Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÂÎËÃÎÃÐÀÄÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÊÀÔÅÄÐÀ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß

ÌÀÇÅÏÀ Å.À.

ÊÐÀÒÊÈÉ ÊÎÍÑÏÅÊÒ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÊÓÐÑÓ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ äëÿ ñòóäåíòîâ ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ

Âîëãîãðàä 2005

Ââåäåíèå Ãîñóäàðñòâåííûé îáðàçîâàòåëüíûé ñòàíäàðò ñïåöèàëüíîñòè "Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå"â ðàìêàõ êóðñà "Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé"ïðåäóñìàòðèâàåò èçó÷åíèå ñëåäóþùèõ ðàçäåëîâ: ïðàâèëà äåéñòâèÿ ñî ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè è èõ âåðîÿòíîñòÿìè; àêñèîìàòèêà À.Í. Êîëìîãîðîâà; óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè, íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è ýêñïåðèìåíòîâ; ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé; îñíîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé; îñíîâíûå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí; ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ; çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå â ïðàêòèêå ñòàòèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé; ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí; çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà; ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â äèñêðåòíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå; ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îáðàçóþùèå öåïü Ìàðêîâà. Ïðåïîäàâàíèå äàííîãî êóðñà èìååò ñâîåé öåëüþ ôîðìèðîâàíèå ó ñòóäåíòîâ ïðàâèëüíûõ èíòóèòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé îá îñíîâíûõ ïîíÿòèÿõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé êàê ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè, èçó÷àþùåé çàêîíîìåðíîñòè ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Ñòðîãîå èçëîæåíèå îñíîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñïîñîáñòâóåò ðàçâèòèþ íàâûêîâ ðåøåíèÿ îñíîâíûõ òèïîâ çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, à òàêæå ïðèìåíåíèÿ ýòèõ íàâûêîâ äëÿ èíòåðïðåòàöèè ðåçóëüòàòîâ ýêîíîìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ïî çàâåðøåíèþ èçó÷åíèÿ êóðñà ñòóäåíò äîëæåí çíàòü îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, îïðåäåëåíèÿ, óòâåðæäåíèÿ è äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé èç ðàçäåëà II äàííîé ïðîãðàììû (ñîäåðæàíèå ó÷åáíîé äèñöèïëèíû). Êðîìå òîãî, ñòóäåíò äîëæåí óìåòü èçëàãàòü îñíîâíûå ôàêòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ïðèìåíÿòü èõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ðàçäåëàì: ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè, êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè, ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè, ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè, óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè, íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ, ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áàéåñà, äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ïðåäåëüíûå òåîðåìû. Èçëîæåíèå êóðñà "Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé"îïèðàåòñÿ íà ìíîãèå ðàçäåëû òàêèõ äèñöèïëèí êàê ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ãåîìåòðèÿ è àëãåáðà. Ñîäåðæàíèå êóðñà "Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé"àêòèâíî ïðèìåíÿåòñÿ ïðè èçëîæåíèè êóðñà "Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà", ðàçëè÷íûõ ñïåöêóðñîâ ïî ñïåöèàëèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå. Ðàáî÷àÿ ïðîãðàììà äàííîãî êóðñà ñîñòàâëåíà èç ðàñ÷åòà 68 àóäèòîðíûõ ÷àñîâ (34 ëåêöèîííûõ ÷àñà è 34 ÷àñà ëàáîðàòîðíûõ çàíÿòèé). Êðîìå òîãî, ó÷åáíûé ïëàí äèñöèïëèíû ïðåäóñìàòðèâàåò ïðîâåäåíèå 1 êîíòðîëüíîé ðàáîòû è îðãàíèçàöèþ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ñòóäåíòîâ èç ðàñ÷åòû 12 ÷àñîâ. Ñîäåðæàíèå ðàáî÷åé ïðîãðàììû ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèÿì ãîñóäàðñòâåííîãî îáðàçîâàòåëüíîãî ñòàíäàðòà.

1 Ñîäåðæàíèå ðàáî÷åé ïðîãðàììû äèñöèïëèíû 1.1 ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ (6 ÷àñîâ) 1.1 Ñòîõàñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò. Êëàññ íàáëþäàåìûõ ñîáûòèé. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Âåðîÿòíîñòíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïîíÿòèé è îïåðàöèé òåîðèè ìíîæåñòâ. 1.2 Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé.

2

1.3 ×àñòîòà ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà è î âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ. 1.4 Âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ñ êîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. 1.5 Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè. 1.6 Ïîñòðîåíèå âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ñ íåñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè. 1.7 Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Àêñèîìàòèêà À.Í. Êîëìîãîðîâà. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè. Òåîðåìà î íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè. 1.8 Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü è åå ñâîéñòâà. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà Áàéåñà. 1.9 Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ è èõ ñâîéñòâà. Íåçàâèñèìîñòü â ñîâîêóïíîñòè.

1.2 ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÂÅËÈ×ÈÍÛ. ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÂÅËÈ×ÈÍ (6 ÷àñîâ) 2.1 Îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è åå ðàñïðåäåëåíèå. 2.2 Ñõåìà Áåðíóëëè ïîâòîðåíèÿ èñïûòàíèÿ. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè. Ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ïóàññîíà. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. 2.3 Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà. 2.4 Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà. 2.5 Ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé: ðàâíîìåðíîå, ïîêàçàòåëüíîå, íîðìàëüíîå, ðàñïðåäåëåíèå Êîøè, ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå. Âû÷èñëåíèå ðàñïðåäåëåíèé ôóíêöèé îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

1.3 ×ÈÑËÎÂÛÅ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÈ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÂÅËÈ×ÈÍ (6 ÷àñîâ) 3.1 Ïîíÿòèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. 3.2 Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. 3.3 Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè îò äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 3.4 Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà. Ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèé. 3.5 ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ïóàññîíîâñêîãî, ðàâíîìåðíîãî è ïîêàçàòåëüíîãî íîðìàëüíîãî è ãàììà-ðàñïðåäåëåíèé.

1.4 ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÂÅÊÒÎÐÛ È ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÛÅ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß (6 ÷àñîâ) 4.1 Äèñêðåòíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð è åãî ðàñïðåäåëåíèå. Ïîëèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. 4.2 Ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè-÷èí (ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà) è åå ñâîéñòâà.

3

4.3 Ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè-÷èí (ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà) è åå ñâîéñòâà. 4.4 Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, âåêòîðû è èõ ñâîé-ñòâà. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ è äèñ-ïåðñèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 4.5 Ðàñïðåäåëåíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 4.6 Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ÷èñëà óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè ñ ïåðåìåííîé âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà. 4.7 Êîâàðèàöèÿ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè äâóõ ñëó÷àé-íûõ âåëè÷èí. Íàèëó÷øàÿ â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì ëèíåéíàÿ îöåíêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî íàáëþäåíèþ äðóãîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

1.5 ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÂÅËÈ×ÈÍ. ÇÀÊÎÍ ÁÎËÜØÈÕ ×ÈÑÅË (6 ÷àñîâ) 5.1 Ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè, cõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì. 5.2 Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ðàçëè÷íûìè âèäàìè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé. 5.3 Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Òåîðåìû ×åáûøåâà è Áåðíóëëè. 5.4 Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, òåîðåìû Êîëìîãîðîâà è Áîðåëÿ. 5.5 Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 5.6 Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, áèíîìèàëüíîãî, ïóàññîíîâñêîãî, ðàâíîìåðíîãî, ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèé. 5.7 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà. 5.8 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â äèñêðåòíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îáðàçóþùèå öåïü Ìàðêîâà.

1.6 ÑËÀÁÀß ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ. ÖÅÍÒÐÀËÜÍÀß ÏÐÅÄÅËÜÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ (4 ÷àñîâ) 6.1 Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ðàñïðåäåëåíèé. Åäèíñòâåííîñòü ñëàáîãî ïðåäåëà. Ñõîäèìîñòü â îñíîâíîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ëåâè äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. 6.2 Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è åå ñîîòíîøåíèå ñî ñõîäèìîñòüþ ïî âåðîÿòíîñòè. 6.3 Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 6.4 Èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà.

4

2 Êðàòêèé êîíñïåêò ëåêöèé 2.1 ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ 2.1.1 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ýêñïåðèìåíò H íàçûâàþò ñòîõàñòè÷åñêèì, åñëè îí ìîæåò ïðîâîäèòüñÿ ëþáîå êîëè÷åñòâî ðàç ïðè âûïîëíåíèè îäíîãî è òîãî æå êîìïëåêñà óñëîâèé è êàæäûé ðàç íåçàâèñèìî îò ðåçóëüòàòîâ äðóãèõ ïðîâåäåíèé ýòîãî ýêñïåðèìåíòà. Êàæäîìó ñòîõàñòè÷åñêîìó ýêñïåðèìåíòó H ñîîòâåòñòâóåò ñâîé êëàññ F íàáëþäàåìûõ ñîáûòèé. Ñîáûòèå A ñ÷èòàåòñÿ íàáëþäàåìûì â ñòîõàñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå H (ñëó÷àéíûì ), åñëè èìååò ñìûñë ãîâîðèòü, îñóùåñòâèëîñü ýòî ñîáûòèå èëè íåò â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåíèÿ H . Ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (èñõîäîâ) ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà H íàçûâàþò òàêîå ìíîæåñòâî Ω , ÷òî êàæäûé ðàç ïðè ïðîâåäåíèè ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ïðîèñõîäèò îäíî è òîëüêî îäíî ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå  ýëåìåíò ω ïðîñòðàíñòâà Ω , à êàæäîå íàáëþäàåìîå ñîáûòèå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ íåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì ïðîñòðàíñòâà Ω . Íàáëþäàåìîå ñîáûòèå A ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ïðîèñõîäèò ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå  ýëåìåíò ìíîæåñòâà A . Ýëåìåíòû ω ∈ A íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè ýêñïåðèìåíòà, áëàãîïðèÿòñòâóþùèìè ñîáûòèþ A . Ïîñêîëüêó êàæäîå íàáëþäàåìîå ñîáûòèå A ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà H îòæäåñòâëÿåòñÿ ñ íåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà Ω âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ðàññìàòðèâàåìîãî ýêñïåðèìåíòà, òî âïîëíå åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü íàä ñîáûòèÿìè îïåðàöèè, àíàëîãè÷íûå îïåðàöèÿì àëãåáðû ìíîæåñòâ.

Îïðåäåëåíèå 2.1.1. Ïóñòü A, B ⊂ Ω  ïðîèçâîëüíûå íàáëþäàåìûå ñîáûòèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà H , Ω  ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ äàííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Ñóììîé ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ íîâîå ñîáûòèå A ∪ B , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå A èëè ñîáûòèå B . Ïðîèçâåäåíèåì ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ íîâîå ñîáûòèå A ∩ B , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëè îäíîâðåìåííî ñîáûòèå A è ñîáûòèå B . Ðàçíîñòüþ ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ íîâîå ñîáûòèå A \ B , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå A è íå ïðîèçîøëî ñîáûòèå B . Ïðîòèâîïîëîæíûì ñîáûòèåì ê A íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå Ac = Ω \ A , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî íå ïðîèçîøëî ñîáûòèå A . Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ íîâîå ñîáûòèå A4B , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëî â òî÷íîñòè îäíî ñîáûòèå A èëè B . Ñîáûòèå B íàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì ñîáûòèÿ A , òî åñòü A ⊂ B , åñëè êàæäîå íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ A â äàííîì ñòîõàñòè÷åñêîì ýêïåðèìåíòå H âëå÷åò íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ B . Ñîáûòèå A íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì â ñòîõàñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå H , åñëè A = Ω , òî åñòü ñîáûòèå A ïðîèñõîäèò êàæäûé ðàç ïðè ïðîâåäåíèè äàííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Ñîáûòèå A íàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì ñîáûòèåì â ñòîõàñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå H , åñëè A = ∅ , òî åñòü â äàííîì ñòîõàñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå íåò ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A . 5

Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè ñîáûòèÿìè â ñòîõàñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå H , åñëè A ∩ B = ∅ .

Çàìå÷àíèå 1. Îïåðàöèè ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé ìîæíî îïðåäåëèòü äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ñåìåéñòâà ñîáûòèé: S Aα = {ω ∈ Ω|∃α : ω ∈ Aα }  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëî õîòÿ áû α

îäíîTñîáûòèå èç ñåìåéñòâà {Aα } ; Aα = {ω ∈ Ω|∀α : ω ∈ Aα }  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëè âñå ñîáûòèÿ α

èç ñåìåéñòâà {Aα } îäíîâðåìåííî. Îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé âûïîëíÿþòñÿ ñâîéñòâà êîììóòàòèâíîñòè, àññîöèàòèâíîñòè è äèñòðèáóòèâíîñòè îïåðàöèé.

2.1.2 Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé Ïóñòü èìååòñÿ ñ÷åòíîå ñåìåéñòâî ñîáûòèé {An }∞ n=1 . Îïðåäåëèì ïîíÿòèÿ âåðõíåãî è íèæíåãî ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé {An }∞ n=1 : sup lim An = limAn = {ω ∈ Ω|∀n ∃k > n : ω ∈ Ak }  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî n

n

îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ñîáûòèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An }∞ n=1 ; inf lim An = limAn = {ω ∈ Ω|∃n ∀k > n : ω ∈ Ak }  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî n

n

îäíîâðåìåííî íå ïðîèñõîäèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñîáûòèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An }∞ n=1 . Åñëè äîïîëíèòåëüíî An+1 ⊂ An äëÿ ëþáîãî n = 1, 2, . . . , òî ñóùåñòâóåò ñîáûòèå A = lim An = {ω ∈ Ω| ∀n : ω ∈ An } , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäÿò âñå ñîáûòèÿ n

ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An }∞ n=1 . Åñëè An ⊂ An+1 äëÿ ëþáîãî n = 1, 2, . . . , òî òàêæå ñóùåñòâóåò ñîáûòèå A = lim An = n

{ω ∈ Ω| ∃n : ω ∈ An } , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî ñîáûòèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An }∞ n=1 . Ëåãêî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ: ∞ S ∞ T 1) sup lim An = ; n

2) inf lim An = n

n=1 k=n

∞ T ∞ S

n=1 k=n

;

3) åñëè Ak+1 ⊂ Ak äëÿ ëþáîãî k = 1, 2, . . . , òî lim An = n

4) åñëè Ak ⊂ Ak+1 äëÿ ëþáîãî k = 1, 2, . . . , òî lim An = n

∞ T n=1 ∞ S n=1

An ; An .

2.1.3 ×àñòîòà ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà è î âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ Îïðåäåëåíèå 2.1.2. ×àñòîòîé íàáëþäàåìîãî ñîáûòèÿ A â ñåðèè n íåçàâèñèìûõ ïîâòîðåíèé ýêñïåðèìåíòà H íàçûâàåòñÿ νn (A) , ñîáûòèÿ A .

kn (A) , n

ãäå kn (A)  êîëè÷åñòâî ïîÿâëåíèé

Çàìå÷àíèå 2. ×àñòîòà íàáëþäàåìîãî ñîáûòèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè: 6

1) 0 6 νn (A) 6 1 ; 2) νn (∅) = 0 ; 3) νn (Ω) = 1 ; 4) åñëè A ∩ B = ∅ , òî νn (A ∪ B) = νn (A) + νn (B) . Åñëè ñ íåîãðàíè÷åííûì ðîñòîì ÷èñëà n íåçàâèñèìûõ ïîâòîðåíèé ýêñïåðèìåíòà H ÷àñòîòà νn (A) âñå ìåíüøå è ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ îò íåêîòîðîãî ÷èñëà P(A) , òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷àñòîòà ñîáûòèÿ A ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâà, à ÷èñëî P(A) ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A . Ýòî ýìïèðè÷åñêîå ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ îòðàæàåò åãî åñòåñòâåííîíàó÷íîå ñîäåðæàíèå è, êîíå÷íî, íå ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì.

2.1.4 Âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà H íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òðåõ îáúåêòîâ (Ω, F, P) , ãäå Ω  ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé H , F  êëàññ íàáëþäàåìûõ â H ñîáûòèé, P(A)  âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé A ∈ F . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà H ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûì è êàæäîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Ω ÿâëÿåòñÿ íàáëþäàåìûì ñîáûòèåì, ò. å. F , 2Ω . Ïóñòü P êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó ñîáûòèþ ω ∈ Ω ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ÷èñëî p(ω) > 0 è p(ω) = 1 , ïðè÷åì èìåþòñÿ îñíîâàíèÿ ω∈Ω

ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëà p(ω) ÿâëÿþòñÿ âåðîÿòíîñòÿìè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω . P p(ω). Îïðåäåëåíèå 2.1.3. Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ∈ F íàçûâàåòñÿ P(A) , ω∈A

Çàìå÷àíèå 3. Òàê îïðåäåëåííàÿ âåðîÿòíîñòü îáëàäàåò ñâîéñòâàìè: 1) 0 6 P(A) 6 1 ; 2) P(Ω) = 1 ; 3) åñëè A ∩ B = ∅ , òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ; 4) P(Ac ) = 1 − P(A) ; 5) P(∅) = 0 ; 6) åñëè A ⊂ B , òî P(A) 6 P(B) , P(B \ A) = P(B) − P(A) ; ∞ S An è Ai ∩ Aj = ∅ ïðè i 6= j , òî 7) åñëè A = n=1

P(A) =

∞ X

P(An ).

n=1

Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îïðåäåëåíèÿ 2.1.3.

Îïðåäåëåíèå 2.1.4. Åñëè ñòîõàñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò H èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ, òî âåðîÿòíîñòüþ íàáëþäàåìîãî â ýòîì ýêñïåðèìåíòå ñîáûòèÿ A íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ÷èñëà èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A , ê ÷èñëó âñåõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà H : |A| , P(A) = |Ω| ãäå |A| è |Ω|  ñîîòâåòñòâåííî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A è ìíîæåñòâà Ω . Äàííîå îïðåäåëåíèå íàçûâàþò êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè.

7

2.1.5 Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè Îñíîâíîé ïðèíöèï êîìáèíàòîðèêè (ïðàâèëî óìíîæåíèÿ). Ïóñòü íåîáõîäèìî ïî-

ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíèòü k äåéñòâèé. Åñëè ïåðâîå äåéñòâèå ìîæíî âûïîëíèòü m1 ñïîñîáàìè, âòîðîå  m2 ñïîñîáàìè è òàê äàëåå äî k -ãî äåéñòâèÿ, êîòîðîå ìîæíî âûïîëíèòü mk ñïîñîáàìè, òî âñå k äåéñòâèé âìåñòå ìîãóò áûòü âûïîëíåíû m1 · m2 · . . . · mk ñïîñîáàìè.

Îïðåäåëåíèå 2.1.5. Ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå n ýëåìåíòîâ, íàçûâàåòñÿ n -ýëåìåíòíûì ìíîæåñòâîì. k -ýëåìåíòíûì óïîðÿäî÷åííûì ìîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå k ýëåìåíòîâ, êàæäîìó èç êîòîðûõ ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ÷èñëî èç ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , k} (ò.å. íîìåð ýëåìåíòà) òàê, ÷òî ðàçëè÷íûì ýëåìåíòàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå ÷èñëà.

Îïðåäåëåíèå 2.1.6. k -ýëåìåíòíîå óïîðÿäî÷åííîå ïîäìíîæåñòâî n -ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà (k 6 n) íàçûâàåòñÿ ðàçìåùåíèåì èç n ïî k .

Akn îáîçíà÷àåò ÷èñëî âñåõ ðàçìåùåíèé èç n ïî k .

Îïðåäåëåíèå 2.1.7. n -ýëåìåíòíîå óïîðÿäî÷åííîå ìîæåñòâî ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ n ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà B , íàçûâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé ìíîæåñòâà B .

Pn îáîçíà÷àåò ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê n -ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà.

Îïðåäåëåíèå 2.1.8. k -ýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî (íåóïîðÿäî÷åííîå) n -ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà (k 6 n) íàçûâàåòñÿ ñî÷åòàíèåì èç n ïî k .

Cnk îáîçíà÷àåò ÷èñëî âñåõ ñî÷åòàíèé èç n ïî k .

Òåîðåìà 2.1.1.

1) Akn = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = 2) Pn = n! . n! = n(n−1)...(n−k+1) . 3) Cnk = (n−k)!k! k!

n! . (n−k)!

2.1.6 Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Àêñèîìàòèêà À.Í. Êîëìîãîðîâà. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè. Òåîðåìà î íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè Îïðåäåëåíèå 2.1.9. Êëàññ F ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé, åñëè F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì: 1) Ω ∈ F ; 2) åñëè A ∈ F , òî Ac = Ω \ A ∈ F ; ∞ S An ∈ F . 3) åñëè (An )n∈N ∈ F , òî n=1

Åñëè F  σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω , òî (Ω, F) íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïðîñòðàíñòâîì.

Çàìå÷àíèå 4. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ σ -àëãåáðû âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1) ∅ ∈ F ; 2) åñëè (Aj )j∈N ∈ F , òî

n S

Aj ∈ F,

j=1

n T

Aj ∈ F,

j=1

∞ T j=1

Aj ∈ F ;

3) åñëè (An )n∈N ∈ F , òî sup lim An ∈ F , inf lim An ∈ F . n

n

Îïðåäåëåíèå 2.1.10. Ïóñòü E  íåêîòîðûé êëàññ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω . Ìè8

íèìàëüíîé σ -àëüãåáðîé, ñîäåðæàùåé êëàññ E (èëè ïîðîæäåííîé êëàññîì E ) íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðà FE ïðîñòðàíñòâà Ω òàêàÿ, ÷òî 1) E ⊂ FE , 2) äëÿ ëþáîé σ -àëãåáðû F , ñîäåðæàùåé êëàññ ïîäìíîæåñòâ E âûïîëíåíî FE ⊂ F .

Ïðåäëîæåíèå 2.1.1. Ïóñòü {Fα }T ñåìåéñòâî σ -àëãåáð ïðîñòðàíñòâà Ω , ñîäåðæàùèõ êëàññ E , òî åñòü ∀α E ⊂ Fα . Òîãäà

α

Fα  ìèíèìàëüíàÿ σ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ E .

Çàìå÷àíèå 5. Åñëè Ω = R , à E  êëàññ âñåõ ïîëóèíòåðâàëîâ ÷èñëîâîé îñè R âèäà (a, b] (èëè [a, b) , èëè [a, b] , èëè (a, b) ), òî ìèíèìàëüíóþ σ -àëãåáðó ïðîñòðàíñòâà R , ïîðîæäåííóþ êëàññîì E íàçûâàþò áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðîé è îáîçíà÷àþò B(R) . Ýëåìåíòû áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðû B(R) íàçûâàþò áîðåëåâñêèìè ìíîæåñòâàìè íà ÷èñëîâîé îñè. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà ïðîñòðàíñòâà Rn .

Îïðåäåëåíèå 2.1.11. Ôóíêöèÿ f : Rn 7→ R íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêîé ôóíêöèåé, åñëè ïðîîáðàç ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà â R ÿâëÿåòñÿ áîðåëåâñêèì ìíîæåñòâîì â Rn .

Îïðåäåëåíèå 2.1.12. Âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ íàáîð òðåõ îáúåêòîâ (Ω, F, P) , ãäå Ω  ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî, F  σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω , P : F 7→ [0, 1]  ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (àêñèîìàì): 1) P(Ω) = 1 , ∞ ∞ S P 2) åñëè (An )n∈N ⊂ F è Ai ∩ Aj = ∅ äëÿ i 6= j , òî P( An ) = P(An ). n=1

n=1

Ïðè ýòîì Ω íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (íåêîòîðîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà H ), ìíîæåñòâà A ∈ F íàçûâàþòñÿ ñëó÷àéíûìè (íàáëþäàåìûìè â ñòîõàñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå H ) ñîáûòèÿìè, ôóíêöèÿ P(·) íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ, èëè âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé, à P(A)  âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ∈ F .

Òåîðåìà 2.1.2. Ïóñòü (Ω, F, P)  âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà: 1) 2) 3) 4)

P(∅) = 0 ; åñëè A, B ∈ F , A ∩ B = ∅ , òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ; åñëè A, B ∈ F , òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; åñëè A, B ∈ F , A ⊂ B , òî P(A) 6 P(B) , P(B \ A) = P(B) − P(A) , P(Ac ) = 1 − P(A) ; ∞ ∞ P S An ) 6 5) åñëè (An )n∈N ⊂ F , òî P( P(An ) . n=1

n=1

Òåîðåìà 2.1.3. ( Òåîðåìà î íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòíîé ìåðû.) Ïóñòü (Ω, F, P)

 âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà:

1) åñëè An ∈ F , An ⊂ An+1 , n ∈ N , òî lim P(An ) = P( n→∞

∞ S

n=1 ∞ T

2) åñëè An ∈ F , An ⊃ An+1 , n ∈ N , òî lim P(An ) = P( n→∞

n=1

An ) ; An ) .

2.1.7 Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè Ïóñòü Ω ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì êîíå÷íîìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Rn , F  σ àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ â Ω , µ  êîíå÷íàÿ ìåðà íà (Ω, F) , ò.å. µ(·) : F 7→ R+  ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì: 1) åñëè (An )n∈N ⊂ F è Ai ∩ Aj = ∅ äëÿ i 6= j , òî

µ(

∞ [

An ) =

n=1

∞ X n=1

9

µ(An );

2) µ(Ω) < ∞ . Ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé â áðîñàíèè "íàóäà÷ó" òî÷êè â ïðîñòðàíñòâî Ω . Òåðìèí "íàóäà÷ó" çäåñü ïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè A ∈ F , B ∈ F è µ(A) = µ(B) , òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè âî ìíîæåñòâî A è âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè âî ìíîæåñòâî B ñîâïàäàþò. Âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ ýòîãî ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P(·)) , ãäå µ(A) , A ∈ F. (1) P(A) = µ(Ω) Åñëè â êà÷åñòâå µ ìîæåò âûñòóïàåò äëèíà êðèâîé, ïëîùàäü îáëàñòè, îáúåì òåëà, ðàäèàííàÿ ìåðà óãëà è äð., òî âåðîÿòíîñòü (1) ïðèíÿòî íàçûâàòü ãåîìåòðè÷åñêîé.

Çàìå÷àíèå 6. Ïðè ïðèìåíåíèè ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà P(A) = 0 , íî ñîáûòèå A íå ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíûì. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé â áðîñàíèè "íàóäà÷ó" òî÷êè â ïëîñêóþ îáëàñòü Ω , â êà÷åñòâå íàáëþäàåìîãî ñîáûòèÿ A ðàññìîòðèì ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â ïîïàäàíèè òî÷êè íà íåêîòîðûé îòðåçîê, ëåæàùèé â îáëàñòè Ω .  äàííîì ýêñïåðèìåíòå ìåðà µ åñòü ïëîùàäü îáëàñòè, ïîýòîìó µ(A) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, P(A) = 0 .

2.1.8 Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. Íåçàâèñèìîñòü Îïðåäåëåíèå 2.1.13. Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A îòíîñèòåëüíî ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ B , èìåþùåãî íåíóëåâóþ âåðîÿòíîñòü, íàçûâàåòñÿ

P(A ∩ B) . P(B) Êàê íåïîñðåäñòâåííûå ñëåäñòâèÿ îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè èìåþò ìåñòî óòâåðæäåíèÿ. P(A|B) =

Ïðåäëîæåíèå 2.1.2. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîáûòèé A è B ( P(B) 6= 0 ) âûïîëíåíî P(A ∩ B) = P(A|B) P(B) .

Ïðåäëîæåíèå 2.1.3. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîáûòèé A , B è C ( P(B) 6= 0 , P(C) 6= 0 )

âûïîëíåíî P(A ∩ B ∩ C) = P(A|B ∩ C) P(B|C) P(C) .

Ïðåäëîæåíèå 2.1.4. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ Ω îòíîñèòåëüíî ñëó-

÷àéíîãî ñîáûòèÿ B , èìåþùåãî íåíóëåâóþ âåðîÿòíîñòü, ðàâíà åäèíèöå, òî åñòü P(Ω|B) = 1.

Òåîðåìà 2.1.4. (Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.) Ïóñòü A  ñëó÷àéíîå ñîáûòèå; J  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî; (Hj )j∈J  ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, óäîâëåòâîðÿS Hj . þùåå óñëîâèÿì: P(Hj ) 6= 0 äëÿ êàæäîãî j ∈ J , Hj ∩ Hi = ∅ ïðè i 6= j , A ⊂ j∈J

Òîãäà

P(A) =

X

P(A|Hj ) P(Hj ).

j∈J

Òåîðåìà 2.1.5. (Ôîðìóëà Áàéåñà.) Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ïðåäûäóùåé òåîðåìû è P(A) 6= 0 . Òîãäà

P(A|Hk ) P(Hk ) , P(Hk |A) = P P(A|Hj ) P(Hj ) j∈J

10

k ∈ J.

Çàìå÷àíèå 7. Ñîáûòèÿ Hj , j ∈ J ÷àñòî íàçûâàþò ãèïîòåçàìè. Âåðîÿòíîñòè P(Hj ) , êîòîðûå ïðèïèñûâàþò ãèïîòåçàì äî ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà, íàçûâàþò àïðèîðíûìè âåðîÿòíîñòÿìè (îò ãðå÷. ”απριoρι” ), à âåðîÿòíîñòè P(Hj |A) , êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì Áàéåñà ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà, íàçûâàþò àïîñòîðèîðíûìè âåðîÿòíîñòÿìè (îò ãðå÷. ”απoςτ oριoρι” ).

Îïðåäåëåíèå 2.1.14. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè P(A ∩ B) = P(A) P(B) .

Îïðåäåëåíèå 2.1.15. Ñîáûòèÿ A1 , . . . , An íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè

P(Aj1 ∩ . . . ∩ Ajk ) = P(Aj1 ) · . . . · P(Ajk ) äëÿ ëþáîãî k , 1 < k 6 n , è äëÿ ëþáûõ j1 , . . . , jk òàêèõ, ÷òî 1 6 j1 < . . . < jk 6 n . Ñîáûòèÿ A1 , A2 , . . . íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè äëÿ ëþáîãî n > 1 ñîáûòèÿ A1 , . . . , An íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè.

Ïðåäëîæåíèå 2.1.5. Ñîáûòèÿ A è B , èìåþùèå íåíóëåâûå âåðîÿòíîñòè, íåçàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà P(A|B) = P(A) (èëè P(B|A) = P(B) ). Ïðåäëîæåíèå 2.1.6. Ïóñòü A1 , . . . , An  íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñîáûòèÿ, Bj = Aj ëèáî Bj = Acj , j = 1, . . . , n . Òîãäà B1 , . . . , Bn  íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñîáûòèÿ. Îïðåäåëåíèå 2.1.16. Ñîáûòèÿ A1 , . . . , An íàçûâàþòñÿ ïîïàðíî íåçàâèñèìûìè, åñëè äëÿ ëþáûõ 1 6 i 6= j 6 n ñîáûòèÿ Ai è Aj íåçàâèñèìû.

Ïðåäëîæåíèå 2.1.7. Åñëè ñîáûòèÿ A1 , . . . , An íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, òîãäà îíè ïîïàðíî íåçàâèñèìû, îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå âåðíî.

Ïðèìåð 1 (Áåðíøòåéíà). Ïóñòü â óðíå íàõîäÿòñÿ 4 øàðà: áåëûé, êðàñíûé, ñèíèé è øàð, îêðàøåííûé îäíîâðåìåííî âî âñå òðè öâåòà. Èç óðíû íàóäà÷ó âûíèìàþò øàð. Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ: A  âûáðàí øàð, îêðàñêà êîòîðîãî ñîäåðæèò áåëûé öâåò; B  âûáðàí øàð, îêðàñêà êîòîðîãî ñîäåðæèò êðàñíûé öâåò; C  âûáðàí øàð, îêðàñêà êîòîðîãî ñîäåðæèò ñèíèé öâåò. Òîãäà A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = A ∩ B ∩ C  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî âûáðàí øàð, îêðàñêà êîòîðîãî ñîäåðæèò âñå òðè öâåòà. Íàéäåì

1 P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = P(A ∩ B ∩ C) = . 4 Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

1 P(A) = P(B) = P(C) = . 2 ßñíî ÷òî, P(A ∩ B) = P(A) P(B) , P(A ∩ C) = P(A) P(C) , P(B ∩ C) = P(B) P(C) , òî åñòü ñîáûòèÿ A , B , C  ïîïàðíî íå çàâèñèìû. Îäíàêî, P(A ∩ B ∩ C) 6= P(A) P(B) P(C) , ñëåäîâàòåëüíî, ñîáûòèÿ íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè.

11

2.2 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 2.2.1 Îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è åå ðàñïðåäåëåíèå Ïóñòü (Ω, F, P)  íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî.

Îïðåäåëåíèå 2.2.1. Ôóíêöèÿ ξ(·) : Ω 7→ R íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè {ξ 6 x} ∈ F äëÿ ëþáîãî x ∈ R .

Îïðåäåëåíèå 2.2.2. Åñëè X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî R , ξ  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è P{ξ ∈ X} = 1 (ò.å. ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ξ íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî), òî ξ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, à íàáîð âåðîÿòíîñòåé

pξ (x) , P{ξ = x},

x ∈ X,

íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì ξ .

Òåîðåìà 2.2.1. Ïóñòü X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî R . Íàáîð âåùåñòâåííûõ

÷èñåë (p(x))x∈X ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (p(x))x∈X óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) p(x) P > 0 ∀x ∈ X ; p(x) = 1 . 2) x∈X

Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÷àñòî çàäàþò â âèäå òàáëèöû:

ξ:

xi pi

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

... , ...

ãäå xi  âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , pi  ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè, ò.å. pi = P{ξ = xi } . Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íå ÿâëÿþùåéñÿ äèñêðåòíîé, çàäàþò àíàëèòè÷åñêè èëè ãðàôè÷åñêè.

2.2.2 Ñõåìà Áåðíóëëè ïîâòîðåíèÿ èñïûòàíèÿ. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè. Ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ïóàññîíà. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Ïóñòü H  ñòîõàñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî íåêîòîðîå èñïûòàíèå (íàïðèìåð, ïîäáðàñûâàíèå èãðàëüíîé êîñòè) ïîâòîðÿåòñÿ n ðàç. Îáîçíà÷èì A  íåêîòîðîå ñîáûòèå, êîòîðîå íàáëþäàåòñÿ â êàæäîì èñïûòàíèè. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èñïûòàíèå çàâåðøèëîñü óñïåõîì, åñëè ñîáûòèå A ïðîèçîøëî â ýòîì èñïûòàíèè, è çàâåðøèëîñü íåóäà÷åé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ A (âåðîÿòíîñòü óñïåõà ) â êàæäîì èñïûòàíèè ïîñòîÿííà è ðàâíà p , òî åñòü p = P(A) , ñîîòâåòñòâåííî, âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ Ac (âåðîÿòíîñòü íåóäà÷è ) ðàâíà q = P(Ac ) = 1 − p . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå èñïûòàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïðè âûïîëíåíèè îäíèõ è òåõ æå óñëîâèé è ðåçóëüòàò êàæäîãî èñïûòàíèÿ íå çàâèñèò îò ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùåãî èñïûòàíèÿ. Äàííàÿ ñõåìà ïîâòîðåíèÿ èñïûòàíèÿ íîñèò íàçâàíèå ñõåìû Áåðíóëëè ñ ïîñòîÿííîé âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà. Îáîçíà÷èì ξ  ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé. ßñíî, ÷òî ξ ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé X = {0, 1, 2, . . . , n} . 12

Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ: Bn (k) : ”ξ = k” , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé ÷èñëî óñïåõîâ ðàâíî k , k ∈ X ; Bn (k1 , k2 ) : ”k1 6 ξ 6 k2 ” , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé ÷èñëî óñïåõîâ çàêëþ÷åíî â ïðîìåæóòêå [k1 , k2 ] , k1 , k2 ∈ X , k1 < k2 .

Ïðåäëîæåíèå 2.2.1. Ïóñòü p  âåðîÿòíîñòü óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé, q = 1 − p , k, k1 , k2 ∈ X , k1 < k2 . Òîãäà

k k n−k P(Bn (k)) = Pn (ξ = k) = Cn p q ;

P(Bn (k1 , k2 )) = Pn (k1 6 ξ 6 k2 ) =

k2 X

(2)

Cnk pk q n−k .

k=k1

Ôîðìóëà (2) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Áåðíóëëè.

Îïðåäåëåíèå 2.2.3. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (n, p) , 0 6 p 6 1 , n ∈ N , åñëè k k n−k P(ξ = k) = Cn p (1 − p) ,

k = 0, ..., n.

Ïðåäëîæåíèå 2.2.2. Ïóñòü m  íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé, òî åñòü

Pn {ξ = m} = max Pn {ξ = k}, k∈X

p  âåðîÿòíîñòü óñïåõà. Òîãäà m = (n + 1)p è m = (n + 1)p − 1 , åñëè (n + 1)p  öåëîå, è m = [(n + 1)p] , åñëè (n + 1)p  íå öåëîå ÷èñëî.

Òåîðåìà 2.2.2. (Ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ïóàññîíà.) Ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõåì Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðàìè n è p , ïðè÷åì np = λ , ãäå λ = const > 0 . Òîãäà lim Pn {ξ = k} =

n→∞

λk −λ e , k!

ãäå k = 0, 1, ... .

Çàìå÷àíèå 1. Äàííóþ òåîðåìó ÷àñòî íàçûâàþò çàêîíîì ðåäêèõ ñîáûòèé, à ïàðàìåòð λ îòîæäåñòâëÿþò ñî ñðåäíèì ÷èñëîì íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ çà åäèíèöó âðåìåíè.

Îïðåäåëåíèå 2.2.4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ > 0 , åñëè

λk −λ e , k = 0, 1, .... k! Çàìå÷àíèå 2. Ðàññìîòðèì ñõåìó Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p . Îáîçíà÷èì ξ  ÷èñëî èñïûòàíèé äî ïåðâîãî ïîÿâëåíèÿ óñïåõà.  ýòîì ñëó÷àå ξ ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñî ñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé X = {0, 1, . . . } è çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ k P(ξ = k) = p(1 − p) , k = 0, 1, .... P(ξ = k) =

Òàêîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàþò ãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì ñ ïàðàìåòðîì p , 0 < p < 1 . 13

2.2.3 Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå 2.2.5. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ Fξ (x) , P{ξ 6 x} , x ∈ R .

Òåîðåìà 2.2.3. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) åñëè −∞ < a < b < +∞ , òî Fξ (a) 6 Fξ (b), 2) lim Fξ (x) = 0, lim Fξ (x) = 1 ; x→−∞

P{a < ξ 6 b} = Fξ (b) − Fξ (a);

x→+∞

3) ôóíêöèÿ Fξ (x) íåïðåðûâíà ñïðàâà; 4) P{ξ < x} = Fξ (x−) , ãäå Fξ (x−) = lim Fξ (y)  ïðåäåë ñëåâà ôóíêöèè Fξ â òî÷êå x ; y↑x

5) P{ξ = x} = Fξ (x) − Fξ (x−) . Îáùèé âèä ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 1.

Ðèñ. 1

Çàìå÷àíèå 3. Åñëè ξ  äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è X = {xi }  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé, òî Fξ (x) =

P

xi ∈X, xi 6x

P{ξ = xi }  êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ

âîçðàñòàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ ñïðàâà ôóíêöèÿ ñî ñêà÷êàìè âåëè÷èíû pi = P{ξ = xi } â òî÷êàõ xi ∈ X (ñì. ðèñ. 2).

Çàìå÷àíèå 4. Ôóíêöèÿ F : R 7→ R ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F  âîçðàñòàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ ñïðàâà ôóíêöèÿ è lim F (x) = 0 , lim F (x) = 1 . x→−∞

x→+∞

Îïðåäåëåíèå 2.2.6. Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. 14

Ðèñ. 2

2.2.4 Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå 2.2.7. Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ fξ (·) : R 7→ R+ , ÷òî

Zx fξ (u)du äëÿ ëþáîãî x ∈ R,

Fξ (x) = −∞

òî ôóíêöèÿ fξ (x) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ξ , ïðè ýòîì ñàìà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé.

Òåîðåìà 2.2.4. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îáëàäàåò ñëåäóþùèìè

ñâîéñòâàìè: +∞ R 1) fξ (x)dx = 1 ; −∞

2) fξ (x) =

d F (x) dx ξ

â êàæäîé òî÷êå x , ÿâëÿþùåéñÿ òî÷êîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè fξ (x) ; Rx2 3) P{x1 < ξ 6 x2 } = fξ (t) dt (ãåîìåòðè÷åñêè äàííîå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü x1

ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ â ïðîìåæóòîê (x1 , x2 ] ðàâíà ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ïîä ãðàôèêîì ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ fξ (x) , ðèñ. 3).

Ðèñ. 3

15

Òåîðåìà 2.2.5. Ôóíêöèÿ f : R 7→ R+ ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

+∞ R

−∞

f (x)dx = 1 .

2.2.5 Ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé: ðàâíîìåðíîå, ïîêàçàòåëüíîå, íîðìàëüíîå, ðàñïðåäåëåíèå Êîøè, ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Îïðåäåëåíèå 2.2.8. Ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì íà èíòåðâàëå [a, b] , a < b , íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ

f (x) =

1 χ(x, [a, b]) b−a

Ðèñ. 4

16

(ñì. ðèñ. 4).

Îïðåäåëåíèå 2.2.9. Íîðìàëüíûì (ãàóññîâñêèì) ðàñïðåäåëåíèåì ñ ïàðàìåòðàìè a ∈ R è σ 2 , σ > 0 , íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ

f (x) = √

n (x − a)2 o 1 exp − 2σ 2 2πσ

(ñì. ðèñ. 5).

Ðèñ. 5 Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a è σ 2 , òî ïèøóò ξ ∈ N(a, σ 2 ).

17

Îïðåäåëåíèå 2.2.10. Ïîêàçàòåëüíûì (ýêñïîíåíöèàëüíûì) ðàñïðåäåëåíèåì ñ ïàðàìåòðîì λ > 0 íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ

f (x) = λe−λx χ(x, [0, ∞[)

Ðèñ. 6

18

(ñì. ðèñ. 6).

Îïðåäåëåíèå 2.2.11. Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì ñ ïàðàìåòðàìè α > 0 è β > 0 íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ

f (x) =

β α α−1 −βx x e χ(x, ]0, ∞[) Γ(α)

Ðèñ. 7

19

(ñì. ðèñ. 7).

Îïðåäåëåíèå 2.2.12. Ðàñïðåäåëåíèåì Êîøè ñ ïàðàìåòðàìè a ∈ R è λ > 0 íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ

f (x) =

1 λ 2 π λ + (x − a)2

Ðèñ. 8

20

(ñì. ðèñ. 8).

2.2.6 Ðàñïðåäåëåíèå ôóíêöèé îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ïóñòü ξ  äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì

xi pi

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

è η = g(ξ)  âçàèìíîîäíîçíà÷íàÿ áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

yi qi

y1 p1

y2 p2

... ...

yn pn

ãäå yi = g(xi ) . Åñëè η = g(ξ)  íå âçàèìíîîäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, òî åñòü ñóùåñòâóþò çíà÷åíèÿ xi1 , xi2 , . . . xik ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , äëÿ êîòîðûõ yi = g(ξi1 ) = g(ξi2 ) = . . . g(ξik ) , òî qi = P{η = yi } = pi1 + pi2 + · · · + pik . Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ èçâåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) , η = g(ξ) è ôóíêöèÿ y = g(x) íåïðåðûâíà è ñòðîãî âîçðàñòàåò. Òîãäà Fη (y) = Fξ (g −1 (y)) . Åñëè, êðîìå òîãî, ξ  àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è g(x) äèôôåðåíöèðóåìà, òî ìîæíî íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η

fη (y) =

fξ (g −1 (y)) . g 0 (g −1 (y))

 îáùåì ñëó÷àå óäîáíåå ñíà÷àëà íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fη (y) , èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå −1 P{η ∈ B} = P{ξ ∈ g (B)}, ãäå g −1 (B)  ïðîîáðàç áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B ⊂ R ïðè îòîáðàæåíèè g .

2.3 ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 2.3.1 Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèÿ äèñêðåòíîé è íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Îïðåäåëåíèå 2.3.1. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ Z+∞ xdFξ (x) Mξ = −∞

(èíòåãðàë Ñòèëòüåñà ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ). 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Åñëè c  íåêîòîðîå ÷èñëî, òî M(c) = c . Åñëè ξ 6 η , òî M ξ 6 M η . Åñëè M |ξ| < ∞ è c  ÷èñëî, òî M(cξ) = c M ξ . Åñëè M |ξ| < ∞ è M |η| < ∞ , òî M(ξ + η) = M ξ + M η . | M ξ| 6 M |ξ| . Åñëè ξ > 0 è M ξ = 0 , òî ξ = 0 ï.í. (òî åñòü P{ξ = 0} = 1 ). 21

Òåîðåìà 2.3.1. Ïóñòü ξ  äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå

ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ξ , g : R 7→ R . Åñëè X  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî èëè X  ñ÷åòíîå P ìíîæåñòâî è |g(x)| P{ξ = x} < ∞ , òî x∈X

M g(ξ) =

X

g(x) P{ξ = x}.

x∈X

Òåîðåìà 2.3.2. Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fξ , g : R 7→ R . Òîãäà Z+∞ g(x)fξ (x)dx M g(ξ) = −∞

â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè îïðåäåëåíà îäíà èç ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà, òî îïðåäåëåíà âòîðàÿ è îíè ñîâïàäàþò.

Òåîðåìà 2.3.3. (Îáîáùåííîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà.) Ïóñòü ξ  ïðîèçâîëüíàÿ ñëó-

÷àéíàÿ âåëè÷èíà, g : R 7→ R+  ìîíîòîííî íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, M g(ξ) < ∞ . Òîãäà

P{ξ > a} 6

M g(ξ) , g(a)

g(a) 6= 0.

2.3.2 Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà. Ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèé. Îïðåäåëåíèå 2.3.2. Ïóñòü k ∈ Z+ . ×èñëî M ξ k íàçûâàåòñÿ k -ì ìîìåíòîì âåëè÷èíû ξ . ×èñëî M(ξ − M ξ)k íàçûâàåòñÿ k -ì öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì âåëè÷èíû ξ , k -é ìîìåíò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû |ξ| íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíûì k -ì ìîìåíòîì âåëè÷èíû ξ . Âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé è îáîçíà÷àåòñÿ D ξ , òî åñòü 2 D ξ = M(ξ − M ξ) . √ D ξ íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì âåëè÷èíû ξ è îáîçíà÷àåòñÿ σξ . Äèñïåðñèÿ D ξ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σξ õàðàêòåðèçóþò ìåðó ðàññåÿíèÿ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îêîëî åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ . Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà äèñïåðñèè. 1. 0 6 D ξ = M ξ 2 − (M ξ)2 6 M ξ 2 . 2. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà c D(cξ) = c2 D ξ . 3. D(ξ) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ξ = const ï.í. (òî åñòü P{ξ = const} = 1 ). 4. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà c D(ξ + c) = D ξ . 5. Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà

P{|ξ − M ξ| > ²} 6

Dξ , ²2

∀ ² > 0.

Îáîçíà÷èì νk = M ξ k è µk = M(ξ − M ξ)k . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ôîðìóëû, êîòîðûå ñâÿçûâàþò öåíòðàëüíûå è íà÷àëüíûå ìîìåíòû

µ2 = ν2 − ν12 ,

µ3 = ν3 − 3ν1 ν2 + 2ν13 , 22

µ4 = ν4 − 4ν1 ν3 + 6ν12 ν2 − 3ν14 .

Íàðÿäó ñ îñíîâíûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, ïåðå÷èñëåííûìè âûøå, ââîäÿò è äðóãèå, êîòîðûå îòðàæàþò òå èëè èíûå ãåîìåòðè÷åñêèå îñîáåííîñòè ðàñïðåäåëåíèé. Ê òàêèì õàðàêòåðèñòèêàì îòíîñÿòñÿ ìîäà Mo ξ , ìåäèàíà Me ξ , êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè γ1 è ýêñöåññ γ2 . Ïîä ìîäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîíèìàþò òî÷êó (òî÷êè) ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ôóíêöèè ïëîòíîñòè äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è íàèáîëåå âåðîÿòíûå çíà÷åíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Ðèñ. 9

Ïîä ìåäèàíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîíèìàþò òàêîå åå çíà÷åíèå Me ξ , äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî 1 1 è P(ξ > Me ξ) > . P(ξ 6 Me ξ) > 2 2 Äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ýòè óñëîâèÿ ðàâíîñèëüíû ñëåäóþùèì

1 P(ξ 6 Me ξ) = P(ξ > Me ξ) = , 2 òî åñòü îäèíàêîâî âåðîÿòíî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ áîëüøèå è ìåíüøèå Me ξ . Äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìåäèàíà ãåîìåòðè÷åñêè íàõîäèòñÿ êàê àáñöèññà, â êîòîðîé ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ïîä ãðàôèêîì ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äåëèòñÿ ïîïîëàì.

Ðèñ. 10

23

3

Êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ γ1 = M(ξ−σ3M ξ) è õàðàêòåðèçóåò àñèììåòðèþ ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.

Ðèñ. 11 4

Ýêñöåññîì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ÷èñëî γ2 = M(ξ−σ4M ξ) − 3 . Äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ γ2 = 0 . Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë äàííîé õàðàêòåðèñòèêè ïðîèíòåðïðåòèðîâàí íà ðèñ. 12.

Ðèñ. 12

24

2.4 Ñëó÷àéíûå âåêòîðû 2.4.1 Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ïóñòü (Ω, F, P)  íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî.

Îïðåäåëåíèå 2.4.1. Ôóíêöèÿ ξ = (ξ1 , ..., ξ` ) : Ω 7→ R` íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì âåêòîðîì, åñëè {ξ1 6 x1 , ..., ξ` 6 x` } ∈ F äëÿ ëþáîãî x = (x1 , ..., x` ) ∈ R` .

Îïðåäåëåíèå 2.4.2. Åñëè X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî R` , ξ  ñëó÷àíûé âåêòîð è P{ξ ∈ X} = 1 (ò.å. ìíîæåñòâî çà÷åíèé ξ íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî), òî ξ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì ñëó÷àéíûì âåêòîðîì, à íàáîð âåðîÿòíîñòåé

pξ (x) , P{ξ = x},

x ∈ X,

íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì ξ .

Òåîðåìà 2.4.1. Ïóñòü X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî R` . Íàáîð âåùåñòâåííûõ

÷èñåë (p(x))x∈X ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ` -ìåðíîãî âåêòîðà òîãäà è òîëüêî P òîãäà, êîãäà (p(x))x∈X óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) p(x) > 0 ∀x ∈ X ; 2) p(x) = 1 . x∈X

Çàìå÷àíèå 1. Ïðè ` = 2 äàííîå óòâåðæäåíèå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî â íåñêîëüêî èíîì âèäå, à èìåííî, êîíå÷íûé èëè ñ÷åòíûé íàáîð âåùåñòâåííûõ ÷èñåë pij ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî P 2 -ìåðíîãî âåêòîðà ξ = (ξ1 , ξ2 ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 0 ≤ pij ≤ 1 äëÿ âñåõ i, j è pij = 1 . Êðîìå òîãî, âåðîÿòíîñòè ij

pi = P{ξ1 = xi } =

X

pij

è

qj = P{ξ2 = yj } =

j

X

pij

i

çàäàþò ñîîòâåòñòâåííî äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå êàæäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 â îòäåëüíîñòè. Ðàñïðåäåëåíèå äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà êàê ïðàâèëî çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ äâóìåðíîé òàáëèöû.

Îïðåäåëåíèå 2.4.3. Ñîâìåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ..., ξ` (ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ = (ξ1 , ..., ξ` ) ) íàçûâàåòñÿ

Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) , P{ξ1 6 x1 , ..., ξ` 6 x` }, x = (x1 , ..., x` ) ∈ R` .

Çàìå÷àíèå 2. Ïðè ` = 2 ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ãåîìåòðè÷åñêè îçíà÷àåò âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè (ξ1 , ξ2 ) â áåñêîíå÷íûé êâàäðàíò (ðèñ. 13): Kx1 ,x2 = (−∞, x1 ] × (−∞, x2 ]. Òîãäà ìîæíî íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè â âåðòèêàëüíóþ ïîëóïîëîñó (ðèñ. 14, a)) Sv = (x01 , x001 ] × (−∞, x2 ] : 00

0

P{(ξ1 , ξ2 ) ∈ Sv } = Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) − Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 );

25

Ðèñ. 13

Ðèñ. 14

ãîðèçîíòàëüíóþ ïîëóïîëîñó (ðèñ. 14, b)) Sg = (−∞, x1 ] × (x02 , x002 ] : 00 0 P{(ξ1 , ξ2 ) ∈ Sg } = Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) − Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 );

â ïðÿìîóãîëüíóþ îáëàñòü (ðèñ. 15) S = (x01 , x001 ] × (x02 , x002 ] : 00

00

0

00

00

0

0

0

P{(ξ1 , ξ2 ) ∈ S} = Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) − Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) − Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) + Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:

∆j(aj ,bj ] F (x1 , ..., xj−1 , ·, xj+1 , ..., x` ) , , F (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , ..., x` ) − F (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , ..., x` ).

26

Ðèñ. 15

Òåîðåìà 2.4.2. Ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1) Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) âîçðàñòàåò ïî êàæäîìó àðãóìåíòó; 2) lim Fξ1 ,...,ξ` (y1 , ..., y` ) = Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) (íåïðåðûâíà ñïðàâà ïî êàæäîìó àðy1 ↓x1 ,...,y` ↓x`

ãóìåíòó); 3) lim Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) = 0 äëÿ ëþáîãî j ∈ {1, ..., `} ; xj →−∞

4) 5)

lim

x1 →+∞,...,x` →+∞

lim

Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) = 1 ;

xk+1 →+∞,...,x` →+∞

Fξ1 ,...,ξk ,ξk+1 ,...,ξ` (x1 , ..., xk , xk+1 , ..., x` ) = Fξ1 ,...,ξk (x1 , ..., xk );

6) äëÿ ëþáûõ aj < bj , j = 1, ..., ` ,

∆1(a1 ,b1 ] ...∆`(a` ,b` ] Fξ1 ,...,ξ` (·) = P{a1 < ξ1 6 b1 , ..., a` < ξ` 6 b` } > 0.

Òåîðåìà 2.4.3. Ôóíêöèÿ F : R` 7→ R ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ` ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì: 1) ∆1(a1 ,b1 ] ...∆`(a` ,b` ] F > 0 äëÿ ëþáûõ aj , bj ∈ R , aj < bj , j = 1, ..., ` ; 2) lim F (y1 , ..., y` ) = F (x1 , ..., x` ); 3) 4)

y1 ↓x1 ,...,y` ↓x`

lim F (x1 , ..., x` ) = 0 äëÿ ëþáîãî j ∈ {1, ..., `} ;

xj →−∞

lim

x1 →+∞,...,x` →+∞

F (x1 , ..., x` ) = 1.

Îïðåäåëåíèå 2.4.4. Ïóñòü ξ  ` -ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ fξ (·) : R` 7→ R+ , ÷òî

¶ ¶ Zx` µ µ Zx1 Fξ (x1 , ..., x` ) = ... fξ (u1 , ..., u` )du1 ... du` −∞

−∞

äëÿ ëþáîãî x = (x1 , ..., x` ) ∈ R` , òî ôóíêöèÿ fξ (x) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà ξ . 27

Òåîðåìà 2.4.4. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: µ µ µ +∞ ¶ ¶ ¶ +∞ R R R R 1) fξ (x)dx = 1 ãäå fξ (x)dx = ... fξ (x1 , ..., x` )dx1 ... dx` ; R`

2) fξ (x1 , ..., x` ) = fξ ;

−∞ R` ∂ ` Fξ1 ,ξ2 ,...,ξ` (x1 ,x2 ,...,x` ) â ∂x1 ∂x2 ...∂x`

3) fξ1 ,...,ξk (x1 , ..., xk ) =

+∞ R −∞

...

+∞ R −∞

−∞

êàæäîé òî÷êå (x1 , ..., x` ) íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè

fξ1 ,...,ξk ,...,ξ` (x1 , ..., x` )dxk+1 ...dx` .

Òåîðåìà 2.4.5. Ôóíêöèÿ f : R` 7→ R+ ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ R íåêîòîðîãî

ñëó÷àéíîãî âåêòîðà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

f (x)dx = 1 .

R`

Äëÿ îïèñàíèÿ ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïî àíàëîãèè ñ îäíîìåðíûì ñëó÷àåì, ââîäÿò ðàçëè÷íûå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.

Òåîðåìà 2.4.6. Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíûé ` -ìåðíûé âåêòîð, èìåþùèé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fξ , g : R` 7→ R . Òîãäà

Z M g(ξ) =

g(x)fξ (x)dx R`

â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè îïðåäåëåíà îäíà èç ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà, òî îïðåäåëåíà âòîðàÿ è îíè ñîâïàäàþò.

Òåîðåìà 2.4.7. Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíûé ` -ìåðíûé âåêòîð ñî çíà÷åíèÿìè â êîíå÷íîì èëè

ñ÷åòíîì ìíîæåñòâå X , g : X 7→ R . Åñëè X  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî èëè X  ñ÷åòíîå P ìíîæåñòâî è |g(x)| P{ξ = x} < ∞ , òî x∈X

M g(ξ) =

X

g(x) P{ξ = x}.

x∈X

2.4.2 Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Îïðåäåëåíèå 2.4.5. 1) cov(ξ, η) = M(ξ − M ξ)(η − M η) íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η ; íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η ; 2) %(ξ, η) = √cov(ξ,η) DξDη 3) Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η òàêîâû, ÷òî %(ξ, η) = 0 , òî îíè íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè. Äëÿ íåïîñðåäñòâåííûõ âû÷èñëåíèé ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå ôîðìóëû

cov(ξ, η) = M(ξη) − M ξ M η; D(ξ + η) = D ξ + D η + 2 cov(ξ, η). Îïðåäåëåíèå 2.4.6. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ..., ξ` íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) = Fξ1 (x1 ) · ... · Fξ` (x` ) äëÿ âñåõ (x1 , ..., x` ) ∈ R` . 28

Òåîðåìà 2.4.8. Ïóñòü ξj  äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, Xj  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå

ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ξj , j = 1, ..., ` . Äëÿ òîãî ÷òîáû ξ1 , ..., ξ` áûëè íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû

P{ξ1 = x1 , ..., ξ` = x` } = P{ξ1 = x1 } · ... · P{ξ` = x` } äëÿ ëþáûõ x1 ∈ X1 , ..., x` ∈ X` .

Òåîðåìà 2.4.9. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ..., ξ` èìåþò ñîâìåñòíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðå-

äåëåíèÿ fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) , òî îíè íåçàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) = fξ1 (x1 ) · ... · fξ` (x` ).

Ñëåäñòâèå 2.4.1. Åñëè ξ1 è ξ2  íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî M(ξ1 ξ2 ) = M ξ1 M ξ2 .

Ñëåäñòâèå 2.4.2. Åñëè ξ1 è ξ2  íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî cov(ξ1 , ξ2 ) = 0 . Ñëåäñòâèå 2.4.3. Åñëè ξ1 è ξ2  íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî D(ξ1 + ξ2 ) = D ξ1 + D ξ2 . Ïóñòü ξ1 è ξ2  çàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.

Îïðåäåëåíèå 2.4.7. Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ëèíåéíîé ðåãðåññèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2 íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ1 íàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ φ(ξ1 ) = aξ1 + b òàêàÿ, ÷òî âåëè÷èíà M[ξ2 − φ(ξ1 )]2 ìèíèìàëüíà.

Çàìå÷àíèå 3. Ïîñëåäíåå óñëîâèå âûïîëíåíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà s cov(ξ1 , ξ2 ) D ξ2 a= = ρ(ξ1 , ξ2 ) , D ξ1 D ξ1 cov(ξ1 , ξ2 ) M ξ1 . D ξ1 Êîýôôèöèåíò a íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ëèíåéíîé ðåãðåññèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2 íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ1 , âåëè÷èíà M[ξ2 − φ(ξ1 )]2 = D ξ2 (1 − ρ2 (ξ1 , ξ2 )) è íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íîé äèñïåðñèåé, à ïðÿìàÿ âèäà y = M ξ2 + a(x − M ξ1 ) íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ëèíåéíîé ðåãðåññèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2 íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ1 . Ýòà ïðÿìàÿ âñåãäà ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (M ξ1 , M ξ2 )  öåíòð ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 è ξ2 . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ ðåãðåññèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ1 íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ2 . b = M ξ2 −

29

2.4.3 Ðàñïðåäåëåíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ðàññìîòðèì äâå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ, η ñ èçâåñòíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ fξ (x) è fη (y) . Çíàÿ ýòî, ìîæíî íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ζ1 = ξ + η , ζ2 = ξη , ζ3 = ηξ :

Z+∞ Z+∞ fζ1 (x) = fξ (y)fη (x − y) dy = fξ (x − y)fη (y) dy; −∞

−∞

Z0 fζ2 (x) = −

1 fξ (y)fη y

µ ¶ µ ¶ Z+∞ 1 x x dy + dy; fξ (y)fη y y y 0

−∞

Z+∞ |y|fξ (xy)fη (y) dy. fζ3 (x) = −∞

2.5 Ïðåäåëüíûå òåîðåìû. Ïðîèçâîäÿùèå è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè 2.5.1 Ïðîèçâîäÿùèå è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 2.5.1. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò òîëüêî öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ξ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî àðãóìåíòà z ξ

ψξ (z) = M z =

∞ X

z k P{ξ = k},

|z| ≤ 1.

k=0

Åñëè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ïîñëåäíåãî ðÿäà îòëè÷íà îò îêðóæíîñòè |z| = 1 , òî ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîæíî îïðåäåëèòü è äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ïðèíèìàþùåé öåëûå îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ.

Îïðåäåëåíèå 2.5.2. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò ïðîèçâîëüíûå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ξ íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíîãî àðãóìåíòà t

φξ (t) = M eitξ ,

t ∈ (−∞, +∞).

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðîèçâîäÿùèõ è õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. 1. Åñëè P{|ξ| < ∞} = 1 , òî ψξ (z) è φξ (t) íåïðåðûâíû è

ψξ (1) = φξ (0) = 1. 2. Åñëè M |ξ|k < ∞ äëÿ öåëîãî k ≥ 1 , òî (k)

φξ (0) = ik M ξ k . 30

3. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû, òî

φξ+η (t) = φξ (t)φη (t),

ψξ+η (z) = ψξ (z)ψη (z).

4. Åñëè ïðîèçâîäÿùèå (èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 è ξ2 ñîâïàäàþò, òî ñîâïàäàþò è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèé Fξ1 (x) è Fξ2 (x) . 5. Åñëè ôóíêöèÿ φξ (t) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà, òî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò îãðàíè÷åííóþ íåïðåðûâíóþ ïëîòíîñòü fξ (x) è

1 fξ (x) = 2π

Z+∞ e−itx φξ (t) dt (ôîðìóëà îáðàùåíèÿ). −∞

2.5.2 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, P(·)) çàäàíû ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξn , n = 1, 2, . . . è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ .

Îïðåäåëåíèå 2.5.3. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 (èëè ïî÷òè íàâåðíîå), åñëè

P(ω ∈ Ω : lim ξn (ω) = ξ(ω)) = 1. n→∞

Îïðåäåëåíèå 2.5.4. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ ïî âåðîÿòíîñòè, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0

lim P(|ξn − ξ| > ε) = 0.

n→∞

Îïðåäåëåíèå 2.5.5. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì, åñëè

lim M |ξn − ξ|2 = 0.

n→∞

Îïðåäåëåíèå 2.5.6. Fn (x) = P{ξn ≤ x} , n = 1, 2, . . . ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) = P{ξ ≤ n} , åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè x , ãäå F (x) íåïðåðûâíà, âûïîëíåíî

lim Fn (x) = F (x).

n→∞

Ïðè ýòîì òàêæå ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ ïî ðàñïðåäåëåíèþ (ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ, ξ1 , ξ2 , . . . ìîãóò áûòü çàäàíû íà ðàçëè÷íûõ âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ).

2.5.3 Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Îïðåäåëåíèå 2.5.7. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 n

1X lim P(| (ξk − M ξk )| > ε) = 0. n→∞ n k=1 Åñëè âìåñòî ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óäîâëåòâîðÿåò óñèëåííîìó çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. 31

Òåîðåìà 2.5.1. (Òåîðåìà ×åáûøåâà.) Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . .  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ

ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ îãðàíè÷åííûìè M ξk è D ξk < C äëÿ âñåõ k . Òîãäà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . âûïîëíåí çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.

Òåîðåìà 2.5.2. (Òåîðåìà Êîëìîãîðîâà.) Ïóñòü ξ1 , ξP 2 , . . .  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñè-

∞ −2 ìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ îãðàíè÷åííûìè M ξk è D ξk < ∞ . Òîãäà äëÿ ïîñëåk=1 k äîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . âûïîëíåí óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.

Òåîðåìà 2.5.3. (Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà.) Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . .  ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ M ξk = 0 è D ξk = 1 äëÿ âñåõ k . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . èìååò àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N(0, 1) èëè n

1 X 1 lim P{a < √ ξk < b} = √ n→∞ n k=1 2π

Zb

x2

e− 2 dx. a

Òåîðåìà 2.5.4. (Èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà.) Ðàññìîòðèì ñõåìó

Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðàìè n è p ( n  ÷èñëî èñïûòàíèé â îäíîé ñåðèè, p  âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ óñïåõà â îäíîì èñïûòàíèè). Ïóñòü ηn  ÷èñëî óñïåõîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ζn = √ηn −np èìååò àñèìïòîòè÷åñêè np(1−p)

íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N(0, 1) èëè

1 lim P{a < ζn < b} = √ n→∞ 2π

32

Zb

x2

e− 2 dx. a

3 Óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 1. Âûðàçèòü ÷åðåç ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñëåäóþùèå âåðî-

ÿòíîñòè P{ξ > x} , P{ξ ≥ x} , P{x1 ≤ ξ < x2 } , P{x1 < ξ < x2 } , P{x1 ≤ ξ ≤ x2 } . 2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ pξ (x) = π(x21+1) . Íàéòè Fξ (x) . Ïîñòðîèòü ãðàôèêè fξ (x) è Fξ (x) . 3. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ N (1, 1) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è Me ξ . 4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ N (1, 2) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è Me ξ . 5. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ N (1, 0.5) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è Me ξ . 6. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ N (0, 2) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è Me ξ . 7. Ïîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèé êëàññ ìíîæåñòâ F = {∅, Ω, A, Ac }, ãäå A ⊂ Ω , ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé. 8. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ (1, 0.5) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è Me ξ . 9. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ (0.5, 1) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è Me ξ . 10. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ (2, 1) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è Me ξ . 11. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ (1, 2) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è Me ξ . 12. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí D(ξ + η) = D ξ + D η. 13. Äîêàçàòü ôîðìóëû ñîîòíîøåíèé ìåæäó ìîìåíòàìè µ2 = ν2 − ν12 , µ3 = ν3 − 3 3ν2 ν1 + 2ν1 . 14. Äîêàçàòü ôîðìóëû ñîîòíîøåíèé ìåæäó ìîìåíòàìè µ2 = ν2 − ν12 , µ4 = ν4 − 2 4 4ν3 ν1 + 6ν2 ν1 − 3ν1 . n! 15. Äîêàçàòü, ÷òî Cnk = (n−k)!k! , ãäå k = 0, 1, . . . , n , n ∈ N ∪ {0} . n! k 16. Äîêàçàòü, ÷òî An = (n−k)! , Pn = n! ãäå k = 0, 1, . . . , n , n ∈ N ∪ {0} . 17. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ φη (t) íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, åñëè

φ0η (t) = −tφη (t)

è φη (0) = 1.

18. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ φη (t) ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 19. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ φη (t) äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà. 20. Äîêàçàòü èñõîäÿ èç êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: ¯ = 1 − P(A), a) P(A)

b) P(∅) = 0.

21. Äîêàçàòü ñâîéñòâà σ -àëãåáðû F : a) limn→∞ An ∈ F,

b) limn→∞ An ∈ F.

22. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A è B  íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ, òî A¯ è B¯ , A è B¯  íåçàâèñèìûå

ñîáûòèÿ.

33

23. Äîêàçàòü ñâîéñòâà äèñïåðñèè: a) D(λξ) = λ2 D(ξ),

b) D(ξ + λ) = D(ξ),

ãäå λ = const. 24. Ïóñòü ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå fξ (x) = λeλx , (ãðàôèê), M ξ , Mo ξ , Me ξ , D ξ . √ M ξ − η− √Mη . 25. Äîêàçàòü, ÷òî M z = 0 , åñëè z = ξ− Dη Dξ

34

x > 0. Íàéòè Fξ (x)

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Ãìóðìàí Â.Å. Ðóêîâîäñòâî ïî ðåøåíèþ çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ. - Ì.: Âûñø. øê., 1998.-400 ñ. [2] Äîðîãîâöåâ À.ß., Ñèëüâåñòðîâ Ä.Ñ., Ñêîðîõîä À.Â., ßäðåíêî Ì.È. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ñáîðíèê çàäà÷. - Êèåâ, Âèùà øêîëà, 1980.-432 ñ. [3] Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. (Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, ñîñòàâèòåëè  Êîëîäèé Í.À., Ìàçåïà Å.À.), Âîëãîãðàä, 2004.-114 ñ. [4] Êîìáèíàòîðíûé àíàëèç. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå, ïîä ðåä. Ê. À. Ðûáíèêîâà. - Ì: Íàóêà, 1982.-368 ñ. [5] Ïðîõîðîâ À.Â., Óøàêîâ Â.Ã., Óøàêîâ Í.Ã. Çàäà÷è ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé: Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Ì.: Íàóêà, 1986.-328 ñ. [6] Ñåâàñòüÿíîâ Á.À., ×èñòÿêîâ Â.Â., Çóáêîâ À.Ì. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1980.-224 ñ. [7] Cáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå è òåîðèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, ïîä ðåä. À.À.Ñâåøíèêîâà. Ì.: Íàóêà, 1970.-656 ñ.

35

Ñîäåðæàíèå 1 Ñîäåðæàíèå ðàáî÷åé ïðîãðàììû äèñöèïëèíû 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÂÅËÈ×ÈÍÛ. ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÂÅËÈ×ÈÍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×ÈÑËÎÂÛÅ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÈ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÂÅËÈ×ÈÍ . . . . . . ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÂÅÊÒÎÐÛ È ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÛÅ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß . . . . ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÂÅËÈ×ÈÍ. ÇÀÊÎÍ ÁÎËÜØÈÕ ×ÈÑÅË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÑËÀÁÀß ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ. ÖÅÍÒÐÀËÜÍÀß ÏÐÅÄÅËÜÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Êðàòêèé êîíñïåêò ëåêöèé 2.1

2.2

2.3

2.4

ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 ×àñòîòà ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà è î âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ 2.1.4 Âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Àêñèîìàòèêà À.Í. Êîëìîãîðîâà. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè. Òåîðåìà î íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè . . . . . . . 2.1.7 Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8 Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. Íåçàâèñèìîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . . . . . . . . . . . 2.2.1 Îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è åå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Ñõåìà Áåðíóëëè ïîâòîðåíèÿ èñïûòàíèÿ. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè. Ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ïóàññîíà. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà . . . . . . 2.2.4 Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà . . . . . 2.2.5 Ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé: ðàâíîìåðíîå, ïîêàçàòåëüíîå, íîðìàëüíîå, ðàñïðåäåëåíèå Êîøè, ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Ðàñïðåäåëåíèå ôóíêöèé îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . . . . . . . . . . . . . ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèÿ äèñêðåòíîé è íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà. Ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèé. . . . . . . . . . . Ñëó÷àéíûå âåêòîðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 2

3 3 3 4 4

5

5 5 6 6 7 8

8 9 10 12 12 12 14 15 16 21 21 21 22 25 25 28

2.4.3

2.5

Ðàñïðåäåëåíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî äâóõ ñëó÷àéíûõ ëè÷èí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû. Ïðîèçâîäÿùèå è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè . 2.5.1 Ïðîèçâîäÿùèå è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè . . . . . . . . . . 2.5.2 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà . . . . .

3 Óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ

37

âå. . . . . . . . . . . . . . .

30 30 30 31 31

33