Элементы теории процессов риска: Методическая разработка

Министерство образования Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Кафедра Прикладной Теории Вероятностей

Элементы теории процессов риска

Методическая разработка по спецкурсу Для студентов дневного отделения факультета ВМК

Нижний Новгород 2003

УДК 519.2 Элементы теории процессов риска. Методическая разработка для студентов дневного отделения факультета ВМК. Сост. В.А Зорин, В.И. Мухин.- Н. Новгород: ННГУ.2003-25с. Приведен обзор понятий и некоторых основных методов при построении вероятностных моделей деятельности страховых компаний . В разработке сделан упор на построении и использовании процессов риска, которые можно использовать для расчета .вероятности не разорения, тарифных ставок и других числовых характеристик деятельности страховой компании.

Составители: кандидат физ. - мат. наук, доцент

В.А. Зорин

кандидат физ. - мат. наук, доцент

В.И. Мухин

Рецензент: кандидат физ. - мат. наук, доцент

А.В. Баркалов

Нижегородский государственный университет им, Н.И. Лобачевского 2003

3 СОДЕРЖАНИЕ Введение

стр 4

1. Модели индивидуальных исков.

Стр 5

2. Вероятность разорения по портфелю страховых договоров.

Стр 12

3. Динамические модели страхования .

стр 17

. ВВЕДЕНИЕ Для управления работой страховой компании важную роль играют математические модели, ставящие своей целью описание разных видов деятельности страховой компании. Изучение таких моделей и проведение на их основе расчетов важных характеристик работы страховой компании (таких как расчет тарифной ставки, вероятности разорения , величины страхового резерва в выбранные моменты времени и др.), позволяет предлагать примеры управленческих решений ,из которых управляющие компанией могут делать свой выбор. Кирпичиками, из которых строится теория деятельности страховой компании является индивидуальный иск, равный итоговой сумме средств, выплаченных страховщиком (страховой компанией) Иск рассматривается как случайная величина, принимающая нулевое значение, если по данному страховому договору не произошло страхового случая и страховщик не выплачивал страховых выплат клиентам. Иск не равен нулю, если страховая компания выплатила клиенту по этому иску некоторые суммы . В этом случае величина иска равна этим выплатам. Условное значение величины иска при его ненулевом значении часто называют убытком или ущербом..

Классические работы по моделям рисков дают следующую классификацию моделей риска: А) модель индивидуального риска, если рассматривается совокупность объектов страхования (страховой портфель ),сформированных в один момент времени ( практически за очень короткий срок, значительно меньший срока действия договора). Срок действия этих договоров один и тот же. В течение этого срока могут происходить страховые события, приводящие к необходимости делать выплаты по поступающим искам. В) Модель коллективного риска, (динамическая модель),в рамках которой рассматривается возможность заключения страховых договоров в моменты времени, образующие некоторый случайный процесс, каждый договор имеет свою длительность действия ,и в течении периода действия договора могут наступать страховые случаи, по которым страховая компания должна делать выплаты по искам. Имеется много работ в которых рассматриваются результаты деятельности страховой компании на конечном интервале времени , а также работы, в которых бесконечен интервал времени функционирования страховой компании . В таких моделях предполагается наличие начального резерва (капитала) ,роль которого состоит в смягчении последствий необходимости делать выплаты больших страховых выплат (либо из-за большого числа происшедших страховых событий или из-за больших ущербов по поступившим искам. ). Типичными решаемыми задачами в рамках этих моделей являются 1) вычисление распределения суммарного иска, т.е. суммы всех выплат (убытков) страховой компании по всем страховым договорам, образующих портфель (в ситуации индивидуальной модели) или по итогам деятельности в течении некоторого интервала времени ( в рамках коллективной модели). 2) Вычисление или оценка страховых премий, достаточных для (так называемого технического) не разорения при котором у компании хватает средств для погашения всех поступивших исков. Как правило, обычно требуют выполнения не разорения с вероятностью, близкой к 1. При вычислении вероятности разорения в условиях модели индивидуального риска, решении задачи сводится к вычислению вероятности превышения уровня суммой всех выплат по всем искам страхового портфеля. В этом случае решение задачи требует применение разных вариантов центральной предельной теоремы. При вычислении вероятности разорения в условиях коллективной модели возникают дополнительные проблемы учета того, чтобы суммарные выплаты по поступающим искам не превосходили в каждый момент времени имеющихся на этот момент резервов. Применяемые при этом методы решения задачи основаны на глубоких результатах и методах теории случайных процессов. Для анализа задач страхования важным вопросом является анализ и выделение различных видов (классов ) так называемых страховых рисков. Суть таких рисков – наличие возможности разного уровня финансовых потерь при наступлении (редких ) неприятных событий для (физических и юридических ) лиц потенциальных клиентов страховых ком-паний. При анализе рисков, при построении математических моделей рисков важными проблемами представляются - установление причинных и следственных взаимосвязей разных рисков, - установление и построение модели вероятностных распределений и вероятностных характеристик рисков, - установление тяжести материальных потерь при наступлении страхового случая, что представляет существенный интерес для страховых компаний с точки зрения оценки необходимости привлечение к страхованию данного риска дополнительно других страховщиков (для использования процедуры перестрахования – при которой несколько страховых компаний берут на себя обязательства по возмещению разных частей ущерба , который может быть следствием наступления страхового случая, примером которого является ущерб в несколько млрд. долларов вследствие происшедшего в 1994 г в Калифорнии землетрясении и 1992 г урагана во Флориде). В основу данной разработки положены работы [ 1],[2 ] ,[3 ],[4].

1.

Модели индивидуальных исков.

В различных практических приложениях могут применяться разнообразные классы случайных величин- как дискретных так и (абсолютно) непрерывных случайных вели-чин. В актуарной математике часто индивидуальный иск Х представляют в виде X=I(A) • Y. в котором случайная величина I (A) ( называется индикатор события А) принимает значение 1 при наступлении случайного события А и значение 0 при не наступлении А. Случайная величина Y описывает величину реально предъявленного страховой компании иска. Легко видеть, что P(I=0)=P(X=0)., P(I=1)=P(X>0), P(Y0). В частности, если случайная величина Х дискретного типа, то выполнятся равенства

P (Y = a k ) = P( X = a k / X > 0) = 1P−(PX( X= a=k0)) , k = 1,2,....

P ( X = a) = P( I = 1, Y = a ) + P( I = 0, Y = a ) = P( I = 1, Y = a) = = P( I = 1) P(Y = a / I = 1) при каждом возможном значении a >0. Есть много практических ситуаций, когда один страховой договор за время его действия может привести к необходимости выплачивать страховой компанией по нескольким предъявленным искам. Примерами таких договоров могут служить страхование автомобильного транспорта на случай дорожно транспортных происшествий, следствием чего иск часто записывают в виде суммы случайного числа ν случайных слагаемых X 1 ,...., X ν ..Весьма типичны в этих моделях требования взаимной независимости и одинакового распределения случайных величин X 1 ,...., X ν . В общем курсе теории вероятностей известен следующий результат о вычислении первых моментов для суммы случайного числа случайных величин Лемма (тождество А..Вальда) Пусть дано случайное число распределенных случайных величин

ν

взаимно независимых и одинакового

X 1 ,...., X ν .,причем X = X 1 + L + X ν и

существуют математическое ожидание В(Х) и дисперсия D(X). Тогда справедливы равенства

E(X)=E(ν ) E ( X 1 ) , D( X ) = E (ν ) D( X 1 ) + D(ν )( E ( X 1 )) , (1) Доказательство. Вычислим функцию распределения случайной величины Х с помощью формулы полной вероятности 2

∞

F ( x) = P( X < x) =

∑ k =0

P (ν = k ) P ( X < x / ν = k ) =

∞

∑ P(ν = k ) P( X k =0

1

+ L+ X k /ν = k) =

∞

=

(2)

∑ P(ν = k ) F ( x), k

k =0

где

Fk (x) = P ( X 1 + L + X k < x / ν = k ) = P( X 1 + L + X k < x) .,

Поэтому

(3)

∞

E( X ) =

∫

∞

xdF ( x) =

∑

∞

∫

P(ν = k ) xdFk ( x) =

k =0

−∞

−∞ ∞

∞

=

∑ P(ν = k ) E ( X k =0

1

+L+ X k ) =

∞

= E( X 1 )

∑ kP(ν = k ) = E ( X

∑ kE ( X

1 ) P (ν

= k) =

k =0

1 ) E (ν ),

k =0

Аналогичные преобразования позволяют выразить второй начальный момент для Х в виде ∞

E( X 2 ) =

∫

x 2 dF ( x) =

∞

∑ P(ν = k ) E (( X k =0 ∞

=

∑

P (ν = k )(

k =0 ∞

=

∑ {kE ( X k =0

∑

∞

∫

P (ν = k ) x 2 dFk ( x) =

k =0

−∞

=

∞

1

−∞

+L+ X k )2 ) =

k

∑ E( X i =1

k ( k −1) 2 1 )+ 2

∑

2 E( X j i )+2 1≤ j
Xi) =

( E ( X 1 )) 2 }P (ν = k ) =

= E ( X 12 ) E (ν ) + ( E ( X 1 )) 2 E (ν (ν − 1)), таким образом, для дисперсии следует цепочка равенств

D( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = = E ( X 12 ) E (ν ) + ( E ( X 1 )) 2 E{ν (ν − 1)) − ( E ( X ) E (ν )) 2 = = E ( X 2 ) E (ν ) + E 2 ( X ){E (ν 2 ) − E (ν )} − E 2 ( X ) E 2 (ν ) = = E (ν ) D( X ) + ( E ( X )) 2 D(ν ). Значит лемма доказана. Некоторые часто применяемые в актуарных моделях случайные величины. а) Биномиально распределенная случайная величина Х- это целочисленная с.в., распределение которой задается равенством

P ( X = k ) = C nk p k (1 − p) n −k , k = 0,1,...n,0 ≤ p ≤ 1 Этот факт часто для краткости записывают в форме X ∈ Bn( n, p ) . Примером применения такого типа распределения может быть число Х заключенных договоров страхования в группе из n лиц , каждое из которых независимо от других лиц этой группы с одной и той же вероятностью p заключает с страховой компанией договор страхования. Отметим важное для разных приложений свойство биномиального распределения: Если независимые случайные величины имеют биномиальные распределения X ∈ Bn( N , p), Y ∈ Bn( K , p) , то распределение суммы X + Y ∈ Bn( N + K , p ) . Одно из применений этого свойства - воэможность в простом выводе следующего свойства если X

∈ Bn(n, p) ., то имеет место представление X = X 1 + • • • + X n , , в котором

все слагаемые – взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, X i ∈ Bn(1, p ), i = 1,2,..., n.

E ( X ) = E ( X 1 ) + ... + E ( X n ) = nE ( X 1 ) = np, D ( X ) = D( X 1 ) + ... + D( X n ) = nD( X 1 ) = np(1 − p) б) Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром X ∈ P(λ ), ) если

λ >0, (обозначают

e − λ , k = 0,1,2,.K Как известно, Е(Х)= λ , D ( X ) = λ .

P( X = k ) =

λk

k!

Часто Х представляет собой ( в силу предельной теоремы Пуассона) число наступле ний редко наступающего события в большом числе повторений одного и того же опыта. Примером применения этого распределения можно назвать число дорожно – транспортных происшествий с данным видом автотранспорта в течении года. в) Случайная величина Х имеет распределение отрицательно- биномиальное, если

P ( X = k ) = Cαk + k −1 p k (1 − p )α , k = 0,1,...,0 ≤ p ≤ 1, г) Непрерывная случайная величина Х имеет распределение равномерное на интервале (a, b) , если ее плотность распределения задается равенствами

< x < b, f ( x) = 0, x ∉ (a, b) Этот факт часто записывают в виде X ∈ R ( a, b) . Для такой случайной величины харак-

f(x)= b −1 a , a

терно одинаковое значение вероятности попадания Х в интервалы одинаковой длины В приложениях распределение случайной величины Х можно считать равномерным в интервале (a, b) ,если есть основание предполагать, что Х является координатой наудачу выбранной из интервала

(a, b) точки.

Известно, что E(X)= a +2 b , D( X )

=

(b−a )2 12

д) X имеет нормальное распределение с параметрами

a, σ 2 ,( что записывают в виде

X ∈ N (a, σ 2 ) , если плотность распределения задана в виде f ( x) =

1 σ 2π

e

−

) x−a )2 2σ 2

Стандартными методами вычисления интегралов обосновываются хорошо известные в теории вероятностей равенства E(X)=a, D(x)= σ . Характерным является применение нормального распределения случайной величины Х, если есть основания предполагать выполненными условия центральной предельной теоремы, в силу которой сумма большого числа (независимых) примерно одинаково малых слагаемых имеет (приближенно) нормальное распределение. Отметим известные свойства нормального распределения.. 2

(α ) Если X ∈ N (a, σ 2 ) , то AX + b ∈ N (aA + b, σ 2 A 2 ) , и , в частности, X −a ∈ N (0,1) ,что позволяет использовать в разных численных расчетах таблицы

σ

стандартного нормального распределения N (0,1) .

( β ) Если X ∈ N (a, σ 2 ) , Y ∈ N (b, σ 1 ) ,и X , Y взаимно независимые случайные вели2 2 чины, то X + Y ∈ N ( a + b, σ + σ 1 ) , е) Х имеет гамма –распределение ( будем обозначать этот факт в виде X ∈ Γλ ,α ) , если 2

плотность распределения случайной величины Х задается в виде

f ( x) = 0, x < 0,

f ( x) =

λα xα −1 Г (α )

e − λx , x > 0

Вычисление моментов легко проводится с учетом интегрального представления гаммафункции .

E( X ) = m

λα Γ (α )

∞

∫t

m α −1 − λt

t

e

dt =

λα Γ (α )

0

∞

∫t

m +α −1 − λt

e

dt =

λα Γ (α )

α − α − m +1

∞

∫t

∫ (λ ) t

m +α −1

e −t

dt

λ

=

0

0

= λ Γ (α )

∞

m +α −1 −t

e dt =

λ1− m Γ ( m +α ) Γ (α )

0

Поэтому, в частности, справедливы равенства

E( X ) =

Γ (α +1) λΓ (α )

D(X)=E( X ) − ( EX ) = 2

2

=

α λ

Γ (α + 2 )

λ2 Γ (α )

− ( αλ ) 2 =

α λ2

Далее, аналогичные вычисления приводят к формуле для преобразования Лапласа

ϕ ( z ) = E (e − zX ) = ( z +λλ )α Действительно, к этой формуле приводит следующая цепочка преобразований интегралов

ϕ ( z ) = E (e

− zX

∞

) = ∫e

− zs

f ( s )ds =

0

α

= Γλ(α )

∞ 1 ( z + λ )α

∫ (( z + λ )t )

α −1

λα Γ (α )

∞

∫e

− zt α −1 − λt

t

e

dt =

∞

∫t

α −1 − λt − st

e

dt =

0

0

e −( λ + z ) t dt ( z + λ ) =

λα Γ (α )

λα Γ (α ) ( z + λ )α Γ (α )

= ( λλ+ z )α

0

Полученная формула для функции ϕ (z ) позволяет сразу получить важный для приложений результат о свойстве гамма распределения, а именно: Если независимые случайные величины X,Y такие, что случайная величина X имеет гамма распределение с параметрами λ , α и случайная величина Y имеет гамма распределение с параметрами

λ , β , то

сумма X+Y имеет гамма распределение с параметрами λ , β + α .

При α = 1 получается экспоненциальное распределение.( в этом случае удобно применять обозначение X ∈ Exp(λ ) ) с плотностью распределения

f ( x) = 0, x < 0, f ( x ) = e − λx , x > 0 Показательное распределение удобно для получения конкретных результатов, типа расчетных формул в компактном виде и удобных для численных расчетов, а также очень тесно связано с пуассоновским процессом, имеющем обширные применения в моделях процессов риска. Поскольку показательно распределенная случайная величина Х может принимать любые значения от 0 до бесконечности, но ,большие значения величиной Х принимаются с маленькой вероятностью P(X >сE(X))=exp(-cE(X)/ λ )=exp(-c λ / λ )=exp(-c), а маленькие значения принимаются с вероятностью P(X < сE(X)) =1 - exp(-с), близкой к 1. Практически это означает частое наступление исков малого размера и редкое поступление исков большого размера. Заметим, что очень большие размеры иска практически невероятны, поскольку ,например вероятность P(X>5Е(Х))=Р(X>5/ λ , ) =exp(-5)= =0,0067 очень мала. Из полученных выше формул для моментов гамма распределенной случайной величины при α = 1 (т.е. для экспоненциального распределения X ∈ Exp(λ ) ), получаем равенство E(X)= λ1 , D ( X ) =

1

λ2

,которые показывают, что среднее и дисперсия показательно

распределенной случайной величины жестко связаны функциональной зависимостью, что является очень стеснительным обстоятельством в практических применениях. Гамма распределение может быть более удобным в качестве модели величины исков , поскольку среднее и дисперсия такой величины не связаны функционально. С другой сто-

роны, плотность гамма распределения при возрастающих х убывает медленнее ,чем соответствующая плотность показательного распределения. Отметим, что гамма распределение при α > 1 с большой вероятностью значения величины Х не сильно отли чается от математического значения и маловероятны маленькие значения величины Х. Значит, гамма распределенная случайная величина хорошо модели рует иски умеренных размеров. Отметим важное свойство экспоненциального распределения ,которое во многих практических приложениях поможет решить вопрос о возможности применения экспоненциального распределения. Пусть в моменты времени Т(к)= кс, к=0,1,2,..,при постоянном с>0,с вероятностью р (одной и той же при всех к) может наступить страховой случай А, либо с вероятностью 1-р не наступит событие А. Обозначим N –число моментов времени Т(к),по истечении k

которых впервые появится страховой случай А. Тогда Р(N =к)=р (1-р) ,к=0,1,2,...Поэтому Р(Т(к)
n

n +1

,

где обозначено n =t /c. Переходя к пределу при с стремящемуся к 0, получим распределение случайной величины Х в качестве предельного из Р( Т(к)< t ) экспоненциальное распределение 1-ехр(-at) , при предположении р= aс. Так выясняются , на содержательном уровне , условия применимости экспоненциального распределения. В качестве простого следствия , мы из полученного свойства экспоненциального распределения и выше приведенных свойств гамма распределения, можем сделать вывод о том, что в неизменных условиях страховое событие А впервые наступит n-й раз в момент времени Х ∈ Γλ ,n .

ж) Распределение Парето Случайная величина Х имеет распределение Парето с параметрами функция плотности распределения задается равенством

α > 0, λ > 0 ,если

ее

f ( x) = αλ ( λλ+ x )α +1 , x > 0 Легко вычислить среднее и дисперсию ∞

∞

E ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ x ( λ + x ) α λ

0

λ

0

∞

α +1

∞

dx = ∫ ( λλ+ x )α dx =

λ α −1

0

∞

∞

E ( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x)dx = ∫ x 2 αλ ( λλ+ x )α +1 dx = 2 ∫ x( λλ+ x )α dx = 0

D( X ) =

0

2 λ2 (α − 2 )(α −1) 2

− (αλ−1) 2 = 2

2 λ2 (α − 2 )(α −1) 2

0

αλ2 (α − 2 )(α −12 )

Математическое ожидание распределения Парето бесконечно при α > 1 ,а дисперсия бесконечна при α > 2 .Отметим, что поскольку экспонента убывает быстрее степенной функции, то распределению Парето соответствует более частое появление больших рисков.. Чтобы сравнить с экспоненциальным распределением, достаточно проверить, что при α =3

P ( X . > 10 E ( X )) = ( λ +λ10 λ )α = ( αα−1 ) 2 = 0.006 . α −1

Если сравнивать гамма распределение и распределение Парето, то иски большой величины с меньшей вероятностью будут появляться при гамма распределении ,чем при распределении Парето. Рассмотрим понятие рандомизации, полезное при построении моделей исков и в других проблемах. . В качестве примера рассмотрим вначале вариант страхования автотранспорта на случай дорожно-транспортных происшествий автомобилей одной марки. Портфель договоров

страхования в этом случае можно рассматривать как статистически однородный. Он характетеризуется некоторой страховой премией m. При более детальном анализе этого портфеля договоров можно выявить наличие разных групп клиентов , разных, например , по водительскому стажу, влияющему на надежность автотранспорта, и как следствие, влияющему на величины рисков и исков. Таким образом, рассматриваемый портфель страховых договоров состоит из нескольких групп, каждая из которых характеризуется своим значением надежности( соответственно риска) ,.Поступивший иск порожден представителем одной из указанных групп. При этом доля представителей это группы относительно всего страхового портфеля определяет вероятность p(*) того, что иск порожден представителем именно этой группы . Обозначим : А(i) -иск поступил от группы с номером j .Тогда по формуле полной вероятности p(*) = P( поступил иск)=

∑ P( A(i)) P(поступилиск / A(i)).. i

Полученное равенство отражает суть того, что понимается по рандомизацией. Безусловная вероятность оказывается средним значением (математическим ожиданием) условных вероятностей соответствующих событий В общем случае пусть Х есть величина иска с фyнкцией распределения F(x)=P(X<x), причем Х зависит от некоторого параметра (вещественного или ,в более общей постановке из некоторого множества М) ϑ . Пусть, далее, условная функция распределения величины иска Х при заданном значении ϑ =y равна функции F(x,y)=P(X<x/ ϑ =y),причем G(x)=P( ϑ <x) . Тогда безусловная функция распределения величины иска есть интеграл ∞

∫ F ( x, y)dG( y)

F ( x) =

−∞

Так определяемая интегралом функция распределения F(x) называется смесью функций распределения F(x,y).При этом величина Х иска получена рандомизацией по распределению G(y). Поэтому, если Х есть непрерывная случайная величина с плотностью f(x), то ∞

f ( x) =

∫

d dx

F ( x, y )dG ( y )

−∞

Операция рандомизации позволяет учесть в описании неоднородности страхового портфеля и позволяет во многих ситуациях более удачно построить модельное распределения исков. В1 ) О связи распределения Парето и гамма - распределения. Хорошим примером этого является широко применяемый пример рандомизации показательного распределения по смешивающему гамма- распределению. Более конкретно, пусть

f ( x, y ) =

d dx

F ( x,ϑ ) = ϑe − xϑ , g ( y ) =

d dx

G( y) =

λα

Τ (α )

y α −1e − λy , y > 0

Тогда ∞

f ( x) = ∫ f ( x, y ) g ( y )dy = 0

=

αλα

( x + λ )α +1

∞

∫ ye

− xy

λα Γ (α )

y

α −1 − yλ

e

0

∞

dy = ∫ Γλ(α ) y α e − y ( λ + x ) dy = α

0

= αλ ( x +λ λ )α +1

Получившееся выражение определяет плотность распределения Парето. Таким образом можно указать условия, при которых возможно применение распределения Парето. В2) Отрицательное биномиальное распределение.

Дискретная случайная величина Х имеет отрицательное биномиальное распределение. с параметрами α > 0, p ∈ [0,1], ,если распределение задается равенствами

P ( X = n) = α (α +1)nL! (α + n ) p α (1 − p) n , n = 0,1,...,0 < p < 1 Пусть в заданный интервал времени число исков, поступивших в страховую компанию случайная величина N, с пуассоновским распределением, имеющим параметр λ >0. Часто приходится формировать модель потока исков, с меняющимися во времени характеристиками. Число λ представляет среднее значение числа поступивших исков и порой зависит от некоторых внешних условий, влияющих на величины рисков (N- число пожаров, зависящее от времени года и от погоды), про которые не всегда известно количество хороших дней (влияют случайные причины) ,поэтому неизвестно значение λ ,которое по этой причины удобно рассматривать как случайную величину. С некоторой плотностью, характеризующей внешние условия.. Поэтому можно применить рандомизацию, т. е. рассматривать величину исков N полученную смешиванием λ по некоторому распределению В качестве важного примера рассмотрим гамма распределенную величину λ с плотностью

f ( x) =

bα Γ (α )

e − bx , x > 0.

Тогда вычисление смеси приводит к следующим выкладкам ∞

∞

P ( N = n) = ∫ P( N = n / λ = x) f ( x)dx = ∫ xn! e − x n

0

= =

bα n!Γ (α )

∞

∫x

x α −1e −bx dx =

0

n +α +1 − ( b +1) x

0 α (α +1)L(α + n ) n!

bα Γ (α )

e

dx = =

bα

( b +1) n +α n!Γ (α )

∞

∫x

n +α +1 − x

e dx = =

bα ( b +1) n +α n!Γ (α )

Γ(n + α )

0

p α (1 − p) n , n = 0,1,...,0 < p < 1 ,

где обозначено

p=

b b +1

q = 1 − p = 1 − bb+1 =

,

1 b +1

Обычные вычисления показывают, что α +n) α n Е ( N ) = ∑ α ( β +1)...( p q = n! n≥0

αq p

,

D( N ) =

αq p2

2. Вероятность разорения по портфелю страховых договоров А. Статическая модель. Пусть портфель страховых договоров содержит N договоров ,заключенные в некоторый момент времени с одинаковым сроком их действия.. Обозначим uначальный резерв (капитал) компании, X 1 , L , X N -соответствующие величины исков, которые могут быть предъявлены компании при наступлении соответствующих страховых случаев. Обозначим с- величина страховой премии, вносимой каждым клиентом. Тогда разность Z = X 1 + L + X N − Nc определяет состояние компании в конце срока действия договоров .Если Z>0 то требуемые суммы на выплаты по предъяв-ленным искам превышают собранные суммы и состояние компании –критическое(техническое разорение). Если Z<0, то средств, собранных компанией хватит на выплаты по предъявленным искам. Таким образом значительную информацию несет вероятность события Z>0.которую принято называть вероятностью разорения . Величина ф(u)=P(Z-cN-u>0) называется вероятностью разорения в статической модели.

Предположим, что с.в.

X 1 ,L, X N взаимно независимые , одинаково

распределенные ,и для них существует третий момент. Тогда применяя центральную предельную теорему теории вероятно-стей, можно получить следующие равенства ( используя обозначения Ф(x) функции стандартного нормального распределения,

a = E ( X ), σ 2 = D( X ))

φ (u ) = P( X 1 + L + X N − cN − u > 0) = P( σ 1 N = 1 − Ф(

N

σ

N

∑(X i =1

i

− a) >

1

σ N

(cN + u − aN )) =

(c − a + Nu )

(4) Равенство (4) позволяет при известных значениях c, a, σ , u вычислить вероятность разорения Ф(u). С другой стороны, задавая значение q вероятности разорения пользуясь таблицами функции Ф можно найти число g,для которого Ф(g)=q .По найденному значению g можно выразить с в виде c = a + g σN − Nu (5) Получено классическое выражение для страховой премии, которое обычно применяют при u=0. Величина a =E(X) .,обычно называется нетто-премией (чистая премия).Это минимально необходимая величина, для работы компании на основе принципа- все поступившие премии расходуются только на выплату по поступившим искам. Заметим, при этом, что вероятность разорения в этом случае равна Ф(0)=0.5. Поэтому необходима добавка к нетто –премии для уменьшения вероятности разорения.При маленькой вероятности разорения страховая компания имеет возможность работать более устойчиво, более надежно, что является выгодным обстоятельством и для клиентов компании и для самой компании. Слагаемое g σN назывют страховой (защитной) надбавкой. Формула (5) менее точна при небольших значениях N.В этом случае следует искать более точные формулы для расчетов.. В .Вспомогательные результаты. п.1 Вычисления вероятности разорения с помощью рекуррентых вычислений, по формулам легко поддающихся программированию. При этом , рассмотрение дискретных случайных величин в качестве величин исков,не является слишком стесняющим обстоятельством, т.к. страховые премии ,выраженные в минимальных денежных единицах страны являются целочисленными величинами.. Рассмотрение модели процесса рисков со случайным числом поступивщих исков за срок действия договоров ,является более сложным делом.. Тем не менее ,в теории вероятностей известен результат, который удобно сформулировать в виде теоремы. Теорема. Пусть : 1) X 1 , L , X N -последовательность взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин имеющие конечные математическое ожидание m=Е(Х) и дисперсию σ =D(X), не зависимых от целочисленной случайной величины N ≥ 0 ., 2) производящая функция для N представима 2

λ

ν

в виде G ( z ) = E ( z ) = ( q ( z )) , в котором q(z) =E( z ) является производящей функцией некоторой целочисленной случайной величины ν ,для которой N

2

математическое ожидание равно a ,а дисперсия ее равна b 3) λ → ∞ Тогда для S = X 1 + L + X N имеет место предельное равенство

x

lim P(

1 D( S )

λ →∞

( S − E ( S )) < x) = Ф( х) =

1 2π

∫e

2

− v2

dv

−∞

Теорема (Panjer H.H.,1981) Пусть : 1 ) N-целочисленная неотрицательная случайная величина, независимая от последовательности взаимно независимых одинаково распределенных положительных целочисленных случайных величин X i , i = 1,2,... , с распределением

f n = P( X i = n), ∀n ≥ 1, 2) p n = P ( N = n), n > 0, причем выполняются равенства p n +1 = ( a + nb+1 ) p n , ∀n > 0 3) q n = P (Y = n), n ≥ 0, где обозначено Y = X 1 + ... + X N , Тогда выполняются равенства n

q 0 = p 0 , q n = ∑ (a + kn ) f k q n − k , n = 1,2,3,... k =1

Доказательство. Введем в рассмотрение производяшие функции (ряды сходятся в круге z ≤ 1 f(z)= E{z

X1

∞

) = ∑ fk zk ,

q(z)= E{z ) = Y

k =1

∞

∑q k =0

k

zk ,

Используя условие 3) теоремы и формулу полной вероятности, проведем стандартные преобразования ∞

∞

i =0

i =0

q n = P(Y = n) = ∑ P( N = i ) P( X 1 + ... + X N = n / N = i ) = ∑ pi P( X 1 + ... + X i = n) Поэтому преобразуем функцию q(z) с учетом независимости величин X i , i = 1,2,... следующим образом q(z)= ∞

E{z Y ) = ∑ q k z k = k =0

∞

=

∞

∑ p ∑z i =0

i

∞

=

k =i

k

∞

∑∑ z k pi P( X 1 + ... + X i = k ) = k =0 i =0

∞

∞

i =0

i

∞

∞

∑ pi ∑ z k P( X 1 + ... + X i = k ) = k =0

P( X 1 + ... + X i = k ) = ∑ p i E{z X1 +...+ X i ) =

∑ p { f ( z )) i =0

∞

i =0

∞

∑ p ( E{z i =0

i

i =1

i

i

i =1

b∑ 1i pi −1 f i ( z ) = i

=p p 0 + af ( z ) q ( z ) + b

∞

∑ i =1

1 i

pi −1 f i ( z )

Дифференцируя последнее равенство по z, легко получить равенство ∞

n

n =0

j =0

q ( z ) = a dzd (∑ z i ∑ f j q n − j ) + bq ( z ) dzd f ( z )

Отсюда следует

i

∞

∞

d dz

i

)) =

= p 0 + ∑ (a + bi ) p i −1 ( f ( z )) i = p 0 + a ∑ pi −1 f i ( z ) +

i

i

i =1

X1

i

∞

∑ nz n =1

=a

∞

n −1

∞

q n = a ∑ nz

n −1

n =1

n

∑ nz ∑ f q n −1

n =1

i

i =1

n −i

∞

n

∑fq i

i =1 ∞

n −i

+ b∑ kz k =0

k −1

∞

f k ∑ q m z m = == m =0

k

+ b∑ z k ∑ (m + 1) f m +1 q k − n k =0

m =0

Приравнивая коэффициенты рядов при одинаковых степенях z,получим равенства n +1

n

k =0

k =0

(n + 1)q n +1 = a(n + 1)∑ f k q n − k +1 + b∑ (k + 1) f k +1 q n − k , q 0 = p 0 , n >0. Полученное равенство легко преобразуется к виду n

n

k =1

k =1

nq n = an∑ f k q n − k + b∑ kf k q n − k из которого очевидно выполнения равенств в утверждении теоремы. Приведем примеры применения этой теоремы. Пример (а1). Пусть N есть пуассоновская случайная величина ,т.е. p n = Тогда справедливы рекуррентные равенства p m =

a n

an n!

e − a , n = 0,1,2,..., a > 0.

p n −1 , n > 0, p0 = e − a .

Поэтому распределение суммы Y = X 1 + ... + X N , для дискретных целочисленных

X n , n > 0, (взаимно независимых и одинаково распределенных) следует

случайных величин

из теоремы Панжере Рекуррентные равенства

P (Y = n) =

n

a n

∑ if P(Y = n − i), n ≥ 1, P(Y = 0) = e i =1

−a

i

..

Заметим, попутно, что рассмотренная случайная величина имеет так .называемое составное (сложное) пуассоновское распределение. Пример (а2) Пусть случайная величина N имеет биномиальное распределение

p k = C nk p k (1 − p) n − k , к=1,…,n Тогда

p k = 1−pp ( nk+1 − 1) p k −1 , k = 1,..., n, p 0 = p n . , k

q n = P(Y = n) = 1−pp ∑ (−1 + mn ) f m q k − m m =1

Пример (a3). Пусть N имеет логарифмическое распределение вида Тогда p n = p (1 − 1n ) p n −1, причем q n = P (Y = n) =

pn = c n

∑ k =1

pm n

, n = 1,2,..., c = − ln(11− p )

p(1 − kn ) f k q n − k

Теорема (De Pril M..,1985) Пусть : 1 ) дана последовательность взаимно независимых одинаково распределенных неотрицательныхх целочисленных случайных величин X i , i = 1,2,... N, с распределением

f n = P( X i = n), n = 1,..., N 2) q n = P (Y = n), n ≥ 0, где обозначено

Y = X 1 + ... + X N ,

Тогда выполняются равенства

q 0 = f 0N Доказательство.

qn =

n

1 f0

∑{( N + 1) k =1

k n

− 1} f k q n − k , n = 1,2,3,...

Введем в рассмотрение производяшие функции (ряды сходятся в круге z ≤ 1 f(z)= E{z

X1

∞

) = ∑ fk z ,

q(z)= E{z ) =

k

Y

k =1

∞

∑q k =0

k

zk ,

Используя условиz теоремы и формулу полной вероятности, проведем стандартные преобразования

q ( z ) = E{z Y ) = E{z X1 z X 2 ....z X N ) = E{z X 1 }E{z X 2 }....E{z X N } = ( f ( z )) N Вычислим производные от обеих частей равенства. Тогда получим равенство ∞

∑ nq m =1

n

z n −1 = f ' ( z )( f ( z )) N −1

умножив обе части равенства на f(z) и используя разложения функций f(z) ,q(z) в ряды Тейлора, получим следующие равенства ∞

∑ nq n =0

n

∞

∞

∞

m =0

n =0

m =0

z n −1 ∑ f k z k =∑ q n z n ∑ kf k z k −1

∞

∞

∞

n

n =0

m =0

n =0

m =0

∑ z n ∑ (m + 1) f k −1qm+1 =∑ z n ∑ (m + 1) f m+1qn−m Поэтому из единственности разложения Тейлора следуют равенства коэффициентов при ожинаковых степенях я n

n

m =0

m =0

∑ (m + 1) f m+1qm+1 = ∑ (m + 1) f m+1qn−m

q n +1 =

1 ( n +1) f 0

n +1

n

m =1

m =1

{∑ m f m q n − m +1 = ∑ (n − m + 1) f m q n − m +1 }

Из этого равенства , очевидно, следует справедливость утверждения теоремы. п.2 Неравенство Лундберга. . Приводимое ниже неравенство имеет вспомогательный характер., помогающее в определенных моделях провести расчет вероятности разорения. Лемма.( неравенство Лундберга) Пусть дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин X n , n = 1,2,... определяющих последовательность сумм n

S n = ∑ X k , S0 = 0 . k =1

Пусть H(x)=P(X<x) заданная функция распределения величин X n , n = 1,2,... Если существует число R >0 такое, что q ( R ) =1,где q (z)= E (exp( zX )), то при всех u ≥ 0 Справедливо неравенство ϕ (u ) ≤ exp(−uR ). Доказательство (Andersen). 1) При u=0 . ϕ (0) =1 и утверждение леммы очевидно.

2)

Пусть u>0. Определим последовательность функций ф(k,u),k=0,1,…равенствами

ф(0,u)=0, при всех u ≥ 0 , и ф(n,u)=P(

n

U{ X k =0

1

+ L + X k ≥u}) ,n=1,2,…

Легко видеть, что ф(n,u) ,n=1,2,… монотонно возрастающая ( при фиксированном значении u) последовательность функций, причем в силу свойства непрерывности вероятностной меры выводим справедливость равенства ϕ (u ) = lim ф( n, u ). Далее, очевидно, ф(0,u) ≤ exp(-Ru). И предполагая выполнение неравенства

ф(k , u ) ≤ exp(− RU )

(а+1) при некотором значении k>1 докажем выполнение (а+1) при замене k на k+1. Исходя из определения ф(k+1,u) и используя свойства вероятностной меры запишем цепочку равенств k +1

k +1

i =o k +1

i =0

U{Si ≥ u}) = P(S1 ≥ u, U{Si ≥ u} ) +

Ф(к+1,u)= P (

P(S1 ≤ u, U{Si ≥ u}) = P ( S1 ≥ u , ) +

+

i =0

= P ( S1

k +1

P(S1 ≤ u, U{Si ≥ u}) = i =0

k +1

≥ u , ) + P ( S1 < u , U{Si ≥ u}) = i =2

u

=1-H(u) +

∫ P( X

−∞ u

=1-H(u) +

k +1

< u, U{ X 1 + X 2 + ... + X i ≥ u} / X 1 = t )dH (t ) =

1

i =2

k

∫ P(U{ X 2 + ... + X i ≥ u − t )dH (t ) =1-H(t) +

−∞

i =1

u

∫ ф(k , u − t )dH (t )

−∞

Итак, справедливо равенство u

Ф(k+1,u)=1--H(T) +

∫ ф(k , u − t )dH (t ) ,

(6)

−∞

Поэтому , учитывая неравенство (6) и представляя разность 1- H(u ) в виде интеграла, получим соотношения u

Ф(k+1,u)=1--H(T) +

∫ ф(k , u − t )dH (t ) =

−∞ ∞

∫ dH (t )

=

u

∞

u

+

≤ ∫ e R (t −u dH (t ) + u

∫ ф(k , u − t )dH (t ) =

−∞

u

∫

−∞

e − R ( u −t ) dH (t ) =

∞

∞

−∞

−∞

− R ( u −t ) dH (t ) = e − ru ∫ e Rt dH (t ) = e − ru ∫e

Значит в силу принципа математической индукции неравенство (6) выпол-няется при всех k>0. Переходя к пределу при k → ∞ в неравенстве (6) получаем утверждение леммы. Пример. Пусть игроки А и В играют серию одинаковых игр, в каждой из которых с вероятностью р выигрывает А или с вероятностью 1-р выигрывает В. Пусть начальный капитал игрока А равен a единиц, капитал игрока В равен b. В каждой игре выигрыш и проигрыш каждого игрока равен 1. Обозначим X(i) величину выигрыша (или проигрыша ) игрока А в одной игре. .Тогда S(n)=X(1)+…+X(n)

выражает суммарный выигрыш А за n игр, причем предполагаем независимыми слагаемые в этой сумме, причем Р( X(i)=1)=p, P(X(i)=-1)=1-p Обозначим q(u)=P( u+S(n)<0 при некотором n>0), т.е. вероятность проигрыша всех денег игроком А, при начальном его капитале равном р. Для нахождения q(u) применим формулу полной вероятности ,в силу которой получим равенство q(u)=pq(u+1)+(1-p)q(u-1) с условиями q(-a)=1, q(b)=0. Применяя стандартные методы решения подобной задачи, Пусть q(n)= уравнение

z n . Подстановка этого выражения в уравнение для q(u) получим

z = pz 2 + (1 − p ), решением которого будут

z1 = 1, z 2 = 1−pp . Поэтому

представляя q(u)= c1 + c 2 (

1− p u p

)

и применяя краевые условия для q(u) получим численные

значения для с и окончательно получим

q(u)= ( 1− p ) = exp(− fu ) ,где f= ln( p

u

1− p p

)

Таким образом , в данном примере вероятность разорения игрока А изменяется по показательному закону. С другой стороны, применим лемму Лундберга. Легко видеть, что уравнение E(exp(RX))=pexp( R ) + (1-p)exp(-R)=1 имеет корни R1 = 1, R2 = ln(

1− p p

) . При p<1 будет R2 >0., q(u)= ( 1−pp ) u = exp(− fu ) .

3. Динамические модели страхования. п.1.Предварительные замечания. Рассмотрим несколько определений, необходимых для дальнейшего рассмотрения динамических моделей. Нам необходимо познакомиться с пуассоновским процессом, с процессом восстановления ,процессом Кокса. Приведем основные определения и краткие справки об основных свойствах этих процессов. п.2. Процесс восстановления. Рассмотрим последовательность взаимно независимых и с неотрицательных величин X 1 ,..., X n ,... одинаково распределенных с случайной величиной Х с функцией распределения H(x)=P(X<x).. Обозначим Tn = X 1 + L + X n , T0 = 0 , n=1,2,….Очевидно, последовательность монотонно возрастающая.. Введем величину

ν (t ) =max{k>0/

Tn +1 ≥ t};

которая называется

числом восстановлений. В приложениях применительно к процессам риска, величины Tn трактуются как моменты времени, когда поступают в компанию требования по искам при наступлении соответствующих страховых случаев. Величины X 1 ,..., X n ,... рассматриваются как интервалы времени между поступлениями соответственно 1,2,…,n… исков. К основным фактам по процессам восстановления можно отнести следующие: а) Имеют место равенства P (ν (t ) = k ) = H k (t ) − H k +1 (t ) , k-0,1,2,…

Tn

H k (t ) =P( Tk
где обозначено

Приведенное равенство для распределения величины ν (t ) легко получается ,если обратить внимание на то, что событие ,состоящее в выполнении неравенства ν (t ) >k , наступает одновременно с выполнением неравенства

Tk
б) Введем функцию H(t)= E(ν (t ) ),которая называется функцией восстановления. Важную роль играет уравнение t

H (t ) = 1 + ∫ H (t − s )dH 1 ( s ) , 0

которое называется фундаментальное уравнение восстановления ∞

ν (t ) =1+ ∑1(T ≤t )

Заметим, что

i =1

i

, поэтому вычисляя математическое ожидание от обеих частей этого равенства, получим H(t)=E(ν (t ) )=1+ E

∞

∑1

(Ti ≤t )

i =1

=1+

t

∞

∞

i =1

i =1 0

t

∑ P(Ti < t ) = 1 + ∑ ∫ P(Ti =1 < t − s)dP(T1 < s) = 1 + ∫ ∑ P(Ti−1 < t − s)dP(T1 < s) = 0i i >0

t

= 1 + ∫ H (t − s )dH 1 ( s ) 0

в) Решение уравнения восстановления t

G (t ) = g (t ) + ∫ G (t − s )dH 1 ( s ) 0

с помощью функции восстановления H(t)

представляется в виде

t

G (t ) = ∫ g (t − s )dH ( s ) 0

г)Имеют место следуюшие . предельные теоремы Теорема ( элементарная теорема восстановления). При a =E(X)< ∞

имеет место равенство lim t →∞

H (t ) t

=

1 a

Терема (узловая теорема теории восстановления) Пусть функция H 1 (t ) не решетчатая функция распределения неотрицателной случайной величины. Х с конечным математическим ожиданием . a =E(X)< ∞ . Тогда при условии интегрируемости на (0, ∞) ограниченной монотонной функции f(t),то ∞

lim G (t ) = t →∞

1 a

∫ f (t )dt 0

п.3. Процесс Пуассона.

Рассмотрим семейство случайных величин N(t),t>0 ,удовлетворяющих условиям А1) N(0)=0, A2) при любых 0
N (t1 ), N (t 2 ) − N (t1 ),........, N (t n ) А3) P ( N (t ) − N ( s ) = n) =

( λ ( t − s )) n n!

e −λ ( t − s ) , n = 0,1,2,... ,s0.

Тогда семейство величин N(t),t>0 называют пуассоновским процессом ( однородным по t) с параметром λ . Если рассмотреть процесс восстановления Tn = X 1 + L + X n , T0 = 0 , n=1,2,….c показательно распределенными величинами Х, P(X.>x)=exp(- λ x), то несложно проверить, что число восстановлений этого процесса восстановления равно N(t),. Характерное свойство процесса Пуассона - почти все его выборочные траектории являются кусочно - постоянными неубывающими функциями, причем интервалы постоянства являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с показательным распределением, среднее которого равно 1./ λ . Используя полученные выше результаты, легко проверить, что справедливы равенства

E ( X 1 + L + X N ( t ) ) = E ( X 1 ) E ( N (t )) = λtE ( X 1 ) E (e

( X 1 +.L+ X N ( t ) z

) = e λt ( Ee

zX 1

−1)

п.4. .Процесс Кокса. Пусть N(t),t>0,однородный пуассоновский процесс N(t), с единичной интенсивностью. Рассмотрим Λ (t ) ,t>0- независимый от N(t) случайный процесс с неограниченно возрастающими почти наверное непрерывными траекториями, выходящими из 0. Процесс Кокса( или дважды стохастический пуассоновский процесс) ,управляемый процессом Λ (t ) ,определяется как

N 1 (t ) =N( Λ (t ) ) ,t>0 D.. Динамические модели процессов риска п1. Модель Лундберга- Крамера В приводимых ниже моделях процесс резервов представляется в виде U(t)=u+ A(t) - B(t) (7) Здесь А(t) описывает поступление (суммарное ) страховых премий в резерв компании за интервал времени (0,t).Процесс B(t) описывает суммарные выплаты по поступившим искам за интервал (0,t). Под моделью Лундберга-Крамера понимают модель (7) ,в которой A(t)=ct, а . B(t)= X 1 + L + X N ( t ) , (8) где N(t) является однородным по времени пуассоновским процессом с интенсивностью λ > 0 . п2.. Модель (7) с процессом восстановления. .а1) Пусть X i ,V I соответственно величина иска и интервал времени между поступлениями (I-1) и I-м исками.,I=1,2,3,….Пусть ( X i ,V I ) независимы и одинаково распределенные пары случайных величин. с неотрицательными исками .X. Положим T(n)= V1 + ... + Vn ,n=1,2,…,T(0)=0,

N(t)=sup (n: T(n) ≤ t ) ,

X(t)= X 1 + ... + X N ( t )

Как известно, последовательность T(n),n=0,1,2,… представляет собой процесс восстановления., причем N(t) -число восстановлений. Предположим, что страховые премии поступают равномерно во времени с интенсивностью с>0. Таким образом считаем, что резерв по данному виду страхования представляется в виде U(t)=u + ct - X(t). Для использования доказанной выше леммы рассмотрим вспомогательный процесс n

U n = U (T (n)) = u + cT (n) − ∑ X i i =1

Легко заметить, что n

n

i =1

i =1

U n = u − ∑ ( X i − cVi ) = u − ∑ Z i , где Z i = X i − cVi . Определим вероятность разорения

∞

n

i =0

j =1

φ (u ) = P(U{∑ Z j ≥ u})

неравенство Лундберга получим неравенство ф( г ) ≤ e

− Ru

Применяя далее

,причем R следует искать из

условия E( e ) = 1 ., т.е.E(exp(RX- cVR))=1 Предположим ,что X и V взаимно независимые случайные величины. Тогда RZ1

E (e RX 1 ) E ( −cRV1 ) = 1

(8) Таким образом в условиях модели Спарре - Андерсена ,если известны распределения величин Х иV,то Решая неравенство (8) относительно R>0,возможным оказывается (при существовании R>0) − Ru

оценить вероятность разорения. ф( г ) ≤ e , которое можно применить для вычисления с( величины взносов клиентов компании в кассу компании). При заданном размере начального резерва. В частном случае, при показательном распределении величин V с математическим ожиданием λ1 ,приходим к модели Лундберга ,т.е. N(t) будет пуассоновским процессом. В Таком случае легко убедиться в том, что

E (e −Vz ) =

λ λ+z

,

E (e sZ1 ) = e − sc E (e sX ) ≤ e − sR

при

E (e R ( X −c ) = e − Rc E (e RX ) = 1 Из последнего равенства и предположения о нормальном распределении величины

X ∈ N (a, σ 2 ) непосредственно следует равенство R =

2

σ2

(c − a).

а2) Пусть теперь в условиях предыдущей модели пункта а1) случайная величина

X i = Yi1 + L + YiN образуется Тогда при

c

Zi

пуассоновским числом слагаемых , Е(N)=w... = X i − cVi , уравнение для величины R получим уравнение

E (e RZ ) = E (e RX1 −cRV1 ) = E (e RX ) E (e − cRV ) = eW ( E ( e Предположим дополнительно, что P(V=1)=1. Тогда

RY

) −1)

Ee − cRV = 1

E (e RZ ) = eW ( E ( e

RY

) −1)

e − cR = 1

и, поэтому, для нахождения постоянной Лундбеога R получаем уравнение

e w( E ( e

RY

) −1)

= e cR ,

Поэтому, очевидно, будем иметь равенство для нахождения значения величины R

wE (e RY ) − w = cR , т.е. E(exp(RY))=1+ wc R п.3. Уточнение оценки вероятности разорения в модели Лундберга - Крамера В условиях модели Лундберга – Крамера U(t)= u + ct_-S(t), S(t)= X(t)= X 1 + ... + X N ( t ) C пуассоновским процессом N(t). интенсивности λ > 0 , рассмотрим вероятность не разорения Ψ (u ) = P (U (t ) ≥ 0, ∀t ≥ 0) , для которой получим уравнение t

Ψ (u ) = Ψ (0) +

λ c

∫ Ψ (t − s){1 − H ))ds 1

(9)

0

Для вывода этого уравнения заметим, что процесс выплат по искам как бы восстанавливается в каждый момент поступления очередного иска ( сохраняются все вероятностные характеристики процесса риска).Поэтому в момент первого поступления иска , этот момент времени t1 = s имея резерв u+cs- X 11 , и применяя вариант формулы полной вероятности можно получить равенство ∞

Ψ (u ) = ∫ λe

− λs

0

∞

ds ∫ 1{u =cs − x >0 )Ψ (u + cs − x)dH 1( x) 0

Полагая v=u+cs в написанном выше интеграле ,придем к новому равенству λu

∞

s

λs

Ψ (u ) = e c ∫ λe c ds ∫ Ψ (u − x)dH 1( x) 0

0

Из вида полученного уравнения видно, что интеграл в правой части является дифференцируемой функцией. Поэтому дифференцируя обе части уравнения получим равенство

e

− λcu

(Ψ ' (u ) − λc Ψ (u )) = − λc e

− λcu

u

∫ Ψ (u − x)dH ( x) , 1

0

u

Ψ (u ) = c Ψ (u ) − '

λ

λ c

∫ Ψ (u − x)dH ( x) . 1

0

Наконец, интегрируя последнее равенство получим

u

u

Ψ (u ) − Ψ (0) − c h(0) = − c ∫ dv ∫ Ψ (v − x)dH 1 ( x) = λ

λ

0

0

∞

=−

λ c

∞

∫ h( x)dH ( x) = − λ h(0) − λ ∫ h ( x){1 − H ( x)}dx '

1

0

c

1

c

0

t−x

где обозначено

h(x)=

∫ Ψ (v)dv,0 < x ≤ t ,

h(x)=0,x>t.

0

Таким образом, получаем уравнение u

Ψ (u ) = Ψ (0) +

λ c

∫ Ψ (u − x){1 − H ( x)}dx 1

0

μ =E(X)

Обозначим

и

x

F(x)= μ1

∫ (1 − H ( x))dx 1

0

Тогда уравнение для

Ψ (u ) эквивалентно равнению

u

Ψ (z ) = Ψ (0) + 1+1ρ

∫ Ψ (u − x)dF ( x) 0

при этом, легко видеть . что

Ψ (∞) = Ψ (0) + 1+1ρ Ψ (∞) ,что приводит к равенству

Ψ (0) = 1+1ρ Применяя преобразование Лапласа к уравнению для методами получим равенство

Ψ (z ) стандартными

Ψ (u ) = 1+ρρ ∑ ( 1+1ρ ) n F ∗ (u ) n

n ≥0

в котором под знаком суммы стоят свертки функции распределения F,которые выражают функции распределения сумм соответствующих случайных величин. Получено единственное решение уравнения для Ψ (u ) . Далее проводя анализ уравнения (9) с помощью теорем теории восстановления приходим к утверждению, впервые доказанному Лундбергом и Крамером. Терема (Лундберг-Крамер). Пусть существует такая постоянная R>0,что ∞

∫e

Rx

(1 − H 1 ( x))dx =

c

λ

0

Если

μ∗ =

∞

λ c

∫ x(1 − H ( x))dx < ∇∞ 1

0

то при u → ∞

Ψ (u ) - (1+ ρρ) Rμ ∗ e − Ru → 0 п.3. Пусть Х(i) - общая сумма исков в год с номером i.Пусть далее Х(i),i>0 –взаимно но зависимые одинаково распределенные случайные величины. E(X(i))=m, D (X(i))=s. Обозначим с- суммарную годовую страховую премию ,и пусть с>m. Резерв в год с номером n есть U(n)=u + c n – (X(1)+…+X(n))=u – {V(1)+…+V(n)}, где обозначено V(i)=X(i)-c. Тогда неравенство Лундберга применимо причем ∞

ϕ (u ) = P(U{U (n) ≤ 0}) ≤ e − Ru 0

,

де R>0 является корнем уравнения E (e )=e . Предполагая применимой центральной предельной теоремы при построения модели RX (1)

cR

равпределения случайной величины Х(1),будем предполагать Тогда получим равенства

E (e RX (1) ) = e mR −0.5σ

2

R2

X (1) ∈ N (m, σ 2 )

= e cR .,

R=

Поэтому для R получается равенство

2

σ2

(c − m).

.. Модель Виноградова О.П.[3] Следуя Виноградову О.П. рассмотрим процесс риска U(t), t>0 определяемый равенством N (t )

∑X

U(t)=u + A(t) -

i =1

i

,

в котором u –начальный капитал страховой компании, A(t) описывает суммарный размер премий, внесенных клиентами страховой компании за время (0,t) ,причем A(t) линейно растет на каждом из интервалов I i = (Ti −1 , Ti ) ,I=1,2,….. с угловым коэффициентом

ci ≥ 0 .

Предположим, далее, что : а) N(t),t>0, однородный по t пуассоновский процесс с интенсивностью λ >0 независимый от последовательности взаимно независимых и одинаково распределенныг случайных величин .,с плотностью распределения exp(-x) при x>0, б ) случайные величины Δ i = Ti − Ti −1 , i ≥ 1 последовательности взаимно незавиcимые динаково распределенные случайные величины, с показательным распределением с параметром δ i >0 ; в) последовательности

X i , i ≥ 1, иΔ i , i ≥ 1 взаимно независимы.

Обозначим R(u)=1- ф(u) – вероятность не разорения страховой компании., и ,соответственно, Rn (u ) = 1 − фn (u ) вероятность не разорения при предположении, что число выплат

X 1 ,..., X n , равно n и фn (u ) = фn (u, δ 1 , c1 ,...., δ n , c n ) . Легко видеть, что при неограниченном возрастании nвыполнится предельное равенство Rn (u ) → R (u ) . Рассмотрим вспомогательную последовательность выплат , получающуюся из первоначально рассмотренной но в обратном порядке, т.е. делаем перестановку ,в которой меняем местами δ i , ci соответственно на

δ n −i +1 , c n −i +1

.и интервалы I рассматриваются следующими в

обратном порядке. Соответствующие вероятности не разорения и разорения в вспомогательном процессе выплат обозначим

R on (u ), фno (u ) .При этом

фno (u ) = фno (u , δ n , c n ,...., δ 1 , c1) Лемма (Виноградов О.И.) Справедливо соотношение ∞

R (u ) = δ i ∫ e o i

0

причем

R0o (u ) = 1 .

Доказательство.

−δ i y {

u + ci y

{

∫R

o i −1

0

(u + ci y − z )e − z dz}dy

(b+1)

Обозначим процесс риска для построенного вспомогательного процесса выплат U(n,u)=u + An (t ) − o

n(t )

∑X i =1 i n

n −i +1

и вероятность разорения можно записать в виде

(u ) = P{U (n, s ) > 0 при некотором s>0 }.

при некотором s>0 R

Применяя далее свойства условного математического ожидания получим цепочку равенств

Rio (u ) = E{P{U(u,s)<0 при некотором s>0/ Δ i , X i )}= ∞ ∞

∫ {∫ 0

{P{U(u,s)<0 при некотором s>0/

0

∞

=

Δ i = y, X i = z}e − yδ i − z δ i dy}dz = )}=

∞

n ( s ) −1

0

j =1

−δ y −z ∫ δ e dy ∫ e I{s + ci y − z > 0}P( s + ci y − z + Ao,i −1 (t ) − i

0

δi

=

∫

∞

0

e −δ i y dy ∫

u + ci y

0

∑X

n − j − +1

< 0) dz=

Rio−1 (u + ci y − z )e − z dz

Что доказывает лемму. Покажем ниже вывод рекуррентных равенствдля вычисления вероятности разорения. . Подстановкой v=u+ ci y преобразуем равенство (b+1) к более удобному виду.

R (u ) = bi e o i

−bi u

∞

∫e

−bi s

s

{∫ Rio−1 ( s − z )e − z dz}ds п 0

u

bi = δ i / ci .. Положив в последнем равенстве ф(i,u)=1-

Здесь обозначено 0 i

R (u ) ,для ф(i,u) получится уравнение

ф(i, u 0 = 1 + λi e

βiu

u

∫e

− yβ i

ф(i − 1, y )dy + λi e

0

−u

u

∫ ф(i − 1, y)dy − λ (1 + β i

0

1 i

− e −u )

Из этого равенства последовательно при I=1,2,…приходим к выводу, что возможно представление вида

ф(i,u)= λ i

e − u a (i, u ) ,причем справедливо уравнение

u

a (i, u ) = 1 + λi −1 ( ∫ a (i − 1, y )dy + e 0

В силу выполнения равенств k

e u / b ∫ e − x / b x k dx = k!∑ u b j! u

∞

∫e

−z /αi

a (i − 1, z ))

u

β 0 = λ 0 = 0, a(0, u ) = 0,α i = (1 + β i ) −1 , I=1,…,n.

с коэффициентами

∞

u / αi

j =0

j k − j +1

a(i, u ) являются полиномами и можно искать a(i, u ) в

легко проверить, что виде i −1

a(i, u ) = ∑ C (i,j) x j ,причем С(i,j)=0 при j >i-1. j =0

Подставляя полиномиальное представление функций a (i, u ) в интегральное уравнение для a (i, u ) , получим соотношения С(i,0)=1+ λ i −1

C (i, k ) = C(i,i-1)=

i −2

∑ j!α j =0

λi −i αi k k!

λi −1

i −1

i −2

j +1 i

∑ m!α

C (i − 1, j )

m +1

C (i − 1, m)

m\0

C (i − 1, i − 2) , k=1,….,I-2.

Эта система уравнений может быть приведена к более простому виду, если положить С(i,j)=

λi − j λi − j +1 ...λi −1 j!

B(i, j ),

C(i,0)=B(i,0).

Тогда для В(i,j) получается система равенств B(i,0)=1+ α i λi −1 B (i,1), B(i,k)= α i λi − k +1 B (i − 1, k + 1) + B (i − 1, k − 1),

k=1,…,i-1

B(i,i-1)=B(i-1,i-2) Легко видеть, что a (0, u ) = 0, a (1, u ) = 1, B (1,0) = 1, B (i, i − 1) индукции далее несложно вывести представление B(i,k)=1+ λ i − k −1

+…+ λ

i

∑α j + λi−k −2 λi −k −1

j =i − k

λ L λi −k −1

∑ ∑

j1 =i − k j 2 =i − k −1

∑ ∑α

j1 =i − k j2 = i − k −1

ji − k − 2

j1

i

j1

i

L

∑α

ji − k −1 = 2

j1

αj + 2

1

α j Lα j 2

= 1 , поэтому по

i − k −1

(a_+4) Сделав перестановку индексов i → n − i + 1 окончательно получается Теорема(Виноградов О.П.,1998) Для n>0 имеет место равенство n −1

фт (u ) = e −u ∑ λ1λ2LkL! λk +1 H (n, k )u k k =0

в котором H(i,k)=1+ λ k + 2

k +1

∑α j =i

+…+ λ k + 2 L λ n

k +1 k + 2

j

+ λ k + 2 λ k +3 ∑

∑α

j1 =1 j 2 = j1

k +1 k + 2

n −1

j1 =1 j2 = j1

j1 jn − k − 2 = jn − k − 2

∑ ∑ L ∑α

j1

1

αj + 2

α j Lα j 2

n − k −1

Интерес в этой теореме состоит в возможности итерационного вычисления вероятности разорения (технического ) на современных компъютерах. Виноградов О.П. заметил возможность применения указанного выше метода расчета вероятности разореня в следующей модели Галамбоша Я. Пусть имеется n клиентов страховой компании, принадлежащих одной страховой группе. Промежутки времени до первого наступления страхового случая для отдельных представителей этой группы можно рассматривать как независимые одинаково

распределенные случайные величины с общей функцией распределения G(x). Сообщения о наступлении страховых случаях (предъявляются иски) поступают в страховую компанию в порядке возрастания этих промежутков времени .Таким образом, иски поступают в моменты времени, образующие вариационный ряд из распределения G(x) .Но известен факт, состоящий в том, что при непрерывной функции G(x) независимость интервалов времен между поступающими исками возможна тогда и только тогда, когда G(x) =1- exp(-ax) причем, интервал времени между I-м и (I-1) –м исками имеет показательное распределение с параметром (n-I+1). Значит в рассматриваемой модели применима теорема Виноградова О.П. Литература. 1.Г.И.Фалин,Математический анализ рисков в страховании,.М.,1994, 130 с. 2.Эмбрехтс П., Клюппельберг К. Некоторые аспекты страховой математики.//Теория вероятностей и ее применения,1993,т.38,вып.2,с. 375-416 3. Виноградов О.П., Вероятность разорения страховой компании// Теория вероятностей и ее применения,1998.т.43,вып.1,с. 352-360. 4. Sundt O.

Элементы теории процессов риска

Методическая разработка Для студентов дневного отделения факультета ВМК

Зорин Владимир Александрович, Мухин Владимир Ильич