Методика решения математических задач: Учебно-методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

В.В. Башуров, И.А. Комлева

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Рекомендовано УМО “Ядерные физика и технологии” в качестве учебно-методического пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

УДК 517 ББК 22.16 Б 33

Башуров В.В., Комлева И.А. Методика решения математических задач: Учебно-методическое пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 140 с. В пособии дается методология поиска алгоритма решения задач по таким разделам математики, как последовательности; функции; частные производные, производные от неэлементарных функций; исследование функций и нахождение экстремумов; определенные, двойные и тройные интегралы, интегралы, зависящие от параметра; кратные и криволинейные интегралы; поверхностные интегралы и элементы векторного анализа; дифференциальные операторы; обыкновенные дифференциальные уравнения. Данное пособие предназначено для студентов специальностей: 230101.65 – Вычислительные машины, комплексы, системы и сети, 200101.65 – Приборостроение, 151001.65 – Технология машиностроения Пособие подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. Рецензент О.В. Нагорнов

ISBN 978-5-7262-1306-4

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................................................................................4 Глава 1. Числовые последовательности..............................................7 Глава 2. Функции одной или многих действительных переменных .........................................................................20 Глава 3. Производные функций одной и нескольких переменных .........................................................................30 Глава 4. Интегралы от функции одной переменной. ........................51 Глава 5. Кратные интегралы .............................................................67 Глава 6. Несобственные интегралы ..................................................75 Глава 7. Криволинейные интегралы .................................................80 Глава 8. Элементы векторного анализа ............................................88 Глава 9. Ряды ..................................................................................107 Глава 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения ..............118

_______

3

ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга состоит из 10 глав. Каждая глава включает краткую теоретическую часть, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения по разделам курса математики, полностью соответствующим Государственному стандарту по специальностям 230101.65 – Вычислительные машины, комплексы, системы и сети, 200101.65 – Приборостроение, 151001.65 – Технология машиностроения. Теоретическая часть – это краткий справочник, содержащий все нужные для решения задач формулы и теоремы. В примерах решения задач приведен достаточно подробный анализ с использованием методологии поиска алгоритма этого решения. Большинство из задач как приведенных в примерах, так и для самостоятельного решения на протяжении многих лет используются нами в качестве экзаменационных. Построение пособия в чем-то напоминает сборник «Задачи и упражнения по теории вероятностей»1, но в нашем пособии раскрывается методология поиска алгоритма решения предложенных задач. Это отличает настоящее пособие от многочисленных сборников задач, пособий по тому или иному разделу математики (сразу прошу прощения у тех авторов, труды которых мне не попадались, но еще Козьма Прутков говорил, что нельзя объять необъятное). Если бы мы были уверены, что нас не упрекнут за излишнюю смелость в использовании терминов, и что мы не внесем путаницу в библиотечные классификаторы, мы бы могли назвать настоящую книгу, например, так: «Психология нахождения решения задач в курсе высшей математики для инженерных факультетов». Рассуждения по этому поводу мы нашли в книге Ж. Адамара, имеющей в русском переводе название «Исследование психологии процесса изобретения в области математики», вышедшей в московском издательстве МЦНМО в 2001 году (оригинал появился в Париже в 1959 году). Если вы слово «изобретения» замените 1

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов. – 3-е изд., исправленное. М.: Изд. центр «Академия», 2000. 4

словами «решения» или «поиск решения», то многое из этой книги можно отнести к построению и содержанию настоящей книги. Но и это название не передает полностью содержания книги. Как это ни странно, но ближе всего структуру настоящей книги, ее язык и комментарии к приводимым формулам, примеры подробно решенных задач передает игра «Лего». Там из простейших элементов требуется составить заданную фигуру (т.е. решить задачу). В этой игре присутствуют все элементы рассуждений, которые наличествуют при поиске решения математических задач, – анализ задачи (рисунка), анализ имеющихся средств решения этой задачи (набор элементов в игре), составление схемы решения (мы его называем «третий этап решения задачи», а в игре этому этапу соответствует мысленное составление отдельных фрагментов заданного рисунка). Однако подобрать название книги по этой аналогии было бы очень трудно и непривычно (все-таки мы пишем книгу по математике, да еще для студентов). Назвать книгу учебником мы не имеем право – в этой книге нет доказательств ни одной теоремы или формулы. Более того, если бы структура книги, ее язык и методология решения задач была похожа на множество учебников, в которых излагается, по сути, одно и то же, то мы бы не принялись за написание настоящей книги – вряд ли мы добавили что-нибудь новое в бесконечный океан математики. Решение любой задачи, с точки зрения психологии, можно разбить на пять этапов. Этап 1. Классификация задачи. Выполнение этого пункта помогает уточнить, сузить круг возможных для решения задачи формул и теоретических результатов. Этап 2. Справочное бюро. В каждой главе этому названию соответствует первый параграф с названием «Определения, основные теоремы и формулы». В нем помещены те формулы, которые могут понадобиться для решения задач, а также, возможно пригодные, теоретические результаты. Пользуясь этим «справочным бюро», можно как бы отсечь все «лишние» формулы и теоремы, резко сужая круг полезных для решения данной задачи формул и приемов. Этап 3. Построение схемы решения. С помощью «справочного бюро» мысленно строится алгоритм решения, при этом разрешаются все возникающие вопросы. В результате алгоритм будет построен от начала до конца, разбитый на отдельные блоки, реализация каждого из которых представляет чисто техническую задачу. На этом этапе требуется минимальное участие карандаша, ручки или мела. 5

Этап 4. Реализация построенного на предыдущем этапе алгоритма решения. На этом этапе происходит оформление решения на бумаге, т.е. вы детально оформляете все, что до этого было построено у вас в голове, с «расписыванием» каждого блока. Этап 5. Проверка. На этом этапе реализуется ваше умение анализировать полученное решение, обнаруживать его несоответствие тому классу объектов, которому изначально должно принадлежать решение. Это изначальное представление о принадлежности решения тому или иному классу, множеству или еще чему-то формируется на втором этапе. Не реализовав второй этап, вы просто-напросто не имеете возможности анализировать полученное решение. Понятно, что проверка принадлежности полученного решения нужному классу не является исчерпывающей – мы привели этот способ как пример. Использование указанной схемы поиска алгоритма решения задач, предлагаемых на экзаменах, позволяет почти гарантировать их успешное решение. Не абсолютизируйте предложенную методологию! Но все решения, которые мы приводим в качестве образца решения задач, построены по указанной выше схеме. При этом мы предполагаем, что читатель владеет логикой рассуждений, знаниями математики в объеме средней школы и прослушал курсы (или еще слушает) высшей математики в объеме программы, определяемой Государственным стандартом. Подбор рекомендуемой литературы, приводимый в конце каждой главы, основан на той литературе, которая есть в библиотеке институтов, в которых работают авторы этой книги. Понятно, что этот подбор далек от идеала как по годам издания, так и по «номенклатуре». Каждое учебное заведение вправе (более того, обязано) пересмотреть этот список с учетом традиций и каталога своей библиотеки. Авторы выражают искреннюю благодарность преподавателю филиала МИФИ Сергею Викторовичу Жаринову без которого эта книга не появилась на свет за такие, на наш взгляд, короткие сроки, и за неоценимую помощь в создании электронного варианта книги.

6

Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1.1. Определения, основные теоремы и формулы Определение 1.1. Числовой последовательностью называется однозначное соответствие множества натуральных чисел какому-то множеству действительных чисел N. По сути дела, последовательность – это функция, заданная на множестве N. Обозначение последовательности: {an}, n  N, или а1, а2, ..., ап, ... В этом случае an называется «общим членом» и, как правило, задается некоторой формулой. В дальнейшем для краткости будем опускать слово «числовые» и просто использовать термин «последовательности». Выбрасывая из последовательности {ak} конечное или бесконечное «число» членов (но так, чтобы осталось бесконечное же число членов), получим новую последовательность, которую называют подпоследовательностью последовательности {ak} и часто обозначают {an } . k

Определение 1.2. Последовательность {an }, n  N , называется ограниченной сверху (снизу), если выполняется неравенство an < A ( an > B ) для всех членов последовательности {an }, n  N . Определение 1.3. Последовательность {an }, n  N , называется ограниченной, если она одновременно ограничена сверху и снизу. Определение 1.4. Последовательность называется монотонной, если для всех п выполнено неравенство an 1  an (либо an 1  an ). Определение 1.5. Последовательность {an }, n  N , называется сходящейся, если существует такое число a , что для любого  > 0 найдется такой номер N , что для всех n > N выполнено неравенство | an  a |<  . Если такого числа не существует, то последовательность называется расходящейся. Число a называется пределом последовательности {an }, n  N , и обозначается как 7

lim an = a . При этом символ n   в обозначении предела можно

n 

опускать, поскольку ни к чему другому, кроме бесконечности, n стремиться не может. Так же будем опускать символ n  N . Примеры последовательностей, пределы которых «очевидны» и которые мы будем называть «эталонными»: 1) 1,1,1,... – предел равен 1; 1 1 1 2) 1, , ,..., ,... – предел равен нулю; 2 3 n  1  n  3) 1    – этот предел носит название «замечательный  n   предел» и равен е; 4) 1,2,...,n,... – предел не существует, но часто пишут lim an =  . Символ  указывает на неограниченный рост членов

n

последовательности по мере увеличения номера n . Набор эталонных пределов в процессе обучения, решения задач может (и должен) пополняться. Вся премудрость отыскания пределов последовательностей сводится к тому, что данная вам для решения последовательность преобразуется так, что она приводится к «эталонным» последовательностям. Приведем сводку теорем, позволяющих производить такие преобразования. Теорема 1.1. Если две последовательности {an } и {bn } имеют соответственно пределами a и b , то: 1) lim (an  bn ) = a  b ; 2) lim (an  bn ) = a  b ; a a 3) если b  0 , то lim n = . bn b

Теорема 1.2. Если для трех последовательностей {an } , {bn } , {cn } для всех п выполняются неравенства an  bn  cn и последовательности {an } и {cn } сходятся к одному и тому же пределу, то и последовательность {bn } сходится к тому же пределу. 8

Эта теорема, по традиции ленинградской школы математиков, носит название «теоремы о двух милиционерах». Теорема 1.3. Если последовательность {an } сходится к пределу a , то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу. Теорема 1.4. Ограниченная монотонная последовательность имеет предел. Эта теорема важна в том случае, когда существование предела не очевидно, а его существование необходимо для применения теоремы 1.1. В том случае, если одновременно a = 0 и b = 0 , то предел в a выражении n определить при помощи теоремы 1.1 невозможно и bn если, начиная с некоторого номера N , все члены последовательности {bn } отличны от нуля, то про a  последовательность  n  говорят, что она задает неопределенность  bn  0 , а нахождение предела такой последовательности называется 0 0 «раскрытием неопределенности вида ». 0 0 Кроме неопределенности вида , существуют неопределенно0  сти вида:    , , 0   , 1 и др.  Для практики в случае непрерывности функции определенной для всех an и a полезна формула lim f (an ) = f ( a ) ,

где a – предел последовательности {an } . В ряде случаев последовательность может быть задана рекуррентным соотношением an1 = f ( an ) , а а1 – некое, начально задаваемое, число. 9

Для нахождения предела заданной последовательности, таким образом, полезна не упоминаемая ни в одном учебнике теорема, доказанная в 1966 году одним из авторов [1]. Суть ее заключается в том, что если задана рекурсия an1 = f ( an ) , функция f (x ) непрерывна на промежутке [, ] и переводит сегмент [, ] сам в себя, то для сходимости рекурсии, начинающейся с любой точки промежутка [, ] необходимо и достаточно, чтобы множества корней уравнений x = f ( x) и x = f ( f ( x)) совпадали. В этом случае рекурсия сходится к какому-то корню уравнения x = f ( x) . Немного поговорим о важности этой теоремы. Рассмотрим 1 рекуррентное соотношение xn1 =   xn , на промежутке [0, ] .  1 Будем брать начальное значение x1 из промежутка [0, ) и  2 2 2 рассмотрим уравнения x = x и x = (x ) . Очевидно, что множества корней этих уравнений совпадают (корня два: x = 0 и 1 x = ). Следовательно, рекуррентное соотношение определяет по следовательность {xn}, сходящуюся к корню (единственному на 1 [0, ) ) уравнения x = x 2 при лю 1 бом начальном значении x1  [0, ) .  Рис. 1.1 иллюстрирует сходимость этой последовательности. Важно отметить, что достаточное условие сходимости рекурсии xn1 = f ( xn ) , а именно | f ( x) |< 1 , только и приводимое во всех Рис. 1.1 известных нам учебниках, не выполняется! Действительно, f ( x) = x 2 , f ( x) = 2x и при x , близких к правому концу промежутка [0, 10

1 ) , | f ( x) |> 1 . 

Часто оказывается полезной формула Стирлинга, позволяющая заменять факториал при больших n другим аналитическим выражением n!  2n e  n nn . 1.2. Примеры решения задач Пример 1.1. Найти предел последовательности 3 1 3n 2  n 2  n 2 . lim 7 2 n  18n 2  5n В поисках ответа будем тщательно придерживаться предложенной нами в предисловии схемы решения. На этапе 1 классифицируем задачу как относящуюся к области математики «исследование последовательностей». Из этого следует, что выполнение этапа 2 заключается в том, что мы должны вспомнить ряд теорем и формул из п. 1.1 (нашего «справочного бюро») и основной принцип нахождения пределов – сведение заданной последовательности к эталонной. На этапе 3 мысленно строим схему решения. В данном примере естественно пытаться применить формулу, устанавливающую, что предел дроби есть частное от пределов числителя и знаменателя. Однако эта формула не применима, поскольку нет ни того, ни другого предела (имеем дело с  неопределенностью вида ) . Попытаемся вынести из знаменателя  и числителя множитель п и на вынесенный множитель сократить и числитель и знаменатель: 1 3n  n  3 3n 2  n 2  n n. = lim lim 7 5 2 n  18n 2  5n n  18n 2  5n К сожалению, прием не привел к успеху – все осталось по прежнему (неопределенность вида ). Попытаемся вынести  7

множитель n 2 , и сократить на него вновь и числитель и знаменатель: 11

3 1 1 3  2 3 3 2 3n 2  n 2  n n n n = lim . lim 7 2 5 n  18n 2  5n n  18  3 n2 Теперь каждое слагаемое и в знаменателе и числителе есть, по сути, эталонные последовательности и, стало быть, и сумма также имеет предел, равный сумме пределов эталонных последовательностей. Формула, содержащаяся в теореме 1.1, имеет «право на жизнь», и мы переходим к этапу 4 – этапу реализации наших рассуждений на бумаге: 1 1  3 3 1 1 3  2  3 lim  3 2  2  3  2 3 2 2 3n  n  n n n  n n = n  n = lim n = lim 7 2 5 n  18n 2  5n n  5   18  3 lim  18  3 2  n2 n   n  3 1 1 lim 3 2  lim 2  lim 3 n  n n  n = n  n = 0. 5 lim18  lim 3 2 n  n  n Этап 5 в данном примере заключается, на наш взгляд, только в проверке арифметических действий. И последнее. Не абсолютизируйте предлагаемый нами подход к поиску способа решения и нахождения ответа на предлагаемую задачу. Если вы на своем пути не допустили ошибок ( например, использовали какие-то формулы, не обосновав законность их применения) – то никто не имеет право упрекнуть Вас в неправильности предлагаемого Вами решения! И еще удобно в самом начале перейти к единому обозначению степени. Замечание. Нетрудно заметить, что в примерах с  неопределенностью вида , когда числитель и знаменатель  представлены как многочлен целой или дробной степени: 1) предел a =  , если в числителе старшая степень при n больше, чем в знаменателе; 2) предел a = 0 , если в числителе старшая степень при n меньше, чем в знаменателе; 3) предел a равен отношению коэффициентов при старших степенях, если в числителе и знаменателе старшие степени при n одинаковы. 12

Пример 1.2. Найти предел последовательности 5 1  3n 2  n 2  n  n  sin 3cos  2 12 3  . lim   n  n n  n 1   Сразу видно, что перед нами произведение двух 5 1  3n 2  n 2  последовательностей, предел одной из них  2 1  мы уже 3  n n 2  n  1  умеем находить. Вторая последовательность {sin n  3 cos n} из-за знакомого нам поведения синуса и косинуса предела не имеет, но заключена в промежутке [–4, 4]. Это, в первую очередь, означает, что мы не можем воспользоваться для нахождения предела формулой из теоремы 1.1, но можем попытаться использовать «принцип двух милиционеров» (кстати, в нашем «справочном бюро» больше ничего подходящего отыскать не удается). Переходим к этапу 4, т.е. берем бумагу и перо и получаем: 5 1 5 1 5 1 3n 2  n 2 3n 2  n 2 3n 2  n 2 4  2 1  n  n    sin 3cos 4 .   1 1 n n 2  n3  1 n 2 n 2  n3  1 n 2 n 2  n3  1 Так как 3 1 5 1 1  2 3n 2  n 2 n2 = 0 = 4  lim n lim  4  2 1 2 3 1 n  n  1 n n  n 1 1  3 1 2 n n и 5 1 3n 2  n 2 =0, lim 4  2 12 n  n n  n3  1 следовательно, 5 1  3n 2  n 2   =0. lim sin n  3 cos n   2 1 2 n   n n  n3  1   Этап 5 – проверка – состоит в том, чтобы на всякий случай убеждиться в правильности использованных формул. Замечание 1. А вот пример на нахождение предела n n 1   последовательности данным lim   sin n  3cos n    1   n   n 1  13

способом решен быть не может. Обе последовательности, составляющие заданную последовательность, пределов не имеют, и поэтому «принцип двух милиционеров» в нашем случае неприменим. Замечание 2. У тех, кто в свой «справочник» включил другие теоремы из раздела «Числовые последовательности» (например, из учебника [2]), могут решить данные задачи и по-иному – например, задачу 1.1 можно решить, сославшись на теорему о пределе последовательности, являющейся произведением двух других, одна из которых имеет пределом число 0, а вторая – является ограниченной. Пример 1.3. Найти предел последовательности 3n 2

 1  1  2   n  n 1  n  . lim 2n  3 n  3 n  Опускаем первых два этапа, сразу переходим к третьему. В





3n 2

 1   выражении 1   n2  мы имеем дело с

получается неопределенность вида 1 , т.е.

пределом, если ввести n  n 1 также имеет обозначение m = n 2 . Второй сомножитель 2n  3 n  3 предел, так как после вынесения за скобку из числителя и знаменателя n предел становится очевиден. Все условия для применения теоремы 1.1 налицо, и мы переходим к этапу 4: 3n 2

замечательным

 1  1  2   n  n 1 3n 2  n  n 1 1   n   = lim 1   lim = lim 3 2 3 2n  n  3 n n   n 2n  n  3 n  1 1 3 1  m   1 n n = 1 e3 .  lim  1     lim  1 3 2 n   n   m    2  3 2 n n





14

Этап 5 снова заключается в проверке правильности всех примененных процедур. Пример 1.4. Требуется найти предел последовательности 3  2n  1  3 n  1  . n

lim

Вновь теорема 1.1 неприменима, так как и у последовательностей {3 2n  1} и {3 n  1} нет предела (обычно говорят, что предел равен бесконечности, т.е. перед нами неопределенность вида    ). Попытаемся преобразовать исходное выражение, т.е. форму представления общего члена так, чтобы применение этой теоремы стало возможным. Вид общего члена подсказывает, что можно попытаться воспользоваться формулой «разность кубов». Для этого домножим числитель и знаменатель на 2 2  3 2n  1  3 2n  1  3 n  1  3 n  1  (мысленно!) и, проделав в     уме несложные арифметические действия, получим, что в числителе остается n  2 , а в знаменателе выражение  3 2n  1 2  3 2n  1  3 n  1  3 n  1 2  . Этот вид задач нам уже     неоднократно встречался, и этап 4 решения этого примера мы благополучно завершим на бумаге:

















 2n  1  n  1  =  2n  1  n  1   2n  1  2n  1   lim  2 n  1   2n  1  n  1   3

lim

3

n 

3

3

3

n

= lim

n 

2

3

3

3

n 1 

3

3

n 1



n2



 3  

2



3





2

15





2 n  1  

= 2 2n  1  3 2 n  1  3 n  1  3 n  1 1 2 n3 2 n3 = . 2 2    1 1 1 1 2    2   3 1    3 1   n n n  n

n  3

= lim

2

3

Этап 5 – проверка законности примененных формул. Следующий пример состоит не в нахождении предела, а в установлении факта его существованиия. Пример 1.5. Пусть последовательность задана формулой n 1 an =  . Требуется доказать, что данная последовательность k k =1 2  1 имеет (или не имеет) предел. Начинаем решение прямо с третьего этапа. Из всех теорем, приведенных в нашем справочнике, только две годятся для решения нашей задачи – «принцип двух милиционеров» и теорема 1.4. Выберем последнюю и попытаемся выяснить, выполнены ли все условия для ее применения. Так как каждое слагаемое в общем члене положительно, а каждый следующий член an 1 есть предыдущий ап с одним 1 , то монотонное возрастание очевидно. лишним слагаемым n1 2 1 Ограниченность следует из простого неравенства n

2 k =1

k

n 1 1 < k ,  1 k =1 2

и стоящая в правой части сумма есть хорошо известная сумма 1 убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = , 2 1/ 2 S= = 1. 11 / 2 Оба необходимых условия выполнены и, поэтому, данная нам для решения задача имеет предел. Этап 4 – по сути, это выстраивание в одну строчку всех наших рассуждений и «выбрасывание лишних слов». Идеально было бы избежать всех слов, а оставить только цепочку алгебраических выражений, но это тот идеал, который достичь никогда не удается. Этап 5 вновь заключается в проверке арифметических действий. 16

1.3. Задачи для самостоятельного решения Найти пределы последовательностей: 5

1.1. lim

11n5  n 2  n

1

4

. 9 8n 2  n 2  3 1 2n 2  n 2  e  n 1.2. lim  3n 5 1 . n e  2n 2  n 4 3 n  9n 2 1.3. lim . n   3n  4 9 n8  1 n 

4

1.4. lim

6n 2  n  5 n 4  1  5 n 5  6n 3  1 n  3 n  15

n 

n  sin n 2 . n n  n  1

1.5. lim

4

1.6. lim

n 

2  n 4  2n 2  3

n  sin n  

n2  1

.

 2n3  ln n  . 1.7. lim ln 3  n   4  3n  n  3

1.8. lim sin 5n  cos n   2

n 



n 1.9. lim sin n 2   1 n 



1

5n 2  n 3  7 1

n3  n 2  4 n3  2 . n  n

 n2 1  .  3 lim  n  n   n 1 n  1  n! n3  n  . 1.11. lim    n    n  1!  n! n  2    2n  1!   2n  2 !  sin n . 1.12. lim n   2 n  3  !   2 n  2 !

1.10.

17

.

.

1.13.

1  3  5  ...  2n  1

. 9n 4  1 2 3 2n  1   1 1.14. lim  3  3  3  ...  . n   n n n n3  lim

n 

1.15.

4 8 2n lim  3  3  3... 3  .  n  

1.16.

5n 1  3n 1 lim n n . n 5  3

 n 1  1.17. lim   n    2n  1 

3  1.18. lim 1  2  n  n 

1.19.

n2

.

n3  n 3

.

2 n  n3  n 5

6  lim 1  3  n  n 

n

5

2

 4 n 6  n 3  n . lim 1    2 n   n n 3 1 1.21. lim  n 2  3n  2  n  1  .  n  

1.20.





 





2 2 2 2 lim  n  1 n  2  n  1 n  2  .  n   3 2 3 1.23. lim  n  3n  2  n  1  .  n   Установить, имеют ли предел последовательности: n 1 1.24. an = . 2 k =1 k

1.22.

 n

1.25. an =

k k =1

2

1 .  6k  9

18

n

1.26. an =

1 . 5

 3k

2

k =1 n

1.27. an =

3 k =1

1.28. an =

k

1 . 2

2n . n!

8 11 8 11 3n  5  ,...,an =  ...  ,... 1 7 1 7 6n  5 2 3 2 3 n 1 ,... 1.30. a1 = 2, a2 =  ,...,an =  ...  1 3 1 3 2n  1

1.29. a1 = 8,a2 =

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Башуров В.В., Огибин В.Н. Условия сходимости итерационных процессов на действительной оси. // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 6. М.: Изд-во АН СССР, 1966. С. 913–916. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1. СПб.: Лань, 2006.

19

Глава 2. ФУНКЦИИ ОДНОГО ИЛИ МНОГИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 2.4. Определения, основные теоремы и формулы Если в качестве множества, на котором задается функция, принимающая действительные значения, выступает некоторое непрерывное подмножество множества действительных функций, то перед нами – действительная функция одного действительного переменного. В дальнейшем будем использовать термин «функция». Если в качестве множества, на котором задается функция, принимающая действительные значения, выступает непрерывное множество n-мерных векторов (x1,x2,…,xn), то такие функции будем называть «функцией многих переменных» (например, функцией двух переменных f (x,y), трех f (x,y,z) и т.д.). Далее будем рассматривать только функции одного переменного (переход к функциям нескольких переменных будет обозначен специально). Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Определение 2.1. Пределом функции в точке x0 называется число a, к которому сходится последовательность {f (xk)} значений этой функции на любой последовательности {xk}, xk  x0 , сходящейся к x0. Если этот предел совпадает со значением функции в этой точке, то такая функция называется непрерывной в точке x0. Существует другое определение предела функции. Определение 2.2. Число a называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого числа   0 существует число   0 такое, что для всех x  X , x  x0 , удовлетворяющих неравенству x  x0   , выполняется неравенство f ( x )  a   .

Замечание. Оба определения предела функции эквивалентны. Определение 2.3. Если для любой последовательности {xk}, сходящейся к x0 и удовлетворяющей условию xk < x0 (xk > x0) для всех k, соответствующая последовательность f {xk} сходится к одному и тому же пределу, то этот предел носит название «односто20

роннего предела» («предела слева», обозначаемого

lim f ( x) , и

x  x0  0

«предела справа», обозначаемого lim f ( x ) ). x  x0  0

Определение 2.4. Для непрерывной функции имеет место следующее равенство: lim f ( x)  lim f ( x )  lim f ( x )  f ( x0 ) . (2.1) x  x0

x x0  0

x  x0  0

Если функция непрерывна во всех точках некоторого множества (например, сегмента или интервала), то мы будем просто называть ее непрерывной на этом множестве. Если функция непрерывна на множестве своего определения, то такую функцию будем называть просто непрерывной. В том случае, когда в некоторой точке «правый предел» не равен «левому», но они оба существуют, то такая точка называется «точкой разрыва первого рода». В случае, когда хотя бы один предел в точке x0 не существует (например, «равен бесконечности»), то такая точка называется «точкой разрыва второго рода». Рис. 2.1 иллюстрирует эти определения. Точка x = 1 – точка разрыва первого рода, точка x = 2 – точка разрыва второго рода. y 2 1 1

2

x

Рис. 2.1

Некоторые функции традиционно носят название простейших элементарных функций. К ним относятся функции С, х, log a x, a x , sin x, cos x, arcsin x, arccos x . Функции, которые получаются из простейших при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции, называются элементарными. Элементарные 21

функции на области своего определения непрерывны и дифференцируемы. Понятие дифференцируемости подробно рассмотрим в следующей главе. P ( x) В качестве примера приведем функцию вида f ( x )  n , где Qm ( x) Pn(x) и Qm(x) – полиномы соответственно степени n и m, которая носит название дробно-рациональной. Замечание. Понятия «элементарная» или «неэлементарная» функции привязаны к промежутку, на котором она рассматривается. Так, функция y=|x| на промежутке [–1,1] является неэлементарной, а на промежутке [0,1] – элементарной. Функция считается заданной явно, если ее удается записать в виде y = f (x) или y = φ(x). Если этого сделать не удается, то функция называется неявной. Пример явных функций: y = x, y = sin x. Пример неявной функции: x2 + y2 = 1. Для непрерывных функций справедливы следующие теоремы. Теорема 2.1. Предел суммы, разности и произведения функций f (x) и φ(x), имеющих предел в точке x0, равен соответственно сумме, разности и произведению пределов функций f (x) и φ(x) в этой же точке. Записать эту теорему можно следующим образом: lim  f ( x)  ( x)   lim f ( x)  lim ( x ) ; x  x0

x  x0

x  x0

lim  f ( x) ( x)   lim f ( x ) lim ( x) .

x  x0

x  x0

x  x0

Теорема 2.2. Предел отношения двух функций f (x) и φ(x) в точке x0 равен отношению пределов этих функций в указанной точке, если они существуют, и предел функции φ(x), стоящей в знаменателе выражения, задающего функцию, не равен нулю. Запись этой теоремы выглядит так: lim f ( x ) f ( x ) x  x0 lim  . x  x0 ( x) lim ( x ) x  x0

Теорема 2.3. Предел суперпозиции двух элементарных функций f (x) и φ(x) в точке x0, f  ( x)  , в том случае, если значение φ(x0) принадлежит области определения функции f(x), равен f  ( x0 )  . 22

Указанные теоремы являются основными при решении задач на нахождение пределов. Функция f (x) называется бесконечно малой в точке x0, если lim f ( x )  0 . x  x0

Рассмотрим отношение двух бесконечно малых в одной и той ( x ) же точке x0 функций α(x) и β(x) и найдем предел отношения в ( x) точке x0. Воспользоваться для нахождения предела теоремой 2.2 не представляется возможным из-за равенства нулю предела функции, стоящей в знаменателе. В этом случае возможны следующие ситуации: 1. Предел существует и равен нулю. В этом случае говорят, что функция α(x) имеет более высокий порядок малости по отношению к функции β(x) и это обстоятельство обозначают α(x) = o(β(x)). Также говорят, что функция β(x) имеет меньший порядок малости по сравнению с α(x). 2. Предел существует и равен конечному числу a ≠ 1. В этом случае говорят, что функции имеют один порядок малости и это обозначают α(x) = O(β(x)). 3. В случае, когда предел существует и равен единице, бесконечно малые функции называют эквивалентными (напоминаем, что речь идет только о точке x0). В задачах, в которых требуется найти пределы функций, часто приходится «раскрывать» неопределенности какого-либо вида. Зачастую в таких задачах полезно одну бесконечно малую функцию заменять другой, эквивалентной первой, бесконечно малой функцией. Примеры эквивалентных функций при x0: sin ax и ax , tg ax и ax , arcsin ax и ax , arctg ax и ax , 1 cos ax и

ax 2 , ln 1  ax  2

и

ax , e ax  1 и ax . Часть приведенных примеров эквивалентных бесконечно малых в точке x=0 функций носит название «замечательный предел». 23

Перейдем к функциям двух и более переменных. Нам потребуются сейчас только понятия явной и неявной функций. Если какая-то переменная выражается через остальные переменные в виде xk = f (x1, x2, …, xk-1, xk+1, …, xn) то перед нами явная функция n–1 переменных. Если зависимость между переменными x1, x2, …, xn задана соотношением φ(x1, x2, …, xn) = 0, и это соотношение не удается записать в виде xk = f (x1, x2, …, xk-1, xk+1, …, xn), то перед нами, возможно, неявная функция. Область ее определения (и даже существования) зависит от точки, в которой рассматривается соотношение φ(x1, x2, …, xn) = 0. При этом, решая вопрос о существовании неявной функции, а в дальнейшем – и вопросы нахождения частных производных неявной функции, сначала следует обратить внимание на то, имеет ли смысл сама функция φ(x1, x2, …, xn) = 0 в этой точке. 2.2. Примеры решения задач Пример 2.1. Найти предел функции f ( x )  sin(ln x) при x  1 . Здесь «справочным бюро» является п. 2.1. Поскольку данная функция элементарна и точка x = 1 принадлежит области определения функции ln x, значение которой в этом аргументе принадлежит области определения функции sinx, то предел функции, в силу непрерывности элементарных функций, равен значению функции в точке x = 1, т.е. lim sin(ln x )  0 . x 1

Проверка заключается в простом повторении вычислений.    1  x , x   1,0 ,  1  x 2 Пример 2.2. Задана функция: f ( x )   , x   0,1 ,  1 x  ln x  3 , x  1,  .    2  cos x  2 24

1 , x = 1, x = –2. 2 Сначала проверим, а принадлежат ли указанные точки области определения функции? Видно, что третья точка x = –2 не входит в область определения заданной функции, поэтому в дальнейшем 1 рассмотрим только две точки: x  , x = 1. 2 1 принадлежит к области аргумента, на которой Точка x  2 функция элементарна, поэтому логично воспользоваться теоре1 мой 2.2. Поскольку предел знаменателя в точке x  не равен ну2 лю, то

Требуется найти предел в точках x 

lim 1  x 2 1

1  x2 x 2 5 lim   . 1 1 x lim 1  x 6 x 2

x

1 2

В точке x = 1 функция неэлементарная, и поэтому в этой точке рассмотрим два предела (слева и справа). Для нахождения предела слева воспользуемся тем, что функция

1  x2 элементарна, и по1 x

1  x2 равен значению данной функции в точке x 1 0 1  x

этому предел lim

1  x2  1 . Для нахождения предела справа прихоx 10 1  x ln x дится искать предел lim , но применение теоремы 2.2 при x 1 0 cos x 2 0 водит к неопределенности . Раскроем эту неопределенность. 0 Пусть x = 1 + z и z стремится к нулю. В силу эквивалентности бес-

x = 1, т.е.

lim

25

конечно малых функций (в точке z = 0) ln(1 + z) и z заменим ln(1 + z) функцией z. Знаменатель по формулам тригонометрии можно заменить «синусом» а последний в точке 0 эквивалентен функции  z . Полученная дробь легко дает предел справа, и он равен 2 2 lim f ( x )  . x 1 0  Поскольку предел в точке x = 1 слева не равен пределу справа, то отсюда следует вывод: в точке x = 1 предела нет. 2 x 2 , x   ,  1 ,   x, x   1,0 ,  Пример 2.3. Дана функция f ( x )  sin  , x   0,1 ,  x  sin( x  1) , x   1,    .  2  ( x  1) Найти точки разрыва и классифицировать их. Поскольку элементарные функции на своих областях определения непрерывны, то ищем точки, в которых функция не является элементарной. Таких точек у заданной функции три: x1 = –1, x2 = 0, x3 = 1. Рассмотрим их по очереди, учитывая, что в каждой такой точке необходимо искать односторонние пределы. По сути, это является этапом 3 решения задачи. Правда, при нахождении односторонних пределов требуется выбрать способ его нахождения (это, как правило, раскрытие неопределенностей при помощи замены одной бесконечно малой величины другой или использование графика, построение графика будет подробно описано в гл. 3). Рассмотрим точку x1 = –1. В этой точке lim 2 x 2  2 , так как x 1 0

2

функция 2х элементарна на промежутке (,) , и lim f ( x)  lim ( x)  1 по той же самой причине. Оба одностоx 1 0

x 1 0

ронних предела существуют, но они не равны. Следовательно, точка x1 = –1 является точкой разрыва первого рода. 26

Рассмотрим точку x = 0. Предел слева находится легко и равен значению функции –x в точке x = 0. Для нахождения предела спра ва лучше всего нарисовать график функции sin и увидеть, что x  при стремлении x к нулю справа функция sin «бесконечное» x число раз пересекает ось абсцисс и колеблется между +1 и –1. Следовательно, предела справа не существует и, стало быть, перед нами точка разрыва второго рода. Обратимся к третьей точке x = 1. Предел слева lim f ( x) равен x 10

 значению элементарной функции sin в точке 1, т.е. 0. Для нахоx ждения предела справа заметим, что при x  1 отношение sin( x  1) 1 стремится к единице, а оставшийся множитель ( x  1) ( x  1) при x  1  0 стремится к «бесконечности». Следовательно, предела справа не существует, и точка x = –1 является точкой разрыва второго рода. Выполнение этапа 5 решения задачи (проверка) сводится к построению графика исходной функции и сравнению ее с полученным ответом. Как строить графики, мы подробно расскажем в следующей главе.

2.3. Задачи для самостоятельного решения Найти пределы функций:



sin  x 2  2

2.1. lim x2



ln 2 x  3



 tg( x 2 ) 2 . 2.2. lim x0   cos   x  1  2 

 .

e x  e x  2 . x 0 sin 2 x

3 tg( x 2 sin x ) x.  x 1   3 2 x 0 x  2 x

2.3. lim

2.4. lim

27

2.5. lim x 0

sin(tg x3 ) 3

.

2.6. lim

5x  x

x 3

2 x2  3  1  1   2 x x  4  x 

2.7. lim



ln 28  3x 2



1  cos  2x 

x3

 x  3

2

2   (3 x 2  4 x  1)  1   x  2.8. lim x  1  x2

4x

.

6   ( x  7 x  12)1  2   x  2.9. lim 2 x  ln x  5 x 2  x

. 3 x

.

x x

2

.

 



 sin  ln 1  x 2  , x  0, 2.10. lim f x   ? , если f  x    x x 0  x  0. 1,  ln 1  x 2  , x  0, 2.11. lim f x   ? , если f  x    x x 0 3, x  0.   x tg x , x  0,  2.12. lim f x   ? , lim f  x   ? , если f  x   1  cos x x 0 x 1 2, x  0.





Какие из следующих пар функций являются функциями одного порядка: 2.13.

f ( x)  x 3  x 2  x  1 , g ( x)  x 3  x при x1.

2.14.

f ( x )  x cos

1 , g ( x )  x при x0. x

3 x 4  x5 , g ( x )  x 3 при x0. x 1 1 x 2.16. f ( x)  , g ( x )  1  x при x1. x 1 2.17. Порядок малости какой функции выше в точке x = 0: f ( x)  tg x  sin x или g ( x)  x ?

2.15.

f ( x) 

28

2.18. Порядок малости какой функции выше в точке x = 1: ln 2  2  x  2 f ( x)   tg x  sin x или g ( x)  sin  x  1 cos x ? 2 1  x 





2.19. Порядок малости какой функции выше в точке x = 0 x3 f ( x)  или g ( x)  x 2 ? 3 x Исследовать функции на непрерывность, классифицировать точки разрыва:  1  x 2 , x   , 1 ,  1  sin , x  0, 2.21. f ( x)   x , x   1,1 , 2.20. f ( x)   x 0, x  0.  sin  x  , x  1,   .   2   ctg x, x  1,  2.22. f ( x)  1  x, 0  x  1,  ln 3  x    , x  0.  x  4

2.24. f ( x) 

 tg x, x  0, 1, x  0, 2.23. f ( x)    x,  1  x  0,  ln 1  x 2 , x  1. 





x2 tg x  1 . x

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1. СПб.: Лань, 2006. 3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Физматлит, 1985. 4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 29

Глава 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3.1. Определения, основные теоремы и формулы Определение 3.1. Производной функции y = f(x) по аргументу x f ( x + Δx) − f ( x) , если он существует. называется предел lim Δx →0 Δx dy Обозначается производная от функции y = f(x) либо , либо dx f ′(x) . Первая производная может рассматриваться как функция, и поэтому от нее можно также брать производную и так далее. Таким d2y , третьобразом, мы приходим к понятию второй производной dx 2 ей и т.д. Определение 3.2. Первым дифференциалом функции y = f(x) в точке x0 называется линейная часть приращения функции в точке x0 и обозначается dy = f ′( x0 ) dx . Дифференциал можно использовать для приближенного вычисления функции в точке х0 + Δх, если функция и ее производная f ( x0 + Δx ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) Δx известны в точке х0. В свою очередь, от первого дифференциала можно взять свой первый дифференциал. При этом символ dx ≡ Δx трактуется как постоянная величина (понятно, что только для операции дифференцирования!) и называется вторым дифференциалом 2 2 d y = f ′′( x0 ) dx . Как видим, взятие дифференциала есть просто взятие производных соответствующих порядков от исходной функции. Правила взятия производной от элементарной функции: 1) (Cu )′ = Cu ′ , ⎛ u ⎞′ u ′v − uv′ , 4) ⎜ ⎟ = 2) (u + v )′ = u′ + v′ , v2 ⎝v⎠ 3) (uv )′ = u′v + uv′ , df (ϕ( х)) df d ϕ 5) . = ⋅ dx d ϕ dx 30

Поскольку любая элементарная функция выражается при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции через простейшие элементарные функции, то, используя только вышеприведенные формулы, можно взять производную от любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу производных от простейших элементарных функций: 1 1) ( x n )′ = nx n−1 ; ; 8) (arcsin x )′ = 2 1− x 2) (a x )′ =a x lna ; 1 1 ; 9) (arccos x )′ = − 3) (ln x )′ = ; 2 1− x x ′ 1 ′ 4) (sin x ) = cos x ; 10) (arctg x ) = ; 1 + x2 ′ 5) (cos x ) = sin x ; 1 ′ . 11) (arcctg x ) = − 1 ′ 1 + x2 ; 6) ( tg x ) = cos 2 x 1 ′ 7) ( ctg x ) = − 2 ; sin x В случае если функция не элементарна, то для взятия производной остается только одно – найти (если он существует) предел Δy в указанной точке. lim Δx →0 Δx Если мы рассматриваем функцию двух и более переменных, то вместо производной рассматриваются частные производные. Определение 3.3. Частной первой производной функции z = f(x1,x2,…,xn) от n переменных по переменной xk в точке x10 ,..., xn0 называется предел (если он существует) lim

Δxk → 0

f ( x10 ,..., xk0 + Δxk ,..., x10 ) − f ( x10 ,..., xn0 ) . Δxk

Согласно определению, техника и приемы взятия частных производных точно такие же, что и при взятии обыкновенной производной. Например, вычисляя производную по x1, остальные переменные x2, …, xn рассматривают как постоянные. 31

∂z или z ′xk . ∂xk Частные производные от частных первых производных носят ∂2 z название вторых частных производных и обозначаются . ∂xk ∂xm Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема (для функций двух переменных). ∂2z ∂2z Теорема 3.1. Если производные и функции z = f(x,y), ∂x∂y ∂y∂x определенной в окрестности точки М существуют в некоторой δ-окрестности точки М(x,y) и непрерывны в самой точке, то они равны между собой в этой точке. Порядок взятия вторых частных производных неважен! Это оз∂2 z ∂2 z = . начает, к примеру, что ∂x1∂x2 ∂x2 ∂x1 Определение 3.4. Первым дифференциалом функции нескольких переменных в точке ( x10 ,..., xn0 ) называется линейная часть приращения функции z = f(x1, x2, …, xn) в этой точке ∂f ∂f dz = dx1 + ... + dxn ∂x1 ∂xn Обозначение:

(все частные первые производные берутся в точке ( x10 ,..., xn0 ) ). Точно так же, как и второй дифференциал функции одного переменного, определяется и второй дифференциал функции многих переменных. При этом дифференциалы независимых переменных выступают в роли констант, например: n n ∂f ∂2 f d (dz ) = d (∑ dxk ) = ∑ dxi dxk . k =1 ∂xk i , k =1 ∂xi ∂xk Если дана неявная функция, задаваемая соотношением f(x1, x2, …, xn) = 0, то сначала рассматривают все частные производные по всем переменным от функции f(x1, x2, …, xn) в точке 32

( x10 ,..., xn0 ) . Затем следует решить, какую из переменных x1…xn считать функцией, а какие – аргументами. В качестве функции можно выбрать любую из приведенных переменных, производная по которой функции f(x1, x2, …, xn) не равна 0 в заданной точке ( x10 ,..., xn0 ) . Приведем ряд полезных для решения задач (а более всего – для умения анализировать предлагаемую задачу и приобретения навыков математического мышления) теорем: Теорема 3.2 (Ролля). Если функция y = f(x): 1) непрерывна на отрезке [a,b], 2) дифференцируема на интервале (a,b), 3) f(a) = f(b), то найдется по крайней мере одна точка c ∈ (a, b) , в которой f ′(c ) = 0 . Теорема 3.3 (Лагранжа). Если функция y = f(x): 1) непрерывна на отрезке [a,b], 2) дифференцируема на интервале (a,b), то найдется, по крайней мере, одна точка c ∈ (a, b) , в которой f (b ) − f (a ) = f ′(c) . b−a Теорема 3.4 (Коши). Если две функции f(x) и g(x): 1) непрерывны на отрезке [a,b], 2) дифференцируемы на интервале (a,b), 3) g ′(c) ≠ 0 на интервале (a,b), то найдется, по крайней мере, одна точка c ∈ (a, b) , в которой выполнено равенство f (b ) − f (a ) f ′(c ) = . g (b) − g (a) g ′(c ) Использование последней теоремы предполагает сначала анализ производных на указанном в задаче промежутке, а затем в знаменатель выносится та функция, производная которой на этом промежутке не обращается в ноль. Если мы имеем дело с неявной функцией, задаваемой уравнением f(x1, x2, …, xn) = 0, то сначала анализируются все частные производные функции f(x1, x2, …, xn) в заданной точке и выбирается в качестве неявной функции тот из аргументов x1, x2, …, xn, производная по которому отлична от нуля. Обозначим выбранный таким образом аргумент функции за y. В этом случае все остальные переменные будут являться аргументами этой «избранной» перемен33

ной, а производные этой функции по любому аргументу вычисляются по формуле ∂f ∂x ∂y =− l ,l≠k. (3.1) ∂f ∂xl ∂y Применение этой формулы вполне законно, так как мы на предварительном этапе – выборе одной из переменных x1, x2, …, xn функцией – уже установили отличие стоящей в знаменателе производной от нуля. Если задана система n уравнений для m > n переменных: ⎧ f1 ( x1 , x2 ,..., xm ) = 0, ⎪⎪ ⎨.............................. ⎪ ⎪⎩ f n ( x1 , x2, ..., xm ) = 0.

то эта система может определять n неявных функций от n – m аргументов. Для определения тех переменных из нашего набора x1, x2, …, xm, которые могут в данной точке рассматриваться как функции оставшихся переменных, требуется составить матрицу: ⎛ ∂f1 ∂f1 ∂f1 ⎞ ⎜ ∂x ∂x ... ∂x ⎟ m ⎟ ⎜ 1 2 ⎜ ....................... ⎟ (3.2) ⎜ ⎟ ⎜ ∂f n ∂f n ... ∂f n ⎟ ⎜ ∂x ∂x ∂x ⎟ m ⎠ ⎝ 1 2 из всех частных производных наших функций по всем переменным и найти ее ранг. Такая матрица называется функциональной. Номера столбцов, входящих в ненулевой минор, и определяют те переменные, которые могут быть названы функциями. Обозначим переменные, которые могут быть выбраны в качестве функций как y1, y2, …, yn, а порядок написания аргументов в функциях f1, f2, …, fn изменим таким образом, чтобы сначала следовали y1, y2, …, yn, а за ними – xn+1, …, xm, которые называются теперь аргументами неявных функций y1, y2, …, yn. 34

Производные определенных как неявные функции переменных по прочим переменным, ставшими аргументами неявных функций, ∂yk = J −1 ⋅ xl . Здесь под вектором xl поопределяются формулой ∂xl ⎛ ∂f1 ⎜ ∂x ⎜ l нимается вектор-столбец ⎜ ⎜ ⎜ ∂f n ⎜ ∂x ⎝ l

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ , а J −1 – обратная матрица к мат⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∂f1 ⎞ ⎛ ∂f1 ⎜ ⎟ ∂yn ⎟ ⎜ ∂y1 ⎟. рице J = ⎜ ∂f n ⎟ ⎜ ∂f n ⎜⎜ ∂y ∂yn ⎟⎟ ⎝ 1 ⎠ Для более точного представления функции в точке ( x10 + Δx1 ,…, xn0 + Δxn ) в виде многочлена используется полином Тейлора. Для функций одного переменного он имеет вид: k

f ( ) ( x0 ) k ( Δx ) + Rn ( x) k! k =0 или записанный через дифференциалы n

f x 0 + Δx = ∑

(

)

k

df ( ) + Rn ( x) , k =0 k ! n

f ( x10 + Δx1 ,..., xn0 + Δxn ) = f ( x10 ,..., xn0 ) + ∑

где Rn ( x) =

(3.3)

f ( n+1) (c) (Δx) n+1 – остаточный член в форме Лагранжа, (n + 1)!

c ∈ ( x0 , x ) . Для функций многих переменных полином Тейлора записывается в виде (3.3). Таким образом, такое представление полинома Тейлора одинаково пригодно для функций любого числа переменных. В заключение приведем методы построения графика любой функции с точки зрения двух разных задач: решения неравенств и исследования функции. 35

Рассмотрим схему построения графика при решении неравенства. 1. Построение графика y = f (x) начинается с нанесения на бумагу системы координат. Определяется область допустимых значений (ОДЗ) и для наглядности отдельные точки, не входящие в ОДЗ, обозначаются символом ο, а области «сплошных» точек, не входящих в ОДЗ, заштриховываются. Если при стремлении x к точке, помеченной значком ο, функция неограниченно возрастает по модулю, то через помеченную точку проводят пунктирную вертикальную прямую. Такая прямая называется вертикальной асимптотой. Если функция дробно-рациональная, имеющая вид P ( x) y ( x) = n , где Pn (x) и Qn (x) – полиномы степени n и m соответQm ( x) ственно, то нахождение абсцисс, определяющих вертикальные асимптоты, сводится к решению уравнения Qn (x) = 0. Удобно над значком ο ставить кратность корня этого уравнения, а сам значок мы будем называть «нолик». Затем находятся корни уравнения Pn (x) = 0 и наносятся на ось абсцисс и отмечаются значком ×, который мы будем называть «крест». Желательно сверху значка × нанести кратность корня (если он определяется). 2. Анализируется поведение функции при x → +∞ и x → −∞ и наносятся на бумагу простейшие «кусочки» линий, отражающие это поведение. Эти «фрагменты» мы будем называть «хвостами» (в школе, кстати, их называли наклонными асимптотами). Если функция не определена при больших по модулю x, то «хвосты» отсутствуют. Если функция определена при каком-то определенном стремлении x к бесконечности, то существует только один «хвост». Вся предварительная работа закончена, и мы переходим к построению самого графика. Если есть хотя бы один «хвост», то мы продолжаем его в сторону ближайшего «препятствия», т.е. «креста» или «нолика», не пересекая или не касаясь оси абсцисс. В случае «креста» мы обращаем внимание на его кратность. Если кратность «креста» четная, то линия графика только касается оси x, а если нечетная, то пересекает эту ось. Если препятствие – «нолик», 36

то мы «уводим» нашу линию графика вверх или вниз, взбираясь на вертикальную асимптоту, и продолжаем рисовать график дальше, учитывая кратность «нолика». Если кратность «нолика» нечетная, то мы продолжаем линию, спускаясь (или поднимаясь) с противоположной стороны асимптоты, а если кратность четная, то мы «спускаемся» с той же самой стороны, с какой и взобрались. Рисование заканчивается, как только мы достигнем противоположного «хвоста». При построении графика с точки зрения неравенства абсолютно неважна форма кривой – важно лишь контролировать однозначное соответствие y аргументу x и не пересекать или касаться оси x в точках, не помеченных «крестом». Учтите, это самая общая рекомендация построения графика с точки зрения неравенства. Все возникающие вопросы решайте на третьем этапе. Рассмотрим построение графика при исследование функции. К построенным по предыдущей «инструкции» точкам следует добавить точки, которые мы будем отмечать значком … и называть «квадратиком». Эти точки получаются решением уравнения y′(x) = 0. Решив это уравнение и нанеся все «квадратики» на ось x, находим значения функции в этих точках и наносим на бумагу. Эти точки мы также будем обозначать «квадратиками». Построение графика с «точки зрения исследования функции» отличается от построения графика «с точки зрения неравенства» только тем, что кривая обязательно должна пройти через «квадратики», и на участках от одного препятствия (в число которых теперь входят и построенные «квадратики») до другого она обязана быть монотонной. Замечание 1. Может случиться так, что точки, называемые нами «крест» и «нолик», совпадут. Обозначим эту точку как x0. В случае дробно-рациональной функции это означает, что и числитель и знаменатель содержат одинаковые множители в разложении Безу (x – x0), и на этот множитель можно сократить, а для полученной после такого сокращения дробно-рациональной функции вновь начинайте строить график. Если функция не дробно-рациональная, 37

0 , можно получить пределы ис0 ходной функции справа и слева, т.е. значения, к которым должна стремиться кривая графика при x → x0 ± 0 . После построения графика не забудьте на построенной кривой «выколоть» точку x0. Замечание 2. В том случае, когда функция y (x) не является дробно-рациональной, для определения кратностей «ноликов» и «крестиков» удобно пользоваться следующей процедурой: для «крестиков» (пусть это будут точки {xk}) брать последовательно производные от функции y(x), вычислять их значения в точках xk. Номер первой по счету производной, отличной от нуля, и будет кратностью рассматриваемого «крестика». 1 Подобная же процедура, только примененная к функции , y ( x) определяет кратность соответствующих «ноликов», которые для 1 являются уже «крестами». функции y ( x) то, раскрывая неопределенность

3.2. Примеры решения задач Пример 3.1. Требуется выяснить, существует ли первая произ⎧ x2 − 1 , x ≠ 0, ⎪ 2 в точках x = 0 и x = 1. водная у функции ⎨ x − 3 x + 2 ⎪ −2, x=0 ⎩

Рассмотрим сначала первую точку x = 0. В этой точке функция имеет смысл, является элементарной в окрестности этой точки, а значит, производная существует согласно приведенной в п. 3.1 теории. В точке x = 1 функция не элементарная, и установление факта существования производной сводится к установлению существования предела x2 − 1 +2 2 . lim x − 3 x + 2 x →1 x −1 38

Последняя задача относится к гл.2, и мы умеем находить такие пределы. Переходим к реализации всего вышесказанного, т.е. к этапу 4: x2 − 1 +2 2 0 3x 2 − 6 x + 3 = = lim = lim x − 3 x + 2 x →1 x −1 0 x →1 ( x − 1)( x 2 − 3 x + 2)

6x − 6 0 6 = = lim = −3 , x →1 3 x − 8 x + 5 0 x →1 6 x − 8 т.е. производная существует. Пример 3.2. Найти производные функции y = ln (x2 – 3x – 4) в точках x = 5 и x = 0. В точке x = 5 функция существует и элементарна, следовательно, проблемы взятия производной не существует. В точке x = 0 функция по виду также элементарна, но… в этой точке она не определена, и производной также нет. Для завершения задачи реализуем этап 4: 2x − 3 y′ = (ln( x 2 − 3x − 4))′ = 2 x − 3x − 4 7 и при x = 5 y′ = . 6 = lim

2

Пример 3.3. Найти производную функции y = x sin x . Данная функция является сложно-показательной, определена для x > 0, следовательно, производная существует только для таких x. Преобразуем функцию, прологарифмировав ее ln y = ln( xsin x ) = sin x ln x . Дифференцируем обе части последнего равенства по x: 1 1 y′ = cos x ln x + sin x , y x

sin x ). x Пример 3.4. Исследовать функцию и построить график

отсюда

y′ = xsin x (cos x ln x +

( x 2 − 1) x . y= 2 x − 3x + 2 39

Сначала построим график с точки зрения «неравенства». 1. Наносим точки, в которых функция не определена («нолики»): x2 + 3x + 2 = 0, x1 = 1, x2 = 2 (рис. 3.1). Римские цифры над «ноликами» означают кратность соответствующего корня. y

I 0

I

1

x

2 Рис. 3.1

2. Наносим «кресты»: (x2 – 1)x = 0, x1 = 0, x2 = 1, x3 = – 1 (рис. 3.2). y

I

I –1

0

I

I 2

1

x

Рис. 3.2

«Крест» совпал с «ноликом». Попытаемся сократить на (x – 1). x( x + 1) Полученная функция имеет вид . Вновь строим «нолики» и x−2 «кресты» и вертикальные асимптоты (рис. 3.3). 40

y

I

I

I 0

–1

1

x

2 Рис. 3.3

3. Для построения «хвостов» удобно оставить в числителе и знаменателе наиболее быстро растущие слагаемые

x2 = x , а это – x

очень простая функция (рис. 3.4). "хвост"

y

I –1

I 0

I 1

2

x

"хвост" Рис. 3.4

4. А теперь строим график (рис. 3.5) и выкалываем точку на графике, отвечающую x = 1 (рис. 3.6). 41

"хвост"

y

I –1

I

I 1

0

x

2

"хвост" Рис. 3.5

"хвост"

y

I –1

I

I 0

1

2

"хвост"

x

Рис. 3.6

5. Для построения графика с точки зрения «исследования функции» на рис. 3.4 добавим точки, отвечающие корням уравнения ′ ⎛ x( x + 1) ⎞ ⎜ ⎟ =0: ⎝ x−2 ⎠ 42

(2 x + 1)( x − 2) − x 2 − 2 = 0 , x2 – 5x –2 = 0, x−2 5 + 25 + 8 5 + 33 5 − 33 , . x1 = = x2 = 2 2 2 6. Вычисляем значения функции в этих точках (рис. 3.7). y ⎛ 5 + 33 ⎞ ⎟ f ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 5 − 33 ⎞ ⎜ ⎟ f ⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ I

I –1

0

I

1

2

5 − 33 2

5 + 33 2

x

Рис. 3.7

7. Соединяем все точки монотонной кривой и выкалываем точку x = 1 (рис. 3.8).

Рис. 3.8 43

Пример 3.5. Требуется найти треугольник с заданным периметром 2p, имеющий наибольшую площадь. Из всех известных формул для определения площади выберем формулу Герона S = p ( p − a )( p − b)( p − c) , где a, b, c – длины

сторон, 2p = a+b+c. Здесь S выступает в роли функции, а в качестве аргументов – длины сторон a, b, c. Поскольку сумма сторон равна 2p, то можно уменьшить число аргументов, выразив a через стороны b и c. В этом случае функция является S = p (b + c − p )( p − b)( p − c )

Рис. 3.9

Sb′ =

функцией двух аргументов b и c, а областью, в которой должен искаться максимум, является прямоугольник, изображенный на рис. 3.9. Найдем частные производные функции S по переменным b и c и приравняем их нулю:

1 p ( p − c)(2 p − 2b − c) = 0 , 2 p (b + c − p )( p − b)( p − c)

1 p( p − c)(2 p − 2c − b) = 0 . 2 p (b + c − p)( p − b)( p − c) Решение этой системы дает стационарные точки. В данном слу2 2 чае это одна точка с координатами (b, c), где b = p, c = p . 3 3 Отсюда сразу следует, что и третья сторона также равна трети периметра. Замечание. То, что найденная точка является стационарной, следует из определения. Но для того, чтобы убедиться в том, что она является экстремальной и к тому же дает максимум функции S, требуется проверить выполнение достаточных условий максимума. Однако в рассматриваемой задаче здравый смысл позволяет избежать процедуры вычисления вторых производных функции S – найденная точка не может быть никакой другой, кроме как точкой максимума. Sc′ =

44

Пример 3.6. Найти, если существует, производную неявной

функции, задаваемую уравнением xy − y 2 = 0 в точке x=1, y=1. «Справочным бюро» для задач настоящей главы является п. 3.1. Сначала мы должны установить, какая из переменных (x или y) является функцией, а какая – аргументом. С этой целью найдем частные производные функции f ( x, y ) = xy − y 2 и выясним, в каких точках отлична от нуля производная по x – в этих точках функцией может служить переменная x, и в каких – производная по y – в этих точках роль функции может выполнять переменная y. В точках, в которых одновременно обе производные отличны от нуля, выбор переменной в качестве функции произволен. Выбрав в качестве функции переменную y и используя формуf′ dy y 1 лу (3.1), получим ответ =− x = = . A выбрав в качестве dx f y′ 2 y 2 f y′ dx =− = 2. dy f x′ Замечание 1. Понятно, что другая переменная играет роль аргумента неявной функции. Замечание 2. Если в задаче указана точка M (x0, y0), в которой требуется найти производную неявной функции, определяемой уравнением f ( x, y ) = 0 , то сначала необходимо проверить, удовлетворяют ли координаты точки M уравнению f ( x0 , y0 ) = 0 . Если не удовлетворяют, то задача теряет смысл. ⎧ x 2 − y 2 + z 2 − u 2 = 0, Требуется укаПример 3.7. Дана система ⎨ ⎩ xz = 0.

функции переменную x, получим

зать, какие из переменных являются неявными функциями, а какие – аргументами этих функций в точках: (0, 0, 0, 1); (1, 1, 0, 0); (0, 0, 0, 0). Рассмотрим первую точку. Проверим, удовлетворяют ли ее координаты исходной системе. При подстановке получаем − 1 ≠ 0 , следовательно, задача не имеет смысла в данной точке. Вторая и третья точки проверку, как легко убедиться, проходят, и поэтому приступаем к решению вопроса о выборе функций. 45

Рассмотрим сначала точку (1, 1, 0, 0). Составим матрицу из первых частных производных всех функций, входящих в систему ⎛ 2 x − 2 y 2 z − 2u ⎞ ⎜⎜ ⎟ . Подставим вместо общих выражений для про0 x 0 ⎟⎠ ⎝z изводных их значения в указанной в условии точке. Полученные ⎛ 2 − 2 0 0⎞ ⎟⎟ . Минор, образочисла образуют числовую матрицу ⎜⎜ ⎝ 0 0 1 0⎠ ванный первым и вторым столбцами, имеет ненулевой определитель, и поэтому в качестве неявных функций могут быть в точке (1, 1, 0, 0) выбраны переменные y и z, а в качестве их аргументов – переменные x, u. Проделывая подобную процедуру в третьей точке (0, 0, 0, 0), видим, что в функциональном определителе (3.2) первая и вторая строки состоят из одних нулей, определители всех миноров второго порядка равны нулю, и поэтому нельзя выбрать в качестве неявных функций ни одну пару переменных. В этом случае требуется проведение дополнительных исследований, но в нашем курсе такие процедуры не предназначены к изучению. 3.3. Задачи для самостоятельного решения

Найти производные следующих функций: 3.1. у = хх. 1

3.2.

y = ( ln x ) x .

3.3.

y = ( x)

3.4.

y = (sin x )cos x .

3.5.

⎧ 3x 2 − 5 x + 2 , x ≠ 1, ⎪ в точке x = 1, x = 3. f ( x) = ⎨ x −1 ⎪1, x = 1, ⎩

3.6.

1 ⎧ 2 ⎪ x sin , x ≠ 0, f ( x) = ⎨ в точке x = 1, x = 0. x ⎪⎩0, x = 0,

ln x x

.

46

3.7.

2⎞ ⎧ ⎛ 3 2 ⎪ tg ⎜ x + x sin ⎟ , x ≠ 0, f ( x) = ⎨ ⎝ в точке x = 1, x = 0. x⎠ ⎪0, x = 0, ⎩

3.8.

⎧ sin x 2 , x ≠ 0, ⎪ln 1 + x 2 в точке x = 1, x = 0. f ( x) = ⎨ x ⎪0, x = 0, ⎩

3.9.

⎧ xx −1 , x ≠ 1, ⎪ в точке x = 2, x = 1. f ( x) = ⎨ x −1 ⎪1, x = 1, ⎩

3.10.

3.11.

(

)

⎧ sin ( x − 1) , x ≠ 1, ⎪ ⎪ 3 x2 − 1 f ( x) = ⎨ в точке x = 1. ⎪1 ⎪⎩ 2 , x = 1, f ( x ) = 3 x ⋅ x в точке x = 3, x = 0.

(

)

Исследовать функции и построить график с точки зрения задач на исследование функции: 3 2 2 ⎪⎧3 x − x , x > 0, 3.12. y = ⎨ x ⎪⎩ xe , x ≤ 0, x2 − x − 1

3.13.

y=

3.14.

y=

3.15.

y=

3.16.

2 x2 − 7 x + 6 x − 4 y= ⋅ . x −1 x+2

3.17.

y=

x −8

x3 − 2 x

(x − 1)x

.

.

x2 − 3 x + 1 x +1

ln ( x + 1) x2 − 4

.

. 47

Построить полином Тейлора без остаточного члена для функции в окрестности точки x0, содержащий, по крайней мере, не меньше четырех слагаемых: x +5

3.18.

f ( x) = e 3

, x0 = 0.

3.19.

f ( x) = ( x + 2 ) e2 x , x0 = 0.

3.20.

f ( x) = cos x3 , x0 = 0.

3.21.

f ( x) = sin 2 x , x0 = 0.

3.22.

f ( x) = sin x 2 , x0 = 0.

3.23.

f ( x) = x 2 − 1 , x0 = –2.

(

)

3.24. f ( x) = x ln 1 + x 2 , x0 = 0. Построить полином Тейлора без остаточного члена для функции в окрестности точки (x0, y0): 3.25. f ( x, y ) = x 2 + 2 xy − 3 y 2 + 11x − 5 y + 9 , x0 = –2, y0 = 2. 3.26. f ( x, y ) = e x sin y , x0 = 0, y0 = 0 до членов третьего порядка включительно. 3.27. f ( x, y ) = y x , x0 = 0, y0 = 0 до членов второго порядка включительно. 3.28. f ( x, y ) = e xy , x0 = 0, y0 = 0 до членов третьего порядка включительно. 3.29. f ( x, y ) = e x + y , x0 = 0, y0 = 0 до членов третьего порядка включительно. 2

3.30. f ( x, y ) = e x − y , x0 = 2, y0 = 1 до членов второго порядка включительно. 3.31. f ( x, y ) = sin( x 2 y ) , x0 = 0, y0 = 1 до членов третьего порядка включительно. Решить задачи: 3.32. Из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой a найти треугольник наибольшего периметра. 48

3.33. Какой из прямоугольных треугольников с заданным периметром 2p имеет наибольшую площадь. 3.34. Данное положительное число a разложить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. 3.35. Кусок проволоки данной длины l согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей. 3.36. Из всех треугольников данного периметра 2p, найти тот, который имеет наибольшую площадь. 3.37. Есть три положительных числа. Найти максимальную сумму их квадратов, если сумма чисел не превосходит 10. 3.38. Найти параллелепипед, имеющий при заданном объеме V, наименьшую поверхность. 3.39. Попытайтесь спроектировать железнодорожную цистерну для Российских железных дорог, имеющую форму кругового цилиндра (рис. 3.10) вместимостью 60 кубических метров и такую, чтобы: 1) общая площадь поРис. 3.10 верхности цилиндра была минимально возможной; 2) длина сварного шва была минимальной длины. 3.40. Дан конус высотой H и радиусом основания R. Требуется вписать прямой параллелепипед максимального объема. 3.41. Найти круговой конус максимального объема, если боковая поверхность равна S. 3.42. Существует ли неявная функция, определяемая уравнением x 2 − y 2 + xy + y 3 − x = 0 , в точках (0,0), (1,1)? 3.43. Существует ли неявная функция, определяемая уравнением x 2 − y 2 + 3 xy = 3 , в точках (1,2), (1,1)? 3.44. Существует ли производная неявной функции, опреде2 ляемой уравнением x 4 − 3x 2 y + y 3 + ( y − 1) − x = 0 , в точках (0,0), (1,1)? 3.45. Существует ли производная неявной функции, определяемой уравнением ( y − 2 )2 e xy − sin x = 0 , в точке (1,2)? 49

3.46. Найти производную неявной функции y = y(x), определяемой уравнением cos(πx 2 y ) + xy + 2 y 2 = 0 . 3.47. Найти частные производные неявной функции z = z(x,y), z

определяемой уравнением z 2 − tg ( xyz ) + e xy − 1 = 0 , в точке (1, 1, 0). 3.48. Найти частные производные по x неявной функции z = z(x,y), определяемой уравнением 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 − 8 xz − z + 8 = 0 , в точке (2,0,1). 3.49. Существует(ют) ли неявная(ые) функция(и), определяе2 2 2 ⎪⎧ x + xy + z + t − 4t = 0, мая(ые) системой ⎨ в точках (0,0,0,0), 2 2 ⎪⎩ xz − y + z − t = 0, (1,1,1,1)? Найти производные. 3.50. Найти производные неявных функций, определяемых ⎧⎪ y 2 + x − z = 1, системой ⎨ 2 в точках (0,1,0), (1,1,1). 2 2 ⎪⎩ x − y + xz − yz = 0, 3.51. Найти производные неявных функций, определяемых ⎧⎪ x 2 + sin ( xy ) + z = 2, системой ⎨ в точках (1,π,0), (1,0,1). 2 ⎪⎩ y + x − z = 0, 3.52. Найти производные неявных функций, определяемых ⎧ x + y − z + t = 2, в точках (1,0,0,–1), (1,1,1,1). системой ⎨ ⎩ 2 x + 2 y − 3 z − t = 0, РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1. СПб.: Лань, 2006. 3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1. М.: Физматлит, 1985. 4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 50

Глава 4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 4.1. Определения, основные теоремы и формулы Определение 4.1.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений x dF ≡ f (x) . из этого промежутка выполняется равенство dx (Это выражение называется также простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением, но специально их мы рассмотрим в гл. 10.) Множество всех первообразных функции F(x) называется неопределенным интегралом и обозначается ∫ f ( x)dx . Теорема 4.1. Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + С. Часто употребляют термин «взять интеграл» вместо «найти первообразную». Взятие интеграла, в отличие от взятия производной, представляет искусство, и поэтому взять интеграл не всегда удается так, чтобы в ответе получить элементарную функцию. В силу этого в процессе применения математики к прикладным задачам с использованием интеграла возникло много функций, которые называются «специальными» (в отличие от элементарных). Поскольку редко удается (на практике) взять интеграл «точно», т.е. выразить ответ через элементарные функции, то следует сначала установить его существование. Эта проблема решается при помощи определенного интеграла. Определение 4.2. Пусть f(x) – некоторая функция, заданная на [a,b]. Разобьем промежуток [a,b] на маленькие сегменты [a = x0, x1], [x1, x2],…, [xn, xn+1 = b] длиной Δk, а максимальная длина которых не превышает Δ, и выберем на каждом таком сегменте произвольную точку ξk . Если сумма ∑ f ( ξ k ) Δxk имеет предел при числе разk

биений, стремящихся к бесконечности, и при Δ, стремящемуся к 51

нулю, и этот предел не зависит от выбора точек ξk ,то этот предел называется «определенным интегралом от функции f(x) на промеb

жутке [a,b]» и обозначается

∫ f ( x ) dx . a

Если рассматривать верхний предел как переменную величину, то оказывается, что определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего предела, является первообразной для исходной функции f(x). Этот факт является содержанием великой теоремы Ньютона–Лейбница. Формально для функции f(x) непрерывной на отрезке [a, b] теорема Ньютона–Лейбница имеет вид: b

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) , a

x

F ( x) = ∫ f (ξ) dξ . a

Теорема 4.2. Определенный интеграл существует для непрерывных функций, для функций, имеющих конечное число точек разрыва первого рода и для монотонных функций. Таким образом, эти две теоремы позволяют установить факт существования интеграла, будь он опреy деленный или неопределенный. f(x) Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что если подынтегральная функция неотрицательb

a

b

x

на, то

∫ f ( x ) dx , если он существует, раa

Рис. 4.11

вен площади криволинейной трапеции (рис. 4.1) Приведем некоторые свойства определенного интеграла. 1.

a

∫ f (x ) dx = 0 .

2.

a

3.

Свойство аддитивности: 52

b

a

a

b

∫ f (x ) dx = − ∫ f (x ) dx .

если [a,b] = [a,с] ∪ [с,b], то

b

∫

a

c

b

a

c

f (x ) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ f (x ) dx .

4. Вынесение константы за знак интеграла: b

∫ c ⋅ f (x ) dx =

a

b

= c ⋅ ∫ f ( x ) dx , если f(x) интегрируема на [a, b], a

с = const. 5. Свойство “плюс-минус”: b

b

b

a

a

∫ ⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎦⎤ dx = ∫ f (x ) dx ±

∫ g (x ) dx ,

если f(x) и g(x) интег-

рируемы на [a, b]. 6. Замена переменных: если x = ϕ ( t )

дифференцируема на

a

[α, β], ϕ′ ( t ) непрерывна и не меняет знак на промежутке [α, β], где b

ϕ ( α ) = a, ϕ(β) = b , то

∫ a

β

f ( x ) dx =

∫ f [ϕ(t )] ϕ′ ( t ) dt . α

7. Взятие интеграла по частям:

b

b

b

∫ u dv = u v a − ∫ vdu , функции

a

a

u(x), v(x) – непрерывны на [a, b] вместе со своими производными u ′, v′ . Нахождение неопределенного и определенного интегралов, по сути, представляет одну и ту же задачу, за исключением одного момента: неопределенный интеграл существует, если подынтегральное выражение имеет смысл хотя бы на каком-нибудь промежутке, а определенный интеграл – только тогда, когда промежуток интегрирования полностью входит в область существования подынтегрального выражения. К приведенным свойствам необходимо добавить и ряд интегралов, которые называются «табличными». Понятно, что количество «табличных» интегралов зависит от вашего опыта во взятии интегралов, а также от справочников, которые находятся у вас под рукой. Мы ограничимся следующими: 53

1. 2.

∫ 0 ⋅ dx = C . ∫1 ⋅ dx = x + C .

x n +1 + C (n ≠ –1). n +1 1 dx 4. ∫ dx = ∫ = ln x + C . x x

3.

n ∫ x dx =

5.

x ∫ a dx =

6.

∫ sin x dx = − cos x + C . ∫ cos x dx = sin x + C .

7.

dx

8.

∫ sin

9.

∫ cos

10.

∫a

11.

∫

12.

∫

13.

∫x

2

= − ctg x + C .

x

dx 2

ax + C , ∫ e x dx = e x + C . ln a

x

= tg x + C .

dx 1 x = arctg + C . 2 a +x a dx x = arcsin + C . 2 2 a a −x

2

dx 2

x +a 2

= ln x + x 2 + a + C .

ax + b a 2b − ac 2x + c +C, dx = ln x 2 + cx + d + arctg 2 2 + cx + d 4d − c 4d − c 2

где D = c 2 − 4d < 0 . dx 14. I n = ∫ 2 x + a2

(

)

n

=

1 x ⋅ 2n − 2 x 2 + a 2

(

зываемый рекуррентной формулой. 54

)

n −1

+

2n − 3 ⋅ I n −1 + C , на2n − 2

Искусство взятия интеграла заключается в том, что, используя свойства 1–7 и приведенные выше «табличные» интегралы, свести заданный интеграл к табличному. Для интегралов определенного вида существуют процедуры, позволяющие выразить интегралы через элементарные функции. Приведем некоторые виды таких интегралов и соответствующие процедуры их взятия. 1. Интеграл от дробно-рациональной функции имеет вид Pm ( x) ∫ Qn ( x)dx , где Pm (x ) , Qn (x ) – многочлены степени m и n соответственно, m и n – натуральные числа. 2. Интеграл от тригонометрических функций имеет вид Pm (sin x,cos x) ∫ Qn (sin x,cos x)dx , где Pm (sin x, cos x ) , Qn (sin x, cos x ) – рациональные функции от функций sin x, cos x степени m и n соответственно, где m и n – натуральные числа 3. Интеграл от иррациональности: ⎛ ax + b ⎞ Pm ⎜ x, ⎟ cx + d ⎠ ⎝ ∫ ⎛ ax + b ⎞dx , Qn ⎜ x, ⎟ cx + d ⎠ ⎝ ⎛ ⎛ ax + b ⎞ ax + b ⎞ где Pm ⎜⎜ x, ⎟⎟ , Qn ⎜⎜ x, ⎟ – рациональные функции от cx + d ⎠ cx + d ⎟⎠ ⎝ ⎝

ax + b степени m и n соответственно, где m и n – cx + d натуральные числа, a, b, c, d – некоторые числа. 4. Интеграл Эйлера: переменных x и

( ( x,

)dx , + bx + c )

Pm x, ax 2 + bx + c

∫Q

n

ax 2

55

где

(

)

Pm x, ax 2 + bx + c ,

(

Qn x, ax 2 + bx + c

)

– рациональные

функции от переменных x и ax 2 + bx + c степени m и n соответственно, где m и n – натуральные числа, a, b, c – некоторые числа, a≠0. Для всех этих интегралов существуют стандартные подстановки, которые обязательно приведут к полному решению задачи, т.е. взятию интеграла. Конечно, этот путь может быть долог и изобиловать чисто техническими трудностями, и поэтому рекомендуем сначала посмотреть, не удастся ли взять интеграл другим способом. Рассмотрим процедуры взятия приведенных видов интегралов. 1. Для взятия интеграла от дробно-рациональной функции Pm ( x) рекомендуем следующую схему решения, всегда приводяQn ( x) щую к успеху: 1) если степень полинома в числителе больше или равна степени полинома в знаменателе, то путем деления приводим исходное R ( x) , где степень подынтегральное выражение к виду Tk ( x) = l Qm ( x) многочлена Rl ( x ) меньше степени многочлена Qm (x ) . Интеграл от полинома Tk (x) легко берется; 2) раскладываем знаменатель в произведение «простых» сомножителей по теореме Безу: k

( + r x + q ) ⋅...

)

Qm ( x) = ( x − a1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − b1 ) 1 ⋅ ... ⋅ c1 x 2 + d1 x + e1 ⋅ ... ×

× p1 x 2

(

1

1

l1

Здесь a1 ,..., am – действительные корни полинома Qm (x ) кратности 1, b1 ,..., bn – действительные корни кратности k1 ,..., kn , скобки

(c1 x 2 + d1 x + e1 ),... отвечают паре комплексно-сопряженных корней кратности 1, а скобки ( p1 x 2 + r1 x + q1 ),... – паре комплексносопряженных корней кратности l1; 56

3) раскладываем дробь

Rl ( x) в сумму простых дробей вида: Qm ( x)

B1,k1 B1,1 B1,2 A1 + ... + + ... + + ... + + k1 k1 −1 x − a1 ( x − b1 ) ( x − b1 ) ( x − b1 )

+

C1,1 + D1,1 x C1,l1 + D1,l1 x C1 + D1 x + ... + + ... + + ... 2 l1 2 c1 x + d1 x + e1 ( p1 x 2 + r1 x + q1 ) ( p1 x + r1 x + q1 )

Нетрудно заметить, что действительному корню кратности k1 B1, k1 B1,1 B1,2 отвечает группа слагаемых и + + ... + k1 k1 −1 ( x − b1 ) ( x − b1 ) ( x − b1 ) так до исчерпания показателя скобки знаменателя до единицы, а комплексным сопряженным корням, дающим в разложении Безу ( p1 x 2 + r1 x + q1 ) s , отвечает группа слагаемых скобку C1,1 + D1,1 x

l1

+ ... +

C1,l1 + D1,l1 x

с показателем s, уменьшаю( p1 x 2 + r1 x + q1 ) ( p1 x + r1 x + q1 ) щимся от l1 до 1. Постоянные в числителях суть произвольные, пока еще не определенные константы; 4) приводя к общему знаменателю всю полученную на предыдущем этапе группу слагаемых, приравниваем полученный числитель полиному Rl (x) . Настоятельно рекомендуется после приведения к общему знаменателю привести полученный числитель к стандартному виду многочлена a1 x m −1 + a2 x m − 2 + ... + am ; 5) приравняем коэффициенты при одинаковых степенях xk и, таким образом, получим систему линейных алгебраических уравнений, которая всегда (!) имеет единственное решение (перед решением системы надо убедиться, что число уравнений в системе совпадает с числом неизвестных); 6) применим свойство «плюс-минус» (свойство 5) к заданному интегралу и получим его представление через табличные интегралы; 7) добавляем к полученному решению произвольную постоянную C в случае неопределенного интеграла. 2

57

Интеграл от дробно-рациональной функции является основным в курсе математического анализа для студентов инженерных специальностей, так как любую функцию, встречающуюся на практике, можно с любой степенью точности аппроксимировать дробнорациональной функцией. Так как не имеет смысла достигать точности аппроксимации, большей, чем точность экспериментальных данных, то степени полиномов в числителе и знаменателе не велики, и взятие интеграла можно доверить ЭВМ. 2. Рассмотрим интеграл от тригонометрической функции n

∑a

i ,k

∫

i ,k =0 m

∑b

sin i x cos k x dx , i

i ,k

k

sin x cos x

i ,k =0

где {ai, k ; bi, k } – числа, а показатели степеней i и k – натуральные числа или нули. x Предлагается универсальная подстановка: t = tg , позволяю2 щая преобразовать исходный интеграл в интеграл от некоторой дробно-рациональной функции, а последний мы уже умеем брать. Стандартная подстановка гарантирует взятие интеграла, но зачастую полезно попытаться взять его по-иному. 3. Рассмотрим интеграл, который мы называем интегралом от иррациональности: n

∑a

xi z k

∑b

i k

i ,k

∫

i ,k =0 m

i ,k

dx , xz

i ,k =0

где {ai, k ; bi, k } – числа, i, k – натуральные числа или нули. А пере-

ax + b . Из последнего выражения легко получить заcx + d висимость x от z, а далее поступать по инструкции и привести интеграл к переменной интегрирования z.

менная z =

58

4. Рассмотрим интеграл Эйлера: n

( x (

∑ ai ,k xi

∫

i ,k =0 m

∑b

i ,k

i ,k =0

i

) + bx + c )

ax 2 + bx + c ax

2

k

k

dx .

Чтобы интеграл (неопределенный!) имел смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение на каком-нибудь промежутке было положительным. Это возможно в двух случаях: либо для всех x, либо уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два различных действительных корня. Эйлером предложены три стандартных замены, позволяющие превратить интеграл в интеграл от дробно-рациональной функции: 1) a > 0. В этом случае полагаем ax 2 + bx + c = a x + t . После возведения в квадрат слагаемые с x2 исчезают, а переменная x выражается через переменную t дробно-линейным образом. Проводя стандартные действия при указанной подстановке, получим под интегралом дробно-рациональную функцию; 2) c > 0. Полагаем ax 2 + bx + c = xt + c и повторяем все действия п. 1). 3) пусть квадратный трехчлен ax2+bx+c имеет различные вещественные корни λ и μ. Произведем замену

ax 2 + bx + c = t ( x − λ ) и

проделаем все необходимые действия. В том случае, когда интегрируемая функция зависит от большего числа аргументов, чем размерность области интегрирования, «лишние» аргументы называются параметрами, а сам интеграл – интегралом, зависящим от параметров. Приведем только один пример такого интеграла: b( y )

I=

∫

f ( x, y ) dx .

a( y)

Интеграл, рассматриваемый как функция от переменной (параметра) y, можно дифференцировать по этому параметру. Верхний и нижний пределы интегрирования могут также рассматриваться как 59

функции этого же параметра. Дифференцирование интеграла от параметра проводится по формуле Ньютона–Лейбница: b( y)

dI ∂ = ∫ f ( x, y ) dx + f (b( y ), y ) ⋅ b′( y ) − f ( a ( y ), y ) ⋅ a′( y ) , dy a ( y ) ∂y

(4.4)

если функция f(x, y) непрерывна и существует непрерывная производная f y′ ( x, y ) в прямоугольнике [ α, β, γ, δ] , а также существуют производные a ′( y ) , b ′( y ) . 4.2. Примеры решения задач Пример 4.1. Найти интеграл ∫ x ln x dx .

Разберем подробно процесс нахождения алгоритма взятия данного интеграла. Поскольку этот интеграл не относится к «табличным», то ответ написать сразу невозможно (конечно, если вы его не угадаете, но это – редкое качество). Замена переменных тоже не помогает свести интеграл к табличному (напоминаем, что это – наша цель). Остается попробовать взять интеграл по частям. Если мы примем функцию x за u, а функцию ∫ ln x dx за v (обозначения соответствуют обозначениям, использованным в седьмом свойстве интегралов), то нам придется для нахождения функции v брать интеграл ∫ ln x dx , который также не относится к «табличным», и работа по взятию интеграла затягивается. Попробуем ввести другое обозначение – ∫ x dx назовем функцией v, а ln x – функцией u. Тогда функция v легко находится (интеграл

∫ x dx

относит-

ся к числу «табличных») и мы пишем формулу «взятия интеграла по частям»: x2 x2 x2 dx x2 x u dv = uv − vdu → ln x d = ln x − = ln x − ∫ dx + C , ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 x 2 2 2 2 x x и, окончательно ∫ x ln x dx = ln x − + C . 2 4 60

2

Рассмотрим определенный интеграл от этой функции

 x ln x dx . 1

Первым делом надо обратить внимание на то, чтобы подынтегральная функция была определена на всем промежутке интегрирования. В данном примере это условие выполнено, и поэтому 2

 x ln x dx  1

x2 x2 2 ln x 1  2 4

2

1

3  2ln 2  . 4

Пример 4.2. Требуется найти неопределенный интеграл x3  ( x 2  3 x  2)( x  1)( x2  2  1) dx . Под интегралом стоит дробно-рациональная функция, и поэтому процесс взятия в особом рассмотрении не нуждается – берем интеграл по «инструкции». Поскольку степень многочлена в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, то необходимость деления числителя на знаменатель отпала. Разложим знаменатель на произведение скобок, согласно теореме Безу ( x 2  3 x  2)( x  1)( x 2  x  1)  ( x  2)( x  1) 2 ( x 2  2  1) . Каждой скобке в разложении отвечает простейшая дробь: A скобке (x – 2) отвечает дробь , x2 B C скобке (x – 1)2 отвечает сумма дробей  , 2 ( x  1) x 1 Dx  E . x2  x  1 Числители всех дробей содержат произвольные, пока неопределенные, коэффициенты A, B, C, D, E Итак, мы имеем разложение подынтегральной функции на простейшие дроби x3 A B C Dx  E     2 . 2 2 2 ( x  3 x  2)( x  1)( x  x  1) x  2 ( x  1) x 1 x  x  1

скобке (x2 + x + 1) отвечает дробь

61

Приводя все дроби к общему знаменателю и, приравнивая коэффициенты в числителе при одинаковых степенях x, стоящих в левой и правой частях предыдущего равенства, получим систему для нахождения произвольных постоянных  A  C  D  0;  A  B  2C  4 D  E  0;  .  B  5 D  4 E  0;  A  B  C  2 D  5E  1;   A  2 B  2C  2 E  3.

Подсчитав число уравнений и неизвестных, убеждаемся в том, что их число одинаково, и поэтому нет необходимости искать ошибки на предыдущих этапах решения. Решаем систему и определяем все произвольные (до сей поры) постоянные 5  A  7 ,  B   1 ,  7  1  C   , . 3   8 D   , 21  1   E   7 . Последний шаг состоит в том, что мы, используя «таблицу» интегралов, пишем окончательно ответ (не забывая о произвольной постоянной): x3  ( x 2  3x  2)( x  1)( x 2  x  1) dx  

5

1

  7( x  2)  7( x  1)

2



 1 8x  3  dx = 2 3( x  1) 21( x  x  1)  62

5 1 1 1 4 = ln x − 2 + − ln x − 1 − ln x2 + x + 1 + 7 7 x −1 3 21 2 1 ⎛ ⎞ 3arctg ⎜ (2x + 1) 3 ⎟ + C. + 63 3 ⎝ ⎠ Пример 4.3. Рассмотрим тригонометрический интеграл 1

∫0 sin

2

x dx .

Если мы будем его брать по «инструкции», то придем к необходимости брать интеграл (№ 14 в списке табличных интегралов), который приводит к довольно длинной цепочке преобразований. В преобразованиях нет ничего страшного, но их количество повышает вероятность появления арифметической ошибки. Воспользуемся тем, что в тригонометрии есть множество формул, и одна из них годится для решения нашего примера. 1 − cos 2 x , то наш интеграл превращается в Так как sin 2 x = 2 сумму двух «табличных» интегралов 1 1 1 1 1 2 x dx = dx − cos 2 x dx sin ∫0 2 ∫0 2 ∫0 и ответ не представляет труда записать в виде 1 1 1 2 ∫0 sin x dx = 2 − 4 sin 2 . Используя этот путь, мы минуем этап «обратной» подстановки (в случае неопределенного интеграла), и нам нет необходимости отыскивать новые нижний и верхний пределы интегрирования (в случае определенного интеграла). (Читатели нас простят, что мы интеграл от косинуса двойного угла назвали «табличным».) Проверка (этап 5 решения) заключается во взятии производной от «ответа» и в сравнении полученного выражения с исходным – они должны быть тождественны. Пример 4.4. Найти производную интеграла от параметра y2

∫ tg ( xy)dx . y

63

Поскольку параметром в данном примере служит переменная y, чисто формально применим для нахождения производной формулу Ньютона–Лейбница (4.4):

d dy

y2

y2

∫ tg ( xy)dx = ∫ cos y

x dx + tg ( y 3 ) ⋅ 2 y − tg ( y 2 ) ⋅ 1 . ( xy )

2

y

4.3. Задачи для самостоятельного решения

Найти сначала неопределенный интеграл, а в задачах с указанb

ными значениями a и b вычислить определенный

∫ f ( x) dx : a

4.14. ∫ x arcsin x dx .

2

4.1.

x −1 dx , a=1, b=2. x3

∫

4.15. ∫ x 3 ln (x +1) dx . −x 2 5 x e

ln (ln x ) dx , a=1, b=e. x 4.3. ∫ 1 − 2 x dx , a= –1, b=0. ln 2 x 4.4. ∫ dx . x 4.5. ∫ sin x cos 2 x dx , a=0, b=π.

4.2.

∫

4.16. ∫ dx . 4.17. ∫ x cos 2 x dx . 4.18. ∫ e3 x cos x dx , a=0, b= 4.19. ∫ xe x sin x dx .

4.6. ∫ sin 2 x ⋅ cos3 x dx .

4.20. ∫ ln⎛⎜ x + 1 + x 2 ⎞⎟ dx . ⎝ ⎠ 4.21. ∫ ln(sin x ) ctg x dx .

4.7. ∫ x + 1 x dx , a=0, b=3. 4.8. ∫ cos 3 x dx .

(

2

5

4.22. ∫ ln(sin x ) tg x dx .

)

x −1 dx . x − 5x + 6 2x + 3 4.24. ∫ 3 dx . x + x2 − 2x x dx . 4.25. ∫ 2 ( x − 3x − 10)( x + 2)

4.9. ∫ cos x + sin x dx .

4.23. ∫

4.10. ∫ x(6 x − 5)10 dx .

( )

4.11. ∫ x 3 ln x 4 dx . 4

x dx , a= –2, b=0. x + 27 4.13. ∫ arctg x dx . 4.12. ∫

π . 2

3

64

2

4.26. ∫

x3 − 8 dx . x3 + 2x 2 + x + 2 ( x 2 + x)(1− x)

4.27. ∫

2

( x +1)( x + 2)

4.28. ∫

dx , a= 1, b=2.

x5 dx . ( x + 1)( x 2 − 1) 2

4.37. ∫

4x2 − 1 dx , a= 1, b=3. x

4.38. ∫

x +1 1 dx . x x2

x2 + 1 4.29. ∫ 3 dx . ( x − 1)( x 2 − 7 x + 6)

4.40. ∫

x4 4.30. ∫ 2 dx . ( x + x + 1)( x 2 − 1)

4.41. ∫

x3 ( x 2 − 5x + 4) 4.31. ∫ ctg x + 2 dx . ( x − 4 x + 3)( x − 1)3

4.42. ∫

4.32. ∫

x + x2 − 1 x2 − 1

x2

4.33. ∫ 4.34. ∫

4 − x2

dx .

dx , a= –1, b=0.

x + − x2 − x + 1 dx . 1+ x

4.35. ∫ x 2 + 2 x + 4 dx . 4.36. ∫ x − x 2 + 1 dx .

x +1

4.39. ∫

x x −1

dx .

x+5 dx , a= 2, b=5. x 1 x3 dx . x x +1

x (x − 1)dx . x +1

4.43. ∫

dx . 2 + sin x

4.44. ∫

sin 2 x + cos x dx . tg x

3sin x dx . 1 − sin x cos x dx . 4.46. ∫ 2 + cos x 5 dx . 4.47. ∫ 8 − 4 sin x + 7 cos x

4.45. ∫

Найти производную по параметру: 3

4.1

2 ∫ cos ln( x ctg y)dx .

α2

4.3

2

e

y2

4.2

∫ sin

∫

2

xye x y dx .

4

(α x + α ) dx .

α

eα

4.4

cos y

3

∫ 2

α +α +α+1

65

sin(α x 2 ) dx .

x cos x

4.5

x 2 y 2 xy dy .

∫

ctg( αeα )

4.9

∫

1− x 2

tg α

eα −α3

4.6

∫

cos(α 2β3 ) d β .

α 3 − eα ex

4.7

2

∫e

x+ y x2 + y 2

1

x

α

4.10 ∫ cos2 (α x)dx + ∫ cos3 (α x2 )dx. −1

α x sin x

dy .

4.11

∫

x

e− x

4.8

cos(αβ3 ) d β .

x 2 ye xy dy.

2

x

∫ sin( xy ) dy .

2ln x

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1 Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1. СПб.: Лань, 2006. 3 Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. СПб.: Лань, 2006. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1. М.: Физматлит, 1985. 5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. М.: Физматлит, 1972.

66

Глава 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5.1. Определения, основные теоремы и формулы

Кратные интегралы имеют вид: ∫∫ ...∫ f ( x1 , x2 ,..., xn ) dx1dx2 ...dxn или V

∫ ...∫

f ( M ) dV ,

V

где размерность области интегрирования V определяется количеством аргументов у функции f(x1,x2,…,xn). Все свойства кратных интегралов аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Выделим только одно: если область интегрирования V представима в виде объединения пересекающихся только по границам подобластей {V k}, то ∫ ...∫ f ( M ) dV = ∑ ∫ ...∫ f ( M ) dV . V

k

Vk

Взятие двойных интегралов можно проводить по следующей схеме. Рассматривается сначала область интегрирования и выясняется, к какому из трех типов (рис 5.1) принадлежит область интегрирования.

Рис. 5.1

1. Область V относится к первому типу (рис. 5.1, а). В этом случае используется формула, называемая «формулой повторного интегрирования»: b d d b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (5.1) f x , y dxdy = f x , y dy dx = ( ) ( ) ⎟⎟ ∫∫V ∫a ⎜⎜ ∫c ∫c ⎜⎜ ∫a f ( x, y ) dx ⎟⎟ dy . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 67

2. Область V относится ко второму типу (рис. 5.1, б). В этом случае искомый интеграл вычисляется по формуле b ⎛ yв ( x ) ⎞ f x , y dxdy = (5.2) ∫∫V ( ) ∫a ⎜⎜ y ∫x f ( x, y ) dy ⎟⎟ dx . ( ) ⎝ н ⎠ Замечание. Если для областей первого типа не важен порядок интегралов, то менять порядок интегрирования для областей второго типа чисто механически нельзя! 3. Область V относится к третьему типу (рис. 5.1, в). В этом случае рекомендуется сделать переход к полярным координатам x = r cos ϕ, y = r sin ϕ и применить формулу

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r drd ϕ . V

(5.3)

V∗

Область интегрирования V* относится к первому типу (см. рис. 5.1, а). Взятие тройных интегралов происходит по аналогичной схеме. 1. Если область интегрирования имеет вид прямого параллелепипеда (рис. 5.2), то b⎛d g ⎛ ⎞ ⎞ (5.4) то ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = ∫ ⎜ ∫ ⎜ ∫ f ( x, y , z ) dz ⎟ dy ⎟ dx . ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ V a⎝c⎝e ⎠ ⎠

z g e a

b d

c

x

y Рис. 5.2

2. Если область интегрирования можно представить в виде, изображенном на рис. 5.3, где уравнения нижней и верхней «граней» соответственно z = zн(x,y) и z = zв(x,y), то 68

∫∫∫ V

⎛ zв ( x , y ) ⎞ f ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫ ⎜ ∫ f ( x, y, z ) dz ⎟ dxdy . ⎟ ⎜ S ⎝ zн ( x , y ) ⎠

(5.5)

z

y x

Рис. 5.3

3. Если область интегрирования представима в виде, представленным рис. 5.4, то ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = V

r1

θ1

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = ∫ ⎜ ∫ ⎜ ∫ f ( r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ ) r 2 sin θ d ϕ ⎟ d θ ⎟dr . (5.6) ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ r0 ⎝ θ0 ⎝ ϕ0 ⎠ ⎠ ϕ1

z

θ r

C

dr

dθ

0

y

ϕ dϕ

x Рис. 5.4 69

Поскольку в курсах высшей математики для инженерных специальностей ограничиваются обычно двойными и тройными интегралами, то мы приведем только формулу для вычисления кратных интегралов ∫ … ∫ f ( x1, x2 ,..., xn ) dx1dx2 ...dxn при замене переменных V

⎧ x1 = ϕ1 ( ξ1 ,..., ξ n ) , ⎪ ⎨........................... . ⎪ x = ϕ ξ ,..., ξ . n( 1 n) ⎩ n Эта формула имеет вид: ∫ ...∫ f ( x1, x2 ,..., xn ) dx1dx2 ...dxn = V

(

)

= ∫ ...∫ f ϕ1 ( ξ1, ..., ξn ) ,..., ϕ2 ( ξ1 ,..., ξn ) ⋅ J d ξ1...d ξn , V∗

где V* – область, в которую перешла исходная область интегрирования при указанной замене, а J, называемый «якобианом преобразования», вычисляется по формуле: ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ... ∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξn

∂ϕ2 ∂ϕ2 ∂ϕ2 ... J = ∂ξ1 ∂ξ 2 ∂ξn . .......................... ∂ϕn ∂ϕn ∂ϕn ... ∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ n

(5.7)

5.2. Примеры решения задач Пример 5.1. Найти двойной интеграл {0 ≤ x ≤ 1; 1 ≤ y ≤ 2} ∫∫ x sin( xy ) dx dy .

по

области

D:

D

Поскольку область интегрирования относится к первому типу (см. рис. 5.1, а), то мы вправе выбирать любой порядок интегрирования. Однако если мы представим двойной интеграл в виде 70

2

1

∫∫ x sin( xy) dx dy = ∫ dy ∫ x sin ( xy) dx , то нам предстоит достаточно D

1

0

1

долгая процедура взятия интеграла ∫ x sin xy dx . Поэтому восполь0

зуемся возможностью поменять порядок повторного интегрирования и представим двойной интеграл в виде 1

2

∫∫ x sin( xy) dx dy = ∫ dx ∫ x sin ( xy) dy . D

0

1

Этап 4 решения задачи заключается во взятии двух «табличных» интегралов: 1

1

2

∫∫ x sin( xy) dx dy = −∫ cos ( xy) 1 dx = ∫ (cos x − cos 2 x) dx = D

0

0

1

1 1 ⎛ ⎞ = ⎜ sin x − sin 2 x ⎟ = sin1 − sin 2 . 2 2 ⎝ ⎠0

Пример 5.2. Взять тройной интеграл

∫∫∫ ( x

2

+ y 2 + z 2 ) dv , где

V

область V – верхняя полусфера радиуса 3 с центром в начале координат (рис. 5.5) Поскольку область интегрирования отz носится к третьему типу (см. рис. 5.4), применим для нахождения интеграла стан3 дартный способ, а именно перейдем к сферическим координатам: x = rsinθcosφ, y x Рис. 5.5 y = rsinθsinφ, z = rcosθ. Сделаем замену переменных в подынтегральной функции x2 + y2 + z2 = (r sinθcosφ)2 + (r sinθsinφ)2 + (rcosθ)2 = r2, а также не забудем о якобиане J = r2sinθ. Формула для вычисления интеграла принимает вид: 3

π 2

2π

0

0

2 2 2 4 ∫∫∫ ( x + y + z )dv = ∫ dr ∫ d θ ∫ r sin θ d ϕ = 2π V

0

71

35 . 5

5.3. Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы: 25 4 4 ⎞ ⎛ 5.1. ∫∫ ⎜ 6 x 2 y 2 + x y ⎟ dxdy , D – область, определяемая сис3 ⎠ D ⎝ темой x = 1, y = x2, y = − x . xy

5.2.

∫∫ 6 ye 3 dxdy , где D – область, определяемая системой: D

5.3.

x = 3, x = 6, y = ln2, y = ln3. ∫∫ y sin xydxdy , где D – область, определяемая системой: D

π , y = π. 2 5.4. ∫∫∫ 2 y 2 ze xyz dxdydz , где V – область, определяемая систеx = 1, x = 2, y =

V

мой: x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1. 5.5. ∫∫∫ (15 x + 30 z ) dxdydz , где V– область, определяемая сисV

темой: x = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = x2 + 3y2. 5.6. ∫∫∫ 1 + 2 x 3 dxdydz , где V– область, определяемая систе-

(

)

V

мой: x = 1, y = 0, y = 9x, z = 0, z = xy . 5.7.

∫∫∫ x

2

z sin xyz dxdydz , где V– область, определяемая сис-

V

темой: x = 0, x = 2, y = 0, y = π, z = 0, z = 1. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: 5.8. y = 6 − x 2 , y = 6 − 6 − x 2 . 3 3 x, y= 5.9. y = , x = 9. 2 2x 5.10. x = 0, z = 0, x = 2, z = e x . x 5.11. y 2 − 2 x + x 2 = 0 , y 2 − 4 x + x 2 = 0 , y = , y = 3x . 3 72

5.12. y 2 − 4 y + x 2 = 0 , y 2 − 8 y + x 2 = 0 , y = x, x = 0. 3 5.13. y = , y = 8e x , y = 3, y = 8. x Пластина D задана ограничивающими кривыми, ρ – поверхностная плотность. Найти массу: 5.14. D: x = 1, y = 0, y2 = 4x, y ≥ 0; ρ = 6x +3y2. 5.15. D: y2 = 10x + 25, y2 = –6x + 9; ρ = 2y2. x+ y . 5.16. D: x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 9 , x ≥ 0, y ≥ 0; ρ = 2 x + y2 x2 y2 5.17. D: + ≤ 1 ; ρ = x4. 4 25 x2 y 2 + ≤ 1 , x ≥ 0, y ≥ 0; ρ = x3y. 5.18. D: 4 9 Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 5.19. y = 15 x , y = 15 x , z=0, z = 15(1 + x ) . 5.20. y = −3 x 2 + 5 , y = 2, z = −1 + 5 x 2 + y 2 , z = 3 + 5 x 2 + y 2 . 5.21. z =

4 − x2 − y2 , z = x2 + y 2 . 9

(

)

5.22. z = 4 − 6 x 2 + y 2 , z = 12y + 4. 2

2

5.23. y + x = 4 x , z = 10 – y2, z = 0. 5.24. z = 16 − x 2 − y 2 , 6z = x 2 + y 2 . 5.25. x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x 2 + y 2 + z 2 = 16 . 5.26. x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 x Тело V задано ограничивающими его поверхностями, ρ – плотность. Найти массу: 5.27. x = 0, x = 3, y = 0, y = 4, z = 0, z = 2; ρ = x + y + z . 5.28. z = 1 − x 2 − y 2 , z = 0; ρ = 5 z . 5.29. x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x 2 + y 2 = z 2 , x = 0, y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; ρ = 32 z .

73

5.30. x 2 + y 2 + z 2 = 4 , x 2 + y 2 = z 2 , x = 0, y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; ρ = 6z . 16 2 2 4 z , x + y 2 = z , x = 0, y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; 5.31. x 2 + y 2 = 49 7 ρ = 80 yz . РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. СПб.: Лань, 2006. 3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. М.: Физматлит, 1972.

74

Глава 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 6.1. Определения, основные теоремы и формулы

Для существования определенного интеграла необходимо выполнение двух условий: ограниченности промежутка [a,b] (для того чтобы была возможность разбить его на конечное число отрезков, длины которых не превышают некоторого числа Δ ) и ограниченности функции f(x). При нарушении какого-либо условия или обоих сразу появляется необходимость в двух несобственных интегралах. Определение 6.1. Пусть функция f(x) определена на промежутAk

ке [a, ∞ ) . Рассмотрим последовательность

∫ f ( x ) dx

для Аk, стре-

a

мящихся к бесконечности. Если эта последовательность имеет предел, то он называется несобственным интегралом первого рода и ∞

обозначается

∫ f ( x ) dx . a

Схожим образом определяется несобственный интеграл и в случае промежутка (− ∞, a ] и промежутка (− ∞,+∞ ) . Сходимость (т.е. существование) интеграла обосновывается тремя теоремами: Теорема 6.1 (признак Коши). Если функция f(x) неотрицательϕ( x) на, представима в виде f ( x ) = α , то: x 1) если α > 1 и функция φ(x) ограничена, то интеграл существует (или сходится); 2) если α ≤ 1 и функция φ(x) отделена от нуля, т.е. ϕ ( x ) ≥ ε >0, то интеграл не существует (или расходится). Теорема 6.2 (признак Дирихле). Пусть имеем две функции f(x) и g(x), определенные и непрерывные на промежутке [a, ∞ ) , g(x) – ∞

монотонна. Для сходимости интеграла

∫ f ( x ) g ( x ) dx a

чтобы: 75

достаточно,

A

1) функция Φ ( А ) = ∫ f ( x ) dx была ограниченной функцией от a

А: Φ ( А) ≤ C

( C = const, a ≤ A < ∞ )

(хотя предела limΦ ( А) может A→∞

и не существовать); 2) g (x ) → 0 при x → ∞ . ∞

Теорема 6.3. Если интеграл

∫ f ( x ) dx

существует, то сущест-

a

∞

вует и интеграл

∫ f ( x ) dx . a

Определение 6.2. Пусть функция f(x) определена на промежутке [0, b ] и при x → 0 стремится к бесконечности. Рассмотрим по-

следовательность {εk } , стремящуюся к нулю при k → ∞ , и соотb

ветствующую последовательность интегралов

∫ f ( x ) dx . Если по-

εk

следняя последовательность имеет предел, то он носит название несобственного интеграла второго рода и имеет обозначение b

∫ f ( x ) dx . 0

Замечание. Если несобственный интеграл первого рода имеет характерную отметку ∞, то интеграл второго рода ничем внешне не отличается от обыкновенного интеграла. Чтобы установить, имеем ли мы дело с несобственным интегралом, требуется заглянуть «внутрь» его. Для установления сходимости интеграла второго рода используется признак Коши. Теорема 6.4 (признак Коши). Если функция определена на ϕ( x) промежутке [0, b ] и подынтегральная функция имеет вид α , то: x 1) при α < 1 и функция φ(x) ограничена, и интеграл существует; 2) при α ≥ 1 и функция φ(x) в окрестности точки 0 отделена от нуля (т.е. ϕ ( x ) ≥ ε > 0 ), и интеграл не существует. 76

В общем случае необходимо анализировать все точки, в которых подынтегральная функция не ограничена, и каждую такую точку рассматривать отдельно. Полезной как для интеграла первого рода, так и второго является теорема сравнения. Теорема 6.5. Если подынтегральная функция положительна, то имеет место следующее утверждение: если f ( x) ≥ ϕ( x) , то из схоb

димости интеграла

∫ f ( x ) dx

следует сходимость интеграла

a

b

b

∫ ϕ ( x ) dx , а из расходимости интеграла

∫ ϕ ( x ) dx

a

следует расходи-

a

b

мость интеграла

∫ f ( x ) dx . Здесь а и b могут быть «равны» бескоa

нечности. Фигурирующие в теореме сравнения функции ϕ( x) и f ( x) называются, соответственно, минорантой и мажорантой. 6.2. Примеры решения задач

sin 2 x dx . 2 1 x Признак Дирихле сразу дает ответ – интеграл сходится, так как ∞

Пример 6.1. Исследовать сходимость интеграла

g ( x) =

∫

A 1 → 0 при x → ∞ и Φ ( А) = ∫ sin 2 x dx ≤ 1 . 2 x 1

Не вздумайте применить признак Коши – подынтегральная функция не является положительной (или отрицательной)! ∞ sin x Пример 6.2. Исследовать сходимость интеграла ∫ dx . x 1 Поскольку интеграл является интегралом от положительной функции, переберем все указанные в п. 6.1 способы исследования сходимости несобственных интегралов первого рода. Признак Ко77

ши не решает вопроса, так как функция sin x , стоящая в числителе подынтегрального выражения, не «отделена» от нуля. Попытаемся найти миноранту (тем самым мы подозреваем, что sin x sin 2 x ≥ . интеграл расходится) x x ∞ ∞ sin 2 x 1 1 − cos 2 x dx = ∫ dx можно разПолученный интеграл ∫ 21 x x 1 ∞

бить на два интеграла

∞

1 1 1 cos 2 x dx и ∫ dx . Первый интеграл ∫ 21 x 21 x

расходится, так как выполнены все условия применимости признака Коши: α = 1, ϕ( x) = 1 отделена от нуля. Второй интеграл сходится (по признаку Дирихле). Разность расходящегося и сходящегося интегралов дает расходящийся интеграл. Тем самым, мы установили, что интеграл от ми∞ sin x dx также норанты расходится и, следовательно, интеграл ∫ x 1 расходится. 6.3. Задачи для самостоятельного решения

Исследовать сходимость интегралов: ∞ x2 + 3 dx . 6.1. ∫ 3 6.5. x + 3x + 4 0 ∞

6.2.

∫x 1

∞

6.3.

∫ 0

+ x2 + x + 1

sin 2 3x 3

4

x +2

∫ xe

6.6.

dx .

∫ 0

6.7.

∫

∞

3 2

1 2

e

− x 2 −1

(

) 5

1+ 3 x 4

∞

6.8. ∫ sin x 2 dx .

0

0

78

dx .

x + x +1

−∞

6.4. ∫ x 2 e − x dx .

e− x dx . + 10 x + 1

2 − sin x 2

+∞

dx .

−x

1

∞

x 3

∞

dx .

1

∞

6.9. ∫ cos x3 dx .

6.19. ∫

0 sin 2 x ⋅ 1 2 3

0

∞

6.10.

∫

sin x 2

0

x ln ( 41 − x )

∞

6.11.

1 dx . 2+ x

3 2

∫

x4

0

1

6.22.

5

1

6.15.

∫

−1 1

6.16.

∫ 0

0

6.17.

∫

−2

x

6 5

1− x x

1 − x2

dx . dx .

16 − x

1

6.26.

x3 4

x3 − x 2 3 2

⎛π ⎞ x cos ⎜ − x ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 ln (1 + x ) 6.23. ∫ dx . 5 0 2 x 1 tg x 6.24. ∫ 3 dx . 0 x2 1 tg x 6.25. ∫ 5 dx . 3 0 2 x + x2

dx .

1

∫ 0

cos x sin x dx . x x 0 cos x

)

0

∫ ∫

dx .

6.21. ∫ x 3 ln x 3 dx .

dx .

∞

∞

(

0 1

cos 2 x dx . 6.12. ∫ 2 x + 5 x + 11 −∞

6.14.

x

6.20. ∫ x ln x + x dx .

0

6.13.

x2 + x

∫

ln x 2 − x

(

0

dx .

x

1 2

dx .

) dx .

2

6.18.

x 2 − 3x ∫0 sin x ⋅ x dx . РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. СПб.: Лань, 2006. 3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. М.: Физматлит, 1972.

79

Глава 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7.1. Определения, основные теоремы и формулы

Пусть нам задана некоторая кривая Г, заданная векторным уравнением r = r (t ) , или в координатной форме этого уравнения

x = ϕ(t ) , y = ψ (t ) , z = χ (t ) . Значение параметра t = t0 задает начальную точку кривой, а значение параметра t = t1 – конечную точку М1. Пусть в точках М кривой Г задана функция f(М). Введем разбиение {Δsk } кривой Г на криволинейные «отрезки» Δsk . Выберем на каждом криволинейном «отрезке» Δsk точку Мk и N

составим сумму Римана

∑ f ( M ) Δs k

k

.

k =1

Определение 7.1. Если предел интегральной суммы Римана N

∑ f ( M ) Δs k

k

при длинах «отрезков» Δsk , стремящихся к нулю,

k =1

существует и не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек {M k } , то он называется «криволинейным интегралом первого рода от функции f(М) по кривой Г и обозначается

∫ f ( М ) ds .

Г

Если ясно, о каком интеграле идет речь, употребляют термин «криволинейный интеграл». Если неясно, то приходится пользоваться полным названием «криволинейный интеграл первого рода по кривой Г от функции f(M)». Криволинейный интеграл обозначается как ∫ f ( M ) ds или M 0 M1

∫ f ( x, y, z ) ds .

Его свойства те же, что и у определенного интегра-

Г

ла. Специально отметим три: 1)

∫ ds = L ( Г ) , где L( Г ) – длина кривой Г. Г

80

∫ f ( М ) ds = ∫ f ( М ) ds ;

2)

M 0 M1

3)

M1 M 0

∫ f ( М ) ds = ∑ ∫ f ( M ) ds , если кривая Г представима в виде k Гk

Г

объединения набора кривых {Г k } , имеющих общими только граничные точки. Если кривая Г задана параметрически, т.е. x = ϕ ( t ) , y = ψ ( t ) ,

z = χ ( t ) , то для вычисления интеграла удобно воспользоваться формулой ds = dx 2 + dy 2 + dz 2 , и тогда криволинейный интеграл перейдет в определенный интеграл: t1

∫ f (ϕ (t ) , ψ (t ) , χ (t )) t

ϕ′2 ( t ) + ψ ′2 ( t ) + χ′2 ( t )dt .

0

Здесь t0 и t1 – значения параметра t, отвечающие начальной и конечной точкам кривой. Если кривая замкнутая (т.е. любая ее точка может считаться начальной и одновременно конечной), используют обозначение ∫ f ( М ) ds . Г

Определение 7.2. Если в качестве сомножителей в интегральN

ную сумму

∑ f ( M ) Δs k

k

вместо Δsk входят проекции криволи-

k =1

нейного отрезка Δsk на координатные оси, то предел этих сумм определяет набор криволинейных интегралов второго рода и, в случае плоской кривой, они обозначаются ∫ P ( x, y ) dx и ∫ Q ( x, y ) dy . Г

Г

Обычно эти два интеграла соединяют вместе и имеют дело с одним криволинейным интегралом

∫ P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy . Г

81

Свойства этого интеграла те же, что и у интеграла первого рода (за исключением свойства 2). Вместо него имеет место соотношение: ∫ P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = − ∫ P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy . AB

BA

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода используют две возможности: 1) связывают интеграл второго рода с некоторым интегралом первого рода при помощи формул dx = cos α ds и dy = sin α ds , где α – угол между касательной к кривой Г и осью x, т.е. tg α = y ′x . И тогда получают интеграл

∫ P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = ∫ ( P ( x, y ) cos α + Q ( x, y ) sin α ) ds .

AB

AB

Второй способ напрямую связывает вычисление интеграла второго рода с определенным интегралом. Если кривая, по которой производится интегрирование, задана уравнением y = ϕ ( x ) , то

dy = ϕ′ ( x ) dx и b

∫

AB

(

)

P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = ∫ P ( x, ϕ ( x ) ) + Q ( x, φ ( x ) ) ϕ′ ( x ) dx , a

где a и b отвечают началу и концу кривой Г. В случае какого-либо другого способа задания кривой Г ищите возможность выразить дифференциалы dx и dy через дифференциал одной какой-нибудь переменной, не обязательно x или y. Теорема 7.1 (теорема Грина). Если Г – граница области D и функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны, вместе со своими частными производными первого порядка, в замкнутой области D+Г, то имеет место равенство: ⎛ ∂Q ∂P ⎞ ∫Г P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = ∫∫D ⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎠ dxdy , где S – область внутри кривой Г. Теорема 7.2. Если во всей области D выполнено соотношение ∂P ∂Q = , то: ∂y ∂x 82

а) интеграл

∫ P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy

по любой замкнутой кри-

Г

вой Г, целиком лежащей в области D, равен нулю; б) интеграл

∫ P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy

по любой кривой, соеди-

AB

няющей точки А и B, равен одному и тому же числу; в) интеграл

∫ P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy

может рассматриваться как

AB

функция конечной точки кривой AB , т.е. являться функцией двух переменных x и y, где x и y – координаты конечной точки кривой AB . Теоремы 7.1 и 7.2 очень важны при решении большинства задач на взятие криволинейных интегралов или задач, связанных с ними. Одной из таких задач является задача о нахождении потенциала по силовому полю. Определение 7.3. Потенциалом силового поля F = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) j называется функция U(x,y), удовлетворяющая тождествам: ∂U ∂U = P ( x, y ) , = Q ( x, y ) . ∂y ∂x Условием существования потенциала вновь является условие ∂P ∂Q = , где в качестве функций P(x,y) и Q(x,y) выступают ком∂y ∂x поненты «силового» вектора F . Если установлено существование потенциала, то его выражение находится при помощи криволинейного интеграла второго рода U (x, y ) = ∫ P (x, y ) dx + Q (x, y )dy ,

(7.1)

AB

где А – произвольно выбранная точка, а кривая AB – любая кривая, соединяющая точки А и B(x,y). 83

7.2. Примеры решения задач Пример 7.1. Найти криволинейный интеграл ∫ ( x 2 + y 2 ) dx + 2 yxdy по Г

кривой Г, соединяющей точки A(0,0) и Е(0,2) и изображенной на рис. 7.1. Поскольку кривая не замкнута, да Рис. 7.1 еще имеет «замысловатый вид», прямой способ взятия интеграла отпадает. Проверим выполнение ус∂P ∂Q = (здесь P = x2 + y2, Q = 2yx). Так как оно выполнено, ловия ∂y ∂x мы можем вместо исходной кривой Г взять удобную для нас другую кривую Г1, изображенную на рис. 7.1, и после этого, учитывая, что на этой кривой dx = 0, получим представление криволинейного интеграла в виде одного простого интеграла. На этапе 4 решения проводим все преобразования и вычисления (без лишних уже слов): 2

∫(x Г

2

)

+ y 2 dx + 2 yxdy = ∫ 2 yxdy = 0 , 0

так как на отрезке Г1 x = 0. Несколько слов о приближенных методах вычисления определенных интегралов. Все они основаны на отказе от предельного перехода в суммах Римана и сводятся к конечному суммированию некоторых вполне определенных слагаемых. Точность приближенного интегрирования связана с одним или несколькими параметрами, называемыми шагом или шагами интегрирования, Процедура приближенного взятия интегралов позволяет вычислять интегралы с любой степенью точности. Это, в свою очередь, позволяет решение какой-либо задачи, представленное в виде интегралов, считать полученным. (Подробно об этом говорится в курсе «Вычислительная математика».) Пример 7.2. Найти потенциал силового поля F = y cos( xy ) i + x cos( xy ) j . 84

Сначала проверим, является ли силовое поле потенциальным. ∂Fx ∂Fy Условие потенциальности – это выполнение равенства = . ∂y ∂x Для нашего силового поля ∂Fx ∂ ( y cos( xy)) = = cos( xy) − xy sin( xy) , ∂y ∂y ∂Fy

∂ ( x cos( xy )) = cos( xy ) − xy sin( xy ) ∂x ∂x и условие потенциальности выполнено. Поскольку условие потенциальности одновременно является условием независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, то в формуле (7.1), дающей выражение для потенциала, мы можем выбрать путь интегрирования, изображенный на рис. 7.2. y B Начальная точка пути интег(x, y) y рирования может быть выбрана произвольно и мы в этом качестве выбрали начало координат. Проведя интегрирование в A x формуле (7.1) и учитывая что 0 x Рис. 7.1 на отрезке АB dx = 0 и x = const, а на отрезке ОА dy = 0 и y = 0, получим ответ: U = sin(xy). Проверка заключается во взятии частных производных от полученного выражения для потенциала и в сравнении их с компонентами исходного силового поля. =

7.3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы: 7.1. ∫ xds , где Г – кривая y = x2, x ∈ [0,1]. Г

7.2.

∫ 2 xyds , где Г – четверть эллипса Г

первом квадранте. 85

x2 y 2 + = 1 , лежащая в 4 9

7.3.

∫ ( x + z )ds , где Г – дуга кривой x = t, y = Г

7.4.

2

, z = t3, 0 ≤ t ≤ 1.

ydy , где Г – кривая y = x2, x ∈ [0,1].

x dx +

∫

3t 2

Г

7.5.

⎧ x = a cos t ,

∫ ydx − xdy , где Г – дуга эллипса ⎨⎩ y = b sin t ,

0 ≤ t ≤ 2π.

Г

7.6.

2

∫ x dx − y

2

xdy , где Г – кривая, заданная уравнением

Г

1 , 0 ≤ x ≤ 2. 1 − e2 sin 2x ⎞ ⎛1 7.7. ∫ y sin 2 xdx + ⎜ x − ⎟ dy , где Г – отрезок прямой, со4 ⎠ ⎝2 Г y = (1 − e x ) ⋅

единяющий точки А(0,0), В(1,1). 7.8. ∫ yxdx −( x 2 + y 2 ) dy , где контур Г представлен на рис. 7.3. Г

2 1 1

A

2

Рис. 7.3

7.9.

C Г B 2

3

Рис. 7.4

∫ sin( x + y )dx + cos( x + y )dy , где контур Г представлен на Г

рис. 7.4. 7.10. ∫ x 2 dx −xydy , где контур Г представлен на рис. 7.5. Г

2

Г

1 1

y = (x – 1)2 + 1 2

Рис. 7.5 86

7.11.

∫x Г

2

1 y 3 dy + x3 y 2 dx , где контур Г представлен на рис. 7.6. 3

D

C

4

A Рис. 7.6

–1

1

B 2

1

Найти потенциал силового поля: 7.12. F = xy 2i + x 3 y j . 7.13.

F = 2 x 2 y 3i + 2 x 3 y 2 j .

7.14.

F = x 2 y i − ( y 2 − yx) j .

7.15.

F = x cos xy j + y cos xy i .

7.16.

F = sin( x 2 + y 2 ) y i + cos( x 2 + y 2 ) x j .

⎛ x3 ⎞ F = (x3 + x2 y + xy2 ) i + ⎜ + α x2 y ⎟ j , при каком α это воз⎝3 ⎠ можно?

7.17.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. СПб.: Лань, 2006. С. 137–178, 212–370. 3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.: Физматлит, 1972. С. 160–253.

87

Глава 8. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 8.1. Определения, основные теоремы и формулы Стандартное представление кривых, к которым сводятся любые формы их задания, имеет вид: ⎧ x = ϕ(t ) , ⎪ r = r (t ) или ⎨ y = ψ ( t ) , (8.1) ⎪ ⎩z = χ (t ) , Стандартное представление поверхностей, к которым сводятся любые формы их задания, имеет вид: ⎧ x = ϕ ( u, v ) , ⎪ (8.2) r = r (u , v ) или ⎨ y = ψ ( u , v ) , ⎪ ⎩ z = χ ( u, v ) . Векторные функции можно дифференцировать по тем же правилам, что и обыкновенные, так как они, по сути, есть не что иное, как две обыкновенные функции для векторов на плоскости и три – для векторов в пространстве. Рассмотрим сначала кривые. Отметим на рассматриваемой кривой какую-либо произвольную точку М0 и введем естественную параметризацию этой кривой, выбрав в качестве параметра длину дуги от точки М0 до произвольной точки М(x,y,z) этой кривой. По формуле t1

s = ∫ ϕ′2 ( t ) + ψ′2 ( t ) + χ′2 ( t )dt

(8.3)

t0

найдем зависимость s от t. Обратив эту функцию, получим зависимость t = g(s) и, таким образом, получим уравнение кривой в натуральных координатах r = r (g (s )) или в координатной записи ⎧ x = ϕ ( g ( s )) , ⎪⎪ ⎨ y = ψ ( g ( s )) , ⎪ ⎪⎩ z = χ ( g ( s ) ) . 88

Формулы Френе позволяют построить систему координат, привязанную к рассматриваемой кривой и меняющуюся от точки к точке этой кривой. В этом ее принципиальное отличие от неподвижной декартовой системы координат. Рассмотрим некоторую точку М0 кривой: dr = τ0 , где τ0 – единичный вектор, направленный вдоль ка1) ds сательной к кривой в точке М0; d τ0 2) = k n0 , где n0 – единичный вектор, перпендикулярный ds вектору τ0 , а k – кривизна кривой в точке М0; dn0 = − k τ0 + æ b0 где b0 – единичный вектор, называемый 3) ds «бинормалью», а коэффициент æ носит название «коэффициента кручения»; 4) последнее уравнение в системе уравнений Френе имеет вид: db0 = − æ n0 . ds Построенная тройка единичных векторов τ0 , n0 и b0 образует базис, называемый трехгранником Френе. Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны, и механическим аналогом этой величины является максимальный радиус колеса, которое может без толчков двигаться по кривой в окрестности точки М0. Стандартное представление поверхностей имеет вид r = r ( u, v ) . Частные производные от уравнения r = r (u , v ) по u и v в точке поверхности М0(u0,v0) определяют два вектора Э1 и Э2 , которые вместе с точкой М0 задают касательную плоскость к поверхности в точке М0. Ее уравнение r − rM 0 = uЭ1 + vЭ2 . Вектор [Э1 , Э2 ] – векторное произведение векторов Э1 и Э2 , определяет направление нормали к поверхности в точке М0. 89

Если уравнение поверхности задано в виде z = f ( x, y ) , то направление нормали N в точке поверхности z = f ( x, y ) совпадает с градиентом функции ϕ ( x, y , z ) = z − f ( x, y ) , т.е. можно положить N = grad ϕ . Первая квадратичная форма Гаусса для поверхности, заданной ⎧ x = ϕ ( u, v ) , ⎪ уравнениями ⎨ y = ψ ( u , v ) , в точке поверхности определяется мат⎪ ⎩ z = χ ( u, v ) , ⎛E F⎞ рицей A = ⎜ ⎟ , где ⎝F G⎠ 2 2 2 ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂χ ⎞ E =⎜ ⎟ +⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ , ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂u ⎠ 2

2

2

⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂χ ⎞ G =⎜ ⎟ +⎜ (8.4) ⎟ +⎜ ⎟ , ⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂v ⎠ ∂ϕ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂χ ∂χ + + F= . ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v Квадратичная форма Гаусса имеет вид: Edϕ2 + 2Fdϕdψ + Gdψ2. (8.5) Элемент длины элементарного отрезка, лежащего на поверхно⎧ x = ϕ ( u, v ) , ⎪ сти, заданной системой уравнений ⎨ y = ψ ( u , v ) , определяется че⎪ ⎩ z = χ ( u, v ) , рез элементы первой квадратичной формы Гаусса выражением

ds = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 . Длина кривой, задаваемой уравнениями u = ϕ ( t ) , v = ψ ( t ) , а ⎧ x = ϕ ( u, v ) , ⎪ стало быть, лежащей на поверхности ⎨ y = ψ ( u , v ) , имеющей нача⎪ ⎩ z = χ ( u, v ) , ло в точке М0(t0) и конец в точке М1(t1), вычисляется по формуле 90

t1

L = ∫ E ϕ′t 2 + 2 F ϕ′t ψ′t + Gψ′t 2 dt . t0

Площадь элементарной площадки, расположенной на поверхности, задаваемой системой ⎧ x = ϕ ( u, v ) , ⎪ (8.6) ⎨ y = ψ ( u, v ) , ⎪ ⎩ z = χ ( u, v ) , вычисляется по формуле

ds = EG − F 2 dudv . (8.7) Рассмотрим интегралы от функций, заданных на поверхности (поверхностные интегралы). ⎧ x = ϕ ( u, v ) , ⎪ Пусть на поверхности ⎨ y = ψ ( u , v ) , задана функция f (x, y, z ) , ⎪ ⎩ z = χ ( u, v ) , т.е. функция точек этой поверхности. Рассмотрим область D, являющуюся частью этой поверхности (рис. 8.1, а). На плоскости S(u,v) этому «куску» поверхности отвечает область S (рис. 8.1, б).

а

Рис. 8.1

б 91

Разобьем кусок поверхности D на элементарные площадки dDk, выберем на каждой элементарной площадке произвольную точку Мk(xk,yk,zk) и составим сумму Римана n

∑1 f ( x , y , z ) dD k

k

k

k

.

(8.8)

k=

Определение 8.1. Предел сумм Римана (8.8) при стремлении площадей всех элементарных площадок к нулю, не зависящий ни от способа разбиения поверхности на элементарные площадки, ни от выбора точек Мk, называется поверхностным интегралом первого рода и имеет обозначение ∫∫ f (x, y , z )ds . D

Используя выражение для площади элементарной площадки ds = EG − F 2 dudv , получим выражение для поверхностного интеграла первого рода

∫∫ f ( ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v) ) dudv . D

Определение 8.2. Если в качестве сомножителей в сумме Римана (8.8) вместо площадей элементарных площадок dDk брать проекции каждой площадки dxdy, dxdz, dydz (см. рис 8.1, а) на координатные плоскости (а таковых в нашем пространстве три), то получатся три поверхностных интеграла второго рода: ∫∫ f ( x, y, z ) dxdy , ∫∫ f ( x, y, z ) dxdz и ∫∫ f ( x, y, z ) dydz . D

D

D

Часто вместо трех интегралов рассматривают одновременно все

∫∫ P ( x, y, z ) dydz + Q ( x, y, z ) dxdz + R ( x, y, z ) dxdy , D

где функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) определены на одной по⎧ x = ϕ ( u, v ) , ⎪ верхности, заданной системой ⎨ y = ψ ( u , v ) , ⎪ ⎩ z = χ ( u, v ) . Для взятия интеграла второго рода надо определиться, в какую сторону направлять нормаль к поверхности, так как от этого выбора зависит не величина косинусов, а их знак. Зачастую различают внешнюю и внутреннюю стороны поверхности и нормали, которые 92

соответственно называются внешней и внутренней. Стороны поверхности отличаются тем, что при попытке перейти с одной стороны на другую направление нормали меняется скачком на противоположное. Поверхности, для которых нельзя различить внешнюю и внутреннюю стороны, называются односторонними (примером такой поверхности является «лист Мебиуса», изображенный на рис. 8.2). При путешествии по поверхности Мебиуса можно выбрать такой маршрут, двигаясь по которому и следя за направлением нормали, обнаруживается, что вернувшись в исходную точку, наш перпендикуляр к поверхности направлен в противоположную сторону от своего первоначального положения. При этом Рис. 8.2 никаких резких изменений (скачков) перпендикуляр не испытывал. Свойства этих интегралов аналогичны свойствам прежних интегралов (двойных, криволинейных и т.д.). Интеграл первого рода сводится к двойному интегралу по области S в плоскости (u,v) путем формальной подстановки в интеграл ∫∫ f ( x, y, z ) ds выражения площади элементарной площадки D

через коэффициенты первой квадратичной формы Гаусса

ds = EG − F 2 dudv ,

∫∫ f ( x, y, z ) ds = ∫∫ f ( ϕ ( u, v ) , ψ ( u, v ) χ ( u, v ) ) D

(8.9) EG − F 2 dudv .

S

Интегралы второго рода вычисляются либо сведением искомого интеграла второго рода к первому при помощи формул dxdy = ds cos( N , k ) , dydz = ds cos( N , i ) , dxdz = ds cos( N , j ) , либо, что самое удобное, записью уравнения поверхности в виде z = z(x,y). Тогда получим, например, ∫∫ R ( x, y, z ) dxdy = ∫∫ R ( x, y, z ( x, y ) )dxdy . D

S

Определение 8.3. Если в области D пространства нескольких переменных (x1, …, xn), являющимися декартовыми координатами, 93

задана функция U (x1, …, xn), то говорят, что в области D задано скалярное поле функции U. Определение 8.4. Если в области D пространства нескольких переменных задана векторная функция a ( x1 , ..., xn ) , то говорят, что в области D задано векторное поле a . В том случае, когда речь идет о трехмерном пространстве, то используются обозначения для координат x, y, z, а для ортов репера – i , j , k . Определение 8.5. В области D , на которой задано скалярное поле функции U (x1, …, xn), может быть определен дифференциальный оператор, называемый градиентом функции U (x1, …, xn) и обозначаемый либо n ∂U grad U = ∑ ek , (8.10) 1 ∂x либо n ∂U (8.11) ∇U = ∑ ek . 1 ∂x Этот дифференциальный оператор ставит в соответствие скалярному полю U векторное поле grad U. n

Определение 8.6. Дивергенцией векторного поля a = ∑ ak ek 1

называется скаляр n

∂ak . (8.12) 1 ∂xk Этот дифференциальный оператор ставит в соответствие векторному полю a скалярное поле div a . Определение 8.7. Ротором векторного поля a называется векторное поле, обозначаемое rot a и определяемое в трехмерном пространстве равенством div a = ∑

i ∂ rot a = ∂x ax

j ∂ ∂y ay 94

k ∂ . ∂z az

(8.13)

Этот дифференциальный оператор ставит в соответствие векторному полю a также векторное поле rot a . Такие выражения имеют дифференциальные операторы в декартовых координатах. В том случае, когда пространство задается не декартовыми координатами, а какими-либо другими, выражения для перечисленных выше операторов меняют свой вид, и для конкретных систем координат их можно найти в справочнике [4]. Если мы проследим за изменением функции u (x1, …, xn), определяющей скалярное поле u, следуя вдоль кривой Г, заданной уравнениями (8.1), или, что то же самое, одним векторным уравнением r = r (t ) , то приращение функции u (x1, …, xn), или скорость ее изменения, определяется «производной по направлению» ∂u n ∂u (8.14) =∑ Ak , ∂e 1 ∂xk где Ak – косинусы углов, образованных единичным вектором касательной r0 к кривой Г с осями координат. Производную по направлению часто удобно использовать в виде ∂u = (grad u , τ0 ) . (8.15) ∂e Из этого выражения для производной по направлению следует, что направление наибольшего роста функции совпадает с направлением градиента этой функции. В любом другом направлении функция растет медленнее. Интегрируя векторное поле a по какому-либо замкнутому контуру Г, получим выражение для «циркуляции вектора a по контуру Г » cirk a =

n

∫ ∑ a dx k

Г

k

.

(8.16)

1

Последнее выражение можно использовать в векторной форме cirk a = ∫ (a ds) , (8.17) Г

где ds – вектор с координатами (dx1, …, dxn). Если нам заданы замкнутый контур Г и векторное поле a , то можно рассмотреть поверхность S, «опирающуюся» на контур Г (рис. 8.3) и рассмотреть выражение 95

∫∫ (a, n

0

)ds .

(8.18)

S

Рис. 8.3

Этот интеграл носит название «поток вектора a через поверхность S». В этом интеграле вектор n0 является вектором единичной нормали к поверхности и в случае задания поверхности неявной функцией ϕ(x1, …, xn) = 0 может быть выражен при помощи градиента этой функции ∇ϕ n0 = . (8.19) ∇ϕ Формула Стокса связывает циркуляцию вектора a по замкнутому контуру Г с его потоком через поверхность S, опирающуюся на контур Г (см. рис. 8.3): cirk a = ∫ (a ds ) = ∫∫ (a n0 )ds . (8.20) Г

S

Если нам задана замкнутая поверхность S и вектор n0 является вектором единичной внешней нормали к этой поверхности, а вектор a ( x, y, z ) образует векторное поле, то справедлива формула, часто называемая формулой Гаусса–Остроградского: (8.21) ∫∫ (a ds )ds = ∫∫∫ div a dv . S

V

Здесь V – объем, ограниченный поверхностью S. 96

8.2. Примеры решения задач Пример 8.1. Построить трехгранник Френе для кривой, заданной в векторной форме r (t ) = sin t i + cos t j + t k . Выразим сначала уравнение кривой в виде r ( s ) , где s – натуральный параметр, выражаемый интегралом (8.3). Для нашей кривой интеграл удается взять и связь между параметром s и параметs . А само уравнение кривой в ром t можно записать в виде t = 2 виде s s s r ( s ) = sin i + cos j+ k. 2 2 2 Тогда первое уравнение из системы Френе дает первый вектор трехгранника dr 1 s 1 s 1 cos sin i− j+ k. τ0 = = ds 2 2 2 2 2 Второе уравнение позволяет сразу найти второй вектор n0 , d τ0 правда, для этого потребуется разделить производную вектора ds на ее модуль: d τ0 1 s 1 s sin cos i− j, =− ds 2 2 2 2

d τ0 1 1 ⎛ s s ⎞ j ⎟. sin i + cos и n0 = − =k = ⎜ ds 2 2 2⎝ 2 2 ⎠ Обратимся к третьему уравнению системы Френе: dn0 = −kτ 0 +æ b0 ds откуда dn æ b0 = 0 + k τ0 = ds 1 s s 1 1 s 1 s 1 = − (cos i − sin j) + ( cos i− sin j+ k)= 4 2 2 2 2 2 2 2 2 97

1 1 s s 1 = cos i − sin j+ k. 4 4 2 2 2 Из последней формулы найдем кручение, при условии, что длина вектора b0 = 1 : æ=

1⎛ 2 s s 1⎞ 5 cos + sin 2 + ⎟= 16 ⎜⎝ 4 4 2 2 ⎠

и вектор 1 s 1 s 2 cos sin i− j+ k. 5 2 5 2 5 Все три орта трехгранника найдены. Пример 8.2. Найти кривизну кривой в точке t = 0. Кривая за⎧ x = t − 1, ⎪ дана системой ⎨ y = t 2 , ⎪ z = sin t. ⎩

b0 =

Сначала совершим переход к естественным координатам по формуле (8.3): t

s=∫ 0

t

x′2 ( t ) + y′2 ( t ) + z ′2 ( t )dt = ∫ 1 + 4t 2 + cos 2 tdt . 0

Обратим внимание на то, что интеграл «не берущийся». Однако нам нет необходимости его брать, чтобы найти функциональную зависимость t от s. В формулах Френе присутствуют лишь производные от векторов, а производные можно определить и без нахождения функциональной зависимости. Надо только помнить, что 1 d d dt d = = . ds dt ds dt 1 + 4t 2 + cos 2 t Поскольку кривая в векторном виде задана уравнением

r (t ) = (t − 1) i + t 2 j + sin t k ,

то в точке t = 0 τ0 =

dr dt 1 = ( −i + 2t j + cos t k ) 2 dt ds 1 + 4t + cos 2 t 98

=− t =0

1 1 i+ k. 2 2

В свою очередь, ⎞ dτ 1 1 d⎛ kn0 = 0 = ⎜⎜ (−i + 2t j + cos t k ) = ⎟⎟ 2 2 2 ds dt ⎝ 1 + 4t + cos t ⎠ 1 + 4t + cos 2 t 2 j − sin t k (−i + 2t j + cos t k )(−4t + sin t cos t ) = + . 2 2 1 + 4t + cos t (1 + 4t 2 + cos 2 t ) 2 Получим выражение для второго вектора в трехграннике Френе kn0 = j , где k – кривизна кривой в точке t = 0. Так как оба вектора

τ 0 и n0 единичной длины, то k = 1. Пример 8.3. Вычислить поверхностный интеграл 2 2 2 2 ∫∫ ( x + y + z ) ds , S

где S – первый октант сферы радиуса R = 2 с центром в точке (0,0,0). Уравнение такой сферы имеет вид x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Найдем выражение для элементарной площади dS. Для этого сначала определим коэффициенты первой квадратичной формы Гаусса, предварительно перейдя к сферическим координатам (они выполняют роль криволинейных координат): ⎧ x = 2cos ϕ cos ψ, ⎪ ⎨ y = 2cos ϕ sin ψ, . ⎪ z = 2sin ϕ, ⎩ Е = 4, F = 0, G = 4cos2ϕ. Воспользуемся формулой (8.9) и получим требуемое выражение ds = 4cosϕdϕdψ. Поскольку параметры ϕ и ψ (широта и долго⎡ π⎤ та) меняются в промежутке ⎢ 0, ⎥ , а ⎣ 2⎦ подынтегральная функция 2 2 2 2 f ( x, y , z ) = ( x + y + z ) = 16 , то интеграл превращается в обыкновенный двойной интеграл ∫∫ 64cos ϕ d ϕ d ψ по D

области, изображенной на рис. 8.4. 99

Рис. 8.4

Взять такой интеграл по данной области не представляет труда π 2

π

∫∫ 64cos ϕ d ϕ d ψ = 64∫ cos ϕ 2 d ϕ = 32π . 0

D

Пример 8.4. Требуется составить первую квадратичную форму Гаусса для эллипсоида

x2 y 2 + + z2 = 1. (8.22) 9 16 Поскольку в нашем «справочном бюро» (п. 8.1) все коэффициенты выражаются исходя из параметрического представления поверхности, выберем в качестве таковых переменные y и z: u2 − v2 . 16 Однако такое представление неудобно тем, что придется дифференцировать квадратные корни (хотя абсолютно правомерно). Поэтому воспользуемся представлением эллипсоидальной поверхности в эллиптической системе координат: y = u,

z = v,

x = 1−

x = 3rcosϕcosψ, y = 4rcosϕsinψ, z = rsinϕ, а уравнение эллипсоида записывается в виде r = 1. В том, что это уравнение задает наш эллипсоид, легко убедиться, подставив в уравнение (8.22) выражения координат x, y и z через параметры ϕ и ψ. Сами коэффициенты находятся при помощи формул (8.4): E = sin2ϕ(9cos2ψ + 16sin2ψ) + cos2ϕ, G = cos2ϕ(9sin2ψ + 16cos2ψ), F = 3sin(ϕ + ψ) + 4cos(ϕ + ψ), а квадратичная форма, вычисляемая по формуле (8.5) имеет вид: (sin2ϕ(9cos2ψ + 16sin2ψ) + cos2ϕ)dϕ2 + + (6sin(ϕ + ψ) + 8cos(ϕ + ψ)) dϕ dψ + + cos2ϕ(9sin2ψ + 16cos2ψ)dψ2. 100

Пример 8.5. Найти все дифференциальные операторы на полях. 2 Скалярное поле задано функцией f ( x, y, z ) = x 2e xyz ; векторное по-

ле задано векторной функцией a = x, y, i + y, z , j + zxk . Начинаем решение с этапа 3. Поскольку на скалярном поле определен только градиент, то находим 2

2

∇f = ( 2 xe xyz + x 2 yz 2 )i + x3 z 2e zyz j + 2 x3 yzk . На векторном поле определены два оператора – ротор и дивергенция. Поскольку дальнейшее – это всего лишь дифференцирование по формулам (8.12) и (8.13), проводим все нужные операции: div a = y + z + x , i ∂ ∂x xy

j ∂ ∂y yz

k ∂ = i (− y ) − j ( z ) + k (− x) . ∂z zx

Этап 5 – проверка решения, на наш взгляд, состоит из повторения операций дифференцирования на случай ошибки в первоначальных вычислениях. 8.3. Задачи для самостоятельного решения

Найти трехгранник Френе для кривой:

8.1.

8.2.

8.3.

⎧ x = t, ⎪ 2 ⎨y = t , ⎪ 3 ⎩z = t

в точке t = –1.

⎧ x = t, ⎪ 2 в точке t = 1. ⎨y =1− t , ⎪ z = ln t ⎩ ⎧ x = a cos ϕ2 , ⎪ 2 ⎨ y = a sin ϕ , в точке ϕ= π. ⎪ 2 ⎩ z = bϕ 101

8.4.

⎧ x = t 3 + 1, ⎪ 3 ⎨ y = −t + 1, ⎪ 2t ⎩z = e

8.5.

⎧ x = r cos 2 ϕ cos θ, ⎪ ⎨ y = −r sin ϕ sin θ, ⎪ z = r cos θ − r , ⎩

8.6.

⎧ x = et , ⎪ ⎨ y = sin t , ⎪ z = cos t ⎩

в точке t =

8.7.

⎧ y = x2e x , ⎨ ⎩z = x

в точке x = 1.

в точке t = 0.

если ϕ = θ = const .

π . 2

⎧ y = xe x , в точке x = 2. ⎨ ⎩z = x Найти первую квадратичную форму Гаусса для поверхности: ⎧ x = a (u − v) ⎧ ⎪ ⎪ x = auv . 8.12. ⎨ y = bu ⎪ ⎪ 8.9. ⎨ y = b(u + v) . ⎩ z = cuv ⎪ u ⎪z = c 8.13. x 2 − y = 2z 2 . v ⎩ 8,14. x 2 + 4 y 2 + z = 1 . 8,10. z = sin(xy ) . 8.8.

8.15. x 2 + 3 y + z = 1

8,11. x 2 − y 2 = 2 z .

Найти элемент площади dS и нормаль к поверхности: ⎛ 1 1 11 ⎞ y2 ⎛1 1⎞ ⎟. + z 2 = 1 в точках A⎜ ,1, ⎟ , B⎜⎜ − , , 8.16. x 2 + ⎟ 4 ⎝2 2⎠ ⎝ 2 2 4 ⎠ 8.17.

x2 y2 + + z 2 = 1 в точке A(3, 0, 0) . 9 16 102

Найти площадь поверхности: 8.18. x 2 + y 2 + z 2 = 4 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. 8.19. x 2 + y 2 + z 2 = 9 , x ≥ 0, y ≥ 0, z≥ 0. Вычислить поверхностные интегралы: 8.20.

∫∫

1 + 4 x 2 + 4 y 2 dS , где S – часть параболоида вращения

S

2

2

z = 1–x –y , отсеченного плоскостью z = 0. 8.21. ∫∫ x( y + z )dS , где S – часть цилиндрической поверхности S

2

x = 1 − y , отсеченная плоскостями z = 0, z = 1. 8.22.

∫∫ (3x

2

+ 5 y 2 + 3z 2 − 2)dS , где S – часть поверхности

S

y = x 2 + z 2 , отсеченная плоскостями y = 0, y = 1. 8.23.

∫∫ ( x

2

S

1 + y 2 + z − )dS , 2

где

S

–

часть

поверхности

2 z = 2 − x 2 − y 2 , отсеченная плоскостью Oxy. 8.24.

∫∫ ( x

2

+ y 2 + z ) dS , где S – верхняя половина сферы

S

2

2

x + y + z2 = R2 . 8.25.

∫∫ ( y

2

+ z 2 )dxdy , где S – верхняя сторона поверхности

S

z = 1 − x 2 , отсеченная плоскостями y = 0, y = 1. 8.26.

∫∫ ( x

2

+ y + z 2 ) dxdz , где S – внутренняя сторона поверхно-

S

2

сти x = 2 y , отсеченная плоскостями y = 2, z = 0, z = 1. 8.27.

∫∫ ( x

2

+ y 2 + z 2 ) dxdz , где S – внешняя сторона поверхности

S

y = x 2 + z 2 , отсеченная плоскостями y = 0, y = 1.

103

8.28. ∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) dydz , где S – внутренняя сторона части S

полусферы x = R 2 − y 2 − z 2 , вырезанная конусом x = y 2 + z 2 . 8.29.

∫∫ ydydz + zdzdx + xdxdy , где S – внешняя сторона сферы S

2

2

x + y + z2 = 1. 8.30.

∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy , где S – внешняя сторона сферы S

2

2

x + y + z2 = R2 . Вычислить: 2

2

8.31. grad f ( x, y ) , где f ( x, y ) = ln(e x + e xy ) + y . 2

⎛ y⎞ ⎟ . ⎝x⎠

8.32. grad f ( x, y ) в точках (1,3), (3,1), где f ( x, y ) = 1 − ⎜

x y

8.33. grad f ( x, y ) , где f ( x, y ) = x 4 + sin( ) − xy в точке (1,1). 8.34. направление наибольшего и наименьшего роста функции z = sin( x 2 + y 3 ) в точке ( π , 3 π ) . 8.35. направление наибольшего и наименьшего роста функции sin x в точке (1,1) . z = x 2 y − e xy + 1+ y 8.36. div(rot a − grad f ), если a = yi + xj + xyzk , f = x 2 + y 2 + z 2 . 8.37. div rot grad f , где f = x 2 y 3 . 8.38. div rot rot a , a = xi + y 2 j + z 3k . 8.39. rot a , grad f , div b ,

b = esin( xy )i + ln( xy ) j ,

если

a = yzi + xzj + xyk ,

f = x 2 sin( xyz ) .

⎧ x = t, dr ⎪ , если r (t ) = rot a (t ) и a (t ) = xyi + yzj + zk , ⎨ y = 1, 8.40. dt ⎪ 2 ⎩z = t . 104

8.41. div rot a

и

a = x 2i + ( y − z 2 ) j + xyk ;

grad div a , если

a = xi + ( y + z 2 ) j + x 2 yzk . 8.42. div rot a ,

a = x 2 y 2i + x 2 z 2 j + y 2 z 2 k ;

если

a = xyzi + xyj + xk . Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в точке М: x3 yz 2 1 1 ⎞ ⎛ 8.43. u = 2 , v = + 6 y 3 + 3 6 z 3 , M ⎜ 2, , ⎟. 2 x 2 3⎠ ⎝ 8.44. u =

3 4 1 z , v= + − ,M 2 x y x y 6z 3

8.45. u = x 2 yz 3 , v =

1 ⎞ ⎛ ⎜ 1, 2, ⎟. 6⎠ ⎝

4 6 6 3 − + ,M x 9y z

⎛ 1 3⎞ ⎜⎜ 2, , ⎟⎟ . ⎝ 3 2⎠

8.46. Найти производную функции z = 2 x 2 − 5 xy + 2 y 2 в точке М (2,3) в направлении, составляющем с осью абсцисс угол α = 60° . 2

8.47. Найти производную функции z = e − x sin xy в точке М (2,–3) в направлении, составляющем с осью абсцисс угол α = 30° . 8.48. Найти производную функции z = x3 − 3x 2 y + 6 xy 2 + 1 в точке М (2,1) в направлении, идущем от этой точки к точке N (5,3). 8.49. Найти производную функции z = x y +1 в точке М (1,1) в ⎛ 3 1⎞ направлении, идущем от этой точки к точке N ⎜⎜ , ⎟⎟ . ⎝ 2 2⎠ 8.50. Найти производную функции z = x y в точке М (2,2) в направлении вектора l (2, 1) . 8.51. Найти производную функции z = x3 y − zy + zx в точке М (2,1,3) в направлении, идущем от этой точки к точке N (3,3,7).

105

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Бекельман И.Я. Введение в дифференциальную геометрию. М.: Наука, 1976. 2. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. 3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. СПб.: Лань, 2006. 4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974.

106

Глава 9. РЯДЫ 9.4. Определения, основные теоремы и формулы ∞

Определение 9.1. Символ ∑ an , где {an } – действительные n =1

числа, называемый числовым рядом, обозначает предел (если он k ⎧ ⎫ существует) последовательности частичных сумм ⎨ S k = ∑ an ⎬ . n =1 ⎩ ⎭ В случае существования предела говорят, что ряд сходится, а сам предел называется суммой числового ряда (в дальнейшем – просто ряда). Часто все слагаемые ряда задаются формулой an = f(n), позволяющей находить члены ряда при любом номере n. Вопрос о значении суммы ряда принадлежит к проблеме бесконечности. На практике требуется сначала установить существование предела (т.е. суммы ряда), а затем в случае его существования превратить ряд в конечную сумму (т.е. заменить ряд его частичной суммой), а уж с ней мы можем поступать так, как нас учат в начальной школе. Вопрос о точности полученного значения суммы мы оставляем вне данного пособия. Перечислим признаки существования суммы ряда, т.е. его сходимости. Необходимым условием сходимости ряда является условие an → 0 при n → ∞ . Если ряд состоит только из неотрицательных чисел (положительный ряд), то присутствуют следующие признаки. Теорема 9.1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд

∞

∑a

n

и суще-

n =1

an +1 = ρ . Тогда: 1) при ρ < 1 ряд сходится; 2) при n →∞ a n

ствует предел lim

ρ > 1 ряд расходится. 107

Теорема 9.2 (признак Коши). Пусть дан ряд

∞

∑a

n

и существует

n =1

предел lim n an = ρ . Тогда: 1) при ρ < 1 ряд сходится; 2) при ρ > 1 n →∞

ряд расходится. Теорема 9.3 (интегральный признак). Пусть дан ряд f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(n)+…=

∞

∑ f ( n) , n =1

члены которого являются значениями некоторой функции f(x), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале [1,∞). Тогда: +∞

1) если

∫

∞

f ( x)dx сходится, то сходится и ряд

∑ f ( n) ; n =1

1

+∞

∞

1

n =1

2) если же ∫ f ( x)dx расходится, то ряд ∑ f (n) также расходится. Теорема 9.4 (теорема сравнения). Пусть даны два ряда

∞

bn ∑ n =1

и

для всех n выполняется неравенство an ≤ bn . Тогда из сходимости ∞

ряда

bn ∑ n =1

∞

следует сходимость ряда

∞

an ∑ n =1

an , а из расходимости ряда ∑ n =1

∞

следует расходимость ряда

bn . ∑ n =1

Замечание. Если ряд содержит конечное число отрицательных членов, то все перечисленные выше теоремы могут быть применены и к нему. Если ряд состоит из строго чередующихся по знаку членов, то такой ряд называется знакочередующимся, и для установления существования суммы возможно применение признака Лейбница. Теорема 9.5 (признак Лейбница). Если абсолютные величины ∞

членов знакочередующегося ряда

∑ (−1)

n +1

an монотонно убывают:

n =1

и общий член ряда стремится к нулю: liman = 0 , то ряд сходится. n →∞

108

В случае произвольного знакопеременного ряда (т.е. мы не можем отнести ряд ни к положительным, ни к знакочередующимся, так как расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно) можно использовать следующую теорему. Теорема 9.6. Рассмотрим какой-нибудь знакопеременный ряд ∞

a1+ a2+ a3+…+ an+…= ∑ an .

(9.1)

n =1

Одновременно рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (9.1): ∞

|a1|+ |a2|+ |a3|+…+ |an|+…= ∑ | an | .

(9.2)

n =1

Если ряд (9.2) сходится, то сходится и ряд (9.1) . В этом случае говорят, что ряд (9.1) сходится абсолютно. Последняя теорема переводит решение вопроса о существовании суммы вашего ряда (произвольного) в область положительных рядов, а для них мы уже привели перечень пригодных для решения теорем. Нетрудно увидеть, что применение всех вышеуказанных теорем не гарантирует решения вопроса о существовании суммы ряда. Поэтому, перебрав (но на законном основании!) все теоремы и не получив ответа, не расстраивайтесь – ваше «справочное бюро» не содержит необходимых для решения задачи теорем и формул. Возможно, их вообще не существует. Для установления факта существования суммы ряда предлагаем использовать схему поиска решения, представленную на рис. 9.1. Ряды, у которых слагаемые являются не действительными числами, а функциями переменной x, называются функциональными. Сходимость такого ряда зависит от значения аргумента x, при этом при каждом фиксированном значении x функциональный ряд превращается в числовой. Установление области сходимости такого функционального ряда в общем случае приводит к необходимости перебора всех значений аргумента, что является невыполнимой задачей. Однако для специальных рядов можно избежать этой невыполнимой процедуры. К таким рядам относятся степенные ряды и ряды Фурье. Обратимся сначала к степенным рядам. 109

Рис. 9.1

Степенным рядом называется функциональный ряд, у которого общий член задается простой формулой an = bn x n , где n – натуральные числа, а {bn}, называемые коэффициентами степенного ряда, – какие-то действительные числа. ∞

Область сходимости степенного ряда

bn x n ∑ n=

не «больше» сег-

1

мента [–R,R] и не «меньше» интервала (–R,R), где R – радиус сходимости степенного ряда, который определяется формулами: b 1 (9.3) R = , ρ = lim n +1 или ρ = lim n bn . n →∞ b n →∞ ρ n Чтобы окончательно решить вопрос об области сходимости, требуется проверить на сходимость только два (!) числовых ряда: ∞

∑ bn R n и n =1

∞

∑ b ( −R ) n

n

.

n =1

Как видите, нам удалось в случае степенных рядов решить проблему перебора бесконечного числа точек. Рассмотрим ряды Фурье на произвольном промежутке длиной 2l. Он имеет вид разложения вектора в бесконечномерном пространстве, в котором в качестве базиса выступает множество три110

гонометрических функций {sin nx, cos nx}, n = 0,1,…, а коэффициенты ряда выступают в роли координат в этом базисе. Ряд Фурье для функции f(x) на промежутке длиной 2l имеет вид ∞ a nπx nπx ⎞ ⎛ + bn sin (9.4) f ( x) ≈ 0 + ∑ ⎜ an cos ⎟, 2 n =1 ⎝ l l ⎠ а коэффициенты вычисляются по формулам: l l 1 1 nπx dx , a0 = ∫ f ( x)dx , an = ∫ f ( x) cos l −l l l −l (9.5) l 1 nπx bn = ∫ f ( x)sin dx . l −l l Теорема Дирихле указывает, к чему именно сходится этот ряд. Теорема 9.7 (теорема Дирихле). Пусть f (x) – кусочнонепрерывная и кусочно-дифференцируемая функция, заданная на промежутке [–l, +l]. Тогда соответствующий ряд Фурье на промежутке [–l, +l] сходится к функции f (x) во всех точках непрерывноf ( x k + 0) + f ( x k − 0) в точках разрыва xk и к полусти, к значению 2 f (l ) + f (−l ) на границах промежутка [–l, +l]. сумме 2 Если на промежутке [–l, +l] функция нечетна, то в разложении Фурье будут присутствовать слагаемые только с синусами, а если четная, то в разложении Фурье будут присутствовать только косинусы. В обоих случаях речь идет о ряде Фурье на промежутке [–l, +l]. Обратите внимание на то, что термин «ряд Фурье» без указания промежутка несодержателен. 9.2. Примеры решения задач

1 . +1 n =1 Поскольку ряд положительный, попытаемся применить к решению задачи признак Коши: ∞

Пример 9.1. Определить, сходится ли числовой ряд

111

∑n

2

1 =1 n +1

lim n

2

n →∞

или признак Даламбера: lim

n2 + 1

= 1. +1 Оба признака не дают ответа на поставленный вопрос. Попытаемся применить интегральный признак. «Простой» за1 , монотонно убыменой n на x получаем функцию f ( x) = 2 x +1 вающую и при x = n дающую соответствующий член ряда 1 f ( n) = 2 . n +1 ∞ dx π ∞ = arctg x 1 = , Рассматривая несобственный интеграл ∫ 2 4 x 1 + 1 n →∞ ( n + 1) 2

видим, что он сходится, а значит, сходится и исходный ряд. ∞ 1 Пример 9.2. Определить, сходится ли ряд ∑ 2 . n + sin n n =1 Поскольку ни один из признаков (Даламбера, Коши, интеграль1 ный – последний из-за «плохой» функции 2 ) не помогает x + sin x решению задачи, попытаемся сначала сформировать «подозрение» о поведении ряда. Будем считать, что ряд сходится. Попробуем сконструировать мажоранту (миноранта бесполезна при нашем предположении о сходимости ряда), причем такую, относительно которой сходимость мажорантного ряда доказать достаточно просто. В нашем ∞ 1 случае мажорантный ряд выберем в виде ∑ . Последний 2 1 ( n − 1) ∞

ряд по интегральному признаку

dx

∫ ( x − 1) 1

исходный ряд сходится. 112

2

сходится, а стало быть, и

sin n . n! 1 Ряд не знакопостоянен и не знакопеременен – синус меняет свой знак произвольно. Значит, ни один из перечисленных в п. 9.1 признаков не удастся применить к исследованию вопроса о сходи∞ sin n мости ряда. Остается одно – перейти к ряду ∑ , составленn! 1 ному из абсолютных величин, и исследовать его сходимость. По∞ 1 следнее легко сделать, используя мажорантный ряд ∑ . Сходи1 n! мость последнего установить просто, применяя признак Даламбера. Из сходимости ряда, составленного из абсолютных величин членов исходного ряда, следует абсолютная (а значит, и простая) сходимость исходного ряда. Пример 9.4. Найти область сходимости степенного ряда Пример 9.3. Выяснить сходимость ряда

∞

∑2

k

∞

∑

(1 − x) 2 k .

1

Введем для удобства обозначение z = (1 − x) 2 . Ряд принимает ∞

стандартный вид

∑2

k

z k . Для определения радиуса сходимости

1

1 применим формулу (9.3). Получим радиус сходимости R = . 2 ∞ 1 ⎡ ⎞ Так как z ≥ 0 , то для z ∈ ⎢0, ⎟ ряд ∑ 2k z k сходится, а ряд 2 ⎣ ⎠ 1 ∞ 1 1 ⎞ ⎛ ∑1 2k (1 − x)2 k сходится для всех x ∈ ⎜⎝1 − 2 ,1 + 2 ⎟⎠ . Остается проверить на сходимость две крайние точки: ∞ 1 1 1 x = 1− и x = 1+ . Положим x = 1− в ∑ 2k (1 − x) 2 k и по2 2 2 1 ∞

лучим числовой ряд

∑1 ,

расходимость которого очевидна. При

1

113

1 вывод прежний – ряд расходится. Следовательно, об2 ласть сходимости исходного ряда представляет собой интервал 1 1 ⎞ ⎛ ,1 + ⎜1 − ⎟. 2 2⎠ ⎝ Пример 9.5. Пусть дана на замкнутом промежутке [–π, π] функция f (x) = x. Требуется разложить эту функцию в ряд Фурье, сходящийся всюду на промежутке [–π, π] к исходной функции. Поскольку этапы 1 и 2 решения формально уже реализованы (см. гл.1, все необходимые теоремы и формулы перечислены в ней), то переходим сразу к этапу 3. Прямое применение формул (9.4), (9.5), т.е. разложение в ряд Фурье на заданном в условии задачи промежутке, к успеху не приведет – на концах промежутка ряд будет сходиться к полусумме значений функции f(x) = x, а эта полусумма не равна значению функции в этих точках. Обратимся к условию задачи и обратим внимание на ее формулировку: в ней не указано, на каком промежутке строить ряд. Поэтому у нас появляется возможность выбрать другой промежуток, больший, чем тот, на котором задана функция, например [–2π, 2π]. Но на «новых» точках функция не определена! Доопределим функцию абсолютно произвольным образом, но так, чтобы она оставалась непрерывной на новом промежутке [–2π, 2π]. Теперь применим формулы (9.4) и (9.5). По теореме Дирихле построенный ряд обязан сходиться всюду (!) на промежутке [–π, π] к заданной функции. Этапы 4 и 5 решения очевидны, укажем только, что если условия экзамена или семинара требуют проверки умения брать интегралы, вы должны продолжить заданную функцию не «совсем» произвольно, а так, чтобы суметь взять необходимые интегралы, конечно, не забыв при этом, что продолженная вами функция должна быть непрерывной. x = 1+

114

9.3. Задачи для самостоятельного решения

Установить, сходятся ли ряды: 3

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

⎛ 1 ⎞ ∑ n e n − 1⎟⎟ . n =1 ⎜ ⎝ ⎠ ∞ n sin n . ∑ 4 n =1 n + 1 ∞ n! . ∑ n n =1 ( 2n) ∞

9.8.

2⎜

9.9.

∑

n =1 2

n

2

2

∞

∑

n =1

n =1

.

9.6.

3 + 17 n 2 . 2 n n =1 n + 5

9.7.

3n n! . n n =1 n

1 + 2 sin n 2

∞

9.11. ∑

−1

n

1 ⎞ ⎛ ln⎜1 + 2 ⎟ . ⎝ n ⎠ 1 . 3

10 cos n + n 2 ∞ sin 5n . 9.10. ∑ n =1 n

73n . ∑ n = 3 ( 2n − 5)! 3n

∑

n =10

∞

∞

1 en

∞

3

1 n sin + n 2 n

.

n

∞ ⎛ 3n + 2 ⎞ 9.12. ∑ n5 ⎜ ⎟ . n =1 ⎝ 4n + 3 ⎠

∞

∑

⎛ 3n ⎞ 9.13. ∑ ⎜ ⎟ n =1⎝ n + 5 ⎠ ∞

∞

∑

n

В следующих задачах найти области сходимости рядов: 9.14.

ln 2 n n ⋅x . ∑ n n =1

9.15.

∑ n! ⋅ x

9.18.

(n !) 2 n ⋅x . ∑ n =1 (2n )!

9.19.

x2n . ∑ n n =1 2 ( n − 1)

∑

∞

∞

2n

n

∞

∞

.

n =1

9.16.

∑

(2n)! n ⋅x . 2n n =1 n

9.20.

9.17.

n! ⋅ xn . ∑ 2 (2 ) n n =1

⎛ 1⎞ 9.21. ∑ ⎜ 1 + ⎟ ⋅ x n . n⎠ n =1 ⎝

∞

∞

sin nx . 2 n =1 n ∞

∞

115

n2

⎛n+2⎞ ⋅⎜ ⎟ . ⎝ n+3⎠

n2

9.22.

∞

2n + sin

∑

1 n

⋅( x − 1) n .

⎛π 1 ⎞ 3n − cos ⎜ − 2 ⎟ ⎝2 n ⎠ ∞ (n − 2)3 ⋅( x + 3) 2 n . 9.23. ∑ n =1 2n + 3 n =1

9.24.

∞

3n + 1

∑ (5n − 8) n =1

9.25. −1 +

3

⋅( x − 2) n .

x2 x4 x6 − 2 + 3 −… . 4⋅3 3 4 ⋅ 4 4 4 ⋅5 5

Построить ряд Фурье сходящийся всюду на [a,b] к функции f(x): ⎧ 2 ⎡ 1⎞ ⎪ x , x ∈ ⎢ 0, 2 ⎟ , ⎪ ⎣ ⎠ 9.26. a = 0, b =1 , f ( x) = ⎨ ⎪ 1 , x ∈ ⎡ 1 ,1⎤ . ⎢2 ⎥ ⎪⎩ 4 ⎣ ⎦ ⎧ ⎡ 1⎞ ⎪1, x ∈ ⎢ 0, 2 ⎟ , ⎪ ⎣ ⎠ 9.27. a = 0, b = 1, f ( x) = ⎨ ⎪2, x ∈ ⎡ 1 ,1⎤ . ⎢2 ⎥ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎧⎪ x 2 , x ∈ [0,1] , 9.28. a = 0, b = 2, f ( x) = ⎨ ⎪⎩cos 2πx, x ∈ (1, 2]. ⎧− x, x ∈ [ −1,0] , ⎪ 9.29. a = 1, b = 2, f ( x) = ⎨ 1 ⎪− x + 1, x ∈ (0, 2]. ⎩ 4 ⎧ 1 ⎪⎪− 2 x + 1, x ∈ [0, 2), 9.30. a = 0, b = 2π, f ( x) = ⎨ ⎪ 1 ( x − 1), x ∈ [2, 2π]. ⎪⎩ 2( π − 1) 2 116

⎧ ⎡ 1⎞ ⎪1, x ∈ ⎢0, 2 ⎟ , ⎪ ⎣ ⎠ 9.31. a = 0, b = 1, f ( x) = ⎨ Можно ли это сде⎪2, x ∈ ⎡ 1 ,1⎤ . ⎢2 ⎥ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎡ 1 ⎤ лать на промежутке ⎢− , 2⎥ ? ⎣ 2 ⎦

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. СПб.: Лань, 2006. 3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1972.

117

Глава 10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10.1. Определения, основные теоремы и формулы

1. Если в функции многих переменных f (x1, x2, x3 … xn) приписать первому аргументу смысл аргумента x какой-то функции y (x), в роли которой выступает второй аргумент функции f (x1, x2, x3 … xn), а все прочие аргументы объявить производными этой новой функции y (x) по аргументу x и приравнять функцию f (x, y, y' … y(n)) к нулю, предварительно переобозначив первоначальные аргументы x1, … xn, то получим выражение (10.1) f (x, y, y' … y(n)) = 0, которое называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если нет сомнений, что речь идет об обыкновенном дифференциальном уравнении, то в этой главе для краткости будем употреблять термин «уравнение». Определение 10.1. Порядком уравнения (10.1) называется наибольший номер производной y(n)(x), входящей в это уравнение. Определение 10.2. Уравнение (10.1), имеющее вид (n) y (x) = ϕ(x, y, y' … y(n-1)), называется разрешенным относительно старшей производной. Здесь мы будем рассматривать и предлагать к решению только такие уравнения. Определение 10.3. Уравнение (10.1) называется линейным, если оно может быть записано в виде n

∑ ak ( x ) y ( k ) = f ( x ) .

(10.2)

k =0

Определение 10.4. Уравнение (10.1) называется однородным, если при y = y' = y(n) ≡ 0 функция f (x, y, y' … y(n)) тождественно равна нулю при любом x. Уравнение, записанное в виде 10.2, называется однородным, если f ( x) ≡ 0 Определение 10.5. Частным решением уравнения (10.1) называется такая функция y (x), после подстановки которой вместе со 118

всеми своими нужными производными в уравнение (10.1) оно обращает его в тождество. Определение 10.6. Общим решением уравнения (10.1) называется множество частных решений этого уравнения. Общее решение уравнения n-го порядка описывается одной функцией, зависящей от n произвольных постоянных. Проще говоря, общее решение зависит от n произвольных постоянных. Часто общее решение называют первым интегралом. Сначала мы остановимся только на уравнениях первого порядка f (x, y, y') = 0. Определение 10.7. Уравнение f (x, y, y') называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде dy = ϕ( x)ψ ( y ) . dx Общее решение этого уравнения можно получить следующим способом dy = ϕ( x)dx , ψ( y) dy

∫ ψ( y) = ∫ ϕ( x)dx .

(10.3)

Если удается выразить интегралы в элементарных функциях, то решение записывается в виде ψ( y ) = Φ ( x) + C , где C – единственная произвольная постоянная. Впрочем, если не удается, то говорят, что решение найдено в «квадратурах», поскольку интегрирование в (8.3) не представляет трудностей для получения сколь угодно точного приближенного решения. Практически все методы и приемы нахождения общего решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замен зависимой и независимой переменных сводятся именно к уравнению с разделяющимися переменными. Перечислим некоторые приемы нахождения решений. А. Однородные уравнения. Эти уравнения имеют вид ⎛ y⎞ y′ = f ⎜ ⎟ , (10.4) ⎝x⎠ 119

а также в виде M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 , где M (x, y), N (x, y) – однородные функции одной и той же степени. Вводя новую переy менную u = вместо y и подставляя в (10.4), получим уравнение с x разделяющимися переменными xu ′ + u = f (u ) . Б. Решение линейных неоднородных уравнений первого порядка разбивается на два этапа, каждый из которых представляет собой решение определенного однородного уравнения с разделяющимися переменными. Пусть требуется решить уравнение dy + a ( x ) y = f ( x) . (10.5) dx Этап 1 решения заключается в том, что решается однородное dy + a ( x) y = 0 . Его общее линейное уравнение первого порядка dx решение записывается в виде y = C exp ( − ∫ a ( x)dx) , (10.6) где С – произвольная постоянная. Этап 2 состоит в том, что мы отказываемся от «постоянства» нашей произвольной постоянной в решении (10.6), т.е. считаем ее функцией y и подставляем это решение в исходное, неоднородное, уравнение (10.5) C ′ = f (x) . Полученное уравнение для C также является уравнением с разделяющими переменными, и его решение, которое можно записать в виде C ( x) = ∫ f ( x)dx , содержит одну «настоящую» произвольную постоянную, скрытую в знаке «неопределенного интеграла». В инженерной практике, физике наиболее часто встречаются уравнения второго порядка. Мы рассматриваем уравнения более общего вида n −1

y ( n ) + ∑ ak ( x ) y ( k ) = f ( x ) , 0

120

(10.7)

в которых коэффициенты {ak (x)} – постоянные или функции только аргумента x, а правая часть может быть равной нулю (однородные уравнения) или отлична от нуля. Теорема 10.1. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (10.7) состоит из общего решения однородного линейного дифференциального уравнения n −1

y ( n ) + ∑ ak ( x ) y ( k ) = 0

(10.8)

0

и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения (10.7). Рассмотрим общее решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами n −1

y ( n ) + ∑ ak y ( k ) = 0 .

(10.9)

0

Вид его зависит от решения алгебраического уравнения n −1

λ n + ∑ ak λ k = 0 .

(10.10)

0

Случай 1. Если корни алгебраического уравнения (10.10) действительны и различны (перечислим их в порядке возрастания λ1 < λ2 < … < λn ), то общее решение дифференциального уравнеn

ния (10.9) имеет вид y ( x) = ∑ Ck eλ k x , где {Ck} – произвольные по1

стоянные. Случай 2. Если корни алгебраического уравнения (10.10) действительны, но среди них встречаются кратные, то в общем решении дифференциального уравнения (10.9) кратному корню λ (кратности m) отвечает группа слагаемых (C1 + C2х + Сm xm-1) eλx, а общее решение уравнения (10.9) имеет вид n

y ( x) = (C1 + C2 x + ... + Cm x m −1 )eλx + ∑ Ck eλ k x . m +1

Случай 3. Если среди корней алгебраического уравнения (10.10) встречается пара комплексно-сопряженных корней a + bi и a – bi кратности 1, то им отвечают два частных решения 121

C1 sin bxe ax и C2 cos bxeax . Случай 4. Если среди корней алгебраического уравнения (10.10) встречается пара комплексно-сопряженных корней кратности n, a + bi, то им отвечает группа частных решений вида Pn −1 ( x) sin bx e ax , Qn −1 ( x) cos bx e ax , где Pn-1(x) и Qn-1(x) – полиномы степени n – 1. Общая рекомендация при решении уравнений вида (10.9) заключается в том, что, последовательно перебирая все корни (в случае комплексных корней – группу комплексно-сопряженных корней с учетом их кратности), получаем последовательно все частные решения, отвечающие этим корням, и общее решение складывается из всех полученных. Убедитесь в конце решения (на этапе проверки), что в общее решение уравнения n-го порядка вошли ровно n произвольных постоянных. В случае уравнений высокого порядка (n > 1) с непостоянными коэффициентами универсальных способов нахождения общего решения не существует. Каждый случай такого удачного решения заносится в справочники или, учитывая важность для практики решения такого уравнения и не имея возможности выразить его аналитически, вводят «специальные функции», используют для них стандартное обозначение, и приближенное значение этой функции заносят в таблицы на подобии логарифмических. Ниже мы покажем, что нахождение приближенного решения не представляет сложностей. Решение неоднородных линейных уравнений порядка выше одного заключается в нахождении решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Общее решение исходного уравнения согласно теореме 10.1 состоит из суммы найденного общего решения однородного уравнения плюс найденное частное решение неоднородного. Метод отыскания частного решения неоднородного линейного уравнения по аналогии с методом, использованным нами для решения неоднородных уравнений первого порядка, также называется методом «вариации произвольных постоянных». 122

Для решения неоднородных линейных уравнений второго порядка и выше поступают следующим образом: при каждом дифференцировании решения группа слагаемых, получающаяся дифференцированием «произвольных постоянных», приравнивается нулю. Поэтому при последнем дифференцировании эта дополнительная группа слагаемых содержит только первые производные «произвольных постоянных». Эта последняя группа слагаемых полагается равной правой части неоднородного уравнения. Вместе с приравненными нулю аналогичными группами на предыдущих этапах последняя группа, равная правой части уравнения, образуют систему линейных уравнений относительно первых производных «произвольных постоянных», которая легко решается и приводится к группе дифференциальных уравнений первого порядка, каждое из которых содержит только одну «произвольную постоянную». Решив их, получим частное решение исходного уравнения. Для получения конкретного частного решения, которое на практике зачастую и приходится искать, требуется каким-то образом однозначно определить значения «произвольных постоянных». Для их определения требуется к дифференциальному уравнению добавить некоторое количество дополнительных соотношений, которые диктуются реальными задачами и часто имеют вид обычных алгебраических уравнений, содержащих производные искомой функции и саму функцию в отдельных точках. Если уравнение n-го порядка, то общее решение содержит также n произвольных постоянных и, следовательно, дополнительных соотношений также должно быть n. Если все эти дополнительные уравнения относятся к одной точке, то говорят, что для дифференциального уравнения поставлена «задача Коши». Если эти дополнительные уравнения отнесены к концам промежутка, на котором ищется решение, то говорят, что для дифференциального уравнения поставлена «краевая задача». Для уравнения первого порядка возможна только задача Коши, которая формулируется следующим образом: найти решение уравнения y′( x) = f ( x, y ) , (10.11) которое при x = x0 удовлетворяет равенству 123

y(x0) = y0, (10.12) где x0 и y0 – некоторые заданные числа. Поскольку общее решение уравнения (10.11) содержит одну произвольную постоянную C, его можно записать в виде y = ϕ(x,C). Дифференцируя его и подставляя в (10.12), получим алгебраическое уравнение для нахождения произвольной постоянной, тем самым отыскав нужное частное решение ϕ(x0,C) = y0. Для уравнения второго порядка задача Коши заключается в добавлении к исходному дифференциальному уравнению двух условий y(x0) = y0 и y′( x0 ) = y0′ . Кроме задачи Коши, можно рассматривать краевую задачу, которая заключается в том, что решение исходного дифференциального уравнения должно удовлетворять следующим двум условиям: y(x0) = y0 и y(x1) = y1. Решение задачи Коши для уравнения второго порядка ничем принципиально не отличается от аналогичной задачи для уравнения первого порядка. Разница состоит только в том, что дополнительных условий – два, и оба они имеют вид (10.12) и вместо одного алгебраического уравнения для одной произвольной постоянной приходится решать алгебраическую систему для двух постоянных, состоящую из двух уравнений. Относительно задачи Коши имеет место теорема Пикара– Линделефа, которую можно сформулировать следующим образом. Теорема 10.2. Если в уравнении y ( n ) ( x) = f ( x, y , y′,..., y ( n −1) ) правая часть непрерывна и дифференцируема в прямоугольнике {x0 – a, x0 + a; y0 – b, y0 + b} (рис. 10.1) то задача Коши для этого уравнения y(x0)=y0, y′( x0 ) = y0′ ,…, y ( n −1) ( x0 ) = y0( n −1) , где y0 и y'0 – заданные числа, имеет единственное решение в указанной области. Относительно краевой задачи дело обстоит значительно сложнее. Во-первых, для произвольного уравнения второго порядка из непрерывности коэффициентов уравнения и его правой части не следует существование решения. Во-вторых, если решение и есть, 124

то оно может быть не единственным. Теорем на этот счeт не существует. y y0 – b y0 y0 – b x0 – a x0

x0+a

x

Рис. 10.1

Часто вопрос решения краевой задачи облегчается, если общее решение уравнения удалось выразить через элементарные функции. Например, если решение записано в виде y = f(x,C1,C2) и требуется найти решение, которое при x = x0 равняется y0, а при x = x1 равно y1, подставляем заданные значения x0, x1 в решение, получаем систему из двух алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных C1 и C2. Разрешимость этой системы и обусловливает возможность решения поставленной краевой задачи. 2. Рассмотрим приближенные методы решения задачи Коши для уравнения первого порядка и краевой задачи для уравнения второго порядка. Все сказанное относительно приближенного решения задачи Коши для уравнения первого порядка переносится практически без изменений на уравнения высокого порядка. Пусть задача Коши имеет вид: найти на промежутке [a,b] решение уравнения y ′ = f ( x, y ) , (10.13) которое при x = a принимает значение y0. Разобьем указанный промежуток на N отрезков одинаковой b−a длины h = и точки деления перенумеруем, начиная от левого N конца промежутка [a, b] и заканчивая правым концом этого промежутка. При этом точке a присвоен номер 0, а точке b – номер N. 125

dy его приближенным dx выражением (yk+1–yk)/h и положив в правой части уравнения (10.13) x = a = x0 и y = y0, получим простое алгебраическое уравнение, решив которое, находим приближенное значение решения в точке x = x1, которое мы обозначим через y1. Затем, заменяя x и y в правой части уравнения (10.13) вновь полученными значениями x1 = x0+h и y = y1, повторим процесс нахождения приближенного решения в следующей точке x1. И так до тех пор, пока мы не достигнем правого конца отрезка [a,b]. Этот способ приближенного решения задачи Коши носит название «явного метода Эйлера», он прост для реализации. Существует множество других способов приближенного решения задачи Коши как для уравнения первого порядка, так и более высокого порядка. Все они используют замену производных разностными операторами (как это мы делали для уравнения первого порядка), но детали методов находятся в компетенции науки, носящей название «Вычислительная математика». Точность полученного приближенного решения регулируется параметром h, который называется шагом интегрирования: чем меньше шаг, тем точнее решение (зато больше вычислительной работы а, значит, и возрастание вычислительной ошибки). Но мы опять пытаемся вторгнуться на территорию «Вычислительной математики». Приближенные методы решения краевой задачи не могут быть построены по аналогии с приближенными методами решения задачи Коши – не хватает «начальных данных» для начала процедуры последовательного вычисления приближенного решения – их требуется не одно значение, как это можно получить из постановки краевой задачи, а два в начальной точке. Метод пристрелки (так он называется по аналогии с артиллерийской стрельбой) заключается в том, что мы домысливаем недостающее условие (одно то уже есть – оно задано) и решаем полученную задачу Коши. Понятно, что получить заданное краевой задачей значение решения на другом конце не удается (если удалось – вы замечательный стрелок!). Вы меняете как-то дополнительное условие на левом конце, котоЗаменив дифференциальный оператор

126

рое придумали и повторяете расчет и т.д. до тех пор, пока вам не покажется, что вы попали в нужную точку. 3. Рассмотрим системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами ⎧ dy1 ⎪ dx = a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn + f1 ( x), ⎪ (10.14) ⎨.......................................................... ⎪ dy ⎪ n = an1 y1 + an 2 y2 + ... + ann yn + f n ( x). ⎩ dx Эту систему в матричном виде можно записать так ⎛ a11 a12 ...a1n ⎞ ⎜ ⎟ dY = AY + F , где матрица имеет вид: A = ⎜ .................. ⎟ , векторdx ⎜ a a ...a ⎟ ⎝ n1 n 2 nn ⎠ столбец F состоит из правых частей системы (10.14): ⎛ f1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ f ⎟ (10.15) F = ⎜ 2 ⎟, ⎜ ⎟ ⎜f ⎟ ⎝ n⎠ а компонентами вектора-столбца Y являются искомые функции y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x) . Если вектор-столбец F, определяемый (10.15), состоит из нулей, то система (10.14) называется однородной. Ее можно представить в матричном виде dY = AY . (10.16) dx Как и для одного уравнения, так и для системы уравнений общее решение системы (10.14) состоит из общего решения однородной системы (10.16) и частного решения исходной системы (10.14). Также, как и в случае одного уравнения, где произвол в общем решении определяется числом произвольных постоянных, равным порядку дифференциального уравнения, произвол в системе из n уравнений определяется числом уравнений в системе, и общее решение системы (10.16) может быть записано в виде 127

n

Y = ∑ Ck Yk .

(10.17)

k =1

Нахождение отдельных частных решений, входящих в (10.17), заключается в следующем: а) рассматривается характеристическое уравнение для параметра λ a11 − λ a12 ... a1n a21 a22 − λ ... a2 n (10.18) = 0. ... ... ... ... an1 an 2 ... ann − λ Значение параметра λ, удовлетворяющее уравнению (10.18), называется собственным числом; б) для каждого собственного числа λk находится «собственный вектор» Yk, т.е. какое-нибудь решение однородной системы AYk = λ k Yk . (10.19) Пусть решение этой системы для собственного числа λk пред⎛ b1k ⎞ ⎜ ⎟ ~ ⎜ b2 k ⎟ ставлено вектором Y = ⎜ ⎟ . Частное решение системы диффе⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ nk ⎠ ренциальных уравнений записывается в виде Yk = eλ k xYk . Если собственные числа все действительны и различны (в этом случае их число равно порядку системы (10.14)), то каждому собственному числу λ1, ..., λn отвечает свое частное решение Y1, ..., Yn, отличное от других подобных частных решений. Общее решение системы однородных уравнений можно записать в виде n ~ Y ( x) = ∑ Ck eλk xYk . (10.20) k =1

В случае кратных корней уравнения (10.20) структура частного решения (собственного вектора) усложняется. Желающие более

128

глубоко ознакомиться с методикой решения линейных систем могут обратиться к [1] или [4]. Частное решение системы (10.14) находится методом «вариации произвольных постоянных». Для этого найденное общее решение однородной системы (10.20) подставляем в исходную неоднородную систему (10.14) и считаем произвольные постоянные C1…Cn функциями x. Производные уже этих функций произвольных «постоянных» удовлетворяют системе n

∑ C′e k

λk x

Yk = F .

(10.21)

k =1

Разрешая эту систему относительно C k′ , получим ровно n простых соотношений вида Ck′ = Φ k ( x) , после интегрирования которых получаем частное решение, которое можно представить векто⎛ C1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜C ⎟ ром-столбцом ⎜ 2 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜C ⎟ ⎝ n⎠ 4. Очень часто механические системы и электрические схемы характеризуются двумя параметрами x и y, изменение во времени которых описываются системой уравнений ⎧ dx ⎪⎪ dt = P ( x, y ) . (10.22) ⎨ ⎪ dy = Q( x, y ) ⎪⎩ dt В нормальном состоянии системе (механической, электрической и т.д.) отвечает точка равновесия (0,0) системы уравнений (10.22) (это означает, что P(0, 0) = 0 и Q(0, 0) = 0). Внешние или внутренние причины выводят систему (механическую и т.д.) из состояния покоя. В дальнейшем, выведенная из состояния покоя механическая система начинает «двигаться», что означает изменение параметров x, y во времени согласно системе уравнений (10.22). Очень важным является вопрос: вернется ли устройство в нормальное состояние или, как говорят инженеры, система пойдет 129

вразнос? Ответ на этот вопрос дает исследование поведения решения системы (10.22) в окрестности точки покоя (0,0). Разложим функции P(x,y) и Q(x,y) в окрестности точки (0,0) в ряд Тейлора, помня, что P(0,0) и Q(0,0) равны нулю: ∂P ∂P P ( x, y ) = x+ y..., ∂x ∂y ∂Q ∂Q Q ( x, y ) = x+ y... ∂x ∂y Обозначим для удобства производные, вычисляемые в точке ∂P ∂P ∂Q ∂Q (0, 0), следующим образом: = a, = b, = c, =d . ∂x ∂y ∂x ∂y Оставляя в разложении Тейлора только слагаемые, содержащие x и y в первой степени, и деля первое уравнение системы на второе, dx ax + by = получим – однородное дифференциальное уравнеdy cx + dy ние, рассмотренное нами выше. Решение этого уравнения выражается элементарной функцией. Приведем графики, иллюстрирующие поведение решения при различных параметрах a, b, c, d (рис. 10.2). Последние мы будем представлять в плоскости (x, y), называемой «фазовой». Для удобства введем обозначения: C = – (a + d), B = ad – bc. C2 > D . Поведение решения представлено на рис. 10.2: а – 1. 4 при С > 0, б – при С < 0. C2 < D . Поведение решения изображено на рис. 10.2: 4 в – при C > 0, г – при C < 0. 3. C = 0 D > 0 . Решение представлено на рис. 10.2, д. 4. D < 0. Решение представлено на рис. 10.2, е. Параметры, при которых система стремится вернуться в состояние покоя или остается в некоторой окрестности точки (0, 0), определяют устойчивую к возмущениям систему. В противном случае система называется неустойчивой. 2. D > 0

130

y

y

y

y

а

б

y

y y

y в

г

y y y

y д

е Рис. 10.2

На рис. 10.3 изобразим области «устойчивых» параметров системы (10.22) и «неустойчивых». Стрелочки на рисунке указывают направление изменения переменных x и y.

Рис. 10.3 131

10.2. Примеры решения задач Пример 10.1. Решить уравнение 2 x 2 dy = ( x 2 + y 2 )dx . 2

⎛ y⎞ Перепишем уравнение в виде 2 y ′ = 1 + ⎜ ⎟ , полагая x ≠ 0 . ⎝x⎠ Данное уравнение имеет вид (10.4), т.е. является однородным. Поy и y ′ = xu ′ + u , получим уравнение с разделяюложив в нем u = x du 2x = u 2 − 2u + 1 ; щимися переменными 2 xu′ + 2u = 1 + u 2 ; dx dx 2du y = вместо u, полу, u ≠ 1 . Интегрируя и подставляя 2 x x (u − 1) чим первым интеграл исходного уравнения: −

2 = ln x + ln C ; u −1

−

2

−2 x

= ln Cx ;

Cx= e y − x .

y −1 x При разделении переменных мы делили на х и на (u − 1) 2 . Непосредственной проверкой легко убедиться, что х = 0 и u = 1, т.е. y = x, являются также решениями данного уравнения, но они не входят в общий интеграл. 2 Пример 10.2. Решить уравнение y′ − 2 xy = 2 xe x . Данное уравнение имеет вид (10.5), следовательно, является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Соответствующее однородное уравнение есть y′ − 2 xy = 0 . Разделяем переменные

2 dy = 2 xdx , y ≠ 0 , получим y = Ce x . Заменяем произy 2

вольную постоянную С на функцию С(x), т.е. y = C ( x) e x . Подставим y = C ( x) e x

2

2

2

в исходное уравнение: C ′( x) e x = 2 x e x , откуда

C ( x) = x 2 + C1 . Следовательно, общее решение данного уравнения 2

имеет вид y = ( x 2 + C1 ) e x . 132

Непосредственной проверкой убеждаемся, что y = 0 не является решением нашего уравнения. Пример 10.3. Найти общее решение уравнения y′′ + y′ − 2 y = 1 . «Справочным бюро», как всегда, служит первый параграф данной главы. Уравнение линейное неоднородное, с постоянными коэффициентами, и поэтому сначала ищем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решаем характеристическое уравнение λ2 + λ – 2 = 0, его корни λ1 = 1, λ2 = –2. Общее решение уравнения при таких корнях, согласно «справочному бюро», имеет вид y(x) = С1ex + С2e-2x. Будем считать, что произвольные постоянные С1 и С2 зависят от x, и найденное общее решение подставим в исходное уравнение. Для этого сначала найдем первую производную x −2 x x −2 x y′( x) = (C1e − 2C2 e ) + (C1′e + C2′ e ) и приравняем нулю вторую скобку (*) C1′e x + C2′ e −2 x = 0 . Вторая производная с учетом, что вторая скобка равна тождественно нулю, есть y′′( x) = (C1e x + 4C2e −2 x ) + (C1′e x − 2C2′ e −2 x ) . Вновь приравняем вторую скобку, но уже к единице (**) C1′e x − 2C2′ e −2 x = 1 . Решим систему, составленную из уравнений (*) и (**), относительно C1′ и C2′ : ⎧⎪C1e x + C2′ e −2 x = 0, ⎨ x −2 x ⎪⎩C1′e − 2C2′ e = 1. 1 1 Решение системы имеет вид C1′ = e − x , C2′ = − e 2 x . Интегри3 3 ~ ~ ~ ~ 1 1 руя, получим C1 = − e − x + C1 , C2 = − e 2 x + C2 , где C1 и C2 – «ис3 6 тинные» произвольные постоянные, и решение исходного уравнения имеет вид 133

~ ~ 1 1 y(x)=ex (− e − x + C1 ) +e-2x (− e 2 x + C2 ) . 3 6 ⎧ dy1 2x ⎪⎪ dx = 3 y1 + 2 y2 + 3e , Пример 10.4. Решить систему уравнений ⎨ ⎪ dy2 = y + 2 y + e 2 x . 1 2 ⎪⎩ dx Данная система является линейной неоднородной с постоянными коэффициентами. Сначала найдем решение однородной системы ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = 3 y1 + 2 y2 , (*) ⎨ ⎪ dy2 = y + 2 y . 1 2 ⎪⎩ dx Составляем и решаем характеристическое уравнение 3−λ 2 =0, λ 2 − 5λ + 4 = 0 , λ1 = 4 , λ 2 = 1 . 1 2−λ Для простого корня λ1 = 4 находим собственный вектор (α, β), ⎧−α + 2β = 0, и получаем α = 2β. Значит, вектор решаем систему ⎨ ⎩α − 2β = 0 (2, 1) – собственный, и y1 = 2e 4 x , y2 = e 4 x – частное решение системы (*). Для простого корня λ 2 = 1 находим собственный вектор (1, –1) и частное решение y1 = e x , y2 = −e x .

⎧⎪ y10 ( x) = 2C1e 4 x + C2 e x , ⎨ 0 ⎪⎩ y2 ( x) = C1e 4 x − C2 e x

(**)

– решение однородной системы. Чтобы найти С1 и С2, подставим (**) в исходную систему: ⎧⎪2C ′e4 x + C ′e x = 3e2 x , ′ ′ 4 1 2 C2 = 3e x − 2C1′ e3 x , C1 = e − 2 x . ⎨ 3 ⎪⎩C1′e 4 x − C2′e x = e2 x , Находим 134

~ ~ 2 8 C1 = − e − 2 x + C1 , C2 = 3e x − e x + C2 . 3 3 Тогда общее решение неоднородной системы будет иметь вид ⎧⎪ y1 ( x) = 2C~1e 4 x + C~2 e x − e 2 x . ⎨ ~ ~ ⎪⎩ y2 ( x) = C1e 4 x − C2 e x − e 2 x Пример 10.5. Рассмотреть поведение решения в окрестности ⎧ dy ⎪⎪ dt = ln(1 + y ) + ln(1 + x), точки покоя для системы ⎨ ⎪ dx = 2 x − 3 y. ⎪⎩ dt Точке покоя отвечают значения x = 0 и y = 0. Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки (0,0) правые части уравнений исходной системы, оставив только первые слагаемые, и разделим одно уравнение на другое, приводя систему к виду, рассмотренному в этой главе. Получим a = 1, b = 1, c = 2, d = –3. Найдем параметры С = 2 и B = –5 и обратимся вновь к «справочному бюро». Рис. 10.2, a дает представление о поведении решения в окрестности точки покоя (0,0). 10.3. Задачи для самостоятельного решения

Найти общие решения уравнений первого порядка: 10.1. x 2 + xy′ = 3 x + y′ . 10.2.

y′(3x 2 − 2 x) − y (6 x − 2) = 0 .

10.3. 10.4.

y′ = ( x − y ) 2 + 1 . ( x − y + 3) dx + (3x + y + 1)dy = 0 .

10.5. 10.6.

(2 y 2 − xy )dx + ( xy − x 2 − y 2 )dy = 0 . x + y − 2 + (1 − x) y′ = 0 .

10.7.

y′ =

x sin x − 2 xye x ex

2

2

.

135

10.8.

y′ =

1 . 2x − y2

1 − 4x . x2 10.10. x sin x ⋅ y′ + (sin x − x cos x) y = sin x ⋅ cos x − x .

10.9.

(2 x − 1) y′ − 2 y =

10.11. y ′ =

x 3 − 3 xy 2 . 3x 2 y − y 3

6 x 2 + 4 y 2 − 5 xy . 5 2 2 y − 8 xy + x 2 2 y 3 y 10.13. 3x e dx + ( x e − 1)dy = 0 . 10.12. y′ =

⎛ ⎛ 1 1⎞ 1 x ⎞ x y 10.14. ⎜ + + ⎟dx + ⎜ + + 2 ⎟dy = 0 . ⎜ x2 + y 2 x y ⎟ ⎜ x2 + y 2 y y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 + xy 1 − xy dx + dy = 0 . 10.15. 2 x y xy 2 ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ 10.16. ⎜ sin y + y sin x + ⎟dx + ⎜⎜ x cos y − cos x + ⎟⎟dy = 0 . x⎠ y⎠ ⎝ ⎝

10.17. y = y′2e y ′ . y′

10.18. y ′ = e y . 10.19. x = ln y′ + sin y′ . 10.20. x = y′2 + 2 − 2 y′ . 10.21. x( y′2 − 1) = 2 y′ . 2

1 y′

10.22. xy ′ = e . Понизив порядок данных уравнений, свести их к уравнениям первого порядка: 10.23. y′′′ + 3 y′′ + 2 y′ = 1 − x 2 . 10.24. y ( 4) + 2 y′′′ + y′′ = x 2 + x − 1 . 136

10.25. y′′(e x + 1) + y′ = 0 . 10.26. y′′′y′ = 2 y′′2 . 10.27. 5 y′′′2 − 3 y′′y ( 4 ) = 0 . 10.28. x 2 yy′′ + y′2 = 0 .

y ′ y y′2 + = . x x2 y Решить уравнения: 1 . 10.30. y ′′ + y = sin x 10.31. y′′ − 3 y′ + 2 y = sin x .

10.29. y′′ +

10.32. y′′ − y = e x cos 2 x . 10.33. y′′ − 5 y′ = 3 x 2 + sin 5 x . 10.34. y′′ − y = e x cos 2 x . 10.35. y ′′ + 2 y ′ + 2 y =

1 . e sin x x

10.36. y′′ + 2 y′ + y = 3e− x x + 1 . 10.37. y′′ + 4 y′ + 4 y = e−2 x ln x . Найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям: 2x − 5 10.38. y ′ − 2 y = 5 , y(2) = 5. x ⎛π⎞ 1 10.39. y′ + y ⋅ tg x = cos 2 x , y ⎜ ⎟ = . ⎝4⎠ 2 2

2 y

10.40. y dx + ( x + e )dy = 0 , y(e) = 2. 10.41. ( x cos 2 y − y 2 ) y ′ = y cos 2 y , y (π) =

π . 4

10.42. y ′ + 4 x 3 y = 4( x 3 + 1)e −4 x y 2 , y(0) = 1. 10.43. 2 y ′ + y cos x = y −1 cos x(1 + sin x) , y(0) = 1. 137

10.44. 4 y 3 y′′ = y 4 − 1 , y (0) = 2 , y′(0) =

1 2 2

.

10.45. y′′ + 8 sin y cos3 y = 0 , y (0) = 0, y′(0) = 2 . 10.46. y 3 y′′ + 49 = 0 , y (3) = −7, y′(3) = −1 . 6 y2 − 4 y , y (1) = 1, y′(1) = 4 . x2 10.48. y′′′ = 3 yy′ , y (0) = −2, y′(0) = 0, y′′(0) = 4,5 .

10.47. x 2 y′′ − 3 xy′ =

10.49. y′′ + 3 y′ =

9e 3 x 1 + e3 x

, y (0) = ln 4, y′(0) = 3(1 − ln 2) .

⎛π⎞ ⎛π⎞ 10.50. y′′ + 4 y = 8 ctg 2 x , y ⎜ ⎟ = 5, y′ ⎜ ⎟ = 4 . ⎝4⎠ ⎝4⎠ 2 π 10.51. y ′′ + πy = , y (0) = 3, y′(0) = 0 . cos πx 4 10.52. y′′ − 6 y′ + 8 y = , y (0) = 1 + 3 ln 3, y′(0) = 10 ln 3 . 2 + e− 2 x 9 , y (0) = 1, y′(0) = 0 . 10.53. y′′ + 9 y = cos 3 x 4 ⎛π⎞ ⎛π⎞ 10.54. y′′ + 4 y = , y ⎜ ⎟ = 2, y ′ ⎜ ⎟ = π . sin 2 x ⎝4⎠ ⎝4⎠ ex , y (0) = 1, y′(0) = 0 . 1 + e− x Решить системы уравнений: ⎧ y1′ = 4 y1 + 6 y2 , 10.56. ⎨ ⎩ y2′ = 4 y1 + 2 y2 .

10.55. y′′ − 3 y′ + 2 y =

⎧ y ′ = −5 y1 − 4 y2 , 10.57. ⎨ 1 ⎩ y2′ = −2 y1 − 3 y2 . ⎧ y ′ = −7 y1 + 5 y2 , 10.58. ⎨ 1 ⎩ y2′ = 4 y1 − 8 y2 .

138

⎧⎪ y ′ = y2 − 2 y1 − e2 x , 10.59. ⎨ 1 2x ⎪⎩ y2′ = 2 y2 − 3 y1 + 6e . ⎧ y1′ = y2 , ⎪ 10.60. ⎨ 1 ⎪⎩ y2′ = − y1 + cos x . ⎧ y ′ = y1 + y2 − cos x, 10.61. ⎨ 1 ⎩ y2′ = −2 y1 − y2 + cos x + sin x. 2 ⎧ ⎪⎪ y1′ = −4 y1 − 2 y2 + e x − 1 , 10.62. ⎨ ⎪ y′ = 6 y + 3 y − 3 . 2 1 2 ex − 1 ⎩⎪ Найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным краевым условиям при помощи пакета MathCAD: 10.63. y′′ − y = 2 x , y (0) = 0, y (1) = −1 .

⎛π⎞ 10.64. y′′ + y = 1 , y (0) = 0, y ⎜ ⎟ = 0 . ⎝2⎠ 10.65. y ′′ + y = 2 x − π , y (0) = 0, y ( π) = 0 . 10.66. y′′ + y = 1 , y (0) = 0, y (π) = 0 . 10.67. y′′ − y′ − 2 y = 0 , y ( +∞) = 0, y′(0) = 2 . РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 2. Мышкис А.Д. Прикладная математика для инженеров. М.: Физматлит, 2007. 3. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит, 2003. 4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1962. 139

Владимир Витальевич Башуров, Инга Анатольевна Комлева

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Редактор Е.Н. Кочубей Макет подготовлен к печати Е.Н. Кочубей Подписано в печать 15.12.2010. Формат 6084 1/16 Объем 7,75 п.л. Уч.-изд. л. 7,75. Тираж 100 экз. Изд. № 9/1/18. Заказ № 49. Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское шоссе, 31. ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42