Введение в дискретную математику. Элементы комбинаторики, теории графов и теории кодирования

ž..Œ «ì楢, ….DZ.DZ¥â஢

‚‚…„…ˆ… ‚ „ˆ‘Š…’“ž Œ€’…Œ€’ˆŠ“ ‹…Œ…H’› ŠŽŒˆH€’ŽˆŠˆ, ’…Žˆˆ ƒ€”Ž‚ ˆ ’…Žˆˆ ŠŽ„ˆŽ‚€HˆŸ

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 à­ ã«
1997

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ˆ§¤ â¥«ìá⢮ €«â ©áª®£® £®á㤠àá⢥­­®£® ã­¨¢¥àá¨â¥â   à­ ã« { 1997

“„Š 510.51 ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¤¨áªà¥â­ãî ¬ â¥¬ â¨ªã (í«¥¬¥­âë ª®¬¡¨­ â®à¨ª¨, ⥮ਨ £à ä®¢ ¨ ⥮ਨ ª®¤¨à®¢ ­¨ï): “祡­®¥ ¯®á®¡¨¥. // ž..Œ «ì楢, ….DZ.DZ¥â஢.  à­ ã«: ˆ§¤-¢® €«â. ã­-â , 1997. 135 á. –¥«ì ¤ ­­®£® ¯®á®¡¨ï { ¨§«®¦¨âì áâ㤥­â ¬ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ä ªã«ìâ¥â  ®á­®¢­ë¥ à §¤¥«ë ¤¨áªà¥â­®© ¬ â¥¬ â¨ª¨ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ­®¢®© ¯à®£à ¬¬®©. ‚ ¯®á®¡¨¨ ¯à¨¢¥¤¥­® ¡®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ ¯à¨¬¥à®¢ ¨ § ¤ ç, ¬­®£¨¥ ¨§ ª®â®àëå á­ ¡¦¥­ë 㪠§ ­¨ï¬¨ ª à¥è¥­¨î. €¢â®pë ¢ëp ¦ îâ ¡« £®¤ p­®áâì £¥­¥p «ì­®¬ã ¤¨p¥ªâ®pã ä¨p¬ë " ©â" €.Œ.‘âp루­ã §  䨭 ­á®¢ãî ¯®¬®éì. ’ ¡«. 9. ˆ«. 80. ¨¡«¨®£à. 29 ­ §¢.

c Œ «ì楢 ž.., DZ¥â஢ ….DZ., 1997.

c €«â ©áª¨© £®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â, 1997.

Žƒ‹€‚‹…ˆ… ƒ‹€‚€ 1. ‹…Œ…’› ŠŽŒˆ€’ŽˆŠˆ 1.1. DZ¥à¥áâ ­®¢ª¨, á®ç¥â ­¨ï, ¯®«¨­®¬¨ «ì­ ï ⥮६  1.2. ¥ªãà७â­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¨ ¯à®¨§¢®¤ï騥 ä㭪樨 1.3. ”®à¬ã«  ¢ª«î祭¨ï ¨ ¨áª«î祭¨ï 1.4. ’¥®à¥¬  •®««  (® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ïå) 1.5. ¥ª®â®àë¥ ª®¬¡¨­ â®à­ë¥ § ¤ ç¨ ­  ¯«®áª®á⨠ƒ‹€‚€ 2. ‹…Œ…’› ’…Žˆˆ ƒ€”Ž‚ 2.1. Žá­®¢­ë¥ ¯®­ïâ¨ï ⥮ਨ £à ä®¢ ¨ á¯®á®¡ë ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à ä®¢ 2.2. ’¥®à¥¬  ‹.©«¥à  ® ¯«®áª¨å £à ä å 2.3. Žæ¥­ª  ç¨á«  £à ä®¢ 2.4. ©«¥à®¢ë ¨ £ ¬¨«ìâ®­®¢ë £à äë 2.5. „¥à¥¢ìï 2.6. ªáâ६ «ì­ë¥ § ¤ ç¨:  «£®à¨â¬ Šà áª «ï. ‡ ¤ ç  ® ç¥âëà¥å ªà áª å 2.7. ’¥®à¥¬  ® 楫®ç¨á«¥­­®áâ¨. DZ®â®ª¨ ¢ á¥âïå. ’¥®à¥¬  ® ¬ ªá¨¬ «ì­®¬ ¯®â®ª¥ ¨ ¬¨­¨¬ «ì­®¬ ࠧ१¥ ƒ‹€‚€ 3. ‹…Œ…’› ’…Žˆˆ ŠŽ„ˆŽ‚€ˆŸ 3.1. Žá­®¢­ë¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï. DZਬ¥àë ª®¤®¢ 3.2. DZਬ¥àë ª®¤®¢, ¨á¯à ¢«ïîé¨å ®è¨¡ª¨ (ª®¤ •í¬¬¨­£ ) 3.3. ” ªâ®à-ª®«ìæ  ª®¬¬ãâ â¨¢­ëå ª®«¥æ 3.4. ‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¨ áâ஥­¨¥ ª®­¥ç­ëå ¯®«¥©

áâp.5 5 10 17 21 24 31 31 45 48 50 57 66 74 81 81 91 97 100

DZਬ¥àë ª®¤®¢, ¨á¯à ¢«ïîé¨å ®è¨¡ª¨ (ª®¤ ®ã§ -—®ã¤åãà¨-•®ª¢¨­£¥¬ ) 3.6. Ž¤­®§­ ç­® ¤¥ª®¤¨àã¥¬ë¥ ª®¤ë. ¥à ¢¥­á⢮ Šà äâ . Š®¤ë ” ­® ¨ • ä¬¥­  3.7. ‹¨­¥©­ë¥ ª®¤ë 3.8. –¨ª«¨ç¥áª¨¥ ª®¤ë 3.9. Š®¤ ®ã§ -—®ã¤åãà¨-•®ª¢¨­£¥¬  ‹ˆ’…€’“€ 3.5.

102 110 117 123 129 134

5

ƒ« ¢  1

‹…Œ…’› ŠŽŒˆ€’ŽˆŠˆ Š®¬¡¨­ â®à¨ª  { à §¤¥« ¬ â¥¬ â¨ª¨, ¯®á¢ï饭­ë© à¥è¥­¨î § ¤ ç ¢ë¡®à  ¨ à á¯®«®¦¥­¨ï í«¥¬¥­â®¢ ­¥ª®â®à®£® ¬­®¦¥á⢠ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á § ¤ ­­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨. «¥¬¥­âë ª®¬¡¨­ â®à¨ª¨ ¢áâà¥ç «¨áì ¢ âàã¤ å ¬ â¥¬ â¨ª®¢ „ॢ­¥£® ‚®á⮪  (ç¨á«® á®ç¥â ­¨©, ¡¨­®¬ ìîâ®­ ). .DZ áª «ì ¨ DZ.”¥à¬  﫨áì ®á­®¢®¯®«®¦­¨ª ¬¨ ª®¬¡¨­ â®à¨ª¨ ª ª à §¤¥«  ¬ â¥¬ â¨ª¨. ®«ì让 ¢ª« ¤ ¢ à §¢¨â¨¥ ª®¬¡¨­ â®à¨ª¨ ¢­¥á«¨ ƒ.‹¥©¡­¨æ, Ÿ.¥à­ã««¨, ‹.©«¥à, ”.•®««, ƒ.DZ®© , .„¨«ã®àá. 1.1

DZ¥à¥áâ ­®¢ª¨, á®ç¥â ­¨ï, ¯®«¨­®¬¨ «ì­ ï ⥮६ 

 áᬮâਬ ª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ M = fa ; : : : ; ang; ᮤ¥à¦ é¥¥ n í«¥¬¥­â®¢. ‘®ç¥â ­¨¥ { ¯®¤¬­®¦¥á⢮ M; â.¥. ­¥ª®â®à ï ­¥ã¯®à冷祭­ ï
¢ë¡®àª  à §«¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¨§ M: Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ Cnk (¨«¨ ç¥à¥§ nk ) ç¨á«® ¢á¥å á®ç¥â ­¨©, ᮤ¥à¦ é¨å k í«¥¬¥­â®¢. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, Cnk { ç¨á«® ¢á¥å k-í«¥¬¥­â­ëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠n-í«¥¬¥­â­®£® ¬­®¦¥á⢠ M: “⢥ত¥­¨¥ 1. Cnk = k nn k : „®ª § â¥«ìá⢮ ¯à®¢¥¤¥¬ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã n  k: …᫨ n = k; â® Ckk = 1 = kk : DZ।¯®«®¦¨¬ ¨á⨭­®áâì ­ è¥© ä®à¬ã«ë ¤«ï n-í«¥¬¥­â­ëå ¬­®¦¥áâ¢. „®ª ¦¥¬ ¥¥ á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ A = fa ; : : : ; an; an g; ᮤ¥à¦ é¥£® (n+1) í«¥¬¥­â®¢. Š ¦¤®¥ k-í«¥¬¥­â­®¥ 1

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¯®¤¬­®¦¥á⢮ A «¨¡® ᮤ¥à¦¨â an ; «¨¡® ­¥ ᮤ¥à¦¨â an : —¨á«® ¯®¤¬­®¦¥á⢠¯¥à¢®£® ⨯  à ¢­® Cnk ; â.ª. ª ¦¤®¥ â ª®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á®ç¥â ­¨¥¬ ¨§ (k 1) í«¥¬¥­â  ¢ fa ; : : : ; ang: —¨á«® ¯®¤¬­®¦¥á⢠¢â®à®£® ⨯  à ¢­®, ®ç¥¢¨¤­®, Cnk : ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, Cnk = Cnk + Cnk = k nn k + k nn k = k n n k [ k + n k ] = k nn k : Ž¡®§­ ç¨¬, ¤ «¥¥, ç¥à¥§ Pn ç¨á«® ¢á¥å 㯮à冷祭­ëå n-®ª f(ai1 ; : : : ; ain ); aij 2 M; ais 6= ait g ¬­®¦¥á⢠ M: ’ ª¨¥ n-ª¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬¨. „®ª ¦¥¬, çâ® Pn = n!: ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¨­¤ãªæ¨¨. …᫨ n = 1; â® P = 1 = 1!: DZ।¯®«®¦¨¬ ¨á⨭­®áâì ¨áª®¬®£® à ¢¥­á⢠ ¤«ï n-í«¥¬¥­â­ëå ¬­®¦¥á⢠¨ ¤®ª ¦¥¬ ¥£® á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ¤«ï (n + 1)-í«¥¬¥­â­®£® ¬­®¦¥á⢠ A = fa ; : : : ; an g: Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯¥à¥áâ ­®¢®ª í«¥¬¥­â®¢ A ¬®¦­® à §¡¨âì ­  (n + 1) ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ª« áᮢ C ; : : : ; Cn : ˆ¬¥­­®, ®â­¥á¥¬ ¢ ª« áá Ci ⥠(¨ ⮫쪮 â¥) ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨, ª®â®àë¥ á®¤¥à¦ â an ­  i-¬ ¬¥á⥠(aj1 ; aj2 ; : : : ; aji 1 ; an ; aji+1 ; aji+2 ; : : : ; ajn+1 ): Ÿá­®, çâ® jCij = n! ¨ Pn = jC j + jC j +


+ jCn j = (n + 1)
n! = (n + 1)!: Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ Pnr ç¨á«® ¢á¥å 㯮à冷祭­ëå ¢ë¡®à®ª, ᮤ¥à¦ é¨å r à §«¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¬­®¦¥á⢠ M (¨­®£¤  íâ® ç¨á«® ®¡®§­ ç ¥âáï ª ª P (n; r); Arn ¨«¨ nPr ): —¨á«® ¢á¥å r-í«¥¬¥­â­ëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠M à ¢­® Cnr ¨ ª ¦¤®¥ â ª®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¯®à®¦¤ ¥â r! 㯮à冷祭­ëå ¨áª®¬ëå ¢ë¡®à®ª, â.¥. Pnr = Cnr
r! = nn r : DZ®¤áç¨â ¥¬ ç¨á«® ¢á¥å 㯮à冷祭­ëå r-¬­®¦¥á⢠f(a ; : : : ; ar ); ai 2 M g: Š ¦¤ ï ª®®à¤¨­ â  (­¥§ ¢¨á¨¬®) ¯à®¡¥£ ¥â ¢á¥ ¬­®¦¥á⢮ M: DZ®í⮬ã ç¨á«® ¢á¥å â ª¨å r-¢ë¡®à®ª à ¢­® nr : ‡ ¬¥ç ­¨¥. ˆ§ ¯à¥¤ë¤ã饣® á«¥¤ã¥â, çâ® ç¨á«® ¢á¥å ¯®¤¬­®¦¥á⢠n-¬­®¦¥á⢠ (â.¥. n-í«¥¬¥­â­®£® ¬­®¦¥á⢠) à ¢­® (Cn + Cn +


+ Cnn): ¥ã¯®à冷祭­ ï ᮢ®ªã¯­®áâì ¨§ r í«¥¬¥­â®¢ fa ; a ; : : : ; ar g ¬­®¦¥á⢠ M (­¥ ®¡ï§ â¥«ì­® à §«¨ç­ëå) ­ §ë¢ ¥âáï r-¢ë¡®àª®© ¨§ M: „¢¥ r-¢ë¡®àª¨ à ¢­ë, ¥á«¨ ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â ¢å®¤¨â ¢ ®¡¥ ¢ë¡®àª¨ ®¤¨­ ª®¢®¥ ç¨á«® à §. r-¢ë¡®àª , ᮤ¥à¦ é ï ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â ®¤¨­ à § ï¥âáï r-¯®¤¬­®¦¥á⢮¬ +1

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“⢥ত¥­¨¥ 2. —¨á«® r-¢ë¡®à®ª ¨§ n-¬­®¦¥á⢠ à ¢­® Cnr

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„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì M = f1; 2; : : : ; ng ¨ M  = f1; 2; : : : ; n; n +1; : : : ; n + r 1g: ‘®®â¢¥âá⢨¥ fa ; a ; : : : ; ar g ! fa +0; a +1; : : : ; ar +(r 1)g; £¤¥ a  a 


 ar , ï¥âáï ¡¨¥ªâ¨¢­ë¬ ᮮ⢥âá⢨¥¬ ¬¥¦¤ã ¬­®¦¥á⢮¬ ¢á¥å r-¢ë¡®à®ª ¨§ M ¨ r-á®ç¥â ­¨© ¨§ M  : DZ® ã⢥ত¥­¨î 1, ¨áª®¬®¥ ç¨á«® à ¢­® Cnr r : DZ®¤áç¨â ¥¬ ç¨á«® à §«¨ç­ëå ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ᨬ¢®«®¢ 1

2

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: : ; }c ; a; : : : ; a; b; : : : ; b; : : : ; |c; :{z | {z } | {z } 1

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k P i=1

2

k

i = n: —¨á«® ¢á¥å ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ᨬ¢®«®¢ a ; : : : ; a1 ; b ; : : : ; b2 ; : : : ; c ; : : : ; ck 1

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à ¢­® n!: Žâ®¦¤¥á⢫ïï a =


= a1 = a; ¬ë 㬥­ìè ¥¬ íâ® ç¨á«® ¢  ! à §; ®â®¦¤¥á⢫ïï, ¤ «¥¥, b =


= b2 = b; ¬ë 㬥­ìè ¥¬ ¯à¥¤ë¤ã饥 ç¨á«® ¥é¥ ¢  ! à § ¨ â.¤. DZ®í⮬㠨᪮¬ë¬ ç¨á«®¬ ¡ã¤¥â n! P n( ; : : : ; k ) = :  ! ! : : :  ! 1

1

1

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1

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2

“⢥ত¥­¨¥ 3 (¯®«¨­®¬¨ «ì­ ï ⥮६ ).‘¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 à ¢¥­á⢮ ¬­®£®ç«¥­®¢

(x +


+ xk )n = 1

n! x1 x2 : : : xk k :  ! : : : k ! n

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1

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„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž.  áᬮâਬ «¥¢ãî ç áâì p ¢¥­á⢠ (x +


+ xk )n = (|x +


+ xk ) {z : : : (x +


+ x}k ) = 1

1

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X 1 +


+k =n

1

n

A( ; : : : ; k )x1


xk k ; 1

1

9

£¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â A( ; : : : ; k ) à ¢¥­ ç¨á«ã ¢á¥å â ª¨å ­ ¡®à®¢ ( ; : : : ; k ); çâ®  +


+ k = n: DZ®¤áç¨â ¥¬ íâ® ç¨á«®. DZ¥à¥¬¥­­ãî x ¬®¦­® ¢ë¡à âì ¢  ¬­®¦¨â¥«ïå (¨§ n ¢®§¬®¦­ëå!), â.¥. Cn1 ᯮᮡ ¬¨. DZ¥à¥¬¥­­ãî x ¬®¦­® (­¥§ ¢¨á¨¬®) ¢ë¡à âì ¢  ¢ ®áâ ¢è¨åáï (n  ) ¬­®¦¨â¥«ïå ¨ â.¤. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, A( ; : : : ; k ) = Cn1
Cn2 1



Cnk 1


k 1 = = 1 nn 1
2 nn 11 2



n 1 k


k 1 = 1 2n :::k : n ‚ ç áâ­®áâ¨, (x + x )n = P Cnk xk xn k { ª« áá¨ç¥áª ï ä®à¬ã«  ¡¨­®¬  k ìîâ®­ . 1

1

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2

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‡€„€—ˆ

—¨á«® ¢á¥å ¯®¤¬­®¦¥á⢠n-¬­®¦¥á⢠ à ¢­® 2n: “Š€‡€Hˆ…. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï à ¢¥­á⢮¬

1).

(1 + 1) = n

2).

„®ª § âì, çâ®

n X k=0

Cnk :

Cn + Cn + Cn +


= Cn + Cn + Cn +


: 0

2

4

1

3

5

n = 0: “Š€‡€Hˆ….  áᬮâà¥âì ¡¨­®¬ (1 1) m P m 3). „®ª § âì à ¢¥­á⢮ Cr s = Cri Csm i: i “Š€‡€Hˆ… 1.  áᬮâà¥âì ⮦¤¥á⢮ (1 + x)r (1 + x)s = (1 + x)r s: “Š€‡€Hˆ… 2.  áᬮâà¥âì ç¨á«® ᯮᮡ®¢ ¢ë¡®à  ª®¬¨áᨨ ¨§ m 祫®¢¥ª ¢ £à㯯¥, á®áâ®ï饩 ¨§ r ¦¥­é¨­ ¨ s ¬ã¦ç¨­. 4). ‘ª®«ìª® à §«¨ç­ëå ¯ï⨧­ ç­ëå ç¨á¥« ¬®¦­® á®áâ ¢¨âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ æ¨äà 1,2,3 ? Ž’‚…’: 3 : 5). ‘ª®«ìª® à §«¨ç­ëå ᥬ¨§­ ç­ëå ç¨á¥« ¬®¦­® á®áâ ¢¨âì ¨§ æ¨äà +

=0

+

5

10

2,2,3,3,3,0,4? Ž’‚…’: = 360: 6). ‚ ®à ­¦¥à¥¥ ¨¬¥îâáï æ¢¥â  10 ­ ¨¬¥­®¢ ­¨©. ‘ª®«ìª¨¬¨ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­® á®áâ ¢¨âì ¡ãª¥â ¨§ 20 梥⮢? Ž’‚…’: C = 10015005: 7). ˆ§ £à㯯ë, á®áâ®ï饩 ¨§ 7 ¬ã¦é¨­ ¨ 4 ¦¥­é¨­, ­ ¤® ¢ë¡à âì 6 祫®¢¥ª â ª, ç⮡ë á।¨ ­¨å ¡ë«® ­¥ ¬¥­¥¥ 2-å ¦¥­é¨­. ‘ª®«ìª¨¬¨ ᯮᮡ ¬¨ íâ® ¬®¦­® ᤥ« âì? Ž’‚…’: C
C + C
C + C
C = 371: 8).  ©â¨ ç¨á«® ¢á¥å ­ âãà «ì­ëå ¤¥«¨â¥«¥© ç¨á«  n = p1


ps s , £¤¥ p ; : : : ; ps { à §«¨ç­ë¥ ¯à®áâë¥ ç¨á« . Ž’‚…’: ( + 1)


(s + 1): n P 9). „®ª § âì, çâ® Cnk
k = 2n
n: k “Š€‡€Hˆ….  áᬮâà¥âì f (x) = (1 + x)n ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­ãî f 0(x): 10). „®ª § âì à ¢¥­á⢮ 7!

6!

2!3!

2!3!

20

10+20

1

2

4

3

3

4

2

4

7

4

7

4

7

1

1

1

1

=1

4


X k

Cnk = 2n + 2 2

n +1

4


cos n 4:

“Š€‡€Hˆ….  áᬮâà¥âì à ¢¥­á⢮ (1 + 1)n + (1 + i )n + (1 + i)n + (1 + i )n = 4
2

3

X k

Cnk : 4

ˆ§ ª®«®¤ë, ᮤ¥à¦ é¥© 52 ª àâë, ¢ë­ã«¨ 10 ª àâ. ‚ ᪮«ìª¨å á«ãç ïå á।¨ íâ¨å ª àâ ®ª ¦¥âáï:  ) å®âï ¡ë ®¤¨­ âã§; ¡) ஢­® ®¤¨­ âã§; ¢) ­¥ ¬¥­¥¥ 2-å â㧮¢; £) ஢­® 2 â㧠. Ž’‚…’:  ) C
C + C
C + C C + C
C ; ¡) C
C ¨ â.¤. 11).

1

9

2

8

3

7

4

6

1

9

4

48

4

48

4

48

4

48

4

48

11

1.2

¥ªãà७â­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¨ ¯à®¨§¢®¤ï騥 ä㭪樨

DZãáâì F { ­¥ª®â®à®¥ ¯®«¥ ¨ fu ; u ; : : : g { ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ç¨á¥« ¨§ F: ‘ª ¦¥¬, çâ® íâ  ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ï¥âáï ४ãà७⭮© ¯®à浪  r; ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á«  a ; : : : ; ar 2 F â ª¨¥, çâ® ur = a ur + a ur +


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u ; ur = a ur + a ur +


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u ; 0

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un;

:::::::::

£¤¥ n = 0; 1; 2; : : : : „«ï ४ãà७⭮© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠sfung ¬­®£®ç«¥­ f (x) = xr a xr


ar = (x  )e1 : : : (x s)es ; £¤¥ P ei = r; i  ; : : : ; s 2 F ; ­ §ë¢ ¥âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ (F -  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ­¨¥ ¯®«ï1 F ; ­ ¯à¨¬¥à, C = C; R = C):  áᬮâਬ, ¤ «¥¥, ¬­®¦¥á⢮ P F hhxii = f vixi; vi 2 F g ¢á¥å ä®à¬ «ì­ëå á⥯¥­­ëå à冷¢ ®â ¯¥à¥¬¥­­®© i x á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¨§ ¯®«ï F: Ž¯à¥¤¥«¨¬ ­  í⮬ ¬­®¦¥á⢥ á«¥¤ãî騥 ®¯¥à æ¨¨: 1 1 1 X X X : i i ( vix ) + ( wix ) = (vi + wi)xi; 1

1

1

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1

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i=0

(

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i

i=0

i=0 1 X

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i=0

i=0 1 X

wixi) =

i=0

qixi;

£¤¥ qi = P vtwi t: ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® hF hhxii; +; :i ï¥âáï  áá®æ¨ â¨¢­ë¬ ¨ t ª®¬¬ãâ â¨¢­ë¬ ª®«ì殬 á ¥¤¨­¨æ¥© 1 = 1+0
x +0
x +


; ­¥ ᮤ¥à¦ é¨¬ ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï1(â.¥. ¥á«¨ 
= 0; £¤¥ ; 2 F hhxii; «¨¡®  = 0; «¨¡® = 0): DZਠí⮬ àï¤ P vixi ï¥âáï ®¡à â¨¬ë¬ ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ i v 6= 0: ‘ ª ¦¤®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâìî fung á¢ï¦¥¬ àï¤ g(x) = u + u x + u x + : : : ; =0

2

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12

2

ª®â®àë© ­ §®¢¥¬ ¯à®¨§¢®¤ï饩 ä㭪樥© ¤«ï fung: DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì fung ï¥âáï ४ãà७⭮©. DZ®«®¦¨¬ 1 '(x) = xr f ( ) = 1 a x a x


ar xr x 2

1

2

1

¨ à áᬮâਬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ g(x)
'(x) = (P uixi) (1 a x


ar xr ) = i = u + (u a u )x + (u a u a u )x +


+ (ur a ur





ar u )xr +(ur a ur


ar
u )xr +


+ (un r a un r


ar
un)xn r +


= b + b x +


+ br xr = (x): ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, g(x) = ' xx = 1x e1


x sx es : DZà ¢ ï ç áâì í⮣® à ¢¥­á⢠ ï¥âáï ¯à ¢¨«ì­®© ¤à®¡ìî ¢ F (x) ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, à §«®¦¨¬  ¢ á㬬㠪®­¥ç­®£® ç¨á«  ¯à®á⥩è¨å ¤à®¡¥©, â.¥. ¤à®¡¥© ¢¨¤  Aix t ; £¤¥ A 2 F ; t  ei: ˆâ ª, g(x) = 111x + 121x 2 +


+ 11ex1 e1 + + 212x + 222x 2 +


+ 22ex2 e2 +


+ (1.1) + s1sx + s2sx 2 +


+ sessx es : ’ ª ª ª k k


k n
xn +


= n x k = 1 k
x+


+ = 1 Ckk x + Ckk x


+ ( 1)n
Cnk k xn +


; 1 â® x k = + P Cnk k

n
xn: DZà¨à ¢­¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ xn n ¢ «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç á⨠ࠢ¥­á⢠ (1), ¨¬¥¥¬, çâ® un = q (n)n + q (n)n +


+ qs(n)sn; £¤¥ qi(n) { ¬­®£®ç«¥­ ®â n á⥯¥­¨  ei 1; ª®íää¨æ¨¥­âë ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«ïîâáï ­ ç «ì­ë¬¨ §­ ç¥­¨ï¬¨ u ; u ; : : : ; ur ­ è¥© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâ¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë 㪠§ «¨  «£®à¨â¬ ¢ëç¨á«¥­¨ï ç«¥­®¢ ४ãà७⭮© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâ¨ á ¯®¬®éìî ¯à®¨§¢®¤ïé¨å ä㭪権. DZਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë à ¡®âë í⮣®  «£®à¨â¬ . DZਬ¥à 1. DZãáâì u = 1; u = 1; un = un + un ; £¤¥ n  2 (¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ”¨¡®­ çç¨). • à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ f (x) = x x 1 1

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13

p

p

¨¬¥¥â ª®à­¨  = ¨ = : ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, 1 P k(x) = (1 x)(1 x) ¨ g(x)
k(x) = ( unxn)(1 x x ) = n = u + (u u )x + (u u u)x +


= 1: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,  = g(x) = x x = = x + = x = p x x   = p (1 + x +  x +  x +


) (1 + x + x +


) = = p ( ) + ( )x + p


+ (n pn )xn +


: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,  un = p (n n ) = p ( )n ( )n (ä®à¬ã«  ¨­¥). ‡ ¬¥ç ­¨¥. “ª ¦¥¬ ¨¤¥î ¤à㣮£® ¬¥â®¤  ¢ëç¨á«¥­¨ï ®¡é¥£® ç«¥­  ४ãà७⭮© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠¯®à浪  ¤¢  ­  ¯à¨¬¥à¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠u = 1; u = 2; un = 8un 15un ; n  1:  ©¤¥¬ ç¨á«  ; â ª¨¥, çâ® 8 =  + ; 15 =  (ïá­®, çâ®  = 3; = 5): DZ¥à¥¯¨è¥¬ à ¢¥­á⢮ un = 8un 15un ¢ ¢¨¤¥ un 5un = 3(un 5un ); un 3un = 5(un 3un ): ˆ§ ¯®á«¥¤­¨å à ¢¥­á⢠᫥¤ã¥â, çâ® un 5un = 3f3(un 5un )g = 3 (un 5un ) =


= = 3n (u 5u ) = 3n(u 5u ) = 3n ; un 3un = 5f5(un 3un )g = 5 (un 3un ) =


= = 5n(u 3u ) = 5n: Žâªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® un = n+1 n : DZਬ¥à 2.  áᬮâਬ ४ãà७â­ãî ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¯®à浪  3: u = +1; u = 5; u = 10; un = un + 5un + 3un; n  0:  ©¤¥¬ ä®à¬ã«ã n-®£® ç«¥­  í⮩ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâ¨. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ f (x) = x x 5x 3 ¨¬¥¥â ª®à­¨ 3; 1; 1: 1+

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3

14

2

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DZ®í⮬ã (u + u x + u x + : : : )(1 x 5x 3x ) = u + (u u )x+ +(u u 5u )x + 0
x + 0
x +


= 1 + 4x: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¯à®¨§¢®¤ïé ï äã­ªæ¨ï g(x) à ¢­  ¤à®¡¨ x x x 2 :  §«®¦¨¬ íâ㠯ࠢ¨«ì­ãî ¤à®¡ì ¢ á㬬㠯à®á⥩è¨å 1 + 4x A B C = + + (1 3x)(1 + x) (1 3x) (1 + x) (1 + x) : 2

0

1

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2

2

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4

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)

2

2

DZਢ®¤ï ª ®¡é¥¬ã §­ ¬¥­ â¥«î ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¨ ¯à¨à ¢­¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å á⥯¥­ïå ç¨á«¨â¥«¥©, ¬ë ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨© A+B+C =1 A 3B = 0 2A 2B 3C = 4; ¨§ ª®â®à®© á«¥¤ã¥â, çâ® A = 21=16; B = 7=16; C = 3=4: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, g(x) = 1 + 5x +


+ (
3n + ( 1)n + (n + 1)( 1)n )xn + : : : : DZ®í⮬ã un =
3n + ( 1)n + (n + 1)( 1)n ; £¤¥ n  0: 21

7

3

16

16

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7

3

16

16

4

+1

+1

‡€„€—ˆ

 ©â¨ ®¡é¨© ç«¥­ á«¥¤ãîé¨å ४ãà७â­ëå ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⥩  ) u = 2; u = 3; un = 10un 9un ; n  1; ¡) u = 1; u = 2; u = 0; u = 1; un = 3un + 3un 7un 6un; n  0: 2). ‘ª®«ìª¨¬¨ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦­® à ááâ ¢¨âì ᪮¡ª¨ ¢ (­¥ áá®æ¨ â¨¢­®¬) á«®¢¥ a a : : : an? “Š€‡€Hˆ…. Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ un ç¨á«® â ª¨å ᯮᮡ®¢. DZ®«®¦¨¬ u = 0; u = 1: ’®£¤  u = 1; u = 2; u = 5; â ª ª ª ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî騥 à ááâ ­®¢ª¨ ᪮¡®ª (a a )a ; a (a a ); ((a a )a )a ; (a a )(a a ); a (a (a a )); (a (a a ))a ; a ((a a )a ): 1).

0

1

0

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1

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3

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2

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1

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3

1

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4

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2

3

4

1

15

2

3

4

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3

2

4

3

4

+1

‡ ¬¥â¨¬, çâ® un = u un + u un +


+ un u ; n  2: ˆ§ í⮣® à ¢¥­á⢠1 á«¥¤ã¥â á«¥¤ãî饥 ᮮ⭮襭¨¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®¤ï饩 ä㭪樨 f (x) = p x P (àï¤ f (x) = uixi : f (x) = f (x) x: Žâªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® f (x) = i 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î f (0) = 0). ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, un = n nn ; n  2: 3). (‡ ¤ ç  ® ¢áâà¥ç å). ¥ªâ® ­ ¯¨á « n ¯¨á¥¬ ¨ § ¯¥ç â « ¨å ¢ ª®­¢¥àâë, ­¥ ­ ¤¯¨á ¢ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®  ¤à¥á®¢. DZ®á«¥ í⮣® ®­ 㦥 ­¥ §­ «, ¢ ª ª®¬ ª®­¢¥à⥠«¥¦¨â ª ª®¥ ¯¨á쬮, ¨ ¯®í⮬ã n  ¤à¥á®¢ ­  ª®­¢¥àâ å ­ ¯¨á « ­ ã£ ¤. Š ª®¢  ¢¥à®ïâ­®áâì ⮣®, çâ® å®âï ¡ë ®¤¨­ ¨§  ¤à¥á â®¢ ¯®«ãç¨â ¯à¥¤­ §­ ç¥­­®¥ ¤«ï ­¥£® ¯¨á쬮? “Š€‡€Hˆ…. Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ An ç¨á«® ¨á室®¢, ¯à¨ ª®â®àëå ­¨ ®¤¨­ ª®­¢¥àâ ­¥ ¡ã¤¥â ¯®¤¯¨á ­ ¯à ¢¨«ì­®. ’®£¤  ¨áª®¬ ï ¢¥à®ïâ­®áâì à ¢­  (1 Ann ): ‚ëç¨á«¨¬ ç¨á«® An: „«ï í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® An = (n 1)(An + An ): DZਠ­¥¡« £®¯à¨ïâ­®¬ ¨á室¥ ­  1-¬ ª®­¢¥à⥠(â.¥. ¢ ­¥¬ ­ å®¤¨âáï ¯¨á쬮, ®â¯à ¢«¥¬®¥ ¯® ¯¥à¢®¬ã  ¤à¥áã) ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ¯¨á ­ 2-©, 3-©, : : : ; n-©  ¤à¥á. DZãáâì, ­ ¯à¨¬¥à, ­ ¯¨á ­ 2-©  ¤à¥á. …᫨ ­  2-¬ ª®­¢¥à⥠­ ¯¨á ­ 1-©  ¤à¥á, â® ¤«ï ®áâ «ì­ëå (n 2) ª®­¢¥à⮢ ¬ë ¨¬¥¥¬ An ­¥¡« £®¯à¨ïâ­ëå ¢®§¬®¦­®á⥩. …᫨ ¦¥ ­  2-¬ ª®­¢¥à⥠ࠧà¥è ¥âáï ¯¨á âì ⮫쪮 3-©, 4-©, ..., n-©  ¤à¥á , â® â ª¨å ¢®§¬®¦­®á⥩ ã ­ á An : ˆâ ª, ®¡é¥¥ ç¨á«® ­¥¡« £®¯à¨ïâ­ëå ¢®§¬®¦­®á⥩, ¯à¨ ª®â®àëå ­  ¯¥à¢®¬ ª®­¢¥à⥠¯®¤¯¨á뢠¥âáï ¢â®à®©  ¤à¥á, à ¢­® (An + An ): ’ ª¨¥ ¦¥ ç¨á«  ¬ë ¯®«ã稬, ¯®¤¯¨áë¢ ï ¯¥à¢ë© ª®­¢¥àâ 3-¬, 4-¬,..., n-¬  ¤à¥á ¬¨. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, An = (n 1)(An + An ): Žâªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® An nAn = (An (n 1)An ) = = An (n 2)An =


= ( 1)n (A 2A ) = ( 1)n; â.ª. A = 0; A = 1:  áᬮâਬ à ¢¥­á⢠: An = nAn + ( 1)n 1

1

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2

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2)!

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16

1

1

2

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1

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1

2

::: ::: :::

= 3A + ( 1) “¬­®¦¨¬ ¢â®à®¥ à ¢¥­á⢮ ­  n; âà¥âì¥ { ­  n(n 1); : : : ¨ á«®¦¨¬. DZ®«ã稬 á«¥¤ãî饥 à ¢¥­á⢮: n 1 1 1 ( 1) An = 2! 3! + 4!


+ n!
n! ˆáª®¬ ï ¢¥à®ïâ­®áâì à ¢­  n An 1 1 ( 1) 1 n! = 1 2! + 3!


n! ! (1 e )  0; 6: 4).  ©â¨ ¯à®¨§¢®¤ï騥 ä㭪樨 á«¥¤ãîé¨å ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⥩:  ) ( 1; n = 0; 1; : : : ; N; un = 0; n > N: Ž’‚…’: g(x) = 1 + x +


+ xN : ¡) ( 0; n ç¥â­®¥ ; un = n=n!; n ­¥ç¥â­®¥ : “Š€‡€Hˆ…. g(x) = 
x + 3 x +


= ex e x : ¢) vn = n
un; ¥á«¨ g(x) { ¨§¢¥áâ­ ï ¯à®¨§¢®¤ïé ï äã­ªæ¨ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠fung: 1 P “Š€‡€Hˆ…. H (x) = vnxn = 0 + u x + 2u x +


= n = x
(u + 2u x + 3u x + : : : ) = x
(g(x)0): £) vn = un un; ¥á«¨ g(x) { ¨§¢¥áâ­ ï ¯à®¨§¢®¤ïé ï äã­ªæ¨ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠fung: “Š€‡€Hˆ…. H (x) = (u u ) + (u u )x + (u u )x +


= : : : g x x g g(x): A

3

3

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2

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2

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17

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DZãáâì fung â ª ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì í«¥¬¥­â®¢ ¯®«ï F; çâ® ¯à®¨§¢®¤ïé ï äã­ªæ¨ï g(x) ï¥âáï ¯à ¢¨«ì­®© ¤à®¡ìî ¢¨¤  b + b x +


+ br xr 1 + a x +


+ ar xr : „®ª § âì, çâ® fung { ४ãàà¥­â­ ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¯®à浪  r: “Š€‡€Hˆ…. ˆ§ à ¢¥­á⢠ g(x)(1 + a x +


+ ar xr ) = (b + b +


+ br xr ) á«¥¤ã¥â, çâ® un r + a un r +


+ ar
un = 0; n  0: 6).  ©â¨ ®¡é¨¥ à¥è¥­¨ï ४ãà७â­ëå ᮮ⭮襭¨©:  ) an 4an + 3an = 0; ¡) an + 3an + 3an + an = 0; ¢) an 3an + an 3an = 0; a = 3; a = 7; a = 27; £) an 2cos
an + an = 0; a = cos; a = cos2: 7). ¥è¨âì ४ãà७â­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï:  ) an an = n; a = 7; ¡) an + 2an 8an = 27
5n; a = 9; a = 45: 8).  ©â¨ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì fan g; ç«¥­ë ª®â®à®© 㤮¢«¥â¢®àïîâ ᮮ⭮襭¨ï¬:  ) a an + a an +


+ ana = 2nan; a = a = 1; ¡) an
(n + 2) + an = 0; a = 1; a = 0: 1 P “Š€‡€Hˆ… ¤«ï  ).  áᬮâਬ àï¤ f (x) = aixi: ’®£¤  f (x) = f (2x): i ˆ§ ᮮ⭮襭¨©  ) á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ à¥è¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â® ®­® ¥¤¨­á⢥­­®¥. DZ®«®¦¨¬ f (x) = ex: ’®£¤  (ex) = e x : ’ ª ª ª 1 x n P  ex = n ; â® ¯®«®¦¨¬ = a = 1; an = n : n Ž’‚…’ ¤«ï ¡): a n = 0; a n = nn
2 n : 9). DZãáâì an { ç¨á«® à¥è¥­¨© ¢ 楫ëå ­¥®âà¨æ â¥«ì­ëå ç¨á« å ãà ¢­¥­¨ï 5).

1

0

1

1

1

1

1

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1

0

+

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2

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1

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1

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0

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1!

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2

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18

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2x + 5y + 7z = n: „®ª § âì, çâ® 1 X n=0

1.3

an xn = (1 x

2

) (1 x ) (1 x ) : 1

5

1

7

1

DZਭ樯 ¢ª«î祭¨ï ¨ ¨áª«î祭¨ï

DZãáâì M = fm ; : : : ; mng { ­¥ª®â®à®¥ ¬­®¦¥á⢮, í«¥¬¥­âë ª®â®à®£® ¬®£ãâ 㤮¢«¥â¢®àïâì ®¤­®¬ã ¨§ á«¥¤ãîé¨å ᢮©áâ¢: p ; : : : ; pk : Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ Ai ¬­®¦¥á⢮ â¥å í«¥¬¥­â®¢ M; ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ ᢮©áâ¢ã pi: Ž¡®§­ ç¨¬ â ª¦¥ ç¥à¥§ Ai1i2:::ir = Ai1 \ Ai2 \


\ Air : 1

1

“⢥p¦¤¥­¨¥.—¨á«® í«¥¬¥­â®¢ M; ­¥ 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ­¨ ®¤­®¬ã ¨§

᢮©áâ¢

p ; : : : ; pk ; à ¢­® 1

M (0) = n

k X i=1

jAij +

X i<j

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jAijk j +


+ ( 1)k jA

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12

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j:

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž á«¥¤ã¥â ¨§ à ¢¥­á⢠

jA [


[ Ak j =

k X

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jAi \ Aj j +


+ ( 1)k jA \


\ Ak j; 1

1

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ª®â®à®¥, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã k: …᫨ k = 2; â® jA [ A j = jA j + jA j jA \ A j: DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ­ è¥ à ¢¥­á⢮ ¨á⨭­® ¤«ï k ¬­®¦¥áâ¢. „®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«ï (k + 1) ¬­®¦¥áâ¢. ˆ¬¥¥¬ jA [


[ Ak [ Ak j = jA [


[ Ak j + jAk j j(A [


[ Ak ) \ Ak j = = P jAij P jAij j + P jAijk j


+ ( 1)k jA :::k j+ ik i<j k i<j
2

1

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12

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12

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1

A=A

:::r ;

12

Br

+1

= A \ Ar ; : : : ; Bk = A \ Ak : +1

19

—¨á«® í«¥¬¥­â®¢ M; 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å â®ç­® ᢮©á⢠¬ p ; : : : ; pr , à ¢­® P jBij + P jBi \ Bj j : : : A(0) = jA :::r j i<j k P r ik n r +( 1) jBr \


\ Bk j = jA :::r j jA :::rij + ( 1)n rjA :::k j: r ik ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, P M (r) = jAi1i2:::ir j Crr P jAi1i2:::ir+1 j+ i1 <



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20

  ­ ä

DZ®¤áç¨â ¥¬ ç¨á«® «î¤¥©, §­ îé¨å ⮫쪮  ­£«¨©áª¨© ï§ëª. ˆ¬¥¥¬, jK j jK ; j jK ; j + jK ; ; j = 9 5 3 + 1 = 2: ˆ, ­ ª®­¥æ, ç¨á«® á®âà㤭¨ª®¢, §­ îé¨å ஢­® 2 ï§ëª , à ¢­® á㬬¥ á«¥¤ãîé¨å ç¨á¥«  

  ­

  ä

  ­ ä

jK ; j jK ; ; j;   ­

  ­ ä

jK ; j jK ; ; j; jK ; j jK ; ; j: ’.¥. ¨áª®¬®¥ ç¨á«® à ¢­® 4+2+1=7.   ä

  ­ ä

­ ä

  ­ ä

‡€„€—ˆ

„®ª § âì, çâ® ç¨á«® 楫ëå ç¨á¥« ¢ ᥣ¬¥­â¥ [1; n] ¢§ ¨¬­® ¯à®áâëå á n à ¢­® '(n) = n
Q(1 p ): pjn “Š€‡€Hˆ…. —¨á«® m ­¥ ï¥âáï ¢§ ¨¬­® ¯à®áâë¬ á n = p1 : : : ps s ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®á⮩ ¤¥«¨â¥«ì pijn â ª®©, çâ® pijm: DZãáâì Ai = fm 2 [1; n]; pijmg: ’®£¤  '(n) { ç¨á«® í«¥¬¥­â®¢ ¢ à §­®á⨠1).

1

1

[1; n] n (A [ A [


[ As); 1

2

s

â.¥. '(n) = n P jAij + P jAi \ Aj j P jAi \ Aj \ Ak j +


+ i i<j i<j
1

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1

12

1

21

1

1

1

21

1

1

à ­® ­ã«î? Ž’‚…’: (n 1)!n Cn(n 2)! + Cn(n 3)!


= n! n + n n +


= = n(1 +


+ n n 1 ): 3). DZãáâì ¤ ­® n ®¡ê¥ªâ®¢ (n > 1) ¨ ¯ãáâì ᢮©á⢮¬  ®¡« ¤ îâ ¢á¥, ªà®¬¥ ¯¥à¢®£®, ᢮©á⢮¬ { ¢á¥, ªà®¬¥ ¢â®à®£®,..., ᢮©á⢮¬  { ¢á¥, ªà®¬¥ ¯®á«¥¤­¥£®. Ž¯à¥¤¥«¨âì ç¨á«® ®¡ê¥ªâ®¢, ­¥ ®¡« ¤ îé¨å ­¨ ®¤­¨¬ ¨§ íâ¨å ᢮©áâ¢. Ž’‚…’: n(1 (n 1) + n n : : : ) = n(1 1)n = 0: 4).  ©â¨ ç¨á«® 楫ëå ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ç¨á¥«, ­¥ ¯à¥¢®á室ïé¨å 1000 ¨ ­¥ ¤¥«ïé¨åáï ­¨ ­  ®¤­® ¨§ ç¨á¥« 3, 5 ¨ 7. “Š€‡€Hˆ…. ˆáª®¬®¥ ç¨á«® à ¢­® 1000 [ ] [ ] [ ] + [ ]+ +[ ] + [ ] [ ]: 5). DZਠ®¡á«¥¤®¢ ­¨¨ ç¨â â¥«ìáª¨å ¢ªãᮢ áâ㤥­â®¢ ®ª § «®áì, çâ® 60% áâ㤥­â®¢ ç¨â ¥â £ §¥âã "DZà ¢¤ ", 50% { £ §¥âã "€«â ©áª ï DZà ¢¤ ", 50% { £ §¥âã "Š®¬á®¬®«ì᪠ï DZà ¢¤ ", 30% { £ §¥âë "DZà ¢¤ " ¨ "€«â ©áª ï DZà ¢¤ ", 20% { £ §¥âë "€«â ©áª ï DZà ¢¤ " ¨ "Š®¬á®¬®«ì᪠ï DZà ¢¤ ", 40% { £ §¥âë "DZà ¢¤ " ¨ "Š®¬á®¬®«ì᪠ï DZà ¢¤ ", 10% { ¢á¥ £ §¥âë. ‘ª®«ìª® ¯à®æ¥­â®¢ áâ㤥­â®¢ 1)­¥ ç¨â ¥â ­¨ ®¤­®© ¨§ £ §¥â; 2) ç¨â ¥â â®ç­® ¤¢¥ £ §¥âë; 3) ç¨â ¥â ­¥ ¬¥­¥¥ ¤¢ãå £ §¥â? 6). (‡ ¤ ç  ¬ ¦®à¤®¬ ). Š ®¡¥¤ã §  ªàã£«ë¬ á⮫®¬ ¯à¨£« è¥­ë n ¯ à ¢à ¦¤ãîé¨å àëæ à¥© (n  2): „®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ஢­® 2

!

3

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1

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1000

1000

21

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105

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1000

1000

1000

3

5

7

15

n X k=0

( 1)k Cnk
2k
(2n k)!

ᯮᮡ®¢ à áá ¦¨¢ ­¨ï ¨å â ª, çâ®¡ë ­¨ª ª¨¥ ¤¢  ¢à £  ­¥ ᨤ¥«¨ à冷¬.

22

1.4

’¥®à¥¬  •®««  (® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ïå)

 áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî "§ ¤ çã ® ᢠ⮢á⢥": DZãáâì n 襩 ¤à㦠â á ¤¥¢ã誠¬¨, ¨ ¯ãáâì ¤«ï ª ¦¤®© £àã¯¯ë ¨§ k 襩 (k = 1; 2;


; n) ¨¬¥¥âáï ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ k ¤¥¢ã襪, ¨¬¥îé¨å ¤à㧥© á।¨ íâ¨å 襩. ‚¥à­® «¨, çâ® ª ¦¤®£® î­®èã ¬®¦­® ¦¥­¨âì ­  ¤¥¢ã誥, á ª®â®à®© ®­ ¤à㦨â? Žâ¢¥â ­  íâ®â ¢®¯à®á ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ¨ á®áâ ¢«ï¥â ᮤ¥à¦ ­¨¥ â.­. â¥®à¥¬ë ”.•®««  ® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ïå (1935 £.). ’¥®à¥¬  1.DZãáâì S ; S ; : : : Sn { ¯®¤¬­®¦¥á⢠ S (­¥ ®¡ï§ â¥«ì­® à §1

2

«¨ç­ë¥). ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨ï á¨á⥬ë à §«¨ç­ëå ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© (á.à.¯.) ¤«ï ᥬ¥©á⢠

S ; S ; : : : ; Sn; 1

2

; : : : ; xn 2 S; çâ® xi 2 Si; i  n ¨ xi 6= x; ¯à¨ i 6= j; ï¥âáï ãá«®¢¨¥ () : ¤«ï «î¡ëå à §«¨ç­ëå ¨­¤¥ªá®¢ i ; : : : ; ik ¬­®¦¥á⢮ â.¥. â ª¨å í«¥¬¥­â®¢ x

1

1

Si1 [ Si2 [


[ Sik ᮤ¥à¦¨â ­¥ ¬¥­¥¥

k à §«¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. …᫨ â ª¨¥ ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¨ áãé¥áâ¢ãîâ, â®, ®ç¥¢¨¤­®, ­ è¥ ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«­¥­®. „®ª ¦¥¬ ®¡à â­®¥ ã⢥ত¥­¨¥. „«ï í⮣® à áᬮâਬ á­ ç «  ¯à¨¬¥àë. DZãáâì S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ¨ S = f1; 2; 3g; S = f1; 2; 4g; S = f1; 2; 5g; S = f2; 5; 6g; S = f2; 5; 6g: «¥¬¥­âë 1 2 S ; 4 2 S ; 5 2 S ; 2 2 S ; 6 2 S á®áâ ¢«ïîâ á.à.¯. ¤«ï ­ è¥£® ᥬ¥©á⢠ ¬­®¦¥áâ¢. …᫨ ¦¥ ¬ë ¢®§ì¬¥¬ ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬­®¦¥á⢠T = f1; 1; 3g; T = f1; 1; 3g; T = f3; 3; 1g; T = f1; 2; 3; 3g; â® ¤«ï ­¥£® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â á.à.¯., â.ª. jT [ T [ T j = 2: „®ª § â¥«ìá⢮ â¥®à¥¬ë ¯à®¢¥¤¥¬ ¬¥â®¤®¬ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¨­¤ãªæ¨¨ ¯® ç¨á«ã ¬­®¦¥á⢠n. ’¥®à¥¬  ®ç¥¢¨¤­  ¯à¨ n = 1. ‘¤¥« ¥¬ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ¨­¤ãªæ¨¨ ®¡ ¨á⨭­®áâ¨ â¥®à¥¬ë ¤«ï ᥬ¥©áâ¢, ᮤ¥à¦ é¨å ¬¥­¥¥ 祬 n 1

2

1

1

3

2

4

3

2

4

3

1

2

5

5

4

3

23

í«¥¬¥­â®¢. „®ª ¦¥¬ ⥮६㠤«ï ᥬ¥©á⢠ ¨§ n í«¥¬¥­â®¢ (¤®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â Œ.•®««ã). …᫨ jS j = jS j =


= jSnj = 1; â® ãá«®¢¨¥ () ®§­ ç ¥â, çâ® S = fx g; : : : ; Sn = fxng; £¤¥ xi 6= xj ; i 6= j: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ⥮६  ¤®ª § ­ . …᫨ ­¥ª®â®à®¥ Si ᮤ¥à¦¨â ¡®«¥¥, 祬 n í«¥¬¥­â®¢, â®, ®áâ ¢«ïï ¢ ­¥¬ n í«¥¬¥­â®¢, ¬ë, ®ç¥¢¨¤­®, á®åà ­¨¬ ãá«®¢¨¥ (): ‘¥¬¥©á⢮ fSi1 ; : : : ; Sir g = Br;s; £¤¥ s = jSi1 [


[ Sir j  r; ­ §®¢¥¬ ¡«®ª®¬ (ãá«®¢¨¥ s  r á«¥¤ã¥â ¨§ ãá«®¢¨ï ()). …᫨ s = r; â® ¡«®ª ­ §®¢¥¬ ªà¨â¨ç¥áª¨¬. DZãáâì fA ; : : : ; Au; Cu ; : : : ; Cr g = Br;s ¨ fA ; : : : ; Au; Du ; : : : ; Dtg = Bt;v { ¤¢  ¡«®ª  (Ai; Bj ; De 2 fS ; : : : ; Sng); ¢ ª®â®àëå ¬­®¦¥á⢠ A ; : : : ; Au ïîâáï ®¡é¨¬¨ ¤«ï íâ¨å ¡«®ª®¢. DZ®«®¦¨¬ Br;s \ Bt;v = fA ; : : : ; Aug = Bu;w ¨ Br;s [ Bt;v = fA ; : : : ; Au; Cu ; : : : ; Cr ; Du ; : : : ; Dtg = B r t u ;z : Ÿá­®, çâ® w  u ¨ z  r + t u: 1

1

1

2

1

+1

1

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1

1

1

1

+1

+1

( +

)

‹¥¬¬  1. Ž¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ¨ ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ ¤¢ãå ªà¨â¨ç¥áª¨å ¡«®ª®¢ ( ¢ á¬ë-

á«¥ ¢ë襯ਢ¥¤¥­­ëå ®¯à¥¤¥«¥­¨©) ïîâáï á­®¢  ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¡«®ª ¬¨.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì Br;r \ Bt;t = Bu;w ¨ Br;r [ Bt;t = Br t u;z : ‡ ¬¥â¨¬, çâ® z  r + t w ¨ z  r + t u; w  u: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, r + t w   z  r + t u; u  w; u = w; z = r + t u: ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . DZãáâì Br;s = fA ; : : : ; Au; Cu ; : : : ; Cr g { ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¡«®ª ¨ Bk;k = fA ; : : : ; Au; Du ; : : : ; Dk g { ªà¨â¨ç¥áª¨© ¡«®ª, ¢ ª®â®à®¬ A ; : : : ; Au { ¢á¥ ¬­®¦¥á⢠, ®¡é¨¥ ¤«ï ®¡®¨å ¡«®ª®¢. ’®£¤  Br;s \ Bk;k = Bu;v ; £¤¥ v  u ¨ Br;s [ Bk;k = fA ; : : : ; Au; Cu ; : : : ; Cr ; Du ; : : : ; Dk g = Br k u;z ; £¤¥ 0 z  r + k u: ‘ ¡«®ª®¬ Br;s á¢ï¦¥¬ ¡«®ª Br;s 0 ; ¯®«ã祭­ë© ¨§ Br;s ¢ëç¥àª¨¢ ­¨¥¬ í«¥¬¥­â®¢ Bk;k ¨§ ¬­®¦¥á⢠Cu ; : : : ; Cr : â®â ¡«®ª ¨¬¥¥â ¢¨¤ fA ; : : : ; Au; Cu0 ; : : : ; Cr0 g = Br;s0 0 : DZ®ª ¦¥¬, çâ® s0  r; â.¥. ®¯¥à æ¨ï ¢ëç¥àª¨¢ ­¨ï ­¥ ­ àãè ¥â ãá«®¢¨ï (): ‡ ¬¥â¨¬, çâ® j(Cu [


[ Cr ) n Bk;k j = z k ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, s0 = = v + z k  v + (r + k u) k  r: ˆâ ª, ­ ¬¨ ¤®ª § ­  á«¥¤ãîé ï +

1

1

+1

+1

1

1

+1

+1

+1

1

+1

+1

24

+

‹¥¬¬  2. …᫨ Bk;k { ªà¨â¨ç¥áª¨© ¡«®ª, â® ¢ëç¥àª¨¢ ­¨¥ í«¥¬¥­â®¢

Bk;k ¨§ ¬­®¦¥áâ¢, ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å Bk;k ; ­¥ ­ àãè ¥â ãá«®¢¨ï (): …᫨, ¤ «¥¥, á¨á⥬  ­ è¨å ¬­®¦¥á⢠fS ; : : : ; Sng ᮤ¥à¦¨â ªà¨â¨ç¥áª¨© ¡«®ª Bk;k , £¤¥ k  n 1; â®, ¢ëç¥àª­ã¢ í«¥¬¥­âë Bk;k ¨§ ®áâ «ì­ëå ¬­®¦¥áâ¢, ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì, çâ® ­ è¥ ᥬ¥©á⢮ fS ; : : : ; Sng á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ¡«®ª®¢ Bk;k ¨ Bn k;v : â¨ ¡«®ª¨ ­¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å í«¥¬¥­â®¢, ¨ ¤«ï ­¨å ¢ë¯®«­¨¬® ãá«®¢¨¥ (): DZ® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨, ®¡  ¨¬¥îâ á.à.¯. ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, áãé¥áâ¢ã¥â á.à.¯. ¨ ¤«ï ᥬ¥©á⢠ fS ; : : : ; Sng: DZãáâì ­ è¥ ᥬ¥©á⢮ ­¥ ᮤ¥à¦¨â ªà¨â¨ç¥áª¨å ¡«®ª®¢ Bk;k ; £¤¥ 1  k < n: DZãáâì a 2 S : ‚ëç¥àª­¥¬ a ¢ S ; S ; : : : ; Sn: DZந§¢®«ì­ë© ¡«®ª Br;s (r < n) ᥬ¥©á⢠ fS ; : : : ; Sng ­¥ ï¥âáï ªà¨â¨ç¥áª¨¬, â.¥. 0 0 á¥s  r + 1: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¯®á«¥ ¢ëç¥àª¨¢ ­¨ï ¬ë ¯®«ã稬 ¡«®ª Br;s ¬¥©á⢠ fS 0 ; : : : ; Sn0 g; ¢ ª®â®à®¬ s0 à ¢­® «¨¡® s; «¨¡® s 1: ’.¥. s0  r: â® ®§­ ç ¥â, ç⮠ᥬ¥©á⢮ fS 0 ; : : : ; Sn0 g 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (): DZ® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨ ᥬ¥©á⢮ fS 0 ; : : : ; Sn0 g ¨¬¥¥â á.à.¯. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, fS ; : : : ; Sng ¨¬¥¥â á.à.¯. (¢á¥ ®­¨ ­¥ à ¢­ë a). ¥àï í«¥¬¥­â a ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ï S ; ¬ë ¯®«ã稬 ¤®ª § â¥«ìá⢮ ⥮६ë. 1

1

1

1

2

3

2

2

2

2

2

1

‹¥¬¬  1 ­¥ ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¢ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ⥮६ë. ® ¨§ ­¥¥ á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ­ ¨¡®«ì訩 ¨ ­ ¨¬¥­ì訩 ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¡«®ª¨. ‡ ¬¥ç ­¨¥ 2. ˆ§ ¤®ª § ­­®© â¥®à¥¬ë ¬®¦­® ¢ë¢¥áâ¨, ¢ ª ç¥á⢥ á«¥¤á⢨ï, çâ® ¥á«¨ H  G { ª®­¥ç­ ï ¯®¤£à㯯  £à㯯ë G; â® áãé¥áâ¢ãîâ í«¥¬¥­âë faig  G; ïî騥áï ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ï¬¨ ¤«ï ¯à ¢ëå ᬥ¦­ëå ª« áᮢ ¯® H ¨ «¥¢ëå ᬥ¦­ëå ª« áᮢ ¯® H: ‡ ¬¥ç ­¨¥ 1.

25

1.5

¥ª®â®àë¥ ª®¬¡¨­ â®à­ë¥ § ¤ ç¨ ­  ¯«®áª®áâ¨

‡ ¤ ç  1.

DZ®ª § âì, çâ® ¬®¦­® â ª ®à£ ­¨§®¢ âì  ¢â®¡ãá­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥

¢ £®à®¤¥, çâ® 1) ª ¦¤ë©  ¢â®¡ãá­ë© ¬ àèàãâ ¨¬¥« ஢­® 3 ®áâ ­®¢ª¨; 2) ª ¦¤ë¥ ¤¢  ¬ àèàãâ  ¨¬¥«¨ ¥¤¨­á⢥­­ãî ®¡éãî ®áâ ­®¢ªã; 3) á «î¡®© ¨§ ®áâ ­®¢®ª ¬®¦­® ¯à®¥å âì ­  «î¡ãî ¤àã£ãî ¡¥§ ¯¥à¥á ¤ª¨. “Š€‡€Hˆ….  áᬮâà¥âì £à ä '$

A

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 A QQA   ¯«®áª®á⨠¤ ­® n â®ç¥ª, à á¯®«®¦¥­­ëå â ª, çâ® ­  ª ¦¤®© ¯àאַ©, ᮥ¤¨­ïî饩 «î¡ë¥ ¤¢¥ ¨§ íâ¨å â®ç¥ª, «¥¦¨â ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ ¥é¥ ®¤­  ¨§ ­¨å. „®ª § âì, çâ® ¢á¥ í⨠â®çª¨ «¥¦ â ­  ®¤­®© ¯àאַ©. “Š€‡€Hˆ…. „®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢­®¥ ¨ ¢ë¡¥à¥¬ á।¨ ¤ ­­ëå â®ç¥ª â ª¨¥ âਠâ®çª¨ A; B; C; çâ® à ááâ®ï­¨¥ ®â â®çª¨ A ¤® ¯àאַ© BC ­¥ à ¢­® ­ã«î ¨ ï¥âáï ­ ¨¬¥­ì訬 ¨§ ¢á¥å ¢®§¬®¦­ëå. ‡ ¤ ç  2.

@@ A @ @@L @ L @    @@D B P C @ 1

DZãáâì D { âà¥âìï â®çª  ­ è¥£® ¬­®¦¥á⢠, ¯à¨­ ¤«¥¦ é ï ¯àאַ© BC: Ÿá­®, çâ® ¤«¨­ë ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ï஢ CL; P L; AP 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­¥à ¢¥­á⢠¬: AP > P L > CL: DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ‡ ¤ ç  3.   ¯«®áª®á⨠¤ ­® ­¥ª®â®à®¥ ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ¯®¯ à­® ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯àï¬ëå, ¯à¨ç¥¬ ç¥à¥§ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï «î¡ëå ¤¢ãå ¯àï¬ëå 1

26

­ è¥£® ¬­®¦¥á⢠ ¯à®å®¤¨â ­¥ª®â®à ï âà¥âìï ¯àï¬ ï ¨§ í⮣® ¦¥ ¬­®¦¥á⢠. „®ª § âì, çâ® ¢á¥ ¯àï¬ë¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï ¢ ®¤­®© â®çª¥. “Š€‡€Hˆ…. „®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢­®¥. ’®£¤  áãé¥áâ¢ãîâ ¯àï¬ë¥ l ; l ; l ¨§ ­ è¥£® ¬­®¦¥á⢠ â ª¨¥, çâ® ®­¨ ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï ¢ ®¤­®© â®çª¥ ¨ à ááâ®ï­¨¥ ®â â®çª¨ A ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ¯àï¬ëå l ¨ l ¤® l ï¥âáï ­ ¨¬¥­ì訬 ¨§ ¢®§¬®¦­ëå: 1

1

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2

3

3

 @  @ A @  @ C  @@ @@  @ @@  @@B @ l  @ l l@ l l

3

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4

5

2

—¥à¥§ â®çªã A ¯à®å®¤¨â ­¥ª®â®à ï ¯àﬠï l ¨§ ­ è¥£® ¬­®¦¥á⢠,   ç¥à¥§ â®çªã B = l \ l ¯àﬠï l ; ¯¥à¥á¥ª îé ï l ¢ â®çª¥ C: Ÿá­®, çâ® à ááâ®ï­¨¥ ®â â®çª¨ C ¤® l ¬¥­ìè¥ à ááâ®ï­¨ï ®â â®çª¨ A ¤® l : DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ‡ ¤ ç  4. Œ®¦­® «¨ ᯫ ­¨à®¢ âì  ¢â®¡ãá­ãî á¥âì ¢ ­¥ª®â®à®¬ £®à®¤¥, á®áâ®ïéãî ¨§ n(n  3) ¬ àèàã⮢ â ª, çâ®¡ë ¯®á«¥ § ªàëâ¨ï «î¡®£® ¨§ íâ¨å ¬ àèàã⮢ ®áâ ¢ « áì ¡ë ¢®§¬®¦­®áâì ¯à®¥å âì á ª ¦¤®© ¨§ ¨¬¥îé¨åáï ®áâ ­®¢®ª ­  «î¡ãî ¤àã£ãî, ¨á¯®«ì§ãï ¯¥à¥á ¤ª¨,   ¯®á«¥ § ªàëâ¨ï ª ª¨å 㣮¤­® ¤¢ãå ¬ àèàã⮢ ­ è«¨áì ¡ë ¤¢¥ ®áâ ­®¢ª¨, á ®¤­®© ¨§ ª®â®àëå 㦥 ­¥«ì§ï ¯à®¥å âì ­  ¤àã£ãî? “Š€‡€Hˆ…. ’ ª ï ¯« ­¨à®¢ª  áãé¥áâ¢ã¥â. „¥©á⢨⥫쭮, à áᬮâਬ n ¯®¯ à­® ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯àï¬ëå, ­¨ª ª¨¥ âਠ¨§ ª®â®àëå ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï ¢ ®¤­®© â®çª¥. Š ¦¤ãî ¯àï¬ãî ¡ã¤¥¬ áç¨â âì  ¢â®¡ãá­ë¬ ¬ àèàã⮬,   ª ¦¤ãî â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï { ®áâ ­®¢ª®©. ‚ë¡à®á¨¬ ­¥ª®â®àãî ¯àï¬ãî l: A   C B B 4

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5

1

3

3

1

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27

…᫨ ­ è¨ ®áâ ­®¢ª¨ A ¨ B «¥¦ â ­  ®¤­®© ¯àאַ©, ­¥ ᮢ¯ ¤ î饩 á l; â® ¤®¥å âì ¬®¦­® ¡¥§ ¯¥à¥á ¤ª¨. …᫨ ¦¥ ®­¨ ¯à¨­ ¤«¥¦ â à §­ë¬ ¯àï¬ë¬ (­¥ ᮢ¯ ¤ î騬¨ á l), â® ¤®¥å âì ¬®¦­®, ᤥ« ¢ ¯¥à¥á ¤ªã ¢ â®çª¥ ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï íâ¨å ¯àï¬ëå. …᫨ ¦¥ ®¤­  ¨«¨ ®¡¥ ®áâ ­®¢ª¨ ¯à¨­ ¤«¥¦ â ¢ëç¥àª­ã⮬㠬 àèàãâã l; â® à áá㦤¥­¨¥  ­ «®£¨ç­®. ‚ á«ãç ¥ 㤠«¥­¨ï 2-å ¬ àèàã⮢, â® ®áâ ­®¢ª , à á¯®«®¦¥­­ ï ­  ¨å ¯¥à¥á¥ç¥­¨¨, ¡ë«  ¡ë ­¥¤®á¥¬®©. ‡ ¤ ç  5.  á¯®«®¦¨âì ­  ¯«®áª®á⨠¤¥¢ïâì ¯àï¬ëå ¨ ¤¥¢ïâì â®ç¥ª â ª, ç⮡ë ç¥à¥§ ª ¦¤ãî â®çªã ¯à®å®¤¨«¨ ஢­® 3 ¯àï¬ë¥ ¨ ­  ª ¦¤®© ¯àאַ© «¥¦ «¨ ஢­® 3 â®çª¨. “Š€‡€Hˆ…. 1

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  ¯«®áª®á⨠¯à®¢¥¤¥­® n ¯àï¬ëå «¨­¨©. „®ª § âì, çâ® ®¡« áâ¨, ­  ª®â®àë¥ í⨠¯àï¬ë¥ à §¡¨¢ îâ ¯«®áª®áâì, ¬®¦­® § ªàëâì 2 ªà áª ¬¨ â ª, çâ® ­¨ª ª¨¥ ¤¢¥ á®á¥¤­¨¥ ®¡« á⨠­¥ ¡ã¤ãâ § ªà è¥­ë ®¤­¨¬ 梥⮬. “Š€‡€Hˆ…. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã n: …᫬¨ n = 1; â® à¥è¥­¨¥ ®ç¥¢¨¤­®. DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® § ¤ ç  ¨¬¥¥â à¥è¥­¨¥ ¤«ï n ¯àï¬ëå.  áᬮâਬ à §¡¨¥­¨¥ ¯«®áª®á⨠(n + 1) ¯àï¬ë¬¨ l ; : : : ; ln : DZ® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨áª®¬ ï à áªà áª  ®¡« á⥩ ¯«®áª®áâ¨, ­  ª®â®àë¥ ®­  à §¡¨¢ ¥âáï ¯àï¬ë¬¨ l ; : : : ; ln: ‡ ¤ ç  6.

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28

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€«£®à¨â¬ ­®¢®© à áªà áª¨: á ®¤­®© áâ®à®­ë ®â ln à áªà áª  ­¥ ¬¥­ï¥âáï,   á ¤à㣮© { ¬¥­ï¥âáï ­  ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ãî. ‡ ¤ ç  7. „®ª § âì, çâ® ç¨á«® â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ¤¨ £®­ «¥© ¢ë¯ãª«®£® n-㣮«ì­¨ª  ­¥ ¯à¥¢®á室¨â Cn: ‡ ¤ ç  8.   ¯àאַ© ®â¬¥ç¥­ë n à §«¨ç­ëå â®ç¥ª A ; : : : ; An(n  4): Š ¦¤ ï ¨§ íâ¨å â®ç¥ª ¯®ªà è¥­  ¢ ®¤¨­ ¨§ 4-å 梥⮢, ¯à¨ç¥¬ ¢á¥ 4 æ¢¥â  ¯à¨áãâáâ¢ãîâ. „®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ®â१®ª ¯àאַ©, ᮤ¥à¦ é¨© ஢­® ¯® ®¤­®© â®çª¥ ¤¢ãå 梥⮢ ¨ ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ ¯® ®¤­®© â®çª¥ ¤¢ãå ®áâ ¢è¨åáï 梥⮢. “Š€‡€Hˆ…. Œ®¦­® áç¨â âì, çâ® ­ è¨ â®çª¨ à á¯®«®¦¥­ë á«¥¢  ­ ¯à ¢®. A A


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1

1

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DZãáâì m = minfi; á।¨ â®ç¥ª A ; : : : ; Ai ¯à¨áãâáâ¢ãîâ â®çª¨ ¢á¥å 4-å 梥⮢ g: ’®£¤  梥â Am ®â«¨ç¥­ ®â 梥⮢ A ; : : : ; Am : DZãáâì k = maxfj ; j  m 1; á।¨ â®ç¥ª Aj ; Aj ; : : : ; Am ¯à¨áãâáâ¢ãîâ â®çª¨ ¢á¥å 4-å 梥⮢ g: ’®£¤  梥â Ak ®â«¨ç ¥âáï ®â 梥⮢ Ak ; : : : ; Am, ¨ ®â१®ª [Ak ; Am] ï¥âáï ¨áª®¬ë¬. ‡ ¤ ç  9. ‚ ­¥ª®â®à®¬ ®¡é¥á⢥ «î¡ë¥ ¤¢  §­ ª®¬ëå ­¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å §­ ª®¬ëå,   «î¡ë¥ ¤¢  ­¥§­ ª®¬ëå ¨¬¥îâ ஢­® ¤¢ãå ®¡é¨å §­ ª®¬ëå. „®ª § âì, çâ® ¢ í⮬ ®¡é¥á⢥ ¢á¥ ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢®¥ ç¨á«® §­ ª®¬ëå. “Š€‡€Hˆ…. ‘­ ç «  ¤®ª ¦¥¬ á«¥¤ãîéãî «¥¬¬ã. 1

1

1

+1

+1

29

‹¥¬¬ . …᫨ A ¨ B §­ ª®¬ë, â® ®­¨ ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢®¥ ç¨á«® §­ ª®¬ëå.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì A ; : : : ; An { ¢á¥ §­ ª®¬ë¥ A: ã¤¥¬ ¨§®¡à ¦ âì ç«¥­®¢ ®¡é¥á⢠ â®çª ¬¨ ¨ ᮥ¤¨­ïâì «î¡ë¥ ¤¢  ॡ஬, ¥á«¨ ®­¨ §­ ª®¬ë. ’®£¤  á।¨ B; A ; : : : ; An ­¥â §­ ª®¬ëå ¨ áãé¥áâ¢ãîâ B ; : : : ; Bn â ª¨¥, çâ® Bi { ®¡é¨© §­ ª®¬ë© Ai ¨ B : B P  SQPQPP 1

1

1

     B  B  1

S QQPPPP S Q P S Q

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PP Bn

2

A PPP A Q   


 An PPP QQ PPPQPQ  PPQ A ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ç¨á«® §­ ª®¬ëå B ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢­® n: €­ «®£¨ç­® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ç¨á«® §­ ª®¬ëå A ­¥ ¬¥­ìè¥ ç¨á«  §­ ª®¬ëå B: ‹¥¬¬  1

2

¤®ª § ­ . DZãáâì C ¨ D ­¥§­ ª®¬ë. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â E â ª®©, çâ®

C E @

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D à ¢­® ç¨á«ã §­ ª®¬ëå C ¨ à ¢­® ç¨á«ã

DZ® «¥¬¬¥ ç¨á«® §­ ª®¬ëå E §­ ª®¬ëå D: ‡ ¤ ç  10. ‚ ª®¬¯ ­¨¨, á®áâ®ï饩 ¨§ 5 祫®¢¥ª, á।¨ «î¡ëå âà¥å 祫®¢¥ª ­ ©¤ãâáï ¤¢®¥, ª®â®àë¥ §­ îâ ¤à㣠¤à㣠, ¨ ¤¢®¥, ­¥§­ ª®¬ëå ¤àã£ á ¤à㣮¬. „®ª § âì, çâ® ª®¬¯ ­¨î ¬®¦­® à áá ¤¨âì §  ªàã£«ë¬ á⮫®¬ â ª, çâ®¡ë ¯® ®¡¥ áâ®à®­ë ®â ª ¦¤®£® 祫®¢¥ª  ᨤ¥«¨ ¥£® §­ ª®¬ë¥. “Š€‡€Hˆ…. „®ª ¦¥¬, çâ® ª ¦¤ë© 祫®¢¥ª §­ ¥â ஢­® ¤¢®¨å. …᫨ A §­ ¥â âà¥å B; C; D; â® á।¨ fB; C; Dg ­¥â §­ ª®¬ëå. DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. 30

…᫨ A ­¥ §­ ª®¬ á â६ï ç«¥­ ¬¨ ª®¬¯ ­¨¨ B; C; D; â® B; C ¨ D ¯®¯ à­® §­ ª®¬ë ¤àã£ á ¤à㣮¬. ˆâ ª, ª ¦¤ë© ç«¥­ ª®¬¯ ­¨¨ §­ ª®¬ ஢­® á ¤¢ã¬ï ¤à㣨¬¨. DZãáâì A §­ ª®¬, ­ ¯à¨¬¥à, á B ¨ C: ’®£¤  B ¨ C ­¥ §­ ª®¬ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©. DZãáâì D { §­ ª®¬ë© B ¨ E { ®á⠢訩áï ç«¥­ ª®¬¯ ­¨¨. ’®£¤  E { §­ ª®¬ë© C ¨ D { ­¥§­ ª®¬ë© C: “ª ¦¥¬ ¨áª®¬ãî à áá ¤ªã A '  $

C B   D% E&

‚ ª ¦¤®© ¨§ 3-å áâ㤥­ç¥áª¨å £à㯯 ãç¨âáï ¯® n áâ㤥­â®¢. ‹î¡®© áâ㤥­â ¨¬¥¥â (n + 1) §­ ª®¬ëå áâ㤥­â®¢ ¢ ¤¢ãå ¤àã£¨å £à㯯 å. „®ª § âì, çâ® ¢ ª ¦¤®© £à㯯¥ ¬®¦­® ¢ë¡à âì ¯® ®¤­®¬ã áâ㤥­âã â ª, çâ®¡ë ¢á¥ â஥ ¢ë¡à ­­ëå áâ㤥­â®¢ ¡ë«¨ §­ ª®¬ë ¤àã£ á ¤à㣮¬. “Š€‡€Hˆ…. DZãáâì A â ª®© áâ㤥­â ®¤­®© ¨§ £à㯯, ª®â®àë© ¨¬¥¥â ­ ¨¡®«ì襥 ç¨á«® k §­ ª®¬ëå ¢ ®¤­®© ¨§ £à㯯 (k  n): ’ ª ª ª (n + 1 k)  1; â® ¯ãáâì B { §­ ª®¬ë© A ¨§ ®á⠢襩áï âà¥â쥩 £à㯯ë. …᫨ B §­ ª®¬ á ª¥¬-«¨¡® ¨§ §­ ª®¬ëå A ¢® ¢â®à®© £à㯯¥, â® § ¤ ç  à¥è¥­ . ˆ­ ç¥, ®­ §­ ª®¬ á ­¥ ¡®«¥¥ 祬 k áâ㤥­â ¬¨ ¢ ¯¥à¢®© £à㯯¥ ¨ á ­¥ ¡®«¥¥ 祬 (n k) áâ㤥­â ¬¨ ¢® ¢â®à®© £à㯯¥. ’.¥. ®¡é¥¥ ç¨á«® ¥£® §­ ª®¬ëå ­¥ ¯à¥¢®á室¨â n: DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ‡ ¤ ç  12. „®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¢ £à ä¥ á 2n ¢¥à設 ¬¨ ­¨ª ª¨¥ âà¨ à¥¡à  ­¥ ®¡à §ãîâ âà¥ã£®«ì­¨ª , â® ç¨á«® ॡ¥à ­¥ ¯à¥¢®á室¨â n : “Š€‡€Hˆ…. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¨­¤ãªæ¨¨. ‚롥६ ¤¢¥ ¢¥à設ë A ¨ B; ᮥ¤¨­¥­­ë¥ ॡ஬: ‡ ¤ ç  11.

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Žá⠢訥áï ¢¥à設ë ᮥ¤¨­¥­ë ­¥ ¡®«¥¥ 祬 n ॡࠬ¨ ¨ ª ¦¤ ï ¨§ ­¨å ᮥ¤¨­¥­  á A ¨ B ­¥ ¡®«¥¥ 祬 ®¤­¨¬ ॡ஬. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¡é¥¥ ç¨á«® ॡ¥à ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ç¨á«  n + 2n + 1 = = (n + 1) : DZਬ¥à®¬ £à ä  á 2n ¢¥à設 ¬¨ ¨ n ॡࠬ¨ ï¥âáï ¤¢ã¤®«ì­ë© £à ä: HH   HHH

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2

2

2

2

32

ƒ« ¢  2

«¥¬¥­âë ⥮ਨ £à ä®¢ ‚ 1736 £. ‹.©«¥à ®¯ã¡«¨ª®¢ « áâ âìî, ¯®á¢ï饭­ãî à¥è¥­¨î § ¤ ç¨ ® Š¥­¨£á¡¥à£áª¨å ¬®áâ å. ‘ í⮣® ¢à¥¬¥­¨ ¨¤¥â ®âáç¥â ⥮ਨ £à ä®¢ ª ª ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¤¨á樯«¨­ë. DZ¥à¢ë¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¢ ⥮ਨ £à ä®¢ ¡ë«¨ á¢ï§ ­ë á ¯®¯ë⪠¬¨ à¥è¥­¨ï â.­. § ¤ ç¨ ® ç¥âëà¥å ªà áª å (¢¯¥à¢ë¥ áä®à¬ã«¨à®¢ ­­®© ¢ ‚¥«¨ª®¡à¨â ­¨¨ €.„¥ Œ®à£ ­®¬ ¨ €.Ší«¨ ¢® ¢â®à®© ¯®«®¢¨­¥ XIX ¢¥ª ),   â ª¦¥ á § ¤ ç ¬¨ ® ¯¥à¥¢®§ª å ¨ ® í«¥ªâà¨ç¥áª¨å á奬 å (ƒ.Š¨à壮ä). ‚ ­ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ⥮à¨ï £à ä®¢ ï¥âáï á ¬®áâ®ï⥫쭮© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¤¨á樯«¨­®©, ¨¬¥î饩 ¯à¨«®¦¥­¨ï ª ª ¢ á ¬®© ¬ â¥¬ â¨ª¥, â ª ¨ ¢ íª®­®¬¨ª¥, 䨧¨ª¥, ¡¨®«®£¨¨. â® á¢ï§ ­® á ã­¨¢¥àá «ì­®áâìî ï§ëª  ⥮ਨ £à ä®¢ ¨ íä䥪⨢­®áâìî ¥¥ ¬¥â®¤®¢ ¢ à¥è¥­¨¨ à §«¨ç­ëå § ¤ ç. 2.1

Žá­®¢­ë¥ ¯®­ïâ¨ï ⥮ਨ £à ä®¢ ¨ á¯®á®¡ë ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à ä®¢

ƒà ä G { 㯮à冷祭­ ï ¯ à  (V; E ); £¤¥ V { ¬­®¦¥á⢮ ¨ E ᥬ¥©á⢮ ­¥ã¯®à冷祭­ëå ¯ à í«¥¬¥­â®¢ ¨§ V: «¥¬¥­âë ¬­®¦¥á⢠ V ­ §ë¢ îâáï ¢¥à設 ¬¨ £à ä  G;   í«¥¬¥­âë E { ¥£® ॡࠬ¨. ‚¥à設ë a; b à¥¡à  fa; bg 2 E ­ §ë¢ îâáï ¥£® ª®­æ ¬¨. ƒ®¢®àïâ, ç⮠ॡ஠ = fa; bg ¨­æ¨¤¥­â­® ᢮¨¬ ª®­æ ¬ a ¨ b;   ª®­æë, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¨­æ¨¤¥­â­ë ॡàã

ƒà ä G = (V; E ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®áâë¬, ¥á«¨ V { ª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¨ ᥬ¥©á⢮ E ⮦¥ ï¥âáï ¬­®¦¥á⢮¬, â.¥. ª ¦¤ãî ¯ àã ¢¥à設 £à ä  ¬®¦¥â ᮥ¤¨­ïâì ­¥ ¡®«¥¥ 祬 ®¤­® ॡà®. — áâ® à áᬠâਢ î⠮ਥ­â¨à®¢ ­­ë¥ £à äë G = (V; E ); ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 ᮡ®© ¯ àã (V; E ); £¤¥ V { ­¥ª®â®à®¥ ¬­®¦¥á⢮,   E { ᥬ¥©á⢮ 㯮à冷祭­ëå ¯ à í«¥¬¥­â®¢ ¨§ V; â.¥. E { ᥬ¥©á⢮ í«¥¬¥­â®¢ ¤¥ª à⮢  ª¢ ¤à â  V  V: DZਠí⮬ ¢ ॡॠ = (a; b) 2 E ¢¥à設ã a ­ §ë¢ îâ ­ ç «®¬,   b { ª®­æ®¬ à¥¡à   ¨ ¨§®¡à ¦ îâ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ :

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ˆ­®£¤  à áᬠâਢ îâ ᬥ蠭­ë¥ £à äë, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ª ª ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë¥, â ª ¨ ­¥®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë¥ ॡà .  ¯à¨¬¥à, ¯« ­ £®à®¤  ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª ᬥ蠭­ë© £à ä, ¢ ª®â®à®¬ ¢¥à設ë { ¯¥à¥ªà¥á⪨,   à¥¡à  { 㫨æë á ®¤­®áâ®à®­­¨¬ ¨«¨ á ¤¢ãáâ®à®­­¨¬ ¤¢¨¦¥­¨¥¬. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï £à ä  á«¥¤ã¥â, çâ® ¤®¯ã᪠îâáï à¥¡à  ¢¨¤  (a; a), ­ §ë¢ ¥¬ë¥ ¯¥â«ï¬¨ (®¡ëç­®, ¯¥â«ï áç¨â ¥âáï ­¥®à¨¥­â¨à®¢ ­­®©),   â ª¦¥ ªà â­ë¥ ॡà , ᮥ¤¨­ïî騥 ¤¢¥ ¢¥à設ë  = (a; b) ;  = (a; b) : '-
b 6 1

1

2

2

1

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„¢  £à ä  G = (V ; E ) ¨ G = (V ; E ) ­ §®¢¥¬ ¨§®¬®àä­ë¬¨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï V ­  V ; ' : V ! V ; â ª ï, çâ® fx; yg 2 E , f'(x); '(y)g 2 E (¥á«¨ à¥¡à  ®à¨¥­â¨à®¢ ­ë, â® ®à¨¥­â æ¨ï á®åà ­ï¥âáï). …᫨ G ¨§®¬®à䥭 G ; â® ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì G  =G : 1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

34

1

2

DZਬ¥à 1.

‘«¥¤ãî騥 £à äë ïîâáï ¨§®¬®à­ë¬¨ aP

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a@ P  P  PPPP@    PP@ a a  AJ


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5

®â­®á¨â¥«ì­® ¡¨¥ªæ¨¨ ai ! bi; i  7: ‚¥à設 , ­¥ ¨­æ¨¤¥­â­ ï ­¨ª ª®¬ã ॡàã, ­ §ë¢ ¥âáï ¨§®«¨à®¢ ­­®©. ƒà ä, á®áâ®ï騩 ⮫쪮 ¨§ ¨§®«¨à®¢ ­­ëå ¢¥à設 ­ §ë¢ ¥âáï ­ã«ì-£à ä®¬ ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï E n; £¤¥ n { ç¨á«® ¢¥à設. ƒà ä, ᮤ¥à¦ é¨© n ¢¥à設, ¢ ª®â®à®¬ «î¡ë¥ ¤¢¥ à §«¨ç­ë¥ ¢¥à設ë ᮥ¤¨­¥­ë ®¤­¨¬ ॡ஬, ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«­ë¬ £à ä®¬ ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï K n (£à ä K = E ­ §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ì­ë¬). ‡ ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¯à®á⮩ £à ä ¯®à浪  n (â.¥. ᮤ¥à¦ é¨© n ¢¥à設) ¨¬¥¥â ­¥ ¡®«¥¥ Cn ॡ¥à. —¨á«® ॡ¥à ¯à®á⮣® £à ä  ­ §ë¢ ¥âáï ¥£® à §¬¥à®¬ ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï e(G): DZਬ¥à 2. ‘«¥¤ãî騥 "¯à®áâà ­á⢥­­ë¥" £à äë ¤®¯ã᪠îâ ¨§®¬®àä­®¥ ¨§®¡à ¦¥­¨¥ ­  ¯«®áª®áâ¨: 1) 1

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2

 BBB   BBB  @ B  @BB

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35

 BBB   BBB  @ B  @@BB

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36

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¨ª®á í¤à

‘⥯¥­ìî ¢¥à設ë a ­¥®à¨¥­â¨à®¢ ­­®£® £à ä  ­ §®¢¥¬ ç¨á«® ॡ¥à, ¨­æ¨¤¥­â­ëå a (¢ ®¡®§­ ç¥­¨¨ (a)). ƒà ä ­ §ë¢ ¥âáï ®¤­®à®¤­ë¬ (ॣã«ïà­ë¬) á⥯¥­¨ k; ¥á«¨ á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¢¥à設ë (a) à ¢­  k:  ¯à¨¬¥à, £à äë ¯à ¢¨«ì­ëå ¬­®£®£à ­­¨ª®¢ (¯« â®­®¢ëå ⥫) ïîâáï ॣã«ïà­ë¬¨ (á¬. ¯à¨¬¥à 2). “⢥ত¥­¨¥ 1.DZãáâì e = e(G) { ç¨á«® ¢á¥å ॡ¥à £à ä  G = (V; E ): ’®£¤ 

2e =

X a2V

(a):

‚ ç áâ­®áâ¨, ¢ ª®­¥ç­®¬ £à ä¥ ç¨á«® ¢¥à設, ¨¬¥îé¨å ­¥ç¥â­ãî á⥯¥­ì, ï¥âáï ç¥â­ë¬.

„®ª § â¥«ìá⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® ¢ á㬬¥ P (a) ª ¦¤®¥ ॡ஠fa; bg a2V ãç¨â뢠¥âáï ¤¢  à § . ˆ­®£¤  ç¨á«® ¢á¥å ॡ¥à £à ä  G ®¡®§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ e(G): ‘«¥¤á⢨¥ 1. ‚ ®¤­®à®¤­®¬ á⥯¥­¨ k ª®­¥ç­®¬ £à ä¥ ¯®à浪  n á¯à -

¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ ‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨

k
n

e =

2 :

k { ­¥ç¥â­®¥ ç¨á«®, â® ç¨á«® ¢¥à設 ï¥âáï ç¥â-

­ë¬.

Š ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì, ç¨á«® ¢á¥å ¢¥à設 £à ä  G ­ §ë¢ ¥âáï ¯®à浪®¬ £à ä  ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ jGj = n = jV (G)j: DZந§¢®«ì­ë© £à ä 37

¯®à浪  n § ¯¨á뢠¥âáï ¢ ¢¨¤¥ Gn;   ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¯à®á⮩ £à ä ¯®à浪  n á m ॡࠬ¨ § ¯¨á뢠¥âáï ¢ ¢¨¤¥ G(n; m): DZਬ¥à 3. ‘«¥¤ãî騥 £à äë ¨¬¥îâ ¯®à冷ª ­¥ ¯à¥¢®á室ï騩 4 ¨ à §¬¥à 3:      
A

AA 
A













ƒà ä G0 = (V 0; E 0) ï¥âáï ¯®¤£à ä®¬ £à ä  G = (V; E ); ¥á«¨ V 0  V ¨ E 0  E (¢ ®¡®§­ ç¥­¨¨, G0  G): …᫨ ¯®¤£à ä G0 ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ à¥¡à  £à ä  G; ᮥ¤¨­ïî騥 «î¡ë¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨­ë ¨§ G0; â® ®­ ­ §ë¢ ¥âáï ­ âï­ãâë¬ (¨«¨ ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë¬) ­  V 0: DZਬ¥à 4.  áᬮâਬ £à ä G = (f1; 2; 3; 4; 5; 6g;

ff1; 2g; f1; 4g; f1; 6g; f2; 5g; f3; 4g; f3; 6g; f4; 5g; f5; 6gg): 1

Q Q  Q 6 2 @ @ @@ G @@ 3 QQ  5 Q

4 ’®£¤  ­¨¦¥á«¥¤ãî騥 £à äë G ¨ G0 ïîâáï ᮮ⢥âá⢥­­® ¯®¤£à ä®¬ G ¨ ¯®¤£à ä®¬ G; ­ âï­ãâë¬ ­  f1; 2; 3; 4; 6g : 1  1Q  Q   Q6 2  6 2  1

3 QQ

Q

3 QQ

G

1

Q

4 38

4

G0

DZ®¤£à ä G0; ­ âï­ãâë© ­  ¬­®¦¥á⢮ V 0  V; ®¡®§­ ç îâ G0 = G[V 0]: …᫨ W  V (G); â® G n W = G[V n W ] { ¯®¤£à ä G; ¯®«ã祭­ë© ¨§ G ¢ëç¥àª¨¢ ­¨¥¬ ¢á¥å ¢¥à騭 ¨§ W ¨ ¢á¥å ॡ¥à, ¨­æ¨¤¥­â­ëå í⨬ ¢¥à設 ¬. €­ «®£¨ç­®, ¥á«¨ E 0  E (G); â® G n E 0 = (V (G); E (G) n E 0): ‡ ¤ ç  1. „®ª § âì, çâ® á«¥¤ãî騥 £à äë ­¥ ïîâáï ¨§®¬®àä­ë¬¨ 1 @

@5 8

6 7

2

@

@   @



@ 3  “Š€‡€Hˆ…. ‚ ¯¥à¢®¬ £à ä¥ ¥áâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¨­æ¨¤¥­â­ëå ॡ¥à, ¢®§¢à é îé ïáï ª ¨á室­®© ¢¥à設¥ (横«): f1; 2g; f2; 3g; f3; 4g; f4; 8g; f8; 7g; f7; 6g; f6; 5g; f5; 1g: ‚® ¢â®à®¬ £à ä¥ â ª®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠­¥â. …᫨ ¨¬¥¥âáï ¯à®á⮩ £à ä ¡¥§ ¯¥â¥«ì G = (V; E ); jGj = n; â® ¥£® ¬®¦­® ¤®¯®«­¨âì ¤® ¯®«­®£® £à ä  K n; ¯à®¢¥¤ï ­¥¤®áâ î騥 ॡà . ƒà ä, ®¡à §®¢ ­­ë© ¬­®¦¥á⢮¬ ¢¥à設 V (G) ¨ ¢­®¢ì ¯à®¢¥¤¥­­ë¬¨ ॡࠬ¨,  ­ §ë¢ ¥âáï ¤®¯®«­¥­¨¥¬ G ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï ç¥à¥§ G:

4

DZਬ¥à 5.



C

QQ   @  Q G @ 

HH CC  G HHC DZãáâì G = (V (G); E (G)) ¨ H (V (H ); E (H )) { ¤¢  £à ä .  §®¢¥¬ ¨å ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ á«¥¤ãî騩 £à ä: G [ H = (V (G) [ V (H ); E (G) [ E (H )): ‘㬬®© G + H ­ §ë¢ ¥âáï £à ä, ¯®«ã祭­ë© ¨§ G [ H ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ¢á¥å ॡ¥à, ᮥ¤¨­ïé¨å ¢¥àè¨­ë ¨§ V (G) á ¢¥à設 ¬¨ ¨§ V (H ): ƒà ä ­ §ë¢ ¥âáï ª®­¥ç­ë¬, ¥á«¨ ç¨á«® ¥£® ॡ¥à ª®­¥ç­®. ’.¥., ¥á«¨ ¢ ª®­¥ç­®¬ £à ä¥ 39

¨¬¥¥âáï ¡¥áª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ¢¥à設, â® ¢á¥ ®­¨, §  ¨áª«î祭¨¥¬ ª®­¥ç­®£® ç¨á« , ïîâáï ¨§®«¨à®¢ ­­ë¬¨. ‘¨á⥬  ॡ¥à £à ä  = (V; E ) Aaiaj = ffai1 ; ai2 g; fai2 ; ai3 g; : : : ; fais 1 ; ais gg; £¤¥ ai = ai1 ; ais = aj ¨ fait ; ait+1 g 2 E; 1  t  s 1; at 2 V ­ §ë¢ ¥âáï ¯ã⥬ (¨«¨ ¬ àèàã⮬), ᮥ¤¨­ïî騬 ¢¥à設ë ai ¨ aj : …᫨ ai = aj ; â® ¯ãâì Aaiai ­ §ë¢ ¥âáï 横«¨ç¥áª¨¬. ƒà ä G ­ §ë¢ ¥âáï á¢ï§­ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå à §«¨ç­ëå ¢¥à設 ai ¨ aj £à ä  G áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì, ᮥ¤¨­ïî騩 í⨠¢¥à設ë. Ÿá­®, çâ® ª ¦¤ë© £à ä ª®­¥ç­®£® ¯®à浪  ï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ ª®­¥ç­®£® ç¨á«  á¢ï§­ëå ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï (â.¥. ­¥ ¨¬¥îé¨å ®¡é¨å ¢¥à設) ¯®¤£à ä®¢, ­ §ë¢ ¥¬ëå á¢ï§­ë¬¨ ª®¬¯®­¥­â ¬¨ £à ä . DZãâì Aaiaj , ¢ ª®â®à®¬ ª ¦¤®¥ ॡ஠¢áâà¥ç ¥âáï ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® à § , ­ §ë¢ ¥âáï 楯ìî. –¨ª«¨ç¥áª¨© ¯ãâì, ïî騩áï 楯ìî, ­ §ë¢ ¥âáï 横«®¬. –¨ª« á ª®­æ®¬ a ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®áâë¬ æ¨ª«®¬: ¥á«¨ a ­¥ ï¥âáï ¢ ­¥¬ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­®© ¢¥à設®© ¨ ­¨ª ª¨¥ ¤à㣨¥ ¢¥àè¨­ë ­¥ ¯®¢â®àïîâáï. €­ «®£¨ç­®, ­ §®¢¥¬ ­¥æ¨ª«¨ç¥áªãî æ¥¯ì ¯à®á⮩ 楯ìî, ¥á«¨ ¢ ­¥© ­¨ª ª ï ¢¥à設  ­¥ ¯®¢â®àï¥âáï. ”¨£ãà  S  R ; á®áâ®ï饥 ¨§ â®ç¥ª b ; b ; : : : ¨ ªà¨¢ëå (®â१ª®¢), ¨å ᮥ¤¨­ïîé¨å (¢ ®¡®§­ ç¥­¨¨ fbi; bj g; § ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ­¨ª ª ï ¢­ãâ७­ïï â®çª  ªà¨¢®© ­¥ ï¥âáï ¢¥à設®© ¨«¨ ¢­ãâ७­¥© â®çª®© ¤à㣮© ªà¨¢®©), ­ §ë¢ ¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ॠ«¨§ æ¨¥© £à ä  G = (V; E ); £¤¥ V = fa ; a ; : : : g; ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¡¨¥ªæ¨¨ V ­  fb ; : : : g ¨ E ­  ffbi; bj gg â ª¨¥, çâ® fbni ; bnj g $ (ai; aj ) ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  bni $ ai; bnj $ aj (â.¥. S  = G): “⢥ত¥­¨¥ 2. Š ¦¤ë© ª®­¥ç­ë© £à ä G = (V; E ) ¬®¦­® ॠ«¨§®(3)

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2

1

2

1

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(3)

:

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® jGj = n < 1: ‚®§ì¬¥¬ ¯àï¬ãî ¢ R ¨ ¯à®¢¥¤¥¬ ç¥à¥§ ­¥¥ á¢ï§ªã ¨§ m ¯«®áª®á⥩, £¤¥ m { ç¨á«® ॡ¥à G: ‚롥६ ­  ¯àאַ© n â®ç¥ª b ; : : : ; bn ¨ à áᬮâਬ ¡¨¥ªæ¨î bi ! ai; i  n; £¤¥ V = fa ; : : : ; ang: Š ¦¤®¬ã ॡàã (3)

1

1

40

fai; aj g 2 E ¯®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ­¥ª®â®àãî ¯«®áª®áâì ¨§ ¯ã窠 ¨ ¢ ­¥© ¤ã£ã ®ªà㦭®áâ¨, ᮥ¤¨­ïîéãî bi ¨ bj : ‚ १ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥¬ ¨áª®¬ãî £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ॠ«¨§ æ¨î S ­ è¥£® £à ä  G ¢ R : ‚®¯à®á ® ॠ«¨§ æ¨¨ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ª®­¥ç­®£® £à ä  ¢ R ï¥âáï ­¥ ¯à®áâë¬, å®âï ¨ ¨¬¥¥â ¯®«­®¥ à¥è¥­¨¥ (á¬. ­¨¦¥ ⥮६ã DZ®­âà­ Šãà â®¢áª®£®). ‡ ¤ ç  2. (® âà¥å ¤®¬ å ¨ âà¥å ª®«®¤æ å) (3)

(2)

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H@H B@ C @HHH@ @@ H@H@H X

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Z

  ãç á⪥ §¥¬«¨ ¡ë«¨ ¯®áâ஥­ë âਠ¤®¬  A; B; C ¨ ¢ëàëâë âਠª®«®¤æ  X; Y; Z: Žâ ª ¦¤®£® ¨§ ¤®¬®¢ ¨¬¥« áì âய  ª ª ¦¤®¬ã ¨§ âà¥å ª®«®¤æ¥¢. ‘¯ãáâï ­¥ª®â®à®¥ ¢à¥¬ï ®¡¨â â¥«¨ ¤®¬®¢ A; B; C ¯®áá®à¨«¨áì ¤àã£ á ¤à㣮¬ ¨ à¥è¨«¨ ¯à®«®¦¨âì ¤®à®¦ª¨ ª ª®«®¤æ ¬ X; Y; Z â ª, çâ®¡ë ¯® ¯ã⨠ª ª®«®¤æ ¬ ¨¬ ­¥ ¯à¨å®¤¨«®áì ¢áâà¥ç âìáï ¤àã£ á ¤à㣮¬. ‘¯à è¨¢ ¥âáï, ¬®¦­® «¨ í⮠ᤥ« âì? DZ®¯ë⪨ à¥è¨âì íâã § ¤ ç㠯ਢ®¤ïâ ­ á ª ã¡¥¦¤¥­¨î, çâ® íâ® ­¥¢®§¬®¦­®, å®âï ç¨á«® â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ॡ¥à ¬®¦­® ᢥá⨠ª 1: ' ' ' $ ' '$

A

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@H HHH @ & &  @ HH Z X

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DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ­ è £à ä ¤®¯ã᪠¥â ¯«®áªãî ॠ«¨§ æ¨î.  ç¥à⨬ ­  ¯«®áª®á⨠­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï à¥¡à  AX; BX; Y B; Y C; CZ; ZA : 41

' Z   '

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Y

X % A Œ®¦­® áç¨â âì, çâ® ¯®«ã祭­ë© § ¬ª­ãâë© ª®­âãà ®¯¨á뢠¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ªà¨¢®©. DZ஢®¤ï ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ­¥¯à¥àë¢­ë¥ «¨­¨¨ AY ¨ BZ; ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® ®¤­  ¨§ ­¨å «¥¦¨â ¢­ãâਠª®­âãà ,   ¢â®à ï ¢­¥ ¥£®. ® ⮣¤  ¤ã£  CX ®¡ï§ â¥«ì­® ¯¥à¥á¥ç¥â ®¤­ã ¨§ ¤ã£. ‚ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ¥áâì í«¥¬¥­âë ¨­âã¨â¨¢­®áâ¨. ‘âண®áâì ¤®á⨣ ¥âáï, ¥á«¨ ¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© †®à¤ ­ : &

DZãáâì

K { ­¥¯à¥à뢭 ï § ¬ª­ãâ ï «¨­¨ï ­  ¯«®áª®áâ¨. ‹¨­¨ï K ¤¥-

«¨â ¯«®áª®áâì ­  ¢­¥è­îî ¨ ¢­ãâ७­îî ®¡« á⨠⠪, çâ® «î¡ ï ­¥¯à¥à뢭 ï ªà¨¢ ï, ᮥ¤¨­ïîé ï «î¡ãî â®çªã ¢­ãâ७­¥© ®¡« áâ¨ á ­¥ª®â®à®© â®çª®© ¢­¥è­¥© ®¡« áâ¨, ¯¥à¥á¥ª ¥â

K:

„à㣮¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ ®á­®¢ ­® ­  á«¥¤ãî饩 ⥮६¥ ‹.©«¥à  (1752), á¯à ¢¥¤«¨¢®© ¤«ï «î¡®£® ª®­¥ç­®£® ¯«®áª®£® á¢ï§ ­­®£® £à ä : b + r = p + 2; £¤¥ b { ¯®à冷ª £à ä , p { ç¨á«® ¥£® ॡ¥à ¨ r { ç¨á«® ¥£® £à ­¥©. ‚ ­ è¥¬ £à ä¥ b = 6; p = 9: …᫨ ¡ë £à ä ¡ë« ¡ë ¯«®áª¨¬, â® r = 11 6 = 5: Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ 'k { ç¨á«® k-㣮«ì­ëå £à ­¥© £à ä . ’®£¤  r = ' + ' + : : : ¨ 2p = 2' +3' + : : : ; â ª ª ª ª ¦¤®¥ ॡ஠¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¤¢ã¬ £à ­ï¬. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, 5 = ' + ' + :::; 2p = 18 = 2' + 3' + : : : : ’ ª ª ª ' = ' = 0; â® 5 = ' + ' + :::; 18 = 4' + 5' + 6' + : : : ; 2

3

2

3

2

3

2

2

3

3

4

4

5

5

42

6

20 = 4' + 4' + 4' + : : : : Žâªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® 18 > 20: DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ‡ ¤ ç  3. „®ª § âì, çâ® ¯®«­ë© £à ä K ­¥ ï¥âáï ¯«®áª¨¬. @D 4

5

6

5

D @  DD @@ B@  D  B @  DD  K B @ D  BB  @@ D  B @D

5

…˜…Hˆ…. „¥©á⢨⥫쭮, ¤®¯ãá⨢ ¯à®â¨¢­®¥, ¨¬¥¥¬ b = 5; p = 10; r = p + 2 b = 7: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, 7 = ' + ' + :::; 20 = 2' + 3' + : : : : ’ ª ª ª ' = 0; â® 21 = 3' + 3' + 3' +


> 20 = 3' + 4' + 5' + : : : : DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ‡ ¤ ç  4. Š ¦¤ë© ¨§ 4-å á®á¥¤¥© ᮥ¤¨­¨« ᢮© ¤®¬ á âà¥¬ï ¤à㣨¬¨ ¤®¬ ¬¨ ¯à¨ ¯®¬®é¨ ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¤®à®¦¥ª. $ @  2

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DZïâë© ç¥«®¢¥ª ¯®áâந« ᢮© ¤®¬ ¯®¡«¨§®áâ¨. „®ª § âì, çâ® ¥£® ­¥«ì§ï ᮥ¤¨­¨âì á ¤à㣨¬¨ ¤®¬ ¬¨ ­¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï ¤®à®¦ª ¬¨. “Š€‡€Hˆ… 1. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© †®à¤ ­ . “Š€‡€Hˆ… 2. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© ©«¥à . ˆ¬¥¥¬ b = 5; p = 10; r = p + 2 b = 7: „ «¥¥ à áá㦤 ¥¬  ­ «®£¨ç­® à¥è¥­¨î § ¤ ç¨ 2. 43

„¢ã¤®«ì­ë¥ £à äë

ƒà ä G = (V; E ) ­ §ë¢ ¥âáï ¤¢ã¤®«ì­ë¬, ¥á«¨ V = V [ V ; V \ V = = ; ¨ ª ¦¤®¥ ॡ஠ᮥ¤¨­ï¥â ª ªãî-­¨¡ã¤ì ¢¥à設㠨§ V á ª ª®©-«¨¡® ¢¥à設®© ¨§ V :  ¯à¨¬¥à, 1

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 &  % V …᫨ ¤¢ã¤®«ì­ë© £à ä ï¥âáï ¯à®áâë¬ ¨ ª ¦¤ ï ¢¥à設  ¨§ V ᮥ¤¨­¥­  á ª ¦¤®© ¢¥à設®© ¨§ V ; â® ®­ ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«­ë¬ ¤¢ã¤®«ì­ë¬ ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï Km;n; £¤¥ m = jV j; n = jV j: Ÿá­®, çâ® Km;n = E m + E n: ƒà ä K ;n ­ §ë¢ ¥âáï §¢¥§¤­ë¬. 2

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  ƒà ä, ¢®§­¨ª î騩 ¢ § ¤ ç¥ ® âà¥å ª®«®¤æ å, ¨§®¬®à䥭

3 3

“⢥ত¥­¨¥ 3. ƒà ä ¯« ­ à¥­, â.¥. ¨§®¬®à䥭 ¯«®áª®¬ã £à äã, ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ®­ 㪫 ¤ë¢ ¥âáï ­  ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥àë.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì £à ä ã«®¦¥­ ­  ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥àë. ‚롥६ â®çªã M ­  áä¥à¥, ­¥ ᮢ¯ ¤ î饩 ­¨ á ®¤­®© ¢¥à設®© £à ä  ¨ ­¥ «¥¦ é¥© ­¨ ­  ®¤­®¬ ¥£® ॡà¥. DZ«®áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ £à ä  ¯®«ãç ¥âáï ¯à¨¬¥­¥­¨¥¬ áâ¥à¥®£à ä¨ç¥áª®© ¯à®¥ªæ¨¨ ¨§ â. M ­  ¯«®áª®áâì, ¤¨ ¬¥âà «ì­® ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ãî â®çª¥ M . ' $  M@









A@









@@ A0 &% 

44

Ž¡à â­®¥ ã⢥ত¥­¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï  ­ «®£¨ç­®. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. „¢  £à ä  ­ §ë¢ îâáï £®¬¥®¬®àä­ë¬¨, ¥á«¨ ®­¨ ®¡  ¯®«ãç îâáï ¨§ ®¤­®£® ¨ ⮣® ¦¥ £à ä  ¢ª«î祭¨¥¬ ¢ ¥£® à¥¡à  ­®¢ëå ¢¥à設 á⥯¥­¨ 2. DZਬ¥à 8. ƒà äë B B B  B  BB @  @ BB @@ @B   @B

B  B  BB @  @ BB  @@ @@BB   



ïîâáï £®¬¥®¬®àä­ë¬¨. “⢥ত¥­¨¥ 4 (⥮६  DZ®­âà­ -Šãà â®¢áª®£®).

ƒà ä ¯« ­ à¥­ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ®­ ­¥ ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à ä®¢, £®¬¥®¬®àä­ëå

K ¨«¨ K ; : 5

3 3

‹.‘.DZ®­âà­ ¤®ª § « ¥¥ ¢ 1927 £., ­® ­¥ ®¯ã¡«¨ª®¢ «; Š.Šãà â®¢áª¨© ¤®ª § « ¥¥ ­¥§ ¢¨á¨¬® ¢ 1930 £. „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž á¬. ¢ [22]: ‡ ¤ ç  5. „®ª § âì, ç⮠ॣã«ïà­ë© £à ä DZ¥â¥àᥭ  Q Q   QQ  D QQ   QQ  DD    Q @ HH  D  @@ 
H HDA ‡ ¬¥ç ­¨¥.

@@

@


AA A

­¥ ï¥âáï ¯« ­ à­ë¬. “Š€‡€Hˆ…. …᫨  = fa; bg 2 E (G); â® ®¯¥à æ¨ï 㤠«¥­¨ï à¥¡à   ¢ G ¨ ®â®¦¤¥á⢫¥­¨¥ ¢¥à設 a ¨ b ­ §ë¢ ¥âáï áâ¢ ­¨¥¬. ‘¯à ¢¥¤«¨¢  ⥮६  ® ⮬, çâ® £à ä ï¥âáï ¯« ­ à­ë¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  45

¢ ­¥¬ ­¥â ¯®¤£à ä®¢, áâ¢ ¥¬ëå ª K ¨«¨ K ; : DZਬ¥­¨â¥ íâã ⥮६㠤«ï à¥è¥­¨ï ¤ ­­®© § ¤ ç¨. Œ âà¨æ¥© ᬥ¦­®á⨠£à ä  G = (V; E ) ­ §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ  A = (aij ) à §¬¥à  n  n; ¢ ª®â®à®© aij à ¢­® ç¨á«ã ॡ¥à, ᮥ¤¨­ïîé¨å ¢¥à設ã vi á vj ; £¤¥ V = fv ; : : : ; vng: 5

3 3

1

‡ ¤ ç  6.

 ) DZ®áâநâì ¬ âà¨æë ᬥ¦­®áâ¨0£à ä®¢: K ; K1; . 0 1 0 0 0 1 1C B 0 1 1 1 B0 0 0 1 1C B C B C B1 0 1 1C B C C; Ž’‚…’›: B B C; 0 0 0 1 1 B C B C 1 1 0 1 @ A B1 1 1 0 0C @ A 1 1 1 0 1 1 1 0 0 ¡) DZãáâì Gn { £à ä á ¬­®¦¥á⢮¬ ¢¥à設 fv ; : : : ; vng; ¢ ª®â®à®¬ vi ¨ vj ¨­æ¨¤¥­â­ë $ (i; j ) = 1: ˆ§®¡à §¨âì G ; G ¨ ­ ©â¨ ¨å ¬ âà¨æë ᬥ¦­®áâ¨. „®ª § âì, çâ® ¥á«¨ m < n; â® Gm { ¯®¤£à ä Gn: ‡ ¤ ç  7. DZãáâì G { ¯à®á⮩ ª®­¥ç­ë© £à ä (â.¥. ¢ ­¥¬ ­¥â ¯¥â¥«ì ¨ ªà â­ëå ॡ¥à). ’®£¤  G ᮤ¥à¦¨â ¤¢¥ ¢¥à設ë á ®¤¨­ ª®¢ë¬¨ á⥯¥­ï¬¨ (n = jGj  2): “Š€‡€Hˆ…. „®áâ â®ç­® áç¨â âì, çâ® £à ä ï¥âáï á¢ï§­ë¬. DZãáâì V = fv ; : : : ; vng: …᫨ 1  (v ) < (v )


< (vn); â® ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠(vi)  n 1; i  n 1 ¨ ¯à¨­æ¨¯  „¨à¨å«¥ á«¥¤ã¥â, çâ® ­ ©¤ãâáï ;  n â ª¨¥, çâ® (v) = (v ); ( 6= ): ‡ ¤ ç  8. „®ª ¦¨â¥, çâ® á।¨ 6 祫®¢¥ª ¢á¥£¤  ­ ©¤ãâáï â஥ â ª¨å, ª®â®àë¥ «¨¡® ¯®¯ à­® §­ ª®¬ë, «¨¡® ­¨ ®¤¨­ ¨§ ­¨å ­¥ §­ ¥â ¤¢ãå ¤à㣨å. ‡ ¤ ç  9. DZਢ¥¤¨â¥ ¯à¨¬¥àë (ª®£¤  íâ® ¢®§¬®¦­®):  ) ¤¢ã¤®«ì­®£® ॣã«ïà­®£® £à ä ; ¡) ªã¡¨ç¥áª®£® £à ä  ¯®à浪  9; ¢) ¯« â®­®¢  ¤¢ã¤®«ì­®£® £à ä ; 4

3 2

1

4

1

1

2

46

8

£) ¯à®á⮣® £à ä  ¯®à浪  n; ¨¬¥î饣® (n 1)(n 1)=2 ॡ¥à. Ž’‚…’ ­  ¢®¯à®á £): K n [ E : ‡ ¬¥ç ­¨¥. DZਠà¥è¥­¨¨ § ¤ ç ¯®«¥§­® ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã á«¥¤ãî饥 ¨§®¡à ¦¥­¨¥ £à ä  K ; : A  QQ   Q Z X@ 1

1

3 3

@@

C Q

@

@@ B QQ Y

2.2

’¥®à¥¬  ‹.©«¥à  ® ¯«®áª¨å £à ä å

‚ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥ ¬ë áä®à¬ã«¨à®¢ «¨ ⥮६㠝©«¥à  ¤«ï ¯«®áª¨å á¢ï§­ëå £à ä®¢ ¨ ã¡¥¤¨«¨áì ¢ ¥¥ ¢ ¦­®áâ¨. DZ०¤¥ 祬 áâண® ä®à¬ã«¨à®¢ âì ⥮६ã, ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯®­ï⨥ £à ­¨ £à ä  G = (V; E ): DZãáâì x { â®çª  ¯«®áª®áâ¨, ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é ï V ¨ ­¥ «¥¦ é ï ­¨ ­  ®¤­®¬ ॡॠE: ƒà ­ì £à ä  G; ᮤ¥à¦ é ï x; íâ® ¬­®¦¥á⢮ â ª¨å â®ç¥ª ¯«®áª®áâ¨, ª®â®àë¥ ¬®¦­® ᮥ¤¨­¨âì á x ¦®à¤ ­®¢ë¬¨ ªà¨¢ë¬¨, 楫¨ª®¬ á®áâ®ï騬¨ ¨§ â®ç¥ª, ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å V ¨ ॡࠬ £à ä . Ž¤­  £à ­ì ¢ £à ä¥ ï¥âáï ­¥®£à ­¨ç¥­­®©. ’¥®à¥¬ . (©«¥à ‹., 1752) DZãáâì G { ¯«®áª¨© á¢ï§­ë© £à ä; ¯ãáâì b = jGj; p = v(G); r { ç¨á«® £à ­¥© G: ’®£¤  p + 2 = b + r: „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „®ª § â¥«ìá⢮ ¯à®¢¥¤¥¬ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® p: …᫨ p = 0; â® b = 1 ¨ r = 1: ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . DZ।¯®«®¦¨¬, ç⮠⥮६  ¢¥à­  ¤«ï £à ä®¢ á ç¨á«®¬ ॡ¥à  p 1:  áᬮâਬ ¯«®áª¨© £à ä G á v(G) = p: …᫨ ®­ ᮤ¥à¦¨â ¯¥â«î'$

 % & , â® ¥¥ 㤠«¥­¨¥ 㬥­ìè ¥â ç¨á«® ॡ¥à ­  1 ¨ ç¨á«® £à ­¥© ⮦¥ ­  1, â.¥. 47

¨áª®¬®¥ à ¢¥­á⢮ ï¥âáï ¢¥à­ë¬. …᫨ G ᮤ¥à¦¨â ॡ஠¢¨¤  a

b £¤¥ (a) = 1; ⮠㤠«ïï ¨§ G ¢¥à設ã a ¨ í⮠ॡà®, ¬ë ¤®ª ¦¥¬ ¨áª®¬®¥ à ¢¥­á⢮ ¢ ᨫ㠯।¯®«®¦¥­¨ï ¨­¤ãªæ¨¨. ˆâ ª, ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® G { ¯«®áª¨© á¢ï§­ë© £à ä, ¢ ª®â®à®¬ á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¢¥à設ë  2 ¨ á।¨ ॡ¥à ­¥â ¯¥â¥«ì (¨ ªà â­ëå ॡ¥à). ‹¥¬¬ . …᫨ á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¢¥àè¨­ë £à ä  G ­¥ ¬¥­ìè¥ ¤¢ãå, â® 1

G ᮤ¥à¦¨â 横«. 1

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. …᫨ ¢ G ¥áâì ¯¥â«¨ ¨«¨ ªà â­ë¥ ॡà , â® «¥¬¬  ¤®ª § ­ . ˆ­ ç¥, G { ¯à®á⮩ £à ä. DZãáâì v 2 V (G ): DZãáâì v { ᬥ¦­ ï ¢¥à設  á v; v { ᬥ¦­ ï ¢¥à設  á v ¨ ®â«¨ç­ ï ®â v; v { ᬥ¦­ ï ¢¥à設  á v ¨ ®â«¨ç­ ï ®â v ¨ â.¤. ’ ª ª ª jG j < 1; â® ¢ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠v; v ; v ; : : : ¢áâà¥â¨âáï ¢¥à設  vk ; ª®â®à ï ¢áâà¥ç « áì à ­ìè¥. ‚롨à ï k ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ á í⨬ ᢮©á⢮¬, ¬ë ¯®«ã稬 ¨áª®¬ë© 横«. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­® £à ä G ᮤ¥à¦¨â 横«. “¤ «¨¬ ¢ í⮬ 横«¥ ®¤­® ॡà®. DZ®«ã祭­ë© £à ä ï¥âáï á­®¢  á¢ï§­ë¬, ­® ç¨á«® ¥£® ॡ¥à p = p 1 ¨ ç¨á«® ¥£® £à ­¥© r = r 1: ‚¢¨¤ã ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ï ¨­¤ãªæ¨¨ p +2 = b + r : ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, p + 2 = b + r ¨ ⥮६  ¤®ª § ­ . …᫨ ¬ë à áᬮâਬ ¢ë¯ãª«ë© ¬­®£®£à ­­¨ª ¢ R ¨ á¯à®¥ªâ¨à㥬 ¥£® ­  ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥pë, ®¯¨á ­­®© ®ª®«® ­¥£®,   § â¥¬ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï áâ¥à¥®£à ä¨ç¥áª®© ¯à®¥ªæ¨¥©, â® ¬ë ¯®«ã稬 ¯«®áª¨© á¢ï§­ë© £à ä ¬­®£®£à ­­¨ª , ¤«ï ª®â®à®£® á¯à ¢¥¤«¨¢  ä®à¬ã«  ©«¥à  1

1

1

2

1

2

1

1

3

1

1

2

1

1

1

1

1

(3)

p + 2 = b + r:

= (V; E ) { á¢ï§­ë© ¯à®á⮩ ¯®à浪  n = jV j  3 ¨ à §¬¥à  m = jE j; â® m  3n 6: ‘«¥¤á⢨¥ 1. …᫨ G

48

¯« ­ à­ë© £à ä

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZ®¤áç¨â뢠ï à¥¡à  ¢ £à ä¥, ¨¬¥¥¬ 3r  2m: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, 2 m  3(n 2): m + 2 = n + r  n + m; 3

‘«¥¤á⢨¥ 2. ‚ «î¡®¬ ¯à®á⮬ ¯« ­ à­®¬ £à ä¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥àè¨-

­ , á⥯¥­ì ª®â®à®© ­¥ ¯à¥¢®á室¨â 5.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž.„«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¤®áâ â®ç­® áç¨â âì, çâ® £à ä ï¥âáï á¢ï§­ë¬. …᫨ á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¢¥à設ë  6; â® 6
n  2m; £¤¥ n { ç¨á«® ¢á¥å ¢¥à設 ¨ m { ç¨á«® ¢á¥å ॡ¥à. Žâªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® 3n  m  3n 6: DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ‘«¥¤á⢨¥ 3. DZãáâì G { ¯«®áª¨© £à ä ¯®à浪  n; á m ॡࠬ¨, r £à -

­ï¬¨ ¨

k ª®¬¯®­¥­â ¬¨ á¢ï§­®áâ¨. ’®£¤  n + r = m + (k + 1):

„®ª § â¥«ìá⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ â¥®à¥¬ë ¨ ⮣®, çâ® ¡¥áª®­¥ç­ ï £à ­ì áç¨â ¥âáï ⮫쪮 ®¤¨­ à §. ‡ ¤ ç  10. DZãáâì G = (V; E ) { ¯« ­ à­ë© £à ä ¯®à浪  n  3; ¢ ª®â®à®¬ ¢á¥ 横«ë ᮤ¥à¦ â  g  3 ॡ¥à. „®ª § âì, çâ® ç¨á«® ॡ¥à g m = jE j  maxf(n 1); (g 2) (n 2)g: “Š€‡€Hˆ…. Œ®¦­® áç¨â âì, çâ® g  n ¨ G { á¢ï§­ë© £à ä. …᫨ ¢ G ª ¦¤®¥ ॡ஠¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¤¢ã¬ £à ­ï¬, â® X X X 2m = fi
i  fi
i  g( fi) = g
r; ig

i

i

£¤¥ r { ç¨á«® ¢á¥å £à ­¥© ¨ fi { ç¨á«® £à ­¥© á i ॡࠬ¨ ­  ᢮¨å £à ­¨æ å. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, 2 m + 2 = n + r  n + m; g m

g

2 (n 2): …᫨ ॡ஠fa; bg 2 E ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ®¤­®© £à ­¨, â® G nfa; bg { ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ¤¢ãå ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï £à ä®¢ G ¨ G : DZ®« £ ï mi = jE (Gi)j; ni = jGi j; i  2; ¨¬¥¥¬, çâ® g

1

2

49

+ 1  maxf g g (n 2); n 1g+ 2); n 1g + 1  maxf g g (n 2); n 1g: ‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ ¡ë £à ä K ¡ë« ¡ë ¯«®áª¨¬, â® g = 3; v(K ) = 10 <
(5 2): DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. m =m +m +maxf g g (n 1

2

2

2

1

2

1

2

2

5

3

5

1

2.3

Žæ¥­ª  ç¨á«  £à ä®¢

Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ Hnm { ç¨á«® ¢á¥å á®ç¥â ­¨© á ¯®¢â®à¥­¨ï¬¨ ¨§ n í«¥¬¥­â®¢ ¯® m; â.¥. ç¨á«® ¢á¥å â ª¨å ᥬ¥©áâ¢, ᮤ¥à¦ é¨å m í«¥¬¥­â®¢ ¨§ ¤ ­­ëå n ¨ à §«¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢, çâ® ®¤¨­ ¨ â®â ¦¥ í«¥¬¥­â ¬®¦¥â ¢å®¤¨âì ¢ ᥬ¥©á⢮ ­¥áª®«ìª® à §. ‘«¥¤ãî饥 ã⢥p¦¤¥­¨¥ ¤®ª § ­® ¢ 1.1. ‡¤¥áì ¬ë ¯p¨¢¥¤¥¬ ¢â®p®¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮. “⢥ত¥­¨¥ 5. Hnm = Cmm n : DZਬ¥à. H = 4; â.ª. ­  ¡ §¥ fa; bg áãé¥áâ¢ãîâ ⮫쪮 á«¥¤ãî騥 ᥬ¥©á⢠ ¨§ 3-å í«¥¬¥­â®¢: +

1

3

2

fa; a; ag;

fa; a; bg;

fa; b; bg;

fb; b; bg:

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž.  áᬮâਬ ®á­®¢­®¥ ¬­®¦¥á⢮ M = fa ; : : : ; ang: …᫨ n = 1; â® H m = 1 = Cmm ¨ ¢á¥ ¤®ª § ­®. ‘¤¥« ¥¬ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ¨­¤ãªæ¨¨ ®¡ ¨á⨭­®á⨠­ è¥£® ã⢥ত¥­¨ï ¤«ï n í«¥¬¥­â­®£® ¬­®¦¥á⢠ ¨ ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«ï ¬­®¦¥á⢠, ᮤ¥à¦ é¥£® (n + 1) í«¥¬¥­â®¢: 1

1

N

= fa ; : : : ; an g: 1

+1

—¨á«® á®ç¥â ­¨© á ¯®¢â®à¥­¨ï¬¨ ¨§ (n +1) í«¥¬¥­â®¢ ¯® m; ­¥ ᮤ¥à¦ é¨å an , à ¢­® Hnm ; ç¨á«® á®ç¥â ­¨© á ¯®¢â®à¥­¨ï¬¨ ¨§ (n + 1) í«¥¬¥­â®¢ ¯® m; ᮤ¥à¦ é¨å an ஢­® ®¤¨­ à §, à ¢­® Hnm ; ç¨á«® á®ç¥â ­¨© á ¯®¢â®à¥­¨ï¬¨ ¨§ (n + 1) í«¥¬¥­â®¢ ¯® m; ᮤ¥à¦ é¨å an ஢­® 2 à § , à ¢­® Hnm ¨ â.¤. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, Hnm = Hnm + Hnm +


+ Hn + 1 = Cnm m + Cnm m +


+ Cn + 1: +1

1

+1

+1

2

2

1

1

+1

+

50

1

+

1

2

„®ª ¦¥¬ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® m; çâ® Cnm m = 1 + Cn + Cn +


+ Cnm m : …᫨ m = 1; â® Cn = n + 1 = 1 + Cn: DZãáâì ¨áª®¬®¥ à ¢¥­á⢮ ¢¥à­® ¤«ï m: „®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«ï m + 1: ˆ¬¥¥¬ Cnm m = Cnm m + Cnm m = Cnn m + Cnm m +


+ Cn + 1: “⢥ত¥­¨¥ ¤®ª § ­®. “⢥ত¥­¨¥ 6. ( ne )n < n! „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. ’ ª ª ª (1 + n )n < e; â® n e n < nn: DZ।¯®«®¦¨¬ ¨á⨭­®áâì ­ è¥£® ­¥à ¢¥­á⢠ ¤«ï n ¨ ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«ï (n + 1): ˆ¬¥¥¬ nn ( n + 1)n (n + 1)! = n!
(n + 1) > ( e )
(n + 1) > e
en
(n + 1) = ( n +e 1 )n : ’¥®à¥¬  2. Œ ªá¨¬ «ì­®¥ ç¨á«® (m) ¯®¯ à­® ­¥¨§®¬®àä­ëå £à ä®¢ 1

2

+

+1

1

+

1

1

+1

+1

+

+1

+1

+

+1

+

1

+

+

1

(

1

+1)

+1

¡¥§ ¨§®«¨à®¢ ­­ëå ¢¥à設 á

m ॡࠬ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ­¥à ¢¥­áâ¢ã

(m) < c (c m)m; 1

£¤¥

2

c ; c { ­¥ª®â®àë¥ ª®­áâ ­âë. 1

2

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. Š ¦¤ë© £à ä á m ॡࠬ¨ ¨¬¥¥â ­¥ ¡®«¥¥ 2m ¢¥à設.   ¬­®¦¥á⢥ ¨§ 2m ¢¥à設 ç¨á«® ¯ à ¢¥à設, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ á¢ï§ë¢ âìáï ॡࠬ¨, ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ç¨á«  r = H m = C m = m(2m + 1): ’®£¤  ¨áª®¬®¥ ç¨á«® £à ä®¢ á m ॡࠬ¨ (m) ­¥ ¯à¥¢®á室¨â 2 m m Hr m = Crm m  r mm < m me mm = (1 + m )m
(2em)m < e
(2em)m: ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ‡ ¤ ç  11. “ ‚ á ¨¬¥¥âáï 3 ªã¢è¨­  A; B; C ®¡ê¥¬®¬ ᮮ⢥âá⢥­­® 8, 5 ¨ 3 «¨â஢. Šã¢è¨­ A ­ ¯®«­¥­ ¢®¤®©. ‚ ¬ ­¥®¡å®¤¨¬® à §¤¥«¨âì ¢®¤ã ­  2 à ¢­ë¥ ç áâ¨, ¨á¯®«ì§ãï ¯ãáâë¥ ªã¢è¨­ë B; C: Œ®¦­® «¨ í⮠ᤥ« âì? …˜…Hˆ…. DZ।« £ ¥âáï á«¥¤ãî饥 à¥è¥­¨¥, ¨á¯®«ì§ãî饥 ï§ëª ⥮ਨ £à ä®¢.  áᬮâਬ 楫®ç¨á«¥­­ãî à¥è¥âªã ¯«®áª®á⨠( +

+

1

1)

!

(2

+2

(

)

)

51

1

2

2

2

2

+1

3      2      1      0 1 2 3 4 5 Š ¦¤®¬ã à á¯à¥¤¥«¥­¨î ¢®¤ë ¯® ªã¢è¨­ ¬ B ¨ C ᮯ®áâ ¢¨¬ â®çªã (a; b) ­ è¥© à¥è¥âª¨, £¤¥ b { ª®«¨ç¥á⢮ ¢®¤ë ¢ B ¨ c { ª®«¨ç¥á⢮ ¢®¤ë ¢ C: ’ ª ª ª b 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5g; c 2 f0; 1; 2; 3g; â® ¬­®¦¥á⢮ ¢®§¬®¦­ëå 㧫®¢ëå â®ç¥ª à¥è¥âª¨ á®á⮨⠨§ 6 å 4=24 â®ç¥ª. ã¤¥¬ áç¨â âì â®çª¨ ¢¥à設 ¬¨ £à ä . „¢¥ ¢¥à設ë (b ; c ) ¨ (b ; c ) ᮥ¤¨­¥­ë (®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë¬ ) ॡ஬, ¥á«¨ §  ®¤­® ¯¥à¥«¨¢ ­¨¥ ¨§ á®áâ®ï­¨ï (b ; c ) ¬®¦­® ¯¥à¥©â¨ ª á®áâ®ï­¨î (b ; c ):  è  § ¤ ç  § ª«îç ¥âáï ¢ áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¯ã⨠(¬ àèàãâ ) ®â ¢¥à設ë (0,0) ª ¢¥à設¥ (4,0). “ª ¦¥¬ â ª®© ¯ãâì: (0; 0) ! (5; 0) ! (2; 3) ! (2; 0) ! (0; 2) ! (5; 2) ! (4; 3) ! (4; 0): DZந««îáâà¨à㥬 íâ®â ¯ãâì £à ä¨ç¥áª¨: 3  @I@ @I-@ 2@I@  @@  1 @@?  @?@- 0 1 2 3 4 5 ‡ ¤ ç  12. ¥è¨âì  ­ «®£¨ç­ãî § ¤ çã ¤«ï ªã¢è¨­®¢ A; B; C; ®¡ê¥¬ë ª®â®àëå ᮮ⢥âá⢥­­® à ¢­ë 12, 7, 4. Ž’‚…’: (7, 0), (3, 4), (3, 0),(0, 3), (7, 3), (6, 4), (6, 0). 1

1

2

2

1

2

2.4

1

2

©«¥à®¢ë ¨ £ ¬¨«ìâ®­®¢ë £à äë

Š ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì, ⥮à¨ï £à ä®¢ ᢮¨¬ ஦¤¥­¨¥¬ ®¡ï§ ­  á«¥¤ãî饩 § ¤ ç¥, ¢®§­¨ªè¥© ¢ ¯¥à¢®© ¯®«®¢¨­¥ XVIII á⮫¥â¨ï ¨ à¥è¥­­®© ¯¥â¥à¡ãà£áª¨¬ ¬ â¥¬ â¨ª®¬ ‹.©«¥à®¬ (á¬. à¨á.). ƒ®à®¤ Š¥­¨£á¡¥à£ (Š «¨­¨­£à ¤) à á¯®«®¦¥­ ­  ¡¥à¥£ å ४¨ DZॣ¥«ì ¨ ¤¢ãå ®áâ஢ å.  §«¨ç­ë¥ ç á⨠£®à®¤  ¡ë«¨ ᮥ¤¨­¥­ë 7 ¬®áâ ¬¨. Œ®¦­® 52

«¨ ᮢ¥àè¨âì ¯à®£ã«ªã ¯® £®à®¤ã â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë, ¢ë©¤ï ¨§ ¤®¬ , ¢¥à­ãâìáï ®¡à â­®, ¯à®©¤ï ¯® ª ¦¤®¬ã ¬®áâã ⮫쪮 ®¤¨­ à §? C

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A

  

ˆ§®¡à §¨¬ ª àâã à¨áã­ª  ¢ ¢¨¤¥ £à ä  C ' H

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  &  B

‹.©«¥à ¤®ª § «, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¬ àèàãâ , ¢ª«îç î饣® ¢ á¥¡ï ª ¦¤®¥ ॡ஠⮫쪮 ®¤¨­ à §. ‹.©«¥à ¯®áâ ¢¨« ¡®«¥¥ ®¡é¨© ¢®¯à®á: ¤«ï ª ª¨å £à ä®¢ áãé¥áâ¢ã¥â 横« (â.¥. § ¬ª­ãâ ï 楯ì), ᮤ¥à¦ é¨© ¢á¥ à¥¡à  £à ä , ¯à¨ç¥¬ ª ¦¤®¥ ॡ஠¢ â®ç­®á⨠¯® ®¤­®¬ã à §ã? ƒà äë, ®¡« ¤ î騥 â ª¨¬ 横«®¬ (í©«¥à®¢®© «¨­¨¥©), ­ §ë¢ îâáï í©«¥à®¢ë¬¨. ’ ª®© £à ä, ®ç¥¢¨¤­®, á¢ï§­ë© ¨ á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¥£® ¢¥à設ë ï¥âáï ç¥â­®©. ’¥®à¥¬  3. Š®­¥ç­ë© £à ä G = (V; E ) ï¥âáï í©«¥à®¢ë¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ®­ á¢ï§­ë© ¨ á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¥£® ¢¥à設ë ï¥âáï ç¥â­®©.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. …᫨ G { í©«¥à®¢ £à ä, â®, ª ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥­®, ®­ á¢ï§­ë© ¨ á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¥£® ¢¥à設ë ç¥â­ ï. Ž¡à â­®, ¯ãáâì G { á¢ï§­ë© £à ä ¨ á⥯¥­¨ ¢á¥å ¥£® ¢¥à設 ïîâáï ç¥â­ë¬¨ ç¨á« ¬¨. ‚®§ì¬¥¬ ­¥ª®â®àãî ¢¥à設ã a 2 V ¨ à áᬮâਬ ¬ ªá¨¬ «ì­ãî 楯ì T; ¨á室ïéãî ¨§ a: ’ ª ª ª £à ä G á¢ï§­ë© ¨ á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¢¥à設ë ç¥â­ ï, â® T ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ª ¦¤ãî ¢¥à設ã G ¨ § ª ­ç¨¢ ¥âáï ¢ a: ‚ ç áâ­®áâ¨, T 53

ï¥âáï 横«®¬. …᫨ íâ®â 横« ­¥ ï¥âáï í©«¥à®¢ë¬, â® T ᮤ¥à¦¨â ¢¥à設ã b; ¨­æ¨¤¥­â­ãî ॡàã, ­¥ ¢å®¤ï饬㠢 T: ˆáå®¤ï ¨§ ¢¥à設ë b; ¯®áâந¬ ­®¢ãî 楯ì, ¨á¯®«ì§ãï ॡà , ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨¥ T: â® ¢®§¬®¦­®, â.ª. á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¢¥à設ë ï¥âáï ç¥â­®©. ®¢ ï 楯ì L ¤®«¦­  ®ª ­ç¨¢ âìáï ¢ ¢¥à設¥ b: ® ⮣¤  ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®áâநâì ¡®«ì訩 祬 T 横«, ¨á室ï騩 ¨§ ¢¥à設ë a: „¥©á⢨⥫쭮, á­ ç «  á«¥¤ã¥¬ ¯® T ®â a ª b; § â¥¬ ¯® L ¤¥« ¥¬ 横« ¨ ¢®§¢à é ¥¬áï ¢ b;   § â¥¬ ¯à®¤®«¦ ¥¬ ¯ãâì ¯® T: â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¬ ªá¨¬ «ì­®á⨠¯ã⨠T: ˆâ ª, T { í©«¥à®¢ 横«. ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . …᫨ ¦¥ ­  á¢ï§­®¬ ª®­¥ç­®¬ £à ä¥ G = (V; E ) ¨¬¥¥âáï 楯ì, ­ ç¨­ îé ïáï ¢ ¢¥à設¥ a ¨ ®ª ­ç¨¢ îé ïáï ¢ ¢¥à設¥ b 6= a; â® ¯à¥¤¯®« £ ï, çâ® ®­  ¯à®å®¤¨â ¯® ¢á¥¬ ॡࠬ ¢ â®ç­®á⨠¯® ®¤­®¬ã à §ã, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® a; b { ¥¤¨­á⢥­­ë¥ ¢¥àè¨­ë ­¥ç¥â­®© á⥯¥­¨. Ž¡à â­®, ¥á«¨ ¢ á¢ï§­®¬ ª®­¥ç­®¬ £à ä¥ G = (V; E ) ¢¥à設ë a ¨ b (a 6= b) ïîâáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬¨ ­¥ç¥â­ë¬¨, â®, ¤®¡ ¢«ïï ª E ­®¢®¥ ॡ஠fa; bg; ¬ë ¯®«ã稬 (ᮣ« á­® ⥮६¥ 3) í©«¥à®¢ £à ä, ®¡« ¤ î騩 í©«¥à®¢ë¬ 横«®¬ T: “¤ «¨¢ ¨§ T ॡ஠fa; bg; ¬ë ¯®«ã稬 楯ì, ­ ç¨­ îéãîáï ¢ a; § ª ­ç¨¢ îéãîáï ¢ b ¨ ¯à®å®¤ïéãî ª ¦¤®¥ ॡ஠஢­® ®¤¨­ à §. ˆâ ª, ¤®ª § ­  ’¥®à¥¬  4. Š®­¥ç­ë© á¢ï§­ë© £à ä G = (V; E ) ᮤ¥à¦¨â 楯ì, ­ ç¨a ¨ ®ª ­ç¨¢ îéãîáï ¢ ¢¥à設¥ b;   â ª¦¥ ᮤ¥à¦ éãî ¢á¥ à¥¡à  à®¢­® ¯® ®¤¨­®¬ã à §ã ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  a; b ­ îéãîáï ¢ ¢¥à設¥

{ ¥¤¨­á⢥­­ë¥ ­¥ç¥â­ë¥ ¢¥à設ë í⮣® £à ä .

DZãáâì G = (V; E ) { ª®­¥ç­ë© á¢ï§­ë© £à ä á 2k ­¥ç¥â­ë¬¨ ¢¥à設 ¬¨. „®ª § âì, çâ® G ¨¬¥¥â ᥬ¥©á⢮ ¨§ k 楯¥©, ª®â®àë¥ ¢ ᮢ®ªã¯­®á⨠ᮤ¥à¦ â ¢á¥ à¥¡à  £à ä  ஢­® ¯® ®¤­®¬ã à §ã. “Š€‡€Hˆ…. DZãáâì fa ; : : : ; ak ; b ; : : : ; bk g { ­¥ç¥â­ë¥ ¢¥à設ë. „®¡ ¢¨¬ ª E ­®¢ë¥ à¥¡à  fa ; b g; : : : ; fak ; bk g: Œë ¯®«ã稬 í©«¥à®¢ £à ä, ᮤ¥à¦ é¨© í©«¥à®¢ 横« T: “¤ «¨¬ ¨§ T ­®¢ë¥ ॡà . DZ®«ã稬 ¨áª®¬®¥ ᥬ¥©á⢮ ¨§ k 楯¥©. ‡ ¤ ç  13.

1

1

1

1

54

Š®­¥ç­ë© á¢ï§­ë© £à ä ï¥âáï í©«¥à®¢ë¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ᥬ¥©á⢮ ¥£® ॡ¥à ¬®¦­® à §¡¨âì ­  ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï 横«ë. ‡ ¤ ç  14.

€«£®à¨â¬ ”«¥à¨ ¯®áâ஥­¨ï í©«¥à®¢®© 楯¨ ¢ í©«¥à®¢®¬ £à ä¥ G

‚ëå®¤ï ¨§ ¯à®¨§¢®«ì­®© ¢¥à設ë a; ¨¤¥¬ ¯® ॡࠬ £à ä , ᮡ«î¤ ï ¯à ¢¨« : 1) áâ¨à ¥¬ à¥¡à  ¯® ¬¥à¥ ¨å ¯à®å®¦¤¥­¨ï ¨ áâ¨à ¥¬ ¨§®«¨à®¢ ­­ë¥ ¢¥à設ë, ª®â®àë¥ ¯à¨ í⮬ ®¡à §ãîâáï; 2) ­  ª ¦¤®¬ íâ ¯¥ ¨¤¥¬ ¯® ¬®áâã (ॡ஠­ §ë¢ ¥âáï ¬®á⮬, ¥á«¨ ¥£® 㤠«¥­¨¥ ­ àãè ¥â á¢ï§­®áâì £à ä ) ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ­¥â ¤àã£¨å ¢®§¬®¦­®á⥩. “ª § ­­ë©  «£®à¨â¬ ¤¥©á⢨⥫쭮 à ¡®â ¥â ¯à¨ ¯à®å®¦¤¥­¨¨ ª ¦¤®© ¢¥à設ë b: …᫨ b 6= a; â® ®á⠢訩áï ¯®¤£à ä H á¢ï§¥­ ¨ ᮤ¥à¦¨â ஢­® 2 ¢¥àè¨­ë ­¥ç¥â­®© á⥯¥­¨ fa; bg: DZ® ⥮६¥ 4 áãé¥áâ¢ã¥â í©«¥à®¢  楯ì T ¨§ b ¢ a: “¤ «¨¬ ¯¥à¢®¥ ॡ஠í⮩ 楯¨ T: ƒà ä H ®áâ ­¥âáï á¢ï§­ë¬ ¨ ¤ ­­®¥ à áá㦤¥­¨¥ ¬®¦­® ¯à®¤®«¦¨âì. …᫨ ¦¥ b = a; â® à áá㦤 ¥¬  ­ «®£¨ç­®. ‡ ¤ ç  15:

 ) ­ ©â¨ ¢á¥ ¯« â®­®¢ë í©«¥à®¢ë £à äë; ¡) ¤«ï ª ª¨å ç¨á¥« m; n á«¥¤ãî騥 £à äë ¡ã¤ãâ í©«¥à®¢ë¬¨: K n; Km;n? Ž’‚…’›:  ) ®ªâ í¤à; ¡) n { ­¥ç¥â­®¥ ç¨á«®; m  n  0(mod 2): ‡ ¤ ç  16. DZãáâì Cn { 横«¨ç¥áª¨© £à ä ¯®à浪  n 1: ’®£¤  Wn = E + Cn (ª®«¥á® á n ¢¥à設 ¬¨): 1

1

1

a a' a @  $ Wn b@: :@: @  a an&% 2

1

3

1

4

DZਠª ª¨å n £p ä Wn ï¥âáï í©«¥à®¢ë¬? 55

Œ®¦­® «¨ 室®¬ è å¬ â­®£® ª®­ï ®¡®©â¨ ¢áî è å¬ â­ãî ¤®áªã (8 å 8) â ª, çâ®¡ë ª ¦¤ë© 室 ¢áâà¥ç «áï ஢­® ®¤¨­ à §? DZਠí⮬ å®¤ë ‡ ¤ ç  17.

-

6

¬ë ®â®¦¤¥á⢫塞. “Š€‡€Hˆ….  áᬮâਬ £à ä ¯®à浪  64; ¤¢¥ ¢¥àè¨­ë ¥£® ¨­æ¨¤¥­â­ë, ¥á«¨ ¢®§¬®¦¥­ 室 ª®­¥¬ ¨§ ®¤­®© ¢ ¤àã£ãî; § ¬¥â¨âì, çâ® ®­ á¢ï§­ë© ¨ ¯à¨¬¥­¨âì ⥮६㠝©«¥à . ‡ ¤ ç  18. Œ®¦­® «¨ 室®¬ è å¬ â­®£® ª®­ï ¯®¯ áâì ¨§ «¥¢®£® ­¨¦­¥£® 㣫  ¤®áª¨ ¢ ¯à ¢ë© ¢¥àå­¨© 㣮«, ¯®¡ë¢ ¢ ¢ ª ¦¤®¬ ¯®«¥ ஢­® ®¤¨­ à §? “Š€‡€Hˆ…. DZ।¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢­®¥. ’®£¤  ­¥®¡å®¤¨¬® ᤥ« âì 63 室 . DZਠª ¦¤®¬ 室¥ ¬¥­ï¥âáï 梥⠪«¥âª¨ ­  ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë©. ’ ª ª ª ¤¨ £®­ «ì ®¤­®æ¢¥â­ , â® ¯®«ãç ¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ‡ ¤ ç  19:

 ) ¤®ª § âì, çâ® K ¨¬¥¥â 264 í©«¥à®¢ë 楯¨; ¡) ­ ©â¨ í©«¥à®¢ë 楯¨ £à ä®¢ @  @  @ @ @@ @@ @ @H@HHH@ @ @  @  @ Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. DZãáâì G { ª®­¥ç­ë© á¢ï§­ë© £à ä. G ­ §ë¢ ¥âáï £ ¬¨«ìâ®­®¢ë¬ £à ä®¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â 横« (£ ¬¨«ìâ®­®¢ë©), ¯à®å®¤ï騩 ç¥à¥§ ª ¦¤ãî ¢¥à設ã ஢­® ®¤¨­ à §. –¥¯ì £à ä  ­ §ë¢ ¥âáï £ ¬¨«ìâ®­®¢®©, ¥á«¨ íâ® ¯à®áâ ï 楯ì (â.¥. ¡¥§ ¯¥â¥«ì ¨ ªà â­ëå ॡ¥à), ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ¢á¥ ¢¥àè¨­ë ¯® ®¤­®¬ã à §ã. ˆ‘’Žˆ—…‘Š€Ÿ ‘DZ€‚Š€. ‘íà “..ƒ ¬¨«ìâ®­ (W:R:Hamilton) { ¨à« ­áª¨© ¬ â¥¬ â¨ª (1805-1865), ¯à®ä¥áá®à „ã¡«¨­áª®£® ã­¨¢¥àá¨â¥â . „®ª § « â.­. ⥮६㠃 ¬¨«ìâ®­ -Ší«¨ ¤«ï ¬ âà¨æ, ¢¢¥« ¢ à áᬮâ७¨¥ ⥫® ª¢ â¥à­¨®­®¢ (¯¥à¢ë© ¯à¨¬¥à ­¥ª®¬¬ãâ â¨¢­®©  «£¥¡àë á ¤¥«¥­¨¥¬). 5

56

DZਬ¥à®¬ £ ¬¨«ìâ®­®¢  £à ä  ï¥âáï £à ä ¯®p浪  64 ¨§ § ¤ ç¨ 17. “ª ¦¥¬ ®¤¨­ ¨§ £ ¬¨«ìâ®­®¢ëå 横«®¢ ¢ ­¥¬ (§ ¤ ç  ‹.©«¥à  ® àëæ àïå, 1759): 56 47 42 45 20 29 6 1

41 44 57 48 5 64 19 28

58 55 46 43 30 21 2 7

35 40 49 54 63 4 27 18

50 59 36 31 22 17 8 3

39 34 53 62 11 14 23 26

60 51 32 37 16 25 12 9

33 38 61 52 13 10 15 24

„à㣨¬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ ïîâáï á«¥¤ãî騥 £à äë:

 

 

 

 

B@  BB@@  D  @ BDD  @@BDBD 

 A
@  X   X
@HHXX@ AA
 HH @ A
  
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A 
bb @ A 
@  ""A bb @H  """ bb HHH@ bb  """ bb""

   

   

 

   

   

¤®¤¥ª í¤p, ¯p¨¬¥p “. ƒ ¬¨«ìâ®­ , 1857

ƒà ä ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«ã£ ¬¨«ìâ®­®¢ë¬, ¥á«¨ ¢ ­¥¬ áãé¥áâ¢ã¥â £ ¬¨«ìâ®­®¢  楯ì. DZਬ¥à ¬¨ ­¥£ ¬¨«ìâ®­®¢  £à ä  ¨ ¯®«ã£ ¬¨«ìâ®­®¢  £à ä  57

ïîâáï £à äë:









    ‘ £ ¬¨«ìâ®­®¢ë¬¨ £à ä ¬¨ á¢ï§ ­  ¨ á«¥¤ãîé ï § ¤ ç  ® ª®¬¬¨¢®ï¦¥à¥ ("® ¡à®¤ï祬 â®à£®¢æ¥"). ’®à£®¢ë©  £¥­â ¤®«¦¥­ ¯®á¥â¨âì ª ª®¥-â® ª®«¨ç¥á⢮ £®à®¤®¢, ¯®¡ë¢ ¢ ¢ ª ¦¤®¬ £®à®¤¥ ஢­® ®¤¨­ à §.  ááâ®ï­¨ï (á⮨¬®áâì ¡¨«¥â ) ¬¥¦¤ã £®à®¤ ¬¨ ¨§¢¥áâ­ë. ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¡à âì ªà â砩訩 (á ¬ë© ¤¥è¥¢ë©) ¯ãâì (á ¢®§¢à â®¬ ¢ ¨á室­ë© £®à®¤). ‡ ¤ ç  20:

 ) ª ª¨¥ ¨§ ¯« â®­®¢ëå £à ä®¢ ¨¬¥îâ £ ¬¨«ìâ®­®¢ë 楯¨ (横«ë)? ¡) ¨¬¥îâ «¨ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ® àëæ àïå ­  è å¬ â­®© ¤®áª¥ n  n ¯à¨ n = 3; 4; 5; 6; 7? ¢) ¤«ï ª ª¨å ç¨á¥« m; n £à äë Km;n; Wn; K n ïîâáï £ ¬¨«ìâ®­®¢ë¬¨? Š ᮦ «¥­¨î, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â í©«¥à®¢ëå £à ä®¢, ¤«ï £ ¬¨«ìâ®­®¢ëå £à ä®¢ ­¥â ⥮६ë, ¯à¥â¥­¤ãî饩 ­  ¯®«­®¥ ®¯¨á ­¨¥ â ª¨å £à ä®¢. DZਢ¥¤¥¬, ®¤­ ª®, á«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â. ’¥®à¥¬  5. (ƒ.„¨à ª, 1952). DZãáâì G = (V; E ) { ¯à®á⮩ ª®­¥ç­ë© £à ä ¯®à浪  n  3 â ª®©, çâ® á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¢¥à設ë  n=2: ’®£¤  G { £ ¬¨«ìâ®­®¢ £à ä.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. …᫨ £à ä G ­¥ ï¥âáï £ ¬¨«ìâ®­®¢ë¬, â® ¥£® ¬®¦­® ¤®áâநâì ¤® £ ¬¨«ìâ®­®¢  £à ä  G ; ¤®¡ ¢¨¢ ­¥ª®â®à®¥ ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ¢¥à設 b ; b ; : : : ; bk ¨ ᮥ¤¨­¨¢ ¨å á® ¢á¥¬¨ ¢¥à設 ¬¨ fa ; : : : ; ang £à ä  G: DZਠí⮬ ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® k > 0 ¨ k ï¥âáï ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ á í⨬ ᢮©á⢮¬. DZãáâì a ! b ! ai !


! a { £ ¬¨«ìâ®­®¢ 横« ¢ G : ‚¥à設  ai ­¥ ï¥âáï ᬥ¦­®© á a ¢ £à ä¥ G ; ¨­ ç¥ ¡ë ¬ë ­¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¢¥à設ã b (  íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨«® ¡ë ¬¨­¨¬ «ì­®á⨠k). DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥à設  c ᬥ¦­ ï á ai; ª®â®à ï á«¥¤ã¥â (¢ ­ è¥¬ 横«¥) §  ¢¥à設®© x; ᬥ¦­®© á a : 1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

58

1

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! b ! ai !


! x ! c !


! a : ’®£¤  § ¬¥­¨¬ ¯®á«¥¤­¨© 横« ­  横« a ! x !


! ai ! c !


! a ; ª®â®àë© ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯à¥¤ë¤ã饣® ®¡à â­®© ®à¨¥­â æ¨¥© ¯à®å®¤  ¢ ¢ë¤¥«¥­­®© ç áâ¨. DZà®â¨¢®à¥ç¨¥ á ¬¨­¨¬ «ì­®áâìî k (¬ë ­¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ b !). —¨á«® ¢¥à設 £à ä  G ; ­¥ ïîé¨åáï ᬥ¦­ë¬¨ á ai ; ­¥ ¬¥­ìè¥ ç¨á«  ¢¥à設, ᬥ¦­ëå á a (â.¥.  n=2+ k), â.ª. ¢ ­ è¥¬ 横«¥ §  ª ¦¤®© ᬥ¦­®© á a á«¥¤ã¥â ­¥ª®â®à ï ¢¥à設 , ­¥ ïîé ïáï ᬥ¦­®© á ai: ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ç¨á«® ¢¥à設 ᬥ¦­ëå á ai  n + k: DZ®í⮬㠯®à冷ª £à ä  G ­¥ ¬¥­ìè¥ ç¨á«  n + 2k: DZà®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â ⥮६ã. ‡ ¤ ç  21. ‚ ¯®«­®¬ £à ä¥ K n ­ ©â¨ n £ ¬¨«ìâ®­®¢ëå 横«®¢, ª ¦¤ë¥ ¤¢  ¨§ ª®â®àëå ­¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å ॡ¥à. a

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

2.5

+1

„¥à¥¢ìï

‘¤¥« ¥¬ á­ ç «  ­¥áª®«ìª® § ¬¥ç ­¨©. 1. DZãáâì x { ­¥ª®â®à ï ¢¥à設  £à ä  G = (V; E ) ¨ W { ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¢¥à設 á¢ï§­®© ª®¬¯®­¥­âë G; ᮤ¥à¦ é¥© x: ’®£¤  W = fy 2 V ; G ᮤ¥à¦¨â ¬ àèàãâ Axy g: 2. ƒà ä G = (V; E ) ï¥âáï ¤¢ã¤®«ì­ë¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ®­ ­¥ ᮤ¥à¦¨â ­¥ç¥â­ëå 横«®¢. „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ G { ¤¢ã¤®«ì­ë© £à ä ¨ V = V [ V ; £¤¥ V \ V = ;; â® ¤«ï «î¡®£® 横«  x x : : : xe ¨¬¥¥¬ x 2 V (­ ¯à¨¬¥à), x 2 V ; x 2 V ¨ â.¤.. ’ ª ª ª x 2 V ; â® e { ç¥â­®¥ ç¨á«®. Ž¡à â­®, ¯ãáâì G ­¥ ᮤ¥à¦¨â ­¥ç¥â­ëå 横«®¢. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® G { ¤¢ã¤®«ì­ë© £à ä ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¢á¥ ¥£® á¢ï§­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë 1

1

1

2

1

2

2

2

3

1

1

2

59

2

2

ïîâáï ¤¢ã¤®«ì­ë¬¨, â.¥. ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì, çâ® G { á¢ï§­ë© £à ä. DZãáâì x 2 V: DZãáâì V = fy 2 V ; ¬¨­¨¬ «ì­ ï ¤«¨­  d(x; y) ¯ã⨠Ax;y ï¥âáï ­¥ç¥â­®© g ¨ V = V n V : …᫨ ª ª¨¥-­¨¡ã¤ì ¢¥àè¨­ë ¨§ Vi; i = 1; 2; ᮥ¤¨­¥­ë ॡ஬, â® G ᮤ¥à¦¨â ­¥ç¥â­ë© 横«. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ƒà ä, ­¥ ᮤ¥à¦ é¨© 横«®¢, ­ §ë¢ ¥âáï «¥á®¬ ¨«¨  æ¨ª«¨ç¥áª¨¬ £à ä®¬. ‘¢ï§­ë© «¥á ­ §ë¢ ¥âáï ¤¥à¥¢®¬. DZਬ¥àë ¤¥à¥¢ì¥¢:   @ 
  @ @@ 

 @ @@ @@ 
     @     Ÿá­®, çâ® «¥á ï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¤¥à¥¢ì¥¢. 1

2

1

“⢥ত¥­¨¥ 6. ƒà ä G ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,

ª®£¤  ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå à §«¨ç­ëå ¢¥à設 ¯ãâ¨

Ax;y :

x; y áãé¥áâ¢ã¥â ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£®

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ G ­¥ ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬ ¨ x : : : xe { 横«, â® x x : : : xe ¨ fx ; xeg { ¤¢  ¯ã⨠Ax1;xe : Ž¡à â­®, ¯ãáâì G { ¤¥à¥¢® ¨ P = x x : : : xe ; P = x y : : : yk xe ¤¢  ¯ã⨠Ax1;xe : DZãáâì i + 1 { ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¨­¤¥ªá â ª®©, çâ® xi 6= yi (â.¥. x = y ; : : : ; xi = yi) ¨ j { ¬¨­¨¬ «ì­®¥ ç¨á«® â ª®¥, çâ® j  i ¨ yj { ¢¥à設  P ; ᪠¦¥¬ yj = xm: ’®£¤  x i


x@m P @@xm xm x x x i


@  


x l @@ y


y 1

1

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1

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+1

+1

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¨ xixi : : : xmyj : : : yi

1

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0

j P { 横« G: DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. i+1

+1

+1

2

60

“⢥ত¥­¨¥ 7. ‘«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥­¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë ¤«ï £à ä 

G:

G { ¤¥à¥¢®; ¡) G { ¬¨­¨¬ «ì­ë© á¢ï§­ë© £à ä, â.¥. G { á¢ï§­ë© £à ä ¨ ¤«ï «î¡®£® à¥¡à  fa; bg 2 E (G) £à ä G n fa; bg ï¥âáï ­¥á¢ï§­ë¬ (¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨,  )

ª ¦¤®¥ ॡ஠ï¥âáï ¬®á⮬);

G { ¬ ªá¨¬ «ì­ë©  æ¨ª«¨ç¥áª¨© £à ä, â.¥. G {  æ¨ª«¨ç¥áª¨© £à ä ¨ ¥á«¨ x; y { ­¥á¬¥¦­ë¥ ¢¥à設ë G; â® G + fx; y g ᮤ¥à¦¨â 横«. „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž.  ) ) ¡). DZãáâì G { ¤¥à¥¢® ¨ fx; yg 2 E (G): ƒà ä G n fx; yg ­¥ ᮤ¥à¦¨â Ax;y ¯ã⨠xz : : : zk y; â.ª. ¨­ ç¥ G ᮤ¥à¦¨â 横«. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, G n fx; yg { ­¥á¢ï§­ë© £à ä. „®ª ¦¥¬, çâ® ¡) ) ¢). DZãáâì G { ¬¨­¨¬ «ì­ë© á¢ï§­ë© £à ä ¨ xz : : : zk y { 横« ¢ ­¥¬. ’®£¤  G nfx; yg { á¢ï§­ë© £à ä, â.ª. ¢ «î¡®¬ ¯ã⨠Au;v ॡ஠fx; yg § ¬¥­ï¥âáï ­  ¯ãâì xz : : : zk y: DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ’.¥. G { ¤¥à¥¢®. …᫨ a; b { ¤¢¥ ­¥á¬¥¦­ë¥ ¢¥àè¨­ë ¥£®, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì az : : : zk b ¢ G: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, £à ä G + fa; bg ᮤ¥à¦¨â 横« az : : : zk b: â® ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® G { ¬ ªá¨¬ «ì­ë©  æ¨ª«¨ç¥áª¨© £à ä. „®ª ¦¥¬, çâ® ¢) )  ). DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® G { ­¥á¢ï§­ë© £à ä ¨ a; b { ¢¥àè¨­ë ¥£®, ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨¥ à §­ë¬ ª®¬¯®­¥­â ¬ á¢ï§­®áâ¨.  áᬮâਬ £à ä G + fa; bg: Ž­ ¤®«¦¥­ ᮤ¥à¦ âì 横« az : : : zk b: ® íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® G ᮤ¥à¦¨â Aa;b ¯ãâì. DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. “⢥ত¥­¨¥ 8. Š ¦¤ë© ª®­¥ç­ë© á¢ï§­ë© £à ä G ᮤ¥à¦¨â ¤¥à¥¢®, ¢)

1

1

1

1

1

1

ᮤ¥à¦ é¥¥ ¢á¥ ¢¥àè¨­ë £à ä .

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì n = jGj { ¯®à冷ª £à ä  G ¨ x 2 V (G): DZ®«®¦¨¬ T { ¯®¤£à ä, á®áâ®ï騩 ¨§ ®¤­®© ¢¥à設ë x: DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë ¯®áâந«¨ æ¥¯ì ¤¥à¥¢ì¥¢ T  T 


 Tk  G â ªãî, çâ® jTij = i: …᫨ k < n; â®, ¢¢¨¤ã á¢ï§­®áâ¨, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥à設  y 2 V (G) n V (Tk ), ¨­æ¨¤¥­â­ ï ­¥ª®â®à®© ¢¥à設¥ z 2 V (Tk ): DZãáâì Tk { ¯®¤£à ä, ¯®«ã祭­ë© ¨§ Tk ¯à¨á®¥¤¨­¥­¨¥¬ í⮩ ¢¥à設ë z ¨ à¥¡à  fy; zg: 1

1

2

+1

61

’®£¤  Tk ï¥âáï á­®¢  á¢ï§­ë¬ £à ä®¬, ¢ ª®â®à®¬ ॡ஠fy; zg ­¥ ï¥âáï ॡ஬ ­¨ª ª®£® 横« , â.¥. Tk {  æ¨ª«¨ç¥áª¨© £à ä. DZத®«¦ ï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¬ë ¯®áâந¬ ¨áª®¬®¥ ¤¥à¥¢® Tn: ‘«¥¤á⢨¥ 1. DZãáâì G { ¤¥à¥¢® ¯®à浪  n: ’®£¤  jE (G)j = n 1: „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „¥©á⢨⥫쭮, ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 8 á«¥¤ã¥â, çâ® G ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à ä, ïî騩áï ¤¥à¥¢®¬, ¨ ¢ ª®â®à®¬ jE (Tn)j = n 1: …᫨ G 6= Tn; â® ¯®«ãç ¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á ã⢥ত¥­¨¥¬ 7 (â®ç­¥¥, á ¬¨­¨¬ «ì­®áâìî á¢ï§­®£® £à ä  G:). +1

+1

‘«¥¤á⢨¥ 2. DZãáâì G { «¥á ¯®à浪  n; ¨¬¥î騩 k á¢ï§­ëå ª®¬¯®-

jE (G)j = (n k): „®ª § â¥«ìá⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ á«¥¤á⢨ï 1.

­¥­â. ’®£¤ 

‘«¥¤á⢨¥ 3. DZãáâì G { ¤¥à¥¢® ¯®à浪  n  2: ’®£¤  G ᮤ¥à¦¨â (¯® ¬¥­ì襩 ¬¥à¥) ¤¢¥ ¢¥à設ë á⥯¥­¨ 1.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì d  d 


 dn { ­¥ã¡ë¢ îé ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì á⥯¥­¥© ¢¥à設 ¤¥à¥¢  G: „®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢­®¥. ’®£¤  d  2 ¨ 2jE (G)j = 2(n 1) = d + d +


+ dn  1 + 2(n 1): DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ‚¥à­¥¬áï ª ¯à¥¤«®¦¥­¨î 8. ˆ§ ­¥£® á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ «î¡®¬ á¢ï§­®¬ £à ä¥ (¯®à浪  n) ¥áâì ¤¥à¥¢®, ᮤ¥à¦ é¥¥ ¢á¥ ¢¥àè¨­ë £à ä . Ž­® ­ §ë¢ ¥âáï ®á­®¢­ë¬ (ª àª á­ë¬) ¤¥à¥¢®¬ £à ä . ‚¥à­¥¬áï ¥é¥ à § ª ¯®áâ஥­¨î í⮣® ®á⮢ . …᫨ ¨á室­ë© £à ä G ­¥ ᮤ¥à¦¨â 横«®¢, â® ®­ á ¬ ¨ ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬. ˆ­ ç¥, ¢®§ì¬¥¬ «î¡®© 横« ¨ 㤠«¨¬ «î¡®¥ ॡ஠¨§ ­¥£®. Œë ­¥ ­ àã訬 á¢ï§­®áâì í⮣® ­®¢®£® £à ä , ­® 㬥­ì訬 ¢ ­¥¬ ç¨á«® 横«®¢. DZத®«¦ ï íâ®â  «£®à¨â¬, ¬ë ¯®«ã稬 ®á⮢­®¥ ¤¥à¥¢® £à ä . —¨á«® 㤠«¥­­ëå ॡ¥à ¯à¨ ¯à¨¬¥­¥­¨¨ í⮣®  «£®à¨â¬  ­ §ë¢ ¥âáï 横«¨ç¥áª¨¬ à ­£®¬ (¨«¨ 横«®¬ â¨ç¥áª¨¬ ç¨á«®¬) £à ä  G ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï ç¥à¥§ (G): Ÿá­®, çâ® (G) = m n + 1; £¤¥ m = jE (G)j; n = jGj: DZਬ¥­ïï íâ®â  «£®à¨â¬ ª ¯à®¨§¢®«ì­®¬ã (­¥ ®¡ï§ â¥«ì­® á¢ï§­®¬ã £à äã G); ¬ë ¯®«ã稬 ®á⮢­®¥ ¤¥à¥¢®, 横«¨ç¥áª¨© à ­£ (G) ª®â®à®£® à 1

2

1

62

2

2

¢¥­ (G) = jE (G)j jGj + k; £¤¥ k { ç¨á«® á¢ï§­ëå ª®¬¯®­¥­â. —¨á«® x(G) = jGj k (ç¨á«® ॡ¥à ¢ ®á⮢­®¬ «¥á¥) ­ §ë¢ ¥âáï ª®æ¨ª«¨ç¥áª¨¬ à ­£®¬. ‡ ¤ ç  22.  ©â¨ ç¨á«® ¢á¥å ­¥¨§®¬®àä­ëå ¤¥à¥¢ì¥¢ T ¯®à浪  n; £¤¥ n  7: Ž’‚…’:  ) ¯à¨ n = 6 ¨å ç¨á«® à ¢­® 6; ¡) ¯à¨ n = 7 ¨å ç¨á«® à ¢­® 11. ‡ ¤ ç  23. „®ª § âì, çâ® ª ¦¤®¥ ¤¥à¥¢® ï¥âáï ¤¢ã¤®«ì­ë¬ £à ä®¬. Š ª¨¥ ¤¥à¥¢ìï ïîâáï ¯®«­ë¬¨ ¤¢ã¤®«ì­ë¬¨ £à ä ¬¨? “Š€‡€Hˆ…. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï § ¬¥ç ­¨¥¬ 2 ¢ ­ ç «¥ 2:5: ‡ ¤ ç  24.  ©â¨ 横«¨ç¥áª¨¥ ¨ ª®æ¨ª«¨ç¥áª¨¥ à ­£¨ £à ä®¢ K n; Km;n; E n; Wn; ¯« â®­®¢ëå £à ä®¢, £à ä  DZ¥â¥àᥭ . ‡ ¤ ç  25. DZãáâì G { £à ä ¯®à浪  n: „®ª § âì íª¢¨¢ «¥­â­®áâì á«¥¤ãîé¨å ã⢥ত¥­¨©: 1) G { ¤¥à¥¢®; 2) G { á¢ï§­ë© ¨ jE (G)j = n 1; 3) G {  æ¨ª«¨ç¥áª¨© ¨ jE (G)j = n 1; 4) ¥á«¨ n = 1 ¨«¨ 2, â® G = K n; ¥á«¨ n  3; â® G 6= K n ¨ ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ®¤­®£® à¥¡à  ª G ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥­¨î ஢­® ®¤­®£® 横« . “Š€‡€Hˆ…. ˆ¬¯«¨ª æ¨ï 1) ) 2) á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨ á«¥¤á⢨ï 1. ˆ¬¯«¨ª æ¨ï 2) ) 3) á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 8. ˆ¬¯«¨ª æ¨ï 3) ) 4) ¯à¨ n  2 ®ç¥¢¨¤­ . …᫨ ¦¥ n  3; â® ïá­®, çâ® G 6= K n: „®ª ¦¥¬, çâ® G { á¢ï§­ë© £à ä. ˆ­ ç¥, ª ¦¤ ï ¨§ ¥£® k á¢ï§­ëå ª®¬¯®­¥­â ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬ ¨ jE (G)j = n k = n 1: ’.ª. k = 1: Žáâ «ì­®¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 7. Š®­¥ç­ë© £à ä G = (V; E ) ¯®à浪  n ­ §®¢¥¬ ¯®¬¥ç¥­­ë¬, ¥á«¨ ¢á¥ ¥£® ¢¥à設ë "¯®¬¥ç¥­ë" 楫묨 ç¨á« ¬¨ ®â 1 ¤® n; â.¥. áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï ' : fv ; : : : ; vng ! f1; 2; : : : ; ng: —¨á«  '(v ); : : : ; '(vn) ­ §ë¢ îâáï ¬¥âª ¬¨ ¢¥à設 v ; : : : ; vn: „¢  ¯®¬¥ç¥­­ëå £à ä  (G ; ' ) ¨ (G ; ' ) ­ §ë¢ îâáï ¨§®¬®à­ë¬¨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã ­ è¨¬¨ £à ä ¬¨, ª®â®1

1

1

1

63

1

2

2

àë© á®åà ­ï¥â à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¬¥â®ª. DZਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë ¢á¥å ¯®¬¥ç¥­­ëå ­¥¨§®¬®àä­ëå ¤¥à¥¢ì¥¢ ¯®à浪  2, 3, 4:  ) n = 2 1 2 ¡) n = 3 1 2 3 1 3 2 2 1 3 ¢) n = 4 1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 2 1 3 4 2 1 4 3 2 3 1 4 2 3 4 1 2 4 1 3 2 4 3 1 3 1 2 4 3 2 1 4 @  @  @  @  ˆå ç¨á«® p ¢­® 1.

ˆå ç¨á«® p ¢­® 3.

i @

@@ @ 1

k

j

i @

@@ @ 2

j

i @

@@ @ 3

k

j

i @

@@ @ 4

k

j

k

ˆå ç¨á«® p ¢­® 16.

’¥®à¥¬  6.(€.Ší«¨, 1889) —¨á«® à §«¨ç­ëå ¯®¬¥ç¥­­ëå ¤¥à¥¢ì¥¢ ¯®à浪 

n à ¢­® nn : 2

ˆ‘’Žˆ—…‘Š€Ÿ ‘DZ€‚Š€. €àâãà Ší«¨ (1821-1895) {  ­£«¨©áª¨© ¬ â¥¬ â¨ª; ¨§¢¥á⥭ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï¬¨ ¢ ⥮ਨ £à㯯 ¨ ¢ ⥮ਨ ª®«¥æ (ç¨á«  Ší«¨);  ¢â®à à ¡®â ¯® ⥮ਨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© (¢ ç áâ­®áâ¨, ¢¢¥« ¢ à áᬮâ७¨¥ ­ë­¥ ¤¥©áâ¢ãî饥 ®¡®§­ ç¥­¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï), ¯® £¥®¬¥âਨ ‹®¡ ç¥¢áª®£® (¬®¤¥«ì Ší«¨-Š«¥©­ ), ¯® ⥮ਨ ¨­¢ à¨ ­â®¢ ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¬ ãà ¢­¥­¨ï¬. „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì T (n; k) { ç¨á«® ¯®¬¥ç¥­­ëå ¤¥à¥¢ì¥¢ ¯®à浪  n; ¢ ª®â®àëå 䨪á¨à®¢ ­­ ï ¢¥à設  v ¨¬¥¥â á⥯¥­ì k: „®ª ¦¥¬ 64

à ¢¥­á⢮ (): (n 1)(k 1)T (n; k) = (n k)T (n; k 1): ‚®§ì¬¥¬, á­ ç « , «î¡®¥ ¯®¬¥ç¥­­®¥ ¤¥à¥¢® A ¯®à浪  n; ¢ ª®â®à®¬ (v) = k 1: ‚®§ì¬¥¬ ¢ ­¥¬ «î¡®¥ ॡ஠fw; z g; ­¥ ¨­æ¨¤¥­â­®¥ v; ¨ 㤠«¨¬ ¥£®. @  @  @ @ @ @  @ @  @ @ @ z @ z @ @  @@ @@   v  w  v   w     ˆ§ ¯à¥¤ë¤ã饣® á«¥¤ã¥â, ç⮠㤠«¥­­®¥ ॡ஠﫮áì ¬®á⮬. ‘®¥¤¨­¨¬ ¢¥à設ã v ­®¢ë¬ ॡ஬ á ¢¥à設®© z ¨§ ¤à㣮© á¢ï§­®© ª®¬¯®­¥­âë. ’®£¤  ¯®«ã稬 á­®¢  ¤¥à¥¢® B; ¢ ª®â®à®¬ (v) = k: ’ ªãî ¯ àã (A; B ) ¬ë ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì á¢ï§ª®©. ‘ª®«ìª® â ª¨å á¢ï§®ª? „¥à¥¢® A ¬®¦­® ¢ë¡à âì T (n; k 1) ᯮᮡ ¬¨. „«ï ª ¦¤®£® ¤¥à¥¢  A 㤠«ï¥¬®¥ ¨§ ­¥£® ॡ஠fw; zg ¬®¦­® ¢ë¡à âì (n 1) (k 1) = n k ᯮᮡ ¬¨. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ç¨á«® ¢á¥å â ª¨å á¢ï§®ª à ¢­® (n k)T (n; k 1): ‚®§ì¬¥¬ ⥯¥àì «î¡®¥ ¯®¬¥ç¥­­®¥ ¤¥à¥¢® B ¯®à浪  n; ¢ ª®â®à®¬ (v) = k: DZãáâì T ; T ; : : : ; Tk { ¯®¤¤¥à¥¢ìï, ¯®«ã祭­ë¥ ¨§ B 㤠«¥­¨¥¬ ¢¥à設ë v á ª ¦¤ë¬ ¨§ ¨­æ¨¤¥­â­ëå ¥© ॡ¥à. 1

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“¤ «ïï, ­ ¯à¨¬¥à, ॡ஠fv; w g ¨ ᮥ¤¨­ïï w ॡ஬ á «î¡®© ¢¥à設®© «î¡®£® ¨§ ®áâ ¢è¨åáï ¤¥à¥¢ì¥¢, ¬ë ¯®«ã稬 ¤¥à¥¢® A; ¢ ª®â®à®¬ 1

1

65

(v)

= k 1: ’.¥. ¯®«ãç ¥âáï á¢ï§ª  (A; B ) (¨ ¢á¥ á¢ï§ª¨ ¯®«ãç îâáï â ª¨¬ ®¡à §®¬!). DZ®¤áç¨â ¥¬ ¤à㣨¬ ᯮᮡ®¬ ç¨á«® íâ¨å á¢ï§®ª. „¥à¥¢® B ¬®¦­® ¢ë¡à âì T (n; k) ᯮᮡ ¬¨. „«ï ª ¦¤®£® â ª®£® ¢ë¡®à  ॡ஠fw ; ug ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì (n + n +


+ nk ) = (n n 1) ᯮᮡ ¬¨; ॡ஠fw ; ug ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì (n n 1) ᯮᮡ ¬¨ ¨ â.¤. ’.¥. à¥¡à  fwi; ug ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì (n n 1 + n n 1 +


+ n nk 1) = = nk k (n 1) = (n 1)(k 1) ᯮᮡ ¬¨ (¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ à ¢¥­á⢮ n + n +


+ nk = n 1; £¤¥ ni { ¯®à冷ª ¤¥à¥¢  Ti; i  k): ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ç¨á«® ¢á¥å á¢ï§®ª à ¢­® (n 1)(k 1)T (n; k), ¨ ä®à¬ã«  () ¤®ª § ­ . ’ ª ª ª T (n; n 1) = 1; â® ¨§ () á«¥¤ã¥â à ¢¥­á⢮ 1

2

2

3

2

1

1

1

2

2

T (n; k) = Cnk

1 2


(n 1)n

k

1

:

—¨á«® T (n) ¢á¥å ¯®¬¥ç¥­­ëå ¤¥à¥¢ì¥¢ ¯®à浪  n à ¢­® nP T (n) = T (n; 1) + T (n; 2) +


+ T (n; n 1) = Cnk
(n 1)n k = k n n = ((n 1) + 1) = n : ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ‡ ¤ ç  26.  ©â¨ 横«®¬ â¨ç¥áª®¥ ç¨á«® ¯®«­®£® £à ä . ‡ ¤ ç  27. DZãáâì n  3: „®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¯®«­ë© £à ä K n à §«®¦¨¬ ¢ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ £ ¬¨«ìâ®­®¢ëå 横«®¢ (­¥ ¨¬¥îé¨å ®¡é¨å ॡ¥à), â® n { ­¥ç¥â­®¥ ç¨á«®. “Š€‡€Hˆ…. ƒà ä K n ï¥âáï ®¤­®à®¤­ë¬ á⥯¥­¨ (n 1): Š ¦¤ë© £ ¬¨«ìâ®­®¢ë© 横« ï¥âáï 2-®¤­®à®¤­ë¬. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, 2j(n 1) ¨ n { ­¥ç¥â­®¥ ç¨á«®. ’ ª ª ª ç¨á«® ¢á¥å ॡ¥à jE (K n)j = n n ; â® ¢ í⮬ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¨ ¡ã¤¥â (n 1)=2 横«®¢. ‡ ¤ ç  28. DZãáâì n { ­¥ç¥â­®¥ 楫®¥ ç¨á«®  3: „®ª § âì, çâ® K n ï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ (n 1)=2 £ ¬¨«ìâ®­®¢ëå 横«®¢ («î¡ë¥ ¤¢  ¨§ ª®â®àëå ­¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å ॡ¥à). ‡ ¤ ç  29. DZ®«­ë© £à ä K n(n  2) à §«®¦¨¬ ¢ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ £ ¬¨«ìâ®­®¢ëå ¯ã⥩ («î¡ë¥ ¤¢  ¨§ ª®â®àëå ­¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å ॡ¥à) ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  n { ç¥â­®¥ ç¨á«®. 1

1

1

2

=1

2

2

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1)

2

66

DZਬ¥àë:

 ) K ï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ á«¥¤ãîé¨å £ ¬¨«ìâ®­®¢ëå ¯ã⥩:   @A

A@ 


    HA H AA@ 

 A HHHA 

  @AA HA

@A @A 
 6

¡) K ï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ â ª¨å £ ¬¨«ìâ®­®¢ëå ¯ã⥩     4

    “Š€‡€Hˆ…. …᫨ n { ­¥ç¥â­®¥ ç¨á«®, â® á ª ¦¤ë¬ £ ¬¨«ìâ®­®¢ë¬ ¯ã⥬ £à ä  K n ¬®¦­® á¢ï§ âì £ ¬¨«ìâ®­®¢ 横« K n (¯à¨á®¥¤¨­ïï ®áâ ¢èãîáï ¢¥à設ã) ¨ ­ ®¡®à®â. ‡ ¤ ç  30. „®ª § âì, çâ® ¢ á¢ï§­®¬ ª®­¥ç­®¬ £à ä¥ G = (V; E ); ­¥ ïî騬áï ¤¥à¥¢®¬, ª ¦¤®© ¢¥à設¥ ¬®¦­® ¯®áâ ¢¨âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ᬥ¦­®¥ á ­¥© ॡà®, â.¥. áãé¥áâ¢ã¥â ¨­ê¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ' : V ! E â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®© ¢¥à設ë v 2 V áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥à設  u 2 V â ª ï, çâ® '(v) = fv; ug: ˆ««îáâà æ¨¥© ª í⮩ § ¤ ç¥ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ¯à¨¬¥à £®à®¤ , ¢ ª®â®à®¬ ª ¦¤ ï ã«¨æ  ¨¬¥¥â ¤«¨­ã ¢ ®¤¨­ ª¢ àâ «, ª ¦¤ë© ¯¥à¥ªà¥á⮪ (­ §ë¢ ¥âáï ¯«®é ¤ìî) ¨¬¥¥â ­ §¢ ­¨¥ ¨ ¨§ ª ¦¤®© ¯«®é ¤¨ ¨á室¨â ã«¨æ  á ⥬ ¦¥ ­ §¢ ­¨¥¬.  ¯à¨¬¥à, ¨§ ¯«®é ¤¨ ‘®¢¥â®¢ ¨á室¨â ã«¨æ  ‘®¢¥âáª ï ¨ â.¤. “Š€‡€Hˆ…. …᫨ n = jGj = jV j; â® jE j  n (¨­ ç¥, G { ¤¥à¥¢®).  áᬮâਬ á奬㠯ॢà é¥­¨ï G ¢ ¤¥à¥¢®. ‘奬  á®á⮨⠨§ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®£® 㤠«¥­¨ï ॡ¥à. DZãáâì e = (a; b) { ®¤­® ¨§ â ª¨å 㤠«ï¥¬ëå ॡ¥à ¨ T { ¯®«ã祭­®¥ ¢ १ã«ìâ â¥ 㤠«¥­¨ï ¤¥à¥¢®. Š ¦¤®© ¢¥à設¥ ¤¥à¥¢  T (ªà®¬¥ a!) ¯®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ᬥ¦­®¥ á ­¥© ॡ஠(íâ® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, 1

67

¥á«¨ ¯à¨­ïâì a §  ª®à¥­ì ¤¥à¥¢ ),   ¢¥à設¥ a ¯®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ 㤠«¥­­®¥ ॡ஠e = (a; b): ‡ ¤ ç  31. DZãáâì G = (V; E ) { á¢ï§­ë© ª®­¥ç­ë© £à ä. ‘ãé¥áâ¢ã¥â ¨­ê¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ' : E ! V â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® à¥¡à  e 2 E ¢¥à設  '(e) ¨­æ¨¤¥­â­  e ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  G { ¤¥à¥¢® ¨«¨ G { 横« á ¤¥à¥¢ìﬨ, ¢ëà áâ î騬¨ ¨§ ¥£® ¢¥à設 (á¬. à¨áã­®ª).    C @     CC    @ C @   HH  “Š€‡€Hˆ…. …᫨ G { ¤¥à¥¢® ¨ a { ¥£® ª®à¥­ì, â® à áᬮâà¥âì ®â®¡à ¦¥­¨¥ fa ; a g ! a ; fa ; a g ! a ; fa ; a g ! a ¨ â.¤. …᫨ G { 横« a a : : : an ; â® ¯®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ॡࠬ fai ; aig ! ai; i  n 1 ¨ fan ; a g ! a : ˆâ ª, ïá­®, çâ® ¥á«¨ £à ä ¨¬¥¥â 㪠§ ­­ë© ¢ ãá«®¢¨¨ § ¤ ç¨ ¢¨¤, â® ¨áª®¬®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â. Ž¡à â­®, ¥á«¨ â ª®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ C = a a : : : an { 横« G; â®, ­ ¯à¨¬¥à, '(fa ; a g) = a ; ¨ ⮣¤  '(fa ; a g) = a ¨ â.¤. . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, '(C ) = = fa ; a ; a ; : : : ; an g: DZãáâì b 2 V ¨­æ¨¤¥­â­  a : ’®£¤  '(fa ; b g) = b ¨ a { ª®à¥­ì ­¥ª®â®à®£® ¤¥à¥¢ , ¢ëà áâ î饣® ¨§ a : €­ «®£¨ç­ë¥ à áá㦤¥­¨ï ®â­®á¨â¥«ì­® ¢¥à設 a ; : : : ; an ¯à¨¢¥¤ãâ ª à¥è¥­¨î § ¤ ç¨. 0

0

1

2

1

1

0

2

2

1

3

3

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1

1

1

1

1

1

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1

2

2

3

2

1

3

2

3

1

1

1

1

1

1

1

2

2.6

1

1

ªáâ६ «ì­ë¥ § ¤ ç¨,  «£®à¨â¬ Šà áª «ï. ‡ ¤ ç  ® ç¥âëà¥å ªà áª å

DZãáâì ã ­ á ¥áâì ­¥áª®«ìª® ¤¥à¥¢¥­ì a; b; c; : : : ; ª®â®àë¥ ­ã¦­® ᮥ¤¨­¨âì á¥âìî  áä «ìâ¨à®¢ ­­ëå ¤®à®£; ¯à¨ í⮬ á⮨¬®áâì f (a; b) ¤®à®£¨ ¤«ï ª ¦¤®© ¯ àë ¤¥à¥¢¥­ì fa; bg ¨§¢¥áâ­ . Š ª ¯®áâநâì á ¬ãî ¤¥è¥¢ãî á¥âì 68

¤®à®£, ¢ë¯®«­¨¢ ãá«®¢¨¥, çâ® ¨§ «î¡®© ¤¥à¥¢­¨ ¬®¦­® ¯à®¥å âì ¢ «î¡ãî ¤àã£ãî ¯® â ª®© ¤®à®£¥? …᫨ ã ­ á âਠ¤¥à¥¢­¨ a a 2

3

a ¨ f (a ; a )  f (a ; a )  f (a ; a ); â® ïá­®, çâ® f (a ; a 1

1

2

2

3

1

3

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2

)+ f (a ; a ) ï¥âáï 2

3

¬¨­¨¬ «ì­ë¬. ‚ á«ãç ¥ 6 ¤¥à¥¢¥­ì, á 㪠§ ­­ë¬ ­  à¨áã­ª¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ á⮨¬®áâ¨,

BZ J 1

ZZ J

B J

B  Z B  ZJZJ

ZJ

JZJ Z BBB

JJZ ZZBB

  3

2

4

4

3

3

5

1

2

4

à¥è¥­¨¥ 㦥 ­¥ ï¥âáï ®ç¥¢¨¤­ë¬. DZãáâì G = (V; E ) { ª®­¥ç­ë© á¢ï§­ë© £à ä ¨ f : E ! R : “ª ¦¥¬  «£®à¨â¬ ­ å®¦¤¥­¨ï á¢ï§­®£® ¯®¤£à ä  T = (V; E 0) £à ä  G; ¤«ï ª®â®à®£® §­ ç¥­¨¥ X f (T ) = f (fx; yg) +

fx;yg2E 0

ï¥âáï ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ ¨§ ¢®§¬®¦­ëå. …᫨ â ª®© ¯®¤£à ä áãé¥áâ¢ã¥â, â® ®­ ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬, â.ª. ¥á«¨ a a : : : ak { ­¥ª®â®àë© æ¨ª« ¢ ­¥¬, ⮠㤠«¥­¨¥ à¥¡à  fak ; a g ­¥ ­ àã蠥⠥£® á¢ï§­®áâ¨, ­® 㬥­ì蠥⠧­ ç¥­¨¥ f (T ): ˆâ ª, ¥á«¨ T áãé¥áâ¢ã¥â, â® T { ¤¥à¥¢®. €«£®à¨â¬ ­ å®¦¤¥­¨ï â ª®£® ¤¥à¥¢  (¥£® ¯à¥¤«®¦¨« „.Šà áª «ì (J.B.Kruskal, 1956)) ­ §®¢¥¬ ¯à ¢¨«®¬ íª®­®¬¨ç­®áâ¨,   á ¬® ¤¥à¥¢® ­ §®¢¥¬ íª®­®¬¨ç­ë¬ ¤¥à¥¢®¬. €«£®à¨â¬ Šà áª «ï: ˜ £ 1. ‚롥६ ¢¥à設ë a ; a 2 V â ª¨¥, çâ® f (fa ; a g) { ¬¨­¨¬ «ì­®¥ ¨§ ¢®§¬®¦­ëå §­ ç¥­¨©. ˜ £ 2. DZà¨á®¥¤¨­¨¬ ª ¢¥à設 ¬ a ; a ¨ ॡàã e = fa ; a g ॡ஠e (¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¢¥à設ã) á ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ §­ ç¥­¨¥¬ f (e ) â ª¨¬, çâ® 1

1

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

69

2

2

1

¯®«ã祭­ë¥ à¥¡à  ­¥ ®¡à §ãîâ 横« . DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë ¯®áâந«¨ ¢¥à設ë fa ; : : : ; ak g ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 §¢¥­ìï (ॡà ) e ; e ; : : : ; ek : ‚롥६ á ¬®¥ ¤¥è¥¢®¥ ॡ஠¨§ E n fe ; : : : ; ek g â ª®¥, çâ® ¥£® ¯à¨á®¥¤¨­¥­¨¥ ­¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥­¨î 横« . „®ª ¦¥¬, çâ® â ª ¯®áâ஥­­®¥ íª®­®¬¨ç­®¥ ¤¥à¥¢® T ¤¥©á⢨⥫쭮 ï¥âáï ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ ¨§ ¢®§¬®¦­ëå. ’ ª ª ª á।¨ ¯®¤£à ä®¢ G áãé¥áâ¢ãîâ ¤¥à¥¢ìï á ç¨á«®¬ ¢¥à設, à ¢­ë¬ ¯®à浪ã G, ¨ ¨å ®¡é¥¥ ç¨á«® ï¥âáï ª®­¥ç­ë¬, â®, ®ç¥¢¨¤­®, áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¬¨­¨¬ «ì­®¥ ¤¥à¥¢® T ; â.¥. f (T ) ï¥âáï ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ ¨§ ¢®§¬®¦­ëå. ‡ ­ã¬¥à㥬 à¥¡à  fe ; e ; : : : ; en g íª®­®¬¨ç­®£® ¤¥à¥¢  T ¢ ¯®à浪¥ ¨å ¯à¨á®¥¤¨­¥­¨ï. …᫨ T 6= T; â® ¯ãáâì ei = fa; bg { ¯¥à¢®¥ ॡà®, ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¥¥ E (T ): DZãáâì P { æ¥¯ì ¤¥à¥¢  T ; ᮥ¤¨­ïîé ï (¢ T !) ¢¥à設ë a ¨ b : 1

1

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0

0

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.. HH .

.. H

ei

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P

..

H




’ ª ª ª T ­¥ ᮤ¥à¦¨â 横«®¢, â® ­ ©¤¥âáï ॡ஠e0i ¢ ¯ã⨠P â ª®¥, çâ® e0i 62 E (T ):  áᬮâਬ ¤¥à¥¢® T 0 = (T + feig) nfe0ig (íâ® á¢ï§­ë© £à ä á n = jGj ¢¥à設 ¬¨ ¨ (n 1) ॡࠬ¨!). ’ ª ª ª f (T 0) = f (T ) + f (ei) f (e0i)  f (T ); â® f (ei)  f (e0i): ’ ª ª ª f (ei) ¡ë«® ¬¨­¨¬ «ì­ë¬, â® f (e0i) = f (ei) ¨ f (T 0) = f (T ): ® ¤¥à¥¢® T 0 ¨¬¥¥â á T ®¤­¨¬ ®¡é¨¬ ॡ஬ ¡®«ìè¥, 祬 T :  áá㦤 ï  ­ «®£¨ç­®, ¬ë ¤®ª ¦¥¬, çâ® f (T ) = f (T 0 ) = f (T ): ‚® ¢â®à®© ¯®«®¢¨­¥ XIX ¢¥ª  ¢ €­£«¨¨ ¬ â¥¬ â¨ª ¬¨ ”.ƒãâà¨, €.„¥ Œ®à£ ­®¬ ¨ €.Ší«¨ ¡ë«  ¯®áâ ¢«¥­  § ¤ ç  ® ¢®§¬®¦­®á⨠à áªà áª¨ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¬­®£®ã£®«ì­®£® £à ä  ­  ¯«®áª®á⨠¯à¨ ¯®¬®é¨ ç¥âëà¥å ªà á®ª â ª, çâ® á®á¥¤­¨¥ áâà ­ë ¨¬¥îâ à §«¨ç­ë© 梥â. ‘«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® 3-å ªà á®ª ¬®¦¥â ¡ëâì ­¥¤®áâ â®ç­® 0

0

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0

0

0

0

0

0

0

70

0

B B  B  BB  B  Š @@BB‡  ‘ @B

£¤¥ Š, , ‡, ‘ { ­ ç «ì­ë¥ ¡ãª¢ë ᮮ⢥âá⢥­­®£® ªà á­®£®, ¡¥«®£®, §¥«¥­®£® ¨ ᨭ¥£® 梥⮢. ‚ 1892 £.  ­£«¨©áª¨© ¬ â¥¬ â¨ª •¨¢ã¤ ¤®ª § «, çâ® «î¡ãî ª àâã ¬®¦­® à áªà á¨âì ¯ïâìî ªà áª ¬¨ (á¬. ⥮६㠭¨¦¥). ‚ 1976 £.  ¬¥à¨ª ­áª¨¥ ¬ â¥¬ â¨ª¨ Š.€¯¯¥«ì ¨ ‚.• ª¥­ á ¯®¬®éìî ‚Œ ãáâ ­®¢¨«¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ à¥è¥­¨¥ ¤ ­­®© ¯à®¡«¥¬ë. ‘­ ç «  ãâ®ç­¨¬ ¯®­ï⨥ ¬­®£®ã£®«ì­®£® £à ä  G(V; E ): â® ª®­¥ç­ë© ¯«®áª¨© á¢ï§­ë© £à ä, ¢ ª®â®à®¬ ­¨ ®¤¨­ ¬­®£®ã£®«ì­¨ª ­¥ «¥¦¨â ¢­ãâਠ¤à㣮£®. ƒà ­¨ç­ë¥ à¥¡à  ¬­®£®ã£®«ì­¨ª  ®¡à §ãîâ 横«, ¢­ãâ७­ïï ç áâì ª®â®à®£® ­ §ë¢ ¥âáï £à ­ì £à ä . –¨ª« £à ä , ®ªà㦠î騩 ¢¥áì £à ä, ­ §ë¢ ¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬,   ¥£® ¢­¥è­ïï ç áâì ­ §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®­¥ç­®© £à ­ìî (F1): DZਬ¥à (¬­®£®ã£®«ì­®£® £à ä ).    @   @@            4

3

1

7

5

6

2

’¥®à¥¬  7(•¨¢ã¤).Š ¦¤ë© ¬­®£®ã£®«ì­ë© £à ä G = (V; E ) ¬®¦­® à áªà á¨âì ¯ïâìî ªà áª ¬¨.

‡ ¬¥ç ­¨¥ 1.

Œ®¦­® áç¨â âì, çâ® £à ä G ­¥ ᮤ¥à¦¨â ¢¥à設 á⥯¥­¨

¤¢ . „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ¢¥à設  a 2 V , çâ® (a) = 2 71

a e

@@ @e @@

1

2

@  e â®, 㤠«ïï íâã ¢¥à設㠨 ®¡ê¥¤¨­ïï ¨­æ¨¤¥­â­ë¥ á ­¥© ¤¢  à¥¡à  e ; e ¢ ®¤­® ॡ஠e; ¬ë ¯®«ã稬 ¬­®£®ã£®«ì­ë© £à ä G0:  áªà è¨¢ ­¨¥ £à ä  G0 ¯ïâìî ªà áª ¬¨ ¢«¥ç¥â §  ᮡ®© ¨áª®¬®¥ à áªà è¨¢ ­¨¥ £à ä®¢ G: ‡ ¬¥ç ­¨¥ 2. ‚ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 1 á⥯¥­ì ª ¦¤®© ¢¥àè¨­ë £à ä  G ­¥ ¬¥­ìè¥ 3. Žª §ë¢ ¥âáï, ¬ë ¬®¦¥¬ ᢥá⨠­ èã § ¤ çã ª ®¤­®à®¤­ë¬ £à ä ¬ á⥯¥­¨ 3. „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥à設  a 2 V â ª ï, çâ® (a)  4; â® ¯à®¢¥¤ï ¤®áâ â®ç­® ¬ «ãî ®ªà㦭®áâì á 業â஬ ¢ â®çª¥ a ¨ 㤠«ïï ¢¥à設ã a á ç áâﬨ ॡ¥à, «¥¦ é¨¬¨ ¢­ãâਠí⮩ ®ªà㦭®áâ¨, ¬ë ¯®«ã稬 ­®¢ë© £à ä G0; ¢ ª®â®à®¬ ¢¬¥áâ® ¢¥à設ë a ¯®ï¢¨«¨áì ¢¥à設ë a ; : : : ; ak (k  4) á⥯¥­¨ 3 (á¬. à¨á.) 1

2

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 áªà è¨¢ ­¨¥ £à ä  G0 ¯ïâìî ªà áª ¬¨ ¢«¥ç¥â §  ᮡ®© ®ç¥¢¨¤­®¥ ¨áª®¬®¥ à áªà è¨¢ ­¨¥ £à ä  G: ‡ ¬¥ç ­¨¥ 3. ˆâ ª, ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì, çâ® G = (V; E ) { íâ® á¢ï§­ë© ¯«®áª¨© (ª®­¥ç­ë©) ®¤­®à®¤­ë© á⥯¥­¨ 3 £à ä. „®ª ¦¥¬, çâ® ®­ ᮤ¥p¦¨â £p ­ì, ®£p ­¨ç¥­­ãî ­¥ ¡®«¥¥ 5 p¥¡p ¬¨.  áᬮâਬ à ¢¥­á⢠: 2 + p = b + r (ä®à¬ã«  ©«¥à ), 3b = 2' + 3' + +4' + : : : ; £¤¥ 'k { ç¨á«® £à ­¥© á k ॡࠬ¨ ¨ k ¢¥à設 ¬¨. ‚ëà §¨¬ ç¨á«® ॡ¥à p ¨ ç¨á«® £à ­¥© ç¥à¥§ ' ; ' ; : : : á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: 2p = 2' + 3' + 4' + : : : ; 2

4

2

2

3

72

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‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ®¤­® ¨§ ç¨á¥« ' ; ' ; ' ; ' ¡®«ìè¥ ­ã«ï. „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž ⥮६ë. Œ¨­¨¬ «ì­® ¢®§¬®¦­®¥ ç¨á«® £à ­¥© ¤«ï ®¤­®à®¤­®£® £à ä  á⥯¥­¨ 3 à ¢­® 4 B 2

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“¤ «ïï ¨§ G ॡ஠e ; ¢¥à設ë a ¨ b;   â ª¦¥ "᪫¥¨¢ ï" à¥¡à  e ; e ¢ ॡ஠e0;   à¥¡à  e ; e ¢ ॡ஠e00; ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ­®¢®¬ã (®¤­®à®¤­®¬ã á⥯¥­¨ 3) £à äã G0 á ¬¥­ì訬 ç¨á«®¬ £à ­¥©. ˆ§ à áªà áª¨ G0; ®ç¥¢¨¤­®, á«¥¤ã¥â ¨áª®¬ ï à áªà áª  £à ä  G: ‘«ãç © 3. ' = ' = 0; '  1: ’.¥. £à ä G ᮤ¥à¦¨â ç¥âëà¥å㣮«ì­ãî £à ­ì, ­® ­¥ ᮤ¥à¦¨â ªà â­ëå ॡ¥à ¨ âà¥ã£®«ì­ëå £à ­¥©: m ' $  '  $ n   a @ b B @@a b  A F C    H c d HHH   D HH c d DZਠí⮬ ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® £à ­¨ B ¨ D ­¥ ïîâáï ç áâﬨ ®¤­®© £à ­¨ ¨ ­¥ £à ­¨ç â ¤àã£ á ¤à㣮¬. ˆáª«î稬 à¥¡à  fa; bg; fc; dg; ®¡ê¥¤¨­¨¬ fa ; ag; fc; c g ¨ fa; cg ¢ ®¤­® ॡ஠fa ; c g;   à¥¡à  fb ; bg; fb; dg; fd; d g ¢ ॡ஠fb ; d g: Œë ¯®«ã稬 ®¤­®à®¤­ë© (á⥯¥­¨ 3) £à ä G á ¬¥­ì訬 ç¨á«®¬ £à ­¥©. DZ® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨, ¤«ï ­¥£® áãé¥áâ¢ã¥â ¨áª®¬ ï à áªà áª . DZãáâì, ­ ¯à¨¬¥à, £à ­¨ A ¨ C à áªà è¥­ë ¢ æ¢¥â   ¨ ;   £à ­ì B + F + D ¢ 梥â : ‚®§¢à é ïáì ª £à äã G; ¬ë £à ­¨ B ¨ D ®áâ ¢«ï¥¬ ®ªà è¥­­ë¬¨ ¢ 梥â ;   £à ­ì F § ªà è¨¢ ¥¬ ¢ 4-© 梥â Æ: ‘«ãç © 4. ' = ' = ' = 0; '  1: 1

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 áᬮâਬ äà £¬¥­â £à ä  G E A HaH p    H  HH  HH  H H t @@ F b D @ cHH B d  H  HH  Hq C Œ®¦­® áç¨â âì, çâ® £à ­¨ A ¨ C ­¥ ïîâáï ç áâﬨ ®¤­®© ¨ ⮩ ¦¥ £à ­¨ ¨ ­¥ ¨¬¥îâ ®¡é¥© £à ­¨æë. ˆáª«î稬 à¥¡à  fa; bg; fc; dg : E D

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DZ® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨, ­®¢ë© £à ä ¬®¦­® à áªà á¨âì ¢ 5 梥⮢: ; ; ; Æ; : DZãáâì, ­ ¯à¨¬¥à, £à ­¨ B; D; E ¨ (A + F + C ) à áªà è¥­ë ᮮ⢥âá⢥­­® ; ; Æ;  梥⠬¨. ‚®ááâ ­ ¢«¨¢ ï £à ä G; ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ à áªà áªã ¯à¥¦­¥©, ªà®¬¥ £à ­¨ F; ª®â®àãî § ªà è¨¢ ¥¬ ¢ 梥â : ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ‡ ¤ ç  32. DZãáâì G { ¬­®£®ã£®«ì­ë© ®¤­®à®¤­ë© á⥯¥­¨ 4 £à ä. ’®£¤  G ᮤ¥à¦¨â «¨¡® 4 ¤¢ãåªà â­ëå ॡà , «¨¡® âà¥ã£®«ì­ãî £à ­ì. “Š€‡€Hˆ…. ˆ¬¥¥¬ X X X 4b = n'n; 2p = n'n; b + r = 2 + p; r = 'n: n2

n2 P

n2

P

Žâªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® 4b + 4r = (n + 4)'n = 8 + 2n
'n; n n 8 = 2' + ' ' 2' : : : : …᫨ ' = 0; â® '  4: ‡ ¤ ç  33. ˆáá«¥¤®¢ âì ¢®§¬®¦­ë¥ §­ ç¥­¨ï ' ; ' ; ' ¤«ï ¬­®£®ã£®«ì­®£® ®¤­®à®¤­®£® á⥯¥­¨ 5 £à ä . ‡ ¤ ç  34. DZãáâì G { ¯« ­ à­ë© ª®­¥ç­ë© £à ä. —¨á«® (G) = (b p) ­ §ë¢ ¥âáï í©«¥à®¢®© å à ªâ¥à¨á⨪®© £à ä  G: „®ª § âì, çâ® 2

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 ) ¥á«¨ G { á¢ï§­ë© £à ä, â® (G)  1; ¡) ¥á«¨ G { á¢ï§­ë© £à ä, â® (G) = 1 ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  G { ¤¥à¥¢®; ¢) ¥á«¨ G { «¥á, â® ç¨á«® ¤¥à¥¢ì¥¢ ¢ ­¥¬ à ¢­® (G): ‡ ¤ ç  35 ( «£®à¨â¬ ¢ë¡®à  íª®­®¬¨ç­®£® ¤¥à¥¢  ¢ á¢ï§­®¬ £à ä¥). DZãáâì G = (V; E ) { ª®­¥ç­ë© á¢ï§­ë© £à ä ¨ f : E ! R : ‚롥६ «î¡ãî ¢¥à設ã x 2 V ¨ ¢ë¡¥à¥¬ ¢¥à設ã x ; ¨­æ¨¤¥­â­ãî x ; ¨¬¥îéãî ¬¨­¨¬ «ì­®¥ §­ ç¥­¨¥ f (fx ; x g): ‡ â¥¬ ¢ë¡¥à¥¬ x ; ¨­æ¨¤¥­â­ãî ®¤­®© ¨§ ¢¥à設 x ; x ¨ ¨¬¥îéãî á ­¨¬¨ á ¬®¥ "¤¥è¥¢®¥" ॡà®. DZãáâì ¬ë ¢ë¡p «¨ ¢¥à設ë x ; : : : ; xk : ‚롥६ á।¨ ¢¥à設, ¨­æ¨¤¥­â­ëå 㪠§ ­­ë¬, ¢¥à設ã xk 62 fx ; : : : ; xk g; ¨¬¥îéãî á ¬®¥ "¤¥è¥¢®¥" ॡ஠fxk ; xig; i  k:  è  «£®à¨â¬ ®áâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ­  (n 1) è £¥. DZ஢¥à¨âì, çâ® ¢ १ã«ìâ â¥ ¬ë ¤¥©á⢨⥫쭮 ¯®«ãç ¥¬ íª®­®¬¨ç­®¥ ¤¥à¥¢®. “Š€‡€Hˆ…. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï ¤®ª § â¥«ìá⢮¬ â¥®à¥¬ë Šà áª «ï. +

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’¥®à¥¬  ® 楫®ç¨á«¥­­®áâ¨. DZ®â®ª¨ ¢ á¥âïå. ’¥®à¥¬  ® ¬ ªá¨¬ «ì­®¬ ¯®â®ª¥ ¨ ¬¨­¨¬ «ì­®¬ ࠧ१¥

‚ ¯ã­ªâ¥ 1:4 ¡ë«  ¤®ª § ­  ⥮६  ”.•®««  ® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ïå. ¥ª®â®àë¥  ¢â®àë ­ §ë¢ îâ ¥¥ § ¤ ç¥© ® ᢠ¤ì¡ å ¨ ¤ îâ ¥© á«¥¤ãîéãî ¨­â¥à¯à¥â æ¨î. ˆ¬¥¥âáï ­¥ª®â®à®¥ ª®«¨ç¥á⢮ 襩 fî ; : : : ; îng ¨ ¤¥¢ã襪 f¤ ; : : : ;¤mg: Š ¦¤ë© î­®è  §­ ª®¬ á ­¥áª®«ìª¨¬¨ ¤¥¢ã誠¬¨.  ©â¨ ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, çâ®¡ë ª ¦¤®£® î­®èã ¬®¦­® ¡ë«® ¦¥­¨âì ­  §­ ª®¬®© ¥¬ã ¤¥¢ã誥 (á¬. [21]). ‡ ¯¨è¥¬ ãá«®¢¨¥ § ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥ ¤¢ã¤®«ì­®£® £à ä  G(V ; V ), ¢§ï¢ ¢ ª ç¥á⢥ V = fî ; : : : ;îng,   ¢ ª ç¥á⢥ V = f¤ ; : : : ;¤ng ¨ ᮥ¤¨­¨¢ ॡ஬ ¢¥à設ã îi á ¢¥à設®© ¤j ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ®­¨ §­ ª®¬ë. ˆ­ê¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ V ¢ V ­ §ë¢ ¥âáï ᮢ¥à襭­ë¬ ¯ à®á®ç¥â ­¨¥¬, ¥á«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥à設ë (¢á¥£¤ ) ᮥ¤¨­¥­ë ॡ஬. ˆâ ª, ­  ï§ëª¥ ⥮ਨ £à ä®¢ § ¤ ç  ® ᢠ¤ì¡ å §¢ãç¨â á«¥¤ãî騬 1

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®¡à §®¬: ­ ©â¨ ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ¨ ¤®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ­  ¤¢ã¤®«ì­ë© £à ä G = (V ; V ) ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ ­¥¬ áãé¥á⢮¢ «® ᮢ¥à襭­®¥ ¯ à®á®ç¥â ­¨¥. DZਢ¥¤¥¬ ¤®ª § ­­ãî à ­¥¥ ⥮६㠔.•®««  ¢ â¥à¬¨­ å ⥮ਨ £à ä®¢. ’¥®à¥¬  8 (”.•®««, 1935).DZãáâì G = G(V ; V ) { ª®­¥ç­ë© ¤¢ã¤®«ì­ë© £à ä ¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®¤¬­®¦¥á⢠ A  V ç¥à¥§ '(A) ®¡®§­ ç¨¬ ¬­®¦¥1

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V ; ª®â®àë¥ á¬¥¦­ë å®âï ¡ë ®¤­®© ¢¥à設¥ ¨§ A: ‘®¢¥à襭­®¥ ¯ à®á®ç¥â ­¨¥ ¢ G áãé¥áâ¢ã¥â ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¤«ï «î¡®£® ¯®¤¬­®¦¥á⢠ A  V á⢮ ¢¥à設 ¨§

2

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jAj  j'(A)j: ‡ ¤ ç  36 (§ ¤ ç  ® £ à¥¬¥). Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ ž ­¥ª®â®à®¥ ¬­®¦¥á⢮ 襩 ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ª ¦¤ë© î­®è  ¨§ ž ¦¥« ¥â ¢§ïâì ¢ ¦¥­ë ¡®«¥¥ 祬 ®¤­ã §­ ª®¬ãî ¥¬ã ¤¥¢ãèªã.  ©â¨ ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠í⮩ § ¤ ç¨. “Š€‡€Hˆ…. DZãáâì ž=fî ; : : : ; îng ¨ „=f ¤ ; : : : ; ¤mg: DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® £ à¥¬ î ¤®«¦¥­ á®áâ®ïâì ¨§ âà¥å ¤¥¢ã襪,   £ à¥¬ë î ; : : : ; în ¨§ ¤¢ãå ¤¥¢ã襪.  áᬮâਬ ­®¢®¥ ¬­®¦¥á⢮ 襩 ž0 = f î ; î ; î ; î ; î ; î ; î ; : : : ; în ; în g: Žáâ ¥âáï ¯à¨¬¥­¨âì ª ž0 ⥮६㠕®«« . …᫨ S ; : : : ; Sm { ­¥¯ãáâë¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢠ E , â® â࠭ᢥàá «ìî í⮣® ᥬ¥©á⢠ ¯®¤¬­®¦¥á⢠F = (S ; : : : ; Sm) ­ §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ fe ; : : : ; emg  E; çâ® ei 2 Si; i  m: „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, íâ® á¨á⥬  à §«¨ç­ëå ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© ­ è¨å ¯®¤¬­®¦¥áâ¢. ’¥®à¥¬  •®««  ã⢥ত ¥â, çâ® â࠭ᢥàá «ì ᥬ¥©á⢠ F áãé¥áâ¢ã¥â ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  jSi1 [


[ Sik j  k ¤«ï «î¡®© ¢ë¡®àª¨ fi ; : : : ; ik g  f1; 2; : : : ; mg: ’࠭ᢥàá «ì ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¯®¤á¥¬¥©á⢠ F ­ §ë¢ ¥âáï ç áâ¨ç­®© â࠭ᢥàá «ìî 1

1

1

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F:

‡ ¤ ç  37.

DZãáâì S ; : : : ; Sm  E; Si 6= ; i  m; ¨ F = (S ; : : : ; Sm): 1

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‘¥¬¥©á⢮ F ¨¬¥¥â â࠭ᢥàá «ì ¬®é­®á⨠t ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¤«ï «î¡®© ¢ë¡®àª¨ fi ; : : : ; ik g  f1; 2; : : : ; mg; jSi1 [


[ Sik j  k + t m: “Š€‡€Hˆ….  áᬮâਬ ­®¢®¥ ᥬ¥©á⢮ F 0 = (S [ D; S [ D; : : : ; Sm [ D); £¤¥ D { «î¡®¥ (m t) { í«¥¬¥­â­®¥ ¬­®¦¥á⢮, ­¥ ¯¥à¥á¥ª î饥áï á E: F ¨¬¥¥â ç áâ¨ç­ãî â࠭ᢥàá «ì ¬®é­®á⨠t ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  F 0 ¨¬¥¥â â࠭ᢥàá «ì. DZ® ⥮६¥ •®««  íâ® ¢®§¬®¦­® ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  jSi1 [


[ Sik [ Dj  k; jSi1 [


[ Sik j  k jDj = k + t m; â ª ª ª (Si1 [


[ Sik ) \ D = : ‡ ¤ ç  38. Š ª¨¥ ¨§ á«¥¤ãîé¨å ᥬ¥©á⢠¯®¤¬­®¦¥á⢠¬­®¦¥á⢠ E = f1; 2; 3; 4; 5g ¨¬¥îâ â࠭ᢥàá «¨: 1) (f1g; f2; 3g; f1; 2g; f1; 3g; f1; 4; 5g); 2) (f1; 2g; f2; 3g; f4; 5g; f4; 5g); 3) (f1; 3; 4g; f1; 4; 5g; f2; 3; 5g; f2; 4; 5g)? ‡ ¤ ç  39. DZãáâì E { ¬­®¦¥á⢮ ¡ãª¢ ¢ á«®¢¥ MATROIDS.  ©â¨ â࠭ᢥàá «¨ ᥬ¥©á⢠ 1

1

2

(ST AR; ROAD; MOAT; RIOT; RIDS; DAMS; MIST ): DZãáâì M = (mij ) { ¬ âà¨æ  ¯®à浪  m  n; £¤¥ 1  m  n ¨ 1  mij  n: …᫨ ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥, çâ® ¢á¥ í«¥¬¥­âë ¢ ª ¦¤®© áâப¥ ¨ ¢ ª ¦¤®¬ á⮫¡æ¥ à §«¨ç­ë, â® M ­ §ë¢ ¥âáï « â¨­áª¨¬ (m  n) { ¯àאַ㣮«ì­¨ª®¬. …᫨ m = n; â® « â¨­áª¨© ¯àאַ㣮«ì­¨ª ­ §ë¢ ¥âáï « â¨­áª¨¬ ª¢ ¤à â®¬. 0 1 1 2 3 4 ! B C B2 3 4 1C 1 2 3 4 B C: DZਬ¥àë: ; B C 2 3 4 1 @3 4 1 2A 4 1 2 3 ’¥®à¥¬  9. DZãáâì M { « â¨­áª¨© (mn) { ¯àאַ㣮«ì­¨ª ¨ m  n 1: 78

M ¬®¦­® à áè¨à¨âì ¤® « â¨­áª®£® ª¢ ¤à â  ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ­®¢ëå (n m) áâப. ’®£¤ 

„®ª § â¥«ìá⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ «¥¬¬ë. ‹¥¬¬ . ‹ â¨­áª¨© (m  n) { ¯àאַ㣮«ì­¨ª ¬®¦­® à áè¨à¨âì ¤® « â¨­áª®£® (m + 1)  n { ¯àאַ㣮«ì­¨ª . „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì E = f1; 2; : : : ; ng ¨ F = (S ; : : : ; Sn); £¤¥ Si { ¬­®¦¥á⢮ í«¥¬¥­â®¢ E; ­¥ ¢áâà¥ç îç¨åáï ¢ i-¬ á⮫¡æ¥ M; i = 1; 2; : : : ; n: „®ª ¦¥¬, çâ® F ¨¬¥¥â â࠭ᢥàá «ì. DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® jSi1 [


[ Sik j  k 1 ¤«ï ­¥ª®â®à®© ¢ë¡®àª¨ fi ; : : : ; ik g  f1; 2; : : : ; ng: ’.ª. ¢ Si1 [


[ Sik ¯à¨áãâáâ¢ã¥â (n m)
k í«¥¬¥­â®¢ (¢ª«îç ï ¯®¢â®à¥­¨ï), â® ­¥ª®â®àë© í«¥¬¥­â ¯®¢â®àï«áï ¡ë ¡®«¥¥ 祬 (n m) à §. DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ‡ ¤ ç  40. „®ª ¦¨â¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ n!(n 1)! : : : 2!1! « â¨­áª¨å (n  n) { ª¢ ¤à â®¢. ‡ ¤ ç  41. DZ®ª § âì, çâ® â ¡«¨æã 㬭®¦¥­¨ï ¢ ª®­¥ç­®© £à㯯¥ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª « â¨­áª¨© ª¢ ¤à â. ‘ãé¥áâ¢ã¥â «¨ « â¨­áª¨© ª¢ ¤à â, ª®â®àë© ­¥«ì§ï ¯®«ãç¨âì â ª¨¬ ᯮᮡ®¬? “Š€‡€Hˆ…. DZãáâì p { ¯à®á⮥ ç¨á«®. —¨á«® « â¨­áª¨å ª¢ ¤à â®¢ ¯®à浪  p  p ­¥ ¬¥­ìè¥ ç¨á«  p!(p 1)! : : : 1!;   ç¨á«® £à㯯 ¯®à浪  p ¢ â®ç­®á⨠ࠢ­® 1.  áᬮâਬ, ¤ «¥¥, ª®­¥ç­ë© á¢ï§­ë© £à ä G = (V; E ) ¨ ¯ãáâì v; w { à §«¨ç­ë¥ ¥£® ¢¥à設ë. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. DZà®áâë¥ æ¥¯¨, ᮥ¤¨­ïî騥 v á w ¨ ­¥ ¨¬¥î騥 ®¡é¨å ॡ¥à, ­ §ë¢ îâáï ॡ¥à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. DZà®áâë¥ æ¥¯¨, ᮥ¤¨­ïî騥 v á w ¨ ­¥ ¨¬¥î騥 ®¡é¨å ¢¥à設 ( ªà®¬¥ v ¨ w), ­ §ë¢ îâáï ¢¥à設® ­¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. Œ­®¦¥á⢮ ॡ¥à A £à ä  G ­ §ë¢ ¥âáï vw-à §¤¥«ïî騬 ¢ G; ¥á«¨ «î¡ ï ¯à®áâ ï æ¥¯ì ¨§ v ¢ w ᮤ¥à¦¨â ॡ஠¨§ A: Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4. Œ­®¦¥á⢮ ¢¥à設 B £à ä  G ­ §ë¢ ¥âáï vw-®â¤¥«ï1

1

79

î騬, ¥á«¨ v 62 B; w 62 B ¨ «î¡ ï ¯à®áâ ï æ¥¯ì ¨§ v ¢ w ®¡ï§ â¥«ì­® ᮤ¥à¦¨â ¢¥à設㠨§ B: ’¥®à¥¬  10 (Œ¥­£¥à, ”®à¤, ” «ª¥àá®­; 1955). DZãáâì G = (V; E ) { á¢ï§-

v; w { à §«¨ç­ë¥ ¥£® ¢¥à設ë. ’®£¤  ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ç¨á«® ॡ¥à­® ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯à®áâëå 楯¥©, ᮥ¤¨­ïîé¨å v á w; à ¢­® ¬¨­¨¬ «ì­®¬ã ç¨á«ã k ॡ¥à ¢ vw-à §¤¥«ïî饬 ¬­®¦¥á⢥. ­ë© ª®­¥ç­ë© £à ä ¨

“ª ¦¥¬ á奬㠤®ª § â¥«ìá⢠. Ÿá­®, çâ® ç¨á«® ¢á¥å ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯à®áâëå 楯¥©, ᮥ¤¨­ïîé¨å v c w; ­¥ ¯à¥¢®á室¨â k: —â®¡ë ¤®ª § âì à ¢¥­á⢮ íâ¨å ç¨á¥«, ¬®¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¬¥â®¤®¬ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¨­¤ãªæ¨¨ ¯® ç¨á«ã ॡ¥à n = jV j: DZ।¯®«®¦¨¬, ç⮠⥮६  ¢¥à­  ¤«ï £à ä®¢ á ç¨á«®¬ ॡ¥à < n: „®ª § â¥«ìá⢮ ⥮६ë á«¥¤ã¥â ¨§ à áᬮâ७¨ï ¤¢ãå á«ãç ¥¢ ([21]): ‘«ãç © 1. vw-à §¤¥«ïî饥 ¬­®¦¥á⢮ A ¬¨­¨¬ «ì­®© ¬®é­®á⨠k ᮤ¥à¦¨â ॡà®, ­¥ ¨­æ¨¤¥­â­®¥ v;   â ª¦¥ ॡà®, ­¥ ¨­æ¨¤¥­â­®¥ w: ‘«ãç © 2. Š ¦¤®¥ vw { à §¤¥«ïî饥 ¬­®¦¥á⢮ ¬¨­¨¬ «ì­®© ¬®é­®á⨠k á®á⮨⠨§ ॡ¥à, ª ¦¤®¥ ¨§ ª®â®àëå ¨­æ¨¤¥­â­® v; «¨¡® ¨§ ॡ¥à, ª ¦¤®¥ ¨§ ª®â®àëå ¨­æ¨¤¥­â­® w: DZ®«ì§ãïáì  ­ «®£¨ç­®© á奬®©, ¬®¦­® ¤®ª § âì á«¥¤ãîéãî ⥮६ã. ’¥®à¥¬  11 (Œ¥­£¥à, 1927). Œ ªá¨¬ «ì­®¥ ç¨á«® ¢¥à設­® ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯à®áâëå 楯¥©, ᮥ¤¨­ïîé¨å ¤¢¥ à §«¨ç­ë¥ ­¥á¬¥¦­ë¥ ¢¥à設ë

v; w á¢ï§­®£® ª®­¥ç­®£® £à ä , à ¢­® ¬¨­¨¬ «ì­®¬ã ç¨á«ã ¢¥à設 ¢ vw®â¤¥«ïî饬 ¬­®¦¥á⢥.

 áᬠâਢ ï ª®­¥ç­ë¥ á¢ï§­ë¥ ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë¥ £à äë (®à£à äë) ¨ ¤ã¡«¨àãï ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî â¥à¬¨­®«®£¨î, ¬ë ¬®¦¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ âì (¡¥§ ¤®ª § â¥«ìá⢠) á«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â (á¬. [21]). ’¥®à¥¬  12 (⥮६  ® 楫®ç¨á«¥­­®áâ¨). Œ ªá¨¬ «ì­®¥ ç¨á«® ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯® ¤ã£ ¬ ¯à®áâëå ®à楯¥©, ᮥ¤¨­ïîé¨å ¤¢¥ à §«¨ç­ë¥ ¢¥à設ë ç¨á«ã ¤ã£

v ¨ w ®à£à ä , à ¢­® ¬¨­¨¬ «ì­®¬ã

vw-à §¤¥«ïî饣® ¬­®¦¥á⢠. 80

‘¥âì { íâ® ¯ à  N = (D; ) £¤¥ D { ®à£à ä,   { äã­ªæ¨ï, ®â®¡à ¦ îé ï ¬­®¦¥á⢮ ¤ã£ D ¢ R [ f0g: „«ï ª ¦¤®© ¤ã£¨ e §­ ç¥­¨¥ (e) ­ §ë¢ ¥âáï ¥¥ ¯à®¯ã᪭®© ᯮᮡ­®áâìî. „«ï ª ¦¤®© ¢¥à設ë x ¯®«®¦¨¬  (x) = P ((x; z)) (¨ ­ §®¢¥¬ ¯®«ãá⥯¥­ìî ¨á室  z ! P ¢¥à設ë x),  (x) = ((z; x)) (¨ ­ §®¢¥¬ ¯®«ãá⥯¥­ìî § å®¤  z ¢¥à設ë x). DZਬ¥à. x  

@AA@  4 
A @R 2  4
A @  * 
AA @@  3  
v H  1 2 w Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

+

HH
 jHH y@@ AA
HHH2@R@AA

 1 HH@A
4 H@HA
z

‡¤¥áì ((y; x)) = 4; ! (x) = 10;  (z) = 6: ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ®à£à ä D ᮤ¥à¦¨â ®¤¨­ ¨áâ®ç­¨ª v ¨ ®¤¨­ á⮪ w: DZਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à ¨««îáâà¨àãî騩 ¯®­ï⨥ á¥â¨ ­  ¯à ªâ¨ª¥. DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® § ¢®¤-¨§£®â®¢¨â¥«ì (v) ®â¯à ¢«ï¥â ­  àë­®ª (w) á¢®î ¯à®¤ãªæ¨î, ¨á¯®«ì§ãï à §«¨ç­ë¥ ª ­ «ë. Š ¦¤ë© ª ­ « ¨¬¥¥â ¬ ªá¨¬ «ì­ãî ¯à®¯ã᪭ãî ᯮᮡ­®áâì (­ ¯à¨¬¥à, ­  à¨á. ((v; x)) = 4). ‚®¯à®á: ª ª ¬ ªá¨¬¨§¨à®¢ âì ®â¯à ¢ªã £®â®¢®© ¯à®¤ãªæ¨¨? „«ï ¢ë襯ਢ¥¤¥­­®£® ¯à¨¬¥à  ®â¢¥â®¬ ï¥âáï á«¥¤ãî騩  «£®à¨â¬: x  
@AA@  
3 
@R 2   0

AA @@  *  v  0 @ w H- 2 
1 HH jHH y@@ AA HHH2R@@AA

 1 HH@A
 4 HH@A
z

Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

DZãáâì N = (D; ) { á¥âì. ”ã­ªæ¨ï '; áâ ¢ïé ï ¢ á®81

®â¢¥âá⢨¥ ª ¦¤®© ¤ã£¥ a ¨§ D ­¥®âà¨æ â¥«ì­®¥ ç¨á«® '(a) (­ §ë¢ ¥¬®¥ ¯®â®ª®¬ ç¥à¥§ a), ­ §ë¢ ¥âáï ¯®â®ª®¬ ç¥à¥§ N; ¥á«¨: 1) '(a)  (a); 2) ¯® ®â­®è¥­¨î ª á¥â¨ (D; ') ¯®«ãá⥯¥­ì ¨á室  ¨ ¯®«ãá⥯¥­ì § å®¤  «î¡®© ¢¥à設ë (6= v; w) à ¢­ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©, â.¥. ¯®«­ë© ¯®â®ª, ¢å®¤ï騩 ¢ «î¡ãî ¢¥à設ã (6= v; w); à ¢¥­ ¯®«­®¬ã ¯®â®ªã, ¢ë室ï饬㠨§ ­¥¥, ¨ ¯®â®ª ç¥à¥§ ¤ã£ã ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ¥¥ ¯à®¯ã᪭®© ᯮᮡ­®áâ¨.  §à¥§®¬ á¥â¨ N = (D; ) ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¤ã£ A ®à£à ä  D â ª®¥, çâ® «î¡ ï ¯à®áâ ï ®àæ¥¯ì ¨§ v ¢ w ᮤ¥à¦¨â ¤ã£ã ¨§ A; â.¥. ࠧ१ N { íâ® vw-à §¤¥«ïî饥 ¬­®¦¥á⢮ ¢ D: ‘㬬  ¯à®¯ã᪭ëå ᯮᮡ­®á⥩ ¢á¥å ¤ã£ ࠧ१  ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®¯ã᪭®© ᯮᮡ­®áâìî ࠧ१ . Œ¨­¨¬ «ì­ë¬ ࠧ१®¬ ­ §ë¢ ¥âáï ࠧ१, ®¡« ¤ î騩 ­ ¨¬¥­ì襩 ¢®§¬®¦­®© ¯à®¯ã᪭®© ᯮᮡ­®áâìî. ‘«¥¤ãîé ï ⥮६  íª¢¨¢ «¥­â­  ⥮६¥ 12. ’¥®à¥¬  13 (® ¬ ªá¨¬ «ì­®¬ ¯®â®ª¥ ¨ ¬¨­¨¬ «ì­®¬ ࠧ१¥). ‚® ¢á类© á¥â¨ ¢¥«¨ç¨­  «î¡®£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® ¯®â®ª  à ¢­  ¯à®¯ã᪭®© ᯮᮡ­®á⨠«î¡®£® ¬¨­¨¬ «ì­®£® ࠧ१ .

’¥®à¥¬  13 ¤®ª § ­  ¢ 1955 £. ‹.”®à¤®¬ ¨ „.” «ª¥àá®­®¬ (á¬. "DZ®â®ª¨ ¢ á¥âïå". { Œ.: Œ¨à, 1966). ‡ ¬¥ç ­¨¥.

82

ƒ« ¢  3

’…ŽˆŸ ŠŽ„ˆŽ‚€ˆŸ 3.1

Žá­®¢­ë¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï. DZਬ¥àë ª®¤®¢

 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ A = fa ; : : : ; ang; á®áâ®ï饥 ¨§ n í«¥¬¥­â®¢. Œ­®¦¥á⢮ A ­ §®¢¥¬  «ä ¢¨â®¬ ®¡ê¥¬  n;   ¥£® í«¥¬¥­âë ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ᨬ¢®« ¬¨ ¨«¨ ¡ãª¢ ¬¨  «ä ¢¨â .  ¯à¨¬¥à, àãá᪨¥ ¡ãª¢ë ®¡à §ãîâ  «ä ¢¨â ®¡ê¥¬  33,   « â¨­áª¨¥ ¡ãª¢ë á®áâ ¢«ïîâ  «ä ¢¨â ®¡ê¥¬  27. DZ®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¨§ ¡ãª¢  «ä ¢¨â  A ¤«¨­ë m ai1 : : : aim ­ §®¢¥¬ á«®¢®¬ ¤«¨­ë m: Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ [12]: ‹î¡®¥ ­¥¯ãá⮥ ¬­®¦¥á⢮ á«®¢, § ¯¨á ­­®¥ ¢  «ä ¢¨â¥ A; ­ §ë¢ ¥âáï ª®¤®¬ ¢ í⮬  «ä ¢¨â¥. Œ®é­®áâì í⮣® ¬­®¦¥á⢠ ­ §ë¢ ¥âáï ®¡ê¥¬®¬ ª®¤ ,   ¥£® í«¥¬¥­âë ­ §ë¢ îâáï ª®¤®¢ë¬¨ á«®¢ ¬¨. Š®¤ ­ §ë¢ ¥âáï à ¢­®¬¥à­ë¬, ¥á«¨ ¥£® ª®¤®¢ë¥ á«®¢  ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢ãî ¤«¨­ã m (m ­ §ë¢ ¥âáï ¤«¨­®© à ¢­®¬¥à­®£® ª®¤ ). “¯à ¦­¥­¨¥. „®ª § âì, çâ® ®¡ê¥¬ à ¢­®¬¥à­®£® ª®¤  ¤«¨­ë m ­¥ ¯à¥¢®á室¨â nm = 2mlog2n: DZãáâì X = fx ; : : : ; xeg { ª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮. ‘ª ¦¥¬, çâ® X ï¥âáï ¤¨áªà¥â­ë¬  ­á ¬¡«¥¬ á®®¡é¥­¨©, ¥á«¨ ­  X § ¤ ­® à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥à®ïâ­®á⥩ p(x); â.¥. ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥­âã exi 2 X; i  e; ᮯ®áâ ¢«¥­® ç¨á«® P p(xi): DZਠí⮬ p(xi)  0; i = 1; e ¨ p(xi) = 1: Š ¦¤®¬ã ¯®¤¬­®¦¥áâ¢ã 1

1

i=1

Y

 X ᮯ®áâ ¢¨¬ ¢¥à®ïâ­®áâì (ç¨á«®) X P (Y ) = p(x): x2Y

Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ [12]: DZந§¢®«ì­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥

':X!K

¤¨ªà¥â­®£®  ­á ¬¡«ï X ¢ ª®¤ K  «ä ¢¨â  A ­ §ë¢ ¥âáï ª®¤¨à®¢ ­¨¥¬ X: DZਬ¥à 1 [12]: DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ­  ⥫¥£à ä¥ ¨¬¥¥âáï  ¢â®¬ â¨ç¥áª ï ®¡à ¡®âª  ⥫¥£à ¬¬, á ®¡ê¥¬®¬ § ¯®¬¨­ î饣®áï ãáâனá⢠, à ¢­ë¬ N ¤¢®¨ç­ë¬ ï祩ª ¬.  áᬮâਬ 2 ᯮᮡ  ª®¤¨à®¢ ­¨ï ⥫¥£à ¬¬: ¯®¡ãª¢¥­­®¥ ¨ ª®¤¨à®¢ ­¨¥ 楫ëå á«®¢. ‚ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ª ¦¤®© ¡ãª¢¥ àãá᪮£®  «ä ¢¨â  (¡ã¤¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì ¡ãª¢ë ì, ê) áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ á«®¢® ¤«¨­ë 5 ¢  «ä ¢¨â¥ f0; 1g; à ¢­®¥ ­®¬¥àã í⮩ ¡ãª¢ë ¢ àãá᪮¬  «ä ¢¨â¥, ª®â®àë© § ¯¨á뢠¥âáï ¢ ¤¢®¨ç­®© á¨á⥬¥ áç¨á«¥­¨ï.  ¯à¨¬¥à,   ! (00001); ¡ ! (00010); ¢ ! (00011); £ ! (00100): Œë ¯®«ãç ¥¬ ®¤­®à®¤­®¥ ª®¤¨à®¢ ­¨¥. …᫨ ¤®¯ãáâ¨âì, çâ® ª ¦¤ ï ⥫¥£à ¬¬  ¢ á।­¥¬ ᮤ¥à¦¨â 20 á«®¢,   á।­ïï ¤«¨­  á«®¢  5 ¡ãª¢, â® ¢ § ¯®¬¨­ î饥 ãáâனá⢮ ¬®¦­® § ¯¨á âì N=500 ⥫¥£à ¬¬. ‚® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ ¬®¦­® á®áâ ¢¨âì á«®¢ àì ¨§ 2 = 8192 á«®¢, ª®â®àë¥ ®¡ëç­® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¯à¨ á®áâ ¢«¥­¨¨ ⥫¥£à ¬¬. Š ¦¤®¬ã â ª®¬ã á«®¢ã ¢ àãá᪮¬ ï§ëª¥ ¬®¦­® ¯®áâ ¢¨âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ á«®¢® ¤«¨­ë 13 ¢  «ä ¢¨â¥ f0; 1g: Ÿá­®, çâ® ¢ § ¯®¬¨­ î饥 ãáâனá⢮ ¬®¦­® § ¯¨á âì N=260 ⥫¥£à ¬¬ (â.¥. ®¡ê¥¬ ¯ ¬ï⨠§ ¯®¬¨­ î饣® ãáâனá⢠ ¯à¨ ¢â®à®¬ ª®¤¨à®¢ ­¨¨ ¯®ç⨠¢ ¤¢  à §  ¡®«ìè¥). Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ [12]: Š®¤ ­ §ë¢ ¥âáï ¤¥ª®¤¨àã¥¬ë¬ (¨«¨ ¯à¥ä¨ªá­ë¬), ¥á«¨ ­¨ ®¤­® ª®¤®¢®¥ á«®¢® ­¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ­ ç «®¬ ¤à㣮£® ª®¤®¢®£® á«®¢ .  ¯à¨¬¥à, à ¢­®¬¥à­ë© ª®¤ ¤¥ª®¤¨à㥬ë©. ‡ ¬¥ç ­¨¥. ‘ãé¥áâ¢ãîâ ­¥¯à¥ä¨ªá­ë¥ ª®¤ë, ¤®¯ã᪠î騥 ®¤­®§­ ç­®¥ à §¤¥«¥­¨¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠¡ãª¢ ­  ª®¤®¢ë¥ á«®¢ .  áᬮâਬ ­¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢ ª®¤¨à®¢ ­¨ï á«®¢ àãá᪮£® ï§ëª . 13

84

(¯®¤áâ ­®¢®ç­ë© è¨äà). Žâ®¦¤¥á⢨¬ ¡ãª¢ë ¥ ¨ ñ,   â ª¦¥ ì ¨ ê. ’®£¤  ¬ë ¯®«ã稬  «ä ¢¨â, á®áâ®ï騩 ¨§ 31 ¡ãª¢ë. …᫨ ¢ ஬ ­¥ ‹..’®«á⮣® "‚®©­  ¨ ¬¨à" ¯®¤áç¨â âì ç áâ®â㠢宦¤¥­¨ï ª ¦¤®© ¡ãª¢ë, â® ¯®«ãç¨âáï á«¥¤ãîé ï â ¡«¨æ  N ãª¢  Žâ­®á¨â¥«ì­ ï ç áâ®â  N ãª¢  Žâ­®á¨â¥«ì­ ï ç áâ®â  1   0,062 18 á 0,045 2 ¡ 0,014 19 â 0,053 3 ¢ 0,038 20 ã 0,021 4 £ 0,013 21 ä 0,002 5 ¤ 0,025 22 å 0,009 6 ¥,ñ 0,072 23 æ 0,004 7 ¦ 0,007 24 ç 0,012 8 § 0,016 25 è 0,006 9 ¨ 0,062 26 é 0,003 10 © 0,010 27 ë 0,016 11 ª 0,028 28 ì,ê 0,014 12 « 0,035 29 í 0,003 13 ¬ 0,026 30 î 0,006 14 ­ 0,053 31 ï 0,018 15 ® 0,090 16 ¯ 0,023 17 à 0,040 ˆ§ â ¡«¨æë á«¥¤ã¥â, çâ® ¡ãª¢  "®" ­ ¨¡®«¥¥ ¢áâà¥ç ¥¬ ï ¢ àãá᪮¬ ⥪á⥠(¤®áâ â®ç­® ¡®«ì让 ¤«¨­ë). â® ¬®¦­® ãç¨â뢠âì, ­ ¯à¨¬¥à, ¯à¨ ¨£à¥ ¢ "DZ®«¥ ç㤥á". ‡ ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¯à®¬¥¦ã⮪ ¬¥¦¤ã á«®¢ ¬¨ ¨¬¥¥â ®â­®á¨â¥«ì­ãî ç áâ®âã 0,175. …᫨ à áᬮâà¥âì ¨­ê¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ àãá᪮£®  «ä ¢¨â  (á ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¬ ᨬ¢®«®¬, ®§­ ç î騬 ¯à®¬¥¦ã⮪ ¬¥¦¤ã á«®¢ ¬¨) ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¬®é­®á⨠ 32;   § â¥¬ ¯®¤áâ ¢¨âì ¢ ⥪áâ ¢¬¥áâ® ª ¦¤®© ¡ãª¢ë ¥£® ®¡à § ¢ í⮬ ¬­®¦¥á⢥, â® ‘¯®á®¡ 1

85

¬ë ¯®«ã稬 ¯®¤áâ ­®¢®ç­ãî ªà¨¯â®£à ¬¬ã, à áè¨ä஢ âì ª®â®àãî «¥£ª®, ¨áå®¤ï ¨§ ­ è¥© â ¡«¨æë, ¥á«¨ ⥪áâ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì让. DZਬ¥à®¬ â ª®£® è¨äà  ï¢«ï¥âáï â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© è¨äà –¥§ àï. Ž­ á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饩 ª®¤¨à®¢ª¥ ¡ãª¢  «ä ¢¨â :   ! ï, ¡ !  , ¢ ! ¡ ¨ â.¤., â.¥. ¢¬¥áâ® ª ¦¤®© ¡ãª¢ë ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ ¯à¥¤è¥áâ¢ãîéãî ¥© ¢ àãá᪮¬  «ä ¢¨â¥. “¯à ¦­¥­¨¥. ‡ ª®¤¨à®¢ âì è¨ä஬ –¥§ àï äà §ã "¬ â¥¬ â¨ª  㬠¢ ¯®à冷ª ¯à¨¢®¤¨â" (Žâ¢¥â: «ïᤫï᧩« â« ¡ ®­¯î£­© ®¯§¡­£§á). „«ï à áè¨ä஢ª¨ ⥪áâ , § ª®¤¨à®¢ ­­®£® è¨ä஬ –¥§ àï, ¯à¨¬¥­ï¥âáï "¬¥â®¤ ¯®«®á®ª". Š ¦¤ ï ¯®«®áª  á®á⮨⠨§ ¢ë¯¨á ­­ëå ¢¥à⨪ «ì­® (¯®¤àï¤) ¡ãª¢ àãá᪮£®  «ä ¢¨â . „ «¥¥, ¤«ï à áè¨ä஢ª¨ á«®¢  "«ïᤫï᧩«" ¢ ­ è¥¬ ã¯à ¦­¥­¨¨ ¡¥àãâáï ¤¥áïâì ¯®«®á®ª ¨ ¯à¨ª« ¤ë¢ îâáï ¤à㣠ª ¤àã£ã â ª, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì íâ® á«®¢®. ¨¦¥ í⮣® á«®¢  ¡ã¤¥â áâ®ïâì ®â¢¥â. DZ®¤ è¨ä஬ –¥§ àï ¯®­¨¬ ¥âáï ᤢ¨£  «ä ¢¨â  ­¥ ⮫쪮 ­  1 ¡ãª¢ã ­ § ¤,   ­  ¯à®¨§¢®«ì­®¥ 䨪á¨à®¢ ­­®¥ ç¨á«® ¡ãª¢ ¢­¨§ ¨«¨ ¢¢¥àå.  ¯à¨¬¥à, á«¥¤ãîé ï ª®¤¨à®¢ª  ⮦¥ ­ §ë¢ ¥âáï è¨ä஬ –¥§ àï:   ! £, ¡ ! ¤, ¢ ! ã, ... , î ! ¡, ï ! ¢, â.¥ ®¡à §®¬ ª ¦¤®© ¡ãª¢ë ï¥âáï âà¥âìï á­¨§ã ®â ­¥ñ. ‘¯®á®¡ 2 (¯¥à¥áâ ­®¢®ç­ë© è¨äà). „ ­­ë© ᯮᮡ ¯à¥¤«®¦¥­ ¢ à ¡®â¥ ‹.‘.•¨««  ("Concerning certain linear transformation apparatas of cryptography," Amer. Math. Monthly, v.38, 1931, p.135-154; á¬. â ª¦¥ [27]). DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ­ ¬ ­¥®¡å®¤¨¬® § è¨ä஢ âì á®®¡é¥­¨¥ "¢áâà¥ç  á®á⮨âáï ç¥à¥§ ­¥¤¥«î". (3.1) DZ®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ª ¦¤®© ¡ãª¢¥ ¥ñ ­®¬¥à ¢  «ä ¢¨â¥,   ¯à®¬¥¦ãâªã ¬¥¦¤ã á«®¢ ¬¨ ç¨á«® 32. ’®£¤  ­ è¥¬ã á®®¡é¥­¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ç¨á¥« 3; 18; 19; 17; 6; 24; 1; 32; 18; 15; 18; 19; 15; 9; 19; 18; 31; 32; 24; 6; 17; 6; 8; 32; 14; 6; 5; 6; 12; 30: (3.2)  áᬮâਬ íâã ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¢ ª®«ìæ¥ Z : ‚®§ì¬¥¬ ¢ í⮬ ª®«ìæ¥ 32

86

¯à®¨§¢®«ì­ë© ®¡à â¨¬ë© í«¥¬¥­â, ­ ¯à¨¬¥à, 3 2 Z (3
11 = 1): “¬­®¦¨¬ ª ¦¤ë© ç«¥­ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠­  3: 9; 22; 25; 19; 18; 8; 3; 32; 22; 13; 22; 25; 13; 27; 25; 22; 29; 32; 8; 18; 19; 18; 24; 32; 10; 18; 15; 18; 4; 26: (3.3) ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ è¥ á®®¡é¥­¨¥ ª®¤¨àã¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ¨åèâ᧢ å¬åè¬ëèåí §áâáç ©á®á£é (3.4) —⮡ë à áè¨ä஢ âì á®®¡é¥­¨¥ (3.4), ­¥®¡å®¤¨¬® ¯¥à¥¯¨á âì ¥£® ¢ ¢¨¤¥ (3.3),   § â¥¬ 㬭®¦¨âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (3.3) ­  11 = 3 (¢ ª®«ìæ¥ Z ). Œë ¯à¨¤¥¬ ª ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠(3.2). DZ®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® ç¨á¥« ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¡ãª¢ë, ¬ë ¢®ááâ ­®¢¨¬ ­ è ⥪áâ. “á«®¦­¨¬ ¢ë襯ਢ¥¤¥­­ë© ¬¥â®¤, ¨á¯®«ì§ãï ­¥¢ë஦¤¥­­ë¥ ¬ âà¨æë ­ ¤ ª®«ì殬 Z :! §®¡ì¥¬ (3.2)! ­  ¯ àë: ! ! ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ! ! ! ! 3 ; 19 ; 6 ; 1 ; 18 ; 18 ; 15 ; 19 ; 18 ! 17 ! 24 ! 32 ! 15 ! 19! 9 ! 18 31 ; 24 ; 17 ; 8 ; 14 ; 5 ; 12 : 32 6 6 32 6 6 30! “¬­®¦¨¬ ¤ ­­ë¥ á⮫¡æë ­  ¬ âà¨æã A = 2 7 2 M (Z ); ¤«ï 3 6 ! ª®â®à®© áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ ï A = 6 7 2 M (Z ): 3 2 DZ®«ã稬 ­®¢ãî ¨§ á⮫¡æ®¢ ! ! ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ! ! ! ! ! ! 4 ; 3 ; 20 ; 2 ; 13 ; 9 ; 15 ; 4 ; 3 13 30 3 4 28 3 19 32

1

32

32

2

32

1

2

!

!

!

!

!

32

!

!

2 ; 26 ; 12 ; 16 ; 6 ; 20 ; 10 : (3.5) 3 4 15 14 26 21 16 ‚®§¢à é ïáì ª ¡ãª¢ ¬, ¬ë ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî § ª®¤¨à®¢ ­­ãî ¨­ä®à¬ æ¨î £¢í¬ãî¡í¬£¨ì®¢£âî¢éì«à¯­¥éã䩯 (3.6) 87

—â®¡ë ¥ñ à áè¨ä஢ âì, ­ ¤® §­ âì ¬ âà¨æã A: „¥©á⢨⥫쭮, â ª ª ª ¯®à冷ª A à ¢¥­ 2  2; â® ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ (3.6) ¢¬¥áâ® ¡ãª¢ ¨å ­®¬¥à  ¢  «ä ¢¨â¥ ¨ à §¡¨¢ ï ¯®«ã祭­ë¥ ç¨á«  ­  ¯ àë, ¬ë ¯®«ã稬 á⮡«æë (3.5). “¬­®¦ ï íâã ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì á⮫¡æ®¢ ­  A (á«¥¢ ), ¬ë ¢®ááâ ­®¢¨¬ ­ è ⥪áâ. Œë ¬®¦¥¬ ãá«®¦­¨âì ¤ ­­ë© ¬¥â®¤, à §¡¨¢ ­ èã ¨á室­ãî ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ç¨á¥« (­®¬¥à®¢) ­  6 á⮫¡æ®¢ 1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

3 C B 24 C B 18 C B 18 C B 17 C B 6 C B 1 C B 19 C B 31 C B 6 C B 5 C 18 C C B C B C B C B C B C C B C B C B C B C B ; B 32 C ; B 15 C ; B 32 C ; B 8 C ; B 6 C C; 19 C C B C B C B C B C B C B 18 C B 9 C B 24 C B 32 C B 12 C 17 C A @ A @ A @ A @ A @ A 6 15 19 6 14 30   § â¥¬ 㬭®¦¨âì á«¥¢  ­  䨪á¨à®¢ ­­ãî ®¡à â¨¬ãî ¬ âà¨æã ¨§ ª®«ìæ  M (Z ):  ¯à¨¬¥à, ¬®¦­® ¢§ïâì ¬ âà¨æã B B B B B B B @

5

32

0

1

0

1

1 1 1 1 1C 1 31 0 0 0 C B B 0 1 31 0 0 C 0 1 1 1 1C C B C C B A = 0 0 1 1 1 C; A = B 0 0 1 31 0 C C: C B C B 0 0 0 1 31 C 0 0 0 1 1C A @ A 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ˆâ ª, ¤«ï ª®¤¨à®¢ ­¨ï í⨬ ¬¥â®¤®¬ ¤®áâ â®ç­® §­ âì "ª«î祢ãî" ®¡à â¨¬ãî ¬ âà¨æã ¢ ª®«ìæ¥ Mn(Z );   ª®«¨ç¥á⢮ ¡ãª¢ ¨ ¯à®¬¥¦ã⪮¢ ¢ ⥪á⥠¤®«¦­® ¤¥«¨âìáï ­  n: ‡ ¬¥ç ­¨¥. ˆ§¢¥áâ­ë© ¯à¨¬¥à "ª §­¨âì ­¥«ì§ï ¯®¬¨«®¢ âì" ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¤«ï ¡®«¥¥ â®ç­®£® ¢®á¯à¨ïâ¨ï ⥪áâ  ­  àãá᪮¬ ï§ëª¥ ­¥®¡å®¤¨¬® ¢¢¥á⨠­¥ª®â®àë¥ á¨¬¢®«ë ¤«ï â®çª¨ ¨ § ¯ï⮩. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ à ¡®â âì ­ ¤ ª®«ì殬 Z : ‘¯®á®¡ 3 (¯¥à¥áâ ­®¢®ç­ë© ª®¤). Š ª ®â¬¥ç¥­® ¢ ª­¨£¥ [27], ­¨¦¥á«¥¤ãî騩 ª®¤ ¡ë« ¯à¥¤«®¦¥­ ¢ 1976 £. A.Shamir, L.Adleman, R.Rivest. B B B B B B B @

1

32

34

88

 áᬮâਬ ¥áâ¥á⢥­­ãî ­ã¬¥à æ¨î ¡ãª¢ àãá᪮£®  «ä ¢¨â :   ¡ ¢ ... î ï (¨­â¥à¢ «) 01 02 03 ... 30 31 00, § ¯¨áë¢ ï ª ¦¤ë© ­®¬¥à ¢ ¢¨¤¥ ¯ àë æ¨äà ¨ ®¡®§­ ç ï ¨­â¥à¢ « ¬¥¦¤ã á«®¢ ¬¨ ¯ à®© 00. DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ­ ¬ ­¥®¡å®¤¨¬® § ª®¤¨à®¢ âì á«®¢® "­ áâ㯠âì". DZ¥à¥¯¨è¥¬ ¥£®, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® ¡ãª¢ ¨å ­®¬¥à  140118192016011926:

(3.7)

‚ ¨á室­®¬ á«®¢¥ 9 ¡ãª¢. ‚롥६ «î¡®¥ ç¨á«® r  9:  ¯à¨¬¥à, r = 2:  §®¡ì¥¬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (3.7) ­  ¡«®ª¨, á®áâ®ï騥 ¨§ 2-å ¡ãª¢ 1401;

1819;

2016;

0119;

2600:

(3.8)

DZãáâì q { ¯à®á⮥ ç¨á«® ¡®«ì襥 «î¡®£® 4-å §­ ç­®£® ç¨á« . ‚롥६ 楫®¥ ç¨á«® s â ª®¥, çâ® (s; '(q)) = 1: ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«® t â ª®¥, çâ® st  1(mod'(q)): ‚ ç áâ­®áâ¨, ¤«ï «î¡®£® ç¨á«  w; ¢§ ¨¬­® ¯à®á⮣® á q; ¨¬¥¥¬ (ws)t  w(modq): ‡ ¬¥­¨¬ ª ¦¤®¥ ¨§ 5 ç¨á¥« ¢ (3.8) ­  ¥£® s-î á⥯¥­ì (¯® modq) : (1401)s; (1819)s; (2016)s; (0119)s; (2600)s

(3.9)

Œë ¯®«ã稫¨ ¨áª®¬ãî § ª®¤¨à®¢ ­­ãî ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì. —â®¡ë ¥¥ ¤¥è¨ä஢ âì, ­¥®¡å®¤¨¬® ª ¦¤®¥ ç¨á«® ¢ (3.9) ¢®§¢¥á⨠¢ á⥯¥­ì t (¯® modq). Š®­¥ç­®, ¢ ®á­®¢¥ í⮣® ¬¥â®¤  «¥¦¨â ⥮६  ”¥à¬ -©«¥à : a' q  1(modq), ¥á«¨ (a; q) = 1. ‚¥à­¥¬áï ª ­ è¥¬ã ¯à¨¬¥àã. ‚®§ì¬¥¬ r = 1 ¨ q = 101. ’®£¤  '(q) = 100 ¨ s = 3; t = 67. ˆ¬¥¥¬ ( )

89

14  17 (mod101) 1  1 (mod101) 18  75 (mod101) 19  92 (mod101) 20  21 (mod101) 16  70 (mod101) 1  1 (mod101) 19  92 (mod101) 26  2 (mod101) ˆâ ª, ª®¤¨à®¢ ­­®¥ á®®¡é¥­¨¥ ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤ 17 01 75 92 21 70 0192 02. Š ᮦ «¥­¨î, §¤¥áì ¬ë ­¥ ¬®¦¥¬ ç¨á«  (¯ àë æ¨äà) § ¬¥­¨âì ­  ¡ãª¢ë. —⮡ë à áè¨ä஢ âì ¥£®, ­¥®¡å®¤¨¬® ¢®§¢¥á⨠ª ¦¤®¥ ç¨á«® ¢ á⥯¥­ì 67 (¯® mod101). Š«î箬 ª ¤ ­­®¬ã è¨äàã ïîâáï ç¨á«  r; q; s ¨ t. “¯à ¦­¥­¨¥. ‡ ª®¤¨à®¢ âì 㪠§ ­­ë¬ ¬¥â®¤®¬ á«®¢® "ª®¤", ¢§ï¢ r = 1; r = 2 ¨ r = 3: ‘¯®á®¡ 4 (¯¥à¥áâ ­®¢®ç­ë© ª®¤). DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ­ ¬ ­¥®¡å®¤¨¬® § ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨¥ "‡¥«ì¬ ­®¢ { « ãॠâ 䨫¤á®¢áª®© ¯à¥¬¨¨". ‚롥६ ª«î祢®¥ á«®¢®, á®áâ®ï饥 ¨§ à §«¨ç­ëå ¡ãª¢ ¨ ¨§¢¥áâ­®¥ ⮫쪮 ¯®áë« ¢è¥¬ã ⥪áâ ¨  ¤à¥á âã.  ¯à¨¬¥à, ¢®§ì¬¥¬ á«®¢® "DZã誨­" (¥£® âà㤭® § ¡ëâì). ˆ à áᬮâਬ â ¡«¨æã DZ “ ˜ Š ˆ  4 5 6 2 1 3 ‡ … ‹ œ Œ €  Ž ‚ ‹ € “  … € ’ ” ˆ ‹ „ ‘ Ž ‚ ‘ Š Ž ‰ DZ  … Œ ˆ ˆ ‚ ­¥© ­¨¦¥ ª«î祢®£® á«®¢  § ¯¨á ­ë ç¨á« , ®§­ ç î騥 ¯®à冷ª á«¥3

3

3

3

3

3

3

3

3

90

¤®¢ ­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¡ãª¢ ¢  «ä ¢¨â¥ (¯®«ã稫®áì ª«î祢®¥ è¥á⨧­ ç­®¥ ç¨á«®). DZ®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ­ è¥¬ã ⥪áâã á«¥¤ãîéãî ªà¨¯â®£à ¬¬ã: Œ€”‚œ‹’ŽDZ€“ˆ‘…‡‹ŠŒ…Ž„Žˆ‹‚€‘‰ˆ, § ¯¨á ­­ãî ¯® á⮫¡æ ¬ ­ è¥© â ¡«¨æë ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¨å ­®¬¥à ¬¨. „«ï ¤¥ª®¤¨à®¢ ­¨ï í⮩ ªà¨¯â®£à ¬¬ë ¤®áâ â®ç­® §­ âì «¨¡® ª«î祢®¥ á«®¢®, «¨¡® ç¨á«® 456213. “¯à ¦­¥­¨¥. „¥ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨¥, ¯®«ì§ãïáì ª«îç¥¢ë¬ á«®¢®¬ "DZ“˜Šˆ": ‘ƒ…€„…žŒ†—‡œ€Ž‹‘ŽDZ‚Ž„€’Ž‹‚ŽžœŽ‡Ÿ›Œ‘Ÿ‚. Ž’‚…’: DZŽ‡„€‚‹Ÿž ‘ Ž‚›Œ ƒŽ„ŽŒ †…‹€ž ‘—€‘’œŸ ‡„ŽŽ‚œŸ. ‘¯®á®¡ 5 (è¨äà ’à¨â¥¬¨ãá  [1]).  áᬮâਬ ­ã¬¥à æ¨î ¡ãª¢ àãá᪮£®  «ä ¢¨â  ®â 1 ¤® 31. ‚롥६ ­¥ª®â®à®¥ ª«î祢®¥ á«®¢®, ­ ¯à¨¬¥à, "DZ“˜Šˆ". —â®¡ë § ª®¤¨à®¢ âì ­¥ª®â®àë© â¥ªáâ, ­ ¯à¨¬¥à, "DZ®§¤à ¢«ïî ‚ á á ¤­¥¬ ஦¤¥­¨ï", à áᬮâਬ § ¯¨áì: DZŽ‡„€‚‹Ÿž‚€‘‘„…ŒŽ†„…ˆŸ DZ“˜ŠˆDZ“˜ŠˆDZ“˜ŠˆDZ“˜ŠˆDZ“. DZ®¤áâ ¢¨¢ ¢¬¥áâ® ¡ãª¢ ç¨á« , ¯®«ã稬 â ¡«¨æã: 16 15 8 5 17 1 3 12 31 30 3 1 18 16 20 25 11 9 14 16 20 25 11 9 14 16 18 5 14 6 13 17 15 7 5 6 14 9 31 20 25 11 9 14 16 20 25 11 9 14 16 20 ‘«®¦¨¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ç¨á«  ¢ ¯¥à¢ë© ¨ ¢® ¢â®à®© áâப å (¢ ª®«ìæ¥ Z ), ¯®«ã稬 ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ç¨á¥« 1, 4, 2, 16, 26, 15, 19, 1, 25, 10, 12, 15, 3, 7, 30, 25, 15, 27, 2, 4, 1, 16, 15, 28, 25, 20. DZ®¤áâ ¢¨¬ ¢¬¥áâ® ç¨á¥« ¡ãª¢ë  «ä ¢¨â . DZ®«ã稬 á«¥¤ãî騩 § ª®¤¨à®¢ ­­ë© ⥪áâ:  £¡¯é®â è©«®¢¦îè®ë¡ç ¯®ìèã. 31

91

—â®¡ë ¥£® à áè¨ä஢ âì, ­ ¤® §­ âì § ¯¨áì ª«î祢®£® á«®¢  (¢ ª®«ìæ¥ Z ), ¯¥à¥©â¨ ®â § ª®¤¨à®¢ ­­®£® ⥪áâ  ª ç¨á«®¢®© § ¯¨á¨ ¨ ¢ëç¥áâì ¨§ ª ¦¤®£® ç¨á«  (¯® mod 31) ­®¬¥à ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª«î祢®© ¡ãª¢ë. ‘¯®á®¡ 6.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¨­ê¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ' àãá᪮£®  «ä ¢¨â  ¢ N  N: Š®¤¨à®¢ ­¨¥ ª ¦¤®£® á«®¢  § ª«îç ¥âáï ¢ § ¬¥­¥ ª ¦¤®© ¡ãª¢ë x ¥ñ ®¡à §®¬ '(x):  ¯à¨¬¥à, ¯ãáâì ®â®¡à ¦¥­¨¥ ' § ¤ ­® ¢ ¢¨¤¥ â ¡«¨æë 6  6: 1 2 3 4 5 6 1   ® ­ ¬ « ª 2 ¯ ¡ © 3 à ï ¢ é ¨ 4 á î ë £ è § 5 â í ì ç ¤ ¦ 6 ã ä å æ ¥ ’®£¤  á«®¢ã "ã­¨¢¥àá¨â¥â" ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 㯮à冷祭­ë© ­ ¡®à ¯ à ((6,1), (1,3), (3,6), (3,3), (6,6), (3,1), (4,1), (3,6), (5,1), (6,6),(5,1)) ¨«¨ ç¨á«® 61 13 36 33 66 31 41 36 51 66 51, ¯® ª®â®à®¬ã ®¤­®§­ ç­® ¤¥ª®¤¨àã¥âáï ¨á室­®¥ á«®¢®, ¥á«¨, ª®­¥ç­®, §­ âì â ¡«¨æã. Žç¥¢¨¤­®, çâ® íâ® ¯®¤áâ ­®¢®ç­ë© è¨äà. “¯à ¦­¥­¨¥. DZ®«ì§ãïáì ¢ë襯ਢ¥¤¥­­®© â ¡«¨æ¥©, à áè¨ä஢ âì á®®¡é¥­¨¥ 14 11 51 66 14 11 51 36 16 11 64 11 31 36 64 11 13 11 61 16. Ž’‚…’: ¬ â¥¬ â¨ª  { æ à¨æ  ­ ãª. ‘«¥¤ãî騬 ¯à¨¬¥à®¬ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì â.­.  §¡ãª  Œ®à§¥ { ¯®¤áâ ­®¢®ç­ë© ª®¤, ¨á¯®«ì§ãéë©  «ä ¢¨â ®¡ê¥¬  2 (â®çª , â¨à¥) ¨ ¯à¨¬¥­ï¥¬ë© ¤«ï ⥫¥£à ä­ëå á®®¡é¥­¨© (¯à¨¤ã¬ ­ ‘ ¬ãí«¥¬ Œ®à§¥; ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ â®çª  ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ªà âª®¢à¥¬¥­­®¬ã ¨¬¯ã«ìáã ⮪ , â¨à¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤«¨â¥«ì­®¬ã ¨¬¯ã«ìáã ⮪ ). 31

92

‘ª®«ìª® áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®¨ç­ëå á«®¢ ¤«¨­ë n; ­¥ ᮤ¥à¦ é¨å ­¥áª®«ìª® ­ã«¥© ¯®¤àï¤? ‡ ¤ ç  1.

“Š€‡€Hˆ…. Ÿá­®, çâ® ­ã«¥© q = n t  n=2: “¤ «¨¢ ¨§ ª ¦¤®£® â ª®£® á«®¢  ¯® ®¤­®© ¥¤¨­¨æ¥ ¬¥¦¤ã «î¡ë¬¨ á®á¥¤­¨¬¨ ­ã«ï¬¨, ¬ë ¯®«ã稬 á«®¢® ¤«¨­ë n (q 1); ᮤ¥à¦ é¥¥ ஢­® q ­ã«¥©. â® ᮮ⢥âá⢨¥ ¡¨¥ªâ¨¢­®. DZ®í⮬㠨᪮¬®¥ ç¨á«® à ¢­® Cnq q = Ctn t: +1

‡ ¤ ç  2.

+1

ˆá¯®«ì§ãï ª®¤ –¥§ àï, ¤¥ª®¤¨à®¢ âì ªà¨¯â®£à ¬¬ã:

¥«ä¨à૬ 䥨å®î¬ §¨àï ­®áà®ä¢ ­ ¥¨ë¨ãæ àáªá¥î¨ åæë­« äå᢮«¥îäá­á ¥ ¢ä®á¯ ਤ¨ « ­£ª£®áï ਠâ®î®« ¯«¯á£ æè᧫®« ¥ ä£¯æ¡ ¦®æ¤ï ®£ªæã«

3.2

DZਬ¥àë ª®¤®¢, ¨á¯à ¢«ïîé¨å ®è¨¡ª¨

Œ è¨­¨á⪠, ¯¥ç â ï ­¥ª®â®àë© â¥ªáâ ­  àãá᪮¬ ¨«¨  ­£«¨©áª®¬ ï§ëª¥, ¬®¦¥â ᤥ« âì ®¯¥ç âª¨. â® ®¡ëç­® ­¥ ¬¥è ¥â ­ ¬ ¢®ááâ ­®¢¨âì ¯à ¢¨«ì­ë© ⥪áâ. ˆ á¢ï§ ­® íâ® á ¨§¡ëâ®ç­®áâìî ï§ëª .  ¯à¨¬¥à, ¨§¡ëâ®ç­®áâì  ­£«¨©áª®£® ï§ëª  à ¢­  70%([10]): DZਠ¯¥à¥¤ ç¥ § ª®¤¨à®¢ ­­®© ¨­ä®à¬ æ¨¨ ¬®£ãâ ¢®§­¨ª âì ¯®¬¥å¨, ª®â®àë¥ ¨áª §ïâ ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬ãî ¨­ä®à¬ æ¨î. DZ®í⮬㠭¥®¡å®¤¨¬® 㬥âì ¢ëïâì ®è¨¡ª¨ ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ á®®¡é¥­¨©. â® ¤¥« ¥âáï §  áç¥â ¨§¡ëâ®ç­®á⨠¯¥à¥¤ ¢ ¥¬®© ¨­ä®à¬ æ¨¨. ‘­ ç «  ¬ë à áᬮâਬ á奬ã (¬®¤¥«ì) ¯¥à¥¤ ç¨ § ª®¤¨à®¢ ­­®£® á®®¡é¥­¨ï 93

®â ¨áâ®ç­¨ª ¨­ä®p¬ æ¨¨

èã¬

¯p¥®¡p §®¢ â¥«ì á®®¡é¥­¨© ¨áâ®ç­¨ª  ¢ ¤¢®¨ç­ãî ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì

- ª®¤¥p - ¬®¤ã- «ïâ®p

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¤¥¬®¤ã«ïâ®p

ª ¯®«ãç â¥«î ¨­ä®p¬ æ¨¨

¯p¥®¡p §®¢ â¥«ì ¤¢®¨ç­®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠¢ ¨á室­®¥ á®®¡é¥­¨¥ ¤«ï ¯®«ãç â¥«ï



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t ¢à¥¬¥­¨). 0

3

3

2

5

4

5

0

94

4

5

DZãáâì ¯¥à¥¤ îâáï ¯® ª ­ «ã n ᨬ¢®«®¢ ¨ ¢¥à®ïâ­®áâì ®è¨¡ª¨ ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ à ¢­  p. „®ª § âì, çâ® ¢¥à®ïâ­®áâì k ®è¨¡®ª à ¢­  Cnk pk (1 p)n k : DZਬ¥à 2. DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ Cnk á®®¡é¥­¨©. Š ¦¤®¬ã á®®¡é¥­¨î ¯®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¤«¨­ë n ¨§ 0 ¨ 1, ¢ ª®â®à®© ç¨á«® 1 à ¢­® k. ’ ª®¥ ª®¤¨à®¢ ­¨¥ ­ §ë¢ ¥âáï à ¢­®¢¥á­ë¬.  ¯à¨¬¥à, § ª®¤¨à㥬 ¯¥à¢ë¥ 10 ç¨á¥« (æ¨äà) 0 ! (000 11) 1 ! (001 01) 2 ! (001 10) 3 ! (010 01) 4 ! (010 10) 5 ! (011 00) 6 ! (100 01) 7 ! (100 10) 8 ! (101 00) 9 ! (110 00) ‡¤¥áì C = 10. ‚®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ®¤­®© ®è¨¡ª¨ ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ â ª®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠¯à¨¢®¤¨â ª ¡«®ªã ¨§ 5 ᨬ¢®«®¢, ¢ ª®â®à®¬ «¨¡® ®¤­  1, «¨¡® 3 ¥¤¨­¨æë, â.¥. ¬ë ®¡­ à㦨¢ ¥¬ ­ «¨ç¨¥ ®è¨¡ª¨, ­¥ §­ ï, ¢ ª ª®¬ ¬¥á⥠®­  ¯à®¨§®è« . DZਬ¥à 3.  áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ á®®¡é¥­¨© ¬®é­®á⨠­¥ ¡®«¥¥ 2n: Š ¦¤®¥ á®®¡é¥­¨¥ § ª®¤¨à®¢ ­® ¢ ¢¨¤¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠¨§ 0 ¨ 1. (a ; : : : ; an): ‚¢¥¤¥¬ ¤®¯®«­¨â¥«­ë© ᨬ¢®« an ; 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãá«®¢¨î an  n P  ai(mod2): ‚¬¥áâ® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠(a ; : : : ; an) ¡ã¤¥¬ ¯¥à¥¤ ¢ âì i ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (a ; : : : ; an; an ): —¨á«® ¥¤¨­¨æ ¢ ­®¢®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠ï¥âáï ç¥â­ë¬. …᫨ ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ ¯à®¨§®è«® ­¥ç¥â­®¥ ç¨á«® ®è¨‡ ¤ ç  1.

2

5

1

+1

+1

1

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1

+1

95

¡®ª (¢ ç áâ­®áâ¨, ®¤­  ®è¨¡ª ), â® ç¨á«® ¥¤¨­¨æ ¢ ¯¥à¥¤ ­­®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠(a0 ; : : : ; a0n ) ï¥âáï ­¥ç¥â­ë¬. ’.¥. í⨬ ᯮᮡ®¬ "¯à®¢¥àª¨ ­  ç¥â­®áâì" ¬ë ¬®¦¥¬ ®¡­ à㦨âì ⮫쪮 áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ®è¨¡®ª, ¥á«¨ ¨å ç¨á«® ­¥ç¥â­®¥. ‡ ¤ ç  2. DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ á®®¡é¥­¨© ¨¬¥¥â ¬®é­®áâì ­¥ ¡®«¥¥ 10 : DZ®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ª ¦¤®¬ã á®®¡é¥­¨î  ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«® abcd; â.¥.  ! abcd; a; b; c; d 2 f0; 1; : : : ; 9g: ‚¬¥áâ® ¯¥à¥¤ ç¨ ¯® ª ­ «ã ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠abcd ¡ã¤¥¬ ¯®áë« âì abcde; £¤¥ (e + a + b + c + d)   0(mod9): —â® ¯®§¢®«ï¥â ®¡­ à㦨âì â ª®¥ ª®¤¨à®¢ ­¨¥ ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥? Ž’‚…’: Œë ®¡­ à㦨¬, çâ® «¨¡® ®è¨¡ª¨ ­¥â, «¨¡® 0 § ¬¥­¥­  ­  9, «¨¡® æ¨äà  9 § ¬¥­¥­  ­  0, «¨¡® ç¨á«® ®è¨¡®ª ­¥ ¬¥­¥¥ ¤¢ãå. DZਬ¥à 4 (R.W.Hamming, 1950). DZਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à ª®¤ , ¨á¯à ¢«ïî饣® ®¤­ã ®è¨¡ªã ¢ á«®¢ å ¤«¨­ë 7, ᮤ¥à¦ é¨å 4 ¡¨â  ¨­ä®à¬ æ¨¨. ˆ¬¥­­®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ­ ¬ ­¥®¡å®¤¨¬® ¯¥à¥¤ âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (a; b; c; d) ¨§ ­ã«¥© ¨ ¥¤¨­¨æ.  áᬮâਬ ¢¥ªâ®à 1

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4

0

1

x B C By C B C B C Ba C B C C C=B B z C; B C B b C B C B c C @ A d

£¤¥ x + a + b + d = 0; y + a + c + d = 0; í⨠ãá«®¢¨ï ¢ ¬ âà¨ç­®¬ ¢¨¤¥. DZãáâì 0 1 0 1 0 1 0 B H =B @0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 96

z + b + c + d = 0: ‡ ¯¨è¥¬ 1

1C 1C A; 1

0

¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© i © á⮫¡¥æ i=r
2

0

B B @

1

z C sC A ¨¬¥¥â â ª¨¥ ¢å®¦¤¥­¨ï r; s; t; çâ® t

+ s
2 + t
2 = (tsr) ; 1

2

2

â.¥. íâ® æ¨äàë ¢ ¤¢®¨ç­®© § ¯¨á¨ ç¨á«  i: ’®£¤  H
C = 0: DZãáâì ¯®«ãç â¥«ì ¯®«ã砥⠭  ¢ë室¥ ¢¥ªâ®à 0

R=

B B @

1

b

..

1

b

C C: A

7

…᫨ p { ¢¥à®ïâ­®áâì ®è¨¡ª¨ ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¨ ®¤­®© æ¨äàë, â® ¢¥à®ïâ­®áâì ⮣®, çâ® ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ C ¤®¯ã饭® ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®© ®è¨¡ª¨, à ¢­  v = = (1 p) + 7(1 p)
p:  ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ p = 0; 1; â® v = 0; 998: …᫨ v { ¢¥à®ïâ­®áâì ¡«¨§ª  ª 1, â® ã ­ á ¥áâì 㢥७­®áâì, çâ® ¢¥ªâ®à R ®â«¨ç ¥âáï ®â C ­¥ ¡®«¥¥, 祬 ­  ®¤­® ¢å®¦¤¥­¨¥ (®¤­ã ª®®à¤¨­ âã).  áᬮâਬ E == R C: ’®£¤  HR = HC + HE = HE: …᫨ R = C; â® E = 0 ¨ HE = 0: …᫨ R 6= C; â® E { ¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ, ¢ ª®â®à®¬ ®¤­  ª®®à¤¨­ â  à ¢­  ¥¤¨­¨æ¥,   ®áâ «ì­ë¥ à ¢­ë ­ã«î. ‚ í⮬ á«ãç ¥ HE { á⮫¡¥æ H , ­®¬¥à i ª®â®à®£® ¢ H ᮢ¯ ¤ ¥â á ­®¬¥à®¬ ª®®à¤¨­ âë, à ¢­®© 1 ¢ E:  ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ 0 1 0 1 1 1 B C B C B0C B C B C 0 1 B0C 0 1 B C B C 1 0 1 0 1 0 1 1 B1C B1C B C B C B C B C C B C B C B C R=B B 1 C ; â® H
R = @ 0 1 1 0 0 1 1 A
B 1 C = @ 1 A ; B C B C B0C B0C 0 0 0 1 1 1 1 1 B C B C B1C B1C @ A @ A 1 1 7

6

97

0

1

0

1

0 1 C B C B0C 0C C 0 1 B C C B C 0C 1 B1C C B C B C B 1 C ; â.¥. C = B 1 C : H
0C = C @ A B C C B C B0C 0C 1 C B C C B1C 0A @ A 1 0 B B B B B B B B B B B B @

“¯à ¦­¥­¨¥ 1. 0

1

0

1

1 1 B C B C B1C B1C B C B C 0 1 B C B C 0 B1C B1C B C B C B C C ; â® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® H
R = B 1 C ¨ C = B 0 C ;  ) …᫨ R = B 0 B C B C @ A B C B C B0C B0C 1 B C B C B1C B0C @ A @ A 0 0 0 1 0 1 0 0 B C B C B0C B0C B C B C 0 1 B C B C 1 B0C B1C B C B C B C C B C B 1 C; ¡) ¥á«¨ R = B ; â® HR = ¨ C = B1C B C @1A B C B C B0C B0C 0 B C B C B0C B0C @ A @ A 1 1 0 1 0 B C B1C B C B C B0C B C C ¢) ¥á«¨ R = B B 1 C ; â® H
R = 0 ¨ C = R; B C B0C B C B1C @ A 0 98

0

1

1C 0C C C 1C C C 1 C £) ¤¥ª®¤¨à®¢ âì á«®¢® (¢¥ªâ®à) C: 0C C 1C C C 1C A 1 DZ¥à¥¤ ¨§«®¦¥­¨¥¬ ­¨¦¥á«¥¤ãîé¨å ¯à¨¬¥à®¢ 5-7 ¯à¨¢¥¤¥¬ ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ¨§ ⥮ਨ ª®¬¬ãâ â¨¢­ëå ª®«¥æ. B B B B B B B B B B B B B B B @

3.3

” ªâ®à-ª®«ìæ  ª®¬¬ãâ â¨¢­ëå ª®«¥æ

DZãáâì R { ª®¬¬ãâ â¨¢­®¥ ª®«ìæ® á ¥¤¨­¨æ¥© ¨ I { ¨¤¥ « ª®«ìæ  R (¢ ®¡®§­ ç¥­¨¨ I /R).  áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ ᬥ¦­ëå ª« áᮢ ®â­®á¨â¥«ì­® ¨¤¥ «  I : R = R=I = fa = a + I ; a 2 Rg: Ž¯à¥¤¥«¨¬ ­  R ®¯¥à æ¨¨ "+" ¨ "
" ¯® ¯à ¢¨« ¬: a
b = ab: a + b = a + b; Š®à४⭮áâì íâ¨å ®¯¥à æ¨© á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨¤¥ «  ¨ á«¥¤ãî饩 «¥¬¬ë. ‹¥¬¬  1. a = b () (a b) 2 I: „®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥âáï ç¨â â¥«î. Š®«ìæ® R = R=I ï¥âáï  áá®æ¨ â¨¢­ë¬, ª®¬¬ãâ â¨¢­ë¬ ¨ ᮤ¥à¦¨â ¥¤¨­¨æã 1: Ž­® ­ §ë¢ ¥âáï ä ªâ®à-ª®«ì殬 ª®«ìæ  R ¯® ¨¤¥ «ã I: Žâ®¡à ¦¥­¨¥  : R ! R=I; (a) = a ï¥âáï áîàꥪ⨢­ë¬ £®¬®¬®à䨧¬®¬ ª®«ìæ  R ­  R=I ( ¨ ­ §ë¢ ¥âáï ¥áâ¥á⢥­­ë¬ £®¬®¬®à䨧¬®¬ R ­  R=I ). ˆ¤¥ « I ª®«ìæ  R ­ §®¢¥¬ ¬ ª99

ᨬ «ì­ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¤à㣮£® ¨¤¥ «  M / R â ª®£®, çâ® I  M  R á«¥¤ã¥â, çâ® «¨¡® I = M; «¨¡® M = R: “¯à ¦­¥­¨¥ 1:

 ) ¤®ª § âì, çâ® I /Z ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  I = (p); £¤¥ p { ¯à®á⮥ ç¨á«®; ¡) ª®«ìæ® á ¥¤¨­¨æ¥© ï¥âáï ¯®«¥¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  (0) { ¥¤¨­á⢥­­ë© ¬ ªá¨¬ «ì­ë© ¨¤¥ « ¢ ­¥¬.

DZ।«®¦¥­¨¥ 1. DZãáâì I / R: ” ªâ®à-ª®«ìæ® R=I ï¥âáï ¯®«¥¬

I { ¬ ªá¨¬ «ì­ë© ¨¤¥ «. „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì R=I { ¯®«¥ ¨ M { ¨¤¥ «, c®¤¥p¦ é¨© I: …᫨ M 6= I; â® M=I 3 a 6= 0: ’ ª ª ª R=I { ¯®«¥, â® a
a = 1 2 M=I ¨ ¤«ï ­¥ª®â®à®£® í«¥¬¥­â  m 2 M (1 m) 2 I  M: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, 1 2 M ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â  x 2 R x = x
1 2 M: DZ®í⮬ã R = M: Ž¡à â­®, ¯ãáâì I { ¬ ªá¨¬ «ì­ë© ¨¤¥ « ¨ a 6= 0 2 R=I: ’®£¤  ¨¤¥ « (a) + I 6= I ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, (a) + I = R: Žâªã¤  á«¥¤ã¥â à ¢¥­á⢮ 1 = ax + i ¤«ï ­¥ª®â®àëå x 2 R; i 2 I: DZ®í⮬ã 1 = a
x; â.¥. R=I { ¯®«¥. DZ।«®¦¥­¨¥ 2. DZãáâì R { ®¡« áâì £« ¢­ëå ¨¤¥ «®¢, â.¥. ª®«ìæ® ¡¥§ ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï á ¥¤¨­¨æ¥©, ¢ ª®â®à®¬ ª ¦¤ë© ¨¤¥ « I / R ®¤­®¯®à®¦¤¥­, (â.¥. I = (a) ¤«ï ­¥ª®â®à®£® a 2 R). …᫨  { ­¥à §«®¦¨¬ë© í«¥¬¥­â ¢ R; â® () { ¬ ªá¨¬ «ì­ë© ¨¤¥ « ¨ R=() { ¯®«¥. „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. …᫨ M / R ¨ M  (); â® M = (a) ¨  = ax: ’ ª ª ª a 62 (); â® a { ®¡à â¨¬ë© í«¥¬¥­â, â.¥. M = R: DZ® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1 R=() { ¯®«¥. ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ 

1

DZp¨¬¥à ¬¨ â ª¨å ª®«¥æ (Žƒˆ) ïîâáï Z; k[x]; £¤¥ k { ¯®«¥. …᫨ ¢ ª®«ìæ¥ ¡¥§ ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï ¨¬¥¥âáï  «£®p¨â¬ ¤¥«¥­¨ï á ®áâ âª®¬ (â ª¨¥ ª®«ìæ  ­ §ë¢ îâáï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬¨), p pâ® ®­¨ ïîâáï ®¡« áâﬨ £« ¢­ëå ¨¤¥ «®¢. H ¯p¨¬¥p, Z[i]; Z[i 2]; Z[ 2]: “¯p ¦­¥­¨¥ 2. Š®«ìæ® R ­ §ë¢ ¥âáï ¥¢ª«¨¤®¢®© ®¡« áâìî, ¥á«¨ R { 100

ª®«ìæ® ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï á ¥¤¨­¨æ¥© ¨ ®¯p¥¤¥«¥­® ®â®¡p ¦¥­¨¥ ' : R ! Z â ª®¥, çâ®:  ) ¥á«¨ b 6= 0; a 6= 0 ¨ b=a; â® '(b)  '(a); ¡) ¤«ï «î¡ëå í«¥¬¥­â®¢ a; b 2 R; b 6= 0 áãé¥áâ¢ãîâ í«¥¬¥­âë q; r 2 R â ª¨¥, çâ® a = bq + r; £¤¥ '(r) < '(b): „®ª § âì, çâ® ¥á«¨ R { ¥¢ª«¨¤®¢  ®¡« áâì, â® 1) '(0) < '(b) ¤«ï «î¡®£® b 6= 0 2 R; 2) '(a) = '(b); ¥á«¨ a ¨ b  áá®æ¨¨p®¢ ­ë; 3) a ¨ b  áá®æ¨¨p®¢ ­ë, ¥á«¨ a=b ¨ '(a) = '(b); 4) '(") = '(1) () "j1; 5) R { Žƒˆ; 6) R { ®¡« áâì á ®¤­®§­ ç­ë¬ à §«®¦¥­¨¥¬ ­  ¬­®¦¨â¥«¨. “¯à ¦­¥­¨¥ 3. „®ª § âì, çâ® á«¥¤ãî騥 ª®«ìæ  ï¢«ïîâáï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬¨:  ) Z[ip]; '(a + bi) p =a +b ; ¡) Z[ p2]; '(a + b p2) = ja 2b j; ¢) Z[i 2]; '(a + bi 2) = a + 2b ; £) Z; '(n) = jnj; ¤) k[x]; '(f (x)) = degf (x); k { ¯®«¥ ('(0) = 1): 2

2

2

2

2

2

101

3.4

‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¨ áâ஥­¨¥ ª®­¥ç­ëå ¯®«¥©

DZ।«®¦¥­¨¥ 3. DZãáâì k { ¯®«¥. ’®£¤  ¤«ï «î¡®£® ¬­®£®ç«¥­  f (x) 2

k[x] áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¥ k

1

 k; ᮤ¥à¦ é¥¥ ­¥ª®â®àë© ª®à¥­ì í⮣® ¬­®-

£®ç«¥­ .

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì p(x) { ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬­®¦¨â¥«ì f (x) ¢ k[x]: ’®£¤  k[x]=(p) ï¥âáï ¯®«¥¬, ¨  = x { ª®à¥­ì f (x) = 0: ‘«¥¤á⢨¥. „«ï «î¡®£® f (x) 2 k[x] áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¥ E  k; ᮤ¥à¦ é¥¥ ¢á¥ ª®à­¨ f (x): „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „¥©á⢨⥫쭮, ᮣ« á­® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 3, áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¥ k  k; ᮤ¥à¦ é¥¥ ®¤¨­ ª®à¥­ì  ¬­®£®ç«¥­  f (x): DZ® «¥¬¬¥ ¥§ã (x  )j(f (x):  áᬮâਬ ¬­®£®ç«¥­ f (x)=(x  ) 2 k [x]: „«ï ­¥£® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¥ k  k ; ᮤ¥à¦ é¥¥ ¥£® ª®à¥­ì  : DZ® «¥¬¬¥ ¥§ã (x  )j xf x1 :  áᬠâਢ ï x f1 xx 2 ¨ à áá㦤 ï  ­ «®£¨ç­®, ¯à¨¤¥¬ ª ¤®ª § â¥«ìáâ¢ã á«¥¤á⢨ï. DZãáâì p { ¯à®á⮥ ç¨á«® ¨ q = pn:  áᬮâਬ ¯®«¥ E  GF (p); ᮤ¥à¦ é¥¥ ¢á¥ ª®à­¨  ; : : : ; q ¬­®£®ç«¥­  xq x 2 GF (p)[x]: ’ ª ª ª (xq x)0 = qxq 1 = 1; â® ¤ ­­ë© ¬­®£®ç«¥­ ­¥ ¨¬¥¥â ªà â­ëå ª®à­¥©, â.¥. i 6= j ¯à¨ i 6= j: DZãáâì GF (q) = f ; : : : ; q g: „®ª ¦¥¬, çâ® GF (q) { ¯®¤¯®«¥ E: „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì ; 2 GF (q): ’®£¤  ( )q = q
q =  ¨ ( + )q = (( + )p)pn 1 = (p + p)pn 1 =


= pn + pn =  + : ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,  ;  + ;  2 GF (q); ¥á«¨  6= 0: ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¥á«¨ P { ª®­¥ç­®¥ ¯®«¥ á ¥¤¨­¨æ¥© e; â® á।¨ í«¥¬¥­â®¢ e; 2e; 3e; : : : ­ ©¤ãâáï ¤¢  ®¤¨­ ª®¢ëå.  ¯à¨¬¥à, ae = b
e; a > b: ‚ ç áâ­®áâ¨, (a b)
e = 0: DZãáâì p = minfn 2 N; n > 0; ne = 0g: ’®£¤  p { ¯à®á⮥ ç¨á«® (¤®ª § âì!) ¨ P  GF (p) = f0; e; 2e; : : : ; (p 1)eg: P ï¥âáï ¢¥ªâ®à­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ ­ ¤ GF (p): …᫨ n = dimP; â® P = f v + : : : nvn; i 2 GF (p); fv ; : : : ; vng { ¡ §¨á g: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, jP j = pn = q: Œ­®¦¥á⢮ P n 0 ï¥âáï £à㯯®© ¯®à浪  (q 1) ®â­®á¨â¥«ì­® ®¯¥à æ¨¨ 㬭®¦¥­¨ï. DZ® á«¥¤áâ¢¨î ¨§ ⥮1

1

1

1

2

(

2

1

2

(

)

(

1

(

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)

)

1

1

1

1

1

102

1

1

à¥¬ë ‹ £à ­¦  «î¡®© í«¥¬¥­â a 2 P n 0 㤮¢«¥â¢®àï¥â à ¢¥­áâ¢ã aq = e ¨«¨ aq = a: ˆâ ª, í«¥¬¥­âë ¨§ P ïîâáï ª®à­ï¬¨ (xq x) 2 GF (p)[x]: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®­¥ç­ë¥ ¯®«ï áãé¥áâ¢ãîâ, ᮢ¯ ¤ îâ á ¬­®¦¥á⢮¬ ¢á¥å ª®à­¥© ¬­®£®ç«¥­  (xq x) 2 GF (p)[x], £¤¥ q = pn; ¢ ­¥ª®â®à®¬ à áè¨à¥­¨¨ ¯®«ï GF (p): DZ।«®¦¥­¨¥ 4. Œã«ì⨯«¨ª â¨¢­ ï £à㯯  ª®­¥ç­®£® ¯®«ï GF (q) 1

ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì G = GF (q) n 0 = fa ; : : : ; aq g: DZ®à冷ª ki = jai j ï¥âáï ¤¥«¨â¥«¥¬ q 1 = pl1 : : : plss : DZãáâì m = [k ; : : : ; kq ] { ŽŠ ç¨á¥« k ; : : : ; kq : …᫨ m = pt1 : : : ptss ; â® ­ ©¤ãâáï í«¥¬¥­âë aj1 ; : : : ; ajs â ª¨¥, çâ® kj1 = pt1
v ; : : : ; kjs = pts
vs: ’®£¤  í«¥¬¥­âë b = avj11 ; : : : ; bs = avjss ¨¬¥îâ ¯®à浪¨ pt1 ; : : : ; pts ᮮ⢥âá⢥­­®,   í«¥¬¥­â b b : : : bs = c ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¯®à冷ª m: ’ ª ª ª kijm; i  q 1; â® ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â ¨§ G ï¥âáï ª®à­¥¬ xm 1 2 GF (p)[x]; q = pn: ’.¥. q 1  m: ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, m = jcj j (q 1) ¨ q 1 = m; â.¥. G = h1; c; : : : ; cq i: “¯à ¦­¥­¨¥ 1.  ©â¨ 横«¨ç¥áª¨¥ ¯®à®¦¤ î騥 ¯®«¥© GF (4); GF (9): “¯à ¦­¥­¨¥ 2.  ©â¨ ¢á¥ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¬­®£®ç«¥­ë á⥯¥­¨ ¤¢  ­ ¤ GF (5): 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

“¯à ¦­¥­¨¥ 3:

 ) p¥è¨âì ¢ ¯®«¥ GF (7) ãà ¢­¥­¨¥ x = 3; ¡) à¥è¨âì ¢ ¯®«¥ GF (8) ãà ¢­¥­¨ï: 1) x = 5; 2) x + x + 1 = 0: “¯à ¦­¥­¨¥ 4. DZãáâì R = Z[i] ¨ I = () /R: „®ª § âì, çâ® R=I { ¯®«¥, ¥á«¨ 1)  = 1 + i (¯®à浪  4); 2)  = 3 ( ¯®à浪  9). …᫨  = 5; â® ¤®ª § âì, çâ® R=I ­¥ ï¥âáï ¯®«¥¬. “¯à ¦­¥­¨¥ 5. „®ª § âì, çâ® ¢ ¯®«¥ GF (32) ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â, ­¥ à ¢­ë© 0, 1, ï¥âáï 横«¨ç¥áª¨¬ ¯®à®¦¤ î騬 (â.¥. ¯à¨¬¨â¨¢­ë¬). “¯à ¦­¥­¨¥ 6. DZ®«¥ GF (q) ᮤ¥à¦¨â '(q 1) ¯à¨¬¨â¨¢­ëå í«¥¬¥­â®¢. 4

6

103

2

„®ª § âì, çâ® £à㯯  ®¡à â¨¬ëå í«¥¬¥­â®¢ Z ­¥ ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©. “¯à ¦­¥­¨¥ 7.

15

“¯à ¦­¥­¨¥ 8:

 ) ¤®ª § âì ¨§®¬®à䨧¬ ¯®«¥© Z [x]=(x 2

3

+ x + 1) ¨ Z [x]=(x + x + 1); 3

2

2

¡) ­ ©â¨ ª®à­¨ (x + x + 1) ¢ ¯®«¥ Z [x]=(x + x + 1): “¯à ¦­¥­¨¥ 9. DZãáâì N (n; p) { ç¨á«® ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¬­®£®ç«¥­®¢ á⥯¥­¨ n ¢ Zp[x]: „®ª § âì, çâ® 1 X n N (n; p) =
( )pd: 2

4

2

n

d

djn

“Š€‡€Hˆ…. Œ­®£®ç«¥­ (xpn x) ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¢á¥å ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¬­®£®ç«¥­®¢ á⥯¥­¥© d; djn; d  n: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, P P pn = d
N (d; p): DZ® ä®à¬ã«¥ ®¡à é¥­¨ï Œ¥¡¨ãá  nN (n; p) = ( nd )pd: djn

djn

“¯à ¦­¥­¨¥ 10:

 ) ¢ëç¨á«¨âì N (n; 2); n  9; ¡) ¤®ª § âì, çâ® N (6; 7) = 19544: 3.5

DZਬ¥àë ª®¤®¢, ¨á¯à ¢«ïîé¨å ®è¨¡ª¨ (¯à®¤®«¦¥­¨¥: ª®¤ ®ã§ -—®ã¤åãà¨-•®ª¢¨­£¥¬ )

DZਬ¥à 5 (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem, 1960).

DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ­ ¬ ­¥®¡å®¤¨¬® ¯¥à¥¤ âì ¯®«ãç â¥«î á«®¢® (a; b; c; d); £¤¥ a; b 2 f0; 1g:  áᬮâਬ ¯®«¥ GF (8) = Z [x]=(x + x + 1) = = h0; 1; ;  ; : : : ;  i; £¤¥  = x: DZ® «¥¬¬¥ ® ¤¥«¥­¨¨ á ®áâ âª®¬ áãé¥áâ¢ãîâ ¬­®£®ç«¥­ë q(x) ¨ r(x) â ª¨¥, çâ® ax + bx + cx + dx = (x + x + 1)q(x) + r(x); £¤¥ r(x) = rx + sx + t: DZ®«®¦¨¬ C (x) = ax + bx + cx + dx + rx + sx+ +t: ‚¬¥áâ® (a; b; c; d) ¡ã¤¥¬ ¯¥à¥¤ ¢ âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì 3

2

2

6

6

2

3

5

4

3

6

2

104

3

5

4

(a; b; c; d; r; s; t): DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ­  ¢ë室¥ ¯®«ãç â¥«ì ¯®«ã砥⠯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (A; B; C; D; R; S; T ) ¨ ç¨á«® ®è¨¡®ª ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ®¤­®©. “ª ¦¥¬  «£®à¨â¬ ¥¥ ®¡­ à㦥­¨ï.  áᬮâਬ ¬­®£®ç«¥­ R(x) = Ax + Bx + Cx + Dx + Rx + Sx + T: DZãáâì E (x) = C (x) R(x): ’®£¤  «¨¡® E (x) = 0; «¨¡® E (x) = xe; £¤¥ (e +1) { ­®¬¥à ª®®à¤¨­ âë, ᮤ¥à¦ é¥© ®è¨¡ªã (¥á«¨ áç¨â âì á¯à ¢ ). …᫨ R() = 0; â® E () = C () R() = 0, ¨ ®è¨¡ª¨ ­¥â. …᫨ R() = e; â® R() = E () = e ¨ (e + 1) { ­®¬¥à ®è¨¡®ç­®© ª®®à¤¨­ âë.  ¯à¨¬¥à, § ª®¤¨à㥬 ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (1, 1, 0, 1). ˆ¬¥¥¬ x + x + x = (x + x + 1)q(x) + 1: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, C (x) = x + x + x + 1: Š®¤¥à ¢ë¤ ¥â ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1). …᫨ ¯®«ãç â¥«ì ¯®«ãç ¥â, ­ ¯à¨¬¥à, ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (1, 1, 0, 1, 1, 0, 1), â® R(x) = x + x + x + x + 1 ¨ R() =  +  +  +  + 1 = = ( + 1) + ( +  + 1) + ( + 1) +  + 1 =  ; â.¥ ®è¨¡ª  ¯à®¨§®è«  ¢ ¯ï⮬ ᨬ¢®«¥, áç¨â ï á«¥¢ . “¯à ¦­¥­¨¥ 1. ‡ ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨ï:  ) (1, 0, 0, 0); ¡) (0, 1, 1, 0); ¢) (1, 1, 1, 0). “¯à ¦­¥­¨¥ 2. „¥ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨ï:  ) (1, 1, 1, 0, 0, 0, 1); ¡) (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1); ¢) (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0). DZਬ¥à 6 (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem, 1960).  áᬮâਬ ᯮᮡ ª®¤¨à®¢ ­¨ï á®®¡é¥­¨© ¤«¨­ë 7, ¯®§¢®«ïî騩 ¨á¯à ¢«ïâì ¤¢¥ ®è¨¡ª¨. „«ï í⮣® à áᬮâਬ ¯®«¥ GF (16) = Z [x]=(x + x + 1) = h0; 1; ;  ; : : : ;  i; £¤¥  = x ¨  =  +1;  =  + ;  =  +  ;  =  +  +1;  =  +1;  =  + ;  =  +  +1;  =  +  + ;  =  +  +  +1;  =  +  +1;  =  +1: 6

6

5

3

6

4

3

2

3

5

2

5

6

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13

2

9

3

2

3

14

10

3

 ©¤¥¬ ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¬­®£®ç«¥­ ¤«ï  : ˆ¬¥¥¬ 1
 =0
1+0
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 ; 
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1+1
+1
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 ; 
 = 0
1 + 0
 + 1 + 1
 : 0 10 1 0  0 0 1 1 B CB C B CB  C 1 1  0 0 CB C = 0: Žâªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® B B CB 0 1 1  0 A@  C @ A 0 0 1 1   ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë à ¢¥­ ­ã«î, â.¥. (  )
(1  ) 1 = 0: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,  { ª®à¥­ì ¬­®£®ç«¥­  f = t(1 t) 1 = t + 3t + 3t + t + 1 = t + t + t + t + 1: Œ­®£®ç«¥­ f (x) ï¥âáï ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¬. DZ®í⮬㠬­®£®ç«¥­ g(x) = (x + x + 1)f (x) = x + x + x + x + 1 ï¥âáï ¬­®£®ç«¥­®¬ ­ ¨¬¥­ì襩 á⥯¥­¨, ª®à­ï¬¨ ª®â®à®£® ïîâáï  ¨  : ’ ª ª ª g( ) = g() = 0; â® ;  ;  ;  ;  { ª®à­¨ ¬­®£®ç«¥­  g(x):  áᬮâਬ ¨­ä®à¬ æ¨®­­®¥ á«®¢® ¤«¨­ë 7 (a ; a ; : : : ; a ):  §¤¥«¨¬ ¬­®£®ç«¥­ C (x) = a x + a x +


+ a x ­  g(x) á ®áâ âª®¬ C (x) = g(x)q(x) + r(x); £¤¥ r(x) = a + a x +


+ a x : ’®£¤  C (x) = C (x) + r(x) = a + a x +


+ a x = g(x)q(x):  áᬮâਬ ­®¢ë© (¨§¡ëâ®ç­ë©!) ¨­ä®à¬ æ¨®­­ë© ¢¥ªâ®à C = (a ; a ; : : : ; a ; a ): DZ®á«¥ ®â¯à ¢«¥­¨ï ¥£® ¯®«ãç â¥«ì ¯®«ã砥⠢¥ªâ®à R = (b ; b ; : : : ; b ): „¥ª®¤¨à㥬 ¥£® ¯à¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨, çâ® ç¨á«® ®è¨¡®ª ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ¤¢ãå. 3

2

3

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

2

3

3

3

3

2

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3

3

3

3

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4

3

4

2

4

8

3

3

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7

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6

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14

1

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8

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7

0

1

7

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1

0

1

14

14

13

1

0

14

106

13

0

 áᬮâਬ ¢¥ªâ®à ®è¨¡®ª E = R C ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬­®£®ç«¥­ë E (x); R(x); C (x): ’ ª ª ª ;  ;  { ª®à­¨ C (x); â® E () = R(); E ( ) = R( ) ¨ E ( ) = R( ), ¨ ¬­®£®ç«¥­ E (x) ᮤ¥à¦¨â ­¥ ¡®«¥¥ ¤¢ãå ­¥­ã«¥¢ëå ç«¥­®¢.  áᬮâਬ ¬ âà¨æã 2

2

3

3

2

3

!

S S S S

S=

1

2

2

3

;

£¤¥ Si = R(i); i = 1; 2; 3: ‘«ãç © 1. Žè¨¡®ª ­¥â. ’®£¤  E (x) = 0 ¨ S = 0: ‘«ãç © 2. ˆ¬¥¥âáï ®¤­  ®è¨¡ª . ’®£¤  E (x) = xi; i  14 ! i  i ¨S= : ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, à ­£ r(S ) = 1: ’ ª ª ª R() = E () = i i i; â® ®è¨¡ª  ᮤ¥à¦¨âáï ¢ i-®© ª®®à¤¨­ â¥. ‘«ãç © 3. ˆ¬¥îâáï ¤¢¥ xi + xj ; ! ! ®è¨¡ª¨. ’®£¤  ! E (x) = ! i + j  i +  j 1 1 i 0 1 i S= = i j ¨ r(S ) = 2:  i+ j  i+ j   0 j 1 j ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à ­£ ¬ âà¨æë S à ¢¥­ ç¨á«ã ®è¨¡®ª ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ ¨­ä®à¬ æ¨¨. ‚ âà¥â쥬 á«ãç ¥ 㪠¦¥¬  «£®à¨â¬ ­ å®¦¤¥­¨ï ®è¨¡®ç­ëå ª®®à¤¨­ â. ˆ¬¥­­® ­ ©¤¥¬ i; j;! £¤¥ E!(x) = xi +!xj :  ¥è¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ S S = S : S S  S â® ¢®§¬®¦­®, â.ª. detS 6= 0: DZãáâì (x i)(x j ) = x +  x +  2 GF (16)[x]: ’®£¤  2

2

2

3

2

2

2

3

3

1

2

2

3

2

3

1

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2

1

2

 i +  i + 

= 0;

2

1

2

 j +  j + 

= 0: “¬­®¦ ï í⨠ࠢ¥­á⢠ ᮮ⢥âá⢥­­® ­  i ¨ j ;   § â¥¬ ᪫ ¤ë¢ ï, ¨¬¥¥¬, çâ® S +  S +  S = 0: 2

1

3

1

2

2

2

107

1

€­ «®£¨ç­®, 㬭®¦ ï ¢ë襯ਢ¥¤¥­­ë¥ à ¢¥­á⢠ ­   i;  j ¨ § â¥¬ ᪫ ¤ë¢ ï, ¨¬¥¥¬, çâ® S +  S +  S = 0; 2

!

4

!

!

1

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2

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2

 â.¥. S S = S : S S  S ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,  =  ¨  =  : ˆâ ª, i ¨ j { ª®à­¨ ¬­®£®ç«¥­  1

2

2

3

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3

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2

2

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1

2

+  x +  = 0: 1

2

â¨ ª®à­¨ ­ å®¤ïâáï ¯ã⥬ ¯¥à¥¡®à  ¢á¥å í«¥¬¥­â®¢ ¯®«ï GF (16) = = f0; 1; ;  ; : : : ;  g:  ©¤ï ¨å, ¬ë ®¤­®¢à¥¬¥­­® ­ ©¤¥¬ ®è¨¡®ç­ë¥ ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à  R:  áᬮâਬ ¯à¨¬¥à, ª®£¤  ¨­ä®à¬ æ¨®­­®¥ á«®¢® (¢¥ªâ®à) ¨¬¥¥â ¢¨¤ (1, 1, 0, 1, 1, 0, 1).  §¤¥«¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬­®£®ç«¥­ C (x) = x + x + x + x + x ­  g(x) = x + x + x + x + 1: Žáâ â®ª ¯à¨ ¤¥«¥­¨¨ ¡ã¤¥â à ¢¥­ ¬­®£®ç«¥­ã (x + x + x + x + x ): ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, C (x) = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x, ¨ ¯®áë« ¥¬®¥ ª®¤®¢®¥ á«®¢® ¨¬¥¥â ¢¨¤ (1, 1, 0, 1, 1. 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0). DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¢¥ªâ®à (1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0). ‚ëç¨á«¨¬ Si = R(i); i  4: ˆ¬¥¥¬ R() = R( ) = 1; R( ) =  + 1; R ( ) = 
+ 
+  +  +  +  +  +  +  +  =  +  +  +  +  +  +  +  +  +  = ( +  + )+( +  +1)+ ( + 1) + ( +  + 1) + ( +  ) !+  + ( + ) +  + ( + 1) + ( + 1) = 1:  ­£ ¬ âà¨æë S = 1 1 à ¢¥­ ¤¢ã¬. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ç¨á«® ®è¨1 +1 ¡®ª à ¢­® ¤¢ã¬. ¥è ¥¬ á¨á⥬ã 2

14

14

13

11

10

8

8

7

6

4

1

2

14

2

4

11

3

7

2

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10

8

7

5

5

7

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2

3

4 14

14

13

4

4 13

10

6

44

40

2

3

36

5

2



1

8

2

32

4

2

+  =  + 1; 2

108

20

3

16

2

8

3

2

4

( + 1) +  = 1: DZ®«ãç ¥¬, çâ®  = 1;  = :  ©¤¥¬ ¯®¤¡®à®¬ ª®à­¨ ¬­®£®ç«¥­  x + x+ + = 0: Ž­¨ à ¢­ë  ;  : „¥©á⢨⥫쭮,  +  +  = ( + 1) + ( +  + 1) +  = 0;  +  +  =  + ( + ) +  = 0: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¬ë ¯®«ã稫¨ ®è¨¡ª¨ ¢ ᥤ쬮© ¨ ¤¥¢ï⮩ ª®®à¤¨­ â å (áç¨â ï á¯à ¢  ¨ ­ ç¨­ ï á ­ã«ï). 1

2

2

1

2

7

14

9

7

3

18

3

9

3

3

“¯à ¦­¥­¨¥ 3:

 ) § ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨ï: 1) (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1); 2) (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1); ¡) ¤¥ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨ï: 1) (011 001 011 101 100); 2) (100 100 100 100 100). DZਬ¥à 7 (Bose-Chandhuri-Hocquenghem, 1960). ˆá¯®«ì§ãï ¯®«¥ GF (16); ¯®áâந¬  «£®à¨â¬ ¢ë¥­¨ï âà¥å ®è¨¡®ª ¢ á«®¢ å (¨­ä®à¬ æ¨®­­ëå ¢¥ªâ®à å) ¤«¨­ë 15, ᮤ¥à¦ é¨å 10 ¨§¡ëâ®ç­ëå ᨬ¢®«®¢. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ®¡®§­ ç¥­¨ï¬¨ ¯à¨¬¥à  6. Œ­®£®ç«¥­ x +x+1 ï¥âáï ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ ¤«ï  : DZ®í⮬㠬­®£®ç«¥­ m (x) = g(x)(x +x+1) ï¥âáï ¬­®£®ç«¥­®¬ ­ ¨¬¥­ì襩 á⥯¥­¨, ª®à­ï¬¨ ª®â®à®£® ïîâáï í«¥¬¥­âë ;  ;  : ‡ ¬¥â¨¬, çâ® deg m = 10 ¨  ;  ;  â ª¦¥ ïîâáï ª®à­ï¬¨ m (x): DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë ¤®«¦­ë ¯®á« âì á®®¡é¥­¨¥ (a ; a ; a ; a ; a ):  áᬮâਬ ¬­®£®ç«¥­ C (x) = a x +


+ a x ¨ à §¤¥«¨¬ ¥£® á ®áâ âª®¬ r(x) ­  m (x): DZ®«®¦¨¬ C (x) = C (x) + r(x) = a x +


+ a : DZ®áë« ¥¬ ¢¥ªâ®à C = (a ; : : : ; a ): DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯®«ãç â¥«ì ¯®«ãç ¥â á®®¡é¥­¨¥ R:  áᬮâਬ ¢¥ªâ®à ®è¨¡®ª E = R C: ˆ¬¥¥¬, çâ® ¤«ï 2

5

2

135

3

2

4

6

135

135

14

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14

1

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10

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1

14

14

0

0

109

12

11

10

5

ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬­®£®ç«¥­®¢ R(i) = E (i) = Si; i = 1; 2; 3; 4; 5; 6; â ª ; 6:  áᬮâਬ ¬ âà¨æã ª ª C (0i) = 0; i = 11 S=

B B @

S S S S S S S S S 1

2

3

2

3

4

3

4

5

‘«ãç © 1. ‘«ãç © 0 2.

C C: A

…᫨ ®è¨¡®ª ­¥â, â® E = 0 ¨ S = 0: …᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ®¤­  ®è¨¡ª , â® E (x) = xi ¨ 1

i  i  i B i i i S=B @   i i i 2

3

2

3

4

3

4

5

C C A

¨¬¥¥â à ­£ 1.

DZਠí⮬ ®è¨¡ª  ­  ¬¥á⥠(i + 1) ª®®à¤¨­ âë, áç¨â ï á¯à ¢ . i j ‘«ãç © 0 3. …᫨ ¨¬¥¥âáï ¤¢¥ ®è¨¡ª¨, 1 â® E (x) = x + x ¨ i + j  i +  j  i +  j B C i+ j  i+ j  i+ j C S=B  @ A i j i j i j  +  +  + ¨¬¥¥â à ­£ ¤¢ . ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¤¥ª®¤¨à®¢ ­¨¥ ¯à®¨§¢®¤¨âáï, ª ª ¢ ¯à¨¬¥à¥ ! 6, á ¯®¬®éìî ¬ âà¨æë S (2) = S S : S S ‘«ãç © 4. DZਠ¯¥à¥¤ ç¥ ᮢ¥à襭® âਠ®è¨¡ª¨, â.¥. E (x) = xi + xj + xk :  áᬮâਬ ¬ âà¨æã 0 1 i j k i j k i j k  + +  + +  + + B C i j k i j k i j k S=B  + +  + + C @  + + A:  i+ j + k  i+ j + k  i+ j + k …ñ à ­£ à ¢¥­ 3. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ç¨á«® ®è¨¡®ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ­£®¬ ¬ âà¨æë S: Š ª ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ ­ ©â¨ i; j; k; â.¥. ¯à ¢¨«ì­® ¤¥ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨¥? „«ï í⮣® ­¥®¡å®¤¨¬® à¥è¨âì á¨á⥬ã 2

2

3

3

2

2

3

3

4

4

3

3

4

4

5

5

2

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3

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2

3

3

3

2

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2

3

3

3

4

4

4

3

3

3

4

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4

5

5

5

0

S


.

1

B B @

  

3

2

1

0

C C A

B B @

=

1

S S S

1

4

5

6

110

C C A

€ § â¥¬ ­ ©â¨ ª®à­¨ ãà ¢­¥­¨ï x +  x +  x +  = 0: …᫨ í⨠ª®à­¨ à ¢­ë i; j ; k , â® i; j; k ®¯à¥¤¥«ïîâ ­®¬¥à  ®è¨¡®ª ¢ R: ‡ ¬¥ç ­¨¥ 1.  ¡®â ï ¢ ¯®«¥ GF (16) á ¯®¬®éìî  ­ «®£¨ç­®© â¥å­¨ª¨, ¬®¦­® ¤¥ª®¤¨à®¢ âì á«®¢  ¤«¨­ë 15, ᮤ¥à¦ é¨¥ 14 ¨§¡ëâ®ç­ëå ᨬ¢®«®¢ ¨ ­¥ ¡®«¥¥ 4-å ®è¨¡®ª. ‡ ¬¥ç ­¨¥ 2. ˆá¯®«ì§ãï ¯®«¥ GF (2 ), ¬®¦­® ¤¥ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨¥ ¤«¨­ë 31, ᮤ¥à¦ é¥¥ 20 ¨§¡ëâ®ç­ëå ᨬ¢®«®¢ ¨ ­¥ ¡®«¥¥ 5 ®è¨¡®ª. ‡ ¬¥ç ­¨¥ 3. ˆá¯®«ì§ãï ¯®«¥ GF (2 ), ¬®¦­® ¤¥ª®¤¨à®¢ âì á«®¢  ¤«¨­ë 63, ᮤ¥à¦ é¨¥ 33 ¨§¡ëâ®ç­ëå ᨬ¢®«  ¨ ­¥ ¡®«¥¥ 6 ®è¨¡®ª,   â ª¦¥ 56 ¨§¡ëâ®ç­ëå ᨬ¢®«®¢ ¨ ­¥ ¡®«¥¥ 15 ®è¨¡®ª (á¬. [5]). “¯à ¦­¥­¨¥ 4. ‚ ¯®«¥ GF (16) = Z () = Z [x]=(x + x + 1) à¥è¨âì á¨á⥬ã ! ! !  +  +   +  =  +  +   +  ¨ ­ ©â¨ ª®à­¨ (¢ Z []) ãà ¢­¥­¨ï 3

2

1

2

3

5

6

4

2

3

4

6

8

2

9

12

12

16

2

6

8

9

13

1

2

+  x +  = 0: “Š€‡€Hˆ…. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï à ¢¥­á⢠¬¨  =  + 1;  =  + 1;  =  ¨ â.¤. “¯à ¦­¥­¨¥ 5. ¥è¨âì ¢ GF (16) á¨á⥬ã 0 10 1  + +  + +  + +  B CB C B  + + CB  C =  +  +   +  +  @ A@ A  + +  + +  + +  0 1  + + B C =B + + C @ A ¨ ­ ©â¨ ª®à­¨ x +  x +  x +  = 0:  + + Ž’‚…’: ª®à­¨ à ¢­ë  ;  ;  : “¯à ¦­¥­¨¥ 6.  ©â¨ ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¬­®£®ç«¥­ ¤«ï  2 GF (16): x

2

1

2

4

8

2

16

2

5

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4

10

20

6

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3

4

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6

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40

2

6

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8

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25

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1

8

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10

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12

30

60

3

2

1

2

5

2

3

10

7

111

“Š€‡€Hˆ….  áᬮâà¥âì ¤¥©á⢨¥  ­  ¡ §¨á f1; ;  ;  g: “¯à ¦­¥­¨¥ 7. ‡ ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨¥ (1, 0, 0, 1, 1) ª®¤®¬, ¤®¯ã᪠î騬 ­¥ ¡®«¥¥ âà¥å ®è¨¡®ª. “¯à ¦­¥­¨¥ 8. „¥ª®¤¨à®¢ âì á®®¡é¥­¨ï:  ) (101 1001 1001 1100), ¡) (101 000 01 001 1110), §­ ï, çâ® ç¨á«® ®è¨¡®ª ­¥ ¯à¥¢®á室¨â âà¥å ¨ ª®¤¨à®¢ª  ¯à®¢®¤¨« áì ¬¥â®¤®¬ ¯à¨¬¥à  7. 7

3.6

2

3

Ž¤­®§­ ç­® ¤¥ª®¤¨pã¥¬ë¥ ª®¤ë. H¥p ¢¥­á⢮ Šp äâ 

„«ï 㬥­ì襭¨ï ¤«¨­ë ª®¤®¢®£® ⥪áâ  ¨ á 楫ìî íª®­®¬¨¨ ¢p¥¬¥­¨ ¥£® ¯¥p¥¤ ç¨ á®®¡é¥­¨ï, ¢áâp¥ç î騥áï ç é¥, ª®¤¨pãîâ á«®¢ ¬¨ ¬¥­ì襩 ¤«¨­ë,   p¥¤ª¨¥ á®®¡é¥­¨ï ª®¤¨pãîâ á«®¢ ¬¨ ¡®«ì让 ¤«¨­ë. Žâç¥â«¨¢® íâ® ¢¨¤­® ­  ¯p¨¬¥p¥  §¡ãª¨ Œ®p§¥.  áᬮâp¨¬ ¯p®¨§¢®«ì­ë©  ­á ¬¡«ì á®®¡é¥­¨© A =n fA ; : : : ; Ang á ­ ¡®p®¬ ¢¥p®ïâ­®á⥩ P (A )   P (A ) 


 P (An); P P (Ai) = 1: DZp¨¬¥­¨¬ â.­.  «£®p¨â¬ ª®¤¨p®¢ i ­¨ï ” ­®.  §®¡ì¥¬ ¬­®¦¥á⢮ A ­  ¤¢¥ £p㯯ë â ª, ç⮡ë áã¬¬ë ¢¥p®ïâ­®á⥩ á®®¡é¥­¨© ª ¦¤®© ¨§ ¤¢ãå £p㯯 ¡ë«¨ ª ª ¬®¦­® ¡®«¥¥ ¡«¨§ª¨ ¤p㣠ª ¤pã£ã: ' $' $ A A 1

1

2

=1

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1

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2

%

DZp¨¯¨è¥¬ á®®¡é¥­¨ï¬ 1-®© £p㯯ë A ᨬ¢®« 0, á®®¡é¥­¨ï¬ ¨§ £p㯯ë A { ᨬ¢®« 1. DZ® í⮬㠯p¨­æ¨¯ã ª ¦¤ ï ¨§ £p㯯 A ; A p §¡¨¢ ¥âáï ­  ¤¢  ¬­®¦¥á⢠: A = A0 [ A00; A = A0 [ A00. DZp¨¯¨è¥¬ á®®¡é¥­¨ï¬ ¨§ A0 ᨬ¢®« 00, ¨§ A00 { ᨬ¢®« 01, ¨§ A0 { ᨬ¢®« 10, ¨§ A00 { ᨬ¢®« 11. DZp®¤®«¦ ¥¬ ¤ ­­ë©  «£®p¨â¬ ¤® ¯®«ã祭¨ï ¬­®¦¥áâ¢, á®áâ®ïé¨å ¨§ 1 á®®¡é¥­¨ï. ‚ p¥§ã«ìâ â¥ ª ¦¤®¬ã á®®¡é¥­¨î áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ 1

2

1

1

1

1

1

2

1

2

2

112

2

2

2

ª®¤®¢®¥ á«®¢® ¨§ 0 ¨ 1. —¥¬ ¡®«ìè¥ ¢¥p®ïâ­®áâì P (ai) á®®¡é¥­¨ï Ai, ⥬ ª®p®ç¥ ¡ã¤¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ª®¤®¢®¥ á«®¢®. “ª § ­­ë©  «£®p¨â¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨­â¥p¯p¥â¨p®¢ ­ ­  ï§ëª¥ ⥮p¨¨ £p ä®¢. ˆ¬¥­­®, ¯¥p¢ë© è £  «£®p¨â¬  ” ­® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £p äã (¤¥p¥¢ã): A A @  1

2

@0

@@

1



‚â®p®© è £ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £p äã:

0 00 A A A0 A00 @@  @@ @ @ ‚ p¥§ã«ìâ â¥ ¬ë ¯®«ã稬 ª®¤®¢®¥ ¤¥p¥¢® ” ­® ­ è¥£®  ­á ¬¡«ï (¬­®¦¥á⢠) á®®¡é¥­¨©.  §¡¥p¥¬ ¯p¨¬¥p. DZãáâì ¤ ­® ¬­®¦¥á⢮ A = fA ; : : : ; A g ¨§ 7 á®®¡é¥­¨©, ¢¥p®ïâ­®á⨠ª®â®pëå p ¢­ë ᮮ⢥âá⢥­­® p = p = = 1=4; p = p = p = 1=8 ¨ p = p = 1=16: DZp¨ ¯¥p¢®¬ p §¡¨¥­¨¨ A = fA ; A g; A = fA ; A ; A ; A ; A g: DZp¨ ¢â®p®¬ p §¡¨¥­¨¨ A0 = fA g; A00 = fA g; A0 = fA ; A g; A00 = fA ; A ; A g: DZp®¤®«¦ ï  ­ «®£¨ç­ë¥ p §¡¨¥­¨ï á ¬­®¦¥á⢠¬¨ A0 ¨ A00; ¬ë ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¤¥p¥¢® ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®¤®¢ë¥ á«®¢ :  ) A A A @@ A A @@ @@  A A @@ @   @@ @ 2

1

0

1

0

1

2

1

1

0

1

1

3

2

5

4

6

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1

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1

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2

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4

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2

2

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0

1

2

0

1

0

1

0 1

113

0

1

7

0

1

1

¡)

á®®¡é¥­¨ï A A A A A A A ª®¤®¢ë¥ á«®¢  00 01 100 101 110 1110 1111 DZ®ª ¦¥¬ íª®­®¬­®áâì ¢ë襯p¨¢¥¤¥­­®£® ª®¤¨p®¢ ­¨ï ” ­® ¯p¨¬¥p  ¨§ ᥬ¨ á®®¡é¥­¨© fA ; : : : ; A g ¯® áp ¢­¥­¨î á p ¢­®¬¥p­ë¬ ª®¤¨p®¢ ­¨¥¬: A ! 000; A ! 001; A ! 010; A ! 011; A ! 100; A ! 110; A ! 101: „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ­ ¬ ¯p¥¤á⮨⠯¥p¥¤ âì ⥪áâ, á®áâ®ï騩 ¨§ 1000 á®®¡é¥­¨© ¢  «ä ¢¨â¥ fA ; : : : ; A g; â® ¯p¨ p ¢­®¬¥p­®¬ ª®¤¨p®¢ ­¨¨ ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ 3000 ¤¢®¨ç­ëå ᨬ¢®«®¢,   ¯p¨ ª®¤¨p®¢ ­¨¨ ¬¥â®¤®¬ ” ­® ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ 250
2+250
2+125
3+125
3+125
3+
4+
4 = 2625 ¤¢®¨ç­ëå ᨬ¢®«®¢. Šp¨â¥p¨¥¬ íª®­®¬­®á⨠ª®¤  ï¥âáï â.­. áp¥¤­ïï ¤«¨­  ª®¤®¢®£® á«®¢  1

2

1

1

3

4

5

6

7

7

2

3

4

1

5

6

7

7

e =

125

125

2

2

N X i=1

liP (Ai);

£¤¥ li { ¤«¨­  ª®¤®¢®£® á«®¢  ¤«ï Ai: „«ï ­ è¥£® ¯p¨¬¥p  e = 2
+ 2
+
+
2 = 2  2; 62: “¯p ¦­¥­¨¥ 1. ‡ ª®¤¨p®¢ âì ¤¢®¨ç­ë¬ ª®¤®¬ ” ­® á«¥¤ãî騥 ¬­®¦¥á⢠ á®®¡é¥­¨©, ­ ©¤ï ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî áp¥¤­îî ¤«¨­ã ¨ ¯®áâp®¨¢ ª®¤®¢®¥ ¤¥p¥¢®:  ) ¤¥áïâì á®®¡é¥­¨© á ¢¥p®ïâ­®áâﬨ p = p = 0; 22; p = p = p = p = 0; 1; p = p = p = p = 0; 04; ¡) ç¥âëp¥ á®®¡é¥­¨ï á ¢¥p®ïâ­®áâﬨ p = 0; 5; p = 0; 25; p = p = 0; 125: ‚ëïá­¨âì ¢ë¨£pëè ¯® áp ¢­¥­¨î á p ¢­®¬¥p­ë¬ ª®¤¨p®¢ ­¨¥¬. DZp¨¬¥­ïï ¢  «£®p¨â¬¥ ” ­® p §¡¨¥­¨¥ ­¥ ­  ¤¢¥ £p㯯ë á ®¤¨­ ª®¢ë¬¨ á㬬 p­ë¬¨ ¢¥p®ïâ­®áâﬨ,   ­  d p ¢­®¢¥p®ïâ­ëå £p㯯, ¬ë ¯p¨¤¥¬ ª ª®¤¨p®¢ª¥ á®®¡é¥­¨©  «ä ¢¨â®¬ ¨§ d ᨬ¢®«®¢. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ¤¥p¥¢® ¨¬¥¥â ¢ ª ¦¤®© ¢¥p設¥ ­¥ ¡®«¥¥ d p¥¡¥p. 1

1

1

3 3

4

5

4

4

8

16

8

2

3

1

4

5

6

2

7

3

114

4

8

9

10

‡ ª®¤¨p®¢ âì âp®¨ç­ë¬ ª®¤®¬ ” ­® 9 á®®¡é¥­¨© á ¢¥p®ïâ­®áâﬨ 1/3, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/27, 1/27,1/27. “¯p ¦­¥­¨¥ 3. ‡ ª®¤¨p®¢ âì âp®¨ç­ë¬ ª®¤®¬ ” ­® 8 á®®¡é¥­¨© á ¢¥p®ïâ­®áâﬨ 0,3; 0,15; 0,15; 0,15; 0,07; 0,07; 0,07; 0,04. Š®¤¨p®¢ ­¨¥ ¬¥â®¤®¬ ” ­® ï¥âáï ­¥p ¢­®¬¥p­ë¬. Ÿá­®, çâ® ­¥p ¢­®¬¥p­®¥ ª®¤¨p®¢ ­¨¥ ¯p¨¢®¤¨â ¯®p®© ª ­¥®¤­®§­ ç­®á⨠¤¥ª®¤¨p®¢ ­¨ï.  ¯p¨¬¥p, ¥á«¨ á®®¡é¥­¨ï A ¨ A ª®¤¨pãîâáï ᮮ⢥âá⢥­­® 1 ¨ 11, â® ª®¤¨p®¢ ­­ ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì 111 ¬®¦¥â ¡ëâì ¤¥è¨äp®¢ ­  ®¤­¨¬ ¨§ á«¥¤ãîé¨å ᯮᮡ®¢: “¯p ¦­¥­¨¥ 2.

1

2

fA ; A g; fA ; A g; fA ; A ; A g: 1

2

2

1

1

1

1

…᫨ ª®¤ 㤮¢«¥â¢®pï¥â ãá«®¢¨î, çâ® ª ¦¤ ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ª®¤®¢ëå ᨬ¢®«®¢ ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ®¡p §®¬ p §¡¨¢ ¥âáï ­  ª®¤®¢ë¥ á«®¢ , â® â ª®© ª®¤ ­ §ë¢ ¥âáï ®¤­®§­ ç­® ¤¥ª®¤¨pã¥¬ë¬ (¨«¨ ª®¤®¬ ¡¥§ § ¯ï⮩). DZp¨¬¥p ¬¨ â ª¨å ª®¤®¢ ï¥âáï «î¡®© p ¢­®¬¥p­ë© ª®¤,   â ª¦¥ ¯p¥ä¨ªá­ë© ª®¤ (â.¥. ª®¤, ¢ ª®â®p®¬ ­¨ª ª®¥ ª®¤®¢®¥ á«®¢® ­¥ ï¥âáï ­ ç «®¬ ¤p㣮£® ª®¤®¢®£® á«®¢ ). Š®¤ ” ­® ï¥âáï ¯p¥ä¨ªá­ë¬, â ª ª ª ª®¤®¢ë¥ á«®¢  ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ª®­æ¥¢ë¬ ¢¥p設 ¬ ª®¤®¢®£® ¤¥p¥¢ . ®«¥¥ ⮣®, íâ®â ¤¢®¨ç­ë© ª®¤ ï¥âáï ¯®«­ë¬, â.¥. ¤®¡ ¢«¥­¨¥ «î¡®£® ­®¢®£® ª®¤®¢®£® á«®¢  ¢ ¤ ­­®¬  «ä ¢¨â¥ ­ pãè ¥â ᢮©á⢮ ¯p¥ä¨ªá­®áâ¨. “¯p ¦­¥­¨¥ 4. „®ª § âì, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®¤ë ïîâáï ®¤­®§­ ç­® ¤¥ª®¤¨p㥬묨 ¨ ­¥ ïîâáï ¯p¥ä¨ªá­ë¬¨

f1; 10g; f01; 10; 011g: DZãáâì V = fa ; : : : ; aN g { ­¥ª®â®pë© ¯p¥ä¨ªá­ë© ¤¢®¨ç­ë© ª®¤. ˆ§ ¯p¥ä¨ªá­®á⨠᫥¤ã¥â, çâ® V { ª®­æ¥¢ë¥ ¢¥pè¨­ë ­¥ª®â®p®£® (¤¢®¨ç­®£®) £p ä  (¤¥p¥¢ ) 1

115

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a ... @@    a @@ @ @ a

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3

1

DZãáâì nk { ç¨á«® ª®¤®¢ëå á«®¢ ¤«¨­ë k; â.¥. nk { ç¨á«® ¢¥p設 k-®£® íâ ¦ . Ÿá­®, çâ® nk  2k : ’ ª ª ª ¨§ ª ¦¤®© ¢¥p設ë i-£® íâ ¦  ¢ëp áâ ¥â ( ¯p¨®p¨) 2k i ¢¥p設 k-®£® íâ ¦ , â® ¢ á«ãç ¥ ¯p¥ä¨ªá­®£® ª®¤  ¨¬¥¥¬ ­¥p ¢¥­á⢠ nk  2k 2k n 2k n


2
nk ; nk n n + +


+ 2 2 2k < 1: …᫨ l { ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¤«¨­  ª®¤®¢ëå á«®¢, â® ¯®«ãç ¥¬ â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ ­¥p ¢¥­á⢮ Šp äâ  e P (1). nii  1 ¨«¨ e1 + e2 +


+ en  1, £¤¥ li { ¤«¨­  ai; i  N . i Ž¡p â­®, ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­® ­¥p ¢¥­á⢮ (1), â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯p¥ä¨ªá­ë© ª®¤ á ¤«¨­ ¬¨ ª®¤®¢ëå á«®¢ l ; l ; : : : ; lN : ˆ§ (1) á«¥¤ãîâ ­¥p ¢¥­á⢠: n  2; n  4 2n ; n  8 4n 2n ; : : : : H  ¯¥p¢®¬ íâ ¦¥ ¤¢®¨ç­®£® ¤¥p¥¢  ¢ë¡¥p¥¬ n ¢¥p設, ­  2-¬ íâ ¦¥ ¢ë¡¥p¥¬ ¯p®¨§¢®«ì­ë¥ n ¢¥p設, ¨á室ï騥 ¨§ ᢮¡®¤­ëå (­¥¢ë¡p ­­ëå)¢¥p設 ¯¥p¢®£® íâ ¦  ¨ â.¤. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¤¢®¨ç­ë¥ ª®¤¨p®¢ª¨ ®¡p §ãî⠨᪮¬ë© ¯p¥ä¨ªá­ë© ª®¤. “¯p ¦­¥­¨¥ 5. DZà¥ä¨ªá­ë© ª®¤ ï¥âáï ¯®«­ë¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  e1 + e2 +


+ eN = 1: “Š€‡€Hˆ…. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï ¨­â¥à¯à¥â æ¨¥© ª®¤  ª ª ¤¢®¨ç­®© § ¯¨áìî ª®­æ¥¢ëå ¢¥à設 ­¥ª®â®à®£® £à ä  (¤¥à¥¢ ). ‡ ¬¥ç ­¨¥. €­ «®£¨ç­® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢  «ä ¢¨â¥ ¨§ d ᨬ¢®«®¢ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥ä¨ªá­ë© ª®¤ á ¤«¨­ ¬¨ ª®¤®¢ëå á«®¢ e ; : : : ; eN ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  de1 + de2 +


+ deN  1: 1

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2

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2

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1

116

DZà¥ä¨ªá­ë© ª®¤ ” ­® ­¥ ï¥âáï (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥) ®¯â¨¬ «ì­ë¬ ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® á।­ïï ¤«¨­  ª®¤®¢ëå á«®¢ ­¥ ï¥âáï ¬¨­¨¬ «ì­®©.  áᬮâਬ ¬¥â®¤ ª®¤¨à®¢ ­¨ï, ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨© „. • ä䬥­ã (1952 £.) ¨ ¤ î騩 ¯à¥ä¨ªá­ë© ®¯â¨¬ «ì­ë© ª®¤.  áᬮâਬ  ­á ¬¡«ì (¬­®¦¥á⢮) á®®¡é¥­¨© A = fA ; : : : ; AN g; ¢¥à®ïâ­®á⨠ª®â®àëå à ¢­ë ᮮ⢥âá⢥­­® p ; p ; : : : ; pN : DZਠí⮬ ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® p  p 


 pN : DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® í⨠ᮮ¡é¥­¨ï § ª®¤¨à®¢ ­ë ¢ ¤¢®¨ç­®¬  «ä ¢¨â¥ á«®¢ ¬¨ a ; a ; : : : ; aN ; ¤«¨­ë ª®â®àëå à ¢­ë ᮮ⢥âá⢥­­® l ; l ; : : : ; lN : …᫨ li t < li; â®, ¯®¬¥­ï¢ ª®¤®¢ë¥ ®¡®§­ ç¥­¨ï ¤«ï Ai ¨ Ai t; ¬ë ¯®«ã稬, çâ® á।­ïï ¤«¨­  㬥­ìè¨âáï ­  ¢¥«¨ç¨­ã 1

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pi tli = (pi +

pi

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)(li li t)  0: +

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ pi t < pi ¬ë ¬®¦¥¬ 㬥­ìè¨âì á।­îî ¤«¨­ã, ¥á«¨ li t < li: …᫨ pi = pi ¨ li < li; â® ¯¥à¥áâ ¢¨¬ á®®¡é¥­¨ï Ai ¨ Ai ¬¥áâ ¬¨ (¨ ᮮ⢥âá⢥­­® ¯¥à¥áâ ¢¨¬ ¨å ª®¤®¢ë¥ á«®¢ ). ‚ १ã«ìâ â¥ 㪠§ ­­ëå ¤¥©á⢨© ¬ë, áâ६ïáì ª ®¯â¨¬ «ì­®á⨠ª®¤¨à®¢ ­¨ï, ¬®¦¥¬ â ª 㯮à冷ç¨âì ­ è¨ á®®¡é¥­¨ï A ; : : : ; AN ¨ â ª ¨§¬¥­¨âì ¯®à冷ª ª®¤¨à®¢ ­¨ï á«®¢ ¬¨ faig; çâ® p  p 


 pN ¨ l  l 


 lN : ‚ ç áâ­®áâ¨, á®®¡é¥­¨¥ AN ª®¤¨àã¥âáï á«®¢®¬ ­ ¨¡®«ì襩 ¤«¨­ë lN : …᫨ â ª®¥ á«®¢® ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ (â.¥. lN < lN ); â®, ®â¡à áë¢ ï ¯®á«¥¤­¨© ᨬ¢®« á«®¢  aN (¤«¨­ë lN ), ¬ë ¯®«ã稬 ¯à¥ä¨ªá­ë© ª®¤ á ¬¥­ì襩 á।­¥© ¤«¨­®©. …᫨ lt = lt =


= lN ; lt < lt ¨ á।¨ á«®¢ at; : : : ; aN ­¥â á«®¢, ®â«¨ç îé¨åáï ®â aN ¯®á«¥¤­¨¬ ᨬ¢®«®¬, â® ®¯ïâì, ®â¡à áë¢ ï ¢ á«®¢¥ aN ¯®á«¥¤­¨© ᨬ¢®«, ¬ë ¯®«ã稬 ¯à¥ä¨ªá­ë© ª®¤ á ¬¥­ì襩 ¤«¨­®©. …᫨ ¦¥ á«®¢® as(s  N 1) ¨¬¥¥â âã ¦¥ ¤«¨­ã lN (â.¥. ls = ls =


= lN ) ¨ ®â«¨ç ¥âáï ®â aN ¯®á«¥¤­¨¬ ᨬ¢®«®¬, â®, ¬¥­ïï ¬¥áâ ¬¨ ª®¤®¢ë¥ á«®¢  as ¨ aN ; ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì, çâ® ¤¢  ¯®á«¥¤­¨å á«®¢  ­ ¨¡®«ì襩 ¤«¨­ë aN ; aN ®â«¨ç îâáï ⮫쪮 ¯®á«¥¤­¨¬ ᨬ¢®«®¬. +

+

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117

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‚¥à­¥¬áï ª ­ è¥¬ã ¨á室­®¬ã ¬­®¦¥áâ¢ã á®®¡é¥­¨©

A = fA ; A ; : : : ; AN 1

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; AN g;

£¤¥ pi = p(Ai); i  N:  áᬮâਬ ¥£® ᦠ⨥ A = fA ; A ; : : : ; AN ; Ag; £¤¥ p(Ai) = pi; i  N 2 ¨ p(A) = pN + pN : DZãáâì ¤«ï A ¯®áâ஥­  ª®¤¨à®¢ª  K = fa ; a ; : : : ; aN ; ag; â.¥. ª®¤®¢®¥ ¤¥à¥¢® á ª®­æ¥¢ë¬¨ ¢¥à設 ¬¨ a ; : : : ; aN ; a: ‘®¯®áâ ¢¨¬ ¨á室­®© á¨á⥬¥ A á«¥¤ãîéãî á¨á⥬㠪®¤®¢ëå ®¡®§­ ç¥­¨© K = fa ; : : : ; aN ; a0; a1g; â.¥. aN = a0; aN = a1: ’ ª®¥ ᮯ®áâ ¢«¥­¨¥ ­ §ë¢ ¥âáï à á饯«¥­¨¥¬. ‹¥¬¬ . Š®¤ K ï¥âáï ®¯â¨¬ «ì­ë¬ ¤«ï á¨á⥬ë A; ¥á«¨ ª®¤ K ¡ë« ®¯â¨¬ «ì­ë¬ ¤«ï á¨á⥬ë A : „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZ।¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢­®¥. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ª®¤ á¨á⥬ë K á¨á⥬ë A; ¤«ï ª®â®à®£® á।­ïï ¤«¨­  l = l(K ) < l(K ) = l: DZãáâì K = fb ; : : : ; bN ; bN g: ‘®£« á­® ¯à¥¤ë¤ã騬 § ¬¥ç ­¨ï¬ ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì, çâ® bN ¨ bN { ª®¤®¢ë¥ á«®¢  ¤«ï ­ ¨¬¥­¥¥ ¢¥à®ïâ­ëå á®®¡é¥­¨© AN ¨ AN : DZà¨ç¥¬ ®­¨ ®â«¨ç îâáï ⮫쪮 ¯®á«¥¤­¨¬ ᨬ¢®«®¬, â.¥. bN = b0; bN = b1 (¨«¨ bN = b1; bN = b0).  áᬮâਬ ª®¤ K = fb ; : : : ; bN ; bg ¤«ï A : ˆ¬¥¥¬ l = l0 + p (l0 = l(K )): ’ ª ª ª l0 < l ¨ l = l0 + p (£¤¥ l0 = l(K )); â® l0 < l0: DZà®â¨¢®à¥ç¨¥. ‘®£« á­® «¥¬¬¥, ¬ë, ¨á¯®«ì§ãï ­¥áª®«ìª® à § ᦠ⨥ ¬­®¦¥á⢠ á®®¡é¥­¨© (ᮮ⢥âá⢥­­®, à á饯«¥­¨¥ ª®¤®¢ëå ®¡®§­ ç¥­¨©), ¬®¦¥¬ ¯®áâநâì ®¯â¨¬ «ì­ë© ª®¤ (á­ ç «  ᦨ¬ ï,   ¯®â®¬ à áè¨àïï). DZਬ¥à. (1)

1

2

2

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1

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1

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2

2

2

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1

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1

1

118

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á®®¡é. ¢¥p®ïâ- á®®¡é. ¢¥p®ïâ- á®®¡é. ¢¥p®ïâ- áp¥¤­ïï A ­®á⨠A ­®á⨠A ­®á⨠¤«¨­  A 0,5 0 A 0,5 0 A 0 0,5 A 0,25 10 A 0,25 10 A~ 1 0,5 1,75 A 0,125 110 A 0,25 11 A 0,125 111 (1)

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2

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3

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‡ ª®¤¨à®¢ âì ¤¢®¨ç­ë¬ ª®¤®¬ • ä䬥­  ¬­®¦¥á⢮ á®®¡é¥­¨© á ¢¥à®ïâ­®áâﬨ:  ) 0,4; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; ¡) 0,25; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,1. “¯à ¦­¥­¨¥ 6.

3.7

‹¨­¥©­ë¥ ª®¤ë

Š ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì à ­¥¥, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë© ª®¤ ¤®«¦¥­ ¡ëâì ­ ¤¥¦­ë¬, ¡ëáâàë¬ ¢ ¯¥à¥¤ ç¥ ¨ 㤮¡­ë¬. ‘®ç¥â ­¨¥ íâ¨å âà¥å ¬®¬¥­â®¢,   â ª¦¥ ­ «¨ç¨¥ ¯®¬¥å ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ á®®¡é¥­¨ï ­¥ ¯®§¢®«ï¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¯â¨¬ «ì­ë¥ ª®¤ë ¢ ¨å ®¬ ¢¨¤¥. „«ï í⮣® ¨á¯®«ì§ãîâáï ª®¤ë á ¨§¡ëâ®ç­®© ¨­ä®à¬ æ¨¥©.  ¯®¬­¨¬ ã¯à®é¥­­ãî ¬®¤¥«ì á¢ï§¨ á®®¡é¥­¨¥

f - § ª®¤¨p®¢ ­­®¥

a ¤¥ª®¤¨p®¢ ­­®¥ á®®¡é¥­¨¥

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Œë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, ç⮠ᨬ¢®«ë, ¢å®¤ï騥 ¢ § ¯¨áì á®®¡é¥­¨© ¨ ª®¤®¢, ïîâáï í«¥¬¥­â ¬¨ ¯®«ï GF (q) = Fq : Š®¤¨à®¢ ­¨¥ { íâ® ®â®¡à ¦¥­¨¥ f : Fqk ! Fqn; £¤¥ n > k: ’.¥. ª ¦¤®¥ á®®¡é¥­¨¥ a a : : : ak (ai 2 Fq ) § ¬¥­ï¥âáï ª®¤®¢ë¬ á«®¢®¬ c : : : cn: €­ «®£¨ç­®, ¤¥ª®¤¨à®¢ ­¨¥ { íâ® ®â¡à ¦¥­¨¥ g : 1

1

119

2

Fqn ! Fqk : DZãáâì x; y

2 Fqn:  ááâ®ï­¨¥¬ •í¬¬¨­£  d(x; y) ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ x; y ­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«® ª®®à¤¨­ â, ª®â®à묨 ¢¥ªâ®àë x ¨ y ®â«¨ç îâáï ¤à㣠®â ¤à㣠,   ¢¥á®¬ •í¬¬¨­£  w(x) ­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«® ­¥­ã«¥¢ëå ª®®à¤¨­ â í⮣® ¢¥ªâ®à . Ÿá­®, çâ® d(x; y) = w(x y), ¨ ¥á«¨ x { ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬®¥ á«®¢®,   y { ¯®«ã祭­®¥ á«®¢®, â® d(x; y) { ç¨á«® ®è¨¡®ª, ᤥ« ­­ëå ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥. ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® äã­ªæ¨ï d(x; y) 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî騬 â६ ᢮©á⢠¬ ¬¥âਪ¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Fqn(8x; y; z 2 Fqn) : 1)d(x; y) = 0 , x = y; 2)d(x; y) = d(y; x); 3)d(x; z)  d(x; y) + d(y; z): DZãáâì V  Fqn { ­¥ª®â®à®¥ ¬­®¦¥á⢮ ª®¤®¢ëå á«®¢ ¨ t { ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«®. ‘ª ¦¥¬, çâ® ª®¤ V ¨á¯à ¢«ï¥â ­¥ ¡®«¥¥ t ®è¨¡®ª, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® b 2 Fqn áãé¥áâ¢ã¥â ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ¢¥ªâ®à  a 2 V â ª®£®, çâ® d(b; a)  t; â.¥. ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠Bt(b) = fx 2 Fqn; d(b; x)  tg áãé¥áâ¢ã¥â ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ¢¥ªâ®à  ¨§ V: —¨á«® d(V ) = minfd(a ; a ); a ; a 2 V; a 6= a g ­ §ë¢ ¥âáï ª®¤®¢ë¬ (¬¨­¨¬ «ì­ë¬) à ááâ®ï­¨¥¬ ª®¤  V: DZ।«®¦¥­¨¥ 1. DZãáâì d(V )  2t +1: ’®£¤  ª®¤ V ¨á¯à ¢«ï¥â ­¥ ¡®«¥¥ 1

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„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì b 2 Fqn: …᫨ è à (®ªà¥áâ­®áâì) Bt(b) ᮤ¥à¦¨â ¤¢  ¢¥ªâ®à  a ; a 2 V; â® d(a ; a )  d(a ; b)+ d(a ; b)  2t: ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, d(a ; a )  2t + 1: DZà®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â ¯à¥¤«®¦¥­¨¥. ’.¥. ¥á«¨ ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ á«®¢  a ¯à®¨§®è«® ­¥ ¡®«¥¥ t ®è¨¡®ª, â® ¤«ï ¯à¨­ï⮣® á«®¢  b ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ d(b; a)  t ¨ ¤«ï «î¡®£® ¤à㣮£® ª®¤®¢®£® á«®¢  c 2 V d(b; c)  t + 1: Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ [13]: DZãáâì H { ¬ âà¨æ  ­ ¤ ¯®«¥¬ Fq ¯®à浪  (n k)  n ¨ à ­£  (n k): ‹¨­¥©­ë¬ (n; k) { ª®¤®¬ ­ ¤ ¯®«¥¬ Fq ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ 1

1

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1

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120

2

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à¥è¥­¨© c 2 Fqn á¨áâ¥¬ë «¨­¥©­ëå ®¤­®à®¤­ëå ãà ¢­¥­¨© H
cT = 0: Ÿá­®, çâ® dimFq C = k: —¨á«® k ­ §ë¢ ¥âáï à §¬¥à­®áâìî ª®¤ ,   ç¨á«® n { ¥£® ¤«¨­®©. Œ âà¨æ  H ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®¢¥à®ç­®© ¬ âà¨æ¥© ª®¤  C;   í«¥¬¥­âë C ­ §ë¢ îâáï ª®¤®¢ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¨«¨ ª®¤®¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨. …᫨ q = 2; â® ª®¤ ­ §ë¢ ¥âáï ¡¨­ à­ë¬. …᫨ H = (AIn k ); £¤¥ A { ¬ âà¨æ  ¯®à浪  (n k; k);   In k { ¥¤¨­¨ç­ ï ¬ âà¨æ  ¯®à浪  (n k); â® ª®¤ C ­ §ë¢ ¥âáï á¨á⥬ â¨ç¥áª¨¬. …᫨ ¢ á¨á⥬ â¨ç¥áª®¬ ª®¤¥ C ¯¥à¢ë¥ k ᨬ¢®«®¢ ¢ ª ¦¤®¬ ª®¤®¢®¬ á«®¢¥ ïîâáï ¨­ä®à¬ æ¨®­­ë¬¨ (â.¥. ᮢ¯ ¤ îâ á k ᨬ¢®« ¬¨ ¨á室­®£® á®®¡é¥­¨ï),   ®áâ «ì­ë¥ (n k) ᨬ¢®«®¢ ïîâáï ¯à®¢¥à®ç­ë¬¨, â® á¨á⥬  ãà ¢­¥­¨© H
cT = 0 ­ §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ãà ¢­¥­¨© ¯à®¢¥àª¨ ­  ç¥â­®áâì. DZਬ¥à 3 ¢ 3:2 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨á⥬ â¨ç¥áª®¬ã ¡¨­ à­®¬ã ª®¤ã á ¬ âà¨æ¥© H = (11 : : : 1} 1): DZਬ¥à 1 ¨§ x2 | {z k ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨­¥©­®¬ã (n; 1)-ª®¤ã á ¯à®¢¥à®ç­®© ¬ âà¨æ¥© H = ( 1In ); â.¥. 0 1 1 1 0 0 :::0 B C B 1 0 1 0 :::0 C C 2 (Fq ) n n: H =B B . . C @ . . A 1 0 0 ::: 0 1 DZãáâì H = (AIn k) { ¯à®¢¥à®ç­ ï ¬ âà¨æ  «¨­¥©­®£® (n; k) { ª®¤ . ’®£¤  ¬ âà¨æ  G = (Ik AT ) ¯®à浪  k  n ­ §ë¢ ¥âáï ¯®à®¦¤ î饩 (ª®¤¨àãî饩) ¬ âà¨æ¥© ª®¤  C: â  ¬ âà¨æ  ¢®§­¨ª ¥â ¢ á¢ï§¨ á à ¢¥­á⢮¬ C

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1)

= (a(Ik AT ))T ;

£¤¥ a = a : : : ak { ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬®¥ á®®¡é¥­¨¥, c = c : : : cn { ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ª®¤®¢®¥ á«®¢® ¨ HcT = 0 { ¯à®¢¥à®ç­®¥ ãà ¢­¥­¨¥. ’ ª ª ª HcT = 0 ¨ c = aG; â® HGT = 0 (¨«¨ G
H T = 0): ˆ§ í⮣® à ¢¥­á⢠ á«¥¤ã¥â, çâ® ª®¤ C ¯®à®¦¤ ¥âáï áâப ¬¨ G: ‚ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£® 1

1

121

«¨­¥©­®£® ª®¤  C ¥£® ¯®à®¦¤ î饩 ¬ âà¨æ¥© ­ §ë¢ ¥âáï «î¡ ï (k  n) ¬ âà¨æ , áâப¨ ª®â®à®© ¯®à®¦¤ îâ ¯à®áâà ­á⢮ C: Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. DZãáâì c { ª®¤®¢®¥ á«®¢® ¨ y { á«®¢®, ¯®«ã祭­®¥ ¯®á«¥ ¯¥à¥¤ ç¨ á®®¡é¥­¨ï ¯® ª ­ «ã (á ¯®¬¥å ¬¨).  §­®áâì e = y c = e : : : en ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ ®è¨¡®ª, ¨«¨ è㬮¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬. „«ï «¨­¥©­®£® ª®¤  C ¬¨­¨¬ «ì­®¥ à ááâ®ï­¨¥ •í¬¬¨­£  dc = minfd(u; v); u; v 2 C; u 6= vg ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ ¢¥á®¬ •í¬¬¨­£  minfw(c); c 2 C; c 6= 0g. „®ª ¦¥¬ á«¥¤ãî騩 ªà¨â¥à¨© ¤«ï ­¨¦­¥© £à ­¨æë ¬¨­¨¬ «ì­®£® à ááâ®ï­¨ï «¨­¥©­®£® ª®¤  C á ¯à®¢¥à®ç­®© ¬ âà¨æ¥© H: DZ।«®¦¥­¨¥ 2. dc  s + 1 ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  «î¡ë¥ s 1

H «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë. „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. …᫨ ¢ H ­ ©¤ãâáï s á⮫¡æ®¢ hi1 ; : : : ; his ; ª®â®àë¥ «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë  hi1 +


+ shis = 0; â® ¢¥ªâ®à á⮫¡æ®¢

1

c = (0; 0; : : : ; 0;  ; 0; : : : ; 0; s; 0; : : : ; 0) 2 C 1

¨ ¨¬¥¥â ¢¥á s; â.¥. dc  s: Ž¡à â­®, ¯ãáâì «î¡ë¥ s á⮫¡æ®¢ H ïîâáï «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¨ dc  s: DZãáâì a 2 H; w(a) = dc; a 6= 0: ’®£¤  ¨§ à ¢¥­á⢠ H
aT = 0 á«¥¤ã¥â, çâ® ­¥ª®â®àë¥ dc  s á⮫¡æ®¢ H «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë. DZãáâì ¤ «¥¥ C { «¨­¥©­ë© (n; k)-ª®¤ ­ ¤ ¯®«¥¬ Fq :  §«®¦¨¬ ¯à®áâà ­á⢮ Fqn ­  ᬥ¦­ë¥ ª« ááë ¯® C : Fqn = (0 + C ) [ (b + C ) [


[ (b s + C ); £¤¥ s = qn k 1. ‚ ª ¦¤®¬ ª« áᥠb i + C (b = 0) áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â ¬¨­¨¬ «ì­®£® ¢¥á . ‚롥६ ¥£® ¨ ­ §®¢¥¬ «¨¤¥à®¬ í⮣® ᬥ¦­®£® ª« áá . …᫨ ¯¥à¥¤ ¢ «®áì ª®¤®¢®¥ á«®¢® c 2 C ,   ¡ë«® ¯à¨­ïâ® á«®¢® y, â® ¢¥ªâ®à ®è¨¡®ª e = y c ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ⮬㠦¥ ᬥ¦­®¬ã ª« ááã, çâ® ¨ y. …᫨ a i { «¨¤¥à ª« áá  y + C; â® ¤¥ª®¤¨à㥬 y ª ª x = y a i 2 C . â®â ᯮᮡ ¤¥ª®¤¨à®¢ ­¨ï ­ §ë¢ ¥âáï  «£®à¨â¬®¬ ¤¥ª®¤¨à®¢ ­¨ï ¯® «¨(1)

( )

( )

( )

(0)

( )

122

¤¥àã ᬥ¦­®£® ª« áá . „¥â «¨§¨à㥬 íâ®â  «£®à¨â¬. DZãáâì a ; : : : ; a s { «¨¤¥àë ᬥ¦­ëå ª« áᮢ b ; : : : ; b s ¨ C = fc = 0; c ; : : : ; c qk g { ¢á¥ í«¥¬¥­âë ª®¤  C: DZãáâì y { ¯à¨­ïâë© ¢¥ªâ®à. ‚¥ªâ®à HyT ¤«¨­ë (n k) ­ §ë¢ ¥âáï ᨭ¤à®¬®¬ y: Ÿá­®, ç⮠ᨭ¤à®¬ ¢¥ªâ®à®¢ y; z 2 Fqn ᮢ¯ ¤ ¥â ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¨å ᬥ¦­ë¥ ª« ááë à ¢­ë. ‘ç¨â ¥¬ ¤ «¥¥ ᨭ¤à®¬ S (y) = H
yT : ‡­ ï ᨭ¤à®¬ «¨¤¥à®¢ S (a ); : : : ; S (a s ), ¬ë ®¯à¥¤¥«¨¬ ᬥ¦­ë© ª« áá, ¢ ª®â®à®¬ ᮤ¥à¦¨âáï y:  ¯à¨¬¥à, y 2 a i : ’®£¤  ¤¥ª®¤¨à㥬 y ª ª x = (y a i ): DZਬ¥à.  áᬮâਬ ¡¨­ à­ë© (5,2) { ª®¤ C á ¯à®¢¥à®ç­®© ¬ âà¨æ¥© 0 1 1 1 1 1 0C B C H =B @ 0 0 1 0 1 A. 1 0 1 0 0 DZãáâì y = (1; 1;00; 1; 1) 1 { ¯®«ã祭­®¥ á«®¢® á ᨭ¤à®¬®¬ 1 B C C S (y) = H
yT = B @ 0 A. DZਢ¥¤¥¬ ¢á¥ ᬥ¦­ë¥ ª« ááë, ¢ë¤¥«¨¢ ¢ ­ ç «¥ 1 ¨å «¨¤¥à®¢: (0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 0) (1, 0, 0, 0,0), (1, 1, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1, 0) (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1, 0) (0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1, 1) (1, 0, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0, 0) (1, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 0) 0 1 1 B C 0 1 B0C B C B1C C C; ’ ª ª ª S (y) = S (a ) = S
B B0C=B 0 @ A B C B0C 1 @ A 0 (1)

(1)

( )

(1)

(2)

(1)

( )

(

)

( )

( )

( )

(1)

123

â® ¨áª®¬®¥ ª®¤®¢®¥ á«®¢® à ¢­® x = y a = (0; 1; 0; 1; 1): DZ।«®¦¥­¨¥ 3. DZãáâì C { ¡¨­ à­ë© (n; k)-ª®¤ á ¯à®¢¥à®ç­®© ¬ (1)

H: ’®£¤  ᨭ¤à®¬ ¯®«ãç ¥¬®£® ¢¥ªâ®à  y à ¢¥­ á㬬¥ á⮫¡æ®¢ H; ­®¬¥à  ª®â®àëå ᮢ¯ ¤ îâ á ­®¬¥à ¬¨ ®è¨¡®ç­ëå ª®®à¤¨­ â y: „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì ¯¥à¥¤ ¢ «®áì á«®¢® x 2 C: âà¨æ¥©

’®£¤  y = x+e ¨ S (y) = HeT = hi1 +hi2 +


+his ; £¤¥ e = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0; 1; 0; : : :; 0); ¯p¨ç¥¬ ¥¤¨­¨æë áâ®ïâ ­  ¬¥áâ å i ¨ is. …᫨ ¢á¥ á⮫¡æë H à §«¨ç­ë ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ®¤­  ®è¨¡ª  ¢ i-© ª®®à¤¨­ â¥, â® S (y) = hi; â.¥. 㤠ç­ë© ¢ë¡®à ¬ âà¨æë ¯®§¢®«ï¥â ®¡­ à㦨¢ âì ¨ ¨á¯à ¢«ïâì ®¤­ã ®è¨¡ªã. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ¨­ à­ë© ª®¤ Cm ¤«¨­ë 2m 1 = n(m  2) á ¯à®¢¥à®ç­®© ¬ âà¨æ¥© H ¯®à浪  m  (2m 1) ­ §ë¢ ¥âáï ª®¤®¬ •í¬¬¨­£ , ¥á«¨ á⮫¡æë H ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© § ¯¨áì ¢ ¤¢®¨ç­®© á¨á⥬¥ ç¨á¥« 1; 2; : : : ; 2m 1: DZ।«®¦¥­¨¥ 4. ¨­ à­ë© ª®¤ Cm ¨¬¥¥â à §¬¥à­®áâì (2m m 1) 1

¨ ¨á¯à ¢«ï¥â ®¤­ã ®è¨¡ªã.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž.  ­£ ¬ âà¨æë Cm à ¢¥­ m ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, dimF2 Cm = 2m 1 m: ’ ª ª ª «î¡ë¥ ¤¢  á⮫¡æ  Cm «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¨ Cm ᮤ¥à¦¨â ¨å á㬬ã, â® dcm = 2 + 1 = 3 (á¬. ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 2). DZ® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1 ª®¤ Cm ï¥âáï ª®¤®¬, ¨á¯à ¢«ïî騬 ®¤­ã ®è¨¡ªã. DZਬ¥à. DZãáâì C { ¡¨­ à­ë© (7, 4) { ª®¤ •í¬¬¨­£ . …£® ¯à®¢¥à®ç­ ï ¬ âà¨æ  à ¢­  0 1 0 0 0 1 1 1 1C B C H =B @ 0 1 1 0 0 1 1 A: 1 0 1 0 1 0 1 3

1 2 3 4 5 6 7 124

0

1

0C DZãáâì y = (0; 0; 1; 0; 1; 0; 1) { ¯®«ã祭­®¥ á«®¢®. …£® ᨭ¤à®¬ à ¢¥­ 0 C A: 1 â® ¯¥à¢ë© á⮫¡¥æ H: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ®è¨¡ª  ¤®¯ã饭  ¢ ¯¥à¢®© ª®®à¤¨­ â¥, ¨ ¨áª®¬®¥ ª®¤®¢®¥ á«®¢® à ¢­® (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1). ‚ § ª«î祭¨¨ ¯ à £à ä  ¤®ª ¦¥¬ ­¥ª®â®àë¥ ®æ¥­ª¨ ®â­®á¨â¥«ì­® ®á­®¢­ëå ¯ à ¬¥â஢, å à ªâ¥à¨§ãîé¨å ª®¤. DZ।«®¦¥­¨¥ 5 (£à ­¨æ  •í¬¬¨­£ ). DZãáâì C { ª®¤ ­ ¤ ¯®«¥¬ B B @

Fq ; ᮤ¥à¦ é¨© M ª®¤®¢ëå á«®¢, ¨¬¥î騩 ¤«¨­ã n ¨ ¨á¯à ¢«ïî騩 t ®è¨¡®ª. ’®£¤ 

M
(1 + Cn(q

1) +


+ Cnt (q 1)t)  qn:

1

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „¥©á⢨⥫쭮, è àë à ¤¨ãá  t á 業âà ¬¨ ¢ ª®¤®¢ëå á«®¢ å ¯®¯ à­® ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï. Š ¦¤ë© â ª®© è à ᮤ¥à¦¨â ¯®¬¨¬® ª®¤®¢®£® á«®¢  ¥éñ Cn(q 1) á«®¢, ®â«¨ç îé¨åáï ®â ­¥£® ®¤­®© ª®®à¤¨­ â®©, Cn(q 1) á«®¢, ®â«¨ç îé¨åáï ¤¢ã¬ï ª®®à¤¨­ â ¬¨, ¨ â.¤. ’ ª ª ª jFnqj = qn; â® ­¥à ¢¥­á⢮ ¤®ª § ­®. DZਢ¥¤¥¬ ¡¥§ ¤®ª § â¥«ìá⢠ á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ [13]: DZp¥¤«®¦¥­¨¥ 6 (£p ­¨æ  Œ.DZ«®âª¨­ ). DZãáâì C { «¨­¥©­ë© (n; k)1

2

2

ª®¤ ­ ¤ ¯®«¥¬ Fq : ’®£¤ 

n
q k (q dc  (qk 1) 1

3.8

1) :

–¨ª«¨ç¥áª¨¥ ª®¤ë

‹¨­¥©­ë© (n; k)-ª®¤ C ­ ¤ ¯®«¥¬ Fq ­ §ë¢ ¥âáï 横«¨ç¥áª¨¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®p  (a ; a ; : : : ; an ) 2 C ¢¥ªâ®p 0

1

1

(an ; a ; a ; : : : ; an ) 2 C: 1

0

1

2

125

Žâ®¦¤¥á⢨¬ ¯p®áâp ­á⢮ Fnq á ä ªâ®p-ª®«ì殬 Fq [x]=(xn 1) ®â­®á¨â¥«ì­® ¨§®¬®p䨧¬  (a ; a ; : : : ; an ) ! a + a x +


+ an xn : ‘¬¥¦­ë© ª« áá a 2 Fq [x]=(xn 1) ç áâ® ¡ã¤¥¬ § ¯¨á뢠âì ¡¥§ ç¥pâë. 0

1

0

1

1

1

1

“⢥p¦¤¥­¨¥ 1. ‹¨­¥©­ë© ª®¤ C ï¥âáï 横«¨ç¥áª¨¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  C -¨¤¥ « ¢ Fq [x]=(xn 1):

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ C { ¨¤¥ « ¨ (a ; a ; : : : ; an ) 2 C; â® x
(a + a x +


+ an xn ) = an
1 + a
x +


+ an
xn 2 C; â.¥. (an ; a ; : : : ; an ) ¯p¨­ ¤«¥¦ â C: Ž¡p â­®, ¥á«¨ C { 横«¨ç¥áª¨© ª®¤, â® ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â  b 2 C í«¥¬¥­âë xb; : : : ; xn b ¯p¨­ ¤«¥¦ â C: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â  nP v = p
1 +


+ pn xn 2 Fq [x]=(xn 1); v
b = pixi
b 2 C: i n …᫨ C { ¨¤¥ « ¢ Fq [x]=(x 1); â® ®­ ï¥âáï £®¬®¬®pä­ë¬ ®¡p §®¬ ­¥ª®â®p®£® ¨¤¥ «  P ¢ Fq [x]; ᮤ¥p¦ é¥£® ¨¤¥ « (xn 1): “⢥p¦¤¥­¨¥ 2. ˆ¤¥ « P ï¥âáï £« ¢­ë¬, â.¥. P = (g(x)); £¤¥ g(x) { ­¥ª®â®pë© ¤¥«¨â¥«ì (xn 1) ¨ áâ p訩 ª®íää¨æ¨¥­â g(x) p ¢¥­ 0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

2

1

1

2

1

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0

1

1

=0

¥¤¨­¨æ¥.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. DZãáâì g(x) { ­¥­ã«¥¢®© ¬­®£®ç«¥­ ¬¨­¨¬ «ì­®© á⥯¥­¨ ¨§ ¨¤¥ «  P: ’®£¤  ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® áâ p訩 ª®íää¨æ¨¥­â g(x) p ¢¥­ ¥¤¨­¨æ¥, ¨ ¥á«¨ '(x) 2 P; â® ¯® «¥¬¬¥ ® ¤¥«¥­¨¨ á ®áâ âª®¬ ' = g
+ r; £¤¥ r = 0; «¨¡® degg > degr: ’ ª ª ª r = ' g 2 P; â®, ¢¢¨¤ã ¬¨­¨¬ «ì­®á⨠deg(g); r = 0 ¨ P = (g(x)): ’ ª ª ª (xn 1) 2 P; â® g(x) ¤¥«¨â (xn 1): Ÿá­®, çâ® C = (g(x)): Œ­®£®ç«¥­ g(x) ­ §ë¢ ¥âáï ¯®p®¦¤ î騬 ¬­®£®ç«¥­®¬ ª®¤  C;   ¬­®£®ç«¥­ h(x) = (xn 1)=g(x) ­ §ë¢ ¥âáï ¯p®¢¥p®ç­ë¬ ¬­®£®ç«¥­®¬ ª®¤  C: DZãáâì g(x) = g + g x +


+ 1
xn k ¨ h(x) = h + h x +


+ hk xk : ’®£¤  P g h = 1; gihm i = 0; 1  m  n 1; hk = 1: „ «¥¥, ¨§ ¢ª«î祭¨© in k k g; xg; : : : ; x g 2 C ¨ ­¥p ¢¥­á⢠ g 6= 0 á«¥¤ã¥â, çâ® á«¥¤ãîéãî ¬ âp¨æã 0

0

1

0

0

1

0

126

1

0

g g : : : gn B B 0 g ::: B 0

1

G=B

k

0

gn

0 ::: 0 :::

k

o

0

1 C C C C A

.. 0 0 ::: 0 g ::: gn k p ­£  k; £¤¥ gn k = 1; ¬®¦­® ¢§ïâì ¢ ª ç¥á⢥ ¯®p®¦¤ î饩 ¤«ï ª®¤  C (â.¥. ¢¥ªâ®pë g; xg; : : : ; xk g ¤¥©á⢨⥫쭮 ®¡p §ãîâ ¡ §¨á ¨¤¥ «  C ). Œ âp¨æ 0 1 0 0 : : : 0 hk hk : : : h h h B C B 0 C 0 : : : h h : : : h h 0 k k C ï¥âáï ¯à®¢¥à®çH=B . B . C hk . @ . A hk hk : : : h 0 : : : 0 ­®©. Š ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì, ¯®à®¦¤ îé¨å ¬ âà¨æ ¤«ï «¨­¥©­®£® ª®¤  ¬­®£®, â.ª. ®­¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¡ §¨á ¬ í⮣® ª®¤ . “ª ¦¥¬ ­¥ª®â®àë© ª ­®­¨ç¥áª¨©  «£®à¨â¬ ¢ë¡®à  ¯®à®¦¤ î饩 ¬ âà¨æë 横«¨ç¥áª®£® ª®¤  C á ¯®à®¦¤ î騬 ¬­®£®ç«¥­®¬ g(x) á⥯¥­¨ (n k) ¨ á ¯à®¢¥à®ç­ë¬ ¬­®£®ç«¥­®¬ h(x) = (xn 1)=g(x): ‡ ¬¥ç ­¨¥ 1. DZãáâì v(x) 2 Fq [x]=(xn 1): ’®£¤  v(x) 2 C , v
h = 0: ‡ ¬¥ç ­¨¥ 2. DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ­ ¬ ­¥®¡å®¤¨¬® ¯¥à¥¤ âì ¨­ä®à¬ æ¨î (a ; a ; : : : ; ak ):  áᬮâਬ í«¥¬¥­â 0

@

0

1

1

1

1

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1

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1

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1

+ a x +


+ ak xk ¢ Fq [x]=(xn 1): ‡ ª®¤¨à㥬 ¥£® ¬­®£®ç«¥­®¬ w(x) = a(x)g(x) ¢ Fq [x]=(xn 1); £¤¥ g(x) { ¯®à®¦¤ é¨© ¬­®£®ç«¥­ ª®¤  C: DZãáâì v(x) { ¯à¨­ïâë© ¤«ï ¤¥ª®¤¨à®¢ ­¨ï ¬­®£®ç«¥­. …᫨ ®áâ â®ª v(x) ®â ¤¥«¥­¨ï ­  g(x) ­¥ à ¢¥­ ­ã«î, â® ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ ¯à®¨§®è«  ®è¨¡ª .  áᬮâਬ  «£®à¨â¬ …¢ª«¨¤  (¤¥«¥­¨ï á ®áâ âª®¬): a(x) = a

0

1

xn

1

k

1

= an k (x)g(x) + rn k ; 127

xn

k+1

= an

k+1

(x)
g(x) + rn

k+1;

:::; xn

1

= an (x)g(x) + rn ; 1

1

£¤¥ degrj < n k; j  n 1: ‚ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 1, (xj rj ) 2 C: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¬­®£®ç«¥­ë gj (x) = xk (xj rj ) 2 C; j = n k; n k + 1; : : : ; n 1: …᫨ ¬­®£®ç«¥­ë gj «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë¥, â® ¯à¨ ­¥ª®â®àëå j 2 Fq (­¥ ¢á¥ j à ¢­ë ­ã«î) P j gj = 0: Žâªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® j n

1

+ n an +


+ n k an k )
g(x) = 0: ’ ª ª ª x ­¥ ¤¥«¨â h ¨ deg(n an +


+ n k an k )  k 1; â® h(x) ­¥ ¤¥«¨â xk (P j aj ): ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, i = 0; i  n 1: DZãáâì gn k = xk (xn k rn k ) = xk ( rn k rn k x


rn k;n k xn k + xn k ); xk (n an 1

1

2

2

1

1

1

0

1

:::

1

:::

= xk (xn rn ) = xk ( rn rn x


rn n k xn k + xn ): ‘®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ¯®à®¦¤ îé ï ¬ âà¨æ  à ¢­  0 1 1 0 0 : : : 0 rn k; rn k; : : : rn k;n k B C B 0 1 0 ::: 0 C r r : : : r n k ; n k ; n k ;n k C: (Ik R) = B B . C . . . @ . A 0 0 0 : : : 1 rn rn ; : : : rn ;n k ã¤¥¬ áç¨â âì ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬, çâ® (n; q) = 1: …᫨ xn 1 = f f : : : fm { à §«®¦¥­¨¥ ­  ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¬­®£®ç«¥­ë ¢ Fq [x]; â®, â ª ª ª (xn 1)0 = nxn ¨ (n; q) = 1; (xn 1) ­¥ ¨¬¥¥â ªà â­ëå ª®à­¥©. gn

1

1

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2

1

‚ ᨫã 3:3 ª ¦¤ë© ¨¤¥ « (fi) ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬,   ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ª®¤ ­ §ë¢ ¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ 横«¨ç¥áª¨¬ ª®¤®¬. Š®¤, ¯®p®¦¤¥­­ë© (xn 1)=fi, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯p¨¢®¤¨¬ë¬ 横«¨ç¥áª¨¬ ª®¤®¬. 128

’ ª ª ª ª ¦¤ë© ¤¥«¨â¥«ì (xn 1) ¨¬¥¥â ¢¨¤ f "1 : : : fm"m ; £¤¥ "i = 0; 1; â® ç¨á«® ­¥âp¨¢¨ «ì­ëå ¤¥«¨â¥«¥© (6= 1; xn 1) p ¢­® (2m 2); â.¥. 横«¨ç¥áª¨å ª®¤®¢ ¤«¨­ë n ­¥ ¡®«¥¥ (2m 2): ‡ ¬¥ç ­¨¥ 4. DZãáâì  ; : : : ; s { í«¥¬¥­âë  «£¥¡p ¨ç¥áª®£® § ¬ëª ­¨ï ¯®«ï Fq ¨ p (x); : : : ; ps(x) { (ᮮ⢥âá⢥­­®) ¨å ¬¨­¨¬ «ì­ë¥ ¬­®£®ç«¥­ë ­ ¤ Fq : DZãáâì n { ¬¨­¨¬ «ì­®¥ ­ âãp «ì­®¥ ç¨á«® á ãá«®¢¨¥¬, çâ® n = n =


= sn = 1: ’®£¤  g(x)= .Ž.Š. [p ; p ; : : : ; ps] ¤¥«¨â (xn 1): DZãáâì C  Fnq { 横«¨ç¥áª¨© ª®¤ á ¯®p®¦¤ î騬 ¬­®£®ç«¥­®¬ g(x): ’®£¤  f (x) 2 C ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ f ( ) =


= f (s) = 0: “⢥p¦¤¥­¨¥ 3. DZãáâì  { ¯p¨¬¨â¨¢­ë© í«¥¬¥­â ¯®«ï F m ¨ p(x) = (x )(x  ) : : : (x  m 1 ) { ¥£® ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¬­®£®ç«¥­ ­ ¤ ¯®«¥¬ F : ’®£¤  ¡¨­ p­ë© 横«¨ç¥áª¨© ª®¤ C ¤«¨­ë n = 2m 1 á ¯®p®¦¤ î騬 ¬­®£®ç«¥­®¬ p(x) íª¢¨¢ «¥­â¥­ ¡¨­ p­®¬ã (2m 1; 2m m 1)-ª®¤ã •í¬‡ ¬¥ç ­¨¥ 3.

1

1

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„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. ’ ª ª ª f1; ; : : : ; m g { ¡ §¨á F m ­ ¤ F ; â® ¨¬¥îâ ¬¥áâ® p ¢¥­á⢠ 1

2

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 + .. m = 0
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 + m = a ;m
1 + a ;m
 + ..  m = a ; m
1 + a ; m
 +  áᬮâp¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¬ âp¨æã 0 1 0 : : : 0 a ;m : : : a ; m B B 0 1 : : : 0 a ;m ::: a ; m H=B .. .. B . . ... . . ::: @ . . 0 0 : : : 1 am ;m : : : am ; m  

= 1
1 = 0
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129

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m ; + 0
m ;

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m ; + am ;m
m ;

:::

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.

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2


m

1

:

DZ®ª ¦¥¬, çâ® H { ¯à®¢¥à®ç­ ï ¬ âà¨æ  ¤«ï ª®¤  C: DZãáâì a = (b ; b ; : : : ; bn ) ¨ a(x) = b + b +


+ bn xn { ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬­®£®ç«¥­. 0ˆ¬¥¥¬ 10 1 1 0 : : : 0 a ;m : : : a ; m b B CB C B 0 1 : : : 0 a ;m CB b C m : : : a ; CB C H
aT = B . B . . ... . CB . C = . ::: ::: . A@ . A @ . . 0 0 : : : 1 am ;m : : : am ; m bn 0 1 b + a ;m bm + : : : + a nbn B C B b C + a b + : : : + a b ;m m n n C¨ =B . B C . @ A bm + am ;m bm + : : : + am ;nbn a() = (b + a m bm +


+ a nbn )
1 + (b + a m bm +


+ +a nbn )
 +


+ (bm + am m bm +


+ am nbn )m : Ÿá­®, çâ® HaT = 0 ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  a() = 0: DZ®á«¥¤­¥¥ ãá«®¢¨¥ à ¢­®á¨«ì­® ¤¥«¨¬®á⨠p(x)ja(x); â ª ª ª p(x) { ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬­®£®ç«¥­. ˆâ ª, ¬ë ¤®ª § «¨, çâ® H { ¯à®¢¥à®ç­ ï ¬ âà¨æ  ¤«ï «¨­¥©­®£® (n; n m)-ª®¤  C: „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ⮣®, çâ® C { 室 •í¬¬¨­£ , ®áâ «®áì ¤®ª § âì, çâ® ¬­®¦¥á⢮ á⮫¡æ®¢ H ¨áç¥à¯ë¢ ¥â ¬­®¦¥á⢮ ç¨á¥« 1

0

1

1

0

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1

1

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1

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1

1

1; 2; : : : ; 2m 1 ¢ ¤¢®¨ç­®© á¨á⥬¥ ¨áç¨á«¥­¨ï. „«ï í⮣® ¤®áâ â®ç­® § ¬¥â¨âì, çâ® ­¨ª ª¨¥ ¤¢  (­¥­ã«¥¢ëå!) á⮫¡æ  ­¥ ᮢ¯ ¤ îâ. ‚ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ k = 1; £¤¥ k  2m 2; çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¨¬¨â¨¢­®á⨠ ( { 横«¨ç¥áª¨© ¯®à®¦¤ î騩 £à㯯ë F m = F m n f0g). “⢥ত¥­¨¥ 4. DZãáâì C { 横«¨ç¥áª¨© ª®¤ ¢ Fq [x]=(xn 1) á ¯®à®¦¤ î騬 ¬­®£®ç«¥­®¬ g (x); ª®à­¨ ª®â®à®£® à ¢­ë  ; : : : ; n k : Œ­®£®ç«¥­ f (x) = b + b x +


+ bn xn 2 C ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  2

2

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1

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1

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130

0

H


B B B B @

1

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1  C B C B1  C = 0; £¤¥ H = B

b b

0

 

1

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.. .

C A

B @

: : : n : : : n

2 1

2

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1

2

.. .

1 C C C. C A

1 n k n k : : : nn k „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. Œ­®£®ç«¥­ f (x) 2 C ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  f (i) = 0;0i  n 1 k:   ¬ âà¨ç­®¬ ï§ëª¥ í⨠ãá«®¢¨ï à ¢­®á¨«ì­ë bn

1

2

1

à ¢¥­áâ¢ã H


B B B B @

b b

0

C C C C A

..

1

bn

= 0:

DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ 横«¨ç¥áª¨© ª®¤ á ¯®à®¦¤ î騬 ¬­®£®ç«¥­®¬ g(x); ª®â®àë©, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ï¥âáï ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ ¬­®£®ç«¥­®¬ ¤«ï  2 Fq m; n = 1; ­ ¤ ¯®«¥¬ Fq : ‘®£« á­® ¯à¥¤ë¤ã饬㠤«ï ¨á¯à ¢«¥­¨ï ®è¨¡ª¨ ¢ ¯®«ã祭­®¬ á«®¢¥ y ­¥®¡å®¤¨¬® ¢ëç¨á«¨âì ᨭ¤à®¬ í⮣® á«®¢ . “ª ¦¥¬ ®¤¨­ ¨§  «£®à¨â¬®¢ â ª®£® ¢ëç¨á«¥­¨ï. «¥¬¥­â  ï¥âáï ª®à­¥¬ '(x) 2 Fq [x]=(xn 1) ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  g(x)j'(x): ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ᨭ¤à®¬®¬ ¢¥ªâ®à  y = (y ; y ; : : : ; yn ) ¬®¦­® áç¨â âì ¢¥ªâ®à S (y) = (1 : : : n )
yT = y() = y + y  +


+ yn n : …᫨ ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ á«®¢  w ¯®«ã祭® á«®¢® y ¨ ᮢ¥à襭® ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®© ®è¨¡ª¨, â® y = w + e, £¤¥ e = 0; xj (¢ ¡¨­ à­®¬ ª®¤¥). ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ᨭ¤à®¬ S (y) = S (e) = 0; j . â®â ᨭ¤à®¬ ¥é¥ ­ §ë¢ îâ «®ª â®à®¬ ®è¨¡®ª. …᫨ S (y) = j ; â® ®è¨¡ª  ¯à®¨§®è«  ¢ j -®© ª®®à¤¨­ â¥ (¨¡® i 6= j ¯à¨ i 6= j; i  n 1; j  n 1). 1

0

2

1

1

1

1

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1

1

1

1

3.9

Š®¤ë ®ã§ -—®ã¤åãà¨-•®ª¢¨­£¥¬ 

DZãáâì m { ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢­ë© ¯®à冷ª ç¨á«  q 2 N ¯® ¬®¤ã«î n; â.¥. qm  1(modn) ¨ qi 6 1(modn) ¯à¨ 1  i  m 1: „ «¥¥, b 2 N [ f0g ¨  2 Fqm â ª®©, çâ® n = 1; i 6= 1; 1  i  n 1: Š®¤®¬ ®ã§ -—®ã¤åãà¨-•®ª¢¨­£¥¬  (¨«¨ —•-ª®¤®¬) ¤«¨­ë n á ª®­áâàãªâ¨¢­ë¬ Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

131

à ááâ®ï­¨¥¬ d; 2  d  n; ­ ¤ ¯®«¥¬ Fq ­ §ë¢ ¥âáï 横«¨ç¥áª¨© ª®¤ á ¯®à®¦¤ î騬 ¬­®£®ç«¥­®¬, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ í«¥¬¥­â ¬¨ b ; b ; : : : ; b +1

d

+

2

:

„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¯®à®¦¤ î騩 ¬­®£®ç«¥­ g(x) í⮣® ª®¤  ᮢ¯ ¤ ¥â á ŽŠ ¬­®£®ç«¥­®¢ m b (x); : : : ; m b d (x), £¤¥ m i (x) { ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¬­®£®ç«¥­ i (­ ¤ ¯®«¥¬ Fq ). ‡ ¬¥ç ­¨¥. …᫨ n = q 1, â® —•-ª®¤ ­ §ë¢ ¥âáï ª®¤®¬ ¨¤ ‘®«®¬®­ . …᫨ n = qm 1; â® —•-ª®¤ ­ §ë¢ ¥âáï ¯à¨¬¨â¨¢­ë¬. …᫨ b = 1; â® —•-ª®¤ ­ §ë¢ ¥âáï —•-ª®¤®¬ ¢ 㧪®¬ á¬ëá«¥. ( )

( +

2)

( )

’¥®à¥¬ . Œ¨­¨¬ «ì­®¥ à ááâ®ï­¨¥ —•-ª®¤  á ª®­áâàãªâ¨¢­ë¬ à á-

áâ®ï­¨¥¬

d ­¥ ¬¥­ìè¥, 祬 d.

„ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. ‘®£« á­® ã⢥ত¥­¨îï 4 ¨§ 3:8, ­ è ª®¤ ᮢ¯ ¤ ¥â á ­ã«ì-¯à®áâà ­á⢮¬ ¯à®¢¥à®ç­®© ¬ âà¨æë 0 1 b b 1   ::: b n B C b n b B 1 b C  : : :  C: H=B . . B . C . . @ . A 1 b d  b d : : :  n b d ‘®£« á­® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 2 ¨§ 3:7, ¤«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ â¥®à¥¬ë ¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® «î¡ë¥ (d 1) à §«¨ç­ëå á⮫¡æ®¢ í⮩ ¬ âà¨æë ïîâáï «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨. „¥©á⢨⥫쭮, à áᬮâਬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì 0 1 2

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+

B B B B @

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d

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::: :::

..

:::

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1)

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id 1 C C C C A (b+d 2)id 1  Q b(i1+


+id 1) t<s

b

2)

=

( +1)

..

= (is it ) 6= 0. ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . â  ⥮६  ï¥âáï ¢ ¦­®©, â ª ª ª ¯®§¢®«ï¥â áâநâì ª®¤ë, ¨á¯à ¢«ïî騥 t ®è¨¡®ª. „«ï í⮣® ­ã¦­® ¢ë¡à âì ç¨á«  d; n; q; m â ª, ç⮡ë 2t + 1  d  m; m { ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢­ë© ¯®à冷ª ç¨á«  q ¯® ¬®¤ã«î n (¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® (q; n) = 1 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, mj'(n)). ’ ª ª ª £à㯯  132

GF (qm) ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©, â® ¢ ­¥© áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â  ¯®à浪  n:

’.¥. ¬ë ¢á¥£¤  ¬®¦¥¬ ¯®áâநâì â ª®© ª®¤. DZ¥à¥©¤¥¬ ª ®¯¨á ­¨î áå¥¬ë ¤¥ª®¤¨à®¢ ­¨ï —•-ª®¤®¢. DZãáâì w(x); v(x) ¨ e(x) { ᮮ⢥âá⢥­­® ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬ë© ª®¤®¢ë© ¬­®£®ç«¥­, ¯à¨­¨¬ ¥¬ë© ¬­®£®ç«¥­ ¨ ¬­®£®ç«¥­ ®è¨¡®ª (e = w v): DZãáâì H { ¯à®¢¥à®ç­ ï ¬ âà¨æ  ¨§ ⥮६ë. ’®£¤  ᨭ¤à®¬ ¯à¨­ï⮣® ¢¥ªâ®à  v à ¢¥­ S (v) = H
vT = = (Sb; Sb ; : : : ; Sb d )T ; £¤¥ Sj = v(j ) = e(j ); b  j  b + d 2. DZãáâì ¯à¨ ¯¥à¥¤ ç¥ ¯à®¨§®è«® r ®è¨¡®ª, £¤¥ r  t  d : ’®£¤  e(x) = c xa1 + c xa2 +


+ cr xar ; £¤¥ a ; : : : ; ar { à §«¨ç­ë¥ ç¨á«  ¨§ ¬­®¦¥á⢠ f0; 1; : : : ; n 1g: «¥¬¥­âë yi = ai 2 Fq m ­ §ë¢ îâáï «®ª â®à ¬¨ ®è¨¡ª¨,   í«¥¬¥­âë ci 2 Fq { §­ ç¥­¨ï¬¨ ®è¨¡ª¨. ‚ ­®¢ëå ®¡®§­ ç¥­¨ïå ª®®à¤¨­ âë ᨭ¤à®¬  ¢¥ªâ®à  v à ¢­ë Sj = e(i) = c yj + c yj +


+ cr yrj ; b  j  b + d 2: ‚ ᨫã ⮦¤¥á⢠ ( + )q = q + q ¢ ¯®«¥ Fq m ¨ r P q â ª ª ª ci 2 Fq , ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠ Sj = ciyijq = Sjq ; b  j  b + d 2: +1

+

2

1

2

1

2

1

1

1

2

2

i=1

r Q

 áᬮâਬ ¤ «¥¥ ¬­®£®ç«¥­ (yj x) = r r x +


+ ( 1)r  xr ; i £¤¥  = 1;  ;  ; : : : ; r { í«¥¬¥­â à­ë¥ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¬­®£®ç«¥­ë ®â y ; : : : ; yr : DZ®¤áâ ¢«ïï yi ¢¬¥áâ® x, ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã à ¢¥­á⢠r r
yi +


+ ( 1)r 
yir = 0; 1  i  r: “¬­®¦¨¬ i-®¥ à ¢¥­á⢮ ­  ciyij ¨ á«®¦¨¬ ¨å ¢á¥. DZ®«ã稬 1

0

=1

0

1

2

1

1

0

( 1)r
r
Sj + ( 1)r r
Sj +


+ ( 1)
Sj 1

1

+1

1

£¤¥ b  j  b + r 1: Œ âà¨æ  í⮩ á¨á⥬ë à ¢­  0 B B B B @

Sb Sb

Sb Sb

..

..

+1

Sb

+

r

+1

1

+2

Sb

r

+

: : : Sb r : : : Sb r +

1

1

+

: : : Sb

r

+2

C C C C A

= V
D
V T;

2

133

r

+

1

+ Sj r = 0; (3.10) +

0

0

c yb

0

1

1

B B B B @

1

1 ::: 1

y

y

:::

C C C: C A

yr

... = . . 0 cr yrb yr yr : : : yrr  ­£ í⮩ ¬ âà¨æë à ¢¥­ r ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¢ ¢¥ªâ®à¥ v ¨¬¥¥âr r Q P áï r ®è¨¡®ª. Œ­®£®ç«¥­ ¢¨¤  s(x) = (1 yix) = ( 1)iixi ­ §ë¢ ¥âáï i i ¬­®£®ç«¥­®¬ «®ª â®à®¢ ®è¨¡ª¨. …£® ª®à­¨ à ¢­ë y ; : : : ; yr : ˆâ ª, ¯à¨¢¥¤¥¬  «£®à¨â¬ ¤¥ª®¤¨à®¢ ­¨ï —•-ª®¤  á ª®­áâàãªâ¨¢­ë¬ à ááâ®ï­¨¥¬ d  2t + 1: DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯¥à¥¤ ¢ «®áì á«®¢® w;   ¯®«ã祭® á«®¢® v: ˜ £ 1.  å®¤¨¬ ᨭ¤à®¬ á«®¢  v £¤¥ D =

B B @

1

1

C C;V A

1

2

1

1

1

1

2

=1

=0

1

1

1

S (v) = (Sb; Sb ; : : : ; Sb +1

d

+

2

)T :

˜ £ 2.  å®¤¨¬ ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ç¨á«® r  d â ª®¥, çâ® á¨á⥬  ãà ¢­¥­¨© 1

2

Sb Sb

r

+

+

r

..

+1+

Sb

r

+2

+ Sb r x + : : : + Sbxr = 0 + Sb r x + : : : + Sb xr = 0

1

1

+

+ Sb

1

r

+2

1

2

x

+1

1

+ : : : + Sb

r

+

1

xr

= 0

¨¬¥¥â ­¥¢ë஦¤¥­­ãî ¬ âà¨æã ª®íää¨æ¨¥­â®¢ (á¬. â ª¦¥ (3.10)). ¥è ï ¥¥, ¬ë ­ ©¤¥¬ ¬­®£®ç«¥­ «®ª â®à®¢ ®è¨¡ª¨ S (x) =

r Y

r X

i=1

i=0

(1 yix) =

xixi;

£¤¥ x = 1: ˜ £ 3.  å®¤¨¬ ª®à­¨ ¬­®£®ç«¥­  s(x) = 0, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® x á⥯¥­¨ : ˜ £ 4.  áᬮâਬ á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨© 0

134

c yb c yb 1

1

1

..

+1

1

+ : : : + cr yrb + : : : + cr yrb

= Sb = Sb

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28. ƒ ¢à¨«®¢ ƒ.DZ., ‘ ¯®¦¥­ª® €.€. ‘¡®à­¨ª § ¤ ç ¯® ¤¨áªà¥â­®© ¬ â¥¬ â¨ª¥. { Œ.:  ãª , 1977. 29. ‘â¥çª¨­ .‘., Œ ª à®¢ ž.., Œ¥­ì訪®¢ Œ.‚., ¥¢ïª¨­ €.Œ., Š®¯ë«®¢  €.. Š®¬¡¨­ â®à­ë©  ­ «¨§ (§ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦­¥­¨ï). { Œ.:  ãª , 1982.

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