Нетрадиционная трактовка эффекта Доплера

42

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 6, ¹ 2, 2000

Âîïðîñû ïðåïîäàâàíèÿ êóðñà îáùåé ôèçèêè â òåõíè÷åñêèõ óíèâåðñèòåòàõ Íåòðàäèöèîííàÿ òðàêòîâêà ýôôåêòà Äîïëåðà Â.Í. Êîëîãðèâîâ Ìîñêîâñêèé èíñòèòóò òîíêîé õèìè÷åñêîé òåõíîëîãèè èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà 117571, Ìîñêâà, ïð-ò Âåðíàäñêîãî, 86. Ïðåäëàãàåòñÿ ðàññìàòðèâàòü àêóñòè÷åñêèé ýôôåêò Äîïëåðà, èñïîëüçóÿ òåîðèþ Ãèëëà. Âûâåäåíà îáùàÿ ôîðìóëà. Ðàññìîòðåíû ñëó÷àè ïåðåìåùàþùèõñÿ èñòî÷íèêà è ïðèåìíèêà â íåïîäâèæíîé è äâèæóùåéñÿ ñðåäå, à òàêæå îòðàæåíèÿ çâóêà îò äâèæóùåãîñÿ çåðêàëà. Êðîìå òîãî, ðàññìîòðåíî âîçíèêíîâåíèå ýôôåêòà â íåîäíîðîäíîé, íåñòàöèîíàðíîé ñðåäå ïðè íåïîäâèæíîì èñòî÷íèêå è ïðèåìíèêå.

1. Ýôôåêò Äîïëåðà èçâåñòåí áîëåå 150 ëåò, è çà ýòî âðåìÿ åãî èçëîæåíèå â ó÷åáíèêàõ íå ïðåòåðïåëî ñåðüåçíûõ èçìåíåíèé [1-3]. Ìåæäó òåì, èñïîëüçóåìûé äî ñèõ ïîð ñïîñîá ðàñ÷åòà ìàñêèðóåò ñóòü ýôôåêòà - íåðàâåíñòâî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî èçëó÷àåòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî âîëí, òîìó ïðîìåæóòêó âðåìåíè, çà êîòîðûé ýòè âîëíû âîñïðèíèìàþòñÿ. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëèëî Ò.Ï. Ãèëëó [5] ïîñòðîèòü àëüòåðíàòèâíóþ òåîðèþ, óäîáíóþ äëÿ ó÷åáíûõ è ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé. Ïóñòü èñòî÷íèê èçëó÷àåò dN âîëí â èíòåðâàëå âðåìåíè t1, t1+ dt1 ñ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé ω1 . Ýòè âîëíû äîõîäÿò äî ïðèåìíèêà â èíòåðâàëå âðåìåíè t2, t2 + dt2. Î÷åâèäíî, ÷òî dN =

ω1 ω dt1 = 2 dt 2 , 2π 2π

(1)

ãäå ω 2 - öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà ïðèåìà. Îòñþäà ñëåäóåò : ω2 dt = 1 . ω1 dt 2

(2)

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðàñ÷åòà îòíîøåíèÿ ÷àñòîò íóæíî ñâÿçàòü ìîìåíòû èçëó÷åíèÿ è ïðèåìà, ïîñëå ÷åãî íàéòè ïðîèçâîäíóþ. Ê ôîðìóëå (2) ìîæíî ïðèéòè èíà÷å. Ïîñêîëüêó öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà åñòü ïðîèçâîäíàÿ ôàçû ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ïî âðåìåíè ( ϕ(t 2 ) íà âõîäå ïðèåìíèêà), à ýòà ôàçà ðàâíà ôàçå êîëåáàíèé èñòî÷íèêà â ìîìåíò èçëó÷åíèÿ (t1), èìååì : ϕ(t 2 ) = ω1t1 + ϕ 0 ,

(3)

Íåòðàäèöèîííàÿ òðàêòîâêà ýôôåêòà Äîïëåðà

43

ãäå ϕ 0 = const – íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèé èñòî÷íèêà. Äèôôåðåíöèðóÿ (3), ïîëó÷àåì (2). 2. Ïîêàæåì, ÷òî èç (2) ñëåäóþò âñå èçâåñòíûå ôîðìóëû äëÿ ñëó÷àåâ äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà 1 è ïðèåìíèêà çâóêà 2 âäîëü ñîåäèíÿþùåé èõ ïðÿìîé ( Ðèñóíêè 1 è 2). Ñðåäó ìåæäó 1 è 2 ïðåäïîëàãàåì îäíîðîäíîé è íåïîäâèæíîé. Ñêîðîñòè èñòî÷íèêà, ρ ρ ρ ïðèåìíèêà è ôàçîâóþ ñêîðîñòü çâóêà îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî V1 , V2 , c ; èõ ïðîåêöèè íà íàïðàâëåíèå r (≡A B )− V1r ,V2r , c.

Ðèñóíîê 1. Èñòî÷íèê 1 è ïðèåìíèê 2 â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ À è Â.

Èç Ðèñóíêà 2 âèäíî, ÷òî V1r t1 + c (t 2 − t1 ) = r + V2 r t 2 .

(4)

V1r t1 + (wr + c )(t2 − t1 ) = r + V2 r t2

Ðèñóíîê 2. Çâóê äîñòèã ïðèåìíèêà.

Äèôôåðåíöèðóÿ (4), ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ

dt1 = dt 2

V2 r c V1r 1− c

1−

⎛ ω2 ⎜⎜ = ⎝ ω1

⎞ ⎟⎟ . ⎠

(5)

ρ

Åñëè åùå è ñðåäà äâèæåòñÿ âäîëü ïðÿìîé ÀÂ ñî ñêîðîñòüþ w (âåòåð), òî ñ ïîìîùüþ Ðèñóíêà 2, çàìåíèâ “ñ” íà “ c +wr”, íàéäåì: .

(6)

Â.Í. Êîëîãðèâîâ

44 Èç (6) ñëåäóåò : w − V2 r 1+ r dt1 c . = dt2 1 + wr − V1r c

(7)

ρ Îòðàæåíèå çâóêà îò ïîäâèæíîãî çåðêàëà èëëþñòðèðóåò Ðèñóíîê 3. Ñêîðîñòü çåðêàëà V , ìîìåíò îòðàæåíèÿ τ.  íà÷àëüíîé ìîìåíò çåðêàëî íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè r îò èçëó÷àòåëÿ è ïðèåìíèêà, ðàñïîëîæåííûõ â îäíîé òî÷êå.

Ðèñóíîê 3. Çâóê äîñòèã çåðêàëà 3.

Äî îòðàæåíèÿ âîëíà ïðîõîäèò ïóòü

çà âðåìÿ τ − t1 , òàê ÷òî

c (τ − t1 ) = r + Vrτ .

(8)

Òîò æå ïóòü çâóê ïðîõîäèò è ïîñëå îòðàæåíèÿ, çàòðà÷èâàÿ âðåìÿ t 2 − τ : c (t2 − τ ) = r + Vr τ .

(9)

Èç (8) è (9), èñêëþ÷àÿ τ è äèôôåðåíöèðóÿ, ïîëó÷àåì:

.

(10)

3. Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé âîçíèêíîâåíèÿ ýôôåêòà Äîïëåðà ïðè íåïîäâèæíûõ èçëó÷àòåëå è ïðèåìíèêå â íåîäíîðîäíîé, íåñòàöèîíàðíîé ñðåäå. Ïóñòü, íàïðèìåð, ÷àñòü ïóòè çâóê ïðîõîäèò â îäíîé ñðåäå (ñî ñêîðîñòüþ c1), à çàòåì – â äðóãîé (ñî ñêîðîñòüþ c2). È ïóñòü ãðàíèöà ìåæäó ñðåäàìè ñìåùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ

ρ V (Ðèñóíîê 4).

45

Íåòðàäèöèîííàÿ òðàêòîâêà ýôôåêòà Äîïëåðà

Ðèñóíîê 4. Ãðàíèöà ðàçäåëà ñðåä 3 â íà÷àëüíîé ìîìåíò.

Íà Ðèñóíêå 5 ïîêàçàíî ïîëîæåíèå ãðàíèöû ðàçäåëà â ìîìåíò Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî

, êîãäà çâóê åå äîñòèãàåò.

(11) Èñêëþ÷àÿ τ â ñèñòåìå óðàâíåíèé (11) è äèôôåðåíöèðóÿ, èìååì:

.

(12)

ñ0t(11) + ) rτ , cñτ1 (τ= − =V2rα+t V 1 − r1 c1r2 − Vrτ . cdt2 1(t 2=− τ ) = dt2 1 − Vr c2 Ðèñóíîê 5. Çâóê äîñòèã ãðàíèöû ðàçäåëà 3.

Âûðàæåíèå (12) ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëå (5) Â.À. Ìèõåëüñîíà [4], âïåðâûå óêàçàâøåãî íà ðîëü íåîäíîðîäíîé ñðåäû, ìåíÿþùåéñÿ ñî âðåìåíåì. Îöåíêà îòíîñèòåëüíîãî ñäâèãà ÷àñòîò ïðè V ≈ 0,01 c äàåò äëÿ ïàðû âîçäóõ-ìåòàí è âîäà-ãëèöåðèí âåëè÷èíû ïîðÿäêà 0,2 – 0,3 %. Ïåðåéäåì ê ñëó÷àþ, êîãäà ãðàíèöà ðàçäåëà ñðåä íåïîäâèæíà, à ñêîðîñòü çâóêà â îäíîé èç íèõ ëèíåéíî ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. (Ðèñóíîê 4, V = 0). Ïóñòü ,

ñ0 ,α,ñ2 = const > 0 . Îáîçíà÷èâ, êàê è ðàíåå, ÷åðåç τ ìîìåíò äîñòèæåíèÿ

Â.Í. Êîëîãðèâîâ

46

çâóêîì ãðàíèöû ðàçäåëà, ìîæåì çàïèñàòü:

.

Ââåäåì îáîçíà÷åíèå t 01 =

(13)

r1 . Ïîñëå ðåøåíèÿ ñëåäóþùåãî èç (13) êâàäðàòíîãî c0

óðàâíåíèÿ

(

)

ατ 2 + τ − t1 + αt12 + t01 = 0

(14)

íàéäåì:

τ=

(

)

1 ⎡ − 1 + 1 + 4α t1 + αt12 + t 01 ⎤ . ⎥⎦ 2α ⎢⎣

(15)

(Ïî ôèçè÷åñêèì ñîîáðàæåíèÿì ïåðåä êîðíåì ñëåäóåò âçÿòü çíàê ïëþñ). Î÷åâèäíî òàêæå (Ðèñóíîê 4, V = 0!), ÷òî c 2 (t 2 − τ ) = r2 .

(16)

Ñâÿçü ìåæäó t1 è t 2 óñòàíàâëèâàåì, ïðèðàâíèâàÿ ìîìåíòû äîñòèæåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà ñîãëàñíî (15) è (16): t2 −

r2 1 = c2 2α

(

)

⎡ − 1 + 1 + 4α t + αt 2 + t ⎤ 1 1 01 ⎥ . ⎢⎣ ⎦

(17)

Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (17) è ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì ïðè

t1 = 0: dt1 r = 1 + 4α t 01 = 1 + 4α 1 . dt 2 c0

Ïðèìåì äëÿ îöåíîê α =

β , ãäå β〈〈1. Òîãäà èç (18) ïîëó÷àåì: t 01

(18)

Íåòðàäèöèîííàÿ òðàêòîâêà ýôôåêòà Äîïëåðà

47

(19) Çàìåòèì, ÷òî ñ (τ ) ≈ ñ0 (1 + 2β ) . Âûáèðàÿ β = 0,01, èìååì îòíîñèòåëüíûé ñäâèã ÷àñòîò 2%. Àâòîð áëàãîäàðåí Þ.À. Ëþáèìîâó çà âíèìàíèå ê ðàáîòå è ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ.

Ëèòåðàòóðà 1. “Ueber das farbige Licht der Doppelsterne etc” (1842 ã.).  êíèãå: Doppler, Ñhr. Abhandlungen, Leipzig, 1907. 2. Ñàâåëüåâ È.Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè, Ò. 2, Ì.: Íàóêà, 1987. 3. ßâîðñêèé Â.Ì., Äåòëàô À.À. Ñïðàâî÷íèê ïî ôèçèêå. Ì.: Íàóêà, 1996. 4. Ê âîïðîñó î ïðàâèëüíîì ïðèìåíåíèè ïðèíöèïà Äîïëåðà (1899 ã.).  êíèãå: Ìèõåëüñîí Â.À. Ñîáðàíèå ñî÷èíåíèé, Ò. 1. Ì.: Íîâûé àãðîíîì, 1930. 5. Gill. Ò.P. The Doppler effect. London. Logos Press; Acad. press., 1965.

dt1 ≈ 1 + 2β. dt 2