Нелинейная динамика дискретных систем фазовой синхронизации(Диссертация)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова

На правах рукописи УДК 621.396

Казаков Леонид Николаевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

Специальность: 05.12.13 – Системы и устройства радиотехники и связи

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант: Лауреат Государственной премии СССР, Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Б.И.Шахтарин

Москва 2000

-2Оглавление Введение..................................................................................................................... 5 Глава 1. Математическое описание объекта исследований.................................. 20 1.1. Обобщенные математические модели дискретных однокольцевых СФС ................................................................................................................ 21 1.1.1. Импульсные СФС ............................................................................... 22 1.1.2. Цифровые СФС ................................................................................... 25 1.1.3. Импульсно-цифровые СФС ............................................................... 30 1.2. Обобщенные математические модели связанных и комбинированных дискретных СФС .......................................................... 32 1.2.1. Особенности построения математических моделей СФС с несколькими временными дискретами........................................... 32 1.2.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями ...................................................................................... 34 1.2.3. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты в выходном кольце ................................................................................................. 42 1.2.4. Комбинированные импульсно-цифровые системы частотнофазовой автоподстройки .................................................................. 45 1.3. Математические модели дискретных СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки ....................................................... 49 1.3.1. Импульсная СФС 2-го порядка без привязки фазы......................... 54 1.3.2. Импульсная СФС 2-го порядка с привязкой фазы .......................... 55 1.4. Выводы ............................................................................................................ 57 Глава 2. Нелинейные процессы в дискретных СФС второго порядка ................ 59 2.1. Качественные методы анализа процессов на фазовом цилиндре. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек ............................................................................................................... 60 2.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений................................................................. 78 2.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью ................................ 78 2.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью ................................... 89 2.3. Нелинейные процессы в кусочно-линейных СФС ..................................... 98 2.3.1. Анализ установившихся движений в СФС с пилообразной нелинейностью .............................................................................................. 98 2.3.2. Устойчивость дискретной СФС с треугольной нелинейностью ... 104 2.3.3. Переходные режимы........................................................................... 109

-32.4. Использование качественно-численных методов для анализа дискретных СФС с синусоидальной нелинейностью ............................... 115 2.4.1. Особенности методики расчета бифуркационных параметров неподвижных точек гладких отображений ................................................ 115 2.4.2. Анализ областей существования установившихся движений в СФС с синусоидальной нелинейностью. Устойчивость........................... 120 2.5. Применение качественных методов для анализа эффектов квантования в цифровых СФС .................................................................... 128 2.6. Использование качественно-аналитических методов для анализа неавтономных дискретных СФС ................................................................. 142 2.6.1. Методика расчета областей существования установившихся движений при периодическом по частоте воздействии............................ 142 2.6.2. Устойчивость режима слежения в СФС 2-го порядка при пилообразном и гармоническом воздействиях .......................................... 151 2.7. Применение метода гармонической линеаризации для анализа периодических движений дискретных СФС.............................................. 158 2.8. Выводы ............................................................................................................ 165 Глава 3. Нелинейная динамика кусочно-линейных дискретных СФС третьего порядка ........................................................................................... 169 3.1. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек кусочно-линейных отображений 3-го порядка ............................... 170 3.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений................................................................. 175 3.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью ................................ 175 3.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью ................................... 185 3.3. Установившиеся процессы в импульсной СФС с колебательным звеном ............................................................................................................. 191 3.4. Применение метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости СФС 3-го порядка ................................................................. 201 3.5. Выводы ............................................................................................................ 211 Глава 4. Некоторые вопросы исследования динамики двухкольцевых СФС тороидального типа....................................................................................... 213 4.1. Бифуркации неподвижных точек кусочно-линейных отображений с двумя временными дискретами. Эквивалентные линейные модели....... 214 4.2. Особенности методики анализа устойчивости дискретных СФС тороидального типа с двумя временными дискретами............................. 228

-44.3. Устойчивость связанных и комбинированных систем синхронизации ... 236 4.3.1. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты .......................... 236 4.3.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями .................................................................................................. 251 4.3.3. Импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки ..................................................................................... 256 4.4. Выводы ............................................................................................................ 263 Глава 5. Устойчивость дискретных СФС с циклическим прерыванием автоподстройки ............................................................................................. 266 5.1. Линейные модели дискретных СФС с циклическим прерыванием автоподстройки ............................................................................................. 267 5.2. Методика анализа устойчивости дискретных СФС с разрывным временем ........................................................................................................ 271 5.3. Анализ установившихся движений в СФС с прерыванием различного типа............................................................................................. 282 5.4. Особенности применения метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости систем с разрывным временем.................................. 293 5.4.1. Эквивалентная модель приведенной линейной части СФС........... 293 5.4.2. Расчет областей существования периодических движений ........... 297 5.5. Выводы ............................................................................................................ 301 Глава 6. Практическая реализация и экспериментальные исследования устройств на основе дискретных СФС ....................................................... 304 синтезатор частоты 6.1. Быстродействующий широкополосный метрового диапазона на основе комбинированной системы частотно-фазовой автоподстройки.............................................................. 305 6.2. Возбудитель ЧМ-колебаний дециметрового диапазона для аппаратуры передачи телевизионных сигналов ........................................ 309 6.3. Синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе двухкольцевой импульсной СФС ............................................................... 317 6.4. Цифровой синхронно-фазовый демодулятор с многоуровневым квадратурным АЦП на входе....................................................................... 325 6.5. Выводы ............................................................................................................ 333 Заключение ................................................................................................................ 335 Список литературы ................................................................................................... 340 Приложение ............................................................................................................... 356

-5ВВЕДЕНИЕ Актуальность работы Развитие современных систем и устройств радиотехники и связи, техники управления,

радиолокации

и

навигации,

радио

и

информационно-

измерительных комплексов невозможно без широкого применения систем фазовой синхронизации (СФС). Круг задач, решаемых этими системами, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, синтез сетки высокостабильных

частот,

стабилизация

частот

генераторов

различных

диапазонов [1-14]. В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой

синхронизации

с

элементами

дискретизации,

что

связано

с

совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств на их основе. Выбором структуры колец и входящих в них узлов появилась возможность

создавать

варианты

систем,

обладающих

требуемыми

характеристиками по точности и надежности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции. За счет усложнения режимов работы колец стало реальностью создание гибких алгоритмов обработки информации, оптимизации параметров и характеристик [15-25]. Возможности дискретных технологий привели фактически к новым классам СФС. К числу их относятся связанные и комбинированные системы синхронизации. В состав их могут входить несколько колец фазовой синхронизации с перекрестными связями между кольцами, кольца слежения за фазой

и

задержкой,

за

фазой

и

частотой

[14].

Примером

служат

многокольцевые цифровые синхронно-фазовые демодуляторы, перекрестные связи

в

которых

отслеживаемого Многокольцевые

позволяют

параметра

по

импульсные

значительно

поднять

сравнению системы

с

фазовой

точность

оценки

однокольцевыми синхронизации

[7]. и

-6многокольцевые

импульсно-цифровые

системы

частотно-фазовой

автоподстройки получили большую популярность в технике частотного синтеза [17,19,20,41,42]. Введение дополнительных связей между кольцами позволяет поднять эффективность устройств на их основе: повысить быстродействие, расширить область устойчивой работы, диапазон синтезируемых частот. Подобные связанные системы образуют класс систем тороидального типа, особенностью которых является наличие нескольких периодов дискретизации. К числу новых относятся дискретные системы фазовой синхронизации с циклическим прерыванием режима автоподстройки [26-29]. С помощью таких систем

можно

эффективно

решать

такие

задачи,

как

создание

высокоэкономичных синтезаторов частоты, систем многочастотного синтеза, возбудителей ЧМ и ФМ колебаний, систем обработки информации с временным разделением каналов, систем обработки информации в условиях длительного пропадания входного сигнала. Подобные системы образуют класс цилиндрических дискретных систем с разрывным временем. Дискретные системы синхронизации - существенно нелинейные системы с множеством устойчивых состояний равновесия, в общем случае, с несколькими устойчивыми периодическими и квазипериодическими движениями различных типов, со сложным, порой непредсказуемым поведением при больших расстройках по частоте. Знание характеристик таких предельных режимов, умение управлять ими является необходимым при разработке как самих систем синхронизации, так и устройств на их основе. Основными динамическими характеристиками СФС являются параметры и области существования состояний равновесия и других установившихся движений, области устойчивости в малом, в большом и в целом, параметры переходных процессов. Знание области параметров, в которой система устойчива в целом, решает проблему надежности ее функционирования. Обеспечение

надежного

функционирования

в

условиях

отсутствия

устойчивости в целом за счет управления начальным либо промежуточным состоянием позволяет найти компромиссное решение при разработке систем с учетом

противоречивости

основных

характеристик.

Знание

параметров

переходных процессов позволяет решить проблему быстродействия. Большинство задач по отысканию перечисленных характеристик даже применительно к традиционным однокольцевым системам второго порядка имеют в лучшем случае приближенное решение. Причина состоит в отсутствии

-7достаточно

эффективных

строгих

методов

исследования

нелинейных

разностных уравнений, описывающих анализируемые модели. Если теория аналоговых систем синхронизации сегодня близка к завершению, то теория дискретных систем, несмотря на повышенное внимание к ней, развита существенно в меньшей степени. Большое влияние на ее оказали работы М.И.Жодзишского, В.Н.Кулешова, В.В.Шахгильдяна, А.К.Макарова, С.К.Романова, Б.И.Шахтарина, А.В.Пестрякова, В.Н.Белыха, В.П.Сизова, Г.А.Леонова, М.С.Гаврилюка, В.Линдсея, Д.Холмса, Д.Джилла, Х.Осборна, С.Гупты. К настоящему времени детально исследованы и получены точные характеристики нелинейных режимов для дискретных систем первого порядка и в некоторых специальных случаях для автономных систем второго порядка с фиксированным периодом дискретизации. Точный анализ нелинейных режимов дискретных систем фазовой синхронизации второго и третьего порядков с различными видами нелинейностей, включая неавтономные режимы для случая простейших частотных воздействий, отсутствует. Анализируя современные методы исследования нелинейных режимов дискретных СФС второго и выше порядков, следует выделить прежде всего различные численные методы, включая компьютерное моделирование. Можно указать ряд работ Б.И Шахтарина и его учеников, в которых численные методы решения разностных уравнений с успехом используются для определения областей существования периодических движений в системах с различными нелинейностями [9,71-73]. На основании полученных результатов делается попытка оценки областей устойчивости в целом дискретных СФС. В то же время очевидны ограничения подобных подходов, особенно для анализа сложных движений. Оценка границ устойчивости в этих условиях сопряжена с огромными машинными затратами, требуется постоянный контроль за сходимостью метода. Кроме того, использование численных методов в чистом виде затруднено, необходима предварительная оценка возможных движений в системе и областей параметров, в которых они существуют. Получили

известность

математически

строгие

частотные

методы,

разработанные в ряде работ Г.А.Леоновым и Ю.А.Корякиным [85-89]. С помощью них можно получать оценки областей глобальной асимптотической устойчивости для систем практически с любым видом нелинейности, включая системы высокого порядка. В то же время получаемые с помощью частотных

-8методов оценки глобальной устойчивости зачастую оказываются сильно заниженными. Это связано с тем, что методы дают лишь достаточные условия устойчивости. Достаточно эффективными для анализа нелинейной динамики являются адаптированные к дискретным системам асимптотические методы. К числу их относится разработанный в работах А.В. Пестрякова и его учеников метод усреднения,

позволяющий

получать

оценки

областей

устойчивости

и

временных характеристик переходных процессов достаточно широкого класса дискретных систем синхронизации [27, 31-33]. Метод основывается на разделении движений в системе на быстрые и медленные (разделение обобщенных координат на быстрые и медленные) с последующим раздельным анализом движений по быстрой и медленной координатам. Переход в результате такого разделения фактически к уравнениям более низкого порядка позволяет получить ряд интересных с практической точки зрения оценок. К числу их относится оценка времени движения по медленной координате, которая может выступать в качестве оценки установления частоты в системе. С другой стороны, очевидно, что разделение на быстрые и медленные движения не всегда возможно, что выступает в качестве ограничения применимости метода. Неудивительно, что наибольшее число работ по исследованию нелинейной динамики

посвящено

качественному

анализу

процессов

в

фазовом

пространстве. Это связано с тем, что в отличиии от других подходов, качественные методы в достаточно доступном виде позволяют получить не только ряд важных для практики общих оценок, касающихся различных режимов функционирования систем, но и определить основные тенденции в поведении

систем

при

изменении

параметров.

Независимо

от

вида

нелинейности легко устанавливаются, например, направления движения системы при тех или иных значениях координат, области линейного и нелинейного движений, области движений без проскальзываний фазовой координаты,

притягивающие

слои, области

существования

простейших

движений. Все это позволяет на начальном этапе исследований получить о системе достаточно много информации и использовать ее на последующих этапах. На сегодняшний день с помощью качественных методов и близкого к ним метода точечных отображений изучены системы 1-го порядка с различными

-9нелинейностями и многие частные случаи для систем 2-го порядка. К числу их относятся работы В.И.Горюнова [59-62], Д.Джилла и С.Гупты [63,64], посвященные анализу локальной устойчивости СФС 1-го порядка, работы А.К.Макарова [65-67], а также С.К.Романова и В.Н.Малиновского [68,69], в которых изучается глобальная устойчивость импульсных СФС 1-го порядка. В [74] В.Н.Кулешовым и Г.М.Левченко изучаются условия возникновения и области существования предельных циклов 2-го рода. Анализу нелинейной динамики дискретных СФС 2-го порядка посвящены работы Х.Осборна [76,77], В.Н.Белыха и В.П.Максакова [78-80]. В работах последних исследуются периодические движения и устойчивость в целом дискретных систем с релейной нелинейностью. В

работах

В.Н.Белыха

и

Л.В.Лебедевой

[54,81,83]

качественно-

численными методами исследуются некоторые нелинейные режимы ряда моделей

дискретных

СФС

1-го

и

2-го

порядков

с

синусоидальной

характеристикой детектора. В частности, в [54] исследуются модели импульсной

СФС

с

пропорционально-интегрирующим

и

астатическим

фильтрами в цепи управления при нулевых частотных расстройках. В первом случае ограничение на расстройку снижает практическое значение полученных результатов. Несмотря на частный характер полученных качественными методами результатов, приведенных в большинстве проанализированных работ, данные методы имеют большую перспективу. В пользу подобного утверждения говорит тот факт, что методы, базируясь в общем случае на обших положениях теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций, дают достаточно полную картину

возможного

поведения

исследуемых

систем

и

качественных

изменениях в них. Исследования, выполненные на последующих этапах аналитическим или численным способами, в состоянии довести поставленную задачу анализа до конкретных численных оценок, претендующих на высокую точность. Подобный подход был продемонстрирован автором диссертации в ряде работ, посвященных анализу нелинейной динамики дискретных кусочнолинейных СФС 2-го и 3-го порядков [75,90,91,106,110]. На основе качественноаналитических методов получены точные оценки областей устойчивости в целом и полос захвата ряда дискретных СФС с различными нелинейностями детектора. На качественном уровне были проанализированы возможные бифуркации

в

системе,

связанные

с

возникновением

и

разрушением

- 10 периодических

и

квазипериодических

движений, разработана методика

определения бифуркационных параметров, результатом применения которой явились выражения для расчета областей устойчивости. В случае дискретных СФС с гладкими нелинейностями перспективным является

подход,

основанный

на

качественно-численных

методах.

Бифуркационная картина, установленная на первом этапе анализа системы, дополняется численными исследованиями. В отличии от рассмотренных выше данная численная процедура основана на знании типа движения, его параметров, начальных условий движения, заданных в фазовом пространстве, и не требует больших затрат машинного времени. Данный подход использован автором диссертации при анализе устойчивости дискретных СФС 2-го порядка с синусоидальной нелинейностью [177]. Качественные методы анализа нелинейной динамики имеют большую перспективу

и

многокольцевых

для

задач

систем

и

исследования систем

с

новых

классов

циклическим

связанных

прерыванием.

Подтверждением являются точные оценки областей устойчивости, полученные автором диссертации в ряде работ, посвященных анализу нелинейной динамики связанных и комбинированных дискретных систем СФС различного типа [122124,126]. В известных ранее работах Т.С.Федосовой и Т.К.Паушкиной по связанных дискретным системах исследования выполнялись на основе перехода к непрерывным моделям и имели приближенный характер [114,119,120]. Что касается исследований динамики дискретных СФС с прерыванием, то на сегодняшний день в основном они выполнены А.В.Пестряковым и его учениками на основе метода усреднения [26,27,132-134]. Применение методов, позволяющих получить в общем случае более высокую точность, представляет как теоретический так и практический интерес. Таким образом, критический анализ работ, претендующих на достаточно строгие и полные исследования нелинейной динамики дискретных СФС 2-го и тем более 3-го порядков, в том числе относящихся к новым классам связанных систем и систем с циклическим прерыванием автоподстройки, показал, что число таких работ достаточно ограничено. Отсутствие точных методов исследования, а следовательно, и методик расчета динамических режимов, сдерживает широкое распространение их на практике. С одной стороны, большая

практическая

потребность

в

высокоэффективных

системах

синхронизации, с другой стороны, отсутствие достаточно полной информации

- 11 о поведении таких систем для произвольных параметров и условий, отсутствие информации

об

необходимости

их

потенциальных

разработки

возможностях.

эффективных

Это

прикладных

приводит

методов

к

анализа

дискретных СФС и проведения исследований с помощью этих методов перспективных моделей для важных технических приложений. В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященная методам анализа нелинейной динамики дискретных систем фазовой синхронизации и исследованию различных классов систем с применением этих методов, является актуальной. Цели и задачи диссертации. Целью

диссертационной

работы

является

разработка

и

развитие

эффективных методов анализа нелинейной динамики дискретных систем фазовой синхронизации, позволяющих проводить исследования и расчет динамических свойств широкого класса импульсных, цифровых, импульсноцифровых,

связанных

многокольцевых

СФС,

составляющих

основу

перспективных систем обработки информации, генераторов сигналов с угловой модуляцией, устройств частотного синтеза и стабилизации частоты. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи: 1. Построение

обобщенных

математических

моделей

ряда

классов

автономных и неавтономных дискретных систем фазовой синхронизации. 2. Разработка эффективных математически обоснованных методов анализа нелинейных движений в рассматриваемых моделях, позволяющих получить простые расчетные соотношения для определения основных динамических характеристик систем. 3. Разработка на основе предложенных методов алгоритмов расчета динамических характеристик дискретных систем: областей существования установившихся движений, областей устойчивости в большом в целом, полосы захвата, параметров переходных процессов. 4. Анализ на основе разработанных методов и алгоритмов динамических режимов

ряда

моделей

дискретных

систем

фазовой

синхронизации:

импульсных и цифровых различных порядков, двухкольцевых систем различного типа, в том числе комбинированных, систем с циклическим прерыванием автоподстройки.

- 12 5. Обоснование на основе полученных результатов анализа возможности повышения эффективности различных устройств обработки информации, генерации и стабилизации за счет применения рассматриваемых дискретных СФС. 6. Выработка рекомендаций по оптимизации динамических характеристик различных устройств, для реализации которых могут быть применены рассматриваемые дискретные СФС. 7. Демонстрация на ряде технических разработок высокостабильных генераторов ЧМ-колебаний, устройств частотного синтеза, синхронно-фазовых демодуляторов возможности повышения качественных показателей за счет использования разработанных методов анализа и реализации оригинальных технических решений. Общая методика исследований Разрабатываемые в диссертации методы анализа нелинейной динамики дискретных СФС базируются на общих положениях качественных методов теории колебаний дискретных систем с периодическими нелинейностями, теории бифуркаций, теории точечных отображений и метода гармонической линеаризации. Для решения поставленных разновидности

метода

задач используются

усреднения,

математическое

также известные и

компьютерное

моделирование, численное решение нелинейных разностных уравнений. Разработанные качественные

методы

методы

анализа

анализа

на

нелинейной

фазовом

динамики,

цилиндре

и

включая

торе,

метод

гармонической линеаризации, адаптированный для анализа устойчивости новых классов систем синхронизации, ориентированы на использование персональных компьютеров. Научная новизна результатов 1. Получены

обобщенные

математические

модели

ряда

классов

дискретных СФС, в том числе различных модификаций двухкольцевых связанных и комбинированных систем, систем с циклическим прерыванием режима автоподстройки. 2. На основе общих положений качественных методов теории нелинейных дискретных колебаний и теории бифуркаций

разработаны эффективные

- 13 методы анализа нелинейной динамики различных классов дискретных СФС с одной и двумя периодическими нелинейностями, в том числе неавтономных. 3. На основе общих положений метода гармонической линеаризации разработан ряд методов анализа периодических движений для СФС высокого порядка, СФС с несколькими временными дискретами и разрывным временем. 4. С учетом разработанных методов получены алгоритмы анализа основных динамических характеристик различных классов дискретных систем; алгоритмы позволяют получить расчетные соотношения для определения областей существования установившихся движений, областей устойчивости в большом и в целом как на плоскости обобщенных параметров так и на плоскости физических параметров. 5. На основе разработанных методов и алгоритмов создано оригинальное программное обеспечение для анализа динамических характеристик различных классов дискретных систем фазовой синхронизации. 6. С

помощью

разработанных

методов

и

алгоритмов

выполнено

исследование большого количества различных типов дискретных СФС. В отношении

ряда

систем

получены

новые

уточняющие

результаты,

позволяющие иначе подойти к их разработке (импульсные и цифровые СФС различных

порядков).

Ряд

систем

исследован

впервые

(различные

модификации связанных двухкольцевых СФС, комбинированных систем, модификации СФС с циклическим прерыванием автоподстройки). В процессе исследований установлен ряд новых качественных особенностей дискретных СФС, связанных с процессами дискретизации и квантования, которые могут быть распространены на многие другие системы рассматриваемых классов. Практическая ценность 1. Разработанные

в

диссертации

методы

исследования

позволили

определить ряд основных динамических характеристик различных классов дискретных

СФС.

Получены

границы

существования

установившихся

периодических и квазипериодических процессов, границы областей устойчивой работы, зависимости полос и областей захвата от соотношений параметров систем и вида нелинейности детектора. Разработаны алгоритмы и пакеты программ для расчета динамических характеристик; созданные автором пакеты программ используются на ряде предприятий: РГАТА г. Рыбинск, МГТУ им. Баумана г. Москва, ЯрГУ г. Ярославль.

- 14 2. Разработанные программы позволяют оптимизировать вид и параметры нелинейности детектора с целью обеспечения заданных динамических свойств дискретных автономных и неавтономных СФС. 3. Полученные в диссертации результаты позволили сформулировать предложения по повышению эффективности разрабатываемых дискретных СФС, в том числе традиционных, и различных устройств с их применением (повышению

надежности,

расширению

диапазона

устойчивой

работы,

увеличению полосы рабочих частот, быстродействия): высокостабильных генераторов

сигналов

многокольцевых

систем

с

частотной частотного

модуляцией, синтеза,

однокольцевых

синтезаторов

на

и

основе

комбинированных связанных систем, синхронно-фазовых демодуляторов и следящих измерителей. 4. Предложенные и развитые в диссертации методы, и разработанные на их основе

алгоритмы

и

программы

можно

использовать

в

научно-

исследовательских и опытно-конструкторских работах для анализа нелинейных свойств дискретных систем синхронизации и синтеза дискретных систем синхронизации различного назначения. Результаты диссертации использованы в 6 научно-исследовательских и 2 опытно-конструкторских

работах,

выполняемых

по

решению

ВПК

и

Постановлению ЦК и Совета Министров. Использование результатов работы в НИОКР подтверждено актами о внедрении. Предложенные при этом технические

решения

защищены

13

авторскими

свидетельствами.

Разработанный под руководством автора один из первых вариантов синтезатора частоты дециметрового диапазона на основе комбинированных дискретных СФС вошел в состав электронного комплекса, получившего в 1985 году премию Ленинского комсомола в области науки и техники. В ходе работы над диссертацией в отраслевых научно-исследовательских лабораториях "Поликом" и "Дискрет" ЯрГУ под руководством и при непосредственном личном участии автора был создан ряд высокоэффективных устройств частотного синтеза, возбудителей ЧМ-колебаний, синхроннофазовых демодуляторов, базирующихся на применении теоретических и прикладных результатов исследования дискретных СФС различных классов, в том

числе

однокольцевых,

связанных,

комбинированных

и

систем

с

циклическим прерыванием режима автоподстройки. Разработки внедрены на

- 15 предприятиях г. Ярославля (ОКБ радиозавода), г. Москвы (ЦНИРТИ), г. Рыбинска (ОКБ «Луч»). Часть материалов, включая разработанное программное обеспечение, используется

в

учебном

процессе

Института

криптографии,

связи

и

информатики Академии ФСБ России, МГТУ им. Баумана г. Москва, РГАТА г. Рыбинск, ЯрГУ г. Ярославль. Положения, выносимые на защиту 1. Обобщенные математические модели ряда классов дискретных СФС, в том числе различных модификаций двухкольцевых связанных систем и систем с циклическим прерыванием режима автоподстройки. 2. Разработанные на основе общих положений качественных методов теории нелинейных дискретных колебаний и теории бифуркаций методы анализа нелинейной динамики различных классов дискретных СФС с одной и двумя периодическими нелинейностями, в том числе неавтономных. 3. Разработанные на основе общих положений метода гармонической линеаризации ряд методов анализа периодических движений для СФС высокого порядка, СФС с несколькими временными дискретами и разрывным временем. 4. Результаты исследования динамических характеристик конкретных типов дискретных СФС второго и третьего порядков, используемых при создании высокостабильных генераторов ЧМ-колебаний, цифровых синхроннофазовых демодуляторов, синтезаторов частоты: однокольцевых импульсных и цифровых СФС с различными видами характеристик детектора, связанных двухкольцевых

СФС

с

преобразованием

частоты

в

кольцах

и

без

преобразования, комбинированных дискретных систем частотно-фазовой автоподстройки, дискретных СФС с прерыванием режима автоподстройки с предустановкой и без предустановки фазы в момент смены режима функционирования. 5. Предложения по повышению эффективности и параметрической оптимизации дискретных СФС и устройств с их применением и конкретные технические решения, внедренные на предприятиях г. Москвы (ЦНИРТИ), г. Ярославля (ОКБ радиозавода), г. Рыбинска (ОКБ «Луч»).

- 16 Публикации и апробация результатов работы Значительная часть результатов диссертационной работы опубликована в монографии Шахтарина Б.И. «Анализ систем синхронизации методом усреднения», М.: Радио и связь, 1999 г.: главе 13 –« Анализ дискретных ФАС 2го порядка (усреднение разностных уравнений)», разделе 14.5 – «Применение качественно-аналитических

методов для анализа нелинейной

динамики

дискретной ФАС 3-го порядка», приложении 11 – «Нелинейная динамика дискретных

ФАС

2-го

порядка

с

кусочно-линейной

характеристикой

детектора», в 6 отчетах по НИР и 2 отчетах по ОКР, 9-и публикациях в научных центральных

журналах,

5

статьях

в

межвузовских

сборниках,

5

депонированных рукописях, материалах 7 международных и 9 Всесоюзных семинаров и конференций, 13 описаниях изобретений, двух учебных пособиях. Основные результаты, изложенные в диссертации, были доложены и обсуждены на 7 международных конференциях и семинарах, 16 Всесоюзных и республиканских конференциях, семинарах и школах-семинарах: всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации", г. Львов, 1985г. ; V Всесоюзной школесовещании молодых ученых "Стабилизация частоты", г. Иваново, 1986г. ; научно-техническом семинаре "Применение систем фазовой синхронизации в синтезаторах частоты", г. Куйбышев, 1986г. ; научно-техническом семинаре "Применение систем синхронизации в устройствах приема и обработки информации", г. Ярославль, 1987г. ; научно-техническом семинаре "Системы синхронизации в устройствах формирования сигналов", г. Львов, 1987г. ; всесоюзной научно-технической конференции "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи", г. Горький, 1988г. ; научнотехническом семинаре "Цифровые системы и устройства синхронизации", г. Одесса,

1989г.

;

VI

Всесоюзной

школе-совещании

молодых

ученых

"Стабилизация частоты", г. Канев, 1989г. ; международном семинаре по системам и устройствам синхронизации "Синхронизация - 90", г. Созопол, НР Болгария, 1990г. ; международном семинаре "Нелинейные цепи и сигналы", г. Москва, 1992г. ; научных сессиях НТОРЭС, посвященных Дню Радио, г. Москва, 1993г., 1995г., 1997г., 1999г. ; всесоюзной научно-технической конференции "Нелинейные колебания механических систем", г. Н.Новгород, 1993г., 1996г. ; The Second International Scientific School - Seminar "Dinamic and

- 17 Stochastic Wave Phenomena", Nizny Novgorod, 1994 ; The School-Conferense was supported by Ukrinian Academy of Sciences "Bifurcations and Chaos", Kotsiveli, Crimea, Ukraine, 1994, ; всесоюзных научно-технических конференциях "Направления развития систем и средств радиосвязи", г. Воронеж, 1996г. и "Радио и волокно - оптическая связь, локация и навигация", г. Воронеж, 1997г.; 5-th International Specialist Workshop, "Nonlinear Dinamics of Electronic Sistems", Moscov, 1997; The 1-st International Conference "Digital Signal Proctssing fnd Its Applications" Moscow, Russia, 1998; The 2-st International Conference "Digital Signal Proctssing fnd Its Applications" Moscow, Russia, 1999. Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений. Она изложена на 325 страницах машинописного текста, из которых 87 страниц рисунков. Список литературы содержит 195 наименований. Во введении обоснована актуальность темы и ее практическая значимость, сформулированы цели и задачи исследования, дан критический анализ работ в области

исследования

динамических

характеристик

различных

классов

дискретных систем фазовой синхронизации. Первая глава посвящена построению обобщенных математических моделей дискретных СФС различных классов: однокольцевых импульсных, импульсно-цифровых и цифровых систем с многоуровневым квантованием, многокольцевых связанных и комбинированных систем с перекрестными связями межу кольцами - систем с несколькими временными дискретами, однокольцевых

систем

с

периодическим

прерыванием

режима

автоподстройки - систем с разрывным временем. Вторая глава посвящена обсуждению методов и результатов анализа нелинейной динамики дискретных СФС 2-го порядка. На основе общих положений качественных методов теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций обосновывается ряд положений, определяющих нелинейное поведение дискретных СФС на фазовом цилиндре второго порядка для широкого класса нелинейностей: гладких (синусоидальной), кусочно-линейных (треугольной), разрывных (пилообразной). К числу их относятся возможные сценарии бифуркаций в системах при изменении обобщенной частотной расстройки, условия и характер возникновения и исчезновения состояний

- 18 равновесия,

периодических

движений

произвольной

структуры

и

квазипериодических движений. На основе разработанных методов исследуются области существования периодических и квазипериодических движений в импульсных и цифровых СФС 2-го порядка, устойчивость в большом и в целом. Анализируются установившиеся движения в неавтономных дискретных системах при периодических по частоте воздействиях. Третья глава посвящена анализу нелинейной динамики дискретных кусочно-линейных СФС третьего порядка с различными типами фильтров в цепи управления. Получили развитие качественно-аналитические методы анализа нелинейной динамики на фазовом цилиндре и метод гармонической линеаризации, предложенные во второй главе. Выполнены исследования областей существования периодических и квазипериодических движений, устойчивости в большом и в целом, полосы захвата импульсных СФС с двумя последовательно включенными пропорционально интегрирующими фильтрами в цепи управления и колебательным звеном 2-го порядка, а также цифровой СФС с двумя интегрирующими звеньями с независимым пропорциональным каналом. В четвертой главе на основе полученных в предыдущих главах результатов выполнен

анализ нелинейной динамики кусочно-линейных дискретных

связанных СФС и комбинированных систем с частотным управлением. Получили

развитие

качественно-аналитические

динамических

процессов

применительно

пространству.

Изучены

бифуркации,

к

методы

исследования

тороидальному

связанные

с

фазовому

возникновением

неподвижных точек и потерей устойчивости в целом состояния равновесия. Получили подтверждение основные выводы, сделанные для однокольцевых кусочно-линейных СФС относительно условий возникновения неподвижных точек, входящих в состав циклических движений. На основе утверждения о возникновении неподвижных точек в граничных точках нелинейностей предложена оригинальная методика определения бифуркационных значений параметров, приводящих к периодическим движениям. Исследован ряд моделей связанных дискретных систем с преобразованием и без преобразования частоты и комбинированных систем частотно-фазовой автоподстройки. В пятой главе исследуется нелинейная динамика двух типов моделей дискретных систем фазовой синхронизации с пилообразной характеристикой детектора с циклическим прерыванием режима автоподстройки. Получили

- 19 развитие методы анализа, разработанные в предыдущих главах, применительно к системам с разрывным временем. Рассматриваются условия возникновения и потери устойчивости неподвижных точек в новой шкале времени. На основе предложенных методик разработаны алгоритмы определения бифуркационных значений параметров, при которых возникают циклические движения. В главе развит

метод

гармонической

линеаризации

для

дискретных

СФС

с

прерыванием. С этой целью предложена методика построения коэффициента передачи эквивалентной приведенной линейной части системы, учитывающая нелинейные отображения на цикле работы системы. В шестой главе приводятся примеры технической реализации и экспериментальных исследований ряда устройств, основанных на различных вариантах дискретных СФС, исследованных в диссертации. К числу их относятся:

быстродействующий

широкополосный

синтезатор

частоты

дециметрового диапазона на основе комбинированной системы частотнофазовой автоподстройки, синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе

двухкольцевой

импульсной

СФС,

возбудитель

ЧМ-колебаний

дециметрового диапазона на основе импульсной СФС с циклическим прерыванием, цифровой синхронно-фазовый демодулятор с многоуровневым АЦП на входе. В основу разработок легли идеи, содержащиеся в авторских свидетельствах на изобретение, приведенных в списке публикаций, и результаты

исследований

нелинейной

динамики

дискретных

СФС,

проведенных в диссертации. В заключении подведены итоги диссертации и показаны направления дальнейшего развития идей, предложенных в работе. В

приложения

вынесены

материалы

о

внедрении

результатов

диссертационной работы. Изложенный в диссертации материал является теоретическим обобщением исследований автора в области разработки прикладных методов анализа нелинейной динамики дискретных систем фазовой синхронизации, что позволяет решать такую важную народно-хозяйственную проблему, как создание высокоэффективных систем и устройств обработки информации, синтеза и стабилизации для радиотехники и связи.

- 20 Глава 1. Математическое описание объекта исследований Целью главы является построение ряда обобщенных моделей разных по классу дискретных систем фазовой синхронизации второго и третьего порядков с различными типами фильтров в цепи управления. К их числу относятся однокольцевые

импульсные,

цифровые,

импульсно-цифровые

системы,

двухкольцевые системы фазовой синхронизации, комбинированные импульсноцифровые системы частотно-фазовой автоподстройки, системы синхронизации с прерыванием режима автоподстройки. Задача связана с попыткой изучить с помощью

таких

моделей

общие

свойства

систем,

не

учитывая

их

технологических особенностей. В качестве объединяющих параметров при этом выступают порядок системы, вид и количество нелинейностей, тип входного воздействия. На рис. 1.1 приведены нелинейности, рассматриваемые в работе.

Fs(ϕ)

Fc(ϕ) 1

F1(ϕ) 1

1

-c

ϕ

c

-1

ϕ

ϕ -1

-1

а)

б)

в)

Fc(ϕ)

F1(ϕ)

1

1

-c

c

ϕ

-1

ϕ -1

г)

д) Рис. 1.1.

Выбор функций определяется практическим значением дискретных СФС с подобными типами нелинейностей. В то же время он достаточен для того,

- 21 чтобы сформулировать основные поведения

широкого

класса

особенности

дискретных

систем

нелинейного с

периодическими

нелинейностями. Переход к обобщенным моделям сопряжен для каждой конкретной системы определенным набором допущений. Для импульсных однокольцевых и двухкольцевых СФС, цифровых СФС с аналого-цифровым преобразователем внутри кольца таким допущением, например, является постоянство периода дискретизации и линейность цепей управления. Для систем с широко распространенным импульсным фазовым детектором "выборка-запоминание" таким

допущением

является

использование

в

качестве

его

модели

экстраполятора 0-порядка, обладающего идеальным запоминанием на периоде дискретизации. Большинство из использованных при выводе обобщенных моделей допущений является общепринятым и используется при решении конкретных задач анализа и синтеза дискретных СФС . 1.1. Обобщенные математические модели дискретных однокольцевых СФС Покажем, что математической моделью широкого класса однокольцевых СФС 2-го и 3-го порядков могут служить соответственно отображения вида ⎧ϕ n+1 = ϕ n − αF (ϕ n ) + xn + g n , ⎨ = − + x dx β F ( ϕ ) g ⎩ n+1 n n

(1.1.1)

⎧ϕ n+1 = ϕ n − αF (ϕ n ) + xn + g n ⎪ ⎨ xn+1 = d xn − βF (ϕ n ) + yn + g , ⎪ y = hx − ηF (ϕ ) n n ⎩ n+1

(1.1.2)

и

где ϕn, xn, yn – обобщенные координаты системы,

α, β, η, d, h, g – обобщенные

параметры, gn – переменная составляющая входной частоты. Отображения (1.1.1) и (1.1.2) сводятся к общему отображению вида r r r (1.1.3) q n +1 = A( q n ) + B ⋅ u n , r где qn = (ϕ n , xni ) - вектор состояния системы в n-ый момент времени,

размерность вектора определяется порядком системы, ϕn – разность фаз r импульсных либо кодовых последовательностей на входах детектора, A( q n ) – нелинейная

переходная

матрица,

свойства

которой

зависят

от

вида

- 22 характеристики

фазового

детектора

F (ϕ ) ;

r u n - вектор

внешнего воздействия, B – матрица внешнего воздействия. 1.1.1. Импульсные СФС

Структурная схема импульсной СФС приведена на рис. 1.2.

U вх (t)

ИФД

ПГ

ФНЧ

Рис. 1.2. Схема импульсной СФС Для построения математической модели сделаем следующие допущения о свойствах узлов системы: 1. Импульсный фазовый детектор ИФД выполнен по схеме "выборказапоминание"

и

представляет

собой

последовательно

включенные

дискретизатор, нелинейный преобразователь с характеристикой F(ϕ), моделью его служит экстраполятор 0-порядка, коэффициент передачи которого в p плоскости имеет вид

K э0 =

1 − exp(− pT ) , где Т – период дискретизации. p

2. Характеристика управления перестраиваемого генератора (ПГ) ωпг(u) линейна в рабочем диапазоне и имеет крутизну Sу . 3. Период дискретизации в кольце постоянен, T = const . При сделанных допущениях общая функциональная схема импульсной СФС имеет вид, приведенный на рис. 1.3. Запишем общее уравнение импульсной СФС в операторном виде [9] : Tω вх ( z ) Tω н z ω уT ∗ K ( z)F ( z) , + − ϕ ( z) = z −1 ( z − 1) 2 z − 1

(1.1.4)

где ω у = ES у , Е - максимальное напряжение на выходе ИФД, ω н - постоянная расстройка по частоте, ω вх ( z ) - изображение переменной составляющей

- 23 входной

частоты

ω nвх ,

F(z) –

изображение

нормированной

K ∗ ( z ) - нормированный дискретный

характеристики фазового детектора,

коэффициент передачи приведенной непрерывной части системы, 1

K ( z ) = ∫ K ∗ ( z , ε ) dε , K ∗ ( z , ε ) = ∗

0

z − 1 ⎧ K ( p) ⎫ Z⎨ ⎬, z ⎩ p ⎭

p εT n −1 A( p ) ⎧ K ( p) ⎫ A(0) z ze j j Z⎨ +∑ . ⎬= p jT ⎩ p ⎭ B(0) z − 1 j =1 p j B′( p j ) z − e

(1.1.5)

где p j - корень уравнения B( p) = 0 . ω пг0

ϕ вх(t)

ПГ

ИФД

Sу

1/p

ФНЧ

F(ϕ )

K э0(p)

K(p)

Рис. 1.3. Функциональная схема импульсной СФС Подставляя в (1.1.5) выражение для коэффициента передачи К(p) конкретного ФНЧ, получим в явном виде операторное уравнение, от которого можно перейти к разностному уравнению системы [43]. Рассмотрим некоторые варианты импульсных СФС. Пусть K ( p ) =

(1 + mTФ p ) . (1 + TФ p )

Выполнив согласно (1.1.5), (1.1.4) необходимые

преобразования, приходим к разностному уравнению 2-го порядка

ϕ n+ 2 = (1 + d )ϕ n+1 − dϕ n − ω уT (1 − + ω уT (d −

(1 − m)(1 − d )

αp

(1 − m)(1 − d )

αp

) F (ϕ n+1 ) +

) F (ϕ n ) + T (1 − d )ω н + Tω

, вх n +1

где d = exp(−α p ), α p = T / Tф . Введем обозначения :

ϕ = ϕ /π, xn = d (ϕ n − ϕ n−1 ) + (dα − β ) F (ϕ n−1 ) − dg n−1 + g ,

− dTω

вх n

(1.1.6)

- 24 -

⎛

α = D⎜⎜1 − ⎝

(1 − m)(1 − d ) ⎞⎟ ⎟, αр ⎠

β =D

(1 − m)(1 − d ) 2

αр

,

ω уT ω nвх g = D (1 − d )γ , g n = Dγ n , γ n = , γ = ωн ω у , D = . π ωу

(1.1.7)

С учетом (1.1.7) перейдем от (1.1.6) к обощенной модели (1.1.1). Выражения (1.1.7) связывают параметры обобщенной модели с физическими параметрами импульсной СФС с ПИФ. Пусть K ( p ) =

(1 + mTи p ) . Выполнив преобразования, получаем разностное Tи p

уравнение

ϕ n+ 2 = 2ϕ n+1 − ϕ n + ω уT ( + ω уT (

αи 2

αи 2

+ m) F (ϕ n+1 ) +

− m) F (ϕ n ) + Tω

вх n +1

− Tω

,

(1.1.8)

вх n

где α и = T / Tи . Введем обозначения

ϕ = ϕ /π, xn = ϕ n − ϕ n−1 + (α − β ) F (ϕ n−1 ) − g n−1 , ⎞ ⎛α α = D⎜ и + m ⎟ , β = Dm . (1.1.9) ⎠ ⎝ 2 С учетом (1.1.9) перейдем от (1.1.8) к (1.1.1). Выражения (1.1.9) связывают параметры обобщенной модели с физическими параметрами для импульсной СФС с интегратором с форсированием (ИФ). В случае ФНЧ 2-го порядка уравнение импульсной СФС сводится к обобщенной модели (1.1.2). (1 + m1T1 p )(1 + m2T2 p ) (ФНЧ представляет собой K ( p) = Для (1 + T1 p )(1 + T2 p ) последовательное соединение двух ПИФ) для перехода к (1.1.2) используются следующие обозначения для координат и обобщенных параметров:

xn = d (ϕ n − ϕ n−1 ) + h(ϕ n−1 − ϕ n−2 ) + (αd − β ) F (ϕ n−1 ) + (αh − η ) F (ϕ n−2 ) + g − dg n−1 − hg n−2 , yn = h(ϕ n − ϕ n−1 ) + (αh − η ) F (ϕ n−1 ),

- 25 -

α = D (1 − c1 − c2 + c3 ), β = D((1 − d1 )c1 + (1 − d 2 )c2 − (2 − d1 − d 2 )c3 ), η = d 2 (d1 − 1)c1 + d1 (d 2 − 1)c2 + (1 − d1d 2 )c3, h = −d1d 2 , d = d1 + d 2, g = D (1 − d1 − d 2 + d1d 2 )γ , c1 = (1 − m1 )(1 − d1 ) α1, c2 = (1 − m2 )(1 − d 2 ) α 2 , c3 = (1 − m1 )(1 − m2 )(d1 − d 2 ) (α 2 − α1 ), d i = exp( −α i ), α i = T Ti ,

(1.1.10)

ω 2р Для K ( p ) = 2 при ω р < δ обобщенные параметры находятся p + 2δp + ω 2р

(

по формулам (1.1.10) при m1= m2= 0, T1,2= − δ ± δ 2 − ω 2р

) . В случае ω −1

р

>δ с

учетом обозначений ω = ω рТ , δ = δ Т обобщенные параметры имеют вид:

α = c1, β = 2d c1 cosω 0 − c2, η = −d 2c1 + c3, d = 2d cos ω 0, h = −d 2 , g = D(1 − 2d cos ω 0 + d 2 )γ , c1 = D (1 − 2δ ω 2 + d (( 2δ 2 − ω 2 ) sin ω 0 + 2δ ω 0 cos ω 0 ) (ω 0ω 2 ) ), c2 = 2 D ( d cos ω 0 − δ (1 − d 2 ) ω 2 + d ( 2δ 2 − ω 2 ) sin ω 0 (ω 0ω 2 ) ), c3 = D ( d 2 (1 + 2δ ω 2 ) + d (( 2δ 2 − ω 2 ) sin ω 0 − 2δ ω 0 cos ω 0 ) (ω 0ω 2 ) ),

(1.1.11)

d = exp(−δ ), ω 0 = ω 2 − δ 2 . 1.1.2. Цифровые СФС

Рассмотрим

следующие

цифровые

СФС

с

аналого-цифровым

преобразованием до кольца: - ЦСФС с квантованием фазы входного сигнала; - ЦСФС с квантованием квадратурных составляющих входного сигнала; - ЦСФС с квантованием мгновенных значений входной смеси. U вх (t)

НС

ЦИФ fT

НФ П

ЦФ

Рис. 1.3. Схема ЦСФС с квантованием входной фазы На рис. 1.3 приведена структурная схема ЦСФС с квантованием фазы входного сигнала, состоящая из цифрового измерителя фазы (ЦИФ),

- 26 функционального преобразователя (ФП), цифрового сглаживающего фильтра (ЦФ), накапливающего сумматора (НС), формирующего код выходной фазы системы.

Цифровой

фазометр

выполняет

функцию

аналого-цифрового

преобразования входной фазы. На рис. 1.4 приведена структурная схема ЦСФС с квадратурным аналогоцифровым преобразованием на входе кольца. S (t) U в х (t)

АЦП

КП

ЦФ

АЦП

C (t)

ФП1

НС

ФП2

Рис. 1.4. Схема ЦСФС с квадратурным АЦП на входе кольца На

схеме

преобразователь;

приняты

следующие

АЦП - аналого-цифровой

обозначения: КП - квадратурный преобразователь; ФП1,

ФП2 -

функциональные преобразователи синфазного и квадратурного каналов. Будем считать, что квадратурный преобразователь идеален, т.е. синфазный и квадратурный каналы идентичны. На рис. 1.5. приведена структурная схема цифровой СФС с квантованием мгновенных значений входной смеси. На выходе перемножителя наряду с полезной разностной составляющей на частоте ωвх-ωвых присутствует суммарная составляющая на частоте ωвх+ωвых. Схема обеспечивает необходимое качество подстройки при условии, что цифровой фильтр достаточно эффективно подавляет эту составляющую. U вх (t)

ФП

АЦП

НС

fr

НФП

ЦФ

Рис. 1.5. Схема ЦСФС с АЦП мгновенных значений входной смеси В [53] показано, все три структурные схемы сводятся к одной функциональной схеме, приведенной на рис. 1.6. Код входной и выходной фаз kвх и kцг поступают на вычитатель, где формируется код ошибки kϕ.

- 27 Периодическая

функция

функционального соответствующий

F(ϕ)

моделирует

ϕ = 2π kϕ / k2π ,

преобразователя, разности

фаз

характеристику

ϕ = 2π .

нелинейного

где

K(z) - коэффициент

k 2π - код,

передачи

цифрового фильтра. Накапливающий сумматор моделируется цифровым

1 и выполняет функцию z −1 формирователя фазы. Усиление кольца, обусловленное крутизной цифрового интегратором с коэффициентом передачи

детектора и крутизной перестраиваемого по частоте генератора (в цифровой СФС оба параметра зависят от разрядности адресной и информационной шин узлов),

а

также

использованием

специальных

умножителей

кодов,

моделируется линейным звеном S. Дополнительный код k0 моделирует значение выходной частоты системы при разомкнутом кольце. k вых

k вх

S z-1

kϕ

F( ϕ )

k фп

k цф k0

K(z)

Рис. 1.6. Обобщенная функциональная схема ЦСФС

Построим математическую модель цифровой СФС. По аналогии с импульсной системой запишем общее уравнение цифровой системы в операторном виде [43] kωвх ( z ) kωн z S + − kϕ ( z ) = K ( z)F ( z) , 2 z − 1 ( z − 1) z −1

kωн - код постоянной расстройки по частоте,

переменной

составляющей

входной

частоты

(1.1.12) kωвх ( z ) - изображение кода

ω nвх ,

F(z) – изображение

нормированной характеристики фазового детектора. Подставляя в (1.1.12) K ( z ) для конкретного цифрового ФНЧ, получим в явном виде операторное уравнение, от которого можно перейти к разностному уравнению [43]. Пусть K ( z ) = m +

1 . При 0 < d < 1 это будет коэффициент передачи z−d

интегрирующего фильтра с пропорциональным каналом, при d = 1 - цифрового

- 28 интегратора с пропорциональным каналом. Выполнив согласно (1.1.12) необходимые преобразования, приходим к разностному уравнению 2-го порядка k nϕ+2 = ( 1 + d )k nϕ+1 − dk nϕ+1 + k nвх+1 − dk nвх + ( 1 − d )k н − Smk max F ( k nϕ+1 ) −

(1.1.13)

− S ( 1 − md )k max F ( k nϕ )

kϕ Введем переменную ϕ = , где kπ - код, соответствующий разности фаз kπ

ϕ = π , соответственно (1.1.13) можно переписать в виде

ϕ n+ 2 = (1 + d )ϕ n+1 − dϕ n + Dγ n+1 − dDγ n + (1 − d ) Dγ − SmDF (ϕ n+1 ) − , − S (1 − md ) DF (ϕ n )

(1.1.14)

k nвх k k max где D = , γn = , γ = н , F ( ϕ n ) = F ( ϕ n ⋅ kπ ) . k max k max kπ

(1.1.15)

С учетом единичной крутизны перестраиваемого генератора значение кода на выходе ЦФ определит выходную частоту системы

ω вых =

2πf T k ф

,

k 2π

соответственно максимальная частота на выходе системы составит величину

ω max =

2πf T Sk max K ( 0 ) . k 2π

Введем обозначения

α = mSD , β = SD , g = ( 1 − d )Dγ , g n = Dγ n , xn = d (ϕ n − ϕ n −1 ) − dg n −1 + g + ( dα − β ) F (ϕ n −1 ) ,

(1.1.16)

в результате перейдем от (1.1.14) к системе уравнений (1.1.1). Выражения (1.1.16) связывают обобщенные и физические параметры. Для цифровой СФС с интегратором обобщенные координаты и выражения, связывающие обобщенные координаты с физическими будут иметь вид xn = ϕ n − ϕ n −1 − g n −1 + ( α − β )F ( ϕ n −1 ) ,

(1.1.17)

α = mSD , β = SD , g n = Dγ n , соответственно обобщенной моделью будет система уравнений (1.1.1) при d = 1, g = 0 .

Получим K ( z ) = (m1 +

разностное

уравнение

для

цифровой

СФС

с

1 1 )(m2 + ) . Фильтр представляет собой последовательно z − d1 z − d2

- 29 включенные два интегрирующих фильтра с пропорциональными каналами при 0 < d1 < 1 , 0 < d 2 < 1 и два интегратора с пропорциональными каналами при d1 = d 2 = 1 .

Подставляя K ( z ) в (1.1.12), получаем с учетом обозначений (1.1.15) разностное уравнение 3-го порядка

ϕ n+3 = ( 1 + d1 + d 2)ϕ n+ 2 − ( d1 + d 2+ d1d 2 )ϕ n+1 + d1d 2ϕ n + + Dγ n+ 2 − ( d1 + d 2 )Dγ n+1 + d1d 2 Dγ n + ( 1 − d1 −d 2+ d1d 2 )Dγ − . (1.1.18) − Sm1m2 DF ( ϕ n+ 2 ) − S ( m1 ( 1 − m2 d 2 ) + m2 ( 1 − m1d1 ))DF ( ϕ n+1 ) − − S ( 1 − m1d1 )( 1 − m2 d 2 )DF ( ϕ n ) Введем обозначения

xn = d ( ϕ n − ϕ n−1 ) + h( ϕ n−1 − ϕ n−2 ) + ( dα − β )F ( ϕ n−1 ) + ( hα − η )F ( ϕ n−2 ) + + g − dg n−1 − hg n−2 , y n = h( ϕ n − ϕ n−1 ) + ( hα − η )F ( ϕ n −1 ) ,

α = SDm1m2 , β = SD( m1 + m2 ) ,

(1.1.19)

η = SD( 1 − m1d1 − m2 d 2 ) , d = d1 + d 2 , h = − d1d 2 , g = D( 1 − d1 − d 2 + d1d 2 )γ , g = Dγ n

в результате перейдем от (1.1.18) к системе уравнений (1.1.2). Для

цифровой

системы

с

двумя

последовательно

включенными

интеграторами с пропорциолнальными каналами обобщенные координаты и выражения, связывающие обобщенные параметры с физическими, будут иметь вид

xn = 2ϕ n − 3ϕ n−1 + ϕ n−2 + ( α − β )F ( ϕ n−1 ) − ( α + η )F ( ϕ n−2 ) − - 2 g n−1 + g n−2 , y n = −( ϕ n − ϕ n −1 ) − ( α + η )F ( ϕ n −1 ) ,

α = SDm1m2 , β = SD( m1 + m2 ) , η = SD( 1 − m1 − m2 ) , g n = Dγ n разностное уравнение сводится к (1.1.2) при d = 2 , h = −1 .

(1.1.20)

- 30 1.1.3. Импульсно-цифровые СФС В импульсно-цифровых СФС цепь управления состоит из аналогового и цифрового каналов. В цифровом канале сигнал ошибки ϕ предварительно преобразуется в цифровую форму с помощью АЦП, после чего обрабатывается в цифровом фильтре ЦФ. Выходной код ЦФ преобразуется в цифро-аналоговом преобразователе ЦАП в напряжение, которое поступает на вход управления ПГ. Системы подобного типа получили широкое распространение [27,99,101103,107-109]. Покажем, что при допущениях, которые были использованы при моделировании импульсных и цифровых СФС, математическая модель рассматриваемой системы может быть также сведена к обобщенной модели (1.1.1). Пусть аналоговый канал подстройки представляет собой цепь нулевого порядка с K ( p ) = m , цифровой канал представляет собой цепь 1-го порядка с K ( z ) = 1 /( z − d ) , 0 < d ≤ 1 . На рис. 1.7 приведена функциональная схема

импульсно-цифровой системы СФС. В схеме имеются два нелинейных функциональных преобразователя, описываемых функциями F ( ϕ ) и F k ( ϕ ) . Первая из функций принимает любые значения из диапазона [-1, 1], вторая – конечный ряд значений в соответствии с разрядной сеткой аналого-цифрового преобразователя. В обоих каналах имеются экстраполяторы 0-порядка, обеспечивающие непрерывное управление ПГ. ωпг0 ϕ вх(t)

ПГ Sу

1/p

K(p) F(ϕ )

F k(ϕ )

Э0

Э0

1 z-d

Рис. 1.7. Функциональная схема импульсно-цифровой СФС Запишем приращение разности фаз ϕ за дискрет T :

- 31 -

ϕ n+1 − ϕ n = Tω н + Tω nвх − S y EmTF ( ϕ n ) − S yTryn ,

(1.1.21)

где y n - код на выходе цифрового фильтра в n -й момент времени, r - величина младшего разряда цифро-аналогового преобразователя. В соответствии с K ( z ) для кода цифрового фильтра запишем y n+1 = dy n + k nϕ = dy n + k max F k ( ϕ n ) .

(1.1.22)

По аналогии с импульсными системами введем обобщенные координаты

S yTry n ϕn и xn = g − , π π ES yT где g = D( 1 − d )γ , D = . π

ϕn =

(1.1.23)

Объединяя (1.1.21) и (1.1.22), получим систему уравнений ⎧ϕ n+1 = ϕ n − αF ( ϕ n ) + xn + g n , ⎨ k = − + x dx β F ( ϕ ) g n n ⎩ n+1

(1.1.24)

Dk max r ω nвх , g n = Dγ , γ n = . где α = Dm , β = E ES y Система (1.1.24) отличается от обобщенной модели (1.1.1) наличием двух нелинейностей. Если пренебречь конечной разрядной сеткой цифрового канала, они полностью совпадут. При решении ряда задач нелинейного анализа это вполне допустимо. Таким образом, и математическая модель импульсно-цифровой СФС сводится к обобщенной модели. Наличие обобщенных моделей позволяет применить к исследованию различных физических объектов единую методику и алгоритмы анализа, а также представить результаты исследований в общей для всех систем форме на плоскости обобщенных координат и параметров. Используя выражения, связывающие обобщенные параметры с физическими параметрами конкретных систем, получаем интересующие динамические характеристики этих систем.

- 32 -

1.2. Обобщенные математические модели связанных и комбинированных дискретных СФС 1.2.1. Особенности построения математических моделей СФС с несколькими временными дискретами С учетом классификации, предложенной в [120] для непрерывных тороидальных систем, и практической значимости в разделе рассматриваются математические модели следующих классов связанных дискретных систем: – систем с двумя внешними опорными колебаниями, – систем с двумя внешними опорными колебаниями и преобразованием частоты внутри колец. ωвх1

ПГ1

ФД1

υ

ФНЧ1

ωвх2

ПГ2

ФД2

ФНЧ2

ωвых1

ωвых2

µ

Рис. 1.8. Схема двухкольцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями Общая структурная схема первого из них приведена на рис.1.8. Схема является основой для построения как импульсных связанных систем так и цифровых. Вариант импульсной связанной СФС может составить основу синтезатора частоты [114,118-120], вариант цифровой связанной СФС – основу двухкольцевого цифрового синхронно-фазового демодулятора [7]. Представителем данного класса связанных систем являются также комбинированные системы частотно-фазовой автоподстройки [29]. Пример подобной схемы приведен на рис.1.9. В состав схемы входит один перестраиваемый генератор, охваченный двумя кольцами с единичными взаимными связями: импульсным кольцом фазовой автоподстройки и цифровым кольцом частотной автоподстройки. Кольца функционируют с разными временными дискретами. Комбинированная схема может составить

- 33 -

основу быстродействующего широкополосного синтезатора частоты метрового или дециметрового диапазонов [29,122,149]. ωвх

ИФД

ωвых

ПГ

ФНЧ

ЦЧД

ЦИ

ЦАП

Рис. 1.9. Cхема комбинированной двухкольцевой системы частотнофазовой автоподстройки Общая структурная схема второго из перечисленных классов приведена на рис.1.10. Подобная схема может составить основу быстродействующего широкополосного синтезатора частоты метрового, дециметрового или сантиметрового диапазонов с повышенными требованиями к качеству синтезируемого сигнала [123,124]. Введение в схему дополнительных связей между кольцами позволяет улучшить динамические характеристики синтезатора, повысить устойчивость. Существование перекрестных связей между кольцами приводит к совершенно новому классу дискретных связанных СФС, отличительной особенностью которого является наличие нескольких (чаще по числу колец) временных дискретов. Данная особенность требует и отличного от известных подхода к построению математических моделей подобных систем. Суть подхода состоит в переходе к единой временной шкале (связанной с собственными шкалами колец). Пусть T – временной интервал, в котором целое число раз укладывается каждый из интервалов дискретизации отдельных колец T1, T2,...Tm. Соответственно выполняется равенство p1T1=p2T2...=pmTm , где

p1, p2, ..., pm – целые положительные числа. Введем временной интервал ∆T = T / P , где P - наименьшее общее кратное

p1, p2, ..., pm , и определим новую шкалу времени с дискретом ∆T . С учетом ее введем понятие вектора состояния системы – X n,i = ( x1n,i ;xn2,i ;...xng,i )T , где g – размерность вектора, размерность совпадает с порядком связанной системы, в общем случае g ≥ m , 0 ≤ i ≤ P-1. Двойной подстрочный индекс вектора и его координат связан с временным отсчетом t = n ⋅ T + i ⋅ ∆T .

- 34 ωвх1

ПГ1

ФД1

υ

ФНЧ1

ωвх2

ωвых1

ПГ2

ФД2

ФНЧ2

µ

Рис. 1.10. Структурная схема двухкольцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями и преобразованием частоты С учетом введенной временной шкалы ∆T запишем нелинейные функции, описывающие фазовые детекторы, – Fj(ϕ jn ,η(i) ), где η(i) – индекс-функция, определяющая моменты срабатывания j-го детектора в новом времени. С учетом сказанного обобщенную математическую модель связанной дискретной системы, состоящей из m колец, можно записать в виде системы разностных уравнений: ⎧ x1n ,i+1 = G1 ( x1n ,i , xn2,i ,..., xng,i ,η1 (i )) ⎪ 2 g 1 2 ⎪ xn ,i+1 = G2 ( xn ,i , xn ,i ,..., xn ,i ,η2 (i )) , ⎨ .......... .......... .......... .......... .......... ⎪ ⎪ x g = G ( x1 , x 2 ,..., x g ,η (i )) g n ,i n ,i n ,i g ⎩ n ,i+1

(1.2.1)

где нелинейные функции G j ( x ) определяются конкретным исполнением колец и видом характеристики детекторов в составе колец. 1.2.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями Построим математическую модель двухкольцевой импульсной СФС. На рис. 1.11 приведена функциональная схема такой системы. При построении схемы сделаны следующие допущения: 1) характеристики управления перестраиваемых генераторов ПГ1, ПГ2 линейны на рабочих участках; 2) кольца функционируют с постоянными периодами дискретизации T1, T2 ;

- 35 -

3) фазовые детекторы представляют собой нелинейные функциональные преобразователи с периодической характеристикой, нулевым временем стробирования и идеальным запоминанием на периоде стробирования; 4) дополнительные связи между кольцами выполнены в виде линейных элементов с коэффициентами передачи L1(u1) = µ и L2 (u2 ) = ϑ . На схеме приняты обозначения:

ω вх1, ω вх 2 - частоты опорных сигналов 1-го и 2-го колец; ω пг1 , ω пг2 - выходные частоты 1-го и 2-го перестраиваемых генераторов; S1, S 2 - крутизны характеристик перестраиваемых генераторов; K1( p) , K 2 ( p) - коэффициенты передачи фильтров нижних частот 1-го и 2-го колец; E1 , E2 - максимальные напряжения на выходах ИФД1, ИФД2; F (ϕ ) , Ф(ψ ) характеристики ИФД1 и ИФД2;

ϕ, ψ

- нормированные

- разности фаз импульсных

последовательностей на входах ИФД1 и ИФД2 соответственно; ω пг01 , ω пг02 частоты

перестраиваемых

генераторов

при

нулевых

управляющих

напряжениях; µ , ϑ - коэффициенты передачи взаимных связей. ϕ пг

ϕ вх

1 p

S1

ω вых1

Т1

F( ϕ )

z 1 -1 z 1p

ψ пг

ψ вх

υ

K 1 (p)

1 p

S2

ω вых2

Т2

F(ψ )

z 2 -1 z 2p

K 2 (p)

µ

Рис. 1.11. Функциональная схема двухкольцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями В функциональную схему двухкольцевой системы введены блоки с коэффициентами передачи

z −1 z1 − 1 , z1 = eT1⋅ p и z2 = eT2 ⋅ p , представляющие и 2 z1 ⋅ p z2 ⋅ p

собой экстраполяторы 0-порядка.

- 36 -

Пусть k1 , k2 – целые числа, определяющие отношение временных дискретов собственных шкал колец T1 / T2 = k1 / k2 . Соответственно T=k∆T, где

k = k1 ⋅ k2 . Не нарушая общности, считаем отсчеты введенной временной шкалы совмещенными с отсчетами собственной шкалы для 1-го кольца. Иллюстрация такого разбиения для соотношения T1 / T2 = 3 / 2 приведена на рис.1.12. Определим моменты дискретизации для 1-го кольца t = n ⋅ T + η (i ) ⋅ ∆T и 2-го кольца t = n ⋅ T + τ ε + τ (i ) ⋅ ∆T , где нелинейные целочисленные функции η (i ) , τ (i ) имеют вид: ⎡i⎤

⎡i ⎤

⎣ 1⎦

⎣

η (i ) = ⎢ ⎥ ⋅ k1 , τ (i) = ⎢ ⎥ ⋅ k 2 , k k 2

(1.2.2)

⎦

где • - целая часть числа в скобках. T1

t= n T + i∆ T t

∆T T2

t= n T + i∆ T t

Рис. 1.12. С учетом введенной шкалы времени для разности фаз импульсных последовательностей на входах детекторов в момент времени t = n ⋅ T + i ⋅ ∆T получим:

ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i +

n⋅T + ( i +1)⋅∆T

∫

n⋅T + i⋅∆T

⎛ ω (t ) ⎞ ⎜⎜ ω вх1 (t ) − пг1 ⎟⎟dt , N1 ⎠ ⎝

(1.2.3)

и

ψ n ,i +1,ε = ψ n ,i ,ε +

n⋅T + ( i +1)⋅∆T

∫

n⋅T + i⋅∆T

⎛ ω (t ) ⎞ ⎜⎜ ω вх 2 (t ) − пг 2 ⎟⎟dt . N2 ⎠ ⎝

(1.2.4)

Уравнение двухкольцевой СФС с бесфильтровыми кольцами Пусть K1 ( p ) = 1 , K 2 ( p ) = 1 . Тогда выражения для частот на выходах ПГ1 и

ПГ2 будут иметь вид:

- 37 -

ω пг1 (t ) = ω пг 01 + S1 ⋅ (U ИФД 1 (t ) + ϑ ⋅ U ИФД 2 (t )) ω пг 2 (t ) = ω пг 02 + S 2 ⋅ (U ИФД 2 (t ) + µ ⋅ U ИФД 1 (t ))

,

(1.2.5)

где: U ИФД 1 (t ) , U ИФД 2 (t ) - мгновенные напряжения на выходах ИФД1, ИФД2. С другой стороны: ⎧⎪U ИФД 1 (t ) = U ИФД 1 (i ⋅ T1 ) = E1 ⋅ F1 (ϕ (i ⋅ T1 )) , ⎨ ⎪⎩U ИФД 2 (t ) = U ИФД 2 ( j ⋅ T2 ) = E2 ⋅ Ф(ψ ( j ⋅ T2 ))

(1.2.6)

где: i ⋅ T1 ≤ t < (i + 1) ⋅ T1, j ⋅ T2 ≤ t < ( j + 1) ⋅ T2 , i , j - целые числа. С учетом (1.2.2) напряжения на выходах детекторов в новой временной шкале можно записать: ⎧⎪U ИФД 1 (t ) = U ИФД 1 (n ⋅ T + η (i ) ⋅ ∆T ) = E1 ⋅ F (ϕ n,η (i ) ) . ⎨ ⎪⎩U ИФД 2 (t ) = U ИФД 2 (n ⋅ T + τ (i ) ⋅ ∆T ) = E2 ⋅ Ф(ψ n,τ ( i ) )

(1.2.7)

Используя выражения (1.2.6) и (1.2.7) после интегрирования (1.2.3) и (1.2.4) приходим к системе уравнений:

α ϑ ⋅l ⋅ β ⎧ { } F ( ) ϕ = ϕ + ⋅ γ − ϕ − ⋅ Ф(ψ n,τ ( i ) ) n , i + 1 n , i н 1 n , η ( i ) ⎪ k1 k2 ⋅ v ⎪ , ⎨ v β µ α ⋅ ⋅ ⎪ψ = ψ n,i + ⋅ {γ н 2 − Ф(ψ n,τ (i ) )}− ⋅ F (ϕ n,η ( i ) ) ⎪⎩ n,i +1 k2 l ⋅ k1 где i = 0,1, 2, ... ,( k1 ⋅ k2 − 1) ; v = N1 / N 2 , α =

(1.2.8)

S1 ⋅ E1 ⋅ T1 S ⋅ E ⋅T , β = 2 2 2 - обобщенные N1 N2

коэффициенты усиления в кольцах, γ 1 =

N1 ⋅ ω вх1 − ω пг 01 N ⋅ ω − ω пг 02 , γ 2 = 2 вх 2 S1 ⋅ E1 S 2 ⋅ E2

нормированные частотные расстройки в кольцах; l = S1 / S 2 . Введем обозначения Fˆ (ϕ n ,i ) = F (ϕ n ,η (i ) ), Фˆ (ψ n ,i ) = Ф(ψ n ,τ ( i ) ) , в результате получим окончательный вид системы уравнений:

α ⎧ ˆ (ϕ n,i )) − ϑ ⋅ l ⋅ β ⋅ Фˆ (ψ n,i ) F ( ϕ = ϕ + γ − n , i + 1 n , i 1 ⎪ k1 v ⎪ (1.2.9) ⎨ v β µ α ⋅ ⋅ ⎪ψ ⋅ (γ 2 − Фˆ (ψ n,i )) − ⋅ Fˆ (ϕ n,i ) n,i +1 = ψ n,i + ⎪⎩ k2 l ⋅ k1 Система нелинейных разностных уравнений (1.2.9) представляет собой математическую модель связанной двухкольцевой бесфильтровой СФС для случая несмещенных временных шкал. В случае сдвига временных шкал порядок систем уравнений выше на единицу. Фазовым пространством моделей

- 38 -

является тор, движение по координатам которого происходит во временной шкале с дискретом ∆T. Одной из отличительных особенностей полученных моделей является вид нелинейных функций, входящих в полученные уравнения. Эта особенность связана с наличием некратных времен дискретизации в отдельных кольцах, которая приводит к необходимости введения дополнительных функций η(i) ,

τ(i) .

Существенное

упрощение

уравнений

происходит

при

кратном

соотношении периодов дискретизации. В этом случае для удобства можно положить

k2=1,

соответственно,

η(i) = 0, ∀i ≠ k1,

τ(i) = i .

Методика

моделирования системы с кратным соотношением периодов дискретизации рассмотрена в [40]. В случае двух абсолютно идентичных колец ( k1 = k2 = 1, l = 1, ν = 1) система (1.2.9) преобразуется к виду: ⎧ϕ n+1 = ϕ n + α ⋅ (γ 1 − F (ϕ n )) − ϑ ⋅ β ⋅ Ф(ψ n ) . ⎨ = + ⋅ − − ⋅ ⋅ ψ ψ β ( γ Ф ( ψ )) µ α F ( ϕ ) ⎩ n+1 n 2 n n

(1.2.10)

Пусть µ = 0 , при этом 2-е кольцо становится независимым. Математически это выражается в том, что второе уравнение (1.2.10) содержит одну переменную ψ и может рассматриваться независимо от 1-го как уравнение дискретной СФС первого порядка. Уравнение 1-го кольца соответствует модели дискретной СФС первого порядка с внешним воздействием. При ϑ =0 кольца меняются местами. Уравнение (1.2.10) представляет собой также математическую модель двухкольцевой цифровой СФС с взаимными связями между кольцами для K1 ( z ) = K 2 ( z ) = 1 . Функциональная схема такой системы приведена на рис. 1.13.

Для перехода от обобщенных параметров к физическим достаточно воспользоваться соотношениями 1 2 kmax kmax 1 α = S1D1 , β = S2 D2 , D1 = , D2 = , где k max - максимальный код на kπ kπ 2 выходе цифрового детектора 1-го кольца, kmax - 2-го кольца.

- 39 k 1вых

k 1вх

1 1 -z

ω вы х1

kϕ

F (ϕ ) S1

k 2 вы х

k 2вх

υ

K 1 (z)

1 1 -z

ω вы х2

kψ

F (ψ ) S2

K 2 (z)

µ

Рис. 1.13. Функциональная схема двухкольцевой цифровой СФС Уравнение двухкольцевой СФС с пропорционально-интегрирующим фильтром в выходном кольце

Пусть K1 ( p ) =

1 + mTΦ p , K 2 ( p ) = 1 , что соответствует двухкольцевой СФС, 1 + TΦ p

первое кольцо которой содержит пропорционально-интегрирующиий фильтр (ПИФ) с коэффициентом форсирования m и постоянной времени Tф а второе кольцо – бесфильтровое. Для построения математической модели воспользуемся выражениями (1.2.3), (1.2.4) В отличие от варианта бесфильтровой СФС для выходной частоты 1-го кольца системы имеем:

ω пг1 (t ) = ω пг 01 + S1 (UФНЧ 1 (t ) + ϑ ⋅ U ИФД 2 (t ))

(1.2.11)

Определим выходное напряжение ФНЧ1 U ФНЧ (t ) . Для этого воспользуемся "сверткой" импульсной характеристики фильтра с выходным сигналом ИФД1, которая с учетом постоянства выходного напряжения детектора на интервале дискретизации приводит к выражению U ФНЧ 1 (t ) = mE1F (ϕ (h ⋅ T1 )) + τ τ t t ⎞, (1 − m) −TФ ⎛⎜ h−1 ( j +1)⋅T1 TФ TФ + E1 e e F (ϕ (τ ))dτ + ∫ e F (ϕ (τ ))dτ ⎟ ∑ ∫ ⎜ j =0 j⋅T ⎟ TФ h⋅T1 1 ⎝ ⎠

где h ⋅ T1 ≤ t < ( h + 1) ⋅ T1 , h - целое число. С учетом введенной временной шкалы t = n ⋅ T + i ⋅ ∆T = ( n ⋅ k1 ⋅ k 2 + i) ⋅ ∆T , полученное выражение примет вид:

- 40 -

U ФНЧ 1 (t ) = mE1F (ϕ (h∆T )) + τ τ t t ⎞, (1 − m) −TФ ⎛⎜ h−1 ( j +1)⋅∆T TФ TФ ⎟ + E1 + e e F ( ϕ ( τ )) d τ e F ( ϕ ( τ )) d τ ∑ ∫ ∫ ⎜ ⎟ TФ h⋅∆T ⎝ j =0 j⋅∆T ⎠

где h ⋅ ∆T ≤ t < ( h + 1) ⋅ ∆T , h = n ⋅ k1 ⋅ k2 + i . После интегрирования окончательно получаем: U ФНЧ 1 (t ) = mE1F (ϕ (η (h) ⋅ ∆T )) + t

h −1 − 1 + E1 (1 − m)( − 1)e TФ ∑ d 0− j ⋅ F (ϕ (η ( j ) ⋅ ∆T )) + , d0 j =0 −h 0

+ E1 (1 − m)(1 − d ⋅ e

−

t TФ

(1.2.12)

) F (ϕ (η (h) ⋅ ∆T ))

где. d 0 = exp( − ∆T / TФ ) По аналогии с уравнением для бесфильтровой системы получаем приращение разности фаз на входах ИФД1 за системный дискрет:

ϕ n,i +1 = ϕ n,i + ω Η1∆T −

E1S1 (∆T − (1 − m)(1 − d0 )TФ ) ⋅ Fˆ (ϕ n,i ) − N1

−

h −1 E1S1 1 (1 − m)(1 − d 0 )( − 1)TФ ⋅ d 0h ⋅ ∑ d 0− j ⋅ Fˆ (ϕ n, j ) − N1 d0 j =0

−

ϑ ⋅ S 2 ⋅ E2 ⋅ ∆T ˆ ⋅ Ф(ψ n,i )

,

(1.2.13)

N1

h = n ⋅ k1 ⋅ k2 + i

Сворачивая в (1.2.13) сумму, получим:

ϕ n,i + 2 = (1 + d 0 ) ⋅ ϕ n,i +1 + d 0 ⋅ ϕ n,i + (1 − d 0 ) ⋅ ω Η1 ⋅ ∆T − −

E1 ⋅ S1 ⋅ ∆T ⎛ (1 − m)(1 − d 0 )TФ ⎞ ˆ ⎜1 − ⎟ ⋅ F (ϕ n,i +1) ) + ∆T N1 ⎝ ⎠

+

E1 ⋅ S1 ⋅ ∆T ⋅ d 0 ⎛ (1 − m)(1 − d 0 )TФ ⎞ ˆ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n,i ) − ∆ ⋅ N1 T d ⎝ ⎠ 0

−

ϑ ⋅ l ⋅ E2 ⋅ S2 ⋅ ∆T N1

[

⋅ Фˆ (ψ n,i +1 )− d 0 ⋅ Фˆ (ψ n,i ) − d 0 ⋅ Фˆ (ψ n,i −1 )

(1.2.14)

]

Аналогично для разности фаз на входах ИФД2 получаем: E ⋅ S ⋅ ∆T ˆ ⋅ Ф(ψ n,i ) − ψ n,i +1 = ψ n,i + ω н2 ⋅ ∆T − 2 2 N2

µ ⋅ S 2 ⋅ E1 ⋅ ∆T ˆ − ⋅ F (ϕ n, i ) N2

Объединяя выражения (1.2.14), (1.2.15) в систему, имеем:

(1.2.15)

- 41 -

ϕ n,i + 2 = (1 + d 0 ) ⋅ ϕ n,i +1 + d 0 ⋅ ϕ n,i + (1 − d 0 ) ⋅ α ⋅ γ 1 / k1 − − +

α⎛

⎜1 − k1 ⎜⎝

(1 − m)(1 − d 0 )TФ ⎞ ˆ ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n,i +1 ) + αФ ⎠

α ⋅ d0 ⎛ k1

⎜⎜1 − ⎝

[

(1 − m)(1 − d 0 )TФ ⎞ ˆ ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n,i ) − αФ ⋅ d 0 ⎠

(1.2.16)

ϑ ⋅l ⋅ β ˆ ⋅ Ф(ψ n,i +1 )− d 0 ⋅ Фˆ (ψ n,i ) − d 0 ⋅ Фˆ (ψ n,i −1 ) k 2 ⋅ν β ⋅γ 2 β ˆ µ ⋅ α ⋅ν ˆ ψ n ,i +1 = ψ n ,i + F (ϕ n,i ) − ⋅ Ф(ψ n ,i ) − −

k2

]

l ⋅ k1

k2

где α ф = ∆T / Tф . Введем новые координаты:

χ n,i +1 = ϕ n ,i +1 − ϕ n,i − α ⋅ γ 1 / k1 + +

α ⎛

⋅ ⎜1 − k1 ⎜⎝

, (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) ⋅ TΦ ⎞ ˆ ϑ ⋅l ⋅ β ˆ ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n ,i ) − ⋅ Ф(ψ n,i ) αΦ k2 ⋅ v ⎠

в результате (1.2.16) примет вид: ⎧ α ⎛ (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) ⎞ ˆ ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n,i ) + ⎪ϕ n,i +1 = ϕ n,i + χ n,i − ⎜⎜1 − α k ⎠ 1⎝ Ф ⎪ ⎪ α ⋅γ1 ϑ ⋅ l ⋅ β − ⋅ Фˆ (ψ n,i ) ⎪+ k1 k2 ⋅ v ⎪ . ⎨ ⋅ ⋅ ⋅ β β γ µ α v 2 ⎪ψ ⋅ Фˆ (ψ n,i ) + − ⋅ Fˆ (ϕ n,i ) n,i +1 = ψ n,i − ⎪ k2 k2 l ⋅ k1 ⎪ α (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) 2 ˆ ⎪χ ⋅ F (ϕ n,i ) ⎪ n ,i +1 = d 0 ⋅ χ n,i − k ⋅ α ⎩ 1 Ф

(1.2.17)

От (1.2.17) легко перейти к обобщенной модели двухкольцевой дискретной связанной СФС. По аналогии с однокольцевыми СФС введем обозначения

α1 = α (1 −

(1 − m)(1 − d 0 )

αф

g1 = αγ 1 , g 2 = αγ 2 , µ1 =

), β1 = α

µαν

(1 − m)(1 − d 0 ) 2

, ϑ1 =

αф

ϑβl ν

l в результате придем к системе уравнений вида

,

(1.2.18)

- 42 -

⎧ α1 ˆ g1 ϑ1 ˆ ⎪ϕ n,i +1 = ϕ n,i + χ n,i − k F (ϕ n,i ) + k − k Ф(ψ n,i ) 1 2 1 ⎪ ⎪ β g 2 µ1 ˆ − F (ϕ n,i ) . ⎨ψ n,i +1 = ψ n,i − Фˆ (ψ n,i ) + k k k 2 2 2 ⎪ ⎪ β1 ⎪ χ n ,i +1 = d 0 ⋅ χ n,i − Fˆ (ϕ n,i ) k1 ⎩

(1.2.19)

От (1.2.19) можно перейти к модели двухкольцевой цифровой СФС с K1 ( z ) = m +

1 , K 2 ( z ) = 1 (рис. 1.13), используя стандартное обозначение: z − d0

α1 = D1S1m, β1 = D1S1 , β = D2 S 2 , g1 = D1γ 1 , g 2 = D2γ 2 , D1 =

(1.2.20)

1 kmax k2 , D2 = max kπ kπ

1.2.3. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты в выходном кольце Построим математическую модель двухкольцевой импульсной СФС с преобразованием частоты в выходном кольце. На рис.1.14 приведена ее функциональная схема. ϕ пг

ϕ вх

ω п г1 - ω п г2

1 p

ω вы х1

S1

Т1

F (ϕ )

z 1 -1 z1 p

ψ пг

ψ вх

υ

K 1 (p )

1 p

S2

ω вы х2

Т2

F (ψ )

z 2 -1 z2 p

K 2 (p )

µ

Рис. 1.14. Функциональная схема двухкльцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями и преобразованием частоты Запишем выражения для разности фаз импульсных последовательностей на входах ИФД1 для момента времени t = n ⋅ T + i ⋅ ∆T :

- 43 -

ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i +

n⋅T + ( i +1)⋅∆T

∫

n⋅T + i⋅∆T

⎛ ω (t ) − ω пг 2 (t ) ⎞ ⎟⎟dt , ⎜⎜ ω вх1 (t ) − пг1 N1 ⎠ ⎝

(1.2.21)

и для разности фаз импульсных последовательностей на входах ИФД2 для момента времени t = n ⋅ T + i ⋅ ∆T + τ ε соответственно:

ψ n ,i +1,ε = ψ n ,i ,ε +

n⋅T + ( i +1)⋅∆T

∫

n⋅T + i⋅∆T

⎛ ω (t ) ⎞ ⎜⎜ ω вх 2 (t ) − пг 2 ⎟⎟dt . N2 ⎠ ⎝

(1.2.22)

Уравнение двухкольцевой СФС с бесфильтровыми кольцами Пусть K1( p) = 1, K 2 ( p) = 1. Выполняя интегрирование (1.2.21) и (1.2.22) по

аналогии с п.1.2.3 , приходим к системе уравнений :

{

}

α ⎧ ˆ (ϕ n,i ) + (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ⋅ Фˆ (ψ n,i ) ( ) l F ϕ = ϕ + ⋅ γ − − µ ⋅ 1 / n , i + 1 n , i 1 ⎪ k1 k2 ⋅ v ⎪ ⎨ β µ ⋅α ⋅ v ˆ ⎪ψ ˆ ψ γ Ф ( ψ ) = + ⋅ − − ⋅ F (ϕ n,i ) n,i 2 n,i ⎪⎩ n,i +1 k2 l ⋅ k1

{

здесь: γ 1 =

(1.2.23)

}

N1 ⋅ ω вх1 − ω пг 01 . S1 ⋅ E1

Системы (1.2.23) представляет собой математическую модель связанных двухкольцевых бесфильтровых СФС для несмещенных собственных временных шкал (в случае сдвига временных шкал порядок системы выше на единицу). Для равных периодов дискретизации ( k1 = k2 = 1) система уравнений (1.2.23) преобразуется к виду: ⎧ ⎧ ⎫ (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ⎛ µ⎞ ⋅ Ф(ψ n ) ⎪⎪ϕ n+1 = ϕ n + α ⋅ ⎨γ 1 − ⎜1 − l ⎟ ⋅ F (ϕ n )⎬ + v ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ . (1.2.24) ⎨ ⋅ ⋅ µ α v ⎪ψ = ψ + β ⋅ {γ − Ф(ψ )} − ⋅ F (ϕ n ) n 2 n ⎪⎩ n+1 l Уравнение двухкольцевой СФС с пропорционально-интегрирующим фильтром в выходном кольце 1 + mTф p Пусть K1 ( p) = , K 2 ( p) = 1 . 1 + Tф p

Для построения математической модели воспользуемся выражениями (1.2.21), (1.2.22). Выполняя интегрирование с учетом выражения

- 44 -

ω пг1 (t ) = ω пг 01 + S1 (UФНЧ 1 (t ) + ϑ ⋅ U ИФД 2 (t )) и используя (1.2.13), приходим к уравнениям разности фаз на входах детекторов вида:

ϕ n,i + 2 = (1 + d0 ) ⋅ ϕ n,i +1 + d 0 ⋅ ϕ n,i + (1 − d 0 ) ⋅ ω Η1 ⋅ ∆T − −

E1 ⋅ S1 ⋅ ∆T ⎛ (1 − m)(1 − d 0 )TФ µ ⎞ ˆ − ⎟ ⋅ F (ϕ n,i +1 ) + ⎜1 − ∆T N1 l⎠ ⎝

(1.2.25) E1 ⋅ S1 ⋅ ∆T ⋅ d 0 ⎛ (1 − m)(1 − d 0 )TФ µ ⎞ ˆ ⎜⎜1 − + − ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n,i ) − ∆T ⋅ d 0 N1 l⎠ ⎝ (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ E2 ⋅ S2 ⋅ ∆T ⋅ Фˆ (ψ )− d ⋅ Фˆ (ψ ) − d ⋅ Фˆ (ψ ) − n,i +1 0 n,i 0 n,i −1 N1

[

]

и

ψ n,i +1 = ψ n,iε + ω н2 ⋅ ∆T − −

µ ⋅ S 2 ⋅ E1 ⋅ ∆T N2

E2 ⋅ S 2 ⋅ ∆T ˆ ⋅ Ф (ψ n,i ) − N2

.

(1.2.26)

⋅ F (ϕ n, η ( i ) )

Объединяя выражения (1.2.25), (1.2.26), имеем систему уравнений:

ϕ n,i + 2 = (1 + d 0 ) ⋅ ϕ n,i +1 + d 0 ⋅ ϕ n,i + (1 − d 0 ) ⋅ α ⋅ γ 1 / k1 − (1 − m)(1 − d 0 )TФ µ ⎞ ˆ ⎜⎜1 − − ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n,i +1 ) + αФ k1 ⎝ l⎠ α ⋅ d 0 ⎛ (1 − m)(1 − d 0 )TФ µ ⎞ ˆ ⎜1 − + − ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n,i ) − αФ ⋅ d 0 k1 ⎜⎝ l⎠ −

−

α⎛

(1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ⋅ [Фˆ (ψ k 2 ⋅ν

ψ n ,i +1,ε = ψ n ,i ,ε +

β ⋅γ 2 k2

−

n,i +1

)− d 0 ⋅ Фˆ (ψ n,i ) − d 0 ⋅ Фˆ (ψ n,i −1 )

β

µ ⋅ α ⋅ν ˆ ⋅ Фˆ (ψ n ,i ) − F (ϕ n,i ) k2 l ⋅ k1

где α Ф = ∆T / TФ . Введем координату χ n ,i +1 = ϕ n ,i +1 − ϕ n ,i − α ⋅ γ 1 / k1 + (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) ⋅ TΦ µ ⎞ ˆ ⋅ ⎜⎜1 − − ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n ,i ) + , k1 ⎝ αΦ l ⎠ (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ˆ + ⋅ Ф(ψ n ,i ) k2 ⋅ v

+

α ⎛

в результате (1.2.27) примет окончательный вид:

(1.2.27)

]

- 45 -

⎧ α ⎛ (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) µ ⎞ ˆ − ⎟⎟ ⋅ F (ϕ n,i ) + ⎪ϕ n,i +1 = ϕ n,i + χ n,i − ⎜⎜1 − α k l⎠ Ф 1⎝ ⎪ ⎪ α ⋅ γ 1 (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ˆ + + ⋅ Ф(ψ n,i ) ⎪ k1 k2 ⋅ v ⎪ ⎨ β ˆ β ⋅ γ 2 µ ⋅α ⋅ v ˆ ⎪ψ ⋅ Ф(ψ n,i ) + − ⋅ F (ϕ n,i ) n,i +1 = ψ n,i − ⎪ k2 k2 l ⋅ k1 ⎪ α (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) 2 ˆ ⎪χ d χ = ⋅ − ⋅ ⋅ F (ϕ n,i ) n,i 0 ⎪ n ,i +1 k α ⎩ Ф 1

(1.2.28)

1.2.4. Комбинированные импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки Существенно повысить эффективность дискретных систем фазовой синхронизации можно введением дополнительных колец цифровой частотной автоподстройки [29,40]. Они позволяют обеспечить в системе надежный синхронизм при работе в широкой частотной полосе, повысить быстродействие, устранить известное противоречие между динамическими и спектральными характеристиками. В ряде работ исследуются комбинированные схемы, в которых и фазовый и частотный детекторы функционируют на одной частоте дискретизации [102,103]. Как показывает анализ, подобное решение значительно ограничивает потенциальные возможности комбинированных систем. В то же время применение в качестве частотного детектора измерителя частоты на основе пересчетной схемы позволяет выбрать частоту дискретизации цифрового кольца частотной автоподстройки независимо от частоты дискретизации импульсного кольца СФС. Очевидно, что в этом случае появляются новые свойства комбинированной системы, а вместе с ними и новые возможности ее использования. На рис. 1.15 приведена общая функциональная схема комбинированной системы частотно-фазовой автоподстройки. Согласно принятой классификации схема представляет собой связанную двухкольцевую систему с двумя внешними опорными колебаниями, одним объектом управления – перестраиваемым генератором, единичными связями между кольцами.

- 46 -

В реальном устройстве период дискретизации может определяться конкретными техническими требованиями к параметрам устройства либо выходного сигнала, например, шагу частотной сетки синтезатора частоты. Период дискретизации цифрового кольца, как правило, не связан напрямую с требованиями к устройству, и выбирается исходя из расчетной точности работы кольца. Соотношение периодов дискретизации в общем случае может быть достаточно произвольным. Построим математическую модель схемы. Для этого примем следующие допущения: 1) кольца функционируют с постоянными периодами дискретизации; T1 – период дискретизации кольца СФС, T2 – период дискретизации кольца ЦЧАП; 2) T1 / T2 = k >1, между моментами дискретизации в кольцах отсутствует сдвиг; 3) фазовый детектор “выборка-запоминание” обладает идеальным запоминанием на периоде дискретизации; 4) характеристика управления генератора линейна на рабочем участке. ϕвх

ϕпг

1 N

1 p

Sy

Т1

F(ϕ)

ωпг

z1-1 z1p

z2-1 z2p

K(p) Т2

ωвх

Fk(ω)

K(z)

Рис. 1.15. Функциональная схема комбинированной системы

Пусть

K ( p) = 1, K ( z ) =

z . Запишем приращение разности фаз за z −1

дискрет T1 : k −1

ϕ n+1, 0 = ϕ n , 0 − ES yT1F (ϕ n , 0 ) − T2 ∑ xn ,i + T1ω H ,

(1.2.29)

i =0

где xn,i – частотная расстойка, вносимая цифровым кольцом в момент времени nT1+iT2, ωH = ωвх - ωпго/N – начальная частотная расстройка.

- 47 -

Введем обозначения

ϕ=

ω уT1 ω ϕ x , x= , ω у = ES у , α = , γ = н, π π ωу ωу

(1.2.30)

в результате уравнение (1.2.29) примет вид

ϕ n+1, 0 = ϕ n , 0 − αF (ϕ n , 0 ) −

α k

k −1

∑ xn,i + αγ .

(1.2.31)

i =0

С учетом вида K (z ) запишем уравнение для переменной xn,i xn ,i +1 = xn ,i + где

kmax rS у

ωу

Fk (ω у (γ − F (ϕ n , 0 ) − xn ,i )) ,

Fk(ω) – нормированная

характеристика

(1.2.32) частотного

детектора,

k max -

максимальный код на выходе частотного детектора, r – вес младшего разряда ЦАП, ω - частотная ошибка. Система уравнений (1.2.31), (1.2.32) представляет собой математическую модель комбинированной системы. Модель содержит две нелинейные функции. Сделаем допущение о линейности цифрового кольца, в этом случае с учетом Fk (ω ) = λω , где λ - нормированная крутизна частотного детектора, уравнение

(1.2.32) можно переписать в виде

xn,i +1 = xn,i + β1 (γ − F (ϕ n , 0 ) − xn,i ) ,

(1.2.33)

где β1 = S d S у , S d = λkmax rS у - крутизна частотного детектора, приведенная ко входу управления ПГ. Введем переменную x =

x

β1

, тогда (1.2.31), (1.2.33) образуют систему вида

β k −1 ⎧ ⎪ϕ n+1, 0 = ϕ n , 0 − αF (ϕ n , 0 ) − ∑ xn ,i + αγ , k i =0 ⎨ ⎪⎩ xn , j +1 = (1 − β1 ) xn , j − F (ϕ n , 0 ) + γ

(1.2.34)

где β = β 1α . Перейдем к единой временной шкале с дискретом Т1, для этого выразим сумму, стоящую в первом уравнении и координату xn+1,0 через ϕ n , 0 , xn,0 , в результате получим систему уравнений

αd βd αd ⎧ ⎪ϕ n+1, 0 = ϕ n , 0 − 0 F (ϕ n , 0 ) − 0 xn , 0 + 0 γ ⎨ k k k , ⎪⎩ xn+1, 0 = (1 − β1 ) xn , 0 + d 0 (γ − F (ϕ n , 0 ))

(1.2.35)

- 48 -

где d 0 =

1 − (1 − β1 ) k

β1

β ⋅ d0

. Введем новую переменную

α ⋅ d0

⋅γ , k k в результате придем к системе уравнений Yn , 0 = −

xn , 0 +

⎧ϕ n+1, 0 = ϕ n , 0 − α ′ ⋅ F (ϕ n , 0 ) + Yn , 0 , ⎨ ⎩ Yn+1, 0 = d ⋅ Yn , 0 + β ′F (ϕ n , 0 )

где α ′ =

α ⋅ d0

, β′ =

β ⋅ d 02

(1.2.36)

(1.2.37)

, d = (1 − β1 ) k .

k k Система (1.2.37) описывает поведение комбинированной системы в моменты времени, совпадающие с моментами дискретизации в кольце фазовой синхронизации. Формально по своему виду она полностью повторяет систему уравнений для импульсной СФС с ПИФ для нулевых частотных расстроек при

β < 0. Отличие состоит в свойствах переходной матрицы. Как будет показано ниже, одно из собственных значений ее всегда равно единице, что позволяет отнести комбинированную систему рассматриваемого типа к классу нейтральных со свойственной зависимостью установившихся состояний от начальных условий. Переход в (1.2.37) к единому времени исключает потерю информации о глобальном поведении системы. В частности, можно показать, что в системе невозможны движения при 0 < i < k , если они отсутствуют в моменты времени nT1 . Для T2 / T1 = k >1 математическая модель комбинированной системы имеет следующий вид 1 ⎧ ⎪ϕ n , j +1 = ϕ n , j − (α F (ϕ n , j ) + β1 xn , 0 − γ ) . ⎨ k x ( 1 β ) x α F ( ϕ ) γ = − − + ⎪⎩ n+1, 0 1 n,0 n ,k −1

(1.2.38)

При условии нелинейности кольца СФС переход к единому времени в данной модели невозможен. В пятой главе будет показано, что как и в предыдущем случае, система обладает нейтральностью. По этой причине многие свойства, обусловленные нейтральностью, у обеих систем на качественном уровне повторяются. Это касается в первую очередь характера установившихся движений. Например, в обеих системах отсутствуют вращательные движения.

- 49 -

1.3. Математические модели дискретных СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки Как было отмечено во введении, дискретные системы СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки (ЦП) находят все более широкое применение в ряде областей радиотехнике. К числу их относится, например, синтезаторы частот различного назначения, возбудители ЧМ и ФМ-колебаний. Благодарая уникальным свойствам ДСФС с ЦП использование режима прерывания позволяет обеспечить одновременную генерацию нескольких высокостабильных частот [40,137,138], строить синтезаторы с пониженным энергопотреблением [26-28,135,136]. При разработке возбудителей ЧМ и ФМколебаний при модуляции сигналами, допускающими паузу в передаваемом сообщении (телевизионный сигнал, различные варианты сигналов с дискретной частотной модуляцией (ДЧМ)) удается решить целый ряд проблем [40,161,166169]. К числу таких проблем относятся, например, проблема стабилизации несущей частоты излучаемого сигнала, проблема стабилизации частоты, соответствующей заданному уровню сигнала сообщения. Системы автоподстройки с циклическим прерыванием, используемые для решения различных прикладных задач могут отличаться одна от другой специальными дополнительными режимами. Таким режимом в возбудителях ЧМ-колебаний выступает принудительная привязка по фазе при переходе от режима паузы к режиму автоподстройки. На рис.1.15 приведена структурная схема возбудителя ЧМ-колебаний. Здесь УИФД – управляемый импульсно-фазовый детектор, Д - делитель частоты с фиксированным коэффициентом деления, ДПКД - делитель частоты с переменным коэффициентом деления, Кл - электронный ключ, ЗУ запоминающее устройство, УУ - устройство управления, ИМС - источник модулирующего сигнала. Согласно схеме по командам, вырабатываемым устройством УУ, синхронизированным сигналом ОГ, производится циклическое размыкание ключа Кл и переход от режима подстройки частоты ПГ под частоту ОГ к режиму модуляции. Момент перехода определяется появлением паузы в информационном сигнале ИМС и фиксируется УУ. В течении информационной строки осуществляется модуляция частоты ПГ сигналом ИМС, при этом напряжение подстройки хранится в ЗУ. При появлении информационной паузы

- 50 -

сигналом с УУ замыкается ключ Кл и схема переходит в режим подстройки частоты. Поскольку в течении строки частота ПГ модулировалась сигналом ИМС, то на момент замыкания кольца фаза сигнала ПГ имеет случайное значение, что по отношению к процессу подстройки частоты следует рассматривать как внешнее воздействие, отработка которого приведет к паразитным переходным процессам после замыкания кольца. УУ ДПКД

ОГ

Д

ГСС

Кл

ЗУ

ПГ

УИФД УУ Атт

ДПКД

ИМС

Рис. 1.15. Схема возбудителя ЧМ-колебаний с грубой привязкой фазы Чтобы избежать подобного явления, необходимо "привязать" разность фаз на входах ИФД перед моментом замыкания кольца. Такое решение проблемы возможно, если в в канале управления использовать астатический фильтр. Согласно рис. 1.15 привязка по фазе осуществляется сигналом УУ через предустановку делителей Д и ДПКД. Очевидно, точность привязки при подобном подходе составит величину 2π/Nmax, где

Nmax - максимальный из

коэффициентов деления делителей Д и ДПКД. Аналогичный результат получается при использовании делителей на микросхемах КМОП серий, обладающих памятью состояния при снятии питания [134,136] .Функция размыкания кольца осуществляется через запрет стробирующих импульсов управляемого ИФД. На рис. 1.16 приведена структурная схема, в которой привязка по фазе осуществляется с помощью дополнительного кольца подстройки фазы, включенного в цепь опорного генератора и обеспечивающего высокую степень точности подстройки фазы. На рисунке использованы следующие обозначения:

- 51 -

ИФ1, ИФ2 - астатические звенья - интеграторы с пропорциональным звеном, Кл1, Кл2 - электронные ключи, УЛЗ - управляемая линия задержки. В течении информационной строки сигналом управления с УУ разомкнут ключ Кл1, осуществляется частотная модуляция генератора ПГ, при переходе к информационной паузе предустанавливаются делители Д и ДПКД с описанной выше точностью и включается кольцо привязки фазы через Кл2 и УЛЗ. Кольцо привязки представляет собой астатическую систему подстройки фазы 1-го порядка, процессы в ней с учетом благоприятных начальных условий (достигается предустановкой делителей) занимают минимальное время (2-3 дискрета). После привязки фазы командой с УУ электронный ключ Кл2 размыкается а Кл1 замыкается, основное кольцо переходит в режим подстройки. УУ ДПКД

ОГ

УЛЗ

ГСС

ФИ2

Кл2

Кл1

ФИ1

ПГ

УУ

УИФД

Атт

ДПКД

ИМС

Рис. 1.16. Схема возбудителя ЧМ-колебаний с точной привязкой фазы Для достижения максимального эффекта от кольца привязки фазы необходимо узлы Кл1, ФИ1 и Кл2, ФИ2 сделать по возможности идентичными. Подобное требование выполняется на практике при реализации перечисленных блоков совместно с ИФД в интегральном виде на единой подложке. Схема, приведенная на рис. 1.16 может составить основу многочастотного синтезатора, на выходах которого одновременно присутствует несколько высокостабильных частот. Наличие кольца привязки фазы позволяет в момент перехода в режим автоподстройки очередного генератора избавиться от нежелательных процессов и обеспечить низкий уровень кратковременной нестабильности.

- 52 -

Схема, приведеная на рис. 1.15, может составить основу экономичного синтезатора частоты на основе импульсного кольца с ЦП . Делитель частоты ДПКД по возможности следует реализовывать на КМОП сериях, отпадает необходимость в привязке фазы при переходе к режиму автоподстройки. Сохранение состояния делителя на КМОП сериях в паузе при снятии питания позволяет практически сохранить значение разности фаз на момент размыкания кольца и избежать паразитных явлений после его замыкания. Иная ситуация возникает в переходном режиме синтезатора, когда в паузе разность фаз может измениться значительно, возникнут дополнительные переходные процессы на эти изменения, кроме того система может потерять устойчивость. Постановка ФНЧ в цепь управления подобной системы вызвана необходимостью фильтрации помехи на частоте размыкания кольца. Для подавления помехи на частоте дискретизации кольца необходимость в применении ФНЧ менее актуальна, поскольку ее уровень по сравнению с помехой в традиционном кольце ниже в Q раз, где Q - скважность процесса прерывания режима автоподстройки [134].

ϕпг

ωпг

1 p

ϕвх

z–1 zp

⊥

F(ϕ)

Sу

K(p)

УУ Рис. 1.17. Функциональная схема дискретной СФС с ЦП 1-го типа

ϕвх

ϕвх+ϕs

K2(p)

Sϕ

z–1 zp

⊥

F(ϕ) УУ

ωпг

1 p

•

z–1 zp

⊥

Sу

K1(p)

УУ

Рис. 1.18. Функциональная схема дискретной СФС С ЦП 2-го типа

- 53 -

Построим математическую модель дискретной системы СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки. В соответствии с проведенным выше анализом возможных применений подобного режима выделим два типа дискретных колец СФС с ЦП. К первому отнесем системы с ЦП без привязки разности фаз в момент перехода к режиму подстройки. Ко второму типу отнесем системы с привязкой разности фаз. На рис.1.17 и 1.18 приведены функциональные схемы СФС с ЦП соответственно первого и второго типов. При построении функциональных схем сделаны следующие допущения: 1) характеристика управления перестраиваемого по частоте генератора линейна на рабочем участке; 2) фазовый детектор представляет собой нелинейный функциональный преобразователь с периодической характеристикой, нулевым временем стробирования и идеальным запоминанием как на интервале стробирования так и на интервале паузы, идеальное запоминание на интервале стробирования моделируется с помощью экстраполятора 0-порядка с коэффициентом передачи

K ( p, z ) =

z −1 , где z=exp(-Tp); z⋅ p

3) режим прерывания реализуется через управление (запрет, разрешение) импульсами стробирования детектора.

n ,0

n ,k -1

n ,k + l

Рис. 1.19. Временная диаграмма импульсов стробирования в СФС с ЦП На рис.1.19 приведена временная диаграмма, поясняющая принцип функционирования кольца СФС с циклическим прерыванием. На диаграмме приняты следующие обозначения: m –период цикла прерывания, m=k+l, k – длительность режима подстройки (количество импульсов стробирования на цикле замыкания), l – длительность паузы (количество запрещенных импульсов стробирования), T – интервал дискретизации (стробирования) кольца. Согласно принятым обозначениям уравнение замыкания может быть применено для системы 2-го порядка начиная с момента времени (n,1), где n – текущий номер цикла функционирования системы. Соответственно последней точкой применения уравнения замыкания является точка (n,k). Для уравнения паузы

- 54 -

начальной и конечной точками применения на цикле будут точки (n,k+1) и (n,k+l). Для системы 2-го типа в точке (n,k+l)= (n+1,0) необходимо использовать специальное уравнение привязки фазы. В случае описания дискретной СФС с помощью набора переменных, представляющих собой разность фаз, взятых в соседние моменты времени, возникает необходимость во введении дополнительного уравнения сшивки (в случае системы 2-го порядка) или уравнений сшивки (при более высоком порядке системы), обеспечивающих корректный переход от паузы к режиму подстройки. В математическом описании бесфильтровых СФС с ЦП подобное уравнение отсутствует . Количество дискретов, в которых система будет описываться уравнениями сшивки (количество уравнений сшивки), определяется ее порядком за вычетом единицы. От уравнений сшивки можно избавиться, если перейти к математическому описанию в виде системы уравнений 1-го порядка с соответствующим выбором координат. Ниже это будет продемонстрировано на обобщенной модели (1.1.1) . 1.3.1. Импульсная СФС 2-го порядка без привязки фазы Рассмотрим импульсную СФС с циклическим прерыванием режима

автоподстройки 1-го типа. Пусть KФ ( p ) =

1 + mTФ p , использование данного 1 + TФ p

фильтра в цепи управления кольца связано с его известным свойством обеспечивать компромисс между фильтрующими свойствами и устойчивостью кольца. Выпишем уравнения кольца для различных этапов его работы. Для этого воспользуемся обобщенной моделью 2-го порядка (1.1.1). В режиме замыкания поведение СФС будет описываться непосредственно системой (1.1.1): ⎧ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i − α ⋅ F (ϕ n ,i ) + xn ,i , ⎨ = ⋅ − ⋅ + x d x β F ( ϕ ) g n ,i n ,i ⎩ n ,i +1

(1.3.1)

0 ≤ i < k. В режиме паузы система уравнений (1.31) преобразуется к виду: ⎧ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i − α ⋅ F (ϕ n ,k −1 ) + xn ,i , ⎨ = ⋅ − ⋅ + x d x β F ( ϕ ) g n , i + 1 n , i n , k − 1 ⎩

k ≤ i < k+l.

(1.3.2)

- 55 -

Использование системы уравнений исключает зависимость от координат, отстоящих во времени более чем на один дискрет, тем самым пропадает необходимость в уравнении сшивки. Пусть

KФ ( p ) =

1 + mTи p , Tи p

использование

данного

фильтра

в

цепи

управления кольца связано с обеспечением нулевых фазовых ошибок в установившемся режиме при наличии постоянных частотных расстроек. В соответствии с обобщенной моделью (1.1.1) система уравнений для режима подстройки в данном случае будет иметь вид: ⎧ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i − α ⋅ F (ϕ n ,i ) + xn ,i , ⎨ = − ⋅ x x β F ( ϕ ) n ,i n ,i ⎩ n ,i +1

(1.3.3)

0 ≤ i < k; для режима паузы: ⎧ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i − α ⋅ F (ϕ n ,k −1 ) + xn ,i , ⎨ = − ⋅ x x β F ( ϕ ) n , i + 1 n , i n , k − 1 ⎩

(1.3.4)

k ≤ i < k+l. Системы (1.3.1), (1.3.2), и (1.3.3), (1.3.4), представляют собой математические модели импульсной СФС с ЦП 1-го типа соответственно с пропорционально-интегрирующим и астатическим фильтром в цепи управления. В главе 5 на основе качественно-аналитических методов будет исследована нелинейная динамика данных моделей, включая условия возникновения и области существования различных периодических и квазипериодических движений, области устойчивости в большом и в целом в пространстве обобщенных параметров α, β, d, g. 1.3.2. Импульсная СФС 2-го порядка с привязкой фазы Согласно принятой выше классификации к системам с циклическим прерыванием режима автоподстройки 2-го типа относятся системы с привязкой фазы при переходе от режима паузы к режиму автоподстройки. Определим характер преобразования, с помощью которого в момент времени n+1,0 r осуществляется изменение координат вектора состояния q . Будем связывать r r изменение вектора q с переходом от к qn ,k +l = (ϕ n ,k +l , xn ,k +l )T r qn +1, 0 = (ϕ n +1, 0 , xn +1, 0 )T .

- 56 -

Изменение первой координаты очевидно и имеет вид

ϕ n+1,0 = ϕ 0 ,

(1.3.5)

где ϕ0 – значение разности фаз, которое принудительно устанавливается в момент перехода к режиму автоподстройки, в дальнейшем не нарушая общности, его можно положить равным нулю. Для того, чтобы определить изменение второй координаты, обратимся к выражению для xn+1,0. Согласно (1.1.7)

xn+1, 0 = d (ϕ n+1, 0 − ϕ n ,k +l −1 ) + (α ⋅ d − β ) F (ϕ n ) + g . С учетом (1.3.5) имеем:

xn,k +l = d (ϕ n,k +l − ϕ n ,k +l −1 ) + (dα − β ) F (ϕ n,k +l −1 ) + g , xn+1, 0 = d (ϕ 0 − ϕ n,k +l −1 ) + (dα − β ) F (ϕ n,k +l −1 ) + g

.

(1.3.6)

В итоге получаем для xn+1, 0

xn+1, 0 = xn,k +l − dϕ n,k +l + dϕ 0

(1.3.7)

Принимая во внимание (1.3.6) и (1.3.7), можно выписать матричное уравнение, описывающее процесс предустановки разности фаз: ⎛ ϕ n+1, 0 ⎞ ⎛ 0 ⎟ = ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜x ⎝ n+1, 0 ⎠ ⎝ − d

0 ⎞ ⎛ ϕ n ,k +l ⎞ ⎛1⎞ ⎟⎟ + ϕ 0 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 ⎠ ⎝ xn ,k +l ⎠ ⎝d ⎠

(1.3.8)

или в развернутом виде: ⎧⎪ϕ n+1, 0 = ϕ 0 . ⎨ ⎪⎩ xn+1, 0 = xn ,k +l + d (ϕ 0 − ϕ n ,k +l )

(1.3.9)

Наличие уравнения (1.3.8) или (1.3.9) принципиально отличает математическую модель СФС с ЦП 2-го типа от модели СФС с ЦП 1-го типа. Выпишем систему уравнений для СФС второго порядка с ЦП 2-го типа. Пусть KФ ( p ) =

1 + mTФ p . В этом случае дополнительно к системе уравнений (1.3.1), 1 + TФ p

(1.3.2), описывающих кольцо СФС на интервалах автоподстройки и паузы, добавляется система уравнений привязки (1.3.9). Математическая модель системы с ПИФ будет иметь вид: ⎧ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i − α ⋅ F (ϕ n ,i ) + xn ,i , ⎨ = ⋅ − ⋅ + x d x β F ( ϕ ) g n , i + 1 n , i n , i ⎩

0 ≤ i < k,

⎧ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i − α ⋅ F (ϕ n ,k −1 ) + xn ,i , ⎨ ⎩ xn ,i +1 = d ⋅ xn ,i − β ⋅ F (ϕ n ,k −1 ) + g

k ≤ i < k+l,

(1.3.10)

- 57 -

⎧⎪ϕ n+1, 0 = ϕ 0 , ⎨ ⎪⎩ xn+1, 0 = xn ,i +1 + d (ϕ 0 − ϕ n ,i +1 )

Для KФ ( p ) =

i=k+l-1,

1 + mTи p математическая модель системы с привязкой по Tи p

фазе будет иметь вид: ⎧ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i − α ⋅ F (ϕ n ,i ) + xn ,i ⎨ ⎩ xn ,i +1 = xn ,i − β ⋅ F (ϕ n ,i ) ⎧ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i − α ⋅ F (ϕ n ,k −1 ) + xn ,i ⎨ ⎩ xn ,i +1 = xn ,i − β ⋅ F (ϕ n ,k −1 )

⎧⎪ϕ n+1, 0 = ϕ 0 , ⎨ ⎪⎩ xn+1, 0 = xn ,i +1 + ϕ 0 − ϕ n ,i +1

0 ≤ i < k,

, ,

k ≤ i < k+l,

(1.3.11)

i=k+l-1,

Наличие в моделях (1.3.2), (1.3.4), (1.3.10), (1.3.11) плавающей точки с координатой ϕn,k-1 приводит к особенностям их линеаризации в окрестности состояния равновесия. Появляется необходимость учета зависимости значения этой координаты от величины возмущения в режиме замкнутого кольца. Продемонстрируем это на примере СФС без привязки по фазе. 1.4. Выводы 1. В главе получены обобщенные модели широкого класса неавтономных дискретных систем фазовой синхронизации 2-го и 3-го порядков с

произвольной нелинейностью фазового детектора F(ϕ) в форме систем разностных уравнений (1.1.1.) и (1.1.2). В число их входят однокольцевые импульсные, цифровые, импульсно-цифровые СФС с различными фильтрами в цепи управления. Выбор обобщенных координат ϕ, x, y связан c учетом качественно-аналитических методов исследования процессов на фазовом цилиндре, разрабатываемых в последующих главах. Представление результатов исследований в терминах обобщенных параметров α, β, η, d, h с одной стороны предполагает простой переход к физическим параметрам, с другой стороны, позволяет расширить знания о поведении конкретных физических систем, основанные на общих тенденциях поведения обобщенных моделей. 2. Получены математические модели двухкольцевых связанных дискретных СФС с двумя внешними опорными колебаниями с

- 58 -

преобразованием и без преобразования частоты и комбинированных систем частотно-фазовой автоподстройки в форме системы разностных уравнений 2-го и 3-го порядков. Отличительной особенностью двухкольцевых систем является наличие в общем случае двух временных дискретов. Для построения моделей предложен переход в новую временную шкалу. Как и в случае однокольцевых СФС полученные уравнения могут выступать в качестве обобщенных моделей как импульсных так и цифровых связанных систем. Соответственно результаты исследований могут быть интерпретированы в данные конкретных физических объектов, при этом сохраняется информация об общих тенденциях поведения систем. 3. Получены модели двух типов дискретных СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки 2-го порядка: без привязки и с привязкой фазы в момент перехода от режима паузы к режиму подстройки. За основу взяты обобщенные модели дискретных однокольцевых СФС. Соответственно, полученные в обобщенных параметрах результаты исследований могут быть переведены в физические параметры конкретных систем с прерыванием, объединенных условиями перехода к режимам паузы и подстройки. 4. Существование обобщенных моделей для систем одного класса (однокольцевых, двухкольцевых с взаимными связями, однокольцевых с прерыванием режима автоподстройки) и использование единой основы для построения моделей различных классов позволяет, в конечном итоге, применить к этим системам методики и алгоритмы анализа, основанные на единых подходах. В основе методик лежат качественно-аналитические методы анализа движений на фазовом цилиндре, разрабатываемые во 2-й главе применительно к однокольцевым СФС. В последующих главах эти методы получили развитие для систем других классов.

- 59 -

Глава 2. Нелинейные процессы в дискретных СФС второго порядка Как было отмечено во введении, наиболее полные и точные результаты анализа нелинейных процессов в дискретных СФС 2-го порядка с различными нелинейностями на сегодняшний день получены качественно-аналитическими и качественно-числеными методами исследования [54,78-81,83], в том числе в работах автора диссертации [75,90,91], посвященных анализу устойчивости кусочно-линейных СФС. Применение указанных методов наряду с многочисленными качественными результатами позволяет получить либо точные расчетные выражения для оценки динамических характеристик: областей существования различных движений, областей устойчивости в целом, полос захвата, либо построить простые численные процедуры для их определения. Цель главы состоит в обобщении результатов, полученных автором в более ранних работах, по разработке качественных методов исследования нелинейной динамики дискретных СФС 2-го порядка, обобщенной моделью которых служит отображение (1.1.1). С помощью предложенных методов изучаются динамические характеристики ряда дискретных СФС второго порядка, к которым относятся импульсные и цифровые системы с различными нелинейными свойствами детекторов и типами фильтров в цепи управления. Рассматриваются дискретных СФС: области следующие основные характеристики существования вращательных и колебательных периодических движений и бифуркации, приводящие к их возникновению и потере устойчивости, области существования квазипериодических движений и бифуркации, приводящие к их возникновению, области устойчивости в большом и в целом, зависимости полосы захвата по частоте от различных параметров, характер и длительность переходных процессов. Предложенные и обобщенные методики качественно-аналитических исследований нелинейных режимов применены в главе также для решения задач анализа влияния конечной разрядной сетки на процессы в цифровых СФС и анализа устойчивости нелинейных режимов неавтономных СФС при периодических по частоте воздействиях. В соответствии с предлагаемой методикой в основу анализа основных динамических характеристик СФС положены результаты исследования установившихся периодических и квазипероиодических движений: условия

- 60 -

возникновения и потери устойчивости, области существования. В свою очередь, анализ установившихся движений выполняется на основе изучения типовых бифуркаций фазовых портретов отображения (1.1.1) с учетом специфики рассматриваемых нелинейностей (периодических, гладких, разрывных). К числу их относятся: 1) бифуркации потери устойчивости неподвижными точками, связанные с переходом границ локальной устойчивости; 2) бифуркации потери устойчивости неподвижными точками, связанные с переходом через граничные точки нелинейностей (ϕi=±c для Fc(ϕ) и ϕi=±1 для F1(ϕ)); 3) бифуркации фазовых портретов, вызванные пересечением сепаратрисных инвариантных многообразий седловых неподвижных точек. Под неподвижными точками отображения (1.1.1) понимаются простые неподвижные точки – состояния равновесия, и k-кратные неподвижные точки, принадлежащие k-периодическим движениям; k-кратные неподвижные точки переходят в простые неподвижные точки при k-последовательном применении к ним отображения (1.1.1). 2.1. Качественные методы анализа процессов на фазовом цилиндре. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек В разделе обсуждаются основные положения качественных методов анализа процессов на фазовом цилиндре. Основу методов составляют результаты исследования бифуркаций, приводящих к возникновению периодических и квазипериодических движений. Изучение первых из них сводится к анализу неподвижных точек различной кратности, изучение вторых основано на анализе инвариантных сепаратрисных многообразий седловых неподвижных точек различной кратности. Рассмотрим бифуркации, связанные с потерей устойчивости неподвижных точек, для этого запишем отображение (1.1.1) в виде:

⎧ϕ = P(ϕ , x, µ ) , ⎨ x Q ϕ x µ = ( , , ) ⎩

(2.1.1)

где ϕ = ϕ n+1 , ϕ = ϕ n , x = xn+1 , x = xn , µ – обобщенный параметр, в качестве которого может выступать любой из параметров рассматриваемой модели. r r Введем вектор q = qn = (ϕ n , xn )T и вектор q = qn +1 = (ϕ n +1 , xn +1 )T , определяющие

- 61 -

состояние системы в два соседних момента времени n и n+1 . Тогда (2.1.1) будет иметь вид q = f ( q, µ ) ,

где

f ( q, µ ) – вектор-функция,

(2.1.2) представляющая

собой

отображение,

переводящее вектор q в вектор q . Для рассматриваемых нелинейностей отображение f(q,µ) в общем случае является негладким, что не позволяет реализовать единый подход для анализа движений. Для гладких f(q,µ) (F(ϕ) = Fs(ϕ)) при анализе колебательных и вращательных движений, которые могут быть сведены к неподвижным точкам, достаточно эффективной является теорема о центральном многообразии [34]. Согласно этой теореме в фазовом пространстве отображения в окрестности неподвижной точки qN существует многообразие M, отвечающее условию локальной инвариантности (любая точка этого многообразия переводится рассматриваемым отображением в точку, также принадлежащую этому многообразию) и локальной устойчивости (при n → ∞ расстояние между отображением и многообразием M стремится к нулю). С учетом условий применимости теоремы о центральном многообразии ее можно разделить на следующие два утверждения [35] : 1. Пусть в точке qN при µ = µ ∗ характеристическое уравнение ⎧∂ ⎫ Det ⎨ f (q ) − ρE ⎬ = 0 ⎭ ⎩ ∂q

(2.1.3)

точечного отображения q = f (q, µ ) , зависящего от параметра µ, имеет конечное число корней, лежащих на единичной окружности, а остальные лежат внутри круга единичного радиуса, тогда с помощью линейной замены переменных в окрестности qN при µ, близких к µ∗, оно может преобразовано к виду ⎧ y1 = a ( µ ) + A( µ ) y1 + f1 ( y1 , y2 , µ ) , ⎨ = ( ) + ( ) + ( , , ) y b µ B µ y f y y µ ⎩ 2 2 2 1 2

(2.1.4)

где A(µ) – матрица с собственными значениями, лежащими на единичной окружности при µ = µ ∗ , B(µ) – матрица с собственными значениями, лежащими внутри круга единичного радиуса, f1 ( y1 , y 2 , µ ) и f 2 ( y1 , y2 , µ ) не ниже второго порядка малости относительно y1 и y2 .

- 62 -

Отображение (2.1.1) предполагается гладким по переменной q и параметру

µ. Гладкость a(µ), b(µ), A(µ), B(µ), f1(y1,y2,µ), f2(y1,y2,µ) по входящим в них переменным не ниже гладкости отображения (2.1.1). 2. Пусть у отображения (2.1.4) при µ = µ ∗ a(µ) = b(µ) = 0 , тогда в некоторой окрестности Ω ( y1 ≤ ε , y 2 ≤ δ ) при

µ − µ ∗ ≤ν

существует

гладкое устойчивое инвариантное многообразие М размерности d, равной числу собственных значений матрицы A(µ) :

y2 = g ( y1 , µ ) .

(2.1.5)

Окрестность Ω преобразуется в область Ω , для любой точки ( y1 , y2 ) которой

y2 ≤ δ , и если последовательные преобразования (2.1.4) точки

( y1 , y2 )∈Ω не покидают окрестности Ω, то с течением времени расстояние между текущим состоянием и инвариантным многообразием M стремится к нулю. Теорема о центральном многообразии позволяет свести рассмотрение поведения фазовых траекторий системы в окрестности неподвижных точек к рассмотрению их поведения на устойчивом гладком инвариантном многообразии. Отображение на многообразии M примет следующий вид

y1 = a( µ ) + A( µ ) y1 + f1 ( y1 , g ( y1 , µ ), µ ) .

(2.1.6)

Первым шагом исследования бифуркаций c использованием теоремы о центральном многообразии является разложение отображения (2.1.2) в ряд Тейлора в окрестности неподвижной точки qN : r r 1 r r f (qN + ∆q ) = f (qN ) + f ′(qN )∆q + f ′′(qN )(∆q1 , ∆q2 ) + 2 (2.1.7) r r r 1 + f ′′′(qN )(∆q1 , ∆q2 , ∆q3 ) + ..., 3! r где ∆q = ( ∆q1 , ∆q 2 , ..., )T – вектор смещения от точки qN (приращение r аргумента), для отображения (1.1.1) ∆q = ( ∆ϕ , ∆x )T . Каждый p-й дифференциал r r r отображения f ( p ) (q N )(∆q1 , ∆q2 , ..., ∆q p ) представляет собой p-линейный по r r r каждой векторной переменной ∆q1 , ∆q2 , ..., ∆q p оператор. r Здесь f ′(qN )∆q – первый дифференциал отображения. Производная

f ′(qN ) – матрица Якоби отображения, представляющая собой матрицу частных

- 63 -

производных функции

f (qN ) . Для (2.1.1) первые два дифференциала

отображения будут иметь вид ∂P(qN ) ⎧ ∂P(qN ) ∆ + ϕ ∆x r ⎪⎪ ∂ϕ x ∂ , f ′(qN )∆q = ⎨ ∂Q(qN ) ∂P(qN ) ⎪ ∆ϕ + ∆x ⎪⎩ ∂ϕ ∂x r r f ′′(qN )(∆q1 , ∆q2 ) =

⎧ ∂ 2 P(qN ) ∂ 2 P (qN ) 2 ∂ 2 P(qN ) ∂ 2 P(qN ) 2 ∆x ∆ ∆ + ϕ ϕ ϕ ∆ ∆ + ∆ + x x ⎪⎪ ∂ϕ 2 . ∂x 2 ∂x ∂ϕ ∂ϕ ∂x =⎨ 2 2 2 2 ⎪ ∂ Q(qN ) ∆ϕ 2 + ∂ Q(qN ) ∆ϕ∆x + ∂ Q(qN ) ∆x∆ϕ + ∂ Q(qN ) ∆x 2 ⎪⎩ ∂ϕ 2 ∂ϕ ∂x ∂x ∂ϕ ∂x 2

(2.1.8)

Для исследований бифуркаций, связанных с нарушением устойчивости простой неподвижной точки, в выражении (2.1.6) необходимо учитывать члены до третьего порядка включительно, в случае более сложных бифуркаций – большее число членов. Следующим шагом является приведение ряда (2.1.7) к нормальной форме [34]. Линейной заменой переменных ряд (2.1.7) преобразуется к виду (2.1.4). Затем ищется инвариантное многообразие М в виде y2 = c1 y1 + c2 y12 + c3 y13 + ... ,

(2.1.9)

где коэффициенты сi , i=1,2,…, определяются из условия инвариантности. На этом многообразии исследуемое отображение в общем случае принимает вид 3

y1 = a( µ ) + A( µ ) y1 + c( µ ) y12 + O( y1 ) ,

(2.1.10)

из которого находятся неподвижные точки. Размерность (2.1.10) определяется количеством корней характеристического уравнения (2.1.3), лежащих на единичной окружности. Для отображения (2.1.1) простейшим случаям нарушения устойчивости неподвижной точки соответствует появление у (2.1.3) одного действительного корня, равного +1 или –1, либо двух комплексных сопряженных корней e iϕ и e − iϕ (0 < ϕ < π). Соответственно отображение (2.1.10) будет одномерным либо двумерным. В первом случае A(µ∗)=1 или A(µ∗)=-1. Во втором случае A(µ) представляет собой матрицу второго порядка, имеющую при µ = µ ∗ собственные значения e iϕ и e − iϕ . Границы области устойчивости неподвижной точки, отвечающие этим случаям, обозначим через G+1, G-1, Gϕ .

- 64 -

На рис. 2.1 на плоскости обобщенных параметров α, β приведены области локальной устойчивости состояния равновесия отображения (1.1.1) для синусоидальной нелинейности. В случае нулевой обобщенной частотной расстройки g область имеет вид треугольника, каждая из сторон которого представляет собой одну из границ G+1, G-1, Gϕ (рис. 2.1а). В случае отличной от нуля обобщенной расстройки (рис. 2.1б) только граница G+1 является прямой, сдвинутой отосительно начала координат, границы G-1, Gϕ таковыми не являются. Для треугольной и пилообразной нелинейностей области локальной устойчивости имеют вид, аналогичный приведенному на рис. 2.1а , независимо от величины обобщенной растройки. α

α

g=0

B

g = 0 ,5

B

2π 3

A

2π 3

G

π

2

ϕ

π

G

2

ϕ

G

A

G

-1

G

G

+1

+1

-1

C

C

а)

β

β

б)

Рис. 2.1. Области локальной устойчивости СФС с Fs(ϕ) Для F(ϕ)=Fs(ϕ) при потере устойчивости неподвижной точкой с переходом границы G+1 наблюдается следующая бифуркация [35]: неподвижная точка типа устойчивый узел сливается с неподвижной точкой типа седло с последующим исчезновением (рис. 2.2а). Подобная бифуркация, например, наблюдается с ростом обобщенной частотной расстройки g , аналогичный результат возникает с уменьшением усиления в кольце при постоянной расстройке (уменьшение α, β ). При потере устойчивости неподвижной точкой с переходом границы G-1 в общем случае наблюдаются два варианта бифуркаций. В первом случае устойчивая неподвижная точка при µ = µ ∗ становится неустойчивой типа

- 65 -

седло, при этом дополнительно возникают еще две устойчивые двукратные неподвижные точки (рис. 2.2.б). Во втором случае устойчивая неподвижная точка сливается с двумя неустойчивыми двукратными точками типа седло с образованием одной неустойчивой точки типа седло. Для дискретных СФС с Fs(ϕ) характерным является первый случай. Он приводит к явлению, получившему в теории колебании специальное название – рождение цикла с удвоением периода. Подобная бифуркация составляет основу одного из сценариев возникновения хаотических колебаний.

µ<µ*

µ>µ*

µ<µ*

µ>µ*

а) б) Рис. 2.2.Фазовые портреты возникновения неустойчивости при переходе границ G+1 и G-1 При потере устойчивости неподвижной точкой с переходом границы Gϕ основной бифуркацией является рождение устойчивой замкнутой инвариантной кривой (рис. 2.3а). Подобный случай напоминает режим мягкого возбуждения колебаний в непрерывных системах, при этом размер замкнутой кривой определяется расстоянием до границы Gϕ . Для случаев, когда выход за границу Gϕ происходит в точках ϕ =2π m/(r+1), где m, r – целые числа, на инвариантной кривой рождаются два цикла равных периодов – устойчивый и неустойчивый, состоящие соответственно из устойчивых узловых k-кратных неподвижных точек и седловых k-кратных неподвижных точек. Пример подобной бифуркации для ϕ =π /2 , приводящей к 4-кратным неподвижным точкам, приведен на рис. 2.3б. Подобная бифуркация не является грубой. В то же время она фиксирует точку границы области существования цикла периода k=4 , расположенную на Gϕ . В этой ситуации методом продолжения по параметру легко восстановить всю область существования данного движения. На рис. 2.4 наряду с областью локальной устойчивости состояния равновесия G0 показана область

- 66 -

существования данного цикла G01 / 4 . Области, аналогичные G01 / 4 , можно построить и для циклов других периодов, возникающих при пересечении границы Gϕ .

µ<µ*

µ>µ*

µ>µ*

а) б) Рис. 2.3. Фазовые портреты возникновения неустойчивости при переходе границы Gϕ β

B'

g=0 G

1 0 /4

B

2π 3

π

2

G

ϕ

А'

A

C'

G

G

+1

C

G

-1

G

2 0 /4

0 /2

α

Рис. 2.4. Области циклов, возникших при переходе границ Gϕ и G-1 Для k-кратных неподвижных точек отображения (2.1.1) (колебательные и вращательные движения периода k>1) применение теоремы о центральном многообразии аналогично случаю с однократными неподвижными точками с учетом перехода к эквивалентному k-кратному отображению вида q ( k ) = f ( k ) (q, µ ) ,

(2.1.8)

где q (k ) – вектор состояния, в которое переходит система в результате kкратного последовательного отображения вектора состояния q .Очевидно, результат анализа бифуркаций будет одним и тем же для любой из k-кратных

- 67 -

неподвижных точек, входящих в состав k-периодического движения. Для конкретного применения результатов анализа бифуркаций простых неподвижных точек достаточно линеаризовать отображение (2.1.8) в окрестности k-кратных точек и определить корни характеристического уравнения точек на границах области существования (для рассматриваемого примера на границах области G01 / 4 ). Переход через границы, аналогичные G+1, G-1, Gϕ , приведет к тем же бифуркациям. Для области G01 / 4 характерны

следующие бифуркации: переход через границу A′B′ (Gϕ) сопровождается рождением инвариантной замкнутой кривой , через границу B′C′ (G-1) – бифуркацией удвоения периода циклического движения (вместо цикла 1-го рода периода k=4 структуры 0/4 переходит в цикл 1-го рода периода k=8 структуры 0/8), через границу A′С′ (G1) – слиянием соседних k-кратных устойчивых и неустойчивых точек (рис.2.2а). Последние бифуркации происходят в пределах области локальной устойчивости отображения (2.1.1) G0. На рис. 2.4 приведена также область существования еще одного цикла 1-го рода периода k=4 структуры 0/4 – область G02/ 4 Сценарий возникновения данного цикла иной. Цикл возникает через цепочку удвоения периода, включающей двойной переход границы G-1 . Первоначально удвоение периода происходит при переходе через границу G-1 (ВС), в результате чего рождается цикл периода k=2 структуры 0/2. Повторное удвоение периода происходит при переходе через границу G-1 области существования цикла структуры 0/2 (2кратных неподвижных точек). Для кусочно-линейных отображений ситуация с потерей устойчивости неподвижных точек будет иной. Отличия сводятся к следующим утверждениям. 1. Переход через границу G-1 области устойчивости неподвижной точки qN на линейном участке кусочно-линейной функции Fc(ϕ) сопровождается рождением седловой точки, из окрестности которой разбегаются траектории вдоль сепаратрисной инвариантной кривой. Разбегание траекторий происходит по законам линейного отображения до границ линейного участка Fc(ϕ). В окрестности граничных точек формируется инвариантное притягивающее многообразие. Пример подобной бифуркации для Fc(ϕ) , c=0.6 приведен на рис.2.5а,б.

- 68 L1

Lϕ

Lϕ

L2

O′

O

L2

Lx

Lx

c = 0 .6 m = 0 .0 α ρ = 10 g =0

с = 0. 6 m=0 α ρ= 1 0 g = 0. 13

L1 ϕ

ϕ

а) б) Рис. 2.5. Фазовые портреты кусочно-линейной СФС, возникающие при переходе границы G-1 2. Переход через границу Gϕ области устойчивости неподвижной точки qN на линейном участке кусочно-линейной функции Fc(ϕ) сопровождается рождением неустойчивого фокуса, из окрестности которого разбегаются траектории по инвариантной раскручивающейся спирали. Как и в предыдущем случае разбегание траекторий происходит по законам линейного отображения вплоть до границ ϕ=± с , в окрестности которых также формируется инвариантное притягивающее многообразие. Пример подобной бифуркации для Fc(ϕ) , c=0.6 приведен на рис. 2.6а,б.

L1

L2

Lϕ O′

L2

Lϕ

c = 0 .6 m = 0 .0 α ρ = 0 .1 g =0

с = 0.6 m=0 αρ = 0. 1 g = 0. 16

Lx ϕ

L1

Lx ϕ

а) б) Рис. 2.6. Фазовые портреты кусочно-линейной СФС, возникающие при переходе границы Gϕ

- 69 -

3. Переход через границу G1 области устойчивости неподвижной точки qN возможен не всегда. В случае нелинейности Fs(ϕ) эта граница всегда совпадает с границей существования состояния равновесия R (рис. 2.1). С ростом обобщенной расстройки граница автоматически смещается (рис. 2.1б) в сторону больших α, β , непосредственно на границе происходит слияние узловой и седловой точек с последующим исчезновением (рис. 2.2а). Для Fс(ϕ) с ростом обобщенной расстройки граница R смещается в сторону больших α, β, при этом G1 не меняет своего положения. Это приводит к тому, что для g ≠ 0 образование сложной точки узел-седло происходит не на G1 а на R .Как и в случае гладкой нелинейности сложная точка исчезает с образованием фазового портрета, характеризуемого уплотнением траекторий (рис. 2.2а). На фазовой плоскости образование сложной точки узел-седло происходит в точках ϕ=± с. 4. Смещение границы существования состояния равновесия с ростом g приводит к тому, что исчезновение точки равновесия может произойти через область комплексных корней характеристичекого уравнения неподвижной точки без достижения границы Gϕ . Согласно рис.2.7 это происходит на границе R при пересечении отрезка а-б. Исчезновение точки равновесия в данном случае происходит через образование сложной точки фокус-седло, переходящей в уплотнение траекторий. На фазовой плоскости образование

точки фокус-седло происходит также в точке ϕ=± с . β

π

2

g=0,2 Gϕ а

G-1

A G0

б R G1

с C

α

Рис. 2.7. Область локальной устойчивости и область существования состояния равновесия СФС с Fс(ϕ)

- 70 -

5. Утверждения 3 и 4 приводят к следующему обобщению свойств отображения (2.1.1) с Fс(ϕ). В общем случае при g ≠ 0 неподвижные точки исчезают (возникают) не при пересечении границ локальной устойчивости (Gϕ , G1) а при пересечении границы существования (R) через образование сложных точек узел-седло или фокус-седло. Данные бифуркации на фазовой плоскости

могут происходить только в граничных точках функции Fс(ϕ) ϕ=± с. Сделанные выводы относительно возникновения неподвижных точек для (2.1.1) с Fс(ϕ) могут быть обобщены на случай разрывной функции F1(ϕ) .При этом под седловой точкой необходимо понимать вырожденную точку, находящуюся в месте разрыва F1(ϕ) . Для того, чтобы при таком предположении избежать математических трудностей, достаточно допустить существование бесконечно малой длительности участка F1(ϕ) с отрицательным наклоном. Подобный подход позволяет объяснить существование всех бифуркаций отображения (2.1.1), связанных с рождением и исчезновением неподвижных точек. Как и в случае гладкой нелинейности, результаты анализа бифуркаций простых неподвижных точек могут быть перенесены на k-кратные неподвижные точки. При этом переходу k-кратной неподвижной точкой границы существования Rk на плоскости параметров соответствует пересечение на фазовой плоскости границ линейности Fс(ϕ) либо F1(ϕ). Данное утверждение будет ниже использовано в качестве необходимого условия возникновения периодических движений кусочно-линейных отображений. На рис. 2.8 приведен характерный пример расположения 3-кратных устойчивых и неустойчивых точек, принадлежащих соответственно устойчивому и неустойчивому циклам периода k=3 для Fс(ϕ) с с=0.6 . Оба движения относятся к циклам 2-го рода с одним проскальзыванием, отличаются на единицу количеством неподвижных точек, приходящихся на устойчивую и неустойчивую ветви нелинейности Fс(ϕ). Как рождение цикла, так и исчезновение происходят за счет возникновения сложной точки узел-седло в граничных точках нелинейности. На рис. 2.8а показана область существования цикла на плоскости физических параметров D, Dγ

(усиление, частотная

расстройка), справа область ограничивается прямой G-1, пересечение которой

- 71 -

сопровождается многообразия.

возникновением

D γн

инвариантного

притягивающего

x

г)

L

в)

2

L

б)

1

O’

D

а)

ϕ

б)

x

x

L

L

2

2

L

1

L

1

O’

O’

ϕ

в)

ϕ

г)

Рис. 2.8. Фазовые портреты возникновения пары "устойчивый-неустойчивый" цикл с k=3 Рассмотрим основные типы фазовых портретов, возникновение которых вызвано взаимодействием инвариантных сепаратрисных входящих и выходящих многообразий седловых неподвижных точек отображения (2.1.1). На рис. 2.9 показаны фазовые портреты двух типов седловых неподвижных точек, реализуемых в рассматриваемых СФС. На рис. 2.9а – для узла 1-го типа (корни характеристического уравнения ρ1, ρ2 отвечают условиям 0< ρ1 < 1,

ρ2 >1), на рис. 2.9б – для седла 3 го типа (-1< ρ1 < 0, ρ2 >1). Прежде всего, для обоих типов и входящие и выходящие сепаратрисные многообразия являются одномерными. Для седла 1-го типа движение является знакопостоянным относительно неустойчивого (выходящего) многообразия, для седла 3-го типа -

- 72 -

знакопеременным. Взаимное расположение входящего сепаратрисного многообразия данной седловой точки и выходящего многообразия соседней седловой точки определяет характер движений не только в окрестности неподвижных точек, но и в целом в системе.

а) б) Рис. 2.9. Фазовые портреты седловых неподвижных точек На рис. 2.10, 2.12, 2.13 приведены фазовые портреты для случая седла 1-го типа (точка О′), построенные для различных параметров отображения (2.1.1) с Fc(ϕ). На качественном уровне они повторяют соответствующие фазовые

портреты отображения с Fs(ϕ). На рис. 2.10 приведены результаты для случая слабой колебательности и с=0.6, на рис. 2.12 – для сильной колебательности и с=0.6, на рис. 2.13 – для сильной колебательности и с=0.95. На рис. 2.10а представлена ситуация, когда входящая инвариантная кривая седла L1 проходит выше выходящей инвариантной кривой предыдущего седла L′2 (с учетом периодичности функции Fc(ϕ) L′2 является продолжением

выходящей инвариантной кривой седла О′ - L2). В этом случае все движения с течением времени из произвольных начальных условий приходят в окрестность устойчивого состояния равновесия О. С ростом расстройки g наблюдается пересечение инвариантных кривых L1 и L′2 , однако при этом характер установившихся процессов не изменится, поскольку рано или поздно вектор сотояния окажется в области, для которой L′2 проходит ниже L1 , откуда движение придет в окрестность О. Качественно ситуация меняется, если кривая L′2 проходит выше L1 (граничная ситуация приведена на рис.2.10б). В этом

случае из области , находящейся выше L′2 , система никогда не попадет в окрестность О. Возможны два варианта движений. Первый соответсвует

- 73 -

x

x

Lx

O'

O

L2

O

Lϕ

Lϕ

Lx

O'

L1

ϕ

ϕ

а)

б)

x

x

Lx

Lx

L2

L2 L1

L1

O O

O'

O'

Lϕ

Lϕ

ϕ

ϕ в)

г)

Рис. 2.10. Фазовые портреты дискретной СФС с Fc(ϕ) для случая слабой колебательности

- 74 -

движению с проскальзыванием по координате ϕ на некоторой инвариантной кривой, замкнутой по поверхности фазового цилиндра – квазипериодичекому движению (рис. 2.10б,в). Второй соответствует циклическому движению 2-го рода, возникшему при дальнейшем росте обобщенной расстройки (рис. 2.10г). Квазипериодическое движение существует в том случае, если отсутсвует периодическое движение. На рис. 2.11 приведен спектр квазипериодического движения вблизи точки возникновения. С ростом расстройки спектр движения принимает все более дискретный характер. Как было показано выше, устойчивые k-кратные точки существуют только вместе с неустойчивыми точками той же кратности – седлами (устойчивый цикл периода k существует вместе с неустойчивым циклом того же периода, рис. 2.10г). Взаимное расположение k-кратных входящих и выходящих инвариантных кривых k-кратных седел определит дальнейшее изменение фазового портрета с ростом расстройки. Если выходящая кривая проходит ниже входящей, то вся область фазового цилиндра, расположенная выше устойчивого цикла является областью его притяжения. Если наоборот, то повторяется сценарий с однократными точками, согласно которого возникает либо инвариантное притягивающее многообразие либо еще один устойчивый цикл меньшего периода, либо цикл большего периода но с несколькими проскальзываниями по фазовому цилиндру. Подобная ситуация наиболее характерна для сильной колебательности (рис. 2.12). На рис. 2.12а приведен фазовый портрет, соответствующий взаимному расположению L′2 и L1 , близкому к критическому. Незначительное увеличение расстройки приводит к возникновению притягивающего инвариантного многообразия. С ростом расстройки возникает цикл 2-го рода периода k=3 (рис.2.12б), затем к циклу добавляется притягивающее инвариантное многообразие (рис. 2.12в). Подобный переход стал возможен благодаря изменению взаимного расположения входящих и выходящих сепаратрисных кривых 3-кратных седловых точек. Дальнейшее увеличение расстройки приводит к появлению цикла периода k=8 с тремя проскальзываниями (рис. 2.12г).

- 75 -

Рис. 2.11. Спектр квазипериодического движения Для рис. 2.13 имеет место качественно аналогичная рис. 2.12 цепочка бифуркаций рождения квазипериодических (рис. 2.13б) и периодических (рис. 2.13в,г) движений. Исключение составляет отсутствие второго инвариантного притягивающего многообразия; объяснение состоит в области параметров, в которой одновременно существуют циклы периодов k=2 и k=3 с двумя проскальзываниями. Второй из них притягивает всю верхнюю часть фазового цилиндра, что в свою очередь достигается соответствующим расположением сепаратрисных кривых 3-кратных седловых точек. Приведенные фазовые портреты являются типовыми не только для отображения с нелинейностью Fc(ϕ), но и для отображений с Fs(ϕ) . В случае нелинейности F1(ϕ) ситуация иная. Поскольку для вырожденного седла (или седла, близкого к вырождению) входящая сепаратрисная кривая проходит вертикально через область разрыва, то условий для возникновения квазипериодических движений не существует. По этой причине в системе с F1(ϕ) возникают только k-кратные точки.

В случае седла 3-го типа в целом качественная картина фазовых портретов сохраняется. Система будет вести себя иначе в окрестности выходящей сепаратрисной кривой, что скажется на алгоритме расчета граничных параметров возникновения квазипериодических движений. В случае седла 1-го типа условие касания кривых L1 и L′2 может выступать в качестве достаточного для их возникновения. В случае седла 3-го типа квазипериодические движения возникают при расстройках, превышающих значения, при которых происходит касание.

- 76 -

x

L1

L2 Lϕ Lx

ϕ а)

б)

x

x

ϕ г)

ϕ в)

Рис. 2.12. Фазовые портреты дискретной СФС с Fc(ϕ) для случая сильной колебательности

- 77 x

x

L’2 Lx L’2 L1

L1

Lϕ

Lϕ

Lx

ϕ

ϕ

а)

б)

x

x Lx

Lx

Lϕ

ϕ

в)

ϕ

г)

Рис 2.13. Фазовые портреты дискретной СФС с Fc(ϕ) для случая сильной колебательности (одновременно существуют два предельных цикла)

- 78 -

2.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений Предлагаемая в разделе методика расчета бифуркационных параметров кусочно-линейных отображений 2-го порядка основана на сформулированных выше утверждениях о возможности возникновения неподвижных точек на границах линейных участков функций Fc(ϕ) и F1(ϕ). Для возникновения простых неподвижных точек данные утверждения являются достаточными. Для возникновения k-кратных неподвижных точек они выступают в качестве необходимых, достаточность обеспечивается дополнительным структурным условием, определяющим принадлежность остальных k-1 k-кратных точек линейным участкам функций Fc(ϕ) и F1(ϕ). Дадим ряд определений, которые будут использованы при разработке методики. * Будем называть предельным циклом структуры (u/k) (ПЦ) периодическое движение периода k, абсолютное приращение фазы на периоде которого равно 2u. * Предельный цикл (u/k) , u = 0 , будем называть циклом 1-го рода или колебательным движением (ПЦ1). * Предельный цикл (u/k) , u ≠ 0 , будем называть предельным циклом 2-го рода или вращательным движением (ПЦ2). * Предельные циклы 1-го и 2-го рода будем характеризовать числом проскальзываний по фазе или числом полных оборотов вокруг фазового цилиндра. * Простейшими циклами 2-го рода будем называть циклы 2-го рода с одним проскальзыванием по фазе. * Циклы структуры (u/1) , u=±1,±2,..., будем называть кратными захватами. 2.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью Пусть F(ϕ) = F1(ϕ). В силу периодичности F1(ϕ) фазовым пространством системы будет цилиндр, общий вид развертки которого показан на рис. 2.14. На фазовом цилиндре выполнен ряд вспомогательных построений. К ним относятся линии отображения с сохранением координат ϕ и x - Lϕ,0 и Lx,0 соответственно. Отображение вектора qrn , принадлежащего одной из этих

- 79 -

линий, будет происходить с сохранением значения соответствующей координаты. Уравнение первой из этих линий можно получить из верхнего уравнения (1.1.1), положив ϕn+1 =ϕn , уравнение второй линии получается из нижнего уравнения (1.1.1) при xn+1=xn Lϕ,0 : x=α ϕ , Lx,0 : x=(-β ϕ+g)/(1-d).

(2.2.1) x

K

(− 1 ;2 − α)

A

Q1

Q ′1

K' D

D'

(1 ;α)

Q0

0

L ϕ ,0

L x ,0

C

(− 1 ;− α)

B C'

Q -1 L'

ϕ

(1 ;0 )

(− 1 ;0 )

G Q ,-1

′ Q -1

L

Рис. 2.14. Развертка фазового цилиндра СФС с F1(ϕ) Согласно (2.2.1) прямая Lϕ,0 (CD) проходит через начало координат и ее положение не зависит от нормированной начальной расстройки g. В отличие от нее положение прямой Lx,0 (AB) зависит от g . Точка пересечения прямых Lϕ,0 и Lx,0 является состоянием равновесия системы (одновременно выполняются условия ϕn+1 =ϕn и xn+1=xn ) и имеет координаты: O(ϕ0, x0) = O ( g /((1 − d )α + β );α g /((1 − d )α + β )) .

Согласно (2.2.1) точка O(ϕ0, x0) с увеличением g будет смещаться вверх. Решая неравенство x<α с учетом (1.1.1) при ϕ=1 (точки O, B, D слились), можно получить условие на существование равновесного состояния : g /((1 − d )α + β ) < 1 .

(2.2.2)

Заметим, что структура фазового пространства симметрична относительно смены знака g , поэтому в дальнейшем, не теряя общности, будем рассматривать g>0. Данный результат следует непосредственно из уравнения

- 80 -

(1.1.1), для которого легко доказывается инвариантность относительно одновременной замены ϕn = –ϕn, xn = –xn, g = –g. На рис. 2.14 стрелками показаны направления движения системы в каждой из областей , ограниченных прямыми Lϕ,0 и Lx,0. Сами прямые являются границами, при переходе которых направление движения по соответствующей координате меняется на противоположное. По сути они представляют собой дискретные аналоги изоклин вертикальных (Lϕ,0) и горизонтальных (Lx,0) касательных. Для определения областей с положительным направлением изменения координат согласно (1.1.1) необходимо решить систему неравенств ⎧ϕ n+1 − ϕ n = −α F (ϕ n ) + xn > 0 . ⎨ − = − − − + > x x β F ( ϕ ) ( 1 d ) x g 0 ⎩ n+1 n n n

(2.2.3.)

Области с отрицательным направлением изменения координат получаются из неравенств, противоположных (2.2.3). Зная направление движения системы, можно предположить с большой вероятностью ее состояние после очередного шага. Например, легко увидеть, что движение из областей BOD (вниз и влево) и AOC (вверх и вправо) может происходить только вовнутрь развертки цилиндра и будет линейным. Движение из области COBC′L′ будет происходить вверх и влево и при определенных условиях приведет к выходу системы за левую границу развертки. Определим области нелинейного отображения, стартуя из которых система выйдет либо за правую (ϕ=1), либо за левую (ϕ= –1) границы развертки фазового цилиндра и попадет на ее соседний период. Для нахождения первой из них (обозначим ее через Q1) положим в первом уравнении (1.1.1) ϕn+1 = 1, в результате придем к уравнению прямой (KD), стартуя с которой система попадет на правую границу развертки фазового цилиндра. Положив в первом уравнении (1.1.1) ϕn+1 = 3 , придем к уравнению верхней границы Q1 (K1D1), стартуя с которой система попадет на правую границу соседнего периода фазового цилиндра. Еще две границы задаются отрезками KK1 и DD1, принадлежащих соответственно прямым ϕ = –1 и ϕ = 1 и ограниченных отрезками KD и K1D1. Уравнения границ области Q1 имеют вид: KD: x=(α-1)ϕ+1, K1D1: x=(α-1)ϕ+3,

(2.2.4)

- 81 -

KK1: ϕ = –1 , (2-α) < x < (4-α) , DD1: ϕ = 1 , α < x < (2+α) . Аналогично можно определить границы области нелинейного отображения (обозначим ее через Q-1), движение из которой будет происходить на соседний период фазового цилиндра с пересечением границы ϕ =-1 . Уравнения границ области Q-1 будут иметь вид: CL: x=(α–1)ϕ–1, C1L1: x=(α–1)ϕ–3,

(2.2.5)

LL1: ϕ =1 , (α–4) < x < (α–2), CC1: ϕ =-1 , (–α–2) < x < –α . Прямые KD и CL ограничивают области линейного и нелинейного отображения. Отображение вектора qrn , принадлежащего области Q0, находящейся между прямыми KD и CL (между областями Q-1, Q1), происходит линейно. В этом случае для него справедливо следующее линейное уравнение, которое получается из (1.1.1) заменой F1(ϕ) = ϕ, ⎡1 − α r r r qn +1 = TL qn + r , где TL = ⎢ ⎣ −δ

1⎤ r ⎡ 0 ⎤ , r = ⎢ ⎥. d ⎥⎦ ⎣ gH ⎦

(2.2.6)

Область Q1 нелинейно отображается в некоторую область Q′1. При этом границы области Q1 : DD1, KK1, KD и K1D1 отображаются соответственно в границы области Q′1 : K′D′, K′′D′′ , D′D′′ и K′K′′. Уравнения их можно получить, выполнив ряд одиночных отображений (1.1.1), задав в качестве начальных условий крайние точки границ области Q1 . С учетом представления движений системы на одном периоде фазового цилиндра уравнения будут иметь вид: K′D′ : x=dϕ+d(1+α)–β+g , –1 ≤ ϕ ≤ 1, K′′D′′ : x=dϕ+d(3–α)+β+g , –1 ≤ ϕ ≤ 1,

(2.2.7)

D′D′′ : ϕ=–1, (dα–β+g) < x < (d(2–α)+δ+g), K′K′′ :ϕ=1, (d(α+2)–β+g) < x < (d(4–α)+β+g) Аналогично область Q-1 нелинейно отображается в область Q′-1 с границами C′L′ , C′′L′′ , C′C′′ , L′L′′ .Уравнения границ также получаются из (1.1.1) в результате отображения из начальных условий, определяемых крайними точками границ Q-1, и имеют вид:

- 82 -

C′L′: x=dϕ-d(1+α)+β+g , –1 ≤ ϕ ≤ 1, C′′L′′: x=dϕ-d(3–α)–β+g , –1 ≤ ϕ ≤ 1,

(2.2.8)

C′C′′ : ϕ=1, (–d(2–α)–β+g) < x < (–dα+β+g), L′L′′ : ϕ=–1, (–d(4–α)–β+g) < x < (–d(2+α)+β+g) . Области Q′1 и Q′-1 имеют форму параллелограмма и играют важную роль при определении условий существования периодических движений. Условия существования периодических движений r Введем в рассмотрение вектор pj , координаты которого определяются r характером отображения (1.1.1). В случае линейного отображения p j = ( 0 ,0 ) T . r В случае нелинейного отображения p j = ( ±2 ,0 ) T , при этом знак "+"

соответствует выходу за левую границу развертки фазового цилиндра, знак "–" r соответствует выходу за правую границу. Назначение вектора pj состоит в r возврате вектора состояния q на (j+1) шаге в интервал [–1,1] по координате x (в случае нелинейного отображения). Пусть на (j+1 шаге произошло нелинейное отображение, приведшее к выходу вектора состояния за границу развертки фазового цилиндра r r r r q'j +1 = TL q j + r , [ q'j +1 ]x > 1 , (2.2.9) r где [ q'j +1 ] x - координата x вектора состояния. r В результате действия вектора pj вектор состояния вновь возвращается на

развертку фазового цилиндра: r r r r r r q j + 1 = q'j + 1 + p = TL q j + r + p .

(2.2.10)

В случае линейного отображения выражение (2.3.10) приводится к виду r r r r q j + 1 = q'j + 1 = TL q j + r . r В соответствии с (1.1.1) и (2.2.6) для заданного начального состояния q0 можно представить вектор состояния qrn в произвольный момент времени n в

виде : n−1 r r r n r qn = TL q0 + ∑ TLj ( pn − j −1 + r ) . j =0

(2.2.11)

- 83 -

Если предположить, что существует периодическое движение периода k (kкратные неподвижные точки), то должно выполняться условие замыкания r r цикла qk = q0 . С учетом этого согласно (2.2.11) можно выписать выражение для вектора, определяющего начальное состояние на цикле, r q0 =

k −1

k −1

j =0

j =0

r r ∑ TLj( pk − j −1 + r ) E − TLk

r

∑ TLj pk − j −1

=

E − TLk

r r . + E − TL

(2.2.12) r Заметим, что в качестве начального состояния q0 в силу цикличности движения может выступать любое из k состояний цикла. Выражение (2.2.12) является общим и будет справедливо для периодических движений с произвольным числом нелинейных отображений на периоде. С помощью (2.2.12) можно вычислить координаты произвольной точки цикла, если задана его структура. Структура цикла определяется периодом k и r конкретным набором векторов pj , 0 ≤ j ≤ k–1. С другой стороны, при заданной структуре цикла выражение (2.2.12) дает лишь необходимое условие его существования. Оно не гарантирует того, что все точки цикла будут находиться именно в тех областях с характерными движениями, которые определены структурой. Необходимо, чтобы состояния, из которых происходят линейные отображения, принадлежали области Q0, а состояния, из которых происходят нелинейные отображения – соответствующим областям Q1 либо Q-1 . Данное утверждение эквивалентно требованию попадания всех точек цикла заданной структуры в отрезок [–1,1] по координате ϕ. Таким образом, для существования периодических движений необходимо и достаточно выполнение двух условий: 1) условия замыкания (2.2.12), определяющего координаты точек цикла заданной структуры; 2) структурного условия, гарантирующего попадание всех точек цикла заданной структуры в отрезок [–1,1] по координате ϕ. Если выполнены оба условия, то цикл существует, и наоборот, если цикл существует, то эти условия автоматически выполняются.

- 84 -

Покажем, что если существует периодическое движение, то оно устойчиво, когда выполнены условия локальной устойчивости состояния равновесия (1.1.1) (собственные значения матрицы TL по модулю меньше единицы). r Пусть существует цикл периода k с несколькими проскальзываниями, q0 – вектор, координаты которого соответствуют первой точке цикла на j - ом r проскальзывании, q1 – вектор , координаты которого соответствуют первой r r r r точке цикла на j+1 проскальзывании. Тогда q1 = ( TL ) n q0 + b , где b постоянный вектор, n - количество точек цикла, приходящихся на j - е r r проскальзывание. Зададим вектор q0* , близкий к вектору q0 . Через n итераций r r r r он отобразится в вектор q1* : q1* = (TL ) n q0* + b . Несложно видеть что вектор r r r r r r r r ∆q1 = q1 − q1* выразится через ∆q0 = q0 − q0* следующим образом ∆q1 = (TL ) n ∆q0 . Таким образом, точки двух траекторий будут сближаться, а значит цикл будет устойчив, если собственные значения матрицы TL по модулю меньше единицы. Согласно критерия Раусса-Гурвица для дискретных систем это будет иметь место при выполнении следующих условий:

α (1 − d ) + γ > 0,1 − γ + d (α − 1) > 0,(2 − α )(1 + d ) + γ > 0

(2.2.13)

Алгоритм возникновения периодических движений Из (2.2.12) следует, что вектор произвольной k-кратной точки можно представить в виде: r r r q j = l j + gb , (2.2.14) k −1

r где l j =

r

∑TLi pk − i −1

i =0

E − TLk

r , b = ( E − T L ) −1( 0 ,1) T .

r Вектор l j зависит от структуры цикла и положения конкретной точки r цикла; вектор b не зависит ни от структуры цикла, ни от конкретной точки цикла. Согласно (2.2.14) при изменении начальной расстройки g все точки цикла, не меняя взаимного расположения, сдвигаются в фазовом пространстве r по траекториям, параллельным вектору b . Данное утверждение является

- 85 -

принципиальным и будет положено в основу алгоритма определения граничных условий возникновения k-кратных точек. На рис. 2.15 приведен фрагмент развертки фазового цилиндра системы, r поясняющий сказанное. Показан ряд векторов q 0 (k), построенный в соответствии с (2.2.12) для циклов различных периодов с одним проскальзыванием. Вектора соответствуют состояниям, в которые должна прийти система после нелинейного отображения за правую границу развертки r r фазового цилиндра. Для этого случая p j = ( 0 ,0 ) T , 0 ≤ j < k-1; pk −1 = ( −2 ,0 ) T . В r соответствии с (2.2.12) вектор начальной точки q 0 (k) будет иметь вид r r r pk − 1 r + q0( k ) = E − TLk E − TL . (2.2.15) r r r Согласно рис. 2.15 только вектор q0 (3) = l0 (3) + g b находится в области Q′1. Это означает, что только для цикла с k=3 выполнено структурное условие существования. r l ( 1)

r gb

xn

0

r l ( 2) 0

D′ (− 2 ;0 )

r l ( 6) 0

r gb r gb

r q0 ( 1)

r q0 ( 2)

r l ( 3)

r q0 ( 3)

0

r l ( 4) 0 r l ( 5)

Q ′1

ϕn

(− 1 ;0 )

0

C

(− 1 ;−α)

Q -1

Рис. 2.15. Фрагмент развертки фазового цилиндра СФС с F1(ϕ) r При увеличении g модуль вектора gb будет расти и, вполне вероятно, что r в область Q′1 попадет и вектор q 0 (2). Это приведет к тому, что в системе будут

существовать одновременно уже два устойчивых цикла с одним проскальзыванием с k=2 и k=3. В общем случае число одновременно существующих циклов может быть и больше.

- 86 -

Таким образом, для выполнения структурного условия существования r простейшего цикла периода k необходимо, чтобы вектор q 0 (k) коснулся одной из границ области Q′1 . С учетом полученных выше уравнений границ (2.2.7) r для этого необходимо, чтобы координаты вектора q 0 (k) были решением хотя бы одного из этих уравнений . С другой стороны, совместное решение уравнений (2.2.7) и (2.2.15) позволит определить граничные значения обобщенных параметров α, β, d, g , при которых возникнет цикл. Если такое решение отсутствует, то цикла данной структуры не существует. Рассмотрим процедуру отыскания граничных параметров на примере левой границы области Q′1 - D′D′′ : ϕ=–1, (dα–β+g) < x < (d(2–α)+β+g) (рис. 2.16). Запишем с учетом (2.2.15) условие касания границы в виде: r r ⎧r ⎛ϕ ⎞ ⎛ − 1 ⎞ pk −1 r + = ⎜⎜ 0 k ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎪q 0 ( k ) = k ⎪ E − TL E − TL ⎝ x0 k ⎠ ⎝ x0 k ⎠ ⎨ ⎪ . (2.2.16) ⎪⎩ (dα − β + g ) < x0 k < (d (2 − α ) + β + g ) r r С учетом вида pk −1 = ( −2 ,0 ) T и r = (0, g )T перейдем от (2.2.16) к системе:

[

]

[

]

⎧ g ⋅ (TL − E ) −1 12 = 1 + 2 ⋅ (TLk − E ) −1 11 ⎪ ⎪⎪ k −1 −1 ⎨ x0 k = 2 ⋅ (TL − E ) 21 − g ⋅ (TL − E ) 22 , ⎪ ⎪ ⎪⎩(dα − β + g ) < x0 k < (d (2 − α ) + β + g )

[

]

[

]

(2.2.17)

где через [•]i,j обозначен элемент матрицы i, j.

r Первое из уравнений (2.2.17) отвечает за нахождение вектора q 0 (k) на

прямой ϕ=–1 , второе уравнение и неравенство отвечают за нахождение r вектора q 0 (k) в диапазоне значений координаты y , соответствующем границе области Q′1 . Система (2.2.17) содержит в качестве неизвестных обобщенные параметры

α, β, d, g . Первые три из них входят в уравнения нелинейно через матрицу TL и их можно определить численным способом. Обобщенная начальная расстройка g входит в уравнения (2.2.17) линейно и при заданных α, β, d может быть найдена из первого уравнения (2.2.17):

- 87 -

[

]

1 + 2 ⋅ (TLk − E ) −1 11 g= . (TL − E ) −1 12

[

]

(2.2.18)

Второе уравнение и неравенство позволяют ответить на вопрос, r действительно ли вектор q 0 (k) коснулся левой границы области Q′1 или произошло просто касание прямой ϕ=–1. Первый случай соответствует возникновению простейшего предельного цикла 2-го рода периода k. Во втором случае цикла не возникает. Возможность выразить граничное значение обобщенной расстройки g через другие параметры системы позволяет построить простой алгоритм определения полосы захвата. Основу алгоритма составляет процедура определения минимальной расстройки gmin, соответствующей границе возникновения простейших циклов. Анализ возможных решений систем уравнений, написанных с учетом дугих границ области Q′1 и аналогичных (2.2.16)-(2.2.18) (отличаются вторым уравнением и неравенством) , позволяет ответить на вопрос о выполнении структурного условия возникновения периодических движений при касании r вектором q 0 (k) других границ. Значения обобщенных параметров, соответствующие всем границам области нелинейного отображения, определяют диапазон параметров, в котором существуют циклы данного периода. Задача упрощается при анализе конкретных физических свойств системы. Например, для определения полосы захвата необходимо отыскать минимальное значение обобщенной расстройки gmin, при которой возникают периодические движения. Установлено, что с ростом g циклы появляются при касании r вектором q 0 (k) левой границы Q′1 (рис. 2.15). В этом случае для определения границы простейших циклов периода k достаточно найти решение (2.2.17). Выражения, аналогичные (2.2.15) можно выписать и для циклов с произвольным числом проскальзываний. Например, для ПЦ2 с двумя проскальзываниями они имеют вид: r r r ( E + TLk 1 ) pk 1− 1 r q0( k 1) = + E − TL , E − TLk 1+ k 2 (2.2.19)

- 88 -

r r r ( E + TLk 2 ) pk 2 −1 r q0( k 2) = + E − TL , E − TLk 1+ k 2

(2.2.20) где k=k1+k2 –период цикла, k1, k2 – число точек на каждом из r проскальзываний, q 0 (k) pr k 1 − 1 = pr k 2 − 1 = ( − 2 ,0 ) T . Выполнением структурного условия для данного типа цикла будет принадлежность обоих векторов (2.2.19), (2.2.20) области Q′1 Соответственно, условием возникновения цикла будет касание одним из векторов границы Q′1, при этом второй вектор должен принадлежать области Q′1. Процедура определения граничных значений обобщенных параметров в основном повторяет описанную выше процедуру для простейших циклов 2-го рода. Отличие состоит в увеличении количества уравнений, решение которых подлежит анализу, и соответственно больших временных затратах, связанных с численным способом определения обобщенных параметров. Для решения конкретных задач необходимость анализа сложных движений может отпасть. Например, ниже будет доказано, что полоса захвата дискретных систем 2-го порядка определяется простейшими циклами 2-го и 1-го рода. Для решения данной задачи алгоритм опреления границ возникновения циклов может быть предельно упрощен. Заметим, что для отыскания границ предельных циклов 1-го рода должны быть задействованы обе области нелинейного отображения Q′1 и Q′–1 . В связи с этим для простейших циклов количество анализируемых уравнений удваивается по сравнению с простейшими циклами 2-го рода. В целом, с учетом проведенного выше анализа предлагается следующий алгоритм для нахождения областей существования периодических движений заданной структуры: - в соответствии с выражением (2.2.15) выписываются все векторы состояний, в которые система приходит после нелинейных отображений, r q0 i( k ) , 1< i < m , где m – количество нелинейных отображений на периоде цикла, для циклов 2-го рода равно числу проскальзываний; r - для каждого из векторов q0 i( k ) решается система уравнений, определяющих нахождение вектора на каждой из границ областей нелинейного отображения Q′1 или Q′–1 ((2.2.17) для левой границы Q′1 и аналогичные для других границ); в общем случае решение производится численно и сводится к

- 89 -

отысканию диапазона обобщенных параметров α, β, d, g , обеспечивающих нахождение вектора на границе Q′1 или Q′–1 ; - для найденных значений обобщенных параметров, относящихся к конкретным границам областей нелинейного отображения, выполняется проверка структурного условия (для движений с несколькими нелинейными r отображениями нахождение вектора q0 i( k ) на одной из границ области нелинейного отображения не является достаточным условием); - выполняется коррекция диапазонов значений обобщенных параметров по результатам проверки выполнения структурного условия. Предлагаемый алгоритм наиболее просто реализуется при анализе областей существования периодических движений в зависимости от обобщенной расстройки g . В этом случае второй пункт алгоритма выполняется без привлечения численных методов. 2.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью Пусть F(ϕ) = Fс(ϕ). Линейность функции Fc(ϕ) на участках монотонности позволяет рассматривать отображение (1.1.1) в виде "склейки" двух линейных отображений: r r ϕ ∈ [−c,c] ≡ l1 ⎧A1q n + r ≡ G1 , r . (2.2.21) qn+1 = ⎨ r r r ⎩ A 2 q n + r − m ≡ G2 , ϕ ∈ [ c, 2 − c ] ≡ l 2 где

⎛1 − α c 1 ⎞ ⎛1 + α /(1 − c) 1 ⎞ r T ⎟⎟, A 2 = ⎜⎜ ⎟⎟, m = (1 /(1 − c) )(α ,ϕ ) . A1 = ⎜⎜ d⎠ ⎝ − β c d⎠ ⎝ ϕ /(1 − c) Для линейных отображений Gi , i=1,2 и ϕ k ∈ li , k = 0, n − 1 справедливы следующие выражения : r r r qn = Min q0 + N inri , где Min = Ain , Nin =

n −1

(2.2.22) r

r r r r r2 = r − m .

∑ Aik , r1 = r ,

k =0

На рис. 2.16 приведена развертка фазового цилиндра дискретной ФАС с Fc(ϕ) для c=0.5. Показаны линия сохранения координаты ϕn - Lϕ,0 и линия сохранения координаты xn - Lx,0 .В отличии от системы с пилообразной нелинейностью данные линии являются ломаными и имеют две точки

- 90 -

пересечения О и О′, что соответствует двум равновесным на периоде Fc(ϕ) состояниям. Уравнения линий записываются следующим образом: Lϕ,0 : xn = α F (ϕ n ) ; Lx,0 : xn = (ξβ − F (ϕ n )) (1 − d ). Равновесные точки имеют координаты: O(cγ ;αγ ) и O ′((1 − γ )(1 − c ) + c;αγ ) . Точка O - особая точка типа узел или фокус, O′ - особая точка типа седло. Линии L1 и L2 - соответственно входящая и выходящая сепаратрисы седловой точки, L′2 - продолжение выходящей сепаратрисы на следующем периоде.

x Q 2+

Q 1+ Q" 2+

Q ′1+

L 2′

L2

O′

O L ϕ ,0

L x,0

ϕ

L1

Рис. 2.16. Развертка фазового цилиндра СФС с Fс(ϕ) Кусочно-линейный характер Fc(ϕ) позволяет провести разбиение фазового пространства на области линейного (не приводящего к выходу за пределы данного линейного участка) и нелинейного отображений. Выделим области Qi+ и Qi-, отображение из которых приводит к выходу за линейный участок с возрастанием и убыванием координаты ϕ соответственно. Образы рассматриваемых областей после отображения будем обозначать через Qi′+ и Qi′− , а их продолжения на следующий (предыдущий) период – Qi′′+ и Qi′′−

(на

рис. 2.16

приведены

только

области,

приводящие

к

возрастанию

координаты xn ). Согласно принятых обозначений Q2" + = Q2' + ,Q2" − = Q2' − . Области нелинейного отображения

Qi + (Qi − )

имеют форму клина,

неограниченно продолжающего в сторону возрастания (убывания) координаты

y.

Границы

этих

областей

задаются

прямыми

ϕ = limax ,ϕ = limin

и

- 91 -

x = limax − ϕ + Fc (ϕ )

(x = l

min i

− ϕ + Fc (ϕ )),

где

limax , limin –

максимальное

и

минимальное значение координаты ϕ на i-ом линейном участке Fc(ϕ). В соответствии с (1.1.1) можно выписать уравнения границ областей, в которые происходит нелинейное отображение. Например, для области Q1′+ , с учетом представления движений на одном периоде фазового цилиндра, уравнения границ имеют вид:

ϕ = c,ϕ = 2 − c , x = dϕ + g − dc + (dα − δ )Fc (ϕ ) , x = dϕ + g + dc + (dα − δ )Fc (ϕ ) ,

(2.2.23)

" а сама область имеет форму параллелограмма. Границы области Q2+

описываются уравнениями:

ϕ = −c,ϕ = c , x = dϕ + g − d ( 2 − c) + (dα − β )Fc (2 − c ) , x = dϕ + g − dc + (dα − β )Fc (c ) .

(2.2.24)

Условия существования периодических движений Для определения условий существования циклических движений необходимо конкретизировать их структуру по числу шагов в рамках линейных отображений Gi , которое будем обозначать через kij , где i равно номеру участка, j - порядковому номеру проскальзывания. Тогда для произвольного ПЦ2 структуры u/k можно записать : G1k11 G2k21 r r r r q11 ⎯⎯ ⎯→ q21 ⎯⎯ ⎯→ q12 + p G1k12 G2k22 r r r r q12 ⎯⎯ ⎯→ q22 ⎯⎯ ⎯→ q13 + p , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(2.2.25)

G1k1u G2k2 u r r r r q1u ⎯⎯ ⎯→ q2 u ⎯⎯ ⎯→ q11 + p k

где Gi i j обозначает ki j -кратное отображение в рамках i-го линейного участка r характеристики Fc(ϕ) и j - го проскальзывания , qi j - вектор начальной точки цикла, являющейся первой на i-м участке и j-м проскальзывании; как и в r r п. 2.3.1 вектор p =(-2, 0)Т возвращает вектор состояния системы q n (ϕ n , xn ) на развертку фазового цилиндра. Для цикла структуры 1/5, приведенного для примера на рис. 2.17, k11=2, k21=3.

- 92 -

x

x

L 2′ L 2′

L x,0

O

O′

L2 O

ϕ

L ϕ ,0

L2

L ϕ ,0

ϕ

O′

L1

L1 L x,0

а)

б)

Рис. 2.17. Примеры предельных циклов 2-го рода в СФС с Fс(ϕ) r Необходимо отметить, что в соответствии с (2.2.25) начальные векторы qi j должны принадлежать областям нелинейного отображения. Например, для движений с постоянным возрастанием координаты ϕ: r qi j ∈Q1′+ ,Q2′ + ,Q1"+ ,Q2" + .

(2.2.26)

Выражение (2.2.26) имеет место для произвольного цикла 2-го рода. В случае простейших циклов задействовано не более двух областей нелинейного отображения. Используя (2.2.21) и (2.2.22), можно по аналогии с п 2.2.1 выписать условия замыкания цикла, выражая координаты начальных точек через r параметры отображения. Например, для вектора q11 начальной точки справедливо следующее выражение: r r r q11 = M 2 u[ M 1u ...[ M 21[ M 11q11 + N 11r ] + r r r r r r r. + N 21 ( r − m ) + p] + ...+ N 1ur ] + N 2 u ( r − m ) + p

(2.2.27)

Из (2.2.25) можно выразить вектор начальной точки цикла : r r r q11 = ν11 + gнϑ11 , где: r

ν11 = (E − M 2 uM 1u ...M 21M 11 ) r

−1

u

u

r

r

∑ ∏ M 2 k M 1k [N 2l m + p]

l =1 k = l +1

ϑ11 = (E − M 2u M 1u ...M 21M 11 )−1{∑ ∏ M 2 k M 1k [M 2l N1l + N 2l ]} ⋅ (0,1)T u

u

l =1 k =l +1

(2.2.28)

- 93 -

Выражения, аналогичные (2.2.28), можно выписать и для других точек цикла. Таким образом, для любого периодического движения условия замыкания имеют вид: r r r q i j = ν i j + gϑ i j . (2.2.29) Полученные выражения являются линейными относительно начальной расстройки g. Как и в случае пилообразной нелинейности этот результат является принципиальным и позволяет сформулировать критерий для определения минимального и максимального значений g, при которых существует цикл. Суть его состоит в том, что при заданной структуре одна из точек цикла должна находиться на границе, а остальные внутри соответствующих областей нелинейного отображения Qi′+ , Qi"+ . Это условие замыкания цикла является необходимым для его существования. Другим необходимым условием является соблюдение структуры цикла (2.2.25) (структурное условие): r (2.2.30) Gin (qi j ) ∈ li , n = 0 , k i j − 1 . В совокупности условия (2.2.29) и (2.2.30) являются необходимыми и достаточными для существования периодического движения произвольной структуры. На основании этих условий может быть получен алгоритм определения границ областей существования произвольного цикла заданной структуры в пространстве параметров. Суть алгоритма заключается в следующем: - в соответствии с выражением (2.2.29) выписываются все векторы r начальных состояний qi j , в которые система приходит после нелинейных отображений; для простейшего цикла 2-го рода количество таких векторов равно двум; - совместным решением (2.2.29) и уравнений границ областей нелинейного отображения (2.2.23), (2.2.24) и аналогичных им, определяются обобщенные расстройки g , обеспечивающие нахождение начальных векторов на одной из границ соответствующих области нелинейного отображения; - для найденных значений g выполняется проверка структурного условия (2.2.30); - осуществляется коррекция диапазона обобщенных расстроек с учетом проверки структурного условия.

- 94 -

Предложенный алгоритм позволяет определить диапазоны и других обобщенных параметров α, β, d, для которых существуют периодические движения. Для этого необходимо воспользоваться численными методами совместного решения уравнений (2.3.29), (2.3.23), (2.3.24) даже в случае прстейших движений. Устойчивость периодических движений

Рассмотрим устойчивость периодических движений в системе с Fc(ϕ). Условия устойчивости можно выписать, задавая возмущение в начальной точке цикла и определяя через него отклонение за период цикла. В соответствии со структурой (2.2.25) и выражениями (2.2.21), (2.2.22) получим: r r ∆ qp = A k22 u A1k1u ...A k221 A1k11 ∆ q0 . (2.2.31) Согласно (2.2.31) для локальной устойчивости рассматриваемого движения достаточно, чтобы все собственные числа матрицы [ A2k 2 u ... A1k11 ] были по модулю меньше единицы. Ситуация принципиально отличная от системы с пилообразной нелинейностью, в которой при локально устойчивом равновесном состоянии все существующие циклы также являются локально устойчивыми. Наличие неустойчивой ветви у нелинейности Fc(ϕ) (матрица А2 имеет собственные значения, превышающие единичное значение) приводит к тому, что с ростом числа точек, приходящихся на эту ветвь, появляются неустойчивые циклы. На рис. 2.17 приведены примеры устойчивых периодических движений. На рис. 2.17а - одиночный цикл ПЦ2 структуры 1/5(23) - (две точки на устойчивой ветви, три точки на неустойчивой ветви характеристики). Достаточно явно просматривается влияние седла (O′) на формирование траектории цикла. На рис. 2.17б показаны два цикла ПЦ2 - цикл структуры 1/8(35) и цикл структуры 1/9(45). Увеличение числа одновременно существующих циклов связано, как правило, с усилением колебательности в системе. Условия существования квазипериодических движений

Наличие

седлового

равновесного

состояния

в

системе

с

Fc(ϕ)

обуславливает возможность возникновения еще одного вида нелинейных движений - квазипериодических. Существование этих движений определяется взаимным расположением устойчивого и неустойчивого сепаратрисных

- 95 -

многообразий седла. Для отображения (1.1.1) эти многообразия являются одномерными и представляют собой ломаные линии. Условия возникновения квазипериодических движений могут быть определены на основе анализа траекторий движения системы, проходящих через область седла. При этом возможны две принципиально разные ситуации, определяемые двумя типами реализуемых в системе седел. Первая из них связана с седлом 1-го типа (собственные значения матрицы А2 ρ1 и ρ2 удовлетворяют условиям 0<ρ1<1, ρ2>1), вторая - с седлом 2-го типа (–1<ρ1<0,

ρ2>1) [38]. Для первого случая на рис. 2.18 приведены развертки фазового цилиндра с различным взаимным расположением сепаратрис седла. Ломаная сплошная линия L′2 представляет собой отображение выходящей сепаратрисы седла L2 на следующий период развертки. Ломаная пунктирная линия L′1 представляет собой продолжение входящей сепаратрисы L1 на устойчивый участок характеристики. В зависимости от начальной расстройки возможны три ситуации взаимного расположения ломаных L′1 и L′2 . Для первой ситуации (наибольшая начальная расстройка) L′2 проходит выше L′1 , нигде не касаясь ее. Продолжение ее на неустойчивом участке проходит выше седла. Если в начальный момент изображающая точка находится чуть выше выходящей сепаратрисы седла L2 , то ее траектория движения будет бесконечно проходить в окрестности ломаной, состоящей из участков L2 и L′2 . Это движение является квазипериодическим. Для второй ситуации (средняя начальная расстройка) две ломаные касаются в ряде точек, причем касание происходит одновременно на всех линейных участках L′2 , включая точку на границе линейных участков характеристики. В этом случае продолжение L′2 на неустойчивом участке характеристики попадает непосредственно в окрестность седла. Данная ситуация является граничной для возникновения квазипериодического движения, описанного выше. Для третьей ситуации (наименьшая начальная расстройка) ломаные пересекаются,

а

продолжение

L′2

на

неустойчивом

колебательный характер и развивается по двум сценариям.

участке

имеет

- 96 xn Q 1+

Q" 2+ L 1′

Q ′1+

L 2′ L x ,0

L2

Q 2+

O′

O

ϕn

L ϕ ,0

L1

а) xn Q 1+ Q" 2+

L 2′

Q ′1+

L x ,0

L 1′

L2 O

Q 2+

O′

ϕn

L ϕ ,0

L1

б) xn Q 1+

Q" 2+

L 1′

L 2′

Q ′1+

L x,0

L2

O

O′

Q 2+

ϕn L1

L ϕ ,0

в) Рис. 2.18. Развертка фазового цилиндра СФС с Fс(ϕ)

- 97 -

Согласно первому сценарию изображающая точка при движении по неустойчивому участку проходит ниже седла и попадает в область притяжения устойчивого равновесного состояния. Согласно второму сценарию изображающая точка скользит выше седла и вдоль выходящей сепаратрисы L2 попадает на следующий период характеристики в окрестности L′2 , и движение повторяется. Рано или поздно данная точка окажется в области притяжения устойчивой равновесной точки. Используя проведенный анализ траекторий движения через окрестность седла, можно предложить алгоритм определения начальной расстройки, приводящей к появлению квазипериодических движений в системе. Знание такой расстройки достаточно важно, поскольку как будет показано ниже , именно квазипериодические движения в ряде случаев ограничивают область глобальной устойчивости системы. Согласно рис. 2.18б основу алгоритма составляет условие касания линий L′2 и L′1 в точке ϕ=с, или условие касания линии L′2 с входящей сепаратрисой седла L1 в точке ϕ=с . Для второго случая (седло 3-го типа) оценить граничную ситуацию возникновения квазипериодических движений сложнее, поскольку движение в окрестности седла носит знакопеременный относительно выходящей сепаратрисы L2 характер и с большой вероятностью будет сваливаться на следующем периоде в область притяжения устойчивого равновесного состояния. Очевидно, что в этом случае граница возникновения устойчивых квазипериодических движений будет сдвинута в сторону больших начальных расстроек. Величина сдвига определяется амплитудой колебаний относительно выходящей сепаратрисы и может быть рассчитана численно. В то же время граничное значение начальной расстройки, определяемое согласно предложенному выше для седла 1-го типа алгоритму, может быть использовано в качестве оценки снизу и для этого случая.

- 98 -

2.3. Нелинейные процессы в кусочно-линейных СФС 2.3.1. Анализ установившихся нелинейностью

движений

в

СФС

с

пилобразной

На рис. 2.19-2.22 на плоскости обобщенных параметров α,β приведено распределение областей существования периодических движений различной структуры, полученные с помощью предложенного алгоритма. Штриховкой показана область глобальной устойчивости. Для параметров α, β из этой области система из любых начальных условий придет в устойчивое равновесное состояние (состояние синхронизма). Отметим, что не вся ограниченная треугольником устойчивости область α,

β реализуется в конкретной физической системе. Представленные результаты относятся к обобщенной модели (1.1.1). На рис. 2.19 и рис. 2.20 темной заливкой выделены области глобальной устойчивости импульсной СФС 2-го порядка, полученные из выражений (1.1.7), (1.1.9), связывающих параметры α,

β с физическими параметрами. Область обобщенных параметров α, β, соответствующая цифровой СФС, занимает координатный угол α > 0, β > 0 и может быть получена из выражений (1.1.16), (1.1.17). (2/6) (1/2) (1/5) (0/6)

β

(1/3) (0/4)

(2/1) (0/10) (2/4)

(0/5) (0/3) (0/2)

(1/1)

α

Рис. 2.19. Области существования ПЦ СФС с F1(ϕ) для d = 0.1, g = 0 Выполним анализ приведенных результатов. При нулевой обобщенной расстройке область глобальной устойчивости снизу ограничивается границей

- 99 -

локальной устойчивости. Справа сверху она ограничивается областью первого кратного захвата (цикл (1/1)). Дальнейшее увеличение α, β приводит к возникновению кратного захвата второго порядка (цикл (2/1)) и различных циклов 1-го рода (циклы (0/6), (0/10)) и 2-го рода c несколькими проскальзываниями (u/k, u>1). Слева сверху область глобальной устойчивости ограничивается циклом 1го рода структуры (0/2). Точки этого цикла располагаются в фазовом пространстве симметрично относительно состояния синхронизма и находятся в областях, образованных пересечением Q′1∩Q-1 и Q′-1∩Q1. Соответственно при Q′1∩Q-1=∅ или Q′-1∩Q1=∅ существование цикла этого типа невозможно. β

(1/3)

(1/7)

β

(1/8) (0/6) (1/5) (1/2)

(1/2)

(0/2)

(1/5)

(0/6)

(1/3) (2/8)

(0/10) (2/6)

(2/4)

(2/4)

(2/5)

(1/1)

(R) (3/8)

(R)

(1/3)

(2/6)

(2/5) (2/5)

α

а)

α

б)

Рис. 2.20. Области существования ПЦ СФС с F1(ϕ) с d = 0.1 для а) g = 0.1, б) g = 0.7 С уменьшением α возникают циклы 1-го рода структуры (0/k) с k>2. Существование этих циклов обуславлено симметрией фазового пространства при g=0. Данные циклы возникают попарно и располагаются симметрично относительно состояния синхронизма. Согласно рис. 2.19 область глобальной устойчивости для импульсной СФС ограничена только кратным захватом (1/1), для цифровой СФС со стороны малых α дополнительно ограничена циклом 1-го рода (0/2). С увеличением g область глобальной устойчивости (рис. 2.20, 2.21) уменьшается за счет области параметров, в которой отсутствует состояние

- 100 -

равновесия (граница обозначена через (R)). Возникают движения с постоянным возрастанием фазы или циклы 2-го рода различной структуры (рис. 2.20б). β

β

(1/1) (1/2) (1/3)

(1/2) (1/3)

(2/1) (1/4)

(1/4) (1/5)

(1/5)

(1/6)

(1/6)

(1/7)

(1/1)

(R)

(1/9)

α

а)

α

б)

Рис. 2.21. Области существования ПЦ СФС с F1(ϕ) для d = 0.75, g = 0.0625, показанные в разном масштабе Далее, уже при незначительных расстройках g происходит уменьшение областей циклов 1-го рода в области малых значений α. Это связано с нарушением симметрии фазового пространства. За счет этого область устойчивости при малых α, β и небольших g увеличивается (рис 2.20а, 2.20б). С ростом g значительно возрастают области циклов 2-го рода (на рис. 2.21 для сравнения точками показаны границы области глобальной устойчивости, полученные методом усреднения [30,33], при d, значительно отличных от единицы, метод дает значительную ошибку). При этом область глобальной устойчивости ограничивается циклами структуры (1/k). Покажем, что данный факт не является случайностью и действительно при определении границы области глобальной устойчивости при больших частотных расстройках достаточно ограничиться циклами структуры (1/k). Циклы 2-го рода, определяющие область глобальной устойчивости Докажем утверждение, устанавливающее очередность возникновения циклов с различным числом проскальзываний в зависимости от обобщенной расстройки. r (2.3.1) Пусть b ϕ > 0 и Q′1∩Q-1=∅ .

[]

- 101 -

Если при обобщенной расстройке g =g1 не существует ни одного периодического движения, то с ростом g первым возникает цикл 2-го рода структуры (1/k). Причем данный цикл возникает при достижении вектором r q 0 (k) границы области нелинейного отображения Q′1 , принадлежащей прямой

ϕ =-1. xn

x 13

x 23

x 14 M

D

x 24

1

x 15 x 25 (– 1 ,0 )

(0 ,0 )

(1 ,0 )

M

2

ϕn

Рис. 2.22. Развертка фазового цилиндра СФС с F1(ϕ) Для доказательства обратимся к рис. 2.22, на котором изображена ситуация, соответствующая отсутствию циклов 2-го рода. Показаны фрагменты нескольких движений, начинающихся на прямой ϕ=-1 в точках x1k и попадающих после некоторого числа итераций на прямую ϕ=1 в точки с координатой x2k. Для существования цикла структуры 1/k необходимо выполнение условия x2k≥ x1k. В рассматриваемом случае для каждого k значение x2k<x1k, следовательно, циклов данной структуры не существует. С ростом g координаты x точек x1k уменьшаются, а точек x2k увеличиваются. При выполнении равенства x2k=x1k возникает цикл структуры (1/k) . Согласно рис. 2.22 первым родится цикл с k=4 и далее циклы c k=3 и k=2. Для цикла структуры (u/k), u>1 приращение координаты y на разных периодах должно иметь разный знак. Это выполняется только в том случае, если уже существует цикл типа (1/k). r Из выражений для границ областей Q-1 è Q′1 и координат вектора b можно показать, что условия (2.3.1) эквивалентны системе неравенств:

β < α (1 + d ) + g , β < α (d − 1)

(2.3.2)

- 102 -

Полоса захвата импульсной СФС с F1(ϕ)

Построим на основе предложенного выше алгоритма определения областей существования периодических движений и доказанного утверждения об очередности возникновения циклов с одним и более проскальзываниями алгоритм нахождения полосы захвата импульсной ФАС. В основе его лежит задача определения минимального значения γ, при котором исчезают все периодические движения Согласно приведенному выше доказательству, для этого достаточно найти минимальную расстройку g, при котором исчезнут все циклы структуры (1/k). Бифуркация рождения/исчезновения цикла данной структуры происходит, r когда вектор q 0 (k) будет находиться на левой границе области Q1′ – D′D′′ :

ϕ=–1, (dα–β+g ) < x < (d(2–α)+β+g) (для g > 0). В этом случае, для определения обобщенной начальной расстройки, соответствующей моменту бифуркации, достаточно воспользоваться выражением (2.2.18). В свою очередь, нормированная полоса захвата gз может быть найдена как минимальное значение из полученных gk: gз= min ( gk ). (2.3.3) Согласно (2.4.3) для нахождения min (gk), а следовательно и γmin, необходим перебор достаточно большого числа k. Однако на самом деле такой необходимости нет. Алгоритм предполагает задание некоторого kmax, заведомо превышающего значение k, соответствующее gз. В случае комплексных собственных значений r матрицы TL поведение вектора l (рис. 2.15) носит колебательный характер по параметру k (годограф с ростом периода цикла описывает закручивающуюся спираль вокруг точки (-2,0) ) и в качестве kmax достаточно взять половину периода колебаний. В случае действительных собственных значений возможны две ситуации. r Если распределение вектора l носит монотонный характер при стремлении к r точке (-2,0), то γmin=1. Если у распределения l имеется максимум, то достаточно в качестве kmax взять значение k, соответствующее этому максимуму. На рис. 2.23 приведены результаты расчета полосы захвата импульсной СФС для различных значений коэффициента фильтра m и двух значений

- 103 -

постоянной фильтра αρ (сплошные линии). Заметные изгибы на графике вызваны сменой периода цикла, определяющего полосу захвата. Наибольшая полоса захвата наблюдается в области малых D и больших m. При уменьшении

αρ наблюдается уменьшение полосы захвата. Тоже наблюдается с ростом D .При стремлении αρ→ ∞ и m→ 1 кривая полосы захвата стремится к кривой дискретной СФС 1-го порядка. На рис. 2.24 приведены зависимости полосы захвата от D для различных постоянных фильтра αρ и двух значений постоянной форсирования m . γ

γ 0 .9 9

1 .0

0 .9 9

0 .9

1 .0

0 .8

0 .8

0 .8

0 .6

0 .8

0 .5

0 .4

0 .6

0 .6

0 .2

0 .4

0 .2

0 .3 0 .4

0 .1

0 .1

m=0

0 .2

0 .2

m=0 0 .0

0 .4

0 .8

1 .2

1 .6

D

0 .0

0 .4

0 .8

а)

1 .2

1 .6

D

б)

Рис. 2.23. Полоса захвата СФС с F1(ϕ) для а) αρ = 0.1, б) αρ = 1.0 γ

γ

20

20

5 1

5 1

0.3

α ρ=0.1

0.3

α ρ =0.1 D

а)

D

б)

Рис. 2.24. Полоса захвата СФС с F1(ϕ) для а) m = 0, б) m = 0.5 Для сравнения на некоторые кривые точками нанесены результаты, полученные в [9] методом Монте-Карло. Наблюдается практически полное

- 104 -

совпадение результатов. Штриховой линией показаны результаты, полученные первой формой метода усреднения, штрих-пунктирной – второй формой метода усреднения [33]. Наблюдается расхождение с обеими формами, особенно при малых D, m и больших αρ, при которых условия разделения на быстрые и медленные движения в (1.1.1) выполняются в меньшей степени. При анализе периодических движений в импульсной СФС установлено отсутствие предельных циклов 1-го рода. Это подтверждается рис. 2.19 и рис. 2.23, 2.24. Наличие таких движений могло бы привести к ограничению полосы захвата снизу (область малых расстроек обеспечивает симметрию фазового пространства и создает условия для возникновения ПЦ1). Такая ситуация возникает например в цифровой СФС. 2.3.2. Устойчивость дискретной СФС с треугольной нелинейностью Анализ периодических движений в импульсной ФАС позволил выявить ряд закономерностей:

1. В системе существует множество предельных циклов 2-го рода с u ≥ 1 .При этом все циклы представляют собой движения либо с постоянным увеличением (γ > 0), либо с постоянным уменьшением (γ < 0) фазы. 2. Как и в системе с пилообразной нелинейностью с ростом начальной расстройки γ первым возникает ПЦ2 с u=1. Данный результат является принципиальным для определения полосы захвата системы. Области существования циклов с u > 1 располагаются между областями существования циклов с u=1. При этом структура таких циклов является комбинацией структур соседних циклов с u=1. Например, цикл с u=2 и количеством шагов на каждом из периодов нелинейности Fc(ϕ) n и n+1 соответственно существует между областями циклов с u=1 с периодами n и n+1. 3. В системе невозможны циклы 1-го рода. Доказательство этого содержится в невыполнении условий (2.2.29) и (2.2.30), отрицающих движение с различным направлением изменения координаты x. 4. С уменьшением с наблюдается уменьшение областей существования устойчивых предельных циклов. Подобное объясняется , в свою очередь, уменьшением областей нелинейных отображений Q′i+, Q′′i+ . На рис. 2.25 , 2.26 на плоскости D,Dγ приведено семейство областей существования периодических движений в импульсной СФС с Fc(ϕ) для различных значений с и параметров фильтра αρ , m.

- 105 -

Выполним анализ приведенных результатов. 1. Существуют цепочки циклов фиксированного периода (k=const), отличающиеся разным числом точек на устойчивой ветви. С ростом D наблюдается перетекание точек с устойчивой ветви на неустойчивую. Ограничение такого перетекания определяет условие локальной устойчивости циклов. Примером может служить цепочки 32-23, 33-24 на рис. 2.25б. Dγ

Dγ

10

20

11

10

0 .8

0 .8 30

21

0 .6

0 .6

21 41

12 22

31

32

22

0 .4 3∞

0 .4

23

32 33

33

14

24 1∞

25

2∞

4∞

0 .2

13

23

2∞

0 .2

5∞

3∞

4∞

0 .0

0 .5

1 .0

D

1 .5

0 .0

0 .5

а)

1 .0

D

1 .5

б)

Рис. 2.25. Области существования предельных циклов в СФС с Fc(ϕ) αρ = 1.0, m = 0 для а) с = 0.75, б) с = 0.5 Dγ

Dγ

20

10

0 .8

0 .8

21

30

0 .6

0 .6

22

31

0 .4

0 .4

51

32

41

43

0 .2

0 .0

42

8∞

0 .5

7∞

52

6∞

5∞

1 .0

53

1 .5

33

0 .2 34

43

D

0 .0

5∞

6∞

0 .5

а)

4∞

1 .0

3∞

36

1 .5

35

D

б)

Рис. 2.26. Области существования предельных циклов в СФС с Fc(ϕ) αρ = 0.1, m = 0 для а) с = 0.75, б) с = 0.5

- 106 -

2. Как и в СФС 1-го порядка, существуют цепочки, образованные циклами с фиксированным числом точек на устойчивой ветви структуры 1/k. Подобные цепочки содержат бесконечный ряд циклов, в пределе имеющих структуру 1/l+∞ , где l - количество точек на устойчивой ветви. В отличие от системы 1-го порядка, где существовала только одна цепочка подобного типа с l=1 , здесь возникают цепочки с различным числом точек на устойчивой ветви. С ростом периода циклов в цепочках, область существования их уменьшается и в пределе стремится к нулю. Предельные области определяют границу глобальной устойчивости

системы

Примером

служит

цепочка

21-22-23-...-2 ∞

на

рис. 2.25а,б. 3. Пространство между предельными областями существования циклов в цепочках заполняются областями квазипериодических движений. Границы таких движений (показаны жирными линиями) определяют в интервалах между предельными областями цепочек границу глобальной устойчивости системы. С ростом γ квазипериодические движения переходят в периодические движения с большим числом проскальзываний, структура их становится регулярной, представляющей комбинацию структур ближайших циклов, входящих в состав соседних цепочек. По мере дальнейшего увеличения γ

циклы с большим

числом проскальзываний переходят в более простые с меньшим числом проскальзываний с последующим вероятным переходом в простейшие циклы структуры 1/k. 4. С ростом постоянной фильтра αρ наблюдается уменьшение областей существования предельных циклов с одновременным сдвигом в сторону больших частотных расстроек. 5. Влияние коэффициента форсирования m на области существования периодических и квазипериодических движений во многом повторяет влияние постоянной αρ . При m→1 наблюдаются качественно те же изменения, что и при увеличении αρ . Объяснение состоит в том, что в обоих случаях система стремится по своим свойствам к импульсной СФС 1-го порядка. Полоса захвата импульсной СФС с Fc(ϕ)

На рис. 2.27 и рис. 2.28 на плоскости параметров D,Dγ приведены зависимости полосы захвата импульсной СФС. Справа кривые ограничены

- 107 -

областью локальной устойчивости равновесного состояния (вертикальные линии). Dγ

Dγ

1 .0

1 .0

0 .8

0 .8

0 .5

α ρ = 1 .0

0 .5

c = 0 .5

0 .6

0 .6 0 .2

0 .2 0 .4

0 .4 m = 0 0 .2

α ρ = 1 .0 0 .5

0 .5

1 .0

c = 0 .7 5 0 .0

m=0

0 .2

D

1 .5

1 .0

0 .0

0 .5

а)

D

1 .5

1 .0

б)

Рис. 2.27. Полоса захвата импульсной СФС с Fc(ϕ) с αρ = 1.0 для а) с = 0.75, б) с = 0.5 Dγ

Dγ

1 0 .0

1 0 .0

0 .8

0 .8

m=0

m=0 c = 0 .5

c = 0 .7 5 0 .6

0 .6

2 .0 1 .0

0 .4

2 .0

0 .4

1 .0

0 .5

0 .5 0 .2

0 .2

1 0 .0

α ρ = 0 .1 0 .0

0 .5

α ρ = 0 .1 1 .0

а)

1 .5

D

0 .0

0 .5

1 .0

1 .5

D

б)

Рис. 2.28. Полоса захвата импульсной СФС с Fc(ϕ) с m = 0 для а) с = 0.75, б) с = 0.5 Отметим некоторые общие закономерности приведенных зависимостей: 1. Зависимости носят разрывный характер, который объясняется сменой структуры движения, ограничивающего полосу захвата. В точках разрыва первого рода (перегибы, рис. 2.27а,б) происходит пересечение границ существования двух различных движений. При дальнейшем увеличении D продолжают существовать оба движения. Точки разрыва второго рода

- 108 -

(рис. 2.27а,б, рис. 2.28а,б) появляются при потере устойчивости движением, ограничивающим полосу захвата γ , при этом граница существования других движений располагается выше. 2. С уменьшением параметра с уменьшается значение D , при котором нарушается равенство полос удержания и захвата. Данное значение D является бифуркационным для смены типа устойчивой равновесной точки с узла на фокус. 3. Зависимость полосы захвата от постоянных фильтра α ρ и m отражает характер влияния этих параметров на полосу фильтра. Полоса захвата в целом растет с увеличением α ρ и m . Для сравнения на рис. 2.27б и рис. 2.28б точками показаны результаты, полученные в [71,72] методом Монте-Карло. Следует отметить высокое совпадение. На рис. 2.29 на плоскости 1/с, Dγ приведены зависимости полосы захвата от параметра нелинейности с при фиксированном значении коэффициента D. Данные кривые позволяют наиболее наглядно показать влияние параметров нелигнейности Fc(γ) на полосу захвата. Анализ кривых показывает, что существуют три вида зависимостей. Для первого из них с ростом 1/с наблюдается монотонное уменьшение полосы захвата (D=0.2 и D=0.5). Для второго - зависимость от с отсутствует (D=1.5), объясняется тем, что полоса захвата ограничивается кратными захватами, граница возникновения которых не зависит от вида характеристики. Третий вид характеризуется достаточно сложной зависимостью. В ряде случаев наблюдается очевидное увеличение полосы захвата (рис. 2.29а, D=1.5, область малых 1/c), в ряде случаев зависимость носит колебательный характер (D=1.0). Третий вид реализуется при достаточно больших значениях D. Объединяя три группы зависимостей, можно сделать следующий вывод. При малых значениях D с ростом 1/с возникает незначительный проигрыш по полосе захвата. Однако данный проигрыш может компенсироваться значительным выигрышем в быстродействии за счет оптимизации коэффициента усиления в системе путем выбора формы характеристики

- 109 -

детектора. При больших D оптимизация характеристики может дать больший эффект, поскольку наряду с быстродействием можно добиться увеличения полосы захвата за счет выбора с. Dγ

Dγ 1 .0

0 .6

0 .6 1 .5

0 .4

1 .5 1 .0

0 .4 0 .5 0 .5 0 .2

0 .2

D = 0 .2

D = 0 .2

0 .0 1 .0

2 .0

3 .0

а)

1 /c

0 .0 1 .0

2 .0

3 .0

1 /c

б)

Рис. 2.29. Зависимость полосы захвата СФС с Fc(ϕ) от 1/c 2.3.3. Переходные режимы Раздел посвящен анализу применения двух вариантов метода усреднения для оценки длительности переходных процессов, описываемых отображением (1.1.1). Метод усреднения завоевал достаточно большую популярность в теории непрерывных нелинейных динамических систем, в том числе систем синхронизации [30]. При определенных ограничениях на параметры метод позволяет получить достаточно точные оценки как на установившиеся движения так и на характеристики переходных процессов. Применительно к дискретным системам с периодической нелинейностью он получил развитие в целом ряде работ, посвященных анализу нелинейной динамики дискретных СФС [27,32,33,]. Метод предполагает разделение переменных отображения (1.1.1) на быстрые и медленные и соответственно раздельный анализ уравнений 1-го порядка, содержащих эти переменные . Область параметров, для которых это возможно, легко установить, перейдя от (1.1.1) к уравнению в разностях ⎧∆ϕ n = xn − αF (ϕ n ) , ⎨ ∆ x = − − d x − F + g ( 1 ) β ( ϕ ) ⎩ n n n

где ∆ϕ n = ϕ n +1 − ϕ n , ∆xn = xn +1 − xn .

(2.3.4)

- 110 -

Если предположить , что (1 − d ) << 1, β << 1, g << 1 , то (2.3.4) можно переписать ⎧∆ϕ n = xn − αF (ϕ n ) , ⎨ x µ f ϕ x ∆ = ( , ) ⎩ n n n

(2.3.5)

где µ <<1, f (ϕ n , xn ) - ограниченная функция. Согласно (2.3.5) координата xn является медленной функцией времени, координата ϕn – быстрой функцией времени. Разделение переменных на быстрые и медленные позволяет перейти от системы (2.3.5) к системе двух относительно независимых уравнений 1-го порядка, одно из которых описывает движение быстрой координаты ϕn при постоянной координате xn (xn= x). Второе уравнение описывает движение медленной координаты xn при усредненной функции быстрой координаты F(ϕn) . Уравнение для быстрой координаты имеет вид ∆ϕ n = −αF (ϕ n ) + x .

(2.3.6)

Уравнение для медленной координаты имеет вид

∆x = −(1 − d ) x − βF ( x) + g ,

(2.3.7)

где Qi′+, Qi"+ - функция, полученная усреднением по траекториям движений быстрой координаты при фиксированном значении x . Анализ времени переходных процессов при наличии F (x) может быть выполнен в соответствии с (2.3.7) по традиционной схеме. Согласно [15] время переходного процесса Tп складывается из времени установления частоты Tf и времени установления фазы Tϕ . Первое из них определяется движением по траекториям, охватывающим цилиндр, второе – движением по траекториям без охвата цилиндра. Для F(ϕ)=F1(ϕ) второе движение является линейным. Tп = Tf + Tϕ .

(2.3.8)

Время установления частоты может быть получено в результате перехода от уравнения 1-го порядка в разностях (2.3.7) к дифференциальному уравнению dx 1 = (− (1 − d ) x − βF ( x) + g ). dt T Время установления частоты выразится следующим образом Tf = T

xk

dx

∫ − (1 − d ) x − β F ( x ) +

x0

g

,

(2.3.9)

(2.3.10)

- 111 -

где x0 – начальное значение координаты x, xk – конечное значение координаты x, определяемое критерием оценки перехода к движению без охвата цилиндра. В [27,33] в качестве конечного значения x принято значение xk=α . Автор диссертации использует в качестве xk значение, определяющее точку пересечения усредненной кривой F (x) с предельной инвариантной кривой, разделяющей фазовый цилиндр на области движений с охватом и без охвата цилиндра. На рис. 2.30 приведены кривые F (x) для двух типов усреднения. Кривая I1 получена усреднением решения уравнения (2.3.6), запускаемого с левой границы цилиндра [27,33] , I2 – усреднением координаты ϕ на инвариантных кривых, запускаемых при заданном x также с левой границы цилиндра. Инвариантная кривая L1 ограничивает область движений без охвата цилиндра сверху, инвариантная кривая L2 ограничивает область движений без охвата цилиндра снизу. x Lϕ 1 I1

LЛО

I2 O Lϕ

Lx

LЛО 1

ϕ

Рис. 2.30. Кривые F (x) , полученные различными способами усреднения На рис. 2.31 приведено семейство инвариантных кривых, построенных для различных x . Для F1(ϕ) инвариантные кривые строятся непосредственно через решение системы (1.1.1) при подстановке F(ϕ)=ϕ

путем исключения из

решения времени. Уплотнение инвариантных кривых со сменой знака приращения ∆x подчеркивает наличие устойчивых периодических движений в системе. Простое уплотнение кривых без смены знака ∆x говорит о возможности возникновения периодических движений при незначительном изменении параметров. Соответственно при расстройках по частоте, близких к

- 112 -

полосе захвата, плотность инвариантных кривых будет неограниченно возрастать и приводить к бесконечному времени. Усреднение F(ϕ) для заданного x происходит на инвариантной кривой, запущенной из точки (–1, x) до пересечения с границей цилиндра ϕ = 1. Количество точек, по которым проводится усреднение, может быть достаточно произвольным и определяется требуемой точностью. В расчетах F (x) оно составило порядка 30-50 x

Lϕ 1

∆x<0 ∆x>0 ∆x<0

LЛО

Lx

O

Lϕ

LЛО 1

ϕ

Рис. 2.31. Семейство инвариантных кривых СФС 2-го порядка Усреднение

F (x)

на инвариантных кривых учитывает изменение

координаты x на периоде фазового цилиндра и соответсвенно снижает требования критерия быстрых и медленных движений. Точность усреднения не зависит от количества точек, охватывающих фазовый цилиндр; фактически усреднение на инвариантных кривых происходит и по времени и по начальным условиям. На рис. 2.32 приведены результаты расчетов времени подстройки частоты для различных вариантов усреднения быстрой координаты: усреднения по инвариантным кривым (1), усреднения численного решения по начальным условиям (2), усреднение по времени решения отображения 1-го порядка. Результаты, полученные усреднением численного решения по начальным условиям, следует рассматривать в качестве эталонных. Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы. При малых усилениях и сравнительно большой инерционности результаты, полученные усреднением по инвариантным кривым и численным способом, совпадают с высокой степенью

- 113 -

точности (рис. 2.32б). Усреднение по времени решения отображения 1-го порядка дает завышенную оценку. С ростом усиления но сохранением инерционности результат повторяется (рис. 2.32в). При большом усилении и сравнительно малой инерционности фильтра при малых расстройках по частоте указанная тенденция вновь наблюдается; с ростом расстройки усреднение по инвариантным кривым дает завышенную оценку, усреднение по времени решения отображения 1-го порядка дает результат, близкий к численному решению (рис. 2.32а,б). T f/T

T f/T

D = 1,0 m = 0,5 α ρ = 0,1

D = 0,1 m = 0,5 α ρ = 0,1

2 3

3

1

2

1

γ

γ

а) T f/T

б) T f/T

D = 1,0 m=0 α ρ = 0,1

3

D = 1,0 m = 0,5 α ρ = 1,0

1

1

2

3

2 γ

γ

в)

г)

Рис. 2.32. Время установления частоты для разных вариантов усреднения быстрой координаты: 1 – по инвариантным кривым; 2 – по начальным условиям численного решения; 3 – усреднение решения уравнения 1-го порядка

- 114 -

На рис. 2.33 приведены результаты расчета времени подстройки частоты, полученные усреднением по инвариантным кривым. Результаты подтверждают известные закономерности зависимости времени от различных параметров системы. Tf/T

Tf/T

D = 1,0 αρ = 0,1

D = 0,1

αρ = 0,1

m = 0,0 0,5

m = 0,0

0,2

0,9 0,5

0,9 γ

γ

а) Tf/T

б) Tf/T

D = 1,0 m = 0,5

αρ = 0,02

D = 0,1 m = 0,5

αρ = 0,05

0,05 0,1

0,1

1,0

1,0 γ

в)

γ

г)

Рис. 2.33. Время установления частоты при усреднении по инвариантным кривым для а) D = 1.0, αp = 0.1; б) D = 0.1, αp = 0.1; в) D = 1.0, m = 0.5; г) D = 0.1, m = 0.5

-115-

2.4. Использование качественно-численных методов дискретных СФС с синусоидальной нелинейностью

для

анализа

2.4.1. Особенности методики расчета бифуркационных параметров неподвижных точек гладких отображений Построение алгоритмов расчета бифуркационных параметров, при которых возникают или теряют устойчивость k-кратные неподвижные точки в системе с гладкой нелинейностью Fs(ϕ), в общем случае затруднительно. Если в системе с Fc(ϕ) основные бифуркации, связанные с рождением и потерей устойчивости неподвижными точками, определяющими устойчивость в целом системы, происходят при попадании изображающей точки на границы линейных участков и на этом строится алгоритм расчета бифуркационных параметров, то в системе с синусоидальной нелинейностью подобной однозначности в построении алгоритма расчета не существует. Все бифуркации связаны с достижением границ локальной устойчивости k-кратных точек G1, G-1, Gϕ . В случае 1-кратных точек, включая кратные захваты, эти границы выписываются в аналитическом виде. Для неподвижных точек повышенной кратности определение границ G1, G-1, Gϕ в аналитическом виде невозможно. Наиболее приемлемым подходом в этом случае может служить численный метод продолжения по параметру, применяемый к найденной тем или иным способом начальной области существования периодического движения (в качестве начальной области достаточно использовать точку на плоскости параметров) [53]. В п. 2.1 в качестве примера была рассмотрена область существования предельного цикла структуры (0/4), возникающего на границе Gϕ в точке ϕ = π/2 (рис. 2.4). Стартуя из точки А′ границы Gϕ методом продолжения по параметру можно построить всю область существования цикла данного типа с одновременной фиксацией соответствующих границ G1, G-1, Gϕ 4-кратной точки, входящей в состав цикла (0/4). Аналогично строится алгоритм расчета областей существования других циклов, возникающих на границах локальной устойчивости 1-кратных точек (рис. 2.4). Найденные области существования циклов (k-кратных точек), расположенных на границах устойчивости 1-кратных точек, совместно с установленными границами их устойчивости G1, G-1, Gϕ, используются в качестве базы для последующего шага в установлении бифуркационной

-116-

картины системы. Основой такого шага служит утверждение о существовании типовых бифуркаций, возникающих при переходе неподвижной k-кратной точкой соответствующих границ области локальной устойчивости (см. п. 2.1): 1) переход границы G-1 независимо от кратности неподвижной точки происходит через бифуркацию удвоения периода; 2) переход границы Gϕ.сопровождается в зависимости от значения ϕ рождением циклов 1-го рода соответствующих периодов либо квазипериодических движений, происходящих по замкнутым инвариантным кривым; 3) переход границы G1 сопровождается слиянием устойчивой и неустойчивой k-кратных точек с образованием сложной точки узел-седло с последующим разрушением цикла, приводящим к уплотнению траекторий. Как и в случае кусочно-линейных СФС, процедура уточнения характера движений может быть ограничена конкретной направленностью исследований. Для отыскания области устойчивости в целом, например, достаточно определить область существования граничных движений. К числу их относятся, как правило, движения с минимальным числом проскальзываний на периоде. Пусть F(ϕ) = Fs(ϕ) , отображение (1.1.1) в этом случае будет иметь вид ⎧ϕ n+1 = ϕ n − α Sin(ϕ n ) + xn ⎨ ⎩ xn+1 = − β Sin(ϕ n ) + dxn + g

(2.4.1)

Для частного случая g = 0 отображение (2.4.1) изучалось в [54], где получен ряд важных для практики результатов относительно существования притягивающего слоя, областей существования колебательных движений и кратных захватов. Ниже приводятся результаты исследований нелинейных процессов для произвольных частотных расстроек g . Результаты приведены в виде расчетных выражений для областей существования простых (1-кратных) неподвижных точек, оценок границ притягивающих областей, в виде полученных методом продолжения по параметру областей существования kкратных неподвижных точек, входящих в состав предельных циклов 1-го и 2-го рода, областей существования инвариантных притягивающих множеств, возникающих из пересечения седловых сепаратрисных многообразий. На рис. 2.34 приведена развертка фазового цилиндра отображения (2.4.1). Выделим аналогично системе с F1(ϕ) следующие линии: Lϕ,m - линию отображения с изменением координаты ϕ на 2πm , Lx,0 - линию отображения с сохранением координаты x:

-117x α

D

A

WU

WS

O1

O2

π/2

−π/2

C

ϕ

B

L ϕ ,0

L x,0

−α

Рис. 2.34 Фазовое пространство дискретной СФС с Fs(ϕ) β

(2/1)

(1/1)

O1

β=( g −α)(1− d) O2

β=(− g −α)(1− d)

α

Рис. 2.35. Области локальной устойчивости циклов структуры (u/1) для d=0.5, g=1

x

SI WS

O2

WU −π

Lϕ,0

Lx,0

ϕ π

Рис. 2.36. Фазовое пространство СФС для случая большой колебательности а)

б)

-118-

Lϕ,m : x=α Sin(ϕ )±2πm; m=0,±1,±2…

(2.4.2)

Lx,0 : x=(-β Sin(ϕ)+g)/(1-d) Точки пересечения кривых Lϕ,0 и Lx,0 - состояния равновесия системы. На периоде Sin(ϕ) таких точек две: (2.4.3)

T

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ g g ⎟⎟,α ⎜⎜ ⎟⎟⎥ O1 = ⎢arcsin⎜⎜ − + − + d α β d α β ( 1 ) ( 1 ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ , ⎣ T

⎡ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ g g ⎟⎟⎥ ⎟⎟,α ⎜⎜ O2 = ⎢π − arcsin ⎜⎜ ( 1 ) ( 1 ) d α β d α β − + − + ⎠⎦ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎣

На пересечении кривых Lx,0 и Lϕ,m (m=±1,±2..) возникают циклы структуры (u/1) или кратные захваты. Согласно (2.4.2) они имеют координаты: T

⎡ ⎛ g - 2πm(1 - d) ⎞ ⎛ g - 2πm(1 - d) ⎞⎤ ⎟⎟,α ⎜⎜ ⎟⎟⎥ Om ,1 = ⎢arcsin ⎜⎜ − + − + ( 1 d ) α β ( 1 d ) α β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ , ⎣

T

⎡ ⎛ g − 2πm(1 − d ) ⎞ ⎛ g − 2πm(1 − d ) ⎞⎤ ⎟⎟,α ⎜⎜ ⎟⎟⎥ Om , 2 = ⎢π − arcsin ⎜⎜ − + − + ( 1 ) α β d ( 1 d ) α β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ , ⎣

(2.4.4)

Из (2.4.3) можно получить условие существования состояния равновесия (2.4.5) β > g − α (1 − d ) . По аналогии с (2.4.5) найдем условия на параметры системы, при которых возможны кратные захваты:

g − 2πm(1 − d ) < 1. α (1 − d ) + β

(2.4.6)

Область локальной устойчивости неподвижной точки ϕi цикла структуры (u/1) (u=0,±1,±2...) определяется системой неравенств ⎧(α (1 − d ) + β ) Cos(ϕi ) > 0 ⎪ ⎨1 − d + (d α − β ) Cos(ϕi ) > 0 ⎪2(1 + d ) + ( β − α (1 + d )) Cos(ϕ ) > 0 . i ⎩

(2.4.7)

Как это следует из (2.4.7), на периоде Sin(ϕ) только одна из неподвижных точек цикла может быть устойчива, другая неустойчива. На рис. 2.35 в пространстве параметров (α,β) показаны области локальной устойчивости стационарного состояния и нескольких кратных захватов для g=0.5, d=0.5. Система уравнений (2.4.1) задает отображение пространства векторов состояний системы в себя. Оно инвариантно относительно преобразования g→g+2πm(1-d) (где m=±1, ±2...). При этом все движения в системе переходят в

-119-

подобные им движения, но при каждой итерации координата ϕn получает дополнительное приращение 2πm, а координаты xn всех точек изменяются на 2πm. Т. е. циклы (u/k) переходят в циклы (u+km)/k. В силу этого без нарушения общности можно рассматривать g в пределах 0
(2.4.8)

Отображение (2.4.1) инвариантно относительно преобразования: (ϕ,α,β)→(ϕ+π,-α,-β).

(2.4.9)

При этом преобразовании все движения в системе переходят в подобные им движения. Координата x остается неизменной, а координата ϕ переходит в координату ϕ+π, т.е. происходит поворот фазового цилиндра на полпериода. Данное утверждение легко проверить непосредственной подстановкой в (2.4.1). Рассмотрим плоскость параметров (α,β). Из (2.4.9) следует, что в данной плоскости области существования всех движений располагаются симметрично относительно нуля. Заметим далее, что, согласно (2.4.5), в полосе, ограниченной прямыми β=g-α(1-d) и β=-g-α(1-d), вообще не существует неподвижных точек. Здесь существуют только вращательные движения по ϕ. Из этого можно сделать вывод, что области локальной устойчивости состояний синхронизма O1, O2 в пространстве параметров (α,β) не пересекаются и симметричны относительно нуля. Данные области показаны на рис. 2.35, верхняя граница области локальной устойчивости O2 проходит вдоль прямой

β = g − α (1 − d ) , нижняя граница области для точки O1 проходит вдоль прямой β = − g − α (1 − d ) . Известно, что при d<1, g = 0 для произвольных параметров в фазовом пространстве существует притягивающий слой [54]. Для данной системы он определяется так же как и для СФС с пилообразной характеристикой детектора: (2.4.10) β β g g − <x< + . 1− d 1− d 1− d 1− d В силу этого, при анализе установившихся движений в фазовом пространстве, можно ограничиться областью внутри притягивающего слоя. На рис. 2.34 притягивающий слой системы обозначен горизонтальным пунктиром. При анализе движений в системе особенно важно взаимное расположение сепаратрисных кривых неустойчивых стационарных состояний. Для практики особенно интересен случай, когда выходящая сепаратрисная инвариантная кривая седла не пересекает входящую и лежит ниже нее, т.к. при этом

-120-

становятся невозможны движения с постоянным возрастанием или убыванием фазы. Подобная структура фазового пространства показана на рис. 2.34 (кривая WU ниже кривой WS). Покажем, что это выполняется при условии:

α>g/(1-d)+β/(1-d) ,

β g ⎧ ⎪⎪α > 1 − d + (1 − d ) ⎨ 1 β π g ⎪− arccos⎛⎜ ⎞⎟ + α 2 − 1 + + < , ⎪⎩ 1 − d (1 − d ) 2 ⎝α ⎠

α<1, (2.4.11) α>1.

При выборе начальных условий ниже (выше) кривой Lϕ,0 итерация происходит с уменьшением (увеличением) координаты ϕ. При α>g/(1-d)+β/(1d) Lϕ,0 пересекает границы притягивающего слоя. Рассмотрим область G (ABCD) в фазовом пространстве, образованную верхней и нижней границей притягивающего слоя, а также частями кривой Lϕ,0, лежащими между точками A, B и C, D (рис. 2.34). Эти точки лежат на пересечении Lϕ,0 с границами притягивающего слоя. Найдем далее условия, при которых область G отображается в себя. Для этого достаточно рассмотреть отображение отрезка (AD), принадлежащего верхней границе притягивающего слоя (2.4.12) ϕ n+1 = ϕ n − α Sin (ϕ n ) + g /(1 − d ) + β /(1 − d ) ; ϕ∈(AD). Если ϕ n+1 < π / 2 , то отображение происходит всегда внутрь области G. Несложно видеть, что это всегда выполняется при α<1, а в случае α>1 ϕn+1 достигает максимума при ϕ=-arccos(1/α). Таким образом, при выполнении (2.4.11) скольжения по фазе в системе становятся невозможны. 2.4.2. Анализ областей существования установившихся движений в СФС с синусоидальной нелинейностью. Устойчивость Проанализируем существующие в системе устойчивые движения, определяющие область глобальной устойчивости состояния синхронизма, а также ее изменение в зависимости от параметров для различных начальных расстроек по частоте. 1. На рис. 2.37 показаны области существования различных периодических движений системы с ПИФ для нулевой расстройки. Темной заливкой отмечена область устойчивости в целом системы, ограниченная сверху первым кратным захватом (цикл структуры (1/1)) или циклами первого рода, которые

существуют в области больших α, β. При малых d верхняя граница области

-121-

β

β

(2/4) (1/2)

(3/1)

(2/1)

(0/5)

(3/3) (0/4)

(1/1)

(0/8)

(0/6)

(0/4)

(1/1)

α

α

а)

б)

Рис. 2.37. Области существования периодических движений для g=0: а) d=0.5; б) d=0.8. β

β

(1/1)

(0/3) (0/3)

(1/1)

(С)

(С)

(1/2)

α

α

а)

б)

Рис. 2.38. Области существования периодических движений для d=0.5: а) g=0.5; б) g=1.0

-122-

устойчивости определяется циклом первого рода структуры (0/4) (рис. 2.37а). Это движение принадлежит семейству циклов первого рода структуры (0/k), области существования которых располагаются вблизи верхней границы локальной устойчивости СФС. Области существования нескольких устойчивых циклов этого семейства показаны на рис. 2.37а. При увеличении d верхняя граница возникновения кратного захвата перемещается в сторону меньших β, и он становится определяющим для ОГУ системы (рис. 2.37б). Это приводит к уменьшению области глобальной устойчивости. Вместе с тем при увеличении d в области локальной устойчивости при больших α, β появляются кратные захваты более высокого порядка, а также возникают различные циклы первого и второго рода (рис. 2.37б). Это цикл второго рода периода два (1/2). Потеря устойчивости этого цикла при увеличении α происходит с удвоением периода. Это приводит к рождению устойчивого цикла (2/4), который теряет в свою очередь устойчивость с удвоением периода и т.д. Области существования циклов с увеличением периода значительно уменьшаются, так что уже для циклов периода 16 они практически равны нулю. На рис. 2.37б показаны области существования циклов (1/2), (2/4). Характерным также является возникновение цикла первого рода структуры (0/4). Точки этого цикла при g=0 располагаются попарно симметрично относительно состояния синхронизма. 2. При ненулевых расстройках в области малых значений α потеря глобальной устойчивости происходит вследствие рождения структуры, которую будем далее называть структурой (C) (рис. 2.36). Характерным для этой структуры является то, что входящая сепаратриса неустойчивой стационарной точки (WS) лежит ниже выходящей сепаратрисы (WU). Это приводит к возникновению притягивающей инвариантной кривой (кривая SI на рис. 2.36). Движение вдоль кривой происходит с постоянным возрастанием фазы ϕ. Вследствие этого ОГУ в области малых α уменьшается (рис. 2.38). В области больших α, β ограничение ОГУ происходит первым кратным захватом. С увеличением расстройки граница области его существования перемещается в область меньших α, β (рис. 2.38а). При дальнейшем росте g описанные тенденции сохраняются. Вместе с тем область существования цикла второго рода (1/2) опускается ниже границы первого кратного захвата и также уменьшает область глобальной устойчивости (рис. 2.38б). Проанализируем полосу захвата системы (границу области глобальной устойчивости системы в пространстве параметров (D,γ)).

-123-

Рассмотрим предварительно область локальной устойчивости системы. Она определяется неравенствами (2.4.7), от которых можно перейти к неравенствам, определяющим области локальной устойчивости в пространстве физических параметров ⎧ D(1 − d ) > 0 ⎪ ⎨1 − d > − D(d − (1 − m)(1 − d ) α p ⎪2(1 + d ) > D(1 + d − 2(1 − m)(1 − d ) α p ⎩

(2.4.13)

и достигает максимального значения по D, когда выполняется условие:

m = 1−

α p (d + 1) 2 4(1 − d )

.

(2.4.14)

С увеличением γ происходит расширение области локальной устойчивости в сторону больших D. Это происходит вследствие уменьшения крутизны Fs(ϕ) в точке равновесия с увеличением γ. Выполним анализ полосы захвата системы в зависимости от изменения ее параметров. При малых значениях m правая граница полосы захвата определяется кратным захватом (цикл (1/1)). Верхняя граница полосы захвата определяется возникновением структуры (C), описанной выше (рис. 2.39а). С увеличением m наблюдаются следующие тенденции: 1. Нижняя граница возникновения структуры (C) сдвигается в сторону больших γ. При этом правая граница полосы захвата начинает определяться также циклами второго рода k>1. Это приводит к расширению полосы захвата в области малых D (рис. 2.39б, 2.39в). 2. При дальнейшем увеличении m правая граница полосы захвата начинает определяться границей локальной устойчивости состояния синхронизма (рис. 2.39в, 2.39г). При приближении значений m к единице граница локальной устойчивости уже полностью определяет правую границу полосы захвата. Это приводит к уменьшению полосы захвата по D и ограничению снизу диапазона расстроек, в которых обеспечивается захват из любых начальных условий. 3. При m близких к единице, наряду с ограничением снизу, наблюдается расслоение полосы захвата циклами второго рода на несколько подобластей (рис. 2.39г). При этом верхняя граница полосы захвата по прежнему определяется структурой (С) и близка к единичному значению. В целом можно сказать, что при увеличении коэффициента m от нуля до единицы происходит расширение полосы захвата системы в области малых

-124-

γ

γ

З

З

(С)

(1/2) (1/3)

(1/4)

(1/1)

(С)

Граница локальной устойчивости

(1/1)

D

D

а)

γ

З

(1/4)

б)

γ

З

(1/3)

(1/2)

(1/1)

(2/2)

(С)

(1/5)

Граница локальной устойчивости

Граница локальной устойчивости

(1/2)

D

D

в)

г)

Рис. 2.39. Полоса захвата ИСФС с линейным ПИФ для α p=0.1: а) m=0.1; б) m=0.3; в) m=0.5; г) m=0.9.

-125-

усилений с появлением одновременно ограничения в области больших D. Аналогичное качественное поведение полосы захвата в зависимости от m наблюдается при различных значениях αp. Приведенные зависимости полосы захвата можно использовать и для анализа цифровой СФС ПИФ. Для этого достаточно воспользоваться соотношениями, связывающими параметры цифровой СФС систем с обобщенными параметрами. Рассмотрим нелинейные свойства отображения (2.4.1) для d = 1, что соответствует обобщенной модели СФС с линейным интегратором в цепи управления. На рис. 2.40 приведена развертка фазового цилиндра СФС с интегратором. В отличие от фазового пространства системы с ПИФ отображение с сохранением координаты x в данном случае происходит с вертикальных прямых ( Lx,m: ϕ=±2mπ; m=0, ±1,±2… ) и не зависит от начальной расстройки. Линии отображения с сохранением значения координаты ϕ mod 2π проходят так же, как и в системе с ПИФ Lϕ,m: x=α Sin(ϕ)±2πm; m=0,±1,±2… Точки пересечения кривой Lϕ,0 и прямых Lx,m

Oj есть стационарные состояния

системы. Они имеют координаты: Oj=(0,2πj;j=0,±1,±2..). Несложно видеть, что в данной системе прямые Lx,m пересекаются со всеми линиями Lϕ,m , m=±1,±2... Таким образом, в рассматриваемой модели существует бесконечное множество кратных захватов (циклов структуры (u/1);u=±1,±2...). Рассмотрим основные свойства отбражения: Система инвариантна относительно

замены

((ϕ mod 2π),x)→((ϕmod2π),x±2mπ). При этом все движения в системе переходят в подобные им движения, а координата ϕ на каждом шаге получает дополнительное приращение 2mπ. Т. е. циклы структуры (u/k) переходят в циклы (u+km)/k. В силу этого поведение данной системы можно рассматривать на торе, период которого определяется неравенствами (2.4.15) -π ≤ ϕ ≤ π ,-π ≤ x ≤ π На рис. 2.41а на плоскости параметров (α,β) приведены области существования устойчивых периодических движений различной структуры системы (2.4.1) для d = 1. Как следует из данных, в области больших α, β существует устойчивые циклы первого рода структуры (0/3), (0/4). Эти движения существовали и в системе с ПИФ (d<1).

-126-

x

O1

O2

π/2

−π/2

ϕ

Lx,0

Lϕ,0

Рис. 2.40. Фазовое пространство астатической СФС

β

β

(0/3)

(0/3) (0/8) (0/4)

(0/4)

(2/4)

(2/6)

(1/2) (1/3)

(1/3)

α

а)

α

б)

Рис. 2.41. Области существования периодических движений астатической СФС а) с линейным интегратором, б) с нелинейным интегратором

-127-

В области малых α, β существуют устойчивые циклы второго рода. Это прежде всего циклы периода два, имеющие структуру (±1/2). Точки этих движений имеют координаты T T r r q1 = [0 , π ] , q2 = [π , π ] для цикла (1/2), T T r r q1 = [0 ,−π ] , q2 = [π ,−π ] для цикла (-1/2).

(2.4.16)

Данные движения характерны для системы с интегратором. Их отличительной особенностью является то, что значение координаты x при движении по циклу остается неизменным и равным ±π, а фазовая координата ϕ постоянно возрастает или убывает. Приращение разности фаз ϕ за период Т равно π. С практической точки зрения это означает, что частота ПГ является стабильной и отличается от частоты входного сигнала ровно в 1.5 раза. Устойчивость этого движения определяется собственными значениями матрицы системы, линеаризованной в точках цикла: (2.4.17) ⎡1 − α 1⎤ ⎡1 + α 1⎤ ⋅ A=⎢ ⎥ ⎢ 1⎥⎦ ⎣ − β 1⎦ ⎣ β При увеличении α, подобно тому как это было и в системе с ПИФ , этот цикл теряет устойчивость с удвоением периода. Это ведет к возникновению цикла (2/4), который также теряет устойчивость с удвоением периода. Далее этот процесс повторяется. Области существования устойчивых циклов данной структуры сильно уменьшаются с увеличением периода. Также в области малых α, β существуют циклы 2-го рода больших периодов, например, цикл (1/3). Штриховкой на рис. 2.41а помечена область параметров системы, в которой существуют только кратные захваты. Учитывая характер фазовых портретов, реализующих циклы 2-го рода при малых усилениях (2.4.16), от них легко избавиться, введя ограничение по координате x. Это в свою очередь можно сделать, применив в качестве астатического фильтра цифровой интегратор с насыщением [84] Области устойчивости для астатической СФС с нелинейным интегратором показаны на рис. 2.41б. Как следует из результатов, в области малых усилений система устойчива глобально (кратные захваты в системе с нелинейным интегратором также отсутствуют). Подобные режимы имеют важное значение для синхроннофазовых демодуляторов на основе цифровых СФС с усредняющими фильтрами на основе цифровых интеграторов.

-128

2.5. Применение качественных квантования в цифровых СФС

методов

для

анализа

эффектов

Пусть функция F(ϕ) имеет вид, приведенной на рис. 1.1г,д, а в цепи управления СФС используется независимый пропорциональный канал. Отображение (1.1.1) в этом случае будет представлять собой модель цифровой СФС с АЦП внутри кольца, если координата ϕ принимает любое значение, и модель с АЦП на входе кольца, если координата ϕ принимает ограниченное число значений из некоторого ряда, определяемого разрядностью преобразователя [148] Для большого числа уровней квантования методика расчета установившихся движений аналогична использованной в п. 2.2. В качестве основного результата следует рассматривать существование циклов 1го рода периода k=2 (ϖ = π), представляющих собой колебательный тип движений. На рис. 2.42 на плоскости физических параметров приведены зависимости полосы захвата от усиления. Для малых m, d полоса ограничена в области малых расстроек циклами ПЦ1, в области больших расстроек, как и в случае импульсной СФС, циклами ПЦ2.

Dγ

Dγ

d = 0 .2

d = 0 .8

m = 5 .0

0 .8

0 .8

m = 5 .0 0 .6

0 .6 1 .0

1 .0 0 .4

0 .4

0 .2

0 .2

0 .5

0 .5 0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

D

0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

D

а) б) Рис. 2.42. Полоса захвата цифровой СФС 2-го порядка Главная особенность ПЦ1 четного периода состоит в их симметричности, этим объясняется то, что они возникают при малых частотных расстройках (фазовое пространство максимально симметрично) и исчезают с их ростом. Циклы возникают при малых m и ограничивают полосу захвата снизу. Верхняя

-129

граница полосы захвата цифровой ФАС , как и для импульсной системы, определяется движениями структуры (1/k), характер возникновения которых мало отличается от импульсных систем. Возникновение данных циклов, как и циклов с несколькими проскальзываниями, связано с переходом неподвижных точек черец границы нелинейности и рождением пары k-кратных точек устойчивый узел-седло либо устойчивый фокус-седло. Для сравнения штриховой линией на рис. 4.42 показана граница полосы захвата, полученная методом усреднения [30]. Наибольшее совпадение результатов наблюдается при больших d и m. Точность совпадения значительно падает с уменьшением m, d . Причины кроются в степени строгости выполнения условий разделения движений на быстрые и медленные либо в вырождении уравнения быстрой координаты [33]. Значительная ошибка метода усреднения связана с существованием циклов 1-го рода, которых метод "не замечает" (рис. 2.42а). Рассмотрим влияние конечной разрядной сетки на процессы в СФС. Известны различные подходы решения подобной задачи. В [47,147] предлагается использовать линейную модель системы, при этом ошибки квантования моделируются эквивалентным внешним воздействием. Получены оценки уровня сигнала на выходе системы, обусловленного конечной разрядной сеткой. Доказано, что при условии апериодических процессов (импульсная характеристика одного знака, соответствует малому усилению системы), уровень сигнала не превышает половины дискрета квантования. С ростом усиления выходной сигнал растет пропорционально "податливости" системы [47]. В [146] предлагается близкий к описанному статистический подход, согласно которому используется также линейная модель системы а ошибки квантования моделируются внешним шумовым сигналом, имеющим эквивалентные шумам квантования статистические характеристики. Известен подход, основанный на аналитическом описании сигнала, вызванного эффектами квантования, позволяющий получить точные значения параметров сигнала [40,146]. Однако его возможности ограничены частными случаями, когда описываемый сигнал представляет собой простейшие периодические движения минимального периода.

-130-

В разделе для анализа эффектов квантования в цифровых СФС предлагается методика, основанная на качественных методах. В отличии от известных, она позволяет анализировать поведение системы не только в окрестности состояния равновесия, но и в окрестности периодических движений большой амплитуды. Анализ движений на фазовом цилиндре позволяет опеределить тенденции нелинейного поведения, вызванного конечной разрядной сеткой, изучить возможные качественные изменения движений, характер влияния различных параметров. Пусть АЦП находится внутри кольца, а координата ϕ может принимать любое значение. Анализ влияния конечной разрядной сетки в этом случае сводится к учету конечного числа состояний нелинейной функции F(ϕ). Предлагается подход, основанный на построении инвариантных кривых. Уравнение инвариантных кривых или уравнение, не содержащее времени, можно получить из (1.1.1) в предположении, что значение функции F(ϕ) остается постоянным в некотором диапазоне. Это выполняется, если координата ϕ находится в интервале одной полочки F(ϕ). Уравнение имеет следующий вид

β ⋅ F (ϕ 0 ) − g α ⋅ ϕ + F ( ) 0 ⎡ (1 − d ) x + β ⋅ F (ϕ 0 ) − g ⎤ x − x0 1− d , (2.5.1) ⋅ ϕ ( x) = ϕ 0 − ln ⎢ − ⎥ ln d 1− d ⎣ (1 − d ) x0 + β ⋅ F (ϕ 0 ) − g ⎦ где ϕ0, x0 – координаты начальной точки, из которой запускается инвариантная кривая. Кривая (2.5.1) имеет две ветви, асимптотически стремящиеся к прямой

xa =

g − β ⋅ F (ϕ 0 ) . 1− d

(2.5.2)

Одна из ветвей имеет экстремум при xэ =

g − β ⋅ F (ϕ 0 ) − α (1 − d ) F (ϕ 0 ) g − β ⋅ F (ϕ 0 ) + . ln d 1− d

(2.5.3)

Вторая ветвь является монотонной и при условии xэ < xa неограниченно скользит вдоль прямой (2.5.2) в сторону больших ϕ при стремлении x → xa . При условии xэ > xa ветвь стремится в сторону малых ϕ . Положение

-131-

асимптотической прямой (2.5.2) и

экстремальной точки (2.5.3) зависят

только от координаты ϕ0 . x

Q1 a1

Q1

Lx b1

Lϕ

a1

Lx

b1

Lϕ

Lx

c2

d2 b2

a2

Lϕ

Lx

c2

Lϕ

d2

a2 b2

ϕ 0

1

2

а)

ϕ 0

2

1

б)

Рис. 2.43. Примеры инвариантных кривых цифровой СФС Механизм построения инвариантной кривой поясняется рис. 2.43. Выбирается некоторая точка, движение в окрестности которой представляет интерес. К числу таких относятся точки с координатами простых либо кратных неподвижных точек отображения (1.1.1). На рис. 2.43 такой точкой является 2кратная неподвижная точка устойчивого колебательного движения ak. На интервале полочки, которой соответствует выбранная точка, согласно (2.5.1) строится отрезок инвариантной кривой, проходящей через ak , - a1b1. Затем из концов построенного отрезка a1b1 запускаются инвариантные кривые (2.5.1), которые за один системный дискрет придут соответственно в точки a2, b2 . Из точек a2, b2 вновь запускаются инвариантные кривые до пересечения с границей полочки, которой соответствуют a2, b2 , при этом формируются отрезки с2b2 и d2а2. Запуск инвариантных кривых из концов этих отрезков может привести к двум различным ситуациям, приведенным на рис. 2.43. В первом случае они пересекают начальный отрезок a1b1 либо его продолжение (рис. 2.43а), во втором случае не пересекают. Повторение процедуры в первом случае приведет к выходу за границу цилиндра ϕ = 1 и разрушению колебательного движения. Во втором случае этого не произойдет. В общем случае пересечение с начальной инвариантной

-132-

кривой еще не гарантирует выхода за границу цилиндра. В силу этого речь должна идти о существовании некоторой предельной инвариантной кривой

ϕ (x ) lim , ограничивающей движение из заданной области, к которой будут стремиться другие разрушаются при

кривые. Учитывая, что периодические движения переходе граничных точек нелинейности, факт

существования

ϕ (x ) lim

существования

движения.

следует

рассматривать

Отсутствие

ϕ (x ) lim

в

качестве

говорит

о

условия

неизбежном

разрушении движения колебательного движения. Процедура отыскания предельной инвариантной кривой включает в себя последовательное построение инвариантных кривых согласно (2.5.1), запущенных из окрестности заданной точки, по описанной выше схеме. Количество итераций, необходимых для ответа на вопрос о ее существовании, зависит от параметров системы, включая количество уровней квантования N , от положения неподвижной точки, ее кратности. Как показали расчеты, в любом случае оно не превышает 10 итераций, обеспечивая достоверный результат. На рис. 2.44 на плоскости физических параметров D, Dγ приведены области существования одного из вращательных движений цифровой СФС 2-го порядка (цикл 2-го рода структуры 1/4) для различных N. Анализ результатов показывает, что с уменьшением числа уровней квантования, наблюдается уменьшение диапазона частотных расстроек γ , в котором существует цикл. С ростом усиления D тенденция эта усиливается, при малых N цикл перестает существовать (рис. 2.44а, D > 0.5). Аналогичный результат характерен и для других типов движений. В конечном итоге уменьшение областей существования как колебательных так и вращательных движений с уменьшением числа уровней квантования приводит к увеличению области захвата системы. На рис. 2.45 приведен график среднего увеличения полосы захвата δγ цифровой СФС 2-го порядка от N по сравнению с системой, в которой не учитываются эффекты квантования.

-133D γ

D γ

0 .8

0 .8

0 .6

0 .6

0 .4

0 .4

0 .2

0 .2

0 .0

N=∞

N = ∞

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

D

0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

а)

D

б)

D γ

D γ

0 .8

0 .8

0 .6

0 .6

N= ∞

0 .4

0 .4

0 .2

0 .2

0 .0

0 .8

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

D

0 .0

N = ∞

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

D

в) г) Рис. 2.44. Влияние конечной разрядной сетки на области существования цикла для m = 0.5, d = 0.5 а) N = 16, б) N = 32, в) N = 64, г) N = 128. δγ

N

Рис. 2.45. Увеличение полосы захвата цифровой СФС для d = 0.5, m = 0.1, D = 0.3 Для анализа колебательных движений в окрестности состояния равновесия обратимся к рис. 2.46, на котором приведена часть фазового пространства

-134-

цифровой системы с изображенными

на

ней

линиями

отображения

с

сохранением координат Lϕ , Lx и инвариантной кривой ϕ э (x ) , имеющей экстремум на левой границе полочки. Координата x э определяется выражением (2.5.3), для которого начальная точка ϕ0, x0 выбирается на правой границе полочки F(ϕ). Полочка ломаной Lx , x = xa , представляет собой асимптоту, к которой стремится кривая ϕ э (x ) . В точку b система попадает при движении вдоль асимптоты x = xa в результате отображения из точки а. В точки a′ и b′ система попадает в результате отображения соответственно их точек a и b .В общем случае в зависимости от параметров системы они могут находиться по разные стороны относительно кривой ϕ э (x ) и границы ϕ = ϕ0 . На рис. 2.46 точки находятся внутри указанных линий. x

Lx

xа

а

b

xэ Lϕ

b′ a′

ϕ

ϕ э(x ) (ϕ 0 ,x 0 )

Рис. 2.46. Инвариантные кривые цифровой СФС в окрестности состояния равновесия для d = 0.1, m = 0.5, D = 0.6

Возможный характер движения в окрестности состояния равновесия определяется местоположением точек а′, b′ относительно линий ϕ э (x ) и ϕ = ϕ0. Если точки а′, b′ находятся между кривой ϕ э (x ) и границей ϕ = ϕ0 , то движение системы представляет собой колебания, ограниченные кривыми ϕ э (x ) и b-b′. Движение расположено на двух соседних ступеньках функции F(ϕ). Если точки а′, b′ либо одна из них не переходят границы ϕ = ϕ0 , то из них происходит повторное отображение согласно того же уравнения инвариантной кривой, приводящее систему в область, находящуюся слева от кривой ϕ э (x ) . В

-135-

результате

реализуется

движение,

расположенное на трех соседних

ступеньках F(ϕ). Если точки а′, b′ либо одна из них находятся слева от ϕ э (x ) , то реализуется движение, также занимающее три соседние ступеньки F(ϕ). На рис. 2.47 приведены типичные фазовые портреты цифровой СФС для окрестности состояния равновесия для различных расстроек по частоте. Все движения представляют собой отображения отрезков, подчиняющиеся описанным выше движениям. С ростом g линия Lx смещается вверх относительно линии Lϕ , при этом последовательно реализуются следующие сценарии.

При

малых

растройках

(рис. 2.47а)

движение

ограничено

экстремальной кривой ϕ э (x ) и происходит в интервале двух ступенек F(ϕ). С ростом g (рис. 2.47б) реализуется сценарий, когда точка b′ не переходит границы ϕ = ϕ0

и часть точек выходят за ϕ э (x ) , в результате движение

происходит на трех ступенях F(ϕ). Дальнейшее увеличение расстройки приводит к росту отрезка а-б , его отображение а′-b′ принадлежит той же полочке F(ϕ), причем расположенное правее самого отрезка а-б (рис. 2.47в,г). Это приводит к тому, что в качестве асимптотической прямой x = xa начинает выступать нижняя полочка Lx .Процессы на качественном уровне начинают повторяться, занимая две ступени F(ϕ) . Это подтверждается фазовыми портретами, приведенными на рис. 2.47д,е, являющимися отражением портретов, приведенных на рис. 2.47а,в.

зеркальным

Таким образом, при малых постоянных цифрового фильтра и усилении системы (D < 1) максимальный размах движений в системе, представляющих собой отображение отрезков, составляет 2-3 дискрета в зависимости от расстройки по частоте. Для оценки влияния конечной разрядной сетки F(ϕ) при других параметрах системы обратимся к рис. 2.48, на котором приведено семейство областей локальной устойчивости обобщенной модели (1.1.1) для разных значений d. Для удобства на области нанесены линии физических параметров цифровой СФС для разных коэффициентов пропорциональности фильтра m. Движение по линиям физических параметров для конкретного m снизу вверх согласно (1.1.16), (1.1.17) соответствует росту усиления и приближает систему к границе устойчивости Gϕ либо G-1. Отдельно выделена область устойчивости

-136-

Lx

L

Lϕ

x

а)

L

x

L

ϕ

б)

L

Lx

ϕ

в)

Lϕ

г)

Lx Lϕ

Lϕ Lx

д)

е)

Рис. 2.47. Фазовые портреты цифровой СФС в окрестности состояния равновесия для разных расстроек g d = 0.1, D = 0.6

-137-

с нанесенной на ней линиями физических параметров ОА и ОВ для d = 0.1, которая будет использована при анализе движений в системе с АЦП на входе кольца (рис. 2.48б). β

β m =1

m=1

m = 0.5 d= 0.9

A

d= 0.5

2

d=0.1

1 m=2

2′

B

m=4

1′

O

α

α

а) б) Рис.2.48. Области локальной устойчивости обобщенной модели СФС для разных d На рис. 2.49 приведены типичные фазовые портреты для d = 0.5, m = 2 при различных усиления системы β = DS = D . При малых D на одном дискрете укладывается несколько точек и хорошо работает теория инвариантных кривых, дающая периодические движения (рис. 2.49а). С ростом D увеличиваются скачки координат при отображениях и применение инвариантных кривых затруднено. В то же время сохраняется периодическая структура движений . Приближение к границе G-1 приводит к росту амплитуды периодических движений и количеству движений (рис. 2.49б, существует два цикла, помеченных соответственно крестиками и ноликами). Увеличение постоянной фильтра d (рис. 2.50) на качественном уровне повторяет предыдущий результат. Отличие состоит в том, что движения носят сложный квазипериодический характер. При малых D по-прежнему движение локализовано минимальным количеством ступеней F(ϕ) и хорошо объясняется с помощью теории инвариантных кривых (рис. 2.50а) . С ростом D наблюдается размывание области пространства, занимаемой движением. При этом, в случае

-138-

x

x

ϕ

ϕ

а)

б)

Рис. 2.49. Фазовые портреты цифровой СФС для d = 0.5, m = 2, g = 0.1 а) D = 0.5, б) D = 1.5

x

x

ϕ

а)

ϕ

б)

Рис. 2.50. Фазовые портреты цифровой СФС для d = 0.9, g = 0.05 а) D = 0.1, m = 2; б) D = 1, m = 2

-139-

движения по прямой физических

параметров в сторону комплексной

границы устойчивости Gϕ размывание происходит по обеим координатам, в случае движения в сторону G-1 размывание носит достаточно локализованный характер, определяемый знакопеременным процессом (рис. 2.50б). Вблизи границ устойчивости размеры движений соизмеримы с размерами периода фазового цилиндра.

x

x

ϕ

а)

x

ϕ

ϕ

б)

в)

x

x

ϕ

г)

x

ϕ

д)

ϕ

е)

Рис. 2.51. Изменение фазового портрета цифровой СФС при увеличении усиления для d = 0,1; m = 1 Рассмотрим влияние конечной разрядной сетки на процессы в цифровой СФС в окрестности состояния равновесия для АЦП на входе кольца. В этом случае дополнительно к условиям, использованных при решении предыдущей задачи, необходимо добавить конечное число состояний координат ϕ и x. Ограничение координат обобщенной модели конечным числом возможных значений придало движениям системы организованный периодический

-140-

характер независимо от ее параметров, хотя ряд основных тенденций сохранился. К числу их в первую очередь относится рост амплитуды колебаний с увеличением усиления системы. При малых усилениях поведение системы принципиально отличается и характеризуется так называемым эффектом "размножения состояний равновесия" (рис. 2.51а,б). Суть его состоит в том , что на линии Lx возникают дополнительные состояния равновесия (ложные состояния синхронизма), выйти из которых за один шаг система может лишь при достаточном усилении. В противном случае за счет эффектов округления система будет возвращаться в исходное состояние. Подобный эффект имеет место при движении по линиям физических параметров до точек 1 и 1′ (рис. 2.48б). При движении по линиям физических координат в интервале 1-2 и 1′-2′ в системе существует единственное состояние равновесия, обеспечивающее режим, близкий к состоянию синхронизма. Дальнейшее поведение системы согласно рис. 2.48б при движении по линиям с m = 1 и m = 4 (соответственно в сторону границы Gϕ и G-1) будет различным и качественно повторять результаты для АЦП внутри кольца. При движении в сторону Gϕ (m = 1) возникают периодические движения с достаточно низким периодом (на рис. 5.51г-е период k = 4), число их и размер растет по мере приближения к границе Gϕ. При движении в сторону G-1 (m = 4) возникают периодические движения с периодом k = 2 (рис. 5.52в-е), число их и размер также растет по мере приближения к границе G-1. Наличие подобных движений объясняется существованием отрицательного собственного значения линеаризованной матрицы системы. Рост d (усиление интегрирующих свойств фильтра) заметно меняет фазовую картину лишь при движении по линии физических параметров с m = 1, вызывая увеличение периода движений при стремлении к границе Gϕ (рис. 2.53). Характер движений при стремлении к G-1 не меняется. Отметим, что при движении по прямой с m = 4 c ростом параметра α (рис. 2.48б) возникают кратные захваты (рис. 2.52б-е), характер возникающих движений в окрестности которых качественно повторяет движения в окрестности основного состояния равновесия.

-141x

x

x

ϕ

а)

б)

x

ϕ

ϕ

в)

x

ϕ

г)

x

ϕ

д)

ϕ

е)

Рис. 2.52. Изменение фазового портрета цифровой СФС с ростом усиления для d = 0,1; m = 4

x

ϕ

Рис. 2.53. Фазовый портрет цифровой СФС в окрестности основного состояния равновесия для d = 0,5; m = 1.

- 142 -

2.6. Использование качественно-аналитических неавтономных дискретных СФС

методов

для

анализа

В разделе с помощью методики, предложенной для анализа нелинейных процессов в автономных СФС (см. п.п. 2.2, 2.4), изучаются процессы при наличии внешних периодических воздействий по частоте. Для кратного отношения периода изменения входной частоты Твх и периода дискретизации системы Т, Твх/Т=k, где k-целое число, разработаны алгоритмы, позволяющие рассчитать области существования различных установившихся режимов, включая область устойчивого слежения (движение в неавтономной системе без проскальзывания по фазе с периодом, равным Твх). Для произвольного отношения Твх/Т=k1/k2, где k1, k2-целые числа, предлагаемая методика с учетом незначительной модификации также может быть применена. Результаты анализа неавтономных режимов СФС при периодическом по частоте воздействии представляют большой практический интерес, поскольку позволяют ответить на ряд важных вопросов, связанных с выбором параметров устройств, функционирующих в условиях переменной входной частоты. К числу их относятся различные поисковые по частоте системы, системы слежения за входной частотой при наличии детерминированной помехи на входе, устройства, выполняющие функциии частотных и фазовых демодуляторов. Для непрерывных СФС задача анализа неавтономных режимов при периодическом по частоте воздействии на сегодняшний день решена в достаточной для практики степени [5,8,82,155]. В случае дискретных СФС можно назвать ограниченное число работ, посвященных анализу неавтономных систем. При этом большинство из них посвящено исследованию поисковых по частоте режимов различных модификаций СФС [99,100,102]. Анализу возможных установившихся периодических и квазипериодических движений, обусловленных частотными изменениями на входе, посвящено незначительное число работ, в том числе автора диссертации [175,176]. 2.6.1. Методика расчета областей существования установившихся движений при периодическом по частоте воздействии Методика анализа неавтономных режимов дискретных СФС предполагает переход в новую временную шкалу, дискрет которой совпадает с периодом изменения входной частоты Твх (в случае некратного отношения Твх и Т дискрет

- 143 -

равен наименьшему общему кратному Твх и Т). Рассмотрим для начала бесфильтровую СФС, уравнение которой имеет вид

ϕ n +1 = ϕ n − αF (ϕ n ) + g + un ,

(2.6.1)

где un – одномерное внешнее воздействие, его можно рассматривать в качестве изменяющейся во времени частотной расстройки. Не теряя общности, от (2.6.1) можно перейти к виду

ϕ n+1 = ϕ n − αF (ϕ n ) + g n , где

gn – зависящая

от

(2.6.2) времени

мгновенная

частотная

расстройка,

удовлетворяющая условию g n < M , для ∀ n. Пусть период внешнего воздействия кратен периоду дискретизации кольца Tвх=kT. В этом случае все движения в системе будут также периодическими с периодом Ta, кратным Tвх , Ta=l⋅Tвх=l⋅k⋅T, l=1, 2, 3,…. Соответственно режим слежения будет представлять движения в системе с периодом k без проскальзывания фазы. Подобный режим выполняет функцию, аналогичную состоянию равновесия (простой неподвижной точке) в системе при постоянном входном воздействии. Для анализа режимов слежения системы (2.6.2) перейдем к новой временной шкале с дискретом, совпадающим с периодом входного сигнала Tвх. В новом времени режиму слежения будет соответствовать неподвижная точка, а движениям с периодом Ta - l-кратная неподвижная точка. Будем описывать поведение системы с помощью переменной ϕ n,i , 0 ≤ i < k , совпадающей в новой шкале со значениями ϕ n,i = ϕ n, 0 . Построим функцию последования

f (ϕ n, 0 , g n , 0 ) , связывающую состояния системы в два соседние момента времени новой шкалы,

ϕ n+1,0 = f (ϕ n,0 , g n,0 ) .

(2.6.3)

Для общего вида нелинейности F(ϕ) и типа входного воздействия это сделать можно численным способом. В случае кусочно-линейной F(ϕ) и ЛЧМвоздействия функцию f (ϕ n, 0 , g n , 0 ) можно выписать в аналитическом виде. Пусть F(ϕ)=F1(ϕ). Уравнение (2.6.1) представим в виде

ϕ n+1 = (1 − α )ϕ n + g + u0 + j∆u + pn ,

(2.6.4)

где pn – вектор, учитывающий нелинейные отображения: pn = 0 при ϕ n ≤ 1,

pn = ±2i при ϕ n > 1 , i =1, 2, …; u0 – значение входной частоты, соответствующее

- 144 -

началу периода ЛЧМ; j – порядковый номер дискрета на периоде ЛЧМ, 0 ≤ j < k, ∆u – шаг приращения входной частоты. С учетом (2.6.4) установим связь между

соседними значениями

переменной ϕ n , 0 : k −1

ϕ n+1,0 = (1 − α ) ϕ n ,0 + ∑ (1 − α ) j Vk − j −1 , k

(2.6.5)

j =0

где V j = g + u0 + j∆u + p j . После преобразований получим:

ϕ n+1, 0 = (1 − α ) k ϕ n , 0 + ( g + u0 ) +

(kα − 1) + (1 − α ) k

α

2

1 − (1 − α ) k

α

+

.

k −1

(2.6.6)

∆u + ∑ (1 − α ) j pk − j −1 j =0

Выражение (2.6.6) определяет функцию последования в новой шкале времени. Для существования режима слежения необходимо выполнение условия p j = 0 , ∀ j . В этом случае для неподвижной точки будет справедливо выражение

ϕk =

g + u0

α

(kα − 1) + (1 − α ) k + 2 ∆u , ϕ k < 1 . α (1 − (1 − α ) k )

(2.6.7)

На периоде входного воздействия может произойти в общем случае k нелинейных отображений, которые описываются слагаемым

k −1

∑ (1 − α ) j pk − j −1 . j =0

Согласно (2.6.6) на плоскости ϕ n , 0 , ϕ n+1, 0 функция последования f (ϕ n, 0 , g n , 0 ) будет представлена параллельными отрезками, лежащими на различной высоте по координате ϕ n+1, 0 . Конкретные расположения отрезков будут определяться соответствующими комбинациями

p0 p1 ... p k −1 . При наличии пересечения

соответствующего участка с линией старта ( ϕ n+1, 0 = ϕ n , 0 ) в системе существует режим "квазислежения", при котором на периоде входного сигнала происходят скольжения по фазе, а абсолютное приращение фазы за период составляет величину

k −1

∑ pj . j =0

На рис. 2.54, 2.55 приведены графики функции последования для различных параметров СФС. На рис. 2.54 – для малого усиления системы α, рис. 2.55 – для большого усиления. Функции представляют собой набор

- 145 -

ϕn+1

ϕn+1 0,2,0,2,0,2,0

2,0,0,2,0,2,0

−2,0,0,0,0,0,0

0,2,0,0,2,2,0

0,−2,0,0,0,0,2

0,0,0,2,0,2,0

0,2,0,0,2,0,2

0,0,0,0,0,0,0

0,0,2,0,2,0,2

0,0,−2,0,0,2,0

0,0,2,0,0,2,2

ϕn

ϕn

а)

б)

Рис. 2.54. Функция последования СФС с малым усилением для k =7 а)U = 0.5, g = 0.9, α = 0.1; б)U = 0.5, g = 0.02, α = 0.05

ϕn+1

ϕn+1 2,2,2,2,2,2,2

0,0,0,0,0,0,0

0,0,2,2,2,2,2

2,2,2,2,2,2,2

0,0,0,0,0,2,2 0,0,0,0,2,2,2

0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,2,2

0,0,2,2,2,2,2

0,0,0,2,2,2,2

0,0,0,2,2,2,2

0,0,0,0,0,0,2

0,0,0,0,2,2,2

0,2,2,2,2,2,2

0,2,2,2,2,2,2

0,0,0,0,0,0,2

ϕn а)

ϕn б)

Рис. 2.55. Функция последования СФС с большим усилением для k =7 а)U = 0.5, g = 1.1, α = 1.95; б)U = 0.5, g = 0.87, α = 1.95

- 146 -

отрезков, наклон которых определяется α . Длительность отрезков зависит от комбинации

p0 p1 ... p k −1 . Для малого α наиболее характерными являются

комбинации

с

характерным

чередованием

линейных

и

нелинейных

отображений на периоде (рис. 2.54а), для большого α - комбинации без чередования линейных и нелинейных отображений. Комбинация вида "0,0,0,0,0,0,0" соответствует движению без нелинейных отображений. Точка пересечения отрезка функции f (ϕ n, 0 , g n , 0 ) с данной комбинацией и линии переключения определяет состояние слежения системы (рис. 2.55а,б). Комбинация вида "2,2,2,2,2,2,2" соответствует движению системы с нелинейным отображением одного знака на каждом шаге. Точка пересечения отрезка функции f (ϕ n, 0 , g n , 0 ) с данной комбинацией и линии переключения определяет состояние кратного слежения, аналога кратному захвату системы для постоянного по частоте воздействия (рис. 2.55а). Точки пересечения отрезков f (ϕ n, 0 , g n , 0 ) с другими комбинациями определяют в большом времени существование как простых неподвижных точек (период движения равен k), так и кратных. Во втором случае каждая из точек соответствует одному из состояний движения с периодом l⋅k⋅Т. Изменение постоянной расстройки g приводит к смене типа неподвижных точек. Согласно рис. 2.54 при малом усилении режим слежения невозможен. При малом g характерным является и полное отсутствие неподвижных точек, при этом возникают движения с нелинейным отображением разных знаков (рис. 2.54б). Создаются условия для возникновения движений, аналогичных циклам 1-го рода. При большом усилении существует режим слежения и дополнительно несколько циклов, аналогов колебательным и вращательным движениям. При этом наблюдается зависимость от четности периода k. Для четных k режим слежения как правило ограничивается режимом кратного слежения. Для нечетных k режим слежения ограничивается либо кратным слежением, либо циклами 2-го рода, в которые переходит кратное слежение в результате уменьшения числа нелинейных отображений на периоде ЛЧМ. Проведенный анализ подтверждается результатами, приведенными на рис. 2.56. На плоскости α, g приведены области существования различных движений соответственно для четного (рис. 2.56а, k=10) и нечетного периодов входного воздействия (рис. 2.56б, k=7). Следует подчеркнуть стройную схему

- 147 g ∆ϕ=16

∆ϕ=6 Кратный захват

Состояние слежения

∆ϕ=6 ∆ϕ=4

∆ϕ=4 ∆ϕ=2

α

а) g ∆ϕ=12

∆ϕ=6 Кратный захват

0,0,2,2,2,2,2

0,0,0,0,2,2,2

∆ϕ=4 ∆ϕ=4

0,0,0,0,0,0,2

∆ϕ=2 Состояние слежения

α

б) Рис. 2.56. Области существования установившихся движений а)U = 0.3, k = 10 б)U =0.5, k=7

- 148 -

образования областей существования циклов. При малом усилении с ростом расстройки наблюдается возникновение циклов 2-го рода с равномерным увеличением количества нелинейных отображений. Данные циклы образуют группы, которые с ростом усиления также дают движения с большим числом нелинейных отображений. Количество таких групп равно k-1, в качестве k-ой группы при больших расстройках выступает кратное слежение с изменением фазы, равным 2k. С ростом усиления в случае четного k граница кратного слежения уходит в область больших расстроек (рис. 2.56а), в случае нечетного k – в область малых расстроек с переходом в границы циклов 2-го рода с меньшим числом нелинейных отображений (рис. 2.56б). Для α, близких к нулю режим слежения отсутствует. В целом характер полученных областей на качественном уровне повторяет результаты, полученные для дискретных систем 2-го порядка. Это можно объяснить тем, что неавтономное отображение 1-го порядка путем введения второй координаты может быть сведено к автономному отображению 2-го порядка. Основным результатом проведенного анализа является установление области глобального слежения за входным сигналом. Выбором параметров кольца можно добиться устойчивой работы системы при значительных амплитудах входного воздействия и расстройках по частоте. Рассмотрим обобщенную модель неавтономной дискретной СФС 2-го порядка ⎧ϕ n+1 = ϕ n − αF (ϕ n ) + xn + un , ⎨ ⎩ xn+1 = dxn − βF (ϕ n ) + g

(2.6.8)

где un – входное воздействие. Для изучения движений используем основные положения, предложенные для расчета областей существования различных движений автономных СФС 2го порядка (п. 2.2). На рис. 2.57 изображено фазовое пространство рассматриваемой системы (для случая большого α). Линия отображения с сохранением координаты x (Lx) имеет то же уравнение, что и в автономной системе x=

g − βϕ . 1− d

(2.6.9)

- 149 -

x α+U 2,2,2,2

α−U

2−α+U Lϕ

Lx

2−α−U

0,0,0,0

ϕ

Рис. 2.57. Фазовое пространство неавтономной СФС для

α = 1.5, β = 0.5, d = 0.3, g = 0.2, U = 0.2

β

0.7 0.6 0.5

g=0.1

0.2

0.3 0.4

α

Рис. 2.58. Области существование режима слежения для d = 0.3, U = 0.2, k = 4

- 150 -

Линия отображения с сохранением координаты ϕ (Lϕ) в отличии от автономной системы изменяет свое положение в зависимости от un x = αϕ − u n .

(2.6.10)

Соответственно на фазовом цилиндре она занимает полосу, ограниченную прямыми

x = αϕ − U

и

x = αϕ + U ,

где

U – амплитуда

переменной

составляющей входной частоты. Аналогично линии отображения с изменением координаты ϕ на ±2, точки пересечения которых с (2.6.9), определяют первые кратные захваты, изменяют свое положение x = ±2 + αϕ − un .

(2.6.11)

По аналогии с автономной системой в фазовом пространстве системы (2.6.8) существует притягивающий слой, определяемый точками пересечения линией Lx границ фазового цилиндра (на рис. 2.57 выделен штриховой линией) g−β g+β . (2.6.12) <x< 1− d 1− d Границы притягивающего слоя не зависят от величины входного воздействия. Из (2.6.12) можно получить оценку области параметров, для которой невозможны нелинейные отображения,

g+β ⎧ α − > U ⎪ 1− d . ⎨ g−β ⎪− α + U < 1− d ⎩

(2.6.13)

Построим отображение, описывающее рассматриваемую систему в новой шкале времени, дискрет которой совпадает с периодом входного сигнала. С этой целью запишем (2.6.8) в векторной форме r r r r (2.6.14) qn +1 = A ⋅ qn + un + pn , r где A - матрица линейного отображения, u n - вектор входного воздействия,

r ⎛ u ⎞ ⎛ u + j∆u ⎞ ⎛ u0 ⎞ ⎛ j∆u ⎞ r r ⎟⎟ = u0 + v j , ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ un = ⎜⎜ n ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 g ⎠ ⎝g⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝g⎠ ⎝

(2.6.15)

0 ≤ j ≤ k-1. r pn = ( pn , 0)T - вектор нелинейного отображения на n-ом шаге. Совместим начало периода входного сигнала с моментами отсчета временной шкалы с дискретом kT (j=0). В этом случае в соответствии с (2.6.14) r можно записать выражение для qn+1, 0

- 151 k −1 r r r r kr qn+1, 0 = A qn, 0 + ∑ A j (u0 + vk − j −1 + pk − j −1 ) .

(2.6.16)

j =0

Сворачивая суммы в (2.6.16), приходим к отображению в новом времени E − Ak r E − Ak r kr u0 + qn+1, 0 = A qn , 0 + E−A E−A

⎡(k − 1)∆u ⎤ ⎢ ⎥− 0 ⎣ ⎦

. (2.6.18) k − 1 u ∆ (k − 1) A − kA + A ⎡ ⎤ r + ∑ A j pk − j −1 _ ⎢ ⎥ 2 ( E − A) ⎣ 0 ⎦ j =0 От (2.6.18) можно перейти к условиям существования неподвижных точек. k +1

k

Как и в случае автономных систем к ним относится условие замыкания и структурное условие (п. 2.2). Условие замыкания определяется из выражения r r r qn+1, 0 = qn, 0 = qk , 0 и для точки с j=0 будет иметь вид ⎤ ⎡ E − Ak r E − Ak ⎡(k − 1)∆u ⎤ + − u ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 E−A E − A ⎢⎣ r ⎦ k −1 ⎢ ⎥. qk , 0 = ( E − A ) (2.6.19) k +1 k ⎥ ⎢ k − 1 (k − 1) A − kA + A ⎡∆u ⎤ r ⎢ + ∑ A j pk − j −1 ⎥ _ ⎢ ⎥ 2 ( E − A) ⎣ 0 ⎦ j =0 ⎦⎥ ⎣⎢ r Аналогично получаются условия замыкания для состояний qk , j , 1 ≤ j ≤ k-1.

Структурное условие требует нахождение всех неподвижных точек на периоде r в областях, соответствующих вектору p j . Для p j =±1 это области нелинейного отображения, для p j =0 - области линейного отображения. В свою очередь, для r возникновения неподвижной точки необходимо, чтобы один из векторов qk , j , 0 ≤ j ≤ k-1, касался границы области нелинейного отображения. На рис. 2.57 для примера приведены два периодических движения с k = 4 : режим слежения "0,0,0,0" и режим кратного слежения "2,2,2,2,". 2.6.2. Устойчивость режима слежения в СФС 2-го порядка при пилообразном и гармоническом воздействиях На основе предложенной методики разработан алгоритм расчета параметров системы и входного сигнала, при которых возникают неподвижные точки. Результатом применения алгоритма явились области существования

различных движений и режимов, в том числе режима слежения ( p j = 0 , 0 ≤ j ≤ k-1). Анализ движений позволил установить области параметров, при которых режим слежения глобально устойчив.

- 152 -

На рис. 2.58 на плоскости обобщенных параметров α, β приведены области существования режима слежения для постоянной амплитуды входного сигнала и различных расстройках g .Качественно повторяются результаты, полученные для автономной системы. С ростом g наблюдается смещение границы существования от границы локальной устойчивости G1. В то же время имеется отличие, связанное с несовпадением границы существования режима слежения с G-1 для воздействий с четными периодами. Кроме того, в окрестности границы локальной устойчивости Gϕ имеется незначительная замкнутая область, в которой также отсутствует режим слежения, размер области увеличивается с ростом g. На рис. 2.59 приведены области существования режима слежения для нулевой расстройки и соответственно четного (рис. 2.59а) и нечетного (рис. 2.59б) периодов входного сигнала. В случае нечетного k граница G-1 совпадает с границей существования, но существует область для больших α, β , в которой нет режима слежения. С ростом U области, в которых не существует режима слежения, увеличиваются. На рис. 2.60 приведены области существования кратных режимов слежения соответственно с положительным (рис. 2.60а ) и отрицательным (рис. 2.60б) изменением фазы. При больших усилениях системы и близких к нулю расстройках данные движения могут существовать одновременно (рис. 2.57). С ростом U область их существования уменьшается. На рис.2.61 приведены области глобальной устойчивости режима слежения. Со стороны больших усилений область ограничена режимами кратного слежения разлиных знаков приращения фазы. Со стороны малых усилений – границей существования и колебательными движениями. Для импульсной СФС с ПИФ (область параметров α, β, ограничена прямыми ОА, ОА′) ограничение области слежения связано в основном с кратными режимами. Для системы с независимым пропорциональным каналом, например цифровой СФС (область параметров α, β, ограничена прямыми ОВ и ОВ′) ограничение связано с кратными режимами при больших усилениях и с колебательными движениями при малых усилениях. С ростом расстройки g значительную роль в ограничении области слежения, как и в случае автономных систем, начинают играть вращательные движения.

- 153 β

β 0.4 0.5

0.2 U=0.4

U=0.4

0.6

0.3

0.1 0.5

0.5

0.7

α

α

а)

б)

Рис. 2.59. Области существования режима слежения для а) d = 0.3, g = 0, k = 4 б) d = 0.3, g = 0, k = 5 β

β

0.5

0.5

0.4

0.1

U=0.1

0.3

U=0

0.4 0.2

0.2

0.3

α

а)

α

б)

Рис. 2.60. Области существования режима кратного слежения для d = 0.3, g = 0, k = 4 а) с увеличением фазы, б) с уменьшением фазы

- 154 β

β

4,4,4,4 -4,-4,-4,-4

-2,-2,-2,-2

0,-2,0,0 -2,2,-2,2

-2,0,0,0

2,2,2,2

2,-2,2,-2

-2,-2,-2,-2

0,-2,0,0

2,2,2,2

0,-2,2,0

α

α

а)

б)

Рис. 2.61. Область устойчивости режима слежения для k = 4 а) d=0.3, U=0.2, g=0 б) d=0.3, U=0.5, g=0 β

β -2,-2,-2,-2,-2

0,-2,2,-2,2

-2,2,-2,2,0

2,2,2,2,2

2,2,2,2,2

0,-2,0,0,0 -2,2,-2,2,0

-2,-2,-2,-2,-2

-2,0,0,0,0

α

а)

α

б)

Рис. 2.62. Область устойчивости режима слежения для k=5 а) d=0.3, U=0.2, g=0 б) d=0.3, U=0.5, g=0

- 155 -

На рис. 2.63 приведены области устойчивого слежения для обобщенной модели с астатическим фильтром (d = 1). Подобная модель имеет большое значение для цифровых синхронно-фазовых демодуляторов, в которых к качестве усредняющих фильтров применяются цифровые интеграторы. Анализ результатов показывает, что на качественном уровне повторяется ситуация для автономной астатической СФС (рис. 2.41а, решающего значения вид нелинейности F(ϕ) не играет) В области малых усилений существует целый ряд циклов 2-го рода. Внешнее воздействие приводит к их частичному "тушению" (рис. 2.63а,б). Как и в случае автономной системы (п. 2.4) рекомендацией для использования режимов СФС с малым усилением может служить применение ограничивающих фильтров (ограничивающих интеграторов) [84]. Ограничение частотных расстроек за счет нелинейного фильтра приводит к разрушению периодических движений в области малых усилений и гарантирует устойчивую работу астатической СФС. На рис. 2.64 для различных параметров обобщенной модели d приведены области устойчивого слежения для случая синусоидального частотного воздействия. Результаты получены с применением качественно-численных методов расчета. Основные тенденции, установленные для ЛЧМ-воздействия получили подтверждение и в данном случае. В частности, для малых и средних d (рис. 2.64а,б) при малых α, β область устойчивого слежения ограничена циклами 1-го рода с различным числом проскальзываний на периоде движений. При больших обобщенных усилениях α, β ограничение области слежения наступает за счет кратных захватов. Отличительной особенностью синусоидального воздействия является устойчивая тенденция смещения области слежения с ростом амплитуды U в сторону больших α. С ростом d (рис. 2.64в) в области малых усилений появляются циклы 2-го рода, избавиться от которых можно также за счет применения ограничивающих фильтров. В случае некратного отношения Твх и Т предложенная методика также может быть применена. При этом новая шкала времени будет иметь дискрет, равный Твх⋅k2 = Т⋅k1. Подобный подход будет использован в главе 4 при анализе нелинейных процессов в дискретных связанных СФС.

- 156 -

β

-2,0,-2,0,-2,0 2,0,2,0,2,0

α а)

β

-1,-1,-1,0,-1,0

-1,0,-1,0,-1,0

α б) Рис. 2.63. Область устойчивости режима слежения астатической СФС для k = 6 а) U = 0.2, б) U = 0.5

- 157 -

β

β

U=0.2

U=0.3

U=0.5

U=0.7

U=0.1

U=0.2

U=0.3

U=0.5 U=0.1

U=0.7

α

α

а)

б) β

U=0.3 U=0.2

U=0.7 U=0.5

U=0.1

α

в) Рис. 2.64. Области устойчивого слежения для синусоидального воздействия по частоте для k=10 а) d = 0.1, б) d = 0.5, в) d = 0.9

- 158 -

2.7. Применение метода гармонической линеаризации периодических движений дискретных СФС

для

анализа

Для анализа высокочастотных периодических движений (движений с малым периодом) в разделе разработан алгоритм на основе метода гармонической линеаризации [38,47,147]. Интерес к методу объясняется тем, что с одной стороны дискретные периодические движения с минимальным периодом (k=2,3,4) представляют собой гармонические колебания, в этом случае метод обеспечивает абсолютно точный результат. С другой стороны, например, для анализа неустойчивых периодических режимов систем с гладкими нелинейностями он по сути является единственным, дающим достаточно точный результат. Пусть разность фаз на входах детектора имеет вид периодической функции

ϕ n = a0 + a ⋅ cos(ϖ n + ψ ) ,

(2.7.1)

где а - амплитуда колебаний, а0 – постоянная составляющая, ϖ =2π/k

-

нормированная частота, k - период, ψ - начальная фаза. Представим ϕn в виде ряда

ϕn = Cm =

N

∑ Cm ⋅ e jmϖ n ,

(2.7.2)

m=− N

1 k −1 ϕ n ⋅ e− jmϖ n , ∑ k n =0

N=k/2 для четных k, N=(k-1)/2 для нечетных k. Выходной сигнал детектора un будет также периодическим с периодом k. Запишем его в виде ряда

un = F (ϕ n ) = Bm =

N

∑ Bm ⋅ e jmϖ n ,

(2.7.3)

m=− N

1 k −1 un ⋅ e − jmϖ n . ∑ k n =0

В соответствие с методом гармонической линеаризации для периодических движений, существующих в системе, имеет место уравнение [38] C1 = − B1W (e jϖ ) ,

(2.7.4)

где W (e jϖ ) - дискретный коэффициент передачи линейной части системы.

- 159 -

Переход к (2.7.4) при анализе периодических движений возможен при условии высоких фильтрующих свойств линейной части (линейная часть обладает фильтрующим свойством), либо при наличии предположения о близости периодических колебаний к гармоническим. Для дискретных СФС наиболее выполнимым является второе условие. Решениям (2.7.4) соответствуют периодические движения (2.7.1) с конкретным набором параметров

a, ϖ , ψ .

Если

решений

нет,

то

периодические

движения

отсутствуют. Введем коэффициент гармонический линеаризации

K ( a, ϖ , ψ ) = −

B1 (a, ϖ , ψ ) . C1 (a, ϖ , ψ )

(2.7.5)

Уравнение (2.7.4) с учетом K ( a, ϖ , ψ ) будет иметь вид K ( a , ϖ , ψ ) ⋅ W ( e jϖ ) = 1 .

(2.7.6)

Получим коэфициенты гармонической линеаризациии для различных структур периодических движений. 1. Пусть k=2, в этом случае (2.7.1) будет иметь вид

ϕ n = a0 + a ⋅ cos( π n + ψ ) .

(2.7.7)

Соответственно переменная ϕn имеет на периоде колебаний два значения:

ϕ 0 = a0 + a ⋅ cosψ , ϕ1 = a0 + a ⋅ cos(π + ψ ) .

(2.7.8)

На рис.2.65 приведены возможные варианты расположения точек ϕ0, ϕ1 на характеристике детектора. Точки могут располагаться только на разных периодах. Пусть они расположены на соседних периодах. В этом случае

F (ϕ 0 ) = a0 + a ⋅ cosψ − 2 F (ϕ1 ) = a0 − a ⋅ cosψ

.

(2.7.9)

F (ϕ )

F (ϕ )

1

1

•

• -1

ϕ1 -1

ϕ0 1

•

ϕ

-1

ϕ

ϕ1 1

• -1

а) б) Рис. 2.65. Варианты расположения неподвижных точек с k = 2

ϕ0

- 160 -

Соответственно B1 = a ⋅ cosψ − 1 , а выражение для K ( a, π , ψ ) примет вид (1 − a ⋅ cosψ )e jψ . K ( a, π , ψ ) = a

(2.7.10)

Определим область а и ψ , в которой выполняется структура движения, для этого выпишем условия на точки ϕ0, ϕ1 .

1 ≤ a0 + a ⋅ cosψ ≤ 3 − 1 ≤ a0 − a ⋅ cosψ ≤ 1

.

(2.7.11)

Анализ неравенств (2.8.11) приводит к следующим ограничениям на параметры: сosψ >0, ψ∈[-π /2, π /2],

0 < a0 < 2 , 0 < a ⋅ cosψ < 2 .

(2.7.12)

Если дополнительно потребовать F (ϕ 0 ) < F (ϕ1 ) , то ограничения на параметры примут вид

0.5 < a0 < 1.5 , 0 < a ⋅ cosψ < 1 , ψ ∈ [− π / 2, π / 2].

(2.7.13)

Im 3π/8 2π/8

W(ejϖ)

π/8 0 -π/8

ϖ=π D=0.3 m=0 d=0.2

-2π/8

L(a,π,ψ) -3π/8

Re

Рис. 2.66. Семейство годографов L(a, ψ ) для k = 2 На рис. 2.66 на комплексной плоскости Re( L(a,ψ )), Im( L(a,ψ )) приведено семейство годографов функции 1 a ⋅ e − jψ L(a,ψ ) = = K (a,π ,ψ ) (1 − a ⋅ cosψ )

(2.7.14)

для различных значений начальной фазы ψ. Годографы представляют собой лучи, выходящие из начала координатной плоскости. При a ⋅ cosψ → 1 L (a, ψ ) → ∞ ( F (ϕ 0 ) < F (ϕ1 ) , 2.65а); при a ⋅ cosψ = 1 происходит поворот фазы

- 161 -

L(a, ψ ) на π. При последующем росте амплитуды a ⋅ cosψ → 2 годографы из "–

∞" стремятся к Re( L(a,ψ )) = −1 ( F (ϕ 0 ) > F (ϕ1 ) , рис. 2.65б). На рис. 2.66 приведен также годограф функции W (e jϖ ) дискретной СФС с независимым пропорциональным каналом. Анализ взаимного расположения годографов для первого вида распределения точек показывает, что при ϖ = π

для ψ=0

выполняется условие (2.7.6), то есть в системе существует колебательное движение

периода

k=2.

F (ϕ 0 ) > F (ϕ1 )

Для

колебательные

движения

существовать не могут. F (ϕ )

1

•

ϕ0

-1

ϕ1

1

ϕ

•

-1

Рис. 2.67. Расположение неподвижных точек с k = 2 в случае больших а Определим условие существования циклов с большими амплитудами, для которых условие a ⋅ cosψ < 2 не выполняется, соответственно точки ϕ0, ϕ1 могут находиться не на соседних периодах. Пример такого движения приведен на рис. 2.67. Для этого случая можно записать

F (ϕ 0 ) = a0 + a ⋅ cosψ − 2 ⋅ N F (ϕ1 ) = a0 − a ⋅ cosψ

,

(2.7.15)

где N= N1+1 , N1 – целое число периодов между точками ϕ0 и ϕ1 . Тогда

B1 = a ⋅ cosψ − N , соответственно коэффициент гармонической

линеаризации ( N − a ⋅ cosψ )e jψ , ψ∈[-π /2, π /2]. K ( a, π , ψ ) = a

(2.7.16)

Для произвольного N запишем: ϕ1∈[-1 ; 1] , ϕ0∈[-1+2N ; 1+2N]. Тогда ограничения на параметры колебания будут иметь вид

N − 1 < a ⋅ cosψ < N + 1, N − 1 < a0 < N + 1 . Если потребовать выполнение условия F(ϕ0) < F(ϕ1), то

ϕ1∈[0 ; 1], ϕ0∈[-1+2N ; 2N], и ограничения на параметры будут следующими

(2.7.17)

- 162 -

N − 1 < a ⋅ cosψ < N , N − 0.5 < a0 < N + 0.5 .

(2.7.18)

Найдем зависимость среднего значения на выходе нелинейного элемента F (ϕ n ) от a0 . В установившемся режиме в СФС это значение определяет постоянную частотную расстройку.

1 F = (a0 + a cosψ − 2 N + a0 − a cosψ ) = a0 − N . 2 С учетом (2.7.18)

F ∈ [− 0.5;0.5] .

(2.7.19)

На рис. 2.68 на комплексной плоскости для N = 2 приведено семейство годографов функции a ⋅ e − jψ , ψ∈[-π /2, π /2]. L(a,ψ ) = ( N − a ⋅ cosψ )

(2.7.20)

Im 3π/8

W(ejϖ)

2π/8 π/8 0

-π/8

ϖ=π D=3 m=0 d=0.01

L(a,π,ψ)

-3π/8

-2π/8

Re

Рис. 2.68. Семейство годографов L(a, ψ ) для k = 2 в случае больших а В отличие от случая N = 1 лучи стартуют под определенными углами с вертикали Re( L(a, π , ψ )) = 1 и приходят на вертикаль Re( L(a, π , ψ )) = −3 . Правая

полуплоскость

соответствует

условию

F (ϕ 0 ) < F (ϕ1 ) ,

левая -

F (ϕ 0 ) > F (ϕ1 ) . Для существования периодических движений необходимо, чтобы годограф функции W (e jϖ ) пересек границу Re(W (e jϖ )) = 1 . Для системы 2-го порядка это возможно для достаточно большого усиления, при котором сама система теряет устойчивость. Такая ситуация приведена на рис. 2.68 (годограф W (e jϖ ) охватывает точку (-1, j0)), существующий цикл неустойчив. Для произвольного N границы существования годографа

L ( a, π , ψ )

определяются выражениями Re( L(a, π , ψ )) = N − 1 и Re( L(a, π , ψ )) = −( N + 1) .

- 163 F (ϕ )

1 -1

• • ϕ1

ϕ2 ϕ0 1

ϕ

•

-1

Рис. 2.69. Расположение неподвижных точек с k = 3 Рассмотрим периодические движения с k=3. В этом случае на периоде движения согласно (2.7.1) значения разности фаз определятся выражениями:

ϕ 0 = a0 + a cosψ , ϕ1 = a0 + a cos(

2π 4π + ψ ), ϕ 2 = a0 + a cos( + ψ ) . 3 3

(2.7.21)

С учетом принятого расположения точек ϕi на функции F(ϕ), приведенного на рис 2.69, F (ϕ 0 ) = a0 + a cosψ , F (ϕ1 ) = a0 + a cos(

2π + ψ ), 3

4π F (ϕ 2 ) = a0 + a cos( + ψ ) − 2 3 Соответственно

.

2π 4π −j −j 1 2π 4π 3 B1 = ((a0 + a cosψ ) + (a0 + a cos( + ψ ))e + (a0 − 2 + a cos( + ψ ))e 3 ) , 3 3 3 и согласно (2.7.5) коэффициент гармонической линеаризации

K (a, 2π / 3, ψ ) = −

B1 , ae jψ

− 1 ≤ a cosψ ≤ 0 , − 1 ≤ a cos(

2π +ψ ) ≤ 0 , 3

π 5π ψ ∈[ ; ] .

2 6 На рис. 2.70

L(a, 2π / 3, ψ ) =

(2.7.22) приведено

семейство

годографов

функции

1 , построенное для различных значений ψ. Анализ K (a, 2π / 3, ψ )

взаимного расположения семейства с годографом функции W (e jϖ ) позволяет сделать вывод о невозможности циклов с k=3 в системе второго порядка, однако не исключает их существование в системах более высокого порядка.

- 164 Im 5 π /6 L(a,2 π /3, ψ ) W(e j ω ) 5 π /8

ϖ =2 π /3

D=0.3 m=0.5 d=0.2

π /2 7 π /12 13 π /24 Re

Рис. 2.70. Семейство годографов L(a, ψ ) для k = 3 Среднее на периоде значение F (ϕ n ) = a0 − 2 / 3 . Если предположить существование периодического движения, то F (ϕ n ) необходимо связать с начальной расстройкой в системе γ, в установившемся режиме должно выполняться условие F (ϕ n ) = γ . Рассмотрим периодические движения с k=4, частота движения ϖ = π / 2 . В этом случае на периоде движения согласно (2.7.1) значения разности фаз определятся выражениями:

π ϕ 0 = a0 + a cosψ , ϕ1 = a0 + a cos( + ψ ), 2

3π ϕ 2 = a0 + a cos(π + ψ ), ϕ 3 = a0 + a cos( + ψ ) 2

.

(2.7.23)

F(ϕ )

1

-1

• ϕ1 ϕ0 • ϕ2 ϕ3 1 • -1

ϕ

•

Рис. 2.71. Расположение неподвижных точек с k = 4 С учетом принятого расположения точек ϕi на функции F(ϕ), приведенного на рис 2.87, значения нелинейной функции определятся выражениями

F (ϕ 0 ) = a0 + a cosψ − 2, F (ϕ1 ) = a0 − a sinψ − 2, F (ϕ 2 ) = a0 − a cosψ , F (ϕ 3 ) = a0 + a sinψ Соответственно

.

- 165 -

1 B1 = ((a cosψ − 1) − j (a sinψ + 1)) , 2 − ae jψ , L(a, π / 2, ψ ) = (a cosψ − 1) + j (a sinψ + 1)

(2.7.24 )

π ψ ∈ [− ;0] , F (ϕ n ) = 4(a0 − 1) . 2

Im L(a, π /2, ψ )

π /8 W(e j ω )

0 - π /8

- π /2

-2 π /8 -3 π /8

ϖ= π /2 D=0.3 m=0.5 d=0.2 Re

Рис. 2.72. Семейство годографов L(a, ψ ) для k = 4 На

рис. 2.72

L(a, π / 2, ψ ) =

приведено

семейство

годографов

функции

1 , построенное для различных значений ψ. Как и в K (a, π / 2, ψ )

случае k=3 можно сделать вывод о невозможности циклов с k=4 в системе второго порядка. Полученные выражения для коэффициента гармонической линеаризации будут применены для анализа периодических движений в СФС 3-го порядка и СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки. 2.8. Выводы 1. На основе общих положений качественных методов теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций определены направления анализа условий возникновения периодических и квазипериодических движений в СФС 2-го порядка с синусоидальной и кусочно-линейной характеристиками детектора Для синусоидальной нелинейности основой возникновения и потери устойчивости k-кратными неподвижными точками, составляющими периодические движения, является попадание на границы областей локальной устойчивости, построенных на основе линеаризованных матриц k-кратных

- 166 -

отображений. Для кусочно-линейных функций основу возникновения и потери устойчивости k-кратными неподвижными точками составляет условие попадания на границы линейных участков. Необходимым условием возникновения квазипериодических движений для любых периодических нелинейностей является касание входящих и выходящих сепаратрисных многообразий седловой точки. 2. Разработана методика расчета бифуркационных параметров кусочнолинейных отображений 2-го порядка, позволяющая находить границы областей существования различных типов периодических и квазипериодических движений. Основу методики составляют необходимые и достаточные условия возникновения k-кратной неподвижной точки через образование промежуточной сложной точки узел-седло либо фокус-седло и условия касания входящего и выходящего сепаратрисных многообразий на границах линейных участков характеристики. 3. На основе предложенной методики для пилообразной и треугольной нелинейностей разработаны алгоритмы, позволяющие для обобщенных и физических параметров получить области существования различных периодических и квазипериодических движений. Для обоих видов нелинейностей получены распределения областей колебательных и вращательных движений, установлены закономерность и очередность их возникновения. Доказано утверждение о первоочередности возникновения циклов 2-го рода с одним проскальзыванием с ростом частотной расстройки. Для треугольной нелинейности доказано существование предельных циклов 2го рода с бесконечным числом состояний на неустойчивой ветви нелинейности, определяющих узловые точки зависимости полосы захвата. Граница, соединяющая узловые точки, определяется квазипериодическими движениями. Исследованы области устойчивости в большом и в целом, полосы захвата систем. Для СФС с треугольной характеристикой показана возможность оптимизации параметров нелинейности с целью обеспечения наилучших динамических свойств. 4. Разработаны методика и алгоритмы расчета бифуркационных параметров возникновения и потери устойчивости периодических и квазипериодических движений в дискретных СФС 2-го порядка с синусоидальной нелинейностью. Основу алгоритма составил численный метод продолжения по параметру, позволяющий по некоторой заданной начальной

- 167 -

области восстановить всю область существования движения данной структуры. Выполнен анализ устойчивости в большом и в целом, исследованы зависимости полосы захвата СФС с синусоидальным детектором с различными типами фильтров в цепи управления. 5. Выполнен анализ двух способов оценки длительности переходных процессов в СФС 2-го порядка, основанных на усреднении быстрой координаты исходной модели. Согласно 1-го способа усреднение выполняется в предположении постоянства медленной координаты. Согласно 2-го способа усреднение быстрой координаты выполняется по инвариантным кривым с учетом изменения второй координаты. Показано, что усреднение по инвариантным кривым при достаточно высокой инерционности фильтра в системе имеет преимущества в точности. С помощью данного метода получены оценки длительности переходных процессов для различных параметров. 6. Разработана методика анализа влияния на установившиеся процессы в цифровых СФС конечной разрядной сетки аналого-цифрового преобразования . Основу методики составляет анализ поведения инвариантных кривых, построенных в окрестности интересующих движений. Доказано, что существование конечной разрядной сетки способствует разрушению движений с большими амплитудами, что в конечном итоге приводит к увеличению области устойчивой работы системы. В окрестности состояния равновесия влияние дискрета функции F(ϕ) приводит к различного типа движениям, к числу которых относятся ложные состояния равновесия, колебательные движения, отображения отрезков, сложные квазипериодические движения. Исследованы характер и области различных движений для различных вариантов постановки АЦП в систему. 7. Разработаны методика и алгоритмы анализа установившихся движений в неавтономных дискретных СФС 1-го и 2-го порядка для периодического по частоте воздействия. Для систем 1-го порядка предложена эффективная методика, основанная на построении функции последования в новой шкале времени, совпадающей с периодом входного воздействия. Для исследования неавтономной СФС 2-го порядка предложена модификация качественноаналитического метода, разработанного для анализа автономных систем 2-го порядка, учитывающая динамику изменения геометрии фазового цилиндра. С помощью разработанных методов исследованы области возможных

- 168 -

периодических движений в системе и области устойчивого слежения за входной частотой, в том числе в зависимости от величины воздействия, для различных типов воздействия и фильтра системы. 8. Для анализа периодических движений в дискретных СФС адаптирован метод гармонической линеаризации применительно к системам с периодической нелинейностью. Получены выражения коэффициента гармонической линеаризации для кусочно-линейного детектора с учетом периодичности характеристики для нескольких типов входных сигналов, в том числе симметричных и несимметричных. Сформулированы необходимые условия существования периодических движений с точки зрения частотных свойств приведенной линейной части системы. Доказана возможность существования при близких к нулю частотных расстройках симметричных движений с частотой ϖ = π в СФС 2-го порядка с фильтром, имеющим независимый пропорциональный канал. Подобная модель характерна для цифровых СФС.

- 169 -

Глава 3. Нелинейная динамика кусочно-линейных дискретных СФС третьего порядка В главе получили развитие методы исследования нелинейной динамики дискретных СФС, предложенные в предыдущем разделе, применительно к кусочно-линейным системам 3-го порядка. В качестве объекта исследования выступает отображение (1.1.2), представляющее собой математическую модель ряда импульсных и цифровых систем синхронизации с различными фильтрами в цепи управления. Для импульсных СФС рассматриваются два типа фильтров: последовательное соединение двух пропорционально-интегрирующих фильтров и колебательное звено 2-го порядка, для цифровой СФС последовательное соединение двух интегрирующих фильтров 1-го порядка с дополнительными пропорциональными каналами. Как и в случае СФС 2-го порядка разрабатываемые в главе методы основываются на общих положениях качественных методов теории дискретных нелинейных колебаний, теории бифуркаций и метода гармонической линеаризации. Основу их составляет анализ установившихся движений: состояний равновесия, периодических и квазипериодических движений. С помощью предложенных методов изучаются следующие основные характеристики дискретных СФС: области существования вращательных и колебательных движений и бифуркации, приводящие к их возникновению и потере устойчивости, области существования квазипериодических движений и бифуркации, приводящие к их возникновению, области устойчивости в большом и в целом, полосы захвата. Как показано во введении, существует ограниченное число работ, посвященных изучению нелинейной динамики дискретных СФС 3-го порядка, в которых получены достаточно полные и точные результаты. Это в основном касается работ, в которых численными методами исследуются периодические движения и полоса захвата систем синхронизации [9,73], и работ, выполненных с участием автора диссертации качественными методами [106,110-112,177,183]. Целью настоящей главы является теоретическое обобщение результатов исследования нелинейной динамики СФС 3-го порядка, как в части развития качественно-численных методов анализа, так и в части исследования конкретных систем, описываемых обобщенной моделью (1.1.2).

- 170 -

3.1. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек кусочно-линейных отображений 3-го порядка Исследование установившихся движений кусочно-линейных СФС 3-го порядка выполнено на основе изучения типовых бифуркаций фазовых портретов отображения (1.1.2). К числу их относятся: 1) потеря устойчивости k-кратными неподвижными точками, связанная с переходом границ локальной устойчивости G1, G-1, Gϕ ; 2) потеря устойчивости k-кратными неподвижными точками, связанная с переходом граничных точек нелинейности (ϕi=±c для Fc(ϕ) и ϕi=±1 для F1(ϕ)); 3) бифуркации фазовых портретов, вызванные пересечением сепаратрисных инвариантных многообразий k-кратных седловых точек. На качественном уровне основные закономерности возникновения неподвижных k-кратных точек у отображений 2-го и 3-го порядков повторяются [111]. Переход границ областей локальной устойчивости G1, G-1, Gϕ приводит к потере устойчивости неподвижных точек и качественно близким движениям. Границы существования неподвижных точек кусочно-линейных отображений обоих порядков в общем случае при ненулевых частотных расстройках не совпадают с границами локальной устойчивости. В фазовом пространстве границам существования соответствуют границы линейных участков. Это позволяет условие попадания k-кратной неподвижной точки на границу линейности рассматривать в качестве одного из необходимых условий возникновения периодических движений периода k [110]. На рис. 3.1 на плоскости обобщенных параметров α, β приведены сечения тела локальной устойчивости отображения (1.1.2) для различных значений обобщенного параметра η. Сечения имеют форму, близкую к треугольной, и ограничены кривыми G1, G-1, Gϕ , соответствующими переходу одного из собственных значений линеаризованной матрицы отображения (1.1.2) через значения ±1 или

e ± jϕ . Линия R на сечениях ограничивает область

существования простой неподвижной точки, ее уравнение получается из (1.1.2) и имеет вид

β = g − (1 − d − h)α − η .

(3.1.1)

- 171 β

β η = -1,2

η = -0,6

d = 0,5 h = -0.25

d = 0,5 h = -0.25

B A

B A

R

C C

α

α

а)

б)

β

β

η=0

η = 0,5

B

d = 0,5 h = -0.25

d = 0,5 h = -0.25

B

Gϕ A

R

G0 G-1

G1

A

R

C

C

α

α

в)

г)

Рис.3.1. Сечения тела локальной устойчивости СФС 3-го порядка Особенность перехода границ устойчивости в случае отображения 3-го порядка состоит в большом многообразии возможных комбинаций собственных значений линеаризованной матрицы А, сответствующих границе. Таблица 1 Собственные значения матрицы A 1) 0 < ρ1 < 1, 0 < ρ2 < 1, 0 < ρ3 < 1,

Тип устойчивой точки устойчивый узел 1-го типа

ρ1 , ρ2 , ρ3 - веществ. 2) −1 < ρ1 < 0 , −1 < ρ2 < 0, −1 < ρ3 < 0 ,

устойчивый узел 2-го типа

ρ1 , ρ2 , ρ3 - веществ. 3) 0 < ρ1 < 1, −1 < ρ2 < 0, −1 < ρ3 < 0 ,

ρ1 , ρ2 , ρ3 - веществ.

устойчивый узел 3-го типа

- 172 -

4) 0 < ρ1 < 1, 0 < ρ2 < 1, −1 < ρ3 < 0 ,

устойчивый узел 4-го типа

ρ1 , ρ2 , ρ3 - веществ. 5) 0 < ρ1 < 1, 0 < Re ( ρ2, 3 ) < 1

устойчивый фокус 1-го типа

ρ1 - веществ., ρ2 , ρ3 - компл.-сопр. 6) 0 < ρ1 < 1, −1 < Re ( ρ2, 3 ) < 0

устойчивый фокус 2-го типа

ρ1 - веществ., ρ2 , ρ3 - компл.-сопр. 7) −1 < ρ1 < 0 , 0 < Re ( ρ2, 3 ) < 1

устойчивый фокус 3-го типа

ρ1 - веществ., ρ2 , ρ3 - компл.-сопр. 8) −1 < ρ1 < 0 , −1 < Re ( ρ2, 3 ) < 0

устойчивый фокус 4-го типа

ρ1 - веществ., ρ2 , ρ3 - компл.-сопр.

В соответствие с табл. 1 потере устойчивости неподвижной точки при переходе через границу G1 соответствуют три типа узлов, при переходе границы G-1 также три типа узлов, при переходе колебательной границы Gϕ четыре типа фокусов. Переход через границы Gϕ , G-1 происходит на линейных участках

функций

F1(ϕ)

и

Fc(ϕ)

и

сопровождается

соответственно

бифуркациями устойчивый фокус - комплексное седло, устойчивый узел вещественное седло. Как и в случае отображений 2-го порядка данные бифуркации приводят к возникновению инвариантных замкнутых кривых, представляющих собой квазипериодические движения (см. п. 2.1). В силу существования для кусочно-линейных отображений границы R (при g≠0), не совпадающей с G1, в общем случае бифуркации возникновения как простых так и k-кратных неподвижных точек происходят на этой границе. При этом рождается неподвижная точка (один из типов устойчивого узла либо фокуса) одновременно с одним из типов седловой неподвижной точки. Исчезновение неподвижной устойчивой точки происходит также на границе R в результате слияния устойчивого узла либо фокуса с седловой точкой с последующим образованием потока уплотненных траекторий. Условие возникновения пары неподвижных точек на границах кусочно-линейных отображений будет положено ниже в основу методики расчета бифуркационных параметров. Образование квазипериодических движений в условиях существования неподвижных точек определяется взаимным расположением инвариантных

- 173 а

y

а

y

б б

x

φ

б′

φ

x

а′

а)

б)

седло–узел (ρ1,2,3= 1.1; 0.3; 0.8)

седло–фокус (ρ1,2,3 = 1.1; 0.6±0.5i) y

y

φ x

φ

x

а

а

в)

г)

седло–фокус (ρ1,2,3 = 0.8; 0.9±0.7i)

седло–узел (ρ1,2,3 = 1.1; -0.6; 0.4) y

y а

φ

x

б

д) седло–фокус (ρ1,2,3= -1.2; 0.5±0.4i)

а

φ

x

е) седло–узел (ρ1,2,3 = 0.5; -1.1; 1.2)

Рис. 3.2. Фазовые портреты в окрестности седловой точки разного типа

- 174 -

сепаратрисных многообразий простой или k-кратной седловой неподвижной точки. Отличие от отображения 2-го порядка состоит в большем числе типовых фазовых портретов в окрестности седловой точки, определяемых разнообразием самой точки. На рис. 3.2а-е приведены фазовые портреты в окрестности основных типов седловой точки. Для седловых неподвижных точек, приведенных на рис. 3.2а,б,г,д, входящее сепаратрисное многообразие является двумерным, выходящее - одномерным. Для точек, приведенных на рис. 3.2в,е, входящее сепаратрисное многообразие является одномерным, выходящее - двумерным. При анализе условий возникновения квазипериодических движений, необходимо учитывать характер движения в окрестности входящих и выходящих многообразий. Для части приведенных на рис. 3.2 седловых точек, квазипериодические движения не реализуются. Как и в системе второго порядка, не имеет смысла рассматривать варианты, при которых хотя бы для одного из корней выполняется неравенство Reρi < –1, так как знакопеременный относительно устойчивого сепаратрисного многообразия характер движения всегда приводит к попаданию в окрестность устойчивого состояния равновесия. Во-вторых, аналогичные соображения позволяют сделать вывод о невозможности существования рассматриваемого квазипериодического движения в случае, когда комплексно-сопряженные корни являются неустойчивыми. При этом траектория движения по неустойчивому участку представляет собой спираль вокруг устойчивой сепаратрисы, в результате чего часть выходящего многообразия также принадлежит области притяжения устойчивого состояния. И в-третьих, анализ характеристического уравнения для неустойчивого участка в широком диапазоне изменения параметров показал, что в рассматриваемой системе не реализуется вариант седла, при котором существует два положительных неустойчивых действительных корня. Все выше сказанное позволяет при анализе условий существования рассматриваемого типа движений ограничиться рассмотрением варианта, при котором выходящее сепаратрисное многообразие является одномерным, а входящее

-

двумерным.

Граничное

значение

γ

для

возникновения

квазипериодических движений в этом случае, так же как и для системы второго порядка, определяется из условия касания сепаратрисными многообразиями друг друга (см. п. 2.2).

- 175 -

3.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений Предлагаемая в разделе методика расчета бифуркационных параметров кусочно-линейных отображений 3-го порядка является развитием методики, предложенной для систем 2-го порядка. Она основана на утверждениях о возможности возникновения неподвижных точек на границах линейных участков функций Fс(ϕ) и F1(ϕ). Для возникновения простых неподвижных точек данных утверждений достаточно. Для возникновения k - кратных неподвижных точек сформулированные утверждения выступают в качестве необходимых. Достаточность, как и в случае систем 2-го порядка, обеспечивается дополнительным структурным условием (п. 2.2). 3.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью Пусть F(ϕ)=F1(ϕ). В силу периодичности F1(ϕ) фазовым пространством отображения (1.1.2) будет трехмерный цилиндр, сечения развертки которого показаны на рис. 3.3. На рис. 3.3а приведено сечение фазового пространства плоскостью yn = 0 , на рис. 3.3б - плоскостью xn = x01 . (x01- координата равновесного состояния). Прямые Lϕ,0 (АВ), Lx,0 (CD) и Ly,0 являются сечениями поверхностей отображения с сохранением координат ϕ, x и y соответственно. Уравнения этих поверхностей могут быть получены из (1.1.2) соответственно при ϕ n +1 = ϕ n , xn +1 = xn , y n +1 = y n : Lϕ,0 : x=α ϕ , Lx,0 : x=(y–γ ϕ+g)/(1–d) ,

(3.2.1)

Ly,0 : y=hx –σ ϕ . Поверхность отображения с сохранением координаты y определена при условии xn = x01 . Следует отметить, что в уравнение для Lϕ,0 не вошла координата y, значит рассматриваемая поверхность перпендикулярна плоскости y = 0 . Кроме того, поверхность Lϕ,0 проходит через начало координат, и, как и в системе 2-го порядка , не зависит от нормированной начальной расстройки g. Точка пересечения указанных поверхностей является равновесным состоянием системы (одновременно выполняются условия ϕn+1 =ϕn , xn+1=xn и yn+1=yn ) и имеет координаты O(ϕ01 , x01 , y01).

- 176 -

y C

Q

ϕ B (1,α,0)

(1,0,0)

G (1,2+α,0)

Q

0

(0,−1,0)

1

x

(0,1,0)

Q

-1

L*x,0

L*ϕ,0 (−1,0,0)

A

D

L (−1,2−α,0)

U (−1,4−α,0)

(−2,0,0)

а) y

B'

_

*

qj

x = x 01

L'

βr lj

Q'1

G'

ϕ (-1, x 01 ,0)

0

(1, x 01 ,0) U'

б) Рис. 3.3. Сечения фазового цилиндра СФС 3-го порядка По аналогии с системой 2-го порядка могут быть найдены области пространства, стартуя из которых решение (1.1.2) попадет на границы периода нелинейности F1(ϕ) ϕn=1 и ϕn= –1. Искомые области представляют собой набор плоскостей GQ,m (индекс m - номер периода F1(ϕ), на границу которого попадает решение), уравнения которых имеют вид : GQ,m : x=(α-1)ϕ +2m-1, m=1,2,3...

(3.2.2)

и GQ,m : x=(α-1)ϕ+2m+1, m=-1,-2,-3...

(3.2.3)

В (3.2.2) и (3.2.3), как и в уравнение для Lϕ,0 , не вошла координата y, следовательно данные плоскости перпендикулярны плоскости yn = 0 .

- 177 -

Стрелками

показаны

направления

движения

вектора

состояния

r qn (ϕn, xn, yn) вдоль направлений ϕn и xn при отображении в каждой из четырех

зон, образованных отрезками AB и CD. На рис. 3.3а заштрихованы области нелинейного отображения с выходом соответственно за границы ϕn=+1 и ϕn=–1 развертки фазового цилиндра – Q1 и Q-1. С двух сторон области Q1 и Q-1 ограничены плоскостями ϕn=±1, с третьей плоскостью x=1–(1–α)ϕ для Q1 (отображение в направлении увеличения xn) и плоскостью x=–1–(1–α)ϕ для Q–1 (отображение в направлении уменьшения ϕn ). По направлениям yn и одному из направлений xn области Q1 и Q–1 неограниченны. Между областями Q1 и Q–1 находится область Q0 , отображение из которой происходят линейно. При нелинейном отображении область Q1 переходит в область Q 1′ . При этом точка B(1,α,0) отображается в точку B'(–1, αd–β+g , α h–σ); L(–1, 2–α,0) в точку L'(–1, d(2–α)+β+g , h(2–α)–σ) , и т. д. r Изменение координаты [qn ]y вектора состояния в области Q1 приводит к r изменению координаты вектора [qn+1 ]x в Q 1′ : при увеличении (уменьшении) [qrn ]y - увеличивается (уменьшается) [qrn+1 ]x . Таким образом, вся область Q1 отображается в бесконечную по оси xn полосу, ограниченную по оси ϕn плоскостями ϕn=±1 и еще дополнительно двумя параллельными плоскостями, являющимися отображениями плоскостей

ϕn=±1. Аналогичные рассуждения приводят к построению области Q −′1 , которая является отображением Q–1 . Необходимо заметить, что наблюдается пересечение областей Q 1′ и Q–1 , а также Q −′1 и Q1 , что принципиально отличает рассматриваемую систему от системы второго порядка. Рассмотрим итерации с начальными условиями из произвольного вектора r r r состояния q0 = (ϕ 0 , x0 , y 0 ) . Согласно (1.1.2) вектор qn выразится через q0 следующим образом: n−1 r r r n r qn = A ⋅ q0 + ∑ A j ⋅( r + pn − j −1 ) , j =0

где A - линеаризованная матрица, соответствующая (1.1.2)

(3.2.4)

- 178 -

⎡1 − α F1/ (ϕ ) 1 0⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢ − βF1/ (ϕ ) d 1⎥ , ⎢ − σ F1/ (ϕ ) h 0⎥ ⎣ ⎦ r при линейном отображении p j = ( 0 , 0 , 0 ) Т , в случае нелинейного отображении r p j = ( ±2 , 0 , 0 ) Т , при этом знак "+" соответствует выходу за границу ϕ=–1 , знак r "–" соответствует выходу за границу x=+1 . Вектор p j возвращает вектор

состояния системы на (j+1)–ом шаге в интервал [–1; 1] по координате x. Перепишем (3.2.4) в виде: r r r n−1 r qn = A nq0 + ( E − A n ) ( E − A ) − 1 r + ∑ A j pn − j −1 .

(3.2.5)

j =0

Для существования цикла периода k необходимо выполнение условия r r замыкания – qk = q0 . С учетом этого условия из (3.2.5) следует выражение для вектора начальной точки цикла: k −1 r r r k −1 q0 = ( E − A ) ( ∑ A j pk − j −1 ) + ( E − A ) −1 r .

(3.2.6)

j =0

Выражение (3.2.6) можно рассматривать как первое необходимое условие существования цикла - условие замыкания. Вторым условием является нахождение всех векторов состояний цикла заданной структуры в пределах интервала ϕ n ≤ 1 - структурное условие. Выполнение этого условия означает,

что все вектора состояний цикла находятся в соответствующих им областях Q1, Q0, Q-1. В противном случае (3.2.6) может формально привести к некоторому состоянию, не являющемуся точкой цикла. Сформулированные условия необходимы и достаточны для существования цикла заданной структуры. Аналогично дискретной СФС 2-го порядка можно показать, что произвольный цикл, существующий в системе с нелинейностью F1(ϕ), устойчив при выполнении условий локальной устойчивости отображения (1.1.2). Рассмотрим цикл структуры (u/k), где u - количество нелинейных отображений на периоде цикла, k - период цикла. Для предельного цикла 1-го рода u=0, для предельного цикла 2-го рода в случае вращения по координате ϕ в сторону увеличения u > 0, в случае вращения в сторону уменьшения

- 179 -

координаты ϕ - u < 0. В соответствии с (3.2.6) вектор произвольной точки цикла можно представить в виде r r r q j = l j + gb , j = 1...k ,

(3.2.7)

k −1 r r r r где l j = ( E − A k ) − 1( ∑ A j pk − j −1 ) , b = ( E − A ) −1( 0 ,1,0 ) T ; l j - вектор, зависящий j =0

r от структуры цикла и выбора начальной точки, b - вектор, не зависящий ни от структуры цикла, ни от его начального состояния. При изменении g происходит смещение всех точек цикла в фазовом r пространстве вдоль вектора b . Это может привести как к возникновению, так и к разрушению цикла вследствие перехода точек цикла между областями Q1 , Q0 , Q–1 , а также при пересечении векторами точек цикла плоскостей ϕn= ±1. Найдем условия на обобщенную расстройку g, при которой существует цикл заданной структуры (u/k). Для этого воспользуемся сформулированными выше условиями существования цикла. Из (3.2.7) определим значения r обобщенной расстройки g – j и g+ j , при которых вектор состояния q j пересекает соответственно границы ϕn= –1 и ϕn= 1 соответственно: r r − − − 1 [ l ] 1 [ l ] r j 1 , g +j = r j 1 g −j = [b ]1 [b ]1

(3.2.8)

Все точки цикла пересекут плоскость ϕn= –1 при выполнении условия g > max( g −j ) , хотя бы одна точка цикла пересечет плоскость ϕn=1 при j =1...k

выполнении условия g < min ( g +j ) . Цикл может существовать при j =1...k

max( g −j )< min ( g +j ) j =1... k

(3.2.9)

j =1...k

в диапазоне расстроек max ( g −j ) < g < min ( g +j ) . j =1... k

j =1... k

Таким образом, для вычисления диапазона начальных расстроек, при которых существует цикл, необходимо для каждой точки цикла вычислить два значения обобщенной расстройки (3.2.8) и найти диапазон g, удовлетворяющий условию (3.2.9) для всех точек цикла. Рассмотрим условия существования ПЦ1. Очевидно, их появление наиболее вероятно в фазовом пространстве, для которого характерно симметричное или близкое к нему расположение плоскостей отображения.

- 180 -

Согласно рис. 3.3 это касается в первую очередь плоскости отображения с сохранением координаты xn (сечение СД). Для обеспечения симметрии эта плоскость должна проходить вблизи начала координат, что возможно при малых и равных нулю g. Соответственно, при увеличении g должно происходить разрушение циклов 1-го рода. Согласно структуре цикл ПЦ1 должен содержать четное число нелинейных отображений. При этом, так как каждая нелинейная итерация сопровождается попаданием вектора состояния в соответствующие области Q±1, то можно утверждать, что с ростом g последним исчезнет ПЦ1 с наименьшим числом нелинейных итераций, т.е. с двумя (одна в положительном направлении изменения координаты ϕ, другая - в отрицательном). Данное утверждение подтверждается расчетами и будет использовано ниже. Более того, можно показать, что существуют только ПЦ1 структуры (0/2). Объяснение этому состоит в том, что движение из Q 1′ в Q–1 и из Q −′1 в Q1 невозможно. Исключение составляет ситуация, когда все точки цикла находятся в областях, являющихся пересечением Q 1′ , Q–1 и Q −′1 , Q1 соответственно. Это выполняется при k=2. γ m 1= m 2= 0 α 1= 1

α 2= 3 2

5 0 .5 D

Рис. 3.4. Области существования предельного цикла 1-го рода с k = 2 На рис. 3.4 приведены зависимости максимальной частотной расстройки γ, при которой возникают ПЦ1 от коэффициента усиления в системе D. С ростом D наблюдается линейное увеличение расстройки, при этом существует максимум γ для некоторых значений α1, α2 . Для приведенных графиков такой максимум соответствует α1 =1, α2 =2. С ростом m1, m2 области существования ПЦ1 уменьшаются и при m1, m2 порядка 0.4..0.5 исчезают полностью.

- 181 -

В отличие от ПЦ1 для ПЦ2 характерно постоянное увеличение координаты

ϕ в случае γ > 0 и уменьшение в случае γ < 0. Условия для существования циклов данного типа возникают при нарушении симметрии фазового пространства, т.е. при увеличении γ . При этом, как и в дискретной ФАС 2-го порядка, с ростом γ первыми возникают простейшие циклы структуры (1/k). Это подтверждается результами, приведенными на рис. 3.5, 3.6. Показаны типичные зависимости минимальной γ от усиления в системе, при которой возникают циклы структуры (1/k) и (2/k). Правая граница кривых определяется условиями локальной устойчивости. Перегибы на кривых объясняются рождением цикла с новым значением периода. γ

γ u= 2

u= 2

m 1= m 2= 0 α 1= 1

m 1 = 0 .3 m 2 = 0 u= 1

α 1= 1 α 2= 5

u= 1

α 2= 5

α 2= 2

α 2= 2

α 2 = 0 .7

α 2 = 0 .7

0 .0

D

Рис. 3.5

D

Рис. 3.6

Из приведенных графиков видно, что циклы структуры (2/k) возникают при гораздо больших значениях начальной расстройки, при этом с ростом m1 (рис. 3.6) граница их возникновения еще сильнее сдвигается в сторону больших

γ . Аналогичная тенденция наблюдается и с ростом α1, α2 . Следует отметить, что циклические движения с u>2 возникают при еще больших γ . Таким образом, для определения верхней границы начальной расстройки γ = γmax достаточно проанализировать ПЦ2 структуры (1/k), что существенно упрощает задачу определения полосы захвата системы.

- 182 -

Алгоритм определения полосы захвата Построим алгоритм определения полосы захвата. В основе его лежит условие возникновения простейших предельных циклов 1-го и 2-го рода. При этом в общем случае необходимо определить два значения начальной

расстройки γmin , γmax. При γ < γmax исчезают все ПЦ2, при γ > γmin исчезают все ПЦ1. Найдем γmax , для этого определим значение γ k , при котором возникают ПЦ2 структуры (1/k). Для определенности будем считать начальным состоянием на цикле состояние, в которое приходит система после нелинейного r отображения через границу ϕn=1. Для этого случая p j = ( 0 ,0 ,0 ) T , 0 ≤ j < k-1;

r r pk −1 = ( −2 ,0 ,0 ) T . Согласно (3.2.6) вектор начального состояния q0 будет иметь вид r r r r pk −1 . (3.2.10) + q0 = E − Ak E − A Цикл 2-го рода периода k будет существовать при выполнении условий

(3.2.9) и возникнет с учетом (1.1.2) и (3.2.8) при частотной расстройке

− 1 + 2[( E − A k ) −1 ]11 γ = ξ [( E − A) −1 ]12 k 2

(3.2.11)

Граница возникновения циклов определится выражением

γ = γ max = min (γ 2k ) . k =1...k max

(3.2.12)

Осталось найти k, для которого найденное значение начальной расстройки будет наименьшим, определяющим граничное условие возникновения ПЦ2. Алгоритм предлагает задание некоторого kmax, заведомо превышающего искомое k. Рекомендации выбора kmax аналогичны системе 2-го порядка (р. 2.3) и сводятся к следующему. В случае комплексных собственных значений r матрицы A поведение вектора l носит колебательный характер по параметру k (конец вектора с ростом периода цикла k описывает закручивающуюся спираль вокруг точки (-2,0,0) и в качестве kmax достаточно взять половину периода колебаний. В случае действительных собственных значений возможны две ситуации. r Если распределение вектора l носит монотонный характер при стремлении к r точке (-2,0,0), то γ = γ 2∞ = 1. Если у распределения l имеется максимум, то

- 183 -

достаточно в качестве kmax взять значение k, соответствующее этому максимуму. Определим γmin, для этого найдем значение γ , при котором исчезают ПЦ1 структуры (0/k). Точки таких циклов расположены на двух периодах нелинейности F(ϕ). Будем считать, что на одном периоде нелинейности цикл имеет k1 точек, а на другом - k2 точек (k1+k2=k). Из (3.2.6), (3.2.7) получим аналогичное (3.2.10) выражение для двух r r начальных векторов q01 и q02 (вектора состояний цикла, в которые система приходит после двух нелинейных отображений с переходом соответственно границ фазового цилиндра ϕ=1 и ϕ=–1) : r r r r p− + A k 2 −1 ⋅ p+ r , + q01 = E −A ( E − Ak ) (3.2.13) r r r r A k 1 −1 ⋅ p− + p+ r q02 = + E −A ( E − Ak ) где: pr − = ( −2, 0, 0) T , pr + = ( 2, 0, 0) T . По аналогии с (3.2.11) можно выписать выражения для двух значений расстройки γ 11k и γ 12k , соответствующих r r нахождению начальных векторов q01 и q02 на границах развертки цилиндра. Границей возникновения цикла 1-го рода периода k будет условие

γ 1k = min(γ 11k ,γ 12k ) .

(3.2.14)

Для отыскания граничного значения γ, определяющеего возникновение ПЦ1, необходимо выбрать максимальное значение расстройки из всех найденных для существующих циклов, т.е. γ = γ min = max (γ 1k ) . При этом k =1...k max

максимальные анализируемые k1 и k2 выбираются аналогично ПЦ2. На рис. 3.7 приведены зависимости полосы захвата импульсной СФС с F1(ϕ) в пространстве параметров (γ,D), построенные в соответствии с предложенным выше алгоритмом. Расчет произведен для различных значений

α1, α2 и m1. Верхняя граница области определяется ПЦ2, нижняя - ПЦ1. Анализ приведенных зависимостей с позиции глобальной устойчивости ФАС позволяет сделать следующие выводы: 1. С ростом α1, α2 области устойчивости по усилению D расширяются. Наиболее значительное увеличение наблюдается при больших m1. Например, для m1=0.8 при увеличении α1, α2 от значений 0.5...0.8 (рис. 3.7а) до значений

- 184 -

2...4 (рис. 3.7б) области устойчивости по параметру D увеличиваются в 2...4 раза. γ

γ

α1=1 m2=0 α2=2

α1=0.5 m2=0 α2=0.8

m1=0.8

m1=0.8

0.4

0.4

0

0

0.0

D

D

а)

б)

Рис. 3.7. Полоса захвата СФС 3-го порядка с F1(ϕ) 2. Граница областей глобальной устойчивости по начальной расстройке β также значительно расширяется с ростом α1, α2. Однако зависимость от m1 носит более сложный характер. Вблизи границ локальной устойчивости наблюдается уменьшение верхней границы β с ростом m1. Наоборот, в дальней зоне

от

границы

локальной

устойчивости

(средние

D)

наблюдается

существенное увеличение верхней границы β с ростом m1. 3. Ограничение устойчивости снизу по частотной расстройке (ограничение циклами 1-го рода) наиболее сильно проявляется при малых m1 и, как отмечалось выше, носит немонотонный характер. Наиболее существенное ограничение наблюдается при больших D (рис. 3.7б) и может достигать значений 0.3...0.4. Существование циклов 1-го рода приводит к иному, в отличие от общепринятого, понятию полосы захвата. Поскольку эти циклы существуют при малых расстройках, а циклы 2-го рода при больших, то нужно говорить в общем случае о диапазоне частотных расстроек γ , в котором обеспечивается режим синхронизма при любых начальных условиях :

γmin ≤ γ ≤ γmax,

(3.2.15)

- 185 -

где γmin- граница возникновения ПЦ1, γmax - граница возникновения ПЦ2. На первый взгляд ПЦ1 могут создать определенные трудности в практическом использовании рассматриваемых систем, поскольку режимы с малыми расстройками находят широкое применение. Однако, как показывает анализ, эти циклы возникают при значениях ϕ , близких к ±1, и обладают незначительной областью притяжения. В этом случае за счет управления начальной фазой от них легко избавиться. Другой эффективный путь использование треугольной нелинейности. 3.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью

Пусть

F(ϕ)=Fс(ϕ).

Основные

закономерности

возникновения

периодических движений 2-го рода и квазипериодических движений в системе 3-го порядка с треугольной нелинейностью повторяют на качественном уровне результаты, полученные для системы 2-го порядка (п. 2.2.2, 2.3.2). При этом качественно повторяются как итоговые зависимости, так и механизмы, объясняющие их. В связи с этим ниже на них подробно останавливаться не будем. Количественные отличия будут продемонстрированы на ряде графиков, посвященных анализу полосы захвата. Совершенно иная ситуация с циклами 1-го рода, существование которых было установлено в системе с пилообразной нелинейностью. Анализ их представляется важным, поскольку они , как было показано, возникают при малых начальных расстройках и ограничивают область захвата по частоте снизу. Исследования показали, что при условии локальной устойчивости равновесного состояния существует предельный цикл периода k=2 структуры 0/2 . Данный цикл возникает в области малых расстроек по частоте и близкой к пилообразной нелинейности Fс(ϕ). При этом точки цикла располагаются симметрично относительно равновесного состояния на краях устойчивого участка

Fс(ϕ).

Сечения

фазового

пространства

при

пилообразной

характеристике детектора и нулевой γ приведены на рис.3.8. На рис. 3.8а показано сечение фазового пространства плоскостью y = y01 , на рис. 3.8б – r r плоскостью x = x01 . Вектора q01 и q02 соответствуют начальным точкам цикла. Структура возникающего движения такова: стартуя из пересечения областей Q1− и Q1′′+ (область следующего периода нелинейности Fc(ϕ), в

- 186 -

которую отображается вектор состояния в случае возрастания координаты ϕ), изображающая точка попадает на предыдущий период характеристики в область Q1′′− (область предыдущего периода нелинейности Fc(ϕ), в которую отображается

вектор

состояния

в

случае

убывания

координаты

ϕ),

одновременно оказываясь в области Q1+ . В результате на следующем шаге система возвращается в исходную точку, цикл замыкается. Таким образом, сама структура предельного цикла 1-го рода предполагает симметричность фазового портрета. При нарушении этой симметрии, которое возможно вследствие увеличения расстройки или изменения формы характеристики, разрушается и сам цикл. x

x Q1+

Q1+ N

r q 12

O M

qr11

N M′

ϕ

Q1 − N′

a)

r q 12

O

M r q

11

M′

ϕ

Q1 −

N′

a) y

y Q1′′−

Q1′′−

r q 12

r q 12

ϕ

ϕ r q 11 Q1′′+

qr11 Q1′′+

б)

б)

Рис. 3.8.

Рис. 3.9

Фазовые портреты при выборе параметров на границе области существования цикла приведены на рис. 3.9 и рис. 3.10. На первом из них показано движение для γ > 0, стационарное состояние O смещено из начала координат. Точки цикла располагаются симметрично относительно точки O, но r при этом вектор q02 оказывается на границе периода характеристики. Дальнейшее увеличение начальной расстройки приводит к выходу этой точки за пределы периода характеристики, в результате чего цикл разрушается.

- 187 -

На рис. 3.10 симметрия фазового портрета нарушена за счет изменения формы характеристики с пилообразной на треугольную при γ = 0. Такое изменение приводит к смещению границ устойчивого участка, в результате которого обе точки цикла оказываются на его границах. При дальнейшем уменьшении c эти точки оказываются за пределами устойчивого участка характеристики, цикл разрушается. Количественную оценку границы циклов 1-го рода можно получить, рассмотрев изменение области их существования в пространстве параметров при изменении формы характеристики. На рис. 3.11 приведены области существования ПЦ1 на плоскости D, γ для разных значений с . Границы областей представляют собой почти прямые линии, наклон которых зависит только от параметров фильтра (α1, m1, α 2, m2 ). Изменение с не приводит к изменению формы этих кривых, а смещает их по оси абсцисс. Циклы ПЦ1 исчезают в двух случаях: во-первых, при некотором максимальном значении параметра cmax ; во-вторых, при пилообразной характеристике детектора и определенных параметрах фильтра. x Q 1+ r q 12 N ′

N

ϕ

O

M

qr 11

M′

Q1 − a)

y Q 1′′−

r q 12

ϕ qr 11

Q1′′+

б)

Рис. 3.10 На рис. 3.12 приведены зависимости cmax от постоянной времени одного из звеньев фильтра. Можно отметить сильное влияние параметров на приведенные зависимости.

- 188 -

С практической точки зрения интерес представляют параметры фильтра, при которых предельные циклы 1-го рода (режим квазисинхронизма) невозможны. На рис. 3.13 приведены области существования ПЦ1 на плоскости

α1 , α 2 при равных коэффициентах форсирования m1, m2. Для m1 = m2 = 0 существует граница, близкая к прямой линии, выше которой циклов не существует. С увеличением m1 , m2 область существования циклов симметрично ограничивается по α1, α 2 и исчезает при m1 = m2 ≥ 0.165. На рис. 3.14 показаны области существования ПЦ1 для m1=0 и различных m 2. С ростом m 2 наблюдается значительное уменьшение области существования по координате α 2. Анализ приведенных результатов показывает, что факт существования циклов 1-го рода при пилообразной или близкой к ней характеристике детектора определяется только параметрами фильтра и не связан с усилением системы. γ

cmax 0.5 0.98

0.05 с=1.0

0.97

0.95

0.96

0.942

0.0

α2=3.0

1.0

0.94

–0.05

–0.1

0.92

0.0

0.5

1.0

Рис. 3.11

1.5

D

0.9 0.1

0.2 0.3 0.5

1.0

2.0 3.0

5.0

α1

Рис. 3.12

Для пилообразной нелинейности предельных циклов 1-го рода, отличных от 0/2, не существует. Это объясняется тем, что для существования цикла первого рода необходима смена направления движения по координате ϕ , обусловленная нелинейным отображением. Для F1(ϕ) это возможно только в том случае, когда появляется возможность перехода из области Q1′′+ в область Q1− и возврата обратно в исходное состояние. При условии локальной

устойчивости равновесного состояния такой возможности нет – система при

- 189 -

движении из рассматриваемых областей обязательно попадает в область притяжения состояния синхронизма (исключение составляет случай, когда указанные области Q1′′+ и Q1− пересекаются ) [110]. α2

α2

5.0

5.0

0.05

0.0 3.0

3.0

2.0

0.15

0.3

1.0

0.1

0.5

0.164

0.5

0.5

0.3

0.1

0.2

2.0

1.0

0.2

m1=0

0.1

0.3

m1=m2=0.0

0.2 0.3 0.5

1.0

0.8

0.2

2.0 3.0 5.0

α1

0.1

Рис. 3.13

0.2 0.3 0.5

1.0

2.0 3.0 5.0

α1

Рис. 3.14

Для треугольной нелинейности изменение направления движения по координате x может происходить на неустойчивом участке Fc(ϕ), при этом возврат на устойчивый участок характеристики будет происходить вблизи выходящей сепаратрисы седла. Формально появляются условия для возникновения предельных циклов 1-го рода другой структуры. Однако при условии локальной устойчивости такое движение всегда приводит систему в область притяжения равновесного состояния. Режим квазисинхронизма, отличный от простейшего ПЦ1, существовать также не может. Отметим, что за границей локальной устойчивости подобные режимы возникают и в зависимости от параметров системы и начальной расстройки могут быть как периодическими, так и квазипериодическими. На рис. 3.15 и 3.16 приведены зависимости полосы захвата импульсной СФС 3-го порядка от усиления и параметров нелинейности на плоскости D, Dγ (рис. 3.15а,б) и плоскости 1/с, Dγ (рис. 3.16а,б). Приведенные зависимости качественно повторяют кривые, полученные для импульсной СФС 2-го порядка. Общая тенденция заключается в увеличение полосы захвата с ростом α1, α 2 и m1, m2 . Принципиальное отличие

- 190 -

состоит в ограничении области захвата снизу для пилообразной нелинейности за счет возникновения ПЦ1 (рис. 3.15а). Аналогичное ограничение наблюдается для Fс(ϕ) при значениях c , близких к единице. Для сравнения на рис. 3.15б точками показаны результаты, полученные в [9,73] методом Монте-Карло. Зависимости, приведенные на рис. 3.16, позволяют проанализировать полосу захвата при изменении длительности устойчивой ветви характеристики детектора и ответить на вопрос о ее оптимальной величине. Как и в случае импульсной СФС 2-го порядка, при малых D наблюдается слабая зависимость полосы захвата от формы характеристики. Имеет место некоторый проигрыш для Fc(ϕ), увеличивающийся с ростом крутизны устойчивой ветви. D⋅γ

D⋅γ

m1=m2=0 α1=1.0 α2=2.0

0.3

α1=10.0 α2=100.0

c=0.5 m1=m2=0

0.8

0.75 0.6

0.2

0.5 c=1.0

0.4

α1=1.0 α2=100.0 α1=1.0 α2=10.0

0.1 0.2

0.25

0.0

0.5

1.5

1.0

а)

D

0.0

α1=1.0 α1=1.0 α =1.0 α2=0.1 2

0.5

1.0

1.5

D

б)

Рис. 3.15. Полоса захвата импульсной СФС с Fс(ϕ) С ростом D (до границы локальной устойчивости) за счет сдвига границы возникновения квазипериодических движений в сторону больших β максимум полосы захвата обеспечивается в случае Fc(ϕ). При различных соотношениях параметров фильтра выигрыш по полосе захвата может достигать по сравнению с F1(ϕ) до 50%. На рис. 3.16а показаны также ограничения области захвата снизу за счет ПЦ1. Избавиться от подобных ограничений можно за счет увеличения крутизны (уменьшения длительности) устойчивого участка характеристики.

- 191 -

D⋅γ

D⋅γ

m 1= m 2= 0 α 1 = 1.0 α 2 = 2.0

1.0

0.3

0.3 0.5 1.5

0.2

0.2

D = 0.2

D =0.2

0.5

1.0 0.1

0.1

0.0 1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

1/c

0.0 1.0

m 1 = 0.2 m 2 = 2.0 α 1 = 1.0 α 2 = 2.0

1.2

1.4

1.6

1.8

1/c

а) б) Рис. 3.16. Зависимость полосы захвата от параметра нелинейности Таким образом, если для импульсной СФС 2-го порядка в ряде случаев пилообразная нелинейность может оказаться достаточно оптимальной (малое усиление, малая инерционность фильтра), то в СФС 3-го порядка переход к треугольной характеристике детектора может быть связан не только с обеспечением максимально возможных полос захвата, но и обеспечением гарантированного захвата в области малых расстроек. 3.3. Установившиеся процессы в импульсной СФС с колебательным звеном В разделе изучается нелинейная динамика кусочно-линейной импульсной СФС 3-го порядка с фильтром в цепи управления, представляющим собой последовательный колебательный контур. Основное внимание уделяется анализу движений в системе для случая высокой добротности контура. Для малой добротности поведение системы качественно не отличается от системы с двойным ПИФ (п. 3.2) и рассматриваться не будет [111]. Основу исследований составляет методика и алгоритмы, предложенные в предыдущих разделах. Анализ начнем с колебательных движений.

- 192 -

Предельные циклы 1-го рода

На рис.3.17 в пространстве параметров D,γ

приведены области

существования цикла 1-го рода с k = 2 при изменении параметров нелинейности Fc(ϕ) . Как и в случае системы с двойным ПИФ, границы области представляют собой почти прямые линии, наклон которых зависит только от параметров фильтра. Уменьшение длительности устойчивого участка характеристики не приводит к изменению формы этих кривых, а только смещает их по оси абсцисс. Для каждого набора параметров и начальной расстройки существует cкр , определяющее границу существования ПЦ1. Сравнение с областями существования ПЦ1 в системе с двойным ПИФ (рис. 3.11) позволяет сделать вывод о существенно большем размере областей в системе с колебательным звеном, при этом колебания существуют при меньших с. На рис. 3.18 приведены зависимости cкр от резонансной частоты колебательного контура ω∗. Необходимо отметить сильное влияние параметров фильтра на приведенные зависимости. Особенно это проявляется в области малых затуханий. Так, при δ∗ < 0.1 имеется область значении резонансной частоты, при которой рассматриваемый цикл существует даже для очень малых c (cкр = 0.2 при δ∗ = 0.1). При малом затухании наблюдаются резкие спады при

ω∗ ≈ (2k +1)π , k = 0,1,2...

(3.3.1)

Движения, соответствующие данной ситуации, характеризуются значительными амплитудами. Объяснение этому содержится в большом значении коэффициента передачи линейной части системы на частоте цикла

ϖ = π при выполнении соотношения (3.3.1). Согласно (3.3.1) спады наблюдаются

с

периодичностью

2π

и

характеризуются

постепенным

уменьшением с ростом k. В свою очередь, это можно объяснить уменьшением модуля коэффициента передачи на частоте ϖ = π с ростом резонансной частоты контура. Сравнение с зависимостями для cкр импульсной СФС с двойным ПИФ (рис. 3.12) подтверждает предположение о значительно большем диапазоне параметра нелинейности, при котором существует данный тип движений. В случае большого затухания в контуре δ∗ кривые cкр от ω∗ качественно повторяют зависимости cкр от α для апериодического звена.

- 193 γ

cкр

ω ∗ =2.0 δ ∗=2.0

2.0

0.8

0.1

1.0

с = 1.0 0.95

0.0

0.6

0.86

0.9

δ∗ = 0.1 0.4

-0.1

0.2

-0.2 0.0

0.5

1.0

1.5

D

0.0 0.1

0.2 0.3 0.5

Рис.3.17

1.0

2.0 3.0

5.0

ω∗

Рис. 3.18

На рис. 3.19 на плоскости параметров δ∗,ω∗ приведены области существования ПЦ1 с k=2. Результаты позволяют оценить более конкретно влияние фильтра на поведение системы в области малых частотных расстроек. При ω∗ < π цикл 1-го рода существует при любом затухании в контуре. С уходом внутрь приведенной области (ω∗ < 0.5) указанный цикл существует только при расстройках γн<0.01 и cкр>0.99. При малом затухании в контуре появляются дополнительные области существования цикла вблизи частот

ω∗= (2k +1)π , размер которых с ростом k уменьшается. ω∗

15

10

5

0.0

0.1

0.2 0.3 0.5

1.0

2.0 3.0

5.0

δ∗

Рис.3.19 Область существования ПЦ1 СФС с колебательным звеном

- 194 -

В отличии от СФС с двумя ПИФ, в системе с колебательным звеном существуют колебательные движения с периодами k = 3 и k = 4. Движения с нечетным периодом относятся к несимметричным и возникают при значительных частотных расстройках. Движения с k = 4 как и рассмотренные ранее с k = 2 относятся к симметричным и возникают в области малых частотных расстроек. Подробно данный тип движений будет изучен в разделе 3.4.

Предельные циклы 2-го рода Анализ предельных циклов 2-го рода показал, что закономерности в расположении областей их существования, выявленные при исследовании дискретных СФС второго порядка, в основном сохраняются при большом

затухании δ∗ > ω∗ .Повышение добротности контура приводит к значительным изменениям параметрического портрета системы. На рис.3.20 показаны зависимости областей существования ПЦ2 в импуьсной СФС с F1(ϕ) для различных δ∗. При δ∗=ω∗ (рис.3.20а) система ведет себя подобно импульсной СФС с двойным ПИФ. С ростом периода цикла уменьшаются области существования, при начальной расстройке γ<1 возможно существование цикла любого периода. Незначительное увеличение добротности (рис.3.20б) приводит к вытеснению областей существования ПЦ2 большого периода за границу γ=1 без заметного изменения областей существования циклов с малым периодом. Дальнейшее увеличение добротности приводит к перераспределению областей существования циклов. Для ПЦ2 с периодом кратным отношению частоты дискретизации и резонансной частоты контура, равным 2π/ω∗, (в данном случае близко к 3) происходит увеличение размеров областей, для остальных - уменьшение (рис.3.20в,г). Указанное увеличение областей связано с качественным изменением поведения системы в фазовом пространстве. Сказанное поясняет рис.3.21, на котором приведен пример ПЦ2 структуры 1/9. Характерной особенностью приведенного цикла является наличие нескольких колебательных движений в пределах линейного отображения, связанных с изменением направления движения по координате ϕ . Число шагов между сменой направления движения определяется указанным соотношением частоты дискретизации и резонансной частоты контура. Структура траектории цикла

- 195 Dγн

Dγн

20

20

10

10

0.8

0.8 30

30

0.6

0.6 40

40

0.4

0.4 50 50

60

0.2

0.2

0.0

0.5

1.5

1.0

D

0.0

0.5

а) Dγн

1.5

1.0

D

б) Dγн

20

20

10

0.8

0.8 30

30

0.6

0.6 40

50

40 90

0.4

50

0.4

60

60 70

90

0.2

0.0

0.2

0.5

1.0

1.5

D

0.0

в)

(15)0

0.1

0.2

0.3

0.4

г)

Рис.3.20. Области существования ПЦ2 с одним проскальзыванием для с=1.0 , ω∗ = 2.0 а) δ∗ = 2.0; б) δ∗ = 1.0; в) δ∗ = 0.5; г) δ∗ = 0.1

D

- 196 x Q1+

→

g2

→

g9

→

→

g6

g3

→

g5

→

g1

O

→

g8

ϕ →

→

g7

g4

Q1 −

Рис.3.21. Пример расположения точек ПЦ2 структуры 1/9 для c = 1.0, D = 0.33, γ = 0.94, ω∗ = 2.0, δ∗ = 0.1 Dγ

Dγ

20

0.8

20

0.8 21

30 30

0.6

0.6 31

40

40 31

0.4

41

32

32

0.4

33

42

63

36 3∞

45

4∞

0.2

0.2 6∞

0.0

0.5

1.0

1.5

D

0.0

0.1

а)

3∞

0.2

0.3

б)

Рис.3.22. Области существования ПЦ2 с одним проскальзыванием для с = 0.6, e = 0.4, ω∗ = 2.0 а) δ∗ = 1.0; б) δ∗ = 0.1

D

- 197 -

такова, что наиболее близко к области нелинейного отображения Q1+ приближаются точки с номерами, кратными отношению указанных частот. r r r Последовательность этих точек (на рисунке g3 , g6 , g9 ) образует монотонную огибающую. Для треугольной нелинейности Fс(ϕ) увеличение добротности контура сказывается как на областях существования ПЦ так и на условиях возникновения квазипериодических движений (рис.3.22). В отличие от пилообразной нелинейности, увеличение областей существования наблюдается для циклов с числом шагов по устойчивой ветви кратным отношению 2π/ω∗ (для F1(ϕ) такое увеличение наблюдалось для циклов, период которых кратен этому отношению). Наблюдается разрыв горизонтальных цепочек и исчезновение ряда вертикальных, в состав которых входят циклы с большими периодами. С другой стороны, в горизонтальных цепочках циклов появляются дополнительные звенья за счет возникновения ПЦ2 с колебательными движениями на устойчивой ветви, нарушающие установленные ранее закономерности изменения структуры в рамках фиксированного периода (рис.3.22, цикл структуры 6-3). Квазипериодические движения Анализ квазипериодических движений дал следующие результаты. При малой добротности колебательного звена, как и в случае апериодического

звена, все собственные значения седловой точки действительны: ρ1>1, 0<ρ2<ρ3<1. Процессы при этом имеют знакопостоянный характер относительно входящего и выходящего сепаратрисных многообразий особой точки. Условие касания многообразий (п. 3.2.2) дает точную границу возникновения квазипериодических движений. Повышение добротности приводит к изменению типа седловой особой точки на седло-фокус: одно из собственных значений ρ1>1, два других ρ2, ρ3 комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью. Свободные процессы при этом на неустойчивом участке характеристики являются знакопеременными и колебательными относительно выходящей сепаратрисы. В этом случае условия касания сепаратрисных многообразий могут служить только оценкой для определения границы существования рассматриваемых движений. На рис.3.22а данная оценка показана утолщенной линией. Здесь же пунктиром показана полученная численно граница возникновения

- 198 -

квазипериодических движений. Сравнение границ, полученных двумя способами, для широкого диапазона изменения параметров показало, что существенное отличие возникает только вблизи границы локальной устойчивости равновесного состояния. При других параметрах оценка дает вполне удовлетворительный результат. Дальнейшее повышение добротности контура приводит к новой бифуркации неустойчивой равновесной точки. Пара комплексных корней превращается в действительные и один из них становится меньше –1. В результате данной бифуркации свободное решение на неустойчивом участке представляет собой знакопеременный относительно входящей сепаратрисы процесс. Как показано в первой главе, подобная ситуация исключает квазипериодические движения при начальной расстройке γ < 1. В конечном итоге исчезновение квазипериодических движений и вытеснение областей существования предельных циклов вверх с повышением добротности в область γ > 1 приводит к равенству полос удержания и захвата при условии локальной устойчивости равновесной точки. В целом проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, что полоса захвата СФС с колебательным звеном ограничена снизу симметричными предельными циклами 1-го рода, сверху предельными циклами 2-го рода с одним проскальзыванием, несимметричными циклами 1-го рода и квазипериодическими движениями. Полоса захвата импульсной СФС с колебательным звеном На рис.3.23 приведены зависимости полосы захвата для СФС с колебательным звеном для различных затуханий в контуре. Отмеченное выше вытеснение областей существования ПЦ2 большого периода в область больших начальных расстроек с ростом добротности обуславливает увеличение

диапазона значений D, при которых γз = 1. Данный результат характерен для обоих типов нелинейности (рис.3.23а,б). Однако в случае пилообразной нелинейности

с

уменьшением

δ∗

наблюдается

увеличение

области

существования симметричных циклов 1-го рода, что приводит к значительному ограничению в области малых начальных расстроек (рис.3.23а).

- 199 D γз

D γз

δ ∗ = 0 .5

δ ∗ = 0 .5 1 .0

0 .4

0 .4

2 .0

1 .0

0 .3

0 .3 2 .0

5 .0

0 .2

0 .2

0 .1

0 .1 5 .0

0 .0

0 .5

1 .0

1 .5

D

0 .0

а)

0 .5

1 .0

1 .5

D

б)

Рис.3.23. Полоса захвата импульсной СФС с колебательным звеном для ω∗ = 2.0 а) c = 1.0; б) c = 0.6 На рис. 3.24 приведены зависимости полос захвата импульсной СФС с колебательным звеном, полученные для параметров фильтра, обеспечивающих подавление η = 10 дБ. Кривые позволяют для фиксированного подавления выбрать параметры фильтра, обеспечивающие максимальную полосу захвата. Учитывая тот факт, что большинство кривых имеет ярко выраженный максимум, для обеспечения желательной полосы захвата достаточно выбрать параметр D близким к значению, обеспечивающему этот максимум. Для импульсной СФС с колебательным звеном увеличение добротности приводит к значительному увеличению значения максимума как в случае пилообразной (рис. 3.24а), так и в случае треугольной (рис. 3.24б) нелинейностей. В случае F1(ϕ) для большой добротности (сплошная линия) наблюдается сильное ограничение снизу, от которого можно избавиться переходом к треугольной нелинейности. Выполним анализ формы характеристики детектора с позиции обеспечения максимальной полосы. Для этого обратимся к рис. 3.25 , на котором приведены зависимости полосы захвата СФС от крутизны устойчивого участка характеристики для различных значений усиления D. Как и в случае импульсной СФС 2-го порядка, при малых D наблюдается слабая зависимость полосы захвата от формы характеристики.

- 200 D γз

D γз

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0.0

0.0

D

1.5

1.0

0.5

D

1.5

1.0

0.5

а) б) Рис.3.24. Полоса захвата ИСФС с колебательным звеном , для η = 10 дБ ( ω∗ = 3.1, δ∗= 0.45; ω∗ = 3.5, δ∗= 2.2;

ω∗ = 5.0, δ∗= 6.2;

ω∗ = 10.0, δ∗= 25.5

)

а) с = 1.0; б) с = 0.6, e = 0.4 Dγз

Dγз

0.8

0.6

0.4

0.5

D = 0.5

0.4

0.9

1.2

D = 0.2

0.2 0.2

0.0

1.0

1.2

1.4

а)

1.6

1.8

1/c

0.0

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

1/c

б)

Рис.3.25. Зависимости полосы захвата ИСФС с колебательным звеном для а) ω∗ = 3.0, δ∗ = 1.0; б) ω∗ = 0.2, δ∗ = 1.0

- 201 -

С ростом D (до границы локальной устойчивости) за счет сдвига границы возникновения квазипериодических движений в сторону больших γ максимум полосы захвата обеспечивается в случае треугольной нелинейности. Для колебательного звена с большой резонансной частотой зависимость носит избирательный характер. Для крутизны 1/с<1.5 оптимальной является треугольная характеристика с максимумом в точке 1/c=1.2, при этом выигрыш в полосе захвата по сравнению с F1(ϕ) составляет до 15%. В случае колебательного фильтра с малой резонансной частотой (рис. 3.25б) оптимальной является треугольная характеристика с максимально возможной крутизной устойчивого участка. Выигрыш в полосе в этом случае достигает 20%. В случае большой резонансной частоты (рис. 3.25а) выигрыш может доходить до 75%. На приведенных графиках показаны также ограничения области захвата снизу за счет симметричных циклов 1-го рода, характерные для малых крутизн 1/с. Избавиться от подобных ограничений можно за счет увеличения крутизны устойчивого участка характеристики. Таким образом, если для импульсной СФС 2-го порядка в ряде случаев пилообразная нелинейность может оказаться достаточно оптимальной (малое усиление, малая инерционность фильтра), то в СФС 3-го порядка уход от пилообразной характеристики может быть связан с обеспечением гарантированного захвата в области малых расстроек. 3.4. Применение метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости СФС 3-го порядка В предыдущих разделах главы показана возросшая роль в динамическом поведении СФС 3-го порядка по сравнению с системами 2-го порядка колебательных движений. Повышение фильтрующих свойств за счет использования ФНЧ боле высоких порядков сопровождается усложнением поведения в области малых частотных расстроек. Если в системах 2-го порядка подобный тип движений был установлен лишь для СФС с независимым пропорциональным каналом, то для систем 3-го порядка установлено существование колебательных движений практически для любых фильтров цепи управления. К тому же, если в СФС 2-го порядка доказано существование

движений только максимальной частоты (ϖ=π), то в СФС 3-го порядка вырос

- 202 -

частотный диапазон существующих колебаний, как для симметричных (четного периода) так и несимметричных (нечетного периода) колебаний. Важность учета колебательных движений при разработке систем синхронизации требует оценки условий их возникновения с точки зрения частотных свойств линейной части. В разделе это осуществляется с помощью метода гармонической линеаризации. Выражение для коэффициента гармонической линеаризации и годографы для различных параметров гармонических движений получены в п. 2.7 . Воспользуемся ими для анализа движений в дискретных СФС 3-го порядка. Учитывая роль периодических движений в импульсных СФС с колебательным звеном и цифровых СФС с двойным ПИФ, ниже остановимся подробнее на моделях этих систем. Запишем коэффициенты передачи линейной части систем в z – области: 1) для импульсной СФС с колебательным звеном в цепи управления [43] W ( z ) = −a +

D a ( z − 1)( z − d cos c) abd ( z − 1) sin c + 2 , + 2 2 z − 1 z − 2dz cos c + d z − 2dz cos c + d 2

1 ω уT 2δ ∗ D ∗ ∗ ∗2 ∗2 2 D= , ω = ω 0T , δ = δT , a = ∗2 , c = (ω − δ ) , π ω 2

b=

δ ∗ − ω ∗ / 2δ ∗ ∗2

1 ∗2 2

, d =e

−δ ∗

(3.4.1)

;

(ω − δ )

2) для цифровой СФС с двумя включенными последовательно ПИФ в цепи управления [43] W ( z ) = D(m1 +

1 1 1 , )(m2 + ) z − d1 z − d2 z − 1

(3.4.2)

0 < d1, 2 < 1 . Колебательные движения в импульсной СФС 3-го порядка

На рис. 3.26-3.28 на комплексной плоскости приведены годографы линейной части импульсной СФС с колебательным звеном, построенные в соответствии

с

(3.4.1)

и

годографы

функции

L ( a, ϖ , ψ ) ,

обратной

коэффициенту гармонической линеаризации, построенные для колебательных движений различных периодов k согласно (2.7.14), (2.7.23) и (2.7.24).

- 203 -

Im

L(a,π ,ψ ) W(e jω )

k=2 D=0.5 δ * =0.05 ω *=1.2

Re

а) Im

L(a,π ,ψ )

W(e jω )

k=2 D=1 δ *=0.05 ω * =1.2

Re

б) Рис. 3.26. Годографы L(a, ϖ , ψ ) и W (e jϖ ) ИСФС 3-го порядка для k=2 а) устойчивого движения, б) неустойчивого движения

На рис. 3.26 приведены годографы для k = 2 . Наличие точек пересечения W (e jπ ) и L(a, π , ψ ) говорит о существовании периодических движений с k = 2. Ситуации на рис. 3.26а соответствует устойчивое движение, на рис. 3.26б – неустойчивое движение. На качественном уровне результаты для k = 2 повторяют полученные ранее для СФС с независимым пропорциональным каналом. Необходимым и достаточным условием существования такого типа движений является попадание годографа функции W (e jπ ) в правую полуплоскость. Этого можно достичь за счет роста усиления в системе. Однако при этом не исключается потеря устойчивости в результате охватывания годографом точки (–1,j0).

- 204 -

Im W(e jω )

L(a,2 π /3,ψ )

k=3 D=0.5 δ *=0.05 ω *=4

Re

а) Im L(a,2 π /3,ψ ) W(e jω )

k=3 D=1 δ *=0.01 ω *=4

Re

б) Рис. 3.27. Годографы L(a, ϖ , ψ ) и W (e jϖ ) ИСФС 3-го порядка для k=3 а) устойчивого движения, б) неустойчивого движения На рис. 3.27 приведены годографы для k = 3 . Существование ψ из диапазона допустимых значений для данного типа движений (2.7.23), для которого выполняется равенство W (e j 2π / 3 ) = L(a, 2π / 3, ψ ) , говорит о наличии периодических движений с частотой ϖ = 2π / 3 . На рис. 3.27а,б приведены примеры устойчивых движений, на рис. 3.27в – пример неустойчивого движения. Для существования данного типа движений необходимо, чтобы годограф

функции

W (e jϖ ) в

точке

ϖ = 2π / 3

находился

в

правой

полуплоскости , а мнимая часть функции W (e jϖ ) в этой точке была близка к нулю. Эти условия не были выполнены в СФС 2-го порядка с независимым пропорциональным каналом.

- 205 Im W (e j ω ) L(a , π /2 , ψ )

k= 4 D=1 δ * = 0 .0 5 ω * = 4 .6

Re

а) Im W (e j ω ) L(a , π /2 , ψ )

k= 4 D=3 δ * = 0 .1 ω * = 1 .5

Re

б) Рис. 3.28. Годографы L(a, ϖ , ψ ) и W (e jϖ ) ИСФС 3-го порядка для k=4 а) устойчивого движения, б) неустойчивого движения На рис. 3.28 приведены годографы для k = 4 . Существование ψ из диапазона допустимых значений для данного типа движений (2.7.24), для которого выполняется равенство W (e jπ / 2 ) = L(a, π / 2, ψ ) , говорит о наличии периодических движений с частотой ϖ = π / 2 . На рис. 3.28а,б приведены примеры устойчивых движений, на рис. 3.28в – пример неустойчивого движения. Для существования данного типа движений необходимо, чтобы годограф

функции

W (e jϖ ) в

точке

ϖ =π /2

находился

в

правой

полуплоскости., а мнимая часть функции W (e jϖ ) в этой точке была близка к нулю. На рис. 3.29 приведены области существования колебательных движений соответственно с k = 2, k = 3 и k = 4. Области устойчивых движений отмечены темной заливкой. Устойчивые движения возникают в области небольших затуханий δ∗ и усилений D при значительных частотах ω∗ колебательного звена. С ростом усиления колебания теряют устойчивость.

- 206 -

δ*

δ* k=2 D=1 γ =0

k= 2 D=3 γ =0

ω

ω*

*

а)

δ*

б)

δ*

k=3 D=0.5 γ =0.3

k=3 D=1 γ =0.3

ω*

ω*

в)

δ*

г)

δ*

k=4 D=0,5 γ =0

k=4 D=1 γ =0

ω* д)

ω* е)

Рис. 3.29. Области ПЦ1 ИСФС с колебательным звеном для а,б) ϖ = π; в,г) ϖ = 2π/3; д,е) ϖ = π/2

- 207 -

Приведенные результаты получены без учета постоянной составляющей, отвечающей за частотную расстройку γ в СФС. Циклы четного периода являются симметричными, постоянная составляющая близка к нулю и они существуют при малых γ . Рост γ приводит к разрушению циклов. Цикл с k=3 – несимметричный и может существовать лишь при ненулевых частотных расстройках. Уменьшение γ приводит к разрушению циклов. В этом они близки к вращательным движениям. Колебательные движения в цифровой СФС 3-го порядка

На рис. 3.30 на комплексной плоскости приведены годографы линейной части цифровой СФС с двойным ПИФ, построенные в соответствии с (3.4.2) и годографы функции L(a, ϖ , ψ ) , построенные для колебательных движений различных периодов k согласно (2.7.14), (2.7.23) и (2.7.24). На рис. 3.30а приведены годографы для k = 2, на рис. 3.30б – для k = 3, на рис. 3.30в– для k = 4. Для всех случаев выполнены условия существования устойчивых периодических движений. Как и в случае импульсной СФС с колебательным звеном необходимым условием существования движений является нахождение годографа функции W (e jϖ ) в соответствующих точках в правой полуплоскости. На рис. 3.31 на плоскости D,γ приведены области существования колебаний с k=3 для различных коэффициентов усиления пропорционального канала. Подтверждается несимметричный характер колебаний, этим объясняется смещение частотных расстроек, при которых существуют движения, в область больших значений. На рис. 3.32 приведены области существования этих же циклов в зависимости от параметра нелинейности. Сохраняется тенденция, согласно которой колебательные движения разрушаются с переходом от пилообразной нелинейности к треугольной. Для указанных на рис. 3.32 параметров предельным значением является с = 0.92. С точки зрения предельной длительности устойчивого участка нелинейности цифровая СФС ближе к импульсной СФС с двойным ПИФ, чем к импульсной СФС с клебательным звеном.

- 208 Im

L(a, π , ψ )

π /8 W(e j ω )

0

ϖ =π

-2 π /8

- π /2

D=0.15 m 1 =0.1 m 2 =1.5 d 1 =0.1 d 2 =0.5

-3 π /8

Re

а) Im

L(a, π , ψ ) jω

W(e ) 3 π /8 0

ϖ =2 π /3 -5 π /12

D=0.3 m 1 =0.1 m 2 =0.1 d 1 =0.1 d 2 =0.1

- π /2 -11 π /24

Re

б) Im

L(a, π , ψ ) jω

W(e )

π /8

0

ϖ = π /2

- π /8

- π /2

D=0.3 m 1 =0.1 m 2 =0.1 d 1 =0.1 d 2 =0.1

-3 π /8

-2 π /8

Re

в) Рис. 3.30. Годографы L(a, ϖ , ψ ) и W (e jϖ ) цифровой СФС 3-го порядка для а) ϖ = π , б) ϖ = 2π / 3 , в) ϖ = π / 2

- 209 -

γ

2.0

3.0

1.0

0.5

m2=0.0

D

Рис. 3.31. Области существования ПЦ1 с k =3ЦСФС с F1(ϕ) для d1 = 0.1, d2 = 0.25, m1 = 0 γ c=1.0 0.98 0.95

0.925

D

Рис. 3.32. Области существования ПЦ1 с k =3 ЦСФС с Fc(ϕ) для d1 = 0.1, d2 = 0.25, m1 = 0, m2 = 1.0

- 210 -

m1

m1

m2=0.0 0.25

m2=0.0 0.25

0.5 1.0 1.5

0.75

0.5 1.0

3.0

3.0

d1

d1

а)

б)

Рис. 3.33. Области существования ПЦ1 цифровой СФС для k =3 а) d2 = 0.25, m2 = 0 б) d2 = 0.75, m2 = 0 m1

m2=0.0

0.2 0.4 0.6 0.8

1.0

d1 в) Рис. 3.34. Области существования ПЦ1 цифровой СФС для k =4, d2 = 0.25

- 211 -

На рис. 3.33, 3.34 на плоскости физических параметров приведены области существования колебательных движений периода k = 3 и k = 4 . Результаты позволяют понять роль конкретных параметров для колебательных движений. Например, увеличение коэффициентов пропорциональности m1 и m2 приводит к существенному уменьшению областей существования до полного их разрушения. На снове полученных результатов можно осуществить оптимизацию параметров фильтра цепи управления с целью обеспечения устойчивой работы дискретной СФС 3-го порядка в области малых расстроек.

3.5. Выводы 1. На основе общих положений теории бифуркаций определены направления анализа условий возникновения периодических и квазипериодических движений в СФС 3-го порядка с кусочно-линейной характеристикой детектора Как и в случае СФС 2-го порядка основу возникновения и потери устойчивости k-кратными неподвижными точками составляют условие попадания на границы линейных участков. Необходимым условием возникновения квазипериодических движений является касание входящих и выходящих сепаратрисных многообразий седловой точки. Отличие от систем 2-го порядка состоит в большом количестве различных типов седловых точек и соответственно количестве возможных сценариев движений в окрестности сепаратрисных многообразий. 2. Получила развитие методика расчета бифуркационных параметров кусочно-линейных отображений 3-го порядка, позволяющая находить границы различных типов периодических и областей существования квазипериодических движений. Основу методики составляют необходимые и достаточные условия возникновения k-кратной неподвижной точки через образование промежуточной сложной точки узел-седло либо фокус-седло и условия касания входящего и выходящего сепаратрисных многообразий на границах линейных участков характеристики. 3. На основе предложенной методики для пилообразной и треугольной нелинейностей разработаны алгоритмы, позволяющие для обобщенных и физических параметров получить области существования различных периодических и квазипериодических движений. Для обоих видов

- 212 -

нелинейностей получены распределения областей колебательных и вращательных движений, установлены закономерность и очередность их возникновения. Как и в случае СФС 2-го порядка доказано утверждение о первоочередности возникновения циклов 2-го рода с одним проскальзыванием с ростом частотной расстройки. Доказано существование в системах 3-го порядка при малых частотных расстройках высокочастотных колебательных движений, область существования которых с переходом к треугольной нелинейности существенно уменьшается. Исследованы области устойчивости в большом и в целом, полосы захвата СФС с двумя последовательно включенными пропорционально-интегрирующими фильтрами. Для СФС с треугольной характеристикой показана возможность оптимизации параметров нелинейности с целью обеспечения наилучших динамических свойств. 4. Выполнены исследования нелинейной динамики импульсной СФС с фильтром 2-го порядка, представляющим собой последовательный колебательный контур. Принципиальным отличием данной модели от рассмотренных раннее является более сложное поведение в области малых частотных расстроек и широкий спектр как симметричных так и несимметричных колебательных движений. Для пилообразной нелинейности ограничения полосы захвата снизу составляют при малых затуханиях порядка 0.15 - 0.2 даже в области средних усилений. Доказано существование симметричных движений с частотой ϖ = π для малого затухания фильтра δ∗ в случае треугольной нелинейности с с < 0.5. 5. Периодические движения в импульсных СФС с колебательным звеном и цифровых СФС с двумя последовательно включенными интегрирующими фильтрами с независимыми пропорциональными каналами исследованы методом гармонической линеаризации. С позиции частотных свойств приведенной линейной части систем доказана возможность существования как симметричных (четного периода, k = 2, 4 ), так и несимметричных (нечетного периода, k = 3) колебательных движений. Симметричные циклы возникают при близких к нулю частотных расстойках, несимметричные - при достаточно больших расстройках. Дано объяснение возможности избавиться от подобных движений за счет перехода к треугольной нелинейности с коротким устойчивым участком характеристики.

- 213 -

Глава 4. Некоторые вопросы исследования динамики двухкольцевых СФС тороидального типа Как было показано во введении, нелинейная динамика связанных дискретных СФС исследована в значительно меньшей степени по сравнению с однокольцевыми системами. Основные работы в этой области посвящены связанным непрерывным системам синхронизации [115-118,121,155], либо применению непрерывных моделей для анализа дискретных систем [114,119,120]. Непосредственно анализу динамики дискретных моделей связанных СФС посвящено ограниченное число работ. К их числу относятся работы, посвященные исследованию глобальной устойчивости идентичных связанных импульсных систем фазовой автоподстройки [113,181], и ряд работ, выполненных при участии автора диссертации [122-126], посвященных разработке методики анализа нелинейной динамики и исследованию конкретных моделей дискретных связанных систем синхронизации. В главе выполнено теоретическое обобщение полученных ранее результатов исследования моделей различных типов связанных дискретных систем. В части методик исследования получили дальнейшее развитие методы анализа нелинейной динамики однокольцевых СФС. Основанные на общих положениях качественных методов теории нелинейных дискретных колебаний и теории бифуркаций методы адаптированы к кусочно-линейным моделям с двумя периодическими нелинейностями и двумя временными дискретами. По аналогии с однокольцевыми системами в основу методов положены условия возникновения k-кратных неподвижных точек и их бифуркации. С помощью предложенных методик в главе изучаются динамические свойства трех типов связанных и комбинированных систем. К числу их относятся двухкольцевая СФС с преобразованием частоты в выходном кольце, двухкольцевая СФС без преобразования частоты, комбинированная импульсноцифровая система частотно-фазовой автоподстройки. Все исследуемые системы относятся к классу дискретных систем с несколькими временными дискретами. Математические модели систем получены в главе 1. Исследуются следующие динамические характеристики систем : области существования колебательных и вращательных движений, области устойчивости в большом и в целом, полосы захвата по частоте, длительность переходных процессов.

- 214 -

4.1. Бифуркации неподвижных точек кусочно-линейных отображений с двумя временными дискретами. Эквивалентные линейные модели Методика расчета бифуркационных параметров связанных систем как и в случае однокольцевых СФС основана на условиях попадания k-кратной неподвижной

точки

на

границу

линейных

участков

функции

Fс(ϕ).

Особенность методики обусловлена необходимостью использования в математическом описании связанных систем новой шкалы времени и неоднозначным в общем случае сценарием возникновения периодических движений заданной структуры в новой шкале. Подобный подход был отчасти применен во второй главе для анализа установившихся движений в неавтономных системах, находящихся под воздействием периодических по частоте сигналов. Учитывая важность для установления основных бифуркаций неподвижных точек знаний областей локальной устойчивости рассматриваемых систем в новой шкале времени, в разделе решается также задача построения эквивалентной модели связанных систем и выполняется анализ ее свойств. Методику построения эквивалентных линейных моделей дискретных связанных систем с двумя временными дискретами рассмотрим на примере двухкольцевой СФС с преобразованием частоты, уравнение которой в зависимости от типа фильтра имеет вид (1.2.23) либо (1.2.28). С учетом введенной в первой главе временной шкалы nT, где Т = k1⋅T2 = k2⋅T1 , запишем в векторном виде линеаризованное уравнение связанной системы

r r r qn+1, 0 = Aэ ⋅ qn, 0 + b ,

(4.1.1)

r где: qn,0 - вектор состояния системы, Aэ - эквивалентная квадратная матрица, переводящая систему из одного состояния в соседнее, отстоящее на интервал r r T . размерность Аэ совпадает с размерностью вектора qn, 0 ; b - вектор воздействия, компоненты которого зависят от начальных расстроек в кольцах. Задача линеаризации исходных нелинейных уравнений сводится к r построениию матрицы Аэ и вектора b . Переход к временной шкале n⋅T, ставит ряд вопросов. Анализируя локальную устойчивость эквивалентной модели, ничего нельзя сказать конкретного о поведении колец и системы в целом в промежутках между n⋅T и

- 215 -

(n+1)T. При этом существование устойчивых состояний равновесия в моменты времени n⋅T еще не гарантирует состояние равновесия внутри временных дискретов. Ответом на поставленный вопрос может служить дополнительный анализ состояний равновесия в промежутках "линейной" временной шкалы и анализ возможных периодических движений в системе, в состав которых входили бы неподвижные точки, совпадающие по времени со шкалой n⋅T. r Отсутствие состояний равновесия, отличных от q0 , исключает возможность возникновение незатухающих движений в области линейных участков характеристик F (ϕ ) и Ф(ψ ) . Можно предположить далее, что движения в окрестности состояния равновесия будут затухать и в том случае, если несмотря на устойчивость "в малом" эквивалентной системы, одно или оба кольца по отдельности не отвечают требованиям локальной устойчивости. Такая ситуация является достаточно распространенной для связанных систем. С позиции поблемы устойчивости это означает, что устойчивость системы "сильнее" неустойчивости колец. Рассмотрим методику определения элементов матрицы Аэ. Необходимые для этого преобразования выплним в два этапа. На первом этапе осуществим

линеаризацию функций F (ϕ ) и Ф(ψ ) в исходных временных шкалах n⋅T1 и n⋅T2. На втором этапе избавимся от временной зависимости внутри шкалы n⋅T . Выпишем в соответствии с (1.2.23) уравнение для состояний равновесия r q0 = (ϕ 0 , x0 )T

(1 − ϑ ⋅ l ) β ⋅ k1 µ ⎧ ( 1 ) ( ) α F ϕ − ⋅ ⋅ − ⋅ Ф(ψ 0 ) = α ⋅ γ 1 0 ⎪⎪ l k 2 ⋅ν , ⎨ µ ⋅ α ⋅ν ⋅ k 2 ⎪ F (ϕ 0 ) + β ⋅ Ф(ψ 0 ) = β ⋅ γ 2 ⎪⎩ l ⋅ k1

(4.1.2)

где F (ϕ ) ≤ 1, Ф(ψ ) ≤ 1 . Анализ решений системы уравнений (4.1.2) с учетом ограничений на r нелинейные функции позволяет определить область существования q0 и ответить на характерный для связанных систем вопрос о единственности r состояния равновесия. Существование множества состояний q0 объясняется исключительно взаимным влиянием колец. Системы с таким свойством

- 216 -

r относятся к классу нейтральных. Реализация конкретного состояния q0 будет

зависеть от начальных условий в системе. Предположим, что в окрестности состояния

r q0

кусочно-линейные

функции F (ϕ ) и Ф(ψ ) не имеют разрывов и представимы в виде

F (ϕ n,i ) = F (ϕ 0 ) + ϕ n ,i , Ф(ψ n ,i ) = Ф(ϕ 0 ) + ψ n ,i .

(4.1.3)

Тогда уравнение (1.2.23) с учетом (1.2.2) можно записать в виде

α (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ⎧ ⋅ψ n,τ ( i ) ⎪ϕ n,i +1 = ϕ n ,i − k ⋅ (1 − µ / l ) ⋅ ϕ n,η (i ) + ⋅ k v ⎪ 1 2 . ⎨ ⋅ ⋅ β µ α v ⎪ψ = ψ n,i − ⋅ψ n,τ (i ) − ⋅ ϕ n,η (i ) ⎪⎩ n,i +1 k2 l ⋅ k1

(4.1.4)

При наличии функций η(i) и τ(i) систему уравнений (4.1.4) нельзя считать линейной. Переход к полностью линейной модели вида (4.1.1) возможен только в новой временной шкале n⋅T. Для произвольного соотношения k1 и k2 такой переход связан с большим числом промежуточных решений в точках, определяемых η(i) и τ(i) и не обладает универсальностью. Предлагается алгоритм косвенного вычисления компонент матрицы Аэ по заданному начальному и полученному согласно (4.1.4) конечному состоянию системы. Конечное состояние возникает после k = k1⋅k2 итераций отображения (4.1.4). Для полного определения элементов матрицы Аэ необходимо повторить расчеты для нескольких начальных условий, число повторов определяется порядком системы. Суть предложенного метода можно пояснить следующими r рассуждениями. Пусть q1 - начальное состояние системы, не совпадающее с r состоянием равновесия, q2 - состояние, в которое придет система через k = k1⋅k2 итераций. Тогда согласно (4.1.1) имет место уравнение r r q2 = Aэ ⋅ q1 .

(4.1.5)

Выражение (4.1.5) является записанной в матричном виде системой линейных уравнений относительно переменных ai , j и bi , j , в качестве которых выступают элементы матрицы Аэ . Для нахождения всех элементов ai , j и bi , j необходимо воспользоваться количеством уравнений вида (4.1.5), равным порядку матрицы Аэ .

- 217 -

Для кратного соотношения k1 и k2 элементы матрицы Аэ удается выписать в аналитическом виде. В этом случае можно положить k2=1 (при k1 > k2). Линеаризованная модель будет иметь вид ⎧ ϕ n+1, 0 = a11 ⋅ ϕ n , 0 + a12 ⋅ψ n , 0 , ⎨ ⎩ψ n+1, 0 = a21 ⋅ ϕ n , 0 + a22 ⋅ψ n , 0

(4.1.6)

µ

k (1 − ξ ) − (1 − ξ k ) µ ⋅ α ⋅ a11 = 1 − α ⋅ (1 − ) − (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ⋅ , l l ⋅k (1 − ξ ) 2 (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β (1 − ξ k ) ⋅ a12 = , ν 1−ξ

µ ⋅ α ⋅ν ⎛ 1 − ξ k ⎞ ⋅⎜ + 1⎟⎟, a21 = − l ⋅ k ⎜⎝ 1 − ξ ⎠ a22 = ξ k ,

ξ =1− β. Анализ собственных значений матрицы Аэ с учетом полученных выражений для ее элементов даст ответ на вопрос о локальной устойчивости состояний равновесия, определяемых уравнением (4.1.2). Для линеаризации уравнения (1.2.28) используем несколько иной подход. С учетом (4.1.3) запишем (1.2.28) в виде ⎧ α ⎛ (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) µ ⎞ − ⎟⎟ ⋅ ϕ n,η (i ) + ⎪ϕ n,i +1 = ϕ n,i + χ n,i − ⎜⎜1 − k l ⎠ α 1⎝ Ф ⎪ ⎪ (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ⋅ψ + ⎪ n,τ ( i ) k2 ⋅ v ⎪ . ⎨ ⋅ ⋅ v β µ α ⎪ψ = ψ n,i − ⋅ ψ n,τ (i ) − ⋅ ϕ n,η (i ) ⎪ n,i +1 k2 l ⋅ k1 ⎪ α (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) 2 ⎪χ ⋅ ϕ n,η ( i ) ⎪ n ,i +1 = d 0 ⋅ χ n,i − k ⋅ α ⎩ 1 Ф

(4.1.7)

Для произвольного отношения k1 и k2 переход к уравнению (4.1.1) можно осуществить с помощью описанного выше косвенного метода. Для кратного соотношения (4.1.7) преобразутся к виду

- 218 -

⎧ α ⎛ (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) µ ⎞ − ⎟⎟ ⋅ ϕ n, 0 + ⎪ϕ n,i +1 = ϕ n,i + χ n,i − ⎜⎜1 − k α l⎠ ⎝ Ф ⎪ ⎪ (1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ⋅ψ + ⎪ n,i ⎪ v . ⎨ µ α ⋅ ⋅ v ⎪ψ = (1 − β ) ⋅ ψ n,i − ⋅ ϕ n, 0 ⎪ n,i +1 l⋅k ⎪ α (1 − m) ⋅ (1 − d 0 ) 2 ⎪χ = d 0 ⋅ χ n,i − ⋅ ⋅ ϕ n, 0 ⎪⎩ n ,i +1 αФ k

Представим (4.1.8) в виде матричного уравнения r r qn ,i +1 = R ⋅ qn,i + Q ⋅ ϕ n, 0 ,

(4.1.8)

(4.1.9)

где R – квадратная матрица размерностью 3x3, Q – вектор той же размерности,

β ⋅ (1 − ϑ ⋅ l ) ⎡ 1 ⎢ ν R = ⎢0 1− β ⎢ ⎢0 ⎢⎣

0

⎤ 1⎥ 0 ⎥, ⎥ d0 ⎥ ⎥⎦

(1 − m)(1 − d 0 ) µ ⎤ ⎡ α − )⎥ ⎢− k (1 − αф l ⎢ ⎥ µ ⋅ α ⋅ν ⎢ ⎥. − Q= ⎢ ⎥ l⋅k 2 ⎢ ⎥ α (1 − m)(1 − d 0 ) ⎢ − ⋅ ⎥ α k ф ⎣⎢ ⎦⎥

(4.1.10)

С учетом (4.1.10) от уравнения (4.1.9) можно перейти к уравнению вида E − Rk r r ⋅ Q ⋅ ϕ n,0 , qn+1, 0 = R k ⋅ qn , 0 + E−R Уравнение (4.1.11) сводится к виду r r qn+1, 0 = Aэ ⋅ qn, 0 ,

⎡ а11 где Aэ = ⎢а21 ⎢ ⎢⎣ а31

a12 а22 а32

(4.1.11)

(4.1.12)

a13 ⎤ а23 ⎥ . ⎥ а33 ⎥⎦

Элементы {ai , j } получаются непосредственно из (4.1.11), достаточно громоздки

и здесь не приводятся. Уравнение (4.1.12) представляет собой линейную модель двухкольцевой связанной СФС с преобразованием частоты и пропорциональноинтегрирующим фильтром в выходном кольце. Анализ собственных значений матрицы Аэ позволяет ответить на вопрос о локальной устойчивости состояний равновесия уравнения (1.2.28) и соответственно на вопрос об устойчивости в малом состояния синхронизма двухкольцевой системы. Для связанной двухкольцевой системы без преобразования частоты линейные уравнения в общем случае будут иметь вид (4.1.12), где матрица Аэ

- 219 γ1 ϑ=0

γ1

β=0.5 µ=0.1 k1/k 2 =3/2 γ2=0

ϑ=−0.2

µ=0

β=0.5 µ=0.1 k1/k 2 =3/2 γ2=0

µ=−0.2

1.0

1.0 ϑ=0.2

ϑ=0.1

µ=0.1

0.75

0.75

0.5

0.5

0.25

0.25

0

0.5

1.0

1.5

2.0

α

0

0.5

1.0

а)

µ=0.2

1.5

α

2.0

б)

Рис. 4.1. Области существования состояний синхронизма двухкольцевой СФС с преобразованием частоты α µ=0.15

2.5

α

ϑ=0.1 k 1= 3 k 2= 2

µ=0.2

2.5

µ=0.1 µ=0.05 µ=0 µ=−0.05 µ=−0.1

2.0

µ=0.1 k 1= 2 k 2= 3

2.0

1.5

1.5 ϑ=0.9

1.0

1.0

0.5

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

β

ϑ=0.5 ϑ=0.1

0.5

а)

1.0

1.5

2.0

б)

Рис. 4.2. Области локальной устойчивости двухкольцевой СФС с преобразованием частоты

β

- 220 -

имеет размерность 2x2 в случае бесфильтровых колец (нелинейное уравнение (1.2.9)) и 3x3 для случая фильтра в одном из колец (нелинейное уравнение (1.2.17) ). Для произвольного соотношения k1 и k2 элементы матриц ищутся численным способом по описанной выше методике. Для кратного соотношения в случае бесфильтровых колец элементы ai , j имеют вид

k (1 − ξ ) − (1 − ξ k ) µ ⋅ α ⋅ a11 = 1 − α + ϑ ⋅ l ⋅ β ⋅ , (1 − ξ ) 2 l ⋅k − ϑ ⋅ l ⋅ β (1 − ξ k ) ⋅ a12 = , ν 1−ξ a21 = −

(4.1.13)

µ ⋅ α ⋅ν ⎛ 1 − ξ k ⎞ ⋅⎜ + 1⎟⎟, l ⋅ k ⎜⎝ 1 − ξ ⎠

a22 = ξ k . Для СФС с ПИФ в выходном кольце матрица R и вектор Q имеют вид

β ⋅ϑ ⋅ l ⎡ ⎢1 − ν 1− β R = ⎢0 ⎢ 0 ⎢0 ⎣⎢

⎤ 1⎥ 0 ⎥, ⎥ d0 ⎥ ⎦⎥

(1 − m)(1 − d 0 ) ⎤ ⎡ α − − ( 1 )⎥ ⎢ k αф ⎢ ⎥ ⋅ ⋅ µ α ν ⎥. − Q=⎢ ⎢ ⎥ l⋅k ⎢ α (1 − m)(1 − d ) 2 ⎥ 0 ⎢ − ⋅ ⎥ αф ⎢⎣ k ⎥⎦

(4.1.14)

На рис. 4.1 на плоскости α, γ1 приведены области существования состояний равновесия в двухкольцевой бесфильтровой СФС с преобразованием частоты. Влияние коэффициентов µ и υ на области по координате γ1 близко. Наблюдается незначительное сокращение области с ростом взаимных связей. Объясняется это тем, что рост µ и υ приводит к эквивалентному увеличению начальных расстроек в связанной системе. Влияние на границу области существования

по

координате

α связано с ограничением локальной

устойчивости и выражено значительно сильнее у коэффициента µ. При µ > 0 наблюдается расширение области, при µ < 0 – сужение. Объясняется данный факт тем, что дополнительный канал, содержащий µ , по отношению к верхнему кольцу образует ветвь отрицательной обратной связи. На рис. 4.2 на плоскости параметров β, α приведены области локальной устойчивости, построенные на основе анализа собственных значений матрицы подтверждающие сделанный вывод. Максимум увеличения области

Аэ,

- 221 α

5.0

m= 0.3

m= 0.5

4.0

α

k1/k2=3/2 µ=0.1 ϑ=0.1 αρ=0.5

m= 0.4

5.0 0.2

4.0

m= 0.6 m= 0.2

k1/k2=3/2 µ=-0.1 ϑ=0.1 αρ=0.5 0.4

m=0.0

m= 0.7

3.0

3.0

m= 0.8 m= 0.9

0.6 0.8

2.0

2.0

m= 0.1

m= 0.99

m= 0

0.99

1.0

1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

β

1.0

1.5

а)

α

m= 0.2

k1/k2=3/2 µ=0.1 ϑ=0.1 αρ=0.1

m= 0.4 m= 0.3

5.0

k1/k2=3/2 µ=-0.1 ϑ=0.1 αρ=0.1

5.0 m=0.0

m= 0.6

4.0

4.0 m= 0.7

0.2

3.0

2.0

β

б)

α m= 0.5

2.0

m= 0.8 m= 0.9

3.0 0.4

m= 0.99

2.0

m= 0.1

0.6 m= 0

1.0

1.0 0.99 0.5

1.0

1.5

в)

2.0

β

0.5

0.8

1.0

1.5

2.0

г)

Рис. 4.3. Области локальной устойчивости двухкольцевой СФС с ПИФ с преобразованием частоты для k1/k2 = 3/2

β

- 222 α m= 0.4

5.0

α

k1/k2=10 µ=0.1 ϑ=0.1 αρ=0.03

m= 0.1

k1/k2=10 µ=-0.1 ϑ=0.1 αρ=0.03

10.0 0.2

m= 0.5

8.0

4.0 m= 0.6 m= 0.7

3.0

6.0 m=0.0

m= 0.8 m= 0.9

0.4

4.0

2.0

0.6

m= 0.99

m= 0

1.0

2.0

0.99

0.8

0.5

1.0

1.5

2.0

β

0.5

1.0

а)

m= 0.3

2.0

α

k1/k2=10 µ=0.1 ϑ=0.1 αρ=1.5

5.0

3.0

β

2.0

б)

α

4.0

1.5

k1/k2=10 µ=-0.1 ϑ=0.1 αρ=1.5

2.5

m= 0.4

m= 0.5

2.0

m= 0.2

m=0.0

m= 0.6

m= 0.1

m= 0.9

m= 0.99

0.4

0.6

0.8

0.99

1.5

m= 0.7

m= 0

0.2

1.0

m= 0.8

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

в)

2.0

β

0.5

1.0

1.5

2.0

г)

Рис. 4.4. Области локальной устойчивости двухкольцевой СФС с ПИФ с преобразованием частоты для k1/k2 = 10/1

β

- 223 -

устойчивости приходится на усиление второго кольца β, соответсвующее его оптимальным динамическим свойствам. На рис. 4.3, 4.4 приведены области локальной устойчивости для двухкольцевой СФС с ПИФ с преобразованием частоты для разных соотношений периодов дискретизации. По координате β область по-прежнему ограничена значением, близким к β = 2. По координате α зависимость носит достаточно сложный характер. Как в случае бесфильтровых колец, более сильное влияние на устойчивость оказывает коэффициент µ .С ростом µ наблюдается существенное увеличение диапазона устойчивости по α , особенно в области малых и больших β В области средних β с ростом µ наблюдается провал, похожий на тот, что наблюдается в однокольцевых СФС с ПИФ. Это говорит о том, что дополнительный канал с µ оказывает аналогичное влияние. При этом роль постоянной времени играет обобщенный коэффициент усиления нижнего кольца. При узкой полосе фильтра (рис. 4.3в,г) наблюдается увеличение области устойчивости в области малых β , туда же смещены провалы зависимостей, с ростом полосы (рис. 4.3а,б) провалы смещаются в сторону больших β .Смена знака µ приводит качественно к тому же результату, что и в случае бесфильтровых колец. С ростом отношения k1/k2 основные закономерности сохраняются, с той разницей, что экстремальные области устойчивости смещаются в сторону малых значений β (рис. 4.4). Объяснить это можно тем, что увеличение k1/k2 равносильно повышению частоты дискретизации кольца подставки, соответственно эквивалентное влияние на систему достигается при меньшем усилении. На рис. 4.5 приведены области локальной устойчивости для двухкольцевой СФС без преобразования частоты. Основное отличие от системы с преобразованием состоит в симметрии областей относительно параметров колец и коэффициентов µ, υ. Влияние коэффициентов абсолютно одинаково, при этом если один из коэффициентов стремится к нулю, влияние второго также исчезает, и область устойчивости принимает вид квадрата со сторонами, .равными двум (α = β =2). Наиболее сильное влияние µ и υ наблюдается при k1 = k2 (рис. 4.5а). С ростом одного из периодов дискретизации происходит изменение границы устойчивости, связанной с усилением быстрого кольца (кольца с большей частотой дискретизации).

- 224 β

µ =0.25

k 1 =1 k 2 =1 θ =-0.25

µ =0.15 µ =0.05

µ =-0.15

µ =-0.15

µ =-0.25

α

а) β

β

µ =-0.15

k1= 1 k2= 2 θ = -0 .2 5

µ =-0.05

k1= 2 k2= 1 µ =0.25

θ =0.25

θ =0.15

µ =-0.25

θ =0.05 θ = -0 .2 5

µ =0.25 µ =0.15

α

α

б) β

в) β

k 1 =1 k 2 =10 θ =-0.25

k 1 =10 k 2 =1 µ =0.25

θ =0.25

µ =-0.15

µ =0.25

θ =0.05 θ =-0.15

µ =-0.25

θ =-0.25

µ =0.05

α

α

г)

д)

Рис. 4.5. Области локальной устойчивости двухкольцевой СФС без преобразования частоты

- 225 -

Оценка длительности переходных процессов двухкольцевых СФС В отличии от однокольцевых систем, для которых одна из координат отвечает за частотную расстройку, в двухкольцевых СФС обе основные координаты отвечают за фазовое рассогласование. В этой ситуации, при условии устойчивости системы в целом, целесообразно на практике в качестве оценки времени переходного процесса использовать оценку движения по

координатам ϕ и ψ в линейном приближении. Такая оценка может быть получена на основе анализа максимального из собственных значений матрицы Аэ - ρ max . На рис. 4.6, 4.7 приведены зависимости

ρ max от параметров

соответственно бесфильтровой двухкольцевой СФС с преобразованием частоты и СФС с ПИФ в выходном кольце. Здесь же приведены зависимости времени переходного процесса в системах, построенные также с применением ρ max . Анализ показывает, что влияние взаимных связей приводит к следующему основному результату: увеличение положительных связей приводит к некоторому росту времени переходного процесса с одновременным расширение области параметров, в которой поддерживается относительно высокое быстродействие (рис. 4.6а,б). Объяснить это можно следующим образом. В начальный момент времени дополнительное кольцо с µ увеличивает частотную расстройку в выходном кольце, способствуя увеличению скорости изменения координат. Существование такой расстройки по времени совпадает со временем наиболее активной работы кольца подставки. Увеличение отношения k1/k2 сглаживает этот эффект. Зависимости времени переходного процесса двухкольцевой СФС с ПИФ во многом качественно повторяют аналогичные зависимости однокольцевых СФС от параметров фильтра. Отметим снижение быстродействия при уменьшении m. Однако наряду с этим растет область усилений, в которой поддерживается высокое быстродействие. Взаимные связи оказывают стабилизирующе влияние. Особенно этот факт характерен для усиления кольца подставки (рис. 4.7в,г). Аналогичный результат можно отметить при изменении

αф. Наличие полочек на кривых длительности переходных процессов позволяет оптимизировать работу системы при большом разбросе параметров.

- 226 ρ

nпер

β=0.5 ϑ=0.1 k 1= 3 k 2= 2

max

0.8

-3

ρ max

(10 ) 40

0.8 20

µ=0.15

µ=0.1

20 15

0.6 µ=0.1

10 8

0.4

-3

(10 ) 40

µ=0.15

15

0.6

nпер

β=1.0 ϑ=0.1 k 1= 3 k 2= 2

10 8

0.4

µ=0.05

µ=0.05

6

6

µ=0

µ=0

0.2

0.2

4

0.5

1.0

1.5

2.0

α

4

2

0.5

1.0

а) ρ max

2.0

α

nпер -3

ρ

nпер

α=1.0 ϑ=0.1 k 1= 3 k 2= 2

max

(10 ) 40

0.8

-3

(10 ) 40

20

20

0.6

15

µ=0

15

0.6

10

10 µ=0.05

0.4

0.2

8

8

0.4

6

6

µ=0.2

µ=0.1

4

µ=0.15

µ=0.2

0.2

1.0

1.5

2.0

β

2

4

µ=0.15 µ=0.1

0.5

2

б)

α=1.75 ϑ=0.1 k 1= 3 k 2= 2

0.8

1.5

µ=0

µ=0.05

в)

0.5

1.0

1.5

2.0

β

г)

Рис. 4.6 Зависимость ρ max и nпер двухкольцевой СФС с бесфильтровыми кольцами для а) β = 0.5; б) β = 1.0; в) α = 1.75; г) α = 1.0

2

- 227 ρ

nпер

max

ρ

-3

n

пер ϑ=µ=0.1 -3 β=1 (10 ) k 1 / k =3/2 2 40 m=0.5

max

(10 ) 40

0.8

0.8

αΦ=1

m=0

20

0.6

15

0.4

ϑ=µ=0.1 β=1 10 k 1 / k =3/2 2 αΦ=0.5 8

m=0.3

m=0.8

m=0.5

3.0

15 αΦ =10

10 8

0.4

6

0.2

4.0

α

4

2

1.5

3.0

а) ρ

αΦ =0.1

αΦ =2

4

m=0.99

2.0

0.6

6

0.2

1.0

20

αΦ=5

4.5

6.0

α

2

б) nпер

max

-3

ρ

nпер ϑ=µ=0.1 -3 α=1 (10 ) k 1 / k =3/2 2 40 m=0.5

max

(10 ) 40

0.8

0.8 20

m=0

15

0.6

ϑ=µ=0.1 α=1 10 k 1 / k =3/2 2 αΦ=0.5 8

m=0.3

0.4

20 15

0.6 αΦ=0.1

10 8

0.4

m=0.5 6

0.2

4

0.2

αΦ=2

m=0.99

αΦ=5

2

0.5

1.0

1.5

2.0

β

6

αΦ=1

m=0.8

0.5

4

αΦ=10

1.0

в)

1.5

2.0

г)

Рис.4.7. Зависимость ρ max и nпер двухкольцевой СФС c ПИФ для а) β = 1.0, α ф =0.5; б) β = 1.0, m = 0.5; в) α = 1.0, α ф =0.5; г) α = 1.0, m = 0.5

β

2

- 228 -

4.2. Особенности методики анализа устойчивости дискретных СФС тороидального типа с двумя временными дискретами В основу методики положены условия возникновения и потери устойчивости k-кратных неподвижных точек, определяющих колебательные и вращательные движения. Как и в случае однокольцевых СФС, подобные движения возникают при переходе неподвижными точками границ линейных участков кусочно-линейных функций F (ϕ ) и Ф(ψ ) . В фазовом пространстве этому условию соответствует касание изображающей точкой границ областей нелинейного отображения. Справедливы следующие утверждения [123,124]: 1) все периодические движения в системе имеют период, кратный T = T1 ⋅ k2 = T2 ⋅ k1 ;

2) существует большое число движений одного периода с одним количеством проскальзываний по фазе на периоде, причина в большом числе возможных нелинейных отображений внутри дискрета T; 3) наличие двух нелинейностей F (ϕ ) и Ф(ψ ) . приводит к новому типу периодических движений - комбинированным циклам с характерными нелинейными отображениями по обеим координатам. Обратимся к рис. 4.6, на котором изображена развертка одного периода тороидального фазового пространства системы с двумя периодическими нелинейностями F (ϕ ) = F1 (ϕ ) и Ф (ψ ) = Ф1 (ψ ) . На рисунке приняты следующие обозначения: AB - линия отображения с сохранением координаты ϕ, уравнение которой может быть получено из первого уравнения (1.2.9) либо (1.2.23); СD линия отображения с сохранением координаты ψ, ее уравнение может быть получено из второго уравнения (1.2.9) либо (1.2.23). Аналогично можно построить прямые MN и KL, соответствующие отображению с изменением координат ϕ и ψ на m1 и m2 периодов. Уравнения последних определяются путем подстановки в (1.2.9), (1.2.23) равенств: ⎧ ϕ n ,i +1 = ϕ n ,i + 2 ⋅ m1 ⎨ ⎩ψ n ,i +1 = ψ n ,i + 2 ⋅ m2

(4.2.1)

Выражение (4.2.1) определяет нелинейное смещение вектора состояния r qn ,i = (ϕ n ,i , ψ n ,i )T на величину, кратную периоду.

Пересечение прямых AB и CD (точка O) соответствует состоянию равновесия системы. Пересечения прямых MN и AB, а также KL и CD образуют точки кратных захватов O1 и O2. На рис.4.6 показаны также области

- 229 -

нелинейного отображения: Q1 и Q2 -

области, из которых происходит

нелинейное отображение по ψ и ϕ соответственно; Q1′ и Q2′ - области, в которые попадает вектор состояния в результате нелинейного отображения по ψ и ϕ. Согласно рис. 4.6 одновременно существуют три неподвижные точки - O, O1 и O2 - состояние синхронизма и два кратных захвата. В случае локальной устойчивости системы все три состояния будут также устойчивыми [123]. L

1

ϕ

C K O2 Q1

Q1

B

-1

M

Q2

1

O D

Q2 A

ψ

O1 N -1

Рис. 4.6. Развертка периода фазового тора двухкольцевой СФС (сечение в плоскости ϕ, ψ) Введем некоторые определения. Будем называть циклом структуры ⎛ u1 − u2 , r1 − r2 ⎞ ⎜ ⎟ периодическое движение периода k, для которого приращение k ⎝ ⎠

координаты ϕ равно 2(u1 − u 2 ) , приращение координаты ψ равно 2( r1 − r2 ) за k шагов с дискретом ∆Τ. Числа u1, r1 характеризуют число итераций с увеличением соответствующих координат на период, числа u2, r2 - с уменьшением. Назовем циклом первого рода (ПЦ1) периодическое движение, для которого u1 = u2 ≠ 0 и r1 = r2 ≠ 0 ; циклом второго рода (ПЦ2) - периодическое движение, для которого u1 − u2 ≠ 0 или r1 − r2 ≠ 0 , при этом, если одновременно u1 ≠ 0 , u2 ≠ 0 или r1 ≠ 0 , r2 ≠ 0, то такой цикл будем называть комбинированным

(ПЦК). Примеры циклических движений различных структур для k1 = k2 = 1 приведены на рис.4.7. Для сокращения здесь и ниже нулевые значения u1 , u2 , r1, r2 в записи структуры цикла опускаются. Цикл второго рода периода

- 230 1

A

Q

_ Pn,j

D

1ψ

O

B O

_ Pn,j

-1

Q

Q1

Q1 Q1′

1

C

D 1ψ

-1

B

A

C

Q1′

-1

-1

а)

1

б)

Q

B

C

1

Q

B

C O

Q1 _ Pn,j

_ Pn,j

Q′1 ψ

-1

1

Q2′

Q1

D

ψ

O

-1

_ Pn,j+1

_ , Pn,j+1

Q1′ -1

A

A

в)

1

Q2 -1

D

г)

Рис. 4.7. Примеры периодических движений двухкольцевой СФС для k1 = k2 = 1 а) ПЦ2 структуры (

1 − 0,0 0,1 − 0 ), ) , б) ПЦ2 структуры ( 3 2

1 − 1,0 1 − 0,0 − 1 ) в) ПЦ2 структуры ( ) , г) ПЦ1 структуры ( 3 2

- 231 -

три

с

одним

нелинейным

отображением

по

координате

ψ

изображен на рис. 4.7а, структура цикла имеет вид - ⎛⎜ 0 ,1 ⎞⎟ . Сплошными ⎝ 3 ⎠

r линиями показано движение вектора qn ,i , пунктирными - нелинейное r r r r отображение qn ,i +1 = qn ,i − pn ,i , где pn,i - вектор нелинейного смещения, для рис. 4.2а pr n ,i = ⎛⎜⎜ 0 ⎞⎟⎟ . На рис.4.7б приведен пример ПЦ2 с k = 2 с одним ⎝2⎠ нелинейным

отображением

по

координате

ϕ

структуры

⎛ 1, 0 ⎞ , ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

⎛ 2⎞ r соответствующий вектор нелинейного смещения на периоде цикла pn ,i = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 0⎠ На рис. 4.7в приведен пример ПЦ2 c k = 3 с нелинейным отображением по обеим координатам ϕ и ψ структуры ⎛⎜ 1, − 1 ⎞⎟ c векторами нелинейного ⎝ 3 ⎠

⎛ 0 ⎞ r ⎛ 2⎞ r смещения pn ,i = ⎜⎜ ⎟⎟ и pn,i = ⎜⎜ ⎟⎟ На рис. 4.7г приведен пример ПЦ1 структуры ⎝ − 2⎠ ⎝0⎠ с векторами pr n ,i = ⎛⎜⎜ 2 ⎞⎟⎟ и pr n ,i = ⎛⎜ − 2 ⎞⎟ . ⎜ 0 ⎟ ⎝0⎠ ⎠ ⎝ Для построения алгоритма расчета параметров исследуемых систем, при которых возникают периодические движения, получим выражения для условия замыкания, аналогичные однокольцевым системам. Представим нелинейное отображение, описывающее динамику рассматриваемой системы, в виде: r r r r (4.2.2) qn +1 = Aэ ⋅ qn + b − pn , r где: Aэ - линеаризованная матрица системы, b - приведенный вектор r постоянного воздействия, pn = (p1n , p 2n )T - суммарный взвешенный вектор r r нелинейного смещения qn за время T . Компоненты вектора pn определяются r компонентами векторов нелинейного смещения pn,i за время T. r Для k - итераций вектора qn в шкале n ⋅ T получим: ⎛ 1 − 1, 0 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

r r E − A эk r ⋅b − q n + k = A эk ⋅ q n + E − Aэ

k −1

∑

j=0

r A эk −1− j ⋅ p n + j ,

(4.2.3)

r где pn + j - суммарный вектор нелинейного смещения за (n+j) - й шаг r r отображения qn . В случае линейного отображения все векторы pn+ j,i , а значит r и pn + j имееют нулевые компоненты.

- 232 -

Для движения r r qn + k = q n ,

периода

k

необходимо выполнение условия

(4.2.4) r при этом хотя бы один из векторов pn+ j,i должен иметь отличную от нуля координату. При подстановке (4.2.3) в (4.2.4) получаем выражение для определения точек траектории ПЦ k −1 r r k −1− j qn* = ( E − Aэ ) −1 ⋅ b − ( E − Aэk ) −1 ⋅ ∑ Aэ ⋅ S n+ j .

(4.2.5)

j =0

r r r qn*, qn*+1 ,..., qn*+ k −1

Точки выражением r

r

(4.2.5)

при

траектории (k-1)

цикла

периода

циклических

k

определяются

перестановках

векторов

r

( p n , p n +1 ,..., p n + p −1 ). Выражение (4.2.5) аналогично полученному во второй главе. r Найденный из уравнения (4.2.5) вектор qn∗ будет определять точку траектории периодического движения заданной структуры. Анализ условий существования периодических движений заключается в определении параметров системы для которых выполняется (4.2.5). . В свою очередь, для возникновения движений необходимо определить граничные или бифуркационные значения параметров. Эта процедура основывается на анализе r r r последовательности векторов нелинейного смещения pn , pn +1, ..., pn + k −1 , соответствующих заданной структуре цикла. Докажем, что периодическое движение будет устойчивым, если устойчива r матрица Aэ . Пусть q0 начальное состояние (4.2.5) периодического движенения, r r r r определенного последовательностью pn , pn +1,..., pn + k −1 . Предположим, что q1 начальное состояние некоторого движения, соответствующего той же r r r r r последовательности pn , pn +1,..., pn + k −1 и отстоящего от q0 на величину ∆q1 , r r r r r r r r r q1 = q0 + ∆q1 . Через k итераций q1 перейдет в q2 . Сравним ∆q1 и ∆q2 = q2 − q0 : k −1 r r r r ∆ q1 = q1 − ( E − Aэ ) −1 ⋅ b + ( E − Aэk ) −1 ⋅ ∑ Aэk −1− j ⋅ p n + j , j=0

r E − Aэk r k −1 k −1− j r r r ∆ q 2 = Aэk ⋅ q1 + ⋅ b − ∑ Aэ ⋅ p n + j − ( E − A э ) −1 ⋅ b + E− A j=0 k −1 r r + ( E − Aэk ) −1 ⋅ ∑ Aэk −1− j ⋅ p n + j = Aэk ⋅ ∆ q1.

(4.2.6)

j=0

Согласно (4.2.6), цикл будет устойчив, если собственные значения матрицы Aэ по модулю меньше единицы. Определенные выражением (4.2.5) точки траектории циклического движения должны удовлетворять следующим требованиям:

- 233 -

1) все

точки

траектории

в

сечении

фазового

пространства

плоскостью ( ϕ , ψ ) должны попадать в квадрат ϕ < 1 , ψ < 1 ; 2) хотя бы одна из точек траектории X n,i должна принадлежать области нелинейного отображения Q1′, Q2′ . При выполнении перечисленных требований условие (4.2.5) выступает необходимым для существования ПЦ структуры, определяемой r последовательностью векторов нелинейного смещения pn+ j,i , j = 0,1,..., k − 1, i = 0,1,..., k1 ⋅ k 2 − 1 .

Рассмотрим методику определения области существования цикла заданной структуры. Выражение для нелинейного отображения (4.2.2) определяет изменение состояния системы в шкале времени T , однако не содержит в явном виде информации о нелинейном смещении в моменты между n ⋅ T и ( n + 1) ⋅ T (за исключением случая равных периодов дискретизации). Вся информация об r этом содержится в значении координат вектора смещения pn , который r непосредственно определяется последовательностью векторов pn+ j,i , i = 0,1,..., k1 ⋅ k 2 − 1 . Для отображения (4.2.2) и заданной последовательности r { pn+ j,i } введем понятие областей Q1,k и Q1′,k . Из области Q1,k происходит r нелинейное движение вектора состояния qn , в область Q1′,k он попадает после k

шагов в шкале ∆T . Пример областей Q1,k и Q1′,k для k1 / k2 = 3 / 2 при условии

⎛ 2⎞ r pn, 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠ приведен на рис. 4.8а. Локальная устойчивость приводит к сужению области

существования единственного вектора нелинейного смещения

Q1′,k по сравнению с Q1,k , при этом чем больше k , тем эта область будет меньше.

Определить разбиение квадрата ϕ < 1 , ψ < 1 на области аналогичные Q1,k и Q1′,k r для различных возможных последовательностей { pn,i } при заданных параметрах системы можно отображением квадрата ϕ < 1 , ψ < 1 в себя k раз с дискретом ∆T . Полученное разбиение определит наборы подобластей Q j ,k и Q′j ,k

и соответствующие им последовательности векторов нелинейного r смещения p j , 0 ≤ j ≤ k − 1 . При этом в случае линейного отображения (4.2.2) r все вектора p j , 0 ≤ j ≤ k − 1 , имеют только нулевые компоненты. Как было указано выше, для возникновения предельного цикла необходимо, чтобы хотя

- 234 C

Q′1,6

1

Q2

B _ Pn,j

1

0

Q1,6

O

ψ

5

-1

1 4 3 2

A

D

-1

а) 1

C

Q B

Q2 Q′1

QS O -1

ψ 1

Q′S Q1 A

Q′2 D

-1

б) Q 1

C

B

Q2 Q′1

QS O -1

ψ Q′S

1

Q′2 Q1

A

-1

D

в) Рис. 4.8. Примеры областей нелинейного отображения

- 235 -

r бы один из векторов p j , 0 ≤ j ≤ k − 1 , случае

условие

существование

был отличен от нулевого. В этом

циклического

движения

определится выражением: Q1,k → Q1′,k I Q2,k → Q2′,k ...Q p ,k → Q′p ,k IQ1,k

периода

p⋅ k

(4.2.7)

Смысл записи (4.2.7) заключается в том, что для возникновения ПЦ периода r p ⋅ k вектор состояния qn за p итераций в шкале n ⋅ T обязан последовательно пройти через пересечения областей Q′j ,k I Q j +1,k при этом вернувшись в Q′p ,k I Q1,k . Поставленное условие вытекает из требования r сохранения последовательности векторов p j , 0 ≤ j ≤ k − 1 , для заданной пересечение

структуры цикла. Еще одно условие на положение начальной точки цикла определяется выражением (4.2.7), а именно принадлежность к пересечению Q′p ,k I Q1,k . Пример ситуации (4.2.7) для k = 2 приведен на рис. 4.8б. Разбиение фазовой плоскости на подобласти Q j ,k и Q′j ,k , соответствующие r определенному набору векторов p j , 0 ≤ j ≤ k − 1 , позволяет графически решить задачу о существовании ПЦ. При изменении параметров системы или начальных

расстроек

γ1,

γ2

картина

распределения

подобластей

трансформируется, происходит нарушении цепочки (4.2.7), при этом исчезает существующий цикл. Граничная ситуация исчезновения цикла с k = 2 приведена на рис. 4.8в. Анализируя сказанное выше, глобальную устойчивость стационарного состояния можно определить исходя из невозможности существования хотя бы одной цепочки вида (4.2.7). На рис. 4.8б,в последняя обозначена через QS . Если при нелинейном отображении Qi ,k → Qi′,k область Qi′,k полностью принадлежит области QS , то объединение Qi′,k U QS также будет областью сходимости стационарного состояния. Продолжая рассуждения, можно определить условие глобальной устойчивости стационарного состояния через условие существования пересечений областей нелинейного отображения: Q1,k → Q1′,k I Q2,k → Q2′,k ...Q p ,k → Q′p ,k ⊂QS , (4.2.8) заполняющих все множество значений ϕ < 1 , ψ < 1 .

- 236 -

4.3. Устойчивость связанных и комбинированных систем синхронизации В разделе выполнен анализ областей устойчивости в большом и в целом, полосы захвата двухкольцевых связанных СФС с преобразованием и без преобразования частоты и комбинированной системы частотно-фазовой автоподстойки. 4.3.1. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты Модель СФС с бесфильтровыми кольцами На рис. 4.9, 4.10 в двух вариантах координатных плоскостей: ( α , αγ 1 ) и ( α , γ 1 ) приведены области существования различных периодических движений двухкольцевой бесфильтровой СФС соответственно для положительных и отрицательных взаимных связей. Первый вариант удобен для иллюстрации общей картины распределения областей существования ПЦ в параметрах одного и второго колец, второй - для определения полосы захвата системы. Как показал анализ процессов в связанной системе, влияние коэффициента υ в значительной степени слабее, чем влияние коэффициента µ […]. Объясняется это наличием канала подставки, через который дополнительное влияние оказывает µ. По этой причине основное внимание при анализе будет уделено процессам в СФС в зависимости от коэффициента µ Приведенные зависимости на рис. 4.9, 4.10 позволяют определить области глобальной устойчивости состояний синхронизма системы. Результаты на рис. 4.9, 4.10 приведены для простейшего некратного соотношения периодов k1 / k2 = 3 / 2 при γ 2 = 0 . В то же время они являются достаточно типичными и для других достаточно близких соотношений k1 и k2 С ростом соотношения k1 и k2 наблюдается процесс усиления независимости колец, в этом случае хорошей оценкой процессов могут служить результаты анализа динамики отдельных колец (см. п. 2). Выполним анализ приведенных результатов. Их характерной особенностью является наличие предельных циклов с нелинейным смещением только по координате ϕ . Будем называть такие движения собственными циклами выходного кольца системы. Анализ показывает (рис. 4.9а, 4.10а), что

⎛ 1,0 ⎞ ⎛ 1,0 ⎞ ⎛ 1,0 ⎞ эти циклы образуют ряд следующего вида: ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ... , ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠

- 237 αγ

1 7,0 6 .6 12,0 . 116

1.0 10,0 . 116

5,0 6.6 10,0 . 136

0.75 8,0 . 116

8,0 . 136 6,0 . 116

0.5

4,0 9.6 4,0 . 116 4,0 . 136

0.25 2,0 . 116 1,0 6.6

6,0 8,0 5.6 4,0 3.6 7.6 10,0 1,0 9.6 1.6 8,0 9.6 6,0 7.6 4,0 5.6

1

2,0

2,0 1.6

0.75

2,0 9.6 1,0 5.6

0

2,0 5.6 1,0 3.6 2,0 7.6 1,0 4.6

γ =0 β=0.5 2 ϑ=µ=0.1 k1/k 2= 3 / 2

1,0 1.6

. 1.0 116 1,0 6.6

3,0 2,0 4.6 . 3,0 4,0 3 6 . 5 6 7.6 1,0 2.6

2,0 3.6

γ

γ =0 β=0.5 2 ϑ=µ=0.1 k1/k 2= 3 / 2

2,0 1.6

1,0 1,0 5.6 2,0 2.6 9.6 1,0 2,01,0 2,0 3.6 4.6 7.6 5.6

0.5

область захвата 0.25

область глобальной устойчивости

0.5

1.0

−2,0 . 16

1.5

α

2.0

0

0.5

1.0

а)

1.5

α

2.0

б)

Рис. 4.9. Области устойчивости СФС с преобразованием для µ > 0 γ

αγ

1

1.0 10,0 . 116 4,0 . 56 3,0 . 46

0.75 8,0 . 116

8,0 . 136 6,0 . 116

0

β=0.5 ϑ=0 µ=−0.1 2,0 . 16

1.0

k1/k 2=3 / 2

0.75

4,0 . 76

γ =0

2

6,0 8,0 . . 56 4,0 76 10,0 . . 1,0 36 96 . 16 6,0 8,0 . . 76 96

2

1,0 1.6

2,0 . 116

β=0.5 ϑ=0

1,0 2,0 6.6 3.6 1,0 1,0 5.6 2,0 2.6 9.6 1,0 2,01,0 2,0 3.6 . . . 46 76 56

2,0 1.6

µ=−0.1 k1/k 2= 3 / 2

2,0 . 36 1,0 . 26

0.5

0.25

1

γ =0

2,0 . 96 1,0 . 56

2,0 . 56 1,0 . 36 2,0 . 76 1,0 . 46

0.5

0.5

область захвата 0.25

область глобальной устойчивости 1.0

1.5

а)

2.0

α

0

0.5

1.0

1.5

2.0

б)

Рис. 4.10. Области устойчивости СФС с преобразованием для µ < 0

α

- 238 -

⎛ 1,0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , ... p → +∞ . В промежутках между циклами данного ряда возникают ПЦ, ⎝ p⎠ ⎛ 2,0 ⎞ ⎛ 2,0 ⎞ ⎛ 2,0 ⎞ структуры которых можно выписать в следующий ряд: ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ , ... , ⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠

⎛ 2,0 ⎞ ⎟⎟ , ... p → +∞ . Каждый элемент данного ряда может быть получен из ⎜⎜ 2 p +1 ⎠ ⎝ двух ссоседних элементов предыдущего путем сложения соответствующих составных частей символической записи, например: ⎛ 1,0 ⎞ ⎛ 1,0 ⎞ ⎛ 1 + 1,0 ⎞ ⎛ 2,0 ⎞ ⎟→⎜ ⎟ . Действие этого правила распространяется на ⎜ ⎟+⎜ ⎟→⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2+3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ циклы с тремя и более проскальзываниями, заполняющими пространство между ПЦ первого ряда. Известно, что при µ = υ =0 области существования ПЦ различных структур, за исключением кратных захватов и состояния равновесия, не пересекаются [90]. Объяснить это можно тем, что в этом случае кольцо подставки становится независимым и при наличии захвата в нем поведение системы полностью определяется выходным кольцом. Для положительных µ и υ области ПЦ начинают пересекаться и заходят в область существования состояния равновесия, что ведет в целом к уменьшению его области глобальной устойчивости (рис. 4.9а). При этом зависимость полосы захвата системы в параметрах выходного кольца принимает вид аналогичный СФС 2-го порядка (п. 2.3). Области состояния равновесия и кратных захватов изменяются незначительно, в то время как области других ПЦ наслаиваются на них. Подобный результат можно объяснить тем, что канал с µ по отношению к выходному кольцу следует рассматривать как источник увеличения частотных расстроек (см. рис.1.10). Последнее, в свою очередь, снижает фактическое значение начальных расстроек, при которых отсутствуют периодические движения. Очевидно, чем быстрее снимается дополнительная расстройка (за счет активности кольца подставки), тем меньше влияние дополнительных связей. Активность кольца подставки повышается, например, при больших отношениях k1 / k2 . Для отрицательных µ и υ наблюдается обратный эффект. Предельные циклы находятся вне области равновесия и не оказывают влияния на его устойчивость (рис. 4.10). Полоса захвата определяется фактически свойствами выходного кольца, ее зависимость имеет вид, определяемый свойствами

- 239 -

однокольцевой СФС (рис. 4.10б). Эффект вытеснения предельных циклов за границу области существования состояния равновесия при отрицательных связях наиболее проявляется в системе с ПИФ. Графики на рис.4.9, 4.10 приведены для γ 2 = 0 , в этом случае картина распределения областей на плоскости ( α ,α ⋅ γ 1 ) имеет симметричный вид относительно γ 1 = 0 . При γ 2 ≠ 0 симметрия и закономерности распределения областей сохраняется, однако вся картина смещается по оси α ⋅ γ 1 на величину −

(1 − ϑ ⋅ l ) ⋅ β ⋅ k1 ⋅ γ 2 . Подобные результаты приведены на рис. 4.11. v ⋅ k2

На рис.4.12 приведено распределение областей существования ПЦ в параметрах кольца подставки при положительных связях. Сравнивая результаты, можно отметить сходство в распределении областей собственных циклов выходного кольца и кольца подставки. Для малого β с ростом начальной расстройки кольца γ 2 в системе возникают ПЦ с нелинейным смещением по координате ψ . В области средних значений β (0. 5 < β < 1. 5 ) при увеличении γ 2 в системе возникают ПЦ с нелинейным отображением по координате ϕ . Область больших усилений β заполнена циклами с нелинейным смещением как по ψ , так и по ϕ . При γ 2 , близких к единице, возникают циклы комбинированной структуры с нелинейным смещением по координатам как в сторону увеличения так и в сторону их уменьшения. Число подобных ПЦ растет с ростом µ . В то же время для отрицательных µ подобные циклы не существуют. На рис. 4.13 приведено распределение областей периодических движений бесфильтровой СФС на плоскости начальных расстроек γ 1,γ 2 . Характерным является симметричное относительно начала координат разбиение всей плоскости на области кратных захватов и стационарного состояния, границы которых определяются уравнениями: (1 − ϑ ⋅ l) ⋅ β ⋅ k1 µ ⋅ ψ = α ⋅ γ Η1 + 2 ⋅ m1, (1 − ) ⋅ α ⋅ ϕ − l k2 ⋅ v

µ ⋅ α ⋅ v ⋅ k2 l ⋅ k2

⋅ ϕ + β ⋅ ψ = β ⋅ γ Η2 + 2 ⋅ m2 ,

(4.3.1)

где m1, m2 - целые числа, соответствующие кратности захвата. Из графиков следует, что при нулевых связях для области не перекрываются друг с другом (4.13а). В случае положительных µ и ϑ происходит разворот областей и

- 240 αγ 1

5,0 3.6

8,0 5.6 3,0 2.6 4,0 3.6

1.0

γ 2 =0.5

β=0.5 µ=ϑ=0.1 k1/k 2 =3/2 2,0 1.6

1,0 1.6

0.5 2,0 1,0 5.6 3 .6

0

2,0 7.6

-0.5

−2,0 7.6

−1,0 3 .6

2,0 3.6

1,0 2.6

область глобальной устойчивости −2,0 5.6 −1,0 2 .6 −2,0 3.6

-1.0 0

0.5

−2,0 1.6

1.0

1.5

α

2.0

Рис. 4.11. Область устойчивости выходного кольца для γ2 ≠ 0 βγ 2 0,18 11.6

1.0

0.75 0,12 11.6 0,6 9,6 7.6 11.6

0.5

0,6 9.6 0,6 11.6

0.25

0

−1,3 1.6

0,2 1.6 0,9 0,12 5.6 .6 7 0,5 0,3 3.6 2.6

2,0 1.6

α=0.5 ϑ=µ=0.1 k1/k 2 =3/2 γ 1 =0 −3,6 2.6 3,0 4,0 2.6 3.6

0,4 3.6 0,9 0,6 7.6 5.6

0,9 0,1 8.6 1.6

3−2,4 5.6

1,0 1.6

−2,3 1.6

0,3 4.6 0,3 5.6 0,1 2.6 0,3 7.6 0,3 8.6

0.5

2,0 3.6

область глобальной устойчивости

1.0

1.5

2.0

β

Рис. 4.12. Область устойчивости кольца подставки

- 241 γ1 1.0

β=1.0 α=1.0 ϑ=µ=0 k1/k 2 =3/2

2,−3 1.6

2,0 1.6

0,3 1.6

0.5

0

область захвата

-0.5

0,−3 1.6

−2,0 1.6

−2,3 1.6

-1.0

-1.0

-0.5

0

0.5

γ2

1.0

а) γ1

β=1.0 α=1.0

2,−3 1.6

1.0

2,0 1.6 1,0 1.6

ϑ=µ=0.1 k1/k 2 =3/2

1,−2 1.6

0,3 1.6 1,1 1.6

0,2 1.6

0.5 0,−1 1.6

2−1,−4 2.6

0

2−1,2 2.6

область захвата

−1,0 1 .6

1,−3 1.6 1−2,−2 2.6

1−2,4 2.6 0,1 1.6

-0.5 0,−2 1.6

−1,3 1.6

−1,−1 1.6

0,−3 1.6

-1.0

−1,2 1.6 −2,0 1.6 −2,3 1.6

-1.0

-0.5

0

0.5

1.0

γ2

б) Рис. 4.13. Область захвата СФС с преобразованием на плоскости частотных расстроек

- 242 -

частичное их перекрытие (рис.4.13б), кроме того в окрестности пересечений возникают циклы сложных структур с нелинейным смещением по обеим фазовым координатам. В этой же области возникают ПЦ комбинированной 1 − 2, −4 2 − 1, −2 1 − 2, 4 2 − 1, 2 структуры: ( ), ( ), ( )и( ). Подобные циклы являются 2⋅6 2⋅6 2⋅6 2⋅6 промежуточными между циклами с нелинейным смещением в сторону увеличения и убывания координат. Появление их связано с возникновением периодических движений в окрестности точек разрыва рабочих характеристик фазовых детекторов функций F(ϕ) и Ф( ψ) . Для отрицательных связей между кольцами перекрытия областей существования циклов различных структур не наблюдается. Зависимости границ захвата СФС в параметрах выходного кольца для различных значений коэффициентов µ и ϑ

приведены на рис. 4.14а.

Необходимо подчеркнуть достаточно сильное влияние на область захвата в области средних усилений (0. 5 < α < 1. 5 ) коэффициента µ (зависимость от параметра ϑ выражена более слабо и при µ = 0 практически исчезает). Рост положительных связей между кольцами приводит к уменьшению полосы захвата системы. Подобную зависимость можно объяснить различной природой периодических движений, ограничивающих сверху область захвата системы. Влияние отрицательных связей на полосу захвата бесфильтровой связанной СФС практически отсутствует, поскольку отсутствует влияние на область существования кратного захвата, определяющего полосу захвата. Для анализа все возникающие в системе периодические движения предлагается условно разбить на две группы. В первую следует отнести кратные захваты. Специфика таких ПЦ заключается в постоянстве состояний фазовых детекторов и частот сигналов перестраиваемых генераторов колец. Фактически такое состояние можно отнести к разряду статических состояний системы. Во вторую группу ПЦ относятся все остальные периодические движения, возникающие в системе. Как показывает анализ, существование последних определяется динамическими свойствами колец системы, вследствие периодического изменения координат системы (выходные потенциалы фазовых детекторов, управляющие напряжения, частоты сигналов перестраиваемых генераторов). Анализ областей ПЦ, приведенных на рис. 4.14а показывает, что в диапазоне средних усилений (0. 5 < α < 1. 5 ) границу полосы захвата определяют

- 243 γ1

µ=0

1.0

β=0.5 ϑ=0.1 k1/k 2 =3/2 γ 2 =0

µ=0.05 µ=0.1 µ=0.15

µ=0.2 0.75

0.5

область захвата 0.25

0

0.5

1.0

1.5

2.0

α

а) γ2

α=0.5 ϑ=0.1 k1/k 2 =3/2 γ1 =0

µ=0.2 µ=0.1

1.0 µ=0

0.75

0.5

0.25

µ=0.1

область захвата

µ=0.2 µ=0

0

0.5

1.0

1.5

2.0

β

б) Рис. 4.14. Полоса захвата выходного кольца (а) и кольца подставки (б)

- 244 -

ПЦ2, появление которых связано с динамическим увеличением расстройки за счет введения дополнительных связей. При этом влияние цепи с µ связано с непосредственным воздействием через управление перестраиваемым генератором кольца поставки, а также через структурное воздействие на это кольцо. В свою очередь, чем ближе к оптимальным подобраны динамические характеристики колец, тем выше граница, определяемая этими движениями. В области малых усилений ( α < 0. 5 ) увеличение µ и ϑ также ведет к сокращению полосы захвата, причем количественное влияние обоих коэффициентов близко. Подобная зависимость объясняется внесением дополнительных постоянных расстроек в выходное кольцо за счет ненулевых µ и ϑ , что эквивалентно уменьшению полосы удержания выходного кольца системы. В диапазоне больших усилений ( α >1. 5 ) расширение полосы захвата при увеличении коэффициентов µ и ϑ связано с сокращением области кратного захвата, которое можно рассматривать, как статическое состояние системы. При этом очевидно, что основные закономерности изменения последней будут аналогичны области состояния равновесия. Зависимости границ полосы захвата системы в параметрах кольца подставки β для различных значений коэффициентов взаимосвязи µ приведены на рис. 4.14б. При µ = 0 кольцо подставки становится независимым и, естественно, было бы ожидать результатов, аналогичных дискретной СФС 1-го порядка. Однако наблюдается сокращение полосы захвата в большом диапазоне средних значений усиления β за счет появления циклических движений второго рода в выходном кольце системы. На рис.4.14б эта граница имеет вид гиперболы. С ростом µ она изменяется несущественно, в то же время область захвата для малых β значительно вытягивается. Поднятие "полочки при малых

β можно объяснить постоянным компенсирующим влиянием канала с µ по отношению к расстройке кольца подставки. Граничное значение γ 2 в данном случае определяется существованием состояния синхронизма в системе. При больших усилениях (β >1. 5 ) увеличение µ приводит к сокращению области, определяемой кратным захватом кольца подставки (статические свойства), и ее увеличению за счет компенсирующего влияния на режим захвата в процессе подстройки. Рост соотношения k1 / k2 можно рассматривать как увеличение частоты дискретизации кольца подставки, соответственно повышение его активности в

- 245 -

связанной системе. Фактически это приводит к тому, что кольца становятся менее зависимы. В этом случае зависимости полос захвата колец системы приближаются к виду однокольцевой СФС 1-го порядка [15]. Модель СФС с ПИФ в выходном кольце При анализе двухкольцевой СФС с бесфильтровыми кольцами была установлена принципиально различная роль знака коэффициентов взаимных связей между кольцами. Положительные связи приводят к перекрещиванию областей существования различных периодических движений между собой, включая область существования состояния равновесия. Как следствие, уменьшение области захвата колец, при этом характер ее зависимости повторяет аналогичный для одокольцевых систем 2-го порядка. Роль отрицательных связей противоположна, однако с учетом относительной независимости области кратного захвата, определяющего полосу захвата СФС 1-го порядка, от связей между кольцами, связанная система повторяет результат независимых колец 1-го порядка. Иначе обстоит дело в связанной системе с фильтром в выходном кольце. На рис. 4.15-4.16 приведены области существования различных периодических движений двухкольцевой СФС с ПИФ в двух вариантах координатных

плоскостей:

( α , αγ 1 )

и

(α , γ 1 )

соответственно

для

положительных

и

отрицательных взаимных связей.. Прежде всего отметим, что даже µ = ϑ = 0 наблюдается значительное перекрытие областей существования предельных ПЦ2 различных структур, тем самым подтверждается вывод об одновременном существовании циклов в СФС 2-го порядка с ПИФ [70]. Аналогичный результат был получен для двухкольцевой бесфильтровой СФС при µ ≠ 0 ,

ϑ ≠ 0 . Наличие положительных связей привело к еще более сильному пересечению и, как следствие, к более сложной картине распределения одновременно существующих периодических движений. На рис. 4.15а,б приведены результаты анализа областей существования периодических движений и полосы захвата при µ > 0, υ > 0 , позволяюшие количественно оценить изменение границ областей ПЦ. Отрицательные связи приводят, во-первых, к уменьшению областей перекрытия различных движений, что упрощает в целом поведение связанных систем, даже по сравнению с однокольцевыми 2-го порядка (рис. 4.16а,б). Во вторых, наблюдается вытеснение вращательных движений за границу

- 246αγ

γ 6,0 8,0 . 56 4,0 7.6 10,0 1,0 3.6 9.6 1.6 8,0 6,0 . 9.6 7 6 4,0 5.6

1.0

0.75

4,0 9.6

0.25

0

1.0

3,0 2,0 3,0 4.6 . 36 5.6 4,0 7.6 1,0 2.6

0.5

αρ =0.5 β=0.5 m=0.5 γ =0 2 µ=0.1 ϑ=0.1 k1/k = 3 / 2 2

1

1

2,0 9.6

0.75

β=0.5 αρ =0.5

2,0 5.6 1,0 3.6 2,0 7.6 1,0 4.6

0.5

m=0.5 γ =0 2 ϑ=0.1 µ=0.1 k1/k = 2 3/2

1.0

2,0 1.6

1,0 2.6

1,0 1.6

0.5

область захвата

2,0 1.6

область глобальной устойчивости

2,0 9.6 1,0 4.6 2,0 7.6 1,0 2,0 3.6 . 5 6 2,0 3.6

0.25 −2,0 . 16

−2,0 1.6

1.5

2.0

α

0

0.5

1.0

1.5

2.0

α

а) б) Рис. 15. Области устойчивости СФС с ПИФ в выходном кольце для µ > 0 αγ

β=0.5 µ=−0.1 γ =0 2 k1/k = 2 3/2

1 6,0 8,0 . 56 4,0 7.6 10,0 3.6 . 96 1,0 1.6 8,0 6,0 . 9.6 7 6 4,0 5.6

1.0

0.75

3,0 2,0 3,0 4.6 3.6 5.6 4,0 7.6

0.5

0.25

0

2,0 9.6

αρ =0.5 β=0.5 m=0.5 γ =0 2 µ=0.1 ϑ=0.1 k1/k = 2 3/2

1

1.0

0.75

1,0 2.6

2,0 5.6 1,0 . 36 2,0 7.6 1,0 4.6

0.5

γ

ϑ=0 m=0.5 αρ =0.5

2,0 9.6 1,0 4.6 2,0 7.6 1,0 2,0 3.6 . 5 6 2,0 3.6

2,0 1.6

1,0 2.6

1,0 1.6

0.5 2,0 1.6

область захвата 0.25

область глобальной устойчивости 1.0

1.5

−2,0 . 16

2.0

α

0

0.5

1.0

1.5

2.0

а) б) Рис. 4.16. Области устойчивости СФС с ПИФ в выходном кольце для µ < 0

α

- 247 γ1

k 1=1 k 2=1 γ 2=0

β=0.5 ϑ=0.1 α Φ1=0.1 m =0.05

1.0

0.75

0.5 µ=0.2

µ=0.3

µ=0.15 0.25 µ=0.1

0

0.5

1.5

1.0

2.0

α

Рис. 4.17. Области существования колебательных движений γ1

1,0 1 .3

3−2,0 4 .3

γ 2 =0

1.0

β=0.5 ϑ=0.1 α Φ1=0.1 m =0.05

2−1,0 3.3

µ=0.15 0.75

µ=0.2

k 1=3 k 2=1

µ=0.25 0.5 µ=0.15 µ=0.2

0.25

µ=0.25

0

0.5

1.0

1.5

2.0

α

Рис. 4.18. Области существования циклов различного типа

- 248 -

существования состояния равновесия. Все это приводит к увеличению полосы захвата системы по сравнению не только со связанными системами с положительными связями, но и однокольцевыми 2-го порядка. Анализ нелинейного поведения системы в зависимости от параметров фильтра выявил ряд особенностей. К их числу относятся предельные циклы 1го рода, возникающие в области малых начальных расстроек при положительных связях, а также значительное число различных циклов 2-го рода комбинированной структуры. Циклы 1-го рода возникают с ростом постоянной времени фильтра (малое α p ) и уменьшении коэффициента форсирования (малое m ). На рис. 4.17 приведены области ПЦ 1-го рода, возникающие в системе при малых начальных расстройках. Циклы возникают при положительных µ и разрушаются с их уменьшением. Характер областей существования и их зависимость от параметров на качественном уровне полностью повторяют аналогичные результаты для СФС 3-го порядка (р. 3.3, 3.4). Это, в свою очередь, подтверждает тот факт, что существование определенного типа движений, надо связывать не с конкретной физической системой, а с реализацией ряда формальных признаков, присущих данному типу движений. В отношении симметричных циклов 1-го рода к их числу в первую очередь относится симметрия фазового портрета и возможность изменения направления движения. Второе является признаком систем высокого порядка. С ростом начальных расстроек вид фазового портрета теряет симметрию, что приводит к постепенному исчезновению ПЦ1 и замене их сначала циклами второго рода комбинированной структуры, занимающими промежуточное положение, а затем циклами с нелинейным смещением одного знака. Сказанное подтверждается результатами, приведенными на рис. 4.18. Анализ распределения областей движений двухкольцевых СФС с ПИФ на плоскости начальных расстроек ( γ 1,γ 2 ) для положительных (рис. 4.19а) и отрицательных (4.19б) взаимных связей подтвердил на качественном уровне результаты, полученные для бесфильтровой СФС. Положительные связи приводят к сужению области захвата, отрицательные – к расширению. На рис. 4.20, 4.21 приведены области захвата двухкольцевой СФС с ПИФ в выходном кольце для различных связей между кольцами. С ростом положительных связей наблюдается уменьшение полосы захвата системы в области средних усилений (0. 5 < α < 1. 5 ) (рис. 4.20а). Наоборот, с ростом

- 249 γ1

β=1.0 α=1.0

k 1/k =2 3 / 2 ϑ=µ=0.1

1.0

0,−1 1 .6

2,−3 1.6

2,0 1.6

0,3 1.6

α ρ =1.0 m =0.5

0,2 1.6

0.5

1,0 1.6

0

−1,3 1.6

область захвата

2−1,−4 2.6

1−2,4 2.6

1,−3 1.6

-0.5

−1,0 1.6

0,−2 1.6 0,−3 1.6

0,1 1.6

−2,0 1.6

−2,3 1.6

-1.0

-0.5

-1.0

0

0.5

γ2

1.0

а) γ1

β=1.0 α=1.0

k 1/k =2 3 / 2

1.0

2,0 1.6

2,−3 1.6

0.5

1,0 1.6

0,3 1.6

ϑ=0 µ=−0.1 α ρ =1.0 m =0.5

−1,3 1.6

0

область захвата 1,−3 1.6

-0.5

−1,0 1.6 −2,3 1.6

0,−3 1.6

-1.0

-1.0

-0.5

0

0.5

1.0

γ2

б) Рис. 4.19. Область захвата двухкольцевой СФС с ПИФ для а) положительных связей, б) отрицательных связей

- 250 -

γ1

γ1

β=0.5 αρ=1.0 ϑ=0 µ=0.1

0.99

k1=3 k2=2 γ2=0

0.75

β=0.5 αρ=1.0 ϑ=0 µ=-0.1 k1=3 k2=2 γ2=0

0.75 0.5

0.5

0.99

0.25 0.25

m=0.0

m=0.0

Область захвата

Область захвата

α

а)

б)

α

Рис. 4.20. Полоса захвата двухкольцевой СФС для а) µ > 0, б) µ < 0

γ1 -0.2 -0.1

µ=0.0

0.3

β=0.5 αρ=1.0 ϑ=0 m=0.5 k1=3 k2=2 γ2=0

0.2 0.1

Область захвата

α Рис. 4.21. Полоса захвата двухкольцевой СФС для различных параметров ПИФ

- 251 -

отрицательных связей наблюдается увеличение полосы захвата. Данный результат подтверждается зависимостями, приведенными на рис. 4.21. Уменьшение параметров фильтра m и αρ приводит к сокращению области захвата выходного кольца системы (рис.4.20), подобная зависимость была получена для отдельного кольца импульсной СФС второго порядка [2-я глава]. Введение положительных связей приводит к более заметному снижению границы области захвата, особенно в области средних усилений (0. 5 < α < 1. 5 ) (рис. 4.20а). Введение отрицательных связей подобную тенденцию существенно ослабляет (рис. 4.20б). Как и в случае бесфильтровых колец, рост соотношения k1 и k2 приводит к ослаблению влияния связей между кольцами, при больших соотношениях кольца можно считать независимыми. 4.3.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями

Результаты исследования устойчивости двухкольцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями получены с применением методики и алгоритмов, полученных в разделе 4.2. Поскольку система без преобразования частоты является структурно симметричной, то с учетом взаимного влияния достаточно результаты представить для одного из колец. На рис. 2.22 – 2.24 приведены области существования различных периодических движений и полосы захвата двухкольцевой СФС для различных знаков взаимных связей. На рис. 4.22 это сделано для соотношения k1 / k2 = 2 при нулевой частотной расстройке во втором кольце γ 2 = 0 , на рис. 4.23 – для k1 / k2 = 5 и различных частотных расстройках во втором кольце. Отметим, что в силу абсолютной симметрии колец при k1 / k2 = 1 изменение знаков взаимных связей на противоположные с сохранением их абсолютных значений ничего не меняет. С ростом соотношения k1 / k2 но сохранением связей заметных изменений также не наблюдается. При малых отношениях сказывается симметрия, при больших, как и в случае системы с преобразованием частоты, кольца становятся практически независимыми. Кольца становятся независимыми и при стремлении одной из связей к нулю. Данный результат имел место и при анализе локальной устойчивости связанной СФС (рис. 4.5).

- 252 -

γ1α

µ=±0.5 ϑ=±0.5 γ2=0

1,0 2,0 2 ⋅ 1 5 ⋅ 1 2,0 5 ⋅1

γ1α 2,0 5 ⋅1

k1=2 k2=1 β=0.5

1,0 3 ⋅1

µ=±0.25 ϑ=±0.25 γ2=0

1,0 2 ⋅1

k1=2 k2=1 β=0.5

2,0 5 ⋅1

1,0 3 ⋅1

2,0 7 ⋅1 1,0 4 ⋅1

2,0 7 ⋅1 1,0 4 ⋅1 1,0 5 ⋅1

1,0 5 ⋅1

1,0 6 ⋅1

1,0 6 ⋅1

α

α

а)

γ1α 2,0 5 ⋅1

γ1α

µ=0.25 ϑ=-0.25 γ2=0

1,0 2 ⋅1

µ=0.5 ϑ=-0.5 γ2=0

2,0 1,0 5 ⋅1 2 ⋅1

k1=2 k2=1 β=0.5

2,0 5 ⋅1

1,0 3 ⋅1

б)

k1=2 k2=1 β=0.5

2,0 5 ⋅1

1,0 3 ⋅1

2,0 7 ⋅1

2,0 7 ⋅1 1,0 4 ⋅1

1,0 4 ⋅1

1,0 5 ⋅1

1,0 5 ⋅1

1,0 6 ⋅1

1,0 6 ⋅1

α

α в)

г)

Рис. 4.22. Области существования периодических движений двухкольцевой СФС для k1 = 2, k2 = 1

- 253 -

γ1α

µ=-0.5 ϑ=0.5 γ2=0

2,0 1,0 5 ⋅1 2 ⋅1

γ1α 2,0 5 ⋅1

1,0 2,0 2 ⋅ 1 5 ⋅1

k1=5 k2=1 β=0.1

2,0 5 ⋅1

0,4 23⋅1

0,4 20⋅1

0,4 31⋅ 1 0,4 32 ⋅ 1

µ=-0.5 ϑ=0.5 γ2=0.25 k1=5 k2=1 β=0.1

1,0 3 ⋅1

1,0 3 ⋅1

4 ,1 1,0 4 ⋅1

4 ⋅1

1,0 4 ⋅1

1,0 5 ⋅1 1,0 6 ⋅1 1,0 7 ⋅1

1,0 6 ⋅1 1,0 7 ⋅1

1,0 5 ⋅1

α

α

а)

γ1α

0 ,1 5 ⋅1 2,0 1,0 5 ⋅1 2 ⋅1

б) µ=-0.5 ϑ=0.5 γ2=0.5

0,4 17⋅1

0,4 16⋅1

0 ,4 18 ⋅1 1,0 3 ⋅1

0,1 0,4 4 ⋅1 21⋅ 1

1,0 4 ⋅1

1,0 5 ⋅1

0,4 19 ⋅ 1

0,4 22⋅1

0,4 31⋅ 1

γ1α

k1=5 k2=1 β=0.1 0,4 23⋅1

1,0 4 ⋅1

0,4 20⋅1

1,0 5 ⋅1 1,0 6 ⋅1

0,4 32 ⋅ 1

1,0 6 ⋅1 1,0 7 ⋅1

2,0 5 ⋅1

1,0 3 ⋅1

1,0 7 ⋅1

µ=-0.5 ϑ=0.5 γ2=0.75

1,0 2 ⋅1

0,1 4 ⋅1

0 ,1 5 ⋅1

0,4 16⋅1

0,4 17⋅1 0,4 19 ⋅ 1

0,4 18 ⋅1 0,4 23⋅1

0,4 0,4 0,4 21⋅ 1 22⋅1 31⋅ 1

0,4 32 ⋅ 1

0,4 20⋅1

α

α в)

k1=5 k2=1 β=0.1

г)

Рис. 4.23. Области существования периодических движений двухкольцевой СФС для k1 = 5, k2 = 1

- 254 -

С ростом абсолютных значений µ и ϑ при одинаковых знаках наблюдается уменьшение области существования состояния равновесия как по расстройке γ1 так и по усилению α (рис. 4.22а,б). Рост абсолютных значений µ и ϑ при разных знаках приводит к увеличение области существования состояния равновесия, однако оно сопровождается в области средних α появлением периодических движений 2-го рода (рис. 4.22в,г), ограничивающих область устойчивости. За счет связей различных знаков области существования ПЦ2 смещаются в сторону больших усилений. Введение расстройки по частоте во второе кольцо существенно сужает область устойчивости за счет возникновения циклов 2-го рода по второй из координат (рис. 4.23а-г). Характерным для значительных расстроек γ2 является существование циклов с большими периодами (рис. 4.23в,г). Для малых усилений α с ростом γ2 (рис. 4.23б-г) наблюдается ограничение области устойчивости, вызванное нарушением условия существования состояния равновесия. На рис. 4.24 приведены результаты анализа зависимости полосы захвата от усиления α для различных значений коэффициента µ и фиксированного значения ϑ = −0.5 . Для рис. 4.24а,б усиление второго кольца β = 0.5 , для рис. 4.24в,г - β = 0.1. Для всех зависимостей характерен следующий результат. При γ2 = 0 (рис. 4.24а,в) при изменении µ от достаточно больших положительных значений до отрицательных наблюдается уменьшение полосы захвата в области малых усилений . При γ2 ≠ 0 (рис. 4.24б,г) в области малых усилений захват отсутствует, особенно это проявляется при больших усилениях во втором кольце (рис. 4.24б). При больших усилениях зависимость полосы захвата носит неоднозначный характер. Для значительных усилений во втором кольце (рис. 4.24а,б, β = 0.5 ) с уменьшением µ граница полосы захвата монотонно сдвигается вправо в сторону больших α до границы локальной усойчивости. В случае малых усилений во втором кольце (рис. 4.24в,г, β = 0.1) с изменением µ правая граница полосы захвата ведет себя немонотонно. Подобный характер объясняется достаточно сложной диаграммой распределения областей существования циклов 2-го рода с увеличением координаты ψ при малых β (рис. 4.23).

- 255 -

γ1

ϑ=-0.5 γ2=0 0.75

1.0

γ1

ϑ=-0.5 γ2=0.25

k1=5 k2=1 β=0.5

k1=5 k2=1 β=0.5 -0.5

0.5

-0.25 µ=0

0.25

0.25

µ=0 -0.25 0.5 -0.5 0.75 1.0

α

а)

γ1

ϑ=-0.5 γ2=0 0.75

1.0

б)

γ1

ϑ=-0.5 γ2=0.25 k1=5 k2=1 β=0.1

k1=5 k2=1 β=0.1 -0.5

0.5

α

-0.25 µ=0

0.25

0.25

µ=0 -0.25 0.5 -0.5 0.75 1.0

в)

α

г)

Рис. 4.24. Полоса захвата двухкольцевой связанной СФС для k1 = 5, k2 = 1

α

- 256 -

4.3.3. Импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки В разделе изучается нелинейная динамика двух вариантов комбинированной системы, математической моделью которых являются отображения (1.2.37) и (1.2.38) с F (ϕ ) = F1 (ϕ ) . Первый случай соответствует условию T1 / T2 > 1 , второй - T1 / T2 < 1 . Для T1 / T2 > 1 в новой шкале времени 0, Т1, 2Т1,..., nТ1 состояние системы r полностью определяется вектором состояния qn = (ϕ n , Yn )T . Согласно (1.2.37)

характер процессов не зависит от γ. Собственные значения линеаризованной матрицы, соответствующей (1.2.37), имеют значения: ρ1 = 1, ρ2 = 1-d0(β - α/k). Вследствие равенства единице одного из собственных значений, стационарное состояние зависит от r вектора начального состояния q0 = (ϕ 0 , Y0 )T , соответственно рассматриваемая система должна быть отнесена к системам нейтрального типа. Локальная устойчивость состояния равновесия определится выражением

|1-d0(β-α/k)|<1

(4.3.2)

На рис. 4.25 приведена развертка фазового цилиндра системы. Здесь приведен ряд вспомогательных построений. Прямые отображения с сохранением координат ϕn и Yn имеют соответственно вид: α′ϕn = Yn и (1 d′)Yn=β′ϕn . Поскольку α′=β′ /(1-d′), то прямые совпадают. Используя периодичность по ϕ, получим множество возможных стационарных состояний системы в виде отрезка АВ: ⎧α ′ϕ n = Yn . ⎨ ϕ 1 < n ⎩

(4.3.3)

Отрезок АВ делит полосу |ϕn|<1 на две области, в каждой из которых в случае устойчивой системы движение вектора состояния происходит в одном направлении - в сторону АВ. На рис. 4.25 области Q1, Q2 – области нелинейного отображения с проскальзыванием фазы на период; Q′1, Q′2 – области, в которые происходит отображение соответственно из Q1, Q2. Заметим, что фазовый портрет системы симметричен относительно начала координат. Докажем, что в рассматриваемой системе не возникает циклы 2-го рода. Предположим обратное, существует простейший цикл с одним проскальзыванием периода k . Линеаризованная система, соответствующая

- 257 -

r r (1.2.37) описывается матричным уравнением q n +1 = Aq n где матрица А имеет

вид

⎡1 − α ′ 1 ⎤ A=⎢ ⎥. ⎣ − β ′ d ′⎦

(4.3.4)

В этом случае необходимое условие возникновения цикла примет вид r r r r qn+1 = Ak qn + p = qn , (4.3.5) r где p = (−2, 0)T - вектор нелинейного отображения на периоде. Из (4.3.5) следует r r ( A k − E ) qn = − p .

(4.3.6)

Поскольку одно из собственных значений матрицы равно единице, то матрица ( Ak − E ) - линейно зависимая, отсюда уравнение (4.3.6) не имеет решения для r p = (−2, 0)T . Это в свою очередь означает, предельных циклов 2-го рода с одним проскальзыванием не существует. Аналогично можно показать, что не существует ПЦ2 и с другим числом проскальзываний. Y

Y

N

Q1

Q1 A

E

ϕ

N

1

-1

G A

Q1′

-1

Q1′

M

Q2′

B

1ϕ

F P

B Q2

P

Q2

Рис. 4.25

Рис. 4.26

Полученный результат вполне логично вытекает из симметрии фазового цилиндра и всех дополнительных построений. По этой же причине естественно предположить существование симметричных движений ПЦ1. Рассмотрим возможность их возникновения. Прямые АN и ВР ограничивают области нелинейного отображения. Их уравнения соответственно имеют вид:

- 258 -

1 1 1 1 Y+ ,ϕ= Y− . (4.3.7) 1−α′ 1−α′ 1−α′ 1−α′ Отсюда видно, что наклон прямых АN и ВР зависит от значения разности

ϕ=

(1-α′). В случае, когда эта разность отрицательна, развертка фазового цилиндра имеет вид, приведенный на рис. 4.26. Прямые EG и MF - границы области Q1′ описываются соответственно уравнениями

ϕ=

1 1 1 1 Y+ ,ϕ= Y− 1−α′ 1−α′ 1−α′ 1−α′

Точки F (3d′ -α′; 1) и M(2d′ - α′; -1) при выполнении условий устойчивости (4.3.2) лежат соответственно правее точек Р(α′-2; 1) и В(-α′; -1). Следовательно области Q2 и Q′1 не пересекаются. Это приводит к невозможности ПЦ1. В случае α′<0 условие устойчивости (4.3.2) не выполняется, поэтому эта ситуация не рассматривается. Из условия 0 < α′ <1 следует − 1 < d ′ < 1 . Для 0
N

Q1 E

Q1 G S′ A

E

D N

Q1′

G

A

γ /β

ϕ -1

1

M ′

B′

Q 1′

B M

S

Q2

ϕ -1

1

B

J Q2

P F

C

Q 2′

L

P

Рис. 2.27 Рис. 4.28 Таким образом, рассмотренный вариант системы обладает устойчивостью в целом при любых параметрах, обеспечивающих локальную устойчивость стационарных состояний.

- 259 -

Пусть T2/T1 > 1. Система уравнений имеет вид (1.2.38). Линеаризованная модель, соответствующая данному случаю, запишется следующим образом: ⎧ 1−ξ k k ⎪⎪ϕ n+1, 0 = ξ ϕ n , 0 − α ( βxn − γ ) , ⎨ k − 1 ξ k ⎪ xn+1 = (1 − β ) xn − α (ξ ϕ n , 0 − ( βxn − γ )) + γ ⎪⎩ α

(4.3.8)

где ξ=1-α/k. Произведя замену Yn = −

1−ξ k

α

( βxn − γ ) , получим систему уравнений

⎧ϕ n+1, 0 = ξ kϕ n , 0 + Yn . ⎨ k −1 k k −1 Y βξ ( 1 ξ ) ϕ ( 1 βξ ) Y = − + − n,0 n ⎩ n+1

(4.3.9)

Перейдем к матричному уравнению вида r r q n +1 = Aq n ,

(4.3.10)

⎡ ξk 1 ⎤ r , qn (ϕ n , 0 , Yn ) T . A = ⎢ k −1 k k −1 ⎥ ⎣ βξ (1 − ξ ) 1 − βξ ⎦

Матрица A имеет собственные значения ρ1 = 1, ρ2 = ξk-1(ξ-β). Как и в предыдущем случае, существует множество стационарных зависящих от начальных условий, устойчивых при (1 −

α k

)( 1 − β −

α k

состояний,

) < 1.

(4.3.11)

Аналогично система уравнений стационарных соcтояний имеет вид

⎧⎪( 1 − ξ k )ϕ = Y . ⎨ ⎪⎩ ϕ < 1

(4.3.12)

В координатах ( ϕ , х) система (4.3.12) запишется следующим образом 1 ⎧ ⎪ϕ = − ( βx − γ ) α . ⎨ ⎪ϕ < 1 ⎩

(4.3.13)

Вследствие того, что одно из собственных значений матрицы А равно единице, в системе не возникают ПЦ2. Проанализируем возможность возникновения циклов 1-го рода. Рассмотрим развертку фазового цилиндра, приведенную на рис. 4.28. Здесь отрезок АВ представляет множество стационарных состояний (4.3.13). Аналогично первому случаю вся полоса | ϕ |<1 делится отрезком АВ на две части, в каждой из которых движение конца вектора состояний системы

- 260 -

происходит в одном направлении - в сторону АВ (при условии локальной устойчивости). На рис 4.28 Q1, Q2 - области нелинейного отображения. Границы области линейного отображения (стартуя из нее вектор состояния не попадает в области Q1, Q2) - прямые AN и BP, уравнения которых определяются условием

ξ ϕ− k

1−ξ k

α

( βx − γ ) = ±1 .

(4.3.14)

Таким образом, для локально устойчивой системы попадание в область ANBP означает существование единственного стационарного состояния, расположенного на отрезке АВ. Рассмотрим два случая, соответствующие малому и большому усилению в кольце ИФАПЧ. Пусть а/k<1. Несложно показать, что необходимым условием r возникновения ПЦ1 является попадание вектора q n в область цилиндра (за исключением области линейных движений ANBP): при β <2

α γ α ⎧γ x − < < + n ⎪β 2 − β β 2−β , ⎨ ⎪ϕ < 1 ⎩

(4.3.15)

и при β >2

α γ α ⎧γ x + < < − n ⎪β 2 − β β 2−β . (4.3.16) ⎨ ⎪ϕ < 1 ⎩ На рис. 4.29 этим условиям соответствуют заштрихованные области в прямоугольнике MFGL. Справедливость приведенных рассуждений легко доказать, производя отображение отрезка хn=const. Анализируя неравенства (4.3.15), (4.3.16), несложно заметить, что диапазон возможных значений увеличивается при β → 2. Для начальных условий, выходящих за рамки (4.3.16), неограниченно возрастает |хn|. Отметим, что в случае β ≤1 область возможных циклов (4.3.15) лежит внутри области линейного отображения, поэтому ПЦ1 не возникают, а значит в этом случае система является глобально устойчивой.

- 261 Z1 L

X

X

G P B

Z2

B

C

P

ϕ -1

ϕ

N

1

-1

1

D A

N M

A

F

Рис. 4.29

Рис. 4.30

β > 1 достаточные условия возникновения ПЦ1 получаются непосредственно из условия ϕ n+2, 0 = ϕ n , 0 , Yn + 2 = Yn . Начальные точки возможных При

циклов на плоскости располагаются на отрезках параллельных прямых в полосе

ϕ < 1 в зависимости от количества проскальзываний и номеров шагов, на которых произошли проскальзывания. Анализ поведения системы на плоскости состояний в области, ограниченной необходимыми условиями (4.3.15), показывает, что по мере увеличения β (1 < β ≤ 2) первыми возникают циклы с одним

проскальзыванием

проиллюстрированы

на

на

периоде

рис. 4.30,

Т2.

здесь

Приведенные

α/k < 1,

рассуждения

β > 1,

количество

проскальзываний на периоде Т2 равно одному, шаг проскальзывания – второй. Таким образом, в случае α/k < 1 нижняя граница области глобальной устойчивости по параметру β определяется условиями возникновения циклов с одним проскальзыванием на периоде Т2. Общий вид плоскости состояний при α/k > 1 приведен на рис. 4.31. Здесь AD и BC - прямые, ограничивающие области нелинейного отображений Q1, Q2; AN, BP - прямые, ограничивающие область линейных движений. Прямые AN, BP рассчитываются по начальным точкам (ϕn,0; xn), (ϕn+1,0; xn+1), при этом их наклон имеет постоянное значение, равное

C1 =

ϕ n+1, 0 − ϕ n , 0 xn+1 − xn

Наклон

=

1−ξ k

ξ k −1α

прямых

C 2 = β /( k − α ) .

.

AD

(4.3.17) и

BC

фиксирован

параметрами

системы

- 262 -

Из (4.3.17) следует, что наклон прямых AN, BP может изменять знак в зависимости от k, так как ξ = 1-α/k < 0, причем, при четном k их наклон отрицательный, при нечетном k - положительный. Поэтому в зависимости от четности k в системе существуют периодические движения различного вида. При четном k и выполнении условий 1−ξ k

ξ k −1

<

β k −α

(4.3.18)

возможны ПЦ1 несимметричной структуры (рис. 4.31). Из начальных состояний, находящихся в заштрихованной области, возникают циклы: ⎧ϕ n + m ,0 = ϕ n ,0 , ⎨ = x x ⎩ n+m n

(4.3.19)

при этом m принимает широкий спектр значений. При четном k и

ξ k −1α β , < k 1−ξ k −α

(4.3.20)

а также при k нечетном циклов типа (4.3.19) не существует. Однако в данном случае остаются ПЦ1 симметричной структуры ϕ n+2, 0 = ϕ n , 0 , Yn + 2 = Yn , условия возникновения которых определяются аналогично случаю α/k < 1. Таким образом, анализ фазовых портретов для T2/T1 > 1 позволяет сделать следующие выводы. Характер движений в системе не зависит от γ, а стационарные состояния определяются начальными условиями. В отличие от случая T1 / T2 > 1 , для определенных параметров системы движения 1-го рода, что ограничивает диапазон значений, обеспечивающих устойчивость в целом. Область глобальной устойчивости обусловлена следующими условиями. При малом усилении в кольце СФС (α/k < 1) и малом усилении в кольце ЦЧАП (β ≤ 1) периодические движения отсутствуют, система устойчива в целом. В полосе 1 < β ≤2 в системе возможны ПЦ1. Первыми при увеличении β возникают циклы с одним проскальзыванием на периоде Т2. В случае большого усиления в кольце СФС (α/k > 1) циклы возникают как при большом, так и при малом усилении в цифровом кольце. Отличие состоит в том, что для β > 1 возможны ПЦ1 симметричной и несимметричной структуры, в то время как при β < 1 возникают циклические движения только вида (4.3.19).

- 263 -

Для конкретных инженерных задач области параметров глобальной устойчивости для малого усиления в кольце СФС (α/k<1) определяются минимальными

значениями

β,

при

которых

возникают

ПЦ1

вида

ϕ n+2,0 = ϕ n,0 , Yn + 2 = Yn , с одним проскальзыванием на периоде Т2. В случае большого усиления в кольце СФС (α/k > 1) для устойчивой в целом системы диапазон значений β ограничен сверху ПЦ1 вида ϕ n+2, 0 = ϕ n , 0 , Yn + 2 = Yn , а также условием (4.3.18) возникновения циклов несимметричной структуры (4.3.19) при четном k. В качестве примера на рис. 4.31, 4.32 приведено распределение областей существования ПЦ1 для k=4 и k=7 с числом проскальзываний на периоде Т2, равным 1, 2, 4 и 7. β

β

k c =2

k c =1 k c =4

k c =2

k c =2 k c =7

k c =4 k c =1

1

k c =7

k c =1 1

ПЦ несимметричной структуры

α

α

Рис. 4.31

Рис.4.32

Различным областям соответствуют циклы с различной структурой (линией 1 ограничена область локальной устойчивости). Анализ приведенных рисунков позволяет установить диапазон параметров, обеспечивающих устойчивость системы в целом. 4.4. Выводы 1. Получила развитие методика исследования нелинейной динамики дискретных кусочно-линейных СФС применительно к двухкольцевым системам, отличительной особенностью которых является наличие двух временных дискретов. Как и в случае однокольцевых СФС в основу методики положены условия возникновения и потери устойчивости неподвижных k-

- 264 -

кратных точек, определяющих периодические движения, через образование сложных точек узел-седло, фокус-седло. Подобная бифуркация происходит в граничных точках кусочно-линейных функций. Сформулированы необходимые и достаточные условия возникновения сложных k-кратных точек. 2. Для определения границ области локальной устойчивости связанных систем с двумя временными дискретами предложена методика, основанная на понятии эквивалентной линеаризованной модели, построенной в новой временной шкале с дискретом Tэ = k1T2 = k2T1 . Введено понятие эквивалентной матрицы

линеаризованной

модели

Aэ ,

собственные

значения

которой

определяют характер устойчивости. Как и в однокольцевых системах границы области устойчивости Aэ наряду с границей существования определяют тип потери устойчивости неподвижными точками. Получены области локальной устойчивости для двухкольцевых СФС с преобразованием и без преобразования частоты с различными фильтрами в кольцах. Установлены закономерности изменения областей локальной устойчивости в зависимости от знака и величины взаимных связей между кольцами. 3. С учетом эквивалентной матрицы

Aэ

в новой шкале времени

сформулированы необходимые и достаточные условия возникновения периодических движений заданной структуры для связанных СФС с пилообразными детекторами. На основе условий разработан алгоритм расчета бифуркационных параметров, определяющих границы областей существования периодических движений. Доказана устойчивость периодических движений произвольной структуры. 4. Исследована устойчивость различных вариантов связанных двухкольцевых СФС с преобразованием частоты в выходном кольце. На плоскости различных параметров получены области существования колебательных и вращательных движений различной структуры. Установлены закономерности и очередность возникновения движений с различными параметрами. Доказано, что в новой временной шкале бифуркационные портреты связанной СФС качественно повторяют аналогичные для однокольцевых систем. В целом положительные взаимные связи между кольцами приводят к усложнению бифуркационной картины и , как следствие, уменьшению области устойчивости. Отрицательные взаимные связи, наоборот, способствую вытеснению периодических движений за границу области существования состояния равновесия и расширяют область устойчивой работы

- 265 -

системы. За счет отрицательных связей, например, удается полностью разрушить колебательные движения, возникающие в области малых частотных расстроек в связанной системе с фильтром. При определенных связях можно добиться области устойчивости, в том числе полосы захвата, близких к однокольцевым СФС 1-го порядка. 5. Исследована устойчивость связанных двухкольцевых СФС без преобразования частоты. Данная модель является структурно симметричной, по этой причине влияние колец друг на друга через взаимные связи носит одинаковый характер. На плоскости различных параметров получены области существования колебательных и вращательных Установлены закономерности возникновения движений с различными параметрами. Доказано, что в силу симметрии схемы изменение знаков взаимных связей на противоположные не изменяет свойств системы. При стремлении одной из связей к нулю, фактически оба кольца становятся независимыми. В то же время влияние связей на области устойчивой работы системы достаточно заметно. Получены результаты, позволяющие для конкретных условий за счет выбора взаимных связей колец оптимизировать работу как отдельных колец, так и всей системы, включая полосы захвата по частоте. 6. На основе предложенной методики, основанной на переходе в новую временную шкалу, исследована нелинейная динамика комбинированной импульсно-цифровой системы частотно-фазовой автоподстройки, которая относится к классу связанных дискретных систем с двумя внешними опорными колебаниями, особенностью которых является наличие одного перестраиваемого генератора. Рассмотрены два варианта соотношения периодов дискретизации в импульсном Т1 и цифровом Т2 кольцах. Для обоих случаев доказана нейтральность рассматриваемой модели, для которой характерным является зависимость установившихся движений от начальных условий в системе. Доказано отсутствие вращательных движений в системе при наличии нейтральности. Для случая Т1 > Т2 доказано отсутствие и колебательных движений, тем самым установлено устойчивость в целом для любых параметров, обеспечивающих локальную устойчивость связанной системы. Для Т2 > Т1 подтверждена устойчивость в целом для малых усилений в кольцах. При большом усилении в импульсном кольце установлено существование колебательных движений как при малом, так и при большом усилении цифрового кольца. Получены области существования таких движений.

- 266 -

Глава 5. Устойчивость дискретных СФС с циклическим прерыванием автоподстройки Во введении показано, что дискретные системы с циклическим прерыванием в последнее время нашли применение в целом ряде технических приложений благодаря своим уникальным свойствам. В то же время в качестве объекта исследования подобные системы являются, очевидно, более сложными по сравнению с традиционными однокольцевыми СФС а, значит, менее изученными. По этой причине, если теория дискретных систем синхронизации находится в стадии развития, то это непосредственно относится и к системам с прерыванием. К настоящему времени опубликован ряд работ автора диссертации, посвященных линейному анализу дискретных СФС с прерыванием, в том числе исследованию динамических режимов, включая локальную устойчивость, характер и длительность переходных процессов [40,138], статистических характеристик выходного сигнала [137]. Нелинейная динамика ряда моделей с прерыванием исследована Пестряковым А.В. и его учениками методом усреднения в работах [26,27,134,135], где в рамках точности метода получены приближенные оценки полосы захвата и длительности процессов установления частоты. Точных результатов для произвольных параметров системы и режима прерывания на сегодняшний день не существует. В разделе выполнено обобщение качественно-аналитических методов анализа нелинейной динамики, предложенных в предыдущих главах для однокольцевых и связанных СФС, на модели с разрывным временем. Методика расчета бифуркационных параметров также основана на условиях попадания kкратной точки на границу линейного участка функции F1(ϕ). Особенность методики расчета бифуркационных параметров вызвана необходимостью перехода в новую шкалу времени и неоднозначным в общем случае сценарием возникновения периодических движений заданной структуры в новом шкале. Особенность применения метода гармонической линеаризации для анализа периодических движений также связана с переходом в новую шкалу времени и необходимостью в связи с этим использования эквивалентных моделей приведенной линейной части систем.

- 267 -

С помощью предложенных методик изучаются динамические свойства двух типов дискретных СФС с прерыванием: однокольцевой системы без привязки фазы и с привязкой фазы в момент перехода к режиму автоподстройки. Математические модели систем получены в главе 1. Исследуются следующие динамические характеристики: области существования колебательных и вращательных движений, области устойчивости в большом, в целом, полосы захвата. 5.1. Линейные модели дискретных СФС с циклическим прерыванием автоподстройки Получим области локальной устойчивости состояния равновесия отображений 1-го типа (1.3.3), (1.3.4) и 2-го типа (1.3.10), (1.3.11). Для этого выполним линеаризацию отображений в окрестности состояния равновесия r q0 = (ϕ 0 , x0 )T . r Пусть ∆qn ,i = (∆ϕ n ,i , ∆xn ,i )T - вектор приращения координат x и ϕ

относительно состояния равновесия в момент времени n, i Отображение 1-го типа в приращениях на интервале замыкания будет иметь вид ⎧∆ϕ n ,i +1 = (1 − α ⋅ F ′(ϕ 0 ))∆ϕ n ,i + ∆xn ,i , 0 ≤ i < k, ⎨ ⎩ ∆xn ,i +1 = − β ⋅ F ′(ϕ 0 ) ∆ϕ n ,i + d ∆xn ,i где F ′(ϕ 0 ) - производная нелинейной функции в точке равновесия,

или

r r ∆qn ,i +1 = Aр ⋅ ∆qn ,i , 0 ≤ i < k,

(5.1.1)

(5.1.2)

где Aр – линеаризованная матрица, соответствующая режиму замыкания,

⎛1 − α 1 ⎞ ⎟⎟ . Ap = ⎜⎜ ⎝ − β d⎠ Отображение на интервале паузы будет иметь вид ⎧∆ϕ n ,i +1 = (1 − α ⋅ F ′(ϕ 0 ))∆ϕ n ,i + ∆xn ,i ⎨ ⎩ ∆xn ,i +1 = d ∆xn ,i − β ⋅ F ′(ϕ 0 )∆ϕ n ,k −1

(5.1.3)

,

(5.1.4)

k ≤ i < k+l или ⎛ α ⋅ F ′(ϕ 0 ) ⎞ r r ⎟⎟∆ϕ n ,k −1 , ∆qn ,i +1 = Aп ⋅ ∆qn ,i − ⎜⎜ ′ β ϕ F ( ) ⋅ 0 ⎠ ⎝

(5.1.5)

- 268 -

где An – линеаризованная матрица отображения, соответствующая режиму паузы,

⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ . Aп = ⎜⎜ (5.1.6) 0 d ⎠ ⎝ Построим линеаризованную матрицу для полного цикла работы системы. r Пусть ∆qn , 0 = ( ∆ϕ n , 0 , ∆xn , 0 )T - вектор приращения, соответствующий моменту замыкания кольца. Тогда

r r r r ⎛α′ ⎞ ∆qn+1, 0 = ∆qn ,k +l = Aпl Aрk ∆qn , 0 − Al Apk −1∆qn, 0 1 ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ β ′⎠ [⋅]1 - первая где α ′ = α ⋅ F ′(ϕ 0 ) , β ′ = β ⋅ F ′(ϕ 0 ) ,

[

]

(5.1.7) координата

вектора,

ограниченного квадратными скобками, l ⎞ ⎛l Al = ∑ Ani = ⎜⎜ 11 12 ⎟⎟, i =0 ⎝ l21 l22 ⎠ . 1− dl l 1− dl , l21 = 0, l22 = l11 = l , l12 = − 1− d 1 − d (1 − d ) 2 l −1

(5.1.8)

Введем обозначения ⎛a Anl Apk = A = ⎜⎜ 11 ⎝ a21

a12 ⎞ ⎛k ⎟⎟, Apk −1 = ⎜⎜ 11 a22 ⎠ ⎝ k21

k12 ⎞ ⎟, k22 ⎟⎠

(5.1.9)

соответственно линеаризованное отображение примет вид ⎧∆ϕ n+1, 0 = (a11 + c1 k11 ) ∆ϕ n , 0 + (a12 + c1 k12 ) ∆xn , 0 , ⎨ ∆ = + ∆ + + ∆ x ( a c k ) ϕ ( a c k ) x 21 2 11 n,0 22 2 12 n,0 ⎩ n+1, 0 где c1 = −(b11 α ′ + b12 β ′), c2 = −(b21 α ′ + b22 β ′) .

(5.1.10)

С учетом (5.1.10) линеаризованная матрица для полного цикла работы системы 1-го типа будет иметь вид A12 ⎞ ⎛A ⎟⎟, ALI = ⎜⎜ 11 . ⎝ A21 A22 ⎠ A11 = a11 + c1 k11 , A12 = a12 + c1 k12 , A21 = a21 + c2 k21 , A22 = a22 + c2 k12

(5.1.11)

Выполним линеаризацию отображения системы с прерыванием 2-го типа. Отличие от системы 1-го типа состоит в том, что при переходе от режима паузы к режиму замыкания происходит предустановка разности фаз. Данную процедуру можно описать математически линейным отображением вида

- 269 -

⎛ ϕ n+1, 0 ⎞ ⎛ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎜⎜ x n + 1 , 0 ⎠ ⎝− d ⎝

0 ⎞ ⎛ ϕ n ,k +l ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ + ⎜ ⎟ ϕ0 , ⎟⎜ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ xn ,k +l ⎟⎠ ⎜⎝ d ⎟⎠

(5.1.12)

где ϕ0 – значение разности фаз, которое приобретает координата ϕ за счет предустановки. С учетом (5.1.12) уравнение для переменных, взятых в моменты замыкания кольца, для системы 2-го типа будет иметь вид

r r r ⎛α′ ⎞ ∆qn+1, 0 = Ac Aпl Aрk ∆qn, 0 − Ac Al Apk −1∆qn, 0 1 ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ β ′⎠

[

]

(5.1.13)

⎛ 0 0⎞ ⎟⎟ . где Ac = ⎜⎜ d 1 − ⎠ ⎝ Соответственно линеаризованная система примет вид ⎧∆ϕ n+1, 0 = 0 , ⎨ 1 1 ∆ = − + + ∆ + − + + ∆ x ( d a a c k ) ϕ ( d a a c k ) x 11 21 2 11 n,0 12 22 2 12 n,0 ⎩ n+1, 0

(5.1.14)

где c12 = (d b11 − b21 )α ′ + (d b12 − b22 ) β ′ . Отсюда выписывается линеаризованная матрица

0 ⎞ ⎛ 0 ⎟, ALII = ⎜⎜ 1 1 ⎟ . ⎝ A21 A22 ⎠ 1 1 A21 = −d a11 + a21 + c12 k11 , A22 = −d a12 + a22 + c12 k12

(5.1.15)

На рис. 5.1 и 5.2 на плоскости обобщенных параметров α, β приведены области локальной устойчивости соответственно для систем 1-го и 2-го типов. Области получены на основе анализа собственных значений ρ1,2 матриц ALI и ALII . На рисунках приняты следующие обозначения:

G1 , G-1 , Gϕ , – границы

области локальной устойчивости, соответствующие переходу одного из собственных значений линеаризованной матрицы соответственно через значения ρ = 1, ρ = -1 и ρ = e jϕ . В отличии от однокольцевых СФС границы имеют достаточно сложный характер. Прежде всего это касается комплексной границы Gϕ , которая имеет разрывный характер. Участки этой границы формируются на выбросах, число которых равняется числу системных тактов, приходящихся на интервал подстройки. Выбросы разделены впадинами, границами которых являются G1 либо G-1 , при этом сами впадины с указанными границами распределены поочередно. Подобное распределение вполне логично, поскольку для комплексной границы Gϕ диапазон углов

- 270 -

β

β

Gϕ Gϕ

G- 1

G0

k = 10 l = 20 d = 0.75

G1

G- 1

G0

k =5 l = 10 d = 0.75

G1

α

а)

α

б)

Рис. 5.1. Области локальной устойчивости СФС с ЦП 1-го типа β

β

G1

G1 G0

G0

G- 1

G- 1

k =5 l = 10 d =1

а)

k = 10 l = 20 d =1

α

б)

Рис. 5.2. Области локальной устойчивости СФС с ЦП 2-го типа

α

- 271 -

составляет 0 ≤ ϕ ≤ π, и на краях диапазона должно выполняться соответственно условия : e jϕ = ±1 . Наличие выбросов, ограниченных с трех сторон различного типа границами локальной устойчивости, как будет показано в следующих разделах, приводит к достаточно сложному поведению системы внутри выбросов и областях, прилегающих к ним. Анализ области локальной устойчивости СФС с ЦП первого типа (рис. 5.1), показал, что ее размер во многом определяется длительностью режима подстройки k, значительно в меньшей степени соотношением длительности режимов подстойки и паузы k/l. Наименьший размер отмечается при малых k (рис. 5.1.б). С ростом k несмотря на сложную форму границ область устойчивости приближается к треугольнику устойчивости однокольцевой СФС. Влияние l при больших k практически отсутствует. На качественном уровне, основные закономерности для СФС с ЦП второго типа повторяются (рис. 5.2). При малых k область устойчивости имеет достаточно малые размеры (рис. 5.2а), значительно меньшие по сравнению с СФС 1-го типа (рис. 5.1.б). С ростом интервала подстройки разница уменьшается (рис. 5.2б). При больших k область устойчивости стремится к треугольнику устойчивости астатической СФС. С практической точки зрения c учетом локальной устойчивости системы 1го типа могут быть использованы уже при интервалах подстройки k ≥ 5-10, системы 2-го типа - при k ≥ 10-15. В [40] автором выполнены исследования дискретной СФС 2-го типа с детектором с широтно-импульсной модуляцией. Результаты двух систем с различными типами детекторов достаточно близки. Это говорит о том, что достаточно велик вес в полученных результатах самого принципа и параметров размыкания, в меньшей степени присутствует влияние типа отдельных узлов. 5.2. Методика анализа устойчивости дискретных СФС с разрывным временем В разделе получила развитие методика анализа нелинейной динамики применительно к кусочно-линейным дискретным СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки. Основные положения, разработанные во второй главе для исследования нелинейной динамики однокольцевых СФС,

- 272 -

применены для систем с разрывным временем. Базовыми для расчета параметров системы, при которых возникают периодические движения различного типа, являются условия возникновения и потери устойчивости kкратных неподвижных точек. Эти условия связаны напрямую с переходом неподвижных точек в фазовом пространстве через границы линейных участков функции F(ϕ). Как и в случае связанных и комбинированных СФС особенностью методики является переход в новую временную шкалу. Дискрет шкалы совпадает с периодом полного цикла работы системы T = T р + Tп . 1)

Справедливы следующие утверждения: все периодические движения имеют период, кратный периоду полного

цикла системы, Tk = k ⋅ T ; 2)

движениям с периодом Tk=T в новой временной шкале соответствуют

простые неподвижные точки, движениям с Tk = k ⋅ T - k-кратные неподвижные точки; простые неподвижные точки в исходном времени представляют собой кратные захваты или предельные циклы 2-го рода; 3) в силу симметрии колебательных движений их минимальный период составляет величину Tk=2T; по аналогии с однокольцевыми СФС колебательные движения четного периода возникают при малых частотных расстройках. На рис. 5.3 приведена развертка фазового цилиндра системы с прерыванием с ПИФ с рядом вспомогательных построений. Для режима подстройки (рис. 5.3а) уравнения линий отображения с сохранением координат

ϕ и х имеют согласно (1.3.1) сответственно вид Lϕ,0 : x = α ⋅ ϕ , Lх,0 : x = − β ⋅ ϕ + g (5.2.1) 1− d 1− d Уравнения (5.2.1) совпадают с уравнениями аналогичных линий однокольцевой СФС 2-го порядка. Для режима паузы (рис. 5.3б) уравнения линий отображения с сохранением координат ϕ и х в соответствии с (1.3.2) имеют вид Lϕ,0 : x = α ⋅ ϕ n ,k −1 , Lх,0 : x =

− β ⋅ ϕ n ,k −1 g + 1− d 1− d

(5.2.2)

- 273 x

x K

K

(− 1 ;2 − α)

Q1

Q ′1

A

(− 1 ;2− α )

K'

0

L ϕ ,0

(− 1 ;− α)

L'

(− 1;− α )

B C'

Q -1 ′ Q -1

G Q ,-1

C

K' D

(1 ;α ϕ n,k-1 )

L ϕ ,0

0

ϕ

(1;0)

(− 1 ;0 )

L x ,0

C

Q0

ϕ

(1 ;0 )

(−1 ;0 )

ϕ n,k-1

D'

(1 ;α)

Q0

Q1

A

D

D'

Q 1′

L x ,0

Q -1

′ Q -1

G Q ,-1

L

B C' L

L'

а)

б)

Рис. 5.3.Развертка фазового цилиндра СФС с ЦП 1-го типа с ПИФ для а) режима подстройки, б) режима паузы x

x K

K

(− 1 ;2 − α)

A

Q1

Q ′1

(− 1 ;2− α )

K' D

D' 0

L ϕ ,0

B C'

Q -1

L'

′ Q -1

G Q ,-1

а)

Q0

C

(− 1;− α )

D

L ϕ ,0

0

(1;0)

Q -1

′ Q -1

L x ,0

G Q ,-1

L

K'

(1 ;α ϕ n,k-1 )

(− 1 ;0 )

L x ,0

C

(− 1 ;− α)

ϕ n,k-1

ϕ

(1 ;0 )

(−1 ;0 )

Q1

D'

(1 ;α)

Q0

Q 1′

C' L

L'

б)

Рис. 5.4.Развертка фазового цилиндра СФС с ЦП 1-го типа с ИФ для а) режима автоподстройки, б) режима паузы

ϕ

- 274 -

Согласно (5.2.2) Lϕ,0 и Lх,0 для паузы представляют собой горизонтальные линии, которые изменяют свое положение в зависимости от значения координаты ϕ в момент размыкания кольца. Состоянием равновесия для паузы служит множество значений ϕ , ϕ ≤ 1 , при x = g /(1 − d − β ) . Поскольку точка равновесия для режима подстройки (О) входит в это множество, то она является общим состоянием равновесия СФС с прерыванием с ПИФ. На рисунках приведены области нелинейного отображения с возрастанием координаты ϕ - Q1 и убыванием - Q-1 и соответственно области, в которые происходит нелинейное отображение - Q1′ и Q−′1 . В соответствии со стрелками, приведенными на рисунках происходит движений в каждой из областей, образованных линиями Lϕ,0 и Lх,0 . Направление движения определяется из уравнений (1.3.1) и (1.3.2). Для существования периодического движения необходимо, чтобы изображающая точка попала хотя бы в одну из областей нелинейного отображения Q1 или Q-1 и соответственно в результате нелинейного отображения в одну из областей Q1′ или Q−′1 . Момент возникновения движения связан с переходом точки через границу линейности F(ϕ) или с касанием границы областей Q1′ или Q−′1 . Данный факт будет положен в основу алгоритма расчета параметров, определяющих границу возникновения периодических движений. На рис. 5.4 приведена развертка фазового цилиндра системы с прерыванием с интегратором, моделью которой служит уравнения (1.3.3.) и (1.3.4), соответственно для режима подстройки (рис. 5.4а) и режима паузы (рис. 5.4б). Для режима подстройки уравнения для Lϕ,0 и Lх,0 имеют в соответствии с (1.3.3) вид x = α ⋅ ϕ и ϕ = 0,

(5.2.3)

для режима паузы в соответствии с (1.3.4) -

x = α ⋅ ϕ n ,k −1 и ϕn,k-1 = 0.

(5.2.4)

Единственной точкой равновесия является точка ϕn,k-1 = 0, совпадающая с состоянием равновесия для режима подстройки. На рис. 5.5 приведены развертки фазового цилиндра для режима подстройки и режима паузы для ситуации, когда в системе кроме состояния равновесия О существует кратный захват О′.

- 275 -

x

L ϕ ,1 Q 1′ A

K'

O′ Q1

K

D

D' Q0

L ϕ ,0

O

0

ϕ L x ,0

B

а) x K A

K' Q 1′

O′

L ϕ ,1 Q1

D'

Q0

O 0

ϕ ′′ n,k-1

′ Q -1

Q -1

L x2 D

L ϕ ,0 ϕ

ϕ ′ n,k-1 L x1

B

б) Рис. 5.5 Развертка фазового цилиндра СФС с ЦП 1-го типа с ПИФ для случая кратного захвата а) режима подстройки, б) режима паузы

- 276 -

Введение в систему с прерыванием предустановки фазы в момент перехода к режиму подстройки согласно (1.3.10) и (1.3.11) не меняет расположения линий на фазовом цилиндре как для системы с ПИФ так и для системы с интегратором. Характер траекторий будет иным, поскольку принудительно один раз за цикл работы изменяются фактически обе координаты. Очевидно, в системе с предустановкой будет существовать состояние равновесия, если значение фазы, которое навязывается системе при переходе от режима паузы к режиму подстройки, совпадает с координатой ϕ состояния равновесия, соответствующего режиму подстройки кольца. Для системы с интегратором таким значением является ϕ = 0. Для построения алгоритма расчета параметров, приводящих к возникновению периодических движений, получим выражения для условия замыкания, аналогичные однокольцевым системам. Запишем нелинейное уравнение СФС с циклическим прерыванием в виде r r r r qn +1 = AL ⋅ qn + b − pn , (5.2.5) где: AL - линеаризованная матрица системы, приведенная к временной шкале r r nT (р. 5.1), b - приведенный вектор постоянного воздействия, pn = (p1n , p 2n )T r суммарный взвешенный вектор нелинейного смещения qn за время T . Вектор r r pn определяется суммой сверток векторов нелинейного смещения pn,i с матрицами Ap и Aп системы за время T. r Для k - итераций вектора qn в шкале n ⋅ T получим:

r r E − ALk r k −1 k −1− j r qn+ k = ALk ⋅ qn + ⋅ b − ∑ AL ⋅ pn+ j . E − Aэ j =0

(5.2.6)

Для периодического движения периода k необходимо выполнение условия r r (5.2.7) qn + k = q n , r при этом хотя бы один из векторов pn+ j,i должен иметь отличную от нуля координату. При подстановке (5.2.7) в (5.2.6) получаем выражение для определения точек траектории ПЦ k −1 r r* k −1− j −1 k −1 qn = ( E − Aэ ) ⋅ b − ( E − Aэ ) ⋅ ∑ Aэ ⋅ Sn+ j . (5.2.8) j =0

Точки выражением

r r r qn*, qn*+1 ,..., qn*+ k −1 (5.2.8)

при

траектории (k-1)

цикла

циклических

периода

k

определяются

перестановках

векторов

- 277 -

r r r ( pn , pn+1 ,..., pn+ p −1 ). Условие существования хоты бы одного ненулевого вектора r r pn+ j,i равносильно попаданию хотя бы одного вектора qn+ j, i в области нелинейного отображения Q1′ или Q−′1 . В свою очередь касание вектором r qn+ j, i границ Q1′ , Q−′1 приводит к возникновению либо разрушению периодического движения.. r Найденный из уравнения (5.2.8) вектор qn∗ будет определять точку траектории периодического движения структуры Анализ условий существования периодических движений заключается в определении параметров системы, для которых выполняется (5.2.8). В свою очередь, для возникновения движений необходимо определить граничные или бифуркационные значения параметров. Эта процедура основывается на анализе r r r последовательности векторов нелинейного смещения pn , pn +1, ..., pn + k −1 , соответствующих заданной структуре цикла. Выражение (5.2.8) носит общий характер и выступает в качестве одного из необходимых условий возникновения цикла заданной структуры. Вторым необходимым условием выступает структурное условие, определяющее структуру цикла. Все точки цикла должны находиться в определенных структурой областях нелинейного отображения Q1′ , Q−′1 либо области линейного отображения Qs , одна точка обязана находиться на границе одной из областей Q1′ , Q−′1 . Выпишем условия замыкания для предельных циклов, которые рассматриваются в новой временной шкале как простые неподвижные точки. 1. Предельный цикл 2-го рода периода k = 1 с одним проскальзыванием в режиме подстройки: r r r r q0 = ( E − Apk1 +k2 Anl ) −1 ( Apk1 Anl Ak2 + Ak1 ) B p + Apk1 Al Bn + p , (5.2.9)

[

]

r ⎛ 0 ⎞ r ⎛ 0 ⎞ ⎛α ⎞ E − Apk1 , B p = ⎜⎜ ⎟⎟, Bn = ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ϕ 0,k −1 , Ak1 = β g g E A − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ p E − Apk2 −1 ⎡ k2 −1 r ⎛ 0 ⎞⎤ , Al = ∑ A , ϕ 0,k −1 = ⎢ Ap ⋅ q0 + Ak2 −1 ⎜⎜ ⎟⎟⎥ , Ak2 −1 = . Ak2 = g E A E − Ap − i =0 ⎠ ⎝ p ⎣ ⎦1 E − Apk2

l −1

i n

где k1 – номер дискрета на интервале подстройки, на котором произошло нелинейное отображение, k1+k2 – длительность интервала подстройки.

- 278 -

r Решение уравнения (5.2.9) дает координаты вектора q0 , соответствующего

первой после нелинейного отображения точке. Решение зависит при фиксированных параметрах системы от обобщенной частотной расстройки g и r может быть получено численным способом. С изменением g вектор q0 сдвигается в фазовом пространстве. Если существует g , для которого выполняется условие

⎛ ± 1⎞ r q0 ( g ) = ⎜⎜ ⎟⎟ , (5.2.10) ⎝ x⎠ где x принадлежит границе области Q±′1 , то возникает предельный цикл 2-го рода с одним проскальзыванием с периодом k = 1 в новой шкале времени. Знак "+" соответствует вращению фазы в отрицательном направлении, "–" соответствует вращению в положительном направлении. В шкале nT цикл будет представлять собой кратный захват с единичной кратностью. Значение g , полученное из уравнения (5.2.10), является бифуркационным для рождения сложных неподвижных однократных точек: устойчивый узелседло либо устойчивый фокус-седло. Для пилообразной нелинейности F1(ϕ) такая сложная точка находится в точке разрыва F1(ϕ) . Чтобы убедиться в этом, достаточно, как и для систем 2-го порядка, перейти к отличной от нуля длительности неустойчивого участка нелинейности. При дальнейшем изменении g сложные точки переходят в две неподвижные точки. Одна из них устойчивый узел либо устойчивый фокус, вторая – седло. 2. Предельный цикл периода k = 1 с двумя проскальзываниями в режиме подстройки: r r Выражения для двух векторов q01 и q02 , определяющих положение системы после нелинейных отображений, имеют вид r r r r r q01 = Apk1 Anl Apk3 q02 + ( Apk1 Anl Ak3 + Ak1 ) B p + Apk1 Al Bn + p1 ,

[

r k1 + k2 l k2 ⎤ ( A A A A A A ) B + + p n k3 p k1 k2 p r q02 = ( E − Apk1 + k2 Anl Apk3 ) −1 ⎥ r r r + Apk1 + k2 Al Bn + Apk2 p1 + p2 ⎥⎦

,

(5.2.11)

- 279 -

r ⎛ 0 ⎞ ⎛α ⎞ ⎡ ⎛ 0 ⎞⎤ r Bn = ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ϕ 0,k −1 , ϕ 0,k −1 = ⎢ Apk3 −1 ⋅ q02 + Ak3 −1 ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎝ g ⎠ ⎦1 ⎝g⎠ ⎝β ⎠ ⎣ Ak3 =

E − Apk3 E − Ap

,

k1+k2+k3 – длительность интервала подстройки, k1 и k1+k2 – номера дискретов на интервале подстройки, соответствующие нелинейным отображениям. Выражение (5.2.11) представляет собой условие замыкания для рассматриваемого цикла. Для его существования необходимо выполнение еще r r одного условия, согласно которому вектора q01 и q02 должны находиться в областях нелинейного отображения. Для возникновения цикла один из векторов должен находиться на границе области, второй – внутри. В точке касания выполняется условие, аналогичное (5.2.10). С помощью (5.2.11) можно получить значения параметров системы, определяющие границы областей существования следующих движений: - предельного цикла 2-го рода с двумя проскальзываниями с нарастанием r r фазы, если p1 = p2 = (−2,0)T ; - предельного цикла 2-го рода с двумя проскальзываниями с убыванием r r фазы, если p1 = p2 = (2,0)T ; r r - предельного цикла 1-го рода, если p1 = (±2,0)T , p2 = (m2,0)T . Перечисленные циклы в новой временной шкале представляют собой простые неподвижные точки. Рождение их происходит также через сложную точку типа устойчивый узел-седло либо устойчивый фокус-седло с последующим образованием двух однократных точек, одна из которых устойчивая, вторая - неустойчивая. 3. Предельный цикл периода k = 1 с одним проскальзыванием в режиме паузы: Условие замыкания для точки, попадающей в область нелинейного отображения, выписать напрямую аналогично случаю с проскальзыванием на интервале подстройки не удается. Сначала найдем вектор состояния для начальной точки цикла работы системы. Он имеет следующий вид

[

]

r r r r q0 = ( E − Anl Apk )−1 ( Anl2 Al1 + Al2 ) Bn + Anl Ak B p + Anl2 p ,

(5.2.12)

- 280 l1 −1

l2 −1

Al1 = ∑ A , Al2 = ∑ A , Ak = i =0

i n

i =0

i n

E − Apk E − Ap

,

r ⎛ 0 ⎞ ⎛α ⎞ ⎡ k −1 r E − Apk −1 ⎛ 0 ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ . Bn = ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ϕ 0,k −1 , ϕ 0,k −1 = ⎢ Ap ⋅ q0 + E − Ap ⎜⎝ g ⎟⎠⎥⎦1 ⎢⎣ ⎝g⎠ ⎝β ⎠ Для того, чтобы воспользоваться условием касания (5.2.10) для определения граничных параметров, перейдем к вектору точки, попадающей в область нелинейного отображения. Выражение для данного вектора имеет вид r r r r r q0,k +l1 = Anl1 ( Apk q0 + Ak B p ) + Al1 Bn + p . (5.2.13) Совместное решение (5.2.10), (5.2.12) и (5.2.13) даст граничные параметры возникновения предельного цикла единичного периода в новом времени с одним проскальзыванием на интервале паузы. Решая систему относительно g , получим частотную расстройку, при которой возникает цикл. В новом времени рассмотренный цикл представляет собой простую неподвижную точку. В r зависимости от компонент вектора p она соответствует кратному захвату с r нарастанием фазы ( p = (−2,0)T ) или кратному захвату с убыванием фазы r ( p = (2,0)T ). r r r r Аналогично выписываются вектора q0 , q0,k +l1 , q0,k +l2 , ... , q0,k +lm , для m проскальзываний на интервале паузы. Движение рассмотренной структуры составляет основу ряда движений 1го и 2-го рода, определяющих область глобальной устойчивости СФС с прерыванием 1-го типа. Комбинация из двух подобных движений с разными r r знаками компонент векторов p1 = (−2,0)T ) и p2 = (2,0)T дает циклы 1-го рода, ограничивающие область устойчивости в окрестности четных выбросов области локальной устойчивости системы (см. п. 5.2.). Выпишем условия замыкания для системы с прерыванием 2-го типа. 1. Предельный цикл 2-го рода периода k = 1 с одним проскальзыванием в режиме подстройки: r r r r q0 = ( E − Apk Ac Anl ) −1 ( Apk1 Ac Anl Ak2 + Ak1 ) B p + Apk1 Ac Al Bn + p , (5.2.14)

[

]

2. Предельный цикл периода k = 1 с двумя проскальзываниями в режиме подстройки: r r Выражения для двух векторов q01 и q02 , определяющих положение системы после нелинейных отображений, имеют вид

- 281 β

β g=0 d=0,75 k=10 l=5

m=0

g=0,15 d=0,75 k=10 l=5

0.1 2-2,3-3… 2 2

m=0

2-2,3-3… 2 2 2-0,3-0… 1-1 2 2 2

2-0,3-0… 1-1 2 2 2

2-2 2

3-3 2 2-0 2

1-0 2 1-1 2

1-0 2

3-3 2 2-0 2

0.2

1-1 2

2-2 2

1-0 2

0.1

1-1 2

1-0 2

0.75

2-2 2

1-0 2

0.2

1-1 2 1-0 2

0.75

1-1 2

1-1 2

1

1

α

α

а)

б)

Рис. 5.6. Области периодических движений СФС с ПЦ 1-го типа для большого времени подстройки для а) g = 0, б) g = 0.15

β

2-0,3-0… 2 2

g=0 m=0 d=0,75 k=5 l=10

β

g=0,15 d=0,75 k=5 l=10

0.1

1-1 2

2-2,3-3… 2 2 1-1 2

0.2

4-0 3-0 2 2 5-0 2 3-3 4-4 2 4

2-2 2

2-0 2 1-0 2 1-1 2

4-0 2

1-0 2

1-1 2

0.75 1

α

а)

0.1

1-0 2

2-2,3-3… 2 2

2-0,3-0… 2 2

m=0

0.2

3-0 2 2-0 2 1-0 2

1-0 2

1-0 2

1-0 2

0.75 1

α

б)

Рис. 5.7. Области периодических движений СФС с ПЦ 1-го типа для малого времени подстройки для а) g = 0, б) g = 0.15

- 282 -

r r r r r q01 = Apk1 Ac Anl Apk3 q02 + ( Apk1 Ac Anl Ak3 + Ak1 ) B p + Apk1 Al Bn + p1 ,

, (5.2.15) r ( Apk1 + k2 Ac Anl Ak3 + Apk2 Ak1 + Ak2 ) B p ⎤ r k1 + k 2 l k3 −1 q02 = ( E − Ap Ac An Ap ) ⎥ r r r + Apk1 + k2 Ac Al Bn + Apk2 p1 + p2 ⎥⎦ 3. Предельный цикл периода k = 1 с одним проскальзыванием в режиме паузы: Вектор состояния для начальной точки цикла работы системы имеет вид r r r r q0 = ( E − Ac Anl Apk ) −1 ( Ac Anl2 Al1 + Al2 ) Bn + Ac Anl Ak B p + Anl2 p , (5.2.16)

[

[

]

Выражение для вектора точки, попадающей в область нелинейного отображения совпадает с аналогичным для системы 1-го типа r r r r r q0,k +l1 = Anl1 ( Apk q0 + Ak B p ) + Al1 Bn + p . (5.2.17) Уравнения (5.2.14)-(5.2.17) совместно с условием (5.2.10) позволяют ответить на вопрос о существовании простейших периодических движений в СФС с ЦП 2-го типа, представляющих собой в новой шкале времени простые неподвижные точки. В то же время они, как и в случае системы 1-го типа, выступают базовыми для построения алгоритма расчета граничных параметров возникновения циклов, представляющих собой неподвижные точки с кратностью, превышающей единицу. 5.3. Анализ установившихся движений в СФС с прерыванием различного типа

Выполним анализ установившихся движений в дискретной СФС с ЦП с ПИФ 1-го типа. Для этого обратимся к рис. 5.6, 5.7, где на плоскости обобщенных параметров α, β приведены области существования наиболее характерных периодических движений. Для удобства на рисунках нанесены линии физических параметров для импульсной СФС, сответствующие различным коэффициентам пропорциональности m фильтра. Прежде всего отметим закономерность в распределении движений 1-го и 2-го рода. В области четных выбросов на диаграмме локальной устойчивости формируются семейства ПЦ 1-го рода периода k = 2, 2-кратные неподвижные точки. Циклы, входящие в семейство, имеют одинаковую структуру

u −u , где u – число 2

- 283 x

ϕ

а) x

ϕ

б) Рис. 5.8. Примеры установившихся движений в СФС с ЦП 1-го типа для k = 5, l = 10, g = 0, d = 0.75 а) семейство подобных ПЦ 1-го рода, α = 0.23, β = 0.18 б) ПЦ 2-го рода, α = 1.07, β = 0.59

- 284 -

нелинейных отображений на полупериоде цикла. При этом все нелинейные отображения происходят на интервале паузы. Число нелинейных отображений с возрастанием и убыванием фазы на цикле совпадает. Для небольших длительностей паузы l (рис. 5.6а,б) с ростом номера выброса (с ростом α, β) увеличивается число циклов семейства за счет движений с большим числом нелинейных отображений. Циклы одного семейства имеют одинаковые относительные размеры и представляют собой подобные движения, формирующиеся вокруг состояния равновесия О (точка пересечения линий Lϕ , 0 и Lx , 0 , см. рис. 5.3). Пример ситуации с тремя движениями приведен на рис. 5.8а. Согласно изображенному на нем фазовому портрету циклы отличаются числом нелинейных отображений u (переходов через границы периодов фазового цилиндра), соответственно u = 1,2,3. Кружками обозначены точки цикла, соответствующие переходу к режиму подстройки. В случае нулевой расстройки g = 0 движения являются абсолютно симметричными по обеим координатам. Ниже факту существования подобных вложенных циклов будет дано объяснение с позиции частотных свойств эквивалентной линейной части системы. С увеличением расстройки в семействах начинают разрушаться циклы с большими u (рис. 5.6б). Причину легко установить с помощью рис. 5.8а. С ростом g точка равновесия смещается по линии Lϕ , 0 вверх и вправо (см. рис. 5.3). Вместе с ней смещается и семейство подобных циклов. Цикл разрушается (теряет устойчивость) при условии касания одной из его точек границы цилиндра (границы линейности F(ϕ)). Нарушается структурное условие существования цикла. Очевидно, что первым с ростом расстройки разрушится цикл с большим u. Согласно рис. 5.6б для g = 0.15 в области первого четного выброса разрушился цикл (

1− 1 ), в области второго четного 2

2−2 ). 2 С ростом длительности паузы данный тип движений проявляется в большей степени (рис. 5.7), число входящих в семейство циклов данной структуры возрастает. На рис. 5.7а в области первого четного выброса существуют циклы с u = 4. С ростом расстройки тенденция разрушения циклов с большими u сохраняется. выброса разрушился цикл (

- 285 β

gн=0 d=0,75 k=5 l=25

β m=0

2-2,3-3… 2 2

0,1

m=0

gн=0,15 d=0,75 k=5 l=25

1-0,2-0… 0,1 2 2

1-0,2-0… 2 2

2-2,3-3… 2 2

0,2

0,2 2-0,3-0… 2 2

1-0 2

1-1 2

2-2,3-3… 1-1 2 2 2

2-0,3-0… 2 2

1-0 2

2-2 2

0,75

1-0 2

1-1 2

1-1 2

0,75

1-0 2

2-0 2

1-0 2

α

α

а)

б)

Рис. 5.9. Области периодических движений СФС с ЦП 1-го типа для большой паузы для а) g = 0, б) g = 0.15 β

β

m=0

m= 0 1–1, 2–2 1–1…5–5 2 2 2 2 1–0 1–0…7–0 1–0…3–0 2 2 2 2 2

1–1 1–1 1–0 1–1 1–0 2 2 1–0 2 2 2 2

0,1

1–0 2

0,75

1,0

k = 15 l = 10 d = 0,1 g=0

а)

1–1…4–4 1–0…2–0 2 2 2 2 1–1 1–0…2–0 1–0…4–0 2 2 2 2 2

k= 15 l = 10 d = 0,1 g = 0,15

α

1–0 2

1–0 2

1–0 2

б)

Рис. 5.10. Области периодических движений СФС с ЦП 1-го типа с широкополосным фильтром для а) g = 0, б) g = 0.15

0,1

0,75

1,0

α

- 286 -

γ

8− 0 7 −0 2 1 2− 0

k + l,0 1

2

γ

k =5 l = 10 m= 0,5 αρ = 0,3

k + l,0 1

1−0 1

k =5 l = 10 m= 0,15 αρ = 0,3

5− 0 1

1−0 1

4− 0 1

1−1 2

1−0 1

1− 0 2

1−1 2

D

D

а) γ

б)

k + l,0 1

1−0 1

γ

k =5 l = 10 m= 0 αρ = 0,3

8− 0 1

1−0 1 7 −0 1

9− 0 4− 0 2 1

10− 0 1

12− 0 1

k =5 l = 10 m= 0,75 αρ = 0,3

D

D

в)

г)

Рис. 5.11. Области устойчивости в целом СФС с ЦП 1-го типа с малым временем подстройки

- 287 -

γ

k + l,0 1

1−0 1

γ

k =5 l = 25 m= 0,1 αρ = 0,3

k + l,0 1

9− 0 1

k =5 l = 25 m= 0,5 αρ = 0,3

1−0 1

1−1 2

D

D

а)

б)

Рис. 5.12. Области устойчивости в целом СФС с ЦП 1-го типа с малым временем подстройки и большой паузой γ

k + l,0 1

1−0 1 4− 0 1

6− 0 1 8− 0 1

γ

k = 15 l = 10 m= 0,3 αρ = 0,1

1−0 1

9− 0 10− 0 1 1

12− 0 k + l,0 1 1 13− 0 1

12− 0 2

k = 15 l = 10 m= 0,3 αρ = 1

16− 0 1

7 − 0 15− 0 1 1 11− 0 1 13− 0 1

D

а)

D

б)

Рис. 5.13 области устойчивости в целом СФС с ЦП 1-го типа с большим временем подстойки

- 288 -

γ

1−0 1 4− 0 2− 0 2 1

k + l,0 1

1−0 3− 0 8− 0 5− 0 1 1 3 1

γ

k = 10 l =5 m= 0,1 αρ = 0,3

k + l,0 1

4− 0 2 2− 0 3− 0 5− 0 1 1 1

6− 0 1

8− 0 3

1−0 1

4− 0 1

5− 0 1

k = 10 l =5 m= 0,2 αρ = 0,3

12− 0 2 7 −0 1

12− 0 2 1−0 1

1−0 1 5− 0 1 1−0 1

D

D

а) γ

б)

k + l,0 1

1−0 1 1− 0 2

3− 0 2−0 2 2

γ

k = 10 l =5 m= 0 αρ = 0,3

1−0 1

4− 0 1

6− 0 10− 0 1 1

9− 0 1

4− 0 2 2− 0 2

k = 10 l =5 m= 0,75 αρ = 0,3

k + l,0 1

3− 0 1

D

в)

D

г)

Рис. 5.14. Области устойчивости в целом СФС с ЦП 1-го типа с большим временем подстройки

- 289 -

В области нечетных выбросов диаграммы локальной устойчивости формируются предельные циклы 2-го рода периода k = 1, простые неподвижные точки. Циклы, входящие в семейство, имеют одинаковую

u−0 , где u – число нелинейных отображений, происходящих на 2 интервале паузы. Пример движения для u = 5 приведен на рис. 5.8б. Тенденция разрушения данного типа движений с ростом g проявляется в меньшей степени. Использование линий физических параметров позволяет правильно выбрать параметры фильтра, чтобы избавиться с заданным запасом от

структуру

возникновения данного типа движений. Для d = 0.75 (αρ = 0.3), k = 10, l = 5 нормальную работу может обеспечить коэффициент m∈[0.2 – 0.9]. Для более коротких интервалов (рис. 5.7, k = 5, l = 10) устойчивая работа возможна при m∈[0.75 – 0.9]. Рост длительности паузы с сохранением k предъявляет еще более жесткие требования к выбору m . Примером служат результаты, приведенные на рис. 5.9. В то же время увеличение интервала подстройки, особенно при малой постоянной фильтра в цепи управления, существенно расширяет диапазон m, обеспечивающих устойчивую работу (рис. 5.10). На рис. 5.11-5.13 на плоскости физических параметров D, γ приведены зависимости полосы захвата СФС 1-го типа для различных параметров размыкания k, l и параметров фильтра m, αρ. Области устойчивости в целом заштрихованы, пунктиром показана граница кратного захвата. На всех рисунках обозначены структуры циклических движений, ограничивающие устойчивость. Анализ приведенных результатов позволяет сделать следующие выводы: 1) ряд областей носят разрывный характер (рис. 5.11а,б, рис. 5.12б), объяснение состоит в том, что линия физических параметров при малых k и m на плоскости обобщенных координат α, β пересекает несколько выбросов (рис. 5.6, 5.7) диаграммы устойчивости; 2) при малых k и m устойчивая работа системы может быть обеспечена лишь при низком усилении в кольце D (рис. 5.11б,в, рис. 5.12а,б), что может оказаться недопустимым из-за большой длительности переходных процессов; 3) при малых k и большой постоянной фильтра (αρ < 0.5) устойчивая работа возможна при значительных коэффициентах m (рис. 5.11г);

- 290 -

β

β

k=5 l=1

k=5 l=2

R пц

R пц

R пц

R пц

R пц

α

α

а)

β

б) k=5 l=10

α β

в) k=15 l=5

β

k=15 l=10

Rпц Rпц

α г)

α д)

Рис. 5.15. Области устойчивости СФС с ЦП 2-го типа с астатическим фильтром на плоскости обобщенных параметров

- 291 m

m

k = 15 l = 15 αρ = 1

k = 15 l = 50 αρ = 1

D

D

а) αρ

б) αρ

k = 10 l = 50 m=1

k = 15 l = 50 m=1

D

D

в)

αρ

г) k = 15 l = 15 m=1

D

д) Рис. 5.16. Области устойчивости СФС с ЦП 2-го типа с астатическим фильтром на плоскости физических параметров

- 292 -

4) с ростом k существенно расширяется область устойчивой работы, что особенно проявляется при больших αρ и m (рис. 5.13а,б, рис. 5.14б,г), отсюда следует вывод, что наиболее удовлетворяет режиму размыкания с относительно небольшим временем подстройки кольцо СФС, близкое по своим свойствам к системе 1-го прядка. На рис. 5.15 – 5.17 приведены области устойчивости СФС с ЦП 2-го типа на основе кольца с астатическим фильтром. Как и в предыдущем случае области устойчивости в целом закрашены. На рис. 5.15 и рис. 5.17 приведены результаты для обобщенных параметров, на рис. 5.16 – для физических параметров. Основное отличие СФС 2-го типа от СФС 1-го типа состоит в том, что для системы 2-го типа область устойчивости в целом практически совпадает с областью локальной устойчивости. В то же время при малых отношениях k/l для малых k область устойчивости незначительна и использование системы в подобных режимах затруднительно (рис. 5.15в). С ростом интервала подстройки область устойчивой работы существенно расширяется (рис. 5.16), данный результат характерен и для случая больших пауз (рис. 5.16в,г). β

β m=0

m=0

0,1

0,25

0,5

0,1

0,5

0,25

0,75

0,75

k = 10 l = 150

k = 20 l = 300

α а)

α б)

Рис. 5.17. Области устойчивости СФС с ЦП 2-го типа для больших k и l; (линии физических параметров построены для αи = 0,3) На рис. 5.17 приведены области устойчивости для малого отношения k/l = 1/15 и двух значений интервала подстройки k. Увеличение k в два раза привело к существенному увеличению области устойчивой работы и

- 293 -

приблизило ее к пределу – треугольнику устойчивости однокольцевой СФС 2го порядка. Объяснение состоит в гораздо более активном режиме подстройки системы с ЦП по сравнению с режимом паузы. Параметры режима прерывания, область устойчивости для которых приведена на рис. 5.17б, соответствуют соотношению длительности строчного синхроимпульса и длительности строки телевизионного сигнала при частоте стробирования f = 5МГц. Данный режим будет использован при разработке возбудителя ЧМ-колебаний с модуляцией телевизионным сигналом на основе импульсного кольца СФС с прерыванием. В [40] исследована устойчивость СФС с ЦП 2-го типа с астатическим фильтром с детектором с широтно-импульсной модуляцией. Для малых интервалов подстройки у системы имеется незначительное преимущество по сравнению с исследованной выше. При больших интервалах подстройки системы с различными типами детекторов близки по своим свойствам. 5.4. Особенности применения метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости систем с разрывным временем В разделе получил развитие метод гармонической линеаризации применительно к дискретным системам с разрывным временем. С целью его применения предлагается перейти к описанию системы в новой временной шкале, дискрет которой Tэ совпадает с длительностью цикла системы Tэ=(k+l)T. В новом времени, как показывает анализ, большинство ограничивающих устойчивость системы циклов относятся к циклам с малым периодом, что в свою очередь делает применение метода гармонической линеаризации весьма эффективным (р. 2.7). Переход в новое время приводит к необходимости построения эквивалентного коэффициента передачи линейной части СФС и эквивалентного коэффициента гармонической линеаризации

функции F(ϕ). 5.4.1. Эквивалентная модель приведенной линейной части СФС Построим эквивалентную дискретную модель приведенной линейной части СФС, с этой целью перейдем в уравнении (1.2.1) к переменной

ϕ n∗,i = ϕ nвх,i − ϕ n ,i , где ϕ n,вхi - входная фаза в (n,i)-й момент времени. Переменная ϕ n,∗ i соответствует фазе выходного сигнала в (n,i)-й момент времени. В новых переменных уравнение (1.2.1) примет вид

- 294 -

⎧⎪ϕ n∗,i +1 = ϕ n∗,i + α ⋅ Fˆ (ϕ n,i ) + xn∗,i , ⎨ ∗ ⎪⎩ xn ,i +1 = d ⋅ xn∗,i + β ⋅ Fˆ (ϕ n ,i ) + g ∗

(5.4.1)

где xn∗,i +1 = d (ϕ n∗,i +1 − ϕ n∗,i ) + (αd − β ) Fˆ (ϕ n,i ) + g ∗ , g ∗ - обобщенная постоянная выходная частота, функция Fˆ (ϕ ) учитывает n ,i момент стробирования детектора. Перепишем (5.4.1) в векторном виде r r r q n∗,i +1 = A∗ q n∗,i + Bn∗,i ,

⎛0⎞ ⎛ 1 1 ⎞ r ∗ ⎛α ⎞ ˆ ⎟⎟, Bn,i = ⎜⎜ ⎟⎟ F (ϕ n,i ) + ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ . где A∗ = ⎜⎜ ⎝g ⎠ ⎝β ⎠ ⎝0 d ⎠

(5.4.2) (5.4.3)

Если предположить, что переменная ϕn,i в (5.4.1) является независимой, то полученную систему уравнений следует рассматривать в качестве дискретной модели ЛЧ СФС. Однако это будет верно только при постоянном периоде дискретизации кольца. В случае разрывного времени для получения уравнения приведенной части необходимо перейти в новую временную шкалу Tэ=(k+l)T. При этом, очевидно, свойства ЛЧ будут зависеть от характера нелинейных отображений на интервале цикла работы СФС. Запишем решение (5.4.2) в виде k + l −1 r r r (5.4.4) qn∗+1, 0 = A∗( k +l ) q n∗, 0 + ∑ A∗( k +l −1−i ) Bn∗,i , i =0

или с учетом (5.4.4)

⎛0⎞ r r ⎡k +l −1 ⎤ ⎛ α ⎞ k +l −1 qn∗+1, 0 = A∗( k +l ) qn∗, 0 + ⎢ ∑ A∗( k +l −1−i ) Fˆ (ϕ n,i )⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ + ∑ A∗( k +l −1−i ) ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ . ⎣ i =0 ⎦ ⎝ β ⎠ i =0 ⎝g ⎠

(5.4.5)

Пусть возможные нелинейные отображения приходятся на длительность паузы работы кольца. Как будет показано ниже, подобные режимы имеют большое значение для СФС 1-го типа, определяя фактически область устойчивости в целом. В этом случае на интервале работы выполнится условие F (ϕ ) = Fˆ (ϕ ) = F ′(ϕ ) ⋅ ϕ , 0 < i ≤ k-1, (5.4.6) n ,i

n ,i

n ,i

и уравнение (5.4.5) примет вид r r ⎡ k −1 ⎤ ⎛ α ′ ⎞ ⎡k +l −1 ⎤ ⎛α ′ ⎞ qn∗+1, 0 = A∗( k +l ) qn∗, 0 + ⎢∑ A∗( k +l −1−i )ϕ n ,i ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎢ ∑ A∗( k +l −1−i )ϕ n ,k −1 ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎣ i =0 ⎦ ⎝ β ′ ⎠ ⎣ i =k ⎦ ⎝ β ′⎠

⎛0⎞ + ∑ A∗( k +l −1−i ) ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ i =0 ⎝g ⎠ k + l −1

. (5.4.7)

- 295 -

Для 0 < d < 1 матрица A∗ является невырожденной, и часть сумм в (5.4.7) сворачивается ∗k ∗l r r ⎡ k −1 ⎤ ⎛α ′ ⎞ A (E − A ) ⎛α ′ ⎞ ⎜ ⎟ϕ n ,k −1 + qn∗+1, 0 = A∗( k +l ) qn∗, 0 + ⎢∑ A∗( k +l −1−i )ϕ n ,i ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ + E − A∗ ⎜⎝ β ′ ⎟⎠ ⎣ i =0 ⎦ ⎝ β ′⎠

E − A ∗k + l + E − A∗

⎛0⎞ ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ ⎝g ⎠

. (5.4.8)

r В (5.4.8) ϕn,i и ϕn,k-1, выражаются через qn,0

ϕ n,i

⎡ i r E − Aip ⎛ 0 ⎞⎤ r ⎜⎜ ⎟⎟⎥ , = [qn,i ]1 = ⎢ Ap qn, 0 + E A − ⎥1 p ⎝ g ⎠⎦ ⎣⎢

⎡ k −1 r E − Apk −1 ⎛ 0 ⎞⎤ r ⎜⎜ ⎟⎟⎥ . ϕ n ,k −1 = [qn,k −1 ]1 = ⎢ Ap qn , 0 + − E A ⎥1 p ⎝ g ⎠⎦ ⎣⎢

(5.4.9)

(5.4.10)

Последнее слагаемое в (5.4.8) представляет собой постоянное воздействие, с учетом характера решаемой задачи можно положить g∗=0. Подставляя (5.4.9), (5.4.10) в (5.4.8), получаем уравнение в новой временной шкале r r r q n∗+1, 0 = P q n∗, 0 + G q n , 0 , ⎛p P = A∗( k +l ) = ⎜⎜ 11 ⎝ p21

p12 ⎞ ⎛g ⎟⎟ G = ⎜⎜ 11 p22 ⎠ ⎝ g 21 ,

(5.4.11)

g12 ⎞ ⎟ g 22 ⎟⎠ - матрицы,

элементы которой где определяются из (5.4.8) - (5.4.10). r В (5.4.11) вектор qn , 0 следует рассматривать в качестве входного воздействия, заданного в моменты времени nTэ=n(k+l)T . Для построения фазочастотной характеристики ПНЧ преобразуем (5.4.11), для этого воспользуемся r r соотношениями : при g∗=0 q n∗,i = − q n ,i , ϕ n∗,i = −ϕ n ,i , xn∗,i = − xn ,i . Соответственно (5.4.11) можно переписать в виде

или

⎧ϕ n∗+1, 0 = p11 ϕ n∗, 0 + ( p12 − g12 ) xn∗, 0 + g11 ϕ n, 0 , ⎨ ∗ ∗ ∗ x p ϕ ( p g ) x g ϕ = + − + + n 1 , 0 21 n , 0 22 22 n , 0 12 n , 0 ⎩

(5.4.12)

r r r qn∗+1, 0 = U qn∗, 0 + G ϕ n , 0 ,

(5.4.13)

⎛p U = ⎜⎜ 11 ⎝ p21 где

p12 − g12 ⎞ r ⎛ g11 ⎞ ⎟, G = ⎜⎜ ⎟⎟ p22 − g 22 ⎟⎠ ⎝ g12 ⎠ .

- 296 jω nTэ Пусть ϕ n , 0 = e , будем искать установившееся решение в виде r r (5.4.14) q n∗, 0 = V ( jω )e jω nTэ , r где V ( jω ) = (v1 ( jω ), v2 ( jω ))T - вектор дискретных передаточных функций

эквивалентной ПНЧ, v1 ( jω ) отвечает за коэффициент передачи по координате

ϕ, . v2 ( jω ) - по координате x.

r Подставив (5.4.14) в (5.4.13), получим выражение для V ( jω ) r r G V ( jω ) = jωTэ . e (E − U )

(5.4.15)

Запишем вектор передаточных функций в виде r ⎛ v ( jω ) ⎞ ⎛ v1′ ( jω ) + v1′′( jω ) ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . V ( jω ) = ⎜⎜ 1 ⎝ v2 ( jω ) ⎠ ⎝ v2′ ( jω ) + v2′′ ( jω ) ⎠

(5.4.16)

В дальнейшем используем для анализа периодических движений методом гармонической линеаризации передаточную функцию по координате ϕ v1 ( jω ) = v1′ ( jω ) + v1′′( jω ) . Im

1

3 2

Re

Рис. 5.18. Семейство годографов функции ν1(jω) На рис. 5.18 на комплексной плоскости v1′ ( jω ), v1′′( jω ) для различных параметров линейной части приведено семейство годографов функции v1 ( jω ) , построенное согласно (5.4.16). Для первого годографа точка v1 ( jπ /(( k + l )T ) находится в правой полуплоскости, создавая тем самым условия для возникновения колебательных движений (см. р.2.7). Для второго годографа

- 297 -

точка v1 ( jπ /(( k + l )T ) находится в левой полуплоскости, что исключает существование колебаний. Наконец, для третьего годографа точка v1 ( jπ /(( k + l )T ) находится также в правой полуплоскости, однако годограф охватывает точку ( −1, j 0) и система соответственно является неустойчивой [46]. 5.4.2. Расчет областей существования периодических движений Для расчета областей существования периодических движений с помощью метода гармонической линеаризации необходимо получить эквивалентный коэффициент гармонической линеаризации. Пусть разность фаз на входе детектора представляет собой периодическую

функцию ϕ n , 0 = a0 + a ⋅ cos(ϖ э n + ψ ) ,

(5.4.1)

где ϖ э = ωTэ = ω ( k + l )T - эквивалентная частота колебаний. Пусть ϖ э = π , этому случаю соответствует фазовый портрет системы с прерыванием, изображенный на рис.5.19. Портрет состоит из трех вложенных колебательных движений, период которых равен двум полным циклам работы r системы. Кружками отмечены состояния qn,0 , соответствующие моменту замыкания кольца. Все вложенные колебания характеризуются линейным движением на интервале автоподстройки и нелинейным отображением на интервале паузы. Колебания отличаются количеством нелинейных отображений на интервале паузы, при этом соседние отличаются на одно нелинейное отображение. Рассматриваемые колебания в новой шкале времени описываются r вектором состояния qn,0 , для координаты ϕ n , 0 которого справедливо выражение (5.4.1). Соответственно для коэффициента гармонической линеаризации можно воспользоваться моделью для случая больших амплитуд, аналогичной рассмотренной в п. 2.7. Обратимся к рис. 5.19, на котором приведено распределение точек ϕ n , 0 . В общем случае расстояние между точками ϕ 0 и ϕ1 превышает длину периода и для коэффициента K (a, π , ψ ) можно воспользоваться выражением (2.7.16):

- 298 -

( N − a ⋅ cosψ )e jψ K ( a, π , ψ ) = a , ψ∈[-π /2, π /2]. x

ϕ

Рис. 5.19. Фазовый портрет СФС с прерыванием 1-го типа F (ϕ )

1

•

ϕ0

-1

ϕ1

1

ϕ

•

-1

Рис. 5.20. Расположение точек цикла на характеристике детектора На рис. 5.21 на комплексной плоскости приведены годографы функций L ( a, ϖ , ψ ) =

1 и v1 ( jϖ ) , построенные для обобщенных параметров, K ( a, ϖ , ψ )

соответствующих движениям на рис.5.19. Основное отличие от системы без прерываний состоит в том, что функция v1 ( jϖ ) в точке ϖ = π

имеет

достаточно большое значение и для целого ряда N (1 ≤ N ≤ 5) выполняется условие существования колебательных движений. Для СФС 2-го порядка существовало лишь одно движение. Объясняется подобное различие большими усилениями линейной части эквивалентной системы с прерыванием.

- 299 Im

k=5 l = 10 α = 0,23 β = 0,18 d = 0,75

L(a,ϖ,ψ)

4,6

ν1(jϖ) N=1

2

3

4

5 Re

Рис. 5.21. Семейство годографов функции L(a, π , ψ ) В то же время движения с N =4; 5 согласно рис. 5.19 не существуют. Это связано с тем, что для них не выполнены условия, для которых была получена функция v1 ( jϖ ) . Речь идет о существовании нелинейных отображений только на интервале паузы. Движения с N =4; 5 разваливаются за счет нелинейного отображения на интервале подстройки. В итоге изображающая точка попадает в область притяжения соседней точки равновесия. Данный результат подтверждается рис. 5.22, 5.23, где для системы первого типа приведены

N, N ) ; на 2 рис. 5.22а,б для плоскости обобщенных параметров α, β , на рис. 5.23 для

области существования колебательных движений структуры (

плоскости физических параметров D, γ. Согласно рис. 5.22 циклы расположены группами вблизи четных выбросов области локальной устойчивости. В области нечетных выбросов они отсутствуют. Для малой длительности режима паузы (рис. 5.22а, k=10, l=5) прослеживается увеличение состава групп с ростом номера выброса за счет циклов с повышенным числом N. С увеличением паузы (рис. 5.22б, k=5, l=10) состав групп для всех выбросов становится близким. По результатам на рис. 5.23 можно проследить изменение областей

N, N ) в зависимости от начальной расстройки 2 системы. При малых γ одновременно существуют циклы с различной существования циклов (

амплитудой, что согласуется с результатами, приведенными на рис. 5.21. С ростом γ постепенно начинают исчезать движения с большими N , последним

- 300 -

1, 1 при γ ≅ 0.75 исчезает цикл структуры ( ) . Объяснение как и в случае обычных 2 систем 2-го и 3-го порядков состоит в симметричной форме данного типа движений и соответственно в нарушении структурного условия с ростом расстройки. С ростом расстройки симметрия нарушается, в первую очередь это касается циклов с большими амплитудами. β

β

g=0 d=0,75 k=10 l=5

2-2,3-3… 2 2 2-0,3-0… 2 2 3-3 2

2-2 2

2-0 2

1-0 2 1-1 2

2-2 2

1-1 2

2-2,3-3… 2 2

1-1 2

1-0 2

1-1 2

1-0 2

5-0 2

1-1 2 1-0 2

2-0,3-0… 2 2

g=0 d=0,75 k=5 l=10

3-3 2

1-1 2

4-4 4

2-2 2

4-0 3-0 2 2 1-0 2

2-0 2 1-0 2 1-1 2

α

α

а) б) Рис. 5.22. Области существования симметричных циклов 1-го рода γ

m=0,15 αρ=0,3 k=5 l=10 1-1 2

2-2 2

3-3 2

4-4 2

D

Рис. 5.23. Области существования ПЦ1 на плоскости физических параметров Аналогичный результат наблюдается и при переходе от пилообразной нелинейности к треугольной. Согласно рис. 5.21 уменьшение линейной области

- 301 -

характеристики детектора будет способствовать нарушению структурного условия при меньших расстройках. При этом в любом случае первыми исчезнут циклы с большими амплитудами. По сравнению с обычными СФС колебательные движения в системе с прерыванием более живучие и сохраняются при достаточно больших γ. В то же время области их существования в значительной степени зависят от усиления кольца D , сама зависимость носит разрывный характер. Для рис. 5.23 циклы существуют в диапазоне 0.75 < D < 1.2 . При меньших усилениях циклов нет, при больших они снова могут появиться. Объясняется подобная закономерность наличием выбросов на области локальной устойчивости системы (рис. 5.22). 5.5. Выводы 1. В главе получили развитие разработанные в предыдущих главах методы анализа нелинейной динамики дискретных СФС применительно к системам с разрывным временем. Особенность методики расчета бифуркационных параметров связана с переходом в новую временную шкалу с дискретом, равным времени полного цикла работы системы. 2. Для анализа локальной устойчивости системы с прерыванием построена линеаризованная модель системы с прерыванием. На основе анализа

собственных значений эквивалентной матрицы

Aэ

построены области

локальной устойчивости двух типов систем: без привязки и с привязкой разности фаз при переходе от режима паузы к режиму подстройки. Особенностью полученных областей является наличие характерных выбросов и впадин по числу системных тактов, приходящихся на режим подстройки, расположенных вдоль комплексной границы треугольника устойчивости стандартной однокольцевой СФС. В окрестности выбросов формируется комплексная граница устойчивости системы с прерыванием Gϕ , разделяющая впадины, представляющие собой чередующиеся границы G1 и G-1. Сложная конфигурация чередующихся границ с различным характером потери устойчивости определяет и сложное поведение системы в целом вблизи этих границ. Величина области устойчивости зависит от соотношения длительностей режима подстройки k и паузы l и в значительной степени определяется значением k. С ростом k область устойчивости стремится к

- 302 -

треугольнику устойчивости дискретной СФС 2-го порядка с соответствующим фильтром в цепи управления. 3. С учетом эквивалентной матрицы

Aэ

в новой шкале времени

сформулированы необходимые и достаточные условия возникновения периодических движений заданной структуры для СФС с прерыванием автоподстройки с пилообразным детектором. К числу их относится полученное в общем виде уравнение замыкания для существования периодического движения заданной структуры. На основе общего уравнения получены конкретные уравнения замыкания для предельных циклов 1-го и 2-го рода, определяющих устойчивость системы. 4. Выполнены исследования устойчивости дискретной СФС с ПИФ 1-го типа. На плоскости обобщенных и физических параметров получены области устойчивости в целом для различных параметров режима прерывания. Для малой длительности интервала подстройки k и малой постоянной форсирования фильтра m область устойчивости имеет разрывный характер и использование режима прерывания затруднительно. Разрывность объясняется выбором рабочих параметров из области, близкой к выбросам диаграммы локальной устойчивости. Увеличение m расширяет диапазон устойчивой работы системы. Рост k при сохранении отношения k/l существенно расширяет область устойчивой работы системы, подобные режимы можно рекомендовать для практического использования. 5. Выполнены исследования устойчивости дискретной СФС с астатическим фильтром 2-го типа. На качественном уровне полученные результаты повторяют результаты исследования СФС с ЦП 1-го типа. Количественные оценки для некоторых параметров режима прерывания могут отличаться значительно. Это касается в первую очередь отношений k/l<1 для малых k .Режим привязки фазы для таких параметров существенно урезает область устойчивой работы и делает затруднительным практическое использование системы в таком варианте. С ростом k при сохранении отношения k/l область устойчивости стремится к некоторой предельной форме, близкой к треугольнику устойчивости дискретной СФС с астатическим фильтром. В соответствии с данным результатом для практического использования режимы прерывания с привязкой фазы следует рекомендовать в СФС с повышенной частотой дискретизации. В последующей главе

- 303 -

диссертации будет описана схема возбудителя ЧМ-колебаний на основе СФС 2го типа со следующими параметрами режима прерывания: k = 20, l = 300. Область устойчивости системы при этом близка к предельной. 6. Получил развитие метод гармонической линеаризации применительно к системам с разрывным временем. С этой целью предложена методика построения комплексного коэффициента передачи приведенной эквивалентной линейной части СФС с прерыванием. Основу методики составляет эквивалентное разностное уравнение линейной части, учитывающее возможные нелинейные отображения на цикле работы. Получены годографы эквивалентной линейной части для нелинейных отображений на интервале паузы, с помощью которых исследованы колебательные движения в системе. Показано, что в отличии от однокольцевых СФС, модуль эквивалентного коэффициента передачи СФС с ЦП может достигать больших значений, что определяет возможность существования колебаний с большими амплитудами (колебаний, расположенных на нескольких периодах характеристики детектора) Этим объясняется существование в системах 1-го типа семейства подобных

колебательных

движений

минимального

периода

(ϖ = π)

с

нелинейным отображением на интервале паузы, отличающихся величиной проскальзываний. Доказано утверждение, что если в новой шкале времени в системе

существуют

симметричные

колебания

с

частотой

ϖ = π,

расположенные на m периодах функции Fc(ϕ) , m > 2, то существуют и подобные им колебания, расположенные на m-1 периодах Fc(ϕ) . С ростом частотной расстройки симметричные колебания начинают разрушаться, при этом подчиняясь доказанному утверждению, разрушаются в первую очередь колебания максимальной амплитуды. Аналогичный результат наблюдается и при переходе к треугольной нелинейности Как и в однокольцевых СФС 3-го порядка, уменьшение с приводит к разрушению симметричных колебаний, при этом в первую очередь разрушаются движения максимальной амплитуды.

- 304 -

6. Практическая реализация и экспериментальные исследования устройств на основе дискретных СФС В главе приводится описание структурных схем, расчет и результаты экспериментальных исследований ряда технических устройств, разработанных в процессе выполнения научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в отраслевых лабораториях "Дискрет" и "Поликом" Ярославского государственного университета под руководством автора диссертации. В основу разработок положены исследованные в диссертации модели дискретных СФС: однокольцевой импульсной СФС, двухкольцевой импульсной СФС с преобразованием частоты в выходном кольце, комбинированной импульсноцифровой системы частотно-фазовой автоподстройки, импульсной СФС с циклическим

прерыванием

режима

автоподстройки, цифровой СФС с

квадратурным аналого-цифровым преобразованием преобразованием на входе. Большинство из разработанных устройств совмещают функции синтезатора и генератора сигналов с частотной модуляцией и защищены авторскими свидетельствами на изобретение, включенными в список публикаций автора. Разработка устройств выполнялась в соответствии с техническим заданием, включающим в себя требования к основным характеристикам: диапазону рабочих частот, шагу частотной сетки, долговременной и кратковременой нестабильности частоты, быстродействию, уровню дискретных паразитных составляющих в полосе рабочих частот, и требования, связанные со спецификой конкретных устройств. К числу последних относятся требования к эксплуатационно-техническим

характеристикам,

определяющие

массо-

габаритные параметры, энергопотребление, температурные режимы, способ управления и т.п. Требования к основным характеристикам устройств на основе дискретных СФС, как синтезаторов так и генераторов, являются противоречивыми. К ним относятся требования к шагу частотной сетки, быстродействию и качеству спектральных характеристик выходного сигнала. Реализация совокупности требований по данным характеристикам приводит к необходимости поиска нестандартных компромиссных решений построения устройств. В некоторых случаях эффект может быть достигнут за счет параметрической оптимизации систем по ряду характеристик, например, динамических и спектральных, при соответствующих ограничениях на другие параметры.

- 305 -

Дискретные системы синхронизации относятся к классу нелинейных динамических систем. Разработка устройств на их основе невозможна без знания и учета нелинейных свойств. Оптимизация характеристик систем, обеспечение надежности их функционирования в переменных условиях эксплуатации напрямую связаны с решением наиболее важных проблем динамических систем - устойчивостью и быстродействием. Поведение СФС в предельных режимах, характеризующихся значительными рассогласованиями по частоте, может оказать решающее влияние на выбор схемы устройства и его узлов. 6.1. Быстродействующий синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе комбинированной системы частотно-фазовой автоподстройки Разработанные комбинированных

в

диссертации

систем

положения

частотно-фазовой

нелинейной

динамики

автоподстройки

позволяют

разработать синтезатор, обладающий с одной стороны достаточно широкой полосой рабочих частот, с другой мелким шагом и высоким быстродействием. Рассмотрим такую возможность на примере СЧ дециметрового диапазона, к которому предъявляются следующие основные требования: 1. Диапазон рабочих частот, fmin…fmax, МГц

400…600

2. Шаг сетки, Fш, кГц

250

3. Время перестройки с одной частоты на другую, tу, мкс, не более

30

4. Уровень побочных дискретных составляющих, η, дБ, не более

-70 10-6

5. Долговременная нестабильность, не более 6. Среднеквадратическое отклонение частоты в полосе анализа 150…3000 Гц, ∆f, Гц, не более

20

Учитывая достаточно широкую полосу рабочих частот, сравнительно мелкий шаг частотной сетки и высокие требования к времени перестройки, выбираем схему на основе комбинированной импульсно-цифровой системы частотно-фазовой

автоподстройки

с

цифровым

частотным

детектором,

функционирующим на повышенной по сравнению с импульсным кольцом

- 306 -

частоте дискретизации. В разделе 4.4 показано, что комбинированная система с подобным соотношением периодов дискретизации колец глобально устойчива и при оптимальном выборе параметров обеспечивает высокое быстродействие. Глобальная устойчивость выполняется как для пилообразной нелинейности, так и для треугольной. Последнее особенно важно, так как переход к детектору с треугольной характеристикой позволяет поднять усиление в импульсном кольце без увеличения полосы удержания. 400.0…600.0 1600… 2400

h=0.25

Вых ПГ

ДПКД

ФНЧ

ИФД

0.25

1.0

БОЧ

ЦИЧ

АЦП

УУ

ЦИ

Рис. 6.1. Синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе комбинированной системы частотно-фазовой автоподстройки Структурная схема синтезатора приведена на рис. 6.1. Кольцо цифровой частотной автоподстройки включает в себя перестраиваемый генератор ПГ, цифровой измеритель частоты ЦИЧ, вычислительный блок, входящий в состав устройства управления УУ и аналого-цифровой преобразователь АЦП. Произведем расчет основных параметров колец. Рассчитаем полосу удержания импульсного кольца ω у = E ⋅ S у , где Sу – крутизна характеристики управления ПГ, а Е – максимальное напряжение с выхода ИФД1. Для этого воспользуемся

известным

выражением,

полученным

с

учетом

уровня

дискретных составляющих в спектре выходного сигнала η в предположении малости индекса паразитной частотной модуляции по каналу управления [27]

- 307 -

ω у ≤ 4π f ∂ ⋅ 10(η −b ) / 20 , где b -

(6.1.1)

относительный уровень помехи с выхода ИФД на частоте

дискретизации кольца f ∂ , выраженный в дБ. Исходя из возможности технической

реализации ИФД "выборка-

запоминание" на указанных частотах на современной комлектующей базе, положим b = - 85 дБ. Согласно (6.1.1) полоса удержания составит величину

ω у ≤ 2π ⋅ 2.8 ⋅ 106 ( рад / c) . С запасом примем ω у = 2π ⋅ 2.5 ⋅ 106 ( рад / c) . Предположим, что коэффициент усиления по импульсному кольцу постоянен и не зависит от рабочей точки диапазона. При достаточно широкой полосе рабочих частот (коэффициент деления ДПКД меняется в 1.5 раза) этого можно

достичь

специальными

мерами

по

коррекции

характеристики

управления ПГ по каналу точной подстройки. С учетом диапазона рабочих частот и физической реализуемости примем разрядность цифрового канала Nc = 10. Соответственно вес младшего разряда на входе цифрового детектора определим как ∆fc = 250 кГц. С учетом данных параметров измеряемый частотный диапазон, перекрываемый цифровым кольцом, составит ∆fи = 256 МГЦ, что на 25% превышает диапазон рабочих частот синтезатора. Перестраиваемый цифровым каналом частотный диапазон

∆fу будет зависеть от крутизны управления. Отношение β1 = ∆fу / ∆fи определяет коэффициент усиления цифрового кольца. Для реализации заданной точности цифрового канала используем цифровой измеритель временных интервалов [157] , гарантирующий точность измерения 250 кГц за время измерения Т2 = 1 мкс. Данный параметр определит фактически период дискретизации цифрового кольца. Для

импульсного

кольца

методика

расчета

стандартная.

Период

дискретизации Т1 определяется шагом частотной сетки. Коэффициент усиления ω ⋅ T ⋅ F ′(ϕ ) . Для пилообразной характеристики детектора при N = 2000 α= у 1 N имеем α = 0.02 . В случае треугольной характеристики детектора усиление можно поднять до значений α = 0.3…0.4.

В [40] показано, что при β1 < 1 конечная разрядная сетка цифрового канала не сказывается на движении системы в окрестности состояния равновесия, т.е. в системе

достижим

полный

синхронизм.

Компьютерное

моделирование

комбинированой системы и экспериментальные исследования лабораторного

- 308 -

макета подтвердили данный результат. Согласно приведенным расчетам, коэффициент усиления целесообразно выбирать из диапазона 0.75 < β1 < 1. Для его снижения достаточно уменьшить вес младшего разряда ЦАП. В [40] также показано, что в силу нейтральности, система теоретически за один дискрет Т1 способна обеспечить остаточную растройку по частоте, соизмеримую с дискретом цифрового кольца (250 кГц), для этого усиление кольца β1 необходимо выбирать также из указанного выше диапазона. Фактически на 2-3ем дискрете цифровое кольцо переходит в пассивное состояние. Нейтральность комбинированной системы предполагает зависимость конечного состояния от начальных условий. Это приводит к тому , что захват по частоте в общем случае может произойти на краю характеристики Fс(ϕ) (координата ϕ состояния равновесия близка к ± с ), что нежелательно по причине возможных случайных сбоев в системе. Этого легко избежать, если предусмотреть предустановку фазы в начальный момент времени в окрестность

ϕ0 = 0 . Данная операция реализуется с помощью предустановки ДПКД . С учетом активности цифрового кольца и его точности подобный режим обеспечит захват по фазе, близкий к средней части характеристики детектора. Технические решения, заложенные в основу рассмотренной схемы широкополосного синтезатора защищены авторскими свидетельствами (А.с. №1013904, №1252939, 1478328). Экспериментальные образцы, изготовленные по

разработанным

в

ОНИЛ

"Дискрет"

Ярославского

университета

принципиальным схемам, позволили получить следующие характеристики: - время установления частоты при переходе на любую частоту заданного диапазона с точностью 0.1 Fш, мкс

25

- уровень дискретных составляющих в спектре выходного сигнала, дБ

-70

- среднеквадратическое отклонение частоты в полосе 150…3000 Гц, Гц

17

Полученные результаты полностью соответствуют техническому заданию и подтверждают правильность расчета параметров комбинированной системы. По сравнению с известными комбинированными системами, в которых оба

- 309 -

кольца функционируют на одной частоте , удалось поднять быстродействие до 3-4 раз. 6.2. Генератор ЧМ-колебаний дециметрового диапазона для аппаратуры передачи телевизионных сигналов

Разработанные в пятой главе положения нелинейной динамики дисретных СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки позволяют разработать синтезатор с частотной модуляцией сигналом, допускающим паузу в передаваемом сообщении. К числу таких сигналов относится телевизионный сигнал, в структуре которого имеется синхроимпульс, с помощью которого на приемной

стороне

обеспечивается

синхронизация

генератора

строчной

развертки. Стабильность частоты излучаемого сигнала, соответствующей уровню синхроимпульса, определяет качество и помехоустойчивость канала передачи телевизионной информации. Возбудитель ЧМ-колебаний на основе импульсного кольца с прерыванием режима автоподстройки решает эту проблему достаточно эффективно. Параллельно решается задача синтеза частотной сетки заданного диапазона. К генератору ЧМ-колебаний с модуляцией телевизионным сигналом предъявляются следующие основные требования: 1. Диапазон рабочих частот, fmin…fmax, МГц

1500…1600 1600…1700 1700…1800

2. Шаг сетки, Fш, МГц

5

3. Время перестройки с одной частоты на другую в режиме синтезатора, tу, мкс, не более

10

4. Уровень побочных дискретных составляющих в режиме синтезатора, η, дБ, не более

-80

5. Среднеквадратическое отклонение частоты в полосе анализа 150…3000 Гц, ∆f, Гц, не более

30

6. Долговременная нестабильность частоты, не более

10-6

7. Неравномерность модуляционной характеристики в полосе телевизионного видео-сигнала (0…6.5Мгц), дБ, не более 8. Допустимое изменение индекса частотной модуляции в

2.0

- 310 -

диапазоне рабочих частот, дБ, не более Согласно

структуры

телевизионного

2.5 сигнала, длительность строки

которого составляет величину Tc = 64 мкс, длительность синхроимпульса Tи = 4.7 мкс, определим длительность интервала подстройки и паузы цикла работы импульсной СФС с ЦП. С учетом 10 % запаса будем считать относительную длительность интервала подстройки k = 20 (длительность нормирована на период опорной частоты T = 0.2 мкс), а длительность паузы l = 300. Учитывая зависимость разности фаз на интервале паузы от характера яркостного сигнала (на момент замыкания кольца разность фаз имеет случайное значение), выбираем второй тип импульсной СФС с циклическим прерыванием. Для него характерна предустановка разности фаз в момент перехода к режиму подстройки в фиксированное значение ϕ0. Чтобы избавиться от зависимости ϕ0 от частотных расстроек, выбираем кольцо с астатическим фильтром. Структурная схема синтезатора частоты с одноточечной модуляцией телевизионным сигналом приведена на рис. 6.2. Основу схемы составляет импульсное кольцо фазовой синхронизации с фильтром, представляющим собой интегратор с форсированием ИФ1. Кольцо размыкается через ключ Кл.1 по команде с устройства управления УУ. В схеме имеется дополнительное кольцо, в состав которого входит ИФД, Кл.2, второй интегратор с форсированием ИФ2 и управляемая линия задержки. Кольцо представляет собой астатическую систему фазовой автоподстройки фазы 1-го порядка и за минимальное время обеспечивает точную предустановку фазы в нулевое значение. Кольцо замыкается через Кл.2 в момент перехода к режиму подстройки и работает в течении 2-3 дискретов. После этого Кл.2 размыкается, Кл.1 замыкается и основное кольцо переходит в режим подстройки. Подобная схема ЧМ-генератора предложена и развита автором в работах [29,161,166-169].

- 311 1500 ... 1600 МГц 1600 ... 1700 МГц 1700 ... 1800 МГц

300 ... 320 320 ... 340 340 ... 360

Вых

ДПКД :N1

БОЧ

ПГ

5.0 МГц

УЛЗ

ИФД

Кл.1

ИФ1

УУ

Кл.2

ИФ2

ЦАП1

ЦАП2

ИМС

Атт

Рис. 6.2. Схема синтезатора частоты с одноточечной частотной модуляцией телевизионным сигналом Для достижения высокой точности предустановки фазы, необходимое для обеспечения низкого уровня побочных составляющих в спектре выходного сигнала, узлы Кл.1, Кл.2 и ИФ1, ИФ2 должны иметь достаточно близкие характеристики. Как показано в р. 5.3 и [40] при достаточно больших длительностях интервала подстройки (k > 10) схемы СФС с прерыванием, реализованные на разных

типах

детекторов,

обладают

близкими

характеристиками

по

устойчивости. С учетом высоких требований идентичности смежных узлов основного

кольца

и

кольца

привязки

фазы

отдадим

предпочтение

астатическому кольцу СФС с фазовым детектором с широтно-импульсной модуляцией. На рис. 6.3, 6.4 приведены соответственно принципиальные схемы цифровой части детектора и схемы двойных ключей и интеграторов с форсированием. Схемы ключей и интеграторов выполнены в интегральном

- 312 -

Рис. 6.3. Принципиальная схема блока ключей и запоминающих устройств

- 313 -

Рис. 6.4. Принципиальная схема цифровой части двойного ИФД с широтно-импульсной модуляцией

- 314 -

исполнении на единой подложке и обладают максимальной идентичностью характеристик в широком диапазоне температур. В качестве фильтра основного кольца

используется

звено

2-го

порядка

дополнительного кольца - звено с K ( p ) =

с

K ( p) =

1 + (C1 + C2 ) R ⋅ p , C2 p ⋅ (1 + C1R ⋅ p )

1 . Оба звена функционируют в C3 p

импульсном режиме и осуществляют операцию интегрирования импульсов тока постоянной величины. В схеме предусмотрены два дополнительных канала управления: канал предустановки частоты ПГ, включающий в себя ЦАП1, и канал подстройки индекса частотной модуляции, включающий в себя ЦАП2 и управляемый аттенюатор Атт. Канал предустановки позволяет уменьшить начальные расстройки по частоте для импульсного кольца. Необходимость применения второго канала связана с обеспечением высоких требований на изменение индекса частотной модуляции. Выполним расчет основных параметров генератора и его узлов. Как показано в [40], в системах с прерыванием с широтно-импульсной модуляцией его следует начинать с удовлетворения требований по долговременной стабильности. Дополнительный источник нестабильности связан с режимом предустановки фазы. Существует набег фазы за цикл работы системы, приводящий к смещению частоты

f см =

(ϕ n ,k +l − ϕ n , 0 ) ⋅ N , 2π (k + l )T

(6.2.1)

где ϕn,0 – значение разности фаз, возникающее в системе в результате предустановки. Выражение (6.2.1) получено в предположении отсутствия модулирующего сигнала. Основная причина смещения частоты состоит в неидеальности запоминания потенциала интегратором, в данном случае потенциала на конденсаторе С2. Разряд конденсатора вызван в первую очередь входными токами операционного усилителя (для ОУ 544УД2 входной ток Iвх < 0.1 на). На

качественном

уровне

анализ

(6.2.1)

приводит

к

следующим

результатам. Величина смещения fсм зависит от того, успевает или нет закончиться переходной процесс в системе за время, в течении которого кольцо

- 315 -

замкнуто (за k дискретов) .Увеличение С2 (ослабление причины смещения частоты) к заметному уменьшению fсм не приводит, поскольку одновременно падает усиление в кольце [68] и переходные процессы затягиваются. Увеличение крутизны генератора Sу , приводящее к росту усиления, также эффекта не дает, поскольку одновременно усиливается влияние разряда С2 на частоту генератора. Наиболее эффективным способом увеличение усиления кольца, при котором максимально уменьшается смещение частоты, является повышение зарядно-разрядного тока фильтра (тока I, обеспечиваемого "зеркальной" схемой на 2TC3103 и 159НТ1Е, рис. 6.3). В [40] показано, что наиболее оптимальным значением тока является I >5⋅10-3 а. При крутизне Sу < 2π⋅5⋅106 [рад/c⋅в] относительное смещение частоты f см / f < 10 −7 , что с запасом удовлетворяет техническому заданию. Примем максимальное управляющее напряжение Е = 5 в , откуда полоса удержания кольца составит величину ωу =2π⋅25⋅106 [рад/c]. С учетом полосы рабочих частот выберем разрядность шины предустановки n = 2. Причины возникновения дискретных составляющих в спектре выходного сигнала обусловлены помехами на частоте дискретизации кольца и частоте цикла системы (≈15кГц). Влияние первой помехи в значительной степени ослаблено режимом прерывания [40,131] и практически не сказывается на качестве спектра. При рассчитанных выше параметрах уровень дискретных составляющих на частоте дискретизации не превысит – 90 дБ. Помеха на частоте цикла связана с разрядом С2 . Согласно [40] при С2 = 10-8ф уровень составляющих не превышает – 80 дБ. Реализация требования по обеспечению долговременной стабильности в системе с прерыванием напрямую связано с обеспечением окончания переходных процессов на интервале режима подстройки, составляющем около 4.5 мкс. Фактически это время может выступать в качестве реальной оценки времени установления частоты. В [137,138] показано, что в общем случае среднеквадратическое отклонение частоты в системе с прерыванием обусловлено тремя факторами: спектральной плотностью частотных флуктуаций на выходе замкнутого кольца Sз(f) (расчет производится по методике, приведенной в [98]), спектральной плотностью частотных флуктуаций разомкнутого кольца Sр(f), определяемой кратковременной нестабильностью самого генератора и шумами цепей

- 316 -

управления [178], спектральной плотностью частотных флуктуаций Sи(f), обусловленных случайным характером потенциала подстройки на выходе запоминающего

устройства,

что

является

источником

дополнительной

импульсной частотной модуляции. В [138] показано, что для рассматриваемого случая (k = 20, l = 300) основной вклад вносят частотные флуктуации свободного перестраиваемого генератора. Соответственно, требования по величине среднеквадратического отклонения частоты возбудителя должны выполняться за счет минимации собственных частотных шумов генератора. Технические решения, заложенные в основу рассмотренной схемы генератора ЧМ-колебаний с модуляцией телевизионным сигналом защищены авторскими свидетельствами (А.с. №1483588, 1525913, 1543544, 1566458). При исследовании экспериментальных образцов, изготовленных по разработанным

в

ОНИЛ

"Поликом"

Ярославского

университета

принципиальным схемам, получены следующие характеристики: - время перестройки с одной частоты на другую в режиме синтезатора (с точностью 10 кГц), tу, мкс, не более

5

- уровень побочных дискретных составляющих в режиме синтезатора, η, дБ,

-80

- среднеквадратическое отклонение частоты в полосе анализа 150…3000 Гц, (при отсутствии сигнала модуляции), ∆f, Гц, не более

25

- неравномерность модуляционной характеристики в полосе телевизионного видео-сигнала (0-6.5Мгц), дБ

1.5

- долговременная нестабильность частоты (при отсутствии сигнала модуляции),

10-6

- допустимое изменение индекса частотной модуляции в диапазоне рабочих частот, дБ, не более

1.5

Полученные результаты полностью удовлетворяют техническому заданию.

- 317 -

6.3 Cинтезатор частоты дециметрового диапазона на основе двухкольцевой СФС Разработанные в четвертой главе положения нелинейной динамики двухкольцевых связанных СФС позволяют применить нестандартные решения при проектировании синтезаторов частоты высокочастотных диапазонов. Известно, что применение многокольцевых схем в системах частотного синтеза позволяет решить целый ряд противоречивых проблем, присущих однокольцевым синтезаторам. К числу их относятся противоречия между шагом частотной сетки и быстродействием, шагом сетки и полосой рабочих частот. Введение в двухкольцевую схему дополнительных связей между кольцами позволяет повысить ряд важных показателей синтезатора. Среди них повышение устойчивости двухкольцевой системы при изменении параметров колец в широких пределах, расширение диапазона параметров, обеспечивающих требуемое быстродействие, без применения специальных мер по их стабилизации. Рассмотрим практическую реализацию СЧ дециметрового диапазона, выполненного на основе двухкольцевой СФС с преобразованием частоты в выходном кольце. Требования к основным характеристикам: 1. Диапазон рабочих частот, fmin…fmax, МГц 1500…1600 1600…1700 1700…1800 625 2. Шаг сетки, Fш, кГц 3. Время перестройки с одной частоты 20 на другую, tп, мкс, не более 4. Уровень побочных дискретных составляющих, η, дБ, не более 5. Долговременная нестабильность, не более 6. Среднеквадратическое паразитное отклонение частоты в полосе анализа, 150…3000 Гц, ∆f, Гц, не более

-80 10-6

15

- 318 -

ЦАП2

ФНЧ2 1350 ... 1430 МГц 1450 ... 1530 МГц 1550 ... 1630 МГц

268 ... 288 288 ... 308 308 ... 328

ИФД2

ДПКД2 :N2

ПГ2

У1

5.0 МГц

> БОЧ

0.625 МГц

ИФД1

>

1500 ... 1600 МГц 1600 ... 1700 МГц 1700 ... 1800 МГц

У2

240 ... 272

130 ... 190 МГц

ДПКД1 :N1

ПФ

Вых

См

ПГ1

ФНЧ1

УУ

ЦАП1

Рис. 6.5. Cхема двухкольцевого синтезатора частоты дециметрового диапазона

- 319 -

Структурная схема синтезатора приведена на рис. 6.5. Основу синтезатора составляет двухкольцевая связанная СФС. Первое кольцо является выходным и включает в себя перестраиваемый генератор ПГ1, смеситель См, полосовой фильтр ПФ, ДПКД1, детектор ИФД1 и фильтр ФНЧ1. Второе кольцо выполняет функции кольца подставки и включает в себя ПГ2, ДПКД2, ИФД2, фильтр ФНЧ2. Связь между кольцами реализована через линейные усилители У1 и У2. В обоих кольцах применены фазовые детекторы "выборка-запоминание". В схеме предусмотрена предварительная установка частоты ПГ1 и ПГ2, реализуемая блоком управления через цифро-аналоговые преобразователи ЦАП1 и ЦАП2. Схема синтезатора рассчитана на работу в трех частотных поддиапазонах, указанных в требованиях к характеристикам. Выходное кольцо функционирует на частоте шага сетки 625 кГц, кольцо подставки – на частоте 5 МГц. Отношение периодов дискретизации k1 / k2 = 8. Рассчитаем полосу удержания выходного кольца ω1 = E1 S1 , где S1 – крутизна характеристики управления ПГ1, а Е1 – максимальное напряжение с выхода ИФД1. Воспользуемся выражением, аналогичным (6.1.1), но учитывающим подавление помехи в фильтре канала управления

ω1 ≤ 4π f ∂1 ⋅ 10(η −b− χ ) / 20 , где b -

(6.3.1)

относительный уровень помехи с выхода ИФД1 на частоте

дискретизации кольца f ∂1 , выраженный в дБ , χ - подавление в ФНЧ на частоте f ∂1 , выраженное в дБ.

Исходя из возможности технической реализации ИФД "выборказапоминание" на указанных частотах на современной комплектующей базе, положим b = - 80 дБ, зададимся подавлением фильтра на частоте f ∂1 : χ =-20 дБ (αρ =0.63). Согласно

(6.3.1)

полоса

удержания

составит

величину

ω1 ≤ 2π ⋅ 12.5 ⋅ 106 ( рад / c) . С некоторым запасом положим ω1 = 2π ⋅ 107 ( рад / c) . С учетом полосы рабочих частот, выбираем с запасом разрядность канала предустановки (разрядность ЦАП1) n = 4. Соответственно точность канала составит величину ∆f ≅ 7 МГц. Помеха на частоте f ∂ 2 , возникающая в кольце подставки большой опасности для выходного кольца не представляет, поскольку входит в него через делитель ДПКД1, имеющий нули частотной характеристики на частотах,

- 320 -

кратных

f ∂1 . Исходя из опытных данных разработки перестраиваемых

генераторов рассматриваемого диапазона, выберем ω 2 = 2π ⋅ 25 ⋅ 106 ( рад / c) . Разрядность канала предустановки 2-го кольца положим равной n = 4, тем самым обеспечим работу кольца при малых относительных частотных расстройках. С учетом рассчитанных ω1, ω2 выбираем полосу ПФ – (130…190) МГц. Рассчитаем в соответствии с (1.2.8) средние обобщенные коэффициенты усиления в кольцах. С учетом ω1, ω2 для пилообразной характеристики детектора они составят величины α = 0.13, β = 0.05. При необходимости (для удовлетворения требованиям по быстродействию) их можно увеличить за счет перехода от пилообразной характеристики детекторов к треугольной. Работа двухкольцевого синтезатора была предварительно смоделирована на РС [126]. Компьютерная модель позволила дополнительно учесть ряд факторов, не учтенных в математической модели. К числу их относится непостоянство периодов дискретизации и отличие модели детектора от экстраполятора 0-порядка. Учет непостоянства периода дискретизации приводит к поправкам динамических характеристик, в первую очередь области устойчивости. Однако это касается в основном диапазона больших усилений (α > 1, β > 1) При рабочих усилениях результаты математического и компьютерного моделирования совпадают с высокой точностью. На рис. 6.6 приведены зависимости полосы захвата и времени переходных процессов двухкольцевой СФС, учитывающие переменный характер периодов дискретизации, для k1/k2 = 8. Для сравнения на рис. 6.6а приведены результаты для постоянного периода дискретизации (верхние кривые), при положительных расстройках учет непостоянства приводит к некоторому снижению полосы захвата, повторяя известный результат для однокольцевых систем. Изменение полосы захвата в зависимости от µ повторяет аналогичные изменения для модели с постоянным периодом дискретизации, наблюдается сокращение полосы захвата с ростом µ. Изменение знака µ на противоположный приводит к росту полосы захвата, компенсируя частично потерю от непостоянства периода дискретизации. Анализ среднего времени установления частоты в двухкольцевой СФС (рис. 6.6б,в,г) позволяет говорить о качественном совпадении с результатами

- 321 γ1

β = 0 .1 ϑ = 0 .1 αф=1 m = 0 .5

1 .0

t у T1

β = 0 .1 ϑ = 0 .1 m = 0 .5 αф=1

20

0 .7 5

15

0 .5

10

µ = 0 .2 µ = 0 .1

µ=0

µ = − 0 .1

µ=0

µ = 0 .1 µ = 0 .2

0 .2 5

0

0 .5

5

1 .0

1 .5

2 .0

α

0

0 .5

1 .0

а)

1 .5

2 .0

α

б)

γ1

β = 0 .1 ϑ = µ = 0 .1 α ф=1

1 .0

m 1 = 0 .9 9

0 .7 5

t у T1

β = 0 .1 ϑ = µ = 0 .1 αф=1

20

15

m = 0 .7 5 1 m =0 1

m = 0 .5 1

0 .5

10

m = 0 .2 5 1

0 .2 5

m = 0 .2 5 1

m =0 1

5 m = 0 .5 1 m = 0 .7 5 1

0

0 .5

1 .0

1 .5

2 .0

α

0

m =1 1

0 .5

1 .0

в)

1 .5

2 .0

α

г)

γ1

β = 0 .1 ϑ = µ = 0 .1 m = 0 .5

1 .0

t у T1

β = 0 .1 ϑ = µ = 0 .1 m = 0 .5

20

α ф = 0 .1

15

0 .7 5

αф=5

10

0 .5 αф=1

αф=1

5

0 .2 5

αф=5 α ф = 0 .1

0

0 .5

1 .0

1 .5

2 .0

α

0

д)

0 .5

1 .0

1 .5

2 .0

α

е)

Рис. 6.6. Зависимости полосы захвата и времени установления в двухкольцевой СФС с ПИФ

- 322 α=0.5 β=0.25 µ=0.1 ϑ =0.2

-20

γ 1 =0.5 γ 2 =0.5

f0

-20

γ 1 =0.5 γ 2 =0.5

f0

-40

-40

-60

-60 f=f0 – f1

α=0.5 β=0.25 µ=0.1 ϑ =0.2

f=f0 – f2

f=f0 +f1

f=f0 – f1

f=f0 +f1

f=f0 + f2

-80

-80

f=f0 + f2

f=f0 – f2

-100

-100

а)

б) αΦ1=1 m =0.5 1

-20 f0

α=0.5 β=0.25 µ=0.1 ϑ =0.2

γ 1 =0.5 γ 2 =0.5

αΦ1=1 m =0.5 1

-20

-40

-60

-60

f=f0 – f1

f=f0 – f2

f=f0 +f1

-80

γ 1 =0.5 γ 2 =0.5

f0

-40

f=f0 – f1

f=f0 +f1

f=f0 + f2

-80

f=f0 + f2

f=f0 – f2 100

100

в)

α=0.5 β=0.25 µ=0.1 ϑ =0.2

г)

Рис. 6.7. Спектр выходного сигнала двухкольцевой СФС а,б) с бесфильтровыми кольцами; в,г) с ПИФ в выходном кольце

- 323 -

исследования математической модели (р. 4.3). В частности, существует достаточно широкий диапазон параметров (на рисунке показано для усилений), где время установления частоты достаточно мало и практически неизменно, что подтверждает стабилизирующее действие взаимных связей (результаты приведены для установления частоты с точность 0.01 Fш). Некоторое смещение диапазона влево объясняется увеличением эквивалентного усиления за счет переменного периода дискретизации. Согласно приведенных результатов для параметров фильтра, обеспечивающих подавление на частоте дискретизации, близкое к 10 дБ (m = 0.5, αф = 0.5…1.0), время установления частоты не превышает 10 дискретов выходного кольца в широком диапазоне усилений. Учет неидеальности ИФД приводит при наличии взаимных связей к попаданию помех на частотах дискретизации в соседний канал и вызывает дополнительную паразитную частотную модуляцию. На рис. 6.7 приведены спектры сигнала двухкольцевого синтезатора для соотношений частот дискретизации, равных и близких к k1/k2 = 8. В случае кратного соотношения (рис. 6.7а,в) спектр выходного сигнала является дискретным с составляющими, отстоящими от несущей на частоты дискретизации f1 и f2. Рост взаимных связей приводит к росту составляющих на соседних частотах дискретизации (для приведенных графиков их уровень составляет порядка –80 дБ). Для выходного кольца основное влияние оказывает коэффициент υ. Влияние коэффициента µ выражено намного слабее. Объяснение кроется в структурном построении схемы. Для некратного соотношения периодов (рис. 6.7б,г) качественные результаты повторяются с тем отличием , что спектр становится сплошным. Это приводит за счет перераспределения энергии к некоторому снижению паразитных составляющих. Влияние фильтра нижних частот (рис. 6.7в,г) сказывается на составляющих частоты f1 и практически не сказывается на составляющих, кратных f2. С учетом выполненных рассчетов и исследований, проведенных на компьютерной модели, был реализован экспериментальный макет двухкольцевого синтезатора, результаты исследований которого приведены в табл. 6.1.

- 324 -

Таблица 6.1 k1/k2 = 8, β = 0.1

α=0.2

α=0.4

α=0.6

α=0.8

0.96

0.84

0.65

0.30

время установления с точностью 0.01 Fш (tу/T1), мкс

18

12

11

10

макс. составляющая частоте f1 (дБ)

на

-82

-80

-79

-75

макс. составляющая частоте f2 (дБ)

на

-84

-84

-83

-83

8

8

9

12

полоса захвата (γ1)

среднеквадратическое отклонение частоты в полосе 150…3000 Гц (Гц)

Согласно полученным данным, наиболее подходящим является диапазон усилений выходного кольца 0.4 < α < 0.6. Результаты, приведенные в таблице, достаточно близки к расчетным и удовлетворят требованиям технического задания.

- 325 -

6.4. Цифровой синхронно-фазовый демодулятор с многоуровневым квадратурным АЦП на входе Разработанные во второй и третьей главах положения нелинейной динамики однокольцевых дискретных СФС, в том числе неавтономных, позволяют оптимизировать динамические характеристики цифровых СФС, функционирующих в условиях значительных частотных расстроек и внешних воздействий. Рассмотрим такую возможность на примере синхронно-фазового демодулятора с квадратурным аналого-цифровым преобразователем на входе, реализованного на базе аппаратно-программного комплекса "Цифровые системы" (рис. 6.8). В состав комплекса входит аппаратный модуль, с помощью которого происходит формирование двух квадратурных кодовых последовательностей, и блок цифровой обработки, выполняющий функции собственно демодулятора на основе цифровой СФС. Блок цифровой обработки реализован программным способом. К вадратурны й преобразовател ь

Б л ок ввода инф орм ации

526ПС1 140УД 8

1113ПВ1

С м .1

ФНЧ1

АЦП1

U 0 C os( ω гс t)

e в х(t)

БУ

ГС

РС

U 0 Sin( ω гс t) 526ПС1 140УД 8

С м .2

1113ПВ1

ФНЧ2

АЦП2

Рис. 6.8. Структурная схема аппаратно-программного комплекса "Цифровые системы" Аппаратный модуль состоит из генератора опорного сигнала, двух идентичных смесителей (м/c 526ПС1) соответственно в синфазном и квадратурном каналах, двух ФНЧ, сигналы с которых поступают на входы двух АЦП (м/c 1113ПВ1) блока ввода-вывода информации. С выходов АЦП кодовые последовательности через плату ввода-вывода поступают в компьютер. Тактовая частота системы равна 32 кГц (время преобразования АЦП 30мкс, количество разрядов n=10), частота ГС 8мГц, диапазон входных частот 8 мГц ± 15 кГц.

- 326 -

ЦФД uвх (t)

ЦФНЧ

S1

KАЦП

НС1

Kвых

m ФП1

ФП2

ЦСО

НС2

Рис. 6.9. Схема цифрового синхронно-фазового демодулятора Схема СФД приведена на рис. 6.9. В состав ее входит цифровой фазовый детектор (ЦФД) с синусоидальной характеристикой. На входы ЦФД поступают квантованные значения квадратурных составляющих входной смеси, а также кодовые последовательности с выхода цифрового синтезатора отсчетов квадратур (ЦСО). ЦСО содержит два функциональных преобразователя синусоидального (ФП1) и косинусоидального (ФП2) вида. С выхода ЦФД отсчеты поступают на цифровой фильтр нижних частот ЦФНЧ, состоящий из пропорционального и интегрирующего каналов. Демодулированный сигнал снимается с выхода накопительного сумматора, входящего в состав цифрового фильтра. При выборе параметров узлов демодулятора необходимо учитывать следующие факторы: 1. Система должна быть "изолирована" от возможных нелинейных движений. Данный вопрос решается на основе результатов исследования нелинейной динамики обобщенной модели СФС 2-го порядка с интегратором в цепи управления и синусоидальным детектором (раздел 2.4). 2. В системе должен быть обеспечен режим слежения за входной частотой без проскальзываний фазы. Вопрос решается на основе результатов исследования нелинейной динамики обобщенной модели неавтономной СФС 2го порядка (п. 2.6). 3. Система должна обеспечить необходимое качество демодулированного сигнала с учетом входного сигнала и вида помехи. Данный вопрос решается на

- 327 -

основе анализа выходного сигнала в предположении существования установившегося режима слежения. Согласно рис. 2.41а для обеспечения режима в системе, при котором в ней кроме состояния равновесия и кратного захвата не существует других устойчивых движений, необходимо выбрать усиление в кольце из закрашенной области. Учитывая тот факт, что кратные захваты возникают при частотных расстройках, в целое число раз превышающих тактовую частоту, можно утверждать, что закрашенная область практически обеспечивает устойчивость в целом. Достаточно ограничить частотные расстройки некоторой заданной максимальной частотой на выходе СФС, которая определяется выражением

2π ⋅ fT , (6.4.1) 2 N 2 − N1 +1 где N1, N2 – разрядности входной и выходной шин формирователя фазы ЦСО

ω max =

(НС2). Для устойчивой работы достаточно выбрать (N2 - N1) ≥ 2. По этой же

1 причине удается освободиться от циклов структуры ( ). Они возникает при 2 расстройках, близких к частоте f = 1.5 f T . Фактически существование ω max определяет новую модель цифровой СФС с двумя нелинейностями. Одна из них определяется свойствами ЦФД, вторая – ограничением в канале управления. На рис. 2.41б приведена область устойчивости для системы с ограничивающим интегратором, подтверждающая сказанное. За счет ограничения область малых усилений становится глобально устойчивой. В соответствии с результатами анализа нелинейной динамики неавтономных СФС с ростом входного воздействия происходит тушение колебательных движений при малых усилениях. Это приводит к постепенному вытеснению движений за область локальной устойчивости (рис. 2.63а,б, рис. 2.64в). Таким образом, при наличии ограничения на ω max в неавтономном случае область малых усилений является областью устойчивого слежения. Оценим параметры системы для обеспечения требуемого качества выходного сигнала в режиме слежения. Пусть входной сигнал представляет собой аддитивную смесь информационного ЧМ-колебания, детерминированной гармонической помехи и шумового воздействия: Sвх (t ) = S0 cos(ω 0t + β cos(Ω м t )) + ηcos ω nt + n(t ) ,

(6.4.2)

- 328 -

где S0 – амплитуда колебаний информационного сигнала, ω0, β, Ω м – частота несущей, индекс модуляции и частота модуляции ЧМ–колебания; η, ω

п

–

амплитуда и частота гармонической помехи, nш(t) – нормальный белый шум. Запишем коэффициент передачи «входная частота – выходной код» для линеаризованной модели:

K вых ( z ) =

S ⋅ (1 + m ⋅ ( z − 1)) ( z − 1) 2 + S ⋅ (m ⋅ ( z − 1) + 1)

(6.4.3)

где S – коэффициент усиление системы, m – коэффициент форсирования ЦФНЧ. Построенные в соответствии с (6.4.3) амплитудно–частотные характеристики для тактовой частоты f T = 32 кГц приведены на рис. 6.10. Полоса пропускания системы согласована с полосой модулирующего сигнала 300...3400 Гц . Согласно приведенным графикам наблюдается улучшение фильтрующих свойств системы при уменьшении S. В то же время уменьшению S препятствует ряд факторов, такие, как возможность переполнения цифровых элементов, нежелательный выброс на АЧХ в полосе пропускания, ухудшение динамических свойств и др. Переполнение цифровых элементов может привести к существенному усложнению нелинейного поведения системы, особенно на этапе захвата. H, дБ S=0,05

0 -5

0,3

-10

0,1

-15 -20

f ср

0

2,5

5,0

7,5

f, кГц

Рис. 6.10. Амплитудно-частотные характеристики СФД Амплитуда колебаний на выходе детектора находится в обратной зависимости от S, поэтому при малых S система работает на нелинейном участке характеристики ФД, что приводит к появлению паразитных нечетных гармоник частоты модуляции в спектре демодулированного сигнала. Можно показать, что при некоторых допущениях (линейность работы системы,

- 329 -

отсутствие подавления в полосе пропускания) отношение амплитуды колебаний на выходе ФД Uдет к максимально возможному значению на выходе ФД U дмах выражается следующим образом [175]:

U дет β Ω 2м µ = мах = 2 , U дет fT ⋅ S

(6.4.4)

На рис. 6.11 приведена зависимость уровня третьей паразитной гармоники (максимальной) для случая , когда частота модуляции fм = 3400 Гц . В соответствии с приведенными данными можно рекомендовать значения µ

=0.4 ÷ 0.5, при этом уровень паразитных гармоник будет составлять не более 55–60 дБ. Отметим, что при одинаковых Uдет при меньших S, т.е. при лучших фильтрующих свойствах системы, уровень третьей гармоники несколько выше. Это связано с тем, что модуль коэффициента передачи с выхода ФД на выход демодулятора на частотах порядка нескольких Ωм уменьшается с ростом S. L 3, дБ -30 -40

0,05

-50

S=0,3

-60 -70

0

0,2

0,4

0,6

0,8

µ

Рис. 6.11. Уровень 3-ей гармоники на выходе СФД Согласно [175] при наличии аддитивной гармонической помехи спектр частоты входной смеси содержит следующие наиболее мощные составляющие: информационную (6.4.5) β Ω м Sin (Ω м t ) , частотно-модулированную на частоте ∆ω ∆ω ⋅ η Sin ( ∆ω t + β cos Ω м t ) ,

(6.4.6)

две частотно-модулированные соответственно на частотах ∆ω ± Ωм

η

βΩм

Sin((∆ω ± Ω м )t + β cos Ω мt ) , (6.4.7) 2 где ∆ω - расстройка между частотой помехи и частотой несущего колебания.

- 330 -

Мощность составляющей (6.4.6) пропорциональна частотной расстройке, а мощность составляющих (6.4.7) от расстройки не зависит. Поэтому при малых расстройках основную роль играют составляющие (6.4.7), при больших – составляющие (6.4.6). L3, G, дБ -30 1

-40 -50

2

-60 -70

0

0,1

0,2

0,3

S

Рис. 6.12. Зависимость дискретных составляющих, обусловленных входной гармонической помехой и нелинейностью детектора В связи с тем, что при малых S улучшаются фильтрующие свойства системы, но в то же время появляются нежелательные составляющие в выходном спектре, возникает вопрос о оптимальном коэффициенте усиления. На рис. 6.12 приведены зависимости уровня паразитных составляющих, обусловленных помехой (1) и нелинейностью характеристики ФД (2), для случая ∆f = 6 кГц, Pс / Pпом = 30 дБ. Точка пересечения двух кривых определяет значение S, при котором уровни упомянутых паразитных составляющих будут минимальны. Стоит отметить, что зависимость уровня составляющей помехи от

S будет проявляется тем сильнее, чем больше ∆f, что наглядно демонстрируется АЧХ, приведенными на рис. 6.10. Построим пороговые зависимости для анализируемого демодулятора по детерминированной и шумовой помехам. Для измерения выходного отношения сигнал/помеха ρ воспользуемся методикой, реализованной согласно схеме, приведенной на рис. 6.13. В соответствии с ней мощность помехи на выходе демодулятора определяется как средний квадрат разности процессов на выходах двух идентичных СФД. На вход одного из них подается информационный сигнал, на вход второго смесь информационного сигнала и помехи с заданным отношением мощностей ρвх.

- 331 -

П

ЦСФД <x2>

ЦСФД

Г

Рис. 6.13. Схема измерения отношения сигнал/помеха На рис. 6.14а,б приведены зависимости ρ от ρвх при изменении коэффициента усиления и индекса модуляции соответственно. Как и в случае шумовой помехи наблюдается пороговый эффект, объясняемый срывами слежения при малых значениях ρвх. ρ, дБ

ρ, дБ

15

15

10

10

0,1

S=0,3

5

-5

5

0,05

0 0

5

3,0

1,0

β=0,5

0

10

15 ρвх, дБ

-5

0

5

10

15 ρвх, дБ

а) б) Рис. 6.14. Пороговые кривые СФД при гармонической помехе Согласно полученных результатов, уменьшение усиления в системе приводит к росту ρ, при этом пороговое значение ρвх увеличивается. С ростом индекса модуляции ρ увеличивается, пороговое значение ρвх также растет. На рис. 6.15 приведены зависимости ρ при изменении расстройки между частотой помехи и несущей частотой информационного сигнала. Отметим следующее: 1. При достаточно больших расстройках с увеличением ∆f наблюдается некоторый рост ρ. Так как мощность наиболее весомых паразитных составляющих (6.4.6) пропорциональна расстройке, то увеличение ρ будет примерно определяться скоростью спада АЧХ за вычетом 6 дБ/октаву. Благодаря фильтру в цепи управление скорость спада АЧХ на высоких частотах при практически любых параметрах системы превышает 6 дБ/октаву и растет с

- 332 -

уменьшением S. Поэтому рост ρ с увеличением ∆f будет тем заметнее, чем меньше S.

ρ, дБ 15 10

0,05

0,1

5

S=0,3

0 -5

0

5

10

15

∆f, кГц

Рис. 6.15. Зависимость отношения сигнал/помеха от частотной расстройки 2.

При

расстройках,

сравнимых

с

полосой

системы

(рис. 6.10),

наблюдается обратная зависимость. При уменьшении ∆f уменьшается ρ. Это обусловлено тем, что подавление АЧХ вблизи частоты среза менее 6 дБ/октаву, причем согласно рис. 6.10 при больших S подавление 6 дБ/октаву достигается при больших расстройках. Соответственно смещается значение расстройки ∆f, при котором ρ имет минимум. Кроме того существенное влияние начинают оказывать паразитные составляющие (6.4.7). Графики зависимости отношения сигнал/шум на выходе ρ′ от отношения сигнал/шум на входе ρ′вх без помехи приведены на рис. 6.16а. При увеличении коэффициента модуляции, либо при уменьшении усиления наблюдается рост ρ′ и смещение порога вправо. На рис. 6.16б показаны пороговые кривые для случая, когда на входе демодулятора вместе с шумом действует гармоническая помеха. Графики построены для S = 0.3. При построении зависимостей отношение сигнал/шум на входе ρ′′вх задавалось без учета гармонической помехи, величина выходного отношения сигнал/шум ρ′′ учитывала также вклад гармонической помехи.

- 333 -

ρ′, дБ

3

30

ρ′′, дБ 30

2

20

20

10

10 1

0 -10

0

10

20

3 1 2

0

30 ρ′вх, дБ

-10

0

10

20

30 ρ′′вх, дБ

а) б) Рис. 6.16. Пороговые кривые цифрового СФД для а) 1 - β = 1, S = 0.3; 2 - β = 1, S = 0.3; 3 - β = 1, S = 0.3; б) 1 - q = 20 дБ, ∆f = 6 кГц; 2 - q = 6 дБ, ∆f = 6 кГц; 3 - q = 20 дБ, ∆f = 1 кГц Для сравнения пунктиром показана кривая без гармонической помехи. Видно, что при больших отношениях ρ′′вх выходное отношение ρ′′ стремится к некоторому предельному значению, определяемому параметрами помехи. При увеличении мощности помехи, а также при уменьшении расстройки отношение

ρ′′ в общем случае уменьшается. При малых мощностях помехи отличия от пороговой кривой, построенной без помехи, проявляются лишь при больших входных отношениях ρ′′вх. 6.5. Выводы 1. На основе результатов теоретических исследований обобщенных моделей, выполненных с применением разработанных в диссертации методов, осуществлена разработка ряда конкретных устройств на основе дискретных СФС, включая синтезаторы частот различного назначения, возбудитель ЧМколебаний, синхронно-фазовый демодулятор для систем радиотехники и связи. 2. Спроектирован и реализован широкополосный быстродействующий синтезатор частоты дециметрового диапазона. Основу синтезатора составляет импульсно-цифровая система частотно-фазовой автоподстройки с повышенной частотой дискретизации в цифровом кольце. Экспериментальные исследования показали высокое совпадение полученных результатов с результатами теоретических исследований модели комбинированных систем и подтвердили перспективность данного направления частотного синтеза. В частности,

- 334 -

подтверждена возможность повышения быстродейстия комбинированных систем данного по сравнению с известными комбинированными системами до 3-4 раз. 3. Для аппаратуры передачи телевизионных сигналов разработан и реализован возбудитель ЧМ-колебаний дециметрового диапазона на основе импульсного кольца СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки. Результаты экспериментальных исследований подтвердили высокую эффективность и перспективность систем с циклическим прерыванием автоподстройки для создания устройств частотного синтеза и генераторов сигналов с угловой модуляцией. Была подтверждена возможность повышения стабильности несущей частоты ЧМ-колебаний до значений, определяемых стабильностью опорного генератора. 4. Выполненные исследования связанных систем фазовой синхронизации позволили разработать синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе двухкольцевой СФС с преобразованием частоты в выходном кольце. Результаты экспериментальных исследований показали хорошее качественное и количественное совпадение с результатами выполненных теоретических исследований и подтвердили возможность улучшения параметров и характеристик двухкольцевых систем за счет введения дополнительных связей между кольцами. Подтвержден эффект стабилизации характеристик двухкольцевой схемы за счет дополнительных связей при изменении параметров системы в широких пределах. комплекса выполнены 5. На базе аппаратно-программного экспериментальные исследования цифрового синхронно-фазового демодулятора. При выборе и оптимизации режимов функционирования демодулятора использованы результаты исследования нелинейной динамики обобщенных автономной и неавтономной моделей дискретных СФС с синусоидальной нелинейностью. Результаты исследований показали высокое совпадение с результатами теоретических исследований нелинейной динамики. Результаты исследований демодулятора в условиях гармонической помехи позволили сформулировать основные требования к выбору параметров демодулятора, обеспечивающих наилучшее качество демодулированного сигнала при заданном отношении сигнал/помеха на входе.

- 335 -

Заключение К числу основных результатов диссертационной работы относится разработка и развитие ряда эффективных методов анализа нелинейной динамики дискретных СФС, позволяющих проводить исследование и расчет динамических свойств широкого класса импульсных, цифровых, импульсноцифровых, связанных многокольцевых СФС, СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки, составляющих основу перспективных систем обработки информации, генераторов сигналов с угловой модуляцией, устройств частотного синтеза и стабилизации частоты. Разработанные методы обеспечивают высокую степень точности определения динамических характеристик для произвольных параметров систем и доведены до расчетных соотношений, систем алгебраических уравнений, к которым могут быть применены известные методы решения, алгоритмов численных вычислений. Применение методов позволило провести анализ и оптимизацию параметров как традиционных однокольцевых импульсных и цифровых с многоуровневым квантованием СФС различных порядков, так и перспективных связанных и комбинированных СФС и различных типов СФС с циклическим прерыванием автоподстройки. Наиболее значимые итоги работы сводятся к следующим: 1. Построены обобщенные математические модели различных классов автономных и неавтономных дискретных СФС, включая однокольцевые импульсные и цифровые системы, связанные двухкольцевые системы с преобразованием и без преобразования частоты внутри колец, комбинированные импульсно-цифровые системы с частотным управлением, системы с циклическим прерыванием режима автоподстройки. Использование обобщенных моделей различных по своей структуре систем позволяет применить при их анализе методики и алгоритмы, основанные на единых подходах. Соответственно результаты исследований, полученные в терминах обобщенных параметров, позволяют расширить знания о конкретных системах, основанные на общих тенденциях поведения моделей. 2. На основе общих положений качественных методов теории нелинейных дискретных колебаний и теории бифуркаций разработаны эффективные методы исследования движений в импульсных и цифровых СФС с различными типами нелинейностей, основанные на условиях возникновения неподвижных точек и их бифуркациях. Для кусочно-линейных систем предложены методики расчета бифуркационных параметров, основанные на утверждении о возникновении

- 336 -

неподвижных точек любой кратности на границах линейности. Для гладких систем предложена методика расчета бифуркационных параметров, основанная на ряде доказанных утверждений относительно условий возникновения простых неподвижных точек и модифицированном варианте численного метода продолжения по параметру для неподвижных точек повышенной кратности. Методика расчета параметров, определяющих переход к квазипериодическим движениям, основывается независимо от вида нелинейности на условии касания инвариантных сепаратрисных многообразий, получены условия касания. В отличии от известных разработанные методики и алгоритмы позволяют получить точные значения областей существования различных установившихся движений исследуемых моделей, областей глобальной асимптотической устойчивости, полос захвата для произвольных параметров. 3. Разработана методика анализа установившихся движений в кусочнолинейных неавтономных дискретных СФС при периодическом по частоте воздействии, основанная на модификации качественно-аналитического метода анализа автономных систем 2-го порядка. С учетом динамики изменения геометрии фазового пространства она также базируется на условиях возникновения неподвижных точек различной кратности на границах линейных участков характеристики детектора. Методика позволяет исследовать области возможных периодических движений в дискретных СФС с различными типами фильтров, включая области устойчивого слежения за входной частотой, для различных типов воздействия и его параметров. Для кусочно-линейных воздействий она обеспечивает абсолютно точный результат. В случае гладких воздействий окончательный результат получается за счет дополнительного использования численного метода продолжения по параметру. 4. Разработана методика анализа эффектов квантования цифровых СФС. Методики основана на анализе поведения инвариантных кривых, построенных в окрестности исследуемых движений. Доказано, что существование конечной разрядной сетки способствует разрушению движений с большими амплитудами, что в конечном итоге приводит к увеличению области устойчивой работы системы. Для окрестности состояния равновесия влияние влияние квантования сводится к возникновению различных периодических и квазипериодических движений, которые при малом усилении в системе хорошо описываются с помощью инвариантных кривых. При большом усилении характер движений и их параметры определяются степенью приближения г границам локальной устойчивости и типом этих границ. Применение

- 337 -

качественных методов для анализа эффектов квантования позволяет в отличии от известных методов установить не только характеристики движений но и тенденции возможных их изменений. 5. Предложенные качественные методы исследования нелинейной динамики однокольцевых дискретных СФС получили развитие применительно к кусочно-линейным тороидальным СФС. Представителями данного класса являются различные типы двухкольцевых связанных СФС и комбинированных систем частотно-фазовой автоподстройки. Особенностью методики анализа нелинейной динамики исследуемых тороидальных систем является переход в новую временную шкалу, вызванный наличием двух временных дискретов. В отличии от известных подходов, методика позволяет получить точные границы областей существования возможных движений для систем данного класса, областей устойчивости и захвата по частоте для произвольных параметров. Предложен вариант оценки длительности переходных процессов по собственным значениям эквивалентной линейной матрицы связанной системы. 6. Предложенные методы исследования нелинейной динамики однокольцевых дискретных СФС получили развитие применительно к кусочнолинейным СФС с разрывным временем. Представителями данного класса являются различные типы дискретных СФС с циклическим прерыванием автоподстройки. Как и в случае связанных СФС метод основан на эквивалентном описании систем в новой временной шкале. В отличии от известных приближенных методов, обеспечивающих оценки полосы захвата и времени установления частоты, предложенный метод позволяет получить точные границы областей существования возможных движений, областей глобальной асимптотической устойчивости, области захвата по частоте для произвольных параметров системы и режима прерывания. 7. На основе общих положений метода гармонической линеаризации разработаны методики исследования симметричных и несимметричных периодических движений в однокольцевых дискретных СФС и СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки. С учетом большого значения данного типа движений в динамическом поведении рассматриваемых классов систем, предложенные варианты метода следует считать достаточно эффективными, особенно для анализа высокочастотных колебаний. При этом метод позволяет получить абсолютно точные границы областей существования периодических движений. В случае гладких нелинейностей метод

- 338 -

гармонической линеаризации является единственным из известных, дающих точный результат при анализе высокочастотных колебаний. 8. На основе предложенных в диссертации методов анализа динамических свойств различных классов моделей дискретных СФС разработаны алгоритмы расчета областей существования периодических и квазипериодических движений, областей устойчивости в большом и в целом. На основе результатов, полученных с помощью алгоритмов, выполнено исследование нелинейной динамики большого количества конкретных типов автономных дискретных СФС с различными видами нелинейностей детектора, включая однокольцевые импульсные и цифровые СФС различных порядков, двухкольцевые связанные СФС различных типов, комбинированные импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки, импульсные СФС с циклическим прерыванием автоподстройки различных типов. Часть полученных результатов носит уточняющий характер по сравнению с известными приближенными. Это касается в основном однокольцевых систем 2-го порядка, включая системы с прерыванием автоподстройки. Большинство результатов исследования дискретных систем 3-го порядка, результаты исследования различных связанных и комбинированных дискретных систем получены впервые. 9. На основе разработанных методик и алгоритмов выполнено исследование нелинейной динамики неавтономных кусочно-линейных дискретных СФС различных порядков при детерминированных входных воздействиях по частоте. Для воздействий в виде ЧМ-колебаний с пилообразным и гармоническим изменением входной частоты получены области существования различных установившихся движений, установлены основные бифуркации. Исследована область устойчивого слежения по частоте для различных параметров входного воздействия. 10. Результаты проведенных исследований позволили сформулировать предложения по повышению эффективности и параметрической оптимизации основных динамических характеристик (области устойчивой работы, диапазона рабочих частот, быстродействия) рассматриваемых классов дискретных СФС, используемых в устройствах обработки информации, генерации высокостабильных ЧМ-колебаний, стабилизации несущих частот, частотного синтеза. 11. Создан ряд высокоэффективных устройств обработки информации, генерации, синтеза и стабилизации частот, основанных на использовании теоретических и прикладных результатов исследований дискретных СФС.

- 339 -

Технические решения, лежащие в основе созданных устройств, защищены 13 авторскими свидетельствами. К числу их относятся синтезаторы частоты дециметрового диапазона на основе комбинированных импульсно-цифровых систем частотно-фазовой автоподстройки, синтезаторы частоты дециметрового диапазона на основе двухкольцевых связанных СФС, возбудители ЧМколебаний дециметрового диапазона на основе СФС с циклическим прерыванием автоподстройки, цифровые синхронно-фазовые демодуляторы. Полученные в перечисленных устройствах характеристики либо существенно превышали существующий на момент их создания уровень аналогичных отечественных и зарубежных образцов либо значительно повышали эффективность использования известных разработок. Быстродействие синтезаторов частоты на основе комбинированных систем частотно-фазовой автоподстройки за счет повышения частоты дискретизации кольца ЧАП удалось поднять в 3-4 раза по сравнению с устройствами данного класса. Стабильность несущей частоты возбуделей ЧМ-колебаний для аппаратуры передачи телевизионных сигналов удалось поднять на порядок по сравнению с известными техническими решениями. Введение в схему двухкольцевого синтезатора взаимных связей позволило значительно повысить стабильность характеристик синтезатора, область устойчивой работы, диапазон параметров, обеспечивающих стабильно высокое быстродействие. Применение в цифровом синхронно-фазовом демодуляторе ограничивающего астатического фильтра обеспечило устойчивую работу в широком диапазоне параметров при гармонической помехе на входе. Параметрическая оптимизация обеспечила требуемое качество демодулированного сигнала в условиях помех. Разработки были внедрены на предприятиях г. Москвы (ЦНИРТИ), г. Ярославля (ОКБ радиозавода), г. Рыбинска (ОКБ "Луч"), что подтверждается соответствующими актами. Разработанные в диссертации методы, методики, алгоритмы расчета и результаты исследований конкретных устройств в течение ряда лет использовались в учебном процессе в Ярославском государственном университете при подготовке специалистов по специальности "Радиофизика и электроника". По материалам диссертации издано два учебных пособия, большое число методических указаний, подготовлено два лекционных курса, поставлены лабораторные работы. С использованием ряда положений диссертации были подготовлены и защищены 4 кандидатских диссертации, большое количество дипломных проектов и курсовых работ.

- 340 -

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гуткин Л.С. Проектирование радиосистем и радиоустройств: Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1986. - 288 с. 2. Радиопередающие устройства / Под ред. В.В. Шахгильдяна. - М.: Радио и связь, 1990. - 432 с. 3. Системы фазовой синхронизации / Акимов В.Н., Белюстина Л.Н., Белых В.Н., и др.; Под ред. В.В.Шахгильдяна, Л.Н.Белюстиной. - М.: Радио и связь, 1982. - 288 с. 4. Roland E. Best. Phase-locked loops: design, simulation, and application. Third Edition. McGrow-Hill, 1997. - 360 p. 5. Тузов Г.И. Выделение и обработка информации в доплеровских системах. М.: Советское радио, 1967. - 256 с. 6. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ./ Под ред. Ю.Н.Бакаева и М.В.Капранова. –М.: Сов. Радио. –1978. - 600 с. 7.

Аналоговые и цифровые синхронно-фазовые измерители и демодуляторы

/ А.Ф.Фомин, А.И.Хорошавин, О.И.Шелухин; под. ред. А.Ф.Фомина. - М.: Радио и связь, 1987. - 248 с. 8.

Журавлев В.И. Поиск и синхронизация в широкополосных системах. М.:

Радио и связь, 1986.- 240с. 9.

Шахтарин Б.И.

Анализ

кусочно-линейных

систем

с

фазовым

регулированием. - М.: Машиностроение, 1991. - 192 с. 10. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: 1985. - С. 384. 11. Цифровые радиоприемные системы: Справочник. / М.И. Жодзишский, Р.Б. Мазепа, Е.П. Овсянников и др./ Под ред. М.И. Жодзишского - М.: Радио и связь, 1990. - 208с. 12. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. –Изд. 2-е доп. и перераб. –М.: Связь. –1972. –447 с. 13. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. - М.: ИПРЖР, 1996 - 252 с.

- 341 -

14. Тузов Г.И., Сивов В.А., Прытков В.И. и др. Помехозащищенность радиосистем со сложными сигналами / Под ред. Тузова Г.И. – М.: Связь, 1985. – 279 с. 15. Системы фазовой синхронизации с элементами дискретизации. 2-е изд., доп. и перераб./ В.В.Шахгильдян, А.А.Ляховкин, В.Л.Карякин и др.; под ред. В.В.Шахгильдяна. - М.: Радио и связь, 1989. - 320 с. 16. Левин Е.А. Стабилизация дискретного множества частот. - М.: Энергия, 1970. - 328 с. 17. Губернаторов О.И., Соколов Ю.Н. Цифровые

синтезаторы

частот

радиотехнических систем. - М.: Энергия, 1973. - 175 с. 18. Рыжков А.В., Попов В.Н. Синтезаторы частот в технике радиосвязи. - М.: Радио и связь, 1991. - 264 с. 19. Манассевич В. Синтезаторы частот. Теория и проектирование: Пер. с англ./ Под ред. А.С.Галина. - М.: Связь, 1979. - 384 с. 20. Manassewitsch V. Frequency Synthesizers. Theory and Design. Third Edition. New York, 1987. - 611 p. 21. James A. Crawford. Frequency Synthesizer Design Handbook. Artech House, Inc. Norwood, 1994. - 435 p. 22. Шапиро Д.Н., Паин А.А. Основы теории синтеза частот. - М.: Радио и связь, 1981. - 264 с. 23. Egan W.F. Frequency Synthesis by Phase Look. New York: Wiley. 1981.- 275p. 24. Ronde Ulkichl. Digital PLL Frequency Synthesizers. New York: Prentice - Hall, 1983. - 494 p. 25. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. - М.: Радио и связь, 1989. - 232с. 26. Пестряков А.В., Козлов А.Л. Синтезаторы

частот

с

малым

энергопотреблением на основе импульсных систем ФАПЧ с циклическим прерыванием // Электросвязь, - 1990, №8. -С. 9-12. 27. Пестряков А.В. Разработка и применение прикладных методов анализа дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частоты. Дис. докт. техн. наук. – Москва, - 1992. – 472 с. 28.

А.С. 1257845. ССР, МКИ НОЗ L 7/18. Синтезатор частоты / Пестряков

А.В., Козлов А.Л. Опубл. 15.09.86. Бюл. №34.

- 342 -

29.

А.с. 1478328 СССР, МКИ НО3 L 7/22. Синтезатор частоты / Казаков Л.Н.,

Самойло К.А., Смирнов В.Н. Опубл. 07.05.89. Бюл. №17. 30. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. - М.: Радио и связь, 1999. - 496 с. 31. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В. Перспективные направления развития динамической теории дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частот // Электросвязь. - 1993. - №11. - С. 38– 42. 32. Пестряков А.В. Применение асимптотических методов для анализа дискретных систем фазовой синхронизации // Теоретическая электроника. Республ. межвед. научн. технич. сб. – Львовский Гос. ун-т. –1989. –Вып.47. –С. 135-139. 33. Пестряков

А.В.

Использование

метода

усреднения

для

анализа

импульсных систем фазовой синхронизации //Радиотехника и электрионика. – 1990. –Т. 35. –Вып. 11. - С. 2334-2340. 34. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. : Пер. с англ./ Под ред. Н.Н.Баутина и Е.А.Леонтовича – М.: Мир, 1980. - 384 с. 35. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. – М.: Наука, 1978. – 336 с. 36. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1972. – 472 с. 37. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных отображений. – М.: Наука, 1976. – 368 с. 38. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1983. – 336 с. 39. Кабанов А.И., Пестряков А.В. Сравнительный анализ некоторых моделей синтезаторов частот на основе систем ИФАПЧ // Электросвязь, - 1984, №2. - С. 59-61. 40. Казаков Л.Н.

"Разработка

и

исследование

быстродействующих

широкополосных синтезаторов частоты" Дис. канд. тех. наук./ Моск. инст-т радиотехн. электрон. и автомат. - М.: 1988. - 172 с.

- 343 -

41. Клепацкая И.И. Цифровые синтезаторы частоты для СВЧ возбудителей дискретной сетки частот // Техника средств связи. Сер. Техника радиосвязи. 1981. - вып. 8. - С. 96 - 105. 42. Клепацкая И.И., Киселев Е.В. Цифровые синтезаторы частот ВЧ - , СВЧ диапазонов // Техника средств связи. - 1983. - вып. 6. - С. 90-95. 43. Казаков Л.Н. Математическое

моделирование

дискретных

систем

с

частотным управлением: Учебное пособие. - Ярославль. 1993. - 44 с 44. Козлов А.Л., Пестряков А.В. Анализ

динамических

характеристик

импульсных систем ФАПЧ в режиме прерываний // Электросвязь, - 1989, №11. С. 40-44. 45. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. – 488 с. 46. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. - М.: Физматгиз, 1963. - 968 с. 47. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. - М.: Наука, 1977. 560 с. 48. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования: Пер. с англ./ Под ред. Я.З.Цыпкина. М.: Физматгиз, 1963. - 465 с. 49. Shlesinger K. Look Oscillator for Television Sinchronisation // Electronics, 1949, January. P. 112-117. 50. Кулешов Е.Н., Морозов А.А. Исследование импульсной системы фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника и электроника. -1963, Y111, №8. -С. 1334-1344. 51. Казаков Л.Н. Управление переходным процессом в быстродействующем синтезаторе частоты // Радиотехника.1986. №10. - С. 15–18. 52. Гаврилюк М.С. Исследование

импульсно-фазовой

автоподстройки

частоты: Дис. канд. техн. наук. - Одесса, -1970. -258 с. 53. Казаков Л.Н., Палей Д.Э., Пономарев Н.Ю.

Нелинейная динамика

дискретных СФС с кусочно-линейной характеристикой детектора: Учебное пособие. – Ярославль. 1998. – 127 с. 54. Лебедева Л.В. Качественное поведение траекторий и бифуркации дискретных фазовых систем. Дис. канд. физ.-мат. наук. - Н.Новгород, 1993. 173. с.

- 344 -

55. Романов С.К. К расчету идеализированной системы импульсно-фазовой автоподстройки частоты с делителем в цепи обратной связи // Вопросы радиоэлектроники. Сер. ТРС. - 1970. -вып. 4. -С. 79-84. 56. Романов С.К. К анализу системы импульсно-фазовой автоподстройки частоты

(ФАПЧ)

с

запоминанием

и

запаздыванием

//Вопросы

радиоэлектроники. Сер. ТРС. -1971, вып. 7. -С.89-98. 57. Романов

С.К.

К

исследованию

системы

импульсно-фазовой

автоподстройки частоты со счетчиковым делителем частоты в цепи обратной связи // Вопросы радиоэлектроники. Сер. ТРС. -1974, вып. 4. -С. 112-118. 58. Lindsey W.C., Chie C.M. Aguisition Benaviorrb of a First-Order Digital PhaseLocked Loop // IEEE Trans. –1978. –V. Com-26.-P. 1364-1370. 59. Горюнов В.И. К теории систем импульсно-фазовой автоподстройки частоты (ИФАПЧ) // Изв. Вуз. СССР. Приборостроение. –1974, №10. –С. 102107. 60. Алексеев А.С., Горюнов В.И., Кириллов Ю.П. К теории одноконтурных цифровых систем фазовой синхронизации // Динамика систем. Межвуз. Сборник - г. Горький, - 1976, вып. 11. - С. 113-123. 61. Горюнов В.И., Ерусланов В.Н., Кириллов Ю.П. Применение метода точечных преобразований для исследования динамики систем импульснофазовой автоподстройки частоты // Техника средств связи. Сер. ТРС. – 1977, вып. 9 (16). 62. Горюнов В.И. О существовании и устойчивости основных режимов в системе ИФАПЧ // Дифференциальные и интегральные уравнения. –1979, вып. 3. - 145 с. 63. Gill G.S., Gupta S.C. First-order discrete phase-locked loop with applications to demodulation of angle-modulated carrier // IEEE Trans. –1972. – V.COM-20. –P. 615-623. 64. Gill G.S., Gupta S.C. On higher order discrete phase-locked loop // IEEE Trans. –1972. – V.AES-8. –P. 615-623. 65. Макаров А.К. Исследование динамики импульсной системы фазовой автоподстройки частот // Изв. вузов СССР. Сер. Радиофизика. –1972. Т. XY, №10. –С. 1538-1546.

- 345 -

66. Макаров А.К., Павлов Б.А. Полоса захвата цифровых синтезаторов частоты // Тр. МЭИ. –1975. –Вып. 256. –С. 81-84. 67. Макаров А.К. Анализ цифровых синтезаторов частоты: Дис. канд. техн. наук. –М.: - 1975. – 260 с. 68. Романов С.К. К исследованию периодических процессов в системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты со счетчиковым делителем частоты в цепи обратной связи // Техника средств связи. Сер. ТРС. – 1976. – Вып. 4. – С. 97-103. 69. Малиновский В.Н. Полоса захвата синтезатора частоты с кольцом ИФАПЧ первого порядка // Радиотехника. –1982. –Т. 37. -№9. –С. 42-44. 70. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В. Исследование динамики системы ИФАПЧ с цифровым интегратором / Системы и средства передачи информации по каналам связи // Тр. Учебн. Ин-тов связи. –Л.: ЛЭИС, -1980. –С. 122-132. 71. Шахтарин Б.И., Курочка Б.Я. Исследование динамики дискретной фазовой автоматической системы второго порядка // Радиотехника и электроника. 1984. -№7. - С. 1385-1392. 72. Шахтарин Б.И., Курочка Б.Я., Морозова В.Д. О полосе захвата дискретной ФАП с пилообразной характеристикой // Радиотехника и электроника. - 1986. №4. - С. 745-751. 73. Шахтарин Б.И., Курочка Б.Я., Морозова В.Д. Исследование нелинейной ИФАПЧ третьего порядка // Теоретическая электроника; Республ. межвед. научн. технич. сб. –Львовский гос. ун-т. –1989. –Вып. 47. –С. 83-94. 74. Кулешов В.Н., Левченко Г.М. Исследование периодических движений второго рода в системах ИФАП // Радиотехника и электроника. –1980. - №2. - С. 320-327. 75. Казаков Л.Н., Пономарев Н.Ю. Устойчивость фазовой

синхронизации

с

треугольной

импульсной

характеристикой

системы

детектора

//

Электросвязь.1994. №8. - С.13-16. 76. Osborne H.C. Stability analysis of an N-th power digital phase-locked loop.-Part 1; first order DPLL // IEEE Trans. - 1980. - V. COM-28, N8. - P. 1343-1354. 77. Osborne H.C. Stability analysis of an N-th power digital phase-losked loop. Part II. Sekond and third order DPLLs / /IEEE Trans. - 1980. - V. COM-28. - N8. - P. 1355-1364.

- 346 -

78. Белых В. Н., Максаков В. П.

Динамика

цифровых

систем

фазовой

синхронизации первого и второго порядка // Динамика систем. 1976. Вып. 11. 79. Белых В. Н., Максаков В. П. Качественное исследование разрывного отображения цилиндра из теории фазовой синхронизации // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. научн. ст. М., 1982. 80. Максаков В. П., Панченко И. О. Оценка области захвата цифровой системы фазовой синхронизации второго порядка // Теоретическая электроника. Львов, 1986. Вып. 41. 81. Белых В.Н., Лебедева Л.В. Исследование одного отображения окружности // Прикладная математика и механика. - 1982. - Т. 46, вып. 5. С. 771-775. 82. Белых В.Н. Качественные методы теории нелинейных колебаний сосредоточенных систем : Учебное пособие. – Горький. 1980. - 98 с. 83. Лебедева Л.В. О динамике дискретных одномерных систем фазовой синхронизации // Теоретическая электроника: Республ. межвед. научн. технич. сб. –Львовский гос. ун-т. –1986. –Вып. 41. –С. 39-43. 84. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Динамика дискретной системы второго порядка с несколькими нелинейностями // Изв. вузов. Радиоэлектроника.1995. №3.–С.6168. 85. Леонов

Г.А.,

Корякин

Ю.А.

Частотный

критерий

абсолютной

устойчивости систем импульсно-фазовой автоподстройки частоты // Динамика систем. Межвуз. сб. - Горьковский гос. ун-т. - 1976. - Вып. 11. - С. 124-129. 86. Корякин Ю.А., Леонов Г.А. Определение полосы захвата в системах импульсно-фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника. - 1977. - Т. 32. №6. - С. 65-72. 87. Карничев А.М., Корякин Ю.А., Леонов Г.А. Аппроксимация полосы захвата многосвязных дискретных систем фазовой синхронизации // Изв. Вузов СССР //Сер. Радиоэлектроника. –1982. -№1. 88. Корякин Ю.А. Некоторые вопросы динамики дискретных фазовых систем: Дис. канд. физ.-мат. наук. –Л. –1977. –156. 89. Корякин Ю.А., Леонов Г.А., Лисс А.Р. Частотный критерий устойчивости дискретных

систем

автоматического

управления

генератора // Автоматика и телемеханика. - 1978. - №2. - С. 64-69.

фазой

- 347 -

90. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Анализ полосы захвата импульсной системы фазовой синхронизации второго порядка // Радиотехника и электроника.1995. Т.40. №5. - С. 823-828. 91. Пономарев Н.Ю., Казаков Л.Н. Устойчивость в целом импульсной системы фазовой синхронизации второго порядка с трапециевидной характеристикой детектора // Радиотехника и электроника.1997. Т.42. №12. - С. 1459-1464. 92. Левченко Г.М. Приближенный метод исследования динамики систем ИФАП второго порядка //Радиотехника. –1980. –Т. 35, №7. –С. 64-67. 93. Фомин А.Ф., Урядников Ю.Ф. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений с импульсными следящими демодуляторами // Радиотехника. -1976. -Т. 31. -№9. -С. 46-54. 94. Kelly C.N., Gupta S.C. The digital phase-locked loop as a near-optimum FM demodulator / IEEE Trans. -1972. -V.COM. -20.-P. 406-411. 95. Kelly C.N., Gupta S.C. Discrete-Time demodulation of continuous-time signals / IEEE Trans. -1973. -V. IT-18. -P. 488-493. 96. Polk D.R., Gupta S.C. Quasi-optimum digital phase-locked loop/ IEEE Trans. 1973. -V.COM-21. -P. 75-82. 97. Weinberg A., Liu B. Discrete Time Analyses of Nonuniform Sampling First-and Second-Order Digital Phase Lock Loops // IEEE Trans. -1974. -V. COM-22. -N2. 123-137. 98. Пестряков А.В. Расчет спектральных характеристик синтезаторов частот, использующих дискретные кольца ФАПЧ // Электросвязь. -1986. -№3. -С. 5155. 99. Рыжков А.В. Комбинированная система ФАПЧ с реверсивным поиском // Электросвязь. -1975. -№10. -С. 68-70. 100. Козлов В.И., Литвиненко В.К. Время установления в импульсной системе фазовой АПЧ с делителем частоты и цифро-аналоговым поиском // Известия вузов СССР. Сер. Радиоэлектроника. -1978. -Т. XXI, № 3. -С. 98-100. 101. Шахгильдян В.В., Карякин В.Л. Астатическая аналого-цифровая система фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника. -1977. -Т. 32, №5. -С. 36-41. 102. Карякин В.Л., Другов М.И. Система частотно-фазовой автоподстройки // Электросвязь. -1981. -№9. -С. 48-51.

- 348 -

103. Карякин В.Л. Синтезатор частот на основе комбинированной системы частотно-фазовой автоподстройки // Известия вузов . - Сер. Радиоэлектроника. 1981. -Т. XXIY, №11. -С. 51-54. 104. Казаков Л.Н., Калямин А.Н., Кузьмичев А.В., Соболев А.Б. Характеристи ки широкополосного кольца ФАПЧ с дополнительной системой стабилизации параметров.– В межв. сб. “Устройства обработки информации”.– Таганрог, ТРТИ, 1990.– 7с. 105. Казаков Л.Н., Широков

Ю.В.

Адаптивная

система

фазовой

синхронизации.– В межв. сб. “Вопросы аналого-цифровой обработки и формирования сигналов”.– Ярославль, ЯрГУ, 1992.– 7с. 106. Пономарев

Н.Ю., Казаков Л.Н. Нелинейная

динамика

дискретной

системы фазовой синхронизации третьего порядка.– В межв. сб. “Современные проблемы радиофизики и электроники”.– Ярославль, ЯрГУ, 1998.– С.102-110. 107. Кабанов А.И. Повышение эффективности систем ИФАПЧ с цифровым интегратором // Тез. докл. Всесоюзн. научно-технич. конф. «Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации». -Каунас. -1982. С. 54-55. 108. Кабанов А.И., Пестряков А.В. Исследование динамических характеристик системы ИФАПЧ с частотным детектором /Радиотехнические системы и устройства // Тр. Учеб. Ин-тов связи. -Л.: ЛЭИС. -1983. -С. 107-114. 109. Кабанов А.И. Динамические характеристики импульсной системы ФАПЧ с двумя каналами управления // Радиотехника. -1983. -№10. -С. 32-34. 110. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Анализ полосы захвата импульсной системы фазовой синхронизации третьего порядка с пилообразной характеристикой детектора // Радиотехника. 1998. №1.– С.29–35. 111. Казаков Л.Н., Палей Д.Э, Пономарев Н.Ю. Сравнительный анализ нелинейной динамики дискретных автономных СФС 2-го и 3-го порядков // тез. докл. LIV научной сессии, посвященной Дню Радио, г. Москва, 1999.– 3с. 112. Казаков Л.Н., Башмаков М.В., Смирнов О.Ю. Оценка

областей

существования колебательных режимов дискретных СФС с кусочно-линейной характеристикой детектора // тез. докл. LIV научной сессии, посвященной Дню Радио, г. Москва, 1999.– 2с.

- 349 -

113. Некоркин В.И. О глобальной синхронизации сети импульсных систем фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника и электроника. – 1992. – т.37. №4.-С. 750-751. 114. Паушкина Т.К. Динамические свойства синтезатора частот на основе двух взаимосвязанных колец ФАПЧ // Теоретическая электротехника. Республ. межвед. научн. техн. сб. Львов.: Львовский гос. ун-т. - 1989. - Вып. 47. - С. 122128. 115. Пономаренко В.П., Заулин И.А., Матросов В.В. Динамические свойства взаимосвязанных

систем

автоматической

синхронизации:

Учебное

пособие / Горьк.гос.ун-т. Горький, 1989.-80 с. 116. Пономаренко В.П. Динамические режимы, бифуркации и устойчивость в нелинейных взаимосвязанных системах синхронизации // Нелинейные цепи и системы: Международный семинар. Доклады / М. 1992. Т.2. – С. 202-211. 117. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Нелинейные явления в системе взаимосвязанных

устройств

фазовой

синхронизации // Радиотехника

и

электроника. 1993. Т.38. №4. – С. 711-721. 118. Федосова Т.С. Особенности расчета устойчивости систем с двумя нелинейными периодическими функциями // Теоретическая электроника. Львов - ЛГУ - 1989. - Вып. 4. С. 58-63. 119. Федосова Т.С. Устойчивость синтезаторов частоты на взаимосвязанных системах ФАП // "Стабилизация частоты". М.: ВИМИ. 1986. С.162-166. 120. Федосова Т.С. Анализ систем фазовой синхронизации с двумя периодическими нелинейностями // Радиотехника. 1986. № 6. - С.46-48. (Деп. рук. № 772, ЦНТИ Информсвязь). 121. Федосова Т.С. Исследование динамических свойств тороидальных систем фазовой синхронизации // Сб. "Алгоритмы и программы". - М.: ВНТИЦ, ГосФАП СССР ЦИФ. - 1990. № 3. 122. Казаков Л.Н., Широков Ю.В. Комбинированная система частотнофазовой автоподстройки с различными периодами дискретизации в кольцах. Электросвязь. 1994. № 8. С.4-7. 123. Широков Ю.В., Казаков Л.Н. Дискретные связанные системы фазовой синхронизации. Радиоэлектроника. № 4. 1995. С.17-26. (Изв. вузов).

- 350 -

124. Широков

Ю.В., Казаков Л.Н.

Нелинейная

динамика

дискретных

связанных систем фазовой синхронизации // Изв. вузов. Радиофизика. 1995. №3–4.–С.217-224. 125. Kazakov L.N., Paley D. Shirokov Yu.V. Nonlinear Dynamics of Interaction Phase Locked-Loop Systems // The Second International Scientific School-Seminar "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena", Nizny Novgorod, 21-28 June, 1994 .– 1p. 126. Kazakov L.N., Shirokov Yu.V. Nonlinear Dynamics of The Interaction Discrete Phase Locked-Loops // 5-th International Specialist Workshop “Nonlinear Dynamics of Electronic Systems”, Moscov, 26-27 June, 1997.– 7p. 127. А.С. 1007202. СССР, МКИ НОЗ L 7/18. Синтезатор частоты / Романов С.К., Малиновский В.Н., Тихомиров Н.Н. Опубл. 23.03.1983 Бюл. №11. 128. Pat. 4521918. USA, Int. Ce. HO4B1/02. Battery saving frequency synthesizer arrangement / Challen R.F. 04.06.85. 129. Pat. 4673892. USA,

Int.Ce.

HO3L7/18.

Phase-Iocked

loop

frequency

synthesizer with battery saving circuit / Hideo M., Shigeo Y. 16.06.87. 130. Pat. 4743864. USA, Int.Ce. HO3L7/18. Power saving intermittently operated phase locked loop / Jun’ich N., N., Hidefumi K., Hideari W., Masanori I. 10.05.88. 131. Пестряков А.В., Козлов А.Л. Анализ качества выходного сигнала синтезатора частоты с циклическим прерыванием по питанию // Тр. учеб. интов связи / Системы и средства передачи информации по каналам связи. -1985. С. 134-142. 132. Козлов А.Л., Пестряков А.В.

Анализ динамических характеристик

импульсных систем ФАПЧ в режиме прерываний // Электросвязь. -1988. -№11. -С. 40-44. 133. Пестряков А.В., Козлов А.Л. Исследование импульсных систем ФАПЧ в режиме прерываний / Тез. докл. Всесоюзн. научно-технич. конф. «Развитие и совершенствование устройств синхронизации». -М.: Радио и связь. -1988. -42 с. 134. Пестряков А.В., Козлов А.Л. Анализ импульсных систем ФАПЧ с цифровым делителем частоты в режиме прерываний // Математическое моделирование и оптимизация: Межвуз. тематич. сб. научн. Тр. /Под ред. А.В.Сергиевского. Горьк. гос. ун-т. -Горький. -1990. -С. 103-114.

- 351 -

135. Пестряков

А.В.,

Козлов

А.Л.

Синтезаторы

частот

с

малым

энергопотреблением на основе импульсных систем ФАПЧ с циклическим прерыванием // Электросвязь. -1990. -№8. -С. 9-12. 136. Пестряков

А.В.,

Ивочкин

А.И.

Экспериментальное

исследование

синтезатора частот с пониженным энергопотреблением // Системы и средства передачи информации по каналам связи: сб. научн. трудов учебных ин-тов связи. -1990. -№150. -С. 140-144. 137. Казаков Л.Н., Ларионов В.В. Анализ кратковременной нестабильности частоты выходного сигнала многочастотного синтезатора. -ВИНИТИ. -1987. №11. -13 с. 138. Казаков Л.Н. Исследование многочастотного синтезатора частоты на основе радиоимпульсной ФАПЧ // Тез. докл. в кн. Стабилизация частоты. -М.: ВИМИ. -1986. -С. 190-191. 139. Кириллов

М.Ю.,

Калямин

А.Н.,

Казаков

Л.Н.,

Кузьмичев

А.В.

Исследование динамики системы ИФАП с кольцом цифровой памяти //Тез. докл. в кн. Стабилизация частоты. Ч.1. -М.: ВИМИ. -1989. -С. 81-82. 140. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). -М.: Наука. -1977, - 832 с. 141. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М: Наука, 1979. 223 с. 142. Шахтарин Б.И., Архангельский В.А. Динамические характеристики дискретных

систем

автоматического

фазирования // Радиотехника

и

электроника. -1977, т. ХХ11, №5. -С. 978-987. 143. Казаков Л.Н., Захаров Д.Е., Палей Д.Э. Устойчивость дискретной СФС с нелинейным фильтром при наличии шума // Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация : Материалы ВНТК, г. Воронеж, 1997.– 7с. 144. Разностные уравнения и их приложения / Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. -Киев: Наука. Думка. -1986. -280 с. 145. Капранов М.В. Метод сшивания фазовых траекторий в теории динамических систем с периодической нелинейностью : Учеб. пособие по курсу теория колебаний. -М.: МЭИ. 1980. - 91 с. 146. Брюханов Ю.А. Цифровые цепи и сигналы : Учебное пособие. – Ярославль. 1999. - 152 с.

- 352 -

147. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. -М. Наука. -1978. 148. Цифровые

системы

фазовой

синхронизации

/М.И.Жодзишский,

С.Ю.Сила-Новицкий, В.А.Прасолов и др.; Под ред. М.И. Жодзишского. -М.: Сов. Радио. -1980. -208 с. 149. Казаков Л.Н.

Система

цифровой

частотной

автоподстройки

для

быстродействующих синтезаторов частоты. – Редкол. журн. "Изв. вузов. Радиоэлектроника". Киев. Деп. в ВИНИТИ, №1462-85. – 19 с. 150. Казаков Л.Н. Астатическая система цифровой частотной автоподстройки с усредняющим детектором. – Деп. в ВИНИТИ, №6871-В86. – 14 с. 151. Казаков Л.Н., Морозов

Д.К.,

Смирнов

В.Н.

Применение

микропроцессоров в системе приведения цифровых синтезаторов частоты. – Деп. в ВИНИТИ, №10-В87. – 15 с. 152. А.с. 1012444 (СССР). Устройство фазовой автоподстройки частоты / А.И.Кабанов, А.В.Пестряков, В.В.Шахгильдян, опубл. бюл. №14. 15.04.83. 153. А.с. 1160564 (СССР). Устройство фазовой автоподстройки частоты. А.И.Кабанов, А.В.Пестряков, В.В.Шахгильдян, опубл. бюл. №21. 07.06.85. 154. Малиновский В.Н., Романов С.К. Применение метода оптимального управления в задаче повышения быстродействия переключения частот синтезатора с кольцом ИФАПЧ // Техника средств связи. Сер. Техника радиосвязи. -1980. -Вып. 7(25). -С. 78-85. 155. Фазовая синхронизация / В.В.Шахгильдян, Л.Н.Белюстина, М.В.Капранов и др.; под ред. В.В.Шахгильдяна, Л.Н.Белюстиной.-М.:Связь, 1975.-288 с. 156. Казаков Л.Н. Управление динамическим режимом в быстродействующем синтезаторе частоты // Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации : тез. докл. ВНТК, г. Львов, 1985.– 2с. 157. А.с. № 1013904 (СССР). Измеритель временных интервалов.– Б.И. 1984. №13. / Авт.: Казаков Л.Н., Кренев А.Н. 158. А.с. № 1104541 (СССР). Генератор сигналов. – Б.И. 1984. №27. / Авт.: Казаков Л.Н., Коропец А.И. 159. А.с. 1478326 (СССР). Устройство фазовой автоподстройки частоты / А.В.Пестряков, опубл. 07.05.89. Бюл. №17. 160. А.с. № 1252939 (СССР). Цифровой синтезатор частоты. – Б.И. 1986. №31./ Казаков Л.Н.

- 353 -

161. А.с. № 1345343 (СССР). Синтезатор частоты с частотной модуляцией. – Б.И. 1987. №38. / Авт.: Казаков Л.Н., Смирнов В.Н., Якунин А.В. 162. А.с. № 1418898 (СССР). Синтезатор частоты. – Б.И. 1988. №31. / Авт.: Казаков Л.Н., Калямин А.Н. 163. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В., Кабанов А.И. Общие принципы построения быстродействующих синтезаторов частот на основе систем фазовой синхронизации // Электросвязь. -1983. -№10. -С. 36-42. 164. Кабанов А.И., Козлов В.Н., Пестряков А.В. Предельное быстродействие СЧ на основе однокольцевой системы ИФАПЧ // Тр. Учебн. ин-тов связи. 1985. -Вып. 123. -С. 52-58. 165. ГОСТ 19896-74 «Синтезаторы частоты для передающих и приемных устройств магистральной радиосвязи» 166. А.с. № 1483588 (СССР). Формирователь частотно-модулированных сигналов. –Б.И. 1989. №20. / Авт.: Казаков Л.Н., Смирнов В.Н., Якунин А.В. 167. А.с. № 1525913 (СССР). Устройство подстройки частоты генератора с частотной модуляцией. – Б.И. 1989. №44. / Авт.: Казаков Л.Н., Калямин А.Н., Смирнов В.Н., Якунин А.В. 168. А.с. № 1543544 (СССР). Цифровой синтезатор частоты с частотной модуляцией.–Б.И. 1990. №13. / Авт.: Казаков Л.Н., Калямин А.Н., Кириллов М.Ю. Ларионов В.В. 169. А.с. № 1566458 (СССР). Устройство автоподстройки частоты генератора с частотной модуляцией. – Б.И. 1990. №19. / Авт.: Казаков Л.Н., Калямин А.Н., Кириллов М.Ю. 170. Удалов

Н.Н.

Анализ

частотного

спектра

колебаний

на

выходе

импульсного фазового детектора // Техника средств связи. -Серия ТРС. -1978. Вып.2. 171. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. -2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь. -1982. -624 с. 172. Кузнецов А.П., Жилин Л.Ю., Свито И.Л. Моделирование процессов в системе ИФАП с интегральной ШИМ в режиме частотного детектирования // Радиотехника. -1984, -№6. -С. 28-31. 173. Захаров А.Е., Пестряков А.В. Анализ

системы

ИФАПЧ

быстродействующего синтезатора частоты. -М.: ВИМИ. -1986. -С. 114-116.

- 354 -

174. Романов С.К., Малиновский В.Н., Корнюшин И.Н.

Расчет цифровых

синтезаторов частоты с широтно-импульсным частотно-фазовым детектором // Техника средств связи. -Сер. ТРС. -1980. -7(25). -С. 86-95. 175. Башмаков М.В., Захаров Д.Е., Казаков Л.Н. Анализ

выходного

цифрового

наличии

синхронно-фазового

демодулятора

при

сигнала

на

входе

гармонической помехи.– В межв. сб. “Современные проблемы радиофизики и электроники”.– Ярославль, ЯрГУ, 1998.– С.118-125. 176. Казаков Л.Н., Башмаков М.В. Помехоустойчивость синхронно-фазового

демодулятора

с

цифрового

многоуровневым

квадратурным

преобразованием входного сигнала // Цифровая обработка сигналов и ее применение : Материалы 2-ой международной конференции, Москва, 21-24 сентября, 1999.– 6с. 177. Казаков Л.Н., Пономарев Н.Ю., Казаков А.Л. Цифровой синхроннофазовый демодулятор на основе ЦСФС 3-го порядка // Цифровая обработка сигналов и ее применение : Материалы 2-ой международной конференции, Москва, 21-24 сентября, 1999.– 7с. 178. Шитиков Г.Т. Стабильные автогенераторы метровых и дециметровых волн. М.: Радио и связь. -1983. -256 с. 179. Казаков Л.Н., Калямин А.Н., Кириллов М.Ю.

Адаптивные

системы

фазовой синхронизации в устройствах формирования широкополосных ЧМ– колебаний СВЧ диапазона // Синхронизация – 90 : Материалы МНТК, НР Болгария, г. Созопол. 1990. – 13 с. 180. Казаков Л.Н., Широков Ю.В. Исследование адаптивной системы фазовой синхронизации

// Нелинейные

цепи

и

сигналы

:

Материалы

межд.

семинара, Москва. 1992. – 10 с. 181. Широков

Ю.В.

Дискретные

связанные

системы

фазовой

синхронизации / 50-я научная сессия, посвяшенная дню Радио. Москва, 1995. – С.67. 182. Алехин Ю.И., Кириллов М.И., Сингосин С.А. Фазовые детекторы цифровых синтезаторов частоты // В сб. Стабилизация частоты. Материалы межотраслевых науч.-техн. конф., семинаров, совещаний. -М.: ВИМИ. -1980. С. 70-73.

- 355 -

183. Казаков Л.Н., Палей Д.Э., Пономарев Н.Ю. Синтезатор

частоты

с

улучшенными спектральными характеристиками // Направления развития систем и средств радиосвязи : Материалы ВНТК, г. Воронеж, 1996.– 6с. 184. Федосеева В.Н., Пестряков А.В. Результаты исследования спектральных характеристик цифровых систем ФАПЧ // ТУИС. Системы и средства передачи информации по каналам связи. -Л.: -1979. -С. 9-14. 185. Underhill M.I. The use of the delay-stabilised variable oscillator in digital frequency synthetisers // Digital frequency synthesis in communication systems. IEEE Colloq. Digest. -1972. -72/11. -P. 15/1-15/4. 186. Stokes V.O. Techniques of frequency synthesis // Proc. IEEE. IEE Reviews. 1973. -V. 120. -№10. -P. 1052-1077. 187. А.с. 471648 СССР. Цифровой синтезатор частот . Калаянов Н.Н. -Опубл. 1975. -БИ №19. 188. Пестряков А.В. Анализ спектральных характеристик системы ФАПЧ с дополнительной обратной связью по частоте // Электросвязь. -1990. -№5. 189. Summers S.B., Snook D.R. High-spectral-purity frequency synthesis in a microwave signal generator // Hewlett-Packard Journal. -1989. -V.40. -N5. -P. 37-41. 190. Капранов

М.В.

Устройства

ЧАП

с

элементами

прецизионного

запаздывания в задачах стабилизации частоты // Тр. Моск. энерг. ин-та. -1987. №148. -С. 55-62. 191. ГОСТ 12252-86. Радиостанции с угловой модуляцией сухопутной подвижной службы. 192. Бахтиаров Г.Д., Малинин В.В. Аналого-цифровые преобразователи/ Под ред. Г.Д.Бахтиарова. -М.: Сов. Радио -1980. -280 с. 193. Федорков Б.Г., Телец В.А., Дегтяренко В.П. Микроэлектронные цифроаналоговые и аналого-цифровые преобразователи. -М.: Радио и связь. -1984. 120 с. 194. Бесекерский

В.А., Попов

Е.П.

Теория

систем

автоматического

регулирования. – М.: Наука. – 1975. – 768 с. 195. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука. – 1973. – 632 с.