Методические указания и контрольные задания по высшей математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Кафедра "Прикладная математика"

Контрольные задания составил авторский коллектив в составе: Баргуев С.Г., Батомункуева Е.С., Баирова Н.К., Булдаев А.С., Гармаев В.Д., Гармаева С.С., Дарибазарон С.Б., Миронова Э.С., Назарова Л.И., Ошорова Т.Я., Павлова Е.Б., Петрова С.С., Постникова Л.С., Субанова Э.В., Цыренжапов Б.Ц., Цыренов Г.Г., Шабанова Е.В. Под редакцией Гармаева В.Д, Петровой С.С.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Улан-Удэ, 2001

-3-

ПРОГРАММА КУРСА "ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА" Раздел 1. Элементы аналитической геометрии.

линейной

алгебры

и

1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. 2. Матрицы и действия над ними. Миноры. Ранг матрицы. Линейные комбинации и линейная зависимость векторов. Элементарные преобразования. 3. Обратная матрица. Матричный способ решения систем линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных. Теорема Кронекера - Капелли. 4. Векторы, линейные операции над ними, линейная зависимость векторов. Базис. Декартова прямоугольная система координат. Проекция вектора на ось. Действия над векторами в координатной форме. Скалярное произведение векторов. 5. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства. 6. Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве. Общее уравнение, уравнение в "отрезках", нормальное уравнение. Расстояние от точки. 7. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве. 8. Кривые второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. -4-

9. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. 10. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Исследование поверхностей методом параллельных сечений. Раздел 2. Введение в математический анализ.

11. Переменные величины. Функции, способы их задания, область определения, классификация функций. Полярная система координат. 12. Предел функции. Числовая последовательность и ее предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. 13. Свойства пределов. Замечательные пределы. Вычисление пределов, раскрытие неопределенностей. Сравнение бесконечно малых, эквивалентные бесконечно малые и их свойства. 14. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Раздел 3. Дифференциальное функций одной переменной.

исчисление

15. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные тригонометрических функций, логарифмической функции. -5-

16. Дифференцирование сложной функции, неявно заданной. Производная показательной, степенной функции. Дифференцирование обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Таблица производных. 17. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. 18.Дифференциал функции, его приложения. Производные и дифференциалы высших порядков. 19.Теорема о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. 20.Исследование функций на монотонность, экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. 21.Исследование функций на выпуклость, вогнутость, точки перегиба. 22.Асимптоты графика функции. Полное исследование функций и построение графика. Раздел 4. Функции нескольких переменных. 23.Функции нескольких переменных. Область определения, предел, непрерывность, частные производные. 24.Дифференцирование сложных и неявно заданных функций. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 25.Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению, градиент скалярного поля. -626.Экстремум функции нескольких переменных. Раздел 5. Неопределенный интеграл.

27.Первообразная. Неопределенный интеграл, их свойства. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям. 28.Комплексные числа. Действия над ними. Основная теорема алгебры. 29.Разложение дробной рациональной функции. 30.Интегрирование простейших рациональных дробей. 31.Интегрирование тригонометрических функций. 32.Интегрирование некоторых иррациональностей. Раздел 6. Определенный интеграл. 33.Определенный интеграл и его свойства. 34.Определенный интеграл как функция его верхнего предела. Формула Ньютона - Лейбница. 35.Вычисление определенных интегралов. 36.Геометрические приложения определенного интеграла. 37.Физические приложения определенного интеграла. 38.Приближенное вычисление определенного интеграла 39.Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их свойства. -7Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 40.Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

41.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли. 42.Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. 43.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 44.Системы дифференциальных уравнений. Раздел 8. Числовые и функциональные ряды. 45.Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. 46.Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. 47.Знакопеременные, знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. 48.Функциональные, степенные ряды. Область сходимости. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. -849.Ряды Тейлора и Маклорена. Разложения функций в степенные ряды. Приложения степенных рядов. 50.Ряды Фурье. Раздел 9. Кратные интегралы. 51.Двойные и тройные интегралы. Их вычисление в декартовых координатах. Замена переменных. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.

52.Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики. Раздел 10. Криволинейные и поверхностные интегралы. 53.Криволинейные интегралы первого и второго рода. Связь между ними. Формула Грина. 54.Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление. Раздел 11. Векторный анализ. 55.Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 56.Векторное поле. Поток векторного поля. Теорема Остроградского. Дивергенция векторного поля. Соленоидальные поля. -957.Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля. Раздел 12. Основные уравнения математической физики. 58.Уравнение колебаний струны. Метод Даламбера. Метод разделения переменных. 59.Уравнение теплопроводности. Метод преобразования Фурье. 60.Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.

Раздел 13. Теория вероятностей. 61.Предмет теории вероятностей. Случайные события и их классификация. Классическое и статистическое определения вероятности. 62.Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 63.Формула полной вероятности. Формула Бейеса. 64.Повторение испытаний. Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. 65.Случайные величины. Закон распределения. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. 66.Числовые характеристики дискретных случайных величин. - 10 67.Функции распределения случайных величин. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. 68.Равномерное, показательное распределения. 69.Нормальное распределение. 70.Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Раздел 14. Математическая статистика. 71.Генеральная совокупность и выборка. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. 72.Статистические оценки параметров распределения. 73.Статистическая проверка статистических гипотез. 74.Критерий Пирсона.

75.Функциональная, корреляционная зависимости. Линейная регрессия. Коэффициент корреляции. 76.Криволинейная корреляция. 77.Определение параметров многомерных линейных функций регрессии. Совокупный и частные коэффициенты корреляции. Выполнение и оформление контрольных работ. При выполнении контрольных работ следует строго придерживаться следующих правил:

1. 2.

3. 4. 5. 6.

- 11 Контрольную работу следует выполнять в тетради, отдельной для каждой работы, чернилами любого цвета кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины, дата выполнения работы. Решения задач нужно располагать в порядке возрастания их номеров, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи нужно выписать полностью ее условие. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Рекомендуется в конце тетради оставлять несколько чистых листов для дополнений и исправлений.

7. Контрольные работы должны быть сданы на кафедру за 2 недели до начала сессии. Номер варианта является единым при выполнении всех работ и совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра). Студенты инженерно-технических специальностей (МАЛП, МАПП, все специальности МСФ) выполняют 12 контрольных работ. Контрольные работы включают в себя следующие задания: №1 - 1-90; 81-120 №7 - 331-350, 371-410; №2 - 41-70; 121-150 №8 - 421-460; №3 - 151-210; №9 - 461-500; - 12 №4 - 211-230; №10 - 501-510, 531-550, 571-580; №5 - 231-250; 271-290 №11 - 581-610; №6 - 291-330; №12 - 611-680. Студенты технологических специальностей выполняют 7 контрольных работ, которые включают в себя следующие задания: №1 - 1-50; 71-120. №2 - 151-210; №3 - 211-240, 251-270, 291-310; №4 - 331-340, 351-370, 401-420; №5 - 421-460; №6 - 511-530, 551-570; №7 - 611-680. Студенты специальностей 0616 " Товароведение и экспертиза товаров", 521100 "Социальная работа" выполняют 2 контрольные работы, которые включают в себя следующие задания: № 1: 41-50, 51-60, 151-160, 201-210, 211-220, 291-300, 331-340, 341-350, 361-370.

№ 2 - 611-680. ЛИТЕРАТУРА 1. Веклемишев Л.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М: Наука, 1980, 1984. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М: Наука, 1980, 1984. 3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Наука, 1975. 4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1965 - 1980. - 13 5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 1970 - 1985, т.1, 2. 6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 1980, 1984. 7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1981, 1985. 8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. - М.: Наука, 1982. 9. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 1977. 10. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1980, 1986, ч. 1, 2.

11. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1972, 1977. 12. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1975, 1978. 13. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1982. 14. Лихолетов И.И. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Минск: Высшая школа, 1978. 15. Бардаханов А.Н., Миронова Э.С., Чимитова С.С., Сордохонова Е.Н. Лабораторные работы по математической статистике. - Улан-Удэ, ВСТИ, 1987, ч.1, 2. - 14 16. Багаева С.Д., Миронова Э.С. Методические указания по курсу теории вероятностей и математической статистике. - Улан-Удэ, ВСТИ,1987, ч.1, 2. 17. Цыренжапов Б.Ц., Постникова Л.С., Гармаев В.Д. Методические указания к выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного обучения строительных специальностей. - Улан-Удэ, ВСТИ, 1993, ч.1. 18. Цыренжапов Б.Ц., Субанова Э.В., Степанова С.Б. Методические указания к выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного обучения строительных специальностей. - Улан-Удэ, ВСТИ, 1993, ч.2.

- 15 Задания для контрольных работ 1-10. Решить следующие задачи: 1. По уравнению сторон треугольника 2х-3у+5=0, х+у-10 = 0 и 2х+7у-25=0. Найти координаты его вершин. Сделать построение. 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х + у - 6 =0, 2х + у - 13 = 0 и отсекающей на осях координат равные положительные отрезки. Сделать построение. 3. При каком значении С прямая 15х + 17у + С = 0 будет проходить через точку пересечения прямых 2х + 3у - 5 = 0 и 7х - 8у + 1 = 0? Построить. 4. Даны уравнения сторон треугольника 2х - 5у +23 = 0, 4х + у - 9 = 0 и х + 3у - 5 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно его стороне, образующей с осью абсцисс острый угол. Построить.

5. Треугольник задан уравнениями: (АВ) х - у + 3 = 0, (АС) х + 2у - 3 = 0 и (ВС) 2х + у - 9 = 0. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В. Построить. 6. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма х + у + 5 = 0, х - 4у = 0. Найти уравнение двух других сторон, если известна точка пересечения его диагоналей (2;-2). Построить. 7. Уравнения смежных сторон прямоугольника 4х + у + 6 = 0 и х -4 у + 10 = 0 Координаты одной из его вершин С(3;-3). Составить уравнение диагонали, проходящей через вершину С. Построить. 8. По уравнениям сторон треугольника х+7у- 1=0, 2х + у + 4 = 0 и 3х - 5у -7 = 0 Составить уравнение высоты, - 16 опущенной из вершины, лежащей в третьей четверти. Построить. 9. Составить уравнение перпендикуляра к прямой 8х + 4у - 3 = 0 в точке пересечения ее с прямой х - у = 0. Построить. 10. По уравнениям прямых 2х - 3у - 6 =0;5х + 8у + 1=0 найти расстояние между точками их пересечения с осью ординат. Построить. 11-20. Дано общее уравнение кривой второго порядка F(x, y) = 0. 1)Преобразовать уравнение к каноническому виду; 2)Построить кривую.

11 12 13

F(x, y) 5х -40х-2y+92 = 0 2x2+3y2+4x-12y+2=0 28x2-112x+3y+106=0 2

14 15 16 17 18 19 20

2x2+5y2+8x-20y+8=0 4x2-y2-32x+48=0 36x2+y2+72x-14y+49=0 x2-y2-14x+14y-4=0 28x2-112x+3y+106=0 9x2 +16y2-90x+32y+97=0 5x2-4y2+16y-36=0

21-30. Решить следующие задачи. 21.Найти геометрическое место равноудаленных от точек М1(1,2) и М2(4,-1).

точек,

- 17 22. Составить уравнение линии, если каждая ее точка отстоит от точки А(6,0) вдвое дальше, чем от прямой х=1. 23. Составить уравнение линии, если расстояние каждой ее точки от начала координат относится от расстояния от точки М1 как 2:1. 24. Найти г.м.т., которые отстоят от точки А(1,0) вдвое ближе, чем от точки В(4,0). 25. Определить траекторию точки М(x,y), которая движется так, что остается вдвое дальше от точки М(-8,0), чем от прямой х=-2. 26. Составить уравнение г.м.т., находящихся на одинаковом расстоянии от точки А93,0) и от прямой х=12. 27. Составить уравнение линии, если каждая ее точка находится вдвое ближе к точке А(1,0), чем к точке В(-2,0). 28. Найти г.м.т., равноудаленных от точки М(4,2) и от оси ординат.

29. Составить уравнение линии, если расстояние каждой ее точки от точки А(2,0) относится к расстоянию до прямой 5х+8=0 как 5:4. 30. Найти г.м.т., если расстояние от них до точки А(3,0) в два раза меньше расстояния до точки В(26,0). 31-40. Линия дана уравнением r = r(ϕ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, придавая полярному углу ϕ значения от 00 до 3600 . 2) Написать уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат.

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41-50. Найти матричный многочлен А2 -3А + 2Е, где Е - единичная матрица.

⎛1 1 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ 44. А = ⎜ 2 6 − 2 ⎟ ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝0 5 ⎛ 0 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ 46. А = ⎜ 7 1 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 4 − 6⎠

2 − 5⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ 45. А = ⎜ − 2 4 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− 1 0 − 6⎠

- 18 r = r(ϕ) r(3cosϕ - 2sinϕ) =6 r2 = cos 2ϕ r(2sinϕ + cosϕ) r = 6cosϕ r = 3/(1 - sinϕ) r = 2cosϕ+2sinϕ r = -2(1+cosϕ) r = 1/(2- 3 sinϕ) r = 3sinϕ r = 2(1-cosϕ)

⎛ 0 − 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ 42. А = ⎜ 2 3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 − 2 3 ⎠

8 2 ⎞ ⎛3 ⎜ ⎟ 41. А = ⎜ − 1 0 − 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝− 2 5 7 ⎠ 3 1⎞ ⎛4 ⎜ ⎟ 43. А = ⎜ 2 − 7 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 − 2 5⎠

- 19 -

⎛− 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 47. А = ⎜ 0 4 1 ⎟ ⎜ ⎟ 0 − 2⎠ ⎝1 ⎛ 5 7 − 3⎞ ⎜ ⎟ 49. А = ⎜ 1 − 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 1 − 1⎠

− 1 − 6⎞ ⎛3 ⎜ ⎟ 48. А = ⎜ − 2 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ 4 −1 ⎠ ⎝5 ⎛ 11 0 4 ⎞ ⎜ ⎟ 50. А = ⎜ − 2 1 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 1 3 − 1⎠

51-60. Решить матричное уравнение, где Х неизвестная матрица.

1⎞ ⎛ 8 − 5⎞ ⎛1 51. Х * ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ − 3 4⎠ ⎝ 4 − 3⎠ ⎛ 11 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛− 3 7 52. Х * ⎜ 2 3 − 4⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝− 1 4 ⎝ 3 2 − 2⎠

− 8⎞ ⎟ 1⎠

4 ⎞ ⎟ − 1⎠

⎛ 0 3 − 5⎞ ⎛9 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 55. ⎜ 2 0 − 1⎟ * Х = ⎜ 1 − 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 1 − 2⎠ ⎝1 7 2 ⎠ - 20 -

⎛ 3 − 2⎞ ⎛ − 1 2⎞ 56. Х * ⎜ ⎟ ⎟ =⎜ ⎝ 5 − 4⎠ ⎝ − 5 6⎠ ⎛ 3 − 1⎞ ⎛ 14 16⎞ 57. ⎜ ⎟ ⎟*Х =⎜ ⎝ 5 − 2⎠ ⎝ 9 10 ⎠

2

− 3⎞ ⎛ 1 ⎟ =⎜ − 2⎠ ⎝4

⎛2 59 . Х * ⎜ ⎝1 ⎛5 ⎜ 60. ⎜ 1 ⎜ ⎝− 5

3⎞ ⎛3 − 1 ⎞ ⎛9 53. ⎜ ⎟*Х =⎜ ⎟ 1⎠ ⎝4 ⎝ − 3 − 1⎠ 3⎞ ⎛ 1 ⎛1 54. Х * ⎜ ⎟ =⎜ ⎝− 3 1⎠ ⎝− 2

4 ⎞ ⎛9 2 ⎞ ⎛3 ⎟ *⎜ ⎟ =⎜ − 6⎠ ⎝ − 1 1⎠ ⎝ 4

⎛3 58. Х * ⎜ ⎝− 7

1 −3 2

− 1⎞ ⎟ 6 ⎠

0⎞ ⎟ −1⎠

2

0 ⎞ ⎛− 7 1 1⎞ ⎟ − 2⎟ * Х = ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 2 8⎠ ⎟ 1 ⎠

61-70. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее по методу Крамера и матпичным способом. ⎧2 х 1 + х 2 + 3х 3 = 11 ⎪ 61. ⎨2 х 1 + 3х 2 + х 3 = 1 ⎪3х + 2 х + х = 5 2 3 ⎩ 1 ⎧2 х 1 − х 2 − 3х 3 = −4 ⎪ 62. ⎨3х 1 + 4 х + 2 х 3 = 8 ⎪х + 5х + х = 0 2 3 ⎩ 1 - 21 ⎧х 1 − 3х 2 + 3х 3 = 1 ⎪ 63. ⎨2 х 1 + 3х 2 − х 3 = 4 ⎪3х − 2 х − 5х = −4 2 3 ⎩ 1

71-80. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее по формулам Крамера и средствами матричного исчисления.

⎧9 х 1 + 2 х 2 + х 3 = 12 ⎪ 64. ⎨− х 1 + 4 х 2 + 2 х 3 = 5 ⎪х − х + 4 х = 4 2 3 ⎩ 1

⎧5х 1 − 2 х 2 + х 3 = 2 ⎪ 71. ⎨2 х 1 + х 2 = 8 ⎪8х − 5х + 2 х = −4 2 3 ⎩ 1 ⎧2 х 1 + х 2 + 3х 3 = 0 ⎪ 72. ⎨х 1 − 2 х 2 − 2 х 3 = 7 ⎪4 х − 3х − х = 5 2 3 ⎩ 1 ⎧3х 1 − х 2 − 2 х 3 = 1 ⎪2 х + х = 5 ⎪ 1 3 73. ⎨ ⎪2 х 2 − 3х 3 = 5 ⎪⎩4 х 1 − 3х 2 = −1 ⎧х 1 − 2 х 2 + х 4 = 1 ⎪ 74. ⎨2 х 1 + 3х 2 + 4 х 3 = 1 ⎪ х + 2 х = −2 4 ⎩ 3

⎧ х 1 − 4 х 2 − 2 х 3 = −3 ⎪ 65. ⎨3х 1 − 5х 2 − 6х 3 = −9 ⎪3х + х + х = 5 2 3 ⎩ 1 ⎧2 х 1 + х 2 − 2 х 3 = −5 ⎪ 66. ⎨х 1 − 3х 2 − 2 х 3 = −2 ⎪3х − 2 х + х = 8 2 3 ⎩ 1 ⎧2 х 1 + х 2 + х 3 = 0 ⎪ 67. ⎨3х 1 − х 2 + 5х 3 = 7 ⎪ х + 4 х − 7 х = −3 2 3 ⎩ 1 ⎧х 2 + 3х 3 − х 1 = 3 ⎪ 68. ⎨х 1 − х 2 − х 3 = −1 ⎪2 х + х = 3 2 ⎩ 3 ⎧2 х 1 − х 2 + х 3 = 2 ⎪ 69. ⎨3х 1 + 2 х 2 + 2 х 3 = −2 ⎪х − 2 х + х = 1 2 3 ⎩ 1 - 22 ⎧2 х 1 − х 2 + 4 х 3 = 1 ⎪ 70. ⎨х 1 + 3х 2 − х 3 = −10 ⎪3х + 3х + 2 х = −9 1 2 ⎩ 3

- 23 -

⎧3х 1 − 2 х 2 + х 3 = 1 ⎪ 75. ⎨х 1 + х 2 − 2 х 3 = 7 ⎪5х − 3х = 2 3 ⎩ 1

76.

77.

78.

79.

⎧2 х 1 − 3х 2 + х 3 = −4 ⎪ ⎨5х 1 + х 2 − 4 х 3 = 7 ⎪х + 7 х − 6х = 0 2 3 ⎩ 1 ⎧х 1 + х 2 + х 3 = 0 ⎪ ⎨3х 1 + 2 х 2 + х 4 = 0 ⎪2 х + х = 2 4 ⎩ 3 ⎧2 х 1 + х 2 − х 3 = 0 ⎪ ⎨3х 1 − х 2 = 5 ⎪5х + 2 х + х = 1 2 3 ⎩ 1 ⎧х 1 + 2 х 3 = 0 ⎪ ⎨х 2 − х 3 = 2 ⎪3х + 2 х = 0 2 ⎩ 1

84 85 86 87 88 89 90

81-90. Даны векторы a , b , c , d . Разложить вектор a по векторам b , c , d . - 24 81 82 83

b (3, 0, 2) (1, 1, 0) (0, -3, 2)

(0, 1, -2) (2, 0, 3) (1, 0, 1) (1, 3, -1) (-2, 0, 1) (2, -1, 1) (2, -1, 3)

(1, 0, 3) (1, 1, -1) (-1, 2, 4) (0, 4, 1) (3, 1, 0) (0, -1, 2) (1, 0, -1)

(1, 1, 0) (-1, 2, 1) (0, 1, 2) (-2, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 3, 0) (5, 1, 0)

91-100. Коллинеарны ли векторы с1 , с2 . Перпендикулярны ли векторы с3 , с4 , если с1 = a + 2b ; с2 = 3 a + 3b ; с3 = a − b ; с4 = 2 a − b a b 91 4i + j + 3k 8i + 3 j − k 92 5i + 4 j + 3k 7i + 9 j − 2k

⎧5х 1 − 4 х 2 + х 3 = 0 ⎪ 80. ⎨2 х 2 − х 4 = 4 ⎪3х − х − 2 х = 0 3 4 ⎩ 1

a (8, 1, 12) (8, 0, 5) (6, 5, -14)

(2, -1, 11) (-1, 7, -4) (-2, 4, 7) (-5, 5, 5) (-19, -1, 7) (6, 12, -1) (13, 2, 7)

c (-1, 1, 1) (4, 1, 2) (2, 1, -1)

d (1, 2, -1) (7, 9, -2) (1, 1, 4)

93

i − 5 j + 2k

2i + j − 7k

94

5i + j + 3k

2 j + 6k

95

2j −i − k

i + 7 j + 2k

96

i − 5 j − 2k

97

3i − 4k − j + 5i

98

i − 3 j + 4k

2i + 3 j + 4 k 3i + 7 j

99

7i + 2 j + 3k

− 2i − j − k

100

3i − 2 j + 6k

8i + 5 j + k - 25 101-110. Компланарны ли векторы m , n , р . р m n 101 (1, 2, 3) (4, -5, 6) (7, -8, 9) 102 (1, 0, -1) (8, 3, 2) (3, 1, -1)

103 104 105 106 107 108 109 110

(-2, -2, -3) (1, 0, 1) (4, 7, 5) (3, 7, 2) (2, 2, 2) (1, 1, 1) (9, 0, 8) (4, 3, 1)

(2, 4, 3) (2, -6, 17) (2, 0, -1) (2, 2, 1) (2, 3, 1) (1, -2, 1) (5, -1, 4) (1, -2, 1)

(3, 10, 5) (-4, 12, -34) (2, 3, 2) (-2, 0, -1) (-1, -1, -1) (3, 3, 1) (1, 0, -1) (2, 3, -3)

111-120. Даны координаты вершин пирамиды АВСД. Требуется: −

−

−

1) Записать векторы АВ, АС и АД в системе орт и найти модули этих векторов. −

−

2) Найти угол между векторами АВ, АС . −

−

3) Найти проекцию вектора АД на векто р АВ 4) Найти площадь грани АВС 5) Найти высоту пирамиды, проведенной из вершины С (двумя способами) 6) Найти объем пирамиды 7) Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку Д перпендикулярно плоскости АВС - 26 8) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью АВС и с координатными плоскостями хОу; хОz; уОz

9) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Д и С и перпендикулярно плоскости АВС 111. А(2;-3,1) В(6,1,-1) С(4,8,-9) Д(2,-1,2) 112. À(5, -1,-4); В(9,3,-6); С(7,10,-14) Д(5,1,-3) 113. À(1, -4,-0); В(5,0,-2); С(3,7,-10,) Д(1,-2,1) 114. À(-3, -6,2); В(1,-2,0); С(-1,5,-8) Д(-3,-4,3) 115. À(-1, 1,-5); В(3,5,-7); С(1,12,-15) Д(-1,3,-4) 116. À(-4,2,-1); В(0,6,-3); С(-2,13,-11) Д(-4,4,0) 117. À(0, 4,3); В(4,8,1); С(2,15,-7) Д(0,6,4) 118. À(-2, 0,-2); В(2,4,-4); С(0,11,-12) Д(-2,2,-1) 119. À(3,3,-3); В(7,7,-5); С(5,14,-13) Д(3,5,-2) 120. À(4, -2,5); В(8,2,3); С(6,9,-5) Д(4,0,6) 121-130. Найти собственные собственные векторы матрицы А.

1 0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 121. А = ⎜ 1 1 − 3⎟ ⎟ ⎜ ⎝0 − 3 4 ⎠

123.

значения

и

− 1 0⎞ ⎛2 ⎟ ⎜ 122. А = ⎜ − 1 2 0 ⎟ ⎟ ⎜ −1 1⎠ ⎝1

⎛5 − 1 − 1 ⎞ ⎟ ⎜ А = ⎜0 − 1 4 ⎟ ⎟ ⎜ 4 − 1⎠ ⎝0

124.

- 27 -

⎛ 0 − 1 2⎞ ⎟ ⎜ А = ⎜ 0 2 − 1⎟ ⎟ ⎜ ⎝3 − 1 1⎠

⎛4 1 0 ⎞ ⎛ 3 − 2 2⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 125. А = ⎜ 2 − 1 2 ⎟ 126. А = ⎜ 1 4 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 1 5⎠ ⎝ 2 − 2 3⎠ ⎛− 2 4 − 3⎞ ⎛ − 1 − 1 − 3⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 127. А = ⎜ − 1 − 1 3 ⎟ 128. А = ⎜ 0 2 − 2⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 4 ⎠ ⎝2 ⎝− 3 3 − 3 ⎠ − 2 1⎞ ⎛6 2 2 ⎞ ⎛6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 129. А = ⎜ − 1 5 − 1 ⎟ 130. А = ⎜ 2 − 4 3⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − 2 4⎠ ⎝ 2 3 − 4⎠ ⎝1 131-140. Даны два линейных преобразования.

⎧х1' = а11х1 + а12 х2 + а13 х3 ⎪⎪ ' ⎨х2 = а21х1 + а22 х2 + а23 х3 ⎪ ' ⎪⎩х3 = а31х1 + а32 х2 + а33 х3

⎧x1'' = в11x1' + в12 x2' + в13 x3' ⎪⎪ '' ' ' ' ⎨x2 = в21x1 + в22 x2 + в23 x3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩x3 = в31x1 + в32 x2 + в33 x3

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х"1, х"2, х"3 через х1, х2, х3.

- 28 -

⎧ х1' = 4 х1 + 3х 2 + 5х 3 ⎪⎪ 131. ⎨ х 2' = 6 х1 + 7 х 2 + х 3 ⎪ ' ⎪⎩ х 3 = 9 х1 + х 2 + 8 х 3 ⎧ х1' = 7 х1 + 4 х 3 ⎪⎪ 132. ⎨ х 2' = 4 х 2 − 9 х 3 ⎪ ' ⎪⎩ х 3 = 3х1 + х 2

⎧ x1'' = − x1' + 3x 2' − x 3' ⎪⎪ '' ' ' ' ⎨ x 2 = −4 x 1 + x 2 + 2 x 3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩ x 3 = 3x1 − 4 x 2 + 5x 3 ⎧ x1'' = x 2' − 6 x 3' ⎪⎪ '' ' ' ⎨ x 2 = 3 x1 + 7 x 3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩ x 3 = x1 + x 2 − x 3

⎧ х1' = 3х1 − х 2 + 5х 3 ⎪⎪ 133. ⎨ х 2' = х1 + 2 х 2 + 4 х 3 ⎪ ' ⎪⎩ х 3 = 3х1 + 2 х 2 − 5х 3

⎧ x1'' = 4 x1' + 3x 2' + x 3' ⎪⎪ '' ' ' ' ⎨ x 2 = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩ x 3 = x1 − 2 x 2 + x 3

⎧ х1' = 4 х1 + 3х 2 + 8х 3 ⎪⎪ 134. ⎨ х 2' = 6х1 + 9 х 2 + х 3 ⎪ ' ⎪⎩ х 3 = 2 х1 + х 2 + 8х 3 ⎧х1' = 3х1 + 5х 3 ⎪⎪ 135. ⎨х2' = х1 + х 2 + х 3 ⎪ ' ⎪⎩х3 = 3х2 − 6х 3 - 29 -

⎧ x1'' = − x1' + 8x 2' − 2 x 3' ⎪⎪ '' ' ' ' ⎨ x 2 = −4 x1 + 3x 2 + 2 x 3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩ x 3 = 3x1 − 8x 2 + 5x 3 ⎧x1'' = 2 x1' − x2' − 5x 3' ⎪⎪ '' ' ' ' ⎨x2 = 7 x1 + x2 + 4 x 3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩x3 = 6x1 + 4 x2 − 7 x 3

⎧ х1' = 9 х1 + х 2 + 8 х 3 ⎪⎪ 136. ⎨ х 2' = 4 х1 + 3х 2 + 5х 3 ⎪ ' ⎪⎩ х 3 = 6 х1 + 7 х 2 + х 3 ⎧ х1' = 3х1 + х 2 ⎪⎪ 137. ⎨ х 2' = 7 х1 + 4 х 3 ⎪ ' ⎪⎩ х 3 = 4 х 2 − 9 х 3 ⎧ х1' = 3х1 + 2 х 2 − х 3 ⎪⎪ 138. ⎨ х 2' = 3х1 − х 2 + 5х 3 ⎪ ' ⎪⎩ х 3 = х1 + 2 х 2 + 4 х 3 ⎧ х1' = 2 х1 + х 2 + 8 х 3 ⎪⎪ 139. ⎨ х 2' = 6 х1 + 9 х 2 + х 3 ⎪ ' ⎪⎩ х 3 = 4 х1 + 3х 2 + 8 х 3

⎧ x1'' = 3x1' − 4 x 2' + 5x 3' ⎪⎪ '' ' ' ' ⎨ x 2 = − x1 + 3x 2 − 2 x 3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩ x 3 = −4 x1 + x 2 + 2 x 3 ⎧ x1'' = x1' + x 2' − x 3' ⎪⎪ '' ' ' ⎨x2 = x2 − 6x3 ⎪ '' ' ' ⎪⎩ x 3 = 3x1 + 7 x 3 ⎧ x1'' = x1' − 2 x 2' + x 3' ⎪⎪ '' ' ' ' ⎨ x 2 = 4 x1 + 3x 2 + x 3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩ x 3 = 2 x1 + x 2 + 2 x 3 ⎧ x1'' = 3x1' − 8 x 2' + 5x 3' ⎪⎪ '' ' ' ' ⎨ x 2 = −4 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩ x 3 = − x1 + 8 x 2 − 2 x 3

⎧ х1' = х1 + х 2 + х 3 ⎪⎪ 140. ⎨ х 2' = х1 + х 2 + х 3 ⎪ ' ⎪⎩ х 3 = х1 + х 2 + х 3

⎧ x1'' = x1' + x 2' + x 3' ⎪⎪ '' ' ' ' ⎨ x 2 = x1 + x 2 + x 3 ⎪ '' ' ' ' ⎪⎩ x 3 = x1 + x 2 + x 3 - 30 -

141-150. Даны два комплексных числа z1и z2. Найти: а) тригонометрическую и показательную формы этих чисел; б) z1 + z2 ; z1 * z1 в) найти z1* z2 и z1/ z2 и представить их в тригонометрической форме. Решить уравнение: zn ± А = 0 141. z1 = 1/2(1+i), z2 = 2i; z3 +125 = 0 142. z1 = 1/2(1+i), z2 = 4i; z4 +81 =0 143. z1 = 1 + (1/√3)i, z2 = 1/2i; z3 -125 =0 144. z1 = -(√3 - i), z2 = -2i; z4 - 81 =0 145. z1 = 1 - (1/√3)i, z2 = -i; z3 + 64 =0 146. z1 = 1/√3 - i, z2 = (2√3)i; z4 - 625 =0 147. z1 = 2 + (2/√3)i, z2 = -√3i; z3 - 27 =0 148. z1 = 1 - i/√3, z2 = √3i; z4 + 256 =0 149. z1 = √8(1 + i), z2 = -2i; z3 + 27 =0 150. z1 = √2 (1 - i), z2 = -2i; z4 + 16 =0 151-160. Функцию y = ax2 + bx + c преобразовать к виду y = a(x - m)2 + n. Объяснить смысл параметров а, m, n. Построить график функций у = а(х - m) + n. Задания по вариантам: 151. у = -х2 -2х + 3 156. у = -х2 - 8х +10 157. у = -х2 - 12х - 8 152. у = 7х2 + 14х - 3 2 153. у = -3 + 12х - 3х 158. у = 5х2 + 30х + 10 154. у = 8 + 2х2 - 4х 159. у = 2х2 - 20х + 5 2 160. у = 6х2 + 18х - 4 155. у = -7 - 4х + 2х

- 31 -

161-170.Построить график функции (а) способом сдвига и деформации графика функции (б) Задания по вариантам: 161. а) у = -2cos (x + 3); b) e = cos x; 162. a) y = (1/3)sin(x - (π/6)); b) y = sinx; 163. a) y = 5cos(3x - 5); b) y = cosx; 164. a) y = -4sinx; b) y = sinx; 165. a) y = cos5x + 2; b) y = cosx;. 166. a) y = -cos (x/2) - 3; b) y = cos x. 167 a) y = -sin(x + 8); b) y = sinx 168. a) y = 3cosx + 4; b) e = cosx 169. a) y = (1/2)sin(x/2) - 1; b) y = sinx 170. a) y = -cos((x/2)-2); b) y = cosx 171-180. Найти область существования функции у = f(х). Задания по вариантам:

⎛ x − 4⎞ 171. а ) f ( x ) = ln⎜ ⎟ ⎝ x + 4⎠

б ) f ( x ) = tg

х 2 − 2х + 3 172. а ) f ( x ) = ( х + 3)( х − 8) x−4 173. а ) f ( x ) = arcsin 5

174. а ) f ( x ) =

х +1 х−4

2x 3

б ) f ( x ) = ctg ( x +

б ) f ( x) =

π

3 2x − 1

)

x 2 − 16

б ) f ( x ) = tg (2 х − 3)

х −1 х+4 x 176. а ) f ( x ) = arccos 5

x б ) f ( x ) = ctg ( x − ) 2 x +1 б ) f ( x) = x2 − 9 2x + 4 б ) f ( x) = x 2 − 2x − 3

175. а ) f ( x ) = ln

177. а ) f ( x ) = arctg

178. а ) f ( x ) = ln

1 x

x2 + 9

б ) f ( x ) = tg (3x −

2

x −9 5− х 179. а ) f ( x ) = 4 3х + 8

6

)

б ) f ( x ) = arcsin(2 x + 1)

180. а ) f ( x ) = х 2 + 5х + 6

б ) f ( x ) = ln

3х + 4 1− х

181-190. Найти пределы (не пользуясь правилом Лопиталя) 3x 3 − 4 x + 2 2 x 2 + 5x − 3 181. а) lim б) lim ; 2 3; x →∞ 4 + 2 x − 5x x → −3 x2 − 9 cos x − cos2 x 7+ x − 7− x в) lim ; ; г) lim x→0 x→0 3x sin x 4x

д) lim(1 − 3х )

2+ х х

x→0

2 х 4 − 3х 2 + 5 ; 4 2 x →∞ 7 х + 2 х + 4 х

х 2 + 6х − 16 б) lim 2 ; x → 2 3х − 5х − 12

182. а) lim - 32 -

π

- 33 -

4 х + 5 − 30 − х в) lim ; x →5 5 − 5х зх ⎛ х + 3⎞ д) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ х − 2 ⎠ 2х 3 + 4х + 1 ; 183. а) lim 2 x →∞ 5х − 4 х + 3 х − 3−1 в) lim ; x→4 х+5−3 2х ⎛ 2 х − 1⎞ д) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 2 х + 1⎠ 5х 3 + 4х 2 − 9 184. а) lim 2 4 ; x →∞ 4 − 3х − 5х х− х в) lim 2 ; x → −1 х − х 2х ⎛ 3х ⎞ д) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 1 + 3х ⎠ 5х 3 − 4 х 2 + 2х 185. а) lim 3 ; x → 2 − 3х − 4 х 2+х −3 в) lim ; x→7 х−7 4х ⎛ х − 2⎞ д) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ х + 5 ⎠

2

2

г) lim х ctg 3x ; x→0

х−2 ; в) lim x→2 2х − 2

x 2 ctg 2 x г) lim ; x → 0 sin 3x

8

д) lim(1 + 3х) х x→0

2 − 3х 2 + 7х 4 ; 3 x →∞ 2 х − 4 х + 9 х х − х2 в) lim ; x → 0 1 − 2 х − 1 + 3х

2х 2 + 5х + 3 б) lim 2 ; x → −1 х − 4 х − 5 1 − cos 4 x г) lim ; x → 0 cos 5x − 1

187. а) lim

х 2 + 8х + 12 б) lim 2 ; x → −2 3х + 4 х − 4 arcsin 3x г) lim ; x→0 5x

188. а) lim

⎛ х + 1⎞ д) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ х ⎠

х 2 − х − 12 ; 2 x → 4 2х − 7х − 4 5х г) lim ; x → 0 arctgx б) lim

2 − 5х

4 − 5х + 2х 3 ; 4 2 x →∞ 5х − 6х + 7 х 2 − 2х ; в) lim x→2 6х + 4 − 4

2х + 6 ; x →−3 х − 2 х − 15 sin 3 2 x г) lim ; x→0 5x 3 б) lim

2

3

д) lim(1 + 2 х) х x→0

3х 2 − 4 х + 1 ; 2 x → 1 2 х + 5х − 7 cos 6x − 1 г) lim ; x → 0 x sin 2 x б) lim

2 − 7х + 7х 4 186. а) lim 4 ; 2 x →∞ 3х + 2 х − 5х

х 2 − 3х + 2 б) lim 2 ; x → 1 3х + 4 х − 7 - 34 -

1 − 4х 2 − 7х 4 ; 189. а) lim 4 3 x →∞ 5х − 6х + 9 х х +9−3

2х 2 + 7х − 4 б) lim ; 1 10х − 5 x→ 2

sin 8x + sin 4 x ; x→0 5x

2

в) lim

х 2 + 25 − 5 2х ⎛ 4 х + 1⎞ д) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 4 х ⎠ x→0

;

г) lim

4х 2 + 5х − 8 190. а) lim 2 ; x →∞ 1 − 3х − 5х

х 2 − 9 х + 18 б) lim 2 ; x → 6 3х − 17 х + 6 - 35 -

в) lim x→ 4

4х − х ; х 2 − 16

⎛ х + 1⎞ д) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ х + 3⎠

1 − cos 4 x ; x → 0 2 xtg 2 x

г) lim

2х

191-200. Дана функция y=f(x) и два значения аргумента х1 и х2 . Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х. Построить приближенно график функции в окрестностях каждой из данных точек. 191. f(x) = 91/(2-х) х1 = 1, х2 = 2. 1/(4-х) 192. f(x) = 4 х1 = 2, х2 = 4. 193. f(x) = 81/(2+х) х1 = -2, х2 = 1. 194. f(x) = 3х/(3+х) х1 = 0, х2 = -3. 195. f(x) = 7(х+2)/4+х) х1 = -4, х2 = -2. 2/(3-х) 196. f(x) = 6 х1 = 1, х2 =3. 197. f(x) = 2(х+з)/(5-х) х1 = 1, х2 = 5. 2/(7-х) 198. f(x) = 15 х1 = 3, х2 = 7. 199. f(x) = 11(х-2)/(1+х) х1 = -1, х2 = 2. 2/(5+х) х1 = -1, х2 = -5. 200. f(x) = 16 201-210. В задачах а) и б) найти точки разрыва функции. Определить характер разрыва, сделать чертеж.

201. а )

202. а)

203. а )

204. а )

205. а )

206. а ) - 36 -

y=

y

1 3 − =4 х

б)

б)

1 3 х −2

б)

1 1 − =5 х

б)

y=

y

1 2 х −5

y=

1 4 х −3

б)

y=

1 2 3+ х

б)

х ≤ −1 ⎧ х + 4, ⎪ 2 y = ⎨ х + 2, − 1 ≤ х 〈1 ⎪2 х , х ≥1 ⎩ х ≤ −1 ⎧х + 2, ⎪ y = ⎨х 2 + 1, − 1〈 х ≤ 1 ⎪− х + 3, х 〉1 ⎩ х≤0 ⎧− х , ⎪ y = ⎨− ( х − 1) 2 , 0 〈 х 〈 2 ⎪ х − 3, х≥2 ⎩ x≤0 ⎧cos x , ⎪ y = ⎨ x 2 + 1, 0〈 x 〈1 ⎪ x, x ≥1 ⎩ х≤0 ⎧− х , ⎪ 2 y = ⎨х , 0〈 х≤2 ⎪ х + 1, х〉2 ⎩ х≤0 ⎧− х , ⎪ y = ⎨sin x , 0〈 x≤π ⎪ x − 2, x 〉π ⎩ - 37 -

207. а)

208. а )

209. а )

210. а )

y

1 = 9 х +2

y=

y

⎧− ( х + 1), ⎪ б ) y = ⎨( х + 1) 2 ⎪ х, ⎩

1 х 3 +1

б)

2 = 5 х +5

y=

1 х 9 +3

б)

б)

211. в)

y = 2 4x + 3 −

0〈x≤ x〉

x3 + x + 1

б) г)

- 38 -

а)

π 4

4

х≤0 0〈 х ≤1 х 〉1 х≤0 0〈 х〈4 х≥4

dy данных функций: dx

3

y д) tg ( ) = 5x x

π

y = (e y = xx

cos x

+ 3)

y = x2 1 − x2

2

y=x

1 + x2 1− x

213. в) y = arcsin 1 − 3x д ) y * sin x = cos( x − y) 3 + 6x а) y = 3 − 4x + 5x2 214. в) y = xm ln x x y = arctg д) x y x а) y = a 2 − x2 x ln x 215. в) y = x−1 x д ) ( e − 1)( e y − 1) − 1 = 0 1 + 55 x3 + 1 а) y = 2 x +1 216. в)

y = 3arctgx

д)

y2 x = e x

2

y

- 39 -

4 sin x cos2 x

б)

y=

г)

y=x

212. в) y = arctge2 x д ) x − y + arctgy = 0

х≤0

⎧− 2 х , ⎪ y = ⎨ х 2 + 1, ⎪2, ⎩ ⎧− 2 х , ⎪ y = ⎨ х, ⎪1, ⎩

y = ln sin(2 x + 5)

а)

− 1〈 х ≤ 0 х〉0

⎧ ⎪− х 2 , ⎪ ⎪ y = ⎨ tgx , ⎪ ⎪ ⎪⎩ 2 ,

211-220. Найти производные

а)

х ≤ −1

1

х

1 tg 2x

б)

y=

г)

y = xln x

2

б) y = sin x − x cos x г) y = x− tgx

б)

sin2 x y= 2 + 3 cos2 x

г)

y = ( arctgx) ln x

б)

y = 2tg3 ( x2 + 1)

г)

y = ( arcctgx) x

а) y = 3

1 + x2 1 − x2

б) y = x

217. в) y = arctg

1+ 1− x д) x + y − 3axy = 0 3

а)

г ) y = ( x + x2 ) x

2

3

y = 33 x5 + 5x4 −

5 x

219. в) д) а)

220.

1 − sin x 1 + sin x y = (sin x) ln x

y = ln

б)

218. в) y = arctg( tg2 x) д ) x − y + a sin y = 0 а)

1 2 tg x + lncos x 2

г)

⎧х = ln 3t ⎪ б) ⎨ 1 ⎪⎩y = t + 2 t ⎧х = sin 2 t б) ⎨ 2 ⎩y = t cos t ⎧х = t − sin t б) ⎨ ⎩y = t − cos t ⎧⎪х = 3сos 2 t б) ⎨ ⎪⎩y = 2 sin 3 t ⎧⎪х = 3t − t 3 б) ⎨ ⎪⎩y = 3t 2 ⎧х = ln t ⎪ б) ⎨ 1 ⎛1 ⎞ ⎪y = 2 ⎜⎝ t + t⎟⎠ ⎩ ⎧х = 2 t 3 − t б) ⎨ ⎩y = ln 3t

222. а) у = ех sin x

2

223. а) у = х х − 1

−x

б)

y = 2 *e

г)

y = (cos x)

x

x

⎛ x⎞ ln y = arctg⎜ ⎟ ⎝ y⎠

225. а) у = arсtg

x 2

226. а) у = excos x

x2 +1+ 3 x3 +1 3− x x−2

в)

y = arctg

д)

x − y + e y arctgx = 0

221-230. Найти

б) ⎨

224. а) у = lntg3 x

1 y = 55 x + x + x arcsin x y= 1 − x2 2

y=

⎧х = 2 t − sin t ⎩y = t + cos t

221. а) у = х2ln x

б) г)

d 2y dy и dx dx 2 - 40 -

y=

1 3 tg x − tgx + x 3

y = (cos x )

x2

227. а) у = хе

− х2

228. а) у = arс sin

x 2

- 41 -

⎧х = сost − 2 t ⎩y = t + sin t

229. а) у = х2e-x

б) ⎨

230. а) у = arccos2 x

⎧⎪х = 5t + t 3 б) ⎨ ⎪⎩y = t 5 − 3t

231-240. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f(x) на отрезке [a;в] 231. y = 3x4 - 16x3 + 9 [-3; 1]

232. y = cosx +

π 3 1 [0; ] х− 2 2 2

233. y = x3 - 3x2- 9x + 3

[-2; 3]

234. y = sin2x - x - 2

[−

235. y = 1-2x2 + x4

[-2; 0]

2

236. y = 2 х − ln x +

х2 237. y = − 2 1+ х 1 5 3 5 238. y = + х − х 2 3

1 2

[ [−

π π ; ] 2 2

1 ;1] 4

1 ;4 ] 2 [0; 2]

239. y = x2e-x + √ 3 240. y = 3x + x3 -1 - 3x2

[-1; 4] [-1; 2]

- 42 -

241-250. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график. 4x ln x 241. а ) y = б) y = 2 ; 4+x x 2 х −1 2 242. а ) y = 2 ; б) y = xe− x х +1 х2 + 1 2 243. а ) y = 2 ; б) y = е 2 х − х х −1 х2 244. а ) y = ; б) y = х 2 − 2 ln x х −1 х3 245. а ) y = 2 ; б) y = ln( x 2 − 4) х +1 1 4х3 + 5 246. а ) y = ; б) y = е 2 − х х 2 х −5 247. а ) y = ; б) y = ln( x 2 + 1) х−3 х4 2 248. а ) y = 3 ; б) y = ( 2 + х 2 ) е− х х −1 4х3 249. а ) y = 3 ; б) y = ln( 9 − x 2 ) х −1 2 − 4х2 250. а ) y = ; б) y = ( х − 1) е3х + 1 1 − 4х2 251-260. Исследовать методами ального исчисления функции:

- 43 -

дифференци-

251. 1). 252. 1). 253. 1). 254. 1). 255. 1). 256. 1). 257. 1). 258. 1). 259. 1). 260. 1).

х 2 − 2х + 2 y= х −1 4 х −3 y= х 3 х +2 y= х 4х y= 4 + х2 4 х − 12 y= ( х − 2) 2 16 y= 2 х (х − 4) х4 y= 3 х −1 х4 y= 3 х +1 х2 y= 3 х −1 х3 y= 2 ( х + 1) 2

2)

1 − 1х y= l х

2) y = х − 2arctgx 2)

y = хl − х

2)

y = хl х

2

1

1

2)

1 − 2 y= 2l х х

2) y = (х − 1)l3х +1

2)

2)

y = х 2 ln х

2)

y = ln(1 + l − х )

2)

y = ln(1 − 3х) y = х 2 − 2 ln х

261-270. Решить следующие задачи методами дифференциального исчисления. 261. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R. 262. Лодка находится в 3 км от ближайшей точки А берега. Гребец должен попасть за кратчайшее время в село - 44 -

В, находящееся на берегу на расстоянии 5 км от А. В какой точке берега должен высадиться гребец, если известно, что скорость его на лодке 4 км/ч, а пешком - 5 км/ч? 263. Сечение шлюзового канала имеет форму прямоугольника, завершаемого полукругом. Зная площадь сечения S, определить при каких условиях периметр сечения будет наименьшим. 264. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести? 265. Из круга вырезан сектор с центральным углом α. Из оставшейся части круга свернута воронка. При каком значении угла α вместимость воронки будет наибольшей? х2 y2 266. В эллипс 2 + 2 = 1 вписать прямоугольник а b наибольшей площади со сторонами, параллельными осям координат. 267. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R. 268. Найдите наименьший из объемов конусов, описанных около данного цилиндра с высотой h и радиусом основания r. 269. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Какой длины должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг боковой стороны, был наибольшим? 270. Число 18 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы первое слагаемое - 45 -

было равно третьему, а сумма квадратов всех трех слагаемых была наименьшей. 271-280. Решить следующие задачи методами дифференциального исчисления. 271. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус его основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала? 272. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем? 273. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 274. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R. 275. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара с радиусом R. 276. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность? 277. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При

каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света? 278. В точках А и В находятся источники света силы соответственно F1 и F2 . Расстояние между точками равно а. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку М. Замечание: освещенность точки источником света силы F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света Е=kF/r2, k = const. 279. Из круглого бревна диаметром d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? Замечание: сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины х ее поперечного сечения на квадрат его высоты: Q = kxy, k = const. 280. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна р1 руб., а стенок - р2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими? Указание: рекомендуется принять за аргумент отношение радиуса r дна бака к его высоте h (λ = h/r). 281-290. Определить количество действительных корней уравнения, отделить эти корни. Применяя метод хорд и касательных, найти приближенное значение каждого из корней с точностью до 0,01.

- 46 -

- 47 281. х − 7 х + 1 = 0 2

282. 283. 284. 285. 286. 287. 288. 289. 290.

х 3 + 5х − 2 = 0 х 3 + 2 х − 10 = 0 х3 + х + 3 = 0 х 3 + 2х + 7 = 0 х 3 + 3х + 4 = 0 х 3 + 6х + 7 = 0 х 3 + 4х − 2 = 0 х 3 + 4 х − 11 = 0 х 3 + 3х − 3 = 0

298. z =

1 5x arсtg 10 2y

299. z = 105 3x 4 − 6 xy 3 ⎛ x y⎞ 300. z = 4 ln ctg ⎜ − ⎟ . ⎝ 4 2⎠

291-300. Найти частные производные y x − x y

dz dz и dx dy

301-310. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x,y) в замкнутой области Д, заданной указанными линиями. 301. z = x 2 − xy + y 2 − 4 x; x = 0, y = 0, 2 x + 3y − 12 = 0

302. z = x 2 + 3y 2 + x − y;

x = 1, y = 1, x + y = 1

303. z = x 3 + y 3 − 3xy;

x = 0, x = 2, y = 0, y = 3

295. z = 0,3 sin 4 (6 x + 5 y )

304. z = x 2 − 2 y 2 + 4 xy − 6x − 1; 305. z = xy − 2 x − y; 1 306. z = x 2 − xy; 2 307. z = 2 x + y − xy;

x = 0, y = 0, x + y = 3 x = 0, x = 3, y = 0, y = 4 1 y = x2 , y = 3 3 x = 0, x = 4, y = 0, y = 4

296. z = 1 − 4 x 2 + 10 y 3

308. z = x 2 + 2 xy − 4 x + 8 y;

x = 0, y = 0, x = 1, y = 2

309. z = x 2 + y 2 − xy + x + y;

x = 0, y = 0, x + y = −3

310. z = x 3 + 8 y 3 − 6xy + 1;

y = 1, y − 1, x = 0, x = 2

291. z = 3

292. z = cos(3x − 3 y 3

293. z = xtg (2 x − 5 y ) 294. z = xye 10 y − x

297. z =

x2 y2 x2 − y2

311-320. Найти gradz в точке А и производную в −

- 48 -

точке А в направлении вектора а - 49 -

311. z = 2 x 2 + xy; 312. z = arctg ( y / x ); 313. z = x y + xy ; 3

2

−

−

A( −1;2), а = 3 i + 4 j −

−

A( −11 ; ), а = i − j A(1;3),

−

−

а = −5 i + 12 j −

−

314. z = ln(2 x + 3 y );

A(2;2),

а = 2i− 3j

315. z = 5x 2 y + 3xy 2 ;

A(11 ; ),

а = 6i− 8 j

316. z = 3x / y 2 ; 317. z = arctg ( xy );

A(3;4),

−

−

−

−

а = −3 i − 4 j −

−

−

−

A(2;3),

а = 4i+ 3j

318. z = ln(3x 2 + 2 xy 2 ); A(1;2), x+y ; 319. z = 2 A(1;−2), x + y2

а = 3i − 4 j

; ), 320. z = 5x 2 − 2 xy + y 2 ; A(11

−

−

а = i+ 2 j −

−

а = 2i− j

321-330. Дана функция z = f(x,y) и точки А (х0, у0) и В(х1,у1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; −

2) вычислить приближенное значение z 1 в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = f(x,y) в точке С(х0,у0,z0).

- 50 -

321. z = 2 x 2 + y 2 + x − 3y;

А(2;−1),

В(2,02;−0,99)

322. z = 3x 2 + 2 y 2 − xy;

А(−1;3),

В(0,98;2,97)

323. z = x 2 + 2 хy − x + 5y;

А(3;2),

В(2,97;2,02)

324. z = xу + 2 y 2 − 6x 2 ;

А(1;4),

В(1,03;4,01)

325. z = x 2 − y 2 + 3xy; 326. z = xy + 4 x − 3y;

А(−1;−1), А(4;−3),

В(−0,97;−1,02) В(3,98;−3,03)

327. z = x 2 − y 2 + 5x + 4 y;

А(3;2),

В(3,02;1,98)

328. z = y − 2 xу + 6х;

А(−2;5),

В(−1,98;5,01)

329. z = x 2 − 4 хy − y 2 ; 330. z = 6x + 5y − 4 хy;

А(−2;3), А(3;−4),

В( −2,02;2,97) В(3,04;−4,02)

2

331-340. Вычислить неопределенные интегралы. Ответы проверить дифференцированием.

dx

331. а)∫

б)∫

(1+ sin2x)2 x в)∫ 3 dx 7 − 5x

332. а ) ∫

3

г)∫

2+ x −3 2−x 3

4− x

tg3x − ctg3x dx sin3x (x − 7)dx

x2 + 4x +13

б )∫

2

в) ∫ x * 5 1 − 3xdx

г) ∫

- 51 -

dx cos x (1 + tg 2 x ) 2

( x + 1)dx 4 x − 12 x + 13 2

( x 2 + 1)( x 2 − 2) dx 333. а ) ∫ x 3 ln x − 7 x dx в) ∫ 3 x

б )∫ г) ∫

3 x + 4x dx x x sin 5x в) ∫ dx cos2 5x

334. а ) ∫

5

2

335. а ) ∫ (а + bx 2 ) 3 dx в) ∫

x (4 − 5x ) 20

dx

б )∫ г) ∫

б )∫ г) ∫

336. а ) ∫ x ( x + a )( x + b)dx в) ∫ x(2 + 3x) dx

в) ∫

339. а ) ∫

x2 − 4x − 7

dx e +1 ( x − 3)dx

340. а ) ∫

2x

в) ∫

1 − 2x − x

б )∫

2

341. ( x − 2)dx x 2 + 4x − 3 dx

4dx

1 x cos x ( x + 5)dx г) ∫ 2 2x + 2x + 3

в) ∫ x 2 arctg 2 xdx - 52 -

a 2 − b2 x 6

г) ∫ б )∫ г) ∫

dx

dx x x − 2x2 ( x + 2)dx 3 − x2 + 2x

3x dx 9x + 4 x x2 + x + 1

dx

341-350. Вычислить определенный интеграл.

3 cos x + 2 sin 2 x + sin 2 x (2 − x )dx

x ax − x 2 3x − 2 г) ∫ 2 dx 5x − 3x + 2

(1 + 4 x 2 ) 3 dx 338. а ) ∫ 4 x + x2

б )∫

dx

б )∫

x 2 dx

(3 + 3 x 2 ) 2 x x2

3 − 2x − x2

2

г) ∫

dx 1 + cos 2 x

dx 3 sin x + cos 2 x 2

ln 2 x + 3 в) ∫ dx x2

б ) ∫ sin 3 x * cos xdx

n

337. а ) ∫

xdx cos (4 − 3x 2 ) (2 x − 3)dx 2

2

2

0

3

−8

dx x2 + 3

∫

3

2

x2

∫2+

342.

1

1/ 2

343.

dx 4x + 4x + 5 − 3/ 2

∫

2

9

4

π /2

345. 347.

∫ sin

49 3

xdx

346.

0

25

1

∫ ln( x + 3)dx

348.

∫ x *e 0

xdx xdx 2x + 7

∫ 0

1

dx x ( x − 1)

∫ x−6

3

0

349.

∫

344.

dx x −1

4

1

−2 x

dx

350.

∫ arctgxdx 0

351-360. Найти определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница - 53 -

1

351. ∫

−2(11 + 5x)

3

−2

dx 352. ∫ 2 х −1 −3

∞

e x dx

1

dx

356. ∫

0 1+ e

2x

х 3 dx 1+ х2 0

357. ∫ π

π

х 2 dx 354. ∫ 2 x +1 0

358.

∫π

−

cos x − cos 3 dx

е

355. ∫ е

dx x ln x

е

1

∞

363. ∫ 1

dx х 3 ln x dx х + х3

1 π sin 359. ∫ 2 x dx 1 x π

1 + cos 2 x dx 2

360. ∫ 0

∞

367. ∫ 1

dx x (1 + x ) 2

2

dx 1− x3 0

368. ∫

π ∞

2

dx 364. ∫ cos х 0

dx

∫x

х2 − 1

−2

369.

∫x

−∞

- 54 -

∫

2

dx − 6 x + 10

0

373.

∞

xdx x −1

1

361-370. Найти несобственный интеграл ∞ 3 хdx dx 361. ∫ 2 366. ∫ 3/ 2 ( х − 3) 4х − х 2 − 3 −2 1 362. ∫

2

371.

2

π 2

370.

371-380. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

2

2

4

−1

1

π

2x 353. ∫ sin dx 2 −π

хdx 365. ∫ 2 (4 х + 1) 3/ 2 0

∞

dx

∫

( x + 1)

−1

3

∫ tgxdx π

∞

376.

π /4

379.

∫ 0

cos x dx sin 2 x

∫x

2

0

∞

xdx ∫ x4 + 9 3

2

dx

0

− /2

377.

arctgx

∫ 1+ x

374.

0

375.

x 3 dx ∫0 1 + x 8

372.

∞

378.

dx + 2x + 2

dx

∫ x ln 3

∞

380.

∫x 1

2

5

x

dx + 4x

381-390. Вычислить приближенно интеграл, используя формулу трапеции. Промежуточные вычисления выполнить с тремя значащими цифрами, а результат округлить до двух. Промежуток интегрирования разбить на 10 частей. 2 1 lg хdx sin xdx 381. ∫ 386. ∫ 2 х x +1 1 0

- 55 -

2

401-410. Найти объем тела, образованный вращением вокруг оси Ох (Vx) или оси Оу (Vy) фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

1

cos хdx 382. ∫ х 1

387. ∫ x cos xdx 0

π 3/ 2

2

cos хdx 383. ∫ 1+ х 1

388.

∫

1/ 2

ex dx x

401. у =

π 1

ln(1 + x )dx 1+ х2 0

2

384. ∫

389. ∫ 0

1

sin xdx x

ln(1 + x 2 ) 390. ∫ dx 1+ x2 0

0

391-400. Найти площадь фигуры, заданными линиями. Сделать чертеж. 391. у = 2х, у = 2х - х2, х = 0, х = 2 392. х = -2у2; х = 1 - 3у2

8

2

393. х = 4у; у =

х2 + 4

х

( х 2 + 1) 2

, у = 0, х = 1

399. у = (х - 4)2, у = 16 - х2, у = 0 400. у2 = х , x =

ограниченной

407. у = sin x , y =

394. у = х2 + 1; х + у = 3 395. у = х + 1; у = cos x, y = 0 396. у = -х2- 2х + 3, у =7 - 6х, х = 0 397. у = х2 - 2х + 2, у = 4х - 7, х = 0 398. у =

Vx = ? 8х = у2; Vy = ? 403. ху = 4, х = 1, х = 4, у = 0; Vх = ? 404. у = 2х - х2, у = 0; Vx = ? 405. у = х3, у = 0, x = 2; Vy = ? 406. у = sin x, y = 0, 0≤ x ≤ 2π; Vx = ? 402. у = х2,

1

385. ∫ х sin xdx

1 2 х + 2 , 5х - 8у + 14 = 0; 4

3 2 у +1 4 - 56 -

2 х; π

Vx = ? 408. у = x , х = 1, х = 2; Vx = ? 409. xу = 4 , y = 1, y = 4, x = 0; Vy = ? 3 410. у = x , y = 0, x = 1, x = 2; Vy = ? 411-420. Вычислить площадь ограниченной кривыми: 411. 3х2 - 2y = 0, 2x - 2y + 1 = 0 412. 2x - 3y2 = 0, 2x + 2y - 1 = 0 - 57 413. 3x2 + 4y = 0, 2x + 4y + 1 = 0 3

фигуры,

414. 3x2 - 4y = 0, 415. 2x + 3y2 = 0, 416. 3x2 + 4y = 0, 417. 3x2 - 4y = 0, 418. 4x + 3y2 = 0, 419. 4x - 3y2 = 0, 420. 2x + 3y2 = 0,

2x + 4y - 1 = 0 2x + 2y + 1 = 0 2x - 4y - 1 = 0 2x - 4y + 1 = 0 4x + 2y + 1 = 0 4x + 2y - 1 = 0 -2x + 2y = 1

421-430. Решить дифференциальные уравнения 1го порядка: 421. x3y' - siny = 1, y →5π при x →∞ x2dy = (y2 - xy + x2)dx y'xlnx - y = 3x3ln2x, y(e) = 0 16 π при x →∞ 422. x2y'cosy + 1 = 0, y → 3 (4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy = 0 x

y' - yex = 2xee , y(0) = 1 423. y' + sin(x-y) = sin(x + y), y(π) =

y2 2

(e - xy)dy - dx = 0, x(0) = 1 2 426. y sinxdx + cos2xlnydy = 0, y(0) = 1 y xy' = y + xsin x y y' = , x(1) = 0 2 y ln y + y − x

427. (1 + x2)y' - (1/2)cos22y = 0,

7 y → π при 2

x →-∞ (x - y)ydx - x2dy = 0 (2x - y2)y' = 2y, x(2) = 1 11 π при x →∞ y→ 428. x2y' + sin2y = 1, 4 (x2 + xy)y' = x x 2 − y 2 + xy + y2 2

π 2

( xy - x)dy + ydx = 0 xy' - 2y = x3cosx,

−

y(π) = 1 10 π при x →∞ 424. x2y' + cos2y = 1, y → 3 (x + 3y)dy + (y - 3x)dx = 0 1 , y(0) = 0 y' - ytgx = cos3 x 425. ey = e4y * y' + 1, y ограничено при х →∞ - 58 xy' = y(lny - lnx)

y' + 2xy = е− х , y(0) = 1 429. (a2 + y2)dx + 2x ах − х 2 dy = 0, y(a) = 0 (y + х 2 + у 2 )dx - xdy = 0 xy' + y - ex = 0, y(a) = b 430. ey (1 + x2)dy - 2x(1 + ey)dx = 0, y(0) = 0 (y- x)dx + (y + x)dy = 0 1 1 1 x2y'cos - ysin = -1, y( ) = 1 х х π 431-440. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка. - 59 431. xy'' + y' = 0 432. xy'' - y' = 0

433. y'' = 1 + у'2 434. xy'' = (1 +2x2)y' 435. yy'' = 1 + y'2 436. y'' = 1 − у'2 437. xlnxy'' = y' у' 438. xy'' = y'ln x 439. yy'' = y' + y'2 440. 2yy'' - 3y'2 = 4y2 441-450. Найти частное решение дифференциального уравнения. 441. y'' - 5y' + 6y = (12x - 7)e-x, y(0) = y'(0) = 0 442. y'' + y' = e-x, y(0) = 1, y'(0) = 0 443. y'' - 2y' + 2y = 4excosx, y(π) = π eπ, y'(π) = eπ 444. y'' + y' = 2cosx , y(0) = 1, y'(0) = 0 x 445. y'' - y = 4e , y(0) = 0, y'(0) = 1 446. y'' - 6y' + 9y = 10sinx, y(0) = y'(0) = 0 447. y'' + y = 4xcosx, y(0) = 0, y'(0) = 1 448. y'' - y' = -5e-x(sinx + cosx), y(0) = -4, y'(0) = 5 449. y'' + 4y' +5y = 8cosx, y(0) = y'(0) = 0 y(0) = 2, y'(0) = 3 450. y'' - 4y' + 5y = 2x2ex,

452. Доказать, что кривая, угловой коэффициент касательной которой в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола. 453. Найти кривую, для которой угловой коэффициент касательной в какой-либо точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. 454. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. 455. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси ОУ, к радиусу - вектору точки касания равно постоянной величине. 456. Найти кривую, обладающую тем свойством, что величина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную, равна абсциссе точки касания. 457. Найти кривую, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в какой-нибудь точке кривой, равна расстоянию этой точки от начала координат. 458. Найти такую кривую, проходящую через точку (0; -2), чтобы тангенс угла наклона касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на три единицы.

451-460. Решить задачу:

- 60 451. Найти такую кривую, проходящую через точку (0; 2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной в три раза.

- 61 -

461-470. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж области. −2 x + 6

0

461. ∫ dx

∫ f ( x, y)dy

−1

−8 x

1

4 x +4

0

8 x2

0

4 x +4

−1

4 x −4

1

−8 x 3

0

−2 x −6

1

−8 x 3

0

−4 x −4

463. ∫ dx 465. ∫ dx

467. ∫ dx 469. ∫ dx

- 61 459. Найти кривые, обладающие тем свойством, что отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси ОУ, равен квадрату абсциссы точки касания. 460. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.

3

∫ f ( x, y)dy ∫ f ( x, y)dy ∫ f ( x, y)dy ∫ f ( x, y)dy

1

−8 y 3

0

−4 y −4

0

8 y3

−1

−4 y −4

1

2 y+6

0

8 y3

462. ∫ dy 464. ∫ dy 466. ∫ dy

∫ f ( x, y)dx

∫ f ( x, y)dx

∫ f ( x, y)dx

0

−4 y +4

−1

−8 y 3

0

8 y3

−1

4 y −4

468. ∫ dy 470. ∫ dy

∫ f ( x, y)dx

∫ f ( x, y)dx

471-480. Найти объем тела, поверхностями. 471. 2z = x2 +y2, x - 2y + 2z - 6 = 0 472. z = 3 - x2 - y2, 2x + y - z - 3 = 0 - 62 473. 3z = x2 + y2, 2x + 8y - z + 4 = 0 474. 2z = 6 - x2 - y2, x - 3y + z + 1 = 0 475. z = 2(x2 + y2), x + y - z + 1 = 0 476. z = 1 - x2 - y2, 2x + y - z - 2 = 0 477. 4z = x2 + y2, 2x - y + 3z - 4 = 0 478. 3z = 9 - x2 - y2, 2x + y - z - 1 = 0 479. 4z = x2 + y2, x + y + z - 2 = 0 480. z = 4 - x2 - y2, 2x - y + z + 4 = 0

ограниченного

481-490. Вычислить криволинейный интеграл: а) первого рода; б) второго рода по заданной линии L. 481. а) ∫ ( х 2 + y 2 ) dl по отрезку ОА пр ямой, где О (0; 0), А (1;2); L

π

y

а) ∫

dl , от т. О(0;0) до т. В ( ;1) вдоль 2 2 L 1 + cos x 485. линии у = sin x

⎧ х = 5 cos t от т. А(5;0) до б ) ∫ ( х 2 − у) dx − ( х − у 2 )2 у , L: ⎨ т. В(0;5) ⎩ у = 5 sin t L 482. у а ) ∫ dl от т. А (1;1) до т. В ( 2;4 ) по па р аболе у = х 2 L х

б ) ∫ ( х 2 у − 3х )2 х + ( у 2 х + 2 у )2 у вдоль ветви эллипса L

⎧ х = 3 cos t ,0≤t ≤π ⎨ = y sin t 2 ⎩

б ) ∫ ( х − у ) dx + ( x + y ) dy вдоль ломаной ОАВ , L

где О ( 0;0), А ( 2;0), В ( 4;5) - 63 -

483. х2 1 1 а) ∫ 3dl от т. А(11 ; ) до т. В(2; ) по линии у = 2 х Lу ydx − xdy б) ∫ 2 2 вдоль контура Δ − ка АВС, где А(10 ; ), В(11 ; ), С(01 ; ), L x −y обходя против асовой стрелки. 484.

а ) ∫ xydl от т. А(0; а ) до т. В (а;0) вдоль линии у = а 2 − х 2 L

б ) ∫ ( х 2 − 2 ху )dx + ( y 2 − 2 xy )2 y от т. А( −11 ; ) до т. В (11 ;) L

вдоль линии у = х

2

- 64 486.

а) ∫

L

ydl

π

от т. А(0;1) до т. В( ;0) вдоль линии у = cos x 2 1 + sin 2 x

б) ∫ ( x 2 + y)dx − ( y 2 + x)2 y вдоль ломаной АВС, L где А(1;2), В(15 ; ), С(3;5). 487. ⎧x = a cos t а ) ∫ ydl от А (а ;0) до В( 0; а ), L: ⎨ L ⎩y = a sin t б) ∫ ydx + L

x dy от т . А ( 0;1) до т . В(−1; е) вдоль линии у = е− х y

488.

⎧ x = a (t − sin t ) а ) ∫ dl вдоль пе рвой а рки циклоиды ⎨ ⎩ y = a (1 − cos t ) L

y2 + 1 x б) ∫ dx + 2 dy вдоль отрезка АВ п р ямой, y y L где А(1;2), В (2;4) а ) ∫ ydl от т. А(0;0) до т. В (11 ; ) вдоль линии у = х L

489.

б ) ∫ ( ху − х 2 )dx + xdy от т. О(0;0) до т. В(1;2) L

вдоль линии у = 2 х 2 - 65 -

490. а ) ∫ xydl от т . А ( 0;1) до т . В(1;2) вдоль линии у = х + 1 L

у б) ∫ dx + xdy от т . А (1;0) до т . В( е;1) вдоль линии у = ln x х

491-500. Дан вектор а , плоскости (р); х=0, у=0, t=0. Найти: 1) поток вектора через замкнутую поверхность Т, образованную данными плоскостями, выбрав внешнюю нормаль: а) непосредственно; б) по теореме Остроградского; 2) циркуляцию вектора вдоль контура γ, образованного от плоскости р отсечением координатных плоскостей, обходя его против часовой стрелки: а) непосредственно; б) по теореме Стокса.

x y z + =1 491. а = (2 x − y + 3z )i ; ( p): + 2 −1 3 x y z + + =1 492. а = ( −2 x + y + 2 z) j; ( p): −2 1 2 x y z + =1 493. а = ( 3x − 2 y + z) k; ( p): + 3 −2 1 x y z + + =1 494. а = ( − x − y + 2) i; ( p): −1 −1 2 x y z + =1 495. а = ( 3x − 2 y − z) j; ( p): + 3 − 2 −1 x y z + + =1 496. а = ( − x + 2y + 3z) k; ( p): −1 2 3 x y z =1 497. а = ( 4 x + y − 2 z) i; ( p): + + 4 1 −2 - 66 x y z + =1 498. а = ( 2x − 3y + 4z) j; ( p): + 2 −3 4 x y z + + =1 499. а = ( −3x − 2 y + z) k; ( p): −3 −2 1 x y z + + =1 500. а = ( −2 x + y − 3z) i; ( p): −2 1 −3 501-510. Установить сходимость или расходимость числового ряда, выбрав для исследования подходящий признак сходимости 501. n ∞ ∞ 2n ⎛ n−3⎞ а) ∑ n б )∑ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n =1 3 + 2 n =1 5n + 1

502.

∞

∞

∞

1 а) ∑ n = 1 5n − 1 503. ∞ 3n а) ∑ n = 1 10n − 1 504. ∞ 1 а) ∑ n+3 n =1

1 б) ∑ n = 2 n ln n ∞

б)

n

2

∑ (2n)! n =1 ∞

б)

⎛ 5⎞

∑ ⎜⎝ 6⎟⎠

n

*

n =1

1 n3

505.

⎛ n +1 ⎞ а) ∑⎜ ⎟ n=1⎝ 2n + 3⎠ ∞

n

∞

1 б) ∑ n=2 n ln n - 67 -

506. ∞

1 а) ∑ 3 n =1 n + 3 507. ∞

3

n а) ∑ n n =1 e 508. ∞

а)

∞

n! б) ∑ n = 1 ( 3n)! ⎛ n+2⎞ б) ∑ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n = 1 3n + 1 ∞

∞

n 4 +1

б)

n ∑ n = 1 4n + 1

б)

∑n n =1

∑ n=2

n 3

1 2n − 3

509. ∞

а)

6n (n + 3) ∑ 5n n =1 ∞

∞

9n 510. а ) ∑ n = 1 n!

511-520. Исследовать сходимость ряда 511. ∞ 3n + 1 а) ∑ n n =1 (n + 2)6 512. ∞ n2 + 1 а) ∑ n n = 1 e n! 513. ∞ n а) ∑ n n = 1 ( 3n + 1)8 - 68 514. 2n ∞ ⎛ 3n − 2 ⎞ а) ∑ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n = 1 4n + 5

∑3

б)

n

n =1

∞

1 4n + 1

∑

б)

n =1

∞

б)

∑n n =1

2

n +1

∞

б)

1 +1

1

∑ n ln n2

∞

3

n

6n

∑ 4n + 5

б)

n =1

515. ∞

3n а) ∑ n n = 1 (5n + 3) 516. ∞ 7n а) ∑ n = 1 ( 2n − 1)! 517. ∞ 6n а) ∑ n = 1 n!( 3n − 1)

∞

б)

5

∑ cos n n =1 ∞

б)

∑n n =1

∞

б)

2

1 +4

2n + 3

∑ 7n + 1 n =1

518. ∞

а)

⎛ n + 1⎞ б) ∑⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ n =1 ∞

2n!

∑

2n + 3

n =1

n

2

525. u n =

519. n 2 * 2n + 1 а) ∑ n =1 9n − 5 520. ∞

∞

а)

∑2

n −1

∞

б)

⎛ 4n + 2 ⎞

∑ ⎜⎝ 7n + 3⎟⎠

n 2

n =1

∞

* e− n

б)

n =1

∑e

n +1 524. un = n(n + 2)

xn 529. un = n 8 (n + 1)

n2 530. un = ( x − 1) n n+2

( x + 4) n 6n

531-540. Найти интервал сходимости степенного ряда: ∞

− 4n

n =1

n+3 n 531. ∑ x n =1 n( n + 1)

∑

536.

- 69 521-530. Найти интервал сходимости степенного

n

∑u n=0

n

521. un =

( x)

( x − 2) n

3 n ( n + 2) 4n x n 522. un = n+3

523. un =

n ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ n + 1⎝ 2⎠

526. un =

( n + 2) 2 x n

3n 7n x n 527. un = n+3

n

528. un =

3n n(n + 1)

( x + 1) n

n =1

2n

nn xn ∑ n =1 n ! ∞

537. ∞

( x − 4) n

n=0

6n

∑

538. - 70 -

∞

ряда

∞

∑

+ 1)9 n

n =1 ( n

n + 2⎞ n 532. ∑ ⎛⎜ ⎟ x n =1⎝ n + 4 ⎠ ∞

533.

xn

∞

∞

n

n

534.

5 x n =1 n !

535.

3n xn ∑ n =1 n + 1

∑ ∞

539.

∞

n xn n =1 ( n + 1)( n + 4 )

∑

540)

xn ∑ n =1 n! ∞

541-550. Вычислить определенный интеграл с точностью до ε = 10-3 , разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем почленно проинтегрировав.

sin x 541. ∫ dx x 0

542.

0

544.

∫

x2

0,5

dx

∫

dx

0 ,2

e− x

0,1

x2

∫

548.

dx

1

549. ∫ x cos xdx

1 + x3 2 x dx 545. ∫ сos 3 0 0

0

2/3

2 ∫ arctgx dx

550.

0

551-560. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

- 71 0 ,1

551.

1− е ∫0 х

1,5

552.

∫

0 ,5

−2 х

dx

557.

3

∫e 0

)dx

0 ,5

558. 0,2

dx

∫ cos

xdx

0

0,2

554.

2

1

dx

−3x2

∫ sin(4 x 0

dx 27 + x 3 x 1 ln(1 + ) 5 553. ∫ dx x 0 0

556.

559.

arctgx dx x 0

∫

sin x dx x 0

∫

555.

∫ cos x 0

2 ∫ x ln(1 + x )dx

− x2

0

arctgxdx

0,5

547.

0

543.

2

0

∫ 1 + хdx 1− e

∫x

546.

1/ 4 3

0,5

1

1/ 3

1

2

2

dx

560.

∫ 0

dx 4

256 + x 4

561-570. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения y, удовлетворяющего заданному начальному условию y(0). 561. y' = ye-x + ysinx; y(0) = 0 -4x 2 2 562. y' = e + 2x y ; y(0) = 1 563. y' = 2x2 + xy + y3; y(0) = -1 -y 2 564. y' = 3e + xy y(0) = 0 565. y' = xy2 - cos2x; y(0) = 1 566. y' = e-2x - y3; y(0) = 0 567. y' = 3ey + x2y2; y(0) = 0 3 568. y' = sinx + y y(0) = 1 569. y' = x3 - y3x; y(0) = 1/2 570. y' = cos3x - xsiny; y(0) = 0 - 72 571-580. Найти первые три отличные от нуля члены разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию. 571. y' = 2xy +ey y(0) = 1 572. y' = x + 3cosy y(0) = 0 3 573. y' = 3cosx + y y(0) = 1 574. y' = -sinx + 4y2 y(0) = 1 575. y' = 2ex - y3 y(0) = 0 576. y' = e-y +yx y(0) = 1 y 577. y' = 2y + xe y(0) = 0 578. y' = x2 + y3 y(1) = 1 2 2 579. y' = 2x - y y(1) = 2

580. y' = e2x +x2y

y(0) = 1

581-590. Решить задачу Коши для волнового уравнения. 581. utt = uxx + 6; u/t=0 = x2; ut/t=0 = 4x 2 582. utt = 4uxx + xt; u/t=0 = x ; ut/t=0 = x 583. utt = uxx + sinx; u/t=0 = sinx; ut/t=0 = 0 584. utt = uxx + ex; u/t=0 = sinx; ut/t=0 = x + cosx 585. utt = 9uxx + sinx; u/t=0 = 1; ut/t=0 = 1 586. utt = 16uxx + sin2x; u/t=0 = 0 ut/t=0 = 0 587. utt = 4uxx + sin3x; u/t=0 = 0; ut/t=0 = 0 588. utt = 4uxx + sint; u/t=0 = 0; ut/t=0 = 0 589. utt = uxx + sin2t; u/t=0 = 0; ut/t=0 = 0 590. utt = 9uxx + sin3t; u/t=0 = 0; ut/t=0 = 0

- 73 591-600. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) c периодом Т=2l, заданную на (-l;l).

⎧0 591. f ( x ) = ⎨ ⎩х 592. f ( x ) = x

п ри − 1 〈 х ≤ 0 п ри 0 〈 х 〈 1

на( − 2; 2)

п ри − 2〈 x ≤ 0 ⎧0 593. f ( x) = ⎨ ⎩− x п ри 0〈 x〈2 ⎧− х п р и − 1 〈 х 〈 0 594. f ( x) = ⎨ п ри 0 ≤ х 〈 1 ⎩0 ⎧x 595. f ( x ) = ⎨ ⎩0

при − 3 〈 х ≤ 0 при 0 〈 х 〈 3

⎧− 2 п р и 596. f ( x ) = ⎨ при ⎩х п ри ⎧1 597. f ( x ) = ⎨ ⎩− х п р и

−1〈 х ≤ 0 0〈 х〈1 −2〈 х≤ 0 0 〈х 〈2

⎧− x п р и − 4 ≤ x 〈 0 598. f ( x ) = ⎨ ⎩− 2 п р и 0 ≤ x 〈 4 ⎧x п р и − 3 〈 х ≤ 0 599. f ( x ) = ⎨ ⎩1 п р и 0 〈 х 〈 3 ⎧x + 1 п р и − 1 〈 х ≤ 0 600. f ( x ) = ⎨ ⎩х − 1 п р и 0 〈 х 〈1 - 74 601-610. Представить функцию f(x), заданную на полупериоде [0,l], рядом Фурье по синусам или косинусам.

⎧2 x; 601. f ( x ) = ⎨ ⎩6; ⎧− x; 602. f ( x ) = ⎨ ⎩− 2; ⎧1; 603. f ( x ) = ⎨ ⎩2; ⎧− 2; 604. f ( x ) = ⎨ ⎩2 х − 4; ⎧ x; 605. f ( x ) = ⎨ ⎩2; ⎧− 2 x; 606. f ( x ) = ⎨ ⎩− 6; ⎧3; 607. f ( x ) = ⎨ ⎩− х + 6;

0 ≤ х ≤ 3, 3〈 х ≤6 0 ≤ х ≤ 2, 2〈х≤4 0 ≤ х ≤ 1, 1〈 х ≤ 2 0 ≤ х ≤ 1, 1〈 х ≤ 2 0 ≤ х ≤ 2, 2〈х≤4 0 ≤ х ≤ 3, 3〈 х ≤6 0 ≤ х ≤ 3, 3〈 х ≤6

- 75 -

по синусам.

по синусам

⎧− 4; 608. f ( x ) = ⎨ ⎩2 х − 8; ⎧3x; 609. f ( x ) = ⎨ ⎩3;

по косинусам

⎧− x; 610. f ( x ) = ⎨ ⎩− 3;

по косинусам

по синусам по косинусам по синусам

0 ≤ х ≤ 2, 2〈х≤4 0 ≤ х ≤ 1, 1〈 х ≤ 2 0 ≤ х ≤ 3, 3〈 х ≤ 6

по косинусам по синусам по косинусам

611-620. Решить следующие задачи. 611. Найти вероятность того, что 6 лампочек, взятых без возвращения наудачу из 10, окажутся нестандартными при условии, что число стандартных лампочек на 10 штук равновозможно от 0 до 3. 612. Имеется 2 ящика изделий, причем в одном ящике все изделия доброкачественны, а во втором - только половина. Изделие взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому и второму ящику, если количество изделий в ящиках одинаково? 613. Их контейнера, содержащего одинаковое число деталей четырех предприятий, взяли на проверку одну деталь. Какова вероятность обнаружения бракованной продукции, если продукция двух предприятий содержит по 3/4 бракованных деталей, а вся продукция остальных предприятий доброкачественна?

- 76 614. Агрегат имеет 4 двигателя и способен функционировать, если работают по крайней мере два из них. Вероятность выйти из строя первому двигателю - 0,01; второму - 0,02; третьему - 0,03 и четвертому - 0,04. Какова вероятность выйти из строя агрегату? 615. В двух ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в первом ящике - 16, а во втором - 10 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй 2 детали. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика будет стандартна? 616. Из двадцати отобранных деталей 5 изготовлено на станке №1, 10 изготовлено на станке №2, остальные - на станке №3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке №1 равна 0,96, на станке №2 - 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на третьем станке, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,97. 617. На сборку поступают детали с 4 автоматов. Второй дает 40 %, а третий - 30% продукции, поступающей на сборку. Первый автомат выпускает 0,125% брака, а второй, третий, четвертый - по 0,25%. Сколько % продукции идет на сборку с четвертого автомата, если вероятность поступления на сборку бракованных деталей равна 0,00225? 618. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6; 8 - с вероятностью 0,5 и 5 - с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал стрелок? - 77 -

619. Три партии деталей содержат соответственно по 1/2, 2/3 и 1/2 бракованных. Из каждой партии взято по одной детали, причем обнаружено 2 бракованных. Определить вероятность того, что доброкачественная деталь принадлежит третьей партии. 620. Из партии в 4 детали наудачу взята одна, оказавшаяся доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных деталей наиболее вероятно и какова его вероятность? 621-630. Решить следующие задачи. 621. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной детали равна 0,1. Какова вероятность того, что из 4 деталей бракованных окажется на более 2? 622. Какова частота появления герба при 5 подбрасываниях монеты, если вероятность ее равна 0,3125? 623. При установившемся технологическом процессе автомат производит 0,75 числа деталей первого сорта и 0,25 - второго. Установить, что является более вероятным получить 3 первосортных детали среди 5 наудачу отобранных или 4 первосортных среди 6 наудачу отобранных? 624. Сколько раз надо подбрасывать монету, чтобы вероятность появления герба три раза равнялась 0,25? 625. Вероятность выигрыша по билету равна 0,2. Сколько нужно приобрести билетов, чтобы наивероятнейшее число выигрышей билетов равнялось 15? 626. Среди изделий произведенных на станке-автомате, в среднем, бывает 90% изделий первого сорта. Какова

- 78 -

вероятность того, что среди 5 наудачу выбранных изделий будет не менее 4 первого сорта? 627. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди 8 случайно отобранных волокон смеси обнаружить менее 4 окрашенных? 628. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8? 629. Среди изделий, изготовляемых вручную, бывает в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 изделий будет 40% бракованных? 630. Каждый из 4 станков в течение 6 часов работы останавливается несколько раз и всего в сумме стоит 1 час, причем остановка станка в любой момент равновероятна Найти возможность того, что в данный момент времени будут работать два станка. 631-640. Случайная величина Х задана интегральной функцией F(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f(х) (плотность вероятности), б) найти математическое ожидание и дисперсию Х, в) построить графики интегральной и дифференциальной функций.

п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 ⎪х 631. F(х) = ⎨ п ри 0〈 х ≤ 10 , 100 ⎪ п ри х〉10. ⎪⎩1 - 79 -

п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 ⎪х 632. F(х) = ⎨ п ри 0〈 х ≤ 9 , 81 ⎪ п р и х 〉 9. ⎪⎩1 п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 ⎪х 633. F(х) = ⎨ п ри 0〈 х ≤ 8 , 64 ⎪ п ри х〉8. ⎪⎩1 п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 ⎪х 634. F(х) = ⎨ п ри 0〈 х ≤ 7 , 49 ⎪ п ри х〉 7. ⎪⎩1 п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 ⎪х 635. F(х) = ⎨ п ри 0〈 х ≤ 6 , 36 ⎪ п ри х〉6. ⎪⎩1 п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 ⎪х 636. F(х) = ⎨ п ри 0〈 х ≤ 5, 25 ⎪ п ри х〉5. ⎪⎩1 - 80 -

п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 ⎪х 637. F(х) = ⎨ п ри 0〈 х ≤ 4 , 16 ⎪ п ри х〉4. ⎪⎩1 п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 ⎪х 638. F(х) = ⎨ п ри 0〈 х ≤ 3 , 9 ⎪ п ри х〉 3. ⎪⎩1 п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 п ри 0〈 х ≤ 1 , 639. F(х) = ⎨х ⎪1 п ри х〉1. ⎩ п ри х ≤ 0, ⎧0 ⎪ 2 ⎪х 640. F(х) = ⎨ п ри 0〈 х ≤ 2 , 4 ⎪ п ри х〉2. ⎪⎩1 641-650. Найти вероятность попадания в заданный интервал (α,β) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание α и среднее квадратическое отклонение σ. 641. α = 2, β = 13, а = 10, σ = 4. 642. α = 5, β = 14, а = 9, σ = 5. - 81 -

643. α = 4, 644. α = 3, 645. α = 2, 646. α = 1, 647. α = 2, 648. α = 3, 649. α = 4, 650. α = 6,

β = 9, β = 10, β = 11, β = 12, β = 11, β = 10, β = 9, β = 10,

а = 8, а = 7, а = 6, а = 5, а = 4, а = 3, а = 2, а = 2,

σ = 1. σ = 2. σ = 3. σ = 1. σ = 5. σ = 2. σ = 5. σ = 4.

651-660. Найти методом произведений: а) выборочную среднюю, б) выборочную дисперсию, в) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки (в первой строке указаны выборочные варианты хi, в во второй - соответственные частоты ni количественного признака Х). 651. xi 105 110 115 120 125 130 135 ni 4 6 10 40 20 12 8. 652. xi 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 ni 5 15 40 25 8 4 3. 653. xi 10,2 10,9 11,6 12,3 13,0 13,7 14,4 ni 8 10 60 12 5 3 2. 654. xi 45 50 55 60 65 70 75 ni 4 6 10 40 20 12 8. 655. xi 110 115 120 125 130 135 140 ni 5 10 30 25 15 10 5. 656. xi 12,4 16,4 20,4 24,4 28,4 32,4 36,4 ni 5 15 40 25 8 4 3.

- 82 -

657. xi ni 658. xi ni 659. xi ni 660. xi ni

26 5 10,6 8 100 4 130 5

32 15 15,6 10 110 6 140 10

38 40 20,6 60 120 10 150 30

44 25 25,6 12 130 40 160 25

50 8 30,6 5 140 20 170 15

56 4 35,6 3 150 12 180 10

62 3. 40,6 2. 160 8. 190 5.

661-670. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную −

среднюю х , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ. −

661. х = 75,17,

σ = 6,

n = 36.

662. х = 75,16,

σ = 7,

n = 49.

663. х = 75,15,

σ = 8,

n = 64.

664. х = 75,14,

σ = 9,

n = 81.

− − − −

665. х = 75,13,

σ = 10,

n = 100.

666. х = 75,12,

σ = 11,

n = 121.

667. х = 75,11,

σ = 12,

n = 144.

668. х = 75,10,

σ = 13,

n = 169.

− − −

- 83 -

−

669. х = 75,09,

σ = 14,

n = 196.

670. х = 75,08,

σ = 15,

n = 225.

−

671-680.

−

−

у х − у = rв

Найти выборочное уравнение прямой

− σу ( х − х ) регрессии Y на Х по данной σх

корреляционной таблице.

671. х

5

10

15

2 2

4 3 7

5 5 2 12

10

15

2 2

4 3 7

20

25

30

ny

35 8 4 47

5 17 7 29

3 3

20

25

30

35

ny

7 5 7 19

30 10 5 45

10 8 6 24

3 3

6 10 45 25 14 n = 100

y 45 55 65 75 85 nx 672. х

6 8 45 27 14 n = 100

y 40 50 60 70 80 nx

- 84 -

673. х y 15 25 35 45 55 nx 674. х y 110 120 130 140 150 nx 675. х y 10 20 30 40 50 nx

676. 15

20

25

30

35

40

ny

х

12

17

22

2 2

4 6 10

3 6 2 11

х

15

20

25

25 35 45 55 65 nx 678. x y 30 40 50 60 70 nx

3 3

4 6 10

3 6 12 21

27

32

37

ny

4 6 7 17

3 3

6 9 45 16 24 n = 100

35

40

ny

2 6 7 15

4 4

7 9 43 26 15 n = 100

y 4 4

1 6 7

4 2 1 7

50 9 4 63

2 7 3 12

7 7

2

7

12

17

22

27

5 10 54 17 14 n = 100

25 35 45 55 65 nx 677.

ny

35 8 14 57 30

y 1 1

5 5 10

3 3 2 8

40 10 3 53

5 3 3

12 5 4 21

20 10 5 4 9

15 4 7 2 13

35 10 5 50

- 85 -

7 7 30

25 8 8 6 22

3 3

6 8 55 17 14 n = 100 ny 8 8 50 20 14 n = 100

4 3 3

35 8 4 47

9 3 5 8

19 14 4 40 5 49

2 10 4 16

- 86 -

29 24 8 6 7 21

3 3

ny 6 9 50 21 14 n = 100

679. х

5

10

15

2 2

6 5 11

3 7 4 14

10

15

5 5

1 6 7

20

25

30

40 9 4 53

2 6 7 15

5 5

20

25

30

35

2 5 2 9

40 8 4 52

5 7 7 19

8 8

ny

y 30 40 50 60 70 nx 680. х y 20 30 40 50 60 nx

8 8 49 19 16 n = 100 ny 6 8 50 17 19 n = 100