Метрические задачи теории иррациональных чисел

L ОБЗОРЫ И ПЕРЕВОДЫ

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. А. Я. Хин чин. Введение. Возьмем наудачу выбранную бесконечную десятичную дробь и спросим себя, найдется ли среди ее десятичных знаков какая-нибудь определенная выбранная цифра, например 7. Ответ, конечн|, очень прост: уже среди периодических дробей 7 мы найдем как такие, которые цифру 7 содержат (например — = 0,777...), так и такие, которые ее не содержат (например--= 0,333...); возможен, следовательно, о

и тот и другой случай. Однако мы "должны учесть, что периодические десятич­ ные дроби представляют собою лишь ничтожное меньшинство всех десятичных дробей; величина каждой такой дроби есть рациональное число, а все рациональ­ ные числа образуют счетное множество, т. е. ничтожно малую часть всех веще­ ственных чисел. Впрочем, легко видеть, что ответ на наш вопрос не изменится, если мы исключим из рассмотрения периодические дроби; ведь ряд десятичных знаков мы можем написать, выбирая их совершенно произвольно; ничто не мешает нам при этом по желанию избегать цифры 7 или, напротив, пользоваться ею. Такой ответ, однако, нас мало удовлетворяет: бывают, конечно, десятичные дроби и с семеркой, и без семерки, но мы хотим знать, каковы шансы того, что наудачу выбранная десятичная дробь будет содерэюапьь цгьфру 7. Очевидно, что так поставленная задача, сколь бы естественной она ни казалась для непосредствен­ ного восприятия, может получить определенный смысл только после того, как мы точно установим, что означает „наудачу произведенный" выбор и чем изме­ ряются „шансы" того или другого результата этого выбора. Это как будто бы приводит нас в область теории вероятностей; и действительно, задачи такого рода в современной математике ^часто ставятся и получают свое разрешение в терминах этой науки. Можно, однако, подойти к вопросу и с другой стороны. По отношению к занимающему нас свойству — присутствию или отсутствию цифры 7 в данном разложении — все десятичные дроби распадаются на два класса: класс А, в который]входят все десятичные дроби, содержащие цифру 7, и класс Д состоящий из дробей, не содержащих этой цифры. Естественно принять, что сравни­ тельные шансы наличия или отсутствия пифры 7 в наудачу выбранной деся­ тичной дроби определяются сравнительным объемом этих двух классов. Таким образом наша задача приводится к задаче количественного сравнения различных множеств десятичных дробей. А если принять во внимание, что каждая десятичная дробь имеет своим значением некоторое вещественное число и что, обратно, каждое

8

А. Я. ХИНЧИН

вещественное число единственным образом разлагается в бесконечную десятичную дробь, то мы видим, что речь идет о сравнении между собою двух множеств вещественных чисел. Выбранное нами в качестве первого примера свойство вещественных чисел — присутствие определенной цифры в их десятичном разложении — разумеется, очень элементарно; однако всякое, как угодно сложное свойство десятичных раз­ ложений, очевидно, всегда приведет нас к задаче того же типа, ибо по отношению к любому такому свойству множество вещественных чисел распадается на два класса, сравнительный объем которых будет подлежать изучению. Далее, деся­ тичные дроби представляют собою лишь один из весьма многих арифметических алгоритмов для представления вещественных чисел; не говоря уже о разложе­ ниях по другим системам счисления (двоичной, троичной и т. д.), мы имеем такой в арифметическом отношении гораздо более важный алгоритм, как цепные (непре­ рывные) дроби; наконец, речь может итти и о таком арифметическом свойстве вещественных чисел, которое определяется независимо от какого бы то ни было специального алгоритма; таким свойством является, например, трансцендентность числа; вопрос о том, каковы шансы наудачу выбранному числу оказаться алге­ браическим или трансцендентным, имеет, разумеется, значительный интерес и, очевидно, целиком принадлежит к рассматриваемому кругу проблем. Теория множеств знает целый ряд способов, позволяющих сравнивать между собою множества вещественных чисел для решения вопроса о том, которое из них богаче элементами. Понятие мощности, понятие меры, яонятие категории (в смысле Бэра) могут служить для этой цели подходящими измерителями. Однако по ряду причин из всех измерителей только один — именно, мера множества — может служить основанием для построения сколько-нибудь развитой теории. Это видно уже из того, что этот измеритель является единственным, допускающим непрерывный ряд градаций: мера множества чисел, заключенных, например, в интервале (0, 1), может принимать все значения от 0 до 1 включительно, так что оценка множеств по мере действительно допускает тонкие и нетривиальные различения; в то же самое время для мощности мы получаем всего две возмож­ ности— множества счетные и множества мощности континуума (если не считать тривиального случая конечных множеств), и для категорий Бэра дело обстоит точно так же х); таким образом с точки зрения этих грубых измерителей два множества очень часто могут оказаться равноценными, в то время как более тонкий критерий меры позволит установить между ними существенные различия. Наряду с приведенным формальным доводом выбор меры в качестве решаю­ щего критерия при сравнении множеств имеет за себя и серьезные предметные основания. Когда мы говорим, что „точка" (т. е. вещественное число) выбирается „наудачу" на отрезке (0, 1), то мы под этим выражением обычно представляем себе, что выбор производится случайно, причем, например, точка имеет одина­ ковые шансы оказаться в левой или правой половине этого отрезка или, если мы разделим его на пять равных отрезков. — в любом из этих отрезков, и т. д. Одним словом, если основной отрезок разделен на любое число одинаковых частей, х

) Разумеется, мы здесь можем оставить совершенно в стороне все вопросы, связан­ ные с возможностью существования промежуточных мощностей или „с третьей кате­ горией*, ибо множества, определяемые арифметическими свойствами чисел, обычно измеримы в смысле Бореля и потому не могут допускать подобных осложнений.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

9

то шансы попадания выбираемой точки в ту или другую из этих частей одина­ ковы для всех частей. Но отсюда уже по элементарным правилам теории вероят­ ностей легко доказать, что шансы выбранной точки оказаться принадлежащей тому или друяшу из данного ряда множеств пропорциональны мерам этих множеств. Таким образом метрическая теория иррациональных чисел ставит своей задачей определение меры множества тех вещественных чисел, которые обладают тем или иным заданным арифметическим свойством. Эта теория лишь за последние 10—15 лет получила сколько-нибудь значительное развитие. Результаты ее по своей законченности, изяществу и простоте способны привлечь к себе внимание наиболее широких математических кругов, тем более, что усвоение их не требует почти никаких специальных знаний и доступно каждому образованному математику. В настоящей статье мы дадим обзор важнейших и наиболее эффект­ ных результатов этой теории, а также остановимся на ее основных методах, не углубляясь, однако, в детали. Прежде чем перейти к систематическому изложению, сделаем еще несколько замечаний общего характера. 1. Все метрические теоремы теории иррациональных чисел могут быть, как ясно из предыдущего, выражены и в терминах теории вероятностей. Мы, однако, будем в целях единства изложения почти всегда придерживаться метрической терминологии, которая к тому же представляется нам и более непосредственно соответствующей содержанию теории, в то время как вероятностные формулировки имеют лишь условное и иллюстративное значение. 2. Во всем дальнейшем мы ограничимся рассмотрением вещественных чисел, заключенных между 0 и 1; такое ограничение нисколько не уменьшает общности результатов, так как все без исключения арифметические свойства вещественных чисел, которые мы будем изучать, не меняются от прибавления к данному веще­ ственному числу любого целого числа. Вместе с тем это или подобное этому огра­ ничение в метрической теории является даже необходимым, так как при рас­ смотрении совокупности всех вещественных чисел изучаемые нами множества, как правило, имели бы бесконечную меру. 3. Множество, мера которого равна нулю, лишено значения во всякой метри­ ческой теории; таким множеством можно всегда пренебрегать, не нарушая общности результата; присоединение или отбрасывание такого множества играет в метри­ ческой теории такую же роль, как прибавление или вычитание нуля в арифметике. Множество рациональных чисел счетно и, значит, есть множество меры нуль. Отсюда следует, что для метрической теории безразлично, говорить ли о всех вещественных или только о всех иррациональных числах; можно также говорить обо всех трансцендентных числах, так как множество алгебраических чисел также есть счетное множество. Всякое свойство, которым обладают все вещественные числа за исключением множества меры нуль, с точки зрения метрической теории должно рассматри­ ваться как общее свойство вещественных чисел. Про такое свойство говорят, что оно выполняется „почти всюду" или „для почти всех вещественных (или иррациональных, или трансцендентных и т. д.) чисел". Наиболее эффектным результатом всей излагаемой теории является тот факт, что огромное количество арифметических свойств оказывается общим для почти всех вещественных чисел. Можно сказать, что по своей арифметической природе

10

А. Я. ХИНЧИН

почти все вещественные числа в основных чертах одинаковы и что отклонения от нормы наблюдаются лишь в сравнительно ничтожном количестве случаев (на множестве меры нуль). Целый ряд простых, но на первый взгляд неожидан­ ных результатов этого рода придает излагаемой теории ее своеобразную прелесть. 4. Наконец, мы до сих пор не говорили еще о том, с какой мерой множеств мы будем иметь дело. Множества, определяемые арифметическими свойствами вещественных чисел, как правило, оказываются измеримыми в смысле Вореля и притом принадлежащими даже к нескольким первым классам; таким образом всюду в дальнейшем можно под мерою множеств подразумевать меру в смысле Бореля; тем более, конечно, все результаты останутся справедливыми, если мы примем более распространенное мероопределение Лебега. . I. Метрическая теория систематических дробей. Систематическими мы называем дроби, расположенные по какой-нибудь определенной системе счисления, по типу десятичных дробей. Все последующие результаты по своему характеру совершенно не зависят от того, какая система счисления положена в основание; мы могли бы (и в чисто теоретическом отно­ шении это было бы наиболее естественным) просто обозначить основание при­ нятой системы счисления какой-нибудь буквой, т. е. говорить об w-ичных дробях; однако для того, чтобы сделать изложение по возможности простым и наглядным, мы вначале рассмотрим систему счисления с наименьшим возможным основанием, т. е. двоичную. Всякое вещественное число, заключенное между нулем и единицею, разла­ гается единственным образом в бесконечную двоичную дробь вида

0,аЛ...ая...^

+ $+...

+$+...,

где av а2, . . . , ап, . . . — „двоичные знаки" данного числа. Каждый двоичный знак есть либо нуль, либо единица. Требуя, чтобы двоичная дробь была беско­ нечной, мы тем самым исключаем из рассмотрения дроби, заканчивающиеся сплошным рядом нулей („конечные" двоичные дроби). Как и в случае деся­ тичных дробей, это исключение существенно для однозначности разложения; если бы мы его не сделали, то всякое рациональное число с знаменателем вида 2п разлагалось бы в двоичную дробь двумя существенно различными спо­ собами; так, для числа — мы имели бы два разложения: 0,01111...

и

0,1000...;

в силу же принятого ограничения второе из них исключается как „конечнаядробь. Впрочем, все эти различения для метрической теории не играют суще­ ственной роли, так как числа, разлагающиеся не однозначно, образуют, очевидно, счетное множество. Легко предвидеть, «то при метрическом исследовании двоичных дробей основную роль должны играть множества чисел, для которых некоторый опре­ деленный двоичный знак имеет данное определенное значение. Условимся во всем дальнейшем обозначать через Е{^ и Е^ множества заключенных между нулем и единицей вещественных чдсел, для которых соответственно ап = 0 и ап = 1.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Ц

Нам важно не только определить меру этих множеств, но и представить себе во всей подробности их строение — впрочем, очень простое. Прежде всего очевидно, что множество Ef, т. е. множество чисел, первый двоичный знак которых равен нулю, состоит из всех чисел я, удовлетворяющих неравенствам О < х <; —'•>в

са

^ом деле, наибольшее из этих чисел есть, оче-

видно, 0,0111. . . = = — , все же меньшие числа тем более имеют а1 = 0 и, значит, принадлежат множеству J57^0>; множество же Е{^ состоит, следовательно, из чи­ сел х, удовлетворяющих неравенствам — < х^

1.

Перейдем теперь к множеству Ef*; разложение всех чисел этого множества начинается, очевидно, либо с 0,00, либо с 0,10. В первом случае число принад-

2

Черт. 1. ] лежит интервалу I 0, — I (т. е. множеству Ef )\

наибольшим числом этого типа

является 0 , 0 0 1 1 1 . . . = — , все меньшие числа также имеют разложения, начи­

(И

нающиеся с 0,00; во втором случае число принадлежит интервалу

.0£ Черт. 2. 3

(множеству l?^), наибольшим числом этого типа служит 0,10111... = °. , и все меньшие числа, принадлежащие Е^ (т. е. разложения которых начинаются с 0,1), очевидно, также по необходимости будут этого типа; таким образом множество Е^} состоит из двух интервалов, определяемых соответственно неравенствами 0 <.х<; -и

_ < / • < j , а следовательно, множество Е(^ также состоит из дв^х интер-

валов, определяемых соответственно неравенствами -•- < х ^ ~- и 4

{

2

< л<;1; 4

s&

взаимное расположение множеств .Е^°\ Ef\ Ef\ Е ^ показано на черт. 1. Теперь уже почти очевидно, как расположены множества с более высокими нижними индексами. Читатель без труда убедится, что множество Е^ состоит из левых половин тех четырех интервалов, на которые разбился основной интер­ вал (0, 1) при построении множества Е^, а множество Е{1^—из правых по­ ловин тех же интервалов (черт. 2).

12

А. Я. ХИНЧИН

Вообще для построения множеств Е*® и Е{^ (п — 1, 2, 3,...) мы должны разбить основной интервал (0, 1) на 2п равных части; эти части, считая слева направо, будут попеременно принадлежать множествам Е^ и Е{*\ Отсюда прежде всего следует, что меры множеств Е{^ между собою и что, следовательно, т ( # ^ > = ш(.Е«) = 1

и Е{^

одинаковы

( » = 1 , 2, . . . ) ,

где буква т означает меру стоящего за нею в скобках множества. Далее мы видим, что каждое из множеств Е{^ и Е^ представляет собою систему из оп—1 интервалов длины 2~п (причем к каждому интервалу причисляется его правый конец, но не причисляется левый; впрочем, для метрической теории это обстоя­ тельство не имеет значения). Эти интервалы мы будем называть интервалами ранга п. Очевидно, что для всех чисел одного и того же интервала ранга п двоичные знаки ах, а2, . . . , ап "имеют одно и то же значение; обратно, если мы произвольно зададим группу двоичных знаков (т. е. нулей и единиц) аи а2, . -., «Л> то все числа, имеющие в качестве первых п двоичных знаков эти цифры, обра­ зуют некоторый интервал ранга п. Если т <п, то каждый интервал ранга ж состоит, очевидно, из 2п~т интервалов ранга п, в которых ап имеет, считая слева направо, попеременно значения 0 и 1. Из последнего замечания вытекает одно весьма важное свойство множеств { E J и JE ( ^, — свойство, на котором в конечном счете основывается вся метри­ ческая теория двоичных дробей. Мы видим, что если т < п, то каждое из множеств Е{^ и Е^ равномерно распределено между множествами 25^ и Е{Ц; часть множества JE^ } , заключенная во множестве Е{^, имеет ту же меру, что и часть его, заключенная во множестве Е^% ; разумеется, отсюда следует, что мера каждой из этих двух частей равна—. Это свойство удобно формулировать еще несколько иначе, причем в этой второй формулировке становится очевидной его взаимность (симметрия). Обозначая через EF общую часть множеств Е и F, мы имеем для т < w т (Л» Я « ) = т (Е« ) т (Е™) = Л ,

(1)

где каждый из верхних индексов, конечно, либо нуль, либо единица. Так как это равенство симметрично относительно т и п, то предположение, что т < п, может быть отброшено; важно только, чтобы было т ф п. Условимся называть два множества Е и F, расположенных на интервале (О, 1), метрически независимыми, если m(EF) = если записать это равенство в виде т (EF) т(Е)

m{E)m(F)\

—

_m(F) 1 '

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

13

то видно, что оно выражает собою следующий факт: доля множества Е, заня­ тая точками множества i7, равна доле всего интервала (О, 1), занятой точками множества F. Равенство (1) показывает, что множества Е® и Е^ при т ф % метри­ чески независимы. Этот факт, как читатель без труда установит самостоятельно, легко может быть обобщен на любое число множеств if^: если числа nv п2,..., пг все различны между собою, то m (Е^> Е™. .. Е{Кг>) = m(Е^>) m (E^J)...m

(E^r) = -

2Г

Установленному свойству множеств Е^ целесообразно дать еще другое внешнее выражение. Двоичный знак ап имеет определенное значение для ка­ ждого вещественного числа х, поэтому его можно рассматривать как функцию от х: ап = ап (х). Эта функция, разумеется, ограничена и имеет лишь конечное число разрывов, так что ее можно интегрировать в интервале (0, 1). То же самое относится и к любому произведению вида ап (х) аП9 {х).. .ап (х). Но это произ­ ведение равно единице, если для числа х Щ

/?2

* * *

Пг

'

и равно нулю, если хотя бы один из этих двоичных знаков равен нулю; иначе говоря, это произведение равно единице в точках множества Е^ Е^... Е n(1 и равно нулю вне этого множества. Мы можем поэтому написать гг(Х) jp{i)

/

^(1)Ч

«„,<*> < Ч W <•*(*>• % V ^ • ••%, • • % , <*)Лг \") ">* •== «•"'• № \* " E<» • • • < ) ,

О

и условие метрической независимости дает 1

а

а

а

dx

й

i

l

(J< dx

а {Х dx

l

f щ № п, (*) • • • пг (*) = f щ ) f щ ) -'-J

О

0

0

0

a

nr (*) dx'

Если бы мы вместо двоичных дробей рассматривали, например, десятичные, то все полученные результаты в основном остались бы в силе; число интервалов ранга п было бы 10п, верхними индексами могли бы служить цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; множества Е^, Е%2\..., Е{1^ попрежнему были бы метри­ чески независимыми; лишь для интегрального выражения этой независимости пришлось бы пользоваться другими функциями, на чем мы здесь не будем останавливаться, Перейдем теперь к установлению наиболее важных метрических свойств двоичных разложений. Возьмем какую-нибудь двоичную дробь и рассмотрим ее первые п двоичных знаков; пусть среди них имеется т0 нулей и тх единиц; тогда дроби —^ и — выражают собою соответственно доли (или относительные п п числа) нулей и единиц среди взятых двоичных знаков; если при безграничном fYl

Yft

возрастании п дроби —- и —- стремятся к определенным пределам |х0 и \>.и lb

ib

14

А. Я. ХИНЧИН

то естественно назвать у0 „долею нулей" данного вещественного числа, а их— „долею единиц" его; очевидно, что в этом случае ^ - [ - ^ = 1. Разумеется, мы всегда можем выбрать вещественное число так, чтобы эти доли равнялись каким угодно заранее заданным числам (лишь бы эти числа были неотрицательны и в сумме давали единицу), а также и так, чтобы этих пределов вовсе не суще­ ствовало. Однако имеет место замечательная теорема, которую вследствие ее неожиданности вначале называли даже „парадоксом": оказывается^что для почти всех вещественных чисел и0 = ^ = -— . Таким

образом можно сказать, что

почти все вещественные числа содержат в своих двоичных разложениях асим­ птотически столько же нулей, сколько единиц. Доказательство этой теоремы основывается на установленном выше свойстве метрической независимости множеств Е*® \ оно настолько просто, что мы можем воспроизвести его здесь. Прежде всего очевидно, что для каждого вещественного числа х тх1

=к-1 2а*{х)-

Таким образом мы должны доказать, что почти всюду 11

12 а ->

1

при

к

)ь-> ос.

*=1

С этой целью рассмотрим интеграл

1

,

>.-/{ А*-т>\'«-У{Ъ(-.-\)) « Для вычисления этого интеграла нам придется возвести стоящую под знаком интеграла сумму в квадрат и интегрировать каждый член отдельно. Полученные интегралы будут двух типов: 1

1)

1

j («»—"a j

dx

= j lal-ak + \UXs=-J

о

о 2

(так как всегда а к = ак); число таких интегралов будет, очевидно, равно щ 1

2)

а а /( <-т)( *-т)^' о

(i

**);

1

так как в силу метрической независимости I atah dx = ~-,

то каждый такой

о

интеграл, как читатель непосредственно подсчитает, равен нулю. Таким образом / = — . Возьмем теперь произвольно малое положительное число е и обозначим через Еп (е) множество заключенных между 0 и 1 вещественных чисел, для которых I п

2 I

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

15

Чтобы оценить меру этого множества, заметим, что

О

Еп (•)

Я„ (•)

откуда

таким образом если е закреплено, а п безгранично возрастает, то мера множества точек, тх 1 > s, стремится к нулю. Правда, это еще не совсем то, для которых п 2 что мы хотели доказать, и заключить отсюда непосредственно, что почти всюду *и0 1 ~ -> —, мы не имеем права. Однако теперь мы можем притти к этому результату уже совсем элементарным путем, не обращаясь более к специальным свой­ ствам двоичных дробей. В самом деле, рассмотрим последовательность множеств Ех(€),

ЕА(е),

ЗД,

.... Я » , . . .

и обозначим через Fn(a) множество чисел, принадлежащих хотя бы одному из множеств Я » , Я (п + 1),(е), . . . <8> Тогда в силу неравенства (2)

<ш{^Л£)} + т Ц я + 1 ) ,(з)} + ...<^{А + _^ + ..| откуда, очевидно, т \Fn (е)} -> 0 (п -> оо). Таким образом множества каждое из которых, очевидно, составляет часть предыдущего, имеют меры, стре­ мящиеся к нулю; общая часть всех этих множеств имеет, следовательно, меру нуль, а значит, все числа кроме множества меры нуль могут принадлежать лишь конечному числу этих множеств; но если х принадлежит лишь конечному числу множеств Fn (в), то при достаточно большом п оно лежит вне множества Fn (e), а, значит, вне каждого из множеств (3); поэтому для такого числа при п > п0 ft=l

1_

2 <«.

Ф

Этим свойством обладают почти все числа, как бы мало ни было в, а следова­ тельно, почти всюду 1 v

1

а

"^ 2d *-*т к~1

при п

-*°°-

А. Я. ХИНЧИН

16

Таким образом наше утверждение доказано при условии, что числа п растут по полным квадратам: но если п растет как угодно, то всегда можно найти число т такое, что m 2 0 < ( m + l) 2 , откуда в частности ОО — m2<2m+l; поэтому

£ *}-»£*• т+ИН

TS*-T{S-+

здесь по доказанному п р и п -> со почти всюду m2 2rf ^ w2

я

*-*т

* = 1

и далее всюду

(т - f - 1 ) 2

w

??<

w

т'Л

вследствие чего при п -> со Ч»9

* •

>

1 ,

поэтому почти всюду

2 ^

п

1

IV ~i

v

чем теорема окончательно доказана. Таким образом величина

ft a 1

т1 ~п

1 2

почти всюду оказывается бесконечно малой; то же самое, разумеется, имеет УП

1

место и д л я величины — — - > отличающейся от нее только знаком. п 2 Дальнейшие исследования в этом направлении касались вопроса об установлении такого порядка

малости

7У1

1

п

Ji

величины — — —,

который имел бы место

д л я почти всех вещественных чисел. Очень легко показать тем ж е методом, которым мы только что пользовались, что эта величина почти всюду имеет порядок малости более высокий, чем —^ , где а — любое число, меньшее чем п 4 - ; легко убедиться и в том, ч т о д л я а = — это утверждение у ж е неверно; более того, почти всюду разность ^ п

л

п р и неограниченном возрастании п

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ЙРРАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ

17

бесконечно много раз становится больше, чем —^. уп

Более глубокие иеследова-

ния

малости, выполняющийся

показывают, что наиболее высокий

порядок

почти всюду, приблизительно дается функцией 1 / ; впрочем, попытки окончательного решения этой проблемы натолкнулись на весьма значительные аналитические трудности и могли быть доведены до конца лишь в самое послед­ нее время благодаря новым методам, заимствованным из теории диференциальных уравнений и найденным профессором И. Г. Петровским (Москва). Но вернемся к более элементарным вопросам. Совершенно тем же методом, Еаким мы оперировали выше, можно доказать, что, например, в случае десятич­ ных дробей доля каждой цифры почти всюду равна —. В самом начале нашей •статьи мы поставили вопрос о том, каково множество чисел, в десятичном раз­ ложении которых встречается цифра 7. Теперь мы получаем на этот вопрос исчерпывающий ответ: в десятичном разложении почти всех чисел цифра 7 встречается бесконечное множество раз, и притом так, что „доля" ее в разло1 жении данного числа в точности равна — . Пусть теперь g есть любое целое положительное число > 2. В системе счиссления, определяемой числом д, все вещественные числа, за исключением некото­ рого множества меры нуль, обладают разложениями, в которьйс каждая из „цифр" О, 1, 2, . . . , д — \ имеет долю-—. Обозначим через Мд то исключительное множество (меры нуль), для точек которого это условие не выполняется. Тогда множество

М=МШ + М9+...+!£,+

...,

как соединение счетного множества множеств меры нуль, также есть множество иеры нуль. Всякое же вещественное число, не принадлежащее множеству М, обладает, очевидно, тем замечательным свойством, что, по какой бы системе счисления мы его ни разложили, доли всех цифр в этом разложении будут оди­ наковы. Условимся называть такие числа „нормальными". Мы видим, таким образом, что почти все числа нормальны—результат, который представляется еще более эффектным, чем предыдущие. Этот последний результат особенно интересен по той причине, что свойство нормальности, в противоположность ранее упомянутым свойствам, характеризует данное вещественное число как таковое, а не в связи с той или иной системой счисления; в нем находит выра­ жение некоторое абсолютное арифметическое свойство вещественных чисел; поэтому было бы чрезвычайно интересно охарактеризовать нормальные числа каким-либо другим признаком, в формулировку которого вовсе не входило бы понят!е системы счисления. Отметим еще любопытный факт: несмотря на то, г ,то почти все вещественные числа нормальны, указать индивидуальный пример нормального числа оказалось делом не очень легким. Борель, впервые обра­ тивший внимание на эти числа, сообщил вместе с тем, что ему не удалось построить ни одного примера нормального числа; и только позднее такой пример <был найден Лебегом. >-

За к. 3240. Успехи математических-наук. Вып. I.

18

А. Я. ХИНЧИН

Заметим, наконец, что вместо отдельных цифр можно было бы поставить вопрос и о доле той или иной группы цифр в данном систематическом разло­ жении. Так, например, в десятичном разложении О, аха2аь... (О ^ at ^ 9) вещественного числа мы можем рассматривать последовательность всех троек цифр, т. е. Выбрав какую-нибудь определенную тройку цифр, например 943, мы можем поставить вопрос о доле этой тройки в написанной последовательности; и здесь легко показать, что для почти всех вещественных чисел доля эта для всех троек одинакова; а так как число различных возможных троек, очевидно, равно 10s = 1000, то доля каждой из них почти всюду равна 0,001. Мы видели, что все интересовавшие нас свойства систематических разло­ жений оказывались обладающими той особенностью, что они либо почти всюду выполнялись, либо почти всюду не выполнялись. Это обстоятельство не случайно (т. е. не зависит от случайно „удачно" подобранных нами свойств); оно находит себе объяснение в том, что все эти свойства (как и вообще все, сколько-нибудь интересные свойства систематических разложений) были предельными, т. е. такими, которые не нарушаются, если в данном систематическом разложении изменить любое конечное число цифр; так, очевидно, доля той или иной цифры в результате такой операции не может измениться; это относится также и к любому признаку, характеризующему предельное, асимптотическое распреде­ ление цафр в данном разложении. Можно доказать общую Теорему, состоящую в том, что всякое предельное свойство систематических разложений либо почти всюду выполняется, либо почти всюду не выполняется. Это не мешает, однако, тому обстоятельству, что для некоторых свойств бывает очень нелегко установить, который из этих двух случаев имеет место в действительности. И . Метрическая: теория цепных дробей. Гораздо более интересны и многообразны, но вместе с тем и значительно более трудны метрические задачи, возникающие в теории цепных (непрерывных) дробей. Каждое вещественное число а, заключенное между нулем и единицею, разлагается единственным образом в цепную дробь вида 1 а= 1 а

х+

1

чЛ——где аи а2, а3, ...—целые положительные числа, которые мы будем называть элементами числа а; эта дробь конечна,, если число а рациональное, и беско­ нечна, если оно иррациональное *). Элементы цепной дроби характеризуют пол­ ностью изображаемое ею число и играют в цепных разложениях ту же роль, что десятичные знаки в десятичных дробях; их распределение может служить предметом метрической теории. г

) В случае конечных дробей для однозначности разложения необходимо потребо­ вать, чтобы последний элемент был больше единицы.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ

19

Следует заметить с самого начала, что для изучения арифметической природы иррациональных чисел цепные разложения имеют несравненно большую ценность чем систематические. Причина зтого заключается в том, что всякое системати­ ческое разложение характеризует не абсолютную арифметическую природу раз­ лагаемого числа, а лишь его арифметические взаимоотношения с данной системой счисления, что представляет собою, конечно, задачу весьма частного характера; в то же самое время аппарат цепных дробей, независимый ни от какой системы счисления, способен выразить наилучшим образом присущие разлагаемому числу арифметические особенности. Вот почему, как мы увидим далее, метрическая теория цепных дробей дает исчерпывающую базу для построения чистой метри­ ческой теории иррациональных чисел, не зависящей ни от какого специального изображающего аппарата. Аналогично случаю систематических разложений, и в теории цепных дробей основную роль играют множества Е ^ чисел, заключенных между нулем и еди­ ницей, для которых ап = Ц различие состоит прежде всего в том, что верхний индекс К который в случае систематических дробей мог принимать лишь конеч­ ное число значений, здесь может быть любым натуральным числом. Однако это различие, как бы оно ни было существенно, само по себе еще не могло бы создать значительных трудностей для метрической теории, если бы во всем остальном наблюдалась полная аналогия. Основная трудность метрической теории цепных дробей обусловливается не этим, а тем, что мпооюества Е(*} не 0бладают метрической независимостью. В грубых чертах это видно уже из' того что эти » множества не могут обладать одинаковой мерой (как это имеет место в случае дробей систематических), что ясно из очевидного соотношения

%т{Е^}

= 1

(п=1,2,

...);

к=1

однако это обстоятельство опять-таки не создало бы существенных трудностей если бы мы имели, как в теории систематических дробей, соотношения т{Е^}=т\ЕП)

(ш,п,к=1,2,

...)

и т выражающие собою основную сущность идеи метрической независимости На самом деле эти соотношения не имеют места, Чтобы в этом убедиться а также и вообще для отыскания возможных методов метрической теории Тшш дробей, мы должны теперь обратиться к изучению строения множеств £<*> подобно тому как мы это сделали в случае систематических дробей Множество й» есть множество чисел, заключенных между нулем и единицею для которых «J = к; полагая '

"» + ! + •

« л+2 +

20

А- Я. ХЙЯЧИН

мы можем написать

если а принадлежит множеству Е*®, то ^ = 1- и __

1

Но sv очевидно, может принимать все значения, удовлетворяющие неравен­ ствам 0 < > ! < 1, а потому числа а, составляющие множество Е^\ определяются условиями 1

^

х

/

другими словами, множество 2?^ есть просто интервал L

, Т ) * ^ част­

ности, отсюда следует

геометрическое расположение множеств 2?[Л) показано на черт. 3. I L L б s 41

fit

± з

-,5, £« c f <

'—•*

^

т-

-I г

^

А

Черт. 3. Обратимся теперь к множествам Ef\

Из соотношения

1 «= — -

х

*н а

2 ~Т~ J 2

мы видим, что при каждом значении элемента ах (т. е. на каждом из интер­ валов Ef]) а2 есть неубывающая функция от а. При ах = fc, a2 будет принимать значение I, если J<[a a + * a < J + l , т. е. если 1

*+*/

<«< Ч-\-1

илн, что то же, если I ^л? *+ 1 /А-+-1 ^ ^ f t + fc + l* Таким образом, часть множества Е®, принадлежащая интервалу Ef}, интервал длины 1+ 1 I 1 .

m{EfE®)

=

i*-f-*H-l

lh l

+

(tt+!)(» + *+1) '

есть

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ

21

все же множество Е® есть сумма всех таких интервалов, а потому оо

т

I Е{1) } = V

Каждый из интервалов Ef\ которые мы будем и здесь называть интервалами первого ранга, распадается на последовательность интервалов второго ранга соответственно различным значениям* элемента а2; так как а2 растет (а не убы­ вает, как аг) с ростом а, то эти интервалы расположены слева направо, как по­ казано на черт. 4.

_Г—"

Ли

fr + l

И

f ^

Черт. 4.

Остановимся несколько на длинах этих интервалов; согласно вышенаписанным формулам мы имеем в частности «{JET«JE?«} — -1

б

» » 1JC, , - 2,

/

^

1 , 1 . 1 2-3^3- 5Г4-7^'"

(*+1)(2*+1)

отсюда

»W}->J._|__i 4 - i — I

— 4-

= i 4 - I / J _ L.JL . J_

'2/^6~гЗ-б"Г4-8"Г5-10"Г'"

б"Г2}32

г

42 ' 52

==l4-±/V_l_i_iUl.l/^!_M_^_14JL 6 "Г 2 Ь £ *Я

4/

6^ 2J6

A)

12

24 ^ 3 '

а так как m{E{^} = - , то

m{EfEf)<m{Ef)

m{Ef}\

этот пример обнаруживает, таким образом, что множества Е;п} не обладают метри­ ческой независимостью. Заметим, однако, что некоторое приближение к метрической независимости можно подметить уже из элементарных соображений. Так, из полученного нами, выражения для меры множества Е^Ь® мы легко находим ?(k)

откуда со

оо

ИЛИ

•

.jsi<"i*?i<-^.

22

А. Я. ХИН ЧИН

Мы видим, таким образом, что при больших к и I выражения m,{Ef}} т {Е^} и т{Е^}Е®}

хотя и не равны друг другу, все же имеют один и тот же поря­

док малости, определяемый дробью -т^тг; этот результат может быть значительно обобщен; можно доказать существование двух таких положительных постоянных а ж Л, что

а Т\

т {Е{? Е{1) т [Е™ }

А ¥

,

•

1

'

для любых п, т, к, I, лишь бы, конечно, т и п были различны. Этот результат имеет чрезвычайно важное значение, так как в основном позволяет решать очень просто все метрические задачи, в которых играет роль только порядок элементов ап. Важнейшей проблемой этого рода является задача о росте элементов цепной, дроби. Среди вещественных чисел, заключенных между 0 и 1, имеются такие, элементы которых ограничены в своей совокупности, т. е. не превосходят неко­ торого постоянного для данной цепной дроби числа. Обозначим через М множество таких вещественных чисел и через Мп множество вещественных чисел, элементы которых не превосходят п; очевидно, М = М1 + М2+ . . . +Мп+

...

(б)

Найдем меру множества М . С этой целью пусть Мп k будет множество чисел, первые к элементов которых не превосходят % Очевидно, что

и вообще

Мп.* = МЯгЬ_11Е? +

Е?+...+Е$\

Но в силу неравенства (4)

m(M^) = m[M„tk_l(E?+E?

+

...+&?)}=*

<

<-w,,_1)(i-^). Применяя это неравенство к раз, найдем

таким образом т{Мпк)-*0 при £ - * о э , а так как, очевидно, множество Мп содержится во всех множествах М к, то т(31п) = 0

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОНЫЫХ ЧИСЕЛ

23

для любого щ но в таком случае равенство (5) показывает, что и т (М) = 0; итак, в разложении почти всех чисел имеются сколь угодно большие элементы. Обобщая решенную таким образом задачу, можно поставить вопрос следую­ щим образом. Пусть о(п)— любая положительная неубывающая функция от п, например 1, lg п, п2, пъ, 2п, п\ и т. д. Среди вещественных чисел, заклю­ ченных между 0 и 1, вообще говоря, найдутся такие, элементы которых „растут медленнее, чем «р(»)к; это значит, что для всех достаточно больших п выпол­ няется неравенство

обозначим через Е. множество таких чисел; что можно сказать о его мере? *

I

Ответ на этот вопрос может быть получен почти столь же элементарными рассуждениями, как и решение предыдущей задачи; оказывается, что m.(I?)='0, если ряд 2 J / ч расходится, и# т (Е)—1, если этот ряд сходите [в преды: дущей задаче мы имели <р (п) = г для множества Mi9 откуда т (Mt) = О, что и было установлено]. Эта изящная теорема исчерпывающим образом решает метри­ ческую проблему о порядке роста элементов. Однако переход к более глубоким вопросам метрической теории цепных дробей очень скоро показывает, что этих элементарных средств оказывается недостаточно; в частности, например, этим путем ничего не удается высказать о распределении элементов, т. е. о том, как часто встречается то или другое число среди элементов цепной дроби (для систематических дробей этот вопрос, как мы видели, решается весьма просто). Причиной этого является то, что „приближенная независимость" множеств Е%\ о которой говорилось выше, является для решения этих задач совершенно недостаточной; и прогресс в этом направлении стал возможен лишь после того, как было установлено, что множества Е^ „приближенно независимы" в гораздо более сильной степени, чем мы это видели до сих пор. Чтобы подойти к этому кругу идей, мы должны будем начать с одной задачи, которая исторически явилась первой метрической проблемой теории цепных дро­ бей. Положим, как и прежде, 1 а

п + 1' а

п+2 +

разумеется, величина #я, подобно каждому элементу, есть функция того вещест­ венного числа а, которое представляется данной цепной дробью; эта функция, очевидно, всегда заключена между 0 и 1. Возьмем любое заключенное между 0 и 1 число х и обозначим через Еп (х) множество тех чисел а отрезка (0, 1), для которых zn = zn (a) < х. Меру этого множества обозначим для краткости через тп(х). Так как, очевидно, 1

А. Я. ХИНЧИН

24

то, для того чтобы гп + 1 было меньше, чем х, необходимо и достаточно, чтобы гп было заключено в одном из интервалов

(i=u 3

(-J-'injb)

- '

• );

отсюда мы заключаем, что

«w^i i K(-t-)- w , -(»T^)} ("eo'*-2' •••)' причем *0 (а) = а, откуда т0 (х) = #. Эта рекуррентная формула теоретически позволяет последовательно определить функцию тп(х) для любого п. Однако выражения, получаемые таким образом, с ростом п становятся необозримо сложными. Нас интересует вопроз о том, существует ли предельная функция lim тп(х) = т(х). и->оо

Очевидно, в случае, если такая функция существует, она должна удовлетворять соотношению со

.

т легко непосредственно проверить, что этому соотношению удовлетворяет функция т (х) = a In (1 -j- х) при любом постоянном а; можно показать, что это — единственная непрерывная функция, удовлетворяющая соотношению (6); из условия w(l) = l находим а

~1—9"-

Таким образом предельная функция, если она существует и непре­

рывна, должна иметь вид ,

т (х) v

ч

'

=

1п(1 + л?) •—\—•—-. 1п2

Гаусс в одном из своих писем к Лапласу сообщал, что ему удалось найти доказательство существования этой предельной функции, и приводил ее вид; он указывал также на важность оценки порядка малости величины К (*) = fnn (х)

Щ—I,

подчеркивая, что в этом направлении ему ничего не удалось найти. Повиднмому, доказательство Гаусса нигде не было опубликовано, и самая проблема оставалась почти забытой до 1928 г. В 1928 г. советский математик Р. О. Кузьмин, а в 1929 г. независимо от него французский математик II. Леви дали доказательство существования предельной функции т (х); оба доказательства, отличаясь значительно друг от друга, давали вместе с тем и очень хорошую оценку для разности Ап (х): Кузьмин показал, что Ап (х) имеет порядок малости не низший, чем е~

(а > О постоянно), а Леви получил

даже е

• Таким

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ

2Г> ;

образом была исчерпывающе решена одна из самых глубоких и интересных задач; метрической теории цепных дробей. Очевидно, что условие ап — 1с равносильно условию 1

^

^

1

отсюда следует, что множества Е{*], которые мы рассматривали ранее, связаны* с множествами Еп (ос) метрическим соотношением:

-|*?1—{*.(х)}—К(грт)}—.(тг)-^(гг1): в силу теоремы Кузьмина-Леви мы получаем отсюда

Iin я ,£«,

J"('+D-4 1 +4I)^ 1 "{'+TO},

птт

^п>

1П 2

In 2

rt->oo

Легко понять, насколько этот результат глубже тех, которые выше были нами установлены с помощью элементарных методов; раньше мы могли говорить лишь о порядке величины т {Е^}, теперь же мы имеем для нее точное асимптотическое выражение. Однако самым важным является то обстоятельство, что как метод Кузьмина, так и метод Леви позволяют установить, и притом без всяких дополнительных рассуждений, что в.точности те же предельные соотношения имеют место для относительной меры множества Е^Е^ по отношению к множеству Е{£\ прк условии, что разность п' — п безгранично возрастает:

т{Е%))

"*

In 2

при п—*/->ос, причем число п' может оставаться постоянным или безгранично* возрастать, что не отражается на результате. Стремление к пределу происходит и здесь весьма быстро, погрешность убывает не медленнее, чем

а п п

Т^е~

^ ^ 'К

Из этих результатов непосредственно вытекает, что разность

в случае, если \п — п'\ велико, становится ничтожно малой (порядка малости не* ниже чем -тш^е~~

* Yi иначе говоря, множества Е^ж Е^? с далекими друг

от друга нижними индексами почти независимы в метрическом смысле. Эле­ менты, близкие друг к другу, например ап и ап + 1, могут оказывать друг на друга довольно значительное влияние; но элементы друг от друга далекие ведут себя почти как цифры десятичной дроби — знание одного из них не оказывает почти никакого влияния на вероятности тех или иных значений другого. Дело здесь происходит аналогично тому, что мы наблюдаем в статистике метеорологических

26

^;-

А. Я. ХИНЧ1Ш

факторов или рыночных цен: зная положение на сегодня, мы с некоторым осно­ ванием можем сделать хотя бы скромный прогноз на завтра; но о том, каково будет положение через несколько месяцев, из сегодняшних данных, разумеется, никаких выводов сделать нельзя. Полученный нами результат, подобно тому как это происходит в статистике имеет фундаментальное значение для вычисления всякого рода средних. С его помощью прежде всего удается показать, что каждому возможному значению элемента (т. е. каждому натуральному числу) присуща определенная доля, одна г1 та же в разложении почти всех чисел. Это значит следующее: пусть ®п (к) означает число тех из элементов аи а2, ..., ап данного разложения, которые равны числу к; тогда почти всюду In 1

цтЪЛй=-*

*(* + 2)

ь

In 2

в частности, например, доля единиц почти всюду равна

In 4— 1пЗ = -.

Далее, если f (п)— положительная и не слишком быстро возрастающая функция натурального аргумента п, то можно показать, что среднее значение

/•(«1)~кю+---+/г(ад п при п -> оо почти всюду стремится к одному и тому же пределу, именно к величине оо

In 2
w

\

1

[•

1

Л= 1

1

к (к 4- 2)

[условие не слишком быстрого возрастания функции f{n) необходимо для того, чтобы этот ряд сходился; обратно, только что формулированная предельная теорема справедлива для всех функций f (n), для которых этот ряд сходится]. В частности, полагая f(n) = \nn, находим, что среднее значение 1 v i lna

п

2

i

при п -> оо стремится почти всюду к одному и тому же пределу; этот предел есть абсолютная постоянная

T-oS^^+jRtT!)) переходя же от логарифмов к числам, мы видим, что среднее геометрическое У ага2.. ,ап элементов цепной дроби имеет при п —> оэ почти всюду один и тот же предел, равный ет (что несколько превышает 2,6).

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИ0ННЫХ. ЧИСЕЛ ^

27

Что касается среднего арифметического _ q-i + а2 + - - - Л~ап то для него не может существовать аналогичной теоремы, так как ряд

h^+wk^ расходится. Однако и здесь можно установить довольно интересный результат? оказывается, что цл, вообще говоря, растет как =—-; это означает, что для любого положительного числа е мера множества чисел, для которых In п — 1 I ПГ2 стремится f нулю при безграничном возрастании п. Мы до сих пор занимались исключительно элементами цепной дроби и ничего не говорили о ее подходящих дробях, играющих наиболее важную роль во всех арифметических приложениях. Как известно, подходящей дробью порядка п дан­ ного вещественного числа (или, что то же, изображающей это число цепной р дроби) называют несократимую дробь —— (qn > 0), равную >е,

Чп

1 й

2+\

j

числители и знаменатели подходящих дробей являются, конечно, функциями эле­ ментов данной цепной дроби; выражения этих функций чрезвычайно сложны, вследствие чего основные свойства чисел рп и qn выводятся обычно из рекур­ рентных соотношений

которыми эти числа последовательно определяются. При изучении вопросов, свя­ занных с характером роста этих чисел, обычно говорят о знаменателях gn, а не о числителях jpn; это объясняется тем, что, если отказаться от принятого нами ограничения 0 < а < 1 , то числа рп могут быть и отрицательными; знамена­ тели же qn всегда принимаются положительными. Уже самые элементарные подсчеты показывают, что для любого иррацио­ нального числа а знаменатели qn с ростом п растут не медленнее некоторой геометрической прогрессии; в самом деле, так как qn_±> qn_2, то откуда п—1

так как q0=l.

2 2 . Что касается ограничения роста qn сверху, то в этом направлении

28

А- Я. ХИНЧИН

нельзя, разумеется, высказать ни одного утверждения, которое касалось бы всех иррациональностей, ибо элементы ап, а вместе с тем и знаменатели qn могут расти как угодно быстро. Однако здесь возможны утверждения метрического харак­ тера. Уже элементарными методами удается установить, что почти всюду qn растет медленнее, чем некоторая другая геометрическая прогрессия Ап, где А— также некоторая абсолютная постоянная. Таким образом существуют две абсолютные постоянные а я А такие, что для почти всех чисел при достаточно большом п п Однако более тонкие методы, связанные с теоремою Кузьмина-Леви, позво­ ляют установить гораздо более точный результат; оказывается, что для почти всех чисел lim

Yqn=el2]a2.

П-»оо

Очевидно, что для почти всех положительных чисел к тому же самому пределу п

саремится и

Урп.

IIL Приближение иррациональностей рациональными дробями. Основная задача арифметической теории иррациональностей состоит в изуче­ нии законов, управляющих приближенным выражением иррациональностей с по­ мощью рациональных (обыкновенных) дробей. В сущности мы имеем здесь дело не с одной задачей, а с целым широким кругом проблем, потому что даже самые основные вопросы могут быть поставлены весьма разнообразно. Единая тенденция, проникающая всю эту проблематику, может быть выражена так: к данной иррациональности а желательно подобрать рациональную дробь — так, чтобы 1) разность а

Р

была весьма малой по абсолютному значению и 2) числа р и q

были по возможности невелики. Проблема состоит в том, чтобы исследовать, для каких иррациональностей в какой мере совместимы эти требования. Одна из наиболее часто встречающихся форм этой весьма общей проблемы состоит в том, что берут некоторую положительную функцию <р (х), которая ростом х стремится к нулю, и исследуют, можно ли для данной иррациональV ности а подобрать такую рациональную дробь —, чтобы было

а


(?)

при этом обычно ставится вопрос о том, имеет ли неравенство (7) для данного а бесчисленное множество решений в целых q > 0, р, так как наиболее интересна знать, конечно, имеет лд неравенство (7) решения, дающие сколь угодно тесное приближение.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИРРАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ

29

Из элементарной теории цепных дробей хорошо известно, что для любой подР ходящей дроби «££любого вещественного числа а имеет место неравенство Чп

1

отсюда непосредственно следует, что если принять

то неравенство (7) для любого вещественного а будет иметь бесчисленное множество решений 1 ). Оказывается, что в смысле порядка малости величины Iа

Р

ничего лучшего установить нельзя, т. е. если взять функцию ?(#) бесконечно малой сравнительно с —-, то неравенство (7), вообще говоря (т. е. для произволь­ ного а), совсем не будет иметь решений или будет иметь только конечное число их. Можно, однако, за <р (д) взять функцию —j, где с < 1; тогда возникает вопрос о том, какова же здесь наилучшая (т. е. наименьшая) постоянная с; оказывается, что с можно принять равным -—— и нельзя взять меньше этого числа. Иначе говоря: неравенство а

Р 2

< ^

<8>

имеет при любом а бесчисленное множество решений в целых q > О, р, если с ^> ——; напротив, при всяком с < существует такое а, для которого у 5 у 5 неравенство (8) имеет не более конечного числа решений. Если мы, как это всегда делается в метрической теории, условимся прене­ брегать множеством вещественных чисел меры нуль, то естественно возникает предположение, что порядок приближения может быть усилен, т. е. что в каче­ стве функции <р (q) можно взять функцию с более быстрым порядком убывания, чем — . Подробное исследование подтверждает это предположение. В частности, неравенство (7) будет иметь бесчисленное множество решений для почти всех а, если положить в нем о (q) = — — или о (а) = —=—=-=— и т. д. Однако для 4ч * q^lnq * v*' q2lnqlnlnq функции <р (q) = ^. 2 этот результат уже не будет иметь места; напротив, при *•) Если а = — рационально, то этими (тривиальными) решениями являются р = Ы, q = ЬЪ (& = 1, 2, 3, ...).

А. Я. ХИНЧИН

30

таком выражении функции ©(g) неравенство (7) будет иметь для почти всех а не более конечного числа решений. Вообще имеет место следующее предложение, которое можно назвать основ­ ным законом метрической теории приближений. ТЕОРЕМА. Если функция <р (q) положительна и такова, что q2y (q) с ростом q никогда не возрастает, и если интеграл оо

х? (х) dx (9) / расходится, то неравенство (7) имеет для почти всех а бесчисленное множе­ ство решений] если же, при тех же прочих условиях, интеграл (9) сходится, то неравенство (7), напротив, для почти всех а имеет не более конечного числа решений. Мы приведем здесь доказательство этой теоремы ввиду ее основоположного значения, а также и потому, что на нем мы увидим применение некоторых ре­ зультатов метрической теории цепных дробей, указанных в предыдущем разделе. 1. Пусть, во-первых, интеграл (9) расходится. Как указано в разделе II, существует такая положительная постоянная А, что почти всюду при достаточно большом п Чп < Л». Положим

так как функция х2у (х) по условию невозрастающая, то функция ф 00 с ростом со

i

и никогда не убывает; далее, легко видеть, что ряд V —-г- расходится; чтобы *в этом убедиться, достаточно показать, что расходится интеграл оо

Г du

/ Тс

х

Но N

AN

N

f~mss'J'AU,fiA')d,i 1

Ч

J

=

БГт/ *?(*)**-«,

1

А

при N-> оо. В силу основной теоремы о росте элементов цепной дроби мы поэтому почти всюду должны иметь для сколь угодно больших значений п

V H >*(»)=2=^14 ; но в таком случае мы почти всюду должны имеаь для бесчисленного множества значений п an+1>-j-^—, а о (а )

(Ю)

Л

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРРАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ

ибо почти всюду )}п < Лп при в<Шс достаточно больших п. Всякий же раз, когда выполняется неравенство (10), мы имеем 1

>«»+!>

9»?Ю"

откуда ЯпЧп + 1

<

и, следовательно, 3»

<<Р(.Яп)>

так как известно, что всегда

.1»

< 2n«n + l

Этим докавана первая половина нашей теоремы. 2. Пусть теперь интеграл (9) сходится. В таком случае сходится, разу­ меется, и ряд

2 *?(")• О

1

Для любого натурального числа п отметим на отрезке (0, 1) числа 0 = — , — 2 п—1 п , , — = 1; вокруг каждой из отмеченных точек вообразим себе п '"*'' п ' п J п п / О л интервал длины 2ср (п), имеющий эту точку своим центрам I для точки 0 = — п достаточно рассматривать правую, а для точки — = 1 — левую половину соот­ ветствующего интервала I. Совокупность всех таких интервалов обозначим через. Еп; очевидно, что т (Еп) < 2-й? (п), откуда следует, что ряд со

сходится. Обозначая через Fn сумму множеств Еп, Еп+1, Еп + 2, . . . , мы поэтому находим, что m(Fn)
32

А. Я. ХИНЧИН

Отметим еще, что доказательство второго утверждения проводится, как мы видели, без помощи цепных дробей; можно было бы и для первого утверждения освободиться от ссылок на теорию цепных дробей, но только ценою весьма значи­ тельного усложнения доказательства; в теории приближения чисел рациональ­ ными дробями очень важно иметь возможность доказать каждое данное предло­ жение без помощи цепных дробей; обычно это служит гарантией того, что теорема (а часто и ее доказательство) без существенных изменений переносится и на многомерный случай. Метрическая теория приближения иррациональных чисел рациональными дробями насчитывает в настоящее время уже целый ряд глубоких и интересных результатов. Однако нашей целью было ознакомить читателя лишь с основными методами этой своеобразной дисциплины, сочетающей в себе идеи теории чисел, теории множеств и теории вероятностей. Насколько это нам удалось — пусть су­ дит читатель; во всяком случае нагромождение слишком большого материала |;зряд ли могло бы способствовать успеху этого дела.