Спектральные задачи, возникающие в теории дифференциальных уравнений с запаздыванием

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1 (2003). С. 69–?? УДК 517.929

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ c 2003 г.

В. В. ВЛАСОВ

АННОТАЦИЯ. В предлагаемой статье приведен обзор результатов об асимптотическом поведении и устойчивости сильных решений функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Кроме того, сформулированы некоторые результаты о свойствах (полнота и базисность) экспоненциальных решений таких уравнений. Отметим, что предлагаеиый подход к исследованию ФДУ основывается на спектральном анализе операторных пучков, которые являются символами (характеристическими квазиполиномами) с операторными коэффициентами рассматриваемых уравнений. Статья состоит из двух частей. Первая посвящена исследованию ФДУ в гильбертовом пространстве, вторая — исследованию ФДУ в конечномерном пространстве.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . 2. Функционально-дифференциальные 3. Функционально-дифференциальные Список литературы . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . уравнения в бесконечномерном пространстве уравнения в конечномерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

. . . .

. . . .

. . . .

69 69 77 81

ВВЕДЕНИЕ

В статье приведены результаты об однозначной разрешимости начально-краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа, коэффициентами которых являются оператор-функции, принимающие значения во множестве, вообще говоря, неограниченных операторов в гильбертовом пространстве (раздел 2). Рассматривается случай уравнений с переменным запаздыванием и устанавливаются результаты об асимптотическом поведении и устойчивости решений указанных уравнений. Эти результаты и их обобщения доказаны в работах [2–4, 10–13, 15–17, 25, 28–30]. В разделе 3 изучается асимптотическое поведение решений дифференциально-разностных уравнений (в конечномерном евклидовом пространстве H = Cr ) в более сложном и деликатном случае, когда имеются цепочки корней характеристического квазиполинома, которые лежат или приближаются к мнимой оси (так называемые критический и сверхкритический случаи). Известно несколько работ, посвященных анализу этой ситуации (более подробное изложение см. в [31, 37, 38, 43]). Отметим, что наш метод исследования существенно отличается от методов, использованных в указанных работах. Полученные нами результаты основываются на базисности Рисса систем экспоненциальных решений. В свою очередь, этот результат основывается на исследовании резольвенты генератора полугруппы сдвигов вдоль траекторий решений рассматриваемых уравнений. Доказательства сформулированных результатов и их обобщений приведены в [5, 10–12, 14, 23, 24, 57]. В конце каждого раздела приведены замечания и комментарии, содержащие сравнение сформулированных результатов с ранее известными. 2. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A — самосопряженный положительный оператор в H, имеющий ограниченный обратный, I — единичный оператор в H. Превратим область определения Dom(Aα ) оператора Aα (α > 0) в гильбертово пространство Hα , введя на ней норму k · kα = kAα · k. c

2003 МАИ

69

70

В. В. ВЛАСОВ

Обозначим через W21 ((a, b), A) (−∞ < a < b 6 +∞) пространство функций со значениями в H, таких, что Aj v (1−j) (t) ∈ L2 ((a, b), H) (j = 0, 1), снабженное нормой !1 Zb  2  (1) 2 2 kvkW21 (a,b) ≡ kv (t)k + kAv(t)k dt . a

dj v(t), j = 0, 1, . . . (Свойства пространства W21 ((a, b), A) dtj

Здесь и в дальнейшем полагаем v (j) (t) ≡

см. в [33, гл. 1].) 1 ((a, b), A) функНаряду с пространством W21 ((a, b), A) введем пространства L2,γ ((a, b), H) и W2,γ ций со значениями в H, нормы в которых определены следующим образом: !1 Zb 2

exp(−2γt)kv(t)k2 dt

kvkL2,γ (a,b) ≡

,

a

kvkW2,γ 1 (a,b) ≡ k exp(−γt)v(t)kW 1 (a,b) , 2

γ ∈ R.

На полуоси R+ = (0, +∞) рассмотрим следующую задачу:    n  X du du Uu ≡ + Au(t) + B0 (t)CAu(t) + Bj (t)Sgj (Au)(t) + Dj (t)Sgj (t) = f (t), dt dt

(1)

u(+0) = ϕ0 ,

(2)

j=1

где B0 (t), Bj (t) и Dj (t) (j = 1, 2, . . . , n) — сильно непрерывные (см. [45]) оператор-функции, принимающие значения в кольце ограниченных операторов в H, C — компактный оператор в H и ϕ0 ∈ H 1 . 2 Определим операторы Sgj следующим образом: (Sgj v)(t) = v(gj (t)), (Sgj v)(t) = 0,

gj (t) > 0,

gj (t) < 0, j = 0, 1, 2, . . . , n,

где gj (t) (j = 1, 2, . . . , n) — вещественнозначные непрерывно дифференцируемые функции, заданd ные на полуоси R+ , такие, что gj (t) 6 t, gj (t) > 0 (j = 1, 2, . . . , n) и g0 (t) = t, t ∈ R+ . Через dt gj−1 (t) обозначим функции, обратные к gj (t), и положим hj (t) = t − gj (t). 1 (R , A) при некотоОпределение 1. Вектор-функция u(t), принадлежащая пространству W2,γ + ром γ > 0 называется сильным решением уравнения (1), если она удовлетворяет уравнению (1) почти всюду на полуоси R+ .

Введем обозначения r1 (γ) =

sup

kA(λI + A)−1 k,

λ:Re λ>γ

r2 (γ) =

sup

|λ| k(λI + A)−1 k,

γ > 0.

λ:Re λ>γ

Теорема 1. Пусть B0 (t) ≡ 0 и существует такое γ0 , что (3)

σ(γ0 ) < 1, где σ(γ) = r1 (γ)

n X

 sup

−1 j=1 t∈[gj (0),+∞)

+r2 (γ)

n X


 exp − γ t − gj (t) kBj (t)k

 sup

−1 j=1 t∈[gj (0),+∞)

1




 exp − γ t − gj (t) kDj (t)k

(1)

!1  2

gj (t) !1  2 1 

(1)

gj (t)

+

.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

71

Тогда для любого γ > γ0 оператор Vγ , действующий по правилу Vγ u ≡ (Uu, u(+0)), отобра1 (R , A) на пространство L (R , H) ⊕ H и имеет ограниченный жает пространство W2,γ 1 + 2,γ + 2 обратный. Теперь обратимся к задаче, часто называемой начальной задачей: n

X du + Au(t) + B0 (t)CAu(t) + (Bj (t)Au(gj (t)) + Dj (t)u(1) (gj (t))) = f0 (t), dt

(1◦ )

t ∈ R+ ,

j=1

u

(m)

t ∈ R− = (−∞, 0),

(t) = ym (t),

u(+0) = ϕ0 ,

(2◦ )

m = 0, 1.

Известно (см. [1, гл. 1]), что задача (1◦ ), (2◦ ) может быть сведена к задаче (1), (2). В этом случае вектор-функция f (t) определяется следующим образом: n h i X f (t) = f0 (t) − Bj (t)T gj (Ay0 )(t) + Dj (t)T gj (y1 )(t) , (4) j=1

где операторы

T gj

действуют по формулам (T gj v)(t) = 0,

gj (t) > 0,

(T gj v)(t) = v(gj (t)),

gj (t) < 0.

1 (R , A) для некотоОпределение 2. Вектор-функция u(t), принадлежащая пространству W2,γ + ◦ ◦ рого γ > 0, называется сильным решением задачи (1 ), (2 ), если u(t) удовлетворяет уравнению (1) с функцией f (t), определенной выражением (4) и условием (2) в понимаемом смысле сходимости в пространстве H 1 . 2

Опираясь на теорему 1, получим следующий результат. Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и существует γ1 > 0, такое, что (5)

σ1 (γ1 ) < +∞, σ1 (γ) =

n X

 sup

−1 j=1 t∈[0,gj (0))

+

n X j=1

exp (−γ (t − gj (t))) kBj (t)k

1 (1) gj (t)

 sup t∈[0,gj−1 (0))

exp (−γ (t − gj (t))) kDj (t)k

1 (1)

gj (t)

!1  2 +

!1  2

.

Тогда для любого γ > γ∗ = max(γ0 , γ1 ), любых вектор-функций (Ay0 )(t), y1 (t) ∈ L2,γ (R− , H), f (t) ∈ L2,γ (R+ , H) и любого вектора ϕ0 ∈ H 1 существует единственное решение u(t) зада2

1 (R , A) и удовлетворяющее неравенству чи (1◦ ), (2◦ ), принадлежащее пространству W2,γ + 1

2 2 2 2 2 ku(t)kW2,γ 1 (R ,A) 6 d1 (kf0 (t)k L2,γ (R+ ,H) + kAy0 kL2,γ (R− ,H) + ky1 kL2,γ (R− ,H) + kϕ0 k 1 ) +

(6)

2

с постоянной d, не зависящей от f0 (t), (Ay0 )(t), y1 (t), ϕ0 . В следующей теореме рассматривается важный для приложений случай γ0 = 0. Теорема 3. Предположим, что B0 (t) ≡ 0 и имеет место неравенство  !1  !1 n 2 2 X 1 2  < 1.  lim kBj (t)k2 1 + lim kD (t)k j (1) (1) t→+∞ t→+∞ g (t) g (t) j=1 j j

(7)

Тогда справедливо утверждение теоремы 1 с постоянной γ0 = 0 и для γ0 = 0 и f (t) ∈ L2 (R+ , H) имеет место следующее равенство lim ku(t)k 1 = 0.

t→+∞

2

Следующее утверждение относится к уравнениям запаздывающего типа (т. е. когда Dj (t) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n).

72

В. В. ВЛАСОВ

Теорема 4. Предположим, что Dj (t) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n, а оператор-функции Bj (t) представлены в виде Bj (t) = Bj0 (t)Cj , где Cj — компактные операторы в пространстве H, Bj0 (t) — сильно непрерывные оператор-функции, принимающие значения в кольце ограниченных операторов H и такие, что !1 2 1 0 2 < +∞. (8) sup kB0 (t)k < +∞, sup kBj (t)Cj k (1) t∈R+ t∈R+ gj (t) Тогда существует γ0 > 0, такое, что для любого γ > γ0 оператор Vγ отображает простран1 (R , A) на L (R , H) ⊕ H и имеет ограниченный обратный. ство W2,γ 1 + 2,γ + 2

Обозначим через α0 нижнюю грань оператора A (определение см. в [45]). Теорема 5 относится к случаю отрицательного γ0 . Теорема 5. Предположим, что выполнены условия теоремы 4, B0 (t) ≡ 0, справедливо неравенство  1 2 n X 1 2  kBj (t)Cj k (1)  < 1, sup (9) −1 gj (t) j=1 t∈[gj (0),+∞) а запаздывания hj (t) ограничены: 0 < θ1 6 hj (t) 6 θ2 < ∞, θ1 , θ2 = const. Тогда существует δ > 0, такое, что для любого γ > max(−δ, −α0 ) оператор Vγ отображает пространство 1 (R , A) на L (R , H) ⊕ H и имеет ограниченный обратный. W2,γ 1 + 2,γ + 2

Следующий результат является следствием теоремы 5. Теорема 6. Предположим, что выполнены условия теоремы 5, f0 (t) ≡ 0 и имеет место неравенство sup |gj (t)| < +∞. ω0 = max j=1,n t∈[0,g −1 (0)) j

Тогда существует δ > 0, такое, что для любых начальных функций y0 (t), y1 (t), удовлетворяющих условию Ay0 (t), y1 (t) ∈ L2 ((−ω0 , 0), H), и любого вектора ϕ0 ∈ H 1 существует един2

1 (R , A) ственное решение u(t) задачи (1◦ ), (2◦ ) (для f0 ≡ 0), принадлежащее пространству W2,γ + (для γ > max(−δ, −α0 )), причем справедлива оценка  1 2 ke−γt u(t)kW21 (R+ ,A) 6 d2 kφ0 k21 + kAy0 k2L2 (−ω0 ,0) + ky1 k2L2 (−ω0 ,0) (10) 2

с постоянной d2 , не зависящей от ϕ0 , (Ay0 )(t), y1 (t). Далее приведены некоторые замечания, показывающие существенность условий сформулированных утверждений. Замечание 1. При дополнительном ограничении hj (t) > α > 0, t > 0, j = 1, 2, . . . , n, достаточным условием существования γ0 в неравенстве (3) является следующее:  !1 !1  n 2 2 X 1 1 2 2   < +∞. + sup kDj (t)k (1) ∆≡ sup kBj (t)k (1) (11) −1 −1 g (t) g (t) t∈[g (0),+∞) t∈[g (0),+∞) j=1 j j j j Замечание 2. Если имеет место неравенства (11) и hj (t) > α > 0, то неравенство (3) выполняется для любого γ0 , такого, что 1 γ0 > max(ln ∆, 0). (12) α Замечание 3. Условие (5) гарантирует, что функция (4) принадлежит пространству L2,γ (R+ , H) для любых (Ay0 )(t), y1 (t) ∈ L2,γ (R− , H). Кроме того, если функция gj (t) удовлетворяет условию ω0 = max

sup

j=¯ 1,n t∈[0,g −1 (0))

|gj (t)| < +∞,

j

то функция (4) принадлежит пространству L2,γ (R+ , H) для любого γ ∈ R и любых вектор-функций y0 (t), y1 (t), таких, что (Ay0 )(t), y1 (t) ∈ L2 ((−ω0 , 0), H).

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

73

Замечание 4. Неравенство (7) существенно. Это можно показать на следующем примере. Пример 1. Предположим, что H ≡ C, n = 1, A = const > 0, B1 (t) ≡ −1, B0 (t) ≡ D1 (t) ≡ 0. Рассмотрим следующую задачу du + Au(t) − St−h (Au)(t) = χ(0, h)A, t ∈ R+ , (13) dt u(+0) = ϕ0 = 1, где χ(0, h) — характеристическая функция интервала (0, h). В этом случае условие (7) не выполняется (левая часть (7) равна 1). Уравнение (13) имеет единственное решение u(t) ≡ 1, которое не принадлежит пространству W21 (R+ ). Замечание 5. Условие (11) также существенно. Это можно показать на следующем примере. Пример 2. Предположим, что H = C, n = 1, B0 (t) ≡ D1 (t) ≡ 0, g1 (t) = t − 1, A = const > 0, B1 (t) = −2t exp(2t − (A + 1)). Рассмотрим задачу du + Au + B1 (t)u(t − 1) = 0, t ∈ R+ , (14) dt u(t) = y(t) = exp(t2 − At), t ∈ [−1, 0], u(+0) = ϕ0 = 1. 1 (R ) Уравнение (14) имеет решение u(t) = exp(t2 −At), которое не принадлежит пространству W2,γ + ни при каком γ ∈ R. Поскольку sup kB1 (t)k = +∞, t∈[1,+∞)

условие (11) не выполняется. Замечание 6. Неравенство (12) существенно. Это можно показать на следующем примере. Пример 3. Пусть H = C, n = 1, B0 (t) ≡ B1 (t) ≡ 0, A = const > 0, D1 (t) ≡ D = const, h > 0. Рассмотрим уравнение du du + Au(t) + D (t − h) = 0, t ∈ R+ . (15) dt dt Корни полинома l(λ) = λ + A + λDe−λh асимптотически приближаются к прямой Re λ = ln |D|/h = ∆ (см., например, [35]), оставаясь слева: ln |D| Re λq < . h Таким образом, величину ∆ нельзя заменить на ∆ − ε в неравенстве (12) (ни для какого ε > 0). Работы [6–9] посвящены изучению спектральных вопросов, а именно изучению операторфункций, соответствующих рассматриваемым уравнениям в автономном случае. Далее приведены результаты об асимптотическом поведении сильных решений ФДУ в автономном случае. Эти результаты основываются на информации о характеристических квазиполиномах с операторными коэффициентами упомянутых уравнений. В свою очередь, они являются оператор-функциями (операторными пучками), принимающими значения во множестве неограниченных операторов в гильбертовом пространстве. В [6–9] изучаются оператор-функции вида n X L(λ) = λI + A + B0 CA + (Bj A + λDj ) exp(−λhj )+ j=1

Z∞ +

!

Z∞

exp(−λt)K(t) dt A + λ 0

!

(16)

exp(−λt)Q(t) dt , 0

где B0 , Bj и Dj — ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H, числа hj таковы, что 0 = h0 < h1 < · · · < hn = h, оператор-функции e−κt K(t) и e−κt Q(t) принимают значения в кольце ограниченных операторов, действующих в пространстве H, и таковы, что оператор-функции

74

В. В. ВЛАСОВ

e−κt K(t) и e−κt Q(t) интегрируемы по Бохнеру на полуоси R+ для некоторого κ > 0; λ — спектральный параметр (λ ∈ C). В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных изучению характеристических квазиполиномов: распределению их нулей, их оценках в случае конечномерного пространства H (см. монографии [32, 34, 35] и статьи [31, 37]). Оператор-функции вида (16) в случае бесконечномерных пространств и, в частности, гильбертова пространства H, изучены в существенно меньшей степени. Более того, нам не известны работы (за исключением [48, 56]), посвященные изучению оператор-функций вида (16). Следует отметить, что в случае бесконечномерного пространства H появляются новые неожиданные эффекты (см. соответствующие примеры в [6, 8]). Сформулируем некоторые результаты из [6–10]. Лемма 1. Пусть B0 , Bj и Dj (j = 1, 2, . . . , n) — ограниченные операторы в пространстве H, оператор-функции K(t) и Q(t) принимают значения в кольце ограниченных операторов, действующих в пространстве H. Далее, пусть оператор-функции exp(−κt)K(t) и exp(−κt)Q(t) интегрируемы по Бохнеру на полуоси R+ для некоторого κ > 0. Тогда существует число M0 > κ, такое, что в полуплоскости Π(M0 ) ≡ {λ : Re λ > M0 } оператор-функция

L−1 (λ)

существует, голоморфна и удовлетворяет неравенству

(L(λ)(λI + A)−1 )−1 6 const.

(17)

В следующей лемме приведены условия, обеспечивающие мероморфность оператор-функции L−1 (λ). Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Предположим дополнительно, что Bj (j = 1, 2, . . . , n) — компактные операторы в пространстве H, оператор-функции K(t) и Q(t) принимают значения в кольце компактных операторов в H и выполняется условие K(t) = Q(t) = 0

при

t < h = hn .

Тогда спектр оператор-функции L(λ) состоит из изолированных характеристических чисел конечной алгебраической кратности, которые являются конечномерными полюсами L−1 (λ). Следующие два утверждения уточняют лемму 1 в случае уравнений запаздывающего типа, т. е. в случае, когда Dj ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n, Q(t) ≡ 0. Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2, и пусть Dj ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n, Q(t) ≡ 0. Тогда для любого a > 0 существует b > 0, такое, что в области
Q(a, b) ≡ C\ {λ : Re λ 6 −a} ∪ {λ : −a 6 Re λ 6 M0 , | Im λ| 6 b} оператор-функция L−1 (λ) существует, является голоморфной и удовлетворяет неравенству (17). Лемма 4. Пусть выполнены условия леммы 2 и пусть Dj = 0, j = 1, 2, . . . , n, Q(t) ≡ 0, а операторы Bj могут быть представлены в виде Bj = Cj A−θj (j = 1, 2, . . . , n), где Cj — ограниченные операторы в пространстве H, θj ∈ (0, 1], K(s) = K1 (s)A−θ0 , где θ0 ∈ (0, 1], и оператор-функция K1 (s) принимает значения в кольце ограниченных операторов в пространстве H и интегрируема по Бохнеру на интервале (0, h). Тогда существует константа N0 > 0, такая, что в области
Φ(N0 ) ≡ C\ {λ : |λ| 6 N0 } ∪ {λ : Re λ < 0, | Im λ| 6 N0 exp(−q Re λ)} , где

  hj h , q = max max , j=1,n θj θ0

оператор-функция L−1 (λ) существует, голоморфна и удовлетворяет неравенству (17). Замечание 7. Если выполнены условия леммы 3, то утверждение леммы 1 справедливо для любой постоянной M0 > max λq , где λq — характеристические числа оператор-функции L(λ).

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

75

Работы [4, 6, 9, 10] посвящены изучению частного случая задачи (1), (2), для автономных уравнений (1) с f0 (t) ≡ 0. Предположим, что B0 (t) ≡ B0 , Bj (t) ≡ Bj и Dj (t) ≡ Dj , и функции hj (t) ≡ hj (j = 1, 2, . . . , n) не зависят от t, т. е. B0 , Bj и Dj — ограниченные операторы в пространстве H, оператор-функции K(t) и Q(t) удовлетворяют условиям леммы 1; hj — числа, такие, что 0 = h0 < h1 < · · · < hn = h. Для удобства читателей сформулируем задачу (1◦ ), (2◦ ) при сделанных предположениях: n   X du + Au(t) + B0 CAu(t) + Bj Au(t − hj ) + Dj u(1) (t − hj ) + dt j=1

Zt +



(1◦◦ )

 K(t − s)Au(s) + Q(t − s)u(1) (s) ds = 0,

t ∈ R+ ,

−∞

u

(m)

(t) = ym (t),

t ∈ R− = (−∞, 0),

m = 0, 1;

u(+0) = ϕ0 .

(2◦◦ )

Следующее утверждение может оказаться полезным при изучении спектральных вопросов. Утверждение 1. Пусть B0 , Bj , Dj (j = 1, 2, . . . , n) — ограниченные операторы в пространстве H и пусть оператор-функции K(t) и Q(t) удовлетворяют условиям леммы 2. Тогда любое сильное решение u(t) задачи (1◦◦ ), (2◦◦ ) удовлетворяет неравенствам  1/2 d1 kukW11 (0,h) 6 kϕk21/2 + kF1 (Ay0 )(t) + F2 (y1 )(t)k2L2 (−h,0) 6 d2 kukW21 (0,h) с постоянными d1 и d2 , не зависящими от ϕ0 , F1 (Ay0 ), F2 (y1 ). Обозначим через Uα множество сильных решений уравнения (1◦◦ ), таких, что выполняется включение exp(αt)u(t) ∈ L2 (R+ , H), α ∈ R. По канонической системе собственных и присоединенных векторов xq,j,0 , xq,j,1 , . . . , xq,j,s (j = 1, 2, . . . , pq , s = 0, 1, . . . , rpq ) оператор-функции L(λ) составим систему элементарных (экспоненциальных) решений уравнения (1◦◦ ):   s t ts−1 xq,j,0 + xq,j,1 + · · · + xq,j,s . yq,j,s (t) = exp(λq t) s! (s − 1)! Лемма 5. Пусть Dj = 0 (j = 1, 2, . . . , n), Q(t) ≡ 0, Bj (j = 1, 2, . . . , n) — компактные операторы в пространстве H, оператор-функция K(t) принимает значения в кольце компактных операторов, действующих в пространстве H, и пусть K(t) = 0, t > h. Тогда для любого α > 0 любое сильное решение u(t) задачи (1◦◦ ), (2◦◦ ) может быть представлено в виде u(t) =

X

pq rpq X X

cq,j,s yq,j,s (t) + wα (t),

Re λq >−α j=1 s=0

где вектор-функция wα (t) принадлежит классу Uα , а коэффициенты cq,j,s удовлетворяют неравенствам  1/2 |cq,j,s | 6 dq kϕ0 k21/2 + kF1 (Ay0 )(t)k2L2 (−h,0) с постоянными dq , не зависящими от ϕ0 , F1 (Ay0 )(t). Следствие. Пусть выполняются условия леммы 5 и решение u(t) принадлежит классу Uα . Тогда существует δ > 0, такое, что u(t) ∈ Uα+δ . Лемма 6. Пусть B0 , Bj и Dj (j = 1, 2, . . . , n) — ограниченные операторы в пространстве H, K(t) и Q(t) — оператор-функции, принимающие значения в кольце ограниченных операторов в пространстве H, такие, что оператор-функции exp(−κt)K(t) и exp(−κt)Q(t) интегрируемы по Бохнеру на полуоси R+ для некоторого κ > 0. Тогда утверждение теоремы 1 справедливо для любой постоянной γ0 = M0 , где постоянная M0 определяется в лемме 1. Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы 5 при κ = 0, а оператор-функция (L(λ)(λI + A)−1 )−1

76

В. В. ВЛАСОВ

ограничена и непрерывна по операторной норме на мнимой оси и удовлетворяет неравенству sup kL(λ)(λI + A)−1 − Ik < 1. λ:Re λ>0

Тогда утверждение теоремы 1 выполняется с постоянной γ0 = 0; кроме того, любое решение задачи при γ = γ0 = 0 и f (t) ∈ L2 (R+ , H) удовлетворяет соотношению lim ku(t)k1/2 = 0.

t→+∞

Замечание 8. Предлагаемый подход в понимании решений, изучении разрешимости, а также асимптотического поведения решений, разумеется, не является единственно возможным. В настоящее время имеется множество работ, охватывающих в основном случай конечномерного пространства и содержащих различные подходы к пониманию решений и различные методы решения и анализа начально-краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Упомянем лишь монографии и статьи [1, 32, 34, 35, 42, 55], посвященные этой проблеме для случая конечномерного пространства, и работы [39, 47, 48, 54, 59] для уравнений в банаховом пространстве и, в частности, гильбертовом пространстве. При изучении разрешимости задачи (1), (2) мы следуем подходу, использованному в [1] в случае конечномерного пространства. Заметим, что сформулированные теоремы 1–6 могут быть получены аналогично теореме 1 [2] и теореме 1 [4]. Незначительное различие появляется в оценках интегральных операторов, фигурирующих в интегральных уравнениях, эквивалентных исходной задаче (1), (2) в смысле разрешимости. В последние годы появилось значительное число работ, посвященных изучению функциональнодифференциальных уравнений в банаховых пространствах и, в частности, гильбертовых пространствах, в которых рассматриваются главным образом уравнения запаздывающего типа. При этом нам известно лишь несколько работ, в которых изучаются уравнения нейтрального типа с операторными коэффициентами. Наиболее близкие к предмету нашего изучения результаты получены в [39, 56, 59]. В известных нам работах (см. [39, 56, 59]), ограничения на коэффициенты Bj (t)A и Dj (t) (j = 1, 2, . . . , n) при запаздывающих членах являются более жесткими. Так, в большинстве работ (см., в частности, [39, 59]) авторы предполагают, что коэффициенты при запаздывающих членах (Bj (t)A и Dj (t)) являются ограниченными операторами. Авторы работ [47, 48, 54] предполагают в случае уравнений запаздывающего типа (Dj (t) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n), что коэффициенты Bj (t) не зависят от t. Заметим, что в [17–20, 28] получены результаты о фредгольмовой разрешимости и свойствах сильных решений ФДУ n-го порядка, включающих в себя интегро-дифференциальные уравнения, символами которых являются оператор-функции, представимые в виде пучков операторов n-го порядка, возмущенных оператор-функциями специального вида (ограниченными или убывающими на бесконечности). В [18–22] доказаны результаты о кратной минимальности системы корневых векторов и экспоненциальных решений. В свою очередь, в [6–10,15,20,21] изложены результаты об асимптотическом поведении сильных решений ФДУ в гильбертовом пространстве и, в частности, результаты об отсутствии нетривиальных решений, убывающих быстрее любой экспоненты (так называемая задача о малых решениях или принцип Фрагмена—Линделефа). Заметим, что много интересных задач для функционально-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях, приведено в монографии Ву [58]. Ряд результатов о корректной разрешимости для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с бесконечным числом запаздываний и интегральными добавками установлены в [25, 26]. Результаты о корректной разрешимости ФДУ с неограниченными операторными коэффициентами в шкале пространств Соболева с произвольным целым индексом изложены в [29, 30]. В этих работах дополнительно предполагается, что начальные функции и правые части уравнений удовлетворяют условиям согласования. Ряд глубоких результатов о разрешимости и свойствах решений эллиптических функциональнодифференциальных уравнений установлено в монографии Скубачевского [55] (там же можно найти соответствующую библиографию).

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

3.

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

77

УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В этом разделе изучается асимптотическое поведение решений уравнений следующего вида n X m X

Akj u

(j)

Zh (t − hk ) +

k=0 j=0

B(s)u(t − s)ds = 0,

t ∈ R+ .

(18)

0

Здесь Akj — матрицы порядка (r × r) с постоянными элементами, действительные числа hj удовлетворяют неравенствам 0 = h0 < h1 < · · · < hn = h, элементы Bij (s) матрицы B(s) принадлежат пространству L2 ((0, h), C). Введем матрицу-функцию L(λ) =

n X m X

Zh

j

Akj λ exp(−λhk ) +

k=0 j=0

exp(−λs)B(s)ds,

λ ∈ C,

(19)

0

и функцию l(λ) = det L(λ), часто называемую характеристическим квазиполиномом уравнения (18), через λq обозначим нули функции l(λ), пронумерованные в порядке возрастания их модулей, учитывая кратности. Собственные векторы, входящие в каноническую систему собственных и присоединенных (корневых) векторов L(λ), отвечающих числу λq , обозначим через xq,j,0 , их присоединенные порядка s — через xq,j,s (индекс j показывает, каким по счету является вектор xq,j,s в специально выбранном базисе подпространства решений уравнения L(λq )x = 0). Введем систему экспоненциальных (элементарных) решений уравнения (18):   s ts−1 t xq,j,0 + xq,j,1 + · · · + xq,j,s . (20) yq,j,s (t) = exp(λq t) s! (s − 1)! Обозначим через W2p ((a, b), Cr ) (−∞ < a < b 6 +∞), p = 1, 2, . . . пространства Соболева функций со значениями в Cr , снабженные нормами  b  21 Z X p  kvkW2p (a,b) ≡  kv (j) (t)k2Cr dt . j=0

a

p ((a, b), Cr ) — пространство функций со знаНаряду с пространством W2p ((a, b), Cr ) введем W2,γ r чениями в C , снабженное нормой  21  b Z p X   e−2γt p kvkW2,γ kv (j) (t)k2Cr dt , γ ∈ R. (a,b) ≡ a

j=0

Для уравнения (18) зададим следующие начальные условия u(t) = y(t),

t ∈ [−h, 0],

y(t) ∈ W2m ((−h, 0), Cr ).

(21)

m ((−h, +∞), Cr ) при Определение 3. Вектор-функцию u(t), принадлежащую пространству W2,γ некотором γ ∈ R, назовем сильным решением задачи (18), (21), если она удовлетворяет уравнению (18) при почти всех R+ , а также условию (21).

Сформулируем вначале результат о существовании и единственности сильных решений задачи (18), (21). Лемма 8. Предположим, что det A0m 6= 0. Тогда существует такое γ0 > 0, что при всех m ((−h, +∞), Cr ) для любой γ > γ0 задача (18), (21) имеет единственное сильное решение u ∈ W2,γ начальной функции y(t) ∈ W2m ((−h, 0), Cr ), и это решение удовлетворяет неравенству m ((−h,+∞),Cr ) 6 dkykW m ((−h,0),Cr ) kukW2,γ 2

с постоянной d, не зависящей от y(t).

(22)

78

В. В. ВЛАСОВ

Лемма 8 является следствием более общих результатов о корректной разрешимости (см. [2,4,25]) Принимая во внимание лемму 8, введем (аналогично [35]) полугруппу Ut (t > 0) ограниченных операторов, действующих в пространстве W2m ((−h, 0), Cr ) согласно правилу −h 6 s 6 0,

(Ut y)(s) = u(t + s),

t > 0,

где u(t) — решение задачи (18), (21), отвечающее начальной функции y(s). В следующей теореме приводится описание генератора полугруппы Ut . Теорема 7. Пусть det A0m 6= 0. Тогда семейство операторов Ut образует C 0 -полугруппу в пространстве W2m ((−h, 0), Cr ) с генератором D, определяемым следующим образом (Dϕ)(s) =

dϕ (s), ds

s ∈ (−h, 0),

  Zh n X m X m+1 r (j) Dom D = ϕ ∈ W2 ((−h, 0), C ), Akj ϕ (−hk ) + B(s)ϕ(−s) ds = 0 . k=0 j=0

(23)

0

Предложение 1. Пусть det A0m 6= 0. Тогда спектр оператора D совпадает с множеством Λ нулей λq функции l(λ), экспоненциальные решения yq,j,s (t) (см. (20)) являются его корневыми векторами и образуют минимальную систему в пространстве W2m ((−h, 0), Cr ). В следующей теореме приведен результат о полноте системы экспоненциальных решений. Теорема 8. Предположим, что det A0m 6= 0, det Anm 6= 0. Тогда система экспоненциальных решений {yq,j,s (t)} полна в пространстве W2m ((−h, 0), Cr ). В следующем предложении указывается локализация спектра оператора D. Предложение 2. Пусть det A0m 6= 0, det Anm 6= 0. Тогда существуют постоянные α и β, такие, что множество Λ лежит в полосе {λ : α < Re λ < β}. Обозначим через Vλq подпространство экспоненциальных решений yq,j,s (t), соответствующих λq , через νq — кратность λq и положим κ = sup Re λq , N = max νq . λq ∈Λ

λq ∈Λ

Перейдем к формулировке основных результатов о поведении сильных решений задачи (18), (21). Теорема 9. Пусть det A0m 6= 0, det Anm 6= 0 и множество Λ отделимо: inf (dist(λp , λq )) > 0.

λp 6=λq

Тогда любое сильное решение u(t) задачи (18), (21) удовлетворяет неравенству kukW2m (t−h,t) ≡ k(Ut y)(s)kW2m (−h,0) 6 d(t + 1)N −1 exp(κt)kykW2m (−h,0) ,

t>0

(24)

с постоянной d, не зависящей от y(t). Доказательство теоремы опирается на следующий результат. Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда система подпространств Vλq (λq ∈ Λ) образует базис Рисса из подпространств пространства W2m ((−h, 0), Cr ). Пусть Bp (λq ) — круг радиуса ρ с центром в точке λq . Введем область [ Gρ (Λ) ≡ C\ Bρ (λq ). λq ∈Λ

Утверждение 2. Пусть det A0m 6= 0 и det Anm 6= 0. Тогда существует система замкнутых контуров Γn = {λ : Re λ = β, cn 6 Im λ 6 cn+1 } ∪ ln ∪ {λ : Re λ = α, cn 6 Im λ 6 cn+1 } ∪ ln+1 ,

n ∈ Z,

целиком принадлежащая области Gρ при некотором достаточно малом ρ > 0. При этом выполняются следующие условия.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

79

(i) Последовательность вещественных чисел {cn } (n ∈ Z) такова, что 0 < δ 6 cn+1 − cn 6 ∆ < +∞; кусочно-гладкие кривые ln , соединяющие точки (Re λ = β, Im λ = cn ) и (Re λ = α, Im λ = cn ) не пересекаются и их длины d(ln ) равномерно ограничены по n (здесь δ и ∆ — некоторые положительные постоянные). (ii) Количество N (Γn ) нулей λq (с учетом кратности), лежащих в областях, ограниченных контурами Γn , равномерно ограничено по n: max N (Γn ) 6 M < +∞. n∈Z

(iii) Существует постоянная c, такая, что sup |λ|m kL−1 (λ)k 6 c. λ∈Γn

Обозначим через {Pn } семейство риссовских спектральных проекторов оператора D, соответствующих контурам Γn : Z 1 (Pn f ) = − R(λ, D)f dλ, n ∈ Z; 2πi Γn

при этом предполагается, что контуры Γn обходятся против часовой стрелки. Следующие теоремы 11 и 12 обобщают теоремы 9 и 10. Теорема 11. Пусть det A0m 6= 0 и det Anm 6= 0. Тогда существует система контуров Γn (n ∈ Z), удовлетворяющая условиям (i)–(iii) утверждения 2, такая, что соответствующая система подпространств Wn = Pn W2m ((−h, 0), Cr ) образует базис Рисса из подпространств W2m ((−h, 0), Cr ). На основе теоремы 11 может быть получена Теорема 12. Пусть det A0m 6= 0 и det Anm 6= 0. Тогда любое сильное решение u(t) задачи (18), (21) удовлетворяет неравенству kukW2m ((t−h,t),Cr ) 6 d1 (t + 1)M −1 eκt kykW2m ((−h,0),Cr ) ,

t > 0,

(25)

с постоянной M , определяемой в (ii) утверждения 2 и постоянной d1 , не зависящей от y(t). Следующая теорема обобщает теорему 9 в случае B(s) ≡ 0. Теорема 13. Пусть A0m 6= 0,

inf (dist(λp , λq )) > 0, B(s) ≡ 0. Тогда любое сильное реше-

λp 6=λq

ние u(t) задачи (18), (21) удовлетворяет неравенству (24). Заметим, что неравенство (24) справедливо и для известного примера Громовой и Зверкина (см. [31] и замечания в монографии Хейла [35]). В указанном примере m = 1, n = 1, A10 = −A11 = 1, A00 = A01 = a = const > 0, N = 1, κ = 0. Кроме того, если ввести норму  0  12 Z

kuk∗W 1 (−h,0) =  |u(1) (s)|2 + a2 |u(s)|2 ds + a |u(0)|2 + |u(−h)|2  , 2

−h

эквивалентную традиционной норме в пространстве Соболева W21 ((−h, 0), C), то элементарные решения eλq t будут ортогональны в смысле скалярного произведения h·, ·i∗W 1 , порожденного нор2 мой k · k∗W 1 (−h,0) . 2 Наряду с теоремами 9, 10 сформулируем результаты об асимптотическом поведении сильных решений скалярных дифференциально-разностных уравнений m-го дифференциального порядка.

80

В. В. ВЛАСОВ

p Обозначим через W2,γ ((a, b), C) весовые пространства Соболева комплекснозначных функций с нормой  b  21 X  Z p  exp(−2γt) p kukW2,γ |u(j) (t)|2 dt , γ ∈ R. (a,b) = j=0

a

Рассмотрим следующую начальную задачу m X n X

akj u

(j)

Zh (t − hk ) +

j=0 k=0

a(s)u(t − s)ds = 0,

t ∈ R+ ;

(26)

0

u(t) = y(t),

t ∈ [−h, 0].

(27)

Здесь akj — комплексные коэффициенты, действительные числа hj удовлетворяют неравенствам 0 = h0 < h1 < · · · < hn = h, функция b(s) ∈ L2 ((0, h), C). p Обозначим через W2,v (−h, 0) подпространство функций пространства W2p (−h, 0) при p > 2, удовлетворяющих следующим условиям согласования n X n X

akj u

(j+l)

Zh (−hk ) +

j=0 k=0

b(s)u(l) (−s)ds = 0,

l = 0, 1, . . . , p − 2.

0

Определение 4. Назовем комплекснозначную функцию u(t), принадлежащую пространству p W2,γ ((−h, +∞), C) для некоторых γ > 0, p > m, решением задачи (26), (27), если u(t) удовлетворяет уравнению (26) почти всюду на полуоси R+ и начальным условиям (27). Обозначим через νq кратности нулей λq функции l(λ) =

m X n X

Zh

j

akj λ exp(−λhk ) +

j=0 k=0

b(s)e−λs ds.

(28)

0

Теорема 14. Предположим, что a0m 6= 0, anm 6= 0, множество Λ всех нулей λq функции l(λ) p (−h, 0). Тогда решение u(t) отделимо (т. е. inf dist(λq , λp ) > 0) и начальная функция y ∈ W2,v λp 6=λq

задачи (26), (27) удовлетворяет неравенству kukW2p (t−h,t) 6 d(t + 1)N −1 exp(κt)kykW2p (−h,0) ,

t > 0,

(29)

с постоянной d, не зависящей от y(t), где N = max νq , κ = sup Re λq . λq ∈Λ

λq ∈Λ

Теорема 14 опирается на следующий результат. Теорема 15. Предположим, что выполнены условия теоремы 14. Тогда система функций vq,m =

tr exp(λq t) , (|λq |p + 1)

λq ∈ Λ,

r = 0, 1, . . . , νq − 1,

(30)

p образует базис Рисса в пространстве W2,v (−h, 0).

Замечание 9. Неравенство anm 6= 0 существенно для базисности Рисса системы функций vq,m . Действительно, нетрудно проверить, что для дифференциально-разностного уравнения du + au(t) + bu(t − h) = 0 dt система экспоненциальных решений yq (t) = aq eλq t (kyq (t)kW2p (−h,0) = 1) не является равномерно минимальной. В этом можно убедиться, вычислив скалярное произведение hyq+1 (t), y q (t)iW2p (−h,0) . Используя известную асимптотику нулей λq квазиполинома l(λ) = λ + a + be−λh ,

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

81

можно проверить, что hyq+1 (t), y q (t)iW2p (−h,0) → 1

(q → +∞).

(31)

Соотношение (31) противоречит равномерной минимальности системы {yq (t)}λq ∈Λ , а следовательно, и ее базисности Рисса. Замечание 10. Критический и сверхкритический случаи реализуются для квазиполиномов вида (28), когда |a0m | = |anm | (подробнее см. [31, 37]). Замечание 11. Известно, что в случае k(s) ≡ 0 постоянная N = max νq удовлетворяет следуюλq ∈Λ

щему неравенству: N 6 m(n + 1) − 1.

Отметим, что одни из первых результатов о геометрических свойствах системы элементарных решений уравнения (26) были получен Левинсоном и МакКалла в 1974 году в работе [49]. В [49] была доказана полнота и минимальность системы экспоненциальных решений для уравнения запаздывающего типа первого порядка. Обобщение этого результата для уравнений запаздывающего типа (Dj ≡ 0, j = 1, . . . , n) с матричными коэффициентами было получено Дельфуром и Манитиусом в [40, 41]. В свою очередь, наиболее общие результаты о полноте экспоненциальных автономных ФДУ были установлены Лунелом в [50–52]. Заметим, что в [50–52] Лунел также рассмотрел задачу о так называемых «малых решениях», которая тесно связана с задачей о полноте системы экспоненциальных решений. Задача о малых решениях также была исследована Хейлом [35], Хенри [44], Каппелем [46] для дифференциально-разностных уравнений в конечномерном пространстве H = Rm (H = Cm ). Результаты о минимальности системы элементарных решений, а также в задаче о малых решениях (принцип Фрагмена—Линделефа) для ФДУ в гильбертовом пространстве были получены автором в [6–9, 15]. В работах [6–10] также приведены результаты о спектральных свойствах оператор-функций (пучков операторов), которые являются символами (аналогами характеристических квазиполиномов) автономных ФДУ с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве (см. [6–9]). При ином понимании решений базисность систем экспоненциальных решений для уравнений, L близких уравнению (18), в пространстве L2 ((−h, 0), Cr ) Cr при m = 1 в предположении отделимости множества Λ рассматривалась в [53]. Отметим, что изучение базисности Рисса экспоненциальных решений тесно связано с исследованием задач со спектральным параметром в граничных условиях, а также многоточечных спектральных задач. Наиболее близкой и завершенной в этом направлении работой является [36] (там же см. соответствующую библиографию). Более полное описание результатов о базисности Рисса экспоненциальных решений и получении неулучшаемых оценок сильных решений, сформулированных в этой статье, см. в [3–5, 10–12, 14, 23, 24, 27, 57]. Уместно подчеркнуть, что результаты о базисности Рисса систем экспоненциальных решений в случае пространств Соболева с произвольным индексом s > m, s 6= l + 1/2, l = m, m + 1, . . . для уравнения вида (26) без условия отделимости множества Λ были получены в недавней работе [26]. В приведенной работе установлены неулучшаемые оценки решений задачи (26), (27) в случае пространств Соболева с произвольным индексом. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991 2. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Мат. сб. — 1995. — 186, № 8.— С. 67–92 3. Власов В. В. Корректная разрешимость одного класса дифференциально-разностных уравнений в гильбертовом пространстве// Докл. РАН. — 1995. — 345, № 6. — С. 733–736

82

В. В. ВЛАСОВ

4. Власов В. В. Корректная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве// Изв. вузов, сер. мат. — 1996. — № 1. — С. 22–35 5. Власов В. В. Некоторые свойства системы элементарных решений дифференциально-разностных уравнений// Усп. мат. наук. — 1996. — 51, № 1. — С. 143–144 6. Власов В. В. О поведении решений некоторых функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Изв. вузов, сер. мат. — 1993. — № 1. — С. 3–10. 7. Власов В. В. О свойствах решений одного класса дифференциально-разностных уравнений и некоторых спектральных вопросах// Усп. мат. наук. — 1992. — 47, № 5. — С. 173–174 8. Власов В. В. Об одном классе дифференциально-разностных уравнений в гильбертовом пространстве и некоторых спектральных вопросах// Докл. РАН. — 1992. – 327, № 4–6. — С. 428–432 9. Власов В. В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве// Изв. вузов, сер. мат. — 1993. — № 5. — С. 24–35 10. Власов В. В. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве и связанные с ними вопросы спектральной теории операторов// Физтех ж. — 1997. — 3, № 4. — С. 18–39 11. Власов В. В. Некоторые свойства сильных и экспоненциальных решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа// Докл. РАН. — 1999. — 364, № 5. — С. 583–585 12. Власов В. В. Об одном классе дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа// Изв. вузов, сер. мат. — 1999. — № 2. — С. 20–29 13. Власов В. В. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений с запаздывающим коэффициентом в гильбертовом пространстве// Мат. заметки. — 1997. — 62, № 5. — С. 782–786 14. Власов В. В. О некоторых спектральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных уравнений// Усп. мат. наук. — 1998. — 53, № 4. — С. 217–218 15. Власов В. В. О поведении решений некоторых дифференциально-разностных уравнений с операторными коэффициентами// Изв. вузов, сер. мат. — 1992. — № 8. — C. 80–83 16. Власов В. В. О разрешимости одного класса дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве// Изв. вузов, сер. мат. — 1994. — № 6. — С. 28–38 17. Власов В. В. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Усп. мат. наук. — 1994. — 49, № 3. — С. 175–176 18. Власов В. В. О разрешимости краевых задач для одного класса интегродифференциальных уравнений на полуоси// Дифф. ур-я. — 1989. — 25, № 9. — С. 1589–1599 19. Власов В. В. О некоторых краевых задачах на полуоси для одного класса интегродифференциальных уравнений// Дифф. ур-я. — 1989. — 25, № 10. — C. 1784–1787 20. Власов В. В. О кратной минимальности части системы корневых векторов некоторых операторфункций// Докл. АН СССР. — 1990. — 41, № 1. — С. 45–49 21. Власов В. В. О разрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений и некоторых спектральных вопросах// Докл. РАН. — 1991. — 319, № 1. — C. 22–26 22. Власов В. В. О поведении решений одного класса функционально-дифференциальных уравнений на полуоси и некоторых спектральных вопросах// Изв. вузов, сер. мат. — 1992. — № 12. — C. 11–20 23. Власов В. В. Об оценках решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа// Изв. вузов, сер. мат. — 2000. — № 4. — С. 14–22 24. Власов В. В. О базисности экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева// Докл. РАН. — 2001. — 381, № 5. — С. 302–304 25. Власов В. В. О разрешимости и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева// Тр. МИАН. — 1999. — 227. — С. 109–121 26. Власов В. В., Иванов С. А. Оценки решений уравнений с последействием в пространствах Соболева и базис из разделенных разностей// Мат. заметки. — 2002. — 72, № 2. — С. 303–306 27. Власов В. В., Иванов С. А. Базисность и оценки решений уравнений с последействием в шкале пространств Соболева// Усп. мат. наук. — 2001. — 56, № 3. — С. 151–152 28. Власов В. В., Малыгина В. В. О корректной разрешимости линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовых пространствах// Дифф. ур-я. — 1992. — 28, № 5. — С. 901–903 29. Власов В. В., Сакбаев В. Ж. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений// Дифф. ур-я. — 2001. — 37, № 9. — С. 1252–1260 30. Власов В. В., Сакбаев В. Ж. О корректной разрешимости некоторых дифференциально-разностных уравнений в пространствах Соболева// Мат. заметки. — 2000. — 68, № 6. — С. 794–797 31. Громова С. Г., Зверкин А. М. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная неограниченная на числовой оси функция — решение уравнения с отклоняющимся аргументом// Дифф. ур-я. — 1968. — 4, № 10. – С. 1774–1784

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

83

32. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. — М.: Наука, 1981 33. Лионс Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971 34. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука, 1972 35. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984 36. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. — 1983. — № 9. — С. 190–229 37. Эльсгольц Е. Л., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения. — М.: Наука, 1971 38. Brumley W. E. On the asymptotic behavior of solutions of differential-difference equations of neutral type// J. Differ. Equations. — 1970. — 7. — С. 175–188 39. Datko R. Representation of solutions and stability of linear differential-difference equations in a Banach space// J. Differ. Equations. — 1978. — 29, № 1. — С. 105–166 40. Delfour M. C., Manitius A. The structural operator F and its role in the theory of retarded systems, Part I// J. Math. Anal. Appl. — 1980. — 73. — С. 466–490 41. Delfour M. C., Manitius A. The structural operator F and its role in the theory of retarded systems, Part II// J. Math. Anal. Appl. — 1980. — 74. — С. 359–381 42. Diekman O., van Gils S. A., Lunel S. M. V., Walther H. O. Delay equations: functional, complex and nonlinear analysis. — New York: Springer-Verlag, 1995 ¨ 43. Hahn W. Uber Differential-Differenzegleichungen mit anomalen Zosungun// Math. Ann. — 1957. — 133, № 3. — С. 251–255 44. Henry D. Small solutions of linear autonomous functional differential equations// J. Differ. Equations. — 1970. — 8. — С. 494–501 45. Kato T. Perturbation theory for linear operators. — Berlin: Springer-Verlag, 1966 46. Kappel F. Laplace-transform methods and linear autonomous functional-differential equations// Ber. Math. Stat. Forshungsszentrum Graz. — 1976. — 64 47. Kappel F., Kunisch K. Invariance results for delay and Volterra equations in fractional order Sobolev spaces// Trans. Am. Math. Soc. — 1987. — 304, № 1. — С. 1–57 48. Kunisch K., Shappacher W. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate C0 -semigroup// J. Differ. Equations. — 1983. — 50. — С. 49–79 49. Levinson N., McCalla C. Completeness and independence of the exponential solutions of some functional differential equations// Stud. Appl. Math. — 1974. — 53. — С. 1–15 50. Lunel S. M. V. Series expansions and small solutions for Volterra equations of convolutions type// J. Differ. Equations. — 1990. — 85. — С. 17–53 51. Lunel S. M. V. The closure of the generalized eigenspace of a class of infinitesimal generators// Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. — 1991. — 117A. — С. 171–192 52. Lunel S. M. V. Small solutions and completeness for linear functional differential equations// Contemp. Math. — 1992. — 129. — С. 127–152 53. Lunel S. M. V., Yakubovich D. A functional model approach to linear neutral functional differential equations// Integral Equations Oper. Theory. — 1997. — 27. — С. 347–378 54. Nakagiri S. Structural properties of functional differential equations in Banach space// Osaka J. Math. — 1988. — 25. — С. 353–398 55. Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. — Basel–Boston–Berlin: Birkhauser, 1997 56. Staffans O. J. Some well-posed functional equations which generate semigroups// J. Differ. Equations. — 1985. — 58, № 2. — С. 157–191 57. Vlasov V. V. On spectral problems arising in the theory of functional differential equations// Funct. Differ. Equ. — 2001. — 8, № 3–4. — C. 435–446 58. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations// Appl. Math. Sci. — 1996. — 119 59. Wu J. Semigroup and integral form on class of partial differential equations with infinite delay// Differ. Integral Equ. — 1991. — 4. — С. 1325–1351

Виктор Валентинович Власов Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Москва, 117234, Россия E-mail: [email protected]