¤°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¢ ¢¨¤¥ (; '; z) = (2h ),1=2eipz z=h(2),1=2eim' (); m = 0; 1; 2; : : : “° ¢­¥­¨¥ ¤«¿ ´³­ª¶¨¨ () °¥¸ ¥²±¿  ­ «®£¨·­® ³° ¢­¥­¨¾ ¤«¿ ´³­ª¶¨¨ (r) ¢ § ¤ ·¥ 6.7. Žª §»¢ ¥²±¿, 2  = C jmj e, =4F ( 12 (jmj , m jeej + 1) , E ,hp!z =2 ; jmj + 1;  2=2); c p £¤¥  = =lH ; lH = ch =jejH - ¬ £­¨²­ ¿ ¤«¨­ , e - § °¿¤ · ±²¨¶», !c = jejH=c - ¶¨ª«®²°®­­ ¿ · ±²®² , C - ¯®±²®¿­­ ¿, F - ¢»°®¦¤¥­­ ¿ £¨¯¥°£¥®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿. ²® °¥¸¥­¨¥ ®£° ­¨·¥­® ¯°¨ 7.1.

2

34

 ! 1, ¥±«¨ ¯¥°¢»©  °£³¬¥­² ´³­ª¶¨¨ F - ¶¥«®¥ ®²°¨¶ ²¥«¼­®¥ ·¨±«® ¨«¨ ­³«¼ (®¡®§­ ·¨¬ ¥£® ,n). Ž²±¾¤  ­ µ®¤¨¬ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨¥

³°®¢­¨

Epz ;n = p2z =2 + h!c (n + 1=2); n = 0; 1; 2; : ::; £¤¥ n = n + (jmj , me=jej)=2. ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ § °¿¤ · ±²¨¶» ¯®«®¦¨²¥«¥­, ²® n = n + jmj ¯°¨ m < 0 ¨ n = n ¯°¨ m  0. Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ¯°¨ § ¤ ­­®¬ §­ ·¥­¨¨ n ¢®§¬®¦­» §­ ·¥­¨¿ m  ,n

- ³°®¢¥­¼ ¨¬¥¥² ¡¥±ª®­¥·­³¾ ª° ²­®±²¼ ¢»°®¦¤¥­¨¿. °¨ ³±«®¢¨¨, ¨§ ª®²®°®£® ­ µ®¤¨²±¿ ±¯¥ª²° · ±²¨¶», ´³­ª¶¨¿ F ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ¯®«¨­®¬. …±«¨ ­ ¯° ¢¨²¼ ®±¨ y; z ¢¤®«¼ ¢¥ª²®°®¢ E~; H~ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ²® ³¤®¡­® ¢»¡° ²¼ ¢¥ª²®°­»© ¯®²¥­¶¨ « ¢ ¢¨¤¥ A~ = (,Hy; 0; 0). °¨ ½²®¬ px ;pz ;n (x; y; z ) = (2h ),1 ei(px x+pz z)=h n (y + (px , vd )e=jej!c); 7.2.

2 2 Epx ;pz ;n = 2pz + px vd , v2 d + h!c (n + 12 );

n = 0; 1; 2; : : :;

£¤¥ n - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ n-£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ ®¤­®¬¥°­®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ± ¬ ±±®©  ¨ · ±²®²®© !c = jejH=c, e - § °¿¤ · ±²¨¶», vd = cE =H - ±ª®°®±²¼ ¤°¥©´  · ±²¨¶» ¢ ±ª°¥¹¥­­»µ ½«¥ª²°¨·¥±ª®¬ ¨ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¿µ. Ž¯¥° ²®° x-ª®¬¯®­¥­²» ±ª®°®±²¨ · ±²¨¶» ¨¬¥¥² ¢¨¤ v^x = p^x= + eHy=c. ‘°¥¤­¥¥ §­ ·¥­¨¥ ½²®© ¢¥«¨·¨­» ¢ ³ª § ­­®¬ ¢»¸¥ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ° ¢­® vd . ³¤¥¬ ¤«¿ ³¯°®¹¥­¨¿ ±·¨² ²¼, ·²® ° ¡®²  ¢»µ®¤  ½«¥ª²°®­  ¨§ ¬¥² ««  ®²±·¨²»¢ ¥²±¿ ®² ¤­  §®­» ¯°®¢®¤¨¬®±²¨, ²®£¤  ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢¤®«¼ ¬ £­¨²­®£® ¯®«¿ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥ £«³¡¨­®© U0 ¨ ¸¨°¨­®© d. ‡ ¤ ·  °¥¸ ¥²±¿ ¬¥²®¤®¬ ° §¤¥«¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ. „«¿ ±®±²®¿­¨© · ±²¨¶», «®ª «¨§®¢ ­­»µ ¢ ¯«¥­ª¥, ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ¢»° ¦¥­¨¿¬¨ (­¨¦¥ ®±¼ z ¯ ° ««¥«¼­  H~ ) En;k = h !c (n + 1=2) + Ek ; 7.3.

px ;n;k = (2h),1=2eipx x=h n(y + px e=jej!c)'k (z );

35

£¤¥ n = 0; 1; 2; : :: ; Ek; 'k(z) (k = 0; 1; : : :; kmax) - ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ¢ ®¤­®¬¥°­®© ¯®²¥­¶¨ «¼­®© ¿¬¥ £«³¡¨­®© U0 ¨ ¸¨°¨­®© d; ±¬»±« ¢¥«¨·¨­ !c; n ²®² ¦¥, ·²® ¨ ¢ § ¤ ·¥ 7.2. Š°®¬¥ ²®£®, ¨¬¥¾²±¿ ±®±²®¿­¨¿ ­¥¯°¥°»¢­®£® ±¯¥ª²° , ®¯¨±»¢ ¾¹¨¥ ² ª®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ · ±²¨¶», ª®£¤  ®­  ¯°®«¥² ¥² ±ª¢®§¼ ¯«¥­ª³. „®¯³±²¨¬, ·²® «®ª «¨§®¢ ­­®¥ ±² ¶¨®­ °­®¥ ±®±²®¿­¨¥ ±³¹¥±²¢³¥², ²®£¤  ¥£® ½­¥°£¨¿ E = ( ; H^ ) > 0, ² ª ª ª H^ = (^~p , eA~ (~r)=c)2=2. ®±ª®«¼ª³ H~ (~r) ! 0 ¯°¨ r ! 1, ²® ¬®¦­® ² ª ¢»¡° ²¼ ¢¥ª²®°­»© ¯®²¥­¶¨ «, ·²®¡» ®­ ±²°¥¬¨«±¿ ª ­³«¾ ¯°¨ r ! 1. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ r ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  ¯°¨¬¥² ¢¨¤ (2),1^~p2 = E , £¤¥ E > 0. Ž­® ®¯¨±»¢ ¥² ±¢®¡®¤­»¥ · ±²¨¶» ¨ ­¥ ¨¬¥¥² «®ª «¨§®¢ ­­»µ °¥¸¥­¨©, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¨±µ®¤­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾. ‚ ®±­®¢­®¬ ±®±²®¿­¨¨  ²®¬  ¢®¤®°®¤  ¯«®²­®±²¼ ²®ª , ±¢¿§ ­­®£® ± ¤¢¨¦¥­¨¥¬ ½«¥ª²°®­  ¡¥§ ±¯¨­ , ° ¢­  ­³«¾, ¯®½²®¬³ ° ¢­® ­³«¾ ¨ ±®§¤ ¢ ¥¬®¥ ² ª¨¬ ½«¥ª²°®­®¬ ¬ £­¨²­®¥ ¯®«¥. “°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¯«®±ª®£® °®² ²®°  ¢ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¥ ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ¢»° ¦¥­¨¥¬ Em = h 2m2=2I , Hm; m = 0; 1; 2; : : :. ‚®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ² ª¨¥ ¦¥, ª ª ¢ ®²±³²±²¢¨¥ ¬ £­¨²­®£® ¯®«¿. 7.4.

7.5.

7.6.

16.8.  §«¨·­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢ ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥

‚ ½­¥°£¥²¨·¥±ª®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ±²®«¡¥¶, ¢ ª®²®°®¬ ®²«¨·­» ®²,­³«¿ «¨¸¼ ¤¢  ½«¥¬¥­²  - ± ­®¬¥°®¬ n = 0 (½²®² ½«¥¬¥­² ° ¢¥­ ,21=21=2 exp(,ih22t=2ma22)) ¨ ± ­®¬¥°®¬ n = 2 (½²®² ½«¥¬¥­² ° ¢¥­ 2 exp(,i9h t=2ma )). ‚ ±®¡±²¢¥­­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ £ ¬¨«¼²®­¨ ­ ¤¨ £®­ «¥­: 2 2 n + 1)2 Hkn = h  2(ma k; n = 0; 1; 2; : ::; 2 kn ; £¤¥ kn - ±¨¬¢®« Š°®­¥ª¥° . ‚ ½­¥°£¥²¨·¥±ª®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ®¯¥° ²®°» x^; p^x ¨¬¥¾² ¢¨¤ p p xkn = (h=2m!)1=2( n + 1k;n+1 + nk;n,1); 8.1.

8.2.

p

p

pkn = i(hm!=2)1=2( n + 1k;n+1 , nk;n,1); £¤¥ k; n = 0; 1; 2; : : :

36

‚ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ®¯¥° ²®°  ^lz ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ - ¡¥±ª®­¥·­»© ±²®«¡¥¶, ¢ ª®²®°®¬ ®²«¨·­» ®² ­³«¿ «¨¸¼ ·¥²»°¥ ½«¥¬¥­²  - ± ­®¬¥° ¬¨ m = 3 (½²¨ ½«¥¬¥­²» ° ¢­» 20,,11==22exp(,i9ht=2I )) ¨ ± ­®¬¥° ¬¨ m = 1 (½²¨ ½«¥¬¥­²» ° ¢­» 3
20 exp(,iht=2I )). °¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ¨¬¯³«¼±­®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ±² ¶¨®­ °­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  ±² ­®¢¨²±¿  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¬ ¨ «¥£ª® °¥¸ ¥²±¿: ~(px) = (2h ),1=2(p2x=2m + jEj),1 (x = 0): ‡¤¥±¼ ~(px) - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢ ¨¬¯³«¼±­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨. ­¥°£¨¿ ±¢¿§ ­­®£® ±®±²®¿­¨¿ ­ µ®¤¨²±¿ ¨§ ³±«®¢¨¿ 8.3.

8.4.

(x = 0) = (2h),1=2

Z +1 ,1

~(px)dpx:

¥±² ¶¨®­ °­®¥ ®¤­®¬¥°­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  ¢ ¨¬¯³«¼±­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ @ ~ + eE cos !t @ ~ = , ip2x ~; 0 @t @px 2mh £¤¥ ~(px; t) - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢ ¨¬¯³«¼±­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨. ¥¸ ¿ ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¬¥²®¤®¬ µ ° ª²¥°¨±²¨ª, ¯®«³·¨¬   ~(px; t) = C (px0) exp , i (p2x0 + e2E202 )t , e2E302 sin2!t+ 2mh 2! 4! 8.5.

 2 p e E x 0 0 (1 , cos !t) ; +

!2 £¤¥ px0 = px , (eE0=!) sin !t; C (px0) - ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿  °£³¬¥­²  px0.

³±²¼ ¤¢¨¦¥­¨¥ · ±²¨¶» ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¥© (x; t) ¢ ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² xt ¨ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¥© 0 (x0; t0) ¢ ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² x0t0, ¤¢¨¦³¹¥©±¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ±¨±²¥¬» xt ±® ±ª®°®±²¼¾ V . ‚¥°®¿²­®±²¼ ®¡­ °³¦¨²¼ · ±²¨¶³ ¢ ¤ ­­®© ²®·ª¥ ¢ ¤ ­­»© ¬®¬¥­²0 ¢°¥¬¥­¨ ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ±¨±²¥¬»0 ª®®°¤¨­ ², ¯®½²®¬³ (x0; t0) ¨ (x; t0 ) ±¢¿§ ­» ±®®²­®¸¥­¨¥¬ (x0; t0) = 0 0 exp(i'(x; t)) (x; t), £¤¥ x = x + V t ; t = t ; '(x; t) - ­¥¨§¢¥±²­ ¿ 8.6.

37

¤¥©±²¢¨²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿. ®¤±² ¢¨¬ exp(i') ¢ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  ¤«¿ 0 ¨ ³·²¥¬ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  ¤«¿ ´³­ª¶¨¨ . °¨¤¥¬ ª ³° ¢­¥­¨¾ @ @' @' i(V + mh @' @x ) @x , (V @x + @t + 2 , i h @ 2 ' ) = 0: + 2hm ( @' ) @x 2m @x2 ®±ª®«¼ª³ ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥, ²® ¬®¦¥¬ ¯®²°¥¡®¢ ²¼, ·²®¡» ®¡° ¹ «±¿ ¢ ­³«¼ ¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°¨ , ¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°¨ @ =@x. ®«³·¥­­»¥ ³° ¢­¥­¨¿ «¥£ª® °¥¸ ¾²±¿ ¨ ¤ ¾² '(x; t) = ,mV x=h + mV 2t=2h + const: ¥±³¹¥±²¢¥­­³¾ ¯®±²®¿­­³¾ ¬®¦­® ®¯³±²¨²¼. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, 0 (x0 ; t0) = (x0 + V t0; t0) exp(,imV 2t0 =2h , imV x0 =h ): ¥°¥µ®¤¿ ¢ ¨¬¯³«¼±­®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥, ­ ©¤¥¬ ~0(p0; t0) = ~(p0 + mV; t0) exp(ip0V t0=h + imV 2t0=2h): ³±²¼ ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ (~r; t) ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¯®²¥­¶¨ « ¬ ~ ' ½«¥ª²°®¬ £­¨²­®£® ¯®«¿,   ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ 0 (~r; t) - ¯®²¥­A; ¶¨ « ¬ A~0 = A~ + rf; '0 = ' , (1=c)@f=@t. ®±ª®«¼ª³ ¢¥°®¿²­®±²¼ ®¡­ °³¦¨²¼ · ±²¨¶³ ¢ ²®·ª¥ ~r ¢ ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ t ­¥ 0§ ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ª «¨¡°®¢ª¨ ¯®²¥­¶¨ «®¢, ¢®«­®¢»¥0 ´³­ª¶¨¨ ; ¬®£³² ®²«¨· ²¼±¿ «¨¸¼ ´ §®¢»¬ ¬­®¦¨²¥«¥¬: (~r; t) = exp(i(~r; t)) (~r; t), £¤¥ (~r; t) - ¤¥©±²¢¨²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿. ‚»¢®¤ ³° ¢­¥­¨© ¤«¿ ´³­ª¶¨¨   ­ «®£¨·¥­ ¢»¢®¤³ ³° ¢­¥­¨© ¤«¿ ´³­ª¶¨¨ ' ¢ °¥¸¥­¨¨ § ¤ ·¨ 8.6. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³· ¥¬ (~r; t) = ef (~r; t)=hc. 8.7.

16.9. ‘² ¶¨®­ °­ ¿ ²¥®°¨¿ ¢®§¬³¹¥­¨©

®¯° ¢ª¨ ¯¥°¢®£® ¨ ¢²®°®£® ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ª ­¥¢®§¬³¹¥­­»¬ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨¬ ³°®¢­¿¬ ®±¶¨««¿²®°  ¨ ¯®¯° ¢ª¨ ¯¥°¢®£® ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ª ¢®«­®¢»¬ ´³­ª¶¨¿¬ n(0)(x) ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ° ¢­» ±®®²¢¥²±²¢¥­­® (0) 2 E02 (1) (x) = , qE0 d n (x) ; En(1) = 0; En(2) = , 2qm! ; n 2 m!2 dx 9.1.

38

£¤¥ q - § °¿¤ ®±¶¨««¿²®° . °¥¤±² ¢¨¬ ¯®¯° ¢ª³ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ª ½­¥°£¥²¨·¥±ª®¬³ ³°®¢­¾ ± ­®¬¥°®¬ n ¢ ¢¨¤¥ Za Za 1 1 (1) E = V (x)dx , V (x) cos 2(n + 1)x dx: 9.2.

n

a 0

a 0

a

…±«¨ V (x) - ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ¯®±«¥¤­¨© ¨­²¥£° « § ¢¥¤®¬® ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ ¯°¨ n ! +1 ¨§-§  ¡»±²°»µ ®±¶¨««¿¶¨© cos(2(n+ 1)x=a). ‚ ¯¥°¢®¬ ¯®°¿¤ª¥ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ¯®¯° ¢ª  ª ®±­®¢­®¬³ ½­¥°£¥²¨·¥±ª®¬³ ³°®¢­¾ ° ¢­  ­³«¾. ®¯° ¢ª  ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¢»° ¦¥­¨¥¬ Z 1 jVp;0j2dp; E (2) = 9.3.

0

E0(0) , Ep(0)

£¤¥ E0(0); 0(0)(x) - ½­¥°£¨¿ ¨ ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®±­®¢­®£® ±®±²®¿­¨¿ · ±²¨¶» ¢ -®¡° §­®© ¿¬¥ ¯°¨ E = 0 (±¬. °¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ 2.2); Ep(0) = p2 =2m; p(0) (x) - ­¥¢®§¬³¹¥­­»¥ ½­¥°£¨¿ ¨ ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ · ±²¨¶», ­ µ®¤¿¹¥©±¿ ¢ ±² ¶¨®­ °­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ­¥¯°¥°»¢­®£® ±¯¥ª²° ; Vp;0 =

Z +1 ,1

(0) (x)(,qE x) (0) (x)dx: 0

p

”³­ª¶¨¨ p(0)(x) ³¤®¡­® ¢»¡° ²¼ ·¥²­»¬¨ ¨ ­¥·¥²­»¬¨. ®±ª®«¼ª³ (0) 0(0) (x) - ·¥²­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ²® Vp;0 6= 0 «¨¸¼ ¤«¿ ­¥·¥²­»µ ´³­ª¶¨© (0) p (x), ª®²®°»¥ ­¥ "§ ¬¥· ¾²"  -¯®²¥­¶¨ «  ¨ ¨¬¥¾² ¢¨¤ p (x) = , 1 = 2 (h ) sin(px=h )(p > 0). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, Z +1 p2dp 5q 2 E 2 m ; 5 mq2 E 23 E0(2) = , 32 = , h   8h24 0 (p2 + h 22 )5 £¤¥  = m=h 2 (¨­²¥£° « ¯® p ¢»·¨±«¿¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¨¨ ¢»·¥²®¢). ‘®®²¢¥²±²¢¥­­® = 5q2m=4h24 = 5h2q2=16mjE0(0)j2. ‡ ¬¥­  ¯¥°¥¬¥­­»µ x~ = x; y~ = y; z~ = az=b ²° ­±´®°¬¨°³¥² ­¥¯°®­¨¶ ¥¬»© ½««¨¯±®¨¤ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ xyz ¢ ­¥¯°®­¨¶ ¥¬³¾ ±´¥°³ ° ¤¨³±  a ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ x~y~z~. °¨ ½²®¬ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  9.4.

39

¢ ¯¥°¢®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ¯® ¯ ° ¬¥²°³ (b , a)=a  1 ¯°¨­¨¬ ¥² ¢¨¤ 2 2 b , a) @ 2 , 2hm
~ + V^ = E ; V^ = h (ma @ z~2 ; £¤¥
~ - ®¯¥° ²®° ‹ ¯« ±  ¢ ¯¥°¥¬¥­­»µ x~y~z~. „«¿ ½­¥°£¨¨ ¨ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¨ ®±­®¢­®£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ · ±²¨¶» ¢­³²°¨ ­¥¯°®­¨¶ ¥¬®© ±´¥°» ° ¤¨³±  a ­ µ®¤¨¬ 2 2 p2 2 2 r~ 1 (0) E0(0) = 2hma 2 ; 0 (~r) = p2ar~ sin a ; r~ = x~ + y~ + z~ : “·¨²»¢ ¿, ·²® ¢ ±¨«³ ±´¥°¨·¥±ª®© ±¨¬¬¥²°¨¨ ´³­ª¶¨¨ 0(0)(~r) ( 0(0); @2 0(0) =@z~2) = (1=3)( 0(0);
~ 0(0)); ­ ©¤¥¬ E0 = E0(0) + E0(1) = E0(0)(1 , 2(b , a)=3a).  ¤¨³± ­¥¯°®­¨¶ ¥¬®© ±´¥°¨·¥±ª®© ¿¬», ¨¬¥¾¹¥© ²®² ¦¥ ®¡º¥¬, ·²® ¨ ½««¨¯±®¨¤, ° ¢¥­ a~ = (a2b)1=3 ' a(1 + (b , a)=3a), ¯®½²®¬³ ½­¥°£¨¿ ®±­®¢­®£®2 ±®±²®¿­¨¿ · ±²¨¶» ¢ ² ª®© ¿¬¥ ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢»° ¦¥­¨¥¬ E~0 = h 2=2ma~2 ' (h22=2ma2)(1,2(b,a)=3a) ¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± E0 . ¥°¢»© ¢®§¡³¦¤¥­­»© ³°®¢¥­¼ ¯«®±ª®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ° ±¹¥¯«¿¥²±¿ ­  ¤¢  ­¥¢»°®¦¤¥­­»µ ³°®¢­¿ E1; ' 2h!  h=2m!. "° ¢¨«¼­»¥" ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ­³«¥¢®£® ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ 1(0);(x; y) = 2,1=2( 1(x) 0(y)  0(x) 1(y)), £¤¥ 0; 1 - ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ­³«¥¢®£® ¨ ¯¥°¢®£® ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ®¤­®¬¥°­®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®° . ’¥®°¨¿ ¢®§¬³¹¥­¨© ¯°¨¬¥­¨¬  ¯°¨ =2m!2  1. ‚²®°®© ¢®§¡³¦¤¥­­»© ³°®¢¥­¼ ¯«®±ª®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ° ±¹¥¯«¿¥²±¿ ­  ²°¨ ³°®¢­¿: E1;k ' 3h! + kh =m! (k = 0; 1). Ž¯¥° ²®° ¢®§¬³¹¥­¨¿ ¨¬¥¥² ¢¨¤  2 2 3 b, V^ (r) = e0; (1=r , 3=2b + r =2b ); rr  > b; ¯°¨·¥¬ b  a (a - ° ¤¨³± ®° ).  §« £ ¿ ¯°¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¨ ° ¤¨ «¼­»¥ · ±²¨ ¢®«­®¢»µ ´³­ª¶¨© R20; R21 ¢ °¿¤ ¯® r=a  1, ­ ©¤¥¬, ·²® ¯¥°¢»© ¢®§¡³¦¤¥­­»© ³°®¢¥­¼  ²®¬  ¢®¤®°®¤  E2(0) = 9.5.

9.6.

40

,e2 =8a ° ±¹¥¯«¿¥²±¿ ­  ­¥¢»°®¦¤¥­­»© ³°®¢¥­¼ ± ½­¥°£¨¥© E2;l=0 ' E2(0) (1 , (2=5)(b=a)2) ¨ ²°¥µª° ²­® ¢»°®¦¤¥­­»© ³°®¢¥­¼ ± ½­¥°¨¥© E2;l=1 ' E2(0) (1 , (1=140)(b=a)4).

³±²¼ ®±¼ y ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¬¥² ««¨·¥±ª®© ¯«®±ª®±²¨. ®«¼ ®¯¥° ²®°  ¢®§¬³¹¥­¨¿ ¨£° ¥² ½­¥°£¨¿ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿ · ±²¨¶» ± § °¿¤®¬-¨§®¡° ¦¥­¨¥¬: V^ = ,q2=4(b , y). °¥¤¯®« £ ¿ ±¬¥¹¥­¨¥ ¶¥­²°  ª®«¥¡ ­¨© ¢ ±²®°®­³ ¬¥² ««¨·¥±ª®© ¯«®±ª®±²¨,   ² ª¦¥  ¬¯«¨²³¤³ ª®«¥¡ ­¨© ¬ «»¬¨ ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± b (½²¨ ³±«®¢¨¿ ¯°¨¢¥¤¥­» ­¨¦¥), ° §«®¦¨¬ V^ ¢ °¿¤ ¯® y=b ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ·«¥­®¢ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¢ª«¾·¨²¥«¼­®, ¯®±«¥ ·¥£® ­¥²°³¤­® ­ ©²¨ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ q2 )(n + 1 ) , q2 ; En ;n ' h !(n1 + 21 ) + h !(1 , 4m! 2 b3 2 2 4b £¤¥ n1 = 0; 1; 2; : : : ; n2 = 0; 1; : : :; n2max. ®«³·¥­­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢® ¯°¨ ¢»¯®«­¥­¨¨ ³±«®¢¨© q2 =4m!2 b3  1; (h(n2max + 1=2)=m!b2)1=2  1: ³¤¥¬ ®²±·¨²»¢ ²¼ ³£®« ¢° ¹¥­¨¿ °®² ²®°  ' ®² ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° , ®¯³¹¥­­®£® ¨§ ¶¥­²°  ¢° ¹¥­¨¿ ­  ¬¥² ««¨·¥±ª³¾ ¯«®±ª®±²¼, ²®£¤  ½­¥°£¨¿ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿ °®² ²®°  ± § °¿¤®¬-¨§®¡° ¦¥­¨¥¬ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ 2 2 2 2 2 2 2 V^ = , 4(b , qa cos ') ' , q4ba2 cos ' , q8ba3 cos 2' , 4q b , q8ba3 : ‡¤¥±¼ ³·²¥­» ±« £ ¥¬»¥ ­¥ ¢»¸¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¯® ¬ «®¬³ ¯ ° ¬¥²°³ a=b. °¨ ° ±·¥² µ ¯® ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ·«¥­», ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ V^ ¨ ­¥ § ¢¨±¿¹¨¥ ®² ', ¬®¦­® ®¯³±²¨²¼, ®­¨ ¤ ¾² ®¡¹¨© ±¤¢¨£ ¢±¥µ ½­¥°£¥²¨·¥±ª¨µ ³°®¢­¥©. ¥¢®§¬³¹¥­­»¥ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ¨ ¢®«­®¢»¥ ´³­ª¶¨¨ ±² ¶¨®­ °­»µ ±®±²®¿­¨© ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ´®°¬³« ¬¨ (0) ,1=2 E0(0) = 0; 0 (') = (2) ; 2 2 (0) (') = (2),1=2 exp(im'); m = 1; 2; 3; : ::: Em(0) = h 2mI ; m;  ¨¦­¨© ³°®¢¥­¼ ½­¥°£¨¨ ­¥¢»°®¦¤¥­, ¤«¿ ­¥£® ¢® ¢²®°®¬ ¯®°¿¤ª¥ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ­ µ®¤¨¬ 2 2 q2 a2I  q a E0 ' , 4b 1 + 2b2 + 3 2 : 4b h 9.7.

1

2

9.8.

41

‚±¥ ®±² «¼­»¥ ³°®¢­¨ ¢»°®¦¤¥­». „«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¯®¯° ¢®ª ª ª ¦¤®¬³ ¨§ ­¨µ ­ ¤® ±®±² ¢¨²¼ ±¥ª³«¿°­®¥ ³° ¢­¥­¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ¢® ¢²®°®¬ ¯®°¿¤ª¥ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ³·²¥­» ¯¥°¥µ®¤» ­  ³°®¢­¨ ± ½­¥°£¨¥©, ®²«¨·­®© ®² ½­¥°£¨¨ ¨­²¥°¥±³¾¹¥£® ­ ± ³°®¢­¿ (±¬.[5]; x39). ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨¬ 2 q2  3a2  5q4a2 I  h E1;1 ' 2I , 4b 1 + 4b2 + 4 2 ; 96b h 2 2 2 4 2 E1;2 ' h2I , 4q b 1 + 4ab2 , q a4 I2 ; 96b h 2 2 2 2 4 2 Em ' h 2mI , q4b 1 + 2ab2 + 4 q2 a I2 16b h (4m , 1) (m  2): 16.10. ¥±² ¶¨®­ °­ ¿ ²¥®°¨¿ ¢®§¬³¹¥­¨©

Ž²«¨·­» ®² ­³«¿ «¨¸¼ ¢¥°®¿²­®±²¨ ¯¥°¥µ®¤®¢ ¨§ n-£® ±®±²®¿­¨¿ ¢ (n + 1)-¥ ¨ (n , 1)-¥, ¯°¨·¥¬ 10.1.

q2E02 (n + 1)e,2! ; wn!n+1 = 2m h!3

q2 E02 ne,2! : wn!n,1 = 2m h!3

°¨¢¥¤¥­­»¥ ´®°¬³«» ¯°¨¬¥­¨¬» ¯°¨ wn!n+1 + wn!n,1  1. Ž²«¨·­» ®² ­³«¿ «¨¸¼ ¢¥°®¿²­®±²¨ ¯¥°¥µ®¤®¢ ¨§ ±®±²®¿­¨¿ ± ¯°®¥ª¶¨¥© ¬®¬¥­²  ¨¬¯³«¼±  hm ¢ ±®±²®¿­¨¿ ± ¯°®¥ª¶¨¥© h (m +1) ¨ h (m , 1), ¯°¨·¥¬  2   2,2 wm!m1 = dEh0 1 + hI m  21 : …±«¨ m 6= 0, ²® ² ª®¢» ¦¥(0)¯°¨ t !(0)+1 ¢¥°®¿²­®±²¨ ®¡­ °³¦¨²¼ ³ °®² ²®°  ½­¥°£¨¾ Ejm+1j ¨ Ejm,1j. …±«¨ m = 0, ²® ¯°¨ t ! +1 ¢¥°®¿²­®±²¼ ®¡­ °³¦¨²¼ ³ °®² ²®°  ½­¥°£¨¾ E1(0) ° ¢­  w(E1(0)) = 2w0!1. “±«®¢¨¥ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© wm!m+1 + wm!m,1  1. ³±²¼ § °¿¤ Q ¤¢¨¦¥²±¿ ¢¤®«¼ ¯°¿¬®© x = b, ²®£¤  ½­¥°£¨¿ ¥£® ½«¥ª²°®±² ²¨·¥±ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿ ± °®² ²®°®¬ ° ¢­  10.2.

10.3.

42

qQ(b2 + a2 , 2ab cos ' + v2 t2),1=2.  §« £ ¿ ½²® ¢»° ¦¥­¨¥ ¯® ¬ «®¬³ ¯ ° ¬¥²°³ a=b, ¯®«³·¨¬, ·²® ®¯¥° ²®° ¢®§¬³¹¥­¨¿ ¨¬¥¥² ¢¨¤ V^ ('; t) ' qQab cos '=(b2 + v2 t2 )3=2:

Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ¢ ¯¥°¢®¬ ¯®°¿¤ª¥ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© ¢®§¬®¦­» ¯¥°¥µ®¤» °®² ²®°  «¨¸¼ ¢ ±®±²®¿­¨¿ ± m = 1, ².¥. ± ½­¥°£¨¥© E1 = h 2 =2I . °¨ t ! +1 ¢¥°®¿²­®±²¼ ®¡­ °³¦¨²¼ ³ °®² ²®°  ½­¥°£¨¾ E1 ° ¢­   2 Z +1 exp(ih b=2Iv) 2 w(E1) = 21 qQa h bv j ,1 (1 +  2)3=2 d j : ˆ±±«¥¤®¢ ­¨¥  ±¨¬¯²®²¨ª¨ ¢µ®¤¿¹¥£® ±¾¤  ¨­²¥£° «  ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ ±ª®°®±²¿µ ¤¢¨¦¥­¨¿ § °¿¤  Q (hb=2Iv  1) w(E1) ' 2(a=b)2(qQ=h v)2 ; ¯°¨ ¬ «»µ ±ª®°®±²¿µ ¤¢¨¦¥­¨¿ (hb=2Iv  1) h b 2 h b w(E1) ' 2 ( ab )2( qQ hv ) Iv exp(, Iv ): ’®² ¦¥ °¥§³«¼² ² ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼, ³·¨²»¢ ¿, ·²® ¢µ®¤¿¹¨© ¢ w(E1) ¨­²¥£° « ° ¢¥­ 2 K1( ), £¤¥ K1 - ´³­ª¶¨¿ Œ ª¤®­ «¼¤  ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , = h b=2Iv, ¯°¨·¥¬ K1 ( ! 0) ' 1= ; K1 ( ! 1) ' (=2 )1=2 exp(, ): ”®°¬³«  ¤«¿ w(E1) ¯°¨¬¥­¨¬  ¯°¨ w(E1)  1. ¥¸¥­¨¥  ­ «®£¨·­® °¥¸¥­¨¾ § ¤ ·¨ 10.3. ³±²¼ § °¿¤ Q ¤¢¨¦¥²±¿ ¢¤®«¼ ¯°¿¬®© x = b, ²®£¤  ¢ ±¨«³ ¬ «®±²¨  ¬¯«¨²³¤» ª®«¥¡ ­¨© ®±¶¨««¿²®°  ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± b ®¯¥° ²®° ¢®§¬³¹¥­¨¿ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ V^ (x; t) ' qQbx=(b2 + v2 t2 )3=2: Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ®±¶¨««¿²®° ¬®¦¥² ¯¥°¥©²¨ «¨¸¼ ¢ ¯¥°¢®¥ ¢®§¡³¦¤¥­­®¥ ±®±²®¿­¨¥, ½­¥°£¨¿ ª®²®°®£® ° ¢­  E1 = 2h!, ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 2  !b  !b 2 2( qQ ) w(E1) = b2h !mv2 v K1 v ; 10.4.

43

£¤¥ K1 - ´³­ª¶¨¿ Œ ª¤®­ «¼¤  ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª . ”®°¬³«  ¯°¨¬¥­¨¬  ¯°¨ w(E1)  1. ‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ²¥®°¨¥© ¢®§¬³¹¥­¨© ¤«¿ ¯¥°¥µ®¤®¢ ¢ ­¥¯°¥°»¢­»© ±¯¥ª²°. °¥¤±² ¢¨¬ ®¯¥° ²®° ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿ · ±²¨¶» ± ¯¥°¥¬¥­­»¬ ¯®«¥¬ ¢ ¢¨¤¥ ^ ,i!t + F^ +ei!t; F^ = ,iqE0 x=2; V^ (x; t) = ,qE0 x sin !t = Fe ²®£¤  ¢¥°®¿²­®±²¼ ¯¥°¥µ®¤  · ±²¨¶» ¨§ ®±­®¢­®£® ±®±²®¿­¨¿ 0(x) ¢  -®¡° §­®© ¿¬¥ ¢ ±®±²®¿­¨¿ p (x) ­¥¯°¥°»¢­®£® ±¯¥ª²°  ¢ ¥¤¨­¨¶³ ¢°¥¬¥­¨ ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ´®°¬³«®© Z w1 = 2h j( p ; F^ 0 )j2 (Ep , E0 , h!)dp; £¤¥ E0; Ep - ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ½­¥°£¨¿ ®±­®¢­®£® ±®±²®¿­¨¿ ¨ ±®±²®¿­¨¿ ­¥¯°¥°»¢­®£® ±¯¥ª²° . ‚»° ¦¥­¨¿ ¤«¿ 0(x); E0 ¯°¨¢¥¤¥­» ¢ °¥¸¥­¨¨ § ¤ ·¨ 2.2. ‚ ª ·¥±²¢¥ ´³­ª¶¨© ­¥¯°¥°»¢­®£® ±¯¥ª²°  ¤®±² ²®·­® ¢§¿²¼ 2­¥·¥²­»¥ ´³­ª¶¨¨ p (x) = (h ),1=2 sin(px=h ); 0 < p < +1; Ep = p =2m (±¬. °¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ 9.3). ‚ °¥§³«¼² ²¥ ­ ©¤¥¬ 2 3=2 p w1 = 2(qEm0 )(hh!jE)40j h! , jE0j: ‚¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® · ±²¨¶  ª ¬®¬¥­²³ ¢°¥¬¥­¨ t ®±² ­¥²±¿ ±¢¿§ ­­®© ¢ ¯®«¥ ¿¬», ° ¢­  w0(t) = exp(,w1t). ‘³¹¥±²¢¥­­» «¨¸¼ ¯¥°¥µ®¤» · ±²¨¶» ¬¥¦¤³ "°¥§®­ ­±­»¬¨" ³°®¢­¿¬¨ (®±­®¢­»¬ ¨ ¯¥°¢»¬ ¢®§¡³¦¤¥­­»¬), ¯¥°¥µ®¤ ¬¨ ­  ¤°³£¨¥ ³°®¢­¨ ¬®¦­® ¯°¥­¥¡°¥·¼. ‚¥°®¿²­®±²¨ w0; w1 ®¡­ °³¦¨²¼ · ±²¨¶³ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¢ ®±­®¢­®¬ ¨ ¯¥°¢®¬ ¢®§¡³¦¤¥­­®¬ ±®±²®¿­¨¨ ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ´®°¬³« ¬¨ r 2 8 aF 2 2 2+ : ) w1 = 1 , w0 ' ( 92h ) sin t; = ( 98aF 2 h 4 ‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ²¥®°¨¥© ¢®§¬³¹¥­¨© ¤«¿ ¯¥°¥µ®¤®¢ ¢ ­¥¯°¥°»¢­®¬ ±¯¥ª²°¥ ¯®²®ª ®²° ¦¥­­»µ · ±²¨¶ ° ¢¥­  (p0 )2 p2  Z0 2  2 j®²° = h j( p ; U p )j  2m , 2m dp0; ,1 10.5.

10.6.

10.7.

0

44

£¤¥ p = p2mE=h; p(x) = (2h),1=2 exp(ipx=h) - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¯ ¤ ¾¹¨µ · ±²¨¶, p (x) = (2h),10 =2 exp(ip0x=h) - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®²° ¦¥­­»µ · ±²¨¶ ± ¨¬¯³«¼±®¬ p < 0. ”³­ª¶¨¨ p (x) ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¯®²®ª ¯ ¤ ¾¹¨µ · ±²¨¶ j¯ ¤ = p=2hm, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ª®½´´¨¶¨¥­² ®²° ¦¥­¨¿ ° ¢¥­ 2 R = m2 2 jU~ (, 2hp )j2; h p £¤¥ U~ (,2p=h) - ´³°¼¥-ª®¬¯®­¥­²  ¯®²¥­¶¨ «  U (x), ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¢®«­®¢®¬³ ·¨±«³ ,2p=h. “±«®¢¨¥ R  1 ¿¢«¿¥²±¿ ­¥®¡µ®¤¨¬»¬, ­® ­¥ ¿¢«¿¥²±¿, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ¤®±² ²®·­»¬ ¤«¿ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ²¥®°¨¨ ¢®§¬³¹¥­¨© (±¬.[2]; x45). ¥®¡µ®¤¨¬®, ·²®¡» ¯°¥¢ «¨°®¢ «¨ ®¤­®ª° ²­»¥ ¯°®¶¥±±» ° ±±¥¿­¨¿. ®½²®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢® R  1 ±«¥¤³¥² ¤®¯®«­¨²¼ ³±«®¢¨¥¬ pa=h < 1, £¤¥ a - µ ° ª²¥°­»© ¬ ±¸² ¡ ®¡« ±²¨, ¢ ª®²®°®© ¯®²¥­¶¨ « U (x) ®²«¨·¥­ ®² ­³«¿. ‚¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® · ±²¨¶  ®±² ­¥²±¿ ¢ ±¢¿§ ­­®¬ ±®±²®¿­¨¨, ° ¢­  w0 = 4~=( + ~)2.  ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ° §«¨·­»µ §­ ·¥­¨© ¨¬¯³«¼±  ¢»«¥²¥¢¸¥© · ±²¨¶» ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢»° ¦¥­¨¥¬ h)3 dp  = m2 : dw(p) = [p2( 2 + (h)2 ]2 ; h ²® ¢»° ¦¥­¨¥ ¯®«³·¥­® ¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨, ·²® ¿¬  ­¥ ¢«¨¿¥² ­  ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢»«¥²¥¢¸¥© · ±²¨¶», ¨ ¯®²®¬³ ±¯° ¢¥¤«¨¢® ¯°¨ ~  . ‚¥°®¿²­®±²¼ ¢®§¡³¦¤¥­¨¿ n-£® ±®±²®¿­¨¿ ®±¶¨««¿²®°  ° ¢­  Z +1 qE n wn = j n (x , m!2 ) 0 (x)dxj2 = n! e, ; n = 0; 1; 2; : ::; ,1 £¤¥ n - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ n-£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ ®¤­®¬¥°­®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®° , = q2E 2=2mh !3; q - § °¿¤ ®±¶¨««¿²®° . ¥°¥©¤¥¬ ¢ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ¤¢¨¦³¹³¾±¿ ¢¬¥±²¥ ± "²®·ª®© ¯®¤¢¥± " ®±¶¨««¿²®° , ¨ ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ´®°¬³«®© ¤«¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¨ ¯°¨ ² ª®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ (±¬.°¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ 8.6). ®«³·¨¬ 0

10.8.

10.9.

10.10.

wn = j

Z +1 ,1

n(x0 )e,imV x =h 0 (x0)dx0 j2 = 0

45

n e, ; n = 0; 1; 2; : : :; n!

£¤¥ n - ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ n-£® ±² ¶¨®­ °­®£® ±®±²®¿­¨¿ ®¤­®¬¥°­®£® £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®° , = mV 2=2h!. 16.11. Š¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¥

ˆ§ ¯° ¢¨«  ª¢ ­²®¢ ­¨¿ ®°  - ‡®¬¬¥°´¥«¼¤  ­ µ®¤¨¬ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ En = ,2mA2 =h2(n + 1=2)2; n = 0; 1; 2; : : : . ˆ§ ¯° ¢¨«  ª¢ ­²®¢ ­¨¿ ®°  - ‡®¬¬¥°´¥«¼¤  ­ µ®¤¨¬ ³°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ p 2 En = , U0 , h (np+ 1=2) ; n = 0; 1; : : :; nmax; 2ma £¤¥ nmax - ¶¥« ¿ · ±²¼ ·¨±«  p2mU0a=h , 1=2. ‚®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢ ®¡« ±²¨ 0 < x < b, £¤¥ b - ²®·ª  ¯®¢®°®²  · ±²¨¶» ± ½­¥°£¨¥© E (U~ (b) = E), ¨¬¥¥² ¢¨¤  Zx  (x) = C (p(x)),1=2 cos h1 p(x)dx + 4 ; b £¤¥ p(x) = [2m(E , U~ (x))]1=2. ˆ§ ³±«®¢¨¿ (0) = 0 ±«¥¤³¥² ¯° ¢¨«® ª¢ ­²®¢ ­¨¿ ®°  - ‡®¬¬¥°´¥«¼¤  11.1. 11.2.

11.3.

Zb 0

p(x)dx = h(n + 3=4);

n = 0; 1; 2; : : :

ˆ§ ¯° ¢¨«  ª¢ ­²®¢ ­¨¿, ¯®«³·¥­­®£® ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥© § ¤ ·¥, ­ µ®¤¨¬ En = 12 (92mg2 h 2)1=3 (n + 3=4)2=3; n = 0; 1; 2; : : :; £¤¥ g - ³±ª®°¥­¨¥ ±¢®¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨¿. “¤®¡­® ¢»¡° ²¼ ¢¥ª²®°­»© ¯®²¥­¶¨ « ° ¢­»¬ A~ = (,Hy; 0; 0) ¨ ¨±ª ²¼ ¢®«­®¢³¾ ´³­ª¶¨¾ ¢ ¢¨¤¥ (x; y; z) = (2h ),1ei(pxx+pz z)=h(y); (y  0) = 0: ‡ ¤ ·  ±¢®¤¨²±¿ ª ®¤­®¬¥°­®© ¨ °¥¸ ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯° ¢¨«  ª¢ ­²®¢ ­¨¿ ®°  - ‡®¬¬¥°´¥«¼¤ . “°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ²°¥¬¿ ª¢ ­²®¢»¬¨ ·¨±« ¬¨: px; pz; n (n =1=02; 1; 2; : ::). ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ §­ ·¥­¨¥ n. °¨ px > (2mh !c(n + 1=2)) , £¤¥ m - ¬ ±±  ½«¥ª²°®­ , 11.4.

11.5.

46

!c = jejH=mc - ¶¨ª«®²°®­­ ¿ · ±²®² , n-© ³°®¢¥­¼ ½­¥°£¨¨ ®¯¨±»¢ -

¥²±¿ ´®°¬³«®©

Epz ;n;px = p2z =2m + h!c (n + 1=2): °¨ px < (2mh!c(n + 1=2))1=2 §­ ·¥­¨¥ ½­¥°£¨¨ Epz ;n;px ­ µ®¤¨²±¿ ¨§ ³° ¢­¥­¨¿ (­¨¦¥ E~ = Epz;n;px , p2z =2m) s  2 2x  p p 2 p x x ~E 1 + arcsin p + p 1 , 2mE~ = 2h!c(n + 3=4):  2mE~  2mE~

‚ · ±²­®±²¨,

Epz ;n;px =0 = p2z =2m + 2h!c (n + 3=4): ’®, ·²® ¯°¨ "¬ «»µ" px @Epz ;n;px =@px 6= 0 ®§­ · ¥², ·²® ½«¥ª²°®­ ¤°¥©´³¥² ¢¤®«¼ £° ­¨¶» ¯®²¥­¶¨ «¼­®£® ¡ °¼¥° . ~ = (0; H(x)x; 0) ¨ 11.6. ‚»¡¥°¥¬ ¢¥ª²®°­»© ¯®²¥­¶¨ « ° ¢­»¬ A

¡³¤¥¬ ¨±ª ²¼ ¢®«­®¢³¾ ´³­ª¶¨¾ ¢ ¢¨¤¥ (x; y; z) = (2h ),1ei(py y+pz z)=h(x): ®«³·¨¬ ¤«¿ (x) ®¤­®¬¥°­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ˜°¥¤¨­£¥°  2 ~ (x); E~ = E , p2z ; ( 2p^mx + U (x))(x) = E 2m ± ½´´¥ª²¨¢­»¬ ¯®²¥­¶¨ «®¬ m 2 cpy =jejH1)2 ; x > 0, U (x) = m2 !!c21((xx + 2 2 c2 + cpy =jejH2) ; x < 0, £¤¥ !c1 = jejH1=mc; !c2 = jejH2=mc. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¯®²¥­¶¨ « U (x) ­¥¯°¥°»¢¥­ ¯°¨ x = 0. “°®¢­¨ ½­¥°£¨¨ ­ µ®¤¿²±¿ ¨§ ¯° ¢¨«  ª¢ ­²®¢ ­¨¿ ®°  - ‡®¬¬¥°´¥«¼¤  ¨ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ²°¥¬¿ ª¢ ­²®¢»¬¨ ·¨±« ¬¨: py ; pz ; n (n = 0; 1; 2; : : :). ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ §­ ·¥­¨¥ n, ²®£¤   2 m + h !c2 (n + 1=2); py > (2mh !c2 (n + 1=2))1=2, Epz ;n;py = ppz2 ==22m + h!c1(n + 1=2); py < ,(2mh !c1(n + 1=2))1=2. z ‚ ¨­²¥°¢ «¥ ,(2mh !c1(n + 1=2))1=2 < py < (2mh !c2(n + 1=2))1=2 47

¢¥«¨·¨­  Epz ;n;py - ª®°¥­¼ ³° ¢­¥­¨¿ (­¨¦¥ E~ = Epz ;n;py , p2z =2m) s



  ~E 1 + 2 !c1 , !c2 arcsin p py + p py 1 , p2y =  !c1 + !c2 2mE~ 2mE~ 2mE~

= !2hc1!+c1!!cc22 (n + 1=2):

°¨ "¬ «»µ" py @Epz ;n;py =@py 6= 0. ²® ®§­ · ¥², ·²® ½«¥ª²°®­, ­ µ®¤¿¹¨©±¿ ¢¡«¨§¨ £° ­¨¶» x = 0 ®¡« ±²¥© ± ° §«¨·­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ ¬ £­¨²­®£® ¯®«¿, ¤°¥©´³¥² ¢¤®«¼ ½²®© £° ­¨¶» ¢ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ ®±¨ y. ‡ ¯¨¸¥¬ ¢®«­®¢³¾ ´³­ª¶¨¾ ¤«¿ · ±²¨¶ ± ½­¥°£¨¥© E: p (x < 0) = eikx + Ae,ikx; k = 2mE=h ; 11.7.

s

Zx p k (x > 0) = B k(x) exp(i k(x0)dx0); k(x) = 2m(E , Fx)=h; 0

£¤¥ A; B - ­¥¨§¢¥±²­»¥ ª®½´´¨¶¨¥­²». ˆ§ ³±«®¢¨© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¨ ¨ ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­®© ¯°¨ x = 0 ­ µ®¤¨¬  ¬¯«¨²³¤³ ®²° ¦¥­­®© ¢®«­» A = i =(1 , i ); = hF=(128mE 3)1=2: ˆ§«®¬ ­¥±³¹¥±²¢¥­, ¥±«¨ jAj  1, ².¥. E  (h2F 2=2m)1=3=4. ‚ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°®§° ·­®±²¨ ¤«¿ · ±²¨¶ ± ½­¥°£¨¥© E ° ¢¥­  a r 2m  D(E ) ' exp , h U (U0 , E ) : 0 ²® ¢»° ¦¥­¨¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢®, ¥±«¨ ¢»¯®«­¿¾²±¿ ³±«®¢¨¿  h 2 U 2 1=3 1 D(E )  1; E  4 2ma02 (¢²®°®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ±«¥¤³¥² ¨§ °¥§³«¼² ²  § ¤ ·¨ 11.7). 11.8.

48

‚ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°®§° ·­®±²¨ ²°¥³£®«¼­®£® ¡ °¼¥°  ¤«¿ · ±²¨¶ ± ½­¥°£¨¥© E ° ¢¥­ p  p  D(E ) ' 4 E (UU0 , E ) exp , 4a3hU2m (U0 , E )3=2 : 0 0 Œ­®¦¨²¥«¼ ¯¥°¥¤ ½ª±¯®­¥­²®© ®¯¨±»¢ ¥² ®²° ¦¥­¨¥ · ±²¨¶ ®² ±ª ·ª  ¯®²¥­¶¨ « . ”®°¬³«  ±¯° ¢¥¤«¨¢ , ¥±«¨ ½ª±¯®­¥­²  ¬ «  ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¥¤¨­¨¶¥©. ‚ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°®§° ·­®±²¨ ¡ °¼¥°  ¤«¿ · ±²¨¶ ± ½­¥°£¨¥© E ° ¢¥­ p  4ap2mE r U E ( U , E ) 4 0 0 D(E ) ' exp , h U0 E , 1, 11.9.

11.10.

r

 , arctan UE0 , 1 :

Œ­®¦¨²¥«¼ ¯¥°¥¤ ½ª±¯®­¥­²®© ®¯¨±»¢ ¥² ®²° ¦¥­¨¥ · ±²¨¶ ®² ±ª ·ª  ¯®²¥­¶¨ « . ”®°¬³«  ±¯° ¢¥¤«¨¢ , ¥±«¨ ½ª±¯®­¥­²  ¬ «  ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¥¤¨­¨¶¥©. 16.12. ‚ °¨ ¶¨®­­»© ¬¥²®¤ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ±¯¥ª²°  12.1.

p

E1 ' 3h!.

‡­ ·¥­¨¿ ½­¥°£¨¨ ®±­®¢­®£® ±®±²®¿­¨¿ · ±²¨¶» ¢ ¯®«¥ ²¿¦¥±²¨, ¯®«³·¥­­»¥ ¯³²¥¬ ²®·­®£® °¥¸¥­¨¿ ³° ¢­¥­¨¿ ˜°¥¤¨­£¥°  (±¬.[1], § ¤ ·  2.8), ¢ °¨ ¶¨®­­»¬ ¬¥²®¤®¬ ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬ ¯°®¡­®© ´³­ª¶¨¨ 0(x) = Ax exp(,x) ( - ¢ °¨ ¶¨®­­»© ¯ ° ¬¥²°) ¨ ¢ ª¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨, ° ¢­» ±®®²¢¥²±²¢¥­­® E0;²®·­ ' 1:856(h2mg2 )1=3; E0;¢ ° = 1:55=3(h2 mg2 )1=3 ' 12.2.

' 1:966(h2 mg2 )1=3;

E0;ª¢ § ' 1:842(h2mg2 )1=3:

„«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ½­¥°£¨¨ ¯¥°¢®£® ¨ ¢²®°®£® ¢®§¡³¦¤¥­­»µ ³°®¢­¥© ±«¥¤³¥² ¢§¿²¼ ¯°®¡­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¢ ¢¨¤¥ 1 (x) = A1 x(x , a) exp(,1x); 49

2 (x) = A2 x(x , b)(x , c) exp(,2 x);

£¤¥ a; b; c - ­¥¨§¢¥±²­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ­³«¥© ¢®«­®¢»µ ´³­ª¶¨©, 1; 2 - ¢ °¨ ¶¨®­­»¥ ¯ ° ¬¥²°», A1; A2 - ¯®±²®¿­­»¥. 16.13. ‘¯¨­ 13.1.

Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§

sx

( sy ) ±®¡±²¢¥­­³¾ ´³­ª¶¨¾ ®¯¥° ²®° 

s^x (^sy ), ±®®²¢¥²±²¢³¾¹³¾ ±®¡±²¢¥­­®¬³ §­ ·¥­¨¾ sx (sy ), ²®£¤      1 1 1 1 : p p ; sx =1=2 = sy =1=2 =  1  2 2 i 13.2. …±«¨ ¢¥ª²®° ~ n µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿ ¯®«¿°­»¬ ³£«®¬  ¨  §¨¬³² «¼­»¬ ³£«®¬ ', ²®   ,i' s^n = (~^s;~n) = 21 ei'cossin  e , cossin  ; sn = ( sz =1=2; s^n sz =1=2) = (1=2) cos ; w(sn = ,1=2) = sin2 =2:

w(sn = 1=2) = cos2 =2; 13.3. a + b; a , b.

Š¢ ¤° ²» ¯°®¥ª¶¨© ½«¥ª²°®­­®£® ±¯¨­  ­  ®±¨ x; y; z ¬®£³² ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¨¬¥²¼ ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿, ² ª ª ª ®¯¥° ²®°» s^2x ; s^2y ; s^2z ª®¬¬³²¨°³¾² ¤°³£ ± ¤°³£®¬. °¨ ·¥²­»µ n (~a~^)n = an^1 (^1 - ¥¤¨­¨·­»© ®¯¥° ²®°), ¯°¨ ­¥·¥²­»µ n (~a~^)n = an,1(~a~^). ˆ±ª®¬»µ ´³­ª¶¨© ·¥²»°¥:         1 1 0 0 ; ; S =1;Sz =1 = 0 S =1;Sz =,1 = 1 1 0 2 1 1 2 13.4.

13.5.

13.6.

         1 1 0 0 1 p = S =1;Sz =0 2 0 1 1 2+ 1 1 0 2 ;

         1 1 0 , 0 1 : S =0;Sz =0 = p 2 0 1 1 2 1 1 0 2

50

ˆ­¤¥ª±» 1, 2 ®²­®±¿²±¿ ª ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®© · ±²¨¶ ¬. ³±²¼ S^~ - ®¯¥° ²®° ±³¬¬ °­®£® ±¯¨­  ¤¢³µ · ±²¨¶, ²®£¤    ^S~ 2 = 1 ~^1 + 1 ~^2 2 = 3 + 1 ~^1
~^2: 2 2 2 2 2 Ž¯¥° ²®° S~^ ¨¬¥¥² ¤¢  ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨¿ S(S +1), ° ¢­»¥ 0 ¨ 2. ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¨¬ ±®¡±²¢¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¿¢«¿¾²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ ¨ ¤«¿ ®¯¥° ²®°  ~^1
~^2, ¯°¨·¥¬ ®­¨ ®²¢¥· ¾² ±®¡±²¢¥­­»¬ §­ ·¥­¨¿¬ -3 ¨ 1 ½²®£® ®¯¥° ²®° . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® H^ = "=4 , ("=2)(^sx1 + s^x2)2, ¯®½²®¬³ ¤¢³¬ ±®¡±²¢¥­­»¬ ´³­ª¶¨¿¬ ®¯¥° ²®°  s^x1 + s^x2, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ±®¡±²¢¥­­®¬³ §­ ·¥­¨¾ sx1 + sx2 = 0, ±®®²¢¥²±²¢³¥² ±®¡±²¢¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ ®¯¥° ²®°  H^ , ° ¢­®¥ "=4; ¤¢³¬ ±®¡±²¢¥­­»¬ ´³­ª¶¨¿¬ ®¯¥° ²®°  s^x1 +^sx2, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ §­ ·¥­¨¿¬ sx1 + sx2 = 1, ±®®²¢¥²±²¢³¥² ±®¡±²¢¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ H^ , ° ¢­®¥ ,"=4. ‚§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¥ · ±²¨¶» ± ¬ £­¨²­»¬ ¯®«¥¬ ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ®¯¥° ²®°®¬ V^ = ,(~^ ; H~ ). ‚°¥¬¥­­»¥ § ¢¨±¨¬®±²¨ ±¯¨­®¢®© ¢®«­®¢®© ´³­ª¶¨¨ ¨ ±°¥¤­¨µ §­ ·¥­¨© ª®¬¯®­¥­² ±¯¨­  ¨¬¥¾² ¢¨¤   (0) exp( i!t ) 1 (t) = 2(0) exp(,i!t) ; ! = H=h; 13.7.

13.8.

13.9.

sx (t) = sx (0) cos 2!t + sy (0)sin 2!t; sy (t) = sy (0) cos 2!t , sx (0)sin 2!t:

13.10.

~ ~^ ]. °¨ ³±°¥¤­¥­¨¨ (¢ ª¢ ­²®¢®¬¥µ ­¨·¥±~^_ = ,(2=h)[H

ª®¬ ±¬»±«¥) ®²±¾¤  ±«¥¤³¥² ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¥¶¥±±¨¨ ¬ £­¨²­®£® ¬®¬¥­² . 16.14. ’®¦¤¥±²¢¥­­®±²¼ · ±²¨¶

 ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°®¿²­®±²¥© ª®®°¤¨­ ² ®¤­®© · ±²¨¶» ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢»° ¦¥­¨¥¬ dw(~r1) = 12 (j 1(~r1)j2 + j 2 (~r1)j2)d3~r1: 14.1.

51

Ž¤­  · ±²¨¶  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ¯®«³¯°®±²° ­±²¢¥ z  0 ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1=2, ®¡¥ · ±²¨¶» - ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1 + j Z +1 dz1 Z +1 Z +1 dx1dy1 1(~r1) (~r1)j2  1 : 2 4 0 4 ,1 ,1 Ž²¢¥²» ­  ¯¥°¢»¥ ¤¢  ¢®¯°®±  ² ª¨¥ ¦¥, ª ª ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥© § ¤ ·¥. Ž¡¥ · ±²¨¶» ­ µ®¤¿²±¿ ¢ ¯®«³¯°®±²° ­±²¢¥ z  0 ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1 , j Z +1 dz1 Z +1 Z +1 dx1dy1 1(~r1) (~r1)j2  1 : 2 4 0 4 ,1 ,1 ³±²¼ (snz ) - ±¯¨­®¢ ¿ ¢®«­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ n-© · ±²¨¶» (n = 1; 2; 3), ±®®²¢¥²±¢³¾¹ ¿ ¯°®¥ª¶¨¨ ±¯¨­  ­  ®±¼ z, ° ¢­®© sz (sz = 1; 0; ,1). ‘³¹¥±²¢³¾² ²°¨ ±®±²®¿­¨¿, ª®£¤  ¢±¥ · ±²¨¶» ¨¬¥¾² ®¤¨(2) (3) ­ ª®¢»¥ §­ ·¥­¨¿ sz , ­ ¯°¨¬¥°, (1) 1 1 1 ; ¸¥±²¼ ±®±²®¿­¨©, ª®£¤  ¤¢¥ · ±²¨¶» ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ §­ ·¥­¨¿ sz , ­ ¯°¨¬¥°, (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) p1 ((1) 3 1 0 0 + 0 1 0 + 0 0 1 ); ®¤­® ±®±²®¿­¨¥, ª®£¤  ³ ¢±¥µ · ±²¨¶ §­ ·¥­¨¿ sz ° §«¨·­»: (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) p1 ((1) 6 1 0 ,1 + 1 ,10 + 0 1 ,1+ 14.2.

14.3.

(2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) +(1) 0 ,1 1 + ,1 1 0 + ,1 0 1 ): 16.15. ®°­®¢±ª®¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¥ ¢ ²¥®°¨¨ ° ±±¥¿­¨¿

 )€¬¯«¨²³¤  ° ±±¥¿­¨¿ f () ­  ³£®«  ¨ ¯®«­®¥ ±¥·¥­¨¥ ° ±±¥¿­¨¿  ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ¢»° ¦¥­¨¿¬¨ 15.1.

f () = , 2 mR sin(2k0R sin 2 ); h k0 sin =2

2 Z 1 1 2  p8mE  4 m ( R ) sin h R d; = h 2 E 0 

52

£¤¥ k0 = p2mE=h; E - ½­¥°£¨¿ ¯ ¤ ¾¹¨µ · ±²¨¶. °¨ ¬ «»µ ½­¥°£¨¿µ (k0R  21) 2¯®«­®¥ ±¥·¥­¨¥ ° ±±¥­¨¿ ­¥ § ¢¨±¨² ®² ½­¥°£¨¨:  ' 16(mR =h )2 . °¨ ¡®«¼¸¨µ ½­¥°£¨¿µ (k0R  1) ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­²¥£° «  ¡»±²°® ®±¶¨««¨°³¥², ­® § ¬¥­¿²¼ ¥¥ ±°¥¤­¨¬ §­ ·¥­¨¥¬ ­  ¢±¥¬ ¨­²¥°¢ «¥ 0 <  < 1 ­¥«¼§¿, ² ª ª ª ¨­²¥£° « ¯°¨ ½²®¬ ° §®©¤¥²±¿ ­  ­¨¦­¥¬ ¯°¥¤¥«¥.  §®p ¡¼¥¬ ¨­²¥£° « ­  ¤¢  ¯® ®¡« ±²¨ 0 <  <  h = 8 mER p ¨ ¯® ®¡« ±²¨ p h = 8mER <  < 1. ‚ ¯¥°¢®© ¨§ ­¨µ § ¬¥­¨¬ sin( 8mER= p h ) §­ ·¥­¨¥¬  °£³¬¥­²  ½²®© ´³­ª¶¨¨, ¢® ¢²®°®© § ¬¥­¨¬ sin2( 8mER=h ) ±°¥¤­¨¬ §­ ·¥­¨¥¬, ².¥. 1=2. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨¬ 2 2 ): (E ) ' m(2R) (2 + ln 8mER h E h 2 °¨ ¬ «»µ ½­¥°£¨¿µ (k0R  1) ¡®°­®¢±ª®¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¥ ¯°¨¬¥­¨¬®, ¥±«¨ mjjR=h2 2 1. °¨ ¡®«¼¸¨µ ½­¥°£¨¿µ (k0R  1) ®­® ¯°¨¬¥­¨¬®, ¥±«¨ mjj=h k0  1. 2mR2 ¡ )f () = , 2 h (1 + (2k0R sin =2)2) ;  2 2 1  = 16 mR h2 1 + 4k02R2 :

“±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¡®°­®¢±ª®£® ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ² ª®¢»: jjmR=h 2  1 ¯°¨ k0R  1; jjm=h2k0  1 ¯°¨ k0R  1: 3 ¢)f () = 2mU20 R F1(2k0R sin 2 ); h 32  = 2(mU40 R ) F2(k0R); h

53

£¤¥

F1 ( ) =  ,2 (cos  ,  ,1 sin  ); 2

 sin 2 F2() = 12 (1 , 412 (1 , sin4 2 + 42 )):

‚ ¯°¥¤¥«¼­»µ ±«³· ¿µ ¯®«³· ¥¬

8  2 > < 16 mU02R3 ; E  h2 2 , 2mR h '> 9 2 2 : m(U20 R ) ; h2 2 . E  2mR h E

“±«®¢¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¡®°­®¢±ª®£® ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ² ª®¢»: jU0 jmR2=h 2  1 ¯°¨ k0 R  1; jU0jmR=h2k0  1 ¯°¨ k0R  1:

15.2.

­¥°£¨¿ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿ ½«¥ª²°®­  ±  ²®¬®¬ ¢®¤®°®¤  ° ¢­  1 1 2 + exp(, 2r ); U (r) = e'(r) = ,e r

a

a

£¤¥ '(r) - ½«¥ª²°®±² ²¨·¥±ª¨© ¯®²¥­¶¨ «  ²®¬ , ­ ©¤¥­­»© ¢ § ¤ ·¥ 6.3, a - ° ¤¨³± ®° . ‚ ¡®°­®¢±ª®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ­ µ®¤¨¬  ¬¯«¨²³¤³ ° ±±¥¿­¨¿ a sin =2)2 ) ; k = p2mE=h: f () = 2(4a(8++(2(2k ka0sin =2)2 )2 0 0 ‘¥·¥­¨¥ ° ±±¥¿­¨¿ ¡»±²°»µ ½«¥ª²°®­®¢ (k0a  1) ° ¢­®  ' 7=3k02. ®±ª®«¼ª³ µ ° ª²¥°­®¥ §­ ·¥­¨¥ ° ±±¥¨¢ ¾¹¥£® ¯®²¥­¶¨ «  ¯®°¿¤ª  e2 =a,   ¥£® ° ¤¨³± ¤¥©±²¢¨¿ ¯®°¿¤ª  a, ²® ¤«¿ ¡»±²°»µ ½«¥ª²°®­®¢ ³±«®¢¨¥ ¯°¨¬¥­¨¬®±²¨ ¡®°­®¢±ª®£® ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ±¢®¤¨²±¿ ª ­¥° ¢¥­±²¢³ k0a  1. 54

‹ˆ’…€’“€

1. ‚.Œ.ƒ «¨¶ª¨©, .Œ.Š °­ ª®¢, ‚.ˆ.Š®£ ­. ‡ ¤ ·¨ ¯® ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥. ˆ§¤. 2-¥. Œ.:  ³ª , 1992. 2. ‹.„.‹ ­¤ ³, ….Œ.‹¨´¸¨¶. Š¢ ­²®¢ ¿ ¬¥µ ­¨ª . ¥°¥«¿²¨¢¨±²±ª ¿ ²¥®°¨¿. ˆ§¤. 4-¥. Œ.:  ³ª , 1989. 3. ‡.”«¾££¥. ‡ ¤ ·¨ ¯® ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥. ’. 1, 2. Œ.: Œ¨°, 1974. 4. „.®¬. Š¢ ­²®¢ ¿ ²¥®°¨¿. ˆ§¤. 2-¥. Œ.:  ³ª , 1965. 5. .”¥©­¬ ­, €.•¨¡±. Š¢ ­²®¢ ¿ ¬¥µ ­¨ª  ¨ ¨­²¥£° «» ¯® ²° ¥ª²®°¨¿¬. Œ.: Œ¨°, 1968. 6. •.ƒ°¨­. Œ ²°¨·­ ¿ ª¢ ­²®¢ ¿ ¬¥µ ­¨ª . Œ.: Œ¨°, 1968.

55

Žƒ‹€‚‹…ˆ…

1. Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ¯¯ ° ² ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¨ .. .... .... ... .... 3 2. Ž¤­®¬¥°­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ... .... ... .... .... .... ... .... .... .... .... .. 5 2.1. ‘² ¶¨®­ °­»¥ ±®±²®¿­¨¿ ¤¨±ª°¥²­®£® ±¯¥ª²°  ..... .... .... 5 2.2. Ž²° ¦¥­¨¥ ®² ¯®²¥­¶¨ «¼­»µ ¡ °¼¥°®¢ . ....... .... .... .... . 6 3. ƒ °¬®­¨·¥±ª¨© ®±¶¨««¿²®° ... .... .... .... .... ... .... .... .... ... 7 4. „¢¨¦¥­¨¥ ¢®«­®¢»µ ¯ ª¥²®¢ .. .... .... ... .... .... .... ... .... .... 8 5. Œ®¬¥­² ¨¬¯³«¼±  .. ....... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... 9 6. „¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¶¥­²° «¼­®¬ ¯®«¥ ....... .... ... .... .... .... .... ... 10 7. „¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¥ .... .... ... .... .... .... .... ... .... . 11 8.  §«¨·­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢ ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥ ... ... .... .... 11 9. ‘² ¶¨®­ °­ ¿ ²¥®°¨¿ ¢®§¬³¹¥­¨© ...... .... .... ... .... .... .... 12 10. ¥±² ¶¨®­ °­ ¿ ²¥®°¨¿ ¢®§¬³¹¥­¨© .. .... .... ... .... .... .... 13 11. Š¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¥ .... .... .... ... .... .... .... .. 15 12. ‚ °¨ ¶¨®­­»© ¬¥²®¤ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ±¯¥ª²°  . ... .... .... .... ... 17 13. ‘¯¨­ .. ... .... .... .... ... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... 17 14. ’®¦¤¥±²¢¥­­®±²¼ · ±²¨¶ ...... .... .... .... ... .... .... .... ... . 18 15. ®°­®¢±ª®¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¥ ¢ ²¥®°¨¨ ° ±±¥¿­¨¿ . .... .... .... ... 18 16. Ž²¢¥²» ...... .... .... ... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... 19 16.1. Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ¯¯ ° ² ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¨ ... .... .... 19 16.2. Ž¤­®¬¥°­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ....... .... .... .... ... .... .... .... .. 22 16.3. ƒ °¬®­¨·¥±ª¨© ®±¶¨««¿²®° ..... ... .... .... .... ... .... .... 27 16.4. „¢¨¦¥­¨¥ ¢®«­®¢»µ ¯ ª¥²®¢ ....... .... ... .... .... .... .... 30 16.5. Œ®¬¥­² ¨¬¯³«¼±  ... ....... .... .... .... ... .... .... .... ... . 31 16.6. „¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¶¥­²° «¼­®¬ ¯®«¥ ....... .... .... ... .... .... .. 32 16.7. „¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¬ £­¨²­®¬ ¯®«¥ .... .... .... ... .... .... .... ... 34 16.8.  §«¨·­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢ ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥ ...... .. 36 16.9. ‘² ¶¨®­ °­ ¿ ²¥®°¨¿ ¢®§¬³¹¥­¨© .. .... ... .... .... .... .. 38 16.10. ¥±² ¶¨®­ °­ ¿ ²¥®°¨¿ ¢®§¬³¹¥­¨© ...... .... .... ... ... 42 16.11. Š¢ §¨ª« ±±¨·¥±ª®¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¥ .... .... .... .... ... .... . 46 16.12. ‚ °¨ ¶¨®­­»© ¬¥²®¤ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ±¯¥ª²°  ..... ... .... .. 49 16.13. ‘¯¨­ .. .... ... .... .... .... ... .... .... .... ... .... .... .... .. 50 16.14. ’®¦¤¥±²¢¥­­®±²¼ · ±²¨¶ ... ....... .... .... .... ... .... ... 51 16.15. ®°­®¢±ª®¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¥ ¢ ²¥®°¨¨ ° ±±¥¿­¨¿ . .... .... .. 52 ‹¨²¥° ²³°  .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... ... .... .... .... .. 55 Ž£« ¢«¥­¨¥ . ... .... .... .... .... ... .... .... .... ... .... .... .... .... . 56 56

‡ ¤ ·¨ ¯® ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥ ‘®±² ¢¨²¥«¼ ‚³£ «¼²¥° ƒ°¨£®°¨© €¡° ¬®¢¨·

®¤¯¨± ­® ª ¯¥· ²¨ . ”®°¬ ² 60x84 1/16. ¥· ²¼ ®´±¥²­ ¿. ³¬ £  ®¡¥°²®·­ ¿. “±«. ¯¥·. «. 3. ’¨° ¦ 100 ½ª§. ‡ ª § . ¥±¯« ²­®. ¨¦¥£®°®¤±ª¨© £®±³¤ °±²¢¥­­»© ³­¨¢¥°±¨²¥² ¨¬. .ˆ. ‹®¡ ·¥¢±ª®£® 603600 ƒ‘-20, . ®¢£®°®¤, ¯°®±¯. ƒ £ °¨­ , 23. ’¨¯®£° ´¨¿ ƒ“. 603000, . ®¢£®°®¤, ³«. . ®ª°®¢±ª ¿, 37.